estadistica para la toma decisiones.pdf

ESTADISTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.40 30 Porcentaje 20 10 0 Bajo Intermedio Alto Hábito de estudio Dr. CLETO DE LA TORRE DUEÑAS [email protected] 2011 1 1RA EDICION Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú REGISTRO Nº : 2009-09684 Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en forma idéntica o modificada por cualquier medio mecánico o electrónico, incluyendo fotocopia, grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información no autorizada por el autor. Impreso en Perú, 2009. 2 CAPITULO I INVESTIGACION CIENTIFICA. 1.1 INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA La investigación científica, se puede entender como un conjunto de actividades que realizamos para obtener conocimientos nuevos, sobre problemas nuevos que afectan la realidad, pero que sean nuevos, respecto a la ciencia, es decir, respecto al conjunto de conocimientos ya provisionalmente establecidos y sistematizados por la humanidad, conocimientos nuevos que, como aportes, se sumarán a la Ciencia. ¿Qué es investigar? Investigar viene del latín investigare.  Es la forma más adecuada de aproximarse al conocimiento de la verdad mediante verdades parciales.  Desarrollar actividades con el objetivo de registrar, indagar o descubrir la verdad.  En términos generales, es agregar algo nuevo a los conocimientos humanos.  Es un proceso que, mediante la aplicación del método científico, procura obtener información relevante y fidedigna. corregir o aplicar el conocimiento De entender, verificar, 3 EL PROCESO DE INVESTIGACIÓN INTERROGANTES PARA EL PROCESO: DISEÑO ¿Qué estudiar? Cuál es la situación actual? Selección del tema. Planteamiento del problema ¿Cuáles son las preguntas de Formulación del problema investigación respondidas? ¿Qué propósitos tiene la Objetivos. que deben ser investigación que se plantea? ¿Cuáles son los motivos para Justificación. hacer el estudio propuesto? ¿Quiénes anteriormente planteado? ¿Qué hay escrito al respecto? ¿Qué se pretender probar? ¿Cómo se va a realizar la Marco Teórico. Hipótesis. Metodología. han sobre investigado Marco Histórico el tema investigación? ¿Cuánto tiempo se requiere para el estudio propuesto? ¿Qué recursos se necesitan? ¿A que fuentes escritas se va a referir el investigador? Presupuesto. Bibliografía. Programación INTERROGANTES PARA EL PROCESO: DESARROLLO ¿Qué tipo de información se Identificación de información. necesita para cumplir los objetivos, responder la pregunta (s) de 4 fenómeno o situación que incita a la reflexión o al estudio y es importante puesto que permite conocer la situación que se va a mostrando sus principales rasgos.  De manera general se considera que hay un problema cuando lo que DEBERÍA SER. etc. difiere de lo que ES. es la práctica. representa la realidad. ¿a Determinación de la muestra cuántas personas debo requerir para obtener información? ¿De qué forma puedo obtener la Técnicas información? de recolección: Observación. obtenida? ordenamiento información. el ideal.  El DEBERÍA SER. ¿Cómo se utiliza la información Elaboración procesada y ordenada? información. estudiar CRITERIOS BASICOS PARA IDENTIFICAR PROBLEMAS. el patrón comparativo. análisis? 1. de fuentes de Si utilizo fuentes primarias.2 PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Es un hecho. y análisis de la ¿Cómo se puede presentar el Presentación de los resultados de informe de los resultados del la investigación. encuesta.  Lo que ES.  DEBERÍA SER diferente a ES. procesamiento de y la ¿Cómo organizar la información Tabulación. entonces existe Problema 5 . el modelo. el paradigma.investigación hipótesis? y verificar las ¿Dónde encuentro la información? Definición información. es el marco referencial. Determinación de Necesidades Educativas COMPORTAMIENTO REAL COMPORTAMIENTO DESEADO DISCREPANCIA LO QUE ES LO QUE DEBE SER NECESIDAD EDUCATIVA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 6 . Para la presentación del POI.  El diagnóstico es la descripción de los síntomas o problemas. es necesario considerar cuatro momentos: el diagnóstico.  Formulación del problema Aspectos a integrar en la conceptualización y en la definición de un problema de investigación.PROBLEMA DE INVESTIGACION. el control del pronóstico y la formulación de la pregunta o preguntas o la redacción de un texto a manera de pregunta.  El control del pronóstico es la serie de acciones para superar las consecuencias de los problemas. el pronóstico.  El pronóstico es la serie consecuencias de los problemas. Pensar en: Qué se investigará? Quiénes participarán Elementos del enunciado: Variable/s Sujetos a estudiar 7 . grupos  Espacio Esta referido al lugar en el que ocurre el hecho o situación problemática. desde el punto de vista estadístico. Aceros Arequipa. Son: Personas.. 8 . Ciudad del Cusco. evolución. características. instituciones.  Tiempo Está referido al momento en que ocurre el hecho o situación problemática. función. incidencia. Puede ser geográfico o administrativo. Zona Franca.  Unidades de estudio. relación. Son aquella en las se ponen de manifiesto los hechos o situaciones problemáticas y constituyen.  La especificidad Es el aspecto o los aspectos concretos que se quiere investigar acerca del hecho o situación problemática. seres. implicancias. Por ejemplo: causas. nivel. tendencia. etc. gestión educativa. Perú. la población o muestra a la que se refiere la investigación. consecuencias. acontecimientos. importancia. influencia. desempeño profesional. procesos. modalidades.. estructura. ¿Cuándo? sociales. ELEMENTOS DE DEL TITULO DE UN PROBLEMA Especificidad Situación problemática Unidad de estudio Espacio Tiempo  Situación problemática Responde a la pregunta ¿Qué investigar? Por ejemplo: Rendimiento académico. objetos. ¿Dónde?. prevalencia.Qué estrategia se seguirá? Dónde se realizará? Cuándo se realizará? Diseño Ámbito de estudio Período de Tiempo. etc. evaluar. identificar. Los Objetivos Específicos. Elementos a tomar en cuenta para redactar un objetivo Sujeto Contenido Acción Elemento de estudio. etc. Son enunciados desagregados del objetivo general orientados al logro de propósitos concretos y están en relación a lo que aspira alcanzar con el estudio. Es un enunciado proposicional integral y un Logro terminal a alcanzar en la investigación. diagnosticar. Ejemplo 1: Reforzar la capacidad de gestión en los centros de educación inicial del país para la atención de los dominios del aprendizaje de los niños de 4 y 5 años de edad. comprobar.) conocer. Expresa el cambio requerido Conjunto de actividades que se desarrollan. debemos pensar inmediatamente en la manera de verificar si éstos se han cumplido o no (pensar en métodos o herramientas para ello)  Lo anterior nos permitirá ir dibujando el perfil metodológico de nuestra investigación  Los objetivos se convierten así en la carta de navegación de la investigación a realizar  Los objetivos deben ser precisos y no muy ambiciosos: deben ser acordes con los recursos disponibles (tiempo) y ello delimitará el nivel de detalle esperable.1.  Los objetivos son de dos tipos: El objetivo general (singular). Los objetivos específicos (plural). 9 .  Estar expresados en verbos en infinitivo (determinar. analizar.3 FORMULACION DE OBJETIVOS Son los propósitos o fines que se pretenden lograr al realizar la investigación.  Los objetivos deben ser verificables  Al definir los objetivos. explicar. refutar. enfoque teóricos. conduce a dar respuesta al problema? ¿Se conoce y se domina la metodología seleccionada? ¿Hay problemas ético morales en el desarrollo? 1. Contenido: La atención de los dominios del aprendizaje. Originalidad Relevancia Interés Factibilidad Criterios para delimitar Espacial . 10 .Acción : Reforzar la capacidad de gestión en los centros de educación inicial del país. obtener y consultar la literatura y otros documentos pertinentes para el problema de investigación. así como extraer y recopilar de ellos la información de interés.4 JUSTIFICACION Y DELIMITACION DE LA INVESTIGACIÓN Criterios de justificación.Geográfica Cronológica VIABILIDAD: Es necesario plantearse las siguientes preguntas: ¿Se dispone de Recursos? ¿Es factible realizar en el tiempo previsto? ¿Es factible lograr la participación de los sujetos u objetos necesarios? ¿Es factible conducir el estudio con la metodología necesaria? ¿La metodología a seguir. estudios y antecedentes en general que se refieran al problema de investigación.5 MARCO TEORICO En el marco teórico se integra con las teorías. Para elaborar el marco teórico es necesario detectar. Sujeto : Niños de 4 a 5 años de edad 1.  Ampliar el horizonte del estudio y guiar al investigador.  Establecer los antecedentes del problema. leyes referentes al estudio ¿Qué funciones cumple el marco teórico?  Sirve de guía al Investigador  Provee un marco para la interpretación de resultados  Prevenir errores. El valor de una hipótesis reside en su capacidad de establecer esas relaciones entre los hechos y de esa manera. Es una suposición que permite establecer relaciones entre hechos.  Implicar nuevas líneas y áreas de investigación. explicarnos por qué se produce el fenómeno de estudio.  Delimitar el área de investigación.6 HIPOTESIS DE INVESTIGACION Afirmaciones o suposiciones que hace el investigador respecto al problema de investigación.  La construcción del marco teórico depende de lo que encontremos en la revisión de la literatura:  Marco Teórico: Fundamentación teórica dentro de la cual se enmarca la investigación  Marco Conceptual: Definición de conceptos relevantes utilizados en el estudio  Marco Normativo: Normas.  Fundamentar el contenido del problema. La revisión de la literatura puede iniciarse manualmente o acudiendo a un banco de datos al que se tenga acceso por computadora. 1.  Orientar el estudio. 11 .  Facilitar la formulación de las hipótesis.  Proveer un marco de referencia para interpretar los resultados de estudio.  Debe ser formulada en términos de relación o causalidad. los conceptos son las variables y las unidades de análisis. que puedan ser los individuos.  Los conceptos de las hipótesis deben contar con realidades o referencias empíricas observables (verificables). tienen que ser comprensibles. precisos y concretos. las características o propiedades cualitativas o cuantitativas que presentan las unidades de análisis. Las hipótesis en las ciencias sociales sólo pueden someterse a prueba en un universo y contexto bien definidos. Se deben formular hipótesis que están relacionadas con técnicas disponibles para su verificación.  Deben ser de poder predictivo y explicativo. 2. REQUISITOS PARA FORMULAR LA HIPÓTESIS  Debe referirse a hechos reales.  Las variables y su relación. Los elementos lógicos. Requisitos para estructurar las hipótesis  Las hipótesis deben referirse sólo a un ámbito determinado de la realidad social. En las hipótesis.  El planteamiento de las hipótesis deben prever las técnicas para probarlas. viviendas.¿Qué Funciones cumple?  Direccionar el problema objeto de investigación  Identificar variables objeto de análisis  Orientar el uso de métodos y técnicas de obtención de información Elementos estructurales de la hipótesis 1. 12 . Variables.  Los conceptos de las hipótesis deben ser claros y precisos. son los que relacionan las unidades de análisis con las variables y estas entre sí. 3. grupos. instituciones. etc.  Tener fundamentación teórica. Las unidades de análisis. CARACTERÍSTICAS Ser específicas (E): Debe indicar un asunto concreto por investigar. 1. que pueden grupos. debe ser respuesta a su problema. capacidad de ser probada y verificada en los hechos. familias. Ser lógica (L): La relación de las variables debe ser racionalmente pertinentes Debe tener poder explicativo. que con las dependiente. Estar de acuerdo con las técnicas y recursos disponibles para probarlas. El nivel de una investigación viene dado por el grado de profundidad y alcance que se pretende con la misma 13 . ser comprobable Necesita tener referencia empírica. ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE LA HIPÓTESIS Las unidades de análisis:. ser individuos. relacionan las unidades de análisis variables y a estas entre sí. Debe ser compatible con los conocimientos actuales (Teoría) Ser Contrastable (C) : Es decir.7 NIVELES DE INVESTIGACIÓN. Fundamentarse en un cuerpo teórico. instituciones y otros. Las Variables: Independiente y Los elementos lógicos. Debe ser operacional. Ejemplo 4: Nivel de aplicación de metodologías de enseñanza por los profesores de las instituciones educativas A y B de Cusco.. 2011. ¿Por qué? La finalidad es determinar por qué un hecho o fenómeno de la realidad tiene tales y cuales características. Responde a las preguntas ¿Cómo son? ¿Cuántos son? ¿Dónde están? Se refiere a las características cualidades internas y externas. propiedades y rasgos de la población de estudio Problema Pregunta ¿Cuál es grado de . INVESTIGACIÓN EXPLICATIVA Orientada al descubrimiento de las causas o consecuencias o condicionantes de la situación problemática Está dirigida a responder a las causas de los eventos físicos o sociales y su interés se centra en explicar por qué y en qué condiciones ocurre un fenómeno....? ¿Qué nivel…? Ejemplo 2: Nivel de conocimiento de las estrategias cognitivas por los profesores.. de la población de la ciudad de Cusco.? Ejemplo 3: Principales causas de la deserción escolar en la región andina del Perú.. Problema Pregunta ¿En que medida .? ¿Cómo influye. 2010..INVESTIGACIÓN DESCRIPTIVA Orientada al descubrimiento de las propiedades particulares del hecho o situación problemática y también a la determinación de la frecuencia con que ocurre el hecho o situación problemática. o por qué dos o más variables se relacionan.. 14 . 2010. INVESTIGACIÓN COMPARATIVA Orientada al estudio de las semejanzas o diferencias de un hecho o situación problemática en dos circunstancias diferentes.. INVESTIGACION BASICA.que……. INVESTIGACIÓN CORRELACIONAL Orientada a descubrir la covariación o correspondencia entre los valores de dos hechos o situaciones problemáticas. Problema Pregunta ¿Es más eficaz …. a continuación se refieren algunos de ellos.. Solo busca aplicar y profundizar el conocimiento científico existente acerca de la realidad. en las I.? Ejemplo 7: Evaluación del efecto del uso de tres tipos de materiales didácticos en el rendimiento académico. Ejemplo 6: Correlación entre hábitos de estudio y aprendizaje en los estudiantes de la Universidad de Nacional San Antonio Abad del Cusco.….. Ejemplo 5: Influencia de la internet en la lectura de los estudiantes de secundaria de la Ciudad del Cusco..8 TIPOS DE INVESTIGACION Los Tipos de investigación se determinan mediante la aplicación de distintos criterios. 2011. 1..INVESTIGACIÓN RELACIONAL Orientada al descubrimiento de la influencia de un hecho o situación problemática en otro hecho o situación problemática. INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL Orientada a descubrir la validez de un hecho para la modificación de una situación problemática. 2011.E de la ciudad de Cusco. 2011. ¿Qué cambios y modificaciones se han producido? ¿Qué mejoras se han logrado?. 15 . su propósito es dar respuesta objetiva a interrogantes que se plantea en un determinado fragmento de la realidad y del conocimiento con el objeto de contribuir en la estructuración de las teorías científicas. existen diferentes tipos de diseños de investigación. Fernández y Baptista. se busca cambios mediante la aplicación de nuevos sistemas. Se investiga para transformar. de los cuales debe elegirse uno o varios para llevar a cabo una investigación particular (Hernández.  Las maneras de cómo conseguir respuesta a las interrogantes o hipótesis planteadas dependen de la investigación.  El diseño de investigación puede ser pensado como la estructura de la Investigación. Se relaciona esencial. 2000.  La precisión. la profundidad así como también el éxito de los resultados de la investigación dependen de la elección adecuada del diseño de investigación.  Conjunto de estrategias procedimentales y metodológicas definidas y elaboradas para el desarrollo del proceso de investigación. objetiva y metodológicamente con el nivel experimental. INVESTIGACION TECNOLOGICA.  El investigador debe seleccionar un diseño de investigación. INVESTIGACION SUSTANTIVA. 2005). Es necesario por tanto que previo a la selección del diseño de investigación se tengan claros los objetivos de la investigación. modificar o producir cambios en un determinado sector de la realidad. Castillo. Fernández y Baptista (2000). Por esto. Esto se refiere a la manera práctica y precisa que el investigador adopta para cumplir con los objetivos de su estudio. He aquí un esquema donde se resumen los diferentes tipos de investigación según Hernández. ya que el diseño de investigación indica los pasos a seguir para alcanzar dichos objetivos.INVESTIGACION APLICADA. Se orienta a resolver problemas facticos.9 DISEÑOS DE INVESTIGACION. 16 . 1. Diseños cuasi-experimentales. Entendemos por diseños cuasi-experimentales cuando se cumplen las siguientes condiciones:  Los grupos sobre los que se lleva a cabo la investigación no han podido establecerse como equivalentes en las características fundamentales. de tal manera que se tiene un grupo control equivalente a los grupos experimentales.  Como dice Hernández et al. Los grupos no han sido asignados al azar. sino que dichos grupos ya estaban formados antes 17 . sino que han sido establecidos por algún otro procedimiento de muestreo.Diseños experimentales Son aquellos en los que se cumple que: Los grupos a ser investigados han sido asignados al azar. por procedimientos aleatorios y los grupos resultantes son equivalentes.“En los diseños cuasi-experimentales los sujetos no son asignados al azar a los grupos no emparejados. para después analizarlos. El propósito de este método es describir variables y analizar su incidencia e interrelación en un momento dado.”  También algunos autores denominan CUASI-EXPERIMENTAL. Método transversal: Es el diseño de investigación que recolecta datos de un solo momento y en un tiempo único. Diseños transversales descriptivos: son aquellos que tienen como objetivo indagar la incidencia y los valores en que se manifiesta una o más variables. Se establece que un diseño no-experimental es: “la que se realiza sin manipular deliberadamente variables.experimentales se ve con claridad. 18 . sin grupo de control. observándolo antes y después de aplicar el tratamiento. Diseños no-experimentales.” (Hernández. se trata de investigación donde no hacemos variar intencionadamente las variables independientes.del experimento. Diseños transversales correlacionales: Se encargan de describir relaciones entre dos o más variables en un momento determinado. son grupos intacto (la razón por la que surgen y la manera como se formaron fueron independientes o aparte del experimento. Es decir. Diseños transversales explicativos: Son aquellos en los cuales las causas y efectos ya ocurrieron en la realidad (estaban dados y manifestados) y el investigador los observa y explica. que manipula las variables independientes para averiguar su influencia en las variables dependientes. cuando el investigador aplica un tratamiento a un solo grupo de sujetos. 184) La diferencia con los diseños experimentales y cuasi. porque en estos dos siempre hay algún tipo de intervención del investigador. Lo que hacemos en la investigación no experimental es observar fenómenos tal y como se dan en su contexto natural. Diseños longitudinales: Son aquellos que analizan cambios a través del tiempo (en variables o sus relaciones), dentro de alguna población en general. 1.10 VARIABLES A las características objeto de estudio en la población se les llama variables, ya que pueden variar de un individuo a otro y se representara por letras mayúsculas: X, Y, Z,. . ., debemos distinguir los distintos tipos de variables que hay, lo cual nos va a permitir utilizar las herramientas estadísticas apropiadas. TIPOS DE VARIABLES. Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos: Variables cualitativas o atributos: describen cualidades y no toman valores numéricos, estas a su vez pueden ser: Nominales.- Las cualidades no presentan ningún orden. Ejemplo Sexo del estudiante (Femenino, Masculino), Procedencia, I.E. Ordinales.- Este tipo de variables presentan orden Ejemplo: Grado de estudios (Analfabeto, primaria, secundaria, superior), Nivel de conocimiento de Docentes. Variables cuantitativas: toman valores numéricos. A su vez pueden ser: Discretas.- Solo toman un número finito o infinito numerable de valores distintos (generalmente números naturales o enteros). Ejemplos: número de estudiantes por secciones, número de profesores, número de aulas, etc. Continuas.Toman valores en un intervalo. Generalmente corresponden a medir magnitudes continuas. Ejemplo, Rendimiento académico, altura, ingreso del docente, etc. Una característica esencial de este tipo de variables es que sus valores nunca son observables con exactitud, sino que dependen (las observaciones) de la precisión del instrumento de medida. 19 Ejemplo 7 Un especialista estudia, el nivel de introversión en niños menores de 4 años en las instituciones educativas de la ciudad de Cusco. previos para este estudio. Solución: Población: Niños menores de 4 años de las I.E de la ciudad de Cusco. Muestra: Niños de 3 años de las I.E de la ciudad de Cusco. Variable: Nivel de Introversión. Tipo de variable: Cuantitativa Unidad de estudio: Niño menor de 4 años. Defina los conceptos 1.11 ESCALAS DE MEDICION Se llama medición Tenemos las al proceso de atribuir números a las características. siguientes escalas de medición: nominales, ordinales, cuantitativas de intervalo y cuantitativas de razón. Escala nominal. La clave de estas escalas de medida es que sólo informan de la igualdad o desigualdad de los individuos en una característica, pero no de posibles ordenaciones, puesto que la característica a la que se refieren no se tiene en mayor o menor medida, sino que simplemente adopta formas cualitativamente distintas. Los números solo sirven para distinguir valores o categorías diferentes de la variable. Esta escala se emplea para variables cualitativas nominales. Ejemplo 8: El sexo 1=Masculino y 2=Femenino esto simplemente es un proceso de codificación pero no significa que la mujer sea mayor que el hombre, ni el doble, ni que existe sexo intermedio. Escala Ordinal. Los números además de servir para distinguir reflejan un orden existente sobre los valores de la variable. 20 Se obtiene clasificando objetos o arreglándolos en un orden con respecto a alguna variable común. La pregunta es simplemente, si el objeto tiene más o menos de esta variable que algún otro objeto. Esta escala se emplea para variables cualitativas ordinales. Ejemplo 9: Nivel de conocimientos de estrategias cognitivas por parte de los docentes. Excelente=5, bueno =4, regular =3 y malo = 2.” es cierto la relación de orden 2<3<4<5. Escala de Intervalo: La ubicación del punto origen no es fija, puesto que 0 no denota la ausencia del atributo. Aquí los números para clasificar los objetos representan también incrementos iguales del atributo que se esta midiendo. Esto significa que los números pueden ser comparados. La diferencia en 1 y 2 es la misma que entre 2 y 3, pero es solo la mitad de la diferencia entre 2 y 4. Las temperaturas Fahrenheit y Centígrados son medidas que tiene diferentes escalas de intervalo y diferentes puntos de 0. Escala de Razón: Medida numéricas en las cuales cero es un valor fijo en cualquier escala y la diferencia entre valores es diferente Además de la distancia de orden e intervalo, se añade un origen absoluto de forma que no solo cabe hallar distancias (ya en la escala de intervalo), si no también múltiplos exactos. En este caso, el valor representado por 4 tiene doble cantidad medida que él representado por un 2. Ejemplo 10: Edad del profesor expresada en años. 40 años y 20 años son edades distintas y 40 años es superior a 20 años Entre 40 y 20 hay una diferencia de 20, la misma que entre 50 y 30. El 0 tiene sentido. Una persona con 0 años, realmente no tiene edad todavía no ha nacido. En el siguiente cuadro se muestra un resumen de las características de las escalas de medición. 21 Resumen de escalas de medición Tipo Información deducible Relaciones Nominal “igual que” o “distinto que” Transform. admisibles Significa Significa orden No Aplicaciones inyectivas Significa distancia Origen No No Ejemplos Procedencia del Profesor, tipo de metodologia Si Relaciones Ordinal “mayor que” o “igual que” No No Grado de planificación, Funciones crecientes Nivel de utilización de materiales educativos. Igualdad o Intervalo desigualdad de diferencias Igualdad o Razón desigualdad de razones Si B .x (b 0) Si Si Rendimiento académico, Número de estudiantes. A + b.x (b 0) Si Si No Temperatura, inteligencia ESCALAS PARA LA MEDICION DE ACTITUDES La escala de clasificación por categorías es la que usan ampliamente los investigadores de ciencias de la salud y sociales. Escala de clasificación por categorías: Existen cuatro categorías a partir de las cuales los entrevistados pueden elegir para señalar su nivel general de satisfacción. - Muy satisfecho (+2) - Satisfecho (+1 ) - Algo satisfecho (0) - No del todo satisfecho (-1) Escala De Comparación: Es una versión de la escala de categorías, califica a estas categorías como: “excelente”, “muy bueno”, “bueno”, “regular” 22 y “deficiente”, ni verdadero Verdadero Alternativa A Alternativa B Alternativa C Alternativa D 23 . Escala de Likert: La escala de Likert requiere que un entrevistado indique un grado de acuerdo o desacuerdo con respecto a una variedad de afirmaciones (reactivos) relacionadas con el objeto de las actitudes. ni en desacuerdo -1 2 En desacuerdo -2 1 Muy en desacuerdo En desacuerdo Totalmente en desacuerdo Probablemen te no Definitivamen Completame te no nte falso Falso Neutral o indiferente Indeciso Ni falso. Alternativas o puntos en la escala de Likert Asignación Asignación Numérica I 2 Numérica II 5 Muy de acuerdo Totalmente de acuerdo Definitivamen Completame te sí nte verdadero 1 4 De acuerdo De acuerdo Probablemen te sí 0 3 Ni de acuerdo.eliminando de esta forma la comparación implícita. Es una escala para medir las actitudes. positiva o negativa) de los individuos. Consiste en un conjunto de ítems bajo la forma de afirmaciones o juicios ante los cuales se solicita la reacción (favorable o desfavorable. El problema con tal escala es que el punto de referencia es poco claro y diferentes entrevistados pueden usar diferentes puntos de referencia o estándares. Es un tipo de instrumento de medición o de recolección de datos que disponemos en la investigación social. Una puntuación alta está dada por el número de ítems o afirmaciones multiplicado por 5. Categorías de Respuesta Frecuencia Porcentaje Asignación de puntajes Totalmente de acuerdo De acuerdo Indeciso En desacuerdo (5) (4) (3) (2) 2 4 7 9 23 n=45 4.6% 20% 51% 100% 2(5) 4(4) 7(3) 9(2) 23(1) Total=88 Totalmente en desacuerdo (1) Para interpretar el puntaje se ubica en los tramos de la escala de likert. Ejemplo 11: Ha encontrado en la institución educativa el apoyo y las facilidades necesarias para que usted desarrolle de modo óptimo su trabajo.4% 9% 15. ( ) Definitivamente sí ( ) Probablemente sí ( ) Indeciso ( ) Probablemente no ( ) Definitivamente no Ejemplo 12: El Director de la UGEL se preocupa por el bienestar del recurso humano.Para obtener las puntuaciones de la escala de Likert. se suman los valores obtenidos respecto de cada items. PM--------------------I----------------------I----------------------I-----------------PA Donde: PM: Puntaje mínimo y PA: Puntaje Máximo. 24 . El puntaje mínimo resulta de la multiplicación del número de ítems por 1. Se encuentran en las siguientes investigaciones: 1. las independientes son más antiguas que las dependientes. originada o influida por la variable independiente. pueden cambiar. causal o de influencia en otra u otras variables. al ser determinada.12 TIPOS DE VARIABLES UTILIZADAS EN LA INVESTIGACION CIENTIFICA. Explicativa.  Considerando el tiempo. pero es necesario. Toda característica de estudio se conoce como variable. supone cierta autonomía con relación a las demás variables. por lo tanto se ubica en la parte que indica en desacuerdo. 2.  Este tipo de variable se encuentra en las siguientes investigaciones: 1. 1. Relacional 3. Experimental ( en la experimental se le conoce como estímulo) 4. señalar que las variables independientes en determinados problemas.Totalmente En (1) 45*1=45 En Indeciso (3) De acuerdo (4) Totalmente de Acuerdo (5) desacuerdo desacuerdo (2) 45*2=90 45*3=135 45*4=180 45*5=225 La puntuación 88 se aproxima a 90. según sea la posición que ocupen en el enunciado. Esto significa que no pueden existir variables dependientes sin las independientes. Variable independiente  Es aquella que juega un rol determinante. debido a que la realidad está en movimiento y que todos los hechos están concatenados. Explicativa 25 . Correlacional Variable dependiente  Es aquella que juega un rol de consecuencia. incidencia. estructuras. Experimental (La variable dependiente en una investigación experimental se le conoce como respuesta) Ejemplo 13: En el problema influencia del uso de mapas mentales en el rendimiento académico de los estudiantes de las I. elementos o aspectos que se son inherentes. la encontramos en investigaciones: 1. Comparativa. pues su presencia entre la variable independiente y variable dependiente hace que sin tener el carácter de factor causal o determinante. Ejemplo 14: En el estudio de formación académica y rol de la experiencia en el desempeño profesional.E de la región de Cusco.  La variable interviniente. 26 . Quillabamba. Variable independiente: Rendimiento Académico Variable dependiente: Uso de mapas mentales Variable Intermedia  Es aquella que juega un rol de factor condicionante. Variable Dependiente: Desempeño profesional Variable Intermedia : Experiencia Variable interviniente  Es aquella que en ciertas medida juega un rol pasivo en el problema. Variable independiente: formación académica. pues permite medir las características. Relacional 3. modifique le resultado más complejas y de mayor profundidad. 2011. 2011. Descriptiva 2. atributos. Correlacinal 4.2. Variable interviniente : Nivel de desnutrición. pues para que aparezca el problema surgen de manera simultánea. Corresponden a la investigación correlacional. 2010. 2011.  Las variables asociadas son rasgos sociales y rasgos culturales Variables Interdependientes  Son aquellas que indistintamente pueden ser consideradas como causa o como consecuencia una de otra. Ejemplo 17: En el problema: Correlación entre tipo de alimentación y obesidad de los estudiantes de la ciudad de Cusco. por lo que nunca van acompañadas de algún otro tipo de variables. no hay relación causal entre ellas y considerando el criterio tiempo vienen a ser más o menos contemporáneas. son tipo de alimentación y obesidad 27 . Variables Asociadas  Son aquellas que no guardan mayor nivel de dependencia. se encuentra en la investigación descriptiva multivariable. se trata de dos o más variables intervinientes. Las variables interdependientes.  Este tipo de variables. 