Tecnica delle CostruzioniESERCIZI Tecnica delle Costruzioni S.L.U. per FLESSIONE e PRESSOFLESSIONE Esempio 1 Sia assegnata una sezione rettangolare di base b=300 mm, altezza utile d=500 mm, copriferro δ=50 mm (λ=50/500=0.1) soggetta ad un momento flettente di calcolo MSd=270 KNm =2.7 108 Nmm. Fissate le caratteristiche dei materiali: acciaio1 B450C e calcestruzzo di classe C25/30, se ne progetti l'armatura affinché la profondità dell'asse neutro a rottura risulti pari a ξ*= xu/d = 0.233. I valori di calcolo delle resistenze dei materiali valgono: fyd=391.3 MPa, fcd=0.85x25/1.5=14.167 MPa, mentre la sollecitazione espressa in termini adimensionali vale mrd = M rd 270000000 = = 0.254 . 2 bd f cd 300 ⋅ 500 2 ⋅14.167 Fig. 1 La posizione dell'asse neutro ξ*=0.233 garantisce che allo SLU anche l'armatura compressa risulta snervata. In questa ipotesi, posto λ=δ/d, la condizione di equilibrio alla rotazione, con riferimento alla Fig. 1, si scrive: mrd = µω* (1 − λ ) + κ ξ* − ηξ *2 ( 1 ) In questo come in tutti gli esercizi successivi si considera l’acciaio a duttilità illimitata. 3 Esercizi ω* = µω* + κξ* ⇒ ω* = con (per l'equilibrio alla traslazione) da cui: µ= ( ) mrd − κ ξ* − ηξ*2 κ ⋅ ξ* ⋅ (1 − λ ) + mrd − κ ξ* −ηξ*2 ( κ 1− µ ξ* ) che per κ=0.809, η=0.416 e ξ*=0.233 diventa: µ= mrd − 0.168 0.254 − 0.168 = = 0.336 0.1884 ⋅ (1 − λ ) + mrd − 0.168 0.1884 ⋅ (1 − 0.1) + 0.254 − 0.168 La trave dovrà pertanto essere dotata di un rapporto meccanico di armatura tesa ω* = κ 1− µ ξ* = 0.809 0.233 = 0.284 1 − 0.336 cui corrisponde la seguente armatura: As = ω ⋅ bd ⋅ f cd 14.167 = 0.284 ⋅ 300 ⋅ 500 = 1542 mm 2 = 15.42 cm 2 f yd 391.3 A' s = 0.336 ⋅ As = 0.336 ⋅1542 = 518 mm 2 = 5.18 cm 2 ottenibile, ad esempio, con 5ϕ20 in zona tesa e (2ϕ12+1ϕ20) in zona compressa. Esempio 2 Si progetti altezza ed armatura di una sezione rettangolare di base b=350 mm, con capacità flessionale a rottura MRd=500 KNm =5 108 Nmm. e profondità dell'asse neutro a rottura ξ*=0.233. Le caratteristiche dei materiali siano acciaio B450C (fyd=391.3 MPa) e calcestruzzo di classe C25/30 (fcd=0.85x25/1.5=14.167 MPa). La condizione di equilibrio alla rotazione, scritta con riferimento alla Fig. 1 (armature entrambe snervate allo SLU) è: mrd = µω* (1 − λ ) + κ ξ* − ηξ *2 ( da cui, ricordando che mrd = d= ) M rd , è immediato ricavare: bd 2 f cd M rd 1 ⋅ bfcd µω* (1 − λ ) + κ ξ* − ηξ*2 ( ) Dall'equilibrio alla traslazione, nella ipotesi che entrambe le armature siano al- 4 6 dalla precedente si ricava: per µ=0.314 ⋅ 500 ⋅ 250 2 ⋅14 . 2 (o la relativa tabella 1) si verifichi una sezione rettangolare di base b=500 mm.3 ⇒ d=638 mm ⇒ ω*=0.6 ⇒ d=480 mm ⇒ ω*=0.3140 e ξu=xu/d=0. soggetta ad un momento flettente di calcolo MSd=130 KNm.0 ⇒ d=766 mm ⇒ ω*=0. 5 1 .5=14. cui corrisponde mrd=0. altezza utile d=250 mm.3 = 0.26 5 .3508. armata con As=5ϕ20=1570 mm2 ed A's=2ϕ20=628 mm2 (µ=0.3 MPa) e calcestruzzo di classe C25/30 (fcd=0. La curvatura della sezione a rottura vale: ε 3.2693 ⇒ As = 2177 mm2 Pertanto si può adottare una trave di altezza complessiva pari a 70 cm (d=64 + δ=6) armata con 7ϕ20 in zona tesa e (2ϕ14+1ϕ20) in zona compressa. Il momento resistente della sezione vale pertanto: M Rd = m rd ⋅ bd 2 ⋅ f cd = 0. che in termini adimensionali può scriversi: χ u = cu = xu 1000 ξ u ⋅ d 3. Si valuti inoltre la curvatura della sezione allo SLU. Esempio 3 Utilizzando l'abaco di Fig. 500 ⋅ 250 ⋅14.167 = 139 ⋅10 6 Nmm M Rd = 139 KNm > M Sd = 130 KNm e la sezione risulta verificata.1885 ⇒ As = 1830 mm2 per µ=0. Le caratteristiche dei materiali siano acciaio B450C (fyd=391.167 Dalla tabella 1 nella colonna µ=40% il valore di ω più vicino e ω=0. 