MATERIAL DISPONÍVEL NO SITEwww.estudanteolimpico.com Divulgue. ASSUNTO - Exercícios de Combinatória 1) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? 48 2) As retas r e s são distintas e paralelas entre si. São dados 5 pontos distintos na reta r e 4 pontos distintos sobre a reta s. Quantos são os triângulos determinados pelos pontos dados? 70 3) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 3,5,7,9, o número 7.953 ocupa a n-ésima posição. O valor de n é: 18 4) Consideram-se 7 pontos num plano, dos quais 3 quaisquer não colineares; consideram-se, ainda, dois outros pontos fora do plano, tais que a reta por eles definida não contenha qualquer dos 7 anteriores, e seja reversa com qualquer reta definida pelos mesmos 7 pontos. Quantos tetraedros distintos podemos formar com vértices nos pontos considerados? 91 5) De quantas formas são disponíveis 8 alunas numa mesa retangular, sendo as cabeceiras reservadas a duas alunas insuportáveis, e as seis outras alunas ocupando, em número igual, os outros lados da mesa? 28800 6) Calcular as maneiras possíveis de dividir 8 objetos em 4 grupos de 2 objetos. 8!/8.(2!)4 7) A guarnição de uma canoa deve ser tripulada por 8 marinheiros. Destes apenas um rema do lado esquerdo e dois remam somente do lado direito. Calcule os modos pelos quais tal guarnição pode ser organizada. 5760 8) Três alunos e três alunas pretendem jogar baralho utilizando uma mesa retangular cujas cadeiras estão dispostas 3 de cada lado. Calcular de quantas maneiras distintas, alunos e alunas podem sentar-se em torno de tal mesa de modo a não ficar aluna alguma de lado de um aluno? 72 9) Num colégio, 10 professores costumam tomar a refeição juntos, tanto no almoço como na janta. Usam uma mesa redonda para isso. A partir de certo dia decidem mudar de lugar diariamente na janta e no almoço. Determinar quantos dias são exigidos para cumprir totalmente tal propósito. 181.440 10) De quantas maneiras distintas podem tomar assento ao redor de uma mesa retangular de seis cadeiras, 3 de cada lado, 3 engenheiros e 3 médicos, permanecendo os engenheiros e os médicos sempre juntos? 72 11) De quantas formas distintas três alunas e quatro alunos podem sentar-se ao redor de uma mesa, não ficando um aluno junto de uma aluna? 144 12) O presidente p de um grêmio estudantil convida 7 membros da diretoria: a, b, c, d, e, f, g, para um almoço em mesa redonda. O presidente sabe que o membro a suporta b e c somente quando esses dois membros estão juntos; estando os membros separados, a não deve permanacer junto de nenhum deles. Determinar de quantas formas o presidente p pode tomar assento à mesa com seus colaboradores. 2880 13) Das combinações simples n a n de m elementos considerados: I) quantas contêm k, sendo k ≤ n, determinados de tais elementos? II) quantas contêm pelo menos um dos k elementos? I) Cm – k, n – k, II) Cm, n – Cm – k, n 14) Verificar em quantos zeros termina 1.000.000!. 249.998 15) De quantos modos podemos distribuir dez cartas de um baralho a dois parceiros, podendo receber quantidades desiguais de cartas, sendo que cada um deve receber ao menos uma carta? 1022 1 MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com Divulgue. ASSUNTO - Exercícios de Combinatória 16) Quantos embrulhos é possível formar com cinco livros de matemática, três de física e dois de química, não sendo diferentes os livros da mesma matéria? 71 17) De quantos modos n pessoas podem sentar-se em n cadeiras enfileiradas a) sem restrições? b) ficando A e B sempre juntas? c) sem que A e B fiquem juntas? d) ficando A, B e C juntas? e) ficando A, B e C juntas, e D e E separadas uma da outra? a) n!, b) 2.(n – 1)!, c) (n –2).(n –1)!, d) 6.(n – 2)!, e) 6.(n – 4)(n – 3)! 18) Em uma urna há 2n bolas, numeradas de 1 a 2n. Sacam-se, uma a uma todas as bolas da urna. a) de quantos modos se pode esvaziar a urna? b) quantos são os casos em que os k últimos números (k < 2n) aparecem nas k últimas sacadas? c) quantos são os casos em que as bolas de número ímpar aparecem nas sacadas de ordem par? a) (2n)!, b) (2n – k)!k!, c) (n!)2 19) De quantos modos se pode iluminar uma sala com n lâmpadas. 2n – 1 20) Em um congresso de professores há 30 professores de Física e 30 de Matemática. Quantas comissões de oito professores podem ser formadas: a) sem restrições; b) havendo pelo menos três professores de Física e três de Matemática? a) C60, 8, b) 2.C30, 3.C30, 5 + (C30, 4)2 21) Dados n pontos distintos de uma circunferência, quantos são os polígonos que podemos formar, convexos, cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? 2n – (Cn, 0 + Cn, 1 + Cn, 2) 22) Dados n pontos de um plano, não havendo 3 colineares, quantos são: a) os segmentos de reta cujas extremidades são escolhidas entre esses pontos? b) os triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? c) os quadriláteros cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? d) os polígonos de n lados cujos vértices são esses pontos? e) os pontos de interseção das retas formadas por esses pontos, excluindo desse número os n pontos dados? a) Cn, 2; b) Cn, 3; c) 3Cn, 4; d) (n – 1)!/2; e) 3Cn, 4 23) Dados 7 pontos distintos de uma circunferência, quantos são os polígonos que podemos formar cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? 1172 24) São dados n > 4 pontos coplanares, dos quais k > 1 estão sobre uma reta e (4 + k ≤ n), e entre os demais não há 3 alinhados entre si. Pede-se: a) o total de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos; b) o total de quadriláteros com vértices nos pontos dados. a) (n – k)Ck, 2 + kCn-k, 2 + Cn-k, 3 (= Cn, 3 – Ck, 3 para n ≥ 3); b) 3[Cn-k, 4 + kCn-k, 3 + Ck, 2.Cn-k, 2] 25) São dados m > pontos distintos sobre uma reta r, e k > 1 pontos distintos sobre a reta s paralela a r. a) quantos triângulos podem ser formados com vértices nestes pontos? b) quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices nestes pontos? a) mCk, 2 + kCm, 2; b) Ck, 2.Cm, 2 26) Um total de 28 apertos de mão foram trocados no fim de uma festa. Sabendo que cada pessoa cumprimentou todas as outras, pergunta-se o no de pessoas presentes à festa. 8 27) De quantos modos se pode preencher um cartão da loteria esportiva (13 jogos) com: a) 13 palpites simples; b) 2 palpites duplos e 11 simples; c) 3 palpites triplos e 10 simples; d) 3 palpites duplos e 10 simples; d) 3 palpites duplos, 2 triplos e 8 simples? a) 313; b) C13, 2.313; c) C13, 3.310; d) C13, 3.C10, 2.311 2 3!. C6.3!.C10. usando sete cores diferentes. 2 + C5.C12. 2. 3. a) 2!. b) 3985. 3.5! 32) De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirâmide pentagonal regular. c) 80. com 4 cores diferentes. com 20 cores diferentes. sendo m mulheres de alturas diferentes e h homens também de alturas diferentes.2!.5!. b) 7. 6 35) Dada a equação x + y + z = 20: a) quantas são as soluções inteiras positivas?.(6!)2. c) 11. sendo cada face de uma cor? 4!.C15. mas cada homem sentando ao lado de sua esposa?. b) 2. usando seis cores diferentes. b) C22. de modo que as pessoas do mesmo sexo fiquem em ordem crescente de altura? (m + h)!/m!h! 30) A figura abaixo representa 17 ruas que se cortam perpendicularmente.C6. sendo oito verticais. c) dodecaedro regular. 2 + C3. c) não sentando juntos dois homens e nem um homem com sua esposa? a) 5!6!.4!. ASSUNTO . 2 34) De quantos modos se pode pintar um: a) tetraedro regular. 2 + C2.5!. b) não sentando juntos dois homens. 2 = 35 37) Quantas soluções inteiras da equações 3 .C18. d) icosaecaedro regular. Quantos caminhos mínimos uma pessoa pode percorrer para ir do ponto A ao ponto B: a) sem restrições? b) sem passar por C? c) sem passar por C e D? d) sem passar por c ou D? B D C A a) 6435. distribuindo-se cinco cartas a cada um dos quatro parceiros.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Quantas distribuições diferentes podem ocorrer? 32!/(12!)(5!)4 29) De quantos modos diferentes podem ser colocados em fila m + h pessoas. 31) De quantos modos seis casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular: a) não sentando juntos dois homens?. b) octaedro regular. d) 2865.C7. d) 19. usa-se um baralho de 32 cartas.Exercícios de Combinatória 28) Num jogo de pôquer. 2 + C4. 2 36) Calcular o número de soluções inteiras não negativas da inequação x + y + z < 5.com Divulgue. c) 5035. com 8 cores diferentes.2!. b) quantas são as soluções inteiras nãonegativas? a) C19. sendo cada face de uma cor? 6. com 12 cores diferentes.estudanteolimpico.4! 33) De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirâmide pentagonal regular. 3. 5. 000 inclusive possuem a soma de seus dígitos igual a 13? C18. 3 49) Determine a fórmula para o número de solução não-negativas de x + y + z + w = m satisfazendo: a) x ≥ c1.000 tem soma de algarismos igual a 5? E soma menor do que 5? a) 252.000. 5 = 5985 45) Prove que o número de soluções inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 = 9 é igual ao número de soluções inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9. y < 6.000 inclusive possuem a propriedade de apresentarem pelo menos 2 dígitos consecutivos iguais? 1. 5 46) Qual o número de soluções inteiras maiores do que 7 de x + y + z + w = 100? 47) Determine o número de soluções inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 50 se: a) x5 > 12. se não devem existir 2 homens em assentos consecutivos? 3!. 5 52) De quantas maneiras é possível separar n.000. a) Cm – c1 + 3. De quantos modos uma pessoa pode escolher 6 sorvetes.Exercícios de Combinatória x + y + z + w = 48 existem. 4 48) Determine o número de soluções inteiras não-negativas de x + y + z + w = 20 se: a) x ≥ 6. satisfazendo as condições x > 5.com Divulgue. a) C17. se cada casal deve ficar junto e não devem existir 2 homens em assentos consecutivos? 3! 44) Quantos termos possui a expansão de (x + y + z)n? Cn + 2. b) C30.000.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. z > 7 e w > 8? 1330 38) Calcule o número de soluções inteiras maiores que – 4 da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 1. 3 50) Das soluções inteiras positivas de x + y + z + w = 26. quantos termos existem no desenvolvimento de (a + b + c + d + e)17? 41) Quantos números inteiros entre 1 e 1. quantas satisfazem x > y? (2300 – 144)/2 = 1078 C71. b) x ≥ 6 e y ≥ 6. 4. b) 208. 3 51) Quantos inteiros entre 1 e 1. 3. 5 – 6C8. C8. 3. 2 C21. 