Cours de structure en béton Prof.André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 Chapitre 8 Les sections soumises à la torsion Section 8.2 Le dimensionnement à la rupture 8.2.4.2 Exercice n°2 – Etude d’un avant-toit en béton armé Charge sur dalle : − Poids propre − Chape, e = 6 cm − Surcharge à définir Procédure de calcul − Choix des matériaux − Estimations des dimensions des sections − Définition du système statique − Définition des charges appliquées − Calcul des efforts intérieurs dans les éléments − Dimensionnement du porte-à-faux − Dimensionnement du sommier − Schéma d’armature (vue en plan, élévation et coupes) Réflexion (bis) : la reprise du moment de torsion est-elle nécessaire pour garantir la stabilité de la structure Dernière mise à jour le 18/10/2004 1/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 1. Choix des matériaux Ce choix doit toujours le résultat d’une réflexion commune avec le maître d’œuvre. Il dépend de : − Type de structures − Dimensions − Prix − Esthétique Dans notre cas, la structure sera en béton armé 2. Estimation des sections Nous avons estimé les sections comme le montre le schéma ci-dessous. Nous obtenons ainsi un rapport l/d ˜ 10 environ pour le sommier et un 3. Définition du système statique Sens transversal (dalle en porte-à-faux) Dernière mise à jour le 18/10/2004 2/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 Sens longitudinal (sommier + dalle) 4. Définition des charges appliquées Les charges du sommier seront obtenues par la détermination des e fforts intérieurs de la dalle en porte-à-faux (sens transversal). On doit donc procéder tout d’abord à la détermination des charges agissant sur la dalle, puis calculer les efforts intérieurs. Sens transversal Les charges sont définies comme le montre le schéma ci-dessous. Le poids propre de la dalle à été divisé en deux charges réparties, l’une constante sur toute la longueur (g0-1) et l’autre triangulaire (g0-2). g0-1 = 25 × 0.18 × 1.00 = 4.5 kN/m g0-2 = 25 × 0.07 × 1.00 = 1.75 kN/m à l'encatrement g1 = 24 × 0.06 × 1.00 = 1.44 kN/m qk = 1.2 kN/m selon la SIA 261 (en considérant l'ouvrage situé à Fribourg) Sens longitudinal La charge répartie sur le sommier ainsi que le moment de torsion, seront équivalent à l’effort tranchant à l’encastrement de la dalle, respectivement au moment fléchissant. Dernière mise à jour le 18/10/2004 3/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 5. Efforts intérieurs Sens transversal • Combinaison déterminante : Md = 1.35(Mg0-1 + Mg0-2 + Mg1 ) + 1.5 × Mqk Vd = 1.35(Vg0-1 + Vg0-2 + Vg1 ) + 1.5 × Vqk • Efforts intérieurs Md [kN.m] Vd [kN] Sens longitudinal • Système statique (g+q)d Mxd • Charges ( g+q) d = 27 + ( 25 × 0.3 × 0.5 × 1.35 ) = 32 kN/m M x d = 31.8 kN.m/m Dernière mise à jour le 18/10/2004 4/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 • Efforts intérieurs Td [kN.m] Md [kN.m] Vd [kN] Dernière mise à jour le 18/10/2004 5/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 6. Dimensionnement de la dalle en porte-à-faux Caractéristiques Acier B 500 B fsd = 435 N/mm2 Béton C30/37 fcd = 20 N/mm2 τ cd = 1.1 N/mm2 Armature de flexion Calcul avec le bras de levier approximatif f sd = 435 N/mm2 f cd = 20 N/mm 2 d = 250 - 50 = 200 mm MEd = 31.8 kN.m/m donc MEd 31.8 ⋅10 6 As = = = 406 mm2 /m → Ø10 / 150 mm (523 mm2 /m) 0.9 × fsd × d 0.9 × 435 × 200 Calcul avec le bras de levier exact (tableur Excel) d = 250 - 50 = 200 mm