0.4713 ⇒ As = 2866 mm2 Ritenendo che l'armatura massima che è possibile disporre in 350 mm non debba eccedere i 22 cm2 (7ϕ20) si adotta la seguente soluzione: µ=0. La percentuale meccanica dell’armatura tesa è: ω= As f yd bd ⋅ f cd = 1570 ⋅ 391.26 con SLU raggiunto in campo IIIc. 5 χ u = χ u ⋅1000 ⋅ d = = 13. è possibile quantificare l'armatura tesa necessaria: ω* = µω* + κξ* ⇒ ω* = da cui d= κ 1− µ ξ* M rd 1 ⋅ bf cd µ κ ξ (1 − λ ) + κ ξ − ηξ 2 * * * 1− µ ( ) Considerando un possibile campo di variabilità di µ fra 0 e 0.347 .46 .Tecnica delle Costruzioni lo SLU snervate.167 MPa).85x25/1.4). sezioni rettangolari: abaco per calcestruzzi di classe non superiore a C50/60 6 . 2 .Flessione semplice retta .Esercizi Fig. Tecnica delle Costruzioni Tabella 1 Momento adimensionalizzato mrd e rapporto meccanico ω al variare della posizione dell’asse neutro per sezioni con diverse percentuali di armatura compressa (valido per calcestruzzi di classe non superiore a C50/60 e acciaio a duttilità illimitata) 7 . 5 ⋅ 10 6 Nmm La capacità flessionale allo SLU del singolo travetto può assumersi pari a 31. Poiché xu=0.167 = 31 .85x25/1. Il momento resistente della sezione vale pertanto: M Rd = m rd ⋅ bd 2 ⋅ f cd = 0. 3 La percentuale meccanica dell’armatura tesa è: ω= As f yd bd ⋅ f cd = 308 ⋅ 391.3 MPa) .acciaio B450C (fyd=391. armato inferiormente con As=2ϕ14=308 mm2.167 MPa). Fig.061.061 ⋅ 500 ⋅ 270 2 ⋅14 .3 = 0.calcestruzzo di classe C25/30 (fcd=0.078 x 270 = 21 mm < 50 mm l'asse neutro taglia la soletta e la sezione a T inflessa può essere trattata nello stesso modo di una rettangolare con base uguale alla larghezza della soletta compressa. 3 (unità cm).5=14. 500 ⋅ 270 ⋅14. Si utilizzino le seguenti caratteristiche dei materiali: .063 .078 ed mrd=0.167 Interpolando i valori dalla tabella 1 nella colonna µ=0% al suddetto valore di ω corrisponde ξu=xu/d=0.5 KNm 8 .Esercizi Esempio 4 Si debba valutare la capacità flessionale allo SLU del singolo travetto relativo al solaio rappresentato in Fig. 4 si ha: x' = As f yd (1 − µ ) Bt 9557 ⋅ 391.8 0 .5=17.85x30/1. sfruttando ad esempio la Tab. che il rapporto x/d>20/160=0. 1.Tecnica delle Costruzioni Esempio 5 Si valuti la capacità flessionale e la curvatura allo SLU della trave a T rappresentato in Fig.8 C 0 = Btf cd = 750 ⋅ 200 ⋅17.0 = 2550 ⋅10 3 N x= C1 = bx ' f cd = 250 ⋅ 206 ⋅17. 4 (unità cm).0 250 t + x ' 200 + 206 = = 507 .acciaio B450C (fyd=391.3 = 3740 ⋅10 3 N Dall'equilibrio alla rotazione intorno all'armatura tesa si ottiene la capacità flessionale della sezione allo SLU: 9 . Fig.5 mm 0.0 = 875 ⋅10 3 N C s = µAs f yd = 804 ⋅ 391. armata in zona tesa con As=18ϕ26=9557 mm2 e in zona compressa con As=4ϕ16=804 mm2 (µ=8. pertanto.3 = 315 ⋅10 3 N Σ compressioni = 3740 ⋅10 3 N T = As f yd = 9557 ⋅ 391.183 750 ⋅1600 ⋅17.125 e che.4%).calcestruzzo con fck=30 MPa (fcd=0.3 = 0. 