estadistica para admin economia Richard Levin.pdf

ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA Séptima edición Richard I. Levin The University of North Carolina at Chapel Hill David S. Rubin The University of North Carolina at Chapel Hill CON LA COLABORACIÓN Y REVISIÓN TÉCNICA DE Miguel Balderas Lozada Juan Carlos del Valle Sotelo Raúl Gómez Castillo Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México TRADUCCIÓN Marcia González Osuna Maestría en Ingeniería Industrial University of Arizona REVISIÓN TÉCNICA Roberto H. Valadez Soto Mario Alberto Naranjo González Departamento de Métodos Cuantitativos Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas Universidad de Guadalajara Jesús Rodríguez Franco Departamento de Matemáticas Facultad de Contaduría y Administración Universidad Nacional Autómoma de México Alberto I. Pierdant Rodríguez División de Ciencias Sociales y Humanidades Área de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco Contenido Prefacio xiii Capítulo 1 Introducción 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1 ¿Por qué hay que tomar este curso y quién utiliza la estadística? Historia 3 Subdivisiones de la estadística 4 Un enfoque simple y fácil de entender 4 Características que facilitan el aprendizaje y cómo usarlas 5 2 Capítulo 2 Agrupación y presentación de datos para expresar significados: Tablas y gráficas 7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 ¿Cómo podemos ordenar los datos? 8 Ejemplos de datos sin procesar 11 Ordenamiento de datos en arreglos de datos y distribuciones de frecuencias 12 Construcción de una distribución de frecuencias 20 Representación gráfica de distribuciones de frecuencias 29 Estadística en el trabajo 42 Ejercicio de base de datos computacional 43 Términos introducidos en el capítulo 2 45 Ecuaciones introducidas en el capítulo 2 46 Ejercicios de repaso 46 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 57 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Estadística sumaria 58 Una medida de tendencia central: la media aritmética 60 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 69 Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica 74 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 77 Una medida final de tendencia central: la moda 84 v 7 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad 128 Terminología básica en probabilidad 129 Tres tipos de probabilidad 131 Reglas de probabilidad 137 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 143 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 151 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 158 Estadística en el trabajo 165 Ejercicio de base de datos computacional 166 Términos introducidos en el capítulo 4 168 Ecuaciones introducidas en el capítulo 4 169 Ejercicios de repaso 170 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad 177 5.5 4.3 4.3 5.2 4.6 4.3.11 Dispersión: por qué es importante 89 Rangos: medidas de dispersión útiles 91 Dispersión: medidas de desviación promedio 96 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 107 Análisis exploratorio de datos (AED) 112 Estadística en el trabajo 116 Ejercicio de base de datos computacional 117 Términos introducidos en el capítulo 3 118 Ecuaciones introducidas en el capítulo 3 119 Ejercicios de repaso 121 Capítulo 4 Probabilidad I: Ideas introductorias 127 4.8 3.6 5.7 3.1 5.10 3.9 3.2 5.4 5.7 vi Contenido ¿Qué es una distribución de probabilidad? 178 Variables aleatorias 181 Uso del valor esperado en la toma de decisiones 187 La distribución binomial 191 La distribución de Poisson 202 La distribución normal: distribución de una variable aleatoria continua Selección de la distribución de probabilidad correcta 222 Estadística en el trabajo 223 Ejercicio de base de datos computacional 224 Términos introducidos en el capítulo 5 225 Ecuaciones introducidas en el capítulo 5 226 Ejercicios de repaso 227 209 .4 4.5 5.1 4. 4 8.6 7.3 6.6 Introducción al muestreo 236 Muestreo aleatorio 238 Diseño de experimentos 244 Introducción a las distribuciones de muestreo 247 Distribuciones de muestreo a detalle 251 Una consideración operacional en el muestreo: la relación entre el tamaño de muestra y el error estándar 261 Estadística en el trabajo 265 Ejercicio de base de datos computacional 266 Términos introducidos en el capítulo 6 267 Ecuaciones introducidas en el capítulo 6 268 Ejercicios de repaso 268 Capítulo 7 Estimación 273 7.2 8.4 6.Capítulo 6 Muestreo y distribuciones de muestreo 235 6.5 Introducción 320 Conceptos básicos en el procedimiento de prueba de hipótesis 321 Prueba de hipótesis 324 Pruebas de hipótesis de medias cuando se conoce la desviación estándar de la población 331 Medición de la potencia de una prueba de hipótesis 338 Contenido vii .2 7.4 7.1 6.1 8.5 6.8 Introducción 274 Estimaciones puntuales 277 Estimaciones de intervalo: conceptos básicos 281 Estimaciones de intervalo e intervalos de confianza 285 Cálculo de estimaciones de intervalo de la media a partir de muestras grandes 288 Cálculo de estimaciones de intervalo de la proporción a partir de muestras grandes 293 Estimaciones de intervalos con la distribución t 297 Determinación del tamaño de muestra en estimación 303 Estadística en el trabajo 309 Ejercicio de base de datos computacional 309 Del libro de texto al mundo real 311 Términos introducidos en el capítulo 7 312 Ecuaciones introducidas en el capítulo 7 313 Ejercicios de repaso 313 Capítulo 8 Prueba de hipótesis: Prueba de una sola muestra 319 8.3 8.5 7.1 7.3 7.7 7.2 6. 7 Prueba de hipótesis para diferencias entre medias y proporciones 360 Pruebas para diferencias entre medias: muestras grandes 362 Pruebas para diferencias entre medias: muestras pequeñas 366 Prueba de diferencias entre medias con muestras dependientes 372 Pruebas para diferencias entre proporciones: muestras grandes 378 Valor P: otra manera de ver las pruebas de hipótesis 386 Uso de computadoras para las pruebas de hipótesis 390 Estadística en el trabajo 392 Ejercicio de base de datos computacional 392 Del libro de texto al mundo real 394 Términos introducidos en el capítulo 9 395 Ecuaciones introducidas en el capítulo 9 395 Ejercicios de repaso 396 Capítulo 10 Calidad y control de la calidad 403 10.7 Prueba de hipótesis para proporciones: muestras grandes 341 Pruebas de hipótesis de medias cuando no se conoce la desviación estándar de la población 347 Estadística en el trabajo 351 Ejercicio de base de datos computacional 351 Del libro de texto al mundo real 352 Términos introducidos en el capítulo 8 353 Ejercicios de repaso 353 Capítulo 9 Prueba de hipótesis: Pruebas de dos muestras 359 9.1 9.2 10.5 10.7 viii Contenido Introducción 404 Control estadístico de procesos 406 Gráficas x: gráficas de control para medias de procesos 407 Gráficas R: gráficas de control para variabilidad de procesos 417 Gráficas p: diagramas de control para atributos 422 Administración con vistas a la calidad total 428 Muestreo de aceptación 433 Estadística en el trabajo 438 Ejercicio de base de datos computacional 438 Del libro de texto al mundo real 440 Términos introducidos en el capítulo 10 441 Ecuaciones introducidas en el capítulo 10 442 Ejercicios de repaso 443 .4 10.3 9.6 10.6 9.5 9.6 8.1 10.3 10.8.4 9.2 9. 5 Inferencias acerca de una varianza de población 484 11.2 13.1 12.3 13.3 12. errores y advertencias 551 Estadística en el trabajo 553 Ejercicio de base de datos computacional 553 Del libro de texto al mundo real 554 Términos introducidos en el capítulo 12 555 Ecuaciones introducidas en el capítulo 12 555 Ejercicios de repaso 557 Capítulo 13 Regresión múltiple y modelado 565 13.4 Análisis de varianza 468 11.5 Análisis de regresión múltiple y correlación 566 Deducción de la ecuación de regresión múltiple 567 La computadora y la regresión múltiple 574 Inferencias sobre parámetros de población 582 Técnicas de modelado 595 Estadística en el trabajo 608 Ejercicio de base de datos computacional 609 Del libro de texto al mundo real 609 Términos introducidos en el capítulo 13 610 Ecuaciones introducidas en el capítulo 13 611 Ejercicios de repaso 612 Contenido ix .3 Ji-cuadrada como prueba de bondad de ajuste: prueba de lo apropiado de una distribución 462 11.4 12.4 13.2 Ji-cuadrada como prueba de independencia 449 11.6 Inferencias acerca de las varianzas de dos poblaciones 489 Estadística en el trabajo 496 Ejercicio de base de datos computacional 496 Del libro de texto al mundo real 498 Términos introducidos en el capítulo 11 498 Ecuaciones introducidas en el capítulo 11 499 Ejercicios de repaso 501 Capítulo 12 Regresión simple y correlación 509 12.2 12.1 13.Capítulo 11 Ji-cuadrada y análisis de varianza 447 11.1 Introducción 448 11.5 Introducción 510 Estimación mediante la recta de regresión 516 Análisis de correlación 535 Inferencias sobre parámetros de población 545 Uso del análisis de regresión y correlación: limitaciones. 6 x Contenido 719 Definición de número índice 720 Índice de agregados no ponderados 723 Índice de agregados ponderados 727 Métodos de promedio de relativos 735 Índices de cantidad y de valor 740 Problemas en la construcción y el uso de números índice Estadística en el trabajo 745 Ejercicio de base de datos computacional 746 744 .2 15.Capítulo 14 Métodos no paramétricos 621 14.3 Pruebas de suma de rangos: prueba U de Mann-Whitney y prueba de Kruskal-Wallis 630 14.1 16.3 15.5 16.5 15.3 16.1 Introducción a la estadística no paramétrica 622 14.2 Prueba de signo para datos por pares 624 14.1 15.2 16.5 Correlación de rango 646 14.6 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 655 Estadística en el trabajo 659 Ejercicio de base de datos computacional 660 Del libro de texto al mundo real 661 Términos introducidos en el capítulo 14 662 Ecuaciones introducidas en el capítulo 14 662 Ejercicios de repaso 663 Capítulo 15 Series de tiempo y pronósticos 673 15.6 15.4 Prueba de corridas de una sola muestra 640 14.4 16.8 Introducción 674 Variación en las series de tiempo 675 Análisis de tendencia 676 Variación cíclica 686 Variación estacional 691 Variación irregular 699 Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo 699 Análisis de series de tiempo en pronósticos 707 Estadística en el trabajo 708 Ejercicio de base de datos computacional 709 Del libro de texto al mundo real 709 Términos introducidos en el capítulo 15 710 Ecuaciones introducidas en el capítulo 15 711 Ejercicios de repaso 712 Capítulo 16 Números índice 16.4 15.7 15. 4 Utilidad como criterio de decisión 773 17.Del libro de texto al mundo real 747 Términos introducidos en el capítulo 16 747 Ecuaciones introducidas en el capítulo 16 748 Ejercicios de repaso 749 Capítulo 17 Teoría de decisiones 755 17.8 Teorema del binomio 14 Contenido xi .4 Algunos conjuntos de uso frecuente 9 A.6 Permutaciones 10 A.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 757 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 765 17.1 El entorno de la decisión 756 17.6 Análisis de árboles de decisiones 780 Estadística en el trabajo 790 Del libro de texto al mundo real 791 Términos introducidos en el capítulo 17 793 Ecuaciones introducidas en el capítulo 17 793 Ejercicios de repaso 794 Estadística con Excel 801 1 Introducción 801 2 Elaboración de tablas de frecuencia.2 Operaciones con conjuntos 4 A.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 776 17.1 Definiciones 1 A.7 Combinaciones 12 A. histogramas y gráficos (diagramas de barras o circulares) 807 3 Medidas de tendencia central y dispersión para datos no agrupados 814 4 Análisis de varianza de un factor 816 5 Análisis de regresión lineal múltiple mediante el uso de Excel 818 Anexos 827 A Conjuntos y técnicas de conteo 1 A.5 Principio fundamental del conteo 9 A.3 Fórmulas de cardinalidad 8 A. 1 Gráficas de control y parámetros de población 15 B.8 Estimación de la habilidad real mediante la curva normal (para dos límites de especificación) 27 B.9 Estimación de la habilidad de un proceso para variables con un límite de especificación 29 B.11 Habilidad del proceso a partir de gráficos p o np 32 Respuestas a ejercicios pares seleccionados Índice I-1 xii Contenido R-1 .6 Habilidad del proceso 21 B.2 Resumen de fórmulas útiles para diagramas de control y parámetros de población 18 B.7.1 Habilidad potencial 22 B.3 Límites de variabilidad natural del proceso 19 B.7 Estimación de la habilidad de un proceso para variables con dos límites de especificación 22 B.5 Cambio en el tamaño de la muestra para una gráfica de control 20 B.10 Estimación de la habilidad real para el caso de un solo límite de especificación empleando la tabla de la normal estándar 31 B.B Habilidad del proceso 15 B.4 Límites de especificación 19 B.7.2 Habilidad real 25 B. la mediana y la moda para describir cómo se “aglutinan” los datos Utilizar el rango.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 107 3.1 Estadística sumaria 58 3.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 91 3.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética 60 3. para conocer otras formas útiles de resumir los datos Contenido del capítulo 3.4 Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica 74 3.3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 69 3. la varianza y la desviación estándar para • describir cómo se “dispersan” los datos Examinar los análisis de datos exploratorios.6 Una medida final de tendencia central: la moda 84 3.7 Dispersión: por qué es importante 89 3. basados en el uso de la computadora.11 Análisis exploratorio de datos (AED) 112 • Estadística en el trabajo 116 • Ejercicio de base de datos computacional 117 • Términos introducidos en el capítulo 3 118 • Ecuaciones introducidas en el capítulo 3 119 • Ejercicios de repaso 121 57 .9 Dispersión: medidas de desviación promedio 96 3.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS capítulo Objetivos • • • Utilizar la estadística sumaria para describir una colección de datos Utilizar la media.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 77 3. es decir. Los “retratos” resultantes de las distribuciones de frecuencias ilustraron tendencias y patrones de los datos. En casi todos los casos. Separación de un conjunto de datos Dispersión La dispersión se refiere a la separación de los datos en una distribución. tendencia central y dispersión En el capítulo 2 construimos tablas y gráficas a partir de una colección de datos sin procesar.199 1.1899 1.1 Estadística sumaria Estadística sumaria.600-1.599 1. Las medidas de tendencia central se conocen también como medidas de posición.700-1. En la figura 3-1. En estos casos. Observe que la posición central de la curva A es la misma que la de la curva C.700. sin embargo. Note que la curva A de la figura 3-2 tiene una mayor separación o dispersión que la curva B.800-1.100-1. En este capítulo analizaremos también cómo se puede medir la variabilidad de una distribución y.699 1. poniendo especial cuidado en el acopio de información sobre la tendencia central de los datos.1799 1.899 Frecuencia 13 10 09 07 02 01 El vicepresidente desea comparar las ventas del distrito oriental con las ventas de otros tres distritos del país. podemos usar los números que constituyen la estadística sumaria para describir las características del conjunto de datos.499 1.399 1.900. Dos de estas características son de particular importancia para los responsables de tomar decisiones: la tendencia central y la dispersión.000-1. al grado en que las observaciones se separan. cómo obtener una percepción mucho mejor de los datos.799 1.500-1. Para llevar a cabo esto.099 1.300-1. hará un resumen de la distribución. Punto medio de un conjunto de datos Tendencia central La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución.299 Frecuencia 04 07 08 10 12 17 Ventas (miles) 1. teníamos necesidad de medidas más exactas.400-1.200-1. la posición central de la curva B está a la derecha de las posiciones centrales de las curvas A y C. Existen otras dos características de los conjuntos de datos que proporcionan información útil: el sesgo y la curtosis.l vicepresidente de mercadotecnia de una cadena de restaurantes de comida rápida está estudiando el desarrollo de las ventas de las 100 sucursales que se encuentran en el distrito oriental y ha elaborado la siguiente distribución de frecuencias para las ventas anuales: E Ventas (miles) 1.800.1999 1. ■ 3. por tanto. Aunque la derivación de la estadística específica para medir dichas característiCurva A Curva C Curva B FIGURA 3-1 Comparación de la posición central de tres curvas 58 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . debido a que el inventario de casas se coloca muy lentamente. estamos midiendo qué tan puntiaguda es. Simetría de un conjunto de datos Sesgo de un conjunto de datos Agudeza de un conjunto de datos Sesgo Las curvas que representan los datos puntuales de un conjunto de datos pueden ser simétricas o sesgadas. La curva B es exactamente opuesta. Curtosis Cuando medimos la curtosis de una distribución. tienen una forma tal que una línea vertical que pase por el punto más alto de la curva dividirá su área en dos partes iguales.1 Estadística sumaria 59 . Cada parte es una imagen de espejo de la otra. Estaría sesgada hacia la izquierda. y ambas son simétricas. debido a que va disminuyendo poco a poco hacia el extremo derecho de la escala. La curva estaría sesgada a la derecha. En la figura 3-5. Las curvas A y B de la figura 3-4 son curvas sesgadas. Están sesgadas porque los valores de su distribución de frecuencias se concentran en el extremo inferior o en el superior de la escala de medición del eje horizontal. La curva A está sesgada a la derecha (o positivamente sesgada). Las curvas simétricas.Curva A Curva B FIGURA 3-2 FIGURA 3-3 Comparación de la dispersión de dos curvas Curva simétrica cas está más allá de los objetivos de este texto. Curva A: sesgada a la derecha Curva B: sesgada a la izquierda Curva A Curva B FIGURA 3-4 FIGURA 3-5 Comparación de dos curvas sesgadas Dos curvas con la misma posición central pero diferente curtosis 3. De manera análoga. Estos valores no están igualmente distribuidos. ya que disminuye poco a poco si la recorremos hacia el extremo inferior de la escala. por ejemplo. Está sesgada a la izquierda (negativamente sesgada). las curvas A y B difieren entre sí sólo en que una tiene un pico más pronunciado que la otra. con muchos valores en el extremo izquierdo y pocos en el extremo derecho. Tienen la misma posición central y la misma dispersión. la curva B podría representar la frecuencia del número de días que requiere un agente de bienes raíces para vender una casa. debido a que el inventario debe agotarse rápidamente. con muchos valores en el extremo derecho de la escala y pocos en el izquierdo. como la de la figura 3-3. La curva A podría representar la distribución de frecuencias del número de días que un producto se encuentra en existencia en un negocio de venta de fruta al mayoreo. Los estadísticos dicen que tienen un grado diferente de curtosis. nos será útil tener un conocimiento general de su significado. Ejercicios 3.1 Conceptos básicos ■ ■ 3-1 Trace tres curvas, todas simétricas, pero con diferente dispersión. 3-2 Trace tres curvas, todas simétricas y con la misma dispersión, pero con las siguientes posiciones centrales: a) 0.0 b) 1.0 c) 1.0 Trace una curva que pudiera ser una buena representación de las calificaciones en un examen de estadística de un grupo mal preparado, y también la de un grupo bien preparado. Para las distribuciones siguientes, indique cuál de ellas a) tiene el valor promedio más grande. b) es más probable que produzca un valor pequeño que uno grande. c) es la mejor representación de la distribución de edades de los asistentes a un concierto de rock. d) es la mejor representación de la distribución de los tiempos de espera de pacientes en el consultorio de un médico. ■ 3-3 ■ 3-4 A B Para las siguientes dos distribuciones, indique cuál de ellas, si alguna, e) tiene valores distribuidos más uniformemente a través del intervalo de valores posibles. f) es más probable que produzca un valor cercano a cero. g) tiene una probabilidad más alta de producir valores positivos que negativos. A B 0 ■ 3-5 Si las dos curvas siguientes representan la distribución de los resultados de un grupo de estudiantes en dos exámenes, ¿cuál examen parece haber sido más difícil para los estudiantes? A B 3.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética La media aritmética Casi siempre, cuando nos referimos al “promedio” de algo, estamos hablando de la media aritmética. Esto es cierto en casos como la temperatura invernal promedio en la ciudad de Nueva York, la vida promedio de la batería del flash de una cámara o la producción promedio de maíz en una hectárea de tierra. La tabla 3-1 presenta datos que describen el número de días que los generadores de una planta de energía de Lake Ico se encuentran fuera de servicio debido a mantenimiento normal o por alguna falla. Para encontrar la media aritmética, sumamos los valores y dividimos el resultado entre el número de observaciones: 7  23  4  8  2  12  6  13  9  4 Media aritmética   10 88  10  8.8 días 60 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias Tabla 3-1 Tiempo sin funcionar de los generadores de la estación de Lake Ico Generador Días fuera de servicio 1 7 2 23 3 4 4 8 5 2 6 12 7 6 8 13 9 9 10 4 En el periodo de un año, los generadores estuvieron fuera de servicio un promedio de 8.8 días. Con esta cifra, el administrador de la planta de energía tiene una medida sencilla y razonable del comportamiento de todos sus generadores. Símbolos convencionales Las características de una muestra se conocen como estadísticos Las características de una población se llaman parámetros Para escribir ecuaciones de este tipo de medidas de las distribuciones de frecuencias, necesitamos aprender la notación matemática que utilizan los especialistas en estadística. Una muestra de una población consiste en n observaciones (con n minúscula) con una media de x (x barra). Recuerde que las medidas calculadas para una muestra se conocen como estadísticos. La notación es diferente cuando calculamos medidas para la población entera, es decir, para el grupo que contiene a todos los elementos que estamos describiendo. La media de una población se simboliza con , que es la letra griega mu. El número de elementos de una población se denota con la letra mayúscula cursiva N. Por lo general, en estadística se usan letras del alfabeto latino para simbolizar la información de las muestras y letras griegas para referirnos a la información de las poblaciones. Cálculo de la media a partir de datos no agrupados Encontrar las medias de la población y de la muestra En el ejemplo, el promedio de 8.8 días sería  (la media de la población) si la población de generadores fuera exactamente 10. Sería x (la media de la muestra), si los 10 generadores fueran una muestra tomada de una población mayor de ellos. Para escribir las fórmulas correspondientes a estas dos medias, combinamos los símbolos matemáticos y los pasos que utilizamos para determinar la media aritmética. Si se suman los valores de las observaciones y esta suma se divide entre el número de observaciones, obtendremos: Media aritmética de la población Suma de los valores de todas las observaciones x  N [3-1] Número de elementos de la población y Media aritmética de la muestra Suma de los valores de todas las observaciones x x   n [3-2] Número de elementos de la muestra Debido a que  es la media aritmética de la población, usamos N para indicar que se divide entre el número de observaciones o elementos de la población. Del mismo modo, x es la media aritmética de 3.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética 61 Tabla 3-2 Resultados del examen de aptitud académica Estudiante Aumento 1 9 2 7 3 7 4 6 5 4 6 4 7 2 la muestra, y n es el número de observaciones de la muestra. La letra griega sigma, , indica que todos los valores de x se suman. Otro ejemplo: en la tabla 3-2 se presenta la lista del aumento en puntos porcentuales en los resultados de siete estudiantes que tomaron un curso de preparación para el examen oral de aptitud escolar. Calculamos la media de esta muestra de siete estudiantes de la manera siguiente: x x   n [3-2] 9776442   7 39  7  5.6 puntos por estudiante ←⎯⎯ Media de la muestra Manejo de datos no agrupados Observe que para calcular esta media, sumamos todas las observaciones. Los especialistas en estadística se refieren a este tipo de datos como datos no agrupados. Los cálculos no fueron difíciles, pues nuestro tamaño de muestra era pequeño. Pero suponga que debe trabajar con el peso de 5,000 cabezas de ganado y prefiere no sumar por separado cada uno de los datos; o suponga que tiene acceso sólo a la distribución de frecuencias de los datos y no a cada observación individual. En estos casos, se requiere una manera distinta de calcular la media aritmética. Cálculo de la media a partir de datos agrupados Manejo de datos agrupados Estimación de la media Una distribución de frecuencias consta de datos agrupados en clases. Cada valor de una observación cae dentro de alguna de las clases. A diferencia del ejemplo del examen de aptitud, no conocemos el valor individual de cada observación. Suponga que tenemos una distribución de frecuencias (ilustrada en la tabla 3-3) del saldo promedio mensual de la cuenta de cheques de 600 clientes de una sucursal bancaria. A partir de la información de la tabla, podemos calcular fácilmente una estimación del valor de la media de estos datos agrupados. Es una estimación porque no utilizamos los 600 datos puntuales de la muestra. De haber usado los datos originales sin agrupar, podríamos haber calculado el valor real de la media, pero sólo después de obtener el promedio de los 600 valores individuales. En aras de la sencillez, debemos sacrificar la precisión. Tabla 3-3 Saldo promedio mensual de 600 cuentas de cheques 62 Capítulo 3 Clase (dólares) 0- 49.99 50.00- 99.99 100.00-149.99 150.00-199.99 200.00-249.99 250.00-299.99 300.00-349.99 350.00-399.99 400.00-449.99 450.00-499.99 Frecuencia 78 123 187 82 51 47 13 9 6 004 600 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 995.00-249. Después multiplicamos cada punto medio por la frecuencia de las observaciones de dicha clase.99 25. En nuestra muestra de 600 clientes.375 2.00-199. redondeamos las cantidades.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética 63 . como no conocemos cada uno de los datos puntuales de la muestra.00-399. Nuestros resultados.00 75.00 fx (3)  (2) Frecuencia (f ) (3)           (f  x) x   n 78 123 187 82 51 47 13 9 6 4 f  n  600           1. se convierte en 25.00 325.99 300.350←(f  x) [3-3] 85.99.00 375.99 100.99 50.225 3. podemos simplificar aún más nuestro cálculo de la media de datos agrupados.00. podemos eliminar el problema de te- Tabla 3-4 Cálculo de la media aritmética de la muestra con los datos agrupados de la tabla 3-3 Clase (dólares) (1) Punto medio (x) (2) 0.00 125.00-349.99 150. el saldo mensual promedio de las cuentas de cheques es $142.00 425.900 85.25.99 200.99 250. entonces.350  600  142.00 275.99 450. Codificación Asignación de códigos o los puntos medios En aquellas situaciones en que no se tenga disponible una computadora y sea necesario realizar las operaciones aritméticas a mano.Cálculo de la media Para encontrar la media aritmética de datos agrupados.550 01.375 14.99 400. Ésta es la aproximación hecha a partir de la distribución de frecuencias.350 11. La fórmula es la siguiente: Media aritmética de una muestra con datos agrupados ( f  x) x   n [3-3] donde. 24. Observe que. Mediante una técnica conocida como codificación.925 4. • x  media de la muestra •   símbolo que significa “la suma de” • f  frecuencia (número de observaciones) de cada clase • x  punto medio de cada clase en la muestra • n  número de observaciones en la muestra Hacemos una suposición En la tabla 3-4 se ilustra cómo calcular la media aritmética de una colección de datos agrupados. son sólo una aproximación del promedio del saldo mensual real.49. sumamos todos los resultados y dividimos esta suma entre el número total de observaciones de la muestra. por ejemplo. el punto medio de la primera clase. Así.25 ←⎯⎯⎯ Media de la muestra (dólares) 3.225 23. Para lograr que los puntos medios queden en cifras cerradas. suponemos que todos los valores de una clase son iguales a su punto medio.00-499.00 350.00-449.00-149.475 12.00 175. utilizando la ecuación 3-3. primero calculamos el punto medio de cada clase.00.00 475.950 9.00 225.00-299. ner puntos medios muy grandes o inconvenientes. asignaremos el cero al punto medio de la mitad de la distribución (o el más cercano a la mitad).5 35.5 11.5←x0 27. En lugar de utilizar los puntos medios reales en los cálculos.5  8  20  19. y 2) sumamos todos estos productos. Kentucky Clase (1) Punto medio (x) (2) Código (u) (3) 0. y u para el punto medio codificado.5 19. La tabla 3-5 ilustra cómo codiTabla 3-5 Caída anual de nieve en Harlan. a cada uno de los puntos medios. de la manera siguiente: Clase 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 Código (u) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ↑ x0 Cálculo de la media de datos agrupados utilizando códigos Los estadísticos usan x0 para representar el punto medio al que se asigna el código 0. llamados códigos. El entero cero puede asignarse a cualquier punto medio. pero para que los enteros sean pequeños.5 64 Capítulo 3 Caída de nieve anual promedio Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 4 6 0 5 4 6 5←(u  f ) .7 8-15 16-23 24-31 32-39 40-47 3. La siguiente fórmula se utiliza para determinar la media de la muestra mediante códigos: Media aritmética de la muestra para datos agrupados usando códigos (u  f ) x  x0  w  n [3-4] donde. • • • • • • x  media de la muestra x0  valor del punto medio al que se asignó el código 0 w  ancho numérico del intervalo de clase u  código asignado a cada punto medio de clase f  frecuencia o número de observaciones de cada clase n  número total de observaciones de la muestra Tenga en mente que (u  f ) simplemente significa que 1) multiplicamos u por f para cada clase en la distribución de frecuencias. Entonces podemos asignar enteros negativos a los valores menores que ese punto medio y enteros positivos a los valores más grandes.5 2 1 0 1 2 3 uf (3)  (4) Frecuencia (f ) (4)  2  6  3  5  2  02 f  n  20 (u  f ) x  x0  w  n       [3-4]   5 19. podemos asignar enteros consecutivos de valor pequeño.5 43.5  2  21. la respuesta aproximada es 4. el tiempo medio es: x  N [3-1] 4.3 2 5. puede verse afectada por valores extremos que no son representativos del resto de los datos.0 6 5.0  5. como un solo número que representa a un conjunto de datos completo.4 o más”. Primero. Kentucky.4 o mucho mayor que 5.6-4. Por último.4. Primero. Suponga que los datos de la tabla 3-6 se clasifican en la distribución de frecuencias de la tabla 3-7.0 distorsiona el valor que obtenemos para la media. la media es útil para llevar a cabo procedimientos estadísticos como la comparación de medias de varios conjuntos de datos (procedimiento que se estudiará en el capítulo 9).7  4. se trata de un concepto familiar para la mayoría de las personas y es intuitivamente claro.ficar los puntos medios y encontrar la media de la muestra de la caída anual de nieve (en pulgadas) durante 20 años en Harlan.0-5.2  4.1  9. Sería más representativo calcular la media sin incluir el valor extremo. tiene importantes ventajas.3 minutos ←⎯ Media de la población Sin embargo. No tenemos forma de saber si el valor de la observación de esta clase es 5. Tabla 3-6 Tiempos de los integrantes de un equipo de atletismo en una carrera de 1 milla Integrante Tiempo en minutos 1 4. que usemos el método corto que consiste en utilizar datos agrupados para determinar la media aproximada).1 7 9. si calculamos el tiempo medio para los primeros seis corredores y excluimos el valor de 9.1  7  5.3  4.2-4. cercano a 5.3 3 4. Segundo. El valor extremo 9.7 minutos.0 minutos.0   7 37.4 o más 1 Una medida de tendencia central: la media aritmética 65 . la media aritmética tiene desventajas que debemos conocer. desde luego.2 4.7 4 4. cada conjunto de datos tiene una media.0 Tabla 3-7 Tiempos de los integrantes de un equipo de atletismo en una carrera de 1 milla 3.9 2 5. No podemos calcular un valor para la media de estos datos debido a la clase de extremo abierto “5. Un segundo problema con la media es el mismo que encontramos con los 600 saldos de cuentas de cheques. es una medida que puede calcularse y es única debido a que cada conjunto de datos posee una y sólo una media. Observe que si los siete miembros de un equipo de atletismo tienen las marcas de tiempo que se muestran en la tabla 3-6 para cierta carrera. Sin embargo.5 2 2 4.4. aunque la media es confiable en cuanto a que toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos. Resulta tedioso calcular la media debido a que utilizamos cada uno de los datos en nuestro cálculo (a menos. como cualquier medida estadística.8  5. La tercera desventaja es que somos incapaces de calcular la media para un conjunto de datos que tiene clases de extremo abierto en la parte inferior o superior de la escala. Ventajas y desventajas de la media aritmética Ventajas de la media Tres desventajas de la media La media aritmética.2 Clase en minutos Frecuencia 4.8 5 5. Los ingresos familiares de los niños del centro son: $14. $72. Clase 10.9 14.800 $49.000.0-15.9 18.800 $14.500.300 Jul. ¿Califica para esa tasa de interés menor? Aplicaciones ■ 3-6 El Child-Care Community Nursery es elegible para recibir recursos de un fondo especial de servicios sociales del estado.9 11.900 $12. Feb. Dic.0-13. estaríamos violando una suposición importante. El préstamo mostró los siguiente saldos de fin de mes durante el año pasado Ene.0-14.300 $112. Nov. Sep.600 $8.300 $172.900 . Mar.700 $61.9 16.9 13.9 11 8 7 6 2 a) Calcule la media de la muestra con la ecuación 3-3. Una sugerencia útil al elegir qué medidas calcular es observar los datos.0-12.0-19. pero a menos que la media sea en verdad representativa de los datos con los que se calculó.400 Oct. existen medidas que se pueden calcular que no tienen este defecto. c) Repita el inciso b) con 0 asignado a la sexta clase. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Ejercicios 3-2 Ejercicios de autoevaluación EA 3-1 La siguiente distribución de frecuencias representa los pesos en libras de una muestra de paquetes transportados el mes pasado por una pequeña compañía de carga aérea. ¿calificará éste para el apoyo del fondo? 8 ■ 3-7 5 9 10 9 12 7 12 13 8 El Child-Care Community Nursery puede continuar recibiendo el apoyo económico de servicios sociales del estado siempre y cuando el promedio del ingreso anual de las familias cuyos niños asisten al centro sea menor que $12. May.800 $ 7.600 $ 5.500 $15.0-18.9 17. Ago. La Davis Furniture Company tiene un acuerdo de crédito revolvente con el First National Bank. $52. Si los datos que se presentan a continuación representan la edad de los niños que acuden normalmente al centro.0-16.200 $46.800 $72.0-17. Jun. la media no es representativa. $58.800 Abr.500 $ 6.0-11. b) Calcule la media de la muestra usando el método de códigos (ecuación 3-4) con 0 asignado a la cuarta clase.0-10.200 $8. siempre y cuando la edad promedio de sus niños esté por debajo de los nueve años. d) Explique por qué sus repuestas a los incisos b) y c) son iguales.9 19. Por fortuna.9 12.500 $10.100 $50.800 $57.100 La compañía puede obtener una tasa de interés menor si su saldo mensual promedio es mayor que $65.9 EA 3-2 Frecuencia Clase Frecuencia 1 4 6 8 12 15.La media (o promedio) puede ser una excelente medida de tendencia central (la manera en que se agrupan los datos alrededor del punto medio de una distribución). Advertencia: si existen valores muy altos o muy bajos notoriamente distintos a la mayoría de los datos.300 a) ¿El centro en cuestión sigue calificando para recibir apoyo? 66 7 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias $13. $121. 59 60.84 2.0 Una medida de tendencia central: la media aritmética 67 .3 21. El dueño de Pets‘R Us está interesado en construir una nueva tienda. c) Calcule la media de la muestra a partir de los datos sin procesar.4 22. b) Calcule la media de la muestra usando el método de códigos (ecuación 3-4) con 0 asignado a la clase 70-79. 50-59.02 3.7 22.89 2. 216 Mar. Los volúmenes resultantes (en onzas) de la prueba fueron los siguientes: 3.2 24.8 24.04 onzas o menos. b) Calcule la media de la muestra a partir de la distribución de frecuencias. 302 Ago. ¿cuánto debe disminuir el ingreso familiar promedio para que el centro califique? c) Si la respuesta del inciso a) es sí.89 90.94 2. 195 3-12 Abr.0 24.93 2. 315 Jun.3 22.94 2. d) Compare los incisos b) y c) y comente su respuesta.99 100-109 110-119 120-129 ■ 3-10 a) Calcule la media de la muestra con la ecuación 3-3.7 23.3 22.4 21. La construirá si el número promedio de animales vendidos durante los primeros 6 meses de 1995 es al menos 300 y si el promedio mensual global del año es al menos 285.2 25. 274 Jul.39 40.97 2.95 2. La siguiente distribución de frecuencias representa el tiempo en segundos que los cajeros de BullsEye Discount Store necesitaron para servir a una muestra de clientes en diciembre de 1996.49 50. etcétera. Los datos para 1995 son los siguientes: Ene.97 La compañía no suele recalibrar la máquina para este perfume si el volumen de llenado de las 3 onzas difiere en 0.29 30. registra los tiempos siguientes (en segundos): 20.99 2.7 25. 450 ¿Qué decisión toma el dueño y por qué? Un fabricante de cosméticos adquirió una máquina para llenar botellas de perfume de 3 onzas. Utilizando un cronómetro y observando a los operadores.90 2. 375 Dic.97 2.95 2.92 2. Tiempo (en segundos) Frecuencia 20.1 24.2 24.96 2. hizo una corrida de prueba con 18 recipientes.9 3. ¿Deberá recalibrarla? El gerente de producción de la imprenta Hinton desea determinar el tiempo promedio necesario para fotografiar una placa de impresión.01 ■ 6 16 21 29 25 22 11 7 4 0 2 2. 400 May.2 21.69 70. 275 Oct.2 23. Para probar la precisión del volumen depositado en cada botella. 291 Sep. ¿cuánto puede aumentar el ingreso familiar promedio y todavía seguir calificando? Los siguientes datos representan las edades de los pacientes admitidos en un pequeño hospital el día 28 de febrero de 1996: 85 88 89 87 ■ 3-9 75 80 83 83 66 56 65 52 43 56 53 44 40 67 75 48 a) Construya una distribución de frecuencias con clases 40-49.79 80.0 20.6 28.90 2.9 23.99 2.■ 3-8 b) Si la respuesta del inciso a) es no. 234 ■ 3-11 Feb. 300 Nov. b) Calcule por separado las ganancias trimestrales promedio en cada uno de los tres años. la presidenta del comité organizador de la biblioteca municipal.976 Semana 2 $1.000 $ 5. en dólares: Año 1992 a) b) c) d) 68 Semana 1 Capítulo 3 Presupuesto $30. c) Muestre que la media de las cuatro cantidades obtenida en el inciso a) es igual a la media de las tres cantidades que obtuvo en el inciso b).895 ¿Cuál es la cantidad promedio (media) invertida durante a) la primera semana? b) la segunda semana? c) el periodo de 2 semanas? d) Un saldo promedio durante las 2 semanas mayor que $1. El saldo diario (en millones de dólares) de la cuenta de inversión durante 2 semanas es el siguiente: $1.000 1978 $ 9.000 a) Calcule por separado las ganancias promedio de la representante en cada uno de los cuatro trimestres. ¿Debe estar preocupado el gerente de producción? La National Tire Company tiene sus fondos de reserva en una inversión a corto plazo.000 $20.975 $1.000 1985 $21.000 15. trimestre 4to.969 $1.000 1984 $22.000 20. ¿podría concluir que ha habido una tendencia a aumentar o a disminuir en el presupuesto anual? ¿La presidenta actual ha ahorrado dinero al municipio? Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . trimestre Año 1 $10. trimestre 2do. (Ésta es la ganancia promedio trimestral que obtuvo la señorita Smith durante un periodo de tres años. A continuación presentamos los datos relativos al mantenimiento de la biblioteca ambulante durante quince años. Calcule el presupuesto promedio anual para los primeros 5 años de gestión (1983-1987).970 millones calificaría a National para obtener tasas de interés más altas. muestre que estas dos cantidades son iguales a la media de los 12 números que se presentan en la tabla.000 1982 $30.887 $1.000 1986 $19.000 1988 $26. ¿cuánto tendría que aumentar la cantidad invertida el último día para que la compañía obtuviera las tasas de interés más altas? f) Si la repuesta del inciso c) es mayor que $1. Sus ganancias trimestrales en dólares durante los últimos tres años son las siguientes: 1er.000 1979 $10.972 $1.000 $15. ¿cuánto podría el tesorero de la compañía retirar el último día de los fondos de reserva. Smith recorre el este de Estados Unidos como representante de ventas del editor de un libro de texto. Basándose en los resultados de los incisos a). de manera que todavía calificara para las tasas de interés altas? M.000 45.T.000 1980 $15. Calcule el presupuesto promedio anual para los 5 años anteriores a su elección (1978-1982).0 segundos indica una productividad satisfactoria.973 $1. trimestre 3er.000 $25. Además.000 Año Presupuesto Año Presupuesto 1987 $24.000 Año 3 30.000 Calcule el presupuesto promedio anual para los últimos 5 años (1988-1992). durante diez años.970 $1.000 1981 1990 $25.■ ■ ■ 3-13 3-14 3-15 Un tiempo promedio por placa menor a los 23.000 10.970 millones.000 50.000 Año 2 20.892 $1.000 1991 $28.970 millones.000 1989 $27. b) y c). Recibe una comisión proporcional al volumen de las ventas que haga.893 $1.000 10. ¿Califica? e) Si la respuesta del inciso c) es menor que $1.000 1983 $24.) Lillian Tyson ha sido. Afirma que durante su cargo ha administrado el presupuesto para el mantenimiento de la biblioteca ambulante del municipio mejor que su antecesor. La compañía desea saber el promedio del costo de trabajo por hora para cada uno de los productos.000.9 4 11.0-16.0-15. EA 3-2 x 827. 3.5 111.3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 69 .0 2 8 4 16 12. Pero como (u  f ) (u  f )  (x0  kw)  kw  w  xb  x0  w  n n (u  k)f  (x0  kw)  w   xc n se ve que no importa a qué clase se asigne el código 0.5 3 3 5 5 11.2077 libras n 65 1.0-18.0-12. ésta utiliza tres niveles de trabajo —no calificado.2077 libras n 65 d) Al mover la clase con el código 0 asignado k clases hacia arriba.600    $68.0-10.9 8 16.0-19. semicalificado y calificado— para la producción de dos de sus productos finales. 3.0 6 0 12 4 00 8 65 988.9 6 12.967 x   12 n Dado que esto excede $65. por ejemplo.2077 libras n 65 (u  f ) 1.9 12 14.5 75.5    15.5 46.5    15.5 174.0 1 6 3 18 13.0 3 24 1 8 17.9 6 18.0-13.0 5 30 3 18 19.Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-1 (a) Clase Frecuencia (f ) (b) Punto medio (x) fx Código u (c) uf Código u uf 10. la compañía califica para las tasas de interés reducidas.5 a) x      15.5 10.5 2 22 0 0 16.5 132.9 1 10.0 1 12 1 12 15. la compañía cuyos datos presentamos en la tabla 3-8.5 0 39.5 170.0(111) b) x  x0  w   13.0-14.0-11.5 122.5 4 28 2 14 18.9 02 19.9 8 13.9 7 17.0 0 0 2 16 14. se sustituye x0 por x0  kw y se cambia cada código de u a u  k.5 108. Considere.0-17.9 11 15.5 111 19 ( f  x) 988.0(19) (u  f ) c) x  x0  w   15.3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada Una media ponderada La media ponderada nos permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total. Pero estos promedios son incorrectos.00 1 2 5 Producto 2 4 3 3 Un simple promedio aritmético de los salarios pagados sería: x x   n [3-2] $5  $7  $9   3 $21  3  $7.80/hora Cálculo de la media ponderada Así.80. entonces una hora de trabajo en el producto 1 cuesta en promedio: 18  $5  28  $7  58  $9  $8. y el de una unidad del producto 2 como $7(4  3  3)  $70. una hora de mano de obra en el producto 2 cuesta: 4 140  $5  130  $7  130  $9  $6. las respuestas deben tomar en cuenta que se utilizan diferentes niveles de mano de obra. 70 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . Utilizando estas fracciones como ponderaciones o pesos. de las cuales /10 son de trabajo no calificado. para un costo promedio de mano de obra por hora de $68/10  $6.00/hora De manera análoga.00 7. Para hacerlo.00 9. el costo total del trabajo por unidad es ($5  4)  ($7  3)  ($9  3)  $68. Otra forma de calcular el costo promedio por hora para los dos productos consiste en tomar un promedio ponderado del costo de los tres niveles de mano de obra. y como se invierten ocho horas de trabajo. ponderamos el salario por hora de cada nivel mediante la proporción de la mano de obra total requerida para fabricar el producto. vemos que los promedios ponderados dan el valor correcto para los costos promedio por hora de mano de obra de los dos productos. Para el producto 1. 3/10 de trabajo semicalificado y 3/10 de trabajo calificado. requiere 8 horas de trabajo. una unidad del producto 2 requiere 10 horas de mano de obra. Una unidad del producto 1. Para que nuestros cálculos sean correctos. De este tiempo. el costo promedio de mano de obra por hora es $64/8  $8. por ejemplo.Tabla 3-8 Mano de obra por proceso de manufactura Nivel de mano de obra No calificado Semicalificado Calificado Salario por hora en dólares (x) Horas de mano de obra por unidad producida Producto 1 $5. 2/8 de mano de obra semicalificada y 5/8 de trabajo calificado. el costo total del trabajo por unidad es ($5  1)  ($7  2)  ($9  5)  $64. 1/8 es de mano obra no calificada. ya que consideran las diferentes cantidades de cada nivel de mano de obra que requieren los productos.00. Podemos determinar los promedios correctos de la siguiente manera.00/hora En este caso la media aritmética es incorrecta La respuesta correcta es la media ponderada Usando esta tasa promedio podríamos calcular el costo del trabajo invertido en una unidad del producto 1 como $7(1  2  5)  $56. Si utilizamos estas fracciones como las ponderaciones (o los pesos). Para el producto 2. xw  símbolo para la media ponderada* w  peso asignado a cada observación (1/8. el promedio ponderado de los componentes del conjunto de datos. podemos determinar la media ponderada de todos los tipos de salarios (no calificado.Con símbolos. Si los valores ocurren con frecuencias diferentes. En una fábrica. utilizando los puntos medios como valores de x y las frecuencias de cada clase como pesos (o ponderaciones). la media aritmética de los valores (comparada con la media aritmética de las observaciones) tal vez no sea una medida SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES de tendencia central exacta. Desde luego. sino de una media ponderada. semicalificado y calificado) o salarios de trabajadores hombres y mujeres o de trabajadores sindicalizados y no sindicalizados. ya que varias observaciones pueden tener el mismo valor. en realidad encontramos una media aritmética ponderada. la naturaleza de tales componentes determina qué es lo que la media está midiendo. pregunte cómo se calculó. de acuerdo con la ecuación 3-1 o 3-2 es.3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 71 . Cuando calculamos la media aritmética de datos agrupados. 2/8 y 5/8 para el producto 1. insista en que la base correcta para la toma de decisiones es la media ponderada. 3. en realidad. *El símbolo xw se lee x barra sub w. La letra w se conoce como subíndice y sirve para recordar que no se trata de una media ordinaria. por ejemplo. cualquier media calculada a partir de todos los valores de un conjunto de datos. De manera análoga. Dividimos este producto entre la suma de todas las frecuencias.00/hora Media aritmética de datos agrupados: la media ponderada Observe que la ecuación 3-5 establece de una manera más formal algo que ya habíamos hecho. y 4/10. la fórmula para calcular el promedio ponderado es: Media ponderada (w  x) xw   w [3-5] donde. que es igual a la división entre la suma de todos los pesos. es necesario usar la media ponderada de los valores. En esos casos. encontramos que (w  x) xw   w [3-5] 1 2 5   $5    $7    $9  8 8 8   1 2 5      8 8 8 $8   1  $8. Si se utiliza un valor promedio para tomar una decisión. 3/10 y 3/10 para el producto 2 del ejemplo) • (w  x)  la suma de los productos de la ponderación de cada elemento por el elemento correspondiente w  suma de todas las ponderaciones • • • Si aplicamos la ecuación 3-5 al producto 1 de nuestro ejemplo de costo de mano de obra. de acuerdo con la importancia relativa de los valores de x. Si los valores de la muestra no aparecen con la misma frecuencia. Debe hacerse la distinción entre valores diferentes y observaciones individuales en un conjunto de datos. Standard. se espera que la sucursal del Medio Oeste. 8 cajas de Standard. desea pronosticar las ventas regionales para el año próximo. Jim ordenó 6 cajas de High-Grade. logre un crecimiento en las ventas del 7.8 millones.98.15%. 10%. $18.50. nuestro promedio es menor porque nuestras ventas de estos artículos han sido: 7 EA 3-4 9 12 8 6 3 ¿Está Dave’s buscando un problema o resolviéndolo al hablar de promedios ponderados? La Bennett Distribution Company. una subsidiaria de un importante fabricante de electrodomésticos.25%. Como resultado se obtuvo la siguiente distribución de frecuencias: NÚMERO DE VECES QUE UN LECTOR VIO EL ANUNCIO DURANTE DICIEMBRE FRECUENCIA 000 897 100 1. Cada caja contiene 24 cintas. $6. 3 cajas de High Standard y 1 caja de Low Grade.” Uno de los clientes de Dave’s fue a la tienda un día y puso sobre el mostrador las notas de venta de seis artículos que compró a un competidor por un precio promedio menor que el de Dave’s.3 millones. 35%.50 $10. usted se lo lleva gratis. Estudiante Tareas Parciales Artículo 1 2 3 4 5 85 78 94 82 95 89 84 88 79 90 94 88 93 88 92 Ex. 10%. A partir de los datos siguientes.89. $4. el examen semestral. $36. y los exámenes parciales. y que la sucursal de la costa del Pacífico. High Standard. Se espera que la sucursal de la costa del Atlántico. el examen final.19. con ventas actuales de $79.35. Dave’s le explicó al cliente: “Mi aviso se refiere a un promedio ponderado de estos artículos.20%. el artículo de fin de semestre.29 $2. tenga un incremento del 8.00 $7. calcule el promedio final para los cinco estudiantes del seminario. con ventas actuales de $57. y Low. $3. 25%.5 millones. 4 cajas de Performance High-Grade. a) ¿Cuál es el costo promedio por caja? b) ¿Cuál es el costo promedio por cinta? c) Suponga que Jim’s piensa vender cualquier cinta por $1. Los artículos costaron (en dólares) $1. aumente sus ventas 7. $16.325 300 814 400 307 500 253 600 198 ¿Cuál es el número promedio de veces que un lector vio un anuncio de la mueblería Keyes durante diciembre? 72 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . $28. semestral Ex.59 y $11. con ventas actuales de $193. $2.25.49 $5.082 200 1.97 $3.Ejercicios 3.95 Los precios de Dave’s de los mismos seis artículos son $2. Performance High-Grade.3 Ejercicios de autoevaluación EA 3-3 La tienda Dave’s Giveaway tiene un aviso: “Si nuestros precios promedio no son iguales o menores que los de otros. Suponga que los costos por caja son: High-Grade. $7. final 87 91 86 84 82 90 92 89 93 88 Jim’s Videotaping Service hizo un pedido de cintas VHS. El promedio de tareas tendrá un valor del 20% de la calificación del estudiante. ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento pronosticado en las ventas para el próximo año? Aplicaciones ■ 3-16 ■ 3-17 ■ 3-18 Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. ¿sería esto un buen negocio para Jim’s? d) ¿Cómo cambiaría su respuesta a los incisos a) a c) si hubiera 48 cintas por caja? La mueblería Keyes publicó seis anuncios en los periódicos locales durante el mes de diciembre. 1 Título de sección de página correspondiente 73 . correo registrado y correo certificado. Pittsburgh y Seattle. asociados principales. tiene cuatro tipos de profesionales entre su personal: asesores financieros. Dallas.50 xD  6  5. personal de campo y personal de oficina.95) 7  9  12  8  6  3   195. 30 dólares/hora y 15 dólares/hora. 40 dólares/hora.600 1.17 0. La división de Pittsbrugh. pronostica un incremento del 11. segunda clase. tengan disminuciones del 9. Se elaboró el pronóstico de producción para el próximo año.59)  3(11.000.400 24.100 77.29)  9(2.4%.303 en la tienda Dave 45 1. con una producción anual de 72 millones de ventanas.50)  3(10. respectivamente.900 1. cuya producción anual es 48 millones.35)  9(2.13 0.300 750 800 $0. se obtiene (w  x) xc   w 7(1.344 en la competencia 7(1.98)  6(7. respectivamente.89)  12(3.08 0. La división de Seattle. primera clase.5%. Las tasas promedio que se cobran a los clientes por el desempeño de cada una de estas categorías profesionales son 75 dólares/hora.■ 3-19 ■ 3-20 ■ 3-21 La Nelson Window Company tiene plantas de manufactura en cinco ciudades de Estados Unidos: Orlando. Se espera que las divisiones de Minneapolis y Dallas.49 45    $4.2%. Young y Asociados intenta formular una tasa de cobro promedio para estimar cuánto debe cobrar a los clientes en el año siguiente. entrega especial. Si Mathews.4%. El volumen de envíos durante 1977 se da en la siguiente tabla: Tipo de correo Onzas enviadas (en millones) Precio por cada onza Tercera clase Segunda clase Primera clase Aéreo Entrega especial Registrado Certificado 16. Minneapolis. Los registros de la firma indican el siguiente número de horas cobradas el año anterior en cada categoría: 8. correo aéreo. con producciones respectivas de 89 y 94 millones cada año. La división de Orlando.49)  8(5.50) xD   7  9  12  8  6  3 193.000. ¿Cuál es la tasa promedio de cambio en producción para la Nelson Window Company durante el año próximo? El Servicio Postal de Estados Unidos maneja siete tipos básicos de cartas y tarjetas postales: tercera clase.62    $4.20 en la competencia 31.25 en la tienda Dave Con los promedios ponderados.05 0. ¿qué sugeriría que hiciera y cuál cree que sería una tasa apropiada? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-3 Con los promedios no ponderados. 24.000 y 35.000. un despacho de asesoría financiera y administrativa.19)  8(4. respectivamente. también debe crecer 6.40 0.7 y 18. con producción anual de 62 millones.00)  6(7. se obtiene x 31.45 ¿Cuál es el ingreso promedio anual por cada onza de la prestación del servicio? Matthews.97)  12(3.35 0.20 xc  n  6  $5. 14. debe crecer 6. Young y Asociados. 