Problemas de cristalografíaPROBLEMA 1 El Wolframio cristaliza en el sistema cúbico centrado con un parámetro de red a=316,48 pm y densidad teórica DT=19300 Kg/m3. Calcular: a) Masa atómica. b) Volumen atómico. c) Radio atómico. d) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 1>, <1 1 0> y <1 0 0>. e) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 1), (1 1 0) y (1 0 0). f) Número de átomos en 1 m3. a) Masa atómica La densidad teórica de un cristal es: DT = n⋅ Ma N A ⋅ Vc Donde n es el número de átomos de W por celdilla (C.C): 1 n = 1 + 8 ⋅ = 2at / celd 8 Ma es la masa atómica del W, Na el número de Avogadro y Vc el volumen de la celdilla ( a3). Despejando Ma: −12 3 23 3 DT N A V c = DT N A a = 19300 Kg / m ⋅ 6.023 ⋅ 10 at / mol ⋅ (316.48 ⋅ 10 m ) / celd Ma= n n 2at / celd 3 M a = 0.18424 Kg / mol = 184.24 gr / mol b) Volumen atómico La densidad teórica puede ser también expresada como la relación entre masa atómica y volumen atómico, de donde: Va= −3 M a = 184.24 ⋅ 10 Kg / mol = 9.546 ⋅ 10 −6 m 3 / mol 19300 Kg / m 3 DT 1 Problemas de cristalografía c) Radio atómico En el sistema C.C. el radio atómico es 1/4 de la diagonal del cubo, por tanto: ra = a ⋅ 3 316.48 pm ⋅ 3 = = 137.04 pm 4 4 d) Densidad atómica lineal D< x y z> = N º atomos L Dirección <1 1 1> 1 2 átomos 2= = = 3.6486 ⋅ 10 9 at / m −12 a⋅ 3 316.48 ⋅ 10 m ⋅ 3 1+ 2⋅ D< 111> Dirección <1 0 0> D< 100 > = 2⋅ a 1 2= 1 átomos = 3.1598 ⋅ 10 9 at / m −12 316.48 ⋅ 10 m Dirección <1 1 0> 1 1 átomos 2 = = = 2.2343 ⋅ 10 9 at / m −12 a ⋅ 2 316.48 ⋅ 10 m ⋅ 2 2⋅ D< 110 > e) Densidad atómica superficial D(x y z) = 2 N º atomos S 18424 / Ma 3 .48 ⋅ 10 m ) 1+ 4⋅ D( 110 ) f) Número de átomos por m3 N º atomos/ m3 = 3 23 DT N a 19300 Kg / m ⋅ 6. h = a 2 sen 60 = a 2 ⋅ 3 2 La densidad superficial será: D( 111 ) = 3⋅ 1 6 1 3 ⋅a 2 ⋅a 2 ⋅ 2 2 = 1 átomos 2 2 1 ⋅ 3 ⋅ (316.023 ⋅ 10 at / mol = = 6.9841 ⋅ 1018 at / m 2 Plano (1 1 0) 1 2 átomos 4= = = 1.Problemas de cristalografía Plano (1 1 1) S= a 2h 2 Donde h es la altura del triángulo de este plano que queda dentro de la celdilla.412 ⋅ 1019 at / m 2 2 −12 a⋅a 2 2 ⋅ (316.48 ⋅ 10 −12 m) 2 = 9.48 ⋅ 10 −12 m ) 2 = 5.7643 ⋅ 1018 at / m 2 Plano (1 0 0) D ( 100 ) = 4⋅ a 1 4= 2 1 átomo (316.3094 ⋅ 10 28 at / m 3 Kg mol 0 . N º atomos/mg = 4 10 −3 gr / mg = 2. g) Radio atómico.97 gr / mol = 4. f) Volumen y arista de la celdilla unidad. e) Número de celdillas en 1 gr de metal. Calcular: a) Masa de un átomo.97 gr/mol y su densidad 2699 Kg/m3.Problemas de cristalografía PROBLEMA 2 La celdilla elemental del Aluminio es cúbica centrada en las caras.023 ⋅ 10 at / mol Número de átomos en un mg. Su masa atómica es 26. d) Masa de una celdilla unidad.478 ⋅ 10 − 23 gr / at . i) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 0> y <1 1 1>.478 ⋅ 10 − 23 gr / at 23 6. j) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 0) y (1 1 1).233 ⋅ 1019 at / mg 4. h) Factor de empaquetamiento. a) Masa de un átomo Dividiendo la masa atómica por el número de Avogadro: M 1a = b) 26. b) Número de átomos en 1 mg c) Número de átomos y moles por m3. 