ESTADÍSTICA APLICADAA LA EDUCACION ELABORADO POR: INGENIERA: JESSICA LISET MARTÍNEZ AGOSTO DE 2014 SANTA ANA, EL SALVADOR, CENTROAMÉRICA INDICE INTRODUCCION.................................................................................................1 UNIDAD 1:........................................................................................................1 “NOCIONES PRELIMINARES”............................................................................1 1.1 RELACIÓN DE LA ESTADÍSTICA Y EL MÉTODO CIENTÍFICO.......................2 1.1.1 Definición y Objeto de la Estadística...............................................................2 1.1.2 Para qué sirve la Estadística..........................................................................3 1.1.3 El método científico....................................................................................3 1.1.4 El proceso experimental...............................................................................5 1.2 CONCEPTOS BÁSICOS.............................................................................7 1.3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL.............................................8 1.3.1 Tipos de Estadística....................................................................................8 1.3.2 Universo, Población y Variable......................................................................9 UNIDAD 2:......................................................................................................13 “ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS”..................................................................13 2.1 FUENTES Y MÉTODOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS...............................14 2.2 NOCIÓN DE VARIABLE. CLASIFICACIÓN................................................20 2.3 ESCALAS ESTADÍSTICAS.......................................................................21 2.4 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS..........................................................23 2.5 PRESENTACIÓN, TABULAR Y GRAFICAR................................................32 UNIDAD 3:......................................................................................................39 “ANÁLISIS ESTADÍSTICO”................................................................................39 3.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL......................................................40 3.1.1 La Media Aritmética.................................................................................42 3.1.2 La Mediana............................................................................................45 3.1.3 La Moda................................................................................................47 3.1.4 La Media Armónica..................................................................................47 3.1.5 La Media Geométrica................................................................................48 3.2 MEDIDAS DE VARIABILIDA O DISPERSION.............................................51 3.2.1 El Recorrido...........................................................................................52 Ingeniera Jessica Liset Martínez 1 3.2.2 La Desviación Típica o Estándar..................................................................53 3.2.3 El Coeficiente De Variación........................................................................55 3.2.4 APLICACIONES.....................................................................................56 UNIDAD 4:......................................................................................................58 “ELEMENTOS DEL CÁLCULO...........................................................................58 DE PROBABILIDADES”....................................................................................58 4.1 TECNICAS DE CONTEO.........................................................................59 4.1.1 Métodos de Conteo...................................................................................62 4.2 DEFINICION Y MEDICION DE PROBABILIDAD.........................................77 4.2.1 Probabilidad...........................................................................................77 4.2.2 Experimento...........................................................................................82 4.2.3 Espacio Muestral......................................................................................82 4.3 INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA.............................................................83 4.3.1 Tipos de Eventos o Sucesos........................................................................83 4.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL.............................................................85 4.4.1 Definición de probabilidad condicionada........................................................85 UNIDAD 5:......................................................................................................89 “DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD”..........................................................89 5.1 VARIABLE ALEATORIA..........................................................................90 5.2 CONCEPTOS BASICOS...........................................................................90 5.3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD....................................................98 5.3.1 Distribución Binomial...............................................................................98 5.3.2 Distribución Normal...............................................................................101 5.3.2.1 Áreas Bajo la Curva Normal..................................................................104 5.3.2.2 Porcentaje Entre dos Datos Nominales.....................................................106 BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................118 INTRODUCCION Ingeniera Jessica Liset Martínez 2 sin embargo. por ejemplo. no obstante. probamos la temperatura. pareciera que no encontráramos el valor y la utilidad que ella tiene en la vida diaria.Well. Por ello la importancia de esta unidad curricular dentro del plan de formación “Administración y Gestión” la cual te brindará herramientas para toma de decisiones acertadas en los diferentes procesos administrativos. análisis e interpretación de datos. La estadística la aprendemos desde la educación básica. quien dijo hace más de 100 años que “para ser un buen ciudadano. un escritor e historiador inglés.Lind. cada vez que vamos a bañarnos si disponemos de un calentador de agua abrimos el chorro durante un rato hasta que comienza a salir el agua caliente.C. Estos mismos autores afirman que Well no mencionó los negocios porque apenas comenzaba la revolución francesa. En este caso tomamos una decisión basándonos en una muestra. organización. Aun en las circunstancias más comunes de nuestro día a día empleamos estadística para la toma de decisiones. decidimos si se agrega más agua fría o no y cuando consideramos que la temperatura es adecuada decidimos entrar a la regadera. los resultados del análisis y la interpretación nos permiten predecir determinados acontecimientos que nos pueden favorecer en la administración de una empresa. el pensamiento estadístico sería un día tan importante como saber leer”. Ingeniera Jessica Liset Martínez 2 . Estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección. sino también para la toma de decisiones acertadas en los negocios”. metemos la mano. aseguran que si ese escritor tuviera hoy la posibilidad de hacer un comentario sobre las estadísticas seguramente diría que “el pensamiento estadístico es necesario no sólo para ser un buen ciudadano. Mason y Marchal (2001) en su libro “Estadística para administración y contaduría” hacen referencia a una cita de H. esta cotidianidad es una de las técnicas empleadas por la estadística. UNIDAD 1: “NOCIONES PRELIMINARES” Ingeniera Jessica Liset Martínez 1 . aunque no por necesidad. presentar. organizar. etc. se considera como una estimación de parámetro de determinada población. 2001 Definición La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo. procesos. 1953 Yale y Kendal. como base en una muestra de observaciones que generalmente.1980 Murria R. descripción y comparación de los fenómenos Un valor resumido. 1954 Kendall y Buckland . A continuación se te presenta un cuadro con definiciones de estadística planteadas por diferentes autores en diferentes años: Autor Gini. personas. fenómenos. es decir. Comúnmente es considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación. analizar e interpretar datos para ayudar a tomar las mejores decisiones ¿Consideras que ha habido una diferencia u avance notorio a través de los años en las definiciones de estadística presentadas en el cuadro anterior? Ingeniera Jessica Liset Martínez 2 . organizar. 1991 Lind. presentación.1. y que han sido recopilados a partir de otros datos numéricos. La estadística estudia los métodos científicos para recoger. una función de valores de muestra. Mason y Marchal. resumir y analizar datos. análisis e interpretación de observaciones o mediciones hechas sobre un conjunto de objetos. Spiegel. así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis La ciencia de reunir. clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación. calculado. cuya mediación requiere una masa de observaciones de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares La estadística es la ciencia que trata de la recolección.1.1 Definición y Objeto de la Estadística La Estadística tiene por objeto la recolección.1 RELACIÓN DE LA ESTADÍSTICA Y EL MÉTODO CIENTÍFICO 1. Entendiendo por dato cuantitativo a aquel que está expresado de forma numérica. Por ello estudiaremos la estadística como un conjunto de métodos que nos permiten evaluar datos cualitativos y cuantitativos.1.) Predicción. 1. el peso. Descripción de datos. etc. Sirve tanto para pronosticar el resultado de unas elecciones. Se elige una muestra de una población para hacer inferencias respecto a esa población a partir de lo observado en la muestra (sondeos de opinión. las calificaciones. La Estadística resuelve multitud de problemas que se plantean en ciencia: Análisis de muestras. para descubrir leyes fundamentales de la Física o para estudiar cómo ganar la ruleta. Procedimientos para resumir la información contenida en un conjunto (amplio) de datos. 1 De material elaborado por Márquez Zambrano. características del objeto que se analiza por ejemplo: Categorizar las los niveles de inasistencias de un trabajador en muchas o pocas. Por ejemplo la Tierra tiene una luna (satélite natural). al ser amplio su ámbito. Prever la evolución de una variable estudiando su historia y/o relación con otras variables. bueno. etc. etc. aunque podemos entender aquí nos referimos con algún ejemplo. mediano o alto. control de calidad.). regular o deficiente. diferencias entre poblaciones. por ejemplo: la edad. Luisa Ingeniera Jessica Liset Martínez 3 . Pero se suele reunir en tres apartados: los hechos. No es una partición estancada. etc.2 Para qué sirve la Estadística Ya hemos visto que la Estadística se encuentra ligada a nuestras actividades cotidianas.).Quizás el hecho más curioso que resalta de las definiciones anteriores es: ¿La estadística es una ciencia o una técnica? En la actualidad se considera como un poderoso auxiliar en la investigación. las leyes y las teorías. como su nombre lo indica. Contraste de hipótesis. Los hechos se refieren a casos específicos y únicos. opinar sobre un producto calificándolo de muy bueno. la estatura en bajo. Mientras los datos cualitativos reflejan. cualidades. Medición de relaciones entre variables estadísticas (contenido de gas hidrogeno neutro en galaxias y la tasa de formación de estrellas. Sirve para comparar las predicciones resultantes de las hipótesis con los datos observados (medicina eficaz.1. etc.1 1. La información que maneja la ciencia es amplia. como para determinar el número de ballenas que viven en nuestros océanos.3 El método científico Citando a Martin Gardner: “La ciencia es una búsqueda de conocimientos fidedignos acerca del mundo: como se estructura y cómo funciona el universo (incluyendo los seres vivos)”. Metodología estadística para diseñar experimentos que garanticen que las conclusiones que se extraigan sean válidas. En ella se habla de fuerzas (o de campos gravitatorios) que no son entes observables. La matemática y la lógica aplicadas a las ciencias facilitan poder establecer hechos. concreto y único. La generalización de la ley de Kepler permite aplicarla a cualquier par de cuerpos ligados por la gravedad. que ocupa uno de los focos de la elipse. En el caso de que estas observaciones no ocurran nos enfrentamos a varias posibilidades: nuestras hipótesis necesitan ser revisadas. Y la Estadística proporciona una herramienta para poder evaluar esta certeza. Basándonos en esa hipótesis diseñamos un experimento que consiste en que un conjunto de observaciones deben tener lugar. Febrero 2009 Ingeniera Jessica Liset Martínez 4 . pero esta teoría explica hechos y leyes. la ley se refiere a muchos casos. Una teoría es una abstracción. la teoría newtoniana de la gravitación no es completa. Hacemos observaciones en la naturaleza y a través de un proceso creativo generamos una hipótesis de cómo funciona cierto aspecto de la naturaleza (modelos). Por ejemplo la teoría newtoniana de la gravitación. bajo ciertas condiciones. leyes y teorías con coherencia interna y con un alto grado de certeza. No hay así un conocimiento completamente seguro: los enunciados absolutamente ciertos solo existen en el ámbito de las matemáticas o la lógica. o nos hemos equivocado en el análisis de los resultados del experimento.2 2 Tomado del libro “Estadıstica Basica para Estudiantes de Ciencias”. que explica hechos y leyes. De ahí vino su evolución a nuevas teorías de la gravitación. Sucede que el conocimiento científico no es completamente seguro en ninguna de las precedentes categorías. con entidades inobservables. frente al hecho. como lo son los planetas que orbitan en torno al Sol. el experimento se llevó a cabo de forma incorrecta. o proporcionar pautas para realizar inferencias a partir delo que se conoce. a diferencia de la que no lo es.La primera ley de Kepler (ya que estamos con planetas) es un buen ejemplo de ley: los planetas describen orbitas elípticas en torno al Sol. Pero la ciencia usa una correspondencia con estas dos disciplinas. puede ser refutada: puede existir un conjunto de circunstancias que si son observadas demuestran que la teoría está equivocada. Como se ve. si la hipótesis es cierta. como sabemos. Lo que distingue a una teoría científica es que esta. O. porque no da cuenta de algunos fenómenos. Podría existir otra luna en torno a la Tierra. A continuación se ofrece una visión simplificada del método científico. quienes deben ser capaces de replicar los resultados iniciales con la intención de corroborarlos). Esto se opone a la aceptación pasiva de datos. es decir. Preguntas típicas son. Predicción: las predicciones de cualquier fenómeno deben ser válidas tanto para observaciones pasadas. razonamiento y experimentación.4 El proceso experimental La experimentación está lejos de estar carente de dificultades. Las razones para realizar un experimento son diversas y de alcance muy variable. a priori. Control: capacidad de modificar las condiciones del experimento para estudiar el impacto de los diferentes parámetros participantes.1. Falsabilidad o eliminación de alternativas plausibles: Este es un proceso gradual que requiérela repetición de los experimentos (preferiblemente por investigadores independientes. ver. La lógica de la investigación científica en Popper (1935). sino que es un proceso exigente que requiere. en muchas ocasiones. aumenta la confianza en dichas hipótesis o teorías (uno de los defensores fundamentales del criterio de falsabilidad es Karl Popper (1902–1994). En este sentido la Cosmología se enfrenta. La paciencia y la perseverancia son grandes aliadas en este sentido. juicio crıtico. el método científico incorpora las siguientes facetas: Observación: aplicación atenta de los sentidos a un objeto o a un fenómeno. que puede conducir a un importante sesgo (vías) empírico. como presentes y futuras. Todas las hipótesis y teorías deben estar sujetas a la posibilidad de ser refutadas. En este sentido. por ejemplo: ¿Como de aplicable es una teoría particular? ¿Es posible mejorar una técnica de medida? ¿A qué temperatura debe fundir una nueva aleación? ¿Qué ocurre con las propiedades magnéticas de un material al someterlo a temperaturas de trabajo muy bajas? ¿Se ven alteradas las propiedades de un semiconductor debido al bombardeo por radiación nuclear? De una forma esquemática. se basa en tres pilares fundamentales: observación. Este método. Explicación causal: los siguientes requisitos son normalmente exigibles para admitir una explicación como científica: 1. Las observaciones únicas e irrepetibles no permiten predecir futuros resultados.Hace algunos cientos de años se estableció un método para encontrar respuestas a los interrogantes que nos planteamos al contemplar la naturaleza. entre otros ingredientes. deben poder repetirse. el proceso experimental suele desarrollarse siguiendo el siguiente esquema: Ingeniera Jessica Liset Martínez 5 . conocido como método científico. El Universo es único y no podemos volver a repetirlo modificándolas condiciones iniciales. el volumen de datos a manejar puede ser tan grande que sea necesario un trabajo de análisis intenso. De forma resumida. a un grave problema. Algunas técnicas experimentales exigen un aprendizaje largo y. El método científico no es una simple receta. para estudiarlos tal como se presentan en realidad. por ejemplo. Descripción: las mediciones deben ser fiables. a medida que un área de conocimiento crece y las hipótesis o teorías sobre la que se sustenta van realizando predicciones comprobables. En este sentido resulta imprescindible tener presentes varias cuestiones: • ¿Cuáles son las unidades asociadas a cada medida? • ¿Cuál es la incertidumbre asociada? • ¿Que variabilidad presentan las medidas? • ¿Cómo puedo tener una idea del orden de magnitud de una medida antes de realizarla y saber así que los resultados que se van obteniendo son razonables? • ¿Qué información debe ser incluida en la tabla de datos? ▪ Comprobación de la respetabilidad: siempre que sea posible. a la vez que preserva la integridad del equipo (¡y la nuestra!). Todo ello evita perder tiempo y cometer errores de bulto. tras largas horas de medidas. 3. Ingeniera Jessica Liset Martínez 6 . y de qué manera se va a realizar el experimento. Interpretar los datos y extraer conclusiones que sirvan como punto de partida para nuevas hipótesis. obviamente. básicamente. de la calidad de las medidas y de su análisis. Esta tarea se subdivide en varios pasos: ▪ Preparación: el equipo debe ser puesto a punto para su utilización. Y aunque. es necesario elaborar un plan de trabajo para poder alcanzarlo. Hay que identificar que equipos son necesarios. Las herramientas estadísticas que se describen en este libro nos permitirán tomar decisiones de manera objetiva. acerca de los resultados de nuestro experimento. 4. todo experimento debería repetirse varias veces para comprobar que los resultados obtenidos son repetibles y representativos. Esto facilita el uso correcto del equipo instrumental. permitiendo identificar los aspectos más difíciles o en los que resulta más fácil cometer errores. 2. 6. Analizar los datos: una vez obtenidas las medidas es necesario su tratamiento estadístico para poder obtener magnitudes (e incertidumbres asociadas) representativas del objeto de nuestro estudio. Realizar el experimento y obtener las medidas. Hacerlo antes de su ejecución evita el sesgo personal de identificar los resultados que ya se conocen como objetivos iniciales (no debemos engañarnos a nosotros mismos). Definir la pregunta o problema a resolver. e incluso consultar a experimentadores con experiencia previa en su manejo. ▪ Experimentación preliminar: suele ser muy aconsejable realizar una pequeña experimentación de prueba antes de iniciar la toma definitiva de medidas. Si el experimento requiere la utilización de aparatos con los que no estamos familiarizados. mucho más fácil será realizar su planificación y ejecución. El éxito de esta interpretación dependerá. que cantidades hay que medir. ▪ Toma de datos: el trabajo cuidadoso y detallado son fundamentales en todo proceso experimental. Una vez definido el objetivo del experimento. es necesario leer atentamente los manuales de utilización. discrepancias muy grandes deben alertarnos acerca de la existencia de efectos sistemáticos que pueden estar distorsionando el experimento. Obtener información y recursos.1. Formular hipótesis. la repetición de un experimento no proporciona exactamente los mismos números. Ejecutar dicha labor siguiendo un plan de trabajo bien definido resulta básico. No hay nada más frustrante que descubrir. que hemos olvidado anotar algún parámetro esencial o sus unidades. 5. Cuanto más claro y definido sea el objetivo del experimento. no podíamos decir que tenemos 95. como el que se exigirá en los diversos laboratorios en los que se trabajara durante la licenciatura de Físicas. Debemos tener claro que a variable no es el objeto de estudio en sí. pero nunca podremos decir que nuestra cooperativa está conformada por 20. por ejemplo. Variable Discreta: Es aquella que solo puede asumir ciertos valores. Apreciemos el siguiente ejemplo: Una variable discreta puede ser la cantidad de lapiceros que tenemos disponibles en nuestro inventario. judíos. etc. persona o situación que es capaz de modificarse en extensión y naturaleza.7. Estas variables se dividen en dos grupos: variables continuas y discretas. el dato en este caso se expresa evitando los rangos entre los valores. algunas veces puede durar una hora y cuarenta Ingeniera Jessica Liset Martínez 7 . 1. Publicar los resultados. por ejemplo el número de hijos por familia. la duración de un viaje en carro de Caracas a Maracay. es decir. por ejemplo si estuviéramos analizando un local para alquilar el local no es variable. podemos decir que somos católicos. Variables Continuas: Es aquella que puede adoptar cualquier valor dentro de un rango específico. podemos decir que está conformada por doce. generalmente se expresan en números enteros. y ente éstos suele haber huecos. Esto incluye desde un sencillo informe de laboratorio. es decir. etc.1. iluminación. es una característica que varía de un objeto a otro que no permanece constante y como consecuencia sirve para singularizar un objeto o grupo de ellos. tamaño.5 personas. variables son sus atributos: ubicación. por ejemplo. cantidad de miembros de una cooperativa.2 CONCEPTOS BÁSICOS Variables: Una variable es la característica de un objeto. por ejemplo la religión. hasta la publicación de un artículo científico una revista reconocida. evangélicos. Podemos encontrar dos tipos de datos: Cualitativos y cuantitativos. trece personas. protestantes. Variables Cuantitativas: Es aquella variable que puede ser expresada de forma numérica. ventilación. Variables Cualitativas: Llamamos variable cualitativa a aquella no o puede ser expresada de forma numérica. Observemos que este es un dato que varía de un individuo a otro pero no puede ser expresado de forma numérica. En este tipo de casos se expresa el dato en un número entero. Los resultados de cualquier proceso experimental deben ser comunicados de manera clara y concisa.2 lapiceros o 96. si contamos podemos decir que tenemos 96 bolígrafos. sino sus características. cuando tenemos fiebre nos tomamos la temperatura.5 etc. De ella evolucionaron las actividades de conteo. por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma de decisiones. resume y transforma datos para poder interpretar la información. tenía por objeto mantener en orden registros del gobierno (de hecho.1…38.3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL El tema de la estadística moderna abarca la recolección.1 Tipos de Estadística Dos corrientes de influencia han conducido al desarrollo de los métodos estadísticos. El peso de las verduras que compramos periódicamente es una variable continua. todos son continuos. Estadística Descriptiva: La estadística descriptiva está dedicada a descubrir las regularidades o características existentes en un conjunto de datos mediante la utilización de gráficos y de medidas numéricas de resumen. A través de la cuantificación y ordenamiento de los datos intenta explicar los fenómenos observados.1…39. tabulación. la medida puede ir desde los 36 grados hasta los 41.1. 40. 1. estado y estadística vienen de la misma raíz latina. Una de ellas. 40…. status). Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un conjunto de datos. Otro ejemplo de variable continua el promedio de las calificaciones de un estudiante en cada lapso. presentación y caracterización de información para ayudar tanto en el análisis de datos como en el proceso de la toma de decisiones. por ejemplo 36. La segunda corriente de influencia se originó en las matemáticas de los juegos de azar y condujo al desarrollo de la estadística inferencial o inductiva. pero incluyendo los números decimales. y presentar Ingeniera Lisetresumir Martínez 8 datos de manera informativa . 38. de allí el nombre de la variable.…37. Estadística Descriptiva: Métodos Jessica para organizar.y cinco minutos o dos horas. no hay vacíos entre los rangos. medición.3. que conforman lo que hoy conocemos como estadística descriptiva. ordenamiento y levantamiento censal.2. 37.9. 1. obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones. basada fundamentalmente en el concepto de probabilidad matemática. a fin de compararlas. 36. descripción. En otras palabras. pues puede variar de forma ascendente o descendente incluyendo los decimales. Veamos este otro ejemplo: Una variable continua es nuestra temperatura corporal. No obstante puede no solo referirse a la observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sino también a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial). 