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ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA Séptima edición Richard I. Levin The University of North Carolina at Chapel Hill David S. Rubin The University of North Carolina at Chapel Hill CON LA COLABORACIÓN Y REVISIÓN TÉCNICA DE Miguel Balderas Lozada Juan Carlos del Valle Sotelo Raúl Gómez Castillo Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México TRADUCCIÓN Marcia González Osuna Maestría en Ingeniería Industrial University of Arizona REVISIÓN TÉCNICA Roberto H. Valadez Soto Mario Alberto Naranjo González Departamento de Métodos Cuantitativos Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas Universidad de Guadalajara Jesús Rodríguez Franco Departamento de Matemáticas Facultad de Contaduría y Administración Universidad Nacional Autómoma de México Alberto I. Pierdant Rodríguez División de Ciencias Sociales y Humanidades Área de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco Contenido Prefacio xiii Capítulo 1 Introducción 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1 ¿Por qué hay que tomar este curso y quién utiliza la estadística? Historia 3 Subdivisiones de la estadística 4 Un enfoque simple y fácil de entender 4 Características que facilitan el aprendizaje y cómo usarlas 5 2 Capítulo 2 Agrupación y presentación de datos para expresar significados: Tablas y gráficas 7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 ¿Cómo podemos ordenar los datos? 8 Ejemplos de datos sin procesar 11 Ordenamiento de datos en arreglos de datos y distribuciones de frecuencias 12 Construcción de una distribución de frecuencias 20 Representación gráfica de distribuciones de frecuencias 29 Estadística en el trabajo 42 Ejercicio de base de datos computacional 43 Términos introducidos en el capítulo 2 45 Ecuaciones introducidas en el capítulo 2 46 Ejercicios de repaso 46 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 57 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Estadística sumaria 58 Una medida de tendencia central: la media aritmética 60 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 69 Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica 74 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 77 Una medida final de tendencia central: la moda 84 v 6 5.6 4.7 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad 128 Terminología básica en probabilidad 129 Tres tipos de probabilidad 131 Reglas de probabilidad 137 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 143 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 151 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 158 Estadística en el trabajo 165 Ejercicio de base de datos computacional 166 Términos introducidos en el capítulo 4 168 Ecuaciones introducidas en el capítulo 4 169 Ejercicios de repaso 170 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad 177 5.1 4.11 Dispersión: por qué es importante 89 Rangos: medidas de dispersión útiles 91 Dispersión: medidas de desviación promedio 96 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 107 Análisis exploratorio de datos (AED) 112 Estadística en el trabajo 116 Ejercicio de base de datos computacional 117 Términos introducidos en el capítulo 3 118 Ecuaciones introducidas en el capítulo 3 119 Ejercicios de repaso 121 Capítulo 4 Probabilidad I: Ideas introductorias 127 4.8 3.4 4.5 5.10 3.5 4.3 5.3.2 5.7 vi Contenido ¿Qué es una distribución de probabilidad? 178 Variables aleatorias 181 Uso del valor esperado en la toma de decisiones 187 La distribución binomial 191 La distribución de Poisson 202 La distribución normal: distribución de una variable aleatoria continua Selección de la distribución de probabilidad correcta 222 Estadística en el trabajo 223 Ejercicio de base de datos computacional 224 Términos introducidos en el capítulo 5 225 Ecuaciones introducidas en el capítulo 5 226 Ejercicios de repaso 227 209 .7 3.3 4.9 3.4 5.2 4.1 5. 2 6.6 7.1 7.5 Introducción 320 Conceptos básicos en el procedimiento de prueba de hipótesis 321 Prueba de hipótesis 324 Pruebas de hipótesis de medias cuando se conoce la desviación estándar de la población 331 Medición de la potencia de una prueba de hipótesis 338 Contenido vii .2 7.1 8.Capítulo 6 Muestreo y distribuciones de muestreo 235 6.1 6.3 8.6 Introducción al muestreo 236 Muestreo aleatorio 238 Diseño de experimentos 244 Introducción a las distribuciones de muestreo 247 Distribuciones de muestreo a detalle 251 Una consideración operacional en el muestreo: la relación entre el tamaño de muestra y el error estándar 261 Estadística en el trabajo 265 Ejercicio de base de datos computacional 266 Términos introducidos en el capítulo 6 267 Ecuaciones introducidas en el capítulo 6 268 Ejercicios de repaso 268 Capítulo 7 Estimación 273 7.4 7.7 7.2 8.3 7.4 8.5 7.8 Introducción 274 Estimaciones puntuales 277 Estimaciones de intervalo: conceptos básicos 281 Estimaciones de intervalo e intervalos de confianza 285 Cálculo de estimaciones de intervalo de la media a partir de muestras grandes 288 Cálculo de estimaciones de intervalo de la proporción a partir de muestras grandes 293 Estimaciones de intervalos con la distribución t 297 Determinación del tamaño de muestra en estimación 303 Estadística en el trabajo 309 Ejercicio de base de datos computacional 309 Del libro de texto al mundo real 311 Términos introducidos en el capítulo 7 312 Ecuaciones introducidas en el capítulo 7 313 Ejercicios de repaso 313 Capítulo 8 Prueba de hipótesis: Prueba de una sola muestra 319 8.4 6.3 6.5 6. 7 Prueba de hipótesis para proporciones: muestras grandes 341 Pruebas de hipótesis de medias cuando no se conoce la desviación estándar de la población 347 Estadística en el trabajo 351 Ejercicio de base de datos computacional 351 Del libro de texto al mundo real 352 Términos introducidos en el capítulo 8 353 Ejercicios de repaso 353 Capítulo 9 Prueba de hipótesis: Pruebas de dos muestras 359 9.3 9.8.1 10.1 9.7 Prueba de hipótesis para diferencias entre medias y proporciones 360 Pruebas para diferencias entre medias: muestras grandes 362 Pruebas para diferencias entre medias: muestras pequeñas 366 Prueba de diferencias entre medias con muestras dependientes 372 Pruebas para diferencias entre proporciones: muestras grandes 378 Valor P: otra manera de ver las pruebas de hipótesis 386 Uso de computadoras para las pruebas de hipótesis 390 Estadística en el trabajo 392 Ejercicio de base de datos computacional 392 Del libro de texto al mundo real 394 Términos introducidos en el capítulo 9 395 Ecuaciones introducidas en el capítulo 9 395 Ejercicios de repaso 396 Capítulo 10 Calidad y control de la calidad 403 10.5 9.6 9.6 8.7 viii Contenido Introducción 404 Control estadístico de procesos 406 Gráficas x: gráficas de control para medias de procesos 407 Gráficas R: gráficas de control para variabilidad de procesos 417 Gráficas p: diagramas de control para atributos 422 Administración con vistas a la calidad total 428 Muestreo de aceptación 433 Estadística en el trabajo 438 Ejercicio de base de datos computacional 438 Del libro de texto al mundo real 440 Términos introducidos en el capítulo 10 441 Ecuaciones introducidas en el capítulo 10 442 Ejercicios de repaso 443 .3 10.5 10.4 10.4 9.6 10.2 10.2 9. 5 Análisis de regresión múltiple y correlación 566 Deducción de la ecuación de regresión múltiple 567 La computadora y la regresión múltiple 574 Inferencias sobre parámetros de población 582 Técnicas de modelado 595 Estadística en el trabajo 608 Ejercicio de base de datos computacional 609 Del libro de texto al mundo real 609 Términos introducidos en el capítulo 13 610 Ecuaciones introducidas en el capítulo 13 611 Ejercicios de repaso 612 Contenido ix .6 Inferencias acerca de las varianzas de dos poblaciones 489 Estadística en el trabajo 496 Ejercicio de base de datos computacional 496 Del libro de texto al mundo real 498 Términos introducidos en el capítulo 11 498 Ecuaciones introducidas en el capítulo 11 499 Ejercicios de repaso 501 Capítulo 12 Regresión simple y correlación 509 12.4 Análisis de varianza 468 11.3 Ji-cuadrada como prueba de bondad de ajuste: prueba de lo apropiado de una distribución 462 11.1 12.2 13.2 Ji-cuadrada como prueba de independencia 449 11.3 13.Capítulo 11 Ji-cuadrada y análisis de varianza 447 11.5 Introducción 510 Estimación mediante la recta de regresión 516 Análisis de correlación 535 Inferencias sobre parámetros de población 545 Uso del análisis de regresión y correlación: limitaciones.1 Introducción 448 11.3 12.5 Inferencias acerca de una varianza de población 484 11.4 13.1 13.2 12. errores y advertencias 551 Estadística en el trabajo 553 Ejercicio de base de datos computacional 553 Del libro de texto al mundo real 554 Términos introducidos en el capítulo 12 555 Ecuaciones introducidas en el capítulo 12 555 Ejercicios de repaso 557 Capítulo 13 Regresión múltiple y modelado 565 13.4 12. 3 Pruebas de suma de rangos: prueba U de Mann-Whitney y prueba de Kruskal-Wallis 630 14.1 15.1 16.5 16.2 15.2 Prueba de signo para datos por pares 624 14.Capítulo 14 Métodos no paramétricos 621 14.6 15.8 Introducción 674 Variación en las series de tiempo 675 Análisis de tendencia 676 Variación cíclica 686 Variación estacional 691 Variación irregular 699 Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo 699 Análisis de series de tiempo en pronósticos 707 Estadística en el trabajo 708 Ejercicio de base de datos computacional 709 Del libro de texto al mundo real 709 Términos introducidos en el capítulo 15 710 Ecuaciones introducidas en el capítulo 15 711 Ejercicios de repaso 712 Capítulo 16 Números índice 16.3 16.3 15.5 Correlación de rango 646 14.4 16.7 15.4 15.1 Introducción a la estadística no paramétrica 622 14.6 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 655 Estadística en el trabajo 659 Ejercicio de base de datos computacional 660 Del libro de texto al mundo real 661 Términos introducidos en el capítulo 14 662 Ecuaciones introducidas en el capítulo 14 662 Ejercicios de repaso 663 Capítulo 15 Series de tiempo y pronósticos 673 15.2 16.6 x Contenido 719 Definición de número índice 720 Índice de agregados no ponderados 723 Índice de agregados ponderados 727 Métodos de promedio de relativos 735 Índices de cantidad y de valor 740 Problemas en la construcción y el uso de números índice Estadística en el trabajo 745 Ejercicio de base de datos computacional 746 744 .4 Prueba de corridas de una sola muestra 640 14.5 15. 2 Operaciones con conjuntos 4 A.7 Combinaciones 12 A.6 Análisis de árboles de decisiones 780 Estadística en el trabajo 790 Del libro de texto al mundo real 791 Términos introducidos en el capítulo 17 793 Ecuaciones introducidas en el capítulo 17 793 Ejercicios de repaso 794 Estadística con Excel 801 1 Introducción 801 2 Elaboración de tablas de frecuencia.4 Utilidad como criterio de decisión 773 17.4 Algunos conjuntos de uso frecuente 9 A.5 Principio fundamental del conteo 9 A. histogramas y gráficos (diagramas de barras o circulares) 807 3 Medidas de tendencia central y dispersión para datos no agrupados 814 4 Análisis de varianza de un factor 816 5 Análisis de regresión lineal múltiple mediante el uso de Excel 818 Anexos 827 A Conjuntos y técnicas de conteo 1 A.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 757 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 765 17.1 Definiciones 1 A.3 Fórmulas de cardinalidad 8 A.Del libro de texto al mundo real 747 Términos introducidos en el capítulo 16 747 Ecuaciones introducidas en el capítulo 16 748 Ejercicios de repaso 749 Capítulo 17 Teoría de decisiones 755 17.6 Permutaciones 10 A.8 Teorema del binomio 14 Contenido xi .5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 776 17.1 El entorno de la decisión 756 17. 6 Habilidad del proceso 21 B.11 Habilidad del proceso a partir de gráficos p o np 32 Respuestas a ejercicios pares seleccionados Índice I-1 xii Contenido R-1 .7 Estimación de la habilidad de un proceso para variables con dos límites de especificación 22 B.2 Habilidad real 25 B.5 Cambio en el tamaño de la muestra para una gráfica de control 20 B.B Habilidad del proceso 15 B.9 Estimación de la habilidad de un proceso para variables con un límite de especificación 29 B.3 Límites de variabilidad natural del proceso 19 B.4 Límites de especificación 19 B.7.8 Estimación de la habilidad real mediante la curva normal (para dos límites de especificación) 27 B.1 Gráficas de control y parámetros de población 15 B.7.1 Habilidad potencial 22 B.2 Resumen de fórmulas útiles para diagramas de control y parámetros de población 18 B.10 Estimación de la habilidad real para el caso de un solo límite de especificación empleando la tabla de la normal estándar 31 B. la varianza y la desviación estándar para • describir cómo se “dispersan” los datos Examinar los análisis de datos exploratorios.11 Análisis exploratorio de datos (AED) 112 • Estadística en el trabajo 116 • Ejercicio de base de datos computacional 117 • Términos introducidos en el capítulo 3 118 • Ecuaciones introducidas en el capítulo 3 119 • Ejercicios de repaso 121 57 .3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 69 3. la mediana y la moda para describir cómo se “aglutinan” los datos Utilizar el rango.6 Una medida final de tendencia central: la moda 84 3. para conocer otras formas útiles de resumir los datos Contenido del capítulo 3.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética 60 3.7 Dispersión: por qué es importante 89 3.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 91 3.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS capítulo Objetivos • • • Utilizar la estadística sumaria para describir una colección de datos Utilizar la media.1 Estadística sumaria 58 3.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 107 3.9 Dispersión: medidas de desviación promedio 96 3. basados en el uso de la computadora.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 77 3.4 Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica 74 3. al grado en que las observaciones se separan.200-1. poniendo especial cuidado en el acopio de información sobre la tendencia central de los datos. podemos usar los números que constituyen la estadística sumaria para describir las características del conjunto de datos.1899 1.099 1. es decir. hará un resumen de la distribución.500-1. Las medidas de tendencia central se conocen también como medidas de posición.399 1.900. Para llevar a cabo esto. tendencia central y dispersión En el capítulo 2 construimos tablas y gráficas a partir de una colección de datos sin procesar. sin embargo.700.299 Frecuencia 04 07 08 10 12 17 Ventas (miles) 1. En la figura 3-1.599 1.699 1. teníamos necesidad de medidas más exactas. Aunque la derivación de la estadística específica para medir dichas característiCurva A Curva C Curva B FIGURA 3-1 Comparación de la posición central de tres curvas 58 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .600-1.300-1. Punto medio de un conjunto de datos Tendencia central La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución.400-1. cómo obtener una percepción mucho mejor de los datos.899 Frecuencia 13 10 09 07 02 01 El vicepresidente desea comparar las ventas del distrito oriental con las ventas de otros tres distritos del país.800-1.1999 1. Existen otras dos características de los conjuntos de datos que proporcionan información útil: el sesgo y la curtosis. En estos casos.700-1.l vicepresidente de mercadotecnia de una cadena de restaurantes de comida rápida está estudiando el desarrollo de las ventas de las 100 sucursales que se encuentran en el distrito oriental y ha elaborado la siguiente distribución de frecuencias para las ventas anuales: E Ventas (miles) 1. Los “retratos” resultantes de las distribuciones de frecuencias ilustraron tendencias y patrones de los datos.1 Estadística sumaria Estadística sumaria. ■ 3. la posición central de la curva B está a la derecha de las posiciones centrales de las curvas A y C. En casi todos los casos. por tanto.000-1.199 1.499 1. En este capítulo analizaremos también cómo se puede medir la variabilidad de una distribución y.100-1.800.799 1. Separación de un conjunto de datos Dispersión La dispersión se refiere a la separación de los datos en una distribución. Note que la curva A de la figura 3-2 tiene una mayor separación o dispersión que la curva B. Dos de estas características son de particular importancia para los responsables de tomar decisiones: la tendencia central y la dispersión.1799 1. Observe que la posición central de la curva A es la misma que la de la curva C. Estaría sesgada hacia la izquierda. Curva A: sesgada a la derecha Curva B: sesgada a la izquierda Curva A Curva B FIGURA 3-4 FIGURA 3-5 Comparación de dos curvas sesgadas Dos curvas con la misma posición central pero diferente curtosis 3. Simetría de un conjunto de datos Sesgo de un conjunto de datos Agudeza de un conjunto de datos Sesgo Las curvas que representan los datos puntuales de un conjunto de datos pueden ser simétricas o sesgadas. tienen una forma tal que una línea vertical que pase por el punto más alto de la curva dividirá su área en dos partes iguales. Está sesgada a la izquierda (negativamente sesgada). Tienen la misma posición central y la misma dispersión. con muchos valores en el extremo izquierdo y pocos en el extremo derecho. Cada parte es una imagen de espejo de la otra. ya que disminuye poco a poco si la recorremos hacia el extremo inferior de la escala. Están sesgadas porque los valores de su distribución de frecuencias se concentran en el extremo inferior o en el superior de la escala de medición del eje horizontal. por ejemplo. y ambas son simétricas. como la de la figura 3-3. debido a que el inventario debe agotarse rápidamente. debido a que el inventario de casas se coloca muy lentamente. nos será útil tener un conocimiento general de su significado.1 Estadística sumaria 59 . estamos midiendo qué tan puntiaguda es. las curvas A y B difieren entre sí sólo en que una tiene un pico más pronunciado que la otra. Los estadísticos dicen que tienen un grado diferente de curtosis. La curva estaría sesgada a la derecha. La curva A podría representar la distribución de frecuencias del número de días que un producto se encuentra en existencia en un negocio de venta de fruta al mayoreo. En la figura 3-5. La curva B es exactamente opuesta. con muchos valores en el extremo derecho de la escala y pocos en el izquierdo. De manera análoga.Curva A Curva B FIGURA 3-2 FIGURA 3-3 Comparación de la dispersión de dos curvas Curva simétrica cas está más allá de los objetivos de este texto. la curva B podría representar la frecuencia del número de días que requiere un agente de bienes raíces para vender una casa. La curva A está sesgada a la derecha (o positivamente sesgada). debido a que va disminuyendo poco a poco hacia el extremo derecho de la escala. Las curvas simétricas. Curtosis Cuando medimos la curtosis de una distribución. Las curvas A y B de la figura 3-4 son curvas sesgadas. Estos valores no están igualmente distribuidos. Ejercicios 3.1 Conceptos básicos ■ ■ 3-1 Trace tres curvas, todas simétricas, pero con diferente dispersión. 3-2 Trace tres curvas, todas simétricas y con la misma dispersión, pero con las siguientes posiciones centrales: a) 0.0 b) 1.0 c) 1.0 Trace una curva que pudiera ser una buena representación de las calificaciones en un examen de estadística de un grupo mal preparado, y también la de un grupo bien preparado. Para las distribuciones siguientes, indique cuál de ellas a) tiene el valor promedio más grande. b) es más probable que produzca un valor pequeño que uno grande. c) es la mejor representación de la distribución de edades de los asistentes a un concierto de rock. d) es la mejor representación de la distribución de los tiempos de espera de pacientes en el consultorio de un médico. ■ 3-3 ■ 3-4 A B Para las siguientes dos distribuciones, indique cuál de ellas, si alguna, e) tiene valores distribuidos más uniformemente a través del intervalo de valores posibles. f) es más probable que produzca un valor cercano a cero. g) tiene una probabilidad más alta de producir valores positivos que negativos. A B 0 ■ 3-5 Si las dos curvas siguientes representan la distribución de los resultados de un grupo de estudiantes en dos exámenes, ¿cuál examen parece haber sido más difícil para los estudiantes? A B 3.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética La media aritmética Casi siempre, cuando nos referimos al “promedio” de algo, estamos hablando de la media aritmética. Esto es cierto en casos como la temperatura invernal promedio en la ciudad de Nueva York, la vida promedio de la batería del flash de una cámara o la producción promedio de maíz en una hectárea de tierra. La tabla 3-1 presenta datos que describen el número de días que los generadores de una planta de energía de Lake Ico se encuentran fuera de servicio debido a mantenimiento normal o por alguna falla. Para encontrar la media aritmética, sumamos los valores y dividimos el resultado entre el número de observaciones: 7  23  4  8  2  12  6  13  9  4 Media aritmética   10 88  10  8.8 días 60 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias Tabla 3-1 Tiempo sin funcionar de los generadores de la estación de Lake Ico Generador Días fuera de servicio 1 7 2 23 3 4 4 8 5 2 6 12 7 6 8 13 9 9 10 4 En el periodo de un año, los generadores estuvieron fuera de servicio un promedio de 8.8 días. Con esta cifra, el administrador de la planta de energía tiene una medida sencilla y razonable del comportamiento de todos sus generadores. Símbolos convencionales Las características de una muestra se conocen como estadísticos Las características de una población se llaman parámetros Para escribir ecuaciones de este tipo de medidas de las distribuciones de frecuencias, necesitamos aprender la notación matemática que utilizan los especialistas en estadística. Una muestra de una población consiste en n observaciones (con n minúscula) con una media de x (x barra). Recuerde que las medidas calculadas para una muestra se conocen como estadísticos. La notación es diferente cuando calculamos medidas para la población entera, es decir, para el grupo que contiene a todos los elementos que estamos describiendo. La media de una población se simboliza con , que es la letra griega mu. El número de elementos de una población se denota con la letra mayúscula cursiva N. Por lo general, en estadística se usan letras del alfabeto latino para simbolizar la información de las muestras y letras griegas para referirnos a la información de las poblaciones. Cálculo de la media a partir de datos no agrupados Encontrar las medias de la población y de la muestra En el ejemplo, el promedio de 8.8 días sería  (la media de la población) si la población de generadores fuera exactamente 10. Sería x (la media de la muestra), si los 10 generadores fueran una muestra tomada de una población mayor de ellos. Para escribir las fórmulas correspondientes a estas dos medias, combinamos los símbolos matemáticos y los pasos que utilizamos para determinar la media aritmética. Si se suman los valores de las observaciones y esta suma se divide entre el número de observaciones, obtendremos: Media aritmética de la población Suma de los valores de todas las observaciones x  N [3-1] Número de elementos de la población y Media aritmética de la muestra Suma de los valores de todas las observaciones x x   n [3-2] Número de elementos de la muestra Debido a que  es la media aritmética de la población, usamos N para indicar que se divide entre el número de observaciones o elementos de la población. Del mismo modo, x es la media aritmética de 3.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética 61 Tabla 3-2 Resultados del examen de aptitud académica Estudiante Aumento 1 9 2 7 3 7 4 6 5 4 6 4 7 2 la muestra, y n es el número de observaciones de la muestra. La letra griega sigma, , indica que todos los valores de x se suman. Otro ejemplo: en la tabla 3-2 se presenta la lista del aumento en puntos porcentuales en los resultados de siete estudiantes que tomaron un curso de preparación para el examen oral de aptitud escolar. Calculamos la media de esta muestra de siete estudiantes de la manera siguiente: x x   n [3-2] 9776442   7 39  7  5.6 puntos por estudiante ←⎯⎯ Media de la muestra Manejo de datos no agrupados Observe que para calcular esta media, sumamos todas las observaciones. Los especialistas en estadística se refieren a este tipo de datos como datos no agrupados. Los cálculos no fueron difíciles, pues nuestro tamaño de muestra era pequeño. Pero suponga que debe trabajar con el peso de 5,000 cabezas de ganado y prefiere no sumar por separado cada uno de los datos; o suponga que tiene acceso sólo a la distribución de frecuencias de los datos y no a cada observación individual. En estos casos, se requiere una manera distinta de calcular la media aritmética. Cálculo de la media a partir de datos agrupados Manejo de datos agrupados Estimación de la media Una distribución de frecuencias consta de datos agrupados en clases. Cada valor de una observación cae dentro de alguna de las clases. A diferencia del ejemplo del examen de aptitud, no conocemos el valor individual de cada observación. Suponga que tenemos una distribución de frecuencias (ilustrada en la tabla 3-3) del saldo promedio mensual de la cuenta de cheques de 600 clientes de una sucursal bancaria. A partir de la información de la tabla, podemos calcular fácilmente una estimación del valor de la media de estos datos agrupados. Es una estimación porque no utilizamos los 600 datos puntuales de la muestra. De haber usado los datos originales sin agrupar, podríamos haber calculado el valor real de la media, pero sólo después de obtener el promedio de los 600 valores individuales. En aras de la sencillez, debemos sacrificar la precisión. Tabla 3-3 Saldo promedio mensual de 600 cuentas de cheques 62 Capítulo 3 Clase (dólares) 0- 49.99 50.00- 99.99 100.00-149.99 150.00-199.99 200.00-249.99 250.00-299.99 300.00-349.99 350.00-399.99 400.00-449.99 450.00-499.99 Frecuencia 78 123 187 82 51 47 13 9 6 004 600 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias podemos simplificar aún más nuestro cálculo de la media de datos agrupados.Cálculo de la media Para encontrar la media aritmética de datos agrupados. son sólo una aproximación del promedio del saldo mensual real. La fórmula es la siguiente: Media aritmética de una muestra con datos agrupados ( f  x) x   n [3-3] donde.00.475 12.99 50.00 275. utilizando la ecuación 3-3. primero calculamos el punto medio de cada clase.00 125.925 4.350←(f  x) [3-3] 85.99 250.49. Nuestros resultados. 24.550 01.99 400.350  600  142.99 150.99 25. sumamos todos los resultados y dividimos esta suma entre el número total de observaciones de la muestra.00-449. • x  media de la muestra •   símbolo que significa “la suma de” • f  frecuencia (número de observaciones) de cada clase • x  punto medio de cada clase en la muestra • n  número de observaciones en la muestra Hacemos una suposición En la tabla 3-4 se ilustra cómo calcular la media aritmética de una colección de datos agrupados.225 23. redondeamos las cantidades.950 9.00 175. Ésta es la aproximación hecha a partir de la distribución de frecuencias.995. Para lograr que los puntos medios queden en cifras cerradas. entonces.225 3.00 225. En nuestra muestra de 600 clientes.99 450.00 475. por ejemplo.00 375. Observe que.2 Una medida de tendencia central: la media aritmética 63 . se convierte en 25.00-349.00-199.00 350.00.900 85.00-399.99 200.00-249. Codificación Asignación de códigos o los puntos medios En aquellas situaciones en que no se tenga disponible una computadora y sea necesario realizar las operaciones aritméticas a mano.00-499.99 300.00 fx (3)  (2) Frecuencia (f ) (3)           (f  x) x   n 78 123 187 82 51 47 13 9 6 4 f  n  600           1.00-299.00-149.25.375 14. Así. podemos eliminar el problema de te- Tabla 3-4 Cálculo de la media aritmética de la muestra con los datos agrupados de la tabla 3-3 Clase (dólares) (1) Punto medio (x) (2) 0.375 2. Mediante una técnica conocida como codificación. el punto medio de la primera clase.00 75. como no conocemos cada uno de los datos puntuales de la muestra.25 ←⎯⎯⎯ Media de la muestra (dólares) 3.99 100.350 11. el saldo mensual promedio de las cuentas de cheques es $142. Después multiplicamos cada punto medio por la frecuencia de las observaciones de dicha clase.00 325. suponemos que todos los valores de una clase son iguales a su punto medio.99.00 425. ner puntos medios muy grandes o inconvenientes.5 2 1 0 1 2 3 uf (3)  (4) Frecuencia (f ) (4)  2  6  3  5  2  02 f  n  20 (u  f ) x  x0  w  n       [3-4]   5 19. llamados códigos.7 8-15 16-23 24-31 32-39 40-47 3.5 11.5  2  21.5←x0 27.5 64 Capítulo 3 Caída de nieve anual promedio Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 4 6 0 5 4 6 5←(u  f ) .5  8  20  19. pero para que los enteros sean pequeños. Kentucky Clase (1) Punto medio (x) (2) Código (u) (3) 0. En lugar de utilizar los puntos medios reales en los cálculos.5 35. El entero cero puede asignarse a cualquier punto medio. La siguiente fórmula se utiliza para determinar la media de la muestra mediante códigos: Media aritmética de la muestra para datos agrupados usando códigos (u  f ) x  x0  w  n [3-4] donde.5 43. de la manera siguiente: Clase 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 Código (u) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ↑ x0 Cálculo de la media de datos agrupados utilizando códigos Los estadísticos usan x0 para representar el punto medio al que se asigna el código 0. y 2) sumamos todos estos productos. • • • • • • x  media de la muestra x0  valor del punto medio al que se asignó el código 0 w  ancho numérico del intervalo de clase u  código asignado a cada punto medio de clase f  frecuencia o número de observaciones de cada clase n  número total de observaciones de la muestra Tenga en mente que (u  f ) simplemente significa que 1) multiplicamos u por f para cada clase en la distribución de frecuencias. a cada uno de los puntos medios.5 19. La tabla 3-5 ilustra cómo codiTabla 3-5 Caída anual de nieve en Harlan. asignaremos el cero al punto medio de la mitad de la distribución (o el más cercano a la mitad). y u para el punto medio codificado. podemos asignar enteros consecutivos de valor pequeño. Entonces podemos asignar enteros negativos a los valores menores que ese punto medio y enteros positivos a los valores más grandes. como un solo número que representa a un conjunto de datos completo. la media aritmética tiene desventajas que debemos conocer.1  7  5. el tiempo medio es: x  N [3-1] 4.2  4.7  4. se trata de un concepto familiar para la mayoría de las personas y es intuitivamente claro. No podemos calcular un valor para la media de estos datos debido a la clase de extremo abierto “5.0 Tabla 3-7 Tiempos de los integrantes de un equipo de atletismo en una carrera de 1 milla 3. Sin embargo.3 3 4. la media es útil para llevar a cabo procedimientos estadísticos como la comparación de medias de varios conjuntos de datos (procedimiento que se estudiará en el capítulo 9). aunque la media es confiable en cuanto a que toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos. Kentucky.2 Clase en minutos Frecuencia 4.9 2 5. tiene importantes ventajas. Observe que si los siete miembros de un equipo de atletismo tienen las marcas de tiempo que se muestran en la tabla 3-6 para cierta carrera.0 6 5.4 o más 1 Una medida de tendencia central: la media aritmética 65 .4.0   7 37.4.8 5 5. puede verse afectada por valores extremos que no son representativos del resto de los datos.3 2 5.7 4 4.0 distorsiona el valor que obtenemos para la media.3  4. El valor extremo 9. la respuesta aproximada es 4. como cualquier medida estadística.4 o mucho mayor que 5.7 minutos. si calculamos el tiempo medio para los primeros seis corredores y excluimos el valor de 9.6-4.0 minutos. Segundo.ficar los puntos medios y encontrar la media de la muestra de la caída anual de nieve (en pulgadas) durante 20 años en Harlan. desde luego. La tercera desventaja es que somos incapaces de calcular la media para un conjunto de datos que tiene clases de extremo abierto en la parte inferior o superior de la escala. Un segundo problema con la media es el mismo que encontramos con los 600 saldos de cuentas de cheques. Resulta tedioso calcular la media debido a que utilizamos cada uno de los datos en nuestro cálculo (a menos.2 4. que usemos el método corto que consiste en utilizar datos agrupados para determinar la media aproximada). Sería más representativo calcular la media sin incluir el valor extremo. Tabla 3-6 Tiempos de los integrantes de un equipo de atletismo en una carrera de 1 milla Integrante Tiempo en minutos 1 4.0-5.8  5.0  5.4 o más”. Suponga que los datos de la tabla 3-6 se clasifican en la distribución de frecuencias de la tabla 3-7.1 7 9. cada conjunto de datos tiene una media. Por último. cercano a 5.2-4.1  9. Primero. No tenemos forma de saber si el valor de la observación de esta clase es 5.5 2 2 4.3 minutos ←⎯ Media de la población Sin embargo. Ventajas y desventajas de la media aritmética Ventajas de la media Tres desventajas de la media La media aritmética. Primero. es una medida que puede calcularse y es única debido a que cada conjunto de datos posee una y sólo una media. 9 EA 3-2 Frecuencia Clase Frecuencia 1 4 6 8 12 15. ¿Califica para esa tasa de interés menor? Aplicaciones ■ 3-6 El Child-Care Community Nursery es elegible para recibir recursos de un fondo especial de servicios sociales del estado.800 $ 7.0-18. la media no es representativa.500 $15.0-17.000. Ago. $52.9 13.900 $12. Si los datos que se presentan a continuación representan la edad de los niños que acuden normalmente al centro.300 Jul.9 16.9 18.0-16. Mar.400 Oct. estaríamos violando una suposición importante. El préstamo mostró los siguiente saldos de fin de mes durante el año pasado Ene.500.700 $61.9 11. c) Repita el inciso b) con 0 asignado a la sexta clase. Clase 10.800 Abr.800 $72.300 $172.300 a) ¿El centro en cuestión sigue calificando para recibir apoyo? 66 7 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias $13.600 $8. ¿calificará éste para el apoyo del fondo? 8 ■ 3-7 5 9 10 9 12 7 12 13 8 El Child-Care Community Nursery puede continuar recibiendo el apoyo económico de servicios sociales del estado siempre y cuando el promedio del ingreso anual de las familias cuyos niños asisten al centro sea menor que $12.La media (o promedio) puede ser una excelente medida de tendencia central (la manera en que se agrupan los datos alrededor del punto medio de una distribución). Por fortuna.600 $ 5. La Davis Furniture Company tiene un acuerdo de crédito revolvente con el First National Bank. Feb. d) Explique por qué sus repuestas a los incisos b) y c) son iguales.100 La compañía puede obtener una tasa de interés menor si su saldo mensual promedio es mayor que $65. $58.200 $46.100 $50. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Ejercicios 3-2 Ejercicios de autoevaluación EA 3-1 La siguiente distribución de frecuencias representa los pesos en libras de una muestra de paquetes transportados el mes pasado por una pequeña compañía de carga aérea.800 $14. May.9 14. $121.500 $ 6.900 .9 12. Sep.200 $8.800 $57. siempre y cuando la edad promedio de sus niños esté por debajo de los nueve años.800 $49. Nov. Advertencia: si existen valores muy altos o muy bajos notoriamente distintos a la mayoría de los datos.0-12. Los ingresos familiares de los niños del centro son: $14.0-19. Dic.0-15.9 19. $72.500 $10.9 11 8 7 6 2 a) Calcule la media de la muestra con la ecuación 3-3. Jun. pero a menos que la media sea en verdad representativa de los datos con los que se calculó.9 17. b) Calcule la media de la muestra usando el método de códigos (ecuación 3-4) con 0 asignado a la cuarta clase. Una sugerencia útil al elegir qué medidas calcular es observar los datos.300 $112.0-11. existen medidas que se pueden calcular que no tienen este defecto.0-14.0-13.0-10. La siguiente distribución de frecuencias representa el tiempo en segundos que los cajeros de BullsEye Discount Store necesitaron para servir a una muestra de clientes en diciembre de 1996.01 ■ 6 16 21 29 25 22 11 7 4 0 2 2.89 2. 291 Sep. Los datos para 1995 son los siguientes: Ene. El dueño de Pets‘R Us está interesado en construir una nueva tienda.29 30.0 24. registra los tiempos siguientes (en segundos): 20.94 2.99 2.8 24.69 70. 216 Mar.97 La compañía no suele recalibrar la máquina para este perfume si el volumen de llenado de las 3 onzas difiere en 0.92 2.49 50.2 24. ¿cuánto debe disminuir el ingreso familiar promedio para que el centro califique? c) Si la respuesta del inciso a) es sí. Para probar la precisión del volumen depositado en cada botella.84 2.95 2.0 Una medida de tendencia central: la media aritmética 67 . b) Calcule la media de la muestra a partir de la distribución de frecuencias.2 24. Los volúmenes resultantes (en onzas) de la prueba fueron los siguientes: 3. 315 Jun.04 onzas o menos.9 3. c) Calcule la media de la muestra a partir de los datos sin procesar. 375 Dic.94 2.3 21.97 2.0 20.9 23.79 80. La construirá si el número promedio de animales vendidos durante los primeros 6 meses de 1995 es al menos 300 y si el promedio mensual global del año es al menos 285. ¿cuánto puede aumentar el ingreso familiar promedio y todavía seguir calificando? Los siguientes datos representan las edades de los pacientes admitidos en un pequeño hospital el día 28 de febrero de 1996: 85 88 89 87 ■ 3-9 75 80 83 83 66 56 65 52 43 56 53 44 40 67 75 48 a) Construya una distribución de frecuencias con clases 40-49.90 2.7 25.59 60.2 21. Utilizando un cronómetro y observando a los operadores.89 90.95 2.93 2.2 25. 450 ¿Qué decisión toma el dueño y por qué? Un fabricante de cosméticos adquirió una máquina para llenar botellas de perfume de 3 onzas.02 3.90 2.99 100-109 110-119 120-129 ■ 3-10 a) Calcule la media de la muestra con la ecuación 3-3. 300 Nov.6 28.97 2. etcétera. 50-59. b) Calcule la media de la muestra usando el método de códigos (ecuación 3-4) con 0 asignado a la clase 70-79.99 2.39 40.3 22. d) Compare los incisos b) y c) y comente su respuesta.2 23. hizo una corrida de prueba con 18 recipientes.4 21.1 24. 274 Jul. ¿Deberá recalibrarla? El gerente de producción de la imprenta Hinton desea determinar el tiempo promedio necesario para fotografiar una placa de impresión. 275 Oct.7 23.3 22.■ 3-8 b) Si la respuesta del inciso a) es no.4 22. 195 3-12 Abr. 302 Ago.7 22. Tiempo (en segundos) Frecuencia 20. 234 ■ 3-11 Feb.96 2. 400 May. (Ésta es la ganancia promedio trimestral que obtuvo la señorita Smith durante un periodo de tres años. Afirma que durante su cargo ha administrado el presupuesto para el mantenimiento de la biblioteca ambulante del municipio mejor que su antecesor. A continuación presentamos los datos relativos al mantenimiento de la biblioteca ambulante durante quince años.000 $25. trimestre 4to.000 1980 $15.975 $1.000 1979 $10.000 10.895 ¿Cuál es la cantidad promedio (media) invertida durante a) la primera semana? b) la segunda semana? c) el periodo de 2 semanas? d) Un saldo promedio durante las 2 semanas mayor que $1.000 a) Calcule por separado las ganancias promedio de la representante en cada uno de los cuatro trimestres.000 $20.000 50. la presidenta del comité organizador de la biblioteca municipal.000 1981 1990 $25.000 45. ¿cuánto tendría que aumentar la cantidad invertida el último día para que la compañía obtuviera las tasas de interés más altas? f) Si la repuesta del inciso c) es mayor que $1.0 segundos indica una productividad satisfactoria. muestre que estas dos cantidades son iguales a la media de los 12 números que se presentan en la tabla.000 Calcule el presupuesto promedio anual para los últimos 5 años (1988-1992).000 1986 $19.000 Año Presupuesto Año Presupuesto 1987 $24.887 $1.000 Año 3 30.973 $1.970 millones.000 $15. Calcule el presupuesto promedio anual para los 5 años anteriores a su elección (1978-1982). Recibe una comisión proporcional al volumen de las ventas que haga. Sus ganancias trimestrales en dólares durante los últimos tres años son las siguientes: 1er. Además.893 $1. en dólares: Año 1992 a) b) c) d) 68 Semana 1 Capítulo 3 Presupuesto $30.000 1983 $24. Smith recorre el este de Estados Unidos como representante de ventas del editor de un libro de texto.970 millones.000 $ 5.892 $1. ¿Califica? e) Si la respuesta del inciso c) es menor que $1. trimestre 2do. El saldo diario (en millones de dólares) de la cuenta de inversión durante 2 semanas es el siguiente: $1. de manera que todavía calificara para las tasas de interés altas? M. ¿podría concluir que ha habido una tendencia a aumentar o a disminuir en el presupuesto anual? ¿La presidenta actual ha ahorrado dinero al municipio? Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .000 1985 $21.970 $1.969 $1.000 20. Basándose en los resultados de los incisos a). trimestre 3er.972 $1.■ ■ ■ 3-13 3-14 3-15 Un tiempo promedio por placa menor a los 23. ¿Debe estar preocupado el gerente de producción? La National Tire Company tiene sus fondos de reserva en una inversión a corto plazo.970 millones calificaría a National para obtener tasas de interés más altas. trimestre Año 1 $10. b) y c).000 1989 $27. ¿cuánto podría el tesorero de la compañía retirar el último día de los fondos de reserva. c) Muestre que la media de las cuatro cantidades obtenida en el inciso a) es igual a la media de las tres cantidades que obtuvo en el inciso b). durante diez años.000 1991 $28.000 10.) Lillian Tyson ha sido. Calcule el presupuesto promedio anual para los primeros 5 años de gestión (1983-1987).T.000 15.000 1982 $30.000 1988 $26.976 Semana 2 $1.000 Año 2 20. b) Calcule por separado las ganancias trimestrales promedio en cada uno de los tres años.000 1984 $22.000 1978 $ 9. 0-11.5 0 39.5    15.0-13. 3.5 111 19 ( f  x) 988.000.5 4 28 2 14 18.5 46.5 75.5 10.0 6 0 12 4 00 8 65 988.0-14.9 4 11.9 8 13.5 a) x      15.0 5 30 3 18 19.9 1 10.0-16.5    15. Pero como (u  f ) (u  f )  (x0  kw)  kw  w  xb  x0  w  n n (u  k)f  (x0  kw)  w   xc n se ve que no importa a qué clase se asigne el código 0. se sustituye x0 por x0  kw y se cambia cada código de u a u  k. la compañía califica para las tasas de interés reducidas.0-19.0(111) b) x  x0  w   13.9 7 17.5 170.5 111.5 122. EA 3-2 x 827.0 1 12 1 12 15. por ejemplo.5 174.5 108.2077 libras n 65 (u  f ) 1. ésta utiliza tres niveles de trabajo —no calificado. La compañía desea saber el promedio del costo de trabajo por hora para cada uno de los productos.600    $68.0 0 0 2 16 14.5 3 3 5 5 11. semicalificado y calificado— para la producción de dos de sus productos finales.5 2 22 0 0 16.9 6 12.9 6 18.9 8 16. la compañía cuyos datos presentamos en la tabla 3-8.0 3 24 1 8 17.0(19) (u  f ) c) x  x0  w   15.9 12 14.2077 libras n 65 1.Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-1 (a) Clase Frecuencia (f ) (b) Punto medio (x) fx Código u (c) uf Código u uf 10. 3.0-15.5 132. Considere.3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada Una media ponderada La media ponderada nos permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total.967 x   12 n Dado que esto excede $65.0 1 6 3 18 13.9 11 15.9 02 19.3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 69 .0-12.2077 libras n 65 d) Al mover la clase con el código 0 asignado k clases hacia arriba.0-17.0-10.0 2 8 4 16 12.0-18. Para que nuestros cálculos sean correctos. vemos que los promedios ponderados dan el valor correcto para los costos promedio por hora de mano de obra de los dos productos. 1/8 es de mano obra no calificada. requiere 8 horas de trabajo. Pero estos promedios son incorrectos. Podemos determinar los promedios correctos de la siguiente manera. el costo promedio de mano de obra por hora es $64/8  $8. de las cuales /10 son de trabajo no calificado. Otra forma de calcular el costo promedio por hora para los dos productos consiste en tomar un promedio ponderado del costo de los tres niveles de mano de obra.00 7. Una unidad del producto 1. el costo total del trabajo por unidad es ($5  1)  ($7  2)  ($9  5)  $64. Utilizando estas fracciones como ponderaciones o pesos. 2/8 de mano de obra semicalificada y 5/8 de trabajo calificado. el costo total del trabajo por unidad es ($5  4)  ($7  3)  ($9  3)  $68. por ejemplo. una hora de mano de obra en el producto 2 cuesta: 4 140  $5  130  $7  130  $9  $6. 70 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . y como se invierten ocho horas de trabajo. ponderamos el salario por hora de cada nivel mediante la proporción de la mano de obra total requerida para fabricar el producto.00/hora De manera análoga. Para el producto 2. Para hacerlo. Para el producto 1. entonces una hora de trabajo en el producto 1 cuesta en promedio: 18  $5  28  $7  58  $9  $8. para un costo promedio de mano de obra por hora de $68/10  $6.00/hora En este caso la media aritmética es incorrecta La respuesta correcta es la media ponderada Usando esta tasa promedio podríamos calcular el costo del trabajo invertido en una unidad del producto 1 como $7(1  2  5)  $56.00. una unidad del producto 2 requiere 10 horas de mano de obra. las respuestas deben tomar en cuenta que se utilizan diferentes niveles de mano de obra.00 9. Si utilizamos estas fracciones como las ponderaciones (o los pesos).00 1 2 5 Producto 2 4 3 3 Un simple promedio aritmético de los salarios pagados sería: x x   n [3-2] $5  $7  $9   3 $21  3  $7.Tabla 3-8 Mano de obra por proceso de manufactura Nivel de mano de obra No calificado Semicalificado Calificado Salario por hora en dólares (x) Horas de mano de obra por unidad producida Producto 1 $5. ya que consideran las diferentes cantidades de cada nivel de mano de obra que requieren los productos. y el de una unidad del producto 2 como $7(4  3  3)  $70.80. De este tiempo.80/hora Cálculo de la media ponderada Así. 3/10 de trabajo semicalificado y 3/10 de trabajo calificado. la media aritmética de los valores (comparada con la media aritmética de las observaciones) tal vez no sea una medida SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES de tendencia central exacta. y 4/10. Si se utiliza un valor promedio para tomar una decisión. insista en que la base correcta para la toma de decisiones es la media ponderada. Debe hacerse la distinción entre valores diferentes y observaciones individuales en un conjunto de datos. ya que varias observaciones pueden tener el mismo valor. Dividimos este producto entre la suma de todas las frecuencias. en realidad encontramos una media aritmética ponderada. *El símbolo xw se lee x barra sub w. Cuando calculamos la media aritmética de datos agrupados. Desde luego. utilizando los puntos medios como valores de x y las frecuencias de cada clase como pesos (o ponderaciones). Si los valores de la muestra no aparecen con la misma frecuencia. pregunte cómo se calculó. 2/8 y 5/8 para el producto 1. de acuerdo con la ecuación 3-1 o 3-2 es. 3/10 y 3/10 para el producto 2 del ejemplo) • (w  x)  la suma de los productos de la ponderación de cada elemento por el elemento correspondiente w  suma de todas las ponderaciones • • • Si aplicamos la ecuación 3-5 al producto 1 de nuestro ejemplo de costo de mano de obra. En esos casos. De manera análoga. Si los valores ocurren con frecuencias diferentes.00/hora Media aritmética de datos agrupados: la media ponderada Observe que la ecuación 3-5 establece de una manera más formal algo que ya habíamos hecho. sino de una media ponderada. En una fábrica. es necesario usar la media ponderada de los valores. cualquier media calculada a partir de todos los valores de un conjunto de datos.Con símbolos. podemos determinar la media ponderada de todos los tipos de salarios (no calificado. que es igual a la división entre la suma de todos los pesos. por ejemplo. 3. de acuerdo con la importancia relativa de los valores de x. la naturaleza de tales componentes determina qué es lo que la media está midiendo. encontramos que (w  x) xw   w [3-5] 1 2 5   $5    $7    $9  8 8 8   1 2 5      8 8 8 $8   1  $8. el promedio ponderado de los componentes del conjunto de datos. en realidad. la fórmula para calcular el promedio ponderado es: Media ponderada (w  x) xw   w [3-5] donde. xw  símbolo para la media ponderada* w  peso asignado a cada observación (1/8. La letra w se conoce como subíndice y sirve para recordar que no se trata de una media ordinaria. semicalificado y calificado) o salarios de trabajadores hombres y mujeres o de trabajadores sindicalizados y no sindicalizados.3 Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada 71 . final 87 91 86 84 82 90 92 89 93 88 Jim’s Videotaping Service hizo un pedido de cintas VHS. 8 cajas de Standard. 4 cajas de Performance High-Grade. $16. Estudiante Tareas Parciales Artículo 1 2 3 4 5 85 78 94 82 95 89 84 88 79 90 94 88 93 88 92 Ex.98. El promedio de tareas tendrá un valor del 20% de la calificación del estudiante.89.49 $5. usted se lo lleva gratis. con ventas actuales de $193. $36. nuestro promedio es menor porque nuestras ventas de estos artículos han sido: 7 EA 3-4 9 12 8 6 3 ¿Está Dave’s buscando un problema o resolviéndolo al hablar de promedios ponderados? La Bennett Distribution Company.50 $10. High Standard. $28. tenga un incremento del 8. y que la sucursal de la costa del Pacífico. logre un crecimiento en las ventas del 7. 3 cajas de High Standard y 1 caja de Low Grade.95 Los precios de Dave’s de los mismos seis artículos son $2. semestral Ex.25%.35. Cada caja contiene 24 cintas. $4. $7.Ejercicios 3. 35%.3 millones. se espera que la sucursal del Medio Oeste.3 Ejercicios de autoevaluación EA 3-3 La tienda Dave’s Giveaway tiene un aviso: “Si nuestros precios promedio no son iguales o menores que los de otros. A partir de los datos siguientes. 10%.8 millones.15%. ¿sería esto un buen negocio para Jim’s? d) ¿Cómo cambiaría su respuesta a los incisos a) a c) si hubiera 48 cintas por caja? La mueblería Keyes publicó seis anuncios en los periódicos locales durante el mes de diciembre. Se espera que la sucursal de la costa del Atlántico. aumente sus ventas 7.00 $7. Standard.59 y $11.082 200 1. Suponga que los costos por caja son: High-Grade. $6. Jim ordenó 6 cajas de High-Grade. y los exámenes parciales.20%. calcule el promedio final para los cinco estudiantes del seminario. Los artículos costaron (en dólares) $1. ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento pronosticado en las ventas para el próximo año? Aplicaciones ■ 3-16 ■ 3-17 ■ 3-18 Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. con ventas actuales de $79.29 $2. desea pronosticar las ventas regionales para el año próximo. el artículo de fin de semestre. una subsidiaria de un importante fabricante de electrodomésticos. $18.97 $3. y Low.19.325 300 814 400 307 500 253 600 198 ¿Cuál es el número promedio de veces que un lector vio un anuncio de la mueblería Keyes durante diciembre? 72 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . 25%. el examen semestral. Dave’s le explicó al cliente: “Mi aviso se refiere a un promedio ponderado de estos artículos. el examen final.” Uno de los clientes de Dave’s fue a la tienda un día y puso sobre el mostrador las notas de venta de seis artículos que compró a un competidor por un precio promedio menor que el de Dave’s. $3. 10%.25. $2.5 millones. con ventas actuales de $57.50. a) ¿Cuál es el costo promedio por caja? b) ¿Cuál es el costo promedio por cinta? c) Suponga que Jim’s piensa vender cualquier cinta por $1. Performance High-Grade. Como resultado se obtuvo la siguiente distribución de frecuencias: NÚMERO DE VECES QUE UN LECTOR VIO EL ANUNCIO DURANTE DICIEMBRE FRECUENCIA 000 897 100 1. primera clase. respectivamente. La división de Pittsbrugh. La división de Orlando.20 xc  n  6  $5. 14.35 0. un despacho de asesoría financiera y administrativa. Se espera que las divisiones de Minneapolis y Dallas.1 Título de sección de página correspondiente 73 .97)  12(3. Si Mathews. Los registros de la firma indican el siguiente número de horas cobradas el año anterior en cada categoría: 8. cuya producción anual es 48 millones. personal de campo y personal de oficina. tiene cuatro tipos de profesionales entre su personal: asesores financieros. 24.20 en la competencia 31. respectivamente.13 0. Se elaboró el pronóstico de producción para el próximo año.95) 7  9  12  8  6  3   195.000 y 35. ¿Cuál es la tasa promedio de cambio en producción para la Nelson Window Company durante el año próximo? El Servicio Postal de Estados Unidos maneja siete tipos básicos de cartas y tarjetas postales: tercera clase.50) xD   7  9  12  8  6  3 193. Pittsburgh y Seattle.■ 3-19 ■ 3-20 ■ 3-21 La Nelson Window Company tiene plantas de manufactura en cinco ciudades de Estados Unidos: Orlando.7 y 18.45 ¿Cuál es el ingreso promedio anual por cada onza de la prestación del servicio? Matthews.89)  12(3.600 1. segunda clase.303 en la tienda Dave 45 1. correo registrado y correo certificado. correo aéreo. tengan disminuciones del 9.05 0.2%. ¿qué sugeriría que hiciera y cuál cree que sería una tasa apropiada? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-3 Con los promedios no ponderados.4%. debe crecer 6.08 0. La división de Seattle.17 0. con producciones respectivas de 89 y 94 millones cada año.000.40 0.50)  3(10. 