João Raimundo FeniasseESTUDO COMPLETO DE UMA FUNÇÃO Licenciatura em ensino de Matemática – 4º ano Universidade Pedagogica Quelimane 2015 3 João Raimundo Feniasse ESTUDO COMPLETO DE UMA FUNÇÃO Didáctica de Matemática 4 Licenciatura em ensino de Matemática – 4º ano O trabalho pesquisa a ser entregue ao docente da cadeira com fins avaliativos. Docente: Dr Tang Universidade Pedagógica Quelimane 2015 ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ domínio e contradomínio.... Conclusão......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Teorema 2: Primeiro teorema da derivada para valores de extremos locais............................................................................................................................................. Periodicidade duma função........................................................................................................................... Extremos locais (Relativos ).......................................................................................................................................................................................................................... Problema de optimização (mínimos)..... Definição........................................................................................................... Determinação dos extremos........................ Zeros e sinal de uma função............................................................................................................... Bibliografia............. Concavidade......................................................................................................................................................................................................................................................................................... Concavidade e coeficiente angular da tangente................................................................................................................................................................................................. Exemplos do estudo completo duma função.................. Problemas de optimização sobre extremos máximos........................... Assimptotas. Teorema 1: Teorema do valor extremo........................................................................................ Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos:............................................................. ........... Extremo duma função................................................................................................... Sinal da Derivada Segunda................................ Construção de Gráficos.........................................2 Índice Introdução................................................................................................................................................................................................................................................... Definição: Ponto critico....... Monotonia de uma função......... Pontos de Inflexão...................... 3 Introdução Neste trabalho faz se abordagem das características duma função de forma detalhada com mais enfoque a aplicação do conhecimento da derivação. neste trabalho é apresentado uma abordagem deste conteúdo com recurso aos teoremas das derivadas primeira e segunda. A composição deste trabalho está alga maçada basicamente pelo elemento do estudo completo duma função e no final é apresentado algumas tarefas de optimização para estudo de extremos. É do conhecimento que nem sempre é fácil determinar certas características como os extremos sejam eles locais (relativos) ou globais (absolutos). . com uma resolvida para cada situação. É usual a notação f : A⟶B para representar uma função f de A em elemento b ∈ B é a imagem de a por f B . Por exemplo. O conjunto A é o domínio de f . O conjunto das imagens dos elementos de A por f . Ao definir uma função real de variável real f através de uma expressão designatória f(x). O conjunto B é o conjunto de chegada de f . domínio e contradomínio Dados dois conjuntos A e B.4 Definição. Uma função está definida quando se conhece o seu domínio.