MATEMÁTICAPARTE 2 Pregunta N.o 21 En la figura mostrada, el valor de E= a ⋅ tg α ⋅ sen θ , es: b ⋅ cos β α a θ b β ∴ En el BFE b cos β tan α = a sen θ a tana senq=b cosb a tan α sen θ =1 b cos β E=1 Respuesta 1 A) – 2 D) 2 B) – 1 C) 1 E) 3 Pregunta N.o 22 1 Determine la distancia del punto , 4 a la recta 4 3 L de ecuación: y + 1 = 2 x + . 4 A) 2 5 5 5 B) 3 5 C) E) 4 5 6 5 Resolución Tema: Resolución de triángulos rectángulos asenθ a θ D) acosθ Análisis y procedimiento B G asenθ α asenθ a θ A D F bcosβ β E C Resolución Tema: Geometría analítica Distancia de un punto a una recta P(x0; y0) b β L : Ax+By+C=0 d ( P; L ) = Ax 0 + By 0 + C A2 + B2 16 MATEMÁTICA Análisis y procedimiento 3 1 L : y +1 = 2 x + ; P ; 4 4 4 Convertimos la recta a su forma general. Resolución Tema: Circunferencia trigonométrica (C.T.) Análisis y procedimiento Nos piden la variación de M=cos2a – cosa+2 Completamos cuadrados 1 7 M = cos α − + 2 4 Del dato 2π 5π ≤α≤ 3 3 En la C.T. 2 L : 4 x − 2y + 1 = 0; P ; 4 4 Hallamos la distancia de un punto a la recta. d ( P; L ) = d ( P; L ) = 1 4 − 2 (4 ) + 1 4 4 2 + ( −2) −6 6 = 20 2 5 3 5 2 1 (I) ∴ d ( P; L ) = Respuesta 3 5 Y 2π 3 X α 5π 3 cosα cos 5π 3 Pregunta N.o 23 2π 5 π Para α ∈ , , calcular la variación de 3 3 M=cos2a – cosa+2. 3 7 A) , 4 4 7 C) , 4 4 9 D) , 4 4 7 9 E) , 4 4 7 B) , 3 4 De la C.T. cosπ cos π ≤ cos α ≤ cos −1 ≤ cos α ≤ 1 2 5π 3 Formamos la expresión (I) 3 1 − ≤ cos α − ≤ 0 2 2 9 1 ≥ cos α − ≥ 0 4 2 2 17 MATEMÁTICA 1 7 7 4 ≥ cos α − + ≥ 2 4 4 ∴ 7 ≤M≤4 4 2 E= 1 + tg 2 θ − tg 2 x 2 − ctg θ + cos x Reemplazando (I) y (II) en la expresión E= 1 + sec 2 x − tg 2 x 2 − cos x + cos x 1+1 2 Respuesta 7 4 , 4 ∴ E= E=1 Pregunta N.o 24 Si secx=csc2q – ctg2q, determine E= sec 2 θ − tg 2 x 2 − ctg θ + cos x A) – 1 D) 1 B) 0 C) 1 2 Respuesta 1 Pregunta N.o 25 Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. II. π Si arc sen ( − x ) = − , entonces x=1 2 Si arc cos( – x)=1, entonces x= – p π 2 C) VVF E) VFV 3 E) 2 Resolución Tema: Identidades trigonométricas del arco doble x • tg = csc x − ctgx 2 2 III. Si x ∈ [ – 1, 1], entonces arc sen ( − x ) + arc cos ( − x ) = • sec x=1+tg x Análisis y procedimiento De la condición secx=csc2q – ctg2q secx=tgq (I) cosx=ctgq (II) Nos piden E= sec θ − tg x 2 − ctg θ + cos x 2 2 2 A) FFV D) VFF B) VVV Resolución Tema: Funciones trigonométricas inversas • Función arco seno: f(x)=arc senx π π Domf=[ – 1; 1] ; Ran f = − ; 2 2 18 MATEMÁTICA • Función arco coseno: f(x)=arc cosx Domf=[ – 1; 1] ; Ran f=[0; p] Propiedad Pregunta N.o 26 Para 1 < x < 3 resolver la siguiente inecuación: sen(px) – cos(px) < 0 A) 1, 5 4 B) 5 9 , 4 4 C) 5 5 , 4 2 9 ,3 4 p arc senx+arc cosx= ; ∀ x ∈ [ – 1; 1] 2 Análisis y procedimiento I. Verdadero Si arcsen ( − x ) = − Veamos π arc sen ( − x ) = − 2 π − x = sen − → − x = −1 2 ∴ x=1 II. Falso Si arc cos( – x)=1, entonces x= – p. Veamos arc cos( – x)=1 → ∴ x= – cos1 III. Verdadero Si x ∈ [ – 1; 1], entonces arc sen( – x)+arc cos( – x)= Veamos x ∈ [ – 1; 1] → – x ∈ [ – 1; 1] p 2 – x=cos(1) D) 9 5 , 4 2 E) π , entonces x=1. 