36. etc. son procedimientos estadísticos que se utilizan para deducir o inferir algo acerca de un conjunto de datos numéricos (población). personas o eventos a partir de otras relativamente pequeñas compuestas por los mismos elementos. generalizar las conclusiones obtenidas a partir de una muestra a la población de la que ha sido extraída. Ingeniera Jessica Liset Martínez 9 . resumir. Estadística Inferencial: Métodos usados para determinar algo acerca de la población basándose en una muestra. con gráficas. Como está empleando la estadística para describir el desempeño sin generalizar estos resultados hacia otros grupos de Estadística I el profesor está utilizando estadística descriptiva. En resumen. mediante la utilización de métodos estadísticos basados en la teoría de las probabilidades. presentar y analizar datos relativos a un conjunto de individuos u observaciones que nos permiten extraer conclusiones válidas y efectuar decisiones lógicas basadas en dichos análisis. de donde procede. se debe tratar que la muestra sea representativa de la población. La Estadística inferencial permite.2 Universo. organizar. tablas y diagramas muestra los datos de manera que sea más fácil su entendimiento. El objetivo de la inferencia en investigación científica y tecnológica radica en conocer clases numerosas de objetos. la estadística debe hacer referencia a un conjunto de sujetos u objetos de análisis. Población y Variable La estadística está compuesta por métodos científicos mediante los cuales podemos recolectar.3. El proceso de estimación de tal promedio sería un problema concerniente a la estadística inferencial. Leamos el siguiente ejemplo Imaginemos que nuestro profesor de estadística I calcula la calificación promedio de nuestro grupo en primera unidad.Estadística Inductiva o Inferencial: Está fundamentada en los resultados obtenidos del análisis de una muestra de población. Supongamos ahora que el mismo profesor decide utilizar el promedio de calificaciones obtenidas por nosotros en la primera unidad para estimar la calificación promedio que obtendremos en el resto de las unidades de esta asignatura. conocido como población. Es importante destacar que para que las conclusiones sean válidas. por lo que recibe también el nombre de Inferencia estadística. En cualquier trabajo en el que se aplique. 1. seleccionando un grupo menor de ellos (muestra). con el fin de inducir o inferir el comportamiento o característica de la población. en el caso en que sea una población finita. una forma de hacer la investigación es seleccionando un Ingeniera Jessica Liset Martínez 10 . Muestra: Es una parte representativa de la población que se estudia y se toma cuando la población es demasiado grande como para estudiarla completa. por ejemplo: Escuelas primarias de Caracas. actos. se debe cuidar que el conjunto de elementos que la integran quede perfectamente delimitado. deben reunirse ciertos requisitos en la selección de los elementos. o más aún. la única manera de estudiar la población es obteniendo muestras de ella. Aquí el término población tiene un significado mucho más amplio que el usual. En todos estos casos. destinado a suministrar información sobre la población. Por lo tanto. El tamaño de una población viene dado por la cantidad de elementos que la componen. por ejemplo. Puede ocurrir que la población que se defina tenga tamaño infinito (incontable). En otras ocasiones. cosas. ya que puede referirse a personas.Población o Universo: Es el conjunto de entidades u objetos que satisfacen una definición común y en los que interesa analizar una o varias características. al definir una población. Las causas por la cual se seleccionan muestras son muchas. se pueda decidir si forma parte o no de la población bajo estudio. debemos especificar cuáles y cuándo. El tamaño de la muestra queda determinado por el número de elementos que la forman y se simboliza con la letra n. todas las personas que posean estas características (tener entre 20 y 30 años y trabajar en una cooperativa) serán nuestra población. Muestra: Es un subconjunto de unidades de análisis de una población dada. la observación de los elementos puede ser destructiva. es decir. el costo de la observación exhaustiva puede ser muy elevado. Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas que presentan características comunes. Si. Generalmente se simboliza esta información con la letra N. de modo que ante la presencia de un potencial integrante de la misma. no fuera posible observar a todos sus elementos. por lo que debe estar perfectamente definida en el tiempo y en el espacio. el extenso tiempo de recolección de la información. seguramente va a ser difícil buscar todas las cooperativas de todo el país para conocer este dato. Ejemplo: Si necesitamos conocer la cantidad de personas entre 20 y 30 años que pertenecen a cooperativas en Venezuela. año 1995. y en consecuencia. estamos analizando las escuelas primarias. áreas geográficas e incluso al tiempo. Población: Es la recolección completa de todas las observaciones de interés para el investigador. que podemos contabilizar y establecer un límite de existencia. Para que este subconjunto de unidades de análisis sea de utilidad estadística. para obtener la información. Si bien esta teoría tiene muchas ventajas conceptuales y teóricas. Para entenderlos debe comprenderse que. en la cual encontraremos personas de todas las edades. En conclusión la estadística se divide normalmente en dos: Teoría de decisión.grupo de estados del país. Esto incluye una estimación de la probabilidad de tomar decisiones erróneas. Algunos de los problemas más importantes de la inferencia estadística se refieren a la evaluación de los riesgos y las consecuencias que pueden ocurrir al hacer generalizaciones a partir de una muestra de datos. en este caso obtendremos una muestra. las posibilidades de hacer predicciones incorrectas. es imposible eliminar todos los elementos subjetivos. Observemos que este es una cose de estadística inferencial. plantea algunos problemas de aplicación que son difíciles de resolver. En los últimos años. podría ser uno de cada región y visitando sus cooperativas. pero estos datos nos permitirán predecir de acuerdo a la cantidad de jóvenes en estos estados la proporción de jóvenes que habrán en todas las cooperativas del país. se han hecho intentos de abordar todos estos problemas dentro del marco de referencia de una teoría unificada llamada teoría de decisión. Un elemento de subjetividad interviene aun cuando definimos Ingeniera Jessica Liset Martínez 11 . por muy objetivamente que se planee un experimento o investigación. con la misma probabilidad que cualquier otra y cuyos elementos están elegidos independientemente unos de otros y con la misma probabilidad. Un Parámetro: Es una medida de resumen que se calcula para describir una característica de toda una población. informalmente al menos. La subjetividad influye mucho en la elección de los métodos estadísticos o fórmulas empleadas en una situación específica. Muestra aleatoria: Es una muestra elegida independientemente de todas las demás. algunos de estos factores subjetivos.elementos como “bueno” o “mejor” con respecto a la razón de criterios de decisión (por ejemplo buscaremos una línea recta que “mejor se ajuste a un conjunto dado de pares ordenados de datos). Algunas otras aplicaciones pertenecen al enfoque Bayesiano. La gran mayoría de los métodos que serán usados para plantear y resolver estos problemas pertenecen al enfoque clásico. que consideran. UNIDAD 2: “ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS” Ingeniera Jessica Liset Martínez 12 . ya que no toman en cuenta los varios factores subjetivos mencionados antes. Un Estadístico: Es una medida de resumen que se calcula para describir una característica de una sola muestra de la población. Ingeniera Jessica Liset Martínez 13 . Los datos que requerimos para realizar una evaluación estadística de los procesos administrativos los podemos encontrar por medio de diversas fuentes las cuales pueden ser. primarias o secundarias. Ingeniera Jessica Liset Martínez 14 . pero que ya han sido elegidos y procesados por otros investigadores.2. tanto para la actividad científica como para la vida práctica resulta de inestimable valor. u oficiales o privadas. La Observación Consiste en el uso sistemático de nuestros sentidos para captar la realidad que queremos estudiar. aquí mencionaremos las más comunes o las más empleadas. y por el contrario los datos emitidos por entes no gubernamentales los denominamos privados. Los datos oficiales son todos aquellos que hayamos en dependencias gubernamentales. Datos Primarios: son aquellos que el investigador obtiene directamente de la realidad. Es una técnica antigua. Datos Secundarios: son registros escritos que proceden de un contacto con la práctica. Llamamos fuentes primarias la persona o institución que ha recolectado los datos. El uso de nuestros sentidos es una fuente inagotable de datos que. y secundaria si la persona o institución que ha publicado los datos no fue la que efectuó la investigación. y todo dato primario. que luego organiza intelectualmente. a partir del momento en que el investigador concluye su trabajo. se convierte en dato secundario para los demás. recolectándolos con sus propios instrumentos.1 FUENTES Y MÉTODOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS Fuentes de Datos El lugar del cual obtenemos los datos para realizar nuestros análisis estadísticos se denomina fuente. Técnicas de Recolección de Datos Existen diversas técnicas de recolección de datos. a través de sus sentidos. Los datos primarios y secundarios no son dos clases esencialmente diferentes de información. el hombre capta la realidad que lo rodea. sino partes de una misma secuencia: todo dato secundario ha sido primario en sus orígenes. destruyendo la espontaneidad y por tanto alterando la confiabilidad de los datos. Debe especificarse su duración y frecuencia. siendo muy útil con los analfabetos. los niños o con aquellos que tienen limitación física u orgánica que les dificulte proporcionar una respuesta escrita. Para realizar un proceso de observación con el propósito de recabar datos debemos seguir algunos principios básicos: Debe tener un propósito específico. Como técnica de recolección de datos la entrevista tiene muchas ventajas. Debe llevarse. es decir. Su principal desventaja reside en que la presencia del observador puede generar una alteración o modificación en la conducta de los objetos observados. de acuerdo a la información que necesita recolectar elabora una serie de preguntas que más tarde realiza a la persona que se convertirá en su fuente. ya que en ellas los entrevistados colocan su toque personal al brindar la información. pero nuestras observaciones diarias al no estar orientadas a un propósito determinado carecen de controles que nos alejen de los errores. Las entrevistas la mayoría de las veces se realizan en persona. De este modo. un control cuidadoso de la misma. las cuales solemos tener al emplear una entrevista.Observación: Es el registro visual de lo ocurre es una situacional real. nunca obtendremos distorsiones de la realidad. La entrevista es una técnica en la cual es investigador. Se le puede explicar al entrevistado con qué propósito estamos recogiendo los datos y esta ayuda a que éste dirija mejor sus respuestas. colocándonos ante una situación tal como ésta se da naturalmente. Además. Debe ser planeada cuidadosa y sistemáticamente. clasificando los acontecimientos de acuerdo con algún esquema pre estructurado y cónsono con el problema que se estudia La observación es un proceso cotidiano para nosotros. La principal ventaja de esta técnica es que los hechos son percibidos directamente. Debe seguir los principios básicos de validez y confiabilidad. por escrito o de forma audiovisual. a diferencia de otros métodos en los que sí necesitamos de la cooperación de las personas para obtener la información deseada. es aplicable a toda persona. ya sea con un grabador o por escrito. Ingeniera Jessica Liset Martínez 15 . Otra ventaja es que la conducta se describe en el momento exacto en que está ocurriendo. La Entrevista. las observaciones se pueden realizar independientemente de que las personas estén dispuestas a cooperar o no. es parte de nuestra experiencia de vida. visitando al entrevistado y registrando la información ofrecida. sin ninguna clase de intermediación. El cuestionario puede aplicarse a grupos o individuos estando presente el responsable de recoger la información o no. y debe seleccionar una de ellas. niños o personas con alguna discapacidad. El Cuestionario Es el método que utiliza un instrumento impreso. Están estructurados de tal manera que al informante se le ofrecen sólo determinadas opciones de respuesta. puede enviarse por diversos medios a los seleccionados en la muestra. También puede contratarse a una persona que cumpla que aplique el cuestionario. Estos problemas que a su vez se convierten en desventaja son: que el cuestionario no fuese devuelto. Las ventajas de esta administración es que no quedarán preguntas en blanco y también que puede ser aplicada a analfabetos. Cuando la aplicación cuestionario queda en manos de los encuestados se pueden presentar problemas relacionados con la cantidad y calidad de datos que pretende obtener para el estudio. es que al ofrecerle categorías al informante se le están "sugiriendo" las respuestas. Debido a esa posible pérdida de información se recomienda cuando se use está técnica se escoja una muestra más grande de sujetos de estudio. Este cuestionario es más fácil de codificar y contestar. Existen tres tipos de cuestionarios: Cuestionarios Abiertos. pero requiere más tiempo por parte del informante y es más difícil de analizar por parte responsable de recoger los datos. ellas están destinadas a obtener repuestas sobre el problema en estudio y son dadas por consultado a través de un proceso de escritura. sin embargo. Como desventaja. el cuestionario puede ser llenado por el encuestado o con ayuda de un empadronador. en estos casos se suele llamar cédula de entrevista. hay preguntas pero todas están formuladas en un papel. la función que cumplen es leer cada pregunta y marcar la respuesta dada por el encuestado. Ingeniera Jessica Liset Martínez 16 .A pesar de todas sus bondades la entrevista también posee algunas desventajas o limitaciones: Requiere una mayor inversión de tiempo para recoger la información. que los consultados evadan la respuesta a alguna pregunta o no darle la importancia necesaria a las respuestas proporcionadas. Son en los que se pregunta al sujeto algo y se le deja en libertad de responder como quiera. Como en el caso de la entrevista. como las respuestas pueden ser totalmente abiertas se puede dificultar el análisis de los datos y requiere de mucha astucia para obtener los datos que se desean canalizando las respuestas del entrevistado aun cuando éste se desoriente. Este tipo de cuestionario es muy útil y proporciona mucha información. Un ejemplo de esta aplicación son los empadronadores de los censos de población. Cuestionarios Cerrados. recordemos que ellos traen el cuestionario con sus preguntas y sus respuestas. en el proceso de recolección de datos los métodos e instrumentos y fuentes suelen combinarse. Terminado este proceso pasamos al agrupamiento. es decir. cada una con sus ventajas y desventajas. pero también de forma que ninguna opinión pueda incluirse en dos categorías. La mayoría de los cuestionarios poseen la siguiente estructura: Titulo Instrucciones Identificación del encuestado (la identificación no hace referencia al nombre. Razones Proporciones y Porcentajes Ingeniera Jessica Liset Martínez 17 . etc. profesión. tema que ampliaremos más adelante. Una vez bien estructuradas las categorías contamos la frecuencia de aparición de cada categoría en las respuestas dadas. para poder lograr el análisis estadístico es necesario ordenar los datos y clasificarlos. sobre todos si son cuestionarios llenados por el informante ya que en una entrevista el entrevistador es el que registra las respuestas. en muchos estudios las respuestas anónimas suelen ser más objetivas. sin embargo esto se podría considerar poco ético. sin embargo dan flexibilidad para que el investigador determine su uso apropiado según el estudio a realizar. pero si vamos a aplicar el cuestionario a una población diversa podemos identificarlos por edad.Cuestionarios Mixtos: poseen ambos tipos de preguntas abiertas y cerradas. lo primero que hacemos es revisar los instrumentos de recolección de información aplicados. Una vez recogidos los datos pasamos a su preparación para iniciar el estudio. sus características propias y la información que se requiera. Preparación de los Datos Estadísticos. en ese caso la sugerencia es eliminar ese cuestionario de la muestra. En el caso de ser un cuestionario de preguntas cerradas se contabiliza la frecuencia de aparición de cada respuesta para luego elaborar una tabla con la distribución de frecuencias. por ello el nombre de “mixtos”. En el caso de las entrevistas y cuestionarios con preguntas abiertas debemos crear categorías de acuerdo con los puntos expresados por los entrevistados de tal forma que ninguna opinión o planteamiento se queden sin categoría.) Preguntas Observaciones En general. Algunos autores proponen que cuando quedan cuestionarios con preguntas sin contestar las llenemos con la respuesta que la mayoría colocó. pues no es la respuesta del encuestado. deben ser mutuamente excluyentes. De individuos con cierta característica a= Nro. Una de las formas de realizar esta actividad es relacionando los datos. por ejemplo: En una ciudad existen 54.000 empleados y 10. De individuos que no poseen cierta característica La interpretación del ejemplo anterior es que por cada 4 empleados hay 1 desempleado. ya que por ejemplo en una zona donde hay 90. ya sea entre ellos mismos o con datos similares.000 desempleados. Proporción La proporción es una razón. Razones La razón (R) es el valor que indica la relación cuantitativa existente entre dos cantidades. es que el denominador del cociente es el número total de unidades enunciadas.000 empleados y 36. la razón de empleado a desempleado se expresa así: Siendo A= Nro. La proporción se representa con la siguiente fórmula: siendo N= (A)+(a) La proporción contraria sería Ambas p y q son complementarias y si se suman debe dar igual a 1 p+q=1 Remplacemos las formulas con los datos del ejercicio anterior Ingeniera Jessica Liset Martínez 18 .Una de las funciones de la estadística es resumir todos los datos de un conjunto para resaltar sus características más importantes. ya veremos por qué. convertir los valores absolutos en valores relativos. es decir. pero su diferencia con las razones anteriores.000 desempleados la razón sigue siendo de 9. Al ser la razón un valor relativo no depende de los valores absolutos de los individuos que la forman. y la de desempleados de 0. pues si decimos que en la cuidad “X” el 85.142. es decir.7% de las personas están empleadas.85. Ambas proporciones son complementarias y si las sumamos da igual a 1 Porcentajes Como vimos en el apartado anterior las proporciones vienen expresadas en valores decimales.La proporción de empleados sería de 0. veamos sus fórmulas: Siendo Pa= Porcentaje de aumento Pd= Porcentaje de descenso o disminución Ingeniera Jessica Liset Martínez 19 . esto no es ningún inconveniente. estos pueden ser en aumento o en descenso. para convertir los valores decimales en enteros.7% de las personas están empleadas y el 14. para convertirlos en porcentajes. sin necesidad de manejar el porcentaje exacto. ya podemos inferir la minoría está desempleada. pero cuando se quiere presentar al público los datos utilizar decimales es confuso. decimos que 85. el segundo porcentaje no es necesario darlo. Porcentajes de Cambio Son los que muestran la diferencia entre dos porcentajes. por ello se acostumbra a multiplicar las proporciones por 100. Convirtamos pues nuestras proporciones en porcentajes: ¿Cómo interpretamos estos porcentajes? De la misma manera que lo hicimos con la proporción. Observemos que si tan sólo damos uno de los dos porcentajes con su respectiva interpretación.2 % están desempleados. CLASIFICACIÓN Ingeniera Jessica Liset Martínez 20 .000. 2.M= Cantidad mayor m= Cantidad menor Ejemplo: Si sabemos que el excedente de nuestra cooperativa en el año 2004 fue de $100.000. ¿cuál fue el porcentaje de aumento? El porcentaje de aumento de nuestro excedente fue de un 35% en un año.000 y para el año 2005.2 NOCIÓN DE VARIABLE. $ 135.000. Los niveles de medición indican que tipo de operación se puede hacer con los datos para resumirlos. todos tenemos que estar en una sola categoría. Existen cuatro niveles de medición: Nominal. ordinal. clasificado en hombre y mujer. Para que no se nos olvide esta propiedad de la medición nominal atendamos el siguiente ejemplo: En un aula de clases vamos a clasificar las personas por lugar de nacimiento. pero no del objeto en sí. No hay un orden. objeto o medición puede quedar sin categorías por ejemplo: En un nivel de medición ordinal. no puede haber observación fuera de una categoría. Escala Nominal En el este tipo de medición los objetos sólo pueden ser nombrados o contados. de intervalo y de razón. por lo tanto. En la medición nominal un mismo objeto de análisis no pueden estar en dos categorías. Ingeniera Jessica Liset Martínez 21 . ¿Qué quiere decir esto? Cuando medimos hacemos una estimación numérica de un objeto. para ello contamos con cuatro niveles de medición Niveles de Medición o Escalas de Medición: Los datos se pueden clasificar de acuerdo a cuatro niveles de medición. las cuales deben ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas.3 ESCALAS ESTADÍSTICAS Medición: Medición es la cuantificación del atributo de una variable. Si estuviéramos realizando una observación de la imagen de la izquierda diríamos: Hay un hombre y una mujer.2. pero tampoco se puede decir que no nació en ningún lado. medimos los indicadores de sus atributos. una categoría que podríamos establecer es el sexo. presentarlos y determinar que pruebas estadísticas pueden llevarse a cabo con ellos. estos niveles tienen un orden ascendente el más bajo de la escala es el nominal y el más alto el de razón. Mutuamente excluyentes significa que un individuo. y exhaustiva significa que ningún individuo. pero todos tienen que estar en una. objeto o medición pertenece únicamente a una categoría. una misma persona no puede haber nacido en dos lugares. por lo que los individuos que observamos sólo pueden pertenecen a un grupo. consiste simplemente en clasificar observaciones dentro de ciertas categorías. Ingeniera Jessica Liset Martínez 22 . no hay calzado número 0. por ello lo “ordinal”. pero hay que resaltar que los intervalos que los separa. de 25. Sin embargo esto no implica una secuencia de intervalos iguales. en una casa hay cinco miembros familiares que calzan 15. y esta a su vez mayor que la tercera. también pueden ser ordenadas por rango. pero no por ello podemos decir que la persona e tiene el pie tres veces más grande que la persona b. esto significa que el atributo que medimos no tiene ausencia. por lo tanto aquí el cero (0) es relativo.Escala Ordinal El siguiente nivel es el ordinal. 7 y 5. Otro caso en el que el cero es relativo es el número de calzado.500 tan sólo hay kilómetro y medio. Ingeniera Jessica Liset Martínez 23 . esto quiere decir que los intervalos pueden ser sumados y restados.500km. sin embargo no podemos decir que el que sacó 8 tuvo el doble del que sacó cinco. observemos que ordenamos las opciones de menor a mayor según la cantidad de kilómetros. observemos que la distancia entre a y c. 8. Esto significa que una primera observación puede ser mayor que la segunda.000 a 34. de manera creciente o decreciente.000Km y el último 35. 8-5=3. a pesar que la diferencia entre los que sacaron 10 y 7.000 hay 9 kilómetros de diferencia. mientras que de 34. supongamos que hemos medido cuatro calificaciones con una escala de intervalo las cuales son 10. en este caso las observaciones además de poder ser clasificadas en categorías. pero el hecho de no tener fiebre no significa que tengamos cero temperatura. el primero tiene 25. observemos: 10-7=3. atendamos al siguiente ejemplo: Vamos a comprar un vehículo para transportar nuestra mercancía. tenemos tres opciones y los agrupamos de acuerdo a su kilometraje. 25.000 a 35. 24. Por ejemplo.000Km. entre b y d= 3 entre c y d=6 entre d y e=6. el segundo 34. c y d son es equivalente a la de d y e. 25 28 31 37 43 a b c d e La diferencia entre a y c= 6. y así sucesivamente. Con estos datos podemos afirmar que la diferencia entre el primero y el tercero es equivalente a la diferencia entre el segundo y el cuarto. Retomemos el ejemplo de la medición de la temperatura corporal. En la escala ordinal esto no importa. si empleamos un termómetro y nos tomamos la temperatura podemos decir que tenemos fiebre o no pero. o sea la cantidad de kilómetros entre cada carro son diferentes. 36 y 48. Si medimos el calzado en medición de intervalo diríamos. Escala de Intervalo La medición de intervalo posee las características de la ordinal con la salvedad que aquí la distancia entre los rangos son equivalentes. es igual a la diferencia de los que sacaron 8 y 5 Otra característica resaltante de la medición por intervalos es que este tipo de variables no tiene cero absoluto. Ingeniera Jessica Liset Martínez 24 . Escala de Razón Es el nivel más alto de medición. la presencia del cero indica la ausencia del atributo observado. ó del 1 al 2 es la misma que la del 2 al 3 ó la del 3 al 4. entre cada rango hay la misma diferencia. porque hay ausencia de velocidad. Un buen ejemplo de un cero absoluto es la velocidad. con la diferencia de que aquí el cero si es absoluto. y así sucesivamente. 2. Distribución de Frecuencias: Es un agrupamiento de datos en categorías mutuamente excluyentes en el cual se registran la cantidad de veces que se ha observado cada categoría. La estadística descriptiva utiliza la distribución de frecuencias para organizar y presentar los datos. En la medición de razón la distancia entre los rangos son exactamente iguales. ella posee todas las características de las escalas anteriores. Veamos otro ejemplo: Las medidas de la regla. Ahora te preguntarás ¿Cómo elaboro una distribución de frecuencias?.4 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS En muchas ocasiones habrás observados tablas como esta: Edades (en años) 1a5 6-10 11-15 Frecuencia 26 44 32 Esta tabla se denomina Distribución de Frecuencias. es decir. Pero a medida que comenzamos a acelerar el vehículo podemos decir que si vamos a 30 kilómetros recorreremos la mitad del camino que un carro que va a 60. Lo deseable es que logremos determinar de forma correcta las distancias de los intervalos que usaremos para agrupar nuestros datos. el cero indica la ausencia de medida. la forma más fácil de aprenderlo es a través de un ejemplo: Observemos el siguiente grupo de números y supongamos que son la cantidad de viajes que realiza cada día durante un mes la aerolínea Conviasa 15 12 10 8 20 Ingeniera Jessica Liset Martínez 25 . pero la distancia del 0 al 1. si detenemos un vehículo la velocidad es cero. 15 20 a 22 2 2/20 0. es mayor que 20. lo calculamos a través de la siguiente fórmula: En la que i es el intervalo de la clase. L el menor valor observado y k el número de clases: Redondeamos a 2 que será el tamaño de nuestros intervalos.15 17 a 19 3 3/20 0. H el mayor número observado. y que deben abarcar desde el dato menor hasta el mayor. para determinar la cantidad de clases. probemos con k=5. empleándola de la siguiente manera. en el primer intervalo el punto medio entre 8 y 10 es 9.10 Total 20 20/20 1 Ingeniera Jessica Liset Martínez 26 .35 11 a 13 5 5/20 0. recordando que debe ser el mismo para todas las clases. asignemos a k un valor arbitrario.14 10 12 13 20 15 12 17 8 9 18 9 13 19 10 En esa tabla de datos buscamos el valor mayor y el menor. es bueno acotar que el punto medio de la clase se haya en el punto medio entre el límite superior y el límite inferior. Ahora organicemos nuestros datos: Cantidad de Vuelos 8 a 11 11 a 13 14 a 16 17 a 19 20 a 22 Frecuencia (f) 7 5 3 3 2 Ya construimos nuestra distribución de frecuencias. 25=32. que es la frecuencia absoluta entre la cantidad total de observaciones (n): Días al Mes Cantidad de Vuelos Frecuencia relativa Frecuencia (f) 8 a 10 7 7/20 0. 