478 10 gr / at moles/ m3 = d) atomos/ m3 = NA 6.583 ⋅ 1021 celd / gr Volumen y arista de la celdilla Vc = n ⋅ Ma 4 at / celd ⋅ 26.023 ⋅ 10 at / mol ⋅ 2. Masa de la celdilla = n·M1a = 4 x 4.699 106 gr / m 3 N º atomos/ m3 = DT = = 6.97 gr / mol = = 6.023 10 at / mol Masa de una celdilla unidad El número de átomos por celdilla es: n = 4.636 ⋅ 10 29 m 3 = 4.699 ⋅ 10 gr / m a = 3 6.791·10-22 gr e) Número de celdillas por gr.027 10 28 at / m 3 = 10 5 moles 23 6.049 ⋅ 10 −10 m = 404.027 1028 at / m 3 .23 M 1a 4.791 ⋅ 10 − 22 gr / celd = 5.478·10-23 gr=1. celdillas / gr = f) 1 1.9 pm g) Radio atómico El radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara.2 pm 4 Factor de empaquetamiento F= i) Ra = Densidad atómica 4 ⋅ 4 3 π Ra3 4 ⋅ 4 3 π Ra3 = = 0.74 3 a3 4 Ra / 2 ( ) lineal 5 . h) 2a = 143.636 ⋅ 10 29 m 3 = a 3 23 6 3 N a ⋅ DT 6.Problemas de cristalografía c) Número de átomos y moles en un m3 2. Problemas de cristalografía Dirección <1 1 0> 1 2 átomos 2 = = 3.9 ⋅ 10 m ) 2⋅ Plano (1 1 1) D( 111 ) = 6 3⋅ 1 1 + 3⋅ 6 2 1 3 ⋅a 2 ⋅a 2 ⋅ 2 2 = 2 átomos 2 1 ⋅ 3 ⋅ (404.426 ⋅ 10 9 at / m −12 a ⋅ 3 404.9 ⋅ 10 m ⋅ 2 1+ 2⋅ D< 110 > Dirección <1 1 1> 1 1 átomos 2 = = = 1.626 ⋅ 1018 at / m 2 2 −12 a⋅a 2 2 ⋅ (404.494 ⋅ 109 at / m = −12 a⋅ 2 404.9 ⋅ 10 −12 m ) 2 = 1.409 ⋅ 1019 at / m 2 .9 ⋅ 10 m ⋅ 3 2⋅ D< 111> j) Densidad atómica superficial D(x y z) = N º atomos S Plano (1 1 0) D( 110 ) = 1 1 + 4⋅ 2 átomos 2 4= = 8. 078 ⋅ 1019 at / mg 55.75 10 m ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ ⎠ Número de átomos en un mg.298 ⋅ 1028 at / m 3 = 3 3 3 − 10 a ⎛ 4 ⋅ Ra ⎞ ⎛ 4 ⋅ 1. a) Plomo Número de átomos en un mg: N º atomos/mg = 10 −3 gr / mg ⋅ 6.Problemas de cristalografía PROBLEMA 3 Calcúlense los átomos que existen en 1 mg y en 1 m3 de los siguientes metales: Nota: La estructura H.847 gr / mol Número de átomos en un m3 N º atomos/ m3 = n 2 at 2 at = = 8. N º atomos/mg = 10 −3 gr / mg ⋅ 6.023 1023 at / mol = 2.26 10 m ⎞ ⎛ 4 ⋅ Ra ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ 7 .117 ⋅ 1028 at / m 3 = 3 3 3 − 10 a ⎛ 4 ⋅ 1.C.907 ⋅ 1018 at / mg 207.19 gr / mol Número de átomos en un m3 N º atomos/ m3 = b) Hierro n 4 at 4 at = = 3.023 1023 at / mol = 1.118 x 10-9 m. del Cobalto c = 1. 