40 dólares/hora.29)  9(2.35)  9(2.00)  6(7.50 xD  6  5.300 750 800 $0. entrega especial. Minneapolis.98)  6(7.000.400 24. 30 dólares/hora y 15 dólares/hora. asociados principales. Las tasas promedio que se cobran a los clientes por el desempeño de cada una de estas categorías profesionales son 75 dólares/hora. se obtiene x 31.62    $4.900 1.49 45    $4.5%.000.344 en la competencia 7(1.4%.59)  3(11.49)  8(5. con producción anual de 62 millones. respectivamente. se obtiene (w  x) xc   w 7(1.100 77. con una producción anual de 72 millones de ventanas. Young y Asociados intenta formular una tasa de cobro promedio para estimar cuánto debe cobrar a los clientes en el año siguiente.25 en la tienda Dave Con los promedios ponderados.19)  8(4. también debe crecer 6. Young y Asociados. pronostica un incremento del 11. Dallas. El volumen de envíos durante 1977 se da en la siguiente tabla: Tipo de correo Onzas enviadas (en millones) Precio por cada onza Tercera clase Segunda clase Primera clase Aéreo Entrega especial Registrado Certificado 16. pues proporciona resultados equivocados.6 3.G.G.  pro du cto deto doslo sv alo res x n [3-6] Si aplicamos esta ecuación a nuestro problema de la cuenta de ahorros. M.G. que corresponde a una tasa de interés promedio del 11% anual.5(7. llamada simplemente la M. Suponga que inicialmente depositamos $100 y dejamos que acumule intereses a diferentes tasas durante cinco años. necesitamos conocer una tasa promedio de cambio.0 7  1. la tasa de crecimiento tomada como la media aritmética es incorrecta Cálculo de la media geométrica El factor de crecimiento es la cantidad por la que multiplicamos los ahorros al inicio del año para obtener el saldo al final del mismo. podemos determinar que 1.8(7.00. Sin embargo. La fórmula para encontrar la media geométrica de una serie de números es: Media geométrica Número de valores x M.  P ro du cto deto doslo sv alo res x n  1.11  1.25)  79. un depósito de $100 crecería en cinco años a: $100  l.10  1. Lo que debemos encontrar es la media geométrica. Considere.1 8 5 74 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias [3-6] . EA 3-4 193. cuando trabajamos con cantidades que cambian en cierto periodo.07  1.8  79.1 0 1. La entrada con el encabezado “factor de crecimiento” es igual a: tasa de interés 1  100 En este caso.11  1.11.435    7.12  1.11.5 w 2466. el factor de crecimiento promedio correcto debe ser ligeramente menor a 1.15) (w  x)   xw   193. el crecimiento de una cuenta de ahorros. que es el promedio adecuado que debemos utilizar.1 2 1.11  1.18)/5  1.11  $168. la media aritmética simple resulta inapropiada. El factor de crecimiento considerado como la media aritmética simple sería (l. como la tasa de crecimiento promedio en un periodo de varios años. Para encontrar el factor de crecimiento promedio correcto podemos multiplicar los factores de crecimiento de los cinco años y luego obtener la raíz quinta del producto (número que al multiplicarse cuatro veces por sí mismo da como resultado el producto inicial). El resultado es el factor de crecimiento como media geométrica. por ejemplo.Aunque en términos técnicos Dave está en lo correcto. El crecimiento se resume en la tabla 3-9.51 En la tabla 3-9 se muestra que la cifra real es sólo $168.3  57. si el banco diera intereses a una tasa constante del 11% anual.46% 330. Así.1093 es el factor de crecimiento promedio correcto.3(8.0 8 1.08  1.11  1. la palabra promedio en el uso popular es equivalente al promedio no ponderado del uso técnico y es seguro que el cliente típico se molestará con la afirmación de Dave (entienda o no el matiz técnico). En tales casos.20)  57.4 Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica Búsqueda de la tasa de crecimiento: la media geométrica Algunas veces. si el banco en realidad pagara intereses a una tasa constante de 250 anual. Suponga que en un periodo de cinco años en un régimen económico con un muy alto índice de inflación.347 ←⎯⎯⎯⎯⎯ Factor de crecimiento promedio Este factor de crecimiento corresponde a una tasa de interés promedio del 235% anual. pregunte si se trata de la media geométrica y tenga cuidado si no lo es. Esto corresponde a una tasa de interés promedio anual del 250%.5. el uso de la media apropiada conduce a una diferencia significativa. Cuando vea el valor del incremento promedio en la inflación. por ejemplo.18 $107.88 Este resultado excede al resultado real de $42. tenga cuidado de no verse tentado a utilizar la media aritmética en lugar de la geométrica.00 115.Año Tasa de interés (porcentaje) Factor de crecimiento Ahorros al final de año (dólares) 1 2 3 4 5 7% 8 10 12 18 1.5  4  5)/5  3.5  4  5  $42. 3.5. 200.) En cinco años.5  3.521.07 1. 250.88 en cinco años: $100  3.00 Tabla 3-9 Crecimiento de un depósito de $100 en una cuenta de ahorros  1. pues se está manejando un valor incorrecto. Utilicemos la fórmula para obtener la media geométrica de una serie de números para determinar el factor de crecimiento correcto: M.1093 ←⎯⎯⎯⎯⎯ Factor de crecimiento promedio (media geométrica de los 5 factores de crecimiento) Advertencia: utilice la media apropiada Observe que la tasa de interés promedio correcta del 10. Sin embargo. 300 y 400%.500.000.5  3. En ciertas situaciones. El factor de crecimiento como media aritmética es de (2  3  3.5  4 5 5  420 5  3. Sin embargo. un depósito inicial de $100 crecerá a $100  2  3  3.12 142. Una tercera medida de tendencia central: la media geométrica 75 . las respuestas obtenidas con la media aritmética no difieren mucho de las correspondientes a la media geométrica.10 1. 4 y 5. En las economías con un alto índice de inflación. 3. un error considerable. que corresponde a un factor de crecimiento de 2.4 Una buena sugerencia de trabajo es usar la media geométrica siempre que se desee calcular el cambio porcentual promedio en el tiempo para algunas variables. los bancos pagan tasas de interés anual de 100. los bancos deben pagar altas tasas de interés para atraer a los ahorradores.5  3.12 1. entonces $100 crecerían a $52. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES 3.G.56 127.5  $52. El siguiente ejemplo nos muestra por qué.93% anual obtenida con la media geométrica está muy cerca de la tasa promedio incorrecta del 11% anual obtenida con la media aritmética. (Calculamos estos factores de crecimiento del mismo modo que en la tabla 3-9. Se usa la media geométrica para mostrar los efectos multiplicativos en el tiempo de los cálculos del interés compuesto y la inflación. En este caso. Esto se debe a que las tasas de interés son relativamente pequeñas.521.000 en más de $10.6 79965 5  1. pero incluso diferencias pequeñas pueden generar malas decisiones.5  3. que es más complicada.08 1.  pro du cto deto doslo sv alo res x n [3-6]  2 3 3.37 168. 630 Calcule el aumento porcentual promedio de unidades producidas en este periodo. Hasta hace 4 meses.0% 7.250 14.35.36 $2.24 $2.49 $2. llega a un resultado de 1. 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 0.5% ¿Cuál es el aumento porcentual promedio del valor neto en el periodo de 5 años? MacroSwift.23. La primera compra fue a $1. 1.11 0. fabricante de tableros de circuitos eléctricos.09 0. ¿A qué tasa promedio mensual ha disminuido el precio de venta de Realistic en estos 4 meses? Aplicaciones ■ ■ ■ 3-22 3-23 3-24 ■ 3-25 ■ 3-26 ■ 3-27 Hayes Textiles ha mostrado los siguientes aumentos porcentuales en su valor neto durante los últimos 5 años: 1993 1994 1995 1996 5% 10.Ejercicios 3. estime el incremento porcentual para 1977 respecto a 1995.5% 9.120 Las tiendas Realistic Stereo etiquetan su mercancía 35% arriba del costo de su última adición al inventario. a $1.19. Bob Headen desea calcular el factor de crecimiento promedio de su tienda de aparatos de sonido en los últimos 6 años.30 76 1992 Capítulo 3 Semana 2 $2.741 17.00 el pie cuadrado. ¿Cuál era ese factor de crecimiento? En un periodo de 3 semanas. $250.24. 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 0.08 0. el gigante de software en Estados Unidos. la segunda.0% 6. Durante los últimos 4 meses Realistic recibió 4 embarques mensuales de esta grabadora con los siguientes costos unitarios: $275.07 0. y utilice el resultado para estimar la producción en 1999.06 La compañía Birch.30.03 0. 1. Calcule el cambio porcentual promedio en el valor neto durante este periodo.500 13.04 0.49 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .11 0. 1.075 0.14 0.42 $2.310 15. hizo la adquisición en tres compras de $40 cada una. $240 y $225.15. a $1.108 0. el dueño de una tienda adquirió $120 de cubierta de acrílico para forrar sus nuevos mostradores. Los siguientes son los precios de un galón de leche durante un periodo de 2 meses.09 0. ha publicado un incremento en su valor neto durante 7 de los últimos 9 años.36 $2. ¿Cuál es el cambio porcentual promedio del precio en la tienda de Lisa? Semana 1 $2. Suponga condiciones similares en los 3 años siguientes y estime el cambio porcentual para 1998 respecto a 1996.095 0. Calcule el incremento promedio porcentual del gasto por deudores morosos durante ese periodo. Los factores de crecimiento individuales de los últimos 5 años fueron 1.10 y la tercera.08 0.19 y 1. pero Bob perdió los registros del sexto año después de haber calculado la media. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento promedio semanal en el precio por pie cuadrado que pagó por la cubierta? Lisa’s Quick Stop atrae a sus clientes con la venta de leche a un precio 2% menor que la tienda de abarrotes más grande del pueblo.11 0. utilizando una media geométrica. ha producido el siguiente número de unidades en los últimos cinco años: 1992 1993 1994 1995 1996 12.4 Ejercicios de autoevaluación EA EA 3-5 3-6 El crecimiento en el gasto por deudores morosos de Johnston Office Supply Company durante los últimos años es el siguiente. la grabadora Dynamic 400-S VHS costaba $300. Si esta tasa continúa.42 Semana 3 Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 7 Semana 8 $2. 1 1(1 . Cálculo de la mediana a partir de datos no agrupados Localización de la mediana de datos no agrupados Para hallar la mediana de un conjunto de datos. ¿Cuál fue el crecimiento porcentual promedio de la empresa durante este lapso? Si esta tasa promedio se mantiene estable durante 3 años más.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 77 . 240/250  0. De acuerdo con la ecuación 3-7.00 y $66. la mediana es el cuarto término del arreglo (7  1)/2  4.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana Definición de mediana La mediana es una medida de tendencia central diferente a cualquiera de las que hemos tratado hasta ahora.2029. 250/275  0. este costo fue de $55. Inc.  1. $61. Si aplicamos es3. 20.9375.00.00. $65.9306  1  0.0 9)( 1.0 75)( 1.9 600)( 0.29% más alto que en 1995. tiene registros del costo de procesamiento de cada pedido.09675 7 7 El incremento promedio es 9.9 4 4 El precio ha disminuido a una tasa promedio del 6. de manera que 167(0 . ¿Cuál parece ser el efecto del nuevo reglamento? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA EA 3-5 3-6 M.94% mensual.9167.G. la mediana es: Mediana Número de elementos del arreglo n1 Mediana   -ésimo término del arreglo de datos 2  Un número impar de elementos  [3-7] Suponga que deseamos encontrar la mediana de siete elementos de un arreglo de datos. $58. Sus datos están expresados en términos del aumento porcentual en el número de presos (un número negativo indica una disminución porcentual).G.0694 M. La mitad de los elementos están por arriba de este punto y la otra mitad está por debajo.7 500  0.9 375)  0. ¿cuánto le costará a la empresa procesar un pedido al final de ese periodo? Un sociólogo ha estado estudiando los cambios anuales en el número de convictos asignados al reclusorio más grande del estado. la población del reclusorio crecía a una tasa de alrededor del 2% anual.9091.9 091)( 0. Antes.1 2)  1. la mediana es el promedio de los dos elementos de en medio.  0. c) En 1990 se aprobó un nuevo código penal.0 95)( 1.0 8)( 1. Si el conjunto de datos contiene un número impar de elementos. Los factores de crecimiento mensual son 275/300  0. La estimación de gastos por deudores morosos en 1997 es (1. 3.■ 3-28 ■ 3-29 Industrial Suppliers. si hay un número par de observaciones. En lenguaje formal. Durante los últimos 5 años.00.9 08769992  1. Los datos más recientes recabados por el sociólogo son los siguientes: 1991 4% 1992 1993 1994 1995 1996 5% 10% 3% 6% 5% a) Calcule el aumento porcentual promedio utilizando sólo los datos de 1992 a 1995. primero se organizan en orden descendente o ascendente. es decir. La mediana es un solo valor del conjunto de datos que mide la observación central del conjunto.9600 y 225/240  0.1 08)( 1.675% anual. Esta sola observación es el elemento que está más al centro del conjunto de números.00. b) Calcule el aumento porcentual promedio utilizando ahora los datos de los 6 años. el de en medio en el arreglo es la mediana.09675)2  1  0. La clase de la mediana de este conjunto de datos contiene 187 observaciones. la mediana que calculamos en la tabla 3-l0 no se distorsiona por la presencia del último valor (9.00 a $149. El promedio de estos dos elementos es igual a (43  35)/2  39.5 del arreglo. Considere los datos mostrados en la tabla 3-11 referentes al número de pacientes tratados diariamente en la sala de emergencias de un hospital. La mediana de este conjunto de datos sería n1 Mediana   -ésimo término del arreglo de datos 2   [3-7] 81   2  4. Este valor pudo haber sido 15. tendremos un total de 388. tenemos 10 intervalos de clase y un registro de las frecuencias con las que aparecen las observaciones en cada intervalo. Como tenemos 600 cuentas.8 minutos. Pero cuando tomamos en cuenta al tercer intervalo de clase y sumamos 187 elementos a los 201 acumulados.00 y se encuentran igualmente espaciados en todo el inter- Tabla 3-10 Tiempos para los integrantes de un equipo de atletismo Elemento del arreglo de datos Tiempo en minutos 1 4. Los datos están organizados en orden descendente.2 2 4.0). Por consiguiente. Si suponemos que estos 187 elementos empiezan en $100.3 3 4. Ésta es la mediana del tiempo del equipo de atletismo.Lo mediana no se ve distorsionada por valores extremos Un número par de elementos to al ejemplo de los tiempos de los siete integrantes de un equipo de atletismo. Cálculo de la mediana a partir de datos agrupados Búsqueda de la mediana de datos agrupados Localice la clase de la mediana A menudo. 39 es la mediana del número de pacientes por día tratados en la sala de emergencias durante el periodo de 8 días.0 Tabla 3-11 Pacientes tratados en la sala de urgencias durante 8 días consecutivos 78 Capítulo 3 Elemento del arreglo de datos Número de pacientes 1 86 2 52 3 49 4 43 5 35 ↑ Mediana de 39 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 6 31 7 30 8 11 .5 (el promedio de los números 300 y 301). necesitamos calcular el promedio de los elementos cuarto y quinto. que contiene datos acerca de los 600 clientes bancarios considerados antes. Observe que a diferencia de la media aritmética calculada. debemos sumar las frecuencias que aparecen en la columna de frecuencias de la tabla 3-12 hasta que lleguemos al elemento número (n  1)/2. El problema consiste en encontrar los intervalos de clase que contengan a los elementos número 300 y 301.1 7 9.99). y la mediana ¡seguiría siendo la misma! Calculemos ahora la mediana de un arreglo con un número par de elementos. Para ello. En este caso.0.0 6 5. descubriremos que el cuarto elemento del arreglo es 4.8 ↑ Mediana 5 5.5-ésimo término Como la mediana es el elemento número 4. En consecuencia. La frecuencia acumulada para las dos primeras clases es sólo 78  123  201. podemos calcular la mediana del saldo de las cuentas de cheques de estos 600 clientes determinando cuál de los 10 intervalos de clase contiene la mediana. tenemos acceso a los datos hasta después de agruparlos en una distribución de frecuencias. no conocemos todas las observaciones que llevaron a la tabla 3-12. las observaciones número 300 y 301 deben estar en esta tercera clase (el intervalo de $100. El cuarto elemento de la tabla 3-11 es 43 y el quinto 35. No obstante. Por ejemplo.7 4 4. el valor para (n  1)/2 es 300.0 o incluso 45. 99 350.99 100. el promedio de los elementos 300 y 301).00 hasta $149.30 2 Esta cantidad ($126. es decir.99 400. o $100.00-499. La mediana real de este conjunto de datos es el valor del elemento número 300. el promedio de las observaciones 300 y 301. Utilice la ecuación 3-7 para determinar qué observación de la distribución está más al centro (en este caso.99 Frecuencia 78 123 187 82 51 47 13 9 6 004 600 Clase de la mediana valo de clase desde $100.17  $0. podemos usar $126.00-349.00 hasta $149.99 200.00-399. Sume las frecuencias de cada clase para encontrar la clase que contiene a ese elemento más al centro (la tercera clase. entonces podemos interpolar y encontrar valores para los elementos 300 y 301.99 450.49.00   $0. estimada a partir de los datos agrupados de la tabla 3-12.267 cada uno y necesitamos 98 pasos para llegar al elemento número 99. 2. entonces éste es: ($0.17 y $126.149.99.44 como los valores de los elementos 300 y 301. respectivamente.17 y el elemento número 100 está un paso más adelante: $126.99 300.99.Tabla 3-12 Clase en dólares Saldos mensuales promedio de 600 clientes 0.99 50. En resumen.17  $126. Este promedio es: $126.44   $126.267 de ancho 187 Si existen 187 pasos de $0. 3.00.00-199.00  $149.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 79 .00-449.99).00  $100.99 250.267  $126.00-249.267  98)  $100  $126.00-299.99 150. Primero determinamos que el elemento número 300 es la observación número 99 de la clase de la mediana: 300  201 [elementos de las primeras dos clases]  99 y que el elemento número 301 es la observación número 100 de la clase mediana: 301  201  100 Entonces podemos calcular el ancho de los 187 pasos iguales desde $100.00.5.44 Por tanto.99 de la siguiente manera: Primer elemento de la siguiente clase Primer elemento de la clase de la mediana $150. podemos calcular la mediana de un conjunto de datos agrupados de la siguiente manera: Pasos para encontrar la mediana de datos agrupados 1.30) es la mediana de los saldos mensuales de las cuentas de cheques. 17. dividiendo el intervalo de clase entre el número de elementos contenidos en la clase (ancho  $0. 80 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . como en nuestro ejemplo.267  $126. Un método más sencillo Para hacer más corto el procedimiento anterior. fm  187.35 ← Mediana de la muestra estimada La pequeña diferencia entre este resultado y el que calculamos siguiendo el camino largo se debe al redondeo. la observación 301.3. $126.527)($50)  $100  $126. pero sin incluir. tome el promedio de los valores obtenidos para la mediana calculados en el paso número 6 ($126.267  $126.17  $0. Determine el ancho de cada paso para pasar de una observación a otra en la clase mediana. 4. 5.   (n  1)/ 2  (F  1) m˜   w  Lm fm  [3-8]  601/2  202   $50  $100 187   98. la ecuación sería: Mediana de la muestra para datos agrupados   (n  1)/2  (F 1) m˜   w  Lm fm [3-8] donde. el 100). 6. Si existe un número par de observaciones en la distribución. Determine el número de elementos de la clase (187) y la localización de la clase que contiene a la mediana (la observación 300 fue el elemento número 99. entonces n  600. • m˜  mediana de la muestra • n  número total de elementos de la distribución • F  suma de todas las frecuencias de clase hasta. Determine el número de pasos que hay desde el límite inferior de la clase de la mediana hasta el elemento correspondiente a la mediana (98 pasos para el elemento número 99. 7.267).5   $50  $100 187  (0. F  201.30). Calcule el valor estimado de la mediana multiplicando el número de pasos necesarios para llegar a la observación mediana por el ancho de cada paso y al producto súmele el valor del límite inferior de la clase mediana ($100  98  $0. la clase de la mediana • fm  frecuencia de la clase de la mediana • w  ancho de intervalo de clase • Lm  límite inferior del intervalo de clase de la mediana Si utilizamos la ecuación 3-8 para calcular la mediana de nuestra muestra referente a los saldos de cuentas de cheques.44). w  $50 y Lm  $100. 99 para el 100). los especialistas en estadística utilizan una ecuación para determinar la mediana de un conjunto de datos agrupados. Para una muestra. Si la distribución se ve poco usual. La mediana tiene también algunas desventajas. Suponga.5 200-249. en lugar de números.08 EA 3-8 0. debemos ordenar los datos antes de llevar a cabo cualquier cálculo.5 72 63 36 18 3. Esto implica consumo de tiempo para cualquier conjunto de datos que contenga un gran número de elementos. 213 y 347. ligeramente borrosa y muy borrosa. 40.5 350-399. En el capítulo 7 analizaremos el tema de la estimación con detalle. si deseamos utilizar un estadístico de la muestra para estimar un parámetro de la población.08 1. Los resultados deben clasificarse de acuerdo con la nitidez de la imagen. en dólares. por ejemplo. La buena noticia es que calcularla es bastante rápido y evita el efecto de valores muy grandes o muy pequeños. b) Calcule la media del precio por libra.55 1. 4. Los precios siguientes. a menos que la mediana entre en una clase de extremo abierto. 5. b) El número de elemento que representa la mediana. nítida. c) ¿Cuál es la mejor medida de tendencia central de estos datos? Para la siguiente distribución de frecuencias. corresponden a una libra de tocino. casi todo lo que calcule con esos datos tendrá defectos o limitaciones.14 1. Podemos encontrar la mediana incluso cuando nuestros datos son descripciones cualitativas como color o nitidez. d) El valor estimado de la mediana para estos datos. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Ejercicios 3. la mediana es 40.5 450-499. determine: a) La clase de la mediana.5 Ejercicios de autoevaluación EA 3-7 Swifty Markets compara los precios de artículos idénticos vendidos en sus tiendas de alimentos.33 1. mostrada en el ejemplo del equipo de atletismo de la tabla 3-10.5 400-449. También. La mediana es fácil de entender y se puede calcular a partir de cualquier tipo de datos.5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 81 . la media es más fácil de usar que la mediana. incluso a partir de datos agrupados con clases de extremo abierto como la distribución de frecuencias de la tabla 3-7. es decir la tercera (nítida). 100. muy nítida. debido a que la mediana es una posición promedio.09 1. La mediana de las cinco clasificaciones es la (5  1)/2.05 a) Calcule la mediana del precio por libra. Por consiguiente.5 250-299. $1. Podemos ordenar los resultados desde mejor hasta peor: extremadamente nítida. La más importante.98 1. verificados la semana pasada.Ventajas y desventajas de la mediana La mediana tiene varias ventajas respecto a la media. Ventajas de la mediana Desventajas de la mediana Hay buenas y malas noticias respecto al uso de la mediana. Ciertos procedimientos estadísticos que utilizan la mediana son más complejos que aquellos que utilizan la media.22 1. es que los valores extremos no afectan a la mediana de manera tan grave como a la media. La mala noticia es que se sacrifica cierta exactitud al elegir un solo valor para representar una distribución.5 150-199.5 12 14 27 58 300-349.24 1. que no tiene relación aparente con ninguno de los otros valores de la distribución. Clase Frecuencia Clase Frecuencia 100-149. Advertencia: antes de hacer cálculos revise los datos con su propio sentido común. que tenemos tres tirajes de una prensa de imprenta. c) El ancho de los pasos iguales en la clase de la mediana. Para los valores 2. 5 90-99.5 20-29.9 50. Los siguientes datos se refieren al número de canales que ofrecen en el servicio básico: 32 ■ 450 560 32 19 22 29 34 21 29 28 43 30 22 34 33 39 41 Mark Merritt.5 50-59.9 25.5 8 15 23 37 46 Clase 60-69. c) Compare los incisos a) y b) y comente cuál es la mejor medida de tendencia central de los datos.9 100-124. se encuentra investigando cantidad de material utilizado en los trabajos de tapicería de la empresa.5 40-49. A continuación presentamos registros del kilometraje semanal: 810 1. ¿Son cercanas entre sí sus dos estimaciones? Clase Frecuencia 10-19.9 5 13 16 8 6 a) Utilice la ecuación 3-8 para estimar la mediana del peso de los peces.5 70-79.74. De la siguiente muestra de datos (en minutos) ¿puede usted ayudar al departamento a determinar si conducen los autobuses con exceso de velocidad? Si de los datos concluye que la velocidad fue excesiva. b) Calcule la media para el kilometraje de los 20 camiones. debido a los Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . ¿qué explicación podrían darle los conductores de los autobuses? 17 29 33 52 44 ■ 657 559 a) Calcule la mediana del kilometraje que recorre un camión.5 100 o más Frecuencia 52 84 97 16 5 Los siguientes datos representan el peso de los peces atrapados por el bote deportivo “El Fugitivo”: Clase Frecuencia 0. b) Calcule el número medio de canales proporcionados. Piensa que la mediana de los tiempos razonable para el recorrido del aeropuerto O’Hare al Centro John Hancock debería ser alrededor de 30 minutos.Aplicaciones ■ 3-30 La empresa Meridian Trucking lleva un registro del kilometraje de todos sus vehículos. c) Compare el resultado de los incisos a) y b) y explique cuál es la mejor medida de la tendencia central de los datos.5 80-89.24.49. El Consumer’s Bureau de Carolina del Norte realizó una encuesta acerca de los proveedores de televisión por cable en el estado.9 75. La cantidad varía de un trabajo a otro. b) Utilice la ecuación 3-3 para calcular la media de estos datos. c) ¿Qué valor es la mejor medida de tendencia central para estos datos? Para la siguiente distribución de frecuencias: a) ¿Qué número representa la mediana? b) ¿Qué clase contiene la mediana? c) ¿Cuál es el ancho de los pasos iguales en la clase de la mediana? d) ¿Cuál es el valor estimado de la mediana para estos datos? e) Utilice la ecuación 3-8 para estimar la mediana de los datos.450 ■ 3-31 ■ ■ 3-32 3-33 3-34 756 469 789 890 210 987 28 31 15 25 14 12 82 3-35 589 788 488 943 876 447 689 775 29 22 28 29 32 33 24 26 8 35 a) Calcule la mediana del número de canales proporcionados. gerente de la Quality Upholstery Company. El Departamento de Transporte de Chicago cree que el exceso de velocidad de los autobuses aumenta el costo de mantenimiento.99.5 30-39. 5 Una cuarta medida de tendencia central: la mediana 83 . determine la mediana utilizando el método descrito anteriormente.99 500-749.492 Un investigador obtuvo las respuestas siguientes a una de las preguntas incluidas en una encuesta de evaluación: totalmente en contra.115.24 1.08 1.diferentes estilos y tamaños de los muebles. la mediana puede ser un poco mejor que la media.4688 653.33 1. de acuerdo. utilice la mediana para predecir cuántos metros de material se van a necesitar. altamente de acuerdo.05 1.0816 300  39(0.98 1.08 1.76 b) x      $1.5 150-199.6944)  326.176 n 10 c) Debido a que los datos están ligeramente sesgados.5 200-249.5 Promedio de los datos 150 y 151 Ancho de paso  50/72  0.000 o más 1.3872 (150) 327. Monto de reclamaciones ($) Frecuencia Monto de reclamaciones ($) Frecuencia menos que 250 250-499.6944 300  38(0.5 300-349.14 1. el promedio de los datos 5 y 6 2 x 11. De las seis respuestas.7344 2 3.5 350-399. en contra.09 1. Verifique su resultado usando la ecuación 3-8.5 400-449.55 1.5 12 14 27 58 72 63 36 18 12 26 53 111 183 246 282 300 Clase de la mediana  300-349. un poco de acuerdo.4688 Mediana    32.066 750-999. Si la cantidad de reclamaciones por accidentes automovilísticos a una compañía de seguros muestra la siguiente distribución.6944)   (151) 653. pero en realidad no hay una diferencia notoria.99 1.14 a) Mediana    $1. ¿cuál es la mediana? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-7 Primero se arreglan los precios en orden ascendente: 0. ■ 3-36 ■ 3-37 51/4 53/8 61/4 6 6 61/4 77/8 8 91/4 91/2 91/2 97/8 101/2 101/4 51/2 57/8 6 57/8 53/4 57/8 61/2 7 71/2 81/4 81/2 9 93/8 91/8 91/4 101/4 101/2 97/8 101/8 101/8 10 Si se tienen programados 150 trabajos para las siguientes 3 semanas. Merrit reunió los datos siguientes (en yardas) de los trabajos hechos la semana anterior.99 52 337 1.5 450-499.09  1.5 250-299.776 1. EA 3-8 a) b) c) d) Clase Frecuencia Frecuencia acumulada 100-149. ligeramente en contra.22 1. por ejemplo. Agrupemos ahora estos datos en una distribución de frecuencias.7 es el resultado al calcular la media). debemos calcular la moda de datos agrupados. pero un tanto parecida a la mediana. Cálculo de la moda de datos agrupados Cuando los datos ya se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias.7 (6. utilizamos la ecuación 3-9: Moda   d1 Mo  LMo   w d1  d2 [3-9] donde.3. Es por esto que rara vez utilizamos la moda de un conjunto de datos no agrupados como una medida de tendencia central. pero no nos indica que la mayor cantidad de viajes está por debajo de 10. a la cual podemos llamar clase modal. Para determinar un solo valor para la moda a partir de esta clase modal. elegimos 4-7 viajes. pues en realidad no se calcula mediante algún proceso aritmético ordinario. Una moda de 15 implica que la actividad de la planta es mayor que 6.6 Una medida final de tendencia central: la moda Definición de moda Riesgos al usar la moda de datos no agrupados Búsqueda de la clase modal de datos agrupados La moda es una medida de tendencia central diferente de la media. ya que se presenta más a menudo que cualquier otro valor (tres veces). podemos suponer que la moda está localizada en la clase que contiene el mayor número de elementos. La moda nos dice que 15 es el número más frecuente de viajes. El valor modal es 15. en la clase que tiene la mayor frecuencia. como en la tabla 3-14. siempre que utilizamos la moda como una medida de tendencia central de un conjunto de datos. La tabla 3-13. presenta el número de viajes de entrega por día que hace una revolvedora de concreto. Por esto. Esta clase es más representativa de la actividad de la revolvedora que la moda de 15 viajes diarios. La moda es el valor que más se repite en el conjunto de datos. es decir. • LMO  límite inferior de la clase modal • d1  frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente menor que ella Tabla 3-13 Viajes de entrega por día en un periodo de 20 días Viajes organizados en orden ascendente 0 0 1 2 2 4 5 5 6 7 7 8 15 15 15 1 4 6 12 19 } ← Moda Tabla 3-14 Distribución de frecuencias de los viajes de entrega 84 Capítulo 3 Clase de número de entregas Frecuencia 0-3 6 4-7 8-11 8 1 ↑ Clase modal Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 12 o más 5 . el azar hace que un solo elemento no representativo se repita lo suficiente para ser el valor más frecuente del conjunto de datos. Si seleccionamos la clase que tiene el mayor número de observaciones. el azar puede desempeñar un papel importante en la organización de datos. Como en todos los demás aspectos de la vida. En ocasiones. se graficaron los datos de la tabla 3-15. Esta distribución. Observe que tanto 1 como 4 parecen ser el mayor número de errores del conjunto de datos. aunque en este caso los dos valores más altos no sean iguales. Ambos aparecen tres veces.6 8 9 10 11 12 Una medida final de tendencia central: la moda 85 . $119.00 ← Moda El resultado obtenido. entonces. Se presentan con los valores correspondientes a 1 y 4 errores de facturación.38)($50)  $100  $19  $119. En la figura 3-6. entonces LMO  $100. Observe que hay dos puntos que son los más altos de la gráfica. d1  187  123  64. es la estimación de la moda.d2  frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase inmediatamente mayor que ella w  ancho del intervalo de la clase modal • • Si utilizamos la ecuación 3-9 para calcular la moda del saldo de las cuentas de cheques de nuestro ejemplo (vea la tabla 3-12). Distribuciones multimodales Distribuciones bimodales ¿Qué sucede cuando tenemos dos valores diferentes y cada uno parece ser el mayor número de veces que aparece un valor en un conjunto de datos? En la tabla 3-15 se muestran los errores de facturación en un periodo de 20 días cometidos en las oficinas administrativas de un hospital. tiene dos modas y se le conoce como distribución bimodal. Tabla 3-15 Errores organizados en orden ascendente Errores de facturación por día en un periodo de 20 días 0 0 1 1 1 } 2 4 4 ← Moda 4 5 } ← Moda 6 6 9 9 7 8 8 10 12 12 FIGURA 3-6 Datos de la tabla 3-15 que muestran una distribución bimodal Frecuencia 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Número de errores 3.   d1 Mo  LMo   w d1  d2 [3-9] 64  $100   $50 64  105  $100  (0. d2  187  82  105 y w  $50. La distribución de la figura 3-7 se conoce también como bimodal. Es claro que estos puntos son mayores que los valores más cercanos de la frecuencia observada. Muchas veces. A pesar de estas ventajas. Podemos utilizar la moda sin importar qué tan grandes o qué tan pequeños sean los valores del conjunto de datos e independientemente de cuál sea su dispersión. por ejemplo. “nítida”. por ejemplo. También. la mediana y la moda son idénticas en una distribución simétrica Cuando trabajamos problemas de estadística. “nítida”. podemos hablar de estilos modales cuando. pues ya está hecha la selección. Comparación de la media. En esos casos. como se usan la media y la mediana. tres o más modas.Moda Moda FIGURA 3-7 Distribución bimodal con dos modas distintas Ventajas y desventajas de la moda Ventajas de la moda Desventajas de la moda La moda. Si una prensa estampa cinco impresiones que podemos clasificar como “muy nítida”. que la tabla 3-14 contiene la clase de extremo abierto “12 viajes o más”. la mediana o la moda como medidas de tendencia central. En otras ocasiones. pues cada uno de ellos se presenta el mismo número de veces. Note. FIGURA 3-8 Distribuciones con sesgo (a) positivo y (b) negativo que muestran las posiciones de la media. la mediana y la moda La media. no existe un valor modal debido a que el conjunto de datos no contiene valores que se presenten más de una vez. sesgada a la derecha). los clientes de una mueblería prefieren muebles tipo “colonial” sobre cualquier otro estilo. En una distribución con sesgo positivo (es decir. no es necesario escoger la medida de tendencia central. la mediana y la moda 86 Capítulo 3 Media Moda Media Moda Mediana Mediana (a) (b) Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . escogemos el valor más frecuente del conjunto de datos como el valor modal. la moda todavía se encuentra en el punto más alto de la distribución. Aun cuando los valores extremos sean muy altos o muy bajos. cada valor es la moda. es difícil interpretarlos y compararlos. al igual que la mediana. los valores extremos no afectan indebidamente a la moda. debemos decidir si vamos a utilizar la media. Las distribuciones simétricas que sólo contienen una moda siempre tienen el mismo valor para la media. la moda no se utiliza tan a menudo como medida de tendencia central. la mediana y la moda. como la gráfica (a) de la figura 3-8. Resulta claro que la moda es una medida inútil en tales casos. igual que la mediana. se puede utilizar como una posición central para datos tanto cualitativos como cuantitativos. entonces el valor modal es “nítida”. De manera análoga. Otra desventaja consiste en que cuando los conjuntos de datos contienen dos. “nítida” y “borrosa”. la mediana está a la derecha de la moda y la media se encuentra todavía más a la derecha de la moda y la mediana. Una tercera ventaja de la moda es que la podemos utilizar aun cuando una o más clases sean de extremo abierto. 30-34 y 35 o más. ¿Es la media o la moda una mejor medida de tendencia central para estos datos? 3. Al manejar los efectos acumulados de la inflación o el interés. Cuando la población está sesgada negativa o positivamente. se requiere la media geométrica si se desea exactitud. como en la gráfica (b) de la figura 3-8. la media aritmética es muy exacta y se calcula rápidamente. Cada caso deberá considerarse de manera independiente. Ahora calcule la media de los datos sin procesar. sesgada a la izquierda). b) Calcule la media para este conjunto de datos. 25-29. Si existen 500 casas nuevas en un desarrollo urbano. Las respuestas fueron las siguientes: 1 0 2 2 3 4 2 1 2 0 2 2 3 1 0 7 3 5 4 2 a) Calcule la moda de este conjunto de datos. la moda sigue siendo el punto más alto de la distribución. la mediana suele ser la mejor medida de posición. La frecuencia de ocurrencia de un solo valor no influye mucho en la mediana como es el caso de la moda. En cualquier otro caso. Si se obtiene el promedio de un pequeño grupo de salarios en una fábrica bastante cercanos entre sí. ni la distorsionan los valores extremos como la media. no existen guías universales para la aplicación de la media. todas con va- lores que no difieren en más de $10. la mediana o la moda como medidas de tendencia central para diferentes poblaciones. Un ejemplo de sentido común: aunque es cierto que la familia promedio tiene 1. entonces la mediana es mucho más rápida y también bastante exacta. debe pensarse en las situaciones prácticas en las que cada una de ellas tiene más sentido. la mediana está a la izquierda y la media se encuentra todavía más a la izquierda de la moda y la mediana. Aplicaciones ■ 3-38 Un bibliotecario encuestó a 20 personas al salir de la biblioteca y les preguntó cuántos libros habían sacado.6 Una medida final de tendencia central: la moda 87 .La mediana puede ser la mejor medida de posición en distribuciones sesgadas En una distribución con sesgo negativo (es decir. debido a que siempre está entre la moda y la media. Las edades de una muestra de estudiantes que asisten a Sandhills Community College este semestre son: 19 18 55 a) b) c) d) 17 33 19 15 32 22 20 29 25 23 24 28 41 19 30 33 18 44 21 20 19 18 17 20 20 22 39 Construya una distribución de frecuencias con intervalos 15-19.0 niños. Sugerencia: al intentar decidir los usos de la media. b) Calcule la media para este conjunto de datos.6 Ejercicios de autoevaluación EA 3-9 Las siguientes son las edades en años de los automóviles en los que trabajó Village Autohaus la semana pasada: 5 EA 3-10 6 3 6 11 7 9 10 2 4 10 6 2 1 5 a) Calcule la moda para este conjunto de datos. c) Compare los incisos a) y b) y comente cuál es la mejor medida de tendencia central de estos datos. la mediana y la moda. Compare sus repuestas a los incisos b) y c) y comente cuál de las dos medidas de tendencia central es más adecuada para estos datos y por qué. c) Grafique los datos de la frecuencia contra el número de libros sacados.000. los diseñadores de automóviles tomarán mejores decisiones si usan el valor modal de 2. de acuerdo con las líneas generales que se analizaron. 20-24. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Ejercicios 3.65 hijos. Estime el valor de la moda mediante la ecuación 3-9. 91 88 95 79 97 89 66 92 86 98 87 98 127 142 145 139 127 129 154 184 149 147 145 158 192 162 241 a) b) c) d) ■ ■ 3-42 3-43 Construya una distribución de frecuencias usando los intervalos 66-87.99 6-6. Inc.: Días 0-0. 220-241.9 57-61. se desea que las medidas utilizadas reflejen los datos tanto como sea posible.9 4 9 13 42 39 20 9 ¿Cuáles son los valores modales para las siguientes distribuciones? (b) Tipo de sangre Frecuencia (c) Día de nacimiento Frecuencia 3-41 Frecuencia Estime el valor modal de la distribución utilizando la ecuación 3-9.99 ■ 88 Capítulo 3 Frecuencia 2 4 6 7 5 3 1 En los laboratorios. Con datos disponibles acerca de los ingresos obtenidos en el verano por todos los estudiantes que han solicitado ayuda económica a la oficina. d) Seleccione la respuesta entre los resultados de los incisos a). se sabe que el informe sobre las pruebas circulará ampliamente y se usará como base para una legislación sobre los impuestos a las concesiones de los sistemas.■ 3-39 ■ 3-40 La edad de los residentes de Twin Lakes Retirement Village tiene la siguiente distribución de frecuencias: 47-51. diversa.99 5-5.99 4-4. 88-109. 3-44 Ed Grant es director de la Oficina de Becas Estudiantiles del Wilderness College. a) Calcule la media del conjunto de datos. En consecuencia. b) Calcule la moda del conjunto de datos.99 2-2. . A continuación presentamos una distribución de la capacidad de almacenamiento de calor (en días) de 28 sistemas que fueron probados recientemente por University Laboratories. Carolina del Norte.9 77-81. Estime el valor de la moda con la ecuación 3-9. c) Calcule la mediana del conjunto de datos.9 72-76.9 62-66.9 52-56.99 1-1. (a) Color de cabello Frecuencia ■ Clase Negro 11 Castaño 24 Pelirrojo 6 Rubio 18 AB 4 O 12 A 35 B 16 Lunes 22 Martes 10 Miércoles 32 Jueves 17 Viernes 13 Sábado 32 Domingo 14 Los siguientes datos se refieren al número de departamentos en 27 complejos en la ciudad de Cary. . b) y c) que mejor refleje la tendencia central de los datos y justifique su elección.9 67-71. El número de sistemas de calentamiento solar disponibles al público es bastante grande y su capacidad de almacenamiento de calor. desarrolló la distribución de frecuencias siguiente: Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . Estime la moda de la distribución dada en el ejercicio 3-36. Compare sus respuestas a los incisos b) y c) y comente cuál de las dos es mejor medida de tendencia central para estos datos y por qué.99 3-3. . Calcule la media de los datos sin procesar. . EA 3-10 a) Clase Frecuencia 15-19 10 20-24 9  25-29 3 30-34 4 35 4  10 d1 b) Mo  LMO   w  15   5  19. c) Si las becas a los estudiantes están restringidas a aquellos cuyos ingresos en el verano fueron por lo menos 10% menores que la ganancia modal. pero uno con mayor dispersión que el otro.Ingresos en el verano Número de estudiantes $ 0.999 1. y ésta tiene menor variabilidad que la C. la moda es una mejor medida de tendencia central. estaremos pasando por alto una diferencia importante que existe entre las tres curvas. Esto sucede también con las tres distribuciones de la figura 3-9. pero la curva A tiene menor separación (o variabilidad) que la curva B.500-2. en la figura 3-2. ¿cuántos solicitantes obtienen la beca? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-9 a) Moda  6 x 87 b) x      5.8 n 15 c) Como la frecuencia modal es sólo 3 y los datos son razonablemente simétricos. 3.000 o más 231 304 400 296 123 68 23 a) Encuentre la clase modal del conjunto de datos.500-1.7 Dispersión: por qué es importante 89 . B y C 3. La media de las tres curvas es la misma. Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos.499 500.499 2. la media es mejor medida de tendencia central. la media.000-2.7 Dispersión: por qué es importante Necesidad de medir la dispersión o lo variabilidad Al inicio de este capítulo.999 3.33 n 30 d) Debido a que esta distribución está muy sesgada. mostramos dos conjuntos de datos con la misma posición central.55 d1  d2 10  1 x 760 c) x      25. la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que debemos conocer acerca de las características de los Curva A Curva B FIGURA 3-9 Tres curvas con la misma media pero diferente variabilidad Curva C Media de A. b) Utilice la ecuación 3-9 para encontrar la moda de los datos que utilizó Ed. Si medimos sólo la media de estas tres distribuciones.000-1.499 1.999 2. De manera similar.6 yardas por jugada. como un todo.7 Conceptos básicos ■ 3-45 ¿Para cuál de las siguientes distribuciones la media es más representativa de los datos como un todo? ¿Por qué? 2. En la cláusula “razón de despido” de su expediente personal deberá decir “ignoró la dispersión”. nos proporciona información adicional que nos permite juzgar la confiabilidad de nuestra medida de tendencia central. ignorar la dispersión de los datos puede causar problemas graves. debemos medir también su dispersión. Las ganancias ampliamente dispersas —que van desde extremadamente altas a extremadamente bajas e incluso a niveles negativos— son indicativas de un riesgo mayor para los accionistas y para los acreedores que las ganancias que permanecen relativamente estables. la posición central es menos representativa de los datos. Advertencia: no invierta mucho en promedios a menos que sepa que la dispersión es pequeña. quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. o esto presenta riesgos inaceptables. En algunas secciones de clase turista es común encontrar anchos de asientos de sólo 19″.6  4 jugadas es más que las 10 SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES yardas necesarias para conservar el balón.6 yardas. Ejercicios 3. Si los datos se encuentran muy dispersos. Sin embargo. en teoría. Un equipo que en promedio recorre 3. Tercero. b) Permite comparar varias muestras con promedios similares.0 (b) ¿Cuál de las siguientes no es una razón válida para medir la dispersión de una distribución? a) Indica la confiabilidad del estadístico empleado para medir la tendencia central.Usos de las medidas de dispersión Usos financiero y en control de la calidad datos. Segundo. Un reclutador de la Fuerza Aérea de Estados Unidos que busca capacitar pilotos que en promedio midan 6 pies (1. afectan al invencible promedio teórico de 3. que cuando éstos se agrupan más cerca alrededor de la media. Para aumentar nuestro entendimiento del patrón de los datos. debe ganar todos los juegos porque 3. como en la curva A de la misma figura. pero que oscila desde muy pura hasta muy impura puede ser peligrosa para la vida humana. Los analistas financieros están preocupados por la dispersión de las ganancias de una empresa.0 (a) ■ 90 3-46 2. como los que representa la curva C de la figura 3-9. separación o variabilidad. debemos ser capaces de reconocer esa dispersión amplia para poder abordar esos problemas. un poco de mala suerte y una pérdida ocasional de 20 yardas. necesitamos poder reconocerla y evitar elegir distribuciones que tengan las dispersiones más grandes.43 m). d) Atrae la atención respecto a problemas asociados con distribuciones que tienen una variabilidad muy grande o muy pequeña. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto del centro de distribución. los expertos en el control de la calidad analizan la dispersión de los niveles de calidad de un producto.22 m) de estatura y otro de 8 pies (2.82 m). c) Utiliza más datos para describir una distribución. Los fabricantes de asientos para aviones hacen una suposición de la forma del viajero promedio. quedaría despedido si se presenta con un aspirante de 4 pies (1. En el fútbol americano. sentarse en un asiento de 19″ es como ponerse un zapato apretado. ya que existen problemas característicos para datos muy dispersos. Para alguien que pesa 250 libras (cerca de 113 kg) y usa talla 44. Una medicina cuya pureza promedio es buena. por otro lado. ¿Por qué es tan importante entender y medir la dispersión de la distribución? Primero. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . 8 Rangos: medidas de dispersión útiles Tres medidas de distancia La dispersión puede medirse en términos de la diferencia entre dos valores seleccionados del conjunto de datos. estudiaremos tres de las llamadas medidas de distancia: el rango.000 estudiantes de una universidad estatal. según los registros históricos. e) El promedio de calificaciones de cada estudiante de una universidad estatal que ha sido aceptado en el posgrado. Establezca brevemente las razones que lo llevaron a elegir esas distribuciones. escoja la que sirva mejor para describir la distribución de las edades de los grupos siguientes: miembros del Congreso. los educadores necesitan probar los niveles de conocimientos y habilidades de los estudiantes. a) El número de puntos obtenidos por cada jugador de una liga profesional de básquetbol durante la temporada de 80 juegos.0 (a) ■ 3-49 ■ 3-50 ■ 3-51 2. el rango interfractil y el rango intercuartil. ¿qué método de envío recomendaría? 2. permite a los profesores planear mejor el programa académico. d) El salario de cada una de las 100 personas que trabajan en empleos aproximadamente iguales en una empresa privada. Explique brevemente la razón de cada elección.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 91 . Tomar en cuenta las diferencias individuales de cada uno de ellos.Aplicaciones ■ 3-47 Para medir el éxito escolar.0 (b) De las tres curvas de la figura 3-9. Con la evidencia disponible. 3. b) El salario de cada una de las 100 personas que trabajan en empleos aproximadamente iguales en el gobierno federal. ¿De qué manera cree que debe aplicarse el concepto de variabilidad a una investigación que realiza la Secretaría de Comercio (SC) con el propósito de determinar la posibilidad de que un grupo de fabricantes fije los precios de los productos? Escoja cuál de las tres curvas que se muestran en la figura 3-9 describe mejor la distribución de las siguientes características de diferentes grupos. Las curvas que se muestran a continuación representan las distribuciones basadas en resultados anteriores de dos pruebas distintas. miembros recientemente electos de la Cámara de Diputados. f) El porcentaje de tiros a la canasta lanzados por cada jugador de una liga profesional de básquetbol durante la temporada de 80 juegos. Al hacer su elección. 3. Haga sus elecciones con base sólo en la variabilidad de las distribuciones. y presidentes de las diferentes comisiones de la misma cámara. no tome en cuenta la media de las curvas de la figura 3-9 y considere sólo la variabilidad de la distribución. En esta sección. c) El promedio de calificaciones de cada uno de los 15. ¿Cuál de ellas seleccionaría usted como mejor opción para los propósitos de los profesores? A ■ 3-48 B Una empresa que usa dos métodos diferentes para enviar pedidos a sus clientes encontró las siguientes distribuciones del tiempo de entrega para los dos métodos. 883 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . el rango es $690. pues no existe un valor “más alto” o “más bajo” en la clase de extremo abierto.041 ← 1/3 fractil Segundo tercio Último tercio 1.624 ← 2/3 fractil 1.000. podemos comparar los rangos de los pagos anuales que hace la asociación Blue Cross-Blue Shield a dos hospitales presentados en la tabla 3-16. 33.000 o abajo de Tabla 3-17 Pagos anuales de la Blue Cross-Blue Shield al Hospital Cumberland (miles) 92 Capítulo 3 Primer tercio 863 903 957 1. una fracción o proporción dada de los datos cae en un fractil o abajo de éste.883 490 610 540 620 560 630 570 660 590 670 600 690 Rango Definición y cálculo del rango El rango es la diferencia entre el más alto y el más pequeño de los valores observados.204 1. En forma de ecuación.138 1. La mediana.Tabla 3-16 Pagos anuales hechos por Blue Cross-Blue Shield (miles) Cumberland Valley falls 863 1.33% de los elementos está en $1.138 1. como en la tabla 3-17. Para el hospital Valley Falls. la diferencia entre los valores de los dos fractiles. En una distribución cualquiera.041 1. y tiene una gran influencia de los valores extremos. El rango sólo toma en cuenta los valores más alto y más bajo de una distribución y ninguna otra observación del conjunto de datos.745 1. Rango interfractil Fractiles Significado del rango interfractil Cálculo del rango interfractil En una distribución de frecuencias. 25% de los datos están en el fractil 0. Suponga que deseamos encontrar el rango interfractil entre el primero y segundo tercios de los donativos recibidos por Cumberland de la organización Blue Cross-Blue Shield.883. El rango de los pagos anuales a Cumberland es $1. aunque los valores que caen entre el más alto y el más bajo sean bastante parecidos.000  $1. ignora la naturaleza de la variación entre todas las demás observaciones.041.698 1.204 1. Es fácil entender y encontrar el rango.020. podemos decir Rango Rango  Características del rango valor de la observación valor de la observación  más grande más pequeña [3-10] Utilizando esta ecuación.745 1. pero su utilidad como medida de dispersión es limitada.000  $863. porque la mitad del conjunto de datos es menor o igual que este valor. Debido a que sólo mide dos valores. por ejemplo.802 1.354 1. el rango tiene muchas posibilidades de cambiar drásticamente de una muestra a la siguiente en una población dada.354 903 1. Como resultado. Recuerde también que las distribuciones de extremo abierto no tienen rango. Cada tercio contiene cuatro observaciones (. Se dará cuenta que los fractiles son parecidos a los porcentajes.33% del total de 12 elementos). Empezamos por dividir las observaciones en tercios.698 1.624 957 1. Entonces. es el fractil 0.000  $200.000  $490.000.25 o abajo de éste.802 1. es decir.5. igualmente. El rango interfractil es una medida de la dispersión entre dos fractiles de una distribución de frecuencias. 25% de los datos cae en el vigésimo quinto percentil o es menor que éste. este valor, y 66.66% es menor o igual que $1,624,000. Ahora podemos calcular el rango interfractil entre los fractiles .33 y .66 restando $1,0141,000 del valor $1,624,000. Esta diferencia de $583,000 es la dispersión entre el valor más alto del primer tercio de los pagos y el valor más alto del segundo tercio. Los fractiles tienen nombres especiales, dependiendo del número de partes iguales en que dividen a los datos. Los fractiles que los dividen en 10 partes iguales se llaman deciles. