1ASIGNATURA ESTÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS AUTOR: ING. JUAN OSIEL FLORES RAMOS 2 ÍNDICE Pág. PRESENTACIÓN 3 ÍNDICE 4 ORGANIZADOR DEL CONTENIDO 6 LEXION Nº 1 VECTORES DE FUERZA 7 1.1 Vectores y escalares 7 1.2 Suma vectorial de fuerzas 7 1.3 Resta de vectores 8 1.4 Componentes rectangulares de un vector 9 1.5 Suma y resta de vectores cartesianos 9 1.6 Vector de posición 10 1.7 Vector unitario: 10 1.8 Producto de vectores 10 1.8.1 Producto escalar de dos vectores (punto) 10 1.8.2 Producto vectorial de dos vectores (aspa) 11 LEXION Nº 2 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA 18 2.1 Equilibrio 18 LEXION Nº 3 CUERPOS RIGIDOS 24 3.1 Definición 24 3.2 Momento de una fuerza respecto a un punto: …24 3.3 Teorema de Varignon 24 3.4 Momento de una fuerza con respecto a un eje 25 3.5 Momento de un par de fuerzas 25 LEXION Nº 4 EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS RIGIDOS 26 4.1 Equilibrio en dos dimensiones 26 4.2 Equilibrio en tres dimensiones 30 LEXION Nº 5 CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD 37 5.1 Cálculo de coordenadas del centro de gravedad 38 5.2 Centroides de principales figuras 39 5.3 Centroides por integración 40 LEXION Nº 6. FUERZAS DISTRIBUIDAS 46 6.1 Tipos de cargas distribuidas: …46 LEXION Nº 7 ANALISIS DE ESTRUCTURAS 49 7.1 Armaduras 49 7.2 Armazones 59 7.3 Maquinas 60 LEXION Nº 8 VIGAS 8.1 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector 63 3 LEXION Nº 9. MOMENTO DE INERCIA 68 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 75 4 INTRODUCCION En la mecánica, la mayoría de las cantidades físicas pueden ser expresadas matemáticamente por medio de escalares o vectores 1. VECTORES DE FUERZA 1.1 Escalar: es una cantidad que se representa solo por un número, son ejemplo de escalares; la longitud, el volumen, la masa, etc. 1.2 Vector: es una cantidad que posee tanto una magnitud (módulo) una dirección, en estática las cantidades vectoriales más comunes son: la posición, la fuerza y el momento. Gráficamente un vector se representa mediante un segmento de recta orientado (figura 1.1) Fig. 1.1: Representación de un vector ÷ a 1.3 Suma vectorial de fuerzas a) Método del paralelogramo: Se forma un paralelogramo, tomando como lados los dos vectores, con origen común, la diagonal que sale del origen común es la resultante. b) Método del triángulo: Se pone un vector a continuación del otro, la unión del origen del primero con el extremo libre del otro es la resultante ÷ a ÷ ÷ ÷ + = b a R β Ley de senos o | o sen R sen b sen a = = α δ ÷ b ÷ a ÷ b ÷ ÷ ÷ + = b a R θ Vector Resultante ( ) ÷ R ÷ + ÷ = ÷ b a R Módulo u cos . . . 2 2 2 b a b a R + + = : vector “a” a a = : módulo del vector “a” θ :dirección del vector “a” (giroantihorario) ÷ a a θ ÷ a y x 5 c) Método del polígono: Es utilizado para sumar más de dos vectores, se coloca un vector a continuación de otro, el vector que une el origen del primero con el extremo libre del último es la resultante. 1.4 Resta de vectores: La resta o diferencia de vectores se define como “un caso especial de la suma”, aplicando el método del polígono se puede escribir como: Observaciones: - La resultante máxima de dos vectores es cuando son paralelas y del mismo sentido (θ = 0º) R máx = a + b - La resultante mínima de dos vectores es cuando son paralelas y de sentido contrario (θ = 180º) R min = a – b 1.5 Componentes rectangulares de un vector Del gráfico se tiene las componentes Observaciones - Ángulos directores: Son los ángulos (θ x ; θ y ; θ z ) que forma un vector con cada uno de los ejes coordenados - Cósenos directores: Son los cósenos de los ángulos directores a a x x = u cos a a y y = u cos a a z z = u cos ÷ a ÷ b ÷ D θ ÷ ÷ ÷ = + a D b Luego: ÷ ÷ ÷ ÷ = b a D Módulo: u cos . . 2 2 2 b a b a D ÷ + = ÷ a ÷ b ÷ c ÷ d ÷ R ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + = d c b a R a x = a . cosθ x a y = a . cosθ y a z = a . cosθ z El vector ÷ a será ÷ ÷ ÷ ÷ + + = k a j a i a a z y x El módulo de ÷ a será: 2 2 2 ) ( ) ( ) ( z y x a a a a + + = ÷ a x a y a z a 6 1.6 Suma y resta de vectores cartesianos Se suman o restan componente por componente, por ejemplo: ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + = + + = + + = k c j c i c c k b j b i b b k a j a i a a z y x z y x z y x Resultante: ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ¿ ¿ ¿ ¿ + + = = k F j F i F F R z y x ) ( ) ( ) ( Módulo 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ¿ ¿ ¿ + + = z y x F F F R 1.7 Vector de posición ( ÷ r ): Es un vector fijo, cuyo origen coincide con el origen de coordenadas y se utiliza para ubicar un punto en el espacio, en relación a otro punto 1.8 Vector unitario: Es un vector que tiene por módulo la unidad e indica la dirección y el sentido del vector dado. El vector unitario de un vector a será: a a u a ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ + + = k a a j a a i a a u z y x a También: ÷ ÷ ÷ ÷ + + = k j i z y x a u u u µ cos cos cos Como el módulo del vector unitario es uno se tiene: 1 cos cos cos 2 2 2 = + + z y x u u u 1.9 Producto de vectores 1.9.1 Producto escalar de dos vectores (punto): El producto escalar, es un escalar y se define como: ÷ b ÷ a a.cosθ θ Donde 0° ≤ θ ≤ 180° u cos . . . b a b a = ÷ ÷ ÷ r x y z ÷ ÷ ÷ ÷ + + = k z j y i x r 7 Angulo entre vectores: b a b a . . cos ÷ ÷ = u - Leyes de operación a) Ley conmutativa ÷ ÷ ÷ ÷ = a b b a . . b) Ley distributiva ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = + d a b a d b a . . ) .