118 10 m ⋅ (2 ⋅ 1.023 10 23 at / mol N º atomos/c m = = 8.487 10 22 at ⋅ π ⋅ (0.023 1023 at / mol = 1.6789 volumen total 1cm 3 El porcentaje de volumen ocupado es el 67.487 ⋅ 10 22 at / cm 3 55.933gr / mol Vc = c ⋅ 6 ⋅ El nº átomos por celdilla es 6.87 gr/cm3. a el lado del hexágono a = 2Ra y h la apotema: h = a ⋅ sen60 = a 3 2 El número de átomos en un m3 será: 6 at c⋅6⋅ a ⋅ 3 4 2 = 4 at c ⋅ (2 R a ) ⋅ 3 2 = 6 at 1. Calcular: a) ¿Cuántos átomos hay por cm3? b) ¿Cuál es el tanto por ciento de espacio ocupado? c) ¿Qué red cristalográfica presenta? ¿Por qué? DATOS: Peso atómico del Fe = 55.9 % 8 .85 gr/mol. y el volumen de la celdilla será: a⋅h 2 Donde c es la altura del prisma. Radio atómico del Fe a 20 ºC = 0.957 ⋅ 10 28 at / m 3 PROBLEMA 4 La densidad del Hierro a temperatura ambiente es de 7.25 10 −9 −10 m) ⋅ 3 2 = 4.022 ⋅ 1019 at / mg 58.85gr / mol b) Porcentaje de espacio ocupado 3 4 3 8. N º atomos/mg = 10 −3 gr / mg ⋅ 6.87 gr / cm 3 ⋅ 6.1241 nm. a) Atomos por cm3 7.Problemas de cristalografía c) Cobalto Número de átomos en un mgr.1241 10 − 7 cm ) volumen ocupado por esferas 3 = = 0. Sistema C.886 > 1.C.1241 10 cm ⎞ ⎟⎟ 6.Problemas de cristalografía c) Sistema cristalográfico Calculemos la densidad teórica del Fe con estructura C. b) Factor de empaquetamiento. PROBLEMA 5 El Cadmio cristaliza en el sistema hexagonal compacto con a = 297.C.878 gr / cm 3 4at / celd ⋅ 55. cuya densidad teórica coincide con la real.85gr / mol ⎛ 4 ⋅ 0. y C.C. a) Indice de coordinación c 561.577 gr / cm 3 El sistema es C.C. dato del problema.1241 10 cm ⎞ ⎟⎟ 6. y c = 561.C.C. la masa atómica del Cd es 112. DT = Sistema C.633 a 297. Calcular: a) Indice de coordinación. c) Densidad teórica.8 pm Indice de coordinación = 6 9 . n⋅Ma = N a ⋅ Vc DT = 2at / celd ⋅ 55.85gr / mol ⎛ 4 ⋅ 0.7 pm = = 1.023 10 23 at / mol ⋅ ⎜⎜ 2 ⎝ ⎠ −7 3 = 8.023 10 23 at / mol ⋅ ⎜⎜ 3 ⎝ ⎠ −7 n ⋅ Ma = N a ⋅ Vc 3 = 7.7 pm.C.4 gr/mol. d) Densidad atómica superficial en los planos (1 0 -1 0) y (1 1 -2 0) e) Densidad atómica lineal en la dirección <2 -1 -1 0>.8 pm. y comparemos con el valor real. 7 10 m 4⋅ D (10 −10 ) e) Densidad lineal en la dirección <2 -1 -1 0> D < 2 −1−10 > = 10 2⋅ 1 at 1at 2 = = 3 .8 10 m ⋅ 3 ⋅ 561 .903 10 18 at / m 2 −12 −12 a 3⋅c 297 .∞) 1 + 1at 2 at 4 = = = 6 .7 pm ⋅ 6 ⋅ ⋅ 2 2 2 2 c) Densidad teórica DT = n ⋅ Ma = N a ⋅ Vc 6at / celd ⋅ 112.8 pm ⎞ 4 6⋅ π ⋅⎜ ⎟ 6 ⋅ π ⋅ R3 3 ⎝ 2 ⎠ 3 F= = = 0.7 10−10 cm ⋅ 6 ⋅ ⋅ 297.∞.4gr / mol ⎛ 2⎞ 1 3 ( 6.651 gr / cm3 d) Densidad superficial Plano (1 0 -1 0 ) Los puntos de corte con los ejes son (1.-1. 7 10 − 12 m 4⋅ Plano (1 1 -2 0) Los puntos de corte con los ejes son: (1. 8 10 m . 358 10 9 at / m − 12 a 297 .∞) D (10 − 10 ) = 1 at 1at 4 = = 5 . -1/2. 8 10 m ⋅ 561 .Problemas de cristalografía b) Factor de empaquetamiento 3 4 ⎛ 297.8 pm) c⋅6⋅a ⋅ ⋅ a 561.1.8 10−10 cm) ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ = 8.0231023 at / mol ⋅ ⎜⎜ 561.641 1 3 1 3 2 (297. 978 10 18 at / m 2 − 12 a ⋅c 297 . C.C.C. aunque esta contracción se verá compensada en parte por el aumento del radio atómico. 