Estadistica Descriptiva

Ft" ,¿. ?c EIS ) E srnd ísricn Descniprivn PARA LOS. CURSOS DE ESTADISTICA APLICADA A LA EDUCACION Y NOCIONES DE ESTADTSTICA Guillenmo A. Chnperórrr MÉndez Especialista en Estadística de la Educación rJ 7 QUINTA I.)DICION Editorial "PIEDRA SANTA" Reservados todos los derechos Guatemala, I977 ,l t , ,/ 1 ,{ I . r A l,q. \ : - - '- :r" .l-. 'ilr: .Jrrlll ,: r,f i ¡ ai" I I ¡,(:^ ii-.ri,-i-r, ' 6: Caracte¡fsticas de las pruebas obietivas.3: Valores discretos y valores contt:¡os. PRIMERA PARTE: CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1. Iv. nivocidad. l¡s tests.4: Medida de variables psicoldgicas y pedagógicas. 1. 19 20 Fiabilidad. 3. 2.1: Atributos y variables. 3.2: Estadfsticos y parámetros. 64: EconomicÍdad. Necesidad e importancia de Ia EstadGtica. 25 ( ze) ')2e 1ao hr t J Ét . E- jercicios. 3' 43: Ti23 24 pificación. Problemas que aspira resolver la Estadfstica. 1' 21: Biol6gícos. 3. 3. 1.INDICE CONTENIDO Páginas TEMA Agradecimiento Introducción. 3.1: 1. t4 19 3: 3. 4. 4. 4.3: El proceso estadfstico. Ejercicios. Ejercicios.5: Limitaciones y carácter de la medida en psicologfa y 6 9 10 10 L2 pedagogfa.41: Yalídez. Pedagógicos. 3. 2.63: Adecuación. 65: Practi- 1: Muestras y poblaciones. 42: 3. 3.3: II. 2. 4 3.5: Las pruebas objetivas. 1: 3. cabilidad. Ejercicios. 4. il.2: 3.22. Objetividad. 4: Instrumentos de medÍción.23: Psicológicos. Algunos de los fenómenos que se estudian en Estadfstica.2: 1.2: CategoÍas de clasificación.31: Desarrollo del método. 3. Escalas de producción escolar.61.4: Concepto de Estadfstica. 2.62 : U- 3. 2. CaracterGticas del test. 31: serie simple' 8' 32: Dist¡ibución de fre- ?8 óJ t. 6.42: lores sin agruPar' pados.4: 5.6: 47 los interIntewalos y marca§ de clase.54: Amplitud de ios intewalos' ?. 5: 5.8. V^ 5. Importancia' 7.41: Distribución de fiecuencias agrude valores frecuencias de Distribución 6. 9: Otros tiPos de gráficos.2z 8. áginas 59 Diagrama de bauas. en Histo[rama de una distribución de frecuencias de valores agrupados distribuuna de Histograma 61: ?' colstarlte. Pollgono de frecuencias. E. procedencia y ordenaci6n' Recuento de casos.2. SEGUNDA PARTE: LOS VALORES ESTADISTICOS VIIL 8. de amplitud intervalos ci6n de valores e. 6'61: IntervalosdeamPlitudconstante y variable.§ .le 1a cuencias. .6: 6.11: 1. 82 DiagramaacLrmulativodevalores agrupadcsen interva1os. 61 HÍstograma de Pearson.4: ?.2: Gtáfica de una distribucidn de frecuencias' ?'21: Fundamentación 43 48 57 de la diagram átic a lineal' 3: 7. ?. ?. Frecuencias absolutas y relativas' de vaDistribución de fiecuencias' 6. VII.81: Diagrama acumulativo de valoressjnagrupar" ?.52: rrido ent¡e e] nflme¡o de inte¡valos. 8. Ejercicios' 1: Representación gráfica. 7: Lfmites reales de 1os intervalos.grupados en intervalos de amplitud variable' ?.4: t-iarácter aProximado de los números estadfsticos' Orden de 1as oPeraciones' Cifras significativas.51: Núnrero y amplitud de ¡ecodel CocÍente 6'53: distribución' de Ia Recorrido valos. Definición y concepto' 8' 21. 6. 5: 6. ?. 6.2: 3: 5. Diagrama acumulativc. Distribuciones acumulativas. Propiedades de Ia med 78 de Ia fórca' 8'221: media' 8. 3: 6. Cá1cu1o .22. Ejetcicios. 5: ?.7: Suavizaci6n o pulimento <le curvas: método aritmético' ?. 6. VI.1: 6.r P 1: 5. 6. 62 63 67 704 no ?. 6. l0: Diagrama de sectores. 8. Cifras exactas de 1as cantidades aproximadas' Redondeamiento de cantidades' Ejercicios' 3? JI 4l tos datos. 3: Promedios fírmes y "1. La moda. oo 9. 10.9: Cálcu1o abreviado de la desviaciórr tlpica. Valores agrupados en intervalos.8. 922: Valolcs aBrupados en intervalos. 95: prueba de Charlier. 621: Valores sÍn agrupar. Significación de las puntuaciones centiles. 10. 10. EjercÍcios.91: SerÍe simple. 9. 10. 8. 8. 10. 8. 10.¡ercicios. 8.72: Valores agrupados en intervalos de amplitud constante. 8.42.4: X.7: CáIculo abreviado de la desviación media. 4¡ Amplitud semiintercuartil.421: Valores sin agrupar. Obtención razonada de Ia fdrmu1a. Distribución de fiecuetcias.1: 9.{9 10. 1: Variabilidad o dispersÍón. E. 10. 10. Conceptos. áqí ¡:as Cuartiles y centiles (percentiles). 10. 93: Valores agrupados en rLÍervalos de amplitud variabie.71: Valores agrupados en intervalos de amplitud va¡iable.5: La mediana.2: Medidas de variabilidad. 91: Obtención de Ia fórmula fundamental.9 105 107 8. 133 10.96: ObservacÍones sobre la desviaci6n tfpica. 101 : Relacjonesentre lc. 8.9: 8. 8. E. Cálculo de cuartiles y cenriles. 10. 8.81: Seiie simple. 10.61: Serie sÍmple.73: Observaciones sob¡e la des- la desviación media.622: Valo¡es agrupados en intervalos. Concepto. 10.22: Distribución de frecuencias de valores sin agruper. 10. 10.f- 8.92: Distribución iie frecuencias. 8.8: 8. Fundamento.§ . Concepto. . Definicióny concepto. 8. Casos especiales de la mediana.62: DistrÍ- 108 111 11S 116 124 727 130 130 131 131 o") buci6n de frecuencias. Determinación gráfica de c-artiles y centiles. 10. Cálcu1o de Ia moda.ibuciórut.8222 VáIofes agrupados en intervalos.422: Valores agrupados eD intervalos.2: 88 Serie simple. 10. ?1: Uso de la mediana.61: ?: 8. 8.62: Dist.21: DistribuciÍn de frecuencias. 10.92: Valores sin agrupar. 10. IX: 9. 8.44: Uso de la media aritmética.6: Cálculo de 1a mediana. Ojiva de Galton. 8.921: Valores sin agrupar. 10. .145 r.s p¡omedios. 10. 8. 10: Uso de 1a moda.43: Notas de orden práctico. 9. 8. 10.4: Cálculo abre!iado de la media. frecuencias. 10.82. 10. 94: Valores agrupados en intervalos de amplitud constauie. 8.4i: De¡nostración.3: Recorrido o amplÍtud total.621: Valores sin agrupar. Fundamento. de valores agrupados en intervalos. 10. 10. Distribución .5: Desviación media.821: Valores sÍn agrupar.8: de frecuencÍas.3: 9.80: CálcuIo de la desviación tfpica.. Concepto.6: Cálculo de la desviacidn media.622. Gráfica. 10. Ejercicios.22: PropÍedades de la curva normal. 12. L2. 199 A LOS EJERCICIOS DE ESTADISTTCA DESCRIPTIVA n3 BIBLIOGRAFIA 227 6 . 12. 150 distrrbucidn. l-2. r.dimensional.22:Correlación y función matemátÍca. 10.\ I PágÍnas 10.4L. 11. 11.21: CorrelacÍdn simple. 3: Puntuaciones tfpicas o standard. Ejercicios.6: VaTo¡acidn del coeficiente "r" de correlaci6n. 12. 11. 166 11.4¡ Ejemplos de problemas que se resuelven por 168 1as áreas de la curva nor- mal. 1: Cálculo de la asimetrfa. 72.3: El coeficiente de correlación. XfI. 72.21¡ Ecuaci6n de 1a curva Dor- rral.98: Coeficiente 99: La asimetfa.1. APENDICE I. !72 t79 72. 12. 10. RESPUESTAS 179 180 181 193 195 FORMULAS EMPLEADAS.42. 11: Concepto de correlación. 1L. 2: Idea elemental de 166 la curva norrnal.rrelación cuaudo se usa tabla rie doble eltt¡ada.: El coeficiente de cr. LL. 12.4: Cáiculo dei coeficiente de correlaci6n simple linea1.99. E1 coeficiente de correlación en tabla de columnas. 12.2tTipos o clases de correlación. 2: Co- EjercÍcios. eficÍente de asimetrfa de Pearson.5: Coeficiente de correlacidn ordinal. 99. 97: Uso de Ia desviaci6n tfpica. 11. 1: VarÍable bi. XI. 31: Areas bajo la curva norm al. Curva de de variación. T a - bla.l *. 10. realizados en Madrid. un valioso aporte Agradezco de manera especial. der rNaTrruT0 NAcI0NAL DE ESTADlsilcA. Su última publicación "Estadística Aplicada a la Educaciónr. . de 1958 a 1959. la oportunidad que se me dió para efectuarestudios de Estadística aplicada a Ia Educación. y Don sixto Ríos. Don Julio Martinez p. Don Eduardo Garc ía España.de ra EScUELA DE PSlc0LOGlA de Ia universidad centratde Madrid.! . Don José Martínez M. Ia biencia y la cultura (uNESC0). su cargo el ) r. Profesores Dr. Al mismo tiempo me complace fericitarre por la trascendente obra que ha realizado en nuestro país. y Don José Royo L.. Mi agradecimiento expreso al cuerpo de Maestros que tuvo a desarroilo de dicho curso: señores Don Joaquín iena A. a quien debo haberme iniciado en el estudio de la Estadística..imiento ar Doctor Don José zaragozá A. Don Anselmo Calleja Siero. profesores DonAnger Alcaide 1.. plasmada en lo espiritual y en lo material. Organizadory Director respectivamente. Técnico de UNESC0 en orientación Escorar y vocacionar. Don Miguel Saura del Campo. profesores Don José Ros J imeno. Don RamóndelVa Ile Fernández. es a nuestra bibliografía. Don Darío Martínez Esterasl Don José Luis Tendero y Alvarez y Don Arfonso Barbancho.'profesores Don Pedro Avellanas C. y er Gobierno de España. amparados por la 0rganizaciín de ras Naciones unidas para la Educación. Don Gonzalo Arnaiz. de la EScUELA DE ESTADlsrlcA de Ia universidad centrar de Madrid.. Don Mariano yera y Don Marcero pascuar Quintana.. del CONSEJO sUPERl0R DE tNVESilGACt0NES ctENTrFtcÁS. V profesor Carriao del MINISTERI0 DE EDUCACION NACtONAL.AGRADECIMIENTO Expresión de mi respeto y agrade. Don Procopio Zoroa y Don Juan Sán Román. AGUILARI. c o MU r: -¡lI x.' - -: -\-- 1- I 7o.literalrente dice: - !'PALACIo I{ACI0NAL. Registr§ .: .i.I¿ infrascrita Oficial Septüo del Departrento Adeinistrativo ilel Despacho del lfinisterio de liducación Púb1ica./363 que con fecha 5 de setiembre añotn cur§o eultiera eI Ministerio Público' v con fudmento en Io que .r¡rlad de 1os Yeinti¡ueve dÍas del res de jmio Je nil .RIo DE EDUoAUION PLtsrICA: GiJAT}}LlL.En 558101"1 vista del ]4 de se- Dictamen V. para eI efecto tuvo a ]a vista eI "xpeaiette CLI.BO.q..O.ipnhr.1 enel que aparece el Acuerdo Gubernati.cn Ia cj.gtNttTtRrC Dt No. Góre2 OBteÉIa. ¿ctuat quinq.. extien<lo Ia pre§ente debidmente confronti'da con su origiml. EL JDI'I' DilL Ac u ERDA ¡ Reconocer afavor clelPrcfesor 3ffiffi!*rororELA-¡EI'UBLr0A' . I r¿ i a solicitrd-de N r q u !l s E. ROLANIO UHINCHILTtr¡.!¡st¡nlsr¡catI^scarrrryail.1 E l . en wa I . a i-novecientos sesenta Y cBtro ' . (¡-F| PUIiALTA Azuiu)rA. l'fiIIST¡. CNEL.CIEa t'a ..503 de 14 de setlenbre de 1963¡ que. l¡oja út1 de paper ser-rado de }ey der.ecreto LegislatiYo lro3? de 8 de febrero de Ir954.hreceptia-:lD. fA(¡tIDA Yo.1 .t1¡-1uA: que Registror C-1136/oot. " oficial Po. REGISTRO Ng t.\\ Molim¿e /.\: .|.rf.e de 1963-.5561. -- parte interesada y para los usos legales que J'e convcn- I r ¡ rgan.enio. qilrrFnuo ARlltRo clIApEToN ]ÍDNDEZ.vo No.i"tro de-&lucación Pública. el derecho de autor de su obr¿ titulada l . esto equivale a que ambos coman medio pollo'r. y extraigan. la idea de correlaclón. por ejemplo. Es cierto que quienes asi'pensaron noestuvieronlejos de algunos hechos que infortunadamente ocurren Lodavía. Astronomía.INTRODUCCION La Estadística es..[Estos conceptos sencillos son. para forLuna de la investigación. como a Ia frecuencia co¡. (1) . t Como otras ciencias. el índice de costo de la vida y el valor adquisitivo de la moneda.\ Por eso dice el Profesor Ríos querrEl carácter de ciencia básica que tiene hoy la Estaüística se debe les que resuelve. Hoy. Demografía.no es uTÉsino muchas las Universidades del mundo donde la Estadística tiene lugarpreferenteen los estudios de profesionalizaciín. 0rientación Escolar y Vocacional. impuestos en estos métodos. Agricultura. los porcentajes.en Biología. debidamente interpretados. (2) Digamos. irrdependencia propia y gran utilidad en tanto se aplica a resolver problemas privativos de las ciencias sociales y otras de carácter experimental. las razones y las proporciones. Aunquel. Psicología. la Estadística demúestra que si Pedro se come un pollo y Juan ninguno. analizar e interpretar datos. ha quedado desvlrtuado y relegado el decir nralicioso de que las estadísticas sirven. Sobre el particular dice el Profesor Wilks:'rEl único meCiode reducir esta confusión es utilizar los métodos científicos para coleccionar. El hecho de que estadísticos expertos. puedan extraer..1 . Pedagogía. Economía. pues. Física. El análisls estadístico se aplica. la idea de promedlo. Química.en sus principios los conceptos estadísticos depeirdieron de determinadas ciencias sociales. La idea de dispersión y los cálculos que a ella conducen hacen patente Iamala fé de personas que han dicho: ". etc. son suFicientes para elcrédito que nos han de merecer. . como tal. Ias frecuencias. Bacteriología. una ciencia qr. cuales son Ios de vulnerar y falsificar las informaciones estadísticas. de una serie de datos.: todos ellos usados a menudo en Ia conversación y negocios cotidianos y llevados al plano de la significación por la EstadísticC\ El éstudio y conocimiento de esta ciencia es fundamental en nuestro tiempo. Esta ciencia neces¡la/ sobre Lodo. etc. que es falso que la Estadística pueda probar cualquier cosa. pero esto no afecta en absoluto Ia caLegoría que la ciencia estádística tiene actualmente. pues. tiun. actualmente muchos de ellos son de uso diario. datos Iegítimos de confianza para poder establecer sus resultados.que algutanto a los problemas nos cle sus más sencil os se encuentran en la vida diaria'r. conclusiones que difieren muy poco de un ¡. hoy en día. entre otras cosas/ para aseverarfalsedades con base en los números. opera sobre realidades y los resultados. la Estadística también ha sufrldo burlas de quienes no la quisieron. en una prueba experimental de Ciencias Natl¡'ales I Curso del Ciclo Prevocacional. En el deseo que estos apuntes cumplan su cometido. No pretendo que por este hecho la presente pueda considerarse aplicada. Mqrzo de I965. . persiguen ayudar a aquellos alumnos y maestros que ñir una u otra causa. (3) que Con Ias lÍneas preced. por su misma elementalidad.958.estadístico a o[ro. no hacen uso de un gran aparato leórico. fundamentalmente. Repetir -se dice. CHAPETON MENDEZ Guotemolq. En todo caso/ en nuestro mercado hay tÍtulosque pro[undizan la materia.s/r" permito ofrecer estos apuntes elementales sobre Estadística Deser.. Finalmente. Aunque la Estadística es de base matemática. El alcance de esta obra no llega a más: se queda en la parte descriptiva de la Estadística. para locualheaprovechado algunas experiencias propias en el curso de mis servicios al Estadoenel Ramo de Educación Pública.iTrtiva que. GUILLERMO A. demuestra que no existe base real para la pretensión ingenua de Ia estadística puede probar cualquier cosa". pretendo con ello insistir sobre aspectos bás¡cos para Ia comprensión de ciertos óonceptos. deban cursar algo sobre esta materia en tanto sea para ellos una iniciación. aplicada por la Sección de Evaluación Escolar en 1.es saludab[e cuando se hace oportunamente. agradeceré en alto gradolas recomendaciones tendientes a su mejora. En el curso de estos apuntes aparecerá más de alguna repetición.nt. Se refiere a las puntuaciones alcanzadas por un grupo de 329 alumnos.1 . ya que para su comprensióny cálculos es suficiente el conocimiento de las operaciones fundamentales aritméticas y algebraicas. mis excusas por Ios errores involuntarios que pudieran aparecer. pero sí ha sido mi intención darle preferencia al tratamiento estadÍsLico de un fenómeno peda góg ic o. estos apuntes. La distribución básica que me sirve para ejemplificar y desarrollar el contenido de estos apuntes es auténtica. Por mi vocación de maes[ro he procuradoque eldesarrollode Iapresente se cifre sobre un problema real de nuestro medio:el rendimiento escolar. PRIMERA PARTE CONCEPTOS FUNDAMENTALES . . Eiercicios. 1.l' Necesidod e importoncio de lo Estodístico.22t Pedogógicos.23: Psicoló9icos.TEMA I l. l. 1.3: Problemos que ospiro re' solver lo Estodístico.2l: Biológicos.2t Algunos de los fenómenos que se estudion en E stodístico. . 1. 1. (5) Es dec ir que: c) Existen ciertos fenómenos que no se comportan inmutables. También se dice que Ia definición "a priorirrde una c¡enc¡a conviene. para aquellas personas que van a iniciar el estudio de ella. y por eso mismo. Para acercarnos a esa definición. es decir. estoes conjunto de datos e infortraciones. ni una acción tiene la misma intensidad ni da los mismos resultados ".1: NECESIDAD E ll\IPORTANClA DE LA ESTADISTICA . al referirse al hecho variable/ nos dice: "Los hechos humanos. nos ilustraremos. hay que examinar el mayor número de casos. en un primer intento. trataremos de hacer nolar esa necesidad mediante algunos ejemplos senci- llos. también se sostiene que la definición cobra más significado I'a posteriorirr. Por otra parte. sino de Ios colecLivos ".Í . pr¡mero. la EsLadíslica no se ocupa de Ios fenómenos singulares o particulares. al contra- rio. y b) Que para el estudio de dichos fenómenos es necesar¡o un colectivo. (4) La referencia anterior nos permite. cambian en el tiempo y cambian en el lugar. seproducensiemprecomo cantidades variables.l- 1. decirlo es distinto que probarlo. al comenlar cómo Colajanni considera Ia Estadística/ nos dice que: "Los hechos y fenómenos humanos se llaman atípicos porque del conocimiento de las cualidades Intelectuales y físicas. . debemos fundamentar Ianecesidad de la ciencia.Por eso. en especial.en laslíneas que siguen. no se obtiene nunca Ia misma cantidad de trabajo. y para esto último debemos remitirnos. con las palabras del Profesor Don José Ros Jimeno que. Deestos hechos mutables r. después de haber recorrido el campo de su contenido. o aquellos cuya manifestación singular no es posible generalizar. naturalmente.sino. pues esto permite tener idea más o menos clara de sus límites. cuando se quiere estudiar Lln fenómeno en una determinada colectividad. Al hablar de estos fenómenos cuyo estudio se hace mediante el análisisestadíslico. acercarnos nido de la Estadística en cuan[o trala: al conte- a) Del estudlo de ciertos fenómenos Ilamados aLípicos. En un tiempo dado. por ejemplo. aunque seaagrandes rasgos a ciertos hechos o fenómenos que nos lo faciliten. El Profesor Alejandro Galí. Hemos dicho que la Esladística es una c¡enc¡a necesaria en el conjunto actual de conocimlentos. Por eso. entrando en la categoría de hechos biológicos. económicas y morales de un hombre no podemos deducir que los demás tendrán cualidades idénticas. probabilidad de muerte. Los resultados de estas funciones.21: Biológicos. I. no obstante. Es indudable que los resultados diferirán de una a otra experiencia y que los alumnos. (6). es de Ahora bien. dicho deotromodo cuando se hace el estudio estadísLico y demográfico de cierlos componentesbiológicos. predecir cuántos años puedevivir una persona determlnada? ¿Se puede calcular la longev¡dad? Naturalmente que en términos concretos no es posible/ pues por razón de las fuerzas Ilamadas de vitalidad y mortalidad. si comprendemosque Ia Estadística se ocupa del estudio de determinadosfenómenos que cambian. con cierta probabilidad de acierto. más de unavezt con cierto intervalo de tiempo. Cuando decimos que la cantidad normal de glóbulos rojos en la sangre humana 4.cuya cons¡deración y estudio solo cabe Ios que se ocupa la Estadística. Pero nosotros sabemos positivamente que no ocurre asíi y. Aunque cada alumno dé distinto resulLado en las experiencias. o. es[amos aludiendo a un dato que se hafijado mediante el análisis estadÍstico. individualmente. probabilidad de vida. que son mutables a tal punto queaisladamente no tienen mayor significación. no responderán exactamente de la misma manera. en[onces todas las personas de idéntica edad tendrán el mismo peso. es naLural que nos hagamos estas preguntas: ¿Cuáles son/ o de qué clase son.5 millones por milímetro cúbico. vida media y vida probable". debidamente[ratados.rrseis funciones que llevan el nombre de funciones biométricas a una detefminada edad. invariablemente. Sinembargo. A estas in[erroganLes se puedecontestar tomando algunos ejemplos de entre los muchos que se pueden citar. 0 bien. 1. a determinadas edades?. Nos pregLtntenros ahora: ¿ El desarrollo Físico de las personas es el mismo. igual funcionamiento de sus órganos. fallecimientos. la misma estatura. por ejemplo. etc. si el alumno A es elque más puntos alcan- r"Í . se puede analizar el conjunto de datos de cada una y establecer la situación general del grupo. que difieren de uno a oLro caso. fa resultante no es determinable exactamente. con más o menosaproximación ei curso del desarrollo de ciertos componenles físicos de las personas. y son supervivencia.22: Pedaqóqicos: Apliquemos una prueba de conocimientos escolares a un grupo de alumnos. mediante el anáf isis estadístico se ha podido eslablecer. ¿ f s posibte. si forman una colecl¡vidad. es de unos 1. Si esto es cierto. medianteelanáIisis estadístico se ha logrado establecer. ¿C6no es posible saber hasta dónde son comunes los resultadosobtenidos por Ios alumnos en materias diversas?. esos fenómenos? ¿Cómo es posibleestudiar fenómenos que cambian continuamente?.adquieren significación cuando se formulan Ias tablas de mortalidad.2: ALGUNOS DE LOS FENOMENOS QUE SE ESTUDIAN EN ESTADISTICA. por ejemplo. obteniéndose el vesultado que sigue: MAESTRO ESCO LARES ( r¡ pros. Suspensos. calificaran a dos grupos de escolares. P 1. Se tiene. Solo podremos decir que una calificación es ¡nlerior. tampoco/ que B0 puntos en Matemáticas significa lo mismo que B0 puntos en Lenguaje. ¿Quiere decir que también lo será en Lenguaje ?. Sobresalientes. En maLeria de casos individuales no podemos asegurar. AnLe Io grave de la subjetividad. quedan resuelLos cuando se esludian estadísticamente los datos ob[enidos de la experlencia. a la dificultad de medir los fenómenos psicopedagógicos que/ en general. 0 . Suspensos. unidades o dificultades) fueron previamente seleccionados. entre otras razones. Por hipótesis el alumno que más rinde en una nrateria lohará en otra. n 45 "f". corrLrnes en Ia biblioqrafia.za en Matemálicas. Ha habido mucha disparidad en Ios criterios para apreciar Ios resultados de la labor escolar o de un grupo de alumnos. el problema siguiente: hemos confeccionado una prueba en la que los elementos (ítems. ilustrará mejor Io dicho: a) Dearborn pidió a dos nraestros M El resultado fue el siguienLe: Maestro IVI MaestroN : : y N que calificaran a un grupodealumnos. ¿podremos fiarnos de los resultados? ¿Son válidos dichosresultados? La fiabilidad y validez de una prueba. igual o superior a otra. La ciLa de los siguientes casos. Hay muchos problemas educativos que solo son abordables en tanIo seanalicen por la Esladística.196 3 o/o 15 - 79 80-84 85 - 89 90-94 olo 15 olo 14 olo 12 o/o 6q" 19 olo 36 olo 78 olo 1't r§ . pero esto hay qué comprobarlo mediante el anális¡s estadístico. se ha impuesto Ia necesidad de trabajar con técnicas que hagan objetiva la medición: De acá la imporlanciaque tiene la estadíslica para el traLamiento de fenómenos aiípicos en Ped4gogía. b) Wilson pidió a dos maeslros P t4 T" y Q. Aplicada la prueba.cuando hayanros hecho el estudio numérico def colectivo de resultados. SobresalienLe s .671 3o olo O 2. Esto se debe. problemas fundamentales para Iaconfección de un test. se desconocen en su aspecto intrínseco. pues en lodas ellas se hace indispensable la aplicación de la EstadísLica. se puede delernrinar la siluación de ambos dentro del grtrpo. +51 2' (l '. La Estadística.. 1. al contrario. b) Análisis: Relación comparativa enLre una experiencia y la teoría qtre la ha provocado. confeccionadas estadísLicamente. Lo anterior no quiere decir qLre dichas ciencias se reduzcan. Ejemplos como Ios citados los podenros tomar de lodas aquellas ciencias de carácLer experimenlal. con. SupongamosqueelalunnoAobtuvol00decalif)cación y que el alumno B obtLrvo 50. Lrn Lest de inteligencia que se ha aplicadoaungrupodealuntnos. a tal pLrnto qLre hoy día es necesarioposeer dichos conocimientos para aprovechar nrejor la infornración bibliográfica correspondien- te. c) Predicción: anticiparse aproximadamenLe a sucesos posteriores del tipoes- r{ tudiado. aspira resolver tres prob lemas fundanrentales a) : Descripción: Proceso de resumen nurnérico y exposición de las caracteríslicas de los hechos observados. con sobre AI)RO BADOS REPROBADOS N{AESTRO 1" 1ú 1. En tanto se aplica al estLrdio de [enórnenos atípicos. ¿ QLr iere decir esto que el alunrno A es el cloble cle inLef igente que el alLrmno B ? Es claro qrre no/ pero denlro de las normas deltesL.ro podenros observar de los ejenrplos citados.dos prolesores de una rnisrrra escuela.i' NoTABLES 11' S ALII]NTI]S 22 5 ". por ejenrplo.23: Psicológicos: Sea. obtuvo distin[as nolas el mismo grupo escolar: c) Johnson.nos de qué clase son los resullados que mediante el estudio esiadísLico de Ios datos.3: PR0BLEIVIAS QUE ASPIRA RES0LVER LA ESTADISTICA. se ob[ienen . al análisis estadÍstico. es Ltna ciencia aplicada. en laexperitrentación. 24'. 0 OBRL-S I )0'ir tl "i 1. En tema aparte examinarer. que este proceso es tundanrental y básico para la investigación experinrental. sino. EJERCICIO I 1 i I En el paréntesis escriba la letra C o cho en las expresiones siguientes: l. La supervivenc¡a es una función biométrica que se puede estudiar di- () ( ) ) () ( ) Si María obtuvo 40 puntos en Lenguaje y 40 en Matemálicas.. haciendo el aná- lisis estadístico de los resultados () ¡l . 8... decir que el El hecho variable es inmuLable intrÍnsecamente. 10. quiere Q. Si Juan tiene Q. promedio de lo que tiene cada uno es de 6. a un fenómeno ( Si un niño de clase media obtiene alta puntuación en un examen de Matemáticas. En Estadística se llama colectivo a un conjunto de datos referidos . pues elrendimiento escolar es atípico () 4. todos los niños de su nivel social también puntua rán alto. quiere decir que en ambas materias sabe o rinde lo mismo ( ) La Estadística no aspira a resolver ningún problema en la investigaci6n. por ejemplo. ( ) estadísticamente Una manera de unificar el criterio de distintos examinadores al caIificar a un grupo de alumnos sería. pues lo quevaría es la manera como se manifiesta. 25.00 y Miguel Q. 13. 7.00. 2. Se Ilama fenómenos atípicos a aquellos que se pueden generalizar f:artiendo de un caso individual () 3.50 el principio. 5. según sea correcto o incorrectolo 1. 9. ya que esto corresponde a Ia ciencia a que se aplica . Es absolutamenLe necesario definir una ciencia desde para qrre su estudio se facilite 2. 2: Cotegoríos de closificoción. 2. 2. 2.4: Medido devoriobles psicológicos y pedogógicos.TEMA II 2.3: Volo¡es discretos y volores continuos.12 Atributos y voriobles. Eiercicios. rl I I I . 2.5: Limitociones y cor6cter de lq medi do en psicologío y pedogogío. en general. etc. los salarios que perciben por su trabajo. como son.de un caso a otro. el sexo.. por ejemplo. en primer lugar/ d¡remos que Se compone de hombres y mujeres. hay ciertos grados que se relacionan entre sí para darle continuidad a la caracterÍstica. que los atributos no pueden relacionarsepor grados de continuidad.que pese más o que pese menos/ que gane más dinero o menosdinero.en el caso del sexo. el color de la piel. las actividades u ocupacioneS a que se dedican. el color de Ia piel. ya que entonces ocurre que una persona Sea máS alta o menos alta que otra. Se puedenestablecer comparaciones de estatura entrevarias personasi y en muchos casos. f'. de una persona a otra. Luego. el número de hijos. no existen grados de comparación entre las moda- lldadesdeunatributo. no seesmáshombreni menoshombre. de cómo está compuesta la población ? Pues. etc.1: ATRIBUT0S Y VARIABLES' Pensemos por un momentoen lo que es una población de habitantes.como se comprende.tomará distintosvalores. Estos atributos. el salario. etc. por ejemplo peso. la ta- Ila. porejemplo. sí pueden compararse pues admiten la continuidadya que vatían.mos.tampoco se es más mujer ni menos mujer. Enla estatura. por ejemplo. pero nunca de otra modalidad. el estado civil. A este tipo de caracteríslicascuantificables o susceptibles de ser expresadaspor medio de cantidades se las denomina en Estadística con el nombre de variables. elementos de la población. el sexo. el color de los ojos. la estatura. Paratenerelsexomasculinonoseempiezaenun ciertomomen- [o o estadio.¿Qué Podemos decir.L 2. A las características cualitativas se las designaen Estadísticacon el nombre de atribuLos. Estas caracterÍsticasque dan sentidoa la composición de la población pode(cualidades). lazona donde se vive. Si nos fijamos ahora en las características de Iipo cuantitaLivo. y 2) mos aqruparlas de dos maneras: 1) Ias características cualitatlvas (cantidades)' Ias características cuantitativas Soncaracterísticas de tipo cualitativo. el ser alfabe[a o no. Las características cuantitativas/ en cambio. A los hombres y a las mujeres les ifarur. en máS o en menos. no admlten grados de comparación. observamos que síse puede eompararalos indiel viduoS. la zona urbana o rural donde viven. se puede ser varón o hembra. Vemos pues. en general. en forma tápida. Se manifiesta la discontinuidad en los atributos porque la característica no sepreSenta en menos o en más. por ejemplo.1 . la estatura. que es un fenómeno atípico. etc. va(iatá. En seguida podremos decir queestos elementos están diferenciados por ciertascaracterísticas. el estado civil. n esta manera de agrupar Ios datos se le denomina categorías de clasificación. y e) las variables pueden tomar muchos valores.VALORES DISCRETOS Y VALORES C0NTINUOS i Los datos o valores numéricos con que se trabaja en Estadística son. a la necesidad de clasificar los ¿-atos.3: . entonces/ que variable es una característica gue puede tomar muchos valores. Los datos o Informaciones referentes a características cualitativas sedenominan estadísticas de atributos.2: CATEGORIAS DE CLASIFICACI0N. pues.y. da. y Ios referentes a características cuantitativas sedenominan estadísticas de variables. así. Quedan fuera de clasificación otras modalidades que deben ser consideradas. para que más de una vez una modalidad o clase. Ias primeras Se agrupan en modalidades y las segundas en clases. 2. De lo dicho podemos resumir que una población está compuesta: a) deelemenb) tos. y las reglas que Ia rigen son comunes a las modalidades y a las clases. y de ahíque se diga.nos dicen que una característica cuantitativa varía. sindu- si se quiere.Sisequierevercuán- sln tas personas hay económicamente activas. por ejemplo. Las modalidades y las clases responden.atendiendo a Ias categorías de clasificación. d) los atributos y las variables pueden agruparse en modalidades y clases. Asísehaestablec ido: 2. agricultores y ganaderos y trabajadores agrícolas. o de objetos tendremos tantos datos como personas u objetoshayamospesado. en e- tf . se ha de definir primero que se significacon personas en actividad económica. a fin que ningún caso quede fuera de clasificación. no hemos de hacer únicamente dos grupos. Es natural que si clasificamos Ia población por el trabajo a que se dedican suS elementos. estos elementos poseen características que los diferencian entre sí. respectivamente.21: Definir claramente las clases. cambia. habrá muchos pesos distintos. es inestable.232 Que las clases sean exhaustivas.qué@aIidadoclase.{ IO Si tomamos o medimos el peso de un número rrunru de personas. Estos datos distintos/ que se denominan valores. no se clasifique 2.222 Que las clases se excluyan mutuamente. determinando en forma explícita y Iugaradudas. c) lascaracterísticas se subdividen en cualitativas o atributos y en cuantitativas o variables. 2. 2. TanLo las estadísLicas de atributos como las estadísticas de variables pueden presentarse en grupos. se procura que los valores sean discretos. es decir. Esta distancia que expresa la cantidad continua. si a estos alumnos se Ies aplica una prueba o examen. o sea que cuando una cantidad es discreta no admite subdivisiones. por ejemplo. De esta cuenta. Ias cantidades o valores numéricos puedenconsiderarse como discretas o continuas. que puedeconsiderarse como el espacio comprendido entre 6. med¡ciones. Ya sea que hayamos med¡do la estatura.5 y 7. los que no lo son. Esto se hace con el objeto de hacer más cómodoelcálculoperosin perder de vista la continuidad de los datos. esto.3). la inteligencia. etc. sin fraccionamiento de ninguna especie.5alumnoso29 3/4. haciendo uso del cuadro siguiente: . siempre será posible admitir el fraccionamiento de la unidad de medida. Así. pues jamás podríamos decir que en dicha clase hay 30.. lascalíficaciones que obtengan serán también expresivas de una medida. Así. si contamos el nÚmero de alumnos de una clasey obtenemos el número 30. de igual manera. Vafores continuos son aquellos que sí pueden dividirse. debemos considerarlocomo tal. sinembargo. sin agregarle ni quitarle. para efectos de Ia agrupación de los datos. ¡ Ahora bien.1 . puede recordarse más fácilmente. el rendimiento escolar. por ejemplo. según el significado que tenga la medida hecha. Gráficamente podría expresarse lo discreto y lo continuo de los valoresen la forma siguiente: trtrtrtrtrtr DATOS DISCRETOS ffi723456 DATOS CONTINUOS Volveremos sobre este aspecto cuando Lratemos lo relativo a los lÍmites reales de los números. Valores discretos son aquelloS que tienen un valor entero.pierdan su continuidad. expresan medidas que se han tomado de larealidad. fraccionarse. ha sido llamadarrface vaIuerrpor Thorndike y se traduce como "valor extensión". no representa un valor aislado sino una parte de la unldad de medida. sin que por ello. si el número 7 es una medida de tipocontinuo. En Ia práctica. Lo dicho sobre atributos y variables (2. expresarseen una o más partes de Ia unidad de medida.5 o entre 7 y B. si contamos en un salóno en una clase elnúmero de alumnos que hayrtendremos una cantidad que expresa la medida del número de alumnos de dicha clase. el peso. la salud.It sencia.I) y sobre valores discretos y continuos (2. La mayoría de los valores o medidas que se obtienen en Pedagogía y en PsicologÍason de tipo continuo. igualmente Ia estatura humana. pues no se presentan en la m¡sma intensidad en los individuos. que se puede expresar fácilmente por medio de cantidades. y en lo biológico.4: MEDIDA DE VARIABLES PSIC0LOGICAS Y PEDAGOGICAS: La medición de esLas variables se halla rnuy unida al análisis esLadístico pues. Hay variables/ como las de los ejemplos anteriores. que hacen posible la aplicación de medidas. que varían. No ocurre lo propio en las variables psicológicas y pedagógicas que. y de igual manera el rendimiento escolar. aunqueesmás propio IIamar var¡able a la expresión cuantitativa de un fenómeno. En este sentido los términosvariable y lenómeno son sinónimos. por su complejidad m¡sma.L2 t. No obstante. () Diversas modalidades Discler. Así el caso de la medición de la Iongitud de una barra de meLal expuesta a diferentes grados de ternperatura. En lo físico. Una variable/ según se dijo. noes lan fácil expresarlasen forma de canLidades.s y cotrtiltüos 2. es una característica cuyos camblos son sLlsceptibles de ser expresados en Forma de cantidades. de modo que por ese hecho consIituyen variables. en esencia/ es ésLe el que perm¡te el esLudio nurxérico y cuan[ilat¡vo de esos fenómenos. es evidenLe que tanto una como otro son fenómenos que cambian. Uno de los aspectos psicológicos que más interés ha promovido en la investigación científica es el de la inteligencia. por ejemplo.Ocurre que Ia inteligencia no puede ser medida eon la objetividad que es posible en los fenómenos físicosy biológicos. encontrarnos fenórnenos susceptibles de ser medidos con más comodidad que otros..A nadie escapa que las llamadas diferen- rl . Asistir a loscultos y ritosreligiosos. si no se tuviera para ello. Esta distinción nos plantea las interrogantes siguientes: ¿ Es posible la medida de lo psicológico y de lo pedagógico? Si es posible. acaso. intangibles los rasgos psicológicos?¿No es ciertoque difierenfundamentalmente de los rasgos físicos y biológicos en cuanto a la objetividad para captarlos? Para poder contestar a esas preguntas es necesario aceptar que la Psicología y la Pedagogía -más propiamente aquella que ésta. En lo psicológico y pedagógico. expresar mediante la acción ciertas creenciaS. que no siemprees posibleencontrar instrumentos o medios quehagan posible la mensuración. Ahoi'a bien: la Psicología y PedagogÍa son ciencias experimentales por excelencia. de sus actos.13 cias individuales se acusan/ entre otros rasgos. aunque las posibilidades no son tan bondadosascomo en otros fenómenos:los físicosy Iosbiológicos. y también. los cambios que sufre en su longitud. din embargo. debemos someter elmateriala distintosgradosdetemperatura e ir midiendo. las verdades científicas en estos órdenes deben ser producto de la investigación. no es tan fácil encontrar esta precisiónen la medida. hacer experimentos. establecerrelaciones. AsÍ. La relación dicha será tanto más evidente en tanto sea más precisa la medición. por ejemplo. de haber experimentado. si ex- 'if . ¿de qué manera se logra?. la fé religiosa es un motivo para que el hombre se conduzca de cierta manera y que sus movimientos sean significativos. entre otras.tratan de la conducta humana. sin embargo. productos de haber medido. por ejemplo. criterios de comparación. Si se desea conocer cómo es la inteligencia. EI problema consiste en medir esos fenómenos. o el rendimiento escolar. de la manera como se conduce el hombre. manejar datos reales. Es necesariaen tanto fa Psicologíay Pedagogía tienenel carácter de ciencias ex- perimentales. de cómo sus movimientos son significativos. de diferencias individuales si no se contara con Ia medidade los rasgos psicológicos. esto es. y luego. ciencia auxiliar de lapsicología experimental. científicamente. Para que haya conducta debe haber motivosque Ia produzcan. El estudio de los principiosy métodos de esta medición es ef objeto de Ia Psicometría. en Ia inteligencia y en el rendimiento escolar. etc. Es naturalque sideseamosconocer larelación que existe entre la longitud de un metal y la temperatura. Tampoco se podría decir que un alumno rinde más en unasmaterias que en otras. porque Ios fenómenos no son muy objetivables. son parte de la conducta del hombre en tanto está movido por su fé religiosa. ¿se mide realmente el fenómeno? ¿No son. una cierta diferencia entre la necesidad de medir variables psicológicas y pedagógicas y la posibilidad de hacer esa medición. de la experimentación. Hay. es necesario experimentari o sea hacer comprobaciones. Si nos agrupamos a un partido polÍtico. son complejos. La medida psicológica y pedagógica es necesaria. en cada ocasión. pues Ia necesidad no implica la posibilidad. Mal se podría hablar. La raz6n es. es porque hay algo que nos impulsa a hacerlo. a los cuales nos referiremos en el tema lll. por lamisma raz6n. esto es/ tratar de captar los camb¡os o variantes que presenta en Ia manera como se conducen los sujeLos. y. Peto. tomar el rendimiento escolar y someterlo a sucesivas modificaclones como haríamos con una barra de metal adistintastemperaturas. No podríamos.nuestra conducta en lo religioso. la admiración. 