EXANI-II ADMISION1. Pensamiento matemático 1.1 Razonamiento aritmético 1.1.1 Jerarquía de operaciones básicas 1.1.1.1 Operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división con números enteros Operaciones combinadas sin paréntesis Combinación de sumas y diferencias 9−7+5+2−6+8−3=8 Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. Combinación de sumas, restas y productos 3·2−5+4·3−8+5·3= = 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20 Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. Posteriormente efectuamos las sumas y restas. Combinación de sumas, restas, productos y divisiones 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 = = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9 Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. Efectuamos las sumas y restas. Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias 23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 20 : 4 = = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 = = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25 Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. Seguimos con los productos y cocientes. Efectuamos las sumas y restas. Operaciones combinadas con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) = = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 4)= = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 6 = 22 Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos, respetando el orden de prioridad. Quitamos paréntesis realizando las operaciones. Operaciones combinadas con corchetes [15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 2 ) = = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 4 ) = = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 4 = = (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 4 = = 12 · 7 − 3 + 4 = = 84 - 3 + 4 = 85 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente. Operamos en los paréntesis. Después multiplicamos. Finalmente restamos y sumamos. Operaciones combinadas con llaves 7 - {5 + 10 [20 : 5 − 2 + 4 (5 + 2 · 3)] − 8 · 32} + 50 (6 · 2) = = 7 - [5 + 10 (4 − 2 + 44) − 8 · 32] + 50 (12) = = 7 - (5 + 10 · 46 − 72) + 600 = = 7 - (5 + 460 − 72) + 600 = = 214 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente y donde había llaves escribimos corchetes. Operamos en los paréntesis. Volvemos a poner paréntesis y operamos. Finalmente restamos y sumamos. 1.1.1.2 Problemas con suma, resta, multiplicación y división con números decimales y fracciones Suma y resta de números decimales Se colocan en columna haciendo corresponder las comas. Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas... 342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 = 372.528 - 69.68452 = Multiplicación de números decimales Se multiplican como si fueran números enteros. El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos factores. 46.562 · 38.6 División de números decimales Para dividir un número decimal por un número entero: Haz una división larga (ignora el punto decimal) Después pon el punto decimal en el mismo sitio que el dividendo (el número que dividimos) Ejemplo: Divide 9,1 por 7 Ignora el punto decimal y haz la división larga: 13 7)91 21 0 Pon el punto decimal a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 1,3 7 )9,1 La respuesta es 1,3 Dividir por un número decimal El truco es convertir el número por el que divides (el divisor) en un número entero, moviendo el punto decimal de los dos números a la derecha: Ahora estás dividiendo por un número entero, y puedes seguir como antes. Este método es seguro si te acuerdas de mover el punto decimal de los dos números la misma cantidad de espacios. Ejemplo 2: Divide 5,39 por 1,1 No estás dividiendo por un número entero, así que tienes que mover el punto decimal para que sídividas por un entero: mover 1 5,39 53,9 1,1 11 mover 1 Ahora estás dividiendo por un entero así que puedes continuar: Ignora el punto decimal y haz la división larga: 49 11 )539 99 0 Pon el punto decimal en la respuesta a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 4,9 11 )53,9 La respuesta es 4,9 Operaciones con fracciones Suma de Fracciones homogéneas a+b = a+b c c c Suma de Fracciones heterogéneas a + b = ad + bc c d cd Resta de Fracciones homogéneas a-b = a-b c c c Resta de Fracciones heterogéneas a - b = ad - bc c d cd Multiplicación de Fracciones a · b = ab c d cd División de Fracciones 2. Puede expresarse mediante una fracción.1. Esto se expresa así: Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante.1. Si las cantidades a comparar son a y b.2 Relaciones de proporcionalidad 1. Solución: Si las edades son a y b Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto: Reemplazando los datos en la ecuación tenemos: . la razón entre ellas se escribe como: Ejemplo 1: La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.1 Problemas con razones Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón: Ahora volvemos a los datos del problema: Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84.a ÷ b = a · d = ad c d c b cb 1. que en este caso será " X". y aparece frecuentemente en notación fraccionaria. sal y mantequilla). Por ejemplo: 2 = 6 5 15 Para resolver una proporción. debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación.2 Problemas con proporciones Una proporción es una igualdad entre dos razones. Por ejemplo: 2 = 6 = 5 15 2 · 15 = 6 · 5 30 = 30 Las proporciones expresan igualdades. 2 · 16 = 8 · x 32 = 8x Se resuelve la ecuación. azúcar. se multiplica cruzado. Ejemplo: 2 =8 x 16 Ahora. Si ella quiere hacer 13 tazas de harina.Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b : Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54. 32 = 8x 8 8 4=x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir: 2=8 4 16 Aplicación: Para hacer sorullitos. 