Ciencias EmpresarialesEstadística II CONTENIDO IDENTIFICACIÓN ................................................................................................................................. 2 PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS......................................................................................... 1 PROGRAMA ANALITICO .................................................................................................................... 1 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS............................................................................................... 8 1. Introducción ............................................................................................................................. 8 1.1.- Objetivos Generales............................................................................................................ 9 2.- Desarrollo .................................................................................................................................... 9 2.1 Núcleos temáticos ................................................................................................................. 9 2.2.- Bibliografía Comentada. ................................................................................................... 13 2.3.- Material Explicativo ........................................................................................................... 14 2.4.-Ejemplificación .................................................................................................................... 14 2.5.- Métodos a utilizar .............................................................................................................. 14 3 . Conclusiones ........................................................................................................................ 14 4. Glosario de términos técnicos. ............................................................................................. 15 TEXTO GUÍA ...................................................................................................................................... 17 UNIDAD Nº 1. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES ................................................... 17 FENÓMENO ALEATORIO ........................................................................................................ 17 ESPACIO MUESTRAL S ........................................................................................................ 17 EVENTO O SUCESO E ...................................................................................................... 17 PROBABILIDAD P E , P ................................................................................................. 18 COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD P E ; P; q ......................................................... 20 EVENTOS INDEPENDIENTES ................................................................................................ 22 EVENTO DEPENDENDIENTE ................................................................................................. 22 PROBABILIDAD CONDICIONAL ............................................................................................. 24 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES .......................................................................... 24 PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS P A B ............................. 24 PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS P A B ........................................ 25 TEOREMA DE BAYES .............................................................................................................. 27 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ............................................................ 30 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS ..... 30 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA ......... 30 MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .............................................................................. 31 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ................................................................................................ 31 MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA ............................................................ 34 MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON ......................................................................... 37 MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL .............................................................. 38 MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD ........................................................... 39 UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES ...................................................................... 47 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE .......................................................................................... 47 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ........................................................................... 47 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES .............................................................. 51 UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES ...................................... 57 Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. __ __ 1 Ciencias Empresariales Estadística II DISTRIBUCIÓN T-STUDENT ................................................................................................... 57 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ........................................................................................... 59 NIVEL DE CONFIANZA 1 .............................................................................................. 59 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL ......................................... 60 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA ............................................................ 63 MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO ................................................................................... 66 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE .......................................................................................... 66 MUESTREO SISTEMÁTICO .................................................................................................... 67 MUESTREO ESTRATIFICADO ................................................................................................ 67 MUESTREO CONGLOMERADO ............................................................................................. 67 UNIDAD Nº 4 VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES................................. 68 HIPÓTESIS ESTADÍSTICA ...................................................................................................... 68 HIPOTESIS NULA H0 ................................................................................................................ 68 HIPOTESIS ALTERNA H1......................................................................................................... 68 ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER .............................................................................. 69 ERROR TIPO I........................................................................................................................... 69 ERROR TIPO II.......................................................................................................................... 69 GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS............................................................................. 77 Práctico nº 1. Teoría elemental de probabilidades .............................................................. 83 Práctico nº 2. Distribución discreta de probabilidades ........................................................ 86 Práctico nº 3. Distribución Normal Standard y distribuciones muestrales ......................... 91 Práctico nº 4. Estimación de parámetros poblacionales ..................................................... 94 Laboratorio # 1 . Aplicaciones de EXCEL en estadística Inferencial ................................. 99 IDENTIFICACIÓN Modalidad de Estudios Gestión Académica Módulo Carreras Docente Día de Encuentro (Presencial) Hora Aula Día de Tutoría (Distancia) Hora Área Empresarial Ing. Rubén Toyama U. Sábados Cursos por Encuentros Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 2 Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 3 Auditoria.4 al 2.8 Unidad 3 3.11 UNIDAD . : MAT . entre otras. Ingeniería Comercial.Ciencias Empresariales Estadística II PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS PRIMER SEGUNDO TERCER ENCUENTRO ENCUENTRO ENCUENTRO Unidad 1 1. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Aplicar correctamente las herramientas y técnicas sobre muestras representativas que conlleven a realizar una eficaz inferencia estadística sobre una población que permitan la racional toma de Elaborado por: Ing.3 Evaluación Unidad 2 2. II. Rubén Toyama U.12 al 1.1. la investigación de operaciones y la econometría.TEMAS DE AVANCE Unidad 1 1. al 3.19 Unidad 2 2. JUSTIFICACION La asignatura de estadística II contribuye a las mallas curriculares de las diferentes carreras en las que se imparte por constituirse en un pilar fundamental desarrollando en su ejecución los conocimientos necesarios y suficientes para encarar con solvencia disciplinas muy importantes. : Estadística I (MAT – 215) : Año 2005 I. como la investigación de mercados.1 al 1.1 al 2.14 Unidad 4 Evaluación ESTADISTICA II PROGRAMA ANALITICO IDENTIFICACION Carrera Sigla Materia Carga Horaria Nivel Requisitos En Vigencia : Ingeniería de Sistemas. 1 .13 CUARTO ENCUENTRO Unidad 3 3.222 : Estadística II : 4 H Encuentros 4 H Tutorías Virtuales : Quinto Semestre. 7 Distribución de Probabilidades. 1. Teoría elemental de probabilidades. 1.2 Introducción a la teoría de probabilidades.4 Cálculo de probabilidades.9 Distribución Binomial. Distribución de probabilidades. Identificar y desarrollar los mecanismos adecuados para determinar el tamaño de una muestra representativa en función a la naturaleza del problema Construir e interpretar intervalos de confianza para los diferentes parámetros poblacionales.Ciencias Empresariales Estadística II decisiones OBJETIVOS ESPECIFICOS Identificar el modelo de probabilidad adecuado a aplicar a una distribución muestral para un determinado parámetro Estimar el valor de un parámetro a partir de una muestra representativa mediante una estimación puntual o intervalar Plantear adecuadamente las hipótesis estadísticas reconociendo los tipos de errores y tomar una decisión respecto a la hipótesis adecuada. 1. 1.6 Esperanza y varianza matemática. 2 . Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de las distribuciones. 1. Elaborado por: Ing. Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades.8 Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas.5 Probabilidad condicional. Objetivos de la Unidad Definir los términos referente a la teoría de probabilidades. Rubén Toyama U. 1. 1. III. Contenidos 1. Teorema de Bayes. CONTENIDOS Unidad 1. 1.3 Axiomas fundamentales.1 Análisis Combinatorio. 1. 2. Unidad 3. Elaborado por: Ing. Distribuciones muéstrales.2 Distribución muestral de medias. Distribución de Hipergeométrica.7 Muestreo aleatorio Simple.12 Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas. 2.19 Distribución F de Fisher Unidad 2. 2.8 Muestreo sistemático.6 Distribución muestral de la varianza.4 Distribución de la diferencia de dos medias muestrales.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones.15 Estandarización de la distribución normal. Contenidos 2.10 1.11 Distribución de Poisson. Rubén Toyama U.1 Teorema central del límite 2. Calcular el tamaño de la muestra en diferentes casos.17 Distribución t-student 1.13 Distribución. Definir adecuadamente los diferentes tipos de muestreo y los casos de aplicabilidad. Estimación de parámetros poblaciones Objetivos de la Unidad Desarrollar los procedimientos adecuados en la determinación de los intervalos de confianza para los diferentes parámetros poblacionales. Normal. Muestreo estratificado.3 Distribución muestral de la proporción.18 Distribución Chi – Cuadrada 1.Ciencias Empresariales Estadística II 1. Muestreo por conglomerados.16 Aproximaciones de la distribución binomial a la normal 1. Objetivos de la Unidad Aplicar los mecanismos adecuados para el cálculo de probabilidades en las distribuciones muestrales. 2. Error de muestreo 2. 1. 3 . 1. 1. 2. 1.14 Distribución Exponencial. 5 3.2 Hipótesis estadísticas.13 Estimación de parámetros Características de un buen estimador Estimación puntual.1 Introducción 3.3 Hipótesis nula y alternativa. Objetivos de la Unidad Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis. 4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única.9 3. Estimación de parámetros por intervalos de confianza. 4.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única. Contenidos 4.4 Error tipo I y Error tipo II. Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 4. Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales. Verificación de parámetros poblacionales.11 3.12 3. Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza. Intervalo de confianza para la media poblacional. Intervalo de confianza para la proporción poblacional. 4.10 3.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales. Rubén Toyama U. 4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas poblacionales. 4. Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional.7 3. 4.3 3.8 3. Unidad 4. 4 . Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales. Intervalo para la varianza poblacional. 4. Desarrollar adecuadamente la décima de hipótesis.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis.Ciencias Empresariales Estadística II Contenidos 3.6 3.1 Introducción y conceptos. Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional.2 3. Elaborado por: Ing.4 3. 4. Objetivos de la Unidad Probar la significancia de las diferencias entre varias medias muestrales. Realizar inferencias acerca de si las muestras fueron tomadas de poblaciones que tienen la misma media. Se realizarán prácticas en el laboratorio de cómputos para la aplicación de software a las unidades desarrolladas.4 El contraste F para la hipótesis nula de igualdad de medias. Elaborado por: Ing. mediante la conceptuación de las variadas terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística. Para cada tema el alumnado resolverá prácticos en los cuales desarrollará sus habilidades y competencias a objeto de asimilar de la mejor manera los contenidos procedimentales de la asignatura. 5. Modelos matemáticos para el análisis de varianza. 5. 5 . Contenidos 5.6 Experimentos de dos factores.7 Análisis de varianza para experimentos de dos factores. IV. 5. 5. Experimentos de factor único. Prueba de homogeneidad. durante el desarrollo de la asignatura se realizarán diversos ejercicios prácticos que ilustren de manera efectiva la aplicación para lograr un aprendizaje significativo en la asignatura.8 Experimentos de dos factores con repetición.Ciencias Empresariales Estadística II 4.3 Valores esperados de las variaciones.1 Objetivo de análisis de Varianza. 5.11 Prueba de independencia. Diseño experimental. 5. Rubén Toyama U.2 Métodos abreviados para calcular variaciones. Distribuciones de las variaciones. Análisis de Varianza. 