Exemplos de exercícios resolvidos1) Para comparar a produtividade de quatro variedades de milho, um agrônomo tornou vinte parcelas similares e distribuiu, inteiramente ao acaso, cada um das 4 variedades em 5 parcelas experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre as variedades com relação a produtividade, utilizando o nível de significância de 5%? Variedades Repetição A 25 26 20 23 21 115 23 1 2 3 4 5 Totais Médias B 31 25 28 27 24 135 27 C 22 26 28 25 29 130 26 D 33 29 31 34 28 155 31 Resposta: i) enuciar as hipóteses H0 e Ha; H0 : µ A=µ B=µ C=µ D Ha: Não H0 , isto é, existe pelo menos um contraste ortogonal diferente de zero ii) fixar o nível de significância e identificar a estatística do teste; α=5%, Análise de Variância (ANOVA) teste F iii) determinar a região crítica e a região de não rejeição em função do nível significância (α) pelas tabelas estatísticas; Distribuição F 0.1 Ftab.(3,16)5%=3,24 0.09 Região de Não Rejeição de H0 RNRHo = 1- α 0.08 0.07 f(F) 0.06 Região de Rejeição de H0 RRHo = α 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Valor de F O Valor crítico é o F tabelado (Ftab.) com 3 graus de liberdade para tratamento e 16 graus de liberdade para o erro. iv) por meio dos elementos amostrais, calcular o valor da estatística do teste F; Repetição 1 2 3 4 5 Totais Médias A 25 26 20 23 21 115 23 Variedades B C 31 22 25 26 28 28 27 25 24 29 135 130 27 26 D 33 29 31 34 28 155 31 Tabela auxiliar de valores ao quadrado Repetição 1 2 3 4 5 Variedades A 625 676 400 529 441 B 961 625 784 729 576 C 484 676 784 625 841 D 1089 841 961 1156 784 y = 25 + 26 + ⋯ + 28 = 625 + 676 + ⋯ + 784 = 72375 Número de tratamentos I igual a 4 (quatro) Número de repetição J igual a 5 (cinco) Número de unidades experimentais N=IJ=4x5=20 (vinte) Soma Simples de todas os valores das unidades experimentais. isto é.75 N 20 Modelo estatístico de um Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC): . Total Geral (G): G = y = T = y∙∙ G = 25 + 26 + ⋯ + 28 = 535 ou G = 115 + 135 + 130 + 155 = 535 Média geral do experimento Y= G 535 = = 26. 25 = 163.) T = 115 + 135 + 130 + 155 = 72375 1 1 SQTrat.75 − 275. Erro I(J-1) SQErro Total IJ-1 SQTotal QM SQTrat.00 Coeficiente de Variação . Valor F calculado (F). Correção (C) C= G 535 = = 14311.25 = 14475 − 14311. F Calculado (Fcal.). = 163.75 J 5 Soma de Quadrado do Erro (SQErro) SQErro = SQTotal − SQTrat. Soma de Quadrados (SQ). Quadrados Médios (QM). Número de tratamento (I). QMTrat.y = μ + τ + ϵ Quadro ANOVA FV GL Tratamento I-1 SQ SQTrat.25 = 275.CV(%) CV(%) = 7QMErro √7 100% = 100% = 9. = QMErro Fonte de Variação (FV).86% 9999999 Y 26. F QMTrat.25 IJ 20 Soma de Quadrado Total (SQTotal) y = 625 + 676 + ⋯ + 784 = 14587 SQTotal = y − C = 14587 − 14311. Grau de Liberdade (GL). Número de repetição (J).75 Soma de Quadrado de Tratamento (SQTrat.75 = 112.75 . = I−1 SQErro QMErro = I(J − 1) SQErro QMTotal = IJ − 1 F+. = T − C = (72375) − 14311.-. =7.1 0.09 0.08 0.05 0.75/3=54.03 0. f(F) Distribuição F 0. caso o valor da estatística obtido no iv) passo pertença ou não pertença.) é maior que o valor F tabelado. Rejeita-se a H0 a 5% de probabilidade pelo Teste F.75 112.α Região de Rejeição de H0 RRHo = α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor de F Conclusão: .01 0 Ftab. à região crítica determinada no iii) passo.80 v) concluir pela rejeição ou não-rejeição de H0.5833/7=7. respectivamente.04 0.24 Fcal.16)5%=3.75 CV(%) 9.75 QM 163.Quadro da ANOVA FV GL Tratamento 4-1=3 Erro 4(5-1)=16 Total 20-1=19 Média Geral 26.06 0. então existe diferença significativa entre as variedades com relação a produtividade. .00 275. o valor do F calculado (Fcal.