3 = C8. a) C37. 6 = 8008 40) Reduzidos os termos semelhantes. ASSUNTO . não necessariamente de sabores diferentes? C10. 42) De quantas formas 4 homens e 4 mulheres podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda. b) x ≥ c1 e y ≥ c2.j)!/[(j!)nn!] 53) Quantos inteiros entre 1 e 1.j objetos distintos em n caixas contendo cada uma j objetos? (n.4! 43) De quantas formas 4 casais (4 homens e 4 mulheres) podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda.estudanteolimpico.000 – (96 + 95 + 94 + 93 + 92 + 9) = 402130 4 . b) x5 > 12 e x4 > 7. b) C11.000. b) Cm – c1 – c2 + 3. 560 39) Uma sorveteria tem sorvetes de 11 sabores diferentes. 9. 3. respectivamente. Em quantas regiões fica dividido o plano pelas n retas? (n2 + n)/2 56) Um grupo de k retas paralelas intercepta outro grupo distinto de m retas paralelas. Quantos triângulos com vértices nos pontos marcados podemos formar? 333 64) Quantos números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos distintos? 328 65) O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B 7 elementos. 9. 3 + (100)3 59) Demonstre que: (n!)2/(n – 1)! = (n + 1)! – n! 60) Demonstre que: 1 1 n − = . 7. 5 e 6 pontos.C100. 3. não existindo duas retas paralelas. 5. Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é de copas.com Divulgue. Em quantas regiões fica dividido o plano? (m + 1)(k + 1) 57) Se n dados idênticos são jogados. 6. 5. …. 4. 7 de todas as maneiras possíveis. 2) não existem três retas concorrentes no mesmo ponto. ASSUNTO .MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Entretanto. 6 exemplares iguais da revista B e 10 exemplares iguais da revista C. quantos resultados distintos são possíveis? (Um resultado é considerado idêntico a outro se apresenta o mesmo número de uns. 2. concorrentes num mesmo ponto. n! (n + 1)! ( n + 1)! 61) Demonstrar que: 1 2 3 n 1 + + + . 7. a segunda é um rei e a terceira não é uma dama? 2350 69) Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos) dos números 1. Qual a soma dos números formados? 63) Sobre os lados de um triângulo marcam-se 3. b) 840 66) De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de xadrez (8x8) de modo que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna? 40320 67) Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A.Exercícios de Combinatória 54) Considere n retas num plano satisfazendo as seguintes condições: 1) não existem duas retas paralelas. Em quantas regiões fica dividido o plano pelas n retas? (n2 + n + 2)/2 55) Considere n retas num plano.. Quantas coleções não-vazias de revistas dessa banca é possível formar? 461 68) De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposição três cartas. 9? 48 5 .. …. 300 de tal modo que sua soma seja divisível por 3? 3.estudanteolimpico. e somente três. a) Quantas são as funções f: A→B? b) Quantas são as funções injetoras f: A→B? a) 2401. Cn + 5. o mesmo número de dois. existem três retas. 5 58) De quantas formas diferentes três números podem ser selecionados entre os números 1. + = 1− 2! 3! 4! (n + 1)! (n + 1)! 62) Permutam-se os algarismos 1. o mesmo número de seis). Como 0. b) 15. De quantos modos os passageiros podem se sentar. Quantas “palavras” existem no código morse? 30 74) Escrevem-se números de cinco dígitos (inclusive os começados por zero) em cartões. 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo e como 6 de cabeça para baixo se transforma em 9. 06198 e 86190).com Divulgue. Quantas rotas livres de auto-interseções (que não passa por um ponto duas ou mais vezes) há entre A até B? 2048 A B 72) Em um concurso há três candidatos e cinco examinadores. devendo cada examinador votar em um candidato. respeitando as preferências? 43200 71) Há duas estradas principais da cidade A até a cidade B. De quantos modos os votos podem ser distribuídos? 243 73) O código morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. c) 48. De quantos modos essa comissão pode ser formada? 627 76) a) Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720? b) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? c) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos? d) De quantos modos 144 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? a) 2418.Exercícios de Combinatória 70) Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais. países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de λ cores diferentes? b) Qual o menor valor de λ que permite colorir o mapa? a) λ(λ – 3)(λ2 – 3λ + 3). De 10 passageiros.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. ligadas por 10 estradas secundárias. 4 preferem sentar na frente. 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. um só cartão pode representar dois números (por exemplo. d) 8 77) A figura abaixo mostra um mapa com 4 países a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma cor. como mostra a figura abaixo. ASSUNTO . Deve-se formar uma comissão de modo que todos os estados e o Distrito Federal estejam representados por 1 ou 2 senadores. Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os números de cinco dígitos? 98475 75) No Senado Federal. as “letras” sendo ponto ou traço. sendo 5 na frente e 5 de costas.estudanteolimpico. o Distrito Federal e os 26 estados da federação têm 3 representantes cada. b) 2 78) Refaça o problema anterior para o mapa abaixo: 6 . 4 zagueiros. 2. n nas quais o elemento que ocupa a k-ésima posição é maior que k – 3. c) 7983360. quantas são as funções f: A→B bijetoras? n! 81) Quantas são as permutações dos números (1. …. b) números de 1 a 8. c) 792. …. b) 1806 80) Se A é um conjunto de n elementos. 10) nas quais o 5 está situado à direita do 2 e à esquerda do 3. 7 meios de campo e 4 atacantes. e) 3360. octaedro regular. prisma hexagonal regular. ASSUNTO . dodecaedro regular. d) 51975 83) Delegados de 10 países devem sentar-se em 10 cadeiras em fila. Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre essas faces? 720 85) Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces indistinguíveis de um cubo de madeira? 30 86) Resolva o problema anterior para: a) números de 1 a 4. 4 meios de campo e 2 atacantes? 6300 7 . 2.4n – 3 88) Quantas são as permutações simples dos números 1. f) números de 1 a 5. 6 zagueiros. d) 20!/60. f) 30 87) Quantas são as permutações simples dos números 1. e) números de 1 a 8. …. para todo k? 6.3n – 2 89) Para a seleção brasileira foram convocados 2 goleiros. b) 4 79) a) De quantos modos é possível colocar um rei negro e um rei branco em casas não adjacentes de um tabuleiro de xadrez (8x8)? b) Qual seria a resposta se fossem dois reis brancos iguais? a) 3612. c) números de 1 a 12.com Divulgue. n nas quais o elemento que ocupa a k-ésima posição é inferior a k + 4.estudanteolimpico. a) 2. b) 5775. tetraedro regular. b) 1680.Exercícios de Combinatória a) λ(λ – 1)(λ – 2)(λ – 3).MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. para todo k? 2. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e do Iraque e dos Estados Unidos não podem sentar juntos? 564480 84) Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. embora não necessariamente em lugares consecutivos? 604800 82) De quantos modos podemos dividir 12 pessoas: a) em dois grupos de 6? b) em três grupos de 4? c) em um grupo de 5 e um grupo de 7? d) em seis grupos de 2? e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2? a) 462. icosaedro regular. 2. d) números de 1 a 20. De quantos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro. prisma quadrangular regular. Exercícios de Combinatória 90) Quantas diagonais possui um polígono de n lados? n(n – 3)/2 Cn. Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C? 1085 97) São dados.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abrí-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. d) 2Cp – 1. Determine o número de funções f: A→B sobrejetoras para: a) p = n. a) Quantos são os pontos de interseção dessas diagonais? b) Quantos desses pontos de interseção são interiores ao polígono? Quantos são exteriores? a) n(n3 – 10n2 + 35n – 34)/8. durante 7 dias consecutivos. a) Qual é o número mínimo possível de cadeados? b) Na situação de ítem a. n – 2 + Cn – 2. 91) Sejam Im = {1. com m ≤ n. b) (n + 1)!n/2. c) pelo menos um dos elementos a1. p – 2 = Cn. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar? 151200 101) As casas lotéricas costumam oferecer a seus clientes a oportunidade de participarem dos chamados jogos com sena fechada. an} nos quais: a) a1 figura. 2. então eles são pontos de C1. …. p – 1. a2 figura. ASSUNTO . d) exatamente um dos elementos a1. n pontos tais que entre as retas por eles determinadas não há duas retas paralelas nem três retas concorrentes. c) a1 e a2 figuram. m} e In = {1. …. subconjuntos com p elementos) de {a1. b) Cn – 1. 2.estudanteolimpico. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos.com Divulgue. se cada um deve convidar 6 pessoas? 267148 93) a) Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes e o dígito 8 exatamente 2 vezes? b) Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes? a) 12960 b) 14976 94) Quantos são os p-subconjuntos (isto é. p. Quantas são as funções f: Im→In estritamente crescentes? m 92) Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. a) n!. a2. e) 2Cn – 2. c) (n + 2)!n(3n + 1)/24 96) Considere um conjunto C de 20 pontos de espaço que tem um subconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. p = n + 2. p – Cn – 2. Por questões de segurança. no plano. Quantos são os pontos de interseção dessas retas que são distintos dos pontos dados? n(n – 1)(n – 2)(n – 3)/8 98) Considere um polígono convexo de n lados e suponha que não há duas de suas diagonais que sejam paralelas nem três que concorram em um mesmo ponto que não seja vértice. que constituem na escolha de um certo número n de dezenas (6 < n ≤ 50) e na realização de todos os Cn. n}. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos. a) Cn – 1. p – 1 95) O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos. a2 figura. p – 2. p. um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo. b) n(n – 1)(n – 2)(n – 3)/8 interiores e n(n – 3)(n – 4)(n – 5)/12 exteriores 99) Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de C são coplanares. 7 jantares para 3 alunos cada. c) Cn – 2. b) 70 100) Depois de ter dado um curso. …. b) p = n + 1. b) a1 não figura. 