Matemática 111343 Capítulo 1 1. Responda: a) O conjunto {a,b,c} é igual ao conjunto {c,a,b}? b) O conjunto {a,b} é igual ao conjunto {a,b,b}? 2. Seja S o conjunto dos nomes dos meses do ano e seja A o conjunto formado pelos elementos de S que têm 31 dias. Represente o conjunto A, simbolicamente, enumerando um a um os seus elementos. 3. Escreva os conjuntos abaixo usando a representação de enumeração. A = {x | x é letra da palavra “matemática”} B = {x | x é cor da bandeira nacional brasileira} C = {x | x é nome de cidade que já foi, ou é, capital do Brasil} 4. Descreva, através de uma propriedade característica dos elementos, cada um dos conjuntos seguintes: A = {0, 2, 4, 6, 8, ... } B = {0, 1, 2, ..., 9} C = {Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas} 5. Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3} e C = {3, 10}. Depois, associe V (verdadeiro) ou F (falso) a cada afirmação: a) 4 ∈ A b) 3 ⊂ B c) {3} ⊂ B f) C ⊂ A d) B ∈ A e) A ⊃ B 6. Use o diagrama de Venn para representar os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 3, 7, 8, 10}, mas sem escrever duas vezes o mesmo elemento. 7. Use o diagrama de Venn para representar os conjuntos A= {2, 3, 4, 5, 9} e C = {2, 3, 4}, mas sem escrever duas vezes o mesmo elemento. 8. Use o diagrama de Venn para representar os conjuntos A = {1, 2, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e C = {1, 3, 8}, mas sem escrever duas vezes o mesmo elemento. 9. Seja M o conjunto de todos os possíveis resultados de um dado comum de seis faces e seja C um subconjunto de M, tal que os elementos de C são primos. Enuncie os conjuntos M e C. 10. Qual é o menor número de pessoas, num conjunto, para garantir que, pelo menos, 4 pessoas nasceram no mesmo mês? 11. Quais são as possibilidades para o conjunto A tal que {1, 2} ⊂ A ⊂ {1, 2, 3, 4}? 12. Em uma caixa temos um conjunto de moedas. Retiram-se, ao acaso, duas delas e observam-se que os valores dessas moedas são a e b, respectivamente. Sabe-se também que: – não faltam dados; – há apenas uma alternativa correta. Então, com relação aos valores de a e b das moedas, podemos afirmar que: a) a > b d) a ≠ b b) a < b e) ∅ c) a = b 13. Leia o texto abaixo. Ter um assento é uma condição necessária para algo ser uma cadeira. Portanto, X é condição necessária para Y acontecer, isso significa que Y não ocorre se X não ocorrer. Ser um cachorro é uma condição suficiente (mas não necessária, existem outros tipos) para algo ser um animal. Portanto, X é uma condição suficiente para Y acontecer, isso significa que se X ocorrer Y ocorre. A condição necessária e suficiente para A ⊂ B, B ⊂ C e C ⊂ A é: a) A = B = C = ∅ b) A = C = ∅ c) A = B = C d) C = ∅ e) A = C EM1D-10-14 14. Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 3, 7, 8, 10}: a) represente os conjuntos usando o diagrama de Venn; b) determine A ∪ B e A ∩ B. 344 15. Dados os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 9} e C = {2, 3, 4}: a) represente os conjuntos usando o diagrama de Venn; b) determine A ∪ B e A ∩ B. 16. Complete as lacunas abaixo de forma deixar as afirmações verídicas. a) {__, __, 5, 4} ∪ {__, 7, 2, __} = {1, __, __, __, 6, __} b) {2, 9, __} ∪ { __, __, __, 7} = {__, 4, 5, __ , 9, 10, 90} c) {-2, 3, __ , 8, 15} ∩ {3, 5, __ , 10, 13} = {3, 8, 10} • Os quadrados possuem ângulos e lados de mesma medida. • Os losangos são quadriláteros com quatro lados de mesma medida. Faça um diagrama que represente os três conjuntos e suas intersecções. a = = 22. Dados os conjuntos: A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, B = {g, h, i, j, k, l, m, n} e C = {d, e, g, k}. Determine: a) A ∪ B c) A ∪ B ∪ C b) B ∩ C d) (B ∪ C) ∩ A = 17. Seja A um conjunto com 12 elementos e B um conjunto com 5 elementos. Sabe-se, ainda, que o número de elementos comuns aos conjuntos A e B é um terço dos elementos de A. Qual é a quantidade de elementos de A ∪ B? 18. O conjunto A tem 20 elementos; o A ∩ B tem 12 elementos; o A ∪ B tem 60 elementos. Quantos elementos têm o conjunto B? 19. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. ∅ ∈U e n(U) = 10 II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10 III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s): a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações. 20. Monte um conjunto A e um conjunto B, sabendo que A tem apenas 2 elementos, que B tem pelo menos 3 elementos e que A ∪ B ⊂ H, sendo H = {1, 3, 4, 8, 16, 24, 40}. 21. Considere os conjuntos: R – dos retângulos. Q – dos quadrados. L – dos losangos. • Os retângulos são quadriláteros com ângulos de mesma medida (90º). 23. Considere os conjuntos representados abaixo: P 4 1 3 5 7 Q 2 6 R Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: a) (P ∪ Q) ∩ R b) (Q ∩ R) ∪ P 24. Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que A ∩ B tem 20 elementos, B ∩ C tem 15 elementos e A ∩ B ∩ C tem 8 elementos, então o número de elementos de (A ∪ C) ∩ B é: a) 27 d) 35 b) 13 e) 23 c) 28 25. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, determine o conjunto X tal que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅. 26. (UFC-CE) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto M ∪ N é: a) o triplo do número de elementos de M. b) o triplo do número de elementos de N. c) o quádruplo do número de elementos de M. d) o dobro do número de elementos de M. e) o dobro do número de elementos de N. Matemática 111 27. Sejam A, B e C conjuntos de números inteiros, tais que A tem 8 elementos, B tem 4 elementos, C tem 7 elementos e A ∪ B ∪ C tem 16 elementos. Então, o número máximo de elementos que o conjunto D = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) pode ter é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 28. Sendo A = {2, 3, 4, 5, 9}, B = {0, 2, 3, 7, 8} e sendo U o conjunto universo formado pelos algarismos arábicos, determine: a) A – B b) B – A c) A d) B 29. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5}. Determine: a) B ∪ C d) C – A b) B ∩ C e) fAC c) A – C 345 34. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Usando o diagrama, concluir que (A ∪ B) – (A ∩ B) pode também ser representada por: a) A ∩ (B – A). b) (A ∪ B) ∩ (A ∩ B). c) (B – A) ∩ (A – B). d) B ∪ (A – B). e) (B – A) ∪ (A – B). 35. A e B são dois conjuntos tais que A – B tem 30 elementos, A ∩ B tem 10 elementos e A ∪ B tem 48 elementos. Então, o número de elementos de B – A é: a) 8 b) 10 e) 22 c) 12 d) 18 36. No diagrama a seguir, a região hachurada representa o conjunto. A 30. Determine a e b para que tenhamos: {3, 4, 6, a} – {3, 4, 7, 8} = {5, b} B ∅ 31. Seja B = {3}, então fB é igual a: a) não existe. b) 3 c) {{3}} d) 3 e) ∅ 32. Suponhamos que: A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h} A ∩ B = {d, e} A – B = {a, b, c} Então: a) B = {f, g, h} b) B = {d, e, f, g, h} c) B = {a, b, c, d, e} d) B = {d, e} e) B = ∅ EM1D-10-14 33. A alternativa correta é: a) se A = {1,2,3} e B = {2,3,4}, então A – B = {4}. b) se A ∩ B = A, então A ⊂ B. c) se A = {a,b,c}, então a ⊂ A. d) se A ∩ B = A ∪ B, então A = B. e) se A = {1,2,3}, então ∅ ∈ A. C a) C – (A ∩ B) b) (B ∪ C) – A c) (B ∩ C) – A d) (B – A) ∩ C e) (A ∩ B) ∩ C 37. A parte hachurada do diagrama abaixo representa: A B C a) (A ∩ B) ∩ C b) A ∩ C c) C ∩ (A ∪ B) d) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) e) (A ∪ B) ∪ C 21 alunos falam francês. Pergunta-se: a) Qual o total de alunos da sala? b) Quantos falam os dois idiomas? 46. 8. B com 3 elementos e C com 4 elementos. 2. B = {2. • 220 pessoas compram o produto B. 32 só falam inglês e 45 só falam um desses dois idiomas. e) 0 e 2. De acordo com essa pesquisa. 4. Uma festa reuniu 48 convidados. Numa cidade com 30. • 250 falam inglês. determine. Quantos convidados levaram doces e salgados? 42. quantos falam esses dois idiomas? 44. Numa sociedade. em que U é o conjunto universo. há 35 homens. Determine: a) o número de domicílios que recebem os dois jornais. foi feita uma pesquisa entre 320 alunos para verificar quantos falam inglês ou espanhol. Determine quantos estudantes pediram: a) suco e lanche. b) 2 e 3. • 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. Sendo A = {1. 40. realizada num bairro de Natal.000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebem nenhum dos dois jornais. Sejam os conjuntos A com 2 elementos. 4} e U = {1. a quantidade de mulheres que usam óculos é: a) 7 d) 28 b) 11 e) 8 c) 15 . todos fizeram pedidos de suco ou lanche em uma lanchonete.000 recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X. 5. O número de elementos de C – [(A ∩ B) ∩ C] pode variar entre: a) 2 e 4.000 domicílios. 10. apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra. Se 28 levaram um prato de doces e para entrar na festa cada pessoa deveria levar pelo menos um tipo de prato. 3. são conhecidas como leis de De Morgan. Num grupo de 10 estudantes. A∪B=A∩B A∩B=A∪B 39. 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não iam à praia. 43. 6. d) 0 e 3. Se forem 18 pessoas (ao todo) que usam óculos. 15 mulheres que não usam óculos e 7 homens que usam óculos. b) apenas lanche. 45. 20 não falam inglês. o percentual dos entrevistados que frequentavam ambas as praias era de: a) 20% b) 35% c) 40% d) 25% 47. usando o diagrama de Venn: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A ∩ B d) A ∪ B As relações abaixo apresentadas. Em uma escola. (UFRN) Uma pesquisa de opinião. em homenagem ao matemático August De Morgan (1806-1871). Dos alunos entrevistados. foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. c) 0 e 4. Numa sala de aula. O resultado foi o seguinte: • 45 não falam essas línguas. • 110 pessoas compram os produtos A e B. 41. 7}. 3}. b) o número de domicílios que recebem o jornal da loja de eletrodomésticos X e não recebem o jornal do supermercado Y. 3. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 310 pessoas compram o produto A.346 38. Indique o número de consumidores entrevistados. usadas nos itens acima. 2. Numa pesquisa de mercado. • 180 falam espanhol. sendo que 26 deles levaram um prato de salgado. Verificou-se que 6 deles vão tomar um suco e 8 solicitaram um lanche cada. Uma prova era constituída de dois problemas. Marcas Consumidores Marcas Consumidores A B C AeB 109 203 162 25 AeC BeC A. 36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe. Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos. Nove alunos optaram somente por carne de frango. foram obtidos estes dados: • 40% dos entrevistados leem o jornal A. • 35% dos entrevistados leem o jornal C. o número de pessoas morenas com olhos azuis. • 55% dos entrevistados leem o jornal B. portanto. B e C. 7 por carne bovina e frango. (UEL-PR) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre as preferências dos alunos quanto ao cardápio do restaurante universitário. é correto afirmar que o número total de entrevistados foi: a) 1. Calcule. assinale a alternativa que apresenta o número de alunos entrevistados. d) 23 homens não jogam xadrez. 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro.200 c) 1. que 31 pessoas são morenas e que 18 têm olhos castanhos. Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergentes: A. c) 29 mulheres não jogam xadrez. 3 somente por peixes. sendo que 1/5 do total tem agrotóxicos e esgotos. Quantos alunos fizeram a prova? 50.500 d) 1. • 15% dos entrevistados leem os jornais A e C. • 12% dos entrevistados leem os jornais A e B. EM1D-10-14 51. no grupo. Considerando-se esses dados. louras ou morenas e quanto à cor dos olhos. Uma pesquisa sobre a água disponível em um município revelou que: • metade dos recursos disponíveis apresentou algum tipo de poluição por agrotóxicos. e) 9 homens que jogam xadrez. colheram-se os resultados da tabela abaixo. 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. que: a) 31 são mulheres. Conclui-se. • 19% dos entrevistados leem os jornais B e C. B e C Nenhuma 28 41 5 115 Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é: a) 99 d) 84 b) 94 e) 79 c) 90 49. • 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. 31 são homens ou jogam xadrez e 3 são mulheres que jogam xadrez. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião. a) 38 b) 42 c) 58 d) 62 e) 78 53. • 7% dos entrevistados leem os três jornais. azuis ou castanhos. sendo que 300 alunos acertaram somente um dos problemas. sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras com olhos azuis. Numa sala de aula com 60 alunos. De acordo com essa identificação. b) 29 são homens.350 52. Feita uma pesquisa de mercado. Que fração dos recursos desse município está isenta dos dois problemas sempre? .250 b) 1. 260 acertaram o segundo. 54. 11 jogam xadrez. • 3/5 do total dos recursos apresentaram poluição por esgotos domésticos e industriais.Matemática 111 347 48. Considere um grupo de 50 pessoas que foram identificadas em relação a duas categorias: quanto à cor dos cabelos. 27% são homens com mais de 30 anos. aos três grupos de risco? 56.. e não são hemofílicos. 62. e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de .. homossexuais e toxicômanos.5 e) 0. O número que expressa: a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de +.. Com base nos dados anteriores. III. Considere os conjuntos: . é: a) 6% d) 9% b) 7% e) 10% c) 8% 57. mas não de . de 75 pacientes. a) 4.123123123.. a) 4 2 c) 121 20 b) 28 25 d) 7 9 63. em reais. • 6 pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos.131313. aos três grupos de risco é a metade do número de pacientes que não pertencem a nenhum desses grupos de risco. d) 0. 58% são homens. IV. 35% são homens solteiros. Num certo país. • 7 são homossexuais e toxicômanos. c) 24. Quantos elementos possui o conjunto {x ∈ | 54 ≤ x ≤ 79}? 59. d) o valor pago. b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de .327 h) 2. Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F). determine: a) A ∩ B b) A ∪ B 60. • o número de pacientes que pertencem. • o número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes que são apenas homossexuais. que: I. dos números racionais não negativos. b) 1. II. Dados os conjuntos A = {x ∈ | x é divisor de 12} e B = {x ∈ | x é múltiplo positivo de 3 e x < 20}. . pode-se afirmar que a porcentagem da população dessa cidade que representa as mulheres casadas. por um sorvete é um elemento de +.. cada um dos conjuntos: a) A = {x ∈ | 2x + 7 = 5} b) B = {x ∈ | 2x + 7 = 5} c) C = {g ∈ | –3 < g ≤ 5} d) D = {s ∈ | (s – 2)·(s + 3) = 0} 58. (Vunesp) Considere os pacientes de aids classificados em três grupos de risco: hemofílicos. Quantas pessoas pertencem. dos números reais. dos números naturais. na forma de enumeração. 43% têm idade superior a 30 anos. simultaneamente. • 2 são hemofílicos e toxicômanos. a) ( ) = + b) ( ) ⊂ + c) ( ) _ ∪ + = d) ( ) e) ( ) f) ( ) 61. VII. e não são toxicômanos. • 9 são homossexuais e hemofílicos.. VI.348 55. +. verificou-se que: • 41 são homossexuais. . Represente os números abaixo na forma decimal. 15% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. 14% são homens solteiros com mais de 30 anos. descobriu-se. e não são homossexuais. c) a velocidade média de um veículo é um elemento de .333. Escreva. Represente os números abaixo na forma fracionária.. mas não de +.05 f) 0.55 g) 0. V. com idade igual ou inferior a 30 anos. dos números racionais.3255555. sobre a população. . 54% são indivíduos solteiros. Feito o levantamento estatístico dos resultados do censo populacional em uma cidade. simultaneamente.. c) 1.. O número π – entre: 2 pertence ao intervalo a) 1 e 3 2 68. 4. Por exemplo.. Os números x e y são tais que 5 ≤ x ≤ 10 e 20 ≤ y ≤ 30. Sendo A = {x ∈ | n = 30 . O maior valor possível de x é: 1 a) 6 1 b) 4 1 c) 3 1 d) 2 y e) 1 72. mais antigo já encontrado) há 8 4 8 EM1D-10-14 Embora os egípcios não adotassem sempre o mesmo procedimento.212121. Quantos são os elementos do conjunto A = {x ∈ | 10π < x < π + 30}? a) 1 d) A = ∅ b) 2 e) Infinitos c) 3 . 2.. então ab ∈ .} P = { x ∈ | 6 ≤ x ≤ 20} A = { x ∈ P | x é par} B = { x ∈ P | x é divisor de 48} C = { x ∈ P | x é múltiplo de 5} O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é: a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 unidade. Escreva as frações 13 . frações cujo numerador é 1.1416 II.. Observe os seguintes números. a) 0 ∈ * g) 0 ⊂ b) 1. Sendo a e b elementos de . o que representa uma garantia teórica para essa opção.23 ∈ h) ∅ ⊂ c) 0.. 69. IV. π e) 3.49 Assinale a alternativa que identifica os números irracionais. classifique como V (verdadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes sentenças. a) I e II d) II e V b) I e IV e) III e V c) II e III 5 2 67. m ∈ *}.. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: = { 0. . n ∈ } e x B = {x ∈ * | x = 3m. pode-se mostrar que toda fração entre 0 e 1 é a soma de frações da b) 1 e 1 2 3 c) e2 2 d) –1 e 1 e) − 3 e0 2 73.666. I. 4 e 7 em soma 12 52 15 de frações da unidade. ou seja. os egípcios usa3 4 vam apenas frações da unidade. 1. V. 70. 2.5 1 d) Um número entre e1 71. 3. −4 III.22.) é: a) 1. 65.212223. Classifique as sentenças a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).2 b) 1. com exceção das frações 2 e 3 . O valor de (2. 3. ∉ i) {0} ⊂ d) 2 ∈ + j) ⊂ I e) 3 ∉ k) I ⊂ f) 9 ∉ l) ⊂ * 66. às vezes.Matemática 111 349 64.. a) ( ) a + b ∈ b) ( ) a · b ∈ c) ( ) a – b ∈ d) ( ) a : b ∈ e) ( ) Se a e b são nulos simultaneamente... no papiro de Rhind (o documento matemático egípcio 19 1 1 =2+ + . 777. Por razões difíceis de explicar. 3.. determine a intersecção de A e B... Em relação ao intervalo A = [–3.1 II. x2 – 2 = 0 Sobre as soluções dessas equações é verdade que em: 80. Considere as seguintes equações: I. 75. a 25 afirmativa verdadeira é: a) a < c < b d) b < a < c b) a < b < c e) b < c < a c) c < a < b 78. tais que x + y 3 = 7 + 5 3 . 0. (B ∩ C) ⊂ A 32. –2. Obtenha os números racionais x e y. a) {x ∈ | –2 ≤ x ≤ 7} b) {x ∈ | 5 ≤ x < 6} 76... sobre o qual são feitas as seguintes afirmações. O número 0. Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir. Nelas. A – B = {0. 0} ∈ A . Mostre que 4 + 2 3 = 1 + 3 . CBA = C Some os números dos itens corretos. Dados os conjuntos abaixo.. e) ( ) {–3.3x = 0. 79.1. –1. a) –3 b) c) d) 0 7 10 3 2 2 5 84.. assinale V (verdadeiro) ou F (falso) a) ( ) 0 ∈ S d) ( ) 7 ∈ S 5 b) ( ) 1. A ∪ C = 16. x2 + 4 = 0 III. a) II são números irracionais. –2.350 74. Se a = 3.14159265. represente-os na reta numérica e reescreva-os usando a notação de intervalo. é racional ou é irracional? Justifique. classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): a) ( ) –3 ∈ A b) ( ) –3 ∈ A c) ( ) 1 ∈ A d) ( ) Os únicos inteiros que pertencem a A são: –3. Dados os intervalos a seguir. d) I e III são números não reais. 81.323232. represente-os usando a representação por propriedade e usando a notação de intervalo. c) I e II são números reais. portanto é um número racional. A ∩ C = {2. (( ) 2 – 0. c) {x ∈ | 1 <x< 3 2} d) {x ∈ | –p ≤ x < 0} e) {x ∈ | x ≥ –3} f) {x ∈ | x > –3} g) {x ∈ | x ≤ –1} h) {x ∈ | x < 6} 83.5 ∈ S e) ( ) 2 S c) ( ) 5 ∈ S f) ( ) 3 ∈ S 4 77.41 é um número racional. e) II e III são números racionais.3} 04. Sabemos que toda dízima periódica é um número racional. 1[. A ∪ B = A 02. b = 33 e c = 1. (( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum. Considerando-se os conjuntos: A = {x ∈ | x < 4} B = {x ∈ | 2x + 3 = 7} C = {x ∈ | x2 + x – 6 = 0} é verdade que: 01.30300300030. –1 e 0.. 82. b) III é um número irracional. (( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros.3} 08. (( ) A letra grega π representa o número racional que vale 3. Seja o conjunto S = {r ∈ | r ≥ 0 e r ≤ 3 }. os números reais 0. Represente na reta real. 8[ e B = [5. h) A ∩ B ∩ C. B = ]0. VI. a) A = {x ∈ | –3 < x < 1} b) B = {x ∈ | 1 < x ≤ 4} c) C = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 3} 87. Se – 4 < x < – 1 e 1 < y < 2. _ II. y e 1. os seguintes conjuntos: a) A = {x ∈ | –1 < x ≤ 5} b) B = {x ∈ | –1 < x ≤ 5} c) C = {x ∈ | –1 < x ≤ 5} 86. Observe a figura abaixo. Leia com atenção. +∞[. ∀x ∀y • Um subconjunto A do conjunto é fechado para a operação de multiplicação. usando a notação de intervalo.50 b) 50. x ∈ A e y ∈ A ⇒ x – y ∈ A. – 1[ b) ]– 2. e) C – A.Matemática 111 351 85. 8[ e C = [1. 15 x 91. VII. – [ 2 d) ]– 8. Todos os intervalos indicados (correspondentes a duas marcas consecutivas) têm o mesmo comprimento. 5[. usando a notação de intervalo. 13]. V. determine: a) A ∪ B.75 d) 54 89. determine os seguintes intervalos: a) A ∩ B c) A – B b) A ∪ B d) B – A EM1D-10-14 90. B e C. – 1 [ 2 c) ]– 2. Represente sobre a reta os conjuntos a seguir. * III. d) A – C. f) C . então xy e 2 x estão no intervalo: a) ]– 8. Dados os conjuntos A. c) A ∪ C. a) A = {x ∈ | x ≤ –1 ou 1 < x ≤ 2} b) B = {x ∈ | x ≤ –1 e 1 < x ≤ 2} c) C = {x ∈ | x ≤ –1 ou –3 < x ≤ 2} d) D = {x ∈ | x ≤ –1 e –3 < x ≤ 2} 88. Dados os intervalos A = [1. x ∈ A e y ∈ A ⇒ x · y ∈ A. – 1[ 1 [ 2 1 e) ]– 1. – 67 Essa figura representa o intervalo da reta numérica determinado pelos números dados. Dados os intervalos A = [-2. geometricamente. represente-os usando a reta real e a notação de intervalo. se possível. g) A. Qual é a posição do número xy? 0 x a) À esquerda de 0 b) Entre 0 e x c) Entre x e y y 1 d) Entre y e 1 e) À direita de 1 92. quando a diferença entre dois elementos quaisquer de A é também um elemento de A. + Dados esses subconjuntos de : a) Quais deles são fechados em relação à soma? b) Quais deles são fechados em relação à subtração? c) Quais deles são fechados em relação à multiplicação? . O número correspondente ao ponto X assinalado é: a) 47. * IV.75 c) 48. • Um subconjunto A do conjunto é fechado para a operação de adição. quando o produto entre dois elementos quaisquer de A é também um elemento de A. b) A ∩ C. x ∈ A e y ∈ A ⇒ x + y ∈ A. x. ∀x ∀y • Um subconjunto A do conjunto é fechado para a operação de subtração. quando a soma de dois elementos quaisquer de A é também um elemento de A. Na figura a seguir estão representados. ∀x ∀y I. 93. para 0 ≤ t ≤ 400 c) Q = 1. b) Complete a tabela quando possível. 97. em que t é o tempo medido em minutos. b) Sabendo que 121 funcionários estão empregados. é dado. para 0 ≤ t ≤ 100 e) Q = 3. Uma bola cai de uma altura de 30 metros e salta. a) Qual é o 17o número quadrado perfeito? b) Escreva uma fórmula para representar todos os números que são classificados como quadrados perfeitos. para t ≥ 200 101. faça o que se pede. para 0 ≤ t ≤ 0 b) Q = 1. Uma caixa-d’água.000 litros. observe o cubo encostado neste canto da parede: Imagine que fossem empilhados n cubos. Nessas condições: a) encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo. b) Qual é a altura de uma queda cujo tempo é de 4 segundos? 99. cada vez que toca o chão. em segundos. . com capacidade para 3. pela fórmula: t = 5x 5 a) Escreva x em função de t.1·t. o número y de unidades produzidas de um determinado bem é função do número x de funcionários empregados de acordo com a lei y = 50 x . Nessas condições. A quantidade Q de água na caixa. Num dado instante. para 0 ≤ t ≤ 600 d) Q = 3. aproximadamente.000. Estes resultam de dispor pedrinhas num plano de modo a formarem quadrados e são chamados de números quadrados perfeitos. os pitagóricos eram observadores atentos de formas geométricas. recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2. de uma caixa de água é dado por V = 20 – 0. Suponhamos que isso realmente ocorra. em metros cúbicos. a) Determine o número de unidades produzidas por 25 funcionários. os quais resultaram de dispor pedrinhas num plano formando quadrados. pesando num certo momento 156 kg. Daí porque tiveram sua atenção para os números figurados. tiveram sua atenção chamada para os números figurados. Faces 15 Cubos 20 15 20 98. Uma pessoa obesa. O tempo t. 100. b) calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso. Esses quadrados são chamados de números quadrados perfeitos. Na época de Pitágoras. uma torneira começa a despejar água na caixa à razão de 5 litros por minuto. a) Qual é o volume inicial da caixa? b) Depois de quanto tempo a caixa estará vazia? 95. P. t minutos após a abertura da torneira. Determine uma expressão para relacionar a altura da bola H e o número n de saltos. está com 1. qual é o acréscimo mensal de produção com a admissão de 48 novos funcionários? 96. A seguir. dois terços da altura da qual caiu. Por outro lado. O volume de água.000 + 5t.000 litros de água. a) Encontre uma sentença matemática que expresse o número de faces visíveis em função do número de cubos empilhados. em metros. Durante o mês. Por isso. que a pessoa poderá atingir após n semanas.000 + 5t. contava-se usando pedrinhas ou marcas-ponto na areia.5 kg por semana.352 Capítulo 2 94. que uma pedra leva para cair de uma altura x. é dada por: a) Q = 5t.000. por ano. a tarifa telefônica é cobrada da seguinte forma: I. O gráfico da concentração dessa droga no sangue do paciente. Assim. durante as 24 horas após a administração da primeira dose. após 4 horas da administração da 3a dose.Matemática 111 102. que é de R$ 0. 353 Depois de um certo tempo. uma parte variável. o segundo às 6h 22min (22 minutos após as 6 horas). O tempo é dado em segundos. por cada laranjeira nova plantada no pomar. e S representa a posição na estrada em metros. devido à competição por nutrientes do solo. constatou-se que. 104. denominada assinatura. uma pessoa que tem registrado na cota mensal de seu telefone 120 impulsos. quando estava tocando o décimo módulo musical. Em um pomar em que existiam 30 laranjeiras produzindo. quantos impulsos foram registrados? EM1D-10-14 105. é: a) 6 mg/mL d) 9 mg/mL b) 7 mg/mL e) 10 mg/mL c) 8 mg/mL 107. cada uma. durante o período de 6 meses de determinado ano. intercalados por mensagens comerciais de 2 minutos. após as 6 horas. até que se inicie a próxima mensagem comercial.90.10 e que o preço da assinatura é de R$ 39. O valor total que uma pessoa deverá pagar é calculado desta forma: VT = PIE · IE + PF No qual PIE é o preço por impulso excedente. isto é. a) Escreva uma expressão matemática para hn em função de n. y (nº de pacientes) 80 60 40 20 0 jan fev mar abr mai jun x(meses) Determine o número total de pacientes atendidos durante o semestre. A concentração dessa droga. cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo 10 laranjas a menos. Determine uma expressão algébrica para relacionar a produção anual do pomar P com o número n de novas laranjeiras plantadas. dependendo do número de impulsos que excede 90 impulsos mensais (IE). 40. no soro sanguíneo é tal que atinge seu ponto máximo duas horas após sua administração. em que se iniciará o módulo musical de número n. Um móvel A se desloca numa estrada retilínea segundo a lei S = 15t. II. o primeiro módulo musical se iniciará às 6 horas (0 minutos após as 6 horas). e assim por diante. 600 laranjas por ano. Concentração (mg/mL) 12 8 6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Tempo (h) A concentração da droga no sangue do paciente. foram plantadas n novas laranjeiras. Um móvel B se desloca na mesma estrada segundo a lei S = 10t + 10. Supondo que as ligações telefônicas são apenas locais. Determine h10 e quantos minutos a pessoa ouvirá de música. é apresentado a seguir. (Vunesp) A rádio Sinfonia inicia sua programação às 6 horas. A programação é formada por módulos musicais de 20 minutos. em um ambulatório. 106. feitas na mesma cidade. . b) Uma pessoa sintonizou essa rádio às 9h30min. pagará somente por IE = 30 minutos. em mg/mL. Com essas informações. Em que instante os móveis se encontram? 103. resolva as questões: a) Quanto o usuário deverá pagar se num determinado mês seu telefone registrou 150 impulsos? b) Escreva uma relação entre o valor pago (V) é o número de impulsos (x). Certo medicamento é administrado a um paciente a cada 6 horas. Em vista disso. O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos mês a mês. uma parte fixa (PF). Indique por hn a quantidade de minutos. c) Se em um determinado mês o usuário pagou R$ 50. 000 Jan Abr Ago Dez 2.200 2.7 0.5 0. setembro 2000 2. sendo o do II incorreto.1 g/L Em jejum Após jantar Horas Revista Pesquisa Fapesp no 57. d) seis horas e três horas.8 0.6 g/L. b) três horas e meia hora.000 Dez 2.100 1. pois usam escalas diferentes. Após a ingestão de bebidas alcoólicas. em diferentes condições: em jejum e após o jantar.2 0. respectivamente. no período considerado.150 2. 