Exame Unificadodas Pós-graduações em Física EUF 1º Semestre/2012 Parte 1 – 04/10/2011 Instruções: NÃO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela deverá ser identificada apenas através do código (EUFxxx). Esta prova constitui a primeira parte do exame unificado das Pós-graduações em Física. Ela contém problemas de: Mecânica Clássica, Física Moderna, Termodinâmica e Mecânica Estatística. Todas as questões têm o mesmo peso. O tempo de duração da prova é de 4 horas. O tempo mínimo de permanência na sala é de 90 minutos. NÃO é permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrônicos. RESOLVA CADA QUESTÃO NA PÁGINA CORRESPONDENTE DO CADERNO DE RESPOSTAS. As folhas serão reorganizadas para correção. Se precisar de mais espaço, utilize as folhas extras do caderno de respostas. Não esqueça de escrever nas folhas extras o número da questão (Q1, Q2, ou ...) e o seu código de identificação (EUFxxx). Folhas extras sem essas informações não serão corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada questão. Não destaque a folha extra. Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram no fim do caderno de respostas. NÃO AS DESTAQUE. As folhas de rascunho serão descartadas e questões nelas resolvidas serão desconsideradas. NÃO escreva nada no formulário; DEVOLVA-O ao fim da prova, pois ele será utilizado amanhã. Boa prova! outra. (c) Escreva a equação do movimento do pêndulo na presença de uma força de atrito viscoso d dada por FR 2m gl . (b) Calcule a velocidade angular de rotação. conforme ilustra a figura abaixo. inextensível. Num dado instante um motor. Um pêndulo simples consiste de uma massa m pendurada a partir de um ponto fixo por uma barra estreita de massa desprezível. colocado dentro de uma das esferas. antes do motor ser ligado. determine d e 0 0. (a) Escreva a equação de movimento desprezando o atrito. R e T0. Considere que o momento de inércia do motor seja desprezível quando comparado ao das esferas. faça sempre a aproximação de pequenos ângulos. dt t para as seguintes condições iniciais: 1 0 0 . Duas esferas ocas. ambas de massa M e raio R. aproximando uma esfera da outra. No que segue. Obtenha a frequência natural do pêndulo. Dado: o momento de inércia da 2 casca esférica em relação a um eixo que passa pelo seu centro é MR 2 . no instante em que uma esfera encosta-se à (c) Calcule a variação da energia cinética do sistema até esse instante. Desconsidere efeitos da gravidade e expresse todos os seus resultados em termos de M. são mantidas distantes d0 8R uma da outra por um fio ideal que passa pelos respectivos centros. começa a enrolar o fio lentamente. dt (d) Na situação do item (c). que estão girando em torno do centro de massa (CM) do sistema com um período inicial T0. de comprimento l. f . (d) Qual foi o trabalho realizado pelo motor para fazer com que as esferas se encostem? Q2. 3 (a) Determine o momento angular desse sistema em relação ao seu centro de massa. (b) Determine t para as seguintes condições iniciais: 0 0e d 0 dt .Q1. Seja g a aceleração da gravidade local e o ângulo entre o pêndulo e a direção vertical. que é o átomo com número atômico mais baixo que apresenta um elétron em uma subcamada d. (d) Determine a probabilidade de encontrar este elétron entre x = 0 e x = d/6. (b) Obtenha as funções de onda normalizadas e determine os valores das energias permitidas para este elétron. (a) Determine para quais superfícies metálicas e potências poderá ocorrer a emissão de fotoelétrons. preenche-se antes a subcamada com menor valor de n. um cientista do final do século XIX realiza um experimento onde utiliza pulsos (1 ms de duração) de luz monocromática. dadas respectivamente por P0 . Ele escolhe para seu experimento três superfícies metálicas cujas funções trabalho são conhecidas: Li (2. Parte I – Na tentativa de observar o efeito fotoelétrico.3 eV). Parte II – Para preencher com elétrons as subcamadas de um átomo usa-se a seguinte regra: as subcamadas que têm o menor valor de n + l são preenchidas antes. (d) Quais são os valores possíveis do momento angular orbital e de sua componente z para um elétron na subcamada d do Sc? Q4.x . (a) Escreva a equação de Schrödinger para este elétron e as condições de contorno que devem ser satisfeitas pelas funções de onda.9 eV) e Hg (4.0 0 x . se duas subcamadas têm o mesmo valor de n + l. com comprimento de onda 414 nm e três diferentes potências. Considere um elétron que se encontra confinado dentro de um poço de potencial unidimensional V x dado por V x 0 . Admita agora que este elétron se encontre no estado quântico cuja função de onda dentro do poço é dada por 2 3 x sen d d x . 