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales. Los percentiles dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales. Fractiles especiales: deciles, cuartiles y percentiles Rango intercuartil El rango intercuartil mide aproximadamente qué tan lejos de la mediana debemos ir en cualquiera de las dos direcciones antes de recorrer una mitad de los valores del conjunto de datos. Para calcular este rango, dividimos nuestros datos en cuatro partes, cada una de las cuales contiene 25% de los elementos de la distribución. Los cuartiles son, entonces, los valores más altos de cada una de estas cuatro partes, y el rango intercuartil es la diferencia entre los valores del primero y tercer cuartiles: Cálculo del rango intercuartil Rango intercuartil Rango intercuartil  Q3  Q1 [3-11] En la figura 3-10 se ilustra el concepto de rango intercuartil. Observe que los anchos de los cuatro cuartiles no necesariamente son los mismos. En la figura 3-11, otra presentación de cuartiles donde éstos dividen el área bajo la distribución en cuatro partes iguales, cada una contiene 25% del área. Observación más baja de las 1 4 observaciones de las 1 4 observaciones Observación más alta 1er. cuartil Q1 2do. cuartil (mediana) Q2 3er. cuartil Observación más alta 1er. cuartil Q3 FIGURA 3-10 FIGURA 3-11 Rango intercuartil Cuartiles Fractil es un término que usan más los estadísticos que el resto de las personas, más familiarizadas con 100 fractiles o percentiles, en especial cuando se trata del percentil de la calificación en los exámenes de aptitud académica o de admisión a las universidades. Cuando se obtiene una letra que indica que el percentil de la calificación es 35, se sabe que 35% de quienes presentaron el examen lo hicieron peor que uno. Es más fácil comprender el SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Mediana 3er. cuartil significado del intervalo en especial cuando el profesor publica las calificaciones más altas y más bajas del siguiente examen de estadística. Sugerencia: todos estos términos ayudan a manejar la dispersión de los datos. Si todos los valores se ven parecidos, entonces el tiempo dedicado a calcular los valores de dispersión quizá no valga mucho. Si los datos se dispersan mucho, será riesgoso apostar al promedio sin considerar la dispersión. 3.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 93 Ejercicios 3.8 Ejercicios de autoevaluación EA 3.11 Se presentan las calificaciones de un examen de historia. Encuentre el percentil 80. 95 71 EA 3.12 81 88 159 100 68 94 100 187 92 65 75 93 67 72 85 83 79 91 La compañía Casual Life Insurance estudia la compra de una nueva flota de autos. El director del Departamento de Finanzas, Tom Dawkins, obtuvo una muestra de 40 empleados para determinar el número de millas que cada uno maneja en un año. Los resultados del estudio son los siguientes. Calcule el rango y el rango intercuartil. 3,600 7,700 9,500 11,000 13,500 4,200 8,100 9,500 11,300 13,800 4,700 8,300 9,700 11,300 14,600 4,900 8,400 10,000 11,800 14,900 5,300 8,700 10,300 12,100 16,300 5,700 8,700 10,500 12,700 17,200 6,700 8,900 10,700 12,900 18,500 7,300 9,300 10,800 13,100 20,300 Conceptos básicos ■ 3-52 Para los siguientes datos, calcule el rango intercuartil. 99 72 ■ 3-53 75 91 84 74 61 93 33 54 45 76 66 52 97 91 69 77 55 68 Para la muestra siguiente, calcule a) el rango, b) el rango interfractil entre los percentiles 20 y 80, c) el rango intercuartil. 2,549 3,692 3,897 2,145 3,661 2,653 2,697 3,249 2,200 2,841 3,812 3,469 2,228 3,268 3,891 2,598 2,668 3,842 2,268 3,362 Aplicaciones ■ 3-54 Se dan las lecturas de temperaturas altas durante junio de 1995 en Phoenix, Arizona. Encuentre el percentil 70 84 94 ■ 3-55 86 92 78 96 3-56 94 3-57 95 87 94 88 98 84 89 82 87 88 88 94 89 97 92 99 99 102 102 105 95 92 193 115 127 126 143 157 101 193 123 133 83 51 135 125 129 132 Calcule el rango de estos datos y comente si piensa que es una medida de dispersión útil. La empresa Redi-Mix Incoporated elaboró el siguiente registro del tiempo (redondeado a centésimos de minuto) que esperan sus camiones para la descarga en la obra. Calcule el rango y el rango intercuartil. 0.10 0.23 ■ 94 88 Los siguientes son los ingresos totales por viajes (en dólares) recolectados un martes por 20 taxis que pertenecen a City Transit, Ltd. 147 185 ■ 69 89 0.45 0.77 0.50 0.12 0.32 0.66 0.89 0.59 1.20 0.95 0.53 1.10 0.67 0.83 0.58 0.69 0.48 0.51 La Warlington Appliances ha desarrollado una nueva combinación de mezcladora-vasija. Mediante una demostración de mercadotecnia y una investigación de precios, se determina que la mayoría de las perso- Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias nas muestreadas estaría dispuesta a pagar aproximadamente $60 por ella, con un rango intercuartil, sorpresivamente pequeño de $14. En un intento por obtener los mismos resultados, la demostración y la investigación correspondiente se repitieron. El departamento de mercadotecnia espera encontrar un rango intercuartil más pequeño. Los siguientes son los datos que se obtuvieron. ¿La esperanza del departamento se hizo realidad? 52 72 55 69 ■ 3-58 3-59 6.7 97.6 315.6 440.9 3-60 46 37 49 34 43 55 46 52 40 52 43 49 61 50 64 47 49 31 52 28 57 41 60 38 58 60 61 57 65 45 68 42 46 41 49 38 7.9 100.4 325.9 472.3 8.4 120.6 347.5 475.9 9.7 135.5 358.6 477.2 10.6 148.6 397.8 502.6 12.4 178.6 405.6 19.4 200.1 415.9 29.1 229.6 427.8 42.6 284.6 428.6 Calcule el rango y el rango intercuartil. El Departamento de Carreteras de Nuevo México tiene la tarea de mantener en buen estado todos los caminos estatales. Una medida de la condición de una carretera es el número de grietas que presenta por cada 30 metros de recorrido. A partir de la muestra anual que hace el departamento, se obtuvieron los siguientes datos: 4 13 16 ■ 48 38 51 35 MacroSwift ha decidido desarrollar un nuevo programa de software diseñado para directores ejecutivos y otros altos niveles. La compañía no desea desarrollar un programa que requiera demasiado espacio en el disco duro, por lo que sondearon a 36 ejecutivos para determinar la cantidad de espacio disponible en sus computadoras. Los resultados en megabytes son los siguientes: 6.3 59.8 305.6 439.5 ■ 35 69 38 66 7 13 16 8 13 16 9 14 17 9 14 17 10 14 17 11 15 18 12 15 18 12 16 19 13 16 19 Calcule los rangos interfractiles entre los percentiles 20, 40, 60 y 80. Ted Nichol es un analista estadístico que trabaja para los altos mandos administrativos de Research Incorporated. Ayudó a diseñar el lema publicitario de la compañía: “Si no puede encontrar la respuesta, entonces ¡INVESTÍGUELA!” Ted acaba de recibir algunos datos que le preocupan, el volumen mensual en dólares de los contratos de investigaciones que la compañía firmó durante el año anterior. Idealmente, estas cantidades mensuales deberían ser bastante estables, debido a que una fluctuación demasiado grande en la cantidad de trabajo a realizar puede tener como resultado una cantidad extraordinaria de contrataciones y despidos de empleados. Los datos de Ted (en miles de dólares) son los siguientes: 253 143 104 380 633 467 157 162 500 220 201 302 Calcule lo siguiente: a) El rango interfractil entre los deciles 2 y 8. b) La mediana, Q1 y Q3. c) El rango intercuartil. Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3.11 Primero, se ordenan los datos en orden ascendente. 59 85 EA 3.12 65 87 67 88 68 91 71 92 72 93 75 94 79 95 81 100 83 100 El dato 16 (es decir 93) es el percentil 80. Rango  20,300  3,600  16,700 millas Rango intercuartil  Q3  Q1  12,700  8,100  4,600 millas. 3.8 Rangos: medidas de dispersión útiles 95 3.9 Dispersión: medidas de desviación promedio Dos medidas de desviación promedio Las descripciones más completas de la dispersión son aquellas que manejan la desviación promedio respecto a alguna medida de tendencia central. Dos de estas medidas son importantes para nuestro estudio de la estadística: la varianza y la desviación estándar. Ambas medidas nos dan una distancia promedio de cualquier observación del conjunto de datos respecto a la media de la distribución. Varianza de población Varianza Fórmula para la varianza de población Cada población tiene una varianza, su símbolo es 2 (sigma cuadrada). Para calcular la varianza de una población, la suma de los cuadrados de las distancias entre la media y cada elemento de la población se divide entre el número total de observaciones en población. Al elevar al cuadrado cada distancia, logramos que todos los números sean positivos y, al mismo tiempo, asignamos más peso a las desviaciones más grandes (desviación es la distancia entre la media y un valor). La fórmula para calcular la varianza es: Varianza de población (x  )2 x2 2      2 N N [3-12] donde: 2 •  varianza de la población • x  elemento u observación •   media de la población • N  número total de elementos de la población 2 2 •   suma de todos los valores (x  ) , o todos los valores x Las unidades en las que se expresa la varianza ocasionan problemas 96 (x  )2 x2 En la ecuación 3-12, la expresión  es la definición de 2. La última expresión,   2, N N es matemáticamente equivalente a la definición, pero a menudo resulta mucho más conveniente utilizarla si de hecho debemos calcular el valor de 2, ya que nos permite no calcular las desviaciones respecto a la media. Sin embargo, cuando los valores de x son grandes y los valores x   peque(x  )2 ños, puede ser más conveniente utilizar la expresión  para calcular 2. Antes de poder utiN lizar esta fórmula en un ejemplo, necesitamos analizar un problema importante referente a la varianza. Al resolver ese problema, aprenderemos qué es la desviación estándar y cómo calcularla. Después, podremos regresar a la varianza en sí. Al principio, cuando calculamos el rango, las respuestas se expresaron en las mismas unidades que los datos. (En nuestros ejemplos, las unidades son “pagos de miles de dólares”.) Para la varianza, sin embargo, las unidades son el cuadrado de las unidades de los datos; por ejemplo, “dólares al cuadrado”. Estas unidades no son intuitivamente claras o fáciles de interpretar. Por esto debemos hacer un cambio significativo en la varianza para calcular una medida útil de la desviación que no nos dé problemas con las unidades de medida y, en consecuencia, sea menos confusa. Esta medida se conoce como la desviación estándar y es la raíz cuadrada de la varianza. La raíz cuadrada de 100 dólares cuadrados es 10 dólares, puesto que tomamos la raíz cuadrada tanto del valor como de las unidades en que se miden. La desviación estándar, entonces, queda en las mismas unidades que los datos originales. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias 058%. La fórmula para la desviación estándar es: Desviación estándar de la población   2    (x  )2   N x2   2 N [3-13] donde. es simplemente la raíz cuadrada de la varianza de la población. al menos 75% Porcentaje de impureza observado Tabla 3-18 Resultados de la prueba de pureza de los compuestos 0.) Tomando la raíz cuadrada de 2. con un buen grado de precisión. suma de los valores de la columna 1 dividida entre N). Si tenemos una población de 15 frascos de compuesto producido en un día y probamos cada frasco para determinar la pureza del compuesto. • • • • x  observación   media de la población N  número total de elementos de la población   suma de todos los valores (x  )2.Desviación estándar de la población Relación de la desviación estándar y la varianza La desviación estándar de la población. la desviación de cada valor respecto a la media (columna 3). La tabla 3-19 muestra la forma en que se utilizan estos datos para calcular la media (0. 0. . Usos de la desviación estándar Teorema de Chebyshev La desviación estándar nos permite determinar.14 0.15 0.12 0. Podemos hacer esto de acuerdo con un teorema establecido por el matemático ruso P. Chebyshev (1821-1894).19 0. o todos los valores x2 •  desviación estándar de la población 2 •  varianza de la población Utilice la raíz cuadrada positiva Cálculo de la desviación estándar La raíz cuadrada de un número positivo puede ser positiva o negativa.166  2. Observe que obtenemos el mismo resultado. A partir de esto. dónde están localizados los valores de una distribución de frecuencias con relación a la media. (En la tabla 3-19 también calculamos 2 utilizando la x2 segunda mitad de la ecuación 3-12. y la suma de los cuadrados de las desviaciones.18 3.   2.0034% al cuadrado.06 0. podemos calcular la varianza. cuando obtenemos la raíz cuadrada de la varianza para calcular la desviación estándar los especialistas en estadística sólo consideran la raíz cuadrada positiva. que es del 0.21 0. elaboramos una tabla utilizando todos los elementos de la población.49/15. L. podemos calcular la desviación estándar. Para calcular la varianza o la desviación estándar. ya que no tenemos que calcular las desviaciones respecto a la media. Mientras que la varianza se expresa con el cuadrado de las unidades utilizadas para medir los datos.17 0.04 0.17 0. El teorema de Chebyshev establece que independientemente de la forma de la distribución. la desviación estándar está en las mismas unidades que las que se usaron para medir los datos.14 0.22 0.25 Dispersión: medidas de desviación promedio 97 . ya que a2  (a)2.24 0.9 0. pero conN menos trabajo. el cuadrado de la desviación de cada valor respecto a la media (columna 4).21 0. Sin embargo. Como la varianza es el promedio de los cuadrados de las distancias de las observaciones a la media. la desviación estándar es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las distancias entre las observaciones y la media. los datos obtenidos podrían ser los de la tabla 3-18. 166 0.0225 0.000 0.49 ← x                Desviación (x  ) (3)  (1)  (2)                0.000 0.016 0.0034 al cuadrado  0.054 0.166 0.002 0.Media   2.084 0.25 2.0034   0.002 0.166 0.14 0.166 0.06 0.0196 0.12 0.011 0.0324 0.0441 0.000 0.001 0.0576 0.001 0.166 0.2s m-s m m+s m + 2s m + 3s Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .007 0.21 0.14 0.026 0.18 0.17 0.15 0.106 0.166 0.0361 0.005 0.051   15 0. 99% 95% 68% FIGURA 3-12 Localización de las observaciones alrededor de la media para una distribución de frecuencias con forma de campana 98 Capítulo 3 m .014 0.166)2 15  0.024 0.004 0.24 0.046 0.0034 al cuadrado   2 0.0289 0.22 0.126 0.0289 0. como la mostrada en la figura 3-12.04 0.3s m .4643 ← x2 [3-12] [3-13]  0. Aproximadamente 95% de los valores estará dentro de ±2 desviaciones estándar a partir de la media.166 0.0196 0. Aproximadamente 68% de los valores de la población cae dentro de ±1 desviación estándar a partir de la media.016 0.004 0.0016 0.074 0.026 0.166 0.0484 0.4643    (0.49/15 (2) Tabla 3-19 Determinación de la varianza y la desviación estándar del porcentaje de impureza de los compuestos Observación (x) (1) 0.21 0.166 0.0625 0.000 0.166 0.166 0. podemos decir que: 1.058% de los valores caen dentro de 2 desviaciones estándar a partir de la media de la distribución.166 (x  )2 2   N Desviación al cuadrado (x  )2 (4)  [(1)  (2)]2 0. y al menos 89% de los valores caen dentro de 3 desviaciones estándar a partir de la media.0036 0. En estos casos.044 0.044 0.0441 0.166 0.166 0.0144 0.17 0.001 0.051 ← (x  )2 x2 2  2 N ←O→ [3-12] Observación al cuadrado (x2) (5)  (1)2 0.19 0.166 0.002 0. 2. Podemos medir aún con más precisión el porcentaje de observaciones que caen dentro de un rango específico de una curva simétrica con forma de campana.003 0. 166  2(0.282  0.058 0. En ellos. 93% de las observaciones (14 de los 15 valores) están realmente en el intervalo.058)  0. que es igual a 2.166 y una desviación estándar de 0. Una medida que se conoce como resultado estándar nos da el número de desviaciones estándar que una observación en particular ocupa por debajo o por encima de la media.108% de impureza. El teorema de Chebyshev nos dice que al menos el 75% de los valores (11 de nuestros 15 frascos) están entre 0.058.050 y 0. Note que la distribución es razonablemente simétrica y que 93% es muy cercano al 95% teórico para un intervalo de ±2 desviaciones estándar a partir de la media de una curva con forma de campana.058)  0. en términos de del número de desviaciones estándar alejado de la media.282% se desvía de la media en 2(0.166   0.108  0.282.058)  0.282% tendría un resultado estándar de 2: x Resultado estándar   [3-14] 0. una observación de 0. La desviación estándar es útil también para describir cuánto se apartan las observaciones individuales de una distribución de la media de la misma.058   0.166% y la desviación estándar es 0. • x  observación tomada de la población •   media de la población •  desviación estándar de la población Suponga que observamos un frasco de compuesto que tiene 0.058%. entonces el resultado estándar calculado a partir de los datos de la población es: Resultado estándar x Resultado estándar de la población   [3-14] donde. Como nuestra población tiene una media de 0. Uso del teorema de Chebyshev Concepto de resultado estándar A la luz del teorema de Chebyshev.9 Dispersión: medidas de desviación promedio 99 . 3. Aproximadamente 99% de los valores estará en el intervalo que va desde 3 desviaciones estándar a la izquierda de la media hasta 3 desviaciones estándar a la derecha de la media.058 0.108 tendría un resultado estándar de 1: Cálculo del resultado estándar x Resultado estándar   [3-14] 0.166   0.116 unidades. De hecho.058 2 Interpretación del resultado estándar El resultado estándar indica que una impureza del 0.058  1 Una impureza observada del 0. Si x simboliza la observación.166  2(0. la impureza media de los 15 frascos de compuesto es 0. analicemos los datos de la tabla 3-19.3.116  0. utilizamos las mismas fórmulas de las ecuaciones 3-12 y 3-13. N Ahora estamos listos para calcular las estadísticas de muestra análogas a la varianza de población 2 y la desviación estándar de la población. podemos utilizar las siguientes fórmulas para calcular la varianza y la desviación estándar: Varianza de datos agrupados f (x  )2 f x2 2      2 N N [3-15] Desviación estándar de datos agrupados   2    f (x  )2   N f x2   2 N [3-16] donde.Cálculo de la varianza y la desviación estándar utilizando datos agrupados Cálculo de la varianza y de la desviación estándar de datos agrupados En el ejemplo al principio del capítulo. En la sección siguiente. Desviación estándar de una muestra Cálculo de la desviación estándar de una muestra Para calcular la varianza y la desviación estándar de una muestra. • • • • • • Cambio a la varianza y la desviación estándar de una muestra 2  varianza de la población  desviación estándar de la población f  frecuencia de cada una de las clases x  punto medio de cada clase   media de la población N  tamaño de la población La tabla 3-20 muestra cómo aplicar estas ecuaciones para encontrar la varianza y la desviación estándar de las ventas en 100 restaurantes de comida rápida. Dejamos como ejercicio para el lector curioso verificar que la segunda mitad de la ecuación 3-15.  f x2   2 da como resultado el mismo valor de 2. Con esos datos. observará que cambiamos la notación con letras griegas (que denotan parámetros de población) a las latinas correspondientes a las estadísticas de muestras. s. Las fórmulas tienen el siguiente aspecto: Varianza de una muestra (x  x)2 x2 nx 2 s2    n1 n1 n1 [3-17] Desviación estándar de una muestra s   s2  100 Capítulo 3   (x  x)2   n1 x2 nx 2  n1 n1 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias [3-18] . Se trata de la varianza de la muestra s2 y la desviación estándar de la muestra. . sustituyendo  con x y N con n  1. los datos respecto a las ventas en 100 restaurantes de comida rápida se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias. 700-1.680.399 1.800 (o 66.050 1.000 360.000-1.950 7.000 0 10.250 1.5 ← Desviación estándar  $258.000 f (x  )2 (2)  [(1)  (4)]2 .599 1.8 00     2 [3-16] [3-15] [3-3] (x  )2 [(1)  (4)]2 x (1)  (4)  66.000 90.250  (4) Media 250.000 fx (3)  (2)  (1) 1.300-1.250 1.250 1.9 Dispersión: medidas de desviación promedio 101 Determinación de la varianza y la desviación estándar de las ventas en 100 restaurantes de comida rápida situados en el distrito del este (miles) Tabla 3-20 f (2) x (1) 1.120.000 160.100-1.550 3.199 1.499 1.500-1.000 5.800 21.600 10.120.250 1.299 1.000  100 (f  x) x   n 3.000 40.500  66 .000.250 1.800 [miles de dólares]2) ← Varianza 6.250 1.950 11.000 90.850 125.000 1.500 00 1.250 (miles de dólares) ← Media 125.800-1.750 1.550 1.699 1.000 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600  258.250 1.099 1.250 1.650 1.999 1.950 1.000 6.150 1.000 0 130.000 00360.250 1.000 1.799 800.500 13.3.450 1.000   100 f (x – )2 2   N  1.680.350 1.899 900.250 1.850 Clase 700.799 1.400-1.850 1.899 4 7 8 10 12 17 13 10 9 7 2 001 100 Frecuencia Punto medio 1.000 250.550 14.000 720.200-1.000 40.500 13.000 400.250 17.000 160.000 10.250 1.600-1.000 500.250 1.750 1.000 400.000 810.000 120. 496.409 155.704 155. $380.802 1.182 12(1.025 3.64 (es decir.545.689 23. En el capítulo 7.045.204 3. 2. Las ecuaciones 3-17 y 3-18 nos permiten encontrar la varianza y la desviación estándar de la muestra de los donativos anuales de Blue Cross-Blue Shield al Hospital de Cumberland que presentamos en la tabla 3-21.351 1.204 1.409 915.351 1.354 1.770   11  144.316 2.401 00283.351 1.100 45.449.593.593.351 1.351 1.698 1.593. encontramos la varianza de la muestra (s2) para cada muestra y promediamos los resultados.376 2.369 21. observe que ambas mitades de la ecuación 3-17 producen el mismo resultado.624 1.024 ⌺(x  x)2 → 1. este promedio no tiende a igualar el valor de la varianza de la población.888 donde.083. 88 8  380.295.351 488 448 394 310 213 147 3 273 347 394 451 532 (x  x)2 [(1)  (2)]2 238.681 1.351 1.849 1. s2  Varianza de la muestra • s  Desviación estándar de la muestra • x  Valor de cada una de las n observaciones • • x  Media de la muestra • n  1  Número de observaciones de la muestra menos 1 Uso de n  1 como denominador Cálculo de la varianza y la desviación estándar de la muestra para los datos del hospital 102 ¿Por qué utilizamos n  1 como denominador en lugar de n? Los especialistas en estadística pueden demostrar que si tomamos muchas muestras de una población dada.745 1.833.236 203.351)2     11 11 1.351 1.182 ← ⌺x2 [3-17] 1. se dará la explicación estadística de por qué esto es cierto.637.351 1.044 1.529 120.770   11  144.041 1.883 1. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .351 1.609 9 74.204 003.888 (o $144.883.351 1.144 200.888 [miles de dólares]2) ← Varianza de la muestra s   s2 O [3-18]  14 4.Observación (x) Table 3-21 Determinación de la varianza y la desviación estándar de la muestra de los donativos anuales de Blue CrossBlue Shield al Hospital de Cumberland (miles) Media (1) (x) (2) x  x (1)  (2) 863 903 957 1.496.236 96.351 1.138 1.769 815.616 1.640) ← Desviación estándar de la muestra nx2 x2 s2     n1 n1 [3-17] 23.770 (x  x)2 s2   n1 x2 (1)2 744. a menos que usemos n  1 como denominador en nuestros cálculos.247. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Al calcular y usar la desviación estándar se supone que no hay muchos valores demasiado grandes o demasiado pequeños en el conjunto de datos porque se sabe que la desviación estándar usa todos los valores. y no puede calcularse en distribuciones de extremo abierto. está en proceso de elegir un grupo de extras para una película.9 Ejercicios de autoevaluación EA 3-13 Talent. podemos usar la desviación estándar de la muestra para calcular los resultados estándar de la muestra.351   380.28: xx Resultado estándar de la muestra   s [3-19] 863  1..64 488  380. una compañía en Hollywood de selección de elenco. los valores extremos que se encuentren en el conjunto de datos distorsionan el valor de la desviación estándar. Al igual que la varianza. vemos que la observación 863 corresponde a un resultado estándar de 1. aunque en menor grado que en el caso del rango. Ltd. la desviación estándar toma en cuenta cada observación del conjunto de datos. Además.28 En esta sección hemos demostrado por qué la desviación estándar es la medida de dispersión que más se utiliza. Sugerencia: puede evitarse la confusión entre usar N o n  1 como denominador para las muestras y poblaciones si se asocia el valor más pequeño (n  1) con el conjunto más pequeño (la muestra). Sin embargo. Ejercicios 3. No es fácil calcularla como el rango.Cálculo de los resultados estándar de la muestra Igual que utilizamos la desviación estándar de la población para derivar los resultados estándar de la misma.9 52 51 57 59 56 62 57 52 56 54 59 49 Dispersión: medidas de desviación promedio 103 . Las edades de los 20 hombres que se entrevistaron primero son: 50 54 56 55 55 61 49 60 3. esos valo- res extremos distorsionarán la respuesta. que son un elemento importante de la inferencia estadística que analizaremos más adelante. la desviación estándar tiene también algunas desventajas.64  1. Podemos usarla para comparar distribuciones y para calcular resultados estándar. Estos resultados indican a cuántas desviaciones estándar arriba o abajo de la media de la muestra se encuentra una observación dada. La fórmula adecuada es: Resultado estándar de una observación de una muestra x  x Resultado estándar de la muestra   s [3-19] donde: • x  observación tomada de la muestra • x  media de la muestra • s  desviación estándar de la muestra En el ejemplo anterior. 5 y 1.5 1. a) ¿Entre qué valores deberán caer al menos 75% de las observaciones. casi.2 Calcule la varianza y la desviación estándar.7 2.6 3-63 ■ 3-64 ■ 104 3-65 7. 75. para certificados de depósito (CD) a un año. Con sus conocimientos de estadística.2 7. ¿cuántas observaciones deben caer entre 0.4 7.8. un fabricante de Miami: 17 ■ 8. debido a la carga de trabajo dispareja.4 7.5 onzas y la desviación estándar es menor que 0.5 1. Aceptará los jitomates sólo si el peso promedio es 7. forma de campana. pero todavía no los acepta.1 7. 1..45.2 7. para CD a Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .50.4 ¿Cuál es la decisión de la chef y por qué? Los siguientes datos son una muestra de la tasa de producción diaria de botes de fibra de vidrio de la Hydrosport.5 7.2 8.3 8.5? ¿Entre 0 y 2? ¿Cuántas caen de hecho en esos intervalos? Aplicaciones ■ 3-61 La chef en jefe de The Flying Taco acaba de recibir dos docenas de jitomates de su proveedora.65 y 51.8 7. en teoría. Dado que la distribución tiene. el director sugiere que sería aceptable una desviación estándar de 3 años.2 7. ¿Deberá preocuparse por la cantidad de empleados que van a utilizar el mes siguiente? El consejo directivo del Banco de la Reserva Federal de Estados Unidos ha otorgado permisos a todos los bancos miembros para elevar las tasas de interés 0.4 7. ¿Califica este grupo de extras? En un intento de estimar la demanda potencial futura.0 1. pero insiste en que todos tengan un peso uniforme. una varianza de 12.60 y una forma de distribución desconocida.9? c) Encuentre los resultados estándar para las siguientes observaciones tomadas de la distribución: 61.7 21 18 27 17 21 20 22 18 23 El gerente de producción de la compañía siente que una desviación estándar de más de tres botes por día indica variaciones de tasas de producción inaceptables.3 7.6 8. Sabe por la factura que el peso promedio de un jitomate es 7.5 7.4 7. Los pesos de los jitomates son los siguientes: 6.5 onzas. de acuerdo con el teorema de Chebyshev? b) Si la distribución es simétrica y con forma de campana.6 6.0 ■ 3-62 7.4 2. sabe que una desviación estándar en el cobro de cheques mayor que 200 cheques diarios ocasiona problemas de personal y de organización en las sucursales. 71/2%.EA 3-14 El director de la película quiere hombres cuyas edades se agrupen de manera cercana alrededor de los 55 años.8 7. en 1988. director de operaciones del banco. promediaron las repuestas del hombre y la mujer. en el que preguntaba a parejas casadas cuántos automóviles debe tener la familia promedio actual. 84. Para cada pareja.37. Ltd. El número de cheques cobrados diariamente en las cinco sucursales del Bank of Orange County durante el mes anterior tuvo la siguiente distribución de frecuencias: Clase Frecuencia 0-199 200-399 400-599 600-799 800-999 10 13 17 42 18 Hank Spivey. Las respuestas se colocaron en una tabla: Número de autos Frecuencia a) b) 0 2 0. Las tasas de interés anteriores para cuentas de ahorro eran 51/4.5 onzas. aproximadamente cuántas observaciones deberán encontrarse en el intervalo 59.0 23 1.5 7. a fin de obtener la respuesta global de la pareja.7-73.1 6. ¿Deberá preocuparse por las tasas de producción de la planta? Un conjunto de 60 observaciones tiene una media de 66.5% para todos los depositantes.8 8.5 14. la National Motor Company realizó un estudio. ¿cuántas estancias entre 0 y 17 días pueden esperarse? FundInfo proporciona información a sus suscriptores para permitirles evaluar el desempeño de los fondos de inversión que consideran vehículos de inversión potencial.0-14.. Los niveles de salario difieren de un estado a otro. se quedan en el hospital después de una operación.495 para el primero. Con el fin de saber aproximadamente cuántas enfermeras y personal administrativo debe emplear. de 2.C.0-11. con una desviación estándar de $622. E1 tercero.. Uno de los objetivos fundamentales de la publicidad de cada producto consiste en lograr que los consumidores reconozcan que American Foods elabora el producto.844? La compañía Creative Illusion Advertising tiene tres oficinas en tres ciudades distintas.0-18. b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev.0-17.9 11 16. ¿Para cuál de los productos estuvo el consumidor en cuestión más alejado del desempeño promedio. con una varianza de 49. Para medir qué tan bien cada anuncio logra ese reconocimiento.90 para el tercero. a dos años. ¿entre qué valores debe caer al menos 75% de las observaciones de la muestra? ¿Qué porcentaje de observaciones caen de hecho en ese intervalo? c) Dado que la distribución es casi una campana.5 segundos.09 segundos. D.9 2 12. Se entrevistó a tres empleados. si tuviera suficientes datos (es3.7 segundos. el de Nueva York.0-12. elegidos al azar. En ese lapso.79 para el segundo y 3.9 Dispersión: medidas de desviación promedio 105 . Sid tiene razones para creer que el número de pacientes sin mayores problemas por semana tendría una distribución en forma de campana. El presidente del First State Bank desea saber qué características tendrá la nueva distribución de tasas de interés si se le agrega 1 /2% a todas las tasas. con una desviación estándar de 0. en unidades de desviación estándar? Sid Levinson es un médico especializado en el conocimiento y uso efectivo de medicinas que eliminan el dolor en pacientes gravemente enfermos.C. propietario de la Earthbread Bakery. con una desviación estándar de 0. El empleado de Washington recibió un aumento de $1. ¿Cómo se relacionan las nuevas características con las anteriores? El administrador de un hospital de Georgia investigó el número de días que 200 pacientes. antes de ser reconocido. y el de Durham uno de $500. 91/2.500. 83/4.760. el aumento promedio a los salarios durante el año anterior fue $1. con una desviación estándar de $95. el aumento promedio fue $3.006 segundos. con una desviación estándar de 0. el aumento promedio fue $850. un tiempo promedio de 3. En Durham N. Si los datos utilizados para calcular los resultados se recolectaron en el periodo de 32 semanas.398 barras de pan. y para CD a cinco años. b) Según el teorema de Chebyshev.0-15. Uno de los encuestados en particular tuvo los siguientes tiempos antes de reconocer la procedencia del producto: 2.0-16. En la sucursal de Nueva York. ¿cuántas estancias habrá entre 0 y 17 días? ¿Cuántas hay realmente en ese intervalo? c) Debido a que la distribución tiene aproximadamente forma de campana.9 3 18.175? ¿Y cuántas arriba de 11.100.9 8 14.■ 3-66 18 meses. la varianza y la desviación estándar de la tasa de rendimiento anual para esta muestra de 45 fondos de inversión. Los datos son: Frecuencia en el hospital en días Frecuencia ■ 3-67 3-68 ■ 3-69 ■ 3-70 ■ 3-71 4-6 90 7-9 44 10-12 21 13-15 9 16-18 9 19-21 4 22-24 5 a) Calcule la desviación estándar y la media. En la oficina de Washington.9 10 15.8 segundos. afirmó que el nivel de producción promedio por semana de su empresa fue 11. 101/2.0-13. ¿durante cuántas semanas estuvo el nivel de producción abajo de 11. 2. con una desviación estándar de $400.729.9 2 13. Un estudio reciente de los fondos cuya meta de inversión establecida era crecimiento e ingreso produjo los siguientes datos de la tasa de retorno anual sobre la inversión total durante los últimos cinco años: Rendimiento anual (%) Frecuencia ■ 1-3 18 11. ¿entre qué valores se esperaría encontrar 68% de las observaciones? ¿Qué porcentaje de las observaciones de hecho caen en ese intervalo? Nell Berman. su administrador registra el número de pacientes gravemente enfermos y el número de pacientes sin mayores problemas. a tres años. El segundo producto tuvo un tiempo promedio de 2. obtuvo un aumento de $3. El primer producto de la American Foods obtuvo un tiempo promedio. se le pidió a un grupo de consumidores que identificara lo más rápido posible a la compañía responsable de una larga lista de productos. ha empezado a registrar el número de pacientes que atiende cada semana.9 1 a) Calcule la media. ¿Cuál de los tres tuvo el menor aumento en relación con la media y la desviación estándar de los aumentos correspondientes a su oficina? La American Foods comercializa con fuerza tres de sus productos a nivel nacional.200.004 segundos.9 8 17. 11%. 24 1.64 14.64 3. y el excedente tiene una media de $40.000 de dólares cuadrados.8 0.2 3. la junta directiva sugirió un presupuesto de investigación de medios de $350.8 3. Sin embargo. y anciano. Por experiencias anteriores.04 33. la necesidad de estar siempre preparado para buscar un nuevo empleo debido al primer problema.64 14.44 10. y piensa que podría serle útil para encontrar un intervalo de valores dentro del cual se encuentre el gasto real 75% del tiempo en los años en que la propuesta de presupuesto sea igual a la de este año. ha recolectado datos sólo durante las cinco últimas semanas. la dificultad de tratar con la directiva escolar elegida y.44 0.to no es cierto para los pacientes gravemente enfermos). Tom Langley.2 3.2 1.8 4.2 0. b) Calcule la media. inspector del distrito escolar 18 no es la excepción.2 1.04 38. Haga un favor a Tom y encuentre ese intervalo. que es cercano a los 55 años deseados n 20 s 106 Capítulo 3   (x  x)2   n1 285.20   3.2 6. adultos jóvenes.24 0. Bea Reele.04 0. Tom aprendió el teorema de Chebyshev cuando estuvo en la universidad.44 285. A partir de los datos. adulto. ¿Cuál de los pacientes tiene el CI más alejado de la media.24 0.8 27. Utilice el teorema de Chebyshev para encontrar los límites dentro de los cuales deberá caer el “75% central” del número de pacientes gravemente enfermos por semana. adulto joven.104 x      55.24 10. Las cifras que obtuvo se presentan en la tabla siguiente.2 6. una prestigiada sicóloga clínica. Durante cierto día Bea atendió a cuatro pacientes (uno de cada categoría) y sus CI fueron: niño. 92.04 17.2 años. segundo.8 4.8 3.8 1. 100.2 5. en unidades de desviación estándar.104 1.64 23. la varianza y la desviación estándar para el número de pacientes sin mayores problemas por semana.64 0.20 x 1. Este año. correspondiente a esa categoría en particular? Categoría Niño Adulto joven Adulto Anciano CI medio 110 90 95 90 Varianza de CI 81 64 49 121 Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-13 x x  x (x  x)2 x x  x (x  x)2 50 56 55 49 52 57 56 57 56 59 5.874 años. Pacientes gravemente enfermos Pacientes sin mayores problemas ■ 3-72 ■ 3-73 33 34 50 31 22 37 27 36 48 27 a) Calcule la media y la varianza para el número de pacientes seriamente enfermos por semana.2 1. tiene registros muy precisos sobre todos sus pacientes. adultos y ancianos. la sicóloga ha calculado el Coeficiente Intelectual (CI) medio y la varianza de los coeficientes intelectuales dentro de la categoría.44 54 55 61 60 51 59 62 52 54 00049 1.8 6.44 46. 98. Para cada categoría.000. 90.000 y una varianza de 100.8 0.8 0. ha creado cuatro categorías dentro de las cuales puede colocar a todos sus pacientes: niños.44 0. Tom sabe que el gasto real siempre sobrepasa al presupuesto solicitado. ¿Dentro de qué límites deberá caer el “68% central” de estas cifras semanales? El inspector de cualquier distrito escolar tiene dos problemas principales: primero.000. Ha comprendido el valor de entender todas las cifras que aparecen en un presupuesto y de ser capaz de utilizarlas en su provecho. que muestra más variabilidad que la deseada 19 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .24 3.38.2 0. 5539 3. podemos suponer que cada día el técnico A del laboratorio realiza un promedio de 40 análisis con una desviación estándar de 5.4 observaciones deben estar en este intervalo.68(52)  35. y los que hacen al Hospital de Valley Falls (tabla 3-16).0191 1. El técnico B efectúa un promedio de 160 análisis diarios con una desviación estándar de 15.36 observaciones deben estar en este intervalo.4712 0. por otro lado. 2) es aproximadamente x  2s. o 0.1170 3. cerca del 68% de los datos. la fórmula para el coeficiente de variación es: Coeficiente de variación Desviación estándar de la población Coeficiente de variación de la población   (100)  Media de la población [3-20] Para utilizar esta fórmula en un ejemplo.7726 0 4.390 (que puede usted calcular).7067 x 53. De hecho.1643 2.5. no podemos conocer la dispersión de un conjunto de datos hasta que conocemos su desviación estándar.0 2.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 107 . la respuesta es no. expresando la desviación estándar como porcentaje de la media. La desviación estándar no puede ser la única base para la comparación de dos distribuciones.4712 1.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación Defectos de la desviación estándar El coeficiente de variación.707 s2      0.5.0 23. entonces alrededor del 95% de los datos. la variación relativa a la media es insignificante. La unidad de medida. Lo que necesitamos es una medida relativa que nos proporcione una estimación de la magnitud de la desviación respecto a la magnitud de la media.3080 n1 51 así s  0.2220 0. 1.2797 0. ¿Cuál de los dos técnicos muestra menos variabilidad? 3. en lugar de las unidades de los datos originales.5 x      1.000. 50 observaciones caen en él.0 7.640.0585 0.5 1. su media y cómo se compara la desviación estándar con la media. Los donativos anuales de Blue Cross-Blue Shield al Hospital de Cumberland (tabla 3-21) tienen una desviación estándar de $380.5288 0. El coeficiente de variación es una de estas medidas relativas de dispersión.5 2.0 0. tenemos una desviación estándar de 10 y una media de 5.9155 0. En consecuencia. 3.3286 15.0008 0.0288 0.0 0. entonces. una medida relativa La desviación estándar es una medida absoluta de la dispersión que expresa la variación en las mismas unidades que los datos originales. De hecho.55 autos b) (0.0288 0.0 1.95(52)  49.5) es aproximadamente x  s entonces. Si tenemos una desviación estándar de 10 y una media de 5.EA 3-14 a) # de autos x Frecuencia f fx x  x (x  x)2 f(x  x)2 0. ¿Podemos comparar los valores de estas dos desviaciones estándar? Desafortunadamente. Para una población.0 53. Relaciona la desviación estándar y la media.9431 2.3 080  0. 44 observaciones están ahí. es “porcentaje”.5 8.5 1.9712 1. los valores varían en una cantidad que es el doble de la media. Si.5 2 14 23 7 4 02 52 0. (0. o 0. tienen una desviación estándar de $57.0288 autos 52 n f (x  x)2 15.0 10. 10 Ejercicios de autoevaluación 108 EA 3-15 EA 3-16 Basart Electronics piensa emplear uno de dos programas de capacitación. una media calculada sin tomar en cuenta el 5% de los datos más altos ni el 5% de los datos más bajos. Se capacitó a dos grupos para la misma tarea. es decir. Ejercicios 3. Pero B realiza sus análisis con una rapidez cuatro veces mayor que A.09.75 horas y la varianza fue 71. El gerente de crédito de Southeastern está evaluando los registros de crédito de estas tres tiendas. 2  ASE.11 horas y una varianza de 68. En la figura 3-14 utilizamos Minitab para calcular varias medidas de tendencia central y de variabilidad para los datos sobre ganancias del apéndice 11. y el de los hombres corresponde a 20/160. En los últimos 5 años. debido a que la media de producción de B es mucho mayor que la de A. Las cuentas por cobrar de las Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . el promedio fue 19. Con un cociente sencillo se puede ver que las mujeres tienen 20/120. podemos calcular el coeficiente de variación para ambos técnicos: Coeficiente de variación   (100)  [3-20] 5   (100) 40 Cálculo del coeficiente de variación  12. el concepto es el mismo: se usa para comparar la cantidad de variación en grupos de datos que tienen medias diferentes. quien tiene una variación absoluta mayor que la del técnico A. 3  NYSE).5%. En el segundo grupo. utilizamos el sistema Minitab para calcular algunas de las estadísticas sumarias para los datos de calificaciones dados en el apéndice 10. Esto ayuda a disminuir la distorsión ocasionada por los valores extremos que tanto afectan a la media aritmética. y también se desglosan por bolsa de valores (1  OTC. o sea cerca del 12. Las estadísticas se muestran para cada sección. deseaba convertirse en el proveedor de tres tiendas.14. Suponga que un grupo de hombres y mujeres tiene un sobrepeso de 20 libras. Tomando en cuenta toda esta información. de sobrepeso. trimed mean) es una “media recortada”. Para el primer grupo. ¿Qué programa de capacitación tiene menos variabilidad relativa en su desempeño? Southeastern Stereos. pero los faltantes en el inventario lo forzaron a seleccionar sólo uno. Las estadísticas se dan para las 224 compañías juntas. En la figura 3-13. El grupo 1 recibió el programa A. es decir 16. el grupo 2. Esas 20 libras no son una buena medida del peso excesivo. La estadística MEDREC (TRMEAN. El peso promedio para los hombres es cerca de 160 libras.7%. Aunque el coeficiente de variación es un poco más complejo que el cociente del ejemplo.5% ← Para el técnico A y 15 Coeficiente de variación   (100) 160  94% ← Para el técnico B Uso de la computadora para calcular medidas de tendencia central y de variabilidad Así. utilizamos la computadora para calcular nuestras medidas de tendencia central y de variabilidad. Advertencia: no compare la dispersión en los conjuntos de datos usando las desviaciones estándar. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES El concepto y la utilidad del coeficiente de variación son evidentes si se intenta comparar a hombres con sobrepeso y mujeres con sobrepeso. tenemos que el técnico B. los tiempos requeridos para capacitar a los empleados tuvieron un promedio de 32. tiene una variación relativa menor que la de A.A primera vista. Para conjuntos grandes de datos. mientras que el peso promedio para las mujeres es alrededor de 120 libras. así como para el curso completo. a menos que las medias sean parecidas. parece que el técnico B tiene una variación en su producción tres veces mayor que el técnico A. un distribuidor. el B. 00 45.90 7.46 1.00 50.00 113.16 48.83 53.71 2.51 17.46 56.97 1.50 66.64 16.95 2.00 40.60 2.19 50.67 2.21 81.07 50.51 64.00 52.00 108.96 65.89 13.95 68.75 44.90 0.82 9.00 25.00 54.22 42.00 35.25 1.39 72.00 115.43 64.00 53.00 73.00 45.30 73.00 44.3.16 8.37 9.00 58.71 54.87 49.11 88.00 124.00 56.11 87.56 MedRec 11.44 50.00 44.00 73.57 67.01 10.75 50.87 63.00 73.00 72.37 8.00 16.00 106.22 47.00 62.00 35.96 44.00 45.00 55.33 42.00 Mediana 68.26 47.00 73.44 11.00 121.03 10.56 1.00 44.00 41.00 53.61 8.75 54.98 49.84 1.00 56.00 51.00 32.00 55.00 64.00 64.00 60.75 8.15 50.00 13.00 134.76 2.85 74.00 43.00 59.60 1.58 1.01 22.94 52.00 49.86 10.73 105.00 127.19 58.00 29.90 45.51 59.95 4.00 68.00 72.72 1.34 79.00 65.00 74.05 40.59 10.68 11.00 30.00 67.00 49.30 58.50 99.00 38.38 65.00 37.75 55.00 131.52 111.28 44.44 11.50 8.00 21.61 1.00 72.00 37.00 112.00 34.58 107.00 Q3 .09 9.82 1.30 45.59 39.00 31.12 52.50 41.36 1..00 135.13 0.62 73.11 69.80 2.76 49.00 30.06 3.77 49.00 105.00 74.76 57.19 102.27 44.25 50.00 14.82 68.00 Q1 75.49 45.00 60.51 67.00 34.91 68.00 44.00 47.00 51.47 48.00 Mín 98.83 53.44 73.59 1.60 67.00 16.49 10.25 55.50 50.20 59.00 127.38 55.79 53.91 43.59 56.50 114.28 45.50 60.00 72.62 MediaSE 22.91 2.00 21.25 65.50 44.24 13.71 13.80 15.75 36.00 98.00 47.09 1.00 41.16 113.00 57.69 52.06 92.00 133.00 25.01 20.06 1.00 50.00 44.00 Máx 62.00 122.62 1.36 102.00 106.85 10.00 68.74 44.00 63.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 109 FIGURA 3-13 TOTAL FINAL TAREA EXAM2 EXAM1 Variable 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 199 27 46 37 26 36 27 N 68.32 50.23 75.90 67.00 57.41 80.90 113.00 65.08 76.67 Media 69.00 57.00 107.00 116.00 54.69 62.00 35.00 69.60 109.26 1.60 6.00 71.92 44.39 50.78 104.50 48.44 DesvEst Salida de Minitab que muestra el resumen estadístico para las calificaciones del curso 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 SECCIÓN Estadística descriptiva 0.50 48.26 60.00 55.00 101.00 63.00 68.00 121.18 69.97 76.00 13.60 110.00 62.28 111.00 13.00 51.34 17.38 49.62 12.75 43.59 76.67 64.08 44.05 98.98 8.84 7.76 59.06 10.10 69.00 62.53 46.42 110.21 1.00 37.00 59.50 55.89 53.04 24.44 19.48 1.35 3.11 108.00 124.25 60.00 135.25 85.00 120.28 0.73 1.00 114.00 65.76 2.00 66.00 24.08 11.07 112.08 68.00 17.00 59.86 8.75 1. 810 .1300 0.4500 -3.5110 0.7500 -0.440 MediaTrim 0.130 Salida de Minitab que muestra el resumen estadístico para los datos de ingresos Variable MERCADO LQ89 1 2 3 Estadística descriptiva MediaSEM 0.740 5.450 Máx 5.1100 0.085 0.8916 0.415 Mediana 0.2139 0.070 Q2 -0.459 DesvEst 0.4400 0.0200 -0.083 0.560 -5.2105 0.1070 0.837 1.0075 -0.292 0.2200 4.136 0.0766 0.2300 1.045 0.0485 0.110 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias FIGURA 3-14 N 224 111 38 75 Media 0.130 Mín -5.199 0.230 Q1 -0.0556 0.2600 0. 0 63. según la dispersión relativa? John Jeff Mary Tammy 63 68 62 64 66 67 79 68 68 66 75 58 62 67 59 57 69 69 72 59 72 3. Infotech necesita un capturista rápido y consistente. ¿Cuál de los dos equipos muestra mayor dispersión relativa respecto al peso de sus integrantes? Una universidad ha decidido probar tres nuevos tipos de focos.8 61.8 63.7 60. con una desviación estándar de 5.5 62.400 horas y una varianza de 81. con el fin de hacer una transacción lo menos riesgosa posible. c) ¿Puede usted sugerir una medida alternativa más apropiada de consistencia? La junta directiva de la empresa Gothic Products está considerando adquirir una o dos compañías y examinando minuciosamente la administración de cada compañía.8%. La otra compañía tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 37.0 63.0%.350 horas con una desviación estándar de 6 horas. tiene como dosis media 100 cc.0 61. respectivamente.7 61. incluyendo qué tan coherente es un vendedor en el logro de los objetivos de ventas establecidos. la primera de las compañías tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 28. ¿Cuál es el mejor? La edad de los estudiantes regulares que acuden a un curso en los turnos matutino y vespertino del nivel licenciatura de la Universidad Central se describe en las siguientes dos muestras: Turno matutino Turno vespertino ■ 3-77 23 27 29 34 3-78 ■ 3-79 ■ 3-80 22 29 24 28 21 30 25 34 26 35 27 28 24 29 Si la homogeneidad de la clase es un factor positivo en el aprendizaje. HumanPower revisa los registros de velocidad de 4 empleados con los siguientes datos en términos del número de entradas correctas por minuto. Tienen tres habitaciones idénticas para realizar el experimento. Una máquina. Clasifique los focos en términos de la variabilidad relativa. ¿Qué empleado es el mejor para Infotech. Existe cierto número de medidas posibles del desempeño de ventas. que provee medicamentos predosificados a un hospital. una agencia de empleos temporales. El gerente siente que es importante la consistencia. La vida promedio del foco 3 es 1.tiendas han sido sobresalientes por los siguientes números de días.6 cc.5 Aplicaciones ■ 3-74 ■ 3-75 ■ 3-76 El peso de los integrantes del equipo de fútbol americano profesional Baltimore Bullets tiene media de 224 libras con desviación estándar de 18 libras. son 195 y 12.3%. Otra máquina produce cantidades promediadas de 180 cc de medicamento y tiene una desviación estándar de 8. Con base en la dispersión relativa. los Trailblazers de Chicago. ¿cuál de estas dos compañías ha seguido una estrategia más riesgosa? Un laboratorio médico. El foco 2 tiene una vida promedio de 1. El foco 1 tiene una vida promedio de 1. con una desviación estándar del 5. ha probado las habilidades para la captura de datos de muchas personas.2 62. utiliza diferentes máquinas para los medicamentos que requieren cantidades de dosis diferentes. mientras que los mismos datos correspondientes a su oponente del próximo domingo. diseñada para producir dosis de 100 cc. Patricia John Frank ■ 27 30 88 76 104 68 88 88 89 90 118 92 86 88 103 79 123 a) ¿Cuál vendedor es más coherente? b) Comente sobre lo adecuado de utilizar una medida coherente junto con porcentajes de objetivos de ventas logrados para evaluar el desempeño de ventas.9 61. ¿qué tienda sería el mejor cliente? Lee Forrest Davis 62. Si consideramos riesgoso asociarse con una compañía que tenga una alta dispersión relativa en la recuperación.2 cc. utilice una medida de variabilidad relativa para sugerir en cuál de los dos grupos será más fácil enseñar.0 63.8%. Los datos que presentamos a continuación son un registro del porcentaje de los objetivos logrados por tres vendedores durante los 5 años pasados. Durante los últimos 5 años. además del promedio menor.470 horas y una varianza de 156.9 63.10 Dispersión relativa: el coeficiente de variación 84 111 . con una desviación estándar del 4.4 62.9 61. ¿Cuál de las máquinas tiene la menor precisión desde el punto de vista de la dispersión relativa? HumanPower. pero en realidad no hay mucha diferencia entre los tres.9257 0.5 minutos. EA 3-16 Lee: x  62. a menos que se tenga el conjunto de datos originales. con una desviación estándar de 3. se perdió parte de la información. al construir la distribución de frecuencias y el histograma. ¿Qué configuración de línea de ensamble tiene la menor variación relativa en el tiempo que le lleva construir un tostador? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 3-15 68 .7497(100) CV  (s/x)(100)    1.20% 62.11  71 .8 minutos. que se diferencian entre sí por el nivel de consistencia de sus germinaciones. Lee sería el mejor cliente.9257(100) CV  (s/x)(100)    1.18 s  0.1  4(100) Programa B: CV  (100)    42. El laboratorio de pruebas de semillas del estado tiene una muestra de cada categoría y los resultados de las pruebas acerca del número de semillas que germinan.5 minutos. En cierto sentido.8 minutos para construir un aparato. son los siguientes: Categoría I (Regular) 88 91 92 89 79 Categoría II (Extra) 87 92 88 90 92 Categoría III (Super) 90 89 79 93 88 ¿Tiene sentido la clasificación de semillas qué hace la Wyatt Seed? La compañía de electrodomésticos Sunray Appliance acaba de terminar un estudio de la configuración posible de tres líneas de ensamble para producir el tostador doble que más ventas le reporta.42 s  0. La configuración II produce un tostador en un tiempo medio de 25. resuelve este problema de manera muy efectiva.18 Davis: x  62. 112 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . La configuración III produce un aparato en un tiempo medio de 37. La configuración I consume un tiempo medio de 34.7%  19.9762(100) CV  (s/x)(100)    1.46 Con base en la dispersión relativa.7497 0.■ ■ 3-81 3-82 La compañía Wyatt Seed vende tres categorías de semilla de maíz Early White Sugar.9762 0.46 s  0. con una desviación estándar de 4. pero en cada situación.75 El programa A tiene menos variabilidad relativa. A partir de esta distribución es imposible saber cómo se distribuyen las calificaciones entre 70-79. la gráfica de tallo y hoja.5 minutos. Observe la distribución de frecuencias de la tabla 3-22 de las calificaciones del examen parcial. Proporciona el orden de clasificación de los elementos del conjunto de datos y la forma de la distribución.11 Análisis exploratorio de datos (AED) Las técnicas en esta sección nos permiten revisar muchos datos y resumirlos con rapidez usando algo tan sencillo como aritmética básica y unos cuantos diagramas simples.0  9(100) Programa A: CV  (100)    25.7% 32. 3.42 Forrest: x  62. con una desviación estándar de 7.8 minutos.49% 62. de un paquete de 100.56% 62. es justo lo que hemos estado haciendo en los capítulos 2 y 3. Una de las técnicas más útiles del análisis exploratorio. Tabla 3-22 Calificaciones en el examen parcial con la distribución de frecuencias 79 99 51 78 84 48 78 72 50 67 66 61 76 57 71 87 94 82 85 84 93 73 72 100 66 63 89 Frecuencia 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 99 1 3 5 8 6 3 1 Para producir una gráfica de tallo y hoja para los datos de la tabla 3-22, se hace una lista vertical de los tallos (los primeros dígitos de cada elemento de los datos) como sigue: 4 5 6 7 8 9 10 Después se dibuja una línea vertical a la derecha de estos tallos y se listan las hojas (el siguiente dígito para cada tallo) a la derecha de la línea en el orden en que aparecen en el conjunto de datos original. 