2. Tanto en lo psicológico como en lo pedagógico se utilizan fundamentalmente dos tipos de instrumen[os:las escalas de producción escolary Ios [ests y pruebas objetivas. aunque el fenómeno en sí no sea medible. comoen los ejemplos dados. en más o en menos ' Por eso.Participar en las actividades de una agrupación es demostrar con hechos. con actos nues[ros/ con nuestra conducla. son psicológicos. el amor.5t LIMITACIONES Y CARACTER DE LA MEDIDA EN PSICOLOGIA Y PEDAGO- GIA. A esto hay que agregar Ios errores propios del análisis y cómpulo de resultados. pues. Los valores que se obtienen nunca son exac[os. otras menos/ pero nunca será igual el resultado en todas las mediciones. Ia inteligencia. no lo es menos que en lo psicológico y pedagógico se manifiestan diferencias de intensidad apreciables a través de la conducta de los sujetos.la ideología. Las diferenciaspo- tl . Es evidente que Ios motivos que impulsan nuestra conducta. ¿hasta dónde es posible medir esa conducta? Eso depende delconocimiento que se tenga del fenómeno y de los instrumentos de que se disponga para efectuar la medición.estará referida a un motivo. y nuestra manera de actuar ha de ser significativa para que constituya realmente conducta. nosemideintrínsecamente. cabe la posibilidad de medir la intensidad con que se manifiesta. es más: su aproximación a la exactitud y precisión depende en muchode Ios instrumentos utilizados para medir. A nadie escapa que se puede observar cuándo una persona demuestra más o menos fé religiosa/ que es arrorosa. eS seguro que no todas obtendrán el mismo resultado. inteligente . Este. o en cualquier otro orden. toque sehace es procutar medirlo por los movimientos significativos de las personas: Ia conducta. responsable. Pero esta inexactitud no ocurre con exclusividad en Ias variables de estos tipos. Si varias personas miden la longitud de una mesa/ por ejemplo. Si lo anterior es cierto.. Lo anterior nos dice que loquesemide es la conducta de los individuos en este o en aquel aspecto.en Io polÍtico. En todo caso. la responsabilidad. o tomar el amor y medirlo como se hace con una superf¡cie. unas medirán más.L4 presamos nuestra admiración hacia un candidato. etc. por ejemplo. La medición de Fenómenos en psicología y pedagogía es necesaria en tanto se considere estas disciplinas experimentalmente. no se pueden reducir a números en sí.que creemos en Io que esa agrupación significa para nues[ra ideología. la fé religiosa. el rendimiento escolar. que se trata de medir el fenómeno. estadístico. los otros errores se introducen por Ia imperfección de los instrumentos. por operaciones no exactas. aproximada y estadística. Esto en cuanto a los encargados de medir. (7). permite aplicarle la medida. e incluso está modificándose en el momento mismo de la medición. es irrepetible. en tanlo estásubstituyendo a un colectivo de resultados. lasdiferencias individuales. represente al conjunto de resultadosomedidas. biografía y circunstancias def sujeto'r. marcando más bien una tendencia del conjunto de medidas que éstasaisladamente. Este índice representativo puede ser. en todo caso. que si lo psicológico efecLivamente tiene características que escapan a Ia medición. b) si Ia medida es una manera de abordar lo cuantitativo. los psicólogos y pedagogos experimentalistas han sabido demostrar que no es esa toda la verdad. esLáLico. por ejemplo. pero en lo psicológico esto no es posible pues la vida psÍquica se halla en constante canrbio. En esencia son 4 las objeciones que se presentan. este número 40 es una medida. Cuando se dice que el promedio de rendimiento escolar en una materia de estudios es de 40 puntos. también es posible porque se efectúa sobre 'rla conducta físicamente registrable y observable'r (B). etc. Ante Ia diversidad de resultados de una med¡ción se plantea Ianecesldad de un número que/ a manera de índice. Además de que la medida se hace necesaria. Estas objeciones. c) para medires necesarioais- lar los fenómenos. insignificantes. no es posible efectuarla en lo p9íquico por su carácter espiritual. se precisa que el objeto de medición permanezca fijo. esLa medida debe ser interpretada en función de Ia "personalidad. Aunque los argumentos que respaldan a esas objeciones contienen una gran verdad. a saber: a) que si la medida exige objetos materiales de medición. ri . un promedio.15 drán ser ínfimas. Por estas circunstancias el carácter de lamedidaes aproximado. quieren demosLrar la imposibilidad de aplicar la medida a lo psicológico por ser espiritual. La medida de fenómenos psicológicos -y por extensión de Ios pedagógicos ha sido objetada porque lales rasgos de la personalidad es difícil captarlos íntegramente. y todo aquello que pueda apreciarse a lravés de una realidad palpable. indivisible y mutable. y que. cualitativo. Uno de Ios aspectos fundamentales que se resuelven por el análisis estadístico es precisamente laobtención de esos índices. pero ello no quita la inexactitudy el carácter de aproximación de la medida. no obstante ser psÍquico. pero lo psíquico es un "todo continuo e indivisible"i y d) cuandose desea medir algo. en contintra transformación. no puede aplicarse a los aspectos psicológicos por ser cualitativos. también es cierto que los aspectos orgánicos. se está indicando que esta puntuación es la que mejor represenla al conjunto de puntuaciones alcanzadas por un grupo de alumnos. pues. Como se comprende. (1I).no posee en sí ningunaespeciede interés. (9) "En resumen -dice el Dr. Pero es un medio indispensable para el análisis de los fenómenos. Claparede.16 difícil rrHay en los productos humanos -dice el Profesor Galí-un aspecto quees muy de traducir numéricamente:es el aspecto cualitativo. Yela. y en este sentido tienen que el espíritu. exigen que lasmedidas sean interpretadas en función de la personalidad. tl . da a aquello que se puede medir. Ia continuidad y cambio constante de la vida humana. Solo ella permite la comprobación rigurosa de hipótesis acerca de la conducta. El carácter unitario de Ia conducla. como hecho viviente. Esta medida es de carácterestadísticoy sólopermite avanzar pronósticos probables acerca de conjuntos y grupos. No se mide por placer de medir. La medida psicológica es posible porque se verifica sobre la conductafísicamente registrable y observable. Es bajo esta facetaque se sitúan los enemigos de la psicología experimental al decir. Pero lo que no tienen en cuenta estos críticos es que en general solamente se aplica la medi- raz6n.Ia medida psicológica es necesaria en psicología experimental. (10) "Una cifra -dice el Dr. que ofrece presa al instrumento cuantitativorr. el mismo fenómeno se da en las medidas escolares. que abar¿Cuando medimos la lectura por el número de palabras leídas en un minuto es un sólo aspectomaterial no. biografía y circunstanciasdelsu- jetorr. no puede sujetarse a ninguna medida. se mide pata analizar". tomamos camos todo el hecho de leer? Evidentemente. Io cual quiere decir que Juan sabe exactamente 75"k de la asignatu - 5.. A Ias características cuyos cambios no se pueden expresar entérminos de medida se las denomina atributos ( . ytanto lo psicológico como Io pedagógico es cualitativo. ( Los valores continuos se pueden definir.. podemos esLudiar estadísticamente el conjunto de medidas . 3.. ( ) Las diversas formas en que se manifiesta un atributo se llaman moda 9 . 8.1 I L7 EJERCICIO Escriba en el paréntesis Ia letra C o se a[irma a continuación. 2 según seacorrecto o incorrecto Io que La raza es una característica cuantitaliva de la población... 7 . Este número es continuo puesto que Iaordenación continúa hasta 45 que es el total de niños ( ) La medida de fenómenos en psicología y pedagogía es imposible... () sí. ( ) Juan se examinó en Estudios Sociales y obtuvo 75 puntos. ra () El concepto de rrvalor extensión'r de un número. 4. 6. sino la manera como los sujetos se conducen. en el campo de los números naturales ( ) ) ¡i .. porque el hecho de medir demanda objetos de medición.) Si varias personas miden todas la longitud de una mesa. que Thorndike lla ma I'face valLle'r. matemáticamente. l. 1. Ii dades () En la experimentación psicológica y pedagóqica no se miden los fenómenos en 10. puesto que podemos hacer grupos numéricos de individuos según ese rasg0 2. se refiere más bien a una cierta distancia que a-l número en valor absoluto () Al contar el número de alumnos de un grado le corresponde a Enrique el lugar 30. 3. 3.43 Tipificoción.3: Los tests.63: Adecuoción.41: Volidez. 3.65: Procticobilidod.ó2: Univocidod.42: F¡obilidod.4: Co¡oclerísticos del test. 3. 3. Eiercicios. 3. 3. Ét .5: Los pruebos objetivos. 3. 3. 3. 3. 3. 3.I I TEMA II! 3.31: Desorrollo de el método.64: Economicidod.ól: Obierividod. 3.6: Corocterísticos de los pruebos obietivos.1: lnst¡umentos de medición.22 Escolos de producción escolor. hay qué crear una conciencia técnica.5 metros cuadrados porque asÍnos ha parecido al ojo. una escala de estetipoes la de escritura. si no perfectos. tenga vocación o'rdon de maestror. esto es. Los instrumentos de medición que se usan en psicología y en pedagogÍa. precisa. pero a esta vocación y a Ia competencia docente debe agregarse que rrNi el buen sentido. El golpe de vista ejer: citado quizá no se equivoque. de dos tipos: uno que mide un trabajo ya realizado y otro para trabajos que han de ser realizados. principalmente. escalas. Escierto que lo vocacional. de apreciardocumentariamente los logros en Iaeducación. los instrumentos de exper¡mentación son Ios tesLs y las pruebasobjetivas'r. El primero es un instrumento de observación. se han introducido instrumentos. de expresar en formacuantitativa los aspectos de la personalidad que Io permiten. si fulano es un alumnó qr. pues el trabajo a realizar deberá ser medido posteriormente. (12) A efecto de ir más allá. mientras que el segundo es de experimentación. Los instrumentos de medida que se utilizan para Ia apreciación de Ia labor de los escolares. Por ejemplo. es la Estadística la que ha hecho posible Ia confección de lnstrumentos.2: ESCALAS DE PR0DUCCI0N ESC0LAR. son corrientemente. que midan y que se pueda confiar en los resultados de Ia medición. síaceptablesen alto grado. son la consecuencia de la necesidad y posibilidad de medir. formada por un conjunto de 'rplanas de escritura quecomprende desde la ¡:í . No se puede confiar en que Ia superficie de una mesa sea de 1. tiable. para desempeñar su misión. proporcionar medidas exactas. necesitamos forzosamente un instrumento que nos permita saberhasta quepunto es insatisfactorio en su rendimiento. comprobar que sirven al objeto y necesidad para que se introdujeron. Consisten en un conjunto de trabajos graduados que sirven para comparar el trabajo similar realizado por cualquier sujeto. iinde bajo. pueden por sí solos satisfacer al maestro.1: t t INSTRUMENT0S DE MEDICION. ni el golpe de vista. es el resorte fundamental para el buen desempeño de una actividad. sino. Se necesita aplicar una medida a sus dimensiones para hablarconmayorseguridad. "Los instrumentos de observación son Ias escalas de producción escolar. Se exigeque Ia medidasea objetiva. pero lo comprobado técnicamente es lo verdaderamente firmerr. para poder aplicar una medida debe existir previamente el instrumento. (13) 3.porque no se trata simplementedeelaborarlos o construirlos.t9 L 3. aparatos. que hacen posible Ia comprobación de resultados. En este sentido. En Ia actualidad ya no basta que el maeslro. Posiblemente en otras circunstancias fuese mejor. ni la práctica. Lo propio ha ocurrido en psicología y pedagogía. 3: de calidad L0S TESTS. en dos escalas paralelas. gradúan el aspecto cualitativo de ciertos fenómenos. Para la construcción de una escala de producción escolar hay que salvar dos problemas de por sídifíciles.000 escrituras. la de Ballard de 10. Aunque la palabra test es inglesa ha sido incorporada al español y se traduce por prueba o reactivo. atestiguar.testimonio. La aplicación de las escalas es ilimitada. 3 . El cuadro siguiente resume lo dicho: reda cc ió n Escalas de producción escolar ( 15). Figura a la vezen los vocablos españolescomo testigo. (14). Aplicado a una persona o grupo de personas se pretende con él. comparación que se hace de menor a mayor y viceversa. La construcción de la escala de escritura de Thorndike se hizo mediante 1B I. 1 al que le sigue.20 peor hasta la más perfectaio[ro [anto acontece con las escalas de dibujo'¡. Zaragozáde 12. luego 2. y en síntesis.Suaplicación aun casoparticular se hace comparandoel trabajo del sujeto con todos y cada uno de los lBtipos establecidos. Los grados se expresanmedianLe núnteros. grupos de un total de El número de grados de la escala depende del número de grupos que se hagan del total de trabajos -muestra.. sirve para designar un cierto tipo de examen utilizado en ps¡cología y pedagogía. la escala de Ayres es de B grados.. así: 0 al inferior. etc. calificadas por 40 jueces. uno se refiere al juicio objetivo para apreciar la calidad de los trabajos. después de establecer el rango u orden medro. y el otro a la ordenación gradual de esa calidad. 3. osea un conjunto de 24 grupos que se repartió en dos subconjuntos de 12 grupos cada uno. Las escalas de producción escolar fueron introducidas por Thorndike y se les ha Ilamado también "métodos de ordenación'r por Wells. EI grado o calificación que se asigna al trabajo es el que corresponde al tipo al que más se aprox¡ma en Ia escala.cono- rJ . De cada grupo se tomó una plana o muestra representativa. estableciéndose 1B gradosde comparación que varían desde el inferior hasta el superior.. y la confeccionada por el Dr. Así. pues Ia dificultad o calidad de un grado debe equidisLar de los grados anterior y posterior. esto es/ una parte de la población. El test. standardización o tipificación. Con la información anterior se puede tenerlel conceplo de lest comorruna si- Iuación problemática.3) Tests colecIivos. Siguiendo al Dr. Al contenido del test. se distinguen en su evolución cinco períodos: 1)Tests sensoriales y molores. Estos resultados se expresan en números.1 . ción. entantoes un mélodo. en medidas. se procede aanalizar estadísLicamente los resultados. De ahíque se dlga -sin intención de definirque el Lest es un testigo de la conducta humana en un delerminado rasgo psicológico o cer pedagóg lco . Logrado Io anterior se aplica el test a un grupo de personas. 2) Escalas de inteligencia. Por diversas razonesno es posible examinara [odala población. la calidad. esle conLenido debe ser discriminativo para que se pueda apreciar la intensidad del rasgo en los sujetos. Para aplicar el'test . Al proceso de elaboración de las normas del test se le IIama normalizaciín.31 DESARR0LL0 DEL MET0D0. índole o grado de algún aspecto de su personalidad". Además.4) Tests de personalidad. por lo que substituye ésta por una muesLra representativa. o sea a los problemas que se proponen para su resoluítems. por supuesLo. tanto de parte de qtrien lo aplica como de quien Io recibe. 5) Análisis lactorial. como instrumento de cuantificación de Ios fenómenos psicológicos y pedagógicos. dificulLades o unidades. (16) 3. Al grupo de sujetos que compone la muestra se le llama grupo normaLivo.2t sLt conducta en un rasgo que interese. Supongamosque se Lrata de un test de inteligenciay que va a ser aplicado a la población de niños 9uaLemaltecos de ocho años de edad. Asíque se les ha aplicado el test. se utiliza en forma sisLemática desde finales del siglo XIX y. sLrele llamársele elemenLos. a que el sujeLo ha de responder siguiendo ciertas instrucciones y de cuyas respuestas se est¡ma/ 'por comparación con las respues[as de un grupo normativo. La condiciónfundamental que debe saLisfacer un lest es que su contenido ponga en evidencia o haga resaltar Ia caracterÍstica que se desea medir. Yela se pueden resumir Ios períodos mencionados en Iaforma siguiente: ..normalizado. han de seguirse ciertas instrucciones. y con ellose construye una tabla especial que recibe el nombre de normas o baremo con ia cual se comparan/ poster¡ormente. los resultados que obLenga un individuo cualquiera de esa población al aplicársele el test. previamente dispuesla y esLudiada. hacia 1890. Se vió. Es durante el primer período que se introduce el vocablo test por J.) Fue propuesta por Stern y por Kuhlmann.) de los sujetos. en la que hubo de reclutarse el ejército entiempo pordemás perentorio. cuando hubo necesidad de aplicar los tests colectivamente y no en forma individual comosevenía haciendo. en la Universidad de S[anford (escala Stanford Binet).El tipo Al[a contiene dificultades que debían ser resueltas por escrito mediante palabras. El segundo período (escalas de inteligencia) está fundamenLalmente caracterizado por los trabajos de Binet. La utilizacióndel cociente intelectual (C.) que resulla de dividir Ia Edad Mental entre la Edad Cronológica (E. Una de las revisiones más famosas a la escalade Binet es Ia que se hizo en 19 16 por Terman. Mc. Los hubo de dos tipos: Tipo AlFa para los nacionales alfabetos. Binet se dió cuenta que el fracaso de las investigaciones.í . La primera escala mental fue publicada en 1905. El quinto período (análisis factorial) corresponde a los trabajos de Spearman . sinoenelmaterialempleado(loselementos del test). Caitell. habían sido usados desde El cuarto período (tests de personalidad) se inicia en el año L917 con lostrabajos de Woodworth que. siendo ésta la que adquirió fama mundial. mediante una hoja de datos personales sobre hábitos. dibujos.22 Durante el primer período (LesLs sensorialesy motores) se hicieron por Francisco Galton. Posteriormente(1921)aparece el Test Psicodiagnóstico de Herman Rorschach. etc. en 1882. que es uno de los instrumenlosmás utilizados actualmente en el campo de los tests proyectivos. Este período resulta de Ia participación de Estados Unidos en la primera guerra mundial. intereses. actitudes.1.. determinando la Ilamada Edad IVental (E.C. Tomando en consideración lales aspectos. Whipple. construyó la primera escala de inLeligencia. y tipo Beta para los extranjeros y nacionales analfabetos. en su laboratorio Antropológico de Londres.Terman y Goddard. que es el creador de los LesLs de inLeligencia. revisada y complelada en 1908. Este período comprende hasta 1905 y a finales de él se inicia el siguiente. por la ineficacia de los instrumentos empleadosi pues Galton pensaba realizar su investigación sobre aspecLos antropométricos. realizadas durante el período anterior no consistía en el método (el test). psiquiatra suizo. Este último difundió el uso de Ios tests manipulativosqueya el siglo anterior por el iLaliano Sancte de Sanctis. K. y haber relacionado los Lestscon la edad de Ios sujetos. Los tests fueron elaborados poreminentes psicólogos: Yerkes. Ios primeros intenLos para estudiar la herencia de las aptitudes fÍsicasy mentales. etc. temores. Sus aciertos en este sentido son haber introducido dificultades que provocasen procesos psicológicos más complejos y superiores. Las dificultades del Iipo Beta consistían en figuras. El tercer período (tests colectivos) surge en Norte América en 1917 . M. buscaba hacer diagnósticos sobre Ia personalidad y problemas de la persona. sensoriales y motores. asim¡smo/ la necesidad dequelos elementos de los tests debían provocar procesos más complejos para el fin propuesto. 23 desde 1904, creador del método del análisis factorial, y publicados como teoría en L927 . Consiste en estudiarexperimentalmente el fenómeno que el testmide. Continuadores famosos de Spearman son Burton, Thomson y Thurstone. Resultado deestos trabajos es el establecimiento de un factor general (G)y de otros específicos (S)o aptitudes, en la estructura de la inteligencia humana. 3.4: CARACTERISTICAS DEL TEST. Todo test psicométrico debe Ilenar, como mínimo, tres exigencias o caracterÍsticas: a) validez; b) fiabilidad o precisión; y c) tipificación. 3.4\ Validez. Un test es válido si efectivamente mide o aprecia el rasgo para que ha sido construido. Así, un test para seleccionar mecánicos es válidosi discrimina entre los buenos y los malos. Forzosamente debe poneren evidencia el rasgo que se desea medir. SerÍa un test no válido aquel que pretendiendo medir inteligencia resultase midiendo otro fenómeno distinto. Un metro, por ejemplo, sirve para medir dimensiones o longitudes, pero no es bueno ni válido para medir el tiempo;en este ejemplo es evidente que se entiende por validez. En los tests psicopedagógicos, sin embargo, no es tan fácil determinar esta validez. La validez de un test contempla, previamente, la definición dél rasgo o fenómeno que se va a medir; la adecuación o representatividad que cons¡ste en que los ele- mentos o dificultades hagan resaltar ese rasgoi lementos. y Iaconveniente selección dedichos e- Entre las características de un test, sin restar importancia a las otras, la validez es la básica; generalmentese determina a posteriori. Si se tratade un test de selección de mecánicos, por ejemplo, no se puede asegurar que el instrumento efectivamente seleccionó buenos mecánicos o personas aptas para el oficio, en tanto no seconozcan los resultados obtenidos por los sujetos en la vida profesional. Esto impone la necesidad de relacionar posteriormente los resultados alcanzados enel test por los sujetos examinados, con los resultados de su actividad profesional. Esta relación se establece estadísticamente mediante la correlación, o sea, estimar hasta quepunto son comunes los resultados en la selección y en Ia labor posterior. Es de esperarse que si el test realmente mide, habrá altay significativa correlación entre losresultados de ambas experienc ias , La validez impone, pues, la existencia de un criterio exterior pára establecer la correlación con los resultados de Ia aplicación del test. En el ejemplo de la selección de mecánicos, este criterio podríaser la calificación asignada por el jefe alos sujetos eneldesempeñode sus actividades, Enuntest de inteligenciapodría comprobarse Ia validez, efectuandola correlación entre los resultados alcanzados por los sujetos rJ 24 durante el examen y el grado de inteligencia manifestado en su vida escolar, grado que sería apreciado por la califlcación de Ios maestros. 3.42: Fiabilidad. La fiabilidad o precisión de un test viene dadapor la conque fianza se pueda tener en Ios resultados obtenidos. Esta confianza se expresa porque los resultados sean constantes; esto es: aplicado el test varias veces, losresultados deben ser, si no Ios mismos, síaproximadamente semejantes. Si a unindividuo se le aplica un tesl varias veces y en cada ocasión los resultados difierensignificativamente, no se podría tener fé o confianza en el test; es decir, no puede confiarse en la precisión del instrumento pues cada vez que se aplica da resultados muy distintos. Para probar Ia fiabilldad o precisión de un test se utiliza también el método de las correlaciones, esto es, averiguar la relación que existe entre los resultadosde dos experiencias o aplicaciones del test. Para lograr esta caraclerística se han propuesto cualquiera de los procedimientos siguientes: a) aplicar dos veces el instrumento, con cierto intervalo de tiempo y correlacionar los resultados de la primera y segunda experiencias. Este procedimiento se llama de reaplicación o de re-test; b) aplicar dos formas paralelas del test, o sea, construir dos instrumentos con el mismo contenido. La correlación se establece entre los resultados de las dos formas y a este procedimiento se Ie Ilama de las formas paralelas; y c) aplicar un test y dividirlo endos partes: una que contiene las dificultades impares y otra que contiene las dificultades pares. La correlación se establece entre los resultados de los elementos pares e impares. Este procedimiento se llama de las mitades semejantes. 3.43: Tipificación. La tipificación, standardizaciín o normalización del test es posterior a la comprobación de su validez y fiabilidad. Consiste en determinar la significación de los resultados o puntuaciones del test. Es un proceso de generalizaciín por el cual se averiguan y ordenan las puntuaciones del test para lapoblación, con base en los resultados obtenidos en el grupo normativo o muestra que ha servido para Ia experiencia. Esta ordenación y signiflcación es Iatipificación. Lasnormaspropiamente, consisten en una escala valorativa de las puntuaciones y se puede hacer, de preferencia, utilizando normas cronológicas, centiles o típicas. 3.5: LAS PRUEBAS OBJETIVAS. Los tests se originaron en la investigación psicológica y, seguidamente,la técnica se extendió a lo pedagógico. En este campo, sin embargo, no se hanobtenido los mismos frutos. Ante las limitaciones que su aplicación presentó, se pensó en la construcción de un instrumento semejante pero más apropiado a los fines particulares de la escuela. Este nuevo instrumento es lo que conocemoscomopruebasobjetivas, similar al test, pero diferenciado fundamentalmente por no estar tipificado. ¡l 25 La prueba objetiva ha sido utilizada en especial para medir el rendimiento escolar. Se la denomina también: tests objetivos, tests escolares, tests informales,tests de respuestas breves, tests de nuevotipo, tests de instrucción, etc. A pesar que son más Fáciles de construir que los tests propiamente, esa facilidad es relativa. Requieren que se siga una ser¡e de instrucciones para su elaboración que, en suma, soncumplir con las exigencias mínimas para confiar en esos instrumentos. Estas exigencias o cualidades son Ias que siguen: 3.6: CARACTERISTICAS DE LAS PRUEBAS OBJETIVAS Además de las caracterÍsticas que damos a continuación, la pruebaobjetivade be satisfacer la de Ia fiabilidad que es determinable fácilmente mediante las correlacio nes, asícomo la de la validez, más difícil de establecer que la primera. El uso de Ia tipificación es más restringido en Ia prueba objetiva. 3.6L Objetividad: Se entiende por objetividad aquella condición que elimina la ambigüedad en la pregunta o elemento, o sea, que no haya lugar a dudasobre qué es lo que debe contestar el educando, asi'como que cualquiera persona que califique Ia prueba no pueda introducir su apreciación o criterio particular. La objetividad debeeliminar los contenidos ambiguos y Ia subjetividad del calificador. por ta. 3.62t Univocidad: Esta cualidad está muy unida a la anterior y seestima que para contestar una pregunta hay exclusivamente una sola respuesta correcEn último caso se aceptan sinónimos perfectos. tal, 3.63t Adecuación. Exige esta cualidad que el contenido de la pruebasea representativo de Ia materia o asignatura. Sedenominatambién representatividad y persigue que Ia prueba no deje aspectos sin abordar. 3,64: Economicidad. Esta característica es secundariay busca quetanto pa- ra la elaboración como para la aplicación y resolución no se use más esfuerzo(material, temporal, intelectual, etc.) que el aconsejable. 3.65 Practicabilidad. La prueba debe ser práctica, de fácil aplicacióny computación de tos resuttados. ¡l 26 EJERCICIO 3 Escriba en el paréntesis Ia letra C o I según sea correcto o incorrecto se afirma a continuación: 1. tos 3, La validez de un test consiste en que al aplicarlo varias veces los mismos resultados 5. da Las escalas de producción escolar tienen como unidad demedidaun patrón de 4. que Es necesario que las escalas de producción escolar tengan siempre el mismo número de grados, para poder aplicarlas atodos Ios suje- 2. Io calidad La tipificación de un test consiste en la obtención estadística, de normas aplicables a la población de donde se extrajo el grupo normativo Un test puede, incluso, estar tipificado sin que por ello esté com- probadasuvalidez ....... () ( ) ( ) () ( 6. Un concepto estadístico del reactivo 7. Los tests Alfa y Beta corresponden al período de los tests colectivos en la evolución de este método () B. Las pruebas objetivas de rendimiento escolar, se usaron con anterioridad a Ios tests propiamente () 9. La adecuación de una prueba objetiva consiste en que su contenido sea representativo de la asignatura () 10. Para etectos de Ia experimentación pedagógica, es preferible usar pruebas objetivas en vez de exámenes orales, en la medidadelren- dimiento escolar test sería decir que es una prueba o ) () () rl 2t Estodísticos y 4.3: El proceso estodístico.f .TEMA IV. porómetros. i. cepio de Esfodístico. 4.4t Con Muestrqs y poblociones.1: 4. Ejercicios. 4. a ciertos cuadros numér¡cos que contienen datos de lipo cuantitativo. se toma una parte de esos miles. como dijimos en palabras introductorias.1: MUESTRAS Y P0BLACI0NES Cuandose usa el términoestadísticas (con minúscula y en plural) se alude. sobre Ia edad. y esta parte que se toma de la población constituye una muestra. el contenido de estos apuntes. La Estadística Descriptiva se propone describiry resumir un conjunto de datos y tiene como fundamento las matemáticas elementales. La Estadística lnductiva requiere matemáticas más complicadas: elCálEstadística culo de probabilidades o Teoría matemática de las probabilidades. aunque no agotado.generalmente.de esa edad. El problema de fondo de la Estadística lnductiva es Ia generalizaciín de características obtenidas de una muestra o grupo de muestras. Supongamos que se quiere investig¿r Ia inteligencia de Ios niños guate- mallecos de ocho años de edad. tanto en la capital como en los departamentos. y que es. sobre la asistencia escolar. que los datos con los que se trabaja proceden de una muestra que se ha tomado de la población. análisis y predicción. Es natural que por razones de dinerolde tiempo y de lugar.28 4. de esta cuenta el muestreo es un método sumamente importante en lainvestigación estadística. sobre la talla de un conjunto de individuos. 0 sea: en vez de aplicar la prueba de inteligencia a los miles de niños de ocho años que hay en larepública. La población. sepuedeconsiderar dos aspectos diferentes en Estadística. de ahíque se récurra a una muestra de dicha población. (17) \ En Estadística ocurre/ generalmente. cada uno con sus fundamentos matemáticos de distinto nivel. El concepto de población en Estadística está referido siempre a Ia totalidad de elementos ¡J . por ejemplo. De ahíel nombre: de una parte de un todo (muestra) inferir conocimientos sobreel todo (población). sobre el rendimiento escolar/ etc. en este caso/ la constituyen T0D0S Ios niños que hay. En cambio el término Estadística (con mayúscula y en singular) se refierea la ciencia propiamente. Según eso. entonces deberá acudirse al muestreo. no será posible investigar entoda la población. apuntamos que son: descripción. Prácticamente todas las investigaciones se basan en muestras. por uno u otro procedimiento de muestreo. sedenominan Métodos estadísticosr'. Lo mismo ocurulia con cualquiera otra investigación estadística que se quisiese realizar. lnferencia o Estadística Muestral. I'Los resultados de ambas ramas de la Estadística conducenaunaseriedetécnicas que se aplican al estudio de los fenómenos aleatorios y que. Si Ia población es grande. provenientes de mediciones hechas. Uno de tales aspectos es el que se designa comúnmente EstadÍstica Descriptiva. El otro aspecto es el que se designa como Estadística lnductiva. en conjunto. AI hablar de los problemas que aspira resolver Ia EstadÍstica. en unci. 'rConstituye el censo la operación más amplia de investigacióndemográfica. quea la par ditmúttipteesfuerzo personal necesita gruesas sumas de dinero para su realización. características de la población a la que ésta pertenece. ¿cómo saber si los datos obtenidos de la muestra se pueden generalizar a la población? Estacuestión y otras las resuelve el método del muestreo o Estadísticalnductiva. cuya base matemática es el Cálculo de probabilidades. Perocomoestono sucede asíse recurre a una muestra. serán los parámetros. cuyoproblema fundamental es inferir. puesto que es el recuento o enumeraciónde todos Ios. Pero ¿cuánto cuesta levantarun censo?Por ser unainvestigación exhaustiva. De las muestras se extraen datos:eslo es indudable.29 que tienen el rasgo o fenómeno a investigar. en realidad. Los términos estadístico y parámetro se corresponden. aun cierto valor estadístico corresponde un cierto parámetro. Parámetroes todo valor característico de la población. Ia medición de la estatura de losniños guatemaltecos de10 años de edad. en un cierto espacio. Estasmedidas. LaEstadísticalnductiva. de una muestra. Son t. Hay casos en los que sí se investiga la pobfación total: el caso típico es el censo. las medidas de tendenciacentral (promedios) y otras. Entonces. pronunciándose a favorde losaños terminados en cero. es decir. a una población. valores estadísticos. Si fuera posible medir los miles de niños de dicha edad. nosenseñacomollegar a los parámetros por medio de los estadísticos. se ha convenido internacionalmente.2i: ESTADISTICOS Y PARAMETR0S. o seatoda la población. Pero resulta quelos datos de las muestras pertenecen. Estos valores se distinguen en lo siguiente: estadísticooestadÍgrafo es todovalor obtenido de una muestra.l . por ejemplo. siempre que se obtengan de muestras.habitantes existentes. (18). esto es. estadÍsticos facultativos. levantar censos en períodos decenales. También se Ilama estadísticosa los profesionales de la Estadística. por ejemplo.erto momento.y losvafores caracterÍsticosobtenidos de lamuestra son precisamente los estadísticos o estadígrafos. los valores característicos obtenidos serían parámetros. al obtenerlas de una población o generalizarlas a ella. entre otras razones. Viene a ser el censocomo una fotografíainstantánea de Ia población". Sea. 4. En este conocimiento queda incluido lo relativo al grupo social o poblacional donde se quiera investigar. obtenida Ia información que interesa.fenómenos colectivos mediante la observación numérica. esseguro que losresultados finales motivaránuna interpretación un tanto alejada a la verdad. en otras palabras: a) desde el punto de vista de la exactitud. r§ .30 4. la Estadísque estudia los. lla depuración -aspecto que muchas veces no se atiende debidamente .es básica para la interpretación posterior de Ios resultados.en observarlos. dará números como resultado. La depuración se hace desdedos puntos de vista: a) desde el punto de vista de la verdad. Si Ios datos no son depurados. Esta recolección forma parte de un plan que comprenderrla redacción de cuestionarios . si no un dominio completo de la materia que es lo ideal. Es indudable que toda ciencia experimental necesita observar. Así. La tabulación consiste en el recuentode casoso resultados y supresentación en tablas.ladefinición del hecho. Depurar los datos consiste en estudiarlos. sÍel suficienteconocimiento para los buenos frutos de Ia investigación. o sea.3: EL PR0CES0 ESTADISTIC0. etc. para versi se ajustan a la verdad. deben ser sometidos al análisis de depuración. (f9) tica. La ordenación y clasificación se hace de acuerdo a las necesidades. por ejemplo: edades. La Estadística. después de definido el problema. No basta que se haya confeccionado un instrumento dentro del máximo rigor ni que se haya instruido suficientemente al personal. Tales cifrascobran significado propio según el fenómeno de que se trate. rasgo o fenómeno a estudiar. pues la bondad de estos determinará la mayoro menoraproximación en laexactitud de lasconc lu s iones. fenómeno o carácter que se quiera estudiar. En ambos casos se busca poseer material fegítimo para el trabajoesta- dístico. El primer paso de una investigación estadÍstica es Ia definición del problema. por el hecho detrabajar con números. Esto requiere. clasificarlos y labularlos. necesita organizat la recolección de datos sobre el fenómeno que se trata de investigar. la eleccióndel momento y de los órganos más adecuados para la recogida de datosrr. sexo. y b) desde el punto de vista de la fé. etc. Depurados los datos se procederá a ordenarlos. asícomo la preparacióndel per- sonal que haya de intervenir. - 'Recogidos Ios datos. la delirnitación de Ias áreas correspondientes. En segundo lugar. Es necesarioque Ios datos sean depurados.y b)desde el punto devista de Ia sinceridad o. se deben elaborar los cuestionarios que discriminen el fenómeno de que se trata. tallas. y del alemán staat/ como expresión de la unidad política superior. Esta etimología no es/ en realidad. tarea del investigador. situación de personas o cosasi del griego statera. Ia interpretación se hace en función del conocimiento de Ia variable o campo donde se investiga.s evolucionan constantemente y esto mismo ha ocurrido y ocurre con Ia Estadística.. 66 en alemán.ya que para su debidasignificación se necesita ser estadístico y algo más.4: C0NCEPT0 DE ESTADISTICA. La interpretación se complementageneralmentecon las representaciones gráficas que.. Etimológicamente la palabra EstadÍstica se hace derivar del latín status. expresiva del concepto actual de Estad ística. Las gráficas dan una idea o visión de conjunto del fenómeno. y. desdesus inicios hasta lafecha. (20) El Profesor Ros Jimeno dice: 'r. Ia estatura media. El Profesor García Pérez recoge los datos siguientes: "Desde el año 1. disciplina de la que. satisfacen los efectos de la publicidad. según Engel. ha sufrido serias modificaciones. además. competente en la rama del fenómeno investigado. Es decir.934 las definiciones que se handado de Ia estadísticaalcanzan un total de 117. (22) t! . la interpretación de los resultados para investigar las leyes empíricas del comportamiento del fenómenoque es/ en esencia. estadístico y pedagogo. Probablemente Ia definición más completa sea la del Profesor Ros". De esta ciencia se han dadomuchas definiciones. Por esta raz6nel análisis estadístico no puede ir nás allá del estudio matemático de losdatos. vamos a ocuparnos/ siquiera seabrevemente. 29 en inglés. estadístico y psicólogo.. en forma objetiva y clara. se habían dado ya a mediados del siglo pasado 180 definiciones".31 El paso siguiente es Ia sistematizaciín y cálculo estadístico. pues como se dijo. etc. lo cual es justiticable si to- mamos en cuenta que la Estadística. balanza. por ejemplo. no en el sentido de hacer cálculos sino en el de interpretar vafores estadísticos. se impone que el experimentadorsea un estadístico. del concepto de EstadÍstica. el rendimiento medio de los alumnos en un curso. fundamentalmente. por el hecho que mide o pesa los fenómenos de su competencia. Se trata de encontrar los valores o medidasrepresentativas delconjunto de datos del fenómeno.r. estadístico y economista. (21) Y el Profesor González Bellido agrega: "Muchas son las definiciones de este concepto. Finalmente.748 hasta I . etc. t6 en francés y 3 en italiano". debido a que las ciencia. por ejemplo. de las cuales 3 fueron escritas en latín. . y. y otros. luego.32 El Profesor Ros Jimeno ha hecho un análisis crít¡co de las definiciones dadas por los estadísticos más famosos. el análisis lóqica. Gini. Yule. investiqando especialmente sus causas v sus .de referirse a RUmelin.t. (23) Ét . dice: "En consonancia con los juicios críticos formulados iobre las definiciones expuestas. Colajanni. Pearson. podríamos decir que Estadística es la ciencia la mediante la observación numérica. . 7 .. ( EI fundamento matemático de la Estadística inductiva es el Cálculo La interpretación de los resultados de una investigación. ( y la Estadística aparecieron juntas como actividad ( En el proceso estadÍstico es necesario depurar los datos. Se llama lnferencia estadística a los cálculos que sirven para generalizar a la población las características de una muestra . debe hacerse en función de la Estadística y de Ia ciencia a Ia que se aplica El concepto de Estadística ha evolucionado al evolucionar laciencia sr Un concepto de actualidad sobre plo. 5. EI conjunto de las técnicas de la EstadÍstica descriptiva ydelaEstadística muestral consLituye los métodos estadísticos. po- humana de probabilidades 8.... .. la ( ) ) ) () ( ) () () r. a eFecto que los resultados estén absolutamente asegurados contra errores .§ . . Un promedio obtenido en una muestra es lo que se llama parámetro 4. 6. 2.33 EJERCICIO 4 Escriba en el paréntesis la letra C o I según sea correcto o incorrecto loquese afirma a continuación. 1. Las estadísticas 9. que procede del latÍn status la Estadística es dec¡r. .. El censo es el caso típico de la Investigación exhaustiva de blación 3. por ejem- ) _ () () en 10. Fl .3: Cifros significotivos. Eiercicios.4: Cifros exoctos de los contido des oproximodos.TEMA V 5.5. 5.2: Orden de los operociones. 5. 5.5: Redondeomiento de contidq' des.1: Corócter oproximodo de los números estodís- ticos. 4+g +7 *2= 9 +7 +2+4 "' etc' v en general: a*b= ¡. un c'n- por esta raz6n no es lo mismo el número 12 si se refierea junto de alumnos.rtor. En el primer caso e men0s. que si se refiere a la lon iniirr. entre de la finura de los tes. es conveniente tenerencuenta 4x3 + 18:6' el resultado será" ¿^5'15-' de Ias operaciones es "" 4x3-13=15' r t4. metidos en un dictado. de cociendiciones. siempre que expresen meLos números que se usan en el cálculo estadístico.Í b+a b)Lapropiedadconmutativadelamultiplicacióndicequeelordendecolocación de los factores no altera el producLo' Ej: 2x4x9x7= 4x9x7x2= 9x7x2x4 neral.1:CARACTERAPRoXIMADoDELoSNUMERoSESTADISTICoS..aroximación resulta.:tri.12 Si bien c¡ertas les' conviene tenerlas presentes: a)Lapropiedadconmutativadelaadicióndicequeelordendecolocaciónde los sumandos no altera el total. L r.. Ej: 2+4+9 +7 -. 5.i". ""etc'yenge- . o[ras causas.. sino por ser algo inherente ración decimat que a r.. de errores propios ¿.iil demásiadai cifras pára representar alsunosnúmeros' Al hablar de los valores discretos ícter de aproximación de Ios números estapara la ordenación de cantidadesengruposocladísticosy de su continuidad es básico SCS. son aproxima. .2: ORDEN DE LAS 0PERACI0NES' el cálculo. de unidades de tipo superior..35 5. de que ra suce NOESU óárliru¡u¡o al sistema de numeestadístico propiamente.lial. 5-15=-10 tesis. 0 El signo de radical también se debe entender con funciónsemejantealparénLratando como un solo número Ia expresión subradical.4x3=.9) = 48'36= - 12 12 e) La raya o línea de quebrado indica que ef numerador y el denominador deben ser operados separadamente. 4 (L2 .4x5 (7x4)+(2729)-«x5)= - = 28+3-20=11 d) Si una expresión está dentro de un paréntesis. debe considerársele como un ii) por la propie- solo número. efectúense primero los productos y cocientes y después las adiciones y restas.r ab=ba c) Si en una operación indicada hay dos o más de las operaciones fundamentalec. Ej: 18-3 = 15 =l 5 15 10+ 40-L5 -25 B8 pero nunca: .Ej: 7x4 +27:9. pero nunca: 6-5 -1 rt . Ej: i ¡¡) 4 (L2-9) . pudiéndosela tratar: i) efectuandoprimero la expresión. Ej: . o dad distribuitiva de la multiplicación./36-=25 --A. Este caso de la adición también para la resta. pero el número 50 solo tiene una ci mero de 45 a 55. poñiendo un Punto desP el número 0'0004 tiene una ci pues los ceros solo indican que el 5. el número 8 tiene una cif 7t5 a B'5.3: CIFRAS SIGNIFICATIVAS' distlntos de cero y al cero Se llaman cifras significat¡vas a todos los números mismo cuando estáentre dos números.Deacuerdoaestosecons¡deran para el cálculo Ios casos siguientes: a)SivariossumandossonsignificativoshastaelmismoordenoúItimacifra orden' Ejemplo: si las cande Ia derecha.lgualmentelasumade0. el número 48 Liene dos cifras 47t5 a 4Br5. lo cual nos dice que cuan sino que sirve Para indicar Posi ro tenga significación Y no esté sí: 50. Estecaso de laadiciónesválidotambién para la resta. 45 y 54 son sumadeellas=l05tienetrescifrasexactasenmenosmásmediaunidaddelúltimo l-00' para-que se -enárJen. ta el mismo orden o última ciino hasta el orden del número Ia suma de 15' 62. el número 105 tiene [ambién tres c 105'5. afectandemayoprecisióneSoSresultados.o sea: ta un valor. el número 314 tiene Lres ci 3l.oelmenoseaproximaciones.65 tiene fuatro cifias significativas.2'18y es válido 15. Así.43. entonces la suma es significativa hasta ese (unidades en este caso)'la orden último el hasta significativai tidades 6. ti . en con para Lrabajar no tas ciFras se han de retener en el resultado.143'0lB s en menos más media unidad ma no es significativa sino hasta la última .04 =!7.37 5.4: . t 4 es del CIFRAS EXACTAS DE LAS CANTIDADES APROXIMADAS' es necesariosabercuán Cuando en el cálculo intervienen números aproximados muchas cifras que. ta suma de los números 25.De2omásnúmenúmerode cifras ados se dice qíe gnificativo el que tiene menor aS.4'5. 