2 Resolución Tema: Inecuaciones trigonométricas π senθ − cos θ = 2sen θ − 4 Análisis y procedimiento De la condición sen(px) – cos(px) < 0; 1 < x < 3 Mediante la identidad de arcos compuestos π 2sen πx − < 0 4 La función seno es negativa en el tercer y cuarto cuadrante. π < πx − π < 2π 4 5π 9π < πx < 4 4 5 9 <x< 4 4 Entonces x∈ 5 9 ; 4 4 (I) Por propiedad π arc sen ( − x ) + arc cos ( − x ) = 2 Respuesta VFV Además, por dato x ∈ 〈1; 3〉 Intersectando (I) y (II) tenemos 5 9 x∈ , 4 4 (II) 19 MATEMÁTICA Respuesta 5 9 ; 4 4 Por el teorema de cosenos cos θ = (2 10 ) + 13 − 17 2 2 2 2 ( 2 10 )( 13 ) Pregunta N.o 27 Los vértices de un triángulo son: A=(– 1, – 1), B=(1, 2), C=(5, 1) Entonces el coseno del ángulo B C vale: A) 0,789 D) 0,897 B) 0,798 C) 0,879 E) 0,987 cos θ = 9 130 ∴ cosq=0,789 Respuesta 0,789 Resolución Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos Teorema de cosenos Pregunta N.o 28 A= {( x, y) ∈R 2 / x = − 2 + t 2 , y = 1 + 2t 2 ; t ∈ R } Entonces la gráfica que representa a A es: b θ c – 2; 1 a A) a2=b2+c2 – 2bccosq → cos θ = b2 + c 2 − a2 2bc B) 5 – 2; 1 Análisis y procedimiento Piden cosq. Y 1 2 1 B(1; 2) 13 θ 6 17 2 10 4 1 C(5; 1) 1 1 X C) 5 – 2; 1 1 A(– 1; – 1) 20 MATEMÁTICA D) Grafiquemos la recta. 2x – y+5=0; x ≥ – 2 – 2; 1 y≥1 5 Respuesta Y E) 5 – 2; 1 (– 2; 1) –2 1 X Resolución Tema: Ecuaciones paramétricas Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio mediante valores arbitrarios o mediante una constante llamada parámetro. Análisis y procedimiento Piden la gráfica que representa A. A={(x; y) ∈ R2 / x=– 2+t2; y=1+2t2; t ∈ R} x=– 2+t2 → x ≥ – 2 y=1+2t 2 Pregunta N.o 29 Tres de las diagonales de un polígono regular forman un triángulo equilátero. Determine la suma de los ángulos internos si se sabe que la medida de su ángulo interno es mayor que 140º pero menor que 156º. A) B) C) D) E) 1440º 1620º 1800º 1980º 2160º (I) (II) → y≥1 De (I)×2 2x=– 4+2t2 Eliminamos el parámetro t2 para relacionar x; y. 2 x = −4 + 2t y = 1 + 2t 2 2 x − y = −5 2 Resolución Tema: Polígonos Análisis y procedimiento Nos piden la suma de ángulos internos (SmSint). Dato: 140º < a < 156º, donde a es la medida del ángulo interior. (– ) 21 MATEMÁTICA B n .. 3 Pregunta N.o 30 n 3 . ... C es una circunferencia con diámetro AB y P es un punto exterior a C. Se trazan los segmentos PA y PB tal que la prolongación de PB corta a la circunferencia en C. Si el ángulo APC mide 25º, calcule la medida del ángulo CAP. A) 53º D) 37º B) 65º C) 45º E) 55º . . . . . . C A ... n ... 