6 jogos 8 . quantas chaves cada cientista deve ter? a) 126. (n – 2)!. b). Se as seis dezenas sorteadas estiverem entre essas 15. b > 0 e c > 0? (a + b + c)!/a!b!c! 9 . a) 28. b) p!(n – p)! 106) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher? (n – 1)!. lado a lado. y + 1. 0. x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.estudanteolimpico. onde a > 0 e b > 0? (a + b)!/a!b! 111) Uma partícula estando no ponto (x. b) Determine quantos professores há em cada banca. y.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. quantos são os modos possíveis dos carros ocuparem as n vagas? 2n – 1 104) Em uma escola. b) 8 105) De quantos modos n crianças podem formar uma roda de ciranda de modo que duas dessas crianças permaneçam juntas? E de modo que p (p < n) dessas crianças permaneçam juntas? a) 2. chegar ao ponto (a. z) ou para o ponto (x. partindo do ponto (0. quantas quadras e quantas quinas esse apostador irá acertar? 54 quinas. 540 quadras 102) No quadro abaixo.com Divulgue. a) Calcule x. c). y). b. z). Considere um apostador que participa de um jogo desse tipo realizado com 15 dezenas. Quantos n-ágonos (não necessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos? (n – 1)!/2 109) Quantos dados existem se a soma das faces opostas deve ser 7? 2 110) Uma partícula estando no ponto (x. ASSUNTO . pode mover-se para o ponto (x + 1. onde a > 0. 0) . pode mover-se para o ponto (x + 1. z + 1). z ) ou para o ponto (x. Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar para. y) ou para o ponto (x. chegar ao ponto (a. além de acertar a sena.Exercícios de Combinatória possíveis com essas n dezenas. partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo? M M A M A T M A T E M A T E M M A T E M A M A T E M A T M A T E M A T I M A T E M A T I C M A T E M A T I C A 512 103) Suponha que n carros estão em fila para entrar em um estacionamento que possui n vagas. de quantos modos é possível formar a palavra “MATEMÁTICA”. Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar para.2n 107) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas? 2. partindo do ponto (0. 0) .(n – 1)! 108) São dados n pontos em círculo. y. Se o 1o carro pode escolher qualquer vaga e cada um dos outros carros ao estacionar deve justapor-se a um carro já estacionado. y. y + 1). 5. quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não consecutivos do decágono? 50 127) De quantos modos podemos formar uma seqüência de p elementos iguais a 1 e q elementos iguais a 0 se dois elementos iguais a zero não podem ser adjacentes? 10 . 2. b) n![1/0! – 1/1! + 1/2! – … + (– 1)n/n!] 121) Quantas são as permutações de (1. 2. 6) nas quais nem o 4 ocupa o 4o lugar nem o 6 ocupa o 6o lugar. n. 4. …. Quantas são as funções f: Im→In não decrescentes? (m + n – 1)!/(n – 1)!m! 113) Os números inteiros compreendidos entre 1000000 e 999999 são divididos em classes de modo que dois números diferentes estão na mesma classe se e só se eles têm os mesmos algarismos. por exemplo. nem o par 23. ….estudanteolimpico. 3. 150} de modo que a soma dos números escolhidos seja divisível por 3? E se os números devessem ser distintos? a) 191300. 7) que têm exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo? 315 122) De quantos modos é possível colocar 8 torres brancas em um tabuleiro de xadrez 8x8 de modo que nenhuma torre fique na diagonal branca e não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? 14833 123) As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. 2. 3.k (n − k )! 120) Suponha que o número de elementos do conjunto A é n. não necessariamente distintos. ASSUNTO . n}. Quantos são os modos de escolher os dias de aula. …. 6. Assim. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? 45360 126) Dado um decágono. diferindo apenas na ordem. 2. Quantas classes são assim formadas? 5004 114) Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x + y + z + w = 20 nas quais x > y? 825 115) Quantos inteiros entre 1 e 1000000. durante um semestre.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. De quantos modos é possível escolher os dias das provas de modo que não haja provas em dias consecutivos? 10 124) Hugo deve ter aula de tênis três vezes por semana. b) 183800 117) Determine o número de permutações de (1. …. 2. m} e In = {1.Exercícios de Combinatória 112) Im = {1. 504 118) Quantos inteiros entre 1 e 1000000 não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos? 998910 119) Determine o número de permutações de (1. no conjunto {1. 2. ∑ (−1) k =0 n −1 k C n −1. se Hugo não deseja ter aulas em dias consecutivos? 7 125) 5 pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa circular.com Divulgue. inclusive. 4. 552221 e 125252 estão na mesma classe. n) nas quais não figuram (em posições consecutivas e na ordem dada) nem o par 12. …m nem o par (n – 1). Quantas são as funções f: A→A para as quais a equação f(x) = x não possui solução? Quantas são as funções f: A→A bijetores para as quais a equação f(x) = x não possui solução? a) (n – 1)n. têm a propriedade: “cada dígito é menor ou igual ao seu sucessor”? 2001 116) De quantos modos podemos escolher 3 números. 5. q elementos iguais a 1 e r elementos iguais a 0 se dois elementos iguais a zero não podem ser adjacentes? Cp + q. em frente a cada uma das cadeiras. 4. 3.Exercícios de Combinatória (p + 1)!q!(p – q + 1)! 128) De quantos modos podemos formar uma seqüência de p elementos iguais a 12. 6. 138) Determine o numero de permutações das letras aabbccdd nas quais não há letras iguais adjacentes.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. 135) 63127 candidatos comparecem a uma prova do vestibular (25 questões de múltipla-escolha com 5 alternativas por questão). E E partindo do H e movendo-se de uma letra X X X somente para as letras diretamente abaixo A A A A na esquerda ou direita. 5.10) nas quais os números 1. o nome de 15 convidados. 2. 3.. 4.estudanteolimpico. Prove que a mesa pode ser girada de forma que pelo menos dois convidados fiquem corretamente sentados. ASSUNTO . 7) que exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo? 142) Quantas são as permutações de (1. 20 G G G O O N 132) Mostre que. p.. 2. 11 .. 2n) nas quais nenhum numero ímpar ocupa o seu lugar primitivo. 2. 140) Prove que. Qual é o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmação acima é verdadeira? 6 137) Quinze cadeiras estão colocadas ao redor de uma mesa circular e sobre esta estão colocados. . 139) Quantas são as permutações de (1.(Dn – 1 + Dn – 2) 141) Quantas são as permutações de (1. Ao chegarem. 8. 5.com Divulgue. 6. 9. r 129) De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjacentes? (11!)2/10 130) Nós temos um quadrado formado por 4 fileiras cada uma com 4 pontos. 7. de quantas formas H é possível formar a palavra HEXAGON. 3. Dn = (n – 1). prove que existe um par de pontos cuja distância é menor de que 2.Cp + q + 1. os convidados não percebem isto e nenhum senta-se em frente ao seu nome. 4. 133) Dados 5 pontos sobre uma circunferência de raio 1. há dois pontos cuja distância é menor ou igual a 2 . 3. em qualquer conjunto de 10 pontos interiores de um quadrado cujos lados medem 3 unidades. 2. 5 ocupam em alguma ordem os cinco primeiros lugares . Considere a afirmação: “Pelo menos dois candidatos responderam de modo idêntico as k primeiras questões da prova”. Quantos triângulos existem com vértices nos pontos? (Os três vértices não podem estar em uma mesma linha) 560 131) No esquema ao lado. se n ≥ 3 . A7: cinco iguais. 2. 4500 lêem A e C. 7000 lêem A e B. P(A5) = 25/648.. A3: dois pares. P(A4) = 24/162. 0. P(A2) = 25/54. a) (b – 1). Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada. B e C. . formando um número de cinco algarismos. 8000 lêem B. P(A6) = 25/1296. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita. 4. Calcular as probabilidades de Ai. Qual é a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam parte do mesmo grupo. b) só um jornal. Supondo que elas se sentarem aleatoriamente nas 10 cadeiras. A5: três iguais e dois iguais.000 habitantes de 3 jornais A. 2. Uma pesquisa de opinião revela que: 1200 lêem A. P(A1) = 5/54. P(A8) = 5/162 3) Uma cidade tem 30. ASSUNTO . 6000 lêem C. A8: uma seqüência. A6: quatro iguais. 12 . a) 7/15 b) 1/12 4) Os algarismos 1.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www.com Divulgue.(b – 1)!/(2. 8. 1000 lêem B e C. a) Calcular a probabilidade de que o número escrito seja par. 500 lêem A. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa. B e C. 5. P(A7) = 1/1296. são escritos em 5 cartões diferentes. 4/9 7) Cinco homens e cinco mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro. Uma amostra de 10 peças é extraída.. Qual é a probabilidade de que um habitante leia: a) pelo menos um jornal. P(A3) = 25/108.. A4: três iguais. A2: um par.Exercícios de Combinatória Exercícios de Probabilidade 1) Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. i = 1.999 aproximadamente 2) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em: 2 A1: todos diferentes.estudanteolimpico. calcular: a) A probabilidade de que se sentem em cadeiras alternadas. b) Se a escolha fosse com reposição quel seria a probabilidade? a) 2/5 b) 2/5 5) Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. 3.bb – 2) 6) Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. d) P(A∩B’). b) P(A’).Exercícios de Combinatória b) A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas. d) 3/10. c) 3/4. 0 ≤ k ≤ n. g) P(A’∪B’).com Divulgue. Calcular a probabilidade de obter 12 como soma dos resultados dos 3 dados. Qual a probabilidade de que exatamente k bolas nessa amostra sejam n 1 n 2 k r − k brancas. n r 14) Uma moeda equilibrada (probabilidade de cara = probabilidade de coroa) é jogada n vezes. 63/200 9) Em um armário há n pares de sapatos. f) 9/20. b) 1/2. g) 4/5 13 . Calcular a probabilidade de que seja divisível por 5 ou por 7. Calcular: a) P(A∪A). uma amostra de r bolas. das quais n1 ≥ 1 são brancas e n2 ≥ 1 são pretas com n = n1 + n2. Qual a probabilidade de haver n n − k p − 2 k k p − 2k 2 entre esses pés exatamente k pares de sapatos? 