UniversidadIndustrial de Santander Sede Socorro ´ Escuela de Matematicas Junio de 2011 Tercer examen ´ Calculo II ´ Prof. Doris Gonzalez ´ Codigo: Nombre: Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. ´ cartesiana en una ecuacion ´ 1. a) Convierta la ecuacion polar x2 − y 2 = 1. ´ polar en una ecuacion ´ carteb) Convierta la ecuacion siana r = 2 sen θ + 2 cos θ. ´ ´ que esta´ dentro de la curva 2. Calcule el area de la region r = 1 − sen θ y fuera de r = 1. Dibuje en la hoja polar las ´ descrita. curvas dadas e identifique la region ln t ´ vectorial, 3. Sea r(t) = arctan t, e−2t, una funcion t encuentre: ´ a) Dominio de la funcion. b) l´ım r(t). t→∞ ′ c) r (t). 2 3 4. Encuentre la curvatura de r(t) = t, t , t . ´ b) Enuncie el teorema Fundamental del Calculo. ii) Calcule el area de la region ´ ´ descrita. ´ se computara. a) Si 200 personas tienen la gripe al brote de la epidemia y 2800 la tienen ´ de 3 semanas. calculadoras. a) Calcule el area de la region π π rectas x = y x = . lapices. a) i) Determine las coordenadas de todos los puntos de interseccion curvas r = 4 cos 2θ y la circunferencia r = 2.Universidad Industrial de Santander 15 de Junio de 2011 ´ Habilitacion Grupo ´ Calculo II Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas Nombre: ´ Prof. El profesor no respondera´ preguntas. ´ ´ de 5 semab) Cuantas personas se espera que contraigan la gripe despues nas? ´ ´ c) Si la epidemia continua ´ indefinidamente. Doris Gonzalez ´ Codigo: Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. se gira alrededor del eje x. ´ ´ dentro de r = 4 cos 2θ y fuera de r = 2. a) Utilice las sumatorias de Riemann para encontrar la integral de la funcion 3 y = x − x en el intervalo [−1. ´ c) Determine el area de la superficie generada al hacer girar alrededor del eje 3 1 x x el arco y = + para 1 ≤ x ≤ 3. ¿cuantas personas se contagiaran de gripe? ´ de las 4. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. . ´ 1. 6 4 ´ ´ generado cuando ´ b) Determine el volumen del solido de revolucion la region √ 4 2 ubicada a la derecha del eje y limitada por la curva y = x 9 − x y el eje x. 2] . iii) Trace la grafica de la region ´ del plano ´ del plano normal b) Obtenga la ecuacion osculador y la ecuacion 2 3 t t para la curva r(t) = 1. ´ ´ acotada por la curva y = x csc2 x. obtenga un modelo matematico ´ despues que describa la epidemia. en t = 1. porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ sin importar si es inferior a la nota definitiva. etc. En una comunidad de 45000 habitantes. 6 2x 3. la tasa de crecimiento de una epidemia de gripe es conjuntamente proporcional al numero ´ de personas que han contra´ıdo la gripe y el numero ´ de personas que no se han contagiado. 2 3 . La nota obtenida en este examen de habilitacion ´ ´ No se permite el prestamo de borradores. el eje x y las 2. ´ es la comprension ´ de los enunciados. b f (x) dx − a) Obtener Z G′ (x) b f (x) dx = c si G (x) = Z Z x3 x c f (x) dx. Evalue´ cada una de las siguientes integrales. 2. ∀x ∈ [a. calculadoras. ∀x ∈ [a. a) dx.15 de Junio de 2011 ´ Validacion Universidad Industrial de Santander Grupo ´ Calculo II Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas ´ Codigo: Nombre: Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. se gira alrededor del eje x. d) Z x3 − 1 dx. Conteste verdadero o falso y justifique la respuesta Z b f (x) dx ≥ 0. Z Z sen2 x cos x arc sen x dx. lapices. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. 2 2 x + y2 ´ cartesiana ´ ´ polar r1 para la ecuacion 3. b) √ 1 − sen2 x c) Z dx (4x2 + 9) 2. n→∞ n n i=0 c) Resuelva la integral Z 2 f (x) dx si −3 f (x) = √1 − x 1 − x2 10 x 1 − x2 si si si x≤0 0≤x≤1 1≤x . etc. Encuentre la ecuacion +x = x2 + y 2 . 1. ´ es la comprension ´ de los enunciados. el eje x y las rectas x = a) Calcule el area de la region 4. x3 1 ´ c) Determine el area de la superficie generada al hacer girar alrededor del eje x el arco y = + 6 2x para 1 ≤ x ≤ 3. El profesor no respondera´ preguntas. b]. el area que´ sombrean entre las dos ecuaciones. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. b f (x) dx = 0. a) si f es continua e a b) Si Z a c) Z a 5. entonces f (x) ≥ 0. entonces f (x) = 0. porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. y la ecuacion a ´ cartesiana x2 + y 2 = a2 . A partir de lo anterior encuentre: el area ´ polar r2 para la ecuacion comun ´ a las ´ dos ecuaciones r1 y r2 . a p 1 + u4 du. ´ ´ acotada por la curva y = x csc2 x. x3 + x π π yx= . 