UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 2010-2 TIPO 1 DURACIÓN MÁX. 2.5 HORAS MIÉRCOLES 2 DE JUNIO DE 2010 NOMBRE______________________________________________________________________________ 1. En el grupo 32 de Probabilidad y Estadística al observarse las calificaciones, se registró un promedio de 75 y una desviación estándar de tres. Si cada una de las calificaciones se incrementan cinco unidades, determinar la media y la variancia de las nuevas calificaciones. 15 Puntos Resolución La media está definida por ∑ n 1 x= xi n i =1 para los nuevos datos, incrementando 5 unidades cada calificación x1 + c, x2 + c,..., xn + c sustituyendo ∑ ∑( n n 1 1 x= ( x1 + c + x2 + c+, ..., + xn + c ) = xi + c ) n n i =1 i =1 por propiedades ∑ ∑ ∑ n n n 1 1 nc x= xi + c= xi + = x +c n n n i =1 i =1 i =1 entonces la media sumando 5 unidades a cada calificación es x = 75 + 5 = 80 La variancia está definida por ∑( n 1 S = xi − x ) 2 2 n n i =1 para los nuevos datos, incrementando 5 unidades a cada calificación x1 + c, x2 + c,..., xn + c y con media x + c , sustituyendo ∑( ∑( n n 1 1 S = xi + c − x − c ) = xi − x ) 2 2 2 n n n i =1 i =1 que es igual, por lo tanto la variancia de los nuevas calificaciones es sn2 = 9 2. Una oficina tiene cuatro secretarias que manejan respectivamente 20, 60, 15 y 5 % del archivo de reportes. La probabilidad de que “archiven mal” tales reportes es 0.05, 0.10, 0.10 y 0.05, respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener un reporte mal archivado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un reporte mal archivado haya sido causa de la secretaria uno? 15 Puntos Resolución PyE_ EF1_TIPO1_2010-2 1 Sean I el evento que representa la secretaria uno maneja el archivo de reportes. II el evento que representa la secretaria dos maneja el archivo de reportes. III el evento que representa la secretaria tres maneja el archivo de reportes. IV el evento que representa la secretaria cuatro maneja el archivo de reportes. M el evento que representa archivan mal los reportes. Del enunciado P ( I ) = 0.2 P ( M I ) = 0.05 P ( II ) = 0.6 P ( M II ) = 0.10 P ( III ) = 0.15 P ( M III ) = 0.10 P ( IV ) = 0.05 P ( M IV ) = 0.05 a) La probabilidad de tener un reporte mal archivado, entonces P ( M ) = P ( I ∩ M ) + P ( II ∩ M ) + P ( III ∩ M ) + P ( IV ∩ M ) P ( M ) = P ( I ) P ( M I ) + P ( II ) P ( M II ) + P ( III ) P ( M III ) + P ( IV ) P ( M IV ) sustituyendo P (M ) = ( 0.2 )( 0.05) + ( 0.6 )( 0.10 ) + ( 0.15)( 0.10 ) + ( 0.05)( 0.05) = 0.0875 b) La probabilidad de que un reporte mal archivado haya sido causa de la secretaria uno, por el Teorema de Bayes se tiene P (I ∩ M ) P(I ) P(M I ) P(I M ) = = P(M ) P(M ) sustituyendo P(I M ) = ( 0.2 )( 0.05) = 0.01 ≈ 0.1143 ( 0.0875) 0.0875 3. En los alrededores de CU, en los últimos años, las autoridades de la Delegación Coyoacán han proporcionado licencias de uso de suelo a comerciantes, con el argumento de que el giro es alimentos. Dadas las condiciones por la falta de supervisores en la zona de Coyoacán. La Delegación recientemente tiene denuncias