1.ETNOMATEMÀTICA QUECHUA Y AYMARA 1.1. ETNOGEOMETRÌA Y MEDIDAS "... Al tratar de transmitir la importancia de las ideas, nosotros las elaboramos con nuestras expresiones occidentales que tenemos de ellas. Desde el principio nosotros diferenciamos, entre las matemáticas que son implícitas y las que son explícitas, y entre los conceptos occidentales que nosotros usamos para describir o explicar y esos conceptos nosotros los atribuimos a la gente de otras Culturas. [Marcia Ascher]. Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular a lo que se nos ha ocurrido llamar "Etnogeometría" y considerando que nuestra idea tiene asidero, tanto implícita como explícitamente. Hemos creído conveniente crear, el concepto semánticamente, con la conjunción de Etno+Etnología+Geometría = Etnogeometría como el "Estudio y conocimiento de la Geometría bajo el aspecto cultural de los pueblos comparando sus afinidades de antropología cultural o social y de los lazos de civilización que los caracteriza". Además tomamos el sentido semiológico del concepto. Porque los códigos que encierra la composición del nombre, se refieren al pueblo, a la gente de nuestros días, por tanto hace una práctica diaria de la aplicación geométrica en casi todos sus quehaceres. Para aclarar aun más. Diremos que, cuando se da mayor importancia al aspecto biológico y natural aunado con el psíquico sociológico, etc., estos estudios caen dentro de la Antropología. Mas, si se comprenden en ellos, todos los fenómenos histórico-culturales, además de los puramente naturales, se entra en la Etnología. Ampliando y flexibilizando nuestra visión. Por ejemplo, Etnología vendría a ser, cada reunión de los ICME, donde nos congregamos centenares de personas de diferentes razas y nacionalidades que nos sentimos afines por la Matemática o su enseñanza, lo que en otras palabras es estudiar nuestra riqueza material y espiritual con respecto de la Matemática. Mas, sin pretender reuniones tan numerosas tenemos, las de cada día en nuestras comunidades e instituciones educativas, a los que asisten alumnos de diferentes etnias, pero con un fin común, adquirir conocimientos. Esto implica que el mundo actual tiende a hermanar a los hombres de y en todos los confines de la Tierra, y está lejano el día en que se discutió en las universidades de Europa, el problema de sí los negros de África o los indios del Nuevo Mundo tenían alma y si eran realmente hombres. Mientras en la Etnomatemática, los etnomatemáticos intentan describir el mundo matemático, como los otros lo ven. Etnogeometría, no es el intento de describir, cómo, las ideas se ven a través de los otros, muy al contrario, fue y es la generadora no sólo de ideas que todos - etnomatemáticos o no - ven. Tiene una inmanencia permanente. Es el material que inspira a la Etnomatemática, estudiar la historia a partir de la Geometría sea esta euclidiana o no-eucludiana. La Etnogeometría da lugar a que "... la Etnomatemática...", pueda crear "... un puente entre la Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas." La universalidad de determinadas formas básicas que son parte de una Cultura también universal. Realizar, un estudio etnogeométrico podría ser de mucho mayor interés a los etnomatemáticos, porque partirían de realidades tangibles para luego realizar abstracciones (formular conceptos, o crear teoremas, por ejemplo, sobre equicomposición de poliedros, al observar, los muros de las fortalezas incaicas) con una nueva perspectiva. Tal estudio permitiría la posibilidad de matematizar los conceptos o prácticas dentro de una Cultura y, compararla con la otra Cultura, por ejemplo: que tienen de semejantes la forma de las viviendas de los Uruchipayas del Departamento de Oruro en Bolivia, con la de los africanos de Mozambique; quizá a primera vista diremos la forma cónica de los techos y el material que los cubre. A partir de la Etnogeometría, el etnomatemático esta obligado a elucidar o aclarar no sólo los conceptos resultantes de las prácticas etnogeométricas, sino, a tomarlos como su material de trabajo para hacer que la Etnomatemática sea el nexo real con la Matemática, porque (como ya lo dijimos), la Etnogeometría, no sólo tiene fundamentos etnológicos, socio-antropológicos, más también, socio-culturales, que han sido y pueden seguir siendo aplicados, al aprendizaje de la Geometría, luego, a la práctica de la Etnomatemática y finalmente a la Matemática. Por otro lado, tomemos lo que dice Marcia Ascher. Que, las cosas las vemos con nuestros ojos occidentalizados, o sea que estamos condicionados a ver siempre bajo esa óptica y cuando alguien lo ve desde otra, nos llama la atención y parece ser incoherente. Eso es comprensible, pues, tantos siglos de academicismo nos han subyugado, que no le damos campo a nuestra mente para pensar de otro modo, sin los símbolos numéricos que representan abstracciones (eso no implica que prescindamos de ellos). Y posiblemente esa sea la razón por la cual hayan aparecido detractores de la Etnomatemática, sin intentar comprenderla, como la nueva aurora para la enseñanza de la Matemática. La Etnogeometría es parte intrínseca de la vivencia diaria del hombre y su entorno natural , pues donde quiera que dirija su atención, a las ruinas de la civilización antigua Inca, "La Puerta del Sol"; las edificaciones de las urbes citadinas (arquitectura) como, la ciudad de Sucre -Bolivia- o, Lima - Perú -, con influencia, de otra cultura, sea francesa, hispana, etc., etc. Antes que Etnomatemática o Matemática, verá Etnogeometría y sólo después, Geometría y Matemática; lo mismo será, cuando perciba que una persona es diferente de otra por sus formas anatómicas, complexión física, estatura o color, además su vestimenta, distinta y variada de acuerdo al lugar geográfico en el que habite, con diseños tejidos o estampados en su mayor parte realizados con moldes de hojas, pétalos o tallados matriciales en madera, así como, otras representaciones bordadas en bajorrelieve con una policromía que muestra la riqueza espiritual de los artesanos. Aleatoriamente comparemos los kimonos de los campesinos japoneses, con la túnica o el sari de los hindúes. Las polleras de la chola de las ciudades andinas, que tienen forma arrepollada con la forma de cono truncado de la minifalda de las jóvenes citadinas. En la Naturaleza misma se encuentra con expresiones geométricas, vemos flores de formas poligonales hojas cardioides que inspiran coordenadas polares o helechos que generan fractales. En fin una riqueza espiritual y cultural (inclusive, ideológica por su aplicación), que nos hace admirar. En todas esas expresiones, no vemos ni percibimos inmediatamente ideas, símbolos ni conceptos matemáticos. Estas y éstos se presentarán después, mediante las abstracciones mentales que realicen, los interesados (matemáticos o estudiosos), es decir, se hará Etnomatemática y luego Matemática, partiendo de la Etnogeometría. Tenemos otros ejemplos, en los que, "forma, medida y cantidad" están en una simbiosis a primera vista inseparable. Tal el caso de la actividad comercial de los mercados, en los que, las vendedoras colocan sus productos formando “montoncitos” semejantes a ortoedros, pirámides truncadas o conos, donde 2 montones (pirámides) de papa por 2 soles, cuatro montoncitos (conos) de arvejas por 3 soles. Las vendedoras del mercado pensarían primero en medidas académicas? Sólo, después de que toman conciencia de la forma del cuerpo y de otros aspectos singulares pueden realizar conclusiones de tipo cualitativo y cuantitativo referidas a medir, pesar, contar, comparar y calcular - si, es que, a estas actividades se les puede llamar Matemática. La vendedora del mercado cuando está formando sus "montoncitos" crea las formas que serán más atrayentes al posible comprador (etnogeometriza -si vale el término-), luego determina el valor que tendrá en la venta el montoncito, a montoncitos más grandes con mayor número de unidades (papas, arvejas, frutas, etc.), menos ganancia y, a montoncitos más pequeños menos unidades implica más ganancia según sus costos, dicho de otro modo hace Etnomatemática. No se detiene a pensar si está aplicando un conocimiento académico curricular de Razones y Proporciones o de Reparto Proporcional. Estos, son ejemplos reales y actuales. Y ¿Qué podemos decir de los hombres primitivos, que aun no conocían la simbología numeral, cuando trazaron sus pinturas rupestres, luego cuando se hicieron sedentarios y comenzaron a tener noción del derecho de propiedad y el academicismo no había nacido aun? Sin tomar en cuenta, el tiempo, pero, la semejanza entre dos culturas. ¿De dónde obtuvieron los Quechuas, el concepto de "Pachatupuy" (Geometría) cuya traducción literal es, Pacha = Tierra y, Tupuy = Medida ¿La tomarían de los egipcios? Pues, sabemos que ellos dan origen al nombre de "geometría" como resultado de su trabajo anual empírico, al parcelar o reparcelar las tierras aledañas al Río Nilo después de cada riada. Y como lo leímos, nos admira, toda esa maravilla construida con unos conocimientos básicos de Geometría y de Arquitectura y además con una unidad de medida arbitraria, como era el "codo del arquitecto". A priori podemos afirmar que, la concepción de las formas les obliga (sin ser totalmente empíricos), a crear ciertas unidades de medida y realizar operaciones en ese trabajo y no lo hacen partiendo de hipótesis. Parten de lo que está en su entorno. Utilizan ese conocimiento y el que está, en ellos y con ellos mismos o sea la Etnogeometría. Parecería que no teorizaron diciendo: "si la base es de n codos entonces la cúspide estará a n codos de altura". Dado que la pirámide para los egipcios no sólo es una tumba para el Faraón. Es la "luz que ilumina el camino", posiblemente dependiendo a qué Faraón iba destinada la pirámide, sería más alta y con menos o más galerías. Dicho de otro modo, el ver formas y reproducir formas, está, en él y con el hombre, sin importar la época en la que vive. Por esta observación llamamos parte intrínseca de la vida del hombre. Quizá haya otras maneras de explicarlo mejor y con otras palabras, luego, creemos que, es aquí donde la crítica ayudará a mejorar o retirar esta concepción nuestra proposición. Luego, desde el punto de vista etnogeométrico. Toda percepción, sea ésta real o de abstracción, es global. ¿Quién podría pensar, en la primera contemplación, en Esta peculiaridad no es válida para la totalidad del Mundo Andino actual. no eran discutibles y bastaba aprender a vivir para saber aplicarlas en forma intuitiva y hasta con cierta complejidad. algo que nos cuesta comprender. "Cargue este consumo a mi cuenta" es lo mismo que "súmelo" en español. el cual más que sumar como en 2 + 2. como las tejedoras por ejemplo.2. pero en aymara se utilizaría el término "yapayasiña". pero es tal vez un remanente del pensamiento original. implica añadir y también juntar. como las manos al rezar. reproducción. como los khipukamayux. La operación más simple es contar. Tampoco se cuentan los choclos recolectados ni otros elementos asociados a la reproducción. las figuras petroglíficas del Valle de Nazca? o las figuras zoomorfas de la Puerta del Sol en Tiwanaku? 