9 es el punto medio de la primera clase. por lo que deberíamos conformar 5 clases. También podemos tener distribuciones de frecuencia relativa. para ello utilizamos la fórmula 2k. 24=16 si n = 20. cubriríamos completamente a n. en los vuelos de Conviasa n = 20. recordemos que debemos tener 5 clases. 4 clases no cubrirían todos los datos. por ejemplo 4.25 14 a 16 3 3/20 0. Ahora vamos a calcular la amplitud del intervalo. sobre los efectos probables de ciertas características de algunas situaciones. Los datos agrupados se pueden resumir gráficamente. El nombre que reciben los datos ordenados en grupos o categorías es el de distribución de frecuencia. Después se registraron el número de puntos graficados (observaciones) de datos que caían dentro de cada grupo. aquí el uso de las tecnologías computacionales es mucha utilidad y rapidez. a menudo son tan numerosos que carecen de utilidad a menos que sean condensados o reducidos a una forma más adecuada. Tomemos como ejemplo el inventario promedio en días de 20 tiendas de conveniencia. y otras más. Para obtener la tabla 2 se tuvo que dividir los datos en grupos de valores semejantes. como la media. o en tablas. resistencia a la rotura de las fibras de plástico. Distribución de frecuencia Una forma de sintetizar los datos consiste en valerse de una tabla o distribución de frecuencia. Si interpretamos el cuadro anterior según su frecuencia relativa podíamos decir que el 35 % de los días del mes Conviasa realiza entre 8 y 10 vuelos. el conocimiento de las tendencias adquirido con la experiencia permite conocer los posibles resultados y planear con anticipación. y mediante el uso de medidas numéricas. como ingresos anuales de una comunidad. y si lo multiplicamos por 100 los porcentajes. calificaciones de exámenes. la desviación estándar. Por lo demás. Algunas veces puede ser satisfactorio presentar los datos tal como se encuentran y obtener información directamente de ellos. ¿Que son las distribuciones de frecuencias? y ¿cómo hacerlas? Los datos ayudan a los encargados de la toma de decisiones a hacer conjeturas bien fundamentadas acerca de las causas y.. Ingeniera Jessica Liset Martínez 27 . la amplitud. por lo tanto. etc. otras veces solo habrá que agruparlos y presentarlos en forma gráfica o tabulada. DATOS AGRUPADOS Cuando la muestra consta de más de 30 datos. En las siguientes tablas se han incluido datos idénticos referentes al inventario promedio y se han dispuesto primero como un arreglo en orden ascendente y luego como una distribución de frecuencia. lo aconsejable es agrupar los datos en clases y a partir de estas determinar las características de la muestra y por consiguiente las de la población de donde fue tomada. Los datos estadísticos se obtienen mediante un proceso que comprende la observación o medición de conceptos.Con la frecuencia relativa obtenemos la fracción del número total de observaciones. 9 5 5.0 a 2.7 2 3. estaremos en condiciones de construir una distribución de frecuencia.3 8 4. Para obtener este último valor.1 4. es 5 en la tabla 2 y de 0.1 no parece en absoluto.9 4.1 4.1 4. un decimal .9. La respuesta puede expresarse como una fracción ( Ingeniera Jessica Liset Martínez 28 ). adquirimos información concerniente al patrón de los inventarios promedio. en grupos de valores que describen una característica de los datos. Pero por otra parte.9 5.5 1 2.3 4. La frecuencia de un inventario promedio.0 3.4 3.0 a 5.5 5. Si podemos determinar la frecuencia con que ocurren los valores en cada clase de un conjunto de datos.6 a 3.0 4.5 TABLA 2: Distribución de frecuencia del inventario promedio (en días) de 20 tiendas de artículos de conveniencia (6 clases) Clase (grupo de observaciones de Frecuencia (número de datos con valores semejantes) observaciones en cada clase) 2. dividimos la frecuencia de esta clase (5) entre el número total de observaciones en el conjunto de datos (20).4 a 4.7 4.4 3. por ejemplo ya no sabemos que el valor 5.8 4.4 a 4.8 4.7 4.1 0 3.5 4 Nótese que perdimos un poco de información al construir la distribución de frecuencia.25 en la tabla 3.8 a 4. es decir.TABLA 1: Arreglo de datos del inventario promedio (en días) de 20 tiendas de artículos de conveniencia 2. Características de las distribuciones de Frecuencia relativa Hasta ahora se ha expresado la frecuencia con que ocurren los valores en cada clase como el número total de observaciones que caen en dicha clase. Una distribución de frecuencia muestra el número de observaciones provenientes del conjunto de datos que caen dentro de cada una de las clases.2 4. El inventario promedio es una característica de las 20 tiendas de conveniencia. También se puede expresar la frecuencia de cada valor como una fracción o porcentaje del número total de observaciones. La distribución de frecuencia es una tabla que organiza los datos en clases.8 3.5 aparece cuatro veces o que el valor 5. digamos de 4.5 5.2 a 3.5 5. las ocupaciones de los graduados universitarios. Una distribución de frecuencia relativa presenta las frecuencias en fracciones o porcentajes.8 a 4.00 0.10 0. A continuación tomaremos el siguiente ejemplo para el desarrollo de la distribución de frecuencia: EJEMPLO 1: Un ingeniero de control de calidad del agua en Charlotte (North Carolina) es responsable del nivel de cloración del agua. el número de camiones que poseen las compañías transportistas.(0.5 Total FRECUENCIA 1 0 2 8 5 4 20 Frecuencia relativa: 0. mide el contenido de cloro y Ingeniera Jessica Liset Martínez 29 . ya se está en condiciones de tomar datos brutos y construir una distribución de frecuencia.7 3.00 La suma de todas las frecuencias relativas es de 1.20 1.1 3.3 4. es decir. ninguna observación cae dentro de más de una categoría.05 0. Clases discretas. Por lo anterior. Los esquemas de clasificación pueden ser cualitativos o cuantitativos y discretos o continuos. o el promedio de calificaciones de los universitarios el último semestre. Dicho nivel ha de acercarse bastante al que exige el departamento de salubridad. los kilogramos de presión sobre el concreto. Contienen una medida numérica como el peso de unas latas de tomates. el ingeniero muestrea diariamente algunos galones.5 2.9 5.25 0. Observe también que las clases son mutuamente excluyentes. TABLA 3: Distribución de frecuencia relativa del inventario promedio (en días) de 20 tiendas de artículos de conveniencia. Para vigilar el cloro sin necesidad de verificar cada galón de agua que sale de la planta.40 0. Son discretas las siguientes clases: el número de hijos de las familias. Los datos continuos pueden pasar de una clase a la siguiente sin ruptura alguna. Todos los datos encajan en una u otra categoría. CLASE 2. Las clases discretas son entidades individuales que no pasan de una clase a la siguiente sin una ruptura. Esto sucede porque una distribución de frecuencia relativa parea cada clase con su fracción o porcentaje correspondiente de los datos totales.00 o 100 %.2 a 3.0 a 5.4 a 4.25) o un porcentaje (25%). Construcción de una distribución de Frecuencia Ahora que hemos aprendido a dividir una muestra en clases.6 a 3.0 a 2. las clases en cualquier distribución de frecuencia simple o relativa son exhaustivas. 4 15.6 15.9 15. El número de clases por utilizar depende principalmente del número de observaciones en los datos. A continuación se muestra una tabla que nos puede ser útil para seleccionar el número de clases.3 16.9 16. aclarando que esta designación no es obligatoria y puede ser a decisión del analista. Si no hay suficientes agrupamientos de clase o si hay demasiados. para este ejemplo se usará K= 6 clases.1 15. el alcance de los datos de divide entre el número de agrupamientos de clase deseado: Ingeniera Jessica Liset Martínez 30 . Estos niveles son los datos brutos de donde el ingeniero saca sus conclusiones respecto a la población total a la que se aplicó la cloración ese día. Es deseable que el ancho da cada agrupamiento de clase (intervalo del inicio de una clase al inicio de la siguiente) sea igual..0 15.2 15.6 15. ya se ha optado por clasificar los datos según la medida cuantitativa del número de ppm del cloro en el agua tratada.0 16.4 16.8 16.8 16.3 16. En este caso.0 16.9 15.8 16. TAMAÑO DE MUESTRA O N° DE DATOS NUMERO DE CLASES (K) Menos de 50 50 a 99 100 a 250 250 en adelante 5a7 6 a 10 7 a 12 12 a 15 Para designar el número de clases usaremos la letra K. 16.0 15. se obtendrá poca información.9 15.4 15.6 16..8 16. Para determinar el ancho de cada clase.extrae una conclusión sobre el nivel promedio de cloración que tiene el agua tratada de ese día. en vez de hacerlo a partir de un atributo cualitativo como color o el olor del agua. TABLA 4: Concentraciones de cloro en partes por millón (ppm) en 30 galones de agua tratada. En general la distribución de frecuencia debe tener al menos cinco clases pero no más de 15.8 15. La tabla anexa muestra las concentraciones de cloro de 30 galones seleccionados como muestra de un día.2 15. Después necesitamos decidir cuántas clases utilizar y el intervalo (la distancia que debe comprender cada clase).6 16.7 16.3 Para analizar los datos de esta tabla seguiremos los siguientes pasos: Escoger el tipo y número de clases para dividir los datos.7 16. un número mayor de observaciones requiere un mayor número de grupos de clase.9 16.2 15. Esto es. = La amplitud o ancho del intervalo se calcula: Ya se ha terminado el paso 1. Se han clasificado los datos según la media cuantitativa de cuantas ppm se encuentran en el agua tratada. Se escogieron seis clases para cubrir el intervalo de 15.2 a 16.9 y en consecuencia se utilizará 0.3 ppm como el ancho de los intervalos de clase. Clasificar los puntos de datos en clases y contar el número de puntos en cada clase: Esta información aparece en la tabla 5. Toda observación de datos encaja por lo menos en una clase y ninguna observación lo hace en más de una clase. Por lo que nuestras clases son exhaustivas y mutuamente excluyentes. Observe que el límite inferior de la primera clase corresponde a la menor observación de datos de la muestra, y que el límite superior de la última clase corresponde a la observación mayor de los datos. TABLA 5: Concentraciones de cloro en muestras de agua tratada con intervalos de clase de 0.3 ppm FRECUENCI CLASE A 15.2 - 15.4 2 15.5 - 15.7 5 15.8 - 16.0 11 16.1 - 16.3 6 16.4 - 16.6 3 16.7 - 16.9 3 30 Mostrar las observaciones en una gráfica. Véase la figura siguiente. Ingeniera Jessica Liset Martínez 31 12 11 10 8 Frecuencia 6 6 5 4 3 3 2 2 0 15.2 - 15.4 15.5 - 15.7 15.8 - 16.0 16.1 - 16.3 16.4 - 16.6 16.7 - 16.9 Fig. 1 Histograma de Frec. Absoluta EJEMPLO 2: Construir un histograma con la siguiente serie de datos: 2.41 3.34 4.04 4.46 8.46 9.15 11.59 12.73 13.18 15.47 16.20 16.49 17.11 17.87 18.03 18.69 19.94 20.20 20.31 24.19 28.75 30.36 30.63 31.21 32.44 32.89 33.51 33.76 34.58 35.58 35.93 36.08 36.14 36.80 36.92 37.23 37.31 37.64 38.29 38.65 39.02 39.64 40.41 40.58 40.64 43.61 44.06 44.52 45.01 45.08 45.10 45.37 45.70 45.91 46.50 47.09 47.21 47.56 47.93 48.02 48.31 48.55 48.62 48.98 49.33 49.36 49.95 50.02 50.10 50.10 50.72 51.40 51.41 51.77 52.43 53.22 54.28 54.71 55.08 55.23 55.56 55.87 56.04 56.29 58.18 59.03 59.37 59.61 59.81 60.27 61.30 62.53 62.78 62.98 63.03 64.12 64.29 65.44 66.18 66.56 67.45 67.87 69.09 69.86 70.37 71.05 71.14 72.46 72.77 74.03 74.10 76.26 76.69 77.91 78.24 79.35 80.32 81.21 82.37 82.79 83.31 85.83 88.67 89.28 89.58 94.07 94.47 94.60 94.74 96.78 Paso 1: Contar el número de datos n = 130 Paso 2: Calcular el rango R = Valor mayor – Valor menor, R = 96.78-2.41 = 94.37. Generalmente los datos no están ordenados por lo cual resulta conveniente ordenarlos de menor a mayor para tener una mejor visualización. En el ejemplo los datos ya han sido previamente ordenados. Paso 3: Seleccionar el número de columnas, mediante histograma se compone de 11 columnas Ingeniera Jessica Liset Martínez 32 = . Por lo cual el Paso 4: Calcular el tamaño del intervalo de clase (C), dividiendo el rango entre el número de columnas: C = , resultando el tamaño del intervalo 9. Paso 5: Calcular los límites de clase de cada intervalo: [0-8], [9-17], etc., considerando que el tamaño del intervalo representa la diferencia entre dos límites de clase adyacentes ya sean inferiores o superiores. Paso 6: Contar el número de valores que caen en cada intervalo utilizando una hoja de registro, de esta manera se obtiene la frecuencia para cada intervalo. Columna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Intervalo 0 -8 9-17 18-26 27-35 36-44 45-53 54-62 63-71 72-80 81-89 90-98 Registro de frecuencias IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIII I IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III I II IIIII IIIII III IIIII III Paso 7: Basándose en los datos anteriores construya el histograma. Ingeniera Jessica Liset Martínez 33 IIIII III 5 9 6 11 17 28 18 13 10 8 5 TABULAR Y GRAFICAR A parte de la distribución de frecuencias los datos pueden también pueden ser presentados en gráficos contentivos de los mismos datos que expresamos en la distribución de frecuencias. Existen una gran variedad de gráficos. Las frecuencias quedan representadas en el gráfico por la altura de las barras. sin embargo te invito a ampliar sobre este tema a través de un arqueo bibliográfico. Seguro te preguntarás ¿Y si tienen los mismos datos para que hacerlos? La respuesta es que el gráfico permite apreciar de forma más rápida los datos obtenidos. Histograma: Es uno de los gráficos utilizados mayormente empleado para representar una distribución de frecuencias Histograma: Gráfica en la que las clases se indican en el eje y (horizontal) y las frecuencias de la clase por eje x (vertical). la que se trazan una al lado de la otra. también mencionaremos otros tipos de gráficos de mucha utilidad. primero conoceremos los dos más empleados en administración.5 PRESENTACIÓN.2. Ingeniera Jessica Liset Martínez 34 . ya lo comprobaremos más adelante. Ingeniera Jessica Liset Martínez 35 . 2do trim . este gráfico es la mejor opción. es decir. 3e r trim . que continuando con nuestro ejemplo de Conviasa.Polígono de frecuencia Un polígono de frecuencia es perecido al histograma. Las gráficas por medio de línea son muy útiles en la administración porque podemos mostrar el cambio de una variable en el tiempo. Por su parte el polígono de frecuencia tiene una ventaja sobre el histograma. fácilmente lo podemos hacer. Norte 4to trim . sería cantidad de vuelos diarios sobre el eje y y el tiempo sobre el eje x. La elaboración de un polígono de frecuencias se hace colocando los puntos medios de cada clase en el eje x y la escala en el eje y. las frecuentas de clase. es decir. si queremos ver la cantidad de unidades vendidas de un producto que fabricamos en nuestra organización. a pesar de tener ambos el mismo propósito. El histograma y el polígono de frecuencia nos permiten tener una visión de las principales características de un conjunto de datos. el histograma tiene la ventaja de representar cada frecuencia como un rectángulo que además incluye ambos valores del intervalo. Otras presentaciones gráficas de datos Gráfica por medio de línea. Recordemos que el punto medio representa los valores de cada clase. y si por ejemplo queremos hacer un gráfico con los gastos de tres años con una misma distribución de frecuencias. 100 90 80 70 60 50 Este Oeste 40 30 20 10 0 1er trim . permite comparar dos distribuciones de frecuencia a la vez. Ingeniera Jessica Liset Martínez 36 . Para su elaboración colocamos la variable. Consiste en segmentos de línea que se conectan por los puntos formados por la intersección del punto medio de la clase y de la frecuencia de clase. Atraen la atención del lector sobre las tendencias de los datos. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Este 1e r trim . 1 15% 15%2 10% 35% 3 25% 4 5 Graficación de las distribuciones de Frecuencia. Seguramente te preguntarás ¿En qué se diferencian los histogramas del gráfico de barras? Se diferencian en algo que podría parecer tonto. El diagrama circular convierte los 360 grados del círculo en el 100% de la variable que estamos representando. mientras que en los gráficos de barra al poder admitir cualquier nivel de medición cada barra representa una variable que puede ser cualitativa o cuantitativa. Las barras pueden ser verticales u horizontales. rápidamente. 3er trim .Gráfico de Barras. ver qué clase de la variable tiene el mayor porcentaje. pues las líneas que cortan la circunferencia permiten. Ingeniera Jessica Liset Martínez 37 . Diagrama Circular: El diagrama circular. pero no. 2do trim . muy reconocido por gráfico de torta es especial para representar porcentajes. Los histogramas poseen sus barras continuas porque sus datos son de intervalo o de razón. Es un gráfico muy versátil. en él se puede graficar cualquier tipo de variable y en cualquier nivel de medición. Este es un gráfico muy de muy fácil lectura. Las gráficas de distribución de frecuencia y de distribución de frecuencia relativa son útiles porque ponen de manifiesto y aclaran las tendencias que no se captan fácilmente en las tablas. y tampoco hay mayor inconveniente en la distribución de los datos a través de los ejes del plano cartesiano. 4to trim . y es en la separación que existe entre las barras. 16.316.100 0. Un histograma que se sirve de la frecuencia relativa (tabla 6) de las observaciones de datos en cada una de las clases y no del número real de observaciones recibe el nombre de Histograma de frecuencia relativa (fig. Este tiene la misma forma que un histograma de frecuencia absoluta hecho con el mismo conjunto de datos.715.4 .050 0.250 0.1 .3 ppm usando la frecuencia relativa.16.200 16.3 6 0. las barras verticales del histograma lo tendrán también.000 Fig. 2).400 0. La única diferencia entre el histograma de frecuencia absoluta y el de frecuencia relativa.300 0.9 3 0.6 3 0.2 . en el primero es el número absoluto de observaciones en cada clase y en el segundo es el número de observaciones en cada clase como una fracción del número total de ellas.16.067 15.367 0. La altura de la barra de cada clase corresponde al número de elementos de esta última.100 16.7 .15.616. El histograma es una serie de rectángulos.150 0.350 0. 2 Histograma de Frec.9 Ingeniera Jessica Liset Martínez 38 . 15.5 .100 0. es la escala vertical de la izquierda.8 .7 5 0.15. todos ellos de anchura proporcional a la gama de valores dentro de una clase y también de altura proporcional a los elementos que caen dentro de la clase.0 11 0.8 .067 0. TABLA 6: Concentraciones de cloro en muestras de agua tratada con intervalos de clase de 0.16.167 0.16.016.16.415. CLASE FRECUENCIA FREC.200 PORCENTAJE 0.367 16. Si las clases que empleamos en la distribución de frecuencia tienen el mismo ancho.7 . Relativa HISTOGRAMA DE FRECUENCIA RELATIVA 0.4 . REL.000 15.15.16.200 0.Histogramas La figura 1 es otro ejemplo de un histograma.4 2 0.167 15.100 Total 30 1.16.15.1 .2 .100 0.5 . 0 15.1 30 En la figura 3 se muestra un polígono de frecuencias construido con los datos de la tabla 7.15. CLASE FRECUENCIA CENTRO CLASE 0 15. TABLA 7: Datos de la concentración de cloro en ppm (distribución de frecuencia) para graficar polígono de frecuencias. tal como lo hicimos con los histogramas.7 . El siguiente paso consiste en graficar cada frecuencia de clase dibujando un punto sobre su marca de clase.0 11 15.5 .1 . Estas dos nuevas clases contienen cero observaciones. Para construir un polígono de frecuencias.5 16.3 6 16.2 .9 3 16.8 0 17.2 16. Ingeniera Jessica Liset Martínez 39 .3 15.4 .4 2 15.9 16.16. y conectar los puntos consecutivos con una recta para formar un polígono (figura de muchos lados). Si comparamos esta figura con las figuras anteriores vemos que se han agregado clases en cada extremo de la escala de valores observados.8 .6 3 16. marcamos las frecuencias sobre el eje vertical y los valores de la variable que vamos a medir las marcamos sobre el eje horizontal.16.16.15.16. A continuación en la tabla 7 se muestran los datos de una distribución de frecuencias para elaborar un polígono. pero permiten al polígono alcanzar el eje horizontal en ambos extremos de la distribución.7 5 15.Polígono de frecuencias Aunque de menor uso.6 15. los polígonos de frecuencias son otro medio de representar gráficamente tanto las distribuciones de frecuencia simples como las de frecuencia relativa. o punto medio. 0 ppm.0 0 2 7 18 24 27 30 FIG. si queremos saber cuántos galones contienen menos de 17.POLIGONO DE FRECUENCIAS 12 10 8 FRECUENCIA 6 4 2 0 15 15.4 Menor que 16.200000000000003 15.2 Menor que 15.7 Menor que 17.100000000000001 Concentración de cloro en ppm FIG. 4 Ojiva “menor que” de la distribución de las concentraciones de cloro en ppm para 30 galones de agua tratada. 3 Polígono de frecuencias El polígono es simplemente una gráfica lineal que une los puntos medios de todas barras en un histograma.5 Menor que 15. Se llama polígono de frecuencias relativas a aquel que usa la frecuencia relativa de los puntos de datos en cada clase y no el número real de puntos.799999999999986 16. Se llama ojiva a la gráfica de una distribución de frecuencia acumulativa.3 15. podemos servirnos de una tabla que incluya frecuencias acumulativas “menores que” en nuestra muestra como se observa en la tabla 8. Ingeniera Jessica Liset Martínez 40 . TABLA 8: Distribución de frecuencia acumulativa “menor que” de las concentraciones de cloro en ppm CLASE FRECUENCIA ACUMULATIVA Menor que 15.6 16.5 17. en lugar de limitarnos a anotar los números de elementos dentro de los intervalos.1 Menor que 16.9 16. Por ejemplo. Ojivas Una distribución de frecuencia acumulativa nos permite ver cuántas observaciones se hallan por arriba o por debajo de ciertos valores. La ojiva de una distribución de este tipo se muestra en la figura 4. Los puntos graficados representan la cantidad de galones que tienen menos cloro que las partes por millón indicadas sobre el eje horizontal.8 Menor que 16. La ojiva apropiada para tal información tendrá una pendiente hacia abajo y hacia la derecha. El alumnado deberá practicar tanto en forma manual como con el uso de la tecnología la elaboración de gráficos estadísticos. mu est read os Con cent ració n d e clo ro e n pp m En ocasiones la información que se utiliza se presenta a partir de frecuencias “mayores que”. UNIDAD 3: “ANÁLISIS ESTADÍSTICO” Ingeniera Jessica Liset Martínez 41 . de la misma manera que una absoluta. Ac um ulati vo d e ga l.No . También es posible construir una ojiva de una distribución de frecuencia relativa. 1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Media Ponderada: Es un caso especial de media aritmética pero cuando todos los datos tienen diferentes valores o ponderaciones que los discrimina según su importancia Moda: Es el valor que más se repite dentro de su conjunto.3. En este caso la mitad de los números estará por debajo de la mediana y la otra mitad por encima de ella. La mediana se obtiene con la siguiente ecuación: Ingeniera Jessica Liset Martínez 42 . es decir. posee mayor frecuencia Medidas de Tendencia Central para datos Simples Mediana y Moda Mediana: La mediana o media posicional queda en la mitad un grupo de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. Las medidas de tendencia central tienen como propósito hallar con toda precisión el centro de un conjunto de observaciones Mediana: Observación de la mitad de los datos después de que se han colocado de forma ordenada Media Geométrica: Es una medida que calcula los promedios de los porcentajes Media Aritmética: Es una medida de tendencia central que se obtiene dividiendo la suma de los valores del conjunto de datos entre el número total de éstos. Ejemplo: Calculemos la mediana de los kilos (ordenados de forma ascendente) de materia prima utilizadas durante esta semana: 33. Si el grupo de datos es par. 45. 80 La mediana es 43. 36. 15. 40. 25. 15. 18.60 y 68. 40. 57. 45. 80 El punto 5. Moda: Es la medida de tendencia central más fácil de recordar ya verás por qué: ¿Por qué sabemos que algún producto está de moda? Ingeniera Jessica Liset Martínez 43 . por lo buscamos ambos valores y los promediamos 10. 32. 36.Si el grupo de datos es impar la mediana se calcula así de la siguiente forma. 57. 36.60 y 68. 60.5 estaría entre los valores de las posiciones 5 y 6. 36. observemos el ejemplo: Datos: 10. aplicamos la misma ecuación promediando los dos valores centrales. 77. 77. 18. 31. 45. 25. 60. La mediana es el valor que está en la posición 4: 33. 45. Veamos este ejemplo: Edades de los niños de nuestra familia: 12. 11. el 10 se repite mayor número de veces. la mediana y la moda coinciden en el valor. Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados Antes de avanzar. 1. 10. 9. 8. a pesar del que el 1 también se repite. Mediana y Moda En las distribuciones simétricas la media. 1. y efectivamente eso es la moda. Relación entre Media. 7. a continuación se te presentan una comparación de estas medidas.Seguramente responderás… Por qué lo usan muchas personas. 5. mientras que en un Ingeniera Jessica Liset Martínez 44 . o porque lo vemos frecuentemente en la calle. 10. El número que más se repite es el 10. es correcto aclarar que las definiciones de nuestras medidas de tendencia central se mantienen. el dato que más se repite dentro de nuestro conjunto de elementos. 2. 10. 5 3.5 40.1 La Media Aritmética.Se puede decir entonces que la media o promedio. La media de una distribución de frecuencias se calcula así: En donde: = media aritmética X= valor o punto medio de cada clase f= frecuencia de cada clase fX= frecuencia en cada clase por el punto medio de la clase = suma de estos productos n= número total de frecuencias Ejemplo: Calculemos la media del precio de venta de los vehículos del plan de una empresa X.5 . luego la mediana y por último la moda. por su misma naturaleza esto se explica. de estas medidas la más usada es la media. para eso le calculamos el promedio: (18+23)/2=20.5 luego ese valor medio se multiplica por la frecuencia.5 526.149. Precio de Venta de vehículos (millones de bolívares) Frecuencia 18 a 23 23 a 28 28 a 33 33 a 38 38 a 42 Total 25 28 26 17 13 109 Al precio de venta medio de los vehículos puede estimarse a partir de datos agrupados en una distribución de frecuencias. aunque limitada del comportamiento de los datos. brindan información. 3. la mediana y la moda.1. comenzamos por asumir que las observaciones de cada clase están representadas por el punto medio de la clase. Para aproximar la media aritmética de datos organizados en una distribución de frecuencias.5 25.5 f*PM 512.5 30. como se muestra en la siguiente tabla: Precios de venta 18 a 23 23 a 28 28 a 33 33 a 38 38 a 43 Total Frecuencia (f) 25 28 26 17 13 109 Ingeniera Jessica Liset Martínez 45 Punto Medio (PM) 20.5 35. lo primero que debemos calcular es el punto medio de cada clase.5 714 793 603. La media aritmética de una población se representa con el símbolo aritmética de una muestra se representa con el símbolo siguientes: (mu). 12. por lo tanto aquí aplicamos una regla que se denomina redondeo.800. Definición: La media aritmética o media es la medida de tendencia central que frecuentemente llamamos promedio. ya que si estuviésemos hablando de jabones de baño no podemos decir que fabricamos 15 jabones y dejamos hecho la mitad del siguiente. 19. 15. la cantidad de artículos producidos en un variable discreta. consiste en la suma de los valores del grupo de datos dividida entre la cantidad de valores. El redondeo de un número consiste en que una o varias de sus cifras finales (de izquierda a derecha) se substituyen por ceros o se ascienden o descienden si ese último número es mayor o menor que 5 Ingeniera Jessica Liset Martínez 46 . pero si retomamos los contenidos estudiados en la primera unidad. ¿Cuál es el número medio de unidades producidas? El número medio de producción es de 15.000. con la única diferencia que en el primer caso trabajamos con la población entera y en el segundo con una muestra.5 artículos de limpieza. 