4 8 5 7 1 0 6 7 6 6 3 1 7 9 8 8 6 3 2 2 1 8 7 5 4 4 2 9 9 9 4 3 10 0 Por último se ordenan todas las hojas en cada renglón en orden de clasificación. 4 5 6 7 8 9 10 8 0 1 1 2 3 0 1 3 2 4 4 7 6 2 4 9 6 3 5 7 6 7 8 9 8 9 Cada renglón en la gráfica de tallo y hoja obtenida corresponde a un tallo, y cada valor en ese tallo es una hoja. El renglón 9 | 3 4 9, significa que hay tres elementos en este conjunto de datos que comienzan con 9 (93, 94 y 99). Si se gira la página 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj, se obtiene algo que se parece a los histogramas del capítulo 2. 3.11 Análisis exploratorio de datos (AED) 113 9 9 10 0 4 3 2 8 9 4 1 7 4 5 7 9 8 8 6 2 1 6 2 3 7 6 3 0 5 6 1 8 4 7 Alternativas para efectuar análisis exploratorio Los paquetes de computación que más se utilizan para análisis estadístico tienen la capacidad de procesar un AED. En la figura 3-15 se dan los resultados obtenidos con el paquete SPSS, utilizado para llevar a cabo un análisis exploratorio elemental de datos acerca de los telares para alfombra que vimos en el capitulo 2. Examinaremos brevemente el resultado; si desea saber más acerca del AED, la bibliografía al final del libro proporciona varias referencias. ILUSTRACIÓN DEL USO DE SPSS PARA HACER ANÁLISIS EXPLORATORIO VARIABLE = YDS DE DATOS MONOVARIADA PRODUCCIÓN POR TELAR EN YARDAS N MEDIA DES EST SESGO USS CV MEDIA = 0 CATEG NUM ˜= 0 W:NORMAL 100% MAX 75% Q3 50% MED 25% Ql 0% MIN  RANGO  Q3-Ql  MODO MOMENTOS 30 PESOS 16.0367 SUMA 0.411459 VARIANZA 0.345475 CURTOSIS 7720.15 CSS 2.56574 MEDIA EST 213.475 PROB> T 232.5 PROB> S 30 0.969853 PROB<W CUARTILES (DEF = 4) 16.9 16.3 16 15.775 15.2 99% 95% 90% 10% 5% 1% SUMADOS30 481.1 0.169299 -0.10233 4.90967 0.0751219 0.0001 0.0001 0.571 16.9 16.845 16.78 15.6 15.31 15.2 1.7 0.524988 15.9 EXTREMOS MENOR 15.2 15.4 15.6 15.6 15.6 TALLOHOJA  FIGURA 3-15 Análisis exploratorio de datos acerca de los telares para alfombra del capítulo 2, utilizando el paquete de computadora SPSS 114 Capítulo 3 # MAYOR 16.4 16.6 16.8 16.8 16.9 GRÁFICA DE CAJA [INSERTAR] | | | +-----+ *--+--* | | +-----+ | | 168 000 3 166 0 1 164 00 2 162 00000 5 160 00000 5 158 0000000 7 156 00000 5 154 0 1 152 0 1 150 ----+----+----+----+ MULTIPLIQUE TALLO HOJA POR 10**-01 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias En la primera sección de resultados (con encabezado “momentos”) se tienen media, desviación estándar y las medidas numéricas del sesgo y la curtosis de los datos; como lo vimos en los capítulos 2 y 3, estas cantidades nos dan información acerca de la forma de los datos. La siguiente sección de resultados (con encabezado “cuartiles”) se refiere a los cuartiles y a diferentes rangos, así como a distintos percentiles que perfilan los extremos superior (99%, 95%, 90%) e inferior (10%, 5%, 1%) de los datos. Así, con un AED no sólo se identifica el centro de los datos, sino que también se atrae la atención sobre los valores no centrales y atípicos que se presentan en el conjunto de datos. A menudo, un examen más detallado de estos puntos “exteriores” mostrará que en realidad no deben estar en el conjunto de datos (quizá fueron errores de registro). Ya hemos visto cómo tales puntos exteriores distorsionan la media de las muestras. SPSS entonces nos da varias representaciones gráficas de los datos. Las representaciones de “tallo y hoja” son parecidas a los histogramas, pero en éstas se muestran simultáneamente todos los valores de los datos mientras se les agrupa. En consecuencia, poseen la ventaja del histograma, en el sentido de resumir los datos, sin perder detalle. Las “gráficas de caja” nos proporcionan una representación gráfica de la mediana (la recta horizontal en medio de la figura 3-15), los cuartiles (las rectas horizontales superior e inferior de la caja de la figura 3-15) y los extremos (los “bigotes” que salen de la caja). Tal vez sea útil pensar en una gráfica de caja como en el esqueleto de una distribución de frecuencias. En las figuras 3-16 y 3-17 se muestra algo del AED que se puede hacer con Minitab. En la figura 3-16 utilizamos Minitab para generar una gráfica de tallo y hoja de los datos de ingresos del apéndice 11. La figura 3-17 muestra gráficas de caja de los datos de ingresos como un todo y divididos por bolsa de valores. De nuevo, el AED llama nuestra atención hacia los puntos exteriores, las observaciones alejadas del centro de la distribución. En las gráficas de caja, estas observaciones exteriores se representan con la letra “O”. Un examen más minucioso del conjunto de datos nos muestra que para los dos puntos exteriores más extremos, las compañías descontinuaron algunas de sus operaciones; en un caso (Airgas, Inc.), recibió una suma grande por la venta de sus operaciones descontinuadas, y en el otro (Monarch Capital Corp.), se incurre en un alto costo por el cierre de las operaciones descontinuadas. Debido a estos factores extraordinarios, los dos datos puntuales podrían excluirse del análisis posterior del conjunto de datos. Cuartiles, rangos y percentiles Representación gráfica de los datos Presentación de tallo y hojas con caracteres Tallo y hojas de UT89 Unidad de hoja = 0.10 1 1 3 3 4 57 (150) 17 3 2 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -0 0 1 2 3 4 5 N = 224 4 76 6 87665555543332222222221111111111110000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111+ 00111111223349 3 7 2 FIGURA 3-16 Gráfica de tallo y hojas de Minitab para los ingresos del último trimestre de 1989 3.11 Análisis exploratorio de datos (AED) 115 respondió Lee con esa familiaridad que sólo es posible en una empresa familiar. Eso les va a impresionar. Alentado por la singular audiencia. respondió el jefe rápidamente. diagramas y gráficas. Y con la hoja de cálculo 3D puedo juntar fácilmente toda la información y darte un informe por mes o por trimestre”. “Bueno. Me marcho al aeropuerto a recoger a los inversionistas. de modo que los datos sean registrados de manera coherente de aquí en adelante.” “Puede que sí. puede que no”. que acababa de entrar a la ofi- 116 Capítulo 3 cina. felicitó el tío Walter a su nuevo asistente mientras echaba un vistazo a las 12 páginas de tablas. “He aquí la belleza del negocio: puedes mostrarles a esos neoyorquinos que tu margen promedio de recuperación (ya sabes. el lunes por la mañana había llegado demasiado aprisa. Lee”. “Tal vez estés mezclando peras con manzanas. La ganancia es un poco baja. Pero lo más importante es que he diseñado algunos formatos comunes para informes de cada una de las líneas de producción. Para Lee. Gracia tiene razón.Gráfica de caja con caracteres UT89 TRANSACCIÓN UT89 FIGURA 3-17 Gráfica de caja de Minitab para los datos de ingresos Estadística en el trabajo Loveland Computers Caso 3: tendencia central y dispersión “No está mal para unos cuantos días de trabajo. “Pero. Si Walter era reconocido por su encanto y su “astucia callejera”. Pero ordené las cosas de modo que no tengamos que pasar por todo esto en el futuro. productos que tengan menos de seis meses a la venta— de las líneas establecidas? Revisa si el margen de recuperación se ve diferente y si esto se reproduce en todas partes como dice Gracia. comentó Gracia Delaguardia. Con las nuevas tecnologías. A ver qué puedes obtener en lo que regreso. ¿Cuáles debe usar Lee para responder a las interrogantes sobre los márgenes de recuperación? ¿De qué manera deben presentarse los datos y cómo influirá esto en los nuevos inversionistas para tomar decisiones? ¿Qué limitaciones existen al suponer una distribución con forma de campana para los datos de “porcentaje”? Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . Nunc”. pero al menos se puede predecir. “me costó algunas desveladas. Recordarás nuestra primera “portátil” que pesaba más de 22 kilogramos. Lee.” “Estoy intentando olvidarla”. pero hay otros productos en los que tuvimos que bajar los precios para deshacernos de ellos. Algunas de las PC de baja velocidad ya no tienen ese margen de recuperación. Walt. la socia de Walter Azko.” Preguntas de estudio: El programa de hoja de cálculo que utilizó Lee tiene muchas funciones estadísticas integradas. Lee pasó a la última página de su informe y mostró a su tío un sencillo diagrama de pastel. Gracia se había ganado el título de “cerebro” de la compañía. tenemos un enorme margen en nuestros productos ‘novedosos’. Archivé en discos con un mismo formato todos los datos viejos y dejé los de los últimos tres años en el disco duro. ¿No crees que tienes que separar los nuevos productos —digamos. las entradas menos el costo de los bienes vendidos) es del 28%. al menos eso es lo que las ‘cifras diarias’ parecen indicar. Después de todo. ¡las ventas totales!” De regreso en su oficina.” “Seguro”. sus pedidos serán más frecuentes y por cantidades menores que antes. Además. 4. “Todo esto es muy interesante”. ¿Crees poder montar una pequeña presentación? Tendría que ser muy clara en cuanto a las conclusiones y no quedarse mucho en las estadísticas. ¿Existen diferencias significativas entre las dispersiones relativas experimentadas por cada centro de distribución? 7. estoy realmente convencido de que las ventas totales seguirán aumentando. Calcule la media. la mediana y la moda de los datos trimestrales con respecto al número y tamaño promedio de los pedidos. pero ella sabía que cada centro de distribución desempeña un papel clave en la salud global de la compañía. pues las condiciones climáticas adversas del invierno podrían ocasionar retrasos en las construcciones (este concepto será abordado en un capítulo posterior). ¿Este centro de distribución muestra tendencias parecidas a las de toda la compañía? ¿Los planes de Laurel de hacer una investigación del desempeño de cada centro de distribución son una buena idea? El jueves en la tarde. Compárelos con el rango total en cada caso. estos clientes deberán comprar cantidades cada vez más grandes. Utilizando los datos sin procesar. Stan Hutchings. Con un “cuidado” adecuado.Ejercicio de base de datos computacional HH Industries De lo que Laurel podía ver. vicepresidente de ventas. podría estar presente una tendencia estacional. Era cierto. pueden tender cada vez más hacia la contratación de pequeños talleres para la reparación de sus averías. Laurel sentía curiosidad sobre si la tendencia que había identificado se veía reflejada en cada centro de distribución. “Todavía quiero hacer algunas pruebas de variabilidad. luego estaré en condiciones de armar todo el rompecabezas. respondió Hal. 1. ¿De qué manera presentaría sus resultados a la junta directiva? ¿Qué recomendaciones podría hacer con respecto a las promociones. El número de clientes que compra a HH Industries está aumentando y sus adquisiciones iniciales son relativamente pequeñas. Nos vemos el lunes. 5. 2. verificó que todas estas tendencias fueran posibilidades bastante reales.” 3. acordó Laurel. Las empresas constructoras grandes o las que manejan desechos que por tradición han mantenido sus propias flotillas de equipo. Calcule la media del número de pedidos diarios y el tamaño de los pedidos para el centro de distribución 3 (Pennsylvania) durante los últimos cuatro trimestres. tomando en cuenta los datos del ejercicio correspondiente del capítulo 2. “tal vez podamos lanzar algunas promociones para aprovechar esta información. Calcule el coeficiente de variación para cada trimestre. a) Utilice el teorema de Chebyshev para determinar el rango del número diario de pedidos y del tamaño promedio de éstos para el segundo trimestre de 1992 que incluirá al menos 75% de los datos. las ventas totales de la compañía eran importantes. conforme aumente su confianza en la calidad y servicio de la compañía. 3. ¿Los resultados apoyan lo que Laurel encontró de manera intuitiva a partir de los histogramas? ¿Qué medida de tendencia central parece más apropiada en esta situación? Calcule las ventas totales de la compañía en dólares para los últimos cuatro trimestres. Además. etcétera? Ejercicios de base de datos computacional 117 . ¿Qué tan preciso es el teorema de Chebyshev para establecer el rango en cada caso? 6. ¿Tiene razón Stan al afirmar que las ventas totales están bien? 2. “Me gustaría saber qué opina el resto de la directiva en la reunión del lunes. o si la mayor parte de las ventas hechas en la sucursal de Florida oscurecían cualquier información importante proveniente de los almacenes de Arizona y Pennsylvania. Los clientes habituales de HH Industries empiezan a reconocer el gasto que implica mantener inventarios grandes. Determine los rangos intercuartiles del tamaño promedio de los pedidos en cada trimestre. Pero incluso con la disminución de las cifras de dinero por pedido. En consecuencia. para el número de pedidos y el tamaño promedio de esos pedidos. Necesitaba saber si los tres centros estaban haciendo lo suyo. Laurel se puso a pensar en la filosofía de Stan sobre las “ventas totales”. es lo que realmente importa. Laurel encontró a Hal en su oficina y le dio una breve descripción de sus hallazgos. las tendencias identificadas en los histogramas que había preparado reflejaban varias posibilidades: 1. b) Examine los histogramas representados gráficamente en el ejercicio correspondiente del capítulo 2 y compárelos con los rangos de Chebyshev calculados en el inciso a). a las futuras recolecciones de datos. calcule la varianza y la desviación estándar de la muestra por trimestre. calcule el coeficiente de variación para el número de pedidos y su tamaño promedio en el periodo completo de 12 meses. reconoció. “De hecho”. Considerando cada centro de distribución por separado. Clase de la mediana Clase de una distribución de frecuencias que contiene el valor mediano de un conjunto de datos. Cuartiles Fractiles que dividen los datos en cuatro partes iguales. Curtosis Medida de lo puntiagudo de una distribución de puntos. Simétrica Característica de una distribución en la que cada mitad es la imagen de espejo de la otra. la diferencia entre los valores de dos fractiles. Moda El valor que ocurre más a menudo un conjunto de datos. esto es. Coeficiente de variación Medida relativa de la dispersión. Percentiles Fractiles que dividen los datos en 100 partes iguales. Gráfica de caja Técnica gráfica de AED empleada para resaltar el centro y los extremos de un conjunto de datos. Sesgo Grado en que una distribución de puntos está concentrada en un extremo o en el otro. Varianza Medida del cuadrado de la distancia promedio entre la media y cada observación de la población. Estadística sumaria Números sencillos que describen ciertas características de un conjunto de datos. Medida de tendencia central Medida que indica el valor que debe esperarse para un dato típico o situado en el centro.Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 3 Análisis exploratorio de datos (AED) Métodos para analizar datos que requieren de muy pocas suposiciones principales. falta de simetría. suelen representarse con letras griegas. Representados por caracteres latinos. esta diferencia representa el rango de la mitad central del conjunto de datos. Teorema de Chebyshev No importa qué forma tenga la distribución. Rango interfractil Medida de la dispersión entre dos fractiles de una distribución. Medida de dispersión Medida que describe cómo se dispersan o separan las observaciones de un conjunto de datos. medida de localización que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. Está representado por el punto más alto de la curva de la distribución de un conjunto de datos. Resultado estándar Expresión de una observación en términos de unidades de desviación estándar arriba o abajo de la media. Distribución bimodal Distribución de datos puntuales en la que dos valores ocurren con más frecuencia que los demás valores del conjunto de datos. Mediana Punto situado a la mitad del conjunto de datos. la transformación de una observación al restarle la media y dividirla entre la desviación estándar. Media ponderada Promedio que se calcula con el fin de tomar en cuenta la importancia de cada valor con respecto al 118 Capítulo 3 total. Parámetros Valores numéricos que describen las características de una población completa. es decir. Media geométrica Medida de tendencia central utilizada para medir la tasa promedio de cambio o de crecimiento de alguna cantidad. Rango intercuartil Diferencia entre los valores del primer y tercer cuartiles. es decir. Estadísticos Medidas numéricas que describen las características de una muestra. Desviación estándar Raíz cuadrada positiva de la varianza. Fractil En una distribución de frecuencias. Medida de distancia Medida de dispersión en términos de la diferencia entre dos valores del conjunto de datos. es la posición de un valor en. más que en las unidades al cuadrado en que se expresa la varianza. un promedio en el que cada valor de observación se pondera con algún índice de su importancia. Codificación Método para calcular la media de datos agrupados mediante la recodificación de los valores de los puntos medios de las clases en valores más sencillos. medida de dispersión con las mismas unidades que los datos originales. Rango Distancia entre los valores más bajo y más alto de un conjunto de datos. Deciles Fractiles que dividen los datos en 10 partes iguales. se calcula tomando la n-ésima raíz del producto de n valores que representan el cambio. que puede compararse para diferentes distribuciones y que expresa la desviación estándar como porcentaje de la media. Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . al menos 75% de los valores de la población caerán dentro de dos desviaciones estándar a partir de la media. o más grande que. una fracción dada de los datos. Dispersión La separación o variabilidad de un conjunto de datos. y al menos 89% caerá dentro de tres desviaciones estándar. Media Medida de tendencia central que representa el promedio aritmético de un conjunto de observaciones. ■ ( f  x) x   n 3-3 Para encontrar la media aritmética de la muestra con datos agrupados.  pro du cto deto doslo sv alo res x n La media geométrica o M. sume () todos estos productos y divida la suma entre el número total de observaciones de la muestra (n). n es igual al número de valores x que aparecen en el problema. con el fin de evitarnos trabajar con puntos medios muy grandes o inconvenientes. Asigne estos códigos (u) de la manera siguiente: fije el valor cero al punto medio (denotado por x0).G. calcule los puntos medios (x) de cada clase de la muestra. o ponderación. la mediana es el promedio de las dos observaciones de en medio. sume los valores de todos los elementos de la muestra (x) y divida el resultado entre el número total de elementos de la muestra (n). xn. Utilice esta ecuación cuando los datos no están agrupados. Divida el resultado entre el número total de observaciones de la muestra (n).● Ecuaciones introducidas en el capítulo 3 ■ x   N 3-1 La media aritmética de la población es igual a la suma de los valores de todos los elementos de la población (x) dividida entre el número total de elementos que componen la población (N). Luego multiplique cada punto medio por la frecuencia ( f ) de observaciones de cada clase. ■ 3-6 M. enteros positivos consecutivos a los puntos medios mayores a x0 y enteros negativos consecutivos a los puntos medios menores. es adecuada siempre que necesitemos medir la tasa promedio de cambio (tasa de crecimiento) en un periodo. es un promedio que toma en cuenta qué tan importante es cada valor respecto al total. sumando el resultado de todos esos productos () y dividiendo esta cantidad entre la suma de todas las ponderaciones (w). de cada elemento (w) por el elemento correspondiente (x). Luego multiplique el código asignado a cada clase (u) por la frecuencia ( f ) de las observaciones de cada clase y sume () todos los productos. ■ 3-8 m˜  (n  1)/2  (F  1)  wL    f m m Repaso del capítulo 119 . el elemento de en medio es la mediana. ■ 3-7   n1 Mediana   -ésimo término del arreglo de datos 2 donde n  número de elementos del ordenamiento de datos La mediana es un solo valor que mide el elemento central del conjunto de datos. Podemos calcular este promedio multiplicando el peso. En esta ecuación. Para un número par de elementos.G. Si el conjunto de datos contiene un número impar de observaciones. ■ x x   n 3-2 Para calcular la media aritmética de la muestra. La mitad de las observaciones quedan arriba de la mediana y la otra mitad abajo. multiplique por el ancho numérico del intervalo de clase (w) y sume el valor del punto medio correspondiente al código cero (x0). ■ (u  f) x  x0  w  n 3-4 Esta fórmula nos permite calcular la media aritmética de la muestra de datos agrupados mediante el uso de códigos. ■ (w  x) xw   w 3-5 La media ponderada. sin incluirla. f representa la frecuencia de la clase y x es el punto medio. d2 igual a la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que está inmediatamente arriba de ella. ■ 120 3-16 Capítulo 3   2     f (x  )2   N  f x2   2 N Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . La desviación estándar es siempre la raíz cuadrada positiva de la varianza. En ella. d1 como la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que está inmediatamente abajo de ella. Los cuartiles (Q) son los valores más altos de cada una de esas cuatro partes. Utilice la ecuación 3-14 para encontrar el resultado estándar de una observación de una población. Es un parámetro más útil que la varianza. es la raíz cuadrada de la varianza de la población. . La última expresión. ■ Rango  3-10 valor de la valor de la  observación más alta observación más baja El rango es la diferencia entre los valores más alto y más bajo de una distribución de frecuencias. ■ (x  )2 x2 2      2 N N 3-12 Esta fórmula nos permite calcular la varianza de la población. La expresión de en medio.  es N x2 la definición de 2. una medida del cuadrado de la distancia (x  )2 promedio entre la media y cada observación de la población. ■ Rango intercuartil  Q3 . y w como el ancho del intervalo de la clase modal. pero N  2 a menudo es mucho más conveniente usarla. en cualquiera de sus formas. nos permite calcular la varianza de datos ya agrupados en una distribución de frecuencias.Q1 3-11 El rango intercuartil mide aproximadamente qué tan lejos de la mediana debemos desplazarnos a ambos lados antes de poder incluir una mitad de los valores del conjunto de datos. debido a que nos libera del cálculo de las desviaciones de la media. w es el ancho de intervalos de clase. y Lm es el límite inferior del intervalo de la clase de la mediana. divida los datos en cuatro partes iguales. utilice esta fórmula y tome a LMO igual al límite inferior de la clase modal. ■ 3-14 ■ 3-15 x Resultado estándar de la población   El resultado estándar de una observación es el número de desviaciones estándar que la observación se separa hacia abajo o hacia arriba de la media de la distribución. Para calcular este rango. fm es la frecuencia de las observaciones de la clase de la mediana.  es matemáticamente equivalente a la definición. El resultado estándar nos permite hacer comparaciones entre los elementos de distribuciones que difieren en orden de magnitud o en las unidades empleadas. F es la suma de todas las frecuencias de clase hasta la clase mediana. ■   2  3-13   (x  )2   N x2   2 N La desviación estándar de la población. En ella. debido a que se expresa en las mismas unidades que los datos (mientras que las unidades de la varianza son el cuadrado de las unidades de los datos). d1 Mo  LMO   w d1d2   La moda es el valor que con se repite más frecuencia en el conjunto de datos. n es igual al número total de observaciones de la distribución.  f (x  )2  f x2 2      2 N N Esta fórmula.■ 3-9 Esta fórmula nos permite encontrar la mediana de la muestra de datos agrupados. El rango intercuartil es la diferencia entre los valores del primer y el tercer cuartil (Q1 y Q3). Para hallar la moda de datos agrupados (denotada con Mo). x2 (x  x)2 nx2     s2   s   3-19 n1 n1 n1   n1 n1 n1 La desviación estándar de la muestra es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. para calcular la varianza de la muestra.Tome la raíz cuadrada de la varianza y obtendrá la desviación estándar de datos agrupados. excepto que  se sustituye por la media de la muestra x y N se cambia por n  1. Es parecida a la ecuación 3-13. x  . En el capítulo 7 se explica por qué utilizamos n  l en lugar de n. sustituyendo  con x y N con n  1. ■ ■ ■ 3-17 x2 (x  x)2 nx2     s2   3-18 Para calcular la varianza de la muestra. utilice la misma fórmula de la ecuación 3-12. 01 3.01 3. c) Adquisiciones de alimentos (total).99 Si la muestra es representativa de todos los tipos de granola que vende este fabricante.02 3. Como sólo necesitan 10 yardas para anotar y tienen cuatro oportunidades para lograrlo. ¿cuál es el rango de los pesos para 95% de los paquetes? ¿Qué reacción tendría usted si un aficionado al fútbol americano le dijera lo siguiente? “Los Raiders de Rockland tienen un promedio de 3. Tomando en cuenta la distribución de los resultados posibles para los gastos reales en cada una de estas áreas.03 4. el Congreso estadounidense asignó la misma cantidad de financiamiento: a) Salario de los funcionarios (total).99 ■ 3-84 ■ 3-85 ■ 3-86 ■ 3-87 4.00 3. a cada una de ellas.00 4.00 4. La compañía Ed’s Sports Equipment tiene en existencia dos categorías de sedal de pesca.6 yardas de recorrido por tierra.98 4.99 4.98 4.01 4. pero se estima que es muy pequeño Si usted se dispone a pescar un tipo de pez cuyo peso promedio ha sido 25 kg en esta temporada.” A continuación se presentan tres partes del presupuesto de una año para la defensa.97 4. en promedio. de todos modos se tiene una misma posibilidad de caer arriba o abajo de la mediana.02 4. la anotación es segura. Relaciona la desviación estándar y la media mediante la expresión de la desviación estándar como porcentaje de la media. el resultado será el mismo.02 4.” ¿Qué respondería al siguiente comentario?: “La variabilidad no es un factor importante.99 4. En consecuencia. haga corresponder cada sección a una de las curvas de la figura 3-9. b) Mantenimiento de la flota aérea. siempre y cuando mantengan su forma de jugar por tierra.02 3. Fundamente su respuesta. ¿con cuál de los dos sedales tiene más posibilidad de atrapar una cantidad mayor de peces? Repaso del capítulo 121 .01 3. ● Ejercicios de repaso ■ 3-83 El departamento de pesos y medidas de la oficina de agricultura de un estado midió la cantidad de granola que se vende en paquetes de 4 onzas y registró los siguientes datos: 4. Los datos sobre cada categoría son los siguientes: Resistencia media de prueba (kg) Master Super 40 30 Desviación estándar Valor exacto desconocido. pero se estima que es muy grande Valor exacto desconocido.00 3.x Resultado estándar de la muestra    s Utilice esta ecuación para encontrar el resultado estándar de una observación en una muestra. ■ Coeficiente de variación de la población   (100)  3-20 El coeficiente de variación es una medida relativa de dispersión que nos permite comparar dos distribuciones. porque aun cuando el resultado es más incierto. La segunda.010. un comerciante de discos al menudeo. (La población completa está incluida en ellos. con desviación estándar de 1.935 unidades. sec. con una desviación estándar de 1. c) Encuentre la moda de los datos. con desviación estándar de 16. de 300 discos. en The Chicago Tribune (14 de diciembre de 1992). Se ha dado cuenta que en los últimos dos años. b) Encuentre la mediana de los datos. emplea dos fórmulas diferentes para pronosticar sus ventas mensuales. ¿Cuál fórmula es relativamente menos precisa? Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . La 2 produce un promedio mensual de 9. La primera fórmula tiene una falla promedio de 700 discos. la capitalización de nueve mercados de valores del Pacífico y Asia fue: País Capitalización (en miles de millones de dólares) Filipinas 17 Indonesia 21 Tailandia 44 Singapur 50 Malasia 79 Corea del Sur 86 Taiwan 140 Hong Kong 178 Australia 203 Fuente: “Asian/Pacific Stock Markets”. ¿Cuál de las dos líneas posee la mayor dispersión relativa? E1 30 de junio de 1992. el otro estudia el correspondiente a 1975-1979. ■ ■ 122 3-93 3-94 a) Encuentre la media aritmética de los datos.050.■ 3-88 ■ 3-89 El vicepresidente de ventas de Vanguard Products ha estado estudiando los registros correspondientes al desempeño de sus representantes de ventas. ¿Qué diferencias esperaría encontrar en la variabilidad de sus datos? La fábrica de botas para esquiar Downhill opera dos líneas de ensamble en sus plantas. Ohio. b) ¿Cuál de las tres medidas que calculó para responder al inciso a) describe mejor la variabilidad de los datos? Dos economistas estudian las fluctuaciones del precio del oro. pueden describirse en el siguiente conjunto de datos: 200 ■ 3-90 ■ 3-91 ■ 3-92 156 231 222 96 289 126 308 a) Calcule el rango. el rango intercuartil y la desviación estándar de estos datos. La línea número 1 produce un promedio mensual de 11. d) ¿Cuál es la mejor medida de la tendencia central del conjunto de datos? e) Encuentre la desviación estándar de los datos. ¿A qué conclusiones puede llegar basándose en esas observaciones? Los automóviles nuevos vendidos en diciembre por ocho distribuidores de Ford situados en un radio de 80 kilómetros de Canton. El gerente de producción está interesado en mejorar la consistencia de la línea que posee la mayor variación. mientras que la distribución de los niveles de ventas se ha ampliado. p. la varianza y la desviación estándar para estos datos.) La estación Fish and Game en el lago Wylie tiene registros de los peces atrapados en el lago e informa sus hallazgos al Servicio Nacional de Pesca Deportiva. Los niveles de ventas de los agentes de la compañía para ese mismo periodo tienen variaciones significativamente más grandes respecto a la media que en cualquier otro periodo de dos años anterior al estudiado. 4. Uno examina el periodo correspondiente a 1968-1972.350 unidades. En este caso. con desviación estándar de 35. ¿es el rango una buena medida de la variabilidad? ¿Por qué? El dueño de Records Anonymous. 3. La pesca en libras de los 20 últimos días fue: 101 132 145 144 130 88 156 188 169 130 90 140 130 139 99 100 208 192 165 216 Calcule el rango. el nivel promedio de ventas por representante ha permanecido igual. la varianza y la desviación estándar para estos datos.980 Sábado 3.600 30.6 16.■ 3-95 Utilizando los siguientes datos de población.3 16. Repaso del capítulo 123 .77 1.9 14.430 Domingo 2.6 18.1 17. ¿cuántos valores deberían estar entre 132.3 10.56? ¿Cuántos valores se encuentran realmente en ese intervalo? Liquid Concrete entrega mezcla de concreto lista en 40 camiones.2 17.73 La siguiente tabla presenta la cantidad promedio de policías hombres y mujeres del Departamento de Policía de Nueva York que estuvieron en servicio cada día entre las 20:00 y las 24:00 horas en el barrio de Manhattan: Lunes 2.8 16. 8% de los camiones entregaron menos de _______________________ yardas cúbicas.8 17. La asistencia a los 10 últimos partidos en casa de las Águilas de Baltimore fue la siguiente: 20.5 15.560 a) Calcule el rango. tiene los siguientes registros que indican el número de días que cada uno de sus ocho consultores de planta cobró el último año: 212 220 230 210 228 229 231 219 221 222 a) Sin calcular el valor de las medidas. la varianza y la desviación estándar.3 10.89 ■ ■ 3-96 3-97 1.0 13.68 1.285 Martes 2. b) ¿Algunos de los resultados que obtuvo en el inciso a) son un reflejo preciso de la variabilidad de los datos de asistencia a los partidos? c) ¿Qué otra medida de variabilidad podría ser mejor? d) Calcule el valor de la medida que sugirió en el inciso c).950 Miércoles 2. Valores de CI 134 143 146 ■ 3-98 136 144 146 137 144 147 138 145 148 138 146 153 a) Calcule la media y la desviación estándar de los resultados de CI.0 11.6 18.0 15.83 1. Young y Asociados.3 18.900 Jueves 2.9 17.400 11.9 14.69 1.300 49.100 19.3 14.9 12.9 16.1 19.900 Viernes 3.600 28. le dio a la computadora 15 formas distintas de una prueba de CI y calculó su coeficiente de inteligencia obtenido en cada forma.4 19. El número de yardas cúbicas entregadas por cada camión cierto día fue el siguiente: Yardas cúbicas 11.6 13.7 13. calcule el rango intercuartil.500 25.6 12.6 24.2 12.600 31.7 9. Para probar el programa. ¿cuál de ellas cree usted que le daría una mayor información acerca de esta distribución: el rango o la desviación estándar? b) Tomando en cuenta la dificultad y el tiempo para calcular cada medida que revisó en el inciso a).1 10. b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev. Matthews.0 9. ¿Qué concluye de sus respuestas acerca del comportamiento del costo de combustible para calentar? Costo promedio por galón de combustible para calentar en ocho estados de la Unión Americana 1.350 ■ 3-100 14.71 1. una agencia de consultorías de Chapell Hill. ¿cuál sugeriría como la mejor? ■ 3-101 c) ¿Qué haría que usted cambiara su opinión al respecto? La siguiente distribución de frecuencias resume los cambios de precios ocurridos el 24 de mayo de 1993 en todas las compañías que participaron en la Bolsa de Valores de Nueva York y cuyos nombres comienzan con L o con R.4 9.0 13.7 15.3 Enumere los valore en cada decil.66 1.8 9.7 19.6 ■ 3-99 12.8 13.500 28.975 a) ¿Serían la varianza o la desviación estándar una buena medida de la variabilidad de estos datos? b) ¿Qué encontró en el patrón del número de policías que ocasionó su respuesta al inciso a)? Un sicólogo escribió un programa de computación para simular la forma en que una persona responde a una prueba típica de CI (cociente de inteligencia).4 18.44 y 153. 00 1. b) Revistas noticiosas semanales. debe considerarse fuera de servicio hasta que se repara.76 a 1.75 a 0.50 a 0. d) ¿Cuál es la mejor medida de tendencia central para cada distribución? e) Encuentre la desviación estándar de las dos distribuciones (cada grupo es una población completa). por volumen para todas las: a) Revistas mensuales.51 0. en términos generales. Es útil hacer un análisis del tiempo perdido para planear el inventario.25 a 0. Con frecuencia se hace rápido.01 a 0. Cuando el equipo se descompone al estar rentado. Larsen Equipment Rental proporciona a los contratistas las herramientas que necesitan sólo por unos días. la posición central y el sesgo de las distribuciones del nivel de lectura.25 Fuente: The Wall Street Journal (25 de mayo de 1993): C4-C5. c) Encuentre su moda.Cambio de precio Número de compañías con L Número de compañías con R 1 1 1 7 19 14 21 5 3 2 1 1 1 0 5 20 20 14 8 1 4 0 1.25 0.25 a 1.26 0.01 0. como sierras para concreto. en número de lectores.75 0. c) Revistas médicas mensuales. pero algunas veces tarda mientras llegan las refacciones. Los registros de descomposturas en el último año son: Grupo de equipos 1 2 3 4 5 6 7 ■ 3-103 1 2 3 4 5 6 7 124 Grupo de equipos Días descompuesto 8 9 10 11 12 13 14 8 29 6 0 4 4 10 2 19 14 21 5 7 11 a) ¿Cuál fue el tiempo medio de descomposturas el año pasado para los grupos de equipos? b) ¿Cuál fue la mediana? Larsen (vea el ejercicio 3-102) acaba de obtener la siguiente información adicional: Grupo de equipos ■ 3-104 Días descompuesto Piezas de maquinaria 1 3 1 4 2 1 1 Grupo de equipos Piezas de maquinaria 8 9 10 11 12 13 14 5 8 2 2 6 1 1 a) ¿Cuál es el tiempo promedio de descompostura por pieza de maquinaria? b) ¿Cuál es el tiempo promedio de descompostura por pieza de maquinaria para cada grupo al clasificarlas por grupo? c) ¿Cuánto grupos tienen un tiempo de descomposturas arriba del promedio por pieza de maquinaria? Compare y contraste. ■ 3-102 a) Encuentre la media aritmética de las dos distribuciones. distribuidas a nivel nacional.00 0.76 0.00 a 0.01 a 1. Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias . b) Encuentre su mediana.26 a 0.51 a 0.50 0. f) Utilice sus coeficientes de variación para determinar qué distribución tiene menor variabilidad relativa.01 1. vende bolsas sorpresa con bulbos de flores.9 veces su capacidad diseñada. donde la categoría superior de impuestos es 7%.05 5.05 5.01 5.■ 3-105 ■ 3-106 Compare y contraste. tierra e insectos de una clase costosa de semilla de especia.02 33 23 33 37 37 26 32 37 56 33 47 43 47 37 34 45 a) ¿Cuáles son la media y la mediana del número de bulbos por bolsa? b) Con base en su respuesta. ¿Cuál medida de tendencia central deberá utilizar? La comercializadora de flores Emmot Bulb Co.22 ■ 3-110 4. A Diseño B C 16 16 53 15 31 17 14 30 20 18 27 23 21 22 26 39 17 28 31 16 42 20 18 17 16 15 19 a) Calcule la media y la mediana para cada grupo. c) Agrupe los datos en cinco clases de igual tamaño.24 5. Las bolsas se venden según su peso.11 6. el número de bulbos en cada bolsa puede variar. dependiendo de las variedades incluidas.89 6. la tendencia central y el sesgo de las distribuciones concernientes a la cantidad de impuestos (en dólares) pagados por todos a) los individuos que solicitan reembolso federal en Estados Unidos.11 4. que describa al contribuyente “promedio” de la Unión Americana en términos del ingreso bruto anual. b) los individuos que pagan impuestos estatales en Carolina del Norte. ¿Cuál es el valor del consumo de combustible para la clase modal? d) ¿Cuál de las tres medidas de tendencia central es la que mejor puede servirle a Allison cuando haga un pedido de combustible? Explique su respuesta. Allison Barrett realiza análisis estadísticos para un equipo de carreras automovilísticas. b) Con base en su respuesta. está instalando una criba en una sección de su nueva planta de procesamiento para separar hojas. en consecuencia. Los datos siguientes corresponden al número de horas que tardó cada soporte en fallar con el motor del torno funcionando continuamente a su máxima potencia. que recibe a granel de Repaso del capítulo 125 .99 6. con una carga equivalente a 1. donde la categoría superior de impuestos es del 28%. El número de bulbos que hay en cada bolsa de una muestra de 20 son: 21 36 25 26 ■ 3-109 5.91 5.02 a) Calcule la mediana del consumo de combustible.. A continuación. analista del Servicio Interno de Contribuciones estadounidense. ¿cuál diseño es el mejor y por qué? La Table Spice Co. presentamos las cifras en millas por galón del gasto de combustible de sus automóviles en carreras recientes: 4. ¿qué puede concluir acerca de la forma de la distribución del número de bulbos por bolsa? Un ingeniero probó nueve muestras de cada uno de tres diseños de soporte para un nuevo torno eléctrico. en términos generales. b) Calcule la media del mismo consumo. Pidieron a Clara Chávez.11 6.27 6. c) los individuos que pagan impuestos por derecho de aeropuerto (incluido en el precio del boleto de avión) en el Aeropuerto Internacional JFK de la ciudad de Nueva York. Clara tiene datos sumarios en los que el contribuyente está clasificado en diferentes clases según el impuesto que paga.75 ■ 3-107 ■ 3-108 6.77 5. 09 4. “Many Baby Boomers Save Little.0 4. la empresa más importante de corredores de bolsa.01-1. ¿tiene sentido programar 100 personas por día? Las siguientes son las cantidades promedio (en dólares) que gasta en comida cada línea aérea por pasajero: American United Northwest TWA Delta Continental USAir American West Southwest 7. primavera de 1993.5 2.5 4.51-4. Los detalles se tomaron de un comunicado de prensa de Merrill Lynch. pero también eliminará más semillas. The Wall Street Journal (23 de junio de 1995).500 1 minuto 36 segundos 3. ¿deben los administradores de la empresa pensar en dejar de vender acciones al público en general? Fuente: B. ¿el “promedio” reportado es una media aritmética? Suponga que un representante técnico típico puede atender 165 llamadas por turno.5 1.416 1.000.5 ■ 3-111 12 129 186 275 341 422 6.976.41 7. La empresa puede utilizar una malla gruesa de 3.51-5.163 6.0 2.01-5.000 es menos que la cantidad mínima necesaria para invertir en valores.15 5. Como $1. ■ 3-113 ¿Cuál es la media y la mediana del costo por pasajero? ¿Cuál sería la mejor cifra para usar en una línea aérea que desarrolla su plan de negocios? Merrill Lynch. ■ 3-112 Suponga que contestan llamadas los 365 días del año.01-4. según el inciso a). el doctor Joseph Anderson concluyó que el nivel de la mediana de los bienes financieros (fondos para inversión.287 8. la compañía reportó el siguiente resumen estadístico: Promedio diario de llamadas a soporte Tiempo promedio “en espera” Total de llamadas contestadas 16. A partir de los datos del censo de Estados Unidos para más de 38.77 2. excluyendo bienes raíces) era $1. el desarrollador del popular software de procesamiento de texto.24 5.0 menor que 1.68 2. La malla más abierta dejará pasar más basura y eliminará menos semillas.212 2. En 1993. La malla más fina retendrá más materia inútil. May Run Into Trouble Later On”. “New Data Shows Wealth of American Families at ‘Woeful Low’ ” (21 de diciembre de 1994). y la media aproximada era $30.14 Fuente: “The Going Rate”.000.61 2. si desea eliminar al menos la mitad de la basura? WordPerfect.00 0.los cultivadores.0 3.000 familias.51-3.019 a) ¿Cuál es el tamaño de la mediana de basura y el tamaño de la clase modal? b) ¿Cuál malla usaría usted. 126 Capítulo 3 Medidas de tendencia central y dispersión en distribuciones de frecuencias .01-2.01-3.51-2.0 5. B11.951 Fuente: WordPerfect Report. Wysocki. The Wall Street Journal (5 de junio de 1995): 1. encargó un estudio de la riqueza de las familias estadounidenses.5 3. La compañía tiene la siguiente información tomada de una muestra de los desechos: Tamaño de desechos (en milímetros) Frecuencia 1.5 mm o una más fina de 3 mm.5 mayor que 5. logró una gran participación de mercado mediante una estrategia de negocios que incluyó soporte técnico telefónico gratis ilimitado. 2 Terminología básica en probabilidad 129 4.1 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad 128 4.3 Tres tipos de probabilidad 131 4.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 151 4.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 158 • Estadística en el trabajo 165 • Ejercicio de base de datos computacional 166 • Términos introducidos en el capítulo 4 168 • Ecuaciones introducidas en el capítulo 4 169 • Ejercicios de repaso 170 127 .5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 143 4.4 Reglas de probabilidad 137 4.4 PROBABILIDAD I: IDEAS INTRODUCTORIAS capítulo Objetivos • • • Examinar el uso de la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones Explicar las diferentes maneras en que surge la probabilidad Desarrollar reglas para el cálculo de diferentes tipos de probabilidades • Utilizar las probabilidades para tomar en cuenta nueva información: definición y uso del teorema de Bayes Contenido del capítulo 4. ■ L 4.” Y cuando usted mismo empiece a estudiar para el examen del contenido de este libro. el reverendo Thomas Bayes (17021761) y Joseph Lagrange (1736-1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida que la que tomaríamos si sólo diéramos palos de ciego. Compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fermat (1601-1665). Cuando jugamos al bridge. Los administradores que se encargan de inventarios de ropa de moda para mujer deben preguntarse sobre las posibilidades de que las ventas alcancen o excedan un cierto nivel. admitamos o no el uso de algo tan complejo. Abraham de Moivre (1667-1754). En la toma de decisiones personales y administrativas. nos enfrentamos a la incertidumbre y utilizamos la teoría de la probabilidad. se afirmaba que Alí había dicho: “Les apuesto a que todavía seré el más grande cuando termine la pelea. nosotros. Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . Pierre Simon. Medio siglo más tarde. unificó todas estas ideas y compiló la primera teoría general de probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y. En la actualidad. cambiamos nuestros planes de salir de día de campo y nos quedamos en casa divirtiéndonos con juegos de mesa. La probabilidad constituye parte importante de nuestra vida cotidiana. Antes de la tan publicitada pelea de Muhammed Alí contra Leon Spinks. pero sabemos que su curiosidad y sus investigaciones dieron origen a muchos de los conceptos que estudiaremos en este capítulo y el siguiente. requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. y el comprador que adquiere una patineta considera la probabilidad de duración de su pasajero capricho. tendremos algún conocimiento sobre los posibles resultados de una decisión. la teoría matemática de la probabilidad es la base para las aplicaciones estadísticas. muchos centros de aprendizaje estaban estudiando la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. En muchos casos. como ciudadanos preocupados.1 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad Primeros teóricos sobre probabilidad Necesidad de la teoría de probabilidad Ejemplos del uso de la teoría de probabilidad 128 Jacob Bernoulli (1654-1705). Cuando escuchamos una predicción de un 70% de posibilidades de lluvia. seguramente se preguntará: ¿cuál es la posibilidad de que el profesor nos pregunte algo sobre la historia de la teoría de la probabilidad? Vivimos en un mundo incapaz de predecir el futuro con total certidumbre. La industria de seguros. En el siglo I . Pero no fue sino hasta el siglo XVII que el noble francés Antoine Gombauld (1607-1684) buscó la base matemática del éxito y el fracaso en las mesas de dados. Al organizar esta información y considerarla de manera sistemática seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones. tanto en investigaciones sociales como en la toma de decisiones. a problemas sociales y económicos.os jugadores han utilizado el cálculo de las probabilidades para realizar apuestas durante la mayor parte de la Historia. hacemos algunas estimaciones de probabilidad antes de intentar una jugada arriesgada. lo que es más importante en nuestro estudio. No tenemos registro del grado de éxito obtenido por estos caballeros en las mesas de dados. y las cartas que se escribieron entre sí estos tres personajes constituyen la primera revista académica sobre teoría de la probabilidad. que surgió en el siglo I . marqués de Laplace (1749-1827). Nuestra necesidad de encarar a la incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. Él le preguntó al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662): “¿Cuáles son las probabilidades de obtener dos seises al menos una vez en 24 tiradas de un par de dados?” Pascal le resolvió el problema y se interesó en el asunto de las probabilidades al igual que Gombauld. con el fin de calcular las primas. el espacio muestral es S  cara. cara y cruz. Cuando escuchamos las poco gratas predicciones del índice de mortalidad en accidentes de tránsito. ¿Esto significa que la teoría de la probabilidad no se aplica a los seguros de vida? Explique su respuesta. ¿cuál es la probabilidad del evento cara? Y. esté más cercano a su quehacer diario es ser elegido de entre cien estudiantes para que responda a una pregunta. pero las que manejan seguros de vida tienen la certeza de que cada asegurado va a morir. dos de corazones. 8/9) o como decimales (0. En el de lanzar una moneda. ¿De qué manera la teoría de la probabilidad pudo estar implicada en la toma de tal decisión? ■ Las compañías aseguradoras usan la teoría de la probabilidad para calcular sus primas. una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre. A la mayoría de las personas les emocionan menos el lanzamiento de monedas o las cartas que las preguntas como. 4. cruz En el experimento de sacar una carta.5”. La pregunta fundamental que se debe formular al decidir si ciertos eventos son mutuamente excluyentes es: ¿pueden ocurrir dos o más de tales eventos al mismo tiempo? Si la respuesta es afirmativa.889) que están entre cero y uno. 0. etcétera.500. Al lanzar una moneda al aire. Tenemos dos resultados posibles. 0. De manera análoga. En la teoría de la probabilidad. antes de que termine el curso. el tomar el as de espadas es un evento. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestral del experimento.167. Considere de nuevo el ejemplo de la moneda. podríamos hacer la siguiente pregunta: en un experimento de lanzar una moneda. si cae cruz es un evento. “El uso de este producto puede ser peligroso para su salud. Este producto contiene sacarina.2 Terminología básica en probabilidad Un evento Un experimento Eventos mutuamente excluyentes En general. la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento. “1/2” o “0.Ejercicios 4. si sacamos una carta de un mazo de naipes. por tanto.1 Aplicaciones ■ 4-1 ■ 4-2 ■ 4-3 ¿Existe en realidad algo como “el riesgo no calculado”? Explique su respuesta. si la moneda no está cargada y tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de sus dos lados (sin posibilidades de que caiga parada).” ¿De qué manera pudo haber desempeñado un papel la teoría de la probabilidad en la afirmación anterior? 4. se dice que los eventos cara y cruz en un solo lanzamiento son mutuamente excluyentes. estamos preocupados por la probabilidad de que ciertos eventos sucedan. podríamos responder. Un ejemplo de evento que. En consecuencia. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder. De manera parecida. Solamente uno de esos tres resultados es posible. que ha demostrado producir cáncer en animales de laboratorio. quizá. o ¿cuáles son mis posibilidades de conseguir una segunda entrevista de trabajo? En resumen. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo. desertar y no obtener calificación. un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo. la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. los eventos no son mutuamente excluyentes. usted puede pasar o reprobar una materia o. Utilizando un lenguaje formal. En cualquier lanzamiento obtendremos una cara o una cruz. 4-4 Una compañía embotelladora de refrescos muy conocida decide alterar la fórmula de su producto más antiguo y de mayor venta. y si cae cara es otro. esperamos no ser uno de tales eventos. En la teoría de probabilidad. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6. 1/2. nunca ambas. se dice que son eventos mutuamente excluyentes.2 Terminología básica en probabilidad 129 . desde luego. el espacio muestral tiene 52 elementos: as de corazones. ¿cuáles son las posibilidades de poder tomar ese avión a tiempo?. Proporcione el espacio muestral de resultados para los siguientes experimentos en términos de bolas y strikes: a) Dos lanzamientos. ¿qué probabilidad asignaría usted a cada evento? La compañía telefónica Southern Bell está planeando la distribución de fondos para una campaña con el fin de aumentar las llamadas de larga distancia en Carolina del Norte. d) Un as y un número impar. se dice que la lista es colectivamente exhaustiva. Ejercicios 4. e) Un total de diez puntos y un cuatro en un dado.” a) ¿Cuáles son los “eventos” que podrían resultar de la elección? b) ¿La lista que hizo es colectivamente exhaustiva? ¿Son los eventos de la lista mutuamente excluyentes? c) Sin tomar en consideración el comentario de sus seguidores y sin tener ninguna información adicional. Conceptos básicos ■ 4-5 ■ 4-6 ¿Cuáles de los siguientes son parejas de eventos mutuamente excluyentes al sacar una carta de un mazo de 52 barajas? a) Un corazón y una reina. La siguiente tabla es una lista de los mercados que la compañía considera valiosos para enfocar su promoción: Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . numeradas del 2 al 10. Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultados posibles al lanzar el dado y destapar una carta. c) Un número par y una espada. Dé la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al lanzar dos dados: 1. En una campaña presidencial. ¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos dados? a) Un total de cinco puntos y un cinco en un dado. y un dado. c) Un total de ocho puntos y un número impar de puntos en ambos dados. Un bateador deja pasar todos los lanzamientos que ve. la lista de resultados “candidato demócrata y candidato republicano” no es una lista colectivamente exhaustiva. la lista —cara y cruz—. Aplicaciones ■ 4-7 ■ 4-8 Considere una pila de nueve cartas todas de espadas. que la moneda caiga parada cuando la lancemos). b) Una espada y una carta roja. por supuesto. 6. Proporcione la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al sumar los valores del dado y de la carta: 2 130 ■ 4-9 ■ 4-10 3 8 9 12 14 16 En una reciente asamblea de los miembros de un sindicato que apoyan a Joe Royal como su presidente.2 Ejercicios de autoevaluación EA EA 4-1 4-2 Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultado posibles al lanzar dos dados. 10 y 11. d) Un total de nueve puntos y un dos en uno de los dados. b) Tres lanzamientos. el líder de los seguidores de Royal afirmó: “Tenemos buenas posibilidades de que Royal derrote al único oponente en la elección. es colectivamente exhaustiva (a menos. 7. 5. b) Un total de siete puntos y un número par de puntos en ambos dados. En el ejemplo de la moneda. 