Cálculo NuméricoBAIN 053 Campus Patagonia 2015 Luis Gomez
[email protected] Universidad Austral, Campus Patagonia Luis Gomez
[email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 1 / 67 1 Causas principales de errores en los métodos numéricos 2 Clase 2 3 clase 3 Error de redondeo 4 clase 4 5 clase 5 Luis Gomez
[email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 2 / 67 Causas principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Introducción Los errores númericos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades metemáticamente exactas Las dos Causas principales de errores son: Error de truncamiento: está asociada a las aproximaciones de la fórmula matemática Error de redondeo: se asocian con el limitado número de dígitos con el que se representa en la computadora Luis Gomez
[email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 3 / 67 Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 4 / 67 .cl ( Universidad
[email protected] principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Introducción parte 2 Las soluciones numéricas (T n (x )) son aproximaciones de las soluciones exactas (f (x )) Generalmente las aproximaciones son realizadas por medio de polinomios (suma o resta de términos o monómios) (de grado n) Es muy importante conocer la precisión (1/ξ) con que el polinomio que aproxima la función verdadera f (x ) = T n (x ) + ξ Luis Gomez luis. cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 5 / 67 . T [f (x ). xa ] = ∞ (i) X f (xa ) i=0 i! (x − xa )i Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable. lo que involucra un punto específico sobre la función.Causas principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Series de Taylor Definicion Una serie de Taylor o polinomio de Taylor es una representación de una función como una suma infinita de términos.gomez@uach. Luis Gomez luis. cl ( Universidad Austral.Causas principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Series de Taylor Solución numérica. aproximación Como ya digimos. en la practica una serie infinita no es posible por los que se realiza una aproximación a n términos.gomez@uach. Tn [f (x ). Sin embargo. el desarrollo de Taylor es una serie infinita de potencias que representa una función en un cierto intervalo. Luis Gomez luis. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 6 / 67 . xa ] = n X f (i) (xa ) i=0 i! (x − xa )i Con algunos términos del polinomio es posible tener una aproximación de la función verdadera denominada serie de Taylor truncada (Tn ). nos queda: 0 Tn [f (x ).cl ( Universidad
[email protected] principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Error de truncamiento La diferencia entre la solución numérica con la serie de Taylor y la solución exacta corresponde al error de truncamiento Si la serie de Taylor se trunca después del termino de orden N. xa ] = f (xa ) + (x − xa )f (xa ) + (x − xa )2 00 f (xa )+ 2 (x − xa )3 000 (x − xa )4 0000 f (xa ) + f (xa ) + . Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 7 / 67 .+ 6 24 (x − xa )n N f (xa ) + 0((x − xa )n+1 ) n! El error del método numérico se origina en el truncamiento Luis Gomez luis. I La condición para que sea analítica es que todas sus derivadas sean continuas I Un punto singular es aquel donde f (x ) no es analítica (ejemplo tan(π/2)) I Cuando el valor de xa es igual a 0 denominamos a este polinomio como de MacLaurin Luis Gomez luis.Causas principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Desarrollo de Taylor para funciones unidimencionales I Se dice que una función es analítica en x = xa síf (x ) se puede representar por medio de una serie de potencias en términos de h = x − xa dentro de un radio de convergencia. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 8 / 67
[email protected] ( Universidad Austral. con un polinomio de grado 2 y uno de grado 5.cl ( Universidad Austral. grafique en excel la función seno y los polinomios de grado 0. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 9 / 67 . 4. Calcular el polinomio de Taylor de grado 5 que se ajusta a la función seno en el punto π/2. 2. estimar el error que se comete entre el valor real. 3. De la función seno calcular el polinomio de grado 6 centrado en 0. 5 en torno 0 y π y centrado en π/2 5. 1.
