Dinâmica de EstruturasFolha de exercícios 1 1. Determine a frequência própria de cada um dos sistemas representados nas figuras. Considere que as massas estão concentradas nos elementos de massa indicados. a) K EI M Resp: f 1 2 2kL3 3EI ML3 K L b) M Resp: f K 1 2 ka 2 MgL ML2 L a Barra rígida c) EI M Resp: L/2 L/2 f 2 3EI ML3 d) Resp: EI f k M L/2 e) M L/2 1 2 48 EIk ( 48 EI kL3 ) M 5m/s E=210 Mpa I=3x10-5 m4 0.20 3. a) Considerando pequenos deslocamentos derive a equação diferencial de movimento. Uma massa de 45kg cai na vertical sobre a extremidade de uma consola de 3.50 Resp: 32MPa 3.60m é introduzida uma força vertical de 50kN na extremidade direita da barra sendo removida em seguida.Resp: L/2 K f L/4 Barra rígida c L/4 1 2 k L2 MgL 4 ML2 fD f 1 cL 8kL 32 Mg 2.5m com uma velocidade de 0. As oscilações assim originadas foram monitorizadas através da medição das acelerações na extremidade e encontram-se representadas no diagrama. Calcule o valor de k e c bem assim como a escala do acelerograma da figura. Desprezando a massa da viga calcule a tensão máxima desenvolvida na viga durante a vibração M=45kg SECÇÃO 0. A figura representa uma barra rígida de comprimento L e massa m ligada ao exterior por um apoio rotulado. A partir do momento do contacto a massa fica solidária com a viga. K c L/4 3L/4 . b) Admitindo m=31kg e L=2. por uma mola elástica de rigidez k e por um amortecedor viscoso de constante c.5m/s. 15 0.6 Ns/m .9 kN/m.25 0. c=585.2 0.05 0. 1unid=2.3 -1 -2 -3 Resp: a) 7m c 3k y y y0 36 12 4 b) k=31.12 m/s2 .y(t) 3 2 y(t) 1 t 0 0 0.1 0. 96Hz. 2ft Ymax 2ft m Ymax m 2 0. a) Deduza a equação da curva de frequência Y(f) da figura. Ymax=20mm. f0=2. k=1184 kN/m. sabendo que a estrutura tem comportamento elástico e se pode reduzir a um grau de liberdade com amortecimento viscoso. Uma estrutura foi testada com uma máquina rotativa de excêntricos (figura).04Hz. f2=2. M=7390kg . b) Calcule os valores da massa.Dinâmica de Estruturas Folha de exercícios 2 1. f1=1.30 m1 f1 f0 f2 Resp: a) Y( f ) 236. A figura representa a variação em frequência dos valores máximos dos deslocamentos em movimento estacionário.02.0Hz. tendo sido medidos os deslocamentos relativamente à posição deformada em repouso.87 k f 02 2 1 f 4 2 f 2 2 2 b) =0. standardizados para o valor de carga dinâmica desenvolvida para uma frequência de rotação igual a f0. rigidez dinâmica e amortecimento viscoso da estrutura conhecendo os seguintes valores: m1=100kg m=10kg. uma máquina com massa de 10 Ton. para o efeito. Resp: a) my ky myG sendo yG a aceleração do movimento da estrutura de suporte b) k=955MN/m .30 m do centro de rotação.03m) F=4.00 Resp: =2.7kN 3. 0. Determine o valor da flecha máxima da viga e calcule os valores da carga para os quais a viga deveria ser dimensionada. a meio-vão. As vibrações da estrutura de suporte podem atingir 2x10-3m a uma frequência de 24 Hz. Em funcionamento. a massa da viga e considere que esta tem um amortecimento viscoso de 5% e uma rigidez de flexão EI=32x106 Nm2. O conjunto a isolar (máquina e apoio) tem uma massa de 2Ton e não pode sofrer vibrações com amplitude de deslocamento superior a 10-4m. a) Escreva a equação de movimento do conjunto a isolar considerando apenas 1 grau de liberdade. Pretende-se utilizar uma viga simplesmente apoiada de 4 metros de vão para suportar. b) Determine o valor da rigidez k que permite satisfazer as condições de isolamento. Despreze. a máquina faz girar uma massa de 100kg à distancia de 0. A frequência de rotação pode estabilizar em qualquer valor entre zero e 2 voltas/segundo.30 4.2. Pretende-se isolar o apoio de uma máquina através da introdução de um apoio elástico de rigidez k entre o apoio da máquina e a estrutura de suporte.1x10-4m (em ressonância este valor seria de 0. 