UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTAROFACULTAD DE INGENIARÍA CAMPUS AMAZCALA MATEMATICAS AVANZADAS SINTESIS DEL MÉTODO NUMÉRICO EULER Y EULER MEJORADO José Roberto Téllez Gómez 17 DE NOVIEMBRE DE 2016 MÉTODO NUMERICO EULER Y EULER MEJORADO INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO Método de Euler Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, cuyo procedimiento consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada, este es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo: 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦 𝑃𝑉𝐼 = {𝑑𝑥 } 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 𝑦(𝑥𝑖 ) =? Considerando el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca. La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo (al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva. Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, se puede tomar un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces se sigue el mismo razonamiento aplicado anteriormente y se calcula la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva obtenida al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que se trabaja es finito. Procedimiento A continuación los pasos para el desarrollo del método de Euler: Se multiplican los intervalos que van de “𝑥0 ” a “𝑥𝑓 ” en “n” cantidad de sub- intervalos con ancho “h”; es decir: 𝑥𝑓 − 𝑥0 ℎ= 𝑛 Con esto se obtiene un conjunto discreto de “n+1” puntos: X0, X1, X2… Xn del intervalo que nos interesa [X0, Xf]. Para cualquiera de estos puntos se cumple que: 𝑥1 = 𝑥0 + 𝑖ℎ, 0 ≤ 𝑖 ≤ Ya con la condición inicial 𝑦 𝑥0 = 𝑦0, que representa el punto 𝑝0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) y por donde pasa la curva obtenemos la solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como: 𝐹(𝑥) = 𝑦 Con el punto “P0” se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto; por lo tanto: 𝑑𝑦 𝐹´𝑥 = 𝑝 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑑𝑥 0 Figura1. Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por “P0” y de pendiente “F(x0,y0)”. Esta recta aproxima “F(x)” en una vecinidad de “x0”. Se toma la recta como reemplazo de F(x) y se localiza en ella el valor de y correspondiente a x1. Entonces, se puede deducir según esta información para la gráfica A que: 𝑦1 − 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 − 𝑦0 ) 𝑥1 − 𝑥0 Método de Euler Mejorado Dicho método se basa en la la misma idea del método de Euler, pero con una aproximación mayor, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente: donde De acuerdo a la fórmula anterior, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: Figura 2. En la gráfica, se observa que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto (x1,y1) donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto x=x 1 como la aproximación de Euler mejorada. ANÁLISIS DE ERRORES Error para el método de Euler El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente instantánea, es decir, la función f(x,y) cambia rápidamente dentro de la ∆x. Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del intervalo ∆x es la misma para todo el intervalo. Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f(x,y) del lado derecho del intervalo ∆x, para después calcular el promedio de ambas pendientes y utilizarlo para calcular el valor de ∆y que actualizaría y. En la solución numérica de ecuaciones EDO, utilizando el método de Euler se obtuvieron los siguientes errores: 1. Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y. 2. Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora. PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO (PREFERENTEMENTE EN MATLAB) Código fuente Método de Euler clear all disp('METODO DE EULER') clc syms x syms y f=inline(input('ingrese la derivada:','s')); x=input('ingrese el valor de x:'); y=input('ingrese el valor de y:'); h=input('ingrese el valor de h:'); n=input('ingrese numero de iteraciones:'); clc disp('x(n) y(n) y´(n) hy´(n)'); for i=1:n y1=feval(f,x,y); hy1=h*y1; fprintf('\n%0.1f %0.4f %0.4f %0.4f ',x,y,y1,hy1); y=y+hy1; x=x+h; x=0:1/20:4; plot(x, hy1,x, y1); grid on; end Método de Euler Modificado clear all disp('METODO DE EULER MODIFICADO') clc syms x syms y f=inline(input('ingrese la derivada:','s')); x=input('ingrese el valor de x:'); y=input('ingrese el valor de y:'); h=input('ingrese el valor de h:'); n=input('ingrese numero de iteraciones:'); clc disp('x(n) y´(n) hy´(n) y(n+1),p hy´(n+1),p y(n+1),c'); for i=1:n s=h+x; y1=feval(f,x,y); hy1=h*y1; y2=y+hy1; y3=feval(f,s,y2); hy2=y3*h; yn=y+((hy1+hy2)/2); fprintf('\n%0.1f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f',x,y,hy1,y2,hy2,yn); y=yn; x=x+h; x=0:1/20:4; plot(x, hy1,x, y1); grid on; end EJEMPLOS Método de Euler 𝑑𝑦√𝑦 = 2𝑥+1 ; condición inicial de y(0)=4 𝑑𝑥 Solución analítica 2 2 (ln(2𝑥+1)) (ln(2(0)+1)) 𝑦(𝑥) = [ + 2] Comprobando: 𝑦(0) = [ + 2] 4 4 𝑦(0) = [0 + 2]2 = 4 Solución numérica Usando h=0.5 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0 + 0.5 = 0.5 𝑥3 = 1.5 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0.5 + 0.5 = 1 𝑥4 = 2 √ 𝑦 √4 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) = 𝑦0 + ℎ(2𝑥+1) = 4 + 0.5(2(0)+1) = 5 𝑦3 = 5.952 √5 𝑦2 = 5 + 0.5(2(0.5)+1) = 5.559 𝑦4 = 6.25 Tabla 1. Comparación de error con diferentes “h” X Y h= 0,5 h= 0,25 Y Euler Error (%) Y Euler Error (%) 0,00 4,00 4,00 0,00% 4,00 0,00% 0,25 4,42 4,50 -1,91% 0,50 4,72 5,00 -5,86% 4,85 -2,76% 0,75 4,97 5,13 -3,22% 1,00 5,17 5,56 -7,44% 5,36 -3,51% 1,25 5,35 5,55 -3,69% 1,50 5,51 5,95 -8,09% 5,72 -3,82% 1,75 5,65 5,87 -3,91% 2,00 5,77 6,26 -8,41% 6,00 -3,97% APLICACIONES El método de Euler se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente: 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor: Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso o bien, yi+1=yi + φ h (ecuación 1). De esta manera, la formula (1), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución. La figura 1, muestra el procedimiento aplicado con la ecuación (1). El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi. φ = (x, y) (xi , yi), es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi. Sustituyendo esta estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene: yi+1 = yi + (xi , yi)h (ecuación 2) La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h. CONCLUSIONES Podemos afirmar, que los programas aquí expuestos resuelven EDO, de primer orden; y probablemente podemos destacar los errores que existen por c/u, de los métodos. Se dice que los errores del método de Euler, radica en un intervalo proporcional a h2, mientras que su error global es proporcional a h; este método podría ser inestable si la EDO, tiene una constante de tiempo con signo negativo, a menos que se utilice una h pequeña, en cambio en el método modificado si la EDO, no es lineal, se requiere de un método iterativo para cada intervalo. Su error en un intervalo es proporcional a h3, mientras que su error global lo es a h2. En fin podemos afirmar que ambos métodos poseen una desventaja, que consiste en que los órdenes de precisión son bajos. Esta desventaja tiene dos facetas, para mantener una alta precisión se necesita una h pequeña, lo que aumenta el tiempo de cálculo y provoca errores de redondeo. REFERENCIAS Chapra, S. C. C., Chapra, R. P. S. C., Canale, R. P., Chapra, S. C. C., Chapra, R. P. C., Canale, R. P., ... & Raymond, P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros. McGraw-Hill, Constantin, A., Aplicaciones de métodos numéricos, Mac Graw Hill, 1987. Shoichiro Nakamura, "Metodos numericos aplicados con software",1992. Zill, D. G. (1988). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial. Zill, D. G. (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (No. 970-686-487-3.). Thomson Learning. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1- geo/node14.html http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdf http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler.htm http://euler.us.es/~renato/clases/edo/files/tra-euler.pdf