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TACNA 07/06/2016 por lo menos «es hayan nacido el domingo. ¿En cuántas de estas familias cabe esperar que haya: a) al menos un niño? b) dos niños? c) ningún niño? . ninguno se gradúe b. que se gradúen al menos dos. 8. En la facultad de ciencias la probabilidad de que un alumno apruebe el semestre es de 80%. DE VARIABLE DISCRETA 1. Si se lanza un dado 5 veces. uno de cada 10 resulta defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 8 artículos: a. Si se lanza 4 veces una moneda. 7. Si se lanzan 7 dados y el éxito consiste en sacar 1 ó 2. encontrar la probabilidad de obtener: a) exactamente 4 éxitos b) al menos un éxito. De un blof de 2000 familias con 4 hijos cada una. 5. ninguno sea defectuoso? b.PRACTICA N° 2 DE ESTADISTICA DISTRBUCIONES DE PROBABILIDAD A. todos sean defectuosos? 6. a) la probabilidad de obtener exactamente 2 casas. Si consideramos 10 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que: a) dos aprueben? b) a lo sumo 3 aprueben? c) todos aprueben? 4. Calcular la probabilidad de que entre 6 estudiantes que ingresan: a. SOLUCIÓN: Asasjajdasdsjfdkxjcmlkcv Sdkafdkjdnckjnds Axczaxkascmklmldkmczxx 2.2. calcular la probabilidad de obtener: a) al menos un uno b) dos unos exactamente c) a lo sumo cinco unos. La probabilidad de que se gradúe un estudiante que ingresa a la universidad es de 0. 3. SOLUCIÓN: Asasjajdasdsjfdkxjcmlkcv Sdkafdkjdnckjnds Axczaxkascmklmldkmczxx b) la probabilidad de obtener al menos una cara.terminar. no más de dos sean defectuosos? c. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo. . Encontrar la probabilidad de que de las cinco primeras personas que se encuentra cierto Dia. 14. ¿Cuáles la probabilidad de obtener 3 m. así que lo único que va a cambiar es la media  .. 9. Suponiendo que estas ocurrencias siguen la ley de Poisson. para calcular la probabilidad de que la compañía quede rebasada durante un minuto dado. Cierta marca de neumáticos sufren un reventón a causas aleatorias una vez cada 2500 Km. 15. L compañia puede hacer un máximo de 20 conexiones por minuto. 13.-Una compañia de teléfonos atiende un promedio de 600 llamadas durante una hora de aglomeración. SOLUCIÓN: DATOS: X: números de reventones de neumáticos. 10.14 5000 Km 0! b) La probabilidad de que en un recorrido dado de 500 km. siete pacientes sometidos a esta operación. la probabilidad de que un paciente se recupere de de una delicada operación es 0. defectuosas.. e2  2  0 2veces     2  P  X 0    0.. Ocurra más de un reventón. ¿ Cuál es la probabilidad de que: a) cuatro tengan cáncer? b) por lo menos dos no tengan cáncer? 11. 