1.1.2. mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido (que contiene agua. ¿cuánto líquido debe agregarle? . 2.1 Expresiones algebraicas 1.1 Operaciones con monomios Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. 3 = 13 1 x Ahora. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. Ejemplo: 5 · (2x2y3z) = 10x2y3z Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base. para 13 tazas de harina. es decir.3. Ejemplo: 2x2y3 + 3x2y3z Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número. se multiplica cruzado.1. Por lo tanto. es el líquido para las 13 tazas de harina. 3x = 13 3 3 x = 4.Hagamos una proporción: harina = harina líquido líquido 3 tazas harina = 1 taza líquido 13 tazas x tazas líquido x es el valor que busco. 1.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos. axn · bxm = (a · b)xn + m Ejemplo: .3 La x es igual a 4. axn + bxn= (a + b)xn Ejemplo 2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z Si los monomios no son semejantes. se obtiene un polinomio. 3 · x = 13 · 1 3x = 13 Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.2 Razonamiento algebraico 1. sumando los exponentes. al sumarlos.2. en este caso. se necesitan 4. de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. axn : bxm = (a : b)xn − m Ejemplo: Si el grado del divisor es mayor. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 Sumamos los monomios semejantes. cada elemento de este. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro. Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x) Agrupamos los monomios del mismo grado. restando los exponentes.2 Operaciones con polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. al exponente que indique la potencia. P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3 P(x) + Q(x) = = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5 .(5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3 División de monomios Sólo se pueden dividir monomios cuando: 1Tienen la misma parte literal 2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.1. si no lo están.2. obtenemos una fracción algebraica. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3 Ordenamos los polinomios. (axn)m = am · xn · m Ejemplos: (2x3)3 = 23 · (x3)3= 8x9 (−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3= −27x6 1. es decir. Ejemplo: Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva. Ejemplo: 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = = 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2 Multiplicación de polinomios Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas. Mira la demostración con el siguiente ejemplo: P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x OPCIÓN 1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Ejemplo 3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5 OPCIÓN 2 Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico: P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1 P(x) : Q(x) . La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3 Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales. 2.2. 1. x5 : x2 = x3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.1 Binomio al cuadrado: (a+b)2 . A la izquierda situamos el dividendo. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. 2x4 : x2 = 2 x2 Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x Volvemos a hacer las mismas operaciones.2. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.2 Productos notables 1. 8x2 : x2 = 8 10x − 16 es el resto. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9 El desarrollo de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.2 Binomios conjugados: (a+b) (a-b) Al producto de la suma por la diferencia de dos cantidades se le llama producto de binomios conjugados. cuyo resultado es el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Aplicando la regla de elevar al cuadrado el primer término menos el cuadrado del segundo término. menos el doble producto del primero por el segundo. Ejemplos ¿Cuál es el resultado de los siguientes binomios conjugados? 1. y tiene la siguiente forma general: .2.2. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término. Observamos que este producto de binomios se puede escribir de la siguiente manera: . se tiene: 2. Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término. más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. más el cuadrado segundo. a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2 a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2 1. Por lo tanto se trata de binomios conjugados. éste será el primer término: . El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios: Ejemplos ¿Cuál es el resultado de multiplicar los siguientes binomios? 1. que es el producto de los segundos términos de los binomios: Finalmente integramos los tres términos para obtener el resultado: 1.2. En este tipo de productos se observan las siguientes reglas: El primer término del producto es el cuadrado del término común. que en este caso es .2. Estimamos el tercer término.4 Binomios al cubo: (a+b)3 . y la parte literal es el término común: . el cual se elevará al cuadrado. Identificamos el término común. que es el producto de los segundos términos de los binomios: . y para obtener el resultado se eleva al cuadrado el primer término y se le resta el cuadrado del segundo término. Finalmente integramos los tres términos para obtener el resultado: 2. que en este caso es . que es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios.2. Calculamos el segundo término del producto. 1. Identificamos el término común.2. Estimamos el tercer término. Calculamos el segundo término del producto. son números y El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios. y la parte literal es el término común. y la parte literal es el término común: . que es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios. donde y representa el término común.3 Binomios con termino común: (a+b) (a+c) Producto de dos binomios de la forma . éste será el primer término: . el cual se elevará al cuadrado. más el triple del cuadrado del primero por el segundo. Si está restando pasa sumado. