estatdescritiva

Exerc´ ıcios de Probabilidades e Estat´ ısticaCurso de Inform´tica, Redes e Multim´dia a e 1 Estat´ ıstica Descritiva 1.1. Uma escola avalia o seu curso atrav´s de um question´rio com 50 perguntas sobre diversos e a aspectos de interesse. Cada pergunta tem uma resposta numa escala de 1 a 5, onde a maior nota significa melhor desempenho. Para cada aluno ´ entõ encontrada a nota m´dia. Na e a e utima avalia¸õ recorreu-se a uma amostra de 42 alunos, e os resultados estõ em baixo. ´ ca a 4.2 4.0 3.1 2.7 2.3 3.3 4.1 2.7 2.4 2.4 2.2 1.9 1.8 3.4 4.6 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 3.2 2.5 1.2 3.8 2.2 3.9 4.1 2.2 3.3 4.1 1.8 4.4 2.3 2.2 3.0 4.7 4.0 4.5 2.8 3.4 3.0 2.8 a) Proceda ` organiza¸õ dos dados construindo um quadro de frequˆncias onde figurem a ca e as frequˆncias absolutas, absolutas acumuladas e relativas acumuladas. e b) Desenhe o respectivo histograma. c) Identifique as classes modal e mediana. d) Calcule a m´dia e o desvio padrõ usando os dados agrupados e tamb´m usando os e a e dados nõ agrupados. Compare os resultados. a e) Calcule a mediana e os 1o e 3o quartis. 1.2. Num estudo para analisar a capacidade de germina¸õ de certo tipo de cereal foram semeaca das cinco sementes em cada um dos vasos dum conjunto de vasos iguais, contendo o mesmo tipo de solo, e registou-se o n´mero de sementes germinadas. Obtiveram-se os seguintes u resultados: No de sementes germinadas por vaso No de vasos 0 16 1 32 2 89 3 137 4 98 5 25 a) Calcule a m´dia, a mediana e a moda do n´mero de sementes germinadas. e u b) Represente graficamente os resultados. c) Calcule a propor¸õ de vasos com mais de trˆs sementes germinadas. ca e 1 1.3. Realizou-se uma experiˆncia com uma perfuradora hidrúlica a fim de conhecer a sua e a capacidade de perfura¸õ em estruturas rochosas. Para tal foi observada a profundidade ca (em polegadas) de perfura¸õ em 10 locais, cujos dados se encontram abaixo: ca 10.6 10.7 10.1 10.9 10.8 10.2 11.0 10.3 10.5 10.9 Apresente trˆs medidas de localiza¸õ e de dispersõ para os dados observados, e ca a interpretando-as e sugerindo qual a melhor, dentro de cada um dos grupos de medidas. 1.4. As notas finais obtidas em 3 turmas na disciplina de Probabilidades e Estat´ ıstica foram as seguintes: Turma 1 2 3 No alunos 30 35 40 M´dia e 13 10 9 Desvio padrõ 2 2.2 2.1 a a) Calcule a m´dia e o desvio padrõ das notas obtidas no conjunto de todos os alunos. e a b) No final o professor entendeu alterar linearmente as notas de forma que a m´dia e o e desvio padrõ das notas de todos os alunos fossem 12 e 2 respectivamente. Sabendo a que um aluno da turma 1 obteve 10 valores, calcule a sua nota na nova escala adoptada pelo professor. 1.5. O departamento de pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos sal´rios dos 120 a funcion´rios do sector administrativo, tendo obtido os seguintes resultados. a Faixa salarial [0, 2] ]2, 4] ]4, 6] ]6, 10] a) Esboce o histograma correspondente. b) Calcule aproximadamente a m´dia, a variˆncia e o desvio padrõ dos sal´rios. e a a a c) Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcion´rios, haver´ altera¸õ na a a ca m´dia dos sal´rios? E na variˆncia dos sal´rios? Justifique. e a a a d) Responda ` questõ anterior para o caso de ser concedido um aumento de 2 unidades a a a todos os funcion´rios. a Frequˆncia Relativa e 0.25 0.40 0.20 0.15 2 a b) Que se realize um e um s´ dos dois acontecimentos. 6 tinham erros de “sintaxe”e de “input/output”. d) Que se realize quanto muito um unico acontecimento.1. Retiram-se 2 pe¸as do lote. b) Calcule a probabilidade de que o n´mero de pontos obtido no lan¸amento do dado u c seja superior a 3. Num lan¸amento de um dado viciado. Uma lotaria tem 10000 bilhetes numerados de 0000 a 9999. Admita que um lote cont´m pe¸as pesando 5.2 No¸˜es B´sicas de Probabilidade co a 2. 20 g e que existem pelo menos 2 e c pe¸as de cada peso. 2. ´ 2. Utilizando o plano xy marque: peso da 2 c a) O espa¸o de resultados. y) : y > x}. Qual a probabilidade de lhe u sair o primeiro pr´mio? e b) Se o jogador comprar todos os bilhetes cujos n´meros tˆm todos os algarismos iguais. c f) O acontecimento E = “O peso m´dio das duas pe¸as ´ menor que 15 g”. c) O acontecimento B = {(x. Determine em fun¸õ de x e de y a probabilidade de: ca a) Nõ se realizar nenhum dos dois acontecimentos. 20 tinham erros de “sintaxe”. “input/output”e de “outro tipo”diferente dos anteriores.2. u a) Indique qual o espa¸o de resultados e calcule a probabilidade de cada acontecimento c elementar. Sejam A e B acontecimentos tais que P (A) + P (B) = x e P (A ∩ B) = y. Um programa ´ seleccionado ao acaso desta coleçõ. u e qual a probabilidade de lhe sair o primeiro pr´mio? e 3 . y) : x = y}. Uma coleçõ de 100 programas de computador foi examinada para detectar erros de ca “sintaxe”. c) Calcule a probabilidade de que o n´mero de pontos obtido no lan¸amento do dado u c seja um quadrado perfeito. d) O acontecimento C = “A 2a pe¸a ´ duas vezes mais pesada do que a 1a ”. e u ıdo ca a) Um jogador comprou um bilhete com o n´mero 6789. 3 tinham erros de “input/output”e de “outro tipo”e 2 tinham os trˆs tipos e de erros considerados. e 2. a probabilidade de ocorrer cada n´mero ´ c u ımpar ´ o e dobro da probabilidade de ocorrer cada n´mero par. Seja X o peso da 1a pe¸a retirada e Y o c c c a pe¸a retirada. Determine a e ca probabilidade de que o programa seleccionado tenha: a) Exclusivamente erros de “sintaxe”. O n´mero do primeiro pr´mio u e ´ o n´mero do bilhete sa´ numa extraçõ ao acaso. o c) Que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.5. 15. e c e 2. c e e) O acontecimento D = “A 1a pe¸a pesa menos 10g do que a 2a ”.3. c b) O acontecimento A = {(x. Desses 100 programas. 10 tinham erros de “input/output”e 5 tinham erros de “outro tipo”.4. b) Pelo menos um dos trˆs tipos de erros. 