5. METODOLOGIA DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente. Unidad 5. el mismo que será llevado a cabo mediante la participación activa de los estudiantes a través de lluvia de ideas.5 Tablas de análisis de varianza. Se realizarán prácticas de ejercicios en clases donde los estudiantes de manera cooperativa logren un aprendizaje significativo apuntalando así sus conocimientos conceptuales y habilidades procedimentales Se desarrollará un trabajo final de aplicación donde los estudiantes muestren los conocimientos y habilidades adquiridas V. mediante la definición de las terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de probabilidades y distribuciones de probabilidades 2. Durante el desarrollo de la materia se desarrollarán variados ejercicios prácticos que ilustren de manera efectiva la aplicación de los distintos estadígrafos en la variedad de casos aplicables a la realidad a objeto de lograr un aprendizaje significativo para los diferentes tipos de contenidos contemplados en la asignatura. Teoría de hipótesis 5. 6 .Texto guía .Equipos de multimedia Elaborado por: Ing. MATERIALES Y MEDIOS DIDACTICOS . realizando inferencias sobre la población a partir de esta muestra significativa El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente. Rubén Toyama U. lo cual se desarrollará mediante la participación activa de los estudiantes a través de lluvias de ideas. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de distribuciones maestrales 3.Ciencias Empresariales Estadística II En el desarrollo del curso los estudiantes realizarán un proyecto en el cual trabajarán sobre una problemática en la cual tengan que realizar una investigación determinando el tamaño de la muestra. ACTIVIDADES ACADEMICAS 1.Marcadores y pizarra . Presentación y defensa del práctico de verificación de parámetros poblacionales. Presentación y defensa del práctico de análisis de varianza VI. Presentación y defensa del práctico de estimación de parámetros poblacionales 4. Colombia.Laboratorio de Software VII. Cursos por Encuentros Exámenes Actividades Académicas Investigación TOTAL 60 Pts. Mc Graw Hill. Mc Graw Hill. Mexico. Probabilidad y estadística. 1990. Estadística II. Cursos por Encuentros. San Marcos. COMPLEMENTARIA 1. Elaborado por: Ing. Paul Neubold. 7 . Estadística aplicada a la administración y la economía. Mc Graw Hill. 6. 20 Pts. Probabilidad e inferencia estadística. Rubén Toyama U. 7. Moshera SRL. Ed. Rufino Moya Calderon – Gregorio Saravia. 1997. Estadística para administradores. Prentice may hispanoamericana S. 100 Pts. 4. Mexico. John E. Ed. Perú. UPDS. Leonard J. Kazmier. 2000. 8. 5. Ed. formativa y sumativa. Ed. VIII. 1996.Ciencias Empresariales Estadística II . Ed. IX. Estadística matemática con aplicaciones. 1990. Estadística descriptiva e inferencial. Prentice Hall. Estadísticas para negocios y la economia. TIPOS DE EVALUACION Para la asignatura se emplearán los tres tipos de evaluación: diagnóstica. Walpole Myers. Ed. 20 Pts. 2001. 2000. 3. Mayo 2007. 2. México. 2000. FORMAS DE EVALUACIÓN Materia tipo B. BIBLIOGRAFIA BÁSICA Toyama Rubén. España. A. Probabilidad y estadística Ed. México. Manuel Córdoba Zamora. Richard Levin – David Rubin. Walpole. Prentice may. Freund – Ronald E. Spiegel – Murray. investigación en ciencias sociales. e investigación operativa. 8 . b) c) d) e) f) Es conocimiento de los conceptos desarrollados en Estadística descriptiva El cálculo eficaz de las probabilidades El cálculo de probabilidades en distribuciones para variables discretas. Dentro del estudio de la estadística inferencial es de vital importancia el aprendizaje de los siguientes aspectos: a) El dominio de palabras técnicas propias de la estadística.Ciencias Empresariales Estadística II ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. en el texto guía se ha utilizado un lenguaje claro y sencillo sin perder el sentido técnico propio de la estadística cuyo lenguaje es imposible de eludir. Rubén Toyama U. Introducción La estadística es una disciplina que como instrumento de investigación se constituye en pilar fundamental en la formación de los profesionales de las diferentes áreas del conocimiento. así como la parte operativa en el desarrollo de las tesis de grado que implica una investigación con información primaria la cual en muchos casos es obtenida a partir de la muestra y debe ser extrapolada a toda la población de interés en la investigación. El aporte de la presente asignatura a las demás asignaturas de las diferentes mallas curriculares es importante puesto que las competencias adquiridas durante el estudio de la estadística. el aporte a la investigación de la estadística inferencial (Estadística 2) se basa fundamentalmente en que a través de la estadística inferencial el proceso investigativo se centra en como lograr que los resultados obtenidos a través de la muestra logre tener mayor significación y pueda ser proyectado para determinar el verdadero valor del parámetro poblacional. El cálculo de probabilidades para variable aleatoria continua El cálculo de probabilidades para distribuciones muestrales g) La determinación de intervalos de confianza h) El desarrollo de la décima de hipótesis Elaborado por: Ing. Cabe resaltar que el presente texto guía ha sido redactado como producto de 5 años de experiencia en la enseñanza de la Estadística en la UPDS en el sistema modular presencial. constituye la base fundamental para materias como investigación de mercado. 2.. Objetivos de la Unidad Definir los términos referente a la teoría de probabilidades.1 Análisis Combinatorio. Contenidos 1.2 Introducción a la teoría de probabilidades.Ciencias Empresariales Estadística II 1. 1. 1.Desarrollo 2. Rubén Toyama U.4 Cálculo de probabilidades.7 Distribución de Probabilidades.5 Probabilidad condicional.Objetivos Generales Aplicar los criterios pertinentes para la inferencia estadística en la estimación de los parámetros poblacionales a partir de estadígrafos muestrales.1. 1.. 1. 1. El objetivo general busca que el estudiante adquiera las competencias necesarias y suficientes para realizar acertadamente las inferencias estadísticas en la determinación de los diferentes parámetros poblacionales.3 Axiomas fundamentales. 1. Teoría elemental de probabilidades. Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de las distribuciones. Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades.1 Núcleos temáticos La distribución de los temas en los cuatro núcleos temáticos a lo largo del presente curso obedece a un sentido de co-linealidad de los contenidos para el aprendizaje adecuado de los mismos y a aspectos de tiempo para lograr el alcance de los objetivos y adquisición de las competencias necesarias de parte del estudiante en el estudio de la estadística inferencial en el presente curso.6 Esperanza y varianza matemática. Teorema de Bayes. Elaborado por: Ing. Primer encuentro Unidad 1. 9 . Distribución de probabilidades. Estandarización de la distribución normal. además que realizaremos el cálculo de probabilidades para las distribución de probabilidades para variable aleatoria discreta. en este 1º encuentro se realizaran las prácticas para el cálculo de probabilidades.1. concretamente las distribuciones: Binomial.13 1.19 Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas. Aproximaciones de la distribución binomial a la normal Distribución t-student Distribución Chi – Cuadrada Distribución F de Fisher Unidad 2.14 1. Distribución de Hipergeométrica. es una unidad amplia.12 1. 10 . En el 1º encentro el estudiante debe llegar con una lectura comprensiva de los conceptos referentes a la teoría elemental de probabilidades. así como también se practicará el cálculo de las probabilidades para las distribuciones para variable aleatoria discreta como los son la binomial.Ciencias Empresariales Estadística II 1. Elaborado por: Ing. 2.9 Distribución Binomial. Síntesis La unidad 1.18 1.16 1.11 Distribución de Poisson. por lo que en el primer encuentro nos abocaremos netamente al cálculo elemental de probabilidades. Normal. 1.Teorema central del límite 2. 1.17 1. Segundo encuentro 1. Distribuciones muéstrales 2.3 Distribución muestral de la proporción.15 1.2 Distribución muestral de medias. Distribución Exponencial. Distribución.8 Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas. Hipergeométrica y de Poisson. Rubén Toyama U. Hipergeométrica y Poisson.10 1. 11 . Rubén Toyama U. 2. Muestreo estratificado.7 Muestreo aleatorio Simple. 3. ingresando a lo que es la 2º unidad se realizará el cálculo de probabilidades para las distribución de probabilidades. 3.10 Intervalo para la varianza poblacional. 2.5 Estimación de parámetros por intervalos de confianza.Ciencias Empresariales Estadística II Síntesis. seguidamente. el contenido a desarrollar será el estudio de los diferentes tipos de muestreo y su aplicación recomendada en cada caso particular. 3.3 Características de un buen estimador 3.4Distribución de la diferencia de dos medias muestrales. luego pasaremso al estudio de la Elaborado por: Ing. 3.8 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales.6 Distribución muestral de la varianza.12 Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional. 3. 2. Unidad 3. 3. Muestreo por conglomerados.1 Introducción 3.2 Estimación de parámetros 3. En el 2º encuentro se introducirá a lo que es el cálculo de probabilidades para variable aleatoria continua y en este encuentro se realizará la práctica del cálculo de probabilidades utilizando la tabla de la distribución normal Standard. 3.13 Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional Síntesis En el 3º encuentro.11 Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales. 3. Estimación de parámetros poblaciones 3.9 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales.7 Intervalo de confianza para la proporción poblacional. Tercer encuentro 2. 3. Error de muestreo 2. concretamente nos abocaremos a las distribución muestral de medias y de proporciones.8 Muestreo sistemático.6 Intervalo de confianza para la media poblacional.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones.4 Estimación puntual. Verificación de parámetros poblacionales.1 Introducción y conceptos.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales. Desarrollar adecuadamente la dócima de hipótesis. 4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales. 4. Prueba de homogeneidad. Rubén Toyama U.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis. Análisis de Varianza Contenidos Objetivo de análisis de Varianza. Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza. 4. Objetivos de la Unidad Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis.14 Determinación del tamaño de la muestra Unidad 4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas poblacionales. Unidad 5.11 Prueba de independencia. 4.3 Hipótesis nula y alternativa.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única. 4. 4. Experimentos de factor único.4 Error tipo I y Error tipo II. Contenidos 4. 4.2 Hipótesis estadísticas.Ciencias Empresariales Estadística II construcción de los intervalos de confianza para los diferentes parámetros como ser: Intervalos de confianza para la media poblacional. Elaborado por: Ing. intervalo de confianza para una proporción poblacional e intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales Cuarto encuentro 3. 12 . 4. 4. 4. Modelos matemáticos para el análisis de varianza. elaborado en su totalidad por el Ing. Se recomienda la realización de cada uno de los ejemplos mostrados en el texto.Bibliografía Comentada El libro de texto de Estadística Inferencial.. y finalmente se realizará una introducción en los que es el análisis de varianza. 2. Leer con anticipación al encuentro todos los conceptos desarrollados en el texto guía. Valores esperados de las variaciones. para aclarar dudas durante la clase presencial. Es también importante en la medida de las posibilidades de tiempo y de recursos. es importante tomar en cuenta lo siguiente: Traer a todos los encuentros una calculadora (de preferencia que sea calculadora científica). así como la adquisición de las competencias planteadas.Ciencias Empresariales Estadística II Métodos abreviados para calcular variaciones. así como para la proporción poblacional. la lecturas de apoyo de los libros: “Estadística” de Spiegel & Murray para acompañar el aprendizaje y del libro: Elaborado por: Ing. Desarrollar en lo posible (reproducir por cuenta propia) los mismos ejemplos resueltos en el texto guía. se constituye en una guía práctica para el aprendizaje de la estadística y surge como resultado del conjunto de experiencias acumuladas durante 5 años de ejercicio docente en nuestra universidad. Nota Para lograr alcanzar con éxito los objetivos planteados en la asignatura. Estar presente en el aula puntualmente. Rubén Toyama. seguidamente se introducirá en la unidad de la teoría de hipótesis donde se desarrollarán los pasos para la verificación de las hipótesis estadísticas. Síntesis En el 4º encuentro se iniciará con la determinación de l tamaño de la muestra para la estimación de la media poblacional.2. puesto que. Distribuciones de las variaciones. Rubén Toyama U. de esta manera el participante podrá ir adquiriendo las competencias necesarias en lo referente al cálculo de los estadígrafos que en esta asignatura se desarrollan. 13 . además. Para proceder en el segundo periodo a la solución de ejemplos similares en grupos ó células. y se aclararán las dudas que surjan durante la solución de las tareas por parte de los estudiantes. con la guía permanente del docente. en cada una de los temas existen los ejemplos que en su integridad desarrollados paso a paso para su mayor comprensión.Ciencias Empresariales Estadística II “Estadística y Muestreo” de Ciro Martinez Bencardino para apoyar en la comprensión de los cálculos.1. Conclusiones Para concretar el aprendizaje de los temas el estudiante debe desarrollar en su domicilio los prácticos planteados en el texto guía. puesto que.-Ejemplificación El texto guía ofrece al lector suficiente ejemplificación. la redacción de los conceptos está en un lenguaje claro y de uso cotidiano para mayor comprensión pero sin perder el sentido técnico del mismo. Los prácticos se encuentran al final del Texto Guía.Preguntas y ejercicios para realizar en forma individual o colectiva – con respuestas.Métodos a utilizar En el primer periodo del encuentro físico el docente desarrollará los conceptos necesarios con la participación activa de los participantes. 2.3. puesto que. puesto que en dicho libro se muestran problemas reales y de mayor comprensión. 3 .. pudiendo hacer uso de los encuentros virtuales para la aclaración de las dudas en la resolución de los mismos.Material Explicativo El texto guía contiene suficiente material explicativo. Rubén Toyama U. los mismos se encuentran elaborados de acuerdo a la secuencia de avance de la asignatura. se sobreentiende que ellos han procedido a la lectura comprensiva de los conceptos. puesto que.5. 2. luego de los conceptos existen los ejercicios de aplicación en los que se detallan paso a paso la forma en que se debe proceder para la solución de los diferentes problemas planteados..4. 14 . En los encuentros virtuales se presentarán las tareas planteadas con anterioridad en las clases presenciales. luego se desarrollará un ejemplo práctico con la participación activa del docente y de los estudiantes.. 2. Elaborado por: Ing. 3. Glosario de términos técnicos El texto guía contiene la conceptuación de todos los términos propios de la estadística utilizados en el presente curso. Rubén Toyama U. 15 .Ciencias Empresariales Estadística II 4. Elaborado por: Ing. por lo que se recomienda la lectura comprensiva de cada uno de los títulos y subtítulos desarrollados en el mismo para interconectar la comprensión de los conceptos con la aplicación práctica en el desarrollo de los problemas de aplicación. Rubén Toyama U. 16 .Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. SPP. eventos mutuamente excluyentes. probabilidad. unión de probabilidades.Calcular adecuadamente la probabilidad de diferentes sucesos o eventos. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES OBJETIVOS 1. el espacio muestral será: S1 1. eventos dependientes. Para los ejemplos anteriores los eventos podrían ser: E 1 : Que al lanzar un dado el número obtenido sea par: E1 2.4.5. SSP.Conceptuar correctamente los siguientes términos: fenómeno aleatorio. complemento de probabilidad .Ciencias Empresariales Estadística II TEXTO GUÍA UNIDAD Nº 1. PSP. intersección de probabilidades. 