2n p 10) Aos números inteiros entre 1 e n são designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. n k 2n 15) Sejam A e B eventos tais que: P(A) = 1/2. f) P(A’∩B’). Calcular P(i) para 1 ≤ i ≤ n. P(B) = 1/4 e P(A ∩B) = 1/5. e) 1/20. Calcular a probabilidade de obter 7 como soma dos resultados. Retiram-se ao acaso p pés de sapatos desse armário. Calcular a probabilidade de obter-se exatamente k caras. com r ≤ n1 e r ≤ n2.estudanteolimpico. c) P(B’). a) 1/126 b) 1/42 8) Um número entre 1 e 200 é escolhido aleatoriamente. ao acaso. ASSUNTO . 1/6 13) Consideremos uma urna contendo n bolas. 25/216 12) Dois dados são jogados simultaneamente. Escolhe-se.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. se 0 ≤ k ≤ r. 2i/n(n + 1) 11) Três dados são jogados simultaneamente. e) P(A’∩B). a) 11/20. 7/8 24) Jogue um dado duas vezes. 3/16 23) Uma moeda é jogada 4 vezes. II e III contêm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas. 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. sabendo que a soma dos resultados foi 7. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor: a) supondo a extração com reposição.-50. calcular a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras. examinando-a. d) a Sena Anterior ou Posterior. Determine a probabilidade de um apostador fazer: a) uma quadra. O apostador escolhe 6 dessas 50 dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadras). A máquina A produz 1000 peças. das quais 1% são defeituosas.estudanteolimpico. a) 66/264845 b) 22/1324225 c) 1/15890700 d) 1/7945350 18) Um carro estaciona entre n outros em fila e não numa ponta. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu coroa. c) A Sena Principal. qual é a probabilidade de haver exatamente m pessoas entre João e Pedro? 2/n(n – 1) 20) Em uma roda são colocadas. 5 (quinta). Qual é a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas ficarem juntas? 2/(n – 1) 21) Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50. ao acaso. Da produção total de um dia uma peça é escolhida ao acaso e. são postos ao acaso em uma fila. n pessoas.. 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II? 5/12 14 . entre os quais João e Pedro. a) 10/81.com Divulgue. Calcule a probabilidade que no primeiro de obter 3 na primeira jogada.. b) uma quina. A máquina B produz as restantes 2000. Quando o dono retorna ainda estão estacionados m dos n carros. 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas ou se as dezenas sorteadas são escolhidas aumentadas (Sena Anterior) ou diminuídas (Sena Posterior) de uma unidade (50 + 1 = 01.Exercícios de Combinatória 16) Uma urna contém 4 bolas brancas. 1/6 25) Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Se o número é primo qual é a probabilidade de que seja ímpar? 14/15 22) Uma moeda é jogada 6 vezes. das quais 3% são defeituosas. calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos seis lançamentos supere o número de coroas. Qual é a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A? 3/5 26) Três urnas I. ASSUNTO . que é branca.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Sabendo que no primeiro resultado foi cara. 01 – 1 = 50). b) 2/77 17) No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01-02-. b) supondo a estração sem reposição. Qual é a probabilidade das duas vagas adjacentes ao seu carro estarem vazias? (n – m)(n – m – 1)/n(n – 1) 19) Se n homens. constata-se que é defeituosa. 6 e não há empates. 30) Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. qual é a probabilidade de que uma pessoa ter a doença dado que o seu exame foi positivo? 95/294 34) 2n jogadores de tênis de igual habilidade disputam um torneio. 31) Determine a probabilidade de obter: a) ao menos um 6 em quatro lançamentos de um dado. e jogadores de um mesmo grupo jogam entre si. 38) Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. ASSUNTO . Lançando-a 12 vezes.5% da população tem a doença.estudanteolimpico. se k < n. haver pelo menos um canhoto? 1 – 0. qual é a probabilidade de que ele saiba a resposta? 4/7 28) Se A e B são eventos independentes tais que P(A) = 1/3 e P(B) = 1/2. Qual é a probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos três somas iguais a 3? 243/256 39) Uma moeda tem probabilidade 0. e nos outros casos decide na cara ou coroa. Qual é a probabilidade de A ganhar a a série? aproximadamente 0. Qual é a probabilidade de. Se uma questão foi respondida corretamente. Se 0. Os perdedores são eliminados e os vencedores são divididos novamente em grupos de 2 e assim por diante até restar apenas um jogador que é proclamado campeão. Ela sabe dar a solução correta para 40% das questões. A vence B). Sejam A e B os eventos: A: cara na primeira jogada.63 37) Motores de avião funcionam independentemente e cada motor tem uma probabilidade p de falhar durante um vôo.4 de dar cara. Um avião voa com segurança se a maioria de seus motores funciona. qual o mais provável valor do número de caras obtidas? 5 1/9 a) 2/3 15 . A probabilidade de A ganhar uma partida é 0. os jogadores tem habilidades diferentes e não há surpresas nos resultados (se A é melhor que B.910 33) Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. a) 671/1296 b) 1 – (35/36)24 32) A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. ao acaso. Calcule P(A∪B). 1/2n – 1 se k = n 35) Em um torneio como descrito no exercício anterior. b) 5/6 29) Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A) = 1/4 e P(A∪B) = 1/3.Exercícios de Combinatória 27) Um estudante resolve um teste com questões do tipo verdadeiro-falso. dá a resposta correta. Para que valores de p um avião com 3 motores é preferível a um avião de 5 motores? p < 1/2. Qual é a probabilidade do segundo melhor jogador ser vice-campeão? 2n – 1/2n – 1 36) Dois adversários A e B disputam uma série de 10 partidas. Verifique que A e B são independentes. b) ao menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um dado. em um grupo de 10 homens. Eles são divididos em grupos de 2.com Divulgue. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1% das pessoas sadias testadas. Qual é a probabilidade de dois jogadores A e B se enfrentarem durante o torneio? Qual é a probabilidade do jogador A jogar exatamente k partidas? a) 1/2n – 1 b) 1/2k.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Calcule P(B). P(A’∪B’) e P(A’∩B). B: cara na segunda jogada. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece. .. 8) a) Dado um conjunto de 101 inteiros positivos.. 2X..estudanteolimpico. tais que ak + 1 + ak + 2 + .. não todos iguais a zero e de valor absoluto menor do que um milhão. que eles determinam. 10) Um paciente deve tomar 48 pílulas em 30 dias. 3) Seja X real. no total.. x 13) Dado um conjunto de dez naturais entre 1 e 99 inclusive. 3X. y. menores ou iguais a 200. Prove que dentre os números X. tal que nenhum membro deste conjunto divida outro membro do conjunto. . a2..com Divulgue.. am... podemos escolher yi e yj (i ≠ j). + al é divisível por m. c) Prove que se escolhermos 100 elementos do conjunto {1.. b) Construa um conjunto de 100 inteiros positivos.. . 3 2) Escolhem-se aleatoriamente 1985 pontos interiores a um cubo de aresta unitária. dados m inteiros a1. é menor que 8 3 . .. Prove que há um período de dias consecutivos no qual ele joga exatamente 20 vezes. tal que y 1< ≤ 2 . 2. somente r primos. tais que 0 ≤ yi − y j 1 + yi y j ≤ 1 3 1 . 11) Durante um treinamento um jogador de xadrez joga pelo menos uma vez por dia e não mais do que 12 dias por semana. mostre que pelo menos um membro deste conjunto deve dividir outro membro do conjunto. tais que a3b – ab3 é um múltiplo de 10.. 16 . nenhum dos quais excede 200. (n – 1)X existe um que difere de um inteiro por no máximo 4) Prove que existem inteiros a. 5) Prove que. y2. n . . 12) Mostre que entre sete inteiros positivos distintos menores do que 127 podemos escolher um par. existem k e l (1 ≤ k ≤ l ≤ m). prove que há dois subconjuntos disjuntos não vazios cujas somas de seus elementos são iguais. Prove que há um subconjunto destes inteiros cujo produto é um quadrado perfeito. 7) Prove que. provar que sempre é possível dois dentre eles. 6) Dados três inteiros distintos. digamos a e b. 200} e um deles for menor que 16. y7. Mostre que é sempre possível selecionar 32 destes pontos de forma que o perímetro do 32-ágono. tomando pelo menos uma pílula por dia. então pelo menos um membro deste subconjunto deve dividir outro membro do conjunto. tais que a + b 2 + c 3 < 10 −11 . Demonstre que existe uma seqüência de dias durante os quais ele toma exatamente 11 pílulas. digamos x.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. b e c. Mostre que duas 3 destas flechas estão a uma distância de no máximo uma da outra.Exercícios de Combinatória Exercícios de Olimpíadas de Matemática 1) Dezenove flechas são arremessadas sobre um alvo com o formato de um hexágono regular de lado 1. 9) As fatorações de r + 1 inteiros positivos (r ≥ 1) envolvem. ASSUNTO . entre 7 reais y1. 23) Suponha que temos 27 números positivos ímpares menores que 100. 20 livros de Espanhol. Considere a afirmação: “Pelo menos dois candidatos responderam de modo idêntico as k primeiras questões da prova”. Resolução: Pelo PCP.com Divulgue. Solução: Temos no total 15 disposições distintas. Mostre que existe um par de números cuja soma é 102.Exercícios de Combinatória 14) Prove que qualquer conjunto formado por sete inteiros positivos menores ou iguais a 24 possui dois subconjuntos de mesma soma. o nome de 15 convidados. Como é dado que na disposição inicial o número de acertos é 0. girando a mesa 15 vezes teremos também 15 acertos. 2 pontos por cada vitória. 8 livros de Alemão. Ao chegarem. Mais de 75% dos jogos deste torneio terminaram empatados. e todos os livros das línguas com menos de 12 livros (Francês e Alemão). para garantir que saia o 12o livro de uma mesma língua (lembremos que já temos 11 livros destas línguas). O número total de acertos pessoa-nome é igual a 15. temos que dois pontos devem estar em um mesmo triângulo. então é possível escolher 2 de tal modo que a distância entre eles é menor que 1/2.estudanteolimpico. 0 pontos por derrota). 22) Prove que se existem 5 pontos no interior de um triângulo equilátero de 1. Quantos livros devem ser retirados da caixa (sem reposição) de modo que possamos garantir que foram retirados pelo menos 12 livros de uma mesma língua. Assim. 17) 63127 candidatos comparecem a uma prova do vestibular (25 questões de múltipla-escolha com 5 alternativas por questão). 