Enrique Rocha - Raciocinio Logico Para Concursos - 3a Ed. 2010
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E nrique R ochaRaciocínio Lógico para Concursos Você consegue aprender 3aedição 1 Niterói 2010 ©2010, Editora Impetus Ltda. E d ito ra Im p e tu s L td a. Rua Alexandre Moura, 51 - Gragoatá - Niterói CEP: 24210-200 - Teldàx: (21) 2621-7007 P r o jet o e E ditoração E l e t e ô n ic a : E d itora Im petus L tda . C apa: W ilso n C otium R evisão d e P o rtuguês : B ec k er programação e T ex to s L tda . I m pressã o e encadernação : S erm ocraf A rtes G ráficas L tda . R572r Rocha, Enrique. Raciocínio lógico para concursos : você consegue aprender: teoria e questões / Enrique Rocha. - 3. ed. rev. - Niterói, R J: Impetus, 2010, 384 p .; 17 x 24 cm. ISBN 978-85-7626-420-0 •f.f. 1. Serviço público - Brasil - Concursos. 2. Lógica simbólica e matemática - Problemas, questões, exercícios. I. Título. CDD-351.81076 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - Êproibida a reprodução, salvo pequenos trechos, menrionando-sê a fonje. A violação do» direitos autorais {Lei ns 9.610/98) è crime {art. I&4 do Código Penai), Depóiito lega! na Biblioteca Nacional, conforme Decreto n* L825, de 20/12/1907. |jjj^' O autor é seu professor; respeite-o: não faça cópia ilegal. A Editora Impetus in fo r m a que se responsabiliza pelos defeitos gráficos da obra. Quaisquer vidos do produto concernentes aos conceitos doutrinários, às concepções ideológicas, às referências, à originalidade e à atualização da obra sSo de total responsabilidade do autor/aiualizador. w w w .editoraim petus.com .br Agradecimentos _________________________________ B A DEUS, em primeiro lugar, por tudo em minha vida. A minha mãe, Maria Luiza (in memoriam), que me amou em toda a sua vida. A minha esposa, Karina, por ser minha melhor amiga, minha companheira, e me apoiar incondicionalmente nessa jornada. Ao meu pai, Almachio, por me ter ajudado em toda a minha vida e especialmente neste trabalho, melhorando e fazendo importantes observações. Às minhas filhas, Mariana e Milena, pela sua importância e pelo significado na minha vida. Aos “meus” meninos, Guilherme e Victor, por colaborarem grandemente com as minhas alegrias diárias. Ao meu irmão, Almachio, que, por meio de sua empresa, KAIZEN-CTD, tem me dado a oportunidade de aperfeiçoar as aulas e a metodologia de ensino do raciocínio lógico. Aos meus sogros, Zenor e Nininha, que têm acompanhado nossas lutas e delas participado ativamente. Ao Luís Fernando Pimentel, em Brasília, por me ter dado a oportunidade de iniciar minhas experiências como professor de cursos preparatórios para concursos. A todos aqueles que, por terem assistido às minhas aulas, me ajudaram a encontrar um caminho claro para o estudo do Raciocínio Lógico. Aos amigos que acreditaram nesse trabalho, adquiriram o livro e colaboraram com observações de extrema importância para que o material pudesse ser aperfeiçoado. O Autor & E nrique R ocha, brasüiense, dedicou-se desde a juventude ao estudo de Matemática, Física e informática. Formou-se em Matemática em Brasília pelo UNICEUB e cursou Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas. Atuou por 17 anos como analista de sistemas, gerenciando equipes de desenvolvimento de softwareem diversas empresas. Ensinou Matemática, Informática e Raciocínio Lógico em diversos cursos preparatórios para concursos públicos, no Brasil. Atualmente trabalha no Ministério da Saúde, em Brasília, atuando no Escritório de Gestão e Projetos e Processos da Coordenação Geral de Inovação Gerencial. Apresentação da Série A preparação para concursos públicos é composta por diversas etapas, dentre as quais se destaca a escolha e seleção dos materiais adequados ao estudo de cada disciplina. Ao longo dos anos, o mercado de apoio ao concurso vem se expandindo à medida que aumenta a procura de cidadãos pela boa remuneração e estabilidade asseguradas pelo cargo público. Observando este cenário e acompanhando as demandas e preferências dos concurseiros, a Editora Impetus oferece a Série Impetus Concursos, apresentando aos leitores os conteúdos mais completos e atualizados para sua preparação. Reforçando o caráter completo das obras, a Série prima pela adequação constante aos conteúdos abordados em concursos por meio do desenvolvimento de uma estrutura diferenciada, pensada especificamente para cada disciplina, atendendo, assim, às suas peculiaridades. Seu objetivo é alcançar a compreensão plena do conteúdo apresentado, pelo destaque das características essenciais e respeito à lógica interna da matéria. Para isso, disponibiliza o máximo de conteúdo da maneira mais eficiente, sem desperdiçar tempo de estudo ao abordar assuntos que não são cobrados pelas bancas. Editora Impetus Palavras do Coordenador _________________________ ® Em seu volume Raciocínio Lógico - Você Consegue Aprender apresenta de forma didática e descomplicada a síntese da teoria que rege este, que é um dos mais temidos tópicos, e é cada vez mais cobrado pelas mais respeitadas e exigentes bancas do país. Sobressaem nessa edição as técnicas de resolução dos exercícios e esquemas que encorajam o leitor a ultrapassar suas dificuldades com a matéria e desvendá-la. Apresenta, ainda, uma coletânea de questões para que o concurseiro possa treinar seus conhecimentos e cujos gabaritos são veiculados ao final da obra oferecendo, ainda, questões comentadas e resolvidas passo a passo com enfoque nos itens nos quais pairam as maiores dúvidas dos estudantes. Enrique Rocha, referência no estudo de raciocínio lógico para concursos, apresenta um manual de raciocínio lógico, fruto de seu estudo, pesquisa e experiência como professor, para todos aqueles que precisam desenvolver seus conhecimentos e garantir sua colocação. W il l ia m D oug las Professor, Escritor e Juiz Federal Apresentação É com muito prazer que ofereço a você este livro sobre Raciocínio Lógico. Ele é fruto de estudos, pesquisas e experiências que tive no decorrer de minha vida. As pesquisas incluem provas de concursos anteriores, apostilas e livros escritos por outros professores e páginas na internet. Talvez você seja um dos que já trazem consigo uma imagem predefmida a respeito das matérias de que gosta —e por isso consegue aprender —e daquelas com as quais “definitivamente não se dá bem”. Se Raciocínio Lógico estiver, para você, neste último grupo, quero encorajá-lo a esquecer-se um pouco disso e dar uma “mergulhada inicial”, dando-me a chance de mostrar-lhe as coisas de uma forma talvez um pouco diferente do que já conhece. Este livro mostrará a você que Raciocínio Lógico não é somente para “gênios” ou para as pessoas que “amam a Matemática”. É ^ o contrário, um estudo interessante, sem mistérios, agradável e quê despertará em você a curiosidade e a vontade de saber um pouco mais. A partir da compreensão inicial, e em se tratando de um ramo das Ciências Exatas, é imprescindível que você tente resolver muitos exercícios, dentro da maior variedade possível. Um outro aspecto que deve chamar sua atenção é o método que estarei apresentando para a resolução de cada um dos tipos de problemas. Tome muito cuidado ao adotar uma forma de resolução para um determinado tipo de problema, porque, mesmo que esteja chegando às soluções, você pode estar indo por um caminho muito mais longo ou, ainda, usando algumas “meias-verdades” como se fossem totalmente verdadeiras. porque eles certamente tratam as questões da forma mais simples. demonstramos que se a pergunta tivesse sido um pouco diferente. elas teriam errado a resposta. Bom estudo.Nesses casos. no mínimo. quando vamos validar o caminho adotado por elas. preste atenção aos métodos apresentados nesse livro. mas. configurando-se como importantes ferramentas a serem por você utilizadas. sucesso! Prof. Como você não quer depender do destino para passar em seu concurso. é comum vermos pessoas que acertaram os problemas. Enrique Rocha .. Ou.. e. teriam ido por um caminho muito mais longo e gasto desnecessariamente um tempo que sabemos ser precioso em uma prova. .................................68 3............. 70 3........................ .........3..... .....8...............................70 3.................1 C apítulo 2 ................Álgebra das Proposições...................9............9....... 70 3....... Proposições Simples e Proposições Compostas................................ Disjunção (inclusiva): p ou q (Representação: p v q ) ........ .. Tabela-verdade.......64 3.................. 71 .............................. 64 3............................................ Contradições e Contingências.......................4.....................................6.............1...............1............7.......................................................................................3.................25 Exercícios Complementares de Tabelas..............5........................... .. Tautologias.1...........1................. 7 2..........................2............ .........2...Conhecendo os Vários Tipos de Problema.......67 3................................................ Negação: Não p (representação: ........ 64 3....... Representação Literal das Proposições.......................... Proposições Equivalentes (Símbolo o ) ........ 64 3.................................. 66 3..............1......................... Propriedades.. 65 3.....p )................................................. Negação de ou p OU q (A ser Estudada Posteriormente)...................................................................7 2.62 Capítulo 3 .......... 71 3... Exercícios Resolvidos de Correlacionamento...............................2............... Considerações Finais sobre a Técnica......... ..... Negação da conjunção: Não p ou Não q .................. ....... Proposição........................................61 Gabarito de Exercícios de Correlacionamento.......1.. Propriedades..................... Negação da Disjunção: Não P e Não Q ................................................2.....24 2...... Modos de Negação de uma Proposição...................... 65 3............................................2...........1........66 3........... Proposições Abertas e Proposições Fechadas................................. 65 3... Propriedades de uma operação............... .....2................Problemas sobre Correlacionamento........8..5..................... ..7.......69 3.... 69 3.............................................................1................................1..........67 3.......1................7........... Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos..........................................8....... Disjunção Exclusiva: Ou p ou q (Representação: p v q).........................3..............9................................... Propriedades..................... Conjunção: p e q (Representação: p Aq ).............................................................................6..63 3....................Sumário ____________________________ m Capítulo 1 ..1............... 63 3................ Operações com Proposições............ ....... .........111 4... 136 Capítulo 5 ........ 110 4........ 115 4.............................181 6........ 74 3................................“Encontrando o Culpado” ....................... Tautologia e Contradição... Problemas de silogismos......1................110 4........................................ Combinações...... ............112 4................... ....... 179 Capítulo 6 .............................................................. ..1................................................................ Dupla Implicação: Se p então q e se q então p (Representação: p q)............ Fórmulas para arranjos.................................................................. Negação de “algum” ......76 3................10........2......... Paradoxo..............11................... Negação da Implicação: p e não q ................ 112 4.............................................. Negações: Um Outro Ponto Importante.... Negação de “todo”..........4..1..12...........2......1...................... Definição (Informal).............................................................5.............. .....................................1........ Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinações....... Arranjos....1........4....................................3.......14..... Negação de “nenhum”....... Implicação: Se p então q (Representação: p -> q)......................... Exercícios Resolvidos sobre “Encontrando o Culpado” .........3.......3.................................................................................................... Falácia. 107 Capítulo 4 ........... 188 6..................2.......103 Gabarito de Exercícios sobre Álgebra Linear....................... .............. Convenções e Observações.................... 137 5....................10....5. Condição Suficiente......... 109 4................1................. 181 6..........................3....10..........................1................................................... Algum......... 182 6.......3.................3......... 112 4..... Condição Necessária e Suficiente.................. 75 3.............3...................... .....................1.»............... Análise das Proposições Categóricas............... ......................... 74 3.... indução e dedução................................................. 114 4.. Equivalência da Implicação: Não q -> não p ...................... .......2................................................ 109 4............... Tipos de raciocínio: analogia.......... 187 6......1.... ....................... 76 3.... Exercícios Resolvidos Envolvendo Silogismos..................... Nenhum.134 Gabarito de Exercícios de silogismos.........189 ........................................................... ............. Condição Necessária.. Negação da Dupla Implicação: Ou p ou q (Exclusivo).................................................................3......4.115 4............................109 4........................................................... ............................................................Silogismos: Todo................... 72 3....... .............................................................13.........2.......................... Estrutura de um silogismo.... 77 Exercícios Resolvidos de Álgebra das Proposições.............................. 116 Exercícios Envolvendo Silogismos................1.................................... ..1.............................. 183 6........... .........Análise Combinatória.........................12........ Princípio Fundamental da Contagem: O Grande Segredo................................... 178 Gabarito das Questões de “Encontrando o Culpado”...........................77 3....1..........................116 4......... Conceitos Iniciais............3.................................................... 139 Exercícios sobre “Encontrando o Culpado".................1................... .......................6.. ........... Complemento Algébrico ou Cofator e Matriz dos Cofatores...... 189 6.... ............... Calculando o Produto de Matriz por Matriz.. 241 7............3..... 229 7.....1........................... Matriz Simétrica......................................4....................5........................ ............................. ..223 7..... Matriz Escalar................... ................................224 7...... Classificação das Matrizes.....3...3..................226 7.......................................... Agrupamentos com Elementos Sempre Juntos e em Determinada Ordem.............................. Notação Matemática... Igualdade de Matrizes..........4.........................................225 7................................................ 223 7...............11................7................................. ............ Matriz-Identidade.................222 7...................... ...................................2....................3. ................ Notações.........3..11................................2.. .................... ......................................... Matriz Inversa............... ...............7.....................3...2...... Transposição de Matrizes........ 225 7............. Matriz Diagonal............................................................10.................3........... 218 Gabarito de Exercícios de Análise Combinatória............................................................. 233 7..... .......3.. ................ Propriedades da Multiplicação de Matriz por Matriz.........226 7........ 221 7.9............... Matriz Triangular................. Matriz-Coluna...... 228 7................................................ 230 7................................11........... ......... 220 CArtruio 7 ...........................3............. em Qualquer Ordem........ 245 7......................................1........3................................................................................7.......... 225 7...........................1..1...6.................. ........... Alguns Tipos Comuns de Problemas..3..... ...227 7.......... Equações Matriciais.............6.................6.........................................................9.. ..........191 6........................................................................................ ........ Matriz Quadrada.....2............... Propriedades do Produto de Escalar por Matriz..... 222 7...................................4..............192 6.......................6...................... Matriz Antissimétrica. Matriz Nula.......6........... 234 7.................. 222 73........... Adição ou Subtração de Matrizes. 245 7................................ ............................ ...... Exercícios Resolvidos de Análise Combinatória.............. Matriz-Linha..................... Matriz Adjunta. Matriz Oposta.............................................193 Exercícios de Análise Combinatória......3.......................13........................7.......... 247 7.. 225 7.......3.......................................... Forma Prática para Produto de Matriz por Matriz.. 227 7....................................227 7........................228 7...................................1... Produto de Matriz por Matriz...................... 247 ..................................... ............................................5........ 227 73..........229 7........ .................6.......... Propriedades.................................................12........1...................7............................7................................................................ Determinantes......................................6........................................8...................... .................. ............ ............................................................221 7...................1. .......... O Que é uma Matriz?..........................Álgebra lin ear. Produto de Escalar por Matriz.......................3...............8... Agrupamentos com Elementos Juntos..................... 224 7....10...................... ................................. ........... Teorema de Laplace............................................. ..............4...4........ Experimentos Aleatórios.......................... Teorema de Kronecker....... Teorema de Rouché-Capelli............................................ Sistemas Equivalentes.......11..251 7......286 8........1..... ....... .......18........18..... Regra de Cramer..........11.283 8...........13........... Regra de Cramer........ Sistemas Lineares........2................................................................ .........19.............. 259 7. ........ ...........19............ Determinante de Matriz de Segunda Ordem............14..........5.................... ................ ...... Menores de uma Matriz....... Representação Matricial dos Sistemas lineares........20.......259 7...................................................... Regra de Sarrus......... Evento Impossível.................. . ............... ..................17............ Método de Gauss ou Método do Escalonamento.........................4.......................252 7............. 288 8....................... ...... Exercícios Resolvidos sobre Probabilidades.... Probabilidade de ocorrer “A" e :P(A e B)................................... Conclusões dos exemplos acima...14.............313 Gabarito de Exercícios sobre Probabilidades......260 7..2.............263 7.......................... 262 7....... ........................... Análise de um Sistema de Equações Lineares.....................................................................265 7............... ......283 8................................................... ... ....................15................... Transformações Elementares de Sistemas Lineares...................1........ 281 Capítulo 8 ............ .........3.........................................288 8........... 314 .............................. Submatrizes de uma Matriz.......................................1..........4................3........ 280 Gabarito de Exercícios sobre Álgebra Linear.......... 248 7....4................. 258 7.............1.....................18....... Propriedades dos Determinantes.........18.........268 Exercícios sobre Álgebra Linear............ .. Sistema Homogêneo.............. 261 7..... Evento............ ....13...3..................................... ..... Fórmula Geral do Cálculo da Probabilidade.....................................5.............258 7........263 7... ........283 8..284 8.......................7. 248 7..........1..............4...17................... ............14..... 257 7............... ........... ............................. Propriedades............... ..........12.....................289 8................11.. ............................................................ Exercício Resolvido. .........2.................. ........ Característica de uma Matriz............................ 257 7... Exercícios Resolvidos sobre Álgebra Linear......... ............ Resolução de Sistemas pelo Método da Substituição.....................18......................................... 261 7.......3... .................. ...............289 Exercícios de Probabilidades..................................................................1.................................................................................2.................................................. 262 7.......266 7.......................3.. Evento Certo.................. Espaço Amostrai................2.................................................1.......................................................4......................... Sistema Normal...... ................... ............................... .................................... Probabilidade de ocorrer “A” ou UBM :P(A ou B).16.14.... ............... 263 7... .....Probabilidades......................... .........................................259 7.264 7.....14...... ..18................. Determinante de Matriz de Primeira Ordem.................249 7................. ................. ................................ 348 C apítulo Capítulo 10 ...............................................352 Gabarito das Questões sobre Seqüências e Psicotécnicos......................... ........................................ 349 Questões sobre Seqüências e Psicotécnicos...... ....................... .....................................315 9............................ Seqüências................ Exercícios Resolvidos................... 315 Exercícios sobre Álgebra...............1..................... 349 10..........................................................................Seqüências e Psicotécnicos.............................................................................................................................................................9 ..... 358 ......................1...............Álgebra...................... 345 Gabarito de Exercícios de Álgebra....... ) 2) Problemas sobre Álgebra das Proposições. Lauro falou a verdade. respectivamente (... uma Parati e um Santana. sem temer. “se e somente se”. falando de modo geral. e o outro é azul. As cores da Brasília. há um leão feroz nesta sala. chamada Álgebra de Boole. Logo: . não há um leão feroz nesta sala. o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília.C apítulo 1 _________ —____ R Conhecendo os Vários Tipos de Problema * _____________________ _________________B “A formapela qual você olhapara umproblema determina se você o encara ou corre dele. Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Os carros deArtur. Ora. Júlia e Raul mentiram. Álgebra das Proposições é. O carro de Artur é cinza. uma Brasília. não necessariamente nesta ordem. da Parati e do Santana são. Se Lauro falou a verdade. “ou” etc. para que se possa chegar às conclusões relacionadas ao enunciado. da seguinte maneira: 1} Problemas sobre inter-relacionamento dos dados informados: são problemas em que aparecem alguns elementos que se relacionam entre si e perguntam “qual está relacionado com qual”. o carro de César é o Santana. Um dos carros é cinza. sem menosprezar. Para tanto. vamos dar a primeira sugestão. Se Raul mentiu. uma parte do raciocínio lógicomatemático que utiliza operações lógicas como: “se. um outro é verde. Existem vários tipos de problema de lógica.. ” Comece a pensar que seu objetivo é olhar para a prova de concurso . Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Se Nestor disse a verdade. Tente olhá-lo sempre de igualpara igual.qualquer que seja ela —e se sentir capaz de resolvê-la.então”. vamos manter o foco sobre os tipos de problema com que estaremos nos defrontando... Bernardo e Césarsão. mas eles podem ser agrupados. de forma mais geral. “e”. Em vez de avaliar a quantidade de teoria a ser estudada. Nenhum músico é poeta. Tânia e Janete. e) Tânia. b) Nestor e Lauro mentiram. c) algum músico é escritor. 3) Silogismos são raciocínios lógicos em que se procura deduzir uma conclusão baseada em declarações preliminares chamadas premissas. d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. b) Janete. c) Angélica. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. o “culpado” será a exceção a ser procurada durante a resolução). d) algum escritor não é músico. e) Raul e júlia mentiram. “algum”. estão sentadas lado a lado em um teatro. Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Três amigas. A que está sentada à esquerda. d) Angélica. Tânia sempre fala a verdade. podemos concluir com segurança que: a) nenhum músico é escritor. A que está sentada no meio diz: “Eu souJanete”.s Raciocínio Lógico —■Enrique Rocha a) Nestor e Júlia disseram a verdade. Este grupo trata da identificação de um ou mais elementos que fizeram ou falaram alguma coisa. Tânia. Este tipo de problema geralmente apresenta os termos “todo”. respectivamente: a) Janete. 4) Problemas que envolvem “encontre o culpado”. 5) Problemas matemáticos sobre análise combinatória. “nenhum” e “pelo menos um” como parte do enunciado e também das alternativas. . Angélica nunca faia a verdade. Finalmente. Janete e Angélica. a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são. c) Raul e Lauro mentiram. Janete e Tânia. Janete às vezes fala a verdade. e) nenhum escritor é músico. Angélica e Janete. Então. “Encontre o culpado” é uma técnica que mantém o foco sobre a exceção (se tivermos um culpado e quatro inocentes. ou coisas deste tipo. ou “encontre quem mentiu”. Exemplo: Alguns escritores são poetas. Tânia e Angélica. Angélica e Tinia. A análise combinatória estuda o cálculo da quantidade de grupos distintos que podem ser formados a partir de um grupo maior. b) algum escritor é músico. a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. c) 36. d) 4/5.isto é. incluindo. determinantes e sistemas lineares serem assuntos mais relacionados à Matemática pura do que ao Raciocínio Lógico em si. b) 1/2. . c) 2/3. e) 1. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas.Capítulo 1 — Conhecendo os Vários Tipos de Problema m 3 Exemplo: Numa assembleia de doze cientistas. o elemento genérico de uma matriz X tal que X=(AJB)C. Teoria das Probabilidades é a parte da Matemática que calcula a chance de acontecer um evento específico com base no universo de possibilidades existentes e na quantidade de ocorrências deste evento específico neste universo. uma face do cartão a um jogador. 6) Problemas matemáticos sobre a Teoria das Probabilidades. a razão entre e xi2 é igual a: a) 2. um cartão do bolso e mostra. b) 72. b) 1/3. Apesar de matrizes. mostrada ao jogador. ser amarela é igual a: a) 1/6. ao acaso. três são físicos. um físico? a) 378. ò outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. e) 54. é comum encontrarmos problemas deste tipo em provas dessa disciplina. a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Exemplo: Sejam as matrizes '1 4" 1 3 4 5~ A — 2 6 eB = 1 2 3 4 3 3 e sejax. d) 792. d) 1/3.. e) 5/6* 7) Problemas de Álgebra Linear (matrizes e sistemas lineares). a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face. Exemplo: Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. o juiz retira. no mínimo. Num determinado jogo. também ao acaso. c) 3. Assim. Um é todo amarelo. Assim. x.5% da produção do poço Pb. é: a) 60.4. b) 60. Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Em determinado país. 9) Problemas psicotécnicos.Raciocínio Lógico— Enrique Rocha 8) Problemas gerais de Matemática. São problemas que envolvem seqüências numéricas ou gráficas.0% maior do que a produção do poço Pb. 2. Sabe-se que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em dez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em oito dias. e) 14. Sejam os números 1. 2. portanto. 7.0% da produção do poço Pb.5% maior do que a produção do poço Pb. c) 11. d) 12. álgebra elementar. como funções.0% da produção do poço Pb. apresentando três ou quatro elementos e pedindo que você identifique o próximo elemento da lista. A produção do poço Pa. Inseridos em muitas provas de Raciocínio Lógico estão alguns problemas gerais de Matemática e estes podem envolver qualquer uma das diferentes áreas. Exemplos: 1. geometria plana e outras. Pa e Pb. e) 75. (BACEN/94) . O valor de x é: a) 9. b) 10. c) 62. d) 62. proporções. existem dois tipos de poços de petróleo. c) 2IV. . d) 22X. b) 20U. agora que você já tem uma visão geral do que estará estudando. Bem. e) 23Z.Capítulo 1 — Conhecendo os Vários Tipos de Problema b 5 a) 19T. espero que esteja confortavelmente preparado para esta jornada. c) Patrícia não é casada com Paulo. aonde. suaspernas sefortalecem. ” 2. da Edíouro): X) Três homens. Eles trabalham com Engenharia. Para essa explicação. Patrícia e Maria. como por exemplo: nomes. Com base nas dicas abaixo. atividades etc. Carlos e Paulo.. mas não sabemos quem ê casado com quem. qualidades. carros. Explicaremos abaixo um método que facilitará muito a resolução de problemas desse tipo. a profissão de cada um e o nome de suas esposas. d) Carlos não é médico. considerando que. profissões. cores. atitudes. quando o exercício lhe pedir que identifique ‘ quem usou o quê. Dito de outra forma. .1.G apítulo Problemas Sobre Correlacionamento “Se caiu. O objetivo é descobrir o correlacionamento entre os dados dessas informações. usaremos como exemplo um problema de nível fácil. levante e ande como se nunca tivesse caído. com quem. mas também não sabemos quem faz o quê. quando. n223. b) Paulo é advogado. de que cor etc”. Exemplo 1 (revista Problemas de Lógica. Luís. a cada vez que vocêse esforça e se levanta de uma queda. Advocacia e Medicina. tente descobrir o nome de cada marido. a) O médico é casado com Maria. são casados com Lúcia. Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos Problemas em que são prestadas informações de diferentes tipos. Será construída. Luís e Paulo) como grupo de referência inicial: Carlos Luís Paulo et C Ui > 5 Maria 5 Patrícia •ú '<U Lúcia O próximo passo é criar uma coluna para cada elemento dos outros grupos: Carlos Luís Paulo Por fim. a seguinte tabela. ’ tpapel àj^ârte por Você/' \ C í r . a ser acompanhada era um. escolhemos os homens (Carlos.Ajresoluçáo. esposas e profissões. toma-se o último grupo das colunas (neste caso. . colocando-os abaixo^da última linha. Neste exemplo. o das esposas) e cria-se uma linha para cada um dos seus elementos. como meio de facilitação visual para a resolução desse tipo de problema.8 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha . São três grupos de informações: homens. Escolha um deles e coloque cada um de seus elementos em uma linha. abâixó deve ser vista passo a "passo. dita principal.^ %r \V " ~ ^ " -~ Primeiro passo: preparação da tabela principal. da direita para a esquerda. um deles será a referência para as linhas iniciais e os outros quatro serão distribuídos nas colunas. até que fique apenas o primeiro grupo (mais à esquerda) sem ter sido copiado como linha. ouseja. se forem. os grupos serão “levados para baixo” na forma de linhas. cinco grupos. a saber: loiro. Méd. ruivo ou castanho.> < U) LCU b 9 Maria 2 Patrícia •ó Problemas Sobre Correlacionamento Lúcia Capítulo 2 — Carlos Luís Pauio Lúcia Patrícia Maria Castanho Ruivo Loiro Maria Patrícia Lúcia © Cft c UJ Adv. Veja um exemplo com quatro grupos: imagine que tenha sido afirmado que cada um dos homens tem uma cor de cabelo. Observação: essa regra vale para qualquer número de grupos do problema. Depois disso. depois o “segundo mais à direita” e assimpor diante. primeiro os elementos do grupo mais à direitapassampara as linhas. por exemplo. . Neste caso. teríamos um quarto grupo e a tabela resultante seria: Carios Luís Paulo Loiro Ruivo Castanho Lúcia Patrícia Maria A ordememquevocê copiaas colunas para as linhas é importanteparacriaresses “degraus” na tabela. Ou seja. exceto o primeiro. Nesse caso. É o caso. por exemplo.10 0 Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Esses “buracos” na tabela representam regiões onde as informações seriam cruzadas com elas mesmas. Haverá também ocasiões em que ela lhe permitirá conclusões sobre um determinado elemento. aquelas que não deixam margem a nenhuma dúvida. e não depois. Nas outras linhas. e um “n" nas demais células referentes a esse «r*»> c> . Por isso. Em nosso exemplo: 1. Segundo passo: construção da rabela-gabarito Essa tabela não servirá apenas como gabarito. A primeira linha de cabeçalho será preenchida com os nomes dos grupos. serão colocados os elementos do grupo de referência inicial na tabela principal (no nosso exemplo. mas em alguns casos ela é fundamental para que você enxergue informações que ficam melo escondidas na tabela principal. de serem quatro possibilidades e você notar que três já estão preenchidas na tabela-gabarito. o grupo dos homens). Homens Profissões Esposas Carlos Luis Paulo Terceiro passo: início do preenchimento das tabelas (principal e gabarito) com as informações mais óbvias do problema. a tabela-gabarito deve ser usada durante o preenchimento da tabela principal. . O médico é casado com Maria —marque um “S” na tabela principal na célula comum a “médico” e “maria”. o que é desnecessário. Um outro ponto que deve ser ressaltado é que as duas tabelas se complementam para visualização das informações. você perceberá que só resta uma alternativa para a célula não preenchida. se a Maria é casada com o médico. e “n” as demais células correspondentes a esse “S’\ . ele não pode ser casado nem com a Lúcia. 2. nem com a Patrícia (por isso os cruzamentos de “médico” com cada uma dessas linhas foram marcados com “n”). já que não houve nenhuma conclusão sobre Carlos. Note que não foi possível fazer qualquer atualização na tabela-gabarito.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento b 11 Maria Cf> C Ui Patrícia a Lúcia ■ri sü £ Adv. nem com o advogado (por isso os cruzamentos de Maria com cada uma dessas colunas foram marcados com “n”). Luís ou Paulo. preencha a tabela-gabarito com a informação. quando possível. ela não pode ser casada nem com o engenheiro. A tabela principal ficará assim: Carlos Luís Paulo Lúcia Patrícia É ü Maria Observe que: se o médico é casado com Maria. Paulo é advogado —registre imediatamente esse informação na tabela-gabarito: Homens Profissões Esposas Carlos Luís Pauio Marque um “S* na tabela principal. Imediatamente após ter marcado um “S”. na célula comum a Paulo e “advogado”. a Raciocínio Lógico — IS Luís Paulo ÍÍ&3 Lúcia n Patrícia n Maria S l:Í £ n n OI Ui c Ui Carlos n Luís n Paulo n Lúcia n Patrícia n Maria S n S n n Patrícia *d 'V s Lúcia 3. 12 Rí W flí 2 4. .OI Ui C LU Carlos Maria 2 Patrícia -à -V Lúcia Enrique Rocha Adv.preenchemos com um V na tabela principal a célula comum a Carlos e “médico”. Patrícia não é casada com Paulo—preenchemos com um “n” na tabela principal a célula comum a Patrícia e Paulo. Adv. Carlos não é médico . Vamos marcar um “S” nessa célula e “n ’ na célula em branco correspondente a esse “S” (aí ficou eliminada a possibilidade de Luís ser engenheiro).”