UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOCOLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES SECRETARÍA ACADÉMICA GUÍA DE ESTUDIO PARA PRESENTAR EL EXAMEN DE CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES DISCIPLINARIAS PARA LA CONTRATACIÓN TEMPORAL DE PROFESORES DE ASIGNATURA INTERINOS DE E S TA DÍ S T I C A Y P RO B AB I L I DA D I Y I I 28° PROMOCIÓN Marzo 2010 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD I 1 PRESENTACIÓN La Estadística y la Probabilidad son ya una herramienta indispensable para interpretar una gran variedad de información en diversos campos de la ciencia y, en general, de la actividad humana. Una persona encuentra reportes de ventas o producción, financieros o económicos, médicos, meteorológicos, escolares o sociales que se sólo se pueden entender y evaluar adecuadamente con una formación básica en estas disciplinas. En el Plan de Estudios del CCH la materia de Estadística y Probabilidad se ofrece en los últimos dos semestres con carácter optativo, con el propósito de que los alumnos adquieran conocimientos de carácter introductorio y propedéutico acerca de los métodos estadísticos y probabilísticos, así como de sus aplicaciones en diversos campos de conocimiento. Con ello, se pretende reforzar el empleo de estrategias y el desarrollo de habilidades, así como la capacidad de los alumnos para resolver problemas y desarrollar diversas formas de razonamiento. La materia en cuestión pretende proporcionar al estudiante una serie de conocimientos y habilidades que se enriquecen conforme se avanza en su estudio, brindándole conceptos y procedimientos básicos que le permitirán aplicarla, así como una conceptualización matemática que le servirá en el campo disciplinario en que se desenvuelva. Por lo tanto, el profesor de Estadística y Probabilidad deberá tener capacidad para conducir a los alumnos al logro de dichos propósitos, lo que exige el conocimiento de los objetivos de los programas de los dos cursos, así como el dominio de la temática incluida en cada uno de ellos. En ese sentido, el examen de conocimientos y habilidades que realizarán los aspirantes a impartir esta disciplina en el CCH contemplará los siguientes aspectos: I. II. Dominio de los conceptos y los métodos básicos. Capacidad para resolver problemas de estadística y probabilidad, que se mostrará tanto en el desarrollo claro y ordenado del procedimiento, como en el logro de la solución buscada y en su adecuada interpretación. (En ningún lado se pide el plantar algún problema) Para orientar a los aspirantes en la preparación del examen, en esta guía se presentan: a) Los temas que contemplará el examen, incluyendo los conceptos que resulten básicos para su comprensión, b) Algunos problemas que ilustren la profundidad con que se espera que el aspirante a profesor sea capaz de trabajar con sus alumnos, c) Una bibliografía básica que puede servir como apoyo en la preparación del examen El examen estará integrado por problemas similares a los propuestos en esta guía y para acreditarlo se deberá responder correctamente por lo menos al 80% de ellos, pues la calificación mínima requerida es de 8. 2 gráficas de barras. Problemas: 1.El ingreso mensual de una familia se distribuye de la siguiente manera: Alimentación Servicio Recreación Transporte $ 3. de frecuencias.750 Renta Educación Ropa Varios $ 3. polígonos. ESTADISITICA DESCRIPTIVA a) Tabla de distribución de frecuencias b) Distribuciones de frecuencias c) Intervalos y frecuencias: absoluta. ojivas.200 $ 1.400 $ 900 3 . Conceptos básicos Azar y probabilidad Variables y su clasificación.500 $ 1. b) Construcción de representaciones gráficas: histograma.CONTENIDOS 1. Procedimientos básicos a) Construcción de tablas de distribución de frecuencias para representar el comportamiento de variables cualitativas y cuantitativas. e) Medidas de tendencia central y sus propiedades. g) Medidas de posición y sus propiedades (cuartiles) h) Regla empírica i) Aplicaciones. circulares y de caja. relativa y acumulada d) Representaciones graficas. 2.. c) Interpretación de gráficas para describir el comportamiento de un conjunto de datos.500 $ 1. e) Obtención de medidas de posición. INTRODUCCIÓN Conceptos básicos a) b) c) d) e) Utilidad de la estadística. f) Obtención del coeficiente de variación.900 $ 900 $ 1. g) Determinación de intervalos establecidos por la Regla Empírica. Abusos de la estadística. d) Cálculo de medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados y no agrupados. f) Medidas de dispersión y sus propiedades. por ejemplo algún promedio con su dispersión. Interpreta tus resultados y explica por qué realizaste dicho análisis y los resultados que obtuviste. 4 . 3. 4... Actores 47 40 32 39 43 37 76 62 36 37 43 32 42 42 51 40 44 53 32 41 33 60 56 61 38 39 35 56 46 45 48 55 31 48 Actrices: 33 34 50 74 35 44 30 26 35 33 61 80 41 60 26 31 34 28 35 24 41 41 30 21 42 37 61 37 31 38 26 49 27 34 Haciendo uso de las herramientas estadísticas compara estos dos conjuntos de datos.