3  57.11  1. que es el promedio adecuado que debemos utilizar.1 8 5 74 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias [3-6] .8  79. La fórmula para encontrar la media geométrica de una serie de números es: Media geométrica Número de valores x M.00. EA 3-4 193. pues proporciona resultados equivocados.11  1.0 8 1.46% 330.Aunque en términos técnicos Dave está en lo correcto. El crecimiento se resume en la tabla 3-9.5(7.5 w 2466. El resultado es el factor de crecimiento como media geométrica.20)  57. necesitamos conocer una tasa promedio de cambio. M.15) (w  x)   xw   193. Así. La entrada con el encabezado “factor de crecimiento” es igual a: tasa de interés 1  100 En este caso.1 0 1.51 En la tabla 3-9 se muestra que la cifra real es sólo $168.4 Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica Búsqueda de la tasa de crecimiento: la media geométrica Algunas veces. el factor de crecimiento promedio correcto debe ser ligeramente menor a 1. cuando trabajamos con cantidades que cambian en cierto periodo.11  1. Sin embargo. El factor de crecimiento considerado como la media aritmética simple sería (l. Considere.6 3. por ejemplo.25)  79. la palabra promedio en el uso popular es equivalente al promedio no ponderado del uso técnico y es seguro que el cliente típico se molestará con la afirmación de Dave (entienda o no el matiz técnico).8(7.12  1. Para encontrar el factor de crecimiento promedio correcto podemos multiplicar los factores de crecimiento de los cinco años y luego obtener la raíz quinta del producto (número que al multiplicarse cuatro veces por sí mismo da como resultado el producto inicial). Suponga que inicialmente depositamos $100 y dejamos que acumule intereses a diferentes tasas durante cinco años.G.11  $168.1093 es el factor de crecimiento promedio correcto.3(8.11  1.10  1.0 7  1.07  1. si el banco diera intereses a una tasa constante del 11% anual. el crecimiento de una cuenta de ahorros. En tales casos. la media aritmética simple resulta inapropiada.435    7. la tasa de crecimiento tomada como la media aritmética es incorrecta Cálculo de la media geométrica El factor de crecimiento es la cantidad por la que multiplicamos los ahorros al inicio del año para obtener el saldo al final del mismo. como la tasa de crecimiento promedio en un periodo de varios años.08  1.  pro du cto deto doslo sv alo res x n [3-6] Si aplicamos esta ecuación a nuestro problema de la cuenta de ahorros.11. un depósito de $100 crecería en cinco años a: $100  l.1 2 1.11. podemos determinar que 1. Lo que debemos encontrar es la media geométrica.G.G. llamada simplemente la M.  P ro du cto deto doslo sv alo res x n  1.18)/5  1. que corresponde a una tasa de interés promedio del 11% anual. 347 ←⎯⎯⎯⎯⎯ Factor de crecimiento promedio Este factor de crecimiento corresponde a una tasa de interés promedio del 235% anual.56 127.00 115.000 en más de $10. (Calculamos estos factores de crecimiento del mismo modo que en la tabla 3-9. tenga cuidado de no verse tentado a utilizar la media aritmética en lugar de la geométrica.07 1. 200.12 1. El factor de crecimiento como media aritmética es de (2  3  3. por ejemplo. En este caso.88 Este resultado excede al resultado real de $42.08 1. que corresponde a un factor de crecimiento de 2. Esto se debe a que las tasas de interés son relativamente pequeñas.18 $107.521.5  4  5)/5  3. el uso de la media apropiada conduce a una diferencia significativa.88 en cinco años: $100  3.5  3.12 142.4 Una buena sugerencia de trabajo es usar la media geométrica siempre que se desee calcular el cambio porcentual promedio en el tiempo para algunas variables.500. Utilicemos la fórmula para obtener la media geométrica de una serie de números para determinar el factor de crecimiento correcto: M.521.  pro du cto deto doslo sv alo res x n [3-6]  2 3 3. los bancos pagan tasas de interés anual de 100. Se usa la media geométrica para mostrar los efectos multiplicativos en el tiempo de los cálculos del interés compuesto y la inflación. pero incluso diferencias pequeñas pueden generar malas decisiones. 3.00 Tabla 3-9 Crecimiento de un depósito de $100 en una cuenta de ahorros  1.1093 ←⎯⎯⎯⎯⎯ Factor de crecimiento promedio (media geométrica de los 5 factores de crecimiento) Advertencia: utilice la media apropiada Observe que la tasa de interés promedio correcta del 10.G. un depósito inicial de $100 crecerá a $100  2  3  3. los bancos deben pagar altas tasas de interés para atraer a los ahorradores. Sin embargo.37 168.10 1.5  3. que es más complicada. En ciertas situaciones. las respuestas obtenidas con la media aritmética no difieren mucho de las correspondientes a la media geométrica.93% anual obtenida con la media geométrica está muy cerca de la tasa promedio incorrecta del 11% anual obtenida con la media aritmética.5.5  4  5  $42. El siguiente ejemplo nos muestra por qué. En las economías con un alto índice de inflación. Cuando vea el valor del incremento promedio en la inflación. pues se está manejando un valor incorrecto. Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica 75 .5  $52. 300 y 400%.5  3.000. entonces $100 crecerían a $52.5  3. Sin embargo.6 79965 5  1. 3. un error considerable. Esto corresponde a una tasa de interés promedio anual del 250%. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES 3.Año Tasa de interés (porcentaje) Factor de crecimiento Ahorros al final de año (dólares) 1 2 3 4 5 7% 8 10 12 18 1. pregunte si se trata de la media geométrica y tenga cuidado si no lo es.5. si el banco en realidad pagara intereses a una tasa constante de 250 anual.) En cinco años. Suponga que en un periodo de cinco años en un régimen económico con un muy alto índice de inflación.5  4 5 5  420 5  3. 4 y 5. 250. 4 Ejercicios de autoevaluación EA EA 3-5 3-6 El crecimiento en el gasto por deudores morosos de Johnston Office Supply Company durante los últimos años es el siguiente. Calcule el cambio porcentual promedio en el valor neto durante este periodo. ha publicado un incremento en su valor neto durante 7 de los últimos 9 años. y utilice el resultado para estimar la producción en 1999.30 76 1992 Capítulo 3 Semana 2 $2. Si esta tasa continúa. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento promedio semanal en el precio por pie cuadrado que pagó por la cubierta? Lisa’s Quick Stop atrae a sus clientes con la venta de leche a un precio 2% menor que la tienda de abarrotes más grande del pueblo.03 0. la grabadora Dynamic 400-S VHS costaba $300.06 La compañía Birch. Calcule el incremento promedio porcentual del gasto por deudores morosos durante ese periodo. a $1.0% 6.250 14. el gigante de software en Estados Unidos. llega a un resultado de 1. 1.11 0.30.5% ¿Cuál es el aumento porcentual promedio del valor neto en el periodo de 5 años? MacroSwift.36 $2. 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 0. Suponga condiciones similares en los 3 años siguientes y estime el cambio porcentual para 1998 respecto a 1996. a $1.075 0.19.5% 9.09 0. ¿Cuál era ese factor de crecimiento? En un periodo de 3 semanas.08 0.Ejercicios 3. estime el incremento porcentual para 1977 respecto a 1995.23.0% 7.36 $2.630 Calcule el aumento porcentual promedio de unidades producidas en este periodo.741 17.42 $2.07 0.15. $240 y $225.10 y la tercera. 1. ¿A qué tasa promedio mensual ha disminuido el precio de venta de Realistic en estos 4 meses? Aplicaciones ■ ■ ■ 3-22 3-23 3-24 ■ 3-25 ■ 3-26 ■ 3-27 Hayes Textiles ha mostrado los siguientes aumentos porcentuales en su valor neto durante los últimos 5 años: 1993 1994 1995 1996 5% 10.120 Las tiendas Realistic Stereo etiquetan su mercancía 35% arriba del costo de su última adición al inventario. fabricante de tableros de circuitos eléctricos.11 0.04 0. hizo la adquisición en tres compras de $40 cada una.24 $2. Durante los últimos 4 meses Realistic recibió 4 embarques mensuales de esta grabadora con los siguientes costos unitarios: $275.35. ha producido el siguiente número de unidades en los últimos cinco años: 1992 1993 1994 1995 1996 12. $250. la segunda.08 0.095 0.42 Semana 3 Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 7 Semana 8 $2.500 13. Bob Headen desea calcular el factor de crecimiento promedio de su tienda de aparatos de sonido en los últimos 6 años. ¿Cuál es el cambio porcentual promedio del precio en la tienda de Lisa? Semana 1 $2.24.310 15.09 0.19 y 1.49 $2.11 0. utilizando una media geométrica.14 0. Los factores de crecimiento individuales de los últimos 5 años fueron 1. Los siguientes son los precios de un galón de leche durante un periodo de 2 meses. La primera compra fue a $1. Hasta hace 4 meses.00 el pie cuadrado.108 0. 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 0. pero Bob perdió los registros del sexto año después de haber calculado la media.49 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . 1. el dueño de una tienda adquirió $120 de cubierta de acrílico para forrar sus nuevos mostradores. 675% anual. si hay un número par de observaciones. $61.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana Definición de mediana La mediana es una medida de tendencia central diferente a cualquiera de las que hemos tratado hasta ahora.G.94% mensual. Durante los últimos 5 años.7 500  0.0694 M.9600 y 225/240  0. $65.1 08)( 1. Si aplicamos es3. la población del reclusorio crecía a una tasa de alrededor del 2% anual. De acuerdo con la ecuación 3-7. Cálculo de la mediana a partir de datos no agrupados Localización de la mediana de datos no agrupados Para hallar la mediana de un conjunto de datos.9167. $58.0 9)( 1. el de en medio en el arreglo es la mediana.0 8)( 1. la mediana es: Mediana Número de elementos del arreglo n1 Mediana   -ésimo término del arreglo de datos 2  Un número impar de elementos  [3-7] Suponga que deseamos encontrar la mediana de siete elementos de un arreglo de datos.00.9375.00. La mediana es un solo valor del conjunto de datos que mide la observación central del conjunto. tiene registros del costo de procesamiento de cada pedido.00. primero se organizan en orden descendente o ascendente. este costo fue de $55.  1.■ 3-28 ■ 3-29 Industrial Suppliers.0 95)( 1. es decir. En lenguaje formal.2029.0 75)( 1. Sus datos están expresados en términos del aumento porcentual en el número de presos (un número negativo indica una disminución porcentual). La estimación de gastos por deudores morosos en 1997 es (1.9 375)  0. 20. 240/250  0.9 091)( 0. de manera que 167(0 . 250/275  0. b) Calcule el aumento porcentual promedio utilizando ahora los datos de los 6 años. ¿cuánto le costará a la empresa procesar un pedido al final de ese periodo? Un sociólogo ha estado estudiando los cambios anuales en el número de convictos asignados al reclusorio más grande del estado. ¿Cuál parece ser el efecto del nuevo reglamento? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA EA 3-5 3-6 M. Inc. ¿Cuál fue el crecimiento porcentual promedio de la empresa durante este lapso? Si esta tasa promedio se mantiene estable durante 3 años más.9 08769992  1.9 4 4 El precio ha disminuido a una tasa promedio del 6. Los factores de crecimiento mensual son 275/300  0. Esta sola observación es el elemento que está más al centro del conjunto de números.09675 7 7 El incremento promedio es 9. la mediana es el promedio de los dos elementos de en medio.  0.00 y $66. 3.G.9 600)( 0. Si el conjunto de datos contiene un número impar de elementos.00. Los datos más recientes recabados por el sociólogo son los siguientes: 1991 4% 1992 1993 1994 1995 1996 5% 10% 3% 6% 5% a) Calcule el aumento porcentual promedio utilizando sólo los datos de 1992 a 1995. la mediana es el cuarto término del arreglo (7  1)/2  4.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 77 .9306  1  0.9091. La mitad de los elementos están por arriba de este punto y la otra mitad está por debajo.29% más alto que en 1995.09675)2  1  0. Antes.1 2)  1.1 1(1 . c) En 1990 se aprobó un nuevo código penal. podemos calcular la mediana del saldo de las cuentas de cheques de estos 600 clientes determinando cuál de los 10 intervalos de clase contiene la mediana.7 4 4.0 6 5.0 o incluso 45.99). tenemos acceso a los datos hasta después de agruparlos en una distribución de frecuencias. y la mediana ¡seguiría siendo la misma! Calculemos ahora la mediana de un arreglo con un número par de elementos. Por consiguiente.2 2 4.0). Como tenemos 600 cuentas. Observe que a diferencia de la media aritmética calculada. En consecuencia.Lo mediana no se ve distorsionada por valores extremos Un número par de elementos to al ejemplo de los tiempos de los siete integrantes de un equipo de atletismo. La frecuencia acumulada para las dos primeras clases es sólo 78  123  201. tendremos un total de 388. las observaciones número 300 y 301 deben estar en esta tercera clase (el intervalo de $100. Pero cuando tomamos en cuenta al tercer intervalo de clase y sumamos 187 elementos a los 201 acumulados.8 minutos. el valor para (n  1)/2 es 300.5 del arreglo.5-ésimo término Como la mediana es el elemento número 4.0.5 (el promedio de los números 300 y 301). Este valor pudo haber sido 15. no conocemos todas las observaciones que llevaron a la tabla 3-12. Para ello. El cuarto elemento de la tabla 3-11 es 43 y el quinto 35. El promedio de estos dos elementos es igual a (43  35)/2  39. El problema consiste en encontrar los intervalos de clase que contengan a los elementos número 300 y 301.00 y se encuentran igualmente espaciados en todo el inter- Tabla 3-10 Tiempos para los integrantes de un equipo de atletismo Elemento del arreglo de datos Tiempo en minutos 1 4.00 a $149.8 ↑ Mediana 5 5.1 7 9. necesitamos calcular el promedio de los elementos cuarto y quinto. La clase de la mediana de este conjunto de datos contiene 187 observaciones.3 3 4. que contiene datos acerca de los 600 clientes bancarios considerados antes. Los datos están organizados en orden descendente.0 Tabla 3-11 Pacientes tratados en la sala de urgencias durante 8 días consecutivos 78 Capítulo 3 Elemento del arreglo de datos Número de pacientes 1 86 2 52 3 49 4 43 5 35 ↑ Mediana de 39 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 6 31 7 30 8 11 . Ésta es la mediana del tiempo del equipo de atletismo. Por ejemplo. 39 es la mediana del número de pacientes por día tratados en la sala de emergencias durante el periodo de 8 días. Si suponemos que estos 187 elementos empiezan en $100. La mediana de este conjunto de datos sería n1 Mediana   -ésimo término del arreglo de datos 2   [3-7] 81   2  4. En este caso. Cálculo de la mediana a partir de datos agrupados Búsqueda de la mediana de datos agrupados Localice la clase de la mediana A menudo. la mediana que calculamos en la tabla 3-l0 no se distorsiona por la presencia del último valor (9. No obstante. tenemos 10 intervalos de clase y un registro de las frecuencias con las que aparecen las observaciones en cada intervalo. debemos sumar las frecuencias que aparecen en la columna de frecuencias de la tabla 3-12 hasta que lleguemos al elemento número (n  1)/2. descubriremos que el cuarto elemento del arreglo es 4. Considere los datos mostrados en la tabla 3-11 referentes al número de pacientes tratados diariamente en la sala de emergencias de un hospital. 99 de la siguiente manera: Primer elemento de la siguiente clase Primer elemento de la clase de la mediana $150.00  $149.99).99 400. el promedio de las observaciones 300 y 301.267  98)  $100  $126. entonces podemos interpolar y encontrar valores para los elementos 300 y 301.00-199.00-399.30 2 Esta cantidad ($126.00   $0. Utilice la ecuación 3-7 para determinar qué observación de la distribución está más al centro (en este caso.00.267 de ancho 187 Si existen 187 pasos de $0. Primero determinamos que el elemento número 300 es la observación número 99 de la clase de la mediana: 300  201 [elementos de las primeras dos clases]  99 y que el elemento número 301 es la observación número 100 de la clase mediana: 301  201  100 Entonces podemos calcular el ancho de los 187 pasos iguales desde $100. el promedio de los elementos 300 y 301).99 150.99. entonces éste es: ($0.00  $100.99 250.5.99 Frecuencia 78 123 187 82 51 47 13 9 6 004 600 Clase de la mediana valo de clase desde $100. o $100. es decir.00-449.17  $0.00-349.49.99 450.99 300.44 como los valores de los elementos 300 y 301.99 350.267 cada uno y necesitamos 98 pasos para llegar al elemento número 99. En resumen. La mediana real de este conjunto de datos es el valor del elemento número 300.00 hasta $149.00.44 Por tanto.99. 3.17  $126. podemos usar $126.00-249. podemos calcular la mediana de un conjunto de datos agrupados de la siguiente manera: Pasos para encontrar la mediana de datos agrupados 1.99 200.17 y $126.Tabla 3-12 Clase en dólares Saldos mensuales promedio de 600 clientes 0.99 100.00-299.149. estimada a partir de los datos agrupados de la tabla 3-12.17 y el elemento número 100 está un paso más adelante: $126.00-499. Este promedio es: $126.99 50.30) es la mediana de los saldos mensuales de las cuentas de cheques.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 79 . Sume las frecuencias de cada clase para encontrar la clase que contiene a ese elemento más al centro (la tercera clase.44   $126.00 hasta $149. respectivamente.267  $126. 2. los especialistas en estadística utilizan una ecuación para determinar la mediana de un conjunto de datos agrupados.267). F  201. 80 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . Para una muestra.5   $50  $100 187  (0. Determine el ancho de cada paso para pasar de una observación a otra en la clase mediana. w  $50 y Lm  $100. Determine el número de elementos de la clase (187) y la localización de la clase que contiene a la mediana (la observación 300 fue el elemento número 99. 7. tome el promedio de los valores obtenidos para la mediana calculados en el paso número 6 ($126.17.44). 5. $126. la observación 301.267  $126.3. como en nuestro ejemplo.30).35 ← Mediana de la muestra estimada La pequeña diferencia entre este resultado y el que calculamos siguiendo el camino largo se debe al redondeo. 99 para el 100). Calcule el valor estimado de la mediana multiplicando el número de pasos necesarios para llegar a la observación mediana por el ancho de cada paso y al producto súmele el valor del límite inferior de la clase mediana ($100  98  $0. pero sin incluir.267  $126. la clase de la mediana • fm  frecuencia de la clase de la mediana • w  ancho de intervalo de clase • Lm  límite inferior del intervalo de clase de la mediana Si utilizamos la ecuación 3-8 para calcular la mediana de nuestra muestra referente a los saldos de cuentas de cheques. la ecuación sería: Mediana de la muestra para datos agrupados   (n  1)/2  (F 1) m˜   w  Lm fm [3-8] donde. Determine el número de pasos que hay desde el límite inferior de la clase de la mediana hasta el elemento correspondiente a la mediana (98 pasos para el elemento número 99. Si existe un número par de observaciones en la distribución. fm  187. 4. 6.17  $0. Un método más sencillo Para hacer más corto el procedimiento anterior.527)($50)  $100  $126. dividiendo el intervalo de clase entre el número de elementos contenidos en la clase (ancho  $0. • m˜  mediana de la muestra • n  número total de elementos de la distribución • F  suma de todas las frecuencias de clase hasta. entonces n  600.   (n  1)/ 2  (F  1) m˜   w  Lm fm  [3-8]  601/2  202   $50  $100 187   98. el 100). 5 350-399. debido a que la mediana es una posición promedio. 4.24 1.98 1. Suponga.5 150-199.Ventajas y desventajas de la mediana La mediana tiene varias ventajas respecto a la media. También. $1. 213 y 347. casi todo lo que calcule con esos datos tendrá defectos o limitaciones. debemos ordenar los datos antes de llevar a cabo cualquier cálculo.22 1. mostrada en el ejemplo del equipo de atletismo de la tabla 3-10.5 72 63 36 18 3. Ciertos procedimientos estadísticos que utilizan la mediana son más complejos que aquellos que utilizan la media. por ejemplo. en dólares. es que los valores extremos no afectan a la mediana de manera tan grave como a la media.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 81 . SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Ejercicios 3. La mediana es fácil de entender y se puede calcular a partir de cualquier tipo de datos. Podemos encontrar la mediana incluso cuando nuestros datos son descripciones cualitativas como color o nitidez.5 400-449. es decir la tercera (nítida). La buena noticia es que calcularla es bastante rápido y evita el efecto de valores muy grandes o muy pequeños.5 450-499. incluso a partir de datos agrupados con clases de extremo abierto como la distribución de frecuencias de la tabla 3-7.5 250-299. La mediana de las cinco clasificaciones es la (5  1)/2. c) El ancho de los pasos iguales en la clase de la mediana. que tenemos tres tirajes de una prensa de imprenta. Podemos ordenar los resultados desde mejor hasta peor: extremadamente nítida. Los precios siguientes. la media es más fácil de usar que la mediana. Si la distribución se ve poco usual. que no tiene relación aparente con ninguno de los otros valores de la distribución. muy nítida. Para los valores 2. c) ¿Cuál es la mejor medida de tendencia central de estos datos? Para la siguiente distribución de frecuencias.33 1. la mediana es 40. b) Calcule la media del precio por libra. 40. La más importante.08 1. La mala noticia es que se sacrifica cierta exactitud al elegir un solo valor para representar una distribución. Clase Frecuencia Clase Frecuencia 100-149. 100. en lugar de números. corresponden a una libra de tocino. verificados la semana pasada.14 1. a menos que la mediana entre en una clase de extremo abierto. determine: a) La clase de la mediana.5 Ejercicios de autoevaluación EA 3-7 Swifty Markets compara los precios de artículos idénticos vendidos en sus tiendas de alimentos. Ventajas de la mediana Desventajas de la mediana Hay buenas y malas noticias respecto al uso de la mediana. ligeramente borrosa y muy borrosa. si deseamos utilizar un estadístico de la muestra para estimar un parámetro de la población. Por consiguiente. d) El valor estimado de la mediana para estos datos. La mediana tiene también algunas desventajas. Esto implica consumo de tiempo para cualquier conjunto de datos que contenga un gran número de elementos.09 1.05 a) Calcule la mediana del precio por libra. b) El número de elemento que representa la mediana. 5.55 1.5 200-249.5 12 14 27 58 300-349. Advertencia: antes de hacer cálculos revise los datos con su propio sentido común. Los resultados deben clasificarse de acuerdo con la nitidez de la imagen. nítida. En el capítulo 7 analizaremos el tema de la estimación con detalle.08 EA 3-8 0. A continuación presentamos registros del kilometraje semanal: 810 1.99. gerente de la Quality Upholstery Company. b) Calcule el número medio de canales proporcionados. b) Utilice la ecuación 3-3 para calcular la media de estos datos. c) Compare el resultado de los incisos a) y b) y explique cuál es la mejor medida de la tendencia central de los datos.450 ■ 3-31 ■ ■ 3-32 3-33 3-34 756 469 789 890 210 987 28 31 15 25 14 12 82 3-35 589 788 488 943 876 447 689 775 29 22 28 29 32 33 24 26 8 35 a) Calcule la mediana del número de canales proporcionados.9 5 13 16 8 6 a) Utilice la ecuación 3-8 para estimar la mediana del peso de los peces.5 90-99.49.74. De la siguiente muestra de datos (en minutos) ¿puede usted ayudar al departamento a determinar si conducen los autobuses con exceso de velocidad? Si de los datos concluye que la velocidad fue excesiva. debido a los Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . El Consumer’s Bureau de Carolina del Norte realizó una encuesta acerca de los proveedores de televisión por cable en el estado. se encuentra investigando cantidad de material utilizado en los trabajos de tapicería de la empresa. El Departamento de Transporte de Chicago cree que el exceso de velocidad de los autobuses aumenta el costo de mantenimiento. ¿Son cercanas entre sí sus dos estimaciones? Clase Frecuencia 10-19.9 25. ¿qué explicación podrían darle los conductores de los autobuses? 17 29 33 52 44 ■ 657 559 a) Calcule la mediana del kilometraje que recorre un camión.5 40-49. Piensa que la mediana de los tiempos razonable para el recorrido del aeropuerto O’Hare al Centro John Hancock debería ser alrededor de 30 minutos.Aplicaciones ■ 3-30 La empresa Meridian Trucking lleva un registro del kilometraje de todos sus vehículos.5 30-39.5 50-59.5 20-29.5 70-79.9 75. La cantidad varía de un trabajo a otro.5 100 o más Frecuencia 52 84 97 16 5 Los siguientes datos representan el peso de los peces atrapados por el bote deportivo “El Fugitivo”: Clase Frecuencia 0.5 80-89. b) Calcule la media para el kilometraje de los 20 camiones.24.5 8 15 23 37 46 Clase 60-69.9 50. Los siguientes datos se refieren al número de canales que ofrecen en el servicio básico: 32 ■ 450 560 32 19 22 29 34 21 29 28 43 30 22 34 33 39 41 Mark Merritt.9 100-124. c) Compare los incisos a) y b) y comente cuál es la mejor medida de tendencia central de los datos. c) ¿Qué valor es la mejor medida de tendencia central para estos datos? Para la siguiente distribución de frecuencias: a) ¿Qué número representa la mediana? b) ¿Qué clase contiene la mediana? c) ¿Cuál es el ancho de los pasos iguales en la clase de la mediana? d) ¿Cuál es el valor estimado de la mediana para estos datos? e) Utilice la ecuación 3-8 para estimar la mediana de los datos. 09 1.24 1.5 450-499.7344 2 3.3872 (150) 327.066 750-999. en contra. ¿cuál es la mediana? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-7 Primero se arreglan los precios en orden ascendente: 0. EA 3-8 a) b) c) d) Clase Frecuencia Frecuencia acumulada 100-149.5 350-399.99 52 337 1. De las seis respuestas.776 1.99 1.5 300-349.5 150-199.5 250-299.55 1.000 o más 1. pero en realidad no hay una diferencia notoria.5 Promedio de los datos 150 y 151 Ancho de paso  50/72  0.5 12 14 27 58 72 63 36 18 12 26 53 111 183 246 282 300 Clase de la mediana  300-349.99 500-749. utilice la mediana para predecir cuántos metros de material se van a necesitar.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 83 . ■ 3-36 ■ 3-37 51/4 53/8 61/4 6 6 61/4 77/8 8 91/4 91/2 91/2 97/8 101/2 101/4 51/2 57/8 6 57/8 53/4 57/8 61/2 7 71/2 81/4 81/2 9 93/8 91/8 91/4 101/4 101/2 97/8 101/8 101/8 10 Si se tienen programados 150 trabajos para las siguientes 3 semanas.0816 300  39(0. un poco de acuerdo.4688 Mediana    32.6944)  326.76 b) x      $1.05 1.492 Un investigador obtuvo las respuestas siguientes a una de las preguntas incluidas en una encuesta de evaluación: totalmente en contra. el promedio de los datos 5 y 6 2 x 11.5 200-249.176 n 10 c) Debido a que los datos están ligeramente sesgados.22 1. la mediana puede ser un poco mejor que la media. Verifique su resultado usando la ecuación 3-8. de acuerdo.09  1. determine la mediana utilizando el método descrito anteriormente.14 1. altamente de acuerdo. Merrit reunió los datos siguientes (en yardas) de los trabajos hechos la semana anterior.08 1. ligeramente en contra. Si la cantidad de reclamaciones por accidentes automovilísticos a una compañía de seguros muestra la siguiente distribución.14 a) Mediana    $1.6944 300  38(0.diferentes estilos y tamaños de los muebles.4688 653.98 1. Monto de reclamaciones ($) Frecuencia Monto de reclamaciones ($) Frecuencia menos que 250 250-499.6944)   (151) 653.33 1.08 1.115.5 400-449. a la cual podemos llamar clase modal. Si seleccionamos la clase que tiene el mayor número de observaciones. La tabla 3-13. • LMO  límite inferior de la clase modal • d1  frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente menor que ella Tabla 3-13 Viajes de entrega por día en un periodo de 20 días Viajes organizados en orden ascendente 0 0 1 2 2 4 5 5 6 7 7 8 15 15 15 1 4 6 12 19 } ← Moda Tabla 3-14 Distribución de frecuencias de los viajes de entrega 84 Capítulo 3 Clase de número de entregas Frecuencia 0-3 6 4-7 8-11 8 1 ↑ Clase modal Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 12 o más 5 . el azar hace que un solo elemento no representativo se repita lo suficiente para ser el valor más frecuente del conjunto de datos. ya que se presenta más a menudo que cualquier otro valor (tres veces). Es por esto que rara vez utilizamos la moda de un conjunto de datos no agrupados como una medida de tendencia central. El valor modal es 15. La moda nos dice que 15 es el número más frecuente de viajes.7 (6. Por esto. pero no nos indica que la mayor cantidad de viajes está por debajo de 10. Como en todos los demás aspectos de la vida.6 Una medida final de tendencia central: la moda Definición de moda Riesgos al usar la moda de datos no agrupados Búsqueda de la clase modal de datos agrupados La moda es una medida de tendencia central diferente de la media. Cálculo de la moda de datos agrupados Cuando los datos ya se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias. Para determinar un solo valor para la moda a partir de esta clase modal. pero un tanto parecida a la mediana. siempre que utilizamos la moda como una medida de tendencia central de un conjunto de datos. podemos suponer que la moda está localizada en la clase que contiene el mayor número de elementos. como en la tabla 3-14. elegimos 4-7 viajes. La moda es el valor que más se repite en el conjunto de datos. Esta clase es más representativa de la actividad de la revolvedora que la moda de 15 viajes diarios. Agrupemos ahora estos datos en una distribución de frecuencias. en la clase que tiene la mayor frecuencia. por ejemplo. presenta el número de viajes de entrega por día que hace una revolvedora de concreto. es decir. el azar puede desempeñar un papel importante en la organización de datos. En ocasiones. pues en realidad no se calcula mediante algún proceso aritmético ordinario. debemos calcular la moda de datos agrupados. Una moda de 15 implica que la actividad de la planta es mayor que 6. utilizamos la ecuación 3-9: Moda   d1 Mo  LMo   w d1  d2 [3-9] donde.7 es el resultado al calcular la media).3. 00 ← Moda El resultado obtenido.d2  frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase inmediatamente mayor que ella w  ancho del intervalo de la clase modal • • Si utilizamos la ecuación 3-9 para calcular la moda del saldo de las cuentas de cheques de nuestro ejemplo (vea la tabla 3-12). $119. Ambos aparecen tres veces. d2  187  82  105 y w  $50. es la estimación de la moda. tiene dos modas y se le conoce como distribución bimodal. Tabla 3-15 Errores organizados en orden ascendente Errores de facturación por día en un periodo de 20 días 0 0 1 1 1 } 2 4 4 ← Moda 4 5 } ← Moda 6 6 9 9 7 8 8 10 12 12 FIGURA 3-6 Datos de la tabla 3-15 que muestran una distribución bimodal Frecuencia 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Número de errores 3. Observe que hay dos puntos que son los más altos de la gráfica. Esta distribución. entonces LMO  $100. Distribuciones multimodales Distribuciones bimodales ¿Qué sucede cuando tenemos dos valores diferentes y cada uno parece ser el mayor número de veces que aparece un valor en un conjunto de datos? En la tabla 3-15 se muestran los errores de facturación en un periodo de 20 días cometidos en las oficinas administrativas de un hospital. se graficaron los datos de la tabla 3-15.   d1 Mo  LMo   w d1  d2 [3-9] 64  $100   $50 64  105  $100  (0. La distribución de la figura 3-7 se conoce también como bimodal. entonces. d1  187  123  64.38)($50)  $100  $19  $119. Es claro que estos puntos son mayores que los valores más cercanos de la frecuencia observada. Se presentan con los valores correspondientes a 1 y 4 errores de facturación.6 8 9 10 11 12 Una medida final de tendencia central: la moda 85 . Observe que tanto 1 como 4 parecen ser el mayor número de errores del conjunto de datos. En la figura 3-6. aunque en este caso los dos valores más altos no sean iguales. la mediana está a la derecha de la moda y la media se encuentra todavía más a la derecha de la moda y la mediana. podemos hablar de estilos modales cuando. no existe un valor modal debido a que el conjunto de datos no contiene valores que se presenten más de una vez. Una tercera ventaja de la moda es que la podemos utilizar aun cuando una o más clases sean de extremo abierto. se puede utilizar como una posición central para datos tanto cualitativos como cuantitativos. cada valor es la moda. Comparación de la media. Note. la moda todavía se encuentra en el punto más alto de la distribución. igual que la mediana. También. A pesar de estas ventajas. como la gráfica (a) de la figura 3-8. al igual que la mediana. la mediana y la moda La media. tres o más modas. Resulta claro que la moda es una medida inútil en tales casos. por ejemplo. como se usan la media y la mediana. En una distribución con sesgo positivo (es decir. que la tabla 3-14 contiene la clase de extremo abierto “12 viajes o más”. los valores extremos no afectan indebidamente a la moda. Podemos utilizar la moda sin importar qué tan grandes o qué tan pequeños sean los valores del conjunto de datos e independientemente de cuál sea su dispersión. Las distribuciones simétricas que sólo contienen una moda siempre tienen el mismo valor para la media. los clientes de una mueblería prefieren muebles tipo “colonial” sobre cualquier otro estilo. pues cada uno de ellos se presenta el mismo número de veces.Moda Moda FIGURA 3-7 Distribución bimodal con dos modas distintas Ventajas y desventajas de la moda Ventajas de la moda Desventajas de la moda La moda. es difícil interpretarlos y compararlos. “nítida”. En esos casos. debemos decidir si vamos a utilizar la media. Si una prensa estampa cinco impresiones que podemos clasificar como “muy nítida”. escogemos el valor más frecuente del conjunto de datos como el valor modal. sesgada a la derecha). pues ya está hecha la selección. Muchas veces. la mediana y la moda 86 Capítulo 3 Media Moda Media Moda Mediana Mediana (a) (b) Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . entonces el valor modal es “nítida”. Otra desventaja consiste en que cuando los conjuntos de datos contienen dos. FIGURA 3-8 Distribuciones con sesgo (a) positivo y (b) negativo que muestran las posiciones de la media. la mediana y la moda son idénticas en una distribución simétrica Cuando trabajamos problemas de estadística. “nítida” y “borrosa”. Aun cuando los valores extremos sean muy altos o muy bajos. En otras ocasiones. “nítida”. la mediana y la moda. la mediana o la moda como medidas de tendencia central. no es necesario escoger la medida de tendencia central. por ejemplo. De manera análoga. la moda no se utiliza tan a menudo como medida de tendencia central. Al manejar los efectos acumulados de la inflación o el interés. Sugerencia: al intentar decidir los usos de la media. ni la distorsionan los valores extremos como la media. Si existen 500 casas nuevas en un desarrollo urbano. los diseñadores de automóviles tomarán mejores decisiones si usan el valor modal de 2. Compare sus repuestas a los incisos b) y c) y comente cuál de las dos medidas de tendencia central es más adecuada para estos datos y por qué. la moda sigue siendo el punto más alto de la distribución. c) Compare los incisos a) y b) y comente cuál es la mejor medida de tendencia central de estos datos. la mediana está a la izquierda y la media se encuentra todavía más a la izquierda de la moda y la mediana. Las edades de una muestra de estudiantes que asisten a Sandhills Community College este semestre son: 19 18 55 a) b) c) d) 17 33 19 15 32 22 20 29 25 23 24 28 41 19 30 33 18 44 21 20 19 18 17 20 20 22 39 Construya una distribución de frecuencias con intervalos 15-19. se requiere la media geométrica si se desea exactitud. entonces la mediana es mucho más rápida y también bastante exacta. todas con va- lores que no difieren en más de $10. Aplicaciones ■ 3-38 Un bibliotecario encuestó a 20 personas al salir de la biblioteca y les preguntó cuántos libros habían sacado. la mediana o la moda como medidas de tendencia central para diferentes poblaciones. debido a que siempre está entre la moda y la media. 25-29. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Ejercicios 3.6 Una medida final de tendencia central: la moda 87 . En cualquier otro caso. Ahora calcule la media de los datos sin procesar.65 hijos. sesgada a la izquierda). Si se obtiene el promedio de un pequeño grupo de salarios en una fábrica bastante cercanos entre sí.000. de acuerdo con las líneas generales que se analizaron. Estime el valor de la moda mediante la ecuación 3-9. debe pensarse en las situaciones prácticas en las que cada una de ellas tiene más sentido. b) Calcule la media para este conjunto de datos. Un ejemplo de sentido común: aunque es cierto que la familia promedio tiene 1. Cada caso deberá considerarse de manera independiente. La frecuencia de ocurrencia de un solo valor no influye mucho en la mediana como es el caso de la moda. la media aritmética es muy exacta y se calcula rápidamente. b) Calcule la media para este conjunto de datos. la mediana y la moda. 20-24.La mediana puede ser la mejor medida de posición en distribuciones sesgadas En una distribución con sesgo negativo (es decir. ¿Es la media o la moda una mejor medida de tendencia central para estos datos? 3.6 Ejercicios de autoevaluación EA 3-9 Las siguientes son las edades en años de los automóviles en los que trabajó Village Autohaus la semana pasada: 5 EA 3-10 6 3 6 11 7 9 10 2 4 10 6 2 1 5 a) Calcule la moda para este conjunto de datos. no existen guías universales para la aplicación de la media. 30-34 y 35 o más. como en la gráfica (b) de la figura 3-8.0 niños. la mediana suele ser la mejor medida de posición. c) Grafique los datos de la frecuencia contra el número de libros sacados. Cuando la población está sesgada negativa o positivamente. Las respuestas fueron las siguientes: 1 0 2 2 3 4 2 1 2 0 2 2 3 1 0 7 3 5 4 2 a) Calcule la moda de este conjunto de datos. . Carolina del Norte. c) Calcule la mediana del conjunto de datos.99 4-4.9 72-76. Compare sus respuestas a los incisos b) y c) y comente cuál de las dos es mejor medida de tendencia central para estos datos y por qué.99 6-6. Calcule la media de los datos sin procesar.9 57-61. Estime el valor de la moda con la ecuación 3-9.99 3-3. se desea que las medidas utilizadas reflejen los datos tanto como sea posible. a) Calcule la media del conjunto de datos.9 52-56. diversa. . desarrolló la distribución de frecuencias siguiente: Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . (a) Color de cabello Frecuencia ■ Clase Negro 11 Castaño 24 Pelirrojo 6 Rubio 18 AB 4 O 12 A 35 B 16 Lunes 22 Martes 10 Miércoles 32 Jueves 17 Viernes 13 Sábado 32 Domingo 14 Los siguientes datos se refieren al número de departamentos en 27 complejos en la ciudad de Cary. b) y c) que mejor refleje la tendencia central de los datos y justifique su elección. 91 88 95 79 97 89 66 92 86 98 87 98 127 142 145 139 127 129 154 184 149 147 145 158 192 162 241 a) b) c) d) ■ ■ 3-42 3-43 Construya una distribución de frecuencias usando los intervalos 66-87. b) Calcule la moda del conjunto de datos.9 77-81. 220-241.99 1-1. .■ 3-39 ■ 3-40 La edad de los residentes de Twin Lakes Retirement Village tiene la siguiente distribución de frecuencias: 47-51. d) Seleccione la respuesta entre los resultados de los incisos a).9 4 9 13 42 39 20 9 ¿Cuáles son los valores modales para las siguientes distribuciones? (b) Tipo de sangre Frecuencia (c) Día de nacimiento Frecuencia 3-41 Frecuencia Estime el valor modal de la distribución utilizando la ecuación 3-9.: Días 0-0.99 2-2. Inc. Con datos disponibles acerca de los ingresos obtenidos en el verano por todos los estudiantes que han solicitado ayuda económica a la oficina. se sabe que el informe sobre las pruebas circulará ampliamente y se usará como base para una legislación sobre los impuestos a las concesiones de los sistemas. Estime la moda de la distribución dada en el ejercicio 3-36.9 62-66. En consecuencia.99 5-5. 88-109. 3-44 Ed Grant es director de la Oficina de Becas Estudiantiles del Wilderness College. El número de sistemas de calentamiento solar disponibles al público es bastante grande y su capacidad de almacenamiento de calor. A continuación presentamos una distribución de la capacidad de almacenamiento de calor (en días) de 28 sistemas que fueron probados recientemente por University Laboratories. .99 ■ 88 Capítulo 3 Frecuencia 2 4 6 7 5 3 1 En los laboratorios.9 67-71. 7 Dispersión: por qué es importante Necesidad de medir la dispersión o lo variabilidad Al inicio de este capítulo.500-1. pero uno con mayor dispersión que el otro.500-2. Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos. EA 3-10 a) Clase Frecuencia 15-19 10 20-24 9  25-29 3 30-34 4 35 4  10 d1 b) Mo  LMO   w  15   5  19. 3.Ingresos en el verano Número de estudiantes $ 0.999 2. en la figura 3-2.33 n 30 d) Debido a que esta distribución está muy sesgada.499 1. y ésta tiene menor variabilidad que la C. la moda es una mejor medida de tendencia central. Esto sucede también con las tres distribuciones de la figura 3-9.8 n 15 c) Como la frecuencia modal es sólo 3 y los datos son razonablemente simétricos. c) Si las becas a los estudiantes están restringidas a aquellos cuyos ingresos en el verano fueron por lo menos 10% menores que la ganancia modal. La media de las tres curvas es la misma. la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que debemos conocer acerca de las características de los Curva A Curva B FIGURA 3-9 Tres curvas con la misma media pero diferente variabilidad Curva C Media de A. ¿cuántos solicitantes obtienen la beca? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-9 a) Moda  6 x 87 b) x      5. estaremos pasando por alto una diferencia importante que existe entre las tres curvas.55 d1  d2 10  1 x 760 c) x      25. b) Utilice la ecuación 3-9 para encontrar la moda de los datos que utilizó Ed.999 1. mostramos dos conjuntos de datos con la misma posición central.499 500. pero la curva A tiene menor separación (o variabilidad) que la curva B. la media es mejor medida de tendencia central.499 2.000 o más 231 304 400 296 123 68 23 a) Encuentre la clase modal del conjunto de datos.000-1. B y C 3.000-2. la media. Si medimos sólo la media de estas tres distribuciones.7 Dispersión: por qué es importante 89 .999 3. 82 m). En el fútbol americano. Segundo. quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras.Usos de las medidas de dispersión Usos financiero y en control de la calidad datos. como los que representa la curva C de la figura 3-9. quedaría despedido si se presenta con un aspirante de 4 pies (1.0 (b) ¿Cuál de las siguientes no es una razón válida para medir la dispersión de una distribución? a) Indica la confiabilidad del estadístico empleado para medir la tendencia central. la posición central es menos representativa de los datos. separación o variabilidad. b) Permite comparar varias muestras con promedios similares. o esto presenta riesgos inaceptables.6 yardas por jugada. Un reclutador de la Fuerza Aérea de Estados Unidos que busca capacitar pilotos que en promedio midan 6 pies (1. De manera similar. Ejercicios 3. pero que oscila desde muy pura hasta muy impura puede ser peligrosa para la vida humana. d) Atrae la atención respecto a problemas asociados con distribuciones que tienen una variabilidad muy grande o muy pequeña. debemos medir también su dispersión. que cuando éstos se agrupan más cerca alrededor de la media. ignorar la dispersión de los datos puede causar problemas graves.0 (a) ■ 90 3-46 2.6  4 jugadas es más que las 10 SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES yardas necesarias para conservar el balón. como en la curva A de la misma figura. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . c) Utiliza más datos para describir una distribución.6 yardas. en teoría. En algunas secciones de clase turista es común encontrar anchos de asientos de sólo 19″. ya que existen problemas característicos para datos muy dispersos.7 Conceptos básicos ■ 3-45 ¿Para cuál de las siguientes distribuciones la media es más representativa de los datos como un todo? ¿Por qué? 2. los expertos en el control de la calidad analizan la dispersión de los niveles de calidad de un producto. afectan al invencible promedio teórico de 3. nos proporciona información adicional que nos permite juzgar la confiabilidad de nuestra medida de tendencia central. Una medicina cuya pureza promedio es buena. Para aumentar nuestro entendimiento del patrón de los datos. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto del centro de distribución.43 m). debemos ser capaces de reconocer esa dispersión amplia para poder abordar esos problemas. Los fabricantes de asientos para aviones hacen una suposición de la forma del viajero promedio. un poco de mala suerte y una pérdida ocasional de 20 yardas. como un todo. ¿Por qué es tan importante entender y medir la dispersión de la distribución? Primero. necesitamos poder reconocerla y evitar elegir distribuciones que tengan las dispersiones más grandes. Para alguien que pesa 250 libras (cerca de 113 kg) y usa talla 44. Tercero. Si los datos se encuentran muy dispersos. debe ganar todos los juegos porque 3. Los analistas financieros están preocupados por la dispersión de las ganancias de una empresa. En la cláusula “razón de despido” de su expediente personal deberá decir “ignoró la dispersión”. Las ganancias ampliamente dispersas —que van desde extremadamente altas a extremadamente bajas e incluso a niveles negativos— son indicativas de un riesgo mayor para los accionistas y para los acreedores que las ganancias que permanecen relativamente estables. Advertencia: no invierta mucho en promedios a menos que sepa que la dispersión es pequeña. Un equipo que en promedio recorre 3. Sin embargo. sentarse en un asiento de 19″ es como ponerse un zapato apretado. por otro lado.22 m) de estatura y otro de 8 pies (2. no tome en cuenta la media de las curvas de la figura 3-9 y considere sólo la variabilidad de la distribución. permite a los profesores planear mejor el programa académico. En esta sección.8 Rangos: medidas de dispersión útiles Tres medidas de distancia La dispersión puede medirse en términos de la diferencia entre dos valores seleccionados del conjunto de datos. Establezca brevemente las razones que lo llevaron a elegir esas distribuciones. los educadores necesitan probar los niveles de conocimientos y habilidades de los estudiantes. f) El porcentaje de tiros a la canasta lanzados por cada jugador de una liga profesional de básquetbol durante la temporada de 80 juegos. Con la evidencia disponible. Las curvas que se muestran a continuación representan las distribuciones basadas en resultados anteriores de dos pruebas distintas.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 91 . ¿Cuál de ellas seleccionaría usted como mejor opción para los propósitos de los profesores? A ■ 3-48 B Una empresa que usa dos métodos diferentes para enviar pedidos a sus clientes encontró las siguientes distribuciones del tiempo de entrega para los dos métodos. Al hacer su elección. ¿qué método de envío recomendaría? 2. y presidentes de las diferentes comisiones de la misma cámara. el rango interfractil y el rango intercuartil. a) El número de puntos obtenidos por cada jugador de una liga profesional de básquetbol durante la temporada de 80 juegos. estudiaremos tres de las llamadas medidas de distancia: el rango. Explique brevemente la razón de cada elección. e) El promedio de calificaciones de cada estudiante de una universidad estatal que ha sido aceptado en el posgrado.0 (b) De las tres curvas de la figura 3-9. c) El promedio de calificaciones de cada uno de los 15. según los registros históricos. escoja la que sirva mejor para describir la distribución de las edades de los grupos siguientes: miembros del Congreso. Tomar en cuenta las diferencias individuales de cada uno de ellos. miembros recientemente electos de la Cámara de Diputados.000 estudiantes de una universidad estatal. b) El salario de cada una de las 100 personas que trabajan en empleos aproximadamente iguales en el gobierno federal.0 (a) ■ 3-49 ■ 3-50 ■ 3-51 2.Aplicaciones ■ 3-47 Para medir el éxito escolar. 3. d) El salario de cada una de las 100 personas que trabajan en empleos aproximadamente iguales en una empresa privada. Haga sus elecciones con base sólo en la variabilidad de las distribuciones. ¿De qué manera cree que debe aplicarse el concepto de variabilidad a una investigación que realiza la Secretaría de Comercio (SC) con el propósito de determinar la posibilidad de que un grupo de fabricantes fije los precios de los productos? Escoja cuál de las tres curvas que se muestran en la figura 3-9 describe mejor la distribución de las siguientes características de diferentes grupos. 3. 041 1. Entonces.000. Empezamos por dividir las observaciones en tercios. 25% de los datos cae en el vigésimo quinto percentil o es menor que éste.041 ← 1/3 fractil Segundo tercio Último tercio 1. la diferencia entre los valores de los dos fractiles. Se dará cuenta que los fractiles son parecidos a los porcentajes.138 1. Para el hospital Valley Falls.25 o abajo de éste.000  $863. Recuerde también que las distribuciones de extremo abierto no tienen rango.883 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .138 1. Es fácil entender y encontrar el rango.354 903 1.698 1. La mediana.745 1. aunque los valores que caen entre el más alto y el más bajo sean bastante parecidos. El rango de los pagos anuales a Cumberland es $1.33% de los elementos está en $1.354 1. Debido a que sólo mide dos valores.883. es el fractil 0. Suponga que deseamos encontrar el rango interfractil entre el primero y segundo tercios de los donativos recibidos por Cumberland de la organización Blue Cross-Blue Shield. pero su utilidad como medida de dispersión es limitada. Cada tercio contiene cuatro observaciones (. Rango interfractil Fractiles Significado del rango interfractil Cálculo del rango interfractil En una distribución de frecuencias. como en la tabla 3-17.698 1. ignora la naturaleza de la variación entre todas las demás observaciones.33% del total de 12 elementos). En forma de ecuación. una fracción o proporción dada de los datos cae en un fractil o abajo de éste. En una distribución cualquiera.000 o abajo de Tabla 3-17 Pagos anuales de la Blue Cross-Blue Shield al Hospital Cumberland (miles) 92 Capítulo 3 Primer tercio 863 903 957 1. podemos decir Rango Rango  Características del rango valor de la observación valor de la observación  más grande más pequeña [3-10] Utilizando esta ecuación. El rango interfractil es una medida de la dispersión entre dos fractiles de una distribución de frecuencias. Como resultado. y tiene una gran influencia de los valores extremos. es decir. 25% de los datos están en el fractil 0. por ejemplo.020. igualmente. el rango es $690.624 ← 2/3 fractil 1.204 1.802 1.000  $490.000  $1.883 490 610 540 620 560 630 570 660 590 670 600 690 Rango Definición y cálculo del rango El rango es la diferencia entre el más alto y el más pequeño de los valores observados. El rango sólo toma en cuenta los valores más alto y más bajo de una distribución y ninguna otra observación del conjunto de datos.802 1.204 1. 33.000.Tabla 3-16 Pagos anuales hechos por Blue Cross-Blue Shield (miles) Cumberland Valley falls 863 1. pues no existe un valor “más alto” o “más bajo” en la clase de extremo abierto.041.745 1. porque la mitad del conjunto de datos es menor o igual que este valor.624 957 1.5. podemos comparar los rangos de los pagos anuales que hace la asociación Blue Cross-Blue Shield a dos hospitales presentados en la tabla 3-16. el rango tiene muchas posibilidades de cambiar drásticamente de una muestra a la siguiente en una población dada.000  $200. este valor, y 66.66% es menor o igual que $1,624,000. Ahora podemos calcular el rango interfractil entre los fractiles .33 y .66 restando $1,0141,000 del valor $1,624,000. Esta diferencia de $583,000 es la dispersión entre el valor más alto del primer tercio de los pagos y el valor más alto del segundo tercio. Los fractiles tienen nombres especiales, dependiendo del número de partes iguales en que dividen a los datos. Los fractiles que los dividen en 10 partes iguales se llaman deciles. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales. Los percentiles dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales. Fractiles especiales: deciles, cuartiles y percentiles Rango intercuartil El rango intercuartil mide aproximadamente qué tan lejos de la mediana debemos ir en cualquiera de las dos direcciones antes de recorrer una mitad de los valores del conjunto de datos. Para calcular este rango, dividimos nuestros datos en cuatro partes, cada una de las cuales contiene 25% de los elementos de la distribución. Los cuartiles son, entonces, los valores más altos de cada una de estas cuatro partes, y el rango intercuartil es la diferencia entre los valores del primero y tercer cuartiles: Cálculo del rango intercuartil Rango intercuartil Rango intercuartil  Q3  Q1 [3-11] En la figura 3-10 se ilustra el concepto de rango intercuartil. Observe que los anchos de los cuatro cuartiles no necesariamente son los mismos. En la figura 3-11, otra presentación de cuartiles donde éstos dividen el área bajo la distribución en cuatro partes iguales, cada una contiene 25% del área. Observación más baja de las 1 4 observaciones de las 1 4 observaciones Observación más alta 1er. cuartil Q1 2do. cuartil (mediana) Q2 3er. cuartil Observación más alta 1er. cuartil Q3 FIGURA 3-10 FIGURA 3-11 Rango intercuartil Cuartiles Fractil es un término que usan más los estadísticos que el resto de las personas, más familiarizadas con 100 fractiles o percentiles, en especial cuando se trata del percentil de la calificación en los exámenes de aptitud académica o de admisión a las universidades. Cuando se obtiene una letra que indica que el percentil de la calificación es 35, se sabe que 35% de quienes presentaron el examen lo hicieron peor que uno. Es más fácil comprender el SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Mediana 3er. cuartil significado del intervalo en especial cuando el profesor publica las calificaciones más altas y más bajas del siguiente examen de estadística. Sugerencia: todos estos términos ayudan a manejar la dispersión de los datos. Si todos los valores se ven parecidos, entonces el tiempo dedicado a calcular los valores de dispersión quizá no valga mucho. Si los datos se dispersan mucho, será riesgoso apostar al promedio sin considerar la dispersión. 3.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 93 Ejercicios 3.8 Ejercicios de autoevaluación EA 3.11 Se presentan las calificaciones de un examen de historia. Encuentre el percentil 80. 95 71 EA 3.12 81 88 159 100 68 94 100 187 92 65 75 93 67 72 85 83 79 91 La compañía Casual Life Insurance estudia la compra de una nueva flota de autos. El director del Departamento de Finanzas, Tom Dawkins, obtuvo una muestra de 40 empleados para determinar el número de millas que cada uno maneja en un año. Los resultados del estudio son los siguientes. Calcule el rango y el rango intercuartil. 