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Resuelve la ecuación 1. menos el triple del cuadrado del primero por el segundo.2. Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando.3. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 = = 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27 Ejemplos 1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = = x3 + 6x2 + 12x + 8 2(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 − 23 = = 27x 3 − 54x2 + 36x – 8 3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x · 52 + 53 = = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125 1.3. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multiplicando. matemática o aplicación Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable. más el cubo del segundo. Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero.2.2.1 Ecuaciones de primer grado: solución grafica. más el triple del primero por el cuadrado del segundo. más el triple del primero por el cuadrado del segundo. menos el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32+ 33 = = x3 + 9x2 + 27x + 27 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: . generalmente llamada x. matemática o aplicación Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.2 Ecuaciones de segundo grado: solución grafica.3 Ecuaciones 1. Si es a < 0. .2 Ecuaciones con dos o tres incógnitas: aplicación Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Método de sustitución 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 3 Se resuelve la ecuación.4. 3. obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación. multiplicamos los dos miembros por (−1).2.1 Ecuaciones con dos o tres incógnitas: solución grafica y matemática 1. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.4 Sistemas de ecuaciones 1. 2. 1. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.4. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.2.Ejemplos 1.2. Ejemplo 1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. 3 Se resuelve la ecuación.2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. la incógnita x de la primera y segunda ecuación: 2 Igualamos ambas expresiones: 3 Resolvemos la ecuación: 4 Sustituimos el valor de y. y desaparece una de las incógnitas. Ejemplo 1 Despejamos. Ejemplo . multiplicándolas por los números que convenga. 2 La restamos. 5 Solución Método de igualación 1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. en una de las dos expresiones en las que tenemosdespejada la x: 5 Solución: Método de reducción 1 Se preparan las dos ecuaciones. con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 2 Se igualan las expresiones. por ejemplo. 3 Se resuelve la ecuación resultante. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. por el valor anterior: 3 Resolvemos la ecuación obtenida: 4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. cambiando el orden de las incógnitas.Lo más fácil es suprimir la y. 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación. de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones. para que veamos mejor el proceso. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E'2 = E2 − 3E1 . 5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado. pero vamos a optar por suprimir la x. para hacer reducción y eliminarel término en y. para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. cambiando el orden de las incógnitas. para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. trasformadas. 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación. para eliminar el término en x. en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z. 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación. Solución: Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Método de Gauss Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. Restamos y resolvemos la ecuación: Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. Ejemplo 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1. 6º Encontrar las soluciones. en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z. 4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª. para ello seguiremos los siguientes pasos: . E''3 = E'3 − 2E'2 5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado. para eliminar el término en x. z=1 − y + 4 ·1 = −2 y=6 x + 6 −1 = 1 x = −4 Sistemas de ecuaciones no lineales La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución. 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación. para hacer reducción y eliminarel término en y. trasformadas. 3º Se resuelve la ecuación resultante. 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación. Ejemplo La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución. E'3 = E3 − 5E1 4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª. 6º Encontrar las soluciones. preferentemente en la de primer grado. se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. y=7−x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x2 + 49 − 14x + x2 = 25 2x2 − 14x + 24 = 0 x2 − 7x + 12 = 0 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación.2. ¿Cómo se representa una gráfica? Para poder explicarlo debemos introducir antes el concepto de dominio e imagen de una función. preferentemente en la de primer grado.y)∈X×Y | y=f(x)} o también los pares de puntos (x. . Su gráfica vendrá dada por el conjunto de puntos {(x.1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. definimos: Dominio de una función como el conjunto de valores donde evaluaremos la función.x3)} variando el valor de x. x=3 y=7−3 y=4 x=4 y=7−4 y=3 1.5.1 Funciones Dada una función f(x) definida f:Xx⟶⟼Yf(x)=y definimos la