ESTATÍSTICA BÁSICAConforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL Grupo 1 – Estatística Descritiva 1. Conceitos 1.1 População; 1.2 Amostra; 1.3 Censo; 1.4 Experimento aleatório; 1.5 Variáveis e atributos; 1.6 Variáveis aleatórias discretas e contínuas; 1.7 Normas para apresentação tabular de dados. 2. Organização de Dados Estatísticos 2.1 Quadros e tabelas; 2.2 Distribuição de freqüências; 2.3 Intervalos de classe; 2.4 Ponto médio; 2.5 Freqüências absolutas e relativas; 2.6 Freqüências acumuladas; 2.7 Gráficos: barras, colunas, histogramas e polígonos de freqüências. 3. Medidas de Posição. 3.1 Média aritmética; Propriedades da média;Cálculo Simplificado da média; 3.2 Mediana; 3.3 Moda; 3.4 Médias geométrica e harmônica. 4. Medidas de Dispersão 4.1 Amplitude; 4.2 Desvio médio; 4.3 Variância absoluta; 4.4 Propriedades da variância; 4.5 Cálculo simplificado da variância; 4.6 Desvio padrão; 4.7 Variância relativa e coeficiente de variação. 5. Exercícios de Fixação 6. Exercícios das Provas anteriores _ ESAF 1. Conceitos 1.1 População - É a coleção completa de todos os indivíduos a serem estudados. 1.2 Amostra – É uma subcoleção de elementos extraídos de uma população. As razões de se recorrer a amostras são: menor custo e tempo para levantar dados; melhor investigação dos elementos observados. 1.3 Censo – É o exame completo de toda população. Quanto maior a amostra mais precisas e confiáveis deverão ser as induções feitas sobre a população. Os resultados mais perfeitos são obtidos pelo Censo. 1.4 Experimento aleatório - É aquele que mesmo garantindo as condições iniciais é impossível prever com certeza o resultado do mesmo. 1.5 variável e atributo– Variável é qualquer característica de um indivíduo. Quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo, tal como, sexo,escolaridade, etc. 1.6 Variáveis aleatórias (VA) - São funções que associam valores numéricos a resultado de experimentos aleatórios; 1.6.1 Va's discretas - São aquelas que assumem um numero finito ou infinito e enumerável de valores. Praticamente podemos pensar na variáveis aleatórias discretas como funções que associam resultado de experimentos aleatórios a números inteiros. Todas as variáveis aleatórias associadas a contagem são discretas. 1.6.2 Va's contínuas - São aquelas que assumem uma quantidade não-enumerável de valores. Para efeitos práticos aquelas que podem assumir valores num sub-conjunto dos reais. Todas as variáveis associadas à medidas que dependam da precisão de um instrumento são contínuas. 1.7 Normas para apresentação tabular de dados - Normas para Apresentação Tabular da Estatística Brasileira. Resolução N° 886, de 26 de outubro de 1966. (Pontos Principais) 1.7.1 Definição – É um conjunto de técnicas que visa: organizar e sumarizar a informação contida nos dados. Para este fim utiliza-se TABELAS e GRÁFICOS (organização) e MEDIDAS (de centralidade e de dispersão p/ sumarização). 1.7.2 TABULAÇÃO: Uma tabela estatística compõe-se de elementos essenciais e elementos complementares. Os elementos essenciais de uma tabela estatística são: o título, o corpo, o cabeçalho e a coluna indicadora. - Título é a indicação que precede a tabela e que contém a designação do fato observado, o local e a época em que foi registrado. - Corpo é o conjunto de colunas e linhas que contém respectivamente, em ordem horizontal e vertical, as informações sobre o fato observado. Uma Casa é o cruzamento de uma coluna com uma linha. As casas não deverão ficar em branco, apresentando sempre um número ou um sinal convencional. - Cabeçalho é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas. - Coluna indicadora é a parte da tabela que especifica o conteúdo da linha. Obs.: 1) Uma tabela pode Ter mais de uma coluna indicadora 2) Os elementos complementares de uma tabela estatística são: a fonte, as notas e as chamadas, e se situam de preferência no rodapé da tabela. . Fonte é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados ou pela sua elaboração. . Notas: são informações de natureza geral, destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo das tabelas, ou a indicar a metodologia adotada na elaboração dos dados . Chamadas: São informações de natureza específica sobre determinadas partes da tabela, destinadas a conceituar ou esclarecer dados; são indicadas no corpo da tabela em algarismos arábicos, entre parênteses, à esquerda nas casas e à direita na coluna indicadora. A numeração das chamadas da tabela será sucessiva, de cima para baixo e da esquerda para a direita. A distribuição das chamadas no rodapé na tabela obedecerá à ordem de sua sucessão na tabela, separando-se uma das outras por ponto (.). As chamadas de uma tabela que ocupe mais de uma página devem figurar no rodapé da tabela da última página, de acordo com a sucessão da mesma. 1.7.3 Sinais Convencionais - (traço), quando o dado for nulo; ... (três pontos), quando não se dispuser do dado X (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualização das informações 1.7.4 Apresentação das Tabelas - As tabelas, excluídos os títulos, serão delimitadas, no alto e em baixo, por traços horizontais grossos, preferencialmente. Exemplo FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 1 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL (Título) Pessoal Docente Lotado na Universidade X Por categoria funcional e formação acadêmica 1976 Formação Acadêmica Categoria Funcional Total Titular Adjunto Assistente Auxiliar de Ensino Graduação 10 30 25 9 74 Especialização - ... 1 31 4 Aperfeiçoamento 5 4 3 1 13 Mestrado 1 - 2 4 7 Doutorado (1) (2) 5 (3) 3 2 - 10 Total 21 37 33 17 108 Fonte: Serviço de Estatística da Educação e Cultura (1) Com e sem curso de mestrado (2) Protegido pela Lei n° 5.540 (3) Livres Docentes 2. Organização de Dados Estatísticos 2.1 Quadros e tabelas (Séries Estatísticas) São assim chamadas as tabelas estatísticas nas quais existe um critério distintivo de agrupamento. São elas: a) Séries Cronológicas; b) Séries Geográficas; c) Séries Específicas; d) Séries Conjugadas. a) Séries Cronológicas (ou temporais) Neste tipo de série o “QUE” (fato) e o “ONDE” (local) permanecem fixos, enquanto o “QUANDO” (tempo varia), ou seja a informação varia com a variação do tempo. Ex: Evolução da Demanda de Vestibulandos Brasil – 1978 – 1982 Fonte: CODE INF/SESU/Ministério da Educação. OBS – Aqui o “QUE”, Demanda de Vestibulandos, permanece fixo, bem como o “ONDE”, no caso o Brasil. Mas a informação muda com o tempo. Exemplo N° de Computadores Vendidos no Estado