Capitulo 2.Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelos. Para explicar el comportamiento ingenieril de los suelos es necesario entender el concepto de esfuerzo en una masa de suelo y, en particular, la manera como el esfuerzo que actúa sobre el suelo como un todo se relaciona con los esfuerzos que se desarrollan dentro del esqueleto del suelo y del fluido intersticial. Para poder resolver problemas de ingeniería, también es necesario entender cómo evaluar los esfuerzos que actúan en un punto de la masa de suelo debidos a su propio peso y así mismo el cambio de esfuerzos que se induce en el suelo debido a la acción de carga (o descarga) externa producto de la construcción de obras de ingeniería. De la misma manera son importantes las deformaciones de la masa de suelo, principalmente los asentamientos, que resultan de los cambios de tales esfuerzos. Por lo general, el esfuerzo sobre un punto no es el mismo en todas las direcciones y, por tanto, es importante estudiar el estado general de esfuerzos que existe en un punto dentro de la masa de suelo y considerar las relaciones entre los esfuerzos actuantes en direcciones diferentes. Sin embargo, en muchos problemas de ingeniería el interés principal se centra sobre los esfuerzos que actúan en una dirección particular; por ejemplo, el estudio de la capacidad portante y los asentamientos de cimentaciones dependen principalmente de los esfuerzos que actúan en la dirección vertical, en tanto que el estudio de las presiones de tierras sobre los muros de contención requiere un conocimiento de los esfuerzos horizontales en la masa de suelo. 2.1. Principio de esfuerzo efectivo En una masa de suelo existen esfuerzos dentro del esqueleto del suelo que resultan de las fuerzas que actúan sobre los puntos de contacto entre partículas individuales, y existen esfuerzos dentro del fluido intersticial que ocupa los vacíos del suelo. Para estudiar el comportamiento ingenieril de los suelos es necesario tener la capacidad de distinguir estas dos clases de esfuerzos y también entender la relación entre ellos. Si se considera dentro de este propósito, una masa de suelo saturado con una superficie horizontal (Figura 2.1), con el nivel freático a nivel del terreno, se tiene que en un plano horizontal XX de área A a profundidad z, la columna vertical de suelo por encima de XX tendrá el peso total W siguiente. W = Ws + Ww (2.1) donde Ws es el peso de las partículas del suelo y Ww es el peso del agua en los vacíos. Las partículas del suelo por debajo del nivel freático están sometidas a un empuje U de tal manera que su peso efectivo W’s está dado por W’s = Ws - U entonces W’s = Ws + U y reemplazando en la ecuación (2.1) W = W’s + U + Ww Si Vs representa el volumen de las partículas de suelo en la columna, y Vw, el volumen de agua, entonces U = pwgVs (principio de Arquímedes) y Ww = pwgVw. Entonces W = W’s + pwg (Vs + Ww) Como el suelo está saturado, el volumen de agua V, es igual al volumen de vacíos Vv. Por tanto Vs + Vw representa el volumen total V de la columna. Entonces W = W’s + pwgV Y como V = Az, entonces W W’s =_____ + pwgz A A W/A define el esfuerzo sobre XX como resultado del peso total de la columna y se denomina esfuerzo total, representado por ơ. W’s/A es el esfuerzo sobre XX como resultado del peso efectivo de las partículas de suelo y se denomina esfuerzo efectivo, ơ (o algunas veces ỡ ). Puesto que el plano XX está a la profundidad z por debajo del nivel freático, el término pwgz constituye la presión intersticial hidrostática en XX, representada por u. Así obtenemos la relación ơ = ơ’ + u (2.2) La ecuación 2.2 generalmente se cumple para suelos saturados, sin tener en cuenta las condiciones del agua en los poros ni la influencia de las cargas externas. Esta relación se conoce como principio de esfuerzo efectivo y fue postulado la primera vez por Karl Terzaghi, en 1923. Este simplemente propone que en cualquier punto de una masa de suelo saturado el esfuerzo total en cualquier dirección es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección y la presión intersticial. A pesar de su forma algebraica extremadamente simple, el principio de esfuerzo efectivo es quizá la relación de más importancia en el estudio de la mecánica de suelos, y su publicación por Terzaghi marcó la aparición de esta materia como una disciplina separada en ingeniería. En la Figura 2. . En orden de magnitud descendente tenemos el esfuerzo principal mayor ơ1 que actúa sobre el plano principal mayor. la masa de suelo sometida a esfuerzo es a menudo muy grande en una dirección. Estos son los planos principales.3. En los casos de muros de contención. donde ơy es el esfuerzo principal