gráfica de esta función como el conjunto de puntos: {(x. Se denota como: Dom(f). Estos puntos se pueden representar con coordenadas cartesianas en el plano XYformándose así el dibujo de la gráfica de la función f(x). Entonces.f(x))}={(x. En una función f(x) distinguimos dos conjuntos: uno es el conjunto de donde tomamos valores para evaluar la función (los posibles valores de x) y el otro es el conjunto formado por los diferentes valores que alcanza la función f(x). Ejemplo Tomemos la función f(x)=x3.f(x)). x2 + (7 − x)2 = 25 3º Se resuelve la ecuación resultante.5 Representaciones graficas 1. Si lo representamos obtenemos el dibujo: Pero.2. al ser la función "elevar al cuadrado". nos encontramos que nuestra función por ciertos motivos no puede ser evaluada en ciertos puntos ya que no está definida. Fijémonos que cuando notamos una función como: f:Xx⟶⟼Yf(x)=y el conjunto X es el dominio. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o mejor dicho.∞) Podemos observar que el dominio puede ser un conjunto a elección nuestra (ya que podemos escogerlo más pequeño o más grande) mientras que la imagen vendrá dada por el dominio escogido. Veámoslo mejor con algunos ejemplos: Ejemplo La función f(x)=x tiene como dominio toda la recta real. el dominio de esta función será todos los reales exceptuando el cero: Dom(f)=R∖{0}=(−∞. Se denota como: Im(f). Por lo tanto escribiremos: Dom(f)=R=(−∞. sólo obtenemos valores positivos. A continuación listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones: Función Conjunto de no definición f(x)=log(g(x)) {x | g(x)⩽0}= los valores de x tal que g(x) se hace negativa o cero f(x)=g(x)−−−−√ {x | g(x)<0}= los valores de x tal que g(x) se hace negativa f(x)=g(x)h(x) {x | h(x)=0}= los valores de x tal que h(x) vale cero f(x)=g(x)−−−−√2n {x | g(x)<0}= los valores de x tal que g(x) se hace negativa Ejemplo Si tomamos la función f(x)=(2x+1x−4−ln(x+8))⋅x2+1−−−−−√ y queremos encontrar su dominio debemos considerar que es toda la recta real y irla restringiendo según encontremos puntos o intervalos de no definición. pero. los puntos de no definición.1)∪(1. A veces. y tiene como imagen la misma recta.∞) Y la imagen será Im(f)=R∖{1}=(−∞.∞) Im(f)=R=(−∞.Imagen de una función como el conjunto de valores obtenidos por la función. así que tendremos que excluir ciertos puntos o intervalos del dominio.∞) Cálculo de dominios: Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real (R) e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Por lo tanto escribiremos: Dom(f)=R=(−∞. puesto que podemos evaluarla en cualquier punto.0)∪(0. ya que la función es la identidad. puesto que tomaremos los valores de x de dentro de éste y la imagen estaría dentro del conjunto Y.∞) Ejemplo La función té f(x)=x2 tiene como dominio también toda la recta real (podemos evaluarla en cualquier punto) y no obstante. Por consiguiente su imagen será la semirecta real positiva incluyendo el cero. Ejemplo Si tomamos la función f(x)=x+1x+1 podemos ver que cuando x=0 tenemos la expresión 10 y esta división no puede realizarse. .∞) Im(f)=[0. Por consiguiente. Al final obtenemos: .En este caso.∞) Representación gráfica Supongamos que tenemos una función f(x).cuando x+1 sea negatvo ⇒x2+1<0⇒x2<−1 . por lo tanto la función no tiene intervalos de no definición. daremos valores a la variable x y encontraremos el valor de f(x) y dibujaremos el punto encontrado. Entonces. es decir. Para representarla gráficamente debemos primero encontrar su dominio para saber en que puntos debemos evaluarla.4)∪(4. (x. UUna vez encontrado el dominio procederemos a hacer la representación. cosa que no puede pasar ya que x2siempre es positivo. Ejemplo Tomemos la función f(x)=2x+1 y vamos a hacer la tabla de valores: x f(x) −2 f(2)=2⋅(−2)+1=−3 −1 f(2)=2⋅(−1)+1=−1 0 f(2)=2⋅(0)+1=1 1 f(2)=2⋅(1)+1=3 2 f(2)=2⋅(2)+1=5 y por lo tanto encontramos los pares de puntos: x f(x) −2 −3 −1 −1 0 1 1 3 2 5 los que dibujaremos en el plano XY y eos uniremos con una línea.f(x)) en el plano usando las coordenadas cartesianas. . ¿Cómo lo haremos? Bien. .cuando x+8 sea negativo o cero ⇒x+4⩽0⇒x⩽−8 la función no estará definida. observamos que tenemos 3 posibles intervalos de no definición: cuando x−4 sea cero ⇒x−4=0⇒x=4 la función no estará definida. la manera más simple y sencilla es mediante una tabla de valores. podemos concluir que el dominio de nuestra función será: Dom(f)=(−8. donde hemos marcado con puntos las coordenadas encontradas en la tabla de valores.2. x -2 -1 0 y 1 2 Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. Paso 3: Completar la tabla. entonces y=-2 -2-1=3 Si x=-1. dibuja la gráfica (ubicar la curva de forma adecuada a través de los puntos dados).2 Relaciones Paso 1: Construir una tabla de valores para x . Si x=-2. 1. Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? En caso afirmativo. entonces y=-2 -1-1=1 Si x=0.5. entonces y=-2 0-1=-1 Si x=1. x -2 -1 0 y 1 Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. entonces y=-2 1-1=-3 2 . vuelva al paso 1 y añada más valores x en la tabla. Si no. Ejemplos Ejemplo 1 Construir la gráfica de: y=-2 x -1 Paso 1: Construir una tabla de valores para x . entonces y=. Ejemplo 2 Construir la gráfica de: y=x2.5 y intercepto en y igual a -1. x -2 -1 y 3 1 0 -1 1 -3 2 -5 Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? Ya hay suficientes puntos para reconocer que es es una recta con intercepto en xigual a -0.2 Paso 1: Construir una tabla de valores para x .Si x=2. x -2 -1 0 y 1 Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. entonces y= 02-2=-2 Si x=1. Si x=-2.22-2=2 Si x=-1. entonces y=. entonces y=-2 2-1=-5 Paso 3: Completar la tabla. entonces y= 22-2=2 2 .12-2=-1 Si x=0. entonces y= 12-2=-1 Si x=2. 1. La frecuencia absoluta Corresponde a la cantidad de veces que se repite un dato. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos.3 Razonamiento estadístico y probabilístico 1. Por Ejemplo: Si hacemos una encuesta a 20 personas para saber cuál es su color favorito obtenemos lo siguiente: [Tabla 1] . Denotamos este valor por fi.3.1 Uso e interpretación de tablas de frecuencias Una tabla de frecuencias resume la información acerca de la cantidad de veces que una variable toma un valor determinado. Además permite Organizar e interpretar de manera más rápida y eficiente. que se representa por N. x -2 -1 y 2 -1 0 -2 1 -1 2 2 Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una parábola con interceptos enx igual a 2 y -2 y intercepto en y igual a -2. 1.1 Frecuencias e información gráfica 1.Paso 3: Completar la tabla.3. La Frecuencia Absoluta Acumulada Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. [Tabla3] Para obtener el numero en decimal se divide la frecuencia absoluta por el total y para obtener el porcentaje se multiplica este decimal por 100. Denotamos este valor por hi. Los ejemplos representan una tabla de frecuencias de datos No agrupados. Denotamos este valor por Fi. se obtiene calculando la razón entre la frecuencia absoluta de un dato con el total. [Tabla 2] La Frecuencia Relativa Es la probabilidad de obtener cierto dato. en el caso de las tablas de datos Agrupados representan las frecuencias en rangos de datos. . como en el siguiente caso. Se puede expresar como fracción. decimal o porcentaje. de polígono) Gráficos de barras verticales Los Gráficos de barras verticales representan valores usando trazos verticales. aislados o no unos de otros. circulares. Denotamos este valor por Hi Se calcula: Fi /N 1.Se entrevistan a 28 personas que realizan un taller preguntándoles la edad que tengan: [tabla 4] Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos.3.1. Pueden usarse para representar una o más series Gráficos de barras horizontales . Se puede expresar en tantos por ciento. según la variable a graficar sea discreta o continua.2 Gráficos para representar información (barras. Gráficos de barras comparativas Los Gráficos de barras comparativas son las mismas barras ya utilizadas que pueden utilizarse para comparar dos o más series. Gráficos de barras proporcionales Los Gráficos de barras proporcionales se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos que componen un total. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos.Los Gráficos de barras horizontales representan valores discretos a base de trazos horizontales. para comparar valores entre categorías. Dichas barras pueden ser verticales u horizontales. aislados unos de otros. Gráficos de barras apiladas . Pueden usarse para representar una o más series. Gráficos de áreas En los Gráficos de Áreas se busca mostrar la tendencia de la información generalmente en un período de tiempo. Las barras también pueden ser verticales u horizontales.Los Gráficos de barras apiladas se usan para mostrar las relaciones entre dos o más series con el total. Gráficos circulares Estos Gráficos circulares nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho. Pueden verse en dos o en tres dimensiones. Se utilizan para representar valores con grandes incrementos entre sí. Gráficos de líneas Los Gráficos de líneas representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Pueden utilizarse para mas de una serie de datos. según lo que se desee destacar. en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor. Pueden utilizarse para representar una o más series y en dos dimensiones o en tres dimensiones Gráficos mixtos . 3. 3. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. 4. 2. 9. 5. la distribución es bimodal o multimodal. 9 Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima. la moda es elpromedio de las dos puntuaciones adyacentes. 5. Histogramas Los Histogramas son tipos de gráficos que se utilizan para representa distribuciones de frecuencias. 6. 6. 5. 1. 8Mo = 4 Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud. 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia. 4. 1. 7. fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.Los Gráficos Mixtos representan dos o más series de datos. 0. 4. 1. fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal. 3.2 Medidas descriptivas 1. 7. 4. 5.3. 5 Mo= 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima.2. Hallar la moda de la distribución: 2. 3. tiene varias modas. 5. 5. no haymoda. 1. Se representa por Mo. cada una con un tipo diferente de gráfico. 2.3. Pueden presentarse en dos o en tres dimensiones. Algún software específico para estadística grafican la curva de gauss superpuesta con el histograma. 9. Li-1 es el límite inferior de la clase modal. es decir. . 1. Son gráficos más vistosos y se usan para resaltar las diferencias entre las series. mediana y moda) Moda La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. fi es la frecuencia absoluta de la clase modal. 9Mo= 1. 4. 9. 5.1 Medidas de tendencia central (media. 8. 3. 3. 63) 5 [63. También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta: Ejemplo Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: fi [60. 66) 18 [66.ai es la amplitud de la clase. 72) 27 [72. Cálculo de la mediana 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es: Mediana Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos estánordenados de menor a mayor. 75) 8 100 2º Los intervalos tienen amplitudes distintas. 69) 42 [69. La mediana se representa por Me. . La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas. La clase modal es la que tiene mayor altura. La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos. 9. 91. Ejemplo Los pesos de seis amigos son: 84. 75) 8 100 100 100 / 2 = 50 Clase modal: [66. 6.2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 69) 42 65 [69. 5. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. 63) 5 5 [63. 72) 27 92 [72. 2. 