Resumen del capítuloI. La distribución probabilística normal es una del tipo continuo, con las características que siguen: A. Es acampanada, y la media, la mediana y la moda son iguales. B. Es simétrica. C. Es asintótica, lo que significa que la curva se aproxima al eje X, pero nunca lo toca. D. Queda descrita completamente por la media y la desviación estándar. E. Existe una familia de distribuciones normales. Cada vez que cambien la media o la desviación estándar, se origina una nueva distribución normal. II. La distribución normal estándar es un caso especial de la del tipo normal. A. Tiene una media de 0.00 y una desviación estándar de 1 .00. B. Cualquier distribución normal puede convertirse a una del tipo normal estándar mediante la siguiente fórmula: Z x C. Estandarizando una distribución normal, se puede apreciar la distancia desde la media en unidades de la desviación estándar. III. La distribución normal puede utilizarse para aproximar una distribución binómica o binomial, bajo ciertas condiciones. A. n y n (1 - ) deben ser ambos por lo menos iguales a 5. 1 . n es el número de observaciones. 2. n es la probabilidad de un éxito. B. Las cuatro condiciones para una distribución binomial son: 1 . Hay sólo dos resultados posibles. permanece igual de un ensayo a otro. Cada ensayo es independiente de los otros. La distribución resulta de un conteo del número de éxitos ensayos. C. La media y la variancia de una distribución binomial se calculan como sigue: 2. 3. 4. en una cantidad fija de n 2 n (1 ) D. El factor de corrección por continuidad, de 0.5, sirve para ampliar en media unidad el valor continuo X, en ambas direcciones. Esta corrección compensa estimar una distribución discreta por medio de una distribución continua. Ejercicios del capítulo. 21. La empresa Ball-Bearings, Inc. produce cojinetes de bolas en forma automática en una máquina Kronar BBX. Para uno de tales rodamientos, la media aritmética del diámetro se determina como 20.00 mm. La desviación estándar de la producción durante un largo período se calcula como 0.150 mm. a) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrá diámetros entre 20.00 mm y 20.27 mm? b) ¿Qué porcentaje de tales elementos tendrá diámetros de 20.27 mm o más? c) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrá diámetros entre 19.85 mm y 20.30 mm? d) ¿Y qué porcentaje de ellos tendrá un diámetro de 19.91 mm o menos? 22. El departamento de contabilidad en Weston, un fabricante nacional de garajes para anexar a las casas, descubrió que la distribución de los tiempos que necesitan dos trabajadores para construir un modelo est án distribuidos aproximadamente en forma normal, con una media de 32 horas (h) y una desviación estándar de 2 h. a) ¿Qué porcentaje de los garajes necesitan entre 32 y 34 horas para ser construidos? b) ¿Qué porcentaje de las cocheras requiere 28.7 h, o bien menos, para su construcción? c) ¿Qué porcentaje de los garajes necesita entre 29 y 34 horas para ser construido? d) De las cocheras, ¿qué número de horas o más se necesitan para construir el 5%? 23. Las ventas netas y el número de empleados en montadoras de elementos de aluminio con características similares, fueron organizados en distribuciones de frecuencias. Ambos valores estaban normalmente distribuidos. Para las ventas netas, μ= 180 mdd (millones de dólares) y = 25 mdd. Para el número de empleados, μ = 1 500 y = 120. La empresa montadora Clarion tuvo ventas de 170 mdd y 1 850 trabajadores. a) Convierta las ventas y el número de empleados de esa compañía, a valores z. b) Localice los dos valores z en una distribución normal estándar. Las distancias recorridas se distribuyeron en forma normal y la desviación estándar de la muestra fue 2 000 km. ¿Qué porcentaje de los vendedores ganó entre $32 000 y $42 000? 27. se concedería a los compradores que pagasen dentro de 7 días hábiles después del recibo de la factura. Los ingresos anuales de un gran grupo de supervisores de la empresa Belco siguen una distribución normal. 28. 32. se distribuyen en forma normal con media de 35 y desviación estándar de 8. La distribución de la producción semanal es. Un ejecutivo de la empresa Westinghouse conduce su auto desde su casa en los suburbios de Pittsburg. es 120. Una opción consiste en pagar un bono sobre el 5% más alto de la producción con base en la experiencia. Los tiempos de recorrido. promediaron $40 000 (dólares). b) Compare su tiempo de servicio con el de los demás supervisores. Los tiempos de servicio de los mismos supervisores también se distribuyen normalmente. Si la prima se paga sobre el 5% superior de la producción. normalmente están distribuidos con una media de 1 000 g (gramos) y una desviación estándar de 50 g. y efectuó un estudio de costos de mantenimiento utilizando una muestra. Evalúe sus puntuaciones con respecto a las de otras personas que realizaron también tales exámenes. Un estudio realizado en la empresa Furniture Wholesales. 