3 tinham erros de “sintaxe”e de “outro tipo”. 10. pelo menos um trans´ ıstor defeituoso.8. Calcule a probabilidade desse grupo ganhar o o o totobola. exactamente um trans´ ıstor defeituoso. um trans´ ıstor defeituoso na 2a tiragem. 3 mulheres e 2 crian¸as.7. b) Sem que ningu´m o ou¸a mais do que uma vez.10. Determine a probabilidade e de que um boato seja contado r vezes: a) Sem antes voltar a ser contado ` pessoa que lhe deu in´ a ıcio.12.11. a pessoa que ouve o boato ´ escolhida ao acaso de entre as n restantes. O jogador que tirar a primeira bola branca ganha a partida. a ca a) Escreva o espa¸o de resultados correspondente a esta experiˆncia aleat´ria e calcule c e o as respectivas probabilidades.c) Qual a probabilidade do n´mero premiado ter todos os algarismos diferentes? u 2. Considere o lan¸amento de 3 dados perfeitos. Um grupo de apostadores do totobola decidiu jogar todas as apostas poss´ ıveis contendo 7 vit´rias em casa. 2. c Determine a probabilidade de obter uma soma de pontos igual a 10. De um grupo de 30 alunos da UA (10 alunos por ano) ´ escolhida ao acaso uma comissõ e a coordenadora de 4 pessoas. Uma urna cont´m 5 bolas brancas e 5 bolas pretas. Qual a probaa c bilidade de: a) As pessoas. Numa fila de espera de autocarro estõ 4 homens. A e B. Considere um dado equipamento que ´ constitu´ por 10 trans´ e ıdo ıstores dos quais dois sõ a defeituosos. c 4 . b) Calcule as probabilidades dos seguintes acontecimentos: A1 : A2 : A3 : A4 : Sair Sair Sair Sair um trans´ ıstor defeituoso na 1a tiragem. Em cada passo. outro preto e outro verde. c) Responda `s mesmas quest˜es de (a) e (b) mas agora considerando que nõ houve a o a reposi¸õ. que por sua vez o repete a um terceiro. dentro de cada um daqueles trˆs grupos. Suponha que uma cidade tem n + 1 habitantes e que um deles conta um boato a outro. tiram altere nadamente e um de cada de vez uma bola da urna.9. Dois jogadores. 4 empates e 2 vit´rias fora. e c 2. Suponha que dois trans´ ıstores sõ seleccionados ao acaso. com reposi¸õ. a) Considere a experiˆncia aleat´ria associada a este jogo e escreva o correspondente e o espa¸o de resultados. 2. ca 2. e assim sucessivamente. sendo um branco. Qual a probabilidade de: a) Ser escolhido um e um s´ aluno do 1o ano? o b) Serem escolhidos um aluno de cada ano? c) Serem escolhidos no m´ximo dois alunos do 1o ano? a d) Serem todos do mesmo ano? 2. estarem de seguida? e b) As 2 crian¸as estarem juntas? c 2.6. 0. C e D sõ necessariamente dependentes”. cujas probabilidades de ocorrˆncia sõ iguais. caso o e o a haja petr´leo. respectivamente. a l 1 l 2 rB l 3 A r a) Qual a probabilidade da corrente passar de A para B? b) Se a corrente passou de A para B.9. a 2. F2.15. a probabilidade de sair petr´leo na primeira perfura¸õ ´ de 0. F 3}. e c) Comente a afirma¸õ: “Como a ocorrˆncia simultˆnea de C e D ´ imposs´ ca e a e ıvel. devido ao cumprimento dos prazos nas trˆs actividades referidas. 0.7 e 0. a) Mostre que os acontecimentos A. Um certo tipo de motor elćtrico quando avariado pode apresentar quatro tipos de fae lhas. a b) Mostre que P (C|A ∩ B) ´ diferente de P (C).14. F 3}. A execu¸õ de um projecto de constru¸õ de um edif´ no tempo programado est´ relaca ca ıcio a cionada com os seguintes acontecimentos: E = escava¸õ executada a tempo ca F = funda¸˜es executadas a tempo co S = superestrutura executada a tempo supostos independentes e com probabilidades iguais a. Suponha que as componentes funcionam independentemente e cada uma tem probabilidade 0. o o ca e a) Qual a probabilidade de sair petr´leo na primeira perfura¸õ? o ca 5 . Um ge´logo crˆ que existe petr´leo numa certa regiõ com probabilidade 0. Seja e a A = {F 1. F 2}. Considere a figura abaixo que representa uma por¸õ de um circuito elćtrico com trˆs ca e e componentes numeradas 1. F3 e F4.16. B = {F 1. 2.b) Calcule a probabilidade de cada jogador ganhar a partida sabendo que o jogador A ´ e o primeiro a tirar a bola de urna. denotadas por F1. 2. C = {F 1. e b) O prazo de execu¸õ ser cumprido para a escava¸õ e nõ ser cumprido em pelo menos ca ca a uma das outras actividades. qual a probabilidade da componente 3 ter funcionado quando activada? 2. F 4} e D = {F 2.5.13. 2 e 3.1 de nõ funcionar quando activada. B e C sõ independentes aos pares.8 e que.8. A corrente elćtrica passar´ do ponto A para o ponto B se e a existir pelo menos um caminho fechado quando as componentes forem activadas. Calcule a probabilidade de: a) O edif´ ıcio ser terminado no tempo previsto. De entre a o 500 motoristas multados verificou-se serem 100 por transgress˜es do tipo I.e. 2. investigando cada uma delas uma das causas (i. B1 . calcule a probabilidade: a) Do barco ter sido sequestrado.2. a a 2. a brigada Bi investiga a causa Ci). B2 e B3 foram enviadas com a missõ de procurar e a o barco. Admitindo que a probabilidade de um indiv´ ıduo responder correctamente ` a questõ dado que conhece a resposta ´ 1 e que a probabilidade de responder correctamente a e dado que responde ao acaso ´ 1/n: e a) Verifique que a probabilidade de um indiv´ ıduo nõ ter respondido ao acaso dado que a np respondeu correctamente ´ 1+(n−1)p .7. Suponha que: 1) as trˆs causas do desaparecimento sõ igualmente prov´veis. Seja p a probabilidade de um indiv´ ıduo conhecer a resposta.1. b) Do barco ter sido destruido por um temporal. C3 – foi destruido por um temporal. Um barco pesqueiro desapareceu e presume-se que o seu desaparecimento se deva a uma das trˆs poss´ e ıveis causas: C1 – afundou-se quando experimentava um sofisticado sistema de pesca para o qual nõ a estava minimamente apetrechado. 