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Definición de variable aleatoriaSea ζ un fenómeno aleatorio y Ω el espacio muestral asociado a dicho experimento. Diremos que la función X es una variable aleatoria si para cada elemento s del espacio muestral, le hace corresponder un número real x tal que x = X(s). Es decir, X es una variable aleatoria si ∀ s ε Ω , ∃ un x ε RX / x = X(s) Esto se aprecia en la siguiente figura. Ejemplo 01 ζ 1: Supongamos que se lanza al aire una moneda tres veces. Si ζ es el fenómeno aleatorio, su espacio muestral será Ω = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS, CCC}. Si definimos a X como la variable aleatoria que representa "el número de veces que ocurra cara", entonces X(SSS) = 0; ; es decir, el número de caras obtenidas puede ser cero, y esto ocurre cuando se obtiene tres sellos; del mismo modo, se obtendrá una cara siempre que X(SSC) = X(SCS) = X(CSS) = 1; o dos caras cuando X(SCC) = X(CSC) = X(CCS) = 2 y también, X(CCC) = 3. De todo ello deducimos que, si se lanza una moneda tres veces y se define a X como el número de caras obtenidas, los posibles valores que tome X serán 0, 1, 2, 3. Luego el espacio rango de X será RX = { 0, 1, 2, 3 }. Ejemplo 02 ζ 1: De un lote de productos, en donde el 10% son defectuosos, se elijen al azar a 5 de ellos. Si se define a X como el número de productos defectuosos seleccionados, entonces X tomará los valores: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Esto significa que el espacio rango de X será RX = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Ejemplo 03 ζ 1: De 5 varones y 4 damas, se elige un comité de tres miembros. Se define a X como el número de damas que pueden conformar el comité En este caso X: 0, 1, 2, 3. Según esto, el espacio rango RX = {0, 1, 2, 3}. Ejemplo 04 ζ 1: Una nave de combate lanza proyectiles a una vía férrea. Ésta quedará destruida si si el proyectil cae a 30 metros de la vía. Se define a X como la distancia entre el punto de impacto del proyectil y la vía férrea. La variable aleatoria X en este caso, toma infinitos valores dentro de un rango; es decir, RX = { x ε R / -c ≤ x ≤ c }, donde "c" es la máxima distancia entre el punto de impacto del proyectil y la vía férrea. Eventos equivalentes Sea ζ un experimento aleatorio. Sea Ω el espacio muestral asociado a ζ. Sea X una variable aleatoria definida sobre Ω con RX su espacio rango. Si B es un evento de RX; es decir, B está contenido en RX y A se define como A = { s ε Ω / X(s) ε B } entonces diremos que A y B son dos eventos equivalentes. . En otras palabras, un evento B, del espacio rango es equivalente a otro evento A, del espacio muestral, si cada elemento del evento A del espacio muestral tiene como imagen otro evento B del espacio rango, según la definición de X. Ejemplo 05 En el primer ejemplo visto en esta sección, vimos que si se define a la variable aleatoria X como el número de caras obtenidas, el evento B: “Obtener 0 caras” será equivalente con el evento A: “Obtener 0 caras”. En efecto, A = { SSS } y según la definición, B = {x / x = X(SSS) = 0 }. Si ocurre A entonces, y sólo entonces, ocurre B. Ejemplo 06 Tomando el mismo ejemplo supongamos ahora que se define el evento B como “Salen por lo menos dos caras”. En este caso B = {x εRX/ x = 0, 1, 2 }; B = { 0, 1, 2 }. En el espacio muestral Ω debe ocurrir el evento A: “Obtener a lo más dos caras”, lo que por extensión se define como A = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS }. En este caso 0 = X(SSS), 1 = X(SSC) = X(SCS) = X(CSS) 2 = X(SCC) = X(CSC) = X(CCS) Probabilidad en eventos equivalentes Sea X una variable aleatoria y B un evento de RX. Sea A un evento de Ω equivalente con B. Si P(A) es la probabilidad de la ocurrencia de A y P(B) es la probabilidad de la ocurrencia de B, entonces P(A) = P(B) siempre que A y B sean eventos equivalentes, es decir siempre que A = {s ε Ω / X(s) ε B}. Ejemplo 07 Tomando en cuenta el ejemplo anterior, sea B = {X / X = 0 }. El evento equivalente a B deberá ser A = {SSS}. En consecuencia, P(B) = p(0) = P(X = 0) = P(X(SSS)) = P(A) = 1/8 Nota: Evaluar probabilidades en el espacio rango de X es evaluar probabilidades en A. Ejemplo 08 Si se lanza al aire una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más, dos caras? El espacio muestral para este ensayo ya lo hemos visto. Según la pregunta, X se debe definir “como el número de caras obtenidas”, entonces definimos a B como “Obtener a lo más dos caras”. Según esto, B = {0, 1, 2 } = {x / x ≤ 2 }. Y el evento equivalente a B será A = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS } Como se sabe, P(A) = 7/8. Si B y A son eventos equivalentes, entonces P(B) = 7/8. Tipos de variable aleatoria Una variable aleatoria es discreta si su espacio rango es finito (toma valores enteros) o numerablemente infinito (se puede identificar a cada uno de ellos y se puede ordenar) mientras que una variable aleatoria es continua si su espacio rango es infinito. Nota: Si bien en el caso de una variable discreta el espacio rango se puede expresar por comprensión o extensión, en el caso de una variable continua sólo se puede expresar por comprensión mediante el uso de cualquiera de las forma de intervalo. Ejemplo 09: De identificación Diga si las siguientes variables aleatorias que se mencionan son discretas o continuas: a) El número de caras que se obtiene al lanzar al aire una moneda 1000 veces b) El tiempo que un cliente tarda en la cola de una caja hasta ser atendido c) El tiempo que el cajero tarda en atender el cliente d) El tiempo en minutos que un conductor espera para pagar el peaje en una garita e) El número de alumnos que repiten el curso de Estadística en cierto semestre f) El número de veces que un alumno se matricula en una determinada asignatura g) El valor estimado en dólares de una casa de dos plantas h) El número de cuentas por pagar que una oficina bancaria tiene en cierto momento i) El número de kilómetros que recorre un taxista diariamente j) El número de demandas por día que recibe una compañía de seguros k) El número de accidentes que se registra anualmente en la Vía Expresa l) El tiempo entre un accidente y otro durante un año, en la Vía Expresa Solución Son variables aleatorias discretas: Ejemplo 10 Si se define a X como el número de accidentes ocurridos en la panamericana sur durante el año 2012. Nota: Decir que es finito significa que los valores que tome pueden ser cualquier número real.. Según esto. En este caso definiremos a X como el número de días de un alumno.2. 2. siempre que cumpla las siguientes condiciones: Podemos mostrar la función de probabilidad de X en una tabla como se indica en la siguiente figura: . es posible enumerar cada uno de sus elementos.. Ejemplo 11 Se elige a 20 alumnos de una sección de Estadística Aplicada de la U. Diremos que X es una variable aleatoria discreta si su espacio es un conjunto finito o numerablemente infinito. significa que siendo infinito. 1. es decir. Seguramente si X se define como la talla de estos alumnos. Y decir que es numerablemente infinito. Los posibles valores que toma X serán x1. xn. .2 4.a) e) f) j) k) Son Variables Aleatorias Continuas: b) c) d) g) h) i) l) Pág. se puede saber quién es el anterior o el siguiente. X puede tomar valores entre 5840 días y 9125 días.. con RX su espaciorango. 3... 4.. . VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Sea X una variable aleatoria. de Lima y se les pregunta por sus edades en días. entonces X puede ser 0. Función de probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta. considerando que se puede tener alumnos entre los 16 a 25 años. Si a cada resultado posible xi le asociamos un número real p(xi) tal que p(xi) = P(X = xi). xn+1. toma valores enteros. estaremos convencidos que X no constituye una variable aleatoria discreta.. x2. diremos que p(xi) es la función de probabilidad de X. por lo general. Gráfica de la función de probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta, con (xi, p(xi)) su distribución de probabilidad. La gráfica de la función de probabilidad se muestra en la siguiente figura. Ejemplo 12 Se lanza al aire una moneda tres veces. Supongamos que se define a X como el número de caras obtenidas. Encuentre la función de probabilidad de X. Solución Por lo ya que sabemos de este ejemplo, X = 0, 1, 2, 3. Encontremos p(x i). Si x = 0 entonces p(0) = P(X = 0) = P({SSS}) = 1/8 Si x = 1 entonces p(1) = P(X = 1) = P({SSC, SCS, CSS}) = 3/8 Si x = 2 entonces p(2) = P(X = 2) = P({SCC, CSC, CCS}) = 3/8 Si x = 3 entonces p(3) = P(X = 3) = P({CCC}) = 1/8 En consecuencia, la distribución de probabilidad se muestra en la siguiente tabla. Ejemplo 13 Se sabe que al lanzar al aire una moneda, se obtiene cara tres veces más frecuentemente que sello. Si se lanza una moneda tres veces y se define a X como el número de caras obtenidas. Encuentre la distribución de probabilidad de X. Solución Si se define a X como el “Número de caras obtenidas”, entonces X = 0, 1, 2, 3. Como sale cara tres veces más que sello, entonces la probabilidad de que salga cara en cualquier lanzamiento será 3/4, con lo cual p = 3/4 y q = 1 – p = 1/4 . Si queremos obtener x caras, p(x) = P(X = x) es la probabilidad de obtener “x caras” y “3-x” sellos. La probabilidad de obtener x caras es (3/4) x y “3-x” sellos es (1/4)(3-x). En los tres lanzamientos debemos obtener x caras. Esto lo hacemos de C(3, x) maneras. Luego la distribución de probabilidad de X será p(x) = P(X=x) = C(3, x) (3/4)x (1/4)(3-x) ; x = 0, 1, 2, 3. La función de probabilidad mostrada en forma tabular es la siguiente: Ejemplo 14 De un lote que contiene 25, cinco de los cuales son defectuosos, se seleccionan en forma aleatoria a 4 de ellos. Sea X el número de defectuosos hallados. Obtener la distribución de probabilidad de X si a) los artículos son extraídos con reposición b) los artículos son extraídos sin reposición Solución Caso a) La probabilidad de que el primero extraído sea defectuoso es 5/25. Si cada uno de los productos extraídos se repone, entonces la probabilidad de que el siguiente extraído sea defectuoso sigue siendo la misma ya que los defectuosos siguen siendo 5 de un total de 25. En este caso el experimento genera una distribución de probabilidad conocida coma la binomial que la estudiaremos más adelante. Por ello si p(x) = P(X = x) es la función de probabilidad de obtener x artículos defectuosos y 4-x no defectuosos, entonces Caso b) En este caso los artículos se extraen sin reposición y esto implica que, si la probabilidad de extraer un defectuoso en la primera es 5/25, la probabilidad de que el segundo también sea defectuoso es 4/24 (ya que si salió defectuoso la primera vez ahora sólo quedan 4 defectuosos de un total de 24). Usaremos la definición de probabilidad clásica para encontrar la función de distribución de probabilidad de X; es decir, Debemos obtener X defectuosos: El número de maneras de obtener x defectuosos de un total de 5 es lo mismo que formar grupos de x cada uno, de un conjunto de 5 elementos; esto es lo que se conoce como “combinaciones de 5 tomados de x en x”; es decir, C(5, x) El número de maneras de obtener 4-x defectuosos de un total de 20, es formar grupos de 4-x tomados de un total de 20 que constituye “combinaciones de 20 tomados de 4-x en 4-x”; es decir C(20, 4-x). El número de maneras de obtener x defectuosos y 4-x no defectuosos es C(5,x)C(20,4-x) por el principio de multiplicación. Esto nos da el número de casos favorables. Veamos ahora los casos posibles: Aquí se trata de formar grupos de 4 de un total de 25 en donde no interesa el orden. El número de maneras de hacerlo es C(25, 4), lo que constituye el espacio muestral. Luego la probabilidad de la ocurrencia del evento X = x es Ejemplo 15 Una dulcería tiene en su vitrina cinco huahuas de chocolate y cinco de guanábana, al mismo precio. Toda vez que el cliente no especifica su pedido y solicita dos, el encargado selecciona aleatoriamente dos de ellas. Si un cliente compra dos y no especifica el tipo de huahua, cuál es la función de probabilidad del número de huahuas de chocolate entregadas? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de huahuas de chocolate seleccionadas y entregadas al cliente”. Como se extrae sólo dos huahuas, los valores posibles de X son 0, 1 y 2. Debemos observar también que el modelo de ensayo que representa seleccionar las dos huahuas implica que el ensayo es sin reposición, como es lógico. Usando la definición de probabilidad clásica para encontrar la función de distribución de probabilidad de X; es decir, Elegir 0 huahuas de chocolate ( X = 0 ) significa que las dos elegidas son de guanábana. Es decir, debemos encontrar el número de maneras de elegir 0 huahuas de chocolate y 2 de guanábana. De cuántas maneras elegir 0 Luego la distribución de probabilidades de X viene dada por Observación: Si se selecciona “x” tortas de chocolate. favorable cambia cada vez que se hace un nuevo ensayo. Supongamos que 8 productos provienen de la máquina A. a diferencia de los modelos binomiales que son generados por ensayos con reposición. en el cual la probabilidad de un resultado individual. encontramos las probabilidades para los otros valores de X. cuál será el valor de p(x)?. Solución . recibe 0 soles. Siguiendo el mismo razonamiento hecho para X=0. recibe un sol. 4 de la máquina B y 2 provienen de la máquina C. y por cada producto de C. En cuanto a los casos posibles es C(10. Luego Usando el igual razonamiento. se juntan al final del día. Este modelo de distribución lo estudiaremos también más adelante. Ejemplo 16 Supongamos que los productos fabricados por tres máquinas A. Si el empleado debe transportar dos productos.2). Un empleado que se encarga de transportar del almacén a los camiones recibe por cada producto proveniente de la máquina A. 2). concluiremos que Este será el modelo de función de probabilidad hipergeométrico cuando el ensayo es sin reposición.huahuas de chocolate de un total de 5 y de cuántas maneras elegir 2 huahuas de guanábana de un total de 5 significa C(5. B y C. por cada producto proveniente de B. dos soles. donde la probabilidad de una ocurrencia favorable es constante.0)xC(5. encuentre la función de probabilidad de la ganancia obtenida por el empleado. lo que constituye el número de casos favorables. usaremos la probabilidad clásica y tomaremos en cuenta que el transporte de los productos constituye un ensayo sin reposición.Sea X la variable aleatoria definida como la “cantidad de soles recibido por el empleado al transportar dos productos cualquiera”. 3. 4 Como en el ejemplo anterior. Si los dos productos que transporta son de C. X = 2 Si transporta uno de A y uno de B. X = 2 Si transporta uno de B y uno de C. X = 0 Si los dos productos que transporta son de A. 1. X = 3 Si transporta uno de A y uno de C. . X = 1 Luego los posibles valores de X son X: 0. 2. X = 4 Si los dos productos que transporta son de B. Si se toma una muestra aleatoria de 10 items de este lote. la función de distribución de X será Ejemplo 17 Una agencia bancaria tiene tres cajeros automáticos.9) = 0.001 Luego la distribución de probabilidad del número de cajeros que fallen será Ejemplo 18 Supongamos que la máquina 1 produce diariamente dos veces más items que la máquina 2. Sea F el evento “Un cajero falla” tal que P(F) = 0. 2 o los 3 cajeros.243 p(2) = P(X=2) = C(3.2)P(FFF’) = 3(0. por lo que los valores posibles de X son 0. 2. Los cajeros operan independientemente uno de otro.729. el 4% de los items producidos por la máquina 1 tienden a ser defectuosos. Con lo cual p(0) = P(X=0) = P(F’F’F’) = 0. es 0.9. 1.9) 2 = 0.1)(0. Supongamos que la producción diaria de las dos máquinas se combina al final del día.1) 3 = 0.Luego. cuál es la probabilidad de que la muestra contenga dos defectuosos?. La probabilidad de que uno de ellos falle es igual a 0.1) 2 (0. En una hora determinada. Según esto. mientras que sólo el 2% de los items producidos por la máquina 2 son defectuosos. La probabilidad de que uno cualquiera de ellos falle después de un tiempo determinado de uso.1 y P(F’) = 0.1. 1. p(1) = P(X=1) = P(FF’F’ ó F’FF’ ó F’F’F)=C(3.027 p(3) = P(X=3) = C(3. Esto porque los eventos son independientes. Solución . 3. Sin embargo.3)P(FFF) = (0.93 =0. Sea X la variable aleatoria definida como “el número de cajeros que fallan en una hora determinada”. cuál será la distribución de probabilidad del número de cajeros que fallen? Solución De acuerdo al problema.1)P(FF’F’)=3(0. pueden fallar 0.1. el funcionamiento de cada cajero es independiente uno de otro. P(M1) = 2/3. Por ello.04 P(D/M2) = 0. la probabilidad de que provenga de la máquina 1 es 2/3 y que provenga de la máquina 2 es 1/3.04) + (1/3)(0. entonces. es decir.02) = 1/30 Sea X la variable definida como el número de items defectuosos hallados en la muestra de 10.02 Si D es el evento: el item elegido es defectuoso. entonces P(D) = (2/3)(0. Ahora bien. dos provienen de la máquina 1. la función de probabilidad para x defectuosos será Ejemplo 19 . en este con p = 1/30.De acuerdo a los datos. ocurre éxito cuando se extrae un artículo defectuoso. P(M2) = 1/3. P(A) = p(2) = P(X = 2). P(D/M1) = 0. Sea A el evento definido como “La muestra contenga dos defectuosos” Según los datos. de que un item de la muestra sea defectuoso. esto significa que si se extrae un item del lote. el número de maneras de seleccionar x = 2 defectuosos en una muestra de tamaño 10 es C(10. Sea p = P(D) = 1/30 la probabilidad de éxito. El diagrama siguiente refleja el resto de los datos. 