6Me= 5 3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. . 12Me= 9. 4. 7. 5. Hallar el peso medio. ai es la amplitud de la clase. 4. 72. 8. Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. 10. 68. 3. 69) Media aritmética La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. 87 y 78 kg. Ejemplo Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: fi Fi [60. 5. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .5 Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. es el símbolo de la media aritmética. es la semisuma de las frecuencias absolutas. 11. 66) 18 23 [66. 30) 25 8 200 [30. 3. xi fi xi · fi [10. Calcula la puntuación media. 20) 15 1 15 [20. la expresión de la mediaes: Ejercicio de media aritmética En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla.6 = = 0. 10 de su media aritmética 7. 5.6 − 2. 3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número.6 + 4.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7. 4 − 4. Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias.6 + 10 − 7. 60 55 8 440 [60.40) 35 10 350 [40. 4 = 0 2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho númerocoincide con la media aritmética. la media aritmética queda aumentada en dicho número. 80) 75 2 150 42 1 820 Propiedades de la media aritmética 1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero. 2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos. 4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número. 12. Las suma de las desviaciones de los números 8. 50) 45 9 405 [50.6 + 3 − 7. 4 + 2.6 es igual a 0: 8 − 7.70) 65 4 260 [70. . Observaciones sobre la media aritmética 1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas. 3. 75 kg. La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. sigue estos pasos: 1. por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado). Calcula la media (el promedio de los números) 2. 170mm. 69kg . 70 kg. que es una medida de centralización poco representativa de la distribución. "¿qué es la varianza?" Varianza la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ2) se define así: Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. 1. 66 kg. 110 kg. 470mm. Ejemplo Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros): Las alturas (de los hombros) son: 600mm.2. En otras palabras. Vamos a dibujar esto en el gráfico: . 65 kg. Ahora. 430mm y 300mm. 4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada. Calcula la media. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos: 65 kg.2 Medidas de variabilidad (varianza y desviación estándar) Desviación estándar La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. La media es igual a 74 kg. la varianza y la desviación estándar. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado. 72 kg.3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Así que. 3. Respuesta: 600 + 470 + 170 + 430 + 300 1970 Media = = = 394 5 5 así que la altura media es 394 mm. y al 99% de los datos.Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media: Para calcular la varianza. 120) fi 8 10 16 14 10 5 2 Fi 8 18 34 48 58 63 65 .. .3 Medidas de posición 1. y haz la media: 2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2 108. toma cada diferencia.1 Calculo de percentiles Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. o extra grande o extra pequeño. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%. en la Ejercicio de percentiles Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla: [50. Y la desviación estándar es la raíz de la varianza. 60) [60.3. 90) [90. 1.704.704 5 5 Así que la varianza es 21. así que: Desviación estándar: σ = √21. 110) [110.3.. 70) [70. al 2%.3. 80) [80. 100) [100. Cálculo de los percentiles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra tabla de las frecuencias acumuladas.520 Varianza: σ2 = = = 21. elévala al cuadrado. P50 coincide con la mediana.704 = 147 y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media: Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal. 2 Calculo de deciles Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. . 80) [80. 70) [70. y al 90% de los datos.65 Percentil 35 Percentil 60 1. D5 coincide con la mediana. Cálculo de los deciles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra de las frecuencias acumuladas.3.. 90) [90. en la tabla Ejercicio de deciles Calcular los deciles de la distribución de la tabla: [50. al 20%.. 60) [60. 100) [100. 120) Cálculo del primer decil Cálculo del segundo decil fi 8 10 16 14 10 5 2 65 Fi 8 18 34 48 58 63 65 . Los deciles dan los valores correspondientes al 10%. 110) [110.3. Cálculo del tercer decil Cálculo del cuarto decil Cálculo del quinto decil Cálculo del sexto decil Cálculo del séptimo decil Cálculo del octavo decil Cálculo del noveno decil 1. .3. al 50% y al 75%de los datos.3 Calculo de cuartiles Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto dedatos ordenados en cuatro partes iguales. Q1. Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%.3. 9 . 6. 1. 9 Cálculo de los cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra las frecuencias acumuladas. 110) [110. 4.Q2 coincide con la mediana. 3. 2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión Número impar de datos 2. 60) [60. 90) [90. 6. Cálculo de los cuartiles 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. en la tabla de Ejercicio de cuartiles Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla: [50. 100) [100. 120) Cálculo del primer cuartil Cálculo del segundo cuartil fi 8 10 16 14 10 5 2 65 Fi 8 18 34 48 58 63 65 . 7. 7. 3. 70) [70. . Número par de datos 2. 80) [80. 4. 5. 5. Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido. El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n.Cálculo del tercer cuartil 1. tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. .4 Nociones de probabilidad 1. es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. otro evento B pueden2 maneras diferentes entonces.3. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. el producto n (n-1) (n-2). De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios. por ejemplo. hay seis posibles resultados..4. suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio? Aplicando el principio fundamental del conteo. n 10 x 9 x 8 = 720 ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones. sea n 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Por definición 0! = 1 Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño. es decir.1 Problemas de conteo El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Al tirar un dado. restan 9 personas para recibir el segundo.3 x 2 x 1 se llama factorial de n.3. el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas. Una vez que éste ha sido entregado. y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000 n un número entero positivo.. es igual a n1 x n2. .. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto. N1 x N2 x .. sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. uno tras otro. cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos).... sin embargo.+ W maneras o formas Ejemplos: 1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa. en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas. la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas . 5 niños..Respuesta: (3) (4)=12 PRINCIPIO ADITIVO. entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de.. se presenta en tres tipos de carga (8. el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes. donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas. la cuál tiene formas alternativas para ser realizada. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos. el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas. entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de. 3 niños y 2 niñas. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: * La técnica de la multiplicación * La tecnica aditiva * La tecnica de la suma o Adicion * La técnica de la permutación * La técnica de la combinación. dos colores diferentes y solo hay semiautomática.. M + N + . ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2. mientras que la lavadora de la marca E.y Ep” es igual a producto. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas.. en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE... que es de 11 kilogramos. se presenta en solo un tipo de carga.. 4 niños y 1 niña..x Nr maneras o formas Ejemplo: Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool. entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…... Easy y General Electric. y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes... 2 niños y 3 niñas.Si. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? . en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática.. Las posibilidades serían. 11 o 15 kilogramos). hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos. Si se desea llevar a efecto una actividad.. etc.. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes.. Ejemplo: Una pareja que se tiene que casar. entonces una operación o la otra pueden efectuarse de: m+n maneras. se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. donde existen 15 participantes? Aplicando la formula de la permutación tenemos: n P r = n! (n . a. ! .r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760 Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial. b. Si nos damos cuenta los arreglos a. producto de los números naturales entre 1 y n. un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja? PRESA Económico Condominio m=2 PLAYAS Residencial Californiano Provenzal n=3 2+3= 5 maneras PRINCIPIO DE PERMUTACION: A diferencia de la formula de la multiplicación. c son permutaciones diferentes. NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. c y b. en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio. en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial. junta dinero para el enganche de su casa. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles.Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras. la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es: FÓRMULA: n P r = n! (n - r) Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso. si es un dado certificado por la OMD.166 (o lo que es lo mismo. Si el orden de los objetos no es importante.6%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas. La fórmula de combinaciones es: n C r = n! r! (n – r)! Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0. mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). "Organización Mundial de Dados"). Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto? Usando la fórmula de combinaciones: n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4! El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto. P(A) = Casos favorables / casos posibles Veamos algunos ejemplos: a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos). cada uno de estos resultados se denomina combinación. si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A. los resultados serán permutaciones. el cuatro o el seis). Por ejemplo. CA. el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. 16. El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes. entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. entre 0% y 100%): El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos. ¿Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. CB Combinaciones: AB.3. El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). B y C). La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento.50 (o lo que es lo mismo. Los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB. entonces si importa el orden. BC Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. BC.2 Calculo de probabilidad. AC. AC.PRINCIPIO DE COMBINACION: En una permutación. 