X 1° Semestre de 1986 Meses N° Jan 25.000 Fev 26.000 Mar 340.000 Abr 350.000 Mai 190.000 Jun 220.000 Fonte: XXXXXX b) Séries Geográficas (ou de Localização) Nestas séries o elemento variável é o “ONDE” (local) enquanto o “QUE” (fato) e o “QUANDO” (tempo) permanecem constantes. Exemplo Número de Emissoras de Rádio nas Grandes Regiões do Brasil 1980 Grandes Regiões Quantidade de Rádios Norte 43 Nordeste 215 Sudeste 517 Sul 403 Centro-Oeste 85 Brasil 1.263 Fonte: SEEC – ME/IBGE. c) Séries Específicas (ou de Qualidade) São aquelas em que o “ONDE” (local) e o “QUANDO” (tempo) são fixos variando-se o “QUE” (fato) em subgrupos de características próprias. Exemplo Matrículas no ensino 3° Grau no Brasil 1983 Áreas de Ensino Matrículas Ciências Biológicas e Prof. De Saúde 180.176 Ciências Exatas e Tecnológicas 334.694 Ciências Agrárias 38.181 Ciências Humanas 761.367 Letras 94.618 Artes 24.612 Fonte: SEEC – IBGE d) Séries Conjugadas (ou mistas) São assim classificadas as séries que combinam pelo menos duas das séries anteriores. Exemplo: Receita do Município “X” 1983 – 1986 Receita ($ 1000) Anos Prevista Arrecadada 83 10.746.393 10.739.487 84 24.891.790 19.374.275 85 52.913.762 60.721.847 86 79.648.844 90.757.069 Fonte: Secretaria de Economia e Finanças OBS – As informações variam em dois sentidos: por ano (vertical) e por especificação do fato observado (horizontal – Receita Prevista e Receita Arrecadada). 2.2 Distribuição de Freqüência a) Tabela primitiva - elementos da variável ainda não foram numericamente organizados Ex: FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF Anos Inscritos 1978 1.250.537 1979 1.559.097 1980 1.803.5674 1981 1.735.457 1982 1.689.249 2 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL Total de pontos (acertos) obtidos por 40 alunos em um teste de 175 questões 166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 b) Rol - é a tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente). Ex: 150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 c) Agrupamento das frequências Com isso pode-se construir uma tabela denominada Distribuição de Freqüência, sendo a freqüência o numero de elementos relacionados a um determinado valor da variável. Ex: Para uma melhor visualização e economia de espaço, agrupam-se os valores em intervalos de classe. Ex: Total de pontos (acertos) obtidos em um teste de 175 questões por 40 alunos Total de pontos Freqüência 150 |- 154 4 154 |- 158 9 158 |- 162 11 162 |- 166 8 166 |- 170 5 170 |- 174 3 Total 40 Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anterior, ou seja, do rol já partir para a tabela de distribuição de freqüências com intervalos de classe. 2.3 Intervalos de Classe - Classes de freqüência: são os intervalos de variação da variável, representados por i, sendo i = 1,2,3,4,...,k, onde k é o número total de classes. Em nosso exemplo k = 6 - Limites da classe: são os extremos de cada classe. Limite superior Li Limite inferior li O símbolo: li I------------- Li significa inclusão de li e exclusão de Li li = 154 e Li= 158 - Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida do intervalo que define a classe h = Li - li h2 = 154-158 = 4 - Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da ultima classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira (limite inferior mínimo). AT = L(max) - l (min) AT = 174 - 150 = 24 Deve-se notar que AT/h = k 24/4 = 6 - Amplitude amostral (AA) : é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra AA = x(máx) - x(mín) AA = 173-150 = 23 2.4 Ponto médio de uma classe (xi) : é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais xi = (li+Li)/2 x2 = (154+158)/2 = 156 2.5 Frequências Freqüência simples ou absoluta: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor f1 = 4 f2 = 9 f3 = 11 f4 = 8 f5 = 5 f6 = 3 n f k i i · ∑ · 1 40 6 1 · ∑ · i i f Exercício: .As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram: 1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 Complete a distribuição de freqüência abaixo i Notas xi fi 0 |- 2 2 |- 4 4 |- 6 6 |- 8 8 |- 10 FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF Ponto s Freqüência Pontos Freqüência Pontos Freqüência 150 1 158 2 167 1 151 1 160 5 168 2 152 1 161 4 169 1 153 1 162 2 170 1 154 1 163 2 172 1 155 4 164 3 173 1 156 3 165 1 157 1 166 1 total 40 3 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL Total 50 - Freqüência Simples ou Absoluta (fi) : é o valor que representa o número de dados de uma classe, onde : n f k i i · ∑ · 1 - Freqüência Relativa (fri): é a porcentagem entre a freqüência simples e a freqüência total: [ ] % 100 1 ⋅ · ∑ · k i i i i f f fr No exemplo: fr3 = 11/40 = 0,275 x 100 = 27,5 % É obvio que: % 100 1 · ∑ · k i i fr O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise e facilitar comparações. - Freqüência Acumulada (Fi): é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe. k k f f f f F + + + + · 3 2 1 ou ∑ · · k i i k f F 1 No exemplo F3 = f1 + f2 + f3 = 4+9+11=24, o que significa que existem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe) - Freqüência Acumulada relativa (Fri): é a porcentagem entre a freqüência relativa acumulada da classe e a freqüência total da distribuição. [ ] % 100 1 ⋅ · ∑ · k i i i i f F Fr No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0,6 = 60 %, o que significa que 60 % dos alunos acertaram menos de 162 questões Pode-se então montar a seguinte tabela: i Total de Pontos xi fi fri (%) Fi Fri (%) 1 150 |- 154 152 4 10,00 4 10,00 2 154 |- 158 156 9 22,50 13 32,50 3 158 |- 162 160 11 27,50 24 60,00 4 162 |- 166 164 8 20,00 32 80,00 5 166 |- 170 168 5 12,50 37 92,50 6 170 |- 174 172 3 7,50 40 100,00 Total 40 100,00 I- Exercícios Que nos ajuda a responder: 1) Quantos alunos acertaram entre 154, inclusive, e 158 questões ? Resp. 9 alunos 2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154? Resp. 10% 3) Quantos alunos acertaram menos que 162 questões ? Resp. 24 alunos 4) Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158? Resp. 40-13 = 27 alunos II- Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 i resultados fi fri Fi Fri 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 Total 50 100 Exercício: Complete a tabela abaixo e responda: i Horas de estudo por semana xi fi fri Fi Fri 1 0 |- 5 5 2 5 |- 10 96 3 10 |- 15 57 4 15 |- 20 25 5 20 |- 25 11 6 25 |- 30 6 Total 100 Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas ? Qual a porcentagem de pessoas que estudam 20 ou mais horas ? FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 4 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL 2.7 Gráficos: Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência Pode-se ser representado basicamente por um histograma, por um polígono de freqüência ou por um polígono de freqüência acumulada. - Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. Seja o exemplo: i Total de Pontos xi fi Fi 1 150 |- 154 152 4 4 2 154 |- 158 156 9 13 3 158 |- 162 160 11 24 4 162 |- 166 164 8 32 5 166 |- 170 168 5 37 6 170 |- 174 172 3 40 Total 40 Histograma 0 2 4 6 8 10 12 150 |- 154 154 |- 158 158 |-162 162 |- 166 166 |- 170 170 |- 174 Estaturas (cm) F r e q u ê n c i a s f i 150 154 158 162 166 170 174 Total de Pontos - Polígono de freqüência: É um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. 