FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL CURSO : HIDROLOGIA AÑO ACADEMICO : 2013 - II SEMESTRE : VII CLASE 6 : ESTADISTICA HIDROLOGICA (ELEMENTOS) Prof.: F. Gàrnica T. Tacna, 04 de marzo del 2014 1 Miscelaneo 2 / 76 Principales causas de las inconsistencias de las series climáticas El tema mayor es la Gobernabilidad del Agua (22032012) GENERALIDADES Los estudios hidrológicos requieren del análisis de cuantiosa información hidrometeorológica : esta información consiste de una serie de datos de precipitaciones, caudales, temperaturas, evaporación, humedad relativa, etc. La data recopilada, solo representa una información en bruto, pero que si estos se organizan y analizan en forma adecuada, proporcionan al hidrólogo una herramienta de gran utilidad para una adecuada toma de decisiones en el diseño y operación de estructuras hidráulicas. Para este análisis de la información, la hidrología utiliza los conceptos de las probabilidades y estadística para analizar los fenómenos naturales. 6 / 78 ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA Procesos hidrológicos Conceptos fundamentales de estadística Ajuste de distribución Análisis de frecuencia de probabilidades 7 / 78 MOTIVACIÓN El Análisis Estadístico de un conjunto de datos hidrológicos, permite describir la población con un pequeño número de parámetros representativos. 8 / 76 OBJETIVO Conocer los datos hidrológicos que pertenezcan a procesos aleatorios puros, mediante el uso de parámetros y funciones estadísticas 9 / 76 PROCESOS HIDROLÓGICOS Los procesos hidrológicos son de naturaleza estocástica, es decir en parte son determinístico y en parte aleatorios, cuando la variabilidad aleatoria es muy grande comparada con la determinística se justifica un tratamiento de proceso aleatorio puro. 10 / 76 Conceptos fundamentales de estadística Distribución de probabilidades: Es una función que representa la probabilidad de ocurrencia de una variable aleatoria. Muestra: Conjunto de observaciones de x1, x2,…xn de la variable aleatoria X. Espacio muestral: Conjunto de muestras posibles que se pueden extrer de una población. Evento: es un subconjunto del espacio muestral. Espacio muestral A B 11 / 76 AB Continuación La probabilidad de ocurrencia de los eventos hidrológicos se rige por los siguientes principios: 1. Probabilidad total: Si se divide el espacio muestral en eventos A1, A2, …An entonces: P(A1) + P(A2) + …. + P(An) = P() = 1 2. Complementariedad: PA 1 PA A = Complemento de A 12 / 76 Continuación 3. Probabilidad Condicional: P(A B) PB A P( A) PB A = Probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A PA B = Probabilidad conjunta (unión de A y B) Histograma de frecuencia: Es un arreglo de las observaciones de la muestra. Procedimiento de arreglo: 1. Se divide el rango factible de variación de la variable aleatoria en intervalos discretos. 2. Se cuenta el número de observaciones que caen en cada intervalo. 13 / 76 3. El resultado se gráfica en diagrama de barra. Continuación Frecuencia relativa: n = Número total de observaciones ni f m (x i ) ni = Número de observaciones en el n intervalo i Frecuencia acumulada: Es la suma de los valores de las frecuencias relativas hasta un punto dado: i Fm ( x i ) f m ( x j ) j1 Función de densidad de probabilidades: Es la derivada de F(x) dF( x ) f (x) dx 14 / 76 Continuación La distribución normal o campana de Gauss: Es una función de densidad de probabilidades: 1 ( x ) 2 2 2 f (x) e 2 Donde , son parámetros. Utilizando la variable estandarizada normal z = la ecuación queda: 1 z 2 f ( z) e 2 2 - z 15 / 76 Parámetros estadísticos Son valores representativos que se extraen de un conjunto de datos. Parámetros estadísticos de la población y