[email protected] principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Ejercicio 1. Analice y discuta los resultados de su gráfica Luis Gomez luis. 3. 2. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 10 / 67
[email protected] principales de errores en los métodos numéricos Causas principales de errores en los métodos numéricos Ayuda y = sen(x ) −→ y 0 = cos(x ) (1) y = cos(x ) −→ y 0 = −sen(x ) (2) Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 11 / 67 . I En particular. el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio Luis Gomez luis.Clase 2 Clase 2 Repaso I Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.cl ( Universidad Austral. I En esencia.gomez@uach. la serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. + f n (xi ) + Rn 2! 3! n! En donde h = xi+1 − xi .cl ( Universidad Austral.gomez@uach. Rn = f (n+1) (ξ) n+1 (n+1)! h Luis Gomez luis.Clase 2 Clase 2 Repaso Proposition f (xi+1 ) = f (xi ) + hf 0 (xi ) + h2 00 h3 hn f (xi ) + f 000 (xi ) + .. Campus Patagonia) y ξ es un valor entre xi y x(i+1) Campus Patagonia 2015 12 / 67 .. . Rn = f (n+1) (ξ) n+1 (n+1)! h Luis Gomez luis. Campus Patagonia) y ξ es un valor entre xi y x(i+1) Campus Patagonia 2015 13 / 67 .Clase 2 Clase 2 Repaso Proposition f (xi+1 ) = f (xi ) + hf 0 (xi ) + h2 00 h3 hn f (xi ) + f 000 (xi ) + .cl ( Universidad Austral.gomez@uach.. + f n (xi ) + Rn 2! 3! n! En donde h = xi+1 − xi . Estime el error para cada uno de los casos 4.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 14 / 67 . 1]: 1.Clase 2 Clase 2 Ejercicio A partir de la función: f (x ) = −0.2 y asumiendo que xi = 0 y h = 1. estime el valor de Tn [(f (x ).5x 2 − 0.14x 3 − 0.3 y 4 2. Anlice y discuta sus resultados Luis Gomez luis. inclusive f (x ) 3.1. grafique cada una de la soluciones en el rango de h. Para n de orden 0.2.cl ( Universidad Austral.25x + 1.1x 4 − 0. cl ( Universidad Austral.gomez@uach. aunque sea con poco. muchas veces con unos pocos términos obtentendremos una solución suficientemente buena para términos prácticos. I El valor de ξ es que nos debe orientar. al mejoramiento de la aproximación. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 15 / 67 . sim embargo no se conoce con exactitud. I Sin embargo.Clase 2 I Hay que tener presente que cada uno de los términos adicionales contribuye. pero savemos que esta entre el rango de xi y xi + 1 Luis Gomez luis. Clase 2 Figure: Ejemplo gráfico de la aproximación f(x) y sus aproximaciones por el terorema de Taylor Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 16 / 67 .gomez@uach. ya que controla el término h de la ecuación Rn = f (n+1) (ξ) n+1 h (n + 1)! (3) De aqui se deduce que el error de truccamiento de orden h(n+1) es proporcional al incremento de h elevado a la n + 1 Por lo que esta ecuación puede expresarse como Rn = O(hn+1 ) Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) (4) Campus Patagonia 2015 17 / 67 .Clase 2 Clase 2 Error o residuo Esta ecuación nos es útil para poder evaluar el error provocado por el truncamentiento.gomez@uach. cl ( Universidad Austral. Luis Gomez luis. entonces el error se reduira a la cuarta
[email protected] 2 Clase 2 Error o residuo Rn = O(hn+1 ) (5) I Lo que quiere decir que si el error es O(h) y el incremento h se reduce la la mitad el error tambien se reduce a la mitad I En cambio si el error es O(h2 ) y el incremento se reduce a la mitad. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 18 / 67 . Clase 2 Clase 2 Error o residuo Proposition En general.cl ( Universidad Austral. el error de truncamiento diminuye agregando términos a serie de Taylor. Luis Gomez luis. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 19 / 67 . pero no siempre.gomez@uach. ..Clase 2 Clase 2 Uso de Taylor en cálculo de error en truncamiento Por ejemplo tenemos la función que explica el movimiento de un cuerpo como : v (ti+1 ) = v (t) + v 0 (ti )(ti+1 − ti ) + v 00 (ti ) (ti+1 − t) + . Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 (7) 20 / 67 .gomez@uach. + Rn 2! (6) y queremos estimar la aceleración que es v’(t).cl ( Universidad Austral. por lo que truncaremos el término en la primera derivada: v (ti+1 ) = v (t) + v 0 (ti )(ti+1 − ti ) + Rn Luis Gomez luis. cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 21 / 67