intermedio. terraplenes.2. Por tanto. las deformaciones de la masa de suelo en la dirección y sólo se producen localmente en los bordes de la estructura.2. como se ilustra en la Figura 2. y los esfuerzos normales asociados son los esfuerzos principales. Sin embargo. con las componentes de esfuerzos cortantes nulos. en el cual únicamente es necesario considerar los esfuerzos en el plano x. los esfuerzos que se muestran en la Figura 2. z. cortes y cimentaciones corridas.2b) se representa el estado de esfuerzos del elemento cuando las caras del elemento están orientadas en las direcciones de los planos principales. Para esta geometría típica. El estado de esfuerzos que resulta en cada cara se caracteriza por una componente de esfuerzo normal ơ y dos componentes de esfuerzo cortante r. cada una de las cuales se identifica con un sufijo direccional relacionado con las tres direcciones de referencia x. y el esfuerzo principal menor ơ3 que actúa sobre el plano principal menor. En la Figura 2. Esfuerzos en un punto de una masa de suelo. y las condiciones de la mayor parte de la masa de suelo se aproximan a las de formación plana. Si el elemento se toma de tamaño infinitesimal. el esfuerzo principal intermedio ơ2 que actúa sobre el plano principal intermedio. z.2 en las caras del elemento pueden tomarse para describir los esfuerzos que actúan sobre planos diferentes en un punto de la masa de suelo. para este estado de esfuerzos debe existir en el elemento un conjunto de tres planos mutuamente perpendiculares sobre los cuales el esfuerzo resultante es normal.2a) se muestra el estado general de esfuerzos totales en un elemento dentro de una masa de suelo. al tomar espesores unitarios de la masa de suelo en la dirección y reducimos el problema a un análisis bidimensional de esfuerzos. y. Para analizar las condiciones de esfuerzos en el elemento.4a) se muestra el estado bidimensional de esfuerzos sobre un elemento de suelo. debe considerarse equilibrio del prisma abc de la Figura 2. Entonces: Resolviendo las fuerzas normales a ab Ahora rxz = rzx (esfuerzos cortantes complementarios) y por tanto Resolviendo las fuerzas paralelas a ab .Análisis bidimensional de esfuerzos: círculo de Mohr de esfuerzos En la Figura 2.4b). Sea la longitud l de ab. Sean ơ y r las componentes normal y cortante del esfuerzo que actúa sobre el plano ab. Si se conocen dos de ellos.(ơ. La gráfica del esfuerzo cortante en función del esfuerzo normal se denomina diagrama de Mohr.Sumando las ecuaciones (2. y el círculo. que tiene una característica única: Una línea trazada a partir del polo paralela a un plano dado en el suelo cortará el círculo en un punto cuyas coordenadas corresponden a las componentes normal y cortante del esfuerzo en ese plano. Al aplicarle al triángulo LHC la regla de los cosenos.6) Una gráfica de esfuerzo cortante r en función del esfuerzo normal ơ.4c. en la Figura 2. el tercero se obtendrá con una construcción simple en el círculo de Mohr. en la Figura 2.4c. 2) la dirección de dicho plano. con la convención de signos tal que los esfuerzos normales de compresión y los esfuerzos cortantes en sentido contrarío a las manecillas del reloj son positivos.4) y (2. r). y el punto K tiene las coordenadas (ơz – rzx) que definen el estado de esfuerzo en ac. y 3) la posición del polo. el polo P se encuentra trazando una línea que pase por H paralela al plano cb del elemento (o una línea que pase por K paralela a ac) la cual corta el circulo en el punto P. Una línea que pase por P paralela al plano ab del elemento corta el círculo en el punto L cuyas coordenadas deben ser. círculo de Mohr de esfuerzos. se obtiene También Entonces . Por tanto. Esto se ilustra en la Figura 2.4c) el punto H tiene las coordenadas (ơz – rzx) que definen el estado de esfuerzo en el plano cb del elemento de suelo. Por ejemplo. Sobre la circunferencia de todo círculo de Mohr existe un punto denominado polo. se define mediante un círculo de radio R = √ [ ½(ơx – ơz) ]2 + r2xz con su centro sobre el eje ơ en ơ = ½ (ơx – ơz). Existe una relación entre: 1) el estado de esfuerzos en cualquier plano de un elemento de suelo. La validez de esta construcción puede verificarse a partir de la Geometría del círculo de Mohr. el concepto del círculo de Mohr se aplica igualmente al análisis bidimensional de esfuerzos efectivos Esto puede hacerse a partir del trazado de círculos de Mohr de esfuerzos efectivos sobre un diagrama de Mohr de esfuerzo cortante en función del esfuerzo normal efectivo. el peso total de la columna vertical de suelo por encima de XX está dado por . El ángulo subtendido en el polo es igual a 90º y. que representan las componentes normal y cortante del esfuerzo