estimadores muestrales Población Muestra 1. Tendencia central - Promedio aritmético 1 E(x) xf (x)dx X xi n - Mediana X tal que F(x) = 0.5 50 avo. Porcentil de los datos - Promedio geométrico 1 n n Antilog [E(log x)] xi 16 / 76 i 1 Continuación Parámetros estadísticos de la población y estimadores muestrales Población Muestra 2. Variabilidad n 2 Varianza E x 2 2 S 2 1 xi x n 1 i1 Desviación Estándar S Coeficiente de variación Cv Cv s x 3. Asimetría n n x i x Coeficiente de asimetría 3 E x 3 Cs i 1 n 1n 2 S3 17 / 76 3 AJUSTE DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES MÉTODO DE LOS MÁXIMA MOMENTOS VEROSIMILITUD 18 / 76 AJUSTE DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Variables que intervienen en el análisis Conocidas Desconocidas - Tamaño de la muestra Bondad de los parámetros - Parámetros estadísticos hidrológicos de la muestra 19 / 76 PLAN Parámetro Método Aplicación En análisis Métodos de hidrológicos los Momentos Ajuste de una prácticos distribución de probabilidades Máxima En análisis hidrológicos Verosimilitud teóricos precisos 20 / 76 Continuación Métodos de los momentos El método se basa las siguientes consideraciones: 1. Asigna a cada dato de la muestra una masa igual a su frecuencia relativa ( 1/n ). 2. La sumatoria del primer momento de cada dato xi con respecto al origen es el promedio de la muestra el cual es equivalente al centroide del cuerpo. n xi 1 n n n xi x i 1 i 1 21 / 76 Continuación El centroide correspondiente a la función de densidad de probabilidades es: xf ( x ) xf ( x )dx (Primer momento con respecto al origen ) f(x) f(x)dx = masa x x = Brazo de palanca 22 / 76 Continuación Método de la máxima verosimilitud Este método se basa en el criterio de que, el mejor valor de parámetro de la distribución de probalidades es aquel que maximiza la probabilidad conjunta de ocurrencia de los datos de la muestra. Consideraciones para el método: - El espacio muestral se divide en intervalos de longitud dx - Tomando una muestra de observaciones independientes e igualmente distribuidas, el valor de la densidad de probabilidades para X = xi es f(xi) 23 / 76 Continuación - La probabilidad conjunta de ocurrencia esta dada por: n n i f ( x i )dx 1 - Como la longitud dx es fija, la maximización de la probabilidad conjunta de la muestra observada, equivale a maximizar la función de verosimilitud. n L f (x i ) i1 Debido a que muchas funciones de probabilidades son exponenciales, resulta conveniente trabajar con el logaritmo de la función L: n ln L ln f x i 24 / 76 i 1 PRUEBA DE LA BONDAD DE AJUSTE La bondad de ajuste de una distribución de probabilidades se puede probar por comparación entre los valores teóricos y empíricos de las frecuencias relativas, Mediante la siguiente expresión. m c2 m i n f ( x ) p ( x i ) 2 m = Número de intervalos i 1 p( x i ) La distribución 2 con v grados de libertad viene a ser la distribución de la suma de los cuadrados de v variables aleatorias normales estándares independientes zi; dicha suma es una variable v aleatoria. 2 v Zi 2 25 / 76 i 1 Continuación v=m–p–1 p = Número de parámetros utilizados para el ajuste de la distribución propuesta. Consideraciones para la prueba - Para la prueba se selecciona un nivel de confianza, el cual se expresa como 1- , siendo el nivel de significancia, generalmente se toma un valor típico para el nivel de confianza de 95%. - La hipótesis nula Ho, la cual reza, que la distribución propuesta se ajusta adecuadamente a los datos. 26 / 76 Continuación La hipótesis se rechaza cuando el valor de c2 calculado es mayor que un valor límite v,1 extraido de la distribución 2 con v grados de 2 libertad, para una probabilidad acumulada de 1 - (tomado de la tabla C-2 Apéndice C del texto Hidrología de Guevara y Cartaya). 