1.conceptos. como se podría hacer con un rebaño de llamas cuando retornan al corral. encargados de almacenar la información en los khipus.1. Nadie diría "me conseguí una sumada" cuando consigue un aumento de sueldo. . sino que se comprueba que estén todos los animales. no hay problema en contar piedras u otros elementos que no se reproducen. roles y relaciones de parentesco. Suma y Resta El vocablo quechua más preciso para "suma" es "yapay" ("yapaña" en aymara). reglas o axiomas matemáticos al visitar las pirámides Mayas. nos sirve para demostrar cuán vinculada estaba la aritmética al concepto de totalidad. ulteriormente sobrepasado por intereses estatales. En cambio. particularmente lo que representa a un par natural. OPERACIONES BÁSICAS Puesto que las matemáticas andinas no involucraban conceptos abstractos sino que derivaban y eran coherentes con la realidad natural de las cosas. Por cierto. como lo representan las cuentas que consignaban los khipus. Contar a sus componentes implica atomizar al grupo y se cree que eso compromete su capacidad reproductiva. al contemplar desde el aire. ETNOARITMÉTICA 1. cada uno de ellos identificado por un nombre.2. ¿Porqué?: pues porque el grupo es una unidad en sí y no un conjunto de individuos. Pero precisamente eso no se hace en el territorio quechua boliviano que estudió Urton. había especialistas precisamente preparados para niveles superiores de conocimiento. para saber si está completo. Sin embargo. Una breve revisión de las operaciones aritméticas básicas aportará más luces acerca de la incorporación de la filosofía en los números andinos. tanto en lo que se refiere a números ordinales como cardinales. que especifica claramente que es un elemento aislado de su complemento natural. si un vecino necesita ayuda para una tarea que no puede hacer solo. Las comunidades básicas (ayllus) estaban. una conceptualización más amplia en el yapay y el yapaña. pero quedará en deuda (desequilibrio) y deberá devolver la mano cuando se lo solicite en una situación similar. Pero el asunto es mucho más complejo. textiles. Hay. por ejemplo. janan en quechua) y otra baja (manqha y urin respectivamente). los que también sirven para sumar 2 + 2. estamos haciendo una abstracción y el concepto no se vincula a ningún orden social. ambas fracciones se involucran en una batalla ritual (tinku) que hoy suele hacerse a membrillazos o se le reemplaza por un partido de fútbol.) que la autoridad le hacía a un jefe local. chicha. pues siempre se debe buscar el equilibrio. entonces. El desequilibrio aditivo trae beneficios y así nace la "yapa" (pequeño regalo) que le pedimos al comerciante que nos vende algo: éste accede porque espera que nos sintamos obligados a restablecer el equilibrio dándole preferencia para una eventual compra ulterior. objetivos predeterminados y utilidad comparable al restablecimiento del equilibrio que trasciende en el ejercicio andino de las matemáticas. Tradicionalmente (aunque hoy perturbado por la "modernidad"). En cierta época. Cuando nosotros nos referimos "un par". Un elemento importante en la cohesión del imperio inca era el regalo (mujeres. Lo anterior. demuestra cuánto difieren conceptualmente las matemáticas andinas de las nuestras. Si una pareja natural de elementos es separada (desequilibrada). por lo que en la gestión andina parece haber una tendencia a crear un desequilibrio para motivar una gestión reparadora ulterior. desprovistas de motivaciones sociales o culturales. como todos los niveles de organización social andina. mit'a o fuerza laboral de su comunidad. virtual y tal vez administrativamente divididas en una fracción alta (araj en aymara. ahora que existe el concepto de dinero entre los andinos. se le ayudará gratuitamente (ayni). y así lo obligaba a devolverle la mano (fidelidad. que también significa colocar una cosa sobre otra. parafraseando a Urton. . Ese desequilibrio transitorio de las fracciones puede ser una manera de restablecer el equilibrio necesario para seguir viviendo en armonía (yanani). ausente antes de la Conquista. Lo del equilibrio requiere un comentario: el equilibrio absoluto no existe en la naturaleza porque ésta es evolutiva.. etc.). etc. cada componente recibe una categoría especial en el lenguaje -"ch'ullayux".en aymara se utiliza el vocablo "apxataña". por poner un ejemplo contemporáneo. Decíamos que lo impar ("ch'ulla") es incompleto y que la paridad entre los andinos era tan compleja como que 14 era nones por no representar un conjunto completo de cincos. El más conocido ejemplo es el nombre que los incas le daban a su imperio: Tawantinsuyu (cuatro -tawaterritorios -suyu.Chu'llan ( de ch'ulla = impar) es para mí Carlos Requena.. Apaña implica sucesión. El término quechua es "yurquy" pero no sólo . b. es indispensable que los pares irreconciliables también interactúen... pues uno posee un sucesor. Pero ambos en conjunto somos ch'ullantin. Nótese que el último término no implica una unión estrecha: los mellizos no tienen porqué formar un conjunto una vez que crecen y por eso. c. Implica armonía y deduzco que contribuye a la importancia del 3. apañayux se usa para los mellizos. Para la resta valen consideraciones similares. ni ingredientes de un todo como en la expresión que sigue. Los opuestos complementarios pueden interactuar armónica y conjuntamente (yanani) como las manos al tejer. Ya podrá suponer que esto no es así en quechua. El mejor ejemplo es la "yunta" de bueyes y de hecho yunantin se usa especialmente para gestiones de trabajo. Cuando está hecho. por ejemplo. ambos en conjunto pasan a la categoría de "khalluntin" e. ni opuestos complementados como en yanantin. Para mantener el equilibrio.Khallun (de khallu. o la pareja humana. Este implica una unión o cohesión estrecha.Yuntantin es la estrecha unión de dos unidades suplementarias.. basándose en cómo se da la relación entre los pares en la naturaleza. compañero-pareja (sin connotaciones sexuales) de aventuras serranas. o ser irreconciliables. algo como ingrediente o componente de un par) es como la mantequilla para el pan si queremos hacer un pan con mantequilla. d. Entonces.. de acuerdo a lo que éstas implican en la naturaleza: a.natural o de roles.integrados en una unidad). No veo en los números occidentales una preocupación tan clara por lo que es "natural" en el orden bio-lógico. Nótese la diferencia entre suplemento y complemento en español: el primero implica adjuntar y el segundo completar. No veo filosofía en nuestra utilización de los números. descendencia. "apañayux" carece del sufijo "ntin" de los otros ejemplos que expuse. y lo hacen por turnos (kuti).Yanantin es el par formado por los opuestos complementarios que impregnan a la cosmovisión andina. como el día y la noche.Apañayux. dos personas o cosas similares pero no trabajando como en yuntantin. Los típicos ejemplos son las dos piernas cuando se camina. sino que "un par" o "pareja" se categoriza de diversas formas. Ya vimos que el sufijo "ux" implica posesión o "el que tiene". Hay otros términos más para definir interacción entre dos unidades. . Para los andinos. En forma similar. porque hemos aprendido a desvincular el concepto de los números del contexto de la naturaleza. hacerse rico. En quechua hay tres vocablos pertinentes: "kuti". Multiplicación Tal como en nuestra cultura. porque así se dan las cosas en el ámbito de la Pachamama. Pero si se trata de algo que se multiplica por sí solo. que implica repetición.) es "askhayachiy". "hombe mujer" tiene una connotación reproductiva para nosotros. División Para todo el mundo. etc. cinco cincos significa 25. más apropiado para la reproducción exponencial espontánea de los vegetales a través de las semillas. Así. Como en párrafos anteriores. es simple e intuitivo. para los andinos. Pero para los andinos.2 y además hay una variedad de términos para especificar otros contextos relacionados con la reducción y/o extracción. Puede parecernos muy complicado. Suma. pero traducido literalmente al quechua ("qhari warmi") significa maricón: se necesita incorporar el vocablo "miray" para que sugiera reproducción. un gestor o "partero" (Homo maiéticus). los números sólo pueden reproducirse si hay una intención deliberada y en consecuencia. "miray" que está asociado a un proceso reproductivo lineal espontáneo como el de los humanos y animales (y en consecuencia asociado a los genitales femeninos) y "askhayay". Para nosotros. resta y multiplicación pueden resumirse en agregar o quitar unidades. cuatro cincos es 20. En contraste. que involucra a un mediador con un propósito deliberado. por lo que miray y askhayay no son aplicables a ellos sin el sufijo "chi". 10 pues es la unión de dos pares. es la operación aritmética más compleja. turnos o número de veces.se utiliza para una operación como 2 . como los intereses de una cuenta de ahorros. incluyendo a los andinos. es difícil diferenciar la multiplicación de una serie de adiciones sucesivas. el verbo pertinente para simplemente multiplicar (2 por 3 o acumular tierras. porque 4 y 5 son conceptos diferentes. pero dividir implica un proceso más complejo y eso se expresa en quechua mediante tres términos que especifican situaciones diferentes. el verbo apropiado es "miraynin". el concepto de reproducción se repite con insistencia. Pero nuestra multiplicación no considera la reproducción como ocurre en la naturaleza pues los números nuestros no están vivos. desde siempre.000. b.a. Siempre arrinconada como un espacio sintáctico. un cómo. esta hostilidad se pone de manifiesto en los sucesivos fracasos registrados tanto al enseñar los contenidos como en los momentos de producción y evaluación. se utiliza el vocablo "palqay". como un área de aprendizaje hostil para la mayoría de nuestros alumnos. elaboración de tejidos. Pero si un fajo de $10. 2. se usa "t'aqay". separada irremediablemente de contextos históricos y culturales que podrían “humanizarla” con un quiénes. Entendiéndose que será el punto de partida para la construcción de nuevos conocimientos. ESTRATEGÍAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA ETNOMATEMÁTICA Considerar actividades de su medio como fuente de conocimiento como son la siembre. pero hoy está en otra ciudad por razones de fuerza mayor: eso es rak'y.Si una ruta se "divide" en dos o más alternativas o cualquier cosa puede descomponerse en identidades diferentes. porque formamos una unidad.Si un todo se separa en partes sin identidad propia que destruyen la unidad.. etc. un por qué. no natural pero soportable. Humanizarla. como los pelos de una cabellera. en el concepto andino de la división. un dónde.000 se separa en 10 billetes de $1. ¿Será posible aprender matemática desde la etnomatemática? La Matemática a nivel escolar se presenta. desde otro punto de vista. nos reencontramos con el principio de unidad no abstracta. un para qué. Es natural que mi esposa y yo estemos juntos. se utiliza "rak'iy". un cuándo. . utilización del calendario.. fundamentalmente careciente de “semántica”. Ya explicamos que el andino es un componente más del orden natural de las cosas y no es dueño de transformarlas a su arbitrio como el Homo faber occidental. significa también sacarla de su encierro sintáctico. se separan (se desenredan en el caso de los pelos). permitiendo ubicarla en un plano semántico/semiótico que le otorgue significado en el espacio y sentido en el tiempo. como cuando se rompe un billete. es decir. eso es Ra'kiy En definitiva..Si una unidad compuesta por varios elementos del mismo tipo que la definen en conjunto. tal como lo manda la naturaleza. c. pues esencialmente no se refleja el contexto de su aprendizaje. cosecha. c) Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo. social. otros conceptos. procedimientos de inferencia. técnicas e instrumentos matemáticos usuales. que es posible aplicar a la enseñanza de la matemática a partir del enfoque intercultural. e) Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos. 2001). volumen) d) Instrumentos y técnicas de cálculo. se debe tener en cuenta la variedad de los contextos culturales. discutan y evalúen las diferentes culturas y a comparar las diversas culturas matemáticas. Para (Schroeder. b) Las formas geométricas que usan en la comunidad. tales como: los números y los . A) CURSOS: Esta forma didáctica aborda la comprensión