. Capítulo 2 — a 13 JS <5 S n Note que aqui temos uma definição de que Luís é médico. porque foi a única célula que sobrou na coluna “méd. Complete a tabela-gabarito com esta nova informação: Homens Profissões Carlos Luís Pauio Advogado Esposas .>' T3 < Caríos n Luís n Pauio n Lúcia n Patrícia n Maria S n S n n Patrícia O) c ÜJ Problemas Sobre Correlacionamento Lúcia Méd. . podemos concluir que Patrícia não é casada com o advogado.14 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 0 01 c LU > XI < Carlos n Luís S n n Pauto n n S Lúcia n Patrícia n Maria S n n Maria 2 Patrícia 13 Lúcia 6. que se descobriu ser Luís. que serão marcadas nessas tabelas. procurando informações que levem a novas conclusões. que Maria é esposa do médico. Mas não o faça agora. Por ambas as tabelas acima. Além disso. pois foi a única alternativa que ficou de profissão para ele. Como Paulo é o advogado. n n Por fim. na tabela principal. vamos transcrever as conclusões tiradas sobre as profissões para a tabelagabarito: Homens Carlos Profissões Esposas U M Luís Médico Paulo Advogado Quarto passo: Feitas as anotações óbvias das informações do problema. Observe. sabemos que Patrícia não é casada com Paulo. percebemos que Carlos tem que ser engenheiro. É melhor que você continue o raciocínio e faça as marcações mais tarde. analise a tabela principal e a tabela-gabarito. pois essa conclusão só foi facilmente encontrada porque o problema que está sendo analisado é muito simples. lato que poderia ser registrado na tabela-gabarito. . n : . então.. na tabela acima..:.........-- . n i l p ■n&m i i n n n Vemos. Capítulo 2 — 15 to (Õ S . vemos que o problema está resolvido: Homens Profissões Carlos Engenheiro Luís Médico Pauio Advogado Esposas Patrícia.. — 1 Patrícia Problemas Sobre Correlacionamento n Adv... Patrícia é rasarfo com o engenheiro (que e Carlos) e Maria é casada com o médico (que é Luís). Patrícia n Maria S n n ri & dOi IO > •a < Carlos n s n Luís S n n Paulo n n S Lúcia n Patrícia n Maria S Maria 2 Patrícia •d *<u Lúcia Verificamos.. Preenchendo a tabela-gabarito... e Lúcia tem de ser casada com o advogado.. que Lucia é casada com o advogado (que é Paulo). que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro... c* i T3 •a> S Lúcia I ..cn c Ui Carlos n s n Luís S n n Paulo n n S Lücía n ..:'.. 50. h) As notas foram 48. a ordem em que foi pego e qual havia sido a nota dele na prova. tente descobrir o nome de cada aluno. b) Breno tirou a nota mais baixa.) 2) O Professor Jeremias Dainasceno dá aulas de Filosofia para uma turma bastante desinteressada. sempre ocupados com alguma coisa fora da aula. i) Um deles estava iendo revista. o faremos: iü H n t f n n Exemplo 2: (todos os exemplos foram retirados de revistas CoquetelLógica. Com base nas dicas a seguir. ■ó ‘V Lúcia Não precisaríamos completar a tabela principal. mas. .16 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha c Carlos n S n w Luís S n n jljj Paulo n n S Lúcia n Patrícia n Maria S ttf n M Maria 0C1f> LU Patrícia S Adv. g) Um deles se chamava Marcelo. Quatro alunos da turma sentam invariavelmente na última fileira da sala. f) O que foi pego dormindo em sala tinha tirado 50. só para treinamento. ■ a) Lenildo foi pego fazendo palavras cruzadas. mas não foi o primeiro a ser pego. da Ediouro. a atividade com que estava envolvido na hora da aula. 55 e 60. Na semana passada» o Professor Jeremias resolveu pegar cada um enquanto estivesse distraído com outra coisa e chamar-lhe a atenção. d) O segundo a ser pego pelo professor (que não foi Lenildo) tinhí tírado 60 na prova. e) O terceiro a ser pego estava escrevendo um relatório de outra matéria na hora da aula. c) Nilo foi o último a ser pego pelo professor. analise a tabela principal. Dorm. . conforme ensinado no exemplo 1.0 s&M Jg «1H -s"‘ ■Èjfiít 0£Vf ® W sst W0Ê IfSlt mm iililp 60 Nome Atividade Leníldo Ü Ü Ü Ordem NOU Breno Nilo liifiÉ lll Marcelo Terceiro passo: feitas as anotações óbvias das informações do problema. 48 50 UM U nitdo Marcelo mm Ia 2C 3* 4S 48 50 55 wm SP f 60 Ia M m P&M M* g g fg § 2» 3» 4a r - Sjl Breno Nilo 55 . Rev. acima. As tabelas ficarão assim: P. que náo deixam margem a nenhuma dúvida.Cruz. Segundo passo: preenchimento básico da tabela principal e da tabeia-gabarito. procurando informações que levem a novas conclusões. com as informações mais óbvias.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento b 17 Primeiro passo: preparamos a tabela principal e a tabeia-gabarito. Relat. marque “S” na mesma informação (Ia) na linha do Lenildo. Linha do Lenildo. que fez palavras cruzadas: Lenildo (P.fíi * í' n S n n n 48 1 * 22 32 n n n n n n 4S n n n S rs n n n 60 n n 49 50 50 n n S n n n n s 55 n 60 n n n Perceba que só sobrou Ia para P. Cruzadas foi a atividade de Lenildo. Dorm. não 42. Aproveite a informação e a ocasião e marque "S” nessa célula. buscando informações que o levem a novas conclusões.18 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Faça uma análise de cada linha que contenha um “S”. Cruzadas) não 48. Rev. Registre na tabela-gabarito. . e Kn” nas demais também correspondentes ao “S” marcado» Como P. que é atividade de Lenildo: P. Passe essas informações para a coluna “Palavras Cruzadas”. Cruzadas. Relat. Cruz. 48 Lenildo S n n n n Breno n S Nilo n n Marcelo n n 1® 2* 39 55 . náo 2a. e “n” nas demais correspondentes. Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento 1s 2S P.Cruz. leniído S rs Breno n S Nilo n n n Marcelo n n n 2a n 3S n 4B n 48 n n 50 n S n Relat. Rev. 48 R n n n S 55 60 n n n S n n n n 50 n n S n n n n 55 n 60 n Nome Lenitdo n n n Atividade Ordem P. Cruzadas I* 48 Breno Nilo Marcelo Nota 49 n 39 n n □ 4fi n n n n S n . Dorrrt. . Lenildo s n n n Breno n S Nilo n n Marcelo n 1* 2B S n 3B n 48 50 55 60 n n n n n n S 4» n 48 n n 50 n 5 55 n 60 n n S n n n n n n n S n n n n n n S n M n 4® n n n 3a n n n 1* 2 * n n Perceba que só sobrou 3a para a nota 48. não 4°. marque também "S” na mesma informação (32) na linha do Breno. Relat. Passe essas informações para a coluna 48. e “n” nas demais também correspondentes ao “S” marcado. Dorm.Cruz. Aproveite a informação e a ocasião e marque “S” nessa célula. Rev.20 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Linha do Breno. que foi a nota do Breno (48 não Ia e 48 não 4a). Como nota 48 foi a nota de Breno. e M n” nas demais correspondentes. que tirou 48: Breno (48) -> náo ls. P. Cruz. "..Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a Nome Atividade Ordem Lenildoí. que só sobrou a ordem 2fl para Marcelo. Relat. .. Cruzadas Ia 21 Nota 48 4* Nilo Marcelo Observe. Lenitdo S n n n Breno n S Nilo n Marceio n Ia S 2a n 3a n 4e n 48 n n 50 n S n n n n n S n n 60 n Nome Lenildo n 55 60 n n n 2S 3a 4* n s n n n n S n n n n n S n n fg g n n n n n n •n n S S n n n n n Atividade Ordem ?. Rev.. \ Breno "" P... Cruzadas 1a Breno 3a Nilo 4a Marcelo 50 n n 55 48 Nota 48 * .. Dorm... pelas duas tabelas.. Faça as marcações na tabela principal e tabela-gabarito.. Ficarão conforme abaixo: P. Cruz. Cruz. Marque isso na tabela principal e na tabela-gabarito: P... não Reiat.'. Reiat. Dorm. Dorm. n n n Breno S n Nilo n Marcelo n 1» 2» 3* 4* S Leniido 48 50 55 60 n 50 n n n n n n n n n S n n n n S n n n n n s fc i n má fÉ f ss n S n n n n n 48 n n n 5 n n n 1s 2« 5 n 3* 4» n n n n n S n 60 n n n n S n S n n S n n n n S n r\ . Mas quem tirou 60 foi o Marcelo.. Linha da 2* ordem 2a ordem (nota 60) —> não P. nem fez Relatório.Cruz. Podemos concluir que 60 não é P. Passe essas informações para a linha do Marcelo. Rev. agora examinando a 2* ordem. Reiat.Cruz. 4B Lenildo S n n n n Breno n S Nilo n n Marcelo n 1* 2° s 3S n 4* n 48 n n 50 n S vó . Cruz. Marcelo não fez P. e 60 não é Relatório. P. Então. Passe essas informações para a linha 60. Rev.22 b Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Você pode aproveitar e continuar o seu raciocínio. n n n n n n S n n n 55 50 55 n l8 2B 3* ~4B n S n n n n n n S n n n n n s S R S n n n n n n n S S n n n n n n n n 60 n n 60 'll É i lf É n wm m Veja que só sobrou “Revista” para a nota 60./. Cruz. 3® Nota 48 4- Nilo Marcelo 39 4® n n Nome l 2 29 60 |§§§Sevísta’/~ 2- 60 . sobra apenas P. Cruzadas para 55. Preencha também essas informações nas duas tabelas.Capitulo 2 — Nome Lenildo Problemas Sobre Correlacionamento Atividade Ordem P. na tabela principal e na tabela-gabarito (lembre-se de marcar “Revista" para o Marcelo). Refat. Dorm. Rev. P. sobrou apenas “Relatório” para a Unha 48. Cruzadas ie Breno ’iEReJatorfoV-.'-- Marcelo a Como conseqüência. 48 Lenltdo S n n n n Breno n n n S n n Nilo n Mareeio n Ia S 2* n 3* n 4a n 48 n n 50 n S 55 S n 60 n n n n n n n S 50 55 n n n n n S rt n n n n n S n n n n n S n S n S n n n n n n S n S n n rt n n n n n n n n n S Atividade Ordem Lenildo P. Note ainda que. Cruzadas Ia Breno 32 Nilo 4a Nota 48 2a Revista 23 -o. Marque isso. quando você marcar “Relatório” para a linha 48 e eliminar "Relatório” da linha 55. Perceba. 2. é importante que você esteja seguro . Considerações Finais Sobre a Técnica Nunca se esqueça de que essa técnica é composta por duas tabelas que devem ser utilizadas em paralelo.2. n n n n n S n S n n n n n S n n n n n n S 1» S 2° n 3° n 4a fe.Raciocínio Lógico — 24 b Enrique Rocha Perceba. Rev. Dorm* Lenildo 5 Breno n Nilo n Marcelo n Reiat. Este nível de problema não deve estar presente em provas de concurso. se o desejar. que sobrou 50 para o Nilo. quando uma conclusão for tirada pelo uso de alguma delas. ou seja. também.n 48 n n S n 50 n S n n n n n n n n S 55 60 48 n n S n 50 n n 55 n n 1 E 2a 3« 4® n S n n n n n S n n n n n S S n S n n 60 n n n n n n n S n n O problema está resolvido. Pode fazê-lo para treinamento. dado o tempo necessário para conduí-Io. as outras devem ser atualizadas. Cruz. No entanto. e não há necessidade de você completar a tabela principal. que sobrou apenas “Dormindo” para o N0o (que também é o 42). Marque essas informações na tabela principal e na tabela-gabarito. na tabela-gabarito. P. 7) Benício e mais velho que Célia..3. 2) Célia é a vocalista. Item: óculos. botas. Resolução: A resolução abaixo deve ser vista passo a passo. golas e gravata. vocalista e tecladista. O último estágio da tabela-gabarito é a resposta ao problema (o que nos leva à imediata compreensão do porquê desse nome. Célia e outros três parceiros fazem parte de um quarteto musical. a ser acompanhada por você em um papel à parte. 8) Um deles tem 23 anos. 5) O tecladista usou gola de pele. Décio. Função: baterista. 3) O que usou gravata tem 25 anos. Com base nas dicas a seguir. não é mesmo???). Tente outros exercícios. guitarrista. .Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 25 neste patamar de complexidade. 9) Um deles usou botas altas. Roberto. Exercícios Resolvidos de Correlacionamento 1. Idade: 23.26 e 28. Ela será útil inclusive em outros tipos de problema nos quais seja necessário fazer o cruzamento de informações). tente descobrir o nome de cada componente do quarteto. 6) Roberto tem 28 anos e não toca bateria. sua idade e função e o item que estava usando na última apresentação. Cada componente do grupo tem uma função diferente. o que vai fazer com que você possa até “dar umas risadas” quando encontrar problemas mais simples. Familiarize-se e internalize a técnica. no grau de dificuldade que temos encontrado nos exames.25. Célia. 4) O guitarrista» que não é Benício. 1) Décio usou óculos escuros na apresentação. 2. tem 26 anos.. Primeiro passo: identificar as variáveis em questão: Home: Benício. 26 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Segundo passot preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito: Função BAT GUIT voc Item usado Idade TEC 23 25 26 28 OCUL BOT Benício e> Céiia F o 2 Décio Roberto •D (0 01 OCUL BOT E GOL GRAV. 23 0 •o *ffl 0 25 26 28 Nome Benício Célia Décio Roberto Função tdade Item usado GOL GRAV . Guitarrista tem 26 anos. podemos concluir que Benício não pode ser o caçula (ter 23 anos. porque senão não seria mais nova que ninguém). Benício não tem 26 anos (porque não é guitarrista e quem tem 26 anos é o guitarrista). também. Verifique. quando percebemos que Benício é mais velho do que Célia. com as informações mais óbvias. que pela dica “2” percebemos que: Benício não é guitarrista. porque senão não seria mais velho que ninguém) e Célia não pode ser a mais velha (ter 28 anos. Função BAT Benício <D Célia F o Z Décio Roberto n g u ít v o c n n n S n n n GRAV 26 n CD 25 73 to X3 n n n S n n n n n S n n Item usado 28 n n n n 28 25 n n n 23 26 23 n o OCUL -D C3 BOT tf) e© GOL TE C idade n OCUL BOT GOL GRAV n n n n S S n n n n n n S n n n Nome Função tdade item usado Benício Célia Vocaiista Décio Roberto Óculos 28 Verifique que pela dica “7”. .Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento b 27 Terceiro passo: preenchimento básico da tabela principal e da tabela-gabarito. que não deixam margem a nenhuma dúvida. Isso nos leva a concluir que.28 q Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Quarto passo: feitas as anotações óbvias das informações do problema.N 28 .N Óculos A Da mesma forma. procurando informações que levem a novas conclusões.N 28 . Linha da Célia Célia (vocalista) -> não 28. se Célia é a vocalista e não tem 28 anos. a vocalista não usou óculos. analise a tabela principal.Vocalista . Graficamente: * Céliá1^ Vocalista . se Célia é a vocalista e não usou óculos. 4 y Graficamente: Célia .N Óculos A . não óculos. Faça uma análise de cada linha (ou coluna) que contenha um “S”. a vocalista não tem 28 anos. buscando informações que o levem a novas conclusões. Graficamente: Décio (óculos) -» não vocalista. não 28 A . se Dédo usou óculos e não tem 28 anos. Graficamente: Décio (óculos) -» não vocalista. se Décio usou óculos e não é vocalista. de acordo com as conclusões acima): Função BAT GU1T VOC Benício o Célia F o Z Dédo Roberto n n n n S 25 26 n n n n o T3 C wO BOT n rt n n n n n n n S n 23 n Item usado 28 OCUL n n n n n S S n BOT n GOL GRAV n n n n n S n n n 25 32 26 Idade 23 n n OCUL E GOL <ü GRAV TEC n n 28 S n rt n n Linha do Décio Décio (óculos) -» não vocalista.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 29 Vamos marcar isso na tabela principal (duas novas marcações. não 28 Da mesma forma. tem 28 anos. não 28 ísso nos leva a conduir que. quem usou óculos não. quem usou óculos cão é vocalista. não vocalista. não usou oculos. passe para a leitura de outra. de acordo com as conclusões acima): Função BAT Beníclo Célia Décio Roberto OCUL BOT GOL GRAV 23____ 2 5___ 26 GUIT VOC TE C Idade 23 25 26 28 Item usado OCUL BO T GOL GRAV . linha ou coluna).J ~r ^ _ . nesses casos. Graficamente: Roberto (28) não baterista.30 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Note-se que as duas condusões já eram conhecidas (isso pode acontecer. vamos fãzer todas as setinhas de uma vez): Roberto (28 anos) -» não baterista. Condusões: quem tem 28 anos não é baterista. Linha do Roberto (agora que você já se familiarizou com a técnica. Vamos marcar isso na tabela principal (duas novas marcações. não óculos. não óculos. não vocalista. s.p3. prou.Capitulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento s 31 Como Roberto tem 28 anos e quem tem 28 anos é o tecladista (acabamos de concluir isso).«DdlCriSu^'P^^<vO:LI)£IHCiP)>OU^C|i3.ic ò n c ‘ r-'Y-'-Cí 3 '-''J J SO so Lrnl. Vamos marcar isso na tabela-gabarito e na tabela principal: Nome item usado Idade Função Benício Vocalista Célia Décio Óculos Roberto 28 Tecladista Idade Funçao gust voc TE C 23 n n n n n n S n n n n n n S n n n’ n n n S BAT Benício Q Célia F o 3£ Décio Roberto o OCUL •o «t BOT £ GOL n n n GRAV 23 n Ü> 25 T) n 2 n 25 n 26 n Item usado 28 OCUL n n n n n S S n n n BOT n GOL GRAV n n n n S n n n n 26 n S n n 28 n n n S &s.'-?.^aíidèviàas. concluímos que Roberto é o Tecladista.2^.LCr|SCc .. -:íNóv.üClUCiO \+ . só sobrou Guitarrista para Décio e isso já pode ser levado para as duas tabelas: Nome Função Benício Baterista Célia Vocalista Décio Guitarrista Roberto Tecladista Nome Função Benício Baterista Célia Vocalista Idade Item usado Óculos 28 idade Item usado Óculos Décio Guitarrista 26 Roberto Tecladista 28 Com base na marcação acima e na dica “7” (Benício é mais velho que Célia).32 n Radocfnio Lógico— Enrique Rocha Vamos marcar isso na tabeía-gabarito e na tabela principal: Nome Função Benício Baterista Célia Vocalista Idade Décio Roberto Item usado Óculos Tecladísta 28 Veja que. Vamos marcar isso na tabela-gabarito: Nome Função idade Benício Baterista 25 Célia Vocalista 23 Décio Guitarrista 26 Roberto Tecladista 28 item usado Óculos . como só sobraram as idades 23 e 25. Benício tem que ter 25 e Célia tem que ter 23. ao definir Benício como baterista. podemos concluir que só ficou “Botas” para Célia. descobrimos que Roberto usou gola de pele. acertadamente. b) a ruiva é Sara e vai à França. (ESAF-AFC-2002) Um agente de viagens atende três amigas. Como já sabemos também que Décio usou óculos. Ao agente de viagens. elas deram as seguintes informações: a loura: “Não vou à França nem à Espanha”. outra se chama Elza e a outra se chama Sara. a morena: “Meu nome não é Eíza nem Sara”. outra é morena e a outra é ruiva. podemos concluir que Benício usou gravata. que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 33 Pela dica “3” (o que usou gravata tem 25 anos) e olhando na tabeia-gabarito acima. ainda. Sabe. outra irá à França e a outra irá à Espanha. que: a) a loura é Sara e vai à Espanha. Vamos marcar isso na tabeia-gabarito: Nome Função Idade Item usado Benício Baterista 25 Gravata Céiia Vocaíista 23 Botas Décio Guitarrista 26 Óculos Roberto Tecladista 28 Gola de Pele Problema resolvido! 2. e) a loura é Elza e vai à Alemanha. então. d) a morena é Bete e vai à Espanha. c) a ruiva é Bete e vai à Espanha. O agente sabe que uma delas se chama Bete. a ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França1. . que queria identificar o nome e o destino de cada uma. Uma delas é loura. Pela dica “5” (o tecladista usou gola de pele). O agente de viagens concluiu. „ â t V * v s jjz l. quando ãjuiva diz “ nem. ela está afirmando o seguinte: > j ^ 1. Espanha e França."Elzá’nãovai àFrançaj e. a ELzanão é a Ruivà Gll) -' ^ ^ .«■ 2. Destino: Alemanha.Raciocínio Lógico — 34 b Enrique Rocha Resolução: A resolução abaixo deve ser vista passo a passo. O O S LOI XI MOR cs O RUI Nome Desiíno Cabelo Bete Elza Sara Terceiro passo: preenchimento básico da tabela principal e da tabela-gabarito. a ser acompanhada em um papel à parte por você. que não deixam margem a nenhuma dúvida. Morena e Ruiva. Observe que.eu nem‘ Elza^vámos à França”. Cor de cabelo: Loira. Elza e Sara. Segundo passo: preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito: Destino ALE ESP Cor de Cabelo FRA LOI MOR RUi Bets s z Elza Sara © i.^ 3’. a r u f v a n á õ J Ç r a n ç ã . com as informações mais óbvias. Primeiro passo: identificar as variáveis em questão: Nome: Bete. 2. Vamos marcar isso nas duas tabelas: Cor de Cabelo Destino ALE <a £ o •Z. ESP FRA LOI MOR RUi n S n S n n n n S Bete El2a n Cor de Cabelo Sara LOi S n n MOR n n S RUI n Nome n Destino Bete MORENA Elza LOIRA Sara RUIVA Cabelo ALEMANHA . 4.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a Destino ALE 35 Cor de Cabelo ESP FRA LOt MOR RUi n n Bete © § Elza n Cor de Cabelo Sara n LOl n n MOR RUi n Nome Destino Cabelo Bete Elza Sara Com base nas marcações acima. Bete é morena. podemos concluir (veja as células que sobraram e estão hachuradas): 1. A morena vai para a França. A Loira vai para a Alemanha. Elza é a Loira. 3. para a coluna da Espanha. a Morena vai para a França. Além disso. podemos fazer uma nova marcação na tabela principal: Elza vai para a Alemanha. e 2. a Ruiva vai para a Espanha. Nome Bete Destino Cabelo MORENA FRANÇA Elza LOIRA ALEMANHA Sara RUIVA ESPANHA Problema resolvido!!! (não precisa terminar o preenchimento da tabela principal). só sobrou “Ruiva”: Destino ALE E 2 <D O o * -O o nj o o Bete n Elza S ESP Cor de Cabelo FRA n n Sara n LOI s n n MOR n r» S RUI n S n LOI MOR RUI n S n S n n n n S Olhando para a tabela principal acima. .36 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Observando a tabeia-gabarito. vamos atualizar a tabeia-gabarito com as seguintes informações: 1. O agrônomo. como o agrônomo. Resolução: Primeiro passo: interpretar as sentenças apresentadas no enunciado: Este problema apresenta alguns “macetes” que precisam ser percebidos antes que você comece a resolvê-lo efetivamente: 1. Isso é mais simples do que usar “II”. o matemático e Luís são. e o arquiteto é mais velho do que o matemático. note que não existem outros . 30.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento b 37 3. por sua vez. uma boa dica ê você trabalhar com números escolhidos aleatoriamente. 2. e assim por diante. o time. não é? No entanto. d) Luís é arquiteto. torcedores do Flamengo. b) Oscar é engenheiro. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. Muitas informações são inseridas no enunciado para confundir você. “12”. e Pedro é mais velho do que o matemático. e o economista é mais novo do que Luís. e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. e) Nédio é engenheiro. Luís é paulista. todos. Eu sugiro: 25. o economista e Mário residem no mesmo bairro. cada um. Elas fazem você pensar que tem que descobrir a UF. d) "o matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio". este. é mais moço do que o arquiteto. O economista. o matemático e Luís são. e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo. (ESAF-MPU-2004) Cinco irmãos exercem. e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro.35. Como ele fala de “mais moço” e “mais velho”. e o matemático é mais velho do que o agrônomo. c) "o agrônomo. Logo: a) Mário é engenheiro.40 e 45. mas não cita as idades. e Oscar é mais velho do que o agrônomo. e Luís é mais velho do que o matemático. c) Pedro é matemático. Por exemplo: a) "Luís é paulista". e o matemático é mais velho do que o agrônomo. todos. e Mário é mais velho do que o economista. o bairro e o passatempo de cada um. torcedores do Flamengo". o economista e o médico residem no mesmo bairro". uma profissão diferente. b) "o economista. você não pode considerar essas informações como “variáveis” a serem identificadas. O economista. Oscar não é o mais velho de todos (porque Luís é mais velho do que ele). por sua vez. Luís não é o mais moço de todos (porque ele e mais velho do que Oscar). Nédio não é economista (porque o economista é mais velho do que Nédio).38 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha bairros. Luís não é matemático. e segundo. Luís não é economista. Toda vez que eie fala algo do ripo “Luís é paulista como o agrônomo”. torcedores do Flamengo. nem economista. Mário não é matemático. este. Ao falar "o economista é mais velho do que Nédio” ele está afirmando duas coisas: primeiro. 3. que o economista não pode ser o caçula (porque senão não seria mais velho que ninguém). ele está afirmando que Luís não é o agrônomo. o economista e Mário residem no mesmo bairro* Mário não é agrônomo. que Nédio não pode ter a maior idade (porque senão ninguém seria mais velho do que ele). o economista não é o mais moço de todos (porque ele é mais velho do que Nédio). outros times. 5. ele está afirmando que Mário não é agrônomo. 2.O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro. 5. o engenheiro não é o mais moço de todos (porque Luís é mais moço do que ele). o economista e Mário residem no mesmo bairro”. Nédio não é matemático. O agrônomo. Logo. nem outros passatempos. todos. 4. Mário não é economista. Oscar não é o engenheiro (porque Luís é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar). Quando ele feia “o agrônomo. 4. e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. como o agrônomo. é mais moço do que o arquiteto. Luís não é agrônomo (porque ele é paulista como o agrônomo). As observações acima são suficientes para podermos analisar cada uma das frases do enunciado: 1. O matemátíco costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. Luís não ê o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o engenheiro). Luís não é o engenheiro (porque ele não poderia ser mais moço do que ele mesmo). . o matemático e Luís são. Luís é paulista. 3. 9) Nédio não é economista (porque o economista é mais velho do que Nédio). Idade: 25.30. Profissão: Agrônomo. 12) Oscar não é o engenheiro (porque Luís é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar). Luís não é matemático. para. Nédio. 10) Pedro não é economista (porque o economista é mais moço do que Pedro). Arquiteto.35. o economista não é o mais velho (porque ele é mais moço do que Pedro).Capitulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 39 Nédio não é o mais velho de todos (porque o economista é mais velho do que ele). Economista. 8) Nédio não é matemático. O e P. Pedro não é arquiteto (porque ele é mais moço do que o arquiteto). Engenheiro e Matemático. o arquiteto não é o mais moço de todos (porque Pedro é mais moço do que ele). 5) Mário não é agrônomo. Segundo passo: identificar as variáveis em questão: Nome: Luís. ordenando-as (para simplificar a marcação): Sobre as profissões X) 2) 3) 4) Luís não é agrônomo (porque ele é paulista como o agrônomo). Vamos. 11) Pedro não é arquiteto (porque ele é mais moço do que o arquiteto). repetir todas as conclusões a que chegamos. Luís não é economista. então. Mário. Sobre as idades 13) Luís não é o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o engenheiro). 14) Luís não é o mais moço de todos (porque ele e mais velho do que Oscar). Luís não é o engenheiro (porque ele não poderia ser mais moço do que ele mesmo). 7) Mário não é matemático.40 c 45. 15) Nédio não é o mais velho de todos (porque o economista é mais velho do que ele). . Pedro não é o mais moço (porque o economista é mais moço do que ele). Oscar e Pedro (observe que você poderia usar L. Pedro não é o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o arquiteto). 6) Mário não é economista. simplificar). Pedro não é economista (porque o economista é mais moço do que Pedro). M. N. o economista não é o mais moço de todos (porque ele é mais velho do que Nédio). 35 40 45 n f! rt 8 n n n n n n n 30 n . o engenheiro não é o mais moço de todos (porque Luís é mais moço do que ele).40 Raciocínio Lógico — Enrique Rocha b 16) 17) 18) 19) 20) Pedro não é o mais moço (porque o economista é mais moço do que ele). Oscar não é o mais velho de todos (porque Luís é mais velho do que ele). Além disso. para Luís só sobrou “ARQ”. Vamos marcar isso na tabela principal: Nome Profissão AGRO ARQ Luís n S n • Mátio n n n R n n n S Pedro n n 25 n n Nédio tdade Oscar ECO 30 35 40 45 n idade ENG MAT 25 n n n n n . 21) o economista não é o mais veiho (porque ele é mais moço do que Pedro). Terceiro passo: preparamos a tabela principal e a tabeia-gabarito: Profissão AGRO o E ARQ ENG MAT 25 n n n Luís n n Mário n n Nédio idade ECO 35 40 n n n n Pedro n n 25 n n 45 n n Oscar 30 n n n n 30 •o aJ 35 X 40 45 n Observe que para a coluna “ECO” só sobrou “Oscar”. Pedro não é o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o arquiteto). e para a coluna “45” só sobrou “Mário”. 22) o arquiteto não é o mais moço de todos (porque Pedro é mais moço do que ele). o arquiteto não tem 25 nem 45 anos. não ECO * A . não 45 Isso nos leva a concluir que. não ECO Isso nos leva a concluir que. nem economista. quem tem 45 anos não é agrônomo. se Luís é arquiteto e não tem 25 nem 45 anos. se Mário tem 45 anos e não è agrônomo. Graficamente: Linha do Mário Mário (45) não. Graficamente: Mário (45) -» não AGRO. nem economista.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento m Nome Profissão Luís ARQUITETO Mário 41 Idade 45 Nédio Oscar ECONOMISTA Pedro Vamos usar a técnica das “setmhas” para chegar a novas conclusões: Linha do Luís Luís (ARQ) *-» não 25.AGRO. Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 42 b Conclusões: quem tem 45 anos não é agrônomo c não é "economista. Vamos registrar essas informações na tabela principal: Profissão © E Idade AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 Luís n S n n n n Mário n n n n n n n n n S Pedro n n 25 n n o Nédio Oscar 30 35 40 45 n n n S n n n n n n n n n 30 ■o « ■o 35 40 45 n n Note que só sobrou “ENG” para Mário. Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão § AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 Luís n S n n n n Mário n n n S n n n n rt n n S n Pedro n n 25 n n Nédio Oscar n 30 ■o TR 3S idade 35 40 45 n n 35 40 45 n n n S n n n n n 30 n . Problemas Sobre Correlacionamento Capítulo 2 — a 43 Cora essa última marcação. sabemos que o Engenheiro tem 45 anos e que o Agrônomo tem 25. Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão idade AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 Luís n S n n n n Mário e o Nédio n R n S n n S n n n n Oscar n n S n n Pedro n n n n S 25 S n n n n 30 •aaj T3 35 40 n / n / 45 n n / n n S n 30 35 40 45 n n n n S n n n rt . só sobrou Pedro para “MAT”. Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão fdade AGRO ARQ e co ENG MAT 25 LuíS n S n n n n Mário n rs n S n n E Nédio o S n n n n Oscar n n S n n Pedro R n n n S n n n 25 30 35 40 45 n n n S n n n n n 30 T> <0 35 "O 40 45 rt n Com base na tabela principal acima. vamos completar a tabela-gabarito: Nome Profissão Luís ARQUITETO Mário ENGENHEIRO Nédio AGRÔNOMO Oscar ECONOMISTA Pedro MATEMÁTICO Idade 45 Pela tabela-gabarito acima. 44 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Coluna do ECONOMISTA ECO (Oscar) —» não 25» não 45 Graficamente: ECO (Oscar) —» não 25. não 45 A A Vamos registrar essas informações na tabela principal: Idade Profissão Luís AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 n S n n n n n 30 35 40 45 n n n S n n n n n Oscar n n S n n n n Pedro n n n n S n n 25 S n n n n Idade n S 30 n / 35 n / 40 n 45 n / n n S n n n n S Mário 1 Nédio n . Pedro não pode ter 40. Como o economista (Oscar) é mais moço do que Pedro. Vamos marcar isso na tabela principal: . as idades possíveis para o economista (que é Oscar) também são 30. Além disso.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 45 Perceba que só sobrou o Nédio para a coluna do “25”. podemos ver que: as idades possíveis para Pedro são 30. o economista não pode ter 30 (porque essa é a menor idade que Pedro poderia ter e não seria possível atender à condição).35. porque assim não seria possível que o economista (Oscar) fosse mais velho do que ele (Pedro). ou 40.35. Pela tabela. ou 40. Vamos registrar isso: Profissão AGRO ARQ ECO Luís n S Mário n E o Nédio Idade 30 35 40 45 n n n n S n S n n n n n n n n S n n n n ENG MAT 25 n n n n n n S n S n n n Oscar n n S n Pedro n n n 25 S n n 30 n / ■O •S 35 n / 40 n 45 n n / n n s n Vamos completar a tabela-gabarito: Nome Profissão Luís a r q u it e t o Idade Mário ENGENHEIRO 45 Nédio AGRÔNOMO 25 Oscar e c o n o m is t a Pedro MATEMÁTICO Veja a sentença “o economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro”. 46 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Profissão ARQ ECO ENG MAT 25 n S n n n n S n Nome Luís Idade Idade AGRO i 30 35 40 45 n n S n n n Mário n n n n n Nédio S n n n n S n Oscar n n S R n n n Pedro n n n n S n 25 S n n n . mais uma vez.n 30 n 35 n / 40 n / 45 n n n n n / n n S n Vamos. usar as “setinhas” na linha do Oscar e ver se chegamos a novas conclusões: Linha do Oscar Oscar (ECO) —> não 25. não 30. não 30. náo 45 Graficamente: (Oscar) ECO -> não 25. não 45 . é mais moço do que o arquiteto (Luís). torcedores do Flamengo. por sua vez. este (Pedro . e é mais moço do que o engenheiro (Mário) e mais velho do que Osear (Economista). todos. (IV) O matemático (Pedro) costuma ir ao cinema com Mário (Engenheiro) e Nédio (Agrônomo). (III) O economista (Oscar). o macete é repetir as frases colocando os nomes (já identificados) nos lugares onde aparecem referências às profissões e vice-versa: (I) Luís (arquiteto) é paulista. como o agrônomo (Nédio). Olhando para a tabela-gabarito: idade j Nome Profissão Lufs ARQUITETO Mário ENGENHEIRO 45 Nédio AGRÔNOMO 25 Oscar ECONOMISTA Pedro MATEMÁTICO . (II) O agrônomo (Nédio). o matemático (Pedro) e Luís (Arquiteto) são..Matemático).Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 47 Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão Idade AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 Luís n S n n n n Mário ® E o Nédio n n n S n S n n n Oscar n n S n Pedro n n n 25 S n 30 n T» <5 ■c 35 n 40 n 45 n 30 35 40 45 n n n n s n S n n n n n n n n S n n n n n / n n n n / / n n s n Agora. (V) O economista (Oscar) é mais velho do que Nédio (Agrônomo) e mais moço do que Pedro (Matemático). o economista (Oscar) e Mário (Engenheiro) residem no mesmo bairro. só sobrou 30 para Pedro. Logo. Vamos marcar isso nas duas tabelas: Profissão idade AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 30 35 40 Luís n S n n n n n n S n m Mário E o Nédio n n n S n n n n n S S n n n n S n n n n Oscar n n S n n n n n n n n n 7 Pedro n n n n S 25 S n n n n 30 n a 35 V n X3 40 n 45 n n 45 / / / n n S n Note que só sobrou 35 para o Oscar. ser mais velho que Oscar).Raciocínio Lógico— 48 a Enrique Rocha As idades possíveis para Luís sáo: 30. Luís náo pode ter 30. Problema resolvido!!! Marque a tabeia-gabarito e você tem a resposta: Resp. Vamos marcar isso na tabeia-gabarito: Nome Profissão tdade Luís ARQUITETO 40 Mário ENGENHEIRO 45 Nédio AGRÔNOMO 25 Oscar ECONOMISTA 35 Pedro MATEMÁTICO Consequentemente. desta forma. nem 35 anos (porque ele não poderia. Como Luís é mais velho do que Oscar (veja a primeira das sentenças acima).: A Nome Profissão tdade Luís ARQUITETO 40 Mário ENGENHEIRO 45 Nédio AGRÔNOMO 25 Oscar ECONOMISTA 35 Pedro MATEMÁTICO 30 . 35 ou 40. Luís tem 40 anos. As idades possíveis para Oscar sáo: 35 ou 40. Paula. Barco Olga e Barco Paula (observe: L. E. Ao barco de Caio. Um pai não pode dar ao seu barco o nome de sua filha. Barco Laís. ambos. e) Laís. c) Nair. Barco Nair. Mara. Dédo e Éder desejavam. Filhas: Laís. N. Combinaram. D. b) Laís. mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Conclusões: Laís não é filha de Dédo. Barco Mara. então. Primeiro passo: entender as regras do enunciado: Cada uma das filhas tem um nome diferente dos demais. Laís não é filha de Eder. para simplificar). Mara. Décio. Olga. Paula. . a ser acompanhada era um papel à parte por você. F e G. Olga. Oíga. Barcos. O e P). Paula. Nair. Laís. dar a seus barcos o nome de Laís. Nair. Décio.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 49 4. cada um. um barco. Éder. Segundo passo: identificar as variáveis em questão: Nome: Caio. Éder. L. d) Paula. respectivamente: a) Mara. Cada barco tem um nome diferente dos demais. Olga. dar a seus barcos o nome de Laís.. Laís. As filhas de Caio. dar aos barcos os nomes de suas filhas. Nair. M. Olga e Paula (observe. Nair. Olga. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corres ponderia um e apenas um barco. Cada um tem uma única filha. Mara. Laís. pai de Olga). Felipe e Gil (observe que você poderia usar C. Mara. O e P). M. Resolução: A resolução abaixo deve ser vista passo a passo. Éder. Felipe e Gil compraram. N. coube o nome de Nair. e ao barco do pai de Nair coube o nome de Olga. (ESAF-MPU-2004) Caio. e todas têm nomes diferentes. ambos. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto 4 ao barco dele. Nair. Paula. Felipe e Gil são. Mara. Décio. Terceiro passo: interpretar as sentenças do enunciado: Décio e Éder desejavam. ordenando-as (para. no barco dele. Laís não é filha de Éder. Conclusões: Nair não é filha de Caio. o barco de Éder recebeu o nome de Mara. Vamos. Mara não é filha de Éder. o barco do pai de Olga recebeu o nome de Paula. pai de Olga). Conclusões: Olga não é filha de Gil. repetir todas as conclusões a que chegamos. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é. então. Nair não é filha de Caio. o barco de Décio recebeu o nome de Laís.50 e Raciocínio Lógico— Enrique Rocha O nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. simplificar a marcação): Laís não é filha de Décio. Conclusões: Mara não é filha de Éder. o barco de Caio é o Barco Nair. Conclusão: o barco do pai de Nair é o Barco Olga. . Olga não é filha de Gil. o barco do pai de Olga recebeu o nome de Paula. coube o nome de Nair. Ao barco de Caio. Ao barco do pai de Nair coube o nome de Olga. o barco de Décio recebeu o nome de Laís. o barco de Éder recebeu o nome de Mara. . .. Isso porque o “Pai de Laís” (por exemplo)... não pode ter um barco “Laís”... essas marcações “n” vão estar em negrito. A A | Conclusões: ò Barco Mara'não é dó Pa| de Laís"e náo é do pai de Mara. não Mara ♦.... Barco Filha Late Mara Cato m Décio £ Éder o Nair Olga Paula Barco Barco Barco Barco Barco Laís Mara Nair Olga Paula n n n n n Feüpe n n n n n n n Gil Barco Laís o Barco Mara o COBarco Nair m n n Barco Olga n n S n Barco Pauta n n n S Nome Filha n rt S n n n n n S n R n n n n n n n Barco Caio Décio Barco Laís Éder Barco Mara Felipe Gil Quinto passo: usamos a técnica das “setinhas” para chegar a novas conclusões: Linha do Éder Éder (Barco Mara) não Laís... ' -.... não Mara Graficamente: Éder (Barco Mara) não Laís.c.. Para simplificar a visualização..Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento b 51 Quarto jpasso: preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito: É importante que você perceba que pela regra do enunciado deve-se marcar “n” (eliminar a casa) para todo cruzamento entre o nome de uma filha e o barco com o mesmo nome....... se Olga é filha do dono do “Barco Paula” e não é filha de Gil. Graficamente: Coluna da Olga Olga (Barco Paula) —> não Gil Isso nos leva a concluir que. Conclusão: o Barco Paula não é de Gil (já marcado). Graficamente: Vamos marcar todas essas conclusões na tabela principal: Conclusão: o Barco Mara não é do Pai de Laís. Conclusão: o Barco Olga não é de Caio. Gil não é dono do “Barco Paula”.52 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Coluna da Nair Nair (Barco Olga) —» não Calo Isso nos leva a concluir que: se Nair é filha do dono do “Barco Olga” e não é filha de Caio. . Conclusão: o Barco Mara não é do Pai de Mara. Caio não é dono do “Barco Olga”. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís Mara Caio Décio o E o Éder Barco Nair Oiga n n Paula n n n Felipe Gil n rt Barco Laís n n n Barco Mara n n n n 0] Barco Nair <2 Barco Olga S n n n n n rs S n n n n rt S n Barco Paula Barco Late Barco Mara Barco Nair Barco Olga Barco Paula n rt S n n n n n S n n n n n n rt Consequentemente. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís Mara Caio Décio & éder ê Barco Nair Olga n n Pauta n n n Felipe ■.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento d 53 Observe que para Laís só sobrou “Barco Nair”. para Mara só sobrou o “Barco Laís”. Gii n n Barco Laís n S n n n Barco Mara • n n n n S n ca Barco Nair CO Barco Olga Barco Paula S n rt n n n S n n n n n S n Barco Laís Barco Mara n n Barco Nair Barco Olga Barco Paula S n n n n n S n n n n n n n . Olga (Barco Paula) -» não Caio. usar as “setínhas” em busca de novas conclusões. mais uma vez. nem de Gil. para Paula só sobrou o “Barco Mara”. Coluna da Olga (se você tentar as colunas “Laís” ou “Mara”. Filha Laís Mara Calo üi Décio £ O Édsr Barco Nair Olga n n Paula n n n Felipe ■ n Gil n Barco Lais n S n n n Barco Mara n n n n S (0 Barco Nair £0 Barco Olga S n n n El n n S n rs n n n S n Barco Paula Barco Laís Barco Mara Barco Nair Barco Olga Barco Paula n n S n rt n n n S n n n n n n n Vamos. Caio não é dono do Barco Paula e Gil não é dono do Barco Paula. verá que as condusões já estão marcadas!!!).* não Caio.54 n Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Finalmente. não Gil Isso nos leva a conduir que: se Olga é filha do dono do Barco Paula e não é filha de Caio. não Gil . Graficamente: Olga (Barco Paula) . Vamos marcar isso na tabela principal*. vamos atualizar a tabela-gabarito: Nome Filha Barco Caio Décio Barco Laís Éder Barco Mara Felipe Barco Paula Gil Barco Paula n . Vamos marcar isso na tabela principal*.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento m 55 Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís Mara Oiga n rt Caio Décio O E Éder o Barco Nair Pauta n n n Felipe n Barc< Gii n Barco Laís n S n n n Barco Mara n n n n S Barco Nair S rt n n n Barco Oiga n n S n n Barco Paula n n n S n Barco Laís Barco Mara Barco Nair Barco Olga Barco Paula n n S n n n n n n S n n n n n n n n Vemos que só sobrou “Felipe” para a coluna "Barco Paula”. Barco Filha Laís Mara Nair Oiga n n Caio Décio £ o Éder Paula n n n 21 Felipe Gil Barcc Barco Laís n n n S n R n Barco Mara n n n n S Barco Nair S n n n n Barco Olga n n S n n Barco Paula n n n S n Barco Laís Barco Mara Barco Nair Barco Oiga n n n S n n n n n S n n n n n n n s n n Apenas para mantermos a visão geral. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís Mara E o Éder Olga n n Paula Barco Laís Barco Mara Barco Olga Barco Paula n n n n n n n rs n n S n n n n n S Felipe n n n n Gil n n S n n n n Barco Laís n S n n n n n n n n S m Barco Nair ca S n n n n Barco Olga n n S n n Barco Paula n n n S n Barco Mara Barco Nair S n n Nair n Caio Décio Barco n Uma das sentenças do enunciado é: “Ao barco do pai de Nair coube o nome Olga”. ele não pode ser o pai de Paula. Examinando a tabela principal. Gil é o pai de Nair. #>'■ n .56 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Se Felipe é o dono do “Barco Paula”. pela coluna do “Barco Olga” vemos que só pode ser de Caio ou de Gil. Ora. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís Mara Caio Barco Nair Oiga n n n £ o Éder z Felipe n Gil n n S n Barco Décio Paula n n n n n Barco Laís Barco Mara Barco Nair Barco Olga Barco Paula n n n n S n n n rt S n n n n n n n n S n n n Barco Laís n S n n n Barco Mara n n n n s Barco Nair S n n n n Barco Olga n n S n n Barco Paula n n n S n• . vemos que Caio não pode sdr o pai de Nair* Logo. Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento b 57 Veja a coluna “Laís”. concluímos que Caio é o dono do “Barco Nair”. Vamos marcar isso na tabela principal: . Só sobrou “Caio” para ela. n n Barco Nair Barco Olga Barco Paula n n S n n n n n S n n n n n. n n n S n n Barco Mara n rt n n S Barco Nair S ri n n n Barco Olga n n S n n Barco Paula n n R S n n n Vamos completar a tabela-gabarito: Nome Filha Caio Laís Barco Décio Barco Laís Éder Barco Mara Barco Paula Felipe Gil Nair Se Caio é o pai de Laís e o pai de Laís é dono do “Barco Nair”. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Caio Barco Laís Mara Nair Olga Paula Barco Laís Barco Mara S n n n n n n Décio O e Éder o n Feiipe n Gii n n S n n Barco Laís n S n n n 2 3. 58 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Filha Ü> o co Barco Laís Mara Nair Olga Caio S n n n Décio n Éder n Felipe n Gil n r» S n Barco Laís n S n n n Barco Mara n n n n S Barco Nair s n n n n Barco Olga n n S n n Barco Paula n n rt S n Pauia Barco Barco Barco Barco Barco Laís Olga Paula Mara Nair n n S n n S n n n n n n S n n n n n n n n S n n n n n n n n Vemos que para a coluna “Barco Olga” só restou “Gil”. Vamos atualizar a tabeia-gabarito: Nome Filha Calo Lafs Barco Barco Nair Décio Barco Lafs Éder Barco Mara Fefipe Barco Paula Nair Gil Barco OJga Vamos atualizar a tabela principal: Fílha ffi Mata Nair Olga Paula Calo S n n n n Décio n & Éder Barco Barco Lafs n n Barco Laís Barco Mara Barco Nair Barco Olga Barco Paula n n S n n n S n n n n n n S n n n n n n n n S n n n S n Felipe n Gil n n S n n Barco Laís n S n n n S Barco Mara n n n n Barco Nair S n n n n Barco Olga n n S n n Barco Paula n n n S n . Logo. Gil é o dono do “Barco Olga”. não é filha de Caio. Fíiha Laís Caio Barco Mara Nair Olga S n n n Décio a) | Éder n S fi n n n n Felipe n n n Gil n n S Barco taís n S n n Barco §. Vamos atualizar a tabela principal. ela é filha de Décio. nem de Éder. nem de Gil. Pauta Barco Barco Barco Barco Barco Lafs Mara Naír Oíga Paula S n n n n n S n n n n S n n n n n n n n S n n n n n S n n n n Barco Mara n n n S Barco Nair n n n n Barco Oíga S n n S n n Barco Paula n n R S n n . Vamos atualizar a tabela principal: Barco Nome Filha Barco Laís Mara Nair Oíga Paula Barco Laís Calo S n n n n n Oécio n Éder n FeSIpe n rt n S n n n S n n n n S rt n n rt n n n n S n n n S n n n S rt n Barco Laís n S n n n Barco Mara n n n n S Barco Nair S n n n n Barco Olga n n S n n n S n n Barco Paula rt n n Barco Olga n Gii Barco Paula Barco Barco Mara Nair Vamos examinar a coluna da Mara e usar as “setinhas”: Mara é filha do dono do Barco Laís. n Gil 7 > t . Mas olhando para a parte de cima da tabela. vemos que Décio é dono do "Barco Laís”. Concluímos que “Barco Laís” não é de Caio. ele não pode ser o pai de Paula.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento h 59 Observe que se Felipe é o dono do “Barco Paula”. Se Mara é filha do dono do “Barco Laís”. n Eder. nem de Gil. Mara(Barco Laís) n Caio. nem de Éder. Vamos completar a tabela-gabarito: Nome Filha Barco Caio Laís Barco Nair Décio Mara Barco Laís Felipe Olga Barco Pauia Gii Nair Barco Olga éder Barco Mara Consequentemente. a opção “Paula” (sendo Felipe o pai de Paula). para a linha “Felipe”.60 b Radocínio Lógico — Enrique Rocha Só sobrou. Éder só pode ser o pai de Paula (a única que sobrou). Problema resolvido: Nome Filha Barco Caio Laís Barco Nair Décio Mara Barco Laís Éder Paula Barco Mara Felipe Olga Barco Paula Gii Nair Barco Oiga . o carro de César é o Santana. azul e cinza. 2} O Hotel Malta oferecia um programa de dieta à base de iogurte. e) verde. 1. verde e cinza. cada qual com a intenção de cumprir um programa de dietas que o hotel oferecia. 6) Uma delas se chamavaTatiana. O carro de artur é cinza. Três mulheres hospedaram-se recentemente em hotéis diferentes. da Parati e do Santana são. o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. 3} Célia não se hospedou no Hotel Malta nem no Capri. uma Parati e um Santana. c) azul. o hotel onde se hospedou è a base da sua dieta. 4) Os outros hotéis eram o Capri e o Várzea. b) azul. I) Bárbara fez uma dieta à base de saladas. respectivamente: a) cinza. uma Brasília. e o outro é azul. verde e azul. As cores da Brasília. cinza e verde.Capítulo 2 — Problemas Sobre Correlacionamento a 61 Exercícios Complementares de Tabelas Os exercícios 1 c 2 foram extraídos da «vista CoquetelLógica. 5) à terceira dieta era à base de água de coco. um outro é verde. daEdiouro. d) cinza. Um dos carros é cinza. não necessariamente nesta ordem. Bernardo e César são. Com base nas dicas ao lado» tente descobrir o nome de cada mulher. . (ESAF/AFTN/96) Os carros de Artur. 2. azul e verde. D .62 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Gabarito de Exercidos de Correlacionamento 1. Nome Dieta Hotel Bárbara Salada Capri Célia Coco Várzea Tatiana Iogurte Malta 2. Axioma: sempre será possível atribuir um valor lógico. uma proposição. portanto. vá estudar sua lição” —é uma sentença imperativa. uma proposição. e não um resultado lógico (V ou F). Considere este momento de estudo umprazer. não é uma proposição. Quando ela é verdadeira.é indicação de uma operação aritmética. Portanto. uma proposição. portanto. “5 + 3”. Portanto. não é uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico F). atribuímos-lhe o valor lógico V. portanto. Examine as seguintes sentenças: “Sete mais dois é igual a nove” —é uma declaração (afirmativa). Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). quando é fàlsa. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). o valor lógico F. uma proposição. “O dobro de cinco é dez?” —é uma pergunta. Uma proposição pode ser ou verdadeira ou falsa. “Sete mais dois é igual a quinze” . Sabemos ser falsa (valor lógico F). “João. ” 3. Espera um resultado numérico. Proposição Uma proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa). Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F).C apítulo Álgebra das Proposições “Abandonepor um instante essa sensação de estar sob pressão para passar em um concurso.é uma declaração (afirmativa). e não uma declaração.1. “Belém não é a capital do Brasil” —é uma declaração (negativa). “Brasília não é a capital do Brasil” —é uma declaração (negativa). . não é uma proposição. conforme ela seja verdadeira ou fàlsa. e não uma declaração. ou V ou F» a uma proposição. Portanto. e não uma declaração. portanto. 1.2 ” 3. uma proposição.1. Proposição aberta. dependendo do valor que atribuirmos à variável x. Representação Literal das Proposições Neste trabalho. não podemos garantir que seja verdadeira ou falsa. 3. Proposição composta: quando formada por duas ou mais proposições. é uma proposição única. ligadas entre si por conectivos operacionais. Proposições Simples e Proposições Compostas Proposição simples: como o próprio nome indica. é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. portanto. e. Proposições Abertas e Proposições Fechadas Proposição fechada —é aquela que podemos garantir como sendo verdadeira ou falsa.64 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha “5 + 3 = 7”—é uma declaração (afirmativa) e.2.é aquela que contém umavariável» um elemento desconhecido. os quais estudaremos detalhadamente no item “Operações com proposições”.3. Tabela-verdade É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Sabemos ser falsa (valor lógico F). Exemplos: “Brasília é a capitai do Brasil e Lima é a capital do Peru” “3 + 5 = 8 ou 5 + 7 = 12” “Se 5 + 2 = 7 então 5 = 7 . Exemplos: (( «5 *7» x+3=7 “A cidade x é a capital da Argentina” Essas proposições serão verdadeiras ou falsas. 3. . “q”. 3.1. portanto. representaremos uma proposição simples qualquer por uma letra minúscula.2. isolada. Nela. “r” e V . Todas as proposições vistas acima são fechadas.1. preferindo “p”. • Negação: não p (-p).Capítulo 3 — Álgebra das Proposições a 65 Exemplo: p é a representação de uma proposição simples e V e F são seus valores lógicos possíveis: V T Não é necessário você decorar as tabelas-verdade.4. Contingência é toda a proposição que não for tautologia nem contradição. 3. que apresentou W V” e também “F” em sua tabela-verdade. Elas são apenas um instrumento a ser utilizado quando você precisar tirar alguma conclusão sobre algum resultado. o símbolo usado é “-i”: ~ip) • Conjunção: p E q (p A q) ® Disjunção: p OU q (p V q) • Disjunção exclusiva: OU p OU q (p v q) • Implicação: SE p ENTÁO q (p -> q) • Dupla implicação: p Se e Somente Se q (p <~»q) . contradições e contingências Tàutología é uma proposição em que todos os seus valores lógicos são V.5. subtração etc. Proposições Equivalentes (Símbolo o ) São proposições cujas tabelas-verdade são Iguais. Contradição ê uma proposição em que todos os seus valores lógicos são F. ou seja. 3. na Álgebra Booleana existem operações com as propoisições.). 3. Será feito um estudo mais detalhado sobre esse assunto no final deste capítulo. Exemplos irão sendo dados no decorrer das explicações. Tautologias. Lê-se “não p” (às vezes. Operações com Proposições Assim como na Álgebra tradicional existem as operações com números (adição.3. c) * —> Distributividade de • em relação a O: a 8 (boc) = ( a » b ) o ( a ' c ) (para quaisquer a.3. porque a negação desta ('‘Este lápis não é azul”) não obriga a que a cor do lápis seja branca.c) = a. b. b = b. c) A multiplicação é distributiva em relação à subtração: a. b. a (para quaisquer a. A adição e a multiplicação são associativas: a + (b + c) * ( a + b) + c « a + b + c (para-quaisquer a. Exemplo 1. Propriedades de uma operação Representemos duas operações pelos símbolos oe®.1. c) [p (rejpreseBrôsçãog Defimçãoi umaproposição éa negação de outra quando: se uma forverdadeira. c) Exemplos aritméticos com números naturais. c (para quaisquer a. se uma for falsa. então a outra é obrigatoriamente falsa e. b . b) Exemplos aritméticos com números naturais: 1) a adição e a multiplicação são comutativas: a + b . b + a. b. b. diferente das citadas. uma proposição contradiz outra. b). b) 2) a subtração e a divisão não são comutativas: a . mas não ê negação de “Este lápis é azul”. (b + c) = a.a. (b . sem ser sua negação. c (para quaisquer a.b + a (para quaisquer a. (b. b. b) a.5. Poderia ser de qualquer outra cor. b. c) Exemplos aritméticos com números naturais. A multiplicação é distributiva. “Este lápis é branco” contradiz. b. .em relação à adição: a. c) a.b& b —a (essa igualdade só é verdadeira quando a » b) Exemplo da não comutatividade: 5 —2 & 2 —5 (essa igualdade só é verdadeira quando a = b ou a » -b) Exemplo da não comutadvidade: 52 ^ 25 Associatividade: a ( b * c ) « ( a * b ) * c s = a * b » c (para quaisquer a. Observação? às vezes. c = a. c) .(a. c (para quaisquer a. então a outra é obrigatoriamente verdadeira. três operandos por aebec : —> Comutatividade: a * b = b ° a (quaisquer que sejam a. 3. então “Jorge não gosta de mamão” é obrigatoriamente verdade. Retirando-se a negação antes do verbo.6. 3.1. Tabela-Verdade F V Exemplo: Se "Jorge gosta de mamão” é verdadeiro.: “n é um número par ’ “n é um número ímpar”. Ex. Modos de Negação de uma Proposição 1. Ex. ou ‘ x é diferente de 3”) não obriga a que x seja igual a 7.: “Jorge gosta de mamão” “Jorge não gosta de mamão’* 2. então “Jorge náo gosta de mamão” é obrigatoriamente falso. para que a proposição resultante seja falsa. porque a negação desta (“x náo é igual a 3”. Basta uma ser verdadeira. Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. Disjunção (inclusiva) p ou q (Representação. Tabela-Verdade pvq . Concluímos que “Jorge não gosta de mamão” é negação de “Jorge gosta de mamão”. Ex. Se “Jorge gosta de mamão” é falso. Poderia ser qualquer outro número diferente dos citados. Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. mas não é negação de “x é igual a 3”.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições a 67 Exemplo 2: “x é igual a 7” contradiz. p v q ) A proposição composta resultante da operação da disjunção de duas ou mais proposições só será falsa se todas as proposições envolvidas na operação forem falsas.: “Maria ê feia” “Maria é bonita”. Ex.7.: “ Paulo não é primo de João” “Paulo é primo de João” 3. Negação da Disjunção: Não P e Não Q "(p v q) o "p a ^q (uma das leis conhecidas como “Leis de Morgan”. a qual você deverá construir passo a passo. pvq <=> qvp 3. Exemplo 2: Vemos. Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo. teremos “pvr” assumindo valor “F”.1. Náo conseguimos definir ovalorde “pvr” porquedesconhecemos ovalorlógicode r epor isso. pois têm a mesma tabela-verdade.. como exercício.68 a Raciocínio Lôgíco — Enrique Rocha Exemplo 1: Tomando por base as proposições: p: “5 é um número par” q: “Brasília é a capital do Brasil” r: “x é divisível por 7" Você conclui que: p q F v r pvq pvr qvr pvq vr V > V V / . se r for V \ “pvr” será “V”. se r for “P também. que as proposições pvq e qvp sáo equivalentes. ! P V V F q V F V F F pvq V V V F ÉhÉSÉS SIII8I8 í §éiéiè ~p -q -pv-q F F V V F V F F V V V V Observe que "(p v q) <=> -p v «-q (segunda Lei de Morgan) tS illfl . como p é “F”. é: ~(p A q ) 0 " p v ~q). ou seja. acima. .7. a outra como veremos. Poroutro lado.. ou seja. A negação da proposição “Maria ê feia OU José é rico” é: “Maria não é feia E José não é rico.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições a 69 Exemplo 1: A negação da proposição “x é ímpar OU y é divisível por 7” é: “x não é ímpar E y não é divisível por 7 ” Poderia sen *x é par E y não é divisível por 7 “ Exemplo 2. Propriedades Comutativa: p v q <=> q v p Associativa: p v ( q v r ) < s > ( p v q ) v r « . se uma for verdadeira e a outra.8. usando tabelas-verdade. isto é. 3. Isso significa que uma disjunção exclusiva não admite que os dois valores envolvidos sejam iguais. Se tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas íàlsas). falsa.” 3.” Poderia sen “Maria é bonita E José é pobre.7. Disjunção Exclusiva: Ou p ou q (Representação: pvq) A proposição composta resultante da operação da disjunção exclusiva de duas ou mais proposições só será verdadeira se as proposições envolvidas na operação tiverem valores lógicos contrários. quando isso acontecer a proposição (p v q) assumirá valor lógico "F".p v q v r Exercícioi como exercício» mostre as propriedades acima. Tabela-Verdade p V V F F Exemplo: Tomando por base as proposições: p: “5 é um número par” q: “Brasília é a capital do Brasil” n “xé divisível por 7” q V F V F p ^q F V V F .2. a proposição resultante da disjunção exclusiva será falsa. 3. ou você vai”. já que v dos dois teria que ter ido.2. usando tabelas-verdade. Tabela-Verdade P V <1 V pAq V F F F V F F F F Exemplo: Tomando por base as proposições: p: “5 é um número par” q: “Brasília é a capital do Brasil” r: “x é divisível por 7” V . e q também “V”. quando p for “V”. já que eles dependem do valor desconhecido na proposição r.70 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Você conclui que: p F q r V ? pyq pvr qv r V > ? pvqyr *As representam a impossibilidade de definirmos os valores lógicos. Propriedades d OU o (a ser Estudada Posteriormente) —» Comutatíva:pyqoqvp Associativa: p v ( q v r ) o ( p v q ) v r Exercício... Da mesma forma.ou” pode ser melhor entendido da seguinte forma: imagine que duas pessoas estabeleçam a seguinte regra: “ou eu vou. 3.8. Negação de ou 3. O que podemos inferir disso? Que um dos dois tem que ir. Conjunção: p e q (Representação: p a q) A proposição composta resultante da operação de conjunção de duas ou mais proposições só será verdadeira se todas as proposições envolvidas na operação forem verdadeiras.9.1. **0 “ou. a regra também teria sido “F”urada. e que só um dos dois pode ir. teríamos que “os dois vão e a regra teria sido “F”urada. para que a proposição resultante da conjunção seja falsa.8. mostre as propriedades acima. Basta uma ser falsa. Por isso. se P “F”icar. se r for “F”.9. como exercício. Negação da conjunção: Não p ou Não q "(p a q) O "p v -q (segunda Lei de Morgan) Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo. P V V F F PAq !H 8iSÍI q V V wmmmmEISS33I F V F F F F v V -q F V F V -p A~q p F F V Exemplo 1: A negação da proposição “x é ímpar E jé divisível por 7” é: “x não é ímpar OU y não é divisível por 7.” Poderia ser: “x è par OU y não è drasrvel por 7 ” Exemplo 2í A negação da proposição “Maria é feia E José é rico” é: “Maria não é feia OU José náo é rico ” Poderia sen “Maria é bonita OU José é pobre ” 3. como q e “V". se r for “V”. Propriedades -> Comutativa: p A q O q Ap iilÉ SS jÉSftftK \ |g§ . Por outro lado. por isso.2. a qual você deverá construir passo a passo.1. “q a t” também será "V".Capítulo 3 — Álgebra das Proposições m 71 Você conclui que: p F q r V > P Aq F p Ar qar p Aq a r F > F *A s representam a impossibilidade de definirmos os valores lógicos» já que eles dependem do valor desconhecido na proposição r. teremos “q a r” também “F”. Náo conseguimos definir o valor de “q a r” porque desconhecemos o valor lógico de r e.9. 3. apresentada mais adiante. SE o cajp> for barato. 3.” A mesma proposição pode apresentar formas de dizer diferentes: “O carro ser barato é condição SUFICIENTE para José comprá-lo” “José comprar o carro é condição NECESSÁRIA para o carro ser barato. Implicação: Se p então q (Representação: p -*• q) Alguns autores usam o termo condicional. a proposição resultante da implicação será verdadeira.72 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha -» Associativa: p a (q a p) O (p A q) a p —» Distributiva em relação à disjunção: p a (q v r) <=> (p a q) v (p a q) Exercido: mostre as propriedades acima.” “O carro será barato SOMENTE SE José o comprar” Essas três últimas formas de apresentação serão explicadas detalhadamente no tópico “Condição suficiente. de conseqüente. . Sua perfeita compreensão leva à segurança na resolução de inúmeros exercícios e ela também é fundamental para que se consiga entender a operação dupla-implicação (ou bicondidonal) “p Se e Somente Se q” (p -O. A proposição composta resultante da operação de implicação de uma proposição em outra só será falsa.10.q). vamos nos restringir à forma do título do item (Se p Então q). Um exemplo desse tipo de proposição é: “SE o carro for barato. Essa operação é uma das mais importantes e deve ser analisada cuidadosamente. você se surpreendeu com a afirmação acima e com as duas últimas linhas? Pareceu-lhe. A primeira proposição (p) é chamada de antecedente ou hipótese. Tabela-Verdade p V 9 V V F p q V F Caro Leitor. se a antecedente (hipótese) for verdadeira e a conseqüente for falsa. Condição necessária”. uma distração do autor ou uma falha na impressão? Mas não foi nem uma coisa nem outra. Veja a seguir. Por enquanto. a segunda (q). em outras palavras: “José comprará o carro. Em todos os outros casos. à primeiravista. usando tabelas-verdade. mais abaixo. ENTÁO José o comprará” ou. Nesse caso. Observe-se que uma proposição condicional pode. analisamos o valor das proposições componentes e daremos valor F somente no caso de a hipótese ser V e a conseqüência ser F. nossa regra continua •Válida. Aqui temos: p: você lavar o carro q: eu o empresto a você E a construção seria: você lavar o carro —» eu o empresto a você Analisemos as quatro possibilidades: Júnior lavou o carro (V) e você emprestou o carro (V). Neste exemplo.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições & 73 Exemplo explicativo informal: Você prometeu a seu filho Júnior: “SE você lavar o carro. ENTÃO eu o empresto a você.” “Se o Brasil não é um país.s V . a) “Se (2 é maior que 5 E João é casado) Então Maria tem 17 anos. a proposição é sua promessa e. por poder não haver a menor coerência entre a condição apresentada e a conseqüência. deverá ser analisada. o valor lógico da proposição resultante será V. Promessa não cumprida (F) Júnior não lavou o carro (F) e você emprestou o carro (V). Então 5 é menor que 7. Então Brasília é a capital do Brasil. às vezes. portanto. em nenhuma delas. como já vimos. Então 4 é maior que 7.” Toda proposição condicional deve ser analisada como um todo.” Exercício: Dê o valor lógico a cada uma das proposições resultantes abaixo. a condição é verdadeira e a conclusão é falsa. “Se 4 é um número par. já que. Para isso. parecer descabida. Em todos os demais casos. Isso não deve influenciar quando formos determinar-lhe o valor lógico. como tal. Podemos ver isso nos exemplos abaixo. sem sentido prático. Promessa cumprida (V) Júnior lavou o carro (V) e você não emprestou o carro (F). Então Brasília é a capitai do Brasil.” “Se Recife não é a capital do Brasil. em que todas as proposições resultantes são verdadeiras. só poderemos avaliar se a promessa foi ou não foi cumprida quando Júnior lavar o carro.” “Se 4 é menor que 2.” Resp. não se pode falar em promessa descumprida (F). Não houve promessa para o caso de Júnior não lavar o carro. Então. Júnior não lavou o carro (F) e você não emprestou o carro (F). 10.74 s Raciocínio Lõgico — Enrique Rocha b) “Se 2 é menor que 5 E (2 é par Então 4 é menor que 2)” Resp. 3. ou seja.» não p P q V V V F F V F F 'n. E a conseqüência náo acontece (F). ~(p -> q) 'P -q ^ /-q F F F V V F V V ■4 v . "negar p ->■q é a mesma coisa (tem a mesma tabela-verdade) quer dizer pA -q) Vemos que uma proposição condicional é negada quando acontece a condição (V). a qual você deverá construir passo a passo. vemos que a expressão p -> q não é equivalente a -p -» -q.1. pela mesma tabela-verdade. F V F F = v . ou seja: “Se p Então q” não eqüivale a “Se não p Então não q Entretanto..: F 3. podemos concluir que"(p -> q) O --p A -q. Exemplo: A negação de “SE x é um número par ENTÃO y é um número par” é: “x é um número par E y é um número ímpar”. F V V V J tíM Cuidado especial é requerido agora: pela tabela-verdade acima.2. Equivalência da Implicação: Não q .y .10. Resp. p V q V p-»q V F V F F V F V V F F F V V Das colunas hachuradas. como exercício. Negação da implicação: p e não q Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo.# t . vemos que: “p -» qMé equivalente a “-q ^p” “Se p Então p” eqüivale a “Se não q Então não p” .: F c) “Se (7 é maior que 5 OU Joáo é casado) Entáo 5 é par. isso significa: “~q —^ -p” e já sabemos que K-q —> -p” eqüivale a “p q”. Aqui você pode se perguntar: mas é possível que p seja “v” e q seja “F”? É sim! só que nesse caso. que é equivalente a -q -p. “q é necessário para p” e “p somente se q” significam: p q. Observação: muitas vezes. Quando dizemos que “p é condição suficiente para q). Então Carlos não passou em Matemática”. “p também não ocorrerá” (será falsa”. 3. Então Carlos passou em Matemática” náo significa o mesmo que: "Se Carlos não passou de ano. Então Carlos não passou de ano” (porque p —> q <=> -q —> -p). Resumindo: a condição suficiente fica ‘a esquerda” da seta e a necessária à direita.11. encontramos a proposição “q é necessário para p” com as seguintes palavras: “p somente se q”. Exemplo explicativo informal (o mesmo do item anterior): Seja a proposição: “Se Carlos passou de ano. Então Carlos passou emMatemática" significa o mesmo que: “Se Carlos não passou em Matemática. por exemplo.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições ss 75 Exemplo explicativo informal: “Se Carlos passou de ano. então Carlos passou em Matemática”: Carlos passou de ano —> Carlos passou em Matemática. a regra que garantia que “se p ocorresse. . C o n d içã o N e ce ssária p —> q: p é suficiente para q (basta p acontecer para que q aconteça). q também ocorreria. estamos afirmando que “basta que p aconteça (seja “V”) para garantirmos que q também acontecerá (será V ’). Assim p —> q representa *p suficiente para q” e “q necessária para p” (se q não ocorrer. Ora. “se tomará “F”urada! da mesma forma. Co n d içã o S u ficie n te . p não acontece). Vemos aqui que “Carlos passou de ano” ser verdade é suficiente para que “Carlos passou em Matemática” seja verdade. estamos dizendo que se “q não ocorrer” (for “F”). pois Carlos pode ter sido aprovado em Matemática e reprovado em Português. Entretanto: “Se Carlos passou de ano. p também não ocorrerá porque p q o -q -p. Concluímos que as expressões: “p é suficiente para q”. quando dizemos que “q é condição necessária para p”. Exemplo: A proposição "Se o número x é par Então o número y é ímpar” eqüivale a dizer que “Se o número y é par Então o número x é ímpar” (porque p q <=> -q —> -p). -q -> ~p: q é necessário para p (se q não acontecer. Negação da Dupla Implicação: Ou p ou q (Exclusivo) Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo. 3.” “Carlos passar em Matemática é condição necessária para Carlos passar de ano. Dupla Implicação: Se p então q e s e q então p (Representação: p f > q ) Alguns autores usam o termo bicondicional.” 3. para descobrirmos o valor lógico de “p q” usamos o raciocínio de FAZER (p «-> q) A(q -> p). pxq F q V p++q V F V F F V V F V F V V F F V F F p V . Tabela-Verdade p q p —y <j q-»p (p_»£) A(<j„»p) V V V V V liliB M m V F F V F F V V F F F F V V V . Vemos que “Carlos passou em Matemática” ser verdade é condição necessária para "Carlos passou de ano” ser verdade.” “Carlos passou de ano somente se Carlos passou em Matemática. da sentença original).12. então Carlos passou em Matemática” é exatamente a mesma que qualquer uma das abaixo: “Carlos passar de ano écondição suficientepara Carlos terpassado emMatemática.76 q Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Na expressão equivalente (“volta negando”. a qual você deverá construir passo a passo. Por isso.1. a dupla implicação sera falsa. »**».12.•> & s Veja que em “p «-» q” a setinha vai “de p para q” e “de q para p” ao mesmo tempo. Conclusão: a proposição “Se Carlos passou de ano. A proposição composta resultante da operação da dupla implicação de uma proposição em outra só será verdadeira se ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas). como exercício. então Carlos não passou de ano”: Carlos não passou em Matemática —> Carlos não passou de ano. “Se Carlos não passou em Matemática. Se uma for verdadeira e a outra fàlsa. independentemente da verdade dos termos que a compõem. abrem-se quatro possibilidades: 1) p —> q 2) -q -» -p (equivalência de "1”) 3) q -> p 4) -p -» -q (equivalência de “3”) Exemplo: “Você lavar o carro é condição necessária e suficiente para eu o emprestar a você. quando existe uma . essa expressão é dita como: p se e somente q. 3. Essa tabela-verdade garante que. Condição Necessária e Suficiente A expressão “p é condição necessária e suficiente para q” significa exatamente a dupla implicação. Neste caso de condição necessária e suficiente. 4) Eu não empresto o carro a você —> Você não lava o carro (equivalência de “1”). Muitas vezes. 2) Você não lava o carro —> Eu não o empresto a você (equivalência de “3”). Sua tabela-verdade só contém o valor lógico V O exemplo mais simples de tautologia é (p v -p): p V ~P F p v -p F V V V Outros exemplos de tautologia Modus Ponens Observe que a última coluna da tabela-verdade abaixo é uma tautologia (todos os valores são verdadeiros).” ou: “Você lava o carro se e somente se eu o emprestar a você ” 1) Você lava o carro -> Eu o empresto a você. 3) Eu empresto o carro a você —» Você lava o carro.13.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições s 77 Exemplo: a negação de: ‘ x é um número par SE E SOMENTE SE y é um número par” é: “OU x é um número par OU y é um número par” (OU exclusivo) (e vice-versa)! 3. Tautologia e Contradição Tautologia é toda proposição sempre verdadeira.14. então Guilherme é gordo. quando existe uma proposição p —> q. Contradição é toda proposição sempre falsa. podemos garantir que. 1. e) se João é alto ou não é alto. d) se João é alto ou Guilherme é gordo. Sua tabela-verdade só contém o valor lógico E O exemplo mais simples de contradição é p a -p P V F "P F V pA-p F F Veja um exercício como exemplo.78 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha proposição p —» q. podemos garantir que. se p ocorrer (for verdadeira). então João é alto ou Guilherme é gordo. se q não ocorrer (for falsa). b) se João é alto. c) se João é alto ou Guilherme é gordo. . p também não ocorrerá (em todos os casos). Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto. então Guilherme é gordo. então João é alto e Guilherme é gordo. q também ocorrerá (em todos os casos). independentemente da verdade dos termos que a compõem. então João é alto e Guilherme é gordo. Essa tabela-verdade garante que. (ESAF) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira. p q p -» q V V F V F V F V V v F F p a (p q) [p a (p V F F F q)] -> q V V V V Modm Tolfens p V V F F <3 V F V F "P F F V V -q F V F V P —^<J V F V V "q A (p -> [-q A (p —> q)] —^ "p V V V V q) F F F V Observe que a última coluna da tabela-verdade abaixo também é uma tautologia (todos os valores sâo verdadeiros). independentemente da verdade dos termos que a compõem. então Guilherme é gordo Isso eqüivale a p v q —> q. ou seja. A tabela-verdade seria: P -» p A q. P V q V pAq V V F F F V F V F F F V V ©— Ao encontrarmos o l2 “F” você já saberia que não se trata de tautologia e po deria parar por aqui sua análise. Portanto.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições m 79 Resolução: Fazendo p: João é alto e q: Goüherme é gordo. Observe que a alternativa “A” já nos levou a uma proposição “sempre verdadeira”. já encontramos a tautologia. não seria necessário analisarmos as outras.. a) Se João é alto. . A tabela-verdade seria: P v q V pvq p Vq —> q V V V F V F V V F F F <£>— V V Ao encontrarmos o ls “F” você já saberia que não se trata de tautologia e po deria parar por aqui sua análise. Vamos fa2ê4o apenas para praticarmos um pouco mais o raciocínio. então João é alto OU Guilherme é gordo Isso eqüivale a p —> p v q. ' V F . . então João é alto E Guilherme é gordo Isso eqüivale a p —> p a q. b) Se João é alto. vamos analisar as alternativas. A tabela-verdade seria: p V V F F q V F V F p —p Vq Pv q V /V V V> . c) Se João é alto OU Guilherme é gordo. Assim.:A 3. então João é alto E Guilherme é gordo Isso eqüivale a p v q —»pAq. então Alberto não é alto. O primeiro passo é identificar as proposições envolvidas: . A tabela-verdade seria: p V q V ”P F PV"P V V F F V F V V V F F V V p v "p q V 0 — V F Ao encontrarmos o Ia W F” você já saberia que não se trata de tautologia e pode ria parar por aqui sua aná lise. (ESAF-AFC-2002) Dizer que náo é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto» é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. " Resolução: A sentença “dizer que não é verdade” tem o mesmo significado de “negar”. então Guilherme é gordo Isso eqüivale a p v -p —> q.** trata de tautologia e po deria parar por aqui sua F análise. V V © e) Se João é alto OU não é alto. . A tabela-verdade seria: P V q V Pv q V pvq V F V F F V p V F F F F V pv q— >p a q Ao encontrarmos o Ia “F” você já saberia que náo se -----.15. então Alberto é alto. o que o problema está pedindo é a negação de uma proposição composta que usa o • «T7» conectivo E. Exercícios resolvidos de Álgebra das Proposições 1. e) Se Pedro não é pobre. d) Se Pedro não é pobre.80 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha d) SeJoão é alto OU Guilherme é gordo. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. Resp. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. Exemplo: se Pedro é pobre.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições s 81 p: Pedro é pobre q: Alberto é alto Como sabemos que -(p a q) O -p v -q. Carina amiga Carol —» Carmem cunhada Carol Carmem não cunhada Carol —» Carina não amiga Carol (equivalência) Dica: Como sabemos p —> q <=> ^q — >~p. Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. (Lei de Morgan) temos que: (Pedro é Pobre E Alberto é alto) <=> Pedro náo é pobre OU Alberto não é alto. então Carina é amiga de Carol. Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. leia “p —> q” de trás para frente. Resolução: Passo 1: Analisemos as proposições do problema. toda vez que você encontrar uma implicação lógica. então Carmem é cunhada de Carol. Logo. Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. a) b) c) d) e) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. então Carmem é cunhada de Carol. faça o que eu chamo de “volta negando”. Se Carina é amiga de Carol. Carina não cunhada Carol —> Carina amiga Carol Carina não amiga Carol -> Carina cunhada (volta negando) As anotações ficarão assim: 1) Carina amiga Carol —» Carmem cunhada Carol 2) Carmem não cunhada Carol —> Carina náo amiga Carol 3) CARMEM NÁO É CUNHADA DE CAROL . Resp. então Carina é amiga de Carol. (ESAF-AFC-2002) Se Carina é amiga de Carol. ou seja. então Alberto é alto. Se Carina não é cunhada de Carol.: A 2. Carmem não c cunhada de Carol. Se Carina não ê cunhada de Carol. Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. Pedro é pobre —> Alberto é alto (p—>q) Alberto não é alto —> Pedro não é pobre (volta negando) (-q —»^p) CARMEM NÃO É CUNHADA DE CAROL (é um dado do problema que só será considerado ao final). negando as duas. colocando resumidamente os resultados dessa análise. c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. a primeira).82 & Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 4) Carina não cunhada Carol —> Carina amiga Carol 5) Carina não amiga Carol —> Carina cunhada Carol Passo 2: Vamos preencheendo uma tabela pelas anotações Como vimos em (3). a segunda). Por outro lado. d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. o que leva aos seguinres desdobramentos: 2) Carmem não cunhada Carol Carina não amiga Carol 5) Carina não amiga Carol —> Carina cunhada Carol Carmemcunhada Carol Carina amiga Carol Carina cunhada Carol Falso (3) Falso (2) Verdadeiro (5) Passo 3: Examinemos as alternativas do problema a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. e) o duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. FALSO (ambas F). FALSO (uma falsa.t B 3» (ESAF-TCU-2002) O rei ir à caça é condição necessária para. d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. a primeira). VERDADEIRO (uma V. p não acontece) . Carmem náo é cunhada de Carol. b) se o duque náo saiu do castelo. Resp. então o conde encontrou a princesa. e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. FALSO (uma F. b) Carina náo é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. o duque sair do castelo. Logo: a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. O barão não sorriu. Resolução: Vamos lembrar que: P é condição suficiente para q: p —»■q (p garante q) q é condição necessária para p:^q p (sem q. FALSO (umaF. a segunda). q O q ^ p <=>~q <->-p” (se quiser. nem precisaríamos “voltar”. conde não encontra princesa —> duquesa não jardim duquesa jardim —> conde encontra princesa Análise: BARÃO NAO SORRI (é um dado do problema que só será considerado ao finai). As anotações ficarão assim: 1) rei não caça —» duque não sai castelo 2) duque sai castelo —> rei caça (equivalência) 3) rei caça —» duquesa jardim 4) duquesa não jardim -» rei não caça (volta negando) 5) conde encontra princesa —> barão sorri 6) barão sorri —» conde encontra princesa 7) conde não encontra princesa —» barão não sorri 8) barão não sorri —> conde não encontra princesa 9) conde não encontra princesa —» duquesa não jardim 10) duquesa jardim -> conde encontra princesa 11) BARÃO NÃO SORRI . rei não caça —> duque não sai castelo duque sai castelo -» rei caça (volta negando) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. conde encontra princesa barão sorri barão sorri conde encontra princesa conde não encontra princesa <r> barão não sorri barão não sorri <-> conde não encontra princesa Como sabemos que “p ^ q O ^ p O . já que “p <-> q <=> -p ^q”. nos casos de dupla implicação também podemos aplicar o “volta negando” (na verdade.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições s 83 Passo 1: Analisemos as proposições do problema. construa as tabelas-verdade para confirmar). colocando resumidamente os resultados dessa análise. rei caça duquesa jardim duquesa não jardim —> rei não caça (volta negando) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. a Ia parte é “V”. Resp. b) Se o duque não saiu do castelo. Daí segue-se que.84 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Passo 2: Vamos preencheendo uma tabela pelas anotações: Baráo sorri Conde Princesa DuquesaJardim Rei caça Duque Castelo Falso (11) Falso (8) Falso (9) Falso (4) Falso (1) Passo 3. a primeira). então Lógica é difícil. o que torna “F” a implicação. Resolução: 1) Analisemos as proposições do problema. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. b) Lógica é fócil e Geografia é difícil. FALSO (uma F. (ESAF-AFC-2002) Ou Lógica é fácil. então: a) se Geografia é difícil. colocando resumidamente os resultados dessa análise: Ou Lógica é fácil. mas a 2a é “F”. ou Artur não gosta de Lógica. c) O rei não foi à caça e o conEe não encontrou a princesa.: C 4. FALSO (ambas F). então o conde encontrou a princesa FALSO (V —> F) ou seja. e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. se Geografia não é difícil. p: Lógica é fácil q: Artur não gosta de lógica r: Geografia é fácil . d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim FALSO (uma F. Por outro lado. VERDADEIRO (ambas V). ou Artur não gosta de Lógica. Examinemos as alternativas do problema: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. se Artur gosta de Lógica. então Lógica é difícil. a primeira). temos: r —» "p: Geografia fácil —» Lógica difícil Lógica fácil —> Geografia difícil (volta negando) Como o enunciado diz que Artur gosta de Lógica. temos que: "Lógica é fácil e Geografia é difícil”. então Lógica é difícil5*. Resp. eu vou (-q —» p) (volta negando) Juntando tudo: p v q (ou p. Assim. então Lógica é difícil”.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições s 85 Vamos agora aprender que “ou p ou q” é equivalente a “p <->-q”: p V V V F q V F V F -p F F V V ~q F V F V ou p ou q (pvq) pO-q F V V F F V V F Claro! dizer “ou eu vou”. ou “você vai” é a mesma coisa que dizer: Se eu vou. você vai (-p — » q) Se você não vai. você não vai (p -»~q) Se você vai. que deve ser montada como sendo: p ~ q (mantém-se a primeira como foi enunciada e nega-se a segunda): Lógica é fácil <r> Artur gosta de Lógica Lógica é difícÜ <r> Artur não gosta de Lógica (Lembre-se que na dupia implicação a equivalênciaé obtidapeio simples negação das duas proposições) "Se Geografia não é difícil. podemos identificar a estrutura “OU p OU q”. temos que Lógica é fácil (Lógica é fácil <-> Artur gosta de Lógica). temos que Geografia é difícil (Lógica facil -> Geografia difícil). eu não vou (q —>~p) (voita negando) Se eu não vou. Assim. Essa proposição tem o mesmo significado de “Se Geografia é facil. Como segunda conseqüência.: C . ou q) <=> p <->~q Aqui. Como você já sabe.t A . d) C igual a D. Se B = D. montar as proposições compostas enunciadas no problema: Ou A . o problema afirma que B = D. o que nos leva a: A = D ( B = D —^A = D). B = D . (Fiscal do Trabalho-97) Ou A « B. 1) Analisamos as proposições do problema. Este é outro caso de “OU p OU q”. então A = D. logo: a) B diferente de C.86 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 5. mas não ambos. Assim. mas não ambos. b) B diferente de A. Ora. ou B~C’\ mas não ambos. c) C igual a A. Ela foi criada apenas para reforçar exclusividade. ou B » C.B e usar isso para afirmarmos que B ^ C í A ^ B ^ B ^ C). Resp.mesmo assim teríamos um "ou exclusivo”. ou B = C. devemos montar isso como p<r>~ q\ A~ B<-»B*C<=> A & B B = C (equivalência) Por outro lado. colocando resumidamente os resultados dessa análise Nomeando as proposições: p: A = B q: B = C r: B = D s: A = D Vamos. como A = D e B = D. que deve ser montada assim: r —» s: B = D->A = D o B & D —> A 3* D (equivalência) Por fim. e) D diferente de A. A expressão “mas não ambos” é apenas uma ênfase ao caráter exclusivo do OU. agora. então A = D . a expressão ressaltada até poderia ter sido omitida e . e. concluímos finalmente que B ^ C. podemos concluir que A .B. Resolução: Observação: Quando o enunciado diz “ou A=B. o enunciado disse: Se B = D . são culpados. Fulano é inocente. Fulano é culpado. ou ambos.Exclusivò”^•pórqúé% ^n^^^^^lídê|= “tíu^àèbojs”. ou Sicrano é culpado. então Beltrano é inocente. e Sicrano é culpado.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições a 87 6. e Beltrano é culpado. e Beltrano é inocente. são culpados. então Fulano é culpado. Sicrano culpado —» Fulano culpado Fulano inocente -> Sicrano inocente (volta negando) A diferença a ser percebida neste exercício é que o enunciado não faz qual quer afirmação sobre a ocorrência de alguma das proposições e pede alguma condusão a respeito das mesmas.! Isso nos leva a uma proposição de disjunção simples (OU): Fulano inocente —> Beltrano culpado OU Sicrano culpado <=> Beltrano inocente E Sicrano inocente *-> Fulano culpado (volta negando) (Perceba aqui a troca do OU pelo E) Se Sicrano é inocente. como faremos a seguir. ou Sicrano é culpado. então ou Beltrano é culpado. Esse tipo de exercício nos leva a analisar as possibilidades existentes e ver se. X) Analisemos as proposições do problema. Fulano é culpado. e Beltrano é culpado. Fulano culpado -» Beltrano culpado <=> Beltrano inocente Fulano inocente (equivalência) Se Fulano é inocente. jápèsar deencont&inQs:^ cse -í^fa dè um “ÒU. Beltrano e Sicrano. e Beltrano é culpado. acjúi. Beltrano e Sicrano. surge alguma incoerência. então ou Beltrano é culpado. Se Sicrano é inocente. e Sicrano é inocente. ou ambos. então Beltrano é inocente. Fulano é culpado. Se Fulano é inocente. em algum caso. Logo: a) b) c) d) e) Fulano é inocente. Se Sicrano é culpado. Resolução. então Beltrano é culpado. e Beltrano é inocente. e Sicrano é inocente. l â possibilidade: Fulano culpado. colocando resumidamente os resultados dessa análise Se Fulano ê culpado. Perceba :iiüe. então Fulano é culpado. então Beltrano é culpado. e Sicrano é inocente. Fulano culpado —> Beltrano culpado . e Sicrano é culpado. Sicrano inocente Beltrano inocente O Beltrano culpado Sicrano culpado (volta negando) Se Sicrano é culpado. (ESAF-MPU-2004) Se Fulano é culpado. ou Ênia é filha de Elisa.: E v.. Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. então fulano é culpado”. Estamos diante de uma estrutura “OU. a) b) c) d) e) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. Ou Ana é filha de Alice. OU”. Beltrano e Sicrano são culpados. ' 7. você deve notar que partimos de Fulano inocente e concluímos que Beltrano e Sicrano também inocentes. levando-nos ao final do raciocínio de volta à hipótese “Fulano culpado”. que deve ser montada como sendo:/» <-» . então Ana não é filha de Alice. negando a hipótese. Tudo OK 2a possibilidade: Fulano inocente. Se Paula não é filha de Paulete. então Beltrano e Sicrano também culpados. podemos afirmar que a segunda hipótese não pode ser considerada correta.. ou Ênia é filha de Elisa. Por causa disso. Resp. Fulano inocente —> Sicrano inocente (equivalência) Sicrano inocente Beltrano inocente o Beltrano inocente E Sicrano inocente —> Fulano culpado (equivalência) Aqui. colocando resumidamente os resultados dessa análise Se Flávia é filha de Fernanda. chegamos a “Fuiano culpado”. então Ana não é filha de Alice. Flávia é filha de Fernanda. Resolução: Passo 1: Analisemos as proposições do problema. Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.q (mantém-se a primeira como foi enunciada e nega-se a segunda): Ana filha Alice <-> Ênia não filha Elisa Ênia filha Elisa <r> Ana não filha Alice (equivalência) . Esta conclusão final nos mostra uma incoerência. Ora» nem Ênia é filha de Elisa nem Inês ê filha de Isa. ou seja. no final do raciocínio. então Flávia é filha de Fernanda. que é a seguinte: “se fulano é inocente. podemos afirmar que. pelas regras do enunciado. (ESAF-TCU-1999) Se Flávia ê filha de Fernanda. Paula náo é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. Fulano. Se Ana é filha de Alice.88 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Beltrano culpado —» Sicrano culpado Sicrano culpado Fulano culpado A conclusão possível aqui é que» se Fulano culpado. mas. Flávia filha Fernanda —> Ana não filha Alice Ana filha Alice —> Flávia não filha Fernanda (equivalência) Ou Ana é filha de Alice. 2. e 4. então Flávia é filha de Fernanda. (Alternativa Incorreta.) e) Se Ana é filha de Alice. Paula é filha de Paulete. Portanto. tiramos as conclusões: 1. Flávia é filha de Fernanda. Flávia não é filha de Fernanda. Paula é filha de Paulete (falso: conclusão 2) eAna é filha deAlice (verdadeiro: conclusão 3).. Paula é filha de Paulete (verdadeiro: conclusão 2) e Ana é filha de Alice (verdadeiro: conclusão 3). (Alternativa correta. (Alternativa incorreta. e.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições & 89 Se Paula não é filha de Paulete. as duas partes têm que ser verdadeiras para que a alternativa seja avaliada como verdadeira.. Como .) c) Paula não é filha de Paulete E Ana é filha de Alice. Ênia não é filha de Elisa. A afirmação é equivalente a: “Ênia não é filha de Elisa E Inês não é filha de Isa”.) d) Ênia é filha de Elisa OU Flávia é filha de Fernanda. 3. quando o conectivo for OU. Esta alternativa pede que você avalie uma estrutura “Se. (Alternativa incorreta. vamos fazer os desdobramentos associados a ela: Ana filha Alice <-> Ênia não filha Elisa (como estamos diante de um “Se e somente se”.* Flávia filha Fernanda Flávia não filha Fernanda —> Paula filha Paulete (equivalência) Ora. Esta é a afirmação do enunciado que nos diz “qual caminho seguir”. Ana é Filha de Alice. Observe que essa segunda parte não tem qualquer utilidade na resolução do problema e foi colocada apenas para confundir. a) Paula ê filha de Paulete E Flávia é filha de Fernanda. Então”. quando o conectivo usado fòr E. nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. podemos “voltar” e concluir que Ana é filha de Alice) Ana filha Alice —» Flávia não filha Fernanda Flávia não filha Fernanda —> Paula filha Paulete Daí. Passo 2: Examinemos as alternativas do problema Lembre-se de que.) b) Paula é filha de Paulete E Ana é filha de Alice. Paula não filha Paulete . basta que uma delas seja verdadeira para que a alternativa seja avaliada como verdadeira. Ênia é filha de Elisa (falso: conclusão 4) e Ana é filha de Alice (verdadeiro: conclusão 1). Paula ê filha de Paulete (verdadeiro: conclusão 2) e Flávia é filha de Fernanda (falso: conclusão 1). podemos concluir que: 1. garantindo que a conseqüente também será verdadeira.) Resp. Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. Nestor e Lauro mentiram. Raul e Júlia mentiram. Raul verdade. (ESAF/AFTN/96) Se Nestor disse a verdade. Lauro falou a verdade. Resolução: Passo 1: Analisemos as proposições do problema. Se Lauro falou a verdade. Note que é exatamente o que acontece. porque Ana é filha de Alice (verdadeiro: conclusão 1) e Flávia não é filha de Fernanda. Se Raul mentiu. 2. Note que esta última conclusão pôde ser feita por causa do OU em “Júlia verdade OU Raul verdade”. há um leão feroz nesta sala. Lauro verdade —» leão na sala Leão não na sala —» Lauro mentiu (equivalência) Como o enunciado afirma que “não há um feroz leão na sala”. Nestor verdade —>Júlia mentiu E Raul mentiu Júlia verdade OU Raul verdade —> Nestor mentiu (equivalência) Observe a troca do ”E” pelo "OU". não há um leão feroz nesta sala. Leão não na sala. ela só será falsa no caso de a primeira parte ser verdadeira e a segunda ser falsa. a questão fica sem solução!!! Se Raul mentiu. Júlia e Raul mentiram. pois. Ora.90 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha já sabemos. 3. Se Nestor disse a verdade.: B 8. sabendo que “Raul verdade” é verdadeira. independentemente de “Júlia verdade” ser verdadeira ou falsa. há um leão feroz nesta sala. Raul e Lauro mentiram. Lauro mentiu. a proposição antecedente (do lado esquerdo da setinha) é toda verdadeira. Nestor mentiu. . Logo: a) b) c) d) e) Nestor e Júlia disseram a verdade. Júlia e Raul mentiram. Lauro falou a verdade!!! Raul mentiu —> Lauro verdade Lauro mentiu —> Raul verdade (volta negando) Se Lauro falou a verdade. (Alternativa Incorreta. 4. Se isso não for feito. colocando resumidamente os resultados dessa análise. : B 9. levando a uma proposição composta com OU com duas partes falsas. então M = 4p + 3r M » 2x + 3y M = 4p + 3r M 4p + 3r -» M & 2x + 3y (volta negando) (2) Se M = 4p + 3r> então M . a) Nestor e Julia disseram a verdade. porque Raul falou a verdade (conclusão 3) e. nada podemos afirmar sobre o que Júlia disse. Falsa.Capitulo 3 — Álgebra das Proposições a 91 Passo 2: Examinemos as alternativas do problema.2w —3r M . então M + H = 1. mais ainda. então M = 4p + 3r. ou M = 0. que resulta em falso para a proposição global e) Raul e Júlia mentiram. então M = 2w —3r. M = 2w —3r.3r. Falsa.4p + 3r M -> 2w . nada podemos afirmar sobre o que Júlia disse. ou M = 0 (ou exclusivo) M = 2x-f-3y<-»M?60 M^2x + 3y<->M = 0 (voltanegando) . Resp. 2x + 3y 5* 2w .3r. porque Nestor mentiu (conclusão 4) e. mais ainda. Logo. Falsa. porque Nestor mentiu (conclusão 4) e Lauro também mentiu (conclusão 2). M + H 1. (ESAF-MPOG-2002) M = 2x + 3y. Falsa. b) Nestor e Lauro mentiram. o item fica falso por causa do conectivo E. Ora. porque Raul falou a verdade (conclusão 3) e. porque Raul falou a verdade (conclusão 3) e Lauro mentiu (conclusão 2). Por outro lado. a) b) c) d) e) 2w —3r ~ 0. Verdadeira. d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. 4p + 3r # 2w . M ?= 2x + 3y. Se M = 4p + 3r.3r M ^ 2w —3r M 4p + 3r (volta negando) (3) Ou M = 2x + 3y. Se M ~ 0. mesmo sabendo que Lauro mentiu (conclusão 2). c) Raul e Lauro mentiram. M = 2x + 3y. Resolução: (1) M = 2x + 3y. e não estou deprimida. e estou deprimida. Quando náo faz calor e passeio. 3 Observe o conectivo “£” se transformando em “OU" na negação de “Não íàz calor e passeio”. c) Vejo Carlos. Hoje. não passeio ou fico deprimida.92 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha (4) Se M . hoje: a) vejo Carlos.4p + 3r = 2w —3r. Quando chove. b) não vejo Carlos.: E 10. . e não estou deprimida. d) Não vejo Carlos. Sentença 1: Não vejo Carlos —> não passeio ou fico deprimida <=> Passeio e não fico deprimida -> vejo Carlos1 Sentença 2: Chove —> não passeio e fico deprimida O Passeio ou fico deprimida —> não chove2 Sentença3: Não fez calor e passeio —> não vejo Carlos O Vejo Carlos —> fez calor ou não passeio3 1 Observe o conectivo “OIT se transformando cm “E“ na negação de “náo passeio ou fico deprimida”.e não chove e não fez calor. e faz calor. Portanto. não passeio. e chove e fez calor. e estou deprimida. e) Vejo Carlos. não vejo Carlos.0. então M + H = 1 M = 0 —»M + H = 1 M+ (equivalência) Como o enunciado disse que M +. passeio. (ESAF-MPU-2004) Quando não vejo Carlos.3r (2) Assim. Resolução: Passo 1: escrever as proposições do enunciado. Quando não chove e estou deprimida. e fez calor. 2 Observe o conectivo “E” se transformando em “OU” na negação de “não passeio e fico deprimida”. e náo chove e fez calor.H ^ 1. e não chove. temos: M + H * l-~»M *0(4) M = 2x + 3y <-» M & 0. não passeio e fico deprimida. logo M = 2x + 3y (3) M = 2x + 3y —> M = 4p + 3r (1) M = 4p + 3r —> M = 2w . e estou deprimida. Resp. e chove. concluímos que: M 3&0 e M = 2x + 3y . a única em que aparece isolada é na última (sentença 4): Passeio —» chove ou náo estou deprimida Como "Passeio” é verdadeira. podemos concluir que “Vejo Carlos” é verdadeira. Observe que. podemos concluir que “fez calor ou não passeio” também é verdadeira. “Não chove” é verdadeira. No entanto. chove ou não estou deprimida também é. na sentença 2. Por isso. vejo Carlos e faz calor. não chove. Como “não passeio” é falsa. não chove. “Faz calor” tem que ser verdadeira para que a conseqüência seja verdadeira. temos uma das partes verdadeira (“Passeio”). temos que sáo verdadeiras as seguintes proposições: passeio. Finalmente. ou "Chove” é verdadeira. Resp. Observe que “Passeio” aparece como antecedente em todas as sentenças. Assim. Usando “Passeio e não fico deprimida —» vejo Carlos” e sabendo que “Passeio” é verdadeira e “Não fico deprimida” também é verdadeira. já temos as seguintes verdades: Passeio. Na sentença 3. ou “Não estou deprimida” é verdadeira. a conseqüência também será verdadeira. já que a conseqüência é verdadeira. ou seja. Passeio ou fico deprimida —> não chove Voltando em “Passeio -» chove ou não estou deprimida”. . “Passeio ou fico deprimida”. sabendo que “Vejo Carlos” é verdadeira. “Vejo Carlos —> faz calor ou náo passeio”.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições a 93 Sentença 4: Náo chove e estou deprimida -> não passeio Passeio chove ou não estou deprimida4 Passo 2: analisar os desdobramentos de “Hoje passeio”.: C 4 Observe o conectivo "E” se transformando em ”OU" na negação de "Náo chove c estou deprimida”. Dessa forma. não estou deprimida. como “chove” é falsa. podemos concluir que “não estou deprimida” é verdadeira. ou ambas são verdadeiras. não estou deprimida. (III) Se Débora fala dinamarquês. Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. aparece um “ou. o enunciado insere essa estrutura (que já é um pouco complicada) dentro de uma outra estrutura "SE. Como você pode ver. então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (IV) Eiton fàla espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. ou” e isso.94 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 11. Resolução: Passo 1: separar as sentenças: (I) Se Iara não fàla Italiano. Por outro lado (e para complicar). b) Ching náo fala chinês e Débora fala dinamarquês.. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. Elton fala espanhol.. Veja como você pode montar a sentença (II): Iara ITALIANO [Ching CHINÊS <-> Débora NÃO DINAMARQUÊS] Veja que se for verdadeiro que Iara fala Italiano. como já aprendemos. Ora. ou q”. então Ana fala alemão. Mas Eíton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não feia francês. TODO o lado da direita [Ching CHINÊS Débora NÃO DINAMARQUÊS] deve também ser verdade. Logo: a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. (II) Se Iara faia italiano. quando se diz “ou p. ou seja. Esta sentença é o ponto-chave do problema. ENTÃO”. então ou Ching fala chinês ou Débora.. Assim. então Ana faia alemão. então Ana fala Alemão. Se Débora fala dinamarquês. (ESAF-AFC-2002) Se Iara não fala italiano. então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. as duas coisas não podem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo. . Iara NÁO ITALIANO Ana ALEMÃO Ana NÃO ALEMÃO —> Iara ITALIANO (essas duas sentenças são equivalentes: p —» q <=>-q —» -p) (II) Se Iara fala italiano. indica a presença de um “OU Exclusivo”. OU q” é: p <-» -q. Se Iara Ma italiano. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. Passo 2: usar a notação algébrica para representar cada uma das frases: (I) Se Iara não fala Italiano. a representação algébrica de “OU p. Elton faia espanhol.. Assim: Elton ESPANHOL 4 * Francisco FRANCÊS (“volta negando”) Elton NÃO ESPANHOL <-> Francisco NÃO FRANCÊS Passo 3: montar o problema com base nas sentenças representadas: (I) fiara NÃO ITALIANO -4-Ana ALEMÃO [Ana NÃO ALEMÃO -» Iara ITALIANO (II) {[Iara ITALIANO] -» [Ching CHINÊS DÉBORA NÃO DINAMARQUÊS] |[Ching NÃO CHINÊS ^ Débora DINAMARQUÊS] [IaraNÃO ITALIANO] (III) fDébora DINAMARQUÊS -> Elton ESPANHOL [Elton NÃO ESPANHOL Débora NÃO DINAMARQUÊS (“volta negando”) (IV) íElton ESPANHOL ^Francisco FRANCÊS [Eicon NÃO ESPANHOL Francisco NÃO FRANCÊS (equivalência) Passo 4: usar as informações dadas como verdadeiras para desenvolver as conseqüências: O problema considera duas verdades: (a) Francisco NÃO fala francês. Mas como negar “Chang chinês” Débora não dinamarquês”? Sabemos que "(p <r> q) <=> (p -q. e (b) Ching NÃO fala chinês. é porque ce mentira que Francisco não fala francês”. Logo.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições e 95 Considere esta sentença como uma “Grande Implicação”: Iara italiano —» q (onde q: Ching chinês Débora não dinamarquês) Assim podemos fazer o “volta negando”: "q .. a negação da dupla implicação é um “ou. [Ching NÃO CHINÊS Débora DINAMARQUÊS] Iara NÃO ITALIANO (III) Se Débora fala dinamarquês. ou seja.» Iara não italiano. Elton fala espanhol Débora DINAMARQUÊS -» Elton ESPANHOL Elton NÃO ESPANHOL ~> Débora NÃO DINAMARQUÊS (volta negando) (IV) Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês Aqui há um passo a mais de interpretação com relação à segunda parte da sentença: Se “não é verdade que Francisco não fala francês”.ou” (ver 3.1). a sentença eqüivale a “Francisco fala francês”.12. .. Alternativa d): nada podemos concluir. . ambas as proposições têm que ser verdadeiras. Pela sentença (III). basca que uma das partes seja felsa para que a alternativa seja falsa. durante uma prova seu objetivo não é resolver o problema. A segunda parte diz que “Elton fala espanhol” e já sabemos que isso não é verdade. } Alternativa b): Como foi usado o conectivo “e”. Ana não fala alemão ou Iara feia italiano. A segunda parte diz que “Débora fala dinamarquês” e já sabemos que isso não è verdade. Como o conectivo usado foi o “e”. Mas. Alternativa a): nada podemos concluir. para que ela seja verdadeira. Agora temos um complicador. se Francisco NÁO FRANCÊS. vamos analisar as alternativas com base no que já sabemos (como eu já disse era outras partes do livro. antes disso. a alternativa (b) não pode ser verdadeira (e por isso pode ser eliminada das possibilidades). ainda não sabemos se Iara feia ou não o italiano. porque não sabemos o valor lógico de nenhuma das partes. que é a aplicação das verdades descobertas na sentença (II). Ana feia alemão e Débora feia dinamarquês. a alternativa (b) não pode ser verdadeira (e por isso pode ser eliminada das possibilidades). Francisco não faia francês e Elton feia espanhol. mesmo sabendo que a segunda parte é verdadeira. Informações passadas pelo enunciado Ching NÃO feia chinês. Débora NÃO DINAMARQUÊS.96 ej Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Pela sentença (IV). se Elton NÃO ESPANHOL. porque. Já sabemos que: Francisco NÃO fala francês. Ching não feia chinês e Débora fala dinamarquês. mas encontrar a resposta): a) b) c) d) e) Iara não feia italiano e Débora não fala dinamarquês. podemos garantir que Débora NÃO DINAMARQUÊS. Alternativa c): Como foi usado o conectivo V \ basta que uma das partes seja falsa para que a alternativa seja felsa. podemos garantir que Elton NÃO ESPANHOL (veja que ler “de trás para a frente” só é possível quando for uma estrutura “se e somente se” (setinha para os dois lados). Elton NÃO ESPANHOL. se o lado esquerdo for verdadeiro. com duas alternativas válidas: a) Iara não fàla italiano e Débora não fala dinamarquês. para que uma estrutura “Se e somente Se”. “p q”. como mostrado na tabela-verdade abaixo: P V <1 V P<“>9 V V F F F V F F F V . ou seja. o que sabemos que é “Falso”. Logo. basta que uma das partes seja faisa para que a alternativa seja faisa. Ficamos.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições & 97 Alternativa e): Como foi usado o conectivo “e”. a outra também tem que ser e vice-versa. a alternativa (d) não pode ser verdadeira (e por isso pode ser eliminada das possibilidades). d) Ana náo fàla alemão ou Iara fala italiano. seja verdadeira. não é?) Vamos lembrar a tabela-verdade de “p q”: p y q p —> q V V V F F F V V F F V . Por outro lado. o direito temque ser (porque senão a estrutura “p —>q” se tomaria falsa. se uma for verdadeira. Para as duas precisamos saber se Iara feia Italiano. então. A segunda parte diz que “Débora feia dinamarquês”. Vamos passar para a análise da sentença (II): (II) f [Iara ITALIANO] [Ching CHINÊS <-» DÉBORA NÃO DINAMARQUÊS [ [Ching NÁO CHINÊS Débora DINAMARQUÊS] -» [Iara NÃO ITALIANO] Quando temos uma sentença do tipo *p —> q”. para podermos garantir que o lado direito também será (Iara NÂO ITALIANO). concluindo finalmente que “Iara NÁO ITALIANO” (!!!!!!!).m Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Observe a segunda sentença: [Ching NÃO CHINÊS ITALIANO]. por ser um “Se e somente Se”. para que o que foi dito no enunciado seja verdadeiro. já sabemos que “Ching CHINÊS” é “falso” e que “Débora NÃO DINAMARQUÊS” é “verdadeiro”. a única forma de termos um “p —> q” com valor lógico “V ’ é se “p” também for “F” (observe a segunda e a quarta linhas da tabela acima). o lado esquerdo da sentença é falso. Dessa forma. independentemente do valor de “q”. porque “Ching NÃO CHINÊS” é “verdadeiro” (o enunciado garante isso). mas “Débora DINAMARQUÊS” é “falso” (já concluímos isso anteriormente). “falsa”. a sentença será verdadeira como um todo. as duas teriam que ter o mesmo valor lógico e isso não acontece. vemos que nesse caso. Logo. Voltemos à tabela-verdade de “p —> q”: p V V F F q V F V F p —> q v F V V Observe que se “q” (lado direito da implicação lógica) é “F”. Daí podemos concluir que a expressão “Ching CHINÊS * * Débora NÁO DINAMARQUÊS” é. Débora DINAMARQUÊS] -> [Iara NÁO Temos que ver se o lado esquerdo ([Ching NÃO CHINÊS <-> Débora DINAMARQUÊS]) é verdadeiro. Como resolver isso? Passemos à análise da primeira forma da sentença: [IaralTALIANO] -> [Ching CHINÊS *+ Débora NÁO DINAMARQUÊS] Mais uma vez estamos diante de uma expressão do tipo “p ->■ q5\ Acontece que não sabemos ainda se “Iara ITALIANO” é “verdadeiro” ou “falso”. temos uma estrutura “p -> q” na qual o lado esquerdo é “Falso”. Acontece que para o lado esquerdo ser verdadeiro. Logo. Na tabela-verdade “p q” acima. . temos que atribuir “F” à sentença “Iara ITALIANO”. No entanto. como um todo. . Ou”)- . d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. Podemos então garantir que Ana não fala alemão.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições a 99 Agora ficou fácil analisar a sentença 00: Pela sentença (I). (II) Ou o mordomo é culpado. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles. mas não os dois. Resolução: Passo 1: separar as sentenças: (I) Se o cozinheiro é inocente. se Iara NÃO ITALIANO Ana ALEMÃO. b) somente a governanta é culpada. ° ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada. ainda. ou a governanta é culpada (a expressão “mas não os dois” simplesmente explicita o caráter de exclusividade do “Ou. c) somente o mordomo é culpado. somente o cozinheiro é inocente. então a governanta é culpada. 8 o mordomo não é inocente. Como só tínhamos duas alternativas possíveis (as outras foram eliminadas pelas conclusões anteriores): a) Iara não fala italiano e Débora nãp feia dinamarquês. Resp. que: * se o cozinheiro é inocente. A 12. a governanta e o mordomo. Alternativa a): as duas partes da sentença que usa o conectivo “E” são verdadeiras e essa é a alternativa correta. (ESAF/AFTN/98) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro. d) o cozinheiro e o mordomo são os culpados. Alternativa d): mesmo com o conectivo “OU”. que só requer que uma das partes seja verdadeira para que o todo seja verdadeiro. a alternativa é “Falsa”. Sabe-se. então a governanta é culpada. já que podem ter agido individualmente ou não. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados. porque as duas partes que compõem a sentença são “Falsas”... ■:CÕnsi4ere qüe “Patrícia é uma boa amiga” e. vejaasconsequençias. a) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga. B) se Vítor diz a verdade. Patrícia é uma boa amiga. .: D 13.^^diferenteidosíd^^i .iunadelas levará à coerência e^ pòr isso..não. como sabemos que a governanta é inocente. quer Patrícia seja uma boa amiga. Resolução: íIm p o r ^ t« . e) sáo inconsistentes entre si. c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga.F^ para “Patrícia não é uma boa amiga” e veja as conseqüências). Cozinheiro INOCENTE -» Governanta CULPADA Governanta INOCENTE —> Cozinheiro CULPADO (volta negando) (II) Ou o mordomo é culpado. quer Patrícia não seja uma boa amiga. será á spluçãp párá o problema. d) são consistentes entre si. b) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga. C) se Helena não é uma boa amiga. apenas^ :. Helena não é uma boa amiga. então a governanta é culpada. Problema resolvido!!! Resp. Vítor diz a verdade. Mordomo CULPADO <— > Governanta INOCENTE Governanta CULPADA Mordomo INOCENTE Passo 3: usar a afirmação “o mordomo não é inocente” (que eqüivale a “Mordomo culpado”) para tirarmos as conclusões: Pela sentença (II)./ -indica uma situação verdadeira para que você possa tirar as conclusoès^Çomo resolver isso? Monte o problema e avalie as duas possibilidades (ppr exemplo. (ESAF-AFTN-1998) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga. ou a governanta é culpada £ uma estrutura “OU p OU q” e deve ser montada como “p <-> -q” (conserva-se a primeira e nega-se a segunda). Certamente. podemos garantir que a Governanta é inocente. se o Mordomo é culpado.100 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Passo 2: usar a notação algébrica para representar cada uma das frases: (I) Se o cozinheiro é inocente. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas. Pela sentença (I). podemos garantir que o Cozinheiro é culpado.:íst^ p sid i^ te ^ que. Pela sentença 01). . podemos garantir que Patrícia é uma boa amiga.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições s 101 Passo 1: separar as sentenças: (I) Se Patrícia é uma boa amiga. se Patrícia é boa amiga. podemos garantir que Helena não é uma boa amiga. Patrícia é uma boa amiga. Vítor diz a verdade. (II) Se Vítor diz a verdade. se Vítor diz a verdade. Pela sentença (III). Helena NÃO AMIGA *■» Patrícia AMIGA Patrícia NÁO AMIGA «-» Helena AMIGA Passo 3: considerar a hipótese de “Patrícia è uma boa amiga” ser “Verdadeira”: Pela sentença (I). E um caminho que mantém sua coerência. Observe que partimos de “Patrícia é uma boa amiga” e voltamos a “Patrícia é uma boa amiga”. Patrícia é uma boa amiga. Helena não é uma boa amiga. Vítor VERDADE <-» Helena NÁO AMIGA Helena AMIGA <-> Vítor MENTIRA (equivalência) (III) Se Helena não é uma boa amiga. Helena não é uma boa amiga. Patrícia AMIGA *-» Vítor VERDADE Vítor MENTIRA -> Patrícia NÁO AMIGA (volta negando) (II) Se Vítor diz a verdade. É uma estrutura “OU p OU q” e deve ser montada como “p <r> ~q” (conserva-se a primeira e nega-se a segunda). se Helena não é uma boa amiga. Passo 2: usar a notação algébrica para representar cada uma das frases: (I) Se Patrícia é uma boa amiga. É uma estrutura “OU p OU q” e deve ser montada como “p <-> ^q” (conserva-se a primeira e nega-se a segunda). (III) Se Helena não é uma boa amiga. Vítor diz a verdade. podemos garantir que Vítor diz a verdade. podemos garantir que Helena é uma boa amiga. podemos garantir que Patrícia não é uma boa amiga. Pela sentença (II). Observe que partimos de "Patrícia nãó é uma boa amiga” e chegamos a “Patrícia não é uma boa amiga”. Problema resolvido!!! Resp. podemos garantir que Vítor não diz a verdade.: D . Assim. se Vítor não diz a verdade. concluímos que a alternativa (d) é correta.102 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Passo 4: considerar a hipótese de "Patrícia não é uma boa amiga” ser "Verdadeira”: Pela sentença (III). se Helena é uma boa amiga. se Patrícia não é boa amiga. E um caminho que mantém sua coerência. Pela sentença (I). Se Beatriz briga com Bia. Pâmela está enganada e Paula não viajará à França. Priscila está enganada. 2 . e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. então Priscila está enganada. 3.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições a 103 Exercícios de Álgebra das Proposições 1. De outro lado. Seus amigos. Beatriz não briga com Bia e Beraldo náo briga com Beatriz. Se Luís estiver enganado. ou Pedrita ainda mora em Paris. Se Pâmela estiver enganada. têm opiniões discordantes sobre se Pedrita ainda mora. José não irá ao cinema. ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido. mas náo tem certeza se Pedrita ainda mora em Paris. náo está enganada). Pedrita náo mora em Paris e Priscila não está enganada. Suas primas. c) neto de João. então o filme não está sendo exibido. Se Priscila estiver enganada. Se Maria estiver certa. Luís está enganado. Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. Luís eJúlio não estão enganados. João responde ao garçom. Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. Pâmela e Priscila. Se Júlio estiver enganado. Beto náo briga com Bia. mas não Luís. Logo. então Pedrita não mora mais em Paris. Se Bia vai ao bar. mas não Pâmela. dirigindo-se a João. em um restaurante. então Beto briga com Bia. José é a) pai de João. Verificou-se que Maria está certa. “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. então Bia vai áo bar. Ora. mas não tem certeza de que o mesmo esteja sendo exibido. “Sou filho único. mas não Júlio. O garçom. então Pâmela está enganada. então Júlio está enganado. Logo: a) b) c) d) e) o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido. em Paris. Maria. a) b) c) d) e) Pâmela e Priscila náo estão enganadas. 'Verificou-se que Patrida está em a (isto é. Bia vai ao bar eBeatriz briga com Bia. Logo: a) b) c) d) e) Bia não vai ao bareBeatriz briga com Bia. (ESAF-MF-2000) João e José sentam-se. . juntos. e)tiode João. d)avô de João. (ESAF-TCU-I999) Se Beraldo briga com Beatriz. Ora. pergunta-lhe. têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não era cartaz. ou náo. (ESAF/AFTN/%) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo contra Fogo”. Patrícia. b) filho de João. Luís e Júlio. Se Patrida estiver certa. então Beatriz briga com Bia. Júlio está enganado. (ESAF-2003) Paula quer viajar à França para visitar Pedrita. e Patrícia está certa. então Luís está enganado. ou Paula não viajará à França. ou José não irá ao cinema. Então. Pedrita ainda mora em Paris. 