sobre el plano ab. el esfuerzo resultante sobre ab. También Por consiguiente. las coordenadas del punto L son ơ y r.5 muestra un depósito homogéneo de suelo con una superficie horizontal. por tanto.4b. Así.3). deben representarse con los puntos donde el círculo corta el eje del esfuerzo normal.con lo cual que confirma la ecuación (2. considerando el plano horizontal XX de área A a una profundidad z. Así. al considerar el elemento de suelo de la Figura 2. en el que cada punto de la circunferencia del círculo representa las componentes del esfuerzo sobre planos diferentes alrededor del punto. El esfuerzo vertical total ơy (o presión de sobrecarga total) en cualquier punto es simplemente el esfuerzo que resulta del peso de todo el material por encima del punto. Además. Esfuerzos debidos al propio peso El esfuerzo vertical que existe en una masa de suelo debido solamente a su propio peso se denomina esfuerzo de sobrecarga. una herramienta muy útil para el análisis de esfuerzos bidimensionales. que actúa con una inclinación θ medida en el sentido de las manecillas del reloj a partir de la dirección normal. los planos principales son planos de esfuerzo cortante nulo y. El círculo de Mohr de esfuerzos es. el esfuerzo principal menor ơ 3 que actúa sobre el plano principal menor. Por definición. La Figura 2. en la Figura 2. se representa sobre el diagrama de Mohr por el vector OL trazado con un ángulo θ en el sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje de esfuerzo normal. Aunque aquí se han ilustrado los esfuerzo totales de un suelo.3.4c representa el esfuerzo principal mayor ơ1 que actúa sobre el plano principal mayor y el punto N. los planos principales forman ángulo recto entre sí. De igual modo.4a de un tamaño infinitesimal. 2. puede utilizarse un círculo de Mohr para representar las condiciones de esfuerzo en un punto particular de la masa de suelo. Para estas condiciones el esfuerzo cortante en todos los planos verticales es cero y por tanto los esfuerzos vertical y horizontal son esfuerzos principales. por tanto. los valores máximos del esfuerzo cortante se representan con los puntos S y T y se corresponden con un esfuerzo normal de magnitud ½(ơ1 + ơ3). Entonces el punto M de la Figura 2. Nótese que los planos de esfuerzo cortante máximo forman un ángulo de 45º con los pianos principales. por tanto. en cuyo caso las presiones intersticiales se denominan presiones hidrostáticas. y g es la aceleración de la gravedad. y por tanto no hay necesidad de atribuirle un sufijo direccional. g = 9. y la profundidad en metros. en la Figura 2. ơy tiene unidades de kN/m2. Las condiciones más simples son aquellas en las que el nivel de aguas subterráneas es estático (como se considera aquí). está dado por Con la densidad en Mg/m3. Al ser una presión de fluido la presión intersticial en cualquier punto es la misma en todas las direcciones. sustituyendo ơv y u en las ecuaciones (2. el esfuerzo vertical total ơv sobre XX definido como W/A.21).5. Así.9) A partir de la ecuación (1.81 m/s2. ps es la densidad saturada.donde p es la densidad aparente del suelo. Entonces. (ps – pw) define la densidad efectiva p' y por tanto se obtiene . la presión intersticial hidrostática en XX a una profundidad zw por debajo del nivel freático está dada por El esfuerzo vertical efectivo asociado (o presión de sobrecarga efectiva) sobre XX se obtiene a partir del principio de esfuerzos efectivos utilizando la ecuación (2. La presión intersticial u en cualquier punto de la masa de suelo tendrá un valor de equilibrio compatible con las condiciones de frontera hidráulicas existentes en la masa de suelo.8 y (2.2) en la forma siguiente Entonces. la relación ơv = pgz predice una variación lineal de ơv en función de la profundidad a lo largo de cada zona. De igual manera la variación de u = pwqzw es lineal en función de la profundidad por debajo del nivel . En el capítulo 6 estudiaremos este tema con mayor amplitud. a) Determinar las distribuciones del esfuerzo vertical total.05 Mg/m3 y la densidad saturada de la grava = 2.6. El esfuerzo horizontal en un punto de la masa de suelo está fuertemente determinado por la historia de esfuerzos del depósito. Ejemplo 2.1. y como tal no puede calcularse de una manera simple como los esfuerzos de sobrecarga. Se empieza por el cálculo de los esfuerzos en los límites de las tres zonas. El nivel freático (NF) está 2 m por debajo de la superficie horizontal de la arena.15 Mg/m3 b) ¿Cómo cambian estas distribuciones si el nivel freático desciende hasta la interfase arena/grava? Solución. Si la densidad del suelo en cada zona es constante. dado que la densidad aparente de la arena por encima del NF = 1. Un