Equações de Navier-StokesOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre. As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento. Foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando no fluido. Esta força viscosa se origina na interação molecular. Estas são um dos mais úteis conjuntos de equações, pois descrevem a física de um grande número de fenômenos de interesse econômico e acadêmico, inclusive em diversos ramos da engenharia. São usadas para modelar o clima, correntes oceânicas, fluxos da água em oceanos, estuários, lagos e rios, movimentos das estrelas dentro e fora da galáxia, fluxo ao redor de aerofólios (asas) de automóveis e de aviões, propagação de fumaça em incêndios e em chaminés industriais (dispersão). Também são usadas diretamente nos projetos de aeronaves e carros, nos estudos do fluxo sanguíneo (hemodinâmica), no projeto de usinas hidrelétricas, nos projetos de hidráulica marítima, na análise dos efeitos da poluição hídrica em rios, mares, lagos, oceanos e da dispersão da poluição atmosférica, etc. O modelo matemático muitas vezes deve ser complementado por um modelo físico num laboratório de hidráulica ou num túnel de vento, tendo em vista as suas limitações práticas para representar escoamentos tridimensionais. As equações de Navier-Stokes, juntamente com as equações de Maxwell, podem ser úteis para a modelagem e para estudos na magnetohidrodinâmica. Estas são equações diferenciais que descrevem o movimento do fluido, e que diferentemente das equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. velocidade e pressão). Em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna. Isto significa que as soluções das equações de Navier-Stokes para um dado problema físico devem ser obtidas com a ajuda do cálculo. Em termos práticos, somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas soluções exatas são conhecidas. Estes casos freqüentemente envolvem fluxo não-turbulento em estado estacionário (o fluxo não varia como o tempo) no qual a viscosidade do fluido é grande ou sua velocidade pequena (número de Reynolds pequenos). Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes freqüentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Este é um campo da ciência conhecido como CFD, sigla do inglês Computational Fluid Dynamics ou Dinâmica dos Fluidos Computacional. 1 de 9 24/03/2017 10:58 como ocorre por vezes nos propulsores de embarcações. ou que.2 Fluidos Bingham 6. densidade. o que conduz a considerações especiais. e energia. Embora estas equações foram escritas no século 19. quase como se tratasse de uma partícula homogénea. é necessário fazer várias suposições acerca dos fluidos. a três dimensões existem sempre soluções .000. ou que ele não consiste de partículas como na neblina atmosférica. então não contêm qualquer singularidade (ou infinito ou descontinuidade). pode ser considerado que se trata de um volume elementar. Se for conveniente.1. Este volume é representado por e sua superfície de confinamento por . momento. por exemplo da água em torno de casco de um barco.[1] Existe um prêmio de U$ 1. se elas existem. como por exemplo. como será mostrado a seguir.3 Fluidos Incompressíveis 6. 2 de 9 24/03/2017 10:58 . chamado volume de controle. Para tornar mais fácil a aplicação destes princípios é útil considerar um volume arbitrário finito. O que exclui as situações como os escoamentos com superfície livre.[2] Índice 1 Suposições básicas 2 Propriedades 2.2 Turbulência 3 A derivada material 4 Leis de Conservação 4.2 Conservação do momento 5 A equação 5. temperatura.1 Fluidos Newtonianos 6. suficientemente pequeno para que no seu seio as propriedades do fluido sejam relativamente homogéneas.000 que foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de Matemática Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma matemática teórica que possa ajudar a entender este fenômeno.1 A forma das equações 6 Formas especiais 6. Isto significa que ele não contém vazios.1 Não linearidade 2. ou com cavitação. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de interesse tais como pressão. O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode mover-se como o fluido. A primeira é que um fluido é um meio continuo. ainda não foi comprovado que. não tem transição de fase).. etc.1 Equação da continuidade 4.1 Forma Geral 5. velocidade. bolhas dissolvidas no gás. são diferenciáveis (isto é. Estas equações são obtidas a partir de princípios básicos de conservação da massa.4 Simplificações adicionais e notação Vectorial e Integral 7 Ver também 8 Referências Suposições básicas Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes. O segundo termo representa as mudanças devidas ao movimento do fluido. só se deslocando se o fluido o arrastar. sendo habitual em situações de caudal elevado. Isso será ilustrado através da medição da velocidade do vento na atmosfera: uma forma de medir estas mudanças é com a ajuda de um anemômetro em uma estação climática. turbulência ou fluxo turbulento é um regime de fluido caótico.