3P0 e 5P0 .Q3.5 eV). 2 .x d d . Be (3. (c) Use esta regra para escrever a configuração eletrônica do Sc. (c) Determine o número quântico n do estado ocupado por este elétron e seu comprimento de onda nesse estado. (b) Calcule o número máximo de fotoelétrons que poderia ser emitido pelo pulso de potência 3P0 em cada superfície. onde P0 300 keV/s . 3 . (e) Obtenha a entropia do sistema em termos de Z. (b) Calcule a função de partição Z. e partículas estão no mesmo compartimento. O sistema está em equilíbrio com um banho térmico à temperatura T. A energia de uma partícula é zero quando ela quando no compartimento B. há um custo energético adicional . Considere um sistema formado por duas partículas distinguíveis. (a) Quais são as possíveis configurações do sistema? Determine a energia de cada uma delas. Cada uma delas deve estar em um de dois compartimentos. A e B. Quando as duas se encontra no compartimento A. 1 e 2.Q5. (c) Qual é a probabilidade de cada configuração? (d) Calcule a energia média do sistema. use as folhas indicadas por RASCUNHO. Ela contém problemas de: Eletromagnetismo. RESOLVA CADA QUESTÃO NA PÁGINA CORRESPONDENTE DO CADERNO DE RESPOSTAS. utilize as folhas extras do caderno de respostas. NÃO é permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrônicos. ou . Não esqueça de escrever nas folhas extras o número da questão (Q1. NÃO AS DESTAQUE. que se encontram no fim do caderno de respostas. Termodinâmica e Mecânica Estatística.. As folhas de rascunho serão descartadas e questões nelas resolvidas serão desconsideradas. Folhas extras sem essas informações não serão corrigidas.) e o seu código de identificação (EUFxxx). O tempo de duração da prova é de 4 horas. Se precisar de rascunho. Boa prova! . Use uma folha extra diferente para cada questão. Esta prova constitui a segunda parte do exame unificado das Pós-graduações em Física. Não destaque a folha extra. Mecânica Quântica. Ela deverá ser identificada apenas através do código (EUFxxx). As folhas serão reorganizadas para correção.Exame Unificado das Pós-graduações em Física EUF 1º Semestre/2012 Parte 2 – 05/10/2011 Instruções: NÃO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Todas as questões têm o mesmo peso.. Se precisar de mais espaço. Q2. O tempo mínimo de permanência na sala é de 90 minutos. NÃO é necessário devolver o Formulário. rb ra K 1 . Forneça respostas para a metade superior e para a metade inferior desse volume. Os dois condutores transportam correntes iguais e opostas de intensidade i. (c) Calcule a densidade superficial de cargas de polarização sobre as superfícies interna (ra) e externa (rb) do dielétrico. Um capacitor esférico isolado possui carga +Q sobre o condutor interno (raio ra) e carga –Q sobre o condutor externo (raio rb). (b) Determine o módulo do campo magnético na região externa ao cabo coaxial ( r b ). Q7. a ) se a (d) Calcule a energia armazenada no campo magnético por unidade de comprimento do cabo. (a) Determine o módulo do campo magnético na região entre os dois condutores ( a r b ). (c) Encontre o módulo do campo magnético no interior do cilindro interno (r corrente está distribuída uniformemente na seção transversal do mesmo. (e) Determine a capacitância do sistema. Um cabo coaxial é composto por um longo cilindro reto condutor de raio a e uma fina casca cilíndrica condutora de raio b e concêntrica ao cabo interno. conforme indicado na seção reta da figura abaixo. (d) Qual é a densidade de carga de polarização sobre a superfície plana do dielétrico? Explique.Q6. A seguir. (a) Calcule o módulo do campo elétrico no volume entre os dois condutores em função da distância r ao centro do capacitor. (b) Determine a densidade superficial de cargas livres sobre o condutor interno e sobre o condutor externo. a metade inferior do volume entre os dois condutores é preenchida por um líquido de constante dielétrica relativa K. 2 como vetores-coluna . em termos de . calcule o deslocamento de energia do estado fundamental. e B. y 0 i i 0 . sendo 0 1 1 0 . S .2. No que segue. onde V0 e b são constantes reais. (a) Dê a forma explícita do operador hamiltoniano como uma matriz 2 x 2.Q8. (a) A função de onda do estado fundamental do