+∞ ¿ ¿ f :¿ é a função . o seu conjunto de chegada e o modo de identificar ou calcular a imagem de cada elemento do domínio. o conjunto {f (a)∈ B: a ∈ A } é o contradomínio de f . Naturalmente. se não se indicar explicitamente o domínio de f deve sempre assumir-se que este é o conjunto de todos os reais a tais que f(a) representa um número real. tem-se que CD f ⊆ B . uma função de A em B é uma correspondência que associa a cada elemento a ∈ A um e um só elemento b ∈ B (correspondência unívoca). isto é. quando se diz “f é a função real de variável real definida por f ( x )=√ x−1 no seu domínio” tal significa que f ⟶R ¿ 1. Para cada a∈ A o correspondente e é usualmente representado por f (a). usualmente representado por CD f . também representado por Df . −2. negativa e não positiva em A.11 /2¿ Observe-se que D f =¿ f real de variável real. com domínio . De igual modo se define função não negativa. Gráfico de uma função f Na figura encontra-se o gráfico de uma função .5 Zeros e sinal de uma função Seja f uma função real de variável real e a ∈ D f a é um zero de f . Diz-se que se f (a)=0 f é positiva em a se f (a)> 0 f é não negativa em a se f (a)≥ 0 f é negativa em a se f (a)< 0 f é não positiva em a se f (a)≤ 0 Diz-se que a função para cada a ∈ f A é positiva num subconjunto de D f se f é positiva em a A . respectivamente. b A tal que a > b f é uma função decrescente em A se f(a) < f(b) para cada a.6 -2 e 2 são zeros da função f f é positiva em ]2.11/2[ f é não negativa em [2. b A tal que a > b Designa-se também por estritamente crescente e estritamente decrescente em A uma função crescente e decrescente em A.2] Monotonia de uma função Seja f uma função real de variável real e seja A um subconjunto de Df . b f é uma função crescente em sentido lato em A se f(a) f(b) para cada a. Diz-se que f é uma função crescente em A se f(a) > f(b) para cada a. . A função f diz-se monótona em A se for crescente em A ou se for decrescente em A. b A tal que a > b A tal que a > b f é uma função decrescente em sentido lato em A se f(a) f(b) para cada a.2[ f é não positiva em [-2.11/2[ f é negativa em ]-2. −2. Periodicidade duma função A função real de variável real f diz-se periódica se existe um número real P diferente de 0 tal que para todo o x Df x+ P D f e x−P D f f ( x+ P)=f ( x ) Exemplo de funções periódicas são as funções trigonométricas seno.11 /2¿ D f =¿ decrescente em [-2. pode omitir-se a referência a A.11/2[ e crescente em [0. função monótona.7 Quando A = Df .0] e em [4. . Gráfico de uma função f Na figura encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real. com domínio . Neste caso. função decrescente.4]. etc. co-seno e tangente. fala-se então simplesmente de função crescente. se f ( x)≥ f (c ) para qualquer Máximo e mínimos absolutos são também chamados de extremos absolutos para diferenciar dos extremos locais.+ ∞ ¿ Extremos absolutos em D Ausência de máximo absoluto Mínimo absoluto 0 quando absoluto 4 quando x=0 y=x 2 [0. Por outro lado temos que funções definidas pela mesma regra podem ter extremos diferentes. No mesmo intervalo a função g ( x ) =senx assume o valor máximo 1 e o valor mínimo -1. dependendo do domínio. a função f ( x )=cosx assume o valor máximo 1 (uma vez) e o valor mínimo 0 (duas vezes). Domínio D ¿ ¿−∞. a função Função y=x 2 y=x 2 . Por exemplo. π /2] .8 Extremo duma função Definição: Máximo absoluto. D em um ponto c x em D . no intervalo fechado [−π /2 . mínimo absoluto Seja f D .2] Máximo x=2 . Então f uma função de dominino um ponto c tem o valor máximo absoluto em D em se f ( x)≤ f (c ) para qualquer O valor mínimo absoluto em x em D . Por exemplo. b ] .9 Mínimo absoluto 0 quando absoluto 4 quando x=0 y=x 2 ¿ 0.2 ¿ Máximo x=2 y=x 2 Ausência de mínimo absoluto Ausência de máximo absoluto ¿ ¿ 0. então f assume tanto o valor máximo valor mínimo m em [a . Ou seja há números f ( x 1 )=me f ( x 2) =M e m≤ f (x)≤ M para qualquer x 1 e x 2 em[a . M como o . b] tais que x em D .2 ¿ Ausência de mínimo absoluto Teorema 1: Teorema do valor extremo Se f é continua no intervalo fechado. Determinação dos