0 2 4 6 8 10 12 148 152 156 160 164 168 172 176 Estaturas [cm] f Total de Pontos - Polígono de freqüência acumulada: É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 150 154 158 162 166 170 174 Estaturas [cm] F Total de pontos Exercício - Construa o histograma, o polígono de freqüência e o polígono de freqüência acumulada da seguinte distribuição. i Total de Faltas de uma sala com 60 alunos xi fi Fi 0 1 0 |- 2 5 2 2 |- 4 15 3 4 |- 6 25 4 6 |- 8 10 5 8 |- 10 5 6 - Gráfico linear Exemplo: Um pesquisador está estudando a população de um dado país e obtém os seguintes dados: Ano População (em milhões) 1990 100 1991 108 1992 115 1993 125 1994 137 O gráfico linear para esses dados é: Gráfico Linear 90 100 110 120 130 140 1990 1991 1992 1993 1994 FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 5 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL OBS O gráfico linear tem o mesmo comportamento do polígono de freqüências mas serve para representar dados que não são freqüências. O gráfico linear é muito bom quando se que enfatizar tendências; Mais de uma série pode ser representada no mesmo gráfico. Para tanto deve-se observar: 1. Compatibilidade dos eixos; 2. A utilização de cores ou padrões para enfatizar as linhas 3. A utilização de legendas. Exemplo: Suponhamos uma empresa com a seguinte evolução financeira Ano Receita (x 1000) Despesa (x 1000) 1998 100 80 1999 110 100 2000 120 120 2001 130 140 Gráfico Linear para Dados Multivariados 70 80 90 100 110 120 130 140 150 1998 1999 2000 2001 - Gráfico de Colunas ou Barras Os gráficos de colunas ou barras são gráficos que, assim como o histograma, representam a magnitude dos dados pela área do retângulo. Os retângulos têm um lado fixo e, portanto, a magnitude dos dados é representada pela outra dimensão. Quando os retângulos estão em posição vertical diz-se que temos gráfico de colunas, caso em posição horizontal diz-se que temos gráficos de barras. Todas as observações feitas para os gráficos de colunas valem para os gráficos de barras, respeitada a orientação particular. Em geral os gráficos de barra podem representar qualquer série , mas são particularmente importantes para séries específicas. Gráficos de colunas justapostas São gráficos em que a base do retângulo representa uma categoria (tipos, datas etc) e que a altura do mesmo é proporcional à magnitude dos dados. Exemplo: Em uma universidade foi feito um levantamento sobre o número de alunos inscritos por curso obtendo-se: Curso Nº alunos Administração 50 Análise de Sistemas 30 Direito 70 Pedagogia 20 Temos o seguinte gráfico de colunas justapostas para o nosso exemplo Gráfico de Colunas Justapostas 50 30 70 20 0 20 40 60 80 Administração Análisede Sistemas Direito Pedagogia OBS o Os gráficos de colunas justapostas podem vir com as colunas coladas ou com intervalos regulares entre elas; o Pode-se colorir o gráfico colocando uma cor em cada coluna ou ainda um padrão de preenchimento para cada coluna. Neste caso pode ser necessária uma legenda; o Todo raciocínio anterior é válido para os gráficos de barras lembrando que nesse caso a base do retângulo está no eixo vertical, como abaixo Gráfico de Barr as Justapostas 50 30 70 20 0 20 40 60 80 Administração AnálisedeSistemas Direito Pedagogia - Gráficos de Colunas para Séries Multivariadas Estes gráficos são utilizados para representar dados onde para cada objeto observado existe mais de uma fonte de informação. Este gráfico é uma generalização do gráfico de colunas justapostas e, portanto, segue o mesmo tipo de regra de formação. Exemplo: Suponha que o MEC fez um levantamento de dados sobre o número de alunos nos cursos de Administração, Direito, Pedagogia e Letras em quatro universidades de uma mesma cidade obtendo a seguinte série: Curso Universidade Administração Direito Pedagogia Letras A 100 150 70 50 B 80 90 30 40 C 90 80 20 20 D 120 150 80 60 FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 6 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL Uma representação gráfica para esses dados é a seguinte Gráficos para Séries Multivariadas 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Administração Pedagogia Universidade A Universidade B Universidade C Universidade D OBS No gráfico de séries multivariasdas uma noção muito clara tem que ser a de classes distintas. Deve estar claro para o leitor onde começa e onde termina a informação sobre cada classe. Isso se consegue colocando um espaço vazio separando-as. Dentro da mesma classe as colunas podem vir juntas ou separadas. Se vierem separadas a distância entre elas deve ser visivelmente menor que o espaço entre as classes, de modo que não haja confusão na leitura da informação; As colunas devem seguir a mesma ordem em cada classe. Cada coluna deve apresentar uma cor e/ou padrão de preenchimento diferente, constantes em cada classe, e uma legenda deve ser associada ao gráfico, de modo a facilitar a transmissão de informações. 3. Medidas de Posição. a) Medidas de Centralidade (média, mediana e moda) e b) Separatrizes (mediana, quartil, decil e percentil) a) As medidas de centralidade que vamos estudar são: Média Mediana Moda 1. Média 1.1. Média Aritmética A média aritmética é definida, para dados não agrupados, ou seja que não vêem organizados em uma tabela de freqüência como sendo: n x X j j ∑ · onde n – nº de observações xj – valor das várias observações Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6 A média para esse exemplo é: 7 6 6 7 8 10 6 5 · + + + + + . Quando temos dados agrupados a média é calculada como sendo: n F x X j j ∑ · onde n – nº de observações; xj – valor das observações (caso discreto) ou ponto médio das classes (caso contínuo); Fj – Freqüência absoluta das observações (caso discreto) ou das classes (caso contínuo). Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências para dados discretos Ocorrências Fj 0 2 2 3 3 5 4 4 Neste caso a média é calculada como: 64 , 2 4 5 3 2 4 4 5 3 3 2 2 0 · + + + + + + x x x x Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências para dados contínuos Classes Fj Ponto médio 0 |----- 2 1 1 2 |----- 4 3 3 4 |----- 6 4 5 6 |----- 8 2 7 Neste caso a média é dada por 4 , 4 2 4 3 1 2 7 4 5 3 3 1 1 · + + + + + + x x x x 1.2. Cálculo Simplificado da Média Aritmética Quando os valores dos dados estão separados por um valor constante (caso discreto) ou quando temos classes do mesmo tamanho (caso contínuo) e os as ocorrências (caso discreto) ou os pontos médios das classes (caso contínuos) são muito grandes para se usar o cálculo tradicional pode se usar o método simplificado de cálculo que consiste nos seguintes passos: Calcula-se um novo ponto de referência definido como: h x x u j j 0 − · onde xj – valor das ocorrências (caso discreto) ou ponto médio (caso contínuo); x0 – valor constante escolhido arbitrariamente entre as ocorrências (caso discreto) ou pontos médios (caso contínuo). A idéia é escolhê-lo o mais próximo possível dos valores centrais; FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 7 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL h – diferença entre duas ocorrências consecutivas (caso discreto) ou dois pontos médios consecutivos (caso contínuo). Calcula-se média para os novos valores de referência (uj) calculados; Calcula-se a média procurada utilizando a seguinte expressão: 0 x u h X + · Exemplo: Dada a tabela de freqüências abaixo calcule a média Classes Fj Ponto médio uj 20 |----- 22 2 21 -1 22 |----- 24 5 23 0 24 |----- 26 4 25 1 26 |----- 28 1 27 2 Para este exemplo temos: x0 = 23, h = 2 Assim 4 , 0 10 2 1 4 1 5 0 2 1 · + + + − · x x x x u 80 , 23 23 2 4 , 0 · + · x X 1.3. Média Harmônica A média harmônica é definida como ∑ · j j x F n Mh 1.4. Média Geométrica A média geométrica é definida como n F j j x Mh ∏ · 1.5. Relação entre as médias X Mg Mh ≤ ≤ Propriedades das médias 1ª propriedade A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula). ∑ di = ∑ (xi - x ) = 0 onde: di são as distâncias ou afastamentos da média. 2ª propriedade Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante 3ª propriedade Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante: 4ª propriedade A média das médias é a média global de 2 ou mais grupos. x1 = 10 n1 = 15 x2 = 18 n2 = 23 Então: (x1 . n1 ) + (x2 . n2 ) + ... + (xk . nk ) xG = --------------------------------------------------- n1 + n2 + .... + nk (10 . 15 ) + (18 . 23 ) xG = -------------------------------- = 14,84 15 + 23 5ª propriedade A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir da média aritmética é um mínimo. Idades ( xi ) di = (xi – x) ∑ di 2 = ∑ (xi – x) 2 2 d1 = 2 – 6 = -4 (– 4) 2 = 16 4 d2 = 4 – 6 = -2 (– 2) 2 = 4 6 d3 = 6 – 6 = 0 ( 0) 2 = 0 8 d4 = 8 – 6 = +2 ( +2) 2 = 4 10 d5 = 10 – 6 = +4 ( +4) 2 = 16 ∑ 0 40 De modo que: ∑ (xi – x) 2 = 40 sendo este valor o menor possível. Isso significa que, se tomássemos outro valor que não a média (x), o resultado dessa operação seria maior que o obtido. 6ª propriedade A média aritmética é atraída pelos valores extremos. Considere os valores originais: xi : 2, 4, 6, 8, 10 → x = 6 Se o primeiro valor xi for alterado para 0: xi : 0, 4, 6, 8, 10 → x = 5,6 Se o último valor xi for alterado para 12: xi : 2, 4, 6, 8, 12 → x = 6,4 2. Mediana (Md) A mediana é a medida estatística que deixa 50% dos valores abaixo de si e 50% acima. Temos dois processos para achar a mediana: um para dados não agrupados e outro para dados agrupados. 2.1. Mediana para dados desagrupados. Número ímpar de valores Quando tivermos dados não agrupados e o número de observações for ímpar seguimos o seguinte processo. Ordenamos os dados em ordem crescente, Calculamos o termo de ordem º 2 1 , ` . | + n , A mediana será o valor colocado nessa posição. Exemplo: 1, 5, 2, 3, 4, 7, 5, 8, 1 Ordenando os dados: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 8 O termo que queremos tem ordem [(9+1)/2]º = 5º Logo 4 · Md Número par de valores Quando tivermos dados não agrupados e o número de observações for par seguimos o seguinte processo: Ordenamos os dados em ordem crescente Calculamos a ordem º 2 , ` . | n A mediana será a média entre o valor da ordem acima indicada e o próximo. Exemplo: 1, 3, 7, 5, 5, 4, 3, 2, 4,3 Ordenando:1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7 Calculando a ordem (10/2)º = 5º FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 8 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL A mediana é 5 , 3 2 4 3 2 º 6 º 5 · + · + · Md 2.2. Dados Agrupados Quando tivermos dados agrupados discretos procedemos da mesma forma dos dados desagrupados, utilizando entretanto recursos provindos da tabela de freqüências. Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências Observe que o nº de observações é par (14). Neste caso como no caso anterior calcula-se o temo de ordem (n/2)º, que nesse caso é 7º e o próximo 8º. A diferença aqui é que para procurar os termos utilizamos a tabela de freqüências acumuladas utilizando a seguinte regra: a primeira vez que a freqüência acumulada dos dados for maior do que a ordem procurada aquele é o valor naquela ordem. Assim o 5º elemento é 2 (Fac = 5) e o 6º é 3. Neste caso a mediana será 5 , 2 2 3 2 · + · Md Se tivermos dados contínuos utilizamos o seguinte processo Calculamos o termo de ordem (n/2)º Definimos em que classe está a mediana; Calcula-se a mediana com a fórmula ( ) ( ) X ACA F h F n l Md ~ 2 + + · onde l – limite inferior da classe onde está a mediana ; n – número de observações FACA – FAC da classe anterior X F~ - Freqüência Absoluta da classe em que está a mediana h – Amplitude de Classe Exemplo: Considere a seguinte tabela de freqüências para dados contínuos Classe Fj FAc 0 |----- 2 2 2 2 |----- 4 3 5 4 |----- 6 5 10 6 |----- 8 4 14 Cálculo do termo de ordem (n/2)º = 7º OBS – Se n/2 não for inteiro considera-se o primeiro inteiro maior que o valor de n/2. Pela FAC sabemos que a mediana está na classe 4 |--- 6. OBS – Para encontra a classe em que está a mediana basta achar a classe em que a FAC é maior ou igual ao valor assumido para n/2. Calculando agora a mediana ( ) 8 , 4 5 2 5 7 4 · − + · Md 3. Moda A moda é, por definição, o valor mais freqüente dos dados. Assim para dados não agrupados ou para tabelas de freqüência de dados discretos basta localizar o valor de maior