oscilador satisfaz a equação diferencial a 0 x 0 . Resolva esta última equação e determine 0 x a menos de uma constante multiplicativa. onde Q9. n 0. (b) Escreva as expressões para os estados estacionários normalizados e indique suas respectivas energias. (d) Suponha. o B . Uma partícula de spin ½ tem momento de dipolo magnético constante real e S 2 x é uma é o operador de spin. Usando teoria de perturbações de primeira ordem. (b) Calcule essa constante normalizando x . A equação de Schrödinger independente do tempo para o problema unidimensional de uma partícula de massa m sujeita a um potencial de oscilador harmônico é 2 d2 2m dx 2 1 m 2 2 2 x n(x) En n(x). que o oscilador seja perturbado pelo potencial V x V0 exp x 2 b2 . 0 (c) Obtenha o valor da energia do estado fundamental desse oscilador. suponha que o hamiltoniano que governa a dinâmica do spin é H campo magnético esteja na direção do eixo Oz. é a frequência angular do oscilador.1. z 1 0 0 1 as matrizes de Pauli. agora. Um método para se resolver essa equação onde consiste em expressá-la em termos do operador 1 2 a m d m dx x e de seu conjugado hermitiano. Se essa partícula está imersa num campo magnético uniforme B . (b) a variação de entropia do gás nessa compressão. (t ) . Determine: (a) a variação de energia interna desse gás devido a essa compressão. o gás. (d) a variação de entropia do gás nessa expansão livre. a componente do spin segundo o eixo 2? Ox. sempre isolado do resto do universo por paredes adiabáticas. Considere um mol (n = 1) de um gás ideal monoatômico. num instante t posterior? (d) Nesse instante posterior é feita uma medida de Sx. Após essa compressão adiabática. 1 2 1 (com ei real). sofre uma expansão completamente livre até o volume original V0. inicialmente no estado de equilíbrio térmico especificado pela pressão P0 e pelo volume V0. Determine: (c) a variação de temperatura do gás devido à expansão livre. 3 . t = 0.(c) No instante inicial. a partícula é preparada no estado de spin 0 Qual será o estado de spin. Qual a probabilidade P (t ) de se obter o valor Q10. Esse gás sofre uma compressão adiabática reversível que o leva a ocupar um volume V0/2. If you need spare paper for rough notes or calculations.Joint Entrance Examination for Postgraduate Courses in Physics EUF First Semester/2012 Part 1 – 4 Oct 2011 Instructions: DO NOT WRITE YOUR NAME ON THE TEST. Candidates must remain in the exam room for a minimum of 90 minutes. DO NOT DETACH THEM. Have a good exam! . Do NOT write ANYTHING on the List of Constants and Formulae provided. . The scratch sheets will be discarded and solutions written on them will be ignored. Thermodynamics and Statistical Mechanics. Remember to write the number of the question (Q1. Do not detach the extra sheets. Q2. RETURN IT at the end of the test. as it will be used in the test tomorrow. or . The use of calculators or other electronic instruments is NOT permitted in the exam. All questions have the same weight. It should be identified only by your candidate number (EUFxxx). use the extra sheets in the answer booklet. It contains questions on: Classical Mechanics. If you need more answer space. Use separate extra sheets for each question. Extra sheets without this information will not be marked. . Modern Physics. The duration of this test is 4 hours. ANSWER EACH QUESTION ON THE CORRESPONDING PAGE OF THE ANSWER BOOKLET. The sheets with answers will be reorganized for marking. This test is the first part of the joint entrance exam for Postgraduate Physics. use the sheets marked SCRATCH at the end of the answer booklet. ) and your candidate number (EUFxxx) on each extra sheet. (c) Obtain the equation of motion for the pendulum in the presence of a viscous frictional d force given by FR 2m gl . find d 0 0 0. Let g be the local acceleration due to gravity and the angle between the pendulum and the vertical axis. A simple pendulum consists of a mass m suspended from a fixed point by a weightless. and obtain its natural frequency. 