4 Valutata la percentuale meccanica dell’armatura tesa: ω= As f yd bd ⋅ f cd = 9557 ⋅ 391. l'asse neutro taglia l'anima della sezione a T inflessa.3 MPa) .3 750 ⋅ 200 − = − = 206 mm bf cd b 250 ⋅17. Si utilizzino le seguenti caratteristiche dei materiali: . Con riferimento alla Fig.0 MPa). Di conseguenza la sezione non può essere trattata nello stesso modo di una rettangolare con base uguale alla larghezza della soletta compressa.0 è immediato riconoscere. 206 M rd = 2550 ⋅ (1. La percentuale meccanica dell’armatura disposta in zona tesa e compressa è: ω= As f yd bd ⋅ f cd = 12.3 = 0. Esempio 6 Utilizzando il dominio di interazione semplificato a 6 lati (Fig.06343 b = −0.5193 d = 0.188 − 0.8 108 Nmm.8 105 N ed MSd=280 KNm=2.0069 ⋅1600 = 11. 300 ⋅ 500 ⋅ 17.258 0.60 − 0. 5 1 0.3207 = 0.5 1000 mm scriversi: χ u = χ u ⋅1000 ⋅ d = 0.3207 La condizione di verifica è: a (nSd − c ) + d b 0. 10 .57 ⋅ 391.1835<nsd<0.Esercizi t x' M rd = C 0 d − + C1 d − t − + C s (d − δ ) 2 2 0.04 .1 ed ω=0. e soggetto ad una flessione composta. b.5193.147 + 0. che in termini adimensionali può χ u = cu = = xu 1000 507.3358 mSd ≤ La sezione risulta pertanto verificata.9 ⋅ 0. i coefficienti a.10 ) + 875 ⋅ 1.60 − 0.193.22 ≤ (0.193 .193 = 0. c e d valgono rispettivamente: a = −0.20 − + 315 ⋅1.0 Dalla tabella 2 nel campo 0.0634 0. con NSd=480 KN=4.0069 1 . d=500 mm armata superiormente ed inferiormente con 4ϕ20.5193) + 0.55 = 5448 KNm 2 La curvatura ultima della sezione è: ε 3. per λ=0. si verifichi un pilastro (acciaio B450C e calcestruzzo con fck=30 MPa) con sezione rettangolare di dimensioni b=300 mm. 5) con la relativa tabella 2.3358 c = 0. Dominio di interazione semplificato a 6 lati (particolarizzato per λ=0.Tecnica delle Costruzioni Fig.c e d da utilizzare nelle verifiche approssimate espresse dalla (1) validi per λ=0.1) mSd ≤ a (nSd − c ) + d b (1) Tabella 2 . 5.Valori dei coefficienti a.1 11 . .b. 6 - Famiglia dei domini di interazione per una sezione rettangolare simmetricamente armata e per cls di classe non superiore a C50/60 12 .Esercizi δ / d = 0.10 Fig. 5=14. Si consideri un parametro di copriferro λ=0.85x25/1. fcd=0.431 richiede una percentuale meccanica di armatura ω≅0. cui corrisponde: Asx = ω bd 14.C.167 f cd = 0. assoggettato ai seguenti stati di sollecitazione: C. cui corrisponde: 13 .3 x 220 = 286 KNm. che in termini adimensionali vale: msdy = M Sdy 286000000 = = 0. 6 la coppia di valori msd=0.167 Progetto armatura parallela asse x Si progetta tale armatura considerando una pressoflessione retta le cui sollecitazioni sono: Nsd=1100 KN MSdx = 1.167 Sull'abaco di Fig. ottenendo Asx=942 mm2 leggermente inferiore a quello ricavato dal calcolo e. Lo sforzo normale adimensionalizzato comune ad entrambe le condizioni di sollecitazione è: nsd = Fig.272 ed nsd=0. 