perfil de suelo se compone de 5 m de arena depositados encima de 4 m de grava que descansa sobre el lecho rocoso. la presión intersticial y el esfuerzo vertical efectivo en función de la profundidad hasta llegar al lecho rocoso. a) El perfil de suelo es como se muestra en la Figura 2. la densidad saturada de la arena por debajo del NF = 2.Bajo condiciones hidrostáticas.70 Mg/m3. la presión efectiva de sobrecarga en una masa de suelo es función de la densidad total del suelo que se encuentre por encima del punto considerado sobre el nivel freático y de la densidad efectiva del suelo que se encuentre por encima del punto considerado bajo el nivel freático. Como resultado se obtiene un aumento del esfuerzo vertical efectivo en el suelo constante en todos los puntos por debajo del nivel freático más bajo. Las distribuciones de ơv.24 kN/m2. y en el caso de los suelos ingenieriles frecuentemente es muy complejo. 5. del tamaño y la forma del área cargada. b) Con el nivel freático en la interfase arena/grava .39.3.75 . y de las propiedades esfuerzo-deformación del suelo. Entonces se llega a que ơv varía linealmente a lo largo de cada zona. el comportamiento esfuerzodeformación de los materiales reales rara vez es simple.6b. Comparando los resultados de a) y b) pueden determinarse los cambios en esfuerzo Δơv. u y ơ’v son ahora como se muestra en la Figura 2.1b.4.75 kN/m2 u = 1 x 9. Δu y Δơ’v en función de profundidad (Figura 2. Otros ejemplos de relaciones esfuerzo-deformación para suelos reales se dan en las Figuras 5.81 x 4 = 167.15 x 9. por ejemplo. u = 0 y ơ’v = 0 a 5 m de profundidad: ơv = 1. Esto indica que al bajar el nivel freático en una masa de suelo el esfuerzo vertical total disminuye en todos los puntos por debajo del NF original. a partir del principio de esfuerzo efectivo como se muestra en la figura 2. Nótese que estos cambios en esfuerzo son compatibles con el principio de esfuerzo efectivo.39 kN/m2 u = 0.81 x 5 = 83.39 kN/m2 a 9 m de profundidad: ơv = 83.6a.51 kN/m2 Las distribuciones de ơv.39 + 2. 2. nos referimos a la Figura 2. Para ilustrarlo. se tiene: en la superficie de la arena: ơv = 0. 1972) y comparamos las relaciones esfuerzo-deformación para un número de materiales ideales con la de un suelo real.70 x 9. ơ’v = 83. Las distribuciones de esfuerzos que producen en una masa de suelo la aplicación de las cargas resultantes de la construcción de obras de ingeniería dependen del espesor y la uniformidad de la masa de suelo. pero esta disminución es menor que la correspondiente a la presión intersticial. Esfuerzos debidos a cargas aplicadas. u y ơ’v son entonces como lo muestra la Figura 2.7 (tomada de Bishop.1d y 5.24 = 128. .freático. ơ’v = 167.6c). en cualquier punto por debajo del nivel freático más bajo y por tanto.81 x 4 = 39. Ahora.6c. y en el análisis el comportamiento del suelo se define con un valor de resistencia a la condición de falla a lo largo de la superficie de deslizamiento.Sin embargo. Los problemas de estabilidad que constituyen una de las categorías se analizan considerando el equilibrio limite de una masa de suelo que está en estado de falla por cortante a lo largo de una superficie de deslizamiento potencial. u. Con la comparación entre los esfuerzos reales sobre la superficie de deslizamiento potencial con aquellos necesarios para generar la falla. E. 7 y 8 cuando se consideran las presiones de tierras en los muros de contención. Esta clase de problemas se estudian en este capítulo. en los que el interés está centrado en la predicción de esfuerzos y deformaciones (por lo general. la estabilidad de taludes y la capacidad portante de cimentaciones. de la curva esfuerzo – deformación. y más adelante en el capítulo 4. .isotrópico y linealmente elástico. dentro del contexto de la búsqueda de los esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo. aproximadamente lineal. cuando se estudie el análisis de asentamientos de estructuras. cuyas propiedades se definen con el módulo de elasticidad. La teoría del equilibrio límite para el análisis de estabilidad se presenta con detalle en los capítulos 6. asentamientos) en el suelo cuando los niveles de esfuerzos se restringen a un rango de trabajo muy por debajo del valor de falla y dentro de la parte inicial. se obtiene un factor de seguridad con respecto a la inestabilidad. Se supone que el suelo en la zona de falla se encuentra en un estado de equilibrio plástico. y la relación de Poisson. pueden identificarse dos categorías de problemas de ingeniería. Para estas condiciones se supone que el suelo se encuentra en un estado de equilibrio elástico y las distribuciones de esfuerzos y las deformaciones se determinan bajo el supuesto