27 / 76 DESARROLLO Ajustar una distribución normal a los datos de precipitación anual de la estación X para el período 1911 – 1979. Graficar las funciones de frecuencias relativas y probabilidad incremental y las funciones acumuladas de frecuencia y probabilidades. Año 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 0 - 1,237 1,229 1,252 792 1,168 861 1 1,013 1,120 864 1,123 686 1125 805 2 787 1,087 1,158 1,059 940 960 800 3 1,074 1,229 947 782 1,189 752 1,514 4 1,069 869 1,110 1,361 683 892 1,283 5 1,044 823 1,062 876 645 1,262 980 6 729 1,179 1,044 1,278 584 930 1,102 7 427 988 792 1,113 1,435 826 729 8 866 947 894 549 1,102 1,567 813 9 1,433 1,285 892 1,196 1,049 1,204 1,316 28 / 76 Continuación Solución: El rango de precipitación observada se divide en 10 intervalos. El primero es R < 600 mm; el último es para R > 1800 mm. Col. 1 2 3 4 5 6 7 8 Interv. Rango mm ni fm(xi) Fm(xi) Zi F(xi) p(xi) X c2 1 < 600 1 0,014 0,014 -2,157 0,015 0,015 0,004 2 600 – 750 2 0,029 0,043 -1,611 0,053 0,038 0,147 3 750 – 900 6 0,087 0,130 -1,065 0,144 0,090 0,008 4 900 – 1050 14 0,203 0,333 -0,520 0,301 0,158 0,891 5 1050 – 1200 11 0,159 0,493 0,026 0,510 0,209 0,805 6 1200 – 1350 16 0,232 0,725 0,571 0,716 0,206 0,222 7 1350 – 1500 10 0,145 0,870 1,117 0,868 0,151 0,019 8 1500 – 1650 5 0,072 0,942 1,662 0,952 0,084 0,114 9 1650 – 1800 3 0,043 0,986 2,208 0,986 0,034 0,163 10 > 1850 1 0,010 1,000 2,753 1,000 0,014 0,004 Total 69 1,000 1,000 2,377 Promedio x = 1.193 mm 29 / 76 Desviación estándar s = 275 mm Continuación Los cálculos se presentan en la tabla anterior. En la columna 2 se da el histograma de frecuencia. La función de frecuencia relativa se presenta en la columna 3, calculada como sigue: Para n = 69 ; i = 4; (900 – 1.050 mm); ni = 14; entonces: fm(x4) = 14/69 = 0,203 En la columna 4 se presenta la función de frecuencia acumulada, calculada como sigue: Fm(x4) = Fm(x3) + fm(x4) = 0,130 + 0,203 = 0,333 30 / 76 Continuación El ajuste de la función de distribución normal se consigue como sigue: - Los parámetros estadísticos de la muestra ( x = 1.193 mm; s = 275 mm), se usan como estimadores de y . - La variable normal estándar Z correspondiente al límite superior de cada intervalo se presenta en la columna 5, calculada como sigue: Para i = 4; Z = (x - )/ Z = (1.050 – 1.193) / 275 = - 0,520 31 / 76 Continuación Para el mismo intervalo, en la columna 6 se lista el valor de la función de probabilidades normal acumulada, tomada de la tabla C-1 Apéndice C de libro Guevara y Cartaya (0,301) . En la columna 7 se presenta la función de probabilidad incremental, calculada como sigue: p(x4) = p(900 X 1050) = F(1050) - F(900) = 0,301 - 0,144 = 0,158 32 / 76 Graficas 0,24 0,20 FUNCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA 0,16 0,12 0,08 Muestra fm(xi) 0,04 Ajuste p(xi) 0,00 < 600 700 1050 1350 1650 >1850 Precipitación anual en mm 1,0 FRECUENCIA ACUMULADA 0,9 Frecuencia Acumulada 0,8 0,7 0,6 0,5 Muestra Fm(xi) 0,4 Ajuste F(xi) 0,3 0,2 0,1 0,0 < 600 700 1050 1350 1650 >1850 Precipitación anual en mm 33 / 76 VERIFICACIÓN Para verificar la bondad del ajuste se cálcula el parámetro estadístico de prueba c 2 Para i = 4 nf m x 4 p x 4 2 c 2 px 4 69 0,20290 0,15777 2 c2 0,891 0,15777 Los valores se listan en la columna 8 de la tabla. 2 El valor total de la columna es c = 2,377 34 / 76 Continuación El valor teórico 2 v,1 para una probabilidad acumulada de 1 - = 0,95 y v = 10 – 2 – 1 = 7 grados de libertad es 72;0,95 = 14,1 Verificación de la hipótesis Debido a que c2 72;0,95 se acepta la hipótesis nula, lo que indica que la distribución se ajusta a los datos con un 95% de confianza. 