3 ΔV VCC − VCCC = V VCC 3 ⎛ 4 ⋅ RCCC ⎞ ⎛ 0.005 ⎝ = = 2⋅ = = 2⋅ 3 3 3 2⋅Ma 2 ⋅ a CCC ⎛ 0 − 1292nm ⎞ ⎛ 4 ⋅ RCCC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 N a ⋅ a CC 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 11 .) y de 1.493 %.C. a) Efecto del aumento de temperatura. DATOS: A 912 ºC el radio atómico es de 1.(C.1292nm ⎞ N 3 N 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ a CC − ⋅ a CCC 1⎝ 1⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 4 = = 1− = 1− 3 N 3 2 ⎛ 4 ⋅ RCC ⎞ 2 ⎛ 0. Calcularemos la variación relativa de volumen que sufrirán N átomos al cambiar de estructura. a C.C. la de máxima compacidad. a 912 ºC.93E − 3 V El hierro se contrae un 0.C.). Esta contracción implica un aumento de la densidad como calcularemos ahora.292 Å.C.1258nm ⎞ 3 a CC ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 3 ⎠ 3 ⎝ ⎝ ⎠ ΔV = 4.C. Al pasar la temperatura por 912 ºC el hierro sufrirá una contracción por ser la estructura C.Problemas de cristalografía PROBLEMA 6 Durante el calentamiento. el hierro puro cambia su estructura cristalina de C.1258nm ⎞ ⎛ 4 ⋅ RCC ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 3 N a ⋅ a CCC 4 ⋅ a CC 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ = 1. b) Relación de densidades DT = n ⋅ Ma = Na ⋅ a 3 3 DCCC DCC 3 4⋅Ma ⎛ 0.258 Å. Calcular: a) ¿Sufrirá el hierro una expansión o una contracción en este cambio? b) Calcular la relación de densidades entre ambas estructuras.(C. DATOS: Constante reticular a = 4. b) Radio atómico del metal A. c) Radio máximo admisible del metal B.26Α ⋅ 2 = = 1. El metal B ocupa los huecos octaédricos del cristal que son: uno en el centro y uno en cada arista compartido por 4 celdillas que son otros 3. el número de átomos de A por celdilla será 4. Se pide: a) Calcular la fórmula estequiométrica del compuesto.41 · RA = 0.C.51Α 4 4 c) Radio máximo del metal B La relación máxima de radios debe ser r/R = 0. e) Densidad del compuesto. PA = 65 gr/mol .26 Å . Por tanto. nos quedará: Ra = a ⋅ 2 4.C.41 Por lo tanto: RB = 0.C.619 D 12 . sabiendo que la diagonal de la cara es a 2 . Otro metal B se sitúa en los centros de las aristas y en el centro del cristal. d) Compacidad del cristal. a) Fórmula estequiométrica Por cristalizar el metal A en el sistema C. en total 4 huecos por celdilla.Problemas de cristalografía PROBLEMA 7 Se sabe que cierto metal A ocupa las posiciones principales del sistema cúbico centrado en las caras cuando se forma cierto compuesto. La fórmula sería:A4B4 B Simplificando quedaría: AB b) Radio atómico del metal A Por ser el sistema C.C. el radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara. PB = 32 gr/mol. 697 gr/cm3. por unidad de volumen: nt Dt N A n r Dr N A n D = .C. es decir la fracción de átomos ausentes es del 0. La constante reticular es 4.33 gr / cm3 3 − 23 8 N a ⋅Vc 6.049 ⋅ 10 cm ) 23 −8 3 = 2.798 Compacidad = = ⎝ 3 volumen total a Compacidad = 79.15%.. 