1: Nsd=1100 KN MSdx =240 KNm MSdy =72 KNm C.C.15 ⋅ 400 ⋅ 450 ⋅ = 975 mm 2 f yd 391.167 MPa.Tecnica delle Costruzioni Esempio 7 Progettare l'armatura del pilastro di figura 7 le cui dimensioni geometriche sono bx=400 mm e hy= 500 mm. le cui resistenze di calcolo valgono rispettivamente: fyd=391.311 2 bd ⋅ f cd 500 ⋅ 3602 ⋅ 14.311 ed nsd=0. pertanto.2 da disporre su ciascun lato parallelo all'asse y (con copriferro δ=λ bx=0.431 bd ⋅ f cd 400 ⋅ 450 ⋅ 14.1 x 400= 40 mm).15 da disporre su ciascun lato parallelo all'asse x (con copriferro δ=λ hy=0. che in termini adimensionali vale: msdx = M Sdx 312000000 = = 0. da verificare in fase successiva (si veda Esempio 8).3 Tale armatura può essere realizzata con 3ϕ20 su ciascun lato. 6 la coppia di valori msd=0.167 Sull'abaco di Fig.3 x 240 = 312 KNm.3 MPa. 7 N Sd 110000 = = 0.431 richiede una percentuale meccanica di armatura ω≅0. Progetto armatura parallela asse y Questa armatura può essere progettata considerando la seguente condizione di pressoflessione retta: Nsd=1100 KN MSdy = 1. 2: Nsd=1100 KN MSdx =66 KNm MSdy =220 KNm.272 2 bd ⋅ f cd 400 ⋅ 4502 ⋅ 14.1 x 500= 50 mm).1 e si utilizzi acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30. 14 .4 1.5 295. da verificare in fase successiva (si veda Esempio 8). 11).2 1600 2000 2400 2800 3000 232.Esercizi Asy = ω bd f cd 14.24 257.08 312.8 225.19 296.0 243.57 C-C' B-B' Tab 3 – Dominio approssimato di pressoflessione deviata (unità KN. si costruisca il dominio approssimato di pressoflessione deviata (secondo NTC ed EC2) e si effettui la verifica grafica ed analitica.41 143. In particolare nella parte sinistra ci sono gli sforzi normali crescenti fino al raggiungimento dello sforzo che produce rottura bilanciata (curva B-B' di Fig. Sulla stessa tabella sono altresì indicati gli esponenti α da utilizzare nella formula di Bresler.6 1.3 = 4062 ⋅ 103 N = 4062 KN α α M Sdx M Sdy =1 + M M Rdx Rdy NSd MRdx MRdy α Fig.3 Si realizza tale armatura con 4ϕ20 su ciascun lato.14 319.4 271.33 208.8 151.1 123.7 289. normativa (Fig.01 289. 8). pari ad Asx=1256 mm2 leggermente inferiore a quella di calcolo. m) relativo alla sezione di Fig.0 1.1 1. ottenute in corrispondenza degli stessi valori di NRd=costante che compaiono nella tabella 3.8 234.167 = 0.4 1. Fig. 10 sono rappresentate le diverse sezioni del dominio tridimensionale. i corrispondenti valori di momenti resistenti in pressoflessione retta con asse nutro parallelo all'asse x (MRdx) e parallelo all'asse y (MRdy). 406.2 ⋅ 500 ⋅ 360 ⋅ = 1303 mm 2 f yd 391.167 + 3141⋅ 391.49 107.2 273. 8 Nella tabella 3 sono riportati.9 800 1100 1324.2 1.9) in cui lo sforzo normale resistente è stato valutato per As=10ϕ20=3141 mm2: N Rd = Ac f cd + As f yd = 400 ⋅ 500 ⋅ 14. 9 – Formula di Bresler e tabella degli esponenti α.1 1.2 467.9 1.6 1.5 1. 8 In Fig. ricavati per interpolazione lineare dalla Tab.3 239. Esempio 8 Con riferimento alla sezione dell'esercizio precedente (la cui armatura di progetto è riportata nella Fig.1 200. per diversi valori di sforzo normale. mentre nella parte destra ci sono gli sforzi normali che producono rottura fragile. ). 1: 240 312 .731 = 0. Questi risultano entrambi all'interno del dominio relativo allo sforzo normale di calcolo (NRd=1100 KN evidenziato in grassetto in Fig.14. Nella parte sinistra della Fig. MRdy=289.7 1. desunti dalla colonna della Tab. My per pressoflessione deviata. 10 sono altresì individuati i punti rappresentativi dello stato di sforzo (per le condizioni di sollecitazione di progetto).14 72 + 289 . 11 –Dominio semplificato N.6 = 0. Mx.14 Verifica C.7 KNm. 9) con i valori MRdx=312. 