de los vecinos en donde manifiestan que los giros no son los de origen, por ello piden a la Delegación una supervisión a dichos negocios. Los responsables se dieron a la tarea de hacer un análisis y encontraron que los supervisores visitan al año los comercios, con la siguiente función de probabilidad, siendo X la variable aleatoria que representa el número de visitas a los establecimientos con el giro de alimentos. x 0 1 2 3 4 fX ( x) 0.4 0.4 0.1 0.05 0.05 a) Obtener la probabilidad de que un negocio de ese giro y ubicado en esa zona, sea visitado por un supervisor al menos dos veces en un año. b) Con la función de probabilidad acumulada, obtener la probabilidad de que uno de estos negocios, sea visitando entre dos y cinco veces, inclusive. c) Obtener las medidas de tendencia central. Usted como estudiante de la FI y asesor de un despacho de consultoría, ¿cuál sería su sugerencia al ser abordado por un posible inversionista en este tipo de giros y bajo las condiciones iniciales establecida? 20 Puntos PyE_ EF1_TIPO1_2010-2 2 Resolución a) La probabilidad a calcular es P ( X ≥ 2 ) = P ( X = 2 ) + P ( X = 3) + P ( X = 4 ) sustituyendo P ( X ≥ 2 ) = 0.1 + 0.05 + 0.05 = 0.2 b) La función de distribución acumulativa está dada por ∑ f (i ) x FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = X i =−∞ por lo que x 0 1 2 3 4 FX ( x ) 0.4 0.8 0.9 0.95 1 entonces la probabilidad que se va a calcular, usando propiedades de FX ( x ) P ( 2 ≤ X ≤ 5 ) = FX ( X = 5 ) − FX ( X = 2 ) + f X ( X = 2 ) sustituyendo se tiene P ( 2 ≤ X ≤ 5 ) = 1 − 0.9 + 0.1 = 0.2 c) Las medidas de tendencia central son: media, mediana y moda, entonces E ( X ) = μ = μX = ∑ ∀x x fX ( x) μ X = (1)( 0.4 ) + ( 2 )( 0.1) + ( 3)( 0.05 ) + ( 4 )( 0.05 ) = 0.95 se espera una visita al año. La mediana está definida por 1 P ( X ≤ x ) = 2 1 entonces es x = = 0.25 4 La moda es la variable aleatoria con mayor probabilidad asociada, entonces xmo = 0, 1 0 +1 f X ( x ) es bimodal xmo = = 0.5 2 A criterio del profesor. 4. En un quiosco de periódicos se supone que las ventas diarias se distribuyen normalmente con media de 30 y variancia dos. a) Determinar la probabilidad de que las ventas en un día sean entre 13 y 31 b) Calcular la máxima cantidad de ventas en un día para que sea del 90% c) Supóngase que en una ciudad hay 10 quioscos independientes del mismo tipo y con las mismas características. Determinar la probabilidad de que más de dos quioscos vendan en un día entre 13 y 31 20 Puntos Resolución Sea X la variable aleatoria que representa las ventas diarias de un quiosco de periódicos. X ~ Normal ( μ = 30, σ 2 = 2 ) PyE_ EF1_TIPO1_2010-2 3 a) La probabilidad de que las ventas en un día sean entre 13 y 31, está dado por ⎛ 13 − 30 31 − 30 ⎞ P (13 ≤ X ≤ 31) ≈ P ⎜ ≤Z≤ ⎟ = P ( −12.02 ≤ Z ≤ 0.71) = Fz ( 0.71) − Fz ( −12.02 ) ⎝ 2 2 ⎠ sustituyendo valores de la tabla de distribución acumulativa normal estándar P (13 ≤ X ≤ 31) = Fz ( 0.71) − Fz ( −12.02 ) = 0.7611 − 0 ≈ 0.7611 b) La máxima cantidad de ventas en un día, para que sea de 90%, está dada por P ( X ≤ x ) = 0.9 