( Formulación vectorial cartesiana 1 . 1 . 1 . = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ k k j j i i 0 . 0 . 0 . = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ i k k j j i Producto escalar de vectores cartesianos ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + = + + = k b j b i b b k a j a i a a z y x z y x Luego: z z y y x x b a b a b a b a + + = ÷ ÷ . 1.9.2 Producto vectorial de dos vectores (aspa): El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que forman los dos vectores y el sentido corresponde a la regla de la mano derecha. - Leyes de operación: a) La ley conmutativa no es valida ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = a x b b x a a x b b ax b) Ley distributiva ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = + c x a b x a c b ax ) ( - Formulación vectorial cartesiana ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = = j i x k i k x j k j x i ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ = ÷ = i j x k k i x j j k x i 0 0 0 = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ k x k j x j i x i - Producto vectorial de vectores cartesianos: Si se tiene los vectores ÷ a ÷ b θ b.senθ ÷ ÷ ÷ = u sen b a b x a .) . . ( u ÷ ÷ b x a ÷ u Donde 0° ≤ θ ≤ 180° 8 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + = + + = k b j b i b b k a j a i a a z y x z y x el producto vectorial, se puede expresar como el determinante de una matriz z y x z y x b b b a a a k j i b x a ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = Observaciones a) Dos vectores son paralelos si : 0 = ÷ ÷ b x a b) Dos vectores son perpendiculares si : 0 . = ÷ ÷ b a 9 PROBLEMAS 1. Determinar el módulo de la suma y diferencia de los vectores F 1 = 3 N y F 2 = 5 N 2. Si la resultante del sistema mostrado es cero. ¿Cuánto mide el ángulo θ? 3. Determinar el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados 4. Si la resultante de las dos fuerzas es 700 lb en forma vertical,. Determinar las magnitudes de los ángulos α y β 5. Dos vectores, tienen como resultante máxima 8 unidades y como resultante mínima 2 unidades. Calcular la resultante cuando los vectores formen 60° 6. El ángulo entre dos vectores es 150°, si uno de ellos mide 10 unidades, ¿determinar la resultante, sabiendo que es el mínimo posible? 10 7. En el paralelogramo mostrado, determinar la resultante de los vectores en términos de a 8. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a AB y la otra paralela a BC 9. Descomponer la fuerza F= 100u en dos componentes, una perpendicular a AB y la otra paralela a BC 10. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a la ranura mostrada y la otra en la dirección vertical Vectores en el espacio 11. Hallar el módulo de los vectores: a) ÷ ÷ ÷ ÷ + + = k j i a 7 3 2 b) ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ = k j i b 4 3 5 c) ÷ , c vector que une P 1 (3; 4; 5) con P 2 (1 ;-2; 3) 11 12. Hallar las coordenadas del punto B que coincide con el extremo del vector ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = k j i a 4 2 3 , si dicho vector tiene como origen el punto A(2; 3; 1) 13. Un vector, cuyo módulo es 10 unidades, forma con el eje x un ángulo de 45° y con el eje y 120°. Determinar el ángulo que forma con el eje z y el vector 14. Determinar el vector unitario de P y el ángulo ABC 15. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado sombreado 16. En la pirámide mostrada, E(20;32;20), determinar: a) la magnitud del ángulo AEB b) un vector unitario perpendicular al plano AED c) el área del triángulo BEC y x z 12 17. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado y el ángulo BAC 18. En la figura mostrada, determinar la magnitud del ángulo BAC 19. En el sistema mostrado, determinar el ángulo CAO 13 20. Hallar un vector unitario perpendicular al plano inclinado. y z x 14 2. EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA 2.1 Equilibrio: “Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio”. Suponga que el sistema de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio es bidimensional (coplanar). Orientando un sistema coordenado de manera que las fuerzas queden en un plano x-y, podemos expresar la suma de las fuerzas externas como: Esta ecuación se satisface si y solo si: Cuerpo sometido a dos fuerzas: Si el cuerpo está en equilibrio, las 2 fuerzas deben ser de igual magnitud y dirección, los sentidos son opuestos. Cuerpo sometido a tres fuerzas: Si el cuerpo está en equilibrio, las 3 fuerzas deben ser concurrentes o paralelas (caso particular). Fuerzas concurrentes Fuerzas paralelas Para determinar fuerzas desconocidas que actúan sobre cuerpos en equilibrio, se requiere efectuar dos pasos: 1. Dibujar un diagrama de cuerpo libre, donde se incluyan las fuerzas conocidas y las que se quieren determinar 2. Establecer las ecuaciones de equilibrio, para obtener expresiones que relacionen las fuerzas conocidas con las desconocidas. 