CPII2EST-PROB8ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILIDADES I DESARROLLO del tema CONCEPTO Tipos de suceso La probabilidad de un suceso se define como la relación entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, a. Evento seguro suponiendo que todos los casos son igualmente posibles. La Cuando el evento coincide con el espacio aplicación del cálculo de probabilidades es diversa: desde muestral. estadística de población, hasta cálculos muy complicados de A: Al lanzar un dado y obtener un número entero posibles averías en telecomunicaciones o de que ocurran entre 0 y 7. fenómenos raros en meteorología. A = {1;2;3;4;5;6} = A. Tipos de probabilidad b. Evento imposible Cuando el evento es el conjunto nulo 1. Experimento aleatorio ( ) B: Al lanzar un dado y obtener un siete Prueba o ensayo que depende del azar, es decir, B={ } cuando sus resultados no pueden predecirse sin haber realizado previamente la prueba. c. Eventos complementarios Se considera cuando un evento ocurre y el otro Ejemplo: no, es decir "A’" es el evento complementario de 1: Lanzar una moneda y observar la parte superior.. "A". 2: Lanzar un dado y observar el número que Ejemplo: aparece en la cara superior. A: Al lanzar un dado y obtener un número par. Entonces: 2. Espacio muestral ( ) A’: Lanzar el dado y no obtener un número par. Es el conjunto formado por todos los resultados Nota: A A' ; A A' . posibles de un experimento aleatorio. B. Cálculo de la probabilidad Ejemplos: Si "A" es un evento de un espacio muestral , entonces Al lanzar un dado: la probabilidad de ocurrencia de "A" se denota P(A) y ( ) = {1; 2; 3; 4; 5; 6} está dada por: Al lanzar dos monedas: n A Número de casos favorables a "A" P A ( ) = {(c,c); (c,s);(s,c);(s,s)}; c = cara; s = sello. n Número total de casos posibles 3. Suceso o evento Ejercicio 1: Es un subconjunto de un espacio muestral, se representan ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar, al por las primeras letras mayúsculas (A; B; C; ...) lanzar un dado? Ejemplo: Solución: Al lanzar un dado el espacio muestral está dado por: ( ) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. A partir de él se pueden definir los siguientes eventos: A: Obtener un número primo. A = {2; 3; 5} B: Obtener un número mayor que 5. B = {6}, etc. PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-II 1 TEMA 8 PROBABILIDADES I Exigimos más! Ejercicio 2: • Si se tiran tres dados, ¿cuál es la probabilidad que la En una urna donde hay 7 bolas blancas, 5 bolas rojas suma de los resultados de los tres dados sea 20? y 3 bolas azules. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas, éstas sean de color rojo? Rpta.: ............................................................... Solución: • En una comp etencia de tiro, se s abe que, la probabilidad de que acierte "A" es 4/5, la de "B" es 3/ 7 y la de "C" es 2/3. Si los 3 disparan ¿cuál es la probabilidad de que todos acierten, a excepción de "C"? C. Propiedades Rpta.: ............................................................... 1. A :0 P A 1 . 2. Si A es un evento seguro A : P A 1. En un lote de 20 focos hay 5 defectuosos. 3. Si A, B ; A y B eventos mutuamente excluyente P A B P A P B .. • ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar a la venta un 4. A y A’ son eventos complementarios foco este sea defectuoso? P(A) + P(A’) = 1 5. Si A, B ; A B P A P B . Rpta.: ............................................................... 6. Para 2 eventos A, B, se cumple: A. P(A – B) = P(A) – P(A B). • Se sacan dos focos uno después del otro, ¿cuál es la B. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). probabilidad de que ambos sean defectuosos? EJERCICIOS Rpta.: ............................................................... • Una caja contiene 10 bolas rojas, 6 blancas y 8 negras, • Se sacan dos focos uno después del otro, ¿cuál es la se saca una sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que la probabilidad de que uno sea defectuoso y la otra no? bola sea negra? Rpta.: ............................................................... Rpta.: ............................................................... • Suponga que se ha "cargado" un dado de manera • Sin mirar se oprime una de las 60 teclas de un tablero que la probabilidad que ocurra un número determinado de computadora; ¿cuál es la probabilidad de que lo es proporcional al mismo. Calcular la probabilidad que oprimido no sea una vocal. se obtenga un número menor que 4 o par. Rpta.: ............................................................... Rpta.: ............................................................... PROBLEMAS de clase 1. ENUNCIADO: 2. ENUNCIADO: Manuela lanza tres monedas, sobre una mesa. Meche lanza un par de dados sobre una mesa. 1.1 ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 3 sellos? 