6 4 ´ ´ ´ b) Determine el volumen del solido de revoluci on generado cuando la regi on ubicada a la derecha del √ eje y limitada por la curva y = x4 9 − x2 y el eje x. b) Reconocer en el l´ımite dado el valor de cierta integral definida y calcular dicho l´ımite n 2 X 3i 3 l´ım . b]. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores. 2 4 ´ 4. Determine la longitud de la curva y = x2 − ln x de x = 1 a x = e. Responda con falso o verdadero a cada una de las siguientes afirmaciones.Universidad Industrial de Santander Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas Segundo Examen ´ Calculo II Octubre de 2010 ´ Doris Gonzalez Grupo ´ Codigo: Nombre: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. Determine el volumen generado al girar en torno del eje x el area bajo la curva 1 y= de x = 0 a x = 1. Zln k e) sech2 (x − 3)dx = − tanh(x − 3) + C. b) sech−1 = cosh−1 x arctan x − sen x 1 c) l´ım = . ´ 2. a) La derivada de y = x1+x es y ′ = (1 + x)xx. 1. . 1 . Justifique claramente su respuesta. 1 + x4 1 1 3. Determine el area de la superficie generada al girar la astroide x2/3 + y 2/3 = 1 en torno del eje y. x→0 x3 6 d) El tiempo necesario para que x(t) = Ce−kt caiga a la mitad de su valor es ln 2 . 3. (16 puntos)Evalue ´ las siguientes integrales: 1 a) Z d arctan x (e )dx dx 4 b) Z x2 − x + 1 √ dx x 0 c) Z1 d) Z 0 sen x cos(cos x)dx 3 |3x − 5| dx . (10 puntos) a) Encuentre la derivada de y = Z 3x+1 sen(t4 )dt. en el punto b) Determine la ecuacion ´ (1. desde x = 1 hasta x x = 4. b] . (14 puntos)Utilice acotada por las curvas y = sen x e y = cos x. 4 4 2. (10 puntos) ex ´ a) Utilice la regla de Simpson con n = 6 para estimar el area bajo la curva y = . ´ 1. 3) . ´ de la curva para la cual y ′′′ = 2 y cuya pendiente vale m = −2 . en el h π π i integrales para encontrar el area intervalo − . de inflexion 4. . demuestre que: b) Si f ′ es una funcion 2 Z b a f (t)f ′ (t)dt = [f (b)]2 − [f (a)]2 .Primer examen ´ Calculo II Septiembre de 2010 ´ Doris Gonzalez Universidad Industrial de Santander Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas Grupo ´ Codigo: Nombre: Conteste ordenadamente y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. 2x ´ continua en [a. desde el extremo al centro de masa. Un alambre recto de7 unidades de largo tiene densidad δ(x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Haga un dibujo. entonces su velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo [0. . Si la altura del tanque es de 10 pies y el radio en la parte superior es de 4 pies. ´ acotada por las curvas y = 2 − x2 y y = 0. Demuestre que si un cuerpo que se suelta desde el reposo (velocidad inicial cero) cae libremente. con forma de cono circular recto. 1. T ] durante su ca´ıda es su velocidad en el tiempo t = T /2. Presion Conteste ordenadamente y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. esta´ lleno de agua. Valor promedio. que puede ser el ´ modelo hidraulico de una presa. Un cierto dique vertical cierra el paso de una pequena ´ parabolica. 3. ´ 4. Trabajo. encuentre el trabajo hecho a) al bombear el agua hasta el ´ borde superior del deposito. ´ Determine la fuerza maxima que el agua puede ejercer sobre la superficie del dique. y b) al bombear el agua hasta una altura de 10 pies por encima del borde ´ superior del deposito. Un deposito. Encuentre la distancia.Universidad Industrial de Santander Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas Taller N◦ 2 ´ Calculo II Septiembre de 2010 ´ Doris Gonzalez TALLER DE APLICACIONES DE LA INTEGRAL ´ de un fluido Centros de Masa. tiene (aproximadamente) la forma de 5. ´ una seccion Mide 36 cm de ancho en su parte superior y 9 cm de profundidad en el centro. Encuentre el centroide de la region √ 2. ˜ corriente. Conteste verdadero o falso y justifique la respuesta Z b a) si f es continua e f (x) dx ≥ 0. a) √ 1 − sen2 x Z b) arc sen x dx. y la a ´ polar r2 para la ecuacion ´ cartesiana x2 + y 2 = a2 . 2. 1 . Evalue´ cada una de las siguientes integrales. b]. b]. ∀x ∈ R. 1. entonces f (x) = 0. Encuentre: + e−x ´ ´ f (x). Z sen2 x cos x dx. b) Reconocer en el l´ımite dado el valor de cierta integral definida y calcular dicho l´ımite 2 n X 3i 3 l´ım . a R x3 √ a) Obtener G′ (x) si G (x) = x 1 + u4 du. A partir de lo anterior encuentre: el ecuacion ´ ´ area comun ´ a las dos ecuaciones r1 y r2 . a) el area entre el eje x y la funcion b) el volumen que genera f (x) cuando se pone a girar en torno al eje x. Encuentre la ecuacion +x = x2 + y 2 . si −3 √1 − x 1 − x2 f (x) = 10 x (1 − x2 ) si si si x≤0 0≤x≤1 1≤x . ∀x ∈ [a. 4.