3 Resolución Tema: Circunferencia Recuerde que si AB es diámetro, se cumple que q=90 θ Sea n el número de lados. En el gráfico, si → n=3 o ABC es equilátero (I) Además, AB, BC y AC son las diagonales del polígono regular. Luego, si a es la medida del ángulo interior → α= 180º (n − 2) n A Análisis y procedimiento Nos piden x. Dato: mSAPC=25º B P 25º Reemplazando en el dato 140º < 180º (n − 2) < 156º n (II) A x B 9 < n < 15 En (I) y (II), n=12 Luego SmSint=180º(n – 2) SmSint=180º(12 – 2) ∴ SmSint=1800º Respuesta 1800º C C prolongación de PB • Como AB es diámetro, entonces mSACB=90º. • Luego en el triángulo rectángulo ACP, se observa que x+25º=90º ∴ x=65º Respuesta 65º 22 MATEMÁTICA Pregunta N.o 31 En la figura mostrada, O es el centro de la semicircunferencia de radio 12 cm y O’ es el centro de la circunferencia de radio 4 cm. Si la circunferencia es tangente en A y B a la semicircunferencia, calcule AB en cm. Sea AB=x. Por posiciones relativas entre circunferencias tangentes interiores, O, O’ y B son colineales, entonces OO’=8 cm y O’B=4 cm. Trazamos O’A, entonces m OAO’=90º; además, B O' En el O A) 2 6 B) 3 3 C) 4 2 D) 4 3 E) 6 2 A AO’B, AO’=O’B, entonces m O’AB=m ABO’=30º. OAO’ es notable de 30º y 60º; por lo tanto, m AOO’=30º, m AO’O=60º y OA= 4 3 cm. Finalmente, el ∴ x=4 3 cm AOB es isósceles. Respuesta 4 3 Resolución Tema: Circunferencia Análisis y procedimiento Nos piden AB en cm. Datos La semicircunferencia de centro O tiene su radio igual a 12 cm, y el radio de la circunferencia de centro O’ es 4 cm. Pregunta N.o 32 En un cuadrilátero ABCD, m BAC=3 m ACD, m ABC=m ADC=90º. Si AC ∩ BD={F}, FC=10 m, BD=9 m, calcule AF (en metros). 12 cm 60º 4 cm O' 4 c m B 30º A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 x cm 4 cm 8 30º O 4 3 cm A 30º 23 MATEMÁTICA Resolución Tema: Relaciones métricas en la circunferencia Recuerde que m BAC=3(m ACB) entonces se traza la ceviana AT, tal que ATC sean isósceles. B b b 2θ A a θ 2θ T a θ C ATB y Sea AF=2x El z ABCD: inscriptible → m BDC=m BAC=3q En CDF: uso de la ceviana FTD y CTD: isósceles Luego En z ABCD: inscriptible (teorema de cuerdas) (2x)(10)=(5 – x)(4+x) → x=1 ∴ 2x=2 Respuesta 2 Análisis y procedimiento Nos piden AF. Datos FC=10 y BD=9 m BAC=3(m ACD)=3q m ABC=m ADC=90º C θ 5+x T 2θ B 5–x 4+x F 3θ 2x A 5–x 5+x A) θ 2θ D D) A Pregunta N.o 33 En la figura mostrada, O es centro de la circunferencia cuyo radio mide R unidades. Si AO=FE y m CEA=15º, entonces el área del sector circular AOC es a la longitud de la circunferencia como: C F 15º O R E R 12 R 16 B) R 14 C) R 15 R 18 E) 24 MATEMÁTICA Resolución Tema: Áreas de regiones circulares Nos piden Pregunta N.o 34 Desde un punto exterior a un plano se trazan tres oblicuas congruentes de 14 m de longitud, de modo que sus pies son los vértices de un triángulo 81 equilátero cuya área es 3 m 2 . Calcule la 4 distancia del punto al plano. A) 9 D) 12 B) 10 C) 11 E) 13 A sector AOC Longitud de C Análisis y procedimiento Datos: AO=FE y mCEA=15º C 30º R A 45º R O 30º R 15º F Resolución Tema: Pirámide regular