01. t=0. de massa 25ton e rigidez 20000kN/m.53x10-4m 3.05. Calcule a resposta.1 =5% -0.4 t(seg) . F=5kN) Resp: y(0. não amortecido. F=10kN. Desenvolva a função periódica de carga dada na figura em série de Fourier real e calcule a resposta máxima de um oscilador de 1 grau de liberdade com as seguintes caracteristicas: m=1Ton. de um depósito elevado sujeito a um sismo cujo acelerograma é dado na figura.0seg de um sistema de 1 GL.15m/s2 0. k=50kN/m.25seg.3 k=150GN/m 0. Para o efeito use a integração baseada na discretização do integrando no integral de Duhamel e o método de Newmark com variação linear da aceleração e intervalos de tempo de 0. =0.15m/s2 0. Usando o integral de Duhamel calcule o deslocamento no instante t=2.Dinâmica de Estruturas Folha de exercícios 3 1.328m 2.02)=3.01 seg. durante o primeiro segundo.(escreva um programa de computador ou use uma folha de cálculo para resolver este exercício) M=1000ton yG 0. P0 t0 2t0 Resp: P P t P (t ) 0 0 sin j cos j 2 j 1 j 2 t 0 ymax=0.2 0. sujeito a uma acção dinâmica trapezoidal (t=0. considerando ainda que P0=1kN e t0=0. Sabendo que a solução geral para a equação de movimento de uma barra em vibração livre é dada por: ( x ) B1 sinh x B2 cosh x B3 sin x B4 cos x m n2 . uma rigidez de flexão EI=32x106 Nm2 e massa de 250 kg/m .00 . Considere ainda duas situações para a frequência de excitação: =1 e =2. p (t ) p0 sin(t ) 4. em que Resp: n n 2 EI mL4 2. Usando o método da sobreposição modal calcule a resposta de uma viga simplesmente apoiada a uma acção dinâmica uniformemente distribuida dada por p (t ) p 0 sin(t ) com p0=10kN/m. determine uma expressão para as frequências próprias no EI caso de uma viga simplesmente apoiada. Considere um amortecimento modal de 5% em qualquer modo de vibração.Dinâmica de Estruturas Folha de exercícios 4 1. em que 1 e 2 são as primeiras duas frequências próprias da viga. Demonstre que as forças de inércia associadas a um modo de vibração produzem trabalho nulo em todos os restantes modos de vibração 3. situado em Coimbra. Considere o Oscilador de 3GL da figura 2. para o efeito apenas duas funções de Ritz. com uma massa de 25Ton/piso e uma rigidez de 17000kN/m/piso. Considere um edifício habitacional de três pisos. b) Pelo método de Raleigh 3.01sin(10t ) m . b) Calcule o deslocamento máximo na estrutura. 4. os dois primeiros modos de vibração e respectivas frequências próprias do oscilador representado na figura. supondo que é aplicado na base um deslocamento horizontal dado por yG (t ) 0. num terreno tipo 2 e um coeficiente de amortecimento =5%. Use. Considere o oscilador de 4 GL da figura 1 a) Calcule. usando apenas o segundo modo de vibração. calcule o valor do corte basal a) pelo método da sobreposição modal.Dinâmica de Estruturas Folha de exercícios 5 1. As matrizes de rigidez e de massa de um pórtico de dois pisos são as seguintes: k 1 1 1 4 10 6 N / m 3 M 1 0 0 1 5 10 3 Kg a) Determine as frequências próprias e os modos de vibração do sistema b) Nos dados do problema considerou-se que as travessas do pórtico têm rigidez infinita. Considere um amortecimento modal de 1%. pelo método de Rayleigh-Ritz. Use o método de Stodola para calcular os modos de vibração e respectivas frequências próprias m1=1ton k1=800kN/m m2=2ton k2=1600kN/m m3=2ton k3=2400kN/m k1=10MN/m m1=10ton k2=20MN/m m2=20ton k3=20MN/m m4=3ton m3=10ton k4=3200kN/m k4=10MN/m Figura 1 Figura 2 . Para os valores reais de rigidez esperaria maior ou menor valor para as frequências próprias? 2. Admitindo que as vigas possuem rigidez muito superior à dos pilares.