[email protected] 2 Clase 2 Uso de Taylor en cálculo de error en truncamiento Por lo que nos queda que : v 0 (ti ) = v (ti+1 ) − v (ti ) Rn − (ti+1 − ti ) (ti+1 − ti ) (8) en donde el primer término lo podemos asociar a la aproximación de primer orden y el segundo al error Luis Gomez luis. gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 22 / 67 .cl ( Universidad Austral.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Definición del Error de redondeo I Los errores de redondeo se deben a la capacidad finita de nuestra tecnología de representar números I en cambio el error de truncamiento representa la diferencia entre la formula exacta y la aproximación obtenida por el método numérico Luis Gomez luis. clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Cifras signicativas Esta dada por los límite mínimo de medición del instrumento. Figure: Ejemplo de cifras significativas en un voltímetro Luis Gomez luis.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 23 / 67 .cl ( Universidad Austral. entregando un grado de certeza y replicabilidad de la medición o evaluación. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 24 / 67 .cl ( Universidad Austral.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Implicancias de la Cifras signicativas Las cifras signicativas nos permiten: I dar confianza a nuestros resultados I estimar el error de redondeo Luis Gomez luis.gomez@uach. 2x + 1. con truncamiento y con redondeo
[email protected] 2 + 3. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 (10) 25 / 67 .1)x + 3.71 con una aritmética de 3 cifras significativas. en x = 4.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Ejercicio: Evalue f (x ) = x 3 − 6.5 Luis Gomez luis.2)x + 1.cl ( Universidad Austral.5 (9) 1. evalúe el error aplicando el método de la anidada f (x ) = ((x − 6. estime el error porcentual 3. exactas. gomez@uach. Luis Gomez luis.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo NUMEROS EN LAS COMPUTADORAS I El número limitado de dígitos de la calculadora o computador puede provocar errores de redondeo I los problemas de error por redondeo se pueden minimizar por medio de prácticas de programación adecuadas. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 26 / 67 .cl ( Universidad Austral. Estos sistemas son parientes cercanos del binario y pueden traducirse con facilidad al o del binario.gomez@uach. I En lenguaje de máquina se usan en particular el octal y el hexadecimal.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Base de los números I La base del sistema numérico decimal es 10. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 27 / 67 . las computadoras no usan el sistema decimal en los cálculos ni en la memoria. I El hexadecimal también proporciona un uso más eficiente del espacio de la memoria para los números reales Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. sino que usan el binario. Sin embargo. para el sistema octal es 8 y 2 para el binario. La raíz del sistema hexadecimal es 16. I Para. el sistema decimal ésta es 10. Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 28 / 67 .clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Base de los números I La base de un sistema numérico también recibe el nombre de raíz.gomez@uach. gomez@uach. (abcdefg.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Base de los números El valor decimal de un número en base r.cl ( Universidad Austral. por ejemplo.hijk)r (11) ar 6 + br 5 + cr 4 + dr 3 + er 2 + fr 1 + gr 0 + hr −1 + ir −2 + jr −3 + kr −4 (12) Luis Gomez luis. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 29 / 67 . Luis Gomez luis. números complejos.cl ( Universidad Austral.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Rango de constantes numéricas Las constantes numéricas que generalmente se usan en un programa se clasifican en tres categorías: 1.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 30 / 67 . enteros 2. números reales y 3. cl ( Universidad Austral.gomez@uach. Los bits sobrantes se usan para guardar el número. Por ejemplo: -10101101 (-173 en decimal) Figure: Ejemplo de cifras significativas en un voltímetro Luis Gomez luis. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 31 / 67 .clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Representación entera El método más sencillo para representar los enteros en la computadora se denomina método de magnitud con signo y emplea el primer bit de una palabra para indicar el signo: con un 0 para positivo y un 1 para el negativo. 1.clase 3 Error de redondeo clase 3 Error de redondeo Ejercicio Si posee una computadora de 16 bits. calcula la diferencia con uno de 32 bits Luis Gomez luis. determine el rango de enteros de base 10 que se pueden representar. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 32 / 67 .gomez@uach. 2.cl ( Universidad Austral. denominada exponente o característica (e). llamada mantisa (m) o significando. m· b e (13) donde: m: es la mantisa. Luis Gomez luis.gomez@uach. b: es la base del sistema numérico que se va a utilizar e: es el exponente. Con este método. y una parte entera. el número se expresa como una parte fraccionaria.clase 4 clase 4 Representación del punto-flotante Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora usando la forma de punto flotante. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 33 / 67 .cl ( Universidad Austral. esto es. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 34 / 67
[email protected] 4 Figure: Ejemplo de como se guarda un numero punto flotante en una palabra Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral.