y práctica de ejercicios aritméticos o de procedimientos geométricos que se usa en la vida diaria. a) El sistema de numeración propio. Si los alumnos deben resolver un problema matemático. e instrumentos matemáticos. J (2001) en su trabajo. éste puede ser abordado desde el punto de vista del cálculo. medición y estimación. Antes de organizar las clases es importante tener claro cuál es el objetivo que se persigue. A modo de orientación se presentan cuatro formas didácticas distintas planteadas el autor Schroeder. económico y político. es decir. lo matemático se asume como un problema cultural. Hacia una didáctica Intercultural de las matemáticas. técnicas. La enseñanza de la matemática intercultural se mueve entonces entre dos polos: las operaciones del cálculo (matemática) y el contexto socio-cultural (cultura). superficie. además. El aprendizaje de la matemática desde la etnomatemática es posible si se tiene en cuenta. se muestra que las diferentes formas del mundo cotidiana en el que se vive son matematizables. el enfoque intercultural de la educación matemática tiende a hacer que los alumnos y alumnas piensen. si los estudiantes deben investigar algo sobre un determinado tema. longitud. capacidad. y no sólo en la Sierra.sistemas de numeración. y de allí extraer elementos matemáticos que ayuden a los estudiantes a construir y comparar cantidades. etc. En las lecciones los alumnos pueden descubrir las relaciones de un tema. los dedos pulgar. con los cuales los estudiantes pueden practicar vienen del cálculo. analizar lo que hasta ese momento era desconocido para ellos. También se puede incluir la utilización de la yupana o ábaco andino. K (1995) citado por Schroeder. las operaciones básicas. Se puede diferenciar tres comportamientos principales: al contar se empieza con la mano izquierda o derecha. que los niños y niñas normalmente empiezan a contar y a calcular utilizando sus dedos. porcentajes. El cálculo con las manos es otro ejemplo interesante. indicado por Schroeder. Las investigaciones antropológico-culturales muestran. Así ocurre con los llamados “cuadrados mágicos” de origen asiático. En este último se puede decir. un hecho o una experiencia con la vida social o política. J (2001). según Mennninger. Se necesitan dos . En el enfoque intercultural existen muchas posibilidades para estructurar las lecciones de la clase de cálculo. formas geométricas. Un ejemplo. B) LECCIONES: Con esta forma didáctica se ofrece a los alumnos la posibilidad de reflexionar y discutir sobre un problema matemático o social. En lo que se refiere a la orientación intercultural del cálculo. sería la ilustración imaginativa a través de cuentos e historias propias de la cultura indígena. Se puede narrar a los niños un poco de la historia de la matemática. También se les ofrece la posibilidad de pensar sobre cosas que no han conocido y plantearse preguntas que no han surgido hasta entonces. se emplee material didácticos reconocido para el cálculo. al empezar a contar se usa la mano abierta o cerrada. es importante realizar los algoritmos conscientes y correctamente. Pero el curso es la forma didáctica más utilizada en la enseñanza de la matemática y en el mundo se enseña el cálculo mediante ejercicios largos y agotadores. precedentes de contextos culturales diferentes. apelar a su curiosidad para ampliar sus conocimientos con temas significativos. El objetivo didáctico de las lecciones es dejar que los alumnos descubran cosas interesantes. fracciones. Por supuesto. Del mismo modo. J (2001) que existen diferencias en la acción de contar con los dedos y que este comportamiento tiene un número limitado de formas. se trata de que los niños comprendan los diferentes algoritmos para incentivar y perfeccionar sus propios métodos. índice o meñique obtienen el valor 1. municipio) con nueve culturas indígenas representadas con puntos negros numerados de uno a nueve. sino también en la distracción de los niños. sino también con los profesores en los cursos de formación docente. utilizando letras desde la “A” hasta la “H”. La orientación del juego apunta hacia la posibilidad de reconstruir o posibilitar un acercamiento intercultural de los alumnos mediante los juegos que se realizan en clase. El Congklak en un juego indonesio sumamente estratégico como lo es el juego del altiplano el Zorro y las Ovejas. En las clases de matemática se pueden utilizar juegos de cálculo de todo el mundo para descubrir la relación que existe entre la estructura lógico-formal y el contexto cultural. C) JUEGOS: Constituye una forma didáctica para aprender y concentrarse durante un período largo en una actividad. meditar. La tarea consiste en relacionar los objetos matemáticos con las culturas indígenas originarias correspondientes. estado. a trabajar por los intereses comunes de un grupo o de un barrio. D) PROYECTOS: Busca que los alumnos aprendan a interesarse y a tomar parte en la vida cultural y social de su comunidad. El grupo debe ponerse de acuerdo sobre las reglas para luego aprenderlas y atenerse a ellas. La actividad lúdica produce una gran fascinación y esto no sólo ocurre con los niños. Los proyectos se enseñan normalmente en forma . Gracias a estos juegos se podrá aprender mucho más sobre la cultura de la cual provienen los niños y éstos se podrán integrar perfectamente en la clase. En los juegos de cálculo se debe pensar de manera abstracta y estratégica. Bajo el concepto de una enseñanza intercultural de las matemáticas es natural trabajar con juegos de conteo. En el juego mexicano llamado Patol se han concentrado en su estructura simbólico-formal. Los alumnos no quieren dejar de jugar. así como a interesarse en sus acciones. según se ha experimentado en muchas escuelas. La otra muestra nueve objetos.fichas: una muestra el mapa topográfico de una zona geográfica (país. números o símbolos matemáticos de las diferentes culturas indígenas. En todos estos juegos no se hace hincapié únicamente en el uso de los números y la práctica del cálculo. Mediante los proyectos aprenden a descubrir que la realidad social es configurable y variable. contar y calcular anticipadamente. haciéndolos trabajar en la formulación de estrategias de acción y tal vez iniciar pequeñas acciones para modificar la realidad. ordenar. Ella puede contribuir a la preparación. enfatiza sobre la influencia de los factores socioculturales en la enseñanza y en el aprendizaje de la matemática. un problema central de las etnias venezolanas es la pérdida gradual del uso de la lengua materna. sectores profesionales. 1985. que es lo que se pudiera llamar “matemática del ambiente” o “matemática de la comunidad”. incluye “su jerga”. clasificar. continua expresando que la investigación antropológica ha presentado evidencia de que muchos grupos culturales diferentes “saben” la matemática en formas muy distintas a la matemática académica que se enseñan en las escuelas.integral e interdisciplinaria. Lo más importante de un proyecto es seleccionar un problema clave del entorno social inmediato o de la sociedad. implica una conceptualización muy amplia de la matemática y del “etno”. organización y evaluación de un proyecto. hacer aritmética. “Etno” involucra grupos culturales identificables. grupos sindicales. ordenar. Una visión amplia de la matemática incluye contar. en que grupos culturales específicos cumplen las tareas de clasificar. Ésta se ubica como una combinación de la matemática y la antropología cultural. lo que obliga a que una gran parte de la clase se realice fuera de las aulas. A otro nivel de relación. Por ejemplo. El mismo D’Ambrosio (1985). la Etnomatemática es la manera particular. y tal vez peculiar.1. La Etnomatemática.. códigos. Tomado de Internet en 2003). contar y medir. . La matemática debe ser. 2. inferir y modelar. como todas las áreas. un componente integral. Las posibilidades de que la escuela pueda contribuir a luchar contra esa pérdida de identidad lingüística son obviamente limitadas. símbolos. niños de ciertos rangos de edades. mitos y hasta sus maneras específicas de razonar e inferir. etc. Pero puede realizar una importante contribución posibilitando que los niños reflexionen sobre las causas del problema. A un nivel. Ha existido una tendencia de creer que estas prácticas matemáticas ad hoc son nosistemáticas y no-teóricas. CONTENIDOS EN LA ENSEÑANZA DE LA ETNOMATÈMATICA Para el creador del término “Etnomatemática” (D’Ambrosio citado por el Grupo Internacional de Estudio de Etnomatemática. como sociedades nacionales indígenas (tribus). en las culturas indígenas es más cualitativa que cuantitativa. según la cultura y el medio ambiente. en Kichwa el número once se dice: chunka shuk o sea diez y uno. Pero si puede contar y abstraer con objetos concretos.De igual forma. Utilizándolo esta forma. el niño o niña se queda sin poder comprender. etc. existen también pérfidos problemas que se resuelven mucho mejor al modo de cada cultura. Por ejemplo. a la formación del concepto de número. atados de pescados secos. una interculturalidad. o sea la aritmética. redes. plátanos. las culturas ajenas a las indígenas deberían respetar y aprender otras formas de pensar y obrar. para ellos el número cinco se expresa de distinta manera según se cuenten: lanchas. Por ejemplo: Rosa procede a sumar ovejas. esto es de una importancia extraordinaria. como: naranjas. pero. precisamente. La representación retrocede y cede su lugar al pensamiento. La cuestión no es tan sencilla. es el caso de los nivjis. etc. por tanto. Quishpe (2005) expone que las matematizaciones realizadas por los diversos pueblos indígenas entran en franca contradicción con los esquemas mentales de la cultura occidental. palitos. el mejor de los métodos ni el más cómodo. cada uno en su contexto tiene su utilidad. no apenas en un sentido o sea recibiendo los conocimientos de una cultura occidental. pero le resulta difícil pasar al cálculo general (abstracción-operacionalización). trineos de perros o renos. De las culturas indígenas por ejemplo se podría aprender y enriquecer de su filosofía de vida y de la convivencia con la . en que permite descubrir en las cosas sus particularidades que no se pueden observar y ni siquiera representar. éstas poseen numerales especiales para objetos diversos. como en la cultura wayuu po’loo waneeshi-mϋin se traduce en diez más uno literalmente. a la comprensión de las operaciones matemáticas escritas en el cuaderno o pizarrón. recurriendo a la representación directa (construcción por adición. se trata de seis plátanos si se comparan con un plátano. Ejemplo: La palabra once del Castellano. Según Quishpe (2005). Para los que cuentan en base a su propia cultura. La fuerza del pensamiento estriba. el principio de la “percepción inmediata”. semánticamente no tiene su significado. y llegamos a la abstracción auténtica. De este modo se excluye desde el comienzo. Cabe insistir que en la cultura Kichwa el nombre de los números es más concreto que en Castellano.. ni mucho menos. Un ejemplo podría referirse a las culturas indígenas. etc. que resulta ser bien claro semánticamente. de tres si se comparan con dos. Es también necesario un intercambio. el contar mediante objetos singulares no es. el principio del “acopio de objetos singulares”. Aquí los cálculos. de la isla de Sajalin. Asimismo. como el computador). Para Villavicencio. 