25. La empresa Fast Service Truck Lines utiliza el camión Ford Super 1310 en forma exclusiva. Un examen de IQ (coeficiente de inteligencia) diseñado para alumnos de universidad. tiene una media de 1 000 y una desviación estándar de 150. Juan Martínez gana $30 400 al año y tiene 10 años de servicio. b) entre 1 055 y 1 100 gramos. en minutos. con una desviación estándar de $5 000. Tal análisis reveló que la media aritmética del número de kilómetros recorridos por camión durante el año. Inc. una estudiante. Suponiendo que los pagos se distribuyen normalmente. y 122 en la de IQ. Los pesos de las latas de cierta marca de conserva de peras. respecto al pago de facturas reveló que. y la desviación estándar de la distribución normal. en promedio. normal con desviación estándar de 60 unidades. de 200 clientes con los que se trató durante un cierto mes. Calcule el porcentaje de las latas que pesan: a) 860 g. a) ¿En qué porcentaje de los días necesitará 30 min o menos para llegar a su trabajo? . a) ¿Qué porcentaje de las travesías tendrán entre 1 820 y 1 970 pasajeros? b) ¿Qué porcentaje de los recorridos tendrán 1 970 viajeros o más? c) ¿Qué porcentaje de las travesías por el Caribe tendrán 1 600 o menos pasajeros? 29. Las comisiones anuales por vendedor laborante en la empresa Machine Products. reveló que el número medio de viajeros es 1 820. Por consiguiente. que ofrece travesías de una semana por el Caribe. La gerencia de la empresa Gordon Electronics está considerando adoptar un sistema de bonos o primas para incrementar la producción. ¿cuántos podrían normalmente aprovechar dicha rebaja? 26. o menos. fabricante de maquinaria ligera. La desviación estándar fue de 5 días. una factura se liquidó 20 días después de que fue recibida. con media de $28 000 (dólares) y una desviación estándar de $1 200. ¿cuántos recorrieron 55 000 km o menos? c) ¿Cuántos recorrieron 62 000 km o menos durante el año? 31. Shawn Bucci. ¿este bono se pagará con respecto a cuántas unidades o más? 30. a su oficina en el centro de la ciudad. obtuvo 1 310 en la prueba de aptitud mecánica.c) Compare las ventas y el número de trabajadores de Clarion con los de otras compañías. fue 60 000. ¿Qué porcentaje de las empresas tienen más ventas que Clarion? ¿Y más empleados? 24. durante una semana se elaboran 4 000 unidades de un pequeño ensamble. a) Compare su ingreso con el de los otros supervisores. Con base en lo obtenido de la muestra. anunció que un 2% de reducción en el precio. Una prueba de aptitud mecánica diseñada para estudiantes de ingreso a estudios superiores. Los registros indican que. La experiencia con respecto a la cantidad de pasajeros en el buque Queen Elizabeth II. en promedio. a) ¿Qué porcentaje de dichas cuentas se pagó dentro de los 15 días de haber sido recibidas? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una factura y hallar que fue saldada entre 18 y 26 días después de que se recibió? c) La administración de tal empresa quiere estimular a sus clientes a pagar sus facturas mensuales tan pronto como sea posible. tiene una media de 110 y una desviación estándar de 10. aproximadamente. con media de 20 años y desviación estándar de 5 años. a) ¿Qué porcentaje de los camiones recorrió 65 200 km o más? b) Recuérdese que la empresa posee 3 500 camiones Super 1310. ¿Cuál es el . En el caso de un navio que tenga 800 dormitorios. etc. Se interpreta esto como que 95% de los viajes aéreos son inspeccionados en los citados 45 min. consideran a la nutrición la prioridad en su vida. Para envasar un refresco se utilizan botellas de plástico de dos litros que se envían en lotes de 100. con una desviación estándar de 2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una remesa de botellas contenga 8 o más defectuosas? b) ¿Cuál es la de que entre 8 y 10 botellas tengan defectos? c) ¿Cuál es la de que exactamente 8 sean defectuosas? d) ¿Y cuál es la de que no haya botellas con desperfectos? 37. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellos no aprueben el examen? b) ¿Cuál es la de que por lo menos dos estudiantes fallen? 39.3 por día. Supóngase también que la distribución de los tiempos es normal. El departamento de tránsito de un condado Tri-State (en EUA) reportó que 40% de los casos de automóviles que van a alta velocidad concluye en un accidente de poca o mucha importancia. de modo que 5% de los mismos toman más tiempo para su revisión. El número medio de clientes que devuelven artículos es de 10. de manera que el recorrido tardará más de lo acostumbrado.25 clientes por día. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) 32 o más consideren importante la dieta diaria? b) 44 o más estimen que la alimentación es esencial? c) más de 32 pero menos de 43 consideren importante el aspecto dietético? d) exactamente 44 consideren fundamental la alimentación? 