[6][7] A derivada material As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas diferentes. no segundo caso o instrumento mede mudanças na velocidade à medida que o balão se move com o fluido. praticamente sem massa nem inércia. sendo que caso o valor deste seja superior a 2500. Também mede mudanças na densidade. No estudo da variação das propriedades dos fluidos interessa relacionar as variações ao longo do tempo num ponto fixo. caracterizado por alterações de propriedades de natureza estocástica.[4] Turbulência Na mecânica de fluidos. Em alguns casos.[3] A não linearidade faz com que a maioria dos problemas sejam difíceis ou impossíveis de resolver e é o principal contribuinte para a turbulência que o modelo de equações. na temperatura. O parâmetro mais utilizado para a verificação da existência deste regime é o número de Reynolds. tais como no fluxo unidimensional e no escoamento de Stokes. com as variações ao longo de um trajeto num instante fixo. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de derivada substantiva ou Lagrangiana. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional de Euler. A derivada material. Leis de Conservação 3 de 9 24/03/2017 10:58 . a derivada em ordem ao tempo num ponto fixo do espaço. englobando os termos de Euler e de Lagrange. o regime é considerado turbulento. etc. Propriedades Não linearidade As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não-lineares em praticamente todas as situações reais. é definida pelo operador: onde é a velocidade do fluido. Contudo. outra forma seria pela liberação de um balão atmosférico. isto é. na pressão. que esteja a flutuar em equilíbrio perfeito no ar.[5] O regime turbulento pode ocorrer em variadas situações de fluxo. como que conjugando o anemômetro e o balão. tanto com superfície livre como em escoamento confinado. estas equações podem ser simplificados em equações lineares. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como derivada espacial ou de Euler. Claro que o primeiro caso é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que passam através de um ponto fixo no espaço. quando (nenhuma fonte ou sorvedouro): Equação da continuidade A conservação da massa é descrita assim: 4 de 9 24/03/2017 10:58 . que é um volume de controle que permanece fixo no espaço. é possível trocar os operadores " "e" ". uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume. é necessário assumir uma relação constitutiva ou equação de estado para o fluido. mais o que é criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. E como esta expressão é valida para todos os domínios podemos. Com a introdução da derivada material obtemos. Portanto: A expressão acima é válida para . Isto é expresso na seguinte equação integral: Onde v é a velocidade do fluido e Q representa as fontes e sorvedouros de L no fluido. Na sua forma mais geral. de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle. além disso. carregado para fora pelo movimento do fluido. As equações de Navier-Stokes são derivadas dos princípios da conservação da: Massa Energia Momento Linear Momento Angular Adicionalmente. Devido a não variar no tempo. Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim: Note que o teorema da divergência de Gauss foi usado na dedução desta última equação. remover a integral. obtendo: a qual é frequentemente escrita como: Na qual reconhecemos o usual F=ma. Isto também pode ser expresso como: Note que é um tensor. Nós podemos simplificar isto ainda mais. onde é a densidade de massa (massa por unidade de volume). No caso de um fluido incompressível. o representa o produto tensorial. e v é a velocidade do fluido. A equação Forma Geral A forma das equações A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é: 5 de 9 24/03/2017 10:58 . não é uma função do tempo ou espaço e a equação se reduz a: : Conservação do momento é a i-ésima componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de pressão. usando a equação de continuidade. 0 for i j). Com hipóteses adicionais. 