75% ca a ingerem bebidas alco´licas. Sabendo que a investiga¸õ da brigada a e ca B2 resultou infrut´ ıfera. qual ´ a nova a ca a o e probabilidade atribu´ ` existˆncia de petr´leo na regiõ? ıda a e o a 2. o o nõ se notando nenhum caso em que o motorista cometa ambas as transgress˜es.b) Tendo-se procedido ` primeira perfura¸õ da qual nõ resultou petr´leo. calcule a probabilidade o o de que um motorista que circule nessa estrada e cometa uma transgressõ do tipo II seja a multado. e b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nõ responder correctamente a ` questõ. o a) Qual a percentagem de pessoas que bebem ´lcool? a b) Qual a percentagem de pessoas que bebendo ´lcool sofrem de hipertensõ? a a 2. 6 . Um teste ´ constitu´ por uma pergunta com n alternativas. Suponha que 5% da popula¸õ portuguesa sofre de hipertensõ e que de entre estes. O indiv´ e ıdo ıduo que o faz ou conhece a resposta ou responde ao acaso. C2 – foi sequestrado por transportar um carregamento de material nuclear. que 1% cometem o a transgress˜es do tipo I e que 2% cometem transgress˜es do tipo II.20. 2 = 0.18. 3 = 0. Trˆs brigadas de busca e salvamento.8).19. Registos efectuados levaram a concluir que os motoristas que circulam em determinada estrada podem cometer dois e s´ dois tipos de transgress˜es ditas do tipo I e do tipo II. Sabendo que o 10% dos motoristas que cometem transgress˜es do tipo I sõ multados. e a a 2) a probabilidade da brigada Bi ser bem sucedida quando de facto o barco desapareceu devido ` causa Ci ´ i ( 1 = 0.17. supondo n = 5 e p = 0. De entre os que nõ sõ hipertensos 50% ingerem bebidas o a a alco´licas. 3 Vari´veis e Vectores Aleat´rios a o 3. moda. Numa f´brica existem trˆs m´quinas iguais de uma mesma marca. x = 1. 4 a) Determine o valor de c. ca ii) A fun¸õ de distribui¸õ de X. ca a) i) Qual a probabilidade de obter quando muito um iogurte estragado? ii) Se nas 3 extraç˜es apenas houve um iogurte estragado. Considere a vari´vel aleat´ria discreta X com a seguinte fun¸õ de probabilidade: a o ca P (X = x) = sendo a uma constante real. Seja X uma vari´vel aleat´ria discreta com a seguinte fun¸õ de probabilidade: a o ca  (1 + 3c)/4 .1. A probabilidade de cada m´quina avariar num dado espa¸o de tempo ´ 0. x = 3 . ca 3. mediana e variˆncia de X. 3 . Retiram-se ao acaso e sem e a reposi¸õ 3 iogurtes. x = 1    (1 − c)/4 . a 3. x = 4    0 . mas agora admitindo que as 3 extraç˜es co foram feitas com reposi¸õ. ca ca c) O valor esperado. b) Determine a fun¸õ de distribui¸õ de X. Determine: co i) A fun¸õ de probabilidade de X.1. a c e Seja X a vari´vel aleat´ria que representa o n´mero de m´quinas que findo esse per´ a o u a ıodo de tempo estõ a trabalhar. x = 1.    (1 − 4c)/4 . que trabalham indepena e a dentemente. caso contr´rio a .4. a mediana e o valor esperado de X. a 7 ax 0 . ca ca iii) O valor esperado e a variˆncia de X. 2. ca ca c) Calcule a moda.2. x = 2   P (X = x) = (1 + 2c)/4 . Uma caixa cont´m 6 iogurtes dos quais 2 estõ estragados. a c) Responda novamente `s al´ a ıneas (a) e (b).3. 3. a) Determine a. qual a probabilidade de co ter sido o segundo? b) Designe por X a vari´vel aleat´ria que representa o n´mero de iogurtes estragados a o u nas 3 extraç˜es. ca b) A fun¸õ de distribui¸õ de X. 2. 3. b) Calcule o valor esperado e a variˆncia de X. Determine: a a) A fun¸õ de probabilidade de X. ca ca Calcule o valor esperado e a variˆncia de X. . Calcule a probabilidade de que seja necess´rio extrair exactamente duas pe¸as da a c produ¸õ da m´quina para que apare¸a uma pe¸a com um desvio positivo em rela¸õ ca a c c ca a ` norma. . que pode ser considerada a e como uma vari´vel aleat´ria com fun¸õ de densidade de probabilidade dada por a o ca fX (x) = 3 −5 5 10 x(100 − x) 0 . depende da percentagem de chumbo atrav´s da rela¸õ: e ca L = C1 + C2 X. −1 ≤ x < 0  fX (x) = 1 + k − x . restantes valores de x a) b) c) d) e) Calcule o valor de k.   0 . Uma certa liga met´lica cont´m uma percentagem de chumbo X. a Calcule a moda. Considere a vari´vel aleat´ria discreta X com a o  0    1/6   FX (x) = 1/4    1/2    1 a seguinte fun¸õ de distribui¸õ: ca ca . 0≤x<1  fX (x) = −x/3 + 1 . a mediana e o 1o quartil de X.6.   0 .7.5. em centenas de quilos. ii) P (X > 5). caso contr´rio a Suponha que L. 1 ≤ x ≤ 3 . Suponha que o desvio da medida das pe¸as produzidas por uma m´quina em rela¸õ ` c a ca a norma especificada pelo mercado ´ uma vari´vel aleat´ria X com a seguinte fun¸õ de e a o ca densidade de probabilidade:  1 + k + x . x<0 0≤x<2 2≤x<4. 3.8. 3. 0 ≤ x ≤ 100 .3. iii) P (0 < X ≤ 2). 4≤x<6 x≥6 a) Determine a fun¸õ massa de probabilidade de X. . iv) P (2 ≤ X < 6). ´ uma vari´vel a e a aleat´ria com fun¸õ densidade de probabilidade: o ca  2x/3 . 0 ≤ x ≤ 1 . o lucro l´ ıquido obtido na venda desta liga (por unidade de peso). Determine a fun¸õ de distribui¸õ de X. 3. restantes valores de x 8 . ca b) Calcule: i) P (X ≤ 1). . A procura di´ria de arroz num supermercado. Calcule o valor esperado do lucro l´ ıquido por unidade de peso. A fun¸õ de e ca probabilidade conjunta do n´mero de televisores vendidos diariamente ´ a seguinte: u e Y \X 0 1 2 0 0.05 0.6 e os lan¸amentos podem ser considerados independentes. ca o ii) Determine as fun¸˜es de probabilidade marginais de X e de Y . ´ c i) Determine a fun¸õ de probabilidade conjunta do par aleat´rio (X. b) Diga.03 1 0. c b) Seja X a vari´vel aleat´ria que representa o n´mero de vezes que o jogador encesta a o u nos dois primeiros lan¸amentos e Y a vari´vel aleat´ria que representa o n´mero de c a o u vezes que o jogador encesta nos dois ultimos lan¸amentos.10. d) Determine o valor esperado e a variˆncia do n´mero total de televisores vendidos a u diariamente. Durante um treino de basquetebol um jogador efectua trˆs lan¸amentos da linha de e c lan¸amento livre. co b) Calcule a fun¸õ de distribui¸õ marginal de X.10 2 0.13 0.25 0.9.30 0. Uma loja de electrodom´sticos vende televisores da marca X e da marca Y .01 0.11. c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada diariamente ` disposi¸õ do p´blico a ca u para que nõ falte arroz em 95% dos dias? a 3.01 a) Calcule as fun¸˜es de probabilidade marginais de X e de Y . Y ). assim como uma medida da a variabilidade dessa procura.12 0. ca ii) A fun¸õ de distribui¸õ marginal de Y . A probabilidade que ele tem de encestar em cada lan¸amento ´ de c c e 0. 