13 .26 ⋅10 cm) PROBLEMA 8 La densidad experimental de un cristal simple de aluminio. que cristaliza en el sistema C.C.023 ⋅ 10 at / mol (4. calcular: a) Fracción de átomos ausentes.02310 at / mol ⋅ (4.701gr / cm 3 Por tanto la fracción de átomos ausentes será: 1. es 2.9985 nt Dt 2.nr/nt=0.0015.Problemas de cristalografía ⎛4 ⎞ ⎛4 ⎞ 4 ⋅ ⎜ π ⋅ RA3 ⎟ + 4 ⋅ ⎜ π ⋅ RB3 ⎟ Volumen ocupado 3 ⎠ ⎝3 ⎠ = 0. = ⇒ r = r V PAl V PAl nt Dt Calculamos la densidad teórica del aluminio Dt = 4 at / celd ⋅ 27 gr / mol 6.701 gr / cm 3 nr Dr 2.049 Å Si la discrepancia entre el valor teórico y el experimental de la densidad es una medida de los huecos de la malla (vacantes). b) Huecos por cm 3 DATOS: PAl = 27 gr/mol a) Fracción de átomos ausentes Comparemos el número de átomos.697 gr / cm 3 = = = 0. teóricos y reales.8 % d) Compacidad del cristal e) Densidad del compuesto DT = n ⋅ M a 4at A / celd ⋅ 65 gr / mol + 4at B / cel ⋅ 32 gr / mol = = 8. Calcular: a) Densidad teórica del Si. podemos saber el número de huecos por cm3.: Nº at.C.023 ⋅ 10 23 at / mol = = = 6. b) Atomos de Si por m3./celd.Problemas de cristalografía b) Huecos por cm3 Conociendo el número de átomos teóricos por cm3. de tal forma que no sólo ocupa las posiciones principales de la malla sino también el 50 % de los intersticios tetraédricos. : h = 8 Nº total at.97 gr/mol a) Densidad teórica del Si En el sistema C.C.701gr / cm 3 ⋅ 6. teóricos por cm3: nt Dt N A 2.025 ⋅ 1022 = 0. El volumen de la celdilla: 14 .0015 × 6. de forma que sustituye parcialmente al Si de sus posiciones originales.C.43 Å y que el peso atómico del silicio es 28. Sabiendo que el parámetro de malla es 5. DATOS: PAl = 26. sus características semiconductoras se dopa el Si con una cantidad controlada de aluminio. por tanto.06 gr/mol.: N = n + h/2 = 8 at/celd. : n = 4 Nº huecos tetraédricos.904 ⋅ 1020 3 3 cm cm cm 3 PROBLEMA 9 El silicio cristaliza en el sistema C. c) Calcular el nº de átomos de Al por m3 con que es preciso dopar al Si para que se produzca una disminución de la densidad del 0. Nº atm./celd. y habiendo calculado la fracción de átomos ausentes. Si/celd.5 % con respecto a la teórica del Si.025 ⋅ 10 22 at teórico / cm 3 V PAl 27 gr / mol El número de huecos será: Nº huecos nº at teóricos Nº huecos = × fracción at ausentes = 0. Para aumentar la concentración de huecos y mejorar.C. 023 ⋅ 10 23 at / mol ⋅ 1.601 ⋅ 10 −22 cm 3 / celd c) Nº de átomos de Al Al disminuir la densidad un 0.06 gr / mol = = 2.12202 Nº at Al/m3 = 5 x 1028 x fAl Nº at Al/m3 =6.97 = Pr fSi + fAl = 1 (f indica fracción de átomos) Resolviendo el sistema: fSi = 0.43·10-8cm)3= 1.5 %.06 + fAl x 26.3185gr / cm 3 n D' N A 2.31835gr / cm 3 ⋅ 6. se obtiene: Pr = 27.995 = 2.927gr/cm3. la densidad resultante será: D' = D ⋅ 0.023 ⋅ 10 23 at / mol 22 3 = = 5 ⋅ 10 at / cm = V Pr Pr donde Pr es el peso atómico medio o resultante.33 gr / cm 3 N AV 6.87798 fAl = 0.601 ⋅ 10 −22 cm 3 b) Atomos de Si por m3 n 8 at / celd = = 5 ⋅ 10 22 at / cm 3 = 5 ⋅ 10 28 at / m 3 V 1.Problemas de cristalografía V = a3 =(5.101 x 1027 PROBLEMA 10 15 . Por otra parte: fSi x 28.601 x 10-22 cm3 La densidad teórica será: D= n ⋅ PA 8 at / cel ⋅ 28. 