aproximando mediante la distribución normal estándar ⎛ X − μ x − 30 ⎞ ⎛ x − 30 ⎞ P⎜ ≤ ⎟ = P⎜Z ≤ ⎟ = 0.9 ⎝ σ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ sustituyendo los valores de la tabla de distribución acumulativa normal estándar, para el valor correspondiente x − 30 = 1.29 2 despejando la variable x x = 1.29 2 + 30 = 31.824 los cuales son 32 ventas al día como máximo. a) Sea Y la variable aleatoria que representa el número de quioscos que venden periódicos en la ciudad con las características dadas Y ~ Binomial ( n = 10, p = 0.7611) la probabilidad a calcular es ∑ f ( y) 2 P (Y > 2 ) = 1 − ⎡⎣ P (Y = 0 ) + P (Y = 1) + P (Y = 2 ) ⎤⎦ = 1 − Y y =0 sustituyendo en el modelo probabilístico ∑ 2 ⎛ 10 ⎞ P (Y > 2 ) = 1 − ⎜ ⎟ ( 0.7611) ( 0.2389 ) y 10 − y y =0 ⎝ y⎠ P (Y > 2 ) = 1 − 0.000296 ≈ 0.9997 5. Supóngase que X y Y son variables aleatorias independientes con función de densidad ⎧8 ⎪ ; x>2 ⎧2 y ; 0 < y <1 g X ( x ) = ⎨ x3 hY ( y ) = ⎨ ⎪0 ⎩ 0 ; en otro caso ⎩ ; en otro caso a) Obtener la función de densidad conjunta de X y Y b) Determinar el valor esperado de Z = XY 15 Puntos Resolución a) La función de densidad conjunta para dos variables aleatorias, está dada definida por f XY ( x, y ) = g X ( x ) hY ( y ) sustituyendo PyE_ EF1_TIPO1_2010-2 4 ⎧16 y ⎪ ; x>2 , 0 < y <1 f XY ( x, y ) = ⎨ x3 ⎪ 0 ⎩ ; en otro caso b) El valor esperado, por independencia de variables aleatorias y propiedades es E ( Z ) = E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) Calculando los valores esperados con las funciones de densidad marginales ∞ ∞ R ∫ ∫ ∫ ⎡ x −2+1 ⎤ R 8 1 E(X ) = ( x ) dx = 8 dx = 8 lim −2 x dx = 8 lim ⎢ ⎥ x3 x2 R →∞ R →∞ −2 + 1 2 2 2 ⎣ ⎦2 R ⎡1⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎛ 1⎞ E ( X ) = − 8 lim ⎢ ⎥ = −8 lim ⎢ − ⎥ = −8 ⎜ − ⎟ = 4 ⎣ ⎦2 R →∞ x ⎣ R →∞ R 2⎦ ⎝ 2⎠ El otro valor esperado es ∫ ∫ 1 1 2 2 2 E (Y ) = 2 y ( y ) dy = 2 y 2 dy = ⎡⎣ y 3 ⎤⎦ = [1 − 0] = 1 0 0 3 0 3 3 por lo tanto ⎛2⎞ 8 E ( Z ) = E ( X ) E (Y ) = ( 4 ) ⎜ ⎟ = ≈ 2.6667 ⎝3⎠ 3 6. El peso neto por lote en una marca de sopa tiene distribución normal con media de 565 [gr] y desviación estándar de 15 [gr]. Si se eligen al azar nueve lotes y se anota el peso, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 555 y 575 [gr]? 15 Puntos Resolución Sea X i la variable aleatoria que representa el peso neto por lote. i = 1, 2,...,9 ( X i ~ Normal μ X i = 565, σ X2 i = (15 ) 2 ) entonces ⎛ σ X2 (15 )2 ⎞ X ~ Normal ⎜ μ X = μ X i = 565, σ X2 = i = ⎟ ⎜ n 9 ⎟ ⎝ ⎠ La probabilidad de que la media muestral esté entre dos valores, si se conoce σ X2 i , por el Teorema del Límite Central, es ⎛ ⎞ ⎜ 555 − 565 X − μ − ⎟ P ( 555 ≤ X ≤ 575 ) = P ( 555 < X < 575 ) ≈ P ⎜ 575 565 ≤ X ≤ ⎟= ⎜ 15 σX 15 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 9 n 9 ⎠ = P ( −2 ≤ Z ≤ 2 ) = FZ ( 2 ) − FZ ( −2 ) con valores de la tabla de distribución acumulativa normal estándar P ( 555 ≤ X ≤ 575 ) = FZ ( 2 ) − FZ ( −2 ) = 0.9772 − 0.0228 ≈ 0.9544 Es muy probable que el peso medio de los lotes esté entre los valores de peso especificado. PyE_ EF1_TIPO1_2010-2 5