4.1.Diseños factoriales con dos factores El experimento factorial más sencillo es en el que intervienen solamente dos factores, por ejemplo, A y B. Hay niveles del factor A y niveles del factor B. El experimento tiene réplicas y cada réplica contiene todas las combinaciones de tratamientos . Considere los factores A y B con y ( ) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el arreglo o diseño factorial , que consiste de tratamientos. Se llama réplica cada repetición completa del arreglo factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de cuatro factores se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los efecto de interés, de tal forma que si se hacen réplicas, el número total de corridas experimentales es ( ). Efecto principal y efecto de interacción El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular, los efectos principales son los cambios en la media de la variable de respuesta que se deben a la acción individual de cada factor. En términos matemáticos, el efecto principal de un factor con dos niveles es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su primer nivel, y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su segundo nivel. Ejemplo Diseño factorial . Suponga que en un proceso de fermentación tequilera, se tienen dos factores A: tipo de levadura y B: temperatura, cada uno con dos niveles denotados por respectivamente. La respuesta de interés es el rendimiento del proceso de fermentación. En la tabla 4.1 se muestran los cuatro tratamientos o puntos del diseño factorial , y entre paréntesis se ha indicado cada nivel con los códigos (1, -1). En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces (tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero, por simplicidad, en la última columna de la tabla 4.1 sólo se anotaron los resultados de la primera réplica. Tabla 4.1 Diseño factorial A: Levadura B: Temperatura Y: Rendimiento 28 41 63 45 Para los datos de la tabla 4.1, los efectos principales están dados por Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González Diseños factoriales con dos factores 115 Efecto A = Efecto B = por lo que en términos absolutos el efecto principal de B es mayor. Por otra parte, se dice que dos factores interactúan entre sí o tienen un efecto de interacción sobre la variable de respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro. Por ejemplo, los factores A y B interactúan si el efecto de A es muy diferente en cada nivel de B, o viceversa. Ahora veamos esto con los datos de la tabla 4.1: el efecto de A cuando B es baja está determinado por Efecto A (con B bajo) = 41 - 28 = 13 y cuando la temperatura es alta, el efecto de A es Efecto A (con B alta) = 45 - 63 = 13 Como estos dos efectos de A en función del nivel de B son muy diferentes, entonces es evidencia de que la elección más conveniente del nivel de A depende del nivel en que esté B, y viceversa. Es decir, eso es evidencia de que los factores de A y B interactúan sobre Y. En la práctica, el cálculo del efecto A en cada nivel de B no se hace, y más bien se calcula el efecto global de la interacción de los dos factores, que se denotan por AB y se calculan como la diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el m ismo nivel: (-1, -1); (1, 1), y la respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos: (-1, 1) (1, -1). Para el ejemplo, el efecto de interacción levadura x temperatura está dado por Los valores absolutos (sin importar el signo) de los efectos principales y del efecto de interacción son una medida de importancia de su efecto sobre la variable de respuesta. Sin embargo, como se tienen estimaciones muestrales, para saber si los efectos son estadísticamente significativos (diferentes de coro) se requiere el análisis de varianza (ANOVA). Modelo estadístico Con un diseño factorial se pueden estudiar los dos efectos individuales y el efecto de interacción de ambos factores. En términos estadísticos, lo que se afirma es que el comportamiento de la respuesta Y en el experimento con k réplicas se podría describir mediante el modelo de efectos: donde es la media general, es el efecto debido al i-ésimo nivel del factor es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, representa al efecto de interacción en la Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 116 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales combinación es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante y son independientes entre sí. Puede usarse el análisis de varianza para probar hipótesis relativas a los efectos principales de los factores A y B y la interacción AB. donde los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son: El factor en los grados de libertad de la suma de cuadrados del error ( ) señala que se necesitan al menos dos réplicas del experimento para calcular ese componente y. Recordemos que las sumas de cuadrados divididas entre sus correspondientes grados de libertad se llama cuadrados medios . En este modelo. Raúl Jiménez González . Al dividir éstos entre el cuadrado medio del error se obtienen estadísticos de prueba con distribución F. se introducen las restricciones: Es decir. Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. las hipótesis de interés para los tres efectos son: Estas hipótesis se prueban mediante la técnica de análisis de varianza que para un diseño factorial con réplicas resulta de descomponer la variación total como. por ende. los efectos dados en el modelo son desviaciones respecto de la media global. Toda esta información se sintetiza en la siguiente tabla: ANOVA para el diseño factorial FV SC GL CM Valor-p Efecto A Efecto B Efecto AB Error Total Si el valor-p es menor al nivel de significancia prefijado. para construir una tabla de ANOVA. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única. se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el correspondiente efecto está activo o influye en la variable de respuesta. Por ello. en este proceso sólo se puede trabajar en 4 y 3 niveles. respectivamente. Las sumas de cuadrados de efectos son: y al final. Diseños factoriales con dos factores 117 Recordemos la notación de puntos para representar sumas y medias: Con esta notación la suma de cuadrados totales es: donde N = es el total de observaciones en el experimento. Raúl Jiménez González . se decide correr un factorial completo 4 x 3 con tres réplicas. se obtiene la suma de cuadrados del error como: Ejemplo Consideremos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de los factores A: profundidad de corte sobre el acabado de un metal y B: velocidad de alimentación. Al aleatorizar las 36 pruebas se obtienen los datos de la siguiente tabla: Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. que permitirá obtener toda la información relevante en relación al efecto de esos factores sobre el acabado. al restar éstas del total. Aunque los factores son de naturaleza continua. De donde: La suma de cuadrados totales y la suma de cuadrados del error están dadas por Con esta información se construye el análisis de varianza de la tabla 4. Raúl Jiménez González .24 99 104 114 104 299 110 313 111 332 944 96 99 107 Total 979 1 171 1 246 El acabado ( ) está en unidades de gramos e interesa minimizar su valor De acuerdo a esto para obtener el ANOVA para el ejemplo. se observa que a mayor velocidad y profundidad hay una tendencia a obtener peores acabados.118 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales Datos del experimento factorial 4 x 3 B: velocidad 0.21 82 99 108 88 262 108 302 110 317 881 92 95 99 A: 0. Nótese que aparecen tantas líneas como niveles tenga el factor que se dibuja en la parte de arriba. Del ANOVA se concluye que los tres efectos A: velocidad. La significancia de la interacción detectada por el ANOVA se observa en el hecho de que las líneas en la figura 5.2.1 tienen pendientes relativamente diferentes.20 0.15 74 92 99 64 198 86 266 98 299 763 60 88 102 0. Como lo que interesa es minimizar la variable de respuesta. calculemos los totales necesarios. Dado que el efecto de integración AB resulta significativo.25 0.30 Total 0. B: profundidad y AB están activos o influyen en el acabado. Además se ve que cuando se tiene velocidad Instituto Tecnológico de Ensenada Biol.18 79 98 104 Profundidad 68 220 104 290 99 298 808 73 88 95 0. prácticamente toda la información relevante del experimento se aprecia en su representación gráfica (figura 4. que en este caso es la profundidad con sus cuatro niveles que se denotan con la escala de -1 a 1.1). 23 0.72 Total 35 6532. AB 6 557.0000 A: profundidad 2 125.84 3.2 se dice que no está desglosado. las condiciones de operación o tratamiento que convienen es profundidad y velocidad bajas ( ). VELOCIDAD Factor Tipo Niveles Valores PRFUNDIDAD A fijo 4 0.5 2 1 580.07 6 92.*VEL.2 ANOVA para el ejemplo FV SC GL CM Valor-p B: velocidad 3 160.50 1580. 0. 0.21.000 VELOCIDAD B 2 3160.018 Error 24 689. 0. F P PRFUNDIDAD A 3 2125. Raúl Jiménez González .00 Instituto Tecnológico de Ensenada Biol.25. MC ajust.06 92.0000 AB 557.10 3 708.66 0.24 VELOCIDAD B fijo 3 0.02 0.33 689. Tabla 5.0 35 El planteamiento de hipótesis quedaría de la siguiente manera: Con su nivel de significancia como con sus grados de libertad respectivamente tenemos que el valor de F crítica es: y Se concluye que Se rechaza Se rechaza Se acepta Resultado arrojado en Minitab para el ejemplo anterior Factores: 2 Réplicas: 3 Corridas base: 12 Total de corridas: 36 Bloques base: 1 Total de bloques: 1 Número de niveles: 4. Por lo tanto. PRFUNDIDAD. 0. utilizando SC ajustada para pruebas Fuente GL SC sec.37 24.20.000 PRF.37 24.84 3.06 557.02 0.0180 Error 689.11 708.23 0. el ANOVA se puede desglosar para estudiar con mayor detalle en el efecto de tal factor.30 Análisis de varianza para RESPUESTA. 