2.. SS. 17 . espacio muestral. posibilidad. FENÓMENO ALEATORIO Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud.6 E 2 : Que al lanzar una moneda dos veces seguidas el resultado sea diferente: E 2 SP. PP Ejemplo 3 Al lanzar una moneda tres veces seguidas. Rubén Toyama U. 6 Ejemplo 2 Al lanzar una moneda dos veces seguidas. SPS.4. PS..2.. el espacio muestral será: S3 SSS. evento o suceso. 3. el espacio muestral será: S 2 SP. PSS. PPS. eventos independientes.Realizar operaciones con probabilidades. PPP EVENTO O SUCESO E Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que suceda. Ejemplo 1 Al lanzar un dado.3. porque presenta dos o más opciones. PS E 3 : Que al lanzar una moneda tres veces seguidas el resultado sea diferente a las otras dos: Elaborado por: Ing. ESPACIO MUESTRAL S Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio. Para los ejemplos anteriores tenemos: n S1 n S3 n E1 n E3 6 8 3 2 __ COMPLEMENTO DEL EVENTO ( E ) Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al evento. SPP. PSP.3. n E Es la cantidad de elementos que presenta el espacio muestral o el evento. PSS. P La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del espacio muestral. NÚMERO DE POSIBILIDADES n S . nE P( E ) nS PE nº de posibilida des ciertas nº de posibilida des totales Nota Los valores de la probabilidad se dan entre 0 y 1. PPS POSIBILIDAD Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio. Para los ejemplos anteriores: __ E 1 : 1. SPS. Generalmente se expresa en porcentaje al multiplicar el resultado por 100.5 __ E 2 : SS .Ciencias Empresariales Estadística II E 3 SSP. Elaborado por: Ing. PP __ E 3 : SSS. PPP PROBABILIDAD P E . 18 . Rubén Toyama U. 0. C: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 6. Hallar la probabilidad de cada evento P A P B PC P D 13 52 2 52 4 52 2 52 0. B: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 10 rojo. 0. D: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 7 rojo. 13 cartas de cada palo. P E2 La baraja Una baraja tiene 52 cartas.038.75. P E1 P E2 P E3 __ n E1 n S1 2 4 6 8 2 4 3 6 0. 4 cartas de cada número. Eventos A: Que la carta extraída al azar de la baraja sea diamante. 25% 3. 19 .5. 50% 75% 50 % 50 % 0. 0.7% 3. Rubén Toyama U. 0.25.8% Elaborado por: Ing.077.2 y 3. E: Que la carta extraída al azar de la baraja sea negra. 26 cartas de cada color.Ciencias Empresariales Estadística II Ejemplo Para los ejemplos anteriores determinar la probabilidad de los eventos 1.8% 7.038. 0.5.5. P.46.6% 0.33% 0.6% Elaborado por: Ing.466. 20 .923 .962 . 0. q El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra y se calcula con la expresión: __ __ __ q P E 1 P E Ejemplo En una sala de reuniones hay 8 abogados de los cuales 3 son mujeres además hay 7 arquitectos de los cuales 2 son hombres hallar la probabilidad de que la primera persona que salga aleatoriamente de la sala sea: a) Arquitecta b) Hombre c) De profesión arquitectura a) P A b) P B c) P C 5 15 7 15 7 15 0. 75 % 96 .3% P B __ P C COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD P E .5.33.Ciencias Empresariales Estadística II P E 26 52 39 52 50 52 48 52 0. 0. 50% Hallar __ P A __ 0. Rubén Toyama U.46.75.466.2% 92 . Gráfico Dado 1 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 10 9 8 7 6 5 4 11 10 9 8 7 6 5 12 11 10 9 8 7 6 Dado 2 Posibles Resultados Nº de Posibilidades Probabilidad 2 1 1 36 3 2 2 36 4 3 3 36 5 4 4 36 6 5 5 36 7 6 6 36 8 5 5 36 9 4 4 36 10 3 11 2 12 1 1 36 3 2 36 36 Hallar la probabilidad de que la suma sea: Elaborado por: Ing.667.Ciencias Empresariales Estadística II Hallar P A __ __ P A __ 1 P A P A __ 1 0. este gráfico debe mostrar los diferentes resultados al sumar los números de los dados.333 0. 21 . Rubén Toyama U.7% P A Ejemplo Graficar las diferentes posibilidades que presenta el fenómeno aleatorio de lanzar dos dados a la vez. Construir además un cuadro que muestre los posibles resultados de la suma y las probabilidades de cada uno de los posibles resultados.66. 66. E3: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol. E2: Que al lanzar un dado salga 3. 5B 3V Elaborado por: Ing.Ciencias Empresariales Estadística II a) P S b) P S c) P S d) P 5 e) P S 7 10 4 S 6 36 6 36 6 36 9 0.. Rubén Toyama U. Ejemplo E1: Que al lanzar una moneda salga sol. 22 .7% 0. 16. E1 y E2 son independientes. 50% nº impar EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro evento.167.7% 24 36 0. 16.5.167. EVENTO DEPENDENDIENTE Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un acontecimiento previo.667.167. 16. Ejemplo En un cesto hay 5 bolas blancas y 3 bolas verdes de las cuales se extraen una por una y sin reemplazo.7% 0. P E2 P E1 1 6 1 2 E2 y E3 son independientes.7% 18 36 0. E2: Que la segunda bola extraída sea verde.429 7 Un evento es dependiente cuando es consecutivo de otro y sin reemplazo. CALCULO DE LA PROBABILIDAD EN UN EVENTO DEPENDIENTE Para calcular la probabilidad de un evento dependiente se lo hace a través de la suma de las probabilidades de los diferentes caminos en que se cumple este evento.2678 0. P M2 P M1 * P M 2 5 4 9 5 * * 14 13 14 13 0.1099 0.357.107 0.Ciencias Empresariales Estadística II Sean los eventos: E1: Que la primera bola extraída sea verde. Para el ejemplo anterior calcular P E2 .2473 0. 35. Hallar la probabilidad de que la segunda persona sea médico.5% Ejemplo En un aula hay 3 arquitectos. El E2 es dependiente Si la 1ª es V: P E 2 Si la 1ª es B: P E 2 2 7 0. 37. Rubén Toyama U.7% P M1 *P M2 Elaborado por: Ing.286 3 0.375. 5 médicos y 6 abogados de la cual van a salir las personas una por una y sin reemplazo. 23 . P E2 P V2 P V1 * P V2 P B1 * P V2 3 2 5 3 * * 8 7 8 7 3 15 28 56 0. es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B y se calcula con la siguiente expresión. E2: Que la primera persona que salga sea hombre. F: Que Juan Pérez pase ayudantía todo el sábado en la UPDS. 24 .4 0. Elaborado por: Ing. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS P A B La probabilidad de la intersección. Ejemplo En un aula hay 7 mujeres y 9 hombres.4375 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de posibilidad que el otro evento ocurra. Sean los eventos: E1: Que la primera persona que salga sea mujer. P B A Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido. Rubén Toyama U. como en el caso anterior los eventos E 1 y E2. Ejemplo Sean los eventos D: Que Juan Pérez pase todo el sábado en Aqualand. Nota Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes la probabilidad de que la intersección es cero.467 P M2 P M2 P M1 * P M 2 7 6 9 7 * * 16 15 16 15 P M1 * P M2 0. de esta aula saldrán las personas una por una y sin reemplazo.Ciencias Empresariales Estadística II PROBABILIDAD CONDIONAL La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya ocurrido. E3: Que la segunda persona que salga sea mujer Hallar a) P E3 E 1 b) P E3 E 2 c) P E3 6 15 7 15 0. E4: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol E5: Que al lanzar dos dados la suma sea mayor a 9. c) P E2 E4 P E2 * P E4 9 1 * 16 2 9 32 0. 25 .12% PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS P A B La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro y se calcula con las expresiones.5% E2 0 porque son mutuamente excluyentes Sea: E4: Al lanzar una moneda salga sol. E2: Que la primera ave que salga sea tordo. Sean los eventos: E1: Que el primero que salga sea loro. Rubén Toyama U. E3: Que el segundo que salga sea loro. Elaborado por: Ing. 17. 28.175. P A PA B B P A PA PB P A B P B si son mutuamente Excluyentes Ejemplo En una jaula hay 10 loros y 12 tordos de la cual saldrán una por un y sin reemplazo aleatoriamente.Ciencias Empresariales Estadística II P A P A B B P A *P B P A *P B A Independientes Dependientes Mutuamente excluyentes P A B 0 Para el ejemplo anterior calcular la probabilidad: a) P E1 b) P E1 E3 P E1 * P E3 E1 7 6 * 16 15 0.2812. 7403 22 P E1 E3 P E1 P P 3 / E1 = 10 12 22 21 0.45 % 12 10 * 22 21 E2 E3 E4 E5 b) P E1 E2 0 Porque son mutuamente excluyentes c) __ __ P E1 E 3 1 P E1 E 3 = 1 0. Rubén Toyama U. 26 .7402 0.26 .4545 45.2597 P E3 P T2 P T1 P T2 P T1 P T2 Aquí P E1 E2 0 d) P E 2 E4 Elaborado por: Ing. 26 % P E1 E3 P E1 P E3 P E1 E3 = 10 0.Ciencias Empresariales Estadística II Hallar a) P E 2 b) P E1 c) P E1 d) P E 2 e) P E1 Solución a) P E3 P L1 * P L2 10 9 * 22 21 P L1 * P L2 0.5454 0.2597 0. 6590 22 52 P E2 * P E4 12 13 * 22 52 0.8333 0. provenga de la fuente Ai viene dado por la expresión: P Ai / D P Ai * P D / Ai P Ai * P D / Ai Donde: (D) son los de cierto tipo Elaborado por: Ing. Se conoce además la proporción de los elementos de cierta clase (D) en cada una de las fuentes Ai .91% __ P E5 1 P E5 1 0. Rubén Toyama U.8333 __ __ P E1 E 5 P E1 * P E 5 10 * 0.3787 22 0. Si aleatoriamente se encuentra un elemento (D).341.90. entonces la probabilidad de que éste elemento (D).1% P E2 P E4 P E2 E4 12 13 0.1667 0.6590 0.Ciencias Empresariales Estadística II __ P E2 E4 P E2 E4 1 P E2 E4 1 0. fuente (entiéndase como fuente el lugar de donde proviene) además se conoce la proporción de cada uno de las fuentes.1364 0.8333 0.9091.34.1364 P E2 E4 e) __ __ __ P E1 E 5 P E1 P E5 P E1 E 5 10 0. 27 .3787 22 TEOREMA DE BAYES Si se tiene dos o más fuentes Ai . En una investigación precia o una elección se determino que la proporción entre votantes de clase baja que votarían por un cierto candidato D es de 40%. 28 . El día de las elecciones se le pregunta a un votante elegido aleatoriamente por quien votaría y el respondió por el candidato D.15 0.40 PB * D B P A *P D A P A *P D A P M *P D M a) PD A 0.20 0.40 0.0923 9.Ciencias Empresariales Estadística II Ejemplo 1. el 45% son de clase media y el resto son de clase baja. Rubén Toyama U.20 0. b) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase media.40 * 0. c) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase baja.20 0.15 * 0. Datos P A PM PB PD A 0.45 0.45 * 0.23 % Elaborado por: Ing. Sabiendo que el 15% de los votantes son de clase alta. la proporción entre votantes de clase media que votarían por ese candidato D es de 30% y la proporción de votantes de clase alta que votarían por el candidato D es de 20%. Hallar: a) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase alta.30 0.30 0.15 * 0.40 PD A PD M PD B 0. 3%.23 % 2. Los respectivos cálculos de producción diaria son: M 1 3200 u.09 3 0.2909 * 0. 45% 5000 45.26% 0.2909 * 0. P M1 P M2 P M3 P D M1 3200 29.69% 5.30 0.01 0.013635 0. la correspondiente proporción de defectuosas para las otras máquinas son respectivamente: 2%.10% 2800 25.1226 12.09 0.4153 41.01 0.02 0.45 * 0. Rubén Toyama 29 . b) De la máquina 2. M 3 5000 u La experiencia nos muestra que el 1% de la producción de la máquina 1 son defectuosas.06187 0.325 0.909 3 P D M1 P D M2 P D M3 0. c) De la máquina 3.7545 * 0. 45% P D M1 P D M2 P D M3 0.2205 22.325 0.4923 49 . Una fábrica produce cierto tipo de productos con tres máquinas. Se define también 0!=1 Elaborado por: Ing.4 0.2545 * 0.53 % c) PDC 0.03 2. Si se extrae una unidad de la mezcla homogénea de productos y se descubre que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que dicha unidad provenga? a) De la máquina 1.06184 EL FACTORIAL X! El factorial de un número x se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta x.6569 3 65. M 2 2800 u.05% 0.03 2.909 3 5.013635 0.4 * 0.b) PD B 0.02 0.01 0. nCr Ejemplo Un campeonato de baloncesto cuenta con 9 equipos que en su fase clasificatoria tienen que jugar todos contra todos.Modelo poisson MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA Entre los principales modelos de distribución para variables continuas tenemos: . 30 .Normal . MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS Entre los principales modelos de distribución para variables discretas tenemos: .Modelo binomial . ¿Cuántos partidos se tiene que jugar? n 9 r 2 9 C2 36 36 * 2 72 Se tienen que jugar 72 partidos. Rubén Toyama U.t-student Elaborado por: Ing. MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio: Los modelos de distribución de probabilidad se clasifican en modelos para variables discretas y modelos para variable continua.Ciencias Empresariales Estadística II COMBINATORIA nCr Se define la combinatoria nCr con n y r n! r! n r ! N y n r como el número de formas en que n elementos se pueden agrupar en grupos de r sin importar el orden.Modelo hipergeométrico . en partidos de ida y de vuelta. 2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados. Rubén Toyama U. Donde: n: nº de pruebas. el éxito y el fracaso. decimos que se distribuye como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas.F-fisher MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Sea x una variable aleatoriamente discreta. Rango o recorrido: 0. ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro condiciones.1. a) Hallar la probabilidad de que en 10 visitas logre 4 ventas. 31 .Ciencias Empresariales Estadística II . p: probabilidad de éxito. Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones.…n Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Es la expresión que nos dará la probabilidad de tener x éxitos en n pruebas. 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante. Ejemplo 1 Se sabe que un determinado vendedor de libros en particular tiene la probabilidad de éxito de 20%. Elaborado por: Ing.2. Para el caso de la distribución binomial la función de probabilidad es: f x P X x nCx * p x q n x Donde: q 1 p Nota: La p y q se expresa en tanto por uno en las formulas. 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. b) Hallar la probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas. 3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo). 8 P X 3 P X P X P X P X P X 3 0 1 2 3 ? P X 0 P X 0 1 1 11 10 9 P X 2 P X 3 11C 0 * 0. 32 .8 I La probabilidad de que el vendedor en 10 visitas logre 4 ventas es aproximadamente 8.2362 0.2 * 0.0858 0.2 q 1 0.81% 4 10 4 0. d) Hallar la probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas.2 * 0.8 0.2 * 0.2953 0.0881 8.2 * 0.8 11C1* 0. c) Datos n 9 p 0. Solución a) Datos n 10 x 4 p 0.81%. Rubén Toyama U.2 q 0.2 P X 4 10C 4 * 0.8 3 8 I La probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas es aproximadamente 83.8387 11C 2 * 0.8 11C 3 * 0.2214 0.2 q 0.Ciencias Empresariales Estadística II c) Hallar la probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas. b) Datos n 11 p 0.2 * 0.8 2 0.9%.8 P3 X 5 ? Elaborado por: Ing. 2 * 0.066 0.8 13C1 * 0.25 0.0549 0. Solución a) Datos n 10 p 0.2680 0.176 0.75 q 1 0.8 9C 5 * 0.8 P X 3 P X P X P X P X 3 0 1 2 ? 1 P X 0 0 P X 13 12 1 P X 2 1 0.2 * 0.25 Elaborado por: Ing.852 4 I La probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas es aproximadamente d) Datos n 13 p 0.8 11 I La probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas es aproximadamente 51% Ejemplo 1 Se conoce que el 25% de los estudiantes de un curso han reprobado la materia: a) Si se le pregunta aleatoriamente a 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo. Rubén Toyama U.2 q 0.2 * 0. cual es la probabilidad de que dos o más hayan reprobado la materia.2 * 0.51% 13C 0 * 0. b) Si se le pregunta aleatoriamente a 12 estudiantes uno por uno y con reemplazo.016 0.4983 13C 2 * 0.2 * 0.8 9C 4 * 0.1786 0.8 2 1 0.4983 0. 33 . cual es la probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia.Ciencias Empresariales Estadística II P X P X P X 3 4 5 9C 3 * 0.2 * 0.51.8 5 4 3 6 5 0. 25 12C1 * 0.25 0 I La probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia es del 100%. Elaborado por: Ing.75 * 0.Ciencias Empresariales Estadística II PX PX 2 2 ? 1 PX 1 PX PX 2 2 1 PX 0 PX 1 1 0.244 I La probabilidad de que 2 o menos hayan reprobado la materia es aproximadamente el 75.1877 10 C1* 0. b) Datos n 12 p 0.756 . 75. 34 .100% 12C 0 * 0. 3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito variable (sin reemplazo).25 1 11 0 0 2 02 P X 2 12C 2 * 0. 