15 PROBLEMAS 1. Un ingeniero de tráfico quiere suspender un semáforo 200 libras por encima del centro del carril derecho de los dos carriles de una carretera de cuatro carriles como se muestra. Determinar las tensiones en los cables AB y BC. 2. Tres cables se unen en el cruce del anillo C. Determinar las tensiones en los cables de AC y BC causada por el peso del cilindro de 30 kg 3. El collarín deslizante esta en equilibrio en A y en la barra no hay rozamiento. Determina la masa de la barra 4. Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura. Determine el rango de valores de W para los cuales la tensión no será mayor a 1250N en cualquiera de los cables. 16 5. Un sistemas de sillas para transportar esquiadores se detiene en la posición mostrada, si cada silla pesa 300N y el esquiador en la silla F pesa 800N, calcule el peso del esquiador en la silla E. 6. Dos semáforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura. Si el semáforo colocado en B pesa 200N, determine el peso del semáforo en C. 7. Si las porciones AC y BC del cable ABC deben ser iguales, determine la longitud mínima que debe tener el cable para soportar la carga mostrada, si la tensión en este no debe ser mayor a 870N 8. La bola D tiene una masa de 20kg. Si una fuerza F = 100N se aplica horizontalmente al anillo localizado en A, determine la dimensión de “d” mas grande necesaria para que la fuerza en el cable AC sea igual a cero. 17 9. Un cilindro de 1000 N pende del techo por un sistema de cables sostenidos en los puntos B, C y D. Determinar las tensiones en los cables AB, AC y AD 10. Determine las tensiones en los cables AB, AC y AD 11. Si la cubeta y su contenido tienen un peso total de 20 lb, determine la fuerza presente en los cables de soporte DA, DB y DC. 18 12. Una placa rectangular esta sostenida por tres cables, como se muestra en la figura. Si la tensión en el cable AC es de 40 lb, calcule el peso de la placa. 13. El peso de la sección de pared horizontal es W = 20 000 lb Determinar las tensiones en los cables AB, AC y AD. 14. El ensamblaje de apoyo esta fijo con pernos a los puntos A, B, C y D y soporta una fuerza F = 200 N. Determina las fuerzas en los elementos AB, AC y AD. 19 15. Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres cables que están unidos a una punta colocada en A y se anclan mediante pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 3.6KN. Determine la fuerza vertical P ejercida por la torre sobre la punta en A. 16. Determinar la fuerza que actúa a lo largo del eje de cada uno de los tres puntales necesarios para dar soporte al bloque de 500kg. 20 3. CUERPOS RIGIDOS 3.1 Definición: Un cuerpo rígido puede ser considerado como un conjunto formado por un gran número de partículas que permanecerán separadas entre sí por una distancia fija antes y después de aplicar la carga. 3.2 Momento de una fuerza respecto a un punto: M o = r x F…………………………(Expresión Vectorial) M o = d .F…………………………(Magnitud) Dirección: perpendicular al plano formado por r y F en el punto O 3.3 Teorema de Varignon: El momento que una fuerza ejerce sobre un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al mismo punto 3.4 Momento de una fuerza con respecto a un eje 21 3.5 Momento de un par de fuerzas: Par de fuerzas es e sistema formado por dos fuerzas de igual magnitud, rectas de acción paralela y sentidos opuestos. M o = r x F (Expresión Vectorial) M o = d F (Magnitud) Los vectores momento de los pares son vectores libres, se pueden sumar o restar independientemente de su posición en el espacio. 22 4. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS RIGIDOS Las condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido son: Σ F = 0, Sumatoria de Fuerzas (No hay traslación) Σ M= 0, Sumatoria de Momentos (No hay rotación) Estas ecuaciones se pueden expresar vectorialmente: ¿ ¿ ¿ ¿ = + + = 0 k F j F i F F z Y x ¿ ¿ ¿ ¿ = + + = 0 k M j M i M M z Y x o 4.1 Equilibrio en dos dimensiones: Son problemas donde las fuerzas que intervienen están contenidas en un plano, los momentos son perpendiculares al plano donde están contenidas las fuerzas. Se pueden analizar escalarmente En dos dimensiones (en el plano xy), de las ecuaciones generales quedarían: ¿ ¿ ¿ = + = 0 j F i F F Y x ¿ ¿ ¿ = + = 0 j M i M M Y x o Por ello solo hay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un cuerpo rígido. 23 24 4.2 Equilibrio en tres dimensiones: Son problemas donde las fuerzas que intervienen están contenidas en el espacio. Hay 6 ecuaciones escalares independientes para el equilibrio del cuerpo rígido. ¿ ¿ ¿ ¿ = + + = 0 k F j F i F F z Y x ¿ ¿ ¿ ¿ = + + = 0 k M j M i M M z Y x o Cuando las ecuaciones de equilibrio son suficientes para determinar las fuerzas incógnitas en los apoyos se dice que el cuerpo está determinado estáticamente (es isostático). Un cuerpo que tiene soportes redundantes, es decir que tiene más soportes de los necesarios para mantener el equilibrio se dice que es estáticamente indeterminado (es hiperestático), se requieren nuevas relaciones entre las fuerzas, además de las planteadas por el equilibrio, estos casos se estudian en los cursos de Resistencia de Materiales y Análisis Estructural. Para resolver problemas: 1° Se dibuja el diagrama de cuerpo libre, este se debe obtener aislando el cuerpo de sus soportes y mostrando las cargas y las reacciones que los soportes pueden generar sobre el cuerpo. 