37 y38 debe esqribirse = tiendaquelastrescifrassonsignificativas. pues 283 está más cerca de 280. En la práctica la observancia de estas reglas solo se aplicaalresultado final de Ia operación. la cifra anterior queda sin alterar. se compensen. Con los decimales debe procederse en igual forma. Ejemplo 28'5 redondeado hasta las unidades es 28. dejando el número Io más próximo posible del orden de su última cifra. En el redondeamiento se suprime o aumenta media unidad del orden de la cifra que se va a eliminar. la cifra anterior debe ser aumentada en una unidad. Si la cifra que se ha eliminado es el 5. Ejemplo: 17'5 redondeado hasta las unidadeseslB. rj . es arbitraria. Para redondear el número 283 se dejaría en 280. no tiene fundamento matemático. el producto no puede tener más cifras exactas que las que tiene el número aproximado. y si la cifra suprimida es inferior a 5. Estos casos son válidos para Ia división. el producto no puede tener más cifras exactas queel factor menos exacto o de menos cifras significativas. como se advierte.5: RED0NDEAMIENT0 DE CANTIDADES. El redondeamiento de cantidades consiste en eliminar una o más cifras. EI redondeamiento se hace con base en las ciftas significativas. que de otro número cualquiera expresadoen de cenas. Si se desea redondear 4t 384 hasta las centésimas sería 4r38 y hasta las unidades 4.38 c) Para la mul[iplicación puede ocurrir: i) si los factores son números exactos. ii) si uno de los factores es aproximado y el otro exacto. se ha convenido queel redondeamiento d la cifra que precede al 5 es par: entonces queda inalterada. iii) si los factores son números aproximados. 5. Si sesuprime una cifra superior a5. pero es útil y se haga así: práctica pues en varias operaciones es de esperarse que los redondeamientos por defec- to (cuando la cifua precedente no se alterd y por exceso (cuando la cifra precedente se aumenta en una unidad). b) Ia cifra que precede al 5 es impar:enion ces se aumenta en una unidad. Lá regla. el producto también lo será. representa Ia dis- tancia 915 a 10'5 2. 7 .. () () es ) El cero es cifra significativa si está indicando er lugar que ocupa otro número. es Ia inexactitud de los instrumentos de medición . Por ejemplo en el número 0' 005 los cáros'son sig_ nificativos 10.. B. 40-L6= 24 B (5 . El número 10. si varios entonces sumandos no son significativos hasta el total será significativo hasta que tiene menos cifras significativas el er mismo orden.. En la operación 5 x 6 + 24t 2 el resultado correcto es Según la propiedad conmutativa de la multiplicación. orden del sumando f:l .64 es igual a -B ) El número 7t 35 aproxinado hasta el orden de las décimas igual a 7t 4 9.F-- 39 EJERCICIO 5 Escriba en el paréntesis la letra C o I según sea correcto o incorrectoloquese afirma a continuación: 1. 6. La propiedad distributiva de Ia murtipricación dice queerordende colocacióndeIosfactoresnoa|teraeIproducto 3. 4. que expresa una cierta medida.2) = () El número 2t 0075 tiene cinco cifras significativas La raiz cuadradada de . 27 . 5. una de las razones por las cuares ros números estadísticos son aproximados. 53: Cocientedel recorrido entre el número de intervolosl 6. 6. 6.41: Dist¡ibución de frecuen cios de volores sin ogrupor.# ln+e¡volos y morcos de closes. 6.54: Amplitud de los inte¡volos.Recorrido de lo distribución. 6. 6. 6.4: dist¡ibución de frecuencios.2: Recuento de cosos.1. 6. d .7: Di stribuciones ocumulo tivos.6: Límites reoles de los intervolos.6. 6.42: Distribución de frecuencios de volores ogrupodos. Los doios.6. 6.51: Número y omplitud de tos inlervolos.procedencio y ordenoción.52:.6.6l: lnte¡volos de omplitud constonfe y vorioble. Eiercicios.TEMA Vt/ 6.3: Frecuencios obsolutos y relotivos. 37.57. 39. 37. etc. /// = tres veces. 36. 90. 95. t75? = c¡nco veces. así: Por puntos. gl . 39. 32. en 1958.55. 79. 68. se puede hacer de distintas maneras. 85. no hay orden en su presentación. las recomendadas por más cómodas son las siguientes: a) Por tarjado. 91. 32. que es parte de la tabulación. 37.4t 6. Consiste en asignar una rayita vertical o inclinada cada vez que aparece un valor. La ordenación de los datos es imprescindible para el recuento de casos y cál- culos posteriores. 94. b) por cada vez que aparece un valor. . las publicaciones de otra institución. 28. 24.1: LOS DATOS. 62. ?rr1 / = seis vecesi ?rtq // =s¡ete veces . gg. Ia prueba de rendimiento escolar en Ciencias Naturales lCurso Prevocacional. !2. 46. Los datos que presentamos a continuación corresponden a las puntuaciones alcanzadas por un grupo de 329 alumnos a los que les fue aplicada por la Sección de Evaluación Escolar. 52. 77. 92. 40. ordenados ascendentemente quedan en la forma siguiente: L6. El recuento de casos consiste en anotar cuántas veces aparece repetido cada valor. 75. 36. 32. 35. Este recuento. la Dirección General de Estadística. 33. Los datos anteriores. Lo primero que ustedes observarán es que las puntuaciones anteriores están desordenadas/ o sea. 56. '7L. 3l . gL. 35. Consiste en asignarun punto rJ . 30.39. 32. 36. 86. gl. Cinco casos se denotaconcuatro rayitas y una horizontall. 28.85. 48. 81. 36. 3L. 42. 39. 3I . 35. 59.49. PROCEDENCIA Y ORDENACION. 3l . 52. 33.2: RECUENTO DE CASOS. 16. ////- diez veces. o descendentemente (de mayor a menor). 89. 67. 95. 7L. por ejemplo el Departamento de Estadística Escolar del Ministerio de Educación Pública. 90. 58. 47. //// = cuatro veces. Los datos se obtienen generalmente de observaciones empír¡cas (experiencias) otras veces existe una fuente que ya ha recogido las informac¡ones. Es necesario ordenar los datos ya sea ascendentemente (de menor a mayor). Calificadas las pruebas seobtuvieron Iosresultados siguientes: 84. 23. 32. 6. 90. 97. gg. 88. 36. 22. 24. 34. asi /= unavezi // = dos veces. 25. etc. 30. 44. en otracolumna. haremos el recuento de casos y. En el ejemplo de las puntuaciones en laprueba de Ciencias Naturales. A la derecha de los vatores (puntuaciones en este caso).42 una vez dos veces tres veces :: = ': = cuatro veces cinco veces etc. Tal como hemos considerado la frecuencia. la suma de los casos. ya ordenados. 6. número de veces que se repite un valor de la variable. en o vemos q las Puntuaciones en Ia e 5 tiene es stl ftecuencia luego.-t1/ 55 *tq 15 Etcétera. esta se denomina frecuencia absoluta. seguidamente. En la notación estadÍstica se rl . o s 15 al la frecuencia del valor i6 ese punteo. Se llama frecuencia de un valor al número de veces que apareceen laexperi(tmero de veces que ha AsÍ. Los datos.3: FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS.ennuestroejemplo lava_riable es el rendimiento escolar en Ciencias Naturales. tendremos: Recuento Valores Suma t6 I 22 1 37 . los escribiremos en columna. de las maneras siguientes: a) DisLribuciones ordinarias de frecuencias de valores sin agrupari b) Distribuciones ordinariasdefrecuenciasdevalores agrupados. y e I denominador es N/ resultando Ia suma N/I\l = 1. se Ie llama frecuencia relativa oraz6n frecuencial y se denota por fr(efe minúscula prima). ladelvaIor 55 es 15/329. EI mismo nombre seempleacuando Iasrepeticiones o frecuencias absolutas se sustituyen por las frecuencias relativas (o simplemente frecuencias) obtenidas dividiendo aquellas por el número total de observacionestt (24). en general. la frecuencia relativa del valor 16 es l/329. La distribución de frecuencias es. Las distribuciones de frecuencias se pueden hacer. rJ . La suma de las frecuencias relativas de todos los valores de una variable es igual a Ia unidad. en nuesLro ejenrplo. que es el más elemental. Si los datos se presentan en dos columnas (o filas) conteniendo una de ellas los valores de Ia variable y la otra el número de observaciones -frecuencia absoluta o repeticiónque corresponden a cada valor o grupo de valores de aquella. 6.43 suele deslgnar Ia frecuencia absoluta por rrf. una tabla estadística en la que los valores se presentan siguiendo un orden lógico. Así. y c) Distribuciones acumulativas. la del valor 37 es5/329. Cuando la frecuencia absoluta "f" de un valor se divide entre el total N decasos/ a este cociente. Cuando los datos no constituyen distribución de frecuencias se lesdenomina serie simple. este orden es. que es Ia inicial de frecuencia. En los libros de Estadística Matemática suele denominarse simplemente frecuencia a Ia frecuencia relativa. sin embargo. siempre que exista un lógico criterio de ordenación. En es[os apuntes. según el número de datos y las necesidades. Vemos pues. pues. que el recuento de casos nos sirve para obtener las frecuencias absolutas y relativas de los valores de la variable. indicado o efectuado. presentar la tabla con 2 columnas: una para fos valores de la variable y otra para lasfrecuencias de esos valores. puede recibir elnombre genérico de tabla estadística. pues Ios numeradores son las frecuencias absolutas cuya suma es igual a N. se tiene una tabla denominada de distribución de frecuencias. N = 329. EIto- tal de casos es la sunta de las lrecuencias y se suele designarlo por N (ene mayúscuIa). De tal manera que en el ejemplo dado. "Cualquier manera de presentar los datos estadísticos.4: DISTRIBUCI0N DE FRECUENCIAS. Además de esLos casosestálaordenación de datos en serie simple. ya que por losalcances Iimitados que tiene no trabajaremos con frecuencias relativas sino absolutas. etc. Ilamaremos frecuencia a Ia frecuencia absoluta. 41: Distribución ordinaria de Cuando en Ltna variable aparecen 15 o nrenos valores diferentes. La tabla siguiente con[¡ene Ia dislribución de frecuencias del porcentaje de errores cometido en un dictado en 50 niños de9años de edad. TABLA I FRECL]ENCiA DEL TANTO POR CIENTO DE ERRORES DE DICTADO EN 50 NIÑoS DE NUEVE AÑOS xi . se pueden presentar Ios datos en una distribución ordinaria de frecuencias de valoressin agrupar' Para hacerla hemos de formar una labla con dos columnas: una que conLienelos valores de la variable y oLra que conLiene las Frecuencias absolutas o repeliciones de dichos valores. Generalmente se escribe arriba de la tabla la relación de losdatos que contieney en la parte inferior sealude a la fuente o se aclarasi los datos son no empíricos.44 6. 3 2 5 1 6 1 7 3 8 4 9 4 10 11 2 t2 5 13 5 74 8 15 4 16 3 18 1 19 ¡..f. Pág .. como se dijo. por'rfrr. Ga1f.1 1 N -ñFUENTE: "La medida ob.jetiva de1 trabajo escolar' por A. La columna de valores de Ia variable se designa por Xi (equis mayúscula subD y la columna cie frecuencias. Amplitud del intervalo es el número de valores o unidades de medida que contiene. Por ejemplo. 6. Si el número de valores que toma la variable es muy grande. que es lo. para formar una distribución de lrecuencias de valores agrupados. tal como a los valores de la variable. Obteniendo Ia diferencia que hay entre dichos valores. a las marcas de clase se les designa por Xi. seguir Ios ) J:I . Por ejemplo.20 es un intervalo donde el límite inferior es I6 y el superior 20. vemos que hay B3 valores distintos entre la puntuación menor y la mayor. no hay reglas fijas para la determinación del número y amplitud de los intervalos. siempreque se trate de valores distintos. Aunque no hay reglas determinadas para hacer los intervalos o grupos de valo- res. esacon- sejable. Por ejemplo. Cuando sucede que en la variable hay 15 o más valores distintos se debe hacer la agrupación de ellos. Cada grupo de valores de la variable recibe el nombre de intervalo.45 6.99'16.5I: Aunque. La agrupación se hace según los pasos siguientes: 6. El valor central de un intervalo. y lampoco que contenga menos de 10 intervalos porqueentonces la distribuciónseresume demasiado. 16 . aunque Lambién se le Ilama variación máxima. Los intervalos pueden ser de amplitud variable o constante. recibeel nombre de marca de clase o puntomedio. obtenidodedividirentredos la suma de ambos límites.quese persigue. varÍan desde 16 puntos hasta 99 puntos. los autores recomiendan que la distribución no contenga más de veinte intervalos porque entonces Ia agrupaciónpierde su carácler de resumen. Si una distribución defrecuencias estáagrupada en intervalos.42: Distribución ordinaria de frecuencias de valores agrupados. la marca de clase o punto medio del intervalo L6-20 es Xi = 18. o por Xm (equis mayúscula sub-eme) cuando se ledaelnombredepunto medio. entenderemos que el intervalo 16 . comprende todos Ios casos de valores que están entre 16 y 20.20 . que es el valor que queda en el cenLro del intervalo.conviene hacer una agrupación de dichos valores. Esta diferencia recibe el nombre de recorrido o amplitud de Ia distribución. como ya se dijo. incluyendo ambos límites. o sea la semisuma de sus lírnites. lascalificaciones alcanzadas por los alumnos en Ia prueba de Ciencias Naturales ya citada.5: INTERVALOS Y MARCAS DE CLASE. Un intervalo cualquiera viene dado por dos números que forman sus límites. Después del primer intervalo haremosel segundo. El cociente5'6es Ia amplitud de los intervafos de la distribución. 6. la prueba de Ciencias Naturales. y c) el cociente de la división anterior será la amplitud de los intervalos. forzosamente.éste tendrá como límite infe20. o sea:16. el primer intervalotendrá como límite inferior el número 16 ycomo superior el núme- ro 20. más una urnidad.éste.20. los valores de la va99. Dividiremos entonces la amplitud o recorrido entre el número de inLervalos y será 84/15 ='5r6. Luego. con Io cual tenemos cinco unidades.. de la distribución. Nuestros intervalos. aplicando la fórmula (1). por tanto. De acuerdo a lo anterior. En la distribución dicha deseamos t'rabajar con 15 intervalos. esto es: L6 . F¡jamos como lÍmi[e inferior del primer intervalo el valor 16 y Ie agregamos 5 unidadesde amplitud. será a partir de la puntuación o valor más bajo que sehaobservado. de Ia variable. Ya tenemos el dato sobre el número de intervalos y la amplilud de losmismos. Para ordenar los intervalos comenzaremos por el primer intervalo de la distribución. de la distribución. 19 y 20. L7.46 pasos siguientes:a) determinar el recorridooamplitud a" lu A¡rtr¡Urción.52: notaremos por (A) y se definecomo la diferenciaentre el valor mayor menos el valor menor.= 83*1= 84 En nuestro ejemplo de riable van desde 16 hasta 6. o sea 2L.53: Cociente del recorrido entre el número de intervalos. b)dividir el recorrido entre el número de intervalos que se desee. pues.54: Amplitud de Ios intervalos. Tomaremos la segunda. será: A= (99 -16)+l. El paso siguientepara obtener la distribuciónde frecuenciasdevalores agrupados es ordenar los grupos y fijar los Iímites de los intervalos. procederemos así: El recorrido o amPlitud lo de6. para dis[ribuir por intervalos la caliticación de la prueba de Ciencias Naturales. 18. tendrán amplitud igual a cinco unidades. . Se expresa mediante la fórmula: A=(Xs-Xi)+1 (1) en la que: A- amplitud Xs = valor X¡ = o recorr¡do máximo o mayor valor mínimo o menor de la distribución. Agregando siempre 5 unidades al valor2l rior el número siguiente al rJ .Ya sabemosque estevalor es f6. Podemos tomar ampli[ud 6 por excesoo amplitud 5 por defecto. Ahora solo nos resta presentar fos datos agrupados en forma de distribución de frecuencias. Por otra parte. es decir. Luego. si en lugar de 5 hubiésemos tomado 6 de amplitud nos habrían salido menos de 15 intervalos. los límites del mismo.30. 4L . Ios límites De esta manera se sigue para los demás intervalos que son. esto es.31 .24. Este recuento aparece a continuación: INTERVALOS RECUENTO DE FRECUENCIAS SUMA t6-20 2r-25 26-30 3t-35 36-40 4t-45 46-50 51-55 56-60 6L-65 66-70 7t-75 76-80 81-85 86-90 9t-95 96-100. como yahemos apuntado.23. Nos han salido 17 intervalos en vez de 15. hemos de hacer el recuento de los casos comprendidos entre los valores de cada intervalo. incluyendo. no importa. 26 y 25. Se debe a que en vez de 5'6 que era la amplitud hallada hemos tomado 5. etc. Para esto formaremos tres columnas: 1) la que contiene losintervalos.45. Esta distribución la vemos en la tabla siguiente: t:l .40. que no haya menos de 10 intervalos ni más de 20. inferior y superior del segundo intervalo son 2l .25. En el último intervalo quedará compren- dida la máxima puntuaoión alcanzada en la prueba. 22. Para ver cuántos casos (frecuencias absolutas o repeticiones) corresponden a cada intervalo.47 tendremos el segundo intervalo. 36 . 2) la que contiene las marcas de clase. y 3) laquecontiene las frecuencias. 2L. estamos dentro de los límites recornendados. consecutivamente: .35. Io cual es evidente con solo pensar que las frecuencias indican casos o número de observaciones enteras. Iosnúmeros. y por otra continuas. 6.100 93 98 2 329 FUENTE: Secclón de Evaluaclón Escolar. También sabemos que muchas de las medidas psicopedagógicasson. por una parte. aproximadas. En la práctica se suele trabajar con cantidades discretas. INTERVALOS MARCAS DE CLASE FRECUENCIA xi f 16-20 18 26-30 28 1 5 4 AJ 36-40 4t-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-?0 7l . y que en una variable continua. este número representa a todos aquellosque están más cercade su última un¡dad quecualquiera otra.1 68 20 ¡ó 16 83 2l 88 1 . están afectados de ese carácter de aproximación o carácter estadístico.Consejo Técnlco de EducacÍón cional.l . por razón de que la medida en Por esta razón se ha convenido que si un número expresa medida.48 TABLA II DISTRIBUCION DE LAS PUNTUACIONES ALCANZADAS POR 329 ALUMNOS DE PRIMER EN UNA PRUEBA DE CIENCIAS NATUMLES (Intervalos de amplitud comtaDte) GMDO PREVOCACIONAL. son números de valor absoluto. un valor cualquiera no representa nunca un punto aislado sino una cierta distancia.'15 76-80 81-85 86-90 91-95 96 38 20 43 48 39 51 58 4l 63 2'. en tanto significan medida. Ya sabemos que los números estadísticos no son absolutamente exactos. aún siendo conti- r.6: LIMITES REALES DE LOS INTERVALOS. pues síes aproximada. Se exceptúa de esta condición a las frecuencias porque los números que indican tales. y Io propio sucede con las frecuencias de los valoreS 15. debe considerárselos como aproximados y continuos. ya hemos visto que el Iímite superior de un intervalo coincide con el lÍmite Inferior del si- guiente. 35.5 5-15 15-35 35-85 85-95 Como ocurre que entoncesno sepamos concretamente si los casos o frecuencias correspondientes al valor 5 están contenidas en el intervalo 0-5oen el intervalo 5-15. Un caso de esta intervalación en grupos continuos. Por ejemplo. etc. Con esto se persigue mayor precisión en los resultados y respetar lacontinuidad de los valores. que eSoS números son aproximadosy continuos/ y por lo mismo. fos límites reales 14'5 a l-5'5¡ el número 16 los lÍmites 15'5 a 16'5.20t5. el siguiente: INTERVALoS 1 III 0. EI siguiente intervaloque es el 2l-25.20'5. esta manera de determinar los límites es Io que sé llama "límites realesrrde IoS valores continuos. el intervalo 16 . el límite real superior de un intervalo coincidirá con el límite real inferior del intervalo siguiente. por tanto. 3015 .5 . y. se ha convenido que.20. como medida. De esta forma. considerando los límites reales. Luego.30'5.40'5. 85. serÍa 15'5 . 35t5 . 25'. el Iímite superior deéste coincide con el límite inferior del que le sigue. sehagaunallamada indicando de que manera están tomadas las frecuencias de los valores límites. Por eso. Cuando se adopta Ia forma continua para los Iímites de los intervalos. el primer intervalo definido por los Iímites 16 .. Aunque estos Iímites no se escriben precisamente con sus límites reales. habrá de considerárseles como tales..35t5. no debe olvidarse que esos números significan medidas de un fenómeno: rendimiento escolar. tiene como Iímites reales 20'5 a25t5¡el otro. para loS cálculos.30 tiene de límites 25'5'30'5 .49 nuas/ pero para Ios cálculos debemos tener en mente el carácter aproximado de los números y sucontinuidadsi se refierena mediciones. . expresado en su 'rvalor extensiónrr. En la distribución de la Tabla ll podemos notar esta continuidad pues. se sobreentiende. al presentarse tablas en dicha Forma. el número20los Iímites 19'5 a20t5. que es 26 .f . y asísucesivamente.20t5 - 2515. el número 15 tiene. etc. etc. es por ejemplo.20tiene como límites reales 1515 . Así. en la distribución agrupada de Iatabla ll. Ia intervalación queda: 15'5'.2O'5. aunque los intervalos se han hechosobre la base de números discretos (comodidad para cálculos). Generalmentesehaceexcluyendo las frecuencias de los valores que sirven de límite superior de un intervalo e ¡. ejemplo la amplitud es de En nuestro 5 unidades. se deberán sobreentender los límites reales. En todo caso. no tienen entre sus Iímites el mismo número de unidades o valores. se han hecho intervalos de amplitud constanteprimero (tabla Ill) y de amplitud variable después (tabla lV). siempre se haceunallamada sobre este aspecto. se deberá sobreentender que las frecuencias de losvaloresquesirven de límite superiora los intervalos estánexcluidas y Que. pero esto no es de rigor. Los intervalos de la dis6. Así.61: tribución de la tabla ll son de amplitud constante. como enel ejemplo precedente. una distribución de frecuencias de valores agrupados tiene amplitud constante. como ejemplos de lo dicho. tratándose de los mismos valores y frecuencias. como en la tabla ll. pues. Es decir. a su vezl se hallan inclui- das en el intervalo siguiente. tanto el número de intervalos como la amplitud de los mismos depende de las características del estudioque se quiera hacer.l . dos distribuciones en las que.50 incluyéndolas en el siguiente. hay ocasiones en las que conviene la amplitud variable y no la constante. EI hecho de trabajar con intervalos de amplitud constante es sumamente út¡l en la práctica. En resumen: si los intervalos están en números discretos. o sea que los intervalos/ aunque sea sólo uno el que difiere.cuandoentodoslosintervaloshayelmismonúmerodeunidades. y si están en forma continua. en todos y cada uno la amplitud es la misma. Veamos. Una distribución de valores agrupados también sepuede hacer utilizando intervalos de amplitud variable. . En realidad. r" 51 TABLA III DISTRIzuCION DE tAS FABRICAS DEDICADAS EN SANTANDER A LA INDUSTRIALIZACION DE PRODUCTOS PESQUEROS. (Intervalos de amplitud variable). TABLA cuyo valor sea igual aI lflnite IV DISTRIzuCION DE I¿. 0306090 120' - NUMERO MARCAS DE 30 60 90 120 150 DE FABRICAS CLASE xi f 15 72 45 8 75 4 105 3 135 3 N= 90 FUENTE: Vademecum de Estadftica.ICAS DEDICADAS EN SANTANDER A LA INDUSTRIALIZACION DE PRODUCTOS PESQUEROS. SEGUN EL NUMERO MEDIO DE PERSONAS OCUPADAS EN 1952. (') En cada intewalo se excluyen las obse¡vaciones suPerro¡. SEGUN EL NUMERO MEDIO DE PERSONAS OCUPADAS EN 1952. (Intervalos de amplitud constante) PER§ONAS OCUPADAS lINtpnvALos. NUIvIERO PERSONAS OCUPADAS INTERVALOS MARCAS DE CLASE xi 0515306090 - DE FABRICAS f 5 z'. Instituto Nacional de EstadÉtica. Madrid 5?.S FABR.5 15 10'0 31 30 22'5 14 60 45'0 75'0 1 20'0 8 90 150 4 D N=6- 4 . 3 + * XÁ f4 F. ¡il la prue . 0-30 casi contiene todas las frecuencias. por lo cual se hace la llamada correspondiente sobre Iaforma como están tomadas las frecuencias de los valores que hacen de límites superiores. Portanto. observaciones o frecuencias se vansumandooacumulandoasí: la frecuencia acumulada del primer valor o del primer intervalo es su correspondiente frecuencia absoluta. ce/ en general. 6. en las que las repeticiones. b) que en Ia tabla lll el primer intervalo. f4 *FB f2 E '1 Fz En la tabla Vdamos la distribuciónacumulativa de nuestro ejemplo de ba de Ciencias Naturales (tabla ll).52 En Ia distribución de las tablas lll y lV podemos notar: a) que los intervalos están en forma continua. Llamando "F" (efe mayúscula) a la frecuencia acumulada. asíserá el tipo de intervalación queconvenga. etc. Ia frecuencia acumulada del segundo valor o intervalo es lasuma de su frecuencia absoluta más la frecuencia absoluta del primer valor o intervalo. la acumulada del cuarto valoro intervalo es Ia suma de su frecuencia absoluta más la acumulada deltercero. Ia frecuencia acumulada del tercervalor o intervalo es la suma de su frecúenciaabsoluta más la acumulada del segundo valor o intervalo. 7: DISTRIBUCI0NES ACUMULATIVAS. mientras que en la tabla lV las observaciones se hallan mejor repartidas. 1 f 1 x2 fz xg tñ r^J . Se da este nombre a las distribuciones de frecuencias/ ya sea que los valores estén sin agruparo agrupadosen intervalos de amplitudconstante ovariable.1 r. según las características del estudio. según el cuadro siguiente: VALORES xÍ x 1 FRECUENCIA ABSOLUTA su obtención se ha- FRECUENCIA ACUMULADA f . 30. 28.etc. 4 10 13 38 20 24 4 43 67 106 53 51 15? 58 4t 198 225 68 258 20 ?8 16 294 83 2L 315 88 .53 TABLA V DISTRIBUCION ACUMULATIVA DE LAS PUNTUACIONES ALCANZADAS POR 329 ALUMNOS DE PRIMER AÑO PRTVOCACIONAL EN UNA PRUEBA DE CIENCIAS NATURALES (Intewalos de amplitud constante) INTERVALOS r.óu 3L-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-10 7l-75 76-80 81-85 86-90 91-95 MARCAS DE FRECUENCIAS FRECUENCIAS CLASE ABSOLUTAS ACUMULADAS xi f. Es interesante tomar nota que Ia última frecuencia acumulada es ¡gual a N. 35.| 98 2 5 329 N=329 FUENTE: Tabla tr.060. La lectura de las frecuencias acumuladas se hace así:'rtantos casoshasta tal valorrr. '.total de casos o suma de las frecuencias absolutas.100 F.36.6 - 20 . Esto puede servir para comprobar si la acumulación ha sido bien hecha. Ejemplo: Vemos en Ia columna F que hay 198 casos hasta el valor60. 3l . que es el Iímite superior del intervalo 56-60.5.41 .25. Una última observación sobre los intervalos de amplitud constante/ nos hace ver que los Iímites inferiores deben guardar entre sí Ia misma distancia: L6. 18 1 1 6 ¿o 96 . 23. 2l . Lo propio ocurre con los límites superiores: 20. Estas circunstancias se manifiestan también en las marcas de clase o punto medio de los intervafos 1-8. 26. etc.i . 33. etc. En una prueba de Matemáticas/ la puntuación 55 se repite Bveces siendo el total de alumnos exam¡nados 204.19. 20. ) ft. La serie: 30.54 EJERCICIO ó a) Escriba en el paréntesis la letra C o I según sea correcto o incorrectoloque se afirma a continuación. está ordenada decrecien- () temente () 9. de las puntuaciones alcanzadas porungrupo de alumnos en una prueba de rendimiento escolar. el valor 55 tiene de frecuencia relativa B/204. Luego. L9. La relación por cociente 4. 2 de este ejercicio formaunadistribución de frecuencias () 6. 25. 16. La serie que aparece en el No. en Estudios Sociafes I Curso Prevocacional. ( ) está ordenada ascendente- mente () 3. 25.23. La serie: previamente . Los datos que se usan en EstadÍstica pueden proceder de una tuen- te que los haya recogido 2. muestradetamaño N = Con dichos datos efectúe las siguientes operaciones: i) Ordene los valores en sentido ascendente (menor a mayor). Al número de veces que aparece repetido un valor Xi cualquierade f/N se llama raz6n frecuencial sinónimos Ia variable se Ie denomina frecuencia absoluta B. corresponden a una 190. 20. 30. () b) Los datos (depurados) que se le dan a continuación. 1. . 16. Cuando los datos no están en forma de distribución de frecuencias se les denomina serie simple () 10. 23. Los términos "estadísticasrry rrEstadísticarrson ( 7. La suma de las frecuencias relativas de unadistribucióndefrecuencias es igual a la unidad () 5. 55 ii) Determine el recorrido de la variable. 4) DATOS 40 37 50 35 33 49 3t 46 36 43 38 39 29 40 37 43 45 36 32 39 42 "qz 46 39 37 40 45 35 46 38 28 33 29 4t 36 35 42 48 35 36 35 37 30 46 37 40 38 37 3t 38 33 42 40 37 45 39 33 4t 25 37 40 33 34 29 35 43 18 40 46 36 4t 37 48 30 34 27 37 28 36 47 32 4t 32 39 35 34 47 34 44 47 30 35 42 39 4t 32 40 49 39 32 4t 43 35 34 42 47 39 32 32 48 46 4t 35 36 43 42 4L 37 38 34 4t 35 38 34 35 27 27 38 40 38 49 28 35 42 34 40 37 27 33 42 25 50 30 43 39 35 47 38 35 32 36 3t 29 32 45 24 40 37 40 35 45 43 42 35 23 44 4t 38 36 3L 47 39 42 43 42 43 40 39 35 33 49 45 4L 29 42 33 36 33 39 36 nl . aplicando la fórmula No. absolutas acumuladas. en ordenación ascendente. y 5) Frecuencias 3) Frecuencias absolutas. iii) Agrupe los valores en intervalos de amplitud constante igual a tres (3)unidades. iv) Construya una tabla o cuadro estadÍstico de la distribución de la variable. conteniendo las columnas siguientes: 1) lntervalos. I. 2) Marcas de clase. haciendo el recuento de casosofrecuencias correspondiente. Frecuencias relativas. 7.10: Diogromo de sectores. Eiercicios.4: Pollgono de lrecuencios.2: Gróf ico de uno distribución de frecuencios.81 ¡ Diogromo ocumulotivo de volores ogrupodos en intervolo s.7.5: THisiogromo de Peorson' 7. it . Fundomentoción de lo dio' gromóti co lineol. lmportoncio. 7.9: Otros iipos de gróficos' 7. 7. 7.8: Diogromo ocumulolivo. 7.ól: Histogromo de uno distribución de volores ogrupodos en intervolos de omplitud vo¡ioble.21.12 Representoción 9ráf ico.3. 7.63 Histogromo de uno distribución ie frecuencios de volores ogrupodos en inter' volos de omplitud constonle' 7.7. Diogromo de borros.7: Suovizoción o pulimento de curvos: método oritmético' 7.TEMA VII 7. Los cuadrantes del plano se numeran o leen en sentido inverso al moviffiento de las agujas del reloj. 7 .2: Que permite hacerse idea. Para ello se estableceuna correspondencia entre los puntos. La representación gráfica de uno o más fenómenos es un valioso auxiliar en la interpretación. De esta cuenta habrá siempre un punto que indicará Ia frecuencia que corresponde a un cierto valor Xi de la variable. IMPORTANCIA. Todo punto situado en este plano puede ser medido en dos direcciones. etc. A la recta horizontal se le llama eje de abscisas o eje de las X y se indica por las letras X. a simple vista. Dos rectas perpendiculares entre sídividen el plano en cuatro partes. si cons¡deramos: a) b) c) d) 7. Y') las frecuencias de dichos valores. Convencionalmente se han asignado las direcciones positiva rJ . EI punto donde se cortan se denomina origen y se indica por la letra 0. Que en la mayoría de los casos es ¡mpresc ind ible su uso. Yr. geométricos y los datos empíricos: valores de la variable. Aunque hay muchas maneras de hacer gráficos representat¡vos. y en el eje de ordenadas (Y.1: REPRESENTACI0N GRAFICA. deldesarrollo del fenómeno. y se Indica por las letras Y. líneas. a Ia recta vertical se le llama eje de ordenadas o eje de las Y. Aprovechando las coordenadas deun punto. Utilizando estas coordenadas se representa una distribución de frecuencias en la forma siguiente: en el eje de abscisas (X.se representan las distribuciones de frecuencias fundamentalmente de tres maneras: a) Diagrama de barras. etc. GRAFICA DE UNA DISTRIBUCI0N DE FRECUENCIAS. X'. superficies. la que lo separa del origen sobre el eje de abscisas y la que Io separa del origen sobre el eje de ordenadas. Que completa la descripción del hecho y refuena los datos calculados matemáticamente.21:.57 7. Se llama representación gráfica a las diversas maneras de expresar Ios datos estadísticos utilizando los medios de representación que proporciona la Geometría. frecuencias. X') se toman los valores Xi de la variable. Las dos medidas reciben el nombre de coordenadas del punto dado. Elfundamento de Ia representación gráfica es el métodode Iascoordenadascartesianas ortoganales. los más usados en Estadística son los cartesianos. Que satisface las necesidades de divulgación y de información a las masas. y c) Histograma de Pearson. b) PolÍgono de frecuencias. y)escribiendo primero el valor de abscisas y luego el valor de ordenadas. . Las coordenadas delpunto se indican mediante las letras minúsculas (x. 1: Coordenadas cartesianas ortogonales.ysonnegativas cuando se toman por debajo. De manera semejante. o sea. (ll) Ias abscisas son negativas y las ordenadas positivas. -y). respectivamente. Ejemplo: en el plano cartesiano localizar los siguientes puntos.l. en el segundo cuadrante. estos puntos se localizan en los cuadrantes. -y). las abscisas y las ordenadas son positivas. o sea/ (-x. esto es/ (x. eneltercercuadrante(lll). y). y). -3 4. lasabscisas y las ordenadas son negativas. y son negativas si se toman a la izquierda. y en el cuarto cuadrante (lV) las abscisas son positivas y las ordenadas negativas/ es decir/ k. así: ll. -5 Según se sabe.4 -5. (-x. según el cuadrante donde se halle el punto dado. y lV ú Fig. De lo anterior resulta que las abscisas son positivas cuando se toman a la derecha del origeno del eje de ordenadas. cuyascoordenadas son: Punto Punto Punto Punto A= B_ CD_ 3. En el primer cuadrante (l). 3 -4.58 y negativa. lasordenadas son positivas cuando se toman arriba del origen o del ejedeabscisas. lll. DIAGRAMA DE BARRAS. pero conviene que así sea. 5. por ejemplo. en los que. 3. abscisas y ordenadas positivas. En el eje de abscisas se escriben los valores de Xi de lavariableyen el eje de ordenadas las frecuencias rrfrrde esos valores. como la que aparece en la tabla l. Así. Hay casos/ como veremos más adelante. se utiliza para representar una distribución de frecuencias de valores sin agrupar. no forzosamente deben ser los inismos que se usen para Ios cálculos matemáticos. La longitud del eje de ordenadas es deseable que sea de un por ciento de la longitud del eje de abscisas. considerando Ias medias arbitrarias dedos variablescomo ejes coordenados. La longitud del eje de abscisas es deseable que sea precisamente recorrido o amplitud de Ia distribución. 4. debido a que Ios fenómenos psicológicos y pedagógicos toman sólo valores positivos. y "Métodos Estadísticos aplicados a la Educación". Previamente a hacer una gráfica se deberá medir el papel de que se dis- pone/ para calcular el espacio que ocuparán las escalas correspondientes. lo mismo que las foecuencias. 2) o diagrama de ordenadas. en los siguientes textos: rrElementos de método estadístico"del ProfesorAndrés García Pérezi " Estadística Comercialrrdel Profesor Ernesto Pino Quintana. El diagrama de barras (Fig. agregamos las siguientes de orden práctico: 1. 7. de esta cuenta habrá un segmento para cada valor de la variable. se utiliza en la mayoría de los casos el primer cuadrante (l) del plano. Los valores de la escala de abscisas para la representación gráfica. No hay reglas estrictas en cuanto a la representación gráfica. las calificaciones asignadas a un grupo de alumnos son todas positivas.3: la del 60 a un 75 Preferentemente se debe usar papel milimetrado para la graficación.sene cesita utilizar Ios cuatro cuadrantes. que se corta a la alturade t'tt . pero síexisten algunas recomendacionesque puedenser consultadas. de los Profesores Matías López Ch. Fuera de la información contenida en esas recomendaciones. es decir. por ejemplo. y Pablo Ortega Mora- les. Sobre el eje de abscisas se levantan segmentos rectilíneos perpendiculares hasta laalturade las frecuencias. 2.59 En la prácticat para los gráficos estadísticos. Procedimiento: Esa distribución tiene un recorrido o amplitud total de A=17 valores. según vemos en la figura 2. 6. 8. 5. Entre cadados valores habrá una distancia de B mm. que serálaunidad de medida en eleje de ordenadas.{ TABI. en el eje de abscisas escribiremos los I7 valores de la variable: 3.9 = Bmm. Tomando aproximadamente el 60"k.y en el eje de ordenadas las frecuencias de esos valores: 1. J "iÍ 6 1 ¡ DTAGRAN'IA DE ! 10 11 12 13 14 1¡ BARMS. En una hoja de papel -como la presente. Como debemos representar lTvalores distintos.5 cms= 135 nn.disponemos de unos13. 4. DATOS DE L.. Como la mayor frecuencia de la distribución es B.60 la frecuencia de dicho valor. aproximadamente.. 2. Con los datos anteriores solo nos resta hacer la gráfica.A I ltl \1 lE .. t. X' seráde 17 xB=136mm. dividiremos l35t17 = 7.. el eje de ordenadas tendrá una longitud de 81 mm. ensayamos cualquiera de los porcientos comprendidos entre 60 y 75 para ver cuál es el que más conviene.. de manera que la longitud del eje X. Como es deseable que el eje de ordenadas mida de un 60 a un 75"/"delalongitud del eje de abscisas.. 3.1 o aproximadamente 10 mm. para la longitud del eje de abscisas. pues. Ejemplo: representar mediante un diagrama de barras los datos de ladistribu- ción de la tabla l. dividimos 81:8 = 10. así. o sea I cm. 19.. de longitud en ordenadas. de la longitud del eje de abscisas. Ejemplo: Representar mediante un polígonode frecuencias la distribuciónde la tabla ll . En la distribución de Ia tabla ll hay 17 intervalos. la longitud del eje de ordenadas será de l-36x75 =102 mm. bastará marcar en abscisas losvalores. El polígono de frecuencias (fig. para Ia escala de las Frecuencias. cada intervalo ocupará l36t17 = 8 mmi o. que 102 milímetros de longitud. En nuestro ejemplo de la tabla ll la mayor frecuencia a representar eÁ 51. entonces. que ensayar cualquiera de los porcientos comprendidos entre 60 y 75 para ver cuál es el que más conviene. las frecuencias se escribenmarcando un punto sobre el valor de abscisas.a la altura delafrecuencia correspondiente. Es aconsejable. con lo cual se obtiene una línea -generalmenle quebrada.5L = 2. o sea Ia del intervalo 51-55. segúnaparece en la figura 3 siguiente. lo que equivale a decir que en el ejede abscisas hemos de anotar 17 puntos medios o marcas de clase. Si la distribución no estáagrupada. Procedimiento: Lo primero que haremos será ver cuántos intervalos o marcas de clase tiene Ia distribución y decuánto papel se dispone. Si damos al eje de abscisas la longitud de 136nm. pues. Si tomamos el 75"/". y sobre cada una y a la altura de las frecuencias se marcará un punto. t-l .. bien. -por ejemplo Ia de Iatabla I -.que recibe el nombre de polígono de ftecuenc ias. Tenemos. Con los datos anteriores solo nos resta hacer el polígono de la distribución. De modo que para cada frecuenc¡a conviene asignar 2 nlm. obtendremos launidad de medida en dicho eje. es deseable que ten- ga una longitud que varíe entre 60 y 75/. que las marcas de clase estarán separadas por una distancia consecutiva de 8 mm. Uniendo después esos puntos se obtiene Ia representaci6n gráfica. Seguidamente se unen los puntos entre sí.61 L 7. esto es l-O2. Cuando la distribución está agrupada en intervalos. El eje de ordenadas. 3) se utiliza para representar variables de tipo continuo cuando los datos están formando distribución de frecuencias/ya sea de valoressin agrupar o de valoresagrupados en intervalos. el eje de ordenadas mida Es natural que la mayor frecuencia de la distribución ocupe toda la longitud del eje de ordenadas. que será igual a dos milímetros. Dividiendo la longitud del eje de ordenadas entre Ia máxima frecuencia.4: L L P0LlG0N0 DE FRECUENCIAS. se toman en abscisas sus marcas de clase o puntos medios. que se escribenen el eje de abscisas. como los de lastablas lll y lV y ll resPectivamente. La base (b) de los rectángufos fa constituyen los intervalos. rl . Para Ia construcción del histograma debemosconsiderardoscasos: a) la amplitud constante de los intervalos.5: 63 6E ?3 75 E3 8s 93 9E Pollgono de frecuencias. La representación varía según que los intervalos sean de amplitud constante o variable. y sobre cada una se levanta un rectángulo de altura (h) cuya áreaes igual (o proporcional) a la frecuencia o repetición de los valores contenidos en dicho in- cia. para variables de tervalo. Dalos de la tabla 103 II HISTOGRAMA DE PEARSON. 3: 7. Además.62 15 I(] 13 18 2B 28 38 0 3E 48 48 53 5tt Fig.ver cómo están tomados los Iímites: torma discreta o forma continua. y b) la amplitud variable de los intervalos. Esta gráfica se construye por medio de áreas (b x h) y se ut¡liza/ de preferentipo continuo cuando los valores están agrupados en intervalos. de longitud en ordenadas. 30 60 4: Histograma. o sea que para cada caso daremos 1 mm. según vemos en la f. amplitud constante. Si a cada intervaloasignamos figura 4. setoma dichaamplitudcomo base de los rectángulosen el eje de abscisas. la distribución de la tabla lll.6: HISTOGRAMA DE UNA DISTRIBUCI0N DE FRECUENCIAS DE VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS DE AMPLITUD CONSTANTE. ten dremos un eje dr20 x 5 = 100 mm = 10 cms. Procedimiento: Dicha distribución tiene cinco intervalos de tipo continuo y 20 nn. De esta cuenta la mayor frecuencia ocupará todo el eje y la gráfica guardará proporcionalidad. Datos 90 de 1a tabla 120 III. . Sila amplitud de los intervalos es constante. Si tomamos 72'h tendremos un eje de ordenadas de 72 nm. 0 Fig.y sobre cadauna se levanta un rectángulo de altura igual a la frecuencia de Ios valores contenidos en el intervalo Ejemplo: Repres'entar gráficamente. rj ¡rrt¡. Es deseable que el eje de ordenadas tenga de 60 a 75 por ciento de la longituddel eje de abscisas. mediante un histograma de Pearson.30). de longitud en abscisas. Como la mayor frecuencia a representar es 72 (la def intervalo 0 . la unidad en el eje de ordenadas será de 72J2 =1.63 7. Con los datos anteriores procederemos a hacer la gráfica. 