9 Å . por tanto.84 ⋅ 10 −8 cm) 2 = 6. PC = 12 gr/mol . DATOS: a = 2.08 ⋅ 10 cm b) Radios atómicos de C y W a = 2 rW => rW = a/2 = 1.84 Å . b) Radios atómicos de W y C.84 + 2 rC)2 rC = 0. Determinar: a) Fórmula y densidad del carburo.9 ⋅ 10 −8 cm ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ (2.06 gr / cm 3 23 3 − 23 N AV 6.42 Å ⇒ a2 + c2 = (2 rW + 2rC)2 ⇒ 16. La relación entre átomos en una celdilla es 3:3. W: 1/2 x 2 bases + 1/6x12 vértices = 3 at.613 Å 16 . PW = 184 gr/mol a) Fórmula y densidad C: 3 at.023 ⋅ 10 at / mol ⋅ 6. la fórmula será: C W Para calcular la densidad calcularemos primero el volumen de la celdilla: V = c⋅6⋅ D= 1 a 3 1 3 ⋅a⋅ = 2.5 = (2. de forma que los átomos de wolframio se sitúan en las bases del prisma y los de carbono en la sección recta media.Problemas de cristalografía Un carburo de wolframio cristaliza en el sistema hexagonal.08 ⋅ 10 − 23 cm 3 2 2 2 2 nc Pc + nw Pw 3 at C / celd ⋅ 12 gr / mol + 3 at W / celd ⋅ 184 gr / mol = = 16./celd. c = 2./celd. d) Comparar la compacidad de este sistema con la del hexagonal compacto. siendo estos últimos tangentes a los anteriores y a su vez entre sí.Problemas de cristalografía PROBLEMA 11 Un cierto metal cristaliza en un sistema hexagonal sin planos intermedios y con igual disposición atómica en las caras basales.577 Vc 12 3 r 3 17 . además se encuentra con un átomo encima y otro debajo tangentes a él. c) Compacidad del sistema así definido. c) Compacidad del sistema Volumen de la celdilla: 1 a 3 1 3 Vc = c ⋅ 6 ⋅ ⋅ a ⋅ = 2r ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2r ) 2 = 12 3 ⋅ r 3 2 2 2 2 4 Volumen ocupado por los átomos: Vat = 9 at / celd ⋅ π ⋅ r 3 = 12 π r 3 3 Vat 12 π r 3 compacidad = = = 0. b) Indice de coordinación. Calcular: a) Número de átomos por celdilla. Los átomos correspondientes de las dos caras basales son tangentes uno a otro. Existen átomos en todos los vértices y en el centro de los hexágonos. así como en los centros de los 6 triángulos equiláteros en que se descomponen dichos hexágonos. a) Nº de átomos por celdilla 1/6 x 12 (vértices) + l /2 x 14 (caras) = 9 at/celd b) Indice de coordinación Un átomo está rodeado en un mismo plano por otros 6. Por tanto son ocho los átomos que lo rodean y que son tangentes. el índice de coordinación es pues 8. 