N elson Gon zalesPROBABILIDADES PROBLEMA 01 Si A y B son independientes, P[𝐀]=1/3 y P[𝐁]=1/4. Hallar P[𝐀 ∪ 𝐁] 𝟏 𝟏 𝟏 𝐒𝐢 𝐏[𝐀] = ; 𝐏[𝐀𝐁] = ; 𝐏[𝐁] = 𝟔 𝟏𝟖 𝟑 ¿Son A y B independientes? PROBLEMA 05 Solución: Si A y B son independientes, 𝐏[𝐀] = 𝐏[𝐁] = 1/2 Calcular 𝐏[𝐀̅𝐁̅∪𝐀 ̅ 𝐁]=1/4. Hallar P[𝐀 ∪ 𝐁] Según el teorema, dos eventos A y B son independientes si: P(AB) = P(A) P(B) PROBLEMA 06 Verifiquemos si esto se cumple con los datos: Como P(AB)=1/18 y P(A)P(B)=1/6 x 1/3 = 1/18 Dado 𝐏[𝐀] = 𝟎, 𝟓 𝐲 𝐏[𝐀 ∪ 𝐁] Hallar 𝐏[𝐁], si A y B son independientes. Entonces A y B son dos eventos independientes. PROBLEMA 07 PROBLEMA 02 Si A y B son independientes, 𝐏[𝐀] = 𝐏[𝐁⁄𝑨] = 𝟎, 𝟓 Una urna contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se extraen Hallar P[𝐀 ∪ 𝐁] sucesivamente y sin reposición dos bolas, sean los eventos: A: “La primera bola extraída es negra”. B: “La primera bola extraída es blanca”. PROBLEMA 08 ¿Son los eventos A y B independientes? Si A y B son eventos independientes con 𝐏[𝐀] = 𝟎, 𝟐; 𝐏[𝐁] = 𝟎, 𝟑 Solución: ¿Cuál es la probabilidad de que: (a) al menos uno ocurra? Si: P(AB)=P(A)P(B), entonces son eventos independientes. Pues (b) exactamente uno ocurra? bien, P(A)=5/9. La ocurrencia de B depende del resultado de la (c) ninguno ocurra? primera extracción. Por ello, debemos trabajar con la (d) ambos ocurran? probabilidad condicional, P(B/A). P(AB) PROBLEMA 09 En efecto, P(B⁄A) = P(A) 5 4 5 Sean A y B dos eventos independientes, se sabe que la probabilidad de donde P(AB) = P(A) P(B⁄A) = x = de que ocurra al menos uno de dichos eventos es 0,6 y que la 9 8 18 probabilidad de que ocurra A es 0,4. Calcular la probabilidad de que Por otro lado, ocurre blanca (es decir, ocurre B) sea por que salió ocurra B. blanca o negra en la primera; es decir, B = (A ∩ B) ∪ (A′ ∩ B) De donde: P(B) = P(AB) + P(A’B) PROBLEMA 10 = P(A) P(B/A) + P(A’) P(B/A’) = 5/9 x 4/8 + 4/9 x 3/8 = 4/9 Si un conejo es inyectado con una droga A la probabilidad que muera dentro de las 24 horas siguientes es de 0,63 y si es inyectado Como P(A) P(B) = 5/9 x 4/9 = 20/81 y P(AB)=5/18, entonces con una droga B dicha probabilidad es de 0,45. ¿Cuál es la A y B no son independientes. probabilidad que un conejo sobreviva más de 24 horas después de haber sido inyectado simultáneamente con las drogas A y B, si se PROBLEMA 03 supone que la acción de las mismas son independientes? De una baraja ordinaria de 52 cartas se extraen sucesivamente 2 cartas, restituyendo la primera antes de extraer la segunda. Sea A PROBLEMA 11 el evento (suceso) “la primera carta es una pica”, B el evento “la segunda carta es as o rey” y C el evento “la primera carta es as o Cierto insecticida mata en la primera aplicación al 90% de los rey”. De los tres pares de eventos: A y B; A y C; B y C, determine mosquitos pero desarrolla cierta resistencia entre los que cuales (si los hay) son independientes. sobreviven, de manera que el porcentaje que muere en una aplicación posterior del insecticida es la tercera parte del Solución: porcentaje que muere en la aplicación inmediatamente anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que un mosquito sobreviva: 13 1 4+3 7 4+3 7 (a) tres aplicaciones de insecticida? P(A) = = ; P(B) = = ; P(C) = = 52 4 52 52 52 52 (b) tres aplicaciones de insecticida, sabiendo que sobrevivió las dos primeras? PROBLEMA 04 PROBLEMA 12 WHAT SAPP: 990 959060 N elson Gon zales Las probabilidades que tres tiradores den en el blanco son, ¿Cuántas personas deben escoger una carta, cada una de diferente respectivamente, iguales a 4/5, 3/4 y 2/3. Si en un disparo