freqüência, e este será a moda. Exemplo: Considere os seguintes dados 1,4,5,4,3,2,5,7,1,5,5 Neste exemplo a moda é Mo = 5. Exemplo: Considere a seguinte tabela de freqüências para dados discretos Ocorrências Fj 0 2 2 3 3 5 4 4 Neste caso basta observarmos qual a maior freqüência e a moda será o valor que tem esta freqüência. Nosso exemplo a maior freqüência é 5 e o valor associado a ela é 3 logo nossa moda é Mo = 3. Caso tenhamos dados contínuos o cálculo da moda é um pouco mais complicado. Procedemos da seguinte forma: Definimos qual a classe que tem maior freqüência. Esta classe é chamada classe modal; Calculamos a moda com a fórmula ( ) 2 1 1 ∆ + ∆ ∆ + · h l Mo onde l – limite inferior da classe modal 1 ∆ - Freqüência da classe modal menos freqüência da da classe anterior; 2 ∆ - Freqüência da classe modal menos freqüência da da classe posterior; h – Amplitude de Classe Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências Classes Fj 0 |----- 2 1 2 |----- 4 3 4 |----- 6 4 6 |----- 8 2 Localizar a classe de maior freqüência: Classe 4 |---- 6 Calculando a moda ( ) 67 , 4 3 2 4 2 ) 2 4 ( 3 4 3 4 4 · + · , ` . | − + − − + · Mo b) As separatrizes que vamos estudar são: Mediana (já visto) Quartil Decil Percentil 1. Quartis Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Q1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF Ocorrências Fj FAc 0 2 2 2 3 5 3 5 10 4 4 14 9 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL n 1º) Calcular a posição: P = ---- (seja n ímpar ou par) 4 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Q1 3º) Aplica-se a fórmula: n/4 – Fa Q1 = LQ1 + -------------- x h f Q1 sendo * LQ1 = limite inferior da classe do Q1 * n = tamanho da amostra ou nº de elementos * Fa = frequência acum. anterior à classe do Q1 * h = intervalo da classe do Q1 * f Q1 = frequência simples da classe do Q1 Q2 = 2º quartil, é igual a mediana, deixa 50% dos elementos Q3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos 3 n 1º) Calcular a posição: P = ----- (seja n ímpar ou par) 4 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém do Q3 3º) Aplica-se a fórmula: 3n/4 – Fa Q3 = LQ3 + -------------- x h f Q3 sendo * LQ3 = limite inferior da classe do Q3 * n = tamanho da amostra ou nº de elementos * Fa = frequência acum. anterior à classe do Q3 * h = intervalo da classe do Q3 * f Q3 = frequência simples da classe do Q3 2. Decis: dividem a série em 10 partes iguais in 1º) Calcular a posição: P = ---- (seja n ímpar ou par), 10 em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Di 3º) Aplica-se a fórmula: in/10 – Fa Di = L Di + ---------------- x h f Di sendo * LDi = limite inferior da classe Di , i = 1, 2, 3, ..., 9 * n = tamanho da amostra ou nº de elementos * Fa = frequência acum. anterior à classe do Di * h = intervalo da classe do Di * f Di = frequência simples da classe do Di 3. Percentis: dividem a série em 100 partes iguais in 1º) Calcular a posição: P = ----- (seja n ímpar ou par), 100 em que i = 1, 2, 3, ..., 98, 99 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Pi 3º) Aplica-se a fórmula: in/100 – Fa Pi = L Pi + ----------------- x h f Pi sendo * LPi = limite inferior da classe Pi , i = 1, 2, 3, ..., 99 * n = tamanho da amostra ou nº de elementos * Fa = frequência acum. anterior à classe do Pi * h = intervalo da classe do Pi * f Pi = frequência simples da classe do Pi 4. Medidas de Dispersão Suponha que estivéssemos observando dois grupos de alunos e anotando os resultados dos mesmos em uma dada prova. Suponha ainda que os resultados fossem: Grupo 1 - 5,0 ; 5,0 ; 5,0 ; 5,0 ; 5,0 Grupo 2 - 4,0 ; 5,0 ; 8,0 ; 7,0 ; 1,0. Se calcularmos a média dos dois grupos vemos que ambos apresentam a mesma média aritmética, 5,0, mas também vemos claramente que o conjunto de dados provêm de grupos cujos resultados são bem diferentes. A diferença entre um grupo e outro se encontra num fato que a média, assim como qualquer outra medida de posição não pode perceber: a variabilidade dos dados. Para caracterizar essas diferenças os estatísticos criaram as medidas de dispersão, das quais vamos estudar: Amplitude Total; Desvio médio; Variância; Desvio Padrão; Coeficiente de Variação 1. Amplitude Total (AT) Ë uma medida muito simples, sendo definida como a diferença entre o maior e o menor valor das observações, ou seja AT = máx - mín Exemplo: Suponha que temos o seguinte conjunto de dados 1; 2,5; 3; 1; 7; 2; 5. Para esse caso a amplitude total é dada por AT = máx - mín AT = 7 - 1 = 6 OBS - Essa medida tem aplicações muito limitadas pois só capta o que acontece com os valores extremos, sendo completamente insensível aos valores intermediários. 2. Desvio Médio (DM) Uma maneira muito interessante de perceber como os dados estão dispersos é perceber como estão variando em torno da média. Uma forma de fazer isso é com o desvio médio. FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 10 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL O desvio médio é definido como a média dos valores absolutos dos desvios em relação à média aritmética, ou seja: n F X x D j j M ∑ − · onde xj - é a j-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do j- ésimo intervalo (caso contínuo); Fj - é a freqüência absoluta da j-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou da j-ésima classe (caso contínuo); X - é a média aritmética das observações; n - número de observações; Exemplo: Suponha que temos a seguinte tabela de freqüêcias Classes Fj 0 |---- 2 1 2 |---- 4 3 4 |---- 6 2 6 |---- 8 1 Para facilitar a aplicação da expressão do desvio médio, vamos criar algumas colunas auxiliares na nossa tabela de freqüências, de modo que nossa nova tabela é dada por: Classes Fj Ponto Médio xj xjFj |xj - X | |xj - X |Fj 0 |---- 2 1 1 1 2,86 2,86 2 |---- 4 3 3 9 0,86 2,58 4 |---- 6 2 5 10 1,14 2,28 6 |---- 8 1 7 7 3,14 3,14 Totais 7 27 10,86 As colunas auxiliares são, na verdade, organização do processo aritmético de cálculo da medida. Observe que para montar a 5ª coluna precisamos saber quanto vale a média aritmética. Para tanto podemos usar as colunas 4 e 2 para calcular. Nesse caso temos 86 , 3 7 27 · · X Assim 55 . 1 7 86 . 10 · · M D . 