110. no qual pretendia justificar um grande aumento na oferta de linhas. (UFRGS-RS) A taxa de crescimento natural de uma população é igual à diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade. e) Os dois gráficos são incomparáveis. Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0.0 0. efetivamente. (ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas. um político publicou no jornal local o gráfico I abaixo representado. igualmente. Analisando os gráficos anteriores.050 Jan Ingestão de álcool 1 2 3 4 5 6 7 Tempo após ingestão Abr Ago nº total de linhas telefônicas Gráfico II 109. o metabolismo do álcool e a sua presença no sangue dependem de fatores como peso corporal. b) O gráfico I apresenta o crescimento real. . O indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu em jejum só poderão dirigir após. e) seis horas. condições e tempo após a ingestão. respectivamente.4 0. pode-se concluir que: a) O gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. c) três horas e quatro horas e meia. cujas evoluções estão representadas no gráfico a seguir.100 2. respectivamente.9 0. Álcool no sangue 108. d) A aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. c) O gráfico II apresenta o crescimento real. respectivamente.150 2.050 2. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II. aproximadamente: a) uma hora e uma hora e meia. 200 novas linhas telefônicas. O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no sangue de indivíduos de mesmo peso que beberam três latas de cerveja cada um.3 0. O fato é que.354 Gráfico I nº total de linhas telefônicas 2.6 0. foram instaladas.200 2. sendo o do I incorreto. e) 1993. b) 0. d) 1955. c) 1930. muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico: Tempo X Peso (Modelo Wildmore e Benke) Mortalidade Unicef. Brasília. Usando essas informações.58 57.57 56. Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida. (Vunesp) O gráfico. Previdência e outros.2 km). 40% à educação e os 10% aos outros.4 1.60 minuto.67 0. (ENEM) O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longa distância como a maratona (42.59 m. novembro. de 28/7/99.Matemática 111 Evolução das taxas de natalidade e mortalidade (por mil) Brasil. mostra como são divididos os 188 bilhões de reais do orçamento da União entre os setores de Saúde. a meia maratona (21. corredor de longa distância 1. Educação.62 Prova de 10 km 1 Peso acima de ideal (kg) Altura (m) Peso (kg) ideal para atleta masculino de ossatura grande.0 1. A infância brasileira nos anos 90. d) 2.33 Meia maratona 0.9 1. aproximadamente. em condições de peso ideal.68 minutos e) 3. Tempo perdido (minutos) Dentre as opções abaixo. 1998. em relação à sua dotação inicial. b) em porcentagem. publicado pela revista Veja.5 : : Saúde Educação Previdência Outros EM1D-10-14 Se os 46 bilhões de reais gastos com a Previdência fossem totalmente repassados aos demais setores de modo que 50% fossem destinados à saúde.60 58. a maior taxa de crescimento natural da população ocorreu no ano de: a) 1881.59 58.35 minutos. que tenha corrido meia maratona.32 minuto.67 minuto. . devido ao excesso de peso. um atleta de ossatura grande. teria melhorado seu tempo na prova em: a) 0.1 km) ou uma prova de 10 km. c) 1. pode estimar que. 1881-1993 50 40 30 20 10 0 1890 1910 1930 1955 1975 1993 1881 1900 1920 1945 1965 1985 Natalidade 355 112. pesando 63 kg e com altura igual a 1. 19 108 15 46 Maratona 1. b) 1900. 111. determine o aumento que o setor de Saúde teria: a) em reais. em condições aeróbicas. Nessas condições. 4. uma pessoa que estacionar o seu carro das 22 horas de certo dia até as 8 horas e 30 minutos do dia seguinte deverá pagar: a) R$ 12.2 d) 93. é: a) 48. (Unicamp-SP) O gráfico abaixo fornece a concentração de O2 na atmosfera. em “partes por milhão” (ppm).8 kcal para cada litro de oxigênio absorvido.0 289 295 291 300 1870 1890 1910 1930 1950 1970 1990 a) Qual foi a porcentagem de crescimento da concentração de CO2 no período de 1870 a 1930? b) Considerando o crescimento da concentração de CO2 nas últimas décadas.356 113. A seguir. ao longo dos anos. 1. é possível estimar uma taxa de crescimento de 8.4 1.6% para o período 1990-2010.50 b) R$ 14. por um período de x hora. qual será a concentração de CO2 em 2010? 116. Com essa taxa. 360 y (reais) ppm 5 300 2 280 260 1 2 3 4 Consumo de O 2 (L/min) 114. O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exercita. em kcal. em média. Número de alunos 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 310 x (horas) Suponha que o padrão observado no gráfico não se altere quando x cresce.00 e) R$ 18.6 Quantos alunos tiveram sua nota abaixo da média da turma? a) 10 b) 14 c) 15 d) 23 e) 30 . vê-se parte de um gráfico que mostra o valor y a ser pago (em reais) pelo uso de um estacionamento.50 0 327 320 3.4 c) 67. numa bicicleta ergométrica. 115.00 c) R$ 15. O gráfico a seguir mostra a distribuição de notas de alunos de uma turma em uma prova de História.5 0 350 340 6.5 15 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota (min) A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos.0 b) 52. Considere que o organismo libera.50 d) R$ 17. Dados os conjuntos A = {1. 80 60 1 2 3 4 Tempo 5 6 h Assinale o gráfico e julgue os itens seguintes. qual(is) da(s) tabela(s) abaixo representa(m) uma função de A em ? (Considere x ∈ A e y ∈ } x y x y x y –1 1 –1 1 –1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 2 5 2 5 2 5 2 –5 3 5 Tabela A Tabela B Tabela C 121. foi de 20 km/h. então foram gastos 33 litros de combustível em todo o percurso. a) R A 20 B 21 0 22 1 23 2 EM1D-10-14 3 2 5 6 R d) 27 12 30 15 41 17 53 20 71 R A 6 2 7 3 8 4 9 5 0 120. 3} e o conjunto dos números reais. c) Se o veículo apresentar um consumo de 1 litro de combustível a cada 10 km rodados. quais das relações seguintes são funções de A em B? a) R = {x ∈ A e y ∈ B | x · y = 12} b) F = {x ∈ A e y ∈ B | y = 6 . 5. 12}. 118. 1 0 –1 B 1 0 B B 10 8 7 6 5 4 3 2 1 24 A 1 2 R A km/h 0 b) c) y x 1 2 3 4 . O gráfico representa uma relação R de A = {1. 4} em B = {5. 6. 6. cada uma das relações representadas nos diagramas abaixo. em km/h. durante um período de 6 horas. a) Entre 5 e 6 horas. 2.Matemática 111 357 Velocidade 117. d) A velocidade média. 1. ou não. 0. 8}. nas duas primeiras horas. 2. 2. o veículo esteve parado. b) O veículo desenvolveu uma velocidade maior que 70 km/h durante um período de 3 horas.x} c) G = {x ∈ A e y ∈ B | y = 6} d) H = {x ∈ A e y ∈ B | x = 2} 119. Sendo A = {–1. Verificar se é função. 7. (UnB-DF) O gráfico adiante ilustra a velocidade de um veículo. 3. 3} e B = = {4. 2. R é uma função de A em B? Justifique. A 1 2 5 6 1 2 3 4 R b) 3 B 1 y 1 –1 0 c) 3 b) R é uma função de A em B? Justifique. (1. complete o diagrama de flechas da relação R. obtenha x.1] e [1. 1). Quais gráficos. (4. -1. O gráfico representa uma relação R de A = {-1. tal que f = {(3. 3. 9). (0. 4} 126. 125. 1. 1)} seja uma função de A em . 5. representam uma função entre os conjuntos [-1. 4} e B = . 3. 1. (1. 2.3] é: a) 3 y 4 3 2 1 y 1 –1 0 0 1 2 x 5 6 a) Na figura abaixo. 3). tal que f = {(0. 2. b) R é uma função A em B? Justifique. y)} seja uma função de A em . complete o diagrama de flechas da relação R. 1}.358 a) Na figura abaixo. Sendo A = {0. 7). 0. 1. 3. 1). Sendo A = {0. (x. A 1 2 3 4 5 6 7 8 B 124. 1). 2). 4} e B = . 5). 1). 2. 2. O gráfico representa uma relação R de A = {1. 123. 0. (2. (3. y 1 3 x y 1 –1 0 d) x 1 x y 1 0 -1 –1 1 2 1 –1 0 x e) 3 1 x y –3 1 –1 0 1 x . 122. obtenha y. 3} em B = {-3. 6} em B = {1. (4. dos que seguem abaixo. (4. Matemática 111 359 127. Justifique caso não sejam funções. y 1 x –1 3 0 –3 x 128. verifique quais deles representam função de A em . que representa a relação de em . Considerando o conjunto A = [–3. 3] nos gráficos a seguir. –3 –2 e) –1 0 2 –3 –2 1 2 3 y 1 0 x –1 2 3 x . Analise as relações abaixo e identifique quais relações representam uma função. 4 y –3 –2 x 0 0 x 3 y c) 3 2 c) Relação G de [-1. b) Qual alteração deveria ser feita para que a relação fosse considerada uma função? EM1D-10-14 129. O gráfico abaixo é de uma semicircunferência. y a) 3 2 a) Relação R de A = {3} em y –3 r 0 b) 0 x 3 y 4 x 3 b) Relação F de em B = {4}. 3] em . 0 2 3 –2 y d) 3 y 2 –1 0 3 1 x a) Justifique por que essa relação não é uma função. 1. Se f(2 + p) – f(2) = 3 . 136. x 2 138. d) {100. sabendo que f(1) = 6.y). 900. 1. o conjunto imagem e o contradomínio b) Construa o gráfico da função. 2 142. 7. 400. Seja a função f(x) = x2. b) o valor de f ( π ) − f ( 2) π−2 139. Dado que f(-1) = 1 e f(1) = 10. f(x) = x2 + 100. 2} → Z sendo f(x) = x2 – 1. – 20. 900. 3. obtenha f(2). 4. 20. 20. Sabendo que f(1) = 9. Determine todos os valores de m ∈ para as quais é válida a m igualdade: f (m2 ) − 2f (m) + f (2m) = . definida por f(x) = 2x – 1. 3. 1. 2. 2} → . Seja f(x) = –x + 2 e f: {0. 1. 2. 10} e associa cada elemento do domínio ao dobro do valor dele. 500. 0. Determine o domínio da função. Considere a função f: → . 10. 134. represente essa função: a) usando o diagrama de flechas. b) no plano cartesiano. sendo b uma constante. 600. 700. -1. 600. 400. 5} → {–3. Dada a função f: {-2. 500. Determine: a) f(1) c) x tal que f(x) = –1 b) f(5) d) x tal que f(x) = 0 131. – 20. determine: a) o domínio. Obtenha: a) a constante b. 133.360 130. 132. obtenha as constantes m e n. 900}. definida por y = 2x + 1. c) o conjunto imagem. 800. 2}. 200. O conjunto imagem de f é: a) {– 30. 30} B = {100. Uma função tem domínio D = {3. ∀x ≠ 1. com A = {0. 0. b) o contradomínio. Uma função é definida por f(x) = 2x – 1 e seu conjunto imagem é Im(f) = {–3. 140.000}. 5}.000}. c) {300. Qual é a imagem dessa função? 135. 1. 1. 2. d) a raiz ou as raízes. f(x) = 3x + b. Dada a função f: {–1. Seja f(x) = 1 . Observe o gráfico da função f e responda: 2 –4 –2 0 –2 então f(1 – p) –f (1 + p) é igual a: a) . Sendo b uma constante positiva e f(x)=3·bx. –1. (Vunesp) Considere a função f: → . 1 3 . –1. 1. x ≠ 0. a) Determine o domínio. b) {100. 600. 5}. 800. 0. 200. Na função f = {(x. 1. 3} e B = {0. – 10. 30}. 800. 300.000}. Sejam m e n constantes reais e seja f(x) = mx + n para todo x real. 10. O valor de f(m + n) – f(m – n) é: a) 2m2 + 2n2 d) 2m2 2 b) 2n e) 0 c) 4mn 137. (Vunesp) Se f(x) = 8 5 b) 2 12 5 20 d) 3 c) 2 ( x − 1) . 400. e a função f: A → B. 3. (Vunesp) Considere os conjuntos A e B: A = {– 30. – 10. 1. e) Conjunto vazio. sendo x ∈ A e y ∈ B | f(x) = 3 – x}. 1. 700. 700. 0. a) f(–2) b) f(0) c) x tal que f(x) = –2 d) as raízes da função. 200. então 8f ( f ( 2)) vale: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 141. 143. 0. 500. 144. 300. Determine o domínio e o conjunto imagem do gráfico abaixo. Determine o domínio e o conjunto imagem das funções cujos gráficos são dados a seguir: y a) 15 c) ff 2 0 –2 4 3 2 1 2 –1 –2 0 x 4 5 x –2 –1 0 10 1 2 3 4 5 6 –2 a) f(4) b) ff( 3 ) c) f(5) d) x tal que f(x) = 2 ( ) e) x tal que f(x) = – 2 f) As raízes da função 150. Qual dos seguintes gráficos não representam uma função f: → ? y a) 147. calcule: y 10 1 2 3 4 5 6 y b) –3 1 149. No gráfico da função abaixo. No gráfico da função f. calcule: x y 0 2 1 –1 0 x 1 EM1D-10-14 a) f(p).Matemática 111 361 145. 2 4 y b) 0 x . b) as raízes da função. y f –7 2 2 1 –3 x 0 2 5 –4 8 –2 –2 a) f(0) b) f(–3) ( d) f − 10 ) x 3 4 3 2 1 e) x tal que f(x) = 6 f) x positivo tal que f(x) = 1 x –2 –1 0 –1 –2 –3 146. Observe o gráfico da função e determine: 6 y 148. 2]. A função f. Se m = f − + f .362 y c) a) domínio. 151. y d) y 6 x 0 x 0 a) o valor de b. determine: y 11 5 –6 –2 0 1 4 9 x 0 1 2 a) –2 ≤ m ≤ 0 b) –2 ≤ m ≤ 1 c) –2 ≤ m ≤ 2 d) 0 ≤ m ≤ 2 e) 2 ≤ m ≤ 4 155. O diagrama abaixo representa o gráfico de uma função. c) conjunto imagem. b) a raiz da função. está 3 1 definida em [–2. b) contradomínio. e) o intervalo em que f(x) ≥ 0.5) e (–1. (UFMG) Considere a função y = f(x). 152. b) Obtenha f(2). d) x tal que f(x) > 5. que tem como domínio o intervalo {x ∈ : – 2 < x ≤ 3} e que se anula somente 3 em x = − e x = 1.–13) pertencem ao gráfico da função definida por f(x) = ax + b. Os pontos (1. O gráfico abaixo é a representação da função f(x) = –3x + b. é 2 2 correto afirmar: y 3 –3 –1 3 7 2 x 1 –2 x –2 –1 a) domínio. No gráfico da função f dado a seguir. b) conjunto imagem. c) raízes. 156. Pedem-se: 5 x 0 y e) y 154. como se vê nesta figura: 2 . x 0 153. representada no gráfico. d) a raiz ou as raízes. a) Determine a e b. 2] e crescente em ]–∞.Matemática 111 363 f(x) Determine todos os números reais c para os quais a equação f(x) = c admite uma única solução. 1 –2 – 3 2 –1 – 1 2 1 2 x 1 2 3 Assim sendo. definidas no intervalo I = {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 5}. para quais valores reais de x se tem 0 < f(x) ≤ 1? 3 a) {x ∈ : − < x ≤ – 1} ∪ 2 1 {x ∈ : ≤ x < 1} ∪ {x ∈ : 1 < x ≤ 2} 2 3 b) {x ∈ : – 2 ≤ x ≤ − } ∪ 2 {x ∈ : – 1 ≤ x ≤ 1 } 2 159. Pode-se concluir que o valor de b é: a) –2 d) 1 b) –1 e) 2 c) 0 161. então o conjunto imagem de g(x) = 2 · f(x) + 1 é: a) [–1. Representando o gráfico de f em linha cheia e o de g em linha tracejada. f(3) · g(3) = 0 e f(5) > g(5). f e g. –1] c) [–1. 2] d) [0. 4] b) [–2. 5] 160. Considere duas funções. +∞ [. (UFRJ) A figura adiante representa o gráfico de uma certa função polinomial f: → . 2] o conjunto imagem de uma função f(x). tais que f(1) = g(1) = 0. (Fuvest-SP) A figura a seguir representa o gráfico de uma função da forma f(x) = y ∪ {x ∈ : 2 ≤ x ≤ 3} 3 c) {x ∈ : − ≤ x ≤ – 1} ∪ 2 {x ∈ : 1 2 ≤ x ≤ 2} 1 2 ≤ x ≤ 2} –1 1/5 1 1 0 3 –1 3 d) {x ∈ : − < x ≤ – 1} ∪ 2 {x ∈ : x a . cujos gráficos são dados a seguir: g y 6 4 2 –5 –4 –3 1 2 3 –2 –1 0 –2 –4 –6 x 4 5 –3 h Determine os valores reais de x no intervalo [–5. Justifique. para os quais valem as desigualdades: g(x) ≤ h(x). Considere as funções polinomiais g e h. para –1 ≤ x ≤ 3 bx c x 2 3 157. –2] e em [2. que é decrescente em [–2. Sendo [–1. 158. a figura que melhor se ajusta a esses dados é: a) y x 0 1 2 3 4 5 y 2 b) y 2 –2 0 EM1D-10-14 –4 x x 0 1 2 3 4 5 .5]. 1] e) [–4. determine: a) o domínio. 