MEd = 31.8 kN.m/m donc MEd 31.8 ⋅ 106 As = = = 394 mm 2 /m → Ø10 / 150 mm (523 mm2 /m) χ d × fsd × d 0.929 × 435 × 200 Vérification de la contrainte de béton d = 250 - 45 = 205 mm M = 23.2 kN.m σ c = 14.2 kN.m < fcd → OK Vérification à l’effort tranchant d = 205 mm z = 0.9 × d = 185 mm α = 45° a = z × cotα = 185 × cot 45 = 185 mm Dans ce cas, on ne tient pas compte de la distance a car Vdmax et Md max se trouvent au même endroit. Donc, on a : Vdmax = 27 kN/m Dernière mise à jour le 18/10/2004 6/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 VRd = k d × τ cd × d 1 avec k d = 1+k v × d kv = 3 1 kd = = 0.62 1+3 × 0.205 VRd = 0.62 × 1.1× 205 = 140 kN/m > Vdmax = 27 kN/m → OK Pas besoin d’armature pour l’effort tranchant. 7. Dimensionnement du sommier Caractéristiques Acier B 500 B fsd = 435 N/mm2 Béton C30/37 fcd = 20 N/mm2 τ cd = 1.1 N/mm2 Armature de flexion Calcul avec le bras de levier approximatif d = 500 - 50 = 450 mm MEd = 64 kN.m/m donc MEd 64 ⋅ 106 As = = = 364 mm2 /m → 3 Ø14 (462 mm2 /m) 0.9 × fsd × d 0.9 × 435 × 450 Calcul avec le bras de levier exact (tableur Excel) f sd = 435 N/mm2 f cd = 20 N/mm 2 d = 500 - 50 = 450 mm MEd = 64 kN.m donc MEd 64 ⋅ 10 6 As = = = 336 mm 2 → 3 Ø12 (339 mm2 ) χ d × fsd × d 0.929 × 435 × 450 Vérification de la contrainte de béton d = 500 - 30 - 10 - 6 = 454 mm M = 46.8 kN.m σ c = 9.6 kN.m < fcd → OK Dernière mise à jour le 18/10/2004 7/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 Vérification à l’effort tranchant et à la torsion d = 454 mm z = 0.9 × d = 409 mm α = 45° a = z × cotα = 409 × cot 45 = 409 mm 64 ( 2 - 0.409) Vd1 = = 50.9 kN 2 • Bielles de compression VRd,c = b w × z × k c × fcd × sin(α ) × cos(α ) On prend k c = 0.6 VRd,c = 300 × 409 × 0.6× 20 × sin(45) × cos(45) = 735 kN > Vd1 = 50.9 kN → OK TRd,c = Ak × tk × kc × fcd × 2 × sin(α ) × cos(α ) On prend k c = 0.6 dk = 300 - (2 × 30 +10) = 230 mm dk tk ≤ = 28.8 mm 8 ′ A k = 230 × 410 = 94300 mm ′ TRd,c = 94300 × 28.8 × 0.6 × 20 × 2 × sin(45) × cos(45) = 32590 ′ kN > Td = 63.6 kN → OK Vérification de l’interaction VEd T + Ed ≤ 1 VRd TRd 50.9 63.6 + <1 → OK 735 ′ 34180 • Dimensionnement de l’armature d’effort tranchant Asw Vd1 50.9 × 106 s d1V = = = 287 mm 2 /m z × fsd × cot(α ) 409 × 435 × cot(45) Asw Td 63.6 × 109 d T = = = 776 mm2 /m s 2 × fsd ×A k × cot(α ) ′ 2 × 435 × 94300 × cot(45) Combinaison : 1 Asw Asw 287 As,tot = Vd1 + Td = + 776 = 919 mm 2 /m → étriers Ø14/150 (1030 mm2 /m) 2 s s 2 Dernière mise à jour le 18/10/2004 8/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2 • Armature minimale As,min 0.2 > 0.2% × b w = × 300 × 103 = 600 mm 2 /m s 1000 As,min = 300 mm 2 /m → OK • Armature longitudinale 1 VRd,s × cot(α ) 1 53.3 × 10 3 Asl,Vd = Asl,inf = Asl,sup = × = × = 61 mm2 → 3Ø8 (151 mm 2 ) 2 fsd 2 435 Asw Vd1 × z × fsd × cot(α ) = 0.3 × 409 × 435 × 10 = 53.3 kN -3 Avec VRd,s = s TRd,s × uk × cot(α ) 57.4 × 10 6 × 2 × ( 230 + 410 ) Asl,Td = = = 895 mm 2 2 × fsd × Ak 2 × 435 × 94300 ′ Asw ′ Avec TRd,s = Td × 2 × fsd × Ak × cot(α ) = 0.7 × 2 × 435 × 94300 × 10-6 = 57.4 kN s Combinaison : As,tot = Asl,Vd + Asl,Td = 61 + 895 = 957 mm 2 /m → 10 Ø12 (1130 mm2 ) Dernière mise à jour le 18/10/2004 9/10 Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Modes de calcul Application 8.2.4.2 8. Schéma d’armature Section sommier Section dalle en porte-à-faux Coupe longitudinale sommier Plan de la dalle en porte-à-faux Dernière mise à jour le 18/10/2004 10/10