2011.Ejemplo 15: En el problema: Niveles de desnutrición de los estudiantes de las instituciones educativas de la ciudad de Sicuani. Ejemplo 16: En el problema: Rasgos sociales y culturales de los profesores de la ciudad de Cusco . se puede realizar mediante: Investigación documental Investigación de campo 28 . 2. (2006) un instrumento de medición es un recurso que utiliza el investigador para registrar información o datos sobre las variables que tiene en mente. Descriptiva Interviniente Asociada Comparativa Interviniente Explicativa Independiente(s) Dependiente(s) Relacional Independiente Dependiente Correlacional Interdependiente Interdependiente Experimental Estimulo (Factor) Respuesta Observaciones: 1.al.13 RECOPILACIÓN DE DATOS. Las variables según su naturaleza se clasifican en cuantitativas y cualitativas. la cual es el acopio de información y se incluye desde elaborar fichas bibliográficas hasta la aplicación de cuestionarios con el empleo de técnicas de muestreo. Para Hernández et. La construcción de instrumento consiste en generar un número suficiente de ítems para medir todas las variables con todas sus dimensiones. En el área de las ciencias de la salud. interviniente.Resumen del tipo de variables según tipo de investigación. se tiene los siguientes tipos de investigación biomédica. dependiente. Dentro de un proceso de investigación una de las actividades que se realizan es la recopilación de datos. Las variables según su relación casual se clasifican en: independiente. La recopilación de datos. 1. Consiste en recopilar información sobre una parte de la población. 29 . Es una de las técnicas más comunes y es considerada como la relación directa entre el investigador y el objeto de estudio a través de individuos o grupos con el fin de obtener testimonios reales.. Consiste en el estudio de documentos escritos sobre un objeto determinado. Para realizar la observación se utilizan diversos instrumentos auxiliares los cuales son: 1.Documental iconográfica La investigación de campo. Es el procedimiento empírico básico..La encuesta La Entrevista. es decir son todos aquellos documentos registrados en diferentes dispositivos físicos a los que podemos tener acceso en forma directa o indirecta para su consulta y se puede clasificar en: 1.Documental audiográfica 5. a) Entrevistas formales b) Entrevistas informales La Encuesta...Documental hemerográfica 3.Documental escrita 4..Documental bibliográfica 2.La ficha de campo 3..... Consiste en obtener información directa mediante diferentes actividades por contacto directo con el hecho que se quiere investigar así como las personas relacionadas y se puede realizar: a) Por observación directa b) Por interrogación La observación..La entrevista 2.Estudio de Actividades 4. el cual consiste en realizar la percepción intencionada de una actividad determinada mediante la experimentación la cual consiste en la obtención de datos cuantitativos por medio de la medición del fenómeno que se este observando.La investigación documental.Documental videográfica 6. El Cuestionario. según su opinión.gr. 30 . VALIDEZ DE CONTENIDO El proceso de validación de contenido es eminentemente lógico.Cuestionario administrado por el entrevistado . 1. áreas diferentes de contenidos) que se Pretenden evaluar.Cuestionarios por correo .  Pedirles que.  Elaborar varios ítems para cada objetivo. Tiene carácter de anónimo.  Seleccionar una muestra de expertos en el contenido del test. donde el encuestador es quien llena la cedula de entrevista. El procedimiento cuantitativo más sencillo sería el siguiente:  Especificar los diversos objetivos (v. las cuales son preguntas formuladas por escrito y no es necesaria la presencia del investigador. asignen cada ítem al objetivo que pretende medir.14 VALIDACIÓN DEL INSTRUMENTO La validación de los instrumentos se realiza con el fin de conseguir una mayor objetividad al seleccionar los ítems en los respectivos cuestionarios. Es un eficaz auxiliar en la observación científica que contiene aspectos del fenómeno esenciales. . además de que es posible aclara la información sobre las preguntas y es utilizada cuando una persona tiene un bajo nivel cultural.La información recopilada puede emplearse para un análisis cuantitativo con el fin de identificar las magnitudes del problema.Cuestionario administrado por el entrevistador La Cedula. Existen procedimientos cuantitativos diversos para que cada experto valore el grado en que un ítem sirve para evaluar el objetivo al que corresponde. si bien pueden utilizarse jueces expertos en el tema para valorar la congruencia entre los diversos items y los diversos objetivos. ¿Estima usted que las escalas de medición utilizadas son pertinentes a los objetos materia de 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 estudio? 10. que aspectos tendrían que incrementarse o que aspectos habría que suprimirse?………… 31 . sencillo y no da lugar a diversas interpretaciones? 8. ¿Considera usted que el lenguaje utilizado en el presente instrumento es claro. obtendríamos también datos similares? 5. ¿Considera usted que los ítems del instrumento miden lo que se pretende medir? 2. ¿Considera usted que la cantidad de ítems registrados en esta versión son suficientes para tener una comprensión de la materia de estudio? 3. ¿Considera usted que si aplicamos en reiteradas oportunidades este instrumento a muestras similares. ¿Que aspectos habría que modificar. ¿Considera usted que todos y cada uno de los ítems contenidos en este instrumento tienen los mismos objetivos? 7. Seleccionar los ítems en los que los expertos manifiestan mayor acuerdo en sus clasificaciones. son una muestra representativa del universo materia del estudio? 4. propios de las variables del estudio? 6. ¿Considera usted que los ítems contenidos 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ESCALA DE VALORACION 1 2 3 4 5 en este instrumento. son todos y cada uno de ellos. CRITERIO DE EXPERTOS Método 1:HOJA DE PREGUNTAS PARA LA VALIDACIÓN PREGUNTAS 1. ¿Considera usted que la estructura del presente instrumento es adecuada al tipo de usuario a quien se dirige el instrumento? 9. ¿Considera usted que los conceptos utilizados en este instrumento. se determina la distancia de punto múltiple (DPP)..25 4. M x a (1 x 1 2 Donde: Xi = Valor máximo en la escala concedido para el ítem i... n 2 ) .( 5 4.(1 . Con los promedios hallados... para medir la variable de interés... DPP = ( 5 4..... 1 = Valor mínimo de la escala para cada ítem.5 5 5 4 4.75 5 4....PROCEDIMIENTO El método DPP mide la adecuación de los instrumentos. En el presente estudio la valoración de los expertos es: EXPERTOS Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 5 5 5 5 5 4 4 4 2 4 5 4 5 5 5 5 4 4 3 5 5 5 4 5 5 3 5 5 4 5 5 4 4 5 5 4 4 5 Promedio 4.....5 4.. x .75 )2 +( 5 5 )2 + .. en función a la valoración de los expertos.. ) (1..... Yi = El promedio del ítem i....5 2.5 )2 1. mediante la siguiente ecuación: DPP = (X 1 Y1 )2 +(X 2 Y2 )2 + .541 Determinar la distancia máxima (Dmax) del valor obtenido respecto al punto de referencia Cero (0)............. con la ecuación: 2 2 D )x .. Ejemplo 18..(X 9 Y9 )2 Donde: Xi = Valor máximo en la escala para el ítem i. 32 .. . Siendo: Escala Valoración Valoración de Expertos 0-2.6-12 A = Adecuación Total B = Adecuación en gran medida C = Adecuación Promedio D = Escasa Adecuación E = inadecuación DPP=1.... D..2 7. C. 33 .(5 1) 2 12 La Dmax hallada fue de 12 La Dmax se divide entre el valor máximo de la escala. y E. luego de las cuales se somete nuevamente a juicio de expertos....6 9.8 4..8-7... lo que indica la Adecuación del instrumento y que puede ser aplicado. El valor hallado del DPP fue de 1. llamándose con las letras A....2-9.4 2.4-4. Dividiéndose en intervalos Iguales entre si. hasta llegar a Dmax.. El punto DPP debe caer en las zonas A o B. en caso contrario.. B...DMax (5 1) 2 (5 1) 2 .4 5..541 cayendo en la zona A. lo que nos da un valor de 12/5=2.541 6. la encuesta requiere reestructuración y/o modificación. Con el valor hallado anteriormente (apartado 4) se construye una nueva escala valorativa a partir de cero. Formato para validar instrumentos a incluir en el instrumento de validación. n Aspectos generales El instrumento contiene instrucciones claras y precisas para responder el cuestionario Los ítems permiten el logro del objetivo de la investigación Los ítems están distribuidos en forma lógica y secuencial El número de ítems es suficiente para recoger la información. sugiera los ítems a añadir Validez Aplicable ( ) Validado por: Firma: No aplicable ( ) Si No ************* 34 . En caso de ser negativa su respuesta. ÍTEM Claridad En la Criterios a evaluar Coherencia interna Inducción a la Lenguaje Adecuado Con el nivel (sesgo) Del informante Si No Si No Si No Si No Si No Mide lo que pretend e medir redacció n respuesta observaciones ( si debe o eliminarse modificarse un favor indique) 1 .Método 2 Cuadro 1.. 5. 1980.95 (Popham. p. aproximadamente entre 14 y 30 personas. Se usa la correlación por el método de los puntajes directos (Correlación r de Pearson): rxy n Donde: n xi2 xi yi 2 xi yi yi2 yi 2 xi * n rxy : es el coeficiente de correlación n: número de sujetos X: valores de X (1ª aplicación) 35 . 1977. El coeficiente que se obtiene recibe el nombre de coeficiente de estabilidad porque denota la coherencia de las puntuaciones en el tiempo Para un desarrollo adecuado y sean confiables deben variar entre 0.1. se tienen: Método Test-Retest: una forma de estimar la confiabilidad de un test o cuestionario es administrarlo dos veces al mismo grupo y correlacionar las puntuaciones obtenidas. cit. El término confiabilidad “…designa la exactitud con que un conjunto de puntajes de pruebas miden lo que tendrían que medir” (Ebel. De esta manera se estimará la confiabilidad del cuestionario. Entre los métodos para estimar la confiabilidad. Esta prueba piloto ha de garantizar las mismas condiciones de realización que el trabajo de campo real. citado por Fuentes. op.80 y 0. reactivos o tareas representan al universo de donde fueron seleccionados?. La confiabilidad responde a la pregunta ¿con cuánta exactitud los ítems. citado por Fuentes. cit.. 103). op.10 CONFIABILIDAD del INSTRUMENTO Antes de iniciar el trabajo de campo. Se recomienda un pequeño grupo de sujetos que no pertenezcan a la muestra seleccionada pero sí a la población o un grupo con características similares a la de la muestra del estudio. es imprescindible probar el cuestionario sobre un pequeño grupo de población.). Y: valores de Y (2ª aplicación) Método común de división por mitades o Hemitest: este método computa el coeficiente de correlación entre los puntajes de las dos mitades del test o cuestionario aplicado. coeficiente de consistencia interna. rtt Donde: 2 sd 1 2 st rtt : coeficiente de confiabilidad 2 sd : varianza de la diferencia entre las puntuaciones de las mitades st2 : varianza de las puntuaciones del test total El método de división por mitades de Guttman: también se denomina coeficiente de consistencia interna. pero su método no supone necesariamente varianzas iguales en los sub-tests. El método de división por mitades de Rulon: utiliza la división del test en mitades. Correlación r de Pearson: r12 n 2r12 1 r12 n x12 x1 x2 2 x1 x2 2 x2 x1 * n x2 2 Estimación del test completo (Spearman-Brown) con la fórmula: rtt Se interpreta la prueba de hemitest como coeficiente de consistencia interna. tienen igual longitud y varianza entre sí. no en los ítemes. Se estima a través del coeficiente de confiabilidad de Spearman-Brown: Se establece la correlación entre los dos puntajes de las dos mitades del test a través del método de los puntajes directos. Su fórmula es: 36 . ya que una sola prueba contiene las dos formas equivalentes y su énfasis lo pone en las puntuaciones de los sujetos. Esto supone que las dos test mitades son paralelos. 37 .rtt Donde: 2 sa sb2 2 1 st2 rtt : coeficiente de confiabilidad 2 sa : varianza de las puntuaciones de los ítemes pares 2 sb : varianza de las puntuaciones de los ítemes impares st2 :varianza de las puntuaciones del test total ALFA DE CRONBACH Para evaluar la confiabilidad o la homogeneidad de las preguntas o ítems es común emplear el coeficiente alfa de Cronbach cuando se trata de alternativas de respuestas policotómicas. Coeficiente de consistencia interna. Método de Kuder-Richarson 21: permite obtener la confiabilidad a partir de los datos obtenidos en una sola aplicación del test. donde: 0 significa confiabilidad nula y 1 representa confiabilidad total. : Sumatoria de las varianzas de los ítems. La suposición básica es considerar que todos los ítemes presentan igual varianza. como las escalas tipo Likert. cuya ecuación es: donde: : coeficiente de confiabilidad de la prueba o cuestionario número de ítems del instrumento : Varianza total del instrumento. la cual puede tomar valores entre 0 y 1. 2003). El coeficiente α de Cronbach puede ser calculado por medio de la varianza de los ítems y la varianza del puntaje total (Hernández Sampieri et al. Para calcular el coeficiente de confiabilidad se usó el ”COEFICIENTE ALFA DE CROMBACH ( )” Córdova (2009). 89 CONFIABILIDAD Muy alta Alta Aceptable Moderada Baja Muy baja Despreciable 38 .KR21 Donde: n n 1 1 M n M nst2 n: número total de ítems M: media aritmética de las puntuaciones obtenidas por los individuos st2 : varianza de las puntuaciones totales Para la interpretación de la confiabilidad se utiliza el siguiente cuadro: TABLA DE CATEGORÍAS ESCALA r>0. 83 varianza del instrumento 39 .69 0.46 0.45 0. para la siguiente información Encuestados 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Total 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 3 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 5 3 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 1 1 2 1 1 1 2 0 1 2 1 1 1 2 0 17 Preguntas (Ítems) 5 1 2 1 1 1 1 1 0 1 2 1 2 2 2 0 18 6 1 1 1 0 1 1 2 1 0 2 1 2 2 0 0 15 7 0 1 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 8 0 1 0 1 1 1 1 0 0 2 1 2 0 1 1 12 9 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 6 10 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 2 1 0 0 0 9 Puntos 3 12 5 3 7 4 10 1 3 13 9 9 5 6 3 93 0.53 0.17 0.24 0.17 0.42 0. Determine la confiabilidad.57 0. utilizando alfa de cronbach.Ejemplo 19. la misma que presenta en cada ítems cinco alternativas. Una puntuación alta (PA) está dada por el número de ítems o afirmaciones multiplicado por 5. PM--------------------I----------------------I----------------------I------------------PA El promedio del puntaje del instrumento se obtiene mediante: 40 . con la finalidad de señalar su nivel de acuerdo. a partir de las cuales los entrevistados pueden elegir. BAREMACIÓN DEL INSTRUMENTO. se suman los valores obtenidos respecto de cada ítem. Para medir la variable de estudio se aplico una encuesta utilizando la escala de likert. UTILIZANDO ESCALA DE LIKERT. El puntaje mínimo (PM) resulta de la multiplicación del número de ítems (x) por 1.Varianza de cada pregunta El índice de confiabilidad es alto de conformidad con la tabla de categorías. Alternativa Asignación numérica a b c d e 5 4 3 2 1 Para obtener las puntuaciones de la variable de estudio. Para medir las variables de estudio se aplica encuestas. a partir de las cuales los entrevistados pueden elegir.5 2.5 2.5 Pr omedio 1. Puntaje Obtenido Categoría Deficiente Pr omedio 1. las mismas que presentan en cada ítem cuatro alternativas. asignación un valor a cada alternativa como se muestra en el siguiente cuadro: Alternativa Asignación numérica a b c d 4 3 2 1 Con la finalidad de realizar un análisis estadístico de las variables con sus respectivas dimensiones previamente se realizo la baremación del instrumento (Medición de la variable) 41 .5 Pr omedio 1.49 1. con la finalidad de señalar su nivel de acuerdo.Pr omedio Puntaje n Para facilitar la interpretar las puntuaciones de la variable de estudio se transforman a una escala cualitativa.5 2. según el siguiente criterio. El tipo de escala que se utiliza es ordinal (Escala de intensidad).5 Malo Regular Bueno Muy bueno BAREMACIÓN DEL INSTRUMENTO. UTILIZANDO ESCALA DE INTENSIDAD.5 Pr omedio Pr omedio 4. se suman los valores obtenidos respecto de cada ítem. de preguntas (Ítems) Mínimo Máximo Puntaje Obtenido m m Puntuación transformada A escala vigesimal m 1 20 x 4m T La puntuación original se transformación a una escala vigesimal utilizando la siguiente relación T 1 4m-1 x 19 T 1 4m 1 1 Puntaje Obtenido 0-8 9-10 11-13 14-17 18-20 x 1 19 Despejando el valor de x. PM--------------------I----------------------I----------------------I------------------PA En el cuadro siguiente se muestra el resumen de la puntuación: Características Puntuación original Nro. se obtiene la puntuación del individuo en escala vigesimal. Finalmente la escala vigesimal es transformada a una escala cualitativa: Categoría Deficiente Malo Regular Bueno Muy bueno 42 . El puntaje mínimo (PM) resulta de la multiplicación del número de ítems (x) por 1.Para medir la variable de estudio (Puntuación). El puntaje máximo (PA) está dada por el número de ítems multiplicado por 4. . Esta referido a la estructura del proyecto de Investigación y que para fines didácticos se presenta en el siguiente esquema: TITULO:……… PROBLEMA General ¿…………………….? 2.. DIMENSIONES ……. Diseño de investigación……… VARIABLES ….5. …………… …………. Muestra………… INDICADORES …………. RECOLECCIÓN DE DATOS PRUEBAS ESTADISTICAS ……………. ¿……………… Objetivo específico . Guía de observación Cuestionario encuestas Entrevistas Ubicación de ítems ……… 43 . Formulación de hipótesis operativas. Tipo de investigación………….. … Variable Dependiente OBJETIVO General HIPOTESIS General VARIABLES Variable independiente …………… TIPO DE ESTUDIO Nivel de investigación…. 1. ¿………………….11 MATRIZ DE CONSISTENCIA. POBLACIÓN Y MUESTRA Población….? Formulación de problemas específicos. MODELO DE TESIS TÍTULO DE LA TESIS: CAPITULO I: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN OBJETIVOS JUSTIFICACIÓN  ORIGINALIDAD:  PERTINENCIA:  RELEVANCIA:  OPORTUNIDAD:  FACTIBILIDAD: IMPORTANCIA LIMITACIÓN ÁREA DE ESTUDIO DELIMITACIÓN DELIMITACIÓN ESPACIAL DELIMITACIÓN TEMPORAL CAPITULO II: MARCO TEÓRICO ANTECEDENTES DE ESTUDIO MARCO CONCEPTUAL MARCO NORMATIVO MARCO TEÓRICO CONCEPTUALIZACIÓN EN TÉRMINOS HIPÓTESIS DE INVESTIGACION. CAPITULO III: DISEÑO METODOLÓGICO 44 . DISEÑO DE INVESTIGACIÓN POBLACIÓN Y MUESTRA VARIABLES OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE DATOS. Cleto De La Torre Dueñas NIVEL DE INVESTIGACIÓN TIPO DE NVESTIGACION.Estadística para la toma de decisiones Dr. CAPITULO IV: PRESENTACION DE RESULTADOS CONCLUSIONES RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFIA ANEXOS 45 . La(s) variable(s) de estudio y el tipo de variable. b. Especifique a. c. La escala de medición a emplear.EJERCICIOS PROPUESTOS. b. Tipo de investigación e. Sexo. La(s) variable(s) de estudio y el tipo de variable. 46 . Clasificar cada una de las siguientes variables : a. Nivel. d. Alto). Diseño de investigación 2. tipo y diseño de investigación. Influencia del uso de materiales didácticos en el rendimiento académico de los estudiantes de la ciudad de Cusco. realice el análisis correspondiente.E de la UGEL Cusco. c. b. La escala de medición a emplear. Medio. 4. a. Se realizo el estudio de la calidad de vida y servicio educativo de los profesores de las I. 3. d. Rendimiento Académico (Bajo. 1. Carrera publica magisterial. Totalmente de acuerdo De acuerdo Indeciso En desacuerdo Totalmente en desacuerdo Frecuencia 15 40 25 10 6 En base a la información. Proponer un titulo para esta investigación. Edad. Se hizo una encuesta a una muestra representativa de profesores de la UGEL La Convención sobre el nivel de acuerdo con la carrera pública magisterial propuesta por el gobierno. Nivel de investigación. Especifique. c. Elabore la matriz de consistencia para cada uno de los casos. 2011. g. Años de estudios completados. j. 5. Nivel educativo (primario secundario. En los siguientes temas de investigación Causas de la deserción escolar en la Región Cusco. Tipo de enseñanza (privada o pública). Influencia del Uso de TIC en el rendimiento académico de los estudiantes de la carrera Profesional de Educación. obteniendo los siguientes resultados. Calidad de vida y desempeño pedagógico de los profesores de la UGEL Cusco. Numero Telefónico Numero de DNI de un profesor. 47 . 2011. Se aplico un test para medir la competitividad del magisterio a una muestra piloto de 5 profesores. e. f. i. Universidad A. 2011. k. h. Profesor 1 1 2 3 4 5 1 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 3 1 1 0 1 1 Ítems 4 0 1 1 1 0 5 0 0 1 0 1 6 0 1 1 0 1 Determine la confiabilidad y validez del instrumento. medio o alto). Nivel de congruencia entre la sumilla y el silabo. Cleto De La Torre Dueñas d. superior). Estrato social (bajo. 6.Estadística para la toma de decisiones Dr. Método de enseñanza. CAPITULO II ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN La presentación de datos a través de tablas estadísticas es una actividad importante dentro de los sistemas de información. poniendo en relieve sus rasgos más importantes. gráficos o valores numéricos. En el contexto de los sistemas de información. Un primer resumen de la información contenida en un conjunto de datos observado se obtiene al organizarlos en lo que se llama una tabla de frecuencias. Resumir los datos es un procedimiento útil para conseguirlo y puede hacerse mediante tablas. En ésta se recogen los distintos valores (números o categorías) que toma la variable junto con sus correspondientes frecuencias de aparición. 48 .1 TABLA DE FRECUENCIAS. en más de una oportunidad se encontrara que un buen grafico resume y expresa mucho más que párrafos completos de comentarios e interpretaciones literales. estas se fortalecen significativamente cuando se la acompañan con gráficos descriptivos ilustrativos. A lo largo de este tema veremos las principales técnicas numéricas y gráficas que nos permiten describir una característica de interés observada en una población. 2. hi ....….. fi La frecuencia relativa acumulada del valor i-ésimo es la suma de las frecuencias relativas hasta dicho valor.. Hi Fi n Una tabla de frecuencias tiene la siguiente estructura: 49 ..1 TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUALITATIVAS Si en una muestra de n elementos. se denota por Fi Hi h1 h2 ..Estadística para la toma de decisiones Dr.... se denota por Fi Fi f1 f 2 ..1. se representa por hi hi fi .. se cumple n k hi 1 i 1 La frecuencia absoluta acumulada del valor i-ésimo es la suma de las frecuencias absolutas hasta dicho valor. Se representa por fi y cumple k fi i 1 f1 f 2 . Cleto De La Torre Dueñas 2. previamente definimos algunos conceptos: La frecuencia absoluta de un valor Ci es el número de veces que dicho valor aparece en la muestra.. fk n La frecuencia relativa de un valor Ci es el cociente de la frecuencia absoluta (fi) entre el tamaño de la muestra (n). Ck de una variable cualitativa X.. se observa k categorías diferentes C1.. C2. Para resumir la información. Categoría de la variable X C1 C2 …. Ck Total Frecuencias absolutas fi f1 f2 … fk n Frecuencias relativas hi h1 h2 … hk 1.00 Frecuencias Porcentuales pi p1 pi … pk 100.00 frecuencias absolutas acumuladas Fi F1 F2 … Fk=n frecuencias relativas acumuladas Hi H1 H2 … Hk=1 GRAFICAS. Las representaciones gráficas prácticamente están orientadas de acuerdo con las necesidades del investigador o estadístico, de todas formas se tienen algunas normas de trabajo y representación, que tienen por objeto facilitar la lectura de los datos e información que se maneja estadísticamente. La calidad de un gráfico estadístico consiste en comunicar ideas complejas con precisión, claridad y eficiencia, de tal manera que: • • • • Induzca a pensar en el contenido más que en la apariencia No distorsione la información proporcionada por los datos Presente mucha información (números) en poco espacio Favorezca la comparación de diferentes grupos de datos o de relaciones entre los mismos (por ejemplo una secuencia temporal) La finalidad de los gráficos estadísticos es: – – – – – – Organizar los datos. Observar patrones. Observar agrupamientos. Observar relaciones. Comparar distribuciones. Visualizar rápidamente la distribución de los datos. 50 Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas – Visualizar, obtener y comparar medidas estadísticas. El cuadro anterior se puede representar utilizando los siguientes gráficos.  Diagrama de barras o rectangulos Es la representación gráfica usual para variables cuantitativas sin agrupar o para variables cualitativas. Para el caso de variables cualitativas se construye dibujando sobre la categoría correspondiente un rectángulo con altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa). También es válido para variables cuantitativas discretas, considerando en el eje de abscisas los valores de la variable en orden creciente en lugar de las categorías, sobre cada valor levantamos una barra de altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa).  Diagrama de Pareto. Se ordenan las categorías de mayor a menor importancia y se dibujan los rectángulos correspondientes.  Diagrama de sectores. Es el más usual en variables cualitativas. Se representan mediante círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular proporcional a su frecuencia. Para hallar el ángulo usamos la siguiente proporción: al tener una circunferencia 360º, el cociente entre la frecuencia absoluta (o relativa) total y la frecuencia absoluta (o relativa) que queramos representar será igual al cociente entre los 360º de la circunferencia y el ángulo a determinar, así : n fi 360º 1 hi 360º Donde  es el ángulo a determinar. Pictogramas. Expresan con dibujos alusivos al tema de estudio las frecuencias de las modalidades de la variable. La escala de los dibujos debe ser tal que el área 51 de cada uno de ellos sea proporcional a la frecuencia de la modalidad que representa. 2.1.2 TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS Una vez obtenida una muestra de cualquier población y observados los valores que toma la variable en los individuos de la muestra, estos valores se suelen ordenar. Si la variable es cuantitativa la ordenación será de menor a mayor. Dada una variable X, consideramos una muestra de tamaño n que toma k valores distintos, x1, . . . , xk (x1 < x2 < . . . < xk). La organización es en forma similar al caso cualitativo. Categoría Frecuencias Frecuencias Frecuencias de la absolutas fi relativas hi frecuencias frecuencias relativas Porcentuales absolutas pi variable X x1 x2 …. xk Total f1 f2 … fk n h1 h2 … hk 1.00 acumuladas acumuladas Fi Hi H1 H2 … Hk=1 p1 pi … pk 100.00 F1 F2 … Fk=n La grafica para representar esta información es Bastones. 52 Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas Observaciones Los datos iniciales se pueden representar utilizando los gráficos. Diagrama de cajas(box-plot) Presentación visual que describe al mismo tiempo varias características importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, el alejamiento de la simetría, y la identificación de valores extremos (puntos atípicos), es decir, de valores que se alejan de una manera poco usual del resto de los datos. Presenta los tres cuartiles, (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja vertical u horizontalmente. El procedimiento Para el diagrama de cajas y bigotes es: 1. Dibujar un segmento con extremos en los valores menor y mayor que aparecen en la muestra paralelo a uno de los ejes . 2. Dibujamos una caja con extremos en el primer y tercer cuartil y marcamos en ella la mediana. 3. Se hallan los límites interiores (Q1 – 1.5 IQR y Q3 + 1.5 IQR) y los límites exteriores (Q1 – 3 IQR y Q3 + 3 IQR). Donde Qi : Cuarteles que seran desarrollados más adelante. 4. Se unen, con unos segmentos (bigotes), Q1 y Q3 con los valores adyacentes de la muestra. 5. Por último se indican los valores atípicos Tallos y Hojas (stem & leaf) Procedimiento semigráfico para el que se preparan los datos resumiéndolos en dos o tres cifras (expresándolos en las unidades adecuadas). A continuación se disponen en una tabla de dos columnas del siguiente modo: 1. Si los datos son de dos dígitos, a la izquierda (en el tallo) aparece la cifra de las decenas, a la derecha separada por una línea aparecen las hojas y se escriben ordenadas y todas seguidas. 2. Si hay tres dígitos el tallo está formado por los dos primeros. Las hojas son las unidades. 53   54 .2.3 TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS.3log(n) Donde k: Numero de intervalos. LSk LI i 2 LSi Determinación de las marcas de clase.. Definimos entonces como clase a cada uno de los intervalos en que se agrupan los datos.1. xmin kA LI k . n: Numero de datos. A veces se hace necesario trabajar con datos agrupados. se tiene los siguientes pasos:  Elegir un numero de intervalos de clase (K) Puede utilizar la regla de Sturges. k 1 3. Ik  xmin (k 1) A. xmin A LI1. Las frecuencias harán ahora referencia al número de datos que hay en cada intervalo. mi Donde LI : Limite inferior LS : Limite superior. xmin 2 A LI2 . LS2 ……………………….  Realizar la clasificación y el conteo de datos en cada clase construida.    Determinar el rango . LS1 I2 xmin A. Para construir distribución de frecuencias por intervalos. R xmax xmin R/k Determinar la amplitud de las clases A Determinación de los intervalos: I1 xmin .  Polígono de frecuencias El polígono se construye fácilmente si tenemos representado previamente el histograma.00 frecuencias absolutas acumuladas Fi frecuencias relativas acumuladas Hi H1 H2 … Hk=1 I1 I2 ….Estadística para la toma de decisiones Dr.  Curva de frecuencias. Resulta de suavizar el polígono de frecuencias. El criterio para calcular la altura de cada rectángulo es el de mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas (o relativas) de cada intervalo y el área de los mismos. se construye a partir de la tabla estadística. y se unen por una línea recta los puntos del histograma que corresponden a sus marcas de clase. ya que consiste en unir mediante líneas rectas los puntos del histograma que corresponden a las marcas de clase. suponemos que adyacentes a ellos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia nula.00 Frecuencias Porcentuales pi p1 pi … pk 100. Cleto De La Torre Dueñas Intervalos Ii Marcas de clase mi Frecuencia s absolutas fi f1 f2 … fk n Frecuencia s relativas hi h1 h2 … hk 1. representando sobre cada intervalo. en sus puntos angulosos. Para representar el polígono de frecuencias en el primer y último intervalo. utilizamos como diagramas diferenciales los histogramas y los polígonos de frecuencias.00 Frecuencias relativas hi h1 h2 … hk 1. Este cuadro se representa mediante los siguientes gráficos: Histograma de frecuencias Un histograma es la representación más frecuente con datos agrupados.  Ojivas  55 . Ik Total m1 m2 … mk F1 F2 … Fk=n Cuando las variables son continuas. un rectángulo que tiene a este segmento como base. 1 24.5 19. Usando la relación de sturges se tiene: k 1 3.4 19.5 16.8 16.5 19 19.4 14.9 21 21.5 15.8 20.8 20.4 17.7 19. a) Para construir una tabla de frecuencia se tiene los siguientes pasos.8 18.5 20.7 23 23 23. Solución.7 22 22.2 14  Determinar el tamaño del intervalo de clases (c). 