6 de 9 24/03/2017 10:58 . as componentes podem ser separadas (http://www. para condições de contorno adequadas.claudino. Finalmente. temos: onde é a somatória da diagonal principal de . deve ser feita uma hipótese na forma de . associada como a parte isotrópica do tensor de tensões sem considerar se o fluido está ou não em equilíbrio. A equação pode ser convertida para equações de Wilkinson pelo uso de variáveis secundárias vorticidade e função de fluxo. Esta equação está ainda incompleta. Formas especiais Estas são algumas simplificações usuais do problema para as quais algumas soluções são conhecidas. No caso de fluidos incompressíveis (densidade constante). O fluxo é tido como sendo diferenciável e contínuo. é o delta Kronecker (1 for i=j. as variáveis a serem selecionadas são os componentes da pressão e velocidade. e condutividade térmica).webs. A solução depende das propriedades do fluxo (tais como viscosidade. Os três componentes das equações de Navier- Stokes mais a conservação da massa (equação de continuidade) formam um sistema fechado de equações diferenciais parciais bem definidas para estas variáveis. Onde: onde os são a tensão normal. em principio. que pode ser resolvido. e p é a pressão estática. calor específico. tensão tangencial (tensão cisalhamento).pps). Para completá-la.com/Navier%20Stokes%20Equations. permitindo que as leis de conservação sejam expressas como equações diferenciais parciais. e das soluções de contorno do domínio de estudo. que é uma necessária lei constitutiva para o tensor de tensões como mostrado abaixo. Fluidos Newtonianos Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipóteses são válidas: onde: é a viscosidade do fluido. Se é constante em todo o fluido. Fluidos Incompressíveis A equação de Navier-Stokes são Para conservação de momento e para conservação da massa. O fluido que são considerados aqui são invariante rotacionalmente (isto é. . a variação do tensor força covariante do valor de equilíbrio é linear no gradiente da velocidade. Para entender como isto foi derivado. é a divergência. a pressão. o momento da equação acima é simplificado para: Se agora adicionalmente é assumido constante. pij=-pδij. a viscosidade dinâmica. Fluidos Bingham Nos fluidos de fluidos Bingham. Alguns exemplos comuns são pasta de dente e massa de modelagem. onde é a densidade. Em outras palavras. forces que atuam no corpo (tais como a gravidade). de um ponto do fluido. pij+pδij é linear na . obtemos o sistema: 7 de 9 24/03/2017 10:58 . é o delta Kronecker. notemos primeiro que no equilíbrio. Para um fluido Newtoniano. tem-se algo ligeiramente diferente: Estes são fluidos capazes de suportar alguma tensão de cisalhamento antes de iniciar o escoamento. Ele obviamente não pode depender da própria velocidade devido a Covariância de Galileu. eles não são cristais líquidos. ( ) são os tres components da velocidade. resulta mais pratico o uso da notação indicial. Dependendo do número de Knudsen do problema. por exemplo. Simplificações adicionais e notação Vectorial e Integral As equações de Navier-Stokes podem-se expressar numa forma mais simplificada tomando as diferentes propriedades como constantes ou como variáveis. a mecânica estatística pode ser uma abordagem mais apropriada. a uma escala extremamente pequenas ou sob condições extremas. o que ira produzir resultados diferentes dos obtidos de um fluido continuo e homogêneo modelado pela equações de Navier-Stokes. «Clay Mathematics Institute» (http://www.claymath. tais como partículas em suspensão e gases dissolvidos. «Historical Notes: Navier-Stokes equations» (http://www. fluidos reais são constituídos de uma mistura de moléculas discretas e outros materiais.com. dentro de suas limitações. Equação de continuidade (assumindo incompressibilidade): Note que as equações de Navier-Stokes podem somente descrever o fluxo de um fluido aproximadamente. Contudo. as equações de Navier-Stokes são úteis para um grande número de problemas práticos. Consultado em 15-Abril-2010 Verifique data em: 8 de 9 24/03/2017 10:58 .org.claymath.[8] Ver também Teorema de transporte de Reynolds Número de Reynolds Número Mach Número de Froude Fluxo de multifase CFD Modelo físico Modelo matemático Hidráulica Aerodinâmica Referências 1.org/millennium/Navier- Stokes_Equations/).wolframscience.com/reference /notes/996d). Consultado em 15-Abril-2010 Verifique data em: |acessodata= (ajuda) 2. especialmente no caso da programação em aplicações de simulação numérica. Além disso. e supondo escoamentos em regime estacionário. www. wolframscience. Taylor & Francis. 2002.0 Não Adaptada (CC BY-SA 3.ca/R13-10- NSeqs.com/formulae/fluids /glossary.. 209.M.A.bv.si /~rudi/sola/jure. Consultado em 19-Abril-2010 Verifique data em: |acessodata= (ajuda) 8.Atribuição . «Equações de Navier-Stokes» (https://www. London. ISBN 0-415-27237-8 Obtida de "https://pt. and D.com.htm#NSeqs).ca. 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