2° Se aplican las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones. 25 26 PROBLEMAS 1. En la figura el cuerpo esta empotrado y sometido a dos fuerzas y un par, ¿Qué valor tienen las reacciones en el empotramiento? 2. En la figura el W 1 =1000 lb. Ignore el peso de la barra AB. El cable pasa sobre la polea en C. Determine el peso W 2 y las reacciones en el soporte de pasador en A. 3. Para mover dos barriles, cada uno de 80lb, se utiliza una carretilla. Sin tomar en cuenta la masa de la carretilla determine la fuerza vertical P que debe aplicarse para mantener el equilibrio cuando α = 35° y la reacción en cada una de las dos ruedas. 4. Determine las reacciones en A y B cuando: a) h = 0 y b) h = 8 in. 27 5. Los eslabones AB y DE están conectados mediante una manivela de campana como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión en el eslabón AB es de 720 N, determinar a) la tensión en el eslabón DE, b) la reacción en C 6. La palanca BCD está articulada y se une a una barra de control en B. Si P = 200N, determine la tensión en la barra AB y la reacción en C. 7. Un bloque colocado bajo la cabeza de un martillo para facilitar la extracción de un clavo. Si se tira con una fuerza de 50 lb, calcular la tracción T en el clavo y la intensidad A de la fuerza ejercida por la cabeza del martillo sobre el bloque. La superficie de contacto en A es rugosa. 8. La rueda de 100 kg descansa sobre una superficie rugosa y carga contra el rodillo A cuando se aplica el par M. Si este vale 60Nm y la rueda no patina, calcular la reacción sobre el rodillo A. 9. El poste uniforme de 15m tiene una masa de 150 kg y apoya sus extremos lisos contra las paredes verticales, siendo T la tensión del cable vertical que lo soporta. Calcular las reacciones en A y B. 28 10. La ménsula móvil se mantiene en reposo mediante un cable unido a E y los rodillos sin fricción mostrados en la figura. Se sabe que el ancho del poste FG es ligeramente menor que la distancia entre los rodillos, determine las fuerzas ejercidas sobre el poste por cada rodillo cuando α =20 0 . 60 lb 11. La grúa pequeña se monta en un lado del piso de una camioneta. Para la posición θ = 40°, determinar la magnitud de la fuerza que soporta el perno en O y la presión P del aceite contra el pistón 50 mm de diámetro del cilindro hidráulico. 12. El tractor tiene una masa de 13.5 Mg, su centro de masa esta en G. Determinar la carga P que puede arrastrar a una velocidad constante de 5 km/h subiendo una pendiente de 15%, si la fuerza motriz ejercida por el suelo en cada una de sus cuatro ruedas es el 80% de la fuerza normal bajo la rueda correspondiente. Hallar, también, la reacción normal N B bajo el par de ruedas traseras B. 29 Problemas propuestos. 1. La tensión en el cable AB es 800 lb. Determine las reacciones en el soporte empotrado en C. 2. La barra AB mostrada tiene un soporte de empotramiento en A. La tensión en el cable BC es de 10kN. Determine las reacciones en A. 3. El cable vertical que se muestra esta conectado en A. Determine la tensión en el cable y las reacciones en el cojinete B debido a la fuerza F = 10i – 30j – 10k (N) 4. La barra de 80 lb está sostenida por un soporte de bola y cuenca en A, por la pared lisa sobre la cual se apoya y por el cable BC. El peso de la barra actúa en el punto medio. Determine la tensión en el cable BC y las reacciones en A. 30 5. Los cojinetes en A, B y C no generan pares sobre la barra ni fuerzas en la dirección del eje de esta. Determine las reacciones en los cojinetes debido a las dos fuerzas que actúan sobre la barra. 6. Un brazo de 8 ft de longitud se sostiene mediante un apoyo de rotula en C y por medio de dos cables AD y BE. Determine la tensión en cada cable y la reacción en C. 7. El pose ABC de 18 ft de longitud está sometido a una fuerza de 210 lb. El poste se sostiene mediante un apoyo de rotula en A y por dos cables BD y BE. Para a = 9 ft, determine la tensión en cada cable y la reacción en A. 31 8. La palanca AB esta soldada a la barra delgada BCD, la cual está sostenida mediante cojinetes en E y F y por el cable DG. Se sabe que el cojinete en E no ejerce ninguna fuerza axial, determine la tensión en el cable DG y las reacciones en E y F. 9. Un anuncio de densidad uniforme de 5 x 8 pies pesa 270 lb y está apoyado por una rótula en A y por dos cables. Determinar la tensión en cada cable y la reacción en A 32 10. La pluma liviana en ángulo recto que soporta al cilindro de 400 kg está sujeta por tres cables y una rotula O fija al plano vertical x-y. Hallar la reacción en O y las tensiones de los cables. 