12.4 13.9 20 20 20.4 18.7 19.3 19 a) Construya la tabla de distribución de frecuencias b) Represente la información obtenida.3 16.6 21.2 17.5 16.2 17.3 20. A R k 14 7 2 Establecimiento de los límites y construcción de la tabla: 56 .3 19.2 23.4 19.44 7  Determinar la amplitud de los intervalos R xmax xmin 26.2 24.8 18.8 26.2 12.5 24.3 18.8 18.8 18.2 19.6 18.1 19.9 20.1 18.4 22.4 21.3 20.3log(n) 1 3.2 15.7 19.1 16. mediante un grafico.7 19.3 18.2 19.6 20.4 15.2 16.3 18.8 18.2 18.2 18 18.9 17.5 19.3 23.9 19. se obtuvo siguiente información en el incremento mensual de utilidades en miles de soles de 90 sucursales de la empresa.7 19.5 17.1 21.8 18.3log(90) 7.5 23.8 17.6 20.EJERCICIOS RESUELTOS 1) En un estudio realizado sobre el impacto que presenta aplicar una estrategia comercial en las ventas .5 19.1 19.9 17.1 17.5 17.  Elegir el número de clases.1 17.2 20.6 17.8 19.4 15.3 19. D. D. D.07 0.02 0.2 – 16. B. La gerencia desea saber si se nota alguna preferencia por uno u otro tipo de tributación.2 15.8 10 3.4 0. A. B.2 19. D.02 0.29 0.2) [16. Cleto De La Torre Dueñas LI .2 21. B. D. A.2 – 14. D.2 fi 2 6 18 36 16 9 3 n=90 Fi 2 8 26 62 78 87 90 hi= fi/n 0. D. B. A.09 0.67 20 40 17. D. D. 57 . B. D A. A.69 0.2 – 26. A. C.18 0. A.2 25. D.Estadística para la toma de decisiones Dr.2 – 18. C.2) [22. B.97 1 b) Histograma de frecuencias relativas.- SUNAT pone a disposición de sus clientes cuatro nuevos planes de tributación.2 – 22.2 17.03 1 pi 2.2 23. D. D.LS [12.2) [18. A. His tograma 40 30 fr ec uenc ia 20 10 0 12 15 18 21 24 27 2. C.1 0.2) [24. C.2) TOTAL mi 13. 2– 24. A. B. B.2 0. A.87 0.2) [14.2 – 20. D. Represente la información mediante un gráfico apropiado. D. A continuación se presenta los resultados de la encuesta aplicada a 37 usuarios.22 6.33 100 Hi 0.2) [20. 4054 1 Pi 27.54 100 15 12 fr ec uenc ia 9 6 3 0 A B C D 27.03 10.Solución.1081 0. 58 .54% A B C D {[} {\} {]} {^} 21.62 40.62% 10.03% T ributación 40. registrándose los siguientes resultados.Se realizo un estudio sobre el tipo de error en la facturación en la ciudad de Cusco.81 21..2162 0. Tipo de capital. A C B D Total fi 10 4 8 15 n=37 hi 0.81% {_} {`} 3.2703 0. 0 Deficiente Regular Bueno Total 59 ..4 34. se realizo un estudio sobre el conocimiento que presentan los 41 administradores de empresa. 50 40 Porcentaje 30 20 10 0 Calculo Concepto Otros Tipo de error en la facturación 4. Los resultados se muestran a continuación.8 100. Cleto De La Torre Dueñas Tipo de Error en la facturación Frecuencia 45 70 86 201 Porcentaje 22. Conocimiento Frecuencia 26 8 7 41 Porcentaje 63.4 19.Estadística para la toma de decisiones Dr.0 Calculo Concepto Otros Total Represente gráficamente la información.En una ciudad. respecto a planes de marketing.5 17.8 42.1 100. 60 .0% 0.0% Porcentaje 40.0% 20. Los datos del Cuadro siguiente corresponden a saldos en cuenta corriente de 48 empresas en miles de soles.0% Deficiente Regular Bueno Conocimiento EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 60.Represente la información mediante un grafico. 87 93 101 104 105 105 106 107 107 109 110 114 114 116 117 118 118 119 120 122 122 125 125 128 129 133 133 134 135 138 140 141 146 146 148 152 155 155 162 167 173 176 183 194 197 204 212 230 a) Construya la tabla de frecuencias. b) Grafique el histograma. 39.Construir una distribución de frecuencias de estos pesos. de los compradores de cierto producto de venta masiva. f).44. 8. 8.41. c).. iii) Variable en estudio. F4 c) Construya un gráfico estadístico adecuado para la tabla construida en la parte a) e interprételo.. 7. 8.Estadística para la toma de decisiones Dr.47. 8.5 miles de soles. 9.45.42.. 6. 6. 10. 42. ii) Elementos de la población.. f 4 .5 y 42.40. 5. en lugar de una gráfica de barras 61 .40. 5. b) Construya una tabla de frecuencias completa e interprete: n3 .. 9.39. 3. N5 .45.40.50. 9. 7. obteniéndose los siguientes resultados en miles de soles : 34.39. 11. 5.. 7.47.44.42. 7. b). 6.36. 7.¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos. 7. se determino la inversión que estos realizan en la bolsa de valores .40. 2. 10.38. g).38. Cleto De La Torre Dueñas c) Establezca si los datos siguen una distribución simétrica. d). 8. 4.41. 7.40. 3.39. Para ello se realizó una encuesta a un grupo de individuos elegidos al azar y los datos reunidos se muestran a continuación: 4.42.38. 7. 10. 7.44. 8.. 5.41. e) Determine el porcentaje exacto de empresarios con una inversión que fluctue entre 39. iv) Tipo de dato analizado.Se llevó a cabo un estudio de mercado con el fin de describir el nivel de consumo mensual en unidades. a) Identifique los siguientes conceptos: i) Población analizada.44. X 2S X .36. 4. 6. 6. 6.Encontrar las frecuencias relativas acumuladas. 8. 6. 10. a). 7. 5.48.Dibujar un histograma con los datos de la parte a). 8.41. 8.Encontrar las frecuencias relativas.44. 6. 9.Encontrar las frecuencias acumuladas. En una muestra aleatoria de 35 pequeños empresarios. 4. d) Se desea determinar el porcentaje de empresarios cuya inversión.35. 7. 9. 6. pertenece al intervalo X 2S X . 7. Incluya los limites dados. 62 . c).2 26..9 26.7 20. con los intervalos anteriores.3 26.6 25. con tal fin se realiza una auditoria respecto al volumen mensual de las ventas de los últimos 50 meses.3 24.6 26.8 20..0 24..9 25.8 22.0 24.SUNAT esta realizando un estudio sobre la evasión de impuestos por parte de una empresa.7 30. 110 113 124 117 108 118 110 98 118 111 120 106 126 122 132 112 99 128 112 105 108 101 102 94 117 103 115 112 129 114 113 119 120 111 115 135 100 107 119 121 107 117 123 103 130 122 113 109 100 134 a)..1 21.5 25.2 25.9 21.0 22.Calcular la media y la varianza con los intervalos del apartado b y después calcúlense las mismas magnitudes sin ordenar los datos en una tabla estadística.9 26.9 20..0 26.2 22..Dibuje el polígono de frecuencias relativas. b) Dibuje el polígono de frecuencias..4 20. d).0 25.El gerente de ventas de una empresa a registrado los siguientes montos de sus ventas diarias en cientos de soles: 24.6 21.Obtenga la distribución de frecuencias acumuladas.7 21.¿Cuál es la amplitud total de la distribución de los datos? b).5.7 25. 9.0 21.1 21.0 28. la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa acumulada "a menos de". ¿Con qué método se obtiene mayor precisión? e)..4 a) Construya una distribución de frecuencia con 5 clases.4 22.Dibuje el polígono de frecuencias relativas acumuladas.8 21.8 20. f).9 21.Obtenga la distribución de frecuencias absolutas y relativas. absolutas y relativas.2 24. .U asesor de una pequeña empresa de corretaje. 63 en ojiva de . estaría dispuesto a invertir su capital. Construir una ojiva. Cleto De La Torre Dueñas 10. Construir la tabla de distribución de frecuencias. Construya la distribución de frecuencia acumulativa. Ha obtenido estos datos de los diarios de vuelo de los últimos 50 días y ha reflejado esta información: 68 72 50 70 65 83 77 78 80 93 71 74 60 84 72 84 73 81 84 92 77 57 70 59 85 74 78 79 91 102 83 67 66 75 79 82 93 90 101 80 79 69 76 94 71 97 95 83 86 69 a. Grafique la distribución de la parte (a) convirtiéndola frecuencia relativa.. El asesor sabe que si un inversionista potencial pudiera obtener un cierto nivel de intereses. 11. b. Construir un histograma y un polígono de frecuencias. c.Estadística para la toma de decisiones Dr.Suponga que usted es el estadístico oficial de líneas aéreas KLM y que el presidente del consejo de administración le ha pedido que recoja y organice datos relativos a las operaciones de vuelo. Su interés principal a partir de los valores diarios se centra en la variable de número de pasajeros. pero debajo de un cierto nivel de intereses. De un grupo de 50 sujetos. el asesor obtuvo los datos siguientes con respecto a los diferentes niveles de réditos requeridos por cada individuo para que pueda invertir 1000 dólares: Punto de diferencia ($) fi 70 – 75) 75 – 80) 80 – 85) 85 – 90) 90 – 95) 95 – 100) 100 – 105) 105 – 110) 2 5 10 14 11 3 3 2 a. no estaría dispuesto a hacerlo. b. intenta diseñar programas de inversión que fuesen atractivos para jubilados. c. En muchos casos. Podemos distinguir 4 aspectos o características principales que pueden resumirse en una distribución.y mediante números que reflejen la forma (asimetría y apuntamiento) de la distribución -medidas de forma. CAPITULO III MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE DATOS Las técnicas estudiadas anteriormente permiten una descripción visual de la distribución de una variable. (Ver cuadro siguiente) 64 . el resumen puede hacerse eficazmente de una forma más sencilla y precisa: utilizando valores numéricos que den idea de la ubicación o del centro de los datos -medidas de posición. La conjunción de técnicas numéricas y gráficas permite una buena descripción de la variable.usando cantidades que informen de la concentración de las observaciones alrededor de dicho centro -medidas de dispersión. Los estadísticos resúmenes tratan de reflejar numéricamente distintos aspectos de la variable en estudio. 65 . obtenidos de una muestra seleccionada de una población específica o de un conjunto de resultados del espacio muestral de un experimento aleatorio. la dispersión.Estadística para la toma de decisiones Dr.1 Medidas de tendencia central Los promedios o medidas de tendencia central son valores representativos de un conjunto de datos. Pretenden resumir todos los datos en un único valor. Las medidas de tendencia central son fundamentales ya que permiten localizar cuantitativamente la zona central o de mayor acumulación de información de un conjunto de datos correspondientes a una variable. Definimos tres medidas de tendencia central: media. la variabilidad de los valores de la distribución respecto al Recorrido Intercuartilico Coeficiente de Asimetría Forma valor central Comparan la forma Coeficiente de Apuntamiento que tiene la o Curtosis representación gráfica 3. Cleto De La Torre Dueñas Media Centralización Mediana Moda Percentiles Cuartiles Posición Deciles Varianza Medidas descriptivas Dispersión Desviación típica Coeficiente de variación Rango Nos dan un centro de la distribución de frecuencias Son valores de la distribución que dividen en partes iguales Las medidas de dispersión cuantifican la separación. mediana y moda. .... se obtiene mediante: n x1. . n fkmk k hi mi i 1 La media se mide en las mismas unidades que la variable. ( x ) Media para datos sin agrupar: Dado un conjunto de observaciones mediante x . n fkxk k xi hi i 1 Si los datos están agrupados por intervalos. corresponde a un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores. la media se representa x Media para datos agrupados x1 x 2 . ..... xn n xi i 1 n Consideremos el caso en que tenemos una distribución de frecuencia para variables cuantitativas discretas. para hallar la media tomamos la marca de las clases... es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra una vez se ha ordenado ésta. en este caso la media es: x f 1x1 f 2 x 2 .Media. Mediana.. . Mediana para datos sin agrupar La mediana es el valor del dato central y depende del tamaño de la muestra. x f 1m1 f 2m2 . (Me) Se calcula para variables cuantitativas. para n impar 66 . y tiene el inconveniente de verse muy afectada por la presencia de datos que sean extremadamente grandes o pequeños (datos atípicos).. . Me xn 2 1 . xn. la variable se dice multimodal y puede calcularse para cualquier tipo de variable (Cuantitativas o cualitativas). Si hay más de una moda. en este caso. Moda. (Mo) Es el valor con mayor frecuencia. ya que esa información se ha perdido en privilegio del agrupamiento intervalo. Mo LI 1 1 2 A LI fi fi fi 1 fi 1 fi fi A 1 Donde: 1 fi fi fi fi 1 1 1 67 . Por lo tanto. Si los datos están agrupados hablamos de clase modal y será aquella para la que la frecuencia absoluta sea mayor. Cleto De La Torre Dueñas x Me n 2 x 2 n 1 2 . debemos buscar otro método para determinar el valor de la mediana. Mediana para datos agrupados Cuando trabajamos con variables agrupadas por intervalos es imposible determinar con precisión los valores que toman los datos. Si n es par.Estadística para la toma de decisiones Dr. Me LI n Fi 2 fi 1 A LI 0.5 H i hi 1 A La mediana sólo tiene en cuenta la posición de los valores en la muestra y por lo tanto tiene mejor comportamiento que la media cuando hay observaciones anómalas. ¿Cómo elegir entre las medidas de tendencia central?. el uso de la mediana es más apropiado pues se ve menos afectada. mediana y moda coincidirían en el mismo. en este caso la media. generando una distribución asimétrica hacia la izquierda. pero en la práctica esta medida de tendencia central no se utiliza demasiado.En general. en este caso como la media es la suma de los valores de las observaciones dividido por la cantidad total de observaciones. la media es la medida de tendencia central más útil y más empleada. puedes utilizar la moda. o sólo necesitas una descripción rápida y aproximada de la tendencia central. Si se trata de una variable ordinal. Clases de Distribuciones Distribución Simétrica se presenta si todas las observaciones están concentradas en un solo valor de la variable. x Me Mo Distribución asimétrica sesgada a la izquierda Supongamos ahora que las observaciones de la parte izquierda se alejan del valor central más que las observaciones de la parte derecha. su valor se correrá a la izquierda también y por el mismo 68 . que también es útil cuando la distribución está distorsionada por valores extremos o la distribución es bimodal. Cuando valores extremos distorsionan la distribución de los datos. El uso de la media es el más apropiado cuando y la distribución de los datos es unimodal y aproximadamente simétrica. al menos el 25% de los datos son menores o iguales que él y al menos el 75% de los datos son mayores o iguales que él. tercer cuartil. es la mediana.2 Medidas de Posición. - Q2. Cuartiles Dividen la muestra.3 Qi - LI i i. Cleto De La Torre Dueñas motivo. En este caso la media. segundo cuartil. Percentiles Dividen la muestra ordenada en 100 partes iguales. al menos el 75% de los datos son menores o iguales que él y al menos el 25% de los datos son mayores o iguales que él. Q2 = Me. ordenada de menor a mayor. Mo Me x . primer cuartil. es decir: x Me Mo Distribución asimétrica sesgada a la derecha. es mayor que la mediana y que la moda.2. i=1.n Fk 4 fk 1 A Q1. la media será menor que la mediana y ambas menor que la moda. 69 . y se denotan por Qi . en 4 partes iguales. 3. Q3.Estadística para la toma de decisiones Dr. n Fk 10 fk 1 A 3.3 Medidas de dispersión Mientras los estadísticos de tendencia central nos indican los valores alrededor de los cuales se sitúan un grupo de observaciones. Q2 = P50 =Me y que Q3 = P75. Si los datos están ampliamente dispersos. los estadísticos de variabilidad o dispersión muestran si los valores de las observaciones están próximos entre sí o están muy separados. A partir de las definiciones de los cuartiles y percentiles. es claro que Q1 = P25. Dos conjuntos de datos pueden tener la misma localización central y no obstante.…9 Di LI i i. La dispersión de la distribución suministra información complementaria que permite juzgar la confiabilidad de nuestra medida de tendencia central.Pi LI i i. ser muy distintos si uno se halla más disperso que el otro. Deciles Dividen el conjunto de datos en 10 partes iguales y se denota con Di . i=1. La dispersión es el grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio. Pi ( 1 i 99 ) es un valor tal que al menos el i% de los datos son menores o iguales que él y al menos el (100-i) % de los datos son mayores o iguales que él. la localización central será menos representativa de los datos en su conjunto de lo que sería en el caso de datos que se acumulasen más alrededor de la 70 .n Fk 100 fk 1 A El i-ésimo percentil. Sólo tienen sentido para variables cuantitativas y se define: n xi S2 i 1 x 2 n xi2 i 1 n n n x 2 n x 2 . Varianza. fi xi2 xi S2 i 1 fi i 1 n n n x 2 n x 2 . Cleto De La Torre Dueñas media. Para datos tabulados de variable discreta mi S2 i 1 fi i 1 f i mi2 n x 2 . las utilidades con una fuerte dispersión indican un riesgo mayor parar los accionistas que las utilidades que permanecen relativamente estables. Para datos tabulados por intervalos. Desviación típica (S) Es la raíz cuadrada positiva de la varianza s 71 s2 . Observaciones sobre la varianza: Las unidades de la varianza son los cuadrados de las unidades de los datos y en muchas ocasiones no son fáciles de interpretar. Puede sufrir un cambio desproporcionado por la existencia de valores extremos en el conjunto. Para datos no tabulados. para n variables continuas. Por ejemplo.Estadística para la toma de decisiones Dr. a los analistas financieros les interesa la dispersión de las ganancias de una empresa. deberemos ser capaces de reconocerlo y no escoger las distribuciones que presentan la máxima dispersión. si no conviene tener una amplia dispersión de valores respecto al centro o si esa dispersión implica un riesgo inaceptable. Además. carece de unidades de medida y permite comparar dos o más cantidades que en un principio no son comparables porque aluden a conceptos diferentes. Puede sufrir un cambio desproporcionado por la existencia de valores extremos en el conjunto. si deseamos comparar el nivel académico de dos estudiantes de diferentes universidades. Con el propósito de reducir los datos a un mismo punto de referencia y a una escala común.La desviación típica poblacional suele denotarse por Observaciones sobre la desviación típica: . También es aplicable a casos en que se quieran comparar individuos semejantes de poblaciones diferentes. Las unidades de la desviación típica se expresan en las mismas unidades de los datos. Se conoce por tipificación de una variable “x” a efectuar el cambio de origen y de escala de la variable. Nos permite determinar con mayor grado de precisión dónde se sitúan los valores de una distribución de frecuencia en relación con la media. Variables tipificadas Los distintos conjuntos de datos están asociados por lo general a diferentes medias. Por ejemplo. nos indica cuántas desviaciones estándar está un valor por arriba o por debajo de la media del conjunto de datos al cual pertenece. se realiza entre ellos una transformación llamada tipificación. 72 . z Fórmulas: z x x para muest ras s xpara población Esta nueva variable (z). ya sea porque son de naturaleza diferente (escalas de medidas diferentes). El coeficiente de variación es útil. en el que la nota media fue 76.Estadística para la toma de decisiones Dr. Otro Docente de la Universidad B obtuvo 90 puntos. siendo la media 82 y la desviación típica 16.5.5 Sobresalió más el Docente de la Universidad A. También para decidir cual muestra es más homogénea o menos variable 73 . el coeficiente de variación es. en razón de su carácter adimensional. y la desviación típica 10. donde las unidades de medida de las observaciones son diferentes. Si 0<CV<1. CV S |X| CV es apropiado en poblaciones donde los datos son positivos. los datos provienen de una población heterogénea. ¿ Cual de los Docentes presenta mejor nivel de conocimientos de sistemas de tributación?. en cambio.8 s = 16 x = 90 z= 90 82 16 0. Coeficiente de variación Muestral de Pearson Las medidas de dispersión anteriores dependen de las unidades de medida.5. una medida de dispersión relativa y adimensional. para comparar muestras con medias desiguales. Docente de la Universidad A x = 76 Docente de la Universidad B x = 82 s = 10 x = 84 z= 84 76 10 0. los datos provienen de una población homogénea Si CV>1. Cleto De La Torre Dueñas Ejemplo: Un Docente de la Universidad A obtuvo 84 puntos en sistemas de tributación . es adimensional y se define como sigue: 74 . Utiliza el coeficiente de variación cuando quieras tener una idea de la variabilidad relativa de dos o más variables cuyas medias son muy diferentes en magnitud.4 MEDIDAS DE FORMA Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda y Hacen referencia a la forma de la distribución. Sólo debes usar el rango cuando dispones de pocas medidas o cuando todo lo que necesitas conocer es la dispersión general de las medidas. asimetría a la derecha o a la izquierda. simétrica. Los más utilizados son: Coeficiente de asimetría de Pearson. no depende de las unidades en que se mida la media 3. pero si no la tenemos existen coeficientes que nos indican la forma de la distribución. Esto se ve facilitado por su carácter adimensional.La medida de dispersión más útil es la desviación típica. R x max x min Rango semiintercuartílico y amplitud intercuartil El rango semiintercuartílico es la mitad de la diferencia entre el tercer y primer cuartil. es decir. El coeficiente de asimetría de una variable mide el grado de asimetría de la distribución de sus datos en torno a su media. Q = (Q3 – Q1)/2. La amplitud intercuartil es el doble del valor anterior. 2Q = IQR = (Q3 – Q1). En general la mejor manera de verlo es por la representación gráfica. ¿Cómo elegir entre las medidas de dispersión?.Recorrido o rango Es la diferencia entre el mayor y menor valor de una muestra. Estadística para la toma de decisiones Dr. distribución simétrica 0 . se llama Mesocúrtica K K 0 . la curva es igual que la normal. por lo tanto sólo se estudia en comparación con la campana de Gauss. la curva es más puntiaguda que la normal se llama Leptocúrtica 0 . entonces la media igual que la moda. entonces la media mayor que la moda. se llama Platicúrtica 75 . asimetría a la izquierda negativa. la curva es más aplastada que la normal. hace referencia al mayor o menor apuntamiento que tiene una distribución de frecuencias respecto a una distribución Normal. Curtosis. asimetría a la derecha positiva Ap 0 . se determina mediante: K P75 P25 P90 P 10 0. Cleto De La Torre Dueñas Ap x Mo S Este coeficiente puede ser: Ap Ap 0 . entonces la media menor que la moda.5 Este coeficiente puede ser: K 0 . I.EJERCICIOS RESUELTOS. superior al del trabajador Juan. 1) La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de 480 trabajadores de una empresa. pero la empresa solo puede utilizar al 15% de los trabajadores. deberá tener un trabajador como mínimo para ser considerado dentro de ese grupo de elegidos? e) Se van a preparar unas clases de apoyo en gestión empresarial . b) Su desviación típica. medio de los trabajadores.I. deberemos considerar en estas clases? SOLUCION: La variable de estudio es el cociente intelectual (X) 76 .I fi 70 4 Calcule: a) El C.I.I. ¿qué C.I. para ello se debe seleccionar a un grupo de trabajadores con mayor C. para un 25% de los trabajadores de la empresa . precisamente para aquellos que tengan menor C. ¿Qué C. c) Si el gerente de la empresa afirma que exactamente la mitad de los 74 9 78 16 82 28 86 45 90 66 94 85 98 72 102 106 110 114 118 122 126 54 38 27 18 11 5 2 trabajadores de la empresa tienen un C.I.I. tiene Juan? d) Supongamos que se desea realizar un estudios sobre mercadotecnia . C. ¿Hasta que trabajador de qué C.. 9958 1 a) Media x f 1 x1 f 2 x2 .35 0.52 c) Mediana.1188 0.88 s 110.925 0.Estadística para la toma de decisiones Dr.88 10..0271 0.7896 0.0083 0..5271 0.0604 0..9625 0.2125 0. Cleto De La Torre Dueñas xi 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126 1470 fi 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5 2 n=480 fixi 280 666 1248 2296 3870 5940 7990 7056 5508 4028 2970 2052 1298 610 252 46064 fixi2 19600 49284 97344 188272 332820 534600 751060 691488 561816 426968 326700 233928 153164 74420 31752 4473216 Fi 4 13 29 57 102 168 253 325 379 417 444 462 473 478 480 Hi 0.8688 0.6771 0.96 b) Varianza y desviación. n=480 ( Par) x Me n 2 x 2 n 1 2 x 480 2 x 2 480 1 2 x 240 2 x 241 94 94 2 94 77 . n xi S2 i 1 x n 2 n fi i 1 fi xi2 n x2 4473216 480 95.96 2 110.. n fkxk 46064 480 95.9854 0. para decidir su inversión en una de las dos acciones A y B. Los resultados de las utilidades de estas acciones en los últimos 7 meses en miles de dólares esta dado en el cuadro siguiente. SOLUCION: XA 57 55 54 52 62 55 59 394 XB 80 40 62 72 46 80 40 420 78 XA2 3249 3025 2916 2704 3844 3025 3481 22244 x B2 6400 1600 3844 5184 2116 6400 1600 27144 . 2 55 40 3 54 62 4 52 72 5 62 46 6 55 80 7 59 40 a) Halle e interprete la media. Acción 1 A B 57 80 Utilidades en miles de dólares. b) Estadísticamente ¿Cuál de las acciones es más recomendable para la empresa que esta interesado en una mayor utilidad? ¿Cuál de las acciones es más recomendable para la empresa que esta interesado en un menor riesgo de inversión? Fundamente su respuesta.d) Percentil 85 P 106 85 e) Percentil 25 P25 90 2) Una empresa contrata los servicios de un corredor de bolsa. mediana y moda de las utilidades. .28 MeA MeA MoA xn 2 1 . xn n xi i 1 n 420 7 60 MeB MeB MoB1 xn 2 1 .28) 2 7 10.7 60 2 xB 27144 7 602 277. xn n xi i 1 n 394 7 56.. 79 .27 CVA n S | XA | xi x 10. para n impar n=7 xn 2 1 x7 2 1 x4 62 40 MoB 2 80 b) Calcular la varianza n xi 2 SA i 1 x 2 n xi2 i 1 n n 2 xA 22244 (56. n xB x1 x 2 .057 xi2 2 SB i 1 i 1 n S | XB | n 277..Estadística para la toma de decisiones Dr.. Cleto De La Torre Dueñas a) Estadísticos de A. n xA x1 x 2 ..27 56.. para n impar n=7 xn 2 1 x7 2 1 x4 55 55 Estadísticos de B.7 CVB 0.277 La información se ilustra en el grafico siguiente.28 2 n 0... 00 40. varianza. 2> [2. 80 .80. [0. 6> [6.. 9> Número de trabajadores 2 2 3 6 7 1 1 1 1 a) Halla la media. 8> [8. 5> [5.00 Utilidad 60. 1> [1. 4> [4. se selecciono aleatoriamente a 24 trabajadores.00 50. obteniéndose las siguientes cantidades de retención económica en cientos de soles.00 70. Retención Económica.Con el fin de realizar un estudio sobre las retenciones económicas de quinta categoría a los trabajadores de una empresa. la desviación típica y coeficiente de variación. 3> [3.00 A B Acción 3. 7> [7. SOLUCION: I [0.25 56. 3.5 92 mi2fi 0. varianza.75 73.5 5.5 141. 4> [4. desviación y coeficiente de variación. 1> [1. 9> Total Media. 8> [8.66 Desviación.25 440 Fi 2 4 7 13 20 21 22 23 24 a) Media. 6> [6.91 S |X| 1.83 3.5 4.83 0.5 18. fi mi x n 92 24 fi 2 2 3 6 7 1 1 1 1 24 mi 0. Cleto De La Torre Dueñas b) Mediana c) Moda.5 1. 2> [2.91 3. CV 3. 7> [7. mi2 fi S2 n x2 440 24 3.66 1.5 40.Estadística para la toma de decisiones Dr.83 Varianza.5 3.5 2.25 72.5 8.5 5.5 8.5 6.5 7. 5> [5.833 6 81 .5 4.5 6.5 21 31.5 mifi 1 3 7.75 30. s Coeficiente de Variación.5 7.498 Mediana Me 3 12 7 *1 3.25 42. 3> [3. 5 15.Moda Mo Li 1 A 1 2 1 7 6 1 1 7 1 6 Mo 4 1 1 6 *1 4.5 287. respecto a obteniendo los siguientes resultados.75 3306. El colegio de administradores aplico un test de conocimientos en una escala de 0 a 20 a 60 profesionales del área.5 843.5 19 56 mifi 25 112. Q3. b) Determine la mediana y la moda c) Determine e interprete Q1. 10 15 25 8 2 60 82 Fi 10 25 50 58 60 mi 2.25 1922 722 6856.5 7.14 a.5 . SOLUCION: Intervalo 0-5 5 -10 10-13 13-18 18-20 fi.5 124 38 587 mi2fi 62. 0-5 5-10 10-13 13-18 18-20 10 15 25 8 2 Nro de administradores riesgo de inversión . Nivel de conocimientos de riesgo de inversion. varianza y la desviación. a) Calcule la media.5 11. P10 y P90 d) Coeficiente de curtosis y de asimetría. Cleto De La Torre Dueñas a) Media y varianza Media. fi mi x n 587 60 9.Estadística para la toma de decisiones Dr.63 4.782 18.31 b) Mediana y moda Mediana Me Li n Fk 2 fK 1 A Determinamos n 2 60 2 30 Me Li n Fk 2 fK 1 A 10 30 25 3 10.11 10 17 c) Determine e interprete Q1.78 Varianza.5 60 9.6 25 Moda Mo Li 1 A 1 2 1 25 15 10 1 25 8 17 Mo Li 1 A 10 1 2 10 3 11. Q3. P10 y P90 83 .63 Desviación: s 18. mi2 fi S 2 n x2 6856. 67 15 El 25% de los administradores presentan nivel de conocimientos de riesgo de inversión a 6.67 Cuartil 3 Q3 Li 3.n Fk 4 fK 1 A 5 15 10 5 6.n Fk 4 fK 1 A 10 45 25 3 12. Pi Li i. Qi Li i.  Para obtener los percentiles se tiene la relación.4 25 El nivel de conocimientos máximo de riesgo de inversión del 75% de los administradores es de 12.n Fk 4 fK 1 A Cuartil 1 Q1 Li 1.n Fk 100 fK 1 A Percentil 10 P 10 Li 10.4. Para obtener los cuarteles se tiene la relación.n Fk 100 fK 1 A 0 6 0 5 3 10 El 10% de los administradores tienen nivel de conocimientos de riesgo de inversión entre 0 a 3 84 . 5 3 Si k 0 . 40[ [40. en una región del país presenta el siguiente comportamiento: Utilidades en miles de soles. Las utilidades de empresas dedicadas al rubro de alimentos.308 4.4 6.5 8 d) Coeficiente de Asimetría.31 Puesto que Ap < 0  la distribución es asimétrica negativa o a izquierdas (desplazada hacia la izquierda). Decil 6 y Percentil 85. Cleto De La Torre Dueñas Percentil 90 P90 Li 90. Varianza.70[ [70.n Fk 100 fK 1 A 13 54 50 5 15.0416 15. 90[ [90.67 0.5 -0. Cuartel 1. entonces la distribución es platicúrtica.78 11. mediana y moda. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. coeficiente de variación.110[ [110.5 12.11 -0. K Q3 Q1 P90 P 10 0.120] 85 . Ap x Mo s 9. Coeficiente de curtosis de fisher. 7 8 10 20 5 [0.Estadística para la toma de decisiones Dr. Número de empresas Calcule e interprete: La media aritmética. el sindicato solicita un reajuste de 25% más un incentivo de 10 dólares. c) Si en la Empresa laboran 500 funcionarios ¿En qué porcentaje aumentó la planilla de sueldos respecto a la planilla inicial?.Una muestra de pequeñas empresas se clasifica en función de su antigüedad en el mercado y del porcentaje de deudas sobre el capital que presentan. 3. ¿Se logra esto aceptando la proposición del Directorio? Justifique su respuesta. 4..En una empresa donde los salarios tienen una media de 700 dólares y una desviación estándar de 150 dólares. con los siguientes resultados: Deudas 0-15 15-30 30-50 50-70 Empresas antiguas 19 13 7 4 Empresas Nuevas 29 10 11 32 En base a los resultados. Fundamente su respuesta. Una empresa constructora tiene 2 secciones A y B. b) El Sindicato pretende con su proposición aumentar la homogeneidad de los sueldos de sus afiliados ¿Se logra este objetivo aceptando la proposición del Directorio? Fundamente su respuesta. a) El Sindicato se declara satisfecho en sus negociaciones si el sueldo promedio final aumenta por lo menos en un 20% respecto de su valor actual.2. El Directorio acoge parcialmente la petición rebajando los salarios solicitados en un 10%. Las distribuciones de ingresos diarios de sus empleados son los siguientes: 86 . ¿ Puede admitirse que el porcentaje de deudas de las empresas es independiente de su antigüedad?. 10. ellos deberá elegir el consultor para su cliente? ¿Cuál de 87 . mientras que Corporación Dinámica había producido 13. FIVENEZ presentaba tasas de retorno a lo largo de ese período de 12. Un consultor de una empresa de planificación financiera que asesora a quienes quieren establecer sus carteras de inversión personales. 13. Cleto De La Torre Dueñas Sección A Ingresos ($) 80-100) 100-120) 120-140) 140-160) 160-180) 180-200) Frecuencia 30 80 40 10 4 1 Sección B Ingresos ($) 60-90) 90-120) 120-150) 150-180) 180-210) 210-240) 240-270) Frecuencia 10 20 50 20 15 10 4 Calcular la media aritmética y varianza de la sección A y B. 14.9 y 11%. Compare los ingresos. 5. Un cliente se puso en contacto con el consultor expresó su interés por uno de estos fondos de inversión. Hace poco el consultor estaba interesado en las tasas de rendimiento que habían ofrecido dos fondos de inversión diferentes a lo largo de los 5 últimos años. 12.Estadística para la toma de decisiones Dr. y 6%. 10. ¿Dónde estaría mejor remunerado con respecto a sus compañeros? c) ¿Cuál de las dos distribuciones es más simétrica? 