3 (a) Find the angular momentum of the system relative to the center of mass before the motor is turned on. and that the effects of gravity may be neglected. R and T0. (a) Write down the equation of motion for the simple pendulum.Q1. . Use the small angle approximation in all calculations. (b) Find t for the following initial conditions: 0 0 and d 0 dt . dt (d) In the situation described in item (c). inextensible rod of length l. 0 and dt 1 t for the following initial conditions: . Assume that the moment of inertia of the motor is very small. neglecting friction. f of the system at the time when the (c) Determine the change in kinetic energy of the system up to this time. At a certain moment. slowly pulling the two spheres together. Express your answers in terms of M. (d) How much work was done by the motor to make the spheres touch? Q2. They are maintained at a fixed distance from each other by an ideal string of length d0 8R connecting their centers. as shown in the figure below. compared to the moment of inertia of the spheres. (b) Calculate the angular velocity of rotation spheres touch each other. a motor inside one of the spheres starts to wind the string in. Two hollow spheres of mass M and radius R are rotating around the center of mass (CM) of the system with initial period T0. Note: the moment of inertia of 2 a spherical shell relative to an axis that passes through its center is MR 2 . Be (3. (d) What are the possible values of the orbital angular momentum and its z component for an electron in the d subshell of Sc? Q4. a scientist at the end of the XIXth century performs an experiment using pulses (1 ms duration) of monochromatic light.5 eV). (d) Calculate the probability of finding this electron between x = 0 and x = d/6. three metallic surfaces of known work function were used: Li (2. where P0 300 keV/s . d d x (c) Find the quantum number n for the state occupied by this electron and its wavelength in this state. Part I – Trying to observe the photoelectric effect. (c) Use this rule to write the electronic configuration for Sc. of wavelength 414 nm and three different powers. if two subshells have the same value of n + l. which is the atom with the lowest atomic number that has an electron in a d subshell. Part II – For filling the subshells of an atom with electrons.0 0 x . 2 . Suppose now that the electron is in the quantum state described by the following wavefunction within the well: 2 3 x sin .Q3. (b) Find the normalized wavefunctions and the allowed energy values for this electron.3 eV). given by P0 . the one with lower n value is filled first. 3P0 and 5P0 .x d given by d (a) Write the Schrödinger equation for this electron and the boundary conditions that must be fulfilled by its wavefunctions.x . the following rule is used: the subshells with lower value of n + l are filled first.9 eV) and Hg (4. (a) Determine for which metallic surfaces and powers photoelectron emission could occur. (b) Calculate the maximum number of photoelectrons that could be emitted by each metallic surface from the pulse with power 3P0 . In this experiment. Consider an electron confined within a one-dimensional potential well V x V x 0 . Consider a system composed of two distinguishable particles. there is an additional energy cost . 1 and 2. (a) What are the possible configurations of the system? Determine the energy of each one. A and B. (c) What is the probability of each configuration? (d) Calculate the mean energy of the system. When the particles are both in the same compartment. The energy of a particle is zero when it is in compartment A and when it is in compartment B. Each one should be in either of two compartments.Q5. The system is in equilibrium with a heat bath at temperature T. 3 . (b) Calculate the partition function Z. (e) Find the entropy of the system in terms of Z. Remember to write the number of the question (Q1. Thermodynamics and Statistical Mechanics. ) and your candidate number (EUFxxx) on each extra sheet. The use of calculators or other electronic instruments is NOT permitted in the exam. Candidates must remain in the exam room for a minimum of 90 minutes. ANSWER EACH QUESTION ON THE CORRESPONDING PAGE OF THE ANSWER BOOKLET. All questions have the same weight. or . The sheets with answers will be reorganized for marking. The scratch sheets will be discarded and solutions written on them will be ignored. Q2. It should be identified only by your candidate number (EUFxxx). Use separate extra sheets for each question. If you need spare paper for rough notes or calculations. Do not detach the extra sheets. Extra sheets without this information will not be marked. This test is the second part of the joint entrance exam for Postgraduate Physics. use the sheets marked SCRATCH at the end of the answer booklet. Quantum Mechanics.Joint