0. Determine o domínio da função: h( x ) = 3 − 5x 2x + 7 5 4 5 c) f ( x ) = 4 x + 25 171. x−4 164. Determine as raízes das seguintes funções: a) f(x) = 3x – 12 x 0 1 2 3 4 5 162. Determine o domínio das seguintes funções: a) f ( x ) = 3 x − 21 1 2x + 4 166. 2}. Determine as raízes das funções abaixo: a) f(x) = x – 1 a) Qual é o valor de f(3) + f(5) + f(0)? b) Qual é o domínio de f? b) f ( x ) = 3 2 b) f ( x ) = − x + d) f(x) = (x – 1)·(x – 2) 1 x −1 1 d) f ( x ) = x −1 c) f ( x ) = 163. Seja a função de em definida por f(x) = 4x – 5. d) x de modo que f(x) = 8. determine: x2 − 9 a) o domínio da função. b) Qual é o domínio de f(x)? y 170. b) o contradomínio. Determine o domínio das funções abaixo: a) f ( x ) = 3 x 2 − 2x + 3 b) g( x ) = 4 15 − 3 x . c) f(0).364 y c) 0 168. Dada a função f ( x ) = 2x + 6 . Dada a função real f(x) = x2 – 1. 173. Seja a função f ( x ) = x −1 2x + 1 b) f ( x ) = x − 1 c) f ( x ) = 1 x −1 d) f ( x ) = 1 x −1 172. f (x) = x2 − 4 165. x 1 2 3 4 5 y d) 169. b) a raiz ou as raízes da função. 174. Determine os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que 2. Uma função definida por f ( x ) = x 0 1 2 3 4 5 e) tem imagem {–1. a) Determine f(0). Determine o domínio da função real 3x + 3 . 1. Determine o domínio da função: g( x ) = 2x + 6 5 x − 10 167. Qual é o domínio de cada função real abaixo? a) f(x) = x –1 b) f ( x ) = x − 1 1 . b) o contradomínio. 179. 4 ] c) ] 0. Se a função real definida por t2 = 5x ⇔ x = 5 · t 2 possui conjunto domínio D 25 e conjunto imagem B. 184. Sabendo que f ( x ) = e h( x ) = 3 x − 2x − 3 5 − 3x .000 – 1. ao estudar uma cultura bacteriológica. g( x ) = 2 3 1 . contou o número de bactérias num determinado instante ao qual chamou de instante zero. Para que valo2 res de x. 4 [ d) ] –2. Dada a função y = x + x − 4 . Determine o domínio da função: f (x) = 12 x +1 x+9 5 − x +1 x x+5− 181. após ser desligado. Sejam as funções f(x) = 2x + 3. varia com o tempo t. Um biólogo. até atingir a temperatura ambiente. A temperatura T de um forno. tem–se: a) f(x) ≥ g(x)? b) g(x) < h(x)? c) f(x) ≥ h(x)? 178. 4 ] b) [ 0. –3} –4 2 –2 176. x tal que: f(x) – g(x) < h(x). no final de cada uma das seis horas seguintes.Matemática 111 175. b) Verifique o valor do tempo em que a temperatura atinge 85% de seu valor inicial. O domínio da função real definida por f (x) = 3 x2 − 2x + 6 é: x2 − 5x + 6 a) – {2. A função real f é definida por f(x) = g (x). Os resultados dessa experiência foram descritos pelo gráfico a seguir. 3} e) – {–2. d) o conjunto imagem.. 2 [ e) [ –2. e se D – B = ]a. ele fez nova contagem das bactérias. Determine o domínio das funções abaixo: –4 3 a) f ( x ) = 3 x − 6 + 6 − 2x –8 b) g( x ) = x − 3 + 25 − 5 x 2x − 2 177.5t2. 2 ] 183. no qual T é dado em graus Celsius e t em minutos. determine os valores reais de 6 4 x 0 –12 O domínio da função f é: a) [ –12. c) as raízes. então a + b vale: EM1D-10-14 a) 11 b) 9 c) 8 d) 7 e) 5 275 190 132 92 65 47 32 0 1 2 3 4 5 6 Tempo (horas) . a) Obtenha a temperatura inicial do forno. A representação gráfica de g está na figura abaixo: y 4 d) * – {2. g(x) = 2 – 3x e h( x ) = 4x − 1 definidas em . Número de bactérias 180. b]. determine: a) o domínio. 3} b) * c) 365 182. de acordo com a expressão T = 1. 73 m 187. em quanto tempo os técnicos deverão realizar o conserto? 186. Por meio da fórmula: S(x) = C + 0. nos pulmões. em cm. Nessas condições. já que é resfriado nas paredes do nariz.70 m b) 1. sabendo que se a funcionária vender R$ 100. ela receberá um salário de R$ 2.64 m. caso os técnicos não consigam realizar o conserto? d) Para que sejam salvos 80% da gasolina do reservatório. em horas. 189. podia ser calculado pela função: V(t) = –2t2 – 8t + 120 a) Qual era a quantidade de gasolina restante no reservatório 3 horas depois da ocorrência da avaria? b) Calcule a capacidade desse reservatório.000. em que TA e T E representam. Uma panela contendo uma barra de gelo é colocada sobre a chama de um fogão.000. sabendo que ele estava completamente cheio no momento em que ocorreu a fissura. o ar atinge a temperatura do corpo e que. ao ser exalado. Durante o 5 o ano. se João tem 1. as alturas mínima ou máxima que a filha adulta pode atingir.02·x. Calcule: a) a temperatura ambiente quando TA = 25 °C. Somando-se ou subtraindo-se 8. Segundo essa fórmula. em função do tempo t. em função do tempo. a partir do instante em que ocorreu a avaria. após o início do processo. Em uma refinaria de petróleo. o gráfico seguinte nos mostra a evolução da temperatura da água e suas mudanças. foi obtida a função: TA = 8. pela expressão: y + x − 13 2 Considere que x é a altura da mãe e y a do pai.72 m d) 1. (FGV-SP) A população de uma cidade daqui a t anos é estimada em P ( t ) = 30 − 4 t milhares de pessoas. Uma empresa que trabalha com televendas paga às suas atendentes um salário que depende do valor da venda total efetuada pela funcionária durante o mês. obtêm-se. b) Sabendo que o valor mensal máximo. c) Qual será o tempo necessário para que o reservatório fique vazio. A estatura de um adulto do sexo feminino pode ser estimada.00. até hoje. sendo x o valor total da venda e S o salário da funcionária: a) Calcule o valor de C. Através de medições realizadas em um laboratório. T (°C) 100 água gelo + água 0 2 –40 gelo 10 20 t (min) Pergunta-se: a) Qual é a temperatura inicial da barra? b) Quanto tempo se passou. tem temperatura inferior à do corpo. 12° ≤ T E ≤ 30°. sua filha medirá. por meio das alturas de seus pais.5 cm da altura estimada. a temperatura do ar exalado e do ambiente. respectivamente.800. no máximo: a) 1. Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que. o volume V de gasolina restante no reservatório. uma fissura num reservatório de gasolina provocou grande vazamento.75 · T E.72 m de altura e sua esposa tem 1.00. Sabe-se que.00 qual é o maior salário pago pela empresa? 190. foi de R$ 200. para que o gelo se torne totalmente água? c) Em que momento a água da panela está a 100 °C? 188. em quilolitros. responda: a) Qual era o número de bactérias no início da contagem? b) Qual foi o aumento do número de bactérias da quinta para a sexta hora? 185. b) o maior valor que pode ser obtido para TA. respectivamente.5 + 0.366 Observando o gráfico. o crescimento da população será de: .71 m c) 1. vendido por uma única funcionária. Então. d) 4 pessoas. para ≤ −1 198. .000. b) f[g(x)]. b) associa cada número natural ímpar ao seu dobro. daqui a 2 anos. definida por t+7 D( t ) = 4 2 − 1 . a distância que falta percorrer até o destino é dada.000 V( x ) = 1 + 4x a) Qual é o volume inicial de água no reservatório? b) Construa o gráfico do volume em função do tempo no intervalo 0 ≤ x ≤ 6 h. Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em horas). pela função D. 193. em que a e b são constantes positivas. b) a sentença que permite calcular o gasto mensal g em reais. que o carro percorreu foi: a) 40 km. determine: a) g[f(1)]. b) 60 km. c) existe n de modo que f(n) = 18. Se g(x) = x3 e f(x) = x2 – 3x. Calcule: a) as constantes a e b. é dado por p(t) = a·bt. f(2) + f ( 2 ) – f(2+ 2 ) é igual a: a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 200. Sabendo que f(3) = 6. c) 80 km. 192. o preço de um carro que custa atualmente R$20. b) f(5). c) 30 pessoas. b) o preço do carro daqui a 3 anos. O volume. para x > 2 Calcule o valor da expressão: E = f(–3) + f(–1) + f(0) + f( 3 ) + f(2) + f(2. 197. Sabe-se que. Considere a função f: → definida pelo sistema a seguir: 1 se x é racional. t +1 EM1D-10-14 Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y. a distância. de água de um reservatório é dado em função do tempo x de utilização.008) 199. Seja f: → a função que: a) associa cada número natural par à sua metade. b) 133 pessoas. em quilogramas. Pedem-se: a) f(2). comprada no mês. b) f(3). daqui a t anos. (UFRJ) Dada a função f: → definida por: Determine os zeros de f. por hora. Pede-se: a) o gasto de um mês em que a dona de casa comprou 10 quilos de peixe. Dada uma função definida por: f(n) = 2n se n é par e f(n) = 3n se n é ímpar e f: → .00 e de cada quilograma de peixe é R$ 18. O preço (em R$) de um automóvel. determine o valor de: a) f(1). d) 100 km. e) 2 pessoas.00. 194. para − 1 < x ≤ 2 15. em dezenas de quilômetros. e) 120 km. O preço de cada quilograma de carne é R$ 15. Seja f ( x ) = 5 x 2 − 7. qualquer que seja a variável x. f (x) = 0 se x é irracional.00. 191.Matemática 111 367 195. (Vunesp) Uma função de variável real satisfaz a condição f(x+2) = 2f(x) + f(1).800. medido em horas com x ≥ 0 por: 5. em litros. x3 . 201. em função da quantidade de peixe p. Determine a soma f(3) + f(4) + f(5) + f(6). em média. a) 200 pessoas.00 será R$ 12. Uma dona de casa compra carne e peixe num total mensal de 30 kg. 196. varia com a precipitação (p) de 2 –2 204. Considere a função f(x) = 3x + 4. Com respeito à função f: → . 205. em minutos.5 cm. em graus Celsius. A população de insetos. equivale a: a) 4. para quaisquer números reais positivos u e v. b) Calcule a população de sapos quando a precipitação é de 1. Dada uma função f. A evolução da temperatura T. cujo o gráfico está representado abaixo. a) Determine a taxa de variação dessa função entre 2 e 10. 8 por sua vez.5. 1 medida em milhares. a razão f ( x 2 ) − f ( x1) x 2 − x1 é chamada taxa de variação média de f entre x1 e x2.0 d) 30. medida em cente- y nas. em minutos.5 c) 15. Dado que f(2) = 1 e f(u·v) = f(u) + f(v). b) Determine a taxa de variação dessa função entre a e b.0 b) 9. é correto afirmar: determinou que a população (S) de sapos de uma determinada região. (UFSCar-SP) Uma pesquisa ecológica –1 0 –1 x a) f(f (–2)) = 1 b) f(f (–1)) = 2 c) f(f (–2)) = –1 d) f(f (–1)) = 0 e) f(–2) = 1 203. a) Expresse a população de sapos como função da precipitação. Uma panela. obtenha: 1 a) f(4) d) f 2 b) f(8) c) f(1) e) f( 2 ) 206. depende da população (m) de insetos. . de acordo com a equação m(p) = 43p + 7. ao longo do tempo x. de acordo com a equam ção S(m) = 65 + .368 202. é descrita pela seguinte função real: T(x) = 20x – 40 se 0 ≤ x < 2 T(x) = 0 se 2 ≤ x ≤ 10 T(x) = 10x – 100 se 10 < x ≤ 20 T(x) = 100 se 20 < x ≤ 40 O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50°C.0 chuva em centímetros. é colocada sobre a chama de um fogão. contendo um bloco de gelo a –40 °C. 2 . verde} C = {Brasília. 3. 4. 7.3. se existe uma repetição de elementos. 9. maio. b) Sim. A B 9 4 C 1 8 2 6 2. não significa que o elemento aparece duas vezes. agosto. pois o conjunto é uma reunião de elementos e. julho. 10} . 7} b) { 2 . a) Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso 5 3 9 EM1D-10-14 1 6 . {1. 37 pessoas 11. 9. C 9 7 2 8 3 9 10 b) A ∪ B = {2. 5} 14. 10. 6. A = {janeiro. mas somente que ele foi citado duas vezes. 5. 5. 4 b) A ∪ C = { 2 . a) Sim. 9. 2. 5. a ) { 1 . 3. {1. 5 . a) 7 8 10 7. {1. outubro. 9. 3. 3. 5. 1 0 } ∪ { 4 .3} . 4. 6 . 3. 15} ∩ {3. c} B = {branco. azul. 7.4} 12. 8 . 7 } = = {2. 10} e A ∩ B = {2. 7. pois a ordem dos elementos não importa. 4 A 5 C 9 2. 90} c) {-2. 3} B 2 3 15. Rio Janeiro e Salvador} A = {x | x é inteiro não negativo e par} B = {x | x é algarismo arábico} C = {x | x é nome de estado que começa com a letra “a”} 4. 3 . amarelo. 13} = = {3. 2. A = {m.Matemática 111 369 Respostas Capítulo 1 1. e. 8. dezembro} 3. 5. 6 } = = {1. 3. 4 } ∪ { 1 .2. a. 4. i. a) b) c) d) e) f) 10. 4 . março. C 13. C 2. 8. 3. 10 . 5 . 9 } e A ∩ C = {2.2.2} . 6} C = {2. 5. 4 7 M = {1. 4.2. 10. 5 .4} . 4} A 5 B 5 A 5 A 4 6. 8. 8. {1. t. 9 0 . m. Por exemplo: A = {1. 9} 46. 1. 450 alunos 24. 6 convidados L R 42. 26 elementos 59. 48. 7} 47. a) 60 alunos b) 8 alunos 37. 3} B = {4. e. 155 alunos Q 44. C {-1} { } {0. 3. a) b) c) d) {a. C 1 10 55. D 52. 1 57. k} {g} {d. 6. g. E 36. 16} 40. a) {3. 7} b) {5. B 34. 4. 18 pessoas 26. 6. 18} 30. a) b) c) d) 56. C 60. a) V b) V c) V d) F e) F f) V . a) b) c) d) e) {1. j. 1. 52 elementos 39. B 38. 8. 5} {2} 58. 4. 5. 5. 3. B 50. f. B 33. 2} 27. 4. 15. 6.370 17.000 domicílios b) 7. 6} ∅ {1. 2. 12. 8} {1. 6. d. 2. 12} b) {0. 6.000 domicílios 22. 5} {2. C 29. a) {5. 7} d) {1. k. 5. 3. 7. a) b) c) d) 45. D 35. 7} 18. a = 5 e b = 6 31. 5. 6. a) {2. A 32. 6} 51. 4. 4. 9. 1. i. c. 4. B 49. 7. 7} 25. 6. h} 23. e. A 28. C 20. 5. 7} b) {2. 6. h. 8} {0. a) 4 estudantes b) 4 estudantes 21. 4. X = {1. 3. C 53. 9} {0. a) 3. E {4. n} {g. 2. 3} {1. g. b. 41. B 54. l. A 19. 13 elementos c) {1. 5. 930 43. a) V b) F c) V 2 1. d) V e) F f) F 77. 7] b) [5. {3. Usando a notação de intervalo. 30} 70. 6. D 79. B 67. Vale a observação que ela não é uma dízima periódica. Irracional. a) V b) V c) F 65. +∞[ ]– ∞. 6[ c) F V V F V F 73. +∞[ ]– 3.. 13 = 1 + 1 12 12 d) e) f) g) h) 4 1 1 = + 15 5 3 7 1 1 1 = + + 52 52 26 13 Usando a representação na reta numérica. 6[ c) ] 1 . F. a) b) c) d) e) f) 71. a) x –2 7 69. x = 7 e y = 5 e) 1 63. A d) F e) V 66.000 64. a) 9 3 f) 13 99 g) 123 999 h) 2. 1+ 3= (1 + 3 ) 2 = 1+ 2 3 + 3 = 4+2 3 82. D 62. – 1] ]– ∞. pois não existe uma fração de números inteiros para representar esse número. a) [-2. A 80.093 900 2 b) 21 20 c) 491 20 d) 327 1. C b) g) h) i) j) k) l) F V F V V F 72. F 75. B d) e) f) g) h) 5 6 x 1 3 2 x –P 0 x –3 x –3 x –1 x 6 x EM1D-10-14 . V. 2 [ 3 68.05 0.77.Matemática 111 371 61. 21 (01 +04 + 16) [– p..12 6. C 74. 15. 0[ [– 3. 81. a) b) c) d) 76. E 78. V. 0] [7. 8[ [1.90 b) V = 0. 5[ d) [8. .90 c) 150 impulsos. 1[ 1 b) ]1. +∞[ ]–∞. a) hn = 22 (n – 1) b) h10 = 3h18min Às 9h30min. C 107. c) . *. +. –2[ ∪ [5. 8[ b) [1. . a) [5. . a) b) c) d) e) V V F V V 92. a) f = 2n + 1 b) –3 2 98. B –3 2 n x x 101. 4] 1 0 –1 b) B = { } c) d) 3 1 Faces 15 31 20 41 Cubos 7 15 impossível 20 4 c) [0. a) . 13] 103. a) 96. 105. a) x = 5t2 b) 80 metros 99. 13] 90. a pessoa ainda ouvirá 8 minutos de música. P = (30 + n) · (600 – 10n) 106. +∞[ [– 2.372 83. 5[ [– 2.1(x – 90) + 39. *. t = 2 s 88. a) ] -3. 10] ]– 3/2. 104. 1[ ]–∞. a) 250 unidades b) 100 unidades 0 1 2 3 4 5 –1 5 c) Não é possível representar na reta real. +∞[ ]2. 5[ c) [1. a) b) c) d) e) f) g) h) 91. D 93. +. a) b) c) d) {x ∈ | – 3 < x ≤ 0} {x ∈ | 7 ≤ x ≤ 10} {x ∈ | x > –3/2} {x ∈ | 2 < x < 5} 84. 300 pacientes . 5[ [– 2. B Capítulo 2 85. . a) 20 m3 b) 3h20min 95. B 89. a) R$ 45. 