88 .. Fábrica A Fábrica B Sueldo 45 – 55) 55 – 65) 65 – 75) 75 – 85) 85 – 95) fi 18 24 26 20 12 sueldo 45 – 55) 55 – 65) 65 – 75) 75 – 85) 85 – 95) fi 12 28 30 22 8 a) ¿En cuál fábrica hay mayor dispersión relativa? b) Un obrero que gana 140 mensuales.En las siguientes tablas se registran los sueldos quincenales (en dolares) de 50 obreros de dos fábricas.6. . Cuando las variables de estudio son cualitativas (categóricas) o cuantitativas discretas con poca modalidades. obtenemos. mediante pares ordenados (xi. por tanto. observaciones del tipo (xi. se suele presentar las observaciones de las variables X e Y.Estadística para la toma de decisiones Dr. e Y toma l valores distintos. se cumple k l fij i 1 j 1 n 89 . Las tablas de contingencia son de doble entrada organizada por filas y columnas y donde se presenta la distribución de frecuencias conjuntas de las dos variables. . consideramos una muestra de tamaño n en la que X toma k valores distintos. La frecuencia absoluta de un valor (xi. x1. X e Y. yj) es el número de veces que dicho valor aparece en la muestra. Se representa por fij . . yi). y1. . . en investigación lo es mucho más el poner de manifiesto la posible relación entre dos de ellas. 4. depende del tipo de variables y Según sean los tipos de cada una de ellas se usa técnicas estadísticas diferentes. Cleto De La Torre Dueñas CAPITULO IV DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Si resumir la información de una variable es de por si interesante. xk. . esta forma de presentaciones se denomina tablas de contingencia. yl. Dada una variable bidimensional ( X. Y ). El análisis de la relación de dos variables. . yj).1 CUALITATIVA-CUALITATIVA. . n y1 y2 .... f1 j fi .. 1. . II. yj) es el cociente de la frecuencia absoluta fij entre el tamaño de la muestra n... f.. j n Una tabla de doble entrada de una variable bidimensional sigue la estructura que se presenta a continuación.2 .. h. j f...... fi. j hi .1 f11 f21 . Puede ser de frecuencias absolutas o relativas..l f1.... n f 2 j  f kj k fij i 1 Frecuencia relativa marginal de yj. . fk...La frecuencia relativa de un valor (xi.j fk1 f. xk n.. en función de la clase de clientes 90 . . f1l f2l ... Frecuencia absoluta marginal de xi.. .... III y IV). yl ni.. Y X x1 x2 . fk2 f. . se representa por hij hij fij . fkl f.. Frecuencia absoluta marginal de yj. fi1 fi 2  fil l fij j 1 Frecuencia relativa marginal de xi.El gerente de ventas de la firma A desea determinar el comportamiento de las ventas de cuatro productos (I. n se cumple: k l hij i 1 j 1 1 Distribuciones marginales Nos indican el comportamiento aislado de cada una de las variables X e Y que dan lugar a una variable bidimensional. f12 f22 . Ejemplos.. en la que tienen cabida las frecuencias marginales (representadas en la última fila y última columna). f2. Una muestra aleatoria de las ventas suministro la siguiente información.5% Total 160 100.0% 80 19.0% 130 13.0% 91 .0% III 55 34.5% 105 33.9% 45 39.Estadística para la toma de decisiones Dr.9% 50 12.4% 125 30.5% 50 15. Grupo de clientes Profesionales Comerciantes Obreros Amas de casa I 30 155 130 35 II 35 50 30 15 Producto III 55 125 105 20 IV 40 80 50 45 ¿Las ventas de los cuatro grupos son homogéneas? Solución Producto Grupo de clientes Profesionales Comerciantes Obreros Ama de casa Total I Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje 30 18.5% 15 13.3% 35 30.0% 410 100.3% 20 17.2% 30 9.0% 315 100.0% 1000 100.8% 130 41.5% IV 40 25.0% II 35 21.0% 115 100.4% 305 30.1% 215 21.4% 350 35. Cleto De La Torre Dueñas clasificados en cuatro grupos.8% 155 37. los accionistas pueden recibir rendimientos más altos con la misma cantidad de inversión gracias a su uso.2 CUALITATIVA-CUANTITATIVA. En estos casos. En un estudio financiero se afirma que el apalancamiento financiero puede utilizarse para aumentar la tasa de rendimiento sobre la inversión. es decir que. por ejemplo en un experimento donde hacemos mediciones numéricas en dos o más grupos. Los siguientes datos muestran las tasas de rendimiento utilizando 3 diferentes niveles de apalancamiento financiero y un nivel de control (deuda cero) de empresas seleccionadas al azar: 92 . en cada una de las muestras y se comparamos los Ejemplo La estructura financiera de una firma se refiere a la forma en que se dividen los activos de la empresa por debe y haber. y el apalancamiento financiero se refiere al porcentaje de activos financiados por deuda. lo que se realiza es un estudio descriptivo de la variable numérica resultados.160 140 120 100 80 60 40 20 0 Profesionales Comerciantes Obreros Amas de casa I II III IV 4. Supongamos que tenemos datos numéricos para varias categorías. 2 1.80 55.468 7.18 4.8 5.6 2 6.840 7.8 9.2 11 ¿Son las tasas medias de rendimiento en los niveles de apalancamiento financiero bajo.6 6 6.07 Variance CoefVar Median 25.140 3.05 61. Cleto De La Torre Dueñas Tasas de Rendimiento Control 4.Estadística para la toma de decisiones Dr.9 6.900 3.6 Bajo 2 7.4 1.5 11.8 Alto 7.158 5.68 3.20 4.04 12 10 Tasas de rendimiento 8 6 4 2 Alto Bajo Control Nivel de apalancamiento Medio 93 .8 4.8 3.2 4 Medio 7 4. Nivel de Apalancamiento Mean Alto Bajo Control Medio 8.200 6.13 4.05 37.56 7. medio. alto y control diferentes? Solución. Análisis de dos variables cuantitativas y establecimiento de una relación entre ellas. como la covarianza depende de las unidades de medida de las variables. y) sxy fi xi yi n x. Presenta la siguiente expresión: cov( x. y si es negativa.3 CUANTITATIVA-CUANTITATIVA. Si reconocemos una tendencia. y Si la covarianza está muy próxima a cero. hay asociación lineal positiva. La forma mas sencilla de estudiar la posible asociación entre estas variables es el diagrama de dispersión (Nube de puntos). hay asociación lineal negativa.4. Media y varianza La información de las dos variables X e Y se puede resumir usando la media y la varianza como se muestra a continuación: Media de la variable X: Media de la variable Y: Varianza de la variable X: s 2 x x fi xi n y fi yi n fi xi2 n fi yi2 n x 2 2 Varianza de la variable Y: s y y 2 La covarianza Es una medida de la asociación lineal existente entre dos variables. no existe relación entre las variables o si existe es marcadamente no lineal. si es positiva. entonces el interés ahora será el análisis de regresión. no nos permite cuantificar el grado de asociación lineal ni comparar la 94 . Sin embargo. Resume la información contenida en el diagrama de dispersión. Para dar solución a este problema se obtiene el coeficiente de correlación. Ecuación que representa la relación entre las variables Y X Estimación de la línea de regresión usando Mínimos Cuadrados 95 . Se mide mediante la siguiente fórmula: Su valor está comprendido entre – 1 y 1. Si r = -1 ó r = 1 todos los valores de la variable bidimensional se encuentran situados sobre una recta. Si 0 < r < 1 la correlación es positiva. Si – 1< r < 0 se dice que las variables X e Y están también en r s xy s x . Estas también deberían ser cuantitativas. llamadas predictoras. La correlación es tanto más fuerte a medida que r se aproxima a –1 ó 1 y es tanto más débil a medida que se aproxima a 0. Coeficiente de correlación lineal. Análisis de Regresión. Regresión: conjunto de técnicas que son usadas para establecer una relación entre una variable cuantitativa llamada variable dependiente y una o más variables independientes.Estadística para la toma de decisiones Dr. sin embargo algunas de ellas podrían ser cualitativas. Correlación. Es un número que mide el grado de dependencia entre las variables X e Y. Estudia la relación o dependencia que existe entre dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Modelo de regresión. Cleto De La Torre Dueñas asociación existente entre distintos pares de variables. La correlación es negativa. Las variables X e Y están también en dependencia aleatoria.s y dependencia aleatoria. 4 12. Se realizo un estudio sobre el conocimiento(X) y aplicación (Y) del software para la toma de decisiones. las estimaciones realizadas coincidirán con los valores reales.4 14.3 16 13.7 a) b) c) 14. Si r = 1 o r = -1.8 14 14.67 15. X 14.3 12.3 13. El intercepto ˆ .Se debe Minimizar el error cuadrático medio: n n Q . i 1 ei2 i 1 ( yi n xi )2 n n ˆ n i 1 xi yi n i 1 n xi i 1 yi S xy S xx n i 1 xi2 ( i 1 xi ) 2 ˆ y ˆx La pendiente ˆ . indica el valor promedio de la variable de respuesta cuando la variable predictora vale 0.2 16. Calcule la correlación lineal e interprete dicho valor. Ajuste una recta de regresión.4 14. indica el cambio promedio en la variable de respuesta cuando la variable predictora aumenta en una unidad adicional. La fiabilidad que podemos conceder a los cálculos obtenidos viene dada por el coeficiente de correlación: si r es muy pequeño no tiene sentido realizar ningún tipo de estimaciones. las estimaciones realizadas estarán cerca de los valores reales. Sin embargo carece de interpretación práctica si es irrazonable pensar que el rango de valores de x incluye a cero. La información se muestra a continuación.4 12.2 14 14.4 12 15.4 12 16 12.7 16 12. Si r es próximo a – 1 ó 1. Ejemplos 1.2 Y 14 14. ˆ A partir de la recta Y ˆ ˆ X podemos calcular los valores de y conocidos los de x.8 15.7 15.3 13.33 Trace un diagrama de dispersión.2 13.8 13. 96 . 04 174.6889 177.4 213.8801 97 .33 X.04 207.62 191.96 153.Y 207.33 13.6889 160.36 153.108 236.2 16.2 14 14.04 174.4 14.36 231.67 15.8 177.04 231.8 14 14.67 15.5289 235.38 220.2 167.2089 144 256 160.33 16 13.24 196 207.752 236.76 219.4 15.33 12 209.Estadística para la toma de decisiones Dr.2 14.4 12.8 13.36 219.2 222.984 172.0089 256 177.4 12.67 12 16 12.952 157.24 268. X 14.5289 235.0089 177.956 218.8 175.8 15.2 13.8 243.6889 144 2951.33 12.208 X2 219.24 Y2 196 215. Cleto De La Torre Dueñas Solución: Scatterplot of Y vs X 16 15 14 Y 13 12 12 13 14 X 15 16 17 Resumen de calculos.33 13.8 2992.244 214.612 148.67 16 12.4 14.5289 256 160.04 196 207.6 Y 14 14.76 3058. 96 .24 14.6 14. que su deuda sea mayor o menor que el capital contable de los accionistas.13 0.62 ˆ ˆ Y y ˆ ˆ x 13.47 Ejercicios propuestos.(13.s y 0. 1.242 1. Un asesor financiero quiere conocer las diferencias en la estructura de capital de varios tamaños de empresas en cierta industria.96) 0.62(14. Clasifica cada una según.24 .x y 2 sx xi N yi N xi2 N yi2 N 213.88 13.69 1. 1.11 15 2951. 15 209. 15 x 2 3058.24).33 13.91 .69 1.69 15 2 sy y 2 sxy xi yi N x.91 0. Hace una encuesta en un grupo de firmas que tienen distintas cantidades de activos y las divide en tres grupos.962 1.11 0.11. 98 . 15 2992. y Recta de regresión n n n ˆ n i 1 xi yi n i 1 n xi i 1 yi 2 S xy S 2 x n i 1 x 2 i ( i 1 xi ) 0.24) 5. A continuación se dan los resultados de una encuesta.96 0.13 ˆX 5.208 (14.62 X r sxy sx . 1 12. Gastos indirectos Unidades 40 42 53 35 56 39 48 30 37 40 191 170 272 155 280 173 234 116 153 178 a.5 3.0 4. Estimar la ecuación.Estadística para la toma de decisiones Dr.5 27. En la contabilidad de costos. b) Que acción debería aconsejar el especialista a la empresa que prefieren menos riesgo. b. 3.5 4. La gerencia de la empresa ha reunido información sobre esos gastos y las unidades producidas en diferentes plantas. es decir 2000 el índice es 100.8 3. si el interés es tener un rendimiento mas alto. Cleto De La Torre Dueñas Deuda Tamaño de activos de la firma (En miles de dólares) <500 500-2000 10 >2000 8 Total 25 < que el capital social > que el capital social Total 7 10 18 9 37 17 28 17 62 ¿Se puede concluir que las empresas tienen idéntica estructura de capital? 2.2 12 a) En que acción invertiría la empresa.2 5.2 7.2 7.5 2.2 4. Sea Y el índice de precios al consumidor.2 21. 99 . Un especialista trabaja como corredor de bolsa para una empresa.7 5. Prediga el gasto general cuando se produce 50 unidades. con frecuencia se trata de estimar los gastos indirectos basándose en el número de unidades producidas. 4.6 6. tomado como base el año 1990. Sus registros muestran que las tasas de rendimiento ( en porcentajes) de dos acciones para 8 meses seleccionados fueron de : Acciones A Acciones B 15. 15 7.3 2005 125.75 6.80 6.90 6.20 7.40 6.2 2004 121.75 6.95 7.10 . Una gran compañía llevó a cabo un estudio para ubicar las variables que pudieran determinar el sueldo de un egresado universitario dos años después de haberse graduado como Técnico Superior Universitario en un área Administrativa.57? 5. Los datos recogidos se presentan en la siguiente tabla: (La columna del sueldo es en cientos de miles).25 6.1 2003 117.70 6.2 2006 128 2007 132.Año Y 2001 106 2002 111.10 6.00 7.95 6. Edad Sexo E.50 7.80 7.80 6.90 6. Civil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 25 26 27 27 27 27 25 23 24 26 29 25 31 26 24 26 28 25 29 F M M F M F M F M M F F M F M F F F M M C C S C D C S C S S C D C D S D C S C C 100 Inglés Sueldo A M B B A M A B B B M M A A B M B M B M 6.50 6.6 Predecir el índice de precios para el año 2008 ¿En que año podemos esperar que el índice de precios sea de 150.75 7. Se obtuvo la siguiente muestra de volúmenes de producción y costo total para una operación de manufactura. ¿cuál seria la(s) características que usted debería tomar en consideración para obtener el sueldo al que usted aspiraría al egresar? 6.0 5.4 750 7. Interprete lo obtenido. un contador puede estimar el costo asociado con determinada operación de manufactura.3. si se produce un aumento del 20% en los salarios.4 5. y2 2498.Estadística para la toma de decisiones Dr. y 126. tal que se define “x: % de aumento de salarios” e “y: % de aumento de precios” x 169.0 101 . Decir al respecto? c) Estimar el porcentaje de aumento en los precios. - Como futuro Técnico Superior en el área Administrativa.9. es lógico estimar dado el resultado obtenido en b) ? 7.01 a) Calcular la recta de ajuste e interpretar las componentes en función del problema b) ¿Qué porcentaje del análisis queda explicado por la recta de regresión? Que podría Ud.82. Se desea estudiar la relación entre los aumentos de precios y los salarios en 8 empresas tomadas al azar. - Realice diagramas de cajas que le ayuden a visualizar como influye cada una de las variables en el sueldo que gana el individuo. Cleto De La Torre Dueñas - Utilice la técnica de estadística descriptiva más apropiada para analizar cada variable individualmente.9 6. Volumen de producción (unidades) : 400 450 550 600 700 Costo total (en miles de $) :4 5. xy 2731. Al reunir datos sobre volumen y costo y aplicar el método de mínimos cuadrados para determinar la ecuación de regresión donde se relacionan estas variables.89. Una aplicación importante del análisis de regresión en contabilidad es para estimar costos. x2 3630. 6 3. (b) ¿Cómo interpreta la pendiente de la línea de regresión?.2 7.8 5 Producto Nacional Bruto 5 5. c) El programa de producción de la empresa indica que el mes próximo se deben producir 500 unidades.6 4.2 4. en función del problema.5 6 7 7.7 8. Suponga que usted tiene a su cargo el dinero de la región de Piedmont. Interprete el significado de las componentes de la recta.4 9 9. (c) Calcule e interprete el error estándar de la estimación.a) Estimar la ecuación de regresión con la que se pueda predecir el costo total para determinado volumen de producción. 102 .7 10 (a) Desarrolle la ecuación de estimación para predecir el PNB del suministro de dinero.3 4 4.5 3. b) Calcular el coeficiente de determinación. Comentar su resultado en función de las variables en estudio. ¿Cual será el costo total estimado para esta operación? 8.2 3. se le dan los siguientes datos de antecedentes sobre el suministro de dinero y el producto nacional bruto (ambos en millones de dólares): Suministro de dinero 2 2. Repeticiones en situaciones análogas pueden dar resultados diferentes. Es una acción que da lugar a resultados identificables y se caracteriza por:   Todos los posibles resultados son conocidos previamente. esto significa que es imposible predecir los resultados porque hay más de uno posible. cuya característica fundamental es la incertidumbre del resultado. Cleto De La Torre Dueñas CAPITULO V PROBABILIDADES El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios. En esta línea probabilidad es un concepto asociado a una medida del azar.Estadística para la toma de decisiones Dr. 5. considerando probable a aquellos eventos en los que tenemos alto grado de creencia en su ocurrencia. 103 . El objetivo de la probabilidad es cuantificar las posibilidades que tengan ciertos eventos inciertos. En nuestra vida cotidiana asociamos usualmente el concepto de probabilidad a su calificativo probable.1 EXPERIMENTO ALEATORIO. A cada elemento de se denomina punto muestral w . El evento A los dos eventos ocurre.  El evento complementario Ac . Evento o Suceso Aleatorio. Espacio muestral. es decir. Aleatorio significa relativo a todo acontecimiento incierto. El evento A B ocurre cuando ambos eventos ocurren simultáneamente. es aquel que no ocurre nunca. No se puede predecir el resultado del mismo antes de realizarlo. mientras que los deterministas son aquellos que se caracterizan por el hecho de que las mismas causas producen los mismos efectos. por depender de la suerte o del azar. . es decir: w / w es un punto muestral .  Lo s eventos elementales solo tienen un punto muestral. esta dado por todo los puntos muestrales que no están en A 5. es aquel que ocurre siempre al realizar el experimento. 104 . Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento y se denota por . no se sabe cuál de los posibles resultados aparecerá al final. Un evento aleatorio es un subconjunto del espacio muestral y se denota con letras mayúsculas. Los experimentos pueden ser aleatorios o deterministas.  El evento seguro  El evento imposible . Intersección de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral su intersección se representa por A B y es el evento que contiene los elementos que están en A y B al mismo tiempo. Unión de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral su unión se representa por A B y es el evento que contiene los elementos B ocurre si al menos uno de que están en A o en B o en ambos.2 OPERACIONES DE EVENTOS. A n son incompatibles dos a dos. p( A) casos favorables casos posibles 5.3 DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD: La probabilidad de un suceso A se calcula como el número de casos favorables al suceso A. El evento Ac ocurre si A no ocurre... P: A i) 0 ii) p y que verifica: p(A) p( A) 1 un número A 1 iii) Si A y B son sucesos incompatibles.B viii) Si A 1 .. A 2 . entonces p A1 ix) Si A. .. se verifican además las siguientes propiedades: iv) v) p( Ac ) 1 p A p( ) 0 B.. p A B p A p B Como consecuencia de estos tres axiomas. 5.. entonces 105 . .. vi) Si A vii) P( A \ B) p( A) p( B) P( A) P( A B) . B A2 . A..4 DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD..Estadística para la toma de decisiones Dr. p An son dos sucesos cualesquiera. La probabilidad es una función que asigna a cada suceso A real que varia entre 0 a 1. Cleto De La Torre Dueñas Evento Complemento: El complemento de un evento A se representa por Ac y es el evento que contiene todos los elementos que no están en A. An p A1 p A2 . partido por el número de casos posibles del experimento aleatorio. o bien p( B) p( B | A) Es decir. B p( A) se dicen independientes si: p( A | B) . la denotamos por P(A|B) P( A | B) P( A B) . En consecuencia. si para cada trío (Ai.p A B x) Si A. Decimos que n sucesos A1. Aj). Queremos estudiar como cambia la probabilidad de ocurrencia de A cuando se conoce que otro evento B ha ocurrido. B p( A) p A p A p B p A B son dos sucesos cualesquiera. P(B) P( B) 0. En este caso habria que referirse a la probabilidad de A condicionada a B como la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. p(A B) =p( A) p( B ) A Independencia. Ak) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ) si i k y así sucesivamente. y A C y B C son independientes. En general. P( Ai P( Ai Aj Ak ) Aj ) P( Ai ) P( Aj ) si i j j . se cumplirá que: p( A B) p( B). Aj. A C y B son independientes. P( A1 A2  An) P( A1) P( A2) P( An) 106 . Dos sucesos A.5 PROBABILIDAD CONDICIONADA. entonces A y B C son independientes. Observación. A2. entonces Bc p A B 5. p( A) Si A y B son independientes. An son independientes si para cada par (Ai. a partir de probabilidades previas. A 2 . Las probabilidades apriori o previas se conocen antes de obtener información 107 .... . A n son un sistema completo de sucesos tal que : i) A1  A2 ii)  Ai n i j ( disjuntos dos a dos) i 1 iii) p( Ai ) 0 .. p( An ) p( B An ) Teorema de Bayes.... A3.. El procedimiento que se utiliza para encontrar probabilidades posteriores. An... .Estadística para la toma de decisiones Dr. que los eventos Ai son mutuamente excluyentes A1 A2 … An Si A 1 .... Dados n sucesos A 1 . esto es.....n . La probabilidad de un suceso B cualquiera es: n p ( B) i 1 p( Ai) p( B | Ai) p ( B) p( A1 ) p( B A1 ) p( A2 ) p( B A2 ) . Si suponemos que los eventos A1.. forman una partición de un espacio muestral y su unión es ... se llama regla Bayesiana.. A 2 ... A2.. A se verifica: P( A1 A2  An) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) P( An | A1 A2  An 1) Teorema de la probabilidad total... . Cleto De La Torre Dueñas Teorema de la probabilidad compuesta. . i 1... . ... a) Cual es el espacio muestral.. Si A 1 . Esto es. n... si el evento B ha ocurrido... i = 1. entonces para un suceso B cualquiera se verifica: p( Ai | B) p( Ai B) p( B) p( Ai) p( B | Ai) n i ...alguna del experimento en cuestión. i 1. A 2 . El teorema de Bayes consiste en un método para encontrar la probabilidad de una causa específica cuando se observa un efecto particular.. . Las probabilidades aposteriori se determinan después de conocer los resultados del experimento. ¿Cuál es la probabilidad de que fue generado por el evento A1 (que es una causa posible ) o por el A2 (otra causa posible)?. 108 .... p( An ) p( B ) A2 An Problemas Resueltos... 1) SUNAT realiza un estudio respecto a tres cuentas de una empresa para confirmar o descartar la presencia de irregularidades en el sistema de cobro de impuestos.... p( Ai ) p( B | Ai) 1 p( Ai | B) p( A1 ) p( B A1 ) p( Ai ) p( B | Ai) p( A2 ) p( B ) . A n son un sistema completo de sucesos tal que p( Ai ) 0 ...n . PP P . PP P . PN2 N3 1 2 1 p(C ) n(C ) n( ) 2 8 d) Sea el evento D: Por lo menos una cuenta presenta irregularidades. N1P P . si la cuenta presenta irregularidades y con N. PN2 P . Cleto De La Torre Dueñas b) ¿Cual es la probabilidad de que dos de las cuentas irregularidades. En el resto de las 109 . N1P N3 . N1N2 P . en el 30% de las sucursales se aplica la estrategia B y en el 2% no se presentan incrementos en las utilidades. En el 40% de las sucursales. PN2 P . PN2 P . N1P P 1 2 1 3 2 3 p( A) n( A) n( ) 3 8 c) Sea el evento B: Primera cuenta presenta irregularidades y el último no presenta. N1N2 P 1 2 1 2 3 1 1 3 2 3 2 3 p( D) n( D ) n( ) 7 8 2) Un administrador de empresas con el propósito de incrementar sus utilidades. C PP N3 . N1P N3 . si la cuenta no presente irregulardades. a) que por lo menos una cuenta presente PP N3 . PN2 N3 . N1N2 N3 1 2 1 2 3 1 1 3 2 3 2 3 b) Sea el evento A: Se presenta dos irregularidades A PP N3 .Estadística para la toma de decisiones Dr. diseña tres estrategias de marketing A. D PP N3 . de estas en el 1% de los casos no se presentan incrementos en las utilidades. PN2 N3 . presente c) Cual es la probabilidad de que la primera cuenta presente irregularidades y la ultima no presente irregularidades. se aplica la estrategia A . Denotemos con P. d) Cual es la probabilidad de irregularidades Solución. B y C. N1P P . 02) 0.6% p(B 110 . Cual es la probabilidad de que : a) b) c) No presente incrementos en las utilidades.3*(0.4*(0. aplica la estrategia B C: La filial de la empresa . La filial haya empleado la estrategia C.filiales se utiliza la estrategia C.3*(0. Si se selecciona aleatoriamente una filial de la empresa.3*(0.02) 0.03) 0. aplica la estrategia C D: No se presenta incrementos en la utilidad.019 1.9% b) p(B D) =p( B) p( D ) B D) =0. No presente incrementos en la utilidad y se haya aplicada la estrategia B. a) p( D) p( A) p( D ) A p( B) p( D ) B p(C ) p( D ) C p( D) 0.006 0. observándose que en el 3% de las mismas no se presentan incrementos en las utilidades. dado que no se presento incremento en su utilidad. Solución No incrementa 1% 99% A 40% 2% Estrategia 30% 98% B 3% 30% C 97% Incrementa Incrementa No incrementa Incrementa No incrementa Sean los eventos. A: La filial de la empresa.01) 0. aplica la estrategia A B: La filial de la empresa . 5 p( B) 0 50 p( A) p( A 30 50 0. Pago de deudas bancarias Al día En mora A 7 9 CATEGORIAS B 6 8 C 12 8 Si se elige un comercio al azar ¿cuál es la probabilidad de que: a) esté en mora? b) pertenezca a la categoría A o B? c) pertenezca a la categoría C o esté en mora? d) pertenezca a la categoría A y esté en mora? e) Dado que el pago de sus deudas bancarias esta al día.03) 0.01) 0.03) 0.6 B) n( A) n( ) n( B ) n( ) n( A B ) n( ) 16 14 50 50 111 .3*(0. D: Pago deudas bancarias en mora.02) 0.3*(0.473 47. Sean los eventos: A: Comercio pertenece a la categoría A. ¿ Cual es la probabilidad de que la empresa pertenezca a la categoría B?. B: Comercio pertenece a la categoría B.3% 3) Los siguientes datos pertenecen a 50 comercios de la ciudad de Cusco divididos en 3 categorías y clasificados según el pago de deudas bancarias.3*(0. a) p( D) b) p( A p( A B) n( D ) n( ) B) 25 50 0. C: Comercio pertenece a la categoría C. Solucion.4*(0. Cleto De La Torre Dueñas c) p(C | D) p(C | D) p(C D) p ( D) p( A) p( D | A) p(C ) p( D | C ) p( B) p( D | B) p(C ) p( D | C ) 0. E: Pago de deudas al día.Estadística para la toma de decisiones Dr. que se presente en B es de 2/3 y que se presente en C es de 1/7. 112 . E: La cuenta presenta irregularidades. C: Cuentas de la s empresa C. B. y C. para tal efecto se analiza 3 cuentas de la empresa A. B: Cuentas de la s empresa B.18 e) P ( B | E ) n( B E ) n( ) n( E ) n( ) n( B E ) n( E ) 8 25 4) Se hizo una auditoria a tres empresas A. La probabilidad de que se presenten irregularidades en las cuentas de la empresa A es de 1/3. 2 cuentas de la empresa B y 5 cuentas de la empresa C. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de la empresa C? Solución Sean los eventos A: Cuentas de la s empresa A. Se analiza una cuenta aleatoriamente y se encuentra que hay irregularidades.74 D) n(C ) n( ) n( D ) n( ) n(C D) n( ) 25 8 50 50 d) p( A D) n( A D ) n( ) P( B E ) P( E ) 9 50 0.c) p(C p(C D) D) 20 50 p(C ) p ( D) 37 50 p(C 0. . gerente del departamento de crédito de un banco. al recogerlas.-Un auditor tiene sobre su mesa dos grupos de 20 facturas cada uno. La señorita Campos acaba de 113 . una del primer grupo se confunde en el segundo.60. 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. 1. Cleto De La Torre Dueñas 1/3 E A 3/10 D 2/3 E 2/10 B D 1/7 C D 5/10 E p(C | E ) p(C E ) p( E ) p( A) p( E | A) p(C ) p( E | C ) p( B) p( E | B) p(C ) p( E | C ) p(C | E ) 3 1 * 10 3 3 1 2 2 5 1 * * * 10 3 10 3 10 7 21 32.75 0. sabe que la compañía utiliza 3 métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas morosas. al revisar una factura del segundo grupo tenga un error? 2.Estadística para la toma de decisiones Dr. Una corriente de aire hace que las facturas caigan de la mesa y.8% 64 Problemas Propuestos.65 respectivamente.María Campos. Las probabilidades de recibir alguna cantidad de dinero debido a los pagos de una cuenta con estos 3 métodos son 0. De los datos que se tiene registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que. ella sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente. y 0. En el primer lote hay dos facturas con errores de cálculo y en el segundo tres. U comete un error en un pedido (toma un producto equivocado o la cantidad equivocada del producto) una de cada 100 veces. V y W cubren respectivamente el 30%. Personalmente b.. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el 2do proveedor. V y W quienes toman productos de la bodega y los ensamblan para la subsiguiente verificación y empaquetado. 4. Calcular la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho: a. Tiempo Calidad de la escuela 421 Costo o comodidad 393 76 Otros Totales 890 114 . Las restantes piezas provienen del 3er proveedor.recibir el pago de una de las cuentas vencidas. V comete un error en un pedido 5 veces de cada 100 y W se equivoca tres de cada 100.Una compañía de ventas por correo tiene tres empleados de almacén denominados U. éste haya sido cometido por V? 5.Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por 3 proveedores: el 45% de las piezas son compradas al 1er proveedor resultando defectuoso el 1%. el 2do proveedor suministra 30% de las piezas y de ellas es defectuoso el 2%.. Motivo Tipo est. el 40% y el 30% de todos los pedidos. En una encuesta entre alumnos de maestría en administración se obtuvieron los datos siguientes acerca de “el principal motivo del alumno para solicitar su ingreso a la escuela donde está matriculado”. En un control de recepción de artículos se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Por correo 3. Si U. siendo defectuoso el 3% de las mismas. Por teléfono c. ¿Cuál es la probabilidad de que si se encuentra un error en un pedido. moderadas o bajas de acuerdo a las noemas del mercado. Posteriormente a las ventas del libro se les asigna el calificativo de altas. Si un alumno es de tiempo completo. Si un alumno es de tiempo parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que la calidad de la institución sea el principal motivo para elegir su escuela?. Justifique su respuesta. b. 6. Cleto De La Torre Dueñas completo Tiempo parcial Totales 400 821 593 986 46 122 1039 1929 a. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean altas? d) Si las ventas son bajas ¿Cual es la probabilidad de que las opiniones hayan sido desfavorables? e) ¿Cuál es la probabilidad de que las opiniones sean favorables y las ventas sean altas? 115 .Estadística para la toma de decisiones Dr. ¿Cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela sea el motivo para elegirla? c. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Reacciones Ventas Altas Moderadas Bajas 173 88 42 101 211 113 61 70 141 Favorables Neutral Desfavorables a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean altas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las reacciones sean favorables? c) Si la reacción del grupo es favorable?. ¿Son independientes los eventos A y B?. Sea A el evento en que el alumno es de tiempo completo y sea B el evento que el alumno menciona que la calidad de la escuela es el 1er motivo de su solicitud. Antes de que un libro sea lanzado al mercado se recogen las reacciones de un grupo de personas a las que se les permite leer el libro previamente. 7. B y C. digamos A. Compra de productos Frecuencia en las visitas Frecuentes No Frecuentes 0. d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente realice compras ocasionales? e) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no realice nunca compras del producto? f) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite el establecimiento frecuentemente o compre el producto regularmente? 8.08 Regular Ocasional Nunca a) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el supermercado y compre regularmente el producto alimenticio? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que nunca compra el producto visite el supermercado frecuentemente? c) ¿Son los sucesos “Nunca compra productos alimenticios” y “Visita el mercado frecuentemente” independientes?.19 0. En algunas ocasiones 116 .06 0. En el 20% de los casos se emplea el algoritmo A. En un estudio realizado para un supermercado se clasifican los clientes en aquellos que visitan el establecimiento de una manera frecuente u ocasional y de acuerdo a la frecuencia en que adquieren cierto alimento.07 0. mientras que los algoritmos B y C son usados el mismo número de veces. En la siguiente tabla se presentan las proporciones correspondientes a cada uno de los grupos.48 0.f) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean favorables o desfavorables?. Un proceso se puede ejecutar con uno de tres algoritmos posibles.12 0. ¿Son esos sucesos mutuamente excluyentes? Justifique g) ¿Son los sucesos “Opiniones desfavorables” y “Ventas Bajas” independientes? Justifique. Justifique. ¿de qué producto es más probable que sea? 117 . Cleto De La Torre Dueñas en que se realiza el proceso se producen atrasos. Con esa información responda a las siguientes cuestiones: a) Si se selecciona al azar una unidad producida. se sabe que se han creado más de 700. una ejecución ¿Qué probabilidad hay que no tenga retraso en su ejecución y corresponda al uso del algoritmo A o C? Entre las ejecuciones que no han sufrido retraso en su ejecución. siendo estos porcentajes del 15% en el caso en que se aplica el algoritmo B y el 5% en el caso en que se usa el algoritmo C.. b) Si antes de conocer el dato de inflación anual. respectivamente. a) ¿En qué porcentaje de las ejecuciones del proceso no se producen atrasos? b) ¿Qué porcentaje de los atrasos de las ejecuciones del proceso son atribuibles al algoritmo B? c) Elegida.1. A su vez esos productos se fabrican en las siguientes proporciones: 45%. 1. ¿cuál es la probabilidad de cada uno de los tres niveles de inflación considerados? 10. 35% y 20%.7 con inflación baja. Si la probabilidad de crear más de 700. Esto ocurre el 10% de las ocasiones en que se usa el algoritmo A. entre el 2% y el 3% con probabilidad 0. de 0.Las previsiones sobre la inflación de un determinado país para el próximo año la sitúan por debajo del 2% con probabilidad 0. 2 y 3. La probabilidad de producir una unidad de calidad extra en cada uno de esos productos es: 0. ¿Cuál es el porcentaje de las que corresponden al uso de los algoritmos A o C 9.25 y por encima del 3% con probabilidad 0.000 empleos.. cada uno de ellos en calidad extra y comercial. 0.8. calcule: a) La probabilidad de que se creen más de 700.5 y 0.000 empleos.Una fábrica produce tres productos.Estadística para la toma de decisiones Dr.4 cuando ésta se sitúa entre el 2% y el 3% y nula en otro caso. respectivamente.000 empleos es de 0.75. al azar.65. ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad comercial? b) Si se selecciona al azar una unidad producida y es de calidad comercial. ésta corresponda a operaciones en descubierto a tasa mayor.. A atiende distintos tipos de consultas. de las cuales una parte corresponde a autorizaciones de giros en descubierto.Los siguientes datos pertenecen a 50 comercios de la ciudad de Cusco divididos en 3 categorías y clasificados según tengan o no deudas impositivas: Impuestos Al día En mora Categoría A 7 9 Categoría B 6 8 Categoría C 12 8 Si se elige un comercio al azar ¿cuál es la probabilidad de que: a) esté en mora? b) pertenezca a la categoría A o B? c) pertenezca a la categoría C o esté en mora? d) Suponga que ahora se eligen 3 comercios al azar. ¿cual es la probabilidad de que el cliente la acepte? 118 . La mitad de los clientes que no aceptan indica que la tasa ofrecida es mayor a la normal..11. Se observa que sólo 30% de los clientes aceptan las condiciones del banco: el 35 % a la tasa normal y el resto a una tasa mayor. b) Si la última consulta sobre descubierto se ofreció a tasa mayor.El personal del Bco. ¿Cuál es la probabilidad de que todos estén al día con los impuestos? 12. a) Calcular la probabilidad de que si se recibe una consulta. a Discreta.CAPITULO VI VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.a Continua.a discreta. en un numero real. que transforma cada elemento del espacio muestral .  Si Rx no es enumerable (rango continuo). entonces X es una v. entonces X es una v. Si X es una v.a) X es cualquier función. 6. Función de Probabilidad. la función de probabilidad de X viene dada por: PX x P X x P /X x . X:  X Al conjunto de posibles valores de X se le llama rango de X (Rx)  Si Rx es finito o enumerable (rango discreto). tal que x Rx PX ( x) 1 Función de densidad 119 .1 Definiciónes Una variable aleatoria (v. ESTADISTICA Si X es una v.a continua, la función de densidad b de X es una aplicación fX :  0, tal que P a X b a f X ( x)dx ,tal que f X ( x)dx 1 Función de distribución La función de distribución de una v.a X esta dada por: FX ( x) P( X x) P( / X( ) x) Propiedades.  F es continua por la derecha y es creciente  Si X es una v.a discreta , entonces P a  Si X es una v.a continua , entonces P a  Si X es una v.a continua , entonces F ' ( x)  limx X X b b F b F b f ( x) F a F a P X a dF ( x) dx FX ( x) 0 y limx FX ( x) 1 Definición.La esperanza o media de una variable aleatoria X, denotada por E ( X ) o X se define según sea la variable discreta o continua, mediante: x.P X E X x Rx x , si X es discreta x. f ( x)dx, si X es continua x Rx Propiedades:  El valor esperado de una constante es dicha constante  E a bX a bE X Definición.La varianza de una variable aleatoria X cuya media o esperanza es como V X 2 X X , se define E X 2 X E X E X 2 E X 2 E2 X Propiedades. 120 CLETO DE LA TORRE  La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar.  2 X E X 2 2 X  V aX b a2V ( X ) Desigualdad de Chebyshev. Si X es una variable aleatoria, entonces para cualquier k P X X se cumple k X 1 1 k2 Ejercicio resuelto. 1. Sea X la variable aleatoria definida como la suma de los valores que aparecen al lanzar dos dados. a) Determine la distribución de probabilidad. b) Calcule la probabilidad P(5<X<8) c) La media y su varianza. Solución. a) Resultados en 1 2 3 4 5 6 los dos dados 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 X: Suma de los valores de los dos dados Rx P(X) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/16 4/16 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 121 ESTADISTICA b) c) p(5 X 8) p(6) p(7) 5/ 36 6 / 36 11/ 36 Media E X x Rx x.P X 4 36 5 36 x , si X es discreta 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 E X E X 2 1 36 252 36 3 2 36 4 3 36 5 6 7 8 9 10 11 12 Varianza. 2 X E X 2 E2 X E X2 E X2 1 36 1974 36 22 32 2 36 42 3 36 52 4 36 62 5 36 72 6 36 82 5 36 92 4 36 102 3 36 112 2 36 122 1 36 2 X E X 2 E2 X 1974 36 252 36 2 6.2 DISTRIBUCIONES IMPORTANTES. Existen, como en el caso de la última variable ejemplificada, otras variables cuyas funciones de probabilidad o densidad resultan ser modelos de mucha utilidad para una serie de aplicaciones. Nosotros citaremos brevemente algunos de los modelos de mayor importancia.  DISTRIBUCIONES DISCRETAS. Un experimento de Bernoulli, es un experimento aleatorio con solo dos posibles resultados: Éxito y Fracaso. Sea p = P (Éxito). Distribución Binomial. La distribución binomial aparece cuando se dan las condiciones siguientes: -Tenemos un experimento aleatorio simple, con una situación dicotómica, es decir Éxito y Fracaso. - Repetimos este experimento simple n veces de manera independiente. 122 CLETO DE LA TORRE X = Número de Éxitos en n experimentos independientes de Bernoulli. Función de Probabilidad: PX x Valor esperado: Notación: X X n Cx p x 1 p n x , si x 0,1,2,..., n 0 2 X , en otro caso. np. Varianza: np 1 p . B(n, p). Distribución de Pascal o Binomial Negativa. Notación: X BN(r, p). X = Número de ensayos (experimentos independientes de Bernoulli) hasta conseguir el r-ésimo Éxito. Función de Probabilidad: PX x Valor esperado: 1 Crx 1 1 p x r pr , si x r , r 1, r 2,... 0 , en otro caso. 2 X X r . Varianza: p r1 p p2 . Nota: Si r = 1, X se dice que es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p, y se le denota por X G(p). Distribución Hipergeométrica. Notación: X H(N, M, n). Considérese una población de N elementos, M de los cuales son de un tipo A, y supongamos se extraen sin reemplazo una muestra de n elementos de esta población. Entonces: X = Número de elementos de tipo A en la muestra. Función de Probabilidad: M N C x Cn xM PX x N Cn , si x 0,1,2,..., n 0 Valor esperado: X , en otro caso. 2 X n M . Varianza: N 123 n M M 1 N N N n . N 1 Distribución Uniforme.2.. si x 0. En PX se esta usando la convención que Ca 0. t . entonces B n.b . en otro caso. Varianza: 2 124 2 X b a2 . si x a. Esta distribución se da cuando la variable aleatoria X puede tomar indistintamente cualquier valor en el intervalo a.1. La distribución de Poisson aparece en situaciones en las que se cuenta el número de apariciones de un determinado suceso o bien en un intervalo de tiempo dado (como el número de partículas emitidas en un segundo por un material radioactivo. Función de Probabilidad: x PX x Valor esperado: e x! 0 2 X . X . b 0 . Si la elección de la muestra fuera con reemplazamiento. b . 12 .ESTADISTICA Notas: b 1. . Notación: X U a. Valor esperado: X a b . en otro caso.. si a > b. p M .  DISTRIBUCIONES CONTINUAS. X = Número de eventos en 0. Función de densidad: 1 fX x b a .. Varianza: . X 2. o el número de pacientes que llegan a un servicio en un intervalo de tiempo dado) o bien en un recinto físico (como el número de fallos en un metro de alambre de hierro producido. N Distribución de Poisson. P ( A ) = 0. Notación: X Función de densidad: N( . normal estándar (estandarizarse) a través de la transformación: Z X EJERCICIOS RESUELTOS 1. P (A) = 0. c) Todos presenten error. 1). Varianza: 2 . 2) puede convertirse con una v.75 Se trata de una distribución Binomial de parámetros B (10.CLETO DE LA TORRE Distribución Normal. d) Por lo menos 8 presenten error. 0.a.25 ) Sea X la variable aleatoria que representa el número de facturas presenta error 125 .Un auditor analiza 10 facturas.. Calcular la probabilidad de que: a) Exactamente 4 facturas presenten error. vale decir. Toda v. fX x Valor esperado: Nota: Cuando X 1 2 2 X 1 e 2 2 2 x 2 . e) A lo sumo 3 presenten error. se sabe que por estudios anteriores que el 25% de las facturas presentan algún tipo de error. b) Ninguno de las facturas presenten error.a. f) Calcular la Media y varianza Solución Consideremos los sucesos A = La factura presenta error. 2). aleatoria con distribución normal estándar. a X se le denota por Z y se le llama una variable N (0.25 A = La factura no presenta error. Z normal X N ( . =0y = 1. 75)9 1 10 (0.25)2 (0.25)0 (0.75)2 8 10 (0.25)1 (0. Si se selecciona siete administradores.25)4 (0.75)8 2 10 (0. determinar la probabilidad de que.75) 0 9 0.0563 c) P(Todo presenten errores) = P X 10 10 (0.5 np(1 p) 10(0. a) Ninguno de los 7 utiliza estrategias de marketing.25) 2 10 (0.875 2.75)7 3 0.1460 b ) P (Ninguno presenten errores) = P X 0 10 (0.25)(0.75)10 0 f) Media y Varianza np 10 (0.25)9 (0.75)0 10 0 d) P(Por lo menos 8 presenten error) = P X 8 PX 8 PX 9 PX 10 10 (0.25)8 (0.75)10 0 0.005 e) P( A lo sumo 3 presenten error ) = P X 3 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 10 (0.25)0 (0. b) Todos utilizan estrategias c) Al menos 2 utilizan marketing Solución Consideremos los sucesos: A = Utilizan software.3 126 .- El treinta por ciento de los administradores de supermercados utilizan estrategias de marketing.ESTADISTICA a) P(Exactamente 4 facturas presenten errores) = PX 4 10 (0.75)6 4 0.75) 1.25)3 (0. P(A) = 0.7759 2.25)10 (0. 7)0 7 1 PX 1 1 PX 0.3)1 (0.0002 7 (0.3)7 (0.. .7 Por tanto se trata de una distribución Binomial de parámetros B (7. 0. Suponiendo que los ingresos están distribuidos normalmente. a) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos menores a $ 64 b) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos de $57 a más ? c) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos mayores de $63? d) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos entre $57 a $65 ? e) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos menores de $50? f) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos entre $64 a $70 ? g) Si en total hay 200 gerentes en esa ciudad.CLETO DE LA TORRE A = No utilizan software.6705 3. 60 (Media poblacional) 6 (Desviación) a) P( X 64) P( X 64 ) P( Z 64 60 ) 6 P( Z 0.7)7 0 7 (0.3)0 (0.El Ingreso medio diario de los gerentes de empresas en una ciudad es 60 dólares y la desviación típica es $6 . P ( A ) = 0.Cuantos cabe esperar que presenten ingresos mayores a $57 y menores de $64? Solución. X: Ingreso de los gerentes. a) P X b) P X c) P X 0 7 (0.7)7 0 7 (0.0824 7 0.3) Sea X la variable aleatoria que representa el número de administradores que utilizan estrategias de marketing.3)0 (0.67) 127 .7)6 1 2 0 PX 1 1 0. 5) z= 0.5 0.67) 0.5) 0 z=0.67 0.5) 0.67) 0 z=0.5 (0.19146+0.854% d) P(57 X 65) X P( 57 X 65 ) P( 57 60 6 Z 65 60 ) 6 P( 0.83) 0.5 0.146% c) P( X 63) P( X 63 ) P( Z 63 60 ) 6 P( Z 0.519% 128 .48519=48.5) (0.5 (0.24857=0.5) (0.19146+0.5 0 0.69146=69.29373=0.5) 0.50 0.5=0.19146=0.5 (0.30854=30.83) (0.50) (0.ESTADISTICA (0.5 0.857% b) P( X 57) P( X 57 ) P( Z 57 60 ) 6 P( Z 0.74857=74. 67) (1.83) e) P( X 50) P( X 50 ) P( Z 50 60 ) 6 (0.167) 0.67) (0.167) 0.83 P( Z 0.167) P( 64 60 6 Z 70 60 ) 6 z=0.24857=0.20397=20.5) (0.67 z=1.67 X 1.397% g) P(57 X 64) P( 57 X 64 129 0 0 z= 0.CLETO DE LA TORRE (0.50 z=0.45254-0.67) ) P( 57 60 6 Z 64 60 ) 6 .67) (1.167 0 z= 0.5 0.67) 0.4325=43.67 (0.0675=0.5 (0.25% f) P(64 X 70) P( 64 X 70 ) P(0. 44003=44.19146+0.. ¿Cuál es la probabilidad de que realice: a) Más de 9 errores? b) Por lo menos 9 errores? 2.9 y $11.003% Cabe esperar el 44.ESTADISTICA P( 0. Suponiendo que tal tasa continúe en este periodo anual y elabore 60 declaraciones. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar: a) Reciba salarios entre $10.5) (0.9 por hora y la desviación estándar de $0.El volumen de acciones negociadas en la Bolsa es normal con una media de 646 millones de acciones y una desviación de 100 millones de acciones.Los salarios de los trabajadores en cierta industria son en promedio $11.95? d) ¿Cuál debe ser el salario menor que gana un trabajador que se encuentra entre el 10% de los trabajadores que más ganan? e) Si el dueño de la industria va a aumentarle el salario al 15% de los trabajadores que menos ganan.La empresa de asuntos financieros Tax Service se especializa en las devoluciones de importes de impuestos federales.67) 0.67) (0. ¿Cuál será el salario máximo que deberá ganar un trabajador para ser beneficiado con el aumento? 3..5 X 0.. es decir 0.9? b) Reciba salarios inferiores a $11? c) Reciba salarios superiores a $12.44003* 200 88 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.003% de los gerentes. Si los salarios tienen una distribución normal. Una reciente auditoría de las declaraciones indicó que se cometió un error en el 10% de las que manifestó el año pasado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones? 130 .24857=0. Se toma una muestra de 12 trabajadores de una gran empresa para estudiar su actitud frente a un cambio en el método de trabajo.La tasa real de desempleo es de 15%.. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 5 de los miembros de la muestra estén a favor? 5.CLETO DE LA TORRE b) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado de acciones oscile entre las 400 y las 600 acciones? c) Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5% de los días más activos ¿Qué volumen publicará la prensa? 4.. En una muestra de 8 poseedores de esa tarjeta: a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 a 6 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 clientes o menos paguen sus cuentas antes de incurrir en pago de intereses? 7. a) ¿Cuál es la cantidad esperada de desempleados? b) ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de los desempleados? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 estén desempleados? d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 3 y 5 desempleados? 6..Se sabe que el 30% de los clientes de una tarjeta de crédito a nivel nacional dejan en cero sus saldos para no incurrir en intereses morosos..Sabiendo que la recaudación diaria de cierto comercio minorista se distribuye normalmente con un monto promedio de $830 y un desvío estándar de $125: a) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude menos de $885? b) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude más de $600? c) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre $700 y $800? d) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre $900 y $1500? 131 . Si el 60% de todos los trabajadores de la empresa están a favor del cambio. Suponga que se seleccionan al azar 15 personas en posibilidad de trabajar. a) Si no varían las condiciones económicas ni comerciales para el año próximo ¿cree que es muy probable que en la industria estudiada lleguen a cobrar a más de 150 días? b) ¿En cuántos días como máximo se espera cobrar el 85 % de las operaciones ? c) Si la última cobranza se efectivizó en un plazo inferior al promedio de días.07 m /unidad) y el costo del producto en sí mismo (5 gramos/unidad).El costo de un producto que se procesa en forma automática está formado por el costo de los materiales del envase (0. dichos costos son variables aleatorias independientes que pueden considerarse normalmente distribuidas: . a) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo del producto de una unidad supere los $ 122? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de un pack de 25 unidades supere los 2950$? 132 2 2 2 .. En cierta industria se determinó que en el último año las cobranzas se realizaron a los 120 días fecha factura en promedio. con un desvío típico de 20 días (sin considerar los incobrables y clientes en gestión judicial) y que la variable “días de cobranza” se distribuye normalmente. Debido a ciertas fluctuaciones. tomándose como unidad el envase de presentación.ESTADISTICA e) ¿Cuál es el monto no superado en el 20% de los días? f) ¿Cuál es el monto sólo superado en el 30% de los días? 8. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas mensuales sean de 1600 unidades? c) ¿Cuál es la venta garantizada el 90% de los meses? 9. a) Definir la variable aleatoria e identificar sus parámetros..500 unidades . Se sabe que el 15% de los meses se venden menos de 1. mientras que el 7% de los meses las ventas superan las 1800 unidades.el costo del producto (y) con media 20$/gramo.La creciente recesión económica lleva a las empresas a modificar. sus condiciones de pago.-Las ventas mensuales de un producto tienen distribución normal. ¿cuál es la probabilidad de que la empresa haya cobrado después de los 100 días ? 10. .5 $/gramo. entre otras cosas.el costo de materiales (x) con media 180$/m y desvío estándar de 2$/m . y desvío estándar de 1. y con el segundo un conjunto de mediciones de los mismos.2 DEFINICION DE TÉRMINOS. unidades.CLETO DE LA TORRE CAPITULO VII INTRODUCCION AL MUESTREO 7. Consideraremos el problema particular del muestreo de una población finita (colección finita de mediciones). un total o una proporción con un límite para el error de estimación (precisión). El objetivo de la estadística es hacer inferencias acerca de una población con base en la información contenida en una muestra. indicando con el primero un conjunto de elementos. Para un buen entendimiento del problema de muestreo. Este mismo objetivo motiva el estudio del problema de muestreo. 133 . En lo referente al muestreo. introduciremos enseguida. REVISIÓN DE CONCEPTOS. Población (UNIVERSO): Es una colección finita o infinita de individuos o elementos. ciertos aspectos técnicos comunes a las encuestas de muestreo. seres y objetos. la inferencia consiste en la estimación de un parámetro de población. En el muestreo. tal como una medida. individuos. 7. usualmente se distingue el significado de los términos universo y población.1 INTRODUCCION. No necesariamente se refiere a una colección de organismos vivientes. La definición debe contener una descripción de los elementos que serán incluidos y una especificación de las mediciones que se van a considerar. Como se puede apreciar. el estimador se denotará con ˆ . y debe excluir unidades de cualquier otra población. Las unidades de muestreo cubren toda la población. Parámetro: Es un valor numérico de la población usualmente desconocido que representa cierta característica de la población. Marco de Muestreo: Se presenta en forma de lista o mapa de las unidades de muestreo que conforman la población. es decir | | . Forma el material básico para la selección de la muestra. usado para estimar un parámetro. ya que estas dos componentes están interrelacionadas. Una muestra puede ser probabilística (aleatoria) o no probabilística. Error de Estimación: Es la diferencia absoluta entre el parámetro y su estimador. Unidad de Muestreo: Es una colección de uno o más elementos de la población. Unidad Reportante: Es la que suministra la información estadística requerida o de la cual la información la información puede ser convenientemente averiguada. Estimación: Es el valor que toma el estimador en los datos de la muestra. Muestra: Es un subconjunto de la población. Estadístico: Es una función real de la muestra aleatoria. identificable y observable.ESTADISTICA Una tarea importante para el investigador es definir cuidadosa y completamente la población antes de recolectar la muestra. Una unidad de muestreo debe ser claramente definida. si un parámetro se denota con . El marco muestral debe contener todas las unidades de muestreo que conforman la población bajo estudio. es imposible conocer con exactitud el 134 . Por esta razón. Definición defectuosa de la población. 135 . Marco imperfecto o desactualizado. y aumentan a medida que aumenta el tamaño de la muestra. infortunadamente estos errores no se pueden medir fácilmente. | E) Si ˆ tiene distribución aproximadamente normal. algunos autores denominan al factor E. Los tipos errores no muestrales que suelen presentarse son: Definición equivocada del problema. Error de no Muestreo: Son los errores que se introducen imperceptiblemente a la encuesta y estos son más difíciles de controlar. se le llama precisión absoluta. Puede ser controlado por un diseño cuidadoso de la muestra y es estimado en gran parte por el factor E. pero podemos. Si E está expresado como un porcentaje del parámetro que se está estimando. entonces para E 1. Una ves estimado el límite E.96 V ( ˆ) se cumple: P(| ˆ | E) 0.96 V ( ˆ) .CLETO DE LA TORRE error de estimación. El factor E es llamado también precisión. El intervalo anterior es llamado intervalo de confianza. al menos aproximadamente encontrar un límite E tal que: P(| ˆ Para cualquier entre 0 y 1. Si E esta expresado en las mismas unidades de la medida de la variable.95 Limite para el error de estimación: Denotado por E es dado por E 1. ˆ E se encuentra en con una confianza del 95%. podemos afirmar que el parámetro el intervalo ˆ E. Error de Muestreo: Este error se debe a que una muestra no produce información completa sobre una población. error de muestreo. se le llama precisión relativa. ESTADISTICA - La no respuesta. Diseño de la encuesta Pasos a seguir:  Definir los objetivos  Determinar el marco  Diseñar el procedimiento de muestreo  Diseñar el cuestionario  Diseñar y realizar el trabajo de campo  Codificar. entre las principales se tiene muestreo: aleatorio simple. La función de la encuesta es la medición del comportamiento. 136 .3 ENCUESTA. Sin embargo. 7. los errores de no muestreo pueden ser controlados mediante una atención cuidadosa en todas las etapas de la encuesta. estratificado y sistemático. Diseño pobre del instrumento de medición. El sesgo de respuesta. depurar y analizar las respuestas  Redactar el informe Diseño de la muestra El diseño de la muestra incluye:   La elección del procedimiento de muestreo La determinación del tamaño de la muestra Existen varios procedimientos de muestreo. que es un individuo de la población en estudio seleccionado para la muestra. actitudes o características del encuestado. Como ya se comentó anteriormente. por lo que la solución es llevar a cabo el estudio basándose en un subconjunto de ésta denominada muestra. Tamaño de la muestra Una parte fundamental para realizar un estudio estadístico de cualquier tipo es obtener unos resultados confiables y que puedan ser aplicables. sin preposición (muestreo irrestricto aleatorio) y con reposición. generalizar los resultados hacia la población en total.A. al final. o muestra. Usando la tabla de números aleatorios seleccionar la primera unidad para la muestra. implica algo de incertidumbre que debe 137 .) consiste en: i) ii) Enumerar las unidades de la población. el procedimiento de muestreo se llama Muestreo Aleatorio Simple (M.) El M. A. A. El muestro. iii) Continuar la selección excluyendo las unidades repetidas (si es sin reposición) o incluyendo las unidades repetidas (si es con reposición) hasta completar el tamaño de muestra n. Si una muestra de tamaño n. puede ser de 2 formas. desde 1 hasta N.CLETO DE LA TORRE 7. S. Sin embargo.4 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Definición. resulta casi imposible o impráctico llevar a cabo algunos estudios sobre toda una población. es seleccionado de una población de tamaño N de tal manera que cada muestra posible tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.S. Esas características tienen que ver principalmente con el tamaño de la muestra y con la manera de obtenerla. posea algunas características específicas que permitan. El procedimiento de selección de una Muestra Aleatoria Simple (M. para que los estudios tengan la validez y confiabilidad buscada es necesario que tal subconjunto de datos. S. Procedimiento de selección. Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores: . y si N : 138 . n 2 Z (1 / 2) * 2 2 . Tamaño de muestra para Estimar .)%: n Z 2 Z (1 2 (1 / 2) / 2) y un nivel de confianza del * N * p(1 p) 2 * p(1 p) ( N 1) . .El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis.El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. 1.ESTADISTICA ser aceptada para poder realizar el trabajo. el tamaño de Si se desea estimar muestra necesario es dado por: n 2 Z (1 2 Z (1 / 2) / 2) 2 *N 2 2 * ( N 1) Población finita. la fórmula del tamaño de muestra n para la estimación de p con error máximo de estimación de 100(1 . De manera simular.El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la muestra hacia la población total. . Donde 2 Es la varianza poblacional 2 En la practica el valor de de una muestra piloto. pues aparte de que estudiar una población resulta ser un trabajo en ocasiones demasiado grande. Tamaño de la muestra para estimar P. con precisión fijada por el investigador. Población finita. Población infinita. estimado por S2 a partir de una encuesta anterior o 2. CLETO DE LA TORRE n 2 Z (1 / 2) * p (1 p ) 2 , Población infinita. En este caso el valor de esta entre 0 y 1, el valor de P es desconocido, por lo que debe ser estimado preliminarmente a partir de una encuesta anterior, o de una muestra piloto. En última instancia el valor de P se puede sustituir por 0.5 y se obtendrá un tamaño de muestra mayor que el requerido. Recomendaciones para el uso del M. A. S. Generalmente el M. A. S. Esta orientada a encuestas de pequeña escala y raras veces a encuestas de gran escala, debido a que otros diseños proporcionan mayor o igual precisión a menor costo. En las encuestas por muestreo a gran escala, el M. A. S. es usado como parte de un diseño de muestreo mucho más complejo. El M. A. S. es muy eficiente cuando la población es homogénea. 7.5 MUESTREO ESTRATIFICADO. Una muestra estratificada es la obtenida mediante la separación de los elementos de la población en grupos heterogéneos disjuntos, llamados estratos y la selección posterior de una muestra aleatoria simple en cada estrato. Consideremos una población de tamaño N, la cual es dividida en k estratos (sub poblaciones) de tamaños Ni, i=1,2…., k, tal que N N1 N2 ... Nk N1 N2 … NK El tamaño de muestra se estima mediante: 139 ESTADISTICA k Z n 2 2 (1 2 / 2) * i 1 2 (1 Ni2 pi (1 pi ) / wi k , N Z / 2) * i 1 Ni pi (1 pi ) es wi el % de observaciones asignados al estrato i El tamaño de muestra necesario de cada estrato, se puede obtener por afijación proporcional al tamaño de cada estrato, es decir: ni n* Ni N n * wi , i 1,..., k Cuando se realiza un muestreo estratificado, los tamaños muestrales en cada uno de los estratos, ni, los elige quien hace el muestreo, Así en un estrato dado, se tiende a tomar una muestra más grande cuando: - El estrato es más grande; - El estrato posee mayor variabilidad interna (varianza); - El muestreo es más barato en ese estrato. 7.6 MUESTREO SISTEMATICO Definición.- Una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente un elemento de los primeros k elementos en el marco y después cada k-ésimo elemento, se denomina muestra sistemática de intervalo de selección k. El muestreo sistemático puede ser de dos formas, muestreo sistemático simple y muestreo sistemático circular. Procedimiento de selección del muestreo sistemático simple. Una muestre sistemática simple se obtiene cuando el intervalo de selección k es exactamente un numero entero. El procedimiento de selección de una muestra sistemática simple consiste: i) Las unidades del marco deben ser ordenados en magnitud de acuerdo con algún esquema de ordenación (población ordenada) es base al orden se establece la numeración desde 1 hasta N ii) Determinar el intervalo de selección k N (k exactamente un numero entero) n 140 CLETO DE LA TORRE iii) Seleccionar un numero aleatorio entre 1 y k (arranque aleatorio) sea “a” el arranque aleatorio elegido, entonces los elementos de la muestra sistemática, son los que ocupan las posiciones en el marco: a, k+a, 2k+a, 3k+a,......(n-1)k+a 141 ESTADISTICA EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un empresario dedicado al rubro de pizzería, desea hacer una estimación del gasto que realizan las personas en pizza por semana, con 99% de confianza, suponiendo que el máximo error permitido es de un soles, además de una muestra piloto se obtuvo una varianza de 25. También se sabe la ciudad tiene 2500 ciudadanos ¿Que tamaño de muestra necesitara para investigar? Solución. N n 2500, 2 Z (1 2 Z (1 / 2) 1, / 2) 2 2 25, Z(1 2 2 / 2) 2.58 2.582 * 2500* 25 156.08 157 *N * ( N 1) 2.582 * 25 (2500 1) 1 2 2. Las compañías de auditoría generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los clientes de una banco y verifican los balances contables reportados por el banco. Si una compañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporción de cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco, ¿cuántas cuentas deberán seleccionarse del banco si esta tiene 25000 clientes, de manera tal que con una confianza del 95% la proporción muestral se encuentre a no más de 5% unidades de la proporción real?. Solución. Consideremos que no se tiene ningún estudio de este tipo, por tanto P 0.5 , del problema: N n Z 2 Z (1 2 (1 / 2) 25000, / 2) 0.05, z(1 / 2) 1.96 * NP(1 P) 2 * P(1 P) ( N 1) n 1.962 *25000*0.5(1 0.5) 1.962 *0.5(1 0.5) (25000 1) 0.05 2 378.361 379 142 por tanto la relación para estimar el tamaño de muestra es: n 2 Z (1 / 2) * P (1 P ) 2 Del problema se tiene los siguientes datos P 0. La población materia de estudio. cuyo tamaño poblacional se muestra en el cuadro siguiente: Distrito A B C Total Tamaño de población. Suponiendo que en estudio realizado hace 10 años. calcule el tamaño de muestra por cada ciudad. n 0.05 195.15.96 1. 