13. al inspeccionar 2340 soldaduras producidas por cierta máquina. como promedio. y se encontraron 448 uniones defectuosas.1. De la producción de envases metálicos se sabe que el 3% son defectuosos ¿Cuáles la probabilidad de que en una muestra de 7 envases: a) por menos tres sean buenos? b) por lo menos tres sean defectuosos? 12. .  1vez   12500 veces 2500 Km 1Km e     X Fórmula: P  X   P  X  X   X! Nos piden determinar: a) La probabilidad de que no ocurran reventones en un viaje de 5000Km. al tomar un grupo se 5 personas. Al efectuar 5 soldaduras.-Se sabe que el 75% de los ratenes vacunados con un suero están protegidos de cierta Enfermedad. En este caso nos pide para un viaje de 5000Km. 2.9 ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva exactamente cinco de. • -Utilice la distribución de Poisson. sise vacunan tres ratones ¿Cuál es la probabilidad de que alo sumo dos de ellos contraigan la enfermedad? 14. Se sabe que 9 de cada 10 personas tienen cáncer. RX  0. 1.002 y n  100    n....    5 1  veces   1 500 Km 5  P  X 1   P  X  2   P  X 3   P  X  4   .. DATOS: X: números de autos que llegan a la garita de peaje. Sea X el número de personas que sufren tal reacción en una muestra de 100 personas que han tomado el medicamento.  1   P  X 0   P  X 1    e5  50 e5  51   P  X 2   1      0.. Solución: e5  5 1  P  X 1    0.96  0! 1!  17.100 p  0. 2. 03 1! b) calcule la probabilidad de que por lo menos dos autos lleguen en un periodo dado de un minuto. 300 autos 300 autos    5 1h 60 min e     X Fórmula: P  X   P  X  X   X! a) calcule la probabilidad de que un auto llegue durante un periodo dado de un minuto. Ciertos autos llegan a una garita de peaje aleatoriamente en promedio de 300 por hora... La probabilidad de que una persona que toma cierto medicamento tenga una reacción desagradable es de 0.  1   P  X 0   P  X 1    e  15 1 5 0 e  15 1 5 1   P  X 1   1      0. RX  0. En este caso nos pide para un recorrido de 500Km.. RX  0.  P  X 2   P  X 2   P  X 3   P  X 4   .2  1 5 . así que lo único que va a cambiar es la media  ..1.. DATOS: (se resolverá por aproximación de binomial a poisson) X: el número de personas que sufren la reacción desagradable. 0175  0! 1!    16..002. 2. p  0. por año en un país X. 0011  0. es de 3 por cada 100 0000 habitantes. 7. ó 8  ?¿?¿?   P  X 6.82 0! 18. encuentre la probabilidad 6.. EI número de ahogados en accidente.7.10000 p4  0. e np  np  e     X X Fórmula: P  X   P  X  X    X! X! Nos piden hallar: a) P(X=1)  5 1 1 e 5 1 P  X 1    0. 001091641  0.7. Hallar la probabilidad de que en una ciudad cuya población es de 200000 haya: a) 0 ahogados b) 6 ahogados c) Entre 4 y 8 ahogados por año. Si se selecciona al azar 10 000 declaraciones y se examinan. u 8 contengan error.1. 