2.1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 puntos? A. 3/8 C. 1/6 A. 2/9 C. 1/2 B. 1/2 D. 1/8 B. 5/36 D. 1/3 1.2 ¿Cuál es la probabilidad de que salgan solo 2 caras? 2.2 ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 7 u 11? A. 3/4 C. 1/4 A. 2/9 C. 1/2 B. 1/8 D. 3/8 B. 1/6 D. 1/3 1.3 ¿Cuál es probabilidad de que salgan al menos 2 sellos? 2.3 ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 6? A. 3/8 C. 1/8 A. 3/5 C. 1/2 B. 1/2 D. 3/4 B. 1/3 D. 5/18 PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-II 2 TEMA 8 PROBABILIDADES I Exigimos más! 2.4 ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea impar? 5. Dos turistas encuentran tres hoteles denominados "A", A. 1/3 C. 17/18 "B", y "C", y se alojan al azar pudiendo estar ambos B. 1/2 D. 2/3 turistas en un mismo hotel. ¿Cuál es la probabilidad de que el hotel "B" no aloje a ninguno? 3. ENUNCIADO: A. 2 C. 4 Al sentarse 6 amigas: Verónica; Pamela; Carolina; Carla; 7 9 Jessica y Graciela en una fila de cine. B. 4 D. 1 7 3 3.1 ¿Cual es la probabilidad de que Verónica y Pamela estén a los extremos? 6. ¿Cuál es la probabilidad que una persona que siempre A. 1/5 C. 4/25 avanza de A a C no pase por B? B. 1/15 D. 1/6 3.2 ¿Cuál es la probabilidad de que Pamela y Carolina estén siempre juntas? A. 2/5 C. 1/6 B. 1/3 D. 1/5 A. 1 C. 2 3.3 ¿Cuál es la probabilidad de que Carla; Jessica y Graciela 8 19 estén siempre juntas? B. 2 D. 1 A. 2/5 C. 1/6 17 9 B. 4/5 D. 1/5 7. Si se lanza 5 veces un dado, ¿cuál es la probabilidad de 3.4 ¿Cuál es la probabilidad de que Jessica y Carolina no que las cinco caras que aparecen sean diferentes? estén juntas? 7 1 A. C. A. 2/3 C. 1/6 23 32 B. 4/5 D. 1/2 B. 31 D. 5 32 54 3.4 ¿Cuál es la probabilidad de que Carla este a la izquierda de Carolina? 8. Diana quiere pintar un triángulo de la figura. Si escoge A. 2/5 C. 1/6 uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pinte un B. 4/5 D. 1/2 triángulo que contenga a lo más 2 regiones simples? 4. ENUNCIADO: Las probabilidades que tienen: Junior, Willy y Romina de resolver un mismo problema matemático son: 4/5, 2/3 y 3/7 respectivamente. 4.1 Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de que el problema lo resuelva solo Junior. A. 16/105 C. 11/105 B. 8/105 D. 1/105 A. 15 C. 9 4.2 Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de 9 10 que el problema sea resuelto solo por dos de ellos. A. 4/105 C. 11/21 B. 13 D. 11 20 20 B. 1/105 D. 10/21 4.3 Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de 9. Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un accidente que el problema no se resuelva. en 1 km de una carretera es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad A. 7/105 C. 1/21 de que ocurra al menos un accidente en 3 km de esa B. 4/105 D. 8/35 carretera? A. 1/3 C. 8/27 4.4 Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de B. 1/27 D. 19/27 que se resuelva el problema. A. 24/105 C. 90/105 10. Cuatro personas que no se conocen entre sí acuden al B. 81/105 D. 101/105 cine. En el cine aun quedan 2 filas, de 8 asientos cada una, PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-II 3 TEMA 8 PROBABILIDADES I Exigimos más! vacías. Si todos se ubican cada uno en un asiento. ¿Cuál 12. Juank dispone de 3 pares de zapatos negros y 2 pares es la probabilidad de que se ubiquen en una misma fila? de zapatos blancos, 5 pantalones blancos y 4 pantalones A. 2/13 C. 1/13 negros, 3 camisas negras y 4 blancas. ¿Cuál es la B. 12/13 D. 5/52 probabilidad que se vista de un solo color? 71 A. 11. Le piden a "Tito" que escriba un número de 3 cifras. 315 ¿Cuál es la probabilidad de que el número escrito por 74 "Tito" esté formado solo por cifras impares? B. 315 5 7 77 A. C. C. 36 36 315 1 1 76 B. D. D. 8 2 315 PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-II 4 TEMA 8