2000 1200 5000 8200 Considere que el tamaño de muestra es 245. Solución. no es finita.962 *0. el nivel de posicionamiento de su marca es de 15% ¿Cual debe ser el tamaño de muestra para este estudio? Solución. los distritos forman los estratos: 143 . Suponiendo que esta ciudad se divide en tres distritos. con un nivel de confianza del 95% y un error del 5%.05. Se desea lanzar un nuevo producto al mercado. z(1 2 / 2) 1.15) 0. respecto al posicionamiento que tiene su marca. necesario para este estudio.15(1 0. El administrador de una empresa A desea hacer un estudio de investigación de mercado en cierta región. En este ejemplo. para ello usted tiene que realizar un estudio de la demanda de este producto.92 196 4.CLETO DE LA TORRE 3. (Por estudios anteriores se sabe que el salario anual sigue una distribución normal con desviación típica de 70 soles). Si el volumen de ventas se puede modelizar por una distribución normal. i 1..61*245 149. Una tienda se interesa en estimar su volumen de ventas diarias. k ..76 60 n* 0.15*245 35. Unos grandes almacenes tienen 1000 empleados en uno de sus centros. ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra 144 ..39 149 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Calcular el tamaño muestral necesario para estimar su salario anual medio con un error máximo de 80 soles para un nivel de confianza del 95%.24*245 59. Supóngase que el valor de la desviación típica es de 50 soles.15 =5000/8200=0.02 unidades de la proporción real?. Se determina el tamaño de muestra para cada distritos.61 1 n * wi . 3.ESTADISTICA Ciudad A B C Total n=245. 2. SUNAT tiene previsto realizar una auditoria a cuentas de un grupo de empresas con la finalidad de estimar la proporción de empresas que presentan desbalance financiero ¿cuántas cuentas empresas deberán seleccionarse de manera tal que con una confianza del 99% la proporción muestral se encuentre a no más de 0. ni n* Ni N Ni 2000 1200 5000 N=8200 wi =2000/8200=0.24 =1200/8200=0.85 36 nC n* NC N n * wC 0.. nA nB n* NA N NB N n * wA n * wB 0. Usando la relación. Parece ser que las bolsas que se venden en la tienda son menos resistentes que las que vende su competidor y. suponiendo que la región tiene 12000 centros comerciales.5 Kg.2 Kg. Se esta realizando una auditoria respecto al incumplimiento de entrega de facturas en un región que tiene 4 provincias (A. ¿En cuántas acciones deberá Elena probar el programa con el fin de estar 98% segura de que el porcentaje de acciones que realmente subirán de precio durante la semana próxima estará dentro de ±0. en consecuencia. se rompen más a menudo. Se planea una investigación para determinar los gastos médicos familiares promedios por año. está interesado en determinar el peso máximo promedio que puede resistir una de las bolsas para basura sin que se rompa.05 de la muestra de la población?. Gustavo.04 nivel de confianza de 90%. la provincia B 10%. 8. la provincia C el 22% y la provincia D el resto de la población regional. Una tienda local vende bolsas de plástico para basura y ha recibido unas cuantas quejas con respecto a la resistencia de tales bolsas. gerente encargado de adquisición.. 7. Determine el tamaño de muestra para este estudio. Si la desviación estándar del peso límite que puede aguantar una bolsa es de 1. 6. La administración de la compañía desea tener 95% de confianza de que el promedio muestral es correcto dentro de ± $50 del promedio 145 . C y D). Elena acaba de adquirir un programa de computación que afirma escoger acciones que aumentarán su precio durante la semana siguiente con un índice de precisión de 85%. del promedio real. B. Para un mercado de prueba..CLETO DE LA TORRE para que con una confianza del 95% la media muestral se encuentre a no más de 20 soles del verdadero volumen medio de ventas? 4. encuentre el tamaño de muestra necesario para estimar proporción real de consumidores satisfechos con un cierto producto nuevo. dentro de ± 0. Suponga que no tiene una buena idea del valor de la proporción. Se sabe también que la provincia A tiene el 45% de la poblacional regional. determine el número de bolsas que deben ser probadas con el fin de que Gustavo tenga una certeza de 95% de que el peso límite promedio está dentro de 0. 5. El Gerente de un banco desea 90% de confianza de tener un resultado correcto dentro de ± 0. ¿De cuántos ahorradores debe ser su cuenta? 10.ESTADISTICA real familiar. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 146 .05 de la proporción de la población real de ahorradores que tienen cuantas de ahorros y de cheques en el banco. ¿Qué tamaño de muestra se requiere? 9. Un grupo de consumidores desea estimar el monto de facturas de energía eléctrica para el mes de julio para las viviendas unifamiliares en una ciudad grande. Un estudio piloto indica que la desviación estándar se puede estimar como $400. Con base a estudios realizados en otras ciudades se supone que la desviación estándar es de 25 dólares. El grupo desea estimar el monto promedio para le mes de julio de ± 5 dólares del promedio verdadero con 99% de confianza. ..1 DISTRIBUCIONES MUESTRALES. Aproximación de la Binomial por la Normal. B (n. El porque de la importancia de la distribución normal se ilustra a través de las siguientes propiedades y distribuciones. Si X1 .CLETO DE LA TORRE CAPITULO VIII ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBAS DE HIPOTESIS 8...’s independientes. 30) se cumple que Z n X i 1 i n X / n n N (0. donde cada Xi tiene la misma distribución de valor esperado entonces para n suficientemente grande (en la práctica n aproximadamente y varianza 2. Si X suficientemente grande.a. PROPOSICION 1.. Teorema del limite central (TLC). X 2 .  DISTRIBUCION NORMAL. 1). En este capitulo abordaremos el estudio de la distribución normal y de otras distribuciones asociadas a funciones de una muestra al azar de esta variable. p) y n es 2. 1). entonces aproximadamente: Z X np np 1 p 147 N (0. X n son n v. Si Z t(n). PROPOSICION. 2 1 2 2 2. Sea X 2.. Una v. entonces Z2 2 (1).. entonces k 2 i 1 2 i Es también una v. 2 k son k variables aleatorias independientes con distribuciones chi-cuadrado de respectivamente n1 . nk grados de libertad.. y se le denota por X 2 (n). n2 . entonces 148 . X n es una m. Si .  LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADO. 1).. 1). 2).. X tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad.  LA DISTRIBUCION T DE STUDENT. entonces aproximadamente X N (0. 1.. Si n es grande. 2 (n) son v. con distribución chi-cuadrado de n libertad.a. PROPOSICION. 3. X 2 . para el cálculo de probabilidades.a’s independientes. Si Z N (0. Propiedad reproductiva. 1) y 2 N (0.. 1.ESTADISTICA Aquí. se recomienda utilizar la llamada corrección por continuidad: Si a aproximadamente: b son dos números naturales. y se le denota por X t(n). Si X1 . entonces Pa X b 1 P a 2 X 1 b 2 Fz b 1 2 np np 1 p Fz a 1 2 np np 1 p .. X tiene distribución t de Student con n grados de libertad. Una v.a.. entonces k n i 1 i grados de W n 1 S2 2 2 (n -1)..a de X N ( .a. y se le denota por X PROPOSICION. En particular.2 INTERVALOS DE CONFIANZA.. uno de los problemas que se plantearon es que el valor de la estimación es solo uno de los valores (posiblemente infinitos) 149 . Una v. entonces 2(n) 1 X F (m. Si 2 1 2 1 2 2 F (n.. entonces N ( 1.  LA DISTRIBUCION F DE FISHER. Cuando tratamos la estimación puntual.CLETO DE LA TORRE T Z 2 t(n). En particular. y 2 2 2(m) F /n /m F (m. X 2 . 2 2 Siendo S1 y S 2 las varianzas muestrales asociadas a las poblaciones estadísticas determinadas por X e Y. Nota: La distribución normal estándar.Ym una m.. se n cumple que: T X S/ n t (n -1). X 2 . 12). t de Student... 8. 2). son v. X n es una v. X1 .. Y2 . 22).a. si X1 . m)..a de una v.a. Si X 2. F (n.a.. e Y1 . m . n). respectivamente.a. chi-cuadrado y F de Fisher poseen todas tablas en la que se tabulan algunos valores de su función de distribución..a’s independientes. F S12 2 2 2 S 2 12 F (n -1.1)... X tiene distribución F de Fisher con n grados de libertad en el numerador y m grados de libertad en el denominador. 1. de X N ( 2.. n). X n de X N ( . dada una m. Y entonces donde X e Y son independientes. m). cuando 2 es conocida. 1) y vienen dado por X z1 X z1 2 n 2 n Donde z1 denota al valor de la distribución normal estándar. Definición.a. En este tema vamos a introducir el concepto de intervalo de confianza como un intervalo cuyos extremos son variables que dependen de la muestra. y en el cual se confía que esté el valor de parámetro. X es un intervalo con estadísticas L1 y L2 en los extremos (IC = L1. 150 .)% para un parámetro poblacional de una v. que indica la proporción de intervalos de todos los que se podrían construir a partir de muestras distintas. se obtiene usando como X / n N (0. Al hacer cualquier estimación se está cometiendo un error. Un intervalo de confianza (IC) al 100(1 . El intervalo se obtendrá a partir de un estadístico generalmente relacionado con un estimador puntual. Intervalo de confianza para la media  El IC al 100(1 pivote a Z )% para . y una medida de la validez del intervalo es el nivel de confianza. obtenido al extraer una muestra concreta. L2 ) tal que P L1 L2 1 . X es el valor de 2 la media muestral. de forma que si extraemos dos muestras distintas. las estimaciones serán distintas. cuya distribución no depende del parámetro desconocido.ESTADISTICA del estimador. que realmente contienen al parámetro. y seria deseable proporcionar una medida de la precisión de la estimación del parámetro. 2 se obtiene usando como pivote a W n 1 S2 2 2 (n - n 1 S2 2 1 2 n 1 S2 2 2 n 1 2 n 1 151 .)% para 1) y vienen dado por : 2. n 1) 2 1 /2 /2 t(1 Donde t1 2 n t(1 n 1 denota al valor de la distribución t de Student con n – 1 grados de xi x 2 libertad y la varianza muestral dado por S 2 i 1 n 1 Intervalo de confianza para la varianza El IC al 100(1 . n . n 1) 2 . cuando 2 Z(1 es desconocida se obtiene usando como X S/ n X t (n -1) y vienen dado por t(1 S n X t(1 S .CLETO DE LA TORRE 1 /2 /2 Z(1  El IC al 100(1 pivote a T )% para . ESTADISTICA 1 2 ( /2) 2 (1 /2) Donde 2 2 n 1 y 2 1 n 1 denotan 2 a los valores en la distribución chi- cuadrado con n – 1 grados de libertad y la varianza muestral dado por: n xi S2 i 1 x 2 n 1 Intervalo de confianza para la razón de dos varianzas El IC al 100(1 )% para 2 1 2 1 / 2 2 / 2 2 . cuando 2 1 y 2 2 es conocida se obtiene usando como X1 X2 ( 2 1 1 2 2 2 ) y vienen dado por: n1 n2 152 . n1 1 denotan a los valores en la distribución 2 F. n1 1 y f1 / 2. n1 1 2 1 2 2 S12 f 2 1 S2 / 2. El IC al 100(1 .)% para pivote a z 1 2 1 2 . S12 y S2 son las varianzas de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias. n2 1. n2 1. n1 1 f / 2. n2 1. n2 1. n2 1 y vienen dado por S12 f 2 S2 Donde / 2. se obtiene usando como pivote a F S12 / 2 S2 / 2 1 2 2  F n1 1. y vienen dado por: p z1 2 p1 p n p p z1 2 p1 p n Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones p1 El IC al 100(1 .CLETO DE LA TORRE ( X1 X 2 ) z(1 / 2) * 2 1 2 2 n1 n2 1 2 ( X1 X 2 ) z(1 / 2) * 2 1 2 2 n1 n2 Intervalo de confianza para la proporción p El IC al 100(1 . se obtiene usando como pivote a Z p p p1 p n N (0.)% para p1 p2 p2 . p2 1 p2 n2 y vienen dado por: ( p1 p2 ) z1 * 2 p1 1 p1 n1 p2 1 p2 n2 ( p1 p2 ) ( p1 p2 ) z1 * 2 p1 1 p1 n1 p2 1 p2 n2 RESUMEN DE INTERVALO DE CONFIANZA.)% para p . 1). 1). se obtiene usando como pivote a Z ( p1 p2 ) ( p1 p1 1 p1 n1 p2) N (0. 153 . n1 1 La proporción 2 p1 p n 2 p1 p n 154 . n2 1. n 1) -Nota: Si la población no es normal 2 2 es X t(1 X 2 t(1 2 S . v ) * S12 n1 2 S2 n2 v La varianza ( 2 S1 2 ) n1 2 ( S 2 / n2 ) 2 n2 1 n 1 S2 2 1 n 1 S2 2 2 n 1 2 n 1 La razón de varianzas.n1 + n 2 -2) Sp La diferencia de Medias 2 1 2 2 y desconocidos n2 1 n1 n2 2 / 2. S12 f S22 p z1 / 2. n1 1 S12 f 2 1 S2 p z1 / 2.ESTADISTICA Intervalos de confianza de: La Media Si se asume pero n 30 La Media Si se asume que desconocido La diferencias de Medias 2 1 y 2 2 Conocidos 2 2 Limite inferior X X z1 z1 n S n . v ) * ( X1 X 2 ) t(1 2 S1 n1 2 / n )2 ( S1 1 n1 1 S12 n1 2 S2 ( X1 n2 X 2 ) t(1 / 2. n 1) Limite Superior X X S n conocido 2 z1 z1 2 n S n . n ( X1 X2) z(1 / 2) * 2 1 2 2 n1 n2 2 S2 n2 ( X1 X2) z(1 / 2) * 2 1 2 2 n1 n2 2 S2 n2 --Nota: Si las poblaciones no son normales pero n1 30 y n2 30 ( X1 X2) z(1 / 2) * S12 n1 ( X1 X2) z(1 / 2) * S12 n1 La diferencia de Medias Asumiendo que: desconocidos 2 1 2 2 y ( X1 ( X1 X 2 ) t0 * S p n1 1 2 S1 X 2 ) t0 * S p 1 n1 2 S2 1 n2 1 n1 1 n2 to t(1 / 2. n2 1. Se realizo un estudio en 30 minimercados sobre el pago por derecho de impuestos. z1 1. X 5900. t(1 2 .. Solución. s 32.CLETO DE LA TORRE La diferencia de proporciones ( p1 p2 ) z1 * 2 p1 1 p1 n1 p2 1 p2 n2 ( p1 p2 ) z1 * 2 p1 1 p1 n1 p2 1 p2 n2 EJERCICIOS RESUELTOS 1.96 2 Reemplazando en la relación X z1 2 n X z1 2 n 1 /2 /2 Z(1 5900 1.045 155 . n 250. n 30. Obtener un intervalo de confianza (al 95%) para el monto medio de recaudación diaria. Encontrar el intervalo de confianza para el 95%. 94.34 Z(1 5900 1. obteniéndose un pago medio de 256 soles y un desvío de 32 soles. Solución.En una muestra de 250 empresas se estimo el monto de recaudación en un día.96 94 250 94 250 5911. n 1) 2. X 256. obteniéndose un monto medio de 5900 soles y una desviación típica de 94 soles.96 5888.65 2. Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción de profesionales que conocen aspectos de inversión de BVL.7 1. n 1) 2 S 32 . El sistema A.3 . Solución.7(1 0.7) 200 0. 0. diseña dos sistemas (A y B) de control para cumplimiento de entrega de facturas o boletas.9 3. n=200 p z1 2 p p z1 p 2 p1 p n 0.ESTADISTICA Reemplazando en la relación X t(1 .045 n 30 256 2. se utiliza para controlar a 250 empresas.7(1 0.045 32 30 244. 256 2. Utilizando un intervalo de confianza del 95% ¿ Se puede aceptar que los dos sistemas presentan similar eficiencia ? Solución. z1 p1 p n 2 1. n1 250 Sistema B 156 . n 1) 2 S n X t(1 . p 140 200 0.96 SUNAT con el propósito de incrementar la recaudación fiscal. Un investigador entrevisto a 200 profesionales sobre el conocimiento que estas tienen de la inversión en la bolsa de valores de Lima.7 .7) 200 0.7 1.96 . el sistema B a 200 empresas.96 4. de los cuales 140 afirman que conocen adecuadamente. Sistema A p1 75 250 0.05 267. Después de un periodo de vigilancia de los sistemas se observo que 75 empresas vigiladas con el sistema A no entregan boletas o facturas A y 80 vigiladas con el sistema B también incumplieron con la entrega de facturas. 2 4.4 200 -0.96 2 ( X1 X 2 ) z(1 / 2) * 2 1 2 2 n1 n2 1 2 ( X1 X 2 ) z(1 / 2) * 2 1 2 2 n1 n2 157 .3 1 0.011 El intervalo contiene solo valores negativos. Ciudad A x1 13.4 1 0. entonces.4) 1.96 2 ( p1 p2 ) z1 * 2 p1 1 p1 n1 p2 1 p2 n2 ( p1 p2 ) ( p1 p2 ) z1 * 2 p1 1 p1 n1 p2 1 p2 n2 (0.4) 1. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias ¿Podemos concluir que las utilidades de la empresa en la ciudad B es mayor que la de A? Solución. ( p1 p2 ) 0 nivel de eficiencia que el sistema B.3 0.con tal fin se selecciona aleatoriamente un grupo de 50 cuentas de la provincia A y 40 c de cuentas de la provincia B. n1 50 Ciudad B x2 15.4 1 0.3 1 0. 1 3. observándose que en promedio en la ciudad A se genera una utilidad de 13 miles de soles y 15 miles de soles en la ciudad B y las desviaciones estándar de la ciudad A y B respectivamente son 3 y 4 miles de soles.CLETO DE LA TORRE p2 80 200 0.4 .3 0.96* 0. n1 200 z1 1.18 ( p1 p2 ) -0.3 250 0.4 200 ( p1 p2 ) (0.3 250 0. p1 p2 De la relación anterior se concluye que el sistema de control A presenta menor 5. Se realizo un estudio sobre las utilidades que presenta una empresa en dos provincias del Perú .96* 0. n2 40 z1 1. 152. Conclusiones. De una muestra de 134 auditores empleados en grandes empresas de auditorias. En una muestra aleatoria de personas que visitan un famoso centro turístico. 155. 146. 4. x A 627. s2 A 29043. s2 A 22919. La Cámara de Comercio de una ciudad está interesada en estimar la cantidad media de dinero que gasta una persona que asiste a convenciones por día. Se obtuvo la siguiente información (en dólares): 150. 168. normal. 189. 3. 148.96* 9 16 50 40 3. 82 de ellos declararon que siempre que recibían un nuevo encargo de auditoria.337 Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de los ingresos medios reales a un nivel del 99%. 163. 134. 184. y encarga un estudio sobre el tema.ESTADISTICA (13 15) 1. 174. se seleccionaron 16 personas y se les preguntó la cantidad que gastaban por día. xB 23468. 175. 158. preguntaban al auditor anterior cuál había sido la razón del cambio de auditor. Construya un intervalo de confianza con un nivel del 95% para la diferencia entre las proporciones reales de hombres y mujeres que compran recuerdos. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional.50 0 . 135.221 41948. 142. (Suponer que las poblaciones son independientes).49 Como 1 1 2 0. La Cámara de Comercio de B discute esto. 163. De las distintas convenciones que se llevan a cabo en la ciudad. Se toman dos muestras. 158 . y se obtienen los resultados siguientes : Ciudad A: nA Ciudad B: nB 514. La Cámara de Comercio de la ciudad A afirma que el ingreso medio de una familia de esta ciudad es de 500$ más que el ingreso medio de una familia de la ciudad B. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. entonces 1 2 2 . Si se supone que la cantidad de dinero gastado en un día es una v. 84 de 250 hombres y 156 de 250 mujeres compraron recuerdos de su visita. obtener los intervalos de confianza a un nivel de 95 % para la cantidad media real. una en cada ciudad.96* 9 16 50 40 1 2 (13 15) 1.a. 2. dado un nivel de confianza igual a 0.2 minutos.3 minutos. lo cual trajo como consecuencia que los consumidores retardaran la adquisición de productos de invierno. manteniendo el mismo nivel de confianza de 95%? 8. Selecciona una muestra aleatoria de 40 participantes y les pide que mantengan un registro detallado de lo que ven en televisión durante una semana. s = 3.8 h. ¿Qué tipo de estimación de intervalo podrá usted dar para dar el número absoluto de cuentas que cumplen con los requisitos de excelencia. a. Los resultados son los siguientes: Tiempo frente al televisor: x = 15.Basándose en el inciso anterior. Encuentre el límite de confianza para esta porción. con una desviación estándar de 3. Jesús es un corredor de la Bolsa de Valores y tiene curiosidad acerca de la cantidad de tiempo que existe entre la colocación de una orden de venta y su ejecución. 65% de los ejecutivos creía que la disminución en las ventas se debió al alza inesperada de la temperatura.Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción de cuentas que están en posición excelente. b. b) Establezca un intervalo de confianza de 95% para la proporción de participantes que ven las noticias al menos 3 noches por semana.95. Una muestra de 70 ejecutivos de una empresa fue investigada con respecto al pobre desempeño que ésta tuvo en noviembre. 159 . Jesús hizo un muestreo de 45 órdenes y encontró que el tiempo medio para la ejecución fue de 24.3 h. 27 participantes ven las noticias al menos 3 noches por semana a) Establezca un intervalo de confianza de 95% para el promedio semanal de tiempo que ven televisión en esta ciudad. 7.. Ayude a Jesús en la construcción de un intervalo de confianza de 95% para el tiempo medio para la ejecución de una orden 6. El dueño de una empresa investigó aleatoriamente 150 de las 3000 cuentas de la compañía y determinó que 60% de éstas estaban en una posición excelente.CLETO DE LA TORRE 5.. Un investigador de mercado de una compañía de productos electrónicos desea estudiar los hábitos televisivos de los residentes de una pequeña ciudad. 36 .¿ qué ajustes habrá que hacer.035 de la proporción real de los que ven las noticias al menos 3 noches por semana si no disponía de estimaciones anteriores? e) Con base en (c) y (d). se supone que la variación salarial es la misma en las dos sucursales y que los salarios siguen una distribución normal. Se toma una muestra de 12 empleados de una planta productora.10 A 2 Sucursal B nA 19. sA =87. Las negociaciones salariales entre su empresa y el sindicato que representa a sus trabajadores están al borde de la ruptura. Con los datos que se dan a continuación. 23 . Sucursal A nA 23. xA =17. 41 . 18 . ¿qué tamaño de muestra debe seleccionar si sólo realiza un estudio? 9. 31 a) Calcular un estimador puntual para la proporción de empleados que trabajan más de 20 horas b) Calcular un estimador puntual para el número medio de horas extras que trabajan los empleados. Pero se piensa que hay diferencia entre los niveles salariales medios a causa de las diferentes estructuras de antigüedad entre las dos sucursales. el número de horas extra que estos empleados hicieron durante el último mes fueron: 22 . Si existe una diferencia entre las medias. Hay un desacuerdo considerable sobre el nivel salarial medio de los trabajadores de la sucursal A y B. habrá que hacer ajustes para elevar los salarios más bajos hasta el nivel de los más altos.50 $ por hora. xA =15.10 160 . El negociador del convenio colectivo por parte de la dirección le pide que elabore un intervalo de confianza del 98% para la diferencia entre los niveles salariales medios. 29 . Los salarios fueron establecidos por el antiguo convenio colectivo firmado hace tres años y se basa en la estricta antigüedad. Como los salarios están muy controlados por el convenio colectivo. 11 .53 $ por hora.ESTADISTICA c) ¿Qué tamaño de muestra necesita si desea tener 95% de confianza de que su resultado es correcto dentro de ± 2 horas y supone que la desviación estándar de la población es igual a 5 horas? d) ¿Qué tamaño de muestra necesita si desea una confianza de 95% de estar dentro de ± 0. 12 . 10. 26 . s2 =93. en caso de ser necesario?. 28 .16 . CLETO DE LA TORRE 161 . Se denomina hipótesis alternativa aquella hipótesis contra la cual queremos contrastar la hipótesis nula. Si la hipótesis estadística identifica por completo la distribución. Esta hipótesis nula es la que se somete a comprobación. Hipótesis nula (denotada como H0). Aceptar Ho Ho verdadera Ho falsa Decisión correcta Error Tipo II Rechazar Ho Error Tipo I Decisión correcta Denominamos nivel de significación ( ) de un contraste a la máxima probabilidad de cometer un error del tipo I que estamos dispuestos a sumir. El contraste de hipótesis tiene por finalidad decidir si una conjetura puede considerarse cierta. y si no la especifica recibe el nombre de “hipótesis compuesta”. La idea o conjetura es una hipótesis y el procedimiento de toma de decisión sobre la hipótesis se conoce como prueba de hipótesis. recibe el nombre de “hipótesis simple”.4 PRUEBAS DE HIPOTESIS En muchas situaciones el investigador tiene alguna idea o conjetura sobre el comportamiento de una o más variables en la población.ESTADISTICA 8. Hipótesis alternativa (denotada como Ha). o debe rechazarse. como la conclusión final de un contraste. basándonos en la información suministrada por una muestra. Podemos cometer dos tipos de error: rechazar la hipótesis nula siendo ésta cierta (error de tipo I) y aceptar la hipótesis nula cuando esta es falsa (error de tipo II). Esta hipótesis puede ser simple o compuesta. 162 . Una hipótesis estadística es una conjetura sobre el comportamiento probabilística de una población. El diseño de la investigación debe permitir probar la veracidad de sus ideas sobre la población en estudio. en base a los datos de la muestra. y es la que se acepta o rechaza. y que para cada muestra tomará un valor particular. La región crítica es el conjunto de valores del estadístico de contraste que nos induce a rechazar la hipótesis nula PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS. Estas variables se medirán mediante una variable denominada estadígrafo de contraste. la hipótesis nula la tomamos a partir de la información proporcionada por la muestra (estadístico de prueba). la región crítica en la que se rechaza la hipótesis nula (tiene probabilidad que se acepta la hipótesis nula. Nivel de significación del contraste es la probabilidad de cometer un error del tipo I. 1. H0 : 0 Vs Ha : 0 ó Ha : . Realizamos una partición del espacio muestral en dos regiones. en la Antes de definir los pasos de una prueba de hipótesis se define algunos conceptos básicos. es pues. 0 ó Ha : 0 2. Formulación de hipótesis. y se acostumbra a denotar por 2. 3. es decir. Estadístico de prueba. 3. que sigue una distribución determinada conocida. A continuación se dan una serie de regiones de aceptación para ciertos contrastes de hipótesis con nivel de significación . Los pasos que son convenientes seguir para realizar el contraste de hipótesis son: 1. 4. El contraste de hipótesis. de rechazar la hipótesis nula siendo cierta. Elegir el nivel de significación.CLETO DE LA TORRE La decisión de rechazar. La forma de la región crítica depende de la hipótesis alterna. o no. un mecanismo mediante el cual se rechaza la hipótesis nula cuando existan diferencias significativas entre los valores muestrales y los valores teóricos. Para Ha : 0 163 . y se acepte en caso contrario. Determinar la región crítica. si H 0 es cierta) y la región de aceptación. R.R. región no sombreada. H0 R. H0 La región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. H0 R.A. H0 R.A. H0 Para Ha : 0 1 Z(1 R.ESTADISTICA 1 /2 /2 Z(1 R.R.A.R. H0 Para Ha : 0 1 Z(1 R. H0 Z(1 R. Se rechaza H0 cuando el estadístico de prueba toma un valor comprendido en la zona sombreada y se acepta Ho cuando el valor del estadístico de prueba cae en la región de aceptación. 164 . Conclusión. Determinar las conclusiones estadísticas del contraste (aceptar o rechazar Ho). A continuación se presentan las pruebas de hipótesis en forma de resumen. PRUEBAS DE HIPOTESIS EN POBLACIONES NORMALES. Pruebas de Hipótesis.CLETO DE LA TORRE 5. Hipótesis Nula Prueba de Medias H0: Si 2 Estadística Prueba de Criterio de rechazo de H0 Hipótesis Alternativa Zc Ha : Ha : > < 0 0 0 = 0 vs: z1 2 conocido Zc X 0 / n Zc z1 -Si la población no es Ha: normal pero n 30 Prueba de Medias H0: = 0 Zc X 0 s/ n Zc Tc t1 z1 n 1 2 Ha : Ha: Ha : > < 0 0 0 vs Si se asume que : 2 Tc X S/ 0 n Tc Tc t1 t1 z1 2 n 1 n 1 es desconocido de de Ha: Ha : 2 1 1 1 2 Prueba diferencias Medias H0: 1 Zc > < Zc X1 X 2 2 1 n1 2 2 n2 2 2 Zc Zc z1 z1 = vs: Ha : Asumiendo 2 1 Zc X1 X 2 2 s1 n1 2 s2 n2 y 2 2 Conocidos --Si las poblaciones no son normales pero n1 30 y n2 30 Prueba de diferencia de Medias H0: 1 Ha : vs Ha : 1 1 2 Tc X1 X 2 Sp 1 1 n1 n2 Tc t1 2 n1 n2 2 = 2 > 2 Tc t1 n1 n2 2 165 . nmin 1 ó Fc F1 2 2 Fc vs Ha : 2 Smax 2 Smin Fc F1 n1 1. n2 1 Fc F n1 1. Ha : H0: 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Fc F nmax 1.ESTADISTICA Asumiendo 2 1 2 2 que: Ha: 1 < 2 y Sp 2 2 n1 1 S1 n2 1 S2 c n1 n2 2 T t1 n1 n2 2 desconocidos Prueba de diferencia de Medias H0: 1 Ha : vs Ha : Ha : y 1 1 1 2 Tc v X1 X 2 2 S1 n1 2 S2 n2 2 S1 2 ) n1 2 ( S 2 / n2 ) 2 n2 1 Tc t1 v 2 = 2 > < 2 2 Tc t1 v Asumiendo que: 2 1 2 2 2 S1 n1 2 ( S1 / n1 ) 2 n1 1 ( Tc 2 c t1 v 2 2 desconocidos Prueba de varianzas H0: 2 Ha : Ha : Ha : 2 2 2 2 0 2 0 2 0 n 1 ó 2 c 2 1 n 1 2 = 2 0 vs 2 c n 1S 2 0 2 2 c 2 c 1 n 1 n 1 Prueba de razón de Ha: varianzas. n2 1 Prueba proporciones de Ha : p p0 Zc p p0 p (1 p )/ n Z c z1 Zc 2 H a : p > p0 H0: p =p0 Vs H a : p < p0 z1 Zc Prueba de diferencia de proporciones Ha: p1 p2 z1 z1 2 Zc pc p1 p2 pc (1 pc ) pc (1 pc ) n1 n2 Zc Ha: p1 > p2 H0: p1 =p2 Vs Ha: p1 < p2 n1 p1 n1 n2 p2 n2 Zc z1 Zc z1 166 . n 60. Para contrastar esta hipótesis se analiza las ventas de 60 establecimientos comerciales. al nivel de 95% de confianza. Como Zc Zo Se rechaza la hipótesis nula. 2.El pago en promedio por concepto de impuestos de los establecimientos comerciales en una ciudad es de 355 soles. Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística. a favor de la hipótesis de que el pago de impuestos es mayor al contribuido actualmente? . 167 . x1 580 Zc 580 355 180/ 60 9. Estadística de prueba. por lo tanto se debe pagar más de lo que actualmente se contribuye. H0: Ha: = 355 > 355 5% 180 Nivel de significancia.CLETO DE LA TORRE EJERCICIOS RESUELTOS 1. pagando menos del debido. Zc X 0 / n 180 .Se aplico una estrategia diferenciadora para colocar un producto en el mercado.645 .68 Región Aceptación Región Crítica Conclusión.. Use Solución Formulación de hipótesis.645 Zc =9.68 Región critica =5% Z0=1. Resulto una media muestral de 580 soles por concepto de impuestos. z1 1. Se Sospecha que estos establecimientos evaden el pago de impuestos. 05) a favor de que la estrategia presenta un efecto positivo?.25 Región critica t0=–2. t(1 / 2.R.262 n 9. Como tc 2. H0: Ha: d d =0 0 5% Nivel de significancia. H0 t0=2.R. 168 . H0 R.25 R.ESTADISTICA En el cuadro siguiente se muestra las utilidades antes y después de aplicar la estrategia en miles de dólares.76 . Estadística de prueba. Antes Después 25 27 25 29 4 27 37 10 44 56 12 30 46 16 67 82 15 53 57 4 53 80 27 52 61 9 Diferencia 2 Hay suficiente evidencia estadística (al nivel de significación 0. Tc s X 0 S/ n 7.262 se rechaza la hipótesis nula. H0 Conclusión.26 tc=4. Solución Formulación de hipótesis. x1 11 Tc 11 0 7. n 1) 2.A.26 R.76 / 9 4. 27 Tc X1 X 2 Sp 1 n1 1 n2 138. S22 26. Los resultados del estudio se muestran a continuación. S22 26. x1 138.50 Región critica T0 t1 2 n1 n2 t0. entonces el estadístico de prueba es: Tc De la información se tiene: Empresa A Empresa B X1 X 2 Sp 1 n1 1 n2 t (n1 + n2 -2) n1 13 . Solución.16 n2 16 . para tal efecto se recopilo información de las recaudaciones diarias de las dos empresas.7 13 16 2 5.16 16 1 *26. H0: Ha: 1 1 = 2 2 Nivel de significancia.6 .CLETO DE LA TORRE 3.8 1 1 5.975 27 2. 5% Supongamos que las varianzas poblacionales son iguales. x2 125.8 .6 .7 En base a la información. x2 125.. S12 29. Empresa A Empresa B n1 13 . cual es su conclusión al 95% de confianza.16 n2 16 .8 .Se desea comparar el nivel de posicionamiento de dos empresas A y B en una ciudad.052 169 . Estadística de prueba.6 125.7 Sp 2 2 n1 1 S1 n2 1 S2 n1 n2 2 13 1 *29.975 13 16 2 6. Formulación de hipótesis. x1 138. S12 29.27* 13 16 2 t0. n2 n1 p1 n2 p2 n1 n2 600 600*0. H0 Conclusión.50 R. en cambio de 600 residentes de la Región B .175 170 . Formulación de hipótesis. 15 % en la actualidad exige la entrega de boletas.R.R.052 tc=6.2 . p2 pc 0. Zc p1 p2 pc (1 pc ) pc (1 pc ) n1 n2 Provincia A. H0: p1 =p2 Ha: p1 p2 5% Nivel de significancia.052 R. ¿Es posible concluir con 95% de confianza que el programa a tenido similar resultado en las provincias A y B ? Solución. n1 600 Provincia B.A. entonces se rechaza H0. 4.ESTADISTICA t0=–2. Estadística de prueba. H0 t0=2.2 600*0. Se selecciona a pobladores de ambas regiones que no presentaban esta cultura y se observo que de 600 residentes de la Región A.15 . Como Tc T0 . 20% en la actualidad exige boleta o factura. con la finalidad de que exijan la entrega de Boletas o facturas por todo servicio en dos regiones (A y B) del país. H0 R.El Ministerio de Economía viene desarrollando programas destinados a la población. p1 0.15 600 600 0. 2 5. 