[email protected] ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 35 / 67 .63 en un sistema de base 10 con punto flotante y cinco numero de decimales? Luis Gomez luis.clase 4 clase 4 Ejercicio a) ¿Como representaría el numero 1458. cl ( Universidad
[email protected] en un sistema de base 10 con punto flotante y cinco numero de decimales? 2. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 36 / 67 .clase 4 clase 4 Ejercicio 1.0245888? Luis Gomez luis. ¿ como se guardaría el número 0. ¿Como representaría el numero 1458. 24588· 10−1 Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral.gomez@uach. 0245888· 100 normalizado queda: 0.clase 4 clase 4 normalización Para evitar ceros a la derecha del número punto flotante se ocupa un procedimiento denominado normalización el que consiste en elevar el exponente negativo cuantos ceros existan a la derecha del numero antes del punto. por ejemplo: 0. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 37 / 67 . Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 38 / 67 .clase 4 clase 4 normalización Sin embargo la consecuencia de la normalización es que el valor absoluto de m queda limitado a: 1 ≤m<1 (14) b donde b es la base. Por ejemplo para un sistema de base 10 m estará entre 0.1 y 1. Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 39 / 67
[email protected] 4 clase 4 representación de punto flotante La representación de punto flotante permite que tanto fracciones como números muy grandes se expresen en la computadora Sin embargo dentro de las desventajas esta que los punto flotante requieren más espacio y más tiempo de procesado que los números enteros representa un número finito introduciendo una error de redondeo Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 40 / 67 . a través del límite de la mantisa I estime el rango que es posible escribir en base 10 Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. en decimal. Emplee el primer bit para el signo del número.gomez@uach. los siguientes tres para el signo y la magnitud del exponente.clase 5 clase 5 Ejercicio I Determine un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda información usando palabras de 7 bits en binario. y los últimos tres para la magnitud de la mantisa I calcule el valor mínimo a representar. en decimal. a través del límite de la mantisa I estime el rango que es posible escribir en base 10 Luis Gomez luis.clase 5 I Determine un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda información usando palabras de 7 bits en binario.cl ( Universidad Austral. Emplee el primer bit para el signo del número.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 41 / 67 . los siguientes tres para el signo y la magnitud del exponente. y los últimos tres para la magnitud de la mantisa I calcule el valor mínimo a representar. clase 5 clase 5 Características I como en el caso de los enteros.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 41 / 67 . hay números grandes positivos y negativos que no pueden representar I emplear números fuera del rango aceptable dará como resultado el llamado error de desbordamiento (overflow) I el “agujero” underflow entre el cero y el primer número positivo en la figura.cl ( Universidad Austral. Se debe a la normalización de la ecuación Luis Gomez luis.
[email protected] ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 42 / 67 .clase 5 clase 5 Aproximaciones y errores de redondeo Figure: Ejemplo de aproximaciones y errores de redondeo de números sólo positivos Luis Gomez luis. cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 43 / 67 .clase 5 clase 5 número finito de cantidades I Existe sólo un número finito de cantidades que puede representarse dentro de un rango I los números racionales que no concuerdan exactamente con uno de los valores en el conjunto tampoco pueden ser representados en forma precisa (ejemplo: el número π) I los errores ocasionados por la aproximación se les conoce como errores de cuantificación Luis Gomez luis.gomez@uach. .clase 5 clase 5 Aproximación Real La aproximación real se realiza mediante dos formas: I cortando I redondeando por ejemplo: π = 3. (15) Guardado en un sistema de base 10 con 7 cifras significativas I ¿explique como se guardaria en la maquina? I estime la magnitud del error de redondeo y corte Luis Gomez