2). Como la probabilidad de que un producto sea defectuoso es p = P(D) = 1/30. de tres items que se produzca. La probabilidad de que en un grupo cualquiera de estas C(10. 2) maneras haya 2 defectuosos es (1/30) 2 “y” los otros 10-2 sean no defectuosos es (29/30)8. Solución Este ejemplo es una generalización del tipo de ensayo del ejemplo anterior. puede ocurrir dos únicos posibles resultados: éxito (sale un 3 ó un 5) o fracaso (sale otras caras). ya que se ha realizado una extracción. Si se extrae sucesivamente y sin reposición de una en una hasta obtener una negra y se define a X como el número de extracciones que se debe realizar hasta que salga una ficha negra. está formado por Ω = {N.6 Si X = 2 entonces p(2) = (2/5(3/4) = 0. q = 1 – p = 2/3. Si X = 1 entonces p(1) = 3/6 = 0. no importa el orden. el espacio muestral . El siguiente esquema orientará nuestro análisis. los tres rectángulos muestran las tres situaciones que pueden presentarse. Si se define a X como el número de veces que debe lanzarse el dado hasta obtener éxito. En el momento en que ocurre éxito por primera vez.3 Si X = 3 entonces p(3) = (2/5)(3/4)(3/3) = 0. Luego los posibles valores de X son 1. RRN }. encuentre la función de probabilidad de X. Si p = P(E) es la probabilidad de que ocurra éxito. entonces p = 1/3 y si q = P(F) es la probabilidad de fracaso. termina el ensayo. . Cada vez que se lanza el dado.1 Luego la función de probabilidad de X viene dada por Ejemplo 20 Se lanza un dado hasta que salga un 3 ó 5. Sea X: El número de extracciones que debe realizarse hasta obtener una ficha negra Como en la urna hay dos rojas. RN. 2 y 3. Solución Ante todo.Se tiene una urna con tres fichas negras y dos rojas. En el segundo se han realizado dos y en el tercero X tomará el valor 3. En el primer caso X toma el valor 1. determine la función de probabilidad de X. lo que significa que el primero tuvo que ser fracaso. El problema consiste ahora en elegir a dos hombres de un grupo de 3. El espacio muestral estará constituido por el número de combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en dos. los posibles valores que pueda tomar X son: 1. obtenga la función de probabilidad de X. Por ello la probabilidad de elegir “cero” mujeres es . . X = 4 significa que p(4) = (2/3)3(1/3). Esto constituye una combinación de 3 elementos tomados de 2 en dos. Por ello.Algunos de los elementos del espacio muestral son los siguientes: Ω = { E. Ocurre lo mismo con X = 3. Supongamos que “X = x “ es el evento “el primer éxito” ocurre en el “xésimo” ensayo. 2. 3. la función de probabilidad de X será Ejemplo 21 Un grupo de investigadores de mercado está formado por tres hombres y tres mujeres. FFFE.. FFE. la probabilidad de que ocurran será el producto de ambos.} de igual manera. representa combinaciones de 3 tomados de 0 en 0. . Si el responsable del grupo desea elegir aleatoriamente a dos de ellos para una labor especial y definimos a X como el número de mujeres seleccionadas... FE. FFFFE. Podríamos decir lo mismo de las mujeres: El número de maneras de elegir cero mujeres de un total de 3. Hallemos la probabilidad para cada valor de X X = 0 significa que debe elegirse a dos hombres. Del mismo modo. X tomará valores 0. Diremos entonces que en los “x-1” ésimos ensayos hubo fracaso y éxito en el último. X = 1 significa que se obtuvo éxito en el primer ensayo. Solución Como en el grupo hay tres mujeres y tres hombres y se extrae a dos de ellos. 2. X = 2 significa que se obtuvo éxito en el segundo ensayo. Como p(1) = P(X = 1) = P(E) tenemos p(1) = P(X=1) = 1/3.. 1. Es decir p(3) = P(X = 3) = P(FFE) = (2/3)(2/3) (1/3). por el principio de multiplicación. Y como deben ocurrir los eventos “cero mujeres” y “dos hombres” entonces. Luego p(2) = P(X = 2) = P(FE) = (2/3) (1/3). encuentre la distribución de probabilidad de X. X = 0 significa que ninguno de los tres clientes firma. definamos Sea F el evento: “Firma un contrato de venta”. 1. los posibles valores de X son 0. 2 y 3. Cierto día entrevista a 3 clientes potenciales.1) = 3. Como P(FNN) = PNFN) = P(NNF). Esto se puede expresar en función de los que firman el contrato: P(X = 0) = P(NNN) = (0. y un hombre dentro de un total de 3 hombres. El número de ocurrencias de una F dentro de un grupo de tres se representa mediante las combinaciones de 3 elementos tomados de uno en uno. La probabilidad de que esto ocurra es Dejamos para el lector el caso X = 2.2) (0. C(3.Analicemos el caso X = 1.7)1 . Se trata de elegir una mujer dentro de un total de 3. es decir. Si se define a X como el número de clientes que firman un contrato de venta.1)(0. La función de probabilidad viene dada por: Ejemplo 22 La probabilidad de que un agente vendedor realice una entrevista efectiva (realice una venta) es igual a 30%.30. es decir ocurre el evento compuesto NNN. “X=2” tiene por probabilidad p(2) = P(X=2) = C(3.7)2 Del mismo modo.73 .3)0 (0. Luego p(0) = P(X = 0) = P(NNN) = 0.3)2(0. Solución Sea X la variable aleatoria que representa “el número de clientes que firman un contrato de venta”. Según esto. “X = 1” puede ser expresado como FNN ó NFN ó NNF.7)3 .3)1(0. Luego p(1) = P(X = 1) = C(3. y N el evento “No firma el contrato”. Como la probabilidad de que la entrevista sea efectiva(firmen un contrato de venta) es igual a 0. esta puede ser defectuosa con probabilidad 0. Dejamos para el lector completar para X = 3 y X = 4. Construya su gráfica. Puesto que uno de los talleres ha estado funcionando mal. Al final de un día de producción se tiene 4 unidades del taller A y 4 del taller B. Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de refrigeradoras del taller A que son defectuosas”. Obtenga la distribución de probabilidad del número de refrigeradoras defectuosas provenientes del taller A. 3 y 4. Como se extraen 4 del grupo producido en un día. Al seleccionar una refrigeradora y probarla.5 y no defectuosa con probabilidad 0.Por ello. los valores de X son 0. usaremos combinaciones para encontrar el número de casos favorables y posibles para usar la probabilidad clásica y responder a la pregunta. Como la forma de selección de las refrigeradoras constituye un ensayo sin reposición. se sospecha que la mitad de la producción de ese día sea defectuosa. si se selecciona 4 del grupo y se somete a prueba. con lo cual la distribución de probabilidad del número de defectuosos provenientes del taller A será . 2. 1.5. la función de distribución de X viene dada por Ejemplo 23 La empresa “Refrigerando” tiene dos talleres para la fabricación de refrigeradoras. .70. determine la distribución de probabilidad del número de intentos realizados hasta conseguir una entrevista exitosa. 3. Solución Sea X la variable aleatoria definida como el “Número de intentos realizados hasta obtener una entrevista exitosa”.Ejemplo 24 La firma “Pregunta S. Si la probabilidad de lograr una entrevista exitosa es 0. por la dificultad de conseguir personas que acepten la entrevista.. .7 y por cada entrevista fallida q = 1-p = 0. Esto significa que los “x-1” – ésimos intentos han sido fracasos y sólo el “x”-ésimo ha sido éxito.” realiza su acostumbrado trabajo de campo durante una campaña electoral. siendo independientes los intentos.3.3. Ejemplo 25 Sea X la variable aleatoria definida como el número de cuentas que tiene un cliente en SUPER BANK. Sea p = 0. Como cada fracaso ocurre con probabilidad q = 0. en donde todos son fallidos hasta el último y sólo éste.7). El siguiente esquema podría graficar la secuencia de nuestros intentos. Suponga que la función de probabilidad de X está definida por . 2.7 la probabilidad de una entrevista exitosa. los “x-1” intentos ocurren con probabilidad q(x-1) y en conjunto: los fallidos con el exitoso ocurren con probabilidad (q(x-1) )(0.7) para x = 1. Luego la función de probabilidad de X será p(x) = P(X = x) = (0. Por cada entrevista exitosa se tiene p = 0. Supongamos que se han realizado “x” intentos hasta que se produjo el primer éxito.A. Para lograr una entrevista debe realizar varios intentos independientes.. que es exitoso.3)(x-1)(0. el 80% de los clientes tiene al menos dos cuentas en el banco.2(5-3) = 0.0 + 0.1) exactamente dos cuentas? a. lo que contradice al Gerente.3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Función de densidad de probabilidad de una variable continua Sea Ω el espacio muestral asociado al experimento ζ. el 60% de los clientes tiene a lo más dos cuentas. por lo que diremos que él no tiene razón 4.8. Sea X una variable aleatoria. significa obtener la probabilidad de que X = 0. entonces k+2k +k(5-3) = 1.2) a lo más dos cuentas? b) El Gerente financiero de SUPER BANK afirma que “con las nuevas políticas adoptadas por SUPER BANK se ha logrado que más del 85% de nuestros clientes tengan al menos dos cuentas”. En otras palabras. Es decir.2 + 0. que satisface las siguientes condiciones: Observaciones . Si ∑p(x) = 1 . Ante todo encontremos el valor de k de forma que p(x) sea la f. ó X = 2. el 40% de clientes tienen exactamente dos cuentas.2 a) a. Diremos que X es una variable aleatoria continua si existe una función f a la cual llamaremos función de densidad de probabilidad de X.2(5-3) = 0.2) Qué porcentaje de clientes tienen. de probabilidad de X. debemos hallar P(X = 0 ó X = 1 ó X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0. Según esto. Es decir. a.60.1) Debemos encontrar p(2) = P(X = 2) = 0. a lo más dos cuentas.4. ¿Se puede decir que el Gerente tiene razón? Solución De los datos del problema podemos inferir que X es una variable aleatoria discreta. debemos encontrar la probabilidad de que X sea mayor o igual a 2. ó X = 1. Despejando k obtenemos k = 0.a) Qué porcentaje de clientes tiene? a. En efecto P(X ≥ 2) = p(2)+p(3) = 0.2(2) + 0. b) Para saber si el Gerente tiene razón o no.40= 0. En el caso continuo la gráfica de la función de densidad es una curva y las probabilidades de que X esté en un intervalo (a. b) ó a ≤ x ≤ b. 1. por lo que P(X = x i) ≥ 0. 2. sin mayores detalles matemáticos que P(a ≤ x ≤ b ) = P(a ≤ x < b ) + P(X = b) = P(a ≤ x < b)+0 Luego. P(a ≤ x ≤ b ) = P(a ≤ x < b ) = P(a < x ≤ b) = P(a < x < b) Si X es una variable aleatoria continua cuyo espacio rango es el intervalo ( α .La gráfica de la función de densidad de probabilidad de X se muestra en la siguiente figura. En el caso de las variables discretas existe p(x i) ≥ 0. podemos concluir. β ) y f es su función de densidad de probabilidad. Por ello. 3. entonces . Por otro lado. por las condiciones para que f sea una función de densidad de probabilidad. es el área de la región formada por la curva y las rectas x = a y x = b. si X es una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por entonces . en el caso continuo se tiene que P(X = x i) = 0. Sin embargo. En el caso de las variables aleatorias discretas la gráfica de la función de probabilidad son barras verticales cuyo valor probabilístico viene determinado por la altura de dichas barras. como se muestra en la figura anterior. Ejemplo 26 Verifique si las siguientes son funciones de densidad de probabilidad de X . se debe cumplir que i) f(x) ≥ 0. si -œ < x < 0 entonces e 1. -œ < e x < e0 de donde 0 < f(x) < Ahora vamos a verificar si se cumple la segunda condición Luego f es una función de densidad de X d) En este caso tenemos .Solución a) Para que f sea función de densidad de probabilidad de X. En este caso. para cualquier valor de x en los intervalos dados. En efecto. f(x) ≥0 b). tenemos 0 ≤ 1. tenemos Suponga que X es una variable aleatoria cuya función de densidad está representada por la siguiente figura a) Si P(1/3 ≤ x ≤ a) = 1/2. determinar el valor de a .Si –1 ≤ x ≤ 1 entonces –1 ≤ -x3 ≤ 1. que satisface a la primera condición Igualmente Ejemplo 27 Considere la siguiente función Hallar un valor de k para que f sea una función de densidad de probabilidad Solución Usando la segunda condición se debe cumplir que Desarrollando la expresión del primer miembro.x3 ≤ 2 de donde 0 ≤ ¾(1. Sumando uno a la desigualdad.x3 ) ≤ 6/4. b) Calcule P(1/2 < x < 2) Solución Las ecuaciones de las rectas que definen a la función de densidad son: L1: y = 1/2.91578. la función de densidad viene dada por (Nota: Se puede verificar que f es una función de densidad. Las soluciones son: -0. L2: y = -1/4x + 3/4 Por ello.91578 y -6.15. Ejemplo 29 Una estación gasolinera recibe provisión semanalmente. Dejamos esto para el lector) a) P( 1/3 ≤ x ≤ a ) = 1/3 significa que Efectuando y simplificando tenemos: 12 = 8 + 18a . Las estadísticas anteriores sugieren que la función de densidad de probabilidad de las ventas semanales X. se aproxima a la función cuya gráfica se muestra en la siguiente figura . medidas en miles de galones.3a2 . es fácil verificar que f(x) ≥ 0 para todo valor de x b) Encontrar P(3/2 < X < 5/2 ) significa trabajar con las dos definiciones de f ya que el intervalo cae dentro de los dos. Ejemplo 30 Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por .a) Obtenga la función de densidad de X b) Evalúe P(3/2 < X < 5/2 ) Solución a) Sea f la función de densidad de X. Según la gráfica. f se define de la siguiente manera: Por otro lado. 05. Solución a) De acuerdo a los datos se debe cumplir que P(X > k ) = P(X < k).5) .69 Ejemplo 31 Supongamos que la variable aleatoria X representa la resistencia al corte de ensayos de punto de soldadura. obtenemos 2e10-k = 0. Solución Para hallar el valor de a será suficiente suponer que pertenece al intervalo (0. P(X < a ) = 0. b) Encuentre el valor de r tal que la probabilidad de que X sea menor que r sea igual a 0. Igualando ambos términos.05 implica que Tomando logaritmo neperiano tenemos 10 – r = Ln(0.90. de donde k = 10.5 implica que .5. Luego r = 10.69 b) P(X < r ) = 0. Según esto. 500).50 y P(X < b ) = 0. cuya función de densidad de probabilidad viene dada por Determinar el valor de a y b tal que P(X < a ) = 0.a) Hallar el valor de k tal que X sea igualmente probable de ser mayor que k o menor que k. X ≤ 0 ) + P( 0 ≤ X ≤ 40 ) = Ejemplo 33 . 0) y (0. la distancia es | X-40 | > 0. Los misiles deben caer dentro de los intervalos (-40. Esto implica que. si X se define como “La distancia entre el punto donde cae el misil y la vía”. Si un misil cae a menos de 40 metros de la vía. La probabilidad de que esto ocurra es P( | X-40 | > 0) = 1 – P(| X-40 | ≤ 0) = 1 . Evaluemos P( -40 ≤ X ≤ 40 ): P( -40 ≤ X ≤ 40 ) = P( -40 ≤. 40).P( -40 ≤ X ≤ 40 ). ésta quedará suficientemente destruida impidiendo el flujo normal de los trenes. La densidad de impacto de un proyectil viene dada por la función Solución El esquema anterior muestra la situación que debe ocurrir para que la vía quede lo suficientemente dañada para quedar inutilizada.Ejemplo 32 Una misilera antiaérea lleva tres misiles que deben ser disparados contra una línea férrea que se extiende paralela a la costa. tenemos Esto significa que el 90% de los cimientos serán completados hasta los 90 días. de X. iii) Cuál es la probabilidad de que se tarde por lo menos 70 días? iv) Según el proyecto la empresa constructora está obligada a completar el 80% de los cimientos en 90 días.p. Ejemplo 34 Una gasolinera tiene dos bombas que pueden bombear cada una hasta 10 mil galones de gasolina por mes. Cumple la empresa con el proyecto? Solución Usando la segunda condición para que f sea f. Luego la empresa sí está cumpliendo con el proyecto. con una función de densidad de probabilidad dada por a) Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes .El tiempo (en días) que una empresa constructora tarda en colocar los cimientos de un moderno edificio de 500 metros cuadrados.d. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en unidades de diez mil galones). se define como una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad viene dada por i) Hallar el valor de k para que f sea reconocida como una función de densidad de X ii) Cuál es la probabilidad de que el tiempo máximo requerido sea de 60 días. 5000”. fue considerada una variable aleatoria por la coyuntura del momento. su función de densidad de probabilidad está dada por Si se selecciona aleatoriamente a un analista a) Cuál es la probabilidad de que la predicción respecto a la tasa de interés sea mayor que 9%? b) Cuál es la probabilidad de que la predicción sea menor que 16%? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “Valor de la tasa de interés predicha por un analista” Según esto . debemos encontrar P(X>1. cuál es la probabilidad de que haya bombeado más de 15000 galones durante un mes? Solución Sea X: Cantidad de gasolina bombeada en un mes(en unidades de diez mil) a) P(0.8 ≤ X ≤ 1.0000” ya ha ocurrido y se debe encontrar la probabilidad del evento “X > 1.b) Si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 10000 galones en mes en particular.2) = b) Esta es una probabilidad condicional donde el evento “X>1. Según los analistas.5 / X > 1 ) = Ejemplo 35 La tasa principal de interés en el sistema financiero. Es decir. predicho para el mes de Enero de 2010. En efecto b) Para ver si cubre o no sus gastos debemos encontrar P(X > 800). Si el valor de esta probabilidad es bastante alta(digamos 0. cuál es la probabilidad de que en un día dado el establecimiento no cubra los gastos? Solución a) De acuerdo a la definición de la variable aleatoria X debemos hallar P(X > 900). Ejemplo 37 Debido a la eficiente labor de publicidad desarrollada por una aerolínea de bandera nacional.Ejemplo 36 a) En un día dado. la demanda de clientes se ha incrementado considerablemente a tal punto que la gerencia de operaciones se encuentra preocupada por el tiempo de vuelo entre Lima y el Cuzco. de otra manera no lo hará. Podemos afirmar con cierto grado de confianza que probablemente cubra sus gastos.8 o más) diremos que es muy probable que cubra sus gastos. cuál es la probabilidad de que las ventas excedan 900 dólares? b) El restaurante requiere ventas diarias de por lo menos 800 dólares para cubrir sus gastos. Si el tiempo de vuelo entre esas dos ciudades se define según la siguiente función de densidad de probabilidad a) Qué porcentaje de vuelos tardará entre 84 y 96 minutos? . 05. Cuál es la probabilidad de que. Ejemplo 38 La duración (en horas ) de cierto producto perecible es una variable aleatoria continua X. Solución . cuya función de densidad de probabilidad viene dada por a) Si un producto determinado todavía es aceptable después de 200 horas. 300 horas? b) Se adquieren tres de tales productos. P(X ≤ t0 )=0.b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado. debemos hallar t0 tal que P(X &e.05(20) = 181 Luego el tiempo máximo que debe tardar el vuelo para no llegar retrasado es 181 minutos. digamos t0.05 Como lo que queremos saber es cuál es ese límite y no sobrepasarlo. t 0) = 0.05 implica que P(X ≤ t0 ) de donde t0 = 180 + 0. cuál es la probabilidad de que dicho producto dure a lo más. exactamente uno tenga que ser sustituida en las primeras 200 horas de uso?. b) Decir que un vuelo llega retrasado significa que el tiempo que tarda el vuelo debe ser mayor que un tiempo “límite”. Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga que ser reemplazado en las primeras 200 horas de uso? Cuál es la probabilidad de que los tres productos tengan que ser reemplazados durante las primeras 200 horas?. Según el problema tenemos P(X> t0 )=0. cuál es el tiempo máximo para que un vuelo no llegue retrasado? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo que tarda el vuelo entre Lima y el Cuzco”. En efecto. a) Según los datos. Luego P(M) = 27/64 ii)Sea N el evento “Los tres transistores deben ser reemplazados en las primeras 200 horas”. encontrar P(M) significa evaluar P(M) = P(X>200) 3. sabiendo que estuvo funcionando (mayor de) después de 200 horas. Según esto. 1)P(X ≤ 200) P(X > 200)2 = 3(1/4)(3/4)2 = 27/64. sólo uno de los tres productos debe ser reemplazado. Según esto. Esto multiplicar por la probabilidad de que uno de ellos se reemplaza antes de las 200 horas y los otros dos. Esto es debemos hallar P( X > 200 ). F(x i) se define como .4 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Caso discreto Si X es una variable aleatoria discreta. Luego P(R) = C(3. para un valor xi de X. debemos encontrar primero la probabilidad de que uno de ellos no tenga que ser reemplazado antes de las 200 horas. En efecto b) i) Definamos el evento M: “Ningún producto tenga que ser reemplazado en las primeras 200 horas de uso”. Debemos encontrar la probabilidad condicional de que el producto dure a lo más 300 horas.a) Sea X la variable aleatoria definida como la duración (en horas) de cierto producto. después de las 200 horas. Ahora. 4. Esto es P(N) = P(X ≤ 200)3 = (1 – P(X > 200) )3 = (1 – 3/4 )3 = 1/64 Definamos ahora el evento R : “Exactamente uno de los tres productos deben ser reemplazados en las primeras 200 horas de uso”. Esto implica el uso de combinaciones para hallar el número de maneras de elegir uno de un total de tres. entonces a) P( a ≤ x ≤ b ) = P( X ≤ b ) – P(X ≤ a) + P(X = a) = F(b) – F(a) + p(a) Esto se puede verificar simplemente observando el siguiente esquema Al restar P(X ≤ a) de P(X ≤ b). ya que F(x) es una función de probabilidad para todo valor de X = x del espacio rango de la variable. Propiedad 3: F(œ ) = P(X < œ ) = 1. el evento “X < -œ “ es un evento imposible por cuanto suponemos (y estamos convencidos) que no valores de X anteriores a -. Propiedad 5 Si X es una variable aleatoria discreta. las funciones de probabilidades están limitadas entre 0 y 1.F(a) + p(a) . xk+1 ε RX .œ ) = P(X < .œ ) = 0. Y según sabemos. xk+1 ). Y esto es cierto ya que el evento “X < œ “ incluye todos los valores posibles de X en su espacio rango. como se pide la probabilidad en el intervalo donde se incluye a. ∀ x εR. entonces se debe sumar p(a). Propiedad 4 Sean xk .Propiedad 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1. Esto implica que F(x) es constante (gráficamente es un segmento horizontal) en todo el mencionado intervalo [xk . Similar explicación puede darse a los siguientes casos b) P( a < X ≤ b ) = P(X ≤ b ) – P( X ≤ a) = F(b) – F(a) c) P( a ≤ X < b ) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a ) + P(X = a) – P(X = b) = F(b) . Esto significa que si x 1 < x2 . F(. Propiedad 2: F(x) es una función no decreciente.p(b) d) P( a < X < b) = P(X ≤ b ) – P(X ≤ a) – P(X = b) = F(b) – F(a) – p(b) Ejemplo 39 Sea X una variable aleatoria discreta. Lo que implica que F(-œ) = P(X < -œ ) = P(œ ) = 0. Sea x ε RX / xk ≤ x < xk+1 entonces F(x) = F(xk ). entonces F(x1 ) ≤ F( x2). Contrario al caso anterior. estamos restando P(X = a). cuya función de probabilidad viene definida en la siguiente tabla: . presentada de manera formal. 1. R X. entonces nc .ns = {-3. CSS. Solución a) Los elementos de Ω son Ω = { SSS.Luego la función distribución acumulada. c) Obtenga la distribución de probabilidad de X d) Obtenga la distribución acumulada de X e) Construya la gráfica de p(x) y F(x). Supongamos que se define la variable aleatoria X como X = nc – ns. CSC. con lo cual RX = { -3. -1.nc y ns el número de sellos puede variar de 0 a 3. 3 } . 1. -1. -1. 1. SCC. CCS. SCS. por lo que X toma los valores -3. a) Encuentre el espacio muestral Ω b) Obtenga el espacio rango de X. 3 }. SSC. es Ejemplo 40 Se lanza al aire una moneda tres veces. 3. CCC } b) Puesto que al lanzar la moneda tres veces el número de caras. donde ns representa el número de caras y ns representa el número de sellos obtenidos. por lo que p(1) = 3/8 X = 3 si se obtiene tres caras y cero sellos. por lo que p(3) = 1/8 Luego X -3 -1 1 3 p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 d) Para obtener F(x). es decir p(-3) = 1/8 X = -1 si se obtiene una cara y dos sellos. por lo que p(-1) = 3/8 X = 1 si se obtiene dos caras y un sello.c) Daremos la siguiente explicación para encontrar p(x): X = -3 si se obtiene 0 caras. consideraremos los siguientes casos: . . la función de distribución acumulada de X. F(x). b) A diferencia del caso discreto donde P(X < k )=P( X ≤ k ) – P(X = k) = F(k) – p(k) Si la variable aleatoria X es continua P(X < k ) = P( X ≤ k ).La gráfica de las dos funciones p(x) y F(x) se muestra en las figuras anteriores Caso continuo: Si X es una variable aleatoria continua. Y esto se demuestra matemáticamente ya que siendo Evaluemos ahora la probabilidad del evento { X < k }. se define como Observaciones a) Si bien la evaluación y obtención de F en el caso discreto se presta a muchas operaciones engorrosas de cálculo. en el caso continuo el problema se convierte en utilizar adecuadamente los criterios matemáticos de integración(lo que en muchos casos también puede ser engorroso). entonces p(xi) = P( X = xi) = F(xi) – F(xi-1) Esto es cierto ya que p(xi) = P( X = xi) = P(X ≤ xi) – P(X < xi) = F(xi) – P(X ≤ xi-1 ) = F(xi) . x2.F(xi-1) El siguiente ejemplo nos exime de mayores explicaciones: Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad está dada por X 0 1 2 3 p(x) 0.20 0. xn. Si F es la función de distribución acumulada de X. b) y F es su función de distribución acumulada entonces P( a ≤ X ≤ b ) = F(b) – F(a) Obtención de la función de distribución de probabilidad a partir de la distribución acumulada de la variable X.15 F(2) = P(X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(1) = P(X ≤ 1) = p(0) + p(1) Restando miembro a miembro y cambiándolos.40 0. ….Teorema Si X es una variable aleatoria continua en el intervalo (a. xn+1. tenemos: p(2) = F(2) – F(1) Caso continuo: Sea X una variable aleatoria continua con f su función de densidad de probabilidad. … . Caso discreto: Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x 1. .25 0. es una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada está dada por . justifica cada semana. cuál es la probabilidad de que sea menor que3/4 ? Use F para evaluar esta probabilidad. Es decir Ejemplo 42 Los gastos de viajes semanales (en miles de dólares) que el personal de ventas de la Empresa TORA.a) Obtener la función de distribución acumulada de X b) Usando F. obtener P(X < 1/2 ) c) Si se sabe que X es mayor que 1/2 . Solución a) Por definición F(x) = P(X ≤ x ) b) Como X es una variable continua F(1/2) = P(X  1/2)= P(X < 1/2)=1/8 c) Se nos pide evaluar la probabilidad condicional del evento {X < ¾} dado el evento {X<1/2). ≥ 0. aproximadamente el 22% de los vendedores gastan menos de $ 500 semanalmente b) Hallaremos la probabilidad de que X sea menor que 0. conseguirá unas vacaciones? c) Obtenga la función de densidad de probabilidad de X Solución a) Usemos la función de distribución acumulada F. a) Encuentre la función de densidad de probabilidad de X Usando la función de distribución acumulada F. cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean mayores que uno? Solución . c) Si se han hecho tres determinaciones independientes. En efecto. encontramos f(x) = -2x e -x2.15.2212 Luego. c) Para hallar la función de densidad de probabilidad de X debemos derivar a F. entonces sí puedo obtener unas vacaciones por estar por debajo del 15% inferior. P(X < 0. Si este valor es menor a 0.312) = P(X ≤ 0. Si Ud. Como el 9.28% han gastado menos de $ 312. ha gastado 312 dólares.a) Qué porcentaje de vendedores gastan semanalmente menos de 500 dólares? b) El tirano del jefe ha ofrecido unas vacaciones de dos semanas a quien justifique gastos que se encuentren en el 15% inferior.312) = 0. P(X < 1/2 ) = P(X  1/2 ) = F(1/2) = 1 – e-0. respecto a x.25 = 0. x Ejemplo 43 La variable aleatoria continua X tiene por función de densidad de probabilidad a Si se hacen dos determinaciones independientes de X.312. entonces diremos que podemos obtener dichas vacaciones. resuelva las siguientes preguntas: b) Cuál es la probabilidad de que ambas determinaciones sean mayores que uno?. derivando a F(x).312 ) = F(0.092756. Si de un total de tres determinaciones.75 Como P(A) = P(B). x>0 Sea pj = P(j ≤ X < j + 1).a) De acuerdo al Teorema. Según esto. Luego la función de probabilidad para Y = 2. exactamente dos de ellas sean mayores que uno. La probabilidad de éxito p = P(X>1) = ¾. Entonces P(A) = P({x/x >1}) = P(X > 1) = 1 . .F(1) = 1 . Sea Y la variable aleatoria definida como el “Número de determinaciones que son mayores que uno”. f es la función de densidad de probabilidad de X b) Demuestre que pj es de la forma (1 – a )aj y determine a. ∀ b.P(X ≤ 1) = 1 . encontrado en b). 2 y 3. tenemos P(A ∩ B) = (3/4)(3/4) = 9/16 c) Ahora se sabe que se realizaron tres determinaciones. usando un razonamiento dado en dos ejemplos anteriores de variable discreta será: P(Y = 2 ) = C(3. entonces f(x) = 0 Si 0 ≤ X ≤2 . Y es una variable aleatoria discreta que toma valores 0.1/4 = 0. Debemos definir otra variable que represente el número de determinaciones que cumplan dicha condición. a) Demuestre que. queremos encontrar la probabilidad de que dos de ellas cumplan con la condición de ser mayores que uno. Queremos que. b>0. cada uno de los cuales son independientes uno de otro. 2)(3/4)2(1/4) = 27/64 Ejemplo 44 Sea X la demanda de un producto en tiempos de recesión. 0  x  2. entonces f(x) = 0 b) Sea A el evento {x/x >1} definido como la primera determinación Sea B el evento {x/x >1} definido como la primera determinación Sabemos que F(x) = x²/4 . Si X < 0 . Afirmamos que Y es una variable binomial por cuanto se tiene n = 3 elecciones(determinaciones). podemos usar el modelo binomial para resolverlo. para encontrar la función de densidad f debemos derivar respecto a x. Estudios anteriores han demostrado que el comportamiento de X se puede expresar mediante la siguiente función f(x) = be-bx. 1. entonces f(x) = x/2 Si x > 2. Solución a) f será la función de densidad de probabilidad de X si se cumple que Ejemplo 45 La variable aleatoria continua X tiene por función de densidad de probabilidad a f(x) = 3x2 -1 ≤ x ≤ 0. Si “b” es un número que satisface –1 < b < 0, calcule la probabilidad P(X>b / X < b/2) Solución Ejemplo 46 Supongamos que f y g son dos funciones de densidad de probabilidad en el mismo intervalo, a ≤ x ≤ b. a) Demuestre que f + g no es una función de densidad de probabilidad en el intervalo a ≤ x ≤ b. b) Demuestre que, ∀ β con 0 <β< 1, βf(x) + (1- β)g(x) es una función de densidad de probabilidad en ese intervalo. Solución a) Las dos condiciones que deben cumplirse para que una función tal como f sea una función de densidad de probabilidad de alguna variable tal como X, son Como se cumple la segunda condición, entonces h(x) = βf(x) + (1-β)g(x) es una función de densidad de probabilidad sobre el intervalo a ≤ x ≤ b. Ejemplo 47 Supongamos que la gráfica que se muestra en la siguiente figura representa la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X. Cuál es la relación entre “a” y “b”? Solución Encontremos la definición de f según la gráfica. La función f está formada por las rectas L1 y L2 Ejemplo 48 El porcentaje de alcohol (100X) en cierto compuesto puede ser considerada como una variable aleatoria, en donde X, 0 < X < 1, tiene la siguiente función de densidad: f(x) = 20x3(1-x), 0 < x < 1. a) Encuentre una expresión para la función de distribució acumulada de X grafíquela. b) Calcular P(X ≤ 2/3) c) Supóngase que el precio de venta del compuesto anterior depende del contenido de alcohol. Específicamente, si el compuesto se vende en C1 dólares/galón, de otro modo, se vende en C2 dólares/galón. Si el costo es C3 dólares/galón, encuentre la distribución de probabilidad de la utilidad neta por galón y obtenga una expresión para la utilidad esperada. F(1/3))+ (C2 .C3 )(F(1/3) + (1 . 0 < x < 1. entonces. tiene por función de distribución a Calculemos ahora el valor esperado de U.46090535 c) Sea U la variable aleatoria definida como la utilidad neta por galón.C3 )P(1/3 < X < 2/3) + (C2 .Solución a) Si f(x) = 20x3(1-x).C3)( P(X ≤ 1/3) + P(X ≥ 2/3)) E[U] = (C1 .C1 )(0. Por definición E[U] = (C1 .F(2/3)) E[U] = (C1 + C2 )(0. U = C2 dólares/galón. Según el problema.04527) Ejemplo 49 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad definida por Solución . diremos que la utilidad neta por galón U.46091) + (C2 . por definición de F.C3 )(F(2/3) . De acuerdo a esto y sabiendo que el costo es C 3 dólares/galón. tenemos la gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura: b) Usando la distribución acumulada P(X ≤ 2/3) = F(2/3) = 5(2/3) 4 4(2/3)5 = 0. Si 1/3 < X < 2/3 entonces U = C1 en caso contrario. c) Sea A el evento “Xi es mayor que 3/2. digamos X. 2. a) Verifique que f es efectivamente la función de densidad de probabilidad de X . es una variable aleatoria continua con su función de densidad es f(x) = 6x(1-x) . i = 1. 3” P(A) = P(X1 >3/2 ∩ X2 >3/2 ∩ X3 >3/2 ) Puesto que los Xi son variables independientes entonces P(X>X1 ) = P(X>X2 ) = P(X>X3 ) Por lo que P(A) = (P(X > 3/2))3 = 1/8 Ejemplo 50 Supongamos que el diámetro de un cable eléctrico. 0 ≤ x ≤ 1. Es una variable aleatoria discreta o continua? c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno de los casos. ¿Qué valores puede asumir esta variable aleatoria? 3.5% o menos. la distribución acumulada de X c) Determinar un número b tal que P( X < b ) = 2 P(X > b) d) Calcular P(X ≤ 1/2 / 1/3 < X < 2/3 ). Solución 4. YacoBas es un técnico en laboratorio y diariamente debe realizar diversos tipos de análisis de sangre para el cual debe seguir uno de dos . Suponga que la variable aleatoria de interés es la cantidad de instituciones crediticias de este grupo que ofrecen una tasa fija a 30 años.b) Obtener una expresión para F. a) Haga una lista de los resultados obtenidos.5 EJEMPLOS PROPUESTOS Tres egresados tienen entrevistas programadas para empleo durante las vacaciones en el Montero Mark. de 8. b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de ofertas hechas. La tasa de interés de préstamos otorgados por las entidades financieras de la ciudad se encuentra muy diferenciada. 2. El resultado de cada entrevista es Obtener el empleo o no obtenerlo. 1.Si la variable aleatoria de interés es la cantidad de pasos requeridos para terminar el análisis. x = 0. Encuentre la probabilidad de que le queden polos sin vender al final de la temporada. 2. . y el segundo puede requerir uno. ¿Cuáles son las probabilidades asociadas con cada valor posible de X? 5. a) Determine la función de densidad de probabilidad de X b) Encuentre P(0 < X ≤ 8 ) 7. 