3. Sejam X e Y duas vari´veis aleat´rias discretas com fun¸õ de probabilidade conjunta a o ca dada por: Y \X 1 2 3 1 1/9 0 1/18 2 0 1/3 1/9 3 1/9 1/6 1/9 a) Determine: i) A fun¸õ de probabilidade marginal de X.a) Qual a probabilidade da procura exceder 150 Kg de arroz num dia escolhido ao acaso? b) Calcule o valor esperado da procura di´ria de arroz. c a) Descreva o espa¸o de resultados. 9 . co 3. a a o c) Calcule V ar(X + Y ). ca ca iii) P (X + Y ≤ 4). se X e Y sõ vari´veis aleat´rias independentes. justificando. ca ca c) Calcule a probabilidade de que num dia a marca Y seja mais vendida do que a marca X. A probabilidade do aluno obter 0.2 0. Sejam X e Y vari´veis aleat´rias com fun¸õ massa de probabilidade conjunta dada por: a o ca X\Y -1 0 1 -1 0 1/4 0 0 1/4 0 1/4 1 0 1/4 0 Mostre que Cov(X.3 0. a c) Calcule: i) P (Y = 2|X. independentes.2 Considere o par aleat´rio (X. co iii) A fun¸õ de distribui¸õ marginal de X.5 0.2 1 0. suficiente (1) ca a ou bom (2). A e B. justificando. Y ) = 0 mas que X e Y nõ sõ independentes. Y ).13.3.6 2 0. Para ser admitido num certo curso um aluno tem que realizar duas provas. ca ca b) Diga. se X e Y sõ independentes. ii) P (X + Y ser ´ ımpar). 1 ou 2 nas provas A e B ´ apresentada em e seguida: Classifica¸õ Prova A Prova B ca 0 0. c o co Y =“soma das classifica¸oes das provas A e B”. 3. c˜ a) Determine: i) A fun¸õ de probabilidade conjunta do par aleat´rio (X. a a 10 . ca o ii) As fun¸˜es de probabilidade marginais de X e de Y . A classifica¸õ em cada uma das provas ser´ de insuficiente (0). Y ) onde: o X =“diferen¸a (em m´dulo) das classifica¸˜es nas provas A e B”.12.Y = 0). 4. O lote ´ rejeitado se tal amostra incluir mais do que duas pe¸as defeituosas. qual o co n´mero esperado de lotes em que se pode esperar que haja rejei¸õ? u ca 4. num dado per´ ıodo de tempo. em m´dia.2. 4 bolhas de ar espalhadas e 2 de placa. c) Nas condi¸˜es da al´ co ınea (a) e se existirem 100 lotes nas condi¸˜es indicadas. 11 . Desse lote retira-se ao acaso e com reposi¸õ c ca uma amostra. 500 dessas latas j´ ultrapassaram o prazo de validade. Num armaz´m encontra-se um lote de 10000 latas de um certo produto alimentar que est´ e a a ser preparado para ser distribu´ ıdo. Escreva a expressõ que lhe permitiria calcular a probabilidade a a exacta de que. Num lote de 500 pe¸as existem 50 defeituosas. num lote de 10 placas de vidro com 1m × 2.5m. A inspeçõ rejeita o lote se forem encontradas mais do que duas latas fora do ca ca prazo de validade nessa amostra. a ´ E efectuada uma inspeçõ sobre uma amostra de 15 embalagens escolhidas ao acaso com ca reposi¸õ. ´ uma vari´vel aleat´ria com distribui¸õ de Poisson. 4. b) Obter.1. 6 placas perfeitas. e c Calcule: a) A probabilidade de rejei¸õ do lote se a amostra tiver dimensõ 10. Um processo de fabrico de placas de vidro produz.3. calcule a probabilidade de e que nesse per´ ıodo de tempo a fonte emita pelo menos 2 part´ ıculas. menos de 5 estejam a ver esse programa.05. 4. calcule a probabilidade de: ca a) Uma placa de 2.5. Sabendo que a distribui¸õ do n´ mero de bolhas de ar aleatoriamente por 10 m ca u pode ser modelada por uma distribui¸õ de Poisson.5m × 2m ter mais de 2 bolhas de ar. entre 250 pessoas seleccionadas ao acaso e sem reposi¸õ da popula¸õ da ca ca cidade.4 Modelos 4. 2000 pessoas de entre as 60000 que constituem a popula¸õ de uma cidade estõ a assistir a ca a um programa de televisõ. ca a b) A dimensõ que a amostra deve ter para que a probabilidade de rejei¸õ seja inferior a ca a 0. Sabendo que a probabilidade de nõ e a o ca a ser emitida qualquer part´ ıcula nesse per´ ıodo de tempo ´ 1/3. O n´mero de part´ u ıculas emitidas por uma fonte radioactiva. a) Qual a probabilidade de rejei¸õ do lote? ca b) Qual o n´mero esperado de latas fora do prazo de validade? u 4. 10. calcule: a) A probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos.004. f) Durante um ano (52 semanas).4. no m´ximo. qual o n´mero esperado de dias com procura superior u a 2 produtos? 4. O tempo de vida de um laser tem distribui¸õ normal com m´dia igual a 7000 horas e ca e desvio padrõ igual a 600 horas. u d) O novo stock di´rio a assegurar de maneira a que a probabilidade de ruptura seja no a m´ximo de 0. A procura di´ria de certo tipo de artigo numa loja segue uma distribui¸õ de Poisson. Sabe-se que 50% das pe¸as produzidas c tˆm comprimento inferior a 2. qual ´ a probabilidade desse produto durar mais do e e que 7000 horas? 4. Suponha que a barra ´ considerada e nõ defeituosa se 8 ≤ X ≤ 12 e defeituosa caso contr´rio. A carga m´xima transportada pelo elevador ´ de 1300 kg. b) Determine a probabilidade de que uma pe¸a seja nõ defeituosa. Se os tempos de vida dos e trˆs lasers forem independentes.9. 