2.16 1! b) P(X=3)  15  1 3 5 e P  X 3    0. Suponga que en promedio 4 de cada 1000 personas comete un error al presentar su declaración de ingreso. DATOS: (se resolverá por aproximación de binomial a poisson) X: el número de declaraciones que contengan error.7. ó 8      0.. ó 8   P  X 6   P  X 7   P  X 8  e40  40  e40  40  e40  40  6 7 8  P  X 6.. p  40 1000 e np  np  e     X X Fórmula: P  X   P  X  X    X! X!  Nos piden hallar: P X 6. . 000000001 6! 7! 8! 19.004 y n  10000    n.. 00 3! c) P(X=0)  15  1 0 5 e P  X 0    0. RX  0. RX  0. DE VARIABLE CONTINUA 20.00003 y n  200000    n. 0025  0.16 6! d) Entre 4 y 8 ahogados por año. DATOS: (se resolverá por la distribución normal) X: medida de la estatura. 2. 002478752  0. 00 0! c) 6 ahogados e6  6  6 P  X 6    0..   169cm  3 Fórmulas a emplear de aquí en adelante para la distribución normal: X  Sabiendo que : Z   a X   a   P a  X   P     P Z         X  b   b   P  X  b  P     PZ         a X  b  a b   P a  X  b  P      P Z          .. Y una estándar igual a 3. Supongamos que las estaturas X de los varones de un colegio se encuentran distribuidas normalmente con media igual a 169 cm. p  6 100000 e np  np  e     X X Fórmula: P  X   P  X  X    X! X! Nos piden: b) 0 ahogados e6  6  0 P  X 0    0. e6  6  e6  6  e6  6  5 6 7 P  X 4  X 8   P  X  5   P  X  6   P  X  7      0. 200000 p 3  0. DATOS: (se resolverá por aproximación de binomial a poisson) X: el número de ahogados...1. 46 5! 6! 7! B. 33  P  0  Z  0.5375  en porcentaje  53. 4082  0.0918 b) ¿Qué porcentaje de alumnos tendrá una estatura entre 165 y 170 cm?  165  169 X   170  169   P 165  X  170   P      P  1.62 onzas. EI peso medio de las cajas de frutas de un gran cargamento es de 15.5  0. 62 Entonces nos piden: P 15  X  18  ?¿?¿?  15  15 X   18  15   P 15  X  18  P     P  0  Z  1.85   0. 4678  1.33   3   P  X  165  P  0  Z     P  0  Z  1. ese valor se buscará en la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z. 62  1. con una desviación estándar de 1. Nos piden determinar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga una estatura inferior a 165 cm?  X   165  169   P  X  165   P     P  Z  1.33  3  3   P 165  X  170  P  0  Z  1. X: peso de las frutas. ¿qué porcentaje de frutas tendrá un peso entre 15.33  0.33  0.00 onzas.   30  6 Entonces nos piden: P  24  X  36  ?¿?¿?  24  30 X   36  30   P  24  X  36   P      P  1  Z  1  6  6  . Qué porcentaje éstas baterías puede esperarse que tenga una duración entre 24 a 36 meses? DATOS: (se resolverá por la distribución normal).75% 21. Luego una vez que se tiene en función de Z.00 y 18.33  Z  0. si sus pesos están normalmente distribuidos.1293  P 165  X  170  0. 