50%) . mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Si en el equipo hay dos funciones diferentes. BA.4. 1. tiene la misma probabilidad el número 45. la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%. que el número 00001. el tres o el cuatro). A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori". Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista..264.. pero ¿cuál de los dos comprarías? Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito.666 (o lo que es lo mismo. qué hacemos?. ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista): Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces. quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.1 Puntos y coordenadas: ubicación en el plano cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. por ejemplo. eje de las ordenadas o de las yes. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos. es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces.. En este caso. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x). Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada). frente a 100.¡). los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Si al lanzar un dado.1. .1 Puntos. frente a los seis casos posibles. ¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados. no va a ser necesario denunciar a nadie. el dos. Si hubiera infinitos resultados.000 = 0. ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno. algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras. (y).6%) d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable. ¿ponemos una denuncia? No. que son sus respectivas probabilidades. 0. Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara". del 65% y la "cruz" del 35%.4 Razonamiento geométrico 1.001%) Merece la pena . Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0. lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una.000 casos posibles. segmentos y plano cartesiano 1. Si lanzo diez veces la moneda al aire. al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero. Por cierto. 66. 1. la "cara" saliera con una frecuencia..00001 (o lo que es lo mismo.4. es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.. no podríamos aplicar esta regla. Si repito este experimento un número elevado de veces. ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad. y la vertical. Por lo tanto: P(A) = 1 / 100. b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. sino que se habría reducido al 70%. En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito. las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados.4. el número que jugamos (¡qué triste... se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo. Desde donde se localiza el valor de x. -3) y B(5.1. están en la relación r: Ejemplo: ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1. y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1.Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes.2 Puntos que dividen segmentos Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la rectaque contiene al segmento AB. a partir del punto de origen. respectivamente. PA y PB. si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas. 6) en tres partes iguales? .4. Para localizar la abscisa o valor de x. lo cual se representa como: P (x. de modo que las dos partes. en este caso el cero. esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas. 2. 1. se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas. 1.1 Ecuación de la línea recta La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma: y = mx + b Gradiente Intersección Y y = cuánto arriba x = cuán lejos m = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea) b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y) .4.2.4.2 Línea recta 1. el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0. La ordenada en el origen n = 2. el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0. por ser positiva la recta es creciente. Ejemplos de rectas paralelas: a) y = 3x y b) y = 3x +1 c) y = -2x + 5 y d) y = -2x -2 Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x + 2 La pendiente de la recta es 4 . Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos). por ser positiva la recta es creciente. o viceversa. Ejemplos de rectas crecientes: 1) y = 4x 2) y = 3x + 2 3) y = 5/3 x + 1 4) y = 3/2 x + 2 Analizar y representar la siguiente recta: y = 3x -1 La pendiente de la recta es 3 .2 Graficacion de rectas Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y . 2) Tabla de valores x 1 0 -1 y 6 2 -2 . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y . Ejemplos de rectas decrecientes: 1) y = . La ordenada en el origen n = -1. por ser negativa la recta es decreciente. La ordenada en el origen n = 2. el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0.3x 2) y = . -1) Tabla de valores de la recta x 1 0 -1 y 2 -1 -4 Ejercicios rectas decrecientes Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y .2. La pendiente de la recta m es negativa.4/3x +1 Analizar y representar la siguiente recta: y = -2x + 2 La pendiente de la recta es -2 .1. La pendiente de la recta m es negativa. La pendiente de la recta m es positiva.4. 2) Tabla de valores x 1 0 -1 y 0 2 4 Gráfica de las rectas Ejercicios rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. 2 Problemas con ley de cosenos Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. 1.1 Problemas con ley de senos Teorema del seno Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.5.5.5 Razonamiento trigonométrico 1.1 Triángulos oblicuángulos 1.1.1. La ordenada en el origen n = 0. 0) Grafica de las rectas Ecuación de una recta que pasa por dos puntos 1. el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0. es paralela a la recta anterior.5.Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x La pendiente de la recta es 4 . .