´ por suficiencia Validacion ´ Calculo II Diciembre de 2010 Sede Barrancabermeja Universidad Industrial de Santander Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas Grupo ´ Codigo: Nombre: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. entonces f (x) ≥ 0. 2 2 x + y2 ´ polar r1 para la ecuacion ´ cartesiana 3. n→∞ n n i=0 c) Resuelva la siguiente integral Z 2 f (x) dx. a b) Si Z a c) Z a 5. dx. Sea f (x) = ex c) Z d) Z dx (4x2 + 9)2 x3 − 1 x3 + x . b f (x) dx − Z c b f (x) dx = Z c f (x) dx. b f (x) dx = 0. ∀x ∈ [a. el area que´ sombrean entre las dos ecuaciones. 0 ≤ x ≤ 9. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores. Su poblacion ´ por ano. dP = dt ´ en 1940 era de 100 millones y entonces aumentaba a razon ´ kP (200 − P ) (k. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. Determine la longitud de la curva y = ln(cos x) de x = 0 a x = π/4. cte). ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. Determine la longitud de la curva y = ln(cos x) de x = 0 a x = π/4. calculadoras. El profesor no respondera´ preguntas. Doris Gonzalez Grupo ´ Codigo: Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. Su poblacion dt ´ de 1 millon ´ por ano. cte). Evalue ´ la integral . Evalue ´ la integral y 2 y 2 − 16 Universidad Industrial de Santander Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas Nombre: Segundo examen ´ Calculo II Abril de 2011 ´ Prof. ˜ Pronostique la poblacion ´ de este pa´ıs para el ano ˜ 2012. ´ ´ generado al hacer girar la region ´ plana acotada 3. de 1 millon ´ P (t) (en millones) en Rumania satisface a ecuacion ´ diferencial 1. ´ es la comprension ´ de los enunciados. a razon 2. ˜ Pronostique la poblacion ´ de este pa´ıs para el ano ˜ 2012. Suponga que la poblacion dP ´ en 1940 era de 100 millones y entonces aumentaba = kP (200 − P ) (k. lapices. ´ ´ ´ generada al hacer girar la curva 3. etc. Doris Gonzalez Grupo ´ Codigo: Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. alrededor del eje y. 4. calculadoras. Encuentre el area de la superficie del solido de revolucion 3 y = 3x. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores. porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.Universidad Industrial de Santander Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas Nombre: Segundo examen ´ Calculo II Abril de 2011 ´ Prof. ´ P (t) (en millones) en Rumania satisface a ecuacion ´ diferencial 1. ´ es la comprension ´ de los enunciados. y 2 y 2 − 16 . El profesor no respondera´ preguntas. Z dy p . Suponga que la poblacion 2. etc. porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. Encuentre el volumen del solido de revolucion por las curvas y 2 = x y y = x3 alrededor del eje x. Z dy p 4. lapices. El profesor no respondera´ preguntas. 1 ≤ x ≤ 16. ´ es la comprension ´ de los enunciados. lapices. ´ R = {(x. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores. b) Encuentre la longitud de la curva y = Z 1 x q√ t − 1 dt. a) Encuentre el area de la region 2 y = 2x + 6. etc. b) Una part´ıcula que se mueve a lo largo de una recta tiene velocidad ´ de t segundos. 0 ≤ y ≤ 1/x} se hace girar respecto al eje x. ´ ´ delimitada 2. Muestre que el area superficial es infinita. b) Si la region ´ ´ el volumen del solido resultante es finito. Calcule el trabajo realizado. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. alrededor de y = 2. a) Determine el volumen del solido obtenido al hacer girar la region 2 por las curvas y = x y y = x . ´ No se permite el uso de calculadoras ni de telefonos celulares durante el examen. a) Un cable que pesa 2 lb-pie se usa para subir 800 libras de carbon de una mina de 500 pies de profundidad. calculadoras. y) | x ≥ 1.Examen Final ´ Calculo II Abril 23 de 2012 Universidad Industrial de Santander Grupo Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas ´ Codigo: Nombre: Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ¿Que´ tan lejos v(t) = t2 e−t metros por segundo despues viajara´ durante los primeros a segundos? . ´ por el tiro 1. porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ ´ limitada por la recta y = x − 1 y la parabola ´ 3.