2: 66 312 .944 ≤ 1 1. In termini analitici la verifica va condotta applicando la formula di Bresler (Fig.C.205 = 0. 10 –Sezioni del dominio semplificato di pressoflessione deviata per diversi valori di sforzo normale costante.C.901 ≤ 1 . Fig. Per entrambe le combinazioni di carico la sezione risulta palesemente verificata.170 + 0. circostanza questa che assicura che la sezione è verificata.14 1. 3 in corrispondenza dello sforzo di calcolo NSd=1100 KN: 1.14 220 + 289 .6 KNm ed α=1.Tecnica delle Costruzioni Fig. 15 .739 + 0.6 = 0.7 Verifica C. 035 ⋅1. fck=30 MPa.8 KN. Le resistenze dei materiali sono: fyd=391. per TAGLIO Esempio 9 Si consideri un solaio in latero-cemento con luce netta 5.0061⋅ 30) = ⋅140 ⋅ 264 = 21856 N ⋅ bw ⋅ d = γ 1 . ed armati inferiormente con As=2ϕ12=226 mm2.87 ⋅ (100 ⋅ 0. Il solaio sia interessato dai seguenti carichi: G1=4.3 MPa.5 ⋅ 2. disposti ad interasse di 52 cm.U.035 ⋅ k 3 / 2 ⋅ f ck ⋅ bw ⋅ d = 0.00 = 13.02 bw d 140 ⋅ 264 Il coefficiente k relativo all'ingranamento degli inerti vale: k = 1+ Fig. Il carico sul solaio allo SLU è: Fd = γ G 1G1 + γ G 2 G 2 + γ q Q k = 1.45 ⋅ 0.0061 < 0.45 KN / m 2 Il carico sul singolo travetto vale pertanto Fd 1 = 13.50 m.Esercizi S.873 / 2 ⋅ 30 ⋅140 ⋅ 264 = 18120 N la resistenza a taglio VRd del singolo travetto rappresentato in Fig.18 ⋅1.50 + 1. la cui sezione trasversale è rappresentata in figura 12. L'altezza utile della sezione è: d = h − c − ϕ / 2 = 300 − 30 − 12 / 2 = 264 mm Il rapporto geometrico di armatura tesa è: A 226 ρ l = sl = = 0.5 ⋅ 3. 12 privo di armatura d'anima.87 ≤ 2 d 264 Secondo NTC il taglio resistente è espresso da: VRd 1/ 3 0.3 ⋅ 4.52 = 7.50 KN/m2 Qk=2. può essere assunta pertanto pari a 21.00 KN/m2 Supponendo che il solaio sia realizzato con calcestruzzo di classe C30/35.00 KN/m2 G2=3. costituito da travetti (realizzati con un fondello prefabbricato e successivamente completati in opera) larghi 14 cm. e la 16 . 5 c dopo aver controllato che risulta: ( ) VRd ≥ vmin ⋅ bw ⋅ d = 0.00 + 1.L. si verifichi la resistenza a taglio VRd del singolo travetto. 12 200 200 = 1+ = 1.18 ⋅ k ⋅ (100 ρl f ck )1/ 3 0.00 KN / m . privi di armatura a taglio. priva di armatura a taglio.0025 ⋅ 25) = ⋅140 ⋅ 264 = 15152 N ⋅ bw ⋅ d = γ 1 . 5 c Dopo aver controllato che risulta: ( ) VRd ≥ vmin ⋅ bw ⋅ d = 0.0 ⋅ 2. Esempio 10 Si verifichi a taglio e flessione l'architrave di Fig.3 KN 8 8 2 2 L'altezza utile della sezione è: d = h − c − ϕ / 2 = 300 − 45 − 10 / 2 = 250 mm A 157 Il rapporto geometrico di armatura tesa è: ρ l = sl = = 0.0025 < 0. I materiali sono acciaio B450C (fyd=391. ed armata inferiormente con As=2ϕ10=157 mm2 sottoposta ad un carico uniformemente distribuito qd=11 KN/m.02 bw d 250 ⋅ 250 Il coefficiente k relativo all'ingranamento degli inerti vale: k =1+ 200 200 =1+ = 1.0953 / 2 ⋅ 25 ⋅ 250 ⋅ 250 = 11620 N la resistenza a taglio VRd dell'architrave è pari a 15.0 ⋅ 2.3 MPa) e calcestruzzo di classe C25/30 (fck=25 MPa) Fig.18 ⋅1.15 KN > 14.18 ⋅ k ⋅ (100 ρ l f ck )1 / 3 0.095 ≤ 2 d 250 Secondo NTC il taglio resistente è espresso da: V Rd 1/ 3 0.60 M d = ⋅ qd ⋅ L2 = = 9. 13 di luce netta 2.095 ⋅ (100 ⋅ 0.60 2 1 11. 