baraja para tener una probabilidad mínima de. 0.9 de que por lo simultaneo por los tres tiradores, exactamente dos dan en el menos se escoja un as? blanco; hallar la probabilidad de que el tercer tirador haya fallado. PROBLEMA 20 PROBLEMA 13 Se dispara cada uno de los fusiles A, B y C, la probabilidad de dar en el blanco es 0.15, 0.25 y 0.35, respectivamente. Calcular la Obtener la probabilidad de que en 6 lanzamientos independientes probabilidad. de un dado correcto, aparezca el número 3 al menos una vez. (a) De que al menos uno de los tres dé en el blanco (b) de que acierte uno solo. PROBLEMA 14 PROBLEMA 21 La probabilidad que un misil disparado contra una blanco no sea interceptado es 2/3. Dado que el misil no ha sido interceptado su En un club el 60 % de las personas fuman, 10 personas son probabilidad de dar en el blanco es 3/4. Si se dispara 4 misiles, seleccionadas sucesivamente al azar con reemplazamiento; ¿Cuál independientemente ¿cuál es la probabilidad de que es la probabilidad del evento: "de las 10 personas seleccionadas 3 (a) todos den en el blanco? fuman"? ¿Y la del evento: "de las 10 personas seleccionadas 3 (b) al menos uno de en el blanco? fuman", y la del evento: "de las 10 personas seleccionadas por lo ¿Cuántos misiles deben dispararse para que, menos 3 fuman"?. (c) al menos uno, no sea interceptado con probabilidad 0.95? PROBLEMA 22 PROBLEMA 15 Un teatro tiene sólo un proyector. La bombilla del proyector Cuatro hombres lanzan cada uno un dado. ¿Cuál es la probabilidad funciona; la probabilidad que se queme antes de terminar la de que: película es 0.40. De las 20 lámparas de reserva, una tiene un defecto (a) cada uno obtenga un 4 ; no-visible. De las restantes lámparas de reserva, la probabilidad (b) cada uno obtenga un número par de puntos ; que se quemen es 0.20 antes de terminar la película. (c) todos obtengan el mismo número ? (a) ¿Cuál es la probabilidad que se queme la lámpara en funcionamiento y seleccionado al a2ar un extra, se escoja la lámpara defectuosa? PROBLEMA 16 (b) ¿Cuál es la probabilidad que se queme la lámpara es funcionamiento y seleccionada una perfecta para Cada uno de n individuos lanzan una moneda al aire. Exprese en reemplazarla, se queme a su vez, antes de terminar la términos de n, la probabilidad que: película?. (a) ninguno obtenga cara; (b) todos obtengan cara ; (c) al menos uno obtenga una cara. PROBLEMA 23 La probabilidad de que un hombre viva 10 años es 1/4, y la PROBLEMA 17 probabilidad de que su esposa viva 10 años es 1/3. Suponiendo que estos eventos son independientes, hallar la probabilidad que: Ocho boletos numeradas, 111, 121, 122, 122, 211, 212, 212,221 (a) Por lo menos uno de ellos esté vivo entre los 10 años, están colocados en una bolsa, revueltas. Se va a escoger uno al azar. (b) ninguno esté vivo entre los 10 años Se definen los siguientes eventos: (c) solamente la esposa esté viva entre los 10 años A: "el primer dígito del boleto escogido es 1“ (d) solamente el esposo esté vivo entre los 10 años B: "el segundo dígito en el boleto escogido es l" C: "el tercer dígito del boleto escogido es 1“ (a) ¿Son los eventos A, 6 y C mutuamente independientes? PROBLEMA 24 (b) Calcular P[A U B | B ∩ C.] Una persona que tiene 35 años de edad, padece de cierta enfermedad; consultados los médicos las opiniones están en la PROBLEMA 18 relación 9 a 7 en contra de que la persona viva hasta los 40 años. Otra persona tiene 45 años y las opiniones están en la relación 3 a Suponga que un misil tiene la probabilidad 1/2 de destruir su Z en contra de que viva hasta los 