64 7.61: Histograma de una distribución de frecuencias de valores agrupados en . Si en vez de calcular las alturas de los rectángulos como se ha hecho. Ia unidad del eje de ordenadas será de 108:5'40 = 20 mm. hubieramos utilizado Ias frecuencias directas omitiendo el hecho de la amplitud variable de los intervalos. Madrid 57. pero la allura de los rectángulos no se puede tomar directamente de las frecuencias sino que hay qué calcularla. Puede observarse laincorrecciónen la figura 6. Insti¡rto Nacional de Estadfstica. Reproduciendo esa tabla y escribiendo a la derecha el cálculo de la altura de Ios rectángulos. Ejemplo: representar mediante un histograma de frecuencias la distribución de Ia tabla lV (pág. Cuando la histograma se construye tomando en abscisas la base según la amplitud de los intervaIos.40 31:10= 14:15= 8:30-4:30= 6:60= 3'10 0'93 0'21 0'13 0'10 FUENTE: Vademecum de Estadfstlca. Esta altura se obtiene dividiendo la frecuenciaabsoluta de cada intervalo entre la amplitud del mismo.15 15-30 30-60 60-90 90 .150 OPERACIONES . la altura de Ios rectángulos será el cociente fl . con Io cual las áreas de Iosrectángullos son proporcionales a las repeticiones o frecuencias. Tomando en el eje de abscisas 150 mm.IPLITUD DE 31 5 l4 10 8 15 4 30 6 30 90 60 ALTURA DE LOS RECTANGULOS 5'. Procedimiento: La distribución tiene 6 intervalos y un recorrido de 150 valores. tendremos: TABLA IV INTERVALOS 0-5 5 . El histograma puede verseen lafigura 5. cada rectángulo lendrá como base tantos milímetros como su amplitud. Si llamamos rrfrr a las frecuencias absolutas e rrirr a la amplitud del intervalo..i N= LOS INTERVALOS A\. Si para el eje de ordenadas tomamos un 72'/" de la longitud del eje de abscisas/ tendremos una Iongitud de 108 mm. el histograma resultaría incorrecto. ¡'. que es el histograma de Ia tabla lV pero sin calcular la altura de los rectángu los . Como la mayor altura a representar es de 5r40/ que corresponde a Ia frecuencia del intervalo 0-5. 51).i . 65 15 30 Frs. . 60 90 Histograma (co¡recto). Datos de Ia tabla IV 30 15 10 5 0 0 15 30 90 60 FÍqu¡a 6: Hlstograma (incorrecto) . Datos de 150 la tabla IV. 5. 25.entonces. ya que entre los límites superior de un intervalo e inferior del que le sigue. Ejemplo: Representar mediante un histograma la distribución de frecuencias de la tabla ll. o sea:16 .20.26 .66 Cuando los intervalos de la distribución nua. queda una unidad que rompe la continuidad del eje de abscisas. por ejemplo nuestra distribución de latabla no tienen sus límites en forma ll.. Como la amplitud es constante.30 . Datos de la tabla IL .el conti- histogramase construye tomando fos límiLes realesde los intervalos.25 y 26. los límites reales para lograr esa continuidad. la base de los rectángulos es uniformey las alturas se toman directamente de las frecuencias. Esta gráfica la vemos en Ia figura siguiente: f 50 15 J1. simplemente repetiremos estas escalas/ con Ia diferencia que en vez de los puntos medios de los intervalos tomaremos en abscisas los lÍmites reales de ellos.'5 20'5 25'5 30'5 35'5 40'5 45'5 50'5 55'5 60'5 65'5 ?0'5 '75'5 80'5 85'5 90'5 95'ó 100'5 Fig. por ejemplo 20 y 21 . Como ya tenemos calculada la longitud de ambos ejes -abscisas y ordenadas-. 15.'7: Histograma.etc.. Adoptamos.21 . pues no podríamos hacer la gráfica según los límites dados. y a efecto de eliminar un poco las irregularidades o picos de la curva. Estoocurregeneralmente en todas las distribuciones empÍricas. Hay dos métodos para suavizar una curva de frecuencias: a) el métodoariLmético.62). nos indican que la variable no sigue un ritmo regular ni matemático en la toma de valores y frecuencias. De modo que para suavizar Lrnacurva tenemos qué suavizar las frecuencias. como ocurre con Ia de la tabla ll. y b) el método gráfico. Si no se desea hacer cálculos conviene la suavización gráfica. Estos valores o intervalos que se añaden tendrán ce- ¡:l) . Cuando se sabe que Ia distribución es aproximadamentenormal. Es fácil ver que sobre un histograma también se puede hacer el polígono con sólo unir los puntos medios de cada intervalo a la altura de las frecuencias. Esto se logra así: al doble de la frecuencia que se va a suavizar se le suman las frecuencias inmediatamente anterior y posterior. se aconseja suavizarla o pulirla. doble de Ia frecuencia a suav¡zar.7: SUAVIZACI0N 0 PULIMENTO DE CURVAS. S f¡2f. pero s¡ se desea o prefiere el método aritmético. se aplicará la fórmula: fS fi-t+2f¡+fi+1 (2) 4 en Ia que: f frecuencia suavizada. El polígono de frecuencias también se Ilama "curva" de frecuencias. I f_t r frecuencia absoluta inmediata anterior a la que va a ser suavizada. pues esos picos o saltosque se notan. Si se observa la figura 3 @ág. METODO ARITMETICO. Cualquiera de ambos que utilicemos nos llevará al mismo resultado. esta suma se divide entre cuatro. frecuencia absoluta inmediata posterior a la que va a ser suavizada. La suma de las frecuencias suavizadas es siempre igual a la suma de lasfrecuencias absolutas o empírioas.67 7. pero deberemos agregar dos valores Xi o intervalos a la distribución: uno antes del intervalo inferior o sea el pr¡mero/ y otro despuésdelintervalo super¡or o sea el último. podrá notarse que hay ciertos "picos'l que se deben a las variaciones que sufre el fenómeno en su desarrollo. Se trata simplemente de una ciertaaproximación artificiosa que se hace para que la curva quede más clara y se ayude a Ia interpretación. incluso. a la que contiene la curva suavizada. Primero suavizaremos la frecuencia del intervalo l1 . a estos valores o intervalos agregados les corresponderá una cierta frecuencia suavizada. b) agregaremos dos intervalos. aplicando la fórmula 2. el 1l . 0btenidas las frecuencias suavizadas se procede a hacer Ia gráfica. se obtiene así: L'75 4 La frecuencia suavizada del intervalo siguiente f. como en la figura B. aunque empíricamente sus frecuencias sean cero porque Ia variable no tomó esos valores. Ejemplo: Suavizar Ia curva de frecuencia de la distribución de la tabla ll. quees el96-100. ningunade Ias frecuencias suavizadas es verdadera. por ser uno de los que hemos agregado. que.15. Procedimiento: a) Utilizaremos el método aritmético. debemos dejar señaladoen Ia gráfica cuáles son esas frecuenciasque han sido suaviza- das.1 . De esta cuenta. Lo propio ocurre s¡ se usa el método gráfico.20 según ya sabemos. Aplicando la fírmula 2. tiene de frecuencia absoluta cero. 1+ 2x5+4 15 (2L - = zil.15 o sea el que va antes del intervalo inferiorde ladistribución. Esto se puedehacerdejando marcadasen la gráficalasfrecuencias absolutas o mediante una línea distinta. 3'75 se obtiene así: ¡. esto es.68 ro de frecuencias pero deben ser suavizadas como las demás. que es el 16 .y elintervalol0l-105.la frecuencia suavizada de dicho intervalo será: 0+ 2 x 0+ 1 = 0'25 La fuecuencia suavizada del intervalo s¡gu¡ente (Lb 0+2 x 1* 5 =7_ - 20). o sea el queva despuésdelintervalo superior de la distribución. Como al suavizar una curva se alLeran Ias frecuencias empíricas o absolutas. al doble de la frecuencia a suavizar hemos agregado las frecuenc¡as absolutas inmediatamente anterior y posterior.OS 11 16 2T 3I 36 4L 46 51 56 61 bb 7L _15 -20 0 18 _30 28 _40 -45 -50 38 48 _60 -65 -70 -75 -80 -90 91 96 101 - 1'?5 4 6'50 13 12'50 19'25 20 43 81 86 I 5 26'75 39 38'25 51 58 4l 45'50 40'00 63 27 32'00 68 33 28'.69 y asÍsucesivamente. Esta curva.distan del punto central. puede observarse que una de sus características es la simetrÍa. en general. el nombre de curva normal. En estos tres ejemplos no hemos hecho otra cosa que aplicar la fírmula 2. en Ia que lalínea punteada es el polígono de frecuenciasempíricas. Ia curva tiene la formade la figura 9 y recibe. Aunque estudiaremos en tema aparte esta interesante distribución. aunque también otros como curva normal de probabilidades. curva o campanade Gausse. dividiendo rrru entre cuatro.la tabla anterior podemos verla en Ia figura B. mientraique el histográmay poIÍgono de frecuencias suavizadas están en la iÍnea unida. Cuando la distribución es perfectamente normal. etc.2s 78 16 83 2l 18'25 16'25 88 1 10'00 2'25 0'50 93 r00 98 2 105 103 0 329'00 FUENTE: Tabla IL La gráfica de. no es empírica. o sea. TABLA YI xi INTERVAT. curva de errores. La "ri tabla siguiente contiene la distribución dada y en la cuarta columna aparecen Ias frecuencias suavizadas. sin embargo. todos losvalores y frecuenciasequi. Responde a una ecua- r"f .25 20 22'. Polfgorc e histograma II' d Figura 9: Curva rcrEiaI (teórica) o campana de Gauss.550.5 ?O.5 45. . 45 Polfgono e Histograma N de ftocuen- cras suavr zadas.580.5 (suavizados). En la práctica/ pues.. Datos de ]a tabia ElgtU¿.525.555.--q. De ahíque sirva de comparación para las experimentaciones y que proporcione un modelo matemático de curva. cas¡ no se obtiene una curva normal perfectao ideal.560.5105.5100.5 30.5 95. Polfgorn de frec ue ncí as 50 empfricas.70 ción matemática y por ella se conoce la aproximación de las curvas empíricas a Iarrnormalidad"teórica.540.s?5.565.5 20.515.585'590.535. 30 20 10. y que en conjunto forman un escalonado como el de Ia figura 10. 7. a la altura de la frecuencia acumulada.704 7.t 195 1 § t952 49 195 3 48 41 95 195 4 48 144 L92 240 195 5 49 9ao 1956 49 338 195 7 50 388 44t 1958 494 195 9 4r4 FUENTE: Info¡me de 1as labo¡es realizadas por la Seccidn de Estadfstica Escolar durante el año 1959.8: DIAGRAMA ACUMULATIVO.81: Diagrama acumulativo de valores sin agrupar. DE 1950 ANOS FRECUENCIA ABSOLUTA A 1959 FRECUENCIA ACTIMULADA xi 195 0 4'. Siguiendo siempre las recomendaciones para lograr la proporcionalidad del gráfico. lativa. Guatemala. Ejemplo: representar mediante un diagrama acumulativo la distribución de la ta- bla Vll. Se toman losvalores de la variable en el eje de abscisas y las repeticiones o frecuencias acumuladas en el eje de ordenadas. ¡J . Ministerio de Educación Pública. EI diagrama acumulativo es la representación gráfica de Ia distribución acumuSe construye atendiendo a: 1) si Ia distribución de frecuencias es de valoressin agrupari y 2) si la distribución es de valores agrupados en intervalos de ampliLud constante o variable. TABLA VII ESCUELAS OFICIATES DE PARVULOS QIJE HAN FUNCIONADO EN LA REPUBLICA DE GUATEMALA. Estas frecuencias permanecen invariablesentre cada dosvalores consecutivos porque la variable notoma más valores que los que aparecenen la distribución. entre cada dos valores consecutivos se traza un segmento horizontal. para construir la gráfica percentil. en la que las frecuencias acumuladas se expresan en forma de porcientos. L0. Ejemplo: Representar mediante un diagrama acumulativo la distribución de Ia 53). El diagrama acumulativo es útil. por medio de segmentos rectilíneos. Datos de 1a Tabla VII. DÍagrama acumulativo. Esta gráfica recibe el nombre de diagrama o polígono acumulativo. La frecuencia acumulada varía porque la variable toma valores entre cada dos lÍmites consecutivos.7t 400 250 150 100 Fig. La gráfica se construye Ilevando en abscisas los intervalos. especialmente. t# . de los cuales se toman los límites reales superiores y no Ias marcasde clase o puntomedio de los intervalos. tabla V (pag.82: La amplitud de los intervalos afecta la gráfica acumulada. Esta gráfica la vemos en la figura 11. 7 . Las frecuencias acumuladas se llevan en el eje de ordenadas y se unen/ para cada dos Iímites consecut¡vos. AsÍ están. fl Cartogramas omapas geográficos.9: Otros tipos de gráticos. h) Estereogramas o diagramas de tres dimensiones. que se utiliza cuando las series a representar forman parte de un total. e) Pictogramas. es útil para divulgaciones e información a las masas. Etc.5 6o'5 65'5 ?0'.5 95'5 100'5 la Tabla V' 7. por ejemplo. 11. que se construye sobre una circunferencia con base en un radio móvil Ilamado radio vector. para hallar el valor natural hay que encontrar el antilogaritmo de las escalas. substituyéndolos por Ios logaritmos respectivos.o sea gráficos en los que se usan figuras o dibujos alusivos al fenómeno. los siguientes: a) Diagrama de bandas. En estas páginas hemos tratado solamente los principales y más comunes.10: DIAGRAMA DE SECTORES.5 ?5'ó 80'5 acumulativo' Datos de 85'5 90'. Existe gran variedad de gráficos estadi'sticos. En estos gráficos. g) CartodiagramaS/ que también son mapas geográficos. en los que la intensidad del fenómeno en cada región se representa por rayados distintos o coloraciones.5 35'5 40'5 45'5 5o'5 Fig.72 210 150 15'5 20'5 25'5 30'. En vía de información y por ser uno de los gráficos más utilizados. en el que los valores y fas frecuencias se expresan en logaritmos. pero las variantes del fenómeno se expresan mediantebarras o segmentos rectilÍneos. b) Diagrama semilogaritmico. PolfSom 55'. d) Diagrama polar. c) Diagrama logarítmico. que se utiliza cuando los valores de una de las variables son números grandes. 7. haremos t'l . resulta que dividiendo el total de grados entre 100.tz\ 100' 00 4 5 o Años aq^ L4'.498 Anos GRADOS 360 134 48' 10 173 rl .052 4.552 13.498 4 5 6 2. pues resultan demasiados datos para Ia claridad de la figura. por ejemplo. Guatemala. Para ello se reparten proporcionalmente los 360grados (sexagesimales)de la circunferencia. Como usualmente esta intensidadse expresa en porcientos (para los efectosdel gráfico). Ejemplo: Representar mediante un diagrama de sectores la matrícula escolar registrada en las escuelas oficialesde enseñanzaparvularia en 1959.830 6.'. EN EL ANO 1959 EDAD NINOS NINAS SUMA TOTALES: 6. Los datos correspondientes aparecen en la tabla Vlll que srgue: TABLA VIII INSCRIPCION ESCOLAR EN LAS ESCUELAS OFICIALES DE PARVULOS DE LA REPUBLICA DE GUATEMALA.391 FUENTE: Informe de las labores tealtzadas por 1a SeccÍón de Estadlstlca Escolar du¡ante e1 año 1959.062 Años Años 2.273 Años 990 7. Para hacer el diagrama de sectores de la inscripción de niñosdispondremos los datos de la manera siguiente: EDAD NINOS PORCENTNE TOTALES 6. o sea 360:100 =3r6 tendremos el número de grados (3'6)quecorrespondea cadal'/"de lasvariantes del fenómeno. cuandolasmodalidades pasan de 6.73 Años 2. Este diagrama no es muy aconsejable.73 la construcción de un gráfico de sectores. Miristerio de Educaci6t Pública. de acuerdo a la intensidaddelfenómeno.12L 6. Los grados para los sectores de esas edades.74 La figura 12 nos da la expresiín gráfica pedida. 12: Gráfico de sectores. se obtienenmultiplicando el porcentaje por 3r6. Datos de la Tabla Vlll t"t . que es Io que hemos hecho en el cuadro anterior. Fig . 75 EJERCICIO 7 1. hág. Aplique la f6rmula 2 3. de lamisma dis tr ibuc ión . no olvidando que debe agregar dos intervalos más: uno antes del intervalo inferior y otro después del inter- valo superior. mediante un polígono de frecuencias y un histogra(pá5. mediante un diagrama acumulativo. Obtenga las ftecuencias suavizadas de esa distribución. mediante un polígono de trecuencias y un histograma de Pearson. de la distribuci6n cuyos datos se han dado en el ejercicio 6 54). Utilizando los datos de la tabla Vlll (pag. la inscripción de niñas en las escuelas de párvulos. 4.73) exprese gráficamente. Haga la representación gráfica. un rí .70) Haga la representación gráfica. Haga la representación gráfica. 2. 5. ma de Pearson. no olvidando que debe dejar marcadas las frecuencias empíricas. mediante diagrama de sectores. SEGUNDA PARTE LOS VALORES ESTADISTICOS . 8.32: Distribución de frecuencios.4: Cólculo ob¡eviodo de lo medio.61: Serie simple. Fundomento.221t Demostrociones. 8. 8.1: 8.3: Cálculo de lo medio. Medio oritmético.01: Serie simple.5: Lo mediono. Definición y concepro.2l: Obtención de lo fórmulo fundomentol de lo medio.4l: Demostroción.31: Serie simple.9: Cólculo de lo modo.71: [Jso de lo mediono.421: Volores sin ogrupor. 8. 8. Elercicios.422: [qle¡s5 ogrupodos en iniervolos. S.621: Volores sin ogrupor. 8.ó: Cálculode lo mediono.l0l: Relociones entre los promedios. 8. 8.ll: Promedios firmes y no firmes.922: Volores ogrupodos en iniervolos.Notos de orden próctico. rl) .7: 6osos especioles de lo mediono. 8.92: Distribución de frecuenciqs. 8.8. 8.TEMA VIII Lo tendencio centrol. 8. 8. 8. 8. 8. 8. 8. S.62: Distribución frecuencios 8. 8.22: Fropiedodes de lo medio 8. 8.ó22: Vqlores ogrupodos en inte¡volos' Obtención rozonodo de lo fórmulo. Concepto.l0: Uso de lo modo. 8.2t oritmético.8: Lo modo.44: Uso de lo medio oritmético. 8. Concepto.8. 8.921: Yolores sin ogrupor. 8. 8.43: .42: Distribución de frecuencios. Cuando en EstadÍstica se habla de la media. Se ha venido haciendo un cierto procesode resumen. por ningún alumno. Aunque la lectura de las tablas y la inspección de Ias gráficas pudieran darnos idea de los fenómenos.11: central. comprendido entre el menor y er mayor. Posiblemente esa puntuación representativa del grupo no haya sido obtenida. entoncás. pueshumanamente es imposible retener tantos números en la memoria. Si tenemos.2: LA MEDIA ARITMETICA. es imprescindible obtener un valor o dato que represente atodas lasobservacioneshechas. dencia 8. Ios condensa. Generalmente este valor ocupa el centro de la distribución. por ejemplo. habrá entre todas ellas una que las represente. entre otras operaciones. reduce los datos. que también se llaman medidas de posición. además de losdichos. Veamos en qué consisten y la manera de calcularlos. La obtención de ese valor. apenas si es el inicio del análisis. en rigor.78 8. De los promedios no firmes (cuando no dependen de todos Ios valores de la distribución sino de uno o dos). que tiene el carácter estricto del promedio aritmético. de reducción. Hay varios índices numéricos de Ia tentomen en cuentatodos losvaloresde lavariable o no. se hace mediante el cálculo de las medidaTffindencia central o promedios. En resumen.Entre Ios promedios firmes (cuando dependen de todos los valores de la variable) el más utilizado es Ia media aritmética. que la EstadÍstica. esencontrar un cierto valor del centro de la distribución que los represente a todos. que la 'concenmayoría de los datos o valores. los fuimos ordenando. es lo de menos. hacia el cual tienden los demás yque puede representarlos. tabulando y presentándolos en tablas para facilitarnos su manejo. las puntuaciones alcanzadas por un grupo de alumnos en una prueba de rendimiento escolar. se utilizan la mediana y la moda. el problema a resolver en la medida de la tendencia central.pero no tienen. Lo que interesa es saber qué valor de la distribución es el que sirve de punto repre- ¡-j . nos estamos refiriendo a la media aritmética. 8. En los fenómenos que se estudian estadísticamente ocurre. pero que no estudiaremos.1: LA TENDENCIA CENTRAL. Peronoes suficiente Io hecho.tiene su propia significación. por mucha dispersión que presenten. de los datos que poseÍamos originalmente. en la realidad. o seaun determinado valor de una serie de números. de común. se ve. Ya hemos visto cómo. el carácter del promedio aritmético y son mefFTii6les$EIá media. y que los representa atodos. Ocurre en más de un caso y ello no afecta. uso y limitaciones. pueden considerarse como firmes y no firmes respectivamente. DEFINICI0N Y CONCEPT0. agrupando. Cada uno de estos valores de tendencia central -hay otros. tiendena trarse en un cierto valor o grupo de valores. Esto es evidente con sólo pasar N al primer miembro de la igualdad. Concepto. 10. La fórmulaanterior se basa en que si los valores de una serie los substituimos por eI promedio aritmético. es decir. 50 : 5 = 10. depuntomedio.rrrrun los demás. (25) Definición. 9.-t . De Ios promedios o medidas de tendencia central el preferido y más utilizado es Ia media aritmética. yalrededor del cual giranor. pues por basarse en todos los valores es la que mejor los representa. Se lee equismayúscula sub-í. 11 y 13 años. las sumas serán iguales. La edad promedio del grupo es 10 años. esto es 7 +9 + 10+11 + 13 = 50 y dividido esa suma entre el número de individuos(términosde la serie) que es 5. la suma de los valores y Ia suma de los promedios son igualés. que resulta de haber sumado las edades.79 sentativo.2L: 0btención de la fórmula fundamental de la media. Ejemplo: sean las edades de cinco individuos que forman la siguiente serie:7. Substituyendo ahora cada valor o término (edad) de la serie por el promedioaritmético. (Se lee equis mayúscula suprarrayada). La media aritmética de una serie de valores se define como el cociente de dividir la suma de los valores de la serie entre el número de términos. El concepto que se debe tener de la media aritmética eselsiguiente: Ia media aritmética es la mejor y más significativa de las medidas detendenciacen- tral. Veamos: 7+ 9 + 10 10+ 10 + 10 + 11 13 50 + 10 10 50 . Cada vez que usemos este signo deberá leerse como "suma de') Xi = denota los valores o conjunto de valores de la serie. . ) = suma de (Es Ia letra griega sigma (S) mayúscula. Su uso es tan generalizado "que cuando se habla de media por antonomasia nos referimos a la media aritmética". Esta definición se expresa mediante la fórmula: ¡ _ 2x¡ G) N en la que: X= media aritmética. B. casos o frecuencias. N= Número de términos. 21.. Imprenta Uni- versitada. r'i . Dicha fórmula es la fundamental. y la suma xn de esos valores será: 2X¡=*1*12* _ . págína 34. (*) Por la gran utilidad que tienen para 8.80 Si la variable X toma los valores x¡ fa serie será: Xi = x1.1) de la serie por su media aritmé- X+X+ X+. de Ia variable y la media aritmética. o frecuencias.22t el cálculode otros valores.+ LL)" xn como X es consLante resulta que: NX pero por = xI * *2* x3t *xn B..+ X =Xr* x21-x2+. México. la he tomado del lib¡o "Elementos de Método Estadlstico" del Profesor Andr& Garcfa Pétez.. Las demás que usaremos son variantes.casos. como la suma de los valores Xi dividida entre el número N de términos. enunciaremos dos de las propiedades de la mediaaritmética: Primera: La suma algebraica de las desviaciones o diferencias de los valores de Ia variable respecto de la media aritmética es igual a cero... La anteriorobterción de 1a fórmuta fundamental de la media aritmétÍca.2L.2) al segundo miembro de la igualdad anterior: )xi N fórmula que satisface la de[inición de la media aritmética de una serie. x4.L NX =)Xi y pasando v N 8. x3.. Se llama desviaciones a las distancias o diferencias que hay entre cada valorx. En esta propiedad se baia el óálculo abreviado dL (+) Nota importante.t *3 +x4+ Substituyendo ahora cada uno de los valores tica X tendremos: + Xn x¡ (8. 1945. x2.2L. t) . Llamaremos d¡ (d....L.X = d^ Xn-X=dn Sumando miembro a miembro (x1+xr*x3* Pero por B.22t. + xn) - NX . del que nos ocuparemos después.2: ¡J )xi = NX - NX Luego.8I la media aritmética. NX = >d.2L.la suma de los las igualdades anteriores: . minúscula sub-D a la desviación de un término x¡ cualquiera respecto de la media'aritmética: *¡ -X =d¡ y restando a cada uno de los valores Ia media aritmética.. I y por 8.dt+ d2+ d3+. Esta propiedad es ímportante porque en ella se basa la obtención de la principal medida de variabilidad. o sea: >Xi-NX =>d. o sea la desviación típica.+dn expresión entre paréntesis del primer miembro de la igualdad es fa valores. 1) La suma algebraica de las desviaciones de los va lores respecto de Ia media aritmética es igual a cero. Segunda: Lasuma de loscuadrados de las desviaciones de los varoresdeunase- rie respecto de Ia media aritmética es un mínimo.21.221: Demostraciones. en relación a la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores respecto de otro promedio cualquiera. 0=Id¡ I G. que veremos más adelante.. será: *I-X =dI x2-X =d2 xz r5 . 8. 83 Como h2 siempre es mayor que cero, resrtta que, 2¿2 2¿,2 desigualdad que demuestra la segunda propiedad. (*) 8.3: I j CALCUL0 DE LA MEDIA ARITMETICA. Para el cálculo de la media aritmética consideraremos los casos siguientes: i \ 10. Los datos forman una serie simple. \ Zo. Los datos forman una distribución de frecuencias I Zo. Los datos forman una distribución de frecuencias ¡ntervalos de amplitud constante o variable. I de valores sin agrupar; y de valores agrupados en 8.31: La media de una serie simple. Cuando los valores forman una serie simple, o sea que no presentan frecuencias repetidas, la media aritméLica se obtiene aplicando directamente la fórmula 3 (Pag. 71), sumando los valores y dividiendo entre el número de ellos. Ejemplo: calcular Ia media aritmética de la siguiente serie simple: 47, 43, 40, 38, 37, 35 La suma de los valores anteriores es 240 y el número de valores es substituyendo en Ia fórmula 3 tenemos: 6. Luego, . .Es8.32t La media de una distribución ta media se define como el cociente de dividir la suma de los productos de los valores multiplicados por sus frecuencias, entre Ia suma de casos o frecuencias. Se denomina media aritmética ponderada y se expresa segfu,l-a fórmula: X- )r. (') xi G) N Nota importante. La demostración anterior la he tomado del libro "Introducción a los Métodos Estádfsti- cos", del Lic. Maruel Gotzález BellÍdo. Pág. 55, 1a. edicÍón. Madrid, 195?. rl 84 en la que: X = 2 f.Xi = N- media aritmética. suma de los productos de los valores por sus respectivas frecuencias. suma de frecuencias o total de casos. La fórmula anterior es una variante de la fórmula 3. Consiste en lo siguiente:si x¡ de la variable aparece repetido "f'r veces, en lugar de sumarlo tantas veces como frecuencia tenga, se multiplicará el valor por su repetición. Si ese valor fuese 8, por ejemplo, y su frecuencia 5, en vez de sumar cinco veces elocho, haremos B x 5 = 40. De manera que si la variable X toma los valores: un valor cualquiera Xi = *1, x3r x4t ^2, siendo sus repeticiones xn fI , f2, f3, f4, fn x1 está repetido f1 vecesi el valor x2 está repetido fl veces; el valor x3 está repetidi f3 veces, etc.- Según la definición, la media aritmética ponderada resultará de dividir la suma de los productos de los valores por sus repeticiones o frecuencias, entre la suma de frecuencias; o sea: vemos que el valor ., v- xI .ft+ x2.f2+x3.f3+ ft+ f2+ >X.I .f , I Er¡ ..+xn.fn f3+ ..+ >f. fn X¡ N Ejemplo: Calcular la media aritmética de ladistribuciónde latabla l.(Pág.44). y las operaciones aparecen en Ia tabla lX según la disposición siguiente: Los datos a) Columna 1: b) Columna 2: c) Columna 3: c ia. Contiene los valores Xi de la variable o distribución. Contiene las frecuencias rrf rr o repeticiones de Ios valores. Contiene Ios productos de multiplicar cada valor por su frecuen - t"t La media aritmética se obtendrá dividiendo la suma de la columna 3 entre la suma de la columna 2. Nota: En todas las tablas que se utilicen para cálculos, además de Ia notación estadística haremos uso de números arábigos para cada columna y para las operaciones que resulten de relacionar unas con otras. En la tabla lX podemos ver que: If. x¡ = N- 594 50 Y substituyendo en la fírmula 4t 594 50 = TABLA xÍ f. -E) @ .3 11'88 1 12. ]X I. X1 (3) = (1x2) 2 5 1 6 1 5 o 2t 7 4 8 4 óo t1 2 22 12 5 bU 13 5 65 t4 8 tt2 15 4 60 16 3 48 18 4 10 30 19 N= I 19 50 594 FUENTE: Tabla I. d 86 8.321La media de una distribuc intervalos. Cuando los valores están agrupadcs en intervalos, de amplitud variable o constante, la media se calcula aplicando la fórmula 4, s6lo que en vez de tomar por sí m¡smos los intervalos, se elige de ellos la marca de clase o punto medio. En este caso Ios valores Xi que se multiplican por las frecuencias serán las marcas de clase que, según ya se dijo, se obtienen dividiendo entre dos la suma de los límites inferior y superior del intervalo. El cálculo de la media en esta forma se basa en el supuesto que los valores contenidos en cadaintervalo formanuna progresión aritmética;y comola suma de los valores o términos de una progresión aritmética es igual al producto de multiplicar la semisuma del primero y último términos por el número de términos, seconsi- dera que la semisuma de esos términoses la marca de clase y el número de ellos es la frecuencia respectiva del intervalo. Ejemplo: d calcular la media aritmética de la distribución de la tabla X, en la variable. Los datos y Ias operaciones sedisponen que Ios intervalos son de amplitud as í: a) b) Columna Columna 1: 2: c) Columna 3: d) Columna 4: contiene los intervalos de la distribución, contiene las marcas de clase Xi o punto medio de los intervalos. contiene las frecuencias rrfrr o repeticiones de los valores de Ios intervalos. contiene los productos de multiplicar cada marca de clase por la frecuencia respectiva, La media aritmética se obtendrá dividiendo la suma de la columna4 entre lasuma de la columna 3. rl de Marcas Productos Matrimonios xi Q) f (3) 20-25 25-30 30-35 22'. . Ios intervalos son de amplitud variable.0 24.652'5 FUENTE: Vademecum de EstadÉtica. DISTRIzuIDOS SEGUN LA EDAD DE I. Cuando esta amplitud es constante se procede en la misma forma.87 TABLA X MATRIMONIOS CELEBRADOS EN LA PROVINCIA DE ALAVA. Ejemplo b) calcular la media aritmética de la distribución de la tabla los datos y las operaciones aparecen en Ia tabla Xl.# .t'5 104 415 185 2. DURANTE EL AÑO 1951.65215 823.5 z'. Instituto Nacionai de Estadfstica. () En todos los interualos se excluyen las observaciones igualeJ a su lfmite su- perior. En este ejemplo: > f.710'0 (r) 35 f. Xi = N- 24. Madrid 1957. aplicando la fórmula 4 y disponiendo Ios dátos según se indicó anteriormente. ll (pág.OS CONYUGES VARONES EDAD EN AÑOS' INTERVALOS Edad en años de Clase Nlm.340'. Y substituyendo en la fírnula 4: X = 24 '95-?-15 = 29195 años 823 Obsérvese que en la distribución de la tabla X.412'5 -40 37'5 40-50 50-60 45'0 55'0 38 8 N = 823 1.012'5 440'. 4».xi G) = (zx}) 6.0 11. 103 58 4t 63 27 2. Es útil cuando los valoy las frecuencias son números sencillos pudiéndose hacer mentalmente las opera- . o con la f6rmula 4 si e forman una distribución de frecuencias.'.460 t.4: >f. Xi N = L9. La fórmula 4.743 88 1 616 - 98 20 91 96 (2 x 3) 1.092 II. 4 .701 2. ya sea que los valores estén sin agrupar grupados en intervalos de amplitud variable o constante.032 L.092 329 = 5B'03=¿ 59. Hemos visto ya la manera de calcular la media aritmética de un conjunto de valores. CALCUL0 ABREVIAD0 DE LA MEDIA AR|TMET|CA. (3) xi INTERVALOS (1) 16 XI (2) _20 18 27 26 31 36 -30 -35 -40 46 61 81 86 4 tr2 -50 48 -60 -65 -70 760 51 2. aplicando Ia fórmula 3 si constituyen una serie simple. res o a-. sin embargo. no es siempre apropiada.378 1.092 = 329.872 '71 ?6 18 115 43 51 56 I 5 20 38 +t f. En este ejemplo: > f. FUNDAMENTO.244 68 -80 -85 -90 78 16 t.xi L9. xi (a) = 465 100 196 N= FUENTE: Tabla 329 19. y substituyendo en la fírnula 4: X_ 8.88 TABLA f.248 83 21 1. Esto se expresa según la fórmula: X = Xs*C en la que: X= Xs = (5) media aritmética verdadera de la muestra. La media aritmética es igual a la media supuestaoarbitraria más una cierta corrección. permita obtener en forma abreviada ese valor estadÍstico. 8. Pero ocurre a veces que los valoresy las frecuencias ya no son números sencillos. media supuesta o arbitraria. por Io mismo. hemos tomado un valor mayor que la media verdadera. Se lee rrequis mayúscula suprarrayada sub-eser. En el caso de usar la fórmula 4 la obtención de la ¡nedia se denomina método largo. Si se obtiene la suma algebraica de las desviaciones de Ios valoresen relación a la media supuesta. página 81. o bien si se tiene máquina de calcular. las operaciones ya no pueden realizarse con facilidad. Se impone entonces.89 ciones. sin embargo. se puede usarcualquier valor aunque resulte menor o mayor quelamediaverdadera. tomar uno de los valores del centro para estar más próximoal estadístico buscado. dicha suma no será iqual a cero y nos dará la medida de Ia corrección que hay que hacerle a la mediasupuesta para que sea la verdadera. la media aritmética es igual a una media supuesta o arbitraria más una cierta corrección. Si. por ejemplo. Estas aclaraciones no tienen otro fin que ayudar a comprenderlo.41: Demostración. Esta es larazíndel método abrev iado. y si. Lo anterior quiere decir: de los valores de la distribución podemos suponerque un valor Xi cualquiera es la media supuesta. ya que fácilmente se cae en Iamemorizacióndefórmu las marg inando e I fundamento. la corrección nos dirá que hay que sumarcierta cantidad ala medla supuesta para que sea Ia verdadera. no importa que tomemos un valor menoromayor. No hay regla alguna para tomar o elegir la media supuesta. como por ejemplo los de las tabfas X y Xl. con la misma efectividad en losresultados. Ia necesidad de un método que.22l. Conviene. f:f . Esto Io sabremoshasta hacer la corrección y. y por lo mismo. El fundamento del método abreviado para el cálculo de la mediaar¡tmét¡ca es la primera propiedad: la suma algebraica de Ias desviaciones de los valores deuna serie respecto de la media aritmética es igual a cero.1 . Por el método abreviado. la corrección nos dirá entonces que a Ia media supuesta hay que restql le cierta cantidad para que sea la media verdadera. al contrario. Tal es Ia lógica del método. según se demostró enB. hemos tomado un valor menor que lamediaverdadera. fórmula (5) se desprende que: Xs = X-c (8.1). C) +NC .l: >d = 0 >d' = NC ^ >d' u=_-ñiY substituyendo en la fórmula 5: x = xs + + ( 5.CDe Ia corrección que se le hace a Ia media supuesta para que sea la verdadera.22I sea: Despejando C: C. d . dr= x .r) Además.Xs(desviación de un valor cualquiera de la variable respecto de la media supuesta). sea: d= x -X (desviación de un valor cualquiera de la variable respecto de la media verdadera). por 0 8. N que es la f6rmula fundamental para el cálculo abreviado de la media aritmética.41. Substituyendo: d'= x-(X-C)= x-X* C= (x-X)+ C = d + Luego: dr = d+ C >d' = >(d + Sumando: >dr = >d Pero. el cociente de Ia sumaalgebraica de la columna 4 entre la suma de frecuencias o casos de la columna 2. 2: contiene las frecuencias rrfrr de los valores. 0mitimos el caso de la serie simple pues es impropio hablar de abreviaturas en casos tan elementales. f . 44 ).422 La media -abreviadamente. suma de frecuencias o las desviacio- total de casos. Los datos forman una distribución de frecuencias de valores agrupadosen in- 3o.de una distribución gu ientes: 1o. contiene los productos de multiplicar las desviaciones arbitrarias respectode la media supuesta.42t: ra este caso la fírmula 5.d. 3: contiene las desviaciones de los valores Xi. respecto de Ia media supuesta.91 de frecuencias. Para callos casos sicons¡deraremos de datos. Ejemplo: calcular abreviadamente la mediade la distribución de Ia tabla I forma: la siguiente en la tabla Xll. La media se obtiene sumando a la media supuesta. respectode la me- d) Columna 4: dia supuesta. (pág. = N- media aritmética media supuesta o arbitraria. Los datos forman una distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de ampfitud constante.dl (6) N en la que: X = Xs = >f. tervalos de amPlitud variable. Los datos y operaciones aparecen en a) b) c) Columna Columna Columna 1: cont¡ene los valores Xi de la variable. 20. por las respectivasfrecuenc tas. suma algebraica de los productos de las frecuencias por nes de Ios valores. cular abreviadamente la media de un conjunto 8. Pa- 8. Los datos forman una distribución de frecuencias de valores sin agrupar.1 se transforma en Ia siguiente: X=Xs >f. calculemos abreviadamente la media TABLA XIl xif d'=xi-fs (r) (4 (3) 32 51 61 f. Nota: Hemos tomado el valor Xi = 10 como media supuesta. y los mayores . Xs=10 >f. d' (4)=rxB) (- -7 -4 -3 -2 -1 ND 84 94 103 11 t25 135 t48 154 163 184 19 I- 4 5 0 12.r. I 32 120 I 18 ls.dr = 94 N-50 Y substituyendo en la f6rmula 6: X = 10 * 94 50 ft =10 + 1r8B=11rBB=12 resultado que ya habÍamos hallado (véase página número 85 ). ! 8 FUENTE: Tabla t I b 1 I l- 1 2 t n -nn)l- 0 2 14 % I. = 10.92 Tomando como media supuesta Xs = de la distribución dada. t-e o N=50 En este ejemplo: tn lrs . o sea Xs Todos los valores Xi menores que 10 tendrán desviaciones negativas. según la tabla Xll: 10. d'.de una distribución de frecuencias de valo- able.por el método abreviado también se enuncia asÍ: la media aritmética es igual a una media supuesta más lamediaaritmética de las desviaciones respecto de ella. se verá fácilmente que la corrección no es sino la media aritmética de las desviaciones respecto de lamedia supuesta.el cociente dividir la suma de los productos de la columna 5 entre Ia suma de frecuencias de la columna 3. hemos de agregar la corrección..4222 La media-abreviadamente. como hemos tomado un valor Xs menor que la verdadera media. Si se observa la tórmula 5. contiene los productos de multiplicar las desviaciones por las respectivas frecuenc ias. inmediatamente puessu desviación siempre es cero. Losdatos y las operacionesaparecen en la tabla Xlll. Ejemplo: calcularabreviadamente la media aritmética de la distribución de la taB7 ). Por esta raz6n.la media. 3: cont¡ene las frecuencias rrfrr de los intervalos. También debe notarse que. Debe notarse también que hemos tomado como media supuesta un valor Xi del centro.resulta algebraicamente de -44 + l3B = 94. hemos de substituirlos por sus respectivasmarcasde clase o punto medio. en vezdetomar los intervalos por sÍ mismos. De esta cuenta. pero si este valor aparece repetido másde una vez. 0 sea: un término o valor Xi cualquiera tendrá. gu iente: a) b) c) d) e) Columna Columna Columna Columna Columna 1: contiene los intervalos de la distribución. y nos dice que. el hecho de multiplicar las frecuencias por las desvia: ciones arbitrarias. respecto de la media supuesta.90.1 pág. . resulta de sumar abreviadamente las desviaciones de los valoressegún indique su frecuencia. son lasmarcas de clase dichas.93 tendrán desviaciones positivas. una desviación d'. 8. La media se obtiene agregando algebraicamente a la media supuesta. así:la desviación del valor 3 (columna 1) es igual a 3-10 =-7.i . su desviación será el producto f. 2: contiene las marcas de clase Xi de los intervalos. Otras veces se acostumbra tomar aquel valor que tenga la mayor fuecuencia. la desviación del valor 5 es 5 - I0 = -5. los valores Xi que indica la flrmula. en taforma si- bla X (pág. La suma de Ia columna 4. Tomando como media supuesta el valor Xi = 3715 tendremos: de . En este caso la media se calcula aplicando la fórmula 6. solo que. 4: contiene las desviaciones arbitrarias de los valores Xi 5: respecto de la media supuesta elegida.l0 = 4¡ etc..onoa.que dividida entre el total de casos nos dá IacuantÍade Ia corrección.. Lo dicho puedeobservarse en la columna 3. la desviación del valor 14 es 14 . La me(ia supuesta . 0 4.150'0 925. 8.10 - -5 1.2L0 x=37t5 + @ 6. En este ejemplo: Xs = 37'5 >f. Para ello la f6rmula 6 se transforma en la siguiente: X=Xs*Ef'. La media -abreviadamente. Y substituyendo en la fórmula 6: -6.0 0 7'5 17'5 285'0 140.de una distribución de frecuencias de vaud constante.0 - 823 6.210'0 FUENTE: Tabla X.0 55.423: =3715-7t55=29t95 qf ).635 + 425 = N-823 6. i (7) *l .5 3?'5 45.dr =-6. (4) (5) = (3xa) .d' N en la que: X= Xs = media aritmética. Cuando la amplitud de los intervalos es constante la media se calcula más fácilmente.0 N= d.5 27'.560.94 TABLA XI¡I INTERVATOS Xi (1) (2) f (3) 20 25 30 35 40 50 104 415 185 '. media supuesta o arbitraria.2L0.t1 38 8 - 25 30 35 40 50 60 22'..2L0 =37t5.@ resultado que ya habíamos calculado anteriormente (pág.t5 .5 32'. Este cociente lo sumaremos algebraica- ¡rl . es sumamente interesante indicar que cuando la amplitud es constante. Ias desviaciones drreciben elnombrede desviaciones unitarias. suma de frecuencias o total de casos. Estas desviaciones se han obtenido según indica la fórmula 7. primero. 4A ).95 > f. Ejemplo: calcular abreviadamente Ia media aritmética de la distribución de la Tabla ll (Pá9. valor numérico de la amplitud constante de lob intervalos. dispuestos asÍ: 1: 2: 3: a) b) c) d) Columna Columna Columna Cof umna 4: e) Columna 5: contiene los intervalos de la distribución. Vamos a resolver un caso.1 contiene los productos de multiplicar las frecuencias por las desviaciones unitarias de los valores Xi. porque cada desviación se divide entre Ia amplitud de los inter- valos' o sea: dr= xi - xs (7.d' = i N - suma algebraica de los productos de las frecuencias por las desviaciones de los valores respecto de la media supuesta. contiene las marcas declase Xi o punto medio de losintervalos. como todas y cada una de las desviaciones se han divididoenre la amplitud. contiene las frecuencias rrfrr o repeticiones de los intervalos. contiene las desvíaciones unitarias de los valores Xi respecto de la media supuesta. N. o sea entre mente a la media supuesta. 5 La media aritmética se obtiene así: La suma algebraica de la columna la multiplicamos por la amplitud rrirrconstante y dividimos el producto entre la suma de frecuencias de Ia columna 3. en la fírmula 7 aparece esta amplitud como factor para volver a la unidad de los intervalos. Los datos y las operaciones aparecen en la Tabla XlV. 1) Por esta raz6n. y después haremos algunas otrasobserva ciones sobre este método abreviado. Anles de resolver un ejemplo aplicando esta fórmula. . tendremos: TABLA XIV INTERVAl. En este ejemplo: Xs = 53. a¿ 58. dt = + 587 = 33L N -329 =5.. 7 t26 49 q 18 331 FUENTE: Tabla tr.l 9358 9829 N= 329 frl - bD 66-10 71-?5 76-80 81-85 86-90 91-95 96 . >f. d' (3) (s) = (3x4) (4) _30 -20 -4 -60 -48 -39 -3 -2 4L 54 99 80 80 .os (1) xifd' (2) 16-20 2t-25 26-30 31-35 36-40 4t-45 46-50 51-55 56-60 181-7 235-6 284-5 13 33 20 38 24 43 §39-1 53510 584t1 63272 68333 ?3204 78165 832t6 88'. 9q 5103 = 58103 ).100 f. -256 rt I Y substituyendo en Ia f6rmula 7: 33L 1655 x x5 53+= 329 329 .53+- = 53 + resultado que ya habíamos hallado anteriormente (pas.96 Tomando como media supuesta el valor Xi = 53. c o sea de mayor a menor..ás rápiáo "t cálculo usando la fórmula 6 amplitud constante.l Y res!..::t: . ñ..lentonces encima Ios valores -1-' cero' del debajo etc....tiin en .Segúnto.. 4."": escribirán los valo '2' -3' -4' " ' €tc' l-ataz6n de que esto se haga así olitud 'rirr es constante. Cuando los intervalos de la distribución son de fórmula 7bág' 94 )' la utilizar preferible pero es o 6. alafírmulaT'no itarias de los valo- l"''u]""il l:i. o virá de medi -f. por las desviaciones unita- en la f6rmula 7 aparece la se vuelva a la unidad de los .d') no .. de de unidad la (f. página79 ' 1.. el duce a la aplicación de Ia fórmula 3. e entre las desviaciones será de una unidad.1.nt. E"a.97 B.3. 