4. Haga una lista de los resultados experimentales asociados con la ejecución de un análisis.procedimientos. indique qué valor asumirá la variable aleatoria en cada uno de los resultados experimentales.(1/2)(x+1).6 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE Caso discreto . enumere el espacio rango de X. Si X es la variable aleatoria que denota el número de ases. El número de polos vendidos desde ahora hasta el final de la temporada se distribuye como f(x) = e-2020x/x!.. El primero requiere uno o dos pasos separados. Dada las siguientes funciones de densidad de probabilidad de X... 1. dos o tres pasos. El encargado de un almacén de ropa de mujeres está interesado en el inventario de polos. 6. Una variable aleatoria X tiene por función de distribución acumulada F(x) = 1 . 2. que en ese momento es de 30(todas las tallas).. . En un juego de póker una mano de cartas puede contener de cero a cuatro ases. a) encuentre el valor de la constante k para que f sea la función de densidad de probabilidad de X b) Encuentre la función de distribución acumulativa de X 4. x = 0. xn .. Sea p(xi )=P(X = xi ). ∀i =1. cuál es el número esperado de cajeros que fallen? Solución La distribución del número de cajeros que fallen. x3. . Ejemplo 52 Una agencia bancaria tiene tres cajeros automáticos. Diremos que E(X) es laEsperanza Matemáticade X y se define como Ejemplo 51 Sea X la variable aleatoria que representa el número de caras obtenidas al lanzar una moneda 3 veces. La probabilidad de que uno cualquiera de ellos falle después de un tiempo determinado de uso.Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores son x1. es 0. pertenecen a su espacio rango. 2.001 .. Cuál será el número esperado de caras? Solución Según el Ejemplo 12 la distribución de probabilidad de X es Podríamos decir que el número de caras que esperamos que ocurra es “una cara y media”.243 0.. es X 0 1 2 3 p(x) 0. n su función de probabilidad. resuelto anteriormente. En una hora determinada...729 0.. Los cajeros operan independientemente uno de otro.1.027 0. Otra forma de interpretarlo es: El número esperado de caras es uno o dos. x2. si se sabe por experiencia que cada lote contiene exactamente el 25% de defectuosos? Solución Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de tarjetas de control inspeccionados por lote” Como en la primera fase se prueban dos. Luego los valores de X son 2. Como esta función de probabilidad de X viene dada por entonces. Solución La función de probabilidad al hemos hallado en el Ejemplo 22. el agente vendedor debe esperar que sólo uno de los tres clientes firmen el contrato. que ninguna de ellas fue defectuosa. 20. Si resulta defectuoso.7)3 + 1x3x(0.243) + 2(0.7) + 3x(0.729) + 1(0. El Departamento encargado de la recepción utiliza la siguiente regla de inspección: Se prueban dos tarjetas de control de cada lote. Si por lo menos uno de ellos es defectuoso. Cierto día entrevista a 3 clientes potenciales.9 . por lo menos uno de ellos. ¿Cuál es el número esperado de tarjetas de contgrol inspeccionados por lote.Luego el valor esperado de X es E(X) = 0(0. ocurrió el evento A 1’ ∩ A2’. . se prueban los 20. En este caso.3)(0. se prueba el lote completo.25 es la probabilidad de que una tarjeta sea defectuosa. se pasa a otro lote. p = 0. Esto significa que en el lote de 20 tarjetas. Si X = 2.3)2(0.3 Ejemplo 53 La probabilidad de que un agente vendedor realice una entrevista efectiva(realice una venta) es igual a 30%. significará que sólo se probaron dos tarjetas. el número esperado de clientes que firmen el contrato será E(X) = 0x(0. Cuál es el número esperado de clientes que firmen el contrato?. habrá 5 defectuosas. esto es.7)2 + 2x3x(0.001) = 0. entonces X = 2.027) + 3(0. es decir. Si se define a X como el número de clientes que firman un contrato de venta. Ejemplo 54 Una empresa ensambladora de celulares recibe tarjetas de control en lotes de 20 cada uno. Sea A el evento “Una tarjeta de video es defectuosa”. Si ninguno de ellos es defectuoso.3)3 = 0. en cuyo caso X = 20. es decir. Es decir. si extrae una bola verde el jugador deberá pagar la cuarta parte de lo que pagaría si extrae una bola blanca. p(x = 20) = 1 – p(x=2) = 1 – P(A1’ A2’ ) = 17/38 La distribución de probabilidad de X es X 2 20 p(x) 21/38 17/38 Finalmente E(X) = 2(21/38) + 20(17/38) = 10. Un jugador extrae una bola de la urna. X = $ 30 con P(R) = 4/20 Si ocurre N. X = x/4 con P(V) = 8/20 Si ocurre R. X = 20. Cuánto debería pagar el jugador si extrae una verde y cuando extrae una bola blanca para que el juego sea equitativo?.2) / C(20. 8 verdes y 2 blancas. 6 negras.00. Solución Nota: Consideraremos que un juego es equitativo si su esperanza o valor esperado del beneficio obtenido con el juego es cero. si es negra.00. X = $ 20 con P(N) = 6/20 Luego podemos formular la siguiente distribución R N V B 2/20 8/20 4/20 6/20 30 20 -k/4 -k Encontremos el valor esperado . significa que se encontró por lo menos una tarjeta defectuosa. gana $ 20.05 Ejemplo 55 Una urna contiene 4 bolas rojas. Si ocurre B. Si esta es roja. Además.Luego p(x = 2) = P(A1’ ∩ A2’) = C(5.0)C(15. Sea B el evento “Se extrae una bola blanca” Sea N el evento “Se extrae una bola negra” Sea R el evento “Se extrae una bola roja” Sea V el evento “Se extrae una bola verde” Sea X la variable aleatoria que representa “La ganancia del jugador”. X = k con P(B) = 2/20 Si ocurre V. el jugador gana $ 30. 2) = (15x14) / (20x19) = 21/38 Ahora. a) La probabilidad de encontrar exactamente una prenda defectuosa es p(1) = P(X = 1) = C(5. Si se encuentra una prenda defectuosa se rechaza el lote.955-x. si el lote se considera en su calidad mínima (Un lote se encuentra en su calidad máxima. Si en la muestra de tamaño 5 deseamos encontrar “x” prendas defectuosas.00 si extrae verde y $ 60. b) ¿Cuántas prendas defectuosas espera encontrar en la muestra? Solución Sea X la variable aleatoria que representa “Número de prendas defectuosas en la muestra”.. Solución .30(4/20) + 20(6/20) +(-k/4)(8/20) + (-k)(2/20 = 0 De donde k = 15 Luego el jugador debe pagar $ 15.05. 5. 1. Esta empresa acepta las prendas de vestir sabiendo que.. El plan de aceptación consiste en extraer una muestra aleatoria de 5 artículos. 1)(0. La probabilidad de que se extraiga una prenda defectuosa es 0. y sin reposición. . usando la definición será Ejemplo 57 Un conductor decide cambiar la válvula que regula el termostato de su vehículo.05)(0. Para ello acude a un taller en donde el técnico dispone de cuatro válvulas.00 si extrae una bola blanca. el lote contiene 5% de prendas defectuosas. Todo esto nos lleva a formular la función de probabilidad de X siguiendo el modelo binomial de acuerdo a p(x) = P(X = x) = C(5.. por lo general. x)0. una de las cuales es el que debe usar para el vehículo en cuestión. Y como las “x” defectuosas pueden ser extraídas en cualquiera de las 5 extracciones. La empresa debe realizar la última fase que es el estampado. el número de maneras de obtener “x” defectuosas en 5 es combinaciones de 5 tomados de x en x. a) Hallar la probabilidad de que se encuentre exactamente una prenda de vestir defectuosa en la muestra. entonces (0.05x0.05) (5-x) es la probabilidad de que las otras “5-x” sean no defectuosas. si no contiene productos defectuosos).05)x es la probabilidad de encontrar x defectuosas y (1 – 0. Ejemplo 56 Una empresa comercializadora de productos con valor agregado recibe lotes de 40 artículos de vestir para damas.2036 b) El valor esperado de X.E(X) =. x = 0. cuál es el número esperado de válvulas que ha de probar para colocar el correcto?.95)4 = 0. Si las selecciona al azar una después de otra. / 5. en este juego?.0.Sea X el “número de pruebas que debe realizar el técnico hasta encontrar la válvula correcta”. 2. p(2) = P(X = 2) = P(C’  C) = (¼)(1/3) Si X = 3. El juego consiste en lanzar tres argollas hacia una clavija. se le permitirá lanzar un dado y recibirá tantos soles como puntos obtenga en el dado. Si logra ensartar las tres argollas. Si X = 1. Solución Sea A el evento “Sale por lo menos dos caras”. es p(x) = P(X = x) = 1/6 El evento B ocurre sólo si ocurre A. digamos x. por lo que la probabilidad de éxito (ubicar la válvula correcta) cambia conforme se realizan más pruebas. Los valores de X son: 1.75. Si ensarta una argolla gana un premio de S. 6. El jugador debe lanzar las argollas de uno en uno.70833 Ejemplo 58 Ud. Qué cantidad de dinero espera ganar Ud. Observe que en este caso definimos a X como el número de ensayos y no como el número de veces que debe ocurrir éxito./ 1. Ejemplo 59 Todos los que participan en un determinado juego deben inscribirse pagando S. 3. Sin embargo en este caso. La probabilidad de que salga cualquiera de las caras./ 10. Si obtiene al menos dos caras. el número de ensayos es conocido y además los ensayos se realizan con reposición. Sea C el evento “Encontrar la válvula correcta”. 4. . Luego P(B) = P(A)1/6 = (4/8)x(1/6) = 4/48 Luego espero ganar S./ 1. lanza una moneda tres veces. En el caso binomial. por lo que la probabilidad de éxito no cambia. a la cual se ha amarrado una botella de vino. 5.0 Si logra ensartar dos argollas. p(4) = P(X = 4) = P(C’  C’ C’ C) = (¼)(1/3)(1/2)(1) Por lo que el número esperado de pruebas que debe realizarse será E(X) = 1(1/4)+2(1/4)(1/3)+3(1/4)(1/3)(1/2)+4(1/4)(1/3)(1/2)(1) = 0. gana S.0. P(A) = 4/8 Sea B el evento “Lanzar un dado y obtener un punto” Sea X la variable aleatoria que representa: “Cantidad de dinero recibido”. p(3) = P(X = 3) = P(C’  C’ C) = (¼)(1/3)(1/2) Si X = 4. p(1) = P(X = 1) = P(C) = ¼ Si X = 2. las pruebas implican realizar ensayos sin reposición. X es una variable que tiene distribución binomial cuya función de probabilidad viene dada por Si se realizan diez jugadas. si sale dos ases. 1. Manuel recibe $ 2. A’. Si suponemos que la probabilidad de ensartar en la clavija es 0. tendremos E(X) = 0.1 y es constante. En los otros casos no recibe nada. luego del cual lanza tres dados.965 soles. Cuál es la ganancia esperada del jugador. Según el problema. los valores de X son: 0.0 si aparecen dos ases y $ 8.10.el premio es de S. X = 4 y si sale tres ases. (A. Como la probabilidad de éxito(ensartar una argolla) es 0. si juega a) sólo una vez. A)}) = 3(1/6)(5/6)(5/6) = 75/216 . A. recibe $ 4. a) Es equitativo el juego? Justifique su respuesta b) Si no lo fuese.0. Manuel debe pagar a la mesa $ 1. cuánto debería recibir A por sacar tres ases? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “Cantidad de dinero recibida por Manuel”.0 si aparece un as. 2. Solución Sea X la variable que representa: “Número de argollas que logra ensartar el jugador”. A’). Con las siguientes probabilidades: X = 2 con P(X = 2) = P({(A. Sea A el evento “Sale un as al lanzar los tres dados” Según el problema: Si sale un as. A’). b) si juega diez veces?. A’./ 50. (A’.0 si aparecen tres ases. X = 2. X = 8.0. 3. Ejemplo 60 En un determinado juego de dados. (A’.0 ya que al pagar $ 1. A)}) = 3(1/6)(1/6)(5/6) = 15/216 X = 8 con P(X = 8) = P({(A.X = 4 con P(X = 4) = P({(A. A’.7(1899/4096) + k(2197/4096) = 0. Como Yaco tiene tres intentos. A.9 Luego. A)}) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216 Obtención del valor esperado de X: E(X) = 2(75/216) + 4(15/216) + 8(1/216) = 218/216 a) Sin duda el juego no resulta equitativo. A). Ejemplo 62 . (A. si obtiene tres ases. A’). Sea X la variable que representa “El número de intentos que debe hacer Yaco para ganar el juego.70. recibe $ 219. si Yaco pierde deberá pagar $ 189. tenemos k = 189. debe pagar una determinada cantidad.0 para jugar. al final no ganaría ni perdería. Con probabilidades p(1) = P(X=1) = 3/16 p(2) = P(X = 2) = (13/16)(3/16) = 39/256 p(3) = P(X = 3) = (13/16)² (3/16) = 507/4096 Luego P(G) = 3/16 + 39/256 + 507/4096 = 1899/4096 El juego es equitativo si E(X) = 0. Y que la tercera bolita no caiga en dicho casillero es 3/4 . Si tiene éxito. La probabilidad de que una bolita caiga en cualquiera de los cuatro casilleros es 1/4 . Si no logra tener éxito en los tres intentos. b) Para que sea equitativo. Esto significa que E(X) = 219. Según esto. Si pierde Yaco cuánto debe pagar para que el juego resulte equitativo? Solución Sea R el evento “En un casillero sólo caen dos bolitas”. A. Yaco tiene tres oportunidades para lograr éxito. debería recibir $ 6. recibe tres bolitas para lanzarlas hacia un depósito que contiene cuatro casilleros. Gana si logra colocar dos de las bolitas en un mismo casillero. Despejando k de la ecuación. Luego P(R) = 4x(1/4)(1/4)(3/4) = 4x3/64 = 3/16. Para que esto ocurra E(X) debería ser $ 1. Yaco gana el juego si X = 1 ó X = 2 ó X = 3. Pero este casillero pudo haber sido cualquiera de los cuatro. Una bolita puede caer en cualquiera de los cuatro casilleros con igual probabilidad.9 para que el juego sea equitativo. A. La probabilidad de que dos bolitas caigan en el mismo casillero es 1/16. Y sea G el evento “Gana Yaco”.0. Ejemplo 61 Yaco decide participar en un juego que consiste en lo siguiente: Luego de firmar una boleta en blanco para participar en el juego. 2) + 2(0.Un parroquiano pasado de copas llega a su casa y desea abrir la puerta de entrada. al azar. Suponga que se encuentra suficientemente despierto como para eliminar las llaves ya probadas. son los siguientes: Proveedor A: Nro estimado de componentes defectuosos por lote 1 Probabilidad 0.2 0. La distribución de probabilidades viene dada por X 1 2 3 4 5 p(x) 0. Cada televisor requiere de 6 de estos componentes. en tanto que del proveedor B es $ 120.2 0.2) +3(0. respectivamente.2) + 5(0. En el llavero tiene 5 llaves las que prueba una tras otra.20 0.2 Luego E(X) = 1(0. El fabricante ha estado comprando estos componentes en lotes de 100 a dos proveedores diferentes.15 0.2 0. (4/5)(1/4). reparación y reposición de un componente defectuoso es de $ 15. FE . FFFE . Con probabilidades (1/5). FFE . Solución Sea X: Número de llaves que debe probar hasta abrir la puerta. Hallar el número esperado de llaves que debe probar. Un componente defectuoso no puede ser detectado hasta que el televisor haya sido ensamblado completamente. Basadas en experiencias anteriores. 4 ó 5. 2. (4/5)(3/4)(1/3). El costo de detección. (4/5)(3/4)(2/3)(1/2) y (4/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1). FFFFE Esto quiere decir que X tomará valores 1. 3. Sea A el evento “El parroquiano logra abrir la puerta” El siguiente esquema muestra lo que podría ocurrir. Sea X la variable que representa el “número de llaves que debe probar hasta que la puerta se abra”.10 2 3 4 5 .2) + 4(0. El parroquiano logra abrir la puerta si ocurre uno de los siguientes eventos: E .2 0.2) = 3 Ejemplo 63 Un fabricante de televisores utiliza cierto tipo de componente electrónico en el ensamblaje de televisores a color.30 0. las calidades comparadas de los lotes comprados a los dos proveedores. El costo por lote del proveedor A es $ 100.25 0. 20)+4(0.15)+5(0.5) = $ 142. Sea f su función de densidad de probabilidad. Sea CT la variable que representa el Costo total esperado por lote.15 A qué proveedor debe comprar el fabricante dichos componentes electrónicos? Solución Sea X el número de componentes defectuosos encontrados en un lote.50 0. CT = 100 + 15 X de donde E(CT ) = $ 100 + $ 15(2. Encontremos el número esperado de componentes defectuosos por lote para los dos proveedores: Para el proveedor A: E(X) = 1(0.5) = $ 137.35)+3(0.25)+3(0.5 En el caso del proveedor B.5 Sin duda el fabricante elegirá al proveedor A para que le suministre dichos componentes.5 Para el proveedor B: E(X) = 1(0.5 Para una adecuada decisión calcularemos el costo total que se espera tener por lote y por cada proveedor. Según el problema En el caso del proveedor A. Caso continuo Sea X una variable aleatoria continua. CT = 120 + 15 X de donde E(CT ) = $ 120 + $ 15(1.50)+2(0.15) = 1.1) = 2.Proveedor B: Nro estimado de componentes defectuosos por lote 1 2 3 Probabilidad 0. Diremos que E(X) es su Esperanza Matemática y se define como Propiedades de la esperanza de una variable i) E(K) = K ii) E(K + X) = K + E(X) .35 0.30)+2(0. Sin embargo. Ejemplo 64 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad definida por Encuentre E(X) Solución Usando la definición de esperanza de X.iii) E(KX) = KE(X) iv) Si Y = A + BX entonces E(Y) = A + B E(X) Nota: Aceptaremos esto último como propiedad excusándonos del rigor ya que siendo Y = H(X) = A + BX. una función de una variable aleatoria. tenemos Ejemplo 66 . debiéramos haber desarrollado dicho tema. lo tomaremos como válido. Por ello. No se considera “fuera de la zona confusa” a los intervalos (-∞. 4.7 VARIANZA DE UNA VARIABLE Sea X una variable aleatoria. 0) y (4/3. la división medida tiene la siguiente función de densidad de probabilidad b) Sea F el evento “El producto está fuera de la zona confusa”. debemos calcular la probabilidad del evento F. Después que se realiza el proceso de codificación. 