3. Variância (S 2 ) Outra medida de dispersão em torno da média é a variância que é definida como ( ) ∑ − − · j j F X x n S 2 2 1 1 onde xj - é a j-ésima possível ocorrência (caso discreto) ou o ponto médio da j- ésima classe (caso contínuo); Fj - Freqüência Absoluta da j-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou da j-ésima classe (caso contínuo); X - Média aritmética da amostra; n - Número de observações da amostra. OBS - • fato de dividirmos por n-1 está relacionado ao fato de já termos usado a amostra para calcular a média • Da forma como está definida a variância se torna muito inconveniente para ser calculada. Mas desenvolvendo sua expressão chega-se a uma forma alternativa muito mais prática ( ) ] ] ] ] − − · ∑ ∑ n F x F x n S j j j j 2 2 2 1 1 Exemplo: Retornemos ao exemplo anterior criando mais uma vez colunas auxiliares Classes Fj xj xjFj xj 2 xj 2 Fj 0 |----- 2 1 1 1 1 1 2 |----- 4 3 3 9 9 27 4 |----- 6 2 5 10 25 50 6 |----- 8 1 7 7 49 49 Totais 7 27 127 Logo ( ) 8 , 3 7 27 127 6 1 2 2 · ] ] ] ] − · S Algumas propriedades da Variância (a) Variância de dados constantes é zero; (b) Suponha que temos um conjunto de dados tais que a sua variância é dada por S 2 . Suponha que por algum motivo os dados sejam multiplicados por uma constante c. Assim a variância do conjunto de dados multiplicado pela constante é dada por c 2 S 2 . (c) Suponha que temos um conjunto de dados cuja variância seja S 2 . Suponha que por algum motivo multiplica-se os dados por uma constante "a" e soma-se ao resultado uma outra constante "b". A nova variância dos dados, depois de feitas as operações será a 2 S 2 . Cálculo simplificado da variância. Assim como no caso da média também no caso da variância existe um processo simplificado de cálculo. Como no caso da média também dividiremos em 3 etapas: • Define-se a seguinte transformação nos dados n x x z j j 0 − · FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 11 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL onde xj - observações originais (no caso de dados desagrupados ou agrupados discretos) ou ponto médio das classes (caso contínuo); x0 - constante arbitrária escolhida convenientemente; h - Distancia entre as observações (caso discreto) ou amplitude de classe (caso contínuo) Exemplo: Seja a seguinte tabela de freqüências xj Fj 8 3 9 6 10 4 11 2 Vamos assumir a seguinte transformação 1 10 − · j j x z Neste caso acrescentando uma coluna para os valores transformados teríamos xj Fj zj 8 3 -2 9 6 -1 10 4 0 11 2 1 • O próximo passo consiste em calcular a variância dos dados transformados ( ) ( ) ] ] ] ] − − · − − · ∑ ∑ ∑ n F z F z n F Z z n S j j j j j j z 2 2 2 2 1 1 1 1 Assim para o nosso exemplo acrescentamos as colunas auxiliares, em relação a z para o cálculo da variância: xj Fj zj zjFj zj 2 zj 2 Fj 8 3 -2 -6 4 12 9 6 -1 -6 1 6 10 4 0 0 0 0 11 2 1 2 1 2 Totais 15 -10 20 Logo 95 . 0 15 100 20 14 1 2 · ] ] ] − · z S • O terceiro passo consiste em calcular propriamente a variância dos dados originais. Para tanto aplica-se a propriedade (c) da variância pois observe-se que a transformação utilizada pode ser escrita como sendo 0 x hz x j j + · Sendo assim aplicando-se a propriedade (c) temos que 2 2 2 z S h S · Logo para o nosso caso temos 95 , 0 95 , 0 1 2 · · x S 4. Desvio Padrão (S) Pelo fato de a Variância ser uma medida que utiliza o quadrado dos desvios em relação à média, sentiu-se a necessidade de uma medida que utilizasse a mesma unidade dos dados. Esta medida é chamada desvio padrão. O desvio padrão é definido tão somente como a raiz quadrada positiva da variância. 2 S S · 5. Coeficiente de Variação (CV) É uma medida relativa de dispersão. Utilizada para fazer comparação da dispersão de duas séries distintas em torno de suas respectivas médias. Define-se como X S CV · Exemplo: Considere que tenhamos duas séries. A primeira com média 4 e desvio padrão 1.5 e outra com média 3 e desvio padrão 1.3. Neste caso temos os seguintes CV's: 43 . 0 3 3 . 1 375 . 0 4 5 . 1 2 1 · · · · CV CV Logo, conclui-se que a primeira série tem uma dispersão relativa em torno da média maior que a segunda. Em geral CV maior ou igual a 50% é considerado alto, sendo a média pouco representativa. Valores menores que 50% implicam CV baixo e a média é tão mais representativa quanto menor for o valor do CV. 5. Exercícios de Fixação 1. Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 2. O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são: R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 e R$88,00 Determine: a. a média dos salários-hora; R$ 96,00 b. o salário-hora mediano. R$ 88,00 3. Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12. Resposta: M.H = 8; M.G = 8,4 e M.A = 9 4. Considerando a distribuição abaixo: xi 3 4 5 6 7 8 fi 4 8 11 10 8 3 FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 12 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL Calcule: a) a média; 5,4 b) a mediana; 5 c) a moda. 5 5. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição: NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1 Determine: a) a nota média; 5,9 b) a nota mediana; 6 c) a nota modal. 6 6. Determine a média aritmética de: a. VALORES 50 60 80 90 QUANTIDADES 8 5 4 3 R: 64,5 b. xi 50 58 66 fi 20 50 30 R: 58,8 7. Um ourives fez uma liga fundindo 200 g de ouro 14 k (quilates) com 100 g de ouro 16 k. O número que dá a melhor aproximação em quilates de ouro obtido é: positivo a) 14,5 k b) 14,6 k c) 14,7 k x d) 15,0 k e) 15,5 k 8. Num concurso de vestibular para dois cursos A e B, compareceram 500 candidatos para o curso A e 100 candidatos para o curso B. Na prova de Matemática, a média aritmética geral, considerando os dois cursos, foi 4,0. Mas, considerando apenas os candidatos ao curso A, a média cai para 3,8. A média dos candidatos ao curso B, na prova de Matemática, foi: positivo a) 4,2 b) 5,0 x c) 5,2 d) 6,0 e) 6,2 9. Seja M a média aritmética de 15 números quaisquer. Subtraindo-se 10 unidades de cada um desses números, obtêm-se 15 novos números, cuja média aritmética é: a) M – 15 b) M + 150 c) M – 10 x d) M + 10 e) 10 M positivo 10. Considere um grupo formado por cinco amigos com idade de 13, 13, 14, 14 e 15 anos. O que acontece com a média de idade desse grupo, se um sexto amigo com 16 anos juntar-se ao grupo? positivo a) Permanece a mesma b) Diminui 1 ano c) Aumenta 12 anos d) Aumenta mais de 1 ano e) Aumenta menos de 1 ano x 11. A média aritmética dos números pares de dois algarismos é: positivo a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 x 2. A média aritmética de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das mulheres é de 35 anos e dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo? (∑ ih + ∑ im)/120 = 40 .: ∑ ih/h = 50 .: ∑ im/m = 35 .: h + m = 120 → 80 mulheres e 40 homens 13. Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: positivo a) 16 b) 20 c) 10 d) 70 x e) 100 14. Num país, a população feminina é 51% do total. A idade média da população feminina é 38 anos e da masculina é 36. Então, a idade média da população, em anos, é: positivo a) 37,02 x b) 37,00 c) 37,20 d) 36,60 e) 37,05 15. Numa população, a razão do número de mulheres para o de homens é de 11 para 10. A idade média das mulheres é 34 e a idade média dos homens é 32. Então, a idade média da população é aproximadamente: positivo a) 32,9 b) 32,95 c) 33,00 d) 33,05 x e) 33,10 16. Numa classe de uma faculdade existem alunos de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos homens e das mulheres foram respectivamente iguais a 6,2 e 7,0. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a 6,5. A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou de meninas? Justifique sua resposta, calculando a porcentagem de alunos do sexo masculino. 17. Você fez dois trabalhos num semestre e obteve as notas 8,5 e 5,5. Qual deve ser a nota que você deve tirar no 3º trabalho para que a média dos três seja 7: 7 18. Numa empresa, vinte operários têm salário de R$ 4.000,00 mensais; dez operários têm salário de R$ 3.000,00 mensais e trinta têm salário de R$ 2.000,00 mensais. Qual é o salário médio desses operários: X = 2.833,33 19.Numa grande empresa, em três setores pesquisados num determinado dia, foram constatadas faltas de funcionários, assim distribuídos: * 4% no setor administrativo; * 8% no setor de produção; * 12% no setor comercial. Calcule a média de faltas desse dia, considerando que, no setor de produção, há 200 funcionários, o setor administrativo tem 50 funcionários e o setor comercial tem 75 funcionários. X = (16 + 2 + 9) / 325 = 8,3% 20. Um carro, numa viagem, andou 5 horas a 60 km por hora. Determine a velocidade horária média nessas 8 horas de viagem. 76,25 km/h 21. A média aritmética entre 50 números é igual a 38. Dois números são retirados: o número 55 e o 21. Calcule a média aritmética dos números que restaram. 38 EXERCÍCIOS SOBRE DESVIOS 1) Calcule o desvio padrão dos conjuntos de dados: a. 1, 3, 5, 9 b. 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 c. 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2 d. 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 a. 2,96 b. 2,81 c. 3,016 d. 7,04 2) Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média aritmética e para desvio padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47, calcule o coeficiente de variação. 8,03% 3) Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão? Estatística 4) Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos X = 162,2 cm e s = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso? estatura FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 13 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL 5) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo? 3,72% e 3,71%, respectivamente; o segundo grupo 6) Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo? 5,41 7) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,5 e CV = 2,9%. Determine a média da distribuição. 51,7 8) Considere as notas de três alunos em Matemática nos quatro bimestres de um mesmo ano. O professor de Matemática escolherá um deles para representar a turma numa competição de Matemática, o que tiver a melhor regularidade. Qual deles será escolhido? 1º Bim 2º Bim 3º Bim 4º Bim Média Aluno A Aluno B Aluno C 9,5 8,5 10,0 8,5 10,0 7,5 9,0 10,0 9,5 9,5 8,0 9,5 .... .... .... 9 Considere as idades dos alunos de 3 grupos A, B e C: Grupo A Grupo B Grupo C 15 anos 18 anos 16 anos 15 anos 14 anos 15 anos 15 anos 13 anos 13 anos 15 anos 13 anos 16 anos 15 anos 17 anos 15 anos Então: a) obtenha a média de idade de cada grupo; b) calcule a variância de cada grupo; c) calcule o desvio padrão de cada grupo. 10) Numa competição de salto triplo, três atletas disputavam apenas uma vaga para uma olimpíada entre faculdades de uma cidade. Cada atleta fez 4 tentativas obtendo os seguintes resultados: Atleta I Atleta II Atleta III 16,50 m 13,90 m 15,70 m 15,81 m 17,01 m 16,02 m 16,42 m 16,82 m 16,95 m 16,12 m 15,10 m 17,00 m a) Qual deles obteve melhor média? b) Qual deles foi o mais regular nessas quatro tentativas? 11) Responda: a) Quando numa pesquisa o desvio padrão é zero? b) Quando que uma distribuição é considerada homogênea? 12) A tabela a seguir mostra o número de acertos numa prova com 10 questões aplicadas numa turma com 50 alunos. Nº da questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Quantidade de acertos 15 20 12 25 48 40 35 10 30 40 Obtenha: a) a média de acertos por questão; b) o desvio padrão dessa distribuição. 13) Em relação aos números 1, 4, 16 e 4, obtenha: a) a média geométrica; b) a média aritmética; c) a média harmônica. 14) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a nota da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação? 15) Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3 min 38 s, 3 min 18 s, 2 min 46 s, 2 min 57 s e 3 min 26 s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores? 16) Dois atiradores x e y obtiveram numa série de 20 tiros, num alvo da forma indicada na figura, os seguintes resultados: Atirador Resultado 50 30 20 10 0 x y 4 6 6 3 5 5 4 3 1 3 a) Qual é a média de pontos por tiro de cada um dos atiradores? b) Compare os desvios padrão de cada uma das séries de tiros e decida qual é o atirador com desempenho mais regular. 17) Um professor, após verificar que toda a classe obteve nota baixa, eliminou as questões que não foram respondidas pelos alunos. Com isso, as notas de todos os alunos foram aumentadas de 3 pontos. Então: A) a média aritmética ficou alterada, assim como a mediana. B) apenas a média aritmética ficou alterada. C) apenas a mediana ficou alterada. D) não houve alteração nem na média nem na mediana. E) nada podemos afirmar sem conhecer o número total de alunos. 