20. 10. y la media (equis barra) y sus fórmulas son las Siendo: La sumatoria d todos los datos N Población n Muestra Ambas fórmulas son idénticas. Ejemplo: Durante cada hora de trabajo de un día una cooperativa produce las siguientes cantidades de artículos de limpieza: 14. 16.En este caso X = PM Decimos entonces que la media del precio de venta del plan de la empresa X es de 28. 18. 20. Las fórmulas de media ponderada poblacional y muestral son idénticas: ó Dónde: Media Ponderada X Observación individual W Peso o ponderación asignada a cada observación Cuando calculamos la media aritmética no sale a discusión si cada uno de los datos tiene igual importancia. como 5 es por exceso convertimos el 15. observemos el siguiente ejemplo: Un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones en su curso de estadística I: 19. La media es única La media es una medida útil para comparar dos o más poblaciones La media aritmética es la única medida de posición en la que las suma de las desviaciones de los valores de la media es siempre cero: Ejemplo: La media de 3.5 redondeamos el número decimal. 18 y 16. a 5 redondeamos Propiedades de la Media Aritmética: Para calcular la media se toman todas los valores Un conjunto de datos sólo tiene una media.5 en 16. debido a que representaba el 30 % de la calificación final. 8 y 4 es 5 Media Ponderada La media ponderada o promedio ponderado es una media aritmética en al que cada uno de los valores se le pondera de acuerdo a su importancia con el grupo general. Sin embargo dentro de los porcentajes la tercera calificación es la que tiene mayor ponderación o mayor valor. a continuación se reflejan los datos en la siguiente tabla: Calificaciones Ponderación XW 19 1 19 20 1 20 18 3 54 16 1 16 6 109 Ingeniera Jessica Liset Martínez 47 . sin embargo en ciertos casos puede ocurrir que determinados datos tengan más valor que otro de su mismo conjunto.De tal forma que de 15. f= frecuencia en la clase mediana. pero en esta oportunidad debemos calcular la frecuencia acumulada. =190/2=54. sin embargo.5. Así no podemos calcular la mediana exacta.2 La Mediana La mediana es el valor por debajo del cual se encuentran una mitad de los valores y por encima del cual se encuentra la otra mitad. Utilicemos los datos del ejemplo anterior. 3.1. i= amplitud de la clase en la que se encuentra la mediana. Como los datos están organizados en una distribución de frecuencias. que no es más que la suma acumulada de las frecuencias de cada clase o categoría. CF= número de las frecuencias acumuladas en las clases que preceden a la clase que contiene la mediana. se ha perdido algo de información. se puede estimar de la siguiente manera: Dónde: L= Límite inferior de la clase que contiene la mediana. para eso dividimos el total de la frecuencia entre 2.El promedio ponderado de calificaciones de este estudiante es de 18.16 puntos. veámoslo en la siguiente tabla: Precios de Venta 18 a 23 23 a 28 28 a 33 33 a 38 38 a 43 Total Frecuencia (f) 25 28 26 17 13 109 Frecuencia Acumulada 25 53 79 96 109 Debemos localizar en cual clase se encuentra la mediana. n= Número de frecuencias. Ahora buscamos en la frecuencia acumulada el grupo de intervalos que tenga a este número: Precios de Venta 18 a 23 Frecuencia (f) 25 Ingeniera Jessica Liset Martínez 48 Frecuencia Acumulada 25 . 000 Mediana La mediana del precio de venta es 28. Si comparamos la mediana con la media aritmética se nos presenta una diferencia.000. por lo tanto para determinar la moda calculamos el punto medio de la clase: 23+28/2=25.288.23 a 28 28 a 33 33 a 38 38 a 43 Total 28 26 17 13 109 53 79 96 109 Podemos apreciar fácilmente que el tercer grupo de intervalos es el que posee al número en la posición 54.000 Sustituyamos ahora los valores: 33.000. observemos este diagrama.5 debido a que el anterior sólo llega hasta el número 53.3 La Moda Siendo la moda el valor con más frecuencia.000.5. Precios de Venta 18 a 23 23 a 28 28 a 33 33 a 38 38 a 43 Total Frecuencia (f) 25 28 26 17 13 109 El intervalo de 23 a 28 millones es que tiene mayor cantidad de observaciones.500. sólo debemos buscar dentro de nuestra distribución de frecuencias los intervalos con mayor cantidad de frecuencia.1.000. pero recordemos que… No podremos determinar una mediana exacta porque hemos perdidos datos en el proceso de agrupación 3. revisemos la tabla de precios de venta del Plan Empresa X. por lo tanto la moda del precio de venta es 25. Ingeniera Jessica Liset Martínez 49 . 53 79 28. 4 La Media Armónica Media Armónica (H): Cuando los datos a promediarse están medidos en unidades expresadas en forma de cocientes (km. Datos Agrupados: Dónde: k = última clase Nota: Se puede demostrar que . lo más adecuado es utilizar la media armónica. Datos No Agrupados: Ejemplo: Si un vehículo se mueve de la ciudad A.1. También puede calcularse la media armónica ponderada. etc./Hr a qué promedio se desplazó.). Ejemplo: Supóngase que una flotilla de vehículos muestra la siguiente información: Velocidad promedio en km/hr 50 60 75 La respuesta es: Ingeniera Jessica Liset Martínez 50 Número de vehículos 15 28 31 .. $/lt. a la B a 65 Km./hr y regresa de B a A. a 98 Km. ya que la media aritmética nos llevará a un promedio equivocado.3./hr. 3.1.5 La Media Geométrica La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, proporciones, índices o tasas de crecimiento. Tiene mucha aplicación en el comercio y en la economía debido a que nos interesa encontrar el porcentaje de cambio en ventas, salarios o cualquier otro dato económico. La media de un conjunto n de números positivos se define como la n-ésima raíz del producto de los n valores. La fórmula de la media geométrica se escribe así: La mayoría de las calculadoras pueden calcular la raíz enésima de cualquier número La media geométrica será siempre menor o igual a la media aritmética, pero nunca mayor. Ejemplo: Un empleado gana 700.000 bolívares al mes, este año va a recibir un 5% de aumento y el próximo año un 15%, si sacamos la media aritmética de estos de ambos porcentajes nos daría un promedio de 10%, pero el verdadero promedio es 9, 886. Empleemos la fórmula de media geométrica: Verifiquemos: si el trabajador del que hablábamos gana Bs. 650,000 con los dos aumentos su sueldo quedará: 650.000 * 0,05= 32.500 682.000 * 0,15= 102.370 Total con el aumento 784.870 bolívares Ahora realicemos el cálculo con nuestra media geométrica 700.000*0,09886=64.259 714.259*0,09886=70.611,6 Total = Bs.784.870 Media Geométrica para Datos Agrupados La media geométrica para datos agrupados se determina con la siguiente ecuación: Donde X= punto medio de los intervalos f = frecuencia Recuerda La media geométrica se calcula para promedios de porcentajes Ingeniera Jessica Liset Martínez 51 Datos No Agrupados: Ejemplo: Si los precios de la acción “Anáhuac” en los últimos cuatro días fueron; 4.75, 5.23, 4.78 y 6.32 calculan el factor de crecimiento promedio y el crecimiento porcentual promedio. Existen dos formas de resolverlo: a) De la forma más ortodoxa, es decir: Lo que acabamos de obtener es factor de crecimiento promedio y para obtener el crecimiento se aplica la siguiente formula: b) Otra forma es Datos Agrupados: Dónde: k = última clase Nota: Se puede demostrar que . También puede calcularse la media geométrica ponderada. Ejemplo: Supóngase que se cuenta con la información diaria de los incrementos porcentuales de una acción y que se representan en la siguiente tabla: Crecimiento porcentual (%) Frecuencias en días 10 14 20 15 30 48 Ingeniera Jessica Liset Martínez 52 a) Calcular los factores de crecimiento. b) Calcular el factor de crecimiento promedio Ejemplo: A continuación se muestra una distribución de frecuencias, calcula toda las medidas de tendencia central sobre la tabla. Clase (Presión) Frecuencia de clase (días) M 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 3 7 18 12 8 2 50 Ingeniera Jessica Liset Martínez 53 f*M Frecuencia acumulada F observemos el siguiente ejemplo: A continuación se te presenta el monto en bolívares de ventas mensuales de las empresas “XXX” y “ZZZ” Meses Empresa “XXX” Empresa “ZZZ” Julio 1. Medidas de Dispersión Absolutas: el rango o recorrido.000 Noviembre 2. qué significa esto. debido a que el último mes de facturación se aleja mucho de la media. El primer grupo es el de las medidas de dispersión absolutas que vienen expresado por las mismas medidas que identifican a la serie de datos.2 MEDIDAS DE VARIABILIDA O DISPERSION.000 700.000 100.000. saber cuánto se alejan las observaciones de su propio promedio. varianza. pero si realizamos el análisis considerando cada una de las ventas del mes podemos apreciar que la situación de la empresa “ZZZ” es muy delicada.400.000 Septiembre 2.900.800.000 Empresa “XXX” Empresa “ZZZ” Ambas tienen la misma media en ventas.000 Total 12.900.000 12.500. Medidas de Dispersión: Miden que tanto se dispersan los datos recabados de su media Existen dos grupos de medidas de dispersión.000 1. Por esto la importancia de las medidas de dispersión.000 3.900.000 4.800. Las medidas de tendencia central por sí solas carecen de significado.3. desviación media y desviación estándar.000 Octubre 2.300.000 Diciembre 2.000 2.000 Agosto 1.000.500. el segundo grupo es el de las medias de dispersión relativas que son relaciones entre las medidas de dispersión y las medidas de tendencia central.800. expresado en valores abstractos (porcentajes). Medidas Relativas de Dispersión: coeficiente de variabilidad o variación Ingeniera Jessica Liset Martínez 54 . pues de nada sirve saber el promedio sin conocer la dispersión. R=Vm-Vm=4-1=3.000= 4.000 Empresa “ZZZ” .300.800.000 ZZZ= 4. El rango es una medida de dispersión débil pues sólo incluye dos valores del conjunto.800. consiste en calcular la diferencia entre el valor mayor o el valor menor de la observación: Ejemplo: Horas diarias dedicadas al estudio por un grupo de estudiantes del plan de formación Administración y Gestión: 1.900. El rango de 3 es la distancia entre los límites.000 – 100. retomemos el ejemplo al principio de la unidad Monto en bolívares de ventas mensuales de las empresas “XXX” y “ZZZ” Meses Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total Empresa “XXX” 1.000 3.5 1 1 Calculemos la media aritmética .000 2.800.700.000 Empresa “XXX” Calculemos el rango de cada una XXX= 2.000.500.5 2 3 2.300.500.000 2.800.000 Ingeniera Jessica Liset Martínez 55 Empresa “ZZZ” 4.900. Podemos decir que todos los alumnos dedican aproximadamente dos horas diarias al estudio.5 4 2 2.000 1. Calculemos el Rango.000 2.Varianza: La media aritmética de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado.1 El Recorrido El Rango o Recorrido: El rango o recorrido es la medida de dispersión más sencilla. Desviación Estándar: La raíz cuadrada positiva de la varianza 3.800.500.000 12.000=1.000.1.2.400.5 2 3 3.900.000 1. El rango es una buena opción cuando comparamos dos situaciones similares.000 2.000 100.000 2.000 12.000 700.000 . Ejemplo: 1.5 4 1 Desviación Absoluta . Para calcular el rango de datos agrupados tomamos el límite inferior de la primera clase y el límite superior de la última clase. varían de la media.5 1 (X-X) Ingeniera Jessica Liset Martínez 56 2. Ejemplo. Utilicemos la distribución e frecuencias del Plan Empresa X trabajado en la unidad anterior Precios de Venta del Vehículo 18 a 23 23 a 28 28 a 33 33 a 38 38 a 43 Total Frecuencia (f) 25 28 26 17 13 109 El rango es 25 millones.2 La Desviación Típica o Estándar Desviación Media: La desviación media mide la cantidad media en que los valores de la población. y una medida de dispersión cero sería completamente inútil. o de la muestra.Podemos concluir que la media de la empresa XXX es más representativa que la de la empresa ZZZ.2. 3. ¿Por qué? Porque si no lo hiciéramos así las desviaciones positivas y negativas se anularían. En otras palabras se hace caso omiso de los signos de las desviaciones medias.5 Número de horas 3 3. y al desviación siempre sería cero.5 2 2 2 3 2. Se define así: Donde Xes el valor de cada observación = es la media aritmética de los valores n= es el número de observaciones en la muestra = indica el valor absoluto. pues proporcionan una medida más significativa sobre el punto de dispersión Varianza poblacional y Desviación Estándar para datos simples Recordemos que la población son todas las observaciones que hemos recabado. los datos.2 1. La variancia y la desviación son las medidas de dispersión más útiles.8 2-2.1.2 4-2.3 0. pero en lugar de usar valores absolutos. Su fórmula es: Donde =varianza poblacional X= valor de una observación de la población = media aritmética de la población n= Número de observaciones de la población Ejemplo: Un corredor de seguros vende tres pólizas por los siguientes precios en millones: 32.3=-0.5 4 1.3=1.3=0.5-2.7 1. 23 y 26 Ingeniera Jessica Liset Martínez 57 .3=-0.3 3-2.7 4.7 3. elevamos al cuadrado las desviaciones.8 0.5-2.3 0. Elevar al cuadrado significa eliminar los números negativos. es decir.7 El número de horas estudiada se desvía de la media en una hora Varianza y Desviación Estándar La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión basadas en la desviación media.5 2 3 3. 840.140.50 85. Ingeniera Jessica Liset Martínez 58 .121.5 fM M2 fM2 163. la distribución de frecuencias es la siguiente: Pasajeros (Clases) 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-09 TOTAL Días (Frecuencia) 3 7 18 12 8 2 50 Punto Medio (M) 54. diferente.25 8.5 451.75 99.2.000 bolívares. Además varias distribuciones pueden tener un mismo tener un mismo valor para determinada medida de dispersión y ser la variabilidad de sus datos en relación con la media. ya que todas ellas están afectadas por la unidad de medida en que se expresan los datos.902.75 29.5 64. Varianza Poblacional y Desviación Estándar para Datos Agrupados Ejemplo: El director de Conviasa requiere conocer el número de pasajeros atendidos por día para determinar si la variación de pasajeros es grande.683 71. relación que nos permite compara la variabilidad de los datos entre varias series.25 8. Por ello la existencia de medidas de dispersión relativa que se expresan en porcentaje (valores abstractos) y se determinan por la relación existente entre una medida de dispersión absoluta y una medida de la tendencia central.930.5 1341 1014 756 209 3.25 5.El precio de las pólizas de seguro está estrechamente agrupado alrededor de los 27 millones de bolívares y pueden fluctuar entre los 3.50 Por lo tanto El director de Conviasa ya puede decidir si los aviones que utilizan actualmente pueden acomodar fluctuaciones hasta de 12 pasajeros en los días de tránsito pesado.5 94.904.5 84. 3.935 2.25 10. de allí que la comparación sería imposible porque cada medida vendría expresada en unidades diferentes.25 4.5 104.25 7.970. ya que de ello depende la ampliación en la flota de aviones.3 El Coeficiente De Variación Las medidas de dispersión estudiadas hasta ahora no nos permiten hacer comparaciones entre la dispersión de los valores de varias distribuciones.442 21.740.550.920.5 316.5 74.910.160. En porcentaje su fórmula para la población es la siguiente: 3.La medida de dispersión relativa de mayor importancia es el coeficiente de variación.2. 2. Otra forma más sencilla de calcular la varianza es: Demostración: Ejemplo 1: Usando las siguiente tabla que muestra la cantidad de niños atendidos en una clínica del país en una semana por edades en años Ingeniera Jessica Liset Martínez 59 . CV representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media. COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el coeficiente de variación de Pearson que se define como el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética Al hacer el cociente eliminamos las unidades. que se expresa en porcentajes y se calcula por la relación que existe entre la desviación estándar y la media aritmética. La varianza nunca puede ser negativa. s2 >0.4 APLICACIONES VARIANZA: PROPIEDADES: 1. x fi xi- x D x = Calcular e interpretar el coeficiente de variación: CV= UNIDAD 4: Ingeniera Jessica Liset Martínez 60 .Edad 0 1 2 3 4 5 6 fi 2 4 21 15 6 1 1 Calcular la varianza y comprobar que s2 = 1.12 CUASI-VARIANZA ( s*2 ) Se define de forma muy parecida a la varianza pero dividiendo por n-1. La desviación típica que se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza PROPIEDAD: Se observa a partir de la definición que s 0 Realizar el cálculo y comprobar que: s = 1. Realizar el cálculo de la cuasivarianza: DESVIACIÓN MEDIA RESPECTO A LA MEDIA (D x): Realizar el cálculo de la desviación media.25 DESVIACIÓN TÍPICA (S). Edad fi 0 1 2 3 4 5 6 2 4 21 15 6 1 1 xi . “ELEMENTOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES” Ingeniera Jessica Liset Martínez 61 . entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m. en forma independiente. los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Contestar 7 preguntas de un examen de 10 4. utilizando un número determinado de prendas de vestir 2. disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). Ordenar 5 artículos en 7 casilleros 3. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.1 TECNICAS DE CONTEO Análisis Combinatorio: Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado. Ejemplo: 1. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas 6. las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? Solución: Ingeniera Jessica Liset Martínez 62 . BOYS (B). Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión 5. n” Ejemplo 1: En la etapa final de fútbol profesional de primera.4. de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes. cuatro equipos: CRISTAL (C). Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona. Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va a servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar. ESTUDIANTES (E). Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales I) Principio de multiplicación: Si un evento o suceso “A” puede ocurrir. UNIVERSITARIO (U). entonces el número de maneras totales será : 4x3 = 12 # maneras = 12 Ejemplo 2: ¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto) Ingeniera Jessica Liset Martínez 63 . se observa que el evento del primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas. 2o El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros tres equipos que restan 3o Por el principio de multiplicación. METODO 1: utilizando el diagrama del árbol 1o C C C 2o B E U B C E U B B B C E U E C B U E E E C B U 1er lugar 2do lugar B E U C C B U U U E C B U E Existen 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y segundo lugar METODO 2: Utilizando el principio de multiplicación 1o 2o EXPLICACIÓN: 4 x 3 1o El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro equipos. Solución: Letras 26 x Dígitos 25 x 10 x 9 EXPLICACIÓN: 1oEl primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 26 letras o 2 El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 25 letras que restan 3oEl tercer casillero puede ser ocupado por cualquiera de los 10 dígitos ( del 0 al 9) 4oEl cuarto casillero lo pueden ocupar los 9 dígitos restantes o 5 El quinto casiller puede ser ocupado por cualquiera de los 8 dígitos restantes 6oPor el principio de multiplicación. deslizador ó 1 RECUERDA 1) Si se desea que se realicen los eventos A y B. Ejemplo 1: Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña. para ello se dispone de 3 botes. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? Solución: Aplicando el principio de adición se tiene: Bote . 3 lancha ó 2 . entonces se utiliza el principio de adición (+) Ingeniera Jessica Liset Martínez 64 . entonces se utiliza el principio de multiplicación (x) 2) Si se desea que se realicen los eventos A ó B. no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AB = ). además. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? Solución: Por el principio de adición: Victoria o Breña 6 formas + 8 formas = 14 formas Ejemplo 2: Se desea cruzar un río. entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras. el número de placas será = 26x25x10x9x8 = 468 000 x 8 # Placas = 468 000 II) Principio de adición: Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes. 2 lanchas y 1 deslizador. 1. serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos es igual se dirá que son agrupaciones con repetición. existiendo 3 posibilidades 2) El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las otras dos letras restantes. tomados en grupos de k elementos (siendo k n) y denotado por . bc.# Maneras = 3 + 2 + 1 = 6 4. entonces los arreglos pueden ser: ab. Variación y Combinación PERMUTACIÓN Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación. Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: Permutación. va. estará dado por: Ingeniera Jessica Liset Martínez 65 . cb Número de arreglos = 6 Método 2: (principio de multiplicación) EXPLICACIÓN 1) El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las tres letras. existiendo 2 posibilidades # arreglos = 3 x 2=6 Teorema 1: (Permutación lineal con elementos diferentes) “El número de permutaciones de “n” objetos diferentes. b. ca. que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos.1 Métodos de Conteo En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos. c} . Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación. ac. Ejemplo: Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí. b y c tomadas de dos en dos Solución: Método 1: Sea el conjunto: {a. cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. para formar diferentes agrupaciones. cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos. ; donde: n, k N y 0 k n Estas permutaciones son llamados lineales, porque los objetos son ordenados en una línea recta de referencia Ejemplo: En una carrera de 400metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? distintas podrán ser Solución: Método 1: Empleando el principio de multiplicación Oro 10 Plata x # maneras = 720 9 Bronce x 8 EXPLICACIÓN 1) El primer casillero(MEDALLA DE ORO) puede ser ocupado por cualquiera de los diez atletas, existiendo 10 posibilidades 2) El segundo casillero(MEDALLA DE PLATA) puede ser ocupado por cualquiera de los nueve atletas restantes, existiendo 9 posibilidades 3) El tercer casillero (MEDALLA DE BRONCE) puede ser ocupado por cualquiera de los ocho atletas restantes, existiendo 8 posibilidades Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal) Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10) RECORDAR 1)n! = 1 x 2 x 3 x ................ x n 2)0! = 1 3)1! = 1 4) n! = (n – 1)! x n Teorema 2: (Permutación lineal con elementos repetidos) El número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre sí; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces: Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras? Ingeniera Jessica Liset Martínez 66 Solución: Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados) , n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( un rombo), luego: = COMBINACIÓN Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación con parte o todos los elementos El número de combinaciones de “n” elementos diferentes tomados de “k” en “k”, con k n, está dada por: Ejemplo 1: Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? Solución: Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triángulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación. OBSERVACIÓN 1) En las permutaciones interesa el orden, se buscan ordenaciones 2) En las combinaciones no interesa el orden, se busca agrupaciones Ejemplo 2: Una señora tiene 3 frutas: manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas? Ingeniera Jessica Liset Martínez 67 Fresa (F) , Piña (P) , Manzana (M) Solución: Método 1: (en forma gráfica) Cuando se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P ,M Cuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM Total de sabores diferentes: 3 + 3 + 1 = 7 Método 2: (Empleando combinaciones) Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres o las tres frutas de las tres, además en este caso no importa el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación: # maneras diferentes = # maneras diferentes = Total de sabores diferentes: 3 + 3 + 1 = 7 Ejemplo 3: Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos. ¿De cuantas maneras podrá seleccionarse? Solución: PROPIEDADES DE 1 Seleccionamos 4 físicos entre 8 en formas 1) , , 2) 2o Seleccionamos 3 matemáticos entre 6 en 3) 4) Aplico el principio de multiplicación x = 70 x 20 = 1400 5) 6) OBSERVACIÓN: En la práctica se presentan diferentes combinaciones que no resultan sencillas, estas son las combinaciones con repetición. Para obtener las diferentes combinaciones con repetición de “n” elementos en el cual hay repetición de los elementos (CR) agrupados de k en k, se utiliza Ingeniera Jessica Liset Martínez 68 la siguiente fórmula: luego por el principio de multiplicación. 33.PROBLEMAS RESUELTOS 1. Ingeniera Jessica Liset Martínez 69 . 55. además los elementos del conjunto pueden repetirse. 5 y 7? A) 16 B) 12 C) 10 D) 14 e)8 Solución: MÉTODO 1: (mediante arreglo numérico) Con los dígitos dados. 3. como por ejemplo : 11 . formamos los siguientes números: OBSERVACIÓN En estos casos el orden es importante. Determinar cuántos numerales de 3 cifras existen en el sistema de base seis. 77 Respuesta: se pueden formar 16 numerales MÉTODO 2: (mediante la aplicación de los principios de análisis combinatorio) La forma general del numeral pedido es : Los valores que pueden tomar los dígitos a y b en el numeral son: OBSERVACIÓN 1) a toma 4 valores 2) b toma 4 valores 3) Para formar el numeral primero escribo las cifras de las decenas(4 posibilidades) y luego la cifra de las unidades (4 posibilidades). la cantidad de numerales será : 4 x 4 = 16 Cantidad de números = 4 x 4 = 16 2. ¿Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1. Ingeniera Jessica Liset Martínez 70 . b y c en base seis y luego multiplicamos el número de las posibilidades A b c OBSERVACIÓN: 1) En base seis solo se dispone de los dígitos : 0. teniendo en cuenta que las tres cifras deben ser diferentes.2. como no dicen que son diferentes.A) 160 B) 12 0 C) 100 D) 140 e) 180 Solución: La forma general del numeral es . entonces a dicha variable se le considera una sola vez al calcular la cantidad de numerales. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes existen en el sistema de base decimal? A) 900 B) 780 C) 800 D) 648 e) 724 Solución: La forma general del numeral es .1.4 y 5.4 y 5 2) La primera cifra a no puede ser cero. tendremos: Cantidad de numerales = 5 x 5 x 8 = 200 Respuesta: se pueden formar 200 numerales 4. hallaremos las posibilidades que pueden tomar a. ¿Cuántos numerales de la forma: existen? A) 260 B) 2 00 C) 300 D) 240 e) 180 Solución: En estos tipos de problemas hay que tener en cuenta que cuando una variable representa una cifra.3. solo puede tomar las cifras : 1.3. y ésta se repite en el numeral.2. b y c en base diez y luego multiplicamos el número de las posibilidades. con la indicación anterior. es decir 5 posibilidades 3) Las cifras b y c. pueden tomar 6 valores o posibilidades 5 x 6 x 6 = 180 numeral Respuesta: se pueden formar 180 numerales 3. hallaremos las posibilidades que pueden tomar a. En nuestro problema. a b c # numerales = 9 x 9 x 8 = 648 Respuesta: se pueden formar 648 numerales 5. Los valores de “b” son múltiplos de 3.3 y 6.2. luego los valores posibles de “a” solo pueden ser: 1.7 . es decir hay 3 posibilidades. luego los valores de “b” solo pueden ser: 0. es decir hay 3 posibilidades OBSERVACIÓN 1) por ser primera cifra no puede ser cero 2) A las posibilidades de y el principio de multiplicación se les aplica cantidad de # = 3 x 3 = 9 números Respuesta: se pueden formar 9 números 6. menores que 9. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura? A) 196 B) 188 C) 252 D) 480 e) 248 Solución: a) Podemos representar el procedimiento de solución mediante un diagrama de Venn: Ingeniera Jessica Liset Martínez 71 . ¿Cuántos numerales de la forma: existen? A) 9 B) 18 C) 26 D) 48 e) 24 Solución: Los valores de “a” deben se factores de 14 y además menores que 9. . cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse. sin considerar el “7” es decir hay posibilidades para las centenas 2) para “b” y “c” hay 9 posibilidades..OBSERVACIÓN: Para hallar los números que tiene por lo menos un 6 en su escritura.. ya que b y c pueden tomar los valores del “0” al 9 3) Para hallar la cantidad de números de 3 cifras aplicamos el principio de multiplicación. se tiene: X = 900 – 648 = 252 Respuesta: se pueden formar 252 números 7) De un grupo de 5 estudiantes.. (1) c) Calculamos el número de tres cifras que existen: a b c EXPLICACIÓN: 1) “a” puede tomar los valores del “1” al 9. exceptuando a “7” 3) Para hallar la cantidad de números de 3 cifras aplicamos el principio de multiplicación cantidad de #s = 8 x 9 x 9 = 648 e) Remplazando los valores obtenidos en los pasos “c” y “d” en la ecuación (1) de l paso (b).. cantidad de #s = 9 x 10 x 10 = 900 d) Cálculo del número de 3 cifras que no usan cifra “6” a b c EXPLICACIÓN: 1) “a” puede tomar los valores del “1” al “9”.. es decir hay 9 posibilidades para las centenas 2) para “b” y “c” hay 10 posibilidades.. Ingeniera Jessica Liset Martínez 72 .. se deduce que: # de cifras con por lo menos un 6 = # de tres cifras .... ya que b y c pueden tomar los valores del “0” al “9”.# de tres cifras que no usan el 6 x = -y . se consideran: 1) Los que tienen un solo 6 2) Los que tienen dos 6 3) Los que tienen tres 6 b) Del gráfico anterior . ACE . si estas deben ocupar los lugares impares? A) 160 B) 135 C) 144 D) 14 e) 170 Solución: Representemos gráficamente el problema. ABD. ACD. D y E los alumnos. CBA y BAC son el mismo grupo de alumnos. los diferentes grupos de 3 serían : ABC.A) 16 B) 10 C) 12 D) 15 e) 18 Solución: METODO 1: Por conteo directo Sean A. BCD. además para cada suma se escogen grupos de 4 sumandos de los siete de que se disponen. ABE. Respuesta: se pueden formar 35 sumas diferentes 9) ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos 3 hombres y 4 mujeres. BCE. y luego emplearemos el principio de multiplicación Posibilidades 4 3 3 2 2 1 1 # de formas = 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x1 =144 Respuesta: se pueden ubicar de144 formar diferentes Ingeniera Jessica Liset Martínez 73 . B. CDE Respuesta: se pueden formar 10 grupos diferentes METODO 2: Por fórmula Como el grupo de alumnos ABC. C. BDE. entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinación: Respuesta: se pueden formar 10 grupos diferentes 8) Con 7 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar? A) 56 B) 35 C) 42 D) 64 e) 70 Solución: En la suma no importa el orden que se dispongan los sumandos. por lo tanto se trata de una combinación. ADE. 9? A) 52 Solución: Sea : B) 48 C) 27 el número.1) posibilidades. de un total de 10 elementos. así Respuesta: se puede seleccionar el comité de 560 formas diferentes 12) A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores. ¿cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos? A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440 Solución: Si “A” juega con “B” es lo mismo decir que “B” juega con “A”. 6 . entonces se tiene: a b c d # de números = 2 x 4 x 3 x 2 = 48 D) 96 e) 49 EXPLICACIÓN: “a” puede ser “6” o “9”.10) ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5 000 . se pueden formar con los siguientes dígitos: 1 . “c” tiene (5 – 2) posibilidades y “d” tiene (5 – 3) posibilidades ya que las cifras deben ser diferentes Respuesta: se pueden formar 48 números de cuatro cifras diferentes 11) Un grupo de 16 personas desean escoger entre sus miembros un comité de 3 personas que los represente. 4 . la partida es la misma. 3. ¿De cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comité? A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440 Solución: Para formar un comité . Por lo tanto se trata de una combinación Respuesta: se jugarán 45 partidas 13) ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder? Ingeniera Jessica Liset Martínez 74 . es decir tiene 2 posibilidades . no interesa el orden de sus elementos. pero es una agrupación de 2 en 2. tiene (5 . “b”. no interesa el orden en que se dispongan las tres personas por lo que los posibles comités serán combinaciones de 16 personas tomadas en grupos de 3. luego habría 3 formas diferentes de llegar: 1z. por lo tanto el número total de caminos para llegar de A a C es : 9 + 2 = 11 formas.3z. Que aplicando el principio de multiplicación se tendría: A B # maneras de llegar de A a C = pasando por B 3 C x 3 =9 Pero también hay dos caminos directos para llegar a C (x.2z. De B a D se puede ir por el camino z.3) y luego otro camino para llegar a C (4. 5. A) 24 B) 48 C) 36 Solución: Identificamos con un nombre a cada camino diferente: D) 18 e) 30 Analizamos por tramos: I) ABD: para llegar a B.6). y). 2. y de C a D hay 3 formas (7. por lo tanto en el tramo ABD hay 3 formas II) ACD: para llegar a C se puede utilizar un camino para llegar a B (1.9) Finalmente se tiene: De A a C 11formas y de C a D 3formas Ingeniera Jessica Liset Martínez 75 A aD 11 x 3 formas .8. se puede utilizar cualquiera de los 3 caminos (1. 3) señalados. 2. desea enviar mensajes a sus agentes secretos. ¿De cuantas formas puede repartir los bonos? A) 1640 B) 1360 C) 680 D) 1100 e) 1120 Solución: Ingeniera Jessica Liset Martínez 76 . y al menor 2. y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor. R. pueden ser ABD ó ACD = 3 + 33 = 36 formas Respuesta : 36 maneras diferentes 14) En un examen de matemáticas. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V. # total de formas diferentes = 33 formas En conclusión los caminos de (I) y (II) . si él debe responder por lo menos. o cinco de las primeras cinco y dos de las últimas. P. M. A. tres de las cinco primeras preguntas? A) 64 B) 55 C) 50 D) 110 e) 120 Solución: El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 4 de las últimas 5 preguntas. ¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar. o cuatro de las primeras cinco preguntas y 3 de las últimas. O. por lo tanto tenemos: Respuesta: 110 maneras diferentes 15) El servicio de inteligencia de cierto país. 4. Como no interesa el orden se trata de una combinación. I. a su segundo hijo. un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas. 3. si ninguna letra puede repetirse? A) 2520 B) 1550 C) 1850 D) 1100 e) 1200 Solución: Método 1:(usando el principio de multiplicación) #maneras = 7 x 6 x 5x 4 x 3 Método 2:(usando permutación) = 2 520 16) Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas. ¿Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse. Se trata de una permutación con repetición donde intervienen todos los elementos. Hay 4! Maneras de arreglar los bonos para su hijo mayor. si 3 están en espera? A) 1640 B) 1344 C) 680 D) 1124 e) 1120 Solución: El número de grupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es: Ingeniera Jessica Liset Martínez 77 . Luego se tiene: Respuesta: Los bonos se pueden repartir de 1360 formas 17) La selección peruana de voleibol está conformado por 12 chicas. 3! Formas para arreglar los bonos para el segundo hijo y 2! Formas para el hijo menor. las otras cinco chicas deben escogerse de entre las10 restantes # de equipos = # total de equipos = Respuesta: El número total de equipos que se pueden formar es 18) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos. las seis chicas deben escogerse de entre10 OBSERVACIÓN: Hemos aplicado la propiedad: # de equipos = 2do caso: Si figura una de las dos chicas que se niegan a jugar juntas. ¿De cuántas formas se puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el mismo equipo? A) B) C) D) e) Solución: La delegación de 6 chicas se puede presentar en los siguientes casos: 1er caso: Si no figura ninguna de las dos chicas que se niegan a jugar juntas. El número de formas en que cada grupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es: (5 – 1)! =4! = 24 # total de formas = 56 x 24 = 1344 Respuesta: 1344 maneras diferentes 19) La tripulación de un bote es de 10 hombres. Los lugares que sobran a babor pueden ser ocupados por d. por el que queda de los dos anteriores. i. Ingeniera Jessica Liset Martínez 78 . i. Luego los cinco lugares a babor pueden ser ocupados de: . d. i. y j pueden remar sólo a estribor. b. j} los tripulantes del bote de los cuales: a. b. c. g. c y d pueden remar sólo a babor y h. El quinto lugar a estribor puede ser ocupado de (3 – 2) sola forma. Uno de los lugares que sobra puede ser ocupado de 2 formas diferentes. a. y j pueden acomodarse de formas diferentes ocupando 3 lugares. f o g ya está ubicado a babor. es decir 3 formas distintas. cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. e. quedando (3 – 1) de ellos para ocupar aquel cuarto lugar. e ó f. pues uno de los tripulantes e. ¿De cuántas formas se pueden distribuirse para remar. A estribor h. c y d pueden ubicarse a babor de formas distintas ocupando 4 lugares (observar que en este problema el orden es importante). h. sabiendo que cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote? PROA Babor Estribor 2 2 POPA C) 3! x (5!)2 A) 3x (5!) B) 6x (4!) D) 12 x (3!)2 e) 6x (5!) x (4!) Solución: Sean {a. Por tanto los cinco lugares a estribor pueden ser ocupados de: maneras diferentes. 3 formas o maneras distintas. f. b. Además cinco hombres están ubicados a cada lado del bote. y sobrando 2 lugares. P15 = c c b P16 = c c d . P14 = c c a . P31 = a d e . es decir : x y z . P5 = e e e Son 5 casos posibles CASO 2: Dos factores son iguales y uno es diferente . y. P27 = a b d . P12 = b b d . P10 = b b a P11 = b b c . es decir: x = y = z. P20 = d d c P21 = d d e . c. Son 10 casos posibles ( productos serán: P30 = a c e P35 = c d e ) Finalmente se tendrá : 5 + 20 + 10 = 35 formas posibles Método 2 : (Aplicando combinación con repetición) En este caso aplicamos la fórmula: Con n = 5 y k = 3 . aplicamos el principio de multiplicación para los dos resultados anteriores: # de formas diferentes = Respuesta: . P34 = b d e . z son números primos CASO 1: Losa tres factores son iguales. P29 = a c d .. d. los productos serán: P1 = a a a . P9 = a a e . Como se trata de un suceso simultaneo . cada uno de tres factores primos. P4 = d d d . P19 = d d b . con z diferente . P23 = e e b . e ( a b c de) A) 40 B) 35 C) 30 D) 24 e) 56 Solución: Método 1: (Por conteo directo) Se deben formar números de la forma P = x. es decir: Ingeniera Jessica Liset Martínez 79 . P25 = e e d Son 20 casos posibles CASO : Los 3 factores son diferentes . los P26 = a b c . P22 = e e a . P18 = d d a . los productos serán: P6 = a a b . b. P2 = b b b . P28 = a b e . P32 = b c d . P3 = c c c . P13 = b b e . P33 = b c e . es decir : x = y . z. P24 = e e c . P17 = c c e .3x = formas diferentes 20) Señale cuántos productos diferentes. podrá obtenerse con los cinco factores primos : a. y. P8 = a a d . P7 = a a c . donde x. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1 Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal. Haciendo uso de las estadísticas.2. se hace uso de la información que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa.4. En algunos casos se utiliza de manera informal como por ejemplo: hay un 50% de probabilidad de que llueva. y el número total de resultados posibles en un experimento. etc. Modelo de frecuencia relativa La probabilidad de un evento (E). debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea. podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información. En este caso. ¿Cómo podemos calcular probabilidades? 1. Definición Clásica de Probabilidad. pero ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?.. entre mayor sea la probabilidad. ya que basándose en estadísticas. esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar. La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar. puede ser calculada mediante la relación del número de respuestas en favor de E. ejemplos: • Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas • Competencias deportivas • Juegos de azar. conjunto de todos los “n” elementos relacionados = # Total de resultados posibles. Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1. es muy difícil tenerla. 4. etc. la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos. está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia. Probabilidad: Es la posibilidad numérica de ocurra un evento.1 Probabilidad La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles. y después de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas. ¿entonces qué es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?. En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra.2 DEFINICION Y MEDICION DE PROBABILIDAD. se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión. más se acercará a uno. ¿ de casos Favorablesde E P ( E )= ¿ Total de casos posibles La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. Ingeniera Jessica Liset Martínez 80 . Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral S que no se encuentran en A..Ejemplo 1.500 productos.7 Gráficamente: Ingeniera Jessica Liset Martínez 81 . la probabilidad de que aparezca el número 3 en un dado.012 1500 Lo anterior nos indica que es muy probable que 1. 2. Hay casos en los que después de repetir un número muy grande de veces un experimento. entre los que se encontraron 8 productos defectuosos. etc. El complemento de A es: A C =1−P( A) Ejemplo 2: En el evento A (día nublado). la probabilidad de tener un día despejado será 1 – P(A) = 0. Debido a que esta refleja la situación que guarda actualmente la producción de la línea mencionada. condicionales y mutuamente excluyentes.3. etc. si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1. Probabilidad Compuesta Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí. tales como: La probabilidad de que aparezca águila al lanzar una moneda equilibrada. Unión de A y B Si A y B son eventos en un espacio muestral S. ¿Por qué se utilizó para calcular las probabilidades la información de la semana inmediata anterior?. 1. es posible determinar las probabilidades de ocurrencia de algunos eventos. la unión de A y B los elementos del evento A o B o ambos. la intersección de A y B compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B. En la composición existen dos posibilidades: Unión y de Intersección . Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto defectuoso. contiene todos Intersección de A y B Si A y B son eventos en un espacio muestral S. ¿ de productos defectuosos P ( producto defectuoso )= Total de productos elaborados en lasemana 18 ¿ =0. Basándose en la experimentación.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea serán defectuosos. P(A) = 0. está Relaciones entre eventos Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios. 67 B = Ejemplo 4: Las razones de queja en productos se muestran a continuación: RAZÓN DE LA QUEJA Ingeniera Jessica Liset Martínez 82 .3.P(AC)=0. A P(A/B)=0. si A B P(B/A)=0.97 P(A)=0. cual es la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es: .3 2.2 y el evento B (nublado) = 0.9 8 Ejemplo 3: Si el evento P(A y B) = (llueva y este nublado) = 0. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B.7 P(A)=0. Ejemplo 5. 3.63 = 0. Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes? El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 2. De otra manera los eventos son dependientes.En garantía Fuera de garantía Total Falla eléctrica 18% 12% 30% Falla mecánica 13% 22% 35% Falla apariencia 32% 3% 35% Total 63% 37% 100% Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurrió en el periodo de garantía. es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.628 Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).51 Si C es el evento fuera de garantía y D falla mecánica: P(C/D) = P(C y D) / P(D) = 0. Eventos mutuamente excluyentes. Al lanzar un dado: a) Cuál es la probabilidad de que salga 2 o 3? b) Calcule a) b) = 0. se dice que estos son mutuamente excluyentes. La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. Ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe. A B Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B. Ley aditiva: Ingeniera Jessica Liset Martínez 83 .35 = 0. Se puede calcular P(A/B) = P(A y B)/P(B) P(A/B) = 0.32 / 0.22 / 0. a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado. Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes: P ( A U B ) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) Cuando los eventos son mutuamente excluyentes: P ( A U B ) = P(A) + P(B) Ley multiplicativa: Si los eventos A y B son dependientes: P(A ∩ B) = P(A) × P(B/A) Si los eventos A y B son independientes: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) Ejemplo 6: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades. calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.98 B P(B) =.98 a) Al ser eventos independientes el primero del segundo: = b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces: = Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B. b) si la muestra se toma sin reemplazo. Ingeniera Jessica Liset Martínez 84 . La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo). se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. A: El primer artículo está en buen estado. B: El segundo artículo está en buen estado. se tiene que haber cumplido antes el evento A. A P(A) =. que en cada tensión exagerada. se rompe a lo más un hilo y que la probabilidad de que se rompan más de uno es despreciable. Es el conjunto de todos los posibles resultados posibles de un experimento estadístico. Ingeniera Jessica Liset Martínez 85 .1. se somete el sistema a una tensión exagerada. (Elaborar en clase) Evento: Es cualquier colección de resultados contenidos en el espacio muestral. Es un espacio muestral que contiene un número finito o numerablemente infinito de puntos muéstrales. Espacio Muestral Discreto.2. Se sabe por experiencia. el espacio muestral es discreto finito. se dice que el cable no sobrevive y por lo tanto debe ser reemplazada.98 4. Para probar si se debe cambiar. Es el proceso a través del cual se obtienen observaciones. si se rompen 2 o más hilos.Considere el experimento siguiente: En una empresa existe una grúa que tiene un sistema de cables.2 Experimento. Ejemplo 2. Es simple si sólo tiene un resultado y compuesto si tiene varios resultados. Es el proceso que produce un evento.B P(B/A)=.97 A P(A) =.2.3 Espacio Muestral. Ejemplo 2. Los elementos del espacio muestral. En el ejemplo anterior. 4. El espacio muestral suele denotarse por la letra S.2. las cuales requieren ser reemplazadas cada cierto tiempo de uso. Para definir este espacio muestral elaboraremos un diagrama de árbol. Es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido como el lanzamiento de un dado. Codifiquemos como cero (0) si no se rompe algún hilo y uno (1) si se rompe un hilo. se denominan puntos muéstrales. forman un subconjunto llamado intersección de E1 y E2.3. ^ E es lo que le falta a E. Los eventos complementarios.4. son solapados si tienen puntos muestrales comunes. los puntos muestrales comunes a E1 y E2. P { S }=1.1 Tipos de Eventos o Sucesos SUCESOS O EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos. es la suma de las probabilidades de cada uno. para se igual a S. ^ E .3 INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA. imposibilita la ocurrencia de los otros. por loque se tiene : ^ }=1 P { S }=P { E } + P { E P {^ E }=P { S }−P { E } = 1−P { E } EVENTOS INDEPENDIENTES: Ingeniera Jessica Liset Martínez 86 . La fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos solapados es: P { E1 ∪ E 2} =P { E1 ó E2 }=P { E 1 }+ { E2 }−P { E1 ∩ E2 } Dónde: P { E1 ∩ E 2 }=P { E1 } ∙ P [ E2 ] Fórmula para tres eventos solapados: P { E1 ∪ E 2 ∪ E3 } =P { E 1 }+ { E2 } + P { E3 } =P { E 1 } + P { E 2 } + P { E3 }−P { E1 ∩ E2 } −{ E1 ∩ E3 }−P { E 2 ∩ E3 } + P { E1 ∩ E2 ∩ E EVENTOS COMPLEMENTARIOS: Dos eventos E1 y E2. De la teoría de conjuntos se sabe que dos o más conjuntos que no tengan puntos muestrales en común su intersección es nula. es decir. son a su vez mutuamente excluyentes: E1 ∪ E 2=S y E 1 ∩ E2 =∅ S. se lee complementario de E ó “No E” La probabilidad del espacio muestral es 1. representa el espacio muestral ^ E . es el complementario de E. son complementarios si el segundo es un subconjunto que contiene todos los puntos muestrales del espacio muestral que no están en el primero. P { E1 ó E2 }=P { E1 ∪ E2 }=P { E 1 }+ P { E 2 } EVENTOS SOLAPADOS: Dos eventos E1 y E2. 4. La probabilidad de ocurrencia de E1 o E2. y se representa por E1 ∩ E2. aparezcan cuando sean independientes es: P { E1 ∩ E2 } = p { E1 y E2 } =P { E 1 . Se calcula la probabilidad para cada evento: 18 1 12 1 P { E1 }=P { V ≥ 4 } = = . E2 } =P { E 1 } . 3. que resultan de la combinación (1 y 2) con los puntos (1. 4. 2. 7. Se lanzan dos dados simultáneamente. En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener cara es ½ y la probabilidad de obtener otra cara en otra prueba. es también ½. señalando los puntos muestrales para cada dado. uno rojo y otro verde. P { E2 } EJEMPLO: I. menores o iguales a dos.6) del dado verde. 3. Se construye el espacio muestral (en un diagrama cartesiano). También se obtiene el mismo resultado dividiendo los puntos muestrales de la intersección de los dos eventos. no afecta la probabilidad del otro en cualquier otra prueba. P { E2 }= ∙ = 2 3 6 6. Interpretación: Si se lanzan dos dados simultáneamente. 3. la probabilidad de que el verde muestre una cara con números mayores o iguales a 4 y el rojo. con los (1. Para el dado verde existen 18 puntos muestrales al combinar los puntos (4. Uno verde y uno rojo. P { E2 } =P { R ≤ 2 }= = 36 2 36 3 5. La fórmula para buscar la probabilidad de que E 1 y E2. 6) del dado rojo. 2. 4. 2. 5 y 6). 4. 5. es de 1/6. Se sustituye en la fórmula para eventos independientes: 1 1 1 P { E1 y E2 } =P {V ≥ 4 y R ≤2 }=P { E 1 } . ¿Cuál es la probabilidad de que V ≥ 4 y R ≤ 2? Procedimiento: 1. Para el dado rojo existen 12 puntos muestrales. Ingeniera Jessica Liset Martínez 87 . por la cantidad de puntos muestrales del espacio muestral.Dos eventos E1 y E2 son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos en una prueba. Por lo que los dos eventos E1 y E2. 5. 4. De lo anterior se deducen claramente las relaciones siguientes: Ejemplo: De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras. al cociente: si Análogamente se define . Dicho de otro modo.1 Definición de probabilidad condicionada. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de derechas sabiendo que es hombre?. Esta probabilidad es la que llamamos Probabilidad condicionada del suceso B respecto al suceso A. la probabilidad condicionada de un suceso B respecto de otro A es la probabilidad del suceso B sabiendo que previamente ha ocurrido el suceso A. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que las dos sean negras b) Que las dos sean rojas c) Que la segunda sea roja sabiendo que la primera fue negra. Solución: Ingeniera Jessica Liset Martínez 88 . Definición: Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL 4. Evidentemente la probabilidad pedida es: pues hay 196 varones de los cuales 145 son de derechas. y lo denotamos por . se extraen sucesivamente 2 bolas.4. Para introducirnos en este concepto. veamos primero el siguiente ejemplo: Los resultados de una encuesta sobre la actitud política de 334 personas es el siguiente: DERECHAS IZQUIERDAS TOTAL HOMBRES 145 51 196 MUJERES 42 96 138 TOTAL 187 147 334 Sea A:’ser hombre’ y B:’ser de derechas’ Se elige una persona al azar. De la combinación de la fórmula de la probabilidad condicionada y de la definición de sucesos independientes se puede deducir que si dos sucesos A y B son independientes entonces: Ingeniera Jessica Liset Martínez 89 .a) Sea : Sacar la 1ª negra : Sacar la 2ª negra b) Sea : Sacar la 1ª roja : Sacar la 2ª roja c) Sea : Sacar la 1ª negra : Sacar la 2ª roja 1. Definición: Dos sucesos A y B se dicen independientes si Ejemplo: Consideremos el experimento de extraer cartas de una baraja. b) Con devolución Sol. Concepto de sucesos independientes. Cálculo de probabilidades condicionadas y de intersección de sucesos. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos reyes? a) sin devolver la 1ª carta. a) :”conseguir rey en la 1ª extracción” :”conseguir rey en la 2ª extracción” = b) 2. Teorema de la probabilidad total Sea un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. en el caso de sucesos dependientes teníamos la expresión: que en el caso de tres sucesos sería: pudiendo generalizar también esta fórmula para el caso de n sucesos. quedando: = Como hemos visto.Esta fórmula se puede extender para el caso de n sucesos independientes . Definición: Se dice que un conjunto de sucesos forman un sistema completo de sucesos para un determinado experimento aleatorio si verifican las dos condiciones siguientes: - son incompatibles dos a dos. y sea B un suceso para el que se conocen las probabilidades entonces la probabilidad del suceso B viene dada por: Demostración: entonces : Teorema de Bayes Ingeniera Jessica Liset Martínez 90 . . Se elige al azar una urna y de ella se extrae una bola.Sea un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. la bola resulta ser blanca y queremos saber qué probabilidad hay de que la bola proceda de la urna nº1. la primera tiene 3 bolas blancas y 2 negras. y sea B un suceso para el que se conocen las probabilidades entonces: . la segunda tiene 2 bolas blancas y 3 negras. Demostración: despejando nos queda: y por el teorema de la probabilidad total : . Ingeniera Jessica Liset Martínez 91 . Sea :”elegir la urna nº1” :”elegir la urna nº2” :”extraer bola blanca” Supongamos ahora que realizada la extracción. Calcular la probabilidad de que sea blanca. Ejemplo: Se tiene dos urnas. UNIDAD 5: “DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD” Ingeniera Jessica Liset Martínez 92 . 2…) . Ejemplos: . Ingeniera Jessica Liset Martínez 93 .2 CONCEPTOS BASICOS ● Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio.Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. 1.tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado… ● Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas: . No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0.Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable.nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora .5. Son el resultado de medir.1 VARIABLE ALEATORIA 5. . ….XCC} .Ejemplo: Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias: a) nº de páginas de un libro → discreta b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua c) nº de preguntas en una clase de una hora → discreta d) cantidad de agua consumida en un mes → continua En la práctica se consideran discretas aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales. xk. Estas cantidades reciben el nombre de función de probabilidad o función de masa.XCX. 2 y 3 Lanzar 3 veces moneda: E={CCC.XXX} La variable aleatoria x: .XCX. x2.CXC. 1.Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX} .CCX. ….CXX. Distribución de una variable aleatoria ● Sea x una variable aleatoria discreta.CXX} . Su distribución viene dada por los valores que puede tomar.Toma valor 3 cuando {CCC} La función de probabilidad es: Ingeniera Jessica Liset Martínez 94 . pk.Toma valor 2 cuando {CCX.CXC.Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC. x3.XXC. Ejemplo: Variable aleatoria x=nº de caras al lanzar tres veces una moneda Posibles valores de x: 0. x1. p2. p3. y las probabilidades de que aparezcan p1.XCC. 10 0 1 2 3 ¿Cuál será la probabilidad de que salgan al menos dos caras? ¿y probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2? ● La probabilidad de que una variable aleatoria x tome un valor entre dos cantidades a y b será: ● La función de probabilidad verifica que: - - Ingeniera Jessica Liset Martínez 95 la .Función de probabilidad de x: 0.20 0.40 0.25 0.35 0.15 0.30 0. Expresa las probabilidades por áreas. .8 0.0 0. Se interpreta de forma parecida al histograma. Si queremos conocer su distribución de probabilidad no nos vale la función de probabilidad empleada con las discretas (cada valor con su probabilidad asociada) porque toma muchos valores. La probabilidad asociada a cada valor es prácticamente nula (la función de distribución es continua). Ejemplo: nº caras al lanzar tres veces una moneda Función de distribución de x 1. ● Emplearemos la función de densidad.2 0. Expresa la “densidad” o concentración de probabilidad en cada zona. Sus valores más altos corresponden a zonas en las que es más probable que aparezcan resultados del experimento aleatorio.0 0 1 2 3 ● Sea x una variable aleatoria continua.● La función de distribución o de probabilidad acumulada representa en cada punto x0 la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho punto. Ingeniera Jessica Liset Martínez 96 .4 0.6 0. es decir. Media o esperanza de una variable aleatoria ● La media o esperanza de una variable aleatoria discreta será: Ejemplo: x=resultado de lanzar un dado La distribución de probabilidad de x será: ……………… El valor esperado de x será: ● La idea de media o esperanza de una variable aleatoria continua es equivalente pero su cálculo es algo más complicado porque requiere emplear el concepto de integral. ● La media de una variable aleatoria puede interpretarse como el valor esperado o medio que toma dicha variable o como el valor central de dicha distribución.si x e y son dos variables aleatorias se cumple que: - si a y b son constantes se cumple que: Ingeniera Jessica Liset Martínez 97 . ● Propiedades: . 02 a) Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan plaza. aunque en estas últimas su cálculo es más complicado.Ejercicio Una compañía ha vendido 205 billetes para un avión de 200 plazas.09 0.20 0. c) Calcular el nº esperado de viajeros que acude al aeropuerto.23 0. b) Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajeros que va al aeropuerto. Los valores pequeños indican concentración de la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones más dispersas. d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vuelo? Desviación típica de una variable aleatoria ● La desviación típica de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución alrededor de la media.15 0.09 0. ● El concepto de desviación típica es equivalente en variables aleatorias discretas y continuas. Sea x la variable aleatoria que expresa el nº de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avión. Ingeniera Jessica Liset Martínez 98 . Su distribución es: xi 198 199 200 201 202 203 204 205 pi 0.05 0.17 0. ¿Era previsible el resultado? Sí. ya que en cada lanzamiento P(C)=1/2 y al lanzar tres veces se tiene que c) Hallar la desviación típica de x Ingeniera Jessica Liset Martínez 99 . .si a y b son constantes se cumple que: - si x e y son dos variables aleatorias independientes se cumple que: y Ejercicio: Se lanza tres veces una moneda.CXX} x=2 →{CCX.XCC} x=3 →{CCC} b) Calcular el nº esperado de caras al lanzar la moneda. (ver Ejemplo pag. Sea x la variable aleatoria que expresa el nº de caras en los tres lanzamientos.XXX} x=0 →{XXX} x=1 →{XXC. a) Hallar y representar la función de probabilidad de x.CXC.XXC.XCC.CCX. 3) Se lanza 3 veces una moneda: E={CCC.XCX.CXX.XCX.● Si x es una variable aleatoria discreta su desviación típica viene dada por: y su varianza será: ● Propiedades: .CXC. Todas las pi son mayores o iguales que cero y además se cumple que: b) Hallar la probabilidad de que el nº de personas que viven en un hogar sea menor o igual que cuatro.015 0.067 0.322 0.024 0. d) Obtener el nº medio de personas que habitan en una vivienda.230 0. c) Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda. El coeficiente de variación de una variable aleatoria x será: Ejercicio: Sea x una variable aleatoria que expresa el nº de personas que habitan en una vivienda elegida al azar. Para evitar este inconveniente podemos emplear el coeficiente de variación.o bien: ● La desviación típica es una medida de dispersión que depende de las unidades de medida de la variable.177 0.155 0. La distribución de probabilidad de x es la siguiente: xi 1 2 3 4 5 6 7 8ó+ pi 0. Ingeniera Jessica Liset Martínez 100 .010 a) Comprobar que es una distribución de probabilidad. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. Comprueba si la variable que expresa el número de fumadores dentro de la muestra sigue una distribución Binomial. 2……. P(A) es la probabilidad que ocurra A al efectuar el experimento una sola vez.3. p) a la distribución Binomial siendo n y p los parámetros de la distribución. Esta variable es discreta ya que únicamente tomará los valores 0. Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos posibles resultados: el suceso A que llamaremos éxito y su contrario A´ que llamaremos fracaso. Ejemplo 1: Una marca de tabacos ha calculado que el número de fumadores en una ciudad es del 35%.3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 5. Su fórmula es la siguiente: () n−m m P(A ocurra m veces) = n [ P( A) ] [ P( A c ) ] m Donde n es el número de veces que se repite el experimento. Ingeniera Jessica Liset Martínez 101 . A la variable X que representa el número de éxitos obtenidos en cada prueba la llamaremos variable de la distribución Binomial.3 5.n Representaremos por B(n. P(Ac) es la probabilidad que no ocurra A al realizar el experimento una sola vez. Se escoge al azar una muestra formada por 10 personas. 1.1 Distribución Binomial Objetivo: Presentar la distribución Binomial como un caso particular de distribución de probabilidad Discreta y realizar ejercicios relacionados con esto. La probabilidad de A´ es 1 – p El experimento consta de un número n de pruebas Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. m es el número de veces que debe ocurrir A. En caso afirmativo señala los parámetros de la distribución Solución: En cada prueba solo son posibles dos resultados: A = individuo fumador Ac = individuo no fumador 3 Todos los ejercicios son tomados del documento de Peña y Romo. La probabilidad del suceso A es constante la representamos por p y no varía de una prueba a otra. Probabilidad de no acertar alguna 3.El resultado obtenido de la pregunta Fuma o no fuma en cada individuo de la muestra es independiente de los otros. Probabilidad de acertar todas 4.25) Sea X la variable aleatoria que representa el número de preguntas contestadas correctamente: 1.35 constante. ( ) 10−4 P ( de acertar 4 )=P ( X=4 ) = 10 (0. Probabilidad de acertar al menos 8 5. Así pues la variable que representa el número de individuos fumadores en la muestra es una variable aleatoria que sigue una distribución Binomial cuyos parámetros son n = 10 y p = 0. cada una de las cuales tiene 4 respuestas y solo una de ellas correcta. Probabilidad de acertar a los sumo 6 6.75 Se trata de una distribución Binomial de parámetros B (10.35. Se pide 1.75 ) =0.25)4 ( 0. Media y varianza Solución: Consideremos los sucesos A = Contestar bien P(A) = 0. La función de probabilidad de la distribución Binomial viene dada por la siguiente expresión en otra forma: () P(Obtener x éxitos) = P(X=x)= n p x (1− p)n−x x Cómo el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo trabajoso se han construido tablas que nos proporcionan para los distintos valores de n y de x. Probabilidad de acertar exactamente 4 preguntas 2.25 Ac = No contestar bien P (Ac) = 0. Parámetros de la distribución Si tenemos una distribución Binomial de parámetro n y p se verifica que Media o esperanza: μ=np Varianza: σ 2=np(1− p) Desviación típica: σ =√ np(1− p) Se estudiaran algunos ejemplos que aclaren estos conceptos: Ejemplo 2: Una prueba de inteligencia está compuesta por 10 preguntas. la media y varianza y pondremos algunos ejemplos que aclaren todos estos conceptos. la probabilidad de que la variable X tome los distintos valores de 0 a n. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y decide contestar aleatoriamente. La probabilidad del suceso A es P(A) = 0. A continuación le pasamos a explicar otra forma de la función de probabilidad de la distribución Binomial.0.1460 4 Ingeniera Jessica Liset Martínez 102 . 25)1 ( 0.25)9 ( 0. 5.75 ) + 10 (0.75 ) + 0=0.25)2 ( 0. Finalicen todos la carrera 3.75 ) + 10 (0. Halla la media y la desviación típica Solución: Consideremos los sucesos: A = Finalizar la carrera P(A) = 0.2.3 = No finalizar la carrera P ( ) = 0. ( ) ( ) 10 P ( no acertar alguna )=P ( X =0 ) = 10 (0.25)8 ( 0.75 ) =0. Ninguno de los 7 finalice la carrera 2. 3.25)10 ( 0. Halla la probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso 1.005 8 9 P ( acertar a lo sumo 3 )=P ( X ≤ 3 )=P ( X =0 ) + P ( X=1 ) + P ( X =2 )+ P ( X =3 ) 10 9 8 7 ¿ 10 (0.25)3 ( 0. Al menos 2 acaben la carrera 4. 4.75 ) =0.7759 0 1 2 3 Media y Varianza ( ) 6.0563 0 0 P ( acertar todas )=P ( X =10 )= 10 (0.75 ) =0 10 P ( acertar al menos 8 )=P ( X ≥ 8 )=P ( X =8 ) + P ( X =9 ) + P ( X=10 ) 2 1 P ( acertar al menos 8 )= 10 (0.25)0 ( 0.3) Sea X la variable aleatoria que representa el número de estudiantes que obtienen el título de licenciado en Geografía e Historia Media y desviación típica Ingeniera Jessica Liset Martínez 103 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A continuación se proponen estos ejercicios para que los realicen los alumnos Ejercicio 1: La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado en Geografía e Historia es de 0.75 ) + 10 (0.3.7 Por tanto se trata de una distribución Binomial de parámetros B (7.0.25)0 ( 0.75 ) + 10 (0. 5.6.35 = Las condiciones socioeconómicas son aceptables P ( ) = 0. Elegida una muestra de esa población formada por 9 individuos.65 Por tanto se trata de una distribución Binomial de parámetros B (9. la variable es continua. 2. Probabilidad de que solo vivan 3 en condiciones inaceptables 2.5.1a. llamada curva normal. 3.1b. 4.35) Sea X la variable que representa el número de individuos que viven en condiciones socioeconómicas inaceptables a) Media y varianza 5.2 Distribución Normal Cuando los datos están distribuidos con frecuencias ascendentes-descendentes aproximadamente simétricas.. el histograma correspondiente está formado por un conjunto de barras como se muestra en la figura 2. Si. se le llama distribución normal. 0. calcular: 1. en cambio. pero no 2. Cuando se trata de una variable discreta. Hallar la media y la varianza de la distribución Solución: Consideramos los sucesos A = Las condiciones socioeconómicas son inaceptables P(A)= 0. o sea que solamente puede tomar valores como 1.04 ó 5. etc.Ejercicio 2: En geografía Humana se ha determinado que las condiciones socioeconómicas del 35% de la población de una comarca determinada son inaceptables.3. Ingeniera Jessica Liset Martínez 104 . el histograma es una curva como la mostrada en la figura 2. Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy parecida a la distribución normal. que es el punto más elevado de la curva y. La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.5. figura 2.1b. el 2 representa dos desviaciones estándares.3.5. por lo tanto. la industria y el comercio.3.Figura 2. el 1 representa una desviación estándar.5. y así sucesivamente. El procedimiento para obtener esa área es la que se va a estudiar en este apartado.1 La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. figura 2. También es simétrica respecto de la media. Además.5.5.3 a + 3 se les llama dato estándar. Por eso. Se ha vuelto una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia. de tal manera que el valor igual a cero de la gráfica corresponda siempre a la media aritmética de la distribución normal de datos. y luego los datos nominales se pueden transformar a uno equivalente de la escala de – 3 a +3 de la figura 2. a los datos comprendidos en la escala de . El signo positivo solamente indica que está a la Ingeniera Jessica Liset Martínez 105 . la moda la mediana. si acaso. puede haber una escasa diferencia entre algunas de ellas.5. el área bajo la curva hacia la izquierda de la media es del 50% y el otro 50% se localiza a la derecha.3 En esa escala estandarizada. cuyo valor se emplea para obtener diferentes informaciones de los datos que conforman dicha curva.2 Una característica muy importante de la curva normal es que a partir de su eje de simetría se puede dividir como lo muestra la figura 2. en una curva normal las tres medidas de tendencia central coinciden en el centro: la media. En una curva normal lo que se utiliza es el área bajo la curva entre dos valores x 1 y x2 ver figura 2. Solución: Para transformar un dato nominal en dato estándar. a partir de que la media aritmética del conjunto es ´x = 12 y la desviación estándar es s = 2.2994. es el siguiente: Un valor estandarizado z = 1 significa una distancia a partir de la media aritmética igual a una desviación estándar a la derecha. Ingeniera Jessica Liset Martínez 106 .derecha del cero y el signo negativo significa que está a la izquierda. lo cual se consigue utilizando la fórmula: x−´x z= s En donde: z = dato estandarizado o normalizado z x = valor nominal del dato a estandarizar x ´x = media aritmética del conjunto de datos x s = desviación estándar.2994. los datos pertenecientes a una distribución normal se pueden estandarizar o normalizar. Un valor estandarizado z = . s Ejemplo 1: Convertir cada uno de los datos nominales de la siguiente tabla a datos estandarizados. se requiere calcular la media de todo el conjunto. ESTANDARIZACIÓN DE DATOS Por lo dicho en el párrafo anterior. por lo que se omiten sus cálculos. La media es y la desviación ´x = 12 estándar es s = 0.2 significa una distancia a partir de la media aritmética igual a dos desviaciones estándar a la izquierda.2994 Se tienen ya todos los datos para utilizar la fórmula del dato: x−´x z= x f xf Dato z s 6 1 6 7 2 14 8 3 24 9 5 45 10 9 90 11 15 165 12 18 216 13 15 195 14 9 126 15 5 75 16 3 48 17 2 34 18 1 18 88 El significado. Con los ejemplos venideros se aclararán esos significados. una distancia de 4. Para este caso ya se da por hecho que se sabe calcular la media y la desviación estándar. es decir una distancia de 2. también llamado dato z.5988. es decir. para una desviación estándar. es posible obtener el porcentaje de área bajo la curva entre la media y cualquier valor estandarizado z. el otro 50% está en la parte derecha. La tabla de áreas bajo la curva. Por lo tanto.13% aproximadamente. para dos desviaciones estándar el porcentaje de datos entre la media y z = 2 es también aproximadamente de 47.1 Áreas Bajo la Curva Normal En una curva normal.65 y la desviación estándar s = 2.13% respecto del área total que puede haber bajo la curva.1 Solución: Ingeniera Jessica Liset Martínez 107 . Ejemplo 2: Al recolectar 250 datos. obviamente.3. si al dato nominal x= 6 le corresponde un dato estándar z = . significa que ese 6 se alejó de la media 2.24. es del 47. es obvio que esos porcentajes de áreas bajo la curva también lo son para dichos datos. Y así con cada uno de los datos nominales.72%. de los valores de z normalizados. se obtuvo que la media es ´x = 7. en anexo 1. es decir desde z = 0 hasta z = 1. Calcular el número de datos aproximados que hay entre la media y el dato nominal x = 8. ya sea a la izquierda o a la derecha.Ahora bien. el área bajo la curva desde el extremo izquierdo hasta la media. Como la curva normal sale de graficar los datos recolectados.72%. ya sea a la izquierda o a la derecha. Esto último es muy importante: Debe tomarse en cuenta que los valores mostrados en la tabla son siempre desde la media hasta el valor estandarizado z.2. es decir. el área bajo la curva desde la media hasta dos desviaciones estándar. es del 50% y. Una característica importante de la curva normal y de los datos normalizados es que el área bajo la curva desde la media hasta una desviación estándar. hasta el eje de simetría.609.2. Gráficamente: 5. De la misma forma. es decir desde z = 0 hasta z = 2. siempre es del 34.609 desviaciones estándares a la izquierda. el porcentaje de datos entre la media y z = 1 es de 34. es decir. lo cual se ha concentrado en una tabla. Hay que convertir el valor nominal x= 20. se busca en la tabla el valor de z = 0.82.20 s 2.8. se obtuvo una media de 27 y una desviación estándar s=5. o 300 datos.34 Ingeniera Jessica Liset Martínez 108 .93 de donde el número de datos es nd.65 z= = =0. De manera que lo correcto es redondear y expresarlo no como que “es igual”. x−´x 8. con la fórmula: x−´x 20−27 z= = =−1.93 nd= =19.82 100 El número datos en forma calculada es nd = = 19. 250 ×7.20. El valor que le corresponde de 7.65 y el dato nominal de 8.24 Se toman solamente dos decimales porque así vienen en las tablas.93% es el porcentaje de área bajo la curva entre la media y el dato z = 0.20. ´x = Ejemplo 3: Al recolectar 850 datos con una distribución normal.2 y en la primera fila de la tabla el 0. A continuación. pero no una fracción de ellos.1 con la fórmula de z. pero jamás 291. porque se recolectan 200 datos.82 datos nominales. pero como ese porcentaje también corresponde a los datos recolectados.1.En este caso el enunciado proporciona los valores de la media y de la desviación están-dar.31 s 5. Entonces. para lo cual se localiza en la columna de la izquierda el valor z = 0. o 220 datos. Entonces entre la media aritmética y el dato z = 0. pero ese valor carece de sentido ya que los datos recolectados siempre son números enteros. La solución entonces se expresa así: Hay aproximadamente 20 datos entre la media de 7. Calcular el número de datos aproximados que hay entre la media y el dato nominal x= 20. o hay 19 o hay 20.1−7. hay que estandarizar el valor nominal x = 8. entonces puede obtenerse por una simple regla de tres el número de datos nominales comprendidos en esa región: 250 nd = 100 7.34.20 no pueden haber 19. La celda intersección de la columna con la fila es el valor del área bajo la curva que se busca. Solución: En este caso el enunciado proporciona los valores de la media y de la desviación están-dar. sino como “aproximadamente”. pues por una lógica muy elemental se puede deducir que el área total es igual a la suma del área 1 más el área 2.2 Porcentaje Entre dos Datos Nominales Otro problema que puede presentarse es cómo obtener el porcentaje de área bajo la curva ya no a partir de la media. le corresponde un porcentaje de área de 40. se encuentren del mismo lado respecto de la media. en donde A 1 es el área desde la media hasta el dato estandarizado z 1.16 100 Hay aproximadamente 344 datos entre la media y el dato nominal. Como se muestra en la figura. como se ve en la figura. De tal manera que el porcentaje de datos entre z1 y z2 es la resta de porcentajes bajo la curva de cada uno. la cual se obtiene de la tabla.En este caso el valor de z es negativo. 5.49 de donde el número de datos es nd. consistente en que ambos valores estandarizados.3. La solución a éste nuevo problema es muy simple.49%. 850 nd = 100 40. Ingeniera Jessica Liset Martínez 109 . lo que significa que el dato nominal x= 20 está a la izquierda de la media aritmética.3. Mientras que A2 es el área desde la media hasta el dato estandarizado z2. 850 × 40. Otra opción que puede presentarse es la que se muestra a continuación.2.49 nd= =344. sino entre dos datos nominales. pero en las tablas se busca simplemente como z=1. Hay dos opciones: La primera es que los datos estandarizados z 1 y z2 se localicen uno a la izquierda y el otro a la derecha de la media. en la que también por una lógica muy elemental puede deducirse que el área total es simplemente la resta del área 1 menos el área 2. se obtuvo una media de ´x = 33.Ejemplo 4: De un conjunto de datos con una distribución normal.4 9.9. el porcentaje total de área bajo la curva es la suma de ambas.04 z 2= =1.2 45−33.2. y una desviación estándar s = 9.9 8. como se mostró anteriormente.44% AT = 87.93% A2 = 39.4. Solución: Estandarizando ambos datos nominales y localizando en las tablas el porcentaje de área bajo la curva que a cada uno le corresponde se obtiene que: x− x´ x− ´x z 1= z 2= s s 53−43. Calcular el porcentaje de área bajo la curva que hay entre el dato nominal x1 = 53 y el dato nominal x2 = 68.37% Ejemplo 5: De un conjunto de datos con una distribución normal.93% + 39.9 A1 = 36.44% Como z1 es negativo significa que su región o porcentaje de área está a la izquierda de la media y como z2 es positivo. se obtuvo una media de ´x = 43. La suma de los porcentajes de áreas es el porcentaje total de área buscado: AT = 47.10 z 2= =2.2 z 1= =−2.2 68−43.2 y una desviación estándar s = 8. Solución: Estandarizando ambos datos nominales y localizando en las tablas el porcentaje de área bajo la curva que a cada uno le corresponde se obtiene que: x− x´ x− ´x z 1= z 2= s s 14−33.25 9.78 8. Por lo tanto.73% El porcentaje total de área bajo la curva es la resta de ambas: Ingeniera Jessica Liset Martínez 110 . su porcentaje de área está a la derecha de la media.2 z 1= =1.43% A2 = 49.4 A1 = 47. Calcular el porcentaje de área bajo la curva que hay entre el dato nominal x1 = 14 y el dato nominal x2 = 45. A = 49.43% A = 13.73% – 36.3% Ingeniera Jessica Liset Martínez 111 . 8212. Supongamos que queremos calcular P{ Z ≤ 0. Por lo tanto P{ Z ≤ 0.92}= 0.9) y la columna correspondiente a la segunda cifra decimal (es decir 0. La intersección de esa fila y esa columna nos indicará el número buscado.92}.Tablas Estadística Aplicada a la Educación Uso de la tabla de la distribución normal típica Sea Z una variable aleatoria con distribución normal típica 1) Busca de la función de distribución de un número positivo. Ingeniera Jessica Liset Martínez 112 . figura 1 Obtendremos la respuesta buscando en la tabla normal (para ello buscamos la fila correspondiente al número truncado en su primera cifra decimal (es decir 0. 2) Cálculo de la función de distribución de un número negativo.02). Dicha probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 1. representada en la figura 5 Ingeniera Jessica Liset Martínez 113 .53 no figura en la tabla. Simplemente hay que tener en cuenta que. pero eso no nos impide calcular la probabilidad en cuestión. Dicha probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 3.Tablas Estadística Aplicada a la Educación Supongamos que queremos calcular P{ Z ≤-1.53}.53} La probabilidad que figura en el segundo miembro de la ecuación está representada en el área sombreada en la figura 4: figura 4 Dicha probabilidad es la complementaria de la probabilidad P{Z ≤ 1. figura 3 El número – 1. por la simetría de la campana de Gauss se tiene: P{Z -1.53}.53}= P{Z >1. Tablas Estadística Aplicada a la Educación figura 5 Es decir: P{Z ≤1.62}. por lo tanto: P{ Z ≤ -1.41 < Z ≤ 1.9370 y. Ingeniera Jessica Liset Martínez 114 .53} = 0.53} = 1 . Esta probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 7.53}= 1.0630 3) Cálculo de la probabilidad de que la normal típica caiga entre dos valores dados.53}=1. Supongamos que queremos calcular P{0.53} simplemente vamos a la tabla y procedemos como en el caso 1: De aquí obtenemos P{Z ≤ 1.P{ Z ≤ 1.0.53}= P{ Z > 1. Para hallar P{Z≤1.9370 = 0.53}+ P{Z >1. 41}.62}. figura 8 figura 9 Ingeniera Jessica Liset Martínez 115 .= P{ Z ≤ 1. respectivamente.41 < Z ≤ 1.Tablas Estadística Aplicada a la Educación figura 7 Dicha probabilidad se puede calcular como P{ 0.P{Z ≤ 0. El minuendo y el sustraendo están representados por las áreas sombreadas en las figuras 8 y 9.62}. 62} = 0.3 < X ≤ 3.5) /2 }= P{0. Por lo tanto: P{ 0.2883.Estadística Aplicada a la Educación Tablas La busca en la tabla nos da los valores: P{ Z ≤1.3 .2089 figura 11 Ingeniera Jessica Liset Martínez 116 . Supongamos que queremos calcular P{2.1 } – P{ Z ≤ 0. P{2.3 < X ≤ 3.9474.41} = 0.6554 = 0.7-1. figura 10 Para calcular esta probabilidad. Donde X es una variable aleatoria normal con parámetros µ=1.5) /2 < (X-1.7} = P{0. restando µ y dividiendo entre σ : P{2.0.4< Z ≤ 1. .7-µ) / σ } = P{(2. 4) Cálculo de la probabilidad de que un normal con parámetros cualesquiera caiga entre dos valores dados.µ) / σ < (X-µ) / σ ≤ (3.4< (X-µ) / σ ≤ 1.= 0.7} = P{(2.4 } = 0. y P{Z ≤ 0.8643 .5 y =2 Esta probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 10.1 } = P{ Z ≤ 1.1 } la variable Z= (X-µ) σ tiene distribución normal típica.5) /2 ≤ (3.3 < X ≤ 3.62}.6591 .6591= 0. llevamos la variable X a una normal típica.3-1.7}.41 < Z ≤ 1. La probabilidad que se quiere calcular es igual al área sombreada en la figura 11: La resolución del problema se reduce entonces a lo explicado en la parte 3.0.9474 . Ingeniera Jessica Liset Martínez 117 . para cada valor de z. el área que queda a su izquierda. 1) La tabla proporciona.Estadística Aplicada a la Educación Tablas TABLA I (A) DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0 . 1) La tabla proporciona.Estadística Aplicada a la Educación Tablas TABLA I (B) DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0 . para cada valor de z. el área que queda a su izquierda. Ingeniera Jessica Liset Martínez 118 . Estadística Aplicada a la Educación Tablas TABLA II DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0 . Ingeniera Jessica Liset Martínez 119 . 1) La tabla proporciona el área que queda comprendida entre 0y z. Estadística Aplicada a la Educación Ingeniera Jessica Liset Martínez 120 Tablas . Estadística Aplicada a la Educación Ingeniera Jessica Liset Martínez 121 Tablas . Facultad de Ingeniería.com/category/distribucion-normal/ Documentos: Probabilidad y Distribuciones de Probabilidad. Escotet. http://cms.50webs.pdf Libros: ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA. Métodos Estadísticos aplicados a las Ciencias Sociales. Estadística.unal.ar/academico/materias/verano2014/probabilidades_y_estadistica_C/tabla_ tstudent. S (2005): Aproximación a la Estadística desde las Ciencias Sociales. R.itch. Miguel.virtual.com/doc/37268578/Distribucion-muestral-3#download http://www. http://iies. Murria Otros materiales entregados por la maestra.uv.ula.faces. ANDERSON -SWEENEYWILLIAMS.edu. Serie Schaum Spiegel M.edu. Estadística para Ciencias del Comportamiento.pdf Zavrostsky.html http://matematica1.org/Apuntes/Ejercicios%20Parte%20II. Estadística.co/cursos/ciencias/2001065/html/un3/cont_305_83. Héctor Hernández Primitivo Reyes Aguilar. Estadística General.uba. Estadística Psicoeducativa Trillas. Teoría y Problemas. Venezuela.es/carrascs/PDF/aproximacion%20estadistica. Revista de Economía. Garret. A: Varias definiciones de la Estadística. Carrasco Arroyo.pdf http://juancarlosvergara. Haber y Rynion.http://www.ve/Revista/Articulos/Revista_02/Pdf/Rev02Zavrotsky.html http://es. 10ª EDICION INTRODUCCION A LA ESTADÍSTICA. Henry H. Valencia. España. Elorza.pdf Ingeniera Jessica Liset Martínez 122 . Universidad de Los Andes. Haroldo.scribd. Estadística en Psicología y Educación. Stanley/Glass. LINCOLN L. Enero 2009. Spiegel.mx/academic/industrial/estadistica1/toc. CHAO.Estadística Aplicada a la Educación Tablas BIBLIOGRAFÍA Sitios Web: http://www.dm. En este módulo es importante entender algunos conceptos básicos antes de seguir adelante. Construye la estructura de la matriz de datos en la cual se volcaría la información recogida. B. 2. que sintetizan los principales aspectos del módulo. Fundamenta. Menciona el nivel de medición de cada variable. 