3 Modelo lineal general: RESPUESTA vs. Diseños factoriales con dos factores 119 alta ( ) el efecto de profundidad es menor (véase la dispersión de las líneas en la figura cuando la velocidad es alta). 0.11 2125. El ANOVA de la tabla 5.25 55. SC ajust.33 24 28.50 3160.66 0.72 Total 6 532.18.33 28. ya que cuando en un experimento hay factores cuantitativos con más de dos niveles.15.25 55. Cabe aclarar que este análisis es engañoso cuando el efecto de interacción es significativo. Para probar estas hipótesis con el método LSD habría que calcular las diferencias muestrales en el valor absoluto y compararlas con la diferencia mínima significativa. y son el total de observaciones en los niveles del factor A. como es un diseño balanceado = = 9. está dada por: Donde es el punto porcentual 100( de la distribución T de Student. entonces. se prueban las hipótesis del factor A ignorando por el momento la interacción. que están comparando. denotemos los cuatro niveles de la profundidad (A) del ejemplo anterior como así como los tres niveles de la velocidad (B) como Entonces es. Raúl Jiménez González . y sólo por ilustrar el método. El ANOVA sólo indica que al menos un par de niveles del factor significativo son diferentes entre sí. investigar cuáles medias causa las diferencias detectadas. en el ejemplo. Por facilidad. los grados de libertad del cuadrado medio del error. Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. La diferencia mínima significativa para comparar los niveles del factor A.120 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales Comparación de medias Las comparaciones de medias se introdujeron en la sección ´´Diseño completamente al azar y ANOVA´´ del capítulo 2. para después de un ANOVA en el que se rechaza . De esta manera. pero no dice cuáles son. Por ello. los seis pares de hipótesis para comparar las medias del factor A son: mientras que para el factor B se tienen los tres pares de hipótesis. 0 15. se aplico la pintura final.8 5.9 5.8.4 15.9. Tapaporo.3 12.9. en las cinco comparaciones restantes se rechaza .6 15.1 3 3. Adherencia Factor Tipo Niveles Valores Tapaporo fijo 3 1. Se pintaron tres ejemplares de prueba con cada pintura utilizando cada uno de los métodos de aplicación. 3.4. Así. 5.0 40.7. 4.5 5.7 2 5.9 28. Ejercicios 1. 5. 2 Modelo lineal general: Respuesta vs.3 18. Se realizó un experimento factorial para investigar el efecto que tiene el tipo de pintura tapaporo y el método de aplicación sobre la adherencia de la pintura..La pintura tapaporo de aviones se aplica en superficies de aluminio utilizando dos métodos: por inmersión y por aspersión. El objeto de la pintura tapaporo es mejorar la adherencia de la pintura. y en algunas partes puede aplicarse utilizando cualquiera de los dos métodos. 6. al dividir entre 9.6 89. 4. y se midió la fuerza de adherencia.5 4.2 34.2 49. se acepta . 5. las seis posibles diferencias muestrales en valor absoluto resultan ser: donde sólo la primer diferencia resulta no significativa. que son el número de mediciones involucradas en cada total. 6. Al grupo de ingenieros responsable del proceso de esta operación le interesa saber si tres pinturas tapaporo diferentes difieren en sus propiedades de adherencia. en cambio.0.8. 3 Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. 4.0.5 27.6. 4. 2. es decir. Raúl Jiménez González .8 = Resultado en Minitab Diseño factorial de múltiples niveles Factores: 2 Réplicas: 3 Corridas base: 6 Total de corridas: 18 Bloques base: 1 Total de bloques: 1 Número de niveles: 3. 5. Probemos la hipótesis apropiada y saquemos conclusiones Tipo de Inmersión Aspersión tapaporo 1 4.1.0 11. se obtienen las medias del factor A.5. Comparación de medias 121 De los totales marginales dados en el renglón inferior de la tabla donde se representan los datos del experimento factorial 4 x 3. no hay indicios de interacción entre estos factores.9867 0. Raúl Jiménez González . Obsérvese que los valores P de los dos estadísticos de prueba para los efectos principales son considerablemente menores que 0.000 Adherencia 1 4. = 90.47 0. El objetivo es diseñar una batería que se mantenga relativamente sin alteraciones por la temperatura ambiente. Los datos son los siguientes: Material Temperatura ( Baja Media Alta 1 130 155 34 40 20 70 74 180 80 75 82 58 2 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 3 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 a) Pruebe las hipótesis apropiadas y saque conclusiones utilizando el análisis de Instituto Tecnológico de Ensenada Biol.86 0.2906 27. Se rechaza Se rechaza Se acepta 2.96% Dado que utilizamos un = 0.9089 4. puesto que 1.05 mientras que el valor P para el estadístico de prueba de la interacción es mayor que 0.05.2411 0.05 y puesto que el valor de tanto para el factor A (tipo