35 / 76 GENERALIZACIÓN Los métodos estadísticos presentados son usados para describir series de procesos hidrológicos, por ejemplo alturas de precipitación e intensidades, caudales máximos anuales, crecidas, duraciones de flujos mínimos y otros. 36 / 76 Análisis de Frecuencia Distribución Factores de Acumulada Frecuencia Serie de Datos Hidrológicos Error Estándar de la Distribución de Método para Valores Extremos Establecer Nivel Tipo I de Diseño Métodos de Límites de Representación Confidencia Gráfica 37 / 76 ANÁLISIS DE FRECUENCIA El análisis de frecuencia permite realizar el ajuste a los valores puntuales, es decir, la observaciones en una estación de medición. 38 / 76 ANÁLISIS DE FRECUENCIA Variables: CONOCIDAS DESCONOCIDAS -Costo de la obra. -Grado de seguridad. -Información hidrológica. -Confiabilidad en la -Zona geográfica. información hidrológica. -Criterio del experto. -Tamaño de la muestra. 39 / 76 ANÁLISIS DE FRECUENCIA Plan: Parámetro Método Aplicación -Técnica de representación directa de la - Cuando las series Análisis de distribución observadas son por lo frecuencia. acumulada. menos de 10 años de longitud. -Factores de frecuencia. 40 / 76 DISTRIBUCIÓN ACUMULADA La distribución acumulada permite una rápida determinación de la probabilidad de que un evento sea menor o igual que una magnitud específica. Esta propiedad se usa para obtener períodos de retorno o intervalos de recurrencia para los datos observados. 41 / 76 Continuación SERIE DE DATOS HIDROLÓGICOS Serie de duración total: es el conjunto de datos disponibles ordenados cronológicamente. Serie de duración parcial: resulta de tomar los valores mayores que una magnitud preestablecida o valor base o de referencia, de la serie de duración total. Serie anual de excedencia: sucede cuando la base de referencia se selecciona de tal modo que el número de valores en la serie sea igual al número de años de registros. 42 / 76 Continuación SERIE DE DATOS HIDROLÓGICOS Serie anual: es cuando la longitud del intervalo es igual a un año, la serie puede ser de máximos o de mínimos. Una de las limitaciones de la serie anual de excedencias (serie parcial) está en la dificultad de verificar la independencia de las observaciones. El período de retorno TE de cada evento de la serie parcial se selecciona con el período de retorno T correspondiente a los eventos de la serie de valores máximos anuales como sigue (CHOW, 1964): 1 T TE Ln (1) 43 / 76 T 1 SELECCIÓN DEL NIVEL DE DISEÑO Parámetro Método Aplicación Método Se tiene gran número de empírico. registros. Se quiere conocer el porcentaje de riesgo que Período de Análisis de corre una estructura si es retorno o Nivel riesgo. excedido su período de de diseño. retorno durante su vida útil. Se análiza el riesgo Análisis desde un punto de vista económico. económico. 44 / 76 MÉTODO EMPÍRICO Se selecciona como magnitud de diseño el evento extremo del registro histórico de N años. La probabilidad de que dicho evento sea igualado o excedido una vez durante los n años siguientes es: P N, n n (2) Nn Así por ejemplo, la probabilidad de que el caudal máximo observado en N años sea igualado o excedido en los N próximos años es 0,5. 45 / 76 ANÁLISIS DE RIESGO El análisis de riesgo parte del hecho de que la estructura puede fallar si la magnitud para el período de retorno de diseño T es excedida durante la vida útil de dicha estructura. El riesgo hidrológico de falla se cálcula como sigue: __ R 1 1 PX x T n (3) Donde P(X __ xT) = 1/ T; n es la vida esperada de la estructura; R es la probabilidad de que un evento X xT ocurra por lo menos una vez en n años. 46 / 76 Continuación ANÁLISIS DE RIESGO Supongamos, por ejemplo, que una obra hidráulica de drenaje urbano se le ha asignado una vida útil de 10 años; se acepta un riesgo del 10% de que por lo menos una vez en dicho período ocurra un evento que excede la capacidad de la estructura ¿Cual debería ser el período de retorno que debe utilizarse en el diseño? 