1).Una máquina produce un artículo que es revisado(inspección de 100%) antes de ser despachado. El instrumento de medición es tal que es difícil leer entre 1 y 1 (datos codificados). Diremos que V(X) es la varianza de la variable aleatoria de X y la definiremos como la . para saber qué fracción de los artículos caen fuera de la zona confusa. Sea E(X) su valor esperado. +∞ ) por cuanto la función de densidad es 0 en dichos intervalos. El producto está fuera de la zona confusa si la medida de su división se encuentra en el intervalo (0. Si V(X) es la varianza de la variable aleatoria X.52 = 0. definimos a X como la Desviación Estándar de X tal que σX= √(V(X)) Propiedades de la varianza V(K) = 0 V(K + X) = V(X) V(KX ) = K2 V(X) Si Y = A + BX entonces V(Y) = B2V(X) Nota: Hacemos la misma acotación mencionada en el caso de la esperanza de X. es decir.75)(1/2) = 0.5 Obtención de la varianza V(X). Ejemplo 67 Si se lanza una moneda tres veces. Si V(X) es la varianza de X. V(X)= E[(X-E(X))(Y-E(Y)) ]2 TEOREMA.(E(X))2 Notación: V(X) = E(X2) – μ2 Desviación estándar Sea X una variable aleatoria.866 Ejemplo 68 .esperanza del cuadrado de los desvíos de la variable respecto de su valor esperado o media. cuál es el número esperado de caras que se obtendría? Con que varianza y desviación? Solución La función de probabilidad para X es X 0 1 2 3 p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Ya hemos visto que E(X) = 12/8 = 1. Por el teorema V(X) = E(X 2) – (E(X))2 Cálculo de E(X2): E(X2) = 02(1/8) + 12(3/8) + 22(3/8) + 32(1/8) = 24/8 = 3 Luego V(X) = 3 – 1.75 La desviación estándar: σX = (0. entonces V(X)= E(X2 ). 092 = 1.La demanda de un determinado producto es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es la siguiente: a) Hallar el valor de k b) ¿Cuál será la demanda que se espera tener de dicho producto? c) ¿Cuál es la desviación estándar que experimenta la demanda? Solución a) Para que p(x) se la función de probabilidad de X se debe cumplir Luego V(X) = 17.8 – 4.0644 De donde σX = 1.031Ejemplo 69 Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada viene dada por . su media y desviación.1/2 = 1/8 Si X ≥ 3 entonces p(x) = 1 – P( X < 3 ) = 1 – F(2) = 1 – 5/8 = 3/8 En otras palabras. la función de probabilidad de X viene dada por Para calcular la varianza debemos primero encontrar E(X) y E(X 2): E(X) = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(1/8) + 3(3/8) = 1 E(X2) = 02(1/8) + 12(3/8) + 22(1/8) + 32(3/8) = 2 Luego V(X) = E(X2) – (E(X))2 = 2 – 1 = 1 Coeficiente de variación Sea X una variable aleatoria con μX y σX. .Calcule la varianza de la variable Solución Ante todo encontremos la función de probabilidad de X. Si X < 0 entonces p(x) = 0 Si 0 ≤ x < 1 entonces p(x) = F(0) – P(X < 0) = 1/8 – 0 = 1/8 Si 1 ≤ x < 2 entonces p(x) = F(1) – P(X < 1) = 1/2 – 1/8 = 3/8 Si 2 ≤ x < 3 entonces p(x) = F(2) – P(X < 2) = 5/8 . Diremos que CV(X) es el coeficiente de variación de X tal que CV(X)= σ/μ En términos porcentuales el coeficiente de variación mide el porcentaje de variabilidad de los valores de una variable respecto a su media esperada. De F podemos decir que X es una variable aleatoria discreta. Expresa el grado de dispersión de los datos alrededor de su promedio esperado. respectivamente. está definida por la variable aleatoria X. respectivamente.61%.Ejemplo 70 Una empresa dedicada a la comercialización de materiales de construcción ha establecido que la demanda de sus clientes potenciales en una nueva zona de Lima. Calcular a) La media de X2 b) La varianza de 2X + 3 c) La desviación estándar de 2X + 3 . Esto sin duda representa un margen de variabilidad muy leve. Ejemplo 71 La media y la varianza de una variable aleatoria X son 50 y 4. en miles de unidades. con función de densidad definida por a) ¿Cuál es la demanda esperada diaria? b) Calcule e interprete el coeficiente de variación Solución a) Obtención de la esperanza de X: La demanda de materiales de construcción por los clientes potenciales de la empresa presentan un grado de dispersión relativa de 13. con lo cual &simga.2.1 Costo total de los cuatro productos: $ 40.0.1 y 0. deberá comprar el lote? Solución Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de artículos defectuosos en el lote”. el comerciante asigna probabilidades de 0. Según los datos. 1. a) La media de X2: μX2 = E[X2] = 2504 b) La varianza de 2X + 3 Sea Y = 2X + 3. &simga. 1.1 a los eventos que haya 0. 4 con una distribución definida por X 0 1 2 3 4 p(x) 0. 2.d) La varianza de –X Solución De acuerdo a los datos μX = E[X] = 50. entonces E[X2] = 2504.1 0. Aplicando propiedades de varianza de una variable definida como una función de otra variable ( Y = H(X)). tenemos: V[Y] = V[2X + 3] = 22V[X] + V[0] = 4V[X] = 4(4) = 16 c) Puesto que la desviación de una variable es la raíz cuadrada de la varianza de la variable entonces. Un comerciante puede todos los artículos en buen estado a $ 20. si V[X] = E[X2] – (E[X])2. Basado en su amplia experiencia. X puede tomar valores 0.0 por todo el lote.5 0.5. 0.1.0 . 2.2 = V[X] = 4 Del mismo modo. 0. usando el resultado del inciso anterior σ(2X + 3) = √(2X+3) = √ 16 = 4.1 0. 0. tenemos Y = (-1)X.0 cada uno.2 0. 3 y 4 artículos defectuosos en el lote. pero todo artículo defectuoso representa una pérdida completa de $ 10. Apliquemos ahora la propiedad de varianza de una constante por una variable (P2): V[Y] = V[(1)X] = V[X] = 4 Ejemplo 72 Una tienda de accesorios para vehículos está rematando cierto número de artículos entre ellos un lote formado por cuatro productos al precio de $ 40. Si no es posible ninguna inspección. d) Sea Y = -X Arreglando adecuadamente a Y.X = 4. 3.0 Ingreso total si los cuatro productos son buenos: $ 80. respectivamente. Ejemplo 73 Sea X una variable aleatoria cuya distribución de probabilidades es la siguiente: X 0 1 2 3 4 p(x) 1/8 1/4 1/4 1/4 1/8 Calcular E[2X +1].5) = 6 Ejemplo 74 Sea X una variable aleatoria con función de densidad definida por f(x) = x/18.1) = 1.2) + 3(0. Si Y = 40 – 10X entonces E[Y] = 40 – 10E[X]. Según el problema. Con lo cual . Y = 80 – (40 + 10X) = 40 – 10X. entonces 10X es el total de la pérdida. 0 ≤ x ≤ 6.1) + 1(0. el comerciante debe comprar el lote. 0 ≤ x ≤ 6. V[X]. hallar la esperanza y la varianza de Y usando dos procedimientos diferentes. con lo cual E[Y] = 28. aplicando propiedades E[Y] = E[2X+1] = 2E[X] + 1 = 2(2) + 1 = 5 V[Y] = V[2X+1] = 4V[X] + 0 = 4(1. Por tanto. Si Y = 10 + 2X. V[2X + 1] Solución Hallaremos primero E[X] y V[X]: E[X] = 0+1/4+2(1/4)+3(1/4)+4(1/8) = 2 V[X] = E[X2] – (E[X])2 = 0+1/4+4(1/4)+9(1/4)+16(1/8) – (2)2 V[X] = 1.6. Puesto que E[X] = 0(0.5 Si hacemos Y = 2X +1 entonces. Para responder a la pregunta definamos a Y como la ganancia obtenida al vender los cuatro productos. hallaremos primero estos valores: Según los datos f(x) = x/18.0.1) + 4(0.Si por cada producto defectuoso se pierde $ 10. Hallemos la esperanza de Y. Solución Usaremos propiedades de esperanza y varianza para resolver el problema: Como para hallar la esperanza y varianza de Y se requiere conocer previamente la esperanza y varianza de X.5) + 2(0. entonces C = 100 + 20(X – 2) ya que por cada día adicional a los dos primeros días. se tiene un costo de 20 soles. entonces C = 100. Sin embargo. digamos X. después de dos días. por lo que. cuyo comportamiento es reflejado mediante la función de densidad f(x) = 1/3 en el intervalo de uno a cuatro días. el costo de la demora se fijó en 100 soles. para cualquier demora de hasta dos días. La función de densidad de X es Sea C la variable que representa el costo por la demora en el suministro de los materiales. El suministro de estos materiales está sujeto a un tiempo de demora. el costo de la demora es de 20 soles adicionales por cada día de demora. si x  2. de acuerdo a los teoremas de valor esperado de una función de variable aleatoria. Si el material almacenado le permite prescindir del pedido hasta por dos días. Esto no sugiere que C puede definirse de la siguiente manera Podemos apreciar que C es una función de una variable aleatoria. De acuerdo al problema.Luego V[X] = 18 – 42 = 2 Si Y = 10 + 2X entonces E[Y] = 10 + 2E[X] = 10 + 2(4) = 18. pero si x > 2. V[Y] = 0 + 4V[X] = 8 Ejemplo 75 Imagina es una compañía constructora de rascacielos en el centro financiero de Lima. Y f(x) = 0 si el número de días cae fuera de este intervalo. Igualmente. tenemos . Calcular el valor esperado del costo para la compañía debido a la demora en el suministro de estos materiales? Solución Sea X el tiempo de demora en recibir los materiales. que un cajero tarda en atender a un cliente durante las horas de mayor demanda. . Para ello se deben vender 8000 boletos a $ 5.2e-0. X toma el valor –10 siempre que ocurre el evento P1 ∩ P2 . El premio consiste en la entrega al ganador de la rifa de un automóvil cuyo costo es de $ 12.000. su ganancia será $ 12000 – 10. tenemos 83 = K(50) – 5(5) + 8.0 cada uno. Ejemplo 77 Una institución benéfica decide recaudar fondos mediante la realización de un evento popular sorteando un automóvil 0 Km. entonces E[C] = 83. Si uno de los boletos sale premiado. luego los valores de X son: -10 y 11990. que corresponde al cuarto ramal inferior. Si ninguno de los boletos sale premiado. el costo esperado de demora para la compañía será de 113. tenemos E[C] = E[KX2 .5X + 8] = K E[X2] – 5 E[X] + 8 (1) Por otro lado. Encontremos ahora sus respectivas probabilidades.2x donde x > 0. Si una persona adquiere dos boletos. ¿cuál será la ganancia esperada de esta persona? Solución Sea X la ganancia esperada de una persona.33 soles. como V[X] = E[X2] – (E[X])2 entonces E[X2] = V[X] + (E[X])2 = 25 + 25 = 50 Reemplazando los valores conocidos en (1). en cuyo caso su ganancia será 0 que recibe como premio menos lo que le costó los boletos: 0 – 10. Veamos qué valores toma X: En principio la persona gasta $ 10.0 en los dos boletos de la rifa. Ejemplo 76 El tiempo X. Luego K = 2. Suponga que la media y varianza de X son 5 y 25.5X + 8 Obtenga el valor de K si se espera tener por cliente un costo total de 83 soles Solución Si el costo total esperado es de 83 soles. Si el costo que el cajero tarda en atender a cada cliente se define según la ecuación C = K X 2 .Luego. Aplicando propiedades de valor esperado a la función del costo total. se distribuye exponencialmente con una función de densidad dada por f(x) = 0. 001 Probabilidad de que no haya accidente Si X se define como : 0.0.99975 p(11990) = P(X = 11990) = 1 . Ejemplo 78 Una persona desea asegurar su vehículo por un monto de $ 50. Solución Monto asegurado Monto de la prima : $ 50.001 X = K siempre que no ocurra ningún accidente. es decir.99975 0. Como la ocurrencia de los eventos “Tres primeros ramales” y “El último ramal” son complementarios.99975 = 0.Observamos que la persona que compró los dos boletos puede ganar el automóvil por cualquiera de tres primeros ramales del árbol.000 dólares?. es decir P(X = 50000 – K) = 0. Sólo pierde por el último.000 pagando una prima igual a K dólares.99975) + 11990(0.991 .000 :$K Probabilidad de un accidente : 0.P(P1’ ∩ P2 ’) = 1.00025 Luego la distribución de probabilidad de X viene dada por X -10 11990 p(x) 0. La compañía aseguradora sabe que la probabilidad de que el vehículo sufra un accidente contemplado en el contrato es 0. P(X = K) = 0. Qué prima deberá cobrar la compañía si espera ganar $1. entonces p(-10) = P(X = -10) = P(P1' ∩ P2') = P(P1 ∩ P2’) P(P1')P(P2’/P(P1') = 7999/8000x7998/7999 = 0.01.00025) = -7 Se concluye que se espera que la persona pierda $ 7.0.00025 Con lo cual E(X) = (-19)(0.991 : Ganancia de la compañía de seguros Entonces los valores de X son: X = 50000–K siempre que ocurra un accidente. Sea Y la variable que define la utilidad que obtiene mensualmente el consultor.99 Puesto que la compañía desea que E[X] = 1000.500 por el yate.01) + (K)(0.05(3000) = 1150 . Reemplazando en E[Y]. Es decir los beneficios de la empresa se espera que sean de $ 3000.La distribución de probabilidades de X es la siguiente X K . entonces sus utilidades mensuales se define como Y = 1000 + 0.50000)(0. entonces 1000 = E[X] = (K . obtenemos K = 1500. Aplicando propiedades a Y. tenemos E[Y] = 1000 + 0.05X] = 1000 + 0. que representa el beneficio mensual que la empresa espera obtener. Obtendremos ahora E[Y]. tenemos E[Y] = E[1000 + 0. Obtención de E[X].99) Despejando K.50000 K p(x) 0.01 0. Como éste recibe honorarios fijos de 1000 más el 5% del beneficio que es X. Ejemplo 79 Un agente de bolsa cobra mensualmente honorarios fijos de $ 1000 más una comisión del 5% sobre el beneficio que su empresa obtiene por gestiones de consultoría que realiza.05E[X]. El beneficio que la empresa recibe mensualmente(en miles de dólares) se define como una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad viene dada por a) ¿Cuánto de utilidad espera obtener el consultor? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el consultor obtenga utilidades superiores a $ 1180? Solución a) Sea X la variable aleatoria que representa el beneficio que obtiene la empresa mensualmente.05X . Luego la compañía aseguradora debe cobrar una prima de $ 1. Luego debemos encontrar P(Y >1180).001 Probabilidad de una pérdida de 50%: 0. Esto es posible si pudiéramos conocer la función de densidad de Y. ¿Qué prima tendría que cobrar la compañía de seguros por una póliza anual para “salir a mano” con todas las pólizas de $ 20. entonces X = K – 10. con una probabilidad de 0. entonces X = K – 20. la probabilidad de que las utilidades del consultor sean superiores a $1180 es de 0. con probabilidad igual a 1 – (0.180) = P(0. entonces X = K.010) Luego podemos construir la distribución de probabilidad de X X K .000) = P(X > 3.05X >1. de acuerdo a datos históricos.20000 K .180 – 1. como no es así.000 + 0.05X>1.01. usaremos el siguiente procedimiento: P(Y >1180) = P( 1. Utilidades del consultor superiores a $ 1180 se puede expresar como Y >1180.08 Ejemplo 80 Un comerciante desea adquirir una póliza de seguro de $ 20.10000 K . ignorando todas las otras pérdidas parciales? Solución Según los datos: Monto de la póliza : $ 20.001 y una pérdida parcial del 50%.6) = Es decir. con una probabilidad de 0.000 Monto de la prima :K Probabilidad de una pérdida total : 0.000 de ese tipo.Finalmente diremos que las utilidades esperadas del consultor son de 1150 dólares mensualmente.000 para asegurar su nueva casa asentada en un área que.01 Si no hay pérdida.000 con probabilidad igual a 0. puede sufrir una pérdida total en un año.001 Si hay una pérdida de 50%.001 + 0.010 Sea X la variable aleatoria que representa : Ganancia de la compañía de seguros Veamos los valores que toma X: Si hay una pérdida total.000 con probabilidad igual a 0. si hay un accidente con 20% de daño.000 de forma tal que su ganancia esperada sea cero? Solución Según los datos: Precio del automóvil Monto de la prima : $ 4. aportan la siguiente información: La probabilidad de que un automovilista asegurado tenga un accidente automovilístico.001 0. mientras que la probabilidad es de 0.80.12.989) de donde K = 120. Como el valor del automóvil es de $ 4. ¿Cuál debe ser el valor de la prima que la Compañía de seguros debe cobrar por un automóvil que vale $ 4.80 Probabilidad de accidente con 60% de daño: 0.15. el daño al automóvil representa el 20% de su valor en el mercado.08 Sea X la variable aleatoria que representa : Ganancia de la compañía de seguros Veamos los valores que toma X: El diagrama de árbol anterior nos permite obtener los valores de X.08.989 Como por otro lado. con una probabilidad de 0. es de 0.001) + (K – 10000)(0.010) + K(0.010 0. representa un 60% de su valor en el mercado con una probabilidad de 0.12 Probabilidad de una pérdida total : 0. E[X] debe ser cero para que la compañía pueda “salir a mano”. es decir que la compañía de seguros debe cobrar una prima anual de $ 120 “para salir a mano”.p(x) 0. si se produce una pérdida total.000 y la prima a cobrar es K. es decir P(X = K –800) = 0. entonces X = K – 800. Si ocurre un accidente.80x0. entonces 0 = E[X] = (K – 20000)(0.000 :K Probabilidad de accidente con 20% de daño: 0. Ejemplo 81 Los accidentes registrados por una Compañía de Seguros de automóviles.15 . es decir P(X = K – 4000) = 0.0 Ejemplo 83 Una estación de gasolina recibe provisión semanalmente. X. La utilidad esperada por artículo es US$ 2. es decir P(X = K –2400) = 0.012)+K (0.08x0.5 – 0. Los datos recogidos en épocas pasadas sugieren que la función de densidad de probabilidad de las ventas semanales. Finalmente.4000)(0. Tomando valor esperado a Y. En efecto Por tanto E[Y] = 6. Por ello es que hemos multiplicado por 0.85) de donde K = 187.5X. como E[X] debe ser cero.5X + 2. Luego la Compañía debe cobrar una prima de $ 187. de acuerdo a las propiedades tenemos: E[Y] = 6.15 X = K – 4000. Según esto debemos encontrar el valor esperado del precio por artículo primero.5 – 0. Solución Sea Y la variable aleatoria que representa la utilidad por artículo. entonces 0 = E[X] = (K . El costo de producción está relacionado al peso del artículo de acuerdo a la siguiente función de X: C = 0.15 X = K.5E[X]. se aproxima a la función cuya gráfica se muestra en la siguiente figura: .2 para no perder ni ganar.12x0. si no hay accidente.5(9) = 2. y esto ocurre con probabilidad igual a 0.5 – C.018)+(K .5 – 0.X = K – 2400. es decir Y = 6. Según los datos Y = 8. Determine la utilidad esperada por artículo. si hay un accidente del 100% de daño. si hay un accidente con 60% de daño. cuya función de densidad viene dada