36. ¿cuál es la probabilidad de que: a) menos de 5 trabajadores roben? b) más de 5 empleados lo hagan? c) exactamente 5 laborantes cometan robos? d) más de 5 pero menos de 15 empleados roben? 35. ¿cómo estimaría usted el porcentaje de días en que necesita 40 min para llegar al trabajo? (Sugerencia: ¿Dentro de qué intervalo de valores se redondearía el número de veces a 40?) Algunos días habrá accidentes o algún otro imprevisto. a) ¿En qué porcentaje de los días hay 8 o menos compradores devolviendo artículos? b) ¿En qué porcentaje de los días hay entre 12 y 14 clientes devolviendo mercancía? c) ¿Existe alguna posibilidad que algún día no haya devoluciones? 34. Durante un mes en el que ocurrieron 50 casos de alta velocidad. En la línea naviera Poyal Viking se informa que 80% de sus camarotes se ocupa. Si una empresa emplea a 50 personas. Este semestre hay 50 estudiantes inscritos en la clase de Estadística de un conocido profesor. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 8 dejen la clase? b) ¿Cuál es la de que exactamente 8 la abandonen? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 8 o menos deserten? 38. Ya que el ejecutivo no comprendió la respuesta que se le dio en la parte c. Sesenta estudiantes presentarán el examen este sábado. Un gran establecimiento de ventas al menudeo. Un estudio reciente mostró que un 20% de los trabajadores cometen robos a su compañía cada año. otras son demasiado pequeñas. la primera vez que se matriculan. ofrece una política de aceptar devoluciones sin discusión. es que cada vuelo salga dentro de los siguientes 45 min después de su llegada a ese país. a) Si la desviación estándar del tiempo para inspeccionar un vuelo internacional vale 5 min. La meta en los aeropuertos de Estados Unidos que manejan viajes internacionales. en vez de los 5 min de la parte a. Un estudio reciente reveló que el 64% de los hombres estadounidenses mayores de 18 años. Se seleccionó una muestra de 60 varones. Suponga que fracasa 10% de los estudiantes que toman la parte estadística del examen (en Estados Unidos) para calificar como contadores públicos certificados (CPA. ¿cuál es el tiempo medio para revisar un viaje aéreo? b) Supóngase que la desviación estándar es ahora de 10 min. ¿Cuánto tiempo necesitarán los viajes del 10% más prolongados? 33. durante el mes de septiembre.b) c) d) e) ¿En qué porcentaje de los días requerirá 40 min o más para llegar a su oficina? Explique por qué hay una probabilidad de casi O de que necesite exactamente 40 min para llegar a su destino. Suponga que los lotes tienen 5% de defectos: algunas botellas tienen fugas. ¿cuál es la probabilidad de que 665 o más sean ocupados en dicho mes? 41. ¿cuál es la probabilidad de que 25 o más resulten en un accidente de importancia mayor o menor? 40. En la universidad Casper State College. el 20% de los estudiantes desertan de la materia de Estadística Básica. de Certified Public Accountant). Determine las siguientes probabilidades. Utilice la aproximación normal a la binómica para calcular la probabilidad de que ocurra al menos un desastre en 25 misiones. ¿Qué PCE debe tener un estudiante para tal obtención? 44. era de 1 en 35. ¿qué rangos Gentílicos (categorías Gentílicas) obtuvieron Karrie y George? ¿Qué hipótesis es necesaria? .3. Con base en estos datos. y George 18.00? b) ¿Qué porcentaje de alumnos está a prueba. 43. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un PCE desde 2. es decir. Presentó un examen de admisión para estudios superiores denominado Prueba para Universidades Estadounidenses.7 o mayor? d) Para obtener una beca.80 y una desviación estándar de 0. ¿Cuántos estudiantes están en la lista del decano de la universidad. El director de la institución preparatoria informó que sólo el 2% de los estudiantes que hicieron el examen recibió puntuaciones más altas. salvo sus calificaciones. y obtuvo una calificación de 30. con una media de 2. ¿cuál es la probabilidad de que ella salga a tiempo de la inspección? 42. Un estudio de la Fuerza Aérea indicó que la probabilidad de un desastre como la explosión del transbordador espacial Challenger ocurrida el 28 de enero de 1986. tienen un PCE de 3. es decir.40. Karrie obtuvo 25.nuevo valor medio? c) Si una ejecutiva tiene 30 min después del aterrizaje para llegar a su automóvil.00? c) La población de escolares en dicha institución es de 10 000.00 hasta 3. Los amigos de Jon. Descubrió que la distribución es aproximadamente normal. Karrie y George. un alumno debe estar dentro del 10% superior del conjunto de escolares. tiene un PCE menor que 2. correspondientes a muchos años. pero el director no les dio otra información. La calificación media para los estudiantes examinados fue de 18. también presentaron la prueba. El secretario de la Universidad Elmwood estudió los promedios de calificaciones escolares (PCE) de los estudiantes. Jon Molnar terminará este año el ciclo de preparatoria. considerando la información de la parte b.