de que el suelo se comporta como un material homogéneo . La segunda categoría la constituyen los problemas de distribución de esfuerzos y de deformaciones. y no toman en cuenta los esfuerzos que existen en la masa de suelo debidos a su propio peso. aquí sólo se presentan aquellas comúnmente utilizadas en la práctica de la ingeniería. r = distancia radial desde N hasta la línea de acción de Q. x Una masa semiinfinita es la que está limitada por una superficie horizontal y se extiende al infinito verticalmente hacia abajo. y u = relación de Poisson. . sistemas de varios estratos y aplicación de cargas por debajo de la superficie de la masa del suelo. quien en 1885 desarrolló expresiones matemáticas para obtener el incremento de esfuerzo en una masa semiinfinita x de suelo debido a la aplicación de una carga puntual en su superficie (Figura 2. Sin embargo. y horizontalmente en todas direcciones. a) Carga puntual vertical Con referencia en la Figura 2. pueden calcularse simplemente con una carga negativa aplicada sobre el área de excavación. Harr (1966) y Poulos y Davis (1974). en excavaciones. están dados por Donde z = profundidad desde la superficie del suelo hasta el punto N. las expresiones de Boussinesq para el incremento de esfuerzo en el punto N en una masa semiinfinita de suelo debido a la aplicación de una carga puntual Q en la superficie. Las condiciones complejas de carga con frecuencia pueden tratarse como una combinación de dos o más de estos casos simples de carga.8a). Los cambios de esfuerzo debidos a la descarga.Muchas de las soluciones obtenidas para las distribuciones de esfuerzos se derivan de los trabajos de Boussinesq. y su solución puede obtenerse aplicando el principio de superposición. Debe recordarse que las soluciones producen cambios en esfuerzo que resultan de la aplicación de cargas. Las expresiones de Boussinesq se han integrado para obtener soluciones para áreas cargadas y se han modificado para tomar en cuenta estratos de suelo de espesor finito.8a). por ejemplo. Una revisión exhaustiva de las diversas soluciones publicadas fue dada por Scott (1963). 9b. son los siguientes d) Carga con distribución triangular sobre una franja infinita Cuando el esfuerzo aplicado se incremento linealmente a través del ancho de la franja. los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicación de una carga lineal de Q por metro. como se muestra en la Figura 2.9a. lo cual conduce a una distribución triangular. longitud infinita Con referencia a la Figura 2.b) Carga lineal vertical de.8b. son c) Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita Los incrementos de esfuerzo en el punto N producidos por una presión uniforme q que actúa sobre una franja flexible infinitamente larga de ancho B con referencia a la Figura 2. los incrementos de esfuerzo en el punto N están dados por . La solución puede expresarse en la forma donde Iơ es un factor de influencia de esfuerzo que depende de la longitud L y del ancho B del área rectangular y de la profundidad z del punto N.11a. Por ejemplo.Los casos c) y d) pueden superponerse para calcular el cambio de esfuerzo producido por la construcción de terraplenes o por la realización de cortes en una masa de suelo. Los valores de Iơ expresados en función de los parámetros m = B/z y n = L/z se presentan en la Figura 2. según Fadum (1948). por debajo del punto X en la Figura 2.10. e) Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular En este caso se presenta la solución para el incremento de esfuerzo vertical total en un punto N debajo de una esquina de un área rectangular flexible uniformemente cargada. el incremento en esfuerzo debido al área cargada L x B se calcula a partir de . El mérito de presentar una solución para un punto esquinero radica en que por simple superposición Δơv puede calcularse con facilidad para cualquier punto en la masa de suelo debido a cualquier área uniformemente cargada que pueda subdividirse en rectángulos. el incremento de esfuerzo debido a la aplicación de una carga sobre el área sombreada se calcula a partir de . por debajo del punto Y en la Figura 2.11b.De igual manera. 1954). depende de R.f) Carga uniformemente distribuida sobre un área circular El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de un área circular flexible de radio R cargada con una presión uniforme q está dado por Sin embargo. En el punto N de la Figura 2. puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total como donde el factor de influencia Iơ.13 (según Foster y Ahivin. Los valores de Iơ en función de los parámetros z/R y rIR se obtienen a partir de la Figura 2. 