extremos Teorema 2: Primeiro teorema da derivada para valores de extremos locais Se f possui um valor máximo ou mínimo local em um ponto c interior de seu domínio e se f' é definida em c f ' ( c )=0 então.10 Extremos locais (Relativos ) Definicao. . Uma função f tem um valor máximo local em um ponto interior c f ( x)≤ f (c ) para qualquer Uma função f x em um intervalo aberto que contenha c . tem um valor mínimo local em um ponto interior c f ( x)≥ f (c ) para qualquer x do seu domínio se do seu domínio se em um intervalo aberto que contenha c . Calcular f em todos pontos críticos e extremidades. Pontos interiores onde f ' não existe. Toma-se o maior e o menor valor obtido. Extremidades do domínio de f .11 O teorema diz que a primeira derivada da função é sempre zero em um ponto interior onde a função tenha um valor extremo local e a derivada seja definida. é o ponto mínimo relativo. Pontos interiores onde f =0 . Definição: Ponto critico Um ponto interior do domínio de uma função f onde f' é zero ou indefinida é um ponto critico de f . . Concavidade Diz-se que uma curva tem concavidade para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relógio. 2. b ¿ Se é tal que f ( x) existe e é contínua em V(x) então: a) Se b) Se x0 f ”<0 . ao percorre a curva da esquerda para a direita. Para determinar os pontos extremos absoluto de uma função continua em intervalo finito procede o seguinte: 1. Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos: x 0 a. ao percorre a curva da esquerda para a direita. f ”>0 . Diz-se que uma curva tem concavidade para cima quando sua tangente se move no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Desta forma os únicos locais que a função pode ter os valores extremos (relativos ou absolutos) são: ' 1. b . x0 é o ponto máximo relativo. Assim os únicos pontos do domínio que uma função pode tomar os valores extremos são os pontos críticos e as extremidades. Seja f derivável em ¿ a . 2. 3. f tem concavidade para baixo em a < x < b. Logo. Construção de Gráficos Devemos seguir os seguintes passos. b) se f “ (x) < 0 quando a < x < b. b) Calcule a derivada primeira e. Não esqueça . Quando a curva tem concavidade para baixo. então. em seguida. então f ‘ é decrescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para baixo no intervalo. igualando x dos pontos críticos de f ' ( x) a zero e resolvendo a equação em x . a derivada primeira f ‘ é crescente no intervalo. Mas f ‘ é o coeficiente angular da tangente. seu valor tem que ser zero. para obter o gráfico da função f ( x): a) Explicite o domínio. Suponha que a derivada Segunda f “ seja positiva num intervalo. Se a derivada segunda é definida no ponto de inflexão. o coeficiente angular da sua tangente decresce quando x aumenta de valor. o coeficiente angular de sua tangente cresce quando x aumenta de valor. então. as coordenadas primeira ordem. Sinal da Derivada Segunda A relação entre concavidade e coeficiente angular da tangente determina uma caracterização simples de concavidade em termos de sinal da derivada segunda. Os pontos nos quais a derivada segunda da função é nula ou indefinida denominam-se pontos críticos de segunda ordem. Os pontos de inflexão podem ocorrer onde a derivada segunda é indefinida. Significado geométrico do sinal da derivada Segunda: a) se f “ (x) > 0 quando a < x < b. Pontos de Inflexão O ponto no qual ocorre a variação de concavidade da função denomina-se ponto de inflexão. Por outro lado. se f “ é negativo no intervalo. é crescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo. f tem concavidade para cima em a < x < b.12 Concavidade e coeficiente angular da tangente Quando a curva tem concavidade para cima. portanto. + ∞ ¿ Domínio: é o conjunto dos números reais ou seja Contradomínio: é o conjunto dos números reais ou seja ¿ D' = y ∈ R=¿−∞ . e) Estude a concavidade de verificando o sinal da segunda derivada. Procede-se como no passo anterior. Destaque os pontos de inflexão.