Ingeniería en Electrónica y TelecomunicacionesMétodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . Resuelve los siguientes problemas. Todos los procedimientos y gráficas deben estar elaborados a computadora. Expresa tus resultados con una precisión de 8 cifras decimales. 1. [5 pts] Circuito RC en paralelo. Considera el circuito que se muestra en la figura. Este circuito puede considerarse como un sistema de tiempo continuo, con una entrada x t igual a la corriente i t y t dentro de la conexión en paralelo, y con una salida terminales del capacitor. Por la ley de corriente de Kirchhof iC t iR t i t donde iC t es la corriente en el capacitor e iC t C dvC t dt C iR t en las es la corriente en el resistor. Se tiene que iR t (2) vC t (1) dy t dt igual al voltaje e 1 1 vC t y t R R (3) De donde, sustituyendo (2) y (3) en la ecuación (1) C dy t dt 1 y t i t y t R (4) La ecuación diferencial (4) se conoce como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito. Proporciona una relación implícita entre la entrada y t resulta de una entrada x t , y la condición inicial ecuación diferencial y 0 0 C Ing. Genaro Luna Tapia en ella y la salida y t . La salida que puede generarse resolviendo la ecuación diferencial de entrada y salida (4). Suponga que la entrada u t x t x t es igual a la función escalón unitario . Entonces, la respuesta dy t dt 1 y t 1, t 0 R y t para t0 es la solución a la (5) 2015. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . con la condición inicial y 0 0 . a) Obtén la solución analítica de la ecuación (5) Teniendo la ecuación diferencial: c dy 1 y 1, t 0 dt R Resolvemos mediante transformada de Laplace: 1 L y L 1 R 1 1 c sY 0 Y R s 1 1 csY Y R s 1 1 Y cs R s 1 Y 1 s cs R cL y ' Para resolver, es necesario descomponer en fracciones parciales: Ing. Genaro Luna Tapia en ella 2015. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . Genaro Luna Tapia en ella 1 t Rc 2015.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. 1 A B S cs 1 R 1 s cs R 1 1 A cs Bs R A 1 Acs Bs R Ac B 0 A 1 R AR B Rc 1 R Rc 1 s cs 1 s cs R R Habiendo descompuesto la expresión de “Y” en fracciones parciales. la solución analítica para y(t): R Rc y (t ) L1 Y L1 L1 1 s cs R 1 Rc 1 y (t ) RL1 L1 1 c s s Rc y (t ) R R e Ing. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . calcula los valores de la salida desde t0 hasta t 5. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .5 1.5 1. Obtenemos la solución numérica a la ecuación diferencial: c dy 1 y 1.96336872 4.72932943 2.5 1. t y(t) 0 0 0.26424112 1.5 F y t . b) Con la el uso de la solución analítica. t 0 dt R Ing.55373968 2 1.78693868 1 1. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . con R 2 y C 0.0s . Genaro Luna Tapia en ella 2015.98652411 c) Obtén la solución numérica mediante el Método de Euler. con intervalos de medio segundo.93960523 4 1.97778201 5 1.5 1.90042586 3.83583 3 1.5 0.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. y (ti 1 ) y (ti ) 1 y (ti ) 1 ti 1 ti R c y (ti 1 ) y (ti ) 1 1 y (ti ) ti 1 ti c Rc 1 1 y (ti ) ti 1 ti c Rc y (ti 1 ) y (ti ) 1 1 y (ti ) ti 1 ti c Rc y (ti 1 ) y (ti ) d) Usa el método de Euler para resolver la ecuación (5) desde con un tamaño de paso de t 0.25112867 4.5 4. Ing.875 1.31054688 2. Genaro Luna Tapia en ella 2015.89539539 e) En una misma gráfica compara ambas soluciones.0s .5 3.85843277 4 5.59473759 5 5.5s t0 hasta t 5.40963745 3.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.5 5. t y(t) 0 0 0.5 2. .640625 2 3. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .89672852 3 4.5 1 1 1. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . 5 0 0. esto puede solucionarse disminuyendo el tamaño de paso. y la salida es igual al voltaje a través del capacitor.5 2.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Se tiene que dvC t dt C dy t dt . la suma de los voltajes alrededor de la malla es igual a cero y. por lo tanto.5 3. x t es el que se aplica a la conexión y t vC t en serie. Como se muestra. Comparación método numérico y método analítco 5 4. Ri t y t x t 0 donde i t Ing.5 1 0. por lo que 2015.5 t(s) En el gráfico. la entrada voltaje v t serie. en este caso. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . Por la ley de voltaje de Kirchhof. se puede observar el comportamiento de y(t) según la solución numérica y la analítica. [5 pts] Circuito RC Considera el circuito RC en de la figura.5 -0.5 3 y(t) Solución Analítica 2. pronto la solución numérica comienza a “alejarse” de la analítica. Genaro Luna Tapia en ella iC t C es la corriente en la malla.5 Solución Numérica 2 1. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .5 4 3.5 1. aunque al principio parece ser que ambas soluciones siguen la misma tendencia.5 5.5 4. 2. t0 a) Obtén la solución analítica de la ecuación diferencial de entrada/salida con las condiciones iniciales y 0 0 y x t 1.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . RC dy t dt y t x t 0 . Dada la ecuación diferencial: dy t dt 1 1 y t x t RC RC Resolvemos mediante transformada de Laplace: Ing. Genaro Luna Tapia en ella 2015. RC Dividiendo ambos lados entre y reacomodando los términos. se obtiene la ecuación diferencial lineal de entrada/salida dy t dt 1 1 y t x t RC RC . Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . 1 1 L y L 1 RC RC 1 1 sY 0 Y RC RCs 1 1 sY Y RC RCs 1 1 Y s RC RCs 1 Y RCs 1 s RC 1 Y 1 RCs s RC L y ' Para resolver.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . es necesario descomponer en fracciones parciales: Ing. Genaro Luna Tapia en ella 2015. la solución analítica para y(t): 1 1 y (t ) L1 Y L1 1 s s RC 1 1 y (t ) L1 L1 1 s s RC y (t ) 1 e Ing. Genaro Luna Tapia en ella 1 t RC 2015. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . 1 A B RCs s 1 RC 1 RCs s RC 1 1 A s B RCs RC 1 1 As A RCBs RC A RCB 0 1 A 1 RC A RC B 1 1 1 1 1 s s 1 RCs s RC RC Habiendo descompuesto la expresión de “Y” en fracciones parciales. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. con R 2 y C 0.981684361 0.75 2015.0 s . calcula los valores de la salida desde t 0 0.5 6 6.5 F . con intervalos de medio segundo.999664537 .Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.632120559 0.39346934 0.0s y(t) 0 0.988891003 0.917915001 0.77686984 0.993262053 0. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .5 5 5.5 0. c) Obtén la solución Método de Euler.999088118 0. numérica mediante el dy 1 1 y dt RC RC dy 1 1 y dt RC RC y ti 1 y (ti ) 1 1 y ti ti 1 ti RC RC 1 1 y ti RC RC ti 1 ti 1 1 y ti RC RC ti 1 ti y ti 1 y (ti ) y ti 1 y (ti ) d) Usa el método de Euler para resolver la ecuación (5) desde t 0.969802617 0.864664717 0. .950212932 0. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .5s con un tamaño de paso de y(t) 0 0 1 t0 hasta t 8.997521248 0.5 Ing. b) Con la el uso de la solución analítica.5 3 3.5 8 t0 hasta t 8.5 1 1.5 2 2. Genaro Luna Tapia en ella y t 0.995913229 0.999446916 0. t 0.998496561 0.5 7 7.5 4 4. 998046875 5 0.999511719 6 0.99609375 4.999755859 6.984375 3.5 0.875 2 0.99987793 7 0.999023438 5.999969482 8 0. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . 1. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .96875 3 0.999938965 7.5 0.5 0.5 0.5 0. Ing. Genaro Luna Tapia en ella 2015.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.5 0.9921875 4 0.9375 2.999984741 e) En una misma gráfica compara ambas soluciones.5 0. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . se logra visualizar que aunque la solución numérica por momentos parece alejarse.8 y(t) 0.6 Solución Analítica Solución Númerica 0. Una carga se localiza a una x distancia del centro del anillo.2 1 0. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . Comparación Métono Analítico y Método Numérico 1. termina aproximándose relativamente bien a la solución analítica.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Q 3. La fuerza que el anillo ejerce sobre la carga está dada por la ecuación F Ing.4 0. Genaro Luna Tapia en ella 1 qQx 2 4 0 x a 2 3 2 2015. [2 pts] Una carga total se encuentra distribuida en forma uniforme alrededor de un conductor en forma de anillo con radio a q . se puede observar el comportamiento de y(t) según la solución numérica y la analítica.