5' es forzoso n sea. máquina o del método s o si se tiene iado' 3. 2.á'J:H::J1". -3 intervalos ^^^im¡. todos los interval misma distancia dada por la amplitud' Est en las marcas de clase y distarán de la m constante como intervalos les separen de de clase respecto de la media supuesta. 4 den usarse las fórmulas pueque es especial Para este caso.4.2. res.43lNotasdeordenpráctico. en tantas v frf de é1..o "uro el usarse :be modo otro de de calcular. o sea corrección multipl¡caiá iot-iá i'piii'J "¡" Ahora bien: como los productos intervalos..r.r.Cuandolosvaloresformanunadistribucióndefrecuencias. -2. 4 rátrrl.yaSeadeVale o constante de lores sin agrupar o de valoies agrupados en intervalos (página 83 ). viación de la media supuesta). rias. lá la media se calcuta upiürrJo re peraciones las si verse deberá i.Cuandoladistribuciónestáagrupadaenintervalosdeamplitudvariable-se (pág'91)' puede usar ta fórmula a. p.dosobreelcálculodela media aritméticalpodemos hacer el resumen siguiente: cálculo de la media sereCuando los valores forman una serie simple.p. o ambos a la vez. 96 . pues. b) Si la distribuci6n es incompleta no se puede calcular la media. b) Su significación es universal. Tercer intervalo. y se notará lo siguiente:es- cribir encima del cero las desviaciones -1 .Obsérvese la columna 4. d' = lB .1 . Ejemplo: Primer intervalo. En este caso se utiliza la mediana. 25 y 46 no podemos fiarnos que la media sea 21 pues los valores están muy distanciados. pág . 3.. -3. según hemos visto. etc.. -2. viene afectada por todos ellos.la media no será representativa. entre los estadísticos de tendencia central.. Noveno intervalo Décimointervalo Undécimointervalo Etc.53 t 5 = -25 5=-5 dt d' = 58 '53 : 5 = d'= 63-53:5 = d' = 68 . ¡. es lo mismo que haber calculado esas desviaciones según la tírnula 7.53 : 5 = 5 10 15 §= 55- 1 2 3 8. ya sea el inferior o el superior. a) Es fácil su caso de calcular. o cuandolamuestra es muy pequeña. L0. Desventajas: a) Cuando los valores no se d¡stribuyen homogéneamente. Estoquiere decir que si desconocemos uno de los valores límites o intervalos. y debajo las desviaciones 1. d) Es imprescindible para el cálculo y comprensión de otros valores represen- tativos. c) Es. no se puede calcular ese promedio. etc.53 : 5 = -35 5=-7 = 23-53t 5 = -30 5=-6 d' = 28 . Segundointervalo. Podemos resumir el uso de la media aritmética según las siguientes: Ve ntaj as. Tabla XlV. 2. etc.44 Uso de la media aritmética. Por ejemplo en la serie 3.'L. ya que las operaciones aritméticas -oalgebraicas en - son elementales. el más fiable y representativo de los valores de la variable. 8. 2o.6: CALCUL0 DE LA MEDIANA. quese lee:rreme. Los datos forman una distribución ordinaria de frecuencias de valores sin agrupar. de los casos.o dicho de otro modo:un valor que parte exactamente pormitadaltotal de casos. CONCEPT0.61: La mediana de una serie simple: Para el cálculo de la mediana en una serie simple de número impar o par de datos. a Io sumo. Los datos forman una distribución ordinaria de frecuencias agrupados en intervalos de amplitud variable o constante. La mediana es un promedio no firme. La mediana es el siguiente estadístico de tendencia central importante en la descripción de una muestra.5: LA MEDIANA. mayúscu- la. y b) número par de datos. Sucálculoes imprescindible cuando no se puede obtener la media aritmética. o dos. un cierto valor de la serie que deja bajo sí el 50% de los casos y por encima el otro 50%.99 8. Por convención. este puesto o lugar. pero han de estar ordenados. de valores 8. Los datos forman una serie simple que puede ser: a)númeroimpar deda- tos. esto es su valor no depende de todos Ios datos sino de uno. hay uno que delimitael 507. Se entiende por mediana. sub-d'r. Siordenamos un grupo de alumnos por orden de estatura.de orden selocaIiza así: D_ r-2 N+ 1 (B) rf . ordenado en cualquiera de ambos sentidos. Es decir. Este valor es la mediana y se denota por Md. 3o. separará en dos mitades el grupo. es decir.quedandolamitad de los casos por encima de él y la otra mitad por debajo. Para el cálculo de la mediana consideraremos los siguientes casos: 10. habrá uno entreellos quetengaunaestaturatal queocupeel lugarmedianode laordenación. dentrodeunconjunto de valores. bastará ordenar los datos creciente o decrecientemente y ver cuál es el lugar que corresponde al valor que deba bajo sÍy por encima igual número de casos. 16. 14. Serie B = 1I. 12. a la segunda no la afectan los valores extremos. 8. con número par. y 5o. deja por encima y por debajo igual número de casos. SerieA NN- 9 8 Substituyendo en la tórmula B: Paralaserie A: P= Para la serie B: 9+1 -5 = P 415 Como P nos indica el puesto que ocupa la mediana estando ordenados los dahemos de contar en cualquiera de ambos-sentidos tantos puestos o lugaresde orden como indique P. En la serie A el lugar 5 o quinto puesto Io ocupa el valor 15.62t La mediana de una distrib Cuando se tiene una distribución de frecuencias.23.20. L7. ya que en las series A y B anteriores. y B. L5. La mediana será la seL4 15. Ios valores primero y último. !4. El procedimiento para calcular la mediana es el siguiente: ¡=f . 17. 12. L6. pudieron haber sido totalmente distintos a los dados que iro habrÍa modificación en los lugares de orden. 15. contrario a Ia primera.100 en donde: P- puesto o lugar de orden donde se halla la mediana. L3. N= número de casos. ordenados de menor a mayor. ocupados por los valores 14 y 15 respectivamente. Este lugar se halla entre los puestos 4o. en la serie A. Ejemplo: sean las series simples A. 13. Calcular la mediana de ambas series: = 11. u otros intermedios. = * :2 = Puede notarse que una de las diferencias fundamentales entre la mediaaritmé- tica y la mediana es que. con número impar de datos. 20. Luego. misuma de ambc"s valores. y. Md En la serie B buscamos el lugar cuatro y medio. por consiguiente. lhemos de agregar una terceia columna donde escribiremos las frecuencias acumuladas rrF¡rr. en el valor de la mediana. o sea 14 15 tos. que 15. además de las ya conocidas columnas de valores Xi y de frecuencias absolutas 'rf". 4o. CTASIFICADOS SEGUN SU ULTIMA CIFRA 1 1 4 8 4 11 9 4 15 6 1 1 LA LOTERIA NACIONAL ULTIMA NIJMEROS FRECUENCIA CIFRA PREMIADOS ACUMULADA Fi. 10 3 18 11 2 20 0 101 101 25 1 116 217 330 t2 13 5 30 113 t4 8 38 108 15 4 42 4 127 559 16 3 45 5 134 693 18 4 49 6 oa ?86 19 1 50 .029 I 101 1. Fi.|a acumulada es igual lor de la distribución que corresponde N/2. da en la tabla TABLA xi XV TABLA XVI f.130 FUENTE: Vademecum de Frtadfsdca. y del siguiente. a la mediana seráel va- primera frecuencia acumulada que Ejemplo: calcular la mediana de las distribuciones de Ias tablas l(reproduciXU y XVl. xi f. con lo cual el total queel 50"k de casos. la mediana será Ia semisuma de el valor que tiene frecuencia acumulada Fi = N/2.N/2. o sea hacer N/2. o sea alguna Fi -. Hallar la mitad de los casos. da dividido en dos partes.1 902 8 116 727 1. N = 1. Buscar en la columna de frecuencias acumuladas N/2.130 ¡= 50 FUENTE: Tabla I. ¡"1 . Si ninguna frecuencia supera a aN/2. o la primera que sea superior a N/2. Fi 2 2 NUMEROS PREMIADOS EN (SORTEODEL 5 DE ENERO DE 1952). Si hay alguna frecuencia acumulada igual a Ia mitad de los casos.101 1o. ya citado. siendo cada una 2o. la primera que sea igual a 3o. puesto que.50 51 . En- tonces. El cálculo de la mediana es el mismo para valores agrupados e.55 56 .6222 = 5.Vemos que en la columna de frecuencias acumuladas¡ol una Fi iguala N/2= 25. en Vamos a obtener la mediana aplicando una regla de tres.rquecorrespon-. en la distribución de la tabla XV: Md= 12+ L3 2 = 12t5.L02 En la distribución de Ia tabla XV tenemos N = 50 y N/2 = 50/2 = 25.65 tr .62.60 61 . Según Io dicho en el paso 3o de 8.l-30/2 = 565. la mediana será la semisuma del valor que tiene frecuencia acumulada igual a N/2 y del siguiente.?0 ?1 .n intervalos de amplitud variable o constante. de a Ia primera frecuencia acumulada que supera aN/2. según lo dicho en el paso 4o de 8. Esta frecuencia es693y corresponde al valor Xi = Entonces en Ia distribución de Ia tabla XVl. Veamos: TABLA XYII NTRVArcS 16-2011329 2L-25563% 26-30410323 31 . Tábl¿ tr- 13 23 39 51 4t 21 33 2A 106 157 198 225 258 218 21 315 35 2 329 2 319 262 223 t12 131 104 1\ rJ . no Ia afectan todos los valores de la distribución. ula. la f6rmula que se usa para este caso. Luego. Nótese que hemos acumulado las frecuencias en dossentidos:el primero o Fi es ascendente.85 86-90132214 91-9553211 96 -100 l=m ffiNTE. y después haremos Ejemplo: calcular la mediana de la distribución de la tabla ll. La mediana de una distri intervalos. En Ia distribución de la tabla XVI tenemos N =1.35 36-42Aq306 41-62461286 46 . según se ha visto. 5.130vN/2 iguala L. Md 8.62.?5 ?6-80162%51 81 . la mediana será el valo. Vemos en la columna de frecuencias acumuladas que no hav Fi = N/2. y el segundo o Fi'es descendente. quecorresponde al valor Xi=L2. que reproducimos en la tabla XVll. 60. Para ello hacemos la siguiente regla: si 5 unidades (o sea Ia amplitud del intervalo) corresponden a 41 casos. Si substituimos los valores usados por la correspondiente notación. En este ejemplo N/2 = 329 /2 = l64t 5 2o. 0 sea: 5 x ----- 4L ---. de frecuencias acumuladas Fi. Buscamos el punto o valor que deja bajo síy sobre sí L64t5 casos. notamos que hasta el intervalo 51-55 hay 157 casos. 4o.103 Vamos a calcular primero la mediana tomando Ia ordenac¡ón ascendente. entonces. esdefrecuencias acumuladas Fi de laterceracolumna. y que en el intervalo siguiente. tr) 5o.60 y que en este se halla la mediana. 3o. 0bservando Ia columna tercera.55 que es 5515 o lÍmite real inferior del intervalo 56 . siempre que la ordenación sea ¡'l .60 casos (frecuencias absolutas o repeticiones rrf (véase columna 2) se distribuyen homogéneamente. Esto quiere decir que hasta el límite superior del intervalo 51-55 que es 55'5 hay 15Tcasosyquenecesitamos 7r5 casos más para llegar al valor de Ia mediana. Ahora ya sabemos que los 7r5 casos que nos faltan para llegar a N /2 son parte de los 4l casos de intervalo 56 . 0'9I Quiere decir que 7r5 casos corresponden a 0'91 unidades. Sólo nos resta. se trata.60 hay 198 casosi o sea que N/2 = 164'5 casos están comprendidos entre los I98 del intervalo 56 .x- 37t5 = T = -T- 60.60 corresponden a 7'5 casos.. podemos hacer la fórmula siguiente para el cálculo de la mediana. Estas unidades las debemos agregar al lÍmite real superior del intervalo 51 . Hallamos N/2. oe00n0e. trabajaremos con las to y pasos: 10. o sea el 50"h de los mismos. 0191.de ver cuántas unidades de medida hay que agregar al valor 55'5 para esos 7r5 casos que faltan para N/2. Procedimien- cir.entoncesrver cuántas unidades de Ias 5 del intervalo 56. 56 . Suponemos que los 4l del intervalo 56 .7t5 715x5 . Esto es: Md = 5515 + 0r 91 = 56t41¡ Md = 56' 41.60. y el resultado será la mediana.L57 = 715.60 que es el mismo. Hacemos la diferencia 164'5 . equis unidades corresponderán a 7r5 casos. Como 55'5 es también el límite real inferior del intervalo 56 . (e) : t . y substituyendo en Ia f6rmula 9: Md = 55. i= la mediana.l-r ir f i-l- .104 ascendente así: N -F I\4d = L. 3) Ver cuál es la frecuencia acumulada inmediata anterior al intervalo donde está la mediana. Ver cuál es Ia amplitud del intervalo donde está plo.T =55'5 r o'91 rl . 4) Ver cuál es la frecuencia absoluta del intervalo donde está la mediana./". Es decir. XVll.5 . i - valor numérico de la amplitud del intervalo donde está Ia mediana.5 . L. En el ejemplo esta frecuencia es 198 y el intervalo que le corresponde es el que contiene la mediana. En nuestro ejemplo . En el ejemplo. los pasos para calcular la mediana son los si- en nuestro ejemplo de la distribución de la tabla = 329 /2 = l64t 5. igual a 55'5.W .60 y de él tomamos el límite real inferior. Fi-l = Frecuencia acumulada inmediata anterior al intervalo donde está la med iana . Se hace 9.5 = 55. En el ejem- §. I en la que: Li_I = Límite real inferior del intervalo donde está la mediana. N/2 = Mitad de los casos o 50._. Este intervalo es el 56 . Cuando se aplica Ia fórmula guientes: 1) N/2. [i = frecuencia absoluta del intervalo donde está la mediana.r Fi_I = 157. 5) fi = 4I.N/2 2) Buscar en la columna de frecuencias acumuladas Fi la primera que supera a N/2. i (10) f. que son los más comunes.*.105 Md = 56141. I Y substituyendo en la fórmula 10: Md = 6015 Md 8. =41 f. puede ocurrir:a) que íl la mediana quede entre dos intervalos. Fuera de los casos expuestos. Eneste caso la fórmula es: Md N. I -5. Calcular la med iana de la distribu- - . y b) que la mediana quede en un intervaloque tie ne cero de ftecuencia absoluta. CASOS ESPECIALES DE LA MEDIANA.t¡-I 2 = L.. tervalos.7: = t64t 5 - 131 4t 5 =6015 - l67t 4L 5 = 60f5 -4tO9 56141. Cuando la distribución está ordenada descendentemente (mayor a menor) se razona la obtención de la mediana en forma análoga a como lo hemos hechopara laordenación ascendente/ con la salvedad que en vez de tomar el límite inferiordelintervalotomamos el límite real superior y le restamos el resultado de la regla de tres. L. I En nuestro ejemplo de la tabla XVll: l+r = 60'5 N/2 = L6415 E ' i-1 = L3L. . 17 y 18 . TABLA XIX f INTERVAI. Puede observarse que 17t5 es el límite real superiore inferiordeambos intervalos. hallamos ltl/2 = 30.OS Fi 5-8 o - 10 13-16 2L 25 29 33 -28 -32 -36 10 6 4 x 1 = -5e- rl . Esdecir. Md= 17'5. según la ordenación ascendente o descendente respectivamente. b) Calcular la mediana de la distribución de la tabla XlX.21 La mediana queda limitada entre los intervalos 14 . Acumulando las frecuencias ascendentemente. En este caso se toma como mediana el lÍmite real superior del intervalo si la ordenaciónes ascendente. al llegar al intervalo 14 Acumulando las frecuencias descendentemente.10ó TABLA XVIII f INTERVALOS 2-5 6-9 10-13 t4-1? 4 5 8 13 18-21 22-25 26-29 30-33 En el ejemplo de la tabla 15 o 4 2 N= OO XVlll N/2 = 60 /2 = 30.2L. hallamos Fi N/2 = 30. o el límite real inferior si laordenaci6nesdescendente. - 17 al llegar al intervalo 1B . en canibio. aunque es más apropiado llamarle moda. El concepto de moda es sencillo: es aquel valor de la variable que más se repite. También se ledenomina modo.B: LA MODA.7L: = 1815. Las fórmulas 9 y 10. Para Ia mediana podemos resumir las siguientes: Ventajas: 1) Es el promedio a usar cuando no conviene calcular Ia media aritmética. CONCEPT0. es decir.107 En el ejemplo de la tabla XlX. si ¡. pues ayuda a la comprensión de los resultados.J . cuya frecuencia absoluta es f = 0 vemos que por encima y por deba jo del mismo queda el 507" de casos. 3) la afec- Su cálculo es útil para describir en mejor forma la tendencia central del hecho variable. 18. 2) Puede utilizarse cuando la distribución sea incompleta. tervalo L7 La mediana será el punto medio o marca de clase del intervafo que tiene ce ro de frecuencia absoluta. La moda se denota por Mo (eme. al llegar al in. 0 sea: Md B.20. mayúscula sub-ó). la fórmula no dá el valor de la mediana sino el lugar deorden para localizarla. La moda es el tercer estadístico que permite conocer la tendenciacentraf de un fenómeno o hecho variable. algunos autores consideran que moda t es todo valor tal que su frecuencia. 2) Que para la serie simple y distribución de frecuencias de valores sin agrupar. pues no tan todos los valores sino uno o dos de ellos. B. el que tiene mayor frecuencia. Uso de la mediana. sea superior a las de los valores inmediatamente anterior y posterior. sídan el valor numéri- co de la mediana. De esta cuenta. Ademásdelconceptodado. Desventajas: 1) La principal es que resulta menos significativa y fiable que la media aritmética. N/2 = 36/2 = LB. Acumulando las frecuencias ascendente o descendentemente. Mo = 15. 11.lái. 11. excepto cuando hay valores repetidos. 2o. Observando la columna de ftecuencias absolutas vemos que la más grande de todas es ocho (B) y que el valor al que corresponde es Xi = 14. Esto. 8.9: CALCUL0 DE LA MODA. más bien de acuerdo a considerar por moda el valor más repetido. Los datos forman una serie simple. . de valores sinagrupar. l-7.4q. Para eso la moda se determina por simple inspección. d. La moda será el valor Xi al que corresponda esa ftecuencia.108 en la distribución hay solamente un valor cuya frecuencia sea mayor que la de cualquier otro.92L: La moda de una distribuc En este caso la moda se determina por simpte inspección. 8. Para ello basta observar la columna de frecuencias absolutas y ver cuál de todas es la mayor.91: La moda en una serie simple: En realidad no tiene caso determinar la moda de una serie simple. Puede ocurrirque la distribución de frecuencias sea de valores s¡n agrupár. en la distribuci6n de la tabla l: Mo = 14.res agrupados int. 16. Para el cálculo de la moda consideraremos los casos siguientes: 10. L5. Pero si entendemos por moda todo valor cuya trecuencia supere a las de los valores anterior y posterior. pues aparece más veces que cualquiera de los demás. en Ia serie anterior.rru"ñ los. tendremos una distribución unimodal o de una moda. 10. v Los datos forman una distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud constante o variable. Veamos: 8. Según el caso se procede de diferente manera. Luego. Ejemplo: hallar la moda de Ia serie simplequesigue: B. Los datos forman una distribución de frecuencias 3o. L5. Según lo dicho. Luego. L5. entonces puede ocurrir que encontremos distribuciones bimodales (dos modas) o plurimodales (más de 2 modas). 8. Ejemplo: calcular la moda de la distribución de la tabla l@ág. vemos que el valor más repetido es el 15.92t La moda en una distribución de frecuencias.ú) . cuando los valores están agrupados en intervalos.1.t: a fórmula: fi* rvru - L ¡-r T 1 (11) . moda así obtenida se le denomina moda *uda. o sea: 0hservando la columna Mo = 27t5 pero si deseamos calcular la moda. Según lo dicho. Lafrecuenciainmediataan- ri .922t lon La moda en_i!ierva]os_. cuando se calcula. al intervalo donde está Ia moda. puede tomarse como p.48). (pág. la modaserálamarca de ciase del intervalo. vemosquelamayorfrecuencia t::415. 8. Ejemplo: calcular la moda -interpolada. es decir.30. debemos ver entonces si los intervalcs son de amplitud constante o variable. B7 ). cuyo lími[e real inferior es Lt-1 = 5015. (3) o de frecuencias absolutas.rtto medio o marca de clase del intervalo que tiene Iamayorfrecuencia' A la "l "*.55. Localizamos pr¡mero Ia mayor frecuencia que es 51y corresponde al intet valo 51 . f.de la distribución de la tabla ll.109 8. Ejemplo:obtener la moda crudade la distribuciónde latabla X(pág. que corresponde al intervalo 25 . En este caso. i - amplitud del intervalo donde está la moda.+1 I frecuencia absoluta inmediata siguiente al intervalo dondeestá la f¡-t frecuencia absoluta inmediata anterior moda.----=- ti_I + ti+1 en la que: Mo = moda L¡-t límite real inferior del intervalo donde está Ia moda.922. la moda recibe el nombre de moda interpolada. amplitud del intervalo donde está la moda.:olii'. Mo 4t = 50'5 + g..i._.2: 4L. Para este caso debemos hallar el cociente Llamando k. interpolada. de dividir las frecuencias Ia amplitud respectiva.5 = 50'5 t TO. la moda estará en el intervalo que tenga mayorlk. Ejemplo: calcular la moda. y se calculaapli- div D a es cando /i.110 terior es f. contiene las frecuencias absolutas 'rfrr de los intervalos r.t. cociente f /i de la frecuencia entre Ia amplitud del intervaloanterior al que contiene la moda.r. minúsculasubuencia entre la amplitud.+1 : i. y la frecuencia inmediata posterior es f¡ a1 = del interváldes i= 5.r0 "i" de tos intervalos.922.. Li- k. Il. = X. 4: contiene los coeientes k.. Más propiamente: f. T k.. k¡*. .¡ .. = L.= 50'5 + Mo 8.. Luego. o sea f . Más propiamente: f. + k*" l+r l-I (L2) en la que: Mo = tfbda t = límite real inferior del intervalo dord e está Ia moda. substittyendo en la fórmula 11.-1 : i.39.$'X.q La ampf itud 201 .= cociente f /i de la trecuencia entre Ia amplitud del intervalo s¡guiente al que contiene la moda. en la lorma siguiente: que reproducimos en la tabla a) b) Columna Columna c) cotumna d) Columna 1: 2: contiene los intervalos de Ia distribución. de la distribución de la tabla XX.= i. de I entre la . La moda de = 2t5L 53101 u .. (k. de : Mo k¡+t . -i-r.l. un dato sobre más típico. En rigor matemático. más frecuente de la distribución. y te corresponde er interv ato 25-30. Los k... Es menos fiable que los demás estadísticos de tendencia central: media y mediana. o el promedio 2. de manera rápida.8 5 83'0 (a) = (2:3) 5 to 14.8y'37. substituyendo en la fírmula 12: 37 37 + 20tB Mo 185 5718 = 28120 Cuando los intervalos anterior y siguiente al que contiene la moda son de igual amplitud. ayuda a la comprensión de los cálculos. inmediataposterior al intervalo donde se halla la moda son 20. yo límite inferior es mente anterior y 25. Se la tenden- utiliza para obtener un Índice de la asímetrÍa de Ia distribuci6n.6 D 38 810 N= En XX 10 3'8 0'8 e23 este. Sin embargo.. 8. cuLa amplitud del mismo es de 5 unidades. no es necesario calcular los cocientes f/i sino basta tomar directamente las frecuencias absolutas y aplicar Ia fórmula II. cia central..ffi es 83. (como en la tabla anterior). Luego.rr. la moda es más difícil de calcular que los otros valo- ¡'J . 2.111 TABLA ki = i/1 fi INTERVALOS -30 30-35 35-40 4n-50 50-60 (2) (3) 104 475 185 5 20.. Es útil cuando se quiere tener. Desventajas: 1.10: Uso de la moda: Podemos resumir el uso de la moda en las siguientés: Ventajas: I. y la mediana. se requeriría conocer la función matemática de la distribución para calcular su máximo. ft . por razinde ser el valor al que corresponde la ordenada máxima. podemos estimar Ia moda deacuerdo Mo = 3Md - 2X (13) que nos dice que lamoda es igual al triple de la medianamenos el doble de la media aritmética. si conocemos la media a la fórmula: Conocidos los valores numéricos de obtener. aproximadamente. Esta fórmula es conveniente cuando no deseamos calcular la moda en las formas ya expuestas. el tercero. o cuando resultan dos o más valores o intervalos con la misma frecuencia absoluta.Lt2 res pues.101: estadÍsticos dos Por ejemplo. 8. 7. pág. página 83. 109 . 4. la media de la obtenga ra media de la distribución dada Siguiendo los pasos dados en lapág. aplicando fa fórmula distribuci6n dada en el ejercicío 6. pág. página 54. En la misma distribución del ejercicio do la fórmula 1I. 6. obtenga la moda interpolada aplican. pág.- ft .L04. 9. Aplicando Ia fórmula en el ejercicio 3. Verifique fa corrección de su razonamiento aplicando la fórmula 4.113 EJERCIC]O 8 1. 94. Calcule por el método largo. 2. 6.54 obtenga la mediana de la distribución del ejercicio 6. t TEMA IX y centi les.4: Significoción de los puntuociones centiles.21: Dist¡ibución de f¡ecuencios de volo¡es ogruPodos en intervolos. 9.2: cólculo de cuo¡tiles y centiles. 9. 9. 9. oiivo de Golton. 9.1: cuq¡tiles Eiercicios ' 4 . conceptos. 9.22: Distribución de frecuencios de volores sin ogrupor.3: Determinoción grófico de cuorliles y cqntiles. 115 9. mayúscula sub-0. Como N es siempre igual a 100. Estas medidas. CONCEPTOS. Gráficamente y en una distribución normal. Un cuartil se denota por Qi (Q. el subÍndice serefierealnúmero de*cüártós que delimita. cada cuarto es un 25'/" del total. 14 . En conse'cuencia.. especialmenle los centiles o pqrcentiles. Q1 es el primer cuartil. sobre el cuartil segundo queda el 50%. elcuartiiprimero es el punto que'separa hasta el [rimer cuarto. ya que permiten la confección de escalas que dan significado a las puntuaciones individuales. y sobre el tercer cuartil queda el 25"/" de los casos. De esta cuenta. por separar a ambos lados de él 50"/. más propiamente se dice: Q1 es el puntoque deja bajo sí el 25% de los casos. A los puntos o valoresqueseparan un cuarto de otro se les llama cuartiles. de casos. el cuartil segundoseparahas: ta el segundo cuarto y el tercer cuartil separa hasta el tercer cuarto.1: CUARTILES Y CENTILES. de los casos se le considera igual que la mediana. 0 sea que en toda distribución podemos considerar que hay cuatro cuartos y tres cuartiles. Al cuartil segundo."eri P"§icrjlólál-Pá¿ágoriíá jqn--de -suma impqrtancia. la relación entre cuartos y cuartiles es la siguiente: . Por ser N =100.f 25olo 25olo 2solo 2570 qqQ3 Figura No. que algunos autores_llaman de tendencia centr-al o de posición. De acuerdo a lodicho. encima del cuartil primero queda el 75'/. Q2 el segundo y Q3 el tercero. contribuyen a la descripción de un hecho vañáElá. Cuartiles. Ia letra Q al nombre original: quartile. Q2 deja bajo sí el5O"/" de los cásos v Q3 deja bajo sí el75/". Son pun total de ned¡das o ár"ea de si el número o valores de la distribución que dividen el total de casos de una d tribución queda en cuatro partes iguales a las que se denomina cuartos. en todos los datos sino en uno o dos. 9AL9UL0 En nz6n de su importancia.esdecir. son aquellos puntos que separan un tanto por cien del total de casos. Es fácil ver. Las fórmulas correspondientes (14 y I5) se han obtenido mediante el mismo razonamiento hecho para la fórmula de la mediana en este tipo dedistribución. a Io sumo. N/100. aclaro que en varios de lostextoscitados en la bibliografía que aparece al final de estos apuntes. setratasuficientementela -. DE CUARTILESY CENTILES. - 9. localizando el punto o valor que deba bajo síy sobre síun determinado porcentaje de caSOS. que estos valores no se basan.116 Centiles. la distribución de los casos queda en 100 partes iguales. De manera similar a la mediana. de los casos y sobre sí el99%. el hecho que los tntervalos sean de amplitud variable o constante no afecta el cálculo de los cuartiles y de los centiles. Los centiles o percentiles son puntos de la escala o valores de ladistribución que dividen el total de'medidas o área de Ia curva de frecuencias en cien partes iguales. A los puntos que separan una centésima de otra se les llama centiles. No obstante. C2 deja baio siel 2"/" y sobre sí el-98f" de los casos. 0 sea que en toda distribución podemos considerar que hay 100 partes iguales y 99 centiles. entonces. Un centil se denota por Ci (C.2L Cálculo de cuartiles v centiles en una distribución de frecuenciasdevalores agrupados en intervalos. Es decir. si el número total de casos de una distribución se divide entre 100. Ya se habrá observado. Como N es igual a 100 cada centésima parte es un 1'/" del total. esto es. mayúscula sub-O y. para obtenerlos uno a -uno. l-al igualdades siguientes: Qr = czs Q2= C50 = Md Q3 = cls 9:2. etc. De esta cuenta: Cl deja bajo síel 1"/. de manera semejante a los cuartiles. y sobre si el75/" de los casos. Para el cálculo de los cuartiles se utiliza la fórmula: - ¡"1 .* obtención de estos valores en las series simples. vamos a considerar solamente el cálculo de los cuartiles y centiles de una distribución. C2q deja bajo sí el25/. cuando los valores están agrupados en intervaIos de amplitud variable o constante. lo cual nos dará el valor directo ' del cuartil buscado. I Fi-'l I ¿= ui = fi = lÍmite rear inferior der intervaro donde se haila er cuartir buscado.l * y/ Ia ia acumutada inmedta al in uar e busca. se forma una tabra de tres corumnas que contenga: a) intervarosde ra distribución.9 N/4. i xN/4.rrrüdas. 2o- S: h3.a¡ (14') ab la que: a. Para el cálculo se procede de Ia manera siguiente: I L 10. o sea.ri. frecuencia absoruta der intervafo donde se haila er cuartir buscado. rl) . f. Esta dife_ ren direm sol ntervalo y multiplicar ués e ud valo. b) frecuencias absolutas. = Li-1 = i N - cuartil que se busca.iri u.. inferior del intervalo. del 4o. sub índice numérico del cuartil buscado. . Este cociente se multiplica por el valor numérico sub Índice del cuartil que se va a obtáner. número de casos o suma de frecuencias. El resultado de las operaciones indicadas en er paso anterior lo sumaremos al límite real. frecuencia acumulada inmediata anterior til buscado.117 i$N Q¡ = Li_r + -F 4 L*'ra'fe i-1 ri &ttu' . 5o. y c) ftecueñ. al intervalo donde está el cuar- amplitud del intervalo donde está el cuartil que se busca. 50 51-55 56-60 61-65 66-70 7L-75 't6 . esto es: 45t 5 + L'95 = 47'45. tomamos el límite real inferior.118 Ejemplo: calcular los cuartiles primero (Qt). Según el concepto dado. 4o) Del valor 82r25 r.El producto 1'95 lo añade al límite real inferior del intervalo.47'45 es el punto bajo el cual'queda el 25%de los casos y sobre él .Elcuartilprimeroselocaliza.100 1o) 10 20 43 t9 106 51 15? bt 4l 198 27 225 r 258 16 2't8 294 21 315 20 7 5 329 2 FUENTE: Tabla . o sea. A continuación multiplico el cociente anterior porla amplitud del intervalo. 1 x 82'25 = BZt 25.g9es Fi . o sea 15t25 :39 = O'39. Tenemos formada la tabla de tres colurnnas. Es- soluta del intervalo dicho. De manera que QI = 47'45. Substituyendo en la fórmula QI = 45'50+ 14 serÍa: 1 x 82r25 -67 x 5= 45'50 I 76t25 '39 = 47t45 . o sea:0r39 x 5 =1t95¡ y 5") . t . cuyo intervalo es 46 . en el cualestáelcuartil primero. 2")Hace- nosN/@B2'25.OS 16-20 2t-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46 .ABLA xxr Fi INTERVAT. o sea 45'5.50. por N/4.o-9e3_-B!_r2!_ : 87--= 15r25. segundo (Q2) y tercero (Q¡) de para lo que reproducimos Ia tabla XVllen lasiguienla distribución de la tabla te: ll. de QI . De este intervalo.80 81-85 86-90 91-95 96 . o 4 13 N= Cálculo de Q. el 75/".muItiplicandoelsubíndice 1. 1 1 5 329 II. 3o) Vemosenlacolum- a B2t 25 na de frecuencias acumuladas que Ia primera de estas que iguala o supera = 106. = 5' I ai Y substituyendo en la fórmula 14: Ét Q3 .= 55r5 ' F¡-t = 157 ' f. reproducida en la Tabla XXl.i6n los valores de los cuartiles son: de la Tabla ll.ri.118y de manera similar a como hemos calculado el primer cuartil.pa- dl6-uariil terJeró ix N/4 = 3x329/4 = 246175 Li-I = 65'5. Cálculo de ra et cátculo Q". tendremos. L dir.l-. observando la tabla XXI: ixN/4=2x329/4= t64t50 L. 3t3O= 68'80. I 5. Y substituyendo en Ia fórmula 14: " 164t 50..1I9 Cálculo de Q2.3. . f. I = 65'50+246172--225 x5 = 65'50 + En resumen. Siguiendo los pasos dados en la pág. el mismo valor hallado en el cálculo de la mediana de Ia distribuciónde que (pág Il7) . . a¡ = 4L. - 33. Según los datos de la tabla XXI tenemos: y los se pasos ya indicados.. para el cuartil segundo.'.r.t57 -55150+:+x5=55'50+ v2-^ 0'91 =56t41 '4L que es trata. 118 ).* (15) f¡ en la que: C.L20 Ql = 47'45. i - sub-índice numérico del centil buscado. ya que. Para calcular los centiles o percentiles de una distribución de valores agrupados en intervalos. I F. por el mismo concepto del centil. [ = número de casos o suma de frecuencias. Q2 Cálculo de centiles. = centil o percentil que se busca. de la distribución de la tabla ll. lo que buscamos es aquellos valores que dejan bajo síy sobre síun cierto porcentaje de casos. t-r -- frecuencia acumulada inmediata anterior al intgrvalo donde está til el cen- buscado. se aplica la fórmula: ixN -F i-I 'u. loo c.(pág. I I Para el cálculo de los centiles se siguen exactamente los mismos pasosquepara el cálculo de los cuartiles (ver página 119). Ejemplo: calcular los centiles primero. deja bajo sí el50% de casos y-sobre si 50'h. con los datos que aparecen en la tablá XXl. cincuenta. = amplitud del intervalo donde está el centil que se busca. Q3 = 68'80. deja bajo sí el75%de casos y sobre si 25/". sesenta y cinco y noventa. r'l) . veinticinco.-.l-I. deja bajo sí el25/" de casos y sobre si 75'h.I = L. = frecuencia absoluta del intervalo donde se halla el centil buscado. a. = 56141. Li-1= límite real inferior del intervalo donde se halla el centilbuscado. con la salvedad que en vez de N/4 será N/100. n. 5. o sea Ot46 x5 = 2t30. C25 = 45'50 +82t25-67 39 x5 = 45t50 +79'25 39 =47t45 y como C25= Q1. 4") Del valor 3129 restamos lafrecuenciaacumulada inmediata anterior.25. 2o) Hacemos N/100 = 329/L00 = 3t29.2100 = 25 x 329 /100 = 82'25 Li_I = 45t 50 Fi_I = 67. 5 (El valor del centil uno. este resultado es igual al que hallamos en la página 118. De este intervalo. f¡ 39. 0'458 que aproximamos. 5 se es Cálculo de0r= Siguiendo el mismo procedimiento y de acuerdo a los datosde la tabla XXEEññT:¿r' i x N. a. esto es: 2Ot5 + 2t 30 = 22t80. 3") Vemos en la columna de frecuencias acumuladas que la primera de estas que supera o iguala a 3'29 es Fi= 6. según Ia fórmula. A continuación multiplicamos el cociente anterior pol la amplítud del intervalo. tomamos el límite real inferior. por exceso de 0'46).L27 Cálculo de C1. El centil primero se localiza multiplicando el sub indice 1. por N/100 o sea r x 3t29 = 3t29. o sea 3129 . Substituyendo en la fórmula 15 sería: ' CI = 20'50+ 3t2g-l x5 = 20150 + 2t3O = Z2\BO. Y 5') EI producto 2t30 lo sumo al lÍmite real inferiordelintervalo. Esta diferencia la dividiremos entre la frecuencia absoluta del intervalo dicho. en el cual está el centil primero.. La diferencia de 0'01 se debe a que el cociente 2t2g b. . Io) Tenemos formada Ia tabla de tres columnas. o sea 20r5. tt) I Y subsfituyendo en la fórmula 15:. seúa 22t79 va que el divisor anula con el factor 5.l= 2t29.cuyo intervalo es 2l. de c1. De manera que C1 = 22tBO es el punto o valor bajo el cual queda el 1'/" de los casos y por encima el 99'h. o sea 2t29:5 = 0146. 5' Y substituyendo en la fórmula 15: C5O l-64'. 41. este resultado es igualal obtenido para el cuartiltercero.t57 --x5 = 55t50+ =55'50* 0191 =56'41 y como C5O = Q2 = Md. tenemos: i x N/100 = 75 x 329 /L00 = 2461 75 = Fi-I = f¡ = '¡ = 65'50 L¡-1 225. 5' y substituyendo en la fórmula 15: cls = 65f50+ . tenemos: ix N..t-I. 117 ). fi ai = = = = 55r5 157. Siguiendo el mismo procedimiento y de acuerdo a los datos de la tabla XXl. 119 ) y para la mediana. este resultado es igual a los que hallamosanteriormente pael cuartil segun?o (pág. .j1üfrU rl 246175 _225 B x5 = 65150 + 3130 = 68180 = Q3.164t50 L¡-t F.2100 = 50 x 329/l-O0 -. (pá9.Cálculo de Cs6. (pá9. .50 . Siguiendo el mismo procedimiento y de acuerdo a losdatos de XXl. ra Cálculo de fa tabla CZ5. 33. = 81100.294 2t x5 = Bo'50+ 1o'5 21. PUNTUACIONES CENTILES I 5 32'. fl ) . para Ia distribución de la tabla ll.v2 99 94'. de la distribución dicha. 4'1.62 50r á6'41 55 58'.723 Cálculo de la tabla XXl.45 30 49'56 51'40 53'01 4.2L No solamente por las fórmulas se puede obtener el valorde la distribución que corresponde a un cierto cuartil o centil. 66'30 68'80 80 ?1€0 85 90 76'02 81'00 95 84'. Ccn. En la tabla XXlldamos los percentiles del I al 99 . Hemos marcado con asterisTABLA XXII co (*) los centiles quecorrespondena lostres cuartiles. podemos seguir obteniendo los demás valores. mediante la 0jíva de Galton. Siguiendo el mismo procedimiento y de acuerdo a los datosde tenemos: ixN/100=90 x 329/100 = 296'| Li-1 Fi-t ri- c- B0'50 = 294. 2t. existe un procedimiento gráfico.82 20 45'. 5.25 25. que con casi la misma precisión. permite obtener esos valores o puntos fácilmente. Asícomo calculamos los cuartiles y centiles de los ejemplos.42 60 60'43 65 63'& ?0 75. que veremos en páginas siguientes.98 15 4t. I Y substituyendo en la fórmula 15: c9o = Bor50+ 296't .0 6 54'.S 10 37'. d. as Para la localización gráfica de que se trata.j:. utilizando las fórmulas respectivas. Además del cálculo aritmético de los cuartiles y centiles. frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas.:H:il5:::. con la diferencia que las frecuencias acumuladas se substituyen por los porcentajes que les corresponden dentro del total de casos. l5) que da. página 44 aunque. b la.22t 9ru par. con suma facilidad esos valores. 9. según los pasos indicados anteriormente. c) columna 3:contiene las frecuencias absolutas de los intervalos. :9. conviene usar las fórmulas L4 y L5."s acumulativos de las respectivas trécuen- Ejemplo: construir Ia 0jiva de Galton que corresponde a la distribuciónde la taLos datos.3: DETERMINACI0N GRAFICA DE cUARTILESY cENTILES. Columna t. d) Columna 4:contiene las frecuencias acumuladas que corresponden a los límie) bla gue: ll. aparecen en latab[aquesrj ¡"f .*r. 0JlvA DE GALToN. pueden localizarse estos puntos mediante Ia Ojiva de Galton (fig. b) columna 2:contiene los límites reales superiores de los intervalos. formando la tabla de valores.t24 9. Cuartiles v centiles de una distribución de frecuencias de valores sin a- Para este caso. que es el de Ia distribución de la Tabla l. dispondremos los datos en una taÍ: a) Columna l: contiene los intervalos de la distribución. y procederconforme los pasos que se indicaron yapara el cálculo de estos valores en distribución de frecuen- cias con intervalos. tes reales superiores de los intervalos. Eri cierto modo la ojiva es semejante al diagrama acumulativo. Ia mayoría de autores no Io tratan. entonces.t L25 L TABLA XXIII INTERVALOS Li*1 f (1) (2) (3) L6 -20 20'5 2l 26 31 óo 4L 46 51 56 61 -30 30'5 16 86 9t 96 _+0 -45 . que el 13rL/" de sujetosquedan 43 x 100 z 329 = por debajo de la puntuación 40'5. Así.55 -60 -65 .4 óó 80'5 85'5 (5) 1 20 60'5 65'5 Pa. Podemos decir.4 329 II Los valores de las columnas 1a 4 ya los conocemos. puesto que el centil. entonces. que representan el 60r2"/" de 329. Vemos también que los valores de Ia columna 5sonpuntuacionescentilesquecorresponden a los límites realessuperiores de los intervalos. ¿qué porcentaje es 43 respecto de 329 ?.80 . o sea hasta 40r5 hay 43 casos hréasecolumna4). Los de la columna5. De igual modo.100 1 0'3 6 1'8 4 10 3'0 7'0 13'1 43 24 6'. que esellÍmite real superior del intervalo 56 .60 hay 198 casos. por el cociente 100/N que es constante.| 322 95'5 100'5 5 321 2 329 N= 20'4 32'2 78'. 5 20 FUENTE: T¿bta i. Será Podemos décir. la puntuación 6015. La fórmula práctica de obtener los porcentajes acumulados de la columna 5esmultiplicando cada frecuencia acumulada Fi.t 225 60'2 68'4 84'5 16 218 294 2l 315 95'8 97'9 99'4 100'0 90'5 . 13 77 81 1¡ 89'. Eltotal de casos es N = 329¡ ahora. que por debajo de la puntuaci6n 60'5 queda el 6Ot2%de casos.como ya se dijo.50 . es aquel valor o punto que deja bajo sí un cierto porcentaje de casos. En nuestro ejemplo esL00/329 = 0r304 aproximado por exceso.70 (4) 40'5 45'5 50'5 55'5 70'5 . equivale a la puntuación cen- - "J .t 39 106 51 157 4L 198 2'.85 -90 -95 . De manera Quermultiplicando todas las frecuencias acumuladas de la columna 4 por elvalor 0'304 obtendremos los porcentajes acumulados de la columna 5. de! intervalo 56 60. - ]-3tl.porcentajes acumulados (Pa) se obtienen de la manera siguiente: sabemos que hasta el lÍmite superior del intervalo 36 40. por ejemplo. hasta el valor 60'5. al revés.5 90.5 25. Datos de la tabla II. bastará encontrar el punto donde el valor de abscisas corta a Ia curva de porcentajes acumulados -que se llama 0jiva de Galton.r.L26 t¡t 60r 2. para saber qué centil corresponde a un determinado valoro puntuación.y leer en la escala óentil. a- . De esta cuenta. según losdatos que hemosanotado en la tabla XXlll. ll.5 85.5 20. Ojiva de Galton.5 30. si deseamos saber qué valor corresponde a un centil dado.5 95. Para hacer Ia gráfica marcamos en abscisas los lÍmites reales superiores de los y en ordenadas los centiles en una escala de 0 a r00.5 Figura 15. bastará ver en qué puntos ese centil corta a Ia 0jiva y leer en el eje de abscisas. tal como se hizo para el diagrama acumulativo. ?5. . Esta gráfica se construye uniendo los porcentajes acumulados que corresponden a los límites realesdichos. o.s To.5 ¿55flt5 ñ'5 ffr'5 6á. La 0jiva de la tabla parece en la figura 15.Jl 15. intervalos. o viceversa.ó 80.5 100. se satisfacía por la apreciación personal del maestro. de individuos. por ejemplo. Para averiguarlo necesitamos comparar esas puntuaciones en la mismaunidad de medida.. Es evidente quemientras más numeroso sea el grupo. 3) De las puntuaciones directas obtenidas por un alumno en diversas materias no se puede saber en cuál está mejor. Así. Además las calificaciones escolares son más significativas si se asignan en relación al grupo al que pertenece el alumno. se desprende que ha obtenido una calificación que le sitúa por encima del 65% de sujetos de su grupo y que por encimade él hay el 35"/. Los centiles resuelven de manera más objetiva y justa ese problema. 3B en Lenguaje y 60 enCienciasNaturales. Por ejemplo: si en una prueba de Matemáticas un alumno ha obtenido 65 puntos no se puede conocer cómo está el rendimiento del alumno en esa materia. La aplicación de los centiles en ciertos aspectos educativos es de vital impor- tancia. t. » La necesidad de asignar puestos a los alumnos según su rendimiento-práctica muy observada en otros tiempos. la puntuación directa 65.l . es más significativa en un grupo de B0 alumnos que en uno de 25. puede ser también mediana o baja. no podemos ver en qué asignatura es superlor un alumno que obtuvo 45 en Matemáticas. Pero si se dice que el alumno obtuvo el centil 65. Esta unidad de comparación pueden ser los centiles. la competencia es más reñida.4: SIGNIFICACION DE LAS PUNTUACI0NES CENTILES. Así. como puede ser afta calificación. Entre las conveniencias de su uso citaremos las siguientes: I) Una puntuación centil se interpreta más fácilmente que una puntuación directa. yaque Iapuntuación 65.\ t L27 L 9. y las puntuaciones respectivas. segundo y tercero. calcule: Los cuartiles primero. 6. Hasa una tabla que contenga los datos de tatabla XXlll (páq. 125 y ) después. ft . 2. página 54 . 3.v LZB EJERCICIO 9 Con los datos del ejercicio 1. Compruiebegráficámente algunos centiles obtenidos mediante la apf icaci6n de ra fdrmula 15. obtenga la 0jiva de Galton de la distribución. Haga una tabla que contenga los percentiles semejante a la tabla XXll. pág 123 . 