4082  0. La vida media de cierta marca de baterías es de 30 meses.00 onzas? DATOS: (se resolverá por la distribución normal). X: vida media o duración de baterías. con una desviación estándar de 6 meses. 62  22.   15   1. 58) Ρ(Χ < 30) = Ρ(Ζ < 𝛼) − Ρ(Ζ < 1.5−40 a) Ρ(Χ < 30) = Ρ ( 𝜎 < 6 ) Ρ(Χ < 30) = Ρ(Ζ < −1.5.5     P a  X  b  P      P Z           para un caso especial uando nos pidan lo siguiente :  A  0.P  0  Z  1  P  24  X  36  2.5   A  0.10)(0.5     P  X  b  P     PZ           a  0.5     P a  X   P     P Z         X   b  0.5     A  0. p. 𝑃 = 0. De los tomillos que se producen con una máquina.10 𝜂 = 400 𝜇 = Ρ × η = 40 𝜎 = √400(0.6826  en porcentaje  68. DATOS: X: pernos defectuosos. 0.  P  24  X  36  P  0  Z  1  P  0  Z  1  2.  (se resolverá por la aproximación de la binomial a la normal) Aproximación de la binomial a la normal si n es grande y np  5 si n es grande y nq  5 Formulas a utilizar de aquí en adelante: X  Sabiendo que : Z     n.5     a  0.5    P  X  A  P      P Z           esto se nos presentará cuando se evalue para un punto.5   X   b  0.5   X     a  0.  a  0.90) = 6 Χ−𝜇 30+0. Encontrar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 400 tornillos producidos por esta máquina: a) Cuando mucho30 b) entre 30 y 50 c) entre 35 y 45 d) 55 o más de los tornillos estén defectuosos.3413  0. 10% están defectuosos.q Aquí se empleará el coef . de corrección de continuidad . que es igual a 0.58) .5   X   A  0.5     b  0. p y   n. 26% 23.5   b  0. 3212) Ρ(35 < Χ < 45) = 0.5−28 Χ−𝜇 7.5−40 Χ−𝜇 50+0.5) = Ρ ( 2. Ρ(𝑥 < 30) = 0.80)(0.92) Ρ(35 < Χ < 45) = 2 × (0.93) Ρ(Χ > 50) = Ρ(Ζ < 𝛼) − Ρ(Ζ < 9.75) Ρ(30 < Χ < 50) = 2 × Ρ(Ζ < 1.30) − Ρ(Ζ < 8.80 Si una empresa adquiere 35 de tales computadoras.5 + 0.20) = 2.58) Ρ(56 < Χ) = 0.9198 35−0.5 < Χ < 7 + 0. X: computadoras que no están al servicio.93) Ρ(𝑥 > 50) = 0.5−40 b) Ρ(30 < Χ < 50) = Ρ ( 6 < 𝜎 < 6 ) Ρ(30 < Χ < 50) = Ρ(−1.5 Ρ(𝑥 < 50) = 1 .5 − 0.5 − 0.Suponga que la probabilidad de que cierta marca de computadora esté en servicio después de un año es 0.75 < Ζ < 1.75) Ρ(30 < Χ < 50) = 2 × (0.0049 24.58 < Ζ) Ρ(56 < Χ) = Ρ(Ζ <∝) − Ρ(Ζ < 2..281 30−0.37 6.6424 56−0.5+0.37 ) Ρ(Χ = 7) = Ρ(−9. 𝑃 = 0.37 ) Ρ(Χ > 50) = Ρ(Ζ > −9.80 𝜂 = 35 𝜇 = Ρ × η = 28 𝜎 = √35(0.92) Ρ(35 < Χ < 45) = 2 × Ρ(Ζ < 0.30 < Ζ < −8.5−28 a) Ρ(Χ = 7) = Ρ(7 − 0.45) Ρ(Χ = 7) = 0 Χ−𝜇 5−0.37 < 𝜎 < 2.4951 Ρ(56 < Χ) = 0.5−40 Χ−𝜇 d) Ρ(56 < Χ) = Ρ ( 6 < 𝜎 ) Ρ(56 < Χ) = Ρ(2.45) Ρ(Χ = 7) = Ρ(Ζ < 9.5−40 c) Ρ(35 < Χ < 45) = Ρ ( 6 < 𝜎 < 6 ) Ρ(35 < Χ < 45) = Ρ(−0.5−40 Χ−𝜇 45+0.4599) Ρ(30 < Χ < 50) = 0. calcular la probabilidad de que: a) 7 y b) al menos 5 de computadoras adquiridas no estén al servicio después de un añ0.92 < Ζ < 0.5−0.5−28 b) Ρ(Χ > 50) = Ρ ( 𝜎 > 2.2190 Ρ(𝑥 < 30) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 mueran de esta enfermedad.. en un grupo de 50? X: mortalidad de la enfermedad.La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es de 18 por cien. 