de pintura) como para el factor B(tipo de aplicación).5811 2. con su nivel de significancia como con sus grados de libertad respectivamente tenemos y . SC ajust. En la última columna del ANOVA se muestra el valor P para cada cociente F. La respuesta de salida de la batería es la vida efectiva en horas.0822 Total 17 10.1206 1.9867 0.Se presentan los resultados de un experimento en el que interviene una batería de almacenamiento usada en el mecanismo de lanzamiento de un misil tierra-aire para cargar al hombro. Aspersión Análisis de varianza para Respuesta.286744 R-cuad.5 .9089 4.5811 4. Se seleccionan tres niveles de temperatura y se corre un experimento factorial con cuatro replicas. Además. MC ajust..122 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales Adherencia fijo 2 Inmersión.2411 0.70 0. utilizando SC ajustada para pruebas Fuente GL SC sec. F P Tapaporo 2 4.000 Tapaporo*Adherencia 2 0.269 Error 12 0.7178 S = 0. Pueden usarse tres tipos de materiales para hacer las placas de la batería.9089 59. Se concluye que los efectos principales del tipo de pintura tapaporo y del método de aplicación afectan la fuerza de adherencia.(ajustado) = 86.79% R-cuad. que consiste de tratamientos o puntos experimentales.2.05.En un artículo se describe un experimento para investigar el efecto de dos factores (tipo de cristal y tipo de fósforo) sobre la brillantez de un cinescopio. Ejercicios 123 b) varianza con = 0. se puede construir el arreglo factorial . investigar las diferencias entre la media de la densidad del endurecimiento de los ánodos en los tres diferentes niveles de temperatura 4. respectivamente. b y c.. Raúl Jiménez González .Se condujo un experimento para determinar si la temperatura del fuego o la posición en el horno afectan la densidad de endurecimiento de un ánodo de carbono. B y C) sobre una o más variables de respuesta. y el número de niveles de prueba en cada uno de los factores es a. el Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran: el factorial .05 c) Analice gráficamente la interacción d) Analice los residuales de este experimento 3. Diseños factoriales con tres factores Cuando se quiere investigar la influencia de tres factores (A.. Los datos se presentan en la siguiente tabla: Tipo de Tipo de fósforo cristal 1 2 3 1 280 300 290 290 310 285 285 295 290 2 230 260 220 235 240 225 240 235 230 a) Enuncie las hipótesis de interés en este experimento b) Pruebe las hipótesis anteriores y saque conclusiones utilizando análisis de varianza con = 0. La variable de respuesta media es la corriente (en microamperes) necesaria para obtener un nivel especifico de brillantez. Los datos son los siguientes: Posición Temperatura ( ) 800 825 850 1 570 1 063 565 565 1 080 510 583 1 043 590 2 528 988 526 547 1 026 538 521 1 004 532 a) Enuncie las hipótesis de interés b) Pruebe las hipótesis anteriores utilizando el análisis de varianza con = 0. ¿A qué conclusiones se llega? c) Utilizando el método de la LSD de Fisher.05 c) Analice los residuales de este experimento 4. Raúl Jiménez González . o sea que su efecto individual no se puede descomponer. BC y ABC. El ANOVA para probar estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla. Las sumas de cuadrados Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. ANOVA para el diseño a x b x c FV SC GL CM Valor-p Efecto A Efecto B Efecto C Efecto AB Efecto AC Efecto BC Efecto ABC Error Total Al efecto cuyo valor-p sea menor al valor especificado para alfa. el factorial 4 x 3 x 2 y el factorial 4 x 4 x 2. pero. B y C) permite investigar los efectos: A. B. Por ejemplo. donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende del número de niveles utilizando en cada factor. si un factor se prueba en dos niveles.124 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales factorial y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores. AC. En resumen. y con ellos se pueden plantar las siete hipótesis nulas cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa. y comenzando otra vea. AB. se tienen siete efectos de interés sin considerar desglose. Las sumas de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores. todo su efecto marginal (individual) es lineal. se declara estadísticamente significativo o se dice que está activo. por la suma total de cuadrados. si tuviera tres niveles su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura. C. habrá que considerar un subíndice adicional para el tercer factor. Hipótesis de interés El estudio factorial de tres factores (A. éstas resultan ser: donde N = es el total de observaciones en el experimento. por ejemplo. por mencionar dos de ellos. 80. y luego (aunque no necesariamente después) a diagnosticar la calidad del modelo. 45 67. 73 62. se muestran en la siguiente tabla Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. 48. 65. 71. Raúl Jiménez González . 