18) DESAFIO_ FORTIUM) Se h, g e a são, respectivamente, as médias harmônica, geométrica e aritmética entre dois números, então (A) ah = 2g (B) ah = g (C) ah = 2g 2 (D) ah = g 2 (E) ah = 2 g 19) DESAFIO_FORTIUM) Sejam y x y x M + · . , onde x e y são reais positivos, logo M é : (A) o quociente entre a média geométrica e a média aritmética de x e y. (B) a metade do quociente entra média geométrica e a média aritmética de x e y. (C) a média aritmética dos inventos de x e y. (D) a média harmônica de x e y. (E) a metade da média harmônica de x e y. FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 14 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL 20. Um conjunto de 10 valores numéricos x1, x2, x3,..., x10 , tem média aritmética igual a 100 e variância igual a 20 . Se adicionarmos 5 a cada valor, isto é, se obtivermos o conjunto (x1+ 5),(x2+5),(x3+ 5),... , (x10+ 5), então a média aritmética e a variância do novo conjunto de valores são dadas por: A) 115 e 35 B) 95 e 30 C) 105 e 25 D) 105 e 20 E) 105 e 15 6. Exercícios de Provas anteriores _ESAF 01- SEFAF/SP - APOF 2009) Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 17 c) 14,5 d) 15,5 e) 14 02 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: T: 10; 10; 10; 10; 10; 8 V: 10; 10; 10; 10; 8; 8 X: 10; 10; 10; 8; 8; 8 Y: 10; 10; 8; 8; 8; 8 Z: 10; 8; 8; 8; 8; 8 O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio padrão, é o referente à variável a) Y b) T c) V d) X e) Z 03 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Sobre a moda de uma variável, é correto afi rmar que a) para toda variável existe uma e apenas uma moda. b) a moda é uma medida de dispersão relativa. c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos. d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre o valor da média e o da mediana. e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda, tal como a probabilidade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade. 04 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida-e-volta. Para tanto, ele deve calcular a média a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas. b) geométrica das velocidades médias observadas. c) aritmética das velocidades médias observadas. d) harmônica das velocidades médias observadas. e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas. 05 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Considere a seguinte distribuição das freqüências absolutas dos salários mensais, em R$, referentes a 200 trabalhadores de uma indústria (os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita). Classes de Salários Freqüências Absolutas de R$ 400 até R$ 500 50 de R$ 500 até R$ 600 70 de R$ 600 até R$ 700 40 de R$ 700 até R$ 800 30 de R$ 700 até R$ 800 10 Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que: a) O salário modal encontra-se na classe de R$ 800 até R$ 900. b) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700. c) O salário modal encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700. d) O salário modal encontra-se na classe de R$ 700 até R$ 800. e) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 500 até R$ 600. 06 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f ’) de uma variável X. X f ' – 1 3k 0 k + 1 6k Sabendo que “k” é um número real, a média e o desvio padrão de X são, respectivamente, a) 0,3; 0,9. b) 0,0; 0,3. c) 0,3; 0,3. d) k; 3k. e) 0,3k; 0,9k. 07 - AFTN 2005) De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar por treinamento específi co para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe. Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos. a) LI = 4,0 e LS = 9,0 b) LI = 3,6 e LS = 9,4 c) LI = 3,0 e LS = 9,8 d) LI = 3,2 e LS = 9,4 e) LI = 3,4 e LS = 9,6 FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 15 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL 08 - AFTN 2005) Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B: Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos: a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3% b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3% c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3% d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3% e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1% 09 - AFTN 2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0% 10 - AFTN 2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas: Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a opção correta: a) P é no máximo ½ b) P é no máximo 1/1,5 c) P é no mínimo ½ d) P é no máximo 1/2,25 e) P é no máximo 1/20 Para a solução das questões seguintes utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: 10 - AFTN 2002-2) Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02 11 - AFTN 2002-2) Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 12 - AFTN 2002-2) Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 13 - AFTN 2002-2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: Assinale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias. e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos. 14 - AFTN 2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. As questões seguintes referem-se a esses ensaios. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 15 - AFTN 2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 16 ESTATÍSTICA BÁSICA Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 PROF VANDERLAN MARCELO Raciocínio Lógico ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL 16 - AFTN 2002) Considere a transformação Z=(X- 140)/10. Para o atributo Z encontrou-se onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 17 - AFTN 2002) Um atributo W tem média amostral a ≠ 0 e desvio padrão positivo b ≠ 1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. a) A média amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. Para efeito das questões seguintes faça uso da tabela de freqüências abaixo. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 18 - AFTN 2000) Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10,00 e) 12,50 19 - AFTN 2000) Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 20 - AFTN 2000) Suponha que a tabela de freqüências acumula- das tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 21 - AFTN 2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio- padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. a) 3% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0% 22 - AFTN 1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. Os valores seguintes foram calculados para a amostra: ∑iXi = 490 e ∑iXi 2 - (∑iXi) 2 /50 = 668 Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal) a. (9,0 e14,0) b. (9,5 e 14,0) c. (9,0 e 13,6) d. (8,0 e 13,6) e. (8,0 e 15,0) 23 - AFTN 1998) Com base nos dados da questão acima, assinale a opção que corresponde ao preço modal. a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9 Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: 24 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 25 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 26 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 27 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (
[email protected]) Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF 17