10 1 T 95años 0.10 1 1 T 47 / 76 Continuación ANÁLISIS DE RIESGO ¿Cuál sería la probabilidad de que una estructura diseñada para este periódo de retorno no sea excedida en su capacidad en 50 años? 50 __ 1 __ R 1 1 R 0.41 95 P 1 0,41 0,59 59% 48 / 76 Continuación ANÁLISIS DE RIESGO Verificación: Se puede realizar por cualquier otro método o de acuerdo al criterio ingenieril. 49 / 76 ANÁLISIS ECONÓMICO En este caso se requiere conocer la naturaleza probabilística del evento hidrológico y el daño que resultaría en el caso de ocurrir el evento, sobre el rango factible del mismo. A medida que aumenta el período de retorno; aumenta el costo de la estructura, pero disminuye el monto de los daños esperados. Por lo tanto, se debe llegar a un período de retorno tal que minimise los costos totales bajo una base anual. 50 / 76 Continuación ANÁLISIS BENEFICIO - COSTO Se hará el estudio de un proyecto de Diques para protección contra crecientes (inundaciones). Para lo cual se tendran en cuenta 3 alternativas que se dan a continuación: NIVEL DE PROTECCIÓN COSTO ANUAL DEL PROYECTO m3/s (VIDA ÚTIL 50 AÑOS) MBs 878 1902 1359 2208 1826 2718 Se asumirá un período de análisis de 100 años y el estudio se hará con la alternativa de 878 m3/s. 51 / 76 Continuación ANÁLISIS BENEFICIO - COSTO 1. Para determinar la relación entre el nivel del agua en el cauce y los daños esperados tienen que analizarse factores como topografía, valor de las propiedades, daños potenciales, uso de la tierra y análisis hidráulico del cauce . Se presentan los totales en la siguiente tabla: NIVEL CAUDAL DAÑOS ESPERADOS SI EL (m) (m3/s) CAUDAL OCURRIERA (M Bs) 5,50 54 0 5,80 82 0,360 6,10 173 2,340 6,40 439 12,780 6,70 934 46,020 7,00 1982 60,300 7,30 4087 63,900 52 / 76 Continuación ANÁLISIS BENEFICIO - COSTO 2. Determinar la probabilidad de ocurrencia para la crecientes, usando una función de distribución adecuada a la serie parcial.(gráfica 1) 53 / 76 Gráfica 1. Continuación ANÁLISIS BENEFICIO - COSTO 3. Se cálcula y tabula la magnitud promedio de daños para cada rango como sigue: N° de Excedencias Daños Costo probable Nivel Caudal excedencias promedios promedios de daños para 3 (m) (m /s) promedio para el rango cada rango en 100 años del rango (MBs) (MBs) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5,50 54 61 22 0,180 3,960 5,80 82 39 23 1,350 31,050 6,10 173 16 11,9 7,560 90,000 6,40 439 4,1 2,8 27,960 78,000 6.,68 878 1,3 0,1 44,580 4,460 6,70 934 1,2 0,58 49,590 28,800 6,86 1359 0,62 0,25 56,010 13,980 6,98 1826 0,37 0,05 59,580 2,980 7,00 1982 0,32 54 / 76 Continuación ANÁLISIS BENEFICIO - COSTO Procedimiento para obtener valores de la tabla anterior: (1). Son los niveles del agua. (2). Caudal correspondiente al nivel. (3). Número de excedencia tomadas de la gráfica 1. (4). Excedencia promedio del rango, por ejemplo para el rango (61–39) se puede esperar unas 22 crecidas en 100 años con magnitudes entre 54 y 82 m3/s. (5). Los daños resultante para una crecida de 54 m3/s son iguales a cero; pero para 82 m3/s, alcanzan 0,360 MBs, el daño medio es (0+0,360 MBs)/2 = 0,180 MBs. 55 / 76 Continuación ANÁLISIS BENEFICIO - COSTO (6). El daño esperado en 100 años debido a crecientes entre 54 y 82 m3/s será de 220,184 MBs = 3,96 MBs. El total de daños prevenidos por el sistemas de diques hasta el nivel de 878 m3/s será: 3,96 31,02 90,00 78,00 202,98MBs Debido a que las crecientes poseen ocurrencia aletoria la magnitud obtenida se puede transformar en un costo medio anual: 202,98 / 100 2,03MBs / año Para las otras dos alternativas se procede igual. 