3,600 7,700 9,500 11,000 13,500 4,200 8,100 9,500 11,300 13,800 4,700 8,300 9,700 11,300 14,600 4,900 8,400 10,000 11,800 14,900 5,300 8,700 10,300 12,100 16,300 5,700 8,700 10,500 12,700 17,200 6,700 8,900 10,700 12,900 18,500 7,300 9,300 10,800 13,100 20,300 Conceptos básicos ■ 3-52 Para los siguientes datos, calcule el rango intercuartil. 99 72 ■ 3-53 75 91 84 74 61 93 33 54 45 76 66 52 97 91 69 77 55 68 Para la muestra siguiente, calcule a) el rango, b) el rango interfractil entre los percentiles 20 y 80, c) el rango intercuartil. 2,549 3,692 3,897 2,145 3,661 2,653 2,697 3,249 2,200 2,841 3,812 3,469 2,228 3,268 3,891 2,598 2,668 3,842 2,268 3,362 Aplicaciones ■ 3-54 Se dan las lecturas de temperaturas altas durante junio de 1995 en Phoenix, Arizona. Encuentre el percentil 70 84 94 ■ 3-55 86 92 78 96 3-56 94 3-57 95 87 94 88 98 84 89 82 87 88 88 94 89 97 92 99 99 102 102 105 95 92 193 115 127 126 143 157 101 193 123 133 83 51 135 125 129 132 Calcule el rango de estos datos y comente si piensa que es una medida de dispersión útil. La empresa Redi-Mix Incoporated elaboró el siguiente registro del tiempo (redondeado a centésimos de minuto) que esperan sus camiones para la descarga en la obra. Calcule el rango y el rango intercuartil. 0.10 0.23 ■ 94 88 Los siguientes son los ingresos totales por viajes (en dólares) recolectados un martes por 20 taxis que pertenecen a City Transit, Ltd. 147 185 ■ 69 89 0.45 0.77 0.50 0.12 0.32 0.66 0.89 0.59 1.20 0.95 0.53 1.10 0.67 0.83 0.58 0.69 0.48 0.51 La Warlington Appliances ha desarrollado una nueva combinación de mezcladora-vasija. Mediante una demostración de mercadotecnia y una investigación de precios, se determina que la mayoría de las perso- Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias nas muestreadas estaría dispuesta a pagar aproximadamente $60 por ella, con un rango intercuartil, sorpresivamente pequeño de $14. En un intento por obtener los mismos resultados, la demostración y la investigación correspondiente se repitieron. El departamento de mercadotecnia espera encontrar un rango intercuartil más pequeño. Los siguientes son los datos que se obtuvieron. ¿La esperanza del departamento se hizo realidad? 52 72 55 69 ■ 3-58 3-59 6.7 97.6 315.6 440.9 3-60 46 37 49 34 43 55 46 52 40 52 43 49 61 50 64 47 49 31 52 28 57 41 60 38 58 60 61 57 65 45 68 42 46 41 49 38 7.9 100.4 325.9 472.3 8.4 120.6 347.5 475.9 9.7 135.5 358.6 477.2 10.6 148.6 397.8 502.6 12.4 178.6 405.6 19.4 200.1 415.9 29.1 229.6 427.8 42.6 284.6 428.6 Calcule el rango y el rango intercuartil. El Departamento de Carreteras de Nuevo México tiene la tarea de mantener en buen estado todos los caminos estatales. Una medida de la condición de una carretera es el número de grietas que presenta por cada 30 metros de recorrido. A partir de la muestra anual que hace el departamento, se obtuvieron los siguientes datos: 4 13 16 ■ 48 38 51 35 MacroSwift ha decidido desarrollar un nuevo programa de software diseñado para directores ejecutivos y otros altos niveles. La compañía no desea desarrollar un programa que requiera demasiado espacio en el disco duro, por lo que sondearon a 36 ejecutivos para determinar la cantidad de espacio disponible en sus computadoras. Los resultados en megabytes son los siguientes: 6.3 59.8 305.6 439.5 ■ 35 69 38 66 7 13 16 8 13 16 9 14 17 9 14 17 10 14 17 11 15 18 12 15 18 12 16 19 13 16 19 Calcule los rangos interfractiles entre los percentiles 20, 40, 60 y 80. Ted Nichol es un analista estadístico que trabaja para los altos mandos administrativos de Research Incorporated. Ayudó a diseñar el lema publicitario de la compañía: “Si no puede encontrar la respuesta, entonces ¡INVESTÍGUELA!” Ted acaba de recibir algunos datos que le preocupan, el volumen mensual en dólares de los contratos de investigaciones que la compañía firmó durante el año anterior. Idealmente, estas cantidades mensuales deberían ser bastante estables, debido a que una fluctuación demasiado grande en la cantidad de trabajo a realizar puede tener como resultado una cantidad extraordinaria de contrataciones y despidos de empleados. Los datos de Ted (en miles de dólares) son los siguientes: 253 143 104 380 633 467 157 162 500 220 201 302 Calcule lo siguiente: a) El rango interfractil entre los deciles 2 y 8. b) La mediana, Q1 y Q3. c) El rango intercuartil. Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3.11 Primero, se ordenan los datos en orden ascendente. 59 85 EA 3.12 65 87 67 88 68 91 71 92 72 93 75 94 79 95 81 100 83 100 El dato 16 (es decir 93) es el percentil 80. Rango  20,300  3,600  16,700 millas Rango intercuartil  Q3  Q1  12,700  8,100  4,600 millas. 3.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 95 3.9 Dispersión: medidas de desviación promedio Dos medidas de desviación promedio Las descripciones más completas de la dispersión son aquellas que manejan la desviación promedio respecto a alguna medida de tendencia central. Dos de estas medidas son importantes para nuestro estudio de la estadística: la varianza y la desviación estándar. Ambas medidas nos dan una distancia promedio de cualquier observación del conjunto de datos respecto a la media de la distribución. Varianza de población Varianza Fórmula para la varianza de población Cada población tiene una varianza, su símbolo es 2 (sigma cuadrada). Para calcular la varianza de una población, la suma de los cuadrados de las distancias entre la media y cada elemento de la población se divide entre el número total de observaciones en población. Al elevar al cuadrado cada distancia, logramos que todos los números sean positivos y, al mismo tiempo, asignamos más peso a las desviaciones más grandes (desviación es la distancia entre la media y un valor). La fórmula para calcular la varianza es: Varianza de población (x  )2 x2 2      2 N N [3-12] donde: 2 •  varianza de la población • x  elemento u observación •   media de la población • N  número total de elementos de la población 2 2 •   suma de todos los valores (x  ) , o todos los valores x Las unidades en las que se expresa la varianza ocasionan problemas 96 (x  )2 x2 En la ecuación 3-12, la expresión  es la definición de 2. La última expresión,   2, N N es matemáticamente equivalente a la definición, pero a menudo resulta mucho más conveniente utilizarla si de hecho debemos calcular el valor de 2, ya que nos permite no calcular las desviaciones respecto a la media. Sin embargo, cuando los valores de x son grandes y los valores x   peque(x  )2 ños, puede ser más conveniente utilizar la expresión  para calcular 2. Antes de poder utiN lizar esta fórmula en un ejemplo, necesitamos analizar un problema importante referente a la varianza. Al resolver ese problema, aprenderemos qué es la desviación estándar y cómo calcularla. Después, podremos regresar a la varianza en sí. Al principio, cuando calculamos el rango, las respuestas se expresaron en las mismas unidades que los datos. (En nuestros ejemplos, las unidades son “pagos de miles de dólares”.) Para la varianza, sin embargo, las unidades son el cuadrado de las unidades de los datos; por ejemplo, “dólares al cuadrado”. Estas unidades no son intuitivamente claras o fáciles de interpretar. Por esto debemos hacer un cambio significativo en la varianza para calcular una medida útil de la desviación que no nos dé problemas con las unidades de medida y, en consecuencia, sea menos confusa. Esta medida se conoce como la desviación estándar y es la raíz cuadrada de la varianza. La raíz cuadrada de 100 dólares cuadrados es 10 dólares, puesto que tomamos la raíz cuadrada tanto del valor como de las unidades en que se miden. La desviación estándar, entonces, queda en las mismas unidades que los datos originales. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias y la suma de los cuadrados de las desviaciones.17 0. 0. A partir de esto. los datos obtenidos podrían ser los de la tabla 3-18. Chebyshev (1821-1894).9 0. dónde están localizados los valores de una distribución de frecuencias con relación a la media.15 0. Podemos hacer esto de acuerdo con un teorema establecido por el matemático ruso P. la desviación estándar está en las mismas unidades que las que se usaron para medir los datos. podemos calcular la varianza. ya que no tenemos que calcular las desviaciones respecto a la media. (En la tabla 3-19 también calculamos 2 utilizando la x2 segunda mitad de la ecuación 3-12. o todos los valores x2 •  desviación estándar de la población 2 •  varianza de la población Utilice la raíz cuadrada positiva Cálculo de la desviación estándar La raíz cuadrada de un número positivo puede ser positiva o negativa. El teorema de Chebyshev establece que independientemente de la forma de la distribución. la desviación de cada valor respecto a la media (columna 3). La tabla 3-19 muestra la forma en que se utilizan estos datos para calcular la media (0. • • • • x  observación   media de la población N  número total de elementos de la población   suma de todos los valores (x  )2. es simplemente la raíz cuadrada de la varianza de la población.18 3.14 0. La fórmula para la desviación estándar es: Desviación estándar de la población   2    (x  )2   N x2   2 N [3-13] donde. con un buen grado de precisión.49/15. que es del 0. ya que a2  (a)2.14 0.12 0. podemos calcular la desviación estándar. cuando obtenemos la raíz cuadrada de la varianza para calcular la desviación estándar los especialistas en estadística sólo consideran la raíz cuadrada positiva. suma de los valores de la columna 1 dividida entre N).058%. Si tenemos una población de 15 frascos de compuesto producido en un día y probamos cada frasco para determinar la pureza del compuesto.06 0.19 0. Sin embargo. la desviación estándar es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las distancias entre las observaciones y la media. pero conN menos trabajo. al menos 75% Porcentaje de impureza observado Tabla 3-18 Resultados de la prueba de pureza de los compuestos 0. Como la varianza es el promedio de los cuadrados de las distancias de las observaciones a la media.21 0.   2.17 0.24 0.0034% al cuadrado.166  2.21 0. Usos de la desviación estándar Teorema de Chebyshev La desviación estándar nos permite determinar.04 0. el cuadrado de la desviación de cada valor respecto a la media (columna 4).Desviación estándar de la población Relación de la desviación estándar y la varianza La desviación estándar de la población. . L. Para calcular la varianza o la desviación estándar.) Tomando la raíz cuadrada de 2. Observe que obtenemos el mismo resultado. Mientras que la varianza se expresa con el cuadrado de las unidades utilizadas para medir los datos.25 Dispersión: medidas de desviación promedio 97 . elaboramos una tabla utilizando todos los elementos de la población.22 0. 166 0.21 0.084 0.166 0.49 ← x                Desviación (x  ) (3)  (1)  (2)                0.15 0.22 0.Media   2.06 0.0324 0.21 0.003 0.166 0.044 0.007 0.0441 0.026 0.25 2.051 ← (x  )2 x2 2  2 N ←O→ [3-12] Observación al cuadrado (x2) (5)  (1)2 0.046 0.18 0.004 0.106 0.17 0.49/15 (2) Tabla 3-19 Determinación de la varianza y la desviación estándar del porcentaje de impureza de los compuestos Observación (x) (1) 0.166 0.011 0.0576 0.12 0.005 0. y al menos 89% de los valores caen dentro de 3 desviaciones estándar a partir de la media.002 0.0144 0.0196 0.000 0.044 0.016 0.0034   0.016 0.051   15 0.166 0.166 (x  )2 2   N Desviación al cuadrado (x  )2 (4)  [(1)  (2)]2 0.001 0.0036 0.04 0.4643    (0.2s m-s m m+s m + 2s m + 3s Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . como la mostrada en la figura 3-12.126 0. 99% 95% 68% FIGURA 3-12 Localización de las observaciones alrededor de la media para una distribución de frecuencias con forma de campana 98 Capítulo 3 m .004 0.074 0.166 0.166 0.000 0.058% de los valores caen dentro de 2 desviaciones estándar a partir de la media de la distribución.0196 0.166 0.000 0.001 0.024 0.24 0.19 0. Podemos medir aún con más precisión el porcentaje de observaciones que caen dentro de un rango específico de una curva simétrica con forma de campana.0625 0.17 0.14 0.014 0.166 0.166)2 15  0. 2.0361 0.166 0.0225 0.0484 0.0016 0.026 0.001 0.0289 0.002 0.0034 al cuadrado   2 0.0289 0. En estos casos.000 0. podemos decir que: 1.14 0.166 0.0034 al cuadrado  0.054 0.0441 0.4643 ← x2 [3-12] [3-13]  0.166 0. Aproximadamente 95% de los valores estará dentro de ±2 desviaciones estándar a partir de la media. Aproximadamente 68% de los valores de la población cae dentro de ±1 desviación estándar a partir de la media.002 0.166 0.166 0.3s m . entonces el resultado estándar calculado a partir de los datos de la población es: Resultado estándar x Resultado estándar de la población   [3-14] donde.058 2 Interpretación del resultado estándar El resultado estándar indica que una impureza del 0. una observación de 0.058)  0. Una medida que se conoce como resultado estándar nos da el número de desviaciones estándar que una observación en particular ocupa por debajo o por encima de la media. La desviación estándar es útil también para describir cuánto se apartan las observaciones individuales de una distribución de la media de la misma. en términos de del número de desviaciones estándar alejado de la media. Aproximadamente 99% de los valores estará en el intervalo que va desde 3 desviaciones estándar a la izquierda de la media hasta 3 desviaciones estándar a la derecha de la media.058   0.166  2(0.116  0.166  2(0.058  1 Una impureza observada del 0. 93% de las observaciones (14 de los 15 valores) están realmente en el intervalo.166   0. analicemos los datos de la tabla 3-19.108  0.282% tendría un resultado estándar de 2: x Resultado estándar   [3-14] 0.058 0. 3.058%. la impureza media de los 15 frascos de compuesto es 0.058)  0.050 y 0.166 y una desviación estándar de 0.3.282.058 0.9 Dispersión: medidas de desviación promedio 99 . De hecho. En ellos. Si x simboliza la observación.282  0.108 tendría un resultado estándar de 1: Cálculo del resultado estándar x Resultado estándar   [3-14] 0.108% de impureza.058)  0. que es igual a 2. Note que la distribución es razonablemente simétrica y que 93% es muy cercano al 95% teórico para un intervalo de ±2 desviaciones estándar a partir de la media de una curva con forma de campana.166   0. Uso del teorema de Chebyshev Concepto de resultado estándar A la luz del teorema de Chebyshev.282% se desvía de la media en 2(0.166% y la desviación estándar es 0. El teorema de Chebyshev nos dice que al menos el 75% de los valores (11 de nuestros 15 frascos) están entre 0. • x  observación tomada de la población •   media de la población •  desviación estándar de la población Suponga que observamos un frasco de compuesto que tiene 0.116 unidades.058. Como nuestra población tiene una media de 0. Se trata de la varianza de la muestra s2 y la desviación estándar de la muestra. Dejamos como ejercicio para el lector curioso verificar que la segunda mitad de la ecuación 3-15. Las fórmulas tienen el siguiente aspecto: Varianza de una muestra (x  x)2 x2 nx 2 s2    n1 n1 n1 [3-17] Desviación estándar de una muestra s   s2  100 Capítulo 3   (x  x)2   n1 x2 nx 2  n1 n1 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias [3-18] .  f x2   2 da como resultado el mismo valor de 2. observará que cambiamos la notación con letras griegas (que denotan parámetros de población) a las latinas correspondientes a las estadísticas de muestras. podemos utilizar las siguientes fórmulas para calcular la varianza y la desviación estándar: Varianza de datos agrupados f (x  )2 f x2 2      2 N N [3-15] Desviación estándar de datos agrupados   2    f (x  )2   N f x2   2 N [3-16] donde. utilizamos las mismas fórmulas de las ecuaciones 3-12 y 3-13. N Ahora estamos listos para calcular las estadísticas de muestra análogas a la varianza de población 2 y la desviación estándar de la población.Cálculo de la varianza y la desviación estándar utilizando datos agrupados Cálculo de la varianza y de la desviación estándar de datos agrupados En el ejemplo al principio del capítulo. s. sustituyendo  con x y N con n  1. Desviación estándar de una muestra Cálculo de la desviación estándar de una muestra Para calcular la varianza y la desviación estándar de una muestra. • • • • • • Cambio a la varianza y la desviación estándar de una muestra 2  varianza de la población  desviación estándar de la población f  frecuencia de cada una de las clases x  punto medio de cada clase   media de la población N  tamaño de la población La tabla 3-20 muestra cómo aplicar estas ecuaciones para encontrar la varianza y la desviación estándar de las ventas en 100 restaurantes de comida rápida. . los datos respecto a las ventas en 100 restaurantes de comida rápida se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias. Con esos datos. En la sección siguiente. 000.000 120.5 ← Desviación estándar  $258.800 21.250 1.800-1.950 1.500  66 .8 00     2 [3-16] [3-15] [3-3] (x  )2 [(1)  (4)]2 x (1)  (4)  66.000 250.750 1.050 1.599 1.799 800.150 1.500 13.000 500.000 0 10.250 1.800 (o 66.999 1.250  (4) Media 250.000 00360.500-1.550 1.850 1.000 5.000 160.000 40.300-1.000 400.899 4 7 8 10 12 17 13 10 9 7 2 001 100 Frecuencia Punto medio 1.750 1.550 3.499 1.450 1.250 (miles de dólares) ← Media 125.250 1.850 Clase 700.000 90.500 13.399 1.120.950 7.3.350 1.000-1.000 f (x  )2 (2)  [(1)  (4)]2 .000  100 (f  x) x   n 3.250 1.250 1.850 125.000 40.250 1.680.099 1.9 Dispersión: medidas de desviación promedio 101 Determinación de la varianza y la desviación estándar de las ventas en 100 restaurantes de comida rápida situados en el distrito del este (miles) Tabla 3-20 f (2) x (1) 1.250 1.120.650 1.000   100 f (x – )2 2   N  1.699 1.100-1.680.250 1.400-1.000 400.799 1.250 1.550 14.500 00 1.700-1.000 fx (3)  (2)  (1) 1.000 6.000 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600  258.199 1.250 1.000 1.250 1.000 360.250 1.800 [miles de dólares]2) ← Varianza 6.200-1.000 160.000 810.600-1.899 900.299 1.000 0 130.000 1.950 11.000 720.250 17.000 10.000 90.600 10. 888 donde.833.624 1.888 (o $144. Las ecuaciones 3-17 y 3-18 nos permiten encontrar la varianza y la desviación estándar de la muestra de los donativos anuales de Blue Cross-Blue Shield al Hospital de Cumberland que presentamos en la tabla 3-21.704 155. En el capítulo 7.769 815.409 155.351 1. observe que ambas mitades de la ecuación 3-17 producen el mismo resultado.Observación (x) Table 3-21 Determinación de la varianza y la desviación estándar de la muestra de los donativos anuales de Blue CrossBlue Shield al Hospital de Cumberland (miles) Media (1) (x) (2) x  x (1)  (2) 863 903 957 1.024 ⌺(x  x)2 → 1.689 23.640) ← Desviación estándar de la muestra nx2 x2 s2     n1 n1 [3-17] 23. a menos que usemos n  1 como denominador en nuestros cálculos.770   11  144.182 ← ⌺x2 [3-17] 1.593.802 1.025 3.182 12(1.883 1. este promedio no tiende a igualar el valor de la varianza de la población.351 488 448 394 310 213 147 3 273 347 394 451 532 (x  x)2 [(1)  (2)]2 238.351 1.236 203.351 1.351 1.883.888 [miles de dólares]2) ← Varianza de la muestra s   s2 O [3-18]  14 4.529 120.376 2.351)2     11 11 1.351 1. encontramos la varianza de la muestra (s2) para cada muestra y promediamos los resultados.247.496.681 1.100 45. se dará la explicación estadística de por qué esto es cierto.849 1.593.351 1.351 1.64 (es decir.351 1.351 1.496.351 1.351 1.138 1.236 96.609 9 74. $380. 88 8  380.316 2.770   11  144.698 1.545.409 915.204 003.770 (x  x)2 s2   n1 x2 (1)2 744.041 1.745 1. 2. s2  Varianza de la muestra • s  Desviación estándar de la muestra • x  Valor de cada una de las n observaciones • • x  Media de la muestra • n  1  Número de observaciones de la muestra menos 1 Uso de n  1 como denominador Cálculo de la varianza y la desviación estándar de la muestra para los datos del hospital 102 ¿Por qué utilizamos n  1 como denominador en lugar de n? Los especialistas en estadística pueden demostrar que si tomamos muchas muestras de una población dada.354 1.295.401 00283.204 1.045.144 200.637.204 3.083.044 1.369 21.593.616 1. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .449. 9 52 51 57 59 56 62 57 52 56 54 59 49 Dispersión: medidas de desviación promedio 103 .9 Ejercicios de autoevaluación EA 3-13 Talent. Al igual que la varianza.. la desviación estándar toma en cuenta cada observación del conjunto de datos.28 En esta sección hemos demostrado por qué la desviación estándar es la medida de dispersión que más se utiliza. Ltd. esos valo- res extremos distorsionarán la respuesta. La fórmula adecuada es: Resultado estándar de una observación de una muestra x  x Resultado estándar de la muestra   s [3-19] donde: • x  observación tomada de la muestra • x  media de la muestra • s  desviación estándar de la muestra En el ejemplo anterior. aunque en menor grado que en el caso del rango. Ejercicios 3. los valores extremos que se encuentren en el conjunto de datos distorsionan el valor de la desviación estándar.28: xx Resultado estándar de la muestra   s [3-19] 863  1. Las edades de los 20 hombres que se entrevistaron primero son: 50 54 56 55 55 61 49 60 3. que son un elemento importante de la inferencia estadística que analizaremos más adelante. Además. Sugerencia: puede evitarse la confusión entre usar N o n  1 como denominador para las muestras y poblaciones si se asocia el valor más pequeño (n  1) con el conjunto más pequeño (la muestra). una compañía en Hollywood de selección de elenco. Podemos usarla para comparar distribuciones y para calcular resultados estándar.Cálculo de los resultados estándar de la muestra Igual que utilizamos la desviación estándar de la población para derivar los resultados estándar de la misma. está en proceso de elegir un grupo de extras para una película. Sin embargo. Estos resultados indican a cuántas desviaciones estándar arriba o abajo de la media de la muestra se encuentra una observación dada.351   380. y no puede calcularse en distribuciones de extremo abierto. podemos usar la desviación estándar de la muestra para calcular los resultados estándar de la muestra.64  1. vemos que la observación 863 corresponde a un resultado estándar de 1. la desviación estándar tiene también algunas desventajas. No es fácil calcularla como el rango.64 488  380. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Al calcular y usar la desviación estándar se supone que no hay muchos valores demasiado grandes o demasiado pequeños en el conjunto de datos porque se sabe que la desviación estándar usa todos los valores. para certificados de depósito (CD) a un año. 84. Las tasas de interés anteriores para cuentas de ahorro eran 51/4.0 23 1. el director sugiere que sería aceptable una desviación estándar de 3 años. ¿cuántas observaciones deben caer entre 0. sabe que una desviación estándar en el cobro de cheques mayor que 200 cheques diarios ocasiona problemas de personal y de organización en las sucursales.5 onzas.6 6.4 7. debido a la carga de trabajo dispareja.5% para todos los depositantes.6 3-63 ■ 3-64 ■ 104 3-65 7.7 21 18 27 17 21 20 22 18 23 El gerente de producción de la compañía siente que una desviación estándar de más de tres botes por día indica variaciones de tasas de producción inaceptables.4 2. Con sus conocimientos de estadística. promediaron las repuestas del hombre y la mujer.5 y 1. forma de campana. a fin de obtener la respuesta global de la pareja.60 y una forma de distribución desconocida.. Aceptará los jitomates sólo si el peso promedio es 7.2 7.4 7.45. casi.6 8. Ltd.5 1.2 Calcule la varianza y la desviación estándar. Sabe por la factura que el peso promedio de un jitomate es 7.4 ¿Cuál es la decisión de la chef y por qué? Los siguientes datos son una muestra de la tasa de producción diaria de botes de fibra de vidrio de la Hydrosport. pero todavía no los acepta.2 7.9? c) Encuentre los resultados estándar para las siguientes observaciones tomadas de la distribución: 61. de acuerdo con el teorema de Chebyshev? b) Si la distribución es simétrica y con forma de campana.65 y 51.7-73.37. 75. Para cada pareja.2 8.5? ¿Entre 0 y 2? ¿Cuántas caen de hecho en esos intervalos? Aplicaciones ■ 3-61 La chef en jefe de The Flying Taco acaba de recibir dos docenas de jitomates de su proveedora.8.5 onzas. Dado que la distribución tiene.4 7.4 7. a) ¿Entre qué valores deberán caer al menos 75% de las observaciones.2 7.1 6.3 7.5 7. ¿Califica este grupo de extras? En un intento de estimar la demanda potencial futura. una varianza de 12. Las respuestas se colocaron en una tabla: Número de autos Frecuencia a) b) 0 2 0. 71/2%. ¿Deberá preocuparse por la cantidad de empleados que van a utilizar el mes siguiente? El consejo directivo del Banco de la Reserva Federal de Estados Unidos ha otorgado permisos a todos los bancos miembros para elevar las tasas de interés 0.0 1.EA 3-14 El director de la película quiere hombres cuyas edades se agrupen de manera cercana alrededor de los 55 años.5 onzas y la desviación estándar es menor que 0. pero insiste en que todos tengan un peso uniforme.8 7. en 1988.5 14.8 8. aproximadamente cuántas observaciones deberán encontrarse en el intervalo 59. un fabricante de Miami: 17 ■ 8. en teoría. para CD a Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .50.5 7. en el que preguntaba a parejas casadas cuántos automóviles debe tener la familia promedio actual.5 1.3 8. la National Motor Company realizó un estudio. director de operaciones del banco. Los pesos de los jitomates son los siguientes: 6. 1.5 7.7 2.0 ■ 3-62 7. ¿Deberá preocuparse por las tasas de producción de la planta? Un conjunto de 60 observaciones tiene una media de 66.8 7. El número de cheques cobrados diariamente en las cinco sucursales del Bank of Orange County durante el mes anterior tuvo la siguiente distribución de frecuencias: Clase Frecuencia 0-199 200-399 400-599 600-799 800-999 10 13 17 42 18 Hank Spivey.1 7. El empleado de Washington recibió un aumento de $1.729.006 segundos. En Durham N. ¿Cómo se relacionan las nuevas características con las anteriores? El administrador de un hospital de Georgia investigó el número de días que 200 pacientes.0-14. se quedan en el hospital después de una operación.9 8 14.79 para el segundo y 3. Un estudio reciente de los fondos cuya meta de inversión establecida era crecimiento e ingreso produjo los siguientes datos de la tasa de retorno anual sobre la inversión total durante los últimos cinco años: Rendimiento anual (%) Frecuencia ■ 1-3 18 11.100. un tiempo promedio de 3. 83/4. ¿durante cuántas semanas estuvo el nivel de producción abajo de 11. 11%. 2.. ¿Cuál de los tres tuvo el menor aumento en relación con la media y la desviación estándar de los aumentos correspondientes a su oficina? La American Foods comercializa con fuerza tres de sus productos a nivel nacional. En ese lapso. propietario de la Earthbread Bakery.C.500.0-15.9 3 18. ¿cuántas estancias habrá entre 0 y 17 días? ¿Cuántas hay realmente en ese intervalo? c) Debido a que la distribución tiene aproximadamente forma de campana. 101/2.0-13. en unidades de desviación estándar? Sid Levinson es un médico especializado en el conocimiento y uso efectivo de medicinas que eliminan el dolor en pacientes gravemente enfermos. ha empezado a registrar el número de pacientes que atiende cada semana.. el aumento promedio fue $3.9 1 a) Calcule la media.C.0-16. se le pidió a un grupo de consumidores que identificara lo más rápido posible a la compañía responsable de una larga lista de productos. a dos años. ¿cuántas estancias entre 0 y 17 días pueden esperarse? FundInfo proporciona información a sus suscriptores para permitirles evaluar el desempeño de los fondos de inversión que consideran vehículos de inversión potencial.9 10 15. y para CD a cinco años. En la oficina de Washington.8 segundos. El segundo producto tuvo un tiempo promedio de 2.9 Dispersión: medidas de desviación promedio 105 . El presidente del First State Bank desea saber qué características tendrá la nueva distribución de tasas de interés si se le agrega 1 /2% a todas las tasas.004 segundos. Uno de los objetivos fundamentales de la publicidad de cada producto consiste en lograr que los consumidores reconozcan que American Foods elabora el producto.09 segundos. 91/2.175? ¿Y cuántas arriba de 11. Con el fin de saber aproximadamente cuántas enfermeras y personal administrativo debe emplear. E1 tercero.9 2 13.844? La compañía Creative Illusion Advertising tiene tres oficinas en tres ciudades distintas.495 para el primero.9 11 16. el aumento promedio a los salarios durante el año anterior fue $1. el de Nueva York.200.9 2 12. ¿entre qué valores se esperaría encontrar 68% de las observaciones? ¿Qué porcentaje de las observaciones de hecho caen en ese intervalo? Nell Berman. Para medir qué tan bien cada anuncio logra ese reconocimiento.760. con una desviación estándar de 0.0-12.398 barras de pan. el aumento promedio fue $850.9 8 17.0-17. su administrador registra el número de pacientes gravemente enfermos y el número de pacientes sin mayores problemas. con una desviación estándar de $400. Los datos son: Frecuencia en el hospital en días Frecuencia ■ 3-67 3-68 ■ 3-69 ■ 3-70 ■ 3-71 4-6 90 7-9 44 10-12 21 13-15 9 16-18 9 19-21 4 22-24 5 a) Calcule la desviación estándar y la media.7 segundos. con una desviación estándar de 0. Sid tiene razones para creer que el número de pacientes sin mayores problemas por semana tendría una distribución en forma de campana.0-11.0-18. Uno de los encuestados en particular tuvo los siguientes tiempos antes de reconocer la procedencia del producto: 2. antes de ser reconocido.5 segundos. con una desviación estándar de 0. b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev. El primer producto de la American Foods obtuvo un tiempo promedio. obtuvo un aumento de $3. a tres años. con una desviación estándar de $95. con una varianza de 49. Si los datos utilizados para calcular los resultados se recolectaron en el periodo de 32 semanas. D. Los niveles de salario difieren de un estado a otro. y el de Durham uno de $500. b) Según el teorema de Chebyshev. ¿Para cuál de los productos estuvo el consumidor en cuestión más alejado del desempeño promedio.■ 3-66 18 meses. afirmó que el nivel de producción promedio por semana de su empresa fue 11. Se entrevistó a tres empleados. si tuviera suficientes datos (es3. la varianza y la desviación estándar de la tasa de rendimiento anual para esta muestra de 45 fondos de inversión. con una desviación estándar de $622. En la sucursal de Nueva York.90 para el tercero. de 2. ¿entre qué valores debe caer al menos 75% de las observaciones de la muestra? ¿Qué porcentaje de observaciones caen de hecho en ese intervalo? c) Dado que la distribución es casi una campana. elegidos al azar. 44 0.8 1. inspector del distrito escolar 18 no es la excepción. la varianza y la desviación estándar para el número de pacientes sin mayores problemas por semana.2 3. y piensa que podría serle útil para encontrar un intervalo de valores dentro del cual se encuentre el gasto real 75% del tiempo en los años en que la propuesta de presupuesto sea igual a la de este año.04 17. adultos y ancianos.2 6. segundo.44 285.24 10. 98. 90.8 6.24 1. la junta directiva sugirió un presupuesto de investigación de medios de $350.2 1. y el excedente tiene una media de $40.44 0.04 0. la sicóloga ha calculado el Coeficiente Intelectual (CI) medio y la varianza de los coeficientes intelectuales dentro de la categoría. ha creado cuatro categorías dentro de las cuales puede colocar a todos sus pacientes: niños.8 0.04 33.874 años.2 1.24 0.8 0. 100. Tom sabe que el gasto real siempre sobrepasa al presupuesto solicitado. Por experiencias anteriores. y anciano. correspondiente a esa categoría en particular? Categoría Niño Adulto joven Adulto Anciano CI medio 110 90 95 90 Varianza de CI 81 64 49 121 Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-13 x x  x (x  x)2 x x  x (x  x)2 50 56 55 49 52 57 56 57 56 59 5. ha recolectado datos sólo durante las cinco últimas semanas. Sin embargo. Ha comprendido el valor de entender todas las cifras que aparecen en un presupuesto y de ser capaz de utilizarlas en su provecho. Las cifras que obtuvo se presentan en la tabla siguiente.64 3.64 14.38.2 1. Este año.8 0. en unidades de desviación estándar.2 6. una prestigiada sicóloga clínica. Tom aprendió el teorema de Chebyshev cuando estuvo en la universidad. A partir de los datos. Utilice el teorema de Chebyshev para encontrar los límites dentro de los cuales deberá caer el “75% central” del número de pacientes gravemente enfermos por semana.8 27. adulto.24 3. Pacientes gravemente enfermos Pacientes sin mayores problemas ■ 3-72 ■ 3-73 33 34 50 31 22 37 27 36 48 27 a) Calcule la media y la varianza para el número de pacientes seriamente enfermos por semana. Haga un favor a Tom y encuentre ese intervalo.2 años.000.000 y una varianza de 100. 92. ¿Dentro de qué límites deberá caer el “68% central” de estas cifras semanales? El inspector de cualquier distrito escolar tiene dos problemas principales: primero.24 0.2 3. Tom Langley.44 54 55 61 60 51 59 62 52 54 00049 1.64 23. que muestra más variabilidad que la deseada 19 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . Bea Reele.104 1.8 4. la dificultad de tratar con la directiva escolar elegida y.000 de dólares cuadrados.20 x 1.04 38. Durante cierto día Bea atendió a cuatro pacientes (uno de cada categoría) y sus CI fueron: niño.44 46.20   3.104 x      55.8 3. Para cada categoría.64 14.64 0.8 4.to no es cierto para los pacientes gravemente enfermos).8 3. adulto joven. que es cercano a los 55 años deseados n 20 s 106 Capítulo 3   (x  x)2   n1 285.2 0.000. b) Calcule la media. la necesidad de estar siempre preparado para buscar un nuevo empleo debido al primer problema.44 10.2 0.2 5. ¿Cuál de los pacientes tiene el CI más alejado de la media. adultos jóvenes. tiene registros muy precisos sobre todos sus pacientes. una medida relativa La desviación estándar es una medida absoluta de la dispersión que expresa la variación en las mismas unidades que los datos originales.EA 3-14 a) # de autos x Frecuencia f fx x  x (x  x)2 f(x  x)2 0.0008 0. cerca del 68% de los datos. (0. El técnico B efectúa un promedio de 160 análisis diarios con una desviación estándar de 15. entonces alrededor del 95% de los datos.0 0. o 0.0 23.9712 1.2220 0.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación Defectos de la desviación estándar El coeficiente de variación.0191 1.0 1. tenemos una desviación estándar de 10 y una media de 5. Si.0 0.1170 3. no podemos conocer la dispersión de un conjunto de datos hasta que conocemos su desviación estándar.5.5 x      1.5539 3. es “porcentaje”. ¿Cuál de los dos técnicos muestra menos variabilidad? 3. En consecuencia.5) es aproximadamente x  s entonces. por otro lado. la variación relativa a la media es insignificante. la respuesta es no.5 2 14 23 7 4 02 52 0.3080 n1 51 así s  0. 44 observaciones están ahí.55 autos b) (0. La desviación estándar no puede ser la única base para la comparación de dos distribuciones.9155 0. 3.0288 autos 52 n f (x  x)2 15.68(52)  35.0585 0.5 1.5 1. El coeficiente de variación es una de estas medidas relativas de dispersión.4712 0. De hecho. 1.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 107 . la fórmula para el coeficiente de variación es: Coeficiente de variación Desviación estándar de la población Coeficiente de variación de la población   (100)  Media de la población [3-20] Para utilizar esta fórmula en un ejemplo.7726 0 4.3 080  0. podemos suponer que cada día el técnico A del laboratorio realiza un promedio de 40 análisis con una desviación estándar de 5. Para una población.0288 0.36 observaciones deben estar en este intervalo. o 0. De hecho.0 7.1643 2.640.4 observaciones deben estar en este intervalo. los valores varían en una cantidad que es el doble de la media.0 10. Lo que necesitamos es una medida relativa que nos proporcione una estimación de la magnitud de la desviación respecto a la magnitud de la media.0 53.0288 0.000.5.390 (que puede usted calcular).2797 0. tienen una desviación estándar de $57. expresando la desviación estándar como porcentaje de la media.5288 0.3286 15. Si tenemos una desviación estándar de 10 y una media de 5. Los donativos anuales de Blue Cross-Blue Shield al Hospital de Cumberland (tabla 3-21) tienen una desviación estándar de $380. 50 observaciones caen en él.0 2.4712 1.5 2. y los que hacen al Hospital de Valley Falls (tabla 3-16). en lugar de las unidades de los datos originales.5 8. ¿Podemos comparar los valores de estas dos desviaciones estándar? Desafortunadamente. Relaciona la desviación estándar y la media. La unidad de medida.7067 x 53. su media y cómo se compara la desviación estándar con la media. 2) es aproximadamente x  2s. entonces.95(52)  49.707 s2      0.9431 2. Las cuentas por cobrar de las Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . el grupo 2. tiene una variación relativa menor que la de A. Aunque el coeficiente de variación es un poco más complejo que el cociente del ejemplo. mientras que el peso promedio para las mujeres es alrededor de 120 libras. a menos que las medias sean parecidas.5% ← Para el técnico A y 15 Coeficiente de variación   (100) 160  94% ← Para el técnico B Uso de la computadora para calcular medidas de tendencia central y de variabilidad Así. pero los faltantes en el inventario lo forzaron a seleccionar sólo uno. el concepto es el mismo: se usa para comparar la cantidad de variación en grupos de datos que tienen medias diferentes. el B. Las estadísticas se muestran para cada sección. un distribuidor. quien tiene una variación absoluta mayor que la del técnico A. En la figura 3-14 utilizamos Minitab para calcular varias medidas de tendencia central y de variabilidad para los datos sobre ganancias del apéndice 11. Para conjuntos grandes de datos. Con un cociente sencillo se puede ver que las mujeres tienen 20/120. Ejercicios 3. es decir 16.10 Ejercicios de autoevaluación 108 EA 3-15 EA 3-16 Basart Electronics piensa emplear uno de dos programas de capacitación. Esto ayuda a disminuir la distorsión ocasionada por los valores extremos que tanto afectan a la media aritmética. podemos calcular el coeficiente de variación para ambos técnicos: Coeficiente de variación   (100)  [3-20] 5   (100) 40 Cálculo del coeficiente de variación  12. 2  ASE.11 horas y una varianza de 68. Tomando en cuenta toda esta información. Las estadísticas se dan para las 224 compañías juntas. El gerente de crédito de Southeastern está evaluando los registros de crédito de estas tres tiendas. La estadística MEDREC (TRMEAN. el promedio fue 19. Para el primer grupo. En la figura 3-13. El peso promedio para los hombres es cerca de 160 libras. y el de los hombres corresponde a 20/160. así como para el curso completo.7%.A primera vista. es decir. o sea cerca del 12. El grupo 1 recibió el programa A. utilizamos la computadora para calcular nuestras medidas de tendencia central y de variabilidad. parece que el técnico B tiene una variación en su producción tres veces mayor que el técnico A. En el segundo grupo. deseaba convertirse en el proveedor de tres tiendas. los tiempos requeridos para capacitar a los empleados tuvieron un promedio de 32. trimed mean) es una “media recortada”. y también se desglosan por bolsa de valores (1  OTC. ¿Qué programa de capacitación tiene menos variabilidad relativa en su desempeño? Southeastern Stereos.09.14. Pero B realiza sus análisis con una rapidez cuatro veces mayor que A. debido a que la media de producción de B es mucho mayor que la de A. Se capacitó a dos grupos para la misma tarea. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES El concepto y la utilidad del coeficiente de variación son evidentes si se intenta comparar a hombres con sobrepeso y mujeres con sobrepeso.5%.75 horas y la varianza fue 71. utilizamos el sistema Minitab para calcular algunas de las estadísticas sumarias para los datos de calificaciones dados en el apéndice 10. de sobrepeso. Esas 20 libras no son una buena medida del peso excesivo. tenemos que el técnico B. En los últimos 5 años. 3  NYSE). Advertencia: no compare la dispersión en los conjuntos de datos usando las desviaciones estándar. una media calculada sin tomar en cuenta el 5% de los datos más altos ni el 5% de los datos más bajos. Suponga que un grupo de hombres y mujeres tiene un sobrepeso de 20 libras. 23 75.96 44.00 115.26 47.13 0.07 50.44 DesvEst Salida de Minitab que muestra el resumen estadístico para las calificaciones del curso 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 SECCIÓN Estadística descriptiva 0.49 45.00 98.00 38.00 Máx 62.00 72.00 124.60 1.00 31.00 44.53 46.69 52.91 2.00 35.00 131.00 121.00 47.28 45.44 11.67 64.00 35.08 76.11 87.00 41.3.50 48.00 71.09 1.75 43.00 50.00 25.58 107.00 53.58 1.00 101.64 16.71 2.51 67.00 29.00 56.00 44.50 50.75 54.00 51.71 54.86 8.11 108.44 73.00 113.00 106.25 60.00 65.94 52.19 102.30 58.06 10.50 8.38 49.00 62.00 35.00 135.00 120.12 52.00 45.91 43.00 44.07 112.59 39.00 112.00 54.20 59.25 55.73 105.00 37.16 8.00 21.00 50.89 13.95 4.76 57.00 73.91 68.76 49.43 64.75 1.00 124.09 9.27 44.46 1.18 69.00 72.25 1.00 13.00 59.00 57.50 99.00 64.06 1.00 135.82 68.00 16.00 34.89 53.00 73.00 68.05 98.11 69.00 32.28 0.00 65.50 44.75 50.60 67.00 45.34 79.51 59.22 47.21 81.25 50.36 102.79 53.76 2.25 85.00 63.76 2.00 37.38 65.00 59.44 19.44 50.00 16.86 10.00 45.90 0.00 62.62 73.00 60.00 127.00 Q1 75.00 72.61 8.08 44.00 122.00 53.95 2.25 65.61 1.16 113.00 44.00 51.90 7.75 55.00 66.28 44.59 56.00 68.19 58.90 113.77 49.38 55.00 65.00 17.51 64.00 21.90 67.00 73.50 66.00 72.60 109.00 73.24 13.00 Q3 .87 49.73 1.69 62.00 37.76 59.00 57.59 10.00 74.75 36.00 69.84 7.90 45.22 42.00 62.08 11.26 1.62 1.00 55.00 55.00 24.35 3.41 80.39 50.00 108.00 116.60 2.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 109 FIGURA 3-13 TOTAL FINAL TAREA EXAM2 EXAM1 Variable 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 N 68.97 1.85 10.59 1.16 48.00 13..75 44.50 41.00 59.28 111.00 30.49 10.00 51.00 Mín 98.00 58.00 68.19 50.00 13.62 MediaSE 22.00 105.82 9.00 127.50 60.44 11.46 56.50 55.00 49.00 30.82 1.36 1.85 74.00 43.78 104.00 74.05 40.97 76.00 133.01 10.00 52.00 60.96 65.37 9.74 44.01 20.87 63.00 34.42 110.00 121.32 50.00 67.00 54.04 24.15 50.00 25.75 8.39 72.00 114.98 49.00 64.30 73.26 60.80 2.30 45.84 1.60 6.48 1.33 42.95 68.59 76.00 41.06 92.50 48.67 2.00 63.98 8.21 1.51 17.03 10.08 68.80 15.00 107.01 22.83 53.00 44.11 88.00 14.56 MedRec 11.47 48.00 55.62 12.00 49.00 134.60 110.71 13.00 56.00 47.57 67.72 1.00 Mediana 68.10 69.00 40.52 111.06 3.00 106.67 Media 69.50 114.92 44.83 53.37 8.68 11.34 17.56 1.00 57. 4500 -3.199 0.7500 -0.440 MediaTrim 0.2200 4.136 0.130 Mín -5.070 Q2 -0.450 Máx 5.230 Q1 -0.1100 0.415 Mediana 0.4400 0.740 5.083 0.0766 0.560 -5.2139 0.0200 -0.045 0.8916 0.0485 0.1300 0.459 DesvEst 0.292 0.0556 0.110 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias FIGURA 3-14 N 224 111 38 75 Media 0.2105 0.085 0.130 Salida de Minitab que muestra el resumen estadístico para los datos de ingresos Variable MERCADO LQ89 1 2 3 Estadística descriptiva MediaSEM 0.5110 0.0075 -0.1070 0.2300 1.810 .2600 0.837 1. El gerente siente que es importante la consistencia. La vida promedio del foco 3 es 1. Los datos que presentamos a continuación son un registro del porcentaje de los objetivos logrados por tres vendedores durante los 5 años pasados.7 60. ha probado las habilidades para la captura de datos de muchas personas. ¿Cuál de las máquinas tiene la menor precisión desde el punto de vista de la dispersión relativa? HumanPower.470 horas y una varianza de 156. La otra compañía tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 37. con una desviación estándar del 5. c) ¿Puede usted sugerir una medida alternativa más apropiada de consistencia? La junta directiva de la empresa Gothic Products está considerando adquirir una o dos compañías y examinando minuciosamente la administración de cada compañía. tiene como dosis media 100 cc.400 horas y una varianza de 81.0%. Clasifique los focos en términos de la variabilidad relativa. Otra máquina produce cantidades promediadas de 180 cc de medicamento y tiene una desviación estándar de 8.0 63.8%. utilice una medida de variabilidad relativa para sugerir en cuál de los dos grupos será más fácil enseñar. Infotech necesita un capturista rápido y consistente. ¿cuál de estas dos compañías ha seguido una estrategia más riesgosa? Un laboratorio médico. respectivamente.7 61. con una desviación estándar del 4. mientras que los mismos datos correspondientes a su oponente del próximo domingo. diseñada para producir dosis de 100 cc. que provee medicamentos predosificados a un hospital.9 63.5 Aplicaciones ■ 3-74 ■ 3-75 ■ 3-76 El peso de los integrantes del equipo de fútbol americano profesional Baltimore Bullets tiene media de 224 libras con desviación estándar de 18 libras. Una máquina. ¿Qué empleado es el mejor para Infotech. El foco 2 tiene una vida promedio de 1. además del promedio menor.9 61. Con base en la dispersión relativa.8 63. HumanPower revisa los registros de velocidad de 4 empleados con los siguientes datos en términos del número de entradas correctas por minuto.9 61.0 63. utiliza diferentes máquinas para los medicamentos que requieren cantidades de dosis diferentes. ¿Cuál es el mejor? La edad de los estudiantes regulares que acuden a un curso en los turnos matutino y vespertino del nivel licenciatura de la Universidad Central se describe en las siguientes dos muestras: Turno matutino Turno vespertino ■ 3-77 23 27 29 34 3-78 ■ 3-79 ■ 3-80 22 29 24 28 21 30 25 34 26 35 27 28 24 29 Si la homogeneidad de la clase es un factor positivo en el aprendizaje. Tienen tres habitaciones idénticas para realizar el experimento. según la dispersión relativa? John Jeff Mary Tammy 63 68 62 64 66 67 79 68 68 66 75 58 62 67 59 57 69 69 72 59 72 3. El foco 1 tiene una vida promedio de 1.0 63. incluyendo qué tan coherente es un vendedor en el logro de los objetivos de ventas establecidos. los Trailblazers de Chicago. Si consideramos riesgoso asociarse con una compañía que tenga una alta dispersión relativa en la recuperación. ¿Cuál de los dos equipos muestra mayor dispersión relativa respecto al peso de sus integrantes? Una universidad ha decidido probar tres nuevos tipos de focos. Durante los últimos 5 años. Existe cierto número de medidas posibles del desempeño de ventas. son 195 y 12.3%.6 cc. con el fin de hacer una transacción lo menos riesgosa posible.2 cc.5 62.8 61.0 61. ¿qué tienda sería el mejor cliente? Lee Forrest Davis 62. con una desviación estándar de 5.tiendas han sido sobresalientes por los siguientes números de días.350 horas con una desviación estándar de 6 horas. la primera de las compañías tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 28.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 84 111 .2 62. Patricia John Frank ■ 27 30 88 76 104 68 88 88 89 90 118 92 86 88 103 79 123 a) ¿Cuál vendedor es más coherente? b) Comente sobre lo adecuado de utilizar una medida coherente junto con porcentajes de objetivos de ventas logrados para evaluar el desempeño de ventas.4 62. una agencia de empleos temporales.8%. que se diferencian entre sí por el nivel de consistencia de sus germinaciones.7%  19.1  4(100) Programa B: CV  (100)    42. 3.49% 62.7497 0. de un paquete de 100. Una de las técnicas más útiles del análisis exploratorio.8 minutos para construir un aparato. se perdió parte de la información.11  71 . con una desviación estándar de 3.18 Davis: x  62. pero en cada situación.9762(100) CV  (s/x)(100)    1. ¿Qué configuración de línea de ensamble tiene la menor variación relativa en el tiempo que le lleva construir un tostador? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-15 68 . son los siguientes: Categoría I (Regular) 88 91 92 89 79 Categoría II (Extra) 87 92 88 90 92 Categoría III (Super) 90 89 79 93 88 ¿Tiene sentido la clasificación de semillas qué hace la Wyatt Seed? La compañía de electrodomésticos Sunray Appliance acaba de terminar un estudio de la configuración posible de tres líneas de ensamble para producir el tostador doble que más ventas le reporta.46 s  0.9762 0. A partir de esta distribución es imposible saber cómo se distribuyen las calificaciones entre 70-79. es justo lo que hemos estado haciendo en los capítulos 2 y 3.46 Con base en la dispersión relativa. La configuración III produce un aparato en un tiempo medio de 37.8 minutos. con una desviación estándar de 7. La configuración II produce un tostador en un tiempo medio de 25. EA 3-16 Lee: x  62.5 minutos. 112 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . En cierto sentido.5 minutos.42 Forrest: x  62. resuelve este problema de manera muy efectiva. a menos que se tenga el conjunto de datos originales.■ ■ 3-81 3-82 La compañía Wyatt Seed vende tres categorías de semilla de maíz Early White Sugar.42 s  0.7497(100) CV  (s/x)(100)    1.75 El programa A tiene menos variabilidad relativa. con una desviación estándar de 4. al construir la distribución de frecuencias y el histograma. pero en realidad no hay mucha diferencia entre los tres.18 s  0. La configuración I consume un tiempo medio de 34.5 minutos.11 Análisis exploratorio de datos (AED) Las técnicas en esta sección nos permiten revisar muchos datos y resumirlos con rapidez usando algo tan sencillo como aritmética básica y unos cuantos diagramas simples. Lee sería el mejor cliente. Observe la distribución de frecuencias de la tabla 3-22 de las calificaciones del examen parcial.0  9(100) Programa A: CV  (100)    25.7% 32.9257 0. El laboratorio de pruebas de semillas del estado tiene una muestra de cada categoría y los resultados de las pruebas acerca del número de semillas que germinan.56% 62.20% 62. la gráfica de tallo y hoja.8 minutos.9257(100) CV  (s/x)(100)    1. Proporciona el orden de clasificación de los elementos del conjunto de datos y la forma de la distribución. Tabla 3-22 Calificaciones en el examen parcial con la distribución de frecuencias 79 99 51 78 84 48 78 72 50 67 66 61 76 57 71 87 94 82 85 84 93 73 72 100 66 63 89 Frecuencia 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 99 1 3 5 8 6 3 1 Para producir una gráfica de tallo y hoja para los datos de la tabla 3-22, se hace una lista vertical de los tallos (los primeros dígitos de cada elemento de los datos) como sigue: 4 5 6 7 8 9 10 Después se dibuja una línea vertical a la derecha de estos tallos y se listan las hojas (el siguiente dígito para cada tallo) a la derecha de la línea en el orden en que aparecen en el conjunto de datos original. 4 8 5 7 1 0 6 7 6 6 3 1 7 9 8 8 6 3 2 2 1 8 7 5 4 4 2 9 9 9 4 3 10 0 Por último se ordenan todas las hojas en cada renglón en orden de clasificación. 4 5 6 7 8 9 10 8 0 1 1 2 3 0 1 3 2 4 4 7 6 2 4 9 6 3 5 7 6 7 8 9 8 9 Cada renglón en la gráfica de tallo y hoja obtenida corresponde a un tallo, y cada valor en ese tallo es una hoja. El renglón 9 | 3 4 9, significa que hay tres elementos en este conjunto de datos que comienzan con 9 (93, 94 y 99). Si se gira la página 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj, se obtiene algo que se parece a los histogramas del capítulo 2. 3.11 Análisis exploratorio de datos (AED) 113 9 9 10 0 4 3 2 8 9 4 1 7 4 5 7 9 8 8 6 2 1 6 2 3 7 6 3 0 5 6 1 8 4 7 Alternativas para efectuar análisis exploratorio Los paquetes de computación que más se utilizan para análisis estadístico tienen la capacidad de procesar un AED. En la figura 3-15 se dan los resultados obtenidos con el paquete SPSS, utilizado para llevar a cabo un análisis exploratorio elemental de datos acerca de los telares para alfombra que vimos en el capitulo 2. Examinaremos brevemente el resultado; si desea saber más acerca del AED, la bibliografía al final del libro proporciona varias referencias. ILUSTRACIÓN DEL USO DE SPSS PARA HACER ANÁLISIS EXPLORATORIO VARIABLE = YDS DE DATOS MONOVARIADA PRODUCCIÓN POR TELAR EN YARDAS N MEDIA DES EST SESGO USS CV MEDIA = 0 CATEG NUM ˜= 0 W:NORMAL 100% MAX 75% Q3 50% MED 25% Ql 0% MIN  RANGO  Q3-Ql  MODO MOMENTOS 30 PESOS 16.0367 SUMA 0.411459 VARIANZA 0.345475 CURTOSIS 7720.15 CSS 2.56574 MEDIA EST 213.475 PROB> T 232.5 PROB> S 30 0.969853 PROB<W CUARTILES (DEF = 4) 16.9 16.3 16 15.775 15.2 99% 95% 90% 10% 5% 1% SUMADOS30 481.1 0.169299 -0.10233 4.90967 0.0751219 0.0001 0.0001 0.571 16.9 16.845 16.78 15.6 15.31 15.2 1.7 0.524988 15.9 EXTREMOS MENOR 15.2 15.4 15.6 15.6 15.6 TALLOHOJA  FIGURA 3-15 Análisis exploratorio de datos acerca de los telares para alfombra del capítulo 2, utilizando el paquete de computadora SPSS 114 Capítulo 3 # MAYOR 16.4 16.6 16.8 16.8 16.9 GRÁFICA DE CAJA [INSERTAR] | | | +-----+ *--+--* | | +-----+ | | 168 000 3 166 0 1 164 00 2 162 00000 5 160 00000 5 158 0000000 7 156 00000 5 154 0 1 152 0 1 150 ----+----+----+----+ MULTIPLIQUE TALLO HOJA POR 10**-01 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias En la primera sección de resultados (con encabezado “momentos”) se tienen media, desviación estándar y las medidas numéricas del sesgo y la curtosis de los datos; como lo vimos en los capítulos 2 y 3, estas cantidades nos dan información acerca de la forma de los datos. La siguiente sección de resultados (con encabezado “cuartiles”) se refiere a los cuartiles y a diferentes rangos, así como a distintos percentiles que perfilan los extremos superior (99%, 95%, 90%) e inferior (10%, 5%, 1%) de los datos. Así, con un AED no sólo se identifica el centro de los datos, sino que también se atrae la atención sobre los valores no centrales y atípicos que se presentan en el conjunto de datos. A menudo, un examen más detallado de estos puntos “exteriores” mostrará que en realidad no deben estar en el conjunto de datos (quizá fueron errores de registro). Ya hemos visto cómo tales puntos exteriores distorsionan la media de las muestras. SPSS entonces nos da varias representaciones gráficas de los datos. Las representaciones de “tallo y hoja” son parecidas a los histogramas, pero en éstas se muestran simultáneamente todos los valores de los datos mientras se les agrupa. En consecuencia, poseen la ventaja del histograma, en el sentido de resumir los datos, sin perder detalle. Las “gráficas de caja” nos proporcionan una representación gráfica de la mediana (la recta horizontal en medio de la figura 3-15), los cuartiles (las rectas horizontales superior e inferior de la caja de la figura 3-15) y los extremos (los “bigotes” que salen de la caja). Tal vez sea útil pensar en una gráfica de caja como en el esqueleto de una distribución de frecuencias. En las figuras 3-16 y 3-17 se muestra algo del AED que se puede hacer con Minitab. En la figura 3-16 utilizamos Minitab para generar una gráfica de tallo y hoja de los datos de ingresos del apéndice 11. La figura 3-17 muestra gráficas de caja de los datos de ingresos como un todo y divididos por bolsa de valores. De nuevo, el AED llama nuestra atención hacia los puntos exteriores, las observaciones alejadas del centro de la distribución. En las gráficas de caja, estas observaciones exteriores se representan con la letra “O”. Un examen más minucioso del conjunto de datos nos muestra que para los dos puntos exteriores más extremos, las compañías descontinuaron algunas de sus operaciones; en un caso (Airgas, Inc.), recibió una suma grande por la venta de sus operaciones descontinuadas, y en el otro (Monarch Capital Corp.), se incurre en un alto costo por el cierre de las operaciones descontinuadas. Debido a estos factores extraordinarios, los dos datos puntuales podrían excluirse del análisis posterior del conjunto de datos. Cuartiles, rangos y percentiles Representación gráfica de los datos Presentación de tallo y hojas con caracteres Tallo y hojas de UT89 Unidad de hoja = 0.10 1 1 3 3 4 57 (150) 17 3 2 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -0 0 1 2 3 4 5 N = 224 4 76 6 87665555543332222222221111111111110000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111+ 00111111223349 3 7 2 FIGURA 3-16 Gráfica de tallo y hojas de Minitab para los ingresos del último trimestre de 1989 3.11 Análisis exploratorio de datos (AED) 115 “me costó algunas desveladas. A ver qué puedes obtener en lo que regreso. puede que no”. “Tal vez estés mezclando peras con manzanas. que acababa de entrar a la ofi- 116 Capítulo 3 cina. ¿No crees que tienes que separar los nuevos productos —digamos. “Bueno. La ganancia es un poco baja. Lee pasó a la última página de su informe y mostró a su tío un sencillo diagrama de pastel. diagramas y gráficas. “He aquí la belleza del negocio: puedes mostrarles a esos neoyorquinos que tu margen promedio de recuperación (ya sabes. el lunes por la mañana había llegado demasiado aprisa. tenemos un enorme margen en nuestros productos ‘novedosos’. Con las nuevas tecnologías. Archivé en discos con un mismo formato todos los datos viejos y dejé los de los últimos tres años en el disco duro. Recordarás nuestra primera “portátil” que pesaba más de 22 kilogramos. Lee”. Nunc”.” “Puede que sí. ¿Cuáles debe usar Lee para responder a las interrogantes sobre los márgenes de recuperación? ¿De qué manera deben presentarse los datos y cómo influirá esto en los nuevos inversionistas para tomar decisiones? ¿Qué limitaciones existen al suponer una distribución con forma de campana para los datos de “porcentaje”? Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . Algunas de las PC de baja velocidad ya no tienen ese margen de recuperación. las entradas menos el costo de los bienes vendidos) es del 28%. productos que tengan menos de seis meses a la venta— de las líneas establecidas? Revisa si el margen de recuperación se ve diferente y si esto se reproduce en todas partes como dice Gracia.” Preguntas de estudio: El programa de hoja de cálculo que utilizó Lee tiene muchas funciones estadísticas integradas. Walt. Eso les va a impresionar. Para Lee. pero hay otros productos en los que tuvimos que bajar los precios para deshacernos de ellos. Gracia se había ganado el título de “cerebro” de la compañía. Y con la hoja de cálculo 3D puedo juntar fácilmente toda la información y darte un informe por mes o por trimestre”. respondió Lee con esa familiaridad que sólo es posible en una empresa familiar. la socia de Walter Azko. Si Walter era reconocido por su encanto y su “astucia callejera”. comentó Gracia Delaguardia. Me marcho al aeropuerto a recoger a los inversionistas. de modo que los datos sean registrados de manera coherente de aquí en adelante.” “Estoy intentando olvidarla”. Lee. “Pero. felicitó el tío Walter a su nuevo asistente mientras echaba un vistazo a las 12 páginas de tablas. Pero ordené las cosas de modo que no tengamos que pasar por todo esto en el futuro. pero al menos se puede predecir. Gracia tiene razón. Alentado por la singular audiencia. respondió el jefe rápidamente.Gráfica de caja con caracteres UT89 TRANSACCIÓN UT89 FIGURA 3-17 Gráfica de caja de Minitab para los datos de ingresos Estadística en el trabajo Loveland Computers Caso 3: tendencia central y dispersión “No está mal para unos cuantos días de trabajo. Pero lo más importante es que he diseñado algunos formatos comunes para informes de cada una de las líneas de producción. “tal vez podamos lanzar algunas promociones para aprovechar esta información. las tendencias identificadas en los histogramas que había preparado reflejaban varias posibilidades: 1. pueden tender cada vez más hacia la contratación de pequeños talleres para la reparación de sus averías. Con un “cuidado” adecuado.” 3. Calcule la media del número de pedidos diarios y el tamaño de los pedidos para el centro de distribución 3 (Pennsylvania) durante los últimos cuatro trimestres. Los clientes habituales de HH Industries empiezan a reconocer el gasto que implica mantener inventarios grandes. calcule el coeficiente de variación para el número de pedidos y su tamaño promedio en el periodo completo de 12 meses. estoy realmente convencido de que las ventas totales seguirán aumentando. las ventas totales de la compañía eran importantes. 3. a las futuras recolecciones de datos.” “Seguro”. reconoció. luego estaré en condiciones de armar todo el rompecabezas. calcule la varianza y la desviación estándar de la muestra por trimestre. Considerando cada centro de distribución por separado. Además. Compárelos con el rango total en cada caso. estos clientes deberán comprar cantidades cada vez más grandes. b) Examine los histogramas representados gráficamente en el ejercicio correspondiente del capítulo 2 y compárelos con los rangos de Chebyshev calculados en el inciso a). acordó Laurel. verificó que todas estas tendencias fueran posibilidades bastante reales. Necesitaba saber si los tres centros estaban haciendo lo suyo. la mediana y la moda de los datos trimestrales con respecto al número y tamaño promedio de los pedidos. sus pedidos serán más frecuentes y por cantidades menores que antes. Stan Hutchings. ¿Qué tan preciso es el teorema de Chebyshev para establecer el rango en cada caso? 6. ¿Este centro de distribución muestra tendencias parecidas a las de toda la compañía? ¿Los planes de Laurel de hacer una investigación del desempeño de cada centro de distribución son una buena idea? El jueves en la tarde. podría estar presente una tendencia estacional. “Todo esto es muy interesante”. pero ella sabía que cada centro de distribución desempeña un papel clave en la salud global de la compañía. Además. 4. etcétera? Ejercicios de base de datos computacional 117 . o si la mayor parte de las ventas hechas en la sucursal de Florida oscurecían cualquier información importante proveniente de los almacenes de Arizona y Pennsylvania. 2. “Me gustaría saber qué opina el resto de la directiva en la reunión del lunes. ¿Tiene razón Stan al afirmar que las ventas totales están bien? 2. Pero incluso con la disminución de las cifras de dinero por pedido. ¿De qué manera presentaría sus resultados a la junta directiva? ¿Qué recomendaciones podría hacer con respecto a las promociones. Laurel sentía curiosidad sobre si la tendencia que había identificado se veía reflejada en cada centro de distribución. Después de todo. En consecuencia. Laurel encontró a Hal en su oficina y le dio una breve descripción de sus hallazgos. para el número de pedidos y el tamaño promedio de esos pedidos. respondió Hal. pues las condiciones climáticas adversas del invierno podrían ocasionar retrasos en las construcciones (este concepto será abordado en un capítulo posterior). Laurel se puso a pensar en la filosofía de Stan sobre las “ventas totales”. ¿Existen diferencias significativas entre las dispersiones relativas experimentadas por cada centro de distribución? 7. Utilizando los datos sin procesar. “Todavía quiero hacer algunas pruebas de variabilidad. ¡las ventas totales!” De regreso en su oficina. Calcule el coeficiente de variación para cada trimestre. 5. ¿Los resultados apoyan lo que Laurel encontró de manera intuitiva a partir de los histogramas? ¿Qué medida de tendencia central parece más apropiada en esta situación? Calcule las ventas totales de la compañía en dólares para los últimos cuatro trimestres. vicepresidente de ventas. Era cierto. conforme aumente su confianza en la calidad y servicio de la compañía. es lo que realmente importa. a) Utilice el teorema de Chebyshev para determinar el rango del número diario de pedidos y del tamaño promedio de éstos para el segundo trimestre de 1992 que incluirá al menos 75% de los datos. Nos vemos el lunes. 1.Ejercicio de base de datos computacional HH Industries De lo que Laurel podía ver. Determine los rangos intercuartiles del tamaño promedio de los pedidos en cada trimestre. Las empresas constructoras grandes o las que manejan desechos que por tradición han mantenido sus propias flotillas de equipo. El número de clientes que compra a HH Industries está aumentando y sus adquisiciones iniciales son relativamente pequeñas. “De hecho”. al menos eso es lo que las ‘cifras diarias’ parecen indicar. tomando en cuenta los datos del ejercicio correspondiente del capítulo 2. ¿Crees poder montar una pequeña presentación? Tendría que ser muy clara en cuanto a las conclusiones y no quedarse mucho en las estadísticas. Calcule la media. Mediana Punto situado a la mitad del conjunto de datos. medida de localización que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. medida de dispersión con las mismas unidades que los datos originales. Rango interfractil Medida de la dispersión entre dos fractiles de una distribución. esto es. o más grande que. es la posición de un valor en. Moda El valor que ocurre más a menudo un conjunto de datos. Media ponderada Promedio que se calcula con el fin de tomar en cuenta la importancia de cada valor con respecto al 118 Capítulo 3 total. es decir. Desviación estándar Raíz cuadrada positiva de la varianza. Clase de la mediana Clase de una distribución de frecuencias que contiene el valor mediano de un conjunto de datos. que puede compararse para diferentes distribuciones y que expresa la desviación estándar como porcentaje de la media. Percentiles Fractiles que dividen los datos en 100 partes iguales. Está representado por el punto más alto de la curva de la distribución de un conjunto de datos. la diferencia entre los valores de dos fractiles. Curtosis Medida de lo puntiagudo de una distribución de puntos. y al menos 89% caerá dentro de tres desviaciones estándar. Simétrica Característica de una distribución en la que cada mitad es la imagen de espejo de la otra. Medida de distancia Medida de dispersión en términos de la diferencia entre dos valores del conjunto de datos. se calcula tomando la n-ésima raíz del producto de n valores que representan el cambio. Deciles Fractiles que dividen los datos en 10 partes iguales. Codificación Método para calcular la media de datos agrupados mediante la recodificación de los valores de los puntos medios de las clases en valores más sencillos. falta de simetría. Representados por caracteres latinos. Dispersión La separación o variabilidad de un conjunto de datos. Distribución bimodal Distribución de datos puntuales en la que dos valores ocurren con más frecuencia que los demás valores del conjunto de datos. suelen representarse con letras griegas. Fractil En una distribución de frecuencias. Rango Distancia entre los valores más bajo y más alto de un conjunto de datos. Rango intercuartil Diferencia entre los valores del primer y tercer cuartiles. Media Medida de tendencia central que representa el promedio aritmético de un conjunto de observaciones. al menos 75% de los valores de la población caerán dentro de dos desviaciones estándar a partir de la media. Estadísticos Medidas numéricas que describen las características de una muestra. Estadística sumaria Números sencillos que describen ciertas características de un conjunto de datos. Medida de dispersión Medida que describe cómo se dispersan o separan las observaciones de un conjunto de datos. Medida de tendencia central Medida que indica el valor que debe esperarse para un dato típico o situado en el centro. más que en las unidades al cuadrado en que se expresa la varianza. Gráfica de caja Técnica gráfica de AED empleada para resaltar el centro y los extremos de un conjunto de datos. Teorema de Chebyshev No importa qué forma tenga la distribución. Cuartiles Fractiles que dividen los datos en cuatro partes iguales. Parámetros Valores numéricos que describen las características de una población completa. esta diferencia representa el rango de la mitad central del conjunto de datos. una fracción dada de los datos. un promedio en el que cada valor de observación se pondera con algún índice de su importancia. Media geométrica Medida de tendencia central utilizada para medir la tasa promedio de cambio o de crecimiento de alguna cantidad. Sesgo Grado en que una distribución de puntos está concentrada en un extremo o en el otro. Coeficiente de variación Medida relativa de la dispersión. Varianza Medida del cuadrado de la distancia promedio entre la media y cada observación de la población. la transformación de una observación al restarle la media y dividirla entre la desviación estándar. Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . Resultado estándar Expresión de una observación en términos de unidades de desviación estándar arriba o abajo de la media. es decir.Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 3 Análisis exploratorio de datos (AED) Métodos para analizar datos que requieren de muy pocas suposiciones principales. ■ (u  f) x  x0  w  n 3-4 Esta fórmula nos permite calcular la media aritmética de la muestra de datos agrupados mediante el uso de códigos.G. La mitad de las observaciones quedan arriba de la mediana y la otra mitad abajo. ■ 3-7   n1 Mediana   -ésimo término del arreglo de datos 2 donde n  número de elementos del ordenamiento de datos La mediana es un solo valor que mide el elemento central del conjunto de datos. En esta ecuación. Asigne estos códigos (u) de la manera siguiente: fije el valor cero al punto medio (denotado por x0). Podemos calcular este promedio multiplicando el peso. ■ ( f  x) x   n 3-3 Para encontrar la media aritmética de la muestra con datos agrupados. Si el conjunto de datos contiene un número impar de observaciones.  pro du cto deto doslo sv alo res x n La media geométrica o M.G. es adecuada siempre que necesitemos medir la tasa promedio de cambio (tasa de crecimiento) en un periodo. Divida el resultado entre el número total de observaciones de la muestra (n). Para un número par de elementos. el elemento de en medio es la mediana. de cada elemento (w) por el elemento correspondiente (x). sumando el resultado de todos esos productos () y dividiendo esta cantidad entre la suma de todas las ponderaciones (w). Luego multiplique el código asignado a cada clase (u) por la frecuencia ( f ) de las observaciones de cada clase y sume () todos los productos. con el fin de evitarnos trabajar con puntos medios muy grandes o inconvenientes. xn.● Ecuaciones introducidas en el capítulo 3 ■ x   N 3-1 La media aritmética de la población es igual a la suma de los valores de todos los elementos de la población (x) dividida entre el número total de elementos que componen la población (N). ■ x x   n 3-2 Para calcular la media aritmética de la muestra. sume los valores de todos los elementos de la muestra (x) y divida el resultado entre el número total de elementos de la muestra (n). la mediana es el promedio de las dos observaciones de en medio. multiplique por el ancho numérico del intervalo de clase (w) y sume el valor del punto medio correspondiente al código cero (x0). o ponderación. Luego multiplique cada punto medio por la frecuencia ( f ) de observaciones de cada clase. ■ (w  x) xw   w 3-5 La media ponderada. enteros positivos consecutivos a los puntos medios mayores a x0 y enteros negativos consecutivos a los puntos medios menores. es un promedio que toma en cuenta qué tan importante es cada valor respecto al total. calcule los puntos medios (x) de cada clase de la muestra. ■ 3-6 M. ■ 3-8 m˜  (n  1)/2  (F  1)  wL    f m m Repaso del capítulo 119 . sume () todos estos productos y divida la suma entre el número total de observaciones de la muestra (n). Utilice esta ecuación cuando los datos no están agrupados. n es igual al número de valores x que aparecen en el problema. y Lm es el límite inferior del intervalo de la clase de la mediana. ■ Rango intercuartil  Q3 . La desviación estándar es siempre la raíz cuadrada positiva de la varianza. La última expresión. ■ Rango  3-10 valor de la valor de la  observación más alta observación más baja El rango es la diferencia entre los valores más alto y más bajo de una distribución de frecuencias. En ella. debido a que nos libera del cálculo de las desviaciones de la media. Es un parámetro más útil que la varianza. El resultado estándar nos permite hacer comparaciones entre los elementos de distribuciones que difieren en orden de magnitud o en las unidades empleadas. f representa la frecuencia de la clase y x es el punto medio. F es la suma de todas las frecuencias de clase hasta la clase mediana. ■   2  3-13   (x  )2   N x2   2 N La desviación estándar de la población. pero N  2 a menudo es mucho más conveniente usarla. La expresión de en medio. d1 como la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que está inmediatamente abajo de ella. Utilice la ecuación 3-14 para encontrar el resultado estándar de una observación de una población.  f (x  )2  f x2 2      2 N N Esta fórmula.  es matemáticamente equivalente a la definición. ■ (x  )2 x2 2      2 N N 3-12 Esta fórmula nos permite calcular la varianza de la población. w es el ancho de intervalos de clase. El rango intercuartil es la diferencia entre los valores del primer y el tercer cuartil (Q1 y Q3). es la raíz cuadrada de la varianza de la población. . ■ 120 3-16 Capítulo 3   2     f (x  )2   N  f x2   2 N Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . y w como el ancho del intervalo de la clase modal. d1 Mo  LMO   w d1d2   La moda es el valor que con se repite más frecuencia en el conjunto de datos. fm es la frecuencia de las observaciones de la clase de la mediana. d2 igual a la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que está inmediatamente arriba de ella. n es igual al número total de observaciones de la distribución.  es N x2 la definición de 2.■ 3-9 Esta fórmula nos permite encontrar la mediana de la muestra de datos agrupados. nos permite calcular la varianza de datos ya agrupados en una distribución de frecuencias. en cualquiera de sus formas. divida los datos en cuatro partes iguales. ■ 3-14 ■ 3-15 x Resultado estándar de la población   El resultado estándar de una observación es el número de desviaciones estándar que la observación se separa hacia abajo o hacia arriba de la media de la distribución.Q1 3-11 El rango intercuartil mide aproximadamente qué tan lejos de la mediana debemos desplazarnos a ambos lados antes de poder incluir una mitad de los valores del conjunto de datos. Para hallar la moda de datos agrupados (denotada con Mo). Para calcular este rango. Los cuartiles (Q) son los valores más altos de cada una de esas cuatro partes. utilice esta fórmula y tome a LMO igual al límite inferior de la clase modal. sin incluirla. En ella. debido a que se expresa en las mismas unidades que los datos (mientras que las unidades de la varianza son el cuadrado de las unidades de los datos). una medida del cuadrado de la distancia (x  )2 promedio entre la media y cada observación de la población. utilice la misma fórmula de la ecuación 3-12. x  . Es parecida a la ecuación 3-13. para calcular la varianza de la muestra. sustituyendo  con x y N con n  1. excepto que  se sustituye por la media de la muestra x y N se cambia por n  1. En el capítulo 7 se explica por qué utilizamos n  l en lugar de n. x2 (x  x)2 nx2     s2   s   3-19 n1 n1 n1   n1 n1 n1 La desviación estándar de la muestra es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. ■ ■ ■ 3-17 x2 (x  x)2 nx2     s2   3-18 Para calcular la varianza de la muestra.Tome la raíz cuadrada de la varianza y obtendrá la desviación estándar de datos agrupados. 99 ■ 3-84 ■ 3-85 ■ 3-86 ■ 3-87 4.01 3.6 yardas de recorrido por tierra.99 4.00 4. ¿cuál es el rango de los pesos para 95% de los paquetes? ¿Qué reacción tendría usted si un aficionado al fútbol americano le dijera lo siguiente? “Los Raiders de Rockland tienen un promedio de 3. haga corresponder cada sección a una de las curvas de la figura 3-9. En consecuencia.” ¿Qué respondería al siguiente comentario?: “La variabilidad no es un factor importante. pero se estima que es muy grande Valor exacto desconocido. c) Adquisiciones de alimentos (total). Como sólo necesitan 10 yardas para anotar y tienen cuatro oportunidades para lograrlo.02 3.02 4. el Congreso estadounidense asignó la misma cantidad de financiamiento: a) Salario de los funcionarios (total). Los datos sobre cada categoría son los siguientes: Resistencia media de prueba (kg) Master Super 40 30 Desviación estándar Valor exacto desconocido. en promedio.99 4. el resultado será el mismo. La compañía Ed’s Sports Equipment tiene en existencia dos categorías de sedal de pesca. Tomando en cuenta la distribución de los resultados posibles para los gastos reales en cada una de estas áreas. pero se estima que es muy pequeño Si usted se dispone a pescar un tipo de pez cuyo peso promedio ha sido 25 kg en esta temporada.01 3.00 3. b) Mantenimiento de la flota aérea. la anotación es segura.01 3. ¿con cuál de los dos sedales tiene más posibilidad de atrapar una cantidad mayor de peces? Repaso del capítulo 121 . de todos modos se tiene una misma posibilidad de caer arriba o abajo de la mediana.03 4.98 4. ● Ejercicios de repaso ■ 3-83 El departamento de pesos y medidas de la oficina de agricultura de un estado midió la cantidad de granola que se vende en paquetes de 4 onzas y registró los siguientes datos: 4.” A continuación se presentan tres partes del presupuesto de una año para la defensa.00 3.99 Si la muestra es representativa de todos los tipos de granola que vende este fabricante.x Resultado estándar de la muestra    s Utilice esta ecuación para encontrar el resultado estándar de una observación en una muestra.01 4. a cada una de ellas. ■ Coeficiente de variación de la población   (100)  3-20 El coeficiente de variación es una medida relativa de dispersión que nos permite comparar dos distribuciones.00 4.98 4. Relaciona la desviación estándar y la media mediante la expresión de la desviación estándar como porcentaje de la media. Fundamente su respuesta. porque aun cuando el resultado es más incierto.97 4. siempre y cuando mantengan su forma de jugar por tierra.02 4.02 3. c) Encuentre la moda de los datos. b) Encuentre la mediana de los datos. un comerciante de discos al menudeo. con desviación estándar de 1. La línea número 1 produce un promedio mensual de 11. pueden describirse en el siguiente conjunto de datos: 200 ■ 3-90 ■ 3-91 ■ 3-92 156 231 222 96 289 126 308 a) Calcule el rango. de 300 discos. p. Se ha dado cuenta que en los últimos dos años. con una desviación estándar de 1. Ohio.010.350 unidades. 3. En este caso. con desviación estándar de 16. ■ ■ 122 3-93 3-94 a) Encuentre la media aritmética de los datos. sec. el nivel promedio de ventas por representante ha permanecido igual. d) ¿Cuál es la mejor medida de la tendencia central del conjunto de datos? e) Encuentre la desviación estándar de los datos. Uno examina el periodo correspondiente a 1968-1972. b) ¿Cuál de las tres medidas que calculó para responder al inciso a) describe mejor la variabilidad de los datos? Dos economistas estudian las fluctuaciones del precio del oro. con desviación estándar de 35.) La estación Fish and Game en el lago Wylie tiene registros de los peces atrapados en el lago e informa sus hallazgos al Servicio Nacional de Pesca Deportiva. La 2 produce un promedio mensual de 9. 4. (La población completa está incluida en ellos. ¿Qué diferencias esperaría encontrar en la variabilidad de sus datos? La fábrica de botas para esquiar Downhill opera dos líneas de ensamble en sus plantas. Los niveles de ventas de los agentes de la compañía para ese mismo periodo tienen variaciones significativamente más grandes respecto a la media que en cualquier otro periodo de dos años anterior al estudiado. la varianza y la desviación estándar para estos datos. ¿Cuál fórmula es relativamente menos precisa? Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . emplea dos fórmulas diferentes para pronosticar sus ventas mensuales.050. en The Chicago Tribune (14 de diciembre de 1992). la capitalización de nueve mercados de valores del Pacífico y Asia fue: País Capitalización (en miles de millones de dólares) Filipinas 17 Indonesia 21 Tailandia 44 Singapur 50 Malasia 79 Corea del Sur 86 Taiwan 140 Hong Kong 178 Australia 203 Fuente: “Asian/Pacific Stock Markets”. el otro estudia el correspondiente a 1975-1979. La segunda. el rango intercuartil y la desviación estándar de estos datos. mientras que la distribución de los niveles de ventas se ha ampliado. ¿es el rango una buena medida de la variabilidad? ¿Por qué? El dueño de Records Anonymous. La primera fórmula tiene una falla promedio de 700 discos. La pesca en libras de los 20 últimos días fue: 101 132 145 144 130 88 156 188 169 130 90 140 130 139 99 100 208 192 165 216 Calcule el rango.935 unidades. ¿A qué conclusiones puede llegar basándose en esas observaciones? Los automóviles nuevos vendidos en diciembre por ocho distribuidores de Ford situados en un radio de 80 kilómetros de Canton.■ 3-88 ■ 3-89 El vicepresidente de ventas de Vanguard Products ha estado estudiando los registros correspondientes al desempeño de sus representantes de ventas. El gerente de producción está interesado en mejorar la consistencia de la línea que posee la mayor variación. ¿Cuál de las dos líneas posee la mayor dispersión relativa? E1 30 de junio de 1992. 0 15.0 13.6 12. ¿cuántos valores deberían estar entre 132.2 17.3 Enumere los valore en cada decil.560 a) Calcule el rango.285 Martes 2.430 Domingo 2.500 28.1 19. Valores de CI 134 143 146 ■ 3-98 136 144 146 137 144 147 138 145 148 138 146 153 a) Calcule la media y la desviación estándar de los resultados de CI.44 y 153.1 10.0 9.6 ■ 3-99 12.83 1.4 19.0 11. la varianza y la desviación estándar. Matthews.3 18. El número de yardas cúbicas entregadas por cada camión cierto día fue el siguiente: Yardas cúbicas 11.9 16.6 24. ¿cuál de ellas cree usted que le daría una mayor información acerca de esta distribución: el rango o la desviación estándar? b) Tomando en cuenta la dificultad y el tiempo para calcular cada medida que revisó en el inciso a). Para probar el programa. le dio a la computadora 15 formas distintas de una prueba de CI y calculó su coeficiente de inteligencia obtenido en cada forma.1 17. 8% de los camiones entregaron menos de _______________________ yardas cúbicas.3 16.8 16.6 16.2 12.71 1.56? ¿Cuántos valores se encuentran realmente en ese intervalo? Liquid Concrete entrega mezcla de concreto lista en 40 camiones. La asistencia a los 10 últimos partidos en casa de las Águilas de Baltimore fue la siguiente: 20. Repaso del capítulo 123 .8 13.600 28.100 19.89 ■ ■ 3-96 3-97 1.6 18.900 Jueves 2. Young y Asociados.980 Sábado 3.7 9.6 18.3 10.900 Viernes 3. b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev. una agencia de consultorías de Chapell Hill. la varianza y la desviación estándar para estos datos.7 15. calcule el rango intercuartil.9 12.350 ■ 3-100 14. b) ¿Algunos de los resultados que obtuvo en el inciso a) son un reflejo preciso de la variabilidad de los datos de asistencia a los partidos? c) ¿Qué otra medida de variabilidad podría ser mejor? d) Calcule el valor de la medida que sugirió en el inciso c).■ 3-95 Utilizando los siguientes datos de población.600 30.3 14. ¿Qué concluye de sus respuestas acerca del comportamiento del costo de combustible para calentar? Costo promedio por galón de combustible para calentar en ocho estados de la Unión Americana 1.68 1.5 15.9 17.4 18.9 14.69 1.7 13.3 10. ¿cuál sugeriría como la mejor? ■ 3-101 c) ¿Qué haría que usted cambiara su opinión al respecto? La siguiente distribución de frecuencias resume los cambios de precios ocurridos el 24 de mayo de 1993 en todas las compañías que participaron en la Bolsa de Valores de Nueva York y cuyos nombres comienzan con L o con R.7 19.6 13.73 La siguiente tabla presenta la cantidad promedio de policías hombres y mujeres del Departamento de Policía de Nueva York que estuvieron en servicio cada día entre las 20:00 y las 24:00 horas en el barrio de Manhattan: Lunes 2.500 25.950 Miércoles 2. tiene los siguientes registros que indican el número de días que cada uno de sus ocho consultores de planta cobró el último año: 212 220 230 210 228 229 231 219 221 222 a) Sin calcular el valor de las medidas.300 49.8 17.400 11.975 a) ¿Serían la varianza o la desviación estándar una buena medida de la variabilidad de estos datos? b) ¿Qué encontró en el patrón del número de policías que ocasionó su respuesta al inciso a)? Un sicólogo escribió un programa de computación para simular la forma en que una persona responde a una prueba típica de CI (cociente de inteligencia).4 9.0 13.9 14.8 9.600 31.66 1.77 1. 25 Fuente: The Wall Street Journal (25 de mayo de 1993): C4-C5. Larsen Equipment Rental proporciona a los contratistas las herramientas que necesitan sólo por unos días.25 0. por volumen para todas las: a) Revistas mensuales. b) Revistas noticiosas semanales.Cambio de precio Número de compañías con L Número de compañías con R 1 1 1 7 19 14 21 5 3 2 1 1 1 0 5 20 20 14 8 1 4 0 1. d) ¿Cuál es la mejor medida de tendencia central para cada distribución? e) Encuentre la desviación estándar de las dos distribuciones (cada grupo es una población completa). en número de lectores.01 1.01 0. Es útil hacer un análisis del tiempo perdido para planear el inventario. como sierras para concreto.01 a 1.00 1.26 a 0.00 0. b) Encuentre su mediana. c) Revistas médicas mensuales. la posición central y el sesgo de las distribuciones del nivel de lectura. distribuidas a nivel nacional.75 a 0. c) Encuentre su moda.51 a 0.76 0.75 0. Cuando el equipo se descompone al estar rentado.25 a 0. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . pero algunas veces tarda mientras llegan las refacciones. Con frecuencia se hace rápido.50 0.76 a 1. ■ 3-102 a) Encuentre la media aritmética de las dos distribuciones.00 a 0. debe considerarse fuera de servicio hasta que se repara. f) Utilice sus coeficientes de variación para determinar qué distribución tiene menor variabilidad relativa.50 a 0. en términos generales.51 0. Los registros de descomposturas en el último año son: Grupo de equipos 1 2 3 4 5 6 7 ■ 3-103 1 2 3 4 5 6 7 124 Grupo de equipos Días descompuesto 8 9 10 11 12 13 14 8 29 6 0 4 4 10 2 19 14 21 5 7 11 a) ¿Cuál fue el tiempo medio de descomposturas el año pasado para los grupos de equipos? b) ¿Cuál fue la mediana? Larsen (vea el ejercicio 3-102) acaba de obtener la siguiente información adicional: Grupo de equipos ■ 3-104 Días descompuesto Piezas de maquinaria 1 3 1 4 2 1 1 Grupo de equipos Piezas de maquinaria 8 9 10 11 12 13 14 5 8 2 2 6 1 1 a) ¿Cuál es el tiempo promedio de descompostura por pieza de maquinaria? b) ¿Cuál es el tiempo promedio de descompostura por pieza de maquinaria para cada grupo al clasificarlas por grupo? c) ¿Cuánto grupos tienen un tiempo de descomposturas arriba del promedio por pieza de maquinaria? Compare y contraste.26 0.01 a 0.25 a 1. en términos generales. ¿Cuál es el valor del consumo de combustible para la clase modal? d) ¿Cuál de las tres medidas de tendencia central es la que mejor puede servirle a Allison cuando haga un pedido de combustible? Explique su respuesta. el número de bulbos en cada bolsa puede variar. dependiendo de las variedades incluidas. El número de bulbos que hay en cada bolsa de una muestra de 20 son: 21 36 25 26 ■ 3-109 5.99 6. en consecuencia. b) Calcule la media del mismo consumo. ¿Cuál medida de tendencia central deberá utilizar? La comercializadora de flores Emmot Bulb Co.02 a) Calcule la mediana del consumo de combustible. está instalando una criba en una sección de su nueva planta de procesamiento para separar hojas.91 5. tierra e insectos de una clase costosa de semilla de especia. que describa al contribuyente “promedio” de la Unión Americana en términos del ingreso bruto anual.11 6. ¿qué puede concluir acerca de la forma de la distribución del número de bulbos por bolsa? Un ingeniero probó nueve muestras de cada uno de tres diseños de soporte para un nuevo torno eléctrico.11 4. Allison Barrett realiza análisis estadísticos para un equipo de carreras automovilísticas.01 5. que recibe a granel de Repaso del capítulo 125 .05 5.27 6. Clara tiene datos sumarios en los que el contribuyente está clasificado en diferentes clases según el impuesto que paga. b) los individuos que pagan impuestos estatales en Carolina del Norte. Pidieron a Clara Chávez. presentamos las cifras en millas por galón del gasto de combustible de sus automóviles en carreras recientes: 4. c) los individuos que pagan impuestos por derecho de aeropuerto (incluido en el precio del boleto de avión) en el Aeropuerto Internacional JFK de la ciudad de Nueva York.11 6. donde la categoría superior de impuestos es del 28%.9 veces su capacidad diseñada.02 33 23 33 37 37 26 32 37 56 33 47 43 47 37 34 45 a) ¿Cuáles son la media y la mediana del número de bulbos por bolsa? b) Con base en su respuesta. b) Con base en su respuesta.24 5. con una carga equivalente a 1. Las bolsas se venden según su peso.05 5. A continuación. ¿cuál diseño es el mejor y por qué? La Table Spice Co. vende bolsas sorpresa con bulbos de flores. la tendencia central y el sesgo de las distribuciones concernientes a la cantidad de impuestos (en dólares) pagados por todos a) los individuos que solicitan reembolso federal en Estados Unidos.75 ■ 3-107 ■ 3-108 6.22 ■ 3-110 4. Los datos siguientes corresponden al número de horas que tardó cada soporte en fallar con el motor del torno funcionando continuamente a su máxima potencia. A Diseño B C 16 16 53 15 31 17 14 30 20 18 27 23 21 22 26 39 17 28 31 16 42 20 18 17 16 15 19 a) Calcule la media y la mediana para cada grupo.77 5. analista del Servicio Interno de Contribuciones estadounidense. c) Agrupe los datos en cinco clases de igual tamaño.. donde la categoría superior de impuestos es 7%.■ 3-105 ■ 3-106 Compare y contraste.89 6. 0 3.15 5.5 2. el doctor Joseph Anderson concluyó que el nivel de la mediana de los bienes financieros (fondos para inversión.09 4. ■ 3-112 Suponga que contestan llamadas los 365 días del año.287 8. la compañía reportó el siguiente resumen estadístico: Promedio diario de llamadas a soporte Tiempo promedio “en espera” Total de llamadas contestadas 16.5 4. B11. The Wall Street Journal (5 de junio de 1995): 1. May Run Into Trouble Later On”.0 4.61 2. Wysocki.51-4. la empresa más importante de corredores de bolsa.500 1 minuto 36 segundos 3.951 Fuente: WordPerfect Report. el desarrollador del popular software de procesamiento de texto. excluyendo bienes raíces) era $1.019 a) ¿Cuál es el tamaño de la mediana de basura y el tamaño de la clase modal? b) ¿Cuál malla usaría usted.0 menor que 1. pero también eliminará más semillas.68 2. ■ 3-113 ¿Cuál es la media y la mediana del costo por pasajero? ¿Cuál sería la mejor cifra para usar en una línea aérea que desarrolla su plan de negocios? Merrill Lynch. encargó un estudio de la riqueza de las familias estadounidenses. ¿deben los administradores de la empresa pensar en dejar de vender acciones al público en general? Fuente: B. The Wall Street Journal (23 de junio de 1995). En 1993. La empresa puede utilizar una malla gruesa de 3. “Many Baby Boomers Save Little.00 0. según el inciso a). ¿tiene sentido programar 100 personas por día? Las siguientes son las cantidades promedio (en dólares) que gasta en comida cada línea aérea por pasajero: American United Northwest TWA Delta Continental USAir American West Southwest 7.5 ■ 3-111 12 129 186 275 341 422 6.01-2.0 2.51-2. y la media aproximada era $30.000 familias. Los detalles se tomaron de un comunicado de prensa de Merrill Lynch. ¿el “promedio” reportado es una media aritmética? Suponga que un representante técnico típico puede atender 165 llamadas por turno.14 Fuente: “The Going Rate”.5 mm o una más fina de 3 mm.77 2.163 6. La malla más abierta dejará pasar más basura y eliminará menos semillas.01-3.51-3.976.000.5 1. “New Data Shows Wealth of American Families at ‘Woeful Low’ ” (21 de diciembre de 1994).416 1.51-5.5 3.5 mayor que 5. Como $1. La compañía tiene la siguiente información tomada de una muestra de los desechos: Tamaño de desechos (en milímetros) Frecuencia 1.01-4.41 7. A partir de los datos del censo de Estados Unidos para más de 38.24 5.01-5.0 5.los cultivadores.01-1.000.212 2.000 es menos que la cantidad mínima necesaria para invertir en valores. La malla más fina retendrá más materia inútil. logró una gran participación de mercado mediante una estrategia de negocios que incluyó soporte técnico telefónico gratis ilimitado. si desea eliminar al menos la mitad de la basura? WordPerfect. 126 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . primavera de 1993. 1 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad 128 4.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 158 • Estadística en el trabajo 165 • Ejercicio de base de datos computacional 166 • Términos introducidos en el capítulo 4 168 • Ecuaciones introducidas en el capítulo 4 169 • Ejercicios de repaso 170 127 .3 Tres tipos de probabilidad 131 4.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 151 4.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 143 4.4 PROBABILIDAD I: IDEAS INTRODUCTORIAS capítulo Objetivos • • • Examinar el uso de la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones Explicar las diferentes maneras en que surge la probabilidad Desarrollar reglas para el cálculo de diferentes tipos de probabilidades • Utilizar las probabilidades para tomar en cuenta nueva información: definición y uso del teorema de Bayes Contenido del capítulo 4.4 Reglas de probabilidad 137 4.2 Terminología básica en probabilidad 129 4. 1 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad Primeros teóricos sobre probabilidad Necesidad de la teoría de probabilidad Ejemplos del uso de la teoría de probabilidad 128 Jacob Bernoulli (1654-1705). y el comprador que adquiere una patineta considera la probabilidad de duración de su pasajero capricho. con el fin de calcular las primas. la teoría matemática de la probabilidad es la base para las aplicaciones estadísticas. En muchos casos. Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . y las cartas que se escribieron entre sí estos tres personajes constituyen la primera revista académica sobre teoría de la probabilidad. Pero no fue sino hasta el siglo XVII que el noble francés Antoine Gombauld (1607-1684) buscó la base matemática del éxito y el fracaso en las mesas de dados. ■ L 4. marqués de Laplace (1749-1827). Al organizar esta información y considerarla de manera sistemática seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones. En la toma de decisiones personales y administrativas. En el siglo I . comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida que la que tomaríamos si sólo diéramos palos de ciego. admitamos o no el uso de algo tan complejo. tanto en investigaciones sociales como en la toma de decisiones. En la actualidad. hacemos algunas estimaciones de probabilidad antes de intentar una jugada arriesgada. Antes de la tan publicitada pelea de Muhammed Alí contra Leon Spinks. lo que es más importante en nuestro estudio. Pierre Simon. requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. tendremos algún conocimiento sobre los posibles resultados de una decisión. Medio siglo más tarde. Cuando jugamos al bridge. seguramente se preguntará: ¿cuál es la posibilidad de que el profesor nos pregunte algo sobre la historia de la teoría de la probabilidad? Vivimos en un mundo incapaz de predecir el futuro con total certidumbre.os jugadores han utilizado el cálculo de las probabilidades para realizar apuestas durante la mayor parte de la Historia. nosotros. muchos centros de aprendizaje estaban estudiando la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. cambiamos nuestros planes de salir de día de campo y nos quedamos en casa divirtiéndonos con juegos de mesa. La industria de seguros. La probabilidad constituye parte importante de nuestra vida cotidiana. No tenemos registro del grado de éxito obtenido por estos caballeros en las mesas de dados. como ciudadanos preocupados. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y. a problemas sociales y económicos. se afirmaba que Alí había dicho: “Les apuesto a que todavía seré el más grande cuando termine la pelea. Abraham de Moivre (1667-1754). unificó todas estas ideas y compiló la primera teoría general de probabilidad. Compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fermat (1601-1665).” Y cuando usted mismo empiece a estudiar para el examen del contenido de este libro. Cuando escuchamos una predicción de un 70% de posibilidades de lluvia. que surgió en el siglo I . Los administradores que se encargan de inventarios de ropa de moda para mujer deben preguntarse sobre las posibilidades de que las ventas alcancen o excedan un cierto nivel. Él le preguntó al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662): “¿Cuáles son las probabilidades de obtener dos seises al menos una vez en 24 tiradas de un par de dados?” Pascal le resolvió el problema y se interesó en el asunto de las probabilidades al igual que Gombauld. el reverendo Thomas Bayes (17021761) y Joseph Lagrange (1736-1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. nos enfrentamos a la incertidumbre y utilizamos la teoría de la probabilidad. pero sabemos que su curiosidad y sus investigaciones dieron origen a muchos de los conceptos que estudiaremos en este capítulo y el siguiente. Nuestra necesidad de encarar a la incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre. un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo. La pregunta fundamental que se debe formular al decidir si ciertos eventos son mutuamente excluyentes es: ¿pueden ocurrir dos o más de tales eventos al mismo tiempo? Si la respuesta es afirmativa.500. ¿cuáles son las posibilidades de poder tomar ese avión a tiempo?.5”. si sacamos una carta de un mazo de naipes. desertar y no obtener calificación. el espacio muestral tiene 52 elementos: as de corazones. podríamos responder. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6. si la moneda no está cargada y tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de sus dos lados (sin posibilidades de que caiga parada). De manera parecida. Considere de nuevo el ejemplo de la moneda. dos de corazones. Este producto contiene sacarina. la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento. esté más cercano a su quehacer diario es ser elegido de entre cien estudiantes para que responda a una pregunta. De manera análoga. quizá. cara y cruz.167. etcétera. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo. los eventos no son mutuamente excluyentes. 4-4 Una compañía embotelladora de refrescos muy conocida decide alterar la fórmula de su producto más antiguo y de mayor venta. el tomar el as de espadas es un evento. 8/9) o como decimales (0. podríamos hacer la siguiente pregunta: en un experimento de lanzar una moneda.Ejercicios 4. que ha demostrado producir cáncer en animales de laboratorio. desde luego. “El uso de este producto puede ser peligroso para su salud. esperamos no ser uno de tales eventos. ¿Esto significa que la teoría de la probabilidad no se aplica a los seguros de vida? Explique su respuesta. Tenemos dos resultados posibles. pero las que manejan seguros de vida tienen la certeza de que cada asegurado va a morir. cruz En el experimento de sacar una carta.” ¿De qué manera pudo haber desempeñado un papel la teoría de la probabilidad en la afirmación anterior? 4. 0. En el de lanzar una moneda. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder. y si cae cara es otro. “1/2” o “0. 1/2. En la teoría de la probabilidad. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestral del experimento. En cualquier lanzamiento obtendremos una cara o una cruz. la probabilidad es la posibilidad de que algo pase.889) que están entre cero y uno. Solamente uno de esos tres resultados es posible. por tanto. se dice que son eventos mutuamente excluyentes.1 Aplicaciones ■ 4-1 ■ 4-2 ■ 4-3 ¿Existe en realidad algo como “el riesgo no calculado”? Explique su respuesta. ¿cuál es la probabilidad del evento cara? Y. 0. Al lanzar una moneda al aire. si cae cruz es un evento. 4. Un ejemplo de evento que. o ¿cuáles son mis posibilidades de conseguir una segunda entrevista de trabajo? En resumen. En consecuencia. usted puede pasar o reprobar una materia o. Utilizando un lenguaje formal.2 Terminología básica en probabilidad 129 . Cuando escuchamos las poco gratas predicciones del índice de mortalidad en accidentes de tránsito. ¿De qué manera la teoría de la probabilidad pudo estar implicada en la toma de tal decisión? ■ Las compañías aseguradoras usan la teoría de la probabilidad para calcular sus primas. En la teoría de probabilidad. A la mayoría de las personas les emocionan menos el lanzamiento de monedas o las cartas que las preguntas como.2 Terminología básica en probabilidad Un evento Un experimento Eventos mutuamente excluyentes En general. nunca ambas. el espacio muestral es S  cara. estamos preocupados por la probabilidad de que ciertos eventos sucedan. se dice que los eventos cara y cruz en un solo lanzamiento son mutuamente excluyentes. antes de que termine el curso. b) Tres lanzamientos. pues puede haber un candidato independiente o de algún otro partido que esté participando en las elecciones. e) Un total de diez puntos y un cuatro en un dado. En una campaña presidencial. Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultados posibles al lanzar el dado y destapar una carta. por supuesto. Proporcione el espacio muestral de resultados para los siguientes experimentos en términos de bolas y strikes: a) Dos lanzamientos.” a) ¿Cuáles son los “eventos” que podrían resultar de la elección? b) ¿La lista que hizo es colectivamente exhaustiva? ¿Son los eventos de la lista mutuamente excluyentes? c) Sin tomar en consideración el comentario de sus seguidores y sin tener ninguna información adicional. Aplicaciones ■ 4-7 ■ 4-8 Considere una pila de nueve cartas todas de espadas. En el ejemplo de la moneda. 10 y 11. c) Un número par y una espada. 6.Lista colectivamente exhaustiva Cuando una lista incluye todos los eventos que pueden resultar de un experimento. y un dado. Ejercicios 4. numeradas del 2 al 10. que la moneda caiga parada cuando la lancemos). es colectivamente exhaustiva (a menos. La siguiente tabla es una lista de los mercados que la compañía considera valiosos para enfocar su promoción: Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . 7. ¿qué probabilidad asignaría usted a cada evento? La compañía telefónica Southern Bell está planeando la distribución de fondos para una campaña con el fin de aumentar las llamadas de larga distancia en Carolina del Norte. ¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos dados? a) Un total de cinco puntos y un cinco en un dado. d) Un as y un número impar. Proporcione la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al sumar los valores del dado y de la carta: 2 130 ■ 4-9 ■ 4-10 3 8 9 12 14 16 En una reciente asamblea de los miembros de un sindicato que apoyan a Joe Royal como su presidente. Un bateador deja pasar todos los lanzamientos que ve. el líder de los seguidores de Royal afirmó: “Tenemos buenas posibilidades de que Royal derrote al único oponente en la elección. la lista —cara y cruz—. Dé la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al lanzar dos dados: 1. Conceptos básicos ■ 4-5 ■ 4-6 ¿Cuáles de los siguientes son parejas de eventos mutuamente excluyentes al sacar una carta de un mazo de 52 barajas? a) Un corazón y una reina. la lista de resultados “candidato demócrata y candidato republicano” no es una lista colectivamente exhaustiva. d) Un total de nueve puntos y un dos en uno de los dados.2 Ejercicios de autoevaluación EA EA 4-1 4-2 Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultado posibles al lanzar dos dados. c) Un total de ocho puntos y un número impar de puntos en ambos dados. b) Un total de siete puntos y un número par de puntos en ambos dados. 2. b) Una espada y una carta roja. se dice que la lista es colectivamente exhaustiva. 5. ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral? Considere la pila de cartas y el dado del ejercicio 4-7. 1) (2.1) (4. con el fin de que la ecuación 4-1 sea válida.5) (6.4) (4.2) (6. éstas representan planteamientos conceptuales bastante diferentes para el estudio de la teoría de probabilidad.2) (5. P(5)  4/36.000 $550. Probabilidad clásica Definición de probabilidad clásica El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento ocurra como: Probabilidad de un evento número de resultados en los que se presenta el evento Probabilidad de un evento    número total de resultados posibles [4-1] Se debe resaltar el hecho de que.4) (2.5) (3. los expertos no se ponen de acuerdo sobre cuál planteamiento es el más apropiado.Porción de mercado Costo de la campaña especial dirigida a cada grupo Minorías Empresarios Mujeres Profesionistas y trabajadores de oficina Obreros $350.000 Hay una cantidad de hasta $800.5) (1.000 $250.2) (2.2) (4. Primero plantearemos la pregunta ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento? como P(cara) 4.000 $200. pero podemos utilizar la definición para escribir los ejemplos del lanzamiento de la moneda y de los dados de una manera simbólica.3) (3. P(10)  3/36.4) (3.5) (4.3) (4.3) (2. ¿cuál es su nueva respuesta? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA EA 4-1 4-2 (Dado 1. De hecho.5) (5.2) (1. El planteamiento subjetivo.6) (3.1) (6.4) (5.3 Tres tipos de probabilidad Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad. ¿Esta circunstancia cambia la respuesta que dio en el inciso b)? Si la respuesta es afirmativa. P(2)  1/36. 3. dado 2) (1.4) (1.000 en campañas especiales.4) (6. cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible.1) (5. Ésta es una manera bastante complicada de definir algo que nos puede parecer intuitivamente obvio. 4.5) (2.000 $250.6) P(1)  0/36.3) (5. P(11)  2/36.6) (2. 2. El planteamiento de frecuencia relativa.6) (4. P(7)  6/36.6) (6.6) (5. a) ¿Las porciones de mercado que se enumeran en la tabla son colectivamente exhaustivas? ¿Son mutuamente excluyentes? b) Haga una lista colectivamente exhaustiva y mutuamente excluyente de los eventos posibles de la decisión sobre gastos.2) (3.3) (1.3) (6. Empecemos definiendo 1.1) (1.000 disponible para estas campañas.1) (3. c) Suponga que la compañía ha decidido gastar los $800. P(6)  5/36.3 Tres tipos de probabilidad 131 . El planteamiento clásico. Las situaciones de la vida real. un dado o tomar una carta. desordenadas y poco probables como son a menudo. cuando las condiciones son estables. empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. los dados no cargados y las barajas normales. a menudo. el planteamiento clásico supone que no existen. Uso del planteamiento de frecuencia relativa de presentación 132 Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como probabilidad. obtenemos 1 P(cara)   11 1  0. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos o. Veamos un ejemplo: suponga que Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . hacen que sea útil definir la probabilidad de otras formas. un 5 o un 6) A la probabilidad clásica. interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales. se le conoce como probabilidad a priori. el número de resultados que producirán una cara) Número total de resultado posibles en un lanzamiento (una cara y una cruz) Y para el ejemplo del lanzamiento de dados: 1 P(5)   111111 1  6 Probabilidad a priori Limitaciones del planteamiento clásico Número de resultados en un solo lanzamiento del dado que producirá un 5 Número total de resultados posibles al lanzar una sola vez el dado (se obtiene un 1. En lugar de experimentos. Determinamos qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. pero tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a los problemas de toma de decisiones menos previsibles. los estadísticos británicos. el que el salón de clase se incendie mientras se analiza la probabilidad. 