2.Lista colectivamente exhaustiva Cuando una lista incluye todos los eventos que pueden resultar de un experimento. pues puede haber un candidato independiente o de algún otro partido que esté participando en las elecciones. ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral? Considere la pila de cartas y el dado del ejercicio 4-7. El planteamiento subjetivo.5) (3.3) (6.5) (6.2) (2. los expertos no se ponen de acuerdo sobre cuál planteamiento es el más apropiado.3 Tres tipos de probabilidad 131 . El planteamiento de frecuencia relativa. con el fin de que la ecuación 4-1 sea válida. Primero plantearemos la pregunta ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento? como P(cara) 4.3) (1. pero podemos utilizar la definición para escribir los ejemplos del lanzamiento de la moneda y de los dados de una manera simbólica.1) (5.6) (2. P(2)  1/36.3 Tres tipos de probabilidad Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad.000 Hay una cantidad de hasta $800.2) (3.4) (5. 2. P(6)  5/36.4) (4.3) (5. P(5)  4/36.000 disponible para estas campañas.Porción de mercado Costo de la campaña especial dirigida a cada grupo Minorías Empresarios Mujeres Profesionistas y trabajadores de oficina Obreros $350.000 $200. cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible.2) (6.1) (1.1) (3. éstas representan planteamientos conceptuales bastante diferentes para el estudio de la teoría de probabilidad.1) (2.4) (1. P(7)  6/36.4) (2. dado 2) (1. El planteamiento clásico. c) Suponga que la compañía ha decidido gastar los $800.3) (3.1) (6.6) (5. a) ¿Las porciones de mercado que se enumeran en la tabla son colectivamente exhaustivas? ¿Son mutuamente excluyentes? b) Haga una lista colectivamente exhaustiva y mutuamente excluyente de los eventos posibles de la decisión sobre gastos. De hecho. Probabilidad clásica Definición de probabilidad clásica El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento ocurra como: Probabilidad de un evento número de resultados en los que se presenta el evento Probabilidad de un evento    número total de resultados posibles [4-1] Se debe resaltar el hecho de que.3) (4.6) P(1)  0/36. ¿Esta circunstancia cambia la respuesta que dio en el inciso b)? Si la respuesta es afirmativa.4) (6.000 $250. 3.000 $250.1) (4.6) (4.4) (3.2) (5. ¿cuál es su nueva respuesta? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA EA 4-1 4-2 (Dado 1.2) (4.5) (5.6) (3. 4.5) (2. P(11)  2/36.5) (1.3) (2.000 en campañas especiales. Ésta es una manera bastante complicada de definir algo que nos puede parecer intuitivamente obvio.6) (6.2) (1. Empecemos definiendo 1. P(10)  3/36.5) (4.000 $550. Este planteamiento de la probabilidad es útil cuando tratamos con juegos de cartas. pero no imposibles. Frecuencia relativa de presentación Suponga que empezamos por hacernos preguntas complejas como: ¿cuál es la probabilidad de que yo viva hasta los 85 años?.Luego. Determinamos qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. pero tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a los problemas de toma de decisiones menos previsibles. y el que se encuentre comiendo pizza mientras realiza un viaje al Polo Norte son extremadamente improbables.5 o  2 Número de resultados posibles en un lanzamiento en los que se presente el evento (en este caso. interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales. un dado o tomar una carta. Supone que no existen situaciones que son bastante improbables pero que podemos concebir como reales. sin antes hacer algo de experimentación. obtenemos 1 P(cara)   11 1  0. debido a que si empleamos ejemplos ordenados como monedas no alteradas. El planteamiento clásico de probabilidad supone un mundo que no existe. utilizando términos formales. desordenadas y poco probables como son a menudo. a menudo. Otros planteamientos pueden resultar de más utilidad. podemos basar nuestras conclusiones en un razonamiento lógico antes de realizar el experimento. de dados. Veamos un ejemplo: suponga que Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . los estadísticos británicos. la fracción de veces que un evento se presenta a la larga. sobre cuáles son esas probabilidades. hacen que sea útil definir la probabilidad de otras formas. En la actualidad. un 3. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos o. un 2. En el siglo I . La probabilidad clásica supone también una especie de simetría en el mundo. como los que encontramos en la administración. Uso del planteamiento de frecuencia relativa de presentación 132 Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como probabilidad. un 5 o un 6) A la probabilidad clásica. empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En lugar de experimentos. entonces podemos establecer la respuesta de antemano (a priori) sin necesidad de lanzar una moneda. los dados no cargados y las barajas normales. a este planteamiento se le llama frecuencia relativa de presentación de un evento y define la probabilidad como: Redefinición de probabilidad 1. ¿cuáles son las posibilidades de que dañe las bocinas de mi aparato de música si subo el volumen del amplificador de 200 watts a todo lo que da? o ¿cuál es la probabilidad de que la instalación de una nueva planta de papel a las orillas del río cercano a nuestro pueblo ocasione una significativa desaparición de peces? Rápidamente nos damos cuenta de que no somos capaces de emitir una respuesta por adelantado. cuando las condiciones son estables. se le conoce como probabilidad a priori. el que el salón de clase se incendie mientras se analiza la probabilidad. dados no cargados y mazos de barajas normales. el número de resultados que producirán una cara) Número total de resultado posibles en un lanzamiento (una cara y una cruz) Y para el ejemplo del lanzamiento de dados: 1 P(5)   111111 1  6 Probabilidad a priori Limitaciones del planteamiento clásico Número de resultados en un solo lanzamiento del dado que producirá un 5 Número total de resultados posibles al lanzar una sola vez el dado (se obtiene un 1. Sin embargo. lanzamientos de monedas y cosas parecidas. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones sobre las monedas. el planteamiento clásico supone que no existen. y esta suposición también puede ocasionarnos problemas. 2. Las situaciones de la vida real. un 4. Sucesos como el que una moneda caiga parada. por la información obtenida de los datos actuariales registrados. Quizá. Sin embargo.FIGURA 4-1 Frecuencia relativa de presentación de caras en 300 lanzamientos de una moneda no alterada Frecuencia relativa 1. esta precisión mejorada no es definitiva. Pero. Utilizando este método. usted sabría que esa persona no está basando sus predicciones en una evidencia suficiente. o 0.3 Tres tipos de probabilidad 133 . cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades. De hecho. la probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo. Si alguna vez usted escuchó a alguien decir: “Mis dos tíos se enfermaron de gripe y ambos pasan ya de los 65 años. parece que se estabiliza y tiende a 0. debemos tomar en cuenta el tiempo y costo que implicaría tener más observaciones. el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumenten las observaciones. Tendríamos dificultades para convencerlo de que su actitud fue estadísticamente incorrecta.5 conforme aumenta el número de lanzamientos. la compañía estima la probabilidad de muerte de ese grupo de edad en particular como: 60  . entonces la gente que esté más o menos en esa edad probablemente se enfermará de gripe”. usted sigue siendo su fiel partidario y apuesta $100 a que le ganará al próximo rival en el onceavo juego. a pesar de que mayor cantidad de lanzamientos de la moneda generará una probabilidad más precisa de presentaciones del evento cara. Sus observaciones son un conjunto insuficiente de datos para establecer una frecuencia relativa de la probabilidad de presentación. que de los hombres de 40 años de edad.0006 100. Y usted tendría razón al mostrarse escéptico ante nuestros argumentos. usted basó intuitivamente su decisión de apostar en el fundamento estadístico descrito en el siguiente planteamiento para establecer probabilidades. En lenguaje estadístico. diríamos que la frecuencia relativa se vuelve estable conforme la cantidad de lanzamientos crece (si lanzamos la moneda siempre en las mismas condiciones). aquel que al parecer no esté basado.5 en los primeros cien lanzamientos. usted gana la apuesta. mayor precisión Una limitación de la frecuencia relativa Una segunda característica de las probabilidades establecidas por la frecuencia relativa de presentación de un evento puede ponerse en evidencia si lanzamos una de nuestras monedas no alteradas 300 veces.5 0 50 100 150 200 250 300 Número de lanzamientos una compañía de seguros sabe. Para sorpresa de todo el mundo. Una dificultad implicada en el planteamiento de frecuencia relativa es que la gente a menudo lo utiliza sin evaluar el número suficiente de resultados. En la figura 4-1 se ilustra el resultado de esos 300 lanzamientos: podremos ver que aunque la fracción de caras está bastante lejos de 0. en la estadística? Suponga que el equipo de básquetbol de su escuela pierde los primeros 10 partidos del año. Esta evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentación de eventos pasados o 4.000 morirán en un periodo de un año.0 0. Desde luego. ¿qué sucede con un tipo diferente de estimación.000 Más intentos. En consecuencia. 60 de cada 100. basada en la evidencia que tenga disponible. Probabilidades subjetivas Definición de probabilidades subjetivas Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad. en absoluto. Sin embargo. Quizá la más antigua estimación de probabilidad subjetiva de la posibilidad de que fuera a llover se dio cuando alguna tía anciana dijo: “Me duelen los huesos. Uso del planteamiento subjetivo Advertencia: en los problemas de probabilidad clásica. las posibilidades cambian a 4/51 si la primera carta no es un as y 3/51 si la primera carta es un as. enfrentadas a la misma evidencia. He aquí otro ejemplo más de este tipo de asignación de probabilidad. Su población se ha reducido a sólo tres personas.puede tratarse. cuyos nombres aparecen con frecuencia en los trabajos avanzados del campo. de una creencia meditada. Para tener una idea del apoyo de los trabajadores al pa- Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . o cerca de 0. ¿Cuáles son las posibilidades de que cada candidato se relacione exitosamente con los clientes? El responder a esta pregunta y escoger a uno de los tres requerirá que usted asigne una probabilidad subjetiva al potencial de cada persona que solicita el puesto. El planteamiento subjetivo para asignar probabilidades fue introducido en 1926 por Frank Ramsey en su libro The Foundation of Mathematics and Other Logical ssays ( l fundamento de la matemática y otros ensayos lógicos). Como casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel corresponden a situaciones específicas. Dos personas que hacen apuestas contrarias sobre el resultado de algún encuentro de cualquier otro deporte. simplemente. más que a una larga serie de situaciones idénticas. los responsables de tomar decisiones en este nivel hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva. Debe utilizar su mejor sentido común para determinar la probabilidad subjetiva de que suceda un accidente nuclear. es normal que dos personas obtengan probabilidades distintas para un evento. Los tomadores de decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarla con los sentimientos personales sobre la situación. alto nivel de actividad. Un juez debe decidir si permite la construcción de una planta de energía nuclear en un lugar donde hay evidencias de que existe una falla geológica. 4/52.” Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten una más amplia flexibilidad que los otros dos conceptos analizados. Debe preguntarse a sí mismo: “¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente nuclear grave en este sitio?” El hecho de que no exista una frecuencia relativa de presentación de la evidencia de accidentes anteriores en ese sitio. Al asignar probabilidades con el método de frecuencia relativa de ocurrencia.3 Ejercicios de autoevaluación EA 134 4-3 El representante sindical B. no es suficiente para liberarlo de tomar la decisión. bastante confianza en sí misma. debe asegurarse de revisar si la situación es “con reemplazo” después de obtener cada elemento o “sin reemplazo”. ¡no debe apostar la colegiatura del siguientes semestre al negro! Ejercicios 4. El concepto fue desarrollado con más detalle por Bernard Koopman. la probabilidad de obtener un as la segunda vez es la misma. tiene como anteproyecto un conjunto de demandas salariales y de prestaciones que debe presentar a la dirección. Sólo porque no ha salido el rojo después de 9 impulsos a la ruleta. Si se destapa una y se reemplaza. buen registro de logros pasados y buena disposición para enfrentar los retos que se presenten. creo que se avecina lluvia. cada una de éstas tiene buena apariencia. Lou Khollar. Richard Good y Leonard Savage. podrían entender bastante bien a lo que Savage se refería. La posibilidad de obtener un as de una baraja de 52 cartas la primera vez es 4/52. Digamos que usted tiene encomendada la tarea de entrevistar y elegir a un nuevo trabajador social. pueden asignar probabilidades subjetivas por completo distintas al mismo evento. Al asigSUGERENCIAS Y SUPOSICIONES nar probabilidades subjetivas. se trata del resultado de la experiencia y el tiempo (con frecuencia esta combinación se llama “sabiduría”). debe estar seguro de que se observó el número adecuado de resultados. sin reemplazo.077. Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con más frecuencia cuando los eventos se presentan sólo una vez o un número muy reducido de veces. El profesor Savage señaló que dos personas razonables. b) Una carta negra. c) La probabilidad de sacar dos seises al lanzar dos dados es 1/36. Durante un reciente juego de bridge. una vez que se jugó la carta de salida y se abrieron las cartas del muerto. el declarante tomó un momento para contar el número de cartas de cada palo con los resultados siguientes: Palo Espadas Corazones Diamantes Tréboles Nosotros Ellos 6 8 4 08 26 7 5 9 05 26 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar de la mano del equipo “nosotros” sea de espadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar de la mano del equipo “ellos” sea de tréboles? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar entre todas las cartas sea de espadas o corazones? d) Si este tipo de análisis se repitiera para cada mano muchas veces. frecuencia relativa o subjetiva): a) La probabilidad de lograr un tiro de penal en hockey sobre hielo es 0.14. Entrevistó a 30 de cada grupo con los siguientes resultados: Opinión del paquete Apoyo fuerte Apoyo moderado Indecisión Oposición moderada Oposición fuerte M I 9 11 2 4 04 30 10 3 2 8 07 30 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un maquinista seleccionado al azar del grupo sondeado dé un apoyo moderado al paquete? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector seleccionado al azar del grupo sondeado esté indeciso respecto al paquete? EA 4-4 c) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector) seleccionado al azar del grupo sondeado dé un apoyo fuerte o moderado al paquete? Clasifique las siguientes estimaciones de probabilidad en cuanto a su tipo (clásica. hizo un sondeo aleatorio en los dos grupos más grandes de trabajadores de la planta. los maquinistas (M) y los inspectores (I). d) Un dos negro o un tres negro.85. ¿cuál sería la probabilidad a la larga de que una carta seleccionada de la mano del equipo “nosotros” sea de espadas? 4. d) La probabilidad de que el presidente electo en un año que termina en cero muera durante su cargo es 7/10. e) Una carta roja con cara (rey.quete. Conceptos básicos ■ 4-11 ■ 4-12 Determine las probabilidades de los siguientes eventos al sacar una carta de una baraja estándar de 52 cartas: a) Un siete. b) La probabilidad de que renuncie el gobernador actual es 0.47. reina o jota). c) Un as o un rey.3 Tres tipos de probabilidad 135 . e) La probabilidad de que vaya a Europa este año es 0. 000. c) La probabilidad de que gane la lotería es 0. y d) entre $15. 25-49%. d) La probabilidad de un vuelo seleccionado en forma aleatoria llegue a tiempo es 0. e) La probabilidad de observar dos caras al lanzar una moneda dos veces es 0. c) más de $20. 75-99% y 100%.9.000? El general Buck Turgidson se encuentra preparando la presentación de su presupuesto anual al Senado de Estados Unidos y especula sobre las posibilidades de obtener aprobación de todo el presupuesto solicitado o de parte de él. b) La probabilidad de que la colegiatura aumente el próximo año es 0. de acuerdo con las estimaciones del general? El gerente administrativo de una compañía de seguros tiene los datos siguientes acerca del funcionamiento de las fotocopiadoras de la compañía: Copiadora Días en funcionamiento Días fuera de servicio 1 209 51 2 217 43 3 258 2 4 229 31 5 247 13 Según los datos.999 25 10. Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-3 número de maquinistas en la clase “apoyo moderado” a) P(maquinista de apoyo moderado)    11/30 número total de maquinistas sondeados número de inspectores en la clase “indecisión”   2/30  1/15 b) P(inspector indeciso)   número total de inspectores sondeados 136 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias .000 30 Basándose en esta información.999 35 15.000.999 70 25. y dos y media veces que las posibilidades de obtener la aprobación de entre 25 y 49%. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 0-24%.000 -19.000 . ha deducido que sus posibilidades de obtener la aprobación de entre 50 y 74% de su presupuesto son del doble de las posibilidades que tiene de obtener la aprobación de entre 75 y 99%. Además. el general tiene la creencia de que no hay posibilidad alguna de obtener menos del 25% del presupuesto solicitado.000 y $20.000 -14.97.175.000.4. f) La probabilidad de que su auto arranque en un día muy frío es 0.999 125 20.000 -24. ¿cuál es la probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión de: a) entre $5.95.25. b) menos de $15.999 Frecuencia 15 5. el presupuesto total solamente ha sido aprobado una vez durante la carrera del general y éste no espera que haya cambios en este patrón.875. frecuencia relativa o subjetiva: a) La probabilidad de que los Cachorros ganen la Serie Mundial este año es 0. ¿cuál es la probabilidad de que una copiadora esté fuera de servicio? Clasifique las siguientes estimaciones de probabilidad como clásica. Comisión anual (dólares) $ ■ 4-14 ■ 4-15 ■ 4-16 0 .00062. Con base en sus 20 años de experiencia en hacer ese tipo de petición anual.Aplicaciones ■ 4-13 A continuación tenemos una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomada de un estudio de 300 vendedores promedio.000 y $10. Por último. 50-74%. d) Frecuencia relativa. El caso en que un evento u otro se presente. supongamos que se hace una rifa entre 50 miembros de un grupo escolar de un viaje gratis al Festival Nacional de Rock. 2.c) Opinión AF AM I OM OF EA 4-4 d) a) c) e) Frecuencia (combinada) 19 14 4 12 11 60 P(apoyo fuerte o moderado)  (19  14)/60  33/60  11/20 Frecuencia relativa. La rifa consiste en sacar el boleto premiado de un total de 50 boletos. Cualquiera de los estudiantes podría calcular su probabilidad de ganar mediante la siguiente formulación: 1 P(Ganar)   50  0. solamente un estudiante puede ganar. Algunos símbolos. b) Subjetiva. la probabilidad de un evento A se podría expresar como: Probabilidad de que el evento A suceda P( )  la Probabilidad marginal o incondicional probabilidad de que el evento A suceda Una probabilidad sencilla quiere decir que sólo un evento puede llevarse a cabo. Clásica. Subjetiva. podríamos preguntar: “¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario y que el 10% de nuestra fuerza de ventas no se presente a trabajar?” En las secciones que siguen ilustraremos algunos métodos para determinar las respuestas a las preguntas planteadas bajo una variedad de condiciones.4 Reglas de probabilidad La mayoría de los administradores que utiliza la probabilidad se preocupan por dos condiciones: 1. debido a que tenemos la certeza de que los eventos posibles son mutuamente excluyentes. 4. Se le conoce como probabilidad marginal o incondicional.4 Reglas de probabilidad 137 . utilizamos símbolos para simplificar la presentación de ideas. es decir. 4. Como lo vimos antes en este mismo capítulo. Demostramos interés en el primer caso cuando preguntamos: “¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario?” Para ilustrar la segunda situación. Frecuencia relativa.02 En este caso. La situación en que dos o más eventos se presenten al mismo tiempo. Para ilustrar un poco a lo que nos referimos. la posibilidad de que un estudiante gane es de 1 entre 50. definiciones y reglas de uso común Símbolo para una probabilidad marginal En la teoría de probabilidad. Entonces la probabilidad de que suceda un evento es su área que le corresponde del rectángulo. Cinco estudiantes por igual capaces esperan la fecha en que se les hará una entrevista para trabajar en el verano. Helen. el espacio muestral completo se representa mediante un rectángulo y los eventos se representan como partes de ese rectángulo. En tales diagramas. como se muestra en el diagrama (a) de la figura 4-2.Diagramas de Venn Existe una buena forma de ilustrar. podemos utilizar la ecuación 4-1 y obtener la respuesta. El grupo está formado por los estudiantes siguientes: Bill. en la que notamos que el área junta de los dos círculos (que representa el evento A o B) es la suma del área del círculo que representa a A y la del círculo que representa a B. John. Si dos eventos no son mutuamente excluyentes. como se ilustra en el diagrama (b) de la figura 4-2. Probabilidad de uno o más eventos mutuamente excluyentes Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes A menudo. en honor al matemático inglés del siglo I . las partes correspondientes de éstos en el rectángulo no se traslaparán. podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes. sin embargo. este ejemplo y otros conceptos de probabilidad. sus partes correspondientes en el rectángulo sí se traslapan. En ésta el rectángulo está dividido en 50 partes iguales que no se traslapan.02 (1/50) A B A B FIGURA 4-2 Algunos diagramas de Venn 138 Dos eventos mutuamente excluyentes (a) Capítulo 4 Dos eventos no excluyentes (b) Probabilidad I: ideas introductorias Ejemplo del Festival Nacional de Rock (c) . Sally y Walter. Esta regla se expresa simbólicamente de la siguiente manera: P(A o B)  la probabilidad de que suceda A o B y se calcula de la siguiente manera: Probabilidad P(A o B)  P(A)  P(B) [4-2] Esta regla de adición se ilustra en el diagrama de Venn de la figura 4-3. Si nuestra pregunta es. En el diagrama (c) de la figura 4-2 se ilustra lo que decimos para el caso del ejemplo del Festival Nacional de Rock. tomaremos el área del rectángulo como la unidad (porque la probabilidad de que algo pase con toda certeza es 1). estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda. mediante una elección aleatoria. Si dos eventos son mutuamente excluyentes. por medio de diagramas. Usemos esta fórmula con un ejemplo. Debido a que las probabilidades se comportan en mucho como si fueran áreas.2 El área de cualquier cuadrado es de 0. John Venn. Usamos una representación gráfica conocida como diagrama de Venn. ¿cuál es la probabilidad de que John sea elegido?. La compañía solicitante ha anunciado que contratará a sólo uno de los cinco. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes. 1 P(John)   5  0. con lo cual tenemos que esta probabilidad es de 0. pues podría- Tabla 4-1 Datos del tamaño de familia Número de hijos Proporción de familias que tienen esta cantidad de hijos 0 1 2 3 4 5 6 o más 0. la probabilidad de que una familia tenga cinco o menos hijos se puede calcular con mucho mayor más facilidad si restamos a 1 la probabilidad de que en la familia haya seis o más hijos. tenga cuatro o más hijos (es decir cuatro. 5. Probabilidad de uno o más eventos no mutuamente excluyentes Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Si dos eventos no son mutuamente excluyentes.10  0.FIGURA 4-3 Diagrama de Venn para la regla de adición de eventos mutuamente excluyentes A B P(A o B ) = P(A ) + P(B ) Sin embargo. ¿cuál es la probabilidad de sacar un as o un corazón de un mazo de barajas? Obviamente. podemos calcular la respuesta a nuestra pregunta: P(4. ¿cuál es la probabilidad de que John o Sally sean elegidos?. si preguntamos.05  0. 6 o más)  P(4)  P(5)  P(6 o más)  0. seis o más hijos)? Haciendo uso de la ecuación 4-2. refiriéndonos de nuevo a la tabla 4-1.25 0. cinco.10 0.05 4. escogida al azar. Estamos interesados en la pregunta. tenemos que éste sucede o no sucede.95. deberíamos utilizar la ecuación 4-2: P(John o Sally)  P(John)  P(Sally) 1 1  5 5 2  5  0. Para cualquier evento A. es posible que ambos se presenten al mismo tiempo. Aplicando la ecuación 4-2 obtenemos el resultado P(A)  P(no A)  1 o de manera equivalente: P(A)  1  P(no A) Por ejemplo.30 0.10 0.15  0. Por ejemplo. La tabla 4-1 contiene los datos sobre el tamaño de las familias de un cierto pueblo.4 Reglas de probabilidad 139 .15 0. De modo que los eventos A y no A son mutuamente excluyentes y exhaustivos. debemos modificar la regla de adición. los eventos as y corazón pueden presentarse juntos. En tales casos.05 0.4 Calculemos una vez más la probabilidad de que sucedan dos o más eventos.30 Un caso especial de la ecuación 4-2 Existe un caso especial importante de la ecuación 4-2. ¿cuál es la probabilidad de que una familia de este pueblo. Si sumamos las áreas de los círculos y . hombre 3. Los empleados de una cierta compañía han elegido a cinco de ellos para que los representen en el consejo administrativo y de personal sobre productividad. tenemos que reducir la probabilidad de obtener un as o un corazón por la posibilidad de obtener ambos eventos juntos. En ella. podemos calcular: P(as o corazón)  P(as)  P(corazón)  P(as y corazón) 4 13  52 52 1  52 4 16 o 52 13 Trabajemos un segundo ejemplo. contaremos doble el área de la intersección. as y corazón no son eventos mutuamente excluyentes. Debemos ajustar la ecuación 4-2 para evitar el conteo doble. hombre 2. la ecuación correcta para la probabilidad de uno o más eventos que no son mutuamente excluyentes es: Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Probabilidad de que A suceda Probabilidad de que A y B sucedan juntos P(A o B)  P(A)  P(B)  P(AB) Probabilidad de que se presenten A o B cuando A y B no son mutuamente excluyentes [4-3] Probabilidad de que B suceda La figura 4-4 muestra un diagrama de Venn que ilustra a la ecuación 4-3. y el evento y es la porción cuadriculada que se encuentra en el medio. mujer 4. Como resultado de lo anterior. hombre A B FIGURA 4-4 Diagrama de Venn de la regla de adición para dos eventos no mutuamente excluyentes 140 AoB Capítulo 4 AyB Probabilidad I: ideas introductorias edad 30 32 45 20 40 .mos sacar una as de corazones. es decir. Usando la ecuación 4-3 para determinar la probabilidad de obtener un as o un corazón. Los perfiles de los cinco elegidos son: 1. mujer 5. el evento o está resaltado con una línea más gruesa. En consecuencia. de manera que debemos restarla para asegurarnos de que solamente se cuente una vez. 10 0. Cuando ocurre una de las dos (o ambas). El error más común en este caso es contar doble. ¿cuál es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya edad esté por arriba de 35 años? Utilizando la ecuación 4-3. se resta el área de traslape o que se cruza en el diagrama de Venn para obtener el valor correcto. proporcione las probabilidades indicadas: Resultados posibles = 50 A B 8 EA 4-6 6 13 23 P(A ) = P(B ) = P(A o B ) = Un inspector de Alaska Pipeline tiene la tarea de comparar la confiabilidad de dos estaciones de bombeo. Así.Este grupo decide elegir un vocero.4 Ejercicios de autoevaluación EA 4-5 Del siguiente diagrama de Venn.09 0. dé las probabilidades que se piden: 4.12 0 0. Los datos disponibles indican que prevalecen las siguientes probabilidades: Estación P(falla en bombeo) P(fuga) P(ambas) 1 2 0. en el caso de eventos que no son mutuamente excluyentes. la elección se efectúa sacando de un sombrero uno de los nombres impresos. que indica el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento y el número de resultados que no corresponden a alguno de los dos eventos. la estación debe parar. ambos puede ocurrir juntos y es necesario reducir la probabilidad justo por esa posibilidad. Nuestra pregunta es. podemos establecer la respuesta a nuestra pregunta como: P(mujer o mayor de 35)  P(mujer)  P(mayor de 35)  P(mujer y mayor de 35) 2 2  5 5 1  5 3  5 Podemos verificar nuestro trabajo mediante inspección y ver que de los cinco empleados del grupo. Sin embargo. se busca una probabilidad de un evento u otro y el traslape no es problema.07 0. tres cumplirían con el requisito de ser mujer o de tener más de 35 años.06 ¿Qué estación tiene mayor probabilidad de parar? Conceptos básicos ■ 4-17 Los siguientes diagramas de Venn indican el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento y el número de resultados que no corresponden a ningún evento. Tomando en cuenta estos diagramas. Ejercicios 4. Los diagramas de John Venn constituyen una forma útil de evitar errores al aplicar la regla de la suma para eventos que son o no mutuamente excluyentes.4 Reglas de probabilidad 141 . Cada estación es susceptible de dos tipos de falla: descompostura en el bombeo y fugas. Sugerencia: al aplicar la regla de la suma para eventos mutuamente excluSUGERENCIAS Y SUPOSICIONES yentes. ocurran. es decir. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado pueda usar la PC par introducir los datos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que falle la PC o la computadora mainframe? Suponga que no pueden fallar al mismo tiempo.15 P(falla con pluma de luz y teclado)  0. Aplicaciones ■ 4-21 Un empleado de Infotech debe introducir información de productos en la computadora. dé las probabilidades que se piden: Total de resultados = 100 A B 10 30 20 2 3 6 4 25 C P(A ) = P(A o B ) = ■ 4-19 ■ 4-20 P(B ) = P(A o C ) = P(C ) = P(B pero no (A o C )) = Una urna contiene 75 canicas: 35 son azules. y y no los son. 142 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias .025 P(falla con teclado)  0. No suponga que . ¿Cuál es la probabilidad de sacar: a) Una canica azul? b) Una canica transparente? c) Una canica azul veteada? d) Una canica roja transparente? e) Una canica veteada? En esta sección se desarrollaron dos expresiones para la probabilidad de que ocurra uno de dos eventos. o . P( o o ). pero y . 25 de éstas están veteadas. y y son mutuamente excluyentes pero y no lo son. e) Rescriba la expresión para el caso en que .25 Los datos pueden introducirse en la PC sólo si funcionan tanto la pluma de luz como el teclado.005 P(falla con computadora grande)  0. d) Rescriba la expresión para el caso en que y . y son mutuamente excluyentes entre sí. Se conocen las siguientes probabilidades históricas: P(falla con pluma de luz)  0. y son mutuamente excluyentes. El empleado puede usar una pluma de luz que trasmite la información a la PC junto con el teclado para dar los comandos.Resultados posibles = 60 A 42 B 11 ■ 4-18 P(A) = P(B ) = P(A o B ) = 7 Empleando este diagrama de Venn. Las canicas que no están veteadas son transparentes. Utilice las ecuaciones 4-2 y 4-3: a) ¿Qué puede decirse de la probabilidad de que ocurran y al mismo tiempo cuando y son mutuamente excluyentes? b) Desarrolle una expresión para la probabilidad de que al menos uno de tres eventos . El resto de ellas son rojas y 30 de éstas también están veteadas. o . o puede llenar los círculos en una hoja y colocarla en el lector óptico de la computadora mainframe. c) Rescriba la expresión para el caso en que y son mutuamente excluyentes. 5 y P(cruz)  0. 4. Marginal. Cada lanzamiento de la moneda es único y no hay manera de conectarlo con ningún otro. 4.05). Esto es cierto para cada lanzamiento. Karen debe incluir la probabilidad de fallas en las barras para combustible. ¿Cuál es esta probabilidad? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-5 EA 4-6 P(A)  14/50  0. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es de 0. Probabilidades marginales bajo condiciones de independencia estadística Probabilidad marginal de eventos independientes Como lo explicamos antes.09  0. con respecto a fallas en la unidad de disco y el teclado.000 barras que inspecciona. la probabilidad de obtener cara es igual a 0. a) Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco y/o en el teclado. tener un efecto en el resultado del segundo. Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo la independencia estadística: 1. Conjunta. 10 tienen fallas internas. 8 tienen fallas de recubrimiento y 5 tienen ambas fallas. debe hacer pasar por rayos e inspeccionar cada barra antes de embarcarla. En su informe trimestral.38 14 19 6 P( o )        0. ¿qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco? b) Si el teclado se mejoró de tal modo que sólo falla el doble de veces que la unidad de disco (y la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0. el resultado de cada lanzamiento de una moneda es un evento estadísticamente independiente de los resultados de cualquier otro lanzamiento de ella. la estación 1 tiene la mayor probabilidad de parar. 3. aquellos en donde la presentación de uno no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro.12  0. esto es. ¿la probabilidad de falla de la unidad de disco del inciso a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro. En consecuencia. es decir.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística Definición de independencia Cuando se presentan dos eventos.06  0. Condicional. una inspectora. Esto es.05.5.54 50 50 50 P(falla)  P(falla en bombeo o fuga) Estación 1: 0.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 143 . P(cara)  0. Karen Wood.28 P(B)  19/50  0. el diseño de sus computadoras es tal que las fallas de la unidad de disco ocurren un tercio de las veces que falla del teclado.07  0. o en ambos. En el lanzamiento de una moneda no cargada.■ 4-22 ■ 4-23 La HAL Corporation desea mejorar la resistencia de las computadoras personales que construye. ha observado que por cada 1. o no.5 y la probabilidad de obtener cruz es igual a 0. En la actualidad. En esta sección examinaremos los eventos que son estadísticamente independientes. mayor o menor que 90%? La compañía Herr-McFee.17 Estación 2: 0. el resultado del primero puede. no importa cuántas veces se lance la moneda o cuáles hayan sido los resultados anteriores.5.15 Entonces.01  0  0. una probabilidad marginal o incondicional es la probabilidad simple de presentación de un evento. que produce barras para combustible nuclear. los eventos pueden ser dependientes o independientes. 2. en el teclado. En la figura 4-5 se presenta un árbol de probabilidad que muestra los resultados posibles y su respectiva probabilidad para un lanzamiento de una moneda no cargada. porque si uno de ellos se presenta.25.25. Suponga que nuestra pregunta es.5.Imagine que tenemos una moneda que ha sido alterada de tal modo que en el 90% de los lanzamientos se obtengan caras y en el restante 10% se obtengan cruces. Por consiguiente.8  0.5  0. Del mismo modo. los otros no.125. Matemáticamente lo escribimos como: Probabilidades conjuntas de dos eventos independientes P( )  P( )  P( ) [4-4] en la que • • • Ejemplo con la moneda cargada )  probabilidad de que los eventos y se presenten juntos o en sucesión. P( 1 2)  P( 1)  P( 2). Hemos mostrado que los eventos son estadísticamente independientes porque la probabilidad de cualquier resultado no se ve afectada por ninguno de los resultados anteriores. debido a que los eventos 1 2 3 y T1T2T3 no constituyen una lista colectivamente exhaustiva.5  0. En cada lanzamiento individual.512 Preguntémonos ahora la probabilidad de obtener tres cruces (que indicaremos con la literal T) en tres lanzamientos consecutivos: P(T1T2T3)  P(T1)  P(T2)  P(T3)  0. la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos consecutivos es P( 1 2 3)  0.10. Los eventos (resultados) son independientes. P(cara)  0. “¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos sucesivos? Utilizamos la ecuación 4-4 y se obtiene que: P( 1 2 3)  P( 1)  P( 2)  ( 3)  0.2  0. Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . la probabilidad de obtener cara en cualquier lanzamiento es de 0. También los resultados de varios lanzamientos de esta moneda son estadísticamente independientes. y P( 1 2)  0.5  0.90 y P(cruz)  0.2  0.2.2  0. pues las probabilidades en cualquier lanzamiento son iguales siempre: los lanzamientos individuales están completamente separados y no afectan de ninguna manera a ningún otro resultado o lanzamiento. la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos sucesivos es de 0.8  0. aunque esté cargada.008 Construcción de un árbol de probabilidad 144 Observe que estas dos probabilidades no suman 1. se le conoce como probabilidad conjunta P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento P( En términos del ejemplo de la moneda no cargada.8  0. la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos sucesivos es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento (que llamaremos 1) multiplicada por la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento ( 2). El resultado de cualquier lanzamiento particular no está relacionado en lo absoluto con los resultados de lanzamientos previos o futuros. Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística Regla de multiplicación para eventos independientes unidos La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales.5  0. Suponga a continuación que vamos a lanzar una moneda alterada que tiene P(cara)  0.8 y P(cruz)  0. Son mutuamente excluyentes.5  0. Es decir. Por tanto. Podemos hacer todavía más explícitas las probabilidades de los eventos si utilizamos un árbol de probabilidad. Suponga que el resultado del lanzamiento 1 es cara.25 0. Como antes. por ejemplo. Así pues. De esta manera. Como vamos a lanzar tres veces. tenemos dos resultados posibles. dos resultados posibles Dos lanzamientos. cada una con probabilidad de 0. después de dos lanzamientos de la moneda.5 )= 0. Note que en dos lanzamientos. T1 2 y T1T2 (recuerde que los subíndices indican el número de lanzamiento. ahora estamos listos para empezar a añadir las ramas correspondientes al tercer lanzamiento.5 =0 P(H ) . cara y cruz. Observe que tanto el evento cara como el cruz tienen probabilidad 0.25 Lanzamiento 1 P(H ) = P(H ) 0. cada uno con una probabilidad de 0.5 P(H ) = 0 0.5 0.5 de presentarse.5 0. de manera que T2.125 0.5. ocho resultados posibles Todos los lanzamientos son independientes )= Árbol de probabilidad de un segundo lanzamiento parcial 0. cuatro resultados posibles Tres lanzamientos. sin importar qué tan lejos del origen (primer lanzamiento) esté cualquier lanzamiento en particular.5 P(H ) P(T = 0.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 145 .5 = 0.5 FIGURA 4-6 FIGURA 4-5 P(T Árbol de probabilidad de un lanzamiento Un lanzamiento.5 0.5 Para el lanzamiento 1.5 P(H ) P(T ) Lanzamiento 1 )= 0.25 P(T P(T ) = Lanzamiento 2 = P(H ) P(H ) 0. 5 0. Suponiendo que hemos obtenido cara en los primeros dos lanzamientos. 1T2.25 0. El primer paso se muestra en la figura 4-8. cara y cruz. Suponga que vamos a lanzar una moneda legal y queremos saber la probabilidad de que en los tres lanzamientos el resultado sea cara. Después.125 0. en la figura 4-7 agregamos dos ramas más al árbol. podemos llegar a uno de cuatro puntos posibles.5 0. El árbol de probabilidad completo se muestra en la figura 4-9.5 P(T ) = 0. En la figura 4-6 unimos estas dos ramas del árbol. tenemos cuatro resultados posibles: 1 2. Entonces el segundo lanzamiento debe derivarse de la rama inferior del lanzamiento 1.25 0.25 FIGURA 4-7 FIGURA 4-8 Árbol de probabilidad de dos lanzamientos Árbol de probabilidad de un tercer lanzamiento parcial 4.5 P(T ) P(T ) = = 0. los dos resultados posibles son cara y cruz.5 P(T ) = 0. consideraremos la posibilidad de que el resultado del lanzamiento 1 sea cruz. Esto se deriva de nuestra definición de independencia ning n evento se ve afectado por eventos anteriores o posteriores.5 0. Lanzamos la moneda de nuevo.5. el segundo lanzamiento tiene dos resultados posibles. Expresando el problema de manera simbólica.5 . 5 0.25 0.25 0. queremos Lanzamiento 1 = 0. Las ramas adicionales se agregan exactamente de la misma manera. significa cruz en el lanzamiento 2).5 0.5 0.5 P(H ) = 0 0.Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 0.5.25 = 0.5 = 0.5 P(T ) = = 0. cada uno con una probabilidad de 0.25 0.5 0.5 0.5 .5 Lanzamiento 2 Lanzamiento 3 P(H ) 0. debemos añadir más ramas al árbol. 125. Intente resolver este problema mediante el árbol de probabilidad de la figura 4-9. es decir. en ese orden en tres lanzamientos consecutivos de una moneda no alterada? Solución Si seguimos las ramas que dan una cruz en el primer lanzamiento.5 0. Esto resulta del hecho de que tenemos listas de resultados mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas. en este caso el tercer lanzamiento.00 1. sabemos que: P( 1 2 3)  P( 1)  P( 2)  P( 3)  0.125 Suma: 1.25 0. en ese orden. llegaremos a la probabilidad de 0.125. A partir de la definición matemática de probabilidad conjunta de eventos independientes.Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Lanzamiento 3 0. cruz y cara.125 P(H ) 0.125.0 1.5 P(H P(T .125 P(T ) FIGURA 4-9 = 0. P(T1T2 3)  0.5 )= P(H 0.125 Pudimos haber leído este resultado directamente del árbol de probabilidad de la figura 4-9.5  0. El primero es un caso de probabilidad conjunta.5 P(T ) P(T )= 0.5 0.5  0.5 0. la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento. Es importante notar que la probabilidad de llegar a un punto dado siguiendo una ruta en particular no es lo mismo que la probabilidad de.000 conocer P( 1 2 3).125 P(H ) = 0.5 0.5 0.125 P(T ) = 0. siguiendo las ramas que dan 1 2 3. es simplemente la probabilidad marginal de obtener cara en un lanzamiento particular. Así pues.5 P(H ) = 0.25 )= P(H = 0. Obtendremos el mismo resultado siguiendo la trayectoria prescrita en el árbol de probabilidad. Éstas se dan en la tabla 4-2.5 0. cara y cruz. otra cruz en el segundo y una cara en el tercer lanzamiento. obtener cara en el tercer lanzamiento. Ejemplo 2 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz. en tres lanzamientos consecutivos de una moneda no alterada? Solución P(T1 2T3)  P(T1)  P( 2)  P(T3)  0. El último.125 0.5 0. pero P( 3)  0.125. Resultados en un orden particular Ejemplo 1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz.5  0.25 Árbol de probabilidad completo 0.125 P(T ) = 0. digamos.5 0.5 0.5. 146 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . al contrario.125 0.5 =0 .25 P(H ) = 0. cruz en el segundo y cara en el tercero. Observe que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles para cada lanzamiento es 1.5 0. P( 1T2 3)  0.5 )=0 )= P(T ) = 0. 125 T1T2 La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados debe ser siempre igual a 1 Resultados en términos de “al menos” Ejemplo 3 0. dado que el evento A se ha presentado.00 H1T2H3 H1T2T3 T1H2H3 T1H2T3 T1T2H3 0.25 0. Además de estas dos. hemos considerado dos tipos de probabilidad: la probabilidad marginal (o incondicional) y la probabilidad conjunta. la probabilidad marginal es P( ) y la probabilidad conjunta es P( ). Simbólicamente.5 0. podemos.25 0. Simbólicamente.125 0.875. En conse-  1  0. con lo que podemos sumar sus probabilidades individuales.5 de que se presente el evento B. Así pues. 1 2T3.125 1. esto es: 1  (T1T2)  1  0. la probabilidad de obtener al menos dos caras en tres lanzamientos es de 0.875 La probabilidad de obtener al menos una cruz en tres lanzamientos consecutivos es de 0.25  0. Ejemplo 4 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cruz en tres lanzamientos? Solución Sólo existe un caso en el cual no se presenta ninguna cruz.25. Por tanto. existe otro tipo de probabilidad. Cada una de éstas tiene una probabilidad de 0.0 H1H2 H1T2 T1H2 0. Debido a que cada uno de éstos tiene una probabilidad individual de 0. podemos darnos cuenta de los posibles modos en que se pueden presentar al menos dos caras en tres lanzamientos. Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 147 . la probabilidad de obtener al menos una cara en dos lanzamientos consecutivos es de 0.000 T1T2T3 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos dos caras en tres lanzamientos? Solución Recordando que las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes son aditivas.125  0. conocido como probabilidad condicional.125 0.125. 1T2 y T1 2. podríamos considerar el caso en que no se presenta ninguna cara —a saber T1T2— y restar esta probabilidad de uno.Tabla 4-2 Lista de resultados Un lanzamiento Dos lanzamientos Tres lanzamientos Resultados posibles Probabilidad Resultados posibles Probabilidad Resultados posibles Probabilidad H1 T1 0. 1T2 3 y T1 2 3.25 1. la suma es 0.75. la probabilidad condicional se escribe como: P(B A) y se lee: la probabilidad 4.125 0.5. a saber. De manera alternativa.125 0.125 0. restar para obtener la respuesta: 1  P( 1 2 3) 1 2 3.25 H1H2H3 H1H2T3 0. Ejemplo 5 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara en dos lanzamientos? Solución Las posibles formas en que se puede presentar una cara son 1 2.75 Probabilidades condicionales bajo independencia estadística Probabilidad condicional Hasta este punto. simplemente. cuencia.5 1.125 0.5. Los resultados que satisfacen este requisito son 1 2 3. lo anterior se escribe como P( 1 | 2).5 Ejercicios de autoevaluación EA 148 4-7 Calcule la probabilidad de que al seleccionar dos cartas de una baraja con reemplazo. Antes de calcular probabilidades condicionales o conjuntas en situaciones de negocios asumiendo una independencia. Por ejemplo. Nuestra pregunta es. Tabla 4-3 Probabilidades bajo independencia estadística Tipo de probabilidad Símbolo Marginal P(A) Conjunta Condicional P(AB) P(B ⎢A) Advertencia: en términos de independencia estadística. sin embargo. Como la probabilidad de obtener cara y la de obtener cruz son exactamente iguales en cada lanzamiento. De hecho. dado que el resultado del primero fue cara? Simbólicamente. un evento independiente es aquel cuyas probabilidades no se ven afectadas de forma alguna por la ocurrencia del resto de los eventos. la segunda carta sea: a) Una carta con cara.5. que por definición. Como mínimo.5. la probabilidad condicional de que suceda el evento dado que el evento se ha presentado es simplemente la probabilidad del evento : Probabilidad condicional para eventos estadísticamente independientes P( | )  P( ) [4-5] A primera vista. Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . Podremos entender mejor la probabilidad condicional si resolvemos un problema ilustrativo. c) Una jota negra. En la tabla 4-3 se resumen los tres tipos de probabilidad y sus fórmulas matemáticas bajo condiciones de independencia estadística. esto se cumple en una serie de lanzamientos de una moneda.Probabilidad condicional de eventos independientes La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento ( ) se presente si un primer evento ( ) ya ha ocurrido. dado que la primera era roja. debe tenerse cuidado de tomar en cuenta algunas maneras en que la experiencia afecta el juicio futuro. el supuesto es que los eventos no están relacionados. b) Un as. Recuerde que para dos eventos independientes el resultado del primer lanzamiento no tiene absolutamente ningún efecto sobre el resultado del segundo. Por tanto. dado que la primera era un as rojo. la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es de 0. dado que la primera carta era una cara. Ejercicios 4. Para eventos estadísticamente independientes. pero en una serie de decisiones de negocios puede existir una relación entre ellas. ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se obtenga cara. la independencia estadística se define simbólicamente como la condición en la cual se cumple que P( | )  P( ). debemos decir que P( 1 | 2)  0. Recuerde. una a la vez. esto parecería ser contradictorio. el tomador de decisiones aprende SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Fórmula P(A) P(A)P(B) P(B) del resultado de cada decisión y ese conocimiento afecta a la siguiente. El juego continúa de esta forma hasta que solamente queden dos bolas. dado que primero tuvieron una niña? Al lanzar dos dados. un restaurante aprobará la inspección sólo si ambos inspectores lo aprueban en cada una de ellas. revisó los registros de intentos de fuga de los reclusos. 6 amarillas y 1 morada. los otros tres regresan sus bolas a la urna y sacan de nuevo. el número de intentos de fugas haya sido entre 16 y 20 durante el invierno? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan intentado más de 10 fugas durante un verano elegido de manera aleatoria? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se intentaran entre 11 y 20 fugas en una estación seleccionada al azar? (Sugerencia: agrupe los datos. Quien saque la bola con el número más alto pierde. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no pierda en las dos primeras ocasiones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Pablo gane el juego? Aplicaciones ■ 4-2 El Departamento de Salud efectúa rutinariamente dos inspecciones independientes a los restaurantes. aun cuando el inspector B haya encontrado violaciones al reglamento? b) el inspector B apruebe un restaurante que esté violando el reglamento. sólo aprueba 2% de los restaurantes que realmente están violando el reglamento sobre salubridad. Las canicas se sacan una a la vez con reemplazo. en consecuencia. dado que primero tuvieron una niña? b) niña. El inspector B tiene menos experiencia y aprueba 7% de los restaurantes con fallas. El inspector A tiene mucha experiencia. ordenados según las estaciones. b) la segunda canica sea amarilla dado que la primera fue negra. 9 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que a) el inspector A apruebe un restaurante. 12 azules. ¿cuál es la probabilidad de obtener a) un total de 7 puntos en el primer lanzamiento.5 1. c) la tercera canica sea morada dado que la primera y la segunda fueron moradas.EA 4- Sol O’Tarry.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 149 . Los datos se resumen en la siguiente tabla. Intentos de escape 0. el administrador de una prisión. Jorge. Pablo y Juan juegan de la siguiente manera: cada uno toma de una caja una de cuatro bolas numeradas del 1 al 4.5 6-10 11-15 16-20 21-25 Más de 25 Invierno Primavera Verano Otoño 3 15 15 5 3 2 02 45 2 10 12 8 4 4 05 45 1 11 11 7 6 5 04 45 0 12 16 7 5 3 02 45 a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un año seleccionado al azar.) Conceptos básicos ■ 4-24 ■ 4-2 ■ 4-2 ■ 4-2 ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una pareja sea a) niño. Tiene datos que abarcan los 45 años más recientes de funcionamiento de la prisión. aun cuando el inspector A ya lo haya aprobado? c) un restaurante que esté violando el reglamento sea aprobado por el Departamento de Salud? 4. Ricardo. seguido de 11 en el segundo? b) un total de 21 puntos en los primeros dos lanzamientos combinados? c) un total de 6 en los primeros tres lanzamientos combinados? Una bolsa contiene 32 canicas: 4 rojas. en este momento. Calcule la probabilidad de que a) la segunda canica sea amarilla dado que la primera fue amarilla. el que saque la bola número 1 es el ganador. a) Si la compuerta uno está fuera de servicio. la probabilidad de que cada anuncio sea visto por un conductor escogido aleatoriamente. se les repara de manera independiente una de la otra. o bien.75. A partir de la experiencia.82. El informe debe ser aprobado primero por el responsable del grupo del cual Rob es integrante. ¿cuál es la probabilidad de que las compuertas dos y tres estén fuera de servicio? b) Durante una visita a la presa.■ 4-2 ■ 4- ■ 4. Titre Corporation. ¿Es esto cierto? Rob Rales se encuentra preparando un informe que su empresa en la que trabaja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Rob sea enviada al Departamento Federal de Aviación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Rob sea aprobada por su responsable de grupo y por su jefe de departamento. Además. sin que el segundo y el tercero sean notados? c) exactamente uno de los anuncios sea visto? d) ninguno de los anuncios sea visto? e) el tercero y cuarto anuncios no sean vistos? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA Noche a) b) c) a) b) c) Capítulo 4 P(cara2 | roja1)  12/52  3/13 P(as2 | cara1)  4/52  1/13 P(jota negra2 | as rojo1)  2/52  1/26 3/45  1/15 (7  6  5  4)/45  22/45 (8  12  13  12)/180  45/180  1/4 Probabilidad I: ideas introductorias . Rob sabe. The Black Angus.9 para el cuarto. luego por el jefe de su departamento y después por el jefe de la división (en ese orden). el jefe del departamento aprueba 80% de los informes de Rob que le llegan y el jefe de la división aprueba 82% de los trabajos de Rob.2 Cuando fallan las compuertas de una pequeña presa hidroeléctrica. se le dice a usted que las posibilidades de que las cuatro compuertas estén fuera de servicio al mismo tiempo son menores a uno entre cinco millones. por su experiencia. 100 o más botellas durante una mañana elegida al azar? Bill Borde. ¿cuál es la probabilidad de que a) los cuatro anuncios sean vistos por un conductor escogido aleatoriamente? b) el primero y el cuarto anuncios sean vistos. entregará posteriormente al Departamento Federal de Aviación de Estados Unidos. la probabilidad de que el segundo anuncio sea visto es de 0. sabe también que su responsable de grupo aprueba 85% de sus informes. que los tres directivos actúan de manera independiente. ésta es de 0. ejecutivo consultor en jefe de la compañía Grapevine Concepts. Los datos son los siguientes: Número vendido Mañana Tarde 0-19 20-39 40-59 60-79 80-99 100 o más 3 3 12 4 5 03 30 8 4 6 9 3 00 30 150 4- EA 4- 2 3 4 9 6 06 30 a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día seleccionado al azar el número de botellas de medio galón vendido durante la tarde esté entre 80 y 99? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido 39 botellas o menos durante una tarde elegida aleatoriamente? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido entre 0 y 19. la presa tiene cuatro compuertas. pero que no sea aprobado por el jefe de división? Una tienda de abarrotes revisó sus políticas de reabastecimiento y analizó el número de botellas de medio galón de jugo de naranja vendidos diariamente durante el último mes.87 para el tercero y de 0. Bill acaba de instalar cuatro anuncios panorámicos en la carretera a la entrada de la ciudad. por experiencia. se sabe que cada compuerta está fuera de servicio 4% de todo el tiempo. y sabe. La probabilidad de que un conductor vea el primer anuncio es de 0.1 ■ 4. Suponiendo que el evento consistente en que un conductor vea cualquiera de los anuncios es independiente de si ha visto o no los demás. lanzó recientemente una campaña publicitaria para un nuevo restaurante. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga puntos? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga franjas? Solución Esta pregunta puede expresarse simbólicamente como P(D | ) o ¿cuál es la probabilidad condicional de que la bola tenga puntos (D).1 0. 3.1 0. dado que es de color ( )? Se nos ha dicho que la bola que se sacó es de color. El análisis de los ejemplos siguientes se hará más sencillo si nos remitimos a la tabla 4-4 y a la figura 4-10.1 de color y con puntos de color y con franjas grises y con puntos grises y con franjas Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 151 .1 0. Suponga que tenemos una caja que contiene 10 bolas distribuidas de la siguiente manera: • • • • Tres son de color y tienen puntos Una es de color y tiene franjas Dos son grises y tienen puntos Cuatro son grises y tienen franjas La probabilidad de sacar cualquiera de las bolas es de 0. en la figura 4-11. Probabilidad condicional bajo dependencia estadística Ejemplos de probabilidad condicional para eventos dependientes Las probabilidades condicional y conjunta bajo condiciones de dependencia estadística son más complicadas que la probabilidad marginal en estas mismas circunstancias. Marginal.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística Definición de dependencia a dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente alg n evento depende o se ve afectada por la presentación de alg n otro. Por tanto.1 0. los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son: 1.1. Tabla 4-4 Color y configuración de 10 bolas Evento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 2. para calcular la probabilidad de que tenga puntos. Sólo tomaremos en cuenta lo que se muestra. Ejemplo 1 Suponga que una persona saca de la caja una bola de color. Analizaremos primero las probabilidades condicionales. en forma de diagrama.6 Probabilidad del evento 0. Conjunta. Exactamente igual que con los eventos dependientes.1 0.1 0. ignoraremos a todas las bolas grises y nos concentraremos exclusivamente en las de color. debido a que el concepto de probabilidad conjunta se ilustra mejor si utilizamos la probabilidad condicional como base.4. ya que existen 10 bolas con igual probabilidad de ser elegidas.1 0. en las que se muestra el contenido de la caja en forma de diagrama.1 0.1 0. Condicional. Probabilidad condicional para eventos dependientes estadísticamente P( ) P( ⏐ )   P( ) Ésta es la fórmula para la probabilidad condicional bajo dependencia estadística.00 En otras palabras.3) entre la probabilidad de que la bola sea de color (cuatro de 10. tres de las cuales tienen puntos y la que queda tiene franjas. es decir 0.Grises 2 bolas grises y con puntos De color De color 3 bolas de color y con puntos 3 bolas de color y con puntos 4 bolas grises y con franjas 1 bola de color y con franjas 1 bola de color y con franjas FIGURA 4-10 FIGURA 4-11 Contenido de la caja Probabilidad de obtener una bola con puntos o con franjas en color A partir del planteamiento del problema. Primero. es decir. P(D| ).4): P(D ) P(D | )   P( ) Expresada como una fórmula general y utilizando las letras la ecuación queda: y para representar los dos eventos. tres cuartos de las bolas de color tienen puntos y un cuarto tienen franjas. 3 P(D| )    0. Para hacerlo dividimos el número de bolas de cada categorías entre el número total de bolas de color. De forma parecida. sabemos que hay cuatro bolas de color. Como el color afecta la probabilidad de que la bola tenga puntos o franjas. 152 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias [4-6] . dado que ésta es de color. Ahora podemos ver cómo nuestro razonamiento nos permitirá desarrollar una fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística. Así pues. es de 0. Ahora. la probabilidad de sacar una bola con puntos. Por ejemplo. dado que ésta es de color.25.75. es más probable que una bola gris tenga franjas que una bola de color. la probabilidad de obtener una bola con franjas. podemos asegurarnos a nosotros mismos que tales eventos son estadísticamente dependientes si observamos que el color de las bolas determina la probabilidad de que éstas tengan puntos o franjas. Para calcular la probabilidad de obtener una bola con puntos dado que es de color. 0. estos eventos son dependientes.75 4 1 P(S| )    0. nuestro problema consiste en encontrar las probabilidades sencillas de que la bola tenga puntos y de que tenga franjas. dividimos la probabilidad de que la bola sea de color y tenga puntos (tres de 10.25 4 1. es de 0. dividimos la probabilidad de que sea gris y tenga franjas (0.4 Con franjas Con puntos P(CS ) = 0. 0.6  1/3.4 2 P(S | )       P( ) 0. Ejemplo 3 Calcule P( | D) y P( | D).5 P( D) 0. o 0.1 Probabilidad de obtener una bola de color y de obtener una bola gris. ¿cuál es la probabilidad de P(D| ) y P(S | )? Solución P(D ) 0.4/0. respondamos a las preguntas.1 P(G D ) = 0. De manera parecida. es decir.4) entre la probabilidad de que sea gris (0.6).2 1 P(D | )       P( ) 0.6 (seis de 10 bolas). cada una con probabilidad de 0.4 y 0. Debido a que sabemos que la bola que se sacó tiene puntos.0 FIGURA 4-14 Gris 2 bolas son grises y tienen puntos.Ejemplo 2 Continuando con nuestro ejemplo de las bolas de color y grises.3 P( ⏐D)      0.2/0.5 1.1 P(GD ) = 0. La probabilidad total de que la bola sea gris es de 0. dado que la bola tiene puntos. Considere ahora la figura 4-14. Los cálculos que se hicieron para llegar a estas cifras fueron: P( D) 0. Solución En la figura 4-13 se muestra el contenido de la caja clasificado de acuerdo con las marcas de las bolas: puntos o franjas.6 P(CD ) = 0.4 4.6  2/3.4 P(D) 0.6 3 1.2 P( ⏐D)      0.6 P(D) 0. Note que las proporciones relativas de las dos probabilidades son 0.2 P(C D ) = 0.0 El problema se muestra en forma de diagrama en la figura 4-12.2) entre la probabilidad de que sea gris (0. dividimos la probabilidad de que sea gris y tenga puntos (0. en la que se muestra la probabilidad de obtener una bola de color y la de obtener una gris. dado que ésta tiene puntos Con puntos FIGURA 4-12 Probabilidad de obtener una bola con puntos o una con franjas dado que la que se sacó es gris 4 bolas son grises y tienen franjas. Para determinar la probabilidad de que la bola (que sabemos es gris) tenga puntos.3 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 153 .6). cada una con probabilidad de 0.6 3 P(S ) 0.6. podemos ignorar las bolas con franjas y solamente considerar las que tienen puntos.6 FIGURA 4-13 Contenido de la caja clasificada por configuración: con puntos y con franjas P(GS ) = 0. para determinar la probabilidad de que la bola tenga franjas. P( S)  P( | S)  P(S)  0. .5  0.5  0. 0.4 *Para encontrar la probabilidad conjunta de los eventos Esto es cierto porque  . obtendremos la fórmula para la probabilidad conjunta bajo condiciones de dependencia estadística: Probabilidad conjunta para eventos dependientes estadísticamente Probabilidad conjunta de que los eventos B y A se presenten al mismo tiempo o en sucesión Probabilidad de que suceda el evento B dado que ya se presentó el evento A P( )  P( | )  P( )* [4-7] Probabilidad de que se presente el evento A Varios ejemplos Observe que esta fórmula no es P( )  P( )  P( ).2 P( S)  P( | S)  P(S)  0.2  0.3. como sería el caso si estuviéramos en condiciones de independencia estadística.6 es la probabilidad de obtener una bola de color.3. Las probabilidades conjuntas siguientes están calculadas de la misma manera y se pueden comprobar haciendo referencia a la tabla 4-4. con puntos (D) y con franjas (S). 154 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias y .5 es la probabilidad de obtener una bola con puntos (también calculada en el ejemplo 3).4  0.4 P( | S)      0.8  0. tendremos P( D)  P( | D)  P(D) o P( D)  0. P( D)  0.6  0.8 P(S) 0. puede verificarse en la tabla 4-4. en la que llegamos a la probabilidad por inspección: tres bolas de 10 son de color y con puntos.2 P(S) 0. El resultado. se puede utilizar la fórmula P( )  P( )  P( | )  P( ).1 P( | S)      0. Aquí.0 Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadística Hemos mostrado que la fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística es P( ) P( | )   P( ) [4-6] Si de esta ecuación despejamos P( ) mediante una multiplicación.1 P( D)  P( | D)  P(D)  0.5 P( S) 0. dado que ésta tiene puntos (calculada en el ejemplo 3 anterior) y 0. Aplicando la fórmula general P( )  P( | )  P( ) a nuestro ejemplo y en términos de bolas de color ( ).5  0.5  0.5  1. grises ( ).Ejemplo 4 Calcule P( | S) y P( | S) Solución P( S) 0. En la tabla 4-5 se presenta un resumen de las fórmulas desarrolladas para las probabilidades bajo ambas condiciones de independencia estadística y de dependencia estadística.5 Estas cuatro probabilidades marginales. Tipo de probabilidad Condicional 4.4  0.04  0. En el ejemplo anterior.4. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES Sugerencia: distinga entre probabilidad condicional y probabilidad conjunta mediante el uso cuidadoso de los términos dado que y ambos y: P( | ) es la “pro- Símbolo Fórmula bajo independencia estadística Marginal P(A) P( A) Conjunta P( AB) o P(BA) P(A)P(B) P(B)P(A) P(A | B)P(B) P(B | A)P(A) P(B | A) P(B) P(BA)  P(A) o P(A | B) P( A) P(AB)  P(B) Tabla 4-5 Probabilidades bajo condiciones de independencia y dependencia estadística babilidad de que ocurra dado que ocurrió ” y P( ) es la “probabilidad de que ambos y ocurran”. P( )  0.1  0.01  0.6. la probabilidad marginal del evento bola gris se puede calcular sumando la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola gris: P( )  P( D)  P( S)  0.4 De manera parecida. por último. P( )  0. la probabilidad marginal del evento bola con franjas se puede calcular mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola con franjas: P(S)  P( S)  P( S)  0. La probabilidad marginal P( ) es la “probabilidad de que ocurra . Ahora ya hemos analizado los tres tipos de probabilidad (condicional. podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola con puntos mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se tiene una bola con puntos: P(D)  P( D)  P( D)  0.2  0.3  0.5.2  0.6 Igualmente.6 Fórmula bajo dependencia estadística Suma de la probabilidad de los eventos conjuntos en los que A ocurre Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 155 . se pueden verificar mediante una inspección de la tabla 4-4. podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola de color mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que aparece una bola de color: P( )  P( D)  P( S)  0.5 y P(S)  0. conjunta y marginal) que se tienen en condiciones de dependencia estadística.Probabilidades marginales bajo condiciones de dependencia estadística Las probabilidades marginales en condiciones de dependencia estadística se calculan mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo.5 Y. P(D)  0.3  0. suceda o no”. ¿Es ésta una asignación de probabilidades consistente? Explique. una trabajadora social reúne los datos siguientes. pero.85.80. sea alcohólico? Durante un estudio sobre accidentes automovilísticos.6 Ejercicios de autoevaluación EA 4-9 EA 4-10 De acuerdo con una encuesta. se ha determinado que la probabilidad de que se forme un huracán en la parte oriental del golfo en cualquier año dado es de 0. Aplicaciones 156 ■ 4-36 ■ 4-37 ■ 4-38 En un comedor de beneficencia. b) la probabilidad de que sea la primera ofensa. P(C | A).39. Sexo Hombre Mujer Primera ofensa Reincidente 60 44 104 70 76 146 Suponga que se elige al azar un ladrón detenido. P(B)  1/6. Si P(A)  0. c) ocurra B dado que A ocurrió. se ha detenido a 250 ladrones. hay 76% de posibilidades de que éste golpee la costa occidental de Florida. la probabilidad de que una familia posea dos automóviles si su ingreso anual es mayor que $35. P(A|B)  P(A) y P(B|A)  0.21 y P(A o B)  0. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos autos y un ingreso mayor que $35.000 y 52% tenía dos autos. P(C)  1/3. b) ocurran tanto A como B. encuentre la probabilidad de que a) no ocurra ni A ni B. P(AC)  1/7 y P(B | C)  5/21.000 es 0. Conceptos básicos ■ 4-33 ■ 4-34 ■ 4-35 Dos eventos son estadísticamente dependientes. tomado al azar. Se registró el sexo de cada ladrón. 32% son alcohólicos y 21% son hombres alcohólicos. 59% son hombres. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un huracán se forme en la parte oriental del Golfo de México y llegue a la costa occidental de Florida este año? Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . dado que sucedió de noche? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche. P(A)  0. P(B)  0. 52% están relacionados con conductores alcoholizados y 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios. ¿Cuál es la probabilidad de que un asistente hombre que vaya al comedor. P(BC) y P(C | B). e) la probabilidad de que sea hombre y reincidente. encuentre las siguientes probabilidades: P(A | C). el Consejo de Seguridad Carretera encontró que 60% de los accidentes suceden de noche. debido al aumento en las medidas de seguridad. calcule a) la probabilidad de que el ladrón sea hombre. Los datos se resumen en la siguiente tabla. Suponga que para dos eventos A y B.47.Ejercicios 4. 60% tenía ingresos mayores que $35. d) la probabilidad de que sea mujer. también se anotó si se trataba de un primer delito o era reincidente. De las personas que acuden al comedor. Dado que P(A)  3/4.85. P(B)  0. De los hogares encuestados. c) la probabilidad de que sea mujer. A partir de los datos recabados en los 50 años pasados. d) ocurra A dado que B ocurrió. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor alcoholizado. dado que está relacionado con un conductor ebrio? Si un huracán se forma en la parte oriental del Golfo de México. dado que es hombre.75. dado que es reincidente. dado que es la primera ofensa.000 al año? La tienda de departamentos Friendly ha sido objeto de muchos robos durante el último mes.65. ¿Qué valor deberá tener la probabilidad de que la WTR termine a tiempo la investigación. Más aún. un servicio privado de mensajería. está efectuando una investigación sobre purificación de agua en la zona. Sabe que la probabilidad de una huelga de pilotos es 0. la probabilidad es de 0. periódicas Libros Licenciatura Posgrado Académicos 44 24 16 84 26 61 69 156 72 20 18 110 Encuentre la probabilidad de que un afiliado seleccionado al azar ■ 4-42 a) sea estudiante de licenciatura. Si ambos eventos se presentan.75 y que la probabilidad de que la WTR termine a tiempo su investigación es de 0.85. presidente de la empresa Litre Corporation. El gerente regional del sureste de General Express. Suponga que los afiliados usan sólo un servicio por visita. dos eventos tienen interés para él. y si ninguno de los dos eventos sucede.75 y la probabilidad de una huelga de choferes es 0.72.6)  0.80. Primero. El que las autoridades hagan o no la auditoría y el que la WTR termine su investigación son eventos independientes. dado que es un estudiante de posgrado.65.65? b) Suponga que Al sabe que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0. Si el competidor principal de Litre termina a tiempo su investigación de campo y no se hace la auditoría.75)(0. la cual espera concluir antes del tiempo límite para poder concursar por la concesión. Segundo. publicaciones periódicas o libros.000 P(C e I)  P(C | I)P(I)  (0. La tabla contiene los datos de 350 personas.85.65.65? c) Suponga que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0. está estudiando las posibilidades de que su compañía obtenga un importante contrato para instalar un sistema de purificación de agua para las autoridades del Valle de Tennessee. la probabilidad de que golpee la costa occidental de Florida se reduce en un cuarto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se vayan a huelga? b) Si los pilotos hacen huelga. ¿Cuál es la probabilidad de que Litre obtenga la concesión? Una compañía desea actualizar su sistema de computación y una parte importante de la actualización es un nuevo sistema operativo.45 4. ¿cuál es la probabilidad de que los choferes apoyen la huelga? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-9 Si I  ingreso C  2 autos. Afiliados Referencia Publ. a) Suponga que Al sabe que la probabilidad de que la WTR termine la investigación a tiempo es de 0. ¿cuál es el nuevo valor de la probabilidad del inciso a)? Al Cascade.85. ¿Cuál deberá ser el valor de la probabilidad de que se haga una auditoría para que la probabilidad de Litre de obtener el contrato sea de al menos 0. Si se efectúa la auditoría pero WTR no termina a tiempo la investigación. de tal modo que la probabilidad de que Litre obtenga la concesión sea de al menos 0. $35.70.67. posgrado y académicos. entonces la probabilidad de que a Litre le sea otorgada la concesión es de 0. Los servicios se clasifican como consulta. Si la probabilidad de que la compañía actualice su sistema dada una evaluación favorable es 0. está preocupado por la posibilidad de una huelga por parte de algunos empleados. La compañía ha pedido a una ingeniero que evalúe el sistema operativo. existe una posibilidad de 90% de que los pilotos apoyen la huelga. Si se decide aplicar este tratamiento a todo huracán que se forme en la parte oriental del golfo.■ 4-39 ■ 4-40 ■ 4-41 b) Si a un huracán formado en la parte oriental del Golfo de México se le induce a producir lluvia mediante la irrigación de productos químicos desde aeronaves. el principal competidor de Litre. existen rumores de que las autoridades del Valle de Tennessee van a realizar una auditoría a todos sus contratistas. d) sea de licenciatura y visite la sección de libros. sabe que si los choferes hacen una huelga. De acuerdo con ello. la probabilidad es de 0. b) visite la sección de publicaciones periódicas. entonces la probabilidad es de 0.58. ¿cuál es la probabilidad de que la compañía actualice su sistema y reciba una evaluación favorable? La biblioteca de la universidad ha entrevistado a afiliados elegidos al azar durante el último mes para ver quiénes usan la biblioteca y qué servicios requieren. de los cuales Litre forma parte y WTR no. la WTR. Los afiliados se clasifican en licenciatura.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 157 . Suponga que la probabilidad de una evaluación favorable es 0. Desafortunadamente. un as se presenta el 70% de las veces P(as)  0. la teoría de probabilidad adquiere gran valor para la toma de decisiones empresariales. El equipo campeón empieza a perder.280 4. Si la administradora de una boutique encuentra que la mayoría de las chamarras deportivas color púrpura y amarillas que pensó se iban a vender muy bien. entonces tiene que revisar las probabilidades anteriores y ordenar una combinación diferente de color o ponerlas en oferta. Bayes. las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo Bayes que durante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea del tipo 1? Sabiendo que el recipiente contiene el mismo número de dados de Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias .521 d) P(W | F)  P(W y F)/P(F)  (44/250)/(104/250)  0. Sin embargo. todavía están colgadas en los exhibidores.. el reverendo Bayes utilizó las matemáticas para estudiar a Dios. En ambos casos.462 c) P(W | R)  P(W y R)/P(R)  (76/250)/(146/250)  0. F/R  primera ofensa | reincidente a) P(M)  (60  70)/250  0. su obra trascendió y la teoría de decisiones moderna a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana. los seguidores del equipo ganador de la temporada anterior creen que éste tiene buenas posibilidades de ganar nuevamente. ciertas probabilidades fueron alteradas después de que los interesados obtuvieron información adicional.520 b) P(F | M)  P(F y M)/P(M)  (60/250)/(130/250)  0. el resultado es un as.7. Una situación similar se presenta en el ámbito de los negocios. A la primera clase de dados la llamaremos tipo 1.. por tanto P(as)  0. y a la segunda tipo 2. En un intento por mostrar “que el fin principal de la Divina Providencia. es la felicidad de sus criaturas”. Casi al final de la temporada. Sin embargo. Como éstas pueden revisarse en la medida que hay más información. En la otra mitad. . sus seguidores se dan cuenta que deben cambiar sus anteriores probabilidades de ganar.4. fue ministro presbiteriano y un matemático competente. un as (o un punto) se presenta 40% de las veces.EA 4-1 M/W  ladrón es hombre/mujer.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes Definición de probabilidades posteriores Teorema de Bayes Al inicio de la temporada de béisbol. el shortstop tiene que quedarse en la banca debido a una lesión y el principal rival del equipo contrata a un gran bateador. famoso por sus cuadrangulares. La fórmula básica para la probabilidad condicional en circunstancias de dependencia P( ) P( | )   P( ) Valor del teorema de Bayes [4-6] se conoce como teorema de ayes. Consideró la forma en que podría probar la existencia de Dios examinando toda evidencia que el mundo aportaba acerca de él. Se saca un dado del recipiente y se le lanza una vez. de origen inglés. El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. suponga que tenemos una cantidad igual de dos tipos de dados anormales (cargados) en un recipiente. Cálculo de probabilidades posteriores Búsqueda de una estimación posterior Revisión de probabilidades basada en un resultado 158 Como primer ejemplo de revisión de probabilidades anteriores. a poco del arranque de temporada.423 e) P(M y R)  70/250  0. En la mitad de éstos. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidades revisadas o posteriores. El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-1761). dado que se obtuvo un dado del tipo l o del tipo 2. la probabilidad conjunta fue obtenida mediante la fórmula: P(AB)  P(A| B)  P(B) [4-7] Para encontrar la probabilidad de que el dado que sacamos sea del tipo 1.5 1.7 0.7 simplemente representan las probabilidades condicionales de obtener un as. eventos conjuntos (por ejemplo. lo mejor que podemos decir es que hay una probabilidad de 0. pero al poner juntas palabras completas produciríamos eventos de apariencia extraña (aseventoelemental). después de lanzar el dado hemos sido capaces de alterar o revisar nuestra estimación anterior de probabilidad.0. Nuestra estimación posterior es que existe una probabilidad más grande (0.7  0. AB). as) 0.5  0.636 P(as) 0.35 P(tipo 2⏐as)      0.4 y 0. as) P(tipo 1| as)   P(as) o 0.7  0. que podrían ocasionar confusión.636) de que el dado que tenemos en las manos sea del tipo 2 que del tipo 1 (ésta sólo de 0. podemos contestar incorrectamente que la probabilidad es de un medio.364 0.20 0.364). Podemos poner juntas letras individuales para indicar. La cuarta columna muestra la probabilidad conjunta de obtener un as y un dado del tipo 1 (0. La suma de P(as | evento elemental) no es igual a 1.5 de que el dado sea del tipo 1 y la misma probabilidad de que sea del tipo 2. utilizamos la fórmula para la probabilidad condicional bajo condiciones de dependencia estadística: P(BA) P(B | A)   P(A) [4-6] Aplicándola a nuestro problema.35 P(as)  0.0. pero podemos hacer una mejor estimación. ya que solamente tenemos dos tipos de dados. la probabilidad de que hayamos sacado un dado del tipo 1 es de 0. La probabilidad de cada tipo es de 0.5  0. Note que en cada caso. evento elemental evento elemental elemental) elemental)* Tipo 1 Tipo 2 0.5  0.4 0.5.55 Por consiguiente.20) y la probabilidad conjunta de obtener un as y un dado del tipo 2 (0. construimos la tabla 4-6. Las cantidades 0. respectivamente. Las dos clases de dados constituyen una lista mutuamente excluyente y colectivamente exhaustiva. La suma de las probabilidades de los eventos elementales (el sacar un dado del tipo 1 o del tipo 2) es de 1.364.55 Conclusiones después de un lanzamiento ¿Qué hemos logrado con una porción adicional de información que llegó a nuestras manos? ¿Qué inferencias hemos sido capaces de alcanzar a partir de un lanzamiento del dado? Antes de que lancemos este dado.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 159 .5 0.4  0. 4.20 P(tipo 1| as)    0. Sin embargo.55) es la probabilidad marginal de obtener un as.0 0.dad de que el dado sea del tipo 1? Sabiendo que el recipiente contiene el mismo número de dados de cada tipo. sin que haya confusión.5  0. La suma de estas probabilidades conjuntas (0. Tabla 4-6 Búsqueda de la probabilidad marginal de obtener un as Evento Probabilidad del P(as| evento P(as. tenemos: P(ti po 1. Calculemos la probabilidad de que el dado sea del tipo 2: P(ti po 2. Para responder a la pregunta de manera correcta.55 *Se utiliza la coma para separar los eventos conjuntos.35).4  0. 4 0.5  0. Es decir.325 ¿Qué hemos obtenido con dos lanzamientos? Cuando sacamos el dado.Probabilidades posteriores con más información Búsqueda de una nueva estimación posterior con más información Podemos tener la sensación de que un lanzamiento del dado no es suficiente para indicar sus características (si es del tipo 1 o del tipo 2).246 para el tipo 1 y 0. sin que es- Tabla 4-7 Búsqueda de la probabilidad marginal de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos 160 Capítulo 4 Evento elemental Tipo 1 Tipo 2 Probabilidad del evento elemental P(as | evento elemental) P(2 ases | evento elemental) P(2 ases. Suponga que se lanza el mismo dado una segunda vez y de nuevo se obtiene un as.5  0.7  0.246 Probabilidad de que sea del tipo 2. La suma de estas probabilidades (0.080 P(tipo 1.5 para cada tipo a 0. hemos cambiado las probabilidades originales de 0.5 1.16  0.245 P(tipo 2 | 2 ases)      0. tipo 2) es igual a P(2 ases | tipo 2) por la probabilidad de obtener del tipo 2.16.5 0. Fuimos capaces de lanzar el dado dos veces. revisamos las probabilidades de nuevo: Probabilidad de que sea del tipo 1.4  0.49  0.7  0. o 0. dado que se obtuvieron dos ases  0.246 P(2 ases) 0.5  0. P(2 ases | evento elemental). dado que se obtuvieron dos ases  0. tenemos que: 0. Utilizando la misma fórmula general como antes. observar su comportamiento y hacer inferencias a partir del comportamiento. En esta tabla tenemos una nueva columna. Esto significa que ahora podemos asignar una probabilidad de 0. obtuvimos nueva información gratis. puesto que salió un as en cada uno de los dos lanzamientos consecutivos. P(2 ases.364 Probabilidad de que sea del tipo 2. revisamos estas probabilidades originales y concluimos lo siguiente: Probabilidad de que sea del tipo 1.754 a que si obtenemos dos ases en dos lanzamientos consecutivos el dado es del tipo 2. y si es del tipo 2: P(2 ases | tipo 2)  0. Después de lanzar el dado una vez y haber obtenido un as.49  0.325) es la probabilidad marginal de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos.325 Igualmente P(tipo 2 | 2 ases) 0.5  0. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea del tipo 1? Para determinar la respuesta consultemos la tabla 4-7.754 para el 2.080 y P(2 ases. existía la posibilidad 50-50 de que fuera del tipo 1 o del 2. En ambos experimentos. podemos obtener información adicional mediante un nuevo lanzamiento del dado (desde luego que obtener más información en la mayoría de las situaciones de toma de decisiones es más complicado y lleva más tiempo). la cual da la probabilidad conjunta de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos si el dado es del tipo 1: P(2 ases | tipo 1)  0. o 0. En otras palabras.754 P(2 ases) 0. evento elemental) 0.636 Después del segundo lanzamiento (obteniendo otro as).754 Conclusión después de dos lanzamientos Así pues. En la última columna vemos las probabilidades conjuntas de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos y los eventos elementales (tipo 1 y tipo 2).0 0. todo lo que sabíamos era que había probabilidades iguales de que éste fuera del tipo 1 o del tipo 2. Ahora ya estamos listos para calcular la probabilidad de que el dado que sacamos sea del tipo 1. tipo 1) es igual a P(2 ases | tipo 1) por la probabilidad de obtener del tipo 1.245 P(2 ases)  0. 2 ases) P(tipo 1 | 2 ases)      0.080 0.49.4  0.49 0. En este caso. dado que se obtuvo un as  0.325 Probabilidad I: ideas introductorias .7 0.16  0. dado que se obtuvo un as  0.245.16 0. 85  0. 3 strikes) es la probabilidad de que se presenten conjuntamente el evento (colocación correcta o incorrecta) y tres strikes.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 161 .4606 P(incorrecta.35  0. 3 strikes)  0. P(3 strikes | evento) es la probabilidad de obtener tres strikes en tres lanzamientos consecutivos.00  P(correcta)  1.25 2 P(l strike | evento) representa la probabilidad de tener un strike.6141 P(3 strikes | incorrecta)  0.0429 0. Obviamente.0429  0. P(evento) P(1 strike | evento) P(3 strikes | evento) P(evento. ¿Cuál es la probabilidad revisada de que la máquina esté bien colocada? En la tabla 4-8 se ilustra la manera en que podemos responder esta pregunta.to implicara ningún costo. 3 strikes)  0. podemos calcular: P(incorrecta)  1.35  0. es decir.75 0. Si se le coloca incorrectamente.75  0. P(correcta)  0. lanzará strikes sólo en 35% de los lanzamientos. ajustada apropiadamente. En muchos casos.75  0.25 1.4606 0.4713 Tabla 4-8 Probabilidades posteriores con tres pruebas Evento Correcta Incorrecta 4.00 0. dado el evento.25  0. 3 strikes) (1) (2) (3) (4) 0.0429  0. después de que la máquina ha sido colocada para una práctica de bateo. Podemos calcular la probabilidad de la manera siguiente: P(correcta. Las probabilidades se calculan de la siguiente manera: P(3 strikes | correcta)  0.85  0.0107 Observe que si A  evento y S  strike. lanza tres strikes en los primeros tres lanzamientos. Estas probabilidades se dan en el problema. dado que la colocación es correcta o incorrecta.25  0.75. es decir. se dice en el problema.00  0.85 0.6141 0.6141  0. La experiencia pasada indica que 75% de las veces que se coloca la máquina se hace de manera correcta.35  0. lanzará strikes 85% de las veces. el valor de la información obtenida puede ser considerablemente menor que su costo. Podemos interpretar los encabezados numerados de la tabla 4-8 de la siguiente manera: 1 P(evento) describe las probabilidades individuales de colocar la máquina correcta e incorrectamente. dada una colocación correcta o incorrecta de la máquina. y los administradores no solamente deben entender cómo utilizar la nueva información para revisar sus probabilidades anteriores.6141  0. entonces las dos últimas probabilidades se ajustan a la fórmula matemática general para probabilidades conjuntas en condiciones de dependencia: P(AS)  P(SA)  P(S⏐A)  P(A). ecuación 4-7.75  0.0429 4 P(evento. sino que deben también tener la capacidad de determinar cuánto vale esa información. existen pocas situaciones en las que lo anterior es cierto. Un día.85  0. Si la máquina se coloca de manera correcta.0107 P(3 strikes)  0.35 0. Un problema relacionado con tres elementos de información Ejemplo de probabilidad posterior basada en tres intentos Considere el problema del equipo de una liga menor de béisbol que utiliza una máquina de lanzamientos automática para su entrenamiento. Por tanto. bola.06117 P(instalación correcta. hemos revisado nuestra probabilidad original de que la máquina esté instalada correctamente y la probabilidad cambió de 75 a 97. En el caso de la máquina de lanzamientos.35 0. Utilizando la notación S  strike y  bola. En esta situación. Así pues. primero utilice todos los datos históricos disponibles y después (y sólo entonces) agregue su propio juicio intuitivo al proceso. Probabilidades posteriores con resultados inconsistentes Ejemplo con resultados inconsistentes En todos los problemas analizados hasta aquí.05873 0. SBSSS) 0. 3 strikes) P(correcta | 3 strikes)    P(3 strikes) 0.4713 La probabilidad posterior de que la máquina esté correctamente colocada es de 0. pudimos haber tenido cinco lanzamientos con el siguiente resultado: strike.07830  0.73%.00244 P(SBSSS)  0. estamos listos para determinar la probabilidad revisada de que la máquina esté correctamente instalada. el cálculo de nuestra probabilidad posterior de que la máquina esté correctamente instalada.9601 El teorema de Bayes es un procedimiento formal que permite a los tomadores de decisiones combinar la teoría de probabilidad clásica con su mejor sentido intuitivo acerca de lo que es posible que ocurra.65  0.Después de realizar el cálculo de la tabla 4-8. Tabla 4-9 Evento Probabilidades posteriores con resultados inconsistentes Correcta Incorrecta P(evento) P(S | evento) P(SBSSS | evento) P(evento.00 0. . en realidad no implica más dificultad que en el caso en que se tienen resultados perfectamente consistentes.75  0.07830 0. strike.35  0.35  0.85 0.05873  0.85  0.9773 o de 97. hemos resuelto esta situación en la tabla 4-9. En la mayoría de las situaciones.85  0.00975 0. basados en la obtención de tres strikes en tres lanzamientos. por ejemplo. SBSSS)  P(instalación correcta | SBSSS)   P(SBSSS) 0.06117  0. podríamos esperar una distribución menos consistente de resultados. strike. La intuición usada para hacer predicciones acerca de cosas que ya están bien descritas estadísticamente está mal dirigida.85  0. Advertencia: el valor real del teorema de Bayes no está en el álgebra sino en la habilidad de los administradores bien informados para SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES 162 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias hacer buenas predicciones del futuro. Sugerencia: en todas las situaciones en las que se use el teorema de Bayes.00975  0.9773 0. Utilizamos la fórmula general: P( ) P( | )   P( ) [4-6] y la aplicamos a nuestro caso particular: P(correcta. strike.35  0.25 1.25  0.73%.35  0.85  0.4606    0.15  0. el comportamiento del experimento ha sido consistente: se obtuvo un as con el dado en dos lanzamientos consecutivos y la máquina automática lanzó tres strikes en tres lanzamientos seguidos.75 0. El segundo tiene dos resultados posibles mutuamente excluyentes: X y Y. Si el grupo ha recibido un dictamen favorable.75. Encuentre P(A | X).45 y P(C)  0. De los datos que se tienen registrados. 50% de probabilidades de fuga radiactiva a resultas de una falla mecánica. P(X | B)  0. 50 obtienen el medicamento B y 100 obtienen ambos.65 y P(X | C)  0.35.2. dadas las condiciones húmedas es 0.7 Ejercicios de autoevaluación EA 4-11 EA 4-12 Datos: las probabilidades de que tres eventos —A. él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente. 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. ¿cuál es la probabilidad de que las condiciones hayan sido de humedad? Un grupo de investigación independiente ha estado estudiando las probabilidades de que suceda un accidente en una planta de energía nuclear que produzca como resultado una fuga radiactiva. El servicio de información del clima ha pronosticado condiciones secas con probabilidad de 0.40. Sus estudios también han mostrado que la probabilidad de 4.3. Se sabe que P(A)  0. El doctor ha decidido recetar dos nuevos medicamentos a 200 pacientes cardiacos de la siguiente manera: 50 obtienen el medicamento A.8. B y C. condiciones húmedas con probabilidad de 0. ¿cuál es la probabilidad de que el paciente haya recibido los dos medicamentos? Conceptos básicos ■ 4-43 Se realizan dos experimentos relacionados. 0. ¿qué ciudad es más probable que haya escogido? EconOcon hace planes para el día de campo de la compañía.35. y que dos o más accidentes nunca se presentan juntos. falla de material y error humano. El grupo considera que los únicos tipos posibles de accidentes que pueden suceder en un reactor son incendio. Si la probabilidad de una tormenta eléctrica dadas las condiciones secas es 0. ¿cuál es la probabilidad de una tormenta eléctrica? Si supiéramos que el día de campo de hecho se canceló.2. El A reduce 35% la probabilidad de un ataque al corazón. sabe que la compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos.6 y dadas las condiciones de agua es 0. El primero tiene tres resultados posibles mutuamente excluyentes: A. respectivamente. Encuentre P(A | X). P(X | B)  0. Si un paciente del programa seleccionado en forma aleatoria tiene un ataque cardiaco.40. El señor Coleman acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas.35. B o C. El grupo sabe también que tiene una posibilidad de 60% de recibir un dictamen a su favor si escogen Baltimore.75.25. Baltimore o Cleveland. las probabilidades de que ocurra otro evento —X— son P(X | A)  0. 0. y 10% de posibilidades de fuga como resultados de un error humano. ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho a) personalmente? b) por teléfono? c) por correo? Un grupo de interés público está planeando impugnar las primas de seguro de automóviles en una de tres ciudades: Atlanta. Los 200 pacientes se eligieron de manera que cada uno tiene 80% de posibilidad de tener un ataque cardiaco si no toma uno de los medicamentos.Ejercicios 4. B y C— ocurran son P(A)  0.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 163 .65. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del segundo experimento sea Y? Aplicaciones ■ 4-44 ■ 4-45 ■ 4-46 ■ 4-47 Martin Coleman. También se conocen las siguientes probabilidades condicionales si el resultado del segundo experimento es X: P(X | A)  0.65.3. gerente del departamento de crédito de Beck’s. La probabilidad de que se escoja Atlanta es de 0. Baltimore. el B la reduce 20% y los dos tomados juntos realizan su trabajo independientemente.60 y 0. P(B | X) y P(C | X). habría 20% de posibilidades de que hubiera una fuga de radiación. Sus estudios han arrojado que si se desatara un incendio. Suponga que ocurrió A.2 y P(B)  0. Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de tres métodos son 0. de 45% si eligen Atlanta y de 35% si se decide por Cleveland. P(B)  0.8.60 y P(X | C)  0. y Cleveland.45 y condiciones lluviosas con probabilidad de 0. P(B | X) y P(C | X). Lo único que podría cancelarlo sería una tormenta. 0. 0. 0.42. 5 o 6. Para probar la precisión de su opinión. los espectadores califican la película en una escala del 1 al 10. 0. 0.■ 4-48 ■ 4-49 • que se presenten juntos un incendio y una fuga de radiación es de 0. cree que el próximo estreno de los estudios tiene 60% de posibilidades de ser un éxito de taquilla. Después de cada proyección.25. c) como backfield ofensivo y d) como backfield defensivo? Un político demócrata de Estados Unidos ha llegado a la conclusión de que los cambios en el índice de desempleo en el estado que representa tendrían un efecto importante en las probabilidades de su partido para ganar o perder escaños en el senado estatal. se resumen en la siguiente tabla: Número de jugadores Número de lesionados 164 ■ 4-50 ■ 4-51 Línea ofensiva Línea defensiva Backfield ofensivo Backfield defensivo 45 32 56 38 24 11 20 9 Dado que un jugador elegido al azar tenga una lesión en el pie. 0. ¿cuál es la probabilidad de que a) un jugador elegido aleatoriamente sufra una lesión en la rodilla? b) un jugador elegido aleatoriamente con lesión en la rodilla haya sufrido ésta mientras jugaba en un campo con pasto natural? El terapeuta del ejercicio 4-48 también está interesado en estudiar la relación existente entre lesiones en los pies y la posición que tiene cada jugador. De su larga experiencia en la industria cinematográfica.35 y 0. las respectivas probabilidades son 0.10. sabe que 60% de las veces una película de gran éxito recibirá calificación de 7 o mayor. ganar entre seis y 10 escaños.C. las probabilidades de perder más de 10 escaños. para una película sin éxito.C. 0.35 y 0. las probabilidades respectivas son 0. T. gerente de comercialización de la productora de películas Metro-Goldmine Motion. de que cambie en menos de 2% es de 0. 0.0012 a) ¿Cuáles son las probabilidades respectivas de que se presente un incendio.0015 • que se dé un error humano y haya una fuga de radiación al mismo tiempo es de 0.45 y 0.10. Si la probabilidad de que un jugador sufra una lesión en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de 0. este político tiene la convicción de que la probabilidad de que el desempleo se eleve en 2% o más es de 0.15. 30% de las veces. las probabilidades son 0. 0. ha programado dos funciones de prueba.C. ¿cuál es la probabilidad de que el índice de desempleo haya bajado 2% o más? b) Si los demócratas pierden un escaño. Si el índice de desempleo cambia en menos de 2%. 0. 0.10.15 y 0. a) Si los demócratas ganan siete escaños.05. obtendrá calificaciones de 4.25.15. a) Si en la primera proyección de prueba se tiene un resultado de 6.30.15. respectivamente. En la actualidad. respectivamente. Sus datos. y de que disminuya en 2% o más es de 0.45. Para una película de éxito moderado.0010 • que se den juntas una falla mecánica y una fuga de radiación es de 0. perder entre seis y 10 escaños. ¿cuál es la probabilidad de que la película tenga gran éxito? b) Si la primera proyección de prueba produce un resultado de 6 y la segunda de 2. 25% de conseguir un éxito moderado y 15% de ser un fracaso. También sabe que las posibilidades de que un jugador de fútbol sufra una lesión en la rodilla son 50% más altas si juega en pasto artificial en lugar de hacerlo en pasto natural.40 y 0. y 10% de las veces recibirá una calificación de 3 o menor.35.10. las respectivas probabilidades son 0. ganar o perder cinco o menos escaños. Si el índice de desempleo baja 2% o más.50. ¿cuál es la probabilidad de que el índice de desempleo haya cambiado en menos del 2%? T.30.25. T. una falla mecánica y un error humano? b) ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de que una fuga de radiación sea ocasionada por un incendio. ¿cuál es la probabilidad de que éste juegue a) en la línea ofensiva. y ganar más de 10 escaños son de 0. reunidos en un periodo de tres años.35. Fox. Ha determinado que si el índice de desempleo aumenta 2% o más. ¿cuál es la probabilidad de que la película sea un fracaso (suponiendo que los resultados de cada proyección son independientes entre sí)? Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . 0. b) en la línea defensiva.30. una falla mecánica o por error humano? c) ¿Cuál es la probabilidad de una fuga de radiación? Un terapeuta físico que trabaja en la universidad Enormous State sabe que el equipo de fútbol jugará 40% de sus juegos en campos con pasto artificial en la presente temporada.10. 8)(0. Su ascenso hasta el puesto de supervisora de producción había sido rápido.” “Cuando echamos a andar Loveland Computers. Tu tío. P(A | X)  0. EA 4-12 H  ataque cardiaco. ya que creció en una granja de las cercanías. También tienes que tomar decisiones. pero necesitábamos fabricar a la medida los de mayor venta.2800 . Necesita algo de ayuda para elaborar su programa de este mes.0. de modo que instalamos una línea de ensamblaje aquí. Evento A B AyB P(evento) P(H | evento) 0. y a menudo no tienes todos los datos que hubieras deseado tener debido a que intentas adivinar qué sucederá en el futuro. los discos duros en algún otro y así sucesivamente. no quiere dar el día con goce de sueldo.949.498  0. Traíamos las computadoras de Taiwan.65)  0. preguntó Lee Azko al socio principal de la empresa Loveland Computers.0600 P(X )  0.65)(0. Nancy le explicó su problema a Lee en los términos siguientes: “Tenemos que decidir si paramos la producción el día de Martin Luther King. si añadimos un disco duro de gran capacidad a una máquina que se va a utilizar en una red local donde la mayoría de los datos se almacenan en un disco central— uno termina eliminándose a sí mismo del mercado.160/0.0600/0.4625 y P(C | X)  0.25 0. La mayoría de nuestros obreros tiene hijos que no van a asistir a la escuela ese día.2610 0. En la actualidad. con los objetivos de producción.0. Luego ponemos en funcionamiento la línea de ensamblaje para armar las máquinas.498  0. quiero que pases a ver a Nancy Rainwater. al final del mismo.208 P(H)  0.20 0.Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 4-11 Evento P(evento) P(X | evento) A B C 0.130/0.0949 Entonces.498  0. P(A y B | H)  0. hay más cosas en la vida que reunir datos.640 (0. quedan 19 días de trabajo hasta que finalice el mes y necesitaremos 17 días para completar la producción.6325 P(evento| X) 0.8)(0. había adquirido algunas importantes habilidades prácticas acerca del manejo de la fuerza de trabajo y sobre la manera de tener el trabajo terminado a tiempo. y no lo que ha sucedido en el pasado.8)(0.520 (0.” “¿Por qué no simplemente equipan todas las máquinas con todo lo que hay.0.2925 .4177. todavía hacemos eso para algunos de los productos. el precio es muy importante.2925/0. que se encontraban subiendo a bordo de su avión privado.45 0. No podemos permitirnos hacer ninguna de las dos cosas.” Nancy Rainwater llevaba cinco años trabajando con Loveland Computers. justo con la configuración con que las piden los clientes.4625 0.2800/0. Lee.80)  0. y simplemente las empacábamos para mandarlas a nuestros clientes. pues no hay nada que ‘fabriquemos’ nosotros.416 P(H y evento) . Esto te deberá dar algo de experiencia con la toma de decisiones en el mundo real. En este asunto. en los negocios. Compramos las cubiertas en un lado. si este mes cuenta con suficientes días laborables para cumplir. y si cargamos una máquina con algo que el cliente nunca va a utilizar —por ejemplo. “Sí.130 . Corea o de algún otro lugar. No voy a decir que se trataba de una fábrica. Estadística en el trabajo Loveland Computers Caso 4: Probabilidad “¿No me vas a felicitar. Sin contar el día de hoy.” “Bueno.498 P(evento | H) 0. efectúa una división y obtendrás el número de días que necesitas”. P(B | X)  0. Aunque no tenía muchos estudios.3213 0.65 0. Vamos al coche y en el camino te explico.25 0.160 .0.208/0. tío Walter?”. respondió Lee con toda confianza.35 0.30 P(X y evento) .4427. pero accedería a darles el día libre a los trabajadores sin pagarles nada. Pero te vas a dar cuenta de que.0. eso no debe ser muy difícil de resolver. ya lo hemos calculado.80)  0. simplemente cuenta el número de PCs que se producen en un día normal y la cantidad de las que se pretende fabricar en el mes.80 0. Cuando lleguemos a la oficina.6325  0.0. el señor Azko. pero he aquí la razón por la cual no podemos permitirnos hacer eso. el 20 de este mes. tío?” “Buena pregunta. o vendiendo con pérdidas. Fue un material bastante bueno. se trataba en gran medida de un negocio de ventas al por mayor.” Estadística en el trabajo 165 . “Claro que sí.4177 Entonces.4427 0. ella es la jefa de producción.6325  0. al momento en que despedían con la mano a sus nuevos socios inversionistas.6325  0.50 (0. ” “Gracias —respondió Laurel—: Sólo fue algo básico. ¿cuál es tu definición de ‘un grado razonable de certeza’?” Preguntas de estudio: ¿Qué estaba anotando Lee en su libreta? ¿Qué tipo de cálculos hará Lee y qué información adicional va a necesitar? ¿Qué diferencia hay en el hecho de que Nancy defina por “grado razonable de certeza” el lograr el objetivo de producción el 75% de las veces o hacerlo el 99% de las veces? historia para otra ocasión. Pero me imagino que no tienes una bola de cristal. además de los costos de mantenimiento. “A propósito —comentó el joven Azko. En un día normal de invierno existe una probabilidad de 1 entre 30 de que tengamos que parar la producción debido al número de trabajadores enfermos. y créeme que eso sucede cuando hay un bicho rondando el ambiente. concluyó Lee. pues las tarifas eran de cinco a 10 veces más altas que las normales. De modo que el abogado de la compañía nos recomendó que tuviéramos una política muy flexible con respecto a los días nevados. al tiempo que se encaminaban de regreso hacia las oficinas administrativas e iba anotando algo en su libreta. mucha experiencia con la estadística. En este punto era donde los costos se disparaban rápidamente. utilizando algunos programas de cómputo. Tengo registros que se remontan a un par de años. desde que estoy en este puesto. dos de nuestros trabajadores sufrieron un terrible accidente automovilístico. gerente de operaciones. pero parece como si ya tuvieras alguna visión de nuestra actitud en los negocios. voy a tener que parar la línea ese día. La siguiente tabla contiene los datos acerca del código postal usados en el análisis de Laurel: Estado Intervalo de código postal Estado Intervalo de código postal MA RI NH ME VT 010-026 027-029 030-038 039-049 050-059 IA WI MN SD ND 500-528 530-549 550-567 570-577 580-588 . tal vez hasta dos. Estamos en una temporada de gripes y catarros. eso va a ser realmente útil para nosotros. el tiempo se puso realmente malo. cuando se dirigían hacia acá. pero tengo algunas ideas”. Sabía que los costos de envío estaban basados tanto en el peso del paquete como en el lugar de destino.“Entonces deja que los trabajadores se tomen el día de Martin Luther King”. Si muchos trabajadores se reportan enfermos. en especial con los paquetes más pesados. ¿Te paso todo cuando traiga los datos?” Más tarde. Los tres primeros dígitos indican el área. desde el punto de vista de costos. eso significaría un salario y medio más. los paquetes están clasificados por código postal de destino y por peso. Has estado en la empresa poco tiempo. Si los caminos se ponen peligrosos.” “Bueno. volviéndose hacia Nancy Rainwater—. Utilizando alrededor de seis meses de datos sobre envíos. Laurel se preguntaba sobre la mejor manera de abordar el problema que se le presentaba. que digamos. Déjame ponerte un poco en antecedentes. en realidad necesito preguntarte algo. ésa es 166 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias los fines de semana. No tengo. respondió Lee. Tengo algunos datos de envíos del almacén de Pennsylvania. el sitio óptimo para instalar nuestro almacén. en este momento. eran los señalados “Entrega al día siguiente vía aérea”. Cuando HH Industries tomó la decisión de reabrir uno de los almacenes del noreste. Los paquetes más críticos. estoy interesado en determinar si el almacén está alcanzando efectivamente el área que se propuso o no. después del fracaso de Ohio. entre hoy y el fin de mes. Sin embargo. ya que lo mencionas —sonrió Gary—. se pueden hacer cosas sorprendentes ¡si sabes dónde empezar! Avísame si hay algo en tu área que pueda analizar. Y siempre está la posibilidad de que se nos venga encima una tormenta de nieve. alcanzó a Laurel cuando salían de la reunión de directivos. al introducir los datos en su terminal. pero tengo algunas opiniones personales acerca de lo que fue y lo que no fue considerado en aquel estudio. “Pero no es nada más eso —continuó Nancy—.” “Claro. la UPS determinó. En esa época parecía una metodología sólida. “Eso fue impresionante —le comentó—. cerramos la línea de producción y perdemos el día. la compañía transportista con la cual tenemos la mayoría de nuestros tratos. No puedo programar trabajo Ejercicio de base de datos computacional HH Industries Gary Russell. ¿No están organizados los códigos postales de alguna manera? Eso nos ayudaría a separar nuestras zonas geográficas.” “Me inclinaría mucho más a parar actividades el día de King si pudiera tener un grado razonable de certeza de que podremos contar con el suficiente número de días laborables en lo que resta del mes. Hace un par de años. tal vez no sea exactamente una bola de cristal. pero me parece que es una herramienta de análisis bastante potente.” “Bueno. y cada estado tiene un intervalo específico de códigos postales. hicimos un estudio en conjunción con la UPS. Pero tienes razón. y no cabe ninguna duda de que el almacén se está desempeñando bien. ¿Crees que puedas hacer algo con eso?” “No veo por qué no —respondió Laurel—. La región sureste incluiría a los estados de NC (North Carolina). La región central sur estaría constituida por los estados de LA (Louisiana). Luego regresó a su terminal de computadora. que antes de abrir el de Pennsylvania embarcaba la paquetería a las zonas del medio oeste y del noreste. La región central norte abarcaría los estados de IA (Iowa). Laurel los extrajo de las tablas y los dividió entre las sietes regiones geográficas que había definido previamente. SD (South Dakota). NY (Nueva York). le contó sobre las cuestiones adicionales y obtuvo algunos datos sobre los envíos de Florida. La región de Nueva Inglaterra abarcaría los estados de MA (Massachusetts). DE (Delaware). Dado que el destino y la posibilidad de que sea enviado por Entrega al día siguiente vía aérea no son independientes.Estado Intervalo de código postal CT NJ NY PA DE DC MD VA WV NC SC GA FL AL TN MS KY OH IN MI 060-069 070-089 100-149 150-196 197-199 200-205 206-219 220-246 247-268 270-289 290-299 300-319 320-346 350-369 370-385 386-397 400-427 430-458 460-479 480-499 Estado Intervalo de código postal MT IL MO KS NE LA AR OK TX CO WY ID UT AZ NM NV CA OR WA 590-599 600-629 630-658 660-679 680-693 700-714 716-729 730-749 750-799 800-816 820-831 832-838 840-847 850-865 870-884 889-899 900-961 970-979 980-994 Con ayuda de Gary. Laurel se dio cuenta que necesitaría un análisis acerca de si el almacén de Florida. Los estados de KY (Kentucky). PA (Pennsylvania). ¿cuál es la probabilidad de que. El área destinada al almacén de Pennsylvania comprende las zonas de Nueva Inglaterra. ¿A qué conclusiones generales podría llegar Laurel acerca de si el almacén de Pennsylvania está siendo utilizado de manera efectiva para cubrir su área de acción? Un par de días después. De un total de 2. ID (Idaho). DC (District of Columbia). Si un paquete es enviado fuera del área de acción. UT (Utah). noreste y medio oeste. WY (Wyoming). 