13 I valori delle sollecitazioni di calcolo sono: 1 11. La verifica a taglio è soddisfatta.3 KNm Vd = ⋅ qd ⋅ L = = 14.035 ⋅ k 3 / 2 ⋅ f ck ⋅ bw ⋅ d = 0.00 ⋅ 5.8 KN .50 = 19.3 KN e la verifica 17 .Tecnica delle Costruzioni sollecitazione tagliante di calcolo è pari a VSd = Fd 1 ⋅ L = 7.25 KN che 2 2 risulta inferiore alla resistenza VRd = 21.035 ⋅1.60 m. con staffe φ 10 a due bracci (Asw=2 x 78.9 ⋅ d ⋅ sw ⋅ f ywd ⋅ sin 45° = 0.5=17. Le resistenze di calcolo dei materiali sono: Acciaio: fyd=391.85x30/1. I materiali sono acciaio B450C e calcestruzzo di classe C30/35.9 ⋅ d ⋅ sw ⋅ f ywd ⋅ (cot α + cot θ ) ⋅ sin α s ponendo α=90° e θ=45°: A 2 ⋅ 78.9d = 61.3 = 61434 KN cui corrisponde: M u = Tu ⋅ 0. VRcd ) = min(144.9 ⋅ d ⋅ bw ⋅ f cwd ⋅ = 0. 631) = 144 KN .54 2 VRsd = 0. 18 .54 mm2) disposte con passo 150 mm.25 = 13.0 MPa.3 MPa.43 ⋅ 0. Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla. è da assumere αc=1 e. Esempio 11 Considerando il modello a traliccio di Morsh (θ=45°).9 ⋅ d ⋅ bw ⋅ f cwd ⋅ 1 + cot 2 θ ponendo α=90° e θ=45°: 1 VRcd = 0.5 fcd = 8.9 ⋅ 0.5 ⋅ 0.3 KNm Pertanto anche la verifica a flessione risulta soddisfatta.8 KNm > 9.3 ⋅ ≈ 144 KN s 150 2 La resistenza a taglio-compressione si ottiene dalla formula contenuta in NTC cot α + cot θ VRcd = 0.Esercizi a taglio risulta soddisfatta.9 ⋅ 550 ⋅ ⋅ 391.5 MPa.5 ≈ 631 KN 2 La resistenza a taglio della trave è da assumere la più piccola fra la resistenza a taglio-trazione e la resistenza a taglio-compressione: VRd = min(VRsd . si determini il taglio ultimo che può essere portato da una trave di base b=300 mm ed altezza utile d=550 mm staffata. pertanto. Calcestruzzo: fcd=0. La resistenza a taglio-trazione si ottiene dalla formula contenuta in NTC A VRsd = 0. fcwd= αc 0.9 ⋅ 550 ⋅ 300 ⋅ 8. Il massimo sforzo di trazione sviluppabile dall'armatura longitudinale è: Tu = As ⋅ f yd = 157 ⋅ 391. 1 mm2) disposte con passo 150 mm e sottoposto ad uno sforzo di compressione NEd=850 KN.5 fcd = 8.3 ⋅ ⋅ ctgθ ⇒ θ = 23.54 8. 14 con staffe φ 12 (As= 113. Le resistenze di calcolo dei materiali sono: Acciaio: fyd=391.5 MPa. un copriferro di 50 mm. il taglio ultimo che può essere portato nelle due direzioni y e z dal pilastro (300 x 550) mm. compatibile con le limitazioni normative e tale da rendere uguali le resistenze a taglio compressione e a taglio trazione espresse rispettivamente da: z f cwd ⋅ b ⋅ z ⋅ sin θ ⋅ cos θ = f ywd ⋅ Asw ⋅ ⋅ ctg θ . b ⋅ s 300 ⋅ 150 Il massimo taglio che può essere portato dalla trave è quello cui corrisponde l'inclinazione θ del puntone. pertanto.54 ρ w = sw = = 0.8° .5=17.35% . Esempio 13 Si determini con il metodo del traliccio con puntoni ad inclinazione variabile. staffato come in Fig. Calcestruzzo: fcd=0.5 ⋅ 300 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = 391. Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla.67° > 21. Per il calcolo delle altezze utili dy e dz si consideri.67° = 464 KN s con un incremento del taglio ultimo pari a 320 KN rispetto a quello calcolato nell'esercizio precedente con il modello a traliccio di Morsh (θ=45°). fcwd= αc 0. e cioè: s 2 ⋅ 78.0035 = 0. Le resistenze di calcolo dei materiali sono: 19 Fig.Tecnica delle Costruzioni Esempio 12 Si determini l'incremento del taglio ultimo che può essere portato dalla trave dell'esercizio precedente.3 MPa. 150 z Pertanto. in entrambe le direzioni.85x30/1. 