56 / 76 Continuación ANÁLISIS BENEFICIO - COSTO Nivel de Beneficios Beneficios Costo Costo Beneficio protección anuales incre- anual del incre- menos m3/s MBs mentales proyecto mental costos MBs MBs MBs MBs 878 2,03 1,90 0,13 1359 2,36 0,33 2,21 0,31 0,15 1826 2,50 0,14 2,72 0,51 0,22 Conclusión: Un nivel de protección en el rango de 878 a 1359 m3/s arrojan un beneficio de 0,33 MBs., a un costo de sólo 0,31 MBs. anual. El costo hasta el siguiente nivel de 1826 m3/s se incrementa a 0,51 MBs. y el beneficio obtenido sólo es de 0,14 MBs., por lo tanto; sólo debería considerarse el proyecto hasta el nivel de protección de 1359 m/s. 57 / 76 VERIFICACIÓN Se puede utilizar cualquier método que permita comparar los beneficios y costos de una obra de control, uso y manejo del agua, teniendo en cuenta que de acuerdo al número de variables que intervengan será de menor o mayor precisión el estudio. 58 / 76 GENERALIZACIÓN En la estimación se puede reconocer y evaluar un fenómeno adicional, que es el incremento de desarrollos en las planicies inundables cuando se provee de alguna medida de protección, ya que aumentan los valores anuales de daños por crecidas. 59 / 76 MÉTODOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICAS Las funciones de distribución acumulada se simplifican cuando se usa el papel de probabilidades, elaborado de tal modo que los puntos se ubican en una línea recta. Un papel de probabilidades especialmente elaborado para la distribución de valores extremos de GUMBEL, utiliza el intervalo de recurrencia. 60 / 76 Continuación MÉTODOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICAS El intérvalo de recurrencia o período de retorno se define como el tiempo medio en años, con N intentos futuros, para que el m-avo valor de la serie sea excedido en promedio una vez. El número medio de excedencias para esa condición es como sigue: __ m XN (4) __ n 1 donde: X = número promedio de excedencias N = número de intentos futuros (períodos de retorno) n = número de valores m = el número de orden de cada evento enumerados de mayor a menor. 61 / 76 Continuación MÉTODOS DE REPRESENTACIÓN Plan: GRÁFICAS Parámetro Método Aplicación Fórmula de Toma en cuenta la Gringorten. longitud de los registros. California. Asignan a los eventos un Posición Hazen número de orden para lo gráfica del Beard cual los valores se ordenan análisis de Chegadayev en forma creciente o frecuencia. Blom decreciente. Tukey Considera la probabilidad Weibull de excedencia o su complemento. 62 / 76 Continuación MÉTODOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICAS Fórmula de Gringorten: n 1 2a T (5) ma donde: n = el número de años de registro m = el número de orden 0< a < 1 que varía con n, como se indica. n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 a 0,448 0,443 0,442 0,441 0,440 0,440 0,440 0,440 0,439 0,439 __ Para el caso particular de X= 1, N = T en la ec. (4) tenemos: n 1 T (6) m 63 / 76 Fórmulas para determinar la posición gráfica en el análisis de frecuencia SOLUCIÓN PARA P PARA m = 1 y n = 10 MÉTODO (X>x) P T California m/n 0,10 10 Hazen (2m-1) / 2n 0,05 20 Beard 1-(0,5)1/n 0,067 14,9 Weibull m / (n + 1) 0,091 11 Chegadayev (m – 0,3) / (n + 0,4) 0,067 14,9 Blom (m - 3/8 ) / (n + 1/4) 0,061 16,4 Tukey (3m -1) / (3n + 1) 0,065 15,5 Nota: En el método de Weibull cuando m va de menor a mayor, P es la probabilidad de no excedencia ( X x), en cambio cuando va de mayor a menor, P es la probabilidad de excedencia P(X x). 64 / 76 FACTORES DE FRECUENCIA La ecuación general de frecuencia propuesta por Chow es el procedimiento más sencillo para el análisis de frecuencia: __ x x ks (7) Donde __ x = Promedio aritmético de la serie s = Desviación estándar k = Factor de frecuencia k esta dada en la Tabla C1 Apéndice C del libro de Guevara y Cartaya. 