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t En el gráfico. Para hallar una posible valor de “x” que satisfaga la condición. si y .33207233 -0. Encuentra la distancia para un anillo con un radio de método de la secante. a) Método Gráfico.25 -0.35 0.2 0. Utiliza a) el método gráfico.25N q . Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . 0 8.1479822 0.85 x10 12 C 2 Donde Q son 2 x105 C N m 2 .3 0.14668706 0.4 F(x) -1.9m donde la fuerza es de 1.25594547 De la cual se desprende la siguiente gráfica: Ing.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.01375925 0.25 0. se procede a generar una nueva función F(x): F ( x) 1 qQx F 2 4 0 x a 2 3 2 Usando esta nueva función se realiza una tabulación con diferentes valores de “x”: x 0 0.53973281 -0.15 0. con un s x 0. b) el correspondiente a cinco cifras significativas. Genaro Luna Tapia en ella 2015. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . 25 0. Método gráfico 0.4 0.29537212 28 1.4 0.29516064 0.07062319 -0.32 0.869E-05 1. se deduce que el valor de “x” en el que la fuerza es igual a 1.3 0. Para expresar la impedancia del sistema se emplean las leyes de Kirchhof.32 0.29537212m de distancia para lograr una fuerza de 1.45 -0.074835 56 0.00063413 0.4 -0.05 0.2 0.2 F(x) 0 0. un inductor y un capacitor en paralelo.29538169 -0.2 0 -0.4 x(m) Del método gráfico.2006E0.25N. b) Método de la secante iter 0 xi-1 0.0629E-08 ea 0.07062319 xi+1 0.295381 69 2 3 xi 0.15 0.2953721 2 f(xi-1) 0. así: Ing. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . [3 pts] En la figura se muestra un circuito con una resistencia.2953816 9 0.869E-05 2. deben encontrarse a x=0.35 0. 4.6 -0.3m.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.8 -1 -1.00063413 2.25 N es aproximado a 0.1 0.2951606 4 0.3 1 0.01375925 f(xi) 0.2 -1. Genaro Luna Tapia en ella 2015.295160 64 0.003239 0.29537212 06 La carga q y la carga total Q. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . 00003 Ing.5838 x1011T 3 1. Determina el número de iteraciones necesarias con cada técnica a fin de encontrar la respuesta con valores iniciales para el cálculo.01382749 -0. Genaro Luna Tapia en ella F(T) 0.00005 -0.01% . utilizan mucho la termodinámica para realizar su trabajo. El siguiente polinomio se emplea para relacionar el calor específico a presión cero del aire seco.7215 x10 8 T 2 9. .Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .671x10 4 T 9.08009375 2015. Utiliza el s método de Müller para calcular la solución con correspondiente a cinco cifras significativas.5H R 225 . 1 Z donde Z impedancia Encuentra la 1 1 C 2 R L y 2 frecuencia angular.1KJ Kg K . con los parámetros siguientes: 6 C 0.04463369 -0. así como los de otras especialidades.00004 -0.6 x10 F y L 0.10104007 0. con el uso tanto del método de bisección como el de la falsa posición. a temperatura K : c p 0. SOLUCIÓN: Para hallar la temperatura requerida. s 0. c p KJ Kg K .99403 1. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . se genera la nueva función F(T): F (T) 0. que da como resultado una impedancia de 75 . Utiliza el enfoque gráfico para determinar los 5.9520 x1014 T 4 c p Se dan valores a T. Utiliza el método gráfico para elegir valores iniciales.9520 x10 14 T 4 Determina la temperatura que corresponda a un calor específico de 1.671x104 T 9.5838 x1011 T 3 1.99403 1. [2 pts] Los ingenieros mecánicos.00006 -0. que se presentan en la siguiente tabla: T -0.7215 x108 T 2 9. 044633 0.806 83 76 Ing.295 0.8025E3 4 05 s0 s1 8721.00002 -0.09830296 A través de los valores de la tabla.0000 -4.7389E-08 ea 0.0001819 4.05706314 2015.547 0.0246E06 2.257 5846.1 0.000181 4.15 T Habiendo visualizado la posible raíz.00005 0.00004 0.7997E. -0.0. a través del método de Müller se aproxima su valor: ite r x0 x1 0.117 83 83 5846.0246E-06 -8.101040 07 0.0446336 4.044633 69 0. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .00001 0.013827 49 0.000181 492 93 -4.013827 0.00004 0.2043E05 69 93 07 a b c x3 1437570 4408.00001 -8. Genaro Luna Tapia en ella x2 f(xo) f(x1) -0.15 0.80246E00 83 9 05 1322799 6646.8025E05 f(x2) 0.044633 69 -4.05 -0.00001 0.05 F(T) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 1 6 -0.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.79972E78 48 3 05 ho h1 0.117 5584.0000 2 5 -0. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .1 -0. se desprende la siguiente gráfica: F(T) 0. 5584. Expresa el resultado final en grados. y el cacher la recibe a 1m g . Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . -4.81m s . con a) s 0.751 76 4. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .322 17 1303605 08 6623. Dicha trayectoria está definida por las coordenadas se ilustra en la figura. como g x 2 1. 7. sen x Ln x 0 b) e x tan x 0 x 3 sen x Ln cos x 3 c) d) x3 10 x 5 0 SOLUCIÓN: a) sen x Ln x 0 Basándose en el método gráfico: Ing. Un problema parecido tiene que ver con la trayectoria de una pelota que se lanza. Observa que la pelota sale de la mano del lanzador con una elevación .2043E07 4.00013224 En conclusión.001% . Genaro Luna Tapia en ella 2015.001% . Emplea el método a) gráfico.1KJ Kg K 6. Para 2 valor de x. como cohetes.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. y . [2 pts] En ciertas ocasiones los ingenieros aeroespaciales deben calcular las trayectorias de proyectiles. b) de Newton-Raphson con utiliza un s 0. [5 pts] Calcula las raíces positivas de las siguientes ecuaciones por el método de punto fijo.79971E05 0.806 76 6627.79971x10-5 K es el valor de temperatura correspondiente a un calor específico de 1.8 2v cos 2 0 2 0 apropiado si la velocidad inicial v0 20 m s y la distancia x al . La trayectoria se modela con la ecuación y tan 0 x Calcula el ángulo inicial cátcher es de y0 2m 35m 0 9. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .14408624 0.58796955 1.578711937 ea 5. misma que se calcula utilizando g ( x) e sen ( x ) Misma que se muestra en la siguiente tabla: iter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 xi 0.578151746 0.00794289 0.00384836 0.7 0.9 1 1.5 f(x) 0 0.579874442 0.578717165 0. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .03383598 0. f(x)=Seno(x)+ln(x) 1 0.578728646 0.00090328 Entonces.57871183 b) e x tan x 0 Basándose en el método gráfico: Ing.01639637 0.578985985 0. el valor de la primera (y única) raíz real de f(x)=Seno(x)+Ln(x) es aproximadamente: x=0.578581726 0.27474062 0. Genaro Luna Tapia en ella 2015.06987074 0.6 0.576321941 0.5 0.583668551 0.61263272 0.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.578706375 0.00186441 0.578682678 0.4 0.52913075 2.1 -0.568563387 0.5 x Se halla una sola raíz positiva.8 0.6 0.297966 0.578777561 0. 298049657 1.306293236 1.03029549 0.00048674 El valor aproximado de la primera raíz real positiva es x=1.5 -20 x Se pueden visualizar dos raíces reales positivas.305797647 1.9 1.306318436 1.304231036 1.0275085 7.30632479 SEGUNDA RAÍZ POSITIVA iter xi 1 Ing. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .11997348 0. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .85465501 0. mismas que se calculan a continuación: PRIMERA RAÍZ POSITIVA Usando: g ( x ) tan 1 e x iter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 0.306193365 1.5 1 1.184639311 1. f(x)=e^x-tan(x) 30 20 10 f(x) 0 -10 0 0.306324795 ea 24.5 3 3.01238101 1.47394815 0. Genaro Luna Tapia en ella ea 1 2015.00192911 0.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5.5 2 2.273975314 1.00764542 0. 000345 26 El valor aproximado de la primera raíz real positiva es de x= 1.306325 42 17.085129 82 0.336619 15 0.283254 62 1.30632542 x3 sen x Ln cos x 3 c) d) x3 10 x 5 0 Método Gráfico.001368 41 0. Genaro Luna Tapia en ella 2015.305951 46 1.322063 77 0.218282 91 1.005423 34 0.306232 19 1.306320 91 1.Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Ing. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas . Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas .021491 65 0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.300447 36 1.306303 03 1.063041 47 1.91725 91 5.304839 7 1. Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Métodos Numéricos Enero-Abril 2015 EP5. Año Internacional de la Luz y de las tecnologías basadas . Genaro Luna Tapia en ella -437 -278 -161 -80 -29 -2 7 4 -5 -14 -17 -8 19 70 151 268 427 2015. Chart Title 500 400 300 200 100 -10 -8 -6 -4 0 -2 0 -100 2 4 6 8 10 -200 -300 -400 -500 x f(x) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ing. Soluciones de raíces de ecuaciones en áreas aplicadas .