20) Uma caixa contem 10 livros de Francês. Solução: Notemos que podemos dividir um triângulo equilátero em 4 triângulos equiláteros interiores da seguinte forma: Onde cada lado dos triângulos vale 1/2. Qual é o menor número de piadas que o professor deve saber para poder realizar isto. que deve ser de uma das línguas que ainda sobraram livros (Espanhol. 1 ponto por cada empate. Russo e Italiano). a cada ano. em frente a cada uma das cadeiras. ou seja. 15) Vinte e oito equipes competem em um torneio de futebol de um turno (todos jogam contra todos. Como temos 4 triângulos e 5 pontos. ASSUNTO . 17 . 19) Quinze cadeiras estão colocadas ao redor de uma mesa circular e sobre esta estão colocados. Depois de 12 anos. Prove que existem duas equipes que encerram o torneio com o mesmo número de pontos. Qual é o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmação acima é verdadeira? 6 18) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja soma ou cuja diferença é divisível por 100. o professor ainda não repetiu o mesmo terno de piadas. Prove que a mesa pode ser girada de forma que pelo menos dois convidados fiquem corretamente sentados. todas podendo ser alcançadas girando a mesa 15 vezes.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. devemos ter 11 livros de cada língua com mais de 12 livros (Espanhol. n = 10 + 11 + 8 + 11 + 11 + 1 = 52 21) Um professor conta. A maior distância de dois pontos de triângulo de lado 1/2 é igual a 1/2. 15 livros de Russo e 25 livros de Italiano. demonstre que existem 3 deles que determinam um ângulo menor ou igual a π/n. Russo e Italiano). os convidados não percebem isto e nenhum senta-se em frente ao seu nome. mais 1 livro. 3 piadas em sala de aula. então sobram 15 acertos para 14 giros. implicando que em algum giro teremos dois acertos. 16) Dados n pontos no plano. então teremos certamente dois números de mesmo par (por mais que tenhamos ou não os números 1 e/ou 53). 31) Este é um jogo para dois jogadores. Como são dados 27 números positivos ímpares. Se n é ímpar.. 2.. de acordo com as seguintes regras: Conhecendo-se n2k. c) Suponha agora que. pode-se escolher 2 de modo que a distância entre eles é menor ou igual a 2 . c) nenhum dos jogadores tem estratégia vencedora. tal que n 2 k +1 seja um potência com expoente inteiro e positivo de um primo. B escolhe um 2 inteiro n2k + 2. 2.. No n-ésimo lande (n = 1. 10). . retiram. 53 Assim. a seu critério. Caso contrário.Exercícios de Combinatória Solução: Podemos agrupar os número ímpares de 1 até 99 da seguinte forma: {3. A coloca sua ficha de número n em qualquer casa vazia e B então coloca sua ficha de número n em qualquer casa vazia da fila que não contém a ficha de número n de A. jogando com uma pilha de n palitos de fósforo sobre uma mesa. 24) Os números de 1 a 10 são escritos. 27) Prove que. 26) Mostre que dados 17 números naturais é possível escolher 5 deles cuja soma seja divisível por 5. na segunda fila. 93}. alternadamente. 97}. Justifique a resposta. somando ao todo 26 elementos. em torno de uma circunferência. e B caso contrário. inteiros n1. A ganha o jogo. 4 ou 5 palitos. uma estratégia para vencer? Qual deve ser sua primeira jogada? 18 . dois jogadores. ambas as filas exibirem a mesma ordem relativa. cada um dos quais dispões de dez fichas numeradas de 1 a 10. Ganha quem tirar o último fósforo. A ganha o jogo se conseguir n 2k +2 escolher o número 1990 e B ganha o jogo se conseguir escolher o número 1. a e b. {49. b) B tem uma estratégia vencedora. na primeira fila. 3. ASSUNTO . b) Suponha agora que cada jogador dispões de k fichas numeradas de 1 a k.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. você escolheria ser primeiro ou segundo? E se n é par? 29) Um jogo é disputado por dois adversários.. para todo conjunto de 5 pontos no interior de um quadrado de lado 2. {5. . temos 24 pares somando 102 mais os números 1 e 53. dos jogadores A e B escolhem alternadamente. o inteiro de sua escolha até restarem apenas dois números. 53}. 55}. {7.com Divulgue. as fichas são o conjunto Q dos números racionais e o conjunto Z dos números inteiros. após o décimo lance. 99}. n2. Qual jogador tem uma estratégia vencedora. Cada jogador pode tirar da pilha 1. . A escolhe um inteiro n2k + 1 tal que n 2 k ≤ n 2 k +1 ≤ n 2 k . Determine os valores de n0 para os quais: a) A tem uma estratégia vencedora. O tabuleiro do jogo consiste em duas filas numeradas de 1 a 1492. Conhecendo-se n2k + 1.estudanteolimpico. 30) Dado um inteiro n0 > 1. a) Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora? Justifique a resposta. primeiro A e então B. {47. de ordem aleatória. 1. A vence se a e b são primos entre si. além disso.. A e B. B ganha o jogo se. terá. 28) De uma fileira de n ≥ 12 inteiros positivos consecutivos. o primeiro jogador. Mostre que existem 3 números consecutivos cuja soma é menor que 17. e de 1989. Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora? Justifique a resposta... Solução: 25) Um computador foi usado por 99 horas durante um período de 12 dias.. n3. Para n = 1990. Prove que algum par de dias consecutivos o computador foi usado ao menos 17 horas. 19 . Qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora? 34) Considere o seguinte jogo do qual participam dois jogadores A e B: o jogador A recebe inicialmente o número 2. Dois jogadores brincam da seguinte maneira: os jogadores retiram. Mostre que cada um destes números aparece uma vez na diagonal de A. 41) (Eureka! 5) Considere 9 pontos de coordenadas inteiras no R3. Vence o jogador que escolhe o número 1987. 44) (Eureka! 5) Mostre que em qualquer coleção de n inteiros existe um par cuja soma ou diferença é divisível por n. a2. Três cores (vermelho. exceto que há duas pilhas de fósforos e a cada jogada só é permitido modificar uma das pilhas. então o produto (a1 – 1) (a2 – 2)…(an – n) é par. alternadamente.…. Qual dos jogadores tem a vantagem.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www.an é uma permutação de 1. Ganha quem tirar o último fósforo. O primeiro jogador em sua primeira jogada pode retirar um número arbitrário de pedras. terá. n. O jogador que retira a última pedra vence. 42) (Eureka! 5) Mostre que se n é ímpar e a1. and Computer Den inventou um jogo para duas pessoas. 3. mas menor do que o número anterior. 2. onde d é um divisor positivo de n. verde e amarelo) são disponíveis.estudanteolimpico. O último a jogar vence a partida. Mostre que o ponto médio de um dos segmentos de reta definidos por estes pontos também tem coordenadas inteiras. uma estratégia vencedora para vencer? Qual deve ser a sua primeira jogada? 33) Uma pilha contém 1992 pedras. O número inicial é 2. e qual a estratégia vencedora? 37) Em uma partida dois jogadores escolhem números alternadamente. mas não todas. um número de pedras que divida o número de pedras retiradas pelo seu adversário no movimento imediatamente anterior.….com Divulgue. 35) O proprietário do Wohascum Puzzle.….…. Qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora? 36) Considere o seguinte jogo-de-ligar-os-pontos sobre um reticulado retangular mxn.Exercícios de Combinatória 32) Este jogo é semelhante ao anterior. 2n} então este subconjunto necessariamente contém um par de números primos entre si. Duas arestas com um vértice em comum não podem ter a mesma cor. Game. 40) (Eureka! 5) Mostre que se um subconjunto com n + 1 elementos é escolhido do conjunto {1. 2. menor do que n. 2. Inicialmente todas as arestas do cubo são incolores e cada aresta pode ser pintada uma única vez. pintam as arestas de um cubo. Determine qual dos jogadores possui uma estratégia ganhadora. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: a) As meias retiradas contenham um par da mesma cor? b) As meias retiradas contenham um para de cor branca? 39) (Eureka! 5) Sejam n um natural ímpar e A uma matriz simétrica em que cada linha e coluna seja uma permutação dos inteiros 1. no qual os jogadores. alternadamente. uma jogada consiste em desenhar um segmento de reta entre dois pontos do reticulado nem segmentos previamente desenhados. n. 43) (Eureka! 5) Mostre que em qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto cuja soma dos elementos é divisível por n. e entregar esse número ao adversário. A partir de pilhas com 1990 e 1937 fósforos. Em cada rodada a diferença entre o número escolhido e o anterior deve ser maior do que zero. ASSUNTO . Ganha o jogo que entrega ao adversário um número maior do que o milésimo primo. o primeiro jogador. Qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora? 38) (Eureka! 5) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Dois jogadores jogam alternadamente. Cada jogada consiste em substituir o número recebido n por um número da forma n + d. O último jogador a pintar uma aresta vence o jogo. 48) (Eureka! 5) Sejam A1. 50) (Eureka! 5) Uma fábrica produz pelo menos uma unidade de um produto X por dia e no máximo 10 unidades deste produto por semana. dado um conjunto com N (a. seja N (a. b ≥ 2.com Divulgue. 20 . 52) (Eureka! 5) Sejam mn + 1 elementos tais que a1 < a2 < …< amn + 1. não necessariamente distintos. …. b). Mostre que: a) N(a. o resultado vale mesmo que na reunião só existam 9 pessoas. 3) ≤ 6 e N (3. b) Mostre que F possui 2n – 1 elementos. b) = N (b. b) + N (a. No disco B. do mesmo subconjunto. 51) (Eureka! 5) Mostre que toda seqüência com n2 + 1 elementos possui uma subseqüência crescente com n + 1 elementos ou uma subseqüência decrescente com n + 1 elementos. b – 1). 47) (Eureka! 5) Dois discos A e B são divididos em 2n setores iguais. onde Si é a soma das produções nos dias 1. 2) = a. b) o menor número para o qual. 53) (Eureka! 5) Prove que se o conjunto {1. os setores são pintados de azul ou vermelho de forma completamente arbitrária. Os problemas anteriores implicam que N (3. na realidade. Mostre que existem 6 elementos x1. 2. N(a. 2. – Nenhum outro subconjunto de A intersecta todos os elementos de F.…Sk} e {S1 + n. em conseqüência. a) Mostre que é possível conectar estes pontos com n2 segmentos de reta sem que um triângulo de vértices nos pontos dados seja formado. b) existe para todo par (a. Mostre que dado qualquer inteiro positivo n existe um conjunto de dias consecutivos em que a produção total é igual a n [ Sugestão: mostre que existe um número k (dependente de n) suficientemente grande para o qual os conjuntos {S1. …. ….estudanteolimpico. Mostre que A e B podem ser superpostos de modo que pelo menos n setores tenham cores coincidentes.