por El precio de venta de cada artículo se fija en US $ 8. Ejemplo 82 Sea X una variable aleatoria que representa el peso de un artículo en onzas.5.15.2400)(0.12) + (K .2.85 Debemos tomar en cuenta que X toma los tres primeros valores siempre que hay un accidente.15 a cada uno de estos valores. medidas en miles de galones. Y esto ocurre con probabilidad igual a 0.800)(0. Ecuación de L1: y = cx Ecuación de L2: y = c Ecuación de L3: y = 5c – 2cx Luego la función de densidad de X. en términos de la constante c es a) Obtención del promedio de ventas semanales.a) Encuentre el promedio de ventas semanales b) Supongamos que el administrador de la estación tiene un sueldo básico de 1200 soles por semana. Tiene también una bonificación de 50 soles por cada millar de galones vendidos semanalmente. ¿Cuál será el ingreso total que espera tener el administrador por semana? Solución Obtención de la función de densidad de X. . compañía de Seguros vende una póliza de seguros a MillWard.01 Si el producto resulta con éxito moderado. E[X] = 0. Si dicha máquina no tiene la unidad posicionada de manera apropiada.01 + 0.85 Luego E[X] = (K-80000)(0.8 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. X = K – 20. es decir. la pérdida será de US $ 20.000.000 con probabilidad 0. resultando de ese modo un ciclo que produce menos de diez unidades. sin considerar otros tipos de posibles pérdidas?. entonces se debe cumplir que no debe tener ganancia. Puesto que sólo desea cubrir sus gastos.01 y 0. pero que decide expandirse al mercado latino el cual no conoce y que por lo mismo decide cubrir las posibles pérdidas en la comercialización de su nuevo producto.01) + (k-20000)(0.b) Si definimos a Y como la variable que representa el ingreso semanal del administrador. Ahora bien. Si el producto no tiene salida.05) + K(0.05. X = K – 80.85 Ejemplo 84 La Futura. una empresa líder en mercadeo en Europa. su función de probabilidad viene dada por . Si el éxito que obtiene es moderado. Basados en historias de mercadeo en dicha región se sabe que las probabilidades de que el producto resulte ser un completo fracaso o un éxito moderado son 0. y la posición del torno permanece abierta. Un estudio del funcionamiento pasado de esta máquina indica que si X es una variable aleatoria que representa el número de posiciones abiertas. Qué prima deberá cobrar la compañía de seguros por la póliza si sólo desea cubrir sus gastos. Si el producto resulta en un completo fracaso. Sea K la prima a cobrar. entonces Y = 1200 + 50X. 4. El ingreso total esperado es E[Y].357) = 1267. Esto es E[Y] = 1200 + 50E[X] = 1200 + 50(1. Por tanto la compañía de seguros debe cobrar una prima de US $ 1800 si sólo desea cubrir sus gastos. éste cae.000. respectivamente.05 Pero si no hay pérdida. Solución Definamos a X como la ganancia que la compañía de seguros obtendrá. entonces X = K. esto ocurre con probabilidad 1 – (0.85) = 0 De donde se tiene K – 1800 = 0.05) = 0. la compañía sufrirá una pérdida de US $ 80.000 con probabilidad 0. Una máquina posee 10 posiciones del torno diferentes que permite productos de diferente calibración. X. encuentre a) la función de probabilidad de Y b) la media y varianza de Y (E(Y) y V(Y)) 2. 4. El contenido de cloro de un determinado compuesto es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad: La utilidad que se obtiene de esta aleación es P = 10 + 2X a) Encuentre la distribución de probabilidad de P b) ¿Cuál es la utilidad esperada? 3. T. El fabricante estima el tiempo de falla(en años). Un fabricante de aparatos de televisión a color ofrece un año de garantía de restitución gratuita si el tubo de imagen falla. como una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: a) ¿Qué porcentaje de aparatos tendrá que reparar? b) Si la utilidad por venta es de $200 y la sustitución del tubo de imagen cuesta $200. para la terminación sigue la siguiente distribución de probabilidad: La utilidad del contratista es Y = 2000(12 – X) a) Encuentre la distribución de probabilidad de Y .Si la pérdida debida a posiciones vacías viene dada por Y = 20x 2. Un contratista ofrece realizar un proyecto. Los días requeridos. encuentre la utilidad esperada del negocio. de un determinado evento A ⊆ Ω. La señal puede recibirse si Y > y0. es decir. Encuentre la función de densidad para Y. Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no. Si definimos a X como la variable aleatoria que representa “El número de . corresponde a . f(z) = 1/(2π) 0 ≤ x. 6. La demanda de un anticongelante en una determinada temperatura se considera como una variable aleatoria X. Determine el ingreso esperado por galón en el caso en el que f(z) = 1. Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no de un cierto evento tal como A. 0 ≤ z ≤ 1. Si el porcentaje de Z es menor que 0. La posición rotacional(ángulo) se representa por X. la gasolina es de 95 octanos y se vende a 9. y se debe conservar cualquier exceso durante el siguiente año a un costo de 25 centavos de dólar por litro. los resultados son independientes Distribución de Bernoulli Sea ζ un Experimento de Bernoulli y Ω. determine el nivel “óptimo” de existencias para un final de temporada particular.b) Determine E(X). la probabilidad de éxito es constante. entonces 0  Z  1. Si Z es la variable aleatoria que representa el porcentaje. entonces = 1 – p = 1 – P(A) = P(A’). es decir. Por ejemplo. con p = P(A). 106 ≤ x ≤ 2x106 donde X se mide en litros. El porcentaje de cierto aditivo en gasolina. si q representa la probabilidad de fracaso. La ocurrencia o no del evento A no influye en los resultados de la repetición del experimento. Sea p = P(A) la probabilidad de la ocurrencia de A. probabilidad de éxito y diremos que hay fracaso si A no ocurre. E(Y) y V(Y). La estación terrena de Lurín tiene una antena rotatoria que recibe señales de dos formas.92 soles por galón. 5. Cada vez que se ejecuta el experimento p es siempre la misma. Si el porcentaje de Z es mayor o igual a 0. 7. con función de densidad definida por f(x) = 10-6.70.9 DISTRIBUCIONES CONOCIDAS: CASO DE VARIABLE DISCRETA Experimento de Bernoulli Sea ζ un experimento y Ω el espacio muestral asociado a ζ. Diremos que este experimento constituye un Ensayo de Bernoulli si posee las siguientes características: La realización de este experimento genera dos únicos resultados posibles: ocurre el evento A o no ocurre. determina el precio de venta. f(z) = 0. el espacio muestral asociado a .70. 4. la gasolina es de 97 octanos y se vende a 10. y0 = 1.98 soles por galón. y puede suponerse que esta posición en el tiempo en el que se recibe una señal es una variable aleatoria(por la variabilidad de la señal) con la densidad que se indica a continuación. donde Y = tan(X). y 0 en otros casos. en cuyo caso. V(X). ≤ 2π y 0 en otros casos. diremos que hay éxito si ocurre A. Si el fabricante encuentra una utilidad de 50 centavos de dólar por cada litro que vende al final de año. x) px(1-p)n-x. entendida como la probabilidad de éxito. lo cual denotaremos por X → B(n.Binom(m. Usaremos como notación la siguiente expresión: X → Be(p) para indicar que la variable aleatoria X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p. 1. para X = 0. 2. Supongamos también que. Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli. entonces su función de distribución viene dada por p(x) = P(X = x ) = p ( 1 – p ) 1 – x.. cada vez que ocurre el evento A. Teorema Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros n y p. diremos que se obtuvo éxito con probabilidad p y no hubo éxito con probabilidad q = 1 – p. Sea A el evento en el cual estamos interesados. .tipo) = P(X ≤ k) Donde m: Representa el número de éxitos que se desea que ocurra n : representa el número de veces que se realiza el experimento p : representa la probabilidad de éxito tipo : Es 1 o Verdadero si se desea P(X ≤ k). 1 Teorema Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli. entonces su distribución de probabilidad es p(x) = P(X = x) = C(n. entonces μX = E[X] = np σ2X = V[X] = n p (1-p) = npq Problemas de Binomial usando Excel Excel dispone de la siguiente función para resolver problemas de Binomial: = Distr. diremos que X es una variable aleatoria que tiene Distribución Binomial con parámetros n y p.p.n. Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros n y p.1 Distribución Binomial Sea ζ un Ensayo de Bernoulli y Ω el espacio muestral asociado a ζ. x = 0. con parámetro p. diremos que X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli con parámetro “p”. Es 0 o Falso si se desea P(X = k) Ejemplo 85 Se lanzan dos dados cuatro veces. Si X es una variable aleatoria definida como “El número de veces que ocurre éxito en las n repeticiones del experimento”..9.veces que ocurre éxito cada vez que se realiza el ensayo de Bernoulli”. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma 9 aparezca exactamente dos veces? . Supongamos que dicho ensayo se repite n veces. n.. p). entonces μX = E[X] = p y σ²X = V[X] = p (1-p) = pq 4. 4. hasta completar los 5 de la muestra. con lo cual p = 1/9. p=0.Solución Si lanzamos una vez los dos dados.05.0. Luego p(x) = P(X = x) = C(5.95)5-x. 2)(1/9) 2(8/9)2 = 0. x)(0.058527 Usando Excel: P(X = 2) = Distr.0) Ejemplo 86 Una máquina produce cierto tipo de piezas. 2)(0.05)x(0. 1.05. No sabiendo cuántas defectuosas tiene el lote. Sea X la variable aleatoria que representa “El número de veces en que la suma es 9”.22622 Usando Excel: P(X ≥ 1 ) = 1 – P(X < 1) = 1 – Distr. p(2) = P(X = 2) = C(4. x = 0. X tiene distribución binomial B(n = 4.02143 Usando Excel: P(X = 2) = Distr.95)3 = 0.1) Ejemplo 87 La probabilidad de hacer una venta en un intento. 3.95)5 = 0. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a) exactamente dos ventas en tres intentos de ventas consecutivas? . 5.1/9. de cierto vendedor. 3. 4.0. es 1/2. Llamemos a esta ocurrencia éxito.05) 0(0.0) b) Por lo menos una pieza defectuosa significa es P(X ≥ 1) P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C(5. x) px(1-p)4-x . Según lo dicho. 1. su función de probabilidad será p(x) = P(X = x) = C(4. de las cuales el 5% en promedio son defectuosos. Esta probabilidad sigue siendo la misma cuando se extrae la segunda o las siguientes piezas. 2.Binom(2. Respondamos ahora a las preguntas: a) Exactamente dos piezas defectuosas significa encontrar p(2) = P(X = 2) = C(5 . supondremos que la probabilidad de éxito(la de extraer una pieza defectuosa) es constante. Según la definición. 2.05)²(0.Binom(2.5. p = 1/9).05). Por ello si X representa el número de piezas defectuosas en la muestra. 0)(0.Binom(0. la probabilidad de que la suma sea 9 es 1/9.4. De acuerdo a la pregunta. para x = 0. entonces diremos que X tiene distribución Binomial y X → B(n=4.5. En una muestra aleatoria de 5 piezas ¿cuál es la probabilidad de obtener a) exactamente dos piezas defectuosas? b) por lo menos una pieza defectuosa? Solución En este ejemplo la probabilidad de extraer una pieza defectuosa es 0.05. x)(0.375 b) Por lo menos una venta significa que ocurre el evento X ≥ 1. Se sabe que el 6% de los artículos que produce la máquina A son defectuosos. calcular la probabilidad de obtener tres artículos defectuosos. entonces P(X ≥ 1) = 0.9375 de obtener por lo menos una venta? Solución a) Si definimos a X como “El número de ventas en tres intentos de ventas consecutivas” y p = 0.0625 Tomando logaritmo a ambos miembros tenemos n = Ln(0. Por lo que debemos encontrar P(X ≥ 1). mientras que solo el 3% de los artículos producidos por la máquina B son defectuosos. con n = 3. de donde P(X = 0) = 0. De acuerdo a los datos.5)3 = 0.0625)/Ln(0. 1.5) = 4. 3 Según esto. P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 0.0625 De acuerdo a la función de distribución.5)x(0. 0)(0.5)n = 0.875 c) Por lo menos una venta significa X ≥ 1.9375. 2.9375. diremos que X tiene distribución binomial con función de probabilidad definida por p(x) = P(X = x) = C(3. p(2) = P(X = 2) = C(3. para tener la probabilidad de por lo menos una venta igual a 0. Ejemplo 88 Suponga que la máquina A produce el doble de artículos que la máquina B. Solución . su probabilidad de ocurrencia es P(X ≥ 1) = 0. x)(0. Como P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0).9375.25 Luego el número de intentos necesarios será 4.5. x = 0. P(X = 0) = C(n. Si al final de un día de producción se juntan las dos producciones y de ella se toma una muestra aleatoria de 10 artículos.2)(0.5)3 .b) ¿por lo menos una venta en tres intentos de ventas consecutivas? c) ¿Cuántos intentos de ventas consecutivas deben hacerse para obtener una seguridad de 0. es decir.5)3-x = C(3.5n = 0. entonces X → B(n=6. un defectuoso puede provenir de la máquina A o de la máquina B. es 1/2.05)x(0. la probabilidad de que se haya elegido uno de los días en los cuales trabaja Yaco. Yaco trabajará los Lunes. Con el propósito de evaluar los errores que ellos cometen. con probabilidad 1/6. Jueves y Sábado.05. ….El diagrama de árbol grafica claramente la característica del problema. Miércoles y Viernes. Ahora volvamos al problema. entonces X tiene distribución binomial con parámetros n = 10 y p = 0.95)10-x . Como Yaco y Báslavi trabajan el mismo número de días de la semana. Como la muestra de la que se extrae los documentos a ser examinados es n = 6. Encontremos el valor de p: la probabilidad de que el documento seleccionado de la muestra sea defectuoso. se elige un día de la semana y en ese día se toma una muestra de 6 documentos. 2. x)(0. al seleccionar un producto.95)7 = 0. la probabilidad de extraer un producto defectuoso.05)3(0. la probabilidad de que este provenga de la máquina A es 2/3. 3. es decir la probabilidad de obtener un producto defectuoso del total de la producción de un día es p = (2/3)(0. Esta es la probabilidad de éxito. tenemos: . Por otro lado. mientras que Báslavi lo hará los Martes. Si X es el número de productos defectuosos en una muestra de n = 10 artículos. mientras que Báslavi lo hace uno de cada seis. entonces. y de que provenga de la máquina B es 1/3. mientras que Báslavi lo hace uno de cada 6. 9. 1. De suerte que la probabilidad de extraer un documento mal archivado por Yaco será p = (1/2)(1/5) + (1/2)(1/6) = 11/60.03) = 0.05. p). 10 Con lo cual p(3) = P(X = 3) = C(10. 3)(0.01047 Ejemplo 89 El departamento de finanzas de una empresa capitalina contrata los servicios de dos empleados a tiempo parcial: Yaco y Báslavi. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente tres documentos mal archivados? Suponiendo que la muestra contiene exactamente tres documentos mal archivados. En primer lugar el número de documentos mal archivados por Yaco y por Báslavi es constante. x = 0. Yaco archivó erróneamente uno de cada cinco documentos.06) + (1/3)(0. Como lamáquina A produce el doble de artículos que la máquina B. ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido archivados por Yaco? Solución Definamos la variable aleatoria X como el “Número de documentos mal archivados”. Luego su función de distribución es p(x) = P(X = x) = C(10. Yaco archiva mal con probabilidad 1/5 y Báslavi. por cuanto Yaco archiva mal uno de cada 5. Ahora respondiendo a las preguntas. Calcular P(X > 5) P(5 < X < 10) P( X < 10) Solución Si X → B(n.8.6.6 = 20 Luego X → B(n=20.2) 3x(0. Reemplazando p en la media obtenemos n = 12/0.04096 Luego P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A ∩ X = 3) / P(X = 3) = 0.0671 P(A ∩ B) = P(A ∩ X = 3) = 0.8 Resolviendo el sistema de ecuaciones: 1 – p = 4. Sea A el evento definido como “El documento fue archivado por Yaco” Sea B el evento “Hay 3 documentos mal archivados”.5xC(6.3)(0.4) .0671 Sea X la variable aleatoria definida como el Número de documentos mal archivados.p) entonces μ X = np = 12 y σ² X = np(1-p) = 4.p(3) = P(X = 3) = C(6. Debemos encontrar P(A ∩ B) ya que P(B) = 0. Como P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B).8/12 = 0. p = 0. es decir B = {x / x = 3 } Según esto debemos buscar la probabilidad P(A/B).4 de donde p = 0. cuya media es 12 y varianza 4. 3)(11/60)3(49/60)3 = 0.8)3 = 0.61019857 Ejemplo 90 Sea X una variable aleatoria con distribución binomial. . diremos que X tiene distribución binomial B(n=20.0. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte en más de 10 respuestas correctas? ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas? Solución De acuerdo a los datos. Si un estudiante que desconoce el curso contesta la prueba aleatoriamente. p = 0.20.2) = 4 . cada una de ellas tiene 5 respuestas posibles de las cuales sólo una es la respuesta correcta.2) y cuya función de probabilidad viene dada por El número esperado de respuestas correctas será E[X] = np = 20(0.6.Binom(10. p = 1/5 = 0.2 y si definimos a X como el “Número de respuestas correctas”.1) Ejemplo 91 Un examen consta de 20 preguntas. n = 20.Usando Excel P( X ≤ 10 ) = Distr. . es decir. 8.. medido en minutos. X. Si con propósitos de estudio se selecciona aleatoriamente.. los valores de Y serán 0.. estamos hablando entonces de otra variable: aquella que nos indica que pueden llegar 0. Puesto que se elige una muestra de 8 personas. Por ello definiremos a Y como la variable que representa “Número de personas que llegan en menos de 3 minutos a la ventanilla”. la probabilidad de éxito que viene dada por la probabilidad de que el valor de X sea menor de 3 minutos. Según esto. 2. 