65 / 76 Continuación FACTORES DE FRECUENCIA Procedimiento para el análisis según la ecuación de Chow: 1. Calcular los __ parámetros estadísticos de la serie observada x y s. 2. Seleccionar el período de retorno deseado para x. 3. Extraer el valor de k de las tablas para ese período de retorno. 4. Aplicar la ecuación de Chow para calcular el valor de x deseado. 66 / 76 Continuación FACTORES DE FRECUENCIA En Venezuela se ha estandarizado el uso de la función de distribución de valores extremos Tipo I de Gumbel, cuyo factor de frecuencia se encuentra tabulado. El valor de k se puede expresar de la siguiente forma: 6 T k 0,5772 ln ln (8) T 1 Hay que hacer notar que esta expresión de K sólo es válida para n muy grande, es decir n . Para el caso de muestras, k varía con el tamaño de la muestra, si hacemos k = 0, se obtiene T= 2,33 años. 67 / 76 Tabla 1. Factores de Frecuencia para la Distribución Extrema Tipo I. Probabilidad acumulativa, P, %. Tamaño de la 50 80 90 95 98 99 muestra n Período de retorno, T(años). 2 5 10 20 50 100 10 -0,1355 1,0580 1,8483 2,6063 3,5874 4,3227 15 -0,1434 0,9672 1,7025 2,4078 3,3208 4,0049 20 -0,1478 0,9187 1,6248 2,3020 3,1787 3,8356 25 -0,1506 0,8879 1,5754 2,2350 3,0886 3,7284 30 -0,1526 0,8664 1,5410 2,1881 3,0257 3,6534 35 -0,1540 0,8504 1,5154 2,1532 2,9789 3,5976 40 -0,1552 0,8379 1,4954 2,1261 2,9425 3,5543 45 -0,1561 0,8279 1,4794 2,1044 2,9133 3,5195 50 -0,1568 0,8197 1,4663 2,0865 2,8892 3,4908 55 -0,1574 0.8128 1,4552 2,0714 2,8690 3,4667 60 -0,1580 0,8069 1,4458 2,0586 2,8518 3,4461 65 -0,1584 0,8018 1,4376 2,0475 2,8368 3,4284 70 -0,1588 0,7974 1,4305 2,0377 2,8238 3,4128 75 -0,1592 0,7934 1,4242 2,0291 2,8122 3,3991 80 -0,1595 0,7900 1,4185 2,0215 2,8020 3,3868 85 -0,1597 0,7868 1,4135 2,0146 2,7928 3,3758 90 -0,1600 0,7840 1,4090 2,0084 2,7844 3,3659 95 -0,1602 0,7814 1,4048 2,0028 2,7769 3,3569 100 -0,1604 0,7791 1,4011 1,9977 2,7700 3,3487 68 / 76 -0,1643 0,7194 1,3046 1,8658 2,5923 3,1367 Desarrollo: FACTORES DE FRECUENCIA Con los caudales anuales registrados por el MARNR en el Caudal máximo Río Yaracuy, Estación Año anual m3 /s Puente Cumaripa, durante 1951 210 el período 1951 – 1966. 1952 32 Calcular los períodos de 1953 290 retorno de cada evento, 1954 59 1955 147 graficar la curva de 1956 185 frecuencia empírica en 1957 186 papel de probabilidades de 1958 68 1959 87 valores extremos y estimar 1960 34 la magnitud de los 1961 326 caudales máximo de 50 y 1962 50 1963 68 100 años. 1964 146 1965 243 1966 220 69 / 76 Continuación 1. Se le asigna un número de orden m a cada valor de caudal máximo anual, ordenados en forma decreciente, es decir, la magnitud mayor recibe el valor de m = 1 y la magnitud menor recibe el m = 16. 2. En la columna (3) se dan los valores de m para cada valor de caudal. 3. Se cálcula el período de retorno para cada magnitud de caudal ( columna 4 tabla 2) con la siguiente expresión: n 1 T m 4. Finalmente se grafican los valores de T de la columna (4) contra los correspondientes de Qt de la columna (2) utilizando el papel probabilidades de valores extremos Tipo I Gumbel. 