50 años. Hallar la probabilidad blanco y la probabilidad de 1/2 de errarlo. Suponiendo que los que cuando menos una de estas personas viva 5 años más. lanzamientos de los misiles forman pruebas independientes, determínese el número de misiles que deben lanzarse para conseguir que la probabilidad de destruir el blanco sea por lo PROBLEMA 25 menos 0.99. En una urna hay 15 bolas, de las cuales 5 son blancas. Se extraen al azar cinco bolas con reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad que PROBLEMA 19 se seleccionen “x” bolas blancas con x = 0,1,2,3,4,5. WHAT SAPP: 990 959060 N elson Gon zales P[{1}] = 0.10 , P[{2}] = 0.30 , P [{3}] = 0.60 PROBLEMA 26 Además, la probabilidad de producir piezas defectuosas es 0.03. Las defectuosas aparecen independientemente. Hallar la Una pieza de equipo electrónico tiene 3 partes esenciales. probabilidad de no producir piezas defectuosas en un día. Anteriormente, la parte A ha fallado el 20% del tiempo; la parte B, 40% del tiempo y parte C, 30% del tiempo. La parte A opera independientemente de las partes B y C. Las partes B y C están PROBLEMA 32 interconectadas de tal manera que la falla de cualquiera afecta a la otra, por eso, cuando falla la parte C dos de cada 3 veces puede Se lanza 6 dados. ¿Cuál es la probabilidad que aparezca cada uno fallar también la parte B. de los números posibles? Suponiendo que por lo menos dos de las 3 partes deben operar para permitir el funcionamiento del equipo. ¿Cuál es la probabilidad que el equipo funcione?. PROBLEMA 48 Se tienen dos urnas U1 y U2. La primera tiene 2 bolas blancas y 3 PROBLEMA 27 negras, la segunda 2 bolas blancas y 3 rojas. Se extrae al azar una bola de U1 y se pasa a U2. Luego se extrae una bola de U2 y se pasa Un sistema consiste de 4 componentes: A, B, C1, C2. La probabilidad a U1. Finalmente se extrae al azar 2 bolas de U1 y resultan ser de falla es 0.01 para A, 0.02 para B, 0.10 para C1 y 0.10 para C2. Si blanca y negra. Determinar la probabilidad de que U1 no tenga para el funcionamiento del sistema son necesarios los ninguna bola roja. componentes A y B y al menos uno de los C, ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? Problema 49 Una fábrica de unidades de aire acondicionado recibe 70% de sus PROBLEMA 28 termostatos de la compañía A, 20% de la compañía B y el resto de sus termostatos de la compañía C. por experiencia pasada se sabe La probabilidad de que un cazador dé en el blanco con un tiro es que la compañía A produce 1/2% de termostatos defectuosos; la 0.40. compañía B, 1% y la compañía C, 1,5%. Se selecciona al azar una (a) ¿Cuál es la probabilidad que falle 4 tiros consecutivos? unidad de aire acondicionado de la línea de producción y resulta (b) ¿Cuál es la probabilidad que dé en el blanco por lo menos una defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que el termostato haya sido vez en 4 tiros consecutivos? producido por la compañía B? (c) ¿Cuántos tiros debe disparar para tener una seguridad aproximadamente de 0.96 de dar en el blanco por lo menos una vez? Problema 50 Se sabe que una empresa industrial utiliza cuatro máquinas en la PROBLEMA 29 fabricación de cierto producto y que la producción diaria de cada una de ellas es, respectivamente 1000, 1200, 1800 y 2000 piezas. Considere tres urnas; la urna I contiene una bola blanca y dos Se sabe además que en promedio, el 1% de la producción de la negras, la urna II contiene tres bolas blancas y dos negras y la urna primera máquina es “defectuosa”, el 1/2% de la producción de la III contiene dos bolas blancas y tres negras. Se