Análisis y procedimiento Nos piden la distancia del punto al plano igual a x. Datos Las oblicuas miden 14 m, y los pies son los vértices 81 3 2 m . de una región equilátera cuya área es 4 punto exterior R 15º E C Se sabe que R P 14m x 14m C 14m A sector = AOC (45º )πR 2 πR 2 = 360º 8 A 3 3m 60º O 120º 3 3m 9m 9m B 9m Longitud de C=2pR Luego πR 2 R AOC = 8 = Longitud de C 2πR 16 • Sea P el punto exterior, la región ABC es equilátera (AB=BC=AC). • Por dato, A Entonces ABC = A sector 81 3 2 m 4 Respuesta R 16 ( AB) 2 3 4 AB=9m = 81 3 2 m 4 25 MATEMÁTICA • Como PO es la distancia al plano y P - ABC es una pirámide regular, entonces O es circuncentro del ABC. • En el AOB, AO=OB y m AOC=120º, entonces 9m = AO ( 3 ) y AO = 3 3m Resolución Tema: Tronco del prisma oblicuo Análisis y procedimiento Piden el volumen del sólido (VS). A SR a 60º b c • Finalmente, en el AOP se aplica el teorema de Pitágoras (14m) = x 2 + ( 3 3m) 2 2 Abase ∴ x=13m Respuesta 13 • • Pregunta N.o 35 Se quiere formar la letra “V” con dos troncos iguales de prisma oblicuo de base triangular, con un ángulo de abertura de 60º, tal como se muestra en la gráfica. El área de la base común es de 30 m2 y la suma de las aristas laterales de uno de los troncos es 36 m. Calcule el volumen (en m3) del material necesario para su construcción. • • Sea ASR: Área de la sección recta Luego vS=2(vtronco del prisma oblicuo) VS = 2 A S R a + b + c 3 Del dato, a+b+c=36, entonces VS=24(ASR) (I) Proyectamos al sólido en una vista de canto A SR A SR 30º 30º 60º A base 60º • • • Luego ASR=Abasecos60º Por dato, Abase=30 ASR=15 De (I) y (II) (II) vS=360 A) 60 D) 360 3 B) 120 C) 360 E) 720 Respuesta 360 26 MATEMÁTICA Pregunta N.o 36 En un tetraedro regular, determine la medida del ángulo entre las medianas de dos caras, si las medianas no se intersecan. 1 A) arc cos 3 2 B) arc cos 3 1 C) arc cos 6 1 D) arc cos 7 1 E) arc cos − 3 En Asumimos, VA=4. entonces, VM=MC=2. Luego trazamos ML // VH, entonces m (AM; VH)=x. En el ABL AL = 13. AML, por teorema de cosenos 13 = 3 + ( 2 3 ) − 2 ( 2 3 )( 3 ) cos x 2 2 2 1 ∴ x = arc cos 6 Respuesta 1 arc cos 6 Resolución Tema: Poliedros regulares Análisis y procedimiento Nos piden la medida del ángulo entre dos medianas de dos caras de un tetraedro regular. Dato: las medianas consideradas no se intersecan. V 4 2 3 A 4 B 13 2 2 M x 3 2 C Pregunta N.o 37 Se tiene un cono circular recto de volumen V y longitud de la altura H. La superficie lateral de este cono se interseca por dos planos paralelos a la base que trisecan a la altura H, obteniéndose conos parciales de volumen V1 y V2, respectivamente (V2>V1). Si V=aV1+bV2, calcule el cociente que a – 2b=12. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 a , sabiendo b H 1 1 L Según el gráfico, VABC es el tetraedro regular, donde AM y VH son las medianas de dos caras que no se intersecan. 