2. individuales. Así la educación en la institución educativa. En este sentido la Etnomatemática. están presenten en todas las sociedades y culturas. cada etnomatemática tiene su historia. ya que van a estar presentes en los análisis de las diferentes dimensiones políticas. diseñar. Nociones más generales de las que disciplinalmente se conocen como espacio y tiempo. La Etnomatemática es también acción pedagógica que debe ser tratada como tal en el aula. medir. que se constituyó en el Tercer Congreso de Etnoeducación.naturaleza. y solo pueden ser percibidas a través de manifestaciones materiales. para esto es necesario investigar cómo transmiten los conocimientos de cálculos las madres indígenas. organizar el espacio y el tiempo. deben apuntar para esas relaciones inter e intra-culturales sin olvidar que la cuestión de respeto por el otro como grupo social. en la . M (2001) la etnomatemática es “el conjunto de los saberes producidos o asimilados por un grupo sociocultural autóctono: Contar. sociales. se está acercando a considerarla como una etnociencia que una matemática étnica. el propio currículo escolar y principalmente la educación matemática desarrollada todo de un modo crítico. clasificación de la naturaleza sea cualquier contexto y la existencia humana. medición. "cosmos". técnica y ciencia para explicar y conocer en contextos específicos. vigentes en su propio contexto”. que motivan la producción de esos saberes y realizaciones humanas. ETNOMATEMÁTICOS Como etnomatemáticos notables encontramos a los integrantes de la RELAET. realizado en Bogotá. parte del respeto de la individualidad personal. Según esta definición..Colombia. cambia a través del tiempo.2. entre los pueblos indígenas de los Andes Centrales de América del Sur. en culturas indígenas se refieren a elementos más amplios como: la ordenación. bajo un punto de vista holístico. por extensión bastante moderna "mundo". y tratar de aplicar en el aula esa pedagogía natural y humana. históricas. es decir. la etnomatemática de un grupo sociocultural identificable es dinámica. económicas. mama: madre -es decir "Tierra madre" ) es la gran deidad. culturales. estimar e inferir. muchas de ellas analfabetas. ya que la persona desde niño o niña ya sabe contar los elementos de la Pachamana o más usualmente pacha (del aymara y quechua pacha: tierra y. Al entender la Etnomatemática como el arte. En este sentido. Hilbert Blanco. PROCEDIMIENTOS A) CONTAR Las nociones de número y conteo pertenecen a la prehistoria. poseen sistemas de conteo. 2. y todas las tribus o sociedades. en cada cultura se asignaron símbolos específicos para representar los números. donde participaron: Jorge Contreras. de ahí que en el año 2005 se amplía a Latinoamericana. Evert Ortega. Nohora Bety Gómez. y miembro de la comunidad indígena Nasa .Universidad Distrital Francisco José de Caldas en los días 2 al 7 de Junio de 2003. Con la invención de la escritura. Arnold Valencia . coordinadora de la Licenciatura en Etnoeducación de la Universidad Pontificia Bolivariana de Medelín. Sociólogo de la Universidad del Atlántico y miembro del grupo de investigación CELIKUD Lady Restrepo. Francia. Estudiante de la Maestría en Educación Matemática de la Universidad del Vale y miembro del Grupo de Estudios en Ciencia. Allí se llevó a cabo la primera reunión de la Red. Licenciado en Ciencias Sociales de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y miembro de la comunidad indígena Embera. docente de matemática en Santa Elena. en el estudio de Gelman y Galistel (1978) se encuentran cinco principios invariantes de esta actividad: . argumentaron no sentirse representados al ser exclusivamente una Red Colombiana. investigador en Etnomatemática y profesor de la Universidad de Bordeaux. Educación y Diversidad Cultural CEDIC. Las investigaciones consultadas relatan parte de esta diversidad de asumir el conteo. En dicha reunión se acordó el nombre de la red como Red de Estudios Colombianos de Etnomatemática. sin importar su desarrollo.3. dos años más tarde se cambió a Red Latinoamericana de Etnomatemática RELAET puesto que los miembros adscritos a la Red y los visitantes del sitio web. Popayán (Cauca). André Cauty . Licenciado en Ciencias Sociales de la Universidad del Atlántico y miembro del grupo de investigación CELIKUD. ciertas culturas no poseen un sistema organizado de numeración que genere etiquetas. tres. llevando al uso de una base. muchos . dos. dos.. Existen intentos de clasi cación de las distintas bases. ya que los kpelle (Liberia) no pueden decir simplemente cinco.Inyectividad: Este principio enfatiza la importancia de una correspondencia 1-1 entre objeto contado y etiqueta de conteo (palabra. cambiando el orden en que a los objetos se les asignan a las etiquetas. que permiten describir un sistema de numeración. Abstracción: El conteo se puede realizar a objetos de diversas categorías (se cuentan perros. árboles. etc) Gay y Cole (1967) encuentran que este último principio no está presente de la misma forma en todas las culturas. cuatro. cuentan objetos heterogéneos pero no tienen manejo del cardinal cinco ni realizan operaciones aritméticas sin objetos visibles. otros siguen el esquema uno. En este principio se aplican dos procesos: particionar y etiquetar. Etiquetar se re ere a que cuando se usa una etiqueta. encontrando que el principio de orden estable implica el conocimiento de las etiquetas de conteo. tal como está desarrollado en tanto la medición como el conteo precisan de unidades convencionales. porque en su vida cotidiana como cultura no se manejan conjuntos de tanta cardinalidad. Nunes (1992) analiza los principios planteados por Gelman y Galistel a la luz de la etnomatemática. Orden estable: Las etiquetas de conteo tienen un orden que no se altera. Cardinalidad: La ultima etiqueta usada en el conteo de un conjunto. El primero se re ere a que cuando un objeto va a ser contado es necesario transferirlo de la categoría por contar a la categoría ya contado obteniendo dos partes disyuntas y complementarias del conjunto a contar. esto presupone la existencia de los dos principios anteriores. sino cinco pollos o cinco personas. por ejemplo. y entonces tienen un número nito de ellas: algunos pueblos numeran hasta cinco. con sus propias leyes aritméticas para calcular. Se encuentra en Saxe [78] un sistema de conteo usado por la comunidad Oksapmin de Papua Nueva Guinea. Una base está soportada por la previa de nición de unidades de conteo que sirven de convención. letra o signo). dos. Un sistema organizado de numeración se hace necesario cuando el uso de cantidades grandes es frecuente. cuatro. No se permite: dos. uno . representa al conjunto como un todo y a su numerosidad. que vincula las partes del cuerpo para generar etiquetas hasta el número 27.. que son usadas en la vida diaria. como por ejemplo las cucharadas al momento de . gatos. está ya no puede volver a ser usada para contar los elementos restantes. que varían según la cultura. que sirve como un esquema de agrupación para reorganizar el conteo. Por eso nadie cuenta uno. otros hasta 20. Irrelevancia del orden: el mismo conjunto puede ser contado de diversas maneras. En el caso de nuestro sistema indo-arábigo tenemos 10 dígitos. generando problemas cuando el rango numérico crece. Como es ampliamente conocido. que adiestra y posibilita la capacidad de inversión en problemas escritos. Como vemos. Cuando la cultura desarrolla una escritura. deben desarrollar otras estrategias para enfrentar los cálculos. o con partes del cuerpo (Oksapmin). aparecen otros elementos a considerar. B) Localizar Al plantear la localización. y facilitan u obstaculizan el desarrollo del entendimiento del conteo para los niños pertenecientes a cada cultura. el valor posicional del número brinda una gran facilidad para los cál. pacas de pañales). in uencian el entendimiento de la estructura de base. pero de un modo distinto al que lo hacen los litros o los centímetros cúbicos. como el valor posicional y la variación en la forma. se pierde signi cado.culos aritméticos. los factores lingüísticos generan parte de estas variaciones. los nombres usados para los números entre 11 y 16 no tienen un patrón claro. generada . los distintos ocios generan una reinvención de las unidades de conteo (canastas de gaseosa. cada uno con un signi cado único. Y las culturas que carecen de él . del valor posicional. se observa que en lo oral se preserva el signi cado y se respetan las unidades. como si lo tienen los posteriores. En español e inglés. Estas variaciones en la forma son algo más que curiosidades. pero en la vida diaria se pierde esa habilidad. Cada cultura de sus unidades de acuerdo a sus necesidades y características.cocinar que miden volumen. En el lenguaje Chino los nombres de los números están organizados de manera tal que son compatibles con el sistema de numeración en base 10. Se encuentran en Carraher (1987) y Soto (1995). Se ve entonces que no sólo los elementos invariantes. Bishop pretende resaltar la importancia del entorno espacial en el desarrollo de las ideas matemáticas. Los cálculos escritos están bastante difundidos en la escuela. así los números hablados corresponden a los números escritos. nos dan información sobre el sistema de conteo de una cultura. Los cálculos escritos se basan en reglas que trabajan con las etiquetas y aunque se gana rapidez en su realización. de las operaciones aritméticas relacionadas. En la ciudad. por ejemplo 15 se dice diez cinco 57 es cinco diez siete . La exploración de la tierra y el mar. generando varios de los típicos problemas operatorios que se dan en la escuela. Las formas inventadas varían a través del tiempo y del espacio. que incluso cambian con el lenguaje. en francés 92 no es noventa y dos sino ochenta y doce y a su vez 80 es cuatro veinte. estudios que evidencian la diferencia entre los cálculos orales y los escritos. Se han considerado tópicos relativos al conteo de carácter oral. sino además las maneras de abordarlos. por ejemplo la distancia se mide por el tiempo (mi casa queda a dos días de camino ). Explicar supone exponer las relaciones existentes entre unos fenómenos. mencionados en [63] y [64]. Tal como en la geomancia. a diferencia de las demás. la explicación es un discurso construido según reglas propias y comunes de validación. como la de traspaso de conocimientos de una generación a otra y el carácter aleccionador y moralizante de la narración. Para Balache . Se toman como ejemplo algunos lenguajes de las tierras altas de Papúa. C) EXPLICAR Para desarrollar este concepto tomaremos tanto el análisis que hace Bishop. dónde. la simplicidad en lo complejo. que pretendían resolver el cómo. marco de la referencia universal). esos relatos cumplen poderosas funciones sociales. El trabajo de Pinxten con los pueblos navajo de Norteamérica (Pinxten.por la necesidad de conocer el terreno que se habita y por la necesidad de buscar alimento. pero no existe una forma fácil de describir la idea de horizontal . Esta exposición de relaciones (discurso construido) presenta diversas formas. Un aspecto fundamental de los . usa maneras distintas que varían en cada cultura. sin los cuales muchas veces no es posible comprender las similitudes y diferencias en los sistemas de localización de distintas culturas. pretende resolver el por qué. 1983) examina detalladamente la forma de conceptualizar el espacio de una cultura determinada y brinda una base para el análisis. van Dooren y Harvey. En ese estudio se intenta exponer la losofía y la fenomenología del espacio de los navajo usando el UFOR (Universal Frame of Reference. en los que existen palabras para denotar distintos grados de pendiente o inclinación. cuántos. la localización se ha ligado a aspectos místicos y/o religiosos. buscar la unidad que subyace a la aparente diversidad. por ejemplo con el uso de relatos. cada pueblo tiene mitos que le dan base a su estructura social. es tan escencial que no se puede dudar de la universalidad de esta actividad. En sociedades distintas en sitios geográ cos diferentes dan importancia a aspectos diferentes. Esta actividad. como los