33 11. El centro de masa de la puerta de 30 kg se encuentra en el centro del panel. Si el peso de la puerta carga por completo sobre la bisagra inferior A, calcular el valor de la fuerza total que soporta la bisagra B. 12. La pluma AB yace en el plano vertical y-z y esta soportada por la rotula B y los dos cables amarrados en A. Calcular la tensión en cada cable a consecuencia de la fuerza de 20 KN actuante en plano horizontal y aplicada en el punto medio M de la pluma. Despréciese el peso de esta. 34 13. La placa uniforme de 15kg esta soldada al árbol vertical, sujeto este por los cojinetes A y B. Calcular la intensidad de la fuerza que soporta el cojinete B durante la aplicación al árbol del par de 120Nm. El cable CD impide el giro de la placa y del árbol y el peso del conjunto lo soporta completamente el cojinete A. 35 5. CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD 5.1 Centro de gravedad El centro de gravedad, es un punto en donde se supone esta concentrado todo el peso de un cuerpo, este punto puede estar dentro o fuera de dicho cuerpo Si se trata de figuras geométricas que representan cuerpos uniformes y homogéneos, el centro de gravedad de estos se le denomina centroide Cuando el cuerpo en estudio esta en un medio donde la gravedad es uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, que como en el caso anterior es un punto donde esta concentrado toda la masa de un cuerpo 5.2 Cálculo de coordenadas del centro de gravedad Dado que un cuerpo esta formado por la unión de sus partes, cada uno de las partes posee un peso determinado W i , y el peso total será la suma de todos los pesos parciales Fig 6.1: Coordenadas del centro de gravedad Aplicando el teorema de Varignön se tiene: ¿ = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ n i i i total n n total W y W y W y W y W y W y W y 1 3 3 2 2 1 1 . . . .... .......... . . . . Despejando y , y considerando: ¿ = = n i i total W W 1 , se tiene: ¿ ¿ = = = n i i n i i i W W y y 1 1 . Por analogía se puede determinar las coordenadas x y z , entonces: ¿ ¿ = = = n i i n i i i W W x x 1 1 . ¿ ¿ = = = n i i n i i i W W y y 1 1 . ¿ ¿ = = = n i i n i i i W W z z 1 1 . (4.1) Propiedades a. Para centroides, el peso Wi puede ser reemplazado por longitud, área o volumen b. Si un cuerpo presenta agujeros, éstas se consideran negativas c. El C.G. de los cuerpos, ocupan un lugar fijo en él, independientemente de su orientación x z y W 2 W n W 1 W 3 x y x z y y n y 2 y 1 w tota l 36 5.3 Centroides de principales figuras 1. LINEAS Figura coordenadas longitud - Segmento recto Punto medio L - Cuarto de circunferencia t r x 2 = t r y 2 = 2 .r t - Semi circunferencia 0 = x t r y 2 = r . t 2. SUPERFICIES Figura coordenadas área - Triangulo Baricentro 1/3 de la base 2/3 del vértice 2 .h b A = - Paralelogramo Intersección de las diagonales h b A . = - Cuarto de circulo t . 3 . 4 r x = t . 3 . 4 r y = 4 . 2 r A t = - Semi circulo 0 = x t . 3 . 4 r y = 2 . 2 r A t = x y r x r y x y r r x y 37 3. VOLUMENES Figura coordenadas volumen - Cilindro y prisma recto 2 h y = h A V . = A = área de la base - Cono y pirámide recta 4 h y = 3 .h A V = A = área de la base - Semi esfera 8 3r y = 3 . 3 2 r V t = 5.4 Centroides por integración Considerando, ya no partículas como en la fig 6.1, sino elementos diferenciales, se tiene: } } = dA dA x x el . } } = dA dA y y el . } } = dA dA z z el . (4.2) Pudiendo ser: dA = diferencial de línea, área o volumen r h 38 PROBLEMAS 1. Determinar el centro de gravedad de las partículas mostradas, si: : w 1 = 16 N, w 2 = 8 N, w 3 = 28 N y w 4 = 28 N 2. Determinar el centro de gravedad de las partículas, si: w 1 = 12 N, w 2 = 24 N, w 3 = 9 N y w 4 = 15 N 3. Si las masa de las partículas son 5 kg, 2 kg, 1 kg y m P respectivamente, y el centro de masa esta ubicado a 2 m a la izquierda del origen, determinar la distancia X P y la masa m P , si la suma de las cuatro masas es 10 kg 4. Si las partículas son de 2 kg, 3 kg y 4 kg respectivamente, determinar el centro de masa 39 5. Si la varilla de 40 mm pesa 60 N, la de 20 mm pesa 20 N y la semicircunferencia pesa 80 N determinar el centro de gravedad del conjunto no homogéneo 6. Considerando el alambre uniforme y homogéneo, determinar su centroide 7. Determinar la abscisa del centroide del alambre mostrado, si r = √5 m y BC = 5 m 8. En la espiral uniforme y homogénea mostrada, determinar el centroide, si a = 77 cm y los puntos A, B y C son los centros de los alambres 1; 2 y 3 respectivamente 9. Determinar el centroide del segmento circular sombreado, si el cuadrado es de L= 36 cm de lado 40 10. Determinar el centroide de la figura mostrada, a la cual se le ha practicado un corte semicircular de 9 cm de radio 11. El centroide del rombo mostrado, tiene por abscisa x = 30 cm, calcular la medida del ángulo α si el lado del rombo es 40 cm 12. Hallar la altura h del triángulo isósceles que se debe extraer del cuadrado de lado L = 2(3 + √3 ) m, para que el centroide concuerde con el vértice M del triángulo 13. determinar el centroide del sólido uniforme y homogéneo, formado por una semiesfera y un tronco de cono, al que se le ha practicado un agujero cilíndrico de 25 mm de radio. 