4. então André é artista. (ESÀF-MPO G-2000) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) b) c) d) e) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. e Daniela náo abraça Paulo. ou o circo está na cidade. e Daniela não abraça Paulo. Domeles sai para ir à missa. Suas amigas. Paula náo foi ao parque e o grupo de Denise náo foi aplaudido de pé. Denise náo dançou e o grupo de Denise foi aplaudido de pé. então Bernardo é engenheiro. Verificou-se que Cecília está certa. se André náo é artista. João não está feliz. então Anaméiia será pianista. Logo: a) b) c) d) e) o circo está na cidade. Anelise será cantora ou Ana será atleta. Ora Anaméiia não será pianista. aos domingos. e Maria não sorri. a) b) c) d) e) Anais será professora e Anelise náo será cantora. Sabe-se. então Bernardo náo é engenheiro. e Daniela náo abraça Paulo. Então. Cícero náo irá ao circo. Célia está enganada. Se Célia estiver enganada. Anais não será professora e Ana não será adeta. 9. mas náo Célia. João está feliz. Domeles não saiu para ir à missa. e Maria sorri. o grupo de Denise ê aplaudido de pé. (SERPRO-2001) Cícero quer ir ao circo. que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. João não está feliz. 7. mas náo Cleusa. Célia e Cleusa. Cecília. mas náo tem certeza de que o circo ainda esteja na cidade. Sabe-se. então Célia está enganada. e Maria sorri. Anelise não será cantora e Ana será atleta. sabe-se que sempre que Denise dança. ou Cícero não irá ao arco. ou Paula vai ao parque ou vai pescar na praia. também. Se Cleusa estiver enganada. (ESAF) Ou Anais será professora. e sempre que Paula vai ao parque. Ora. que. Então. se André é artista. quando Sandra não abraça Sérgio: a) b) c) d) e) João está feliz. João náo está feliz. e Maria não sorri. Se Ana for atleta. 6. Ora. Célia e Cleusa náo estão enganadas. Anelise será cantora e Anaméiia não será pianista. também. ou Anaméiia será pianista. Se Cecília estiver certa. Assim. Sempre que Paula vai pescar na praia. e Daniela abraça Paulo. no último domingo: a) b) c) d) o grupo de Denise náo foi aplaudido de pé e Paula não foi pescar na praia. e Maria sorri. ou Anelise será cantora. e Daniela abraça Paulo. se Bernardo é engenheiro. então Cleusa está enganada. Denise dança. Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé.104 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 5. Cleusa está enganada. têm opiniões discordantes sobre se o circo está na cidade. Se Anelise for cantora) então Ana será atleta. então o circo não está na cidade. . 8. André não é artista e Bernardo é engenheiro. (SERPRO-2001) No último domingo. (ESAF-MPU-2004) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. e. B nâo ocorre ou A não ocorre. ou seja. no caso de uma proposição -iR verdadeira (ou R verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência. Assim. haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem.—> S) possuemtabelas de valoraçóes iguais. ou Y nos outras casosj a disjunção de P e Q. (2) Considere que. obtém-se uma contradição. A partir das informações do texto acima. do conjunto G. . então. aem Camiie nem Carla foram ao casamento. a conjunção de P e Q. Camiie e Carla náo foram ao casamento. julgue os itens que se seguem* (1) De acordo coma regra da contradição. (CESPE-PF-2G04) Texto para os itens de 1 a 3.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições m 105 10. o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade. nem B nemD ocorrem. que será F somente quando P e Q. afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos. em outros casos. o navio não afun dou. ao supor P a ->Q verdadeira. Se Vanderleia viajou. Carla não foi ao casamento eVanderleia não viajou. P . (ESAF-AFC-2000) Se Veta viajou. 12. que será F se P for V e será V se P for E Uma tabela de valoraçóes para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. então concluise que R é verdadeira (ou -*R é verdadeira). e sabendo que duas proposições sáo equivalentes quando possuem as mesmas valoraçóes. que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. em um pequeno grupo de pessoas —G —envolvidas em um acidente. é correto concluir que P e Q mentem. Vera e Vanderleia não viajaram. 11. (CESPE-PF-2004) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. (ESAF-MTb-1998) Sabe-se que a ocorrência de B ê condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. que será Vsomente quando P e Q forem V. Sabe-se. Se. Vanderleia viajou. A partir dessas variáveis. podem ser obtidas novas proposições.» Q. (1) As tabelas de valoraçóes das proposições P v Q e Q -> -iP são iguais. 13. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição. Ora. denotada por /*-» Q. denotada por -<P. julgue os itens subsequentes. (2) As proposições (PvQ)~»Se(P—»Q)v (Q. denotada por P a Q. também. quando C ocorres a) b) c) d) e) D ocorre e B não ocorre. Logo: a) b) c) d) e) Vera náo viajou e Carla não foi ao casamento. B eA ocorrem. e Q. D não ocorre ouA não ocorre. (3) O número de tabelas de valoraçóes distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 2. Carla não foi ao casamento ou Vanderleiaviajou. tais comoi a proposição condicional. que será F quando P for V e Q for F. nesse caso. o navio afundou. é verdadeira quando. caso se obtenha uma contradição. será F{ e a negação de P. Sejam P e Q variáveis preposicionais que podem ter valoraçóes ou ser julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). denotada por P v Q. forem E ou V nas outras situações. Se Carla náo foi ao casamento. a) X > Y > Q > Z. então Breno não é neto de Beto. Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. Jorge é juiz. Se Jorge é irmão de Maria. Logo: a) b) c) d) e) a professora de Matemática não foi à reunião e a professora de Francês não deu aula. Carlos é carioca ou Breno é bonito. Ora. a professora de Matemática e a professora de Português não foram à reunião. (ESAF-AFC-2004) Ana é prima de Bia. (ESAF-MP OG-2003) Asa é artista ou Carlos é carioca. e) Q < X < Z < Y. 17. Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 14. “X > Y e Q> Y. c) Z < Y < X < R. ou Carlos é filho de Pedro. Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras. todos os problemas foram resolvidos. então Breno náo é bonito. d) X > Q> Z> R. e Z < Y”. se e somente se Y > Z”. pelo menos um problema não foi resolvido. a professora de Português foi à reunião. então Breno é bonito. Ana é artista e Carlos não é carioca. Se a professora de Francês náo deu aula. Breno é bonito e Ana é artista. se e somente se Y » X”. conclui-se corretamente que*. Logo: a) b) c) d) e) Jorge éjuize Breno é bonito. a professora de Inglês e a professora de Francês náo deram aula. Se Jorge é juiz. Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. b) X > R > Y > Z. 16. (ESAF'MRE-2002) Se a professora de Matemática foi à reunião. Se a professora de Português foi à reunião. (ESAF-AFC-2004) Uma professora de Matemática fez as três seguintes afirmações: “X > Q. KR Q. Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. Ora. Jorge ê irmão de Maria. então Breno é neto de Beto. a professora de Francês não deu aula e a professora de Português não foi à reunião. Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. Logo: a) b) c) d) e) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. Ora.106 e. Se Carlos é carioca. 15. nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram aula. a professora de Francês náo deu aula ou a professora de Português foi à reunião. . Se Carlos é filho de Pedro. Ana não é artista e Carlos é carioca. B -9. D 16.B 10. E 8. B 7. E 13.C ILE 3.E s 107 . B 12. C C 5. £ 2. E. E. E 6. A 15. D 14.Capítulo 3 — Álgebra das Proposições Gabarito de exercícios de Álgebra das Proposições 1. C 17. E 4. Algum. Maria.. Nem sempre a conclusão é verdadeira.. Carlos e José sáo meus filhos e gostam de estudar Matemática.a 4. . indução e dedução Analogia . inferimos outras semelhanças. goste um pouquinho mais..raciocínio em que.1.1. Exemplo: João. Aprenda um pouquinho. Tipos de raciocínio: analogia.).1. ou não gosta porque não entende. Nenhum “Você não entende Matemática porque não gosta. assim. cada vezserá maisfácildar opróximo passo (.C apítulo 4 Silogismos: Todo. Conceitos iniciais 4. Então infiro que o meu filho que vai nascer também gostará de Matemática. comparando-se semelhanças entre situações diferentes. Paulo. Estrutura de um silogismo 1. conclusão e de três termos. Logo. A barata.2. partindo-se de Informações particulares.1. Carlos é mortal Premissa menor —é a premissa mais particular. Quanto maior o número de casos particulares observados. Deduzimos que os insetos não têm ossos.parte-se do geral para o particular. Carlos é mortal. Exemplo: A barata. Definição (informal) Silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo em que. Carlos é um homem. Logo. 4. Todos os homens são mortais.1. tomando como base o exemplo dado para o raciocínio dedutivo. o escorpião e o gafanhoto não têm ossos. estudaremos os silogismos categóricos formais ou regulares que constam de duas proposições-base (premissas) para o raciocínio. que vem geralmente em segundo. que vem geralmente citada primeiro. Nem sempre a conclusão é correta. o escorpião e o gafanhoto não têm ossos. Neste livro. de maior extensão. maior a probabilidade de a conclusão ser correta. Logo.110 a Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Indutivo . Dedutivo . partindo-se de certas informações. Todos os homens são mortais.3. Carlos é um homem. 4. infere-se uma determinada conclusão. Deduzimos que os animais não têm ossos. Carlos é um homem.raciocínio em que. Premissas e conclusão: Premissa maior—é a premissa geral. . Exemplo: Todos os homens são mortais. Carlos é mortal. inferimos uma conclusão geral. neste caso.Capítulo 4 — Silogismos: Todo.1. . Termo menor . que significa “enganar”. Carlos é um homem. Falácia Faláda é um falso raciocínio lógico com aparência de verdadeiro. Nenhum s 111 Conclusão —é a proposição deduzida das premissas. elaboradas com o objetivo de confundir. Carlos é um homem. são denominadas sofismas. Algum. Carlos é mortal.é o predicado da premissa maior e da conclusão. Carlos é mortal. Vemos. Todos os homens são morrais. Termo médio —é o sujeito da premissa maior e o predicado da premissa menor. Carlos é um homem.4. a conclusão contém o termo menor como sujeito (Carlos) e o termo maior. . Logo. 2. então que: a premissa maior contémo termo maior como predicado (mortais) e o termo médio. Logo. Termos: Termo maior . Todos os homens são mortais. Náo aparece na conclusão. como sujeko (homens). Algumas falácias são cometidas involuntariamente e. não podem ser generalizadas. 4. por representarem casos específicos (e não gerais). outras. como predicado (mortal). O termo deriva do verbo latino fallere. Carlos é mortal. As falácias podem ser elaboradas com base em premissas falsas ou premissas verdadeiras que. Todos os homens são mortais. Logo. Logo. Todos os homens são mortais. . como sujeito (Carlos).é o sujeito da premissa menor e da conclusão. a premissa menor contém o termo médio como predicado (homem) e o termo menor. Carlos é um homem. são denominadas paralogismos. Carlos é mortal. um paradoxo pode ser considerado um absurdo. este argumento é uma falácia. então pertence também a B. “algum”. 4. A palavra paradoxo significa literalmente o que está para além do senso comum.1. mas as conclusões feitas são contraditórias. De modo geral. 4.112 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Exemplo: premissa 1: Eu sou mortal. Paradoxo São raciocínios em que se parte de enunciados não contraditórios.2.1. conclusão: Todos os homens são mortais.5. Problemas de silogismos Geralmente. porque as premissas apresentadas não levam à conclusão feita. premissa 2: Marcelo é mortal. os problemas sobre silogismos apresentam expressões como “todos”. Um paradoxo demonstra tanto a veracidade quanto a falsidade de um argumento. “nenhum”. “pelo menos um”. Perceba que. não temos como avaliar esta afirmação como verdadeira ou falsa. como o poeta que falou também é cretense. Muitos problemas encontrados são resolvidos mais facilmente com base na Teoria de Conjuntos e utilizando-se os Diagramas de Venn.6. já que a estrutura é enganosa. Exemplo: O poeta cretense afirma que todos os cretenses são mentirosos. Análise das Proposições Categóricas Todo A éB -se um elemento pertence ao conjunto A. Diagrama de Venn . 4. Ainda que a conclusão esteja correta do ponto de vista real. Capítulo 4 — Proposição categórica Representação simbólica Todo A éB V%(A(x)-±B(x)) Silogismos: Todo. se ele pertence a A. Diagrama de Verm "Algum A é B” Proposição categórica Representação simbólica Algum A éB 3x\(A(x) a B(x) Leitura Existe um elemento x tal que x peitence a A e também pertence a B Os elementos comuns aos dois conjuntos estão representados pela parte sombreada. então não pertence a B. e vice-versa. Diagrama deVenn "Algum A NÁO é B" Algum A não é B . Nenhum m 113 Leitora Qualquer que seja x. pertence necessariamente também a B Algum A é B (ou: pelo menos um A é B) —existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B. se um elemento pertence a A. Nenhum A éB —não existe nenhum elemento comum aos conjuntos A e B. então não pertence a B.existe pelo menos um elemento que pertence a A. . isto é. e vice-versa. Algum. na qual a tabela abaixo foi apresentada: . a atenção está sobre o(s) elemento(s) de A que não são B (enquanto que. Vamos estudar caso a caso. a atenção estava sobre os que eram B. Proposição categórica Representação simbólica Algum A não é B 3x| A(x) a -\B(x) 4. ou seja. foi apresentada uma questão sobre esse assunto. Leitura Existe um elemento x tal que x pertence a A e não pertence a B fcSegaçoess Um Outro Ponto importante E muito comum encontrarmos em provas de concursos coisas como “Dizer que não é verdade que todos os atores são charmosos é logicamente equivalente a (. no “Algum A é B”..114 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Proposição categórica Representação simbólica Nenhuma A é B ^ x \A(x) a B ( x) Leitura Não existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence aB Diagrama de Venn "Algum A NÁO éB" Perceba-se que. Em uma prova de um concurso do Senado Federal. ou seja.)” Bem. náo é mesmo? Assim.. na intercessão). negar que “todos os atores são charmosos” implica afirmar alguma coisa que prove que isso não é verdade. dizer que não é verdade é a mesma coisa que “negar”. a negação para todo.3. nesta sentença. algum e nenhum. dizendo “Nenhum ator é charmoso”. Concorda? Desta forma. porque eu conheço um ator que não ê charmoso”. Algum A não éB 3x| A(x) a —\B(x) Existe um elemento x tal que x pertence a A e não pertence a B. precisamos apenas mostrar que conhecemos pelo menos um ator charmoso. em outras palavras. Nenhum m 115 Proposição categórica Representação simbólica Todo A é B Vx(A(x)-±B(x)) Qualquer que seja x. negar “Todo A é B” é a mesma coisa que falar "pelo menos um A não é B” ou. sua negação implica simplesmente encontrar pelo menos um A que não seja B”. mas que somente que algum ator não seja charmoso. isso não é verdade.2.Capítulo 4 — Silogismos: Todo. pertence também (necessariamente a B) Algum A é B 3x\(A(x) a B(x) Existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence a B. dizendo “todo ator é charmoso”. Isso também não está logicamente correto. Note-se. pois. bastaria afirmarmos que “algum ator é charmoso”. Negação de “ nenhum” Da mesma forma. se alguém afirma que “Nenhum ator é charmoso” e queremos negar essasentença. . que nossa tendência natural é negar “Todo ator é charmoso”. porque. ainda consideramos que os conjuntos podem ser uma forma melhor de visualizar essas situações e. ou seja. se ele pertence a A. ainda. Algum. Nenhum A é B fe\A (x) a B(x) Náo existe um elemento x que pertença a A e também pertença a B. 4. quando alguma afirmação é feita sobre "Todo A é B”.3. 4. mas apenas que “pelo menos um ator seja charmoso”. Esta negação traz o mesmo tipo de provocação que a anterior: temos o ímpeto de negar “nenhum ator é charmoso”. para que a primeira proposição seja fàlsa. bastaria você dizer “olha aqui.3. náo é necessário que todos o sejam. não é necessário que nenhum ator seja charmoso. Mas esta não é a negação correta. Negação de “iodo” Se alguém lhe dissesse que “todos os atores são charmosos” e você quisesse negar essa afirmação. aqui. por isso. Leitura Mesmo com base nas definições formais apresentadas acima. estaremos trabalhando com eles sempre que possível. “algum A não é B”.1. para que não seja verdade que “nenhum ator é charmoso”. ■. se a primeira proposição fosse “Algum ator não é charmoso”./ :• :chármoso ■■. .4. De forma análoga.'-:| f ^ fPelo. se não for filósofo.■■’"> .jmenos. c) todo artista é responsável. ■ 4. Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Negação de “algum” Nesta última situação.charmoso. você precisaria afirmar que “nenhum ator é charmoso”.116 e 4.•■■■. ainda.3. ou é trabalhador ou é poeta.■. . d) algum filósofo é poeta. imagine que você escute a sentença “Algum ator é charmoso”. com “Nenhum ator não é charmoso”. :^^^tgfcLr^fôjijââcÍ^ftfe Todo A éB ^^^íõTme&s. Todo artista. Ora.!■'.-. b) todo responsável é filósofo ou poeta. Exercícios Resolvidos Envolvendo Silogismos 1.-. todo trabalhador é responsável.■ _v ífenhúm A éB *>. Em uma comunidade. não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. e) Algum trabalhador é filósofo. já que a primeira sentença simplesmente afirmou que “algum é”. todo trabalhador é responsável.iüh^ :^^-im^não.- 'I N ^ i n S o r c M êMSSÍSMSI .éi3 .3.. Portanto. . Resolução: Temos aqui as seguintes proposições: 1.'■. Exemplos: Proposição -.-jqf :Sâl^ Sgu m ^ M ráSSy| :%^0^úxxüúsóitove^^0 '!!§ |f ||§ f ^ fl^ L ^ e n o s •j . O que seria necessário para negá-ia? Aqui.". necessariamente: a) todo responsável é artista.. você negaria com “Todo ator é charmoso” ou. tem-se que. ou trabalhador ou poeta. ou é trabalhador ou é poeta. podemos perceber que a área hachurada contém necessariamente todos os poetas e trabalhadores que não são filósofos. Artista Todos da área hachurada são trabalhadores ou poetas Não há filósofo e não há poeta que não seja responsável.Capítulo 4 — Silogismos: Todo.” Dedução 2: se um artista não é filósofo. equivalente a “Algum artista não ê filósofo. A representação seria: . se náo for filósofo. responsável) ou é poeta. todo artista. poeta ou trabalhador. então ele é trabalhador (portanto. Algum. Dedução 4: todo artista que não for filósofo é trabalhador. Dedução 3: todo artista ou é filósofo. Nenhum & 117 2. Dedução 1: nem todo artista é filósofo. Como todo artista é filósofo. Esta sentença tem o mesmo significado de “todo filósofo é responsável e todo poeta é responsável”. b) pelo menos uma amiga de Beto é amiga de Bruna. Todas as amigas de Bia são também amigas de Bela. Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum.: C 2. ‘‘Todo filósofo é responsável.” Resp. amigas de Berenice. Todas as amigas de Beto são. ou poetas ou trabalhadores. c) todas as amigas de Bela são amigas de Beto. e algumas amigas de Bela são também amigas de Bruna. mas nenhuma amiga de Berenice é amiga de Bruna.” “Todo poeta é responsável/’ “Todo trabalhador é responsável. Como nenhuma amiga de Bela é amiga de Berenice. também. então: a) pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna. e) nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto. Resolução: "^•-Nestç tipo t f è ! p r o b l ^ ‘réirtrMênirp riHhs ç4£Íarinrià mif»n ^ l^ rro <ie . d) todas as amigas de Bela são amigas de Bia.118 s Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Conclusões: “Todos os artistas ou sáo filósofos. e como Bela.” “Todo artista é responsável. montando os respectivos diagramas de Venn: Regra 1: todas as amigas de Beto são amigas de Berenice: Regra 2: nenhuma amiga de Berenice é amiga de Bruna (aqui. podemos complementar o diagrama. Algum. inserindo Beto como subconjunto de Berenice: Regra 3: todas as amigas de Bia são amigas de Bela: Regra 4: algumas amigas de Bela são amigas de Bruna: Bruna . Nenhum s 119 Passo 1: Escrever uma a uma as frases do enunciado. como os conjuntos são disjuntos.Capítulo 4 — Silogismos: Todo. seguindo-se as seguintes etapas: (1) escolhe-se um dos conjuntos e cria-se uma linha para ele. (2) cada um dos outros é colocado como coluna.120 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Regra 5: nenhuma amiga de Bela é amiga de Berenice: Regra 6: Bela. descrevendo os relacionamentos entre todos os conjuntos. menos a primeira. são repetidas çQmo linhas (abaixo da primeira linha): Beto Berenice Bruna Bela Bruna Bia r. Isto segue a mesma lógica da montagem das tabelas dos problemas de correlacionamento e deve ser feito. Passo 2: : Identificar os conjuntos participantes do problema: Berenice Beto Bela Bia Bruna £ Passo 3: Montar a tabela.■' Berenice Passo 4: n Observando os diagramas montados no primeiro passo. e (3) todas as colunas. . Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum (esta frase não deve ser considerada por enquanto). identificar os relaciona mentos entre cada um dos conjuntos. mantenha em mente que. prestando atenção apenas aos conjuntos em questão. ii. Beto Berenice Bia Bruna Bela Nenhum Nenhum Todo Algum Bruna Nenhum Nenhum . no caso dos relacionamentos do tipo “Todo”. 5. em alguns problemas você. Portanto. na identificação de cada um dos relacionamentos. Marque uma interrogação na tabela e conserve a dúvida até que seja possível saná-la. Isso significa que o relacionamento poderia ser “Todo”. Exemplo: o enunciado diz: “toda amiga de Bia é amiga de Bela”. iv. quando o relacionamento não tiver sido explicitamente determinado pelo enunciado. 3.Capítulo 4 — $ílogismos: Todo. nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto (verdadeiro. deve ser desenhada uma seta na direção de Bela. Já poderíamos marcar esta alternativa como correta. nem vai chegar a decidir sobre este relacionamento e a resposta será dada sem essa parte. 2. 4. todas as amigas de Bela são amigas de Beto (falso. pelo menos uma amigade Beto éamiga de Bruna (falso. mesmo antes da análise que vamos fazer a seguir com relação à nossa dúvida —Bia e Bruna). todas as amigas de Bela são amigas de Bia (falso e veja a importância da seta marcada na tabela. Algum. observe o diagrama. porquea tabela demonstra que o relacionamento entre estes dois conjuntos é do tipo “Nenhum”). pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna (é exatamente aqui que reside nossa dúvida. simplesmente olhando para a tabela acima. Esta alternativa tentou induzir você ao erro de inverter a sentença de “Todo”). nada poderíamos concluir sobre esse item). trata-se de uma dúvida. observe que a tabela deverá indicar a direção da leitura do relacionamento. já é possível eliminar algumas alternativas: 1. o que não significa necessariamente que “toda amiga de Bela é amiga de Bia”. . Neste caso. > Bia Nenhum Nenhum Berenice Todo Dica: neste ponto. como mostrado na tabela abaixo. “Algum” ou "Nenhum” e você não pode escolher um deles a seu critério. iii. porque a tabela demonstra que o relacionamento entre estes dois conjuntos é do tipo “Nenhum”). Nenhum e 121 Observações: i. temos que considerar as três possibilidades existentes: todo. podemos simplesmente acrescentá-lo (com o do Beto dentro dele) à intercessâo acima. o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo "Todo” Se o relacionamento de Bia e Bruna for do tipo “Todo” e como Bia tem que estar dentro de Bela. seria: “Toda Bia é Bruna”. algum e nenhum): I a possibilidade. precisamos analisar as três possibilidades (todo. O ponto de partida é começar a montar o diagrama global e isso é sempre feito. algum ou nenhum. como não sabemos o relacionamento dela com a Bruna. Como náo sabemos o relacionamento entre estes dois conjuntos. resultando em: . observando-se as regras previamente enunciadas: Ficam faltando os conjuntos Berenice. Beto e Bia.122 is Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Passo 5: Análise da dúvida sobre Bia e Bruna. mas. Como o Berenice não encosta em Bela (frase “5”) e náo encosta em Bruna (frase “2”). Depois disso. os outros conjuntos vão sendo acrescentados ao diagrama global. ficando: Ainda temos que acrescentar a Bia. iniciando-se pelos conjuntos que se relacionam com “Algum”. se o relacionamento de Bia e Bruna for do tipo “Nenhum”. Algum. Nenhum m 123 2a possibilidade: o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo “Algum” Se o relacionamento de Bia e Bruna for do tipo “Algum”.Capítulo 4 — Silogismos: Todo. teremos: Berenice . teremos: 3a possibilidade: o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo “Nenhum” Por fim. (Já que pela única possibilidade que obedece todas as regras do enunciado.124 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Agora é que você vai usar a frase 6: “Bela. você deve avaliar se a conclusão pode ou não ser tirada com base nas premissas apresentadas. que diz “pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna”. Observe que.quando o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo “Nenhum” é que isso não tem como acontecer. nos dois primeiros desenhos. o relacionamento entre Bia e Bruna é “nenhum”.) O O ' 3. Por isso. Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum”. —A amiga de Bia a que nos referimos está representada nos diagramas pelo elemento "x". “nenhuma amiga de Bia é também amiga de Bruna”. ou seja. é possível encontrar uma amiga de Bia que também seja amiga de Bela e de Bruna (o que é explicitamente proibido pela frase acima). conforme mostrado a seguir. Apenas no último caso . é com certeza falsa. E um dos casos em que você se fará valer da tabela-verdade. julgue a conclusão apresentada com base nas premissas: a) Premissa 1: Premissa 2: —iq Conclusão: p Premissa 1: P ^ (J b) Premissa 2: Conclusão: P Resolução: Neste tipo de problema. Para cada um dos itens abaiso. a) Premissa 1: pvq Premissa 2: —i£f Conclusão: P . a alternativa (a). ..Uv ... podemos perceber que só restou a linha em que p é verdadeira e q é falsa. v . é verdadeira. levando a p v q também F: P q V V V V F V V V F Pv q -. partindo do pressuposto de que ela é verdadeira.. Como o enunciado apresenta como conclusão.... ou seja.. x r. p realmente ocorre.. 1' O segundo passo é usar a premissa 2. na única alternativa que restou... Logo. ... r .. então q é falsa. onde p e q são F. Com isso. você deve considerar quep v q é verdadeira... V p pv q q . v V ... afirmamos que a conclusão é correta.r.•s...Capítulo 4 — Silogismos: Todo.... ou seja. V V .. v F . Se é verdadeira. a última linha.. na tabela-verdade acima. podemos eliminar..r ... Isso nos leva a eliminar as linhas onde isso não acontece: p . Nenhum b 125 O primeiro passó é construir a tabela-verdade para a premissa 1: p q pvq V V F F V F V F V V V F Quando o enunciado diz quep v q é uma premissa. b) Premissa 1: p~*q Premissa 2: Conclusão: p ...... a letra a) é verdadeira... já que.1*--. ■■v. Algum.. Isso nos leva a eliminar as linhas onde isso não acontece: P V q V p -» q V F F F V V F F V V Com isso.: a) V b) F . na única alternativa. então q é falsa.126 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha O primeiro passo é construir a tabela-verdade para a premissa X: p~>q: p V q V P"M V V F F F V V F F V Quando o enunciado diz que p -» q ê uma premissa. podemos perceber que só restou a linha em que p e q sáo falsas.> q também F: p V v q p —» q V V F V V F F V i O segundo passo ê usar a premissa 2. ele está afirmando que/> —> q é verdadeira. a linha onde p é verdadeira e q é falsa. Se é verdadeira. a letra b) é falsa. Logo. p é falsa. afirmamos que a conclusão é incorreta. Como o enunciado apresenta como conclusão. levando a p . já que. ou seja. partindo do pressuposto de que ela é verdadeira. podemos eliminar. na tabela-verdade acima. Resp. Vamos simplificar os nomes dos conjuntos: Alta e Magra Loira Azuis Crespos Alegre . Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Nenhuma menina tem cabelos crespos. Por quê? Porque em nenhum momento o enunciado faz citações isoladas a ‘Altas” ou a “Magras”. Passo 1: extrair as sentenças do enunciado: Todas as meninas loiras são também altas e magras. Passo 2: identificar os conjuntos que fazem parte do problema: Aqui há uma observação importante: apesar de “Altas” e "Magras” parecerem dois conjuntos distintos. olhos azuis e seja alegre. altas e magras. mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Em um grupo de amigas. e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. todas as meninas loiras são. Use-a apenas como reforço para assimilação do método. b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. você deve considerar como um conjunto único "Altas e Magras”. Nenhum s 127 4. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos. Resolução: Comentário: Esta questão tem exatamente a mesma estrutura da questão 2 (a ESAF constumava fazer isso!!!). Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos. Algum. e) nenhuma menina alegre é loira. c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras. Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis.Capítulo 4 — Silogismos: Todo. também. olhos azuis e é alegre. d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres. então: a) pelo menos uma menina alegre cem olhos azuis. e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos. Aita e Magra Regra 2: Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Esta sentença não pode ser representada ainda. Crespos Aita e Magra Regra 6: Nenhuma menina tem cabelos crespos. Regra 4: Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. olhos azuis e é alegre. Crespos Azuis Regra 5: Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. mas será importante para que possamos chegar à resposta do problema. . Alta e Magra Azuis Regra 3: Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos.128 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Passo 3: representar as sentenças diagramas de conjuntos: Regra 1: Todas as meninas loiras são também altas e magras. podemos representar tudo isso de uma vez: Afta e Magra Azuis Com isso. Isso porque dizer “Toda Loira tem olhos azuis” não significa afirmar que “Toda menina de olhos azuis é loira”. Veja um exemplo: Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Algumas células ficaram vazias e poderão ser preenchidas no próximo passo. Passo 5: melhorar a representação dos conjuntos: (identificar informações “náo obvias”) Isso é iniciado com base nas sentenças do tipo “NENHUM”. 2.Capítulo 4 — Silogismos: Todo. Cada célula desta tabela é o cruzamento entre dois conjuntos e seu valor é definido com base nos diagramas acima: Alta e Magra Loira Azuis Crespos Alegre Todo T Alegre Todo t Crespos Nenhum Azuis Nenhum Algum Observações importantes: 1. podemos concluir que o relacionamento entre “Loira” e “Azuis” também é do tipo NENHUM (os conjuntos não se encostam). Algum. Os relacionamentos do tipo “Todo” têm direção e ela deve ser marcada com uma setinha no sentido em que se lê a sentença. Nenhum 0 129 Passo 4: construir uma tabela que represente os relacionamentos entre os conjuntos identificados (veja que aqui as tabelas sáo construídas usando-se a mesma técnica apresentada no Capítulo 2). Alta e Magra Azuis Como sabemos que dentro de “Alta e Magra” está o conjunto das loiras. . 130 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Vamos completar nossa tabela de relacionamentos: Alta e Magra Azuis Loira Todo f Nenhum Alegre Nenhum ??? Crespos Nenhum Algum Azuis Nenhum Crespos Alegre Todo f O mesmo pode ser feito com: Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. podemos representar tudo isso de uma vez: Alta e Magra Com isso. c) O relacionamento entre “Crespos” e “Loira” é do tipo NENHUM. Vamos completar nossa tabela de relacionamentos: Alta e Magra Azuis Crespos Alegre Loira Todo t Nenhum Nenhum Nenhum Alegre Nenhum ??? Todo T Crespos Nenhum Algum Azuis Nenhum . b) O relacionamento entre “Alegre” e “Alta e Magra é do tipo NENHUM. podemos concluir que: a) O relacionamento entre “Loira” e “Alegre” é do tipo NENHUM. Crespos Aíta e Magra Como sabemos que dentro de “Crespos” está o conjunto das “Alegres” e que dentro de “Alta e Magra” está o conjunto das “Loiras”. que é entre “Alegre” e “Azuis”. pelo menos um): Vejamos como isso funcionaria no nosso problema: Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis* . c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras. por exemplo) e o único item a ser avaliado fosse a letra (a)? . d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres. e^Ó. ou sejai olhe para a sentença que contém a expressão “Algum” (ou alguns. Alternativa (b): olhe para a célula que cruza “Loira” com “Azuis”* O relacionamento entre esses dois conjuntos é do tipo “NENHUM” e por isso é impossível. b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis. Nenhum o 131 Observe que só um dos relacionamentos continua indefinido. Alternativa (a): não podemos responder porque não sabemos o relacionamento entre “Alegre” e “Azuis”. O relacionamento entre esses dois conjuntos é realmente do tipo “NENHUM” e por isso essa alternativa está correta. Mas.sé^in te: comece peló conjunto que tem interseção. Neste ponto é importantíssimo que você avalie as alternativas.Capítulo 4 — Silogismos: Todo. porque pode ser que já seja possível responder o problema: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. Alternativa (c): olhe para a célula que cruza “Crespos” com “Loira”. Alternativa (e): olhe para a célula que cruza “Alegre” com “Loira”.:P^ -inpxitar üm3agrama tóm todos òs conjuntos. Algum. e se o problema fosse do tipo “CERTO” ou “ERRADO” (como no CESPE. e) nenhuma menina alegre é loira. O relacionamento entre esses dois conjuntos é do tipo “NENHUM” e por isso é impossível. O objetivo da alternativa é justamente induzir você ao erro de “não dar direção ao relacionamento do tipo TODO”. Alternativa (d): olhe para a célula que cruza “Crespos” com “Alegre”. O problema diz que “Toda menina alegre tem cabelos crespos” e não o contrário (alternativa eliminada). algumas. então. dentro de “Aita e Magra” temos o “Loira” e o desenho poderia ser: Dos cinco conjuntos. Vamos fazer um desenho para cada uma dessas alternativas: Se o relacionamento entre “Azuis” e “Alegre” fosse ‘TODO”. Mas como ele também tem que estar dentro de “Crespos”) ele teria que estar totalmente contido na interseção dos dois conjuntos: Crespos Azuis Toda menina alegre tem olhos azuis. Como não sabemos o tipo de relacionamento entre “Alegre” e “Azuis”. só fàlta inserirmos “Alegre” no desenho que estamos montando. . Falta. precisamos analisar o relacionamento deste conjunto com os outros dois. Veja um fragmento da tabela de relacionamentos: Alta e Magra Crespos Nenhum Azuis Nenhum Como o relacionamento de “Alta e Magra”. ALGUM e NENHUM. quanto com “Azuis” é do tipo “NENHUM”. Para isso.132 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Temos 3 “grandes conjuntos” no nosso contexto: “Crespos”. “Alta e Magra” e “Azuis”. tanto com “Crespos”. representarmos “Alta e Magra”. o conjunto das alegres estaria dentro do conjunto das “Azuis”. precisamos considerar as três hipóteses possíveis: TODO. podemos concluir que “Aita e Magra” não encosta em nenhum dos dois. Além disso. Veja abaixo: Resp: E . olhos azuis e é alegre” a única alternativa é a última. ou seja. Alta e Magra Se o relacionamento entre “Azuis” e “Alegre” fosse “NENHUM”. o conjunto das alegres teria apenas uma interseção com “Azuis” (sem estar totalmente dentro dele): Crespos Azuis AJguma menina alegre tem cihos azuis.Capítulo 4 — Silogismos: Todo. o relacionamento entre “Azuis” e "Alegre” é do tipo "NENHUM”. Só no último caso é que seria possível garantir que “nenhuma menina tem cabelos crespos. o conjunto das alegres não poderia encostar em “Azuis” (mas continuaria tendo que estar dentro de “Crespos”)* Crespos Azuis Nenhuma menina alegre tem oihos azuis. olhos azuis e é alegre”. Nenhum a 133 Se o relacionamento entre “Azuis” e “Alegre” fosse “ALGUM”. Isso pode ser percebido porque nos dois primeiros desenhos (‘TODO” e “ALGUM”) é possível marcar um “X” dentro do conjunto das “Alegres” que também esteja simultaneamente dentro de “Crespos” e de "Azuis”. o que contrariaria essa sentença. Alta e Magra Chegando à conclusão final: Como o problema diz que “Nenhuma menina tem cabelos crespos. Algum. mas não foram ao casamento de Hélio. d) alguns foramà solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhumfoi ao casamento de Hélio. eqüivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) b) c) d) e) pelo menos um economista não é médico. Dizer que a afirmação “todos os economistas sáo médicos” é falsa. 2. algum escritor é músico. b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio. Na formatura de Hélcio.134 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 3 & x e rcíd o s e n v o lv e n d o s ilo g is m o s 1. algummúsico é escritor. . 3. então. do posto de vista lógico. então é necessariamente verdadeiro que: a) algumA não éG. c) nenhumA é G. dos amigos de Héldo: a) todos foramà solenidade de colação de grau de Héldo e alguns náo foramao casamento de Hélio. antes. também é necessariamente verdade quet a) b) c) d) e) nenhum músico é escritor. 