2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso.244 0.75 1 0.75 aprobado q 0.25 * 0.25 reprobado P X 3 ? P X P X P X 3 0 1 1 P X 0 0 P X 1 12 P X 0 2 1 0 1.75 * 0.25 * 0.6% 0 10 0 PX PX 0 1 10 C 0 * 0. MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes condiciones: 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces.75 * 0.75 10 1 = 0.0563 0. Rubén Toyama U.6%. como una hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes. Rubén Toyama U.1 n si m n n Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer N. f x PX x m Cx * N N m Cn x Cn Donde: N: población n: muestra m: los de cierta clase N-m: los de otra clase Ejemplo De 24 estudiantes que rindieron el 1er.Ciencias Empresariales Estadística II 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable. si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes 1 por 1 y sin reemplazo cual es la probabilidad de que: a) Exactamente cuatro hayan reprobado el examen. se dice que se distribuye. m. n. Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones. 35 .1 m si m 0. con probabilidad de éxito variable. c) Menos de tres hayan aprobado el examen. b) Por lo menos 5 hayan reprobado el examen. Parcial 10 reprobaron el examen. además existe N-m=objetos de otra clase. Rango o recorrido 0. si del total de objetos N se selecciona al azar una muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n. Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados. Solución a) Elaborado por: Ing. 2. b) Datos N 24 n 6 m 10 N m 14 P X 5 ? P X P X 5 5 P X 5 N 10 P X Cn 5 24 10 6 C 6 *14 C 6 C 5 *14 C 6 6 C6 0.78%.2%. 4 sean reprobados es 14.Ciencias Empresariales Estadística II Datos N 24 n 6 m 10 reprobados N m 14 aprobados P X 4 ? PX 4 10 C4 *14 C 6 24 4 C6 0.0278. Rubén Toyama U.78% I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes por los menos 5 hayan reprobado es 2.2% I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes. 36 . 14.142. c) Datos N 24 n 6 m 14 aprobados N m 10 reprobados P X 3 ? PX 3 PX 0 PX 1 PX 2 Elaborado por: Ing. .2. 37 .3. Función de probabilidad f x P X x e * x! x Ejemplo Sea observado que en una estación de servicio en promedio ingresaran 3 vehículos cada 30 minutos. superficie o volumen. Cual es la probabilidad de que: a) En 30 minutos ingresen exactamente 5 vehículos. superficie dada o volumen dado.Ciencias Empresariales Estadística II P X 3 14 C 0 *10 C 6 14 C1 *10 C 5 24 C 6 14 C 2 *10 C 4 0. 10 % P X La probabilidad de que en 30 minutos ingresen 5 vehículos es 10%. en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo. Rubén Toyama U. entonces la variable poisson se define como: x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado. b) P X 1 P X 0 P X 1 Elaborado por: Ing. 17 % MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o fracaso. Rango ó recorrido: 0. superficie dada o volumen dado. por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado. Solución a) x 3vehi / 30 min 5 e 3 * 35 5! 0.10.17.1.. b) En 20 minutos como máximo ingrese 1 vehículo. Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio . La normal general tiene como parámetros la media y la varianza y se la conoce con el nombre de distribución simétrica.135 0. campana de Gauss-Jordan ó curva normal..La curva normal tiene dos puntos de inflexión (puntos donde cambia la concavidad) en: y x x Elaborado por: Ing.. es decir ésta distribuida en el intervalo .La curva normal tiene un punto máximo para el valor x . Rubén Toyama U.El área bajo la curva representa la probabilidad. 4.6% DISTRIBUCIÓN NORMAL MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL Sea x una variable aleatoria continua ésta se distribuirá normalmente si su recorrido es toda recta real.. 2.La curva normal es simétrica con respecto al valor de la media. Función de probabilidad P(x).Ciencias Empresariales Estadística II 3vehi x x x P X P X 1 1 30 min 20 min 2vehi / 20 min 2 e 2 * 2 0 e 2 * 21 0! 1! 0.40 . p=1 m 3. Para la distribución normal general la función de normal general viene dada por: f x 1 2 e 1 x 2 2 PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL 1.. 38 .406 .271 0. . Para realizar el cálculo de probabilidades.La curva normal es asintótica en sus extremos. 39 . desde el centro hacia la derecha los valores de z son positivos y hacia la izquierda son negativos. cosa que es muy difícil y en su lugar integramos las tablas estadísticas. es decir el área bajo la curva se debe integrar la función de probabilidad. MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de variable a la función inicial. RELACIÓN ENTRE DESVIACIÓN STANDARD POBLACIONAL Y LA CURVA NORMAL Elaborado por: Ing.Ciencias Empresariales Estadística II Asíntota es una línea cualquiera recta que se acerca a la función sin tocarla. Rubén Toyama U. para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional resultado entre la desviación standard poblacional z x y dividir este La función de probabilidad quedaría: f x 1 e 2 1 2 z 2 Gráfico simétrico Ambos lados son iguales porque el gráfico es simétrico z( ) z 0 z( ) x z CARACTERÍSTICAS DE LA NORMAL STANDARD Los valores de z siguen las siguientes condiciones: En el centro z 0 (cero). 5. Ciencias Empresariales Estadística II El valor de la desviación standard poblacional influye sobre la probabilidad que es el área bajo la curva de la siguiente manera: El área bajo la curva normal entre los puntos de la variable 68% y es igual a 68%. 3 3 z x f x 1 e 2 1 2 z 2 El uso de la tabla estadística para la distribución normal standard (apéndice II). 40 .7%. cuando los signos de z son iguales se restan Cuando z es mayor a 3.12 Elaborado por: Ing. El área bajo la curva entre los puntos de la variable 95% 2 y 2 es 95%. 2 2 El área bajo la curva entre las áreas de la variable 99. EJEMPLOS Dado el valor z hallar P 1.. Rubén Toyama U.5 . Nota Cuando los dos signos son diferentes se suman.9 se asume que p 0.7% 3 y 3 es 99.Hallar P entre z 0 y z 1. 11 P 1 P2 0.4821 0.8106 Elaborado por: Ing.28 y z 0 1.12 Con z 1..28 P 0.3708 0.3708 7..3599 0. 41 .12 P 0.3790 2.4826 P* 0.5 0.3997 3..1 y z 1.3686 2.Hallar P entre z -1.4834 0..1916 0. Rubén Toyama U.8420 2.81 2.Ciencias Empresariales Estadística II z 0 tabla 1.13 P 1 0..81 y z 2 z z1 tabla tabla z2 Con z1 Con z2 P* 0.3106 P* 0.2910 5.15 P* 1..Hallar P entre z1 0.1 tabla tabla P 1 P2 P* 0.1292 0.Hallar P entre z 2.88 P2 0.1 Con z2 1.Hallar P a la izquierda de z Con z 1.1044 6.17 0.13 y z P* 1.08 Con z1 2.Hallar P entre z P* 0.28 z 0 tabla Con z 1.Hallar P a la derecha de z1 P 1 0.5 P P2 1 0.08 4.2910 0.4826 0. 4875 2.4871 0.Hallar z si el área a su derecha es 0.4874 .Hallar z si el área a su derecha es 0.1587 Dado el valor P (área) determinar el valor de z 1.4874 0.43 1.3413 P* 0..3531 z 1.8461 0.23 0.5 0.3531 Sea P 0.Hallar P a la derecha de z 1 P1 P* 0.8472 z1 z2 1.0075 Hallar z para P 0.43 INTERPOLAR Es realizar una operación para encontrar un valor que no aparece en la tabla.0075 2.0582 P 0.0004 0.24 2.Hallar z a c 0.3 Elaborado por: Ing.5 0.02 4.4874 0.Hallar P1 P2 P* z si el área entre 2 valores de z es P* 0.23 z 2.4236 0..23 d 2.0003 a 0. Rubén Toyama U. 42 ..3461 z 1.Ciencias Empresariales Estadística II 8.4871 0.4236 0.4871 0.0075 2..4875 0.5 0.0004 0.24 d b a b c d z z z 0.01 a ________ b c ________ d d d c * b 0.Hallar el valor de z si P 0.0582 0.0003 2.24 0.01 * 0.4418 Z 1.2475 0..3413 0. Ejemplos Si P 0.8461 0.8472 2 0.57 3.05 2. 4332 650 1.4332 0.0014815 z 0.. Rubén Toyama U.0014815 1.0004 0. Datos 600 $us 10000$us Elaborado por: Ing. Hallar la probabilidad de que la demanda mensual sea superior a 500 Kg.Suponga que el ingreso mensual por familia en una comunidad tiene una distribución normal con una media de 600 $ y una varianza de 10000 $..0004 d 0.84 0.Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 Kg.3023 z 2.Ciencias Empresariales Estadística II a c 0. a) Calcular la probabilidad de que al interrogar sobre el ingreso mensual a una familia elegida aleatoriamente esta responda que es menor a 450 $us. y una desviación standard de 100 Kg. Px 500 ? z 500 650 100 1.3 0.8414815 Ejemplos a ________ b c ________ d d 0. 100 Kg.01 c 0.50 P* z 500 1.5 0.0027 b 0.23 z z 0.2996 0.85 d b a 0.0027 0.0014815 z 0.5 tabla P1 0.7% 2.5 0 x z P* P* 0.0668 6. 43 . Datos 650 Kg.01* 0. 50 P* 450 1.94 % 1 0.Ciencias Empresariales Estadística II Px 450 z 450 600 10000 150 100 1. Datos 600 $us 100 $us P 500 x 680 ? z1 z2 500 600 100 680 600 100 62 .6294 500 1. y una varianza de 52 kg2.6294 P* P* 0.Los pesos de los conscriptos en un cuartel se distribuyen normalmente con una media de 69 Kg.8 0.0668 6.94%.00 600 680 0 0. 3.80 x z I La proporción de familias con ingreso mensual entre 500 y 680 $us es 62.4332 0.7% b) Determinar la proporción de familias cuyo ingreso mensual este entre 500 $us y 680 $us.2881 0.5 0.4332 0. A partir de esta información determinar: Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U..3413 0.5 0 600 x z z P* 1. 44 .5 P1 0. 55 0 x z I La proporción de los conscriptos que pesan más de 52 Kg.5547 P 0.6911 Elaborado por: Ing.2088 52 69 P* 0.83 z1 z2 1. Px 65 ? Px 65 65 69 7. 52 Kg2.7088. b) Si se escoge aleatoriamente a un conscripto cual es la probabilidad de que su peso este comprendido entre 60y 75 Kg. x 75 Kg.88%. P 60 Kg.Ciencias Empresariales Estadística II a) Cual es la proporción de conscriptos que pesan 65 ó más Kg. 45 . 52 Kg2. ? Px Px 60 75 60 69 7.211 75 69 7. es de 70.5547 z 0.2967 0.211 1.3944 0.70.25 0.88% 0.5 0. b) Datos 69 Kg. d) Entre que pesos se encuentra el 68% del total de pesos. los pesos centrales Solución a) Datos 69 Kg.2088 P* 0.83 P1 P2 P * 0. c) Que peso deja por encima de 100 al 60% del total de los pesos.211 0. Rubén Toyama U.25 0. 25 69 75 0 0. Elaborado por: Ing.Ciencias Empresariales Estadística II 60 1.11%.83 x z I La probabilidad de que pesen 60 y 75 Kg. es de 69. 46 . Rubén Toyama U. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El teorema constituye la base de toda la teoría del muestreo.Ciencias Empresariales Estadística II UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES INTRODUCCIÓN Las distribuciones muestrales son distribuciones de probabilidades de los indicadores estadísticos muestrales. De las distribuciones muestrales lo que nos interesa conocer es su media y su varianza es decir como se distribuye cada estimador estadístico. es decir de los estimadores para muestras del tamaño n seleccionados de una población determinada N . DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Si la distribución es normal y el tamaño de la muestra es grande n 30 entonces la media muestral se distribuye como una normal stándard y en este caso el valor de z se calcula con la expresión: Z x x Donde: : Error típico de la media x Elaborado por: Ing. cual es su forma para luego realizar inferencia respecto a los parámetros poblacionales. 47 . es decir que en base a indicadores estadísticos muestrales podamos averiguar el comportamiento de los parámetros de la población. Ejemplo Si deseamos estimar y tenemos de una muestra el valor x . _ _ Si n es grande entonces x se acerca al valor de . Rubén Toyama U. 05 Entonces: _ z n x N n N 1 Ejemplo Se conoce que los pesos en Kg. 48 . de los estudiantes de una determinada universidad se distribuye normalmente con una media de 72 Kg.Ciencias Empresariales Estadística II x n Reemplazando _ z x n z 0 x z Si el tamaño de la población “N” es finito (se conoce población) y además se cumple que: n N 0. ¿cual es la probabilidad de que esta media sea inferior a 75 Kg. Rubén Toyama U.? Datos 72 Kg 58 Kg 2 n 35 _ P x 75 ? Elaborado por: Ing. a) Si se selecciona una muestra aleatoria de 35 estudiantes. Y con una varianza de 58 Kg 2. Rubén Toyama U.99. 4999 Elaborado por: Ing. Datos P(70 x 77) ? 70 72 77 z1 _ z 0 z2 x z z1 x n 70 72 58 35 1.93% 0.33 p1 0.55 p1 0.5 p1 p* 0. 4901 p* 0.9393.Ciencias Empresariales Estadística II _ z x n 75 72 58 35 2. 49 .88 tabla p2 58 35 p* 0.33 p* 72 75 z 0 x z z 2.93.9901. 09% b) Hallar la probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 Kg. 4394 z2 77 72 3. c) Cual es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 68 y 70 Kg.5 z 0 La probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts.5 53 54.5 P(9 z1 x x 53) ? 49 54. 4991 0.5 1 5.99 1. Rubén Toyama U.93%. 50 . 27 5. 4394 0.5 5.97%.1064 0.5 p1 p2 0. a) Halla la probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts.5 pts.49% b) Datos Elaborado por: Ing.55 p1 p2 0.5 0.3413 0. Ejemplo 2 1200 postulantes darán examen de ingreso para una facultad de la U pública. b) Si se toma una muestra aleatoria de 80 calificaciones cual es la probabilidad de que la media se la muestra sea mayor a 56 pts.5 pts.Ciencias Empresariales Estadística II La probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 es de 93. 2349 x z z2 49 53 54. 0597 La probabilidad de que la media muestral este entre 68 y 70 es 5. estas notas se distribuyen normalmente con una media de 54. 68 70 72 z 0 x z z1 z2 68 72 58 70 72 58 35 35 3. Y una desviación estándar de 5. Solución a) Datos 54. es de 23. 0.966 5.5 1. 4941 0. 51 .52 p 0. Si en una población que se distribuye como una normal se extrae una muestra de tamaño n y en ella se identifican un cierto número de elementos que tiene una característica específica y a partir de ella se estima la proporción poblacional. 61 0.5 z 0. 0059.5 0.5 56 z 0 x z DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES PROPORCIÓN POBLACIONAL Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división) entre el número de unidades que cumple una cierta característica Ai y el tamaño de la población N. 4941 54. 05 N n * N 1 n 56 54. Ai N Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el P cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra a i y el tamaño de la muestra n ai n Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por p 100.5 1200 80 * 1200 1 80 p* 0. Rubén Toyama U. entonces para realizar el calculo de probabilidad con respecto a una proporción muestral se utiliza como estadístico la normal stándard.Ciencias Empresariales Estadística II P ( x 56) ? n 80 z 0.59% x si n N 2. Elaborado por: Ing. 05 entonces la formula anterior Ejemplo De una población 1200 estudiantes de cierta carrera de la U pública. se han seleccionado una muestra aleatoria de 200 estudiantes y en ellos se investiga los que están de acuerdo con las propuestas de un candidato a Rector para las elecciones. Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. A partir de investigaciones previas se conoce que la proporción de los que están de acuerdo con la propuesta de dicho candidato es 15%. a) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior al 18%.Ciencias Empresariales Estadística II El estadístico "z" para la distribución muestral de proporción se calcula con la expresión: p p z P donde: p P*Q n Donde: p proporción muestral P proporción poblacional Q complemento de la proporción poblacional Reemplazando z p P P *Q n Si el tamaño de la población “ N ” es finito y el cociente debe ser dividida entre el factor de finitud: Y la expresión de z se convierte en: z p P P*Q N n * n N 1 N n N 1 n N 0. 52 . 15 0.15 Q 1 P 1 0.15 0.Ciencias Empresariales Estadística II Datos P p 0.71.4032 0.15 0.9032 . 711.85 N 1200 z p P P*Q N n * n N 1 0.15 * 0.3078 c) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este comprendida entre 18% y 22%. 53 .85 1200 200 * 200 1200 1 1.85 1200 200 * 200 1200 1 p2 0.85 0.3 % b) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este entre 12% y el 17%.15 0.12 p 17 0.17 z 0 x z z z p1 0. P 0.15 0. Elaborado por: Ing.17 0.30 por tabla p1 Como p * p* 0.18 ? n 200 P 0.15 0.85 1200 200 * 200 1200 1 0.1% 1. Rubén Toyama U.87 p2 0. 4032 0.12 0.15 0.5 0.4032 0.30 p1 0.12 0. 90.30 z En la tabla encontramos que para z 1. 22 0.0956 . 25 P* 0. 0014 d b*c a 0.03 p2 0.15 3.18 0.85 1200 200 * 200 1200 1 0.85 1200 200 * 200 1200 1 p2 p1 0.15 * 0. 25 0. 22 0.4988 0. 54 . 25 p2 0.30 p1 0.15 z1 z2 x z a 0.4032 0.4032 0.56 % d) Entre que valores de proporción se encuentran el 50% de las proporciones muestrales más cercanas a la proporción poblacional.18 p 0.15 * 0. 0032 b 0.15 1.0043 Elaborado por: Ing.4988 0. 9.18 0.0032 0. Rubén Toyama U.01 * 0. P pn p p2 0.5 p1 0. 01 c 0. 