DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURESAPPLICATION A LA MODELISATION DES STRUCTURES PAR ELEMENTS FINIS ex-ef-matrice-raideur-poutre.doc/version du 01/11/2010/JG ELABORATION DE LA MATRICE DE RAIDEUR DE L’ELEMENT POUTRE EN FLEXION PLANE OBJECTIFS Cet exercice à pour but de découvrir toutes les étapes permettant d’élaborer la matrice de raideur d’un élément fini poutre sollicité en flexion plane Rappel : sollicitation de flexion plane sur une poutre Considérons une flexion de poutre s'effectuant dans un plan principal, par exemple (xy) et dont la ligne moyenne est portée sur l'axe x . On rappelle qu'alors les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre géométrique G de la section droite se réduisent à : { } G G ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = z y r r z y Mf T Coh , où Ty est l'effort tranchant porté par l'axe y et Mfz le moment de flexion porté par l'axe z . Les déplacements d'une section sont dans ce cas : v(x) : déplacement linéaire ou flèche suivant l'axe y du centre de la section. θ z (x) : déplacement angulaire ou rotation de la section autour de l'axe z . On montre que lorsque la surface latérale de la poutre est libre de tout effort, l'équilibre d'une tranche élémentaire dx de poutre amène aux relations : 0 dx d = + y z T Mf et 0 dx d = y T Et la relation de comportement s'écrit dans le cadre de l'hypothèse de Bernoulli : z 2 2 z EI dx v d dx dv ) x ( z Mf = ⇒ ≅ θ Matrice de raideur Définition de l'élément fini C’est une poutre de longueur l. Il a pour propriété de matériau un module d'élasticité longitudinale E, et pour propriété de section droite le moment quadratique par rapport à l'axe z soit I z . Cet élément fini sera représenté et modélisé pour le calcul par sa ligne moyenne. Les centres géométriques des sections d'extrémités (1) et (2) sont les nœuds de l'élément. Le repère (xyz), lié à l'élément, est le repère local. Actions mécaniques extérieures appliquées aux nœuds de l'élément poutre en flexion plane Déplacements nodaux et déformée engendrés 2 1 Y 1 N 1 Y 2 N 2 y x <E, I z , l> v 1 θ θθ θ z1 v 2 θ θθ θ z2 2 1 élément de poutre non déformé déformée apparente de l'élément fini y x déformée réelle Le chargement de l'élément consiste en des forces transverses et des moments respectivement y 1 Y , z 1 N au nœud (1) et y 2 Y , z 2 N au nœud (2). Les degrés de liberté associés sont donc : - les translations y 1 v au nœud (1) et y 2 v au nœud (2) - les rotations de section z 1 z θ au nœud (1) et z 2 z θ au nœud (2), 2 22 2- exprimer la fonction déplacement d’un point courant en fonction des déplacements nodaux à partir des relations d’équilibre et de comportement 1 11 1- écrire l’expression analytique de l’énergie de déformation où apparaît le déplacement d’un point courant 3 33 3- introduire l’expression du déplacement d’un point courant dans l’expression de l’énergie de déformation 4 44 4- faire apparaitre une forme quadratique des déplacements nodaux dans l’expression de l’énergie de déformation 5 55 5- identifier l’expression de l’énergie de déformation avec celle issue d’une écriture généralisée 6 66 6- extraire la matrice de raideur de l’élément fini soit au total 4 2 2 = × d.d.l. pour l'élément. Expression des déplacements Toute section droite intermédiaire d'abscisse x ( l ≤ ≤ x 0 ) a son déplacement repéré par : v(x) avec v(0) = v 1 et v(l) = v 2 θ z (x) avec θ z (0) = θ z1 et θ z (l) = θ z2 . On rappelle l'expression de l'énergie de déformation E pot. (cf. énergétique des structures) à partir du déplacement transverse