1962). z y r. 1954) o en tablas (Ahlvin y Ulery.12. las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr. para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga. 1966) y por lo general se presentan en forma gráfica (Foster y Ahlvin. . que se muestra en la Figura 2. El gráfico está construido de tal manera que cuando cada área de influencia se carga con una presión uniforme q se obtiene el mismo incremento de esfuerzo vertical total a una profundidad AB por debajo del origen de la gráfica.g) Diagrama de influencia de Newmark En 1942 Newmark propuso un procedimiento gráfico para determinar el incremento de esfuerzo vertical total bajo cualquier área de forma flexible uniformemente cargada. de esta manera se define un valor de influencia I que para este gráfico es 0. El gráfico de Newmark.14. consta de un número de áreas de influencia creadas por la intersección de una serie de círculos concéntricos con líneas que parten del origen en sentido radial.005. cada una representará un cambio de esfuerzo de 0. Por tanto. si en este caso el número total de áreas de influencia en la gráfica es 200. .005 q. Para utilizar el gráfico se dibuja el contorno del área cargada a una escala compatible con la del gráfico. esta escala debe ser tal que la longitud de la línea de escala AB sobre el gráfico corresponda a la profundidad z a la cual se quiere encontrar el incremento de esfuerzo. El incremento en el esfuerzo vertical total se obtiene entonces así . El número de áreas de influencia al interior del contorno se calcula y se denomina n. El contorno a escala se localiza de manera tal que el punto bajo el cual se quiere encontrar el esfuerzo quede directamente sobre el origen del gráfico. con la disponibilidad de los computadores. Por ejemplo. En realidad.16a) se muestran las líneas de igual incremento del esfuerzo vertical total expresado como una fracción de la presión aplicada q en una franja infinitamente larga. si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B. puede determinarse Δơv en todos los puntos del suelo a la profundidad z. Si la profundidad a la que se va a encontrar el esfuerzo es por lo menos tres veces el ancho escogido para las subáreas. el proceso se repite con el contorno dibujado a otra escala. Para calcular Δơv a cualquier otra profundidad.17a se muestra una sección transversal en la línea central de un área cuadrada. El incremento de esfuerzo debido al área completa se obtiene entonces utilizando la ecuación de Boussinesq correspondiente a una carga puntual y el principio de superposición. Las líneas forman lo que se denomina bulbos de . Por ejemplo. puede hacerse un cálculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro de un cono truncado o una pirámide truncada formados por lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la horizontal. en la Figura 2. el incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estará dado aproximadamente por Cualquier área cargada puede considerarse como un número discreto de subáreas. como se ilustra en la Figura 2. considerar un número suficiente de subáreas para asegurar precisión en los cálculos es algo simple. h) Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas. El gráfico de Newmark es particularmente útil para áreas cargadas de forma irregular y como método adicional para evaluar esfuerzos debajo de áreas circulares cargadas.Desplazando el contorno a escala alrededor del gráfico. Bulbos de esfuerzos Las soluciones presentadas en los literales a) hasta g) pueden utilizarse para obtener las líneas de igual incremento de esfuerzo en una masa de suelo producidos por una carga aplicada en la superficie.15. caso en el cual la aproximación será más conveniente que una basada en el uso de gráficos o tablas de factores de influencia. y en la Figura 2. sólo se presentarán pequeñas inexactitudes. que contribuyen cada una con una carga puntual aplicada sobre la superficie del suelo en su punto central. 2. es decir. debajo de la línea central de una franja de ancho B una reducción similar de Δơv se logra sólo cuando la profundidad es superior a 10B. Por tanto. son de especial interés las deformaciones verticales. una masa de suelo no tiene valores únicos de E y v. De manera similar. Sin embargo.5. la zona de influencia de un área circular cargada se extiende hasta una profundidad de más o menos tres veces su diámetro. que para cualquier profundidad el mayor incremento de esfuerzo tiene lugar debajo del centro. Δơv a una profundidad de tres veces el ancho es más o menos el 5% de la presión superficial q. Las soluciones para los asentamientos basadas en la teoría de la elasticidad utilizan el módulo de elasticidad E y la relación de Poisson v.esfuerzo del área cargada. y la dificultad para determinar los valores