[email protected] ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 44 / 67 . Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 45 / 67 .clase 5 clase 5 redondeando I consecuencia.cl ( Universidad Austral.gomez@uach. el redondeo produce un error absoluto menor que el de corte Luis Gomez luis. clase 5 clase 5 Ejercicio Calcule el error de redondeo y el de corte con el número π (π=3.14159265358) con una precisión de 4 cifras significativas Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 46 / 67 . clase 5 clase 5 épsilon de la maquina ε El épsilon ε de la máquina es el intervalo entre 1 y el siguiente número mayor que 1 distinguible. Representa la exactitud relativa de la aritmética del computador.cl ( Universidad Austral.gomez@uach. Luis Gomez luis. La existencia del épsilon de la máquina es una consecuencia de la precisión finita de la aritmética en coma flotante. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 47 / 67 . 1+ε>1 (16) numéricamente se puede calcular como ε = b 1−t (17) donde b es la base y t es el número de dígitos significativos en la mantisa. cl ( Universidad Austral.clase 5 clase 5 ∆x Debido a que el punto flotante conserva el número de dígitos significativo. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 48 / 67 . ∆x aumenta conforme x crecen en magnitud para el caso de corte |∆x | ≤ |x | (18) |∆x | ≤ |x | 2 (19) para el caso de redondeo Estos valores corresponden a los límite de los errores. Luis Gomez luis. También nos entregan las diferencias mínimas en las que podemos evaluar nuestros cálculos.gomez@uach. es decir los casos extremos. los siguientes tres para el signo y exponente y los últimos para para la magnitud de la mantisa. I calcule el épsilon de la máquina I grafique el crecimiento de ∆x con
[email protected] ( Universidad Austral. en el caso de la aproximación por corte y redondeo I explique que significan esas curvas y como afectan a sus cálculos de derivada. Luis Gomez luis.clase 5 clase 5 Ejercicio Para una palabra de 7 bits en donde se emplea el primer bit para el signo del número. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 49 / 67 . cl ( Universidad Austral.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 50 / 67 .clase 5 clase 5 Ejercicio Desarrolle un código que le permita estimar el épsilon de la máquina con la que usted está trabajando Luis Gomez luis. llegan a ser importantes en contextos tales como pruebas de
[email protected] 5 clase 5 Precisión extendida Los errores de redondeo. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 51 / 67 .cl ( Universidad Austral. El número de dígitos significativos que tiene la mayoría de las computadoras permite que muchos cálculos de ingeniería se realicen con una precisión más que aceptable I Por ejemplo. las computadoras que usan el formato IEEE permiten 24 bits para ser usados por la mantisa I lo cual se traduce en cerca de siete cifras significativas de precisión 1 en dígitos de base 10 con un rango aproximado de 10˘38 a 1039 Luis Gomez luis. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 52 / 67 . I Sin embargo.clase 5 clase 5 Precisión extendida Se debe reconocer que aún hay casos donde el error de redondeo resulta crítico: I La más común de estas especificaciones es la doble precisión. el precio que se paga por tales medidas consiste en mayores requerimientos de memoria y de tiempo de ejecución. en la cual se duplica el número de palabras utilizado para guardar números de punto flotante. Esto proporciona de 15 a 16 dígitos decimales de precisión y un rango aproximado de 10˘308 a10308 .gomez@uach. I Esto reduce el error de redondeo.cl ( Universidad Austral. I por lo tanto la precisión extendida no debe utilizarse en forma generalizada Luis Gomez luis. clase 5 clase 5 Software Excel: Utiliza doble precisión MATLAB o Octave: precisión extendida a decisión C++, : real simple 32 bits (double), real doble 64 bits (15 digitos decimales ) (long double) Luis Gomez
[email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 53 / 67 clase 5 clase 5 Operaciones aritméticas comunes Las manipulaciones aritméticas que se usan, pueden dar como resultado errores de redondeo. por ejemplo el número con punto flotante suma: cuando sumamos dos números con puntos flotantes, el número de mantisa y el exponente se modifican de tal manera que los exponentes sean los mismos resta: se realiza de igual forma, solamente que el exponente es negativo, sin embargo los resultados deben normalizarse Luis Gomez
[email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 54 / 67 clase 5 clase 5 Ejemplo de suma si tenemos una maquina con cuatro dígitos de mantisa y un exponente de un dígito. y aplicaremos corte sumar 0.1557 · 101 + 0.4381 · 10−1 1. igualamos el exponente menor al mayor 0.4381 · 10−1 −→ 0.004381 · 101 0.1557 ·101 2. sumamos los dos números 0.004381 ·101 0.160081 ·101 3. se eliminan los datos que están por sobre el tamaño de la mantisa Luis Gomez
[email protected] ( Universidad Austral, Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 55 / 67 clase 5 clase 5 Ejemplo de resta La resta se realiza en forma idéntica a la suma 1.9550 · 101 =
[email protected] menos 26.3641 −0. y luego se normaliza 0.0955 ·102 ·102 ·102 2.550 notar que el cero a la derecha ya no es relevante. es decir hemos perdido precisión Luis Gomez luis.86 Esto es: 0.2686 0.0955 · 102 = 0. Resta 36. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 56 / 67 .cl ( Universidad Austral.