4. 3. asistidos por la docente responsable de dicha práctica. Identifica el nivel de medición. desarrollándola de forma grupal e individual. . Explica la diferencia entre Estadística Descriptiva y Estadística Inferencial. ¿Qué relación hay entre las unidades de análisis y la población? 6. Distingue entre población y muestra. Responde las preguntas y realiza las actividades siguientes. ¿Cuál es la diferencia entre Estadística y Estadísticos? 2. y su tipo de contratación. 3. EJERCICIOS I PARTE: A. procederán a la lectura de la guía propuesta. Utilizar los distintos tipos de gráficos para presentar la información en estudio. Piensa ejemplos de Estadísticos que puedan resultar útiles para aplicar en el campo de las relaciones laborales. deben cumplir para ser elegidos en el sistema público. Identifica las variables que se corresponden con esas características y el sistema de categorías que les asignarías. Imagina qué características podrían ser de interés estudiar. durante el tiempo determinado y asignado al desarrollo de las horas prácticas dentro y fuera del aula. con ayuda de la docente. Cita ejemplos de estudios para los cuales sea factible trabajar con toda la población (censo) o con muestras. Elaborar distribuciones de frecuencias según los pasos discutidos en clases. OBJETIVOS Reforzar los conceptos básicos de estadística descriptiva. Se quiere realizar un estudio para conocer el perfil que los docentes. después de haber discutido y estudiado los temas de estadística descriptiva. Piensa ejemplos de variables con sus sistemas de categorías.UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADÍSTICA APLICADA A LA EDUCACION GUÍA DE PRÁCTICA Nº 1 TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1. 1. 5. METODOLOGÍA Los estudiantes. . si la variable es Cualitativa o si es Cuantitativa en ( discreta – continua) a. l) Grado de interés del entrevistado en asuntos políticos.Estado de salud de una persona. b. e) Percepción que tiene el médico del mejoramiento de un paciente. d. g) Tipo de cáncer que se diagnostica..Analgésico que toma una persona para aliviar un dolor de cabeza. Para cada una de las siguientes variables determine los valores.00 a. c) Tiempo transcurrido desde el nacimiento hasta el momento de la toma del dato. e. Identifique el Tipo de Variables en Cualitativas ( nominal – ordinal ) – Cuantitativas. k) Número de piezas defectuosas por hora. Variable Categorías Escala de medición Nivel educativo Ninguno Primaria Secundaria Terciaria Nivel 0 año aprobado educativo 1 año aprobado 2 años aprobados Categoría de Patrón ocupación Empleado público Empleado privado Cooperativista Trabajador por cuenta propia Trabajador familiar no remunerado I PARTE: 1. i) Temperatura medida a las 6. (discretas y continuas ) a) Genero ( sexo ) de la persona . de acuerdo al sistema de categorías que se les ha asignado. g. f. b) Color de ojos de la persona. 2..C. f) Longitud del cuerpo humano.. c.Temperatura corporal de una persona con gripe.. d) Número de hijos en la familia.Número de llamadas que recibe un conmutador.Precio de una calculadora científica.m. m) Longitud recorrida desde la casa. sin usar zapato..-Número de transacciones realizadas al día en cierto cajero automático . h) Nombre del periódico matutino que se lee.Monto de una compra al contado que se hace en una tienda. Identifica las escalas de medición de las siguientes variables.. j) Volumen de llenado de la botella de leche. . o... Mar Campo Montañ a Montañ a Montañ a Campo Camp o Mar Mar Mar Camp o Mar Ma r Ma r Ma r Montañ a Mar Camp o Mar Montañ a Campo Campo Camp o Montañ a Ma r Ma r Ma r Camp o Camp o Mar .Tipo de complicación que padeció un bebé al momento de nacer.Intensidad con que siente una persona un dolor de cabeza. En una empresa ganadera se han pesado los animales y se han obtenido los siguientes datos. Tamaño Pequeño Mediano Grande Nº de animales 4 6 10 a) Clasifique la variable Tamaño.700 los animales pesa más de 400? c) ¿Qué porcentaje de los animales pesa como mínimo 600 kilos? d) Construya un histograma con la información de la tabla...Posible causa de alta temperatura en una persona. j.h.. Se realizó un estudio en 20 perros..Nivel de ansiedad de una persona medido por una prueba estandarizada. 3.-Fecha de nacimiento de una persona.. p.. n.grado de toxicidad del veneno de una araña. ñ.Consumo diario de agua que hace una persona.Tiempo de préstamo de cierto libro otorgado a un estudiante.500 los animales pesa entre 500 500 600 10 y 600? 2 b) ¿Qué porcentaje de 600 .Posible presencia de parásitos en un paciente que presenta problemas digestivos.400 1 2 a) ¿Qué porcentaje de 400 . m. b) ¿Qué porcentaje de los animales es de tamaño pequeño? c) Grafique la información en un gráfico de barras 4.Severidad de las quemaduras en una persona rescatada de un incendio. k.Tipo de cirugía a la que es sometido un paciente en cierto hospital. Peso (Kgs ) Nº de animales 300 . i. 5. Los siguientes datos corresponden a los lugares favoritos de vacaciones de los empleados de un empresa. l. La siguiente tabla muestra su distribución según tamaño. ll. En una gran compañía. Los resultados fueron: 5 6 7 5 6 6 4 7 6 6 4 6 6 4 5 5 3 5 3 7 4 5 4 7 7 5 6 4 5 5 4 5 5 5 7 8 9 4 5 6 a) Construya una tabla de distribución de frecuencia para dichos datos. FORD = F CHEVROLET = CH MAZDA = M VOLKSWAGEN = V NISSAN = N OTROS = O..Campo Montañ a Camp o Mar Ma r Montañ a Mar Montañ a Ma r Camp o a.Construya un gráfico para este tipo de tabla 6.¿Qué porcentaje de los trabajadores prefieren el mar? d.. seleccionadas aleatoriamente. 1. se está desarrollando un programa para ofrecer a los trabajadores una prestación que les permita adquirir un automóvil nuevo a un costo moderado tanto para el trabajador como para la empresa... F CH CH F M CH F CH CH O V F N CH CH CH F CH V V N CH CH N M M O V F F CH CH N F CH V V V CH V M V CH CH V N O V F M CH V V M CH CH CH O V M a.De la tabla saque tres conclusiones. El gerente de recursos humanos realiza un muestreo aleatorio simple en la nómina de la empresa: selecciona 60 trabajadores sin importar los niveles..¿Cuántas colaboradoras durmieron 8 horas noche anterior? 2.. el contrato de arrendamiento implica decidir qué tipo de automóvil prefieren los trabajadores... y les aplica una encuesta en la cual les pregunta cuál sería la marca de su preferencia. 7..¿Qué porcentaje de las colaboradoras durmieron entre 3 y 7 horas la noche anterior? 5. A continuación se presentan los resultados.¿Qué porcentaje de los trabajadores prefiere la montaña? c. Se pidió a 40 colaboradoras casadas de una empresa textil. b..¿Cuántas colaboradoras durmieron entre 3 y 6 horas la noche anterior? 4. que dijeran el número de horas que habían dormido la noche anterior. b. b) Con los datos de la tabla conteste las siguientes preguntas..Construya un gráfico para este tipo de tabla.¿Qué porcentaje de las colaboradoras durmieron 6 horas noche anterior? 3.. c. Sin embargo. pues en función de esto se podrá seleccionar la mejor empresa arrendadora.Construya una tabla de Distribución de Frecuencia para dichos datos. Considere la siguiente situación.Construya una tabla de distribución de frecuencias para este tipo de datos.¿Cuántas colaboradoras durmieron 7 y más horas la noche anterior? . .30 1 a. Abs.12 74 12 .. 10.15 Frec.¿Cuántos estudiantes dedican menos de 18 horas semanales al trabajo? c.. En un estudio se le preguntó a 381estudiantes de tiempo completo de cierta Universidad y que trabajan. en una muestra de 50 estudiantes.9 83 9 . Relativa Frec. Acu Frec.¿Cuántos estudiantes obtuvieron entre 504 y menos de 548 puntos? b.¿Cuántos estudiantes obtuvieron menos de 680 puntos? d.. Absoluta Frec.. 8.¿Cuántos estudiantes obtuvieron 636 puntos y más? f.¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo menos de 504 puntos? e. 331 535 526 462 675 625 573 715 539 489 450 370 430 581 460 519 760 372 468 613 730 328 333 755 789 427 612 405 440 390 640 569 710 629 544 619 592 777 810 632 690 674 381 670 487 409 438 461 570 465 a. Intervalos Marca Clase Frec. Intervalos 3 - Marca Clase Frecuencia Relativa 0.Construya un gráfico para este tipo de tabla.27 8 27 .18 36 18 . Acumulada .21 26 21 . Y se obtuvo la siguiente información. a) Completar la distribución de frecuencias.¿Cuántos estudiantes dedican 18 horas y más al trabajo? f.3 5 3 . Rel.Construya un gráfico para este tipo de tabla. b) Graficar el histograma de porcentajes.Complete la tabla de distribución de frecuencia.. Acu 0 .24 16 24 .. b:.c) Construya un gráfico para este tipo de tabla.15 55 15 .¿Qué porcentaje de los estudiantes dedican entre 15 y menos de 18horas semanales al trabajo? d.6 77 6 .¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo entre 680 y menos 724 puntos? c. cuántas horas a la semana dedican a un trabajo asalariado.. Las notas del examen parcial de matemática dieron la siguiente distribución de frecuencias. con los puntajes obtenidos en la Prueba de ingreso Universitario. 9. Relat.. Construya una tabla de distribución de frecuencias ..¿Qué porcentaje de los estudiantes dedican menos de 21 horas semanales al trabajo? e.. 70 13. Escoger al azar a conductores de automóviles en las intersecciones más concurridas.45 0. Nivel de zinc en la sangre (Ug/dl) Cantidad de Varones 50 19 6 60 69 35 70 79 110 80 89 116 90 99 91 100 109 63 110 119 30 120 . 4 4 Diseñada por profesor Carlos Flores Carvajal . 12. Se desea saber si los dueños de automóviles catalíticos están dispuestos a pagar la conversión de sus motores a gas natural. A continuación aparece una distribución de frecuencias de los niveles de zinc en la sangre en hombres entre las edades de 15 y 17 años de edad. Escoger al azar del registro de vehículos motorizados a dueños de automóviles catalíticos y enviarles un encuestador. señala las ventajas y desventajas de cada alternativa.10 11. VARONES ESTADOUNIDENSES. Señala 4 áreas distintas en las cuales se utilice la estadística como herramienta de investigación.6 - 0. a) Determina cuál de las siguientes es la mejor muestra: Escoger al azar a adultos que caminan por el centro de las principales ciudades del país. ¿Qué concluye usted acerca de la distribución de niveles de zinc en la sangre? b) Diseñe un histograma de los datos. b) Explica la razón de tu elección. 129 5 130 139 2 140 149 2 150 159 2 a) Calcule la frecuencia relativa asociado a cada intervalo de la tabla.5 0. Para ello se decide realizar una encuesta. c) ¿cuáles son las variables en la encuesta? ¿A qué tipo de variables corresponden? 13. DE 15 A 17 AÑOS DE EDAD. Clasifique estos datos en una distribución de frecuencias agrupada utilizando las clases 15-20. Obtenga el primer y tercer cuartil e. Realizar el análisis y comparación de los distintos cálculos de medidas. Elabore un pequeño informe con los resultados obtenidos. 50-55. METODOLOGÍA Los estudiantes.. desarrollándola de forma grupal e individual. OBJETIVOS Practicar el uso de las distintas fórmulas de las medidas de tendencia central y dispersión. con ayuda de la docente.En mayo pasado se aplicó una encuesta a 32 estudiantes de UTN. procederán a la lectura de la guía propuesta. c. En una calle de la ciudad se midieron con radar las velocidades de 55 automóviles: 27 23 22 38 43 24 35 26 28 18 20 25 23 22 52 31 30 41 45 29 27 29 28 27 25 29 28 24 37 28 29 26 33 25 27 25 34 32 36 22 32 21 23 24 18 48 23 16 38 26 21 43 18 33 23 a..5 . Los resultados son los siguientes: 0 0 1/2 1 2 0 3 2 . EJERCICIOS I PARTE: Tendencia Central 1. Fomentar el uso de medidas de tendencia central y dispersión en el análisis de información.. Obtenga las distintas medidas de tendencia centra: Media mediana moda d. después de haber discutido y estudiado los temas de estadística descriptiva. Obtenga las distintas medidas de variabilidad: La varianza el desvío estándar de la muestra f. 2. 2. A cada estudiante se le preguntó :"¿cuántas horas de televisión vio ayer?". 3. durante el tiempo determinado y asignado al desarrollo de las horas prácticas dentro y fuera del aula. 20-25 . b. Encuentre el ancho de clase. asistidos por la docente responsable de dicha práctica.UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADÍSTICA APLICADA A LA EDUCACION GUÍA DE PRÁCTICA Nº 2 TEMA: ANALISIS ESTADISTICO 1. Ejercicios Tema: medidas de dispersión 1) Calcular todas las medidas de dispersión para la siguiente distribución X 5 10 15 20 25 i ni 3 7 5 3 2 2) Calcular todas las medidas de dispersión para los datos de la siguiente distribución x 0– 100– 200– 300100 200 300 800 n 90 140 150 120 3) Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros de producción. 6.000 m² menos que B ¿Cuál es la media y la varianza de la producción mensual de C? . La media . e. Encuentre la media. con una desviación típica SA = 15. ¿Cuáles son las marcas correspondientes? d. 6. Encuentre la variancia y el desvío. se hace un estudio de los m² de azulejo producidos al mes durante el año pasado.000 m² . 8. h. 8. por tener un horno menos que B. Clasifique estos valores en una distribución de frecuencias agrupadas b. ¿Cuál es la forma del histograma producido por estos datos? e. 11. 4. el más grande y moderno. produce cada mes 25. por tener maquinaria más anticuada que A. y que el centro C. 7. d. Se pidió a 15 estudiantes de universidad seleccionados aleatoriamente.5 5 0 1 2.5 2. ¿Cuáles son las fronteras de estas clases? c. i. El desvío.5 1 0 0 1. Obtenga lo siguiente: a. Los datos resultantes fueron 5. En el centro A. Se sabe que el centro B. b. Elabore un pequeño informe con los resultados obtenidos. 7. 7. g.5 0 4 0 2 0 2 a. 8. La mediana . 5. 7.5 1. Encuentre la mediana.5 6 0 1 2. obteniéndose una media de producción mensual m² . f. 3.5 2 0. La variancia. Interprete los resultados obtenidos elaborando un pequeño informe. f. produce cada mes un tercio de la producción de A. Encuentre la moda. 6. 9. c.0 2. que dijeran el número de horas que habían dormido la noche anterior. La moda. 12. ¿Cuál es la relación entre la desviación típica de ambos conjuntos? ¿Y entre las medias? 6) Tenemos una variable X de la que sabemos que: CV = 0.AA.5 y que Sx = 3. 7) El coeficiente de variación de la variable X sabemos que es 1 ¿Qué podemos decir sobre su media y su varianza? 8) Tenemos dos variables X e Y con el mismo recorrido y media. 6. 11.56 31.999 para las comunidades autónomas de Aragón y Canarias.35 29.4) Sumando 5 a cada número del conjunto 3. ¿Para cuál de las dos variables el valor de la media es más representativo? 9) Sea una variable con media 8 y desviación típica 0. 7.63 28.97 8. Compáralas. ¿Qué se puede afirmar sobre el comportamiento de esta variable?.14 15. obtenemos 8.99 35. 10) La distribución de edades del Censo Electoral de Residentes a 1 de enero de 1. ¿Qué conclusiones obtienes a la vista de los histogramas? b) Calcula la edad mediana para las dos comunidades. en miles de pesetas de una industria del sector cerámico: . 7 y 5 por 2 y sumando entonces 5. ¿Cuál es el valor de la media de X?. 1. (emplea distinto trazo o distintos colores). 5. en tantos por cien es la siguiente: Edades 16–18 18–30 30–50 50–70 70–90 Aragón 3.12 Canarias 4. Probar que ambos conjuntos de números tienen la misma desviación típica pero diferentes medias ¿cómo están relacionadas las medias?.En el siguiente histograma se representa la distribución de los salarios (variable X).48 a) Representa sobre los mismos ejes de coordenadas los histogramas de la distribución de la edad para las dos CC. 19 15. obtenemos el conjunto 11. 2. 17.21 21. 9 7. 1. 10. 5) Multiplicando cada número 3. 2. 6. 6. ¿Qué indican estos resultados? c) Qué comunidad tiene mayor variabilidad en la distribución de su edad? 11).54 21. siendo sus varianzas 4 y 9 respectivamente. 7. Mo = 5 . moda y coeficiente de variación c) Sueldo mínimo del 20% de los empleados con mayor sueldo.000 ptas.6.000 ptas. . . Determinar estas medidas para la distribución yi = xi + 10 . Determinar estas medidas para la distribución: . y obtengo: Días de estancia 1 2 3 4 5 8 15 Nº de coches 23 12 7 10 3 2 1 a) Calcula el número medio de días de permanencia y una medida de su representatividad b) ¿Cuantos días como máximo permanecen en el taller el 75% de los automóviles. la moda y la varianza de la distribución. . 13) En un taller de reparación de automóviles recojo datos sobre los días de permanencia de los vehículos a reparar en él. ¿Qué empresa tiene un sueldo medio más representativo? Razona la respuesta. ¿Qué porcentaje de la nómina corresponde a este grupo. 16) Sea una distribución con las siguientes características . d) De los sueldos de otra empresa también perteneciente al sector cerámico se sabe que el sueldo medio de sus trabajadores es de 120.5 y que la mediana de los sueldos es de 125. sabiendo que la media aritmética es 3. que menos permanecen en el taller? c) Calcula la mediana y la moda 14) Sea una distribución de frecuencias con las siguientes características 30. . 12) Al lanzar 200 veces un dado se obtuvo la siguiente distribución de frecuencias x 1 2 3 4 5 6 n a 32 35 33 b 35 Hallar la mediana. . Mo = 5. con una varianza de 0. n= 15) Sean X e Y tales que .Fre cuen cias r elativas Variable X (m ar cas de clase) Conforme a esta información determinar a) Tabla estadística de frecuencias b) Salario mediano. Sabiendo que yi = axi + b determinar los valores de estas dos constantes a y b y que a>0.. Me= 6. 85 21. para un 25% de los niños del centro. deberá tener un niño como mínimo para ser considerado dentro de ese grupo de elegidos? e) Se van a preparar unas clases de apoyo.55 24.65 32.I.6 a) ¿Por qué ni la media ni la desviación típica son medidas apropiadas de centralización y de dispersión.35 35.I.95 29. c) Si una madre afirma que exactamente la mitad de los niños del colegio tienen un C.05 . b) ¿Qué medidas de centralización y de dispersión deben utilizarse en su lugar? III PARTE: REFORZAR 1) El siguiente cuadro muestra la distribución de la renta anual (en miles de soles) en que incurren 50 viviendas: Marca de Clase 18. respectivamente.000–40.500 2.I. medio de los niños estudiados b) Su desviación típica.I. para esta distribución?.0000–10.I. superior al de su hijo.2 13. deberemos considerar en estas clases? 18) La tabla siguiente recoge la distribución (en porcentajes) de volúmenes de ventas anuales en las empresas cerámicas de la provincia durante el año pasado: Ventas (dólares) menos de 2.. ¿qué C.I.000 5.I.500–5.17) La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de 480 niños de una escuela elemental.000 10. ¿Qué C.8 0.I.000–100.000–250.000 40. pero que el psicólogo solo puede atender al 15% de los niños del centro.000 250.5 1.25 26. C.0 14.000–500. tiene el niño? d) Supongamos que se quieren hacer estudios sobre el proceso de aprendizaje de los niños con mayor C.7 11.000–20. 70 74 78 82 86 90 94 98 ni 4 9 16 28 45 66 85 72 10 2 54 10 6 38 110 114 118 12 2 27 18 11 5 126 2 Calcula: a) El C. precisamente para aquellos que tengan menor C.000 20.000 o más Empresas (%) 25.4 8.9 13.000 500.000 100. ¿Hasta qué niños de qué C.0 17. Posteriormente se verificó que la media usada tenía 4 cm de menos. b) Considera Ud. Los resultados se dan a continuación: 1 57 80 Puntaje obtenido por A Puntaje obtenido por B 2 55 40 3 54 62 Prueba 4 52 72 5 62 46 6 55 80 7 59 40 a) Halle e interprete la media. que en el distrito B. ii) Desviación estándar y coeficiente de variabilidad. el número de hijos por familia es más homogéneo que en el distrito A. De los expedientes presentados. b) Estadísticamente ¿Cuál de los candidatos debe ser contratado? Fundamente su respuesta. los cuales reúnen los requisitos mínimos requeridos. Rectifique los estadígrafos mencionados. en qué departamento se puede decir que la producción de papa es más homogénea . Calcule la nueva renta promedio. se han seleccionado 2 candidatos: A y B. con 1440000 de variancia. los miembros del Jurado deciden tomar 7 pruebas a cada uno de ellos. b) Estime el porcentaje de viviendas con rentas superiores o iguales a 26 000 soles pero menores que 32 000 soles. mediana y moda de los dos candidatos.N° de Viviendas 3 2 7 7 11 11 9 a) Halle e interprete según el enunciado i) Media. 2) Una compañía requiere los servicios de un técnico especializado. Para decidir cuál de los 2 se va a contratar. con variancia de 3600 para el departamento de Cuzco. mediana y moda para cada distrito e interprételos. 3) Se toman las medidas de 80 personas las que tienen estatura media de 1. 4) Una asistencia social desea saber cuál es el índice de natalidad en 2 distritos de Lima para lo que encuestó a 10 familias de cada distrito con los siguientes resultados A B 0 3 6 4 1 1 2 4 3 2 1 3 4 1 3 5 6 4 4 3 a) Calcule la media. mediana y moda.4 cm. 5) La producción de papa en Tn. mientras que para el departamento de Puno fue de 10 000 Tn. c) Si las rentas menores que 28 300 soles se incrementaron en 2 500 soles y las rentas mayores o iguales que 28 300 soles se redujeron en un 30%. fue de 4000 Tn.70 m y desviación estándar de 3. 6) El salario promedio en una ciudad es de 11 000 u. Ante un reclamo se decide subir en 5% más 5 puntos adicionales a todos los alumnos del curso A.m.m a todos b) Se aumenta el 15 % de su salario a cada trabajador c) Si se duplican los sueldos 7) En un examen 20 alumnos del curso A obtienen una media de 60 puntos. desviación estándar y coeficiente de variabilidad . ¿Cuáles serán la nueva media y la nueva variancia si se efectúan los siguientes cambios: a) Se aumenta 810 u. la mediana y moda e interprételos c) Calcule la variancia. Después de los mencionados ajustes ¿Cuál es el puntaje medio de los 50 alumnos? 8) Los siguientes datos pertenecen a la distribución de la producción de papas (en Tn. en cambio como hubo muchas copias en el curso B se decidió disminuir la quinta parte de la calificación. a) Reconstruya los intervalos de clase y obtenga las frecuencias absolutas b) Calcule la media.) en 40 zonas del país Y1´=20 f2-f5=2 Y5´= 100 f1=4 f3=20 Si se sabe que la distribución es simétrica y presenta 5 intervalos de clase.m. y desviación estándar de 20 puntos En el curso B los alumnos obtienen una media de 80 y desviación estándar de 16. con una variancia de 2 000 u. La orden de pedido de un automóvil puede especificar transmisión automática o estándar. Utilizando la regla de la multiplicación y el diagrama de árbol. cada mensaje se clasifica según llega o no dentro del tiempo establecido por el diseño del sistema. Utilice la regla de la multiplicación para conocer el espacio muestral formado por el experimento. Determinar los distintos ejemplos de combinación y permutación. En el diseño de la cubierta de un tren de engranes pueden emplearse cuatro tipos diferentes de sujetadores. asistidos por la docente responsable de dicha práctica. EL tema A contiene seis preguntas. y uno de cuatro colores: rojo. tres longitudes distintas de tornillo y tres posiciones diferentes de éstos. Fomentar el uso de técnicas de conteo y su aplicación en el medio. con ayuda de la docente. describa el conjunto de todos los pedidos posibles para este experimento. 4. procederán a la lectura de la guía propuesta. después de haber discutido y estudiado los temas de estadística descriptiva. azul. OBJETIVOS Utilizar las distintas técnicas de conteo vistas en clase. durante el tiempo determinado y asignado al desarrollo de las horas prácticas dentro y fuera del aula. con o sin aire acondicionado.UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADÍSTICA APLICADA A LA EDUCACION GUÍA DE PRÁCTICA Nº 3 TEMA: TECNICAS DE CONTEO 1. 2. Un examen de métodos numéricos está formado por tres temas. EJERCICIOS Técnicas de Conteo 1. utilice un diagrama de árbol para representar el espacio muestral de los posibles resultados. 3. Si se clasifican tres mensajes. 2. 3. De cuántas formas se pueden acomodar los libros si: a) los de historia siempre deben de ir juntos b) los libros deben de ir separados por materias 5. negro o blanco. METODOLOGÍA Los estudiantes. Una persona acomoda en un estante de una librería seis libros de filosofía. desarrollándola de forma grupal e individual. En un sistema de comunicación digital. el tema B cuatro y el tema C ocho preguntas y se tienen que contestar mínimo tres . cuatro de química y ocho de historia. y que el último dígito era un 3 o un 8. Un sábado. Un profesor de computación tiene 7 libros de programación diferentes. Regla del Producto y Permutaciones 1. ¿Cuántos trayectos puede hacer una persona del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A? (196) c. de los cuáles 3 son de JAVA y 4 de C++. ¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el viaje de regreso (del pueblo C al pueblo A) es diferente. Luisa y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil de la fachada de una joyería. No hay restricciones. ¿De cuántas formas puede una persona ir del pueblo A al pueblo C? (14) b. ¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía? (800) 2. María estaba segura de que la segunda letra de la placa era O o una Q. Todos los libros de JAVA deben estar juntos. calcula de cuántas maneras diferentes un estudiante puede elegir sus preguntas. al menos parcialmente. (3!5!) . Luisa dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dígito era un 7. pudieron dar a la policía la siguiente información acerca de la placa (dos letras seguidas de cuatro dígitos) del automóvil que huyó. a.preguntas de cada tema. cuando fueron interrogadas las dos jóvenes. (3!4!) c. (7!) b. Los lenguajes se deben alternar. como se muestra en la figura 1. cuando iban de compras. Aunque todo ocurrió muy rápido. están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido. De cuántas formas puede ordenar el profesor estos libros: a. de la ruta que toma una persona del pueblo A al pueblo C? (182) 1 5 2 6 3 A B 4 7 C 8 9 Figura 1.1. 6. B y C.1 3. a) ¿cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar con los números 0 a 9 si no se permite la repetición y el cero no puede ir al principio y los números formas pueden ser cualesquiera? b) Los números formados del inciso a) deben ser pares. Se quieren formar arreglos de cuatro cifras con los números 0 a 9. Tres pueblos. designados como A. justo antes de que sonara una alarma contra robos. (6!) b. como se muestra en la figura 1. En estas condiciones.4. Se tienen 7 personas para sentar en una mesa circular. 7.2 8. c. (12!/(4!4!2!2!)) Con la palabra SOCIOLOGICAL: a. ¿En cuántas de las disposiciones de la parte (a) están juntas todas las vocales? (7!/(2! 2!)*6!/(3!2!)) Doce platillos (con forma idéntica) se ordenan en cuatro columnas verticales. Todos los libros de JAVA deben estar juntos y todos los libros de C++ también.2. d. ¿En cuántas de las disposiciones de la parte (a) están juntas la A y la G? (11!