69) 6.54 gr/mol. el espacio hueco supone el 26 % lo que supone una compacidad de 0. rSn = 0.1285 nm a= 4 r 2 = 4 ⋅ 0.1278 nm.c.97 ⋅ 63. DATOS: rCu = 0.023 10 23 ⋅ (0. Mat(Zn) = 63. rcu = 0.74. suponiendo que la constante de la red varía linealmente con la fracción de átomos.54 gr/mol.151 nm = 0.38 gr/mol Para calcular la densidad necesitamos conocer el parámetro de la red en función de los radios atómicos de los átomos que forman la estructura.151 nm.97 · 0. colocándose un átomo de Cu en el centro del cubo y los de Zn en los vértices. la diagonal del cubo es una dirección compacta.69 gr/mol Como el parámetro de la red varia con el porcentaje de elementos. Calcular la densidad de la aleación. MCu = 63. Datos: rzn = 0.Problemas de cristalografía d) Comparación En el sistema H.54) + (4 ⋅ 0. PROBLEMA 12 Calcular la densidad del bronce (Cu .577).03 · 0.1278 nm+ 0.02 gr cm 3 PROBLEMA 13 La estructura del latón β es cúbica centrada.C. Mat(Cu) = 63. Dado que es c.Sn) de 3% en átomos de Sn.1285 2 = 0. esta es superior a la del sistema bajo estudio (0. MSn = 118.3634 mm ⇒ ρ = (4 ⋅ 0.03 ⋅ 118.13 nm. por tanto : 18 .3634 10 − 7 ) 3 = 9. el radio atómico medio será también función de las cantidades relativas de cada uno: 0.14 nm. 0).0. 9.54 ⋅ 65. 2 2 3 → - I. .Problemas de cristalografía o 2 + 2 r Zn a = r Cu = 0.. .12 10 cm) mol PROBLEMA 14 Determinar los índices de Miller para los planos que cortan a los ejes en a) a = -2.312 nm = 3. b = -3/2.2. 9) . ¿Cuáles son sus índices de Miller? El esquema de las posiciones y el plano cristalográfico que las contiene. 3 2 1 3 2 . 2 1 1 1 → .DECORTE INVERSOS 2 3 ..38 + ⎜ ⎟ celd mol celd mol ⎠ = 7. (1/2.1/2). 2 2 3 3 . 3 → (6. c = 1/3 c) a = -3. c = 3/2 b) a = 1/2..MILLER → ( 3. 4) 1 3 1 2 → 2.08 gr / cm 3 d=⎝ 3 23 at 8 6. 2 . P. se representa en la 19 . 5. .0) y (1/2.12 A 3 a 3 = 2 r Cu + 2 r Zn gr 1 at Cu gr ⎞ ⎛ 1 at Cu ⋅ 63. c = 2. .1/4. 3 5 2 → ( 10 .0.023 10 ( 3.3.. 6. b = 2/3. 15) PROBLEMA 15 Un cierto plano cristalográfico contiene las posiciones (0. b = 5. Entonces los puntos de corte del plano con los ejes coordenados son – 1. PROBLEMA 16 Calcular la densidad atómica superficial (átomos/mm2) en: a) El plano (1. los cortes en los ejes estaría en +1. − − -1/2. b) En el plano (2. una unidad en la dirección x. para dar unos índices de Miller ( 1 2 1 ) .1) en le hierro.1. rFe= 0. rAg = 0. 1 y los índices de Miller vienen dados por los valores inversos de estos puntos de corte: − (121) Si hubiésemos desplazado el origen una unidad hacia arriba.28 10 . Como el plano pasa por el origen de coordenadas lo desplazamos.124 nm. este plano es paralelo al anterior y por tanto equivalente.6 mm 3 .C.5 = 7. ½.28 Α = 0. Calculamos el nº de átomos en el plano (1 1 1) limitado por la celdilla unitaria 1 3 ⋅ = 0.36 1012 d (111) = 3 a2 ⋅ 2 a= 4r = 0. por ejemplo.Problemas de cristalografía figura.5 atomos 6 La densidad superficial será el nº de átomos por unidad de superficie.0) en la plata. 20 1 1 3 3 Superficie del triángulo = ⋅ a 2 ⋅ a 2 ⋅ sen 60º = ⋅ a 2 ⋅ a 2 ⋅ = a2 ⋅ 2 2 2 2 0.144 nm a) En el hierro C. Habrá que determinar el área del plano delimitado por la celdilla unitaria.1. -1. 