(No hay pregunta) 2.Los siguientes datos representan las edades de los actores y actrices de los 35 ganadores recientes.Los siguientes datos indican la distribución de la población mayor de 12 años según condición de actividad económica y ocupación (PEA): ¿Cuál actividad económica y cuál ocupación? HOMBRES 12-14 356208 15-19 2290305 20-24 3345154 25-29 3478172 30-34 3131178 35-39 2805986 40-44 2295861 45-49 1761567 50-54 1389028 55-59 968675 60-64 677972 Analiza estadísticamente los anteriores datos con el método que desees.. ¿Cuáles son tus conclusiones? Justifica tus respuestas. Pedir algo en específico. Misma sugerencia que en el ejercicio anterior. explicando como realizaste la comparación e interpretando los resultados obtenidos. excepto la primera clase: HOMBRES MUJERES 12-14 3218584 3139293 15-19 4594265 4194076 20-24 2665426 2267760 25-29 1236409 1068574 30-34 569293 540794 35-39 329187 343942 40-44 195308 232948 45-49 123203 164839 50-54 90668 131655 55-59 62812 91840 60-64 52691 79534 ¿Qué puedes concluir acerca de estos datos? Realiza un análisis estadístico para respaldar tu respuesta. en cada una de las categorías.Los siguientes datos indican la distribución de la población mayor de 12 años según estado conyugal (en este caso son únicamente solteros) por quinquenios. 6 17 Diciembre 5. Fundamenta tu respuesta.8 35 Octubre 5.2 35 Agosto 6. El estudio se realiza durante un año y se tiene la información siguiente: Material de desperdicio Ventas de línea complementaria Mes (cientos de miles $) (millones de $) Enero 5.1 24 Noviembre 4. e) Interpreta cada uno de los estimadores del modelo de regresión f) Trazar la gráfica de la ecuación anterior sobre el diagrama de dispersión.5 28 Marzo 4... DATOS BIVARIADOS Conceptos básicos a) b) c) d) Tablas de contingencia Correlación lineal simple Regresión lineal Método de los mínimos cuadrados Procedimientos básicos a) Construir tablas de contingencia para representar la relación entre dos variables cualitativas b) Interpretar la información contenida en las tablas de contingencia c) Construir diagramas de dispersión para representar la relación entre dos variables cuantitativas d) Calcular e interpretar los valores estimados de la pendiente y la ordenada al origen de la recta de mínimos cuadrados e) Graficar la recta de regresión f) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal simple g) Utilizar la recta de ajuste para predecir valores de la variable de respuesta. b) Explica en que consiste el análisis de correlación.Los siguientes datos representan la información respecto a la calidad de la prestación del seguro por maternidad y el número de días que permanecen las mujeres que recién dieron a luz. | 5.7 22 Mayo 5.0 30 Septiembre 6. y de qué tipo es.8 32 Julio 7.7 24 a) Trazar el diagrama de dispersión y decirde si hay alguna relación entre las dos variables. c) Especificar qué información da el coeficiente de correlación y qué valor tiene en este caso d) Explicar cuál es el objetivo principal del análisis de regresión y encontrar el modelo matemático que mejor se ajusta si la variable x es el importe del material de desperdicio. g) ¿Es confiable el modelo y el análisis obtenido? Justifica las respuesta 6. para esto se examinan los reportes del desperdicio de la producción y de las ventas de la línea complementaria fabricada.Cierta fábrica desea saber si existe una relación entre lo que vende y lo que desperdicia.5 20 Abril 4. 5 .3 21 Febrero 6.5 28 Junio 6.3. 1 83 6. c) Elabora la distribución condicional de servicio excelente y dada un a permanencia de 8 días.PRESTACIONES DEL SEGURO POR MATERNIDAD MALAS REGULARES EXCELENTE Días de permanencia de las madres en la sala de maternidad 0-2 3-4 5-6 7 8 9 y ó más 4 2 0 10 27 38 6 38 59 5 17 1 6 15 0 5 7 a) Determina las distribuciones marginales (No es tema del programa) b) Construye la representación gráfica de esta información.0 79 8. Dos de las variables estudiadas. clásico Eventos y espacio muestra Eventos mutuamente excluyentes Regla de la suma Eventos independientes Probabilidad condicional Regla del producto Procedimientos básicos a) b) c) d) e) Construir y describir el espacio muestra de diversos eventos Representar eventos a partir de enunciados Calcular probabilidades utilizando el enfoque frecuencial Calcular probabilidades utilizando el enfoque clásico Identificar y representar eventos compuestos 6 .7 71 12.4 81 7. sino que también lo es de manera independiente. The Public Health Reports. 7. Edad (x) 65 Años restantes (y) 16. 67 15.1 77 9. consideran que el servicio es regular? e) ¿Qué se puede concluir de estas dos variables? Justifica tu respuesta.1 69 13. fueron la edad actual de una persona y el número esperado de años restantes por vivir. apareció el artículo “A Multistate Analysis of Active Life Expectancy”.4 73 11. d) ¿Que porcentaje de madres que permanecen a lo mas 4 días en el hospital. frecuencial.4 Elabora un diagrama de dispersión Determina la ecuación de la recta de regresión Traza la recta del mejor ajuste en el diagrama de dispersión ¿Cómo se interpretan la ecuación de mejor ajuste? ¿Cuántos son los años restantes por vivir esperados para una persona de 70 años? ¿Es confiable este resultado? ¿Justifica tu respuesta? PROBABILIDAD Conceptos básicos f) g) h) i) j) k) l) m) n) Fenómenos aleatorios y deterministas Regularidad estadística Enfoques de la probabilidad: subjetivo. La gente no es sólo más longeva en la actualidad.2 75 10.5 a) b) c) d) e) f) 4. En el número de mayo-junio de 1989. Los resultados se encuentras resumidos en la tabla siguiente: Preferencias Depor_F Basquet Leer Futbol Row Natacion Summary 4 3 3 10 Pasatie Musica 3 10 1 14 VideoJ 1 3 2 6 8 16 6 30 Column Summary S1 = count Si se toma una persona aleatoriamente