70 / 76 Continuación Caudal máximo n1 T Año anual m3 /s Orden m m (1) (2) (3) (4) 1951 210 5 3,4 1952 32 16 1,063 1953 290 2 8,50 1954 59 13 1,308 1955 147 8 2,125 1956 185 7 2,429 1957 186 6 2,833 1958 68 12 1,417 1959 87 10 1,700 1960 34 15 1,133 1961 326 1 17,000 1962 50 14 1,214 1963 68 11 1,545 1964 146 9 1,889 1965 243 3 5,667 1966 220 4 4,250 n 16 m =1 es 326 el mayor Q 147 m = 16 es 32 el menor 71 / 76 s 94 registro Continuación Solución para los caudales de 50 y 100: De la tabla 1, para n = 15 : K50 = 3,321 K100 = 4,005 Para valores de n no existentes en la tabla 1 se debe hacer una interpolación lineal doble. Luego reemplazamos los valores de Q, s y K en la ecuación como sigue: Q 50 147 94 3,321 459 m 3 s Q100 147 94 4,005 523 m 3 s 72 / 76 Curva de frecuencia de los caudales máximos anuales del Río Yaracuy en Puente Cumaripa período 1951-1966 67/ 73 /76 76 COFIABILIDAD DEL ANÁLISIS Y LÍMITES DE CONFIDENCIA El error estándar es función sólo del tamaño de la muestra. Error Estándar para los parámetros más usados. Parámetro Error estándar Promedio / n Desviación estándar / 2n Coeficiente de variación C v 1 2C 2v 2n Coeficiente de asimetría 6n n 1 / n 1n 2n 3 74 / 76 Continuación Los límites de confianza de un parámetro específico se pueden establecer en base al error estándar y a la distribución normal. Por lo que se requiere recordar las propiedades de la varible normal. • El 68 % de las observaciones se ubican en el rango de x • El 95 % de las observaciones se encuentran en el rango x 2 • El 99,7 % se encuentra en el rango x 3 • El promedio de la variable = • La varianza = /(n)1/2 75 / 76 Continuación Según lo descrito, los límites de confianza para una probabilidad de 95 % para el promedio se ubican en el rango 2/(n)1/2. Los límites de confianza se grafican como curvas de control a ambos lados de la curva de frecuencias. 76 / 76 Continuación Factores propuestos por BEARD para establecer los límites de confidencia con una probabilidad de 90% Años de Frecuencia de excedencia ( %, al nivel 5 % ) registro N 99,9 99 90 50 10 1 0,1 5 1,22 1,00 0,76 0,95 2,12 3,41 4,41 10 0,94 0,76 0,57 0,58 1,07 1,65 2,11 15 0,8 0,65 0,48 0,46 0,79 1,19 1,52 20 0,71 0,58 0,42 0,39 0,64 0,97 1,23 30 0,60 0,49 0,35 0,31 0,50 0,76 0,93 40 0,53 0,43 0,31 0,27 0,42 0,61 0,77 50 0,49 0,39 0,28 0,24 0,36 0,54 0,67 60 0,42 0,34 0,24 0,20 0,30 0,44 0,55 100 0,37 0,29 0,21 0,17 0,25 0,36 0,45 0,1 1 10 50 90 99 99,9 Frecuencia de excedencia ( %, al nivel 95 % ) Los valores de la tabla se multiplican por la desviación estándar de la variable para producir la banda de confianza. El límite superior se obtiene sumando al valor de la curva el error al 5%. El 77 / 76 inferior se obtiene restando al valor de la curva el error al 95%. ERROR ESTÁNDAR DE LA DISTRIBUCIÓN DE VALORES EXTREMOS TIPO I De acuerdo con KITE (1977): NORMAL: 12 2Z 2 Se S (9) n Donde: Se = error estándar de los estimados S = desviación estándar de la muestra observada N = número de eventos Z = variable normal estandarizada. 78 / 76 Continuación ERROR ESTÁNDAR DE LA DISTRIBUCIÓN DE VALORES EXTREMOS TIPO I De acuerdo con KITE (1977): VALORES EXTREMO TIPO I: 12 1 2 Se 1 1,1396K 1,100K S (10) n K = factor de frecuencia ajustado para el evento de un período de retorno T, que se cálcula mediante la ecuación, o se extrae de las tablas para la función de valores extremos Tipo I. 79 / 76 DESARROLLO Calcular el error estádar de estimación y los límites de confianza al 90% para Q50 y Q100 del ejemplo 1. Q50 = 459 m3 / s K = 3,321 s = 94 m3 / s Q100 = 523 m3 / s K = 4,005 n = 16 años Solución: Aplicando la ecuación (10) tenemos: -Para Q50 : 12 1 2 Se 1 1,13963,221 1,103,221 94 94,24 16 - Para Q100 : 12 1 Se 1 1,13964,005 1,104,0052 94 113,21 16 80 / 76 Continuación DESARROLLO Solución: -Para Q10 : Se 58,19 -Para Q2.23 : Se 23,50 Los límites de confidencia al 90 %, con Z = 1,645 para = 0,05 son: X T Se Z es decir: Para Q50 : 459 ± 155 (304 – 614) Para Q100 : 523 ± 186 (337 –709) Para Q10 : 307 ± 95 (212 – 402) Para Q2,33 : 147 ± 39 (108 – 186) 81 / 76 GENERALIZACIÓN A medida que incrementa la longitud de la muestra, el error estándar y la confiabilidad del análisis se hacen más eficientes. 82 / 77