+ ∞ ¿ . f (x) .13 de incluir também valores de x para os quais a derivada é indefinida. obtendo as coordenadas y dos pontos críticos. g) Construa o gráfico. f) Determine as equações das assíntotas verticais e obliquas e as interseções com os eixos coordenados. Destaque os pontos Máximo e Mínimo. Intervalos Sinal de Sinal de Crescente ou Concavidade f ' (x) f ' ' ( x) Decrescente + + Crescente Para cima + - + - Decrescente Crescente Decrescente Para cima Para baixo Para baixo Formato de Curva Exemplos do estudo completo duma função Consideremos as seguintes funções: 1. y=−x 3+ 6 x2 + x−6 em todo o seu domínio Façamos o estudo completo. Substitua estes valores de x na função f (x) . c) Calcule a derivada segunda f ' ' ( x) . d) Estude o sinal da primeira derivada e determine onde f ( x) é crescente ou decrescente. Começando pela função 3 2 y=−x + 6 x + x−6 ¿ D=x ∈ R=¿−∞ . 082 ) =30.−1 ¿ −1 ¿ ¿−1 .082 y ' =0 ⟺−3 x 2 +12 x +1=0 x= −b ± √ ∆ 2a Os pontos críticos são: f (−0. 082 )=−6.041 máximo . concavidade. x=1 e x=6 Variação do sinal x ¿ ¿−∞ . aplicamos de seguida a regra de Rufin e teremos o Encontramos uma das raízes seguinte: −1 6 1 −1 1 −6 −1 5 6 5 6 0 ( x−1 ) ( −x 2 +5 x+6 )=0 ∆=b2 −4 ac=25+24=49 −x 2 +5 x+ 6=0 x= x= −5 ± √ 49 −5 ± 7 = −2 −2 −b ± √ ∆ 2a x 1=−1 ∨ x 2=6 Os zeros da função são neste caso x=−1.+∞ ¿ f ( x) −¿ 0 +¿ 0 −¿ 0 +¿ Monotonia. 1 ¿ 1 ¿ ¿ 1. 6 ¿ 6 ¿ ¿ 6 .041 mínimo 2 ∆=b −4 ac=144+12 f ( 4.14 Zeros da função: −x 3 +6 x 2+ x−6=0 3 2 −x +6 x + x−6=0 x=1 . máximo e mínimo y=−x 3+ 6 x2 + x−6 ' 3 2 ' x= −12 ± √156 −6 2 y =(−x +6 x + x−6 ) =−3 x +12 x +1 x 1=−0.082∨ x 2=4. 041 Crescente ¿ ¿ 4. 4.082¿ f ' (x) −¿ 0 +¿ f ( x) Decrescente −6.082 .15 '' ' 2 '' y =0 ⟺−6 x +12=0 ⟹ x=2 y = (−3 x +12 x +1 ) =−6 x +12 f ( 2 )=12 ponto de inflexão Estudo da monotonia (teorema da derivada primeira) ¿ ¿ x −0. por baixo da assíntota ou nem uma coisa nem outra. +∞ ¿ f ' ' (x) +¿ 0 f ( x) Concavidade virada para cima 12 Assimptotas Diz-se que a recta se e só se −¿ Concavidade virada para baixo x=a . lim ¿ ¿ Estas quatro situações possíveis para uma mesma assíntota vertical ficam bem identificadas num quadro de variação da função. é uma assímptota horizontal do gráfico de uma função f (x) se e só se lim f ( x)=b x ⟶−∞ ou lim f ( x)=b x ⟶∞ . Diz-se que a recta y=b .041 Decrescente Estudo da concavidade (teorema da derivada segunda) ¿ ¿ x 2 ¿−∞ . é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f (x) x ⟶ a−¿ f ( x)=∞ lim ¿ ¿ ou x ⟶ a−¿ f (x)=−∞ lim ¿ ou ¿ x ⟶ a+¿ f (x)=∞ lim ¿ ¿ +¿ ou x ⟶ a f (x)=−∞ .−0.+∞ ¿ −¿ 0 30. onde a∈R. a aproximação do gráfico à assíntota pode fazer-se por cima da assíntota.082 4. 2 ¿ ¿ 2. Em termos geométricos. onde b ∈ R .25 ¿ ¿−0. Pelo menos nos dois primeiros casos um .082 ¿−∞.082. pois isto nos dará informações importantes sobre as assíntotas verticais. x⟶2 x +3 =+ ∞ 2−x . logo temos: 2−x ≠0 ⟹ x ≠ 2 Logo o domínio da função será ¿ D=R Sabendo que x=2 não pertence ao domínio da função. pois 2 – x< 0 quando lim ¿ +¿ ¿ x ⟶ 2 pela direita e .16 registo adequado num quadro de variação permite identificar rapidamente em qual das situações se está. f ( x )= x+ 3 2−x Antes de começar a calcular os limites de uma função com a finalidade de encontrar as assíntotas verticais e horizontais. podemos calcular o limite da função f (x) quando x se aproxima de 2 com a finalidade de verificar se existe uma assíntota vertical neste ponto. Exemplo: Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem). Encontrando o domínio D da função f (x) : O denominador da fracção x +3 2−x deve ser diferente de zero. é importante calcular o domínio D da função. ¿ Como consequência. Em termos do gráfico teremos: y=−1 .17 x⟶2 x +3 =+ ∞ 2−x . temos que a recta x =2 é uma assíntota vertical da função f (x) . pois 2 – x> 0 quando lim ¿ +¿ x ⟶ 2 pela esquerda. devemos calcular o limite da . lim x ⟶ ±∞ x +3 =−1 2−x Logo existe uma assíntota horizontal de equação Portanto as assíntotas são x=2 e y=−1 . Agora para tentar encontrar assíntotas horizontas função f(x) quando x tende a ± ∞ . Um projéctil é arremessado verticalmente de uma altura s 0 . dada por h ( t ) 15t 5t 2 ao fim de t segundos.00 Mts a calça.00 Mts a caixa com 12 calças. A esse preço o vendedor costuma vender 30 caixas por mês. Por quanto deve vender cada calça para