de ese grupo.f) Identificar y representar eventos condicionados e independientes g) Calcular probabilidades de los eventos descritos 8. si practica la natación f) No practique fútbol. calcula la probabilidad de que: a) No practique natación. e) Le guste la lectura. El administrador de una tienda de regalos desea conocer la relación del tipo de cliente con la forma de pago. c) Practique fútbol o tenga como pasatiempo escuchar música d) Ni practique natación ni le guste leer. si no le gusta la música. Educación Masculino Femenino Total Primaria 38 45 83 Secundaria 28 50 78 Universidad 22 17 39 Total 88 112 200 a) Representar gráficamente la información contenida en la tabla b) ¿Cuántas personas son de sexo femenino o tienen como máximo educación secundaria? c) ¿Cuántos adultos tienen estudios universitarios y no son mujeres? 9. 7 . de acuerdo a su sexo y nivel educacional. b) Le gusten los video juegos y practique básquet. En la tabla se clasifica una muestra aleatoria de 200 adultos. A un grupo de 30 personas se les preguntó que dijeran que deporte practicaban y cuál era su pasatiempo favorito. para lo cual aplicó un cuestionario a sus clientes obteniendo los siguientes datos de la tabla: Pago Cliente Tarjeta Contado Total Frecuente 80 65 145 Eventual 30 25 55 Total 110 90 200 a) ¿Cuántos clientes son eventuales o pagan con tarjeta? b) ¿Cuántos clientes son frecuentes y no pagan de contado? c) Representar gráficamente la información contenida en la tabla (Tamaño de la fuente) 10. Cierta compañía tiene asignada la tarea de comparar la confiabilidad de dos estaciones de bombeo. Sean A y B dos eventos para los que P A 0. (A.5.35 . B). la estación debe quedar fuera de servicio.12 0. 13. Si se extraen los fusibles uno por uno.06. pueda incluir dos o tres mujeres? 15. b) Tener un automóvil negro y sufrir un accidente el día de hoy.06 2 0.10 0 ¿Cuál estación tiene la mayor probabilidad de quedar fuera de servicio? 14. Un lote de 10 fusibles contiene 2 fusibles defectuosos. 18. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga: a) Ningún microchip defectuoso? b) Exactamente un microchip defectuoso? c) A lo más un microchip defectuoso? 16. con tres hijos.45 d) P A B e) P A f) B P A B 12. La probabilidad de que haya al menos un microchip defectuoso es de 0..Determinar si cada uno de los siguientes pares de eventos son o no son independientes y explicar porque. De seis números positivos y ocho negativos se eligen cuatro números al azar (sin sustitución) y se multiplican ¿Cuántos productos positivos diferentes se pueden formar? 8 . B={a lo más dos águila }. Si la probabilidad de obtener un niño varón es de 0. Los datos disponibles indican que prevalecen las siguientes probabilidades: Estación P(falla en bombeo) P(fuga) P(ambas) 1 0.. Sean A={por lo menos dos águilas }. c) Aprobar un examen físico y luego uno escrito. a) Extraer una carta con la figura de bastos de una baraja. De las parejas de eventos (A. ¿Cuál es la probabilidad de que el último fusible defectuoso sea detectado en la tercera extracción? ¿En la cuarta?. y luego extraer otra con la misma figura sin regresar la primera. P B 0.09 0. Cuando una de éstas (o ambas) se presentan. ¿cuál es la probabilidad de que una familia. C={todos soles o todos águilas}. C) y (B.35 y P A Calcular: a) P A B b) P A B c) P A B B 0.Se lanzan tres monedas. C) ¿Cuáles son independientes y cuáles son dependientes? ¿Por qué? 17.07 0.11. Una caja contiene 100 microchips para televisión. Cada estación es susceptible de dos tipos de fallas: en las bombas y fugas. B = {El comprador solicita balanceo de los neumáticos} C = {El comprador solicita alineación de los neumáticos} Considere las siguientes probabilidades: P( A) 0. 20.. sólo el 32% llenas sus tanques. el 45% llena su tanque. 55%. ¿cuál es la probabilidad de que el paciente este sano? a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con resultado negativo tenga la enfermedad? b) ¿Cuál es la taza de efectividad de la prueba? 25. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) El siguiente cliente llene su tanque con gasolina Premium? b) El siguiente cliente llene su tanque? c) Si el siguiente cliente llena el tanque. tres tipo C y tres tipo D. De los que compran gasolina extra. llenan sus tanques. De los clientes que consumen gasolina regular. en tanto que quienes llevan gasolina Premium. y los restantes gasolina Premium. en el 3% presenta un resultado positivo. P(C A B) 0. Si la selección de los empleados se realiza de manera aleatoria. 15 en el turno vespertino y 10 en el turno nocturno.19. Supón que en cierta gasolinera. En un lote de 20 neumáticos recuperados de un incendio.Para los clientes que compran un juego completo de neumáticos. en cierta distribuidora.7 . Si se aplica la prueba a una persona seleccionada aleatoriamente y el resultado es positivo. a) ¿Cuántas moléculas se pueden formar? b) ¿Cuántas moléculas tienen tres moléculas del mismo tipo juntas? 22.8 . El supervisor de control de calidad selecciona a 6 de estos empleados para hacerles una entrevista exhaustiva.8 . P(C A B ) 0. P(C A B) 0. Una planta refresquera tiene 20 trabajadores en el turno matutino. considere los siguientes eventos: A = {Los neumáticos son fabricados en EEUU}.3 9 . 