20 pessoas de cada ıcio u a vez.5 mm e 47. O comprimento das pe¸as produzidas por uma m´quina ´ uma vari´vel aleat´ria normal c a e a o com valor esperado µ (mm) e variˆncia σ 2 (mm2 ). Os utilizadores deste a e elevador pertencem a um largo estrato duma popula¸õ em que se verificou que o peso ca duma pessoa ´ aproximadamente normal com valor esperado 61 kg e desvio padrõ 10 kg. c) O n´mero esperado de clientes que ficam por satisfazer.5 mm e 3.8. e a a) Calcule a probabilidade do peso destes 20 utilizadores exceder a carga m´xima. b) A probabilidade de se registar uma ruptura de stock.5% das pe¸as produzidas tˆm comprimento entre e c e 2. c a 4. a b) Sabendo que estõ 15 pessoas no elevador com um peso de 950 kg e que se espera a a entrada de mais 5 pessoas para completar a lota¸õ e iniciar a viagem. a 12 . a e) A probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no m´ximo 3 dias com a vendas inferiores a 2 produtos. Uma pe¸a ´ defeituosa se o seu coma c e primento diferir do valor esperado mais do que σ .6. determine a ca probabilidade do peso total destes 20 passageiros exceder a carga m´xima. a) Calcule µ e σ. a a a) Qual a probabilidade de que uma barra seja nõ defeituosa? a b) Qual a probabilidade de que. Seja X uma vari´vel aleat´ria com distribui¸õ normal de valor esperado 10 e variˆncia 4. Um dos elevadores dum grande edif´ p´blico transporta.42 mm. a ca Sabendo que a procura m´dia di´ria ´ de 3 produtos e que o stock di´rio ´ mantido em 6 e a e a e unidades. pelo menos 2 sejam defeituosas? a 4.7. a a) Qual ´ a probabilidade de um desses lasers falhar at´ 5300 horas? e e b) Qual ´ a dura¸õ que 90% desses lasers excede? e ca c) Um produto inclui trˆs lasers e falha se algum deles falhar. em 10 barras escolhidas ao acaso e com reposi¸õ do ca fabrico di´rio. a o ca a que representa o comprimento de uma barra de ferro. qual a probabilidade de haver no m´ximo 3 dias a 3? com consumo inferior a 216. Qual a probabilidade do alarme ser accionado? e a 13 .11. segue uma a distribui¸õ normal com valor m´dio 200 m3 e desvio padrõ 10 m3 .c) Qual a probabilidade de haver nas 20 pessoas. distribui¸õ uniforme no intervalo de ]5. A capacidade do ca e a reservat´rio que abastece a dita localidade (e apenas esta) ´ de 4240 m3 . b) Sabendo que o ultimo comboio passou h´ oito minutos.45 m c) Suponha que no in´ ıcio de certo dia a quantidade de ´gua no reservat´rio se situa a o 5% abaixo da sua capacidade. qual ´ a probabilidade de se ´ a e ter de esperar pelo menos mais cinco minutos pelo pr´ximo comboio? o 4. a) Qual a probabilidade de num determinado dia o consumo de ´gua estar compreendido a entre 180 m3 e 235 m3 ? b) Ao longo de uma semana (7 dias). o abastecimento do referido reservat´rio processa-se o no in´ desse dia por uma quantidade aleat´ria com distribui¸õ normal com valor ıcio o ca m´dio 100 m3 e desvio padrõ 30 m3 . em certa localidade. Sempre que o o e n´ de ´gua nesse reservat´rio cai 10% abaixo da sua capacidade ´ accionado um sistema ıvel a o e de alarme. i) quando muito 2 com peso superior a 85 kg? ii) pelo menos 1 com peso inferior a 40 kg? 4. Suponha que o consumo de ´gua num dado dia da semana. entre a passagem de dois comboios numa esta¸õ de ca metropolitano tem. O intervalo de tempo. em minutos. ca a) Determine a probabilidade de se ter de esperar mais de 8 minutos entre dois comboios. em horas de ponta. 15[.12. que em certo momento viajam no elevador. Xn ) uma amostra aleat´ria de tamanho n proveniente da popula¸õ X com o ca distribui¸õ uniforme padrõ. .6. variˆncia.d. Sejam X1 . Uma amostra de dimensõ 40. X40 ).a. Para uma amostra de 12 cabos as falhas ca ocorreram nos seguintes n´ ıveis de voltagem: 52 64 38 68 66 52 60 44 48 46 70 62 Determine as estimativas de m´xima verosimilhan¸a dos seguintes parˆmetros: valor esa c a perado.i.5.9. A companhia envia 1000 lotes de 100 v´lvulas cada um. a c 5. . X20 v. (X1 . Recorra ` distribui¸õ normal para calcular um valor aproximado de P (X < 9). Em a a quantos lotes se pode esperar que a vida m´dia exceda as 910 horas? e 5. Seja (X1 . Suponha que a voltagem que um cabo elćtrico com um certo isolamento pode suportar e varia de acordo com uma distribui¸õ Normal. Sabendo que durante 20 dias consecutivos sõ vendidos ca a a 8 andares. 14 . calcule a estimativa da m´xima verosimilhan¸a de λ.7. .4. . desvio padrõ. a ca 5. . Obtenha um valor aproximado para P k=1 Xk > 15 .1. O n´mero de andares vendidos em cada dia por uma empresa imobili´ria segue uma distriu a bui¸õ de Poisson de parˆmetro λ. . X2 . . ca a 5. . bem como da probabilidade de um cabo suportar n´ a a ıveis superiores a voltagem m´xima registada na amostra acima.’s i. a 5. . Certas v´lvulas produzidas por uma companhia tˆm uma esperan¸a de vida de 900 horas a e c e desvio padrõ 80 horas. Calcule a probabilidade de X ser pelo menos 0.’s com Xk 20 Uniforme]0.3. . . 1[.2. .5 Distribui¸õ Amostral de Momentos Emp´ ca ıricos 5. Uma amostra aleat´ria de tamanho 5 ´ obtida de uma popula¸õ normal com valor m´dio o e ca e 12 e desvio padrõ 2. ´ extra´ duma popula¸õ de Poisson com a e ıda ca λ = 10. Qual ´ a probabilidade de a m´dia da amostra aleat´ria exceder 13? a e e o 5. 8 105. co 15 . em amperes.6 Estima¸õ Intervalar ca 6. determine um intervalo de confian¸a a 95% para a diferen¸a c c entre os valores esperados das duas popula¸˜es.1 3.3 3.4.2 111. Medi¸˜es do comprimento de 25 pe¸as produzidas por uma m´quina conduziram a uma co c a m´dia x = 140 mm.8 2.9 2. i Assumindo que o desvio padrõ de X ´ igual a 4.2 103.1. ca 6. Que dimensõ deveria ter a amostra para que e ca a a amplitude desse intervalo fosse reduzida a metade? 