que seu lucro mensal seja o máximo possível? . ponto critico. Uma bola atirada de baixo para cima.00Mts que oferece de desconto no preço sugerido da fábrica. é dada por s ( t )=−5 t 2+10 t Qual a altura máxima que o projéctil atinge? Usando o teorema da derivada primeira tem se: ' ' 2 ' Primeiro achar a derivada primeira S ( t )=(−5 t +10 t ) ⟹ S ( t )=−10 t+10 Anulamos a derivada primeira: −10 t +10=0⟺ t=1 . a experiência do vendedor mostra que para cada 5.18 Problemas de optimização sobre extremos máximos 1. Calculamos o valor da altura para tempo t =1 s : s ( 1 )=5 m O que permite concluir que a altura máxima atingida pelo projéctil é de 5 m . Qual é a altura máxima atingida pela bola e o tempo gasto nesse percurso? 3. ele consegue vender 3 caixas a mais. na vertical. No entanto. 2. em metros. O valor de revenda sugerido pela fábrica ´e de 160. Um vendedor compra calças directamente da fábrica ao preço de 720. dada em metros. atinge a altura h. sua altura s em função do tempo t segundos após o lançamento. . ⟹ t=5 é ponto de mínimo local de v.19 Problema de optimização (mínimos) 1.5 v (2)=46 v (5)=32. Portanto. usamos o teste da segunda derivada: v ’ ’ (t)=6 t – 21 ⟹ v ’ ’ (5)=9> 0 v ’ ’ (2)=– 9<0 ⟹ t=2 é ponto de máximo local de v . inicialmente calculamos a primeira derivada e igualamos-na a zero para encontrar os pontos críticos: v ’ (t)=3 t 2 – 21t +30=0 ⟺t=2 ou t=5 .5 v ( 6)=38. ou nos extremos do intervalo. precisamos comparar os valores que v assume nos pontos críticos. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas. Qual o instante. Para isso. ambos pertencentes ao intervalo (1. pois como v é uma função contínua definida em um intervalo fechado. o departamento de trânsito da cidade de Quelimane vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais. Assim. Para determinar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) de v em [1. estes são os pontos críticos de v .6).5 t +30 t+20 km/h . onde t é o número de horas após o meio-dia. pode assumir seus valores máximo e mínimo globais ou nos pontos críticos. Durante várias semanas.6]. com os respectivos valores nos extremos do intervalo. temos: v (1)=40. a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por 3 2 v ( t )=t −10. entre 13 e 18 que o trânsito é mais lento? Solução: O objectivo é determinar o mínimo absoluto da função v(t) no intervalo 1≤ t ≤ 6 . o que torna muito mais fácil e eficaz a interpretação das tais características. Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. . monotonia e concavidade a partir dos testes da primeira e da segunda derivada. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra? Conclusão Deste trabalho pode-se tirar as seguintes conclusões. Também aproveita do teste da derivada segunda para obtenção do ponto de inflexão e por fim reunidos todas as características já pode se idealizar a possível imagem da função no sistema cartesiano ortogonal. 2.20 Com isso concluímos que t = 2 é ponto de máximo global e t = 5 é ponto de mínimo global de v no intervalo de interesse [1. Isso significa que o trânsito é mais lento as 17h. A pesquisa mostra que a percentagem de adultos sintonizados na estação x horas após as 17h 1 3 2 é f ( x )= 8 (−2 x +27 x −108 x +240) Em que instante.000 m2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia.5 km/h. no que diz respeito a uma função e suas características foi possível notar é possível debruçar se dos valores extremos máximos ou mínimos.6]. Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas. quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de 32. com uma área de 5. entre 17h e meia-noite. existem menos ouvintes sintonizados na estação? 3. à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser rectangular. im. THOMAS. 2008. 11ª ed.calculo. 2.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap101s4. .br/PDF/Lista4resolucao.wikidot.21 Bibliografia 1. 3. George B. html acessado em 23/05/2015 as 7:18 pm. http://www.unesp.ufrj. editora Afiliada.com/1-4-derivadas-parte-6 acesso em 24/05/2015 11:17 pm. 4..iq. Calculo. São Paulo..pdf acesso em 25/05/2015 9:35am. http://www. http://calculo.