(3.5833 112/16=7 F 54.02 0.07 0.8 Região de Não Rejeição de H0 RNRHo = 1.86% SQ 163. α=1%.2. após um determinado período de tempo de aprendizado da técnica pelos atletas. existe pelo menos um contraste ortogonal diferente de zero ii) fixar o nível de significância e identificar a estatística do teste. A designação das técnicas de preparação aos atletas foi feita totalmente ao acaso e de tal forma que o número de atletas avaliados em cada um das técnicas fosse o mesmo. Análise de Variância (ANOVA) teste F . Os resultados obtidos. foram os seguintes (minutos/25 km): Técnicas de Preparação 1 2 1 130 125 2 129 131 3 128 130 4 126 129 5 130 127 Totais 643 642 De acordo com os resultados obtidos. testou três novas técnicas de preparação. Um treinador de corrida rústica. pede-se. objetivando melhorar o desempenho de seus atletas. verificar pelo teste F i) enuciar as hipóteses H0 e Ha. H0 : µ 1=µ 2=µ 3 Ha: Não H0 . Repetição 3 135 129 131 128 130 653 a) Quais foram os princípios básicos da experimentação utilizados pelo pesquisador neste experimento? Resposta: Repetição e Casualização b) Qual foi a unidade experimental nesta pesquisa? Resposta: Um atleta c) É possível concluir que existe diferença entre as técnicas de preparação? (α=1%) Resposta:Sim. Para tanto trabalhou com um grupo de 15 atletas completamente homogêneos para as características essenciais. isto é. Repetição 1 2 3 4 5 Totais 1 130 129 128 126 130 643 Técnicas de Preparação 2 125 131 130 129 127 642 1 Técnicas de Preparação 2 3 16900 16641 16384 15876 16900 15625 17161 16900 16641 16129 18225 16641 17161 16384 16900 3 135 129 131 128 130 653 Tabela auxiliar de valores ao quadrado Repetição 1 2 3 4 5 .01 0 Ftab.1 0.04 0.(2.05 0. f(F) Distribuição F 0.02 0.06 0.) com 2 graus de liberdade para tratamento e 12 graus de liberdade para o erro.07 0.93 Região de Não Rejeição de H0 RNRHo = 1.α Região de Rejeição de H0 RRHo = α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor de F O Valor crítico é o F tabelado (Ftab. iv) por meio dos elementos amostrais.09 0.03 0. calcular o valor da estatística do teste F.iii) determinar a região crítica e a região de não rejeição em função do nível significância (α) pelas tabelas estatísticas.08 0.12)1%=6. Grau de Liberdade (GL). QMTrat.-.).2 15 N Modelo estatístico de um Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC): y = μ + τ + ϵ Quadro ANOVA FV GL Tratamento I-1 SQ SQTrat. Quadrados Médios (QM). = I−1 SQErro QMErro = I(J − 1) SQErro QMTotal = IJ − 1 F+. F QMTrat. = QMErro Fonte de Variação (FV). G = y = T = y∙∙ G = 130 + 129 + ⋯ + 130 = 1938 ou G = 643 + 642 + 653 = 1938 Média geral do experimento = Y G 1938 = = 129. Soma de Quadrados (SQ).6 IJ 15 Soma de Quadrado Total (SQTotal) . Correção (C) C= G 1938 = = 250389. y = 130 + 129 + ⋯ + 130 = 16900 + 16641 + ⋯ + 16900 = 250468 Número de tratamentos I igual a 3 (três) Número de repetição J igual a 5 (cinco) Número de unidades experimentais N=IJ=3x5=15 (quinze) Soma Simples de todas os valores das unidades experimentais. Número de repetição (J). Erro I(J-1) SQErro Total IJ-1 SQTotal QM SQTrat. Número de tratamento (I). isto é. Valor F calculado (F). y = 130 + 129 + ⋯ + 130 = 16900 + 16641 + ⋯ + 16900 = 250468 .. Total Geral (G): . F Calculado (Fcal. 6 = 14.4 QM 14.6 78.8 63.4 Soma de Quadrado de Tratamento (SQTrat.8 = 63. SQTotal = y − C = 250468 − 250389. T = 643 + 642 + 653 = 1252022 1 1 SQTrat.4 − 250389.3=1.78% 9999999 Y 129.4 63.4 .6 = 78.2 Quadro da ANOVA FV GL Tratamento 3-1=2 Erro 3(5-1)=12 Total 15-1=14 Média Geral 129. = T − C = (1252022) − 250389.3 F 7.6 Coeficiente de Variação .6/12=5.CV(%) CV(%) = 75.78% SQ 14.2 CV(%) 1.4/5.) .8 J 5 Soma de Quadrado do Erro (SQErro) SQErro = SQTotal − SQTrat. = 78.8/2=7.4 − 14.3 7QMErro 100% = 100% = 1.6 = 250404. 08 0.12)1%=6. f(F) Distribuição F 0. d) Qual seria a técnica a ser recomendada? Resposta: Qualquer técnica é igualmente recomendada . respectivamente.04 0.07 0.) é menor que o valor F tabelado.09 0.α 0 1 2 3 4 5 Região de Rejeição de H0 RRHo = α 6 7 8 9 10 Valor de F Conclusão: . Não se rejeita a H0 a 1% de probabilidade pelo Teste F. à região crítica determinada no iii) passo.4 Região de Não Rejeição de H0 RNRHo = 1.(2.v) concluir pela rejeição ou não-rejeição de H0.05 0.02 0.06 0.93 Fcal. caso o valor da estatística obtido no iv) passo pertença ou não pertença.=1.01 0 Ftab. o valor do F calculado (Fcal.1 0. então não existe diferença significativa entre as técnicas de preparação.03 0.