6. respectivamente.3 105.1 106. o a para as quais se determinou a respectiva concentra¸õ (usando um espectr´metro). Para isso recolheram-se amostras de ar. num certo circuito ´ uma vari´vel e a aleat´ria com distribui¸õ normal. Admita que cada pe¸a tem comprimento aleat´rio com distribui¸õ e c o ca normal de valor esperado µ e desvio padrõ σ = 10 mm.1 101.4 1.8 Determine um intervalo de confian¸a a 95% para a concentra¸õ esperada de mon´xido de c ca o carbono. Foram efectuados estudos em Los Angeles com o objectivo de determinar a concentra¸õ ca de mon´xido de carbono perto de vias r´pidas. e que o comprimento de cada a pe¸a ´ independente das restantes.2. construa um intervalo de confian¸a a a e c 95% para a densidade m´dia de constru¸õ. Um engenheiro civil.0 84.2 99.4 104. Admita que a densidade de constru¸õ.2 78.7 94. a o 6.4 98.8 83. num projecto de urbaniza¸õ tem distribui¸õ ca ca ca normal.2 i=1 e i=1 x2 = 2242.6 . Uma amostra aleat´ria de 50 lotes desse projecto conduziu a o 50 50 xi = 227.3 1.6 88. tencionando comparar a resistˆncia a for¸as compressivas de dois e c tipos de betõ. seleccionou aleatoriamente 10 elementos de cada tipo de betõ e registou a a as seguintes medi¸˜es.2 108. b) O desvio padrõ da intensidade da corrente. assim como para a sua variˆncia. Os ca o resultados das medi¸˜es em ppm (partes por milhõ) foram os seguintes (para um per´ co a ıodo de um ano): 102.0 98.2 100.3. Uma amostra de dimensõ 12 desta vari´vel aleat´ria o ca a a o conduziu aos seguintes resultados: 2.0 1.0 102. X.1 2.9 Construa um intervalo de confian¸a de 99% para: c a) O valor esperado da intensidade da corrente.6 1. a 6.8 2. Construa um intervalo de confian¸a a 95% para o valor c e c esperado da popula¸õ. co Tipo I Tipo II 3250 3094 3268 3268 4302 4302 3184 3184 3266 3266 3297 3124 3332 3316 3502 3212 3064 3380 3116 3018 Se se assumir que as amostras provˆm de popula¸˜es normais com desvio padrõ igual a e co a 353 e 133.2 98.2 2.5. Indique as hip´teses consideradas. Suponha que a intensidade da corrente. 16 . Um fabricante de cigarros enviou a dois laborat´rios amostras de tabaco supostamente o idˆnticas. sõ os seguintes: a 1o grupo 2o grupo n1 = 13 n2 = 11 x1 = 74. 36 nõ fumadores e 44 fumadores tendo-se obtido os seguintes resultados: a Dimensõ a 36 44 M´dia e 72 62 Desvio padrõ corrigido a 9 11 Nõ fumadores a Fumadores Calcule um intervalo de confian¸a a 90% para a diferen¸a dos valores esperados dos tempos c c de vida.6 1 s2 = 112. Determine um intervalo de confian¸a a 99% para a diferen¸a das a c c m´dias entre os resultados fornecidos pelos dois laborat´rios. numa escala de 0 a 100. uma turma de 24 alunos foi dividida e e aleatoriamente em dois grupos.6 2 Assumindo que as popula¸˜es sõ normais e com variˆncias iguais e desconhecidas obtenha co a a um intervalo de confian¸a a 95% para a diferen¸a entre os valores esperados das duas c c popula¸˜es.5 x2 = 71. Que pode concluir? co 6.7. Cada grupo ´ ensinado de acordo com um m´todo diferente.8 s2 = 82..6. numa grande cidade dos E. respectivamente. Para estimar a diferen¸a de tempos esperados de vida entre fumadores e nõ fumadoc a res.6. foram recolhidos duas amostras independentes de. Os resultados foram os seguintes: Laborat´rio 1 (x1 ) o Laborat´rio 2 (x2 ) o 24 27 27 28 26 23 21 31 24 26 Admite-se que os resultados de cada laborat´rio seguem distribui¸˜es normais independeno co tes com variˆncia comum. e e Os resultados no fim de semestre.8.A. Acha que se pode concluir e o que as m´dias das duas popula¸oes sõ iguais? e c˜ a 6. Para comparar a eficiˆncia de dois m´todos de ensino. Cada laborat´rio efectuou cinco determina¸˜es do conte´do em nicotina (em e o co u mg).U. 2 5. 4). µ.8 6. a) Para uma amostra de dimensõ 25 determine c de modo que α = 0.4. aos seguintes valores da tensõ de rotura (kgf/cm a 263 254 261 236 228 253 249 262 250 252 257 258 Admita (como ali´s ´ feito no Regulamento de Bet˜es de Ligantes Hidrúlicos) que a a e o a vari´vel em estudo segue uma distribui¸õ normal.7 5.9 16. Um engenheiro pretende saber se a a ca tensõ esperada de rotura nõ ´ inferior a 255 kgf/cm2 . a c) Suponha que para amostras de dimensõ 2 dessa popula¸õ se fixa o seguinte teste: a ca rejeita-se H0 se x > 1.8 16. Calcule as probabilidades dos erros do tipo I e II. tendo-se obtido os pesos seguintes: 16.5.0 15. Da produ¸õ di´ria de determinado fertilizante tiraram-se seis pequenas por¸˜es que se ca a co analisaram para calcular a percentagem de nitrogńio.8 15.25. Os resultados foram os seguintes: e 6. que o processo de an´lise fornece valores com distribui¸õ que e a ca se pode considerar normal com σ 2 = 0.0 i=1 i=1 (xi − x)2 = 84.7 15. Seja X N (µ.1.3.1 15. por experiˆncia. Teste ao n´ de significˆncia de 5% a hip´tese H0 : µ = 2.2.7 Testes de Hip´teses o 7. A partir de uma amostra de dimensõ 30 dessa vari´vel obtiveram-se os seguintes a a resultados: 30 30 xi = 64.25? e ca o 7. 7.8 15. Para controa c´ a lar o funcionamento escolheram-se ao acaso 15 sacos da produ¸õ de determinado per´ ca ıodo. a b) Determine a dimensõ da amostra n e c de modo que α = 0.0 contra a hip´tese alternativa ıvel a o o H1 : µ > 2.9 Sabe-se.1 5.9 16.1 15.0.5.8 Admitindo que o peso de cada saco possui distribui¸õ normal: ca a) Que conclusõ pode tirar sobre a regula¸õ da m´quina? a ca a b) Que evidˆncia fornece a concretiza¸õ de S 2 sobre a hip´tese H0 : σ 2 = 0. Seja X uma vari´vel aleat´ria com distribui¸õ normal de valor esperado µ e desvio padrõ a o ca a σ. Para testar a hip´tese H0 : µ = 1 contra a alternativa H1 : µ = 2 usa-se o a seguinte regiõ cr´ a ıtica: x > c.0 15.0 15. Um ensaio de rotura a compressõ efectuado sobre 12 provetes c´bicos de betõ conduziu a u a 2 ). Suportam as observa¸˜es a garantia de que a co percentagem esperada de nitrogńio.8 5. Que evidˆncia fornecem os dados a a e e acerca desta questõ se se admitir um n´ de significˆncia igual a 5%? a ıvel a 17 .1. 7. ´ igual a 6% ao n´ de significˆncia de 10%? e e ıvel a 7.2 16. Uma m´quina de ensacar a¸ucar est´ regulada para encher sacos de 16 quilos.05 e β = 0.8.10.0 16.7 16. 