45% de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo. P( B A) 0.75 . a) ¿Cuántas selecciones dan como resultado 6 trabajadores del turno vespertino? b) ¿Cuántas selecciones dan como resultado 6 trabajadores del mismo turno? c) ¿Cuántas selecciones tienen al menos un empleado de cada uno de los turnos? 21.9 . Determinar el número de grupos de cuatro llantas seleccionadas aleatoriamente en los cuales haya al menos un neumático sin defectos. P(C A B ) 0. P( B A) 0. Si eligen sus asientos de una forma totalmente aleatoria. 8 tienen daños internos y los restantes no tienen daños. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) A y B (marido y mujer) se sienten en los asientos de un extremo? b) A y B se sienten juntos c) Por lo menos una de las esposas quede sentada junto a su marido? 23. Tres moléculas tipo A. ocurre un resultado positivo en el 98% de las veces. mientras que un individuo sin la enfermedad. tres tipo B. Tres parejas de casados compraron boletos para el teatro y se sientan en una fila que consiste solamente de seis asientos. Se sabe que sólo 1 de cada 1000 adultos se ve afectado por una rara enfermedad. se deben combinar para formar una molécula en cadena. ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina extra? 24. para la cual se ha elaborado una prueba de laboratorio.6 . La prueba es tal que cuando un individuo tiene la enfermedad. 30% usan gasolina extra sin plomo. 2. Empata o Pierde el equipo local.4. a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar los tres soldados? b) ¿Cuántos grupos de tres soldados contendrán al soldado más torpe? 30. en cada juego el apostador puede seleccionar entre Gana. Por la noche en una carretera oscura. 2 Empates y 4 Perdidos. la probabilidad de que ocurra un accidente es de 0. El juego de pronósticos deportivos consta de 13 juegos. Se van a formar números de 3 dígitos a partir de los dígitos 0.15. de que sólo el conductor B vaya adormilado es de 0.01. de que ambos vayan adormilados es de 0.3. ¿cuántos dígitos diferentes se pueden formar? y de estos ¿cuántos serán pares y cuántos serán impares? b) Si se permite repetir dígitos. Se van a seleccionar tres soldados por lote de un grupo de diez voluntarios para una misión peligrosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un accidente? ¿Y de que si ocurrió un accidente haya sido porque B iba adormilado? 28. la probabilidad de que ocurra un accidente es de 0.15 y de que ninguno vaya adormilado es de 0.Determinar: a) P( A B C ) b) P( B C ) c) P(C ) d) P( A B C) 26. si ambos van adormilados la probabilidad es de 0. 1. ¿cuántos dígitos diferentes se pueden formar? y de estos ¿cuántos serán pares y cuántos serán impares? 31. ¿cuál es la probabilidad de que se haya distraído en clase? 27.6 y si sólo A va adormilado. pasan en sentido contrario dos autos. 5. Si sólo B va adormilado. Si al final de la clase un alumno dice que ha entendido el tema. a) ¿Cuántos comités contienen a dos químicos? b) ¿Cuántos comités contendrán al físico más destacado? 29. Si una persona va a colocar 7 Ganados. En una clase el 60% de los alumnos se distraen durante una explicación. Un comité de 4 personas debe ser seleccionado de un grupo de 5 químicos y 7 físicos. 4. a) Si no se permite repetir dígitos. ¿De cuántas formas diferentes puede hacer sus elecciones? 32. La probabilidad de que sólo el conductor A vaya adormilado es de 0. el 20% entiende el tema que se discute y de los que no se distraen el 80% entiende el tema. 3. De los que se distraen.85 y si ninguno va adormilado la probabilidad de que ocurra un accidente es de 0. ¿De cuántas maneras diferentes es posible contestar una prueba de verdadero y falso que tiene 13 preguntas? ¿De cuántas formas distintas se puede seleccionar 6 verdaderas y 7 falsas? 10 . 6.4. 11 .Si X es una variable aleatoria que toma los valores. Estaturas en metros de los profesores del CCH. ¿cuántas llamadas se podrían registrar en un intervalo de tres minutos? b) Calcular la varianza y la desviación estándar. El promedio final de 100 alumnos que terminaron el bachillerato. 4.10 3 0.03 a) Según el promedio. verificar si la siguiente expresión es una función de probabilidad para dicha variable: P( x) 5 x 10 3.20 2 0.60 1 0. así como el valor esperado y la desviación estándar Variables aleatorias y Probabilidad Problemas 1 Clasificar cada una de las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: a) b) c) d) Las edades de los estudiantes que están en un colegio. 1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Conceptos básicos a) b) c) d) e) f) g) Variable aleatoria Variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Parámetros: valor esperado y desviación estándar Distribución Bernoulli Distribución Binomial: experimento binomial.03 5 0. 0. propiedades geométricas y analíticas. significado y ventajas de la estandarización. y sus respectivas probabilidades en un intervalo de tres minutos. variable aleatoria binomial y parámetros Distribución Normal: la distribución Normal como modelo continuo del comportamiento de una gran diversidad de fenómenos aleatorios. 2. Litros de gasolina vendidos cierto día en una gasolinera. El número de llamadas telefónicas que se registran en un conmutador. Procedimientos básicos a) Cuantificar los eventos utilizando una variable aleatoria b) Construir la distribución de probabilidad y la distribución de probabilidad acumulada asociadas a una variable aleatoria c) Representar gráficamente la distribución de probabilidad d) Calcular e interpretar el valor esperado y la desviación estándar de una variable aleatoria e) Calcular probabilidades en experimentos binomiales. de llamadas (x) Frecuencia relativa 0 0.04 4 0. se muestran en la siguiente tabla: No.ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD II 1. 2 . 3. Una caja contiene 10 transistores de los cuales 2 son defectuosos. b) Si Y es la variable aleatoria que nos da el importe de las ventas diarias.9 y 0. Calcule su valor esperado P( x) x2 1 k para x 0. a) Construir la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X que indica el número de ventas diarias de dicho vendedor. un estudiante del Colegio considera que las probabilidades de obtener una calificación de 10. 4. 6.4. 7 ó 6 son de 0. 3.00. x = 0.00001 de ganar $100. Si X es el número de televisores defectuosos adquiridos por el hotel. 1. calcular la media y la varianza de la variable aleatoria Y (ventas diarias) 5.25. Jaime arroja dos dados equilibrados y Manuel le paga k centavos. 13.30 y 0. Un hotel adquiere en forma aleatoria 3 de los aparatos.0002 de ganar $50. Encuentre el valor esperado de X 9. 0. Si un estudiante contesta al azar y X es el número de aciertos.00 ¿Cuál sería el precio justo que se debería pagar por el billete? 11. calcula E(X) y E(X-E(x))2. con probabilidades de 0.00 . De una caja que contiene 4 monedas de $ 10.00 y 0. 9. Se selecciona sin reemplazo un transistor de la caja y se prueba hasta que se escoge uno no defectuoso. Un envío de 7 televisores contiene 2 defectuosos. 8.000. ¿cuál es la calificación esperada? 8. Al evaluar las calificaciones que puede obtener en el examen final de Cálculo I.2 respectivamente.000. 2. calcular el número esperado de ventas al día. encuentra la distribución de probabilidad de X Valor esperado Problemas 7. 0. Jaime y Manuel juegan el siguiente juego. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es f(x) = 3Cx (¼)x (¾)3-x . 0. respectivamente. se seleccionan al azar tres de ellas sin reemplazo. Un billete de lotería tiene 0. 6 12 .000. 2. ¿Cuánto debe pagar Jaime a Manuel por cada juego para que éste sea parejo? 12. Un examen contiene 10 preguntas verdadero o falso.004 de ganar $25.1. Determine el valor de k de tal manera que la siguiente expresión sea una función de probabilidad.01. 10. donde k es el producto de los dos números que muestran los dados. Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente con un 1 3 probabilidad de y 2 respectivamente. Hallar el número esperado de selecciones hasta que el transistor defectuoso se escoge.15. 0. Encuentra la distribución de probabilidad para la suma del valor de las tres monedas y represéntala en forma gráfica.000.00 y 2 de $ 5. Cada entrevista tendrá como resultado una no venta 3 o una venta de $ 50. si es el caso identificar: número de repeticiones. si x [a. ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades lo detecten? b) ¿Cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar un misil sea de 0.999? Distribución Normal 24. Prueba que σ2 = E (X [X – 1]) + . Se lanza una moneda legal hasta que salga un sol o cuatro águilas (lo primero que ocurra). 2 18. Hallar el valor esperado de lanzamientos de la moneda. Observar el estado de 15 artículos que acaban de ser producidos por una máquina. Demuestra que E(X*)=0 y Var(X*)=1. si x [a. determina las siguientes probabilidades: e) Al menos uno tiene computadora en su casa. Distribución Binomial 19.14. f) A lo más cinco tienen computadora en su casa. 20. Encuentra el o los valores z que acoten el 65 % del área: a) al centro en la distribución normal.2a] ó f (x) = 0 . Se sabe que el 35% de los adolescentes tienen en su casa una computadora. definir el éxito y el fracaso. Si X es una variable aleatoria continua cuya distribución f es constante en I. Sea X una variable que tiene una distribución binomial con p = 0. Obtén la media y la varianza de los pesos de un hombre y una mujer.2a] (No hay pregunta) 15. 13 . 23. . b) a la izquierda de la distribución normal. Sea I={a < x < 2a}. 16. Un sistema de protección contra misiles está construido con n unidades de radar que funcionan de forma independiente.5 kg y una desviación estándar de 6 kg.9 ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 5 de los próximos 7 pacientes que se les realice dicha operación? 22. La probabilidad de que un paciente sobreviva de una operación delicada del corazón es de 0. Calcula la probabilidad de que tome un valor en el intervalo . 21.9 de detectar un misil: a) Si n = 5 y pasa un misil.5 y n=5. el peso promedio del grupo es de 81 kg y la desviación estándar de 9 kg. Identificar si los siguientes experimentos aleatorios son binomiales o no. cada uno con una probabilidad de 0. Observar los resultados de las calificaciones finales de 40 alumnos de un curso de estadística. dicho grupo tiene una media de 63. g) Menos de dos no tienen computadora en su casa. Se selecciona un varón de un grupo de n individuos del mismo sexo. si escogemos aleatoriamente a seis adolescentes. se dice que f está uniformemente distribuida en I. También se selecciona a una mujer de otro grupo semejante de mujeres. a) b) c) d) Observar lo que pasa al intentar prender 10 cerillos Observar los resultados de los 9 partidos de la jornada de fútbol. entonces f (x) = k . si X* es la variable aleatoria estandarizada que corresponde a X con media y desviación estándar σ > o 17. ¿qué porcentaje de monedas legítimas será rechazado? b) Determina