aportes teóricos de Klein y Toulmin. Como es de esperarse. que es un instrumento analítico desarrollado por Pinxten para estudiar las nociones espaciales en contextos culturales distintos. interpretaciones de su origen como pueblo y del origen del mundo como tal. cuánto. todas las sociedades desarrollan métodos para codi car y simbolizar su entorno espacial. mediante el cual se intenta que los demás asignen veracidad a una afirmación. nuevas palabras. Por ejemplo. Se puede aprender un nuevo juego. Bishop menciona que Strevens identificó y clasificó para el idioma inglés muchas clases de conectores lógicos: de vinculación (por lo tanto. mientras que). la manera de explicar es más difícil. tan usada en la matemática. de clasi car fenómenos. ni usaban un equivalente de la taxonomía. Otra manera de explicar es mediante el uso de símbolos y guras. pero cambiar la mentalidad. es lo más básico (de la base). y de hipótesis. de manera similar). restringirlas. hacen parte estructural de la cultura. en un estudio ([78]) hecho en Papua Nueva Guinea sobre sistemas de clasificación. Tanto en castellano como en inglés. se pueden tomar nuevos diseños. nosotros usamos ecuaciones. la existencia y el uso de conectores lógicos que permiten combinar proposiciones y oponerlas. por ejemplo. No es válido afirmar la inexistencia de conectores (en otras culturas) que carezcan de equivalencia en nuestros sistemas de explicación. o que todo conector nuestro encuentre siempre su dual. Los múltiples lenguajes conllevan a una diversidad de clasificaciones. Se han hecho otros estudios sobre la clasi cación que realizan distintas culturas y se puede llegar a la conclusión de que de las seis actividades ligadas al desarrollo del pensamiento matemático en una cultura. matrices. las maneras de conectar y relacionar ideas. no existen términos que diferencien la conjunción inclusiva de la exclusiva. El uso de símbolos está ligado desde su origen a la actividad de explicar. Tal vez por eso se presentan dos situaciones importantes. etc. con sus sistemas de clasi cación es la más resistente a cambios. es la capacidad de conectar el discurso de distintas maneras. descarta lo innecesario y nos da información sobre el significado. dado que). que no necesariamente coinciden con las de la lógica formal. Los conectores lógicos pueden obedecer a unas reglas de inferencia propias. conocer nuevos objetos. aunque. que trata de encontrar estructuras cada vez más generales para clasificar objetos (funciones derivables ⊂ funciones continuas ⊂ funciones ⊂ relaciones). extenderlas. gráficas. con el n de. que está relacionado con el desarrollo de las ideas matemáticas. de restricción. dibujos. entonces. pero en otros idiomas (por ejemplo el de los kpelle) si existen términos que permiten hacer la distinción. la explicación. diagramas. ii) Cuando la cosmovisión ha cambiado es prácticamente imposible regresar a la . de oposición (sin embargo. No hay que hacer grandes estudios semióticos para entender que el significante condensa lo fundamental. se encontraron poblaciones que no manejaban el concepto de jerarquía. desigualdades. i)Bajos desempeños escolares de inmigrantes y de indígenas. causalidad (siempre que. paráfrasis(igual. así como). al ser puestos en ambientes culturales distintos al de crianza.relatos. Las explicaciones tambien son evaluadas.tingue entre lo colectivamente válido y lo colectivamente cuestionable de un grupo o comunidad. Ningún miembro del grupo debe necesariamente ser consiente de qué cosas pertenecen a lo colectivamente válido. longitud. sin que sea motivo de cuestionamiento. por lo que se generan convenciones y unidades de medida estandarizadas para asignar un número a la cantidad de magnitud . siguiendo lo planteado en [6]. se hace necesario que esos patrones sean aceptados comúnmente.plicar fenómenos. como por ejemplo peso. temperatura. y por magnitud (continua o discreta) se entiende al. D) MEDIR Naturalmente esta actividad es de carácter universal y tiene estrechos vínculos con la matemática. generando un rechazo o una aceptación. que permiten realizar comparaciones indirectas entre objetos y establecer algún tipo de orden. tiempo. distancia. entonces es natural ofrecer alguna resistencia a los desarraigamientos generados por una trasculturización subordinante. Lo que se considera particular son los esquemas de validación. de conectar ideas mediante el discurso y de validar sus explicaciones. y lo que está en alguno. quien interesado en analizar de manera descriptiva la interaccion cotidiana de grupos sociales en cuanto a la argumentación. lo colectivamente válido contiene todo aquello que los integrantes de una comunidad puedan usar cotidianamente en un proceso de comunicación. Es de recordar una experiencia con un indígena kpelle. esto es eviden. y contiene todas las afirmaciones y reglas que son necesarias para que el grupo acepte conclusiones que se puedan obtener de una manera aceptable a partir de unas afirmaciones dadas. Cada cultura tiene su manera propia de ex. dis.original. O EN OTRO TIEMPO. Tampoco dichas cosas tienen que estar bien definidas en sentido matemático. En síntesis. Estos dos conjuntos son bastante dinámicos. Todo lo que no se use rutinariamente en un proceso de interacción es llamado colectivamente cuestionable. Es por ello que se estudia el impacto de la escuela en los cambios de cosmovisión de los indígenas. con la medición se pretende establecer que tanta cantidad de una magnitud posee un objeto o acontecimiento. Para analizar con más claridad adoptemos el enfoque de Wolfgang Klein (1980). Con el crecimiento de las sociedades y las necesidades comerciales y de comunicación. Lo primero será lo que pueda ser aceptado por el grupo en un momento particular de su historia. puede estar en el otro en CUALQUIER GRUPO. ya que todas fueron emitidas por autoridades. Se utilizan patrones de medida.tradecían. capacidad. que podía aceptar como verdaderas a rmaciones que se con.temente universal.gún atributo que se puede reconocer en objetos heterogéneos. por ejemplo el atributo color no se acepta por la cultura occidental como una magnitud medible. 10 decámetros = 1 Hectómetro. Siempre de 10 en 10). Estos procesos pedagógicos son recurrentes y no tiene categoría de momentos fijos. Se formulan a partir de la Unidad Didáctica y se sugiere el procedimiento siguiente: Seleccionar los aprendizajes (capacidades. La unidad de medida (metros) es algo más abstracto que el patrón de medida (el metro). hay diferencias en las unidades utilizadas y en el modo de asignarlas. siendo rechazadas afirmaciones como rojo < amarillo 1. Equivalentemente. Determinar las actividades / estrategias de aprendizaje en función de los procesos cognitivos que involucra la capacidad prevista y de los procesos pedagógicos: Captar el interés. La perspectiva cultural se encarga de advertir sobre las magnitudes que se toman en consideración. aunque usualmente este último indica una unidad de medida. conocimientos y actitudes) que los estudiantes lograrán en la sesión. Aún si se considera alguna magnitud común. Si se tiene una concepción circular del tiempo. Aplicación y Transferencia.4. Bishop cita el caso de cómo se dirimen conflictos sobre el área de huertos en Papua Nueva Guinea: se suman las medidas de los lados y así se determina el tamaño. para distancias más largas se usan expresiones como una jornada de viaje. para cortas la distancia su ciente para oir. La precisión y exactitud en la medición de una magnitud depende de la necesidad social y ambiental de cada grupo cultural. . no tiene mayor interés asignarle una medida. Generar conflicto cognitivo. La importancia de una magnitud es completamente relativa a cada cultura. para distancias largas utilizan el termino de páramo. que no siempre guardan la misma relación entre ellas (10 metros= 1 decámetro. por ejemplo el área. Recoger saberes previos. 1 Aunque el atributo "intensidad" sí es aceptado como magnitud medible para objetos del mismo color. DISEÑO DE SESIONES Las sesiones de aprendizaje se definen como el conjunto de estrategias de aprendizaj que cada docente diseña y organiza en función de los procesos cognitivos o motores y los procesos pedagógicos orientados al logro de los aprendizajes previstos en cada unidad didáctica. El espacio para los temne se mide muy particularmente. etc. en culturas de Papua-Nueva Guinea no tiene sentido comparar el volumen de dos objetos. Construcción. También el manejo que se le da a las distintas unidades de medida. 2. Otro ejemplo claro es el sentido que se le da a el tiempo.de un objeto. a partir de los previstos en la unidad didáctica. napakuni. mi hermana y yo Nuqaqami tukuy diyakuna tardikaq uyshata michiyta ya. ¿Qamkuna Docente mana papel qillayta El docente cuenta a los riqsinkillapachu? Qam Rosita. La información registrada se basa en la observación de la clase realizada con niños de la sección de primer grado de la institución educativa de EIB de Cañaris (UGEL Ferreñafe.sinimi. Asignar el tiempo en función de las estrategias o actividades previstas. Arí. ¿ima mana niños papel qillaytataq riqsinki? historia. orientada a que los niños construyan el concepto de adición desarrollando sus capacidades matemáticas a través de la resolución de problemas. ¿Tukuyniykillapa riqsinkillapachu uk sol qillayta riq. Mamaymi imanupiqa ishkay sol qillayta pichqa soles qillaytapis? Niños (¿Todos ustedes conocen las monedas de ¡Arí! (¡Sí!) una que pequeña ellos . Región Lambayeque) durante 50 minutos. Seleccionar los recursos educativos que servirán tanto al docente como al estudiante para facilitar la enseñanza y el aprendizaje.dos en el tema campo y las tareas que ellos realizan para de conversación. Formular los indicadores que permitan verificar si los estudiantes han logrado la capacidad prevista A) UNA EXPERIENCIA EN LA COMUNIDAD QUECHUA CAÑARIS A continuación se transcribe una sesión de trabajo en aula. Nuqaqa uk solta pichqa solesta ishkay Rosita soltapis Docente tampuman rantiq kacˆaman. Semanamantaqa uk diyatami warmi ukniywan nuqaqa uyshata michinillapa Jimena (Un día a la semana. respectivamente. Hora 8:30 Participante s Docente Pedro Acciones y enunciados Observación Conversa en quechua con los niños sobre Los niños se muestran las actividades que realizan sus papás en el interesa. chua (Les voy a contar lo que le ocurrió a y castellano. instrumentales: que.. que fue muy contenta a la feria. primero zando en en .¡Dorita tiene seis soles!) refonologiquechua. Dorita. (Ya sé.dan con objetos Docente 8:50 Rubén Doritaqa ishkay solesniyjun katin mamanqa concretos para dar la El profesor repite la cˆusku solta makyaran. ¿cuán.. ¿maynu qillaytataq historia Doritaqa fyestamanqa aparan? quechua y después en (Dorita tenía 2 soles y su mamá le regaló castellano.¡Doritaqa seys solesniyjun! los niños tengan clara la Rubén dice “seys”.gües. a fin de que 4 soles.) Los niños reflexionan y se ayu. aunque (¿Pudieron ir el sábado a la feria que algunos hubo en Cañaris?) Imataq Doritata kusa manejan mejor una u aligri otra de las dos lenguas fyestaman ritin pasasha nirmi de ellos parlashaykillapa..killapachu? son bilin..tos soles llevó Dorita a la Yacˆaninami.8:40 Docente Niños ¿Sabadota Kañaripa fyestan kashanman riyta Los niños de la clase puydiray. INCLUSIÓN DE LA ETNOMATEMÁTICA PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: La inclusión de la etnomatemática quechua en el desarrollo curricular . PROGRAMACIÓN. a la luz de las características de la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB. puntualizar lo siguiente: 1. DESARROLLO Y EVALUACIÓN. REFLEXIONES Y COMENTARIOS: El análisis de la sesión de enseñanza y aprendizaje observada nos permite. 