2) Un grupo de economistas esta realizando un estudio sobre el comercio internacional del Perú: consideran que en el actual contexto de continuas y profundas transformaciones.3 prefieren: Acción 2 7.279 Región critica =5% Z0=1.3 8. Justifique adecuadamente sus respuestas.3 6.175(1 0.3 7.9 5.175(1 0. el comercio entre países debería asumir un papel activo con el fin de ayudar al crecimiento de los países que lo llevan a cabo.CLETO DE LA TORRE Zc p1 p2 pc (1 pc ) pc (1 pc ) n1 n2 0.1 6.3 5. Se esta enfocando en un primer momento el comercio por el lado de las exportaciones ya que determinan la cantidad de dólares que ingresan al país por vía 171 .3 6.2 7.96 Región Aceptación Zc =2. por tanto p1 p2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Un especialista trabaja como corredor para una empresa.1 6.5 7.2 7. Sus registros muestran las tasas de rendimiento ( en porcentajes) para 10 meses en dos tipos de acciones Acción 1 5.2 8. se rechaza la hipótesis nula.3 8.2 8.20 0. Como Zc Zo .9 Que tipo de Acción debería recomendar el especialista a sus clientes que a) Menos riesgo de inversión b) Mayor utilidad.175) 600 600 2.175) 0.279 Región Crítica Conclusión.0 8.2 6.6 7.15 0. Estime la media de toda las cuentas cobrar utilizando un intervalo de confianza del 98%. 480. 750. Justifique adecuadamente sus respuestas. 600. Una muestra de 10 cuentas por cobrar seleccionadas al azar de un total de 400 cuentas que tiene esta compañía revela los siguientes datos. 500.Interprete el resultado brevemente. 790. además de una prueba piloto se obtuvo que 90% retiraría su inversión b) El investigador realiza la encuesta con una m.04 con un nivel de confianza del 95%. Desarrolla el intervalo de confianza del 97% para el porcentaje de inversionistas que retirarían su inversión. b) La diferencia entre las exportaciones tradicionales en promedio y las no tradicionales es mayor que 1000 millones de dólares. 900. 900. 172 . Usar 1% 3) Un auditor quiere estimar el monto promedio de las cuentas por cobrar de la compañía A.ESTADISTICA intercambio comercial y porque la estructura de las mismas mostrara un mayor o menor ingreso en divisas. A continuación se presenta la información con la que cuenta el grupo de economistas sobre las exportaciones (en millones de dólares) para el Perú a lo largo de 31 años (desde 1960 -1990).a de pequeños inversionistas de tamaño igual al que obtuvo en a) y obtiene que 300 inversionistas reacción de manera A. a) ¿ Que tan grande debería ser la muestra si se desea que el estimado del porcentaje de inversionistas de la población que retiran su inversión tenga error de estimación menor que 0. 860. 500. Un investigador quiere estimar la proporción de inversionistas que reaccionan de manera A. Tradicionales X1 1478 y s1 818 y No tradicionales X 2 340 y s2 357 En base a la información que se tiene se puede concluir que: a) Las exportaciones tradicionales en promedio anual es de 1500 millones de dólares. 760. 4) La reacción de un pequeño inversionistas con respecto a un cambio de política que modifique las reglas de juego de la economía es : retirar su inversión (A) o continuar con la inversión inicial(B). Contrastar las hipótesis a nivel de significancia del 5% 4.0. ¿Se confirma la sospecha del gerente? 1. Durante una sesión de un subcomité del Senado. más de 2200 millones de dólares.1.1.1. Una corporación bancaria quiere comparar el nivel medio de las cuentas de ahorro abiertas en bancos comerciales del Lima con las de Cusco. Anteriormente las dos tiendas habían mantenido un balance en los precios de forma tal que la mitad de los artículos de una eran ligeramente más caros que los de la otra y viceversa.0.1. sólo 309 están a favor.0. para investigar esta posibilidad. 3. de las 910 mujeres encuestadas. Utilice un nivel del 90%. se hizo evidente que muchas de las mayores empresas de la nación estaban en dificultades financieras. 2.0.0. ¿Está respaldada la afirmación de Kennedy al nivel del 10%?.0.1. De 875 hombres.1. Analice si estos resultados prueban que ha habido un aumento en el porcentaje de quiebras. Una comprobación de 17 juicios recientes en virtud del capítulo 11 reveló que las empresas implicadas debían 2430 millones de dólares.1.1.1.0.1.0.0.0. observándose: 1.1. Un investigador de marketing quiere determinar si existe alguna diferencia en la proporción de hombres que responden favorablemente a un determinado anuncio y la proporción de mujeres que lo hacen. 105 no tuvieron asesoramiento profesional antes de abrir el negocio. De una muestra de 361 propietarios de pequeños comercios que quebraron en un período determinado.0.1.1. Por experiencia se sabe que lo que ha venido ocurriendo es que a lo sumo el 25% de los comercios que no reciben asesoramiento quiebran. Cuando Eastern Airlines se acogió a la protección de las leyes de bancarrota en 1989 en virtud del capítulo 11.1.1.0. el senador Kennedy estimó que las empresas que buscan liberarse de las presiones de los acreedores debían.0.1. Donde 1 indica precios más bajos y 0 indica que los precios se mantienen igual que antes.0.1.1.1.1.1.1. envió un comprador a la otra tienda para ver los precios de 50 artículos seleccionados al azar.CLETO DE LA TORRE 5) El gerente de una cadena muy conocida de tiendas sospecha que su principal competidor esta intentando vender los mismos productos a precios más bajos.0.0.0.0.0.0.1.1.1. Muestras de 230 agencias 173 .0.1.1. con una desviación típica de 900 millones de dólares. de media. 412 informan que tienen una impresión positiva.0. 1 4. estructuras de costo y todos los demás factores que pueden afectar a los precios industriales.9 Sectores menos concentrados 3. Al nivel del 5%. Se emparejaron las empresas de nueve sectores concentrados con las de un número igual de sectores en los cuales el poder económico estaba más disperso.6 0. Se hicieron coincidir las empresas de cada grupo en cuanto a competencia extranjera. 5.6 174 .ESTADISTICA bancarias del Lima y 302 en Cusco.1 -0. ¿parece que los sectores concentrados presentan una presión inflacionaria más pronunciada que los sectores menos concentrados? Pareados de sectores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sectores concentrados 3. tienen medias de 1512 dólares y 1317 dólares.7 3. Se sabe que la desviación típica en las cuentas para cada estado son 517 dólares para el Lima y 485 dólares para Cusco.8 4.2 3. Muchos estudios económicos se ocupan de sectores en los cuales una gran parte del dominio del mercado se concentra en manos de unas pocas empresas.1 2. A continuación se indican los incrementos medios del precio en porcentajes de cada sector.6 5.7 2.9 4.8 5. respectivamente.9 4.2 6.1 4.7 4. Se teme que las empresas poderosas en sectores de tan alta concentración dominen el mercado con fines egoístas.2 3. Contrastar la hipótesis de que no hay diferencia de ahorros medios al nivel del 5%. 1 TABLA DE CONTINGENCIA Es relativamente frecuente encontrarse con información referida a la observación de dos características de una población. también llamada tabla de contingencia. X e Y. mediante las cuales se clasifican los individuos o elementos que constituyen una muestra de la misma. 9. La información obtenida del estudio generalmente se presenta en una tabla de contingencias. La prueba de homogeneidad y la prueba de independencia. están basadas en el supuesto de que la muestra pertenezca a una población con distribución conocida. Este tipo de distribución bidimensional de frecuencias suele presentarse en forma de tabla de doble entrada. Muchas de las investigaciones científicas Aquí abordaremos dos problemas muy interesantes dentro de lo que se conoce con el nombre de estadística no paramétrica.CLETO DE LA TORRE CAPITULO IX PRUEBA DE CHI-CUADRADO Las pruebas de hipótesis desarrolladas anteriormente. en esta se tiene un conjunto de n elementos clasificados de acuerdo a dos criterios. cada uno de los cuales tiene una serie de categorías mutuamente excluyentes: 175 . en las que se establecen modalidades o categorías. La justificación de estos problemas es comparar las frecuencias esperadas y las observadas. .. con la información suministrada por las muestras obtenidas. o21 . Sea ni... oi 2 .1 n. n. j orc nc. el número de individuos que pertenecen simultáneamente a las categorías X i e Yj . ni.. Yc o1c Total o11 o12 o22 . n2. Y2 .2 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD. oic . r o. las hipótesis a probar son diferentes y por lo tanto las conclusiones obtenidas también.... . Si. o1 j o2 j . c nij j 1 En esta sección se verán las pruebas de homogeneidad y de independencia...Yj . .. es decir. oij representa la frecuencia observada..... Existen r poblaciones y una muestra aleatoria es extraída desde cada población. En ocasiones ocurre que tenemos a varias poblaciones clasificadas de acuerdo con las categorías definidas para una determinada variable.... j i 1 nij y oi.c n En esta tabla... Xi .. n1. 9. Si bien ambas pruebas presentan el mismo procedimiento de cálculo. La pregunta que se sugiere inmediatamente es si la proporción de individuos pertenecientes a cada una de las clases es la misma en todas las poblaciones.2 orj n.. se puede aceptar que esto es así... Cada observación de cada muestra puede ser clasificada en una de c categorías 176 .. Xr Total or1 or 2 n. el tamaño de la muestra extraída de la i-ésima población.... oij . o2c .ESTADISTICA Y1 X1 X2 . oi1 . diremos que las poblaciones son homogéneas con respecto a la variable de clasificación utilizada. H1: La variable aleatoria tiene una distribución de probabilidades diferente en al menos una de las poblaciones. .. Los datos son arreglados en la siguiente tabla de contingencia r c: Categoría Categoría Población 1 O 11 O 12 2 1 O22 Población 2 O 21 ..2 . … . oij es el número de observaciones de la muestra i clasificadas en la categoría j. . es el total de observaciones extraídas desde las r poblaciones..j es el número total de observaciones en la categoría j extraídas desde las r poblaciones y n. Población r Total O r2 n. = rj para todo j = 1. . Entonces las hipótesis son: Ho : 1j =...x n... … o rc n. nrCategoría Total n 1•...c n r.. O 1c c O2c n2• En la tabla... Las hipótesis pueden expresarse equivalentemente de la siguiente manera: H0: La variable aleatoria tiene la misma distribución de probabilidades en las r poblaciones. Regla de decisión: 2 La hipótesis nula se rechaza con un nivel de significación a si el xc resulta mayor que el valor de tabla x 2 1 .…c H1: Al menos una igualdad no se cumple. Hipótesis: Sea ij la probabilidad de que una observación seleccionada de la población i sea clasificada en la categoría j. La estadística de prueba esta dado por: r 2 xc j 1 j 1 c (oij eij eij ) x 2 (r 1)(c 1) donde eij ni . 2. n.1 O r2 n. . n. j n.CLETO DE LA TORRE diferentes.( r 1)( c 1) 177 . . En la tabla. Hipótesis: Sea ij la probabilidad de que una observación sea clasificada en la fila i i.. Entonces las hipótesis son: Ho: ij i. n i . en forma equivalente de la siguiente manera: Ho: Las variables X y Y son independientes. y cada observación de la muestra es clasificada de acuerdo a dos criterios (variables X y Y). 0 rc n ..   Fila r Total O r2 n .... j para todo i = 1... Los datos son arreglados en la siguiente tabla de contingencia rxc: Fila 1 Fila 2  Columna Columna .. r. columna j. c.. Dado una muestra aleatoria de tamaño n. . H1: Al menos una igualdad no se cumple. .2 . j es el número total de observaciones en la columna j.ESTADISTICA 9. 1 2 0 21 0 22 . fila i y . . es extraída. . 0 11 0 12 ..j la probabilidad de que una observación sea clasificada en la la probabilidad de que una observación sea clasificada en la columna j.. j = 1. 0 2c n2. es el número total de observaciones en la fila i y n.    Columna c Total O ic ni.i O r2 n . . Las hipótesis pueden expresarse. Usando el primer criterio cada observación es clasificada en una de r filas y usando el segundo criterio en una de c columnas.. n ro n. . . HI: Las variables X y Y no son independientes. Estadístico de prueba: 178 ..3 PRUEBA DE INDEPENDENCIA Esta prueba permite analizar si dos variables aleatorias son o no independientes. o jj es el número de observaciones clasificadas en la fila i columna j.. 33 2 .33 100 93. j n.67 600 e21 2 c 280* 200 600 2 93.33 93..67 .CLETO DE LA TORRE r 2 xc j 1 c j 1 (oij eij eij ) x 2 (r 1)(c 1) donde eij ni .33 70 106. e12 600 320* 200 106. H0: Las preferencias de las tres marcas son similares.33 93.67 106.67 100 106.67 179 130 93.67 106. se obtuvo los siguientes resultados.33 2 50 93.1 En una investigación realizada sobre las preferencias de 3 marcas. H1: Las preferencias de los tres marcas no son similares e11 320* 200 106. y a veces suelen confundirse.33 93. e23 2 280* 200 600 2 93. Regla de decisión: Se adopta la siguiente regla de decisión: Si Si 2 c 2 c 2 ( r 1)( c 1) 2 ( r 1)( c 1) entonces se acepta la hipotes H 0 entonces se rechaza la hipotes H 0 Como puede observarse el procedimiento es muy similar al de la prueba de homogeneidad.33 . EJERCICIOS RESUELTOS 8. e13 600 320* 200 106. Marcas Preferencias Si No Total A 70 130 200 B 100 100 200 C 150 50 200 Total 320 280 600 ¿Podemos concluir con 95% de confianza que las preferencias de las marcas es similar? Solución.2. e22 280* 200 600 2 93.67 .67 150 106.x n.67 106.33 . Ho: El uso de técnicas de valorización es independiente del tamaño de empresa.A. H0 R. H0 Como 2 c 2 0 . HI: El uso de técnicas de valorización es empresa.99 2 o =65.625 2 0 De la tabla de chi-cuadrado . Las frecuencias observadas y esperadas (frecuencias esperadas entre paréntesis) se presentan en la siguiente tabla: dependiente del tamaño de la 180 . se obtuvo los siguientes resultados. se rechaza la hipótesis nula Las preferencias de los tres marcas no son similares.En un estudio sobre el uso de tres técnicas de valorización de empresas de distinto tamaño.. Técnicas de valorización Tamaño de la empresa Alto Actualmente En el pasado Nunca Total 51 92 68 211 Medio 22 21 9 52 Bajo 43 28 22 93 Total 116 141 99 356 ¿El uso de técnicas de valorización es independiente del tamaño de la empresa? Solución.R.. 2.625 R.991 1 2 o =5. 5.ESTADISTICA 2 c 65. CLETO DE LA TORRE Tamaño de la empresa Uso de software Alto Actualmente En el pasado Nunca Total 51 (68. El 2 valor de tabla para un nivel de significación del 5% es x(0. Hace una encuesta en un grupo de firmas que tienen distintas cantidades de activos y las dividen tres grupos.68) 211 Medio 22(16.75) 92(83. A continuación se dan los resultados de la encuesta: Deuda con respecto Tamaño de activos de la firma( en miles) al capital social Menor Mayor Total < $ 500 12 5 17 $500-2000 13 15 28 181 >$2000 4 13 17 Total 29 33 62 .488 .94) 21(20. Clasifica cada una según que su deuda sea mayor que el capital contable de las acciones o que su deuda total sea menor.4) 9.57) 68(58.86) 93 Total 116 141 99 356 Con estos datos el estadístico de prueba es: 3 3 xc2 i 1 j 1 oij eij eij 2 18.83) 22(25.30) 28(36.60) 9(14.46) 52 Bajo 43(30.Un asesor financiero quiere conocer las diferencias en la estructura de capital de varios tamaños de empresa en cierta industria..95. Como el valor calculado es mayor que el valor de tabla se rechaza H o y se concluye que existe suficiente evidencia estadística para aceptar que el uso de técnicas de valorización depende del tamaño de la empresa . 3.510 Los grados de libertad para el estadístico de prueba son (3 -1)(3-1) = 4. 4% 23.023 Chi-cuadrado=7.05.2% 62 100.6% 76.0% Total 29 46.ESTADISTICA ¿Tienen idéntica estructura de capital los 3 tamaños de empresa? Solución Ho: La Estructura de capital es similar en los distintos tipos de empresa. específicamente su posición frente a la importación de ciertos bienes manufacturados de piases en vías de desarrollo como los Latinoamericanos.5% 17 28 17 100. P-valor=0.5% 5 15 13 29.0% 100.6% 46. Japón y de la Comunidad Económica Europea (CEE). capital es similar en los distintos tipos de empresa. Si pvalor < 0. un grupo de investigadores de Latinoamérica evaluó en base a encuestas la actitud de los representantes de los países desarrollados respecto al proteccionismo de sus mercados individuales. 182 . EJERCICIOS PROPUESTOS La estructura de 1) Durante la ultima ronda negociaciones del GATT (acuerdo general de tarifas y comercio).0% 100. En nuestro ejemplo p-valor<0. se rechaza la hipótesis nula. no influye el factor.05 la decisión es aceptar la hipótesis nula. juega un papel muy importante en la decisión de las hipótesis. en este caso influye el factor.05 se acepta la hipótesis alterna con un nivel de confianza del 95%. en el caso que p > 0. (Independientes) HI: La Estructura de capital es similar en los distintos tipos de empresa (Dependientes) Estructura de capital Menor Mayor Total Tamaño de activos de la firma < $ 500 $500-2000 >$2000 12 13 4 70.8% 33 53.0% Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje . Se interrogo a representantes de EEUU.563 EL p-valor.4% 53. De los 500 tarjeta habientes que fueron reportados por falta de pago en este mes. 50 tenían estudios de bachillerato. Redacte Adecuadamente sus conclusiones. Redacte un informe técnico sobre 2) Un investigador quiere averiguar si hay diferencias significativas en las tasas de rendimiento de valores. y 55% han concluido la instrucción en universidad.5 3) El departamento de tarjetas de crédito bancarias del California Bank sabe que por su larga experiencia.2 2. Use este estudio. 190 tenían cierta preparación universitaria y 160 concluyeron la instrucción en la universidad.1 3.0 3. ¿Se puede concluir 183 .0 2. 15% han terminado dicho nivel escolar. EEUU A favor de la importancia En contra de la 35 65 Japon 76 74 CEE 37 43 importancia En base a los datos ¿puede inferir los investigadores que el GATT ha cumplido su objetivo de liberalizar el comercio y homogeneizar las tendencias comerciales de sus países miembros mas importantes.5 4. 1% . B 6. 25% han tenido ciertos estudios universitarios.1 5. bonos y fondos mutuos.Use 5% . Entidades Financieras A Valores Bonos Fondos mutuos ¿ Influye en la tasa de rendimiento el tipo de inversión y la entidad financiera?.0 3.1 C 2.3 6 4.CLETO DE LA TORRE Numero de representantes por paises. que 5% de los tarjeta habientes han tenido algunos estudios de bachillerato. 100 terminaron tal nivel escolar.9 D 4. Con tal motivo se ha seleccionado muestras aleatorias de inversión y ha registrado las tasas de rendimiento en cuatro entidades financieras. obteniéndose los siguientes resultados: Adquisiciones NE Adquirieron la marca No la adquirieron 60 45 55 50 40 Región NO 55 SE 45 SO 50 Si el nivel de significancia es de 0.ESTADISTICA que la distribución de tarjeta habientes que no han pagado sus cuentas es diferente de la de los demás?. La respuesta de cada persona se registró en una de tres categorías: interés nulo. Los resultados fueron: Nivel de gerencial Preocupación Sin interés Gerencia alta Gerencia media Supervisor Jefe de grupo 15 20 7 28 Algo de interés Gran preocupación 13 19 7 21 12 21 6 31 Utilice el nivel de significancia de 0. ¿Cuál es su conclusión? 6) Se encuestó a varios directores generales de empresas y se les pidió que valoraran la dependencia entre el rendimiento financiero de su empresa y la estrategia de la misma.01 4) Doscientos hombres de diversos niveles de gerenciales. 5) Un administrador de marca está preocupado porque su producto puede estar mal distribuido a lo largo de todo el país. En una encuesta en la que el país fue dividido en 4 regiones geográficas.01 para determinar si existe relación entre el nivel directivo o gerencial y el interés en asuntos ambientales. algo de interés y gran preocupación. seleccionados al azar. fueron entrevistados con respecto a su interés o preocupación acerca de asuntos ambientales. se investigó una muestra aleatoria de 100 consumidores de cada región.05. Aplique el nivel de significancia de 0. siendo los resultados los siguientes: 184 . un experto en estudios sobre el comportamiento de los consumidores . Los datos sobre los 1000 compradores. y a manera de corroboración de los resultados reportados. Se habían puesto paquetes de productos de la misma marca pero conprecios unitarios distintos. Estos se encontraban ubicados en tres áreas distintas de la ciudad. para estudiar si había o no dependencia entre ambas variables Número de empleados Menos de 100 Entre 100 y 500 Más de 500 Con plan de Marketing 13 18 32 Sin plan de Marketing 10 12 6 Utilizando un nivel de significación del 1% realice la prueba correspondiente. 249 MEDIA 494 185 ALTA 201 .CLETO DE LA TORRE Estrategia Rendimiento financiero Bajo Medio 25 52 49 Alto 18 23 61 Baja Media Alta 15 30 23 ¿A qué conclusión llega usted? Utilice un nivel de confianza del 90% para su prueba.uu. clasificados de acuerdo a su clase socioeconómica y al hecho de haber comprado con base en los precios unitarios o no. fueron: BAJA Usó pp. han encontrado que aquellos de nivel soioeconómico bajo no están usando la ventaja que representa el tener exhibido en la etiqueta el precio unitario. medio y alto respectivamente. Sin embargo. En un estudio posterior. un economista observó el proceso de selección de 1000 compradores en tres supermercados. 7) Se clasificó una muestra de agencias inmobiliarias según su número de empleados y por si tenían o no un plan de marketing. y correspondían a clases sociales de nivel bajo. 8) El incluir en las etiquetas de los productos alimenticios el precio unitario del producto tiene por objeto el facilitar a los compradores la elección. Para ello se han seleccionado aleatoriamente 500 PYMES de una región.05? 11) Se ha realizado un estudio sobre la utilización de ciertas fuentes de financiación externas para las pequeñas y medianas empresas (PYMES).uu.10 de que las tres firmas consultoras opinan distinto? 10) En un día dado.05 evedencia que respalde los reportes del experto ? 9) Con el objeto de asesorar correctamente a sus clientes. Las respuestas se presentan en la siguiente tabla: FIRMAS A Acciones Bonos Bonos convertibles 13 31 6 CONSULTORAS B 16 24 10 C 7 35 18 ¿Proporcionan éstos datos evidencia al nivel 0. A cada uno le fué preguntado específicamente cual de los tres tipos de inversión. Las empresas se clasifican según su tamaño en tres categorías (micros. bonos. un banco pidió la opinión de 50 analistas en inversión de cada una de tres firmas consultoras distintas.ESTADISTICA No usó pp. el gerente de un supermercado observó el número de clientes que escogieron cada una de las 6 cajas de pago distintas de la salida. Los resultados fueron: Caja número Frecuencia 1 84 2 110 3 146 4 152 5 61 6 47 ¿Presentan los datos suficiente evidencia de que hay cajas preferidas al nivel 0. Los datos obtenidos son: Si utiliza financiación Micros 115 186 No utiliza financiación 325 . 26 26 4 ¿Muestran los datos al nivel 0. pequeñas y medianas) y según hayan utilizado o no alguna de las fuentes de financiación especificadas en el cuestionario. acciones o bonos convertibles recomendaría. todas miembros de la bolsa . Utilice un nivel de significación del 5%.CLETO DE LA TORRE Pequeñas Medianas 20 15 20 5 ¿Existe alguna relación entre el tamaño de la empresa y el hecho de recurrir o no a las fuentes de financiación indicadas?. 187 . ESTADISTICA CAPITULO X TOMA DE DECISION. Los problemas de decisión que vamos a estudiar se plantean cuando una persona (decisor) tiene que elegir una opción entre un conjunto de posibilidades sabiendo que las consecuencias que acarrea su decisión no dependen solo de la opción que elija. orientada a conseguir un objetivo. que se realiza entre diversas posibilidades de actuación (o alternativas). los elementos que constituyen la estructura de la decisión son: los objetivos de quién decide y las restricciones para conseguirlos. las consecuencias de cada alternativa. Una decisión es una elección consciente y racional. el escenario en el que se toma la decisión y las preferencias de quien decide. Así. Trataremos de estudiar criterios objetivos para tomar una decisión de forma que las consecuencias nos sean favorables. las alternativas posibles y potenciales. 10.1 OBSERVACIONES  Se llama espacio de acciones (Aj) al conjunto de todas las posibles alternativas entre las que el decisor puede elegir. Antes de tomar una decisión deberemos calcular cual será el resultado de escoger una alternativa. 188 . sino también de una serie de factores externos que no controla. En función de las consecuencias previsibles para cada alternativa se tomará la decisión. Criterios basados solo en probabilidades. al conjunto de todos los posibles valores de los factores externos que no controla el decidor.2 PASOS EN LA TEORIA DE DECISIONES. … … … An P1 P1 P1 X 11 X 12 X 22 X 32 X 1n X 2n X 3n X 21 X 31 EK P1 X k1 Xk2 X kn 10. Los pagos X ij de la tabla de pagos son valores que consisten de pérdidas o ganancias que dependen del evento Ei y de la acción Aj. pero determinan el nivel de éxito de una acción determinada..CLETO DE LA TORRE  Se llama espacio de estados o eventos (Ei) de la naturaleza.  El cuarto paso es el proceso de la toma de decisiones. la misma que debe contener la lista de las acciones alternativas.3 TOMA DE DECISIONES. posibles eventos y los pagos. El pago se define como la utilidad neta es decir ventas menos costos. Tablas de pago.  La teoría de decisión consiste en un conjunto de técnicas para elegir la mejor acción.  El segundo paso del planteamiento consiste en identificar los factores externos que no puede controlar el decisor pero que incluyen en las consecuencias.  En un problema de decisión.  En el tercer paso se construye una tabla de pago. para ello existen varios criterios. lo primero que debemos identificar son las opciones entre las que debemos elegir.. Eventos Probabilidades Acciones A1 E1 E2 E3 … A2 . la mismas que se desarrollaran posteriormente. I. 189 . 10. Tabla de pagos. en este paso se asigna probabilidades (pi) a los posibles eventos. Este criterio toma como la mejor acción aquella para la cual el arrepentimiento máximo posible es menor. Criterios basados solo en probabilidades y consecuencias económicas a. a. Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las peores condiciones posibles. II. Consiste en determinar el valor máximo que resulta de cada acción a tomar en la tabla de pagos. Criterio de la pérdida de oportunidad esperada(POE) La mejor acción es aquella que minimiza las perdidas de oportunidad esperada. Consiste en determinar el valor mínimo que resulta de cada acción a tomar en la tabla de pagos. Los cálculos son similares de PE excepto que se usa perdidas de oportunidades en vez de pagos. Ejemplo 1 190 . Criterios Basados solo en las consecuencias económicas. El criterio maximin. corresponde a un pensamiento pesimista. Criterio Maximin. y elegir como la mejor acción aquella cuya resultante es mayor c. Criterio Maximax. El arrepentimiento o pérdida de oportunidad condicional se define como la cantidad de pago perdido al no tomar la acción del pago más alto para cada evento posible. bajo este criterio la mejor acción es aquella que tiene el mayor resultado económico esperado (promedio) b. Criterio del pago esperado (PE) Llamado también Criterio Bayesiano. y elegir como la mejor acción aquella cuya resultante es mayor.ESTADISTICA Este criterio consiste en decidir por el evento que tiene la máxima probabilidad. pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa. b. III. Criterio de pérdida de oportunidad condicional (Arrepentimiento mínimas). 4. 0. Describa todo los posibles eventos y las posibles acciones a tomar. e.1 respectivamente. El elevado margen de utilidad refleja que los productos son perecedores. ii) máximax. Si los valores de probabilidad estimadas para las demandas de 9 a 12 cajas son: 0. 0.CLETO DE LA TORRE Un vendedor al menudeo adquiere cierto producto a 3000 dólares la caja y lo vende en 5000 dólares. E3: Vender 11 cajas. 191 . Construya una tabla de perdidas de oportunidades esperadas y determine la mejor decisión utilizando este criterio. Posibles eventos: E1: Vender 9 cajas. y 0. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del pago esperado (PE) f. puesto que se pierde 500 dólares después de cinco días.2. b. Solución: a. Construya una tabla de ganancias. Determine las mejores decisiones desde el punto de vista de los criterios: i) maximin. Con base en experiencias en productos similares el vendedor confía en que la demanda del producto esta entre 9 y 12 cajas. d. c. a. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del perdida de oportunidad condicional (Criterio de arrepentimiento condicional) g. E2: Vender 10 cajas. Determine las mejores decisiones utilizando el criterio de probabilidad máxima.3. b.1x500=18500. A2: Comprar 10 cajas. 192 . las ganancias (G) para : D = 9 es G = 9x5000-11x3000 . D = 10 es G = 10x5000-11x3000 . D = 10. Demanda de mercado E1: 9 E2 : 10 E3 : 11 E4 : 12 P1 = 0.0x500=20000.2x500=13000. 12 son iguales a: G=9x5000-9x3000-0x500=18000. D = 12 es G = 12x5000-12x3000 . D = 10 es G = 10x5000-12x3000 . 12 es G = 10x5000-10x3000. 10. las ganancias (G) para : D = 9 es G = 9x5000-12x3000 .  Si se compra 11 cajas (C = 11).  Si se compra 10 cajas (C = 10). 11.1x500=16500. A4: Comprar 12 cajas. A3: Comprar 11 cajas.0x500=22000.2 P4 = 0.3 P2 = 0.1 Probabilidades A1 : 9 18000 18000 18000 18000 Comprar A2: 10 14500 20000 20000 20000 A3: 11 11000 16500 22000 22000 A4: 12 7500 13000 18500 24000  Si se compra 9 cajas (C = 9). 11. D = 11 es G = 11x5000-12x3000 .0x500=24000.1x500=14500. D = 11. 12 es G = 11x5000-11x3000. las ganancias (G) para : D = 9 es G = 9x5000-10x3000.4 P3 = 0.  Si se compra 12 cajas (C = 12).ESTADISTICA E4: Vender 12 cajas. Posibles acciones a tomar: A1: Comprar 9 cajas.3x500=7500. las ganancias (G) para las 4 demandas (D) respectivas D=9. Tabla de ganancias.2x500=11000. d. por tanto la mejor acción es comprar 9 cajas. Criterio de pago esperado (PE) Demanda de mercado E1 : 9 E2 : 10 E3 : 11 A1 : 9 18000 18000 18000 Comprar A2: 10 14500 20000 20000 193 A3: 11 11000 16500 22000 A4: 12 7500 13000 18500 . e. por tanto la mejor acción es comprar 12 cajas. la mejor elección es comprar 10 cajas.CLETO DE LA TORRE c. Criterio maximin: Demanda de mercado E1 : 9 E2 : 10 E3 : 11 E4 : 12 Mínimos A1 : 9 18000 18000 18000 18000 18000 Comprar A2: 10 14500 20000 20000 20000 14500 A3: 11 11000 16500 22000 22000 11000 A4: 12 7500 13000 18500 24000 7500 El mayor de estos cuatro valores mínimos es 18000. Criterio de probabilidad máxima. Criterio maximax: Demanda de mercado E1 : 9 E2 : 10 E3 : 11 E4 : 12 Máximos A1 : 9 18000 18000 18000 18000 18000 Comprar A2: 10 14500 20000 20000 20000 20000 A3: 11 11000 16500 22000 22000 22000 A4: 12 7500 13000 18500 24000 24000 El mayor de estos cuatro valores es 24000. En base a este criterio. la acción optima es A2. Si la demanda fuera de 9 unidades (D=9). esto es comprar 10 cajas. g. Tabla de perdidas de oportunidades esperadas (POE) Comprar A1 : 9 0 2000 A2: 10 3500 0 194 A3: 11 7000 3500 A4: 12 11500 7000 Demanda de mercado E1: 9 E2 : 10 . sin embargo si se produce 10 unidades.1x500=14500. lo correcto es producir 9 para tener una ganancia de G = 9x5000-9x3000=18000 no hay pérdida de oportunidad.ESTADISTICA E4 : 12 Pago esperado 18000 18000 20000 18625 22000 17875 24000 15750 Se elige la acción que tiene mayor PE. f. la ganancia es G = 9x5000-10x3000. Criterio de pérdida de oportunidad condicional. comprar 10 cajas. para este caso la pérdida de oportunidades es: 18000-14500=3500 Tabla de pérdida de oportunidad condicional Demanda de mercado E1: 9 A1: 9 18000 – 18000 0 E2 : 10 20000 – 18000 2000 E3 : 11 22000 – 18000 4000 E4 : 12 24000 – 18000 6000 Máximos 6000 4000 A2: 10 Comprar A3: 11 18000 – 11000 7000 20000 – 16500 3500 22000 – 22000 0 24000 – 22000 2000 7000 A4: 12 18000 – 7500 11500 20000 – 13000 7000 22000 – 18500 3500 24000 – 24000 0 11500 18000 – 14500 3500 20000 – 20000 0 22000 – 20000 2000 24000 – 20000 4000 El menor de estos máximos es 4000. cuando la demanda es 9. por el criterio POE. estados futuros.5 Toma de decisión Bayesiana.  