22 z 0 x z z z p* 0.0014 0.Ciencias Empresariales Estadística II P 0.15 0. 0155 0. El 50% de las proporciones muestrales.4% De la misma manera se calcula el valor de p2 con la diferencia de que al estar z 2 a la derecha este valor es positivo z 0.0155 0. 6744 p P P*Q N n * n N 1 P Despejando p del expresión: z Tenemos p z P*Q N n * n N 1 Calculando p1 y p2: p1 0.15 p1 0. 55 .15 p1 0.134 .165 .6744 0. 16 . 67 0. 13.Ciencias Empresariales Estadística II z z1 z2 0.15 * 0.5% Rta. Rubén Toyama U. las más cercanas a la proporción poblacional se encuentran entre 13.4% y 16.15 p2 0.15 p2 0. Elaborado por: Ing.5%. 6744 0.85 1200 200 * 200 1200 1 0.6744 y así p2 será: p2 0.85 1200 200 * 200 1200 1 0. 0043 0.15 * 0.6744 0. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 56 . Elaborado por: Ing.. 97. 99%. Los grados de libertad en una estimación se definen como la diferencia entre el tamaño de la muestra y la cantidad de parámetros que se está estimando k entonces generalmente k 1 por lo tanto n k n 1 . En la parte izquierda de la tabla aparecen los grados de libertad n 1 Para valores menores a 50% se trabaja por el complemento para entrar a la tabla. Para esto es importante en ciertos casos la utilización de la distribución t-student. la proporción y la diferencia de medias. el valor del estadístico “t” en el centro del gráfico es igual a 0..Ciencias Empresariales Estadística II UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES INTRODUCCIÓN En esta unidad analizaremos de qué manera se puede estimar el valor de un parámetro poblacional a partir de datos muestrales. P 1 t t 0 t t CARACTERÍSTICAS DE LA TABLA T-STUDENT La tabla t-student (apéndice III). El área bajo la curva representa a la proporción ó probabilidad por lo tanto el área bajo la curva de la distribución t-student es igual a 1. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para muestras pequeñas es decir n 30 . en la parte superior se encuentran las probabilidades o proporciones para ciertos valores los cuales son 99.5%.5%. los valores de “t” en el lado derecho son de signo positivo (+) y los valores de “t” en la izquierda son de signo negativo (-). nos muestra los valores de la variable t en el cuerpo de la tabla (adentro). los parámetros que analizaremos en la presente unidad serán la media. 57 . la gráfica de la distribución t-student tiene una forma similar a la gráfica de la distribución normal Standard. Rubén Toyama U. 537 t Ejemplo 5 Hallar “t” si: P t t t 0.9 USO DE LA TABLA Ejemplo 1 Hallar t0.10 t 0 .95 y n 7 Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.75 para Pt 2 t 2.3 y n 15 t 15 1 14 t0. 687 El ejemplo anterior se expresa t 0.75 con 20 t Ejemplo 3 Hallar “t” si: P t t t0.7 0. 58 .9 t0.687 0.33 t t 0 Ejemplo 4 Hallar “t” si: Pt 0.Ciencias Empresariales Estadística II 0.9 n 1 19 1 18 1.7 t0.1 t0.537 t 0 t 0.95 para Ejemplo 2 Hallar t 0. 75 t 0 t 0.1 0.1 y n 19 0.3 t0.92 20 t 0.1 t 0 . 975 0. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1 .Ciencias Empresariales Estadística II 6 t0. que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo. 59 . 45 0. Elaborado por: Ing. también llamado nivel de certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del parámetro poblacional. 1 x1 z z 0 x2 z x z NIVEL DE SIGNIFICANCIA Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo. en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se realiza la estimación. es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional.975 2.95 0. 025 t1 t0 t2 t ESTIMACIÓN Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir de el valor de un estadígrafo muestral ESTIMACIÓN PUNTUAL Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del parámetro poblacional. NIVEL DE CONFIANZA 1 Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma. Rubén Toyama U. se realiza mediante la expresión: P x t 2 S n x t 2 S n 1 Ejemplo 1 Las calificaciones de los estudiantes de un curso se distribuyen normalmente con una varianza de 149 pts2. 05 / 2 2 Para hallar el intervalo de confianza se debe llevar a un extremo y al otro extremo del valor de la media poblacional al valor de la media muestral x sumando y restando el estadístico z 2 _ multiplicado por el error estándar de la media muestral x n Reemplazando P x z 2 n x z 2 n 1 Si el tamaño de la muestra es pequeño n 30 y la población es normalmente distribuida se utiliza el estadístico t 2 y la construcción del intervalo de confianza para el verdadero valor de la media poblacional. Si se selecciona una muestra aleatoria de 40 estudiantes y en ella se calcula la Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.9 1 0.9 0. 60 .1 0.Ciencias Empresariales Estadística II INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Si de una población que se distribuye normalmente se selecciona una muestra aleatoria grande mayor a 30 n 30 y se tiene una varianza poblacional conocida entonces el intervalo de confianza se construye a partir del estadístico normal estándar 1 z z 0 x z z 2 cola 1 cola 1 2cola 1 1 cola 2 1 2 0. 05 Con P 1 2 0. 4495 1.645 Reemplazando en P x z 2 n x z 2 n 1 Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 4500 0.05 tenemos que según la tabla de z 0. 4500 Interpolando 0.1 2 0.Ciencias Empresariales Estadística II media de 65 pts. 645 1. 64 0. 65 1. Construya un intervalo de confianza al 90% para el verdadero valor de la nota promedio poblacional. 4505 z 2 z 1. Datos 2 149 pts 2 entonces 149 pts n 40 x 65 pts 1 0.9 1 1 0.1 dividiendo ambos miembros entre 2 tenemos: 2 2 0.9 0. 61 .9 1 z z 0 x z z 2 0. 96 149 40 68.17 pts. 05 2 Con P 1 0.475 1.9 0. 62 . Rubén Toyama U.82 65 3.95 0.82 pts.95 0. Calcular el intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% 1 0. 025 Con P 1 0.9 65 3. Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que el verdadero valor del promedio de notas esta entre 61.025 P 1 0. 78 I. 78 P 61.22 pts.9 0.9 0.17 P 61.45 0.96 149 40 P 65 3.9 P 65 3. 78 0.95 1 0.17 Con un nivel de confianza del 90% se puede afinar que el verdadero valor del promedio de notas está entre 61.475 en la tabla encontramos que: z 0. Ejemplo 2 Elaborado por: Ing. 645 149 40 68. 2 65 1.9 0.17 0.78 pts. 645 149 40 65 1. Y 68. 025 x z z 0 Reemplazando P 65 1.Ciencias Empresariales Estadística II P 65 1.96 2 0. Y 68. 027 P 60.95 0.91 2. 69. El tamaño mínimo de la muestra para estimar una media se realiza o calcula en 2 pasos: 1º Paso 2 z nº 2 * e2 2 2º Paso Elaborado por: Ing. 64. 027 62.95 0. 23 3. 62. 62. estos pesos son los siguientes: 58. Se puede afirmar que el verdadero valor del promedio poblacional se encuentra entre 60. 23 11 11 P 62.94 Kg. Rubén Toyama U.95 0. 61.91 2. 66. Construya un intervalo de confianza a un nivel de confianza del 95 % Datos n 11 1 0. 025 0. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA Tamaño de la muestra para la estimación de una media poblacional. 60.95 0. 025 x z z 0 1 0.95 0.95 0.91 2.975 P 62. 62. 025 2 0.88 y 64. 63 . 65 Kg.95 Con un nivel de confianza del 95%.Ciencias Empresariales Estadística II Se han tomado los pesos de 11 estudiantes de un curso muy numeroso el cual se construye de una muestra aleatoria.91 2.94 0. 05 2 0. 015 3. 63.88 64. 015 62. Si no se puede determinar p. Ejemplo1 Un sindicato tiene 1000 afiliados los cuales deben renovar su directorio se desea determinar el tamaño de la muestra para estimar la proporción que apoyará al candidato A. Rubén Toyama U. 1º Paso 2 z nº 2 * p*q e2 2º Paso n nº nº 1 N 2 Nota: Si no es conocido se hace una prueba piloto y se reemplaza E2con S2. suponer que se va a cometer un error del 5%. 64 .Ciencias Empresariales Estadística II n nº nº 1 N Donde: nº: (casi muestra) e : error que podemos cometer (absoluto) Si e está en % entonces e _ x e% Si no tenemos N o es muy grande no se puede calcular el paso 2.5 . esta estimación se desea determinar con una confianza del 90%. Para esto se realiza una prueba piloto con 20 afiliados elegidos aleatoriamente y se encuentra en esta muestra que 8 apoyaran al candidato A. Datos 0. Tamaño de la muestra para estimar una proporción poblacional. al reemplazar en la fórmula se expresa en tanto por uno.5. El error en la formula para estimar proporciones siempre esta en unidades relativas. q se asume p produce un mayor producto p * q . q 0. porque esta combinación nos Elaborado por: Ing. 9 1 0. Mediante una prueba piloto se determino que el promedio de edad era de 21 años.1 0. 2 Ejemplo2 Se desea saber el tamaño de la muestra para estimar la edad promedio en una Universidad Privada que tiene 7000 alumnos. 65 . 05 2 0. 645 *0. 4495 0. 65 ^ ^ z x nº nº nº z / 2 * p* q E2 2 1. entonces: p 8 20 p 0. 05 2 z 0. 4505 2 1. 78 259.4 y q 0. Asumir que el error que se puede cometer es de 5% y la estimación deseamos hacerla a un nivel de confianza del 95%. 05 259. 78 1 1000 2 259. 645 1.1 0. 6 0.Ciencias Empresariales Estadística II N 1 n 1000 0. 4500 0. 4*0.9 2 0. si se sabe que la desviación standard es de 3 años.9 ? Prueba piloto De 20 personas entrevistadas 8 apoyarán al candidato A.05 1 0.6 e 5% 0. Rubén Toyama U. 64 z 1. 78 207 lo redondeo a un número mayor 206. Elaborado por: Ing.9 0. 025 E% * x 0. 05 1 0.36 31.36 31. 05 31. 05 2 _ 0.95 0. 475 z 2 z 1. 05* 21 1.96 * 3 1. 66 .95 0.3 0.96 x nº nº 1. 22 32 lo redondeo a un número mayor MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población al realizar un muestreo se debe aplicar diseños muestrales entre los que tenemos: Aleatorio Sistemático Estratificado Conglomerado MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma Elaborado por: Ing.36 1 7000 2 2 2 31. Rubén Toyama U.Ciencias Empresariales Estadística II Solución n ? N 7000 E 1 2 3 9 años 2 5% 0. 25 0. 05 2 E E 0.025 0. 025 2 z p1 0. Rubén Toyama U. económicos. Generalmente se aplica en un muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas). etc. MUESTREO SISTEMÁTICO Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. sucursales bancarias departamentales en el país. segmentos académicos. 67 .Ciencias Empresariales Estadística II probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra. MUESTREO ESTRATIFICADO Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones agrupadas por segmentos sociales. MUESTREO CONGLOMERADO Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en sindicatos. Elaborado por: Ing. segmentos políticos. facultades dentro de una Universidad. HIPOTESIS ALTERNA H1 Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula.Ciencias Empresariales Estadística II UNIDAD Nº 4 VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES INTRODUCCIÓN La verificación de hipótesis es un procedimiento mediante el cual se puede tomar decisiones acerca de la población este procedimiento también se llama prueba de hipótesis o décima de hipótesis. Existen 2 clases de hipótesis estadísticas HIPOTESIS NULA H0 Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro. H0 H1 TABLA 2 Colas 1cola 1cola Elaborado por: Ing.etc. que se va a constatar con el resultado muestral. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó rechazada. Rubén Toyama U. es decir: ofrece una alternativa. Las regiones se determinan mediante el estadístico adecuado. La verificación de hipótesis permite determinar cual es la región crítica de rechazo (Re) y cual es la región de aceptación (Ra). 68 . proporción y varianza. Si el estadístico calculado ó obtenidos mediante formulas cae en la zona de rechazo entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna por el contrario si cae en la región de aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alterna. afirmando que la hipótesis nula es falsa. Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética. Rubén Toyama U.Ciencias Empresariales Estadística II ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER Al momento de tomar una decisión sobre las hipótesis planteadas hay la posibilidad de cometer dos tipos de errores. 69 . (Tabla). Gráficamente tenemos: VERDADERA ACEPTAR RECHAZAR Decisión Correcta Error Tipo I FALSA Error Tipo II Decisión Incorrecta PASOS PARA EL PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS 1) Planteamiento de Hipótesis 2) Especificar el nivel de confianza 3) Recolección de datos 4) Selección del estadístico pertinente z ó t 5) Determinación de la zona de aceptación y rechazo (Ra) y (Rr). 7) Toma de decisión FORMULAS PARA ESTADÍSTICOS Muestra Grande _ Muestra Pequeña _ P/u Zc x n tc x S n Elaborado por: Ing. 6) Determinación o calculo de Zi ó ti (Formula). ERROR TIPO I Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera ERROR TIPO II Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. Solución 1) H0 : p 0. Rubén Toyama U.5 2) 1 3) 0.05 0.95 0. 75 5) RA Z p 0. Se desea verificar esta situación y para esto se tomo una muestra aleatoria de 36 productos y se detectó que 27 estaban con calidad superior. 45 Z 05 0. 64 1. 05 n 36 ^ productos 27 36 ^ 27 calidad p 4) Zc p p p*q n 0.Ciencias Empresariales Estadística II ^ P/p Zc p p p*q n Ejemplo 1 Según la información histórica de una fábrica se sabe que ésta produce el 50% de los productos en calidad superior. R R 1.5 H 0 : p 0.645 x 6) Elaborado por: Ing.5 0. 70 . Verificar a un nivel de confianza de 95% si la proporción de los productos de calidad superior actual es mayor a la proporción histórica. 5 36 3 7) Se rechaza la H0 de que p 5 y se acepta la H1 de que p 5 A un nivel de confianza del 95% se verifica que la proporción de productos de calidad superior es mayor a la histórica.5 oz para ello toma una muestra de 60 botellas encontrando que el contenido medio es 31.6 oz. Solución 1) H0 : 32.9 oz. 5 RA RR Z 1. 05 3) n 60 _ x 31.Ciencias Empresariales Estadística II Zc 0. 71 . 75 0.5*0. 6 4) _ Zc x n 5) 0 0.5 H 0 : 32. Ejemplo 2 Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora por un deficiente llenado que debe ser un promedio 32. Rubén Toyama U. 64 p1 0.5 2) 0. A un nivel de significancia de 5% puede el inspector concluir que están llenando por debajo de su especificación de contenido.5 0.9 oz 3. 45 Zt 1. se sabe que la máquina embotelladora debe producir un llenado con una desviación standard de 3. 645 x Elaborado por: Ing. 05 2 0. Verificar a un nivel de confianza del 95% que la proporción de habitantes que consumen dicho producto sigue siendo 50%.5 3. 6 60 1. 63 Zc p p p*q n 5) Elaborado por: Ing.Ciencias Empresariales Estadística II 6) Zc 31. 72 . Ejemplo 3 Se sabe que la proporción de habitantes de una región que consume habitualmente un producto es de 50%. 29 7) Como cayó en la RA entonces es valida la H0 y el inspector no debe concluir que se está embotellando el producto por debajo de su especificación a un nivel de significancia del 5%. si se extrae una muestra de 100 habitantes y en ella 63 afirmaron que consumían dicho producto.9 32. Rubén Toyama U.95 0.5 2) 1 0.5 H1 : p 0. Solución 1) H0 : p 0. 025 3) n 100 consumian 63 ^ p 4) 63 100 ^ 0. 63 0.0 7.2 7. Rubén Toyama U.025 0.475 con p1 0.4 6.5 100 2. 6 7) Se rechaza la H0 y se acepta la H1.96 6) Zc 0.3 7. 05 Elaborado por: Ing.7 7.1 el proceso de secado debe continuar ¿Deberá continuar con el proceso de secado tomando un nivel de confianza del 95%? Solución 1) H0 : 7.3 7.4 7.5 7.9 Si el contenido de humedad excede a 7.96 RA zt 2 0.96 x p1 0.5*0. 73 .1 7.95 0.1 2) 1 3) 0. 025 RR 1.4 6.3 7.Ciencias Empresariales Estadística II RR z 1. si tomo una muestra de 16 toneladas la cual la subdivida en 16 muestras midiéndose el contenido de la humedad que se presentan a continuación.5 0.1 H1 : 7. Se verifica que la proporción de la población que consume dicho producto no sigue siendo 50% a un nivel de confianza del 95%.2 6.8 7.3 7.5 0. Ejemplo 4 Un agrónomo mide el contenido de humedad en cierta variedad de trigo que fue secado.6 7.475 Zt 1 . 7. 0 1. 21 S 0.11 1.1 0. Determinar si la afirmación del fabricante es legitima a un nivel de significancia de 1%. 74 .9 H1 : p 0.05 0.95 n 1 16 1 15 0.75 5 RR x 6) tc 7. 0625 7) Se rechaza la H0 y se acepta la H1. 01 Elaborado por: Ing. continuar con el proceso secado por que Ejemplo 5 Un fabricante de productos naturales afirma que su medicina puede reducir la fiebre en 90% de los casos de alergia. Rubén Toyama U. 25 n 16 4) _ tc x S n 5) RA tc 0. 