4. no casamento de Hélio. c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio. algum escritor não é músico. todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram. Se é verdade que “Alguns escritores são poetas** e que “Nenhum músico é poeta”. e) nenhum GéA. b) algum A éG. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio. nenhum economista é médico. Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”. conclui-se que. e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhumfoi ao casamento de Hélio. pelo menos um médico não é economista. d) algum G éA. nenhum escritor é músico. todos os não médicos são não economistas. nenhum médico é economista. . professores de piano.Capítulo 4 — Silogismos: Todo>Algum. também. Todos os professores de canto são. violão e teatro não têm nenhum professor em comum. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança. e alguns professores de piano são. dança. e como as aulas de piano. todos os professores de piano são professores de canto. professores de teatro. teatro. Uma escola de arte oferece aulas de canto. também. mas nenhum professor de dança ê professor de teatro. violão e piano. então: a) b) c) d) e) nenhumprofessor de violão é professor de canto. todos os professores de piano são professores de violão. pelo menos um professor de violáo é professor de teatro. professores de dança. Nenhum a 135 5. também. pelo menos um professor de canto é professor de teatro. Todos os professores de violão são. A 3. A .B 2. D 4. A 5.136 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Gabarito de exercícios de silogismos 1. diminuirão a quanti dade de hipóteses a serem criadas. A essas respostas chamaremos respostas das pessoas envolvidas. Nessa análise. só se as percebermos quase de imediato. outras sempre mentirem. às vezes.. procuraremos manter uma forma mais ou menos padronizada de resolução. É o que veremos em alguns dos exercícios apresentados.G apítulo r' Vf ''"1 '■ 5 _. ________ H “Encontrando o Culpado” “Umajornada ele mil milhas começa com um único passo. .. para que saibamos exatamente o que vamos procurar. falarem a verdade e. partiremos de hipóteses. das respostas das pessoas envolvidas e da análise do enunciado. qual ou quais pessoas geraram tal ou qual situação. às vezes. 3) Mas. também. no mínimo. Dê agora oprimeiro e sinta-se caminhando. são apresentadas alternativas que nos permitem conclusões preliminares. Primeiro.... A essas informações chamaremos regras do enunciado. porque. Mas algumas dicas poderão facilitar essa resolução: 1) É aconselhável ler com atenção as alternativas de solução apresentadas para o problema. Há inúmeros modos de resolvermos problemas desse tipo. Essa forma constará de fazermos um resumo das regras do enunciado. segundo. culpada ou inocente etc. por análise do enunciado. A questão apresentada é deduzirmos. supondo que cada pessoa envolvida seja verdadeira ou mentirosa.. através de inferências lógicas. Nos problemas resolvidos. às vezes. 2) Algumas vezes até chegamos à resposta do problema por meio dessas conclu sões preliminares. Apresenta.. e outras. e principalmente. é muito importante que não gastemos muito tempo procurando essas alternativas impossíveis. perguntas feitas a essas pesspas e as respostas respectivas. ” O enunciado apresenta Informações sobre algumas pessoas sempre falarem a verdade... que. mentirem. organizando os raciocínios para facilitar a aprendizagem. escolheremos para nossas hipóteses ser cada pessoa mentirosa. sua resposta também será “Não”. e trabalharemos com sua negação. ou com qualquer dedução anterior. isto é. a) Pergunta-se a ela: “Seus olhos são pretos?” Ela responde numa linguagem desconhecida: “Çapeng”. que podem exigir um trabalho mais demorado. Podemos concluir que “Crrr” significa “Sim”. b) Pergunta-se a alguém: “Você é verdadeiro?”.138 e Raciocínio Lógico— Enrique Rocha 4) De preferência. durante a análise de uma hipótese. 9) Alguns problemas apresentam uma pergunta a uma pessoa envolvida que não sabemos se diz a verdade ou se mente. se ele for mentiroso. sua resposta será também: “Sim”. dizem a verdade e às vezes. podemos tirar conclusões certas sobre qual resposta foi dada. às vezes. evitando as proposições compostas. impossível ver a cor de seus olhos. Exemplo 1: a) Pergunta-se a alguém: “Você é mentiroso?”. escolhamos em nossas hipóteses as pessoas que sempre dizem a verdade ou sempre dizem a mentira. 7) Muitos problemas poderão ser facilitados se utilizarmos tabelas auxiliares que iremos preenchendo com as nossas conclusões parciais. a hipótese é falsa. se ela tiver olhos azuis (mente). 8) Se. se ele for mentiroso. 5) Como segunda preferência. é verdadeira. e esse alguém responde: “Crrrr”. devemos dar preferência a criar hipóteses por proposições simples. sua resposta será “Não”. que. . porque: se ele for verdadeiro. com certeza. 6) Também. Se ela tiver olhos pretos (fala a verdade). Entretanto. Exemplo 2: Sabemos que moças de olhos pretos sempre dizem a verdade e moças de olhos azuis sempre mentem. Por exemplo: se quatro pessoas faiam a verdade e uma pessoa mente. sua resposta será “Sim”. sua resposta também será “Sim”. e essa pessoa dá uma resposta cujo significado não conhecemos. Podemos concluir que “Brrr” significa “Não”. mentem. porque: se ele for verdadeiro. E concluímos que “Çapeng” significa “Sim”. escolhamos para nossas hipóteses as situações de exceção. for gerada uma proposição incoerente (incompatível) com qualquer regra do enunciado. apesar do acima. evitando começar pelas pessoas que. e esse alguém responde: “BrrrrM. Uma moça está toda coberta por um pano. sua resposta também será “Sim”. que ocorrem menos frequentemente. muito sábio. e ele disse a verdade. Resolução: Representaremos Abelim. o primeiro a falar. falou tão baixo que o rei —que era um pouco surdo . os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" k 139 b) Pergunta-se a ela: “Seus olhos são azuis?” Ela responde numa linguagem desconhecida: "Tiçung”. b) Bebelim. d) Dedelim. Resumo das regras enunciadas: 1 só culpado -> verdade 4 inocentes —> mentira . C. O velho rei. Os outros quatro acusados disseram: Bebeíim: “Cebelim é inocente” . (ESAF-AFC-20Ô2) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei. Ebelim: “Abelim é culpado” . e) Ebelim. Dedelim: “Ebelim é culpado” . c) Cebelim. O mago Merlim. B. Se ela tiver olhos pretos (fala a verdade). Abelim. 5. Cebelim: “Dedelim é inocente” . E concluímos que “Tiçung” significa "Não”. sua resposta será “Náo”. Se ela tiver olhos azuis (mente) sua resposta também será “Não”. Cebelim. que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados. Dedelim e Ebelim por suas iniciais respectivas: A. Bebelim. D e E. logo concluiu que o culpado era: a) Abelim. acusados de haver roubado laranjas do pomar real. embora um pouco surdo.1.não ouviu o que ele disse. disse então ao rei: “Majestade» apenas um dos cinco acusados é culpado. E x e rc íc io s resoivScScs sofore ^esicositrando o cwBjpacii©” 1. Como já sabemos que.140 es Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Resumo do que foi dito: A: ? (não foi possível ouvir o que ele falou) B: C é inocente C: D é inocente D: E é culpado E: A é culpado Analisando as possibilidades: B culpado (falou verdade) —> C inocente (mentiu) -—> D é culpado —> Houve dois culpados B e 0 (incoerência). Um dos suspeitos estava de camisa azul. qual entre eles era o culpado. “Disse o de camisa branca.* A inocente. ele é o culpado” . por isso. (ESAF-TCU-2002) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. “Eu sou o culpado”. um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. Nada podemos concluir porque não sabemos o que foi dito por A). E culpado (falou verdade) . e já vimos que isso é falso. também. com certeza. B inocente (mentiu) e C culpado. COM CERTEZA. Esta é a opção correta! D culpado (falou verdade) -» E inocente (mentiu) —» A inocente (mentiu. B culpado. Incoerência). O velho e sábio professor perguntou. outro. de camisa preta. chegamos à solução final do problema: Cebelim é o culpado pelo roubo das laranjas. mente. Nesse caso. “Disse o de camisa azul. que C é o culpado e. Sabe-se. que B é inocente. Não houve incoerência. às vezes. a cada um dos suspeitos. de camisa branca e o outro.* A é culpado (dois culpados. Com base no exposto. dos suspeitos que são inocentes). que dos outros dois (isto é.: C 2. apontando para o de camisa azul: “Sim. podemos concluir. podemos concluir. Resp. C culpado (falou verdade) —> D inocente (mentiu) E inocente (mentiu) . Com base nessa incoerência. . Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos ê culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e. Hipótese: Azul culpado —> Branca e Preta são inocentes. mente. • • • • um único culpado que. Portanto o culpado éAzul. . sorriu e concluiu corretamente que: a) b) c) d) e) o culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. o azul é o culpado. o outro inocente sempre mente. Branca: Sim. um inocente sempre diz a verdade. às vezes. por fim. Logo. Preta: Eu sou o culpado. dois inocentes. ~ Azul é culpado e disse a verdade (eu sou o culpado). Sem incoerência. . às vezes. o culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. Resumo das respostas dos suspeitos: Azul: Eu sou o culpado. diz a verdade. então. Incoerência: dois inocentes mentirosos. . criaremos nossas hipóteses em alguém ser culpado.Preta ó inocente e mente (disse que ele é o culpado). o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha.Azul é inocente e mente (disse que ele é o culpado). . . o culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. Análise: Como a quantidade de culpados (1) é menor que a quantidade de inocentes (2).Preta è inocente e mente (eu sou o culpado). Resp. Branca diz a verdade e Preta mente. . Resolução: Regras do enunciado.: A Apenas para confirmarmos a nossa conclusão e verificarmos a validade do método. analisemos as outras hipóteses. o culpado sou eu”. o culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade. O velho e sábio professor de Lógica.Branca é culpado e mentiu (disse que o azul é o culpado). Branca é inocente.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" ss 141 “Disse. o culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.Branca é inocente e diz a verdade (azul é o culpado). Hipótese: Branca é culpado —> Azul e Preta são inocentes. Resumo das inscrições nas portas: Representaremos as inscrições nas portas por II. então. a linda princesa. não entres. um valioso tesouro. a linda princesa. pois atrás desta porta não há dragão algum. a linda princesa. S2. II: Princesa em S2 12: Tesouro em S2 E Dragão em S3 13: Dragão não na S3 Conclusões preliminares. o feroz dragão. em outra. pois atrás dela encontra-se um feroz dragão. encontra-se uma linda princesa. Percival conclui. encontram-se. Logo.” Porta 2: “Se aqui entrares. 3. mas às vezes mente”. Resolução: Regras do enunciado: Uma inscrição é falsa e duas são verdadeiras. Em uma das salas.2 e 3.t Porque a alternativa “e” está incorreta? Porque o fato de o camisa azul (culpado) rer falado a verdade nesse caso não nos permite afirmar que ele sempre fala a verdade. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa. a linda princesa. 12. Obs. Então uma é verdadeira e a outra é falsa. o feroz dragão. S3. o valioso tesouro. mas cuidado: não entres na porta 3.142 « Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Hipótese: Preta é culpado —> Azul e Branca são inocentes.Preta é culpado e disse a verdade (eu sou o culpado) ~ Azul é inocente e mente (disse que ele é o culpado) .*’ Porta 3: “Podes entrar sem medo. (ESAF-MF-2000) Percival encontra-se à frente de três portas» numeradas de 1 a 3» cada uma das quais conduz a uma sala diferente. corretamente que. o valioso tesouro. ela está atrás da porta 2. que geraram uma forma de solução rápida: 12 e 13 se contradizem na informação sobre o dragão. um feroz dragão. .” Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras). Preta é inocente. o feroz dragão.Branca é inocente e mente (disse que o azul é o culpado) Incoerência: dois inocentes mentirosos. o valioso tesouro. encontrarás um valioso tesouro. . o valioso tesouro. atrás das portas 1. o valioso tesouro. na outra. finalmente. o feroz dragão.13. já que o enunciado nos diz que “o culpado às vezes fala a verdade. respectivamente: a) b) c) d) e) o feroz dragão. e as salas por Sl. a linda princesa. Janete diz a verdade ou mente (não sabemos). (ESAF/AFTN/96) . II é verdadeira. Tânia e Angélica.Capítulo 5 — " Encontrando o Culpado" z 143 Se 12 for a verdadeira (e 13 a falsa). respectivamente: a) Janete. Resolução: Regras do enunciado: Tânia sempre fala a verdade. Resp. o problema será resolvido conforme abaixo. Princesa na sala 2. E 4. haveria duas falsas (incoerência). estão sentadas lado a lado em um teatro. entáo. c) Angélica. Resp. Hipótese: 11 falsa —> 12 e 13 verdadeiras. . então II é falsa (por serem incompatíveis as informações quanto à porta S2). Janete e Angélica.Três amigas.e o autor insiste em que não se gaste muito tempo nessa procura-. Angélica e Tânia. a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. b) Janete. a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são.. -12 verdadeira -» Tesouro em S2 E dragão em S3. Dragão na sala 1. -13 verdadeira -» Dragáo não em S3Incoerência: dragão em S3 e dragão não em S3. 13 é verdadeira e II é verdadeira. Janete e Tânia. Portanto. Finalmente. —13 verdadeira —> Dragão não em $3 —» Dragáo em SI —5»Tesouro em S3. Certeza: II verdadeira (Princesa em S2) —» ou 12 verdadeira ou II verdadeira. E Para o caso de náo ter sido percebida a solução rápida . d) Angélica. Tânia. Angélica nunca feia a verdade. Tania sempre fala a verdadej Janete às vezes fala a verdade. Tesouro na sala 3.. E. criaremos nossas hipóteses para cada inscrição ser falsa. Angélica e Janete. A que está sentada à esquerda. Tânia e Janete. Angélica sempre mente. Análise: Como a quantidade de inscrições falsas (1) é menor que a quantidade de inscrições verdadeiras. 12 é falsa. A que está sentada à esquerda diz: “Tania é quem está sentada no meio” . A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Portanto. —12 verdadeira —» Tesouro em S2 (incoerência) 12 é falsa. e) Tânia. e se você é veraz ele também o é)í P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro? P 3 :0 outro guarda é mentiroso? P4: Você é veraz? Então. ambos podem dizer a verdade. Cada um dos guardas sempre diz a verdade òu sempre mente. seja qual for a natureza dos guardas. Cosme guarda uma das portas» enquanto Damião guarda a outra. se você é mentiroso ele também o é. Meio: Eu sou Janete. Logo. Você deve depois desenvolver o raciocínio com as posições possíveis de Angélica. escolhendo-as da seguinte relação: P l: o outro guarda é da mesma natureza que você (isto é. Janete então está na esquerda. se ambos são verazes.144 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Resumo das respostas dos suspeitos: Esquerda: Tania no meio.: B 5. (ESAF-MPU-2004) Você está à frente de duas portas. Uma delas conduz a um tesouro. logicamente suficiente para assegurar. que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro. ambos os guardas podem sempre mentir. Faremos este exercício com as posições possíveis de Tania. você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos guardas. Angélica está no meio. ou um sempre dizer a verdade e o outro sempre mentir. Como Tânia sempre fala a verdade. ou seja. a outra. Janete Angélica Tânia Resp. uma possível seqüência de três perguntas. Hipótese: Tânia na esquerda -» Ela teria mentido porque estaria na esquerda e falado “Tania está no meio” Hipótese: Tânia no meio -> Ela teria mentido porque estaria no meio e dito “eu sou Janete” * Portanto: Tânia na direita. ou se um ê veraz e o outro é mentiroso. para descobrir qual das portas conduz ao tesouro. Direita: Angélica no meio* Análise: Devemos resolver esse problema nas hipóteses das posições possíveis de Tânia (que sempre diz a verdade) ou das posições possíveis de Angélica (que sempre mente). Você náo sabe se ambos são mentirosos. é: . Mas. a uma sala vazia. porque. B e C. PI a Cosme. visando a simplificar a análise: Pl: o outro guarda é igual z você (isto é. P3 e P4 não nos levarão a conclusão nenhuma. Perguntas feitas: Vamos fazer alguma simplificação nas perguntas enunciadas. se você é mentiroso. ele também o é. PI a Damião. PI a Damião. P2 a Damião. . P3 a Cosme. e se você é veraz. Isso elimina as alternativas A. P4 a Cosme. não adianta mantermos o foco da análise sobre se Cosme e/ou Damião são verdadeiros ou falsos.o problema será resolvido conforme abaixo. eíe também 0é)? P2: Você guarda o tesouro? P3: O outro mente? P4: Você fala a verdade? Conclusões preliminares. ou mentir. Para o caso de não ter sido percebida a solução rápida . que geraram diminuição das hipóteses criadas: As perguntas P2. alternarem-se nesses papéis). quanto a isso. P2 a Damião. Resolução: Regras do enunciado: Podem ser feitas três perguntas a qualquer um dos guardas. P2 a Damião. P2 a Cosme. ou. P2 a Cosme. em qualquer ordem. P3 a Damião.Capítulo 5 — a) b) c) d) e) "Encontrando o Culpado" 2 145 P2 a Cosme. qual mente (os dois podem falar a verdade. P3 a Damião. nada se pode garantir. P4 a Cosme. ainda. Não se sabe qual deles fala a verdade. Cosme Damião Cosme Damião V V Sim Sim V M Não Sím M V Sim Não M M Não Não Na tabela acima. P3 a Cosme.e o autor insiste em que não se gaste muito tempo nessa procura . ou seja. às vezes. fala a verdade e. Resolução: Vamos apresentar duas formas de resolução deste problema para que você entenda o tipo de raciocínio envolvido. o segundo disse “Não foi empate” e o terceiro falou “Nós perdemos”. b) “Não foi empate”/ empate. meio-campista às vezes feia a verdade. Pl feita a Cosme nos permitirá saber se Damião diz a verdade ou mente. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram. às vezes mente. c) “Nós perdemos” / o XFC perdeu.Sabe-se que. para as respostas dadas. às vezes» mente. Importante: Destaque-se que a questão deveria ter sido anulada. há um atacante que sempre mente. Cosme responde “Sim” —> Damião fala a verdade Cosme responde “Não” —> Damião mente Portanto. Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Dirigiremos o foco. .14S ?. Z: nós perdemos. d) "Não foi empate” / o XFC perdeu. (EvSAF/AFTN/96) . um zagueiro que sempre fala a verdade e um meiocampista que. Ia forma de resolver: Regras do enunciado: atacante sempre mente. zagueiro sempre fala a verdade. Y: náo foi empate. quem guarda o tesouro. e) “Foi empate” / empate. Na saída do estádio. Resumo das respostas dos jogadores: X: foi empate. mas pôde deduzir o resultado do jogo com certeza. se ele ou o Cosme. dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara» um deles declarou “ Foi empate”. O torcedor reconheceu somente o meio-campista. na equipe do X Futebol Clube (XFC).: D 6. então. respectivamenteí a) “Foi empate”/ o XFC venceu. já que a alternativa (E) também levaria à informação procurada (!!!) Resp. sempre verdade) M V V Atacante tem de ser 1 (nunca verdade. já que não sabemos se quem está respondendo é verdadeiro ou mentiroso. não adianta analisar alguma resposta dele. que geraram uma simplificação no raciocínio: 1. 2S Forma de Resolver: Resolução: Vamos começar essa segunda forma. 3.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" & 147 Conclusões preliminares. descrevendo todas as possibilidades para a veracidade das respostas. Por isso. só analisaremos respostas possíveis dadas pelo atacante (sempre mente) e pelo zagueiro (sempre diz a verdade). Como não sabemos se o meio-campista está falando a verdade ou se está mentindo. Mais uma vez. só mente) M V M Zagueiro tem de ser 2 (nunca mente. 1 2 3 BMP NEMP PERD V V V 1 e 2 se negam e ambas são V (incoerência) V V M 1 e 2 se negam e ambas são V (incoerência) V M V 1 e 3 incompatíveis e ambas são V (incoerência) V M M Zagueiro tem de ser 1 (nunca mente. Y: não foi empate. o que eles falaram foi: X: foi empate. 2. só verdade) M M V 1 e 2 contraditórias e ambas são M (incoerência) M M M 1 e 2 contraditórias e ambas são M (incoerência) Observação . Respostas que sejam negações entre si desses dois jogadores não podem ser analisadas. 2: nós perdemos. o que seria representado por: l2 2a 3a M V M Possibilidades MC Zag Atac . só verdade) Observação Vamos. observe que (observe os hachurados): . seria se este estivesse na esquerda. Com base nisso.148 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Veja que ficamos com apenas três possibilidades: 1 2 3 EMP ftEMP PERD V M M Zagueiro tem de ser 1 (nunca mente.se o meio-campista estivesse na direita. teríamos apenas um resultado possível para as colocações. ~ se o meio-campista estivesse no meio. teríamos dois resultados possíveis para as colocações.se o meio-campista estivesse na esquerda. sempre verdade) M V V Atacante tem de ser 1 (nunca verdade. . reconhecendo apenas o meiocampista. analisar as possibilidades posicionais para os três jogadores: 1 2 3 EMP N EMP PERD Possibilidades V M M Zag ''tá c * Atac V M M Zag M V V Atac M V V Atac M V M M V M Atac Atac ■■ Zag Zag Zag Atac Zag 'MC. só mente) M V M Zagueiro tem de ser 2 (nunca mente. agora.' Como o torcedor só reconheceu o meio-campista. podemos concluir que a única forma pela qual o torcedor poderia ter tirado alguma conclusão sobre o resultado do jogo. teríamos três resultados possíveis para as colocações. Um dia. se náo fòí empate e o XFC não perdeu. Sabe. Nabungo . mas não sabe qual delas significa “sim” e nem. desconhecido por Sócrates. (ESAF-MPU-2004) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estra nho país. e o homem é da aldeia grande e a mulher. Ora. sabemos que: náo fox empate (a primeira afirmação é mentirosa e a segunda é verdadeira). e o homem é da aldeia grande e a mulher. da grande. é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? Milango responde o jovem. oue ele ganhou o jogo. —habitantes da grande sempre mentem. e o homem é da aldeia pequena e a mulher. E. Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. voltou Sócrates a perguntar. da pequena. o XFC náo perdeu o jogo (a terceira afirmação é mentirosa). dize-me ainda. que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”. Resp. Sócrates. consequentemente. e da pequena sempre dizem a verdade. formado por apenas duas aldeias. com certeza.: A 7. sorrindo. o jovem mente. o jovem mente. . contudo. também. uma grande e outra pequena. mas felam apenas o idioma locai. que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade. o jovem mente.disse o jovem. uma grande e uma pequena..Capítulo 5 —* "Encontrando o Culpado* s 149 Dessa forma. concluiu corretamente que: a) b) c) d) e) o jovem diz a verdade. Ele sabe. podemos afirmar. e apontando para o casal. Milango ~ tomou o jovem a responder. Resolução: Regras do enunciado: —duas aldeias. qual significa “não”. e o homem é da aldeia grande e a mulher. Sócrates pergunta: Meu bom jovem. da pequena. da grande. da pequena.perguntou Sócrates. £ a tua aldeia é maior do que a desse homem? . o jovem diz a verdade. Dirigindo-se a ele. és tu da aldeia maior? . —duas respostas: “milango” e “nabungo” (não se sabe qual é “sim” e qual é cc ^ n \ nao ). Os ha bitantes entendem perfeitamente o português. e o homem é da aldeia pequena e a mulher. e os da aldeia maior sempre mentem. ou seja. então. podemos concluir que. podemos ver que. consequentemente. “milango” é “Sim”). poderemos tirar conclusões mais claras. não poderia falar a verdade. porque a P3 é a única pergunta simples. ou seja. Mais ainda. as perguntas P2 e P3 teriam que ter a mesma resposta. I a forma de resolver: Análise da pergunta P3 Hipótese 1: Jovem diz verdade —» Jovem é da aldeia pequena. Hipótese 2: Jovem mente —» Jovem é da aldeia grande. I 3 conclusão Pelo exposto acima. ele não poderia ter respondido “Sim” a esta pergunta (“milango”). Se o jovem diz a verdade. ele respondeu “nabungo”. a proposição composta nunca poderia ser verdadeira. só envolve um dos participantes. estaremos analisando as perguntas da P3 para aPl.150 £s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Resumo das perguntas do jovem e suas respostas: Pl: Homem da grande e mulher da pequena? Rl: milango P2: Es da aldeia grande E o homem da pequena? R2: miíango P3: Es da aldeia grande? R3: nabungo. Assim. ou seja. Desdobramentos da Ia Conclusão: Como sabemos que Milango = “Sim”. Com isso. “Não = nabungo”. concluímos acertadamente que o jovem é da aldeia grande e mente. Neste caso. R3 (nabungo) é “Não” (e. consequentemente. então. sendo da grande ele diria “Não. ele respondeu “nabungo”. o jovem não poderia ser da aldeia pequena. Se ele diz a verdade. Neste problema. “milango” é “Sim”). Se ele mente. independentemente de o Jovem falar a verdade ou mentir. “nabungo” significa “Não” e “milango” significa “Sim”. Ao ser perguntado se é da aldeia grande. se o jovem falasse a verdade. . a resposta teria que ter sido “Não”. Logo. porque “Jovem é da grande” é uma das partes unidas pelo “E” e é Falsa. Conclusão: como sabemos que “milango = Sim”. não sou da grande”. vendo a segunda pergunta: Análise da pergunta P2 P2: “Jovem é da grande E o homem é da pequena” R2: “Milango” ("Sim”). Neste caso. Ao ser perguntado se era da aldeia grande. R3 (“nabungo”) é “Não” (e. Hipótese 1: Jovem diz verdade (de aldeia pequena). 3a conclusão: A mulher é da aldeia grande. para que isso aconteça. porque na P2 é possível usarmos o que já sabemos a respeito de P3. habitado pelos vingos e pelos mingos. Certo dia. Beatriz pôde concluir corretamente que: a) b) c) d) e) o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul. Logo. Beatriz fez-lhe outra pergunta: “E se eu te perguntasse se és mingo. Resp.: E 8. Vamos analisar primeiro a P2 e depois a Pl. P2: “Jovem da aldeia grande E o homem da pequena?” R2: “milango” (sim e mentira).Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" e 151 2. sendo o jovem da aldeia grande. o que me respondetías?” . o homem e a mulher são todos da aldeia grande. Se sabemos com certeza que o jovem mente e que “milango . é necessário que o homem não seja da pequena. 3â conclusão: O homem é da aldeia grande. Beatriz dirigiu-se a um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?” . sua resposta tem que ser uma mentira e. esta estrada leva à Aldeia Azul” . E o jovem respondeu: “Responderia que sim” . o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul. Como não soubesse se o jovem era vingo ou mingo. o jovem poderia ser vingo ou mingo e a estrada levava à Aldeia Azul. já os mingos sempre mentem. como o homem realmente é da aldeia grande. é necessário que a mulher não seja da pequena. o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul. O jovem respondeulhe: ‘‘Sim. podemos analisar as outras perguntas. vendo-se perdida em uma estrada. para que a resposta “sim” acima seja falsa. . Análise da pergunta P l P l: “Homem da grande e mulher da pequena?” Rl: “milango” (sim e mentira). o jovem.sim” e "nabungo = não”. Dadas as respostas do jovem.conclusão: O jovem mente. Mais uma vez. portanto. Como já sabemos que o jovem é realmente da aldeia grande. o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul. é da aldeia grande. (ESAF-MF-2000) Beatriz encontrava-se em viagem por um pais distante. Os vingos sempre dizem a verdade. 152 £ Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Resolução: Regra do enunciado: Mingos —> mentira, Vingos -> verdade. Simplificando as perguntas: P l: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?” Pl: Vai para a Azul? Sim Esta pergunta só tem significado quando soubermos se o jovem é vingo ou mingo, ou seja, se fala a verdade ou se mente. Por isso» a análise deve começar da segunda pergunta feita. P2: “E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias?” P2: Se eu perguntasse se você mente? Diria que Sim. Aqui está a grande sacada deste problema. Veja que ela não perguntou “Você é mingo?”, mas "Se eu perguntasse se você é mingo (...)”. Isso faz uma grande diferença, que vamos analisar agora: Jovem Você é mingo? Se eu perguntasse se você ê mingo, o que respondem? Vingo Não (verdade) Diria que Não Mingo Não (mentira) Diria que Sim Veja que vingo ou mingo, a resposta para “Você é mingo?” seria “Não” e náo levaria a nenhuma conclusão. Observe que: (1) Se o jovem falasse a verdade, quando foi perguntado "Se eu perguntasse..,”, pensaria na resposta (que seria "NÃO") e diria de fato qual seria sua resposta. (2) Se o jovem mentisse, quando foi perguntado "Se eu perguntasse...," pensaria na resposta (que seria uma mentira, ou seja, diria: não, náo sou mingo - não minto). Só que nesse caso, teria que "mentir a mentira" e diria: "eu responderia que náo." Conclusão: Se a resposta dele para a segunda pergunta foi “diria que sim” é porque ele é mingo (e fala mentiras). Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" a 153 Assim, ele é mentiroso e, como a resposta para a primeira pergunta “Vai para a Aldeia Azul” também foi sim, é porque a estrada não vai para a Aldeia Azul. Resp.: A 9. Três irmãs —Ana, Maria e Cláudia - foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente: a) b) c) d) e) preto, branco e azul; preto, azul e branco; azul, preto e branco; azul, branco e preto; branco, azul e preto. Resolução: Regras do enunciado: Ana: sempre diz a verdade; Cláudia: sempre mente; Maria: às vezes mente, às vezes fala a verdade. Resumo das respostas dos jogadores: Az: Ana de branco. Br: Eu sou Maria. Pr: Cláudia de branco. I a Hipótese: Ana está de azul Se Ana estivesse de azul, ela teria falado que “Ana está de branco”, o que seria mentira (contrariando o enunciado). Por isso, Ana não pode estar de azul. 2â Hipótese: Ana está de branco Se Ana estivesse de branco, ela teria falado “Eu sou Maria”, o que seria mentira (contrariando o enunciado). Por isso, Ana não pode estar de branco. 154 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Logo, Ana está de preto. Como a Ana está de preto e ela só fala a verdade, podemos eliminar as possibilidades em que o preto mente e ficar com: Az Br Pr M V V M M V Mais ainda, se a que está de preto falou a verdade, então: Cláudia está de branco. Por conseguinte, podemos concluir que Maria está de azul (e mentiu). Assim, temos como resultado final: Az (Maria): Ana de branco - mentiu. Br (Cláudia): Eu sou maria - mentiu. Pr (Ana): Cláudia de branco - verdade. E as cores de Ana, Maria e Cláudia são: preto, azul e branco. Resp.: B 10. (ESAF-TCE-RN-2000) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se, ao lado, à beira do cais, para apreciar o pôr do sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e outro, vascaíno. Sabe-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo e outro, cozinheiro. Nenhum deles sentouse ao lado da esposa e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra * e rrtA lama. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente: a) Regina e Sandra; b) Tânia e Sandra; c) Sandra e Tânia; d) Regina e Tania; e) Tania e Regina. Resolução Dados do enunciado: Nomes dos maridos: Mário, Nilo e Oscar. Nomes das esposas: Regina, Sandra e Tânia. Capítulo 5 <— "Encontrando o Culpado" 155 Profissões dos maridos: Arquiteto, Biólogo e Cozinheiro. Times dos maridos: Flamengo, Vasco e Palmeiras. Quantidade de posições: 6. Regras do enunciado: homens e mulheres sentam-se alternados (não há homem ao lado de homem, nem mulher ao lado de mulher); marido e esposa sentam-se separados (nenhum marido senta-se à esquerda ou à direita de sua própria esposa). Detalhamentos do enunciado: 1. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugareMp meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. Observações: o arquiteto náo é Oscar, nem é o flamenguista; o arquiteto está no.3c ou no 4° lugar: Ia 2S 3a 4a 5a 6a Arquiteto Arquiteto 2. O vascaíno está sentado em tuna das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Observações: o vascaíno tem que estar na ponta esquerda, porque, se ele estivesse na direita, seria impossível alguém estar sentado à sua direita; o vascaíno não pode ser o cozinheiro, porque, senão, sua própria esposa estaria sentada ao seu lado (e o enunciado não permite isso). 3. Mário está sentado entre Tânia» que está à sua esquerda, e Sandra. Observação: Mário náo pode ser casado com Tânia, nem com Sandra. Logo, Mário só pode ser casado com Regina. Mário náo pode estar em nenhuma das pontas (tem que estar no meio, para poder estar entre duas pessoas). 156 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Análise das possibilidades: Como eles têm que se sentar alternados (homens e mulheres), existem as seguintes configurações possíveis: Homem / Mulher / Homem / Mulher I Homem / Mulher; ou Mulher / Homem / Mulher / Homem / Mulher ! Homem; ou Como o vascaíno tem que estar na ponta esquerda {vide observação acima), não é possível começar com mulher à esquerda; w além disso, como o arquiteto está em um dos lugares do meio (3a ou 4a) e é o 3a que está sendo usado pelos homens, podemos saber que o arquiteto é o “homem do meio”. Portanto, temos que trabalhar com a primeira configuração apresentada, considerando que: - o vascaíno tem que estar na ponta esquerda; - o arquiteto é o homem do meio; - o arquiteto não é Oscar (logo, Oscar não está no meio). Homem Mulher Mário (vasco) Homem Mulher Nilo (arquit.) Mário (arquit.) Mário (arquit.) Nilo (arquit.) Nilo (vasc) Oscar (vasc) Oscar (vasc) Homem Mulher Oscar Oscar Nilo Mário Como Mário não pode estar na ponta esquerda (porque está entre Tânia e Sandra), ficamos com: Homem Nilo (vasc) Oscar (vasc) Oscar (vasc) Mulher Homem Mário (arquit.) Mário (arquit.) Nilo (arquit.) Mulher Homem Oscar Nilo Mário Mulher Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" a 157 Como um marido não pode sentar-se ao lado de sua mulher: entre Mário e Nilo tem que estar a esposa de Oscar; entre Nilo e Oscar tem que estar a esposa de Mário; e entre Mário e Oscar tem que estar a esposa de Nilo. Assim, passamos a trabalhar com a seguinte tabela de possibilidades: Homem Mulher Homem Mulher Homem Mulher Nilo (vasc) Esp. Oscar Mário (arquit.) Esp. NÜo Oscar Esp. Mário Oscar (vasc) Esp. Nilo Mário (arquit.) Esp. Oscar Nilo Esp. Mário Oscar (vasc) Esp. Mário Nilo (arquit.) Esp. Oscar Mário Esp. Nilo Usando a informação de que Mário está entre Tânia (esquerda) e Sandra (direita), podemos completar a tabela acima: Homem Mulher Homem Mulher Homem Mulher NUo (vasc) Esp. Oscar (Tânia) Mário (arquit.) Esp. Niló (Sandra) Oscar Esp. Mário (Regina) Oscar (vasc) Esp. Nilo (Tânia) Mário (arquit.) Esp. Oscar (Sandra) Nilo Esp. Mário (Regina) Oscar (vasc) Esp. Mário (Regina) Nilo (arquit.) Esp. Oscar (Tânia) Mário Esp. NUo (Sandra) Nas duas linhas em que Mário é o arquiteto, seria impossível ele estar mais próximo de Regina do que de Oscar, porque isso implicaria ele estar sentado ao lado da própria esposa, o que o enunciado não permite (lembre-se que o enunciado disse que o arquiteto “ficou mais próximo de Regina do que de Oscar e do que do Flamenguista”). Portanto, a única possibilidade que resta é realmente a terceira linha: Homem Mulher Homem Mulher Homem Mulher Oscar (vasc) Esp. Mário (Regina) Nilo (arquit.) Esp. Oscar (Tânia) Mário Esp. NÜo (Sandra) 158 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Usando “o arquiteto está mais perto de Regina do que do flamenguista e do que de Oscar”, concluímos que: O flamenguista não pode ser o homem da esquerda (porque eie é vascaíno). O Flamenguista não pode estar no meio (porque o arquiteto está no meio e ele não pode estar ao lado do flamenguista). Logo, o flamenguista tem que ser o homem da direita e o homem do meio (o arquiteto) tem que ser o palmeirense. Homem Mulher Homem Mulher Homem Mulher Oscar (vasc) Esp. Mário (Regina) Nilo (arquit./ Palm.) Esp. Oscar (Tânia) Mário (flam) Esp. Nilo (Sandra) Como o arquiteto tem que estar mais próximo de Regina do que de Oscar e do que do flamenguista, concluímos que Mário não pode ser o arquiteto, porque isso não poderia acontecer (ele estaria sentado ao lado da própria esposa). Com isso, ficamos apenas com a última linha da tabela: j___3aPoss.: Oscar / Esp. Mário / Nilo / Esp. Oscar / Mário/ Esp. Niío:_____ (considerando que à direita do vascaíno está a esposa do cozinheiro.) Oscar Vascaíno -» Casado c/ Tânia —» biólogo Nilo —> Palmeirense —» Casado d Sandra arquiteto Mário —> Flamenguista —» Casado d Regina cozinheiro Resp.: C 11. (ESÂF-MPU-2004) Fernanda atrasou-se e chegou ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já estava em andamento. Bia perguntou às suas amigas, que estavam assistindo à partida» desde o inicio, qual o resultado até o momento. Suas amigas disseram-lhe: Amanda: ‘‘Neste sett o escore está 13 a 12”. Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set>>. Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra” . Denlse: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar ê a equipe visitante”. Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set” . Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que: c) o escore não está 13 a 12. (III) B e C náo podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. e a Ulbra venceu o primeiro set. d) o escore não está 13 a 12. e quem vai sacar é a equipe visitante. Usando as conclusões preliminares resultantes da análise do que cada uma delas disse. e) o escore está 13 a 12. (V) D e E não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. que geraram diminuição das hipóteses criadas: (I) A e B não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. e a Ulbra não está vencendo este set. (II) A e D não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. e a Ulbra está perdendo este set. temos as dez possibilidades apresentadas abaixo. Resolução: Dados do enunciado (simplificando o que cada uma disse): A: 13 a 12 neste set. Conclusões preliminares. e a Ulbra venceu o primeiro set. D: Não 13 a 12 E Ulbra perdendo o setE visitante saca E: Visitante saca E Ulbra ganhando o set. (IV) C e D não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. e a Ulbra está vencendo este seu e quem vai sacar é a equipe visitante. podemos chegar a: . Análise das possibilidades: Pelas regras do enunciado. Regras do enunciado: duas mentem. e a Ulbra vai sacar. três falam verdade. B: Não 13 a 12 E Ulbra ganhou o Ia set. C: 13 a 12 E Ulbra ganhando o set. que dizem que duas amigas mentem e as outras dizem a verdade. e quem vai sacar é a equipe visitante. e a Ulbra está vencendo este set.Capítulo 5 — °Encontrando o Culpado" e 159 a) o escore está 13 a 12. b) o escore está 13 a 12. B e C são as mentirosas e A..7 V } } Eliminadas pela conclusão (V) Eliminadas pela conclusão (111) Eliminadas pela conclusão (II) V 6* 7* . o mais antigo entre eles. Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. Por sua vez.. Resp. Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. C e E falaram a verdade... é mineiro.) Az 13 a 12 neste set. Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.) C: 13 a 12 E Ulbra ganhando o set. Vasconcelos. à direita do paulista. um carioca e um baiano. i r m ^ iiiiíi V . vamos analisar primeiro as verdades.) E: Visitante saca E Ulbra ganhando o set. (Verd. encontra-se à frente de Paulo. Assim. ficamos apenas com a 6a possibilidade: A 6a V B c D E V i l l V Ou seja... . Paulo está sentado à direita de Oliveira. a) b) c) d) e) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. Há também um paulista. Norton. Com isso.: B 12. v v 1^ ' M 11 5* y y 'V 1■ . Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. (Verd..y } Eliminadas pela conclusão (II) 8a Eliminadas pela conclusão (1) . que não é carioca. (Verd. (ESAF-MPU-2004) Em tomo de uma mesa quadrada.. Partindo disso. 10* Com isso. concluímos que: Está 13 a 12 neste set E Ulbra está ganhando E o visitante vai sacar. encontram-se sentados quatro sindicalistas. 3* M C D E ...y .160 Raciocínio Lógico — Enrique Rocha s A B 2a M v . Oliveira. Um deles passa pela visualização da mesa como se você a estivesse vendo “de cima”. (II) Paulo está sentado à direita de Oliveira. Oliveira Esq. colocamos Vasconcelos à frente de Paulo. por (V). . por (I). A à direita de B e C à esquerda de B. completamos que Oliveira é o mineiro. Vendo de cima: B à esquerda de A e D à direita de A. (V) Vasconcelos está sentado à frente de Paulo. colocamos Paulo no lugar de D. por (II). A à esquerda de D e C à direita de D.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" b 161 Resolução: Este exercício pode ser resolvido por vários caminhos. (EI) Norton está sentado à direita do paulista. (TV) Vasconcelos não é carioca. Dados do enunciado (simplificando o que cada uma disse): 00 Oliveira é mineiro. B à direita de C e D à esquerda de C. O primeiro passo ê sentar o Oliveira em um dos lugares da mesa: Dir. e) 5. que Paulo é o paulista e que Vasconcelos não é carioca. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Resolução Passo 1: identificar as regras do enunciado: Tias -» Verdade. o número de irmãs de Zilda. são tias ou irmãs de Zilda. Dida e Elisa. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Cati: Dida éIRMÂ. Norton só pode ser o carioca: Resp. Com isso. a outra ê irmã. Elisa: Ana éTIA . Cati. Irmãs —> Mentira Passo 2: extrair do enunciado o que cada uma disse: Ana: Bia é TIA. Bia: Cati é IRMA. Paulo é o paulista (Norton à direita do paulista). Sabendo que Oliveira é mineiro. ê dado por: a) 1. c) 3. neste conjunto de cinco amigas. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. d) 4. Vasconcelos só pode ser baiano.: A 13. (ESAF-MPOG-2002) Cinco amigas» Ana» Bia. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda. Assim. se uma é tia. só sobra o lugar “C” para Norton. b) 2. Veja o resultado: Oliveira (mineiro) Paulo (paulista) Vasconcelos (baiano) Norton (carioca) Por (III).Raciocínio Lógico — 162 e Enrique Rocha Com isso. Dida: Bia e Elisa são diferentes. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. isto é. Elisa também seria IRMA. Dida seria IRMA. Ana teria MENTIDO. Cati seria TIA. Bia e Elisa seriam iguais. Hipótese 2: Ana é TIA. Se Bia fosseTIA (o que concluímos pelo raciocínio acima). Se Dida fosse TIA (pelo raciocínio acima). se ela disse que Bia é TIA. Se Ana fosse IRMA. Veja que essa hipótese partiu de “Ana ser IRM” e chegou em “Ana ser TIA”. Cati seria IRMA. Se Elisa fosse IRMA (pelo raciocínio acima). Como. Como. ela teria MENTIDO. Assim. Logo. Logo. ela teria MENTIDO. ela também teria MENTIDO. Ana seria IRMA. ela teria falado a VERDADE. Logo. ela também teria falado a VERDADE. Dida seria TIA. . Bia seria IRMA. Logo. Logo. Bia seria TIA. Bia seria TIA. Se Cati fosseTIA (pelo raciocínio acima). Logo. Veja que essa hipótese partiu de “Ana ser IRMA” e chegou em "Ana ser IRM”. Logo. trata-se de uma linha INCOERENTE de raciocínio. ela teria MENTIDO.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" r< 163 Passo 3: escolher uma hipótese e ver o que se pode concluir desenvolvendo-a: Hipótese 1: Ana é IRMA. Se Dida fosse IRMA (pelo raciocínio acima). por esse raciocínio. Se Bia fosse IRM (o que concluímos pelo raciocínio acima). Se Ana fosse TIA. Bia seria IRMÂ. Logo. Elisa seria IRMÂ. Ana teria falado a VERDADE. por esse raciocínio. Se Elisa fosse IRMA (pelo raciocínio acima). ela teria MENTIDO. Logo. Ana seria IRMA. Assim. se ela disse que Bia é TIA. trata-se de uma Unha coerente de raciocínio. Se Cati fosse IRMA (pelo raciocínio acima). ela teria falado a VERDADE. Logo. Bia e Elisa seriam diferentes. que queria saber qual deles entrou sem pagar. disse Maria. Manuel: Mara. Finalmente. Resp. Dida è IRMA. “Foi a Mara ou o Marcos”.: (D) 14. Passo 3: escolher uma hipótese a ser desenvolvida para que se chegue a alguma conclusão: Apesar de podermos partir de qualquer hipótese e chegarmos à solução. esse problema tem uma solução bastante inteligente. podemos ver que seriam 4 as irmãs de Zilda. Mário: Manuel ou Maria. podemos concluir que Ana é realmente IRMà e. disse Mara. disse Manuel. Cati é TIA. Apenas um mentiu (os outros todos falaram a verdade). conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi. por conseguinte: Bia é IRMA.164 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Dessa forma. (ESAF-MF-2000) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Maria: Mara ou Marcos. “Foi o Manuel ou a Maria”. disse Mário. nem o Manuel”. . Apanhados por um funcionário do parque. Passo 1: identificar as regras do enunciado: Apenas um entrou sem pagar. “O Mário está mentindo”. Sahendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu. Passo 2: extrair do enunciado o que cada uma disse: Marcos: não Marcos e não Manuel. eles informaram: “Náo fui eu. “Foi a Mara”. Elisa é IRMÃ. disse Marcos. Mara: Mário mente. Com isso. os outros quatro teriam falado a verdade. Nos garante que não foi o Manuel. ou seja. Com isso. a negação seria: “Não Manuel E Não Maria”. o que ele fàlou é mentira. precisamos negar a sentença “Foi o Manuel ou a Maria”. qualquer um deles poderia ter sido o que entrou sem pagar. como não é possível que os dois estejam mentindo ao mesmo tempo (essa última alternativa não seria mesmo possível porque o enunciado falou que apenas um dos colegas mentiu). Assim. Como o conectivo usado foi o “OU” (e lembrando que a negação de P V Q é~(P V Q)> que é -P A -Q). ficaríamos com as seguintes possibilidades: M ^l . A princípio. Marcos: não Marcos e não Manuel (VERDADE). as possibilidades seriam: Quem pode ter entrado sem pagar Mário Manuel Marcos Mara Maria Vamos analisar o que os outros disserame marcar com um “X” as pessoas eliminadas. ou seja. ficaríamos com as seguintes possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar Mário Ma£4el Marcos Mara 2. nem a Maria. Por outro lado. Nos garante que não foi o Marcos nem o Manuel. basta testarmos a hipótese de um deles ser o mentiroso. Mário: Manuel ou Maria (MENTIRA). ele mentiu. um dos dois é mentiroso. ou seja. necessariamente. Vamos partir do pressuposto de que Mário seja o mentiroso: Ia Hipótese: Mário é o mentiroso. Além disso. e teríamos: 1. Por esse raciocínio.Capítulo 5 •— *Encontrando o Culpado" s 165 Veja o que Mara disse: “Mário está mentindo”. Se Mário é o mentiroso. ele fâlou a verdade. O que podemos concluir com base no que eia disse? Se ela falou a verdade. se ela mentiu. não é possível que os dois estejam falando a verdade ao mesmo tempo. Maria falou realmente uma verdade: Quem pode ter entrado sem pagar Ma>i£> Ma£4el M|x£os Mara Como chegamos a uma hipótese coerente e só pode haver uma. as possibilidades seriam: . como este é um livro para estudo. ou seja. Nos garante que foi a Mara. Manuel: Mara (VERDADE). já vimos que foi a Mara. a princípio. “Mário está falando a verdade”. Maria: Mara ou Marcos (VERDADE). o que ela falou é mentira. Mara: Mário mente (VERDADE). ficaríamos com as seguínres possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar Má><í) Mattel M^sÇos Mara Mpfy 4. neste ponto já temos a resposta do exercício: Mário mentiu e Mara entrou sem pagar (mas falou a verdade!!!). Com isso. 5. Nos garante que foi a Mara ou o Marcos. pelo (3). Como. Nos garante que Mário está mentindo.166 íz Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Quem pode ter entrado sem pagar Mário Manjei M^bÇos Mara Ma><à 3. ou seja. qualquer um deles poderia ter sido o que entrou sem pagar. vamos ver o que aconteceria se a Mara tivesse mentido e o Mário falado a verdade: 2a Hipótese: Mara é a mentirosa Se Mara é a mentirosa. No entanto. Mais uma vez. Com isso. essa hipótese (de Mara ser a mentirosa) nos levaria a contradições com relação às regras do enunciado. e assim por diante). ficaríamos com as seguintes possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar M%Sá£> M^Hjiel M^sÇos M^a Maria 3. nessa ordem e em sentido horário. os outros quatro teriam falado a verdade e teríamos: 1. concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é. Manuel: Mara (VERDADE) Nos garante que foi a Mara. verificou-se que nenhuma fora eleita. . Feita a votação. ficaríamos com as seguintes possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar Má>{£> Manuel M$k£os MXa Maria 2. passará a ser a representante do grupo. Após conversarem sobre tão inusitado resultado. Logo. porque a única alternativa que teria restado seria “Maria” (Mara já estaria “fora de suspeita”). Bía. Mário: Manuel ou Maria (VERDADE) Nos garante que foi o Manuel ou a Maria. pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia.t (C) (veja que o enunciado pergunta quem entrou sem pagar e não quem mentiu!II) 15. Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana. Marcos: não Marcos e não Manuel (VERDADE) Nos garante que não foi o Marcos nem o Manuel. em tomo de uma mesa redonda. Déa e Ema estão sentadas. Além disso. Clô. Elas estão reunidas para eleger aquela que.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" m 167 Quem pode ter entrado sem pagar Mário Manuel Marcos Mara Maria Vamos analisar o que os outros disseram e marcar com um “X” as eliminadas. Com isso. Aqui já seria impossível. Resp.(ESAF-MPU-2004) Ana. entre elas. Clô. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Cada uma votou em quem votou na sua vizinha da esquerda. Ema. Déa e Ema foram. Ana. Bia. que está à esquerda de Bia. Déa. Ana. d) Déa. Clô. e) Clô. Ana à esquerda de Ema. Clô à esquerda de Bia. 3. Ana. que está à esquerda de Ema. Clô. Ana. Bia. 2. Bia. Déa à esquerda de Clô. Déa. Vamos construir uma figura que facilite identificar quem está à esquerda de quem: Esq Esq Al A1 '''v Ema ^ Déa ^ Esq Esq Aí X AI X Clô ^ Bia Esq A\ ^ v ^Ana ^ Ema Esta figura deve ser lida da seguinte maneira: Ema está à esquerda de Déa. escolhendo hipóteses (vamos usar hipóteses que comecem com “Ana”) e desenvolvê-la para chegarmos a novas conclusões: 1. que está a esquerda de Clô. Ema. c) Clô. 5. Ema. 4. respectivamente. Passo 2: montar o diagrama que representa o problema: Ana Passo 3: analisar as possibilidades. Ema. Bia. b) Déa. Déa. que está à esquerda de Ana. para: a) Ema. Ana. .168 b Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Os votos de Ana> Bia. Bia. Clô. Ema à esquerda de Déa. Bia à esquerda de Ana. Bia vota em Déa (3). Mas quem votou em Clô foi Ana. Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela (em Bia).1 Ana Esq ^ Ema i Ou seja: Ana vota em Bia (1) e Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Clô vota em Bia (2). Usando a figura para identificar os votos: Esq ^ f Esq \ * V ^ Esq * V .Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado” ed 169 Vamos agora levantar as hipóteses (os votos estão em setas largas e em ordem identificada): l aHipótese: Ana votou em Bia. Mas quem votou nela foi Ana. porque Bia teria votado nela mesma (2) e teria recebido 2 votos. 2SHipótese: Ana votou em Clô. e quem está à esquerda de Ana é a Bia. Logo. . Isso é impossível. Hipótese descartada. Usando a figura para identificar os votos: Esq Esq t t ''x Ema Déa Esq f Clô Esq Esq ÍÀ x T . e quem está à esquerda de Ana é a própria Bia. Mas quem votou em Bia foi Clô. Esq Esq Esq * \ ^ |*a Ou seja: Ana vota em Gô (1) e Clô vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Logo. e quem está à esquerda de Clô é a Déa. Mas quem votou em CIô foi a Ema. e quem está à esquerda de Ana é a Bia. CIô vota em Ana (5). Bia vota em Ema (3). Usando a figura para identificar os votos: 5 Ou seja: Ana vota em Déa (1) e Déa vota em quem está à esquerda de quem votou Mas quem votou em Déa foi Ana. Mas quem votou em Ema foi a Bia. Logo. Logo. porque CIô teria recebido 2 votos (de Ana e de Déa). Mas quem votou em Déa foi a Bia. e quem está à esquerda de Bia é a CIô. Logo. CIô vota em quem está à esquerda de quem votou nela.170 t? Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Déa vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Ema vota em CIô (4). 3a Hipótese. Isso é impossível. e quem está à esquerda de Bia é a CIô. Logo. Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela (em Bia). Ana votou em Déa.!! Hipótese aceita. Logo. e quem está à esquerda de Déa é a Ema. Déa vota em Bia (2). Mas quem votou em Bia foi Déa. Hipótese descartada. Ema vota em quem está à esquerda de quem votou nela. e quem está à esquerda de Ema é a Ana. . Esta hipótese funcionou!’. Déa vota em CIô (4). e quem está à esquerda de Ana é a Bia. Mas quem votou em Ema foi Ana. Ema vota em Bia (2). Mas quem votou em Ana foi a Bia. Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela (em Bia). Usando a figura para identificar os votos: Esq Esq Esq Esq Erha *'■ Dèa dô Bia £ Esq Esq A^a Ema J. Hipótese descartada. e quem está à esquerda de Ema é a Ana. Logo. Logo.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" s 171 4aHipótese: Ana votou em Ema. Mas quem votou em Bia foi Ema. Ou seja: Ana vota em Ema (1). Logo. Logo. Isso é impossível. porque partimos da hipótese de que Ana votaria em Ema (t). e quem está à esquerda de Bia é a Clô. a figura final que representaria os votos seria: Ana Ema Déa Pessoa Ana Bia Clô Déa Ema Resp. e Ema vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Ana vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Ana vota em Clô (4).: B ^ C lô Votou em Déa Ema Ana Bia Clô . Bia vota em Ana (3). enquanto um deles falou a verdade. tempo. Neste caso. C: Não foi A e Não foi D. B: Não foi o D. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações. você pode concluir que é impossível_que ós dois estejam falando a v VERDADE ao mesmo. D disse que C não matou o líder.172 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 16. só temos duas: “A” falou a verdade. B afirmou que D não matou o líder. ou “D” falou a verdade. esses indivíduos fizeram as seguintes declarações: A afirmou que C matou o líder. Observe que só com isso você já pode avaliar o item (1) como “CERTO” (!!!). . (1) A declaração de C não pode ser verdadeira. Durante o interrogatório. julgue os itens seguintes. C e D. C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e. ura dos dois e o que feia a verdade. não tiveram participação no crime. Passo 2: destacar o que cada um falou (siirçgMcando): A: Foi o C. (2) D matou o líder. (CESPE 2004) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Três mentiram e apenas um falou a verdade. por isso. D: Náo foi C. Passo 3: usar hipóteses para chegar a novas conclusões. B. Com isso. Perceba que há uma clara contradição entre õ que “A” falou § o que “D” falou. Essa é uma importante técnica para “eliminação de hipóteses” (nunca deixe de aplicá-la!!!). Como apenas um deles falou a VERDADE. • o segundo diz: “É verdade. O problema é que não se sabe quem. Se ele mentiu dizendo que “foi o C”. também. C e D mentiram. pois somos levados a perguntar “como é que ele pode ser o assassino e falar a VERDADE”? Lembre-se que essa armadilha é usada constantemente nos concursos. o que acabou de falar.: 1) CERTO. a hipótese coerente é: “D íàlou a VERDADE ele mesmo é o assassino”. fazendo os “desavisados” não acreditarem em suas conclusões. Veja que é um dos casos que contrariam nossa noção do cotidiano. é o ladrão”} • o terceiro diz: “Eu sou o ladrão. o jovem lógico pode. concluir corretamente que: a) o ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.. então. d) o pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. o D falou a verdade dizendo que “Não foi o C”. mas que tem o estranho costume de sempre mentir.Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado* a 173 Ia Hipótese: “A” falou a VERDADE (Foi o C) Neste caso. Sabese. 2) CERTO. c) o pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. sabemos. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro. que um outro é um pedreiro. as seguintes declarações: • o primeiro diz: “Eu sou o ladrão. ora diz a verdade. B. ordenadamente. se transforma em: não foi o C (isso é verdade) B: Não foi o D. Mas B disse “não foi o D”. é quem. Como A. ele.. que sempre diz a verdade. Sabese. Não caia nessa!!! Resp. igualmente honesto e trabalhador. b) o ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.” Com base nestas informações. de jamais dizer a verdade. vamos “CONVERTER** o que disseram: A: Foi o C. os outros três teriam mentido. e) o marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. A frente do jovem lógico. ainda. (ESAP-AFC-2004) Três homens são levados à presença. . teríamos “C culpado” (Hipótese atual) e “D culpado” (impossível... esses três homens fazem.”. Logo. que A mentiu. com certeza. e isso sendo mentira. entre eles. já que o enunciado afirma que o líder foi mono “Por um de seus asseclas”. que o restante é um vulgar ladrão que ora mente. 17... se transforma em: Foi o A ou o D (isso é verdade) Logo. se transforma em: foi o D (isso é verdade) C: Não foi A e não foi D. de um jovem lógico. O Ladrão às vezes mente. não importa a hipótese. vamos construir uma tabela com as possibilidades: Usando o macete dado no Capítulo 3. às vezes diz a verdade. O 2. Com base nisso. vamos ver todas as possibilidades de combinação de “V” e “M” para três pessoas: lfi 2a 32 V V V V V M v M V V M M M V V M V M M M M M— V — M — Descartada porque -> não tem “M” Descartada porque não tem “V”.174 £ Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: O Marceneiro sempre diz a VERDADE.diz: “ls é o ladrão”. . O segredo nesse exercício é perceber que. O 3S diz: “3a é o ladrão”. Passo 2: destacar o que cada um falou (simplificando): O Ia diz: “l2 é o ladrão”. O Pedreiro sempre MENTE. sempre haverá pelo menos uma “VERDADE” e uma “MENTIRA”. O 2odiz: <claé o ladrão”.CF”.Capítulo 5 — uEncontrando o Culpado" s 175 Assim. das oito possibilidades. com apenas duas possibilidades: 12 2& 3fi V V M M M V . Logo. Ficamos. restam seis: 12 2- 30 V V M V M V V M M M V V M V M M M V Examine o que disseram o Ia e o 2a: O ladiz: Kl2é o ladrão”. o outro também será “F \ Isso nos permite eliminar algumas das seis possibilidades acima: Ia 22 32 V V M ¥ M ¥ M M M .V ¥ M ¥ M M M V . se um for . o outro também será “V”. Da mesma forma. então. ambas as afirmações têm o mesmo valor lógico. Descartada porque não tem “V”. Isso significa que se um for “V”. Observe que os dois disseram a mesma coisa. Marceneiro (V) diz que o ls é o ladrão. 12 22 3a V V M •> O Pedreiro.176 Raciocínio Lógico — Enrique Rocha b Como o Marceneiro sempre diz a VERDADE e o Pedreiro sempre MENTE. V "*■ O Marceneiro. podemos fazer as seguintes anotações: 22 3S V V M ■> O Pedreiro. Por essa hipótese. teria que ser o 32. e isso não poderia ser verdade. nessa hipótese. e Pedreiro (32) mente dizendo que é o ladrão. . nessa hipótese. nessa hipótese. porque o Marceneiro (o l2) teria dito que é o Ladrão. M M. teria que ser o 3a. teria que ser o 3a.. Tudo correto: Ladrão (V) diz que é ladrão. teríamos duas variações possíveis: 12 2S 3fi Marceneiro (Verdade): “Eu sou 0Ladrão" Ladrão (Verdade): “0 l 2é 0 Ladrão*’ Pedreiro (Mentira): “Eu sou 0Ladrão” ■~?£4 B ltB fiilI Impossível. Vamos então analisar as variações de cada uma dessas duas hipóteses: Ia Hipótese: Pedreiro é o 3° (primeira linha acima). 12 2a 32 V v M ■> O Marceneiro.: B lâ 22 32 V V M Ladrão Marceneiro Pedreiro . Por essa hipótese. a única hipótese possível é: Resp.Capítufo 5 — "Encontrando o Culpado" s 177 23Hipótese: Marceneiro é o 3a (primeira linha acima). porque o Ladrão (lfi) teria dito que é o LadrãOi e isso seria verdade e não mentira. teria que ser o 3a. porque o Marceneiro (o 3-) teria dito * que é o Ladrão. Impossível. Logo. nessa hipótese. teríamos duas variações possíveis: 12 2a 3fi Pedreiro (Mentira): "Eu sou o Ladrão” Ladrão (Mentira): uO 1° é o Ladrão” Marceneiro (Verdade): “Eu sou o Ladrão” Ladrão (Mentira): “Eu sou o Ladrão” Pedreiro (Mentira): “0 1° é o Ladrão” Marceneiro (Verdade): “Eu sou o Ladrão” Impossível. e isso não poderia ser verdade. Ambos encontram outro Ilhéu. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires. 2.178 c Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Exercidos Sobre "Encontrando o Culpado” 1. Yfala a verdade. há apenas dois tipos de pessoas. Aires chegou depois de juba. (ESAF-MPOG-2003) As seguintes afirmações. . depois de Cacau ejunto com Dada. Ele responde na sua língua e o intérprete diz —Ele disse que sim» mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. foram feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de ciclismo: Guto chegou antes de Aires e depois de Dada. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de Intérprete. Logo: a) b) c) d) e) Cacau chegou antes de Aires. Numa ilha. depois de Dada e junto comjuba. Guto chegou antes de Cacau. e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. é correto concluir que: a) c) b) d) ambos falam a verdade. chamado Y. as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. depois de Guto e junto com Cacau. todas elas verdadeiras. se e somente se Aires chegou junto com Guto. X fala a verdade. Juba chegou antes de Dada. a resposta de Y foi NÃO. Cacau não chegou junto com Juba. Aires chegou antes de Dada. depois de Juba e antes de Guto. Dessa situação. se e somente se Aires chegou depois de Dada. depois de Dada e junto comAires. Capítulo 5 — "Encontrando o Culpado" Gabarito das Questões de “Encontrando o Culpado” 1. D s 179 . procurando entender perfeitamente o cálculo e a formação dos diversos tipos de agrupamentos.C apítulo 6 . Aliás.1. Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinações Arranjos . e as fórmulas para maior velocidade na resolução dos problemas. ê muito mais importante gostar do quefaz do quefazer o que gosta.. Ou seja..são agrupamentos que diferem entre si não só pela natureza dos ele mentos.. ” A Análise Combinatória estuda o cálculo da quantidade de agrupamentos distintos que podem ser formados com os elementos de um determinado conjunto. permitindo o perfeito entendimento da matéria. ■ Análise Combinatória _____________________B “Como diz o meu irmão. 6. e náo propriamente listá-los. Conquiste sua felicidade do dia a dia. a finalidade dos problemas geralmente será calcular a quantidade de agrupamentos. essa é uma regra geraldefelicidade. gostando de cada coisa que vocêforfazer. Exemplo: quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos ímpares? Você deve ter sempre em mente que a Análise Combinatória é uma análise quantitativa. ou seja... dois agrupamentos . Por esse perfeito entendimento. já que tãopoucos conseguemfazer na vida exatamente o que gostam. inicialmente. Apenas eventualmente você precisará listar esses agrupamentos. E aí teremos o estudo completo: o Princípio Fundamental da Contagem. no Princípio Fundamentai da Contagem. O nosso estudo neste livro se fará com base. como também pela ordem em que sáo colocados. facilmente compreenderemos as fórmulas a serem usadas nas resoluções dos problemas. dois agrupamentos com os mesmos elementos são iguais. Observação: deve-se ter em mente que o número de combinações é o mesmo número de arranjos. já que um grupo formado por João e Maria é igual ao grupo formado por Maria e João. segundo uma regra simples que veremos posteriormente. se a ordem deles for diferente (ab # ba). tomando-se o cuidado de exdmr o número de agrupamentos iguais. sem repetição de algarismos. Exemplo: números são arranjos. sem reped-los. formados com os algarismos ímpares (que são cinco). pois a ordem dos algarismos muda o agrupamento. no caso de combinações. a fórmula respectiva. . ou seja. Exemplo 1: produtos de números. a seguir.ba). Permutações . Combinações —são agrupamentos que diferem entre si somente pela natureza de seus elementos. Princípio Fundamental da Contagem. sem repeti-las (em cada anagrama. mesmo que a ordem desses elementos seja diferente (ab . 6. 37*73.182 g Raciocínio Lógico — Enrique Rocha com os mesmos elementos são considerados diferentes. Regra: o número total de modos de ação ou de escolha de um determinado acontecimento que ocorre em etapas é igual ao produto das possibilidades de escolha ou ação de cada uma das etapas. são combinações.trata-se de um caso particular de arranjos. já que a ordem dos fatores não altera o produto.2. em que cada agrupamento é formado por todos os elementos do conjunto dado. Ressalte-se que esse princípio é geral para todos os dois tipos de agrupamentos vistos acima (arranjos e combinações). entram todas as letras da palavra dada). Exemplo 2: anagramas formados com as letras de uma palavra. O Grande Segredo O Princípio Fundamental da Contagem é uma ferramenta de grande utilidade para a resolução de problemas de Análise Combinatória. devendo-se apenas. Exemplo 2: agrupamentos de pessoas são combinações. Apliquemos esse princípio em cada tipo de agrupamento e. 3 x 7 = 7 x 3. exduir os agrupamentos repetidos. Exemplo 1: números de cinco algarismos. Análise Combinatória e 183 A rran jo s Exemplo 1: quantas placas diferentes podem ser formadas com um único algarismo? Explicação: as placas serão 0. 1. portanto. haverá apenas nove possibilidades de escolha para o segundo algarismo: TT 10 9 Vemos. sem repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em duas etapas: a escolha do primeiro algarismo e. Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. que poderão ser formadas 10x9 placas diferentes.3 . até 9. quando o número de elementos é igual a 1. por fim. Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. haverá oito algarismos a escolher para a terceira posição..: 90. como não pode haver repetição dos algarismos já usados. sem repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em três etapas: a escolha do primeiro algarismo. haverá nove possibilidades de escolha para o segundo algarismo. r 10 r 9 t 8 . Exemplo 3: Quantas placas diferentes de três algarismos poderão ser formadas com três algarismos (0a 9). □ 10 Resp.: 10. 3. E. a escolha do terceiro algarismo. como não . a escolha do segundo algarismo... depois a escolha do segundo algarismo e. Exemplo 2: quantas placas diferentes podem ser formadas com dois algarismos (0a 9). Tanto pode ser considerado arranjo como combinação. Resp. como não pode ser repetido. Observação: Este é um caso especial. Para cada “primeiro algarismo” escolhido. Para cada grupo de “primeiro e segundo” algarismos já escolhidos.pode haver repetição do algarismo já usado. depois. para cada “primeiro algarismo” escolhido.Capítulo 6 — 6 . 2. 000 Exemplo 6: (arranjos / permutações) De quantas maneiras distintas cinco pessoas podem sentar-se em um banco retangular com cinco lugares? Resolução: Como você pode perceber.: 720 Exemplo 4: quantas placas diferentes podem ser formadas com dois algarismos (0 a 9). portanto. Já para o segundo escolhido. E. 10 10 10 Resp. podendo repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em três etapas: a escolha do primeiro algarismo. a escolha do terceiro e último algarismo. haverá dez possibilidades de escolha para o segundo algarismo. por fim. podendo repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em duas etapas: a escolha do primeiro algarismo e. Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. depois a escolha do segundo algarismo e. já que nenhuma delas se sentou ainda. Vemos. portanto. haverá dez possibilidades de escolha para o segundo algarismo. Para cada “primeiro algarismo” escolhido. Resp.: 100 T10 f?o Exemplo 5: quantas placas diferentes podem ser formadas com três algarismos (0a 9). Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. como o . que poderão ser formadas 10x9x 8 placas diferentes. que poderão ser formadas 10x 10placas diferentes. a escolha do segundo algarismo.: 1. depois. portanto. Vemos. Para cada grupo de “primeiro e segundo” algarismos já escolhidos.184 □ Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Vemos. todas as cinco pessoas são uma alternativa para o primeiro lugar. Resp. haverá dez algarismos a escolher para a terceira posição. que poderão ser formadas 10x10x10 = 100 placas diferentes. para cada “primeiro algarismo” escolhido. Este procedimento deve ser continuado até que você tenha "assentado” todas as letras. Assim. ficaram apenas quatro pessoas em pé e. você tem seis opções. IOB.. para os outros lugares. à medida que ia sendo escolhida a pessoa para o lugar imediatamente anterior. IBO.2.seus A resposta acima poderia ser dada assim: 5! Exemplo 7i (Arranjos / Permutações): Quantos anagramas distintos podem ser formados com a palavra "cheiro”?1 Resolução: Veja que. sáo palavras do idioma. para a escolha da primeira letra do anàgrama.: 6! = 720 1 Anagrama é a palavra usada para variações livres entre as letras de uma palavra.5. ou seja. Resp. De forma análoga. vemos que o total de anagramas (variações) possíveis para as letras da palavra cheiro é 6.üm>: ni^èrp tn a tt ^ í q i^ antecessores. uma dessas quatro tinha que ser escolhida. BIO. a quantidade de alternativas de escolha ia diminuindo. n T -m 6 x $ x 4 x 3 x 2 x l Aplicando o PFC. até a uíiidade. ou seja. Anagrama! .3. como nem todas têm significado. Isso resultaria em uma situação conforme a mostrada abaixo: W 5 x 4 x f i 3 x 2 x J Resp.4. a palavra “BOI” tem os seguintes anagramas.Capítulo 6 — Análise Combinatória m 185 primeiro já tinha se sentado. OBI e OÍB. pode escolher qualquer uma das seis letras da palavra cheiro. logicamente.: 5 * 4 x 3 x 2 x l =120 SÕtóervaçãoêâítoiiltiplicação dé.édb .1 = 720 (ou 6!).Quando você já tiver feito a primeira escolha.BOI. . temos que nos referir a cada uma por um outro nome. restarão cinco letras dentre as quais você escolherá aquela que vaí ocupar a segunda posição. Entretanto vamos listar esses anagramas. aAs. dividimos o total de “misturas” pelo fatorial de 2 (quantas vezes uma letra repetida aparece na palavra original): Resp. Para obtermos o número de anagramas (distintos). colocando o primeiro “a” como maiúsculo..260 anagramas.186 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Exemplo 8: quantos anagramas tem a palavra "asa”? Pelo que temos visto anteriormente. surgirão alguns anagramas também repetidos e estes devemser eliminados da quantidade total contada. responderíamos: i i i 3x2x1 E o nosso cálculo seria.: 1. veremos que existem anagramas repetidos. No entanto. i 4 x 3 x / x / . Para obtermos o número de anagramas (distintos). vemos que na realidade só há três anagramas distintos da palavra “asa”. dividinios o total de “misturas pelo produto 21 x 2! (quantas vezes cada letra repetida aparece na palavra original). Aas. A letra c aparece duas vezes e a palavra o também se repete duas vezes. M 7x H 6 x 5 x H (2 x l ) x Resp. é possível “misturar” as letras de seis maneiras diferentes. 6/21 = 6/2 = 3 Exemplo 9: quantos são os anagramas da palavra “caboclo”? 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x ] Temos 7! “misturas”. asA Como você pode ver. se você colocar as duas letras “a” escritas da mesma maneira. Quando as palavras apresentam uma ou mais letras repetidas. sAa. sAa. durante o processo: Asa. 3 x 2 x 1 » 3! = 6. para diferenciá-lo do outro. No exemplo acima. . a letra a aparece três veies e a letra t aparece duas vezes. como os elementos poderão se repetir.n (p vezes). Para obtermos o número de anagramas (distintos). A letra m aparece duas vezes.np Esta fórmula também decorre do Princípio Fundamental da Contagem. Exemplo 1: imagine o problema das placas do DETRAN em que se se pode usar três letras (do alfabeto com vinte e seis letras) e quatro algarismos. dividimos o total de “misturas pelo produto 3! x 2! x 2! (quantas vezes cada letra repetida aparece na palavra original).3= 60 formas distintas (5.(5-l).3. em vez de termos n.2.1.3. 10 x 9x 8 x 7x 6 x 5 x 4 x 3 x 2x1 (3 x 2 x ? ) x ( 2 X l ) x ( 2 x 1) Resp.4.Análise Combinatória e 187 Exemplo 10: quantos anagramas tem a palavra "matemática” (desconsidere o acento)? n 10x T 9x i 8x T 7x r . n.n.(5-2)) t________ i 3 fatores No caso de poder haver elementos repetidos no mesmo agrupamento: An.(n-2)..1.p = n.: 151.(n-l)... . 6 x 5 x 4 x 3 x 2x1 Temos 101 “misturas”. e p o número de elementos a entrar em cada grupo.. n. náo haverá decréscimo e. lembrandonos de que. —> haverá p fatores.Capítulo 6 —..200 anagramas 6.. o número total de arranjos é dado pela fórmula: Geral: Anp= n(n-l)(n~2).. Exemplo: de quantas maneiras distintas cinco pessoas podem sentar-se em um banco retangular com três lugares? Temos: = 5.. Fórmulas para arranjos Sendo n elementos.. teremos n.. Inicialmente.rn!.. C. 6. ou seja. cada comissão é uma combinação (e não arranjo). P U rX D d A a lr ABC |> v \rs CAD TU \t AT K( ~Z ABD D IIL / r\T> a A X7X7TT Ü C ÍV ACB CDn BCD TZOT7 1 T T f x Z ACD /^ n A A D P .tr2!. B. D)? Como já vimos. mesmo mudando a ordem das pessoas de uma comissão. usando a fórmula.n): Pa .4. 2.188 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Como o enunciado não explicitou nada sobre a repetição das letras e dos algarismos.n= n. AP. porque. teríamos: a^ a ^ .(n-l). Combinações Exemplo 1: quantas comissões distintas de duas pessoas é possível formar a partir de um grupo composto por quatro pessoas (A. usando a fórmula de arranjos com elementos repetidos. a comissão é a mesma. Para permutações com elementos repetidos no conjunto principal: A Nl rj!.3. p . temos que considerar AAA0000 como uma possibilidade de solução (por exemplo). ' y ' ' Exercício: refaça os exemplos acima.. PTYAXZTITrt ÍT t7 D ©€A w í i TXtTXZ p n r XXCX1 UwO . i —> haverá n fatores.c^ x h ^ .n!An.(n~2). Para permutações (arranjos com todos os elementos em cada grupo. o cálculo do número de agrupamentos é o mesmo de arranjos: E os agrupamentos seriam: ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB Precisamos agora excluir os OÍt< combinações (quatro): TS A V /T. partimos do pressuposto de que é permitido repeti-los. Com isso.tr3L. w~ ^ —^ —* haverá rp fatores. sem repeti-los no mesmo grupo. pois elas podem ser necessárias à resolução de alguma questão ou.5. Cnl = n (combinação de n elementos um a um é “n”). servir para acelerar o processo em alguma outra. estando o algarismo 7 sempre em segundo lugar? f . Exemplo 1: quantos números de quatro algarismos.^. está uma relação de alguns tipos mais comuns de problemas. Cn0= 1 (combinação de n elementos zero a zero é um). 6. = n. AnJ = n (arranjo de n elementos um a um é “n”). 6. em ordem crescente de dificuldade. Agrupamentos com determinado elemento em lugar determinado.6.Vx 8 xt7 « S04 .podemos formar com os algarismos. Convenções e Observações Existem algumas convenções que você deve conhecer. 0! = 1 (fatorial de zero é um).