Entrance Examination for Postgraduate Courses in Physics EUF First Semester/2012 Part 2 – 5 Oct 2011 Instructions: DO NOT WRITE YOUR NAME ON THE TEST. Have a good exam! . If you need more answer space. DO NOT DETACH THEM. It contains questions on: Electromagnetism. The duration of this test is 4 hours. . . use the extra sheets in the answer booklet. It is NOT necessary to return the List of Constants and Formulae. (e) Determine the capacitance of the system. as indicated in the sketch of its cross section below. Give answers for both the upper and lower halves of this volume. (c) Calculate the surface polarization charge density on the inner surface (ra) and the outer surface (rb) of the dielectric. The two conductors carry equal but opposite currents of intensity i. The lower half of the volume between the two conductors is then filled with a liquid of relative dielectric constant K. (d) What is the surface polarization charge density on the flat (horizontal) surface of the dielectric? Explain. (b) Determine the magnitude of the magnetic field in the region outside the coaxial cable ( r b ). An isolated spherical capacitor has a charge +Q on the inner conductor (radius ra) and a charge –Q on the outer conductor (radius rb). (a) Calculate the magnitude of the electric field in the volume between the two conductors as a function of the distance r measured from the center of the capacitor. Q7. rb ra K 1 .Q6. (b) Determine the free surface charge density on the inner and on the outer conductors. (a) Determine the magnitude of the magnetic field in the region between the two conductors ( a r b ). A coaxial cable consists of a long straight inner conducting cylinder of radius a surrounded by a thin cylindrical conducting tube of radius b. concentric with the inner cylinder. (c) Find the magnitude of the magnetic field inside the conducting cylinder (r current is uniformly distributed over its cross section. a ) if the (d) Calculate the energy stored in the magnetic field per unit length of the cable. that the oscillator is perturbed by the potential V x V0 exp x 2 b2 . (b) Write the expressions for the stationary states as normalized column vectors and give their respective energies. Making use of first-order time-independent perturbation theory. and B. If this particle is in a uniform magnetic field B . the spin dynamics B . in terms of . be at a later time t ? 2 . where V0 and b are real constants. Q9.Q8. The time-independent Schrödinger equation for a particle of mass m in a one-dimensional harmonic oscillator potential of angular frequency is 2 d2 2m dx 2 1 m 2 2 2 x n(x) En n(x). (t ) . d m dx x (a) The ground state wave function for this oscillator satisfies the differential equation a 0 x 0 . compute the energy shift of the ground state. now. (c) At the initial time. z 1 0 0 1 are the Pauli matrices. A spin ½ particle has a magnetic dipole moment S 2 being a real constant and the spin operator. where x 0 1 1 0 . y 0 i i 0 . (d) Assume. . A method for solving this equation consists in expressing it in terms of the operator m 1 2 a and its Hermitian conjugate. In what follows. t = 0.2. the particle is prepared in the spin state 0 What will the spin state. 0 (c) Find the value of the ground state energy. S. Solve this equation and determine 0 x apart from a multiplicative constant. n 0. assume that the magnetic is governed by the Hamiltonian H field is in the direction of the axis Oz. 1 2 1 ( ei being real).1. (a) Give the explicit form of the Hamiltonian operator as a 2 x 2 matrix. (b) Compute this constant by normalizing x . (b) the change in the entropy of the gas in this compression. 3 . (d) the change in the entropy of the gas in this free expansion. which is thermally isolated from the rest of the universe by adiabatic walls. initially in the thermal equilibrium state specified by pressure P0 and volume V0. What is 2? the probability P (t ) of obtaining the value Q10. undergoes a completely free expansion to the original volume V0. the spin component along Ox. Determine: (c) the change in the temperature of the gas due to this free expansion. a measurement is made of Sx. This gas suffers a reversible adiabatic compression to the volume V0/2. After that adiabatic compression.(d) At this later time. Consider one mole (n = 1) of a monatomic ideal gas. Determine: (a) the change in the internal energy of the gas due to this compression. the gas.