54. 68. 67. 75. 60. 54 48. 70. Una vez hecho el ANOVA. tanto en unidades originales como en unidades codificadas. 50 56. 75. 70 67. 65 71. abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentación Y(%) de una suspensión. 75 75. 50. 57 44. 53 52. 65 52. 77 55. Diseños factoriales con tres factores 125 de efectos son: Al restar éstas del total. 68. 73 75. 73. 48. 55 Los niveles de prueba para cada factor. se procede a interpretar los efectos activos. 53. 55 52. 65 72. 51. 54 59. 60 52. Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A). Para ello se decide correr un experimento factorial 3 x 2 x 2 con seis réplicas. 68 76. 80 76. 75. 57 55. 55. 68. 80 70. 52. Ejemplo El experimento. 75 86. 44. y las observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se muestran en la siguiente tabla: 60. 75 67. 55. 80. la suma de cuadrados del error resulta ser cuyos respectivos grados de libertad se dan en la tabla anterior. 45 60. originales U. = 89. Raúl Jiménez González . 2 Modelo lineal general: Respuesta vs.89 56..46 0. Factor Tipo Niveles Valores Suspensión fijo 3 A1. SC ajust.86 13. 30 -1 .25 788.241 Abertura de malla*temperatura 1 56.51 1.06 0. A2. De aquí se concluye que no influyen los efectos ABC.25 0.126 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales Factor U.67 14.11 0.50 480. Diseño factorial de múltiples niveles Factores: 3 Réplicas: 6 Corridas base: 12 Total de corridas: 72 Bloques base: 1 Total de bloques: 1 Número de niveles: 3.49 0.72 6086.0000 72.000 temperatura 1 6086.50 480.72 433. AB y en menor medida BC.10 0.613 Abertura de malla 1 480. Suspensión.68 R 52 86. B2 temperatura fijo 2 C1.91% R-cuad.5290 13. F P Suspensión 2 13.338 temperatura Error 60 841. Los efectos que no influyeron se pueden eliminar mandándolos al término error.5290 9.6667 -3.0000 72. 60 -1 .74537 R-cuad. C. Por otra parte. .3333 3.0000 66.000 Suspensión*temperatura 2 40.89 4.5290 -12.000 Suspensión*Abertura de malla 2 788.6667 1. MC ajust.93 0.78 S = 3. El ANOVA simplificado. En general se recomienda interpretar sólo los efectos significativos.89 56.25 394.03 15. dado que su valor-p es mayor que .049 Suspensión*Abertura de malla* 2 31.90 R R denota una observación con un residuo estandarizado grande.50 34. Éstos son los cuatro efectos que se deben interpretar.67 841.1667 2. 2. codificadas Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto A: Tipo de suspensión -1 0 1 B: Abertura de malla 40 .8333 1. se encuentran activos los efectos B.43 1. AC ni A. 1 C: Temperatura 0 . utilizando SC ajustada para pruebas Fuente GL SC sec..(ajustado) = 88.13 28. A3 Abertura de malla fijo 2 B1. Abertura de malla. Instituto Tecnológico de Ensenada Biol.03 31.6667 1.86 6. C2 Análisis de varianza para Respuesta.86 40. 1 El análisis de varianza para este ejemplo se muestra en la siguiente tabla.90 0.06% Observaciones inusuales de Respuesta Residuo Obs Respuesta Ajuste Ajuste SE Residuo estándar 23 60.70 R 36 76.72 6086. pero con el efecto A note que el en ambos ANOVAS es prácticamente igual.86 20.03 Total 71 8339. Se rechaza .6 97. Los resultados se presentan en la tabla siguiente Temperatura 300 350 Operador Operador Duración del ciclo 1 2 3 1 2 3 40 23 27 31 24 38 34 24 28 32 23 36 36 25 26 28 28 35 39 50 36 34 33 37 34 34 35 38 34 39 38 36 36 39 35 35 36 31 60 28 35 26 26 36 28 24 35 27 29 37 26 27 34 25 25 34 34 Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Use b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a 2.8 99.2 98.7 99.0 98.0 20 97.6 100.0 98. y tres ejemplares de prueba pequeños de tela se tiñeron bajo cada conjunto de condiciones.4 97. Se acepta . Se rechaza Ejercicios 1..1 96. la libertad de orientación de la fibra o lof.5 95.4 99.5 98.0 99.6 98.8 98.6 96.9 97.2 96.6 97.5 96..4 97.6 96. Raúl Jiménez González .9 99.0 horas de tiempo de cocción Concentración de lof lof Madera dura 350 500 650 350 500 650 10 96.5 96. y el tiempo de cocción de la pulpa en cuanto a sus efectos sobre la resistencia del papel.0 99. Porcentaje de la 1. Se rechaza .05 y puesto que el valor de .4 98. La tela terminada se comparó con un patrón y se asigno una puntuación numérica. Diseños factoriales con tres factores 127 Dado que utilizamos un = 0. Se acepta .4 100. .6 97. En la siguiente tabla se muestran los datos de un experimento factorial con tres factores.9 15 98. Se seleccionan tres operadores.5 horas de tiempo de cocción 2.Se investigan el porcentaje de la concentración de madera dura en la pulpa cruda.El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia los efectos de varios factores sobre el teñido de una tela combinada de algodón y fibra sintética que se usa para hacer camisas.0 96.8 a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos los factores son fijos.0 97. con su nivel de significancia como con sus grados de libertad en tablas respectivamente tenemos y .4 97. Se rechaza . tres duraciones del ciclo y dos temperaturas.6 1000.1 98. …. donde la letra K denota al -ésimo o último factor del conjunto a estudiar. Considerarse factores A. el diseño factorial tiene cinco efectos principales.3. K con niveles respectivamente. Use b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a 4. Aun si pudiera correrse. interacciones triples. 