2. ARTICULADOS CON EL CALENDARIO COMUNAL: Aun no hay evidencia de una práctica consolidada de la programación. desarrollo y evaluación que se articule con el calendario comunal. en contextos de expresión en lengua quechua. NATURALEZA LÚDICA: Se busca que los niños se sientan cómodos. y entre pares. está todavía en un proceso inicial.ticas desde los primeros grados de EIB. estimula a los niños a pensar por sí mismos y a buscar estrategias personales o colectivas para encontrar una solución. En este sentido se observó por ejemplo que. relacionadas con sus intereses y vivencias. Se da un espacio para expresar su originalidad cuando se les pide que dibujen la estrategia que usaron para responder a la pregunta planteada en la historia. DESARROLLO DE CAPACIDADES PARA INVESTIGAR: En la práctica se constata que los niños resuelven un problema de estructura aditiva de cambio. utilizan generalmente el nombre de los números cuatro y seis en castellano. 3. USO DE LA LENGUA ORIGINARIA Y EL CASTELLANO COMO LENGUAS INSTRUMENTALES: Se evidenció que el quechua es útil como lengua instrumental en el área Matemáticas de EIB. USO DE MATERIAL EDUCATIVO DIVERSO: Los niños tienen libertad para usar el material concreto no estructurado disponible en su aula: piedrecitas. 7. Asimismo. para responder las preguntas que formula el docente. chapitas. con lo cual propicia el desarrollo de capacidades para investigar. sin necesidad de que el profesor les haya dicho que van a resolver un problema. que involucra una pregunta a la cual los invita a responder. ORIENTACIÓN AL LOGRO DE COMPETENCIAS: El profesor logra seleccionar o diseñar actividades pertinentes para proponer a los niños.de Matemá. semillas. 6. en particular en lo que concierne al uso del sistema de numeración originario en clase de Matemáticas. 5. 4. se atrae su atención y se posibilita su bienestar a través de una historia que el docente cuenta. contextualizada en su realidad. dos y cinco se nombran en quechua. lo cual contribuye a generar en estos actitudes positivas hacia las matemáticas. tanto el docente como los niños. Facilita el proceso de comunicación entre docente y niños. en la sesión observada la operación de adición surge como una herramienta cuya necesidad se genera a . Los números uno. Lo importante es que a través de la situación que les relata. una que tenía Dorita y dos que le dio su mamá después. El proceso seguido para hallar la solución permite el desarrollo de las capacidades de resolución de problemas. En estas representaciones se observa la nota personal en la estrategia utilizada. los niños han vivido un proceso de construcción del concepto de la operación de adición.partir de la situación que se ha planteado para resolver. En otras palabras. y también emplea términos en quechua en proceso de estandarización: “yapachikuq” (signo “más”: +). El docente introduce el uso de signos convencionales para representar la operación de adición. se orienta al logro de competencias. representó tres monedas de 2 nuevos soles. B) SESIÓN DE CLASE EN PATACANCHA: CONSTRUCCIÓN DE LOS TRES PRIMEROS NÚMEROS NATURALES. el niño llamado Aldair. razonamiento y comunicación matemática. sino a desarrollar capacidades y actitudes positivas. Los niños tienen la libertad de utilizar material concreto y posteriormente representan gráficamente el procedimiento seguido. a partir de una situación problema que han resuelto.tos y a utilizarlos. Así por ejemplo. El trabajo realizado por los estudiantes les ayuda. para responder la pregunta del problema. es decir. Algunos trabajos realizad os por los niños en el marco de la sesión de clase desarroll ada en Cañaris. USANDO LA YUPANA COMO SOPORTE: Esta vez se presenta la transcripción de una sesión de trabajo en aula orientada a que los niños inicien la construcción de la sucesión de números naturales y el concepto de valor . no solo a construir conocimien. . el desarrollo de las capacidades comunicativas y de ubicación en el tiempo. conversando con los niños sobre la fecha y la asistencia de los alumnos ese día. luego de que la profesora propiciara. Ella cuida de que todos participen. entre otras. no utiliza la palabra “problema” a fin de condicionar positivamente el estado emocional de los niños. La información registrada se basa en la observación de la experiencia realizada en la sección de primer grado de la institución educativa de EIB de Patacancha (UGEL Urubamba. He aquí una aproximación de la clase observada en Patacancha el 14 de julio de 2010. aun cuando en la práctica conduce el proceso de aprendizaje a partir de preguntas que plantea de modo sistemático.posicional. La profesora responsable de la sección de niños de primer grado ha empezado a aplicar en sus clases los principios de la propuesta pedagógica. observa sus reacciones y orienta sobre todo a quienes necesitan su apoyo. Región Cusco) durante 65 minutos. es decir. Evita decir a los niños que van a resolver problemas de Matemática. en quechua. pero en la clase del 14 de julio solo asistieron tres de ellos. . El grupo Chawlla” tiene cuatro integrantes. llama y uwija.Ese día se finalizó el proceso de enseñanza y aprendizaje. Los niños están organizados en cuatro grupos de trabajo: chawlla. siempre estimulando el pensamiento de los niños a través de preguntas formuladas en función del propósito de la clase. Este hecho entre otros fue utilizado por la profesora como contexto para apoyar procesos de aprendizaje significativo en el área Matemáticas. que condujo la profesora Nancy. waka. iskay.. dos. Sapanka wachuqa sutiyuqmi. (Muy bien. Uk. kimsa! Niños (Uno.pim kachkam chayqa sapankuna wachukunamanmi uma.llin. Por ahora solo vamos a jugar en la columna de las unidades. Esta letra que está 8:40 Niños Profesora Niños “S” qillqaymi kay. Kay qillqayqa muyu. Profesora Yupanata qhawaychik. Niños Profesora (Hay hoyitos. hay rectángulos. tres!) Profesora Allinmi...) Yupana qusqaykichik kimsa wachuyuqchu .. (Unidades. ¿Imatam yupanapi qhawachkankichik? (Fíjense cómo es la yupana. ¿Qué observan en ella?) T’uquchakuna kachkanchu… chuntakunari. en este círculo quiere decir que en esta columna se repre(Es la letra “s”.) ¿Ima ninantataq kay “s” qillqayri nin? (¿Qué quiere decir “s”?) Sapankuna. ¿ima qillqayri kay? (Las yupanas que les he dado tienen tres columnas.) Hayk’ataq yupanaq wachunri? Señala las columnas de la yupana (¿Cuántas columnas tiene la yupana?) que tiene en sus manos.) .Hora 8:35 Participantes Acciones y enunciados Observación Los niños muestran interés cuando Niños se les entregan las yupanas y las tablitas numeradas. Cada columna tiene un nombre. kunanqa sapankuna wachukunallawanmi pukllasunchik. todos acer.. tuación signifi Luego pregunta a los niños : el aula: a una niña se le ha. ¡Kunanqa 1 yupayta kikillanta churay! (Sin embargo. kunanqa 1 yupayta pizarra yupanapi muyupi siq’ispa kaqninman churay. ahora en la yupana de la pizarra. (Muy bien. (Utilizando las tapitas representen “huk” en la columna de las unidades de la yupana.. (Coloquen la tablita en la que está escrito el número “1” debajo de la columna de las unidades. en el hoyito de la izquierda. colocarla en uno de los hoyitos de la taq uranpi lluq’i t’uquchapi.) Niños Los niños tratan de colocar la tapita en uno de los hoyitos de la columna de las unidades de la yupana.) Pinta el círculo de la izquierda de la primera fila del rec.Profesora Dibuja un diente y escribe la palabra kiru (diente) en la La profesora aprovecha una si- pizarra.) Niños docente diferencia en la ubicación de hay . representen “uno” de este modo!) Adoptan el acuerdo colocando la tapita en el hoyito de la izquierda del rectángulo de la parte inferior de la columna. pues estaba (¿Cuántos dientes se le cayeron a Juana?) mudando. 8:55 Hora Profesora Allinmi. Martina. chun- Profesora observa Observación colocaron “uno” en la columna “unidades” de la yupana.taron en Kunanmantaqa tapachakunata churayta qallarisun. Participante s La (Muy bien. Hace notar esta situa- que se dio en ción a la clase y les formula la Niños 8:45 Profesora Uk! pregunta . y pinta un círculo donde corresponde. Martina que sin embargo.na que está dibujada en la pizarra: P CH S 8:58 Profesora Tablachakunata 1 yupayta sapankuna nisqa yupanaq wachunpi churaychik.) Acciones y enunciados “Huk” yupayta sapam wachupi llapaykichikchu churarankichik. (A ver..) Tapachakunawan huk yupayta sapam wachupi churay. en adelante vamos a empezar colocando las tapitas siempre en el rectángulo de abajo. representa “uno”. (Todos columna de las unidades. (Uno!) Allinmi. Martina.tángulo inferior de la columna de las unidades de la yupa.) la tapita en las yupanas de los niños. caído un diente. ¡A ver.bía ¿Hayk’ataq Juanapa kirunkuna urmarqun? . (Utilizando las tapitas representen “iskay” en la columna de las unidades de la yupana. Pide a los niños: Tapachakunawan 2 yupayta sapankuna nisqa yupanaq wachumpi churay.na de la pizarra pintando dos círculos donde corresponde. respeten el acuerdo de empe- zar colocando las tapitas desde la última fi del rectángulo inferior de la columna de las unidades.) Niños Cada niño coloca dos tapitas.) Wayta Escribe “1” según lo indicado: P 9:00 Profesora CH S Les invita a hacer ejercicios físicos para que se relajen un poco. (A ver.Profesora Wayta. mu. Wayta. escribe el número “1” en la yupana de la pizarra. Fue acertado que los niños efectuaran la dinámica dirigida por la profesora. (A ver Arturo. kunanqa 2 yupayta pizarra yupanapi churay.) .yuwantaq siq’iy. kunaqa 1 yupanata pizarra yupanapi qillqay. una en cada hoyito de la columna de las La profesora les orienta a fi de que unidades de la yupana. (Dos) Dibuja en la pizarra el rostro de cada profesora y escribe el número “2”. representa el número “dos” ahora en la yupa. ¡ Hora 9:05 Participantes Profesora Acciones y enunciados Observación Escribe en la pizarra y verbaliza la pregunta: ¿Hayk’a yachachiqkunataq kaypi kanku? (¿Cuántas profesoras hay aquí?) Niños Profesora Iskay. Profesora Arturo. sapankuna nisqa yupanaq wachunpi qillqay. empezando por la izquierda de la primera fila del Arturo rectángulo inferior de la columna de las unidades de la yupana que está dibujada en la pizarra: P Profesora CH S Indica a los niños: “2” yupaywan qillqasqata sapankuna nisqa yupanaq wachunpi churaychik.mular a los niños preguntas que toman en cuenta su entorno. (Y tú Arturo. escribe el número “2” debajo de la columna de las unidades en la yupana de la pizarra.Pinta dos círculos.) Observación La docente siempre cuida de for. . Hora 9:10 Participantes Profesora Acciones y enunciados ¿Mayqin t’aqakunapi pisi irqikuna hamunku? (¿En cuál de los grupos han venido hoy menos niños?) Chawlla t’aqamanta.) Arturo Escribe en la pizarra el número “2”. Niños Profesor ¿Hay’ka irqikunataq challwa t’aqamanta kunam p’unchaw hamunku? (¿Cuántos niños del grupo “Chawlla” han venido hoy ?) Niños Kimsa. Niños según lo indicado. (Tres. de acuerdo con lo indicado: P CH S Colocan la tablita con el número “2”.) Qanri Arturo 2 yupayta. (Coloquen la tablita en la que está escrito el número “2” debajo de la columna de las unidades de la yupana. (En el grupo “Chawlla”). pezar Niños colocando las tapitas en la última fi del rectángulo inferior de la columna de las unidades.) Raquel pinta los tres círculos de la Raquel última fila del rectángulo inferior de la columna de las unidades de la yupana que está dibujada en la pizarra.) Qamri Raquel kimsa yupayta sapan wachukunaq uraynin. (Utilizando las tapitas representen “tres” en la columna de las unidades de la yupana.) Escribe 3 debajo de la yupana en la pizarra: P Hora Participantes Niños CH S Acciones y enunciados Colocan la tablita con el número “3” según lo indicado. Raquel. Pide a los niños: Yupanapi rurasqaychichikta Cuadernuykichikpi churaychik. una en cada hoyito de la columna de las La profesora les orienta a fi de que unidades de la yupana. Pide a los niños: Tapachakunawan kimsa yupayta.pi pizarrapi qillqay.te a quienes (Coloquen la tablita en la que está escrito el número “3” debajo de tienen dificultad.) Observación . kunanqa 3 yupayta pizarra yupanapi churay. 