v(x) de toute section droite d'abscisse x pour la poutre de longueur l : dx dx v d EI 2 1 E 2 2 2 z . pot ∫ | | ¹ | \ | = l Le calcul de cette énergie nécessite donc de connaître la loi d'évolution v(x). L'élément étant supposé chargé uniquement en ses extrémités, l'effort tranchant r T y y est donc constant. A partir des relations d’équilibre et de comportement au moment de flexion, on peut écrire : 0 dx v d EI dx d dx d 4 4 z 2 2 = − = − = z y Mf T la déformée v(x) est donc régie par l'équation différentielle : 0 dx ) x ( v d 4 4 = qui conduit après intégrations successives à : v(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d On obtient avec l'approximation de Bernoulli ( dx dv ) x ( z ≅ θ ), les expressions suivantes : v(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d θ z (x) = 3ax 2 + 2bx + c Calcul des constantes a, b, c, d en fonction des conditions aux limites, c'est-à-dire des déplacements des nœuds (ou d.d.l.) de l'élément v 1 , v 2 et θ z1 , θ z2 : pour x= 0 : v(0) = v 1 , → v 1 = d θ z (0) = θ z1 , → θ z1 = c pour x= l : v(l) = v 2 , → v 2 = al 3 + bl 2 + cl + d θ z (l) = θ z2 , → θ z2 = 3al 2 + 2bl + c On obtient un système de 4 équations à 4 inconnues a, b, c, d, dont la résolution amène à l'écriture regroupée suivante où l'on a posé : l x x = v v ) x 2 x 3 ( ) x x ( 6 - ) 1 x 4 x 3 ( ) x x ( 6 ) x x ( ) x 2 x 3 ( ) x x 2 x ( x 2 x 3 1 ) x ( ) x ( v 2 z 2 1 z 1 ) 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 z ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ θ θ • ( ( ¸ ( ¸ − − + − − − − + − + − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ θ ×4 (2 ion interpolat d' matrice l l l l Cette relation nous permet de connaître le déplacement de toute section droite intermédiaire, d’abscisse x, au moyen d'une matrice d'interpolation (2×4). Détermination de la matrice de raideur En dérivant deux fois la valeur de v(x) fournie par la relation précédente, on obtient la forme suivante de 2 2 dx v d : ( ) ( ) ( ) 2 z 2 2 1 z 1 2 2 2 1 x 3 2 v 1 x 2 6 1 2 x 3 4 v 1 x 2 6 dx v d θ − + − − θ | ¹ | \ | − + − = l l l l En substituant dans l'expression de l'énergie de déformation dx dx v d EI 2 1 E 2 2 2 z . pot ∫ | | ¹ | \ | = l , il vient après calcul : | ¹ | θ − θ θ + θ − θ + − \ | θ + θ + + θ + = 2 z 2 2 2 z 1 z 1 z 2 2 2 z 1 2 2 1 3 1 z 1 2 2 2 z 2 2 3 2 1 z 2 1 3 z . pot v 12 4 v 12 v 12 v v 24 v 12 4 v 12 4 v 12 EI 2 1 E l l l l l l l l l l qui se réécrit : ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ θ θ • ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − − • ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ θ θ = 2 z 2 1 z 1 2 2 2 2 3 z T 2 z 2 1 z 1 . pot v v 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 EI v v 2 1 E l l l l l l l l l l l l l On obtient une forme quadratique des degrés de liberté v 1 , v 2 et θ z1 , θ z2 que l'on doit identifier à l'expression : { } [ ] { } d k d 2 1 E él él T él élément . pot • • = Il apparaît ainsi la matrice de raideur : [ ] ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − − = 2 2 2 2 3 z él 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 EI k l l l l l l l l l l l l l Le comportement de l'élément poutre en flexion plane dans son repère local s'écrit donc : { } [ ] { } ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ θ θ • ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − − = ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ⇔ • = 2 z 2 1 z 1 2 2 2 2 3 z 2 2 1 1 él él él v v 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 EI N Y N Y d k F l l l l l l l l l l l l l