cuánto pesan las monedas de 50 centavos legítimas aceptadas.1 pulgadas. Concepto de variabilidad muestral Los estadísticos como variables aleatorias (en particular la media muestral y la proporción muestral) e) Distribución de la media muestral y de la proporción muestral (la media y la varianza de ambas distribuciones) f) Interpretación del Teorema Central del Límite. se distribuyen normalmente. a) Si una máquina expendedora se ajusta de modo que rechace las monedas de 50 centavos que pesen menos de 5. ¿En qué proporción de los días excederá la descarga diaria los 50 mg/l? 26. respectivamente. se sabe que. ¿Entre que valores se encuentran el 95% de los pesos de estas aves? 2. Indica el porcentaje de llantas vendidas que se requiere reemplazar. La linterna dejará de funcionar si se agota una o más de sus pilas.070 g. 28. Las monedas de 50 centavos tienen pesos distribuidos normalmente con una media de 5. g) Relaciones entre parámetros y estadísticos.67 g y una desviación estándar de 0.5 % más ligero y el 1. 27. 14 . 29. 25. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Conceptos básicos a) b) c) d) Conceptos de Población y Muestra Parámetros y estadísticos. si la máquina se reajusta de modo que rechace el 1. Supóngase que la vida de una pila está normalmente distribuida con = 120 horas y una desviación estándar = 10 horas. Una linterna grande es alimentada por cinco pilas. Suponiendo que la vida de las pilas es independiente.53 g o más de 5.c) a la derecha de la distribución normal.81 g.De los pesos de cierta ave de la selva tropical. La descarga de sólidos de una mina de fosfato tiene un distribución normal con descarga diaria media igual a 27 miligramos por litro (mg/l) y una desviación estándar de 14 mg/l.. Una máquina troqueladora produce tapas para latas cuyos diámetros están normalmente distribuidos con una desviación estándar de 0. si esta marca de llantas se garantiza por 30 mil kilómetros. calcula la probabilidad de que la linterna funcione más de 135 horas.5 % más pesado. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una de estas aves su peso se inferior a 125 gramos?. El tiempo de servicio de cierta marca de llantas de automóviles sigue una distribución normal con una media y una desviación estándar de 32 mil y mil kilómetros. el 15% de los pesos ave están por debajo de los 100 gramos y que el 10% de los mismos pesos son de al menos de 135 gramos. ¿En qué diámetro “nominal” (promedio) debe ajustarse a la máquina de modo que más de 5 % de las tapas producidas tengan diámetros que excedan las tres pulgadas? 30. Evalúa: a) La media de esta distribución de muestreo. p2ˆ . x . p y f) Comprender la relación entre x . pˆ . Se seleccionan muchas muestras de tamaño 36 y se calculan las medias. respectivamente. h) Conocer e interpretar el Teorema Central de Límite. e) P x 168 d) P x 175 34. Considere la población aproximadamente normal de las estaturas de los estudiantes varones en una universidad. respectivamente. Suponga que las estaturas individuales tienen media y desviación estándar iguales a 170 y 10 centímetros. c) La forma de esta distribución.Procedimientos básicos a) b) c) d) e) Distinguir los conceptos de población y muestra Obtener muestras pequeñas de poblaciones finitas Distinguir entre parámetros y estadísticos Construir la distribución muestral para una media y una proporción. a) ¿Qué valor es de esperar que tenga la media de todas esas medidas muestrales? b) ¿Qué valor se esperaría para la desviación estándar de todas las medias muestrales? c) ¿Qué forma es de esperar que tenga la distribución de todas las medias muestrales? 33. i) Calcular probabilidades en las distribuciones de medias y proporciones. . si n es igual a los valores siguientes: a) n = 25 b) n = 100 de los resultados obtenidos c) n = 225 d) ¿Qué puedes concluir 15 . Cierta población tiene media y desviación estándar iguales a 500 y 30. Se obtiene una muestra de 16 estaturas. b) El error estándar de la distribución de la media. p y g) Seleccionar muestras aleatorias y calcular la media y la varianza muestral. Suponga que un niño de 12 años le pide que le explique la diferencia entre población y muestra. Calcular los valores de x . x . Población y Muestra 31. a) ¿Qué información debe de incluir en su respuesta? b) ¿Qué razones proporcionaría al niño sobre por qué debe tomarse una muestra en vez de encuestar a todos los elementos de la población? Parámetros y Estadísticos 32. pˆ . p2ˆ con . Una población tiene una distribución normal con media desconocida y desviación estándar 5. Obtén la probabilidad de que x diste de menos de una unidad. Una máquina con bolas de chicle contiene tres bolas rojas y una bola verde.005 cm. 36. de la media del proceso? 40. suponte que el muestreo se hace con reemplazo.004 cm? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener la media de muestra que se desvíe más de 0. a) ¿Es la población es normal? Justifica tu respuesta. h) ¿Cuáles son tus conclusiones? a) b) c) d) e) f) 39. a) p pˆ b) p 1.01 cm. Muestra que: pˆ 3 y que 4 p2ˆ 0. Construye una distribución muestral de la proporción de bolas rojas obtenidas. b) ¿Qué porcentaje de medias de la muestra quedarán en el intervalo 0. Construye la distribución muestral de la proporción. Elabora la tabla de distribución de probabilidad de la media muestral. determina el porcentaje de las proporciones de muestra que se espera que queden en estos intervalos.33 pˆ 16 . En un hospital se requirió que los seis empleados administrativos trabajaran en horas extras una quincena como se muestra en la tabla: Horas extras trabajadas por los administrativos de un hospital Empleado Horas extras Empleado Horas extras Ramírez 2 López 4 Jiménez 3 Fernández 6 Hernández 5 Chávez 7 Calcula y de las horas extras trabajadas. g) Comparar el inciso a con el f. Grafica las horas extras trabajadas Selecciona todas las muestras posibles de dos elementos y calcular en cada una su x . En el problema anterior.20 cm. El espesor promedio de las monedas es 0. Calcula la media de las medias muestrales y el error estándar (que es la desviación estándar de la distribución de muestreo) de la media.20 0. Víctor coloca dos monedas en la máquina y registra la proporción de bolas de chicle que obtiene. Si se supone que se tiene un tamaño muy grande de muestra. escoges dos huevos y registras la proporción de huevos buenos. Grafica la distribución. Se toman muestras de 36 observaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas.96 pˆ c) p 2 pˆ d) p 2.02 Teorema del Límite Central 38. verifica que pˆ p y p2ˆ pq n 37. con una desviación estándar de 0.35. De una caja que contiene tres huevos buenos y uno podrido. 4 6 0. c) Cálculo del valor del tamaño de la muestra (n) para diferentes errores y niveles de confianza. La variable aleatoria X .3 7 0.41 El 75% de los habitantes en la zona metropolitana viven en el DF y el resto en el área conurbada.5. c) Encuentra la probabilidad de que el número promedio de cerezas en 36 empanadas sea menor que 5. d) Elaboración de hipótesis estadísticas para la media y para la proporción de la población. 3. f) Reconocimiento de los elementos de una prueba de hipótesis. b) Encuentra la media x y la varianza 2 x de la media x para muestras aleatorias de 36 empanadas de cereza. e) Conocimiento de los tipos de errores asociados con la prueba de hipótesis.2 5 0.1 a) Encuentra la media y la varianza de X . ¿cuál es la probabilidad de que el número de personas que viven en la zona conurbada y que asisten al concierto sea menor a 270? Dibuja la distribución muestral de la proporción. INFERENCIA ESTADÍSTICA Conceptos básicos a) Estimación puntual y por intervalos b) Nivel de confianza c) Error de estimación d) Hipótesis estadísticas e) Nivel de significancia Procedimientos básicos a) Determinación de estimaciones puntuales tanto de la media como de la proporción. 17 . g) Realización de pruebas de hipótesis para la media y la proporción de la población en diferentes problemas. así como la interpretación de los resultados obtenidos Estimación Problemas 42. tiene la siguiente distribución de probabilidad: x P(x) 4 0. Si 1200 personas asisten a un concierto y esta cantidad se considera una muestra aleatoria. que representa el número de cerezas en una empanada. b) Construcción e interpretación de intervalos de confianza para la media y para la proporción de la población. tuvo una media x 29.9085 gr. 18 . y la etiqueta del paquete decía que el peso neto es de 48. un miembro de la oficina calcula la media x y la desviación estándar s = 1.2. De una muestra de 100 familias.0 onzas (3.9.200 personas. y una desviación estándar de 0. La muestra produce una media de 116 litros y una desviación estándar de 19. determine la probabilidad de que pese más de 0.1 y una desviación estándar de s= 3.9147 gr.000 habitantes. Calcula un intervalo de confianza de 80% del consumo total de agua de la ciudad entera diariamente. Una muestra aleatoria de n = 64 observaciones. 48.9085 gr. Obtén el estimador puntual para la media poblacional y una cota para el error de estimación así como un intervalo de confianza de 99% para . los números romanos I y II representan las distribuciones muestrales de dos estadísticos que pueden usarse para estimar un parámetro. c) En vista de los resultados anteriores ¿cree usted que la Mars Company esté proporcionando a los consumidores de dulces M&M la cantidad que indica la etiqueta? 44. a) Si se escoge al azar un dulce M&M liso. b) Si una estadística es insesgada. ¿cuál es el error estándar de x ? 47. Una oficina local de escuelas debe estimar el número medio de niños por familia. para que el contenido neto pese al menos 1361 gr). a) Con todo lo demás igual.9085 gr. explica porqué usualmente se preferirá un estimador insesgado a uno sesgado. determine la probabilidad de que sus pesos medios sean de por lo menos 0. Observando los medidores en las casas de estas personas. el Departamento obtiene una medida exacta del consumo diario de agua. el Departamento de Aguas toma una muestra aleatoria de 1.43. Estos datos provienen de un paquete que contiene 1498 dulces.1 lb). I I II II II Intervalos de confianza: a) Medias 46. En cada uno de los siguientes diagramas. ¿esto asegura que sea un buen estimador? ¿Por qué? ¿Qué otras consideraciones es necesario tomar en cuenta? 