10. I0. .99.¡ .5: Desviovión medio.82: Distribución de frecuen' cios. 10.82lr Yolo¡es sin ogrupor' 10. 10.4: Amplitud semiinlercuo¡ti l.95: P¡uebo de Cho¡l ie¡.62: Dist¡ibución de frecencios. 10.2: Medidos de voriobilidod. Eiercicios.96: Obse¡vociones sobre lo desvioción típico.822: Vqlores ogrupodos en iniervolos. I0.6222 Volores ogrupodos en inte¡volos.99: Lo qsimetrío.7: Cálculo obreviqdo de lo desvioción medio. 10.2: Coeficienie de osimetrío de Peorson. 10. Concepto. 10. 10. I0.97: Uso de !o desviooión típico.81: Serie simple.98: Coeficiente de vorioci6n.8i Desvioción típico o siondo¡d. 10.ól: Serie simple( 10. 10. 10. I0.6: Cótculo de lo desvioción medio. 10. 10.l: Voriobilidod o dispersión. 10.74: Uso de lo desviqción medio.3: Recorrido o omplitud totol. I0.1: Cálculo de lo osimelrío. 10.71: Yolores ogrupodos en inte¡volos de omplitud vorioble.91: Obtenci. 10.94: Volores ogrupodos en intervolos de omplitud colstonte. 10. t0.99.ón de lo fó¡mulo fundomentol.92: Volores sin ogrupor.ón típico. l0'621: Volores sin ogrupor. 10.72: Volores ogrupodos en intervqlos de omplitud consfonte.93: Yolores ogrupodos en intervolos de omplitud vorioble. Fundomen' to.t_ TEMA X l0. 10.9: Cólculo obreviodo de lo desvioción típico.73: 0bse¡vociones sobre lo desvioción medio. 10. 10. t0. Definición y concepfo.80: Cólculo de lo desvioci. 10. Al conocer la dispersión se conoce también la concentración de los valores. 10. Diremos. en quetzales. se pone de manifiesto en los siguientesejem- plos: d Sean dos matrimonios. el problema que se trata de resolver midiendo la variabilidad o dispersión.4. Se impone la necesidad de conocer cómo es esa tendencia/ y en qué medida se relacionan. La variabilidad es otro de los conceptos fundamentales. sin embargo. y. 4. en el segundo l'53 n. de cuánta variabilidad está a- fectada la distribución y si los valores se hallan muy dispersos o no alrededor de la tendencia central. cuando se hace el análisis estadístico de un fenómeno. 2. X = 1r60 m. entonces. las diferencias de los valores de uno y otro grupo respecto de su promedio los hace distintos. Este es. una eslamás t! ) . en más o en menos/ los valores de la variable con el promedio. ahorraron. En ambos matrimonios la estatura media es la misma.5. Que la media aritmética. Casos como los de los ejemplos se presentan a menudo. GruporrBtr= 3. en síntesis. 1'50 m. X = 414 X = 4t4 en donde vemos también que/ a pesar que el promedio de ahorro es el mismo en ambos grupos. y en general las medidas de tendencia central no son suficientes para describir un fenómeno. y lt67 m. De las medidas de variabilidad que estudiaremos a continuación. rrArr Grupo lr4rr y rrBrr. pues ambos términos son opuestos. dentro del análisis.130 10"1: VARIABILIDAD 0 DISPERSI0N. L0. lo siguiente: = L. Este análisis no puede Iimitarse a la obtención de la tendencia central. y Lt70 b) el Dos grupos de niños.2: tie- MEDIDAS DE VARIABILIDAD. se necesita sa- ber. en primero las estaturas de los cónyuges distan más del promedio que en el segundo.5. en el primero las estaturas de mujer y maridoson de m. asícomo su medici6n imprescindible. dicho de otro modo: la tendencia central es necesaria pero no suficiente para el estudio de una distribución. Una variable donde hay mucha concentración ne poca dispersión y viceversa. cómo es la tendencia central. que la variabilidad es la manera como varían o se distribuyen los valores de una variable respecto desutendenciacen- tral. 6.4. luego. La desviación típica o standard. cada una con sus limitaciones. 4. y El coeficiente de variación. LaS que comúnmente Se USan. Lavariable(puntuaciones en una prueba de Ciencias Naturales) toma valores desde 16 hasta 99. si no se sabe cuáles son el mayor y menor valores de la variable. . para determinar el número de intervalos y su amplitud. son: 1. 2. Ejemplos: l.4: y ¡. Surecorrido será: b) A=(99-16) + l=84.3: El recorrido. de ser pocofiable ya que se basa en los valores extremos (mayor y menor) de la distribución.. a la diferencia entre los valores mayor y menor de Ia distribución. La desviación o variación media. esto hace que sea. El recorrido o amplitud semiintercuartil. una medida un tanto gruesa. 5. un dato sobre lavariabilidad. Su recorrido será. Tiene el inconveniente. entonces: A=(L9-3) + l=17. Comomedidadevariabílidad áeja mucho qrl d. además. Esta medida se obtiene dividiendo entre 2 la diferencia de los cuartiles tercero primero. o sea que no todas tienen el mismo rigor. Por otra parte.ut y sólo se usa cuando se quiere saber. d La variable (errores en Obtener el recorrido de la distribución de la tabla un dictado) toma valores desde 3 hasta 19. amplitud total o variación máxima. tal como se indicó en el tema respectivo. El recorrido o amplitud es útil. 3. o sea. en forma rápi: da. 10. Es exactámente el recorrido de la variablequeyacalculamos anteriormente apficando la fórmula 1. 0curre algo similar a las medidasdetendenciacentral.t. especialmente. RECORRIDO 0 AMPLITUD T0TAL.. no se puede obtenerla cuando los valores están agrupados y se desconocen los datos originales. 10.131 importante: la desviación típica. RECORRID0 0 AMPLITUD SEMIINTERCUARTIL. Se expresa mediante la fórmula: Q= Q¡-Qr (16) . Esta medida se obtiene agregando una unidad. pues. Obtener el recorrido de la distribución de Iatabla ll. esto es.de los valores de la variable respecto de un pro. respecto de la media.M.L32 a = recorrido en la que: o amplitud semiintercuartil. Para obtener la amplitud semiintercuartilaplicamos Ia fórmula d 16. En una distribución normal y simétrica. 10. resulta que Q es la mitad de la porción de la escala que contiene el 50'h medio de los casos. Enes- ta distribución ya sabemos que QI vale 47t45 gás. como Ia am plitud semiintercuartil (Q) es la mitad de la amplitud intercuartil. En estas desviaciones de los términos respecto de un promedio s6 basa el cálculo de la desviación o variación media como medida de variabilidad. Ya sabemos que desviación es la diferencia entre un valor Xi cualquiera de la distribución y uno cualquiera de los promedios o medidas de tendencia central: media. Debajo del primer cuartif queda el 25% de los casos. Q3 = cuartil tercero de la distribución. y será negativa o positiva. la mediana será igual al cuartil primerl más la amplitud semiintercuartil. aunque se prefiere usar la media. A la diferencia entre los cuartiles tercero y primero se Ie denomina amplitud intercuartil. l-a desviaci6n media (D. tendremos: B0 .) o variaci6n media (V. el punto medio de la amplitud intercuar til y la mediana coincidirán.47145 zlt 35 2 ) L = lot67 La amplitud semiintercuartil es poco usada como medida de variabilidad pero ayuda a comprender e interpretar las distribuciones. Ejemplos: 0btener la amplitud semiintercuartil de la distribución de Ia Tabla ll.48 Substituyendo en la fírmula 0- 6Bf 16. De igual manera./ medio.X. Si Ia desviación se toma respecto de la media será Xi . según la fírnula 16. aunque tam bién puede ser cero. entonces. C0NCEPT0. E§to se expresa según la fórmula 17.5: DESVIACI0N 0 VARIACI0N MEDIA. así: ti . prescindiendo del signo. Cuando se calcula la desviación media.Se pue de usar cualquiera de tos valores de teridencia central. las desviaciones de los valoresrespecto del promedio elegido se toman en valor absoluto. Este valor absoluto se denota escribiendo entre dos líneas verticales el dato o su expresión. y debajo del tercer cuartil el 75"h¡ entre ambos queda. según que el valor Xi sea menor o mayor que la media. Q1 = cuartil primero de la distribución. el 50% medio de los casos.) es Ia media aritméticade las desviaciones -en valor absoluto. mediana o moda. 48 ) y Q¡ vate 68'80 (pág.M. Ejemplo: calcular la desviación media. suma de las desviaciones -en valor absoluto.7. En esta serie. 3o.4. contiene las desviaciones -en valor absoluto.3. Los datos forman una distribución de frecuencias de valores sin agrupar. respecto de la media aritmética.5. será: d = lxi - XI N 10. 2o. se hará la tabla respectiva y se aplicará la fórmu- la 17¡ para este ejemplo los datos aparecen en la tabla XXIV. Para ef cálculo de la desviación media consideraremos los casos siguientes: 10. de Ia serie simple siguiente: 2.L33 D.de los valores respecto del promedio elegido.M. habiendo calculado uno de los promedios. 9. 10. CALCUL0 DE LA DESVIACI0N MEDIA. Según los pasos indicados.61: La desviación media de una serie simple. 10. 6. = -frrl (t7) en la que: D. Como hemos tomado Ia media. = >l¿ I = desviación media. tJ .de los valores de la serie respecto del promedio elegido.8. M. La desviación media se obtiene dividiendo la suma de la columna 2 entreel número de términos o valores de la serie. dispondremos los datos en unatabla que contendrá: Columna Columna 1: 2: contiene los valores de la serie simple. Para este caso. X = 54/9 = 6. Los datos forman una distribución de trecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud variable o constante. Los datos forman una serie simple.6: - total de casos o suma de frecuencias. M.62t valores agrupaSi la distribución de frecuencias es de valores sin agrupar. en . M. lal la es (18) ) rJl en la que: D.I 1 i_ t34 I I TABLA XXIV xÍ ldl (1) (2) o4 JU ^o 42 ó1 60 71 82 93 104 20 En este ejemplo: >lul = 20 N-9 Y substituYendo en la fórmula 17: D. ldl desviación media. suma de los product¡¡s de las frecuencias por las desviaciones. M. de Para con litud e las aplicand io ede la var ndientes D. >f. >r. = 2O:9 = 2t2' t0. suma de frecuencias o total de casos.siguiente: TABLA XXY xi f (1) (2) lll (3) 1 b 1 OD 515 416 312 26 12 0' 15 2t6 312 4L2 6%L 17- 7 I 4 4 10 3 8 11 12 13 5 t4 a 15 4 16 3 18 4 19 I N =50 FUENTE: Table (4) ?18 11 2 5' l-ldl 0. contiene los productos de multiplicar las frecuencias por las des- v iac iones . en valor absoluto.. . 3: contiene las desviaciones.62l-: La desviación media de una distribución de frecuencias de vafores sin agrupar. L0. así:' Columna Columna Columna 1: contiene los valores Xi de la variable. que es X = 12 Los datos aparecen en la tabla XXV. ''-€jemplo: calcular la desviación media en la distribución de latabfa l.I3s valor absoluto. Para este caso hemos de disponer los datos en una tabla. La desviación media se obtiene dividiendo la suma de los valores de la columna 4 entre el total de casos. Columna 4: de los valores respecto del promedio elegido. respectode la media aritmética. 2: contiene las frecuencias rrfrrde los valores. de los valores de la vaiiable respecto del promedio eleg N_ ido. ¡'i 158 I. f = 58r03. M. Los datos para el cálculo de la desviación media los dispondremos en una tabla. las desviaciones. Para este caso también se aplica la fórmula sdlo que toman de las marcas de clase o punto medio de los intervalos.136 En este ejemplo: I r. las desviácionesse El procedimiento es el mismo para intervalos de amplitud variable o constante. L0. en valor absoluto. así: Columna 1: 2: Columna Columna 3: 4: Columna 5: Columna contiene contiene cton. si- iente: ¡. de las marcas de clase respecto del promedio elegido. las marcas de clase Xi de los intervalos de la distribu- las frecuencias rrfrr de los intervalos. l¿l = 158 N-50 Y substituyendo en la fórmula 1B: D. respecto de la media aritmética que es viaci6n media de la distribución de la tabla gu ll.. = 158 : 50 = 3tL6. contiene contiene los intervalos de la distribución. contiene los productos de multiplicar las frecuencias por las desviaciones. La desviación media se obtiene dividiendo la suma de los valores de lacolumna 5 entre la suma de fiecuencias.622: La desviación media de una distribución de frecuencias de valoresa- grupados en interva 18.1 . Ejemplo: calcular. la desLos datos están en la tabla XXVI. , r37 TABLA XXVI ' .i * TNTERVALos xi (1) (2, (3) 16 27 26 31 36 4t 46 51 56 61 66 ?1 16 81 86 91 96 1 5 4 13 20 24 39 51 4t z'.t gg zo 16 2t 1 5 2 - 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 ?o T5 80 85 90 95 100 18 23 28 33 38 43 4 53 58 63 68 ?s 78 83 88 93 98 r N=Izs r.lal lal (4) 5 = (3x4) 40'03 35'03 30'03 25',03 20:03 15'03 10'03 5',03 0'03 4'97 9'9T L4's1 19'9? 24',97 29'91 34.97 39,97 40'03 1?5'15 720',12 325',39 400'60 360'?2 391'17 256'53 l'23 134'19 s29'01 zgg'40 319'52 524'.37 209',79 174'85 19'gL Lr4r,or UENTE; Tabla IL En este ejemplo: 2 r. l¿l = N - 4,t421 oL 329. , Y substituyendo en la fdrmula 18: '---".' ,\\ 1 D.M.=4,L42.0L:329=12'59. calcular, respecto de la media aritmética, que es "','E¡emplo: desviaiión media de la distribución de la tabla X @ág.87 ). Lós datos aparecen en la tabla XXVII siguiente, asf: X= 29'95, la r{t 138 TABLA XXVll xif (2) INTERVALOS (1) l¿l (3) (4) 104 415 l',45 25 30 22',5 21'.5 35 32'5 185 35 40 40 50 50 60 45'0 55'0 8 20 5 15'05 25'05 N=823 r.l¿ I =(S x 4) .I?4'80 1,016'75 41l'.15 551'15 571'90 200'40 3,586'75 F(IENTE: Tabla X. En este ejemplo: > f. lol = 823. Y substituyendo en la fórmula 1B: D.M. ho.z, = 3,586t75 : 823 = 4t 36. cALCULo ABREVtADo DE LA DESVIActoN MED¡A. Si se observan los cálculos'y operaciones contenidos en las tablasXXVly XXVII para obtener la desviación media, se notará fo laborioso de este método aplicando.la f6r mula 18. Esto se debe a que, generalmente, intervienen números fraccionarios, 9":u¡.q ciones de alto valor numérico o frecuencias elevadas. ¡ Ante esta dificultad ha habido qué introducir métodos abreviados para el cálculo de la desviación media, demanera semeiante a como se abrevia el cálculo de la media aritmética. Consideraremos únicamente, para el cálculo abreviado de la desviaci6n media. los dos casos siduientes: a) La distribuci6n de frecuencias de valores agrupados en intervalos rJ de ampli- tud variable. b) La distribuci§n de frecuencias de valores agrupados en intervalos tud constante. de ampli- L39 Ns s\stas\s \s srs\s, a\,\ana\§ss q»t \a Ysrrl»\a q»E sE »sapara e\pr\mer ca_ so/ es también aplicable a las distribuciones de frecuencias'de valores sin agiupar,co: mo los de la tabla l. Para este caso, la desviación media se obtiene aplicando la fórmula: rl >f. ld'l + c(fi - D. M. fs) (19) en la que: D. M. = desviación media >f. ld'l = suma de los productos de multiplicar las frecuenciasrrfrr 'l de los intervalos, por las desviaciones -en valor absoluto-de Ias mar- cas de clase respecto de un promedio arbjtrario. c = ri = fs = N - diferencia entre el promedio verdadero y el arbitrario o supuesto. ;:ffi:i;:1',HJ*ffi'J:l1lJ#:,::.i,1'l,l"T:: número de casos o frecuencias que quedan desde el intervalo siguiente al del promedio arbitrario, hasta el intervalo superior. número de casos o suma de frecuencias. Los datos para el cálculo los dispondremos d Columna. b) columna d) Columna Columna c) e, primer inter- I: 2: 3: 4: asÍ contiene los intervalos de la distribuci6n. contiene ras marcas de clase Xi de los intervalos. contiene las frecuencias rfr de los intervalos. contiene las desviaciones arbitrarias, en valor absoluto de las marcas de clase respecto de un promedio arbitrario. Las designaremos por dr. e) Columna 5: contiene los productos de multiplicar las fuecuencias por las desviaciones arbitrarias. r:i 140 La desviación media se obtendrá de la m4nera siguiente: 1. El promedio arbitrario es la marca de clase del intervalo donde se halla el promedio verdadero. 2. 3. Las desviaciones dr se toman en valor absoluto. Todas las desviaciones dr se deben multiplicar por las frecuenciasrespectivas. Con estos productos se formará la columna 5 que ha de ser totalizada 4. . Contaremos cuántos casos o frecuencias hay entre ef primer intervalo y donde está el promedio arbitrario. Estos casos seráh Jos rrfi rl el intervalo de la fórmula. 5, Contaremos también cuántos casos o frecuencias hay entre el intervalo siguiente al del promedio arbitrario y el intervalo superior. Estos casosserán los rrfsrr de la fórmula. 6. La diferencia fi-fs, la multiplicaremos por la diferencia entreel pfome: dio verdadero menos el promedio arbitrario, para obtener la "crrde lafórmula. Si Ia desviación media se calcula respecto de la media aritmética, setá c=X-Xs. 7 . El producto c (fi lumna - fs) Io sumaremos a la suma de los valores de la co5 y luego dividiremos entre el total de casos o N. El cocienteserála desviación media. Ejemplo: calcular abreviadamente, respecto de la media aritmética, ladesviación media de'la distribución de la tabla X. Los datos aparecen en la tabla XXV|ll. En esta distribución ya sabemos gue X = 29t95¡ y como el promedio arbis supuesto se toma de la marca de clase del intervalo donde se halla el promedio trario verdadero, tendremos que Xs = 2715, pues 29t95 se halla en el intervalo 25 - 30. TABLA XXVIII INTERVAI.OS (1) 20 - 2s - 30 Bo - as I tr 50 - Xi (2) 22 21 32 5 s s í: I: 60 550 f. fi = ', s19 (4) fro4 5 [41s 0 frrt *-133 ( 8 N=823 FUENTE. Tebla X- ld1 (3) 10 1?',5 21'5 r'.J 520 ?30 665 220 3. 060 az3 resultado que ya habíamos hallado anteriormente. c = diferencia entre el promedio verdadero arbitrario.060 c = 29tg5 -27\5 = 2145 fi = 519 fs = 304 fi -fs=2L5 N=823 Y substituyendo en la fórmula 19: 3. = ) r. desviación media ) rla'l = . por Ias desviaciones -en valor absoluto- de de los las mar- cas de clase respecto de unpromedioarbitrario.M.060+2t45x2L5 D'M'= =3. de los productos de multiplicar las frecuencias I'f" intervalos. ld'l + c (fi - fs) (20) en la que: D. Para este caso. y el promedio supuesto o el primer inter- I. fi = número de casos o ftecuencias que quedan tlesde valo hasta el intervalo del promedio arbitrario. Estasdesviaciones son unitarias. ld'l = 3.rrn.14r En este ejemplo: >f.586t752823=4t36. M.J . la desviación media se obtiene aplicando la fórmula: D. 78 1. ldl 5: (3 x4) 8 15 14 fi =rq" 113 120 35 24 65 80 12 -60 - f (3) E. L.35 a6 _ 40 4t-454324 46-048139 51 .43. respecto de la media aritmética.. página 97. del intervalo 56.t42 número de casos o frecuencias que quedan desde el intervalo siguiente al del promedio arbitrario.de las marcas de clase respecto del promedio arbitrario. contiene los productos de multiplicar las Frecuencias por las desviaciones arbitrarias. será Xs = 58. así: Columna Columna Columna 1: 2: 3: 4: Columna 5: Columna los intervalos de la distribución.60. En esta distribución X = 5B' 03 y como el promedio arbitrario se toma de la marca de clase del intervalo donde está el promedio verdadero. de B . l¡i (21 133 120 B Jre 131 121 N= 51 21 66 60 64 105 11 42 329 tñ l. Ios dispondremos en una tabla. fs número de casos o suma de frecuencias.30 3r . en valor absoluto. las frecuencias "fI de los intervalos. 35 16 .25 2q . las desviaciones unitarias.55 Es 61 66 11 16 81 86 er s6 " 6J 60 13 rs 83 88 g¡ * 56 23 2F 33 T 65 ?0 ?5 80 85 90 sn 1oo ruNTE: Tabla ld1 (4) f. hasta el intervalo superior. Los datos se hallan en la tabla XXIX siguiente: TABLA XXIX NTERVAPS xi (1) (2) 16-20n(t 27 .!' . contiene contiene contiene contiene Para obtener las desviaciones unitarias se sigue el mismo procedimiento utilizado para las desviaciones en el cálculo abreviado de la media aritmética. i - amplitud constante de los intervalos. las marcas de clase Xi de los intervalos.ladesviación media de la distribución de la tabla ll. Los datos para el cálculo. Ejemplo: calcular abreviadamente. Ténganse presentes las recomendaciones dadas en el numeral 5. pues. dada en la tabla ll.l42t0l- z 329 =I2t59 resultado que ya habíamos hallado anteriormente. (pás. Entonces: = ). - 828 + 01006 x 67 329 .M.58:5 = fi = 198 fs = 131 58103 01006 fi -fs=67 i = 5. Yá sabemos que r-T . 0 sea: restandoy suman do una D. M. a la media aritmética. Como se dijo. Comprobemos si en nuestra distribuci6n de las puntuaciones en la prueba se cumple la propiedad dicha. los dos valores que resultan dejan comprendido en tre síel 587" de los casos.5 = 4. La desviación media como medida de variabilidad. para ello. aunque acá nos hemos limitado al cálculorespecto de la media aritmética. Tomemos.732 Observaciones sobre la desviación media. ocufre que enlre el puntc o valor situado a una desviación media por debajo de la media aritmética.M. N = 329. c= ld'l = B2B . y el punto o valor situado a una desviación media porencimade la media aritmética. Cuando una distribución es aproximadamente normal. Y substituyendo en la fórmula 20: '---\ D. como hemos visto. queda comprendido el 5B"h de los casos. se puede calcular sobre cualquier promedio.t43 En este ejemplo: >f. = comprende el 58"/" de los casos. 12'59. de Ciencias Naturales. simétrica o de tipo gaussiano. Esto es: Xt r O. 10. es mucho más fiable que táaffi'rtud o recorrido yque la amplitud semiintercuartil. 141 ). se basa en las desviacionesde todos los valores de la variable respecto del promedio elegido. 118 en esta distribuci6n X = 58'03 y D. la distribuci6n segfnaparece en Iatabla XXI (pág.M. a) Si se quiere saber et grado de aproximación de una distribución a la curva notmal. Entonces: 67 casos.1 D.M. aproximadamente. a 4'BB unidades corresponderán 20 x 4'88: 5 = L9t 52 casos. diremos que debajo del valor 45t 44 quedan 67 casos. El otro valor. entre los valores 45t 44 y 70t 62 estará comprendido el 587" de los casos.de los casos/ esto es.l . Entre los puntos 70'62y 45t 44 quedan. Veamos: 45t44 se encuentra en el intervalo 41 .L44 X . las de- Cuando se quieren formar grupos equivalentes con-la aplicaciónde una 't. corresponden a 4tBB unidades y restarlos de los 278 casos que hay hasta el límite 75'5.45.12'59 = 45144 X+1D. = 58103 . hasta el cual hay (véase la columna Fi 67 casos. que representan el 5B%. aproximadamente 258 e casos. Como entre el lÍmite real superior del intervalo. hasta el valor 70' 62 quedan 278 .Lgt 52 = 25Bt 48 casos. c) - sola prueba. 5B"hde 329.06 unidades.67= 191 casos.M. 10. siendo mejor que más la de menor desviación media. Esteresultado nos dice que la distribución es aproximadamente normal.74: Uso de la desviacién media. Debemos aver¡guar cuántos casos. que es 70t62 se halla en el intervalo 7L-75 cuyo límite real superior es 75'5. Entoncps. b) Si se desea comparar varias distribuciones. Esto se averigua así: Si a 5 unidades (las del intervalo)corresponden ZOcasos. Ia columna Fi nos dice que hasta dicho límite hay 278 casos. =58103 + L2t59 = 70t62 Si la distribución es aproximadamente normal. 258 . La diferencia entre ese límite y el valor 70t 62 es igual a 4'BB unidades. Es aconsejable utilizar Ia desvia- ción media. de los 20 que hay en dicho intervalo según Ia columna 'rf'r. que es 45r5 y el valor 45t 44 apenas hay la diferencia de 0. Debajo del valor 45'44 hay aproximadamente Debajo del valor 70' 62 hay aproximadamente 258 casos . L44 X . Debajo del valor 45t 44 hay aproximadamente Debajo del valor 70'62 hay aproximadamente 25Bcasos . a 4188 unidades corresponderán 20 x 4r88: 5 = 19'52 casos. esto es. 258 . de los 20 que hay en dicho intervalo según Ia columna "f'r.M. aproximadamente. c) sola prueba. hasta el valor 70'62 quedan 278 . d Si se quiere saber el grado de aproximación de una distribución a la curva normal.67= 191 casos.1 .de los casos. Entonces: 67 casos.M.06 unidades. b) Si se desea comparar varias distribuciones. 58% de 329.. Debemos averiguar cuántos casos. El otro valor. Es aconsejable utilizar la desvia- ción media. que es 45'5 y el valor 45t44 apenas hay la diferencia de 0.. Esteresultado nos dice que la distribución es aproximadamente normal. la columna Fi nos dice que hasta dicho límite hay 278 casos.45. L0. hasta el cual hay (véase la columna Fi 67 casos. entre los valores 45t 44 70' 62 estará comprendido el 5Bl.L9t 52 = 258' 48 casos. las de- Cuando se quieren formar grupos equivalentes con-la aplicaciónde una . diremos que debajo del valor 45t 44 quedan 67 casos.12'59 = X+1D.1 D. La diferencia entre ese límite y el valor 70'62 es igual a 4'BB unidades. de los casos.74t Uso de la desviacién media. aproximadamente 258 casos. corresponden a 4¡88 unidades y restarlos de los 278 casos que hay hasta el límite 75t 5. Entoncps. Entre los puntos 70'62 y 451 44 quedan. que representan el 58"/. que es 70'62 se halla en el intervalo 7L-75 cuyo límite real superior es 75t5. Esto se averigua asÍ: Si a 5 unidades (las del intervalo)corresponden 2Ocasos. y Veamos: 45t44 se encuentra en el intervalol 41 . =58'03 + 12159 = 45t44 70t 62 Si la distribución es aproximadamente normal. Como entre el IÍmite real superior del intervalo. = 58103 . siendo mejor que más la de menor desviación media. La raz6n de extraer raiz cuadrada es para volver las desviaciones a Ia unidad de medida de la variable. La desviación típica o standard se define como la ra(z cuadta' da de la med¡a aritnÉt¡ca de los cuadrados de las desviaciones.. eD ¡:í . Para retornarlas a la unidad de medida lineal debe extraerse raíz cuadrada.Este inconvenien te se salva elevando esas desviaciones al cuadrado. no solo por ser la más significativa y fiable de las medidas de variabilidad. cuadrado medio de la variaci6n y desviación cuadrática media. también sabemos que la suma algebraica de las desviaciones es cero. ya que toda cantidad.D. tienecuadradopositivo. Estas desviaciones tendrán signo negativo unas y positivootras. . -Definición. nEs universalmente usada. alcuadrar las desviaciones éstas ya no estarían en unidades Iineales sino cuadradas.. nombre que le dió su introductor. aunque también se utiliza Ia letra castellana "srro las iniciales S.L45 10. con lo cual lodas se convierten en positivas. Esto sehaceasí convencionalmente. Y la f6rmula fundamental que la expresa es: /_ >d2 \J =v/ c=. negativa o positiva. I La desviación tÍpica o standard también también se calcula tomando las desviaciones de los valores de la variable respecto de la media aritmética. Es decir: si la unidad de medida fuera lineal. propiedades que la Se denota generalmente por la letra caracterizan. etc. típica o standard es la principal medida de variabilidad y deposible. de Standard De' viation. sino por los muchos cálculos a los que se aplica.el Estadístico Karl Pearson en elañoLBg6. ya que matemáticamente no tiene fundamentación. * en la que: O- desviación típica o standard. La suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre el total N de casos es lo quese denomina varianza¡ si a esta varianza extraemos raizcuadrada el resultado será la desviac ión típica. lo cual no deja de ser un inconveniente de la desviación media. Además de los nombres de standard o típicatamquesea siempre be calcularse bién se le llama: desviación tipo. ' CUando se calculó la desviación media pudo notarse que las desviaciones no setomaron con sus signos correspondientes sino en valor absoluto.8: LA DESVIACI0N TIPICA 0 DESVIACI0N STANDARD. La desviación ' griega(fque se lee rrSigma minúscula". desvío paY6n. d2 4. Columna Columna 1: 2: contiene 'los valores Xi de la serie. habiendo obtenido previamente la media aritmética. Ejempfo: calcular Ia desviación tÍpica de Ia serie TABLA XXX s TTT xi d. 38. Los datos forman una distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud variable o constante. en Ia forma siguie. para ú .L46 > d¿ = suma de tos cuadrados de las desviaciones de los valores de lavariable respecto de la media aritmética. En esta serie. contiene los cuadrados de las desviaciones. Los datos forman una distribución de frecuencias de valoressinagrupar.80: número de casos o suma de frecuencias. X = 40.81.t 4s 1 s 4s s 4000 38-24 3?-39 35 -5 25 96 igu iente: 47. contiene las desviaciones d de los valores Xi respecto de la Columna 3: media aritmética. 43. Los datos torman una serie simple. N 10. 40. entre el número de términos de la serie.nte: aplicar laf6rmula2l. La desviación típica se obtiene extrayendo aiz cuadrada al cociente de dividir la suma de los valores de la columna 3. 10.37. Los datos el cálculo los vemos en la Tabla XXX. 3. 2. 35. para este caso basta Los datos para el cálculo los hemos de disponer en una tabla.' CALCUL0 DE LA DESVIACI0N TIPICA 0 STANDARD. Para el cálculo de la desviación típica consideraremos los casos siguien- tes: 1. de los valores. y habiendo calculado previa datos en una tabla.B2L: Para este caso. Columna 2: contiene las ftecuencias Columna 3: contiene las desviaciones de los valores Xi respecto de la me' Columna dia aritmética. Y substituyendo en la fórmula 21: q=V0. suma de los productos de las frecuencias por los cuadrados de las_des viaciones de los valores de la variable respecto de la mediaaritmética suma de frecuencias o total de casos. así: 1: cont¡ene los valores Xi derrfrrla distribución. Q2) en la que: O- ) - f. es decir: 2!.d2= N- desviación tíPica o standard.t47 En este ejemplo: >d2 = 96 N =6. rl . = 6 4. 82: Puede ocurrir que los plitud variable o cons una modificación de la fórmula : aplica indistintamente a estos casos y es en el sentido que las desviaciones al cuadradosemul tiplicarán por las frecuencias correspondientes. =r[. 10. Columna Columna 4: contiene los cuadrados de las desviaciones 5: contiene los productos de multiplicar las frecuencias por los cuadrados de las desviaciones. 10 . a2 = 750 N-50. TABLA XXXI ( 2 t. que es el total de casos.148 Ejemplo: calcular la desviación típica de la distribución de Ia Tabla la que X = 12.d 5 = (zx4) xÍ f d. al cociente de dividir la suma de los valores de la columna 5 entre la suma de los valores de Ia columna 2. 49 ?50 f¡ . d 1) (2) (3) (4) 3 z 81 1 49 162 49 b 1 36 36 8 4 16 64 I 4 I 36 10 3 4 12 11 2 1 t2 5 :1 13 L4 8 15 4 16 4 16 48 t44 18 4 óo 19 1 49 N= 50 FUENTE: Tabla I. Y substituyendo en la fírmula 22: 750 50 = t/ 15 = 3t87. en Los datos aparecen en la tabla XXXI. La desviación típica se obtiene extrayendo raíz cuadrada. En este ejemplo: 2¡. l. a2 = 750 N-50. ¡2 5 -.(r"E 2 81 5 1 49 762 49 b 1 36 36 4 4 16 64 7 8 I 10 2 11 o 4 12 1 2 t2 :1 13 L4 8 15 4 4 I 16 16 18 4 19 1 N= 50 FUENTE: Tabla I. En este ejemplo: 2¡. en Los datos aparecen en la tabla XXXI. TABLA XXXI XII (1) (4 2 d. al cociente de dividir la suma de los valores de la columna 5 entre la suma de los valores de Ia columna 2. Y substituyendo en la fírmula 22t 750 50 = t/ 15 = 3t87. La desviación típica se obtiene extrayendo raíz cuadrada. d (3) (4) Í. 48 t44 49 lo ?50 rJ . l.148 Ejemplo: calcular la desviación típica de la distribución de la Tabla Ia que X= 12. que es eltotal de casos. contiene los productos de multiplicar las frecuencias por los cuadrados de las desviaciones.L49 d ución de frecuencias de va10. ¿2 6=1sx5) lNTERVAI. contiene las marcas de clase Xi de los intervalos.822.125 8.275 6?5 3.125 3.500 6.600 8.900 7. Los datos para el cálculo aparecen en la tabla siguiente: en la que X = TABLA XXXII r.400 625 13.225 6.600 6.OS (1) 16-20 26-30 31-35 36-40 4t-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-?0 ?1-?5 't6 .000 5. contiene las frecuencias 'rf'r de los intervalos. @l¡tuddelosintervalosseavariableoconstante.300 t. habiendo calculado previamente la media aritmética. contiene los cuadrados de las desviaciones.300 4.100 18 23 28 33 38 43 48 53 58410 63215 68 ?3 ?8 83 88730 93535 98240 1 5 4 13 20 24 39 51 33 20 16 21 N= 329 FUENTE: Tabla tr. pondremos en una tabla.400 3.200 81.ión de la Tablall.125 1. La desviación típica se obtiene extrayendo raíz cuadrada.125 900 6. 58.650 jt. al cociente de dividir la suma de los valores de la columna . contiene las desviaciones (d) de las marcas de clase respecto de la media aritmética. _ Ejemplo: calcular la desviación típica de la distribuc. así: Columna Columna Columna 1: 2: 3: 4: Columna Columna 5: 6: Columna los dis- contiene los intervalos de Ia distribución.225 900 625 400 225 1oo 25 1.Laúnica salvedad es que los valores Xi serán las marcas de clase de los intervalos. . 25 100 225 400 1. La lores agrupados qqjnlg1y_alel Ya dijimos que para este caso se aplica lafírmula22. Los datos.600 3.6 entre la suma de frecuencias. de manera semejante a como hemos hecho para otros cálculos.80 81-85 86-90 91-95 96 . -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 10 15 20 25 600 L. dr-d=(Xi -Xs)-(X¡ -ñ=Xi (. t.rc = t5'75 CALCUL0 ABREVIADO DE LA DESVIACI0N TlPICA. FUNDAMENTO. 82 .l . pág.) Nota importanre: -X-s-Xi +X=X-Xs=h. como veremosal finaf del presente tema/ en un solo cuadro podemos resumir todos los datos y operaciones para obtener los valores estadíslicos de una muestra.X - sean: desviación de un valor Xi respecto de la media aritmética verdadera. 10. dr= Xi h =X- Xs = desviación de un valor Xi respecto tica supuesta. 329. utilizando un procedimiento que/ con ia misma precisión. d = Xi .9: fz+e. Es fácilobservar que aplicando la fórmula 22. La demost¡ación anterior la he tomado de "Introducción a los Métodos Estadfsticos". d2 = N - 81. Y substituyendo en la fórnula 22: 81. respecto de una media supuesta Xs que ya conocemos.650 o-10. Además.150 En este ejemplo: 2f. ya citado. del Lic. este principio fundamentelaobtención de Ia desviación típica abreviadamente. si se puede obtener la media aritmética con base en las desviaciones de los valores respecto de una media supuesta. haga más rápido el cálculo. el cálculo de Ia desviación típica resulta laborioso. La [órmula fundamental para el cálculo abreviado de Ia desviación típica se obtiene tomanclo las desviaciones de Ios valores Xi. (Xs = de la media aritmé- P) Xs = diferencia entre la media aritmélica verdadera y la meclia supuesta. Manuel Gonz|lez Bellido". Repetimos acá algo de lo dicho para la nredia aritmética: conviene abreviar la obtención de es[os valores. Demostrac ión (*) En la figura L3.91: Obtención de Ia fórmula Fundamental.650. De esta cuenta. 3 el valor de h.91.2 N N- _¡ |/> o.151 Entonces: dr=d+h(10.9t.91. tendremos: >o' .1 se deduce (10.91.1) d.3) que: >dr = >d+Nh Como en el primer término del segundo miembro es igu-al a cero. Ia igualdad anterior queda: >d' = despejando h: Nh h - Ia' N Substituyendo en 10 2d'2 N = .fZ1' \' N \N / de donde: > d2 = >d.9I. Ia expresión anterior queda: 2¿'2 = 2¿2 + trlh2 )¿'2 = >d2 + ¡2 i- Dividiendo entre N: NN De 10.2) Pero por ser la suma algebraica de las desviaciones respecto de Ia media gual a cero.2 = ¿2 + zdh + n2 ¡0.\2 \ru/ fl . 'i: i' ilJ.92t La desviación típica -abreviadamente.::1 . dividir la suma algebraica de los productos de las frecuencias por las desviaciones. o sea: de (24) en la que: O.de una distribución de fre- Cuando se presente este caso. contiene las frecuencias (D de los valores.xflil{'.T' fJ i :' . rl .:T. por el método a- brev iado.t52 Extrayendo taíz cuadradat es decir: (23) que es la fórmula fundamental para el cálculo de Ia desviación típica. l0 .¿' ¡z = \ N / N - desviación típica o standard. ¡.". Los datos para el cálculo los hemos de disponer en una tabla. entre el número de casos. contiene las desviaciones (dr) arbitrarias . cuadrado del cociente de suma de frecuencias o total de casos.. i'. ff" T it' iJ r' i :.de Ios valores respecto de la media supuesta. la fórmula 23 se modifica en el sentido afectar las desviaciones por las frecuencias correspondientes. así: Columna Columna Columna 1: 2: 3: contiene los valores Xi de la distribucién.l.'J.- 2 r' d' 2 = / \^ () f. de ción de Ia [abla l.106 f. Ia distribu- Los datos para elcálculo aparecen en la tabla siguiente: TABLA XXXIII xi (1) f (2) _d' (3) é Z -II 5 1 1 6 3 't 4 8 4 9 3 10 2 11 72 5 13 s t480 154144 16326\2 18141664 1915525 N= 50 FUENTE: Tabla I.153 Columna 4: contiene los productos de multiplicar las frecuencias por las Columna 5: desviaciones. 5 se divide entre la suma de lrecuencias.dr). Nótese Io dicho en lo siguiente: en Ia columna 4 van los producLos (f.¿'2 5 = (3 x 4) 81 64 l4'. ¡-- -9 -8 -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 f. Para formar Ia columna 5. Bastará multiplicar los valores de Ia colur¡na 3 por los valores de Ia columna 4 Ejemplo: calcular Ia desviación típica -abreviadamente.por Ias frecuencias. contiene los productos de multiplicar las frecuencias por los cuadrados de las desviaciones. tomando Xs = 14. A este cocienter Posiblemente en la distribución de frecuencias de valores sin agrupar no sea mucha Ia abreviatura/ pero al menos evita calcular los cuadrados de las desviaciones por separado.t 1-41 100 48 18 20 5 914 ¡§ . A esta dilerencia se le extrae raiz cuadrada. La desviación típica se obtiene así: la suma de los valores de la columna restamos el cuadrado de dividir Ia suma algebraica de los valores de la columna 4entre Iasumadefrecuencias.d' (4) -I -8 -21 -24 -20 -72 -6 -10 -5 . no es menester cuadrar las desviaciones de Ia columna 3 y multiplicarlas. tal como lo expresa la fórmula 7. la fórmula 24 tiene la siguiente modificación: las desviaciones se toman unitarias respecto de Ia media supuestá. 1-0. por encima y por debajo de Ia desviación ce ro. Los datos para el cálculo se disponen en una tabla de 6 columnas.93: t52 ). Para este caso. d' N Y substituyendo en Ia fórmula o-o-C- t9t48 .de una distribución de fre- Cuando se tiene este caso se aplica Ia fórmula 24.B V = 3'BB'7 3t resulLado qLre ya habíamos hall ado anLer ormente (pá9. en Ia iórmula 25 aparece Ia amplitud como factor. es decir. con sus signos respec[ivos. Por larazón apuntada. La desviación típica -abreviadamente.154 En este ejemplo: 2t ' d'2 )r. así: rl . de las cuales Ia primera contiene los intervalos de Ia dis[ribución y las restantes en el mismo orden que se ha dado para el caso anterior. 10. cada desviación se divide entre la amplitud que es conslanLe.95 aunque/ como ya se dijo. Pág.L.94: La desviación típica -abreviadamente. con la salvedad que para las desviaciones se usan las marcas de clase y de cada una seresta IamediasupuesLd.de una distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud constante. la forma de hacerlo en Ia práctica es escribir las desviacio nes unitarias. multiplicar las frecuencias por los unitarias.'.tT. ¡i . b) A esta suma restamos el cociente de dividir la suma algebraica de los valores de la columna 5 entre el total de casos. Los datos para el cálculo aparecen en la tabla si- ll. 4: contiene las desviaciones unitarias de las marcas de clase. c) a la diferencia anterior se le extrae ta(zcuadrada y el resultado se multiplica por el valor numérico de la amplitud de losintervalumna los.lx'. I = amplitud constante de los intervalos. suma de frecuencias o total de casos. 3: contiene Ias frecuencias (0 de los intervalos. Los datos para el cálculo los hemos de disponer en una tabla.2 cuadrado del cociente de dividir la suma algebraica de los pro- ductos de Ias frecuencias por las desviaciones unitarias.entre el total de casos. 2: contiene los valores Xi o marcas de clase de los intervalos. las desviaciones de cuadrados suma de los productos de ¡. Columna 5: na u' c o r um respecto de Ia media supuesta.'i 1'o'" :'. t'""' nc i as por I o s La desviación típica se obtiene así: a) Ia suma de los valores de la co6 se divide entre el tdtal de casos. Este cociente se ha de elevar al cuadrado.i."":" o.¿'. ::::'.155 cr -i i (25) t en la que: 2 o- = desviación típica o standard. frxt' ll]iil. de la tabla g uiente: N Ejemplo: calcular abreviadamente la desviación típica de la distribuci6n tomando Xs = 53. así: Columna Columna Columna Columna 1: contiene los intervalos de la distribución. contiene los productos de multiplicar las frecuencias por las desviac iones unitarias. 45 46 .d'2 -G) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 6 . = 329.d.1+.40 38 43 4! . (3) Xi (2) 18 16 .sqq /33A I -= ) --rD \-rl l'l _l 0=5x3rl5=15t75 5 .5) -7 49 -30 -20 180 -52 208 -60 180 100 -48 96 -39 39 4t 108 297 320 400 756 49 320 2 N= 329 I 762 3. En este ejemplo: 2¡. 33l-.15ó TABLA XXXIV INTERVALOS (i) f. .50 § 51-5553510 56-605841147 61-656327254 66-706833399 71-?57320480 '76-807816580 81-8583216126 86-90887'.599 18 331 II.35 36 .25 28 26. d' (4) f.30 33 31 . ú Y substituyendo en la fírnula 25: Tt c= 5 I lz. 5.20 23 21 .d' = t- [ 3.d'2 = >f.599.l 91-95935840 96 -100 98 FUENTE: Tabla 1 5 4 13 20 24 39 f. Es interesante hacer notar que cuando se usa el método abreviado. a) elcuadrado de la suma de las desviaciones más uno. -¡' 10. no hay necesidad de hacer por separado los cuadrados de las desviaciones.95: Prueba de Charlier.d') = f .d' los productos (d') (f.Tgo frl .029 64 x7=W 81 x5=405 100 x2=200 óD 16 36 49 64 81 100 ¿.L57 resultado que ya habíamos hallado anteriormente (pág. Llamando "d" a las desviaciones de los valores respecto de la media aritmética. y en virtud que: ) ¡ tA + D2 = 2r ta2 + 2d + I) = 2fd2 + Z >fd + 2f calcularemos. utilizando (tabla XXXIU los valores de la columna3(frecuencias)ycoIumna 4 (desviaciones). 155 ).0bsérveseelcua/dro o tabla XXXIV y se verá que tenemos: a) b) Columna Columna 5: 6: los productos f . obtenidosmultiplican- do entre sí los valores de las columnas 4 y 5.d'2. y b)) el producto de las frecuencias por los cuadrados dados en d. La prueba o comprobación de Charlier sirve para comprobar la exactitud del cálculo de la desviación típica. Veamos: (d + t)2 -7 -6 -5 -4 + + + + -2 + -1+ 0+ 1+ 1) 1) 1) 1) = f(d + L)2 36 25 = = = )= 16 9 4 1 0 I 4 o 3+ 4+ u+ 6+ 7¡ 8+ 91 xI=36 x5=125 4= 16 x 64 o x13= 117 4 x20=80 I x24=24 0 x39= 0 1 x 5l = 51 4 x 41 -764 q x27=243 16 x33=523 x20=500 36 x16= 5?6 49 x 21 = 1. 590 = 4 substituyendo por los valores en- 329 . Cuando se desea igualar la variabilidad de dos o más distribuciones. coeficiente de correlación lineal de Pearson. se cumple Io siguiente: Si a la mediaaritmética se leresta y suma una desviación típica. 5 y 3. 