8 personas con un tiempo de arribo menor de tres minutos... es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad viene dada por Si con el propósito de estudiar el comportamiento de los clientes se elige una muestra aleatoria de 8 personas. 7.Ejemplo 92 El tiempo de arribo de clientes a la ventanilla de un banco. Ejemplo 93 El 1% de habitantes de una cierta ciudad de Latinoamérica sufre de problemas de daltonismo. 1. 7. Esta es una variable continua. y cada una de ellas tiene un tiempo de arribo determinado.. ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de las personas elegidas tengan un tiempo de llegada menor de 3 minutos? Solución Sea X la variable aleatoria definida como el tiempo de llegada a la ventanilla de un cliente. 1. Esta variable Y tiene distribución binomial con parámetros n = 8 y p. ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de los n habitantes sean daltonianos? ¿Cuál . un conjunto de n habitantes de dicha ciudad.. entonces la probabilidad de éxito.01. Los premios del juego son: Una bolsa de caramelo(valor de un peso). al insertar 5 argollas Una caja de cigarrillos(valor 31 pesos). como el hecho de que uno de ellos sea daltoniano o no lo sea. 2. ya que P( X = 0 ) = 0. Ejemplo 94 En una feria. entonces A = {X/ X = 0} P(A) = P(X = 0) = 0.01x0.1” Esta condición podemos expresarla simbólicamente como P(X = 0) < 0.. 1. Si definimos el evento A: “Ninguno de los habitantes es daltoniano”. n. al insertar 4 argollas Una botella de vino(valor de 17 pesos). lo que nos permite resolver en términos de una ecuación).. entonces X → B(n.01 (Es suficiente encontrar una cota superior en la desigualdad.n 0.99n Según a) tenemos P( X = 0) = 0.. Como la probabilidad de que un habitante cualquiera de dicha ciudad sea daltoniano es 0. p = 0. x = 0.01. 6. de donde n = 227. 4. Si resolvemos esta inecuación. con la siguiente condición: “La probabilidad de que ningún habitante sea daltoniano sea menor que 0.01. x) 0. 3. . aproximadamente. hallaremos el valor para n.99 = Ln 0. 1. Solución Sea X la variable aleatoria que representa “El número de argollas insertadas al lanzar 6 de ellas”. comprando un boleto de 10 pesos se puede participar en un juego que consiste en lanzar 6 argollas para insertarlo en una botella de madera. .99n = 0. 2. al insertar las 6 argollas Sabiendo que el jugador promedio tiene una probabilidad de 1/3 de insertar una argolla y que al día se vende en promedio 729 boletos. ¿cuáles son los ingresos netos diarios que el dueño del juego espera obtener.99n Ahora se trata de encontrar el valor de n. p = 0.99n = 0.01).99n-x. Luego p(x) = P(X = x) = C(n. los valores de X son: 0. al insertar de 1 a 3 argollas Un tarro de duraznos(valor de 4 pesos). no implica que algún otro lo sea.01 implica que n n Ln 0. Según esto. 5.1.debe ser el tamaño de la muestra elegida para que esta probabilidad sea menor al 10%? Solución Sea n el tamaño de la muestra y X la variable aleatoria definida como “El número de habitantes que tienen daltonismo”. 2 Distribución hipergeométrica Supongamos que se tiene una población finita de tamaño “N”. Supongamos que en esta población “r” elementos de ella poseen un determinado tipo de atributo. 3. diremos que X tiene Distribución Hipergeométrica. 4. Si se define la variable aleatoria X como “El número de elementos en la muestra que poseen dicho atributo”. la probabilidad de éxito de insertar una argolla. i = 1. Supongamos también que en esta población se realiza el experimento de extraer una muestra de tamaño “n” sin reposición(sin reponer los elementos extraídos). Como las 6 argollas representan la repetición de un ensayo de Bernoulli.9. 4. 6 Debemos aclarar que ocurre Y = 9 cuando X = 1 ó X = 2 ó X = 3 con lo cual p(9) = 592/729 Encontremos ahora E[Y]: E[Y] = (10)(64/729) + (9)(592/729) + (6)(60/729) + (-7)(12/729) + (-21) (1/729) = 6223 Es decir. H(N. entonces X tiene distribución Binomial B(n=6. entonces los valores que toma se muestran en el esquema anterior. n).Definimos a p = 1/3. r. p = 1/3). la ganancia neta que el dueño espera recibir diariamente será de 6223 soles. con p(yi) = p(xi) . cuya función de densidad viene dada por Si definimos a Y como la “Ganancia neta del dueño del juego”. 2. 5. . r y n lo cual denotaremos por X &rarr. de parámetros N. puesto que la muestra debe tener n elementos.x). n . que no lo posean. n). n). entonces P(A) = p(x) = P(X = x) debemos calcularla usando el siguiente razonamiento P(A) = Número de casos favorables / Número de casos posibles Si deseamos obtener x elementos de un total r elementos. Obtener la distribución de probabilidad si los artículos se eligen sin sustitución. el número de maneras de hacerlo es C(r. de parámetros N.x). r. el número de maneras de hacer esto es C(N. n . si del total de N elementos se desea extraer muestras de tamaño n. la función de distribución de X será Teorema Si X es una variable aleatoria que tiene distribución Hipergeométrica.r. se eligen 4 al azar. Sea X el número de artículos defectuosos encontrados. es C(r. lo que constituye el “número de casos favorables”. Por otro lado. el número de maneras de que x posean el atributo. Luego. x) Del mismo modo. 5 de los cuales son defectuosos. los restantes n – x deben ser obtenidos de un total de N – r. El número de maneras de hacer esto es C(N . entonces Ejemplo 95 De un lote que contiene 25 artículos.Si se define a X: “Número de éxitos obtenido en la muestra de tamañon” y definimos al evento A comoA = { x/ X = x }. Luego. x) C(N . H(N. . y n – x. r y n.r. Finalmente. 1. 2. 4-x) / C(25. 4.Hipergeom(k. 4-x) maneras. x) C(20. 4-x) / C(25. 5. 3. 4 -x). C(5. 4). 4).m. x defectuosos se puede elegir de C(5.n. 3.N) donde k : Representa el número de éxitos deseado n : Representa el número de experimentos o tamaño de la muestra m : Representa el número de elementos que tiene el atributo deseado N : Representa el tamaño de la población Ejemplo 96 Sea X una variable aleatoria con distribución Hipergeométrica de parámetros N = 10. Según la forma cómo se extraen los artículos. x) maneras mientras que 4-x nodefectuosos se pueden seleccionar de C(20. 5. Por otro lado. X tiene distribución Hipergeométrica con parámetros N = 25. 1. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: El rango de X es R X = {0. r = 5 y n = 4. entonces. 4. 2. 3. 4 Distribución Hipergeométrica en Excel: En Excel para evaluar P(X ≤ k) se debe usar =Distr. x = 0. 1. 3. x) C(20. 1. 5} La distribución de probabilidad de X es p(x) = 1/252 C(6. x) C(4.Solución Sea X la variable aleatoria definida como el número de artículos defectuosos elegidos en la muestra de tamaño 4. El valor esperado de X es 3 La desviación estándar de X es 2 . si B = {X = x } entonces P(B) = C(5. 4. 2. 4) . Si X = x es el evento “Elegir x artículos defectuosos”. 2. usando el principio de la multiplicación. el número de maneras de extraer 4 artículos de un total de 25 es C(25. x = 0. De manera que la función de probabilidad de X. el número de maneras de elegir x defectuosos y 4 -x no defectuosos es. es decir X  H(25. viene dada por p(x) = P(X = x) = C(5. 4). x = 0. 5-x). r = 6 y n = 5. x) C(20. Por ello. 66667 entonces σ = 0. 5-x) / C(10. es decir nunca ocurre el evento X = 0. 2. debemos extraer entonces. 2 votos impugnados? Solución De acuerdo al esquema. 4 y 5. 3. De acuerdo a las actas del escrutinio. Por ello el Jurado Nacional de Elecciones procedió a examinar 10 mesas con un total de 1450 votos. Luego P(X > 0 ) = 1.66667.5) Por ello p(x) = P(X = x) = C(48. Falsa.6057 = 0. La proposición es falsa. 2. Luego es verdadera. 5-x) / C(1450. Si σ2 = 0. X toma valores 0. x) C(1402. Si V[X] = 0.66667 por lo que μ = 3 y σ2 = Ahora veamos la verdad o falsedad de las proposiciones Puesto que el tamaño de las muestra es n = 5 y r = 6. 5 (1) donde μ = n r/N y σ2 = r/N (1 . Luego es verdadera.0. P(A) = 1 – P(A’) = 1 – P(X < 2 ) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1 ) = 1 . 2. se encuentren por lo menos. 4. Verdadera. x) C(4. x = 0. es  = 3 . ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 5 votos del total de las 10 mesas. X → H(1450. n = 5) entonces su función de distribución es p(x) = C(6. Luego la distribución de X puede ser expresada como se muestra. necesariamente un elemento de los que tienen la propiedad. El evento X = 0 significa extraer 0 de aquellos que cumplen cierta propiedad y por tanto. 4. 5. Sea A es el evento “Se encuentren por lo menos dos votos impugnados”. 1. 1.81649. resolviendo el denominador tenemos C(10. por lo que P(X = 0) = 0. por lo que hemos visto. 5) 4. 2. Ejemplo 97 En una localidad muy alejada de la capital. Dada la distribución en (1).84488 + 0.1)) 0. x = 0.48.r/N)((N-n) / (N . 5 de aquellos que no la cumplen. 3.5) = 252. se impugnaron los resultados de un proceso electoral. P(X > 0 ) = 1 – P(X = 0 ). Por tanto RX = {0.145 En Excel . se tenía 48 votos impugnados. 1.66667 y V[X] = E[X²] – (μ²) entonces E[X²] = 9. 3. 5}. Por ello la proposición es verdadera. 5) . El valor esperado de X.El valor esperado de X² es 2 El 100% de los valores de X son mayores que cero Solución Si X → H(N=10. 3. 1. r = 6. Puesto que éstos sólo son 4 y la muestra consta de 5. entonces μ = λ y Σ² = λ. 3) C(4. en caso contrario. Veamos P(X = 3) = C(7. sus errores son probabilísticamente altas. 5) = 0. consideraremos como tamaño de la población. estará equivocada y como tal. con r = 7.P(A) = P( X ≥ 2 ) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X ≤ 1 ) = 1 – Distr. 7. tamaño de muestra. ¿Cree Ud. 1. Puesto que esta no es la única vez que comete ese tipo de error. Ejemplo 98 María José. . Con la intención de tomar decisiones elige 5 nóminas aleatoriamente y encuentra errores en tres de ellas.1450). ¿La teoría de probabilidades respalda este argumento? Solución De acuerdo a los datos. N = 11. Debido a su estado emocional de ese día.Hipergeom(1. n = 5. confecciona 7 nóminas con errores. n.Distribución de Poisson Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores 0..3.1). Según esto X  H(11. Diremos que X tiene Distribución de Poisson cuyo parámetro es λ y su función de probabilidad es Notación Usaremos la notación X → P(λ) para indicar que X tiene una distribución de Poisson.. diremos que el argumento de la Señorita María José es válido y la teoría de probabilidades respalda su argumento. . es la encargada de la elaboración de la planilla para los 11 trabajadores de su empresa. La Señorita María José se defiende argumentando que el porcentaje de error es muy bajo para ser tomado en cuenta. n+1. 2) / C(11.5. . n-1. 5). Teorema Si X una variable aleatoria con distribución de Poisson. Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de nóminas confeccionadas con error”. Debemos hallar la probabilidad de que el número de errores en la muestra sea igual a 3. Si esta probabilidad es pequeña(digamos menor que 0.. Observación El programa Excel no dispone de una función que permita evaluar probabilidades cuando se trata de variables con distribución de Poisson. el Gerente de la empresa se encuentra descontento.48. que este es un buen argumento?..9.. 2.4545455 Luego el argumento de la Señorita María José no es válido 4. 26993 Ejemplo 102 .85 implica que 0.2. P(X ≥ 1) = 0.Al simplificar encontramos λ = 4/3. Resolvamos esta ecuación para encontrar &lambda: y después encontrar P(X = 2).85 = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0).2 entonces p(0) = = 0.21908 Ejemplo 100 Suponga que X es una variable aleatoria con distribución de Poisson.85.15.6094 + 1. Tomando logaritmo neperiano tenemos -λ = Ln(0.8971192 / 2! = 0. entonces p(x) = e -λλx / x!. Luego P(X = 0) = e-4/3(4/3)0 / 0! = e-4/3 ) = 0. según los datos P(X ≥ 1) = 0. 0 λ / 0! = 0.26359 Del mismo modo.15)0. Luego P(X > 2 ) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – [p(0) +p(1) + p(2) ] = 1 – 0.6094²/2) P(X > 2 ) = 0. de donde e &lamba. P(X = 1) = e-4/3(4/3)1 / 1! = 0.8971 Por tanto P(X = 2) = (0. ¿cuál es la probabilidad de que X tome como valor 2? Solución Si X → P(λ).2(1 + 1. Como P(X = 0) = e-λλ0 / 0! = 0.35146 Ejemplo 101 Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson tal que el 85% de sus valores son mayores o iguales que 1. con lo cual λ = 1. Calcular P(X = 0) y P(X = 1) Solución Como P(X = 2) = 2/3 P(X = 1) entonces e-λλ2 / 2! . de donde e -λ = 0. con parámetro λ y si P(X = 0) = 0. tenemos λ = 1.2).6094. Calcular P(X > 2). Por ello. entonces p(x) = P[X=x] = e-λλx / x!. Si P(X = 2) = 2/3 P(X = 1). Resolviendo para λ. Solución Si X tiene distribución de Poisson con λ de parámetro.2.Ejemplo 99 Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson.2. La pregunta consiste en encontrar el valor de K. Esto quiere decir que si hacemos K = 4 entonces P(X ≤ 4 ) = 0.El número de embarcaciones que llegan diariamente al muelle de Huacho tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = 2. se debe enviar al muelle de Huaura siempre que X > 3. Si a ello le sumamos P(X = 4) = 0.94735. tendremos 0. aquí X se define como “El número de embarcaciones que llegan al muelle de Huacho diariamente”. todos los excedentes deben ser enviados al muelle de Huaura. De acuerdo a esto Si la capacidad de atención del muelle es hasta 3 embarcaciones. En un día determinado. ¿cuál es la probabilidad de enviar embarcaciones a Huaura? ¿En cuánto deben ampliarse las actuales instalaciones portuarias de Huacho para permitir la atención de aproximadamente el 90% de la demanda diaria? ¿Cuál es el número esperado de embarcaciones que llega diariamente? ¿Cuál es el número más probable de embarcaciones que llegan diariamente? ¿Cuál es el número esperado de embarcaciones atendidos diariamente? ¿Cuál es el número esperado de embarcaciones enviados a Huaura diariamente? Solución Si X → P(λ = 2) entonces p(x) = P[X=x] = e -λλx / x!. Esto se hace con probabilidad Sea K la capacidad máxima de atención del muelle de Huacho después de ampliar hasta aproximadamente el 90% . Las actuales instalaciones portuarias pueden atender un máximo tres embarcaciones por día. Luego las instalaciones portuarias debieran ampliarse de tal forma que pueda atender hasta 4 embarcaciones. Por otro lado.85712. Para ello tomemos en cuenta la suma de los valores dentro del paréntesis y que están indicados por las flechas. siendo X la variable aleatoria que representa “El número de embarcaciones que llegan al muelle diariamente”. . puesto que E[X] = λ. Dicha suma. es 0.09022. . como lo indica el lado derecho. Si en un día determinado llegan más de 3 embarcaciones.94735. en aproximadamente el 90% del tiempo. el número esperado de embarcaciones enviadas a otro muelle será 2(0. Siempre que X  3 se atiende a la embarcación. podemos utilizar la distribución de Poisson como una forma de aproximar problemas con distribución Binomial. p) cuya función de distribución es .06).entonces  = E[X] representa el “Número esperado de embarcaciones que llegan diariamente”.85712) = 1.14288) = 0.06 y n = 100 entonces X B(n = 100. Luego es muy probable que lleguen al muelle de Huacho uno o dos embarcaciones diariamente. En el problema esto ocurre cuando X = 1 ó cuando X = 2. Esto ocurre con P(X3)= 0. Siendo X → B(n. Si un día determinado se seleccionan al azar a 100 automóviles y se les examina el tubo de escape. Es decir.14288. si cuando ocurre X > 3 se envía embarcaciones a otro muelle. esto es μ = λ = 2. ¿Cuál será la probabilidad de que más de 20 de estos vehículos presenten un tubo de escape defectuoso? Si definimos a X como “El número de automóviles cuyo tubo de escape es defectuoso”. p = 0. entonces El número esperado de embarcaciones atendidas será 2(0. Igualmente.71424. p) con μ = np. K será el valor más probable de X siempre que se cumpla que p(K) ≥ p(x).85712. Ante todo diremos que “El número más probable” es el valor que toma una variable aleatoria para el cual se tiene el mayor valor de probabilidad que en todos los otros valores de la misma. y sabiendo que en el caso de una Poisson λ = μ. Esto ocurre cuando la probabilidad de éxito “p” es pequeño y n es lo suficientemente grande. con p = 0. ∀x / x ε RX . y esto ocurre con P(X > 3 ) = 0. Sea Y la variable aleatoria que representa “El número de embarcaciones atendidos diariamente”. Una forma de obtener un resultado más aceptable es aproximar la solución mediante la distribución de Poisson. Teorema Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente B(n.28576 Aproximación de Poisson a una binomial Supongamos que se tiene la siguiente situación: El 6% de vehículos que transitan por las calles de Lima Metropolitana tienen tubos de escape defectuosos. Si por otro lado llegan en promedio dos embarcaciones. Si 10.2) = 2. Si se seleccionan aleatoriamente 10 artículos producidos por esta máquina.Ejemplo 103 Supóngase que la probabilidad de que un artículo producido por una máquina especial sea defectuoso es igual a 0.1 por ciento de la población tiene cierto tipo de accidente cada año. Según los datos del problema la probabilidad de éxito es p = 0. Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo 104 Una compañía de seguros ha descubierto que sólo alrededor del 0. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre más de un artículo defectuoso? Use la distribución binomial y la de Poisson y luego compare los resultados. es lógico que la aproximación no sea buena. Está demás decir que la variable tiene una distribución binomial con parámetros n y p.000 asegurados fueran seleccionados aleatoriamente de la población. ¿cuál será . encontraremos una solución aproximada por la distribución de Poisson: En este caso μ = np = 10(0. Por ello es natural responde a la pregunta resolviendo Si bien n = 10 no es suficientemente grande y p = 0.2 y el tamaño de muestra(número de repeticiones del experimento) es n = 10.2 no es muy pequeño. de acuerdo a lo pedido en el problema.2. Solución Definamos a X como “El número de artículos defectuosos extraídos”. Por ello Puesto que n y p no satisfacen adecuadamente las condiciones para usar el teorema. Como la varianza es la misma que la media. De acuerdo a esto. p=0.  = np = 10000(0. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes de este tipo en un determinado año? Solución Si definimos a Y como el Número de accidentes cada mes.la probabilidad de que no más de 5 de estos clientes tengan un accidente de este tipo el próximo año? Solución Sea X la variable definida como “Número de clientes de dicha compañía de seguros que tiene ese tipo de accidentes al año”. de manera que la probabilidad de que ocurran dos reclamos es 2/3 de la probabilidad de que ocurra un reclamo. verá claramente que debemos usar casi necesariamente el Terorema de la aproximación por Poisson. X  B(n=10000. Si Ud. definiremos a X como “El número de accidentes que se registra al año”. Ejemplo 105 En una planta ensambladora de equipos eléctricos han ocurrido cierto tipo de accidentes a razón de uno cada dos meses. sigue una Ley de Poisson. Luego Sugerimos a nuestro amable lector que encuentre la probabilidad pedida por Binomial.60653 Ejemplo 106 Suponga que el número de reclamos que recibe cierta compañía telefónica.066991373. ¿cuál es el número esperado de accidentes al año?.001) = 10. Suponiendo que estos accidentes ocurren de forma independiente. Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de reclamos recibidos en una semana”. Finalmente P(X = 0 ) = e-6(6)0/0! = 0. diremos que X sigue un proceso poissoniano por ello  =rp = 12(½) = 6. El número esperado de accidentes al año es μ = λ = 6. entonces Y es una variable aleatoria con distribución de Poisson en el cual la probabilidad de un accidente es p = 1/2 Puesto que los accidentes ocurren en un período de tiempo cuya longitud es de un año. Creemos que en este caso el resultado debe ser 0. . Como X tiene distribución de Poisson con parámetro λ. ¿Cuál es la desviación estándar del número de accidentes al año?. por semana. Calcular la probabilidad de que no ocurra ningún reclamo en tres semanas consecutivas. compara los datos de este problema con el anterior. entonces %σ = √6 . Por ello.001). que ahora sí vale la pena aproximar por Poisson. el número de páginas con más de 2 errores será 400(0.e-1 (1 + 1 + 1/2) = 0. Piense un poco en la forma cómo se define a X y para qué y también porqué debemos definir otra variable como Y. como X se define como número de errores por página.0803) = 32. puesto que P(X = 2 ) = P(X = 1) entonces de donde λ = 4/3.152 Como P(X = 1) = 0. Si se supone una distribución de Poisson.12 Definamos ahora a Y como el “Número de páginas sin error tipográfico”.entonces p(x) = e-λλx / x!. P( X = 0 ) = e-1 = 0.36789) = 147. Por ello λ = np = 400(1/400) = 1 representa el número de errores por página del libro y es el parámetro de la distribución de X. Por ello P(Y = 0 ) = e-44-0 / 0! = 0. y por qué así.018316 Ejemplo 107 Se estima que un libro de 400 páginas contiene 400 errores tipográficos repartidos aleatoriamente en todo el libro.152 Si P(X > 2 ) = 1 – P(X ≤ 2) = 1. Por tanto. Puesto que los errores se distribuyen por todo el libro. El número de páginas sin errores = 400(0. Para responder a la pregunta definiremos otra variable Y que representa “El número de reclamos recibidos en tres semanas”. ¿cuál es el número de páginas que contienen ningún error? exactamente un error? más de dos errores? Si se seleccionan aleatoriamente 10 páginas de dicho libro. ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas tenga errores? Que 8 páginas no tengan errores? Solución Ante todo y de acuerdo a las primeras tres preguntas. y Y es el número de páginas sin error. De acuerdo a lo dicho en el proceso poissoniano. el número de páginas con un error = 147. como se eligen 10 páginas. Y tendrá también una distribución de Poisson con parámetro λ = rt = 3(4/3) = 4. la probabilidad de éxito: que una página no tenga error es p = P(X = 0) = 0.36789 entonces. definamos a X como “Número de errores por página”.36789. Luego. el cual guarda relación con la variable X. . constituye la probabilidad de éxito p = 1/400. la probabilidad de que una página contenga un error de los 400 errores que hay. Esto significa que el número de reclamos que la compañía telefónica reciba en un período de una semana es 4/3. Por otro lado.36789 con lo cual. En este caso.0803. .0060319 Ejemplo 108 Suponga que un libro de 585 páginas contiene 43 errores tipográficos..6065. 2. la probabilidad de que un error caiga en una página.367890(1-0.009515 .010184 P(Y = 8) = C(10. Si estos errores se distribuyen aleatoriamente a través del libro. 43. Sin embargo. la probabilidad de que una página tenga 0 errores es p(0) = P(X=0) = e-43/585 =0. Si estos errores se distribuyen aleatoriamente a través del libro. 2)0.929)0 = 0. .6065 y Y → B(n = 10. no contengan errores.929 10(1-0. Según esto X puede tomar valores 0. de 10 seleccionadas al azar. Y de acuerdo a esta definición. no contengan errores? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “Numero de errores por página”. definimos a λ = 500(1/1000) = 0. es decir. 0)0.39358 = 0. 8)0. Por tanto P(Y = 2 ) = C(10. p = 0.10) 0.929). ¿Cuál es el número de páginas que no contienen errores? ¿Cuál es el número de páginas que contienen exactamente un error? Solución Como en los dos ejemplos anteriores.. La probabilidad de que un error caiga en una página es p = 1/585. p = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 páginas.5 = 0. para responder a la pregunta en a) debemos definir otra variable Y que represente “Número de páginas que no contienen errores”. Por ello. para responder a la pregunta debemos definir otra variable tal como Y que represente: “Número de páginas sin errores”. Usando el proceso poissoniano.6065).5 como el parámetro de la distribución de X(Poisson).929 Por otro lado. 1.4788 Ejemplo 109 Suponga que un libro de 1000 páginas contiene 500 errores tipográficos. En cuyo caso.36789)10 = 0. P(Y = 0) = C(10. entonces P(Y = 10) = C(10. la probabilidad de éxito será p = 0.36789)2 = 0. Luego. ¿cuál es la probabilidad de que 10 páginas seleccionadas al azar.606520. X → P(λ) donde λ = np = 43(1/585) = 43/585. su probabilidad de éxito es p = P(X = 0) = 0.929. Como por los datos Y → B(n=10. Por ello su probabilidad de éxito es p = 1/1000. Como son 500 los errores. definamos a X como la variable que representa “El número de errores por página”.Con este nuevo dato. la probabilidad de que una de las 1000 páginas no contengan error es P(X = 0 ) = e -0.367898(1-0. 3.5 (0.8/0.6065) = 607 Volviendo a la distribución de probabilidad de X.. Supongamos también que la probabilidad de que ocurra A es p. en cuyo caso diremos que ocurre éxito. 1...2. .5) = 0. . Teorema Si X es una variable que tiene distribución Geométrica entonces μ = 1/p. si E[X] = 1/p.. diremos que X tiene distribución Geométrica con parámetro “p” cuya función de probabilidad viene dada por p(x) = P(X = x) = p qx-1. Luego la proposición es falsa De acuerdo al teorema.. . 2.30325. Por lo que. el valor esperado de X 2 es 0. Notación X → G(p) significará que X es una variable aleatoria que tiene distribución geométrica con parámetro p.2. Contrario a ello. q = 1 – p representa la probabilidad de la no ocurrencia de A. Si este experimento se realiza indefinidamente “hasta que ocurra A. X no puede tomar valor 0. digamos A. el número de páginas que contengan exactamente un error será 1000(0. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: El rango de X. Es falsa la proposición Como V[X] = q/p² = 0. Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no de un evento. y p = 0. debemos hallar P(X = 1). el cual es P(X = 1 ) = e-0. q es la probabilidad de fracaso..El número de páginas que no contienen ningún error es 1000(0. x= 1. σ2 = q/p2 Ejemplo 110 Sea X una variable aleatoria que tiene una distribución geométrica con parámetro p = 0.04 = 20..2 entonces E[X] = 5. es decir.} El valor esperado de X es 2 La varianza de X es 1/4 Como p = 0.30325) = 303 Distribución geométrica Sea ζ un experimento. La proposición es falsa. por primera vez” y definimos a X como el “Número de veces que se repite el ensayo hasta obtener éxito por primera vez”. 3.04 El 80% de los valores de X son mayores que 1 Solución Puesto que X representa el número de veces que se realiza el experimento hasta que ocurra el primer éxito. es RX = {0. 2. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego en el quinto lanzamiento? Solución Puesto que el experimento consiste en lanzar una moneda hasta obtener un 3 o un 6. definamos a X como “El número de veces que debe lanzarse el dado hasta obtener por primera vez un número múltiplo de 3”. uno cada vez. ¿Cuál es la probabilidad de que haya que lanzarlo más de 6 veces? Solución Como en el ejemplo anterior. Si p es la probabilidad de éxito. La proposición es cierta Ejemplo 111 Un juego de dados consiste en lanzar el dado hasta que salga un número múltiplo de 3. Pedir que la quinta persona se la primera con ojos azules significa que el experimento se repite hasta que en el quinto se obtiene éxito. X G(p = 1/6). Si se escogen aleatoriamente voluntarios de esta población.25. Aquí. por lo que debemos encontrar la ocurrencia del evento “X > 6”. entonces debe ocurrir el evento X = 5.8. . ¿cuál es la probabilidad de que la quinta persona sea la primera que tiene ojos azules? ¿Cuál es el número esperado de personas escogidas? Solución Sea A el evento “La persona escogida tiene ojos azules”. hasta escoger a un voluntario de ojos azules.25). entonces p = P(A) = 0. Ejemplo 113 En una población muy grande el 25% de las personas tienen ojos azules. Luego por la definición de X diremos que tiene distribución geométrica X → G(p=1/3). Si definimos a X como “El número de veces que debe repetirse el experimento hasta escoger a la primera persona de ojos azules”. Para que ocurra A en el quinto lanzamiento del dado. de obtener un número múltiplo de 3.06584 Ejemplo 112 Se lanza el dado hasta que aparezca el 5. Si definimos el evento A como “Se obtiene un número múltiplo de 3” entonces A = {3. 6} por lo que p = P(A) = 1/3 es la probabilidad de éxito. Por ello P(X = 5) = 1/3 (1-1/3) 4 = 16/243 = 0. Es falsa P(X > 1) = 1 – P(X = 1 ) = 1 – pq0 = 0.Si V[X] = 20 y E[X] = 5 entonces E[X²] = V[X] + E[X]² = 25. entonces X G(p = 0. sea X la variable aleatoria definida como el “Número de veces que se debe lanzar el dado hasta que aparezca el 5”. 059049. La función de distribución de X es p(x) = P(X = x) = (1/3)(2/3)10-x . ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño llamado sea el primero que responda presente? Calcular P(X <3) Encuentre el número esperado de alumnos ausentes y la desviación estándar. Luego P(A) = p(4) = P(X = 4) = 0. Esto es así por cuanto los 2/3 de los alumnos están ausentes. debemos encontrar P(A ∩ B). Ejemplo 114 La máquina A produce el 5% de piezas defectuosas. exactamente 6 piezas? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción A hasta obtener una defectuosa” y sea Y la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción B hasta obtener una defectuosa” Sea A el evento “Extraer una pieza defectuosa de A en la cuarta extracción” y B el evento “Extraer una pieza defectuosa de B en la sexta extracción” Según el problema. Ejemplo 115 En una población estudiantil que se reúnen todas las mañanas en el patio.95) 3 = 0. x = 1. Solución Si X es la variable definida como “El número de alumnos que deben ser llamados hasta que uno responda presente”. 2. se encuentra que.00867 . .Luego P(X = 5) = 0.0791 El número esperado de personas escogidas es E[X] = 1/p = 1/0. los 2/3 de los alumnos están ausentes debido a una epidemia en la zona. entonces X tiene distribución Geométrica con parámetro p = 1/3. Si el Profesor Díaz Cubas pasa lista en su sección de 25 alumnos y definimos a X como el número de alumnos que deben ser llamados hasta encontrar a uno conteste presente.90)5 = 0. alternativamente. Si se extraen piezas de la producción de cada una de ellas.25(0.25 = 4..10(0.04286875 P(B) = p(6) = P(Y = 6) = 0.. P(X = 10) = (1/3)(2/3)9 = 0. Con lo cual P(A ∩ B) = 0.05(0. hasta encontrar una pieza defectuosa.10. X es una variable con distribución geométrica de parámetro p A = 0.05 y Y tiene también una distribución geométrica con parámetro p B = 0.75)4 = 0. en un día determinado.002536. mientras que la máquina B produce el 10%. ¿cuál es la probabilidad de que de la producción A tenga que extraerse exactamente 4 piezas y de la producción B. 6.4) maneras. Solución Definamos a X como la variable aleatoria que representa “El número de lanzamientos realizados hasta obtener 5 caras”. entonces ( ½ ) 5 es la probabilidad de obtener 5 caras. encuentre la probabilidad de que tenga que lanzarse 12 veces. es 5(1/2 / ( 1/2 ) 2) = 10 . 4) (1/2)5(1/2)7 = 0. que X tiene Distribución de Pascal con parámetros r y p. cuya distribución de probabilidad viene dada por Teorema Si X es una variable que tiene distribución de Pascal. Como sólo se deben realizar 12 lanzamientos. así como su desviación estándar. entonces μ = k(1/p) y σ2 = k(q/p2) Ejemplo 116 Si se lanza una moneda hasta que obtener 5 caras. Encuentre también el número esperado de veces que debe lanzarse la moneda para obtener 5 caras. la probabilidad de obtener 5 caras y 7 sellos es ( ½ ) 5 ( ½)7. entonces σ = 2. Como en 12 lanzamientos deben ocurrir 7 sellos entonces ( 1/2 )7 es la probabilidad de obtener 7 sellos. El espacio rango de X es 5. Ahora bien. Además. Las otras 4 caras deben caer en los 11 lanzamientos anteriores.P(X < 3 ) = P(X ≤ 2) = (1/3)(2/3)0 + (1/3)(2/3) = 5/9 El número esperado de alumnos ausentes es E[X] de manera que E[X] = 1/p =3 Puesto que la desviación estándar es σ2 = q/p2.4 Distribución de Pascal Supongamos que se realiza un experimento ζ de manera repetida observando sus resultados. Luego. la quinta cara debe obtenerse en el décimo lanzamiento. . Si definimos a X como el “Número de veces que debe repetirse el experimento hasta obtener r resultados exitosos” y definimos a p como la probabilidad de éxito cada vez que se realiza el experimento. Y esto puede ocurrir en C(11.9. Del mismo modo. Como por otro lado deben obtenerse 5 caras y la probabilidad de obtener una cara es ½ . Luego P(X = 12) = C(11.4) maneras. X → Pk(r = 5. ¿de cuántas maneras podemos repartir 4 caras en 11 posiciones? Esto se hace en C(11.. diremos entonces.0856 El número esperado de veces que debe lanzarse la moneda hasta tener 5 caras es 5(1/(1/2)) = 10. p = ½ ).4495 4. la desviación estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 6 intentos? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de lanzamientos realizados hasta que tres de ellos sean exitosos”.0530. ¿cuál será la probabilidad de que tenga que ofrecer su producto a 20 clientes? Solución< Si X representa “El número de clientes a los que debe ofrecer su producto hasta lograr que 5 de ellos compren” entonces X tiene distribución de Pascal con parámetros r = 5 y p = 0. En cuanto a la máquina A: p(6) = P(X = 6) = C(5.Ejemplo 117 La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0. Según esto. Luego p(5) = P(X = 5) = C(19.951 = 0. p = 0. 5% y 10% de piezas defectuosas. Según los datos: X → Pk(r = 3. Suponga que se extraen piezas de la producción de cada una de ellas.0550.8.05) y Y → Pk( r = 3.000356 . Si un día domingo él decide ofrecer su producto hasta obtener 5 ventas efectivas. p = 0. sin duda ella tiene distribución de Pascal con parámetros r = 3 y p = 0. es decir X → Pk(3.00107 En cuanto a la máquina B: p(4) = P(X = 4) = C(3. en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que extraerse 6 piezas de la producción de A y 4 de la producción de B? Solución Sea X la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción de A hasta obtener 3 piezas defectuosas”.05.9515 = 0. La probabilidad de que realice una venta efectiva es 0.8) y cuya distribución de probabilidades viene dada por p(x) = P(X = x) = C(x-1.8.10). 4)0. 0. 2) 0. p(6) = P(X = 6) = C(6-1.000561 Ejemplo 119 Las máquinas A y B producen.26-3 = 0.2x-r. Por la forma cómo se define a X. Sea Y la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción de A hasta obtener 3 piezas defectuosas”. respectivamente.0530. r-1)0. 2)0. hasta obtener 3 piezas defectuosas.8r0. Suponga que se hacen ensayos de lanzamiento hasta que 3 de ellos sean exitosos. 2) 0.953 = 0.830.04096 Ejemplo 118 Supongamos que un inexperto vendedor sale a las calles a ofrecer un determinado producto de playa.05. Pág.62 . 4.