1[ [5. H(n) = ⋅ 30 m 3 –1 2 102. a) 172 = 289 b) n2 97. a) P = 156 – 2. 86. b) .5n b) 15 semanas 100. 94. a) b) ]– 3. 3] 87. +∞[ [1. 3]. D 127. (2. B 135.4)} \ é uma função. x = 2 115. 5). 130. do primeiro conjunto. (2. 12)} \ não é uma função. pois o elemento 3. 132. (3. {–1. Não é função. y = 5 126. V. D 111. Não é função. C 116. pois vários elementos do primeiro conjunto.1 ppm. 2} {–1.6).Matemática 111 108. C 110. a) 23 bilhões de reais b) 121% 112. 5} Não existe. 121. [– 1. (2. É função. E 113. aproximadamente. pois todos os elementos do conjunto possuem uma única correspondência no segundo conjunto {4}. É função. 129. 122. C 138. a) b) c) d) {–1. 6)} \ é uma função. Não representa uma função. 3. 1. F. 0. a) b) c) d) 1 –3 3 2 131.086 = 380. a) A 1 2 5 6 > >> > > 1 2 3 4 EM1D-10-14 b) Não é uma função. a) b = 6 b) 3 . D 109. F.4). D 117. a correspondência sempre será o 4. É uma função.8%. 14. 3} 136. Não é função. V 118. é. 128. no período de 1870 a 1930. 1. (2. (2. c) Não é uma função. a) b) c) d) 373 B 125. 6). a) R = {(1. (2. b) O primeiro conjunto da relação deve ser [– 1. do primeiro conjunto. pois nem todos os elementos do primeiro conjunto possuem uma correspondência no segundo conjunto. a) A porcentagem do crescimento da concentração de CO 2. d) H = {(2. 5). b) F = {(1. 3]. 20} 137. possuem duas correspondências. possui várias correspondências no segundo conjunto ( ). C 134. É função. c) G = {(1. 123. b) É uma função. a) b) c) d) e) Não é função. 124. (3. 119. 120. 1. Somente a tabela C representa uma função. {6. a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 B b) É uma função. pois 300 : 249 ≅ 1. a) Não é uma função. a) Não é uma função. É função. 0. D 114.12). 6). 2. 6). 4)} \ não é uma função.038% b) A taxa de concentração de CO2 em 2010 será 350 · 1. 3. não possui uma correspondência no segundo conjunto. pois o elemento 3. 12 133. No caso. a) b) c) d) e) 158. a) Dom = {–2. 4] f) –2 e 5 147. Dom = – {–2. 1. 2}. devemos ter c > 2 ou c < –6 159. 2} 140. {x ∈ | –5 ≤ x ≤ –4 ou 0 ≤ x ≤ 5} 1 2 144. a) 2 b) –2 c) 0 e 3 d) –4 e 1 145. –1. a) D(f) = {x ∈ | –1 ≤ x < 6 e x ≠ 3} e Im(f) = {y ∈ | –2 ≤ y < 3 e y ≠ 1} b) D(f) = {x ∈ | –2 ≤ x < 6 e x ≠ 2} e Im(f) = {3} 141. –1} [–3. a) b = 6 b) x = 2 154. D 149. 3} Im(f) = {–2. A 157. a) 2 b) [0. a) a = 9 e b = –4 b) f(2) = 14 b) 3 –2 –1 0 –1 156. CD = Z Im = {3.5 148. D {x ∈ | x ≥ 1} – {1} {x ∈ | x > 1} 163. C 162. 1. m = 0 ou m = 142. Para que a equação f(x) = c tenha uma única solução. esta reta deve passar acima do ponto (–2. E b) 3 2 1 0 1 2 3 143. a reta y = c deve interceptar o gráfico de f em um único ponto.374 139. a) − 1 4 b) – {4} 164. 1] 151. 0.9] 153. 2) ou abaixo do ponto(2. C . Para que isso ocorra. D(f) = {–4. –2.7[ [–2. E 155.3] 152.5] –1 e 3 [–1. a) 2 b) –2 c) 1 d) –2 e) 2 f) [5. 0. a) 1 4 0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 150. –6) Isto é. a) b) c) d) {x ∈ | –6 ≤ x ≤ –2 ou 4 < x ≤ 9} {y ∈ | 1 ≤ y ≤ 11} Não possui.8] 146. 0. m = 4.5 e n = 5. 2} 161. ]4. a) b) c) d) 160. 0. a) –2 b) –2 c) 0 d) –3 e 6 e) [–1. E 183. 3} 184. a) a = 20. a) 4 b) 9 c) Não existe. {x ∈ | x ≥ –3 e x ≠ 2} 167. 189. {x ∈ | − 7 < x ≤ 375 c) –1 d) {–3. a) {x ∈ | x ≤ 3} b) [3. C 196. a) b) c) d) EM1D-10-14 {x ∈ | x ≥ 4} Não possui. {x ∈ | x ≥ 2} 180. a) – {–3. a) –1 b) {–2. a) R$480. a) {x ∈ | x ≥ 7} b) {x ∈ | x > –2} 181. a) {x ∈ | x ≥ − 5000 1 } 5 1 b) {x ∈ | x > } 2 c) 4000 3000 2000 1000 178.000 °C b) 10 minutos 166. A 193.8 b) R$ 10. 0.240.800.0 175. A 173. a) 32 bactérias b) 85 bactérias 169. Não possui. 3 4 195. a) b) c) d) 78 kL 120 kL 6 horas 2 hs 188. 3} b) Não possui raiz.–1.00 172. {x ∈ | x > 7 } 190. – {–5. a) 4 186. a) 500 litros b) 4 176.Matemática 111 165. a) 800 b) R$ 4. 191. 21 5 6 . a) b) 182. a) b) {x ∈ | x ≤ 5} 192. 0 ≤ p ≤ 30 174. a) b) c) d) 170.000 e b = 0. A b) 5 187. –1. 1} 185. a) –40 °C b) 10 min c) 20 min 6 c) –20 d) 1 e 2 171.0. B 3 } 5 2 168.00 b) g(p) = 18 p + 15 (30–p). a) T E = 22 °C b) TA = 31 °C 1 1 Não possui.1} 0 1 2 194.5] 177. {x ∈ | x > –3} 179. a) 1. a) f(1) = 2 b) f(5) = 14 202. a) b) c) d) 2 3 0 –1 e) 1 2 206. a) –8 b) f[g(x)] = x6 – 3x3 198. C 204. a) 3 b) 3 (43p + 7. C 200.800 sapos 205.376 197. B 203.5) 8 . 1 199. a) S(m(p)) = 65 + b) 6. 201. depende do comprimento do raio? Justifique. sobre si. com suas palavras.2 rad e que o é igual a 2 cm. efetue: 2. em centímetros.5 rad. depende do comprimento do raio? Justifique. determinados os pontos A. b) o comprimento de CB 12. A medida de um arco. 5. A medida de um arco. quantos radianos mede esse arco? 7.Matemática 112 377 Capítulo 1 1. a) 25°17’52” + 10°54’48” b) 29°10’20” – 14°52’47” c) 18°51’24” x 3 d) 36°14’40” : 5 9. determine: a) a medida do segmento OA. em graus. a) 52°17’30” + 60°47’40” b) 10°10’10” – 5°15’25” c) 180° – 70°20’ d) 90° – 50°10’30” e) 22°30’ x 2 f) 30°10’20” x 3 g) 15° : 2 h) 20° : 3 i) 10°12’16” : 8 B 0 A B A a) R. determinados os arcos AB pelo ângulo central a. em radianos. Quantos graus tem um arco que representa um sexto da circunferência toda? 3. conforme ilustra a figura a seguir. Escreva. B 0 A A Sabendo-se que a = D C 4 rad . Sabe-se que a = 0. 11. Se o comprimento de um arco for igual à medida do raio. sobre si. Sendo α = 10°20’10” e β = 20°40’50”. Efetue as operações indicadas. quanto mede esse arco em radianos? 8. Efetue. b) o comprimento do arco AB EM1D-10-11 . Quantos graus tem um arco que representa um oitavo da circunferência toda? . . a circunferência de centro O e raio R tem. b = 1. Se numa circunferência de raio 12 cm um arco tem comprimento de 12 cm. C R 6. que o segmen5 tem to AC tem medida 20 cm e que o arco CD 30 cm de comprimento. Determine: comprimento de AB 4. Na figura abaixo. Duas circunferências concêntricas em O e CD têm. a definição de grau e de radiano. 10. B e C pelos ângulos centrais a e b. . nos itens abaixo: a) 3x 2x x 3x – 5° 2x + 10° 60° b) x 2 3x 2 P 2x x . aprenderemos a usar o transferidor. os ângulos: AÔB= BÔC = CÔD = AÔC = A AÔD = BÔD = O B D C Agora.378 13. em graus. a) c) 2x – 10° 40° 50° 30° x d) b) 2x 4x + 30° 15. Determine o valor de x nos casos abaixo. a partir do vértice O. Neste exercício. Calcule x. responda às questões abaixo. OC. 0 10 180 170 120 3 60 1 0 50 4 14 0 0 170 180 60 1 0 0 0 1 1 5 0 20 40 3 1 40 100 80 70 100 90 80 110 1 70 20 60 0 110 60 13 2 50 0 1 50 0 13 Pegue um transferidor e meça. OD) pode ser uma bissetriz? 14. a) Quanto mede cada um dos ângulos do box? b) Classifique os ângulos em agudo ou obtuso. OB. c) Alguma das semirretas (AO. Na figura a seguir. O e D são colineares. Determine x. . os ângulos AÔC e BÔD são retos. sabendo que é a bissetriz do ângulo AOD A a O x b y D D E C x+ 30 ° 4x A 5y O B r 19. 22. y e z na figura abaixo. 21. b) a medida do ângulo BÔC. z e t. Se OP é bissetriz de AÔB. C B x 45° 2x – 40° A 17. x mede: 2y x + 30° O a) 15° b) 10° c) 25° P y– 10 ° B A d) 30° e) 50° a) O que são pontos colineares? b) Nomeie um ângulo reto. Os pontos A. e) Se a = b. 0° D –8 O Calcule: a) o valor de x. calcule a. d) Se b = 48º. x e y. Calcule os valores de x. Dois ângulos adjacentes somam 136º. 105° y z t 20. y. então. estão indicadas as medidas em graus de seis ângulos formados por três retas concorrentes. Calcule os valores de x e y na figura abaixo. c) Nomeie um par de ângulos opostos pelo vértice. Qual é a medida do ângulo formado pelas suas bissetrizes? a) 45º b) 34º c) 68º d) 86º e) 136º EM1D-10-11 . Na figura abaixo. O e E. x + 2y 2x + y 3x x + 3y z C B 18.Matemática 112 379 16. calcule x e y. assim como B. em função de x: a) da metade do complemento de x. e) do suplemento do complemento da quarta parte de x. é igual ao dobro do suplemento desse ângulo. 29. 34. Calcule as medidas de cada ângulo. 35. o desenhista cometeu o seguinte erro: traçou um ângulo de 60º em vez de traçar os 3 do suplemento de 60º que vale: 4 a) 22º30’ b) 90º c) 120º d) 225º 33. x y 30. Um entre dois ângulos complementares tem medida 18º menor do que o dobro da medida do outro. Sendo x a medida em graus de um ângulo agudo. aumentado de 40°. Calcule as medidas desses ângulos. O quádruplo do complemento de um ângulo. Ângulo agudo 20º Complemento Suplemento 90º – 20º = 70º 180º – 20º = 160º 50º 58º 80º 77º 26. Dois ângulos são suplementares. Escreva o enunciado para um exercício em que se pede para calcular a medida x de um ângulo e que é resolvido com a equação: . Determine a medida do ângulo. A razão entre a medida de um ângulo e o seu complemento é 2 . 1 4 5 y = 4k . Qual é a medida do ângulo que é o triplo de seu suplemento? 28. Complete a tabela abaixo de acordo com o exemplo. Calcule a medida des7 C se ângulo. c) do suplemento da quarta parte de x. O suplemento de um ângulo excede a quarta parte do complemento desse ângulo de 135°.380 23. sabendo que são diretamente proporcionais aos números 1. 24. A O D B 27. Ao desenhar a planta baixa de uma residência. dê a expressão. 31. A razão entre o complemento de um ângulo e o suplemento desse mesmo ângulo é 2 . 5 Calcule a medida desse ângulo. Determine a medida de cada um deles. z Dica – Você pode escrever assim: x y z = = = k ⇔ x = k. d) da terça parte do suplemento da metade de x. Considere os três ângulos da figura abaixo. 4 e 5. A medida do menor é igual ao complemento da quarta parte do maior. b) do complemento do triplo de x. Observe esta figura e identifique todos os pares de ângulos adjacentes. Qual a medida desse ângulo? 32. z = 5k 25. o valor de x + y é: 42. (UFPB) Na figura abaixo. 50° a) a) 80º b) 10º c) 50º d) 40º e) 20º 40. o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos é de: a) 20° d) 40° b) 30° e) 45° c) 35° 37. Na figura dada. calcule o valor de x. Sendo a reta r paralela à reta s. na figura abaixo. Então. r t 2x 3x – 20° y + 10° s r x s 100° s EM1D-10-11 .Matemática 112 381 36. então a vale: 50º r p 130º r A 2x + 40° s x – 25° a) 55º b) 40º c) 35º a) 50º b) 30º c) 80º d) 130º e) 40º d) 60º e) 45º 39. as retas r e s são paralelas. s x x 120° b) r 40° r 70° s x 38. determine x nos casos abaixo. Sendo r//s. Se. As retas r e s são paralelas. Então. o valor de x é: 41. (UFU-MG) Dois ângulos adjacentes são complementares. as retas paralelas r e s são cortadas pela reta transversal p. sendo r//s. Calcule o valor de x. Sejam r e s retas paralelas. r e s são retas paralelas. t e u da figura. Na figura abaixo. Mostre que x = a + b.382 43. r 100° a s 70° 45. Na figura abaixo r//s. Calcule o valor de x. As retas r e s da figura abaixo são paralelas. sendo r // s. 155° r 60° s y 20° x x 25° u 55° t a) 120° b) 80° c) 100° d) 60° e) 140° 40° s . A medida x. 46. s. então o valor de x + y é: r b c s 48. Calcule a soma a + b + c. x r 80° x s a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100° 47. Sejam as retas r. As retas r e s da figura a seguir são paralelas. Determine o valor de x. na figura abaixo. é: r a y 40° r y x 30° b s 44. Matemática 112 49. o ponteiro das horas de um relógio percorre um arco de: a) 24° b) 40° c) 20° d) 18° EM1D-10-11 .5°. Determine a hora exata mostrada nos relógios a seguir. Se agora é uma hora da tarde. o ponteiro dos minutos “anda” 6° e c) 5 horas e 45 minutos o ponteiro das horas “anda” 0. a) 132° b) 4 horas e 10 minutos b) 180° 51. a) 3 horas e 30 minutos 383 50. Você sabe que. a cada minuto que passa. Das 16h30 até as 17h10. qual será o ângulo formado pelos ponteiros do relógio daqui a 12 minutos? d) 3 horas e 50 minutos 52. Determine o ângulo formado pelos ponteiros do relógio nos casos abaixo. caramba!” – retrucou Rodrigo.. Determine quantos minutos e segundos ele terá atrasado quando voltar a marcar 18 horas. Após esse atraso. às: a) 13h 5min 23s b) 13h 5min 25s c) 13h 5min 27s d) 13h 5min 29s e) 13h 5min 31s 55. – “Ei Alan. Acredita-se que seu surgimento se deu pela necessidade da contagem de tempo. 56. por estarem levemente empenados. são duas e pouco. tendo se liberado um do outro. 54. tem-se o mostrador de um relógio de raio 1. aproximadamente. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.384 53. Suponha que agora o relógio esteja marcando. Observe o diálogo. Então. Analisando os números do mostrador de um relógio. pela primeira vez. o relógio de Alan não é digital. 60. Dessa forma. O grau teve sua origem por volta de 5. A área da região destacada na figura é: 11 12 1 2 10 3 9 4 8 7 6 5 a) d) b) e) c) Lembrete: a área de um círculo de raio r é dada pela fórmula A = pr2. Infelizmente. (Unicamp-SP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. amanhã. eles estarão novamente sobrepostos daí a: a) 1h5/11min d) 1h5 b) 1h5/13min e) 1h60/11min c) 1h11/13min 58.000 a. Então. exatamente. 57. (UFU-MG) Os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio estão sobrepostos ao meio-dia. os ponteiros do meu relógio estão formando um ângulo de 90º” – comentou Alan. 18 horas. – “Ah. 59..” – respondeu Alan. o ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas. – “Bom. sua tarefa será descobrir quais os possíveis horários em que aconteceu essa conversa. Um dos problemas mais antigos de que se tem registro na história da matemática é o da divisão da circunferência em arcos de mesma medida. Na figura. (Vunesp) Calcule em graus e minutos a medida do ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio durante o tempo de 135 segundos. que horas são?” – perguntou Rodrigo. colocados em pontos que dividem a circunferência em 12 partes iguais. Um relógio comum atrasa 8 segundos a cada ocasião em que seus ponteiros das horas e minutos se sobrepõem. Seus ponteiros marcam 4h40min. eles voltam a girar normalmente. calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assinalando 1h40. percebe-se que cada uma das partes mede 30°. nesse exato momento. – “Mas eu quero saber a hora exata.C. . (FGV-SP) É uma hora da tarde. o ângulo ACD . Quanto mede o ângulo x? A a) x x B 30° 80° 2x B b a) 30° b) 50° c) 80° d) 100° e) 220° A b) a C 3x x 64. Em um triângulo ABC. Quanto mede o ângulo C ? do ângulo A a) 81° b) 61° c) 34° d) 119° e) 112° 70° B a) 30° b) 32° c) 35° d) 40° e) 45° C D EM1D-10-11 . é: ângulo A . A medida do ângulo A A d) x A x C mede 62. a = 100° e b = 110°. em graus. Na f igura abaixo.Matemática 112 385 Capítulo 2 61. o ângulo A é 2/5 da medida 85° e a medida do ângulo B . Determine o valor de x em cada uma das figuras a seguir: 63. Na figura. Calcule x e y indicados na figura abaixo. C 70° A c) 40° 45° B y x 20° C 50° 120° B 30° vale o triplo do 65. do ângulo a é igual a: x V H 15° 69. b) somente a II é falsa. o ângulo a é igual a: 103° P a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2y 70. 