2f= N = 329. y contrados: 4. Para determinar esta zona. se sigue un razonam¡ento análogo al utilizado para encontrar el 58% de casos que quedan comprendidos en el área limitada a una desviación media. como los siguientes: sigma individual.590. rl . d Ef uso y aplicaciones de ladesviay significación de esta medida. a Ia curva normal. d2 = 3. 2. 3.96t gbservaciones sobre la desviación tÍpica" La desviación típica o standard es la más fiable y significativa de las medidas de varlabilidad. Enunadistribución aproximadamente normal. Para calcular otros valores.590 igualdad que nos dice que el cálculo ha sido bien hecho. 10. Según el desarrollo del binomio dado.158 Vemos que: )r t¿ + t)2 = te. etc.599 2>f. respectivamen- 2r. coeficiente de variaci6n.599 + 662 + 4. En la tabla XXXIV podemos ver. se encuentran 2. en Ias columnas que: 6.97: diverso ción típica es citar algunas de estas aplicaciones. por debajo y por encima.podemos Cuando se desea conocer el grado de aproximación de una distribución empÍrica. así: 1. 4. lírnites de confianza. de la media aritmética. 2x 33L = 662 662.puntos o valores que comprenden entre si el 68'/" de los casos. LO.. construcción de escalas.590 = 3. le 10. cuál de dos o óás J¡rii¡O*irn. Viene dado por la fórmula: A^ .: o. es menos varia_ las variabres en las que hay cero absoruto. lur rrrá. = fr = desviación típica X = media aritmética coeficiente de variación. substituyendo por los varores ya xl0O=27 EI coeficiente de variación se calcula generalmente sobre la media aritmé-r. máE . C. La asimetría es o ística que. Sue. La asimetría puede ser de dos tipos: negativa o hacia a Ia izquierda y positiva o hacia la derecha. ". V. Se ble' su uso se lim tica. interpr dia aritmética. ie la curva seex tiende más sobre la izquierda.i. una distribución es simétrica varores de su varor centrar. = l5t 75 58. ayuda a comp se disiribuyen los valoies de una variable. Es negativa cuando rnu-d. ruu. il. tendremos: C.el tanto porcientoque ladesviacióntípica ¿" i. y por ex- cepc ión. en la práct ica.r'. Este coeficiente resulta de multiplicar r ^^.. En nuestra distribución de ra tabra calculados. y es positiva cuando una de las ramas se extiende sobre la derecha.99. La simetría perfecta"quidistan solo ocurre teóricamente. V. por el. razón por ra que en la mayoría de ras variabres psicorógicas y pedagágicas no se recomienda. aber..10:?8: cociente de dividir la desviación típica de una distribución entre h ar¡tmética correspondiente. además de Ia tendencia central y la variabilidad. V= 0- -=- x X (26) 100 en Ia que: C. LA ASIMETRIA..159 Coeficientq de variación.encaso contrario será asimétrica. por ejemplo. la asimetría consiste en el alejamiento.iH'd""'ljj1H:r':jU'^]3 X: Son muchos los factores que influyen en la asimetría de una distribución. habida cuenta que en una distribución normal los cuartiles 1o y 3o equidistan de la mediana o cuartilsegundo y en la medida que esta relaci6n difiera se conformará una mayor o menor asimetrÍa.160 t l_ La asimetrÍa de una distribución se hace en comparación a la curva norma que es simétrica. 1: 10 .99. Por otra parte. como la que se indica en la fig.16 Distribución simétrica. etc. mediante el momento central de tercer orden. También mediante Ia desviación cuartilar. en más o en menos. muestra poco representativa. o sea el cubo de las desviaciones de los valores de la variable respecto de la media aritmética. como en una distribución normal simétrica. Solo eñ condiciones estrictamente ideales se puede encontrar una distribución simétrica. a Figura No. 16. ra que tos vatores no se disrribuyen tendida sobre Ia derecha. Cálculo de Ia asimetría: De varias maneras se puede calcular Ia asimetría de una distribución. de losvalores de una distribución empírica respecto de la forma simétrica de Ia curva normal dedistribuc ión. b icamente. por ejemplo: instrumentos de medida impertectos. influen cia del tactor subjetivo. Ia manera especial de conducirse un fenómeno. Ios valoresde rl . como la que indica la fig. Grál'icamente se puede expresar así: I 16. 16.a en la que los valores y frecuencias se distribuyen simétricamente respecto del valor central. y una de las rarnas está hás ex- simétric#:[:]i. En síntesis. en la que lo tendida sobre la izquierda. pá9. respectivamente. En este caso Ia asimetría se expresa por: Sk = X - (27) Mo en la que: Sk = asimetría (de skewness. seríaz Sk=58 53 -5. puede resultar de signo positivo(asimé- trica positiva) o de signo negativo (asimétrica negativa). 62 ¡ y 7 .16r tendencia central (media. mediana y moda) coinciden. se puede tomar Ia relaci6n entre la media y la moda para calcular la deformación. Mo = moda . Mo = moda. esto es. se utiliza el coeficiente de asimetría de Pearson. nombre en inglés). y con los valores de la mey moda = 53.|a asimetría. 66 L0. según que la media sea mayor o menor que la moda. de preferencia fórmula 27 estáen térmi cuando se desea comparar la asimetría de dos o más distribuciones. X = media aritmética. Esto lo podemos comprobar observando las figuras 3. La asimetría dada por la ivamente. Como la diferencia es algebraica.99. los valores se extienden más sobre la derecha o por encima de la moda. que es: S'= X-Mo O_ - (28) rJ en la que: Sr = coeficiente de asimetría de Pearson. X = media aritmética.2: Coeficiente de asimetría de Pearson. que nos dice que la distribución es asimétrica positiva. substituyendo en la fórmula 27. Ejemplo: en nuestra distribución de la tabla ll. dia = 58. pág. indica asimetría negativa. especialmente cuando se usa una distribución de valores agrupadosen intervalos de amplitud constante y se procede conforme al método abreviado. es un resumen de las tablas ya vistas y evita calcularlos separadamen- te. Es el caso de cuando la media es menor que la moda. En nuestra distribución de la tabla s. Es el caso de cuando Ia media es mayor que Ia moda. Si S' es menor que cero. Si S' es mayor que cero. indica simetría. Es el caso de cuando la media y fa moda coinciden. indica asimetría positiva.L62 O = desviación típica. sería: 0'32 El valor numérico de comparación de este coeficiente es así: Si S'es igual que cero. .J .= 58-53 t5t 75 = ll. Para cerrar este tema. damos a continuación un modelo de cuadro o tabla estadÍstico que sirve para los datos y operaciones de los valores de tendenciacentraly variabilidad. Estecuadro como se verá. 163 I NT ERVA LOS Con los datos consignados en una tabla que contenga las columnas de la anterior, podemos calcular: 6¡ » a) La tendencia central, asÍ: 1) La media: columnas números 2,3, La moda. Columnas 1, 3. La mediana: columnas L,3, y 4¡ y1 b) » Los cuartiles y percentiles: columnas 5, - y L, 3 y 4. c) La variabilidad, así: 1) La desviaci6n media: columnas La desviación típica: columnas 2, 3, 5, 6, 7. 2,3,5,y 6¡ - ,rl I 164 l EJERCtCto l0 ca lc I. 2. 3. 4' u le: con ros datos de Ia distribución que hemos dado en er ejercic io La amplitud semiintercuartil. Use la fórmula L6, pág, , La desviación media. Use la fórmufa lB, La desviación media. Use Ia fórmula 20, pág. 14L . pág 134 7 ' 9. 10. y sumando r. indica en 10,73, La desviación típica. Use la fórmula 22, pág. La desviación tÍpica. Use la fórmula 25, pág. 155. 147 , Compruebe si en dicha dístribución, restando y sumando una desviación la media aritmética, Ios puntos encontrados déjan síer 68.,/"Je tÍpica l;;;;;;.. a Verifique Ia exactitud del cálculo de la desviación típic.a, mediante la comprobación de Chartier. proceda como se ind¡ca en tó .é\i-iai.1if.- " Coeficiente de variación. Use la fórmula Haga un cuadro 26, página I5g. otabla como er que se da en Ia página la distribución del ejercicio 6. 11. 131 Compruebe si dicha distribución es aproximadamente normal, restando una desviación media a Ia media aritmética. Proceda.oro entre B' pág.54 . pág ina 5. 6. 6, L63 , y resuma en él coeficiente de asimetría de pearsonr use Ia fórmura28, página 16r . 4 TEMA XI ll.l: ll.2: ldeo elementol Ecuoción de lo curvo Curvo de distribuci,ón. de lo curvo normol. lI.2l: normol. Grólico. 11.22: Propiedodes de lo cu¡vo normol. Il.3: Puntuociones típicos o stondord. ll.3 l: Areos bolo !o curvo no¡mol. Toblo. ll-4: E¡emplos de problemos que se resuelven or los óreos de lo curvo normol . E jercicios. f{t t66 11.1: CURVA DE DISTRIBUCI0N. Si nos fijamos en Ia distribución de la tabla ll y en las gráficas correspon3, 7 y B), podremos advertir que el fenómeno de que se trata, esto es, dientes (figs. puntuaciones alcanzadas por un grupo de alumnos en una prueba de Ciencias Naturales, es un rasgo que no se halla repartido por igual entre los sujetos de ese grupo. Es fácil ver que entre los punteos 16y 99 hay toda una variedad de puntuaciones. La gráfica misma nos dice que un fenómeno de este tipotiende a formar una curva que seaproxima a la figura de una campana. Esta torma acampanada es Io que se llama curva de distribución y viene determinada porque los valores no se reparten por igual. Cuandoel grupo que sirve de muestra es representativo de la población, esta,curvatiendeasersimétrica notándose que la mayor frecuencia de valores se agrupa en torno a un punto medio y quedando en los extremos los casos menos numerosos. No todos, pero sÍgran parte de los fenómenos que hemos denominadoátípicos, se reparten en forma acampanada. A efecto de estudiar másafondo tasdistribuciones acampanadas se introdujo en Estadística la curva normal o curva ideal de estetipo de fenómeno§'. Vamos a ver/ somera y elementalmente en qué consiste dicha curva. Ll.2: IDEA ELEMENTAL DE LA CURVA NORMAL. Se llama curva normal a la expresión gráfica de una ecuación matemática, que da lugar a una distribución teórica de frecuencias llamada distribuciónnormal. Esta distribución es, entre las teóricas, la que más se presta al estudio de fenómenosempíricos de tipo acampanado y se le ha definido como ¡rla descripción más probable de las frecuencias de ciertos acontecimlentos naturalesrr. Llamar normal a esta curva no indica, en r¡gor/ ninguna normalidad; el ca- Iificativo es más cuestión de costumbre. ella, pero es evidente síse comporten así. yen conforme a riables que No todos los fenómenos atípicos se distribuque en psicologíay pedagogíaexistenmuchasva- Lr..2l Ecuación de la curva normal. Qáfjqa, Al decir que la distribución normal es teórica, se quiere indicar que no es rETni Empírica, sino matemática;y tiene por ecuación la siguiente: Y = Yo _22 .e 2 e9) en la que: y = yo = la ordenada correspondiente a un cierto valorrrz'r.. la ordenada máxima que corresponde a la media aritmética. ¡ri puntuación típica o valor expresado en términos de la desviación típica. p. normal. puntuación diferencial o difeiénciaalgebraica entre una puntuación directa Xi menos la media aritmética. La puntuación típica. r x la puntua desviación típica de ladistribución. la siguiente: o sea la curva rt . por representación gráfica. X = = = media aritmética de la distribución.: ción 65 en un test. (equis minúscula). que se denota por ¡lzrr (zeta minúsculd se obtiene mediante la f6rmula: z==Xi .71828.167 e= la base de los logaritmos neperianos. EI número'rerrvale z= 2.X x frr en Ia que: (30) Xi = puntuación directa o valor directo en la variable.e. La distribución normal tiene. Es simétrica respecto de su ordenada máxima. Es unimodal. La puntuación típica puede ser negativa cuando el valor directo es menor que la media aritmética. igual a cero. A la diferencia entre ese valor Xi y la media aritmética se le llama puntuación diferencial. 2. o sea. o positiva. L67 ). o sea: X 11. 5. Todas las ordenadas son siempre positivas. .3: t Í = 68% PUNTUACIONES TIPICAS. también. siendo = 10. 6. 7.: B0-50 10 30 10 _- tl . el valor obtenido se denomina puntuación típica. La media aritmética es igual a cero y la desviación típica igual a uno. Ia ordenada que corresponde a Ia moda. queda comprendido el 68"/" de los casos. 4. La suma de todas las frecuencias o área total bajo la curva es iguala la unidad.168 I L1. Paraobtenerlapuntuacióntípicadeunvalordirectobastasubstituirenlafórmula 30. En el intervalo definido entre una desviación típica por encima y por debajo de la mediá aritmética. Si a un valor Xi cualquiera de una distribución de ftecuencias restamos la media aritmética y dividimos la diferencia entre la desviación típica.22. 3.¿ Por ejemplo: en un test un alumno obtuvo la calificación Xi = 80. Entre dos valores fijos queda siempre la misma área o número de casos. que una puntuación típicaesun valor empírico o puntuación directa expresado en términos dé variabilidad oenunidades típicas.: La distribución normaltiene las propiedades o caracte 1. Es decir. B. (páS. Los valores de tendencia central coinciden. La puntuación típica de este alumnose- la media = 50 y la desviación tfpica ria. o sea que media aritmética = mediana = moda. Veamos un ejemplo sobre lo dicho: al alumno M Ie fueron aplicadas las ptuebas rrArr y rrBrr.50 En este ejemplo. por ejemplo. su significado universal y que permite Ia comparación de dosomás va-' lores de una distribución en las mismas unidades.-t . o de dos o más distribuciones'Se interpreta como el número de signas ro desviaciones tÍpicas a que se encuentra una puntuación directa Xi por encima o por debajo de la media aritmética. nos indica que el alumno es inferior a la media aritmética en tres desviaciones típicas. = -30 10 -3. La puntuación típica también se Ilama rrsigma de un sujetorry tiene. tes: Prueba 'rA'r Prueba rrB'l XtrXi 30 12 20632 42 Obteniendo primero las puntuaciones diferenciales (x) tendremos: xA = X4 . la media es 20 y la desviación típica alumno es superior en la prueba "At'. en puntuaciones típicas. otras ventajas.XA = 42. Tenemos entonces. Tenemos. pues. . o sea. En la prueba "A". la puntuación típica 3 es positiva y nos indica que el asuperior a la media aritmética en 3 desviaciones típicas Iumno es Dicha puntuaci6n'tz't también puede ser negativa. las siguienles puntuaciones direclas: XA = 42¡ Xg = 32. la media aritmética es 30 y la desviación típica 12. y Aunque aparentemente el en la prueba rrB't. En la prueba rrA'r obtuvo 42 puntos y en la prueba "8"32 puntos. entre.30 = L2. z 10 = -3. X=50 . Esdecir: z: 20 .Í si Xi =20 = 10.L69 En este ejemplo. losdatossiguien- 6. la comparación solo será rigurosa en términosde la variabilidad. España.00. r.000.) Nota Ímpoft'ante: La tabla en mención la he tomado del Cu¡so de Estadfstica y Psicometrfadel Docto¡ Mariano Yela. anteponiéndoles a cada uno el punto decimal. Es de doble entrada. y que en la prueba 'rB"es superior en dos desviaciones típicas. tendremos: zA - A l2 O L2 *B z3= o L2 -1 . Como Ia distribución normal es absolutamente simétrica. (. debemos reducir las puntuaciones diferenciales a típicas. el alumno M es superior en la prueba t'Btt respecto de la prueba I'A". substituyendo según indica Ia fórmula 30.3I: la curva normal. siendo Superior a la media aritmética en las dos. petot ¿podemos decir que estas puntuaciones significan lo mismo? ¿que es tan superior en la prueba "A'r como en la prueba "B'r?. y er el cuerpo de la tabla los porcentajes de casos que corresponden a las puntuaciones típicas. esto es. si esnegativa.00 es Ia misma que Ia rrzrr es positiva indicará el comprendida entre la media y la puntuación z = -1. Los resultados anteriores nos dicen que en la prueba "A" el alumno M es superior a la media aritmética en una desviación típica.170 Por Io que se ve. el número de casos que están a una desviación tÍpica por debajo de la media. La tabla que damos a conti11. Los valores del cuerpo de Ia tabla suelen interpretarse como probabilidades o como porcientos. En resumen.T . Si número de casos que están a una desviación tÍpica por encima de la media. La tabla ha sido construida para dar el número de casos que se hallan entre la media aritmética y el valor tÍpico indicado por la fi la y lacolumna. Tabla. enunamuestra de I0. el área comprendida entre Ia media aritmética y la puntuación típica 'z = 1. el alumno M tiene igual puntuación diferencial en ambas pruebas. En el segundo caso basta con separar dos cifras de izquierda a derecha. En el primer caso se consideran como decimales. Universidad Central de Madrid.z. y. Para responder. nuación (*) se conoc rrzrl así: en la primera fi Ia y en la primera columna contiene las puntuaciones típicas indicadas por x/Ü. 0 4998.8 3.4 4992.8 0.2 2.t6'.6 2.1 4992.0 4986.5 4986.1 481? 4É51 4890 4916 4936 4952 4964 49't4 4981 4986 4990.9 4981.6 01 99 0596 0987 1368 3531 4115 4798 4a42 48?8 4906 4429 .922 4999.3 4989. .1U68 4898 4922 2.966 5.3 4995.2 0.0 4999.? 4991.6 4991.5 4991. I 4. 1 o.1 2.0 2.683 4.171 ]'ABLAxxxv AREAS BA'O x IA CIJRVA NORMAL ENTRE LA MEDIA YUN VAIOR TIPICO DADO 00 01 02 0.11 4984 4987.9 4989.4 4996.9 Él .211 4999.8 4988.9 4332 4452 45s4 4647 4173 4345 4463 4564 4649 4179 436't 43'10 4414 @4 613 +582 4656 4664 4'126 4132 2. 3 0. 99?133 3.2 1.6 4988.6 1.9 4938 4953 4965 4974 4987 4 0 4941 4955 4956 4966 4967 4915 49't6 4 2 4982 0 3.6 0.4 s.1893 4978 4118 4A26 4€64 4896 4920 4783 4830 .05 06 .03 0120 051? 0910 1293 1664 20L9 2351 2673 2961 3238 3485 3?08 3m? 4¡82 4236 4't88 4€34 4a?1 4901 4925 4943 4951 4968 4977 4983 04 0160 055? 0948 1331 1?00 .4 4112 4821 4a61 .19 49?9 4980 4985 4985 4986 438 3 4495 4591 4671 4138 4194 4838 4375 4904 4921 4945 4959 4969 49'.9 1915 2251 2580 2881 3159 1950 229t 2611 2970 3186 1985 2324 2642 2939 3272 1.519 4999.5 1.0 3.4 3413 3643 3849 4032 4792 3438 3665 3869 ¿¡49 4207 3461 3686 3888 4066 4222 1.8 1.144 4406 4515 4608 4686 4750 4418 452s 4616 4693 4156 4929 4803 4É46 4881 4909 4931 4808 4850 €84 4911 4932 4946 4960 4910 4918 4984 4Ct8 4949 4951 4961 4962 4963 49?1 4912 4913 49'.3 4991.6 4'.t 4990.1 2.5 0.8 2.0 1.l 3.09 0359 0753 1141 151? 18?9 2224 2549 2852 3133 3389 3621 3830 4015 411't 4319 4441 11535 4545 4625 4699 4'16r 4633 4106 4a12 4854 4887 4913 49 4988.0 4992.3 4990.129 3. 1 1.5 2.2 4991.129 3925 4099 4251 3?49 3944 4265 3554 3??0 3962 4t31 4279 357? 3790 3980 474't 4292 3509 3810 s997 4762 4306 43 4505 4599 4678 4'.1 1.5 4999.4 0000 0398 0193 11? I 1554 0040 0438 0832 t2r1 1591 0080 0418 08?1 1255 1628 0.614 6 s. ? 0.409 4998.3 7.0? 08 1?36 02s9 0636 1026 1406 1112 0279 06f5 1064 7443 1808 0319 0114 1103 1480 Lg4l 2054 2389 2104 2995 3264 2088 2422 2'.0 0.2 4993.8 4992. 166 3.3 2.r34 3023 3290 2t23 2454 2164 305 1 3315 2151 24a6 2194 30?8 3340 2190 25L1 %28 3106 3365 3508 3'. 631 3. está la aplicación de la curva en el interesante caso de: en nueve 3) Distribuir un grupo de sujetos en grupos menores o subgrupos. Buscamos Otro ejemplo: hemos hallado que z = 1.78h¡ es decir.05. que da el porciento de casos comprendido entre la mediay una puntuacióntípica dada. este valor. se interpretaría como porciento de casos por debajo de la media hasta el valor rrzI dado. Sepuede decir. entrela media y la puntuación z = 1.00. I. LI.4: EJEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR LAS AREAS DE LA CURVA NORMAL.05. los problemas a los que se aplica son.00.5. hemos de leer en fi la y columna el valor típico rrzrrdado. En los ejemplos anteriores hemos asignado a 'rz" el signo más. Elpunto donde se cruzan nos da el valor 4678 que en porcientos es 46. frecuencias la distribución Además de estos casos generales.En tal sentido.!72 Para manejar la tabla de la curva normal. averiguar los puntos de que les corresponden.1915 y en porcientos 19.85 = en Ia primera columna el valor 1. buscamos en laprime0. y luego. pero si fuera negativo. rJ . (Problema directo). de acuerdo al rendimiento o capacidad en un rasgo dado. procede siempre que se sepaquela variable o fenómeno estudiado se distribuye aproximadamente en forma normal.8 y en la primera fila el valor 0. que entre la media aritmética y la puntuaci6n z = 0. que a su vez se subdividen casos.15"/". ver en el cuerpo de la tabla el númerodecasos o porcentaje correspondiente. La aplicación de la tabla XXXV.18'k de los casos. hallando que es 1915. expresado en probabilidades es 0. l5'/" de casos. tes: 1) Dado uno o más puntos de la distribución. de losdostipossiguien- . entonces. las 2) Dada una o más frecuencias. averiguar que les corresponden.5 estácomprendido el 19 . (Problema inverso).5 y 0.85 queda el 46.B + 0.5 y en la primera fi la el valor 0. en general. vemos en el cuerpode la ra columna el valor tabla el punto donde se cruzan Ios valores 0. Ejemplo: hemos hallado una puntuaciónz= 0. 43¡ buscamos 1.O0 . mediante los ejemplos siguientes: a) Dado un punto.36%.43. Lo primero será transformar la puntuáción50en puntuación típica. = 35. = z= respectivamente.36 es el porciento de casos entre la media y Ia puntuación z = L.4 en la primera columna y 0.03.L7 .03 en la primera fila.36% y por encima 10O. vamos a resolver solamente dos subcasos del caso 1.-5/7 = -0. Ejemplo: 1: en una muestra que se distribuye normalmente. averiguar el número de casos o frecuencias que tienen puntuaciones comprendidas entre X1 = 25 y X. que tiene media = 40 y desviación típic¿ = 7. Transformando las puntuaciones directas en típicas.4"/"'queson.36%. Pueden suceder estos casos: I) ambos valores están por debajo de Iameambos valores están por encima de la media. Substituyendo en Ia fórmula 30: 50-40 = I0/7 = L'43. las frecuencias por debajo y por encima del punto dado. con media = 40 y desviación típica = 7. serán: r-J 25-40 =L zz= 7 35-40 = n5/7 =-2. pues !. averiguar Ia frecuencia de casos que está por debajoo por encima de dicho punto. C omo la distribución es simétrica. pero 42.36 7. b) Averiguar Ia frecuencia dia¡ 2) que queda entre dos valores dados. EI punto donde se üuzan es 4236 = 42. y dos del caso 2. averiguar Ia freouencia que está por debajo y por encima de la puntuación directa Xi = 50.92.43hay 50 * 42.4 + 0. de modo que hasta l. a ambos lados de la media queda el 5o"h de los casos.43 queda el 92.t73 Para no salirnos de lo elemental de estos apuntes.36 = 92.43== 1. Se puede asegurar entoncesquepordebajo de z = I.6.77 . Ejemplo: en una muestra que se distribuye normalmente. y la med¡a queda entre am- 3) bos valores. Ahora debemos ver en Ia tabla qué valor corresponde a Ia puntuazión z 1. l7 también el 48. Hallamos en la tabla el porciento que les corresponde. averiguar la frecuencia o casos que tienenpuntuaciones comprendidas entre XL= 25 y X2= 55.0.39"/".loque significa que entre las puntuaciones 25 y 35 queda 22.17 el 48. se procedería de igual manera/ es decir.Ahora bien estos porcentajes son Ios comprendidos entre Ia media aritmética y las puntuaciones 'rzrrdadas.71 el 26.L7está por debajo de la media y 2. Puede que'sea inferior al ocurrir: 1) que la trecuencia dada supere al 50"/" de casos. y 2) 50"/".00"/".L7 = l5/7 = 2.2. (lnverso del caso a).39'/" de casos. tl 1: en una nluestra que se distribuye normafmente. Si ambas puntuaciones hubiesen salido positivas/ o sea.17 el 48. la media queda entre ambas. Primero vemos que 68l" = 50% + 1B%. están por debajo de la media. el porcentaje de casos entre esos puntoses Ia suma de porcentajes. o sea 48. Pero como -2. con media iguaf 40 y desviación típica igual 7.50"/". haciendo la diferenciade porcentajes. entonces.50"/oy para2. por encimade Ia media.lL = 22.t74 Vemos que ambas puntuaciones son negativas/ es decir.17 Vemos que siendo las puntuaciones una negativa y otra positiva.50 = 97. Transformando las puntuaciones directas en típicas. buscamos ahora en el cuerpo . siendo: para -2. esto es: 48. siendo para. Ejemplo 2: en una muestra que se distribuye normalmente.50 . siendo la media = 40 y la desviación típica Ejemplo igual a 7.507" y para . serán: zL= z2= 25-40 7 55- 40 = -15/7 = -2.l1-h. c) Averiguar el punto que está por debajo o por encima de una frecuencia dada.L7 por encima. Hallamos en la tabla los porcientos que corresponden a esas puntuacio- nes típicas.50 + 48. Es natural. que la frecuencia o porcentaje de casosentreambos puntos sea la diferencia de porcentajes.26. averiguar el punto que deja bajo si el 68"/" de casos. que 43. columna) y 0. y sobre él queda el 32"/" restante. de los ca- Ejemplo 2: en una muestra que se distribuye normalmente.44 y la media queda el l7"hde casos. averiguar los puntos que dejan entre sí.4 (Ia. x = 2. fila). Buscamos en el cuerpo de la tabla el área más próxima a 29.L0 porexce so.00 y nos da el valor 29.29 luego. 36. deje comprendido el L7"/" de los casos. ii)x= Xi -X. - = t-t .-3.L75 de la tabla el área que esté más próxima al lB%= f AOO hallando que es 1808 por exceso.0--(-0. con media aritmética = 40 y desviación típica = 7. con media = 40 y desviación típica = 7. Como t80B está en la intersección de 0.4qx7=-3. x=2.47. z 0. - A cada lado de Ia media quedará 58 ¡ 2 29T" de los casos. Vemos que 33"/" es menor que 50%¡ el punto que buscamos está dado por aquel valor que.07 (1a.44.29 Es decir. luego. d) Averiguar los puntos que dejan entre sí una frecuencia dada. con la media. a ambos lados de la media.= 0.0. diremos que le corresponde el valor típico z = 0.X¡ =X+ x=40+3t29=43. el 5B'h medio de los casos.08 x = Xi -X .de los casos. Por la fórmula 30 sabemos que: -- z='0.44 es superior o deja bajo sí el 33"/" de casos. averiguar la puntuación que deja bajo sí el 33"/. luego.47 x 7 = 3.29 es la puntuación que deja bajo sí el6B"h sos.92 es la puntuación directa que deja bajo síe\33% de los casos. Ejemplo: en una muestra que se distribuye normalmente.08 Xi = X*x = 40 + (-3. B 1. (inverso del caso b). Vemos enelcuerpo de la tabla cuál es el valor más próximo a 1700. hallando que es exactamente elde puntuación Entre z = -0. que le corresponde la puntuac i 6n z = 0 .08) = 36. Por la fórmula 30 sabemos que: v i z = -= 0- .92 Es decir. 81 0.67 x2= Y las puntuaciones directas: *1 = 40 + G5.67 queda el 5B"h medio de los casos.67 Entre 34.81 Hallamos ahora las puntuaciones diferenciales (x).67 = 45.67 0.Z = 0.67) = 34.33 y 45.81 x7 = 5. r! .81 x 7 = -5. sabiendo que: xI = -0.33 *2 = 40 + 5.L76 Como la distribución es simétrica. tendremos que: z-I = . 2. averiguar las puntuaciones que a ambos lados de la media dejan el 68"/" de casos.58? ¿ Qué valor corresponde 1. 10. z = a la puntuación z = a la puntuación z = ¿Qué valor corresponde a la puntuación 1. cuál es la puntuación que deja bajo sí el 43"/" de casos. 6. Utilice la tabla XXXV para resolver los ejercicios siguientes: 1. 5. viación típica 9. En una muestra que se distribuye normalmente. En una muestra que se distribuye normalmente. viaci6n típica = rl . con media aritmética = 5By des = 16. 4. con media aritmética = 5By des= 1-6. qué porcentaje de casos queda entre las puntuaciones35y 80.96? ¿A qué puntuación típica corresponde el valor 3920? ¿A qué puntuación típica corresponde el valor 4484? ¿A qué puntuación típica corresponde el valor 0120 ? En una muestra que se distribuye normalmente. con media aritmética = 58ydesviación[Ípica = 16. En una muestra que se distribuye normalmente. con media aritmética =58 y des16.t77 Ejercicio 11 INSTRUCCI0NES. 3.00? ¿Qué vafor corresponde 2. qué porcentaje de casos quedan por debajo de lapuntuación viación típica Xi = 74. B. 7. 12. I2. 12.ón simple. t I r : Concepto de co¡relo- ción.5: Coeficiente de correloci.ón.I TEMA XlI I2.l: Vo¡ioble bidimensionol. 12. tÉ¡ .ón cuondo se uso toblo de doble entrodo.3: El coe{iciente de co¡reloci. Eiercicios.ón o¡dinol.41: El coeficienie de correloción en toblo de columnqs.21: Cor¡eloci. 12.422 El coeficienle de correloci. 12. 12. 12.222 Cor¡eloción y función motemótico. 12.6: Valo¡ocíón 'del ce ficiente "r" de correlqción.ón.4: Cílculo del coeficignte de co¡¡eloeión simple lineol. I2.2: Tipos o cloies de correloci. (estatura) Aunque inicialmente el estudio de la dependencia de dos variabhs no sp llamó correlación sino regres¡ón. debe su desarrollo a los trabajos de Yule' Edgeworthy Pearson. y en sentido vertical (ordenadas) los valores de la otra variable.2t TIPOS 0 CLASES DE CORRELACI0N. La correlación pgede conceptuarsecomolatendenciadedosffiiarconcomitantemente.lz VARIABLE BIDIMENSIONAL. li- rl . o sea. En el cuerpo de la tablase escriben las frecuencias de cada par de valores. por lo menos hasta Ia edad de 25 años. tendremos una distribución bidimensional de frecuencias. entonces puede decirse que entre ellas hay correlación. Por ejemplo. Hay varios tipos o clases de correlación. En estos apunles trataremos solamenLe Ia correlación simple neal. o sea el índice numérico que dá la cuantfa de laasociación entre dos variables. corresponde a Galton la paternidad de lacorrelación. conocer si hay relación entre el peso y la estatura de las personasi entre el peso y la edad. seescribenlos datos asÍ: en sentido horizontal (abscisas) los valores de una variable. Es natural que a mayor covariación corresponde úayor correlación. l-2.L]-: Concepto de correlación. cuando se iestudia una distribución bidimensional de frecuenciaS. Esto se estudia a través de Ia corre- lación. tratar de medir hasta dónde son comunes dos o más variables. etc. Generalmente. o entre la inteli- gencia y el rendimiendo escolar. 12. se dice que se está estudiando una variable bidimensional. Esta tabla recibe el nombre de tabla de doble entrada. en la que. El coeficiente de correlación. en un reticulado. Se trata de conocer la conexión o grado de asociación que puede existir entre los fenómenos. o simplemente dos variables. Unejemplode fenómenos que varían concomitantemente es este: la estatura de las personas aumenta de acuerdo a la edad cronológica. Si los datos los escribimos en una tabla que contenga los valores de ambasvariables y las frecuencias. según la asociación que exista entre las variables. para obtener un índice numérico que indique el grado de esa asociación.Siloscambiosen las variables son concomitantes. entonces. es el que se refiere a la relación que existe entre dos o más rasgos o fenómenos.L79 L2. que hay relación entre los cambios de una variable (edad) y losdela o- tra. Cuando en una misma muestra o grupo de sujetos se estudia larelación entre dos rasgos distintivos. Qtro de los aspectos importantes del análisis estadÍstico. Quiere decir. están en relación constante. En la correlación simple se distinguen dos modalidades: Ia lineal y la no lineal. Su valor numérico varía en el intervalo -1 . la función expresafarelaciónmatemática que liga a las variables. la relación que existeentre la fongitud cje la circunferencia y el diámetro de la misma: si aumenta el diámetro también aumenta la longitud. La correlación se usa en las ciencias no exactas porque se desconoce la relación funcional entre los fenómenos. se recurre a un índice numérico que se llama coeficiente de correlación.22t Correlación v función matemática. puede ser: r=r= r= 1. Por ejemplo: la relación entreeldiámetro y la longitud de la circunferencia se expresa matemáticamentei pero la relación entre Ia edad y el peso de las personas no se puede expresar con rigor matemático. El coeficiente de correlación sirve para expresalnuméricamente. de las cuales una es independiente y la otra dependiente. 00 .00 0. Puede ser. en general.00 1.3: EL COEFICIENTE DE CORRELACI0N. 72. Según su valor. como es necesario conocer en alguna forma esa relación entre losfenómenos atípicos. la relación que existe entre la presiónejercida sobre un gas a temperatura constante y el volumen del gas: al aumentar fa presión disminuye el volumen. elgradoenque los valores (medidas) de dos variables tienden a variar coniuntamente en torno de las med ias arit-méticas respectivas. 12.00 a 1. La correlación simple lineal es negativa cuando al crecer una variable la otra decrece. pero hay una diferencia quedeberesaltarse: mientras que la correlación expresa latendencia de dos fenómenos a variar concomitantemente. rJ . En este tipo de correlación se estudian dos variables nada más. Ahora bien.180 L2. la relación o asociación entre dos variables estadísticas. en ciencias exactasnose habla de correlación sino de función matemática. que indica correlación nula. y si disminuye la presión aumenta el volumen. la otra también crece o decrece. y si disminuye el diámetro también disminuye la longitud. El coeficiente se denoia por [a letra rrr'¡ y se escribe r¡y qüe se lee: coeficiente de correlación entre las variables X e Y. Por la mismaraz6n. Por ejemplo. La correlación simple Iineal es positiva cuando al crecer o decrecer una variable. Por ejemplo. La correlación simple lineal o rectilÍnea consiste en que los cambiosde la variable dependiente respecto de Ia independiente. lndica. que indica correlación perfecta positiva. Tanto en la correlación como en la función matemática se trata de la relación que existe entre dos variables. a su vezl positiva o negativa.21: Correlación simple. o viceversa.00 que indica correlación perfecta negativa. 4 0.por locomún.Y r. L2. Usando tabla de doble entrada. generalmente.6 Figura {.4t CALCUL0 DEL COEFICIENTE DE CORRELACI0N LINEAL SIMPLE. r.8 0. 12.00 17: Campo numérico de posibles valores del coeficiente de correlac ión. Será meno3 imperfecta cuanto más se aproxime a la unidad.8 -0.6 0.9 1. Para suobtención consideraremos los casos siguientes: a) b) Usando tabla de columnas. cuando los datos o medidas en las dos variables están en forma de serie simple. . decimal. y siempre que nd sean muchos.-Jt (31) ar. ry en la que: rxy = coeficiente de correlación entre las variables X e Y.3 -O2 -0. expresando que Ia correfación es imperfecta. El procedimiento más empleado es el del método de Pearson. En la figura 17 podemos ver el campo numérico de posibles valores del coefic iente: Valores positivos Valores negativos -1.3 0.1 0 0.? 0.7 -0.5 -04 -0. La tabla de columnas se usa.41: El coeficiente de correlación en tabla de columnas.5 0. El valor numérico del coeficiente es.2 0.00 -o9 -0. Se obtiene aplicando la fórmula: rxy = 2x.1 0. ya sea negativa o positiva.181 En la práctica no existe la correlación perfecta. y solo por remota excepción se encontraría.l. 182 2*. en el denominador. conbiene los cuadrados de las desviaciones de los valoresde la variable Y.y = suma algebraica de los productos de las desviaciones (x) en la variable X. N número de casos. Columna 4: contiene las desviaciones Columna 5: Columna 6: Columna- 7: Columna B: rJ . contiene los cuadrados de las desviaciones de losvalores de la variable X. contiene los valores de la variable Y . en una tabla de ocho columnas. ry desviación típica o standard de la variable Y. Esta fórmula es exactamente Ia 31 y resulta más cómoda. las desviaciones (x) por las desviaciones (y). Para el cálculo del coeficiente de correlación hemos de disponer los datos. contiene los productos de multiplicar entre sÍ. y seguidamente li nuac ión: (il de los valores de la variable X respecto de Ia media. respectode las medias aritméticas respectivas.v txY 2x4 ( (32\ Zv2t en la que. Con estos datos calculamos la media aritmética de las dos variables. La fórmula 31 puede simplificarse (también es demostrable matemáticamen- te) en la siguiente: 2x. esto formaremos las demás columnas en el orden indicadoa con- X y Y. 0-x desviaci6n típica o standard de la variable X. contiene las desviaciones (y) de los valores de Ia variable Y respecto de la media. contiene los valores de la variable X. está laraíz cuadrada del producto de multiplicar entresí las sumas de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media en ambasvariables. así: Columna Columna Columna es 1: 2: 3: contiene los individuos de la muestra. por las desviaciones (y) en la variable Y. entre las puntuaciones de un grupo de 10 alumnos. tendremos: TABLA XXXVI x (21 ALUMNOS (l) Y (s) x (4) C.A.B.R.B.H.B.A. 3.s.E.L.A.A. ít . 10.E.A. 18 10 1 o. Y substituyendo en la fórmula 31: V= @= ZyZ = N- 15. 19 20 2 1701ó000t/-9816 y (5) *2 (6) -5 2 -t 0 -3 -4 1 4 5 _t_ (7) x.c. 19 t4 2 L.S.M.A.193 l Ejemplo: calcular el coeficiente de correlación simple lineal de Pearson.B.E. tl 19 o M.G. 16 15 -1 F.y = L7.G. eY = puntuaciones en Ciencias Naturales.M.y | 25 -5 25 4 1 9 4 36 0 4 4 t 0 9 16 I 16 ?5 -10 (8) -2 0 I 8 6 o 10 En este ejempfo: X= Cx2*2 = 2x.N.R. t4 L2 -3 E. 16. 16 6 R. 2.90 84.A. 15 11 -2 23 I.G.E.111601010 M. Llamando X = puntuaciones en ldioma Castellano.13 98.A. en las pruebas de ldioma Castellano y Ciencias Naturales.A. 12 -5 17 L. 42: EI coeficiente de correlación cuando se usa tabla de doble entra- da. conviene uIa tabla de doble entrada.porejemplo. en cada cuadrito se escribirá un intervalo. Una de las variables se escribe en el eje horizontal y la otra enelejevertical. la Cuando se utiliza el cuadro de doble entrada y desviaciones respectode las medias supuestas/ el coeficiente de correlación se obtiene aplicando Ia fórmula: . Esto se hace así. hay correlación imperfecta positiva indicada por el coeficiente r= 0 .lor de cada variable. para facilitar el cálculo. la variable X se escribe horizonta'lmente y IavariableYverl t ica Imente . las desviaciones de los valores de Ia varia- ble no se obtienen directamente o sea respecto de las medias verdaderas/ sino que se utilizan medias arbitrarias. Esa Labla es cómoda cuando los datos no son muchos. esto es. tilizar Para el caso de muchos valores y repeticiones de los mismos. Ios límites. y en la parte izquierda o vertical los valores de la variableY. generalmente. en la parte superior horizontal y en cada cuadrito se escriben cada uno de los valores de la variable X. cada cuadrito de la escala Xy de la escaY contendrá un va. L2. = 0. Siguiendo la notación de los ejes. Además. no más de 15 o 20.t7 6.184 Y substituyendo en la fírmula 32. En caso contrario.¡ . El cuadrante formado por los ejes X e Y se divideencompartimientosocuadritos.176 resultado que nos dice que entre las puntuaciones en ldioma Castellano y Ciencias Naturales de ese grupo. Para formar una tabla de doble entrada nos basamos en losejescartesianos. conviene utilizar una tabla dedobleentrada que igual se aplica a series simples y a distribuciones de frecuencias. Si los valores están sin agrupar. y si los valores está'n agrupados en intervalos. Hemos visto la manera de calcular el coeficiente de correlación utilizando una tabla de columnas. El lecto¡ interesado en conocer la deduccidn. u'\ N/ ) txY o3) en la que. t. (t) La fdrmula 33. entre las puntuaciones alcanzadas por un grupo de 131 alumnos en las pruebas de Ciencias Naturales e ldioma Castellano. I f.l . Ejemplo: calcular el coeficiente de correlación simple lineal de Pearson.185 2t.t'2 N - suma de los productos de las frecuencias por loscuadrados de las desviaciones respecto de la media supuesta en la variable y.x'2 = y por los cuadrados de las desviaciones respecto de la media supuesta en la va'riable suma de los productos de las frecuencias X.se deduce matemáticamente de la f6¡mula 31. ) f. y' = suma algebraica de los productos de las frecuencias por las desviaciones de los valores respecto de la media supuesta. J. número de casos o suma de frecuencias.l cflculo del coeficiente usando tabla de doble entrada. primer curso prevocacional. puede consultarl.a ob¡a "PsÍcometrfa y EstadGtÍca" del Dr.r'y'= suma algebraica de los productos de Ias frecuencias por las desviaciones de los valores respecto de la media supuesta. en Iavariable X y en la variable Y. mediante una tabla de doble entrada y conforme la fórmula (33)*. don Mariano Yela.f . r= XY 2 coel'iciente de correlación entre las variables X e Y. que es la más cdmoda para e. Z t.x'y' á t\ r. en lava- riabte Z. x' = suma algebraica de los productos de las frecuencias por las desviaciones de los valores respecto de la media supuestaen Ia variable X. El lector podrá observar que el proceso es idéntico al que se utiliza para el cálculo abreviado de la media y de la desviación tÍpica. pero substituidos por un número ordinal.$ 68 60 52 75 60 4 ?1 80 51 41 61 60 69 ?7 51 59 80 4 33 54 61 36 52 60 s6 56 61 82 40 i3 62 3? 69 10 4 56 52 54 41 50 4? 65 50 60 63 58 55 36 64 58 '. 63 63 56 ?1 51 62 4? 38 50 15 .1 41 ?3 51 60 11 a2 65 5'I 't2 55 69 64 64 48 57 49 54 4l 61 't4 49 4'.1 48 56 59 49 4t '.186 ¡ Llamaremos = puntuaciones en la prueba de Ciencias Naturales e Y=puntuaciones en la prueba de ldioma Castellano.t8 56 16 4l 5? 53 42 62 42 82 83 84 85 62 59 61 5l ?6 66 64 50 81 88 41 59 38 6 FUENIE: secldD de Ev¡lu¿cióD Esol¡¡ 89 90 91 92 93 94 95 96 91 98 99 100 101 t02 103 L04 105 106 10f 108 109 110 111 112 113 114 115 116 11? 118 119 L20 Lzl 122 723 L24 125 726 r2't r28 L29 130 131 X Y 53 41 41 65 62 59 56 62 12 5? 56 45 51 46 50 52 52 42 73 5? 84 31 46 55 76 .t 50 53 't4 43 52 58 41 69 4'. ción de los datos. Los alumnos están colocados por orilen alfabético.I5 59 ?0 ?6 66 83 s9 53 58 73 54 60 64 60 69 ?8 404¡8121 40 31 52 25 4{! 3? 41 51 s04¿86?0 42 50 ?1 53 AUJMNOS X 45 46 41 48 49 50 51 52 53 54 55 56 s? 58 59 60 61 62 63 64 65 66 6? 68 69 70 ?1 '.tz 13 14 ?5 16 11 18 79 80 Y ALT'MNOS 63 55 43 54 69 ?0 55 80 61 15 13 66 68 34 51 54 ?0 6'. Los datos aparecen en la tabla o cuadro XXXVII siguien[e.r? 62 64 58 4 4l 61 50 69 ?0 t. Como los pasos para este cálculo son más laboriosos.d . TABLA XXXVI! ALUMNOS X IO 11 t2 13 l4 16 1? 18 20 27 22 23 26 29 30 31 35 3? 