El esquema de un árbol de decisión es la siguiente. Nodo de Decisión Alternativas de decisión Nodo de azar Ramas de estado Resultados  Los nodos finales representan todos los posibles resultados. asociados con cada una de las alternativas de decisión 10. la mejor acción es comprar 10 cajas. la toma de decisión 195 .4 ARBOL DE DECISIONES  Es utilizado para estructurar el proceso de Toma de decisiones bajo Incertidumbre. 10. ocurrencias probables. Mientras que los criterios de decisión analizados anteriormente ignoran las probabilidades para los estados naturales respectivos.CLETO DE LA TORRE E3 : 11 E4 : 12 POE (Promedios) 4000 6000 3000 2375 2000 4000 0 2000 3125 3500 0 5500 La menor de estas perdidas de oportunidades esperadas es de 2375.  Variable de decisión: Son las alternativas disponibles  Variable de estado : Estados de la naturaleza. si el mercado es moderado habrá una perdida de $ 30000.4x75000+0. Determine si el inversionista debe realizar o no el deposito.ESTADISTICA bayesina la toma en cuenta. Mi: La retribución si se selecciona esta alternativa y ocurre el estado natural i.4 Mercado es grande Retribución en dólares $ 75000 Invertir en la ciudad A 0. Alternativa Probabilidad de Cada estado natural 0. Solución.6 Mercado es moderado -$ 30000 VME ciudad A=0. Si invierte en la ciudad B y el mercado es grande. EJEMPLO Un inversionista debe decidir si realiza una inversión de $ 50000 en la ciudad A o B para construir un mercado en una área residencial. Retribución esperada=VME= i 1 pi mi Donde: Pi: Probabilidad de que ocurra el estado natural i. la ganancia neta será de $150000.6x(-30000)=$12000 196 . no se sabe si esta área residencial crecerá para convertirse en un mercado grande o moderado. si el mercado es moderado la ganancia será de $50000. Si el inversionista estima una probabilidad de 40% de que el mercado sea grande. Si invierte en la ciudad A y el mercado es grande la ganancia neta se estima en $75000. específicamente se elige la alternativa con la mejor retribución esperada. CLETO DE LA TORRE VME Ciudad B=0. 1. Una tienda de moda tiene la oportunidad de abrir un local en un centro comercial muy conocido y con mucho éxito. ya que son competidores directos. Si los valores de probabilidad estimadas para las demandas de 10 a 14 unidades son: 0.15 y 0. Un vendedor de computadoras adquiere una computadora en 1000 dólares y lo vende en 1800 dólares. si la ausencia es moderada serán de 135000 euros y si es baja esperan unas perdidas de 23000 euros.3.4 Mercado es grande Invertir en la ciudad B $ 150000 0. 0. Alternativamente.25. puede abrir la tienda en un nuevo centro comercial a un coste mucho mas bajo. los beneficios para la tienda instalada en el centro comercial conocido. de forma que si ese nuevo centro tiene gran ausencia calculan que los beneficios anuales serán de 300000 euros. En base a la experiencia el vendedor confía en que la demanda del producto esta entre 10 y 14 unidades en un periodo de seis meses. 0.6 Mercado es moderado $ 50000 Al comparar las retribuciones esperadas se deduce que debe invertir en la ciudad B. 197 . Si la ausencia al nuevo centro es baja. Si abren la tienda en el centro comercial ya establecido. del grado de éxito del nuevo centro. 0. EJERCICIOS.11 respectivamente.19. Describa todo los posibles eventos y las posibles acciones a tomar.6x(50000)=$90000 0. el valor de la computadora se deprecia en seis meses en 600 dólares.4x150000+0. también. a. Utilice por lo menos tres criterios para la toma de decisión 2. los beneficios que calculan dependen. Cada hotel de cierta cadena debe decidir cual de las tres posibles promociones que ofrece la compañía matriz lanzara para la próxima campaña de invierno. calculan unos beneficios de unos 90000 soles. a) Uno de los hoteles de dicha cadena esta situado en una zona en la el 80% de los inviernos son calidos y soleados y nunca son fríos y lluviosos. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del perdida de oportunidad condicional (Criterio de arrepentimiento condicional) g. Determine las mejores decisiones utilizando el criterio de probabilidad máxima. ¿que promoción deberán lanzar?. d. Construya una tabla de ganancias. La promoción playa depende mucho del tiempo. Determine las mejores decisiones desde el punto de vista de los criterios: i) maximin. ¿con que valor asociado? b) Otro hotel esta situado en una zona en la que el 40% de las veces el invierno es frió y lluvioso y el 30% es intermedio. La promoción relax es independiente del tiempo y con ella esperan unos beneficios de unos 55000 soles. ii) máximax. Si es calido y soleado. Al contrario para la promoción ski calculan una perdidas de 6000 soles si el tiempo el calido. unos beneficios de 15000 soles si es intermedio 70000 soles si es frió y lluvioso. c. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del pago esperado (PE) f.ESTADISTICA b. 3. si es frió y lluvioso de 5000 soles y si es intermedio de unos 25000 soles. e. ¿que opción recomendarías para este otro hotel? 198 . Construya una tabla de perdidas de oportunidades esperadas y determine la mejor decisión utilizando este criterio. CLETO DE LA TORRE 199 . Son todas aquellas variables cuyo efecto se desea medir. Diseñar un experimento. NIVEL Es el conjunto de valores que tiene la variable independiente o factor en el experimento. 200 . El diseño de un experimento. en la solución del problema. Muy a menudo se coleccionan datos que pueden tener muy poco o ningún valor. 11.ESTADISTICA CAPITULO XI DISEÑO EXPERIMENTAL El diseño de experimentos es en la actualidad una de las herramientas principales utilizados en la investigación estadística. es entonces. el objetivo que se tiene es estudiar el efecto de un factor sobre una variable respuesta. en algunos casos se les llama tratamiento. la secuencia completa de pasos tomados de antemano para asegurar que los datos apropiados se obtendrán de modo que permitan un análisis objetivo que conduzca a deducciones válidas con respecto al problema establecido.1 CONCEPTOS BASICOS FACTOR. simplemente significa planear un experimento de modo que se reúna la información que sea pertinente al problema bajo investigación. personas y otros recursos que transforman alguna entrada. en una salida que tienen una o más respuestas observadas 11. En un Diseño Experimental se tiene variabilidad inherente a la unidad experimental y otra variabilidad debida a los tratamientos. es decir. es el elemento donde se realiza la medición. ERROR EXPERIMENTAL Es la medida de la variación. existente entre observaciones de las unidades experimentales.2 OBJETIVOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL  Determinar las variables con mayor influencia en la respuesta 201 .CLETO DE LA TORRE UNIDAD EXPERIMENTAL Es la entidad más pequeña a lo que se aplica el tratamiento. Para reducir el error experimental se siguen algunos pasos:    Repetir el experimento Adicionar más tratamientos Introducir variables o bloques El proceso o sistema bajo estudio puede representarse por medio del modelo: Podemos pensar que el proceso es una combinación de maquinarias. cuando el material experimental es homogéneo Los resultados del experimento se pueden agrupar de la siguiente forma: factor variedad yij A Y11 B Y22 B Y23 A Y14 C Y31 A Y12 C Y33 D Y44 B Y21 D Y42 A Y13 C Y34 D Y41 C Y32 D Y43 B Y24 A niveles B C D Donde ( yij ) es el resultado de la medición del i-ésimo tratamiento en la j-ésima repetición. 202 .3 DISEÑO UNIFACTORIAL (Diseño completamente aleatorio)  Es el Diseño Experimental más simple.  En este Diseño los tratamientos (niveles) se distribuyen al azar en todas las unidades experimentales.ESTADISTICA  Determinar el mejor valor de las variables que influyen en la respuesta de manera que:  La respuesta se aproxime al valor deseado  La variabilidad de la respuesta sea pequeña  Se minimiza el efecto de las variables incontrolables 11. Este diseño es muy útil cuando las unidades experimentales (homogeneidad) VENTAJAS Y DESVENTAJAS  VENTAJAS  Este Diseño es fácil de planear y es flexible en cuanto al número de repeticiones y unidades experimentales del tratamiento tienen variabilidad uniformemente repartidos  DESVENTAJAS  Solo es aplicable. Y2. j 1 a Yij Yi. 2 s1. Media total an En esta parte desarrollaremos el Análisis de Varianza para el modelo de Efectos fijos del Diseño Completamente al Azar. (DCA). 2 s2.. j 1 Yij . Yij . Y. 2 s.  Yan 2  sa.. Total del i-ésimo tratamiento n Yi .. Total i 1 j 1 Y. Y. Y1. Donde: n Yi.. ..  si2.  Yi . . Y2.4 ANALISIS DE VARIANZA Es la técnica mediante el cual se mide los efectos de los tratamientos puesto que descompone la Varianza Total en diferentes fuentes de variabilidad definida por el 203 . Media del i-ésimo tratamiento n a n Y. 11..  Yi. i 1 Yi . Y.  Ya .CLETO DE LA TORRE En resumen: Tratam 1 Y11 Y12  Y1 j  Y1n 2 Y21 Y22  Y2 j  Y2 n      i Yi1 Yi 2 Yij Yin  a     Ya1 Ya 2  Yaj  Yan TOTAL TOTALES Medias Varianzas Y1. R. para algún par (i. Para el cual se siguen los siguientes pasos: H0 : 1 2  a H1: SCT i j .a n 1 gl 1 f(1 R. 2 Por otra parte el cociente de 2 variables de Fisher se distribuye mediante la distribución Fc SCA a 1 SCE a(n 1) f a 1.ESTADISTICA modelo..N an SCA i 1 yi2. a 2 a n yij i 1 j 1 y.A..2 N N SCE siguiente forma: SCT SCA Los cuadrados medios son los estimadores de las varianzas y son obtenidos de la CMA SCA a 1 CME SCE a(n 1) V ( ij ) 2 ó varianza del error. H0 204 . ni y.2 N an . H0 R.j) La fórmula asumida para calcular la suma de los cuadrados es la siguiente: a n yij i 1 j 1 y.. 5 DISEÑO EXPERIMENTAL DE DOS FACTORES El análisis de la varianza de dos factores esta formado como su nombre indica por dos factores que a su vez tienen la misma importancia en este tipo de análisis existen “a” niveles del factor A y “b” niveles de factor B. Fuentes de Varianza Tratamiento a-1 Error Total a(n-1) an-1 SCA SCE STT CMA CME CMA CME g. el modelo del análisis univariado de la varianza de dos factores se denomina sin replica.CLETO DE LA TORRE Análisis de la varianza.l SC CM FCAL 205 . Este tipo de análisis se determinan según el numero de observaciones.l SC CM FCAL Conclusiones:  Si Fc  Si Fc F0  Se rechaza H0 F0  Se acepta H0 11. de donde se puede afirmar que cada factor A contiene los elementos del factor B el cual disminuye el error experimental. TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA Fuentes de Varianza Factor A a-1 SCA CMA CMA CME g. En este tipo de análisis el control local (unidad experimental) por el factor A l cual esta constituido por todo los del factor B o variantes repetidas una sola vez siendo el factor A una repetición con la condición de que los del factor B están dentro del factor A . si cada unidad experimental tiene una observación. en este caso no existe interacción entre los dos factores. a b j 1 SCAB i 1 Y 2 ij.... En estadística. es medir el efecto de una 206 . an abn .. j. Y 2 ... abn SCA SCB SCE = SCT-(SCA+SCB+SCAB) El cuadrado medio. abn .ESTADISTICA Factor B Interacción AB Error Total b-1 (a-1)(b-1) SCB SCAB CMB CMAB CMB CME CMAB CME ab(n-1) abn-1 SCE CME Donde: a b n SCT i 1 j 1 k 1 Y n 2 ijk Y 2 . Y 2 . Y 2 . bn abn . a SCA i 1 Y 2 i . la idea de una interacción. b SCB j 1 Y 2 ... se obtiene: Para el factor A Para el factor B Para la interacción AB Para el error : CMA : CMB : CMAB : CME SCA a 1 SCB b 1 SCAB (a 1)(b 1) SCAB ab(n 1) INTERACCIÓN.. Se desea evaluar la efectividad de tres estrategias de marketing A.9 .6 12.5 C 16.6 14.5 15. B y C en las ventas. De la gráfica anterior se concluye que geométricamente existe interacción cuando las líneas no son paralelas. 1.7 26.8 207 Estrategia C 37 30.2 6.CLETO DE LA TORRE variable (factor). cuando las líneas son paralelas.4 26.11 13.6 26.6 26.10 13.6 12. APLICACIONES.8 26.1 7. A 35 30.8 37. Figura: Interacción de factores.7 Estrategia B 36 30. en cambio no existe interacción.9 13.3 13. En el cuadro siguiente se observa las ventas semanales de un producto de miles de unidades.10 37.9 13. manteniendo constante los demás.8 37.8 17.1 ¿Se puede concluir que el efecto de las tres estrategias es diferente? Solución La hipótesis estadística esta dado por: H0 : 1 2  a H1: i j Estrategia A 35 30.9 37.7 49 B 22.4 18.. =14.2 N 35 2 30.87 2194... los resultados se mide en términos del incremento en las ventas. Se acepta HO..00220775 g.. 2.ESTADISTICA 49 Totales N Media 50 84 6 51 86 6 y1.68.87 Análisis de la varianza.6666667 y.7059 SCE SCT SCA 2193. Fuentes de Varianza Tratamiento 2 Error Total 15 17 0.7059 2193. 88 6 y. 258 N=18 y1...l SC CM FC 0 fc f De la tabla FO=3. y3. ni y.57 SCA i 1 842 862 882 6 2582 18 0.3333333 y3. La información obtenida del estudio se muestra en el cuadro siguiente. =14 y2.Un investigador analiza el efecto de 5 tipos de publicidad en cinco áreas geográficas.6 2 26.35295 146. =14.57 0. por lo tanto las tres estrategias de ventas presenta similar efecto. y2. 208 ..2 N y. =14.3333333 a n SCT i 1 j 1 a yij yi.8 2 . 51 2 2582 18 2194..258 0. 209 .CLETO DE LA TORRE Area geográfica Publicidad R1 E1 R1 E1 R2 E1 R2 E1 R3 E1 R3 E1 R4 E1 R4 E1 R5 E1 R5 E1 R1 E2 R1 E2 R2 E2 R2 E2 R3 E2 R3 E2 R4 E2 R4 E2 R5 E2 R5 E2 R1 E3 R1 E3 R2 E3 R2 E3 R3 E3 Incremento en las ventas 85 45 100 20 85 95 73 87 250 170 110 30 100 20 90 80 50 110 120 250 60 0 40 45 50 Incremento Tiempo Tratamiento en las ventas 100 200 250 260 340 0 70 30 100 100 180 210 200 350 420 30 60 110 100 170 150 10 20 40 20 R3 E3 R4 E3 R4 E3 R5 E3 R5 E3 R1 E4 R1 E4 R2 E4 R2 E4 R3 E4 R3 E4 R4 E4 R4 E4 R5 E4 R5 E4 R1 E5 R1 E5 R2 E5 R2 E5 R3 E5 R3 E5 R4 E5 R4 E5 R5 E5 R5 E5 Con 95% cual es su conclusión de este estudio. 200 170 140 110 80 50 E1 E2 E3 P ublic idad E4 E5 De este grafico se observa que el tipo de publicidad.5 450339.ESTADISTICA Análisis de Varianza para Ventas Fuente de variación Factores A:Publicidad B:Region INTERACCION AB Error TOTAL 170472. Por otra parte los tipos de publicidad E1 y E2 tienen similar efecto y el tipo de publicidad E5 tiene el menor efecto en las ventas. 210 V entas .05) es decir que en determinados regiones las ventas son mayores que los otros.40 0.5 45524.0003 0. Para determinar que publicidad tiene mejor efecto en las ventas se aplica las pruebas de comparación de múltiples que se ilustra gráficamente.5 7. (P-valor < 0. 43110. 16 25 49 10654.5 1724.0000 54658. es decir algunos de estos tipos de publicidad genera mayor incremento en las ventas.05).18 0.0000 Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Fc Valor-P Del análisis de varianza que se muestra en el cuadro anterior se puede concluir con 95% de confianza que el factor publicidad influyen en el incremento de las ventas. 4 4 13664. También del mismo cuadro se puede desprender que el factor región influye (p-valor < 0.0 182098.92 26.42 6. E4 estadísticamente tienen mejor efecto en las ventas en comparación con los otros tipos de publicidad. V entas 400 Region R1 R2 R3 R4 R5 300 V entas 200 100 0 E1 E2 E3 P ublicidad E4 E5 El tipo de publicidad E5. 250 200 150 100 50 0 R1 R2 R3 Region R4 R5 Las ventas en las región 5. EJERCICIOS 211 . son mayores en promedio que las otras regiones.CLETO DE LA TORRE En el grafico siguiente se observa el análisis del incremento en las ventas por Región. en cambio las ventas en las regiones 3 y 4 son similares y menor a las ventas de la región 5. no presenta efecto en las regiones 4 y 5. En el cuadro siguiente se muestra los resultados del incremento de ventas en dólares. La tabla siguiente muestra el posicionamiento de un producto de 4 marcas (A. Contrastar a un nivel de confianza de 95%. Posicionamiento (%) 212 .ESTADISTICA 1. Región A I 109 110 II 110 112 III 116 114 B 110 115 110 111 119 115 Tipos de oferta C 108 109 111 109 124 119 D 110 108 114 112 120 117 Con 95% de confianza ¿Cual es su conclusión respecto del efecto de la oferta? 2. Una empresa. En el cuadro siguiente se muestra la reducción del número de cheques sin fondos que recibe esta empresa. El propietario de una empresa ha probado tres políticas diferentes de cambio de cheques para reducir el gran número de cheques sin fondo que recibia su empresa. B. en tres regiones del país. usando un nivel de significación de 5% 3. con el propósito de mejorar sus ventas diseña 4 tipos de oferta. C y D) en una región del país. El desea saber cual política minimiza el problema. Política A B C 48 42 68 54 59 71 78 62 87 83 80 98 96 92 10 Pruebe si hay diferencia entre los tres tipos de política. la hipótesis nula de que no existe diferencia en el posicionamiento en le mercado de las 4 marcas. 8 5.8 9. y el apalancamiento financiero se refiere al porcentaje de activos financiados por deuda.5 11.9 6.6 6 6.8 4. es decir que.2 4 Medio 7 4. Los siguientes datos muestran las tasas de rendimiento utilizando 3 diferentes niveles de apalancamiento financiero y un nivel de control (deuda cero) de empresas seleccionadas al azar: Tasas de Rendimiento Control 4..4 1. 213 .8 3.CLETO DE LA TORRE Marca A Marca B Marca C Marca D 10 4 15 7 37 35 5 11 12 32 10 1 31 19 12 8 11 33 6 2 9 18 6 5 23 8 15 3 4.2 1.8 Alto 7.2 11 En función de la información cual su conclusión de este estudio.6 2 6.La estructura financiera de una firma se refiere a la forma en que se dividen los activos de la empresa por debe y haber.6 Bajo 2 7. los accionistas pueden recibir rendimientos más altos con la misma cantidad de inversión gracias a su uso. En un estudio financiero se afirma que el apalancamiento financiero puede utilizarse para aumentar la tasa de rendimiento sobre la inversión. 49985 0.27637 0.49989 0.47725 0.26424 0.49752 0.03586 0.49987 0.49061 0.49997 0.02 0.21566 0.44408 0.35083 0.4999 0.49585 0.41149 0.41924 0.29103 0.49305 0.14431 0.49158 0.49001 0.49991 0.49994 0.48382 0.49506 0.37076 0.09095 0.18439 0.48679 0.4732 0.49988 0.29955 0.08 0.46926 0.49952 0.17364 0.03983 0.4884 0.49343 0.475 0.33147 0.24857 0.49996 0.49245 0.46712 0.48983 0.49957 0.25804 0.49983 0.39251 0.39796 0.49948 0.15542 0.42073 0.49825 0.3665 0.47932 0.49942 0.49992 0.48257 0.16276 0.49224 0.49993 0.31327 0.05962 0.49819 0.49992 0.9 0 0 0.29373 0.46562 0.07926 0.3051 0.49865 0.7 2.26115 0.43056 0.2224 0.48809 0.4976 0.19497 0.49744 0.23565 0.49202 0.3 1.46784 0.19847 0.31859 0.33646 0.49996 0.49534 0.49893 0.49993 0.42507 0.2673 0.49995 0.49987 0.4911 0.47193 0.47982 0.4032 0.33891 0.38298 0.49994 0.42647 0.09 0.6 1.49978 0.46856 0.49996 214 .41621 0.44062 0.49929 0.47062 0.48645 0.49955 0.499 0.07124 0.49795 0.20884 0.49944 0.03 0.4 3.49975 0.45352 0.19146 0.49934 0.3 0.31594 0.49897 0.45728 0.45994 0.49965 0.09871 0.1664 0.49813 0.49997 0.49981 0.01595 0.49961 0.2 1.48778 0.05 0.49968 0.46079 0.4996 0.43189 0.49621 0.49974 0.49774 0.6 0.48214 0.3 3.49889 0.34375 0.4452 0.36214 0.46407 0.485 0.49988 0.11409 0.43574 0.49878 0.49728 0.38493 0.48956 0.47831 0.45154 0.48299 0.47778 0.32894 0.32124 0.45818 0.45053 0.23891 0.49996 0.37286 0.17724 0.43822 0.17003 0.49918 0.11781 0.3 2.46485 0.49995 0.08617 0.4 1.42364 0.379 0.49958 0.49836 0.49931 0.1293 0.37698 0.8 2.4986 0.39435 0.ESTADISTICA Tabla Normal Estándar Z 0 0.46246 0.45907 0.49938 0.49396 0.08706 0.49597 0.48169 0.49982 0.49995 0.34134 0.46164 0.49991 0.4998 0.49953 0.4495 0.49767 0.49286 0.49994 0.9 1 1.49477 0.6 3.15173 0.35769 0.24215 0.28524 0.36864 0.1 2.4918 0.4049 0.07534 0.4994 0.31057 0.49711 0.47882 0.32381 0.49413 0.9 2 2.48713 0.1591 0.49874 0.40147 0.12552 0.49903 0.11026 0.6 2.49921 0.14058 0.7 0.49461 0.49886 0.49972 0.32639 0.04 0.9 3 3.40824 0.49978 0.49993 0.46637 0.8 0.7 1.49956 0.38877 0.34849 0.28814 0.49976 0.49969 0.49781 0.47128 0.49992 0.00798 0.49996 0.49983 0.44179 0.2 2.04395 0.48928 0.49788 0.4 0.49913 0.49674 0.1 1.49653 0.5 0.48899 0.49964 0.2549 0.49801 0.4861 0.49924 0.49807 0.4463 0.49664 0.21226 0.49962 0.07 0.44845 0.49573 0.33398 0.06356 0.43319 0.4222 0.06 0.13683 0.40658 0.47381 0.27935 0.02392 0.49266 0.49702 0.49979 0.4983 0.4887 0.49841 0.2 3.48745 0.18082 0.20194 0.01994 0.49973 0.47257 0.2823 0.48341 0.30234 0.41466 0.49361 0.4972 0.49994 0.49846 0.27337 0.4997 0.10257 0.49986 0.49926 0.43448 0.49736 0.34614 0.4991 0.49981 0.7 3.49643 0.39065 0.03188 0.49683 0.39973 0.04776 0.39616 0.49869 0.49989 0.1 3.381 0.48537 0.5 3.46327 0.47558 0.49134 0.4943 0.49946 0.49995 0.45543 0.41774 0.2 0.23237 0.35993 0.8 1.37923 0.49609 0.35543 0.49977 0.4803 0.01197 0.12172 0.49971 0.48461 0.49984 0.40988 0.49036 0.48422 0.42922 0.0279 0.5 2.44295 0.5 1.49547 0.49693 0.09483 0.41308 0.1 0.49995 0.42785 0.27035 0.46995 0.4952 0.4999 0.36433 0.0675 0.14803 0.43943 0.49379 0.45637 0.49936 0.8 3.4999 0.4956 0.2054 0.49916 0.13307 0.43699 0.47441 0.48574 0.49906 0.49851 0.49856 0.18793 0.49996 0.05172 0.21904 0.45254 0.25175 0.49985 0.44738 0.49632 0.49992 0.35314 0.48077 0.10642 0.05567 0.38686 0.4 2.49491 0.49086 0.4995 0.49986 0.49446 0.49882 0.01 0.22907 0.22575 0.29389 0.49324 0.4767 0.48124 0.47615 0.00399 0.24537 0.45449 0.30785 0. 833 2.895 2.528 2.859 0.689 0.685 0.674 0.75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 1 0.310 1.397 1.886 1.012 1.978 0.848 0.684 0.423 2.617 1.355 1.687 0.500 2.326 2.686 0.679 0.858 0.681 3.250 1.807 1.717 2.750 1.539 2.190 1.721 2.729 2.064 1.703 0.363 1.941 0.845 1.311 1.552 2.706 0.856 0.000 2.797 1.771 2.323 1.865 0.060 1.703 2.321 1.782 2.650 3.873 0.879 0.567 2.050 1.372 1.681 0.684 2.707 1.306 2.333 1.746 2.697 0.353 3.119 1.878 1.906 0.080 2.816 0.861 0.683 0.314 12.965 9.706 31.045 2.841 2.060 2.658 1.325 1.771 1.845 0.201 2.855 0.390 2.015 2.688 0.476 1.576 215 .686 0.995 6.365 4.571 3.160 2.685 0.058 1.074 1.282 0.695 0.296 1.9 3.854 0.330 1.645 1.064 2.734 2.093 2.858 0.315 1.861 1.303 1.479 2.727 0.776 3.056 2.671 2.779 1.143 3.156 1.677 0.057 1.812 2.228 2.508 2.862 0.883 0.7 0.583 2.316 1.660 1.341 1.860 0.415 1.078 1.925 2.69 0.602 2.093 1.920 0.868 0.855 0.313 1.046 1.898 1.169 1.624 2.462 2.303 6.819 1.048 2.876 0.350 1.052 2.896 3.854 0.182 4.345 1.069 2.473 2.701 2.740 2.747 4.101 2.079 1.086 2.440 1.083 1.99 0.684 0.518 2.857 0.061 1.055 1.718 0.95 0.055 1.CLETO DE LA TORRE TABLA DE LA DISTRIBUCION T-STUDENT gl p x c 1 1 0.071 1.889 0.831 1.120 2.684 0.467 2.365 2.765 0.337 1.963 1.318 1.763 1.851 0.80 1.036 0.356 1.376 1.447 3.683 0.866 0.063 1.863 0.533 1.457 2.85 1.262 2.067 1.921 1.132 2.055 1.041 1.314 1.145 2.896 0.059 1.975 0.492 2.069 1.358 2.741 0.289 1.106 1.499 1.704 1.708 2.764 3.088 1.980 2.319 1.657 2.711 2.856 0.920 4.694 0.870 0.386 1.638 1.796 2.998 3.021 2.110 2.076 1.383 1.100 1.328 1.711 0.947 1.977 1.032 1.842 0.108 1.943 2.683 0.250 1.756 1.706 2.131 2.541 5.485 2.061 0.753 2.725 2.056 1.066 1.604 2.691 0.697 2.058 1.821 63.692 0.718 3.134 1.761 2.699 2.688 0.179 2.787 1.074 2.714 2.042 2.960 2.860 2.821 3. 18 95.63 8.65 2.34 24.84 14.27 66.92 0.3 128.7 35.025 0 0.02 20.73 58.6 5.4 45.14 5.29 41.24 1.14 31.53 19.98 18.55 30.1 123.28 8.07 3.71 1.78 9.06 18.3 28 31.06 96.16 38.69 2.49 4.9 64.26 46.57 5.09 13.12 16.35 0.36 36.79 20.98 44.59 28.2 25.57 5.995 7.57 24.89 10.06 0.07 90.4 0.28 18.95 4.73 3.25 72.73 20.22 101.53 91.9 11.93 53.62 27.43 8.14 30.36 23.67 9.69 15.5 15 18.81 16.01 5.01 7.4 40.4 5.8 55.45 1.64 42.52 0.09 10.7 24.67 33.37 32.47 41.4 106.18 2.34 3.28 15.8 74.01 33.25 0.58 15.79 64.75 91.55 19.9 29.2 59.02 62.2 28.61 6.63 9.93 40.41 10.82 18.92 23.95 23.76 52.14 12.81 18.06 1.2 55.3 27.49 6.13 73.91 20.21 0.51 66.99 23.65 43.29 8.28 21.51 30.54 24.5 22.3 118.98 14.41 29.13 67.61 2.49 11.5 53.3 0.47 10.4 43.04 14.46 82.3 134.58 1.24 14.2 34.3 89.09 2.6 37.03 24.01 0 0.35 11.77 19.25 3.68 21.98 53.64 14.83 3.36 8.56 3.85 11.3 0.78 47.62 46.53 96.65 69.34 13.47 26.25 41.61 18.01 0 0.58 68.57 38.04 50.3 216 .22 4.2 20.05 3.2 59.09 16.55 0.65 2.31 17.85 34.8 1.01 0.15 19.49 22.06 46.47 21.72 14.33 59.91 9.1 0.2 63.89 57.75 1 0.56 8.64 55.49 28.36 40.3 122.39 65.48 0.02 1.26 59.97 74.87 2.21 24.23 5.57 7.03 12.41 0.28 10.31 11.09 21.1 0.24 1.19 18.62 30.6 48.82 4.63 15.59 25.25 7.89 6.34 65.61 22.69 42.76 61.77 25.86 16.66 4.68 25 26.64 5.64 9.21 7.07 12.11 4.82 90.01 1.78 17.56 9.58 32 33.17 79.48 21.88 41.34 36.82 31.35 9.12 27.76 38.58 40 41.94 4.6 113 0.65 46.15 82.28 68.07 0.31 20.46 50.82 0.34 13.85 0.8 17.94 23.91 7.31 10.6 24.99 7.9 ) 0.74 26.54 10.13 42 46.19 37.2 10.76 23.15 12 12.44 14.99 7.86 13.75 18.88 107.76 28.13 12.6 112.24 10.03 22.5 39.84 32.97 85.45 51.28 37.55 20.67 60.7 33.34 1.51 63.1 104.59 12.08 13.16 2.45 46.62 61.08 39.17 2.71 1.13 6.1 130 0.41 32.05 33.05 60.8 106.87 19.53 32.ESTADISTICA TABLA DE LA DISTRIBUCION CHI CUADRADO ( p x c gl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0.4 13.22 27.41 71.32 36.4 42.69 69.99 90.41 34.81 36.9 0.02 0.17 27.02 100.26 6.8 65.42 77.57 4.98 11.01 17.84 7.23 5.59 5.94 15.04 5.96 8.56 46.96 76.17 36.04 26.5 57.74 56.6 0.07 15.975 5.45 16.95 21.6 61.61 34.35 79.43 29.12 10.18 6.19 81.88 10.4 112.31 19.06 22.65 22.95 3.07 3.73 101.86 51.15 1.3 9.57 4.34 63.99 1.2 51.27 1.42 37.3 116.24 10.29 88.92 35.32 32.11 26.31 79.75 69.85 30.76 51.59 10.79 8.76 97.95 98.58 102.39 64.8 34.4 49.81 57.53 12.31 50.11 0.18 11.9 2.78 73.15 118.81 32.64 2.68 0.78 38.36 0.87 30.6 12.81 18.87 5.94 57.3 29.26 7.05 0.75 3.07 4.64 12.81 6.66 67.48 36.6 3.19 26.48 44.74 56.38 6.41 95.29 77.26 8.68 36.73 2.36 14.36 27.21 0.26 9.68 15.49 85.77 73.88 78.3 28.73 16.69 21.38 83.69 29.2 124.15 61.3 47.83 2.38 94.42 100.14 31.4 71.04 7.7 3.9 9.84 5.99 17.72 37.35 37.2 0.9 25.03 8.29 76.02 0.17 4.44 13.47 20.64 3.9 0.65 12.52 113.81 8.67 23.3 7.83 1.44 32.69 12.81 21.47 11.85 17.89 16.09 85.02 7.66 5.82 4.05 0 0.92 18.8 44.63 6.19 31.86 11.27 35.59 14.2 110.4 79.55 69.05 106.55 9.48 20.17 68.4 118.58 6.18 45.22 0.5 13.71 4.5 41.99 7.67 92.07 25.19 47.17 35.5 73.03 13.85 14.33 3.57 87.7 6.71 85.43 28.56 83.42 7.08 84.2 2.81 9.96 43.26 6.06 51.23 8.1 107.77 49.83 14.51 16.02 13.8 11.99 27.21 11.58 13.24 13.41 7.38 40.21 73.66 16.39 10.36 77.44 16.63 9.88 55.8 29.31 23.73 26.27 52.16 63.38 9.89 57.99 6.85 15.87 1. NO Distribución normal NO Prueba de Mann Whintney para comparación de poblaciones SI Prueba Z para la media de la diferencia en datos apareados SI n≥30 Prueba T para la media de la diferencia en datos apareados Prueba del signo o de Wilcoxon para datos apareados NODistribución normal NO 3 o más grupos i n d e p e n d i e n t e s SI ANOVA – comparación de tratamientos Distribución normal SI con varianzas semejantes NO SI Prueba de Krusskal – Wallis – comparación de tratamientos. Distribución normal con varianzas NO semejantes NO ANOVA en bloque . 217 .comparación de tratamientos.CLETO DE LA TORRE PRUEBAS DE HIPÓTESIS SI 1 grupo n≥20 NO Distribución Normal NO SI Prueba T para la media Prueba Z para la media Prueba del signo para la mediana SI Prueba Z para la diferencia de medias SI n≥30 SI Número de Grupos 2 grupos i n d e p e n d i e n t e s NO Varianzas iguales SI Prueba T para la diferencia de medias Prueba T para la diferencia de medias con ajuste de NO grados de libertad. Prueba de Friedman .comparación de tratamientos. Cuadrado (reunir categorías) Para comparación de proporciones 3 o más grupos i n d e p e n d i e n t e s SI Frecuencias esperadas pequeñas No Prueba Ji-Cuadrado para comparación de proporciones NO NO Prueba Q de Cockran Comparación de proporciones 218 .ESTADISTICA PRUEBAS DE HIPÓTESIS SI Prueba Z para la proporción poblacional 1 grupo Muestra grande nP y n(1-P) > 5 NO SI Prueba Binomial para la proporción poblacional SI Prueba exacta de Fisher – comparación de proporciones 2 grupos Número de Grupos i n d e p e n d i e n t e s SI Frecuencias esperadas pequeñas No Prueba Z o Ji-Cuadrado para comparación de proporciones NO NO Prueba de McNeman Comparación de proporciones SI Prueba Ji . SI -Prueba de chi-cuadrado (Coeficiente de contingencia) -Riesgos relativos( Estudios Cohorte). -Odds Ratio( Estudios caso-control) -Coeficiente de correlación Nominal Cada variable tiene dos categorías (Tabla 2x2) NO Prueba de chi-cuadrado para independencia de variables (Coeficiente de contingencia) 219 .CLETO DE LA TORRE PRUEBAS DE HIPÓTESIS Coeficiente de correlación lineal de pearson Continua Ordinal y/o cardinal Coeficiente de correlación por rangos de Spearman Escala de medición para ambas variables. Tabla de Frecuencias. percentiles. Variables individuales Cuantitativa (Intervalo o razón) DESCRIPTIVA -Distribución de frecuencias por intervalos. de Spearman. -Pruebas de Kendall. desviación . -Pruebas de chicuadrado: independencia -Grafico de barras de doble entrada. Tipo de Descripción Variables individuales Tipo de variable Nivel de investigación Método o Técnica Estadística.Dep: Cualitativa EXPLICATIVA -Tablas de contingencia. Ind: Cualitativa con V. 220 . Representados por grafico de barras. Asociación entre variables V. -Medias. proporciones. . -Calculo de riesgos. análisis de compontes principales. -Intervalo de confianza y prueba de hipótesis de la media. varianza. o porcentajes. -Análisis factorial. Cualitativa (Nominal y Ordinal) DESCRIPTIVA Escala de actitud de Likert) Intervalo de confianza y prueba de hipótesis de la proporción.ESTADISTICA MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE ACUERDO AL TIPO DE VARIABLES y NIVEL DE INVESTIGACION. sectores o pictogramas. desviaciones. Ind: : Cualitativa(s) (Grupos) con V. -Tablas con clasificación categórica. 221 . etc. con promedios. .Dep: Cuantitativa RELACIONAL. CORRELACIONAL -Grafico de dispersión. cualitativa(s) Con V. -Análisis Discriminante.Dep: Cuantitativa(Rpta) EXPERIMENTAL.Dep: Cuantitativa (Rpta) COMPARATIVA. -prueba t-student Asociación entre variables V. Ind: : Cuantitativa(s) con V.Análisis de regresión.CLETO DE LA TORRE -Análisis de correspondencias Asociación entre variables V.Dep: Cualitativa EXPLICATIVA -Regresión Logística. Asociación entre variables V. Ind: : Cuantitativa(s). CUASI EXPERIMENTAL Diseño experimental (ANOVA) -Prueba de comparación de medias. Ind: : Cualitativa(s) (factores) con V. Asociación entre variables V. -coeficiente de correlación de pearson. Prueba de U Mann Whitney( dos o más poblaciones) -Prueba de Kruskal Wallis. Variables individuales Mas de una variables Intercalar o de razón. -Prueba de chi-cuadrado para varias proporciones en una sola población. -Prueba de McNemar. -Prueba de Mantel Haenzel Variables individuales o más de una variable Ordinales -Prueba de signos o binomial para la media poblacional. -Prueba de hipotes e intervalos de confianza para diferencia de medias. -Prueba de varianzas Método o Técnica Estadística. -Intervalos de confianza para proporciones. -Pruebas de wilcoxon para rangos. -intervalos de confianza. Tipo de Descripción Variables individuales Escala de la variable Nominal -Prueba Z para una proporción poblacional.ESTADISTICA PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ACUERDO A LA ESCALA DE MEDICIÓN DE LA VARIABLE. Intercalar o de razón -Prueba de t para una media poblacional. 222 . -Prueba de Friedman.