2. sin antes hacer algo de experimentación. entonces podemos establecer la respuesta de antemano (a priori) sin necesidad de lanzar una moneda. ¿cuáles son las posibilidades de que dañe las bocinas de mi aparato de música si subo el volumen del amplificador de 200 watts a todo lo que da? o ¿cuál es la probabilidad de que la instalación de una nueva planta de papel a las orillas del río cercano a nuestro pueblo ocasione una significativa desaparición de peces? Rápidamente nos damos cuenta de que no somos capaces de emitir una respuesta por adelantado. El planteamiento clásico de probabilidad supone un mundo que no existe.5 o  2 Número de resultados posibles en un lanzamiento en los que se presente el evento (en este caso. debido a que si empleamos ejemplos ordenados como monedas no alteradas. un 2. En la actualidad. Sin embargo. de dados. un 4. y esta suposición también puede ocasionarnos problemas. y el que se encuentre comiendo pizza mientras realiza un viaje al Polo Norte son extremadamente improbables. Frecuencia relativa de presentación Suponga que empezamos por hacernos preguntas complejas como: ¿cuál es la probabilidad de que yo viva hasta los 85 años?. la fracción de veces que un evento se presenta a la larga.Luego. un 3. Este planteamiento de la probabilidad es útil cuando tratamos con juegos de cartas. pero no imposibles. a este planteamiento se le llama frecuencia relativa de presentación de un evento y define la probabilidad como: Redefinición de probabilidad 1. dados no cargados y mazos de barajas normales. como los que encontramos en la administración. podemos basar nuestras conclusiones en un razonamiento lógico antes de realizar el experimento. Sucesos como el que una moneda caiga parada. lanzamientos de monedas y cosas parecidas. Supone que no existen situaciones que son bastante improbables pero que podemos concebir como reales. utilizando términos formales. La probabilidad clásica supone también una especie de simetría en el mundo. Otros planteamientos pueden resultar de más utilidad. sobre cuáles son esas probabilidades. En el siglo I . No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones sobre las monedas. En la figura 4-1 se ilustra el resultado de esos 300 lanzamientos: podremos ver que aunque la fracción de caras está bastante lejos de 0. Tendríamos dificultades para convencerlo de que su actitud fue estadísticamente incorrecta. usted gana la apuesta. mayor precisión Una limitación de la frecuencia relativa Una segunda característica de las probabilidades establecidas por la frecuencia relativa de presentación de un evento puede ponerse en evidencia si lanzamos una de nuestras monedas no alteradas 300 veces. por la información obtenida de los datos actuariales registrados. o 0. Probabilidades subjetivas Definición de probabilidades subjetivas Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad. Utilizando este método. Esta evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentación de eventos pasados o 4. a pesar de que mayor cantidad de lanzamientos de la moneda generará una probabilidad más precisa de presentaciones del evento cara. en absoluto. 60 de cada 100. aquel que al parecer no esté basado. Desde luego. la compañía estima la probabilidad de muerte de ese grupo de edad en particular como: 60  .0006 100. usted sigue siendo su fiel partidario y apuesta $100 a que le ganará al próximo rival en el onceavo juego. Una dificultad implicada en el planteamiento de frecuencia relativa es que la gente a menudo lo utiliza sin evaluar el número suficiente de resultados. Si alguna vez usted escuchó a alguien decir: “Mis dos tíos se enfermaron de gripe y ambos pasan ya de los 65 años.3 Tres tipos de probabilidad 133 . Y usted tendría razón al mostrarse escéptico ante nuestros argumentos. usted sabría que esa persona no está basando sus predicciones en una evidencia suficiente. usted basó intuitivamente su decisión de apostar en el fundamento estadístico descrito en el siguiente planteamiento para establecer probabilidades. En consecuencia.FIGURA 4-1 Frecuencia relativa de presentación de caras en 300 lanzamientos de una moneda no alterada Frecuencia relativa 1.5 en los primeros cien lanzamientos.5 0 50 100 150 200 250 300 Número de lanzamientos una compañía de seguros sabe.000 morirán en un periodo de un año. basada en la evidencia que tenga disponible. Para sorpresa de todo el mundo. debemos tomar en cuenta el tiempo y costo que implicaría tener más observaciones. cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades. Sin embargo. esta precisión mejorada no es definitiva. diríamos que la frecuencia relativa se vuelve estable conforme la cantidad de lanzamientos crece (si lanzamos la moneda siempre en las mismas condiciones). el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumenten las observaciones.5 conforme aumenta el número de lanzamientos. la probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo.0 0. De hecho. ¿qué sucede con un tipo diferente de estimación. Sus observaciones son un conjunto insuficiente de datos para establecer una frecuencia relativa de la probabilidad de presentación. Quizá. Pero.000 Más intentos. parece que se estabiliza y tiende a 0. en la estadística? Suponga que el equipo de básquetbol de su escuela pierde los primeros 10 partidos del año. que de los hombres de 40 años de edad. En lenguaje estadístico. entonces la gente que esté más o menos en esa edad probablemente se enfermará de gripe”. 077. ¿Cuáles son las posibilidades de que cada candidato se relacione exitosamente con los clientes? El responder a esta pregunta y escoger a uno de los tres requerirá que usted asigne una probabilidad subjetiva al potencial de cada persona que solicita el puesto. podrían entender bastante bien a lo que Savage se refería. tiene como anteproyecto un conjunto de demandas salariales y de prestaciones que debe presentar a la dirección. He aquí otro ejemplo más de este tipo de asignación de probabilidad. alto nivel de actividad. enfrentadas a la misma evidencia. de una creencia meditada. pueden asignar probabilidades subjetivas por completo distintas al mismo evento. El profesor Savage señaló que dos personas razonables.puede tratarse. El planteamiento subjetivo para asignar probabilidades fue introducido en 1926 por Frank Ramsey en su libro The Foundation of Mathematics and Other Logical ssays ( l fundamento de la matemática y otros ensayos lógicos). Un juez debe decidir si permite la construcción de una planta de energía nuclear en un lugar donde hay evidencias de que existe una falla geológica. Su población se ha reducido a sólo tres personas. Quizá la más antigua estimación de probabilidad subjetiva de la posibilidad de que fuera a llover se dio cuando alguna tía anciana dijo: “Me duelen los huesos. Digamos que usted tiene encomendada la tarea de entrevistar y elegir a un nuevo trabajador social. Los tomadores de decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarla con los sentimientos personales sobre la situación. Richard Good y Leonard Savage. El concepto fue desarrollado con más detalle por Bernard Koopman. o cerca de 0. debe asegurarse de revisar si la situación es “con reemplazo” después de obtener cada elemento o “sin reemplazo”. Al asigSUGERENCIAS Y SUPOSICIONES nar probabilidades subjetivas.” Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten una más amplia flexibilidad que los otros dos conceptos analizados. Si se destapa una y se reemplaza. sin reemplazo. los responsables de tomar decisiones en este nivel hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva. Al asignar probabilidades con el método de frecuencia relativa de ocurrencia. Sólo porque no ha salido el rojo después de 9 impulsos a la ruleta. Como casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel corresponden a situaciones específicas. Uso del planteamiento subjetivo Advertencia: en los problemas de probabilidad clásica. cada una de éstas tiene buena apariencia. Debe preguntarse a sí mismo: “¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente nuclear grave en este sitio?” El hecho de que no exista una frecuencia relativa de presentación de la evidencia de accidentes anteriores en ese sitio. Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con más frecuencia cuando los eventos se presentan sólo una vez o un número muy reducido de veces. Para tener una idea del apoyo de los trabajadores al pa- Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . no es suficiente para liberarlo de tomar la decisión. Sin embargo. creo que se avecina lluvia. buen registro de logros pasados y buena disposición para enfrentar los retos que se presenten. más que a una larga serie de situaciones idénticas. Lou Khollar.3 Ejercicios de autoevaluación EA 134 4-3 El representante sindical B. las posibilidades cambian a 4/51 si la primera carta no es un as y 3/51 si la primera carta es un as. cuyos nombres aparecen con frecuencia en los trabajos avanzados del campo. bastante confianza en sí misma. es normal que dos personas obtengan probabilidades distintas para un evento. Debe utilizar su mejor sentido común para determinar la probabilidad subjetiva de que suceda un accidente nuclear. ¡no debe apostar la colegiatura del siguientes semestre al negro! Ejercicios 4. Dos personas que hacen apuestas contrarias sobre el resultado de algún encuentro de cualquier otro deporte. se trata del resultado de la experiencia y el tiempo (con frecuencia esta combinación se llama “sabiduría”). simplemente. debe estar seguro de que se observó el número adecuado de resultados. La posibilidad de obtener un as de una baraja de 52 cartas la primera vez es 4/52. 4/52. la probabilidad de obtener un as la segunda vez es la misma. Conceptos básicos ■ 4-11 ■ 4-12 Determine las probabilidades de los siguientes eventos al sacar una carta de una baraja estándar de 52 cartas: a) Un siete. b) La probabilidad de que renuncie el gobernador actual es 0.85. ¿cuál sería la probabilidad a la larga de que una carta seleccionada de la mano del equipo “nosotros” sea de espadas? 4. reina o jota).3 Tres tipos de probabilidad 135 .47. Durante un reciente juego de bridge. los maquinistas (M) y los inspectores (I). b) Una carta negra. hizo un sondeo aleatorio en los dos grupos más grandes de trabajadores de la planta. c) Un as o un rey. frecuencia relativa o subjetiva): a) La probabilidad de lograr un tiro de penal en hockey sobre hielo es 0. d) La probabilidad de que el presidente electo en un año que termina en cero muera durante su cargo es 7/10. Entrevistó a 30 de cada grupo con los siguientes resultados: Opinión del paquete Apoyo fuerte Apoyo moderado Indecisión Oposición moderada Oposición fuerte M I 9 11 2 4 04 30 10 3 2 8 07 30 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un maquinista seleccionado al azar del grupo sondeado dé un apoyo moderado al paquete? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector seleccionado al azar del grupo sondeado esté indeciso respecto al paquete? EA 4-4 c) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector) seleccionado al azar del grupo sondeado dé un apoyo fuerte o moderado al paquete? Clasifique las siguientes estimaciones de probabilidad en cuanto a su tipo (clásica.quete. d) Un dos negro o un tres negro. e) La probabilidad de que vaya a Europa este año es 0. e) Una carta roja con cara (rey.14. una vez que se jugó la carta de salida y se abrieron las cartas del muerto. c) La probabilidad de sacar dos seises al lanzar dos dados es 1/36. el declarante tomó un momento para contar el número de cartas de cada palo con los resultados siguientes: Palo Espadas Corazones Diamantes Tréboles Nosotros Ellos 6 8 4 08 26 7 5 9 05 26 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar de la mano del equipo “nosotros” sea de espadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar de la mano del equipo “ellos” sea de tréboles? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar entre todas las cartas sea de espadas o corazones? d) Si este tipo de análisis se repitiera para cada mano muchas veces. el general tiene la creencia de que no hay posibilidad alguna de obtener menos del 25% del presupuesto solicitado.999 35 15.999 Frecuencia 15 5. c) La probabilidad de que gane la lotería es 0. ha deducido que sus posibilidades de obtener la aprobación de entre 50 y 74% de su presupuesto son del doble de las posibilidades que tiene de obtener la aprobación de entre 75 y 99%.4. ¿cuál es la probabilidad de que una copiadora esté fuera de servicio? Clasifique las siguientes estimaciones de probabilidad como clásica. de acuerdo con las estimaciones del general? El gerente administrativo de una compañía de seguros tiene los datos siguientes acerca del funcionamiento de las fotocopiadoras de la compañía: Copiadora Días en funcionamiento Días fuera de servicio 1 209 51 2 217 43 3 258 2 4 229 31 5 247 13 Según los datos.97. e) La probabilidad de observar dos caras al lanzar una moneda dos veces es 0. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 0-24%.175.999 25 10. f) La probabilidad de que su auto arranque en un día muy frío es 0. Con base en sus 20 años de experiencia en hacer ese tipo de petición anual. Además. Comisión anual (dólares) $ ■ 4-14 ■ 4-15 ■ 4-16 0 . b) menos de $15.000 .000 -19.95.000? El general Buck Turgidson se encuentra preparando la presentación de su presupuesto anual al Senado de Estados Unidos y especula sobre las posibilidades de obtener aprobación de todo el presupuesto solicitado o de parte de él. Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-3 número de maquinistas en la clase “apoyo moderado” a) P(maquinista de apoyo moderado)    11/30 número total de maquinistas sondeados número de inspectores en la clase “indecisión”   2/30  1/15 b) P(inspector indeciso)   número total de inspectores sondeados 136 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . Por último.000 30 Basándose en esta información.25. 50-74%.999 125 20. ¿cuál es la probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión de: a) entre $5.000. y dos y media veces que las posibilidades de obtener la aprobación de entre 25 y 49%. y d) entre $15. b) La probabilidad de que la colegiatura aumente el próximo año es 0.999 70 25.Aplicaciones ■ 4-13 A continuación tenemos una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomada de un estudio de 300 vendedores promedio.9.000 -24.000 y $10.000 y $20.000.000 -14.00062. c) más de $20. el presupuesto total solamente ha sido aprobado una vez durante la carrera del general y éste no espera que haya cambios en este patrón.875. d) La probabilidad de un vuelo seleccionado en forma aleatoria llegue a tiempo es 0. frecuencia relativa o subjetiva: a) La probabilidad de que los Cachorros ganen la Serie Mundial este año es 0.000. 25-49%. 75-99% y 100%. supongamos que se hace una rifa entre 50 miembros de un grupo escolar de un viaje gratis al Festival Nacional de Rock. la probabilidad de un evento A se podría expresar como: Probabilidad de que el evento A suceda P( )  la Probabilidad marginal o incondicional probabilidad de que el evento A suceda Una probabilidad sencilla quiere decir que sólo un evento puede llevarse a cabo. 4.4 Reglas de probabilidad La mayoría de los administradores que utiliza la probabilidad se preocupan por dos condiciones: 1. Para ilustrar un poco a lo que nos referimos. Subjetiva. d) Frecuencia relativa. 4. Frecuencia relativa. definiciones y reglas de uso común Símbolo para una probabilidad marginal En la teoría de probabilidad. utilizamos símbolos para simplificar la presentación de ideas. Demostramos interés en el primer caso cuando preguntamos: “¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario?” Para ilustrar la segunda situación. la posibilidad de que un estudiante gane es de 1 entre 50.c) Opinión AF AM I OM OF EA 4-4 d) a) c) e) Frecuencia (combinada) 19 14 4 12 11 60 P(apoyo fuerte o moderado)  (19  14)/60  33/60  11/20 Frecuencia relativa. solamente un estudiante puede ganar. es decir. b) Subjetiva.4 Reglas de probabilidad 137 . La situación en que dos o más eventos se presenten al mismo tiempo.02 En este caso. podríamos preguntar: “¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario y que el 10% de nuestra fuerza de ventas no se presente a trabajar?” En las secciones que siguen ilustraremos algunos métodos para determinar las respuestas a las preguntas planteadas bajo una variedad de condiciones. El caso en que un evento u otro se presente. debido a que tenemos la certeza de que los eventos posibles son mutuamente excluyentes. 2. Clásica. Se le conoce como probabilidad marginal o incondicional. Como lo vimos antes en este mismo capítulo. Algunos símbolos. Cualquiera de los estudiantes podría calcular su probabilidad de ganar mediante la siguiente formulación: 1 P(Ganar)   50  0. La rifa consiste en sacar el boleto premiado de un total de 50 boletos. por medio de diagramas. La compañía solicitante ha anunciado que contratará a sólo uno de los cinco. Si dos eventos no son mutuamente excluyentes. podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes. Entonces la probabilidad de que suceda un evento es su área que le corresponde del rectángulo. Probabilidad de uno o más eventos mutuamente excluyentes Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes A menudo. el espacio muestral completo se representa mediante un rectángulo y los eventos se representan como partes de ese rectángulo. Si nuestra pregunta es. sin embargo. Helen. Cinco estudiantes por igual capaces esperan la fecha en que se les hará una entrevista para trabajar en el verano. John Venn. 1 P(John)   5  0. John. tomaremos el área del rectángulo como la unidad (porque la probabilidad de que algo pase con toda certeza es 1). sus partes correspondientes en el rectángulo sí se traslapan. El grupo está formado por los estudiantes siguientes: Bill. este ejemplo y otros conceptos de probabilidad. podemos utilizar la ecuación 4-1 y obtener la respuesta. como se muestra en el diagrama (a) de la figura 4-2. mediante una elección aleatoria. En ésta el rectángulo está dividido en 50 partes iguales que no se traslapan. Esta regla se expresa simbólicamente de la siguiente manera: P(A o B)  la probabilidad de que suceda A o B y se calcula de la siguiente manera: Probabilidad P(A o B)  P(A)  P(B) [4-2] Esta regla de adición se ilustra en el diagrama de Venn de la figura 4-3. en la que notamos que el área junta de los dos círculos (que representa el evento A o B) es la suma del área del círculo que representa a A y la del círculo que representa a B. las partes correspondientes de éstos en el rectángulo no se traslaparán. Si dos eventos son mutuamente excluyentes. En el diagrama (c) de la figura 4-2 se ilustra lo que decimos para el caso del ejemplo del Festival Nacional de Rock. como se ilustra en el diagrama (b) de la figura 4-2. Usamos una representación gráfica conocida como diagrama de Venn. estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda.Diagramas de Venn Existe una buena forma de ilustrar. en honor al matemático inglés del siglo I . ¿cuál es la probabilidad de que John sea elegido?.02 (1/50) A B A B FIGURA 4-2 Algunos diagramas de Venn 138 Dos eventos mutuamente excluyentes (a) Capítulo 4 Dos eventos no excluyentes (b) Probabilidad I: ideas introductorias Ejemplo del Festival Nacional de Rock (c) . En tales diagramas. Sally y Walter. Debido a que las probabilidades se comportan en mucho como si fueran áreas. Usemos esta fórmula con un ejemplo. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes.2 El área de cualquier cuadrado es de 0. 10  0. deberíamos utilizar la ecuación 4-2: P(John o Sally)  P(John)  P(Sally) 1 1  5 5 2  5  0. la probabilidad de que una familia tenga cinco o menos hijos se puede calcular con mucho mayor más facilidad si restamos a 1 la probabilidad de que en la familia haya seis o más hijos. es posible que ambos se presenten al mismo tiempo.30 Un caso especial de la ecuación 4-2 Existe un caso especial importante de la ecuación 4-2.15  0. De modo que los eventos A y no A son mutuamente excluyentes y exhaustivos. con lo cual tenemos que esta probabilidad es de 0. ¿cuál es la probabilidad de que John o Sally sean elegidos?. podemos calcular la respuesta a nuestra pregunta: P(4. ¿cuál es la probabilidad de que una familia de este pueblo.25 0. tenemos que éste sucede o no sucede.4 Calculemos una vez más la probabilidad de que sucedan dos o más eventos. tenga cuatro o más hijos (es decir cuatro.10 0. 6 o más)  P(4)  P(5)  P(6 o más)  0. refiriéndonos de nuevo a la tabla 4-1. Para cualquier evento A.4 Reglas de probabilidad 139 .05 0. seis o más hijos)? Haciendo uso de la ecuación 4-2.15 0.30 0. si preguntamos. Aplicando la ecuación 4-2 obtenemos el resultado P(A)  P(no A)  1 o de manera equivalente: P(A)  1  P(no A) Por ejemplo. los eventos as y corazón pueden presentarse juntos. Estamos interesados en la pregunta. La tabla 4-1 contiene los datos sobre el tamaño de las familias de un cierto pueblo.FIGURA 4-3 Diagrama de Venn para la regla de adición de eventos mutuamente excluyentes A B P(A o B ) = P(A ) + P(B ) Sin embargo. Probabilidad de uno o más eventos no mutuamente excluyentes Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Si dos eventos no son mutuamente excluyentes. debemos modificar la regla de adición.95. En tales casos.10 0.05 4.05  0. pues podría- Tabla 4-1 Datos del tamaño de familia Número de hijos Proporción de familias que tienen esta cantidad de hijos 0 1 2 3 4 5 6 o más 0. Por ejemplo. ¿cuál es la probabilidad de sacar un as o un corazón de un mazo de barajas? Obviamente. escogida al azar. 5. cinco. podemos calcular: P(as o corazón)  P(as)  P(corazón)  P(as y corazón) 4 13  52 52 1  52 4 16 o 52 13 Trabajemos un segundo ejemplo. hombre 2. En ella. es decir. Los perfiles de los cinco elegidos son: 1. En consecuencia. Usando la ecuación 4-3 para determinar la probabilidad de obtener un as o un corazón. contaremos doble el área de la intersección. la ecuación correcta para la probabilidad de uno o más eventos que no son mutuamente excluyentes es: Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Probabilidad de que A suceda Probabilidad de que A y B sucedan juntos P(A o B)  P(A)  P(B)  P(AB) Probabilidad de que se presenten A o B cuando A y B no son mutuamente excluyentes [4-3] Probabilidad de que B suceda La figura 4-4 muestra un diagrama de Venn que ilustra a la ecuación 4-3. mujer 4.mos sacar una as de corazones. hombre A B FIGURA 4-4 Diagrama de Venn de la regla de adición para dos eventos no mutuamente excluyentes 140 AoB Capítulo 4 AyB Probabilidad I: ideas introductorias edad 30 32 45 20 40 . Si sumamos las áreas de los círculos y . mujer 5. hombre 3. as y corazón no son eventos mutuamente excluyentes. tenemos que reducir la probabilidad de obtener un as o un corazón por la posibilidad de obtener ambos eventos juntos. y el evento y es la porción cuadriculada que se encuentra en el medio. de manera que debemos restarla para asegurarnos de que solamente se cuente una vez. el evento o está resaltado con una línea más gruesa. Debemos ajustar la ecuación 4-2 para evitar el conteo doble. Como resultado de lo anterior. Los empleados de una cierta compañía han elegido a cinco de ellos para que los representen en el consejo administrativo y de personal sobre productividad. Cada estación es susceptible de dos tipos de falla: descompostura en el bombeo y fugas.12 0 0.Este grupo decide elegir un vocero.07 0. proporcione las probabilidades indicadas: Resultados posibles = 50 A B 8 EA 4-6 6 13 23 P(A ) = P(B ) = P(A o B ) = Un inspector de Alaska Pipeline tiene la tarea de comparar la confiabilidad de dos estaciones de bombeo.06 ¿Qué estación tiene mayor probabilidad de parar? Conceptos básicos ■ 4-17 Los siguientes diagramas de Venn indican el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento y el número de resultados que no corresponden a ningún evento. ambos puede ocurrir juntos y es necesario reducir la probabilidad justo por esa posibilidad.4 Reglas de probabilidad 141 . podemos establecer la respuesta a nuestra pregunta como: P(mujer o mayor de 35)  P(mujer)  P(mayor de 35)  P(mujer y mayor de 35) 2 2  5 5 1  5 3  5 Podemos verificar nuestro trabajo mediante inspección y ver que de los cinco empleados del grupo. tres cumplirían con el requisito de ser mujer o de tener más de 35 años. se resta el área de traslape o que se cruza en el diagrama de Venn para obtener el valor correcto. Tomando en cuenta estos diagramas. en el caso de eventos que no son mutuamente excluyentes. Así. ¿cuál es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya edad esté por arriba de 35 años? Utilizando la ecuación 4-3. El error más común en este caso es contar doble. dé las probabilidades que se piden: 4.4 Ejercicios de autoevaluación EA 4-5 Del siguiente diagrama de Venn. la estación debe parar. la elección se efectúa sacando de un sombrero uno de los nombres impresos. se busca una probabilidad de un evento u otro y el traslape no es problema. Sugerencia: al aplicar la regla de la suma para eventos mutuamente excluSUGERENCIAS Y SUPOSICIONES yentes.09 0. Los diagramas de John Venn constituyen una forma útil de evitar errores al aplicar la regla de la suma para eventos que son o no mutuamente excluyentes. Sin embargo. Nuestra pregunta es.10 0. Los datos disponibles indican que prevalecen las siguientes probabilidades: Estación P(falla en bombeo) P(fuga) P(ambas) 1 2 0. que indica el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento y el número de resultados que no corresponden a alguno de los dos eventos. Cuando ocurre una de las dos (o ambas). Ejercicios 4. es decir. 25 de éstas están veteadas. Se conocen las siguientes probabilidades históricas: P(falla con pluma de luz)  0. 142 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . Aplicaciones ■ 4-21 Un empleado de Infotech debe introducir información de productos en la computadora. o . y son mutuamente excluyentes entre sí.15 P(falla con pluma de luz y teclado)  0. y y no los son.005 P(falla con computadora grande)  0. Las canicas que no están veteadas son transparentes. o . El empleado puede usar una pluma de luz que trasmite la información a la PC junto con el teclado para dar los comandos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado pueda usar la PC par introducir los datos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que falle la PC o la computadora mainframe? Suponga que no pueden fallar al mismo tiempo. c) Rescriba la expresión para el caso en que y son mutuamente excluyentes.Resultados posibles = 60 A 42 B 11 ■ 4-18 P(A) = P(B ) = P(A o B ) = 7 Empleando este diagrama de Venn.25 Los datos pueden introducirse en la PC sólo si funcionan tanto la pluma de luz como el teclado. o puede llenar los círculos en una hoja y colocarla en el lector óptico de la computadora mainframe. d) Rescriba la expresión para el caso en que y . P( o o ). Utilice las ecuaciones 4-2 y 4-3: a) ¿Qué puede decirse de la probabilidad de que ocurran y al mismo tiempo cuando y son mutuamente excluyentes? b) Desarrolle una expresión para la probabilidad de que al menos uno de tres eventos . El resto de ellas son rojas y 30 de éstas también están veteadas. pero y .025 P(falla con teclado)  0. ¿Cuál es la probabilidad de sacar: a) Una canica azul? b) Una canica transparente? c) Una canica azul veteada? d) Una canica roja transparente? e) Una canica veteada? En esta sección se desarrollaron dos expresiones para la probabilidad de que ocurra uno de dos eventos. y son mutuamente excluyentes. ocurran. e) Rescriba la expresión para el caso en que . No suponga que . y y son mutuamente excluyentes pero y no lo son. dé las probabilidades que se piden: Total de resultados = 100 A B 10 30 20 2 3 6 4 25 C P(A ) = P(A o B ) = ■ 4-19 ■ 4-20 P(B ) = P(A o C ) = P(C ) = P(B pero no (A o C )) = Una urna contiene 75 canicas: 35 son azules. la estación 1 tiene la mayor probabilidad de parar. ¿la probabilidad de falla de la unidad de disco del inciso a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro. Probabilidades marginales bajo condiciones de independencia estadística Probabilidad marginal de eventos independientes Como lo explicamos antes. es decir.07  0. debe hacer pasar por rayos e inspeccionar cada barra antes de embarcarla. el resultado del primero puede. P(cara)  0.28 P(B)  19/50  0. mayor o menor que 90%? La compañía Herr-McFee. 4. ha observado que por cada 1. En su informe trimestral. Marginal.000 barras que inspecciona. En esta sección examinaremos los eventos que son estadísticamente independientes.5 y P(cruz)  0.38 14 19 6 P( o )        0. ¿qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco? b) Si el teclado se mejoró de tal modo que sólo falla el doble de veces que la unidad de disco (y la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0.54 50 50 50 P(falla)  P(falla en bombeo o fuga) Estación 1: 0. 3. los eventos pueden ser dependientes o independientes.01  0  0. en el teclado. En la actualidad. no importa cuántas veces se lance la moneda o cuáles hayan sido los resultados anteriores. En consecuencia. con respecto a fallas en la unidad de disco y el teclado.05). el resultado de cada lanzamiento de una moneda es un evento estadísticamente independiente de los resultados de cualquier otro lanzamiento de ella. o en ambos.5. Conjunta. 2.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 143 . La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es de 0. una probabilidad marginal o incondicional es la probabilidad simple de presentación de un evento. Esto es cierto para cada lanzamiento.17 Estación 2: 0.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística Definición de independencia Cuando se presentan dos eventos. 4. Cada lanzamiento de la moneda es único y no hay manera de conectarlo con ningún otro. 8 tienen fallas de recubrimiento y 5 tienen ambas fallas. que produce barras para combustible nuclear. Karen debe incluir la probabilidad de fallas en las barras para combustible.5 y la probabilidad de obtener cruz es igual a 0. una inspectora. a) Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco y/o en el teclado. Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo la independencia estadística: 1. la probabilidad de obtener cara es igual a 0. ¿Cuál es esta probabilidad? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-5 EA 4-6 P(A)  14/50  0.15 Entonces. 10 tienen fallas internas. Condicional. Esto es. o no. En el lanzamiento de una moneda no cargada.5.06  0.■ 4-22 ■ 4-23 La HAL Corporation desea mejorar la resistencia de las computadoras personales que construye. Karen Wood.09  0.05.12  0. aquellos en donde la presentación de uno no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro. tener un efecto en el resultado del segundo. el diseño de sus computadoras es tal que las fallas de la unidad de disco ocurren un tercio de las veces que falla del teclado. esto es. pues las probabilidades en cualquier lanzamiento son iguales siempre: los lanzamientos individuales están completamente separados y no afectan de ninguna manera a ningún otro resultado o lanzamiento.2  0. aunque esté cargada. la probabilidad de obtener cara en cualquier lanzamiento es de 0. También los resultados de varios lanzamientos de esta moneda son estadísticamente independientes. P( 1 2)  P( 1)  P( 2). la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos sucesivos es de 0.8  0. Suponga a continuación que vamos a lanzar una moneda alterada que tiene P(cara)  0. Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística Regla de multiplicación para eventos independientes unidos La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales. Es decir.2  0.5  0.90 y P(cruz)  0.5  0. P(cara)  0. Son mutuamente excluyentes.Imagine que tenemos una moneda que ha sido alterada de tal modo que en el 90% de los lanzamientos se obtengan caras y en el restante 10% se obtengan cruces.5  0.5  0. porque si uno de ellos se presenta. Matemáticamente lo escribimos como: Probabilidades conjuntas de dos eventos independientes P( )  P( )  P( ) [4-4] en la que • • • Ejemplo con la moneda cargada )  probabilidad de que los eventos y se presenten juntos o en sucesión.25.008 Construcción de un árbol de probabilidad 144 Observe que estas dos probabilidades no suman 1. En cada lanzamiento individual. la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos consecutivos es P( 1 2 3)  0. Los eventos (resultados) son independientes. y P( 1 2)  0.10.5.5  0. Podemos hacer todavía más explícitas las probabilidades de los eventos si utilizamos un árbol de probabilidad.8  0. Por consiguiente. Del mismo modo. debido a que los eventos 1 2 3 y T1T2T3 no constituyen una lista colectivamente exhaustiva.2. la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos sucesivos es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento (que llamaremos 1) multiplicada por la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento ( 2). Por tanto.2  0.125. los otros no. se le conoce como probabilidad conjunta P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento P( En términos del ejemplo de la moneda no cargada. El resultado de cualquier lanzamiento particular no está relacionado en lo absoluto con los resultados de lanzamientos previos o futuros.25. Hemos mostrado que los eventos son estadísticamente independientes porque la probabilidad de cualquier resultado no se ve afectada por ninguno de los resultados anteriores. “¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos sucesivos? Utilizamos la ecuación 4-4 y se obtiene que: P( 1 2 3)  P( 1)  P( 2)  ( 3)  0.512 Preguntémonos ahora la probabilidad de obtener tres cruces (que indicaremos con la literal T) en tres lanzamientos consecutivos: P(T1T2T3)  P(T1)  P(T2)  P(T3)  0. Suponga que nuestra pregunta es. Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias .8  0.8 y P(cruz)  0. En la figura 4-5 se presenta un árbol de probabilidad que muestra los resultados posibles y su respectiva probabilidad para un lanzamiento de una moneda no cargada. 5 0.5 Lanzamiento 2 Lanzamiento 3 P(H ) 0.5 = 0. Note que en dos lanzamientos.5 = 0. cara y cruz. Entonces el segundo lanzamiento debe derivarse de la rama inferior del lanzamiento 1. El primer paso se muestra en la figura 4-8.5 .5 de presentarse. por ejemplo. tenemos cuatro resultados posibles: 1 2.25 0.25 P(T P(T ) = Lanzamiento 2 = P(H ) P(H ) 0.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 145 .5 P(H ) P(T ) Lanzamiento 1 )= 0. sin importar qué tan lejos del origen (primer lanzamiento) esté cualquier lanzamiento en particular. Expresando el problema de manera simbólica. Así pues. debemos añadir más ramas al árbol.5 P(T ) = 0.Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 0.25 FIGURA 4-7 FIGURA 4-8 Árbol de probabilidad de dos lanzamientos Árbol de probabilidad de un tercer lanzamiento parcial 4. ocho resultados posibles Todos los lanzamientos son independientes )= Árbol de probabilidad de un segundo lanzamiento parcial 0.5 P(H ) = 0 0.5 =0 P(H ) .5 0. De esta manera. en la figura 4-7 agregamos dos ramas más al árbol.5 P(H ) P(T = 0.5 0. Suponga que vamos a lanzar una moneda legal y queremos saber la probabilidad de que en los tres lanzamientos el resultado sea cara.5 P(T ) = 0. Después.5 0. cara y cruz. Lanzamos la moneda de nuevo. consideraremos la posibilidad de que el resultado del lanzamiento 1 sea cruz. Observe que tanto el evento cara como el cruz tienen probabilidad 0. Suponga que el resultado del lanzamiento 1 es cara. queremos Lanzamiento 1 = 0.5 0. cada uno con una probabilidad de 0.5.5 P(H ) = 0 0.5 0.25 0. los dos resultados posibles son cara y cruz. Suponiendo que hemos obtenido cara en los primeros dos lanzamientos.125 0.5 Para el lanzamiento 1.5 0. cuatro resultados posibles Tres lanzamientos. En la figura 4-6 unimos estas dos ramas del árbol. Como vamos a lanzar tres veces. El árbol de probabilidad completo se muestra en la figura 4-9. Como antes.5 P(T ) P(T ) = = 0.25 0. T1 2 y T1T2 (recuerde que los subíndices indican el número de lanzamiento.5 0.5 0. dos resultados posibles Dos lanzamientos. 1T2. 5 0.5.5 0.5. podemos llegar a uno de cuatro puntos posibles.25 0.5 P(T ) = = 0. Esto se deriva de nuestra definición de independencia ning n evento se ve afectado por eventos anteriores o posteriores.125 0.5 .25 0. ahora estamos listos para empezar a añadir las ramas correspondientes al tercer lanzamiento. el segundo lanzamiento tiene dos resultados posibles. cada una con probabilidad de 0.25 Lanzamiento 1 P(H ) = P(H ) 0.5 FIGURA 4-6 FIGURA 4-5 P(T Árbol de probabilidad de un lanzamiento Un lanzamiento. cada uno con una probabilidad de 0. significa cruz en el lanzamiento 2). de manera que T2. Las ramas adicionales se agregan exactamente de la misma manera. tenemos dos resultados posibles.25 = 0. después de dos lanzamientos de la moneda.25 0.5 )= 0. 125 Pudimos haber leído este resultado directamente del árbol de probabilidad de la figura 4-9.5 0. El primero es un caso de probabilidad conjunta.5 0.125. Es importante notar que la probabilidad de llegar a un punto dado siguiendo una ruta en particular no es lo mismo que la probabilidad de.5.125 P(H ) = 0. Esto resulta del hecho de que tenemos listas de resultados mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas. al contrario. Resultados en un orden particular Ejemplo 1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz. cruz en el segundo y cara en el tercero.125 P(H ) 0. A partir de la definición matemática de probabilidad conjunta de eventos independientes.5  0. cara y cruz.25 0. es decir.25 )= P(H = 0. en ese orden en tres lanzamientos consecutivos de una moneda no alterada? Solución Si seguimos las ramas que dan una cruz en el primer lanzamiento.5 0. en tres lanzamientos consecutivos de una moneda no alterada? Solución P(T1 2T3)  P(T1)  P( 2)  P(T3)  0. P(T1T2 3)  0.0 1. Así pues.000 conocer P( 1 2 3). Observe que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles para cada lanzamiento es 1. 146 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . llegaremos a la probabilidad de 0.125.125 Suma: 1.25 Árbol de probabilidad completo 0. siguiendo las ramas que dan 1 2 3.5 P(H P(T . cruz y cara.125 P(T ) FIGURA 4-9 = 0. la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento. P( 1T2 3)  0.5 0.125 P(T ) = 0.Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Lanzamiento 3 0. digamos.5 P(T ) P(T )= 0. Ejemplo 2 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz.125 P(T ) = 0. es simplemente la probabilidad marginal de obtener cara en un lanzamiento particular. Intente resolver este problema mediante el árbol de probabilidad de la figura 4-9.5 0.125.5 P(H ) = 0. sabemos que: P( 1 2 3)  P( 1)  P( 2)  P( 3)  0.5  0.5 0. obtener cara en el tercer lanzamiento.25 P(H ) = 0. en este caso el tercer lanzamiento. El último. otra cruz en el segundo y una cara en el tercer lanzamiento.5 0.125 0.5 =0 .5 0. pero P( 3)  0.5 0.125.5 )=0 )= P(T ) = 0.5  0. Éstas se dan en la tabla 4-2.5 )= P(H 0. Obtendremos el mismo resultado siguiendo la trayectoria prescrita en el árbol de probabilidad. en ese orden.5 0.125 0.00 1. 125. a saber. En conse-  1  0. la probabilidad condicional se escribe como: P(B A) y se lee: la probabilidad 4.25 1. la suma es 0.5 de que se presente el evento B.25.5 0. cuencia. conocido como probabilidad condicional. Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 147 .75.75 Probabilidades condicionales bajo independencia estadística Probabilidad condicional Hasta este punto.5 1.125 0. esto es: 1  (T1T2)  1  0.000 T1T2T3 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos dos caras en tres lanzamientos? Solución Recordando que las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes son aditivas.125 0.125 T1T2 La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados debe ser siempre igual a 1 Resultados en términos de “al menos” Ejemplo 3 0.25 0. Además de estas dos.125 0. dado que el evento A se ha presentado. Por tanto.25 H1H2H3 H1H2T3 0. De manera alternativa. podemos darnos cuenta de los posibles modos en que se pueden presentar al menos dos caras en tres lanzamientos.125 0. Ejemplo 4 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cruz en tres lanzamientos? Solución Sólo existe un caso en el cual no se presenta ninguna cruz. la probabilidad de obtener al menos una cara en dos lanzamientos consecutivos es de 0.125  0.25  0. Los resultados que satisfacen este requisito son 1 2 3.125 1. podríamos considerar el caso en que no se presenta ninguna cara —a saber T1T2— y restar esta probabilidad de uno.5. restar para obtener la respuesta: 1  P( 1 2 3) 1 2 3. hemos considerado dos tipos de probabilidad: la probabilidad marginal (o incondicional) y la probabilidad conjunta.5. con lo que podemos sumar sus probabilidades individuales.00 H1T2H3 H1T2T3 T1H2H3 T1H2T3 T1T2H3 0. Simbólicamente. Así pues.125 0. existe otro tipo de probabilidad. simplemente.Tabla 4-2 Lista de resultados Un lanzamiento Dos lanzamientos Tres lanzamientos Resultados posibles Probabilidad Resultados posibles Probabilidad Resultados posibles Probabilidad H1 T1 0.875. Simbólicamente. 1 2T3. podemos. 1T2 3 y T1 2 3. 1T2 y T1 2.875 La probabilidad de obtener al menos una cruz en tres lanzamientos consecutivos es de 0.125 0. la probabilidad de obtener al menos dos caras en tres lanzamientos es de 0. Ejemplo 5 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara en dos lanzamientos? Solución Las posibles formas en que se puede presentar una cara son 1 2.25 0.0 H1H2 H1T2 T1H2 0. Debido a que cada uno de éstos tiene una probabilidad individual de 0. la probabilidad marginal es P( ) y la probabilidad conjunta es P( ). Cada una de éstas tiene una probabilidad de 0. Recuerde que para dos eventos independientes el resultado del primer lanzamiento no tiene absolutamente ningún efecto sobre el resultado del segundo. Como la probabilidad de obtener cara y la de obtener cruz son exactamente iguales en cada lanzamiento. c) Una jota negra. Por ejemplo. esto parecería ser contradictorio. un evento independiente es aquel cuyas probabilidades no se ven afectadas de forma alguna por la ocurrencia del resto de los eventos. Antes de calcular probabilidades condicionales o conjuntas en situaciones de negocios asumiendo una independencia. ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se obtenga cara. En la tabla 4-3 se resumen los tres tipos de probabilidad y sus fórmulas matemáticas bajo condiciones de independencia estadística. b) Un as. que por definición. Nuestra pregunta es. debemos decir que P( 1 | 2)  0. Como mínimo. el supuesto es que los eventos no están relacionados. Podremos entender mejor la probabilidad condicional si resolvemos un problema ilustrativo. la independencia estadística se define simbólicamente como la condición en la cual se cumple que P( | )  P( ). dado que la primera era roja. Tabla 4-3 Probabilidades bajo independencia estadística Tipo de probabilidad Símbolo Marginal P(A) Conjunta Condicional P(AB) P(B ⎢A) Advertencia: en términos de independencia estadística. Recuerde. esto se cumple en una serie de lanzamientos de una moneda. la segunda carta sea: a) Una carta con cara. debe tenerse cuidado de tomar en cuenta algunas maneras en que la experiencia afecta el juicio futuro. De hecho.Probabilidad condicional de eventos independientes La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento ( ) se presente si un primer evento ( ) ya ha ocurrido. una a la vez.5.5. dado que la primera era un as rojo. dado que el resultado del primero fue cara? Simbólicamente. dado que la primera carta era una cara. sin embargo.5 Ejercicios de autoevaluación EA 148 4-7 Calcule la probabilidad de que al seleccionar dos cartas de una baraja con reemplazo. Para eventos estadísticamente independientes. lo anterior se escribe como P( 1 | 2). la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es de 0. pero en una serie de decisiones de negocios puede existir una relación entre ellas. Por tanto. la probabilidad condicional de que suceda el evento dado que el evento se ha presentado es simplemente la probabilidad del evento : Probabilidad condicional para eventos estadísticamente independientes P( | )  P( ) [4-5] A primera vista. Ejercicios 4. el tomador de decisiones aprende SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Fórmula P(A) P(A)P(B) P(B) del resultado de cada decisión y ese conocimiento afecta a la siguiente. Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . Los datos se resumen en la siguiente tabla. Tiene datos que abarcan los 45 años más recientes de funcionamiento de la prisión. Ricardo. ordenados según las estaciones. Calcule la probabilidad de que a) la segunda canica sea amarilla dado que la primera fue amarilla. c) la tercera canica sea morada dado que la primera y la segunda fueron moradas.5 6-10 11-15 16-20 21-25 Más de 25 Invierno Primavera Verano Otoño 3 15 15 5 3 2 02 45 2 10 12 8 4 4 05 45 1 11 11 7 6 5 04 45 0 12 16 7 5 3 02 45 a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un año seleccionado al azar. el administrador de una prisión. 12 azules. en este momento. b) la segunda canica sea amarilla dado que la primera fue negra. seguido de 11 en el segundo? b) un total de 21 puntos en los primeros dos lanzamientos combinados? c) un total de 6 en los primeros tres lanzamientos combinados? Una bolsa contiene 32 canicas: 4 rojas. El juego continúa de esta forma hasta que solamente queden dos bolas. en consecuencia. 9 negras. Las canicas se sacan una a la vez con reemplazo. aun cuando el inspector A ya lo haya aprobado? c) un restaurante que esté violando el reglamento sea aprobado por el Departamento de Salud? 4. un restaurante aprobará la inspección sólo si ambos inspectores lo aprueban en cada una de ellas. los otros tres regresan sus bolas a la urna y sacan de nuevo.EA 4- Sol O’Tarry. 6 amarillas y 1 morada.5 1. Jorge. revisó los registros de intentos de fuga de los reclusos. dado que primero tuvieron una niña? Al lanzar dos dados. Quien saque la bola con el número más alto pierde.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 149 . el número de intentos de fugas haya sido entre 16 y 20 durante el invierno? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan intentado más de 10 fugas durante un verano elegido de manera aleatoria? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se intentaran entre 11 y 20 fugas en una estación seleccionada al azar? (Sugerencia: agrupe los datos. Intentos de escape 0. sólo aprueba 2% de los restaurantes que realmente están violando el reglamento sobre salubridad. ¿Cuál es la probabilidad de que a) el inspector A apruebe un restaurante. el que saque la bola número 1 es el ganador. Pablo y Juan juegan de la siguiente manera: cada uno toma de una caja una de cuatro bolas numeradas del 1 al 4. El inspector B tiene menos experiencia y aprueba 7% de los restaurantes con fallas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no pierda en las dos primeras ocasiones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Pablo gane el juego? Aplicaciones ■ 4-2 El Departamento de Salud efectúa rutinariamente dos inspecciones independientes a los restaurantes. dado que primero tuvieron una niña? b) niña.) Conceptos básicos ■ 4-24 ■ 4-2 ■ 4-2 ■ 4-2 ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una pareja sea a) niño. aun cuando el inspector B haya encontrado violaciones al reglamento? b) el inspector B apruebe un restaurante que esté violando el reglamento. El inspector A tiene mucha experiencia. ¿cuál es la probabilidad de obtener a) un total de 7 puntos en el primer lanzamiento. ¿cuál es la probabilidad de que a) los cuatro anuncios sean vistos por un conductor escogido aleatoriamente? b) el primero y el cuarto anuncios sean vistos. Además. o bien. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Rob sea enviada al Departamento Federal de Aviación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Rob sea aprobada por su responsable de grupo y por su jefe de departamento.82. la presa tiene cuatro compuertas. por experiencia. Los datos son los siguientes: Número vendido Mañana Tarde 0-19 20-39 40-59 60-79 80-99 100 o más 3 3 12 4 5 03 30 8 4 6 9 3 00 30 150 4- EA 4- 2 3 4 9 6 06 30 a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día seleccionado al azar el número de botellas de medio galón vendido durante la tarde esté entre 80 y 99? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido 39 botellas o menos durante una tarde elegida aleatoriamente? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido entre 0 y 19. lanzó recientemente una campaña publicitaria para un nuevo restaurante. The Black Angus. ejecutivo consultor en jefe de la compañía Grapevine Concepts. la probabilidad de que el segundo anuncio sea visto es de 0. por su experiencia. sabe también que su responsable de grupo aprueba 85% de sus informes. 100 o más botellas durante una mañana elegida al azar? Bill Borde. y sabe.■ 4-2 ■ 4- ■ 4. se les repara de manera independiente una de la otra.2 Cuando fallan las compuertas de una pequeña presa hidroeléctrica. ¿cuál es la probabilidad de que las compuertas dos y tres estén fuera de servicio? b) Durante una visita a la presa. Bill acaba de instalar cuatro anuncios panorámicos en la carretera a la entrada de la ciudad. ésta es de 0. que los tres directivos actúan de manera independiente. Titre Corporation. A partir de la experiencia. se sabe que cada compuerta está fuera de servicio 4% de todo el tiempo.1 ■ 4. el jefe del departamento aprueba 80% de los informes de Rob que le llegan y el jefe de la división aprueba 82% de los trabajos de Rob.87 para el tercero y de 0. a) Si la compuerta uno está fuera de servicio.9 para el cuarto. pero que no sea aprobado por el jefe de división? Una tienda de abarrotes revisó sus políticas de reabastecimiento y analizó el número de botellas de medio galón de jugo de naranja vendidos diariamente durante el último mes. Suponiendo que el evento consistente en que un conductor vea cualquiera de los anuncios es independiente de si ha visto o no los demás.75. El informe debe ser aprobado primero por el responsable del grupo del cual Rob es integrante. ¿Es esto cierto? Rob Rales se encuentra preparando un informe que su empresa en la que trabaja. entregará posteriormente al Departamento Federal de Aviación de Estados Unidos. La probabilidad de que un conductor vea el primer anuncio es de 0. Rob sabe. se le dice a usted que las posibilidades de que las cuatro compuertas estén fuera de servicio al mismo tiempo son menores a uno entre cinco millones. la probabilidad de que cada anuncio sea visto por un conductor escogido aleatoriamente. luego por el jefe de su departamento y después por el jefe de la división (en ese orden). sin que el segundo y el tercero sean notados? c) exactamente uno de los anuncios sea visto? d) ninguno de los anuncios sea visto? e) el tercero y cuarto anuncios no sean vistos? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA Noche a) b) c) a) b) c) Capítulo 4 P(cara2 | roja1)  12/52  3/13 P(as2 | cara1)  4/52  1/13 P(jota negra2 | as rojo1)  2/52  1/26 3/45  1/15 (7  6  5  4)/45  22/45 (8  12  13  12)/180  45/180  1/4 Probabilidad I: ideas introductorias . ignoraremos a todas las bolas grises y nos concentraremos exclusivamente en las de color. Analizaremos primero las probabilidades condicionales. debido a que el concepto de probabilidad conjunta se ilustra mejor si utilizamos la probabilidad condicional como base.1 0. dado que es de color ( )? Se nos ha dicho que la bola que se sacó es de color. para calcular la probabilidad de que tenga puntos. en la figura 4-11.1 de color y con puntos de color y con franjas grises y con puntos grises y con franjas Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 151 . los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son: 1. Sólo tomaremos en cuenta lo que se muestra. 2. ya que existen 10 bolas con igual probabilidad de ser elegidas. Conjunta.1 0.1 0.4. Tabla 4-4 Color y configuración de 10 bolas Evento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.1 0. en las que se muestra el contenido de la caja en forma de diagrama. Probabilidad condicional bajo dependencia estadística Ejemplos de probabilidad condicional para eventos dependientes Las probabilidades condicional y conjunta bajo condiciones de dependencia estadística son más complicadas que la probabilidad marginal en estas mismas circunstancias. Ejemplo 1 Suponga que una persona saca de la caja una bola de color.6 Probabilidad del evento 0.1 0. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga puntos? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga franjas? Solución Esta pregunta puede expresarse simbólicamente como P(D | ) o ¿cuál es la probabilidad condicional de que la bola tenga puntos (D).6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística Definición de dependencia a dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente alg n evento depende o se ve afectada por la presentación de alg n otro. en forma de diagrama. Suponga que tenemos una caja que contiene 10 bolas distribuidas de la siguiente manera: • • • • Tres son de color y tienen puntos Una es de color y tiene franjas Dos son grises y tienen puntos Cuatro son grises y tienen franjas La probabilidad de sacar cualquiera de las bolas es de 0.1. Condicional. 3. Marginal. El análisis de los ejemplos siguientes se hará más sencillo si nos remitimos a la tabla 4-4 y a la figura 4-10.1 0.1 0. Por tanto.1 0.1 0. Exactamente igual que con los eventos dependientes. Así pues. dado que ésta es de color. 0.25.Grises 2 bolas grises y con puntos De color De color 3 bolas de color y con puntos 3 bolas de color y con puntos 4 bolas grises y con franjas 1 bola de color y con franjas 1 bola de color y con franjas FIGURA 4-10 FIGURA 4-11 Contenido de la caja Probabilidad de obtener una bola con puntos o con franjas en color A partir del planteamiento del problema. tres cuartos de las bolas de color tienen puntos y un cuarto tienen franjas. Para calcular la probabilidad de obtener una bola con puntos dado que es de color. estos eventos son dependientes. podemos asegurarnos a nosotros mismos que tales eventos son estadísticamente dependientes si observamos que el color de las bolas determina la probabilidad de que éstas tengan puntos o franjas. es de 0.3) entre la probabilidad de que la bola sea de color (cuatro de 10. nuestro problema consiste en encontrar las probabilidades sencillas de que la bola tenga puntos y de que tenga franjas. la probabilidad de sacar una bola con puntos.75. P(D| ). 152 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias [4-6] . la probabilidad de obtener una bola con franjas. es decir 0. Primero.00 En otras palabras. De forma parecida. es de 0. Ahora podemos ver cómo nuestro razonamiento nos permitirá desarrollar una fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística. dividimos la probabilidad de que la bola sea de color y tenga puntos (tres de 10. es decir. Por ejemplo.4): P(D ) P(D | )   P( ) Expresada como una fórmula general y utilizando las letras la ecuación queda: y para representar los dos eventos. Ahora.25 4 1. Para hacerlo dividimos el número de bolas de cada categorías entre el número total de bolas de color. tres de las cuales tienen puntos y la que queda tiene franjas. dado que ésta es de color. sabemos que hay cuatro bolas de color. Como el color afecta la probabilidad de que la bola tenga puntos o franjas. es más probable que una bola gris tenga franjas que una bola de color.75 4 1 P(S| )    0. 3 P(D| )    0. Probabilidad condicional para eventos dependientes estadísticamente P( ) P( ⏐ )   P( ) Ésta es la fórmula para la probabilidad condicional bajo dependencia estadística. ¿cuál es la probabilidad de P(D| ) y P(S | )? Solución P(D ) 0.4 y 0. dado que ésta tiene puntos Con puntos FIGURA 4-12 Probabilidad de obtener una bola con puntos o una con franjas dado que la que se sacó es gris 4 bolas son grises y tienen franjas.5 P( D) 0. dividimos la probabilidad de que sea gris y tenga puntos (0. 