14 .0 MPa. VRd = VRcd = VRsd = f ywd ⋅ Asw ⋅ ⋅ ctg 23. applicando il metodo del traliccio con puntoni ad inclinazione variabile. I materiali sono acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30. La densità geometrica di armatura trasversale è: A 2 ⋅ 78. è da assumere αc=1 e. Direzione y: Le dimensioni della sezione sono: by = 300 mm.25 e.85 ⋅ 300 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = 391 .25 fcd ≤ σcp ≤ 0.55% .3 MPa.1 ρ wy = swz = = 0.15 MPa=0.8° .85 MPa. pertanto.04° ≈ 496 KN . 150 0.5=14. La densità geometrica di armatura trasversale è: A 2 ⋅ 113.1 8.8° .85x25/1. e cioè: s 2 ⋅ 113.50% . s Direzione z: Le dimensioni della sezione sono: bz = 550 mm. 9 ⋅ d y Pertanto.0055 = 0.5 fcd = 8.0050 = 0. s 20 . Calcestruzzo: fcd=0. V Rdz = V Rcd = V Rsd = f ywd ⋅ Aswz ⋅ ⋅ cot 29.5 fcd si deve assumere αc=1. b y ⋅ s 300 ⋅ 150 dy=550-50=500 mm Il massimo taglio che può essere portato dalla trave in questa direzione è quello cui corrisponde l'inclinazione θuy del puntone. La tensione media di compressione nella sezione vale: σcp=NEd/Ac=850000/(300x500)=5. tale da rendere uguali le resistenze a taglio compressione e a taglio trazione espresse rispettivamente da: z f cwd ⋅ b y ⋅ z ⋅ sin θ ⋅ cos θ = f ywd ⋅ Aswy ⋅ ⋅ ctgθ . dz=300-50=250 mm La densità geometrica di armatura trasversale è: A 4 ⋅ 113 . tale da rendere uguali le resistenze a taglio compressione e a taglio trazione espresse rispettivamente da: z f cwd ⋅ bz ⋅ z ⋅ sin θ ⋅ cos θ = f ywd ⋅ Aswz ⋅ ⋅ cot θ .3 ⋅ ⋅ cot θ ⇒ θ uz = 29.85 ⋅ 550 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = 391.Esercizi Acciaio: fyd=391. bz ⋅ s 550 ⋅ 150 Il massimo taglio che può essere portato dalla trave in questa direzione è quello cui corrisponde l'inclinazione θuz del puntone.1 ρ wy = swy = = 0. e cioè: s 4 ⋅ 113.36 fcd Poiché 0.54° ≈ 470 KN .04° > 21. fcwd = αc 0.54° > 21.17 MPa.3 ⋅ ⋅ ctgθ ⇒ θ uy = 28.9 ⋅ d z Pertanto. 150 0 . V Rdy = V Rcd = V Rsd = f ywd ⋅ Aswy ⋅ ⋅ cot 28.1 8. si assume b=600 mm.09 ⋅ 0. Dalla resistenza normativa a taglio-compressione: f b d cot θ VRcd = 0.5 f cwd ⋅ z 0.54 ρ w = sw = = 0.17 MPa. Occorre preliminarmente verificare che il massimo valore per tagliocompressione che può sopportare la sezione assegnata (θ=45°) sia superiore alla sollecitazione di calcolo.max = f cwd ⋅ b ⋅ z = 0.5=14.5 ⋅ 7. trattandosi di una trave a spessore la modifica più opportuna è quella di incrementare la base b. d=300-50=250 mm La densità geometrica di armatura trasversale è: A 4 ⋅ 78.3 MPa.5 ⋅ 7. Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla.9 ⋅ 250 ≈ 319 KN < V Sd 2 Poiché VSd>VRd. Le resistenze di calcolo dei materiali sono: Acciaio: fyd=391.Tecnica delle Costruzioni Esempio 14 Sia assegnata una trave di sezione costante b=400 mm ed h=300 mm (altezza utile d=250 mm). b ⋅ s 600 ⋅ 125 L'inclinazione θu del puntone.9 ⋅ 250 Al fine di evitare una staffatura molto serrata. Supponendo di utilizzare acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30 se ne determini l'armatura d'anima necessaria.85x25/1.5 fcd = 7. posto θ=45° si ricava: 1 + (cot θ )2 1 V Rd .09 MPa.9 cwd w = 0. Verifica: Le dimensioni della sezione sono: b = 600 mm. e cioè: s 21 . o un elevato diametro delle staffe. Calcestruzzo: fcd=0. tale da rendere uguali le resistenze