6 mm 2 Conociendo la superficie se puede determinar la densidad superficial igual que en el caso anterior. Esta será: a= 4r = 9.C.41 10 .41 è = 9.32 1012 21 . 2 a =a 5 + a 4 4 2 1 a 2 5 4 = 5.Problemas de cristalografía b) En la plata C.C El nº de atomos que pertenecen al plano (2 1 0) será: 1 1 n” de atomos = 2 + = 1 4 2 Se calcula previamente el valor de a para determinar la superficie del plano. b) tomando r=0.5 % cuando al enfriar pasa a h.c.431 A.175 nm. Solución: D(110)= 1.44 1012 at/mm2.c. y que cristaliza en el sistema C.124 nm.59.c.569 E+19 at/m2 c)<110> Dibujar una celdilla cúbica centrada en las caras y señalar sobre ella el plano (1 1 1) y las direcciones <1 1 0> y <1 1 -2>. paralelo al eje Z? b) Suponga que un metal que cristaliza en dicha estructura tiene un radio atómico de 1. (2 2 0) y (1 1 1) en el niquel?. Solución: D(1 0 0)=8.C.1292 nm para índice de coordinación 12. Ti rat = 0. Mat = 55.). Sabiendo que en una estructura c.1258nm para índice de coordinación 8 y r=0.c. (problema 4 colección antigua) Considerar una estructura cúbica centrada.. además. Cual es el % de cambio de volumen en esta transformación. ¿Cuál será la densidad atómica del plano anterior? c) Indicar los índices de Miller de la dirección perpendicular a dicho plano. que cristaliza en el sistema c.16 1012 at/mm2 D(1 1 1)=9. Solución: a) (1 1 0) b) 1. El radio atómico se incrementa en 1. Si en el plano (2 2 0) su densidad atómica vale 1.c.c.14 % b) 0. Calcular también la densidad superficial de un plano (1 1 0) del Cobre (C. determinar el valor de la constante reticular y el radio atómico. cuyo radio atómico es de 1.08 · 1019 at/m2 Sabiendo que el radio atómico del plomo es 0. Calcular la variación relativa de volumen al pasar el hierro de estructura c.146 nm Mat = 47.Problemas de cristalografía PROBLEMAS PROPUESTOS.90 El volumen de la celdilla unidad del Ti (hc) es 0. El Al es c.c. Solución: a) 8. Calcular la densidad del compuesto intermetálico FeTi. 22 . cúbica centrada y cúbica centrada en las caras.106 nm3.C.49 % ¿Cual sera el espaciado interplanar para los planos (2 0 0). La relación c/a es 1. a) Suponiendo que el radio atómico no varía.3 Å. DATOS: Fe rat = 0. Calcular el tamaño de los huecos octaédricos en la estructura hexagonal compacta. b) Cual es el radio atómico del Ti y c) Cual es el factor de empaquetamiento El circonio es c. calcular el número de átomos por mm2 en los planos ( 1 0 0 ) y (1 1 1).85.C. a alta temperatura.278 Å.c. Calcular: a) Cuales son los valores de c y a. Calcular: a) ¿Cuáles son los índices de Miller de un plano que corta al eje X y al eje Y a una unidad del origen y es.C.. a c. ¿Cual es su constante reticular?.c la distancia entre planos (1 1 0) es de 2.03 A.