Licence SVPAnnée universitaire 2003-2004 Examen de Mécanique des milieux continus Durée 2h Aucun document n’est autorisé, ni calculatrice Exercice 1 : Lignes de courant et trajectoires de particules fluides On étudie l’écoulement plan stationnaire d'un fluide parfait, noté (E), dont le champ de vitesse V = v x ex + v y e y locale au point M de coordonnées (x,y) est donné par : (v x = −α x 2 y, v y = α xy 2 ) 1. On recherche l'équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide. On rappelle que la tangente en tout point d’une ligne de courant est colinéaire à la vitesse en ce point. a. A partir de cette définition en déduire une relation entre les coordonnées de la vitesse dM = dxe x + dye y et une portion de la ligne de courant. b. Montrer qu’après intégration de la relation précédente on obtient une hyperbole d’équation xy = cte 2. On recherche les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide P de coordonnées (x0,y0) à l'instant t=0 et que l'on suit dans son mouvement (description lagrangienne). a. Ecrire le système d’équations permettant de déterminer la trajectoire de la particule fluide P. b. Que peut-on dire des lignes de courant et des trajectoires des particules fluides lorsque l’écoulement est stationnaire ? En déduire que l’on peut utiliser le résultat écrit au 1.b pour simplifier le système précédent. c. Intégrer le système ( E ) pour obtenir les équations paramétriques du mouvement de la particule P 3. Exprimer la vitesse vp(t) de la particule P et l'accélération a(t) de cette particule fluide à partir de la description lagrangienne de 2. On mettra en évidence les constantes x 0 et y0 dans l’expression finale. 4. Retrouver l'accélération de la particule du fluide de l'écoulement en utilisant une description eulérienne : on se place au point d'observation M fixe. Exercice 2 : Calcul du champ de pression associé au tourbillon de Rankine v = rΩeθ , r < a Ωa 2 eθ , r ≥ a v = r On prendra P=PI à l'infini 6. Pour déterminer la pression à l’intérieur du cylindre de rayon a on utilise les équations du mouvement du fluide parfait (on rappelle en annexe les équations de Navier-Stokes en coordonnées cylindriques). dont on justifiera l’application. A.à. 5.d. = grad Φ ).Equations de Navier-Stokes en coordonnées cylindriques : ∂v v ∂v v 2 ∂v ∂v 1 ∂p + υ ∆v r r + vr r + θ r − θ + v z r = − ∂r r ∂θ r ∂z ρ 0 ∂r ∂t ∂v v v ∂v v ∂v 1 1 ∂p ∂vθ + vr θ + r θ + r θ + v z θ = − + υ ∆vθ ∂r r ∂θ r ∂z ρ 0 r ∂θ ∂t ∂v z v ∂v z ∂v ∂v 1 ∂p + vr z + θ + vz z = − − g + υ ∆v z ∂ t ∂ r r ∂ θ ∂ z ρ ∂ z 0 .z) sont les coordonnées cylindriques.29 kg / m . 4. r < a expressions suivantes : Ωa 2 eθ .q.θ. eθ (direction azimutale). En déduire une relation entre la composante azimutale de la ∂p v vitesse θ et ∂r pour r<a. l’expression de la pression à l’extérieur du cylindre de rayon a. qu'il v existe une fonction Φ t. : Calculer la dépression centrale d'un cyclone dont les vents ont une vitesse 3 maximale de 180km/h. Que peut-on dire de la quantité 1/2 v2 + p/ρ dans chacun des domaines ? Qu'en concluton ? 7. En déduire à partir de la relation de Bernouilli. e z (axe vertical orienté 1. 3. On prendra ρ 0 = 1. Tracer le profil radial de la vitesse 2. Le fluide considéré est de masse volumique constante ρ 0 Le vortex de Rankine est un modèle très simplifié de l'écoulement généré par un cyclone. Son champ de vitesse est donné par les v = rΩeθ .N. Montrer que l'écoulement est potentiel à l'extérieur du cylindre de rayon a (c.Expression du gradient en coordonnées cylindriques : ∂f 1 ∂f ∂f grad f = er + eθ + e z ∂r r ∂θ ∂z . r ≥ a v = Où (r. Déduire de 3 et 4 l'expression de la pression dans chacun des domaines. Annexe : . les vecteurs unitaires sont r er (direction radiale).Licence SVP Année universitaire 2003-2004 positivement vers le haut).