38 39 q 4L 42 43 44 Y 45 54 49 63 42 65 81 55 51 38 50 29 52 66 51 50 64 66 51 80 51 61 41 60 1t 't2 41 4't 64 58 55 68 52 't! 55 12 69 66 66 63 69 80 61 12 63 't4. losdamosacontiñua. Después de tabular los casos de cadapar de valores o intervalos. o sea. La nube de puntos o diagrama de dispersión de los datos de IatablaXXXV|l Ios vemos en la tabla XXXVlll. Este diagrama (que es la forma inicial de la tabla de dobleentrada) se hace así: sobre un plano cuadriculado y en la. tObtenidas las frecuencias para cada par de valores o de intervalos. y así sucesivamente. se substituyen los puntos o rayitas por el número defrecuéncia respectivo. que damosen latabla XXXIX.49) en la escala horizontal y la puntuación 54 (intervalo 50 . de esta cuenta.y en sentido descendente Iosvaloresointervalos de la variable Y. La tabulación. Las trecuencias de la columna l constituyen la distribución de Ia variable Y. las de la fi Ia I constituyen la distribución de la variable X.59 de la variable X y 50 . ¡. puede hacerse por puntos o por tarjas.187 Para calcular el coeficiente de correlación mediante una tabla de'doble en- trada seguiremos los pasos siguientes: Paso l-: Consiste en un cuadro donde tabulamos las frecuencias de cada par de valores. todas las operaciones se hacen en el cuadro de conelación. A partir de estepasosegundo. en el cuadro donde se cruzan los intervalos 55 . de izquierda a derechay en sentidoascendente. Por ejemplo. cada caso estará referido a dos valores o a los dos intervalos donde quede la puntuación dada.54 de la variable Y. buscamos la puntuación 45 (intervalo 45 . (véase tabla XXXIX).. la frecuencia de ese par de intervalos es 6 por que seis alumnosobtuvieron calificaciones comprendidas en dichos intervalos. en igual forma se hace sumando las frecuencias de las columnas para formar la fila de frecuencias que aparece con el número 1.y en la primera columna/ de arriba hacia abajo. Ejemplo: para tabular Ias puntuaciones delprimeralumno.1 . Paso 3: Fila v columna de frecuencias. Para la tabulación o registro de frecuencias localizamos los valoresen ambas escalas y en el cuadrito donde se crucen marcaremos un punto o una rayita. escribiremos los valores o intervalos de la variable X. hemos escritoel númeto 6.primera fi la. En el cuadrito donde se cruzan estos intervalos marcamos un punto. - Paso 2: Cuadro de correlación. para substituir los seis puntos que aparecen en ese cuadrito en el diagrama de dispersión. Si esta suma no es igual deberán revisarse los registros de frecuencias. se han de sumar las frecuencias de cada fila (sentido horizontal) para formar la columna de frecuencias que aparece con el número 1 en la tabla XXXIX. La suma de las frecuencias de la columna y fi la 1 debe ser la misma.5q en Ia escala vertical. 59 oo e oo I I o oo o 50 -54 oo oo oo oo o o oo oo oo oo oo o o o o a n o o o o oo o o o oo 45 49 40-44 35-39 30-34 o o oo oo oo o o o oo oo o o o o Diagrama de dispersión. rt . Datos de la tabla XXXVll. nube de puntos o forma inicial de la tabla de doble entrada.188 TABLA XXXVIII Ciencias Naturales \X 25 29 30 35 34 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 I 75 -79 70 -74 74 oo 75 79 o o o BO B4 o o o o ¡ o 70 o B0-84 d 65 69 oo o o o m a C a 65-69 o 60-64 o o o oo oo o oo o oo o oo oo oo o oo o oo o oo o o oo oo oo oo oo oo o oo oo o oo o S t o 55. en lafila 2 las de la variable X o sea las xr. para la variable X. . luego. se halla o dista 3 intervalos de Ia columna cero y 5 de la fila cero. Estos productos se obtienen así: multiplicamos entre sí los valores de las columnas I y 2 para formar la columna 3 =f . o seax'yr. a) En b) En el segundo cuadrante sabemos que las abscisas son negativasy las r"l . y' se obtienen rmultiplicando las distancias a que cada cuadrito se halla respecto de la fila y columna de las medias supuestas. re. dista 6 intervalos de la columna cero y 3 de la fila cero. y los de la fi la 4. Las desviaciones respecto de las medias supuestas en ambas variables. A partir de este intervalo y a Io largo del cuadro. Este número 15 lo escribiremos en elángulo superior derecho del cuadrito dicho.x'. En la variable Y hemos puesto esa mediaen el intervalo 55 . multiplicando entre sí los valores de las'fi las 2 y 3. trazamos dos líneas paralelas de arriba hacia abajo. El producto xry' será 3 x 6 = 18. Los productoscruzados de las desviaciones entre sÍ. EI producto xry' será 3 x 5 = L5 . o sea x'.189 Paso 4: Desviaciones.59. Paso 7: Productos cruzados de las desviaciones. Fijadas las medias supuestas. se determinan de manera igual a como se hace para el cálculo de Ia media aritmét¡ca y Ia desviación tÍpica por el método abreviado. trazamosdos lÍneas paralelas de izquierda a derecha. En la variable X hemos puesto esa media en el intervalo 50 .B4 de la variable Y. o sea: se fija qué valor va a servir de media supuesta. el producto es positivo. Veamos: el primer cuadrante sabemos que las abscisas y las ordenadas son positivas. Paso 5: Productos de frecuencias por desviaciones. Nótese que la fila cero y la columna cero dividen el cuadro de correlación en cuatro partes/ cuyas desviaciones conservan los signos de las coordenadas. Otro ejempfo: el cuadrito donde se uuzan los intervalos B0-84 de Ia variable Xy 70-74 de Ia variable Y. Paso 6: Productos de las frec Estos productos que van en Ia columna 4 (para la variable Y) se obtienen multiplicando entre sí los valores de las columnas 2y 3. número que aparece en el ángulo superior derecho del cuadrito dicho. y'i y los valores de las fi las 1y 2 para formar la fi la 3 = f. escribimos las desviaciones arbitrarias así: en la columna 2 las de la variable Y o sea lasyr. Vemos también que en ese cuadranteysegún el cuadro de correlación7 (véase columna 2 y fila 2) son también positivas las desviac iones x' y' .54. Ya sabemos que la desviaci6n del intervalo don de está la media supuesta es cero. Por ejemplo: el cuadrito donde se cruzan los intervalos 65-69 de Ia variable X y B0 .sedetermina fácilmente recordando los signos de las abscisas y ordenadas del plano cartesiano. EI signo de los productos cruzados de las desviaciones. A partir de este intervalo y a Io largo del cuadro. 84. d) En el cuarto cuadrante sabemos que las abscisas son positivas y las ordenadas negativas. b) Para anotar los productos fila de los cuadrantes f.xryr negativos en Ia columna de signo menos. obtendremos los productos de las frecuencias por los productos cruzados de las desviaciones.x'y'.79¡ x'y' = 24. respectivamente. = 40. de r.12. Vemos también que en dicho cuadrante y según el cuadro de correlación.1-xL2= L2.x'y'positivoslosescribiremos en la columna de signo más. x' y' = 15. lntervalo B0 lntervalo B0 Paso 9: Suma de filas y columnas..producto f .x'y' . Vemos también que en dicho cuadrante y según el cuadro de correlación. luego. las desviaciones xr (fila 2) y las yr (columna 2) son negativas y positivas. fuego.24. lntervalo 75 . y para los negativos en los cuadrantes ll y lV. y los productos f. el producto es positivo.. c) En el tercer cuadrante sabemos que las abscisas y lasordenadassonnegativas. el producto es negativo.xryr = I x 15 = 15. por lo que el producto es positivo. x'y' = 25. Iuego. producto f.xryl positivos. En la subcolumna 5 de signo más escribiremos la suma . producto f. En la subcolumna 5 de signo más escribiremos la suma . losproductosf.xryr=l-x25 = 25.84. por la frecuencia que aparece en el centro del cuadrito.l . las desviaciones x' (fi la 2) y las desviaciones (y') (columna 2) son negativas. = 36. Veamosal- gunos ejemplos: . el producto es negativo. Luego de haber hecho todas las operaciones anteriores/ procederemos a sumar los valores de las columnas y de las Filas. respectivamente.190 ordenadas positivas. Para esto.x'y' -1x24-. Vemos también que en dicho cuadrante y según el cuadro de correlación. las desviaciones x' (fila 2) y las yr (columna 2) son positivas y negativas. . lntervalo 75 . es decir f. hemos de sumarlos en cada ly lll. basta multiplicar el producto xryrescrito en el ángulo superior derecho de cada cuadrito. producto f. Estos resultados los anotamos en la columna 5 de la rnanera siguiente: a) La columna 5 está dividida en dos subcolumnas: una con el signomás (*)Votraconelsignomenos(-).79¡xt yt . Paso B: Productos cruzados m Asiqueha- yamos escrito los productos cruzados de las desviaci'ones x'y'consusrespectivossignos. cuya suma debe ser igual por tratarse de las frecuencias. En la tabla XXX+X que sigue/ damos el cuadro de correlaciónyadicho. cuyo coeficiente es i = 0.34 t 5. Y substituyendo en la fírmula 33: 255 \131/ z 191r r-35'. d) la fi la 4 y Ia columna 4 deben sumarse también separadamente. Ias subcolumnas 5/ y hacer por último fa reducción respectiva.42 resultado que nos dice que entre las puntuaciones en Ciencias Naturales e ldioma Castellano. Paso 10: Cálculo del coeficiente de correfación de Pearson.f . algebraicamente. los valores hallados según el cuadroo tabla de corre lac ión .95 + v= 2. lf.34 G.191 la manera siguiente: a) la fila 1y la columna 1. b) la fila 2 y Ia columna 2 no deben sumarse pues son lasdesviaciones en ambas variables.contorme los pasos indicados. e)finalmente.56 = r = 0. x'y. imperfecta.XY_ L.x'¿= 607. resolviendo según Ios datos que nos dáelcuadrodeco- rrclaci'n (tabla XXXIX) tenemos: Z f.56) 0. ) f. t. c) la fila 3y la columna 3 deben sumarse.39 (6. alcanzadas por 131 alumnos en las pruebas de primer año prevocacional. \131l - 131 . EIúltimo paso cons¡ste en substituir en la fórmula 33. x' = 191 ^ lL67 -35. hay correlación positiva. If=N = l3L.42.78) 'XY . = lf'Y' = I f'Y'2 - 255. porseparado. En nuestro ejemplo.XY 2 _34 1@ = 2. C) tLn_ z -t C t- m (¡) M t x ñ.4 t- a @ N @ ñ o 2 o ñ M N q o N § @ @ § N N o N o ñ M M I 9 ñ lvl a ñ a N p @ N a N N @ § @ H N rv N o & o t» Y N § .L92 TABLA XXXIX Y= §U)I§H ld ioma Castellano X il C) m z.Í . il il * Pil { o r¡ a< X r.. G. R.5: COEFICIENTE DÉ CORRELACION ORDINAL. S. L. F.M. contiene las diferencias entre los rangos. Para el cáfculo del coeficiente de correlación por rangos hemos de dispo- los datos. El coeficiente de correlación por el método de rangos u ordinal.A. S. D. D. C. =. se obtiene aplicando la fórmula de Spearman: 6 ?= 1- >d2 N (N2 G4) .ZU suma de fos cuadrados de las diferencias de rangos. 11 22 10 19 J. J. A. según losdatos si- guientes: ALUMNO§ PRUEBA ''A" PRUEBA "B'' H. O. J.M. Ia correlación se basa en asignar los rangos o puestos de orden que corresponde a fos valores Ejemplo: calcular el coeficiente de correlación ordinalentre las puntuaciones alcanzadas por un grupo de alumnos en las pruebas "A" y "Br'. C. 74 6 77 11 18 D. contiene los rangos de los individuos en la otra variable.r) en Ia que: P_ coeficienle de correfación ordinal o de rangos.M. 8 12 M. L. v.E. 16 19 L4 21 R. B. L. l. J. 11 22 I. contiene los cuadrados de las diferencias entre los rangos. P. L. E.S.12 . Como se ve. en una tabla así: Columna Columna Columna Columna Columna 1: 2: 3: 4: 5: contiene los individuos de la muestra. 6 27 A. rl . contiene los rangos de los individuos en una de lasvariables. F. L. E. N_ ner número de casos. O.793 12. 5 PRUEBA "A": 16 RANGo 11 5. 10 Con los datos anteriores procederemos a hacer la tabla ya dicha. D. N=10.25 9.5 4. A.0 8. 5 5.E.5 17 L2 9.5 ¿ (4) A2 (5) 2.5 0. L. A. 23 22 22 PRUEBA "B": 27 RANGo 1. tendremos: L4 14 11 1. l.5 B B.0 l.S.5 5. hemos de asignar a los sujetos los rangos según sus puntuaciones.5 6.5 6. 6 6 9.P. M. 18 B.O.5 0. 3. Ordenando descendentemente las puntuaciones y rangueando.A.E.5 3. o. Y substituyendo en la fírmula 34.25 30.5 2.5 5.25 0. que entre las puntuaciones alcanzadas por el grupo de 10 a- .t94 Antes de trasladar los datos a la tabla. 19 6. S. 1. 25 6. 2.L. 21 5. segúnvemos a continuación. C.25 0.5 10 7. D.25 I 27.25 2. J.77=0. L. I.F. 11 5. v. 10 1 2 I 8 3.5 9.5 5. 00 2. 5 2. "B" (3) 8 9.23 resultado que nos dice. F. 19 6.J. J. J.5 3. G.5 9.25 0.00 72. 2. E. TABLA XL ALUMNOS PRUEBA "A'' PRUEBA (2) (1) H.5 5.M. 3.5 0.D.5 2. Q= r- 6xL27 10 (100 - 1)=L- 762 990 tq -1-0. 2. 00 En este ejemplo: Z¿2 = 127.M.5 1. se puede considerar cierta interpretación del coeficiente de correlación según el criterio de algunos autores. Sin descuidar los dos problemas citados al princi pio.90 y r=0. se puede interpretar la intensidad de la relación entre las variables de acuerdo a los valores de "r" que dan las tablas dichas. que se deriva del primero. en nuestroejem-rplo de Ia tabla XXXIX (véase resolución en pág . Este probfema y su resolución correspondea Ia Estad ística muestral. c) En el ejemplo dicho. Así. que reproducimos en la página siguiente. osea. No obstante lo dicho. Significa. Para este problema hay que considerar el valor de "r" dentro de Ia situación concreta en función de los sujetos. Luis Arturo Lemus en su obra: rrManual de Evaluación del rendimiento escolarrr. que en el grupo de sujetos exa minados se halló r = 0. ). b) El coeficienterrr'r no expresa porcentaje.40. nada más. fr. hemos hallado r = 0.20 signifi que 20"/. es falso.20 es la mitad de un r= 0. VAL0RACI0N DEL C0EFICIENTE 'rrI DE C0RRELACt0N.64"/".60 y r= 0. ción común de dos variables. conviene dejarlos consignad os . de correlación.17. Esto no quieredecirquelacorrelación entre esasmaterias sea de r = 0.42.i . pág. aunque no es posible examinarlos en estos apuntes. 197) y la tabla de Rugg y Gavett (citadapor el Dr.42 y que siempre que se trate de ellas encontraremos el mismo coeficiante. de la naturaleza de los fenómenos. etc. El segundo. Ios cuales.42 de correlación entre las puntuaciones en Ciencias Naturales e ldioma Castellano.75. conviene utilizar el cuadradode "r".195 lumnos. por ejemplo. de los instrumentos de medida. se refiere a la intensidadde Ia correlación. en las pruebas rrArr L2.42. ta:npoco es correcto decir que Iadiferencia entrer= 0. José Zaragozá en su obra: rrEstadística aplicada a la Educaci6n't. También conviene tener presentes algunas recomendaciones a efecto de no dar una interpretación errónea al coeficiente. pá9.45 es lamisma queentrer = 0. el porcentaje de variación común entre ambas variables será el cuadrado de "r". (citado por el Lic. por ejemplo que r = Cuando se desee conocer el porciento de varia- 0. BI). as¡': a) Los coeficientes de correlación no torman una escala de intervalos. tomamcs Ia Tabla de Darley. El primero es si el coeficiente 'rrrrexpresa o no que haya efectiva asociación o relación entre las variables.6: y 'rBI hay correlación imperfecta positiva. La interpretación def coeficiente de correlación plantea dos problemas. no se puede decir que r = 0. Así. tenemos r = 0 . por Doctor losé Zangozá A. B0 Alto grado de relación 0 significado..70 0.20 0. UGG Desatend ib le Baja Franca GAVETT r 0.28 0. Luis Arturo Lemus.. Y GAVETT.L96 de de de de de 0.87 0.50 0. (.14 0.98 0.*) TABLA DE RUGG Alto grado de dependencia entre las variables.99 1. PÁg.95 0. L91.J .44 0.00 Alta ( r.30 a 0.30 0. 20 (x) Tabla de Darley.80 0.10 0.. 81 r.37 0 .30 0.80 en adelante .60 0.93 0. Marcada .40 0. R muy a lta corre lac ión substanc ial correlac lón alguna correlación ligera correlac ión prácticamente ninguna correlación lnterpretación del coeficiente de correlación.20 a 0. Pá9.00 a 0.97 0.96 0.50 a 0.. Lic.9 0 0.50 0. 0.) Tomado de "Manual de Evaluacidn del RendimÍento escolar" por *) Tomado de " Estadfstica AplÍcada a Ia Educación" . Grado moderado de rela- ción.75 Carece prácticamente de 0. lnterpretación del coeficiente de correlac ión . -94 ). llamando X = Matemáticas e y =Estudios sociales. DATOS Alumnos 1 X. para calcularelcoeficiente de correlación ordinal. 15 t2 10 11 X. L9 9 7 37 L4 9 t4 6 9 11 ó 38 39 40 11 23 7 8 10 4t 6 9 7 24 9 7 25 4 5 6 16 10 B 9 11 IO t3 L4 26 27 t6 I4 73 45 11 11 2B 8 L4 29 7 6 10 11 46 47 48 t3 9 8 30 B 15 3L 7 6 t2 L2 32 33 16 7 4 7 1B T3 L2 T3 11 15 t7 9 42 43 44 10 t4 Alumnos 20 2L 22 3 4 5 6 7 8 12 L3 Y. 185 ) y los pasos indicados (págs. 11 10 9l-3 8B 6t4 15 t3 129 510 67 L4 11 10 11 69 t3B 11 L2 t26 6]-4 510 11 9 t3 10 ¡Í . 187). .]-97 E-ierc ic io I2 INSTRUCCIONES. Utilice Ia fórmula 34 hág. 0btenga el coeficiente de correlación simple Iineal entre las puntuaciones en ambas pruebas. Se le dan a continuación los datos correspondientes a las puntuaciones de un grupo de 54 alumnos/ en ras pruebas de Matemáticas y Estu- dios Sociales. 1. Tome a los primeros diez afumnos y sus puntuaciones. A- plique la fórmula 33 2. t2 5 2 9 Alumnos B 34 35 36 t4 L2 10 9 6 4 7 B 9 49 50 51 52 53 54 Fuente: Sección de Evaluación Escolar X. hág. dos en i.APENDICE I.Xi) + r ascendente. ^ = - ^s + L. 67 f 3 fi-l = + 2fi +f r+ Media aritmética. C)rdenación de valore La mediana -(lugar que ocupa). lI2 Mo=3Md-2X 94 . N+1 2 Cuartiles.i La mediana. Distribución de frecuencias de valores sin agrupar o agrupados en intervalos. i. Ordenación A= (Xs . Pá9. Pág. Er.ntervalos de am plitud variable o constante. Pá9. La moda.r-+ Método aritmé- Media aritmética. Pá9. Distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de ampiitud variable.I f. Método abreviado Pág. Método largo. i. Pág.xi N 5. Método abreviado. 104 2. Dis[ibución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud constante. Pág. t N res sin agrupar.I descendente. Fórmulas emPleadas La mediana. Ordenación 105 . tico.r - fi La moda.a 'Ii r-¡ 117 E " r-1 i . Serie simple.r-t +-. Media aritrnética ponderada. Pág. Distribución de frecuencias de valores sinagrupar o agrupados en intervalos de am- plitudvariable. Dis tribución de lrecuencias de valores agru pados en intervalos de amplitud constan- ? La moda.Fi-t N.. Pág. 79 l0 plitud variable o constante. 109 Mo=L.d' f .a' X=XS 7 91 N te.N 4 o-i = l. Pág. Distribución de frecuencias de valoresagrupadosen intervalos de am - Md = Li*L 4.i +I X = Xs+C Media aritmética. Distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de am - Recorrido o amplitud de la distribución I Pág. Frecuencias suavizadas. J 10 99 s ascendente. Pág. 89 . . Método abreviado. >Xi -^= N_F 2 Md = L.Seriesimple y distribución de frecuenciasdevalo- P= Mo= 13. Distribución de frecuencias agrupa. l-1 'i+I fi-r t fi + . Pág. 83 -^= Er.l-r k i+l ki_t i ki + I -i lación de promedios.>f. Pág. Estimaciónaproximada porre- Media aritmética. 46 plitud yariable o constante. ? zo' o- 2 2 N Desviacióno variaciónmedia.APENDICE I5 Centiles o F€rcentiles. Pág. = 0- C I 27 Sk=X 28 pte. Serie sim - 0-- r. . Serie sim- ple.)o *a - 147 1. ld'l + c 20 I r. Distribu ción de frecuencias de valores sinagrupar. Serie sim pte Método al¡reviado. I ]-I 16 I. 139 tr. Pá9._ / > r. D. t52 Desviación o variaclón media.. Distribu ción de frecuencias de valores: agrupados en intervalos de amplitudconstante. Ió1 21. 155 f Coeficiente de variación Pág N . Método abreviado. td'l + c(ri-rs) D.Método abreviado. Pág 120 C. Método abreviado. 152 'l v . Pág F.13r . Distribución de frecuencias de valores agrupados en intervaLos de ampLitud constante Método abreviado Pág. I34 5-r. ¡'2 N (ri -rs) Desviación o variación media. Distribución de frecuuncias devalores sinagru par o agrupados en intervalosdeampli- Ecuación de [a curva normal. Desviación tÍpica o standard. _. qinagrupar. o'\' o N r9 Desviación tÍpica o standard.N 100 - + I. 161 X- S' 29. Pág. Pág. M. yo i¡ Mo e- Pág 1ó5 . Pág.I Amplitud o recorrido semiintercuartiL. Pág. Distribución de frecuencL¿s devalore.145 r00 -Mo Cocficiente de asimetrÍa de Pearson. Pág. 59 Asimetría.Er. o agrupados en intervalos de am plitud variable o constante. Pág. Distribución de frecuencias de valores agrupaáos en intervalos de amplitud variable o constan te. Método tar- d N Desvlación tÍpica o standard.M. Distribución defrecuenclas de valores agrupados en intervalos de amplitud variable. a= Desviación tipica o standard. t= ai . fi V 23 Pá9. 25 tdt Desviación tipica o standard. Ordenación ascendente. o agrupados enintervalos deamplitud variable o constatrte. 141 | \¡¡/ N Desviación o variaclón media.=L. a'2 -t-/>r. 133 24 tldl N 18 tud variable. Continuación 22 go. Método largo. Pá9. I82 >x. Fórmula simplificada de Pearson paratabla de columnas. *'y' . Pág. I85 I¡.') 34. Fórmula para tabla de columnas. Puntuación típica o puntuación xi-x o6 z. Pág. 181 Z*.fEi-r_) \N/\N/ lr. Coeficlente de correlación simple lineai. Oy 32. Coeficiente de correlación ordinal o por el método de rangos. Pág.)" 30.- ( Zx') \.193 o_ . Fórmula deSpearman.v rxY N. Coeficiente de correlación simple lineal. 167 x 31.Ox. . tÉl r fa2 N (ts2 - r) . Pág./ V ( f yz) 33. Pág. CoeficÍente de correlación simple 1ineal.y ^I-. Fórmula para cálculo abreviado utilizando cuadro de doble entrada. porque es necesario reducir los punteos a una base común de comparación. En Estadística se requiere siempre un colectivo de datos. 2. los hechos variables se llaman así. (C) Correcto. 4. t 3. EJERCICIO 2 (pásina 17l. La función principal que se asigna a la Estadística es servir de instrumento de predicción científica. precisamente porque varían de un caso a otro. 2. 7. la raza es un carácter cualitativo. porque las cantidades distan mucho entre sí. porque los fenómenos atípicos se estudian en masas o colectivos de datos. 3. sería como promediar el sueldo de O 100. se trata de un asunto de metodología. lgual argumento que en el item 2. 10. (l) 1 IMERA PARTE: CONCEPTOS FUNDAMENTALES (página 7) lncorrecto. 9. (l) lncorrecto. 6. lncorrecto. (l) lncorrecto. (l) lncorrecto. (l) lncorrecto. con el de O 1. 1.500. desde el punto de vista estadístico.00 mensuales de un maestro. (f) lncorrecto. por diversas causas las personas darán medidas diferentes. (C) 8. (l) lncorrecto.RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE ESTADISTICA DESCR IPiIVA PR EJERCICIO 1. 5. porque no es absolutamente necesario. (C) Correcto. r{ . (l) Correcto. Correcto. (C) Correcto.00 de un alto funcionario. (C) la denominación es para distinguirlas de las cantidades ípicamente variables. (C) Correcto. Si en el examen se aplicó una prueba escrita. lncorrecto. 7. 4. también se les llama clases (de clasificación) cualitativas. (C) Correcto. (l) lncorrecto. ) 2. que se hallan. la producción de resultados semejantes en apl¡caciones diferentes se denomina fiabilidad. desde 1 en adelante. (l) lncorrecto. 75 puntos pueden ser 75olo'de la prueba. (l) lncorrecto. a media unidad por debajo y por encima del número de que se trate. (C) Correcto. (C) Correcto. desde haya sido comprobada. los valores continuos se def inen en el campo de los números reales. respectivamente. valorada de cero a cien. Los números naturales son los que sirven para contar. para los números que se refieren a mediciones. prueba o reactivo es una traducción instrumento. 10. científicamente carece de interés un test cuya validez no Correcto. 3. 9. (C) el punto de vista numérico o estad ístico. 6. pero no de la asignatu ra. (l) lncorrecto. EJERCICIO 3 (pásina 26) 1. y no un concepto del J. 8. 5. (l) lncorrecto. lo consecútivo de los números ordinales es distinto concepto de continuidad de las variables. 6. Sin embargo. (l) (l lncorrecto. para distinguirlas de las clases numéricas o intervalos. 5.! . la medición es posible con base en el registro estadístico de la conducta de las personas ante reactivos y pruebas válidos y al confiables. (C) Correcto. porque la naturaleza de los fenómenos psicopedagógicos es intrínseca a la conducta humana. se conviene en que cada uno es el punto medio de la distancia entre otros dos.v" 4. (c) la población puede ser cualquier totalidad de elementos investigables: población de habitantes. (C) Correcto. 6. pero no asegura contra cualquier clase de errores. () lncorrecto. lncorrecto. (l) lncorrecto. de viviendas. ncorrecto. un método. 3. Los parámetros son medidas características poblacionales.7. La depuración es indispensable. EJERCICIO 4 (pásina 33) 1 . 10. e. incluso. una técnica o simplemente un instrumento. 2. (C) Correcto. il . o los que se cometen por estudiar una muestra y no la población. etc. de cult¡vos. 8. por ejemplo los inherentes al sistema decimal. (l) lncorrecto. de industrias. la inferencia estad ística constituye la más ¡mportante metodología de la Estadística. 7' (c) Correcto. 5. (t) Correcto. (C) Correcto. (C) Correcto. etc. (C) Correcto. 10. las medidas características de las muestras se llaman estadísticos o estadígrafos. EJEBCICIO 5 (página 39) 1 (C) Correcto. (C) Correcto. 9. 8. hay discusión respecto de si es una ciencia. (c) Correcto. (t) I 4. (l) lncorrecto. (l) lncorrecto. 3. (l) lncorrecto. (C) Correcto. (C) Correcto. 3. (C) Correcto. 8. 7. parte a) {página 54) 1. (C) Correcto. EJqRC¡ClO 6. (C) Correcto. 10. (l) lncorrecto. (l) lncorrecto. el número 20 no está ordenado. 8. (C) Correcto. 6. 4. 10. 7. 5. (l) lncorrecto. 6. d la operación indicada corresponde a la propiedad istributiva. (l) lncorrecto. 9.2. el resultado es 42 5. (C) Correcto. (C) Correcto. (l) lncorrecto. (C) Correcto. (C) Correcto. 4. 9. 2. (C) Correcto 4 . pero lo grueso de las medidas no permite ese afinamiento. La agrupación en clases o intervalos de amplitud constante de 3 unidades. y Arreglo No.EJERCICIO 6. 2 1 1 3 12 17 35 34 36 24 18-21 22-25 26 -29 30-33 34-37 38-41 42-45 46-49 50-53 1 4 12 26 50 46 30 19 18 I N:190 N:190 2 ri . Llamaremos Arreglo No.85 puntos. La amplitud teórica sería de 3.2 al de amplitud 4. parte i) bl (páginas S4l55) Ordenación ascendente de los datos: 18 23 24 25 25 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 U 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 41 41 41 41 41 41 41 41 41 41 41 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 44 44 45 45 45 45 45 45 46 46 46 46 46 46 47 47 47 47 47 47 48 48 48 49 49 49 49 50 50 Recorrido de la variable: ) ) A :(50 - 18) + I :33. es uno de los varios arreglos que se pueden hacer con los datos. 1 al de amplitud 3. 1 Punteos t Punteos 18-20 21 -23 24 -26 27 -29 30-32 33-35 36-38 39-41 42-44 45-47 48-50 A¡reglo No. así: Arreglo No. o474 190 190 1. columnas empleadas: límites reales y frecuencias absolutas. f .5 50.l ::l r. Polígono de frecuencias e histograma de Pearson (para el primer arreglo).5 44.1 895 1 2 5 17 34 69 103 139 163 18 263 0.20 19 21 -23 22 25 28 24 -26 27 -29 30-32 33-35 36-38 39-41 42-44 45-47 48-50 1 1 3 31 12 17 34 35 37 34 36 24 40 43 46 49 N: F 0.000'l xxx 0.5 29.5 32 5 35.1842 0.l 17 . el cuadro queda así: h:f/N 18 .5 .5 20.5 38.0947 9 o.1 789 0.0158 0.0053 0.5 23 5 26.5 o intervalos) Punteos (límites reales de las clases 47 .0053 0.0632 0.1 EJERCICIO 7 (pásina 75) 1.v iv) Empleando el primer arreglo.0895 o.1 18'.5 41 . I Para las frecuencias suavizadas. El siguiente cuadro muestra dicha distribución.00 2.¡ 535 . i 'rj 16 t2 8 Él ¿ 0 145 175 205 '!35 265 295 325 355 385 415 .A.25 34. r histograma está trazado 90.25 N:190 epo lígono e 3.25 30.50 46 49 18 17.75 18-20 21 -23 24-26 27-29 30-32 33-35 36-38 39-41 42 . ambos con frecuencia absoluta' observada igua'l a cero.5 475 505 Punteos (límites reales de ios int:rvi¡los o clascr.25 0.50 25.15 1 1.17 al principio.50 4. empleando el primer arreglo de los detos.00 20. y s1 .25 52 0 37 40 43 I 9.00 con las' frecuencias Las frrecuencias absolutas están marcadas con puntos. Punteos X¡ f fs 15-17 16 19 22 0 25 28 3 o.53 al final. se agregarán los intervalos siguientes: 1s .75 1.il 2.44 45-47 48-50 51 -53 1 1 ' 12 17 31 34 35 34 36 24 32. y se lee en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.062 5 años 2.iiva de Galton) del Arreglo No.2 Total: 6.00 h. a partir de las 12.2 35. las operaciones y el diagrama de sectores son: (el gráfico se dispone de mayor a menor. es el siguiente: F oO NO oo !c oo Punteos (límites reales de los intervalos) Para los datos de que se trata.332 58 128 174 t.l .0 360 4 años 1.158 olo 16.El diagrama acumulativo (o. ' Edad Niñas Grados 6 años 3.'l .552 100. mostrando en el eje de ordenadas las frecuencias absolutas acumuladas y su expresión 4 porcentual.) 5.6 48. SEGUNDA PABTE: LOS VALORES ESTADTSTTCOS EJERCICIO 8 (página 113) Adve¡tencia: en este Ejercicio operaremos con los dos arreglos de los datos.1)Con el primer arreglo: a) Tomando Xs X : > fd' Xs : > Xs 236 :34 +-(3) +-(i) N b) Tomando Xs X :34 +- ptos.7 Cálculo de la media aritmética. Cálculo de la media aritmética. 2.7 r"f 2 :40 144 (3) 190 : 37. (Referencia: Ejemplo b. de estas respuestas. 1.7 ptos. pp. 1.: N 37. Ejercicio 6. 190 :40 fd' (i) N :37.7 ptos.21 Con el segundo arreglo: x :2. ) fX¡ 7. aplicando Fórmula]. 190 1. pp.165 : ptos. según aparecen en el item iii).. N 190 -:37. 94/96). (Referencia: Ejemplo y Tabla XlV. 871881.. Tabla Xl. Parte b)..1)Con el primer arreglo: t"' * :' -'''ut. . aplicando Fórmula 4. 37.5 + 95-93 37. puede hacerse una estimación del mismo ¡. 46 Fórmula 11.5 +-(4) ptos.7 ptos.8 (4) : ptos. ' ' 2 f¡ (i) :37. 8o.7 Ptos.. : Cálculo L¡-1 * I!-._. aplicando Fórmula desarrollado en páginas 1021105l.7 :35. 190 39. cuyas frecuencias absolutas son muy parecidas. 34 3. de la moda interpolada. 7o. aplicando (Referencia: Ejemplo desarrollado en páginas 109/1 10). o sea.2) Con el segundo arreglo: Md 4.5 rd' (i) : 8E 39. el intervalo donde está la moda.1) Con el primer arreglo: Advertencia: en este arreglo no está claramente definida la clase modal. 4. +-(i) N b) Tomando is : > x : [ +3. Cálculo de la 105 :37.21 Con el segundo arreglo: a) Tomando Xs : 35.. En casos como éste.5 9E-69 (3) :37.1 .F.5 N : --(4) 190 mediana.2.t L¡-'¡ +-(i) :35. y siempre que se necesite obtener el valor modal.1) Con el primer arreglo: Md : N n -'i. que podría ser cualquiera de los interválos 6o.5 » rd' : Í i. $ (Referencia: Ejemplo 3. 4 - 75. modo.4:38 p.71 :'113. 4. resolviendo así. fm : frecuencia absoluta del intervalo modal. valor modal o promedio típico. Mo : L¡-1 * (am) (11A) (fm-fa) +(fm-fp) en la cual: Mo : moda. por razones geométricas. se tiene: Mo:3Md -2X:3(37. 12. Advertencia: para el cálculo de la moda interpolada. se considera que permite una mejor interpolación que la Fórmula i 1.utilizando la "relación empírica de promedios" según Fórmula página 1 13. también existe otra fórmula (que damos a continuación porque no figura en el texto).8) -2(37.j . siendo la siguiente: fr-f.1 ptos. a la del intervalo modal (cuando tos r.b +_(4) 26+46 L¡_1 +_________(i) (fi-1) + (fi+l) 46 b) :36. L¡-l : límite real inferior del intervalo modal. y que. fa : frecuencia absoluta anterior a la del intervalo modal (cuando los intervalos son ascendentes) fp : frecuencia absoluta posterior intervalos son ascendentes) am : amplitud del intervalo modal.2) Con el segundo arreglo: a) Fórmula 11: ri +r Mo : Mo :33. Con el primer arreglo de los datos: 47. Tabla de percentiles y puntuaciones equ¡va]gps. aplicando Fórmula (Referencia: Tabla 3. aplicando Fórmula 14.:46. y Ojiva de ít . sequndo atercero. Cálculo de los cuartiles primero.5 01 :32. d'm :4 Substituyendo en la Fórmula 11 A: Mo : 50-26 33.En el segundo arreglo que estamos tratando. fm : 50. página 123) XXlll (página 125l. se tiene: Li-l : 33'5.9 ptos.5 - 139 (3) :41.5 * (4) (50-26) + : 36. 15. (50-46) EJERCICIO 9 (página 128) 1.5 +-(3) puntos (:Md) 34 Q3 :41.6 puntos 35 95-69 :37. Tabla de estructura semejante a la Tabla Galton.5 +-(3) - 34 :33.5 + 142. f .9 puntos 24 2. (Referencia: ejemplos desarrollados en páginas 1181120]. XXll.8 02:35. f a :26. 5 39 .4 49.5 2 1 352.lgunos de sus resultados que ya conocemos.4 41. se tiene.9 36.5 32.5 5 Fi Punteos Li +1 Punteos '.9 u-- - 33.0 8.6 29.5 35. aplicando Fórmula 18.6 30 34.9 17. se tendrá: rl .2 85.5 26. (Referencia: eiemplo y Tabla XXVI en páginas 13611371 Habiéndose calculado X:37.50 37.2 1 10 15 21 -23 24 -26 27 -29 20 32.6 : 4.9 EJERCICIO 10 (página 164) Advertencia: en este ejercicio operaremos con la distribución del primer ar*gl.5 44.8 95.5 Pa 110. respectivamente: Centiles 18-20 23. 2 2. Ampl¡tud semiintercuartil.6 17 12 34 .0 el item 4 44. 40. Dsviación media (D.1.M.5 La Oiiva de Galton aparece en Ejercicio 7 de estas resPUestas.3 45.8 47.3 100. aplicando Fórmula.5 35.8 30-32 25* 33.1 23. 16. (Referencia: eiemplo en página 132) og-or 41.).r81 I 190 20.9 80 85 90 95 99 43.1 38.2 73.0 75* 41.2 ptos.8 31.0 50* 35 33 36 36.c y . 1.3 35 40 45 55 60 65 37.5 29.5 47.7 puntos.8 38. 1l 69 35 34 103 36 139 24 163 18 '.5 50.5 27.2 7A 38 42-44 45-47 48.3 54.41 41.Con el primer arreglo.6 39. 190 Desviación media (D.7 y D.3 casos 70.tlol » D.5 .9) está en el intervalo 33-35 de la distribución.5 . : 302 + 0.5 a 42.5 puntos hay (42. fs :87.9 superior :37.41.9) (35/3) : 30.3 casos: (108.51 está en el intervalo 42-44.2 4.9 a 35.8 puntos 190 del intervalo del 58o/o centra! de casos. a Tomando Xs : 37 . N 3.M. aplicando Fórmula Tabla XXIX.:-(3) 190 + X:37. i - 3 3 Substituyendo en la Fórmula 20: D.1 108.68 : D.5 puntos hay Porcentaje de normal .8.51 l24l3l: 8. el cuadro de cálculo da: 31.0 Sumando: de 32. c :-:O. puesto 4 (Referencia: ejemplo que X : 37.3:190) (100) :57.O4 :4.M. Comprobación 190 917. De 41.8:42. - de prdcedimiento en página 140).M.5 puntos hay .5 a 41.5 puntos hay (35. .5 Límite inferior Límite El límite inferior (32. . el cómputo de casos da: el De 32.:'l :3O2.7 * 4.32. f¡ : 103.7 (véase numeral 1 y.7 . ¡.23(103-87) (3) : 302 4.68 (3) 190 305.8 :32.M.8 ptos. en páginas 1421143]. :4.37 2 f [.0 De 35. límite superior (42.9 a 42. que es próximo al 58o/o .). (Referencia: ejemplo y procedimiento en páginas 1431144l. Siendo 3.4. : s17.23. los dos extremos del intervalo son: :37.Oolo.7 .M. 8 Límite superior :37.9 :43. faqr. límite superior (43.98) @.9 :3(1. t /-Á h 4.76P I :.7 . y desviaciones Tabla § : 5. el cuadro de cálculo dará: -t8538 Desviación típica. aplicando Fórmula XXXIV en páginas 155/156).(-O.f Comorobación del intervalo del 6Jo/o_centfa]_de 10.X'.6) está en el intervalo 42-44.5 tiplg De¡yiqeiqr aplicando Fí¡rmula 22. según respuesta en item del Ejercicio 8.96.0.9 : 3'l .8) está en el intervalo 30-32 de la distribución.9 pts. i : 3. (Referencia: item los dos extremos del intervalo son: r.7 yo-:5.5053 . >fd' :-144.6 El límite inferior (31.9 P.j Límite inferior :37. Siendo X :37.5053 .. el cómputo de casos da: el . N 2 :190 Substituyendo en la Fórmula 25: 856 ó-: 3 190 6:3 7.7 + 5.5. obtuvieron para el cálculo de la media aritmética. Tomando X. el cuadro de cálculo da: )td'2 :8S6. = 5. : 49. Tomando desviaciones de la forma: d : X . (Referencia: ejemplo de la forma d' : y Tabla . página 158).5776 :rI 4. (Referencia: ejemplo y XXXII en páginas 149/1S0). 31. tomamos las desviaciones (d') positivas y negativas. : de Charlier para la pés"* lSZfiSe). 5.77 190) (100) : 66. .Coeficiente de variación. (Referencia: ejemplo en Del cuadro de cálculo de la desviación típica. Porcentaje de casos : (125.288 :758 .De 31.41.- productos. Esta suma resultará ser: > f(d' r 1\2 :758 Siendo: Zt(O' ¡ 1¡2 : »fd'2 + 2 »fd' + > f tomaremos los valores del desarrollo (segundo miembro de la igualdad anterior). +190 :856 288 + 190 : 1046 . Ejercicio 10) y se tiene: 758 758 758 9.00 l24l3l: 16.V.9 C.97 casos 105.77 respecto del porcentaje normal.5 a 41.8 a 32.6o/o . :-(100) 377 rJ : 15.5 .5 puntos hay (32. 8. con Xs :40.8) De 32.8 a 43. De 41. :856 + - 2(-144l.5 a 43. a cada d' sumaremos una unidad positiva y el resultado se eleva al cuadrado. 125. ya sea del cuadro de cálculo o de la substitución en la Fórmula de la desviación típica (item 6. que difiere en 2olo desviación típica.2o1o.5 puntos hay .99 . Prueba (1713: 3. apl¡cando Fórmula 26.6 puntos hay (43.6 puntos hay .6 . (Beferencia: ejemplo en página 159).5) Sumando: de 3'l . cada uno de estos cuadrados se multiplica por la frecuencia absoluta respectiva y se suman dichos . no es aconsejable o aplicable cuando la variable carece de cero absoluto..13o1o :2. Para área : 0. área :0. en el caso de las puntuaciones escolares no existe dicho cero.ó t'a media y desviación típica. es: ' 741 : 74-58 16 : :74. que que conforme a la Fór- "t . Para área :0. según numerales 2 del Ejercicio 8.9 5.V. (Referencia: ejemplo en páginas 16111621 37. 11. ya que la rama izquierda de la curva se extiende más que la rama derecha. lo cual observamos también en la gráfica del item 1.63 6.4750 :47.00. área:0. aplicando Fórmula 28. la Tabla de z : 1.9 La distribución es ligeramente asimétrica negativa.Nota: El C.24 5. Ejercicio 7. 1.58.50) 0. la Tabla de z : Q.51o1o Para área : corresponde área : 0. Para z 3. Cuadro de cálculo según modelo en página 163.4951 :49. EJERCICIO 11 (página 177l.3920.3 :-:-V.7 - 38 -0. 4. 10. y 6 del Ejercicio 10.3925. Este cuadro debe haberlo fiecf'o et estu¿¡ante cuan?lcalcut. Coeficiente de asimetría.VJ :- \) 5.4484. 2.0120. Lo primero es hallar el valor tipificado de X mula 30 (pásina 'l 67).03 7. (se conviene en 49.96.50o1o el valor más próximo en la Tabla az:1. Para z:1. 1'oo es 0.3413 :34. Para z :1. 14o1o. porque el valor X de que se trata es menor que la media.88 :55. 74:z:1.2. La siguiente gráf ica ilustra este problema: rl z:-0. Luego.0. aprox.0714 : 7.00o/o de casos.00 hay 34.por debajo de 74 puntos quedan 50.18(16) :58 . Ahora.13o/o de casos (según Tabla). página i75.13 :84. y se tiene: X :58 . La gráfica siguiente ilustra este problema: 34.00 Para que una puntuación X deje bajo sí el 43olo de casos. y que corresponde a z:-O. se necesita que entre dicha puntuación y la media quede el complemento a 50o/o. o sea 7olo. Luego.13o1o de casos entre la media y z : 1. así. aquí se pone signo menos.que resulta ser 0. por debajo de la media hay 50.Entre la media y z:1. por debajo de 55 puntos queda 43olo de los estudiantes.12 : 55 pts.00 +34.'l 3o/o.lB.00 58 8. procedemos según se ve en el ejemplo 2. .18 X :55 58 . 74 puntos equivalen al percentil g4. En la Tabla xxxv buscamos el área más próxima aTolo. 3413. por simetría de la curva quedará la mitad de casos (34o/o) entre la media y cada punteo. el área es o.t3 Entre los punteos 35 y 80 queda 84.13o/o central de estudiantes.00(16) 58 - 16 :42 t. se ha convenido -para efectos prácticos. de . cuya z:1. Por la Tabla XXXV. entre 42.4162 c) Luego. 80-58 1'38 16 16 Por la Tabla XXXV se ve que: a) entre la media y z:. 80 58 Para que quede el 68o/o central de casos. página 175.1. Por tanto.38.o Convirtiendo los punteos directos (35 (Fórmula 30) z1g5¡ :- v 80) en punteos típicos. entre dos puntuaciones que están una por debajo de la media y otra por encima. entre ambas zeta.que 34olo equivale al área 0. el área es: 084.44. procediendo conforme al ejemplo 2. se tiene z13g¡ :- 35-58 -1 '44. La siguiente gráfica ilustra este problema: 35 10. el área es b) entre la media y z : 1 .i :58 f 16:74 Por tanto.00 es negativa para el punteo menor que la media. se tiene: X1 :58 - v ^2- 58 + 1.'. y 74 puntos queda comprendido el 68o/o central los casos o estudiantes. y positiva para el punteo mayor que la media.00(16) : 1.4251 o. son: (como referencia) :4. 11. . 14. 5.8. b) la distribución de frecuencias de Y en la primera y última columnas. 10. y en Estudios Sociales (variable Y). no se justifica agruparlos en clases o intervalos. 1. N : 54. 13. 13.EJERCICIO 12 (Página 197) 1. aplicandb Fórmula 33. 9. 15. por tanto. Coeficiente de correlación s¡mple lineal. 11. 14. 6. Dichos punteos y sus frecuencias. 5. X 1 5.2.7. 12. Los punteos de Matemáticas (variable X).7. 8. 3. (Referencia: ejemplo y Tablas XXXVlll y XXXIX en páginas 18511921. 5. . 7. van de 6 a 15.2. 16.t En el dispersigrama anterior podemos ver: a) la distribución de frecuencias de X en la primera y última filas. 8. 8. 1O.5. N :54 Y : 6. 4. van de 4 a 16.6. f : 3. f :5. Diagrama de dispersión o nube de puntos (para recuento de casos).6.6.4. 9.4. 6.3. 6.5. 12. 4. y c) que la suma de frecuencias debe cuadra r. (Xs:10.33. Ys :11) Cuadro de cálculo para la Fórmula x x x o o I u I § I § o I o I § I I ó @ o o N o @ o N o u (d o o N o) o o o § § N N N o o ñ o I I I { o) N I ¡O o o N o o § o ! N N o I o § NI o il o O I N Nl @ JN o o o o N N o o § -t @ o o N a O) § o o -o N z { q q o I o I @ q I I 6 o o 6 N o N il o I O- -l o JN o u N { N o I o I NJ o O) o o o @ o o I o N ñ u o o q N 6 § O) o N @ rl N NJ a./ /x o o N N o I o o @ @ § o l+ N @(. @N I I I I N o I N o N o N o N o qI o o o o N o @ o o o N o o o N o o) § N { N N o @ O o o O o (! o N N o § @ N @ N +x_ l< ) r .t¡ . z+ '1.63) (-0. Substituyendo en la Fórmula 33: 133 _ l34l t-481 54 ' 54 '. (Referencia: f4 .34) (6.8e) 2. se tiene: fx' : -34 » fy' : » fy'2 : : 580 N- 54 1*'2 -48.881 1.46 - : rxY : ]tro.46 .226 denota baja correlación.(-0. según la Tabla de Gavett (página 1 2 96). 414.Con los totalés del cuadro anterior.4 El coeficiente r:O.54 rxY rxY 2.7el (10.226 8.56 o. según la Tabla de Rugg.9 o. Coeficiente de correlación ordinal.9 'xY - - 1.67 - o. o que prácticamente carece de significado. 34.4o) (7. aplicando .Fórmula ejemplo y Tabla XL en páginas 193/194).9 0. O 1. son: Rangos Alumnos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I- 10 X.0 't0.0 2.00 12.O 3.O 3.O 2.O 10.0 5.00 1. sus punteos en X.Los primeros 10 alumnos.O 1.518 990 990 990 .50 Substituyendo en la Fórmula 34: g: 1 477 :'l --: 10(100 .00 0.o 5.0 2.0 9.0 9.$ . 512 12 15 16 14 10 8 14 l'.477 513 --:0.5 Y.5 8.00 1.0 7.0 5.0 1.5 ) d2 : 36.25 16.00 4.00 4.0 2.0 4.25 79.5) .0 0.l 13 't0 1'l .I 10 6 89 97 1'.5 4. Y.- dd2 6. en Y.0 5.0 1.0 t.00 1.0 5. y sus respectivos rangos.0 2.1) 990 6(79. 1.00 4.O 8.0 3. E. México.. 1946. Aguilar. "Estadfstica general aplicada". ''Métodos EstadGticos para investigadores. 1958. S. Ed. Madrid. 1945. FISHER. Aguilar.. A. (20) "Curso de Estadfstica". "No¡mas Elementales de Pedagogfa Empfrica. . E. Madrid. A. Madrid. GALI. 1934. A. (13) (14) GARCIA PEREZ. "Elementos de Ia Teorfa de P¡obabilidades y aplicaciones". Aguilar. S. 1955. Imprenta U niversitaria. de edlcÍones. Ed..A. Aguilar. México. Madrld. "Métodos Matemáticos de Estadfstica". Labor. GARCIA HOZ. Fondo de Cultu¡a Económi- ca. "PsÍcologfa del niño y Pedagogfa Experimental. Madrid. (5) (9) S. Ma drid. InstÍtuto Nacionalde Es - radÉtica. V.l. CMMER. de EdicÍones. México. I 95-s. Escuela.. Edi- torial Continental..BIBLIOGRAFIA CLAPAREDE. CROXTON.A. y COWDEN.. " Elementos de Método Estadfstico".E. R. I 944. F. "La Medida Objetiva del Trabajo Escolat. Cia.. Barcelona. de Ediciones. 1949. D. f9S8. H. H.A. 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