500 encajan en esta categoría. dado que es un paquete Entrega al día siguiente vía aérea. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete del almacén de Pennsylvania sea despachado por Entrega al día siguiente vía aérea? ¿Cuál es la probabilidad de que sea clasificado como pesado? ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete sea clasificado como pesado o sea embarcado por Entrega al día siguiente vía aérea? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete envia- do desde este almacén tenga su destino dentro de su propia zona geográfica? 3. éste haya sido enviado dentro del área de acción del almacén? 6. AR (Arkansas). OR (Oregon) y WA (Washington) estarían dentro de la región oeste. 1. ¿cuál es la probabilidad de que sea enviado por Entrega al día siguiente vía aérea? ¿Qué sucede si es enviado dentro del área de acción? 7. CO (Colorado). TN (Tennessee) y MS (Mississippi). Además. Laurel identificó siete zonas geográficas para los propósitos del estudio. una rápida mirada a una muestra aleatoria sobre los datos de envío de Florida le mostraría si las cosas parecían estar o no en orden. La región del noreste estaría constituida por los estados de NJ (New Jersey). Utilizando los datos de envío de los archivos CH04.404 paquetes enviados. Los resultados son los siguientes: Nueva Inglaterra Noreste Sureste Medio oeste Central norte Central sur Oeste 24 42 172 32 63 110 57 Ejercicio de base de datos computacional 167 . estaba aprovechando plenamente el funcionamiento de su almacén satélite. KS (Kansas) y NE (Nebraska). Por último. MO (Missouri). ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete sea clasificado como pesado y sea enviado dentro del área de acción del almacén? ¿Cuál es la probabilidad de que sea clasificado como pesado y enviado fuera del área de acción del almacén? 5. FL (Florida). los paquetes estaban clasificados según su peso como normales (menos de 10 libras) o pesados (10 libras o más). correspondientes más o menos al mismo periodo que antes. Aunque sabía de algunos casos en que el reducido inventario de Pennsylvania hizo que el almacén se viera limitado en sus servicios al cliente dentro de su territorio. GA (Georgia). Laurel regresó a buscar a Gary. Debido a que los paquetes más caros eran los embarcados por Entrega al día siguiente vía aérea. A (Arizona). RI (Rhode Island). OK (Oklahoma) y Tx (Texas). MN (Minnesota). IN (Indiana) y MI (Michigan) constituirían la zona del medio oeste. VA (Virginia) y WV (West Virginia). encuentre la frecuencia relativa de los paquetes enviados a las siete zonas geográficas. IL (Illinois). SC (South Carolina). OH (Ohio).xxx incluidos en el disco de datos. ND (North Dakota). NM (New Mexico). AL (Alabama). NH (New Hampshire). VT (Vermont) y CT (Connecticut). los estados de MT (Montana). como parte colateral de la cuestión. WI (Wisconsin). ME (Maine). 2. CA (California). MD (Maryland). o frecuencia relativa observada de un evento en un número muy grande de intentos o experimentos. Frecuencia relativa de ocurrencia Fracción de veces que a la larga sucede un evento cuando las condiciones son estables. Probabilidad clásica Número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. P( o )  probabilidad de que o suceda Esta notación representa la probabilidad de que se presente un evento o el otro. sea enviado dentro de esa zona de influencia? 10. P( )  probabilidad de que suceda el evento Una probabilidad simple se refiere a la probabilidad de que se presente un evento en particular. y se le llama probabilidad marginal. dado que otro evento ya se ha presentado. Evento Uno o más de los resultados posibles de hacer algo. Probabilidad condicional Probabilidad de que ocurra un evento. Probabilidad marginal Probabilidad incondicional de que se presente un evento. ¿cuál es la probabilidad de que un paquete embarcado por Entrega al día siguien- te vía aérea. o se ve afectada por ésta. ● Ecuaciones introducidas en el capítulo 4 ■ 4-1 número de resultados en los que se presenta el evento  Probabilidad de un evento   número total de resultados posibles Ésta es la definición de probabilidad clásica de que se presente un evento. Probabilidad posterior Probabilidad que ha sido revisada y cambiada después de obtener nueva información o información adicional. Colección exhaustiva de eventos Lista de eventos que representa todos los resultados posibles de un experimento. 168 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . ndependencia estadística Condición en la que la ocurrencia de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia de otro evento. o uno de los resultados posibles de realizar un experimento. Dependencia estadística Condición en la que la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia de algún otro. Diagrama de Venn Representación gráfica de los conceptos de probabilidad en la que el espacio muestral está representado por un rectángulo y los eventos que suceden en el espacio muestral se representan como partes de dicho rectángulo. Probabilidad anterior Estimación de la probabilidad hecha antes de recibir nueva información. Experimento Actividad que tiene que producir un evento. Probabilidad subjetiva Probabilidad basada en las creencias personales de quien hace la estimación de probabilidad. Teorema de ayes Fórmula para el cálculo de la probabilidad condicional bajo condiciones de dependencia estadística. Probabilidad La medida de la posibilidad de que algo suceda. Eventos mutuamente excluyentes Eventos que no pueden suceder simultáneamente. Probabilidad conjunta Probabilidad de que ocurran dos o más eventos simultáneamente o en sucesión. Si el área de acción del almacén de Florida son las regiones sureste y central sur. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los paquetes enviados por Entrega al día siguiente vía aérea despachados desde la Florida a la zona de acción del almacén de Pennsylvania? 9.8. ¿Puede Laurel darle a Gary alguna idea de si el almacén de Florida está siendo utilizado con eficiencia. probabilidad de que se presente un solo evento. Espacio muestral Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. tomando en cuenta la localización de los otros dos almacenes? Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 4 rbol de probabilidades Representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades. es igual a la probabilidad conjunta de los eventos y dividida entre la probabilidad marginal de que suceda el evento . dado que el evento ya se ha presentado. la probabilidad condicional de que se presente el evento . Repaso del capítulo 169 . simbolizada como P( ). la probabilidad de que un segundo evento ( ) se presente si un primer evento ( ) ya se ha presentado. la probabilidad conjunta de que se presenten los eventos y simultáneamente o en sucesión es igual a la probabilidad de que se presente el evento . dado que el evento ya se ha presentado. ■ P( | )  P( ) 4-5 Para eventos estadísticamente independientes. Los eventos independientes son aquellos cuyas probabilidades no se ven afectadas de ningún modo por la presentación de alguno de ellos. menos la probabilidad de que y se presenten juntos. dado que el evento ya se ha presentado. ■ P( ) P( | )   P( ) 4-6 y P( ) P( | )   P( ) Para eventos estadísticamente dependientes.■ P( o )  P( )  P( ) 4-2 La probabilidad de que suceda o cuando los dos eventos son mutuamente excluyentes es igual a la suma de la probabilidad de que suceda el evento y la probabilidad de que suceda el evento . ¿Qué le sugiere esto sobre los riesgos y probabilidades asociadas con estas dos porciones de mercado del negocio de los seguros? “La posibilidad de que llueva el día de hoy es de 80%.” ¿Cuál de las siguientes proposiciones explica mejor lo que se afirma? a) Lloverá 80% del día de hoy. Ésta es la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes. es igual a la probabilidad de que suceda el evento más la probabilidad de que se presente el evento . es simplemente la probabilidad del evento . la probabilidad condicional de que se presente el evento . ■ 4-4 P( )  P( )  P( ) en la que )  probabilidad conjunta de que se presenten los eventos cesión P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento P( )  probabilidad marginal de que se presente el evento • P( • • y simultáneamente o en su- La probabilidad conjunta de que dos o más eventos independientes se presenten de manera simultánea o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales. dado que se presentó el evento Esta notación muestra la probabilidad condicional. ■ 4-7 P( )  P( | )  P( ) y P( )  P( | )  P( ) En condiciones de dependencia estadística. Ejercicios de repaso ■ 4-52 ■ 4-53 Las pólizas de seguros de vida son más altas para las personas mayores que para los jóvenes. ■ P( o )  P( )  P( )  P( 4-3 ) La regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes muestra que la probabilidad de que suceda o cuando los dos eventos son mutuamente excluyentes. P( | )  probabilidad del evento . multiplicada por la probabilidad de que se presente el evento . ” Cuando los investigadores hacen este tipo de afirmaciones.61 5.016 13. las condiciones del clima de este tipo han producido lluvia en esta área 80% de las veces.846 7. Isaac afirma que la probabilidad de una falla en el tren de aterrizaje es de 0. a) Usando la estimación de Isaac.93 E/A (%) Activos totales (miles de dls.72 17. Northern Trust Corp. En otras circunstancias.02 15.03.92 18. Palmer Bancorp Inc.797 728. 27. mientras que el supervisor afirma que es de 0.51 157.) 5. Inc.485 550.58 8.18 4.248 20. Inc.025 3.06. clasificadas por ganancias para accionistas en equidad (ROE. Casi todos los consumidores ignoran qué día fue construido su auto.16 24.■ 4-54 ■ ■ 4-55 4-56 ■ 4-57 ■ 4-58 ■ 4-59 b) Lloverá en 80% del área en la cual se aplica la predicción del día de hoy.91 8. Asumiendo que una semana de producción tiene 5 días.559 1.) Ingresos netos (miles de dls.66 16.92 9.770 170.72 6.58 7.459 5.12 20. “Existe una probabilidad de 0. ¿cuál es.462 132. la probabilidad de que se estrelle es de sólo 0. ¿cómo es que llegaron a sus conclusiones? Haciendo uso de la teoría de probabilidad. para un consumidor que compra su auto al azar a un distribuidor. el aeroplano tendrá una probabilidad de 0.01 16. River Forest Bancorp.716 (Continúa) 170 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias .154.382 1.328 2. First Park Ridge Corp. a) la posibilidad de que sea un auto fabricado en lunes? b) la posibilidad de que se haya fabricado en lunes o viernes? c) la posibilidad de que haya salido entre el martes y el jueves? d) ¿Qué tipo de estimaciones de probabilidad son éstas? Isaac T.940 6.671 314. Suponga también que los ingresos netos dependen de los activos totales. Return On Equity).005.42 8.048 560.61 6. para el periodo del 31/3/91 al 31/3/92.313. Utilice esta información para responder las preguntas siguientes.784 3.12. ¿son algunos de ellos mutuamente excluyentes? c) ¿Los eventos de la lista son colectivamente exhaustivos? La tabla que se presenta a continuación es un arreglo de las 25 organizaciones bancarias de Illinois. ¿cuál es la probabilidad de que la causa del accidente haya sido una falla en el tren de aterrizaje del aeroplano? b) Repita el inciso a) utilizando la estimación de probabilidad del supervisor. explique el éxito de los casinos de juego.167 180.55 de estrellarse.25 de que un restaurante en Estados Unidos quiebre en el presente año. El congresista estadounidense Bob Forehead ha estado pensando sobre el resultado de las elecciones que se aproximan y ha preparado la lista siguiente de posibles desarrollos de su carrera política durante las elecciones: • Gana la nominación de su partido para la reelección • Regresa a su práctica profesional de abogado • Es nominado para vicepresidente • Pierde la nominación de su partido para la reelección • Gana la reelección a) ¿Cada uno de los elementos anteriores es un “evento” en la categoría de “Desarrollos de carrera con respecto a las elecciones”? b) ¿Todos los elementos calificados como “eventos” en el inciso a) son mutuamente excluyentes? Si no.145 225.83 7.20 25.522 1. FNBC of La Grange Inc. Rango Compañía financiera ROE de accionistas (%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 United Community Bancorp Illinois Financial Services FBOP Corp.44 24.492 306. Algunos estudios han demostrado que la posibilidad de que un auto nuevo sea “chafa” (uno con múltiples problemas de garantía) es mayor para los automóviles fabricados en lunes y viernes. Suponga que la ROE es independiente del activo total y dependiente de la equidad como porcentaje de activos (E/A). c) En el pasado. Pinnacle Banc Group Inc. un ingeniero de la Atlantic Aircraft. West Suburban Bancorp Parkway Bancorp Inc. Alpine Bancorp.68 17.39 7. no está de acuerdo con su supervisor con respecto a la posibilidad de que se presente una falla en el tren de aterrizaje del nuevo aeroplano de la compañía.339 10.246 11.81 18. Se hace una prueba de vuelo y el aeroplano se estrella. Los dos coinciden en que si el tren de aterrizaje falla.780 2. Olduso. 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ROE de accionistas (%) E/A (%) Activos totales (miles de dls.704 2.95 14.08 6.46 8.94 13.187 15.60 784. en un día cualquiera del año anterior. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se cometa ningún delito de ninguno de los dos tipos en el vecindario norte en un día dado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se cometa un delito de cualquier tipo en el vecindario del sur en un día dado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no se cometa ningún delito de cualquiera de los dos tipos en ninguno de los dos vecindarios en un día determinado? El Departamento de Protección Ambiental está tratando de evaluar el efecto contaminante de una fábrica de papel que se planea construir cerca de Spokane.863 14. f) Determine la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE mayor a 20%. c) Un equipo de béisbol pierde su último juego y gana la Serie Mundial. las probabilidades de que se cometieran un delito mayor y uno menor en el vecindario del norte fueron de 0. ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes? a) Un contratista del Departamento de Defensa pierde un contrato importante y el mismo contratista aumenta su fuerza de trabajo en 50%. Banterra Corp.267 8. ■ 4-60 ■ 4-61 ■ 4-62 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía escogida al azar tenga un ROE mayor que 16%. y que las correspondientes probabilidades en el vecindario del sur fueron de 0.461 13.856 1.426 133. el Departamento determinó los siguientes factores de contaminación: Planta Emisión de dióxido de azufre en partes por millón (ppm) 1 15 2 12 3 18 4 16 5 11 Repaso del capítulo 6 19 171 .51 8.767 308.478 y 0.658 1.32 6. asimismo. dado que sus activos totales son mayores a 2 mil millones de dólares. Northern Illinois Financial Corp. Heartland Bancorp Inc.039 No disponible 5. los delitos que se cometen en ambos vecindarios son independientes entre sí.000 426.144 3.52 13.25 13. Premier Financial Services Riverdale Bancorp Town & Country Bancorp Inc.) 15.83 14.118 369. dado que su cociente E/A es mayor que el 7%? c) Determine la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ingreso neto mayor que 50 millones de dólares.70 7.67 13.91 2.814.39 1.494. Standard Bancshares Inc. La oficial de rondas de un departamento local de policía está tratando de decidir si programa unidades de patrulla adicionales para que realicen rondas en dos de los vecindarios. d) ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE mayor al 15%? e) Calcule la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE mayor a 15% y tenga al menos 2 millones de dólares de activos totales.884 17.) Ingresos netos (miles de dls.28 4.58 6. Sandwich Banco Inc.350 y 0.158 27. respectivamente.892 Fuente: “Illinois’ Multibank Holding Companies”. LaSalle Community Bancorporation Inc. en Crain’s Chicago Business (19 de octubre de 1992): págs.Rango Compañía financiera 13 14 First Evergreen Corp. En estudios que se hicieron en seis plantas parecidas construidas el año anterior.57 5. Suponga que los delitos mayores y menores se presentan de manera independiente entre sí y.060 393.30 15. Firstbank of Illinois Co.200 2.908 2.583.523.87 7. 22-24. dado que su cociente E/A es menor que 7%? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía elegida al azar tenga un ROE entre 14 y 16% (inclusive).726 275.95 5.01 14.90 14.260 159.906 3.503 221.35 14. b) Un hombre es de mayor edad que su tío y es menor que sus primos. dado que sus activos totales son mayores o iguales a mil millones de dólares.30 8.602. d) Un gerente de banco descubre que uno de los cajeros ha estado desfalcando a la institución y lo promueve. Ella sabe que. Washington. Heritage Financial Services National Bancorp Inc.290 8.025 738.69 6.77 7. tiene los siguientes antecedentes: llega puntual 95% de las veces. en 50% de los casos se había dado cambio en efectivo a los clientes. c) ¿Cómo valoraría la precisión de su resultado? La Sociedad Estadounidense contra el Cáncer está planeando enviar cuestionarios con preguntas referentes al cáncer de mama. o bien cambio en efectivo. ¿Cuál es la probabilidad de que Pare and Oyd sea adquirida en el presente año. está siendo considerada para su adquisición por dos compañías. Engulf and Devour. La primera de éstas. a) Calcule la probabilidad de que la nueva planta sea una contaminante excesiva de dióxido de azufre. el banco informa que 12% de todos los cheques se regresan por fondos insuficientes y. programado para aterrizar en segundo lugar. La agencia ha encontrado que una de sus clientes. de frecuencia relativa y subjetiva. 97% de las veces.. de ellos. son los mismos este año que los del pasado? b) los índices de adquisición del presente año son independientes de los del anterior? Como administradora de un hospital. a) ¿Los porcentajes que se dan en el problema representan estimaciones de probabilidad clásicas. 10% de los clientes piden cambio en efectivo al final de su transacción con la tienda. es una “vigía de tiburones”. La revista Working Mother obtuvo los resultados siguientes de una encuesta entre sus lectoras acerca de quién se encarga del cuidado de los niños de entre dos y cinco años de edad: Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . R. Sabe que durante los pasados cinco años. Y también sabe que 1. compró seis de 15 pequeñas empresas que tomó en cuenta para su adquisición. sabe que el vuelo 200. Venus Corp.172 ■ 4-63 ■ 4-64 ■ 4-65 ■ 4-66 ■ 4-67 ■ 4-68 El Departamento define como contaminación excesiva a una emisión de dióxido de azufre de 18 ppm o mayor. de las personas que fueron revisadas en el hospital.000 visitas de clientes. 72% tenía un seguro que cubría el tratamiento con rayos . suponiendo que a) los índices de adquisición de Engulf and Devour y R. Pare and Oyd. En general. Co. De la experiencia pasada con este tipo de cuestionarios. La controladora tiene programado el aterrizaje de dos aeronaves con una diferencia de 10 minutos en la misma pista. durante el mismo periodo. Inc. 3%. b) cambio en efectivo para el cliente. Cindy Turner desea saber cuál es la probabilidad de que una persona que acude a revisión al hospital requiera un tratamiento con rayos y al mismo tiempo tenga un seguro de hospitalización que cubra el tratamiento.3% de los cuestionarios mandados tendrán mal la dirección y nunca serán entregados. 1%. Para 1. d) fondos insuficientes. 23% de las personas que acudían al hospital necesitaron tratamiento con rayos y que.. A. Los horarios de los vuelos son independientes entre sí. Sabe que el vuelo 100.. 10 minutos antes. a) ¿Debe la controladora de tráfico cambiar el horario de una de las aeronaves. 5 minutos tarde. la Sociedad sabe que sólo 15% de los que reciben cuestionarios responderá. ¿debe la controladora cambiar el horario de alguna de las aeronaves? En una junta convocada para abordar el problema de cheques devueltos en un supermercado donde usted hace prácticas como analista financiero. Venus Corp. 10 minutos tarde. b) Clasifique esta probabilidad según los tres tipos analizados en este capítulo: clásica. La segunda. 2%. La McCormick and Tryon. encuentre el número de transacciones que incluyen a) fondos insuficientes. c) tanto fondos insuficientes como cambio en efectivo.8% se perderán o serán destruidos en la oficina de correos y que 19% corresponderá a personas que se han cambiado de domicilio y que sólo 48% de los que se cambiaron comunicaron su nueva dirección y. A. de frecuencia relativa u subjetivas? b) Encuentre la probabilidad de que la Sociedad obtenga respuesta a un cuestionario dado. ¿Cuál es la probabilidad correcta? ¿Necesita ella hacer algunas suposiciones adicionales? Una controladora de tráfico aéreo del aeropuerto Dulles debe cumplir con ciertas regulaciones que requieren que retrase el aterrizaje de alguna de las aeronaves si la probabilidad de que dos de éstas choquen es mayor que 0. Además. adquirió siete de 20 pequeñas compañías que tenía en la mira el año pasado. que 2. contratada por compañías que temen ser absorbidas por empresas más grandes. les llegará el cuestionario. tiene los siguientes antecedentes: puntual. programado para aterrizar primero. 5 minutos antes.025. 2%. ¿debe la controladora cambiar el horario de alguna de las aeronaves? c) Si la controladora sabe con toda certeza que el vuelo 200 llegará 5 minutos antes de tiempo.. si se basa en esta información? b) Si tiene la información de que definitivamente el vuelo 100 se va a retrasar 5 minutos. por tanto. “Child Care Opfions”. está estudiando el problema de la sobreventa de boletos de la compañía. pero los tres no se pueden presentar al mismo tiempo. Su atención se centra en tres vuelos nocturnos que salen del aeropuerto LaGuardia de la Ciudad de Nueva York.05. e) La frecuencia de donación de órganos en una comunidad y las orientaciones religiosas de esa comunidad. Durante el último año. d) A y B son mutuamente excluyentes.15. 8 y 5% de los pasajeros de los vuelos a Atlanta. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero que no haya podido tomar el vuelo original haya comprado un boleto para el a) vuelo a Atlanta? b) vuelo a Kansas City? c) vuelo a Detroit? Un fabricante de dispositivos electrónicos está considerando la posibilidad de ampliar su planta en los siguientes cuatro años. B y C. respectivamente. en Working Mother (enero de 1993). b) El tiempo de vida del presidente de Estados Unidos y el tiempo de vida del presidente de Rusia. respectivamente. respectivamente.1 ■ 4.16. Kansas City y Detroit. pero no A y C ni B y C. B y C son mutuamente excluyentes entre sí. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la planta se amplíe a) en el año siguiente (en el año 1)? b) entre uno y dos años a partir de ahora (en el año 2)? c) entre dos y tres años a partir de ahora (en el año 3)? d) entre tres y cuatro años a partir de ahora (en el año 4)? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la planta no se amplíe en absoluto (suponga cuando mucho una expansión)? Dibuje diagramas de Venn para representar las siguientes situaciones que involucran a tres eventos. b) A y B son mutuamente excluyentes. Específicamente. A y C. pero A y C no son mutuamente excluyentes. 55. El director de planeación ha obtenido las siguientes estimaciones: • La probabilidad de que las ventas al consumidor aumenten 50% dentro de 1. Además. 50-51.32. B y C son mutuamente excluyentes. 0. La compañía cree también que los dos eventos no se darán el mismo año. pero no incluyen al espacio muestral completo. 0. 3 y 4 años es de 0. Kansas City y Detroit. La decisión se verá influida por el aumento en la producción que se daría si aumentan sus ventas al gobierno o al consumidor. supervisor de relaciones con el cliente de la Aerolínea GLF. 0. 20 y 25% de los pasajeros de los vuelos nocturnos de la GLF toman. Repaso del capítulo 173 . c) La cantidad de demandas por envenenamiento por asbestos en Maryland y Nueva York. 7. A. 3 y 4 años es de 0.08. págs.08. • La probabilidad de obtener un contrato importante con el gobierno dentro de 1. respectivamente. c) A. la planta será ampliada si se presenta uno de dos eventos: 1) las ventas al consumidor aumentan un 50% con respecto al nivel de las ventas actuales o 2) se obtiene un importante contrato de venta con el gobierno.12 y 0. han tenido que tomar otros vuelos.Tipo de cuidado Cuidado familiar Niñera en la casa del niño Guardería o centro infantil Abuela o algún otro pariente Cónyuge Ella misma en el centro de trabajo Total Número de lectoras que escogieron este tipo 120 30 123 15 6 006 300 Fuente: Vivian Cadden. 2.25 y 0. 0. ■ 4- ■ 4- ■ 4. d) La adquisición hostil de una compañía y la elevación del precio de sus acciones.2 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una madre elegida al azar haya escogido el cuidado familiar para este grupo de edades? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una madre elegida al azar haya dicho que el esposo o algún otro pariente se encarga del cuidado del hijo? ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son estadísticamente independientes? a) El número de veces que se utiliza una calculadora hasta que ésta falla y el número de veces que se utiliza una segunda computadora vendida por una firma distinta hasta que falla. Liam Laytor. los vuelos a Atlanta. en el aeropuerto LaGuardia. que son parte de un espacio muestral de ellos. F. y B y C) pueden presentarse simultáneamente. a) Cada pareja de eventos (A y B. 174 Capítulo 4 Probabilidad I: ideas introductorias . b) Determine la probabilidad de que un miembro seleccionado al azar después de las elecciones no sea republicano.5% de los paquetes transportados por camión han sido extraviados. sólo 2% de los paquetes transportados por ferrocarril y 3. ¿es más probable que el agente haya mostrado una casa a un cliente de fuera o local? Un senador por el estado de Carolina del Norte sabe que pronto deberá votar acerca de un controvertido proyecto de ley. La UEP utiliza dos maneras de transporte en la zona en que se encuentra el señor Bludeau. hizo reuniones con algunos grupos en tres ciudades de su estado. ¿fuertemente opuesto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien de los tres grupos apoye fuertemente la propuesta de ley? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Raleigh o de Lumberton sea neutral o ligeramente opuesta? El desglose por partido político de los 435 miembros de la Cámara de Representantes de Estados Unidos antes y después de las elecciones federales de 1992 es: Escaños de la cámara Antes Demócratas Republicanos Independientes 268 166 1 Después 259 175 1 a) Determine la probabilidad de que un miembro seleccionado al azar antes de las elecciones de 1992 sea republicano. dado que cada motor tiene una probabilidad de 0. el resto son locales.4 ■ 4- ■ 4- El caricaturista Barry Bludeau manda sus caricaturas a su editor por medio de la Unión de Entrega Postal (UEP). Si un agente de ventas entra a la oficina de Show Me y anuncia “cerré el trato”. Uno de sus ayudantes apuntó las opiniones de 15 de los asistentes a cada reunión: Opinión Ciudad Chapel Hill Raleigh Lumberton 2 2 3 2 6 15 2 4 3 3 3 15 4 3 5 2 1 15 Fuertemente opuesto Ligeramente opuesto Neutral Ligeramente a favor Fuertemente a favor Total ■ 4- a) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien de Chapel Hill sea neutral con respecto al proyecto de ley?.075 y 0.053 para los clientes de fuera y locales. Dos quintos de los clientes de la inmobiliaria Show Me provienen de una red de referencia en otra ciudad.05 de fallar y que un motor tiene el doble de probabilidad de fallar si es el único que está en funcionamiento. respectivamente. ¿cuál forma de transporte es más probable que se haya utilizado para transportar los dibujos perdidos? ¿De qué manera cambiaría la respuesta si la UEP perdiera solamente el 2% de sus paquetes. dado que 70% de los ciudadanos solicitan reembolso de impuestos y 25% de éstos hace trampa. dado que 15% de los automóviles de ese modelo fueron llevados al taller por fallas en los frenos y 2% tuvo problemas en la dirección. Si UEP manda 60% de la paquetería de esa área por ferrocarril. ferrocarril y camión. c) ¿Es justo concluir que la probabilidad de que un representante demócrata seleccionado al azar no fuera reelegido fue de 9/268? Explique la respuesta. Durante los 20 años que tiene en operación la UEP. Para darse una idea de las inclinaciones de los ciudadanos acerca del proyecto. c) un ciudadano llene una solicitud de devolución de impuestos y haga trampa.■ 4- ■ 4. Las posibilidades de vender una casa en cada exhibición son 0. independientemente del modo de transporte? Determine la probabilidad de que a) fallen los dos motores de un pequeño aeroplano. b) un automóvil sea llevado al taller por una falla en los frenos y que además tenga problemas con la dirección. El encargado del departamento de reclamos recibe una llamada del señor Bludeau notificándole que un paquete con los dibujos de toda una semana se ha perdido. son mutuamente excluyentes. en el que esta bola debe meterse al último. De las personas vacunadas y que no muestran reacRepaso del capítulo 175 . Sin embargo. 25% de la población ha sido vacunada.. Una de las bombas produce 75 libras de presión y la otra 100.08 0. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Marcia no obtenga una oferta de trabajo en cualquiera de sus tres siguientes entrevistas? b) Si tiene tres entrevistas por mes. Inc. ¿cuál bomba deberá usar la BMT? b) Si la BMT diseña una junta de cabeza a “prueba de rompimientos” mucho mejor que la que tiene. atascamiento de soporte y rompimiento de juntas. La vacuna protege contra una enfermedad viral contagiosa que tiene 0. Pegleg Woodhull. ¿cuál es la probabilidad de que una caja contenga fruta echada a perder o fruta muy madura? ¿Qué sucede si no son mutuamente excluyentes? Marcia Lerner se graduará dentro de tres meses con una maestría en administración de empresas. ¿cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una oferta de trabajo al mismo tiempo que concluya su maestría? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en las siguientes cinco entrevistas obtenga una oferta de trabajo solamente en la tercera y en la quinta? Un conjunto normal de bolas de billar consta de 15 bolas numeradas del 1 al 15. pero no sabe qué número tienen. 2% de los vacunados presentará síntomas de la enfermedad y 3% de ese grupo morirá a causa de ésta. perdiendo así el juego? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola ocho sea una de las tres primeras que meta? c) ¿Cuál es la probabilidad de que Pegleg gane el juego. Todos los tiros que hace Woodhull son buenos. esto es. ¿fruta muy madura? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar sea ecuatoriana u hondureña? c) Dado que una caja seleccionada al azar contiene fruta muy madura. Una vez que haya sido vacunada. que la bola ocho sea la última en entrar a la buchaca? La BMT.04% de probabilidad de llevar a la muerte a la persona que la adquiere. BMT conoce las siguientes probabilidades asociadas con las bombas: Probabilidad de que el motor falle debido a Atascamiento de los soportes Bomba A Bomba B ■ 4-82 0. ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Honduras? d) Si tener fruta echada a perder y fruta muy madura son eventos mutuamente excluyentes. ¿debería cambiar su decisión? Sandy Irick es la directora de relaciones públicas de un gran laboratorio farmacéutico que ha sido atacado por la prensa por distribuir una vacuna supuestamente insegura. Un investigador ha declarado que la probabilidad de que cualquier persona que no haya sido vacunada adquiera la enfermedad es de 0.03 0. está tratando de decidir cuál de dos bombas de combustible debe usar en el nuevo motor de su automóvil de carreras.000 cajas de plátanos que vienen de Ecuador y Honduras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que meta en la buchaca la bola ocho en su primer tiro.02 Rompimiento de las juntas de la cabeza 0.30. La bolsa de trabajo de su escuela indica que la probabilidad de recibir una oferta de trabajo como resultado de alguna entrevista que se haya llevado a cabo en el campus es de alrededor de 0.000 4. la probabilidad de que adquiera la enfermedad por la vía normal es de cero.07 y es estadísticamente independiente de una entrevista a otra. está interviniendo en el juego conocido como bola ocho. Una inspección de la carga ha arrojado la información siguiente: # de cajas con # de cajas Ecuatoriana Hondureña ■ 4-79 ■ 4-80 ■ 4-81 6.000 Fruta echada a perder Fruta muy madura 200 365 840 295 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar contenga fruta echada a perder?. el famoso jugador de billar ciego.■ 4-78 Un transportista de productos tiene 10. Se le permite tocar las bolas para determinar su posición antes de tirar.11 a) Si los dos desperfectos. y para una conferencia de prensa que se efectuará más tarde ese mismo día. ¿cuál es la probabilidad de que muera? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar muera debido a la vacuna o por la adquisición normal de la enfermedad? El supervisor de prensas de un diario es presionado para que encuentre formas de imprimir el periódico más cerca de la hora de la distribución.5. los aviones pueden estar hasta tres horas de distancia del aeropuerto más cercano. la Boeing introdujo con éxito al servicio comercial aéreo el 777. lo cual implicaría un paro temporal de la prensa. ¿cuál es la probabilidad de que la segunda falle? c) ¿cual es la probabilidad de que ambos motores fallen? Fuente: J 176 mong uropean irlines the rivatized Soar to the Top Capítulo 4 ole F to lo Oceanic Flight by oeing Probabilidad I: ideas introductorias The Wall Street Journal de mayo de : . ¿cuál es la posibilidad de que los cinco transportistas privados ganen mientras que los cinco controlados por el estado incurran en pérdidas? Fuente: rian oleman : ■ 4-86 The Wall Street Journal de julio de En el verano de 1995. a) Si una persona es vacunada. El mercado competitivo parece haber recompensado esta acción. dándole así al personal del departamento editorial un margen para cambios de último momento. Los gobiernos han tenido que pagar subsidios altos y algunas se han privatizado.05% morirá.14 y 0.07. a) Si la bobina de una prensa elegida al azar tiene una probabilidad de 0. ¿cuál es la probabilidad de que una bobina elegida al azar se rompa si funciona a velocidad normal? Remítase al ejercicio 4-83.112 de romperse. respectivamente.■ 4-83 ■ 4-84 ■ 4-85 ciones a la vacuna. ¿cuál es la probabilidad de que la bobina no se rompa si las máquinas funcionan a velocidad normal? b) Si la probabilidad de que una bobina se rompa si las máquinas funcionan a alta velocidad es de 0. Irick debe sacar algunas conclusiones a partir de los datos anteriores para una reunión con el personal directivo de los laboratorios que se llevará a cabo dentro de una hora. ¿cuál es la probabilidad de que muera a causa de la vacuna? Si no fue vacunada. El 777 es un jet de dos turbinas y la AFA había otorgado aprobaciones previas para aviones con cuatro turbinas (como el Jumbo 747) o con amplia experiencia comercial sobre el continente (como el jet biturbina 767). Si las probabilidades de que la bobina se rompa. Hay el doble de probabilidad de que el rollo de papel (la bobina de papel periódico) se rompa si las máquinas funcionan a alta velocidad. Tiene la opción de hacer funcionar las prensas a una velocidad “normal” o al 110% de lo normal. a) ¿cuál es la probabilidad de que falle cualquiera de las turbinas durante un vuelo de 6 horas? b) y si una turbina ha fallado. por razones simbólicas y estratégicas. buscaron la aprobación de la Autoridad Federal Aeronáutica (AFA) para hacer viajes transoceánicos largos como la ruta de Denver a Honolulú. lo que sería una velocidad “alta”. De inmediato.20. Si las fallas de las dos turbinas son eventos independientes. Si la posibilidad de obtener ganancias es 0. de 10 líneas importante. La experiencia con turbinas similares a las del nuevo avión sugiere que la tasa esperada de fallas es una vez cada 50. funcionando la prensa a alta y baja velocidad eran de 0. 0. Considere la proposición de que las ganancias y pérdidas de las líneas aéreas se distribuyen de manera aleatoria y que este resultado ocurrió por azar. cinco eran privadas y cinco estaban bajo el control del estado. El supervisor ha notado que la bobina de papel se rompió durante cada uno de los cuatro últimos tiros (impresiones) y que la velocidad de la prensa no había cambiado en éstas. muchas han pertenecido al estado. Estima que tendrán que funcionar a alta velocidad 60% del tiempo. En 1994. Para los vuelos sobre el mar. ¿cuál es la probabilidad de que la prensa estuviera funcionando a alta velocidad durante los últimos cuatro tiros? Las compañías aéreas sirven como “transporte de carga” en Europa y. Las cinco líneas aéreas privadas reportaron ganancias y las cinco controladas por el estado reportaron pérdidas. un avión grande capaz de llevar más de 300 pasajeros.000 horas de vuelo. 4382 0.04.4830 0.3925 0.2 1.4864 0.3413 0.24 desviaciones estándar a la derecha de la media.4970 0.4713 0.4968 0.4772 0.4 0.4981 0.4959 0.3531 0.4979 0.0040 0.2123 0.3980 0.4941 0.3264 0.2704 0.4798 0.4706 0.1554 0.4987 0.4925 0.3078 0.4913 0.1985 0.1915 0.0596 0.4686 0.3365 0.4956 0.2642 0.4756 0.4989 0.Apéndice tablas 0.4265 0.4441 0.2967 0.0636 0.1772 0.4625 0.4857 0.4898 0.4946 0.4394 0.05 0.3686 0.4960 0.1443 0.4664 0.8 0.2054 0.3186 0.24 z 0.4986 0.4952 0.2324 0.4834 0.4887 0.1406 0.1 0.4345 0.0438 0.4767 0.3790 0.4633 0.4452 0.4842 0.3554 0.4893 0. Reimpreso con licencia de Prentice-Hall.2422 0.0120 0.3438 0.4985 0.4251 0.4979 0.4429 0.4916 0.2088 0.4495 0.0910 0.4949 0. NJ 1976.4 1.0080 0.1179 0.4406 0.3508 0.1808 0.3485 0.4987 0.4961 0.4918 0.3023 0.4943 0.7 2.3770 0.4535 0.3749 0.0675 0.2764 0.0398 0. Mason.4911 0.4505 0.4854 0.4987 0.4049 0.4974 0.4616 0.0714 0.0948 0.4082 0.4032 0.4 2. entre la media y valores positivos de z Media Ejemplo: Para encontrar el área bajo la curva entre la media y un punto que está a 2.2257 0.4826 0. Essentials of Statistics.4978 0.4564 0.4778 0.4986 0.5 2.4066 0.4927 0.4147 0.3 0.4793 0.4920 0.4975 6.4808 0.7 0.4599 0.2734 0.3577 0.0199 0.4962 0.4881 0.2157 0.1217 0.1480 0.4732 0.4965 0.3389 0.4938 0.4463 0.4963 0.1103 0.4945 0.4955 0.4984 0.4678 0.4868 0.4977 0.3159 0.8 2.4977 0.3051 0.4474 0. NJ. del área Apéndice tabla 1 *Áreas bajo la curva de distribución de probabilidad normal estándar.4207 0.4957 0.4591 0.4846 0.3830 0.4875 del área bajo la curva se encuentra entre la media y un valor de z de 2.1255 0.2580 0.4861 0.3869 0.1879 0.4162 0.24.4988 0. 307.4357 0.0832 0.4990 *Tomado de Robert D.06 0.2517 0.4236 0.1628 0.0 2.1844 0.3599 0.2823 0.4983 0.4906 0.9 2.4948 0.3621 0.2673 0.1141 0.08 0.3997 0.4115 0.2 y en la columna del 0.0359 0.0319 0.4750 0.2291 0.4699 0.4332 0.4981 0.4788 0.3849 0.4015 0.4936 0.0987 0. z  2.4971 0.4192 0.4951 0.4783 0.1064 0.4279 0. Inc.6 2.4671 0.2019 0.4850 0.4982 0.1664 0.07 0.1331 0.4982 0.4904 0.4980 0.4989 0.4515 0.1700 0. 0.9 3.2995 0.3 1.2357 0.2939 0.3133 0.9 1.0279 0.4875.4573 0.0 0.00 0.4890 0.3106 0.2881 0.4969 0.4988 0.4976 0.4761 0.2794 0.1 1.1293 0.4964 0.4878 0.4812 0.4525 0.0517 0.1736 0.4875 0.4803 0.4738 0.0557 0.4966 0.3461 0.0239 0.4896 0.4974 0.0 1.4940 0.4884 0.3944 0.2224 0.4649 0.0000 0.4838 0.4932 0.4370 0.3643 0.0478 0.3810 0.4177 0.4901 0.3962 0.4985 0. busque el valor que se encuentra a la altura del renglón correspondiente a 2.4693 0.4418 0.4931 0.4292 0.4222 0.0793 0.4484 0.2454 0.4131 0.4817 0.4719 0.03 0.01 0.1026 0.0871 0.2 0.4554 0.3238 0.4726 0.2910 0.4821 0.1591 0. AT-1 .0753 0.3340 0.8 1.3888 0.3289 0.6 0.1368 0.4744 0.4909 0.0 0.1517 0.3708 0. Englewood Cliffs.3729 0.1950 0.4934 0.2549 0.4990 0.2 2.4306 0.4989 0.4953 0.4929 0.4656 0.3 2.4641 0.4545 0.4972 0.6 1.3907 0.4967 0.4871 0.0160 0.4099 0.5 0.2389 0.5 1.4319 0..3315 0.4922 0.09 0.4608 0.1 2.04 0.2611 0.4973 0.2190 0.4984 0.02 0.2852 0.3212 0. p.2486 0.4582 0.7 1.3665 0. 499 3.960 31.479 2.365 3.833 1.920 2.779 2.423 2.703 1.093 2.571 2. cuando existen 19 grados de libertad.086 2.617 2.831 2.160 2.896 2.861 2.048 2.645 12.132 2.821 6.782 1.01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 Distribución normal 6.015 1.860 1.064 2.747 3.697 1.761 1.841 4.718 2.921 2. Londres (publicado anteriormente por Oliver & Boyd.898 2.541 3.358 2.812 1. LId.602 2.303 3. Grados de libertad 0.650 2.671 1.528 2.552 2.729 Ejemplo: Área combinada de ambos extremos Para encontrar el valor de t que corresponde a un área de 0.169 3.604 4.998 2.467 2.228 2.10 hasta el renglón correspondiente a 19 grados de libertad.721 1.707 3.365 2.753 1.447 2.179 2..943 1.756 2.977 2.807 2.539 2.10 0.10 en ambos extremos de la distribución.681 2.390 2.746 1.624 2.05 0.473 2.131 2.708 1.120 2.306 2.492 2.145 2.706 1.518 2.353 2.02 0.508 2.021 2.845 2.658 1.895 1.045 2.583 2.201 2. Edimburgo) y con licencia de los autores y los editores. busque en la columna encabezada con 0.Apéndice tabla 2 0.032 3.797 2.056 2.262 2.714 1.704 2.729 0.657 9.080 2.042 2.771 2.711 1.106 3.787 2.717 1.740 1.734 1.684 1.05 del área *Áreas combinadas de ambos extremos para formar la distribución t de Student t  1.763 2.05 del área t  1.074 2.457 2.771 1.250 3.725 1.182 2.776 2.060 2.699 1. publicado por Longman Group.796 1.110 2.701 1.660 2. AT-2 Apéndice tablas .055 3.980 1.069 2. Agricultural and Medical Research.878 2.925 5.000 1.326 63.764 2.314 2.052 2.355 3.821 2.485 2.012 2.729. el valor apropiado de t es 1. Statistical Tables for Biological.947 2.706 4.462 2.567 2.819 2.101 2.576 *Tomado de la tabla III de Fisher y Yates.143 2.965 4.500 2.750 2.729 1. 3251 0.0011 0.9703 0.0001 0.0009 0. y en la columna correspondiente localice n y r en el margen izquierdo.3830 0.2573 0.4437 0.10 0.0043 0.0012 0.0002 0. localice p a lo largo del encabezado de la tabla.0001 0.0024 0.0010 0. cuando p 0.0086 0.0562 0.1596 0.1590 0.0000 0.0006 0. 558-569.7787 0.4182 0.0000  0.3280 0.0001 0.0005 0.0109 0.6240 0.3915 0.0847 0.7536 0.0270 0.0729 0.0324 0 0. Reimpreso con licencia de Prentice-Hall.6017 0.1354 0.4069 0.0441 0.3424 0.1195 0.2430 0.0017 0.2618 0.4970 0.3685 0.3102 0.0000 0.0002 0.0922 0.0006 0.0000    0.0000 0.2036 0.3086 0.3793 0.0001 0.3724 0.0645 0.4018 0.0003 0.04 *Probabilidades binomiales 0.3960 0.4984 0.2321 0.0035 0.0102 0.17 0.0000 0. en el margen derecho.5927 0.0001 0.3271 0.6857 0.0004 0.5997 0.0069 0.9127 0.0441 0.2642 0.0012 0.1769 0.0506 0.1084 0.0043 0.1517 0.5584 0.9025 0.1546 0.96 0.2688 0.0000 0.8330 0.3983 0.3451 0.0137 0.9409 0.8080 0.4979 0.0002 0. y n y r arriba.0166 0.0388 0.5718 0.0007 0. NJ.2916 0.0525 0.0076 0.0571 0.0000 0.0003 0. Para localizar la entrada.0012 0.2714 0.82 0.0610 0.3946 0. Para una combinación de n y p.2523 0.4746 0.0325 0.2197 0.0000  0.84 0.0115 0.0000   0.4087 0. © 1990.3164 0.8464 0.5220 0.0406 0.0013 0.0305 0.0146 0.50 localice el valor de p en la parte inferior de la tabla.0081 0.1957 0.89 0.7050 0.9801 1 0.0055 0.99 0.0002 0.1307 0.0254 0.4644 0.0000  0.0008 0.0004 0 0.0036 0.0005 0.1652 0.8281 0.0017 0.1936 0.3543 0.0094 0.2057 0.1638 0.0011 0.0006 0. Levine.0575 0.0000  0.2550 0.5905 0.0000  0.5470 0.3720 0.0021 0.1128 0.8145 0.0088 0.0000  0. Berenson y David M.6485 0.3387 0.0188 0. pp.3631 0.2192 0.4336 0.0000  0.1762 0.0000    0.3479 0.0121 0.0833 0.0055 0.3562 0.0000 0.08 0.9039 0.0000 0.0080 0.11 0.0289 0.3970 0.0000 0.0000  0.0005 0.8853 0.9321 0.1958 0.0001 0.0870 0.7339 0.0422 0.0001 0.0003 0.5314 0.0005 0.0203 0.0134 0.4004 0.2788 0.6585 0.0003 0.0198 2 0.7290 0.0120 0.0175 0.3206 0.0049 0.0017 0.0002 0.0082 0.0669 0.0022 0.0047 0.0001 0.6899 0.7807 0.9606 0.0000  0.0058 3 r n 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 2 r n 0.6470 0.0001 0.05 0.5168 0.2097 0.0000 0.0001 0.0001 0.0100 0.1816 0.0059 0.3888 0.0000  0.0214 0.1295 0.0009 0.0177 0.0659 0.2342 0.5679 0.0014 0. Apéndice tabla 3 0.0392 0. Englewood Cliffs.0007 0.3901 0.1749 0.0816 0.1786 0.0019 0.5578 0.0004 0.2866 0.50.0486 0.0128 0.0292 0.0004 0.2493 0.2262 0.0981 0.9216 0.7828 0.0003 0.0000 0.8858 0.0000  0.0162 0.0013 0.3370 0.0230 0.2922 0.1302 0.2822 0.0299 0.0244 0.0688 0.0003 0.0086 0.8574 0.1472 0.0064 0.07 0.90 0.6957 0.2951 0.12 0.0000 0.7738 0.3993 0.0204 0.1800 0.0338 0.2408 0.1715 0.88 0.7396 0.0000     0.0617 0.0027 0.0020 0.1382 0.0167 0.0394 0.09 P P 0.7921 0.3513 0.0163 0.0008 0.0023 0.5277 0.0000 0.0001 0.0196 0.85 0.03 0.0007 0.0008 0.0061 0.0950 0.5729 0.0486 0.0007 0.0236 0.6889 0.06 0.0000 0.0001 0.0010 0.2713 0.6274 0.1328 0.0714 0.0797 0.0002 0.7225 0.0026 0.1699 0.0022 0.0002 0.5514 0.0001 0.0008 0.0225 0.4423 0.0000   0.0025 0.0007 0.Apéndice tablas AT-3 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 0.0415 0.4783 0.6141 0.0000 0.0000  0.0106 0.3952 0.0028 0.3773 0.0012 0.9224 0.1113 0.0049 0.6064 0.0000 0.0643 0.0380 0.9604 0.0000   0.7514 0.0289 0.3707 0.0027 0.0008 0.9412 0.0016 0.0000    0.8493 0.0576 0.0000 0.0289 0.0076 0.7164 0.0716 0.0036 0.1419 0.0004 0.0001 0.02 n r 0.3827 0.6815 0.0402 0.0853 0.1106 0.0886 0.0001 0.0984 0.0003 0.0274 0. Statistics for Business and Economics.0550 0.0000 0.0034 0.86 0. la entrada indica la probabilidad de obtener un valor específico de r.0001 0.3269 0.0003 0.1993 0.2952 0.0032 0.0000 0.3829 0.1912 0.0582 0.2248 0.0002 0.3170 0.0768 0.0004 0.0392 0.013 Tomado de Mark L.0002 0.0055 0.2252 0.0498 0.0005 0.0000 0.0001 0.0005 0.98 n r 0.8681 0.91 0.0000  0.97 0.6724 2 0.0000 0.0046 0.0000  0.93 0.0135 0.0001 0.0010 0.8847 0.6361 0.8587 0.0169 0.0017 0.0753 0.0000 0.0049 0.0002 0.8836 0.0021 0.3598 0.0000 0.0000 0.6983 0.7481 0.8100 0.0001 0.1240 0.0000 0.9415 0.0066 0.1608 0.0000   0.8154 0.87 0.6561 0.3040 0.1061 0.0000 0.0138 0.3965 0.3935 0.0003 0.2031 0.0001 0.0975 0.0767 0.0191 0.8044 0.0000 0.0001 2 0.0041 0.01 0.0090 0.0051 0.3771 0.1247 0.4521 0.0016 0.0043 0.0000   0.3800 0.0000 0.7569 0.0203 0.83 0.0480 0.0363 0.4704 0.0555 0.8649 0.0011 0.7351 0.0000 0.0136 0.0000 0.2112 0.6591 0.0027 0.0036 0.0071 0.3106 0.0720 0.1240 0.2492 0.4015 0. cuando p 0.0081 0.0574 0.94 0.0000  0.0060 0.0000  0.0349 0.0144 0.2897 0.0000   0.0002 0.3578 0.9510 0.1095 0.15 0.3396 0.0000   0.16 0.1416 0.2614 0.0001 0.1085 0.3888 0.18 .8306 0.0323 0.2391 0.0026 0.0110 0.3685 0.0000  0.0019 0.0105 0.95 0.7744 0.0030 0.3891 0.0191 0.0294 0.3513 0.4046 0.0019 0.0923 0.0001 0.0000  0.0000   0.14 0.7056 0.1452 0.0036 0.0221 0.0142 0.4034 0.0009 0.2236 0.0256 0.1139 0.92 0.0038 0.3939 0.0036 0.2952 1 0. 3884 0.0007 0.1531 0.3721 0.0000      0.3113 0.3178 0.1234 0.4722 0.0001 0.2770 0.07 0.0103 0.6925 0.3847 0.3165 0.0003 0.18 r n 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 r n .0046 0.0087 0.2573 0.0000   0.5730 0.3809 0.6648 0.3712 0.3118 0.0483 0.0134 0.87 0.0000  0.95 0.0125 0.0010 0.0002 0.3691 0.1552 0.0006 0.0000     0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0.0026 0.4279 0.0000    0.0914 0.0000   0.0000     0.1209 0.0000  0.8171 0.0085 0.6096 0.0058 0.0001 0.3643 0.0000   0.5596 0.0042 0.2082 0.0034 0.0000  0.1087 0.1667 0.0019 0.1146 0.0001 0.0511 0.0177 0.2330 0.0000   0.0847 0.0000    0.08 0.0004 0.0326 0.0000    0.0013 0.3923 0.0746 0.1389 0.0001 0.0016 0.90 0.3151 0.0248 0.8508 0.92 0.0024 0.2455 0.0332 0.3770 0.1745 0.91 0.04 0.0029 0.3798 0.0000    0.0032 0.0000     0.0001 0.2758 0.0001 0.6634 0.0746 0.2479 0.12 0.2484 0.0099 0.0021 0.0000   0.11 0.96 0.2295 0.10 0.6302 0.0023 0.0351 0.3438 0.3840 0.0277 0.2856 0.1939 0.0283 0.1722 0.0228 0.0085 0.7374 0.8337 0.0008 0.0888 0.2980 0.0019 0.3679 0.0002 0.2252 0.4703 0.2908 0.0000    0.0034 0.0179 0.0001 0.013 0.1869 0.0115 0.09 P P 0.0058 0.0037 0.2143 0.0519 0.0153 0.3282 0.0001 0.0005 0.0003 0.0348 0.3474 0.0008 0.0006 0.0189 0.03 0.0260 0.3570 0.0001 0.0228 0.1489 0.1288 0.06 0.2597 0.0001 0.7214 0.0004 0.3370 0.0066 0.0695 0.3923 0.0105 0.0013 0.0168 0.3525 0.0000     0.0147 0.0343 0.0000     0.0125 0.0050 0.0574 0.9044 0.7837 0.AT-4 Apéndice tablas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 0.5987 0.2855 0.0077 0.2759 0.2116 0.0629 0.0002 0.0515 0.0003 0.0001 0.0261 0.0000   0.9227 0.1061 0.0001 0.0012 0.17 0.0000    0.1211 0.0052 0.0000    0.93 0.0045 0.0027 0.2992 0.0416 0.1927 0.1749 0.0000   0.86 0.0042 0.0035 0.3897 0.0000      0.0052 0.0000  0.0001 0.1676 0.2119 0.2646 0.0001 0.94 0.3897 0.2376 0.3292 0.0078 0.2316 0.0933 0.1450 0.0988 0.97 0.0015 0.0000     0.0003 0.98 0.0001 0.0000    0.0014 0.99 0.0013 0.0706 0.3017 0.3487 0.0111 1.0002 0.0004 0.0000   0.5386 0.85 0.3851 0.2793 0.0262 0.0446 0.0003 0.0009 0.1084 0.2496 0.02 n r 0.0009 0.16 0.3826 0.0004 0.1374 0.3892 0.9135 0.3854 0.3331 0.0004 0.5132 0.1600 0.0000   0.0839 0.0000    0.0001 0.3596 0.2052 0.3695 0.3504 0.1349 0.1488 0.0840 0.4344 0.0000      0.0401 0.0573 0.0000     0.0959 0.1298 0.0186 0.14 0.2597 0.0800 0.2725 0.3312 0.0185 0.3777 0.0000    0.0074 0.2720 0.0108 0.0000       0.1937 0.3446 0.4305 0.0000   0.2823 0.0004 0.1684 0.0112 0.84 0.0490 0.0000   0.2985 0.0723 0.0000   0.3874 0.0064 0.0000       n r 0.0830 0.3894 0.2213 0.0089 0.3603 0.0005 0.0000   0.0004 0.0255 0.0002 0.0006 0.2639 0.0995 0.0019 0.0202 0.0026 0.1069 0.0001 0.0006 0.0433 0.0033 0.0331 0.0001 0.2220 0.0000    0.0141 0.0000  0.0000   0.0000  0.0033 0.3874 0.0415 0.88 0.1969 0.7602 0.82 0.5204 0.1478 0.0452 0.0000  0.0006 0.0000     0.2044 0.0002 0.0000  0.0000   0.0026 0.0002 0.0012 0.83 0.0000  0.3874 0.1872 0.0019 0.0009 0.0001 0.0008 0.0054 0.0001 0.0002 0.0000   0.0047 0.0000    0.0138 0.0005 0.4840 0.1507 0.2518 0.1285 0.0000     0.0018 0.0001 0.2281 0.0006 0.0153 0.01 0.0031 0.2785 0.0670 0.3590 0.0000  0.0674 0.0000      0.0613 0.2929 0.15 0.2405 0.0210 0.0345 0.0317 0.0556 0.0012 0.89 0.0021 0.0001 0.1714 0.3777 0.3569 0.3937 0.0003 0.05 0.0064 0.0000    0. 