[email protected] ( Universidad Austral.1 Luis Gomez luis. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 57 / 67 .2 y 764.clase 5 clase 5 Ejercicio Estimar la precisión perdida con punto flotante en la resta entre 764. 1363 · 103 × 0.clase 5 clase 5 Multiplicación En el caso de la multiplicación los exponentes se suman y la mantisa se multiplica. Se normalizan los valores y se multiplica 0. por ultimo se corta el resultado al número de cifras significativas iniciales 0.3 × 0. luego el resultado es normalizado 0.8754 · 101 Para la división se realiza algo similar pero las mantisas se dividen y los exponentes se restan Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral.08754549 · 102 −→ 0. Por ejemplo la multiplicación entre 1366.6423 · 10−1 = 0.08754549 · 102 2.8754549 · 101 3.06423 1.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 58 / 67 . 3 y 0.cl ( Universidad Austral.clase 5 clase 5 Ejercicio Calcular mediante el método de punto flotante la división entre 5754.568891 y estimar el error porcentual Luis Gomez luis.gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 59 / 67 .
[email protected] 5 clase 5 Número grande de cálculos interdependientes Mediante un algoritmo investigue el error cometido al sumar 100 000 veces 0. Si puede calcule los tiempos de ejecución Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 60 / 67 .00001 con precisión simple y doble.
[email protected] ( Universidad Austral. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 61 / 67 . Luis Gomez luis. Esto normalmente ocurre con grandes series en donde el término inicial es comparativamente mayor a los siguientes.clase 5 clase 5 Suma de un número grande y uno pequeño I que sucede si quiere sumar un número pequeño como 0.0010 con un numero grande 4000 I notar que pareciera que la suma nunca ocurrió. Después de sumar los primeros términos los restantes ya no se reflejan en el resultado. cl ( Universidad Austral.gomez@uach. en tales casos es mejor ocupar precisión doble o la fórmula alternativa que se describe a continuación: −2c √ b ± b 2 − 4ac Lo que minimiza la cancelación por resta Luis Gomez luis. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 62 / 67 .clase 5 clase 5 Cancelación por resta Se refiere al redondeo inducido cuando se restan dos números de punto flotante casi iguales Un caso común es en la determinación de raíces de una ecuación cuadrática o parábola utilizando la fórmula cuadrática √ −b ± b 2 − 4ac 2a En el caso de b 2 4ac la diferencia en el numerador puede ser muy pequeña. gomez@uach. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 63 / 67 .001yx2 = −3000 Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral.clase 5 clase 5 Ejercicio Calcule el valor de las raíces de una ecuación cuadrática con a = 1 b= 3000. Compare el valor calculado con las raíces verdaderas x1 = −0.001 y c =3.
[email protected] ( Universidad Austral.. Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 64 / 67 .. un ejemplo de eso son las series con signos alternados.clase 5 clase 5 Dispersión Observamos dispersión cuando los términos individuales en una sumatoria son mas grandes que la sumatoria misma. 2! 3! (20) evaluada en un número negativo. Por ejemplo y =1+x + x2 x3 + + . por ejemplo -10 Luis Gomez luis.
[email protected] ( Universidad Austral. .clase 5 clase 5 Productos Internos Una opción muy común en cálculo numérico es la de sumatoria de productos internos. las que son propensas a errores por redondeo n X xi yi = x1 y1 + x2 y2 + . Campus Patagonia) Campus Patagonia 2015 65 / 67 . + xn yn (21) i=1 una opción para evitar dichos errores es el uso de la precisión extendida Luis Gomez luis. clase 5 clase 5 Bonus: Cálculo de decimal a binario calculo de 100 decimal a binario valor 100 50 25 12 6 3 1 resultado 50 25 12 6 3 1 1 residuo 0 0 1 0 0 1 1 resultado: (100)10 = (1100100)2 Luis Gomez luis.cl ( Universidad Austral.gomez@uach. Campus Patagonia) (22) Campus Patagonia 2015 66 / 67 . 625 0.cl ( Universidad Austral. Campus Patagonia) (23) Campus Patagonia 2015 67 / 67 .25 0.clase 5 clase 5 Bonus: Cálculo de decimal a binario calculo de 0.0101)2 Luis Gomez luis.5 · · · · 2 2 2 2 = = = = 0.3125 0.3125)10 = (0.25 0.5 1 −→ −→ −→ −→ 0 1 0 1 resultado: (
[email protected] 1.3125 decimal a binario 0.