extrae una bola de segunda es defectuosa, el 1/2% de la producción de la tercera es cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las bolas extraídas defectuosa y el 1% de la producción de la cuarta es defectuosa. Si haya de la producción de cierto día se extrae, al azar, una pieza que (i) una blanca y dos negras ; resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad que dicha pieza (ii) por lo menos dos negras ; proceda: de la cuarta máquina? ¿de la tercera máquina? ¿de la (iii) más negras que blancas.? segunda máquina? ¿de la primera máquina? PROBLEMA 30 Problema 51 Una urna contiene 12 bolas, de las cuales 5 son blancas y 7 negras Se lanza al aire una moneda. Si sale cara se introduce una bola se sacan dos bolas y se vuelven a la urna. Se saca otra vez dos bolas blanca en una urna; si sale selo, la bola que se introduce será negra. y se vuelven a la urna, y así continúa hasta hacer 5 extracciones. Esto se hace cuatro veces. Finalmente se extrae dos bolas y resultan (a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras en cada uno ser blancas, ¿Cuál es la probabilidad de que las otras dos bolas sean de los tres primeros experimentos y una pareja de una blanca blanca y negra? y una negra en cada una de las otras dos extracciones? (b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras tres veces y las otras dos veces, dos blancas? Problema 52 De una urna que contiene seis bolas blancas y cuatro negras, se PROBLEMA 31 transfieren cinco de ellas a una segunda urna que se encuentra vacía. Se toman de ella tres bolas y se ponen en una caja vacía. Se La producción diaria de una máquina que produce una pieza muy extrae una bola de la caja y resulta ser blanca. ¿Cuál es la complicada de las siguientes probabilidades para el número de probabilidad que exactamente cuatro de las bolas transferidas de piezas producidas la primera urna a la segunda hayan sido blancas? WHAT SAPP: 990 959060 N elson Gon zales Problema 53 La probabilidad de que un accidente de aviación debido a fallas mecánicas sea diagnosticado correctamente es 0,72 y la probabilidad de que un accidente de aviación que no se debe a fallas mecánicas sea diagnosticado incorrectamente como que se debió a fallas mecánicas es 0,12. Si 40% de todos los accidentes de aviación se deben a fallas mecánicas, ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente de aviación que se diagnosticó como debido a fallas mecánicas sea realmente a esta causa? Problema 54 Tres empaquetadoras se emplearon en una juguetería durante el periodo de navidades. María, que empaqueta 40% de todos los juguetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio 1 vez en 50; Juana, que empaqueta el 30% de todos los juguetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio 1 vez en 10, y Elena, que empaqueta el resto de los juguetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio 1 vez en 20. Dado que un cliente se quejó de que una etiqueta con el precio no fue quitada de un regalo antes de haber sido empaquetado, ¿Cuál es la probabilidad de que María cometiera el error? Solución: Sean los eventos: A1 : Los juguetes que empaqueta María. A2 : Los juguetes que empaqueta Juana. A3 : Los juguetes que empaqueta Elena. B : No se quitó la etiqueta de su empaquetado. P(A1) = 0,40 P(B/A1) = 0,02 P(A2) = 0,30 P(B/A2) = 0,10 P(A3) = 0,30 P(B/A3) = 0,05 P(B) = P(A1 ) P(B⁄A1 ) + P(A2 ) P(B⁄A2 ) + P(A3 ) P(B⁄A3 ) P(B) = (0,40)(0,02) + (0,30)(0,10) + (0,30)(0,05) P(B) = 0,053 P(A1 ) P(B⁄A1 ) (0,40)(0,02) P(A1 ⁄B) = = = 0,151 P(B) (0,053) WHAT SAPP: 990 959060