27 MATEMÁTICA Resolución Tema: Cono de revolución Recuerde que a B b Luego V2=8V1 y V=27V1 Del dato V=aV1+bV2 27V1=aV1+b(8V1) → 27=a+8b pero 12=a – 2b. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que 3 b= y a=15 2 a \ = 10 b 3 h H A r C R D Si AB // CD, se cumple que Vcono menor r a h = = = = K3 b H Vcono mayor R donde K es la razón de semejanza. Análisis y procedimiento a Nos piden . b Datos: V2>V1 V=aV1+bV2 a – 2b=12 3 3 Respuesta 10 Pregunta N.o 38 En un tetraedro regular de arista a, la distancia desde el centro de una de sus caras a cada una de las caras restantes es: A) D) 2 a 3 a 6 B) a 3 C) E) 2 a 3 1 2 a 3 3 V1 8V1=V2 27V1=V C A m B m D m Resolución Tema: Poliedros regulares Análisis y procedimiento Nos piden la distancia desde el centro de una de las caras a cada una de las caras restantes de un tetraedro regular. Dato: tetraedro regular de arista a. Como el tetraedro es regular, el centro de una cara equidista de las otras tres. E Como AB // CD // EF, se cumple que V1 V2 V = = 3 3 (m) ( 2m) (3m) 3 F 28 MATEMÁTICA Sea x esa distancia. A O B x x P x C D A C B Entonces A) (I) D) 1 a2 3 3 4 (II) VABCD=VP-ABC+VP-ACD+VP-ABD Nótese 3 3p 3 3 4p B) 2 3 3p C) 3 4p 3 2p E) VP-ABC=VP-ACD=VP-ABD= Además a3 2 = 12 Resolución Tema: Pirámide regular Tronco de cilindro de revolución centro V ABCD (III) Luego, (III) y (II) en (I) 1 a2 3 a3 2 = 3 ⋅ x 3 4 12 ∴ x= 1 2 a 3 3 Se cumple h R Respuesta 1 2 a 3 3 Vtronco de cilindro=pR2· h de revolución Pregunta N.o 39 En la figura, O - ABC es una pirámide regular. Calcule la relación que existe entre el volumen de la pirámide regular y el volumen del tronco de cilindro (O es centro). Análisis y procedimiento Nos piden Vpirámide regular Vtronco de cilindro de revolución 29 MATEMÁTICA Datos El sólido O - ABC es una pirámide regular y O es centro de una base del tronco de cilindro. A) 1240p D) 1540p B) 1340p C) 1440p E) 1640p Resolución O Tema: Cilindro h A R 3 R 3 B R 3 R C Sea R el radio de la base del tronco de cilindro. Como el triángulo equilátero ABC está inscrito en la circunferencia AB=BC=AC=R 3 Calculamos lo que nos piden. H R ASL 2πR Área de la superficie lateral del cilindro circular recto ASL=2pRH Análisis y procedimiento Nos piden ASL. ASL: área de la superficie semicilíndrica del stand Datos: DC=5(AD)=10R AABCD=2880 A R R D 10R C Del gráfico (sup. semicilíndrica) ASL=(pR)(10R) ASL=10pR2 (I) Del dato AABCD=2880 (2R)(10R)=2880 → R=12 De las ecuaciones (I) y (II) ASL=1440p Respuesta 1440p R B Vpirámide regular Vtronco de cilindro de revolución 2 R 3 3 (h) 3 4 = 2 πR ⋅ h ( ) Vpirámide regular Vtronco de cilindro de revolución 3 = 4π Respuesta 3 4p Pregunta N.o 40 Un stand de una feria de libros tiene un piso rectangular de 2880 m2 y el techo tiene una forma semicilíndrica. ¿Cuántos m2 de lona se necesitarían para el techo, si el largo del stand es el quíntuple del ancho? (II) 30