0000          0.0031 0.0000       0.0000             0.2939 0.3734 0.0085 0.0045 0.0000      0.0001 0.1074 0.0694 0.1595 0.2627 0.89 0.3827 0.2093 0.0988 0.0874 0.0002 0.0011 0.1189 0.0000         0.1615 0.0567 0.2389 0.08 0.0145 0.0012 0.0213 0.2430 0.0005 0.0001 0.0216 0.0011 0.3703 0.0000           0.1062 0.1468 0.2358 0.1156 0.0065 0.2575 0.2082 0.2301 0.0069 0.0003 0.0689 0.3413 0.7847 0.0931 0.0000           0.1069 0.0438 0.0002 0.0148 0.0003 0.0008 0.3953 0.3774 0.0028 0.2410 0.2771 0.10 0.2293 0.0000    0.0039 0.3605 0.0002 0.2824 0.0153 0.0001 0.2342 0.0662 0.0285 0.6938 0.0464 0.0030 0.0008 0.2578 0.0014 0.2470 0.0000            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 0.0001 0.2542 0.0364 0.0555 0.3364 0.0266 0.1234 0.0053 0.0000          0.3006 0.0047 0.0040 0.0000        0.0002 0.3837 0.2403 0.1099 0.2960 0.0000       0.99 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 0.85 0.0216 0.2903 0.0001 0.0233 0.0000       0.0223 0.0038 0.1139 0.0000               0.0353 0.0307 0.0653 0.1299 0.0000         0.0000    0.0000      0.0323 0.1821 0.0013 0.0001 0.0000        0.0006 0.0001 0.0000            0.0636 0.0002 0.82 0.2863 0.0490 0.0097 0.1720 0.0364 0.2955 0.0277 0.2897 0.1887 0.0000                 0.2409 0.0001 0.2273 0.0105 0.5438 0.0019 0.0226 0.2822 0.2300 0.2434 0.0002 0.0080 0.0008 0.0468 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0.2053 0.1028 0.8601 0.0000      0.2818 0.2647 0.0000      0.0021 0.1880 0.1496 0.1203 0.0001 0.0004 0.0128 0.0829 0.0988 0.0189 0.0000         0.0003 0.0819 0.0713 0.0005 0.0000      0.1516 0.0092 0.0369 0.1666 0.2003 0.0000      0.0002 0.3367 0.1951 0.0005 0.3658 0.95 0.0033 0.2521 0.0043 0.0004 0.0272 0.0000          0.2711 0.0004 0.2278 0.2157 0.0780 0.0000       0.2669 0.3282 0.1041 0.3781 0.0000       0.0569 0.2852 0.0317 0.0030 0.0373 0.0133 0.0000     0.0510 0.0000     0.0006 0.0003 0.0596 0.0241 0.07 0.2246 0.0013 0.2740 0.1345 0.0000           0.0305 0.1458 0.0017 0.0731 0.1303 0.0096 0.0065 0.6127 0.0069 0.5404 0.11 0.2021 0.0029 0.0357 0.91 0.1741 0.0000              0.4420 0.0175 0.2725 0.1844 0.0001 0.0017 0.88 0.0007 0.8179 0.0611 0.1348 0.2261 0.0449 0.3663 0.2044 0.0360 0.0024 0.97 0.0852 0.3526 0.2692 0.0245 0.3225 0.86 0.0067 0.3000 0.1878 0.0000    0.1026 0.1652 0.Apéndice tablas AT-5 0.0683 0.3801 0.2821 0.2428 0.02 0.6333 0.0008 0.2125 0.04 0.0022 0.0011 0.0000    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0.0137 0.0080 0.1194 0.3432 0.0092 0.0648 0.0293 0.2215 0.0019 0.1811 0.0001 0.0900 0.0010 0.28 0.1313 0.0003 0.4271 0.0441 0.64 0.0913 0.0375 0.0003 0.0091 0.1393 0.2297 0.0004 0.0250 0.3573 0.0004 0.3020 0.3848 0.0803 0.0053 0.4096 0.0220 0.0819 0.1890 0.0043 0.2252 0.2065 0.1746 0.2909 0.0003 0.0756 0.2745 0.0053 0.4410 0.0886 0.1406 0.4352 0.3150 0.3007 0.4118 0.0251 0.2673 0.1350 0.2841 0.0187 0.1379 0.3932 0.4624 0.1927 0.4219 0.2488 0.0018 0.0003 0.0020 0.2342 0.1712 0.0071 0.1252 0.0595 0.0328 0.3078 2 0.3087 0.4200 0.0061 0.0799 0.19 0.3040 0.66 0.5041 0.0002 0.0727 0.1605 0.74 0.2600 0.1454 0.2458 0.3579 0.0001 0.0006 0.2288 0.3513 0.1845 0.2999 0.0066 0.3186 0.0000 0.3560 0.3275 0.2431 0.1996 0.0951 0.0156 0.77 0.2439 0.1767 0.0001 0.5184 0.1421 0.0440 0.0010 0.0469 0.2189 0.1147 0.1024 0.3206 0.3970 0.0001 0.21 0.3732 0.3702 0.0045 0.0873 0.3285 0.0672 0.5314 0.4003 0.2090 0.3156 0.1214 0.3174 0.1541 0.0013 0.3834 0.3200 0.0180 0.0074 0.79 0.1033 0.0330 0.4489 0.0879 0.2355 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0.1963 0.2336 0.0284 0.1060 0.0019 0.2106 0.0775 0.2936 0.0001 0.0096 0.0000 0.2386 0.1168 0.2942 0.3020 0.0108 0.0098 0.0000    0.0008 0.0687 0.1229 0.0000   0.0040 0.0665 0.0007 0.0000 0.0839 0.66 0.1016 0.0047 0.2668 0.0040 0.0001 0.0001 0.0084 0.2384 0.0000  0.0009 0.0000  0.0060 0.0245 0.3010 0.0000 0.0001 0.0003 0.1608 0.1137 0.0001 0.0070 0.0115 0.0000 0.1281 0.2816 0.1465 0.80 n r 0.1590 0.0933 0.0000 0.30 0.0082 0.2377 0.1278 0.0011 0.2668 0.2662 0.0689 0.2558 0.2222 0.0113 0.0368 0.0049 0.0045 0.0001 0.2558 0.2030 0.0664 0.0434 0.0031 0.1216 0.2253 0.1429 0.77 0.0003 0.0360 0.1712 0.1278 0.0906 0.0218 0.3003 0.0912 0.0048 0.0031 0.2835 0.3092 0.2052 0.0019 0.0000 0.0563 0.0074 0.0002 0.0291 0.2376 0.0025 0.1903 0.1088 0.0340 0.1143 0.0139 0.2904 0.2013 0.0881 0.0646 0.2721 0.1255 0.2731 0.0404 0.0018 0.2984 0.1079 0.0430 0.0798 0.1960 0.0100 0.0016 0.2867 0.0583 0.0010 0.1807 0.2429 0.0000 0.0003 0.0422 0.74 0.0234 0.2646 0.0000  0.0995 0.3049 0.0319 0.0000 0.2693 0.0804 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0.0005 0.0000 0.0002 0.0002 0.0172 0.2614 0.0194 0.2241 0.0005 0.0000   0.0001 0.1433 0.0116 0.0055 0.0852 0.0200 0.0031 0.1342 0.2805 0.76 0.1730 0.2855 0.0000 0.0530 0.2110 0.3355 0.1678 0.1004 0.1636 0.0001 0.0002 0.0659 0.1501 0.0130 0.29 0.0456 0.0023 0.2503 0.0138 0.2014 0.2885 0.0952 0.2835 0.0238 0.2460 0.2122 0.24 0.1600 0.0341 0.0792 0.1879 0.3169 0.2957 0.2444 0.0000   0.2382 0.0000 0.0000  0.2424 0.0199 0.1206 0.0168 0.1484 0.0012 0.1552 0.0011 0.2668 0.0317 0.0616 0.0038 0.0449 0.0109 0.0000  0.0628 0.0082 0.0885 0.0025 0.0002 0.0069 0.2756 0.2184 0.0036 0.0010 0.0542 0.28 0.0116 0.1099 0.0039 0.0986 0.2104 0.1589 0.2335 0.1128 0.0134 0.0181 0.32 0.1828 0.0373 0.0000  0.2965 0.2624 0.0179 0.73 0.0003 0.0424 0.0000  0.1585 0.1181 0.21 0.0188 0.0137 0.0954 0.1460 0.2548 0.1102 0.1370 0.1885 0.2324 0.3061 0.0088 0.2852 0.0047 0.2272 0.0092 0.0457 0.0591 0.26 0.0240 0.0246 0.0001 0.0808 0.0000 0.3087 0.72 0.0155 0.0000  0.2261 0.2247 0.0057 0.0904 0.0285 0.0607 0.2151 0.1029 0.0865 0.0000  0.0001 0.2517 0.0008 0.2899 0.Apéndice tablas AT-7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 10 12 0.0000 0.1775 0.1963 0.0001 0.2062 0.1056 0.2362 0.0514 0.0063 0.2511 0.1853 0.0073 0.1032 0.0182 0.2713 0.0002 0.1873 0.2373 0.2311 0.2068 0.22 0.0722 0.0513 0.0196 0.0004 0.2644 0.0899 0.1820 0.0482 0.0576 0.3226 0.0001 0.0000  0.2684 0.1180 0.0006 0.1973 0.0001 0.0000 0.27 P P 0.2973 0.0005 0.2238 0.0057 0.0164 0.0195 0.3052 0.1343 0.0000 0.1673 0.1499 0.0165 0.0704 0.0621 0.0689 0.2397 0.75 0.1883 0.0005 0.2194 0.0000  0.0000 0.1195 0.0000  0.0038 0.2039 0.0250 0.0005 0.2464 0.0024 0.0015 0.0002 0.0003 0.0657 0.2662 0.0591 0.2076 0.0368 0.1798 0.0521 0.1891 0.0661 0.0001 0.0326 0.0000 0.1820 0.0001 0.0001 0.1156 0.0127 0.0207 0.79 0.0313 0.0154 0.2349 0.2017 0.2265 0.0264 0.2285 0.0527 0.0547 0.0000 0.1717 0.0000   0.2340 0.2188 0.23 0.3020 0.0422 0.0207 0.0210 0.0000 0.1367 0.0806 0.25 0.0193 0.0059 0.2675 0.0285 0.1373 0.0058 0.2573 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11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 r n .0174 0.0779 0.1678 0.0000     0.0000     0.0010 0.0253 0.0217 0.0004 0.0198 0.1537 0.0001 0.0003 0.1226 0.0014 0.0000   0.0008 0.0750 0.1844 0.2168 0.21 0.0952 0.0001 0.0005 0.0005 0.1858 0.0163 0.0293 0.0924 0.0398 0.1319 0.2155 0.0007 0.0000   0.0476 0.19 0.1651 0.79 0.2490 0.0336 0.0005 0.0128 0.0000   0.0025 0.1868 0.0000     0. 1763 0.4084 0.0345 0.0196 0.0312 0.3604 0.0102 0.0729 0.2923 0.2994 0.0554 0.2400 0.49 7 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 0.0609 0.4992 0.1654 0.1759 0.0011 0.0342 0.3235 0.0090 0.0229 0.1976 0.0284 0.3750 0.0027 0.0625 0.0073 0.1536 0.1854 0.3738 0.1132 0.3894 0.1478 0.2671 0.2937 0.0055 0.2025 0.3428 0.0503 0.0731 0.3125 0.60 0.0445 0.2587 0.1361 0.2300 0.2704 0.0147 0.3452 0.2527 0.61 0.4998 0.0729 0.1106 0.0311 0.3136 0.0051 0.52 0.42 0.2239 0.2990 0.38 n r 0.0283 0.2031 0.0195 0.2831 0.2383 0.1838 0.0864 0.0255 0.2203 0.3702 0.51 0.3289 0.0950 0.3511 0.3110 0.4838 0.2809 0.4191 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P 0.Apéndice tablas AT-9 0.2484 0.1470 0.2686 0.1666 0.50 r n .0117 0.3541 0.0280 0.0277 0.1447 0.0455 0.57 0.2880 0.1293 0.2304 0.1866 0.2780 0.0850 0.1951 0.3065 0.2698 0.3594 0.0410 0.0187 0.1664 0.2914 0.0063 0.2916 0.0625 0.2388 0.0778 0.3252 0.3032 0.2891 0.3110 0.53 0.3260 0.2757 0.3723 0.0872 0.0252 0.2399 0.0706 0.3091 0.1128 0.2830 0.1475 0.3721 0.2853 0.1049 0.0902 0.0911 0.0014 0.2592 0.0113 0.3185 0.3278 0.4140 0.3400 0.0165 0.1250 0.3674 0.3330 0.0256 0.0026 0.3185 0.1276 0.3961 0.3060 0.2778 0.58 0.46 0.1640 0.0602 0.0352 0.3442 0.3747 0.0069 0.2209 0.0774 0.0834 0.3240 0.2102 0.0009 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 n r 0.1261 0.3125 0.1116 0.40 0.2734 0.2916 0.0531 0.1935 0.2164 0.2436 0.2903 0.2059 0.0030 0.1543 0.0343 0.2401 0.0923 0.2207 0.0494 0.4800 0.2793 0.0488 0.4024 0.0551 0.2601 0.0198 0.2613 0.3701 0.3055 0.0206 0.2975 0.48 0.55 0.0705 0.2543 0.3456 0.0394 0.3600 0.2201 0. 0263 0.0273 0.0578 0.44 0.1469 0.0983 0.1734 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0.2488 0.0403 0.0517 0.1020 0.1172 0.0046 0.0035 0.0010 0.0637 0.2027 0.2695 0.0318 0.2187 0.0010 0.2291 0.1239 0.2098 0.0463 0.1023 0.0743 0.0168 0.2007 01115 0.2503 0.48 0.2319 0.1312 0.2717 0.1080 0.0070 0.2322 0.0097 0.2044 0.2394 0.0324 0.0006 0.2665 0.37 0.2242 0.0207 0.1569 0.0971 0.1402 0.1332 0.0231 0.0064 0.2397 0.63 0.0343 0.0001 0.1275 0.0043 0.0084 0.0442 0.2344 0.0184 0.1564 0.45 0.0991 0.0001 0.2297 0.0023 0.1966 0.0030 0.1475 0.0512 0.0074 0.0824 0.0011 0.1464 0.0075 0.0097 0.2280 0.2461 0.2162 0.0554 01364 0.1209 0.1183 0.1865 02462 0.0934 0.2759 0.0128 0.0033 0.1963 0.0215 0.2461 0.2207 0.0355 0.0017 0.1837 0.2503 0.2237 0.0285 0.0051 0.1071 0.0853 0.0180 0.2571 0.2067 0.0035 0.0176 0.0312 0.0106 0.57 0.0001 0.2660 0.0010 0.0188 0.0816 0.0431 0.0003 0.0012 0.0155 0.1765 0.1692 0.0673 0.0776 0.2618 0.2347 0.0092 0.0843 0.0001 0.0439 0.0439 0.1641 0.0084 0.0003 0.59 0.1878 0.0005 0.1955 0.0395 0.1665 0.56 0.0060 0.0009 0.0067 0.0021 0.0367 0.2568 0.1719 0.0263 0.2417 0.0017 0.0039 0.0339 0.0029 0.2271 0.0484 0.0900 0.1863 0.2090 0.1829 0.0619 0.0494 0.AT-10 Apéndice tablas 0.2006 0.0635 0.2590 0.1348 0.0008 0.2545 0.1166 0.0202 0.0004 0.2580 0.0218 0.0819 0.2119 0.2384 0.0006 0.2207 0.41 0.0004 0.2627 0.0002 0.1111 0.1147 0.0002 0.1094 0.0774 0.2508 0.1776 0.0046 0.0153 0.1672 0.0514 0.0005 0.0090 0.1058 0.1371 0.2204 0.1445 0.0062 0.0763 0.0360 0.0608 0.1529 0.2567 0.0003 0.0212 0.0407 0.0057 0.1525 0.2508 0.0071 0.0277 0.0060 0.2340 0.39 0.0905 0.53 0.0087 0.1376 0.0002 0.0493 0.1985 0.2441 0.1267 0.43 P P 0.0124 0.1739 0.0456 0.2601 0.0425 0.2506 0.1204 0.0571 0.0143 0.0012 0.0014 0.0002 0.2130 0.2273 0.0004 0.0008 0.0192 0.2487 0.1941 0.0934 0.0539 0.0383 0.1499 0.0279 0.0158 0.0083 0.1786 0.0039 0.0542 0.2383 0.0079 0.2573 0.0107 0.2150 0.2442 0.2194 0.0098 0.2627 0.1209 0.1912 0.0327 0.0020 0.2407 0.2397 0.55 0.2456 0.1816 0.2461 0.0005 0.0171 0.2679 0.1574 0.0024 0.2051 0.50 r n 0.0028 0.0000 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n r 0.0132 0.0605 0.0176 0.38 n r 0.1301 0.0042 0.0014 0.0703 0.0029 0.0133 0.0374 0.0703 0.0156 0.1933 0.0896 0.60 0.0059 0.40 0.0053 0.1160 0.0001 0.2461 0.2600 0.2187 0.0164 0.46 0.0742 0.2723 0. 1318 0.0916 0.0000 0.0432 0.0830 0.0134 0.1851 0.1859 0.0001 0.0918 0.0007 0.0000 0.54 0.0762 0.0038 0.0003 0.0890 0.0470 0.0661 0.0502 0.0024 0.0303 0.1780 0.1585 0.1201 0.0000   0.0040 0.0370 0.0945 0.0000  0.0489 0.0013 0.0003 0.1790 0.0002 0.1295 0.0001 0.0000 0.0684 0.47 0.0691 0.0046 0.0016 0.0716 0.0005 0.0148 0.0063 0.0890 0.1602 0.0023 0.0010 0.0000 n r 0.0746 0.0148 0.1580 0.0000 0.1602 0.0002 0.2225 0.0314 0.0173 0.0369 0.0029 0.0014 0.0220 0.2171 0.0002 0.0217 0.0020 0.0001 0.1634 0.44 0.0004 0.0000 0.0727 0.0000  0.2256 0.0014 0.0232 0.0062 0.0442 0.0206 0.1973 0.1204 0.0001 0.0911 0.1768 0.0991 0.0108 0.0059 0.0354 0.0178 0.39 0.0001 0.1370 0.0844 0.0000 0.1585 0.0048 0.0002 0.0780 0.0004 0.0407 0.0000    0.0006 0.0653 0.0005 0.0074 0.0739 0.2010 0.0130 0.0001 0.0056 0.60 0.0071 0.2013 0.0365 0.0104 0.0000 0.0005 0.2003 0.0143 0.1934 0.0011 0.0060 0.0572 0.1659 0.0016 0.0008 0.42 0.2270 0.0150 0.0036 0.0000 0.0098 0.1037 0.0024 0.0000 0.0450 0.2246 0.0006 0.56 0.52 0.0427 0.0074 0.0148 0.0000   0.0090 0.0420 0.0079 0.1527 0.0018 0.0139 0.62 0.0038 0.0139 0.1693 0.0021 0.0295 0.1853 0.0000 0.1647 0.1489 0.0010 0.0022 0.1413 0.1730 0.0388 0.0002 0.1181 0.1502 0.0206 0.0716 0.0000  0.0573 0.1933 0.0189 0.1268 0.0183 0.1280 0.0031 0.0311 0.0191 0.0005 0.0003 0.1617 0.0617 0.0000 0.2302 0.0801 0.0634 0.0486 0.0000 0.0916 0.1997 0.2051 0.2208 0.0000    0.2134 0.0052 0.0000 0.0478 0.0000 0.0006 0.0001 0.0974 0.1900 0.2284 0.1048 0.1354 0.0139 0.0064 0.0219 0.0318 0.2041 0.0017 0.0561 0.0058 0.0116 0.0497 0.0019 0.1376 0.0221 0.0390 0.0237 0.0001 0.0008 0.1374 0.0029 0.1727 0.0003 0.0206 0.1790 0.2124 0.0001 0.0642 0.0000  0.0174 0.0479 0.2128 0.0612 0.0009 0.0049 0.0895 0.0118 0.0417 0.1774 0.0025 0.0000    0.1987 0.0985 0.0925 0.0370 0.1198 0.0963 0.0836 0.1444 0.0741 0.1404 0.0016 0.1023 0.0001 0.1221 0.0559 0.0197 0.0901 0.1997 0.0299 0.0016 0.1700 0.0537 0.0954 0.0031 0.1163 0.0074 0.0014 0.0274 0.0000 0.0930 0.0078 0.0064 0.2195 0.49 0.0092 0.1732 0.0010 0.0001 0.0018 0.0019 0.1597 0.0052 0.0001 0.0482 0.2184 0.0003 0.0696 0.0000    0.0000   0.0038 0.0260 0.0046 0.1700 0.53 0.1797 0.0496 0.1304 0.0003 0.0125 0.2008 0.0028 0.0545 0.0827 0.1434 0.1393 0.0010 0.0006 0.0006 0.0003 0.0775 0.0000  0.0002 0.0011 0.0426 0.0002 0.0002 0.0010 0.2075 0.0611 0.0080 0.50 r n .1314 0.0148 0.0170 0.0002 0.0001 0.0091 0.1201 0.0185 0.0008 0.0367 0.0000 0.0121 0.1481 0.1771 0.0161 0.1755 0.1140 0.1851 0.1405 0.1767 0.0264 0.0245 0.0175 0.0204 0.0039 0.0043 0.1020 0.0604 0.40 0.0319 0.0013 0.1543 0.0000 0.0266 0.1734 0.1010 0.0062 0.0123 0.0038 0.0366 0.0875 0.2028 0.0417 0.0027 0.37 0.1593 0.0002 0.0000 0.0032 0.1778 0.0000 0.0180 0.2008 0.1707 0.0863 0.0003 0.0585 0.1702 0.1051 0.0001 0.2020 0.1964 0.0086 0.0005 0.0658 0.2060 0.1279 0.0022 0.0030 0.1675 0.61 0.1623 0.1089 0.0318 0.0639 0.1306 0.0001 0.1208 0.0013 0.0002 0.0004 0.0008 0.0247 0.1864 0.0078 0.2068 0.2163 0.0000 0.0005 0.0137 0.0429 0.1113 0.0746 0.0002 0.0006 0.1419 0.2285 0.0355 0.1268 0.1347 0.0843 0.0558 0.1763 0.0339 0.0049 0.0098 0.0000 0.2254 0.0036 0.0000 0.1840 0.0002 0.0031 0.59 0.1103 0.1949 0.2256 0.1602 0.0027 0.0026 0.0656 0.1474 0.0818 0.0068 0.1964 0.0276 0.0152 0.0005 0.1722 0.0032 0.0020 0.2040 0.0012 0.0011 0.1742 0.0417 0.0002 0.2234 0.0038 0.2276 0.0032 0.0467 0.0000   0.63 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 n r 0.0255 0.1553 0.0126 0.0040 0.0010 0.0007 0.1652 0.0001 0.1533 0.46 0.1524 0.1241 0.Apéndice tablas AT-11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 20 0.1812 0.1482 0.48 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 0.0047 0.1296 0.1598 0.0367 0.1742 0.0002 0.0100 0.0000 0.0000   0.1691 0.0166 0.1708 0.0000   0.1502 0.1561 0.0000 0.0075 0.0020 0.0542 0.1768 0.0006 0.1009 0.1446 0.0839 0.0001 0.1771 0.0310 0.0475 0.0538 0.0082 0.51  0.1470 0.0710 0.45 0.0071 0.1144 0.0008 0.1526 0.2030 0.2250 0.1766 0.0624 0.0577 0.0005 0.0239 0.1105 0.0567 0.1742 0.2210 0.1683 0.0051 0.0000   0.1208 0.0001 0.0005 0.0004 0.0004 0.0000  0.0116 0.1388 0.0001 0.0001 0.0013 0.1455 0.0094 0.0309 0.0046 0.0146 0.0113 0.0098 0.0008 0.0064 0.1661 0.1526 0.0739 0.0000 0.1244 0.0122 0.1171 0.1608 0.0412 0.0004 0.0272 0.0515 0.41 0.0040 0.0096 0.2066 0.1122 0.0001 0.0029 0.0090 0.0060 0.0277 0.1211 0.1794 0.0000  0.0226 0.0001 0.0161 0.0746 0.1762 0.0537 0.0288 0.0294 0.0000  0.0869 0.0001 0.1931 0.1800 0.0754 0.0010 0.0161 0.38 0.1886 0.0337 0.1763 0.0042 0.0001 0.1015 0.1447 0.0001 0.0217 0.0031 0.0001 0.1061 0.0156 0.1914 0.0003 0.0007 0.58 0.0007 0.0501 0.1073 0.0025 0.1934 0.0106 0.1338 0.0002 0.0024 0.0008 0.0000 0.57 0.0361 0.0009 0.0002 0.0013 0.0001 0.43 P P 0.55 0.1919 0.0050 0.1527 0.1678 0.1359 0.0000  0.0001 0.0074 0.0011 0.0000 0.0001 0.0185 0.0012 0.0923 0.1587 0.1504 0.0260 0.0005 0.0205 0.1082 0.0676 0.0049 0.0805 0.0022 0.0418 0.0111 0.0224 0.0249 0.1106 0.0350 0.0087 0.0936 0.0004 0.2059 0.0016 0.0001 0.0830 0.1007 0.0003 0.1658 0.0034 0.0013 0.1967 0.0800 0.1111 0.2054 0.1185 0.0542 0.50 r n  0.1516 0.0259 0.0017 0. 00136 0.30119 0.1 1.8 5.0 6.3 0.7 5.1 5.0 3.1 4.00027 0.11080 0.00303 0.00552 0.9 4.00674 5.0 4.5 8.00061 0.2 6.2 3.3 7.1 3.0 0.9 1.01357 0.00022 0.02237 0.27253 0.10026 0.9 3.00452 0.8 8.00274 0.01657 0.2 4.6 9.00409 0.18268 0.9 9.3 6.00184 0.49659 0.8 2.00007 0.5 1.81873 0.2 1.04505 0.5 4.9 8.00166 0.00499 0.3 4.04979 0.00111 0.00823 0.4 4.0 7.9 5.4 3.06721 0.07427 0.13534 0.7 4.00745 0.00101 0.00012 0.01228 0.60653 0.5 9.5 3.6 1.00050 0.00017 0.02472 0.7 1.7 0.05502 0.20190 0.40657 0.6 5.7 3.2 7.3 5.2 5.00030 0.44933 0.4 0.74082 0.00018 0.36788 0.00041 0.6 8.0 8.4 1.5 5.00150 0.0 0.4 8.22313 0.00335 0.8 7.1 8.2 0.00075 0.3 8.54881 0.2 2.01005 0.8 0.8 9.00010 0.06081 0.5 0.3 2.8 3.9 6.00370 0.00025 0.00014 0.00224 0.00034 0.00005 Apéndice tablas .03020 0.6 2.0 2.04076 0.08208 2.02732 0.00020 0.9 10.6 0.09072 0.4 5.00203 0.90484 0.4 9.00610 0.1 0.5 6.5 0.3 3.00045 0.12246 0.6 6.5 0.6 3.16530 0.00055 7.7 2.0 1.0 9.3 1.00248 0.00068 0.7 8.7 9.00123 0.7 7.02024 0.4 7.2 8.24660 0.00091 0.01832 0.8 6.00008 0.4 2.67032 0.8 4.00015 0.14957 0.6 7.00006 0.00910 0.9 7.00006 0.00083 0.00011 0.Apéndice tabla 4(a) Valores de eⴚ para calcular probabilidades de Poisson AT-12  e  e  e  e 0.1 7.00007 0.00037 0.03337 0.6 4.1 9.00005 0.1 2.4 6.7 6.33287 0.9 2.3 9.01111 0.01500 0.1 6.8 1.2 9.00009 0.03688 0. 0015 0.8187 0.0001 0.0206 0.0045 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 0.2681 0.2169 0.0417 0.0536 0.2231 0.0 0 1 2 3 4 0.3452 0.1488 0.2725 0.2019 0.0000 0.2306 0.0812 0.1336 0.0198 0.0009 0.0001 0.0284 0.2 1.2176 0.0120 0.0000 0.0613 0.6065 0.0072 0.Apéndice tabla 4(b) Valores directos para determinar probabilidades de Poisson Para un valor dado de .3 2.0000 0.6 2.0005 0.0084 0.4493 0.2572 0.1108 0.0000 0.0016 0.0002 0.0020 0.0000 0.0068 0.0002 0.0068 0.0001 0.0001 0.0035 0.0001 0.0000 0.0000 0.0038 0.0278 0.0009 0.0476 0.0031 0.5 1.2033 0.1496 0.2975 0.0025 0.0008 0.2205 0.0003 0.2438 0.1217 0.0015 0.0905 0.0004 0.0 0 1 2 3 4 0.1931 0.0000 0.3033 0.0001 0.0111 0.2240 0.9048 0.1839 0.0000 0. la entrada indica la probabilidad de obtener un valor específico de X.0007 0.0004 0.0001 0.2613 0.0000 0.7 1.0992 0.0872 0.0203 0.2565 0.0804 0.1703 0.0743 0.0020 0.0001 0.2314 0.0003 0.0057 0.0471 0.0045 0.1557 0.2225 0.2384 0.0000 0.3595 0.0000 0.1496 0.0758 0.0001 0.0000 0.0006 0.0176 0.1414 0.0867 0.0044 0.0027 0.1 2.0000 0.0000 0.0019 0.0004 0.0000 0.3543 0.3293 0.1438 0.8 2.0738 0.0000 0.0005 0.0077 0.1254 0.0001 0.0118 0.0216 0.2052 0.0000 0.5 2.0034 0.0005 0.4 1.0551 0.0216 0.0000 0.0011 0.0018 0.0902 5 6 7 8 9 0.0723 0.0668 0.1128 0.0000 0.0319 0.0011 0.2678 0.1680 5 6 7 8 9 0.4 0.1169 0.1647 0.0000 0.1622 0.1890 0.2417 0.0000 0.0309 0.0001 0.0008 0.0602 0.0005 0.0002 0.0000 0.0362 0.6 1.2510 0.0000 0.0163 0.3230 0.2090 0.3659 0.0002 0.0007 0.0608 0.0000 0.1637 0.0002 0.2640 0.2138 0.0002  X 2.0002 0.8 1.0153 5 6 7 0.1 1.0002 0.1607 0.0164 0.0000 0.0022 0.0395 0.0538 0.0000 0.4066 0.0083 0.0735 0.6703 0.0494 0.0324 0.  X 0.3614 0.0081 0.0027 10 11 12 0.0000 0.9 3.2 2.1815 0.2014 0.1378 0.5 0.0000 0.3476 0.2700 0.0241 0.0139 0.8 0.0001 Apéndice tablas AT-13 .0003 0.0636 0.2240 0.0146 0.0000 0.0003 0.0031 0.2177 0.3012 0.0098 0.0498 0.9 1.0018 0.0988 0.0126 0.0008 0.0188 0.0001 0.2707 0.0026 0.0361 0.0012 0.7408 0.1082 0.2 0.0003 0.0007 0.3 1.5488 0.0000 0.2707 0.0260 0.0383 0.2222 0.0002 0.0000 0.1827 0.0000 0.0672 0.0050 0.1966 0.0047 0.0 0 1 2 3 4 0.1003 0.3679 0.2700 0.3 0.0062 0.1255 0.0455 0.2584 0.0030 0.1710 0.0002 0.0055 0.2652 0.4 2.0011 0.7 0.0000 0.0014 0.1804 0.0078 0.0001 0.0333 0.1596 0.0550 0.0174 0.3106 0.1653 0.1494 0.0940 0.0003 0.0000 0.9 2.2466 0.0099 0.2510 0.0001 0.1008 0.0260 0.0001  X 1.0821 0.0006 0.6 0.0504 0.0061 0.0998 0.1 0.2450 0.0047 0.2681 0.0141 0.3347 0.4966 0.0111 0.0000 0.0005 0.0000 0.0907 0.2237 0.1353 0.0000 0.0033 0.0407 0.3662 0.0000 0.0012 0.2303 0.1225 0.3679 0.2842 0.0011 0.7 2.3329 0. 2 3.0793 0.0007 0.0028 0.0001 0.1931 0.0273 0.0113 0.1574 0.0021 0.0056 0.2087 0.0176 0.0395 0.0104 0.1237 0.1393 0.8 4.0002 0.0462 0.0002 0.0132 10 11 12 13 14 0.0004 0.0733 0.1397 0.1678 0.0001 0.0003 0.0183 0.0000 0.0001 0.0013 0.0147 0.0200 0.2046 0.0003 0.0064 0.0001 0.0246 0.0007 0.0052 0.0000 0.0686 0.1888 0.0111 0.0679 0.0537 0.1093 0.0026 0.1681 0.0914 0.0008 0.0065 0.1163 0.0001 0.0701 0.0024 0.0732 0.1057 0.1 4.0150 0.0466 0.0082 0.0032 0.0118 0.1755 5 6 7 8 9 0.0544 0.0004 0.1477 0.0392 0.1234 0.0003 0.0104 0.0654 0.0019 0.0001 0.0001 0.0013 0.0428 0.1755 0.0000 0.1063 0.2 4.1753 0.0009 0.0016 0.1 5.1600 0.0948 0.0002 0.1687 0.0 0 1 2 3 4 0.0023 0.0881 0.0849 0.0005 0.1728 0.0143 0.1743 0.0500 0.0006 0.0004 0.0000 0.1594 0.0936 0.0073 0.2087 0.1708 0.1687 0.0030 0.0040 0.0006 0.1033 0.0298 0.0 0 1 2 3 4 0.0016 0.1633 0.1323 0.0003 0.9 6.0287 0.1875 0.1929 0.0003 0.0620 0.0002 0.0041 0.1042 0.0209 0.1849 0.0771 0.7 4.0000 0.1293 0.1912 0.1563 0.0241 0.0454 0.0555 0.0586 0.1515 0.0190 0.0207 0.0207 0.0328 0.0149 0.0011 0.0092 0.0013 0.1734 0.0244 0.0280 0.2125 0.0049 0.0302 0.0001 0.0061 0.0000 0.1537 0.0008 0.0000 0.0915 0.0789 0.0842 0.0000 0.0066 0.1323 0.0000 0.0285 0.0016 0.1725 0.0000 0.0015 0.1606 0.0 0 1 2 3 4 0.0408 0.9 4.3 4.0575 0.1075 0.0311 0.0334 0.1697 0.1239 0.2226 0.0746 0.0423 0.0006 0.0413 0.1753 0.0022 15 16 17 0.0984 0.1264 0.0001 0.0359 0.1490 0.2158 0.1747 0.0000 0.7 3.0486 0.1304 0.0262 0.0188 0.0157 0.4 5.2165 0.1748 0.0731 0.1353 0.1555 0.0025 0.0011 0.0041 0.0001 0.0013 0.0001 0.0001 0.0129 0.0173 0.0653 0.0583 0.0307 0.1267 0.1200 0.0869 0.1656 0.0006 0.0045 0.0011 0.6 4.0093 0.1404 0.7 5.0071 0.0001 Apéndice tablas .1135 0.0123 0.0015 0.2008 0.0022 0.1429 0.0232 0.0225 0.0129 0.0111 0.0662 0.1641 0.0002 0.0962 0.1951 0.1789 0.0278 0.2186 0.0425 0.0630 0.1719 0.0116 0.0009 0.0009 0.0095 0.1601 0.1632 0.0008 0.1954 5 6 7 8 9 0.0000 0.1428 0.1326 0.0001 0.0181 0.0463 0.1044 0.1185 0.2209 0.0427 0.1954 0.0608 0.0002 0.0005 0.1377 0.0082 0.0202 0.0894 0.0027 0.2237 0.0003 0.0000 0.0191 0.0255 0.0446 0.0959 0.1904 0.0006 0.0659 0.1781 0.1606 0.3 3.0001 0.0002 0.0001  X 4.0337 0.0000 0.1472 0.0027 0.0824 0.1298 0.0166 0.1740 0.4 3.1944 0.0164 0.1254 0.1377 0.3 5.0002 0.1692 0.5 5.0033 0.0985 0.0552 0.0716 0.0017 0.0073 0.0053 0.0082 0.0477 0.6 3.0061 0. X 3.1383 0.0011 0.0004 0.1022 0.8 3.0032 0.0028 0.0007 0.2 5.0030 0.1823 0.0001 0.1738 0.1631 0.1191 0.0150 0.0102 0.0360 0.1714 0.4 4.0002 0.0036 0.0081 0.2001 0.0169 0.0850 0.0003 0.0334 0.0001 0.0500 0.0037 0.0037 0.0010 0.0003 0.5 4.1005 0.0348 0.0050 0.0247 0.0692 0.1933 0.0002  AT-14 X 5.0938 0.1517 0.1600 0.0047 0.1662 0.0116 0.1033 0.0005 0.1917 0.1217 0.0551 0.0002 0.1362 0.0224 0.0019 0.0191 0.1086 0.0067 0.0000 0.1125 0.0014 0.1462 0.0018 0.0008 0.1615 0.0043 0.1125 0.0045 0.8 5.0005 0.0003 0.0046 0.1605 0.0136 0.0045 0.1 3.0241 0.1465 0.0005 0.1584 0.0810 0.0215 0.0001 0.1558 0.0778 0.0925 0.0033 0.0000 0.1522 0.1820 0.0386 0.0033 0.0509 0.0091 0.0000 0.0019 0.0393 0.1133 0.0007 0.0000 0.0887 0.0000 0.1398 0.1771 0.1339 5 6 7 8 9 0.0001 0.0034 0.0450 0.0312 0.0540 0.0101 0.1951 0.0058 0.0385 0.0000 0.0168 0.0892 0.1858 0.0009 0.0004 0.5 3.0580 0.0055 0.1852 0.0265 0.0001 0.0000 0.0132 0.0001 0.0519 0.0051 0.1539 0.0771 0.1798 0.9 5.0003 0.1281 0.0001 0.1082 0.0148 0.1348 0.0688 10 11 12 13 14 0.0640 0.0076 0.1460 0.0092 0.1515 0.1944 0.1850 0.0002 0.0002 0.1571 0.0000 0.0363 10 11 12 13 14 15 0.1203 0.0001 0.0618 0.1188 0.0334 0.0614 0.1898 0.0001 0.1322 0.0000 0.0162 0.0998 0.6 5.0019 0.0023 0.0225 0.0826 0.0039 0.0508 0.1432 0.0039 0.0595 0.0089 0.0220 0.0365 0.0074 0.1140 0.1143 0.0001 0.0269 0.0056 0.0009 0.0102 0.0369 0.0309 0.0989 0. 0003 0.0265 0.0116 0.0227 0.1167 0.0464 0.0602 0.1311 0.0098 0.0196 0.1241 10 11 12 13 14 0.1511 0.0005 0.1442 0.0245 0.0434 0.0065 0.0098 0.0729 0.0041 0.0073 0.1249 0.0007 0.0023 0.0081 0.0008 0.0000 0.9 7.0052 0.1420 0.0504 0.0003 0.0027 0.3 7.1205 0.1277 0.0002 0.0722 0.0208 0.1284 0.1468 0.1099 0.0005 0.0588 0.0169 15 16 17 18 19 20 21 0.5 7.0029 0.0015 0.0000 0.1367 0.2 7.0002 0.1240 0.0006 0.0019 0.1586 0.1034 0.0323 0.0154 0.0003 0.0108 0.0113 0.0 0 1 2 3 4 0.0069 0.0276 0.0012 0.1042 0.0001 0.1188 0.3 6.0029 0.0082 0.0032 0.0245 0.5 6.1351 0.0025 0.0993 0.0726 0.0168 0.8 7.0002 0.0891 0.0037 0.0008 0.0033 0.1529 0.0558 0.0070 0.0157 0.0090 0.0344 0.1472 0.0954 0.0223 0.1382 0.1224 0.0765 0.4 7.0001 0.0002 0.1207 0.1579 0.1076 0.0710 0.1487 0.0046 0.0000 0.0008 0.1304 0.1363 0.0064 0.0004 0.0167 0.0076 0.1339 0.1385 0.0240 0.0438 0.7 6.0123 0.0278 0.0296 0.0640 0.0017 0.1014 10 11 12 13 14 0.0089 0.0011 0.0286 0.1418 0.0345 0.0985 0.0033 0.0757 0.0923 0.0058 0.0001 X 7.0618 0.0652 0.1489 0.1187 0.0021 0.1575 0.0366 0.0000 0.1021 0.0041 0.0194 0.1474 0.0018 0.0022 0.0075 0.0004 0.1130 0.0054 0.0613 0.0584 0.0986 0.0016 0.0389 0.0531 0.0663 0.1420 0.0417 0.1549 0.0180 0.1121 0.1321 0.4 6.0020 0.0858 0.1428 0.1462 0.0264 0.0260 0.0000 0.0005 0.0017 0.0137 0.0037 0.0452 0.0045 0.0021 0.0528 0.0836 0.0003 0.1066 0.0001 0.0010 0.0026 0.0740 0.0914 0.0307 0.0887 0.0001 0.1435 0.0388 0.0005 0.0296 0.0011 0.0020 0.0967 0.0001 0.0033 0.0001 0.1057 0.0004 0.0001 0.0001 0.0469 0.0243 0.0000 0.0303 0.0071 15 16 17 18 19 0.1396 0.0806 0.0000 0.0992 0.0941 0.1314 0.0696 0.1 7.0058 0.0046 0.0000 0.0009 0.0632 0.0083 0.0014 0.7 7.0004 0.0057 0.1454 0.0005 0.0441 0.0012 0.1454 0.8 6.0004 0.0585 0.0012 0.0952 0.1562 0.0001 0.1595 0.0150 0.0000 0.0007 0.0004 0.1118 0.0848 0.0001  Apéndice tablas AT-15 .0009 0.0006 0.1465 0.0095 0.0002 0.0318 0.0000 0.1489 0.0156 0.0003 0.1481 0.6 7.1294 0.0498 0.0009 0.0002 0.0181 0.0764 0.0305 0.0104 0.0024 0.0014 0.0005 0.0001 0.0001 0.0001 0.0791 0.0003 0.1490 0.0007 0.0000 0.0062 0.0617 0.0030 0.0723 0.0010 0.0014 0.0411 0.0116 0.1349 0.0137 0.0006 0.1486 0.0573 5 6 7 8 9 0.0000 0.0003 0.0015 0.1167 0.0059 0.0002 0.0038 0.1215 0.0481 0.0130 0.0107 0.0211 0.0825 0.2 6.0353 0.1373 0.1144 0.0552 0.0800 0.0001 0.0000 0.0283 0.0695 0.0679 0.0340 0.0035 0.0007 0.9 8.0013 0.0006 0.0145 0.1160 0.0041 0.1263 0.0227 0.1399 0.0 0 1 2 3 4 0.0008 0.0002 0.0829 0.0000 0.0145 0.0521 0.1096 0.0010 0.0007 0.0086 0.0001 0.0004 0.0029 0.0916 0.0558 0.1413 0.0401 0.0001 0.1486 0.1094 0.1546 0.0049 0.0041 0.0457 0.0134 0.0413 0.0492 0.1519 0.0799 0.0019 0.1 6.0016 0.1396 0.6 6.0649 0.0003 0.0001 0.1282 0.0004 0.0078 0.1337 0.0018 0.0164 0.0045 0.0006 0.0000 0.0194 0.0377 0.1392 0.0002 0.1605 0.1252 0.0478 0.1601 0.1394 0.1070 0.0001 0. X 6.0001 0.0324 0.0037 0.0000 0.0064 0.0013 0.0126 0.0366 0.1162 0.0134 0.0125 0.1395 0.0285 0.0874 0.0364 0.0179 0.0390 0.1204 0.0001 0.0006 0.1130 0.0010 0.0119 0.0124 0.1221 0.0000 0.0426 0.0000 0.0951 0.0210 0.0667 0.0002 0.0770 0.1241 0.0258 0.0858 0.0090 0.0001 0.0912 5 6 7 8 9 0.1450 0.0106 0.1388 0.0051 0.0026 0.1480 0.0142 0.0330 0.1445 0.1490 0.0688 0. 1126 0.0491 0.0081 0.0147 0.0418 0.1232 0.0654 0.0012 0.0235 0.0180 0.0015 0.0002 0.0204 0.0031 0.0 0 1 2 3 4 0.0007 0.1049 0.0001 0.1140 0.6 9.0581 0.1171 0.0250 0.1034 0.0040 0.1317 0.1157 0.0010 0.1197 0.0024 0.0682 0.0034 0.0048 0.0572 0.0459 0.0911 0.0002 0.1228 0.1198 0.0001 0.0001 0.0000 0.1250 0.0074 0.0029 0.0005 0.1300 0.0001 0.1366 0.0265 0.0007 0.0023 0.0882 0.0793 0.0001 0.0006 0.1210 0.0075 0.1251 0.1338 0.1037 0.0210 0.1097 0.0003 0.0001 0.0213 0.0902 0.0000 0.0001 0.1311 0. AT-16 X 8.1186 0.0526 0.0007 0.0005 0.0443 0.0297 0.0014 0.0039 0.1294 0.1395 0.0849 0.0063 0.0017 0.0003 0.0044 0.1251 0.1290 0.0123 0.0555 0.0118 0.0888 0.1123 0.1382 0.0107 0.0844 0.1286 0.9 9.0002 0.0042 0.0000 0.0150 0.0692 0.0784 0.0420 0.0217 0.0479 0.1083 0.0972 0.0347 0.0001 0.1010 0.0225 0.0285 0.1098 0.0006 0.0324 15 16 17 18 19 0.0093 0.3 8.0066 0.0076 0.0004 0.0272 0.0126 0.0240 0.0009 0.1344 0.0822 0.0036 0.0866 0.0007 0.0016 0.1191 0.0319 0.1148 0.1392 0.0002 0.0004 0.0014 0.0481 0.0685 0.0168 0.0555 0.0416 0.0000 0.0399 0.0908 0.1191 0.0395 0.0053 0.0055 0.0127 0.0011 0.0002 0.0948 0.0504 0.0029 0.0021 0.1219 0.1170 0.0506 0.0037 20 21 22 23 24 0.1066 0.0071 0.0001 0.0662 0.1263 0.0342 0.0013 0.5 8.0001 0.0072 0.0008 0.1137 0.1063 0.0002 0.0002 0.0095 0.1067 0.0008 0.0019 0.1040 0.1306 0.1293 0.0192 0.2 8.0027 0.1104 0.0269 0.0776 0.0140 0.1003 0.0065 0.0663 0.0014 20 21 22 0.1315 0.0269 0.0001 0.0001 0.0033 0.0006 0.0828 0.0001 0.0419 0.0948 0.8 8.1125 0.0438 0.0160 0.0374 0.0014 0.0001 0.0001 0.5 9.0157 0.1 8.0063 0.1112 0.0703 0.0002 0.0046 0.0147 0.0058 0.0001 0.0306 0.0000 0.0237 0.0334 0.0607 0.0240 0.0195 0.0046 0.0631 0.0100 0.0361 0.0208 0.0079 0.0709 0.0115 0.0009 0.1317 0.0002 0.1269 0.1306 0.0086 0.0005 0.0194 0.0002 0.0010 0.1317 0.0398 0.2 9.0032 0.1280 0.0505 0.0011 0.0226 0.0005 0.0853 0.1 9.0000 0.0003 0.0006 0.0378 0.0252 0.0881 0.0003 0.0169 0.0802 0.0000 0.0955 0.0001 0.1256 0.1284 0.0008 0.1172 0.0313 0.7 8.0060 0.0017 0.0028 0.0002 0.0025 0.0088 0.0004 0.0005 0.0009 0.0034 0.0081 0.0004 0.1388 0.0594 0.0005 0.1251 10 11 12 13 14 0.0158 0.0991 0.0026 0.0749 0.0003 0.0015 0.0182 0.0517 0.0764 0.0928 0.8 9.0069 0.1274 0.0377 0.0001 X 9.0982 0.1358 0.1245 0.0256 0.0001 0.0001 0.0941 0.0019 0.0040 0.0001 0.0679 0.0002 0.4 9.0136 0.0752 0.0201 0.0023 0.0254 0.1302 0.0000 0.0001 Apéndice tablas  .0004 0.6 8.0398 0.1356 0.1012 0.9 10 0 1 2 3 4 0.0707 0.0002 0.0005 0.0530 0.0002 0.0003 0.0460 0.0222 0.1378 0.0851 0.0000 0.0001 0.1017 0.0776 0.0101 0.4 8.1311 0.0544 0.0009 0.0380 0.0302 0.0822 0.0002 0.0001 0.1332 0.0017 0.0000 0.0925 0.0635 0.0970 0.0021 0.0050 0.0579 0.0017 0.0281 0.1271 0.0354 0.0137 0.0006 0.0015 0.1091 0.0026 0.0799 0.0025 0.0003 0.0007 0.0031 0.0466 0.0736 0.1212 0.0012 0.0012 0.1299 0.0119 0.0530 0.0604 0.0439 0.0357 0.0116 0.0011 0.0051 0.1249 0.3 9.0010 0.0023 0.7 9.0021 0.1241 0.0729 0.0008 0.0035 0.0093 0.0752 0.1084 0.0054 0.0005 0.0500 0.0928 0.0012 0.1145 0.0060 0.0656 0.0024 0.0003 0.0816 0.0001 0.0003 0.0103 0.0289 0.0617 0.0001 0.0728 0.0001 0.0092 0.0196 0.1064 0.0439 0.0000 0.0221 0.0107 0.0483 0.1160 0.1269 0.0002 0.0002 0.0058 0.0189 5 6 7 8 9 0.0315 0.1318 10 11 12 13 14 0.0330 0.1031 0.0037 0.0002 0.0001 0.0000 0.1235 0.0111 0.0043 0.0004 0.1315 0.1318 0.0001 0.1128 0.0183 0.0050 0.0629 0.0000 0.0029 0.0068 0.0098 0.0109 0.1247 0.0171 0.0002 0.0128 0.1222 0.0009 0.1375 0.0878 0.0100 0.0079 0.0901 0.0131 0.0521 15 16 17 18 19 0.0087 0.0722 0.0001 0.0086 0.0001 0.1118 0.0026 0.0001 0.0208 0.0001 0.0019 0.0337 5 6 7 8 9 0.0011 0.0019 0.0055 0.0640 0.0001 0.0182 0.0459 0.0549 0. 0324 0.0002 0.0000 0.0001 0.0661 0.0760 0.0000 0.0058 0.0000 0.0509 0.0336 0.0016 0.0005 0.0000 0.0013 0.0000 0.0504 0.0320 0.1144 0.0786 0.0012 0.0038 0.0034 0.0224 0.0699 0.0866 0.0204 0.0847 0.0001 0.0002 0.0409 0.0000 0.0246 0.0000 0.0000 0.0013 0.0000 0.0936 0.0984 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0486 0.0888 01085 0.0550 0.0960 0.0000 0.0655 0.0728 0.0010 0.0844 0.0150 0.0000 0.0003 0.0909 0.0383 0.0000 0.1194 0.0783 0.0154 0.0658 0.0000 0.0006 0.0000 0.0000 0.0001 0.0101 0.0001 0.0002 0.0936 0.0237 0.0057 0.0426 0.0963 0.0655 0.0000 0.0002 0.0000 0.0661 0.0070 0.0029 10 11 12 13 14 0.0885 0.0000 0.0127 0.0001 0.0002 0.0012 35 36 37 38 39 0.0164 0.0050 0.0281 0.0000 0.0044 0.0713 0.1048 0.0650 0.0007 0.0121 0.0706 0.0663 0.0020 0.0724 0.0002 0.0798 0.0874 0.0018 0.0888 0.0010 0.0001 0.0001 0.0000 0.0004 0.0000 0.0102 0.0135 0.0004 0.0014 0.0000 0.0120 0.1024 0.0034 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 0.0002 0.0092 0.0177 0.0226 0.0006 0.0000 0.0054 0.0009 0.0000 0.0560 0.0065 0.0018 0.0905 0.0003 0.0433 0.1060 0.0083 0.0245 0.0000 0.0000 0.0418 0.0343 0.0095 0.0048 0.0863 0.0446 0.0000 0.0004 0.0355 0.0992 0.0934 0.0191 0.0000 0.0000 0.1099 01021 0.0000 0.0002 0.0684 0.0000 0.0830 0.0000 0.0000 0.0010 0.0000 0.0516 0.0000 0.0077 0.0015 0.0930 0.0000 0.0259 0.0000 0.0299 0.0310 0.1015 0.0844 0.0020 0.0034 0.0411 0.0053 0.0000 0.0814 0.0000 0.0367 0.0004 0.0341 0.1094 0.0010 0.0023 0.0543 0.0001 Apéndice tablas AT-17 .0063 0.0514 0.0164 0.0000 0.0000 0.0042 0.0956 0.0000 0.0008 0.0003 0.1056 0.0024 0.0000 0.0174 0.0989 0.0006 0.0125 30 31 32 33 34 0.0000 0.0000 0.0663 0.0000 0.0000 0.0001 0.0030 0.0286 0.0888 20 21 22 23 24 0.0000 0.0176 0.0007 0.0000 0.0013 0.0024 0.0554 0.0000 0.0254 0.0000 0.0001 0.0026 0.1060 0.0106 0.0800 0.0669 0.0019 0.0926 0.0181 0.0000 0.0328 0.0534 0.0963 0.0002 0.0000 0.0001 0.0772 0.0000 0.0000 0.0152 0.0133 0.0002 0.1194 0.0173 0.0000 0.0161 0.0911 0.0992 0.0719 0.0011 0.0559 0.0387 15 16 17 18 19 0.0000 0.0000 0.1144 0.0000 0.0018 0.0000 0.0906 0.0055 0.0000 0.0866 0.0256 0.0050 0.0005 0.0859 0.0104 0.0004 0.0037 0.0027 0.0676 0.0473 0.0000 0.0496 0.0000 0.0060 0.0024 0.0230 0.0007 0.0001 0.0000 0.0109 0.0884 0.0109 0.0008 0.0001 0.0016 0.0019 0.0846 0.0000 0.0117 0.0559 0.0001 0.0097 0.0145 0.0557 25 26 27 28 29 0.0001 0.0005 0.0255 0.0002 0.0000 0.0083 0.0009 0.0000 0.0887 0.0304 0.0084 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0442 0.0000 0.0397 0.0046 0.0049 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0037 0.0001 0.0001 0.1024 0.0030 0.0646 0.0083 0.0457 0.0004 0.0013 0.0557 0.0004 0.0378 0.0271 0.0000 0.0000 0.0029 0.0000 0.0000 0.0000 0.0037 0.0000 0.0769 0.0072 0.0911 0.0005 0.0000 0.0194 0.0026 0.0043 0.0007 0.0001 0.0216 0.0814 0.0646 0.0560 0.0368 0.0829 0.0237 0.0070 0.0437 0.0438 0.0001 0.0213 0.0272 0.0002 0.0087 0.0692 0.0000 0.0000 0. X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 2 3 4 0.1099 0.0144 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0074 0.0000 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 5 6 7 8 9 0.0000 0. 975 0.982 11.594 5.204 2.064 1.20 del área Valores de 2 Ejemplo: 14.015 7.633 8.240 14.390 10.857 13.237 1.856 11.364 *Tomado de la tabla IV de Fisher y Yates.554 0.216 0. Edimburgo) y con licencia de los autores y de los editores.041 14.588 22.872 1.168 4.117 10.247 3.211 0.651 12. de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 *Área correspondiente al extremo derecho de una distribución ji-cuadrada (2) Área en el extremo derecho 0.226 5.879 13.892 6.542 10.831 1.610 2.179 6.0158 0.631 Grados Para encontrar ji-cuadrada correspondiente a 0.558 3.256 14.629 6.047 16.790 8. el valor ji-cuadrada apropiado es 14.689 12.953 0.379 16. busque bajo la columna del 0.848 15.308 16.325 3.053 3.198 12.578 15. publicada por Longman Group Ltd.114 18.99 0.231 8.312 10.338 13. Statistical Tables for Biological.261 7.00098 0.314 17.658 16.599 0.493 0.187 18.962 8.816 4.404 5.304 7.167 2.107 4..800 0.005 1.180 2.088 2.0201 0. Londres (publicada anteriormente por Oliver & Boyd.196 10.851 11.475 23.152 12.591 12.928 17.703 21.20 del área bajo la curva (la parte sombreada del extremo derecho).343 3. Agricultural and Medical Research.115 0.445 16.833 3.95 0. en una distribución ji-cuadrada con 11 grados de libertad.844 14.820 20.631.564 8.484 0.009 5.547 9.571 7.634 9.239 1.716 14.989 7.042 7.940 19.584 1.690 2.145 1.90 0.262 6.565 14.649 2.260 8.085 10.940 4.443 13.380 6.646 2.848 14.297 0.473 17.711 1.408 7.401 13.700 3.708 18.939 19. AT-18 Apéndice tablas .573 15.091 13.229 5.578 6.467 10.660 5.151 16.20 y en el renglón que corresponde a 11 grados de libertad.822 4.352 0.120 13.490 4.812 6.768 20.591 10.002 12.791 0.635 2.897 9.0506 0.00016 0.00398 0.446 1.524 12.103 0.070 3.0642 0.865 5.062 18.733 3.292 18.575 5.907 9.571 4.865 11.283 10.807 8.611 15.672 9.307 11.908 7.Apéndice tabla 5 0. 007 33.337 42.311 20.652 38.795 32.900 25.449 16.588 50.916 39.566 38. Área en el extremo derecho Grados de 0.980 44.20 0.638 42.25 0.415 37.076 39.815 9.170 35.805 36.553 30.204 28.064 22.813 32.803 11.144 31.688 29.087 40.563 36.026 22.557 43.919 18.250 2.151 19. es mayor que 30.488 28.119 27.382 35. por 3   9v  2 2  v 1    z 9v 2 en la que z es el valor estándar normal (tomado de la tabla 1 del apéndice) que deja a del área en el extremo Izquierdo.685 24.113 41.741 37.892 libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Apéndice tablas AT-19 .615 22.773 5.219 4.05 0.769 25.666 23.307 23.251 7.277 15.027 35.10 0.736 26.642 46. el número de grados de libertad.465 21.023 20.475 20.479 36.362 14.070 12.592 14.645 12.675 31.143 12.885 40.989 7.000 33.Nota: Si v.841 5.409 34.812 21.364 40.191 31.01 1.631 15.923 43.869 30.587 28.194 44.671 33.017 13.217 27.675 21.760 23.410 32.086 16.526 32.362 23.337 24.979 6.090 21.412 29.024 7.833 14.141 30.812 16.507 16.461 45. el valor ji-cuadrada que deja  del área en el extremo.812 18.535 19.549 19.647 41.924 35.684 15.725 26.275 18.781 38.442 14.345 13.307 19.236 10.642 3.242 13.210 11.488 11.038 26.542 24.348 11.558 9.615 30.912 34.932 40.706 4.278 49.985 18.989 27.852 34.722 46.920 23.429 29.172 36.642 5.013 17.139 36.987 17.191 37.256 3.845 30.289 41.483 21.635 9.289 8.296 27.996 26.378 9. podemos aproximar 2.963 48.030 12.314 45.067 15.209 24.171 27.578 32.991 7.301 28.196 34.779 9.605 6. 57 3.45 2.35 2.60 2.63 2.00 2.40 2.65 1.19 2.85 246 19.46 2.22 1.55 1.66 1.97 1.61 2.11 3.61 2.33 230 19.26 4.20 3.06 4.46 2.53 2.12 2.02 1.28 2.96 1.93 1.80 2.60 3.01 2.16 2.41 2.81 1.70 1.69 2.23 2.93 1.20 3.00 1.5 10.46 2.15 3.37 3.19 4 5 2.87 3.49 2.88 7 2.13 3.83 2.11 2.39 5.96 2.75 2.99 2.41 4.45 2.58 1.07 2.94 3.23 2.30 4.01 2. Para encontrar F para 0.20 3.5 859 5.45 2.00 3.37 2.23 2.57 2.31 2.68 12 Grados de libertad en el numerador 2.45 2.50 1.5 8.63 4.84 4.85 2.18 2.16 3.38 2.53 1.24 3.46 40 1.18 2.39 3. Biometrika 33 (1943).08 4.02 241 19.4 8.45 4.84 174 1.70 250 19.44 3.07 3.79 4.79 2.77 3.05 del área en el extremo derecho Apéndice tabla 6(a) 1.29 4.34 2.91 1.24 2.34 2.49 2.03 2.82 2.12 2.48 2.08 1.41 3 2.91 2.01 1.55 6.91 4.53 2.05 3.51 3.60 2.5 8.49 3.86 1.61 5.10 3. el valor apropiado F es 3.23 2.37 2.33 3.79 3.93 2.24 2.94 5.06 2.94 1.35 4.11 2.77 2.96 1.67 2.53 2.57 2.86 2.12 6.26 3.01 1. Ejemplo: Grados de libertad en el denominador 2.34 2.84 1.95 2.90 2.25 2.33 2.65 2.42 2.37 2.71 2.30 3.78 1.85 2.07 2.64 3.90 4.10 2.80 2.46 2.30 2.19 2.62 252 19.49 2.91 244 19.00 3.56 20 1.44 2.76 173 1.32 3.71 2.79 2 *Tomado de M.49 2.85 6.05 2.42 2.34 3.58 3.21 3.86 3.91 1.07 3.60 3.96 1.87 1.92 2.75 2.66 4.62 2.25 2.40 3.10 200 19.85 2.35 2.96 2.42 2.50 3.54 2.74 249 19.65 2.03 1.62 2.18 2.51 2.84 2.74 2.45 2.20 2.43 60 1.92 1.61 1.06 3.59 3.32 2.4 8.81 1.07 3.00 3.15 2.09 2.39 2.4 8.27 2.69 2.98 1.38 3.90 2.40 120 1.64 4.51 3.04 2.12 3.35 4.06 2.89 1.4 8.74 4.88 2.87 3.98 1.97 2.70 2.75 4.75 1.01 1.76 4.76 2.3 9.01 2.16 4.35 3.79 1.63 3.84 1.92 3.94 6.35 2.32 1.29 3.67 3.28 2.34 3.62 5.87 3.20 2.88 1.58 2.15 2.42 2.73 3.40 2.59 3.37 ∞ .18 2.31 2.41 3.85 2.19 2.09 3.51 2.27 2.67 4.01 6.35 1.49 3.13 2.10 2.60 2.04 1.42 3.58 253 19.55 3.70 3.92 2.38 4.68 3.09 4.48 4.39 1.15 2. Thompson.3 8.81 3.01 1.87 2.25 2.60 4.71 2.80 4.34 2.98 3.38 2.5 855 5.59 5.15 3.70 2.53 2.81 6.92 1.84 2.44 3.2 9.90 2.46 4.08 2.74 3.74 2.74 1.54 254 19.84 3.30 2.48 225 19.03 2.37 2.71 6.98 1.23 3.89 6.11 3.53 4.18 2.77 4.25 2.22 234 19.01 2.16 3.5 8.23 3.55 2.12 4.32 2.40 3.83 2.27 2.76 3.42 2.75 1.57 2.24 4.57 5.36 2.09 2.77 248 19.76 2.2 9.81 3.74 10 2.92 1.74 3.1 7.30 2.07 3.75 4.66 251 19.94 2.05 2.94 2.05 del área bajo la curva.82 8 2.17 4.66 2.39 3.61 2.68 2.69 3.46 2.52 2.64 5.71 4.66 5.53 24 *Valores de F para distribuciones F con 0.84 1.AT-20 Apéndice tablas 161 18.25 2.38 2.26 4.52 3.77 2.4 8.94 1.21 2.72 2.98 242 19.18 3.68 2.78 2.00 4.53 5.99 3.89 1.39 1.77 9 2.0 9.42 2.01 2.28 2.64 2.92 1.93 2.54 4.79 1.32 5.66 2.11 2.54 2.54 2.59 1.70 5.75 2.90 2.59 2.01 2.36 3. Merrington y C.79 2.84 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 60 120 ∞ 1 3.84 1.71 216 19.29 3.47 2.86 4.96 4.21 2.11 3.95 6 0.49 2.99 1.10 3.03 3.43 2. en una distribución F con 15 grados de libertad para el numerador y 6 grados de libertad para el denominador.59 4.16 2.01 2.10 2.77 2.51 2.4 8.48 3.68 1.08 2.27 2.99 5.10 2.M.89 1.49 4.47 1.03 2.84 2.26 5.07 239 19.71 3.28 6.74 5.59 5.04 2.92 2.4 8.16 2.69 1.32 4.50 30 1.11 2.39 2.96 2.64 1.79 1.07 2.63 3.28 3.14 4.05 del área 2.34 2.82 2.22 3.89 3.29 2.12 2.22 2.40 2.15 2.96 4.47 3.83 1.81 2.28 4.41 3.31 2.30 2.69 4.68 5.72 4.00 1.04 4.79 5.17 2.01 1.25 3.25 1.39 3.21 2.44 3.5 8.38 2.62 1.18 3.05 3.54 4.55 2.94.13 2.14 2.43 1.53 2.97 3.84 3.66 2.15 2.53 2.62 15 1.96 1. busque en la columna correspondiente a 15 grados de libertad en el numerador y en el renglón de los 6 grados de libertad.06 202 1.83 2.28 3.67 2.51 1.09 2.27 2.14 237 19.95 2.94 2.34 2. 106 99.55 5.84 2. en una distribución F con 7 grados de libertad en el numerador y 5 grados de libertad en el denominador.07 5.339 99.50 3.157 99.4 27.47 2.12 1.42 9.46 4.83 3.95 3.99 5.67 2.76 2.94 3.58 2.64 4.36 2.41 6.03 2.403 99.56 6.32 3.63 3.94 3.65 9.56 5.00 2.20 4.64 2.8 18.94 1.45 3.98 2.00 6.34 4.80 1.03 5.12 4.70 3. Para encontrar F para 0.22 3.000 99.41 3.5 7 3.0 13.06 4.19 6.28 4.81 3.10 3.65 2.29 40 2.75 2.97 5.94 4.34 3.37 7.03 1.17 6.73 4.00 2.71 6.80 3.75 2.80 7.31 7.45 3.89 12 Grados de libertad en el numerador 2.02 3.3 2 *Tomado de M.62 4.47 2.23 3.31 4.70 2.62 3.67 5.06 5.1 21.60 3.63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 60 120 ∞ 1 5.54 3.36 10.3 10.01 5.59 2.01 del área en el extremo derecho Apéndice tabla 6(b) 2.51 3.83 2.7 14.4 27.18 3.79 2.59 6.78 3.02 7.47 7.0 5 10.59 3.11 4.3 13.32 3.01 del área bajo la curva.12 3.46 3.80 2.7 9.02 3.4 4 3.64 3.72 15 2.66 2.86 3.04 4.2 9.31 3.4 27.90 3.03 3.96 4.6 9.0 30.94 6.93 3.09 4.56 7.56 6.01 3.9 14.80 5.47 2.40 4.21 6.33 6.02 7.88 7.56 2.61 5.2 10.57 4.19 5.89 7.86 4.26 6.11 6.8 9.07 2.46 2.10 3.34 3.235 99.47 24 *Valores de F para distribuciones F con 0.91 5.17 3.93 2.70 2.21 2.98 4.20 4.55 8.17 3.982 99.12 2.0 9.2 9 2.89 2.5 26.56 8.21 5.45 3.31 6.80 3.35 4.66 3.1 13.023 99.79 4.68 8.84 1.89 2.03 2.27 2.4 9.04 3.39 5.Apéndice tablas AT-21 4.82 3.69 3.55 2.84 2.07 8.08 3.13 3.43 3.70 6.40 2.62 3.30 3.56 5.23 5.2 14.65 3.92 1.55 20 2.53 8.53 3.32 4.61 5.95 1.33 9.78 3.88 2.23 4.08 6.18 5.25 4.59 3.86 4.20 5.37 5.10 3.36 4.87 5.66 2.51 4. el valor apropiado de F es 10.76 1.99 6.19 4.26 3.51 3.58 2.5 14.57 6.94 3.75 2.72 5.68 3.16 5.00 8.71 3.66 3.14 5.87 6.01 1.49 2.22 4.84 3.46 6.06 5.93 2.63 6.22 5.43 5.26 4.99 2.55 3.052 98.25 3.96 3.91 5.51 3.67 3.30 4.40 4.11 120 2.01 del área 3.94 3.32 5.06 5.19 2.86 1.82 2.26 3.9 15.M.67 2.61 3.63 2.23 6.02 2.02 4.42 3.70 3.05 7.41 3.45 2.01 3.51 3.8 10.261 99.16 3.4 27.43 3.66 2.60 3.77 7.43 3.7 12.21 3.85 6.89 9.0 9.52 2.25 4.31 4.18 4.04 3.07 4.72 2.67 5.62 2.92 2.5 11.63 4.92 2.17 2.77 3.82 7.4 13.82 4.7 6 0.71 3.35 3.2 15.51 3.74 5.35 2.15 3.78 3.10 5.0 11.85 7.17 4.65 4.3 27.34 2.03 1.99 3.5 26.46 4.5 9.39 2.93 5.78 2.20 2.54 4.28 4.03 4.58 4.74 2.50 2.92 2.78 8.99 5.7 12.313 99.17 3.60 1.11 1.45 7.1 14.70 3.95 2.61 5.77 4.95 7.65 8.35 3.82 4.72 2.70 2.5 13.9 9.54 3.73 1.14 4.01 6.99 6.72 6.75 7.31 3.16 3.36 2.86 3.88 5.86 4.17 2.86 8.52 3.87 6.91 6.5 10.7 15.54 2.31 2.37 4.86 4.5 3.50 4.66 1.99 3.287 99.84 2.08 6.3 8 3.81 5.13 7.95 4.66 5.89 4.366 99.39 4.39 5.18 3.84 2.47 5.79 3.78 5.30 3.26 2.10 6.15 7.26 3.25 6.72 4.63 4.78 4.47 3.36 3.64 3.41 3.69 3.4 26.30 3.47 5.51 3.67 4.53 1.00 2.26 4.74 4.74 4.01 4.6 10.08 3.7 10.44 4.58 2.00 2.85 3. Thompson.1 3 4.02 ∞ .89 3.42 5.64 5.928 99.14 8.07 3.87 4.72 5.83 2.31 2.75 2.20 60 2.12 2.40 6.52 3.40 3.48 4.70 4.29 8.78 3.6 13.00 2. Biometrika 33 (1943).21 7.41 5.51 6.30 4.93 6.11 1.18 3.68 5.65 4.56 4.2 16.40 2.32 8.2 11.85 6.38 1.4 27.98 2.09 2.50 4.625 99.3 28.31 3.49 2.3 13.03 3.38 30 2.80 2.59 3.69 3.209 99.5 26.5 26.84 6.52 4.0 10.29 7.32 2.66 2.76 4.2 13.29 3.57 2.10 4.29 5.18 4.19 8.10 8.79 2.35 2.37 3.20 2.44 4.55 2.5 26.764 99.82 5.76 3.1 10 2.5 34.95 5.09 5.85 7.96 6.4 26.2 29.2 28.98 6.96 2.52 7.859 99.3 14. Merrington y C.21 2.17 3.7 16.50 2.056 99.88 2. busque en la columna correspondiente a 7 grados de libertad y en el renglón de los 5 grados de libertad.13 3.40 8. Ejemplo: Grados de libertad en el denominador 4.81 4.5.30 2.67 7.94 6.70 4.37 2.46 4.29 2.02 1.36 3.5 26.9 9.27 3.37 4.48 3.62 5.7 9.31 5.5 16. 5825 0.6786 0.6000 0.4481 0.3688 0.8571 0.3597 0.3986 Ejemplo: n 0.3822 0.3236 0.6190 0.4241 0.3070 0.(n  tamaño de la muestra  12) 0.7265 0.8182 0.8000 0.3749 0.6586 0.8929 0.5975 0.6318 0.3789 0.4828 0.5660 0.6455 0.6364 0.6324 0.7455 0.5357 0.3994 0.9286 0.3895 0.8286 0.4182 0.4150 0.4744 0.4424 0.4853 0.5203 0.3894 0.4429 0.5480 0.2646 0.6833 0. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.5000 0.9643 0.4564 0.4320 0. John Wiley & Sons. AT-22 Apéndice tablas .5179 0.7667 0.5000 0.4451 0.5856 0.5962 0.9000 0.6186 0.3148 0.4915 0.2588 0.6091 0.5824 0.002 Para una prueba de dos colas al nivel de significancia de 0.2704 0.5833 0.2540 0.3986 *Valores para la correlación de rango de Spearman (rs) para áreas combinadas en las dos colas.7273 0.3299 0.5333 0.02 0.4579 0. el valor apropiado de rs es 0.4965 0. el valor apropiado rs se puede: encontrar rs buscando en la columna 0.3986 0.4716 0.2829 0.6713 0.5549 0.5426 0.7912 0.2977 0..3620 0.8000 0.6000 0.5684 0.6220 0.5515 0.4118 0.8095 0.3059 0.6747 0.3500 0.3260 0.5306 0. con n  12.7000 0.6152 0.8857 0. a 12.4852 0.4665 0.8167 0.3518 0.J.4061 0.2443 0. 1971.7143 0.7818 0.5804 0.7714 0.6536 0.3382 0.2490 0.4401 0.3986.4265 0.7464 0.8571 0.5100 0. 0.8364 0.20 y en el renglón correspondiente.2909 0.7333 0.5200 0. Practical Nonparametric Statistics.9429 0.4748 0.6737 0.7000 0.9000 0.3626 0.6429 0.20 0.3791 0.10 0.3435 0.4654 0.4351 0.5757 0.5078 0.4780 0.7450 0.3113 0.5545 0.. Nueva York.3977 0.7083 0.6070 0.3362 0. Conover.2400 0.9000 0.20.10 del área 0.01 0.6978 0.8000 0.2767 0.10 del área Apéndice tabla 7 0.5002 0.5567 0.3685 0.4667 0.8667 0.05 0.5341 0.5273 0.5479 *Tomado de W.4593 0.5637 0.6904 0.4963 0. Inc.3175 0.7670 0.4251 0. 525 0.777 1.10 0.258 0.318 0.338 0.05 0.326 2.770 0.472 3.347 0.609 1.414 0.880 0.925 0.858 3.642 0.521 0.363 0. Apéndice tabla 9 Factores de diagrama de control Tamaño de muestra.283 0.22 0.622 1.744 1.339 0.36  n 1.438 0.283 0.574 2.776 0.231 0.388 0.20 0. Am.543 0.494 0.864 1.726 0.285 0.510 0.708 0.308 0.292 0.235 0.763 0.373 0.446 0.729 0. 46:68-78.256 0.358 0.368 0.618 0.410 0.63  n Nivel de significancia para D = máximo ⏐Fe  Fo⏐ Nota: Los valores de D dados en la tabla son valores críticos asociados con valores elegidos de n.950 0. * Adaptado de F.14  n 1.266 0.403 0.244 0.274 0.252 0.363 0.29 0.970 3.27 0. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Nota: Si 1  3d3/d2 < 0.309 0.452 0.460 3.704 2.540 .212 0.779 0.167 0.295 0.194 0.436 0.750 0.532 3.266 0.295 0.20 0.266 0. Con licencia del autor y de los editores.282 2.314 0.564 0.597 0.778 3.881 1.059 2.249 0.534 2.153 0.J.490 11 12 13 14 15 0.187 0.405 0.23 0.349 0.325 0.259 0.433 0.828 0.076 0. J.250 0.078 3.486 0.565 0.717 1.468 0.269 2.566 1.847 2.381 0.307 0. Factores para diagramas x R d2   1.729 0.294 0.381 0.895 3.360 0.173 3.004 1.391 0.924 1.21 0.184 0.19 0.720 0.833 0.689 3.22  n 1.278 0.223 0.853 0.975 0. Cualquier valor de D mayor o igual al valor de la tabla es significativo en el nivel de significancia indicado.378 0.900 0.114 2.756 0.21 0. SIal.01 1 2 3 4 5 0.304 0.286 0. "The Kolmogorov-Smirnov test for goodness of fit".672 1.842 0.342 0.443 0.19 0.328 0.18 0.848 0.557 1.32 0.684 0.864 0.640 3.22 0.338 0.371 0.820 0.716 0.419 0. entonces D3  0. Massey.418 0.995 0.819 3.744 0.808 0.888 0.624 0.203 0.931 Factores para diagramas R 3 A2   d2n R d3   3d3 D3  1   d2 3d3 D4  1   d2 1.410 0.735 3.733 0.708 0 0 0 0 0 0.173 0.514 0.692 1.258 3.712 0.548 1.272 0.246 0.797 0.474 0.787 0.392 0.404 16 17 18 19 20 0.375 0.586 1.577 0.308 0.577 0.816 1.565 0.407 3.180 0.450 0.264 0. Assoc.411 0.337 0.425 0.326 0.136 0.470 0.929 0.237 0.157 0.328 0.24 0.356 25 30 35 0.734 0.302 0.432 0.128 1.724 0. Jr.381 0.434 0.15 0.669 6 7 8 9 10 0.023 0.322 0. 1951.693 2.07  n 1.575 1.739 0.24 0.162 0.597 1.637 1.301 0.483 0..361 0.27 más de 35 1.457 0.336 3. n 0.284 0.588 3.391 0.653 1.274 0.Apéndice tabla 8 *Valores críticos de D para la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov Tamaño de muestra.352 0.223 0.313 0. los datos se incluyen en el CD que viene con el libro. cada valor de ingreso está redondeado al cuarto de dólar más cercano AT-24 Apéndice tablas . o maestro. cada valor de ingreso está redondeado al cuarto de dólar más cercano GRPLQ88 — Ingresos agrupados del último trimestre de 1988. PROF) — Resultado del primer examen de medio término (75 puntos máximo) — Resultado del segundo examen de medio término (75 puntos máximo) — Resultado en tareas (137 puntos máximo) — Resultado del examen final (75 puntos máximo) — Resultado global. Estos datos se incluyen en el disco que viene con el texto. Cada observación contiene las siguientes siete variables: COMPANY — Nombre de la compañía EXCHANGE— Bolsa de valores en que se negociaron las acciones (N para la Bolsa de Valores de Nueva York. TA.Apéndice tabla 10 Registros de estudiantes para los ejemplos con computadora Se enumeran los registros correspondientes a los 199 estudiantes que utilizaron este texto en nuestro curso del semestre de otoño de 1992. F D C C C+ B B B+ A A Apéndice tabla 11 Datos de ingresos de compañías para ejemplos con computadora Se enumeran los datos correspondientes a los ingresos de 224 compañías cuyos ingresos del último trimestre de 1989 fueron publicados en The Wall Street Journal durante la semana correspondiente al 12 de febrero de 1990. A para la Bolsa de Valores American. calculado como 20*(EXAM 1 + EXAM 2 + 2* FINAL)/75 + 20* HWK/137 GRADE — Calificación del curso con letra. determinado como: TOTAL 0-49 50-59 60-63 64-69 70-73 74-75 76-78 79-80 81-85 86-100 CALIFIC. O para "al contado") LQ89 — Ingresos del último trimestre de 1989 LQ88 — Ingresos del último trimestre de 1988 CHANGE — Cambio en los ingresos del último trimestre (LQ89-LQ88) GRPLQ89 — Ingresos agrupados del último trimestre de 1989. Codo observación contiene los siguientes nueve variables: STUDENT SECTION NSTRUCT EXAM 1 EXAM 2 HWK FINAL TOTAL — Posición del estudiante en la lista — En cuál de las seis secciones de la clase se inscribió el estudiante — Tipo de profesor (ayudante. 807 2.699 1.064 2.604 4.086 2.861 2.500 2.771 1.326 63.776 2.878 2.423 2.980 1.492 2.650 2. Medical Research .761 1.617 2.898 2.467 2.541 3.787 2.015 1.860 1.132 2.462 2. Londres (publicada anteriormente por Olivier & Boyd.833 1.729 t = +1.831 2.645 12.101 2.093 2.080 2.10 hacia abajo hasta el rengl—n correspondiente a 19 grados de libertad.01 6.684 1.821 2.250 3.896 2.729 Grados de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 39 40 60 120 Distribuci—n normal çrea en los dos extremos combinados 0.060 2.965 4.182 2.479 2.703 1.763 2.539 2.571 2.771 2.697 1.365 2.390 2.747 3.746 1.353 2. Edimburgo) y con licencia de los autores y los editores.160 2.110 2.201 2.734 1.508 2.473 2.262 2.02 0.717 1.106 3.681 2.658 1.819 2.920 2.701 1.485 2.718 2.707 3.925 5.069 2.291 2.711 1.624 2.671 1. busque en la columna del 0.895 1.841 4.179 2.10 en los dos extremos combinados de la distribuci—n. Statistical Tables for Biological.355 3.552 2.660 2.145 2.055 3. Agricultural.706 1.943 1.998 2.740 1.457 2.05 del ‡rea t = 1.303 3.228 2.714 1.725 1..05 0.021 2.960 31. el valor t apropiado es 1.977 2.042 2.657 9. Ltd.764 2.845 2.169 3.365 3.518 2.750 2.447 2.706 4.528 2.708 1.056 2.000 1. cuando existen 19 grados de libertad.796 1.729 1.782 1.045 2.602 2.721 1. and .10 0.779 2.583 2.131 2.797 2.821 6.314 2.358 2. publicado por Longman Group.756 2.DISTRIBUCIîN J 0.012 2.032 3.812 1.048 2.143 2.704 2.05 del ‡rea 0.052 2.567 2.074 2.499 3.753 1.729 EJEMPLO: Para encontrar el valor de t que corresponde a un ‡rea de 0.947 2.120 2.576 *Tomado de la Tabla III de Fisher y Yates.306 2. 4251 0.4162 0.4857 0.3830 0. Essentials of Statistics.4875 del área bajo la curva se encuentra entre la media y un valor z de 2.4946 0.2 0.2881 0.2517 0.4986 0.1879 0.4207 0.3078 0.0753 0.2 2.4931 0.3643 0.2088 0.3621 0.3907 0.4115 0.4756 0.2257 0.4968 0.4940 0.2580 0.4934 0.1517 0.4830 0.24 z 0.4778 0.4955 0.01 0.1255 0.0987 0.4960 0.4049 0.3 2.4988 0.4949 0..4984 0.4616 0.3508 0.2422 0.4842 0.4793 0.1 0.4990 *Tomado de Robert D.0 0.4941 0.4099 0.3461 0.4985 0.3051 0. 307.02 0.0000 0.2389 0.4192 0.2764 0.1179 0.4901 0.4963 0.4484 0.3729 0.1772 0.2823 0.00 0.3365 0.8 0.4082 0.0 2.4868 0.4535 0. busque el valor en el renglón correspondiente a 2.0160 0.24 EJEMPLO: Para encontrar el área bajo la curva que se encuentra entre la media y un punto situado a 2.4838 0. .5 0.3749 0.1628 0.4976 0.4975 0. NJ.4922 0.4956 0.0279 0.4881 0.4878 0.4699 0.0319 0.4916 0.4884 0.4573 0.4990 0.3665 0.2454 0.1368 0.3810 0.3238 0.4713 0.3413 0.4911 0.2357 0.2673 0.1293 0.0 1.4686 0.5 1.4973 0.4788 0.4989 0.4370 0.09 0.4032 0.4953 0.4974 0.04 de la tabla.1591 0.1736 0.4177 0.4633 0.1331 0.4131 0.2486 0.4981 0.4706 0.4967 0.4936 0.0910 0.0120 0.2734 0.04 0.2054 0.1141 0.4918 0.08 0.4319 0.4987 0.4279 0.4893 0.3133 0.3438 0.2939 0.4474 0.0438 0.4989 0.4744 0.4906 0.4982 0.4938 0.4929 0.4495 0.4871 0.2157 0.4932 0.3 0.4441 0.3289 0.1443 0.4798 0.0199 0.4463 0.3869 0.4803 0.4979 0.3599 0.4265 0.4545 0.1217 0.1064 0.2852 0.4554 0.1 1.9 2.4625 0.0557 0.7 2.4959 0.4345 0.4913 0.1808 0.4981 0.4964 0.4898 0.4875 0.0080 0.05 0.4904 0.4875 del ‡rea Media z = 2.4525 0.2019 0.4505 0.4608 0.0040 0.2910 0.2794 0.4582 0.1406 0.4591 0.4671 0.2995 0.2291 0.1844 0.3849 0.1700 0.3997 0.4887 0.7 1.4925 0.3980 0.4970 0.4986 0.4850 0.5 2.3790 0.3925 0.4564 0.3816 0.4750 0.3577 0. Engiewood Cliffs.03 0.2549 0.4418 0.4808 0.4861 0.3531 0. Impreso con licencia de Prentice-Hall.1103 0.4 2.4909 0.4989 0.2123 0.4656 0.0517 0.3485 0.4015 0.4982 0.4945 0.4927 0.DISTRIBUCIîN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTçNDAR 0.3106 0.4974 0.4962 0.4292 0.1985 0.3708 0.4948 0.4767 0.4817 0.8 1. Inc.4812 0.2704 0.4864 0.2 bajo la columna 0.4987 0.0596 0.4984 0.4951 0.4952 0.4969 0.4357 0.3962 0.4649 0.0319 0.2 1.4987 0.3212 0.6 0.4678 0.1026 0.1554 0.4961 0.4732 0.4664 0.4306 0. © 1976.9 1.4515 0.4980 0.4890 0.0636 0.3264 0.1 2.4979 0.3686 0.4726 0.07 0.9 3.2642 0.4957 0. Mason.0948 0.4821 0.4641 0.4826 0.4719 0.4846 0.4452 0.4394 0.4761 0.2190 0.3340 0.6 1.2611 0.3554 0.1915 0.4988 0.1950 0.4965 0.4896 0.2224 0.4943 0.4599 0.06 0.3770 0.3 1.4971 0.4978 0.3023 0.4332 0.4 0.4406 0.0478 0.4977 0.0398 0.4429 0.4222 0.3389 0.4977 0.4382 0.3159 0.24 desviaciones estándar a la derecha de la media.4738 0.4972 0.1480 0. pág.4986 0.4772 0.0675 0.6 2.8 2.4 1.3888 0.4066 0.4236 0.0714 0.0793 0.2324 0.4920 0. 0.4147 0.7 0.4854 0.4983 0.0832 0.0239 0.4693 0.3944 0.3315 0.0871 0.2967 0.4985 0.1664 0.0 0.4788 0.4834 0.