4 7.5 Ao agricultor que experimenta as segadeiras interessa averiguar se a produtividade esperada das duas m´quinas se pode considerar igual ou se existe diferen¸a significativa que o leve a c a preferir uma delas. Serõ os resula tados da esta¸õ agron´mica compat´ ca o ıveis com os resultados de Mendel para os n´ ıveis de significˆncia de 5% e 1%. e Mendel. co co a sendo a indica¸õ da m´quina obtida lan¸ando uma moeda ao ar.6 8.0 5. As produtividades foram ca a c as seguintes: Segadeira 1 Segadeira 2 8. Dois grupos de 20 estudantes foram seleccionados ao acaso para participarem numa experiˆncia que consiste em aprender o significado de palavras numa l´ e ıngua que nõ conhea cem. Em seguida foi efectuado um teste para determinar o n´mero de palavras aprendidas por cada u aluno.8.4 6. ´ de admitir a hip´tese considerada. Uma amostra sobre as caracter´ ısticas das ervilhas resultou em 310 ervilhas amarelas e de casca macia.7. ao n´ de significˆncia de 1%. Numa experiˆncia semelhante. tendo-se obtido os seguintes resultados: Grupo I Grupo II 24 18 21 17 14 16 22 15 16 17 25 18 17 19 21 23 18 20 20 17 23 21 18 19 14 20 20 15 15 19 17 23 15 19 16 19 17 18 14 20 Acha que o segundo m´todo de aprendizagem pode considerar-se significativamente sue perior ao primeiro? Indique as hip´teses que teve de admitir para poder usar o teste o efectuado.25% de ervilhas verdes de casca dura. 109 ervilhas amarelas e de casca dura.3 6.7 6. Responda a esta questõ admitindo que as produtividades possuem a distribui¸õ normal com: ca a) As variˆncias conhecidas e iguais a 1. a 7. 7.4 8. No grupo II os estudantes trabalharam aos pares procurando certificar-se mutuamente que iam aprendendo as palavras.5 7.5 e a minutos. u No grupo I os estudantes trabalharam isoladamente.6.75% de ervilhas verdes de casca macia e 6. 100 ervilhas verdes e de casca macia e 37 ervilhas verdes e de casca dura.25% e a de ervilhas amarelas de casca macia.2 5.62. respectivamente? a 18 . ıvel a e o 7. Durante 30 minutos os estudantes tentaram aprender o maior n´mero de palavras.4 8.1 7.7 6.6 5. Em 32 c a e voltas a m´dia do tempo foi de 30. Uma empresa agr´ ıcola tem uma esta¸õ agron´mica experimental onde produz novas vaca o riedades de ervilhas.0 7. 18.8 minutos com um desvio padrõ corrigido de s = 1.0 6.6 6.13 e 0.9. a b) As variˆncias iguais com valor comum desconhecido. Diga se. atrav´s de um modelo matem´tico simples.7. Para confrontar dois tipos de m´quina de ceifar (segadeiras) um trigal foi dividido em a seç˜es longitudinais e cada duas seç˜es adjacentes tratadas por cada uma das m´quinas.6 7.75% de ervilhas amarelas de casca dura. previu que o resultado seria de 56. O departamento de seguran¸a de uma f´brica quer saber se o tempo esperado que o emc a pregado nocturno da seguran¸a leva a dar uma volta a f´brica ´ de 30 minutos. respectivamente. 18. 625 5 1.0292.1%. admitindo a equiprobabilidade dos sexos.675 e variˆncia ca a 0. b) Teste ao n´ de significancia de 1% a hip´tese H0 : X ´ uma vari´vel aleat´ria com ıvel o e a o distribui¸õ normal. Ser´ que o modelo de Poisson ´ uma e a e boa escolha para descrever o conjunto de dados? 7. O recenseamento de 320 fam´ ılias com 5 filhos conduziu aos seguintes resultados: Rapazes Fam´ ılias 5 18 4 56 3 110 2 88 1 40 0 8 Verifique se estes resultados sõ compat´ a ıveis com a hip´tese do n´mero de rapazes ser uma o u vari´vel aleat´ria com distribui¸õ binomial. com valor esperado igual a 1. ao a o ca n´ de significˆncia de 0. durante uma dada missõ.655–1. admitindo que as estimativas de m´xima verosimilhan¸a de µ e ca a c σ 2 sõ os respectivos momentos da amostra agrupada.715 27 1.715–1. ocorridas numa determinada zona do subu a marino Polaris segue uma distribui¸õ de Poisson. ca b) A estimativa de m´xima verosimilhan¸a do valor esperado avaliada numericamente a c com base na amostra agrupada ´ igual a 0.9845. Mil indiv´ ıduos foram classificados segundo o sexo e o daltonismo tendo-se obtido o seguinte quadro: Homem Mulher Nõ daltńico a o 442 514 Daltńico o 38 6 Acha que o daltonismo ´ independente do sexo? Justifique. Os dados relativos a 500 destas miss˜es ca o sõ os seguintes: a no de falhas por missõ a no de miss˜es o 0 185 1 180 2 95 3 30 4 10 a) Teste ao n´ de significˆncia de 5% a hip´tese da referida vari´vel aleat´ria possuir ıvel a o a o uma distribui¸õ de Poisson. a 19 .595–1.745 8 a) Teste o ajustamento da distribui¸õ normal com valor esperado 1. Suponha que o departamento de defesa acredita que a distribui¸õ de probabilidade do ca n´mero de avarias.11.625–1. dos indiv´ ıduos de determinada popula¸õ ´ uma vari´vel aleat´ria X.10.685 42 1. ıvel a 7.13. ca e a o Escolhidos aleatoriamente 100 desses indiv´ ıduos e medidas as suas alturas obtiveram-se os seguintes resultados: Classes Freq.655 18 1. a 7. Absoluta 1. Considere um n´ de signie ıvel ficˆncia de 5%.12. em metros.7. A altura.685–1. justifia e cando o procedimento adoptado.7. B ou C. Os resultados do desempenho de vendas de 120 vendedores ap´s o treino foram os seguintes: o Resultados Med´ ıocre Suficiente 6 25 8 20 10 30 Programa A B C Bom 9 7 5 Teste se o desempenho dos vendedores nõ ´ influenciado pelo programa de treino. 20 . Uma importante empresa de equipamento desportivo pretende seleccionar um de trˆs proe gramas de treino de vendas A.14. 2 9 12 5.1. na quantidade de e a ´gua (Y ) que se evapora por dia. 8. conduziu a: xi yi 20 3 50 5 30 3 100 10 70 8 a) Adoptando um modelo de regressô linear simples. a temperaturas constantes. Fa¸a uso dos seguintes valores: e c x = 54.2. Interessa estudar a rela¸õ entre a resistˆncia de um determinado tipo de pl´stico (Y ) e ca e a o tempo que decorre a partir da conclusõ do processo de moldagem at´ ao momento de a e medi¸õ da resistˆncia (x [horas]). em centenas de litros. Y : Consumo m´dio de energia (kW) a e e 10 10 10 10 10 xi = 124 i=1 i=1 yi = 52. Um estudo sobre a influˆncia da velocidade do vento (X). a co b) Considere um modelo de regressõ linear simples para explicar as observa¸˜es.0 y = 5.5 6 11 5.9 7 11 5. As observa¸˜es que se seguem foram efectuadas em 12 ca e co pe¸as constru´ c ıdas com este pl´stico.1 i=1 xi yi = 637.3 4 14 4.13 O modelo de regressõ linear simples foi usado para estudar a rela¸õ entre o consumo a ca m´dio de energia por agregado familiar e a temperatura di´ria m´dia. Oba co tenha a estimativa dos m´ ınimos