45. (Si todos los paquetes tienen 1498 dulces. o sea 1361 gr. Suponte que se tienen dos estadísticas que sirven como estimadores del mismo parámetro. el peso medio debe exceder 1361/1498 = 0. En cada caso identificar la estadística que consideres como el mejor estimador y describe por qué. En una ciudad de 100. b) Si se escogen al azar 1498 dulces M&M lisos.3 litros. Uno de ellos es insesgado y el otro sesgado. Los dulces M&M lisos tienen un peso medio de 0.0369 gr. e) La resistencia media de las soldaduras hechas con un nuevo proceso es diferente en 570 lb por unidad por área.6) Prueba de Hipótesis Problemas 54.04) d) P(0. a las del proceso anterior 19 . d) El peso promedio de los jugadores de fútbol en el Colegio es de 60 kilogramos.49. c) La vida media de las lámparas fluorescentes es por lo menos de 1600 horas. y las especificaciones requieren que 95% de ellos no presenten defectos. Se verificó una muestra de 30 y se encontraron 4 defectuosos. ¿Incluye este intervalo de confianza la p de las especificaciones? 52. Antes de comprar un embarque grande de carne molida un fabricante de salchichas quiere tener una confianza del 96 % de que su error no sea mayor que 2. Halla un intervalo de 95% de confianza para la proporción de defectuosos. 51.06) c) P( pˆ < 0. Un productor de semillas desea saber. ¿Qué tamaño de muestra debe de tomar para obtener un nivel de confianza de 95%? 53. Poblaciones Binomiales Problemas 50. el porcentaje de germinación de las semillas de su principal competidor. Si pˆ representa la proporción de soles obtenidos. determine: a) pˆ y pˆ b) P( pˆ > 0. Escribe las hipótesis nulas H 0 y alternativa H a que se utilizaría para una prueba de hipótesis relacionada con cada una de las afirmaciones siguientes. ¿qué tan grande es la muestra en la que debe basar su estimación? Intervalos de Confianza: b) Proporciones p. b) El peso promedio de los paquetes embarcados en DELL durante marzo fue menor de 20 kilogramos. Un proveedor ha enviado un lote de 700 módulos de televisión. Determina un intervalo de confianza de 95% para p e interpreta el problema antes y después de calcular el intervalo. Intervalos de Confianza. Si se supone que la desviación estándar del contenido de grasa (por 100 g) de carne es de 8 g. Una muestra aleatoria de n = 500 observaciones de una población binomial produjo x = 140 éxitos. Suponga que un experimento consiste en lanzar una moneda legal 50 veces. con precisión del 1%.4 < pˆ < 0. a) La edad promedio de los estudiantes inscritos en las clases nocturnas en cierta universidad es mayor de 26 años.5 gramos al estimar el contenido de grasa (por 100 gramos de carne). ¿con qué confianza podemos afirmar que el error de estimación es a lo sumo 2. 56. En la encuesta. a) Elabore un intervalo de confianza del 94% para la proporción correspondiente de la población en la que se efectúa el muestreo. a. ¿cuán pequeño debe ser el porcentaje muestral para poder refutar la afirmación del fabricante? (se requiere una hipótesis unilateral). Una muestra aleatoria de n = 60 observaciones de una población produjo una media de x 83.05. se entrevistó a una muestra de 200 fumadores para determinar la efectividad de la compañía.5.29. 20 . cuando en realidad 84. b) Suponga que se tiene un estimado de pˆ obtenido en un estudio previo que sugiere que el 15 % de los golfistas son zurdos.55. después de una campaña de promoción en una región de ventas dada. Un fabricante afirma que por lo menos 20% del público prefiere su producto.05. (La compañía puede utilizar esta información para planear el número de juegos de palos de golf que producirá para diestros y para zurdos) ¿Cuántos golfistas habrá que encuestar si desea tener una confianza del 98 % en que la proporción de muestra tendrá un margen de error de 0. b) ¿Qué podemos decir. Se sabe que aproximadamente 1 de cada 10 fumadores prefieren cigarrillos de la marca A. 60. ¿Presentan estos datos suficiente evidencia que indique un aumento en la preferencia de la marca A en la región? 57. Enuncia la hipótesis alternativa para la prueba. Haz la prueba con = 0. Una muestra aleatoria de 60 latas de mitades de peras tiene un peso medio de 456 gramos y una desviación estándar de 8. c. Cierta compañía que fabrica equipo de golf.8 y una desviación estándar de 0. Con 0. ¿cuál es el valor de para la prueba? d. Enuncia la hipótesis nula para la prueba.025?. un total de 26 personas expresaron su preferencia por la marca A. Si se usa x 456 g como una estimación del peso medio de todas las latas de mitades de peras del lote grande del cual provino la muestra.5 g. 288 dijeron que se oponían a la construcción de más vías rápidas. a) Suponga que no se cuenta con información que podría servir como estimado de pˆ . Se toma una muestra de 100 personas para verificar su afirmación. Miscelánea de problemas 58. En una muestra aleatoria de 400 personas entrevistadas en una ciudad grande. b. Si se quiere que la probabilidad de decidir (erróneamente) que 64 sea igual a 0. con una confianza del 94 % acerca del error máximo si usamos la proporción de la muestra como una estimación de la proporción de la población? c) Interpreta y explica los errores de tipo I y de tipo II en este problema.84 g? 59. quiere estimar la proporción de golfistas que son zurdos. Supón que se quiere demostrar que la media poblacional 84 . Estadística Aplicada para Administración. México. Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos. Massachusetts USA. Introducción a la Estadística. Taro. México. Métodos Estadísticos: Un enfoque Interdisciplinario. FREUND. Ignacio. 5. Elementos de Muestreo. Azar y Probabilidad: Fundamentos Didácticos y Propuestas Curriculares. México. Estadística Elemental. Estadística Matemática con Aplicaciones. 1998. México. México. HACKING. 2. México. CANAVOS. YAMANE. 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