apropiados de estos parámetros limita la aplicación práctica de estas soluciones.17b respectivamente. los asentamientos que se producen en la superficie de la masa de suelo cuando la carga se aplica sobre el área de una cimentación. las distribuciones de Δơv por debajo del punto central son de especial interés. .16b y 2.4 también puede utilizarse para obtener expresiones de las deformaciones que resultan en una masa de suelo cuando se le aplica una carga. En la práctica. La profundidad hasta la cual el incremento de esfuerzo es significativo se denomina zona de influencia y puede tomarse entonces como aproximadamente 10 veces el ancho en el caso de una franja infinitamente larga y aproximadamente tres veces el ancho en el caso de un área cuadrada cargada. Por debajo del centro de un área rectangular cargada de ancho B. y dan una representación visual útil de la manera como el incremento de esfuerzo se distribuye través de la masa de suelo. De otro lado. Se ve. Asentamientos basados en la teoría de la elasticidad La teoría de la elasticidad en la cual se apoyan las soluciones dadas en la sección 2. por ejemplo. y se muestran por separado para una franja y un área cuadrada en las figuras 2. los asentamientos que se presentan inmediatamente durante la construcción se producen sin ningún drenaje del agua intersticial del suelo.En depósitos de arena el valor del módulo varía no sólo con la profundidad sino también con el ancho del área cargada. En la práctica. El asentamiento en la superficie de una masa de suelo semiinfinita en la esquina de un área rectangular flexible de longitud L y ancho B a la que se aplica una carga uniforme q está dado por donde Is es el factor de influencia del asentamiento que depende de la relación longitud/ancho del área rectangular. La relación entre Is y L/B fue establecida por Terzaghi (1943). el asentamiento en una esquina puede obtenerse a partir de la . Esta es una condición de cambio de volumen nulo en la masa de suelo para la cual la relación de Poisson v = 0. Sin embargo. Si el área rectangular está en la superficie de un estrato de suelo de espesor finito D que reposa sobre una base rígida.18. dichas predicciones se basan por lo general en métodos más empíricos como los que se describen en el capítulo 8. en depósitos de arcilla saturada. las soluciones que se presentan en esta sección se utilizan principalmente para predecir los asentamientos inmediatos (a veces llamados asentimientos elasticos) que se producen en los depósitos de arcilla saturada en condiciones no drenadas. Área rectangular con carga uniformemente distribuida. Y es razonable la hipótesis de un módulo de elasticidad no drenado constante. En consecuencia. y en el rango "elástico" inicial de deformación el valor de la relación de Poisson varía con la deformación. en la práctica. y se muestra en la Figura 2.5. las soluciones basadas en la elasticidad son poco utilizadas en la predicción de asentamientos en arenas. Por tanto. solución aproximada presentada por Steinbrenner en 1934.19 . En este caso el factor de influencia Is puede expresarse en términos de las funciones F1 y F2. así Las funciones F1 y F2 dependen de las relaciones L/B y D/B y se presentan gráficamente en la Figura 2. debe dividirse el área cargada en cuatro subáreas y aplicar el principio de superposición. Ejemplo 2.10. Calcular el incremento en el esfuerzo vertical total en la arcilla a una profundidad de 5 m bajo el centro y bajo una de las esquinas del área cargada.Los asentamientos superficiales en otros puntos diferentes de las esquinas o debidos a áreas cargadas constan de una combinación de formas rectangulares.500 kN/m 2 y relación de Poisson = 0.21: Utilizando la ecuación (2. Para los esfuerzos bajo el punto central. Un área rectangular flexible de 8 m de longitud por 4 m de ancho aplica una 2 presión uniforme de 40 kN/m en la superficie de un estrato de 20 m de espesor de arcilla saturada que reposa sobre el lecho rocoso. Las propiedades de la arcilla son: módulo de elasticidad no drenado = 3.5. con referencia a la Figura 2. Calcular también el asentamiento diferencial inmediato entre el centro y una esquina del área cargada.20. y se reproducen en la Figura 2.2. y pueden determinarse aplicando el principio de superposición. Por tanto.4e. como se explicó en los cálculos de esfuerzo en la sección 2. Valores de Is para una masa de suelo semiinfinita y para dos casos de estratos de suelo de espesor finito D los presentó Terzaghi (1943). Área circular con carga uniformemente distribuida Los asentamiento en la superficie debidos a una carga uniforme q que actúa sobre una área circular flexible de radio R están dados por donde el factor de