Plan de clase • Competencias • Motivación. Inicio • Saberes previos. • Distribución Exponencial. • Distribución Weibull . • Distribución Normal. Contenido de • Distribución Chi-Cuadrado. sesión • Distribución T-Student . • Distribución Weibull . • Retroalimentación. Cierre • Autoevaluación Competencias Al termino de la sesión, el estudiante estará en capacidad de: Calcular probabilidades utilizando las distribuciones Exponencial, Weibull, Normal, Chi-Cuadrado, T-Student y F-Fisher. Resolver ejercicios relacionados. .Motivación En una panadería se sabe que el ingreso diario por la venta de pasteles sigue una distribución normal con una media igual a 125 soles y una desviación estándar igual a 25 soles. Para un día cualquiera: a) Defina la variable de interés e identifique los parámetros que le corresponden. b) Calcule la probabilidad de que el ingreso sea de a lo más 100 soles. 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎 𝜆 es una constante positiva. Además: E(X)=1/ 𝛌 V(X)=1/ 𝛌2 . si su función de densidad de probabilidad está dada por: −𝛌𝐱 𝛌𝐞 . 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎 𝐟 𝐱 = 𝟎. y se representa como X ~ exp (𝜆). Distribución Exponencial Una variable aleatoria continua X sigue una distribución Exponencial con parámetro 𝜆. 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎 Teorema Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución exponencial con parámetro 𝜆.Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución Exponencial con parámetro 𝜆. se cumple: 𝐏 𝐗 > 𝑥 = 𝐞−𝛌𝐱 . su función de distribución se define así: 𝟎. 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎 𝐅 𝐱 = 𝟏 − 𝐞−𝛌𝐱 . b) ¿cuántas horas como mínimo debe durar un dispositivo para ser considerado dentro del 25% de los dispositivos que más duran? . 𝒙 ≥ 𝟒𝟓 𝟒𝟓 a) Calcule la probabilidad de que un dispositivo elegido al azar dure como máximo 70 horas.Problema 1 El tiempo de duración (en horas) de un dispositivo electrónico es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: 𝟏 −𝒙 𝐟 𝐱 = 𝒆 𝟒𝟓 . Una variable aleatoria continua X sigue una distribución Weibull si su función de densidad de probabilidad está dada por: 𝜷 𝒙 𝜷−𝟏 − 𝒙 𝜷 𝐟 𝐱 = ( ) 𝒆 𝜹 . la distribución de Weibull es idéntica a la distribución exponencial.𝒙 >𝟎 𝜹 𝜹 Los parámetros β y son positivos y cuando β = 1. . Distribución Weibull La distribución Weibull se utiliza frecuentemente para modelar el tiempo hasta que ocurra una falla. La probabilidad de que X tome un valor menor que una constante k está dada por: 𝒌 −( )𝜷 𝑷 𝑿<𝒌 =𝟏− 𝒆 𝜹 . Problema 2 Suponga que el tiempo de vida de un rodamiento de rodillos sigue una distribución Weibull con parámetros β = 2 y = 8000 horas. se pide: a) Calcule la probabilidad de que el rodamiento dure por lo menos 6500 horas. . b) Calcule la probabilidad de que el rodamiento dure máximo 8500 horas si ya duró 7500 horas. Si usted selecciona un rodamiento. Distribución Normal (X N (u. . σ2 )) Una variable aleatoria X es continua si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. La representación gráfica de estas variables es una curva que es conocida con el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función nos permite obtener probabilidades que corresponden a la variable. x 2 Además: E( X ) u 2 V (X ) .Una variable aleatoria X tiene distribución normal con parámetros u y σ2 si su función de densidad esta dada por: ( x u ) 2 1 f ( x) e 2 2 . • Es simétrica con respecto a la media. • Se hacen mas planas a medida que la varianza crece. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal: • Tiene forma acampanada. . • Esta determinada por dos parámetros: la media y la varianza. si sus parámetros son u = 0 y σ2 = 1. Luego. su función de densidad esta dada por: x2 1 f ( x) e 2 . Distribución Normal Estándar (X N (0. 1)) Una variable aleatoria X tiene distribución normal estándar. x 2 . se hará en base a una tabla conocida como “Tabla de la Distribución Normal Estándar”. . el calculo de estas. Para calcular probabilidades de variables aleatorias que siguen una distribución normal tienen que estar en su forma estándar. por lo que. TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Para calcular probabilidades asociadas a partir de la función de densidad se requiere de matemáticas avanzadas. . EJEMPLOS . . σ2). entonces la variable aleatoria: X-u Z= σ tiene distribución normal estándar. ESTANDARIZACIÓN Teorema Si la variable aleatoria X tiene distribución N ( u. es decir: Z N (0. 