9:20 Profesora (Representen en su cuaderno lo que han contado y representa.) Cada niño coloca tres tapitas. respeten el acuerdo de em.yuwantaq siq’iy. escribe el número “3” debajo de la columna de las Raquel unidades en la yupana de la pizarra. sapan wachukunapi churay.na de la pizarra pintando los círculos donde corresponde. yupanaq sapan wachu el trabajo que cada niño realiza y urayninpi. Raquel.Profesora Dibuja en la pizarra el rostro de cada niño que integra el grupo “Chawlla” y escribe el número “3”. Raquel. representa el número “tres” ahora en la yupa. orienta prioritariamen. mu.do en la yupana y escriban el número respectivo cada vez. la columna de las unidades de la yupana. Profesora (A ver. (Y tú. P CH Profesora S Indica a los niños: Simultáneamente. la docente revisa Tablachata 3 yupay qillqasqapi churay. Asimismo. wachu (columna). 11. NATURALEZA LÚDICA: A fin de que las actividades de los niños respondan al interés lúdico que ellos tienen. propuestos en el diccionario referido. respectivamente. pues reprodu. iskay (dos). Se usan términos en quechua Cusco Collao y Ayacucho Chanka.zación: yupana (ábaco). Por otro lado. y ura (abajo) en urayninpi (de. USO DE LA LENGUA ORIGINARIA Y EL CASTELLANO COMO LENGUAS INSTRUMENTALES: Dado que la lengua materna de los niños es el quechua Cusco Collao. Se usan también términos propuestos para estan. chiqan muyu (círculo). ARTICULADOS CON EL CALENDARIO COMUNAL: La programación. propuestos en el diccionario elaborado con participación de educadores. lluq’i (izquierda). es posible puntualizar lo siguiente: 8. DESARROLLO Y EVALUACIÓN.bajo). el análisis de la programación curricular y de las actividades de la sesión de enseñanza y aprendizaje de primer grado observada en Patacancha.to de soporte para el trabajo conceptual de la etnomatemática andina se usa la yupana. sapankuna (unidades). se les invita a jugar con la yupana y. 10. se utilizó esta lengua durante las actividades realizadas. chutarisqa tawa kuchu (rectángulo). La lengua instrumental utilizada es el quechua. se .Niños Cada niño dibuja y escribe en su cuaderno de acuerdo a lo indicado por la profesora. en la variedad Cusco Collao. Muestran a la profesora lo que 9:35 representaron en sus cuadernos. a través de proyectos y unidades de aprendizaje. progresivamente.darización: pisi (pocos) cuando se refiere a “menos”. huk (uno). como material concre. lengua materna de los niños. especialistas de Matemáticas de Institutos Superiores Pedagógicos. Se observa que los niños están acostumbrados a copiar lo que está en la pizarra. 9. se observa que en lugar de los términos por estandarizar: yupa (número). kimsa (tres). Tales términos están en proceso de estandari. INCLUSIÓN DE LA ETNOMATEMÁTICA PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: La inclusión de la etnomatemática de la comunidad está dada por el uso del sistema de numeración en quechua. chunta y muyu. desarrollo curricular y evaluación de los aprendizajes se enmarca en el calendario de la comunidad.cen lo que ven allí. se utilizaron: yupay. con lo cual se reconoce el valor que tiene el ábaco utilizado en el Imperio Incaico. REFLEXIONES Y COMENTARIOS: Tomando como referente las características de la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB. PROGRAMACIÓN. Un aspecto relevante en la sesión de clase es la pertinencia de las preguntas que formula la docente a los niños. Este espacio es propicio para que los niños desarrollen las capacidades para investigar. En efecto. entre otros procesos. USO DE MATERIAL EDUCATIVO DIVERSO: Se usa el material concreto estructurado. en función de los propósitos de la clase. como respuesta a las preguntas formuladas. es decir. se posibilita que los niños pasen de la representación concreta a la representación gráficas y simbólica. . ORIENTACIÓN AL LOGRO DE COMPETENCIAS: Se posibilitan aprendizajes en el área Matemáticas. reflexionar. 12. DESARROLLO DE CAPACIDADES PARA INVESTIGAR: El hecho de que se formulen preguntas a los niños considerando el contexto y ciertas reglas de juego asumidas. el ábaco andino (yupana). con piezas encajables auxiliares y tablitas numeradas. en quechua Cusco Collao). Asimismo los niños empiezan a construir el concepto de valor posicional.les va planteando preguntas que suponen el respeto de ciertas reglas de juego. pues la representación concreta y simbólica de los números debe hacerse en la columna unidades (sapankuna. y que sean capaces de elaborar y aplicar estrategias que permitan responder a las preguntas que se les plantea. con el apoyo de su representación concreta en la yupana. para poder responder. cuya corrección es validada por sus mismos compañeros conjuntamente con el docente. y que los niños desarrollen su pensamiento pues. tienen que observar. La docente también propone a los niños otras dinámicas que propician su bienestar y el agrado por las actividades que se le proponen. hecho que facilita el aprendizaje comprensivo y la representación simbólica. En la sesión de enseñanza y aprendizaje de la clase transcrita se evidencia también que se puede plantear y resolver problemas cuando se utiliza material concreto adecuadamente. cuando se les pide que dibujen lo que hicieron en clase con la yupana y que escriban cada número. los estimula a buscar estrategias de solución. del 1 al 3 respectivamente. Son los niños quienes dan las respuestas. establecer correspondencias y localizar objetos en el espacio. esto es. 13. al proponer a los niños actividades generadas por situaciones significativas extraídas de su entorno. De esta manera propicia que el significado cuantitativo de los números vaya siendo comprendido por ellos. aprovechando estratégicamente las situaciones que el contexto le ofrece. que identifiquen o formulen situaciones problema. (La fiesta de Todos los Santos. Niño Niña Wañuqkunaq raymin. La sesión se realizó el 5 de noviembre de 2010. (La fiesta de los muertos.pi ruranku? (En la fiesta de Todos los Santos. EN UNA SECCIÓN DE PRIMER GRADO DE EIB A continuación presentamos el registro de la observación de una sesión de enseñanza y aprendizaje realizada en un aula de primer grado de EIB. la operativización de la PPM-EIB permite que los niños construyan conocimientos y desarrollen capacidades. C) RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA ABIERTO. una actitud positiva para la realización de las actividades que se les propone. . en Patacancha. por ende.) Todo santuspa raymin. tuvo una duración de dos horas y en ella se empleó el quechua Cusco Collao. la comprensión de los niños de lo que hacen y expresan en la sesión de trabajo en el área Matemáticas genera en ellos un sentimiento de seguridad y. ¿ima mikhunakunatataq wasinku.nidad se ha celebrado la fiesta de Todos los Santos. ¿qué es lo que preparan para comer en sus casas?) Profesora Niños ¿Imatataq qillqana qatapi siq’irqani? (¿Qué es lo que he dibujado en la pizarra?) Wawakuna. Hora 9:30 Participantes Profesora Acciones y enunciados Ima raymitaq qayna p’unchaw rurakurqam? (¿Qué fiesta se ha celebrado ayer?) Observación La docente formula preguntas relacionadas con las vivencias de los estudiantes.Por otro lado. Es decir.) Profesora Todo santuspa raymipiri. principalmente de investigación y resolución de problemas. esta operativización se orienta al logro de competencias. y que asuman actitudes positivas hacia las matemáticas. En resumen. En la comu. (Son wawas…) La docente dibuja wawas de pan en la pizarra. Huk solis. de 5 soles…) Acciones y enunciados Observación Qullqita qusaykichik. riqsinkichikchu qullqita? ¿Ustedes conocen las monedas?) Niña Hora 9:50 Participantes Profesora Arí. (Muéstrenme las monedas de 5 soles… ) Profesora Antenorpa taytan chunka soliswan wawata rantin (El papá de Antenor compró una wawa de 10 soles. Es necesario estimular a los niños para que piensen por ellos mismos para responder.ños un tiempo prudencial para que buscaran cómo encontrar la respuesta a la pregunta que les formuló respecto a las monedas con las cuales puede pagar An. imaymana waliqni- yuqmi preen para pueblos andinos. (Sí. Pichqa solis qullqita qhawachiwaychik. iskay solis pichqa solis qullqiita. de dos soles. Hubiera sido interesante que los niños utilizaran sus propias estrategias para responder a la pregunta. las monedas de un sol…) La docente se acerca a cada grupo y pide a los niños que le muestren monedas de diferente clase.kichik. Tiene wawas de dife.) ¿Ima qullqiwantaq chunka solista pagakuman? (¿Con qué monedas puede pagar los diez soles?) La profesora no dejó a los ni.Profesora ¿Hayk’a wawakunatataq siq’arqani? En la fiesta de Todos los (¿Cuántas wawas he dibujado en la pizarra?) Santos se acostumbra hacer wawas en la comunidad. Las wawas son un tipo especial de pan que se principalmente Profesora Mama Ruperta wawakunata qhatun. .ta casi enseguida.rentes precios. Monedas de 1 sol. wawankunapa. (La señora Ruperta vende wawas.tenor los 10 soles que le costó la wawa. El docente les entrega monedas de (Les voya a dar monedas para que me las muestren de acuerdo papel que ha recortado pre.) Profesora Iskay solis qullqita qhawachiwaychik.) ¿Qamkuna. (Ahora.viamente. Ella les dio la respues. a lo que les vaya pidiendo. mañakusqaymanhina qhawachiwan. (Muéstrenme las monedas de dos soles…) Kunanqa huk sol qullqita. Profesora Kimsa sulisman pichqa sulista yapaykun chaymanta iskay sulistawan La docente va representando con yapaykun. . la pizarra lo que va De este modo la docente da una respuesta a la pregunta que planteó a los niños sobre las monedas con las cuales el papá de Antenor puede pagar la wawa. y luego aumenta dos soles.) diciendo oralmente. dibujos en (A tres soles le aumenta cinco soles. . Un grupo respondió.) Chunka solis.pelotes. (En quechua. que pagaría el carro con una moneda de 5 soles. 11. llapanchik La docente propicia la sociali.ykichikta La docente anima a los niños a siq’inkichikña. (Diez soles .. t’aqapi munasqaykichik pukllana rantisqa.Hora Participantes Profesora Niño Profesora Acciones y enunciados Observación Runasimipi. qhatapi k’askachinkichik.) Ñachu rapipi. las respuestas que los niños pared para que todos podamos ver.Ella ayuda a cada grupo de (¿Ya han empezado a dibujar en el papelote el juguete que niños a encontrar una solución a la quiere comprar el grupo y también las monedas con las cuales situación problema que les planteó. hinallataq qullqikunawan paga.. El otro grupo respondió en su papelote que pagaría la lám. un poco . de Una vez que haya terminado. la tarea grupal que les van a pagar los 10 soles?) 11:25 Profesora Tukunkichik chayqá. tal como se muestra en las fotos. dos monedas de1 sol y una moneda de 2 soles.. cada grupo pegue el papelote en la encontraron grupalmente.naykichik chunka solista realizar ima? propuso. tres de 1 sol y una de 2 soles. Las respuestas de cada uno de los grupos fueron dadas en pa.zación qhawanachikpaq.para con tres monedas de 2 soles. mediante el papelote.30 Los niñossalieron se mostraron Los niños a recreo.. al analizar la sesión se observa: 1. Esto suscita interés en los niños. Así. 2. y sus experiencias durante la fiesta de Todos los Santos. números naturales). utaq (conectivo “o”). DESARROLLO Y EVALUACIÓN. Los vocablos en proceso de estandarización propuestos en el diccionario de Matemática Yupa awa simi taqi son utilizados: yapay (adición). chunka. y estructurado (monedas de papel pegado en cartulina). iskay. Se usa la expresión qayna punchaw (todo el día de ayer) de la etnomatemática propia. para ubicarse en el espacio tiempo. Tales problemas son creados por los mismos niños durante las relaciones de compra venta de artículos o productos diversos. 