71. BC = CA = AD = DE. calcule o valor de x. em graus. III. c) somente a III é falsa. As retas na figura interceptam-se duas a duas nos pontos P. O ângulo CÂD mede: A x 40° B C a) 10° b) 20° c) 30° 40° D E d) 40° e) 60° B Sobre as sentenças. na figura. O triângulo CDE é isósceles. (Fuvest-SP) Na figura. Na figura. os triângulos VWS e URT são equiláteros. O triângulo ABE é equilátero. II. Q e R. Então: y x B C T U G A W 75° 65° S A C E 30° D 45° 60° 68. Se. a medida. 40° D a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° R . Dada a figura A Q R A a) 101° b) 102° 60° 24° c) 103° d) 104° 67. D. Considerando os valores indicados. e) são todas verdadeiras. AB = BD = CD. AE é bissetriz do ângulo BA é verdade que: a) somente a I é falsa.386 66. Na figura. I. d) são todas falsas. ACB 32. conforme a figura. é: A B C A medida do ângulo BDE. 74. ABCD é um quadrado e ABE. A 75. A medida do ângulo α. Na figura. D EM1D-10-11 . c) 135 graus. Na figura. a medida do ângulo ACE é igual a: a) 60 graus. Em relação à figura abaixo. em graus.Matemática 112 387 72. α = 3 β =α 16. 73. =β 02. O triângulo BCD é isósceles. b) 105 graus. BC e CD são congruentes. CÂB = 2 β 08. O triângulo ABC é equilátero. é: a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 76. em que os segmentos de reta AB. assinale o que for correto. A A B P D a) 65 b) 55 c) 80 d) 60 e) 75 C A C B 01. CBD 04. em graus. AB = AC e CE = CD. um triângulo equilátero. A F B B x C E 40° E D D a) O triângulo ABC é isósceles? Por quê? b) O triângulo CDE é isósceles? Por quê? c) Determine o valor da incógnita x. Se o triângulo equilátero CDE é externo ao quadrado ABCD. ABCD é um quadrado e APD é um triângulo equilátero. d) 150 graus. em graus. em graus. (UFPE) Na figura ilustrada abaixo. DE e EA são congruentes. D. em graus. b. Sejam α. a. respectivamente. D E C . CDF e DFE da fi . e x representam as medidas. a medida do ângulo CA a) 25° b) 20° c) 15° d) 10° e) 5° A 79. b B 2b a x 2a Nela. Determine. a. 2a. F a) 6° b) 12° c) 18° d) 20° e) 24° 78. dos ângulos assinalados. 2a. dos ângulos assinalados. ABC .b e x representam as medidas. Na figura abaixo. qual é o valor de x? E A x 5x 3x 3x 2x 2x 3x C D B A soma α + β + γ + λ + θ é igual a: a) 120º d) 210º b) 150º e) 240º c) 180º 81. λ e θ as medidas em graus . γ. 2b. (UFMG) Na figura. é: a) 100 b) 110 c) 115 d) 120 5x 3x 2x 6x 4x 80.388 77. em graus. CEF dos ângulos BAC gura. Na figura. os segmentos AB. BC. quanto vale x? O valor de x. CD. β. a) A B b) C A 84. localize o ortocentro nos triângulos abaixo. Utilizando uma régua. EF e FA são congruentes. e AE congruente a AD. CD. Se x e y são medidas em grau dos e B . então x + y ângulos A é igual a: B C b) A A D B 30° B C a) 120° b) 110° c) 115° d) 95° e) 105° C 86. temos AB = BC e CD = AC. Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC. A a) D C B 83. ângulo CDE B C EM1D-10-11 . localize o baricentro nos triângulos abaixo. Na figura.Matemática 112 389 = 42° Dado: BAD 82. calcule a medida do . sendo AB congruente a AC. sabendo que os segmentos BC. A A E F B E D C 85. Utilizando uma régua. No triângulo abaixo. DE. respectivamente. se o ângulo C mede 60° e a bissetriz do ângulo B forma um ângulo de 70° com a altura relativa ao vértice A. AD e BE são alturas. A G 110° F a) 120° b) 125° c) 110° A C 91. BÔD é: a) 38º b) 48º c) 42º d) 52º e) 36º E x H C D d) 130° e) 115° 89. o ângulo AGB figura) mede: B B 92. determine BSC = 40°. H é o or . A medida do ângulo agudo formado pelas alturas AH e BP é: 90. 2. Em um triângulo ABC. Num triângulo acutângulo ABC. Da figura. e BS é bissetriz. Se B = 70° e HÂS = 15°. 70° e 60°. os ângulos B e C medem. O ângulo exterior FÂB mede 110°. No triângulo da figura abaixo. Sendo C = 42° e O ortocentro do triângulo. o ângulo A B H S C 93. em graus.390 87. Num triângulo acutângulo ABC. AE é bissetriz do ângulo CÂB. BD é perpendicular ao lado AC. (indicado pelo x na Então. tem-se: 1. No triângulo ABC da figura a seguir . No triângulo ABC da figura. determine C . 3. ? quanto mede. sabemos que AH é a altura e AS é a bissetriz relativa a BC do triângulo ABC. tocentro e  = 50°. Determine BHC . respectivamente. se AH é altura . = 30° e ACB Dados BAH A A 30° P S O x 40° B H C a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° 88. na praça central. obrigatoriamente. e a sibipiruna é o ortocentro do triângulo. d) Nenhum ponto notável pode estar no vértice do triângulo. Jacarandá aqui Sibipiruna Jatobá 98. b) O incentro de qualquer triângulo é sempre um ponto interno. 101. Assinale a afirmação falsa. c) O ortocentro de um triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto. duas das alturas formam um ângulo agudo de medida a. Descubra. c) O incentro é interno ao triângulo. e) O ortocentro é interno ao triângulo. um dos ângulos internos do triângulo dado. Sendo HG maior que a altura relativa à base BC. a) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes. é possível afirmar que: a) o triângulo é retângulo.Matemática 112 391 94. Num triângulo isósceles ABC de base BC. e) O circuncentro equidista dos vértices do triângulo. b) O incentro e o circuncentro são coincidentes. na planta a seguir. A prefeitura de uma cidade mandou colocar. d) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa. a) Os quatro pontos notáveis de um triângulo podem estar alinhados. Classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F). d) a área do triângulo é HG2. d) O baricentro é interno ao triângulo. b) Os quatro pontos notáveis de um triângulo podem ser coincidentes. Qual é a classificação do triângulo que satisfaz a condição dada nos seguintes casos? a) O ortocentro e o baricentro são coincidentes. 95. g) O baricentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. H é o ortocentro e G é o baricentro. f) O ortocentro é um ponto interno. 97. c) O ortocentro é um dos vértices. 100. Como é possível localizar o tesouro no local? Praça EM1D-10-11 . b) o triângulo é obtusângulo. a) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Num triângulo acutângulo. sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. c) o triângulo também é equilátero. Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz referência a três grandes árvores do local. em que local essa estátua deve ser colocada. e) O baricentro de qualquer triângulo é o ponto médio de cada mediana. Determine. 99. uma estátua em homenagem a Tiradentes. em função de a. f) O circuncentro é interno ao triângulo. e) o baricentro do triângulo ABC é externo ao triângulo. b) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 96. e) O circuncentro está em um dos lados. internos ao triângulo. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice do triângulo (o jatobá é o primeiro e o jacarandá é o segundo). Assinale a opção incorreta. d) O ortocentro é externo. c) Nem todos os pontos notáveis são. 45° e 45° . A 104. 20° e 20° d) 80°. Calcule o ângulo  indicado na figura. 40° e 40° c) 140°. A 110° B C 106. a medida do ângulo obtuso for é mado pelas bissetrizes dos ângulos B e C 140°. Uma ilha tem a forma de um triângulo. (FGV-SP) Num triângulo isósceles ABC. No triângulo ABC da figura. B eC 107. as medidas dos ângulos A .392 102. respectivamente: C 110° C I 120° 130° C B A B a) 120°. de vértice A. sabendo que as bissetrizes dos ângulos de vértices B e C formam um ângulo de 110°. determine . determine A sabendo que O é circuncentro do triângulo. 30° e 30° b) 100°. determine o valor do ângulo BÂC. B eC sabendo que I é o incentro do triânA gulo. 50° e 50° e) 90°. Qual é o ponto da ilha que é equidistante do mar? 105. No DABC da figura. B e são. 110° O 120° 130° B C . Então. A 103. Sendo I o incentro do triângulo. a mediatriz de um segmento de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a afirmativa verdadeira. (UEM-PR) Em um plano a. Assinale a alternativa incorreta. em destaque. c) ( ) A área do triângulo BFG é 40 cm2. dividem a base AF em cinco partes iguais. é correto afirmar que: a) N é o baricentro do triângulo ABC. b) A interseção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo. b) E é o baricentro do triângulo GFH. a) Tomando um ponto P qualquer em r. AB = BC = CD = DE = EF e ainda GD = DH. D e E. c) C é o baricentro do triângulo AGH. c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. A F G B D E C a) ( ) G é baricentro do triângulo ABC. 112. c) a área do triângulo ANC é 1/4 da área do triângulo ABC. no paralelogramo AFGH. G A B C D E F a) GB é mediana no triângulo AGD. C. Na figura abaixo. O triângulo ABC da figura tem área de 120 cm2. . e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a. b) ( ) A área do triângulo AEC é 40 cm2. a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. d) N é o ortocentro do triângulo ABC. A B C D As áreas triangulares. e) O triângulo AGF tem o dobro da área do triângulo HFD. EM1D-10-11 113. Os pontos B. correspondem à seguinte fração da área do retângulo ABCD: a) 1/2 d) 1/5 b) 1/3 e) 1/6 c) 1/4 110. avalie se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). A razão entre a área do triângulo CDH e a área do paralelogramo é: H A 1 5 1 b) 10 1 c) 8 a) B C G D E F 1 6 1 e) 9 d) 111. d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. Sendo BD = DE = EC e FG = GE.Matemática 112 393 108. b) a área do triângulo ANC é 1/3 da área do triângulo ABC. d) Os triângulos AGD e FGD têm a mesma área. Considere o retângulo ABCD dado a seguir. e) o triângulo ABM tem o triplo da área do triângulo ANC. 109. Sendo AM a mediana do triângulo ABC e N o ponto médio de AM. c) o ortocentro do triângulo ABC é externo ao triângulo. (( ) A área do triângulo DEC é 25% da área do triângulo BCD. Se HM = 117. na figura abaixo. B D E C Na figura. (( ) A área do triângulo DEC é 35% da área do triângulo BDE. Q e R são pontos médios. é correto afirmar que: 5 AD = Julgue as sentenças a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).394 A 114. a reta r é paralela ao segmento AC. (( ) A área do triângulo DEC é 1/6 da área do triângulo ABC. sendo E o ponto de interseção de r com a reta determinada por D e C. então a área do triângulo BCE é: r B E B C E D A A D C a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 . a área do triângulo ABC mede 54 u. então a área do retângulo ABCD é: A M a) o triângulo ABC não é isósceles. Se a área do triângulo destacado é K.a. respectivamente. (( ) A área do triângulo BDC é o dobro da área do triângulo ABD. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10. Num triângulo acutângulo ABC. é igual a A. (UFPI) A área do triângulo ABC. A partir dessa informação. pode-se concluir que a área sombreada mede: a) 18 d) 30 b) 20 e) 36 c) 24 115. N. P. Temos também: 1 1 AC e EC = BC 3 4 B Q N R D BC . M. altura e mediana. e) B é o ortocentro do triângulo AHM. AH e AM são. b) H é o ortocentro do triângulo ABC. d) a área do triângulo AHM é 1/5 da área do triângulo ABC. respectivamente. No retângulo ABCD. 116. e a área do quadrilátero ABED é 21. (Fuvest-SP) Na figura abaixo. P C a) 4K b) 8K c) 16K d) 32K e) 64K 118. e BC = 3EC e EC = 3BD. N 250 C 200 210 Qual é a área do quarto lote. representado pela região escura no mapa? Capítulo 3 121. A M P B 120. As áreas de três dos lotes estão indicadas em metros quadrados no mapa a seguir. Sabendo que MC é 1/3 de AC e que NC é 1/4 de BC. determine a área do quadrilátero PMCN. Escreva o nome da posição relativa das duas circunferências desenhadas em cada quadro abaixo. O triângulo ABC da figura tem área de 132 cm2. 1) 3) Circunferências Circunferências 2) 4) Circunferências Circunferências EM1D-10-11 .Matemática 112 395 119. Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lotes menores por duas cercas retas unindo os pontos médios dos lados do terreno. construa uma circunferência de centro no ponto A e raio R A e outra circunferência com centro no ponto B e raio R B (as medidas dos raios. qual é a medida do ângulo TAO? . também. passando pelo ponto P? d) Onde você colocaria o ponto P. Em cada um dos dois itens abaixo. Que nome ele recebe? b) Qual é a medida do ângulo formado pela reta r e pelo segmento OT? Complete: toda reta r tangente a uma circunferência de centro O é _________ ao raio no ponto t da tangência. escreva no box abaixo a posição relativa das circunferências em cada um dos itens anteriores. a seguir. um compasso. a reta r é tangente à circunferência de centro O no ponto T. Na figura abaixo. r A O T a) Trace o segmento OT.396 122. caso o ponto P estivesse sobre o centro dela? 124. um lápis e uma régua. a) b) c) d) e) 123. trace um segmento de reta de medida AB (indicada em centímetros) e. em centímetros). Analise a figura abaixo e responda ao que se pede. de modo a exibir uma única reta tangente à circunferência. Para resolver esse exercício. você precisará de algumas folhas de sulfite. P a) A distância do ponto P ao centro da circunferência é menor que a medida do raio? b) Quantas retas tangentes à circunferência podemos traçar? c) Quantas retas tangentes à circunferência podemos traçar. passando por P? e) Qual é a resposta que você daria para a quantidade de retas tangentes à circunferência. a) AB = 7 R A = 4 RB = 2 b) AB = 7 R A = 4 RB = 3 c) AB = 4 R A = 7 RB = 3 d) AB = 10 R A = 7 RB = 5 e) AB = 1 R A = 6 RB = 4 Agora. passando por P. c) Se o ângulo TOA mede 57º. um esboço da solução seria da forma: EM1D-10-11 . tangentes. determine os raios. Na figura abaixo. O comprimento do segmento AB é: A P B a) 3 2 b) 6 cm c) 3 3 d) 6. (UFLA-PAS) Uma questão interessante é obter círculos que tangenciam um círculo central e que sejam. Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos raios é 30 cm. Ela sabe que todos os objetos a uma distância inferior a 7 km do olho do furação M são inteiramente destruídos. especialista em furacões. sabendo que as duas primeiras são tangentes internamente à terceira. com raios medindo 4 cm e 5 cm. (Unirio–RJ) A intensidade de um furação pode ser medida pela escala de Saffir-Simpson. traça-se a reta tangente à mesma. determine os raios. Calcule o menor raio de uma terceira circunferência. 131. As circuferências C1 e C2 estão contidas no plano ℘. As circunferências da figura são tangentes externamente. Laura está a 25 km do “olho do furação” e deseja ficar a 7 km deste para concluir sua análise. O furação Rita. por exemplo. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm. chegou à costa americana com 3 nessa escala.Matemática 112 125.1 cm e) 5. Duas circunferências tangentes externamente têm raios r = 2 cm e R = 3 cm. respectivamente e a distância entre seus centros é 3. A meteorologista Laura. temos duas circunferências concêntricas. Por um ponto P da circunferência menor. 127. Considerando o problema de se tentar envolver um círculo central com 7 círculos com os oito círculos de mesmo raio.8 cm 130. Se a distância entre os centros é 6 cm. respectivamente. consecutivamente. 128. Seus raios são 1 e 2. A distância mínima que ela deverá deslocar-se é de: a) 15 km d) 22 km b) 18 km e) 24 km c) 20 km 126. que varia de 1 a 5. Quantas são as retas de ℘ que tangenciam C1 e C 2? a) Infinitas d) 1 b) 3 e) 0 c) 2 397 129. a qual determina pontos A e B na circunferência maior. deseja analisar o furação M. .6 m c) R = 3 2π 134. Determine as medidas dos raios. porém. outros três círculos. A 9m a) Qual delas vai percorrer uma distância maior? b) Quantos metros a mais. Duas pessoas partem do mesmo ponto A. aproximadamente essa pessoa irá percorrer? 139. ambas. B A O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a: a) π m 2 d) 2p m b) p m c) e) 3p m 3π m 2 137. Considere R o raio de uma circunferência e C o seu comprimento. em centímetros. voltando. diametralmente opostos. 7 cm e 5 cm. desde um ponto A até um ponto B. a) R = 4 m b) D = 5. 133. Considere três circunferências tangentes externamente de tal forma que cada uma é tangente a outras duas. pois um círculo não pode tangenciar. Qual é o perímetro dessa circunferência? 138. e) o desenho é falso.42 cm. pode-se afirmar que: a) o desenho está correto e vale para qualquer valor de raio. (Unifesp) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm. d) o desenho está correto. conforme a figura. Determine a medida do raio da circunferência na qual um arco de 45º mede 9. ao ponto A. 132. O comprimento do arco determinado pelo ângulo central é de: a) 180º c) 90º e) 30º b) 120º d) 60º f) 10º 140. c) tal situação não pode ocorrer e o desenho não representa a solução do problema. determine o comprimento de cada uma das circunferências abaixo. O que acontece com C quando dobramos o raio R? E quando triplicamos? 136. tal fato é válido apenas para um valor específico do raio. ao comprimento do raio de uma circunferência. conforme a figura abaixo. O valor da ra iz posit iva da equação x 2 – 7x – 44 = 0 corresponde. Uma delas percorre o contorno do quadrado enquanto a outra percorre o contorno da circunferência. Qual é a medida do raio de uma circunferência que possui comprimento igual a 20π m? a) 10 m b) 15 m c) 5 m d) 20 m e) 2 m 135. simultaneamente.398 Nesse caso. b) o desenho está correto. sabendo que as distâncias entre os centros delas são: 8 cm. Sejam R a medida do raio e D a medida do diâmetro de um circunferência. mas o raio tem que ser suficientemente pequeno. O comprimento de um circunferência é 60 cm. percorreu 1. Determine a medida do raio do aro. O número de voltas completas que cada roda da bicicleta deu. A razão entre os comprimentos da linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à razão entre os comprimentos de uma circunferência qualquer e de seu diâmetro. Quanto mede.500 . com raio de 12 cm.6 cm e) 1. e) falsa. O comprimento do aro de uma cesta de basquete mede. Um carpinteiro vai construir uma mesa redonda para acomodar seis pessoas sentadas ao seu redor. um diâmetro de uma circunferência. sabendo que o raio é 5 cm. Um ciclista. A roldana maior. sem escorregar.040 d) 1. para percorrer essa distância.57 cm? a) 180 m b) 1.885 m em uma bicicleta com rodas de raio 30 cm (incluindo o pneu). (UFRJ) Percorrendo uma distância de 450 metros. BC 141. 144. aproximadamente. Essa afirmação é: a) verdadeira e a razão referida vale p/2. (Utilize a aproximação π = 3. gira fazendo 100 rotações por minuto. sabendo-se que nela um arco de 1° mede 1. em metros. seu raio. (UFRJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta. foi: Use: p = 3. 148. 70° 80° x A D A t 142. Admita que a correia não escorregue. 141.14. (Unifesp) A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia.000 c) 1. sobre uma superfície lisa e horizontal. deve ser: a) 8 d) 5 b) 7 e) 4 c) 6 146. c) verdadeira e a razão referida vale 3p/2. em centímetros. 149.80 m c) 360 m d) 3.14 EM1D-10-11 a) 900 b) 1. d) verdadeira e a razão referida vale 2p.8 cm 143. e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Determine o diâmetro dessa mesa para que cada pessoa possa dispor de um arco de 50 cm na mesa. 147.Matemática 112 399 .) Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto. 10 m Stepanov / Dreamstime. as rodas de um Gol dão 250 voltas.com Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.250 e) 1.3 cm. . b) verdadeira e a razão referida vale p. CD C y B z 145. Calcule o raio das rodas. para vencer uma competição. Calcule o comprimento dos arcos AB e DA da figura. o comprimento RQ+QP da rampa. qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia? a) 122. Na figura abaixo. que corresO comprimento do arco PQ ponde à menor distância de P a Q. sem riscos para o piloto. quando ela rola. Qual é o perímetro do trevo de 4 folhas que se vê nesta figura? M N Q P 154. em cm. marcado em uma roda circular. é igual a: a) 5π + 2 3 b) 4π + 3 5 c) 6π + 3 d) 7π − 3 e) 8π − 3 5 . Sendo assim. são representados os raios solares incidindo nos pontos P e Q da linha do Equador do planeta Terra e são indicadas as medidas dos ângulos que esses raios formam com as normais à superfície terrestre nesses pontos.4 cm c) 92.4 cm e) 32.8 cm d) 50 cm b) 102.600 voltas.000 c) 10. sabe-se que o raio da roda mede 3 cm e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em falso. 76º Q Raios de Sol paralelos 23º P . a partir de 185. N. O quadrado representado na figura tem 256 cm2 de área. no plano.444 b) 10. foram desenhadas circunferências de modo que M. (UFSCar-SP) A sequência de figuras mostra um único giro do ponto A.8 cm 153. Em um motor há duas polias ligadas por uma correia de acordo com o esquema abaixo. (UFAL) Considere que: – os raios de Sol incidem paralelamente sobre a Terra. ele poderá percorrer. podendo causar riscos à segurança do piloto. P e Q sejam pontos médios dos lados do quadrado.000 d) 10.000 km de perímetro. é igual a: a) 11. Com centro em cada um dos vértices desse quadrado.666 152. aproximadamente: a) 93 km d) 592 km b) 196 km e) 291 km c) 366 km 151. em quilômetros. P 120° A R Q Figura 1 P A R Q Figura 2 A P R Q Figura 3 Além do que indicam as figuras. – o planeta Terra é uma esfera cuja linha do Equador tem 40.400 150. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0.880 e) 9. sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP. Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é 30 cm. (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que.5 m. ele passa a se deteriorar. (UFRN) No protótipo antigo de uma bicicleta. junho 2006 (adaptado). 162. Descubra o comprimento do arco determinado pelo ângulo central de 2p/3 radianos. Complete: Quando dizemos que um arco de 15° tem 12 cm. Calcule a medida do raio dessa circunferência. O ponteiro das horas. EM1D-10-11 Uma pessoa que durma à zero hora e siga a recomendação do texto acima. quem não segue a recomendação de dormir. de comprimento 10p cm. por estabelecimento comerciais abertos 24 horas e prazos apertados de trabalho. Nossa época. Numa circunferência de 15 cm de raio. em unidades ____________ e ___________. durante seu período de sono. do despertador dessa pessoa. O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é: 401 157. quanto ao número mínimo de horas diárias de sono. 163.14 cm). Por exemplo. Um arco de circunferência com comprimento de 30 cm é tomado numa circunferência de diâmetro igual a 20 cm. marca-se um arco AB Qual é a medida desse arco em radianos? 156.2 rad r A . pode muito bem ser considerada a era do bocejo. terá descrito. A ciência mostra que isso contribui para a ocorrência de males como diabete. Numa circunferência. no mínimo. conforme figura a seguir. estamos fornecendo duas medidas de um mesmo arco. depressão e obesidade. Converta para radianos ou graus: a) 45º b) 225º c) 330° a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 d) π rad 5 e) 3π rad 4 f) 5π rad 3 159. tem 73% mais risco de se tornar obeso. Qual é o raio da circunferência. a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. marcada pela luz elétrica. 8 horas por noite. um arco de circunferência com comprimento igual a: a) 6π cm d) 8π cm b) 32π cm e) 18π cm c) 36π cm 160. um arco de medida p/6 radianos tem comprimento de 2 cm. que muitas vezes exigem o sacríficio dos períodos de sono. numa circunferência de raio igual a 30 cm (adotar p = 3.Matemática 112 155. Revista Saúde. sabendo indicado é se que o comprimento do arco AB igual a 12 cm? O B = 1. no 274. que mede 6 cm de comprimento. 161. Calcular a medida do arco em radianos. Estamos dormindo menos. acordará às 8 horas da manhã. 158. respectivamente. em setores circulares.402 164.14. 165. e o ângulo de abertura mede 1 radiano. que é indicada na figura por fatia N + 1. numa trajetória circular com raio de 5 m. (Vunesp) Em um jogo eletrônico. O perímetro do “monstro”. (UFRGS-RS) Dentre os desenhos a seguir.72 e) 0. como mostra a figura. é: a) 0.68 . no final. Calcule o deslocamento angular sofrido pelo móvel.56 b) 0. o arco da fatia N + 1. é: a) π – 1 d) 2π b) π + 1 e) 2π + 1 c) 2π – 1 168. uma fatia menor. em cm.8 radiano. Calcule o deslocamento angular de um móvel que executa um movimento circular com raio de 5 m e percorre 30 m de deslocamento linear. Se o arco de cada setor medir 0. c) 0 Fatia 2 Fatia 1 d) 0 e) 0 Fatia N+1 Fatia N Considerando p = 3. 166. Um móvel sofre um deslocamento escalar de 20 m.74 d) 0. a partir do seu centro. o “monstro” tem a forma de um setor circular com raio de 1 cm. obtém-se um número máximo N de fatias idênticas. 1 cm 1 rad A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”.34 c) 0. (Unifesp-SP) Uma pizza circular será fatiada. sobrando. aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é: a) 0 b) 0 167. em radiano. o arco AC mede 130° e o ângulo ACB mede 62°. Na figura abaixo. em que se tem um círculo de centro O. é: C O d) y x 50º A B x a) 65° b) 53° c) 50° e) x 50º 80º x y d) 31° e) 28° 171. do ângulo BAC. determine o valor das incógnitas. a) x 403 h) 100º x y 140º i) y b) x 140º c) x 70º 2x 50º 170.Matemática 112 169. (UFV-MG) Qual é o valor do ângulo a na figura? f) g) O 35° a) 55° b) 65° c) 35° 130º x d) 110° e) 130° EM1D-10-11 . Nas figuras a seguir. A medida x. 404 172. O 80° P A x D C 178. Determine o ângulo x na figura a seguir. C 120° 100° F E DICA – Construa o quadrilátero ABCF e o quadrilátero ADEF. uma pessoa usa o seguinte procedimento: traça um ângulo AÔB de 30°. Indique o valor do ângulo a. em graus. Na figura abaixo. e. em seguida. . o menor arco com extremidades A e D mede 110°. Na figura abaixo. 175. O e B estão sobre a margem do lago. sendo que os pontos A. mede a distância de A a B conforme a figura abaixo. e AB é um diâmetro. Calcule x e y. calcule x. o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O. bˆ D 28° x A aˆ O y 2x cˆ C 176. (UFRN) Para medir o raio de um pequeno lago circular. O que representa o ponto I para o triângulo ABC? B A 173. Na circunferência de centro O da figura. Calcule a + b + c na figura abaixo. B 174. B I 53° O B C C O A A 177. O B B 30° A D x A Justifique por que a medida do segmento AB corresponde ao raio do lago. basta mostrar que BCA + DCA = 180º.Matemática 112 405 179. cuja medida do ângulo C é 20°. a) 120° x d) 80° x 30° b) x 100° 70° c) 100° 70° x 20° EM1D-10-11 . Nos itens a seguir. A D C B Dica – Para mostrar que B. em graus. 180. Na figura. Prove que B. A e C são os pontos de interseção das circunferências e AB e AD são diâmetros das mesmas. 181. do ângulo formado pela altura e pela mediana relativas à hipotenusa. C e D são pontos colineares. Determine a medida. (UEM-PR) Considere ABC um triângulo inscrito em uma semicircunferência de diâmetro BC. C e D estão alinhados (colineares). encontre o valor de x. Descreva o procedimento matemático para explicar qual é o ponto da reta r da figura abaixo que enxerga o segmento AB sob maior ângulo. os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência. C ou D enxerga o segmento PQ sob maior ângulo? 186. calcule o valor de x. Na figura abaixo. do ângulo APD é: A B 183. P C D 70° x 25° a) 15 b) 20 c) 25 184. a = 20° e PA tem a mesma medida do raio da circunferência de centro O. o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. B A A D C M 50° B N D P 30° O C A P x Dica – Trace o raio OA e perceba que o triângulo OAP é isosceles.406 182. (UFES) Na figura. B. C. em graus. arcos AMB d) 30 e) 35 187. P B A 185. Observe o desenho abaixo e responda ao que se pede. A medida. calcule a medida dos e CND . D ou E enxerga o segmento PQ sob maior ângulo? b) Qual dos pontos B. Na figura abaixo. Na figura. r C B Q A E D a) Qual dos pontos A. Calcule x. . prove que a medida do é 1/3 da medida do ângulo AÔP. BD é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.Matemática 112 407 188. (Unicamp-SP) Na figura abaixo. mede: Assim sendo. Sabendo que o segmento BC mede r. tais que AB B B O O C 189. e os menores arcos AB = EF = 40°. C Nessa figura. b) menor que 50°. Determine o valor de x. ângulo ABP A A C P 191. gulos ABD 20° e 85°. o ângulo CBD a) 25° d) 40° b) 35° e) 45° c) 30° 190. Na figura. as circunferências têm o mes são e EF mo centro O. Na figura. B 70º 200º x EM1D-10-11 . temos uma circunferência de centro O e raio r. respectivamente. o ponto Q enxerga AB sob ângulo de 50°. A E B E D D F é: A medida do menor arco CD a) 50º b) 70º c) 65º d) 60º e) 80º 192. (UFMG) Observe a figura. c) maior que 50°. Determine o(s) ponto(s) de AP que enxerga(m) AB sob um ângulo: P Q A a) igual a 50°. e os ân e AÊD medem. uma tatuagem com a forma de um raio. Um bruxo não tão famoso. Parry Hoster. em sua testa. cuja soma dos ângulos externos não é inferior à soma dos ângulos internos. então o ângulo externo adjacente a ele mede 70º. Qual é o polígono convexo em que a soma das medidas dos ângulos internos (Si) é o triplo da soma das medidas dos ângulos externos (Se)? 