10 interacciones dobles. El cálculo del número de interacciones de cierta cantidad de factores se hace mediante la operación ¨combinaciones de en ¨ que cuenta el número de diferentes maneras de seleccionar factores de los . Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. el factorial tiene 243. Diseño factorial general Lo que se ha dicho para los dos diseños factoriales con 2 y 3 factores puede extenderse fácilmente para cuando se tienen más factores. Cabe destacar que mientras el diseño factorial tiene 32 tratamientos. A los tres factores se les ha asignado dos niveles.025 pulgada 0. interacciones dobles. existen arreglos experimentales más pequeños y eficientes. no necesariamente el undécimo. Son de interés tres factores: la rapidez de alimentación (A). lo cual da un total de 31 efectos.Un ingeniero mecánico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de corte de metal. la profundidad del corte (B) y el ángulo de la herramienta (C). representa una opción muy ineficaz. donde = Por ejemplo.04 pulgada Rapidez de Ángulo de la herramienta alimentación 15 25 15 25 30 pulg/min 9 11 9 10 7 10 11 8 30 pulg/min 10 10 12 16 12 13 15 14 a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos los factores son fijos. que es el lugar de esta letra en el alfabeto. además. y así sucesivamente hasta la única interacción de los factores (ABC…K). pero al contar con tres niveles en cada factor. 10 interacciones triples. B.128 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales a) Enuncie y pruebe las hipótesis apropiadas usando el análisis de varianza con 3. cinco interacciones cuádruples y una interacción quíntuple. C. una cantidad de tratamientos difícil de manejar. Por su parte. y se corren dos réplicas de un diseño factorial Profundidad del corte 0.. cada efecto principal se puede descomponer en su parte lineal y cuadrática. Con estos niveles y factores se puede construir el diseño factorial general que consiste de tratamientos o puntos de prueba. Con este diseño se pueden estudiar efectos principales. Raúl Jiménez González . el factorial también tiene este mismo número de efectos. Las sumas de cuadrados de efectos son: Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González . Si se tienen réplicas. en el factorial general se pueden plantear hipótesis que se prueban mediante el análisis de varianza. Las primeras tres columnas de este ANOVA se muestran en la siguiente tabla ANOVA para el diseño factorial general FV SC GL Error Total La suma de cuadrados totales está dada por: donde N = es el total de observaciones en el experimento. Diseño factorial general 129 De acuerdo con lo antes dicho. obviamente. pero la población de los mismos es de 100 instrumentos. En este caso es más apropiado utilizar un modelo de efectos o factores aleatorios. Es decir. Raúl Jiménez González .4. que se ha mencionado. Con factores fijos. para un factor A. Entonces se experimenta sólo con cinco de ellos elegidos al azar. Un ejemplo de esta situación es cuando se prueban cinco instrumentos de medición. ya no tiene sentido. esta necesidad de réplicas ( . El principio de Pareto. cuando se comparan tres tipos de material porque son los que interesa comprar aunque existan otros materiales de ese tipo. Modelos de efectos aleatorios Hasta aquí los modelos de efectos que se han utilizado son modelos de efectos o factores fijos. La aplicación de un modelo de efectos aleatorios conlleva la necesidad de considerar la incertidumbre asociada con la elección aleatoria de los niveles de prueba. Pero resulta que. preocuparse por el efecto del nivel Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. En ocasiones. no es posible experimentar con todos los equipos. 4. o bien. cuando en el factor operador se toman los tres únicos operadores como los niveles de prueba. los niveles de prueba son una muestra aleatoria de la población de niveles posibles. Sin embargo. Éste es el caso. y las conclusiones obtenidas se infieren como válidas para la población entera de instrumentos. es en este sentido que los niveles están fijos. o cuando los niveles del factor máquinas son las cuatro máquinas existentes. En el ANOVA para el factorial general se observa la necesidad de contar con al menos dos réplicas del experimento para calcular la suma de cuadrados del error ( ). que en este contexto también se llama principio de esparcidad de efectos. la suma de cuadrados del error se calcula por sustracción. con excepción del factorial . O bien. por lo común se