6. lo que posibilita una comunicación fluida entre docente y estudiantes. INCLUSIÓN DE LA ETNOMATEMÁTICA PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: Se utilizan conceptos etnomatemáticos en la propia lengua (adición. se posibilita que los niños se familiaricen con las monedas y su valor correspondiente. REFLEXIONES Y COMENTARIOS: Considerando las características de la PPM-EIB. 5. USO DE LA LENGUA ORIGINARIA Y EL CASTELLANO COMO LENGUAS INSTRUMENTALES: La lengua instrumental de enseñanza y aprendizaje es la lengua materna originaria de la mayoría de los niños: el quechua Cusco-Collao. PROGRAMACIÓN. ARTICULADOS CON EL CALENDARIO COMUNAL: Se constata que la programación y desarrollo curricular se enmarca en las activida. En el caso observado se trata de la . al resolver problemas cuya solución implica el manejo de cantidades y la realización de operaciones. kimsa. lo cual propicia la conexión de las matemáticas con otras áreas. NATURALEZA LÚDICA: Se juega “a la tienda” y se realizan acciones de compra y venta de juguetes. USO DE MATERIAL EDUCATIVO DIVERSO: Se utiliza material concreto no estructurado (la lámpara y el carrito). DESARROLLO DE CAPACIDADES PARA INVESTIGAR: El juego de la tienda abre un espacio para que los niños puedan desarrollar su pensamiento numérico. pichqa. Se toman en cuenta las costumbres de la comunidad en ese periodo de tiempo.des del calendario agrofestivo de Patacancha. En una de las preguntas el conectivo “o” está implícito. 3. qullqi (moneda). 4. Los niños averiguan entre ellos cómo responder la pregunta formulada y ensayan posibilidades de solución. A partir de la historia contextualizada sobre la compra de una wawa de pan. 7. Simultáneamente los niños desarrollan actitudes de respeto a las respuestas de sus pares. manipulando las monedas de cartón que tienen dispo.ción con las experiencias de aprendizaje que han tenido a la fecha. en rela. ¿Con qué monedas puede pagar los diez soles?). No se dice a los niños que van a resolver un problema.miento y comunicación matemática. Esto corresponde a la dimensión de construcción y manejo de conceptos etnomatemáticos y matemáticos. Por otro lado. Asimismo. aun cuando en la práctica eso es lo que hacen. es decir. sino que aquellas también les permiten tener un soporte concreto para la construcción del concepto de adición de números naturales. se formula una pregunta que los niños deben responder: Antenorpa taytan chunka soliswan wawata rantin ¿Ima qullqiwantaq chunka solista pagakuman? (El papá de Antenor compró una wawa de 10 soles. Asimismo desarrollan capacidades. cuando contrastan y explican sus resultados. tanto oralmente como con el apoyo de representaciones gráficas y simbólicas. principalmente de identificación.compra venta de dos juguetes. Les brinda apoyo cuando lo requieren. y de valoración de la etnomatemática propia al comunicarse en su lengua y utilizar conceptos que se manejan en su comunidad.nibles. en la clase observada el trabajo se orienta tanto a la construcción y uso de conocimientos. En resumen.. 3. ORIENTACIÓN AL LOGRO DE COMPETENCIAS: A través de las actividades desarrolladas los niños no solamente consolidan el aprendizaje de los primeros números y su significado.ELABORACIÓN DE RECURSOS ETNOMATEMÁTICOS . se promueve el trabajo en equipo. formulación y resolución de problemas numéricos en situaciones de la vida cotidiana. En el contexto de resolución de problemas. Aprender a trabajar dialogando y respetando a los pares son objetivos muy importantes para la vida. como al desarrollo de capacidades y actitudes positivas de los niños. La docente observa y monitorea el trabajo de los niños. El problema planteado a los niños es de alto nivel de demanda cognitiva. la docente plantea una situación-problema abierta. que tiene varias soluciones posibles. los niños también desarrollan capacidades de razona. .1. ELABORACIÓN DE TEXTOS DE ENSEÑANZA CON UN ENFOQUE ETNOMATEMÁTICO En el área de Lógico matemática se debe usar materiales estructurados y no estructurados como los bloques lógicos. puesto que no diferencia clases ni razas. promoviendo el desarrollo de actitudes interculturales en los niños. LA CULTURA SE PONE DE MANIFIESTO EN JUEGOS El juego es intercultural por naturaleza.3. Y material de origen nativo. tolerancia y otros. materiales no estructurados como piedrecillas. damas. regletas de Cousinaire. yupana. en ella entran todos por igual. juegos de mesa. Es necesario conocer en aimara los nombres de estos recursos pedagógicos utilizados en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. pues el juego ofrece un escenario para todos. palitos.JUEGOS MATEMÁTICOS TRADICIONALES 4. ajedrez. Calendario pachachimpu Compás muyuchiri. bingo. juego de domino.1. respeto. botellas descartables y todo recurso existente en el medio. kumpasa Cruz Chakana Horario urut`aqa Cartel o lota Laphilla Mapa Suyujana Objeto o cosa yâ Computadora atamari Laberinto chinkana Contador jakhuri 4. . honradez. taptana. como solidaridad. razón por la que a continuación se presentará el nombre de los recursos más utilizados. semillas. etc. material multibase. ellos escogen un juego con el cual buscan un espacio para afianzarse y compartir sus juegos enseñándolos a sus amigos y compañeros con bastante cariño y respeto. para todos los niños. Incorporar los juegos andinos en el aprendizaje es importante porque no se puede educar al niño y niña destruyendo su cultura. adolescentes y jóvenes. Espera unos segundos y envía al segundo y luego. Otras personas están leyendo Juegos interactivos Juegos divertidos de comunicación no verbal Atrapar gallinas Junta la clase y haz que los alumnos se sienten en un grupo. Los juegos de los niños y niñas andinas son diversos. e instrumentos para explorar y actuar en la vida real y cotidiana. es por ello que debe ser aprendida de manera comprensiva. Los juegos matemáticos pueden ser utilizados como recursos pedagógicos para el desarrollo del pensamiento lógico matemático de los estudiantes. llévalos a donde el resto de los estudiantes no puedan escuchar y diles que hagan una pantomima de estar atrapando gallinas al frente de la clase. como la habilidad de observar a los demás y la conciencia de uno mismo. sino que también enseñan una variedad de habilidades diferentes. Ayudan a dar los primeros pasos en el desarrollo de la capacidad de razonamiento. a pensar con espíritu crítico y creativo y potenciar su espíritu lógico. La matemática debe ser significativa y atractiva. malentendidos y hasta aislamiento social en algunos casos. hacia el frente de la clase. Toma tres estudiantes. sin descuidar sus conexiones entre las clases de matemática y la vida cotidiana. por lo que podemos afirmar que en cualquier contexto un juego bien escogido es uno de los mejores caminos para hacer matemática con agrado. Los niños que no tienen habilidades de comunicación no verbal pueden experimentar incomididad social. Envía al primer alumno a hacerlo. el tercero. sino más bien aprovechándolo para fortalecer la identidad cultural desde sus juegos. EN LOS JUEGOS SE HACE EVIDENTE LAS DIFERENCIAS SE PUEDE JUGAR SIN HABLAR Los juegos y actividades no verbales no solo son divertidas. .Los juegos interculturales son aquellos que son practicados por los niños y niñas de dos o más culturas y que han sido incorporados en esos espacios con algunas modificaciones o con usos de elementos del entorno. adultos. Ayuda a tus estudiantesa practicar sus habilidades no verbales con divertidos juegos y actividades. mezcla y dale una carta a cada estudiante. y cuando llega a los brazos saltan con las manos arriba. El equipo que adivine más en una cantidad determinada de rondas gana el juego. Algunos lo reconocerá mejor como 'La peonza'esa figura de madera con forma de pera y punta metálica que es lanzada con un cuerda para hacerla rodar sobre el suelo. . Las gomas empiezan a la altura de los tobillos y poco a poco va aumentando la dificultad. . Palos Toma un mazo de cartas. Cuando llega por la cintura ya no saltan sino que tienen que levantar la pierna como quien marcha en un desfile. El primer grupo en acomodarse de acuerdo a sus cartas gana el juego. sin hablar y sin hacer ruido alguno. el estudiante debe dar pistas no verbales para ayudar a su equipo a adivinar la palabra. Sin hablar.Luego de algunos minutos de la pantomima. La persona que juega tiene que saltar entre las dos cuerdas que sujetan otras dos personas en los extremos. picas. mediante un guiño o asintiendo. Hoy en día todavía se puede ver a algunos niños jugando en los parques. Mímica La mímica es un clásico juego no verbal que es divertido y emocionante para todas las edades. Sigan al líder Dile a los estudiantes que se sienten en un círculo enfrentándose. Pregúntale a los demás lo que les pareció que estaban haciendo. los estudiantes deben organizarse en cuatro grupos de acuerdo al palo de la carta que les tocó: corazones. Expande la actividad a niños mayores haciendo que el líder señale a un compañero. tréboles y diamantes. Este pasatiempo se juega en todas partes del mundo ya que es muy simple y sólo se necesitan unas bolitas hechas con vídrio o metal. pero poco a poco se está perdiendo uno de los juegos infantiles más tradicionales. Sigue la actividad hasta que cada estudiante haya sido el líder de la clase. subiendo de los tobilos. como "leer". Para bailar el trompo hay que rodearlo con un cordel y lanzarlo enérgicamente para que la cuerda se desenrolle por completo en el aire haciendo girar el trompo. lo que significa que él es el nuevo líder. Las respuestas suelen ser sorprendentes y graciosas. que esos tres estudiantes se sienten. Separa la clase en dos grupos diferentes. Cada equipo tiene un tiempo estimado para adivinar las palabras. Diles que no le muestren las cartas a nadie. Haz una lista de palabras para que los estudiantes se comuniquen. El líder entonces hace que la clase haga una actividad como mover los brazos.Las canicas. a las rodillas. La clase debe copiar lo que haga el líder para saber qué sucederá a continuación. El juego de 'Las canicas'mantiene el mismo nombre en Perú que en otros países de habla hispana.El juego de las ligas. 'El juego de las ligas' o 'Juego de las gomas' es muy popular entre las niñas. etc. .El trompo. cintura. JUEGOS TRADICIONALES . Sin mostrarle a su equipo la palabra. Designa un estudiante como el líder del grupo. Dale a una persona del primer grupo una palabra que la persona tenga que actuar. Los alumnos pueden usar solamente pistas no verbales para comunicarse. Este pasatiempo podría clasificarse dentro de los juegos de habilidad. SELECCIÒN DE CAPACIDADES Y LOS JUEGOS TRADICIONALES . Cuando la persona que liga decide darse la vuelta. El juego consiste en moverse mientras que uno de los niños se sitúa de espaldas al resto.El juego del hilo. incluso existen otras variedades como puede ser 'El escondite inglés' o 'El aguanta'. El origen de este juego en muy antiguo. la tradición es que lo jueguen entre dos personas. Este juego tiene una gran popularidad en todas partes del mundo. pierden pie o repiten las posturas.Las estatuas. Si se ríen. de esta forma es mucho más divertido. Aunnque puede jugarse de forma individual. el resto de participantes deberán quedarse quietos como estatuas. Se deben quedar inmóviles y no reaccionar ante estímulos para no perder. se mueven. . pierden y así hasta que quede sólo uno que será el ganador. ya se puede conseguir más variedad de formas. Símplemente consiste en formar figuras con un hilo o cordel con la ayuda de los dedos de ambas manos. .