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Seja F uma família de subconjuntos de A tal que: – Quaisquer dois elementos de F têm interseção não vazia. Se o segmento ij é orientado de i para j dizemos que i → j. c) N(a. Mostre que existe uma permutação a1. 2. a2. Mostre que ou existem m + 1 destes números tais que nenhum é divisor de um outro ou existem n + 1 deles tais que cada um é divisor do seguinte. 46) (Eureka! 5) Dados inteiros a. sempre existam a que se conheçam mutuamente ou b que se desconheçam mutuamente (se existir tal número). ASSUNTO . b) Mostre que se os pontos são conectados por n2 + 1 segmentos de reta. x2.…. 4) ≤ 9. Sk + n} tem pelo menos um elemento comum. 55) (Eureka! 5) Considere um conjunto de n pontos 1. a). então pelo menos um triângulo é formado. …. 49) (Eureka! 5) Considere um conjunto A com n elementos.…x6 de X tais que cada Ai contenha pelo menos um destes 6 elementos. A100 subconjuntos distintos de um conjunto X satisfazendo a propriedade de que cada Ai possua mais da metade dos elementos de X. a) Dê exemplo de uma família F satisfazendo a estas condições. Para cada par de pontos é escolhida uma orientação para o segmento de reta que os une. b) ≤ N (a – 1. 1978} é partido em 6 subconjuntos. 3. … an de 1. i.]. Mostre que. 54) (Eureka! 5) Considere um conjunto com 2n pontos. n setores são pintados de azul e n de vermelho. b) N(a. S2 + n. 2. S2. …. observe que. n.Exercícios de Combinatória 45) (Eureka! 5) Mostre que em toda reunião com 10 pessoas existem 3 que se conhecem mutuamente ou 4 que se desconhecem mutuamente. A2. No disco A. n tais que a1 → a2 → … → an. b) pessoas. em algum destes subconjuntos existe um elemento que é igual à soma de dois elementos. 2. 2 e 3 durante um dia completo. Determine o número de vezes que aparecem simultaneamente no visor os números 1. no primeiro dia de aula. Não houve nenhum empate. em que país se jogará a próxima partida? Em caso afirmativo. Mostre que é possível formar n pares de pontos (um azul e um vermelho em cada par) de modo que os n segmentos de reta definidos por estes pares não se cruzem.3. João tem o seguinte horário: trabalha durante 3 dias e logo toma um dia de descanso.estudanteolimpico. retorna à casa 1. 59) (RPM-33). – Se a soma dos pontos for ímpar. ora em outro. Sheila possui o horário: trabalha durante 7 dias e depois folga 3 dias. ASSUNTO .Exercícios de Combinatória 56) (Eureka! 5) São dados n pontos azuis e n pontos vermelhos no plano.. A equipe brasileira ganhou 9 partidas no total. 67) (Goiás) João e Sheila começam a trabalhar em seus novos empregos no mesmo dia. a partir dessa informação. As equipes de futebol do Brasil e da Argentina jogam entre si. Qual o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: a) As meias retiradas contenham um par da mesma cor? b) As meias retiradas contenham um par de cor branca? 64) (Goiás) Determine a quantidade de números naturais tais que nenhum de seus algarismos é 1 e o produto de todos os seus algarismos é 48. 60) (Sergipe-99) O professor Epaminondas. o jogador avança 3 casas. 65) (Goiás) Um relógio digital mostra as horas e minutos desde 01:00 às 12:59.000 e que contêm exatamente um par de dígitos 9 consecutivos. Em qualquer caso.. O professor tinha certeza de que ganharia a aposta. – Ganha quem parar primeiro na casa 36. – A ordem com que os jogadores iniciam suas jogadas é definida por alguma forma de sorteio.. – Se a soma dos pontos for par. entre os alunos daquela classe. – O menor número de jogadas que alguém pode fazer e ganhar é: a) 37 b) 13 c) 12 d) 14 e) 17 62) (Sergipe-99) Um menino joga três dados e soma os números que aparecem nas faces voltadas para cima. 66) (Goiás) Determine a quantidade de números inteiros que existem na lista 1. 10.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Ele quer colocar as moedas nos bolsos mas de tal maneira distribuídas que em cada bolso fique um número diferente de moedas. Já jogaram 13 partidas. ora em um país. Qual o número de dias que descansam João e Sheila no mesmo dia durante seus primeiros 1000 dias de emprego? 21 . Em 7 delas a equipe local ganhou. justifique sua resposta. 57) (Eureka! 5) Mostre que dados 5 pontos do plano em posição geral há 4 que formam um quadrilátero convexo. Será possível conseguí-lo? Explicar. o jogador avança 1 casa. pelo menos dois fariam aniversário no mesmo dia do mês. O número de diferentes resultados dessa adição é: a) 12 b) 18 c) 216 d) 16 e) 15 63) (Sergipe-99) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. pois naquela classe o número de alunos era maior ou igual a: a) 15 b) 32 c) 28 d) 31 e) 30 61) (Sergipe-99) Um jogo consiste em partir da casa 1 à casa 36 numa trilha com casas numeradas de 1 a 36.com Divulgue. – Se o jogador ultrapassar a última casa. apostou que. 58) (A arte de resolver problemas – Polya) Jorlaine tem 10 bolsos e 44 moedas.. É possível saber.. Os dois jogadores começam na casa 1 e o avanço de casas depende do lançamento de dois dados cúbicos comuns. diga em que país será. alternadamente. 4 e 1 pontos. pois tem um peso diferente das outras. 1. uma delas é falsa. 69) (Goiás) Em um torneio disputado por 6 clubes. 8. dia em que é comemorado o “Dia das Mães”. respectivamente. Quantas partidas terminaram empatadas ? 70) (Goiás) Temos doze moedas. 4. ii. 9}. determinar qual é a moeda falsa e se é mais leve ou mais pesada. 76) (Goiás-98) O aniversário de João caiu no 2o domingo de maio. 7. Se o quadrado da figura abaixo é preenchido com inteiros positivos de forma a obtermos um quadrado mágico multiplicativo. Duas combinações distintas são escolhidas ao acaso no conjunto A. Pretende-se. respectivamente.com Divulgue. obteremos uma mistura de álcool e água em que proporção ? 73) (Goiás) Um quadrado mágico multiplicativo é um quadrado tal que o produto dos números de cada linha. 8. o dobro e o triplo da soma dos números da primeira coluna. Na segunda linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 1a linha por 2 = 21 e em ordem crescente. vitórias valem 3 pontos. 7. Em que dia do mês é o aniversário de João? 77) (Gioás-98) Escreva os números de 2 a 40 com os seguintes critérios: i. Na primeira linha escreva os ímpares em ordem crescente. 72) (Goiás) Duas jarras iguais contêm misturas de álcool e água nas proporções de 3:7 na primeira jarra e 3:5 na segunda jarra.estudanteolimpico. 6. utilizando apenas uma balança de dois pratos. No entanto. se esse peso é superior ou inferior ao das outras 11. cumprindo as condições indicadas. Determine o número de maneiras diferentes que se pode efetuar a coloração proposta. Ao final do torneio os clubes tinham 15. de modo que existam exatamente duas casas brancas em cada fila e em cada coluna. um em cada casa e cumprindo as condições seguintes: a) As somas dos números da segunda e terceira linhas são. diferentes entre si. empates valem 1 ponto e derrotas valem 0 ponto. coluna ou diagonal é o mesmo. todas rigorosamente iguais na sua aparência exterior. 3. com 9 casas) devem-se colocar nove elementos do conjunto C = {0. Não sabemos. qual é o valor de x ? 5 4 1 74) (Goiás) Considere o conjunto A de todas as combinações simples de 10 elementos em grupos de 5. b) tenham exatamente 4 elementos em comum. 6. o dobro e o triplo da soma dos números da primeira linha.Exercícios de Combinatória 68) (Goiás) Propõe-se colorir cada uma das casas de um tabuleiro 4x4 com apenas uma das duas cores: ou preto ou branco. no qual cada par de clubes se enfrenta uma única vez. Juntando-se os conteúdos das duas jarras. b) As somas dos números da segunda e terceira colunas são. 71) (Goiás) Em um tabuleiro quadrado três por três (ou seja. Mostre todas as formas possíveis de colocar elementos de C no tabuleiro. 2.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Sua mãe respondeu que só quando o “Dia das Mães” ocorrer o mais cedo possível. e com três pesagens. ASSUNTO . Prove que existe um número no bordo que não é superado por nenhum dos números do tabuleiro. 75) (Goiás) Em cada casa de um tabuleiro de xadrez mxm está inscrito um número de modo que se ele não está no bordo ele é média aritmética dos números que estão nas casas vizinhas. no entanto. Determine as probabilidades de que elas: a) não tenham nenhum elemento em comum. x 22 . 5. João perguntou a sua mãe se esta coincidência iria se repetir sempre. em ordem crescente.Exercícios de Combinatória iii. (Tente fazer um modelo concreto). 15 e 18. No armazém havia uma balança que só fazia pesagens acima dos 100 kg.com Divulgue. na posição final. os seguintes números : 110. Na segunda partida Isabela duplica suas fichas. Resolva o quebra-cabeça. se existem. ASSUNTO . 121 Em ordem crescente dos pesos. Gabriela duplica suas fichas e Hugo não perde nem ganha. Com cinco sacos conseguiu formar 10 pares distintos. de dois dançarinos adjacentes. Na terceira partida Isabela perde. 114. Isabela tem uma ficha a mais que Gabriela. O resultado das pesagens foram. chegamos a um total que a) é maior do que 40 b) é menor do que 30 c) é exatamente igual a 30 d) está entre 30 e 40 e) é exatamente igual a 40 82) (Rio Grande do Norte-95) O gerente de um armazém queria pesar cinco sacos de farinha. mas na posição contrária da inicial. dois dançarinos adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros permanecem na mesma posição. 9. Essa mudança é repetida com pares adjacentes até que. O gerente não se perturbou. 10. Dizemos que uma ficha vê a outra se ambos estão na mesma fila ou na mesma coluna e se nos quadrados intermediários entre eles dessa fila ou coluna. iv. 4. 81) (Rio Grande do Norte-95) Num tabuleiro 3 x 3. 14. Durante a dança. No final. 115. Então o número mínimo de mudanças. 118. 116. estejam sem fichas (vazios). Cada um tinha fichas para apostar. 78) (Espírito Santo-97) As peças de um quebra-cabeça retangular são 9 quadrados de lados 1. Continue até não encontrar mais números que possam ser obtidos desta forma. 113. 20 casais de dançarinos são colocados em círculo de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par estão situados diametralmente opostos.estudanteolimpico. 