75 tc 1.9 2) 0.Ciencias Empresariales Estadística II _ x 7.1 . 76 0. Solución 1) H0 : p 0.21 7. A un nivel de confianza del 95% se concluye que se debe 7. En una muestra de 200 personas con alergia su medicina redujo la fiebre en 160 personas. 25 16 0. 1 200 4. 72 7) Se rechaza H0 y se acepta H1. 0003 0. La afirmación del fabricante no es cierta a un nivel de significancia de 1%. Solución 1) H0 : 34 H1 : 34 2) Elaborado por: Ing. 0067 0. Una muestra aleatoria de 25 muchachos tomada en esa población arrojo un peso promedio de 30 Kg. 4900 0.3267 x 2.9 0.9*0. Y una desviación típica de 10 Kg.8 Zc p p p*q n 5) 0. 01 0. 0002*0.8 0. Rubén Toyama U. 4898 0.32 z 2.33 0. 4901 6) Zc 0. Verificar la aceleración del trabajador social a un nivel de significancia del 5%. 0 1 RA RR Zt 2. Ejemplo 6 Un trabajador social que cree que el peso promedio de los muchachos de 10 años que viven e un sector rural determinado es inferior a 34 Kg. 75 .Ciencias Empresariales Estadística II 3) n 200 ^ 160 p 200 4) ^ 0. Elaborado por: Ing. 05 3) n 25 _ x 30 S 10 4) _ tc x S n 5) 0. 0 5 RA RR tc 1.95 n 1 25 1 24 1. Rubén Toyama U. La aceleración del trabajador social es legítima. 71 x 0. 05 0. 76 . 71 tc 6) tc 30 34 10 25 4 2 2 7) Se rechaza H0 y se acepta H1.Ciencias Empresariales Estadística II 0. en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se realiza la estimación. ERROR TIPO II Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falso. ESPACIO MUESTRAL S Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio. ESTIMACIÓN Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir del valor de un estadígrafo muestral. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1 . también llamado nivel de certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del parámetro poblacional. q El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra. es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional. COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD P E . ESTIMACIÓN PUNTUAL Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del parámetro poblacional. EVENTO O SUCESO __ __ __ E Elaborado por: Ing.Ciencias Empresariales Estadística II GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS COMPLEMENTO DEL EVENTO ( E ) Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al evento. 77 . Rubén Toyama U. P. ERROR TIPO I Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadero. EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro evento. etc.Ciencias Empresariales Estadística II Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que suceda. porque presenta dos o más opciones. que se va a constatar con el resultado muestral. Existen 2 clases de hipótesis estadísticas. es decir: ofrece una alternativa. HIPOTESIS NULA H 0 Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro. Elaborado por: Ing. proporción y varianza. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó rechazada. HIPOTESIS ALTERNA H 1 Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula. Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética. FENÓMENO ALEATORIO Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud. 78 . Rubén Toyama U. EVENTO DEPENDENDIENTE Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un acontecimiento previo. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de posibilidad que el otro evento ocurra. afirmando que la hipótesis nula es falsa. p: probabilidad de éxito. Donde: n: nº de pruebas. 79 .1. 3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo). con probabilidad de éxito variable. 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable. Rubén Toyama U.…n Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p.Ciencias Empresariales Estadística II MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio: MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Sea x una variable aleatoriamente discreta. Rango o recorrido: 0. MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes condiciones: 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante. 3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito variable (sin reemplazo). se dice que se distribuye. decimos que se distribuye como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas. como una hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes. 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones. 2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados. el éxito y el fracaso. Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados. ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro condiciones. Elaborado por: Ing.2. Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones. 2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso. 2. f x PX x m Cx * N N m Cn x Cn MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o fracaso. para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional resultado entre la desviación standard poblacional z x y dividir este La función de probabilidad quedaría: Elaborado por: Ing. superficie dada o volumen dado. Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio . en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo. por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado.. superficie o volumen.. Rango o recorrido 0. Función de probabilidad f x P X x e * x! x MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de variable a la función inicial.1.1 m si m 0.1 n si m n n Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer N. Rango ó recorrido: 0. n. 80 . m. entonces la variable poisson se define como: x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado. Rubén Toyama U. si del total de objetos N se selecciona al azar una muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n.Ciencias Empresariales Estadística II además existe N-m=objetos de otra clase.3. superficie dada o volumen dado. MUESTREO CONGLOMERADO Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en sindicatos. MUESTREO SISTEMÁTICO Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. etc. económicos. segmentos académicos. MUESTREO ESTRATIFICADO Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones agrupadas por segmentos sociales. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra. Elaborado por: Ing. que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo. Rubén Toyama U. NIVEL DE CONFIANZA 1 Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma. MUESTREO Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población. 81 . segmentos políticos. sucursales bancarias departamentales en el país. facultades dentro de una Universidad.Ciencias Empresariales Estadística II f x 1 e 2 1 2 z 2 MODELO DE DISTRIBUCIÓN T-STUDENT La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para muestras pequeñas es decir n 30 . Generalmente se aplica en un muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas). Rubén Toyama U. PROBABILIDAD CONDIONAL La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya ocurrido. 82 . PROBABILIDAD P E . P B A Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido. es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B. P Ai N PROPORCIÓN MUESTRAL Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra a i y el tamaño de la muestra n Elaborado por: Ing. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS P A B La probabilidad de la intersección.Ciencias Empresariales Estadística II NIVEL DE SIGNIFICANCIA Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo. PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS P A B La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro PROPORCIÓN POBLACIONAL Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división) entre el número de unidades que cumple una cierta característica Ai y el tamaño de la población N. POSIBILIDAD Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio. P La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del espacio muestral. Una caja contiene 6 bolas blancas. Hallar la probabilidad en porcentaje de que: a) Al lanzar 2 dados la suma sea menor que 5 b) c) d) e) f) Al lanzar 1 dado el Número sea mayor que 4 Al lanzar 2 dados el producto sea igual o mayor que 25 Al lanzar 2 dados la suma de los números sea mayor que 12 Al sacar una sola carta al azar de la baraja esta sea 10 de diamantes ó 2 de corazones. Sean: E1 = Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción E2 = Sacar un 8 de la baraja en la 1º extracción Hallar: P( E1 E2 ) 4. El teorema constituye la base de toda la teoría del muestreo y poblacional. 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. 83 .. Sean: E1= Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción E2= Sacar 3 de corazones de la baraja en la 1º extracción Hallar p ( E1 E2 ) 3. Práctico nº 1. p TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. Cálculo de probabilidades 1. Hallar la probabilidad en porcentaje de que: Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.Ciencias Empresariales Estadística II ai n Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por 100. Teoría elemental de probabilidades I. Al sacar una carta al azar de la baraja esta no sea trébol 2. Además hay 7 morenos de los cuales 4 son hombres y 3 son mujeres. Sean los eventos: E1 = La primer bola en ser extraída sea blanca o roja y sin remplazamiento E2 = La segunda bola extraída sea verde E3 = La primer bola extraída sea roja y sin reemplazamiento E4 = La segunda bola extraída sea roja E5 = La suma al lanzar dos dados sea 5 ó menos Elaborado por: Ing. En una sala de aulas hay 8 rubios de los cuales 3 son hombres y 5 mujeres. Sean los eventos E1 = Que la primer persona que salga al azar sea hombre y no retorne E2 = Que la segunda persona que salga sea mujer E3 = Que la primer persona que salga sea morena y con reemplazamiento E4 = Que la segunda persona que salga sea rubia E5 = Que la primer persona que salga sea mujer rubia y no retorne E6 = Que al lanzar dos dados la suma sea mayor que 9 Hallar: a) P( E 1 E2 ) b) P( E 3 E4) c) P( E 5 E 2 ) d) P( E5 E 6 ) e) P ( E 5 E6 ) 7. Si se lanzan dos dados a la vez hallar la probabilidad de que: a) La suma sea por lo menos 8 b) Sean: E1 = Sacar 7 ó 8 en la suma E2 = Sacar 4 como máximo en la suma Hallar p( E1 P( E1 E 2 ) además hallar E2 ) 6. Rubén Toyama U. En una canasta hay muy bien mezcladas 7 bolas verdes. 84 . 3 bolas blancas y 5 manzanas rojas.Ciencias Empresariales Estadística II a) Sacar una bola roja en la 1º extracción b) Sea E1 = Sacar una bola verde en la 1º extracción y con reemplazamiento E2 = Sacar una bola verde en la 2º extracción Hallar: P( E1 E2 ) c) No sacar una bola blanca en la 1º extracción 5. Ciencias Empresariales Estadística II E6 = La primer bola extraída sea blanca Hallar: a) P( E1 b) P ( E3 c) P ( E3 d) P( E 1 e) P( E3 f) P ( E 3 E2 ) E4 ) E2 ) E5 ) E5) E6 ) 8. Sean los eventos: A = Obtener 1 sola vez sol al lanzar la moneda 2 veces B = Que la suma sea 10 ó más al lanzar dos dados juntos C = Obtener sol 1 sola vez al lanzar una moneda 3 veces Calcular la probabilidad: a) P( A B) b) P( A C ) c) P( B A) d) P( B C ) e) P( A C) Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 85 Ciencias Empresariales Estadística II Práctico nº 2. Distribución discreta de probabilidades Distribuciones discretas de probabilidades 1. Se ha estimado que el 10 % de los jugadores de una liga de baloncesto son pelirrojos, si se selecciona una muestra aleatoria de 12 basquetbolistas uno por uno y con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) La tercera parte sea pelirrojo b) Como máximo dos sean pelirrojos c) 7 no sean pelirrojos d) 4 o más sean pelirrojos 2. Se sabe que el 25 % de los estudiantes de un curso han reprobado la materia, si se selecciona aleatoriamente a 13 estudiantes uno por uno y con reemplazo y se averigua su nota. Determinar: a) La probabilidad de que 4 hayan reprobado la materia b) La probabilidad de que 2 o menos hayan reprobado la materia c) La probabilidad de que más de 2 hayan reprobado la materia d) La probabilidad de que 9 o más hayan aprobado la materia 3. En una clase hay 20 alumnos, 15 de ellos no están conformes con el texto que utilizan. Se les pregunta a 4 de ellos escogidos al azar uno por uno y sin reemplazo su opinión acerca de dicho texto. Cuál es al probabilidad de que: a) 3 de ellos estén conformes con su texto b) Como máximo 2 no estén conformes con su texto c) Como máximo 3 estén conformes con su texto d) Si se extraen 4 de ellos escogidos al azar uno por uno y con reemplazo, cuál es la probabilidad de que 3 o más no estén de conformes con el texto e) Si se extraen 6 de ellos uno por uno y con reemplazo cuál es la probabilidad de que como máximo 2 esté conforme con el texto. 4. Se sabe que el 40 % de los estudiantes de la U.A.G.R.M. son provenientes de alguna provincia. Si se toma una muestra aleatoria de 16 estudiantes al azar uno por uno y con Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 86 Ciencias Empresariales Estadística II reemplazo. Calcular la probabilidad de que: a) 4 de ellos sean de provincia b) 3 o menos sean de provincia c) Más de 11 no sean de provincia d) 12 o más sean de provincia 5. En una clase de Cálculo 1 hay 32 estudiantes, de los cuales 18 son de Auditoria. Si se toma una muestra al azar de 13 estudiantes, uno por uno y sin reemplazo. Calcular: a) La probabilidad de que 2 o menos sean estudiantes de auditoría b) La probabilidad de que 4 o más sean estudiantes de auditoría c) La probabilidad de que 8 de ellos no sean estudiantes de auditoría d) Si se toma una muestra aleatoria de 8 estudiantes, uno por uno y con reemplazo cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 de ellos no sean de auditoría 6. Se sabe que el 22% de los estudiantes de medicina de la UCB son extranjeros. Si se toma una muestra al azar de 12 estudiantes uno por uno y con reemplazo. Hallar la probabilidad de que: a) 2 o menos estudiantes sean extranjeros b) mas de 9 estudiantes asean extranjeros c) 7 estudiantes sean bolivianos. En promedio 6 personas utilizan un cajero automático cada hora, en el periodo de horas más transcurridas de cierta agencia bancaria; Cuál es la probabilidad de encontrar: d) Exactamente 6 persona utilizar el cajero en una hora e) Menos de 6 personas utilizar el cajero en 1,5 horas f) Que nadie utilice dicho cajero en el lapso de 10 minutos 7. Una persona que pesca en cierto lugar del río Beni puede esperar pescar 1,6 peces por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que pesca en ese lugar. a) En una hora no logre pescar nada b) Saque exactamente un pez en una hora c) Saque al menos 3 peces en 1,5 horas 8. En un aula hay 50 estudiantes de los cuales 18 son partidarios del partido colorado, si se extrae una muestra aleatoria de 13 estudiantes uno por uno y sin reemplazo, cual es la probabilidad de que a) A lo sumo 4 sean partidarios del partido colorado b) Por lo menos 5 sean partidarios del partido colorado Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 87 Un estudiante de la facultad de medicina tiene la certeza de aprobar una asignatura cualquiera con una probabilidad de 0.Ciencias Empresariales Estadística II c) Más de 3 no sean partidarios del partido colorado d) Si se extrae una muestra de 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo cuál es la probabilidad de que como máximo 3 sean partidarios del partido colorado e) Si se extrae una muestra de 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo. En un área geográfica determinada se sabe que el 40% de la población pertenece al partido demócrata. Calcular la probabilidad de que en una pieza de 50 por 10 pies no contenga defectos. 11. Si tiene inscrito 8 asignaturas cual es la probabilidad de que: a) Apruebe 6 asignaturas b) Repruebe 3 asignaturas c) Apruebe como máximo 5 asignaturas d) Apruebe todas las asignaturas 12. En un hospital se tiene un promedio de 3 pacientes admitidos de emergencia por hora. Una canasta tiene 13 bolas de las cuales 5 son rojas. 