0. De manera parecida. Note que las proporciones relativas de las dos probabilidades son 0. cada una con probabilidad de 0. Considere ahora la figura 4-14.5 1. o 0. Debido a que sabemos que la bola que se sacó tiene puntos.3 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 153 .6). Ejemplo 3 Calcule P( | D) y P( | D). La probabilidad total de que la bola sea gris es de 0.6  1/3.4) entre la probabilidad de que sea gris (0. es decir. Los cálculos que se hicieron para llegar a estas cifras fueron: P( D) 0.1 Probabilidad de obtener una bola de color y de obtener una bola gris.6  2/3. podemos ignorar las bolas con franjas y solamente considerar las que tienen puntos.4 2 P(S | )       P( ) 0. dividimos la probabilidad de que sea gris y tenga franjas (0.6.6 FIGURA 4-13 Contenido de la caja clasificada por configuración: con puntos y con franjas P(GS ) = 0. Para determinar la probabilidad de que la bola (que sabemos es gris) tenga puntos.4/0.3 P( ⏐D)      0.6 (seis de 10 bolas). en la que se muestra la probabilidad de obtener una bola de color y la de obtener una gris. para determinar la probabilidad de que la bola tenga franjas. cada una con probabilidad de 0.2) entre la probabilidad de que sea gris (0.6 P(CD ) = 0.6 3 P(S ) 0. respondamos a las preguntas.6 3 1.4 4.6 P(D) 0.6).1 P(GD ) = 0.Ejemplo 2 Continuando con nuestro ejemplo de las bolas de color y grises. Solución En la figura 4-13 se muestra el contenido de la caja clasificado de acuerdo con las marcas de las bolas: puntos o franjas. dado que la bola tiene puntos.2 P(C D ) = 0.4 Con franjas Con puntos P(CS ) = 0.2 1 P(D | )       P( ) 0.2 P( ⏐D)      0.0 FIGURA 4-14 Gris 2 bolas son grises y tienen puntos.0 El problema se muestra en forma de diagrama en la figura 4-12.2/0.1 P(G D ) = 0.4 P(D) 0. Ejemplo 4 Calcule P( | S) y P( | S) Solución P( S) 0.1 P( D)  P( | D)  P(D)  0.5  1.4 *Para encontrar la probabilidad conjunta de los eventos Esto es cierto porque  .5  0.4 P( | S)      0.5 es la probabilidad de obtener una bola con puntos (también calculada en el ejemplo 3).5  0.3. . puede verificarse en la tabla 4-4. Las probabilidades conjuntas siguientes están calculadas de la misma manera y se pueden comprobar haciendo referencia a la tabla 4-4.5  0.4  0.2 P(S) 0.6  0. dado que ésta tiene puntos (calculada en el ejemplo 3 anterior) y 0.1 P( | S)      0. tendremos P( D)  P( | D)  P(D) o P( D)  0. obtendremos la fórmula para la probabilidad conjunta bajo condiciones de dependencia estadística: Probabilidad conjunta para eventos dependientes estadísticamente Probabilidad conjunta de que los eventos B y A se presenten al mismo tiempo o en sucesión Probabilidad de que suceda el evento B dado que ya se presentó el evento A P( )  P( | )  P( )* [4-7] Probabilidad de que se presente el evento A Varios ejemplos Observe que esta fórmula no es P( )  P( )  P( ). como sería el caso si estuviéramos en condiciones de independencia estadística. P( S)  P( | S)  P(S)  0.2 P( S)  P( | S)  P(S)  0.2  0. El resultado.8  0. se puede utilizar la fórmula P( )  P( )  P( | )  P( ). Aplicando la fórmula general P( )  P( | )  P( ) a nuestro ejemplo y en términos de bolas de color ( ). Aquí.5  0.5 P( S) 0.6 es la probabilidad de obtener una bola de color. 0.3.0 Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadística Hemos mostrado que la fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística es P( ) P( | )   P( ) [4-6] Si de esta ecuación despejamos P( ) mediante una multiplicación. 154 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias y . grises ( ). en la que llegamos a la probabilidad por inspección: tres bolas de 10 son de color y con puntos.8 P(S) 0. P( D)  0. con puntos (D) y con franjas (S). 4  0. la probabilidad marginal del evento bola gris se puede calcular sumando la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola gris: P( )  P( D)  P( S)  0. La probabilidad marginal P( ) es la “probabilidad de que ocurra . En el ejemplo anterior.6. podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola con puntos mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se tiene una bola con puntos: P(D)  P( D)  P( D)  0.2  0.6 Igualmente.5 Estas cuatro probabilidades marginales. conjunta y marginal) que se tienen en condiciones de dependencia estadística.1  0. Tipo de probabilidad Condicional 4. la probabilidad marginal del evento bola con franjas se puede calcular mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola con franjas: P(S)  P( S)  P( S)  0. suceda o no”.6 Fórmula bajo dependencia estadística Suma de la probabilidad de los eventos conjuntos en los que A ocurre Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 155 .5. se pueden verificar mediante una inspección de la tabla 4-4.3  0. P( )  0. Ahora ya hemos analizado los tres tipos de probabilidad (condicional.4 De manera parecida.01  0.3  0. por último.Probabilidades marginales bajo condiciones de dependencia estadística Las probabilidades marginales en condiciones de dependencia estadística se calculan mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Sugerencia: distinga entre probabilidad condicional y probabilidad conjunta mediante el uso cuidadoso de los términos dado que y ambos y: P( | ) es la “pro- Símbolo Fórmula bajo independencia estadística Marginal P(A) P( A) Conjunta P( AB) o P(BA) P(A)P(B) P(B)P(A) P(A | B)P(B) P(B | A)P(A) P(B | A) P(B) P(BA)  P(A) o P(A | B) P( A) P(AB)  P(B) Tabla 4-5 Probabilidades bajo condiciones de independencia y dependencia estadística babilidad de que ocurra dado que ocurrió ” y P( ) es la “probabilidad de que ambos y ocurran”. En la tabla 4-5 se presenta un resumen de las fórmulas desarrolladas para las probabilidades bajo ambas condiciones de independencia estadística y de dependencia estadística.5 y P(S)  0.2  0. podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola de color mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que aparece una bola de color: P( )  P( D)  P( S)  0. P( )  0. P(D)  0.5 Y.4.04  0. Aplicaciones 156 ■ 4-36 ■ 4-37 ■ 4-38 En un comedor de beneficencia. Si P(A)  0.39. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos autos y un ingreso mayor que $35. 59% son hombres. Suponga que para dos eventos A y B. ¿Cuál es la probabilidad de que un asistente hombre que vaya al comedor. encuentre las siguientes probabilidades: P(A | C). también se anotó si se trataba de un primer delito o era reincidente. c) la probabilidad de que sea mujer. P(C | A). P(B)  0.80. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un huracán se forme en la parte oriental del Golfo de México y llegue a la costa occidental de Florida este año? Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . P(B)  1/6. De los hogares encuestados. b) la probabilidad de que sea la primera ofensa. hay 76% de posibilidades de que éste golpee la costa occidental de Florida. pero. P(B)  0. dado que es reincidente. debido al aumento en las medidas de seguridad.47. calcule a) la probabilidad de que el ladrón sea hombre. encuentre la probabilidad de que a) no ocurra ni A ni B.75. sea alcohólico? Durante un estudio sobre accidentes automovilísticos.000 y 52% tenía dos autos.85. Dado que P(A)  3/4.6 Ejercicios de autoevaluación EA 4-9 EA 4-10 De acuerdo con una encuesta. se ha determinado que la probabilidad de que se forme un huracán en la parte oriental del golfo en cualquier año dado es de 0. 52% están relacionados con conductores alcoholizados y 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios.000 es 0. una trabajadora social reúne los datos siguientes. Los datos se resumen en la siguiente tabla.Ejercicios 4.85. la probabilidad de que una familia posea dos automóviles si su ingreso anual es mayor que $35. 32% son alcohólicos y 21% son hombres alcohólicos.65. tomado al azar. ¿Es ésta una asignación de probabilidades consistente? Explique. P(A|B)  P(A) y P(B|A)  0. dado que está relacionado con un conductor ebrio? Si un huracán se forma en la parte oriental del Golfo de México.21 y P(A o B)  0. el Consejo de Seguridad Carretera encontró que 60% de los accidentes suceden de noche. b) ocurran tanto A como B. Sexo Hombre Mujer Primera ofensa Reincidente 60 44 104 70 76 146 Suponga que se elige al azar un ladrón detenido. se ha detenido a 250 ladrones. P(AC)  1/7 y P(B | C)  5/21. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor alcoholizado. dado que sucedió de noche? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche. Conceptos básicos ■ 4-33 ■ 4-34 ■ 4-35 Dos eventos son estadísticamente dependientes. 60% tenía ingresos mayores que $35. c) ocurra B dado que A ocurrió. d) la probabilidad de que sea mujer. P(A)  0. e) la probabilidad de que sea hombre y reincidente. De las personas que acuden al comedor. dado que es la primera ofensa. Se registró el sexo de cada ladrón.000 al año? La tienda de departamentos Friendly ha sido objeto de muchos robos durante el último mes. P(BC) y P(C | B). P(C)  1/3. d) ocurra A dado que B ocurrió. dado que es hombre. A partir de los datos recabados en los 50 años pasados. ¿cuál es la probabilidad de que los choferes apoyen la huelga? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-9 Si I  ingreso C  2 autos. la cual espera concluir antes del tiempo límite para poder concursar por la concesión. la probabilidad es de 0. Los afiliados se clasifican en licenciatura. ¿cuál es el nuevo valor de la probabilidad del inciso a)? Al Cascade.85. Afiliados Referencia Publ. Sabe que la probabilidad de una huelga de pilotos es 0. ¿Qué valor deberá tener la probabilidad de que la WTR termine a tiempo la investigación. ¿Cuál deberá ser el valor de la probabilidad de que se haga una auditoría para que la probabilidad de Litre de obtener el contrato sea de al menos 0. a) Suponga que Al sabe que la probabilidad de que la WTR termine la investigación a tiempo es de 0.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 157 .65. existe una posibilidad de 90% de que los pilotos apoyen la huelga. Suponga que los afiliados usan sólo un servicio por visita. b) visite la sección de publicaciones periódicas.85.58. El que las autoridades hagan o no la auditoría y el que la WTR termine su investigación son eventos independientes. entonces la probabilidad es de 0. Si el competidor principal de Litre termina a tiempo su investigación de campo y no se hace la auditoría. La compañía ha pedido a una ingeniero que evalúe el sistema operativo.67.75 y la probabilidad de una huelga de choferes es 0.72. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se vayan a huelga? b) Si los pilotos hacen huelga. Si se efectúa la auditoría pero WTR no termina a tiempo la investigación. dos eventos tienen interés para él.75)(0. sabe que si los choferes hacen una huelga.65? c) Suponga que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0.65? b) Suponga que Al sabe que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0. está efectuando una investigación sobre purificación de agua en la zona. ¿Cuál es la probabilidad de que Litre obtenga la concesión? Una compañía desea actualizar su sistema de computación y una parte importante de la actualización es un nuevo sistema operativo.85. Suponga que la probabilidad de una evaluación favorable es 0. publicaciones periódicas o libros.65.75 y que la probabilidad de que la WTR termine a tiempo su investigación es de 0.000 P(C e I)  P(C | I)P(I)  (0. está preocupado por la posibilidad de una huelga por parte de algunos empleados.80. presidente de la empresa Litre Corporation. periódicas Libros Licenciatura Posgrado Académicos 44 24 16 84 26 61 69 156 72 20 18 110 Encuentre la probabilidad de que un afiliado seleccionado al azar ■ 4-42 a) sea estudiante de licenciatura. Si ambos eventos se presentan. De acuerdo con ello. Primero. La tabla contiene los datos de 350 personas. la WTR. dado que es un estudiante de posgrado. $35. entonces la probabilidad de que a Litre le sea otorgada la concesión es de 0.■ 4-39 ■ 4-40 ■ 4-41 b) Si a un huracán formado en la parte oriental del Golfo de México se le induce a producir lluvia mediante la irrigación de productos químicos desde aeronaves. Más aún. de tal modo que la probabilidad de que Litre obtenga la concesión sea de al menos 0. Segundo. ¿cuál es la probabilidad de que la compañía actualice su sistema y reciba una evaluación favorable? La biblioteca de la universidad ha entrevistado a afiliados elegidos al azar durante el último mes para ver quiénes usan la biblioteca y qué servicios requieren. está estudiando las posibilidades de que su compañía obtenga un importante contrato para instalar un sistema de purificación de agua para las autoridades del Valle de Tennessee. y si ninguno de los dos eventos sucede. un servicio privado de mensajería.70.45 4. Si la probabilidad de que la compañía actualice su sistema dada una evaluación favorable es 0. Si se decide aplicar este tratamiento a todo huracán que se forme en la parte oriental del golfo. El gerente regional del sureste de General Express. de los cuales Litre forma parte y WTR no. existen rumores de que las autoridades del Valle de Tennessee van a realizar una auditoría a todos sus contratistas. la probabilidad de que golpee la costa occidental de Florida se reduce en un cuarto. d) sea de licenciatura y visite la sección de libros. el principal competidor de Litre.6)  0. Los servicios se clasifican como consulta. la probabilidad es de 0. posgrado y académicos. de origen inglés. Sin embargo. A la primera clase de dados la llamaremos tipo 1.521 d) P(W | F)  P(W y F)/P(F)  (44/250)/(104/250)  0. famoso por sus cuadrangulares.4. un as (o un punto) se presenta 40% de las veces.7. es la felicidad de sus criaturas”.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes Definición de probabilidades posteriores Teorema de Bayes Al inicio de la temporada de béisbol. a poco del arranque de temporada. Como éstas pueden revisarse en la medida que hay más información. . Se saca un dado del recipiente y se le lanza una vez. Si la administradora de una boutique encuentra que la mayoría de las chamarras deportivas color púrpura y amarillas que pensó se iban a vender muy bien. El equipo campeón empieza a perder. Sin embargo.280 4. Una situación similar se presenta en el ámbito de los negocios. entonces tiene que revisar las probabilidades anteriores y ordenar una combinación diferente de color o ponerlas en oferta. ciertas probabilidades fueron alteradas después de que los interesados obtuvieron información adicional. El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. F/R  primera ofensa | reincidente a) P(M)  (60  70)/250  0. fue ministro presbiteriano y un matemático competente. los seguidores del equipo ganador de la temporada anterior creen que éste tiene buenas posibilidades de ganar nuevamente. La fórmula básica para la probabilidad condicional en circunstancias de dependencia P( ) P( | )   P( ) Valor del teorema de Bayes [4-6] se conoce como teorema de ayes. Bayes. el resultado es un as. las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo Bayes que durante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Consideró la forma en que podría probar la existencia de Dios examinando toda evidencia que el mundo aportaba acerca de él. el shortstop tiene que quedarse en la banca debido a una lesión y el principal rival del equipo contrata a un gran bateador. Cálculo de probabilidades posteriores Búsqueda de una estimación posterior Revisión de probabilidades basada en un resultado 158 Como primer ejemplo de revisión de probabilidades anteriores.423 e) P(M y R)  70/250  0.. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea del tipo 1? Sabiendo que el recipiente contiene el mismo número de dados de Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . y a la segunda tipo 2. En ambos casos. suponga que tenemos una cantidad igual de dos tipos de dados anormales (cargados) en un recipiente. El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-1761). un as se presenta el 70% de las veces P(as)  0. Casi al final de la temporada.. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidades revisadas o posteriores. En la otra mitad. sus seguidores se dan cuenta que deben cambiar sus anteriores probabilidades de ganar. su obra trascendió y la teoría de decisiones moderna a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana. la teoría de probabilidad adquiere gran valor para la toma de decisiones empresariales.EA 4-1 M/W  ladrón es hombre/mujer.462 c) P(W | R)  P(W y R)/P(R)  (76/250)/(146/250)  0. todavía están colgadas en los exhibidores. el reverendo Bayes utilizó las matemáticas para estudiar a Dios. En un intento por mostrar “que el fin principal de la Divina Providencia. por tanto P(as)  0.520 b) P(F | M)  P(F y M)/P(M)  (60/250)/(130/250)  0. Desafortunadamente. En la mitad de éstos. eventos conjuntos (por ejemplo. Las dos clases de dados constituyen una lista mutuamente excluyente y colectivamente exhaustiva. Tabla 4-6 Búsqueda de la probabilidad marginal de obtener un as Evento Probabilidad del P(as| evento P(as.35).35 P(as)  0.4 0.0.0 0. AB). que podrían ocasionar confusión.5.dad de que el dado sea del tipo 1? Sabiendo que el recipiente contiene el mismo número de dados de cada tipo. Calculemos la probabilidad de que el dado sea del tipo 2: P(ti po 2.5 0. Note que en cada caso. pero podemos hacer una mejor estimación. La suma de P(as | evento elemental) no es igual a 1. La cuarta columna muestra la probabilidad conjunta de obtener un as y un dado del tipo 1 (0.7  0.0. La suma de estas probabilidades conjuntas (0. la probabilidad de que hayamos sacado un dado del tipo 1 es de 0.4 y 0.20) y la probabilidad conjunta de obtener un as y un dado del tipo 2 (0. as) P(tipo 1| as)   P(as) o 0. lo mejor que podemos decir es que hay una probabilidad de 0.35 P(tipo 2⏐as)      0. La probabilidad de cada tipo es de 0.5  0. evento elemental evento elemental elemental) elemental)* Tipo 1 Tipo 2 0.55) es la probabilidad marginal de obtener un as. utilizamos la fórmula para la probabilidad condicional bajo condiciones de dependencia estadística: P(BA) P(B | A)   P(A) [4-6] Aplicándola a nuestro problema.20 P(tipo 1| as)    0.5  0.20 0. Para responder a la pregunta de manera correcta. as) 0.7  0. ya que solamente tenemos dos tipos de dados.55 Por consiguiente.636) de que el dado que tenemos en las manos sea del tipo 2 que del tipo 1 (ésta sólo de 0. sin que haya confusión.364.55 *Se utiliza la coma para separar los eventos conjuntos.7 simplemente representan las probabilidades condicionales de obtener un as. Las cantidades 0. 4. Sin embargo. respectivamente.5  0.4  0. dado que se obtuvo un dado del tipo l o del tipo 2.5 de que el dado sea del tipo 1 y la misma probabilidad de que sea del tipo 2.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 159 . construimos la tabla 4-6. podemos contestar incorrectamente que la probabilidad es de un medio. Podemos poner juntas letras individuales para indicar. pero al poner juntas palabras completas produciríamos eventos de apariencia extraña (aseventoelemental). La suma de las probabilidades de los eventos elementales (el sacar un dado del tipo 1 o del tipo 2) es de 1. después de lanzar el dado hemos sido capaces de alterar o revisar nuestra estimación anterior de probabilidad.4  0.364 0.364).5 1.5  0. la probabilidad conjunta fue obtenida mediante la fórmula: P(AB)  P(A| B)  P(B) [4-7] Para encontrar la probabilidad de que el dado que sacamos sea del tipo 1. Nuestra estimación posterior es que existe una probabilidad más grande (0.636 P(as) 0.55 Conclusiones después de un lanzamiento ¿Qué hemos logrado con una porción adicional de información que llegó a nuestras manos? ¿Qué inferencias hemos sido capaces de alcanzar a partir de un lanzamiento del dado? Antes de que lancemos este dado.7 0. tenemos: P(ti po 1. 245 P(2 ases)  0.5 0. En este caso.16  0. obtuvimos nueva información gratis.754 a que si obtenemos dos ases en dos lanzamientos consecutivos el dado es del tipo 2.245.7  0. 2 ases) P(tipo 1 | 2 ases)      0.7 0. todo lo que sabíamos era que había probabilidades iguales de que éste fuera del tipo 1 o del tipo 2.246 P(2 ases) 0.754 P(2 ases) 0. Fuimos capaces de lanzar el dado dos veces. Es decir.7  0. tipo 1) es igual a P(2 ases | tipo 1) por la probabilidad de obtener del tipo 1.325 Igualmente P(tipo 2 | 2 ases) 0. podemos obtener información adicional mediante un nuevo lanzamiento del dado (desde luego que obtener más información en la mayoría de las situaciones de toma de decisiones es más complicado y lleva más tiempo).49. En esta tabla tenemos una nueva columna. dado que se obtuvieron dos ases  0.16.5  0. evento elemental) 0.246 para el tipo 1 y 0. revisamos las probabilidades de nuevo: Probabilidad de que sea del tipo 1.754 para el 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea del tipo 1? Para determinar la respuesta consultemos la tabla 4-7.325 ¿Qué hemos obtenido con dos lanzamientos? Cuando sacamos el dado.754 Conclusión después de dos lanzamientos Así pues. observar su comportamiento y hacer inferencias a partir del comportamiento.Probabilidades posteriores con más información Búsqueda de una nueva estimación posterior con más información Podemos tener la sensación de que un lanzamiento del dado no es suficiente para indicar sus características (si es del tipo 1 o del tipo 2). En otras palabras.080 P(tipo 1. o 0.0 0. dado que se obtuvieron dos ases  0.080 y P(2 ases. existía la posibilidad 50-50 de que fuera del tipo 1 o del 2.49  0.4 0.5 para cada tipo a 0. Suponga que se lanza el mismo dado una segunda vez y de nuevo se obtiene un as. sin que es- Tabla 4-7 Búsqueda de la probabilidad marginal de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos 160 Capítulo 4 Evento elemental Tipo 1 Tipo 2 Probabilidad del evento elemental P(as | evento elemental) P(2 ases | evento elemental) P(2 ases. Utilizando la misma fórmula general como antes.364 Probabilidad de que sea del tipo 2. En la última columna vemos las probabilidades conjuntas de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos y los eventos elementales (tipo 1 y tipo 2). dado que se obtuvo un as  0. Después de lanzar el dado una vez y haber obtenido un as. tenemos que: 0. y si es del tipo 2: P(2 ases | tipo 2)  0.16  0. dado que se obtuvo un as  0. P(2 ases | evento elemental).4  0.636 Después del segundo lanzamiento (obteniendo otro as). La suma de estas probabilidades (0.4  0.5  0.246 Probabilidad de que sea del tipo 2.5  0. o 0.080 0.5 1. hemos cambiado las probabilidades originales de 0.49 0. P(2 ases. revisamos estas probabilidades originales y concluimos lo siguiente: Probabilidad de que sea del tipo 1. En ambos experimentos. puesto que salió un as en cada uno de los dos lanzamientos consecutivos.16 0.49  0.325) es la probabilidad marginal de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos.245 P(tipo 2 | 2 ases)      0. tipo 2) es igual a P(2 ases | tipo 2) por la probabilidad de obtener del tipo 2. Ahora ya estamos listos para calcular la probabilidad de que el dado que sacamos sea del tipo 1. la cual da la probabilidad conjunta de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos si el dado es del tipo 1: P(2 ases | tipo 1)  0.5  0. Esto significa que ahora podemos asignar una probabilidad de 0.325 Probabilidad I: ideas introductorias . 25  0. 3 strikes) es la probabilidad de que se presenten conjuntamente el evento (colocación correcta o incorrecta) y tres strikes. P(3 strikes | evento) es la probabilidad de obtener tres strikes en tres lanzamientos consecutivos.6141 0. Estas probabilidades se dan en el problema.0429  0. podemos calcular: P(incorrecta)  1.6141  0. el valor de la información obtenida puede ser considerablemente menor que su costo. En muchos casos.00  0. Podemos calcular la probabilidad de la manera siguiente: P(correcta.75  0.75 0.85 0. 3 strikes)  0.6141  0. es decir.4713 Tabla 4-8 Probabilidades posteriores con tres pruebas Evento Correcta Incorrecta 4. Obviamente. Las probabilidades se calculan de la siguiente manera: P(3 strikes | correcta)  0.4606 0. y los administradores no solamente deben entender cómo utilizar la nueva información para revisar sus probabilidades anteriores. Por tanto. dado el evento.25 1.35  0. Si se le coloca incorrectamente.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 161 .25 2 P(l strike | evento) representa la probabilidad de tener un strike.75  0.75  0. dada una colocación correcta o incorrecta de la máquina. ajustada apropiadamente. ¿Cuál es la probabilidad revisada de que la máquina esté bien colocada? En la tabla 4-8 se ilustra la manera en que podemos responder esta pregunta.75. 3 strikes)  0. P(correcta)  0.0429  0. P(evento) P(1 strike | evento) P(3 strikes | evento) P(evento. 3 strikes) (1) (2) (3) (4) 0. ecuación 4-7. se dice en el problema.00  P(correcta)  1.0107 Observe que si A  evento y S  strike. Un día. es decir.85  0.35  0.to implicara ningún costo. lanzará strikes sólo en 35% de los lanzamientos.4606 P(incorrecta. lanzará strikes 85% de las veces.35 0.35  0. lanza tres strikes en los primeros tres lanzamientos.0429 4 P(evento. La experiencia pasada indica que 75% de las veces que se coloca la máquina se hace de manera correcta.25  0.00 0. Podemos interpretar los encabezados numerados de la tabla 4-8 de la siguiente manera: 1 P(evento) describe las probabilidades individuales de colocar la máquina correcta e incorrectamente.85  0. después de que la máquina ha sido colocada para una práctica de bateo.6141 P(3 strikes | incorrecta)  0. Si la máquina se coloca de manera correcta.0107 P(3 strikes)  0.85  0.0429 0. sino que deben también tener la capacidad de determinar cuánto vale esa información. Un problema relacionado con tres elementos de información Ejemplo de probabilidad posterior basada en tres intentos Considere el problema del equipo de una liga menor de béisbol que utiliza una máquina de lanzamientos automática para su entrenamiento. existen pocas situaciones en las que lo anterior es cierto. entonces las dos últimas probabilidades se ajustan a la fórmula matemática general para probabilidades conjuntas en condiciones de dependencia: P(AS)  P(SA)  P(S⏐A)  P(A). dado que la colocación es correcta o incorrecta. hemos revisado nuestra probabilidad original de que la máquina esté instalada correctamente y la probabilidad cambió de 75 a 97.73%. podríamos esperar una distribución menos consistente de resultados.9773 0. Probabilidades posteriores con resultados inconsistentes Ejemplo con resultados inconsistentes En todos los problemas analizados hasta aquí.25 1.85  0.15  0.73%.35  0. Tabla 4-9 Evento Probabilidades posteriores con resultados inconsistentes Correcta Incorrecta P(evento) P(S | evento) P(SBSSS | evento) P(evento. primero utilice todos los datos históricos disponibles y después (y sólo entonces) agregue su propio juicio intuitivo al proceso.85  0.00 0. el cálculo de nuestra probabilidad posterior de que la máquina esté correctamente instalada.06117  0.35 0.35  0. Utilizamos la fórmula general: P( ) P( | )   P( ) [4-6] y la aplicamos a nuestro caso particular: P(correcta.65  0.85  0.9773 o de 97. bola.00975 0.4713 La probabilidad posterior de que la máquina esté correctamente colocada es de 0.07830  0. en realidad no implica más dificultad que en el caso en que se tienen resultados perfectamente consistentes.05873 0.35  0. La intuición usada para hacer predicciones acerca de cosas que ya están bien descritas estadísticamente está mal dirigida. hemos resuelto esta situación en la tabla 4-9.00244 P(SBSSS)  0. En el caso de la máquina de lanzamientos. basados en la obtención de tres strikes en tres lanzamientos.85  0. el comportamiento del experimento ha sido consistente: se obtuvo un as con el dado en dos lanzamientos consecutivos y la máquina automática lanzó tres strikes en tres lanzamientos seguidos.4606    0. Advertencia: el valor real del teorema de Bayes no está en el álgebra sino en la habilidad de los administradores bien informados para SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES 162 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias hacer buenas predicciones del futuro. En esta situación. Utilizando la notación S  strike y  bola.75 0. strike. Sugerencia: en todas las situaciones en las que se use el teorema de Bayes. strike.06117 P(instalación correcta. Así pues.9601 El teorema de Bayes es un procedimiento formal que permite a los tomadores de decisiones combinar la teoría de probabilidad clásica con su mejor sentido intuitivo acerca de lo que es posible que ocurra. SBSSS)  P(instalación correcta | SBSSS)   P(SBSSS) 0. strike. pudimos haber tenido cinco lanzamientos con el siguiente resultado: strike. estamos listos para determinar la probabilidad revisada de que la máquina esté correctamente instalada.05873  0.35  0.00975  0. .25  0. En la mayoría de las situaciones. SBSSS) 0.07830 0.75  0. 3 strikes) P(correcta | 3 strikes)    P(3 strikes) 0.85 0.Después de realizar el cálculo de la tabla 4-8. por ejemplo. Encuentre P(A | X). El grupo sabe también que tiene una posibilidad de 60% de recibir un dictamen a su favor si escogen Baltimore. B y C. habría 20% de posibilidades de que hubiera una fuga de radiación. él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente. Si la probabilidad de una tormenta eléctrica dadas las condiciones secas es 0. El primero tiene tres resultados posibles mutuamente excluyentes: A. Si un paciente del programa seleccionado en forma aleatoria tiene un ataque cardiaco. B o C. Si el grupo ha recibido un dictamen favorable. ¿cuál es la probabilidad de que el paciente haya recibido los dos medicamentos? Conceptos básicos ■ 4-43 Se realizan dos experimentos relacionados.65 y P(X | C)  0. También se conocen las siguientes probabilidades condicionales si el resultado del segundo experimento es X: P(X | A)  0. Suponga que ocurrió A. El servicio de información del clima ha pronosticado condiciones secas con probabilidad de 0. y que dos o más accidentes nunca se presentan juntos. El señor Coleman acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas.65. sabe que la compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos. el B la reduce 20% y los dos tomados juntos realizan su trabajo independientemente.65. 0. El doctor ha decidido recetar dos nuevos medicamentos a 200 pacientes cardiacos de la siguiente manera: 50 obtienen el medicamento A.3.45 y condiciones lluviosas con probabilidad de 0.8. P(X | B)  0. y 10% de posibilidades de fuga como resultados de un error humano. 50% de probabilidades de fuga radiactiva a resultas de una falla mecánica. respectivamente.75. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del segundo experimento sea Y? Aplicaciones ■ 4-44 ■ 4-45 ■ 4-46 ■ 4-47 Martin Coleman. 50 obtienen el medicamento B y 100 obtienen ambos. Los 200 pacientes se eligieron de manera que cada uno tiene 80% de posibilidad de tener un ataque cardiaco si no toma uno de los medicamentos. 0. 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. ¿qué ciudad es más probable que haya escogido? EconOcon hace planes para el día de campo de la compañía. condiciones húmedas con probabilidad de 0. Sus estudios han arrojado que si se desatara un incendio. P(B | X) y P(C | X).7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 163 .60 y 0. Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de tres métodos son 0. B y C— ocurran son P(A)  0.60 y P(X | C)  0. El segundo tiene dos resultados posibles mutuamente excluyentes: X y Y.2.7 Ejercicios de autoevaluación EA 4-11 EA 4-12 Datos: las probabilidades de que tres eventos —A. Baltimore o Cleveland.Ejercicios 4.3.35. Encuentre P(A | X). ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho a) personalmente? b) por teléfono? c) por correo? Un grupo de interés público está planeando impugnar las primas de seguro de automóviles en una de tres ciudades: Atlanta. gerente del departamento de crédito de Beck’s.35. De los datos que se tienen registrados. dadas las condiciones húmedas es 0.40. El grupo considera que los únicos tipos posibles de accidentes que pueden suceder en un reactor son incendio.25. y Cleveland. 0. P(X | B)  0. La probabilidad de que se escoja Atlanta es de 0. falla de material y error humano. Sus estudios también han mostrado que la probabilidad de 4. Baltimore.6 y dadas las condiciones de agua es 0. ¿cuál es la probabilidad de que las condiciones hayan sido de humedad? Un grupo de investigación independiente ha estado estudiando las probabilidades de que suceda un accidente en una planta de energía nuclear que produzca como resultado una fuga radiactiva. las probabilidades de que ocurra otro evento —X— son P(X | A)  0.2 y P(B)  0.8. Se sabe que P(A)  0. ¿cuál es la probabilidad de una tormenta eléctrica? Si supiéramos que el día de campo de hecho se canceló. de 45% si eligen Atlanta y de 35% si se decide por Cleveland.75.45 y P(C)  0. P(B | X) y P(C | X). Lo único que podría cancelarlo sería una tormenta.40.35.2. P(B)  0. El A reduce 35% la probabilidad de un ataque al corazón. 30. a) Si en la primera proyección de prueba se tiene un resultado de 6.25.30. las respectivas probabilidades son 0. ganar entre seis y 10 escaños. las probabilidades respectivas son 0. Si el índice de desempleo cambia en menos de 2%.35. este político tiene la convicción de que la probabilidad de que el desempleo se eleve en 2% o más es de 0. respectivamente.50.35 y 0. 5 o 6. 0. sabe que 60% de las veces una película de gran éxito recibirá calificación de 7 o mayor. 0. reunidos en un periodo de tres años.45 y 0. ¿cuál es la probabilidad de que la película sea un fracaso (suponiendo que los resultados de cada proyección son independientes entre sí)? Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . 0.0012 a) ¿Cuáles son las probabilidades respectivas de que se presente un incendio.25.15 y 0. ¿cuál es la probabilidad de que a) un jugador elegido aleatoriamente sufra una lesión en la rodilla? b) un jugador elegido aleatoriamente con lesión en la rodilla haya sufrido ésta mientras jugaba en un campo con pasto natural? El terapeuta del ejercicio 4-48 también está interesado en estudiar la relación existente entre lesiones en los pies y la posición que tiene cada jugador.15. 0.C. 0.15. 0. De su larga experiencia en la industria cinematográfica. Si la probabilidad de que un jugador sufra una lesión en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de 0. 0.0015 • que se dé un error humano y haya una fuga de radiación al mismo tiempo es de 0. 0.35 y 0. 0. 0. También sabe que las posibilidades de que un jugador de fútbol sufra una lesión en la rodilla son 50% más altas si juega en pasto artificial en lugar de hacerlo en pasto natural. Si el índice de desempleo baja 2% o más. de que cambie en menos de 2% es de 0. y 10% de las veces recibirá una calificación de 3 o menor. ha programado dos funciones de prueba. obtendrá calificaciones de 4. las respectivas probabilidades son 0. Sus datos.40 y 0.C. una falla mecánica o por error humano? c) ¿Cuál es la probabilidad de una fuga de radiación? Un terapeuta físico que trabaja en la universidad Enormous State sabe que el equipo de fútbol jugará 40% de sus juegos en campos con pasto artificial en la presente temporada. ¿cuál es la probabilidad de que éste juegue a) en la línea ofensiva. ¿cuál es la probabilidad de que el índice de desempleo haya cambiado en menos del 2%? T.10. En la actualidad. ¿cuál es la probabilidad de que la película tenga gran éxito? b) Si la primera proyección de prueba produce un resultado de 6 y la segunda de 2.■ 4-48 ■ 4-49 • que se presenten juntos un incendio y una fuga de radiación es de 0.10.35.05. Para probar la precisión de su opinión. ¿cuál es la probabilidad de que el índice de desempleo haya bajado 2% o más? b) Si los demócratas pierden un escaño.42.15.10. y ganar más de 10 escaños son de 0. T. una falla mecánica y un error humano? b) ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de que una fuga de radiación sea ocasionada por un incendio. 30% de las veces. y de que disminuya en 2% o más es de 0. respectivamente. Fox. las probabilidades son 0. 0.0010 • que se den juntas una falla mecánica y una fuga de radiación es de 0.C. Después de cada proyección. ganar o perder cinco o menos escaños. 25% de conseguir un éxito moderado y 15% de ser un fracaso. b) en la línea defensiva.10. gerente de comercialización de la productora de películas Metro-Goldmine Motion. cree que el próximo estreno de los estudios tiene 60% de posibilidades de ser un éxito de taquilla. los espectadores califican la película en una escala del 1 al 10. Ha determinado que si el índice de desempleo aumenta 2% o más.30. T. c) como backfield ofensivo y d) como backfield defensivo? Un político demócrata de Estados Unidos ha llegado a la conclusión de que los cambios en el índice de desempleo en el estado que representa tendrían un efecto importante en las probabilidades de su partido para ganar o perder escaños en el senado estatal. Para una película de éxito moderado. a) Si los demócratas ganan siete escaños.45.25. se resumen en la siguiente tabla: Número de jugadores Número de lesionados 164 ■ 4-50 ■ 4-51 Línea ofensiva Línea defensiva Backfield ofensivo Backfield defensivo 45 32 56 38 24 11 20 9 Dado que un jugador elegido al azar tenga una lesión en el pie.10. las probabilidades de perder más de 10 escaños. perder entre seis y 10 escaños. para una película sin éxito. En la actualidad. También tienes que tomar decisiones. Pero te vas a dar cuenta de que. Aunque no tenía muchos estudios. efectúa una división y obtendrás el número de días que necesitas”. La mayoría de nuestros obreros tiene hijos que no van a asistir a la escuela ese día.” Nancy Rainwater llevaba cinco años trabajando con Loveland Computers. con los objetivos de producción. quedan 19 días de trabajo hasta que finalice el mes y necesitaremos 17 días para completar la producción. al momento en que despedían con la mano a sus nuevos socios inversionistas. de modo que instalamos una línea de ensamblaje aquí.4625 y P(C | X)  0. y si cargamos una máquina con algo que el cliente nunca va a utilizar —por ejemplo.” “¿Por qué no simplemente equipan todas las máquinas con todo lo que hay. Sin contar el día de hoy. Vamos al coche y en el camino te explico. Compramos las cubiertas en un lado. Esto te deberá dar algo de experiencia con la toma de decisiones en el mundo real.4427.0.208/0. y simplemente las empacábamos para mandarlas a nuestros clientes. el 20 de este mes. pero accedería a darles el día libre a los trabajadores sin pagarles nada.4427 0. ella es la jefa de producción. tío Walter?”. si añadimos un disco duro de gran capacidad a una máquina que se va a utilizar en una red local donde la mayoría de los datos se almacenan en un disco central— uno termina eliminándose a sí mismo del mercado.498  0. todavía hacemos eso para algunos de los productos.2925/0.20 0. al final del mismo. quiero que pases a ver a Nancy Rainwater. simplemente cuenta el número de PCs que se producen en un día normal y la cantidad de las que se pretende fabricar en el mes.80)  0.0600 P(X )  0. Nancy le explicó su problema a Lee en los términos siguientes: “Tenemos que decidir si paramos la producción el día de Martin Luther King.130 .8)(0.6325  0. Tu tío. En este asunto.520 (0. y a menudo no tienes todos los datos que hubieras deseado tener debido a que intentas adivinar qué sucederá en el futuro. se trataba en gran medida de un negocio de ventas al por mayor.Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-11 Evento P(evento) P(X | evento) A B C 0.640 (0. Evento A B AyB P(evento) P(H | evento) 0. pero he aquí la razón por la cual no podemos permitirnos hacer eso.2925 .80)  0.0. si este mes cuenta con suficientes días laborables para cumplir. o vendiendo con pérdidas. hay más cosas en la vida que reunir datos. y no lo que ha sucedido en el pasado.2800 . respondió Lee con toda confianza. Necesita algo de ayuda para elaborar su programa de este mes.498  0.208 P(H)  0. “Sí.45 0.35 0. ya que creció en una granja de las cercanías.8)(0.6325  0. en los negocios.949. no quiere dar el día con goce de sueldo.416 P(H y evento) .50 (0. tío?” “Buena pregunta. Lee.65 0.2800/0. P(A y B | H)  0.0. Traíamos las computadoras de Taiwan. el precio es muy importante.130/0.498  0.30 P(X y evento) . ya lo hemos calculado. el señor Azko. los discos duros en algún otro y así sucesivamente. preguntó Lee Azko al socio principal de la empresa Loveland Computers. P(A | X)  0.4625 0.0600/0. pues no hay nada que ‘fabriquemos’ nosotros. Cuando lleguemos a la oficina. Su ascenso hasta el puesto de supervisora de producción había sido rápido. Estadística en el trabajo Loveland Computers Caso 4: Probabilidad “¿No me vas a felicitar.” “Cuando echamos a andar Loveland Computers. eso no debe ser muy difícil de resolver. P(B | X)  0.” “Bueno. Fue un material bastante bueno. pero necesitábamos fabricar a la medida los de mayor venta.498 P(evento | H) 0.” Estadística en el trabajo 165 .80 0.65)(0.2610 0.25 0.25 0. justo con la configuración con que las piden los clientes. No podemos permitirnos hacer ninguna de las dos cosas. Luego ponemos en funcionamiento la línea de ensamblaje para armar las máquinas. “Claro que sí.0.65)  0.0. EA 4-12 H  ataque cardiaco.160 .3213 0.0949 Entonces.8)(0.4177. que se encontraban subiendo a bordo de su avión privado. Corea o de algún otro lugar.0. No voy a decir que se trataba de una fábrica.6325 P(evento| X) 0.6325  0. había adquirido algunas importantes habilidades prácticas acerca del manejo de la fuerza de trabajo y sobre la manera de tener el trabajo terminado a tiempo.160/0.4177 Entonces. Cuando HH Industries tomó la decisión de reabrir uno de los almacenes del noreste. Los tres primeros dígitos indican el área. Laurel se preguntaba sobre la mejor manera de abordar el problema que se le presentaba. volviéndose hacia Nancy Rainwater—. Hace un par de años. alcanzó a Laurel cuando salían de la reunión de directivos. además de los costos de mantenimiento. tal vez no sea exactamente una bola de cristal. la UPS determinó.” “Me inclinaría mucho más a parar actividades el día de King si pudiera tener un grado razonable de certeza de que podremos contar con el suficiente número de días laborables en lo que resta del mes.” “Claro. mucha experiencia con la estadística. el sitio óptimo para instalar nuestro almacén. pero tengo algunas opiniones personales acerca de lo que fue y lo que no fue considerado en aquel estudio. en realidad necesito preguntarte algo. eso significaría un salario y medio más. ésa es 166 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias los fines de semana. pero parece como si ya tuvieras alguna visión de nuestra actitud en los negocios. eran los señalados “Entrega al día siguiente vía aérea”. Tengo algunos datos de envíos del almacén de Pennsylvania. y créeme que eso sucede cuando hay un bicho rondando el ambiente. eso va a ser realmente útil para nosotros. gerente de operaciones. Déjame ponerte un poco en antecedentes. utilizando algunos programas de cómputo. Sin embargo. ¿cuál es tu definición de ‘un grado razonable de certeza’?” Preguntas de estudio: ¿Qué estaba anotando Lee en su libreta? ¿Qué tipo de cálculos hará Lee y qué información adicional va a necesitar? ¿Qué diferencia hay en el hecho de que Nancy defina por “grado razonable de certeza” el lograr el objetivo de producción el 75% de las veces o hacerlo el 99% de las veces? historia para otra ocasión. Estamos en una temporada de gripes y catarros. Los paquetes más críticos. En esa época parecía una metodología sólida. cuando se dirigían hacia acá. ¿No están organizados los códigos postales de alguna manera? Eso nos ayudaría a separar nuestras zonas geográficas. Sabía que los costos de envío estaban basados tanto en el peso del paquete como en el lugar de destino. No puedo programar trabajo Ejercicio de base de datos computacional HH Industries Gary Russell. estoy interesado en determinar si el almacén está alcanzando efectivamente el área que se propuso o no. No tengo. en especial con los paquetes más pesados. y no cabe ninguna duda de que el almacén se está desempeñando bien. en este momento. tal vez hasta dos. el tiempo se puso realmente malo. dos de nuestros trabajadores sufrieron un terrible accidente automovilístico. pues las tarifas eran de cinco a 10 veces más altas que las normales. Si los caminos se ponen peligrosos. entre hoy y el fin de mes. desde el punto de vista de costos. Tengo registros que se remontan a un par de años. La siguiente tabla contiene los datos acerca del código postal usados en el análisis de Laurel: Estado Intervalo de código postal Estado Intervalo de código postal MA RI NH ME VT 010-026 027-029 030-038 039-049 050-059 IA WI MN SD ND 500-528 530-549 550-567 570-577 580-588 .” “Gracias —respondió Laurel—: Sólo fue algo básico. pero tengo algunas ideas”. Utilizando alrededor de seis meses de datos sobre envíos. que digamos. al introducir los datos en su terminal. al tiempo que se encaminaban de regreso hacia las oficinas administrativas e iba anotando algo en su libreta. pero me parece que es una herramienta de análisis bastante potente. De modo que el abogado de la compañía nos recomendó que tuviéramos una política muy flexible con respecto a los días nevados. hicimos un estudio en conjunción con la UPS. Pero tienes razón. En un día normal de invierno existe una probabilidad de 1 entre 30 de que tengamos que parar la producción debido al número de trabajadores enfermos. “Eso fue impresionante —le comentó—. Y siempre está la posibilidad de que se nos venga encima una tormenta de nieve. y cada estado tiene un intervalo específico de códigos postales.” “Bueno. voy a tener que parar la línea ese día. concluyó Lee. después del fracaso de Ohio. Si muchos trabajadores se reportan enfermos. “Pero no es nada más eso —continuó Nancy—. ¿Crees que puedas hacer algo con eso?” “No veo por qué no —respondió Laurel—. los paquetes están clasificados por código postal de destino y por peso. ya que lo mencionas —sonrió Gary—. respondió Lee. Has estado en la empresa poco tiempo. se pueden hacer cosas sorprendentes ¡si sabes dónde empezar! Avísame si hay algo en tu área que pueda analizar. Pero me imagino que no tienes una bola de cristal. En este punto era donde los costos se disparaban rápidamente. cerramos la línea de producción y perdemos el día. ¿Te paso todo cuando traiga los datos?” Más tarde. “A propósito —comentó el joven Azko. desde que estoy en este puesto. la compañía transportista con la cual tenemos la mayoría de nuestros tratos.” “Bueno.“Entonces deja que los trabajadores se tomen el día de Martin Luther King”. ¿cuál es la probabilidad de que. El área destinada al almacén de Pennsylvania comprende las zonas de Nueva Inglaterra. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete del almacén de Pennsylvania sea despachado por Entrega al día siguiente vía aérea? ¿Cuál es la probabilidad de que sea clasificado como pesado? ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete sea clasificado como pesado o sea embarcado por Entrega al día siguiente vía aérea? 4. VA (Virginia) y WV (West Virginia). los paquetes estaban clasificados según su peso como normales (menos de 10 libras) o pesados (10 libras o más). como parte colateral de la cuestión. CO (Colorado). Los resultados son los siguientes: Nueva Inglaterra Noreste Sureste Medio oeste Central norte Central sur Oeste 24 42 172 32 63 110 57 Ejercicio de base de datos computacional 167 . MD (Maryland). La región central sur estaría constituida por los estados de LA (Louisiana). La región del noreste estaría constituida por los estados de NJ (New Jersey). OK (Oklahoma) y Tx (Texas). Por último. OR (Oregon) y WA (Washington) estarían dentro de la región oeste. AL (Alabama). MO (Missouri). ND (North Dakota). noreste y medio oeste. 2. La región sureste incluiría a los estados de NC (North Carolina). IL (Illinois). WI (Wisconsin). ID (Idaho). 500 encajan en esta categoría. De un total de 2. ¿cuál es la probabilidad de que sea enviado por Entrega al día siguiente vía aérea? ¿Qué sucede si es enviado dentro del área de acción? 7. La región central norte abarcaría los estados de IA (Iowa). dado que es un paquete Entrega al día siguiente vía aérea. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete envia- do desde este almacén tenga su destino dentro de su propia zona geográfica? 3. ¿A qué conclusiones generales podría llegar Laurel acerca de si el almacén de Pennsylvania está siendo utilizado de manera efectiva para cubrir su área de acción? Un par de días después.xxx incluidos en el disco de datos. OH (Ohio). éste haya sido enviado dentro del área de acción del almacén? 6.404 paquetes enviados. 1. ME (Maine). PA (Pennsylvania). Laurel se dio cuenta que necesitaría un análisis acerca de si el almacén de Florida. correspondientes más o menos al mismo periodo que antes. Laurel los extrajo de las tablas y los dividió entre las sietes regiones geográficas que había definido previamente. Si un paquete es enviado fuera del área de acción. Los estados de KY (Kentucky). una rápida mirada a una muestra aleatoria sobre los datos de envío de Florida le mostraría si las cosas parecían estar o no en orden. KS (Kansas) y NE (Nebraska). Aunque sabía de algunos casos en que el reducido inventario de Pennsylvania hizo que el almacén se viera limitado en sus servicios al cliente dentro de su territorio. NH (New Hampshire). Debido a que los paquetes más caros eran los embarcados por Entrega al día siguiente vía aérea. Laurel identificó siete zonas geográficas para los propósitos del estudio. GA (Georgia). RI (Rhode Island). Además. Laurel regresó a buscar a Gary. MN (Minnesota). FL (Florida). AR (Arkansas). VT (Vermont) y CT (Connecticut). DE (Delaware). UT (Utah). SD (South Dakota). encuentre la frecuencia relativa de los paquetes enviados a las siete zonas geográficas. Dado que el destino y la posibilidad de que sea enviado por Entrega al día siguiente vía aérea no son independientes. SC (South Carolina). TN (Tennessee) y MS (Mississippi). ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete sea clasificado como pesado y sea enviado dentro del área de acción del almacén? ¿Cuál es la probabilidad de que sea clasificado como pesado y enviado fuera del área de acción del almacén? 5. A (Arizona). Utilizando los datos de envío de los archivos CH04. estaba aprovechando plenamente el funcionamiento de su almacén satélite. IN (Indiana) y MI (Michigan) constituirían la zona del medio oeste.Estado Intervalo de código postal CT NJ NY PA DE DC MD VA WV NC SC GA FL AL TN MS KY OH IN MI 060-069 070-089 100-149 150-196 197-199 200-205 206-219 220-246 247-268 270-289 290-299 300-319 320-346 350-369 370-385 386-397 400-427 430-458 460-479 480-499 Estado Intervalo de código postal MT IL MO KS NE LA AR OK TX CO WY ID UT AZ NM NV CA OR WA 590-599 600-629 630-658 660-679 680-693 700-714 716-729 730-749 750-799 800-816 820-831 832-838 840-847 850-865 870-884 889-899 900-961 970-979 980-994 Con ayuda de Gary. que antes de abrir el de Pennsylvania embarcaba la paquetería a las zonas del medio oeste y del noreste. Luego regresó a su terminal de computadora. los estados de MT (Montana). NY (Nueva York). le contó sobre las cuestiones adicionales y obtuvo algunos datos sobre los envíos de Florida. La región de Nueva Inglaterra abarcaría los estados de MA (Massachusetts). CA (California). NM (New Mexico). DC (District of Columbia). WY (Wyoming). ¿cuál es la probabilidad de que un paquete embarcado por Entrega al día siguien- te vía aérea. Frecuencia relativa de ocurrencia Fracción de veces que a la larga sucede un evento cuando las condiciones son estables. Eventos mutuamente excluyentes Eventos que no pueden suceder simultáneamente. o uno de los resultados posibles de realizar un experimento. Colección exhaustiva de eventos Lista de eventos que representa todos los resultados posibles de un experimento. ndependencia estadística Condición en la que la ocurrencia de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia de otro evento. 168 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . dado que otro evento ya se ha presentado. Experimento Actividad que tiene que producir un evento. y se le llama probabilidad marginal. sea enviado dentro de esa zona de influencia? 10. Si el área de acción del almacén de Florida son las regiones sureste y central sur. P( )  probabilidad de que suceda el evento Una probabilidad simple se refiere a la probabilidad de que se presente un evento en particular. P( o )  probabilidad de que o suceda Esta notación representa la probabilidad de que se presente un evento o el otro. ¿Puede Laurel darle a Gary alguna idea de si el almacén de Florida está siendo utilizado con eficiencia. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los paquetes enviados por Entrega al día siguiente vía aérea despachados desde la Florida a la zona de acción del almacén de Pennsylvania? 9. o frecuencia relativa observada de un evento en un número muy grande de intentos o experimentos.8. Probabilidad condicional Probabilidad de que ocurra un evento. Probabilidad clásica Número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. o se ve afectada por ésta. ● Ecuaciones introducidas en el capítulo 4 ■ 4-1 número de resultados en los que se presenta el evento  Probabilidad de un evento   número total de resultados posibles Ésta es la definición de probabilidad clásica de que se presente un evento. Dependencia estadística Condición en la que la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia de algún otro. Espacio muestral Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Probabilidad conjunta Probabilidad de que ocurran dos o más eventos simultáneamente o en sucesión. Probabilidad La medida de la posibilidad de que algo suceda. Diagrama de Venn Representación gráfica de los conceptos de probabilidad en la que el espacio muestral está representado por un rectángulo y los eventos que suceden en el espacio muestral se representan como partes de dicho rectángulo. Probabilidad subjetiva Probabilidad basada en las creencias personales de quien hace la estimación de probabilidad. Probabilidad posterior Probabilidad que ha sido revisada y cambiada después de obtener nueva información o información adicional. Probabilidad anterior Estimación de la probabilidad hecha antes de recibir nueva información. Teorema de ayes Fórmula para el cálculo de la probabilidad condicional bajo condiciones de dependencia estadística. Probabilidad marginal Probabilidad incondicional de que se presente un evento. tomando en cuenta la localización de los otros dos almacenes? Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 4 rbol de probabilidades Representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades. Evento Uno o más de los resultados posibles de hacer algo. probabilidad de que se presente un solo evento. ■ P( ) P( | )   P( ) 4-6 y P( ) P( | )   P( ) Para eventos estadísticamente dependientes. P( | )  probabilidad del evento . ■ P( | )  P( ) 4-5 Para eventos estadísticamente independientes. la probabilidad conjunta de que se presenten los eventos y simultáneamente o en sucesión es igual a la probabilidad de que se presente el evento . ■ P( o )  P( )  P( )  P( 4-3 ) La regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes muestra que la probabilidad de que suceda o cuando los dos eventos son mutuamente excluyentes. dado que el evento ya se ha presentado. dado que el evento ya se ha presentado.” ¿Cuál de las siguientes proposiciones explica mejor lo que se afirma? a) Lloverá 80% del día de hoy. Los eventos independientes son aquellos cuyas probabilidades no se ven afectadas de ningún modo por la presentación de alguno de ellos. es igual a la probabilidad conjunta de los eventos y dividida entre la probabilidad marginal de que suceda el evento . ■ 4-7 P( )  P( | )  P( ) y P( )  P( | )  P( ) En condiciones de dependencia estadística. Repaso del capítulo 169 . dado que el evento ya se ha presentado. menos la probabilidad de que y se presenten juntos. ¿Qué le sugiere esto sobre los riesgos y probabilidades asociadas con estas dos porciones de mercado del negocio de los seguros? “La posibilidad de que llueva el día de hoy es de 80%. dado que se presentó el evento Esta notación muestra la probabilidad condicional. es igual a la probabilidad de que suceda el evento más la probabilidad de que se presente el evento . la probabilidad condicional de que se presente el evento . es simplemente la probabilidad del evento . ■ 4-4 P( )  P( )  P( ) en la que )  probabilidad conjunta de que se presenten los eventos cesión P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento • P( • • y simultáneamente o en su- La probabilidad conjunta de que dos o más eventos independientes se presenten de manera simultánea o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales. simbolizada como P( ). la probabilidad de que un segundo evento ( ) se presente si un primer evento ( ) ya se ha presentado.■ P( o )  P( )  P( ) 4-2 La probabilidad de que suceda o cuando los dos eventos son mutuamente excluyentes es igual a la suma de la probabilidad de que suceda el evento y la probabilidad de que suceda el evento . Ésta es la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes. la probabilidad condicional de que se presente el evento . multiplicada por la probabilidad de que se presente el evento . Ejercicios de repaso ■ 4-52 ■ 4-53 Las pólizas de seguros de vida son más altas para las personas mayores que para los jóvenes. West Suburban Bancorp Parkway Bancorp Inc.25 de que un restaurante en Estados Unidos quiebre en el presente año. no está de acuerdo con su supervisor con respecto a la posibilidad de que se presente una falla en el tren de aterrizaje del nuevo aeroplano de la compañía. Palmer Bancorp Inc. River Forest Bancorp. Suponga también que los ingresos netos dependen de los activos totales.39 7. FNBC of La Grange Inc.16 24. Northern Trust Corp.382 1.66 16. Los dos coinciden en que si el tren de aterrizaje falla. First Park Ridge Corp. Suponga que la ROE es independiente del activo total y dependiente de la equidad como porcentaje de activos (E/A). clasificadas por ganancias para accionistas en equidad (ROE. explique el éxito de los casinos de juego.248 20.68 17. Algunos estudios han demostrado que la posibilidad de que un auto nuevo sea “chafa” (uno con múltiples problemas de garantía) es mayor para los automóviles fabricados en lunes y viernes.459 5. c) En el pasado.03. ¿cómo es que llegaron a sus conclusiones? Haciendo uso de la teoría de probabilidad.■ 4-54 ■ ■ 4-55 4-56 ■ 4-57 ■ 4-58 ■ 4-59 b) Lloverá en 80% del área en la cual se aplica la predicción del día de hoy.522 1. Casi todos los consumidores ignoran qué día fue construido su auto.339 10.462 132. Asumiendo que una semana de producción tiene 5 días.” Cuando los investigadores hacen este tipo de afirmaciones.005. ¿cuál es.492 306. la probabilidad de que se estrelle es de sólo 0. ¿son algunos de ellos mutuamente excluyentes? c) ¿Los eventos de la lista son colectivamente exhaustivos? La tabla que se presenta a continuación es un arreglo de las 25 organizaciones bancarias de Illinois.671 314.12 20.) 5. “Existe una probabilidad de 0. las condiciones del clima de este tipo han producido lluvia en esta área 80% de las veces.58 8.485 550.72 6.02 15.58 7.797 728.20 25.016 13.846 7. ¿cuál es la probabilidad de que la causa del accidente haya sido una falla en el tren de aterrizaje del aeroplano? b) Repita el inciso a) utilizando la estimación de probabilidad del supervisor. mientras que el supervisor afirma que es de 0. En otras circunstancias. para un consumidor que compra su auto al azar a un distribuidor. a) la posibilidad de que sea un auto fabricado en lunes? b) la posibilidad de que se haya fabricado en lunes o viernes? c) la posibilidad de que haya salido entre el martes y el jueves? d) ¿Qué tipo de estimaciones de probabilidad son éstas? Isaac T.06. Se hace una prueba de vuelo y el aeroplano se estrella. Return On Equity).145 225. Inc.81 18.61 5. para el periodo del 31/3/91 al 31/3/92.55 de estrellarse.93 E/A (%) Activos totales (miles de dls. un ingeniero de la Atlantic Aircraft.) Ingresos netos (miles de dls. Alpine Bancorp.154.559 1.048 560.83 7. Olduso.91 8.313.716 (Continúa) 170 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias .61 6. a) Usando la estimación de Isaac. 27. Isaac afirma que la probabilidad de una falla en el tren de aterrizaje es de 0. Rango Compañía financiera ROE de accionistas (%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 United Community Bancorp Illinois Financial Services FBOP Corp.92 18.167 180.92 9.72 17.940 6. Utilice esta información para responder las preguntas siguientes.246 11.01 16. El congresista estadounidense Bob Forehead ha estado pensando sobre el resultado de las elecciones que se aproximan y ha preparado la lista siguiente de posibles desarrollos de su carrera política durante las elecciones: • Gana la nominación de su partido para la reelección • Regresa a su práctica profesional de abogado • Es nominado para vicepresidente • Pierde la nominación de su partido para la reelección • Gana la reelección a) ¿Cada uno de los elementos anteriores es un “evento” en la categoría de “Desarrollos de carrera con respecto a las elecciones”? b) ¿Todos los elementos calificados como “eventos” en el inciso a) son mutuamente excluyentes? Si no.18 4.42 8.51 157.44 24.780 2.784 3.328 2. el aeroplano tendrá una probabilidad de 0.12. Pinnacle Banc Group Inc.770 170. Inc.025 3. 461 13.95 14.32 6.884 17.039 No disponible 5. f) Determine la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE mayor a 20%.144 3.58 6.260 159. Suponga que los delitos mayores y menores se presentan de manera independiente entre sí y.52 13.814. respectivamente. Standard Bancshares Inc. b) Un hombre es de mayor edad que su tío y es menor que sus primos.51 8.08 6.28 4. Firstbank of Illinois Co. c) Un equipo de béisbol pierde su último juego y gana la Serie Mundial.Rango Compañía financiera 13 14 First Evergreen Corp. Heartland Bancorp Inc.) Ingresos netos (miles de dls. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se cometa ningún delito de ninguno de los dos tipos en el vecindario norte en un día dado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se cometa un delito de cualquier tipo en el vecindario del sur en un día dado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no se cometa ningún delito de cualquiera de los dos tipos en ninguno de los dos vecindarios en un día determinado? El Departamento de Protección Ambiental está tratando de evaluar el efecto contaminante de una fábrica de papel que se planea construir cerca de Spokane.060 393.726 275.908 2. y que las correspondientes probabilidades en el vecindario del sur fueron de 0.87 7.863 14.77 7.523. En estudios que se hicieron en seis plantas parecidas construidas el año anterior. asimismo. dado que su cociente E/A es menor que 7%? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE entre 14 y 16% (inclusive).426 133. Washington.94 13. La oficial de rondas de un departamento local de policía está tratando de decidir si programa unidades de patrulla adicionales para que realicen rondas en dos de los vecindarios.503 221. en Crain’s Chicago Business (19 de octubre de 1992): págs.90 14. el Departamento determinó los siguientes factores de contaminación: Planta Emisión de dióxido de azufre en partes por millón (ppm) 1 15 2 12 3 18 4 16 5 11 Repaso del capítulo 6 19 171 .60 784.187 15.892 Fuente: “Illinois’ Multibank Holding Companies”. d) Un gerente de banco descubre que uno de los cajeros ha estado desfalcando a la institución y lo promueve. ■ 4-60 ■ 4-61 ■ 4-62 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía escogida al azar tenga un ROE mayor que 16%.602.) 15.95 5.704 2.70 7. dado que sus activos totales son mayores a 2 mil millones de dólares.158 27.267 8. Northern Illinois Financial Corp.39 1.478 y 0.856 1. Premier Financial Services Riverdale Bancorp Town & Country Bancorp Inc. ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes? a) Un contratista del Departamento de Defensa pierde un contrato importante y el mismo contratista aumenta su fuerza de trabajo en 50%. Heritage Financial Services National Bancorp Inc.583.290 8.200 2.025 738. LaSalle Community Bancorporation Inc.25 13.350 y 0.30 8. dado que su cociente E/A es mayor que el 7%? c) Determine la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ingreso neto mayor que 50 millones de dólares.83 14. 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ROE de accionistas (%) E/A (%) Activos totales (miles de dls.767 308.35 14. Ella sabe que. Banterra Corp.494. dado que sus activos totales son mayores o iguales a mil millones de dólares.46 8. en un día cualquiera del año anterior. los delitos que se cometen en ambos vecindarios son independientes entre sí. las probabilidades de que se cometieran un delito mayor y uno menor en el vecindario del norte fueron de 0.658 1.69 6. d) ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE mayor al 15%? e) Calcule la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE mayor a 15% y tenga al menos 2 millones de dólares de activos totales.91 2.01 14. 22-24. Sandwich Banco Inc.906 3.118 369.67 13.57 5.30 15.000 426. de frecuencia relativa u subjetivas? b) Encuentre la probabilidad de que la Sociedad obtenga respuesta a un cuestionario dado. compró seis de 15 pequeñas empresas que tomó en cuenta para su adquisición. a) ¿Los porcentajes que se dan en el problema representan estimaciones de probabilidad clásicas. Inc. tiene los siguientes antecedentes: llega puntual 95% de las veces. Co. A. Los horarios de los vuelos son independientes entre sí. Sabe que durante los pasados cinco años. de ellos. La segunda. 97% de las veces. de las personas que fueron revisadas en el hospital.. Venus Corp. ¿Cuál es la probabilidad de que Pare and Oyd sea adquirida en el presente año. a) Calcule la probabilidad de que la nueva planta sea una contaminante excesiva de dióxido de azufre. La revista Working Mother obtuvo los resultados siguientes de una encuesta entre sus lectoras acerca de quién se encarga del cuidado de los niños de entre dos y cinco años de edad: Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . c) tanto fondos insuficientes como cambio en efectivo. de frecuencia relativa y subjetiva. sabe que el vuelo 200. A. La agencia ha encontrado que una de sus clientes. 2%.. el banco informa que 12% de todos los cheques se regresan por fondos insuficientes y. está siendo considerada para su adquisición por dos compañías. por tanto. Cindy Turner desea saber cuál es la probabilidad de que una persona que acude a revisión al hospital requiera un tratamiento con rayos y al mismo tiempo tenga un seguro de hospitalización que cubra el tratamiento. Engulf and Devour. 10% de los clientes piden cambio en efectivo al final de su transacción con la tienda. que 2. R. la Sociedad sabe que sólo 15% de los que reciben cuestionarios responderá. programado para aterrizar en segundo lugar. De la experiencia pasada con este tipo de cuestionarios.8% se perderán o serán destruidos en la oficina de correos y que 19% corresponderá a personas que se han cambiado de domicilio y que sólo 48% de los que se cambiaron comunicaron su nueva dirección y. La primera de éstas. Además. d) fondos insuficientes. La controladora tiene programado el aterrizaje de dos aeronaves con una diferencia de 10 minutos en la misma pista. son los mismos este año que los del pasado? b) los índices de adquisición del presente año son independientes de los del anterior? Como administradora de un hospital. La McCormick and Tryon. 72% tenía un seguro que cubría el tratamiento con rayos . les llegará el cuestionario. si se basa en esta información? b) Si tiene la información de que definitivamente el vuelo 100 se va a retrasar 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad correcta? ¿Necesita ella hacer algunas suposiciones adicionales? Una controladora de tráfico aéreo del aeropuerto Dulles debe cumplir con ciertas regulaciones que requieren que retrase el aterrizaje de alguna de las aeronaves si la probabilidad de que dos de éstas choquen es mayor que 0. es una “vigía de tiburones”. en 50% de los casos se había dado cambio en efectivo a los clientes.. 10 minutos antes.3% de los cuestionarios mandados tendrán mal la dirección y nunca serán entregados. tiene los siguientes antecedentes: puntual.000 visitas de clientes. durante el mismo periodo. Venus Corp. 1%. suponiendo que a) los índices de adquisición de Engulf and Devour y R. Pare and Oyd.172 ■ 4-63 ■ 4-64 ■ 4-65 ■ 4-66 ■ 4-67 ■ 4-68 El Departamento define como contaminación excesiva a una emisión de dióxido de azufre de 18 ppm o mayor. 2%. programado para aterrizar primero. ¿debe la controladora cambiar el horario de alguna de las aeronaves? En una junta convocada para abordar el problema de cheques devueltos en un supermercado donde usted hace prácticas como analista financiero. adquirió siete de 20 pequeñas compañías que tenía en la mira el año pasado. o bien cambio en efectivo. 5 minutos antes. 5 minutos tarde. b) cambio en efectivo para el cliente.. 23% de las personas que acudían al hospital necesitaron tratamiento con rayos y que. a) ¿Debe la controladora de tráfico cambiar el horario de una de las aeronaves. b) Clasifique esta probabilidad según los tres tipos analizados en este capítulo: clásica. Sabe que el vuelo 100. En general. Y también sabe que 1. contratada por compañías que temen ser absorbidas por empresas más grandes. 10 minutos tarde. 3%.025. ¿debe la controladora cambiar el horario de alguna de las aeronaves? c) Si la controladora sabe con toda certeza que el vuelo 200 llegará 5 minutos antes de tiempo. encuentre el número de transacciones que incluyen a) fondos insuficientes. Para 1. c) ¿Cómo valoraría la precisión de su resultado? La Sociedad Estadounidense contra el Cáncer está planeando enviar cuestionarios con preguntas referentes al cáncer de mama. El director de planeación ha obtenido las siguientes estimaciones: • La probabilidad de que las ventas al consumidor aumenten 50% dentro de 1. 50-51. pero A y C no son mutuamente excluyentes. Específicamente. A y C. La compañía cree también que los dos eventos no se darán el mismo año. Repaso del capítulo 173 . respectivamente. c) A. págs. pero no incluyen al espacio muestral completo. B y C son mutuamente excluyentes. “Child Care Opfions”. 8 y 5% de los pasajeros de los vuelos a Atlanta. c) La cantidad de demandas por envenenamiento por asbestos en Maryland y Nueva York. la planta será ampliada si se presenta uno de dos eventos: 1) las ventas al consumidor aumentan un 50% con respecto al nivel de las ventas actuales o 2) se obtiene un importante contrato de venta con el gobierno. d) A y B son mutuamente excluyentes. 2. está estudiando el problema de la sobreventa de boletos de la compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que la planta se amplíe a) en el año siguiente (en el año 1)? b) entre uno y dos años a partir de ahora (en el año 2)? c) entre dos y tres años a partir de ahora (en el año 3)? d) entre tres y cuatro años a partir de ahora (en el año 4)? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la planta no se amplíe en absoluto (suponga cuando mucho una expansión)? Dibuje diagramas de Venn para representar las siguientes situaciones que involucran a tres eventos.12 y 0.16. respectivamente. 2.05. La decisión se verá influida por el aumento en la producción que se daría si aumentan sus ventas al gobierno o al consumidor. d) La adquisición hostil de una compañía y la elevación del precio de sus acciones. a) Cada pareja de eventos (A y B. b) El tiempo de vida del presidente de Estados Unidos y el tiempo de vida del presidente de Rusia. 55. B y C son mutuamente excluyentes entre sí.32. Kansas City y Detroit.25 y 0. respectivamente. que son parte de un espacio muestral de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero que no haya podido tomar el vuelo original haya comprado un boleto para el a) vuelo a Atlanta? b) vuelo a Kansas City? c) vuelo a Detroit? Un fabricante de dispositivos electrónicos está considerando la posibilidad de ampliar su planta en los siguientes cuatro años.08.2 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una madre elegida al azar haya escogido el cuidado familiar para este grupo de edades? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una madre elegida al azar haya dicho que el esposo o algún otro pariente se encarga del cuidado del hijo? ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son estadísticamente independientes? a) El número de veces que se utiliza una calculadora hasta que ésta falla y el número de veces que se utiliza una segunda computadora vendida por una firma distinta hasta que falla. b) A y B son mutuamente excluyentes. han tenido que tomar otros vuelos. Su atención se centra en tres vuelos nocturnos que salen del aeropuerto LaGuardia de la Ciudad de Nueva York. ■ 4- ■ 4- ■ 4. e) La frecuencia de donación de órganos en una comunidad y las orientaciones religiosas de esa comunidad. 0. A. en el aeropuerto LaGuardia. supervisor de relaciones con el cliente de la Aerolínea GLF. pero los tres no se pueden presentar al mismo tiempo. en Working Mother (enero de 1993). • La probabilidad de obtener un contrato importante con el gobierno dentro de 1.15. Durante el último año. los vuelos a Atlanta.1 ■ 4. 7.Tipo de cuidado Cuidado familiar Niñera en la casa del niño Guardería o centro infantil Abuela o algún otro pariente Cónyuge Ella misma en el centro de trabajo Total Número de lectoras que escogieron este tipo 120 30 123 15 6 006 300 Fuente: Vivian Cadden. B y C. 20 y 25% de los pasajeros de los vuelos nocturnos de la GLF toman.08. pero no A y C ni B y C. 3 y 4 años es de 0. 0. Kansas City y Detroit. respectivamente. y B y C) pueden presentarse simultáneamente. 0. Además. F. 0. Liam Laytor. 3 y 4 años es de 0. c) ¿Es justo concluir que la probabilidad de que un representante demócrata seleccionado al azar no fuera reelegido fue de 9/268? Explique la respuesta.075 y 0. La UEP utiliza dos maneras de transporte en la zona en que se encuentra el señor Bludeau. respectivamente.05 de fallar y que un motor tiene el doble de probabilidad de fallar si es el único que está en funcionamiento. 174 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . b) un automóvil sea llevado al taller por una falla en los frenos y que además tenga problemas con la dirección. dado que 15% de los automóviles de ese modelo fueron llevados al taller por fallas en los frenos y 2% tuvo problemas en la dirección. Durante los 20 años que tiene en operación la UEP. independientemente del modo de transporte? Determine la probabilidad de que a) fallen los dos motores de un pequeño aeroplano. el resto son locales. dado que cada motor tiene una probabilidad de 0.4 ■ 4- ■ 4- El caricaturista Barry Bludeau manda sus caricaturas a su editor por medio de la Unión de Entrega Postal (UEP). hizo reuniones con algunos grupos en tres ciudades de su estado.053 para los clientes de fuera y locales. Dos quintos de los clientes de la inmobiliaria Show Me provienen de una red de referencia en otra ciudad. El encargado del departamento de reclamos recibe una llamada del señor Bludeau notificándole que un paquete con los dibujos de toda una semana se ha perdido. Uno de sus ayudantes apuntó las opiniones de 15 de los asistentes a cada reunión: Opinión Ciudad Chapel Hill Raleigh Lumberton 2 2 3 2 6 15 2 4 3 3 3 15 4 3 5 2 1 15 Fuertemente opuesto Ligeramente opuesto Neutral Ligeramente a favor Fuertemente a favor Total ■ 4- a) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien de Chapel Hill sea neutral con respecto al proyecto de ley?. ¿cuál forma de transporte es más probable que se haya utilizado para transportar los dibujos perdidos? ¿De qué manera cambiaría la respuesta si la UEP perdiera solamente el 2% de sus paquetes.■ 4- ■ 4. dado que 70% de los ciudadanos solicitan reembolso de impuestos y 25% de éstos hace trampa. b) Determine la probabilidad de que un miembro seleccionado al azar después de las elecciones no sea republicano. ¿fuertemente opuesto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien de los tres grupos apoye fuertemente la propuesta de ley? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Raleigh o de Lumberton sea neutral o ligeramente opuesta? El desglose por partido político de los 435 miembros de la Cámara de Representantes de Estados Unidos antes y después de las elecciones federales de 1992 es: Escaños de la cámara Antes Demócratas Republicanos Independientes 268 166 1 Después 259 175 1 a) Determine la probabilidad de que un miembro seleccionado al azar antes de las elecciones de 1992 sea republicano. ¿es más probable que el agente haya mostrado una casa a un cliente de fuera o local? Un senador por el estado de Carolina del Norte sabe que pronto deberá votar acerca de un controvertido proyecto de ley.5% de los paquetes transportados por camión han sido extraviados. Para darse una idea de las inclinaciones de los ciudadanos acerca del proyecto. ferrocarril y camión. c) un ciudadano llene una solicitud de devolución de impuestos y haga trampa. Si UEP manda 60% de la paquetería de esa área por ferrocarril. Si un agente de ventas entra a la oficina de Show Me y anuncia “cerré el trato”. sólo 2% de los paquetes transportados por ferrocarril y 3. Las posibilidades de vender una casa en cada exhibición son 0. pero no sabe qué número tienen. perdiendo así el juego? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola ocho sea una de las tres primeras que meta? c) ¿Cuál es la probabilidad de que Pegleg gane el juego. Un investigador ha declarado que la probabilidad de que cualquier persona que no haya sido vacunada adquiera la enfermedad es de 0. atascamiento de soporte y rompimiento de juntas.■ 4-78 Un transportista de productos tiene 10. Todos los tiros que hace Woodhull son buenos. Pegleg Woodhull. está interviniendo en el juego conocido como bola ocho.000 cajas de plátanos que vienen de Ecuador y Honduras. ¿cuál es la probabilidad de que una caja contenga fruta echada a perder o fruta muy madura? ¿Qué sucede si no son mutuamente excluyentes? Marcia Lerner se graduará dentro de tres meses con una maestría en administración de empresas.02 Rompimiento de las juntas de la cabeza 0. que la bola ocho sea la última en entrar a la buchaca? La BMT. ¿fruta muy madura? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar sea ecuatoriana u hondureña? c) Dado que una caja seleccionada al azar contiene fruta muy madura. ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Honduras? d) Si tener fruta echada a perder y fruta muy madura son eventos mutuamente excluyentes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Marcia no obtenga una oferta de trabajo en cualquiera de sus tres siguientes entrevistas? b) Si tiene tres entrevistas por mes. Se le permite tocar las bolas para determinar su posición antes de tirar.30. en el que esta bola debe meterse al último.000 Fruta echada a perder Fruta muy madura 200 365 840 295 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar contenga fruta echada a perder?. ¿cuál bomba deberá usar la BMT? b) Si la BMT diseña una junta de cabeza a “prueba de rompimientos” mucho mejor que la que tiene. Una de las bombas produce 75 libras de presión y la otra 100.08 0. La bolsa de trabajo de su escuela indica que la probabilidad de recibir una oferta de trabajo como resultado de alguna entrevista que se haya llevado a cabo en el campus es de alrededor de 0. esto es.04% de probabilidad de llevar a la muerte a la persona que la adquiere. BMT conoce las siguientes probabilidades asociadas con las bombas: Probabilidad de que el motor falle debido a Atascamiento de los soportes Bomba A Bomba B ■ 4-82 0.03 0. el famoso jugador de billar ciego. Sin embargo. De las personas vacunadas y que no muestran reacRepaso del capítulo 175 . La vacuna protege contra una enfermedad viral contagiosa que tiene 0. está tratando de decidir cuál de dos bombas de combustible debe usar en el nuevo motor de su automóvil de carreras.000 4. ¿cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una oferta de trabajo al mismo tiempo que concluya su maestría? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en las siguientes cinco entrevistas obtenga una oferta de trabajo solamente en la tercera y en la quinta? Un conjunto normal de bolas de billar consta de 15 bolas numeradas del 1 al 15.11 a) Si los dos desperfectos. ¿debería cambiar su decisión? Sandy Irick es la directora de relaciones públicas de un gran laboratorio farmacéutico que ha sido atacado por la prensa por distribuir una vacuna supuestamente insegura.. 25% de la población ha sido vacunada. a) ¿Cuál es la probabilidad de que meta en la buchaca la bola ocho en su primer tiro. Inc.07 y es estadísticamente independiente de una entrevista a otra. 2% de los vacunados presentará síntomas de la enfermedad y 3% de ese grupo morirá a causa de ésta. son mutuamente excluyentes. la probabilidad de que adquiera la enfermedad por la vía normal es de cero. Una inspección de la carga ha arrojado la información siguiente: # de cajas con # de cajas Ecuatoriana Hondureña ■ 4-79 ■ 4-80 ■ 4-81 6. Una vez que haya sido vacunada. Las cinco líneas aéreas privadas reportaron ganancias y las cinco controladas por el estado reportaron pérdidas. lo que sería una velocidad “alta”. 0. funcionando la prensa a alta y baja velocidad eran de 0.000 horas de vuelo. y para una conferencia de prensa que se efectuará más tarde ese mismo día. por razones simbólicas y estratégicas. ¿cuál es la probabilidad de que la prensa estuviera funcionando a alta velocidad durante los últimos cuatro tiros? Las compañías aéreas sirven como “transporte de carga” en Europa y.5. Estima que tendrán que funcionar a alta velocidad 60% del tiempo. ¿cuál es la probabilidad de que la bobina no se rompa si las máquinas funcionan a velocidad normal? b) Si la probabilidad de que una bobina se rompa si las máquinas funcionan a alta velocidad es de 0. Si las fallas de las dos turbinas son eventos independientes. ¿cuál es la probabilidad de que la segunda falle? c) ¿cual es la probabilidad de que ambos motores fallen? Fuente: J 176 mong uropean irlines the rivatized Soar to the Top Capítulo 4 ole F to lo Oceanic Flight by oeing Probabilidad I: ideas introductorias The Wall Street Journal de mayo de : . de 10 líneas importante. Hay el doble de probabilidad de que el rollo de papel (la bobina de papel periódico) se rompa si las máquinas funcionan a alta velocidad. ¿cuál es la probabilidad de que muera a causa de la vacuna? Si no fue vacunada. Para los vuelos sobre el mar. El mercado competitivo parece haber recompensado esta acción. lo cual implicaría un paro temporal de la prensa.05% morirá.20. un avión grande capaz de llevar más de 300 pasajeros. respectivamente. la Boeing introdujo con éxito al servicio comercial aéreo el 777. La experiencia con turbinas similares a las del nuevo avión sugiere que la tasa esperada de fallas es una vez cada 50. En 1994. los aviones pueden estar hasta tres horas de distancia del aeropuerto más cercano. a) Si una persona es vacunada. Los gobiernos han tenido que pagar subsidios altos y algunas se han privatizado. Tiene la opción de hacer funcionar las prensas a una velocidad “normal” o al 110% de lo normal. a) ¿cuál es la probabilidad de que falle cualquiera de las turbinas durante un vuelo de 6 horas? b) y si una turbina ha fallado. cinco eran privadas y cinco estaban bajo el control del estado. dándole así al personal del departamento editorial un margen para cambios de último momento. ¿cuál es la probabilidad de que una bobina elegida al azar se rompa si funciona a velocidad normal? Remítase al ejercicio 4-83.112 de romperse. Si las probabilidades de que la bobina se rompa.■ 4-83 ■ 4-84 ■ 4-85 ciones a la vacuna. El 777 es un jet de dos turbinas y la AFA había otorgado aprobaciones previas para aviones con cuatro turbinas (como el Jumbo 747) o con amplia experiencia comercial sobre el continente (como el jet biturbina 767). Considere la proposición de que las ganancias y pérdidas de las líneas aéreas se distribuyen de manera aleatoria y que este resultado ocurrió por azar. De inmediato. El supervisor ha notado que la bobina de papel se rompió durante cada uno de los cuatro últimos tiros (impresiones) y que la velocidad de la prensa no había cambiado en éstas. Irick debe sacar algunas conclusiones a partir de los datos anteriores para una reunión con el personal directivo de los laboratorios que se llevará a cabo dentro de una hora. buscaron la aprobación de la Autoridad Federal Aeronáutica (AFA) para hacer viajes transoceánicos largos como la ruta de Denver a Honolulú. muchas han pertenecido al estado. Si la posibilidad de obtener ganancias es 0.14 y 0. ¿cuál es la posibilidad de que los cinco transportistas privados ganen mientras que los cinco controlados por el estado incurran en pérdidas? Fuente: rian oleman : ■ 4-86 The Wall Street Journal de julio de En el verano de 1995.07. a) Si la bobina de una prensa elegida al azar tiene una probabilidad de 0. ¿cuál es la probabilidad de que muera? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar muera debido a la vacuna o por la adquisición normal de la enfermedad? El supervisor de prensas de un diario es presionado para que encuentre formas de imprimir el periódico más cerca de la hora de la distribución. 9 2.0120 0.4649 0. entre la media y valores positivos de z Media Ejemplo: Para encontrar el área bajo la curva entre la media y un punto que está a 2.3621 0.4975 6.1985 0.7 1.2549 0.3 0.4441 0.4906 0.4222 0.1443 0.4719 0.4564 0.2939 0.2764 0.4938 0.4983 0.4966 0.4918 0.4616 0.8 0.4868 0.3830 0.3577 0.4535 0. AT-1 .0675 0.0 0. NJ.4973 0.4987 0.4920 0.Apéndice tablas 0. 0.4989 0.4812 0.2611 0.2823 0.4066 0.4949 0.2852 0.4871 0.5 1.4936 0.4756 0.4987 0.1879 0.0239 0.1255 0.4738 0.2 2.3643 0.4916 0.4713 0.3925 0.4967 0.3389 0.3 1.1293 0.4961 0.3962 0.09 0.4934 0.9 3.1026 0.4265 0.08 0.3810 0.2224 0.0987 0.4484 0.4990 *Tomado de Robert D.4641 0.24 z 0.4726 0.4656 0.2673 0. Mason.4732 0.2019 0.1554 0.1772 0.4842 0.4962 0.0279 0.4955 0.4988 0.4979 0.3023 0.4744 0.2157 0.9 1.2995 0.4985 0.4306 0.4982 0.4952 0.4951 0.4319 0.3790 0. 307.4292 0.4909 0.3944 0.0714 0.0 1.4861 0.1736 0.07 0.1 2. z  2.4857 0.4985 0.4608 0.4884 0.05 0.03 0.4582 0.1628 0.4082 0.4940 0.06 0.4429 0.0910 0.0793 0.4772 0.4671 0.4925 0.0319 0..4990 0.4207 0. busque el valor que se encuentra a la altura del renglón correspondiente a 2.4904 0.3340 0.4864 0.2517 0.3997 0.2257 0.4162 0.4778 0.4817 0.3686 0.2 y en la columna del 0.4989 0. NJ 1976.4969 0.4633 0.3212 0.4989 0.5 2.4981 0.4838 0.3078 0.4946 0.6 0.4896 0.4834 0.2190 0.4678 0.4943 0.4984 0.4911 0.4554 0.0517 0.4699 0.4901 0.1103 0.1517 0.0359 0.4965 0.4968 0.3186 0.3051 0.3106 0.1950 0.0596 0.4099 0.4015 0.4977 0. Essentials of Statistics.4941 0.02 0.4 2.4893 0.4131 0.4767 0.1141 0.3508 0.2054 0.4881 0.2794 0.4279 0.2291 0. del área Apéndice tabla 1 *Áreas bajo la curva de distribución de probabilidad normal estándar.4960 0.4826 0.4474 0. Englewood Cliffs.4693 0.3849 0.4761 0.4830 0.01 0.1664 0.4798 0.3438 0.4332 0.3531 0.8 2.2324 0.2389 0.0080 0.4850 0.1 0.3289 0.4573 0.2123 0.4049 0.2454 0.2357 0.0438 0.1331 0.4803 0.4945 0.1808 0.4979 0.4545 0.0871 0.3907 0.4953 0.4793 0.04 0.3599 0.0753 0.6 1.4959 0.0948 0.1179 0.7 2.1406 0.1 1.2734 0.4898 0.1368 0.4963 0.3888 0.4706 0.0160 0.4 1.1844 0.0 0.3980 0.3869 0.2 0.2704 0.1217 0.3238 0.24.0 2.1915 0.4980 0.0199 0.4875 0.3133 0.0832 0.3729 0.4981 0.1700 0. Inc.4986 0.2088 0.4971 0.4913 0.4236 0.4982 0.4846 0.0478 0.3365 0.4890 0.8 1.4783 0.4927 0.1591 0.2 1.7 0.4370 0.4463 0.6 2.1064 0.3159 0.3749 0.3315 0.4115 0.4192 0. Reimpreso con licencia de Prentice-Hall.0398 0.4931 0.2881 0.3461 0.4418 0.3 2.4599 0.4515 0.4452 0.24 desviaciones estándar a la derecha de la media.4970 0.3554 0.4929 0.3485 0.4625 0.4878 0.2422 0.3413 0.2580 0.3665 0.4875 del área bajo la curva se encuentra entre la media y un valor de z de 2.4977 0.4788 0.0040 0.4984 0.4750 0.3770 0.4957 0.4976 0.4922 0.3708 0.0000 0.4988 0.4147 0.2486 0.4932 0.4875.4972 0.4887 0.4032 0.4808 0.4505 0.04.4345 0.4974 0.4974 0.4978 0.4 0.4948 0.4686 0.4382 0.2910 0.4495 0.4177 0.4394 0.4357 0.4525 0. p.4821 0.0557 0.1480 0.2642 0.0636 0.5 0.00 0.4854 0.4956 0.2967 0.4986 0.4251 0.4964 0.4406 0.4987 0.4664 0.3264 0.4591 0. 704 2. Grados de libertad 0.833 1.747 3.518 2.729 1.355 3.365 3.042 2.05 del área *Áreas combinadas de ambos extremos para formar la distribución t de Student t  1.729 0.02 0.012 2.711 1.314 2.756 2.262 2.645 12.064 2.860 1.528 2.021 2.131 2.895 1.707 3.228 2.390 2.201 2.807 2.552 2.684 1.056 2.500 2. Agricultural and Medical Research.604 4.106 3.699 1.796 1. publicado por Longman Group.015 1.032 3.093 2.734 1.782 1. AT-2 Apéndice tablas .998 2.485 2.797 2.423 2.771 2.681 2.069 2.000 1.169 3.143 2.541 3.819 2.583 2.160 2.145 2.10 0.960 31.326 63.353 2.821 6. Londres (publicado anteriormente por Oliver & Boyd.740 1.831 2.779 2.729.660 2.080 2. cuando existen 19 grados de libertad. Statistical Tables for Biological.576 *Tomado de la tabla III de Fisher y Yates.447 2.Apéndice tabla 2 0. busque en la columna encabezada con 0.499 3.980 1.462 2.602 2.714 1.841 4.753 1.761 1.725 1.101 2.060 2.729 Ejemplo: Área combinada de ambos extremos Para encontrar el valor de t que corresponde a un área de 0.045 2.05 del área t  1.947 2.617 2.571 2.717 1.671 1.878 2.05 0.658 1.977 2.074 2.365 2.120 2.701 1.179 2.457 2.708 1.052 2.920 2.706 1.925 5.624 2.250 3.086 2.746 1.567 2.539 2.182 2.896 2.303 3.812 1.467 2.508 2.048 2.10 hasta el renglón correspondiente a 19 grados de libertad. el valor apropiado de t es 1.787 2.763 2.898 2.10 en ambos extremos de la distribución. Edimburgo) y con licencia de los autores y los editores.479 2.750 2.110 2.650 2.492 2.473 2.718 2.706 4..697 1.776 2. LId.306 2.821 2.861 2.657 9.771 1.01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 Distribución normal 6.358 2.943 1.921 2.845 2.703 1.055 3.721 1.132 2.764 2.965 4. 1993 0.0610 0.0012 0.1128 0.2642 0.1240 0.18 .9606 0.0582 0.87 0.4069 0.84 0.8574 0.0036 0.0017 0.0034 0.0000 0.98 n r 0. Apéndice tabla 3 0.0043 0.7164 0.2097 0.1195 0.0198 2 0.0486 0.1638 0.0441 0.0061 0.0950 0. Para localizar la entrada.4783 0.3983 0.0090 0.0162 0.0019 0.0555 0.0643 0.9801 1 0.2866 0.0305 0.0106 0.4423 0.5220 0.2236 0.9224 0.0256 0.2713 0.1749 0.2952 0.0406 0.11 0.8858 0.01 0.0870 0.3102 0.0000 0.0000 0.0000 0.0036 0.0076 0.03 0.0003 0. localice p a lo largo del encabezado de la tabla.6983 0. cuando p 0.2951 0.0388 0.0023 0.91 0.83 0.2492 0.0000   0.3965 0.0022 0.Apéndice tablas AT-3 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 0.3952 0.0134 0.05 0.0923 0. NJ.0071 0.4182 0.0000    0.5578 0.0024 0.0100 0.0506 0.0080 0.3800 0.1699 0. y en la columna correspondiente localice n y r en el margen izquierdo.1247 0.4746 0.8306 0.0576 0.1936 0.5470 0.0004 0.0001 0.0030 0.0082 0.9409 0.0009 0.0001 0. Reimpreso con licencia de Prentice-Hall.0120 0.15 0.1084 0.0000 0.0349 0.0069 0.7481 0.0000  0.1800 0.0000    0.0055 0.3724 0.0392 0.90 0.0000 0.0049 0.0008 0.0000  0.1302 0.93 0.8587 0. Statistics for Business and Economics.2031 0.99 0.97 0.0004 0.0059 0.50 localice el valor de p en la parte inferior de la tabla.0167 0.5927 0.0003 0.12 0.4087 0.1769 0.92 0.0000 0.0008 0.3578 0.3513 0.0000  0.0010 0.3106 0.0008 0.2788 0.1139 0.0294 0.3720 0.5168 0.1106 0. pp.1452 0.1419 0.0043 0.0004 0 0.9604 0.0975 0.06 0.3829 0.8080 0.3280 0.3827 0.0003 0.0214 0.0244 0.0013 0.09 P P 0.0324 0 0.0011 0.5729 0.0002 0.0058 3 r n 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 2 r n 0.5718 0.6470 0.0225 0.0001 2 0.0380 0.0767 0.8330 0.0188 0.0230 0.0011 0.7225 0.4970 0.9025 0.1472 0.0144 0.013 Tomado de Mark L.0027 0.5514 0.3513 0.0574 0.0000 0.0166 0.17 0.0289 0.2057 0.0299 0.6889 0.0002 0.4437 0.0002 0.9039 0.0036 0.0177 0.0000 0.8464 0. la entrada indica la probabilidad de obtener un valor específico de r.0021 0.3543 0.0121 0.7050 0.89 0.0000  0.0004 0.8154 0.0659 0.0000  0.0000 0.0274 0.0363 0.2614 0.0191 0.3269 0.0716 0.2192 0.2916 0.0001 0.0000    0.0002 0.0000 0.4984 0.6017 0.3170 0.4004 0.0027 0.1416 0.0000 0.0010 0.3562 0.2822 0.0003 0.0394 0.0729 0.0000 0.0001 0.0886 0.2252 0.1608 0.0325 0.0047 0.7514 0.0922 0.0001 0.0175 0.0003 0.7569 0.0816 0.0014 0.0203 0.0066 0.0254 0.0001 0.9321 0. Englewood Cliffs.9415 0.0109 0.0006 0.3040 0.1307 0.9510 0.3164 0.0000   0.0000 0.0163 0.3830 0.0000 0.8681 0.0032 0.2952 1 0. en el margen derecho.0270 0.0081 0.1590 0.0797 0.5679 0.6591 0. 558-569.0645 0.3946 0.6899 0.0012 0.0001 0.3271 0.0025 0.1596 0.0105 0.0017 0. Para una combinación de n y p.0000  0.3206 0.7396 0.7807 0.0323 0.2523 0.0001 0.0415 0.0011 0.0001 0.0001 0.0019 0.0000 0.0853 0.96 0.8281 0.0000 0.0016 0.0289 0.0005 0.8853 0.2262 0.7056 0.0571 0.0000  0.0000 0.2408 0.0669 0.0000  0.0010 0.5314 0.0833 0.3086 0.88 0.0688 0.0000  0.0076 0.1095 0.0000 0.0128 0.0169 0.0847 0.0135 0.3773 0.0006 0.0204 0.0001 0.0008 0.02 n r 0.0001 0.0001 0.0009 0.7290 0.2618 0.0146 0.5997 0.7536 0.0002 0.1354 0.8847 0.0102 0.07 0.0000  0.0001 0.0000 0.0392 0.0001 0.0000 0.0115 0.0041 0.3970 0.3915 0.3396 0.3707 0.0003 0.0022 0.2922 0.0081 0.0043 0.0236 0.2897 0.3387 0.0136 0.0000   0.0000 0.0060 0.4034 0.0000 0.10 0.2550 0.1085 0.0028 0.9703 0.4704 0.2197 0.6361 0.0007 0.3960 0.1113 0.0000  0.0036 0.0003 0.0001 0.0012 0.0000   0.5584 0. Levine.2493 0.2688 0.8649 0.0984 0.0289 0.16 0.0049 0.0000   0.3251 0.7351 0.3598 0.0550 0.3451 0.0110 0.1328 0.6240 0.2430 0.0019 0.1652 0.0000   0.0000  0.0000  0.6585 0.1958 0.3993 0.0768 0.0001 0.3939 0.0525 0.0020 0.0137 0.6141 0.6064 0.1912 0.0006 0.0001 0.0000  0.6274 0.0002 0.50.0000   0.4018 0.0005 0.0720 0.1786 0.2391 0.0086 0.0142 0.0000  0.94 0.7738 0.2573 0.0498 0.0086 0.0196 0.0001 0.8145 0. Berenson y David M.0055 0.0049 0.4979 0.0009 0.82 0.0221 0.3891 0.3631 0.0292 0.95 0.0012 0.0064 0.6724 2 0.0000  0.1762 0.2321 0.5277 0.3685 0.3479 0.1957 0.3793 0.0055 0.0094 0.3424 0.9412 0.0007 0.7828 0.6815 0. cuando p 0.1517 0.0000  0.0002 0.0486 0.0441 0.0138 0.0005 0.85 0.04 *Probabilidades binomiales 0.0021 0.0017 0.2342 0.1546 0.4046 0.0013 0.1061 0.0026 0.0002 0.2036 0.0001 0.0002 0.3370 0.4644 0.0017 0.0562 0.9127 0.0007 0. y n y r arriba.0000 0.0002 0.0617 0.0007 0.0005 0.0000  0.0753 0.0981 0.0026 0.3685 0.0714 0.0005 0.2248 0.0000 0.0001 0.0008 0.0000 0.4521 0. © 1990.0000 0.0003 0.6857 0.08 0.14 0.0002 0.0575 0.0000 0.6957 0.0005 0.0027 0.1715 0.3888 0.0000 0.7339 0.0088 0.8493 0.5905 0.3888 0.0000   0.0004 0.7787 0.7744 0.4336 0.0338 0.0203 0.0036 0.0001 0.8100 0.1816 0.0422 0.0000 0.3901 0.6485 0.9216 0.0046 0.0001 0.0191 0.0007 0.0000     0.0016 0.2112 0.0402 0.1295 0.2714 0.7921 0.0038 0.0003 0.3935 0.0035 0.8836 0.1382 0.8044 0.3771 0.0051 0.0480 0.4015 0.86 0.0004 0.1240 0.6561 0. 6925 0.3596 0.0001 0.0629 0.0099 0.1714 0.7602 0.2295 0.0746 0.3438 0.1389 0.2758 0.3777 0.0000  0.2759 0.0674 0.9135 0.0003 0.2639 0.0988 0.3570 0.0005 0.0004 0.3282 0.0004 0.0007 0.0014 0.2985 0.0433 0.0013 0.6302 0.0021 0.0001 0.0066 0.0317 0.17 0.0345 0.0115 0.0002 0.7374 0.0746 0.09 P P 0.0001 0.5730 0.3603 0.84 0.1872 0.2597 0.0002 0.0001 0.0168 0.3370 0.1146 0.0000    0.0021 0.0026 0.3770 0.0000     0.0001 0.2330 0.01 0.0001 0.18 r n 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 r n .0326 0.0009 0.9227 0.4279 0.0840 0.0023 0.0000    0.91 0.0006 0.0401 0.0035 0.0000    0.92 0.2116 0.0000   0.3847 0.3854 0.2252 0.1600 0.1869 0.86 0.94 0.0027 0.0087 0.0004 0.3525 0.1087 0.0042 0.0839 0.0006 0.1969 0.0004 0.0000  0.0933 0.0959 0.0003 0.02 n r 0.0032 0.0019 0.3695 0.2281 0.2785 0.3151 0.0000  0.0026 0.2908 0.3937 0.0452 0.3721 0.0005 0.0000   0.0002 0.0001 0.0000    0.0000      0.4840 0.2720 0.8508 0.0064 0.0008 0.0001 0.3874 0.2119 0.0000   0.0058 0.3826 0.1298 0.0000  0.0331 0.0511 0.0006 0.0283 0.3643 0.0001 0.96 0.0000  0.2992 0.0010 0.1349 0.3894 0.0228 0.0000    0.0179 0.99 0.1288 0.0034 0.2484 0.0018 0.0000  0.0001 0.0037 0.0000       n r 0.5132 0.0000   0.2823 0.0015 0.1489 0.0077 0.1061 0.0000     0.0034 0.3712 0.0002 0.0613 0.0000   0.1478 0.0446 0.0134 0.3923 0.2929 0.0416 0.0002 0.93 0.0000  0.0001 0.1745 0.5596 0.1507 0.2220 0.1749 0.0004 0.0002 0.0001 0.3897 0.0000   0.0006 0.0490 0.3504 0.2770 0.3897 0.7837 0.0332 0.0706 0.2793 0.98 0.4344 0.0574 0.0085 0.1937 0.05 0.0255 0.0000    0.2597 0.0052 0.0000  0.0019 0.0415 0.97 0.0006 0.2213 0.2855 0.3691 0.07 0.0515 0.2316 0.2082 0.0000   0.0000       0.3178 0.0000    0.1552 0.4305 0.4722 0.0000   0.82 0.10 0.12 0.0052 0.2496 0.5204 0.0046 0.0000   0.3331 0.6634 0.0000     0.0185 0.8171 0.0000     0.3679 0.0016 0.0000     0.0012 0.3923 0.0029 0.AT-4 Apéndice tablas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 0.0000    0.0000    0.0033 0.3809 0.6648 0.3874 0.0000      0.0003 0.2725 0.2044 0.0000    0.3292 0.0047 0.1676 0.0723 0.0888 0.0348 0.0001 0.0103 0.3474 0.0009 0.2052 0.1531 0.0262 0.95 0.0001 0.87 0.0008 0.4703 0.0000   0.5386 0.2646 0.013 0.3590 0.2518 0.1722 0.3840 0.3165 0.6096 0.0847 0.1684 0.89 0.0000   0.0000   0.0248 0.0138 0.04 0.0000     0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0.0000     0.0058 0.06 0.0033 0.7214 0.0001 0.0013 0.3874 0.03 0.0078 0.0153 0.0001 0.0111 1.8337 0.0024 0.0153 0.0112 0.1927 0.2405 0.0695 0.1939 0.0003 0.90 0.1285 0.0012 0.0800 0.2980 0.0089 0.1211 0.85 0.3851 0.0002 0.1374 0.0000      0.0001 0.3017 0.0202 0.88 0.3487 0.08 0.3312 0.0573 0.1234 0.0001 0.0830 0.0000    0.0050 0.14 0.3446 0.0001 0.0064 0.0009 0.0019 0.0005 0.0008 0.0519 0.0045 0.0108 0.0013 0.2376 0.0228 0.0000     0.3113 0.0026 0.0260 0.2856 0.0002 0.16 0.0000   0.1209 0.0210 0.0177 0.9044 0.0277 0.0105 0.0004 0.1069 0.0074 0.0125 0.0054 0.3118 0.0042 0.3884 0.1450 0.0000   0.1667 0.0351 0.0003 0.3777 0.0000     0.0556 0.0000  0.0343 0.0125 0.0012 0.0001 0.15 0.0000  0.3569 0.0189 0.0003 0.2455 0.0995 0.0004 0.0000    0.1488 0.0000   0.0019 0.2479 0.0031 0.0261 0.11 0.0000   0.0141 0.3892 0.83 0.3798 0.0483 0.2143 0.0085 0.1084 0.5987 0.0001 0.0000    0.0147 0.0000      0.0670 0.2573 0.0914 0.0001 0.0006 0.0186 0. 2434 0.1595 0.0005 0.0001 0.1422 0.3837 0.2897 0.0148 0.1844 0.0092 0.0000           0.1901 0.0081 0.95 0.98 n r 0.4420 0.2711 0.11 0.1887 0.94 0.2521 0.0002 0.0065 0.0454 0.2960 0.0006 0.0000     0.2647 0.3012 0.2301 0.0001 0.0004 0.0017 0.05 0.2109 0.1951 0.0012 0.1314 0.1691 0.0006 0.7386 0.0015 0.0019 0.0153 0.0133 0.3774 0.0843 0.0373 0.0049 0.2740 0.1666 0.1139 0.2151 0.2821 0.0002 0.3801 0.2793 0.0011 0.0178 0.7847 0.2669 0.86 0.1216 0.0860 0.0369 0.0000      0.1165 0.0364 0.1835 0.3953 0.0001 0.0001 0.0029 0.0001 0.0000         0.0357 0.0007 0.0000      0.2452 0.2115 0.2856 0.0393 0.08 0.2466 0.2409 0.2824 0.1553 0.0030 0.0567 0.1189 0.2428 0.2852 0.0001 0.0002 0.0001 0.2410 0.0931 0.0001 0.0054 0.2246 0.0013 0.0032 0.01 0.0009 0.0060 0.2125 0.2496 0.3645 0.0924 0.0305 0.3766 0.0266 0.8601 0.1696 0.1493 0.0024 0.0001 0.0059 0.2692 0.0353 0.3197 0.0277 0.0000      0.0000        0.0000     0.2300 0.0000        0.0000           0.8864 0.0001 0.0000          0.0094 0.0000        0.0002 0.1026 0.0028 0.0002 0.96 0.2578 0.0000                0.0001 0.1345 0.1074 0.0073 0.14 0.0323 0.0001 0.2358 0.0132 0.0272 0.0020 0.0039 0.0000      0.0012 0.4633 0.1156 0.1887 0.0662 0.0000       0.3785 0.0611 0.0003 0.0000      0.0145 0.2938 0.3734 0.2822 0.15 0.0038 0.3781 0.0111 0.3372 0.2261 0.0490 0.0435 0.2863 0.0019 0.0006 0.2242 0.0193 0.0000          0.0008 0.0000        0.87 0.2278 0.0005 0.0004 0.0105 0.0000    0.5421 0.0018 0.0005 0.0008 0.0008 0.0986 0.1919 0.0307 0.0216 0.2702 0.3703 0.2021 0.2082 0.0282 0.0038 0.0024 0.4759 0.0636 0.0617 0.0223 0.2090 0.0285 0.0731 0.0046 0.1368 0.5404 0.0857 0.2775 0.0024 0.3225 0.1637 0.0000            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 0.0306 0.03 0.0003 0.0043 0.0053 0.0085 0.0000           0.2184 0.1678 0.2870 0.1380 0.2627 0.0364 0.0006 0.0000            0.06 0.0000    0.0000       0.1468 0.0776 0.0000     0.0007 0.0040 0.1565 0.1280 0.0055 0.0000     0.0003 0.04 0.2389 0.2924 0.0360 0.2725 0.0002 0.0069 0.0000       0.0438 0.17 0.0000       0.0000              0.0001 0.2430 0.0081 0.0000    0.1203 0.0056 0.2403 0.0017 0.0151 0.3663 0.1652 0.3064 0.0001 0.0000         0.013 0.1720 0.09 P P 0.0003 0.12 0.2312 0.0988 0.0148 0.0115 0.90 0.2618 0.2955 0.0011 0.0002 0.2575 0.1414 0.3526 0.0703 0.0008 0.0694 0.2044 0.0020 0.0001 0.0001 0.0006 0.0000          0.0000       0.0804 0.0030 0.0551 0.0031 0.6938 0.0000      0.0233 0.2293 0.2490 0.3529 0.18 r n 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 r n .1491 0.0213 0.Apéndice tablas AT-5 0.6333 0.0047 0.0510 0.1458 0.0088 0.0000          0.0004 0.0009 0.6676 0.0000           0.0013 0.0000      0.1821 0.0569 0.92 0.0002 0.0852 0.0208 0.1299 0.88 0.0193 0.0000             0.1234 0.0014 0.2053 0.0008 0.1672 0.0001 0.0829 0.1062 0.0528 0.0468 0.3413 0.0596 0.3388 0.0226 0.93 0.0026 0.0018 0.1041 0.2093 0.2342 0.0013 0.0189 0.85 0.10 0.1070 0.3367 0.0000       0.2157 0.3827 0.0428 0.0000    0.0096 0.0008 0.2470 0.0000                 0.0222 0.0000              0.0002 0.0089 0.1880 0.1496 0.0001 0.3605 0.0523 0.0686 0.2003 0.1303 0.0004 0.0080 0.0183 0.3585 0.2818 0.0683 0.0048 0.82 0.0988 0.0004 0.0000      0.1238 0.0003 0.1741 0.0067 0.0000        0.16 0.0067 0.0532 0.1069 0.2273 0.0173 0.0175 0.0653 0.0874 0.0000            0.0045 0.0388 0.1730 0.0000             0.84 0.2542 0.0000          0.1615 0.97 0.89 0.8179 0.0128 0.0819 0.5438 0.1880 0.0317 0.99 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 0.0003 0.1878 0.0011 0.0998 0.0319 0.0001 0.0216 0.0009 0.0464 0.4186 0.0013 0.07 0.1470 0.2903 0.83 0.2347 0.2901 0.0003 0.3000 0.2787 0.3364 0.3228 0.2863 0.02 0.0019 0.3658 0.0001 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0.0010 0.2687 0.0071 0.0375 0.79 0.2109 0.2841 0.1379 0.3088 0.3542 0.0249 0.73 0.2875 0.0003 0.0972 0.3898 0.0478 0.3323 0.0293 0.1406 0.0036 0.3462 0.0000 0.1515 0.3105 0.0420 0.0039 0.2541 0.1597 0.0905 0.0721 0.3432 0.4386 0.0071 0.2621 0.0510 0.0012 0.1541 0.1156 0.1079 0.0126 0.0021 0.0154 0.1746 0.3762 0.2048 0.4074 0.2471 0.0108 0.0169 0.5314 0.0256 0.2458 0.1605 0.0429 0.2535 0.1222 0.3515 0.3077 0.0060 0.4096 0.0989 0.4624 0.2097 0.2840 0.0217 0.4219 0.0011 0.0053 0.0798 0.2746 0.0951 0.0520 0.2331 0.4443 0.64 0.2643 0.1927 0.3020 0.71 0.5776 0.4176 0.1911 0.3160 0.1465 0.0632 0.3285 0.1712 0.3318 0.0328 0.0004 0.2529 0.4422 0.3834 0.1350 0.0488 0.4096 2 0.3174 0.25 0.0000 0.0660 0.0250 0.27 P P 0.3251 0.0827 0.28 0.0044 0.3487 0.2999 0.2269 0.1003 0.0007 0.2090 0.3955 0.3040 0.3336 0.0051 0.4565 0.0084 0.0447 0.0004 0.0115 0.1313 0.0053 0.0676 0.0197 0.0168 0.80 n r 0.3226 0.0039 0.0093 0.2267 0.0087 0.3890 0.1225 0.3877 0.0251 0.4761 0.0004 0.1147 0.2089 0.75 0.2215 0.36 .0529 0.26 0.1062 0.2860 0.4090 0.1418 0.22 0.76 0.2355 0.0369 0.2373 0.1989 0.3078 2 0.0000 0.0729 0.4200 0.31 0.0024 0.0222 0.0578 0.2061 0.2740 0.0330 0.2753 0.0003 0.1897 0.2600 0.0756 0.AT-6 Apéndice tablas 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 0.0595 0.0841 0.4116 0.0014 0.2577 0.1996 0.1651 0.1501 0.2966 0.3895 0.0963 0.0146 0.0537 0.4096 0.0441 0.0015 0.0034 0.0910 0.0520 0.0194 0.3186 0.2926 0.1564 0.21 0.0332 0.72 0.0466 0.2637 0.1323 0.0546 0.1920 0.3358 0.4352 0.2555 0.4118 0.0913 0.0961 0.3115 0.2331 0.0873 0.2401 0.1531 0.1804 0.3156 0.4355 0.2073 0.4152 0.4356 0.0006 0.0576 0.3430 0.3732 0.0004 0.3008 0.1024 0.0803 0.0484 0.6561 1 0.2739 0.2646 0.1045 0.1780 0.6084 0.3277 0.3237 0.0081 0.2439 0.0013 0.2221 0.0022 0.0220 0.2319 0.1513 0.0020 0.4608 1 0.1882 0.2792 0.2289 0.1089 0.1767 0.0283 0.5120 0.0023 0.4930 0.5041 0.0221 0.0754 0.1811 0.4089 0.3750 0.0134 0.0450 0.2610 0.1214 0.2850 0.2431 0.0016 0.74 0.0606 0.0003 0.3186 0.0002 0.0005 0.0535 0.1115 0.3845 0.4439 0.1919 0.3025 0.4390 0.3067 0.3811 0.0106 0.4219 0.6241 0.33 0.2707 0.0359 0.0242 0.2452 0.2169 0.3648 0.2084 0.3105 0.2882 0.3397 0.0092 0.3177 0.0187 0.3670 0.3185 0.6400 0.2363 0.3157 0.1154 0.1536 0.3200 0.32 0.3421 0.0361 2 0.0128 0.0069 0.4201 0.3267 0.1845 0.0960 0.0180 0.4436 0.2015 0.4039 0.0119 0.0080 0.1033 0.3513 0.4271 0.0000 0.4488 0.4428 0.0064 0.2488 0.4180 0.0319 0.3139 0.1296 0 0.0001 0.0824 0.1454 0.0091 0.2174 0.0375 0.3910 0.4032 0.4305 0.1421 0.1791 0.2887 0.4225 0.3041 0.2731 0.66 0.0467 6 5 4 3 r n 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 3 2 1 0 2 r n 0.3007 0.1730 0.4444 0.0097 0.0886 0.0001 0.0013 0.1393 0.0001 0.3364 0.5184 0.0102 0.0648 0.0244 0.1345 0.34 0.0962 0.0043 0.0036 0.0019 0.0005 0.4159 0.4003 0.0012 0.2673 0.2389 0.4746 0.0005 0.0061 0.0784 0.0819 0.0326 0.4278 0.2138 0.0161 0.2437 0.0270 0.2687 0.1848 0.77 0.2985 0.3573 0.3756 0.0105 0.1967 0.3261 0.0028 0.3356 0.0137 0.3206 0.0061 0.1935 0.1138 0.4410 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0.0018 0.0577 0.3942 0.2297 0.2446 0.0000 0.0575 0.4072 0.0727 0.1956 0.4316 0.1681 0.2621 0.2745 0.5476 0.0879 0. 1937 0.0449 0.1585 0.0401 0.1456 0.0000 0.0001 0.1342 0.0952 0.0808 0.0313 0.0001 0.0001 0.1600 0.0014 0.0052 0.0808 0.0135 0.0371 0.2285 0.0217 0.0009 0.1181 0.1206 0.0050 0.2076 0.0264 0.0591 0.2349 0.0063 0.0469 0.0115 0.1460 0.0846 0.0995 0.1499 0.1636 0.0509 0.2558 0.0000  0.2668 0.2386 0.0113 0.1608 0.0406 0.0775 0.0666 0.70 0.0023 0.0001 0.0484 0.0028 0.2684 0.1721 0.2188 0.2527 0.0527 0.2362 0.1798 0.0024 0.0368 0.0155 0.0006 0.0004 0.1343 0.0165 0.0004 0.0006 0.0000 0.0005 0.0281 0.1847 0.1678 0.2713 0.1267 0.0010 0.0360 0.0000   0.0319 0.0007 0.1278 0.2646 0.1225 0.0002 0.2444 0.1963 0.0043 0.0018 0.0270 0.1596 0.0001 0.0001 0.1367 0.24 0.2731 0.0008 0.0031 0.0240 0.2384 0.1828 0.0002 0.3355 0.2340 0.2253 0.0010 0.0164 0.2222 0.0000  0.2614 0.1715 0.0689 0.1060 0.2444 0.0172 0.1921 0.3052 0.0011 0.0704 0.0000  0.0003 0.1086 0.0011 0.0004 0.0661 0.1113 0.2668 0.20 n r 0.0583 0.0005 0.0000 0.1056 0.0818 0.0015 0.0211 0.2122 0.0010 0.2569 0.0019 0.0001 0.0068 0.0038 0.2062 0.0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0.0070 0.0000 0.0180 0.2397 0.0899 0.0015 0.0003 0.0881 0.64 0.0584 0.0865 0.0250 0.76 0.1484 0.1195 0.0000 0.2404 0.3089 0.0024 0.0031 0.2984 0.3226 0.0411 0.2265 0.0000 0.31 0.78 0.0317 0.2573 0.0000  0.1879 0.0732 0.0016 0.0001 0.0058 0.2238 0.1627 0.0458 0.1977 0.0003 0.0020 0.1722 0.2134 0.0712 0.3020 0.0007 0.2014 0.1001 0.0659 0.23 0.0001 0.2965 0.0012 0.2460 0.3108 0.2786 0.0004 0.2001 0.0014 0.0179 0.0912 0.0028 0.0767 0.0311 0.27 P P 0.0001 0.2670 0.0530 0.0001 0.0002 0.2812 0.0000 0.1973 0.2323 0.1689 0.0750 0.1004 0.2017 0.0798 0.0008 0.3020 0.2197 0.1329 0.0023 0.2662 0.0000 0.74 0.0947 0.0060 0.1873 0.0040 0.2721 0.2716 0.0000  0.0000   0.0000 0.32 0.0012 0.1678 0.0479 0.0002 0.2106 0.2558 0.0507 0.2548 0.0000  0.1820 0.1569 0.0563 0.0573 0.0078 0.1156 0.0002 0.0924 0.0424 0.0059 0.0006 0.0004 0.0207 0.0000 0.0547 0.1465 0.0456 0.0000 0.Apéndice tablas AT-7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 10 12 0.0733 0.2110 0.1216 0.1954 0.0000  0.1762 0.0422 0.1278 0.26 0.66 0.1885 0.0000   0.0898 0.0000 0.0317 0.0993 0.1429 0.2177 0.1128 0.2587 0.0001 0.0157 0.0181 0.0231 0.0033 0.2957 0.0657 0.0000 0.2662 0.0000  0.0646 0.0959 0.0108 0.2867 0.2549 0.1373 0.0001 0.0319 0.0439 0.1330 0.0021 0.0340 0.0722 0.0607 0.0082 0.0003 0.0040 0.0986 0.0000  0.1382 0.1517 0.2376 0.1730 0.0284 0.3011 0.1370 0.3092 0.0001 0.0092 0.1102 0.0118 0.1849 0.0754 0.0981 0.2563 0.0000 0.0002 0.0002 0.0038 0.0003 0.0098 0.0001 0.0003 0.0725 0.0000 0.1990 0.0088 0.0000 0.2013 0.0492 0.1016 0.0885 0.1877 0.2241 0.79 0.0552 0.0272 0.0212 0.0069 0.0009 0.0007 0.3058 0.33 0.0045 0.2547 0.2503 0.2373 0.3169 0.0906 0.0773 0.2261 0.2573 0.1267 0.0090 0.0047 0.1180 0.0792 0.2701 0.1388 0.1589 0.2093 0.67 0.0105 0.2609 0.1891 0.1642 0.2109 0.2367 0.0643 0.0422 0.2573 0.0001 0.1099 0.36 r n 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 r n .0194 0.0360 0.0000 0.2336 0.2107 0.0246 0.1557 0.25 0.0457 0.0035 0.0039 0.29 0.0005 0.0373 0.0001 0.0073 0.2816 0.2835 0.0074 0.0162 0.2311 0.0025 0.0589 0.1236 0.0168 0.0247 0.0000 0.0193 0.3002 0.3049 0.0130 0.0317 0.0195 0.2055 0.0087 0.2351 0.1137 0.0031 0.0134 0.2693 0.1717 0.1787 0.1433 0.0000  0.0044 0.2039 0.0182 0.0326 0.0028 0.1960 0.0000 0.0000 0.0031 0.2758 0.0000  0.0000  0.0229 0.0616 0.0238 0.2668 0.1468 0.0009 0.0003 0.0434 0.0396 0.0002 0.2343 0.73 0.0000  0.2644 0.0055 0.1407 0.0751 0.0139 0.0430 0.0513 0.0818 0.0039 0.0687 0.0003 0.1361 0.1501 0.0520 0.2522 0.2429 0.0165 0.0109 0.2855 0.0001 0.3056 0.0018 0.0272 0.0007 0.71 0.2756 0.3108 0.2624 0.2729 0.0326 0.0002 0.0000 0.2831 0.0048 0.0025 0.0043 0.2320 0.0000   0.0210 0.0806 0.1088 0.0404 0.3037 0.1143 0.0393 0.3017 0.1199 0.0199 0.0162 0.0000 0.68 0.0000   0.35 0.0231 0.1211 0.2663 0.0004 0.0137 0.0098 0.2973 0.0084 0.0933 0.0006 0.2377 0.1820 0.0576 0.0070 0.1108 0.1069 0.0000 0.0116 0.0649 0.1875 0.0628 0.0036 0.2151 0.1197 0.0207 0.0005 0.1844 0.2511 0.1536 0.2805 0.0001 0.0002 0.0140 0.0735 0.0011 0.0005 0.0013 0.2244 0.0001 0.0001 0.0245 0.2942 0.1963 0.2162 0.2270 0.0000 0.2197 0.0001 0.2478 0.0008 0.0285 0.0005 0.0001 0.0154 0.3010 0.0047 0.0852 0.0008 0.1255 0.0000    0.0664 0.0019 0.0047 0.0001 0.0389 0.0291 0.2184 0.0019 0.0057 0.1332 0.0482 0.0449 0.0100 0.0000 0.2052 0.0002 0.72 0.0000 0.2953 0.0000 0.2502 0.0003 0.0049 0.2897 0.0011 0.1460 0.0016 0.22 0.1168 0.0689 0.1310 0.2754 0.0000  0.2442 0.0002 0.0245 0.1079 0.75 0.0521 0.2581 0.2247 0.0374 0.2034 0.1673 0.1029 0.0000  0.2245 0.2130 0.2904 0.0904 0.1032 0.2541 0.2424 0.2885 0.1685 0.0467 0.0888 0.21 0.0000  0.2253 0.0115 0.2464 0.0954 0.0014 0.1229 0.0355 0.0007 0.0001 0.0200 0.1281 0.0057 0.0001 0.2717 0.0839 0.2576 0.2462 0.2936 0.80 n r 0.2517 0.1903 0.2735 0.0665 0.2030 0.0057 0.0002 0.0019 0.2675 0.3020 0.2899 0.19 0.0234 0.0000  0.0285 0.0074 0.3087 0.0532 0.2194 0.0834 0.0138 0.2272 0.28 0.2068 0.0004 0.0000 0.0134 0.1552 0.2424 0.34 0.0591 0.0001 0.0000  0.3115 0.2756 0.0141 0.0001 0.0151 0.0514 0.0000 0.3477 0.1688 0.0335 0.0196 0.0116 0.0092 0.2852 0.0123 0.2324 0.0001 0.0127 0.0218 0.1477 0.2642 0.0000 0.0621 0.0236 0.1590 0.1339 0.2335 0.0001 0.0070 0.0011 0.2379 0.1883 0.1576 0.0005 0.81 0.2668 0.1936 0.0000 0.77 0.0375 0.0000  0.1434 0.1258 0.0282 0.0000 0.2382 0.0005 0.2494 0.0000   0.0459 0.1317 0.0001 0.3061 0.0001 0.1807 0.2609 0.69 0.0620 0.0000 0.1775 0.0057 0.0368 0.0717 0.0031 0.30 0.0542 0.65 0.0096 0.0188 0.0015 0.0994 0.2104 0.2503 0.0082 0.0270 0.0024 0.0116 0.1757 0.0341 0.1712 0.2835 0.0591 0.3003 0.1074 0.0804 0.0033 0.1556 0.0010 0.0025 0.0000  0.1853 0. 