quadrados dos coeficientes da recta de regressõ e a desenhe-a no gr´fico.3. a a 8.0 X: Temperatura di´ria m´dia (o C). a i xi yi 1 32 230 2 48 262 3 72 323 4 64 298 5 48 255 6 16 199 7 40 248 8 48 279 9 48 267 10 24 214 11 80 359 12 56 305 a) Represente graficamente as observa¸˜es e desenhe a recta que. a c) Calcule o coeficiente de determina¸õ e comente o valor obtido.8 Introdu¸õ ` Regressõ Linear Simples ca a a 8. melhor co se ajusta `s observa¸˜es. e a e 21 .1 i=1 x2 i = 1560 i=1 2 yi = 275. na albufeira de certa barragem.6 5 12 5.7 8 10 6. escolhidas aleatoriamente.2 10 13 5.3 2 14 4.4 3 12 5. ca c) Teste a significˆncia da regressõ. ca d) Proceda ao teste da hip´tese “O coeficiente angular ´ nulo”. em m/s. Da an´lise do consumo m´dio de energia por agregado familiar durante 10 dias de um mˆs a e e de Inverno numa cidade obtiveram-se os seguintes resultados: i xi yi 1 15 4. estime a recta de regressõ de Y a a sobre X e obtenha uma estimativa da quantidade m´dia de ´gua evaporada quando e a a velocidade do vento ´ igual a 90m/s.8 i x2 = 18700 i i 2 yi = 207 i xi yi = 1960 b) Calcule o coeficiente de determina¸õ do modelo estimado. no seu entender. Qual o interesse desta o e hip´tese? Relacione-o com o resultado obtido na al´ o ınea anterior. Alguns dos resultados obtidos nesta e experiˆncia foram os seguintes: e i xi ti 1 15 2500 2 20 600 3 25 200 4 30 70 Admite-se que as duas vari´veis estõ relacionadas de acordo com o seguinte modelo: a a T = αeβX ε. 22 .4. ca a a a b) Qual o valor predito para o consumo m´dio num dia de temperatura m´dia igual a e e o C? Que responderia se lhe fosse pedida uma predi¸õ do consumo m´dio para um 10 ca e dia com temperatura m´dia de 20o C? e 8. Assumindo as hip´teses que julgar convenientes. obtenha as estimativas dos m´ o ınimos quadrados de α e β.a) Escreva a equa¸õ da recta de regressõ estimada e teste a significˆncia da regressõ. Uma liga met´lica ´ submetida a v´rias tens˜es (x [103Kgf/cm2 ]). tendo-se registado o a e a o tempo decorrido (T [horas]) at´ se atingir a rotura. 3 e 0. c) 0.20) a) 0.0001.25 2. b) iii) 1 e 2/5.036.2) a) 1 − x + y. DN.65.274. DAM = 0. P (1) = P (3) = P (5) = 2/9. d) Sim e nõ a 2 – No¸˜es B´sicas de Probabilidade co a 2.6) a) 1/210. b) 7.1304. c) x − y. Q1 = 2.3413 2.17) a) 51.167. b) x − 2y.416. b) 0. b) 2/3 2.4) a) −1/3 ≤ c ≤ 1/4 b) (10-9c)/4 e (20-8c-81c2 )/16 3. onde D= defeituoso e N=nõ defeituoso a P (DD) = 0.886 (dados nõ agrupados) a e) M = 3.4.866.3) a) 0. R = 0.3) a) 1/6.2) a) x = 2.5) b) x = 3. c) 0.031 2.6) a) 0.9. b) 11.13) a) 0. P (DN ) = P (N D) = 0.125 2. P (A3 ) = 0.Solu¸˜es co 1 – M´todos Elementares de Estat´ e ıstica Descritiva 1.36: P (A4 ) = 0. b) 0. qualquer ponto de [2.04. c) 1/3 2.4) a) x = 10.13.25.2.7) 0. b) 0. s = 2. 2 e) 1/4 23 .11) a) Ω = {DD. c) Sim e sim. 4.296 2. P (A1 ) = P (A2 ) = 1/5.27 3. P (DN ) = P (N D) = 8/45.001. ii) 1/2. ii) 1/3.981.3098 1.316. s = 2. c) 0. c) a)i) 20/27. b) 0.32% 2.504.476.917 2. M = Mo = 3. N D.16.64 2.4348 3 – Vari´veis e Vectores Aleat´rios a o 3.10) a) ( n−1 )r−1 .16) a) 0. d) 0. P (N N ) = 0.7) C1 + 50C2 √ 2 . b) 2/9 2. iii) 1/12. b)iii) 1 e 2/3 3.3] e 7/3 3. 0 e −1 + 3. P (N N ) = 28/45. Mo = 10.8) a) 0.65.12) b) P(A ganhar)=0.14) a) 0.32 c) P (DD) = 1/45. c) 0 e 1/6.665. Q3 = 3.6587.2 2. N N }. 5.7.9) 25740/313 2.1) a)i) 4/5.1) d) x = 3. b) 0. 6}. 2.19) 0. M = 10. b) P (A1 ) = P (A2 ) = 0. P (A3 ) = 17/45: P (A4 ) = 16/45 2. c) 3. ii) 1/3. iv) 1/3 3. b) n n! nr (n−r)! 2.26 1. b) 0.905 d) 0.3) x = 10.5) a) 0.5) b) i) 1/6.4) a) Ω = {1.64. P (2) = P (4) = P (6) = 1/9 b) 4/9. 3. P(B ganhar)=0.4.9 1.6. 3.25%.2) c)2.18) b) 0. d) 1 − y 2.504 2.9 s = 0.6428 1. s = 0. 7.1) ]136. nõ se rejeita H0 a 7.647. b) 0. H1 : µ = 6.2857 4.2.3) 0.0228 5. b) 0.4) √ 1 − Φ(0.843[.0222.3) a) H0 : µ = 16 vs.0002 5 – Distribui¸õ Amostral de Momentos Emp´ ca ıricos ˆ 5.0702.5) ]-192.635. nõ se rejeita H0 a 7. rejeita-se H0 7.4286 7. H1 : µ = 30.8009.83.13.0023.125 4.6826. rejeita-se H0 24 . c) i) 0.7) ]-5.1. σ 2 = 101. P (X > 70) = 0.12) a) 0. σ = 10. H1 : µ < 255.36 kg.08.102.11) a) iii) 11/18.8) a) 2.96 4.7) a) 0. d) 8. c) 7.2) µ = 55.035[ 6. b) 0. b) n = 137 e c = 1.9994.4 5. b) 0.6 0.6) a) 0.401.1) λ = 0.25 vs.604.11) a) 0.435.1) a) 2.0002.9) c) 0. f )179.6) H0 : µ = 30 vs.5) a) 0.75 4. c) 0.469.2. H1 : σ 2 = 0. ii) 0.3233.657.204. ii) 0 4 – Modelos 4.18.25.0501.375. c) 1.9) a) 0. c) 0.3032 4.082.1) a) 0.997.12) c) i) 3/4. b) 6232 h.4) Nõ se rejeita H0 a 7.143.106.5) 0. c) α = β = 0.56. e) 0.161. b) 0.013[ 6.653[ e n = 200 6.10) a) 0.3) ]94. d) 1. c) 0.275.2) a) 0.8759 4.0895 3.2) ]3.5 e 0. b) n ≤ 8. c) 245.4 12n) (n elevado) 5.02 4.7) 0.0362.4) 0.723.2) H0 : µ = 6 vs.506[ 6.8) ]6. b) ]0.92[ 6.6) ]-8. b) 0.0831 4.0793 ˆ ˆ ˆ 5.172.024. b) 0. b) 0.0367.972[ e sim 6. H1 : µ = 16.301 4.4) a) ]1. b) µ = 4/3 × 102 kg e σ = 62.9833.1314 5.5.59 e 0.6826 4.736[ e ]43.11.3.7619 3.8) a) 0.796[ 7 – Testes de Hip´teses o 7. nõ se rejeita H0 a b) H0 : σ 2 = 0.285[ 6.5) H0 : µ ≥ 255 vs.0335.1056 5.00005 6 – Estima¸õ Intervalar ca 6.23 kg 3. 1) b) a = 153.096 e 927. nõ se rejeita H0 a 7.11) a) H0 nõ ´ rejeitada.14) Nõ se rejeita a hip´tese de independˆncia a o e 8 – Introdu¸õ ` Regressõ Linear Simples ca a a 8.7) H0 : µ1 = µ2 vs.8) H0 : µ1 = µ2 vs. b) r2 = 0.12) a) H0 ´ rejeitada. H1 : µ1 < µ2 .636. c) Rejeita-se H0 : β = 0 vs H1 : β = 0 8.883 e b = −0.159 − 0.7.237 25 .9593.9711.3) a) y = 10. b) 6.4) a = 77885. H1 : µ1 > µ2 a) rejeita-se H0 . b = 0.399x e rejeita-se a hip´tese H0 : β = 0 vs H1 : β = 0. d) Rejeita-se H0 : β = 0 vs H1 : β = 0 8. b) sim a e 7.9) Sim para ambos n´ ıveis 7.6 l .917 e b = 2. c) r2 = 0.417.169 kW ˆ o 8.13) Rejeita-se a hip´tese de independˆncia o e 7.2) a) a = 0.10) Sim 7. b) rejeita-se H0 7. b) H0 nõ ´ rejeitada e a e 7. 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