79) (Espírito Santo-97) Isabela. Finalmente na última linha escreva os números ausentes em ordem decrescente. por isso teve de fazer 10 pesagens. v. Gabriela duplica suas fichas e Isabela não perde nem ganha. Gabriela e Hugo jogaram três partidas de Baralho. Com quantas fichas cada um começou se o número total de fichas era 50? 80) (Rio Grande do Sul-98) De cada uma de três varetas de mesmo comprimento l. 7.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. Na primeira partida Hugo perde. quebrou-se um pedaço. e se pôs a pesar os sacos de dois em dois. o terceiro saco pesava : a) 54 kg b) 115. Gabriela perde e Hugo não perde nem ganha. Calcular a probabilidade de que seja possível construir um triângulo com esses três pedaços. 120. 117. em diversas posições. Na terceira linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 2a linha por 4 = 22 e em ordem crescente.5 kg c) 56 kg d) 117 kg e) 58 kg 83) (Rio Grande do Norte-95) ) Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver num grupo para que possamos garantir que nele haja pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo mês ? a) 150 b) 50 c) 55 d) 49 e) 120 84) (Rio Grande do Norte-95) Nos festejos juninos. contando os retângulos existentes. para acontecer isso é : a) 20! b) 400 c)10! d) 19! e) 100 85) (Rio Grande do Norte-95) O número de maneiras distintas de cobrir um tabuleiro 2x5 com dominós 2x1 é: a) 8 b) 5 c) 20 d) 10 e) Nenhuma Correta 86) (Rio Grande do Norte-97) Em cada quadrado de um tabuleiro 8 x 8 se pode colocar uma ficha. 112. Qual é o número máximo de fichas que se pode colocar de maneira tal que cada ficha veja exatamente duas fichas? a) 8 b) 16 c) 20 d) 46 e) 18 23 . Hugo perdeu 9 fichas. os dois dançarinos de cada par estejam novamente diametralmente opostos. 8. 3.estudanteolimpico. a seguir. 100 numa linha.876 d) 105 e) Nda 89) (Rio Grande do Norte-97) Um tabuleiro 8 x 8 é desenhado no plano cartesiano.0). Se eles jogam raciocinando corretamente. cada um pode remover qualquer quantidade de bolas que não seja maior que a metade das bolas existentes na caixa.Exercícios de Combinatória 87) (Rio Grande do Norte-97) Considere o seguinte jogo. André inicia escolhendo um número inteiro de 1 a 9. 3.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www.8) e (8. substituindo-os pela soma (Por exemplo. quantos caminhos retos podem ser construídos de modo que sejam eqüidistantes das três casas? a) Zero b) 1 c) 2 d) 3 e) infinitos 91) (Rio Grande do Norte-99) Escreva os números naturais 1. Dois amigos participam de um desafio. Aquele que atingir o número 100 vence.. uma com 15 e uma com 20 feijões. Se esse número é par. retira-se o mesmo número de bolas da segunda e coloca-se na primeira. André escolhe um número inteiro de 1 a 9 e soma ao resultado anterior. Cada jogada consiste em escolher uma das pilhas e dividi-la em duas pilhas menores. (0. Em seguida. Pergunta-se se depois destas operações o número de bolas brancas na primeira urna é maior. Aquele que não puder remover perde. Na sua vez de jogar. Imaginando que os dois jogam corretamente.8). (8.…. caso contrário. bolas da caixa. 24 . Existem três pilhas de caroços de feijão: uma com 10 caroços. um depois o outro. Que número aparecerá no quadro negro depois de 19 dessas operações? a) 199. Uma jogada consiste em escolher dois dos números escritos. 2... Thiago escolhe um número inteiro de 1 a 9 e soma ao número escolhido anteriormente pelo adversário. 98. ASSUNTO . quem vencerá: o primeiro ou o segundo a jogar? Qual é a estratégia para vencer? 95) (Minas Gerais) Prove que existem 2(2n – 1 – 1) maneiras distintas de se distribuir n cartas para dois jogadores. 99. Ela escreve no quadro-negro os inteiros de 1 a 50. Depois de algum tempo.964 b) 210 c) 198. quem vencerá: André ou Thiago? Qual é a estratégia para vencer? 94) (Rio Grande do Norte-99) Uma caixa contém 300 bolas de gude. apaga-os e escreve 31). Toma-se um certo número de bolas da primeira urna e coloca-se na segunda. quem ganha: o primeiro a jogar ou o segundo? a) o primeiro b) o segundo c) nunca o segundo ganha d) o jogo sempre termina empatado e) impossível dizer 88) (Rio Grande do Norte-97) Os números 1. Os jogadores jogam seqüencialmente. o ganhador é Thiago. 2. alternadamente. apagar esses números. tais que não sejam quadrados e que tenham os vértices em pontos cujas coordenadas são inteiras ? a) 640 b) 1000 c) 360 d) 1090 e) 1092 90) (Rio Grande do Norte-97) As entradas das casas de três formiguinhas estão localizadas num terreno plano e não estão. de modo que os vértices limites do tabuleiro são os pontos (0. A seguir. . se André escolheu 8 e 23. No terreno plano.com Divulgue. Quem vence o jogo: André ou Thiago? 93) (Rio Grande do Norte-99) André e Thiago disputam um jogo em que jogam alternadamente.. Imaginando que os dois jogam corretamente. em que eles jogam alternadamente.0). 92) (Rio Grande do Norte-99) A professora desafia André e Thiago com o seguinte jogo. Justifique sua resposta. Qual é o número de retângulos existentes no tabuleiro. Apague quaisquer dois desses números e escreva o novo número a + b + ab. e assim por diante. 19. as três. O perdedor é aquele que não consegue fazer isso. (os jogadores devem receber o mesmo número de cartas) 96) (Minas Gerais) Uma urna contém bolas pretas e uma segunda urna contém bolas brancas. em linha reta. de modo que a diferença entre quaisquer dois adjacentes não seja menor do que 50. vai restar no quadro negro um único número. removendo. o ganhador é André. 20 são escritos no quadro negro. menor ou igual ao número de bolas pretas na segunda. 108) (México) De todos os números de 4 dígitos que são múltiplos de 9. aquele que jogou com as peças brancas é considerado o perdedor. Manda fazer várias fechaduras e distribui as chaves de modo que: • Cada chave abre exatamente uma fechadura. 102) (Rio de Janeiro-98) A Diretoria de um Banco é composta por um Diretor. 1. é divisível por 100. Prove que existe um conjunto de 6 jogos com 12 jogadores distintos. Utilizando estes como vértices de triângulos não degenerados. o diretor do jogo sorteia sucessivamente os números de 1 a 100 em qualquer ordem. • O Vice-Diretor só possa abrir o cofre juntamente com um dos Chefes de Setor. independente de como são pintados (com duas cores distintas) os vértices de um polígono regular de 1995 lados. um Vice-Diretor e quatro Chefes de Setor. Descubra o dia em que foi feita esta declaração. a) Qual o número mínimo de fechaduras que se devem colocar no cofre para que este esquema seja possível? b) Nesse caso. quantos triângulos distintos podem se formados? 107) (México) Quantos números de 1 até 10000 tem seus dígitos em ordem estritamente crescente? (Por exemplo. duas casas de madeira não podem ser vizinhas.com Divulgue. Se o jogo terminar empatado. Gustavo tinha jogado 15 partidas. Ao final da série. 1379 possuem esta propriedade e 280 ou 122 não possuem). 98) (Rio de Janeiro) Genilson e Geraldo são dois amigos muito estranhos. Em seguida. com cada membro jogando ao menos um jogo. • O Diretor possa abrir sozinho o cofre.estudanteolimpico. mas como medida de segurança contra incêndio. • Os Chefes de Setor só possam abrir o cofre em grupos de três. 46. 5as e 6as-feiras. cada jogador escreve os números de 1 a 100 na ordem que desejar. ou diferença. Certo dia ambos declaram: "amanhã é dia de mentir". 100) (Rio de Janeiro-98) Em um condomínio serão construídas 6 casas de uma mesmo lado de uma rua. Cada jogador ganha 1 real por cada número de sua seqüência que apareça na mesma posição na seqüência sorteada. 106) (México) Considere os 36 vértices de um quadriculado perfeito de 6x6. Genilson mente às 4as. Geraldo mente aos domingos. As casas podem ser de tijolo ou de madeira. dizendo a verdade nos outros dias. ASSUNTO . O Diretor resolve instalar um novo cofre. prove que algum deles recebeu exatamente 100 reais.Exercícios de Combinatória 97) (Minas Gerais) Mostre que. De quantas maneiras se pode planejar a construção das casas desse condomínio? 101) (Rio de Janeiro-98) 100 pessoas jogam a seguinte variação do jogo de bingo: Inicialmente. 99) (Rio de Janeiro-96) Mostre que. entre eles existem dois cuja soma. • O cofre só é aberto se forem abertas todas as suas fechaduras. Sabendo que todos os participantes receberam quantias diferentes. 105) (USAMO-89) Os 20 membros de clube de tênis são distribuídos em exatamente 14 jogos de duplas entre eles.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. 2as e 3as-feiras. existem sempre três vértices da mesma cor que formam um triângulo isósceles. Quais foram os adversários na partida de número 13 ? 104) (Número de Ouro-97) Em uma reunião de 20 pessoas existem exatamente 49 pares de pessoas que se conheciam entre si. Prove que alguma pessoa conhecia ao menos 4 dos convidados. quantas chaves cada um deve ter? 103) (Rio de Janeiro-99) Gustavo. dizendo a verdade no resto da semana. Eduardo e Augusto disputam uma série de partidas de xadrez da seguinte maneira : dois deles jogam entre si e o vencedor joga com o que ficou de fora. dados 52 inteiros quaisquer. quantos possuem todos os seus dígitos distintos de 0 e distintos entre si? 25 . Eduardo jogou 9 partidas e Augusto jogou 14 partidas. qual é a probabilidade de que f seja bijetora? a) 1/4 b) 1/6 c) 1/16 d) 3/32 e) 1/64 119) (Bélgica-92) Três casais estão em uma festa. 100. durante as férias escolares. cada pessoa apertou a mão de outros convidados da festa. 2. a) Mostre que pelo menos dois colegas de classe trocaram cartões. Qual é o menor número de participantes tal que é possível afirmar que existem duas pontuações iguais na competição? a) 121 b) 145 c) 146 d) 151 e) 152 116) (Bélgica-91) O alfabeto alemão consiste de 6 vogais e 20 consoantes. Demonstre que existem 4 casas de uma mesma cor que são vértices de um retângulo de lados paralelos as linhas do tabuleiro. Na despedida. Qual é o número que João deve escolher para possuir a maior chance de ganhar o jogo? a) 1 b) 2 c) 12 d) 13 e) um número diferente de 24 118) (Bégica-92) Seja A = {1. O número de palíndromos que são menores que 1. – 1 para uma resposta incorreta e 0 pontos para uma resposta em branco. Ricardo retira (sem olhar) n cartões. Quando é escolhida aleatoriamente uma das possíveis funções f: A → A. 114) (Alicante-98) Dentro de um cubo de lado 15 unidades. 20 colegas de classe enviam 10 cartões de Natal para 10 diferentes colegas (diferentes deles mesmos). existem 11. .000. 97. 