1). . EJERCICIO RESUELTO 1 En una panadería se sabe que el ingreso diario por la venta de pasteles sigue una distribución normal con una media igual a 125 soles y una desviación estándar igual a 25 soles.15866 . P( X 100) P(Z 1) 0. X = Ingreso diario por la venta de pasteles μ = 125 y σ2 = 252 b) Calcule la probabilidad de que el ingreso sea de a lo más 100 soles. Para un día cualquiera: a) Defina la variable de interés e identifique los parámetros que le corresponden. c) Calcule la probabilidad de que el ingreso este comprendido entre 115 y 135 soles.5% de los días son considerados con la denominación de excelente con respecto a la venta de pasteles.34458 0. P( X k ) 0.4 Z 0.4) 0.65542 0.96 k 174 25 . P(115 X 135) P(0.31084 d) Se sabe que solo el 2.975 25 De la tabla : k 125 1.975 k 125 P( Z ) 0. Estime el ingreso mínimo diario para que el día sea considerado con esta denominación. 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎 r = grados de libertad. 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎 𝚪 𝟐 𝟎. Distribución Chi – Cuadrado Una variable aleatoria continua X sigue una distribución Chi- Cuadrado con parámetro r y se representa por X ~χ2r si su función de densidad de probabilidad está dada por: 𝟐−𝐫/𝟐 𝐫/𝟐−𝟏 −𝐱/𝟐 𝐟 𝐱 = 𝐫 𝐱 𝐞 . Además: • E(X)=r • V(X)=2r . 868.60 0 18.60 . se tiene: P(X ≤ 18. es decir: Gráfica de distribución Chi-cuadrada. calcule la probabilidad de que X sea menor o igual a 18. es el área bajo la curva a la izquierda de 18.868) = 0.868 A partir de la tabla.868 La probabilidad buscada. df=18 0.Ejemplo Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución Chi-Cuadrado con 18 grados de libertad. Distribución T–Student Una variable aleatoria continua X sigue una distribución T-Student con parámetro r y se representa por X ~t r . Además: • E(X)=0 𝒓 • V(X) = . 𝒓>2 𝒓−𝟐 . si su función de densidad de probabilidad está dada por: 𝟐 −(𝐫+𝟏)/𝟐 𝚪 𝐫 + 𝟏 /𝟐 𝐭 𝐟 𝐭 = 𝟏+ 𝐫𝛑 𝚪 𝐫/𝟐 𝐫 donde: r = Grados de libertad. calcule la probabilidad de que X sea menor o igual a 2.97 . es decir: Gráfica de distribución T. df=12 0.Ejemplo Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución T–Student con 12 grados de libertad.97 0 2.076 con 12 grados de libertad.076.076 De la tabla: P(X ≤ 2. La probabilidad buscada es el área bajo la curva a la izquierda de 2.076) = 0. Distribución F–Fisher Una variable aleatoria continua X sigue una distribución F-Fisher con parámetros r1 y r2 . 𝟎≤𝐱<∞ 𝚪 𝟐 𝚪 𝟐 𝐫 𝐱 𝟏 + 𝐫𝟏 𝟐 donde r1 y r2 . son enteros positivos y representan los grados de libertad. . r2 . y se representa por X ~F r1 . si su función de densidad de probabilidad está dada por: 𝐫𝟏 /𝟐 𝐫𝟏 𝐫𝟏 + 𝐫𝟐 𝐫𝟐 𝚪 𝟐 𝐱 𝐫𝟏 /𝟐 −𝟏 𝐟 𝐱 = 𝐫𝟏 𝐫𝟐 𝐫𝟏 +𝐫𝟐 /𝟐 . 𝐫𝟐 > 4 𝐫𝟏 (𝐫𝟐 − 𝟐) (𝐫𝟐 − 𝟒) .Esperanza matemática 𝐫𝟐 𝐄 𝐗 = . 𝐫𝟐 > 2 𝐫𝟐 − 𝟐 Varianza 𝟐𝐫𝟐𝟐 (𝐫𝟏 + 𝐫𝟐 − 𝟐) 𝐕 𝐗 = 𝟐 . df1=16. df2=20 0. calcule el valor de X que deja a su derecha un área igual a 0.05) = 2. El valor de X que deja a su derecha un área igual a 0.18 De la tabla: F(16.18. 0. . se tiene: Gráfica de distribución F.05. 20).Ejemplo Si X sigue una distribución F–Fisher con 16 y 20 grados de libertad. Gráficamente.20.05 está dado por el punto F(16.05 0 2. 𝑟 >2 𝑟−2 𝐫𝟐 Distribución F . P 𝐱 < 𝒌 = 𝟏 − 𝐞 δ – E(x) = : λ V(x) = : λ ( x u ) 2 Distribución Normal: 1 f ( x) e 2 2 .𝒙 > 𝟎. SÍNTESIS Distribución Exponencial: – Parámetros: : λ = Ocurrencia promedio de evento – 𝐟 𝐱 = 𝛌𝐞−𝛌𝐱 .Fisher: 𝐄 𝐗 = 𝐫 .cuadrado: E(x) = r V(x) = 2r grados de libertad 𝑟 Distribución T . 𝐫𝟐 > 4 𝐫𝟏 (𝐫𝟐 − 𝟐)𝟐 (𝐫𝟐 − 𝟒) . varianza σ2 Distribución Chi . 𝐫𝟐 > 2 𝟐 −𝟐 𝟐𝐫𝟐𝟐 (𝐫𝟏 + 𝐫𝟐 − 𝟐) 𝐕 𝐗 = . 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎 – E(x) = 1/ 𝛌 V(x) = 1/ 𝛌2 Distribución de Weibull: Parámetros: β y δ positivos 𝜷 𝒌 𝜷 𝒙 𝜷−𝟏 − 𝒙 −( )𝐱 – 𝐟 𝐱 = ( ) 𝜹 𝜹 𝒆 𝜹 . F 𝐱 = 𝟏 − 𝛌𝐞−𝛌𝐱 . x 2 – Parámetros: promedio µ.Student: E(x) = 0 V(x) = . METACOGNICIÓN ¿Que aspectos te han parecido interesantes? ¿Que contenido consideras más importante del tema trabajado? ¿Qué competencias del tema podrías aplicar en tu vida diaria? . Cerna E. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS 1. y Bayona Y. (2014) Estadística I (desde un enfoque por competencias). (2012). Cengage Learning. Montesinos L.. Décima primera edición. (2009) Estadística Matemática con aplicaciones. Anderson. Wackerly. Estadística para Administración y Economía. Cengage Learning.. Fondo editorial Universidad San Ignacio De Loyola . Sweeney y Williams. Séptima edición. 3. Primera edición. Llanos K. 2.. Mendenhall y Scheaffer. Pajuelo S.