influencia Is depende del valor de la relación de Poisson y de la distancia radial desde el centro del área hasta el punto en el que se busca el asentamiento. Solución Para determinar los incrementos en el esfuerzo vertical total bajo un área rectangular cargada se utiliza el diagrama de Fadum de la Figura 2.16) se obtiene un incremento en el esfuerzo vertical total a una profundidad de 5 m bajo una esquina del área cargada: . y bajo el centro . el asentamiento diferencial inmediato = 44 .3. dado por la ecuación (2.19.21) se obtiene el asentamiento inmediato en una esquina del área cargada. La arcilla saturada tiene una relación de Poisson v = 0.18 = 26 mm Puede verificarse de inmediato que el asentamiento máximo de un área flexible cargada tiene lugar bajo su centro. Entonces. La Figura 2. con su clave a una profundidad promedio de 12 m bajo el nivel del terreno. De esta manera 26 mm representa el asentamiento diferencial inmediato máximo para esta área cargada. en el caso de un área circular cargada). También se muestra la línea de un túnel existente que pasa a través de la arcilla. Ejemplo 2. de la Figura 2. y el asentamiento mínimo bajo una esquina (el borde.5 y tanto el factor de influencia Is.Para determinar los asentamientos superficiales inmediatos de un área rectangular flexible sobre un estrato de espesor finito se utiliza el diagrama de Steinbrenner. se reduce a Is = F1. con referencia a la Figura 2. Para el asentamiento en el centro. así y en el centro Por consiguiente. se divide nuevamente el área cargada en cuatro subáreas y se aplica el principio de superposición.21: Utilizando la ecuación (2. La presión sobre la cimentación del edificio es de 30 kN/m 2. .22 muestra las dimensiones en planta de un edificio de una fábrica cimentado sobre la superficie de un depósito de arcilla homogénea de gran espesor.22). Solución a) El esfuerzo vertical total en el suelo 12 m. Esta planta luego se superpone a la Figura 2. A partir de la ecuación (2. que se muestra en la Figura 2. la distancia radial hasta P es r = 12 m.30 x 0.18) Utilizando el diagrama de Newmark se dibuja la planta que muestra la cimentación circular y el punto P a una escala tal que la línea a escala AB de la Figura 2. A partir del principio de superposición. E = 5. de la Figura 2.90 Mg/m3. z/R = 1⅓.90 x 9. y b) el asentamiento superficial inmediato que se producirá en P y en el borde y en el centro de la cimentación circular.14 corresponde a la profundidad z = 12 m.10.Se desea construir un tanque de almacenamiento en el sitio que se muestra.45 kN/m2 El incremento de esfuerzo debido al tanque de almacenamiento puede calcularse utilizando un factor de influencia que se obtiene de la Figura 2. Con referencia a la Figura 2.14 con el punto P . o utilizando el diagrama de Newmark.67 kN/m2 El incremento en esfuerzo debido al edificio existente se obtiene utilizando el diagrama de Fadum.18. calcular: a) el esfuerzo vertical total en el suelo a 12 m bajo el punto P.16) Con referencia a la Figura 2.81 x 12 = 223. bajo el punto P estará dado por ơv = presión de sobrecarga total + incremento en esfuerzo debido al edificio existente + incremento en esfuerzo debido al tanque de almacenamiento propuesto Presión de sobrecarga total ơvo= 1. Las propiedades de la arcilla son Ps = 1. Si se lleva a cabo la construcción propuesta.13. el incremento en el esfuerzo vertical total bajo el punto P está dado por y de la ecuación (2. Por tanto.083 = 3. el radio R = 9 m y la profundidad z = 12 m. r/R = 1⅓ y Iơ = 0. con una cimentación flexible de 18 m de diámetro que trasmitirá una presión de 70 kN/m 2 en la superficie de la arcilla.14.500 kN/m2 y v = 0.5. 198 .13.22: Por tanto Δơv = 30 x 0. donde q = 70 kN/m2.5 se obtienen los factores de influencia y los asentamientos inmediatos. Entonces a partir de la ecuación (2.23).4.500 kN/m2 e Is se obtiene a partir de la Figura 2. Por consiguiente.50. Is = 1. Is = 1.20. como sigue: Es el centro de la cimentación. Is = 0. la distancia radial = 1⅓ R. y En el punto P.19). y En el borde de la cimentación. Suponiendo que el estrato de arcilla es de espesor infinito se tiene que D/R = ∞ y dado que v = 0. Los asentamientos en la superficie pueden calcularse a partir de la ecuación (2.localizado en el origen del diagrama. el esfuerzo vertical total en el suelo 12 m bajo el punto P está dado por b) Se supone que cualquier asentamiento debido a las estructuras existentes ya se produjo y por tanto los asentamientos inmediatos resultarán solamente de la carga adicional impuesta por el tanque.75 y . El número de áreas de influencia encerradas por el área cargada es n = 35. R = 9 m. la distancia radial = 0. E = 5. la distancia radial = R.