88 . cuál es la probabilidad de que 6 o menos no sean partidarios del partido colorado 9. determinar la probabilidad de que: a) En una hora sea admitido un paciente de emergencia b) En 3 horas sean admitidos 6 o menos pacientes de emergencia c) En media hora sea admitido a lo sumo 1 paciente de emergencia 10. a) Si se extraen 4 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean rojas? b) Si se extraen 5 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que más de 2 no sean rojas? c) Si se extraen 7 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 3 sean rojas? d) Si se extraen 6 bolas una por una y con reposición ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 2 sean rojas? e) Si se extraen 7 bolas una por una y con reposición ¿cuál es la probabilidad de que 5 o menos no sean rojas? 13. Los defectos de cierta clase de tejido de lana ocurren al azar con un promedio de 1 por cada 100 pies cuadrados.8. Si se selecciona una muestra aleatoria de 12 personas con reposición Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 63%. la de Houston tiene un índice de defectos del 20 %. Una fábrica produce ciertos tipos de productos con 3 máquinas. 23. 1 son defectuosos. El profesor favorito de la clase acaba de obtener su título superior ¿Cuál es la probabilidad de que abandone a los estudiantes y acepte otro trabajo en otro rubro? R. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga a) de la Maq 1 b) de la Maq 2 c) De la Maq 3? R. Una empresa tiene fábricas en Chicago y en Houston. los respectivos cálculos de producción son: Máq. las correspondientes fracciones de las defectuosas de las otras máquinas son 2 % y 3 % respectivamente. 1: 3200 unidades Máq. mientras que el 20 % de los que no abandonan son también lo son.5 %. Estudios de la asociación nacional de educación indican que el 30 % de los maestros de la nación dejan la profesión antes de los 10 años.56.25% 3. Además que el 60 % de los que abandonan son titulados superiores. 13. 3: 5000 unidades La experiencia muestra que 1 % de los artículos fabricados por la Máq. De Houston.75 2.Ciencias Empresariales Estadística II Cuál es la probabilidad de que: a) Como máximo 4 pertenezcan al partido demócrata b) Como mínimo 3 no pertenezcan al partido demócrata c) Entre 3 y 5 pertenezcan al partido demócrata Teorema de Bayes 1. Si una unidad extraída al azar se encuentra defectuosa ¿De dónde es más probable que provenga de Chicago o de Houston? R. Elaborado por: Ing. 2: 2800 unidades Máq.4 %. porque P H / D 0. con un índice de defectos del 10 %. 89 . Rubén Toyama U. la fábrica en Chicago produce el 40 % del total de unidades. Se extrae in artículo aleatoria mente del total de producción de un día. 9 % Elaborado por: Ing. Sea a) conductor de clase A. Rubén Toyama U.Ciencias Empresariales Estadística II 4.6 %. b) conductor de clase B c) conductor de clase C R. ¿Cuál es la probabilidad de que la Sra. 90 . a 50000 conductores de la clase B (Riesgos medianos) y a 15000 conductores de la clase C (Riesgos malos). Una compañía de seguros de automóviles ha asegurado a 35000 conductores de la clase A (Riesgos buenos). 0. la probabilidad de que el conductos de la clase A.01.5 % 48.04 y 0. La compañía vende a la señora garcía una póliza de seguro y en un año tiene un accidente. 7.15 respectivamente. 43. B ó C tenga 1 ó más accidentes durante 1 año es de 0. 23 y z sea de 0.2514 h) P(Z z)=0.9236 z)=0.0.3665 c) d) e) f) g) P(Z P(Z P(Z P(Z P(Z z)=0. Rubén Toyama U.Ciencias Empresariales Estadística II Práctico nº 3.07 y z=-095 f) Entre z=1 y z=3.0885 z)=0.7924 j) P(-z Z z)=0.5722 d) El area entre –z y z sea de 0.10 c) A La derecha de z=0.1 e) Entre z=-2. Hallar el valor de z tal que: a) El area a su derecha sea 0. Utilizando la tabla de la distribución normal Standard hallar el valor de z que satisfaga la Elaborado por: Ing.9913 z)=0.0033 z)=0.0314 c) El area entre z1 =-0.88 d) Entre z=-1. Hallar el valor del area: a) A la derecha de z=-1.2266 b) El area a su izquierda sea 0.9476 4.9 2. 91 . Utilizando la tabla de la distribución normal Standard hallar el valor de z tal que: a) P(Z z)=0.8 3.56 y z=5 h) A la izquierda de z=4.1 y z=1.12 b) A la izquierda de z=-2. Distribución Normal Standard y distribuciones muestrales 1.12 g) Entre z=1.8708 b) P(Z z)=0.9744 i) P(-z Z z)=0. Si las estaturas de 300 estudiantes están normalmente distribuidas con una media de 68 in y desviación típica de 3 in ¿Cuántos estudiantes tienen alturas: a) Mayor que 72 in b) Menor o igual a 64 in c) Entre 65 y 71 in 6.95 = 0.1 se toma una muestra de 50: Elaborado por: Ing.Ciencias Empresariales Estadística II condición planteada en el gráfico siguiente: a) Si 1b) Si 1c) Si 1d) Si 1= 0. de los estudiantes del curso se distribuyen normalmente con media de 75 Kg. y varianza de 120 kg2 ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Al seleccionar un estudiante al azar su peso esté comprendido entre 77 y 80 Kg. de los estudiantes de Economía se distribuyen normalmente con media igual a 72 kg y varianza de 58 kg 2.2 y desviación típica de 4. Si se selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes de esta carrera a) ¿cuál es la probabilidad de que esa media muestral sea superior a la media poblacional? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 75 kg.98 = 0.90 = 0.99 5. De una población con media 12. El 10 % del curso recibirá grado A ¿Cuál es la nota mínima para optar a el? 7. la desviación típica es de 9. Rubén Toyama U. b) ¿A partir de qué peso queda por encima de si el 90 % de los pesos? c) ¿Hasta que peso de los estudiantes están los que constituyen el 10 % inferior de todos los pesos? 8. Se conoce que los pesos en Kg. Los pesos en Kg. La nota media en un examen es de 72 pts. 92 . c) Que la media muestral esté comprendido entre 70 y77 kg d) Que la media muestral esté entre 68 y 70 kg e) ¿Cuál es el peso que deja por encima de si al 99 % de las medias muestrales? 9. si consideramos que la velocidad a la que viajan las movilidades está normalmente distribuida con una media de 70 Km/h y una varianza de 150 km2/hs2.7 clientes diarios con una desviación típica de 12. en cuantas esperaríamos encontrar una media muestral de: a) Entre 66. 93 . La media de clientes en Madison es de 40.Ciencias Empresariales Estadística II a) ¿Cuál es el error típico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este entre 10 y 14? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 8? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 14? 10. a este examen se presentaron 44 alumnos para rendirlo.8 y 68. Si sabemos que la máxima velocidad permitida es de 90 Elaborado por: Ing. y desviación típica de 3 pulg si se toma 80 muestras de 25 estudiantes cada una. ella consiste en apuntar una pistola radar a la movilidad que pasa y el instrumento determina la velocidad a la que viaja. Las estaturas de 3000 estudiantes varones de una universidad están normalmente distribuidas con una media de 68 pulg. Y la desviación estándar de 10 Pts.9 clientes. Por el problema de accidentes que ocurren en la carretera Santa Cruz – Montero. Si se toma una muestra de 100 días: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº medio de clientes sea superior a 43? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de clientes sea inferior a 45? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes esté entre 30 y 50 clientes? 12. Rubén Toyama U. la media del examen es de 65 Pts.4 pulg 11. b) Reprobaron el examen c) Sacaron nota mayor a 85 d) Sacaron nota entre 65 y 85 13.3 pulg b) Menor que 66. Calcular el nº de alumnos que a) aprobaron el examen. Suponer que las calificaciones del primer examen parcial de la asignatura de Cálculo 1 tiene una distribución normal. transito ha decidido colocar una estación de control de velocidad 100 mt antes de la entrada al aeropuerto Viru Viru. Ciencias Empresariales Estadística II km/h. Según la revista Soler el 60 % de todos los directores de empresas están de acuerdo en que los programas de ordenador se deben escribir de manera que puedan enlazarse con redes locales. En una investigación realizada en 1993 se encontró que el 34 % de los ejecutivos utilizaban aplicaciones basadas en Windows en su ordenador: a) ¿Si se toma una muestra 50. Si se toma una muestra aleatoria de 112 a) ¿Cuál es el error típico de la proporciones muestrales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor a 5 %? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior a 70 %? d) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción esté entre 40 y 80 %? 15. Rubén Toyama U. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 30 %? b) ¿Si se toma una muestra de 110 cual es la probabilidad de que la proporción muestral sea a 40? 16. Estimación de parámetros poblacionales Elaborado por: Ing. 94 . a) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 20 % b) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 18 % c) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 12 y 17 % d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 18 y 22%? Práctico nº 4. determinar: a) La proporción de los vehículos infractores b) Se ha determinado que por ese punto pasa un promedio de 1 vehículo cada 12 sg y la multa aplicada a cada infractor es de 100 bs ¿Cuál debe ser la recaudación mínima del encargado del pto de control en 12 hs? c) ¿Cuál es la recaudación si a aquellos que sobrepasen los 120 km/h se le recarga el 30 % a la multa? 14. a partir de investigaciones previas se ha establecido que la proporción poblacional que está de acuerdo con ese candidato es 15 %. De una población de 1200 estudiantes de la universidad publica se ha seleccionado una muestra de aleatoria de 200 estudiantes. 95 . Un analista de investigación de mercado escoge una muestra aleatoria de 100 clientes de un conjunto de 500 clientes de una gran tienda. b) Construya un intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95 % para la verdadera nota media poblacional c) Resolver el inciso anterior para un grado de confianza de 98 % 3. Sean los pesos en Kg de 10 estudiantes de un curso los cuales constituyen la muestra 57 62 65 60 58 64 60 63 66 54 a) construya un intervalo de confianza al 90 % para el verdadero valor del peso medio poblacional b) ¿Cuál es el error de estimación? c) Construya un intervalo de confianza para un nivel de significancia de 1 % 5. Una muestra aleatoria de 100 lugares de una ciudad indica que el promedio de los ingresos mensual es de 500 $us. suponga 50 $us 2.Ciencias Empresariales Estadística II 1. La media y la desviación Standard de los depósitos en una cooperativa de un grupo de 65 socios está dado por X =1350 Bs y para media con una confianza del 90 %. Encuentre el intervalo de confianza de 95 % para una media poblacional de los ingresos de todos los lugares de la ciudad. Se encuentra que los clientes gastaron un promedio de 2500 Bs cada vez. 4. si con este valor de la muestra se estima que el gasto promedio de la población finita varia de 2446 Bs a 2554 Bs ¿Qué nivel de confianza se utilizó? Supóngase que la desviación estándar de la población es de 300 Bs. De los 12000 estudiantes de la facultad de ciencias económicas se toma una muestra = 85 Bs Construya un intervalo de confianza Elaborado por: Ing. 6. Las calificaciones de los estudiantes del curso se distribuyen normalmente con varianza 149 pto2 si se selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y se calcula una media de las notas obteniéndose X = 65 pto a) construya un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera nota media poblacional. Rubén Toyama U. Una empresa encuestadora utilizó una muestra aleatoria de 600 electores que acababan de votar y encontró que 240 votaron por el candidato “A”. a) Hallar los límites de confianza a 95 % para la para la proporción de todos los votantes a favor de ese candidato. a) Estimar entre que porcentajes de electores votaron por el candidato “A” en toda la población. a) Construya un intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporción poblacional de los estudiantes que están de acuerdo con ese candidato. Una muestra al azar de 50 notas de matemáticas de entre un total de 200 revela una media de 75 y una desviación típica de 10. b) Construya un intervalo de confianza para el verdadero valor de la proporción poblacional a un nivel de confianza de 99 % 7. a) ¿Cuáles son los límites de confianza al 95 % para las determinaciones de media de las 200 notas? b) ¿Con que grado de confianza podemos decir que la media poblacional de notas sea de 75 1? 10. se desea determinar el tamaño de la muestra para estimar la proporción que apoyará al candidato “A” con un nivel de confianza del 90 %.Ciencias Empresariales Estadística II aleatoria de 600 a los cuales se les preguntó si estaban de acuerdo con cierto candidato a rector y respondieron afirmativamente 130. Rubén Toyama U. Existe un sindicato de 100 afiliados. para esto se hace una prueba piloto de 20 Elaborado por: Ing. los cuales deben renovar su directorio. 96 . b) Hallar el intervalo de confianza para un índice de 99 % 8. a un nivel de significancia del 5 % b) Resolver el inciso anterior a un nivel de significancia de 2 % c) Si la proporción de aceptación se estima en 40 % ¿Cuál es el máximo error de estimación si se quiere tener un nivel de confianza de 98 %? d) ¿Qué tan grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 94 % de que el error de estimación sea como máximo del 2 %? 9. Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar en un distrito indica que el 55 % de ellos estaban a favor de un cierto candidato. Determine el error de estimación. Cierto candidato por una agrupación ciudadana desea postularse como candidato a diputado uninominal. 97 . En un laboratorio de psicología los investigadores hicieron llegar por diferentes conductos una sustancia tóxica al sistema nervioso central de varios animales experimentales. b) Resuelva el inciso anterior un nivel de confianza de 95 % Elaborado por: Ing. Se conoce que la varianza poblacional en esta especie y para este mes es de 40 Kg2 Determinar el tamaño de la muestra necesario para estimar con un nivel de confianza del 95 % considerando que se puede cometer un error del 3 % 12. ¿Cuáles son los límites de confianza? 13. Se hizo un sondeo y se determinó que de 100 encuestados 30 estaban a favor y 70 estaban en contra. para ello hace un sondeo y encuentra que la preferencia hacia su candidatura es del 35 % en una determinada unidad vecinal que tiene 7500 habitantes ¿Cuál es el número mínimo de personas que deberá muestrear para tener una confianza del 90 % y un error del 9 % de que pueda ser ganador. La variable fundamental en este experimento era el tiempo en horas en que existe entre la administración de la sustancia tóxica y la aparición de los síntomas.9 X 40 31 a) Construya un intervalo de confianza a un nivel de confianza al 90 % para la diferencia entre las medias maestrales. Los datos obtenidos fueron los siguientes: n Conducto A Conducto B 11 7 S2 10 20. Rubén Toyama U. construya un intervalo de confianza para la verdadera proporción poblacional a un nivel de confianza de 90 %. 14.Ciencias Empresariales Estadística II afiliados elegidos aleatoriamente y en ellos se encuentra que 8 apoyarán al candidato “A” Determinar el tamaño de la muestra suponiendo un error global del 5 % 11. Se desea estimar la verdadera proporción de trabajadores que están a favor de la nueva legislación laboral. Se desea estimar el peso promedio de una población de cierta especie de pez marino en el mes de Octubre y para ello de determina a partir de una prueba piloto que el peso promedio muestral es de 10 Kg. 95 b) para 1 0. Una muestra de 200 baterías de radio de la marca A muestra una duración media de 140 hs y una desviación típica de 10 hs Y otra muestra de 120 baterías de radio de la marca B tiene una duración promedio de 125 hs y una desviación típica de 18 hs. y a partir de muestras aleatorias de ellos se obtuvo la siguiente información: n Grupo I Grupo II 8 7 S2 36 48 X 89 78 a) Construya un intervalo de confianza para la verdadera diferencia de medias poblacionales con un nivel de significancia de 10 % b) Repita el inciso anterior a un nivel de significancia de 5 % 16. Construya un intervalo de confianza para la verdadera diferencia de promedios de duración De ambas marcas de baterías a) para 1 0. 