𝑃 = 0.74) Ρ(𝑥 < 12) = 0.71 Χ − 𝜇 12 + 0.5 < Χ < 5 + 0.5 − 50 Ρ(Χ < 12) = Ρ ( < ) 𝜎 6.90) = 5.33) Ρ(Χ > 8) = Ρ(Ζ < 𝛼) + Ρ(Ζ < 4.5) .71 Ρ(Χ < 12) = Ρ(Ζ < −5.5 Ρ(𝑥 < 12) = 1 b) Menos de 8 sean inadecuadas en un lote de 300? X: nº de inadecuados. 𝑃 = 0.20 Ρ(Χ > 8) = Ρ(Ζ > −4.10 𝜂 = 500 𝜇 = Ρ × η = 50 𝜎 = √500(0.25.18 𝜂 = 50 𝜇 =Ρ×η=9 𝜎 = √50(0. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) 12 o menos resulten inadecuadas en un lote de 500? X: inadecuados.5 + 0.10)(0.74) Ρ(Χ < 12) = Ρ(Ζ < 𝛼) + Ρ(Ζ < 5.20 Χ − 𝜇 8 − 0.10 𝜂 = 300 𝜇 = Ρ × η = 30 𝜎 = √300(0.5 − 30 Ρ(Χ > 8) = Ρ ( > ) 𝜎 5.5 Ρ(𝑥 > 8) = 1 26.18)(0.-Si el 10% de unidades compradas por un almacén son inadecuadas para la venta.5 + 0.72 Ρ(Χ = 5) = Ρ(5 − 0.90) = 6.10)(0. 𝑃 = 0.33) Ρ(𝑥 > 8) = 0.82) = 2. 5 − 100 Ρ(Χ = 98) = Ρ ( < < ) 7. 𝑃 = 0.07 𝜎 7.49 Ρ(Χ = 36) = Ρ(−15.5 < Χ < 98 + 0.5 + 0.42 < Ζ < −0.07 a) Ρ(Χ = 98) = Ρ(98 − 0.¿Cuál es la probabilidad de que 36 personas de una población de 360.5 − 180 Χ − 𝜇 36.07) Ρ(𝑋 = 36) = 0.4671 − 0.5 − 0.10) Ρ(𝑥 = 5) = 0.5 + 0.49 𝜎 9.50) = 9.42) − Ρ(Ζ < 0. calcular la probabilidad de que: a) ¿de que en dicha muestra el 49%.50)(0.14) Ρ(Χ = 98) = Ρ(Ζ < 0.5) 97.28 < Ζ < −15.14) Ρ(𝑥 = 98) = 0. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes.50) = 7.0557 .5 + 0.5 − 100 Χ − 𝜇 98..5) 35. de las cuales 180 son fumadoras. sean todas fumadoras? X: fumadores.49 Ρ(Χ = 36) = Ρ(36 − 0.10) Ρ(Χ = 5) = Ρ(Ζ < 1.50 𝜂 = 360 𝜇 = Ρ × η = 180 𝜎 = √360(0.07 Ρ(Χ = 98) = Ρ(−0.-Se sabe que cierto virus ha invadido la UNTAC y ataca a la mitad de los estudiantes.72 𝜎 2.5 < Χ < 36 + 0.068) Ρ(Χ = 36) = Ρ(Ζ < 15.5 + 0.5 − 9 Ρ(Χ = 5) = Ρ ( < < ) 2.5 − 9 Χ − 𝜇 5.1628 − 0.1028 27.50 𝜂 = 200 𝜇 = Ρ × η = 100 𝜎 = √200(0.84) − Ρ(Ζ < 1.84 < Ζ < −1.5 − 0.28) + Ρ(Ζ < 15. 𝑃 = 0.72 Ρ(Χ = 5) = Ρ(−1.50)(0.5 − 0.3643 Ρ(𝑥 = 5) = 0.5 Ρ(𝑋 = 36) = 1 28. sean atacados por el virus? b) ¿Ninguno presente síntomas del virus? X: atacados por el virus.5 − 180 Ρ(Χ = 36) = Ρ ( < < ) 9. 4. 5−174. ¿Cuántos estudiantes serán rechazados sobre esta base. Suponiendo que las estaturas se redondean al medio centímetro más cercano.0 c) mayores o iguales a 188 cm.5 < Χ < 182) = 0.21) + Ρ(Ζ < 14.Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas normalmente con una madia de 174. Ρ(𝑥 = 98) = 0.5 c) Ρ(Χ > 188) = Ρ ( > ) 𝜎 6.. independientemente de sus otras calificaciones? X: inteligencia.5 a) Ρ(Χ < 160) = Ρ ( < ) 𝜎 6. y una desviación estándar de 6.10) Ρ(𝑥 < 160) = 0.5 − 100 Χ − 𝜇 0 + 0.5 Ρ(𝑥 = 5) = 1 29.07) Ρ(Χ = 5) = Ρ(Ζ < 14.16) Ρ(171.07) Ρ(𝑥 = 5) = 0.16) + Ρ(Ζ < 0. .01179 171.5 < Χ < 182) = Ρ ( < < ) 6.21 < Ζ < −14.El cociente de inteligencia de 600 solicitantes para ingresar a un colegio tiene aproximadamente una distribución normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12.5 − 100 Ρ(Χ = 5) = Ρ ( < < ) 7.51) Ρ(171.9 Χ−𝜇 160−174.5−0.. 𝜇 = 174.025 30.9 Ρ(Χ < 160) = Ρ(Ζ < −2.4750 Ρ(𝑥 > 8) = 0.572 Χ−𝜇 188−174.5 cm.3770 + 0.5 − 0.51 < Ζ < 1. Si el colegio exige un cociente mínimo de 95.9 Ρ(171.5 + 0.5 y 182.96) Ρ(𝑥 > 8) = 0.96) Ρ(Χ > 8) = Ρ(Ζ < 𝛼) − Ρ(Ζ < 1.5 < Χ < 182) = 0.5 𝜎 = 6.07 𝜎 7. X: ingresantes.10) Ρ(Χ < 160) = Ρ(Ζ < 𝛼) − Ρ(Ζ < 2. Cuántos de estos estudiantes se espera que tengan estaturas: a) ¿menores de 160 cm? 9) entre 171.9 𝜎 6.5 < Χ < 182) = Ρ(Ζ < 1.1071 b) Ρ(Χ = 5) = Ρ(0 < Χ < 0) 0 − 0.5 b) Ρ(171.4821 Ρ(𝑥 < 160) = 0.1950 Ρ(171.5 Χ−𝜇 182+0.9 cm.9 Ρ(Χ > 8) = Ρ(Ζ > 1.5−174.5 < Χ < 182) = Ρ(−0.5 − 0.07 Ρ(Χ = 5) = Ρ(−14. Cuáles la probabilidad de que en una muestra de 200 píldoras.2) = Ρ ( > ) = 0.5 − 62.05)(0.2 es 0.4525 Ρ(𝑥 > 95) = 0.95) = 3.67) Ρ(𝑥 > 95) = 0.4 = 0.05 𝜂 = 200 𝜇 = Ρ × η = 10 𝜎 = √200(0. siendo así inaceptable. 𝜇 = Ρ × η = 115 𝜎 = 12 Χ − 𝜇 95 − 115 Ρ(Χ > 95) = Ρ ( > ) 𝜎 12 Ρ(Χ > 95) = Ρ(Ζ > −1.-Una compañía farmacéutica sabe que en promedio. un 5% de cierto tipo de píldoras contienen un ingrediente por debajo de su poder mínimo.5 − 10 Ρ(Χ < 10) = Ρ ( < ) 𝜎 3.16) Ρ(𝑥 < 10) = 0.Halle su desviación estándar. 𝟒 .16) Ρ(Χ < 10) = Ρ(Ζ < 𝛼) + Ρ(Ζ < 0.20σ 𝜎 = 81.5 + 0. 𝜇 = 62.4 𝜎 =? Χ − 𝜇 79.2 − 0.20 𝜎 𝜎 79.9525 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 571 31. si la probabilidad de tome un valor mayor que 79.4 Ρ(Χ > 79.08 Ρ(Χ < 10) = Ρ(Ζ < 0.0636 Ρ(𝑥 < 10) = 0.5636 32.5 + 0.2 − 0.08 Χ − 𝜇 10 + 0.-Una variable aleatoria tiene una distribución normal con media 𝝁 = 𝟔𝟐. 𝑃 = 0.5 − 62.67) Ρ(Χ > 95) = Ρ(Ζ < 𝛼) + Ρ(Ζ < 1.5 . sean inaceptables menos de 10? X: ingredientes inaceptables.20. 75) = 6. X: electrónicos que fallan en meso de 1000 h.25.25 𝜂 = 200 𝜇 = Ρ × η = 50 𝜎 = √200(0. Utilice la aproximación a la normal para encontrar la probabilidad de que entre 200 de tales componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo.33.5 − 50 Ρ(Χ < 45) = Ρ ( < ) 𝜎 6.2704 Ρ(𝑥 < 45) = 0. 𝑃 = 0.74) Ρ(Χ < 45) = Ρ(Ζ < 𝛼) − Ρ(Ζ < 0. la probabilidad de que un componente electrónico falle en menos de 1000 horas de uso continuo es 0.5 − 0.25)(0.12 Ρ(Χ < 45) = Ρ(Ζ < −0.74) Ρ(𝑥 < 45) = 0.12 Χ − 𝜇 45 + 0.2296 .