196. a) O número de lados desse polígono é igual à quantidade de inimigos que ele tem. os Dormensais da Sorte. 201. Determine o maior ângulo de um pentágono convexo cujos ângulos internos estão na razão 3 : 3 : 3 : 4 : 5. (8x + 43º). Quantas magias ele precisa conhecer? . x + 30° x + 20° x 150° 130° 120° 199. d) ( ) Todo quadrilátero convexo possui S i = S e. b) ( ) Quanto maior o número de lados de um polígono convexo. a) ( ) O polígono convexo de 8 lados é o que possui 8 vértices. O número de polígonos regulares. f) ( ) Se um dos ângulos internos de um decágono convexo mede 110º. c) ( ) Quanto maior o número de lados de um polígono convexo. A soma das medidas dos ângulos internos dos dois polígonos é igual a 1. tem. n e n + 2 lados. 200. Associe verdadeiro (V) ou falso (F) a cada uma das afirmações seguintes. 197.800º. A soma das medidas dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados é 900º. 195. (2x – 42º) e (12x – 28º). e) um número primo. O valor de n é: a) um número par. ele precisa conhecer um número de magias igual ao cubo do número de inimigos. é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 198. 202. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos (Si) e a soma das medidas dos ângulos externos (Se) dos seguintes polígonos convexos: a) eneágono b) decágono c) heptadecágono 194. Para derrotá-los. Descubra quais são esses polígonos. maior a soma das medidas de seus ângulos externos. c) um número negativo. d) um número na forma de uma fração. a) Qual é o valor de x? b) Quais são as medidas dos ângulos internos deste quadrilátero? c) Tente construir um quadrilátero convexo que tenha os ângulos internos com essas medidas (obedecendo a distinção entre ângulo agudo e obtuso). Dois polígonos convexos P1 e P 2 têm. 8 ângulos internos e 8 ângulos externos. Os ângulos internos de um quadrilátero convexo têm medidas (3x + 28º).408 Capítulo 4 193. Sabendo-se que o polígono convexo abaixo é um hexágono. determine o valor de x. b) um número maior que 14. respectivamente. maior a soma das medidas de seus ângulos internos. representada pelo polígono a seguir. Responda às questões seguintes. e) ( ) O único polígono convexo em que Si < Se é o triângulo. (( ) À medida que aumentamos o a i. marque verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações. a) Quantos lados tem um polígono regular cujos ângulos externos medem 20º cada um? b) Quantos lados tem um polígono regular cujos ângulos internos medem 140º cada um? 207. 206. c) Qual é a soma dos ângulos internos desse polígono? 203. tem-se a i + ae = 180º. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 13 e) 17 204. Cada um dos 3 arcos tem medida igual a mesma forma. Complete a tabela abaixo e. (( ) O polígono que apresenta a i = 4ae é o decágono regular. tem-se ae = 3a i. complete a tabela a seguir. então o polígono é o hexágono. (( ) Em todos os polígonos da tabela.Matemática 112 b) Uma análise mais cuidadosa da tatuagem mostra que os lados indicados estão sobre uma mesma reta. e os demais ângulos internos medem 128° cada um. Polígono regular Quantidade de arcos congruentes Triângulo 3 Quadrado 205. em seguida. Polígono regular Triângulo Quadrado Hexágono Decágono Dodecágono Medida do ângulo externo (ae) Medida do ângulo interno (ai) 360 = 120 . Da 3 Pentágono regular Hexágono regular Octógono regular Decágono regular Dodecágono regular Icoságono regular Medida de cada um dos arcos 120º EM1D-10-11 . Qual é a soma das medidas de todos os ângulos assinalados na figura abaixo? 409 (( ) No triângulo equilátero. (Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um. (( ) Se ae = a i. O triângulo equilátero divide a circunferência em 3 partes congruentes. diminuímos o ae. (Fuvest-SP) A. D e E são vértices de um pentágono regular e que o ângulo CÂD e igual a: A 3 A B D C 2 Na figura 1. A 211. em graus. Se o arco AB determinado por ela mede 15º. logo sabemos que as medidas dos arcos AB. de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: a) 90 d) 120 b) 100 e) 150 c) 110 210. A estrela de cinco pontas foi desenhada como mostra a figura abaixo. BC. C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. Na figura 2. Determine a medida do ângulo formado pelas diagonais AC e BE do hexágono regular abaixo. Na figura abaixo. temos condições de calcular a medida desses arcos. temos um quadrado inscrito em uma circunferência. CD e DA são iguais. Assim. fazendo 360 = 90 . sabe-se que a corda AB representa o lado de um polígono regular inscrito na circunferência. B. 2004. C. 4 Na figura 3. A produção desse paisagismo especial no Palácio do Planalto foi realizada sabendo que A.410 208. determine a medida do ângulo a. B. (Unirio-RJ) A primeira-dama resolveu decorar o Palácio da Alvorada e a Granja do Torto com um paisagismo bastante particular. temos o lado AB de um quadrado (perceba que não há necessidade de construirmos o quadrado todo para sabermos a medida do arco AB). Correio Braziliense. o polígono em questão é o: A B E C a) 72º b) 48º c) 36º D d) 24º e) 18º a) pentadecágono b) duoicoságono c) tripentacágono d) hexadecágono e) quadri-icoságono B . A B D C A B B A F C 1 E D 209. Sálvias especialmete plantadas formam a estrela vermelha petista nos jardins das duas residências oficiais. A medida. Observe a sequência de figuras abaixo. 212. c) Dodecágonos e quadrados. Assinale a alternativa que contém uma combinação que permita o recobrimento total do piso. d) Quadrados. B C EM1D-10-11 D C A B G F O Sr.Matemática 112 411 A 213. AB é lado do dodecágono regular inscrito e CD é o lado do triângulo equilátero inscrito. aparecem tipos de ladrilhos que uma empresa oferece. sendo AB e PQ paralelos. Todos têm a forma de polígonos regulares e os lados de todos eles têm a mesma medida (AB = 20 cm). Na figura. mine AQP B A P A D 0 I a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 B K C P A Q . e) Dodecágonos e hexágonos. 216. a) Hexágonos e quadrados. e PQ. Calcule x. A seguir. triângulos e dodecágonos. Na figura abaixo. Sabendo que o ângulo BPC mede 18°. podemos concluir que o número de lados de um polígono é igual a: F B E C D B L C J E H 214. AB é lado do pentadecágono regular. ambos inscritos na mesma circunferência. P e C pertencem a uma mesma circunferência g e BC é o lado de um polígono regular inscrito em g. X quer combinar algumas dessas peças para ladrilhar sua casa. (Fuvest-SP) Os pontos B. b) Hexágonos. hexágonos e dodecágonos. Deter . o lado do hexágono regular. A B x D C 215. a) OA = 17. CÔD. a) b) c) AÔB = 40° AÔC = 70° BÔC = 30° AÔD = 100° CÔD = 30° BÔD = 60° Agudo: AÔB. a) x = 50º b) x = 36° 16. x = 40° y = 20° z = 80° 18. Grau: divida uma circunferência em 360 partes congruentes (mesma medida). 1 radiano 8. 5. Temos aí 1 rad. a) R = 36cm b) d = 9p cm 12. Não. Depende apenas do comprimento do arco. C 23. AÔC. x = 10° y = 20° 19. ficam alinhados. 1 radiano 7. 60° 3. 10.5 cm = 14 cm b) m AB ( ) 15. a semirreta OC 2. y = 42° e) x = 135°. 5° 9' 50" 11. 6. Obtuso: AÔD Sim. Tome uma dessas partes. AÔB e BÔC BÔC e CÔD AÔC e CÔD AÔB e BÔD . a) x = 40° b) BÔC = 50° 21. ou seja. a) b) c) d) 36° 12’ 40” 14° 17’ 33” 56° 34’ 12” 7° 14’ 56” a) b) c) d) e) f) g) h) i) 113° 15’ 10” 4° 54’ 45” 109° 40' 39° 49’ 30” 45° 90° 31’ 6° 40’ 6° 40’ 1° 16’ 32” 9. B 20. Temos aí 1º. 45° 14. BÔC. x = 138°. y = 45º 22. Não. a) b) c) d) x = 20º x =25º x = 25º x = 15º 4. BÔD. b) BOC c) AÔB e DÔE(a = y) d) a = 42º. Radiano: determine um arco na cincunferência que tenha o mesmo comprimento do raio. 13. x = z = 30° y = 45° t = 105° 17.412 Respostas Capítulo 1 1. Depende apenas do comprimento do arco. a) São pontos que pertencem a uma mesma reta. x = 50º 45. C t // r // s s x = c + d. Um enunciado seria: O dobro do complemento de um ângulo excede a quarta parte do complemento desse mesmo ângulo em 115°. C 40. 2h 11 min 60.5° 25° b) t = 600 11 34. 32º 10º 13º 122º 100º 103º a 90º − x 26. E 55. 30° 44. x = 110° EM1D-10-11 41. 20° 29. E 300 59. 135° 28. a) 12h24min 30. \ x=a+b x 4 c) 180º − r 53. x = 18°. 360° 48. 36º 35. B 50. 30° 49. a) 2 b b) 90° – 3x d) 1 x · 180º − 3 2 e) 180º − 90º − cx d x 4 27. 40º 130º 43. mas a = c e b = d por serem ângulos alternos internos. 52. 2min56seg . 13° 30’ 39. 170° 54. 1h24min 37. 20° 33. x = 170° 25. 120° e 60° 51. a) b) c) d) 32. E 38. C 36. 24º e 66º 75° 65° 97. 35º 31. C 57. a) x = 50° b) x = 60° 56. A 58. A 46. C 47.Matemática 112 413 24. y = 72° e z = 90° 42. B 82. A 66. pois CE = CD c) 120° 73. C 67. Corretos: 02. 21° 85. B 63. A 68. a reta suporte (r) da altura desse lado que passa pelo ortocentro (Sibipiruna). B 90. D 89. a) Sim.414 Capítulo 2 61. 20° 79.  = 80° 91. C 84. Trace um lado do triângulo (Jacarandá. 88. C 76. E 94. x = 85° 70. 04. Jatobá) e. 130° 78. C 77. B 87. E B 74. a seguir. A C B 64. D 83. 08 e 32. B 69. a) 75. D C Jac A N Sib G B M r C b) A Jat M N Trace a reta suporte (s) da outra altura do triângulo. a) b) c) d) A 86. a) x = 70° x = 30° x = 65° x = 70° 62. G B C . 110° = 40° 92. pois AB = AC b) Sim. E O OyA b) 71. C 81. CÂD = 36° 93. x = 70° y = 140° 65. 80. B 72. Matemática 112 415 Jac Sib r 100. a) b) c) d) e) f) ∆ equilátero ∆ equilátero ∆ retângulo ∆ obtusângulo ∆ retângulo ∆ acutângulo 101. A estátua deve ficar no incentro, ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo determinado pela praça. s Jat Trace a reta (t) perpendicular a (s) que será a suporte do lado do triângulo (Jatobá, Tesouro). Onde (t) e (r) se encontram está T (tesouro). Jac 102. Incentro do triângulo, pois equidista dos lados do triângulo. 103. B 104. 20° = 40° 105. A t Sib r T Jat 98. a) b) c) d) 96. B Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro = 55° = 65°, B = 60° e C 107. A 108. D s =a 95. C = 80°, B = 60° e C = 40° 106. A 97. E e) Falso f) Falso g) Falso 99. D 109. E 110. B 111. C 112. a) F b) V c) F 113. C 114. C 115. D 116. V, V, V, F 117. C 119. 17 cm2 118. B 120. 240 m2 Capítulo 3 EM1D-10-11 121. 1. 2. 3. 4. Circunferências secantes Circunferências internas Circunferências tangentes externamente Circunferências externas 122. a) b) c) d) e) Circuferências externas Circuferências tangentes externamente Circuferências tangentes internamente Circuferências secantes Circuferências internas 416 123. a) Não é maior, uma vez que o ponto P é externo à circunferência. b) Infinitas c) Duas d) Na circunferência e) Zero 124. a) Raio r 0 A 57° 138. a) A pessoa que contorna o quadrado. b) 15,48 m 139. a) b) c) d) e) f) 30 cm 20 cm 15 cm 10 cm 5 cm 1,66 cm 140. 12 cm 20 cm 9 35 cm BC 18 5 cm AB 2 10 cm DA 3 141. AB T b) 90º perpendicular c) 33º 125. B 126. 18 cm e 10 cm 127. 18 cm e 12 cm 128. B 130. 5 cm 129. B 131. C 132. 3 cm, 5 cm e 2 cm 133. a) 8π cm b) 5,6p cm c) 3 cm 134. A 135. A medida do raio de uma circunferência é diretamente proporcional ao comprimento desta, isto é, a medida que aumentamos o raio, aumenta o comprimento na mesma proporção. C = 2πR ⇒ 137. 22π cm 136. A C = 2π R Assim, se dobramos o raio dobramos o comprimento e se triplicamos o raio, triplicamos o comprimento. 142. B 149. B 143. B 150. E 144. 22,5 cm 151. A 145. A 152. A 146. 95,5 cm 153. 16 (3π + 4) cm 147. 0,28 m 154. A 148. 32 155. B 156. D 157. angulares – lineares π rad 4 5π rad b) 4 11π rad c) 6 158. a) d) 36° e) 300° Matemática 112 2π rad 3 159. 417 175. 214° 176. I é ortocentro do ∆ABC. 12 cm π 160. 177. 65º 161. 3 rad 165. 6 rad 178. 40° 162. 61,8 cm 166. B 179. 50° 163. 10 cm 167. E 180. 164. 4 rad 168. C 169. a) b) c) d) e) f) g) h) i) A x = 140º x = 70º x = 35° x = y = 50º x = 40º x = y = 50º x = 50º x = 40°, y = 90º x = 20º, y = 90° D C B ∆ABC e ∆ACD são retângulos, pois AB e AD são diâmetros. Logo, B, C e D são colineares. 181. a) b) c) d) 170. B 171. A 172. x = 35°, y = 20° x = 100° x = 120° x = 15° x = 70° 182. a) O ponto A (ponto que produz um ângulo de vértice interno). b) Todos enxergam sob o mesmo ângulo (ângulo inscrito). 173. a = 37° 174. 183. x = 45° = 80° e CND = 20° 184. AMB C O x D 30° x z y 185. P B r A EM1D-10-11 O ângulo C é igual a 60° por ser um ângulo central cujo ângulo inscrito correspondente mede 30°. Como AC = BC = R, segue que o triângulo ABC é isósceles e, por conseguinte, os ângulos CAB e CBA são congruentes. Daí, e do fato de C medir 60°, segue que CAB = CBA = 60°, ou seja, o triângulo ABC é equilátero. B A Trace uma circunferência que passe pelo pontos A e B e que tangencie a reta r no ponto P. Esse ponto produz um ângulo inscrito de tal forma que enxerga AB sob ângulo máximo. pois são os pontos externos à circunferência. Capítulo 4 193. b) 1. Hexágono e octógono 197. 192. 131°. B 64° . Se = 360º (sempre) a) Si = 1. a) b) c) d) e) f) V V F V V V 104° 200. Então: 189. .x e y = 3x.620° 198. 2x = y . a) 1. 187. A y y P O x C r x x D B 191. 418 . pois ele pertence à circunferência. ˆ 188.331 magias. . x = 80° . pois são os pontos internos àcircunferência. Queremos provar que y = 3x. 90° 203. . D 202. 186. 64°. E . x = 30° Logo. 150° 201.. B . 28° c) 61° 194. b) Os pontos de AP exceto A e P. Octógono 196.260º b) Si = 1.700º 199.440º c) Si = 2. a) x = 11° b) 61°. A 190. c) Os pontos de AP que não pertencem a AP. E 131° 195. a) O ponto P. Sejam: ABP = x e AÔP = y. 9° EM1D-10-11 . 4 5 6 8 10 12 20 90º 72º 60º 45º 36º 30° 18º 419 208. ae 120º 90º 60º 36º 30º F. V 206. C 211. a = 45° 212. F. E 213. 75° 215.Matemática 112 204. D 210. D 214. 90° ai 60º 90º 120º 144º 150º 209. D 216. V. a) 18 b) 9 207. V. 540° 205. 420 Anotações .
Report "EXERCÍCIOS GERAIS - Geometria e Conjuntos"