98 . Rubén Toyama U. Se está investigando los rendimientos en dos grupos de estudiantes.Ciencias Empresariales Estadística II 15.90 Elaborado por: Ing. 2. en la segunda ventana “Insertar categoría” se hace clic en “Estadísticas” y en la ventana “seleccionar una función” se busca la función que se desea utilizar. Poisson y Normal. Calcular la probabilidad en una distribución binomial con probabilidad de éxito de 60 % para un tamaño de muestra de n=6 para obtener: a) x=2 éxitos solamente b) x=2 ó menos Elaborado por: Ing. y en el momento de “Seleccionar función” se elige DISTR. entre estas. se desplaza el cuadro de diálogos Insertar función. 99 .BINOM. Luego aparecerá el cuadro de diálogos “Argumentos de función”. se siguen los pasos que se mencionó en el párrafo anterior. Generalidades. Aplicaciones de EXCEL en estadística Inferencial Objetivos: 1. se destaca el conjunto de funciones estadísticas. Si colocamos el valor “Falso” Calculará la probabilidad para el valor dado Num_éxito solamente. “Distribución Binomial” Para el cálculo de probabilidades para distribuciones que se comportan como una binomial. En este cuadro de diálogos se necesita llenar cuatro ventanas que son: Núm_éxito. Aplicar el EXCEL en el cálculo de probabilidades para distribuciones Binomial. Prob_éxito y Acumulado. Ensayos. Las funciones se encuentran en EXCEL en la pantalla principal con el símbolo de fx . Rubén Toyama U. Una de las aplicaciones más importantes de EXCEL es la utilización de funciones. Aplicar el EXCEL en la resolución de problemas en los que se utilicen distribuciones de probabilidades.Ciencias Empresariales Estadística II Laboratorio # 1 . Núm_éxito Es la cantidad de éxitos que se desea encontrar Ensayos Es el tamaño de la muestra o número de pruebas Prob_éxito Es la probabilidad de éxitos que se tiene Acumulado Es una ventana de valor lógico. con dos opciones. si colocamos “verdadero” calculará pa probabilidad acumulada para los valores de x desde 0 hasta el valor Num_éxito. Ejemplo 1. al hacer clic en dicha ficha. Hipergeométrica. en el cuadro de dialogo que aparece. que en este caso es 0. en la ventana seleccionar una categoría se busca la categoría “Estadísticas”. Elaborado por: Ing. en la 3º ventana colocamos 0. siendo “Falso” para un determinado resultado y “verdadero” para el acumulado desde 0 hasta x.9 % c) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 amigos por lo menos 6 no hayan nacido (un viernes o un sábado o un domingo)? Rta.13824.4 3 Para resolver el inciso b) Se repite todo el proceso anterior. el cual es el resultado del cálculo de probabilidad P x 2 Ejemplo 2. Rubén Toyama U.1792. colocando en la 4º ventana el valor lógico “Verdadero” porque se desea conocer el valor acumulado.BINOM. Esto equivale a lo que en la calculadora es: 5 C2 0. en este caso escogemos la POISSON aparecerá el cuadro de dialogo que tiene 3 ventanas de entrada que son X. media y Acumulado. En primer lugar vamos a resolver el inciso a) del problema. Siendo X: El número de elementos que cumplirán la condición Media: El promedio Acumulado: Valor lógico. En el siguiente cuadro de diálogos que aparecerá se rellena las cuatro ventanas que aparecen. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos hayan nacido un día martes? Rta.Ciencias Empresariales Estadística II Solución. como deseamos calcular la probabilidad para 2 éxitos solamente colocamos la palabra “Falso” hacemos clic en Aceptar y aparece la respuesta. 67. Se encuentran 5 amigos cierto día. 12.6 2 0. para lo cuál en la 1º ventana colocamos 2. y se obtiene la respuesta de 0. Se hace “clic” en la ficha fx .01 % d) ¿Cuál es la probabilidad de que de una muestra de 12 amigos entre 3 y 6 amigos hayan nacido (o lunes o martes)? Rta. 77.85 % b) ¿Cuál es la probabilidad de que de una muestra de 8 amigos a lo sumo 4 hayan nacido (un viernes o un sábado o un domingo)? Rta. Para la distribución de Poisson procedemos igual que para la distribución Binomial. 56.17 % Distribución Poisson.6 y en la 4º ventana colocamos de valor lógico. en 2º ventana colocamos 6. 100 . y se selecciona la función: DISTR. en la ventana Promedio colocamos el promedio que es 2.73% b) Procedemos como en el caso anterior. es decir x. Solución: a) 98. Elaborado por: Ing. esta función no genera el resultado acumulado. 101 . b) En una pieza de 10 mts.04 % Ejemplo 2. y en la ventana Num_de_población colocamos el tamaño de la población o sea N. Si hay 6000 casa en dicha zona ¿Cuál es la probabilidad de que : a) Más de 3 casas se incendien durante el año. x=1. b) Exactamente 2 se incendien durante el año Distribución Hipergeométrica Para la distribución hipergeométrica procedemos igual que en el caso anterior escogiendo la función DISTR_HIPERGEOM . Rubén Toyama U. a) En la ventana X colocamos el en número 4. Supongamos que.4 % Ejemplo 3. y en la ventana Acumulado colocamos el valor lógico “Falso” porque solo queremos obtener el valor POISSON para el valor puntual de x=3. una de cada 2000 casas. y la solución es: 18. En un proceso de manufactura textil se tiene que el promedio de defectos es de 6 por cada 30 mt de tela. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 2 fallas o defectos a) En una pieza de 30 mts. en promedio.27 % b) 59. x=2. en la ventana Muestra _ éxito colocamos el número de éxitos en la muestra que deseamos encontrar. colocando en la ventana de X el valor 3. en cierta zona de Buenos Aires se incendia durante el año. x=3 y x=4 b) P(x) cuando x=3 Solución: Seguimos los pasos hasta llegar a la función POISSON. en la ventana Núm_de_muestra colocamos el tamaño de la muestra es decir n. en la ventana Población_éxito colocamos el número de éxitos en la población o sea m. en la ventana Promedio colocamos el promedio que es 2. y en la ventana Acumulado colocamos el valor lógico “Verdadero” porque lo que queremos es el acumulado desde X=0 hasta x=4 y la respuesta es: 94. Supongamos que 2 y deseamos calcular a) P(x) cuando x=0.Ciencias Empresariales Estadística II Ejemplo 1. Seguidamente hacemos clic en “Aceptar” y se desplegará el resultado. 04 es 0.Ciencias Empresariales Estadística II Ejemplo 1.3 y 2. 2. Este procedimiento utilizando EXCEL se procede de la siguiente manera: Se despliega la función DISTR_NORM y aparecerá un cuadro de diálogos que tiene 4 ventanas. para entenderlo mejor veremos un ejemplo en el que x 64. en la ventana acum.77 %) c) Si se selecciona igualmente una muestra aleatoria de 7 estudiantes. 10 reprobaron el examen: a) Si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes. Distribución Normal. cual es la probabilidad de que por lo menos 5 hayan reprobado el examen. desde la izquierda hasta el valor de Elaborado por: Ing. (Rta. uno por uno y sin reemplazo. hasta z 1.041667 con este dato redondeado a 1. luego de aplicar la expresión: z x . De 24 estudiantes que rindieron el examen parcial.3508. 102 .04 yendo a la tabla del apéndice II de Schawn encontramos que el area bajo la curva desde z 0 . en la ventana Media se coloca el valor de la media poblacional . Rubén Toyama U. reemplazando en la formula el valor de z será 1. luego clic en Aceptar y se desplegará el area bajo la curva.4 . EXCEL calcula el acumulada desde la izquierda hasta el valor de z correspondiente al valor de x. (Rta.8 62. 14. Para calcular el area bajo la curva de la normal Standard. en la ventana Desv_Estandard se coloca el valor de .19 %) b) Si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes. Se coloca el valor verdadero. cuál es la probabilidad de que 4 de ellos hayan reprobado el examen. en la ventana X se coloca el valor de la variable. cual es la probabilidad de que menos de 3 hayan aprobado el examen. 4975 .4495 .4961 .0 1.0910 .2996 .4980 .4990 .4913 .4812 . 3 4 8 3 1 5 .4909 .3186 .488a.0675 .7 1.4991 .4971 .9 1.4994 7 . 1 9 7 4 4 6 .3554 .4959 .4972 . 1 0 3 4 .3051 .1772 .4192 . . 3 9 2 4 8 .4131 .4984 ' .4671 .2389 .4-838 . .0 0. 4 9 9 2 4 9 6 .4878 .1 0.4 0.0948 .4525 .4772 .4082 .4474 .Ciencias Empresariales Estadística II Apendice II Áreas bolo la curv a normW i e stá nda r .2291 .3485 . cbsde F 2 .0 2.4115 .2123 .2088 .5 0.4979 .7.4989 .4418 . 4 5 .2422 .4953 .6 0.4887 . .4871 .1255 . 1 0 3 4 5 .4222 .1368 .4484 .4956 .2673 .0478 .9 2.1628 . 8 4 9 .4756 .4993 Elaborado por: Ing.4 2.2258 .2823 .4798 .1591 .3340 .4591 ..4744 .4842 .4382 .1985 .4989 .0 3.4995 8 .2612 . .4236 .2454 .4922 .4939 .3106 .4162 .4265 6 . 3 .4925 .3849 .4564 .3212 .1293 .7 0.4357 .3708 .4992 .4941 .1700 .4963 .3289 .9 3.4608 .4992 .4977 _4983 .4535 .0319 .4994 4 .4978 .0438 .3944 .4649 . 4 1 6 4 4 7 3 .4943 .0714 .4738 .0040 .4945 .4979 .4155 .1808 .4991 :.4099 .4599 .. 0 0 3 .4985 .4934 .8 1.4929 .3461 .0239 A636 .2357 .4850 .38. 7 2 1 .400 .0871 .4987 .4719 .4641 .4678 .1664 .4463 .4582 . 4 6 4 5 .494C.4977 .4279 .4830 .1026 .3531 .4968 .0080 .4881 .4946 .3264 . 2 9 2 ..4901 .4991 .3159 .4147 .1 1.4370 .3 1.3643 .1950 .4985 .4987 .2054 .3869 .2190 . 103 .4992 .4.4982 .0987 .4761 .4406 .1443 .4332 .1844 .4854 .4732 .4664 .4994 .1179 .2 2.4993 .4713 .4515 .3962 .3665 .4750 .4864 .3599 .3413 .3749 .4306 .4884 .1103 . 1 4 . 9 .1 3.2734 .4981 .4920 ' .1064 .4834 .4573 .0279 .4906 .4803 14846 .2910 .4984 .4032 .4986 .6 2.0398 .4911 .4896 .4699 . 9 3 2 .g939 .2324 .3238 .2 0 . . 6 4 1 9 4 9 0 9 9 3 5 z 0.4918 .1 2.4992 .3810 .4982 .4932 . 7 8 5 4 9 . 4 8 1 2 .0793 .4505 .4990 . 1 5 9 1 5 .4993 1` .4554 .0832 .5 2.4957 .4 1.3023 .1217 .4949 .4927 . 4 7 1 4 8 .8 0.2967 .2704 . 4 9 .2518 .4821 .4904 . 1 5 .4826 .2794 .2580 .3577 .4973 .4987 .1554 .4452 .0517 . 6 8 .2019 .3 2.4207 .4875 ".2486 .2157 .4995 9 .8 2.3770 .4345 .4938 .1406 .6 1.4A1 .4994 5 .41:76 . 7 9 0 4 .793 '' .4893 .3 0.3078 .0120 .3438 .4948 .3729 .4049 .3907 .2 1.1331 .2764 . Rubén Toyama U.4989 .1915 .4783 .4960 .3315 .7 2.4788 _ .5 1.4861 .3508 .3686 . .656 .3790 .4778 .3980 .1480 .4726 .4970 .4616 .2 0.0598.0160 .4898 .4966 .4994 3.3365 .4686 .4429 .4931 .4693 .055/ .4.4292 .4808 .1736 .2642 .4974 .0199.3997 . 8 3 6 .4937 .4988 .4951 .2881 . 5 7 0 3 4 . 7 5 .4988 .4965 ..4962 .3925 .0000 .4625 . 9 .4999 7 .4995 .4996 .4998 .4999 .4 3.4997 .49N .4999 .5000 .4996 .4999 .4997 .4999 .4997 .4998 .4997 .4999 . 4 4 9 . Rubén Toyama U.4999 .4999. 104 .4998 .4999 .4999 .4997 .4995 .4997 .4995 .7 3. . 4 .4997 . .5000 .5000 .4996 . 9 4 .Ciencias Empresariales Estadística II 3.4998 .4999 .4999 .4998 .4997 . .4998 .4998 .5000 . .4998 .5000 .3 3.4998 ' .6 3.4998 .4999 .4999 8 .8 3.5000 .4999 .5000 .4999 .4998 .4999 .4999 .4997 .4999 .4999 .4996 .4999 .4999 9 ' 9 9 .4999 .4999 .5000 8 4 9 5 9 9 0 9 9 0 9 0 Elaborado por: Ing.4996 .4999 .5000 .5 3. 543 .127 .70 1.569 .267 .127 .06 2.90 3.856 .134 .694 .727 .50 2.70 ' 1.061 .50 3.857 .32 1.31 1.42 1.257 .695 .83 2.862 .128 .553 .09 2.532 .873 .727 .634 .703 .546 .95 2.73 1.13 2.741 .690 .76 2.36 1.559 .128 .0 1.584 .31 1.128 .58 2.75 1.06 3.46 2.289 .277 .34 1.686 .35 1.40 1.534 .868 .000 .75 3.855 .706 .127 .83 1.68 2.35 2.94 1.76 2.48 2.538 .55 2.537 .14 2.530 '.765 .09 2.72 1.79 2.684 .5N0 .82 6.60 2.700 .137 .73 1.84 4. con v gr ado s d e li ber tad (ár ea so mbr eada = p ) V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 1.86 2.129 .683 .856 .76 2.256 .127 .879 .36 1.32 1.00 2.82 2.995 63.11 3.31 1.129 . 1.55 .127 .255 (.70 .861 .256 .03 3. 105 .48 1.256 .257 .32 1.128 .ns 6.20 2.131 .258 .130 .110 1.71 1.52 2.257 .90 2.18 2.531 .684 .57 2.76 1.688 .77 1.132 .16 2.17 3.533 .02 t.31 2.32 1.74 1.46 2.686 .78 2.257 .265 .530 .256 .128 .127 .32 1.51 .258 .876 .870 .376 1.854 .536 .34 1.688 .37 • 1.258 .127 .42 1.32 1.65 2.72 2.36 2.127 .718 .851 1.70 (49 31.126 .57 2.889 .08 1.683 .711 .77 2.855 .533 .89 1.88 2.75 2.05 2.540 .78 1.47 2.92 2.72 1.906 .53 1.142 .531 .531 .18 2.02 1.30 3.10 2.36 3.539 .38 1.534 .31 1.26 2.71 3.691 .08 2.532 .681 t .23 2.549 .90 1.49 2.06 7 2.127 .33 1.689 .78 2.359 .34 1. Elaborado por: Ing.130 .04 2.92 5.92 2.866 .260 .531 .75 1.263 .30 1.532 .158 .80 1.816 .81 2.07 ' 2.697 .72 1.13 2.863 .60 4.71 2.256 .261 .860 .128 .64 1.04 2.256 .692 .Ciencias Empresariales Estadística II Apéndice III Valor es per cen tiles (tn) p ar s l a di str ibu ción t d e Student.975 12.33 1.896 .80 2.683 .44 1.865 .66 9.12 2.06 2.858 .90 2.71 1.47 2.2.31 2.54 3.75 1.96 4.68 1.978 .259 .32 1.687 .127 .82 2.14 3.70 1.883 .920 .535 .617 .258 .256 .53 2.271 .685 .11 2.262 .25 3.127 .62 2.127 .33 1. Rubén Toyama U.259 .70.685 .941 .854 .86 1.98 2.71 1.81 1.542 .129 .325 .71 4.84 2.01 2.260 .54 2.05 2.127 .48 2.36 3.858 .256 .529 • .257 .45 2. 524 . Edinburgh.126 .58 2. Fisher y F. tabla Oliver y Boyd Ltd.Ciencias Empresariales Estadística II 60 120 oo • 2. A. Statistical Tables for Biological. Rubén Toyama U..33 2.126 Fuente: R.62 66 2.30 1.677 . 2. edici6n). 106 .253 .674 .28 .845 .679 . Elaborado por: Ing.90 1.848 .36 2.96 1.526 .00 1. Agricultural and Medical Research (5n.527 .66 1. bajo permiso de los autores y los editores.39 2. Yates.254 .67 1.254 .126 .645 1.29 1.842 . 3 16.1 13.4 20.25 2 X.3 14.15 1.5 52.3 49.24 1.11 5.0 41.34 .975 2 X 95 _2 A.2 27.0 19.8 20.55 9.82 4.7.77 4.4 35.3 21.412 .2 38.5 13.1 31.34 9.1 10.2 24.7 18.3 12.57 5.7 38.7 15.6 28.3 27.35 6.25 7.25 3.1 18.3 20.4 32.99 2 X.3 18.1 3.90 _2 X.8 20.9 40.8 29.06 1.73 2.3 32.4 16.9 11.8 32.3 23.0 0 5 .01 5.10 2 N.6 22.5 22.3 17.3 18.886.3 11.6 14.84 9.9 11.8 14.7 8.8 28.8 30.6 38.57 4.21 1.Ciencias Empresariales Estadística II Apéndice IV Valores percentiles (4) para la distribution chi cuadrada.9 34.87 5.6 15.65 1.1 41.2 36.4 37.6 23.2 1.6 24 .84 5.6 36.07 3.81 6.3 41.0 13.05 3.24 10.0 66.8 15.0 11.2 35.9 19.6 43.9 11.11 4.63 6.8 20.2 16.2 19.58 6.6 12.58 8.8 24.05 2 X.5 19.60 3.575 1.5 21.3 34.1 27.2 45.81 9.04 10.40 5.072 .90 9.83 .34 10.7 37.2 31.711 1. 59.3 18.5 28.4 34.4 42.554 .39 10.6 29.3 28.20 2.8 21.2 .44 9.0 22.63 7.7 22.9 23.0 43.8 11.50 _2 A.0506 .9 12.1 28.584 1.1 13.41 7.8 14.1 18.5 3.3 25.14 5.64 2.3 18.5 17.23 5.91 9.0 26.56 3.0 16.455 1.0158 .5 13.3 24.70 3.9 49.6 9.7 26.31 10.2 14.24 .89 10.04 7.02 7.90 6.8 14.26 6.6 32.7 12.1 39.1 10.9 44.6 43.2 10.94 4.5 2.5 33.297 .59 10.9 39.30 10.7 33.831 1.6 12.60 5.9 18.0010 .0 33.0 17.4 1.5 16.35 11.0000 .0 27.26 8.1 15.7 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 25.23 5.61 6.1 23.61 2.18 1.56 8.33 3.7 14.30 7.07 4.3 16.9 47.3 30.1 18.63 10.2 29.2 28.4 31.0039 .3 23.23 8.0100 .2 12.0 27.8 63.0201 .4 16.3 19.3 35.5 12.4 13.92 2.6 15.8 24.6 47.0 1 • 46.4 2.4 29.102 .7 29.0 11.37 3.7 23.4 13.74 7.3 15.38 9.7 26.4 12.5 2.989 5.8 12. 39.3 15.216 .8 26.0 17.32 2.3 4 6 .0002 .6 15.6 33.5 24.8 31.9 17.7 23.79 8.39 6.67 3.9 13.211 .26 6.2 51.57 4.8 14.0 20.39 2.1 40.0 14.3 13.3145.025 2 X.25 .9 13.75 _2 A.36 4.7 25.7 4.7 16.78 9.70 6.3 5.8 55.73 2.2 11. Rubén Toyama U.8 44.01 7.1 30.57 7.07 3.54 10.16 2.3 16.3 44.3 40.17 . 6 .1 22.67 9.7 12.71 4.352 .5 32.2 26.103 .5 11.6 30.09 2.91 7.49 2.7 21.8 34.17 4.3 27.01 X. 107 .3 17.7 14.84 7.49 11.4 16.35 7.872 1.43 8.484 .5 21.0 17.0 33.03 8. con v grados de libertad (area sombreada = p) V _2 X 995 _2 X.6 14.5 26.34 19.4 23.26 7.6 48.0 22.2 11.6 40.99 7.1 12.3 42.45 4.207 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.0 48.3 Elaborado por: Ing.1 12.8 13.6 21.7 5.21 12.63 8.9 20.1 13.89 6.5 32.3 11.2 37.2 34.8 11.3 19.69 .5 16.7 16.7 37.3 51.2 18.5 36.9 26.1 19.8 16.6 41.9 40.3 13.3 26.26 9.7 50.96 8.35 5.9 30.9 35.64 9.3 14.0 20.8 36.66 5.6 45.8 21.676 .115 .3 22.7 53.8 38.3 24.3 29. 2 65.7 71.4 40.6 89.4 53.3 82.1 28.Ciencias Empresariales Estadística II 50 60 70 80 90 100 79.0 90.3 118.7 46.5 76.2 74.3 109.4 56.8 432 51.4 95.1 99.6 12411118.5 79.6 90.1 63.8 57.8 70.0 88.3 61.6 135.0 35.7 60.1 79.3 140.5 43. Vol.3 42. 98. 32 (1941).3 100.1 113.9 96.6 69.2 71.4 34.3 fruente: Catherine M.8 129.3 .3 67.4 69.3 73.9 52.1 80.4 104.3 51.2 29.2 92.0 49.2 116.1 77.3 128.6 124. Table of percentage points of the x distribution.3 88. bajo permiso del autor y el Elaborado por: Ing.5 77.5 85.1 107.1 2 37.5 55.2 59. 108 . Thompson.6 101.9 32. Biometrika.5 112.5 48. Rubén Toyama U.3 64.2 67.4 83.3 67.6 74.5 61.7 37.3 ' 59.5 45.3 106.