Estatística AplicadaWender Geraldelli Módulo II Apresentação Wender Geraldelli [email protected] Sócio | Diretor da Empresa Evidence Qualidade; Mestre em Física Médica pela Universidade de São Paulo – USP; Pós-Graduado em Strategy & Marketing pela Universidade de La Verne – EUA; Especialista em Gestão Empresarial – MBA pela Uni-FACEF; Pesquisador Visitante na Universidade McGill – Canadá Docente Universitários Graduação – Engenharias; Pós-Graduação em Engenharia da Qualidade Integrada; Gestor de Sistemas da Qualidade Integrada; Auditor Líder | NBR ISO 9001:2008. Conteúdo Probabilidade Probabilidade Contexto Estatística Inferencial: se ocupa em inferir das conclusões retiradas sobre a amostra para a população. O processo de inferência implica em certo grau de incerteza. Associado a tentativa de generalização de conclusões da ‘parte’ (amostra) para o ‘todo’ (população). Daí, o conceito de probabilidade tem um papel fundamental. Mas após uma larga repetição. Não é exatamente previsível. Resultados individuais irregulares.Probabilidade Contexto Experiência: qualquer processo ou conjunto de circunstâncias capaz de produzir resultados observáveis. Aleatória: indica que a experiência está sujeita à influências casuais. Características: Pode repetir-se várias vezes. . apresentam uma grande regularidade estatística. Probabilidade Experimento Aleatório São fenômenos que. mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes. (Resultado incerto!) Exemplos: Jogar uma moeda Sortear um número inteiro de 1 a 100 Lançar um dado . O resultado final depende do acaso. apresentam resultados imprevisíveis. Conteúdo Probabilidade Espaço Amostral . 2. coroa} Sortear um número inteiro de 1 a 100 S = {1..100} Lançar um dado S = {1...5.3..6} .Probabilidade Espaço Amostral (ou de probabilidades) É o conjunto universo ou o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.2. Jogar uma moeda: S = {cara.4. Probabilidade Eventos É qualquer subconjunto do espaço amostral. então E é um evento de S. 1} (sortear cara ao jogar uma moeda) (sortear um número ímpar entre 24 e 28) (lançar um número ímpar no dado) . Exemplos: E = {cara} E = {25. Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim. 27} E = {3. qualquer que seja E. se E c S (E está contido em S). 5. . 2) Evento que não contém qualquer elemento do espaço amostral chamase evento impossível. 3) Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se não têm em comum qualquer elemento do espaço amostral.Probabilidade Eventos – Características 1) Evento que contém todos os elementos do espaço amostral chama-se evento certo. A ∩ B. 5) A intersecção de dois eventos A e B. A U B. É formada pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois. É formada pelos elementos comuns a A e B. .Probabilidade Eventos – Características 4) A união de dois eventos A e B. A ou B. Exemplo: Jogar um dado ESPAÇO AMOSTRAL OU EVENTO – TIRAR Nº DE 1 A 6 – EVENTO CERTO 1 3 5 EVENTO – TIRAR Nº ÍMPARES 2 4 6 EVENTO – TIRAR Nº PARES EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 7 EVENTO IMPOSSÍVEL . Conteúdo Probabilidade Espaço Amostral Regra da Aproximação . 100%). Com base nesse resultados efetivos.Probabilidade Regra: Aproximação da Probabilidade pela Frequência Relativa (Laplace. P(A) é estimada como: P(A) = Número de resultados associados ao evento A Número total de resultados possíveis Probabilidade de um evento é expressa na escala de 0 a 1 (0% . 1812) Realize (ou observe) um procedimento e conte o número de vezes em que o evento A realmente ocorre. . Probabilidade Exemplo: Qual a probabilidade de extração de uma dama no baralho (52 cartas)? 4 damas P(Dama) = 52 cartas = 7.69% . Probabilidade Exemplo: Qual a probabilidade de obter três ou menos pontos no lance de dados? P(três ou menos) = 1 (Face 1) + 1 (Face 2) + 1 (Face 3) 6 faces possíveis = 50% . 4 são defeituosas.Probabilidade Exercício: Em um lote de 12 peças. a. A probabilidade dessa peça ser defeituosa. calcule. A probabilidade dessa peça não ser defeituosa. . b. Sendo retirada uma peça. não-azul . Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Azul ou verde c. distribuídas como segue.Probabilidade Exercício: Há 50 bolas numa urna. Verde Número azul 20 vermelha 15 laranja 10 verde 5 b. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser: Cor a. espadas ou ouros. Retirando-se ao acaso 1 carta. A marcação secundária é chamada de naipe: paus. K e A. copas. qual a probabilidade de ser marcada com uma letra ou uma carta de paus? . O principal é uma marcação que pode ser um número variando de 2 a 10.Probabilidade Exercício: Um baralho comum tem 52 cartas e cada uma delas possui dois sinais essenciais. ou uma letra: J. Q. Conteúdo Probabilidade Espaço Amostral Regra da Aproximação Cálculo de Probabilidade . independentes. se dois eventos.Probabilidade Calculo da Probabilidade da Ocorrência de Dois Eventos: P(A e B) Probabilidade de ocorrência de dois eventos A e B. o cálculo de P(A e B) deve levar em conta este fato. não são independentes. dado que A já ocorreu. A e B. Entretanto. . Então: Se lê: A probabilidade de ocorrência de A e B é igual a probabilidade de ocorrer A vezes a probabilidade de ocorrer B. Dica: Associar “e” a operação de multiplicação “x”. 40) = 0.Probabilidade Exemplo: Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituído de mulheres. Supondo que esses dois eventos sejam independentes. determine a probabilidade de escolher aleatoriamente um eleitor da lista geral. e 40% dos eleitores votaram na última eleição presidencial . Solução: P(mulher que votou) = 1/3 x (0. que seja mulher e que tenha votado na ultima eleição.133 . Probabilidade Exercício: Deve-se inspecionar uma grande remessa de caixas de chocolate. 2% de deficientes)? . admitindo-se que a remessa inspecionada é semelhante às anteriores (isto é. Escolhidas duas caixas aleatoriamente. Os registros indicam que 2% das caixas acusam conteúdo inferior ao estipulado. qual a probabilidade de ambas acusarem conteúdo inferior. Suponhamos duas urnas com fichas. Urna Y Urna Z Vermelhas 8 5 Brancas 2 5 Qual é a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha da urna Z? .Probabilidade Calculo da Probabilidade da Ocorrência de Dois Eventos: P(A e B) Se dois eventos não são independentes. o cálculo de P(A e B) deve levar em conta este fato. Probabilidade P(urna Z) = 1/2 P(vermelha|Urna Z) = 5/10 Portanto: P(Urna Z e Ficha vermelha) = P(Urna Z) x P(vermelha|Urna Z) P(Urna Z e Ficha vermelha) = 1/2 x 5/10 = 25% P(A e B) = P(A)xP(B|A) . sendo que 10 apresentam uma desconformidade específica.Probabilidade Exercício: Suponha que você está avaliando um determinado lote de um produto ‘X’ na Companhia MZ. você retire respectivamente uma conforme. uma desconforme e finalmente outra desconforme? . Se este lote possui 50 unidades. Qual a probabilidade de ao retirar 3 peças. calcule as probabilidades: a. Se há quatro máquinas. b. . 2%. De nenhuma falhar.Probabilidade Exercício: As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. 5% e 10% em determinado dia. e se suas respectivas probabilidades de falha são 1%. De todas falharem em determinado dia. Probabilidade Calculo da Probabilidade da Ocorrência de ao menos um de Dois Eventos: P(A ou B) Aplica-se a regra de adição para determinar a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento. . O calculo depende de os eventos serem ou não mutuamente excludentes. Eventos mutuamente excludentes: Evento A Evento B Espaço amostral Dica: Associar “ou” a operação de adição “+”. O cálculo depende dos eventos serem ou não mutuamente excludentes.Probabilidade Probabilidade de ocorrência de dois eventos A ou B. Eventos não mutuamente excludentes (ou seja. que possuem elementos em comum): . espadas ou ouros.Probabilidade Exercício: Um baralho comum tem 52 cartas e cada uma delas possui dois sinais essenciais. qual a probabilidade de ser marcada com uma letra ou uma carta de paus? . copas. Retirando-se ao acaso 1 carta. K e A. Q. ou uma letra: J. A marcação secundária é chamada de naipe: paus. O principal é uma marcação que pode ser um número variando de 2 a 10. Probabilidade Resumindo: . Conteúdo Probabilidade Espaço Amostral Regra da Aproximação Cálculo de Probabilidade Distribuição de Probabilidade . cara). cara). (cara. (coroa. Exemplo: número de coroas ao jogar 2 vezes uma moeda. coroa). {coroa. = {(cara.Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X). coroa)} X: 0 1 2 x . .Distribuição de Probabilidade Exemplo de Variáveis Aleatórias Vida útil (em horas) de um televisor. Número de peças com defeito em um lote produzido. Número de acidentes registrados durante um mês na BR101. o tempo (em segundos) para que uma determinada mensagem chegue ao seu destino. Na internet. : jogadas de moedas. número de defeitos em . Ex.. altura. ...: peso. tempo de resposta de .. dados. Contínua Os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 0 Ex..Distribuição de Probabilidade Variável aleatória Discreta Os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável 0 1 2 3 4 .. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua.1. . como por exemplo. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores. Há dois tipos de distribuição de probabilidade: 1. etc. valores dimensionais. como por exemplo. os valores inteiros 0. 2.2.Distribuição de Probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X). a probabilidade de que a variável X assuma um valor específico x0 é dada por: P(X = x0) = P(x0) No caso de variáveis contínuas. pois a probabilidade associada a um número específico é zero. Pa X b a f ( x) dx b .Distribuição de Probabilidade No caso de distribuições discretas. as probabilidades são especificadas em termos de intervalos. Distribuição de Probabilidade Distribuições Discreta Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Distribuições Continuas Distribuição Normal . Distribuição Discreta de Probabilidade . Conteúdo Probabilidade Espaço Amostral Regra da Aproximação Cálculo de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição Binomial . (“sucesso e fracasso”) As categorias devem ser mutuamente excludentes. de forma que não haja dúvidas na classificação do resultado da variável nas categorias e coletivamente exaustivas. .Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição Binomial A distribuição binomial é adequada para descrever situações em que os resultados de uma variável aleatória podem ser agrupados em apenas duas classes ou categorias. de forma que não seja possível nenhum outro resultado diferente das categorias. . um produto manufaturado pode ser classificado como defeituoso ou não defeituoso. E o fato de um ter saído (ou não) defeituoso não influencia os outros a serem (ou não).Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição Binomial Por exemplo. as chamadas telefônicas podem ser locais ou interurbanas. Outros exemplos: a resposta de um questionário pode ser verdadeira ou falsa. denomina-se as duas categorias como sucesso ou fracasso. Como as duas categorias são mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas: P( sucesso ) P( falha ) 1 .Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição Binomial Geralmente. o resultado de uma repetição não é influenciado por outros resultados. Há apenas dois resultados possíveis em cada repetição. denominados sucesso e falha. As repetições são independentes. ou seja. . A probabilidade de sucesso (p) e de fracasso (1 .p) permanecem constante em todas as repetições.Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição Binomial Características: São feitas n repetições do experimento. onde n é uma constante. Se há X defeituosos Então há (n – x) não defeituosos . (tamanho da amostra = n) Interesse: Identificar o nº de artigos defeituosos (X) dos n que constituía a amostra. Probabilidade do evento: “artigo defeituoso” é p. Probabilidade do evento: “artigo não defeituoso” é q = 1 – p.Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição Binomial Considere uma amostra de n artigos retirados da produção total. 3.. n.. n x n! x!( n x)! .Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição Binomial Portanto: A probabilidade da existência de X artigos defeituosos em n artigos coletados é: P( x) p (1 p) n x X = 1.. x n x tal que.. 2. p) A distribuição Binomial é usada com frequência no controle da qualidade quando a amostragem é feita sobre uma população infinita ou muito grande. Pad. = np(1 .Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição Binomial Os parâmetros da distribuição Binomial são n e p. Nas aplicações de controle da qualidade. A média e o desvio-padrão são calculadas como: média = np Desv. x em geral representa o número de defeituosos observados em uma amostra de n itens. . 85 0.02 )91 9 0.02 0. determine a probabilidade de que. Se tal suspeita é correta.Distribuição Discreta de Probabilidade Exemplo: Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta algum defeito.02 9 1 1 ( 1 0. numa amostra de nove mesas haja uma defeituosa.15 . 9 1 9! 9 1!(9 1)! P( 1 ) 0. qual é a probabilidade de que: a) Todos voltem dentro de 25 dias b) Só um não volte . De 11 carros num período de 25 dias.Distribuição Discreta de Probabilidade Exercício: Um revendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são devolvidos ao departamento mecânico para corrigir defeitos de fabricação. nos primeiros 25 dias após a venda. Conteúdo Probabilidade Espaço Amostral Regra da Aproximação Cálculo de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição Binomial Distribuição Poisson . número de defeitos em uma máquina por mês.Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson dá a probabilidade de um evento ocorrer um dado número de vezes num intervalo de tempo ou espaço fixado. Exemplo: o número de acidentes por mês. número de defeitos por metro quadrado. número de clientes atendidos por hora. . . por exemplo. nem tampouco o número de defeitos que não ocorreram. os fracassos não são contáveis. pois não é possível contar.Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição de Poisson OBS. Além disso.: Nota-se que a variável aleatória é discreta (número de ocorrência). o número de acidentes que não ocorreram. área). no entanto a unidade de medida é contínua (tempo. . A média e a variância da distribuição de Poisson são: = ² = ² .Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson fica completamente caracterizada por um único parâmetro que representa a taxa média de ocorrência por unidade de medida (tempo ou espaço).. 2.. A equação para calcular a probabilidade de x ocorrências no intervalo [0. 3. n.t[ é dada por: e x P( x ) x! X = 1.. . por volume ou por tempo.). etc.Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição de Poisson A aplicação típica da distribuição de Poisson no controle da qualidade é como um modelo para o número de defeitos (não conformidades) que ocorre por unidade de medida (por m². 1 defeito/rolo.Distribuição Discreta de Probabilidade Exemplo Os defeitos em rolos de filme colorido ocorrem à razão de 0. e 0.09 9% 1! . e a distribuição dos defeitos é a de Poisson. Determine a probabilidade de um rolo em particular conter um defeito.1 0.11 PX 1 0. Determine a probabilidade de um rolo em particular conter um ou mais defeitos.1 defeito/rolo. . e a distribuição dos defeitos é a de Poisson.Distribuição Discreta de Probabilidade Exercício Os defeitos em rolos de filme colorido ocorrem à razão de 0. Conteúdo Probabilidade Espaço Amostral Regra da Aproximação Cálculo de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição Binomial Distribuição Poisson Atividade Complementar . Até a próxima aula. Obrigado! . Estatística Aplicada Wender Geraldelli Módulo III . Conteúdo Distribuição Normal . tanto na teoria quanto na prática. Simétrica em relação à sua média f(X) → 0 quando X → ∞ f(X) é máxima para X = µ . Unimodal. Características: Forma de sino.Distribuição Contínua de Probabilidade A distribuição Normal é a mais importante das distribuições estatísticas. Distribuição Contínua de Probabilidade pontos de inflexão desvio padrão média assíntota assíntota . 5 área=0.5 .Distribuição Contínua de Probabilidade A área abaixo da curva Normal representa 100% de probabilidade associada a uma variável. Pa X b a f ( x) dx b área=1 área=0. A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. Distribuição Contínua de Probabilidade Parâmetros que caracterizam a distribuição Normal: média e desviopadrão. Isto é. . >> Distribuições com médias iguais e diferentes desvios-padrão. diferentes médias e desvios-padrão originam curvas normais distintas. Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuições com médias distintas e desvios-padrão idênticos. . Distribuição Contínua de Probabilidade . 7% conforme) 6 Sigma (99.000 cartas postadas Quinze minutos de fornecimento de água não potável por dia Um minuto de fornecimento de água não potável a cada sete meses Um canal de TV 1.8 segundos fora do ar por semana Uma aterrisagem de emergência no aeroporto de Guarulhos por dia Uma aterrisagem de emergência em todos os aeroportos do Brasil a cada cinco anos .3 Sigma (99.000 cartas extraviadas para cada 300.7 operação cirúrgica incorreta por semana 3.68 horas fora do ar por semana Um canal de TV 1.000 operações cirúrgicas incorretas por semana 1.000 cartas postadas Uma carta extraviada para cada 300.9999% conforme) Sete horas de falta de energia elétrica por mês Uma hora de falta de energia elétrica a cada 34 anos 5. Distribuição Contínua de Probabilidade Caracterizada por sua média e desvio-padrão. .. Distribuição Normal Função somente do número de desvios-padrões que o ponto está distante da média.. A área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é. Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuição Normal A distribuição Normal pode ser representada por uma equação matemática dada por: 1 f ( x) e 2 Notação 1 x 2 2 X : N ( . ) 2 . Conteúdo Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão . Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuição Normal O cálculo da probabilidade (área sob a curva) pode ser realizado através de uma distribuição Normal padronizada. . onde o parâmetro é a variável reduzida Z. 5 desvios padrão para cima da média.5 significa que uma observação está desviada 1. em unidades de desvio padrão. Utilidade: comparar distribuições e detectar dados atípicos (geralmente com Z > 3). A variável reduzida (Z) mede a magnitude do desvio em relação à média.1) .Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuição Normal Padrão Possui média nula (µ = 0) e desvio padrão unitário (σ = 1). Exemplo: Z = 1. Z X X Notação Z : N (0. Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuição Normal Padrão Z X X Z – variável normal padronizada X – variável normal µ – média σ – desvio padrão . Exemplo Exemplo 1: Suponha que o peso de um rolo de arame seja normalmente distribuído com média 100 e desvio-padrão 10. Qual a probabilidade que um rolo. selecionado ao acaso da produção.Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuição Normal .6? Solução: . possuir peso maior que 111. P( Z > 1.37698 = 0.6 100 Z 1.37698.5 – 0.Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuição Normal .Exemplo 111.16 10 Encontramos o valor de probabilidade 0.3% Ver tabela!! .16) = 0.123 = 12. Sabe-se que essa resistência segue um modelo Normal com média 40psi e desvio padrão 2psi.Exercício A resistência à tração do papel usado em sacolas de supermercado é uma característica de qualidade importante.Distribuição Contínua de Probabilidade Distribuição Normal . Se a especificação estabelece que a resistência deve ser maior que 35psi. qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaça a especificação? . Conteúdo Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão Teorema do Limite Central . . Xn) retiradas de uma população com média µ e variância 2.Distribuição Contínua de Probabilidade Teorema do Limite Central Para AAS (X1. se n grande. .. n AAS X : N ( . X2.. 2 n ) . A distribuição amostral da média aproxima-se de uma distribuição normal com média µ e variância 2 . AAS Z X Z : N (0. n>30 .Distribuição Contínua de Probabilidade Teorema do Limite Central Se a população for normal.1) n OBS. então X terá distribuição normal exata independente do tamanho de n.: amostras grandes na prática. . 39 38.11 49 35 38 36 56 25 45 39 .19 N ( xi )2 N 32 25 38.192 32 11...192 . 39 38. Supondo que a população dos alunos seja: 25 34 61 33 35 26 42 53 24 35 58 22 43 52 56 35 35 40 45 23 22 35 40 25 xi 25 ..Distribuição Contínua de Probabilidade Exemplo Um pesquisador deseja saber a média das idades dos alunos de pós-graduação. 75 9.43 6 22 35 40 25 30.75 16.5 9.40 5 35 40 45 23 35.43 7 49 35 38 36 39.5 6.Distribuição Contínua de Probabilidade Exemplo Supondo que não fosse possível analisar a população inteira.45 8 56 25 45 39 41. Média (x) Desvio (S) 1 25 34 61 33 38.92 .69 2 35 26 42 53 39 11.52 4 43 52 56 35 46. n=4. e os dados fossem coletados por amostras de tamanho.25 15.40 3 24 35 58 22 34.25 12.5 8. Distribuição Contínua de Probabilidade Exemplo xi 38,25 ... 41,25 x 38,18 k 8 2 xi x ˆ x k 1 x 4,75 38,25 38,182 ... 41,25 38,182 8 1 4,75 11,11 x 5,55 n 4 Distribuição Contínua de Probabilidade Teorema do Limite Central O teorema do limite central é básico para a maioria das aplicações do controle estatístico da qualidade. O CEP (controle estatístico de processos) trabalha com a média das amostras, pois independente da distribuição dos valores individuais, a média desses valores irá seguir aproximadamente a distribuição Normal. Distribuição Contínua de Probabilidade Após vários lançamentos de um dado equilibrado tem-se a seguinte distribuição de probabilidade para cada face: Agora, se fizermos a média de 2 lançamentos, a distribuição desta média será: 350 250 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Finalmente fazendo a média de 10 lançamentos, a distribuição resultante será: 300 200 250 150 200 100 150 100 50 50 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 Distribuição Contínua de Probabilidade Teorema do Limite Central Conclusão: A média das médias amostrais é igual a média dos valores individuais. O desvio-padrão das médias é menor do que o desvio-padrão dos valores individuais na razão de 1 / n . L.7mm.C O comprimento de uma peça produzida em uma linha de produção tem distribuição normal com média 185.Distribuição Contínua de Probabilidade Exercício – T. Qual a probabilidade de que uma amostra aleatória simples de 10 peças tenha uma média acima de 190mm? .6mm e desvio padrão de 12. Obrigado! .