/(3!2!2! 2!)*2!/(1!1!)) c. (5!*2) 9. Cada niño reciba tres libros. 3 azules en la segunda columna. . ¿Cuántas disposiciones hay de todas las letras de la palabra? (12!/(3!2!2!2!1!1!1!)) b. Para entrar al equipo de tiro de su universidad. Hay 4 de color rojo en la primera columna. En un computador los nombres de los archivos son palabras que tienen de uno a cinco caracteres. R A G B R A G B R A B R Figura 1. Los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores reciban dos libros cada uno. (12!/(3!3!3!3!)) b. De cuántas formas puedo sentarlas: a. También es posible añadir al nombre del archivo una extensión de archivo opcional. siempre debe romper el platillo que queda en la parte inferior de la columna. 5. De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro niños de modo que: a. t y u. Sin restricciones. cada carácter puede ser alguno de los 36 alfanuméricos (26 letras y 10 dígitos) o cualquiera de otros 15 símbolos determinados. (3!4! 2) Enumere todas las permutaciones de las a. Carlos debe romper 12 platillos (con su pistola y sólo 12 balas) y. ¿de cuántas formas puede disparar (y romper) y romper los 12 platillos? (12!/(4!3!2!3!)). 6. esta extensión se obtiene al escribir un punto y tres caracteres alfanuméricos. para esto. Si dos de las personas insisten en sentarse juntas. 2 grises en la tercera columna y 3 blancos en la cuarta columna. El computador no distingue mayúsculas de minúsculas. la cual es de tres caracteres alfanuméricos. (C(10. sin extensión? c.2) y verifique su respuesta enumerando todas las selecciones de tamaño dos que se pueden hacer con las letras a.4) + C(5.4) * 16 + C(10. decide llevar consigo 5 revistas de las 12 de su hermana.10) * 20) c.3)) 7. p. De la siguiente lista se eligen 4 números: -5.1) * C(4. sumando sus dígitos de 4.3)) b. e y f. Calcule C(6. ¿Cuántos nombres de archivo utilizan solamente los 36 caracteres alfanuméricos. b. (15) 3. Al menos ocho 1. ¿Cuántas permutaciones de tamaño dos pueden producirse con las letras m.4) * C(6.2) * C(10.3)) 5.1) * C(10. (C(10.1)) 6. 4.1) * C(9. (C(10. ¿Cuántos triángulos determinan estos puntos? (C(15. ¿Cuántos nombres de archivo utilizan extensiones? Combinaciones 1.2)) c. p. Se tiene un plano de 15 puntos. tres 1 y tres 2. a.2) * 18 + C(10. (C(10. -1. 2. de los cuales no hay tres alineados. La directora de un coro debe elegir 6 himnos para el acto cívico de su escuela. Cuatro 0.2) * C(10. Al menos un himno de cada libro.4)) b.2) * C(4.2)) b. ¿Cuántos de los nombres de archivo de la parte (b) comienzan con una A? d.3) * C(4.2) * 17) . 3. i y a? Enumérelas. no hay tres en la misma recta. o sea. Ella tiene tres libros de himnos. ¿Cuántas rectas determinan? (C(15. b. Diana debe hacer un viaje de cuatro horas en autobús de regreso a su escuela. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección de modo que el producto de los cuatro números sea positivo y los números sean distintos? (C(5.9) * 21 + C(10.3) + C(5. i y a. -4. De cuántas formas puede elegir los himnos si desea elegir: a. Se quieren obtener cadenas de longitud 10.2) + C(4. Sin restricciones. -3. -2. Responda: a. (12) b.1) * C(10. Dos himnos de cada libro.5)) 4. 1. (6) 2. c.3) * C(3. d.6)) b. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección de modo que el producto de los cuatro números sea negativo y los números sean distintos? (C(5.a. a.1) * C(27. Sin restricciones.8) * 22 + C(10. (C(10. (C(30. cada uno de los cuales contiene 10 himnos (en total hay 30 himnos distintos). ¿De cuántas formas puede Diana hacer su selección? (C(12. Enumere todas las combinaciones de tamaño dos pueden producirse con las letras m. Se tiene un alfabeto con los símbolos 0. Peso 4. Cuántas de estas tienen: a. 1 y 2. 3. b.” Figura 1. C = {haya exactamente dos niñas}. Exprese explícitamente los siguientes eventos: ocurran A o B. Una clase tiene 3 niñas y 2 niños. A ocurra o B no ocurra. ¿Cuántos símbolos tienen exactamente tres puntos en relieve? (C(6. C = {salen exactamente una cara y un impar}. En el sistema Braille. ¿Cuáles parejas de eventos A. c. ocurren B y C.5) + C(6.6)) b.6)) d.6)) 1 4 2 5 3 6 (a) (b) “c” (b) “m” (b) “t” (b) “.3 Espacios Muestrales 1..2) + C(6. Se quiere seleccionar tres alumnos. d. B = {salen un dos}.8. un signo de puntuación. ¿Cuántos símbolos tienen un número par de puntos relieve? (C(6. B y C son mutuamente exclusivas? 2.3)) c.4) + C(6. solamente ocurre B. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de Venn para el evento de que: a.5) + C(6.1) + C(6. solamente ocurre B. ¿Cuántos símbolos tienen al menos cuatro puntos relieve? (C(6. C = {salen un escudo y un impar}. Exprese explícitamente los siguientes eventos: A = {salen dos escudos y un número par}. ocurren B y C.3) + C(6. Exprese explícitamente los siguientes eventos: A = {salen cara y un número par}. una de diez centavos y un dado. a. Exprese explícitamente los siguientes eventos: ocurran A y B. d. b. a. Describa el espacio muestral S adecuado. ¿Cuántos símbolos diferentes podemos representar en el sistema Braille? (C(6. B y C son mutuamente exclusivas? 4. Exprese explícitamente los siguientes eventos: A = {todos sean niñas}. Describa el espacio muestral S adecuado para escoger tres alumnos de los 5 en total que hay. b. B = {al menos haya un niño}. . c. c. etc. B y C son mutuamente exclusivas? 3. Supongamos que lanzamos una moneda de un centavo. B = {salen un número primo}. ¿Cuáles parejas de eventos A. Supongamos que lanzamos una moneda y un dado. a. un sufijo. Sean A y B eventos. a. un símbolo. como una letra minúscula. se escribe resaltando al menos uno de los puntos de los 6 puntos que aparecen en la parte (a) de la figura 1.4) + C(6. Describa el espacio muestral S adecuado.4) + C(6. ¿Cuáles parejas de eventos A.2) + C(6. 5.b. De Cuantas maneras diferentes se puede planear el viaje si: a) El orden de las paradas es importante b) El orden de las paradas no es importante 5. ¿De cuantas maneras diferentes puede dejar estas 10 pinturas a sus 3 herederos? 9. B.5. ¿De cuantas maneras puede un Hotel comprar 4 de estos aparatos y recibir al menos 2 defectuosos? 8. c.5.. hay 3 que están defectuosos.7? 2..Una coleccionista de arte.-¿Cuantos números diferentes de seis dígitos se pueden formar usando todos los dígitos siguientes: 4.. Problemas de Técnicas de Conteo 1. a) ¿Cuantos tipos de productos distintos pueden codificarse? b) ¿Cuantos códigos empiezan con A y terminan con 9? c) ¿Cuantos códigos tienen al menos una A 4..¿De cuantas maneras se pueden formar en línea 5 personas para subir a un autobús?.El precio de un recorrido turístico por Europa incluye 4 sitios que visitar que deben seleccionarse a partir de 10 ciudades. ¿de Cuantas maneras diferentes puede repartir estos pasteles entre 6 centros de acopio? 10.4.Un equipo colegial juega 10 partidos de futbol durante una temporada.Seis personas van a jugar un juego de tablero en una mesa circular. ¿De cuantas maneras puede terminar la temporada con 5 juegos ganados. B ocurra pero no ocurra A. e. Si al final de un día dado. ¿De cuantas maneras se pueden formar en línea si 2 de las personas se rehúsan a hacerlo una detrás de la otra? 6. primero las letras y después los números. dueña de 10 pinturas de artistas famosos está preparando su testamento. C y D. en este juego es importante donde se sienta cada jugador en relación con el resto (quien queda a la izquierda de quien) y no en relación con la habitación (quien se sienta más al Norte) . Ocurra A o B. le quedan 12 pasteles de manzana.Entre 10 aparatos de televisión de un embarque. Ni A ni B ocurran. 4 perdidos y un empate? 7.En una fábrica los productos se codifican con 4 letras distintas y con 3 dígitos Distintos.... Donde ocurran A y B. pero no ambos..¿Cuantos comités diferentes de 3 Hombres y 4 Mujeres pueden formarse a partir de un grupo formado por 8 Hombres y 6 Mujeres? 3. una pastelería dona todo lo que no pudo vender a centros de ayuda para los necesitados..¿De Cuantas maneras se pueden sentar a jugar 6 personas? . Las letras utilizadas son A.Al final del día. d. anotamos su color. Extraemos dos bolas al azar.. una detrás de otra y sin devolverlas a la urna. Hallar la probabilidad de que las dos sean Negras. y de que lo meta el segundo. Fomentar el uso de medidas de tendencia central y dispersión en el análisis de información.. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener 5 caras?. desarrollándola de forma grupal e individual. EJERCICIOS EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar?. 2. Cinco de ellas son Blancas. Hallar la probabilidad de que la primera sea Negra y la segunda Roja. después de haber discutido y estudiado los temas de estadística descriptiva. . La probabilidad de que lo meta el primero es ½. la devolvemos a la urna y extraemos otra bola. asistidos por la docente responsable de dicha práctica. tres son Negras y cuatro son Rojas. si el primero lo hace antes. Extraemos una bola. Hallar la probabilidad de que las dos sean Negras.UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADÍSTICA APLICADA A LA EDUCACION GUÍA DE PRÁCTICA Nº 4 TEMA: CALCULO DE PROBABILIDAD 1..En una urna opaca tenemos 12 bolas del mismo peso y forma. METODOLOGÍA Los estudiantes. 5. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos metan el penalti?. Cinco de ellas son Blancas.En una urna opaca tenemos 12 bolas del mismo peso y forma. es ¼. durante el tiempo determinado y asignado al desarrollo de las horas prácticas dentro y fuera del aula.. Hallar la probabilidad de que la primera sea Negra y la segunda Roja. tres son Negras y cuatro son Rojas.Lanzamos una moneda 5 veces. 4.. Realizar el análisis y comparación de los distintos cálculos de medidas. OBJETIVOS Practicar el uso de las distintas fórmulas de las medidas de tendencia central y dispersión. 3. con ayuda de la docente.Dos futbolistas se juegan el campeonato en un penalti. ¿De cuántas formas distintas lo podemos hacer? a Si en cada sobre no puede ir más de un folio. procederán a la lectura de la guía propuesta. 3. 2.Tenemos que guardar 5 folios en 7 sobres. b Si en cada sobre pueden ir hasta cinco folios. caballo y rey) y sacar un oro al tomar una carta de una baraja española de 40 cartas? 4. De ellos 40 estudian inglés. b) No estudia inglés o estudia francés.6 y la de aprobar Física es de 0. b) Con reemplazamiento. En un colegio hay 60 alumnos de Bachillerato.4 . Calcula: a) La probabilidad de que llamen los dos.3.5. 7. 2. P(B)=0.. 24 estudian francés y 12 los dos idiomas. c) Estudia francés sabiendo que también estudia inglés. La probabilidad de que la llame Carlos es de 0. el segundo esté en ámbar. c) La probabilidad de que no llame ninguno..6. ¿Cuál es la probabilidad de que la comida esté hecha?. Se elige al azar un alumno. .. Calcula: a) La probabilidad de que las dos veces salga azul.7 y P(A)=0.En un dado se pintan cuatro caras de Rojo y las otras dos de Azul. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Estudia al menos un idioma.¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambas asignaturas? ¿Y de no aprobar ninguna?.7 y de que la llame Guillermo es de 0. Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Sean A y B dos sucesos de una espacio de probabilidad tal que P(A B)=0. 8..35 5.3 y P(A∩B)=0. Hallar P(B) si: a) A y B son incompatibles b) A y B son independientes c) P(A/B)=0. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad de manera que : P(A)=0. Obtén los posibles resultados y sus probabilidades al extraer dos bolas. La probabilidad de que la haga su mujer es de 3 / 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero esté en rojo y el segundo en ámbar?.¿Y de aprobar una de ellas?. c) La probabilidad de que las dos veces sea rojo. EJERCICIOS: PROBABILIDAD CONDICIONADA 1. b) La probabilidad de que llame alguno de ellos. si el primero está en rojo.. d) Estudia francés sabiendo que estudia algún idioma. b) La probabilidad de que la primera sea azul y la segunda rojo. es de 1 / 5.Miriam espera la llamada de Carlos y de Guillermo. Se lanza el dado dos veces.7.1 Calcular razonadamente: a) P(A B) b) P( ) c) P(A/B) d) P( ∩B) 3. 10. 9.La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0. a) Sin reemplazamiento.La probabilidad de que Andrés haga la comida es de 2 / 9. La probabilidad de que el primero esté en rojo es 1 / 3 y la probabilidad de que.En un cruce nos encontramos dos semáforos. ¿Son independientes los sucesos: sacar una figura (sota. En una ciudad. Hallar: a) La probabilidad de que gane Pedro. a) Hallar la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió impar. Se lanza un dado. Se tira una moneda repetidamente hasta que salga cara. Hallar la probabilidad de alcanzar el objetivo si se tiran tres bombas seguidas. 9. Un dado numerado del 1 al 6 está lastrado de modo que la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número.3 y P(B)=0. Considerados los sucesos A:” la primera bola extraída es blanca” y B:”la segunda bola extraída es blanca”: a) Hallar P(A) y P(B/A) b) ¿Son A y B independientes? c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras? 7. nos vamos a la urna I. el 25% lee el diario B y el 50% lee al menos uno de los dos diarios. se sabe que P(B)=(3/4) y P(A)=P(A/B)=(1/3). Se saca una carta al azar y. el 40% de sus habitantes lee el diario A. b) Calcular P(A B). a) Razonar si A y B son independientes. b) Sabiendo que la segunda carta extraída ha sido de copas. 14. Se dispone de una baraja de 40 cartas. ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola negra seguida de una bola blanca? a) Reponiendo la bola en la caja. sin devolverla. La probabilidad de que una bomba lanzada por un avión haga blanco en el objetivo es 1/3. ¿son independientes? b) Entre los que leen A ¿qué porcentaje lee también B? c) Entre los que leen al menos un diario ¿qué porcentaje lee los dos? d) Entre los que no leen el diario A ¿Qué porcentaje lee el diario B? 10. calcula la probabilidad de que también lo sea la primera. 13. 12. a) Los sucesos “leer A” y “leer B”. b) Calcular la probabilidad de que salga par si se sabe que salió mayor que 3. Juan y Pedro juegan a obtener la puntuación más alta lanzando sus dados. b) La probabilidad de empatar. Dados dos sucesos A y B. otras dos con el 4 y las otras dos con el 1. Extrayendo dos bolas sucesivamente. b) Sin reponerla.4. Una caja contiene cuatro bolas blancas y dos negras. 15. Si aparece un número menor que 3. 16. 11. Se sabe que P(A)=0. 6. que contiene . El dado de Juan tiene cuatro caras con la puntuación 5 y las otras dos caras con el 1.e) Estudia inglés sabiendo que no estudia francés. Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes. una negra y siete rojas. En una caja tenemos dos bolas blancas. Calcular la probabilidad de que haya que tirar la moneda menos de cinco veces. Se saca una bola y a continuación (sin devolver la primera a la caja) se extrae otra. se saca otra. El dado de Pedro tiene dos caras con el 6. a) Calcular la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de oros. Calcular: a) P(A B) b) P(A/B) 8. B y C.P.6 bolas rojas y 4 bolas blancas.L. son incompatibles. y el 10% R.L.R. el primero con 5 llaves. Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. de 0.P. con la ayuda de un despertador. acaban la carrera el 10% de Empresariales. a) Si va a realizar el examen ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? b) Si no realiza el examen. Si oye el despertador.R. el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. entonces son incompatibles. y si el resultado es mayor o igual que 3 nos vamos a la urna II que contiene 4 bolas rojas y 8 blancas. A continuación extraemos una bola. Se pide: a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? c) Y si la llave escogida es la correcta. entonces son independientes.P. el segundo con 7 y el tercero con 8. Si dos sucesos son incompatibles. el 55% de G. Se escoge al azar un llavero y. Se pide: a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna II. Tomando a un estudiante cualquiera al azar. en la que sólo hay estudiantes de Empresariales. para un examen.. el 20% G.L. se pide: a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de Empresariales. b) Si dos sucesos son contrarios. ¿los sucesos contrarios de aquéllos son también incompatibles? 3. 19. G. b) Probabilidad de que la bola sea blanca. Un estudiante cuenta.L. a) Si A y B son incompatibles . son contrarios.A. ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A? CUESTIONES PARA RAZONAR 1. 17. Decir si es cierta la siguiente afirmación: "Si dos sucesos pertenecen al mismo espacio muestral ambos son necesariamente incompatibles" 6.L.5.R. En una casa hay tres llaveros A. ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador? 18. la probabilidad de que realice el examen es 0. Decir si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Si dos sucesos son incompatibles. 2. ¿Qué es más probable . y R. b) Nos dice que ha acabado la carrera.A.9 y. de él. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad con probabilidad no nula. una llave para intentar abrir el trastero.L. Se sabe que el 70% estudian Empresariales. En una universidad.A. Si dos sucesos pertenecen al mismo espacio de sucesos entonces: a) Ambos son necesariamente independientes b) Ambos son necesariamente incompatibles . Probabilidad de que sea de Empresariales. de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. c) Si A y B son independientes P(A ∩ B) = P(A/B) P(B/A) 5. y el 45% de R. obtener cara al lanzar una moneda u obtener tres caras al lanzar cuatro monedas? Razonar la contestación 4. en caso contrario. b) Si A y B son independientes . c) Ninguno pertenece al espacio muestral d) El suceso contrario a la unión de sucesos equivale a la intersección de sus contrarios. b) Los elementos de S son todos incompatibles c) Algunos de los elementos de S son todos independientes y otros no d) S es el conjunto de todos los subconjuntos de E 8. 7. Razonar si son ciertas las siguientes afirmaciones para dos sucesos A y B: a) Si A es incompatible con B entonces P(A)+P(B)=1 b) P(A/A)=1 . Sabemos que: a) El espacio de sucesos contiene a E como elemento. Hallar: a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica. desarrollándola de forma grupal e individual. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa. durante el tiempo determinado y asignado al desarrollo de las horas prácticas dentro y fuera del aula. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0. Calcula la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad 3. . procederán a la lectura de la guía propuesta. asistidos por la docente responsable de dicha práctica.UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADÍSTICA APLICADA A LA EDUCACION GUÍA DE PRÁCTICA Nº 5 TEMA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1. 2. después de haber discutido y estudiado los temas de estadística descriptiva. METODOLOGÍA Los estudiantes. 3. OBJETIVOS Practicar el uso de las distintas fórmulas de las medidas de tendencia central y dispersión.4 . Si se sabe que 15 personas contraen esa enfermedad. EJERCICIOS 1. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Fomentar el uso de medidas de tendencia central y dispersión en el análisis de información. 4. La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100.72. 2. con ayuda de la docente. Realizar el análisis y comparación de los distintos cálculos de medidas. La probabilidad de que un paciente se recupere de una extraña enfermedad es 0. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de 3 a 8? c) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial. 5. En ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se establece como la razón del 75% de los robos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes cinco casos de robo: a) dos resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas. b) al menos tres resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas. c) Represente esta distribución binomial en un histograma k n 0,75 5 -k 0,25 0,0009765 6 0,0039062 5 0,015625 0,0625 0 1 1 1 2 3 5 10 10 4 5 5 1 0,75 0,5625 0,421875 0,3164062 5 0,25 0,2373046 9 1 probabilida d 0,00097656 0,01464844 0,08789063 0,26367188 0,39550781 0,23730469 d) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial. 6. Un prominente médico afirma que 70% de las personas con cáncer de pulmón son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta: a) encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes menos de la mitad sean fumadores empedernidos. Todos Tienen cáncer n=10 70% por fumar 30% por otras causas b) encuentre la probabilidad de que de 10 de los pacientes con cáncer de pulmón ninguno sea fumador empedernido. c) Represente esta distribución binomial en un histograma d) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial. 7. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachussets aproximadamente el 60% de los consumidores de Valium en el estado de Massachussets tomaron Valium por primera vez debido a problemas psicológicos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes ocho consumidores entrevistados en este estado: a) tres comenzaron a tomar Valium por problemas psicológicos. b) al menos cinco comenzaron a consumir Valium por problemas que no fueron psicológicos. c) Represente esta distribución binomial en un histograma. d) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial. 8. De acuerdo a una encuesta a nivel nacional en Estados Unidos de la universidad de Michigan a estudiantes universitarios de último año revela que el 70% de los estudiantes desaprueba el consumo diario de la mariguana. Si se seleccionan doce estudiantes al azar y se les pide su opinión, encuentre la probabilidad de que el número de los que desaprueban fumar mariguana todos los días sea: a) entre siete y nueve. b) a lo más cinco. c) no memos de ocho. d) Represente esta distribución binomial en un histograma. e) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial. 9. Un estudio examinó las actitudes hacia los antidepresivos. El estudio reveló que aproximadamente el 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo encubren el problema real”. De acuerdo con este estudio a) ¿cuál es la probabilidad de que al menos tres de las siguientes cinco personas seleccionadas al azar sean de esta opinión? b) Represente esta distribución binomial en un histograma c) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial. h) Suponga que siete de las ocho personas identifican el cereal que más les gusta.4. varianza. Para probar el cuestionario y el procedimiento a ser usado se invitó a ocho personas a participar en un experimento. Ninguno se licencie. P ( x ≤1 ) =0 ' 337 b. Calcúlese la probabilidad de: P ( x <5 ) =0 ' 38 a. El departamento de mercadotecnia de Kellogg Company planea realizar una investigación para determinar si los consumidores de cereal en hojuelas pueden distinguir su cereal favorito de otros. Y E para que identificaran su cereal favorito. Obtener ocho caras. Obtener menos de cinco caras. No se licencie más de uno. Se lanza una moneda 10 veces. Encuentra la probabilidad de que entre 5 estudiantes escogidos al azar: P ( x=0 )=0 ' 0776 a. Se les colocó frente a cinco pequeños tazones de cereal en hojuelas marcados con las letras A. a) Si una persona no pudo identificar su cereal favorito y supuso que estaba en el tazón C. P (3< x<7 )=0 ' 65 c. DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1. ¿Es razonable decir que ellos adivinaron? Explique. A las personas se les informó que solo uno de los tazones contenía su cereal favorito. Al menos uno se licencie. 2. D. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona haya adivinado correctamente? b) ¿Cuál es la variable aleatoria en este problema? c) ¿Es la variable aleatoria discreta o continua? ¿Por qué? d) Suponga que a las ocho personas les fue imposible identificar su cereal favorito y trataron de adivinar en cual tazón estaba. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los ocho haya adivinado correctamente? e) Desarrolle una distribución binomial para este experimento f) Calcule la media. Todos se licencien. y desviación estándar de la distribución. C. ¿Cuál es tu conclusión? i) ¿Por qué es la distribución binomial apropiada para este problema? VARIBLES ALEATORIA DISCRETAS Y F. Obtener más de tres pero menos de siete caras . B. P ( x=8 )=0 ' 044 b. P ( x=5 )=0 ' 01 d. P ( x ≥1 ) =0 ' 92 c. La probabilidad de que un estudiante que ingresa en la Universidad se licencie es 0. g) Represente la distribución de probabilidad en una gráfica.10. Se lanza una moneda 90 veces. P ( x=0 )=0 ' 0256 b. en una camada al menos dos sean hembras. La probabilidad de ruptura de cada eslabón a un peso de 100 kilos de es de 0. 4 ' 74) P ( x >50 ) =¿ 0’15 a. μ=n∙p=7 ∙ 0' 35=2 ' 45 b. hallar: a. Obtener más de cinco caras. Salgan al menos tres caras. De 420 televisores se han obtenido los siguientes datos: Nº DE FALLOS Nº DE TELEVISORES 0 1 2 3 316 219 58 6 4 1 . 0' 5)→ N ( 45 . Calcular la probabilidad de que. P ( x ≥2 )=0 ' 61 7. Probabilidad de que no se rompa la cadena. Salgan exactamente tres caras. De una muestra aleatoria formada por siete niños. 6.P ( x >5 ) =0 ' 62 d. Una encuesta revela que el 20% de la población es favorable a un político y el resto desfavorable. el resto se puede considerar aceptable. Calcular la probabilidad de que.45. Probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 40 y 50 P ( 40< x <50 )=0' 7062 9. La probabilidad de que las 6 personas sean favorables.6. Se ha pasado una prueba sobre fluidez verbal a un numeroso grupo de niños de una comarca socialmente deprimida y se ha detectado que el 35% de ellos tienen una fluidez verbal prácticamente nula. La probabilidad de que las 6 personas sean desfavorables. 3. Una cadena metálica está compuesta por 4 eslabones. Salgan a lo sumo tres caras. se desea saber: a. La función de probabilidad.0’6) a. Elegidas 6 personas al azar. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0. Calcular: B (90 . P ( x=2 )=0 ' 37 b. La probabilidad de que salga cara en una moneda trucada es 0. Calcular la probabilidad de que: P ( x=3 )=0 ' 27 a. El departamento de control de calidad de una fábrica de aparatos de televisión realiza cuatro controles. Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. se pide: a. Se somete la cadena a un peso de 100 kilos se pide: B(4. P ( x=6 )=6 ' 4 ∙10−5 P ( x=0 )=0 ' 26 b. 8.55. Se lanza la moneda 7 veces. La media y la varianza. Si se quiere que la probabilidad de que no se rompa la cadena sea de 0. en una camada dos exactamente sean hembras. ¿cuál debe ser la probabilidad de ruptura de cada eslabón? q =0’95 y p=0’05 5. P ( x ≥3 )=0 ' 77 b.81. σ =√ npq=1 ' 26 4. P ( x ≤3 )=0 ' 77 c. Probabilidad de obtener más de 50 caras b. ´x =0 ' 56 B(4.0’15) 4 xi 0 1 2 3 4 pi (x=x i) 0’52 0‘37 0’097 0’011 0’0005 313 221 59 7 0 Frecuencias teóricas 10. 2' 25 p= =0 ' 45 ´x =2 ' 25 B(5.0’45) 5 xi 0 1 2 3 4 5 pi (x=x i) 0’05 0’21 0’34 0’28 0’11 0’02 50’33 205’8 336’9 275’7 112’8 18’5 Frecuencias teóricas .Ajustar a esta distribución empírica una distribución binomial y hallar las frecuencias teóricas 0 ' 56 p= =0 ' 15 esperadas. En una ciudad se ha hecho un estudio sobre 1000 familias con cinco hijos para averiguar el nº de hijas que tienen y se ha obtenido la siguiente tabla: Nº DE CHICAS Nº DE FAMILIAS 0 54 1 2 3 4 5 202 334 279 115 16 Ajusta esta distribución empírica a una distribución binomial y hallar las frecuencias teóricas esperadas.