14. Si el centroide del sistema mostrado coincide con el punto de contacto entre la esfera y el cono, calcular la altura “h” del cono, se sabe que el radio R = √2 m, además que la densidad del de la esfera es el doble que la del cono 41 15. Determine el centroide de la varilla homogénea doblada en forma parabólica 16. Determine la abscisa del centroide de la varilla homogénea doblada en forma de arco circular, en términos del radio “r” y el ángulo “α” 17. Determine el centroide de la superficie sombreada 18. Determinar el área de la superficie de revolucion mostrada en la figura, la cual se obtiene rotando un cuarto de arco circular con respecto a un eje vertical 19. Determine el centroide de la superficie parabólica sombreada 42 20. Determine el centroide de la superficie sombreada 21. Determine el centroide de la superficie sombreada 43 6. FUERZAS DISTRIBUIDAS Los cuerpos están sujetos a la acción de cargas distribuidas, estas pueden ser causadas por el viento, por fluidos, por el peso del material que esta encima del cuerpo, por el peso propio del cuerpo. 6.1 Tipos de cargas distribuidas: - Sobre una línea - Sobre una superficie - “La fuerza se determina calculando el área que forma la carga distribuida” 44 PROBLEMAS 1. Para la viga y las cargas mostradas en cada figura, determine a) Magnitud y localización de la resultante de la carga distribuida b) Las reacciones en los apoyos de la viga. 2. Para las cargas dadas, determine las reacciones en los apoyos de cada viga. 45 3. Calcular las reacciones en A y B para la viga sometida a la combinación de carga distribuida y carga puntual. 4. Para la carga aplicada en la viga que se muestra en la figura, determine las reacciones en los apoyos, cuando w 0 =1.5 kN/m. 46 7. ANALISIS DE ESTRUCTURAS Se denomina estructura a todo sistema de barras unidos entre si en sus extremos de manera que forman una estructura rígida y pueden soportar cargas externas mucho mayores de los que soportarían si actuaran solos. Para el análisis de los esfuerzos en estructuras, es necesario desmembrarlo y analizar por separado cada uno de los elementos, este análisis requiere la aplicación cuidadosa de la tercera ley de Newton Generalmente se consideran tres tipos de estructuras en ingeniería: - Armaduras - Armazones, denominados también entramados, bastidores o marcos - Maquinas Para este estudio solo se considera estructuras estáticamente determinadas o isostáticas, es decir, las dos condiciones de equilibrio son suficientes. 7.1 ARMADURAS Las armaduras, son estructuras estacionarias totalmente restringidas, formadas exclusivamente por barras rectas, conectados en los extremos por medio de pasadores, pernos, remaches o soldadura, los cuales se denomina “nudos”, como el mostrado en la figura 1.1, de manera que forman una estructura rígida estable y pueden soportar esfuerzos superiores a los que individualmente no podrían soportar Fig. 1.1: Armadura de un puente a) Armaduras planas: Son aquellas contenidas en un solo plano y con frecuencia se utilizan para soportar techos y puentes como el mostrado en la figura 1.2 Fig. 1.2: Armadura plana 47 Elementos componentes de una armadura Una armadura está compuesta de barras unidas en sus extremos por pasadores, pernos, remaches, etc. Los cuales se denominan “nudos” Fig. 1.3: Elementos componentes de una armadura b) Tipo de fuerza que soportan los elementos Las armaduras, están compuesto por barras los cuales solo soportan cargas axiales, es decir, tensión (tracción) o compresión, unido por medio de “nudos” Fig. 1.1: Fuerzas que soporta una barra c) Armadura simple. La estructura básica para formar una armadura es el triángulo, como el mostrado en la figura 1.2 (a) Armadura estable (b) Armadura inestable Fig. 1.2: Armaduras simples 48 d) Armaduras típicas más usuales e) Métodos de análisis Para resolver los sistemas de armaduras se hacen las siguientes suposiciones: - Las cargas y reacciones actúan en los nudos - El peso de las barras pueden despreciarse 1. Método de Nudos Este método se utiliza cuando se quiere calcular todas las fuerzas internas de las barras 1 er Paso: Calcular las reacciones en los apoyos 2 do Paso: Analizar nudo por nudo, aplicando la primera condición de equilibrio ¿ = ÷ 0 F 2. Método de secciones Este método se utiliza cuando se quiere calcular las fuerzas internas solo en algunas barras 1 er Paso: Calcular las reacciones en los apoyos 2 do Paso: Seccionar la armadura en dos partes, 49 3 er Paso: Aplicar las ecuaciones de equilibrio ¿ = ÷ 0 F ¿ = ÷ 0 o M Barras Con Fuerza Nula: - “Si en un nudo de una armadura están conectadas los extremos de 3 barras y 2 son colineales, entonces la fuerza en la tercera barra es cero siempre que no exista una fuerza exterior actuando en el nudo”. - “Si en un nudo de una armadura están conectados los extremos de 2 barras y estos no son colineales entonces las fuerzas en las 2 barras son nulas, siempre que no existan fuerzas exteriores actuando en el nudo”. PROBLEMAS 1. Determinar las fuerzas axiales en los miembros de BC y CD de la armadura. 50 2. Determinar las fuerzas axiales en los miembros BD, CD, CE y de la armadura. 3. Determinar las fuerzas axiales en los miembros BD, CD, y CE de la armadura. 4. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura Gambrel para techo. Para cada elemento establezca si este se encuentra en tensión o en compresión. 5. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura Howe para techo. Para cada elemento establezca si este se encuentra en tensión o en compresión. 6. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura Fink para techo para cada elemento establezca si se encuentra en tensión o compresión. 51 7. Una carga de nieve transmite las fuerzas que se indican a una cercha de cubierta de Pratt. Despreciar las reacciones horizontales en todos los apoyos y calcular las fuerzas en los miembros. 8. Calcular las fuerzas en los miembros CG y CF de la armadura representada. 9. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Hacer uso de la simetría de la armadura y de la carga. 10. Calcule las fuerzas en los miembros CF, CG y EF de la armadura cargada. 52 METODO DE LAS SECCIONES: 1. La armadura soporta una carga de 100KN. Las barras horizontales tienen 1m de longitud. Determine la fuerza axial CJ e indique si trabaja a tensión o a compresión. 2. La armadura de puente Pratt se carga como se muestra. Utilice el método de las secciones para determinar las fuerzas axiales en los miembros BD, BE y CE. 3. Utilice el método de las secciones para determinar las fuerzas axiales en los miembros de AC, BC, y BD. 53 4. El peso del cangilón es W= 1000 lb. El cable pasa por encima de las poleas en A y D. Determinar las fuerzas axiales en miembro FG y HI. 5. La armadura soporta cargas de N, P y R. Determinar las fuerzas axiales en los miembros de IL y KM. 6. Una armadura Fink para techo se carga en la forma mostrada en la figura. Determine la fuerza en los elementos BD, CD y CE 54 7. Una armadura para el techo de un estadio se carga en la forma mostrada. Determine la fuerza en los elementos AB, AG y FG. 8. Calcular las fuerzas inducidas en los miembros KL, CL y CB del entramado en voladizo por la carga de 200 Ton. 9. Hallar las fuerzas en los miembros BC, BE y BF. Los triángulos son equiláteros. 55 10. Hallar las fuerzas en los miembros BC, BE y EF. Obtener cada fuerza de una sola ecuación de equilibrio que contenga la fuerza en cuestión como única incógnita 11. Hallar las fuerzas en los miembros DE y DL. 12. Determine la fuerza en los miembros CD, CJ y DJ. 56 7.2 Armazones Los armazones, denominados también bastidores, entramados o marcos, son estructuras estacionarias, los cuales están formados por elementos unidos en sus extremos por pasadores y contienen por lo menos un elemento sujeto a varias fuerzas que en general no están dirigidas a lo largo del elemento, es por ello que se descomponen en una fuerza horizontal y una fuerza vertical en cada conexión. Los armazones están sometidos a fuerzas no solo en sus conexiones sino en cualquier punto de la barra, generándose en la barra fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante. Procedimiento de análisis 1 er Paso: Dibujar el D.C.L. y calcular las reacciones en los apoyos 2 do Paso: Aplicar las ecuaciones de equilibrio 57 ¿ = ÷ 0 F ¿ = ÷ 0 o M 7.3 Máquinas Las máquinas están diseñadas para transmitir y modificar fuerzas, son estructuras que tienen partes en movimiento, al igual que los armazones, siempre tienen por lo menos un elemento sujeto a varias fuerzas 58 PROBLEMAS 59 1. El bastidor de la figura soporta un peso suspendido W = 40 lb. Determine las fuerzas en los elementos ABCD y CEG 2. Determine las componentes de las reacciones en A y E si se aplica una fuerza de 160 lb dirigida verticalmente hacia abajo en B. 60 3. Para el armazón y la carga mostrados en la figura, determine las componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento ABC en B y C. 4. Para el armazón y la carga mostrada en la figura, determine las componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento CDE en C y D. 5. Despreciar el peso del entramado y calcular las fuerzas que actúan en todos sus miembros. 61 6. Se representa un mecanismo de elevación para trasladar bidones de acero de 135kg. Calcular el modulo de la fuerza que se ejerce en los puntos E y F del bidón. 7. Determinar la fuerza ejercida sobre el balón por las tenazas y la magnitud de la fuerza axial en los dos miembros de la fuerza AB. 8. En la vista a mayor escala se representa el mecanismo de elevación del camión volquete. Hallar la fuerza de compresión P en el cilindro hidráulico BE y el módulo de la fuerza que soporta el pasador A en la posición mostrada, en que BA es normal 62 a OAE y la biela DC es normal a AC. La masa del camión con su carga es de 9Mg y su centro de masa esta en G. En la figura se indican las cotas correspondientes. 7: VIGAS 63 Vigas: Las vigas son elementos de una estructura cuyo fin es soportar cargas a lo largo de su eje longitudinal. En general soportan cargas de techos. 1. Tipos de Vigas: Vigas estáticamente determinadas Vigas estáticamente indeterminadas Vigas con rotula 2. Tipos de Cargas 3. Fuerzas Internas (V, N, M): 64 65 V: Fuerza Cortante: Es generada por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento. N: Fuerza Normal o Axial: Generada por las fuerzas paralelas al eje longitudinal del elemento. M: Momento Flector: Es generado por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento y los momentos. 4. Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector: Las fuerzas y los momentos internos como la fuerza cortante y el momento flector tiene direcciones positivas de acuerdo al grafico. Cortando una viga en una posición arbitraria x, la fuerza axial N, la fuerza cortante V y el momento flector M se pueden determinar en función de x. Dependiendo de la carga y de los soportes de la viga, puede ser necesario dibujar varios diagrama de cuerpo libre a fin de determinar las distribuciones para toda la viga. Las graficas de V y M como funciones de x son los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. La carga distribuida, la fuerza cortante y el momento flector en una parte de una viga sometida exclusivamente a una carga distribuida satisface las relaciones: Para segmentos de una viga que están descargados o sometidos a una carga distribuida, estas ecuaciones se pueden integrar para determinar V y M en función de x. Para obtener los diagramas completos de fuerza cortante y de momento flector, deben tomarse en cuenta también las fuerzas concentradas y los pares. PROBLEMAS 1. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga cargada y determinar el momento máximo M y su posición x respecto al extremo izquierdo 2. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga cargada y determinar el momento máximo M y su posición x respecto al extremo izquierdo 66 3. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga cargada y determinar el momento máximo M y su posición x respecto al extremo izquierdo. 4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector 67 17. Para la viga y las cargas mostradas, dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector y determine los valores máximos de la fuerza cortante y del momento flector. 68 69 8. MOMENTO DE INERCIA En este capítulo se determinara el momento de inercia tanto de un área como de un cuerpo que tenga una masa específica b) Momento de inercia para áreas El Momento de Inercia de un área finita, se define como la suma de los momentos de inercia de las áreas que la componen, conocido también como segundo momento de área, y es muy utilizado en las fórmulas de diseño de los elementos estructurales. Los momentos de inercia de un área son integrales de forma similar a la de las usadas para determinar el centroide de un área. Sea un área A en el plano x-y. Definimos cuatro momentos de inercia Partiendo de la gráfica, la expresión matemática para los ejes coplanares x e y: Momento de Inercia con respecto al eje “x” } = dA y I x . 2 Momento de Inercia con respecto al eje “y” } = dA x I y . 2 Momento Polar de Inercia: } = dA r J . 2 0 Donde: Ix e Iy: Momentos de Inercia, respecto a los ejes x e y respectivamente. A área total de la sección. x e y: coordenadas de los centroides respecto a los ejes x e y. Las unidades en las cuales viene expresado el momento de inercia de áreas, son de longitud elevadas a la cuarta (cm 4 , m 4 ); no existen valores negativos para el momento de inercia total, pero se tomaran como positivos los de áreas que sumen y negativos los de áreas que resten, al área total de la figura. y x dA y x r 70 Teorema del eje paralelo o Steiner Este teorema nos dice que “El momento de inercia de un área respecto a un eje cualquiera, es igual a la suma del momento de inercia axial respecto al eje centroidal paralelo, a dicho eje, más el producto de su área por el cuadrado de la distancia perpendicular entre ambos ejes”. La expresión matemática es: 2 ´ . x x x d A I I + = 2 ´ . y y y d A I I + = y x I I d A J J + = + = 2 1 ´ 0 0 . Donde: Ix´ e Iy´ : momentos de inercia respecto al eje x´ e y´ respectivamente. Ix e Iy : momentos de inercia respecto a eje x e y A : área d 1 y d 2 : distancia entre el eje de referencia y el eje centroidal Radio de giro de un àrea (k) Se asume como una distancia desde el centroide del área plana hasta el eje de referencia. Es de máxima utilidad en el diseño estructural, se determina por su expresión matemática. A I k x x = A I k y y = A j k 0 0 = y´ x´ dA y x r d x d y d x y 0 71 72 PROBLEMAS 73 1. 2. 3. 4. 5. Determine I x and k x . 74 6. Hallar el momento de inercia respecto al eje x del cuadrado sin el hueco circular y con él. 75 7. Calcule el momento de inercia de la sección recta de la viga, respecto a su eje centroidal x 0 . 8. Hallar los momentos de inercia del perfil en Z respecto a sus ejes centroidales x 0 y y 0 . 9. Hallar el momento de inercia de la superficie sombreada respecto al eje x. 76 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1. BEER FERDINAND “Mecánica Vectorial para Ingenieros” 2. HIBBELER, R.C. (2004). “Mecánica para Ingenieros. Estática. Décima edición. México. Editorial CECSA”. 3. HUANG T. C .Titulo : Mecánica para Ingenieros Tomo I : Estática Editorial : Fondo Educativo Interamericano ; Año :1984 4. MERIAM J.L. Estática, 1996 cuarta edición Edit reverte S.A S 5. OBANDO P. Titulo: Estática I Editorial: P. U. C. P. - Perú ;Año : 1980 6. SÁNCHEZ ROQUE (1996). ” Mecánica Técnica”. Estática. Tercera. Edición. Perú Editorial UNI.