a taglio compressione e a taglio trazione espresse rispettivamente da: z f cwd ⋅ b ⋅ z ⋅ sin θ ⋅ cos θ = f ywd ⋅ Asw ⋅ ⋅ cot θ . soggetta ad un taglio di calcolo VSd=390 KN. αc=1 ed fcwd= αc 0.16 mm2) con un passo s=125 mm. Si utilizzando staffe φ 10 a 4 bracci (Asw= 4 x 78.42% . ipotizzandola costituita da sole staffe verticali.09 ⋅ 400 ⋅ 0. dopo aver verificato che le condizioni geometriche lo consentano.9 f cwd bw d sinθ cosθ .54 = 314.max la geometria della sezione deve essere modificata.0042 = 0. Dalla stessa relazione precedente è possibile valutare la dimensione bmin strettamente necessaria per θ=45°: V Sd 1 390000 V Sd = f cwd ⋅ bmin ⋅ z ⇒ bmin = = = 490 mm 2 0. e si effettua la verifica. 5 ⋅ 0. V Rd = V Rcd = V Rsd Esempio 15 In Fig.5 fcd = 7. 125 0 . realizzata utilizzando acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30 ed armata in prossimità dell'appoggi di figura con staffe φ 10 a 2 bracci (Asw= 2 x 78. e cioè: s 157 7.3 ⋅ ⋅ cot θ ⇒ θ u = 32. b ⋅ s 300 ⋅ 100 L'inclinazione θu del puntone.17 MPa. s 7.5=14. La densità geometrica di armatura trasversale è: A 157 ρ w = sw = = 0. si ottiene uguagliando le resistenze a taglio compressione e a taglio trazione: z f cwd ⋅ b y ⋅ z ⋅ sin θ ⋅ cos θ = f ywd ⋅ Asw ⋅ ⋅ cot θ . Si verifichi a taglio la trave soggetta a (VSd)max=350 KN e si valuti l'entità della traslazione del diagramma del momento flettente congruente con l'inclinazione delle fessure da taglio allo SLU.85x25/1. V Rd = V Rcd = V Rsd = f ywd ⋅ Asw ⋅ ⋅ cot 32.9 ⋅ d = f ywd ⋅ Asw ⋅ ⋅ cot 28.09 MPa.52% .41 ≈ 320 mm . 15 è rappresentato lo stralcio del diagramma del momento flettente di una trave continua con sezione b=300 mm h=500 mm (altezza utile d=450 mm).41° ≈ 390 KN > V Sd .09 ⋅ 300 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = 391 . Calcestruzzo: fcd=0.41° > 21. 2 22 Fig.0052 = 0.09 ⋅ 600 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = 391 .9 ⋅ 450 ⋅ cot 32. Le resistenze di calcolo dei materiali sono: Acciaio: fyd=391. αc=1 ed fcwd= αc 0. 100 0 . 15 .Esercizi 4 ⋅ 78.8° .9 ⋅ d Pertanto. s Secondo NTC la traslazione del diagramma del flettente per valutare lo sforzo nell'armatura tesa deve essere paria a: z a 1 = ⋅ cot θ u = 0.3 MPa. Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla.3 ⋅ Pertanto.8° .54 ⋅ cot θ ⇒ θ u = 28.8° ≈ 403 KN > V Sd .54 = 157 mm2) disposte con passo 100 mm.8° > 21. U. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti. 2005. “Teoria e pratica delle costruzioni in cemento armato”. [3] UNI. 2007 23 . A.Tecnica delle Costruzioni Bibliografia [1] Decreto Ministeriale 14 gennaio 2008. Città Studi di De Agostini scuola. Supplemento Ordinario n. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti. ISBN: 97888-251-7304-8. G. UNI EN 1992-1-1 Eurocodice 2. Mezzina. n. D. [4] M. 29 del 4 febbraio 2008. Vitone (a cura di). Raffaele. 617 approvata dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici. 2008. Progettazione delle strutture di calcestruzzo. 30. [2] Circolare 2 febbraio 2009. Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici. “Norme tecniche per le costruzioni”. Ed. n. Istruzioni per l’applicazione delle «Nuove norme tecniche per le costruzioni» di cui al Decreto Ministeriale 14 gennaio 2008.