0476 0.0000        0.0231 0.0479 0.1782 0.0823 0.1478 0.2182 0.0003 0.0952 0.74    0.0014 0.0151 0.0480 0.0323 0.27 P P 0.0109 0.24 0.0116 0.0026 0.0030 0.1811 0.81 0.0211 0.2457 0.0002 0.0423 0.1836 0.0096 0.1977 0.0598 0.0029 0.1065 0.0000     0.0839 0.68 0.0809 0.0336 0.0049 0.0000       0.1982 0.20 0.1091 0.0298 0.1002 0.0024 0.2057 0.22 0.1768 0.0018 0.0002 0.0003 0.2128 0.1839 0.0104 0.0054 0.2162 0.0075 0.0081 0.0089 0.0005 0.0015 0.1876 0.29 0.2093 0.2276 0.0001 0.0645 0.0293 0.0000   0.0750 0.0174 0.1493 0.0001 0.0003 0.0779 0.0411 0.0030 0.1242 0.0514 0.0001 0.0569 0.0947 0.0715 0.0023 0.1280 0.0393 0.0182 0.0627 0.0006 0.1537 0.0000      0.1845 0.0669 0.0001 0.0229 0.2070 0.78 0.1714 0.0002 0.0007 0.0104 0.0170 0.0531 0.0002 0.28 0.0074 0.0000  0.1142 0.0007 0.72 0.1686 0.1545 0.0000     0.1935 0.0016 0.1272 0.0072 0.1450 0.1837 0.0042 0.0370 0.0001 0.1671 0.0000   0.0006 0.71 0.0001 0.0018 0.1110 0.0000    0.0001 0.1868 0.0032 0.0008 0.0000    0.0000     0.0282 0.1162 0.1881 0.0000   0.1770 0.1161 0.0093 0.0059 0.0009 0.0001 0.0006 0.1492 0.1752 0.0128 0.2012 0.0352 0.0002 0.21 0.0124 0.1204 0.0000   0.0055 0.0609 0.0136 0.0003 0.1589 0.0351 0.0006 0.0349 0.1217 0.0772 0.0054 0.0014 0.0627 0.0035 0.1759 0.80 n r 0.0783 0.0000       0.0476 0.0576 0.0465 0.0271 0.1029 0.0000      0.1916 0.69 0.0045 0.1651 0.0171 0.1114 0.0001 0.0074 0.0152 0.1484 0.1698 0.19 0.0138 0.0440 0.2140 0.0011 0.2169 0.1222 0.0545 0.0305 0.0001 0.0022 0.0002 0.0710 0.0001 0.0000   0.1678 0.0045 0.2005 0.1700 0.0606 0.0163 0.0005 0.0080 0.0917 0.0153 0.0005 0.0012 0.1627 0.0261 0.1757 0.1979 0.0020 0.0453 0.0002 0.0056 0.1746 0.0002 0.0000     0.1553 0.0201 0.2156 0.0134 0.25 0.64 0.2490 0.0220 0.0005 0.0069 0.0002 0.1290 0.0015 0.1251 0.0014 0.0039 0.1844 0.0021 0.1356 0.23 0.0003 0.0025 0.0005 0.0403 0.0000     0.0000        0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 0.0030 0.0308 0.0004 0.70 0.0115 0.0924 0.0001 0.0016 0.0000  0.1259 0.0010 0.34 0.1032 0.30 0.0494 0.0000     0.1124 0.0709 0.2252 0.0010 0.0120 0.0109 0.0051 0.0705 0.0020 0.0014 0.1226 0.0000     0.2231 0.0014 0.0004 0.0258 0.0038 0.2168 0.66 0.0278 0.0241 0.1599 0.0940 0.0253 0.0003 0.1365 0.75 0.1836 0.0910 0.0062 0.0576 0.1792 0.0815 0.0329 0.32 0.0002 0.0188 0.2175 0.0001 0.0332 0.0118 0.1933 0.0000    0.1150 0.0198 0.0085 0.0001 0.73 0.0000   0.2010 0.0013 0.0001 0.0251 0.0163 0.0000     0.1858 0.2054 0.0094 0.1416 0.0668 0.0176 0.0004 0.0017 0.0007 0.0430 0.1631 0.0001 0.0360 0.1712 0.1537 0.2273 0.0110 0.0000     0.1356 0.0205 0.36 r n 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 r n .1056 0.0000      0.1559 0.0516 0.76 0.0137 0.0000       0.0007 0.1789 0.0686 0.2130 0.1986 0.2501 0.1384 0.0078 0.2309 0.1692 0.1821 0.0765 0.1906 0.1963 0.0000    0.1304 0.0543 0.0004 0.0008 0.0020 0.0132 0.0889 0.0429 0.2449 0.0062 0.1338 0.0031 0.0025 0.0000     0.1319 0.2262 0.2013 0.0000      0.1416 0.2142 0.1675 0.0066 0.0392 0.0000        0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 n r 0.1614 0.0001 0.0041 0.0047 0.0041 0.1429 0.0058 0.1062 0.0210 0.0811 0.1011 0.0716 0.0099 0.0038 0.0563 0.1319 0.0019 0.0008 0.0033 0.2186 0.0029 0.65 0.0402 0.2489 0.0058 0.1558 0.1852 0.0398 0.0916 0.0549 0.0000    0.0547 0.0353 0.1050 0.1888 0.2079 0.0811 0.AT-8 Apéndice tablas 0.2336 0.1199 0.0001 0.0131 0.0910 0.0244 0.0000        0.1161 0.0003 0.0619 0.0002 0.1907 0.1003 0.79 0.67 0.1923 0.33 0.0012 0.0143 0.0693 0.0280 0.2051 0.0019 0.0003 0.0009 0.2405 0.0001 0.1018 0.0954 0.1354 0.0448 0.1575 0.2213 0.0348 0.0090 0.0627 0.0011 0.0025 0.0409 0.0024 0.0047 0.1369 0.0168 0.0000    0.0424 0.0717 0.0001 0.0321 0.0107 0.0271 0.0053 0.0126 0.0003 0.26 0.31 0.1777 0.0883 0.0148 0.1991 0.0654 0.1897 0.1029 0.2131 0.0001 0.0798 0.1907 0.1034 0.1158 0.0005 0.0270 0.1643 0.1462 0.0010 0.1144 0.0291 0.1457 0.1181 0.0034 0.1920 0.0001 0.1254 0.2123 0.1707 0.0383 0.0217 0.0652 0.1339 0.0222 0.1833 0.77 0.35 0.1579 0.0108 0.0034 0.0087 0.0904 0.0072 0.1939 0.0068 0.2155 0.1632 0.0015 0.2103 0.0100 0.0041 0.0477 0.2023 0.0738 0.0011 0.0002 0.2061 0.1790 0.0163 0.1419 0.0336 0.0025 0.1472 0.0002 0.0849 0.0000   0.0171 0.0515 0.1879 0.0217 0.0188 0.2252 0. 1600 0.1849 0.1664 0.2216 0.0551 0.2249 0.1908 0.0156 0.2757 0.3442 0.0019 0.3185 0.5000 1 0.0187 0.1739 0.2671 0.0343 0.0625 0.2344 0.0131 0.2698 0.2765 0.0872 0.2376 0.0578 0.0448 0.1759 0.4382 0.1575 0.1211 0.2436 0.2838 0.2830 0.2612 0.1361 0.0248 0.0741 0.0689 0.1176 0.2853 0.0729 0.0850 0.3341 0.2031 0.1276 0.0280 0.0032 0.1935 0.2700 0.3594 0.2388 0.0069 0.0503 0.3289 0.0410 0.0375 0.3969 1 0.2207 0.2778 0.0134 0.1958 0.0342 0.4872 0.4902 0.1049 0.2059 0.2164 0.3441 0.3260 0.2700 0.0604 0.2808 0.2699 0.4084 0.0041 0.0568 0.0467 0.0048 0.0196 0.2923 0.0173 0.1861 0.3110 0.1756 0.3091 0.0078 0.1095 0.3185 0.1382 0.3055 0.2040 0.56 0.1511 0.57 0.0503 0.0593 0.0923 0.4758 0.2990 0.1575 0.1570 0.0090 0.0950 0.1250 0.2992 0.3125 0.1681 0.1755 0.0277 0.2270 0.3369 0.1209 0.3702 0.0547 0.3069 0.0165 0.1640 0.1261 0.50 r n .2616 0.1454 0.0609 0.0455 0.0731 0.0185 0.42 0.0295 0.2897 0.0729 0.0117 0.2431 0.0410 0.2994 0.0795 0.43 P P 0.2686 0.4950 0.1119 0.2809 0.2300 0.0195 0.3623 0.0095 0.59 0.0445 0.1444 0.2734 0.0400 0.0051 0.0547 0.2916 0.0768 0.2583 0.3136 0.1369 0.3674 0.2500 0.1106 0.1032 0.3452 0.2160 0.2153 0.3278 0.0312 0.0282 0.0308 0.1296 0.4800 0.2533 0.0656 0.4024 0.1132 0.0789 0.0138 0.0973 0.4239 0.2500 0.0035 0.2704 0.2838 0.0073 0.2468 0.2793 0.0079 0.1470 0.0798 0.3330 0.3201 0.2492 0.1562 0.1951 0.2304 0.1003 0.2010 0.2995 0.48 0.0394 0.2209 0.3823 0.2125 0.0108 0.4320 0.3252 0.0549 0.2903 0.0312 0.1854 0.1536 0.1359 0.0027 0.2344 0.2937 0.0778 0.2676 0.3541 0.1172 0.4838 0.1202 0.2500 2 0.2399 0.0023 0.3110 0.3423 0.2918 0.2336 0.0705 0.0222 0.0116 0.1976 0.2693 0.0150 0.1128 0.0847 0.62 2 0 0.4662 2 0.0176 0.0640 0.3060 0.0063 0.0078 0.0915 0.1293 0.3750 0.2928 0.0358 0.3738 0.2304 0.3456 0.2383 0.3721 0.0026 0.53 0.0223 0.3723 0.0369 0.2592 0.3400 0.1641 0.2270 0.0494 0.1619 0.2601 0.1447 0.2867 0.1627 0.3894 0.4354 0.1956 0.1385 0.3456 0.0083 0.3091 0.2587 0.1657 0.0640 0.0590 0.1936 0.0011 0.0646 0.0554 0.0037 0.0229 0.2116 0.3511 0.0055 0.1543 0.3125 0.0715 0.0016 0.41 0.1654 0.0103 0.1353 0.2140 0.0198 0.2916 0.0774 0.2856 0.1489 0.0284 0.3512 0.60 0.0677 0.47 0.1562 0.0380 0.3249 0.1116 0.1838 0.0221 0.1056 0.2613 0.3844 0.1291 0.1306 0.2600 0.45 0.2543 0.3125 0.0864 0.1940 0.0030 0.0314 0.3396 0.52 0.0515 0.1764 0.0147 0.37 0.0531 0.1250 0.38 n r 0.3240 0.1327 0.2934 0.3121 0.3368 0.39 0.2880 0.0283 0.1014 0.55 0.2025 0.0795 0.3750 0.3364 0.4712 0.2831 0.1813 0.Apéndice tablas AT-9 0.3424 0.1552 0.2054 0.2914 0.0256 0.0422 0.3747 0.1666 0.0974 0.2484 0.1763 0.0330 0.2891 0.0352 0.1740 0.2734 0.0902 0.3750 0.1478 0.54 0.1719 0.1475 0.3025 0.0834 0.1086 0.63 0.0488 0.4406 0.0576 0.2780 0.0664 0.50 r n 0.0916 0.0459 0.2897 0.0320 0.3065 0.0059 0.0152 0.2005 0.0044 0.2102 0.3235 0.2203 0.1406 0.0090 0.3456 0.3032 0.3481 0.2615 0.2109 0.0706 0.1866 0.4140 0.0602 0.44 0.1380 0.0249 0.3701 0.1641 0.2524 0.0262 0.0625 0.0014 0.4982 0.2056 0.3600 0.1447 0.2089 0.0937 0.46 0.0507 0.0311 0.4191 0.3452 0.2945 0.0231 0.2799 0.1267 0.3675 0.1038 0.1521 0.2875 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0.1469 0.0352 0.0207 0.0343 0.2543 0.0539 0.2508 0.AT-10 Apéndice tablas 0.2408 0.0273 0.2573 0.54 0.0158 0.0017 0.0003 0.2461 0.0774 0.0020 0.2242 0.2601 0.0005 0.0494 0.0046 0.0743 0.0006 0.0312 0.0463 0.0002 0.0383 0.0244 0.2006 0.0012 0.1829 0.0098 0.41 0.1672 0.2051 0.2417 0.2271 0.0087 0.63 0.2787 0.0074 0.0010 0.1865 02462 0.0008 0.1071 0.0106 0.1912 0.0816 0.0014 0.0020 0.62 0.0571 0.2580 0.0156 0.0036 0.0171 0.0439 0.1376 0.1094 0.2465 0.1955 0.0023 0.2150 0.2627 0.0008 0.0605 0.1612 0.0004 0.2207 0.0079 0.0059 0.1776 0.0853 0.0008 0.0153 0.0900 0.0819 0.0301 0.0147 0.0285 0.0285 0.0030 0.0374 0.0000 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n r 0.1023 0.2207 0.0263 0.1428 0.1172 0.0117 0.0548 0.2027 0.0001 0.1209 0.2291 0.0279 0.0083 0.49 9 8 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.60 0.0578 0.2488 0.0184 0.48 0.61 0.2461 0.0010 0.0238 0.0051 0.43 P P 0.0742 0.0043 0.1920 0.1641 0.2237 0.0425 0.2571 0.0703 0.2759 0.50 r n 0.0991 0.0635 0.0035 0.0128 0.0098 0.0097 0.0114 0.0012 0.0971 0.0021 0.0147 0.38 n r 0.0005 0.42 0.0176 0.0001 0.0407 0.2407 0.2592 0.2734 0.0135 0.1506 0.0244 0.2456 0.1966 0.0926 0.0484 0.2815 0.0001 0.0299 0.0673 0.0458 0.0673 0.51 0.0763 0.0029 0.0035 0.1239 0.0215 0.0046 0.0848 0.0339 0.0014 0.2098 0.2058 0.0057 0.0277 0.0517 0.2162 0.2503 0.1183 0.1564 0.2503 0.55 0.0007 0.2384 0.0367 0.0604 0.0003 0.0927 0.2044 0.0575 0.0360 0.1445 0.0067 0.0063 0.0136 0.2051 0.2730 0.0155 0.0133 0.0327 0.0097 0.0054 0.1641 0.0013 0.1719 0.2508 0.2806 0.1622 0.0020 0.0070 0.1020 0.2369 0.2461 0.2487 0.1166 0.1769 0.2157 0.59 0.1596 0.2289 0.2322 0.0029 0.1267 0.1401 0.0084 0.1110 0.0039 0.2526 0.1933 0.1941 0.1734 0.2442 0.2397 0.0019 0.2319 0.0192 0.2087 0.0934 0.0004 0.40 0.2627 0.0003 0.2187 0.0042 0.0608 0.0024 0.1147 0.0064 0.0403 0.0125 0.2679 0.0005 0.0053 0.1348 0.0003 0.0090 0.0028 0.2383 0.1172 0.0983 0.1111 0.1070 0.0092 0.0017 0.0011 0.2394 0.2355 0.0002 0.0480 0.1569 0.0004 0.0004 0.2007 01115 0.0703 0.0202 0.0107 0.2397 0.2340 0.0075 0.2508 0.0896 0.2600 0.0456 0.2506 0.1499 0.1464 0.0637 0.0010 0.0934 0.58 0.0048 0.0010 0.0164 0.0050 0.2665 0.39 0.2441 0.45 0.1672 0.0824 0.0395 0.0442 0.2128 0.1831 0.2344 0.2229 0.0439 0.2297 0.0671 0.1574 0.2431 0.1080 0.0071 0.47 0.0072 0.0318 0.1786 0.0101 0.0843 0.52 0.2187 0.0098 0.2462 0.2815 0.1692 0.0132 0.56 0.2568 0.1816 0.2545 0.2695 0.1008 0.1209 0.1058 0.0143 0.0002 0.1739 0.2331 0.0849 0.0001 0.2427 0.0747 0.1665 0.0180 0.0312 0.2067 0.0248 0.1094 0.53 0.0124 0.0006 0.37 0.0020 0.1419 0.44 0.1312 0.0672 0.0176 0.1525 0.1542 0.0042 0.0014 0.0512 0.0542 0.0231 0.0062 0.0028 0.1475 0.0218 0.0905 0.1371 0.1529 0.0688 0.1017 0.0603 0.0084 0.0009 0.0008 0.0776 0.2618 0.0024 0.1253 0.0111 0.2461 0.0039 0.0981 0.0212 0.46 0.0060 0. 1241 0.1171 0.1778 0.0004 0.2284 0.58 0.0432 0.0370 0.1111 0.0000  0.0277 0.1700 0.0612 0.0010 0.1767 0.0018 0.0013 0.0046 0.0004 0.0000 0.1370 0.0354 0.0150 0.0000 0.0014 0.0005 0.0137 0.0000 0.0148 0.1208 0.1268 0.0827 0.1048 0.0090 0.0018 0.1474 0.0005 0.0106 0.0739 0.0002 0.0217 0.1585 0.0869 0.0000 0.0805 0.1585 0.1010 0.0174 0.0040 0.0001 0.0206 0.2013 0.1623 0.0087 0.0009 0.1597 0.0161 0.1198 0.0008 0.0008 0.0014 0.1533 0.0016 0.50 r n  0.43 P P 0.0000    0.1755 0.2256 0.0173 0.1840 0.1934 0.0001 0.0217 0.1987 0.1864 0.0299 0.0022 0.0024 0.62 0.0130 0.0002 0.0050 0.0658 0.1722 0.0004 0.1103 0.0716 0.0032 0.0002 0.0008 0.0716 0.1617 0.0003 0.0006 0.1553 0.1526 0.0542 0.0319 0.0923 0.0013 0.51  0.0152 0.0875 0.0000 0.0040 0.0012 0.0028 0.0895 0.0219 0.0092 0.1073 0.0367 0.1707 0.2124 0.0166 0.1768 0.1015 0.0561 0.0691 0.1524 0.0011 0.0060 0.0836 0.0122 0.1742 0.0031 0.1652 0.0049 0.2041 0.0197 0.0000  0.0442 0.1482 0.1658 0.0027 0.1602 0.0071 0.0052 0.0642 0.0537 0.0108 0.0022 0.0001 0.0064 0.0000 0.0005 0.2040 0.0143 0.0000   0.0945 0.0429 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.1470 0.0029 0.0000 n r 0.0074 0.0111 0.1113 0.1374 0.1502 0.0001 0.1244 0.0002 0.0146 0.0139 0.0051 0.0537 0.0000  0.0082 0.0000  0.0006 0.0040 0.1185 0.0260 0.0086 0.0417 0.2225 0.0175 0.1997 0.0930 0.0032 0.1647 0.1489 0.1675 0.0639 0.0370 0.0139 0.1973 0.0245 0.0407 0.0002 0.1734 0.0220 0.0001 0.1413 0.1444 0.0062 0.0475 0.0337 0.0000 0.0010 0.1602 0.0010 0.0318 0.0000   0.0062 0.0016 0.0001 0.1853 0.1208 0.0148 0.1388 0.0264 0.0911 0.1774 0.0255 0.0366 0.2195 0.0412 0.0052 0.0116 0.54 0.2246 0.0497 0.0367 0.2010 0.0031 0.0890 0.0010 0.0000 0.0249 0.0314 0.0515 0.1766 0.0863 0.1900 0.42 0.0031 0.2250 0.0007 0.2059 0.0008 0.0038 0.1306 0.0047 0.0002 0.1221 0.1204 0.0001 0.2171 0.1851 0.0006 0.0936 0.0029 0.0071 0.0019 0.0001 0.0000  0.1481 0.0000   0.1771 0.0365 0.2003 0.0496 0.49 0.0420 0.0001 0.2020 0.0060 0.1708 0.0078 0.0189 0.0001 0.1762 0.1678 0.0000 0.0388 0.1790 0.0818 0.0206 0.0020 0.59 0.0000   0.0000   0.1587 0.0004 0.0022 0.0025 0.0572 0.1742 0.0036 0.0048 0.0611 0.0056 0.0482 0.61 0.0232 0.1502 0.0178 0.0000    0.0684 0.0000 0.0545 0.1082 0.0002 0.0000 0.0013 0.1295 0.0001 0.2030 0.0916 0.0003 0.0000 0.0016 0.0830 0.1859 0.1201 0.1967 0.0000    0.1268 0.2256 0.0762 0.Apéndice tablas AT-11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 20 0.1683 0.0272 0.0311 0.0963 0.0002 0.0000 0.0843 0.0005 0.0224 0.2302 0.0010 0.0318 0.0042 0.0001 0.0003 0.0139 0.37 0.1419 0.0007 0.2008 0.0206 0.0021 0.0003 0.48 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 0.0221 0.0479 0.0303 0.0001 0.0034 0.1919 0.2270 0.0226 0.0754 0.0029 0.0004 0.45 0.1279 0.0739 0.2054 0.1296 0.0000    0.0006 0.2066 0.0002 0.0000  0.0049 0.1768 0.0710 0.0005 0.0355 0.0148 0.0624 0.0030 0.1602 0.0000 0.0180 0.0017 0.0125 0.0890 0.44 0.0617 0.1201 0.40 0.1931 0.1794 0.1732 0.0676 0.0901 0.0098 0.0801 0.1763 0.0003 0.38 0.0161 0.0006 0.0063 0.0094 0.0573 0.0001 0.0696 0.0001 0.2051 0.55 0.0559 0.0001 0.0075 0.1659 0.1105 0.2008 0.0005 0.60 0.1561 0.1211 0.53 0.0000 0.1318 0.0013 0.1504 0.0470 0.1447 0.1702 0.0634 0.0007 0.1354 0.0450 0.1526 0.0489 0.0003 0.0121 0.0005 0.0026 0.1593 0.0003 0.0001 0.0019 0.0036 0.1780 0.0098 0.0183 0.2028 0.0091 0.0043 0.0017 0.1404 0.0417 0.1140 0.0661 0.0023 0.0008 0.1144 0.0002 0.0011 0.0007 0.2184 0.0004 0.0024 0.1527 0.0064 0.0501 0.0001 0.0078 0.2254 0.0003 0.1700 0.0775 0.1089 0.1997 0.50 r n .1007 0.1934 0.0016 0.2075 0.0113 0.46 0.1812 0.1051 0.0074 0.1598 0.0247 0.0002 0.0032 0.1405 0.0830 0.1886 0.1304 0.1543 0.1851 0.0294 0.0991 0.0204 0.1163 0.1061 0.0104 0.0467 0.0006 0.0309 0.0000 0.0003 0.1691 0.0002 0.57 0.0049 0.0000 0.1634 0.0039 0.0000 0.0000 0.0046 0.0558 0.0369 0.0123 0.1608 0.0006 0.0013 0.0746 0.0090 0.0274 0.0205 0.1359 0.2163 0.0417 0.0486 0.2134 0.0577 0.2276 0.52 0.0031 0.0170 0.0008 0.1730 0.0954 0.1790 0.0310 0.0974 0.0161 0.0074 0.0001 0.1122 0.1661 0.0000 0.0000  0.0126 0.0000 0.0239 0.0741 0.0003 0.0237 0.0000 0.0038 0.0002 0.2234 0.0005 0.0260 0.0010 0.1527 0.0098 0.63 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 n r 0.0653 0.0118 0.0025 0.0000  0.0038 0.1446 0.1763 0.0001 0.0011 0.1020 0.0020 0.0418 0.0068 0.0925 0.0001 0.1771 0.2208 0.0604 0.47 0.0005 0.1800 0.0585 0.0024 0.0985 0.0009 0.0002 0.0014 0.56 0.0156 0.0000   0.0000 0.0010 0.0350 0.0916 0.1455 0.0020 0.1009 0.0844 0.0002 0.1280 0.0079 0.1964 0.0096 0.0780 0.1742 0.1693 0.0185 0.0259 0.0000 0.2128 0.2068 0.1516 0.0276 0.1933 0.1949 0.1314 0.0000 0.0295 0.0542 0.39 0.0567 0.0746 0.0134 0.0074 0.0000  0.0004 0.1037 0.1797 0.0100 0.0000 0.0046 0.1106 0.0288 0.0058 0.0013 0.0080 0.0012 0.0746 0.1393 0.0027 0.1376 0.0800 0.0001 0.0502 0.0727 0.0011 0.2210 0.0064 0.2285 0.0478 0.0038 0.0426 0.1914 0.0001 0.0390 0.0191 0.0656 0.0038 0.0016 0.0918 0.1434 0.1964 0.0361 0.0059 0.0116 0.1023 0.1727 0.0001 0.1338 0.0266 0.0002 0.0000   0.0001 0.1347 0.0008 0.0001 0.0538 0.0001 0.0005 0.0148 0.0000 0.1181 0.0339 0.2060 0.41 0.0427 0.0185 0.0839 0.1580 0. 8 9.6 1.00050 0.6 3.06721 0.00014 0.4 3.4 0.00012 0.1 0.7 8.00068 0.3 7.0 7.0 3.00224 0.7 9.00008 0.6 6.2 0.16530 0.6 5.2 3.30119 0.00370 0.00027 0.54881 0.00037 0.1 9.81873 0.5 0.00499 0.04505 0.00034 0.06081 0.4 1.2 6.4 6.01005 0.3 8.01111 0.5 0.5 6.5 0.00745 0.1 3.0 9.60653 0.8 0.02472 0.6 2.4 2.0 1.8 5.00022 0.7 7.00452 0.22313 0.00274 0.03337 0.01228 0.3 2.2 8.0 6.07427 0.00010 0.0 0.14957 0.36788 0.00017 0.00011 0.9 8.7 5.1 5.7 4.6 9.10026 0.05502 0.8 8.00045 0.9 1.04076 0.8 6.0 4.01832 0.7 0.00674 5.5 1.01500 0.67032 0.00025 0.3 6.7 3.3 0.00030 0.00005 0.00101 0.3 5.1 8.2 1.5 5.00610 0.04979 0.01657 0.6 0.5 4.03688 0.5 3.00020 0.00007 0.6 7.00248 0.00150 0.00075 0.00018 0.00409 0.1 7.1 6.6 4.00111 0.00166 0.3 1.9 3.3 3.2 5.33287 0.00335 0.11080 0.08208 2.44933 0.12246 0.8 4.00136 0.7 2.8 1.3 4.4 9.9 9.74082 0.9 2.9 4.20190 0.00041 0.5 8.8 3.01357 0.7 6.24660 0.9 10.Apéndice tabla 4(a) Valores de eⴚ para calcular probabilidades de Poisson AT-12  e  e  e  e 0.00009 0.2 2.27253 0.3 9.03020 0.0 2.02237 0.02732 0.4 8.9 6.90484 0.8 7.9 5.1 2.00184 0.2 4.18268 0.00007 0.00015 0.2 9.7 1.00910 0.09072 0.00303 0.40657 0.00055 7.00123 0.4 7.00006 0.0 0.6 8.00061 0.00091 0.5 9.13534 0.0 8.4 4.1 1.49659 0.00823 0.00005 Apéndice tablas .00552 0.2 7.00083 0.00006 0.02024 0.00203 0.4 5.8 2.9 7.1 4. 0031 0.0000 0.0902 5 6 7 8 9 0.0723 0.3293 0.0007 0.0118 0.0821 0.0000 0.0009 0.1488 0.0050 0.0045 0.0002 0.0417 0.0001 0.0126 0.0672 0.0008 0.0000 0.0333 0.0018 0.0000 0.0602 0.2033 0.0000 0.2138 0.1637 0.2237 0.0000 0.0504 0.3033 0.2014 0.0000 0.0203 0.0613 0.2177 0.0494 0.8 0.0758 0.0000 0.1414 0.0009 0.3329 0.0045 0.0000 0.3614 0.0407 0.0000 0.2700 0.0000 0.0362 0.0002 0.0000 0.0361 0.0038 0.8 1.0005 0.1703 0.0111 0.0738 0.2205 0.0146 0.0098 0.0002 0.0000 0.5488 0.0176 0.0001 0.0000 0.3012 0.0006 0.5 1.0319 0.0111 0.0020 0.4 0.0000 0.2240 0.0002  X 2.2225 0.0000 0.0000 0.0668 0.0001  X 1.4 1.6 1.0260 0.7 0.1494 0.0012 0.0007 0.0867 0.2417 0.4 2.6065 0.7 2.1336 0.0030 0.1008 0.0004 0.1622 0.1815 0.0061 0.5 0.0000 0.0011 0.3679 0.2466 0.0000 0.0008 0.0284 0.3476 0.2681 0.0139 0.1557 0.3679 0.5 2.1647 0.0000 0.1966 0.0476 0.3 2.0003 0.8 2.0077 0.0988 0.0141 0.6 0.0000 0.9 2. la entrada indica la probabilidad de obtener un valor específico de X.0164 0.2 2.0007 0.2090 0.0002 0.0000 0.0005 0.2707 0.1 2.0068 0.9 3.0025 0.0001 Apéndice tablas AT-13 .0083 0.2707 0.0001 0.0084 0.0006 0.2231 0.1082 0.0905 0.1003 0.9 1.2176 0.0001 0.2384 0.3452 0.0000 0.0188 0.1496 0.0011 0.0034 0.2 1.3595 0.6703 0.3662 0.0000 0.1496 0.1 0.0 0 1 2 3 4 0.0998 0.0001 0.0278 0.0015 0.0153 5 6 7 0.0001 0.2019 0.0000 0.0002 0.0078 0.0498 0.2438 0.0001 0.2975 0.2572 0.1255 0.0000 0.0011 0.3 1.0000 0.3659 0.0016 0.0000 0.0018 0.0743 0.0020 0.0002 0.1378 0.0001 0.0004 0.0000 0.1128 0.0015 0.0005 0.1839 0.0001 0.0026 0.0027 0.0550 0.0047 0.0216 0.0014 0.0163 0.0022 0.2 0.0383 0.0031 0.0072 0.0455 0.0035 0.0000 0.1438 0.1225 0.0804 0.0 0 1 2 3 4 0.0001 0.0872 0.0471 0.2842 0.0001 0.1 1.1931 0.0551 0.0992 0.0003 0.1596 0.1653 0.0120 0.Apéndice tabla 4(b) Valores directos para determinar probabilidades de Poisson Para un valor dado de .7 1.0907 0.0 0 1 2 3 4 0.1827 0.0044 0.0057 0.3347 0.0001 0.2450 0.0000 0.2169 0.2725 0.0001 0.2700 0.0068 0.0000 0.2306 0.0081 0.1217 0.0000 0.0005 0.3543 0.4493 0.0395 0.2652 0.0004 0.2510 0.2510 0.0260 0.0538 0.0001 0.0012 0.0812 0.0003 0.0000 0.2565 0.1607 0.0003 0.3230 0.0099 0.0019 0.7408 0.0000 0.0001 0.2222 0.0000 0.0008 0.0002 0.2314 0.2613 0.0241 0.1353 0.0536 0.0047 0.0216 0.0735 0.0000 0.0000 0.0000 0.4966 0.1804 0.9048 0.2303 0.0002 0.0324 0.  X 0.0000 0.0940 0.0003 0.1890 0.1254 0.0062 0.1108 0.0000 0.0055 0.1680 5 6 7 8 9 0.2240 0.0174 0.0033 0.0003 0.4066 0.3 0.0002 0.2681 0.0027 10 11 12 0.6 2.0005 0.8187 0.1710 0.1169 0.0309 0.2052 0.0001 0.2678 0.0636 0.2584 0.0011 0.0198 0.3106 0.0608 0.0206 0.2640 0. 0136 0.0073 0.0002 0.0225 0.0013 0.0583 0.1465 0.0348 0.1237 0.0793 0.0575 0.0985 0.0123 0.1748 0.0004 0.0003 0.0001 0.0016 0.0000 0.0000 0.0018 0.0427 0.1692 0.0005 0.0004 0.0082 0.1298 0.2087 0.2226 0.1734 0.1462 0.0005 0.1687 0.0010 0.1539 0.0101 0.0001  X 4.0423 0.0009 0.7 3.0001 0.0102 0.9 6.0023 0.0056 0.0003 0.0003 0.1353 0.1781 0.0015 0.1687 0.0021 0.0011 0.1323 0.0771 0.0881 0.1753 0.1254 0.1662 0.1747 0.0066 0.1515 0.1852 0.2158 0.0030 0.0365 0.0005 0.0000 0.2 3.1185 0.0002 0.0732 0.0191 0.1605 0.1093 0.0014 0.4 5.0002 0.0746 0.0001 0.1951 0.0006 0.0486 0.0008 0.0938 0.0265 0.1606 0.0000 0.0654 0.0004 0.0989 0.0000 0.0002  AT-14 X 5.0016 0.0309 0.0003 0.0285 0.0001 0.1571 0.0116 0.0104 0.1 3.1086 0.0045 0.0519 0.0334 0.1203 0.0608 0.0002 0.0771 0.0000 0.0369 0.0150 0.1323 0.0000 0.0007 0.0731 0.0298 0.1125 0.0463 0.0033 0.1850 0.0043 0.0002 0.1383 0.0810 0.5 5.0041 0.2 4.3 4.0 0 1 2 3 4 0.0778 0.1755 5 6 7 8 9 0.0011 0.0232 0.0015 0.1472 0.0102 0.0073 0.0148 0.0188 0.0176 0.0278 0.1397 0.0462 0.0002 0.1681 0.0061 0.0000 0.0998 0.0045 0.0385 0.0001 0.0454 0.0716 0.1133 0.0009 0.0000 0.0006 0.0037 0.1234 0.0662 0.0363 10 11 12 13 14 15 0.1304 0.0008 0.1033 0.0262 0.0003 0.0280 0.1460 0.0312 0.0076 0.0052 0.0001 0.4 3.0028 0.0466 0.0064 0.8 4.0191 0.0147 0.0013 0.6 3.0395 0.0111 0.1771 0.1823 0.7 5.0132 10 11 12 13 14 0.1188 0.0006 0.0508 0.1820 0.2237 0.0065 0.0500 0. X 3.1264 0.0001 0.0039 0.0023 0.0614 0.0334 0.0011 0.0302 0.0006 0.1293 0.1191 0.0686 0.1404 0.2046 0.1362 0.0053 0.0337 0.0653 0.0202 0.0002 0.0984 0.0150 0.0157 0.0028 0.0081 0.1929 0.0246 0.0386 0.0509 0.0001 0.1678 0.0220 0.0003 0.0019 0.0051 0.0001 0.0003 0.1140 0.0001 0.0001 0.0005 0.0000 0.0022 15 16 17 0.0001 0.0183 0.0959 0.0789 0.0041 0.0001 0.0224 0.9 4.0001 0.0003 0.0050 0.0225 0.1719 0.1615 0.0026 0.0630 0.2209 0.1326 0.0082 0.1515 0.8 3.0500 0.1239 0.0011 0.7 4.6 4.0049 0.0001 0.0 0 1 2 3 4 0.0311 0.0679 0.1606 0.0428 0.1200 0.0450 0.1944 0.1322 0.1917 0.1042 0.0392 0.1348 0.0045 0.0027 0.0000 0.1267 0.0948 0.0033 0.2165 0.0001 0.1555 0.0008 0.0001 0.1753 0.0255 0.1398 0.1377 0.0000 0.0111 0.0166 0.0307 0.1725 0.1600 0.0149 0.0039 0.0168 0.1517 0.0046 0.1954 5 6 7 8 9 0.0016 0.0092 0.0001 0.0936 0.0008 0.1728 0.0181 0.1 4.1135 0.0030 0.1490 0.0002 0.1656 0.2001 0.0009 0.0005 0.0129 0.0701 0.0659 0.0034 0.1641 0.0004 0.1005 0.0071 0.1708 0.0824 0.5 4.0551 0.0019 0.1563 0.2125 0.1714 0.0002 0.1631 0.0408 0.1912 0.1558 0.0733 0.0022 0.1022 0.1 5.1849 0.0000 0.1904 0.0618 0.0580 0.1789 0.1217 0.0036 0.1933 0.0287 0.0092 0.2008 0.0089 0.0640 0.0116 0.1522 0.1428 0.0004 0.1858 0.0000 0.0620 0.0013 0.1954 0.0000 0.0477 0.0552 0.0190 0.1033 0.0328 0.0393 0.1063 0.1584 0.3 3.0850 0.0007 0.1574 0.0000 0.0002 0.0061 0.0169 0.0586 0.0019 0.0001 0.1944 0.0032 0.0056 0.1738 0.0842 0.0692 0.1875 0.0082 0.0000 0.1888 0.2087 0.0000 0.0241 0.0032 0.0003 0.0413 0.0173 0.0244 0.0892 0.0091 0.0207 0.0003 0.0209 0.0849 0.1125 0.0024 0.0007 0.0067 0.0009 0.0143 0.0215 0.1143 0.1697 0.0058 0.0129 0.0000 0.0001 0.8 5.0247 0.1755 0.0025 0.0047 0.0425 0.0241 0.1432 0.1281 0.0446 0.0104 0.1594 0.0033 0.0093 0.0273 0.0113 0.0013 0.1377 0.0359 0.0887 0.1601 0.0037 0.1057 0.0537 0.0200 0.0095 0.0826 0.1044 0.0001 0.0007 0.1075 0.0 0 1 2 3 4 0.1429 0.0869 0.0001 Apéndice tablas .0269 0.1163 0.0360 0.0207 0.0000 0.9 5.1600 0.1537 0.1898 0.0000 0.0164 0.1798 0.0915 0.0001 0.1393 0.0001 0.0000 0.0894 0.0118 0.4 4.1082 0.0162 0.1743 0.0544 0.0055 0.0019 0.0074 0.0002 0.5 3.1632 0.0006 0.1477 0.1740 0.2186 0.0555 0.0595 0.0002 0.0914 0.3 5.1951 0.0009 0.0962 0.0132 0.0040 0.0017 0.0334 0.0540 0.1339 5 6 7 8 9 0.0688 10 11 12 13 14 0.0925 0.0027 0.1931 0.2 5.1633 0.0000 0.0001 0.6 5. 0000 0.0107 0.1490 0.0029 0.0016 0.0041 0.1465 0.0033 0.0000 0.0086 0.0001 0.0401 0.0020 0.1099 0.0276 0.0585 0.0000 0.0064 0.1076 0.1474 0.0000 0.1349 0.1021 0.0029 0.0492 0.1601 0.0021 0.0602 0.0364 0.0558 0.0033 0.0858 0.0009 0.0001 0.1549 0.0145 0.0729 0.0010 0.0227 0.1575 0.0154 0.0051 0.0874 0.0003 0.0000 0.0106 0.0004 0.0296 0.0041 0.0240 0.0498 0.0033 0.0710 0.1294 0.0531 0.1252 0.0632 0.0667 0.0045 0.0022 0.7 6.1468 0.0014 0.0417 0.0695 0.1382 0.0134 0.0012 0.0023 0.0045 0.0113 0.1304 0.0000 0.0986 0.1586 0.0137 0.0108 0.0258 0.0366 0.1394 0.0005 0.0125 0.1224 0.0004 0.0245 0.0098 0.0006 0.0004 0.0469 0.0770 0.1396 0.0019 0.1445 0.1595 0.1204 0.0353 0.0073 0.0010 0.1435 0.1472 0.0008 0.0001  Apéndice tablas AT-15 .0003 0.0265 0.0181 0.0104 0.1094 0.0000 0.0764 0.0426 0.0679 0.1034 0.0330 0.0007 0.0005 0.0528 0.1511 0.1546 0.0058 0.0434 0.0076 0.1388 0.0012 0.0052 0.0891 0.1337 0.0194 0.1462 0.8 6.0264 0.0411 0.0278 0.0377 0.1454 0.0009 0.1486 0.0004 0.1167 0.0169 15 16 17 18 19 20 21 0.0825 0.0464 0.0452 0.0038 0.1418 0.0007 0.0018 0.0223 0.0027 0.1215 0.0001 0.0119 0.6 6.0196 0.0037 0.0069 0.6 7.0179 0.1249 0.0954 0.0740 0.0003 0.1339 0.0663 0.0035 0.1605 0.0848 0.0026 0.1096 0.0649 0.0558 0.0696 0. X 6.0001 0.0799 0.0003 0.0438 0.0210 0.0366 0.1205 0.0001 0.0116 0.0037 0.0059 0.0123 0.0941 0.1489 0.0037 0.0011 0.0765 0.0001 0.1395 0.0089 0.1284 0.1282 0.1579 0.1118 0.0478 0.1562 0.0000 0.0013 0.0126 0.0095 0.1420 0.1 6.0021 0.0324 0.0180 0.0002 0.0078 0.0008 0.0018 0.0457 0.0062 0.9 8.0157 0.1 7.0887 0.1014 10 11 12 13 14 0.0726 0.0014 0.0992 0.0001 0.0145 0.1057 0.0260 0.0002 0.0083 0.0006 0.0001 0.0003 0.0318 0.0029 0.0150 0.1399 0.0800 0.1241 10 11 12 13 14 0.0588 0.1385 0.0000 0.0002 0.5 7.0584 0.0791 0.0722 0.0504 0.1363 0.0054 0.0688 0.0001 0.1373 0.0441 0.0004 0.1487 0.1162 0.0116 0.0008 0.0002 0.1321 0.0075 0.0000 0.0017 0.9 7.1367 0.0134 0.0041 0.0001 0.0002 0.0000 0.0007 0.0057 0.0006 0.0211 0.0005 0.0008 0.0307 0.0011 0.1070 0.1450 0.0065 0.0000 0.0340 0.0967 0.0137 0.0081 0.0004 0.0521 0.0 0 1 2 3 4 0.1396 0.0049 0.0005 0.0001 0.0573 5 6 7 8 9 0.0010 0.0001 0.0000 0.1188 0.0001 0.0723 0.1311 0.0009 0.0004 0.0000 0.0002 0.0156 0.0006 0.0003 0.1130 0.1420 0.0090 0.3 6.0952 0.1277 0.0070 0.8 7.0003 0.0046 0.7 7.4 7.1442 0.0858 0.0006 0.0020 0.1529 0.0024 0.2 7.0010 0.0041 0.1066 0.0413 0.0390 0.1187 0.0025 0.0016 0.0032 0.1314 0.0286 0.0015 0.0194 0.0002 0.0001 X 7.0014 0.1221 0.0323 0.0013 0.0618 0.0005 0.1130 0.1207 0.0285 0.0345 0.0001 0.0030 0.0993 0.0058 0.0757 0.0001 0.1042 0.0985 0.4 6.1241 0.0806 0.0001 0.0000 0.0130 0.0303 0.0002 0.0552 0.0243 0.0003 0.0640 0.0283 0.0082 0.3 7.1160 0.0002 0.0652 0.0951 0.0481 0.0617 0.1489 0.1486 0.1490 0.0167 0.0001 0.0344 0.0001 0.1240 0.1428 0.0026 0.2 6.0227 0.0168 0.5 6.0389 0.0007 0.0002 0.0007 0.0296 0.0000 0.1481 0.1121 0.0000 0.0001 0.0064 0.0613 0.0000 0.0916 0.0006 0.0071 15 16 17 18 19 0.1144 0.1392 0.0001 0.1454 0.0164 0.1167 0.0388 0.0923 0.0208 0.0005 0.0305 0.0142 0.0017 0.0836 0.1519 0.1480 0.0015 0.0829 0.0098 0.0012 0.0914 0.0245 0.1263 0.1351 0.0004 0.1413 0.0912 5 6 7 8 9 0.0090 0.0019 0.0046 0.0124 0.0 0 1 2 3 4 0. 0001 0.0002 0.0491 0.1332 0.0656 0.0313 0.0007 0.0160 0.0010 0.0749 0.0001 0.0055 0.0970 0.0594 0.0014 0.0505 0.0002 0.1148 0.0060 0.0001 0.1083 0.0201 0.3 9.0982 0.0306 0.0017 0.0157 0.0101 0.1317 0.0640 0.1010 0.0007 0.0213 0.0001 0.0017 0.0103 0.0031 0.0908 0.0544 0.0002 0.0003 0.1300 0.0225 0.0526 0.0707 0.1197 0.1118 0.0034 0.0093 0.1034 0.0254 0.0324 15 16 17 18 19 0.0851 0.0046 0.0000 0.0171 0.0000 0.1299 0.0001 0.0001 0.0040 0.0466 0.0882 0.0000 0.0001 0.0555 0.0007 0.0878 0.0483 0.0001 0.0001 0.0682 0.0003 0.0075 0.0001 0.0361 0.0086 0.1031 0.1280 0.0001 0.0001 0.9 9.0398 0.1358 0.1 9.0033 0.1123 0.0208 0.0265 0.0001 Apéndice tablas  .0822 0.0014 0.0398 0.1232 0.1392 0.0729 0.0034 0.0119 0.0014 20 21 22 0.0000 0.0853 0.0100 0.1251 0.0844 0.0347 0.0079 0.0581 0.0460 0.0087 0.0001 0.0001 0.1294 0.1128 0.0024 0.0025 0.0012 0.1290 0.0002 0.0002 0.0011 0.1251 10 11 12 13 14 0.0029 0.0009 0.1249 0.0158 0.0240 0.0023 0.0438 0.0086 0.0374 0.0692 0.0479 0.0654 0.0194 0.1063 0.7 8.0109 0.0506 0.0092 0.0060 0.5 9.0217 0.0572 0.0816 0.1263 0.0111 0.0419 0.0728 0.0679 0.0001 0.0928 0.0521 15 16 17 18 19 0.0058 0.0002 0.0002 0.0039 0.1311 0.1097 0.0822 0.0054 0.1306 0.0002 0.0100 0.2 8.4 8.0016 0.0784 0.0005 0.0183 0.0003 0.0021 0.1091 0.0459 0.0079 0.1388 0.0764 0.1160 0.1125 0.1012 0.1003 0.0972 0.0001 0.1222 0.0342 0.0015 0.0118 0.0226 0.0 0 1 2 3 4 0.0003 0.1066 0.4 9.0928 0.8 9.0948 0.0955 0.0357 0.0012 0.0001 0.0881 0.0068 0.0302 0.1210 0.0802 0.0136 0.2 9.0530 0.0063 0.0040 0.0031 0.0011 0.0459 0.0168 0.0019 0.0418 0.0046 0.0127 0.1271 0.0000 0.0005 0.0001 0.0195 0.0093 0.8 8.0012 0.0001 0.0888 0.0549 0.1366 0.1067 0.0001 0.0065 0.0500 0.1250 0.0019 0.0420 0.1170 0.0240 0.0002 0.0222 0.0024 0.1382 0.0607 0.0001 0.0579 0.0147 0.1315 0.0028 0.0799 0.0604 0.0137 0.1219 0.0053 0.1317 0.0026 0.0001 0.0011 0.0289 0.0021 0.0005 0.1112 0.0481 0.0256 0.0008 0.0071 0.0055 0.9 10 0 1 2 3 4 0.0005 0.1318 10 11 12 13 14 0.0023 0.1286 0.0095 0.1395 0.1235 0.0000 0.0004 0.0006 0.1318 0.0003 0.6 9.1126 0.0902 0.0008 0.5 8.0180 0.0285 0.0037 0.0004 0.0002 0.0013 0.0000 0.0002 0.0009 0.3 8.0147 0.0208 0.0014 0.0128 0.0439 0.0001 0.0196 0.0006 0.0088 0.0237 0.1064 0.1049 0.0007 0.0001 0.1212 0.0004 0.0002 0.0272 0.0005 0.0150 0.0003 0.1157 0.0000 0.0319 0.0048 0.0617 0.0002 0.0036 0.0001 0.0023 0.0001 0.0019 0.0281 0.0015 0.1274 0.0555 0.0000 0.0007 0.0051 0.0793 0.0002 0.0635 0.0849 0.0107 0.1306 0.1375 0.0337 5 6 7 8 9 0.0021 0.0063 0.0395 0.0042 0.7 9.0006 0.0941 0.1338 0.1344 0.0058 0.0703 0.0192 0.0269 0.0776 0.0629 0.1251 0.0005 0.0116 0.0008 0.0081 0.0140 0.1186 0.0380 0.1 8.0069 0.0004 0.0008 0.0081 0.0012 0.0002 0.0297 0.0948 0.0330 0.1315 0.0131 0.0032 0.0002 0.1247 0.1228 0.1191 0.0043 0.1317 0.0003 0.1037 0.0098 0.0439 0.0107 0.0076 0.0204 0.0001 0.0003 0.6 8.1191 0.0530 0.0169 0.0000 0.1241 0.0001 0.0752 0.0315 0.0000 0.1145 0.0001 0.1104 0.0000 0.0017 0.0010 0.0001 X 9.0001 0.0517 0.0334 0. AT-16 X 8.0354 0.0210 0.1098 0.0722 0.0235 0.0776 0.0378 0.1378 0.1269 0.0925 0.0050 0.0182 0.1198 0.0006 0.0901 0.0663 0.0002 0.0911 0.0009 0.0005 0.0123 0.1256 0.0377 0.0029 0.0027 0.0416 0.0015 0.0443 0.0250 0.0005 0.0050 0.0736 0.0000 0.0025 0.0026 0.1171 0.0126 0.0221 0.0017 0.1356 0.1040 0.0001 0.1284 0.1293 0.0002 0.0504 0.0074 0.0685 0.0631 0.1172 0.0004 0.0399 0.0828 0.0026 0.1017 0.0010 0.0269 0.0037 20 21 22 23 24 0.0115 0.0189 5 6 7 8 9 0.0866 0.1140 0.1245 0.0002 0.0662 0.0009 0.0182 0.1302 0.1137 0.0044 0.0011 0.0072 0.0003 0.0009 0.1084 0.0004 0.0001 0.0709 0.0991 0.1311 0.0252 0.0066 0.0752 0.0029 0.0006 0.0019 0.0035 0.1269 0. 0053 0.0829 0.0002 0.0956 0.0001 Apéndice tablas AT-17 .0000 0.0152 0.0000 0.0002 0.0509 0.0001 0.0000 0.0245 0.0230 0.0019 0.0000 0.0343 0.0001 0.0000 0.0117 0.0438 0.0888 01085 0.0246 0.0934 0.0005 0.0065 0.0024 0.0002 0.0063 0.0442 0.0000 0.0000 0.0446 0.0000 0.0000 0.0237 0.0004 0.0000 0.0002 0.0271 0.0000 0.0015 0.0000 0.0164 0.0760 0.0724 0.0109 0.0001 0.0004 0.0930 0.0426 0.0000 0.0728 0.0070 0.0000 0.0026 0.0002 0.0001 0.0000 0.0992 0.1144 0.0001 0.0418 0.0000 0.0030 0.0000 0.0000 0.1024 0.0007 0.1060 0.0800 0.0004 0.0259 0.0000 0.0000 0.0989 0.0037 0.0397 0.0044 0.0144 0.0844 0.0216 0.0658 0.0003 0.0000 0.0127 0.0000 0.0669 0.0543 0.0000 0.0706 0.0000 0.0055 0.0000 0. X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 2 3 4 0.0058 0.0001 0.0355 0.0559 0.0000 0.0550 0.0328 0.0095 0.0887 0.0002 0.0646 0.0009 0.0496 0.0798 0.0048 0.0006 0.0050 0.0000 0.0001 0.0050 0.0005 0.1015 0.0000 0.0559 0.0181 0.0003 0.0109 0.0014 0.0000 0.0001 0.0013 0.0000 0.0000 0.0560 0.0000 0.1194 0.0001 0.0844 0.0433 0.0936 0.0000 0.0341 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0049 0.0077 0.0006 0.0013 0.0174 0.0814 0.0104 0.1024 0.0000 0.0000 0.0473 0.0034 0.0005 0.0194 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0057 0.0906 0.0000 0.0255 0.0000 0.0692 0.0026 0.0013 0.0911 0.0000 0.0000 0.0000 0.0083 0.0092 0.0783 0.0000 0.0960 0.0001 0.0000 0.0013 0.0173 0.0409 0.0002 0.0164 0.0001 0.0663 0.0204 0.0000 0.0383 0.0001 0.0000 0.0000 0.1144 0.0786 0.0847 0.0859 0.1099 0.0072 0.0000 0.0135 0.0256 0.0000 0.0310 0.0554 0.0016 0.0254 0.0000 0.0000 0.0719 0.0926 0.0000 0.0004 0.0006 0.0226 0.0000 0.0661 0.0646 0.0011 0.0060 0.0000 0.0150 0.0070 0.0514 0.0000 0.0000 0.0005 0.0516 0.0084 0.0024 0.0038 0.0042 0.0411 0.0001 0.0281 0.0000 0.0713 0.0000 0.0083 0.0000 0.0034 0.0000 0.0043 0.0037 0.0486 0.0083 0.0299 0.0000 0.0846 0.0936 0.0003 0.0699 0.0557 25 26 27 28 29 0.0557 0.0001 0.0106 0.0027 0.0772 0.0008 0.0663 0.0001 0.0000 0.0002 0.0145 0.0054 0.0029 0.0010 0.0000 0.0154 0.0029 10 11 12 13 14 0.0000 0.0336 0.0884 0.0004 0.0909 0.0866 0.0006 0.0004 0.0125 30 31 32 33 34 0.0224 0.1194 0.0002 0.0830 0.0010 0.0007 0.0304 0.0911 0.0020 0.1048 0.0161 0.0002 0.0009 0.0010 0.0018 0.0000 0.0560 0.0000 0.0000 0.0000 0.0888 20 21 22 23 24 0.0387 15 16 17 18 19 0.0000 0.0012 0.0000 0.0000 0.0272 0.0000 0.0101 0.0984 0.0000 5 6 7 8 9 0.0007 0.0324 0.0037 0.0000 0.0018 0.0992 0.0000 0.0676 0.0008 0.0001 0.0000 0.0133 0.0888 0.0000 0.0002 0.0023 0.0001 0.0046 0.0000 0.0016 0.0176 0.0000 0.0000 0.0000 0.0650 0.0866 0.0000 0.0120 0.0237 0.0213 0.1099 01021 0.0000 0.0018 0.0000 0.0368 0.0000 0.0019 0.0030 0.0034 0.0000 0.0003 0.0457 0.0097 0.0000 0.0661 0.0885 0.0655 0.0000 0.0003 0.1094 0.1056 0.0000 0.0769 0.0000 0.0000 0.0074 0.0367 0.0010 0.0020 0.0191 0.0010 0.0000 0.0177 0.0000 0.0684 0.0437 0.0814 0.0004 0.0002 0.0504 0.0000 0.0001 0.0655 0.0874 0.0001 0.0007 0.0320 0.0087 0.0102 0.0378 0.0000 0.0905 0.0121 0.1060 0.0963 0.0534 0.0963 0.0012 35 36 37 38 39 0.0024 0.0286 0.0863 0. 20 del área bajo la curva (la parte sombreada del extremo derecho)..822 4.002 12.229 5.283 10.865 11.0506 0.312 10.908 7.610 2.304 7.975 0.085 10.848 14.307 11. el valor ji-cuadrada apropiado es 14.338 13.703 21.90 0.631 Grados Para encontrar ji-cuadrada correspondiente a 0.564 8.578 6.989 7.635 2.591 10.547 9.554 0.00098 0.015 7. Edimburgo) y con licencia de los autores y de los editores.226 5.404 5.800 0.179 6.0201 0.982 11.939 19.865 5.256 14.99 0.088 2.594 5.0158 0.Apéndice tabla 5 0.631.408 7.308 16.599 0.107 4.042 7.484 0.103 0.573 15.591 12.558 3.953 0.446 1.897 9.962 8.379 16.211 0.848 15.879 13.198 12.831 1.690 2.247 3.237 1.314 17.261 7.364 *Tomado de la tabla IV de Fisher y Yates.892 6.833 3.152 12.940 19.649 2.820 20. Statistical Tables for Biological.708 18.231 8.180 2.571 4. busque bajo la columna del 0.733 3.187 18.660 5.584 1.297 0.292 18.791 0.928 17.390 10.20 del área Valores de 2 Ejemplo: 14.117 10.0642 0.844 14.95 0.588 22.857 13.565 14.064 1. AT-18 Apéndice tablas .812 6.240 14.578 15.851 11.658 16.20 y en el renglón que corresponde a 11 grados de libertad.380 6.047 16.672 9.856 11.907 9.689 12.816 4.262 6.651 12.00016 0.260 8.204 2.575 5.239 1.216 0.473 17. de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 *Área correspondiente al extremo derecho de una distribución ji-cuadrada (2) Área en el extremo derecho 0. Londres (publicada anteriormente por Oliver & Boyd.493 0.490 4.041 14.475 23.872 1.790 8.443 13.711 1.009 5.151 16.467 10.524 12.629 6.571 7.070 3.716 14.325 3.114 18.445 16.700 3.053 3.768 20.167 2.145 1.062 18.00398 0.634 9.646 2.196 10.120 13.807 8. Agricultural and Medical Research.005 1.633 8.115 0.542 10. en una distribución ji-cuadrada con 11 grados de libertad.091 13. publicada por Longman Group Ltd.940 4.401 13.168 4.343 3.611 15.352 0. 706 4.364 40.144 31. podemos aproximar 2.615 22.250 2.912 34.553 30.688 29.587 28.805 36.833 14.769 25.05 0.963 48.631 15.25 0.671 33.196 34.985 18.989 7.615 30.675 31.557 43.465 21.779 9.415 37.337 42.Nota: Si v.795 32.337 24.251 7.841 5.345 13. el valor ji-cuadrada que deja  del área en el extremo.892 libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Apéndice tablas AT-19 .461 45.311 20.307 19.143 12.781 38.194 44.642 3.578 32.722 46.652 38.087 40.409 34.277 15.236 10.01 1.289 8.026 22.483 21.090 21.038 26.815 9.507 16. Área en el extremo derecho Grados de 0.172 36.642 46.027 35.307 23.647 41.980 44.139 36.900 25.869 30.314 45.289 41.736 26.278 49.845 30.113 41.488 28.479 36.685 24.812 18.151 19.563 36.592 14.086 16.070 12. por 3   9v  2 2  v 1    z 9v 2 en la que z es el valor estándar normal (tomado de la tabla 1 del apéndice) que deja a del área en el extremo Izquierdo.348 11.378 9.979 6.666 23.412 29.067 15.932 40.989 27.064 22.191 37.362 23.171 27.991 7.675 21.760 23.170 35.013 17.410 32.803 11.852 34.813 32.024 7. es mayor que 30.526 32.242 13.475 20.119 27.549 19.275 18.812 16.885 40.645 12.635 9.204 28.023 20.987 17.558 9.10 0.362 14.382 35.923 43.542 24.535 19.605 6.030 12.442 14.924 35.916 39.296 27.219 4.20 0.996 26.210 11.812 21.488 11.191 31.076 39.429 29.919 18.684 15. el número de grados de libertad.725 26.449 16.741 37.209 24.566 38.017 13.141 30.773 5.217 27.301 28.642 5.256 3.000 33.920 23.588 50.007 33.638 42. 16 2.85 2.34 3.76 173 1.21 2.28 6.92 2.79 1.54 4.50 30 1.91 1.53 2.12 2.29 3.01 1.94 2.26 4.07 239 19.01 2.66 5.20 2.92 1.66 2.83 2.76 4.18 2.46 2. Para encontrar F para 0.09 2.40 2.04 2.84 4.54 4.5 8.75 4.84 1.87 2.71 216 19.65 2.18 2.81 3.55 1.92 3.53 2.79 2 *Tomado de M.34 2.07 3.79 4.12 4.4 8.18 3.58 3.63 3.18 2.61 2.95 2.68 12 Grados de libertad en el numerador 2.39 1.53 2.18 3.06 2.59 4.5 859 5.35 3.32 3.92 1.74 4.90 4. busque en la columna correspondiente a 15 grados de libertad en el numerador y en el renglón de los 6 grados de libertad.10 2.32 5.57 3.87 1.95 2.0 9.67 2.57 5.92 2.4 8.49 3.15 2.14 2.94 1.45 2.21 2.10 2.41 2.54 254 19.16 2.50 3.27 2.52 3.3 8.70 250 19.39 3.12 2.39 2.09 4.23 2.65 1.59 2.90 2.71 6.27 2.5 10.12 3.61 1.59 3.30 2.62 15 1.35 2.00 1.39 3.74 3.42 2.91 4.4 8.51 3.38 2.53 2.30 2.83 2.05 2. en una distribución F con 15 grados de libertad para el numerador y 6 grados de libertad para el denominador.78 2.53 24 *Valores de F para distribuciones F con 0.62 5.42 3.44 3.75 4.96 1.23 2.01 2.68 5.02 241 19.20 3.89 6.77 248 19.66 4.86 4.44 3.5 8.51 2.72 4.39 2.87 3.56 20 1.05 3.95 6 0.63 4.68 2.80 2.85 246 19.89 1.33 2.62 1.4 8.92 1.49 2.07 3.13 2.11 2.17 4.37 2.44 3.25 2.74 2.93 2.34 2.00 3.48 2.41 3 2.69 2.74 2.11 2.77 2.38 3.57 2.96 1.96 4.25 2.55 2.10 3.15 2.93 1.34 2.AT-20 Apéndice tablas 161 18.02 1.40 3.76 2.23 3.90 2.96 2.35 1.00 3.66 251 19.55 6.49 2.38 2.60 2.97 2.54 2.98 242 19.71 2.65 2.10 2.47 3.34 3.39 3.84 1.4 8.29 2.96 2.67 3.77 2.04 2.86 2.43 60 1.79 1.30 2.4 8.49 3.85 6.35 2.46 4.01 2.33 3.20 3.96 2.85 2. el valor apropiado F es 3.60 4.69 1.06 4.68 2.72 2.30 3.45 2.69 3.27 2.75 2.64 2.59 5.34 2.61 2.24 2.12 6.5 8.34 2.64 5.61 2.37 2.1 7.38 2.53 1.05 3.40 2.94 2.00 1. Merrington y C.18 2.77 2.2 9.25 2.04 1.83 2.57 2.80 4.81 6.62 2.51 1.87 3.30 2.64 4.79 2.10 200 19.74 1.84 1.03 2.48 3.82 2.93 2.85 2.84 174 1.08 2.08 4.99 3.25 2.54 2.11 2.78 1.18 2.98 1.43 1.39 1.99 2.26 4.79 3.64 3.01 1.97 3.03 3.08 2.26 5.70 1.66 1.71 3.08 1.94.84 3.58 253 19.42 2.00 3.37 2.5 855 5.12 2.37 ∞ .79 1.32 4.60 2.40 2.45 2.13 2.46 2.29 4.70 3.75 1.47 2.53 5.25 2.43 2. Ejemplo: Grados de libertad en el denominador 2.03 1.05 2.04 4.15 3.39 5.16 4.09 2.31 2.19 4 5 2.11 3.03 2. Biometrika 33 (1943).15 3.32 2.28 3.42 2.01 1.81 2.59 3.3 9.44 2.49 2.76 2.67 2.31 2.69 2.15 2.88 7 2.59 5.46 2.25 1.77 3.98 1.97 1.07 2.37 3.28 4.94 2.92 2.28 2.41 4.67 4.13 3.84 1.64 1.60 3.51 2.34 2.21 2.79 2.62 2.98 1.70 5.63 3.92 1.01 2.74 10 2.10 3.75 2.01 2.41 3.27 2.54 2.20 2.94 6.48 4.40 3.46 2.09 3.20 3.82 8 2.14 4.88 1.28 2.22 234 19.84 2.58 1.40 120 1.60 3.01 2.01 1.16 3.29 3.24 3.01 6.23 2.81 1.2 9.83 1.89 3.07 2.74 5.00 2.00 4.17 2.45 2.77 9 2.15 2.94 5.71 4.32 2.16 2.22 2.42 2.11 3.07 3.84 2.24 2.70 2.84 2.28 3.89 1.51 2.59 1.19 2.53 4.51 3.82 2.14 237 19.41 3.96 1.86 1.80 2.89 1.46 40 1.99 1.96 1.55 3.71 2.19 2.32 1.06 3.05 del área bajo la curva.94 1.90 2.84 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 60 120 ∞ 1 3.47 1.81 1.50 1.61 5.77 4.28 2.36 3.84 3.86 3.53 2.25 3.76 3.31 2.30 4.62 252 19.05 del área en el extremo derecho Apéndice tabla 6(a) 1.22 3.11 2.70 2.23 3.23 2.91 1.88 2.93 1.91 2.63 2.01 1.58 2.06 202 1.45 2.37 2.46 2.45 4.5 8.15 2.81 3.53 2.11 3.68 1.35 2.74 249 19.49 2.96 4.66 2.07 2.06 2.75 1.19 2.10 2.94 3.38 2.36 2. Thompson.55 2.05 del área 2.01 2.35 4.22 1.98 3.60 2.24 4.57 2.38 4.79 5.75 2.85 2.27 2.73 3.90 2.66 2.16 3.26 3.42 2.4 8.35 4.99 5.91 244 19.52 2.69 4.49 2.M.74 3.49 4.71 2.21 3.03 2.87 3.48 225 19.07 3.09 2.68 3.42 2.33 230 19. 30 3.313 99.99 5.59 2.42 5.43 3.339 99.99 3.72 6.2 11.35 3.67 7.75 2.4 27.26 4.44 4.31 3.2 13.56 6.79 3.67 5.86 3.51 3.10 3.55 2.01 1.31 3.67 4.96 6.22 3.5 3.65 4.19 5.98 6.57 6.34 4.01 del área en el extremo derecho Apéndice tabla 6(b) 2.45 3.33 9.7 12.66 2.78 3.09 4.6 13.31 2.79 4.07 3.36 3.59 3.4 13.02 4.46 4.08 3.53 3.33 6.68 8.01 5.0 9.14 5.55 5.85 6.46 4.28 4.7 9.17 2.41 5.20 5.17 3.287 99.37 2.M.12 4.5 26.78 3.9 15.157 99.74 4.58 2.01 6.68 3.62 4.99 5.53 8.94 4.15 7.62 5.80 2.58 2.5 26.75 2.11 1.23 3.86 1.20 60 2.66 3.10 5.35 3.44 4.82 7.12 3.764 99.88 2.70 2.89 9.87 4.056 99.42 9.71 6.70 2.1 10 2.47 5.34 3.79 2.29 7.65 8.12 2.5 34.47 2.21 2.25 6.85 3.81 5.18 3.31 4.09 5.366 99.63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 60 120 ∞ 1 5.60 3.29 2.05 7.70 3.47 2.86 4.4 26.91 5.79 2.1 3 4.92 1.46 6.52 2.56 6.2 29.00 8.03 3.403 99.12 1.5 26.43 3. busque en la columna correspondiente a 7 grados de libertad y en el renglón de los 5 grados de libertad.27 3.4 27. Thompson.00 2.85 7.88 7.7 14.03 3.32 3.42 3.29 5.03 1.32 4.30 3.80 2.5 13.89 2.5 14.7 6 0.29 8.7 12.92 2.37 7.07 5.95 3.47 24 *Valores de F para distribuciones F con 0.82 4.82 3.63 4.43 3.55 20 2.02 1.625 99.65 4.59 3.61 5.72 5.74 2.26 6.45 7. Ejemplo: Grados de libertad en el denominador 4.76 3.11 120 2.58 2.98 2.60 3.0 9.52 4.47 2.86 8.17 4.56 8.02 7.67 3.01 4.89 3.85 7.2 10.023 99.27 2.7 15.89 2.19 4.1 13.02 3.3 27.39 2.38 1.63 6.10 3.22 4.81 3.70 3.10 4.87 5.21 3.43 5.23 5. en una distribución F con 7 grados de libertad en el numerador y 5 grados de libertad en el denominador.07 2.69 3.5 10.10 6.50 2.60 1.46 2.03 1.64 4.00 2.10 3.37 3.75 2.26 2.41 3.08 6.51 3.26 4.48 4.5 26.95 1.37 4.31 4.8 18.31 5.52 3.06 4.40 4.3 28.25 4.99 6.85 6.51 3.61 3.0 13.49 2.14 4.59 6.21 7.08 6.23 6.36 3.84 2.209 99.5 26.3 8 3.052 98.29 40 2.30 3.93 2.8 9.40 8.62 3.2 9 2.32 5.82 2.87 6.07 4.98 2.5 7 3.29 3.02 3.40 2.18 5.99 6.06 5.87 6.40 2.86 4.261 99.3 13.63 4.36 2.6 9.64 3.41 3.54 3.5 26.50 4.75 2.92 2.02 7.03 2.80 3.0 5 10.28 4. Biometrika 33 (1943).01 del área bajo la curva.32 8.72 2.56 4.84 2.19 2.06 5.000 99.4 26.81 4.64 2.94 3.4 4 3.55 3.13 3.2 14.99 2.96 4.26 3.65 3.18 4.56 7.5.35 4.93 3.19 6.23 4.47 5.80 5.00 2.19 8.04 3.11 6.3 14.02 ∞ .91 5.20 2.72 4.46 3.51 3.50 4.30 4.78 3.17 2.00 6.51 4.78 8.54 3.21 5.45 3.57 2.64 5.40 6.93 2.3 13.06 5.91 6.18 3.78 4.2 15.78 5.62 3.59 3.83 2.37 4.01 3.92 2.71 3.13 7.68 5.08 3.66 1.65 9.63 2.53 1.38 30 2.30 2.32 2.00 2.54 4.52 3.7 10.90 3.64 3.67 2.21 6.7 9.03 2.Apéndice tablas AT-21 4.80 3.78 3.02 2.1 14.13 3.5 16.96 2.97 5.89 7.39 4.82 5.37 5.34 2.17 3.94 3.94 6.235 99.86 4.57 4.88 5.00 2.88 2.35 2.12 2.86 4.17 6.25 3.72 5.66 2.51 3.36 10.35 2.75 7.76 1.3 2 *Tomado de M.17 3.94 3.0 10.89 12 Grados de libertad en el numerador 2.50 3.77 4.73 1.46 4.62 2.70 2.84 2.51 3.14 8.95 7.80 1.95 5.39 5.2 16.106 99.69 3.20 4.72 15 2.89 4.94 1.31 3.16 3. Merrington y C.63 3.31 6.96 3.5 11.69 3.56 2.31 7.95 2.32 3.48 3.41 6.0 11.03 5.01 3.65 2.66 2.928 99.47 7.11 4.67 2.71 3.34 3.58 4.20 4.31 2.3 10.47 3.52 7.40 3.84 3.03 4.01 del área 3.18 3.70 4.84 1.66 5.0 30.26 3.4 9.94 3.72 2.2 9.55 2.67 5.7 16.84 6.9 14.45 3.4 27.74 5.2 28.20 2.26 3.04 4. Para encontrar F para 0.54 2.66 3.22 5.16 3.56 5.49 2.83 2.6 10.50 2.8 10.98 4.41 3.66 2.36 2.45 2.16 5.77 7.99 3.80 7.9 9.78 2.70 3.61 5.93 6.11 1.61 5.86 3.39 5.77 3. el valor apropiado de F es 10.51 6.73 4.859 99.25 4.4 27.21 2.4 27.56 5.18 4.17 3.04 3.76 2.30 4.70 4.95 4.76 4.1 21.40 4.15 3.5 9.55 8.36 4.94 6.10 8.93 5.9 9.09 2.982 99.82 4.07 8.83 3.74 4.70 6.84 2. 6904 0.8095 0.4451 0.5567 0.3236 0.5341 0. 1971.5804 0.3685 0.2977 0.2909 0.3620 0.5824 0.5306 0.8167 0.5480 0.6978 0.4401 0.5179 0.9000 0.05 0.5545 0. con n  12. John Wiley & Sons.5825 0.(n  tamaño de la muestra  12) 0.3791 0.3435 0.5078 0.6324 0. Nueva York.2704 0.4481 0.7912 0.3986 0.7000 0.10 del área 0.6747 0.3994 0.2588 0.5000 0.3070 0.8929 0.3148 0.4564 0.6833 0.3362 0.7670 0.4744 0.4320 0.8364 0.6536 0.5100 0.3626 0.4828 0.J.5002 0.4061 0.8000 0.4579 0.3894 0.4654 0. 0.5273 0.5333 0..6586 0.3518 0.. AT-22 Apéndice tablas .3299 0.4716 0.3986 Ejemplo: n 0.7265 0.3986 *Valores para la correlación de rango de Spearman (rs) para áreas combinadas en las dos colas.10 0.5203 0.6220 0.4351 0.4853 0.3175 0.5515 0.2540 0.7464 0. Practical Nonparametric Statistics.6091 0.7455 0.5357 0.7143 0.4182 0.4748 0.6318 0.5549 0.02 0.5684 0.3500 0.7450 0.10 del área Apéndice tabla 7 0.6455 0.7273 0.8571 0.4593 0. a 12.01 0.8571 0.2490 0.6070 0.6190 0.5833 0.8667 0.5856 0. el valor apropiado de rs es 0.3260 0.6000 0.7000 0.4429 0.5962 0. Conover.7714 0.2646 0.3977 0.4667 0.8000 0.5757 0.9000 0.7667 0.6152 0.3382 0.4780 0.7333 0.5200 0.3789 0.4241 0.4150 0.5637 0.4965 0.3895 0.3688 0.4251 0.5660 0.5479 *Tomado de W.8857 0.7818 0.6186 0.8286 0.5975 0.4665 0.20 0.002 Para una prueba de dos colas al nivel de significancia de 0.5426 0.4118 0.6786 0.20.9286 0.7083 0.3749 0.9000 0.4852 0.2443 0. el valor apropiado rs se puede: encontrar rs buscando en la columna 0.8000 0.2829 0. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.6000 0.3113 0.8182 0.6364 0.3597 0.3059 0.3822 0.6713 0.2767 0.9643 0.6737 0.20 y en el renglón correspondiente.6429 0.9429 0.4265 0.4963 0.5000 0.4915 0.2400 0. Inc.4424 0.3986. 20 0.864 1.970 3. 46:68-78.309 0.20 0.313 0.023 0.853 0.848 0.24 0.231 0.565 0.624 0.304 0.548 1.308 0.259 0.274 0.750 0.356 25 30 35 0.432 0. n 0.820 0.14  n 1.637 1.326 0.266 0.274 0.776 0.284 0.302 0.328 0.358 0.322 0.21 0.347 0.180 0.32 0.779 0..828 0.392 0.525 0.574 2.407 3.223 0.05 0.777 1.653 1.285 0.252 0.318 0. J.157 0.483 0.640 3.833 0.136 0.339 0.419 0.36  n 1.162 0.534 2.684 0.250 0. Assoc.15 0.326 2.337 0.565 0.726 0.410 0.433 0. Jr.847 2.734 0.223 0.744 0.076 0.301 0. Am.368 0.173 3.328 0.Apéndice tabla 8 *Valores críticos de D para la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov Tamaño de muestra.900 0.22  n 1.744 1.114 2.308 0.446 0.266 0.187 0.819 3.336 3.294 0.414 0.735 3.720 0.739 0.342 0. * Adaptado de F.19 0.864 0.618 0.787 0.404 16 17 18 19 20 0. Cualquier valor de D mayor o igual al valor de la tabla es significativo en el nivel de significancia indicado.410 0.474 0.494 0.269 2.381 0.272 0.27 más de 35 1.575 1.352 0.J.212 0.895 3.63  n Nivel de significancia para D = máximo ⏐Fe  Fo⏐ Nota: Los valores de D dados en la tabla son valores críticos asociados con valores elegidos de n.173 0.249 0.258 0.925 0.564 0.375 0.729 0.18 0.510 0.283 0.22 0.361 0.235 0.381 0.405 0.266 0.283 0.360 0. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Nota: Si 1  3d3/d2 < 0.004 1.540 .566 1.858 3.724 0.371 0.609 1.184 0.717 1.373 0.391 0.391 0.167 0.975 0.258 3.418 0.490 11 12 13 14 15 0.470 0.29 0.733 0.282 2.514 0.597 1. "The Kolmogorov-Smirnov test for goodness of fit".363 0.929 0.716 0.203 0.452 0.778 3. SIal.244 0.078 3.07  n 1.692 1.672 1.256 0.10 0.24 0.689 3.708 0 0 0 0 0 0.924 1.931 Factores para diagramas R 3 A2   d2n R d3   3d3 D3  1   d2 3d3 D4  1   d2 1.443 0. Factores para diagramas x R d2   1.153 0.708 0.586 1.425 0.881 1.577 0. 1951.264 0.712 0.472 3.460 3.729 0.378 0.325 0.01 1 2 3 4 5 0.411 0.23 0.314 0.307 0.521 0.286 0. Apéndice tabla 9 Factores de diagrama de control Tamaño de muestra.693 2.756 0.597 0.246 0.194 0.842 0.704 2.588 3.363 0.763 0.338 0.468 0.295 0.577 0.27 0.622 1.21 0.532 3.770 0.237 0.388 0.295 0.950 0.403 0.995 0.22 0.797 0.816 1.543 0.888 0. Con licencia del autor y de los editores. Massey.669 6 7 8 9 10 0.278 0.450 0.880 0.642 0.438 0.436 0.19 0.808 0.059 2.349 0.128 1.557 1.457 0.486 0.338 0.434 0.381 0.292 0. entonces D3  0. F D C C C+ B B B+ A A Apéndice tabla 11 Datos de ingresos de compañías para ejemplos con computadora Se enumeran los datos correspondientes a los ingresos de 224 compañías cuyos ingresos del último trimestre de 1989 fueron publicados en The Wall Street Journal durante la semana correspondiente al 12 de febrero de 1990.Apéndice tabla 10 Registros de estudiantes para los ejemplos con computadora Se enumeran los registros correspondientes a los 199 estudiantes que utilizaron este texto en nuestro curso del semestre de otoño de 1992. A para la Bolsa de Valores American. los datos se incluyen en el CD que viene con el libro. Estos datos se incluyen en el disco que viene con el texto. TA. Cada observación contiene las siguientes siete variables: COMPANY — Nombre de la compañía EXCHANGE— Bolsa de valores en que se negociaron las acciones (N para la Bolsa de Valores de Nueva York. determinado como: TOTAL 0-49 50-59 60-63 64-69 70-73 74-75 76-78 79-80 81-85 86-100 CALIFIC. PROF) — Resultado del primer examen de medio término (75 puntos máximo) — Resultado del segundo examen de medio término (75 puntos máximo) — Resultado en tareas (137 puntos máximo) — Resultado del examen final (75 puntos máximo) — Resultado global. o maestro. Codo observación contiene los siguientes nueve variables: STUDENT SECTION NSTRUCT EXAM 1 EXAM 2 HWK FINAL TOTAL — Posición del estudiante en la lista — En cuál de las seis secciones de la clase se inscribió el estudiante — Tipo de profesor (ayudante. O para "al contado") LQ89 — Ingresos del último trimestre de 1989 LQ88 — Ingresos del último trimestre de 1988 CHANGE — Cambio en los ingresos del último trimestre (LQ89-LQ88) GRPLQ89 — Ingresos agrupados del último trimestre de 1989. cada valor de ingreso está redondeado al cuarto de dólar más cercano AT-24 Apéndice tablas . cada valor de ingreso está redondeado al cuarto de dólar más cercano GRPLQ88 — Ingresos agrupados del último trimestre de 1988. calculado como 20*(EXAM 1 + EXAM 2 + 2* FINAL)/75 + 20* HWK/137 GRADE — Calificación del curso con letra. 10 en los dos extremos combinados de la distribuci—n.228 2.841 4.701 1.423 2.787 2.782 1.457 2.771 2.552 2.845 2.01 6.819 2.602 2.02 0.721 1.143 2.671 1.048 2.657 9.093 2.980 1. Ltd.753 1.106 3.064 2.617 2.796 1.895 1.467 2.707 3.706 4.303 3.729 t = +1.860 1.120 2.718 2.703 1.998 2.358 2.056 2.131 2.717 1.069 2.DISTRIBUCIîN J 0.179 2.861 2.05 0.650 2. Statistical Tables for Biological.925 5.492 2.898 2.761 1.539 2.776 2.500 2. busque en la columna del 0.746 1.518 2.012 2.763 2.878 2.681 2.571 2.314 2.699 1.977 2.447 2.807 2.771 1.920 2.684 1.355 3. cuando existen 19 grados de libertad.734 1. Edimburgo) y con licencia de los autores y los editores.000 1. and .729 EJEMPLO: Para encontrar el valor de t que corresponde a un ‡rea de 0.110 2.10 hacia abajo hasta el rengl—n correspondiente a 19 grados de libertad.045 2.797 2.365 2.508 2.821 6.132 2.021 2.015 1.831 2.052 2. Medical Research .658 1.704 2.708 1.660 2.812 1.706 1.032 3.645 12.740 1.747 3.080 2.779 2.821 2.833 1.725 1.756 2.473 2.604 4.160 2.764 2.145 2.711 1. el valor t apropiado es 1.365 3.390 2.169 3.262 2.541 3. Londres (publicada anteriormente por Olivier & Boyd.074 2.697 1.729 Grados de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 39 40 60 120 Distribuci—n normal çrea en los dos extremos combinados 0.306 2.042 2.965 4.326 63.896 2.05 del ‡rea t = 1.576 *Tomado de la Tabla III de Fisher y Yates.567 2. publicado por Longman Group.729 1.583 2.714 1.060 2.528 2.943 1.479 2.250 3.960 31.462 2.624 2.947 2.201 2..10 0.750 2.353 2.182 2.499 3.485 2.101 2.086 2.05 del ‡rea 0.055 3. Agricultural.291 2. 4887 0.4929 0.0 0.4904 0.24 EJEMPLO: Para encontrar el área bajo la curva que se encuentra entre la media y un punto situado a 2.4961 0.1141 0.4931 0.4984 0.1331 0.1915 0.0793 0.2190 0.4418 0.0987 0.4778 0.3816 0.4732 0.4901 0.4192 0.2704 0.01 0.0199 0.4726 0.4222 0.4973 0.3665 0..4969 0. Engiewood Cliffs.1985 0.4982 0.1664 0.0398 0.4979 0.4970 0.4854 0.0000 0.4664 0.4292 0.3508 0.2123 0.1736 0.3 1.1064 0.4147 0.1950 0.24 z 0.3830 0.3944 0.6 2.4279 0.4974 0.4515 0.4875 0.4986 0.4846 0.3315 0.0 1.4767 0.4 1.3621 0.4881 0.4943 0.4898 0.4875 del ‡rea Media z = 2.4750 0.3790 0. Impreso con licencia de Prentice-Hall.4817 0.2 2.2486 0.4 2.2852 0.4946 0.1255 0.4474 0.1368 0.2157 0.3485 0.4986 0. pág.4953 0.2 1.4920 0.4099 0.1026 0.0517 0.4941 0.3980 0.4978 0.1628 0.4955 0.4893 0.4990 0.4162 0.4834 0.4345 0.5 0.4608 0.4974 0.4962 0.3770 0.0557 0.1293 0.3 0.4032 0.4983 0.4484 0.04 0.08 0.4177 0.4925 0.4406 0.0636 0.0948 0.4582 0.4656 0.4976 0.4981 0.2611 0.3289 0.4890 0.4979 0.1772 0.3365 0.4633 0.4957 0.4965 0.4956 0. busque el valor en el renglón correspondiente a 2.4989 0.5 1.00 0. Mason.4932 0.7 0.4525 0.3078 0.4948 0.4909 0.0 0.4990 *Tomado de Robert D.4793 0.4554 0. .4857 0.4989 0.0040 0.4788 0.1406 0.4982 0.02 0.1700 0.3577 0.0120 0.4868 0.4706 0.4798 0.3997 0.3708 0.4713 0.4207 0.4236 0.9 3.4968 0.1844 0.4985 0.3531 0.2389 0.1179 0.4922 0.4591 0.0478 0.0832 0.0239 0.3749 0.4838 0.1217 0.7 2.3869 0.4934 0.4699 0.4382 0.2642 0.4987 0.4394 0.0319 0.4842 0.9 2.4370 0.4988 0.4987 0.05 0.4884 0.4265 0.4535 0.1 2.4878 0. © 1976.0279 0.4332 0.4977 0.3264 0.2 0.4821 0. NJ.4989 0.3810 0.0675 0.2224 0.4918 0. 307.4987 0.4875 del área bajo la curva se encuentra entre la media y un valor z de 2.4463 0.06 0.4015 0.4641 0.2910 0.4066 0.8 0. Inc.1808 0.5 2.0438 0.4693 0.4616 0.2019 0.1554 0.4985 0.4972 0.4573 0.4927 0.4115 0.4967 0.4719 0.4564 0.4744 0.4812 0.3643 0.3438 0.4788 0.4871 0.4761 0.2967 0. Essentials of Statistics.1103 0.3461 0.4772 0.3238 0.3729 0.4306 0.7 1.3023 0.1879 0.24 desviaciones estándar a la derecha de la media.2324 0.6 1.4686 0.4938 0.4649 0.4980 0.0871 0.2580 0.2422 0.3212 0.0080 0.4864 0.1591 0.3 2.1 1.4599 0.09 0.3925 0.2454 0.2357 0.3413 0.1480 0.04 de la tabla.3686 0.3888 0.2517 0.4803 0.4131 0.4913 0.2257 0.4963 0.07 0.4949 0.4850 0.4251 0.03 0.4671 0.3599 0.2673 0.4 0.4625 0.4830 0.4952 0.2995 0.4495 0.4951 0.4986 0.0160 0.2939 0.4936 0.0 2.3340 0.9 1.4971 0.4861 0.4441 0.3907 0.4756 0.4988 0.1 0.0596 0.4981 0.4977 0.2794 0.4452 0.3849 0.2734 0.4916 0.4429 0.4911 0.2764 0.0910 0.2088 0.4896 0.4906 0.4975 0.2549 0.8 2.4357 0.4319 0.4545 0.4505 0.1443 0. 0.4049 0.4959 0.2291 0.3051 0.3106 0.1517 0.2823 0.4945 0.4808 0.3159 0.2 bajo la columna 0.4964 0.DISTRIBUCIîN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTçNDAR 0.3389 0.0714 0.0753 0.4082 0.4984 0.2881 0.3962 0.4826 0.3554 0.3133 0.4738 0.8 1.4940 0.4678 0.4960 0.6 0.2054 0.0319 0.