4.estudanteolimpico. o anfitrião perguntou a todos quantos apertos de mão cada um tinha dado. Depois de todos os cumprimentos. 26 .000 é: a) 900 b) 1991 c) 1993 d) 1999 e) 2220 121) (Bélgica-93) Em dezembro. Quantas mãos o anfitrião cumprimentou? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 120) (Bégica-93) Um número inteiro não-negativo é dito palíndromo se ele lido da esquerda para a direita é igual quando lido da direita para a esquerda. 113) (México-95) Consideram-se 6 pontos no plano com a propriedade de que 8 das distâncias entre eles são iguais a 1. a) 2880 b) 3120 c) 8640 d) 9360 e) 18000 117) (Bélgica-91) Em uma urna existem 24 cartões: 2 vermelhos e 22 pretos. que contenha em seu interior. 110) (México) Considere um tabuleiro 10x13 e 3 cores com as quais deve-se pintar cada casa do tabuleiro. 0... Demonstre que entre estes 19 sempre existem 2 cuja soma é 104. Assuma que uma palavra de 3 caracteres possui ao menos 1 vogal e ao menos 1 consoante.000 pontos situados de forma arbitrária. 3. Mostre que ao menos três dos pontos formam um triângulo equilátero de lado 1. Se o n-ésimo cartão for vermelho então João ganha o jogo. Sabe-se que são atribuídos 4 pontos para cada resposta corte. 115) (Bélgica-90) Uma prova de Olimpíada de Matemática consiste de 30 problemas. 10. excetuando a de seu(sua) parceiro(a). João fala um número n entre 1 e 24. elegem-se 19 deles. 7. 4}. 111) (México-88) De quantas formas podem ser acomodadas em linha reta sete bolas brancas e cinco negras. 2002 e 4 são palíndromos. ao menos 6 pontos dentre os 11. ASSUNTO . e ouviu 5 respostas diferentes. 13. Por exemplo 121.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www..000 dados.Exercícios de Combinatória 109) (México) Dos seguintes 34 números: 1.com Divulgue. Determine o maior número de palavras de 3 caracteres que é possível escrever. Prove que é possível encontrar uma esfera de raio um. de tal maneira que não existam duas bolas negras juntas? 112) (México-92) Considere 7 pontos dentro ou sobre um hexágono regular e prove que três deles formam um triângulo cuja área é menor ou igual a 1/6 da área do hexágono. um por um. Um professora coletou as provas resolvidas pelos alunos e imediatamente repassou para eles mesmos corrigirem. Solução: Sendo 201 (201 = 5. que está situada em um vértice. De quantas maneiras é possível fazer isto sem que um aluno receba a mesma prova que fez? a) 6 b) 9 c) 14 d) 23 e) 24 123) (Bélgica-94) Cada lado de um cubo é pintado de um cor (existem 6 disponíveis).estudanteolimpico.20 + 1) pessoas. 122) (Bélgica-94) Um pequena escola possui 4 alunos. como se indica na figura. temos que uma nacionalidade possui pelo menos 41 pessoas.Exercícios de Combinatória b) Suponha que a classe possua n estudantes. De quantas maneiras é possível fazer isto? Sabe-se que duas colorações são idênticas se podem ser obtidas por rotação do cubo. 9. 128) (Espanha-98) Determinar os valores de n para os quais é possível construir um quadrado n× n encaixando peças do tipo: 129) (Espanha-99) Sobre um tabuleiro em forma de triângulo equilátero. e o perímetro seja estritamente menor que 1000? a) 165 b) 166 c) 167 d) 331 e) 332 126) (Bélgica-96) Cinco diferentes estradas ligam as cidades A e B. a) 30 b) 60 c) 120 d) 360 e) 720 124) (Bélgica-95) Quantos valores possíveis existem na multiplicação de dois números distintos do conjunto {4. Inicialmente. sem passar por B. 32. Qual a relação entre n e m para que ao menos 2 estudantes tenham trocado cartões. 16.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. a) 22 b) 90 c) 270 d) 315 e) 324 127) (Espanha-93) Em uma reunião existem 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Cada ficha é branca por um lado e negra por outro. Como em cada grupo de 6 ao menos 2 tem a mesma idade. da mesma idade e do mesmo sexo. somente uma ficha. ao menos duas tem a mesma idade. coloca-se uma ficha sobre cada casa. 81. Em cada movimento retira-se do tabuleiro uma única ficha negra e vira-se o lado voltado para cima das fichas situadas em casas vizinhas. temos pelo menos 5 pessoas da mesma idade. existem então no máximo 5 idades diferentes. 27. possui a cara negra virada para cima. cada um enviando m cartões de Natal para m diferentes (diferentes deles mesmos). Entre 41 (41 = 2. três diferentes estradas ligam as cidades B e C e três diferentes estradas ligam as cidades A e C. Demonstrar que existe ao menos 5 pessoas do mesmo país. Casas vizinhas são as que estão unidas por um segmento. Sabe-se que. De quantas formas diferentes é possível ir de A para C e voltar para A passando por B pela menos uma vez. Assim. 64.com Divulgue. Depois de vários movimentos será possível retirar todas as fichas do tabuleiro? 27 . em cada grupo de 6. ASSUNTO . 8.5 + 1) pessoas do mesmo sexo e nacionalidade. o resto das fichas tem a cara branca virada para cima. em um grupo de 21 (21 = 4. 243}? a) 72 b) 36 c) 32 d) 20 e) 12 125) (Bélgica-95) Quantos triângulos podem ser construídos tais que o comprimento dos lados sejam 3 inteiros ímpares consecutivos.40 + 1) pessoas de 5 nacionalidades diferentes. existem pelo menos 21 do mesmo sexo e da mesma nacionalidade. estudanteolimpico. 137) (Inglaterra-71) Dois números reais são dados. Qual é a menor quantidade de bilhetes que devem ser retirados. Se a seqüência cara-cara-cara ocorre primeiro. nenhum dos quais é divisível por 100. b) Prove que. 134) (Inglaterra-75) Use o Princípio das Gavetas de Dirichlet para resolver o seguinte problema. Dado um ponto O no plano. então alguma gaveta possui mais do que 1 objeto. ASSUNTO . numerados de 100 a 999. Retiram-se aleatoriamente (sem reposição) bilhetes da caixa e anota-se a soma dos dígitos de cada bilhete extraído. jogam a moeda até uma das seqüências cara-cara-cara ou cara-coroa-cara ocorra.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. o disco S. de modo que a distância entre 2 dos pontos: a) ao menos (2)1/2. onde nenhuma delas conhece as outras 3. A e B. b) maior que (2)1/2. é possível escolher 2 ou mais de modo que a soma destes inteiros é divisível por 100. A e B possuem a mesma probabilidade de vencer. Prove que existe um triângulo de área ≤ 1/8 tais que os vértices são três dos pontos. 139) (Inglaterra-66) a) Prove que entre 52 inteiros. 132) (Inglaterra-83) Dados 10 pontos no interior de um círculo de diâmetro 5. ou seja. prove que a distância entre todo par de pontos dados deve ser menor que 2. Dos jogadores. dado todo conjunto de 100 inteiros. Determine a probabilidade que 2 pontos escolhidos aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento h.] 135) (Inglaterra-73) Nove pontos estão no interior de um quadrado de área 1. Para quais valores de p o jogo é justo. 0 < p < 1. para garantir que ao menos três dessas somas sejam iguais? 131) (Inglaterra-90) Uma moeda viciada é tal que a probabilidade de obter cara é p. existem sempre 2 inteiros tais que a soma ou a diferença de 2 dos inteiros é divisível por 100. com centro em O e raio 1. onde OP é a distância de P a O. 138) (Inglaterra-68) Determine o maior número de pontos que podem ser colocados na superfície de uma esfera de raio unitário. 28 . possua distância menor que k. 133) (Inglaterra-80) Em um festa existem 10 pessoas.com Divulgue. então um dos pontos deve ser o ponto O. Se cara-coroa-cara ocorre primeiro. [Nota: O Princípio das Gavetas de Dirichlet afirma que se mais do que n objetos devem ser colocados em n gavetas. 140) (Rússia-61) Prove que entre 39 números naturais consecutivos existem sempre um número cuja soma dos dígitos é divisível por 11. Prove que ao menos um dos membros do conjunto deve dividir outro membro do conjunto. 136) (Inglaterra-71) É dado um conjunto de n + 1 inteiros positivos.Exercícios de Combinatória 130) (Espanha-99) Uma caixa contem 900 bilhetes. e sabe-se que em todo grupo de 3 pessoas existem pelo menos 2 que não conhecem a outra pessoa. então A vence. tais que h > k > 0. Prove que se S contem 7 pontos tais que a distância entre quaisquer 2 pontos é ≥ 1. nenhum deles excedendo 2n. então B vence. Prove que a festa contem um grupo de 4 pessoas. é definido como o conjunto de todos os pontos P no plano tais que |OP| ≤ 1. ASSUNTO .. contra cada um dos dez jogadores. b) Se cada problema tivesse sido resolvido por 2 estudantes.estudanteolimpico. 145) (Torneio Internacional das Cidades-96) Oito estudantes foram convocados para resolver 8 problemas. . prove que nós podemos sempre determinar dois subconjuntos disjuntos com a mesma soma. tais que todo membro do outro time foi derrotado no seu jogo. 146) (Torneio Internacional das Cidades-97) Quantos inteiros de 1 a 1997 possuem a soma dos dígitos divisível por 5? 147) (Báltica-97) Prove que em toda seqüência de 79 inteiros positivos consecutivos escritos no sistema decimal. 142) (Rússia-70) Prove que em todo conjunto de 200 inteiros. 148) (Báltica-98) Considere uma disputa de Tênis de Mesa entre dois times. 99.Exercícios de Combinatória 141) (Rússia-63) Uma tabuleiro 6x6 deve ser coberto com peças de dominó 2x1.. Prove isto. então é possível não mais exista este par de estudantes. Entre qualquer conjunto de 10 crianças existem 3 ou mais que vivem na mesma barraca. cada um consistindo de 1000 jogadores.com Divulgue. Prove que existem dez jogadores. sempre é possível escolher um subconjunto de 100 com a soma total dos termos sendo divisível por 100. 143) (Torneio Internacional das Cidades-94) Existem 20 garotos em uma escola onde cada 2 possuem um avô em comum. Prove que existem 15 ou mais crianças que vivem na mesma barraca. Prove que é possível escolher dois estudantes tal que cada problema tenha sido resolvido por pelo menos um deles. Cada jogador joga uma vez contra cada jogador do outro time (não existe empate em tênis de mesa). Prove que existem 14 garotos tal que todos possuem um mesmo avô em comum. 149) (IMO-72) Dado todo conjunto de dez números distintos pertencentes ao intervalo 10. ao menos uma vez. 11. Prove que é possível cortar o tabuleiro em duas partes iguais de tal forma que a linha de corte não corte nenhuma peça de dominó. . todos do mesmo time. 144) (Torneio Internacional das Cidades-94) 60 crianças participam de uma colônia de férias. a) Cada problema foi resolvido por 5 estudantes. existe um inteiro positivo tal que a soma dos seus dígitos é divisível por 13.MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE www. 29 .