debe a algunos efectos principales e interacciones dobles. en un factorial completo prácticamente nunca interesan todos sus posibles efectos.. lo cual significa que todos los niveles de prueba en cada factor son todos los disponibles para ese factor.130 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales Al final. las conclusiones obtenidas sólo son validas para los niveles de prueba que se estudian en el experimento. Es para el caso irreal de que interesan los efectos. dice que la mayoría de la variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles. por ejemplo. y completar toda la tabla ANOVA. puesto que en términos generales sólo algunos de ellos están activos. se estudian todos los niveles de interés en ese factor. el modelo de efectos aleatorios es donde es la media general. Para obtener los estadísticos de prueba apropiados debe tomarse en cuenta que los valores esperados de los cuadrados medios son Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. es decir. son las contribuciones de cada efecto a la variación total y se llaman componentes de varianza. . si se calcula la varianza en ambos lados del modelo anterior. y son independientes entre sí. de las cuales se obtienen los correspondientes cuadrados medios. Modelo de efectos aleatorios 131 como en efectos fijos. es el componente de varianza debido al error aleatorio. representa al efecto de interacción en la combinación y es el error aleatorio que se supone sigue una distribución normal con media cero y varianza constante. El caso de dos factores aleatorios. se obtiene el modelo de componentes de varianza dado por: + + + donde . es preciso estimar dicha varianza y probar si su contribución a la variabilidad total es significativa. Raúl Jiménez González . se supone que los términos son variables aleatorias independientes normales. sino que ahora el interés se enfoca en estudiar la varianza de dichos efectos. y . . Para ello. Si se consideran dos factores aleatorios A y B. De esta manera. entonces si los tratamientos se replican veces. de los cuales se prueban niveles elegidos de una población grande de niveles. Las hipótesis de interés son Los cálculos necesarios para probar estas hipótesis involucran las mismas sumas de cuadrados del modelo de efectos fijos (diseños factoriales con dos factores). es el efecto debido al nivel del factor A. con media cero y varianzas . . pero el hecho de que los efectos sean aleatorios implica que no tiene sentido probar hipótesis directamente sobre tales efectos (medidas). Lo que ahora (con efectos aleatorios) tiene sentido es hablar de la varianza con la que el factor aleatorio contribuye a la variación total. El aspecto de este modelo es igual al de efectos fijos. es el efecto del nivel del factor B. respectivamente. cuyas especificaciones son 69 0. Al resolver las ecuaciones dadas por los valores esperados de cuadrados medios para los componentes de varianza. La conclusión práctica no consiste en determinar el mejor tratamiento. como se hace en el modelo de efectos fijos. Ejemplo En una compañía dedicada a la fabricación de bombas y válvulas. El experimento utilizado se muestra en la siguiente tabla: Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. El ancho de una pieza particular es una característica de calidad crítica. En caso de rechazar alguna de las hipótesis sobre las varianzas.132 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales de tal forma que para probar la hipótesis mencionadas. se obtienen estimadores de éstos en función de los cuadrados medios del error. sino que generalmente se traduce en tomar medidas para que la contribución del componente de varianza se reduzca. Observe que en el modelo de efectos aleatorios los cuadrados medios de los efectos principales se comparan con el cuadrado medio de la interacción. De aquí que sea necesario estimar el error de medición con el fin de ver la posibilidad de reducirlo para cumplir con las especificaciones. Se eligen dos inspectores al azar y siete piezas para correr un experimento. los estadísticos de prueba apropiados en el ANOVA son respectivamente. algunos componentes críticos tienen tolerancias muy estrechas que son difíciles de cumplir. se concluye que el efecto correspondiente contribuye de manera significativa a la variación de la respuesta. Raúl Jiménez González .4mm. y no con el cuadrado medio del error. esto es. a fin de estimar la contribución de los inspectores. de las piezas y del error aleatorio (repetibilidad) en la variabilidad total observada. es el componente debido a las piezas.75 0.68 69.02 69.46 69.70 69. mientras que la variabilidad de los inspectores y de la interacción inspector x pieza no es significativa (es igual a cero).097 14 0.92 4 69. La estimación de los componentes de varianza.0000 AB 0.88 Nótese que cada inspector mide dos veces cada pieza. Raúl Jiménez González . Interesa probar las hipótesis: y estimar los componentes de varianza. Desde el punto de vista del objetivo del experimento.1252 24. El ANOVA para probar estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla.069 0. es decir.07 0.90 3 69. El modelo de componentes de varianza propuesto para describir estos datos es donde es el componente de varianza de los inspectores. pero las dos últimas deben corregirse de acuerdo con el estadístico de prueba apropiado ra un modelo de efectos aleatorios ( y ). es el componente de interacción de ambos factores y es el componente aleatorio.38 69.58 69.90 70. Los valor-p indican que la variabilidad de las piezas es estadísticamente diferente a cero. los resultados del ANOVA son los deseados: la reproducibilidad ( + ) es estadísticamente igual a cero.48 69.72 69.80 69.62 69.8803 27 Las tres primeras columnas se obtienen igual que el modelo de efectos fijos.42 6 69.6169 Error 0.00036 0. a partir de los cuadros medios.7516 6 0.50 69.56 69.8043 B: Pieza 0.0313 6 0.50 5 69. los inspectores no afectan el proceso de medición.52 2 39. queda como: Instituto Tecnológico de Ensenada Biol.40 69.0069 Total 0.70 69.60 69.0052 0. 0. en ambos casos seleccionados al azar. FV SC GL CM Valor-p A: Insp.64 7 69. el primero con dos niveles y el segundo con siete niveles.78 69.40 69. Sean los inspectores el factor A y las piezas el factor B.00036 1 0. Modelo de efectos aleatorios 133 Número de Inspector Z Inspector W piezas 1 2 1 2 1 69.94 69.50 69.50 69. 134 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales De aquí se concluye que la reproducibilidad ( + ) no tiene contribución y la repetibilidad expresada como 5.8.5. 2. Uso de un software estadístico Utilizando Minitab 1. dentro de esa opción. 4. cuando lo deseable es que este porcentaje sea menor al 10%. Si este valor se compara con la tolerancia de 0. seleccionar la opción DOE luego Factorial y Crear diseño factorial como se presenta en la siguiente Figura.15 es igual a 0. El primer paso consisten en seleccionar la opción Estadísticas del Menú Principal de Minitab y.428. por tanto en la casilla <<Número de factores>> usted deberá tener el número 2. Como consecuencia de la acción anterior le debe aparecer la siguiente pantalla <<Crear diseño factorial>>. por lo que el instrumento es inadecuado para discriminar entre piezas buenas y malas. Raúl Jiménez González . Luego Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. se encuentra que ocupa 53% de ésta. El paso en esta pantalla será seleccionar en Tipo de diseño la casilla de Diseño factorial completo general luego escoger el número de factores considerados en el experimento (en nuestro ejemplo son dos factores: A y B). Raúl Jiménez González . 3. para esto en la casilla <<Número de replicas>>. En la casilla <<Tipo>> seleccionar texto para ambos factores. Minitab crea las columnas de los tratamientos. Uso de software 135 debe oprimir el botón de la opción <<Diseños>> para poder escoger su diseño. luego indicar aceptar. 5. <<Valores de nivel>> . Esto lo devolverá a la pantalla anterior <<Crear diseño factorial>>. De vuelta en la pantalla <<Crear diseño factorial>>. lo que lo llevara nuevamente a la pantalla <<Crear diseño factorial>>. además de indicar el numero de niveles para ambos (4 y 3 respectivamente). Seleccionar factores y aparecerá una siguiente ventana. Proceda entonces a ingresar los datos en la columna C7 Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. MINITAB le creará la siguiente pantalla. lo único que usted tiene que ingresar a MINITAB es una columna con la respuesta del experimento. usted deberá tener el valor de 3. también indicará que realizamos tres repeticiones por tratamiento. En la siguiente ventana escribir el nombre de nuestros factores A y B. 4. De vuelta a la pantalla <<Crear diseño factorial>> oprima <<Aceptar>>. indicar los valores correspondientes tanto para el factor A así como para el factor B. Finalice esta pantalla oprimiendo <<Aceptar>>. número de repeticiones y otras opciones. sólo que esta vez seleccionaría la secuencia: <<Estadísticas>> seguida de <<DOE>>. Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González . El siguiente paso es regresar al paso 1.136 CAPÍTULO 4 Diseños factoriales 6. Una vez capturados los datos (estos datos deberán corresponder al factor A con respecto a factor B de acuerdo a la tabla original) en su correspondiente renglón. <<Factorial>> y <<Analizar diseño factorial>>. es idéntico al de dos factores. solo que en la ventana correspondiente indicar que se trata de tres factores. de tres factores. y se aplica la misma secuencia. . Uso de software 137 Esta acción resultará en la pantalla donde sólo es necesario indicar la columna de la variable de respuesta <<Respuesta>> seguido de aceptar y MINITAB le ofrecerá el resultado correspondiente. Para capturar los datos en Minitab.