^ra~ ^. Alguns Tipos Comuns de Problemas Abaixo. XI —1 (fatorial de um é um). k! h! Exercício: refaça o exemplo acima) usando a fórmula.Capítulo 6 — Análise Combinatória a 189 Regra: o número de combinações possíveis é igual ao número de arranjos. mesmo. dividido pelo fatorial do número de elementos em cada grupo. Fórmula: C M !™ . 190 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Vemos que o algarismo 7 entra em todos os agrupamentos. Então, ele é retirado do conjunto geral, fazem-se os grupamentos com os nove restantes e, depois, se insere o 7 no segundo lugar de cada grupamento. Ficam, portanto, apenas nove algarismos e três lugares para serem trabalhados. J W . - V - 9 * 8 * 7-5°4. Resp.: 504 números Exemplo 2: Quantos anagramas da palavra “bonzai” começam com “Z”? Z S x 4 x 3 x 2 x 1 A palavra “bonzai” tem seis letras. No entanto, vemos que a letra Z, em todos os agrupamentos, estará ocupando a primeira posição. Por isso, vamos “assentar” a lecra Z no primeiro quadrado e deixa-la lá. Não se esqueça de que a partir do momento em que a letra Z está na primeira posição, ela não entra mais no “sorteio de letras” para as outras, ou seja, passamos a trabalhar com cinco letras para cinco vagas. Ag.1 w = A55= 5 x 4 x 3 x 2 x l = 120. Resp,: 120anagramas Observação: como todos os cinco elementos (as letras que sobraram após a retirada do Z) entram em todos os agrupamentos, trata-se de uma permutação, e o problema poderia ser resolvido de modo mais simples: P = 5! » 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Exemplo 3: quantos times de cinco jogadores podem ser formados a partir de um processo seletivo com quin2e atletas? Na formação de um time, não faz diferença a ordem em que os jogadores são chamados, ou seja, o time formado por “João e Marcos” é o mesmo time “Marcos e João”. Isso nos coloca diante de um problema de combinação. Temos quinze elementos para cinco vagas, o que nos leva a: Resp.: 3003 Capítulo 6 — 6.6.1. Análise Combinatória s 191 Agrupamentos com Elementos Sempre Juntos e em Determinada Ordem Exemplo 1: Quantas variações de cinco algarismos, sem repeti-los no mesmo grupo,podemos formar com os algarismos, estando os algarismos 2 e 7 juntos e nessa ordem? Vemos que os algarismos 2 e 7 entram em todos os agrupamentos, juntos e nessa ordem. Então, podem ser considerados como um elemento só no conjunto geral (passam a ser nove elementos). E como se 27 fosse considerado um algarismo só. Passamos, então, a trabalhar com as “pedras” “0”, “1”, “27”, “3”, “4”, “5”, " 6”, “8” e “9a. Importante! Como usamos o 27 sempre, estaremos ocupando dois dos cinco algarismos. Por isso, vamos trabalhar apenas com 4 casas disponíveis. l i 1 1 9 x 8 x 7 x 6 = 3,024 Observe que o problema usou “quantas variações” e não “quantos números”?desta forma, náo precisamos nos preocupar com o “0n(2ero) na 1*posição à esquerda. Se fossem “números”, isso seria necessário! Resp.: 3.024 Exemplo 2: Quantos anagramas da palavra UNIVERSAL podemos formar que contenham as letras “I”, “V” e“L” juntas e nessa ordem? Vemos que as letras “I”, “V” e “L” entram em todos os agrupamentos, juntos e nessa ordem. Isso significa que devemos tratá-las como se fossem uma única lecra, passando o nosso conjunto a ser: “U”, N“, ‘TVL”, “E”, “R”, KS” e “A”, ou seja, temos sete letras para misturar em cada agrupamento. Ou, ainda, usando a fórmula, queremos arranjar sete “letras” de sete em sete: 11111 1 1 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x A92w=A77= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=5.040. Resp.: 5.040 anagramas 1=5.040 192 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Observação: como entram todos os elementos em todos os agrupamentos, trata-se de permutação, e poderia ser resolvido assim, de modo mais simples: P? = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x l = 5.040. 6.6.2. Agrupamentos com Eiementos Juntos, em Qualquer Ordem Para a metodologia dos exemplos abaixo, usaremos os exemplos semelhantes do tópico anterior (agrupamentos com elementos sempre juntos e em determinada ordem), pressupondo que foram compreendidos e aprendidos pelo leitor. Exemplo 1: Quantas variações de quatro algarismos, sem repeti-los no mesmo grupo, podemos formar, estando os algarismos 2 e 7 juntos (em qualquer ordem)? Vimos, pelo exemplo 1 do tópico anterior, que, se os algarismos 2 e 7 devessem ficar juntos sempre nessa ordem, a resposta seria 3.024. Como neste exemplo, aqui a ordem pode ser qualquer, ou seja, tanto pode aparecer 27 como 72, vemos que temos de multiplicar o resultado acima por 2 (=21): 3.024 x 2 = 6.048. A explicação mais genérica é a seguinte: quando os elementos unidos puderem alternar suas posições, multiplique o resultado obtido para uma das combinações pelo total de variações “ internas” possíveis. Resp.: 6.048 números Exemplo 2: Usando o exemplo anterior, quantos números poderiam ser formados, apresentando sempre os algarismos 2,7 e 9 juntos e em qualquer ordem? Podemos considerar os algarismos 2,7 e 9 como um elemento só no conjunto geral (passam a ser oito elementos). É como se 279 fosse considerado um algarismo só. Passamos, então, a trabalhar com as “pedras” “0”, *1”, “279”, "3”, “4”, “5”, *6* e“ 8”. n t ttI 1 S x 7 x 6 x $ x 4 x 3 x 2 x Isso resulta em 8! = 40.320 variações possíveis. 1 2 Capítulo 6 — Análise Combinatória e 193 No entanto, como os algarismos 2, 7 e 9 podem aparecer em qualquer ordem, temos que considerar as variações possíveis para eles: m 3x2x1 E o nosso cálculo seria: 3 x 2 x 1 = 3! = 6. Com base nisso, multiplicamos o valor encontrado na primeira parte da resolução por 6: 40.320 x 6 » 241.920 Resp 241.920 números 6.7. Exercícios Resolvidos de Análise Combinatória 1. Quantos são os multados possíveis para os três primeiros lugares de uma competição da qual participam sete corredores? Resolução: Imagine o seguinte resultado: “José em lfl lugar, Pedro em 2a lugar e Mário em 3Blugar”. Será que este seria o mesmo resultado de “Pedro em Ia lugar, Mário em 2a lugar e José em 3a lugar”? Claro que não! Por isso, neste problema, estaríamos considerando que “a ordem dos elementos no grupo fez diferença, ou seja, “ABC” seria um resultado realmente diferente de “CBA”. Quando for este o caso, basta aplicar o PFC e chegar à quantidade de variações possíveis: t r f 7 x 6 x 5 = 210 Aqui, podemos perceber que tínhamos sete possibilidades para o vencedor (Ia lugar), seis para o segundo lugar (porque uma das sete pessoas já está “colocada”, e cinco para o terceiro lugar, resultando em um total de 210 resultados diferentes possíveis. Por outro lado, existem situações em que a ordem dos elementos nos agrupamentos resultantes não faz diferença no resultado final. É o caso, por exemplo, dos exercícios que envolvem a formação de comissões de “x” pessoas tiradas de um conjunto maior. Resp.: 210 194 ei Raciocínio Lógico— Enrique Rocha 2. Uma prova consta de quinze questões das quais o aluno deve resolver dez. De quantas formas ele poderá escolher as dez questões? Resolução: Em primeiro lugar, é importante que você identifique quantos elementos (no total) estaremos tentando agrupar. O exemplo cita que poderemos escolher dez de um total de quinze. Assim, nosso total é quinze. O próximo passo é definirmos “a quantidade de vagas que deverão ser ocupadas”, ou seja, por quantos elementos cada grupo possível deverá ser formado. No nosso caso, como teremos que escolher dez dentre as quinze questões existentes» nossos grupos serão formados por dez elementos. Depois desse mapeamento inicial aplicaremos o PFC: t í "r n T r r n ' 1 5x 1 4x1 3 x12x11x10x9x8 x7x6 Como podemos perceber, a ordem em que o aluno resolve as questões não faz diferença no resultado final, ou seja, tanto faz se ele escolher a terceira questão para resolver primeiro ou por último. Logo, estamos diante de uma situação em que precisamos eliminar as repetições, o que é feito dividindo-se o produto acima pelo fatorial do número de vagas: 1 5 x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 1 1 x K T x - T x -S " x - T x * er ■HTx--9''x - T x - r 5 x 4 x 3 x 2 x l Esse cálculo nos leva a: 15.14,13.12.11 _ ^.1413.12.1 i _ VT-13.12.il _ 7.13.1^.11 _ 5.432.1 X4X2.1 42l #1 Resp.: 3.003 Capítulo 6 — Análise Combinatória is 195 3. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1 , 2 , 9 . O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de três dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Resolução: Este tipo de problema se diferencia dos demais porque a quantidade de elementos a serem arrumados é diferente da quantidade de ‘Vagas” existentes para estes elementos. Aqui, você pode usar o mesmo raciocínio apresentado nos exemplos anteriores, com uma pequena diferença: você não vai usar todos os elementos disponíveis, mas apenas três deles, porque o código do cofre só aceita essa quantidade. Assim, como você tem dez possibilidades de escolha para o primeiro algarismo, para o segundo você terá nove (o que é explicitado na expressão “dígitos distintos”); e analogamente, para o terceiro dígito, você poderá escolher um dos oito que ainda não foram utilizados. Quando aparece aigo como “quantas tentativas (no máximo)”, você deve pensar no maior número possivel de variações, como se “o cara fosse o mais azarado do mundo” e fosse acertar apenas na última (!!!). Esse tipo de pergunta é recorrente em provas de todo tipo! 10 x 9 x 8 = 720 Observe que 720 = Ai03 Desta forma, poderíamos tratar o exemplo como sendo um problema de cálculo de arranjo de dez elementos três a três: á 50,3 = 10.9.8 = 720 Resp.: 720 4. O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas, usando-se três letras do alfabeto e quatro algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Resolução: Como o alfabeto possui vinte seis letras e nosso sistema numérico possui dez algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a primeira posição, temos vinte e seis alternativas e, como pode haver repetição, para a segunda e a terceira também teremos vinte e seis alternativas. 196 e Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos dez alternativas para cada um dos quatro lugares. L I N --- 1--- N H mu th 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 1 0 x 10 Podemos, então, afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26x26x26x10x10x10x10 = 263 x IO4, que resulta em 175.760.000. Por tratar-se de um problema de arranjo no qual os elementos podem repetir-se no agrupamento, podemos usar também a fórmula de arranjos com elementos repetidos para cada uma das etapas - a primeira, escolha das letras, e a segunda, a escolha dos algarismos. Aplicando o PFC, sabemos que o total de variações possíveis será: A 26.3X A 10.4!S ^ 63 x 104)- Resp.: 175.760.000 5. Um salão tem seis portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Resolução Para a primeira porta, temos duas opções: aberta ou fechada. Para a segunda porta, temos também, duas opções, e, assim, sucessivamente. Para as seis portas, teremos, então, pelo Princípio Fundamental da Contagem —PFC: t 11i i 1 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 No entanto, uma dessas possibilidades é o cenário no qual todas as portas estão fechadas, o que não atende à condição imposta de *o salão estar aberto”. Por isso, precisamos descartar uma das sessenta e quatro possibilidades, ficando com o resultado final de sessenta e três formas de o salão estar aberto. Resp.; o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. o que nos leva às seguintes considerações: 1. vamos considerar apenas três. em vez de estarmos falando de oito possibilidades de escolha para a primeira vaga....... o enunciado explicita a condição de que “A” e “B” estejam sempre presentes.. . C. este número vai diminuindo.... mas de uma forma um pouco diferente: em vez de considerarmos cinco vagas. e..... Aplicando o PFC: 1 ' n 'r i 8 x 7 x 6 x S x 4 Já que. No entanto... a ordem das pessoas não altera uma comissão e.. E. sendo que em cada comissão sempre devem estar presentes as pessoas “A” e “B” ? Resolução: Vamos considerar primeiro a resolução do problema sem a condição colocada (de estarem presentes “A” e “B”). G e H. por isso..... sejam os elementos: A... B.. estaremos falando de apenas seis (já que duas delas já foram descartadas pela designação prévia). Quantas comissões distintas de cinco pessoas podem ser formadas a partir de uma equipe com oito membros. 2. 3x2x! 8 x 7 x JS __ .Capítulo 6 — Análise Combinatória s 197 6. devemos considerar que dois lugares da comissão já estarão ocupados e que estes dois elementos não entrarão no “sorteio” dos participantes. temos que eliminar as repetições: t i i ST* r i(S 8 x 7 x 6 x . por outro lado.. Temos oito “candidatos” paja cinco “vagas”. a 8 x 7 “ 56 1 De acordo com o cálculo.. . D. seria possível formarmos cinqüenta e seis comissões distintas. a aplicação do PFC continua sendo válida. Dessa forma. F. Como já vimos anteriormente.. para a primeira vaga. à medida que as pessoas vão sendo escolhidas.. como A e B estarão sempre presentes.. todos concorrem. pelo menos.: serão possíveis 20 comissões distintas. \ \ \ X x 5x4 Resp.i serão possíveis 20 comissões distintas. vou surpreendê-lo com a forma mais simples. três): rt o '. três são físicos. . com a variação de que. não poderemos considerar os elementos “A” e “B” como possibilidades para preenchimento das vagas. e nove não físicos (essa informação será usada daqui para a frente). ou dois. S. vou apresentar-lhe primeiro a forma mais difícil e. além disso. Numa assembleia de doze cientistas. um físico? Resolução: Este problema pode ser resolvido de duas formas: uma mais difícil e outra mais simples. teremos seis possibilidades. porque não existem mais do que três físicos no conjunto principal de elementos). sendo que. no mínimo. depois. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas. um físico pode ter um. você deve notar que temos três físicos. teremos nossa resposta final. se calcularmos o total de comissões com um físico. Para a primeira vaga. o total com dois físicos e o total com três físicos. ou três físicos (e não mais do que isso.. em cada comissão. estaremos considerando a nova quantidade de vagas existentes (no caso. Como eu preciso que você amadureça seus conhecimentos sobre combinatória. incluindo. nele. e somarmos estes três totais. quando formos eliminar as repetições (fato decorrente de não importar a ordem dos elementos no grupo). ok\ Uma comissão com. Antes de tudo. para a segunda. Assim. 7. cinco e assim por diante.. Quantas comissões distintas de três pessoas podem ser formadas a partir de uma equipe com oito membros..198 js Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 3. Li T Í J ■£' x 5 x 4 -------------------------= 5 ar x z x i r A x 4 = 20 Resp. nunca devem estar presente as pessoas “A” e “ B”? Resolução: E um problema muito semelhante ao anterior. para os físicos e. temos cinco vagas. Para os físicos. depois. O segundo ponto é notar que nossa comissão deve ter cinco membros. depois. pelo PFC. Para tanto. temos três possibilidades. o que implica dividir por 1 (não altera nada). Temos que tratar o processo em duas etapas: a escolha do físico e. . conforme mostrado abaixo: Fís. para os não físicos. calcular as possibilidades para ocupação desta vaga e. a quantidade total de alternativas é dada pelo produto das possibilidades específicas de cada etapa. a escolha do cientista não físico. basta separar a vaga do físico. Isso também deve ser feito em etapas. Não físicos 1 i H 3 x 9 1 1 x 8 x 7 x 6 Só que. temos que o resultado final será: 3 x 9 x 4 x 7 = 378 Conclusão: é possível formar 378 comissões que tenham apenas um físico. Para as restantes. temos quatro vagas e temos que dividir por 4 x 3 x 2 * 1. ou seja. fazer a distribuição dos outros nas quatro vagas restantes. então. Fís. como a ordem não importa.Capítulo 6 — Análise Combinatória 3 199 Com um físico: A resolução deste problema passa pela situação de fixarmos um físico em um dos lugares e liberarmos o resto das posições para os cientistas que não são físicos. temos que dividir cada parte pelo fatorial da quantidade de vagas existentes. aplicamos o PFC. e náo mais do que isso. A primeira percepção que você deve ter é a de que estamos tratando de comissões com exatamente um físico. Para a vaga de físico. Para os não físicos. Não físicos t llil 3 x 9 x J8r x 7 x & ■fir x -3" x 2 : x 1 Acontece que o PFC não é aplicado apenas para calcular a quantidade de possibilidades para os não físicos. temos apenas uma vaga. Dessa forma. ou seja. Esta aplicação considera exatamente o seguinte: o processo geral de escolha das comissões implica duas etapas distintas e. Veja como isso é feko. mas também para calcular a quantidade total. .. Com isso. De forma análoga.> f .. i __1 x x Jr 9 x Jfr x x x 2: x 1 1 i i 1 1 Este cálculo gera: 9 x 4 = 36 Conclusão: é possível formar 36 comissões com exatamente três físicos. temos que lembrar de eliminar as repetições (porque a ordem náo importa). agora. com dois físicos: F ísico s Não físic o s í 1 1 i 1 4 3 x Jt JSr x & x 7 \ X x 2: x 1 Fazendo as contas. como temos duas vagas para físicos... também muda o denominador da parte “náo físicos”. chegamos ao resultado: 3 x 3 x 4 x 7= 252 Conclusão: é possível formar 252 comissões com exatamente dois físicos.200 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Com dois físicos: Observe que. novamente houve mudança nas quantidades de vagas reservadas para cada grupo): Físicos Nâo físicos |.. que era 41 e agora passa a ser 3! porque só restaram três vagas para serem preenchidas (depois do preenchimento das duas vagas reservadas para os físicos).. Com tfês físicos: Por fim.. Como passo final. temos que somar os três totais e obteremos a quantidade total de comissões distintas possíveis das quais participe pelo menos um físico: Total: 378 + 252 + 36 =-666 . calculando para três físicos (e percebendo que. 6 -. dois ou três físicos nas comissões (porque só existem três físicos no grupo). Observe que assim: C„t . . Assim. não importa qual o caminho que o ratinho escolher.-- g A Resolução: Considerando que um passo leva de um ponto a outro.. por quantos caminhos distintos poderá completar esse trajeto? ---------------. V Resp. para qualquer outro.k fatores-assim: :: í Ciu _C9’5 = 1l H i r " i Í Í = 792-126 = 666^comi^es'..---. Se um ratinho quer Ir do ponto A para o ponto B. ele sempre terá que passar por oito etapas antes de chegar ao ponto B. as oito etapas estão presentes): — 5 -. de um cruzamento entre linha e coluna para outro..' .ik i. mas só pode andar para cima ou para a direita (um movimento de cada vez). onde tem um delicioso queijo. Podemos raciocinar da seguinte forma: em quantas comissões não possuem.v '. ou seja.i 1 A -------.Cg5~ 666comissões. Veja um dos caminhos possíveis (e confirme que. .^ -------------------------------p -a ^ <u iL 2..---- g .-------. existem C l25comissões possíveis de cinco membros escolhidos entre doze e existem Cn35 = Cg5comissões nas quais não aparecem físicos. teremos: • C l2>5. -vV/Ora. físicos e subtrair este número do total de agrupamentos possíveis.Capítulo 6 — Análise Combinatória a 201 OUTRA FORMADE RESOLVER: A expressão “no mínimo um físico” significa a presença de um.: 666 9.7 --^8 |----. escolhendo-os dentre os nove poncos disponíveis. Este é um caso especial do Princípio Fundamental da Contagem. Resp. S. Em uma reta s existem quatro pontos e. que é a quantidade de caminhos possíveis. Para fins de citação. Como o grupo formado pelos pontos s{ &2e representa o mesmo grupo formado por rJ# s} es2.j----------rt r2 r3 r4 rs O que queremos é formar agrupamentos de três pontos. Quantos triângulos distintos podem ser formados unindose quaisquer três desses nove pontos? Resolução: Sejam as retas s e r e sejam os pontos sl5s2. Dessa forma. existem cinco pontos. em uma outra reta r. em s. onde se eliminam as repetições dividindo-se o resultado pelo fatorial da quantidade de repetições. temos um caso em que a ordem dos elementos no grupo não faz diferença no resultado final.202 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Veja que se fizermos “C” movimento para cima) e “D” (movimento para a direita) como sendo os passos possíveis. como mostrado abaixo: S. paralela a s. sendo que. apenas.1----------- — 4— |— I— í---. há quatro repetições de movimentos para cima e quatro repetições de movimentos para a direita. o que queremos é encontrar os anagramas de "CCCCDDDD”. e os pontos r)} r2>r3. r4e r$ em r. ou seja. S3 s4 — J— I— I-----. em cada uma delas. os caminhos serão formados a partir da variação de oito alternativas (permutação de oito). . esse seria um caso de Pg(44) =■——= 70 raminhos distintos. s? e $4. de cada elemento repetido (exatamente igual ao raciocínio usado para explicar “anagramas com letras repetidas”): 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 {4 x 3 x 2 x 1} x ( 4 x 3 x 2 x l ) Este cálculo nos leva ao valor 70.: 70 10. teremos sempre alguma variação de 4 “Cs” e 4 “Ds”. contendo apenas pontos da reta r. seja ela a reta r ou a s. porque. de um total de 84 grupos possíveis. temos um total de 14 grupos que não nos servem. Como conclusão.Capitulo 6 — Análise Combinatória a 203 Assim. Os grupos formados apenas por pontos da reta s são calculados utilizando apenas aqueles pontos como origem da variação. Assim. precisamos eliminá-los. não seria possível formar um triângulo com os pontos. Resp. podemos afirmar que seria possível formar 84-14 = 70 triângulos possíveis. No entanto. este problema impõe uma restrição de que não se consideremos grupos formados por três pontos da mesma reta. contendo apenas pontos da reta s. Como temos quatro pontos em s: r4 xf3 xt2 3x2x1 O que nos leva a um total de quatro grupos diferentes. teremos que utilizar o Princípio Fundamental da Contagem e eliminar as repetições geradas. Usando o mesmo raciocínio para os pontos da reta r: T5 x 4rx 3f 3x2x1 O que nos leva a um total de dez grupos diferentes. se assim fosse. como mostrado abaixo: T9 xT f 8x7 Bx2xl O que nos leva a um total de 84 grupos diferentes possíveis.: 70 triângulos . Assim. Por termos cinco homens e cinco mulheres. Para manter seu padrão de raciocínio. em todos os degraus.204 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 11. evite pensar nos degraus “um acima do outro”. teríambs um homem à esquerda e uma mulher à direita.400 possibilidades para esta configuração. e Mulher/Homem.2. 1* análise: Imagine inicialmente que. 23análise: No entanto. etc. .400. mas trate-os “lado a lado”. c) 460. etc. d) 57. temos que tratar as duas possibilidades para cada degrau: Homem/Mulher.1. em cada degrau.2. H-M H-M H-M. De quantas maneiras podemos posicioná-los de forma que. Resolução: Se.3. precisamos ter cinco degraus. Com isso. como se trata de uma fotografia.800.120 = 14. fiquem um rapaz e uma moça? a) 32.1 = 120. b) 28. em cada degrau.3. e) 14. Cinco rapazes e cinco moças vão posar para uma fotografia nos degraus de uma escadaria.800.5.4.4. devem ficar um rapaz e uma moça.600. teríamos variações do tipo: l‘ Dg H-M H-M H-M H-M 2»Dg H-M H-M H-M H-M 3a Dg H-M H-M H-M 4» Dg H-M H-M 5a Dg H-M ÍÉ M P # * -* etc. a aplicação do Princípio Fundamental da Contagem teria a seguinte configuração: 18 Degrau 2a Degrau 3S Degrau 4a Degrau 5fl Degrau H M H 5 'f 5 4 M H < 4 3 ▼ M ' 3 H 2 M U H * if *2 \ ' i Isso nos levaria a 5. temos 14.400 « 460. 33análise: Na primeira análise. vimos que.440.y. obtém-se a quantidade de números com 3 e 4 juntos e com 1 e 2 sempre separados. para uma das configurações. 3. e) 144. 4. mas os algarismos 3 e 4 sempre apareçam juntos? a) 120. efetuar x . Assim. . deste primeiro total.800 Resp. devemos considerar que para cada degrau temos duas possibilidades: H/M ou M/H. devemos executar os seguintes passos: calcular quantos números apresentem o 3 e o 4 sempre juntos e chamar de "x”. 5 e 6. 3 e 4 sempre juntos. Com isso. d) 1.400 variações possíveis. Resolução: Este problema tem duas restrições para os números a serem formados: 1 e 2 nunca juntos. quantos sáo os números formados com algarismos distintos em que os algarismos 1 e 2 nunca estejam juntos. c) 24. Para resolvê-lo. em quantos o 1 e o 2 estão juntos e chamar deY . Como temos 32 configurações distintas (segunda análise). b) 240. calcular.Capítulo 6 — Análise Combinatória a 205 Pata calcularmos ao certo pelo Princípio Fundamental da Contagem.800 12. ou seja. subtrair do total com 3 e 4 juntos a quantidade de números em que 1 e 2 apareçam juntos. o total de formas possíveis para a fotografia é dado por: 32 x 14.: 460. teríamos: 1® Deg 2» Deg 3*Deg 4BÜeg W 2 x 2 x 2 x 5aDeg i 1 1 2 x 2 1 = 25 = 32 Este cálculo nos leva a 32 variações possíveis para as posições nos degraus. Dados os algarismos 1.2. 1.4/4. x = 240.41 não é a única forma de termos esses dois algarismos juntos. Portanto. 5 e 6 para permutar. acontece a mesma coisa.31. 5 e 6. teremos as vinte e quatro possibilidades vistas acima. Logo. T rrf 4 x 3 x 2 x 1 = 2 4 O pega do problema Quando calculamos o total de números com 3 e 4 juntos.2/2. sem nos esquecermos de que também precisamos tratar a possibilidade delxJi.2 e 2. ou seja. Temos. para cada uma das variações possíveis.4 e 4. mas as combinações possíveis com as variantes [3. mas não basta considerarmos as hipóteses de 1.3]. vamos calcular a quantidade de números em que o 3 e o 4 aparecem juntos. não é mesmo? Aqui. Para tanto. devemos considerar 3. então. multiplicamos 120 por 2 e encontramos 240. a quantidade de números formados em que 3 e 4 estão sempre juntos é 240. 3/4.1). totalizando cinco elementos: tT T T t 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Cuidado!!! Não se esqueça de que (3.4 com sendo uma única “peça” e ver a quantidade de variações. Precisamos considerar também a hipótese de14. Primeiro. 3/4. teríamos 1.206 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Ia passo: cálculo do total de números com 3 e 4 sempre juntos. . Dos 240 números que apresentam 3 e 4 juntos. juntando-se os algarismos 1 e 2 em uma única “peça”([“O I). Isto posto. Assim. quatro elementos para permutar: 1/2. você deve perceber que. 2a Passo: Cálculo do total de números com 3 e 4 sempre juntos e com 1 e 2 também juntos. que nos levaria a outras 120variações. 2.3. Por que não? Porque precisamos tratar todas as variantes não apenas para a “peça” 11. porque podemos ter 3. em quantos deles teremos o 1 e o 2 também juntos? Isso é calculado da mesma forma que fizemos para o 3 e o 4. A E 5* Possib. então. A E 8aPossib.2 / 2. A E 6aPossib. A 10aPossib. A E 3aPossib. Quantos anagramas da palavra AÇUDE apresentam as vogais A.4 4. A 2a 3* 4a 5a E U 2aPossib. um “U” antes de um “A” (e assim por diante): P IaPossib. mas com 1 e 2 nunca juntos. por exemplo.144. E. que. U A U U U E U E U . Resp. Logo: 240 -9 6 .> 24 —----►■+ 24 —----► + 24 . para chegarmos à resposta do problema. mas nunca termos. U em ordem alfabética crescente? Resolução: Neste problema. 96 apresentam também o 1 e o 2juntos. dos 240 números diferentes que apresentam 3 e 4 juntos.1 / 3. A E 4aPossib.>■ + 24 96 variantes possíveis Podemos concluir. A E 93Possib.Capítulo 6 — São elas: 1.4 4. U de forma que estejam sempre em ordem alfabética. você deve considerar as possibilidades para as posições das letras A.3 3. precisamos subtrair os 96 dos 240 e encontraremos os números com 3 e 4 juntos.2 / 1.--.: E 13. Então.3 Análise Combinatória e 207 —--.1 / 2. Note que estarem em ordem alfabética não significa estarem juntas. A U U U E 7aPossib. E. 112 e 1. como mostra a figura abaixo. Uma possibilidade é termos um homem na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente.152. são. por isso. para cada uma das possibilidades.208 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Perceba que..152 e 1. H M H M H M H M A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente: M H M H M H M H - . e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas. respectivamente. Resp.(ESAF-MPU-2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. Passo 2: representar as possibilidades existentes: Primeira situação: homens e mulheres sentam-se em lugares alternados. Isso nos leva a 10 x 2 = 20.100. a) 1.152 e 1. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: ? Primeira situação: homens e mulheres sentam-se em lugares alternados. e) 112 e 384. só sobram duas letras para serem alternadas (“ç” e “d”) e.112. b) 1.: 20 anagramas 14.152. Segunda situação: todos os homens juntos e as mulheres juntas. c) 1. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados. para cada uma teremos duas variações possíveis. d) 384 e 1. temos 4 alternativas para escolha. como um já sentou. como mostra a figura abaixo: H H H H M M M M A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente: M M M M H H H H Passo 3: avaliar as combinações possíveis para cada caso: Como temos 4 homens e 4 mulheres. Uma possibilidade é termos um homem na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente. ITlTnT* 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 4! x 4 ! » 24 x 24 = 576 A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente: t f t l Y í 11' l ' 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1x 1 = 4! x 41 = 24 x 24 = 576 . para a primeira cadeira à esquerda (H). temos apenas 3 alternativas para escolha.Capítulo 6 — Análise Combinatória a 209 Segunda. Para a 3a cadeira à esquerda (segundo homem). tós” faz diferença nà solução jücarmosas possibilidadesde ssè c&ó : ^ Vamos usar esse mesmo raciocínio para calcular todas as possibilidades: Primeira situação: homens e mulheres sentam-se em lugares alternados. e assim por diante. situação: todos os homens juntos e as mulheres juntas. 152 formas distintas de sentar os quatro casais. na Megassena. d) 60. 02. como já sabemos. somamos os dois totais. 60). 32.210 » Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Como pode ser “de um jeito OU de outro”. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Megassena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática de que será um dos ganhadores. temos 576 + 576 a 1.. 02. b) 28. Uma aposta simples (ou aposta mínima). consiste em escolher seis dezenas. ou seja..45. caso o seu sonho esteja correto ét a) 8. temos 576 + 576 = 1.35. Resp. 05..18. (ESAF-AFC-2002) Na Megassena. e) 84.152 formas distintas de sentar os quatro casais. O raciocínio é idêntico: r r xr r r r T i 4 x 3 2 x 1 x 4 X 3 x 2 x 1 » 4! x 4 ! « 24 x 24 = 576 A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente: I I 4 x 5 V x 1 11l 2x 1 x 4 x 3 x i 2 x \ . somamos os dois totais. Segunda situação: todos os homens juntos e as mulheres juntas.01. são sorteadas seis dezenas de um conjunto de sessenta possíveis (as dezenas sorteáveis são 01.4! x 4! = 24 x 24 = 576 Da mesma forma.. para a primeira situação. c) 40.: C 15. para a segunda situação.10. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Megassena estarão entre as seguintes: . ou seja. . . para o primeiro número temos 8alternativas de escolha. 6. 58» 59. Para ganhar. 7. O fato de Pedro ter sonhado com os números restringe as possibilidades aos números que ele sonhou (pois o enunciado pressupõe que seu sonho estaria correto!). 3. Assim. temos um total de 60 alternativas de escolha. Passo 2: representar as possibilidades existentes (já representando as possibilidades de escolha para cada “vaga”): Em um jogo comum (sem qualquer “sonho” sobre as possibilidades) . 2. Para o terceiro. tem que acertar todos os números jogados. Vamos então representar esse cenário: 19 2e 3» 4a 5S 6* 1 V1 Í l i 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 6 x S x 4 x 3 x 2 x 1 20.Capitulo 6 -— Análise Combinatória a 211 Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Elementos do conjunto: 1.: B 8 x 7 x j ^ x i ^ x jk»x ' y = _56 2 x 1 2 ..160 = 28 720 Uma outra forma (bem mais fácil e que por isso deve ser adotada por você) de fazer essa conta seria: Resp. 4.. Para o segundo. e assim por diante. 60 Números apostados a cada vez: 6.. Passo 2: representar as possibilidades existentes (já representando as possibilidades de escolha para cada “vaga”): Este é um problema que pará ser resolvido precisa ser dividido em etapas: Etapa 1: números com 2 algarismos. e) 353. podem ser escolhidos dentre as 6 possibilidades existentes. Quantos destes números são impares e começam com um dígito par? 6 8 a) 216. d) 532.7 e .5 ou 7 (3 possibilidades). Os números ímpares terminam em: 1. Queremos formar números com 2» 3. Etapa 2: números com 3 algarismos.2 . 5 ou 6algarismos. Etapa 4: números com 5 algarismos.4.212 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 16. Etapa 3: números com 4 algarismos. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: O enunciado restringiu os algarismos que podem ser usados a: 1. 4. 5» 7 e 8.5 . 2.4 ou 8 (3 possibilidades). Etapa 5: números com 6algarismos. c) 585. ou seja. Todos devem começar com: 2. Observe que não há restrição para os algarismos intermediários. b) 687. .4 . (ITA) Considere os números de 2 a algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1 . 2S Alg. 5a Alg. 3° Alg. 1BAlg. l 4 x Í 3 x 3 » ! 08 Etapa 4 : números com 5 algarismos. ^ 3 x 4a Alg. 3a Alg. ^ 3 x 4 x 3 =36 Etapa 3: números com 4 algarismos. 2® Alg. x 3 - 9 Etapa 2: números com 3 algarismos. f 3 3a Alg. 5a Alg.Capítulo 6 — Análise Combinatória £tapa 1: números com 2 algarismos. t if 1 x 3 = 216 b 213 . > x 4 4a Alg. j. 1* Alg. 3 29 A!g. 1t i x 3 x 2 x 6a Alg. 1a Alg. 2S Alg. 4a Alg. I 1 r 3 X 4 ir r r x 3 X 2 x 3 = 216 Etapa 5: números com 6 algarismos. 1®Alg. I a Alg. 2« Alg. _Í 3a Alg. então o gráfico a seguir é capaz de representar todas as possibilidades de A vencer a disputa. a primeira que vencer quatro jogos será considerada vencedora. seguidas de três dígitos. cada um escolhido no intervalo de 0 a 9.214 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Como qualquer um dos cenários pode ser a solução. Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de seis caracteres. Se uma das equipes -A—tiver vencido os três primeiros confrontos. na disputa entre duas equipes. temos que somar os valores encontrados: 9 + 36 + 108 + 216 + 216 = 585 Resp. 49jogo 5sjogo A vence 6°jogo A vence 7®Jogo A vence A vence 1) Considere que. Resolução: Item (1): Considere que. que constitui um dos principais fundamentos da Matemática» julgue os itens que se seguem. B perdeu todos eles). A venceu 3 jogos (consequentemente.tiver vencido os três primeiros confrontos. não se permitindo códigos com três letras iguais e(ou) três dígitos iguais. Passo 1: identificar as regras do enunciado: A primeira equipe que vencer quatro jogos será considerada vencedora. Nessa situação.: C 17. 2) O número de cadeias distintas de quatorze caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra papiloscopista é inferior a 108. . na disputa entre duas equipes. 3) Considere a seguinte situação hipotética. então o gráfico a seguir é capaz de representar todas as possibilidades de A vencer a disputa. sendo três letras iniciais. escolhidas em um alfabeto de vinte e seis letras. a primeira que vencer quatro jogos será considerada vencedora. (CESPE-2004) A respeito de contagem. Se uma das equipes —A . a empresa dispõe de até 107 códigos distintos para catalogar seus bens. Nesse caso. ó^' : v : V'• ^/: ^Ol^erve. a disputa é encerrada (“A” com 4 vitórias)* 4. pois no 7a invariavelmente uma das equipes terá alcançado a quarta vitória.Se “A” vencer o 6° jogo (primeira diagonal da esquerda para a direita). Item (2): O número de cadeias distintas de quatorze caracteres que podem ser formadas apetsas com as letras da palavra. B ganhou o 6a jogo (indo para a direita na horizontal). Se KAMvencer o 42jogo (primeira diagonal da esquerda para a direita). 7.Capítulo 6 — Análise Combinatória a 215 Passo 2: interpretar as regras do enunciado: í^Veja que qíialqúér vitoria de "À” será suficiente pára finalizar à ^sputàípõ^ . Observe as letras repetidas: “Ps-3. já tem 4 v |t ó r i a s £ /-•:. 6. precisamos encontrar quantas variações são possíveis usando-se todas as letras da palavra.. e o placar está 3 a 3 para o “A”.tatóbèm''qué':Bíprecisáy^ jSe^^üyeriú^ Do gráfico acima podemos entender a seguinte seqüência de eventos: 1. será necessário um 7a jogo. Nesse caso. quem vencer será declarado vencedor. Caso contrário. e o placar está 3 a 1 para o “A”. e “Ss” -2. . 3. Como queremos cadeias com 14 caracteres. Caso contrário. Nesse caso. será necessário um 6ajogo. “Os”-s. O item está CORRETO. B ganhou o 4ajogo (indo para a direita na horizontal). a disputa é encerrada (“A” com 4 vitórias). Passo 1: identificar as regras do enunciado: A palavra “papiloscopista” tem 14 caracteres. Se “A” vencer o 5ttjogo (primeira diagonal da esquerda para a direita). 2. papiloscopista é inferior a 108.Se chegarmos ao 7a jogo. B ganhou o 5a jogo (indo para a direita na horizontal). “Is”-2. será necessário um 52jogo. e o placar está 3 a 2 para o “A”. “As”-s. Observe que é impossível termos mais do que 7 jogos. 5. a disputa e encerrada (“A” com 4 vitórias). Caso contrário. n . 13 para a 2a. seguidas de três dígitos. sendo três letras iniciais. Nessa situação. Veja a figura: L r L L N N N r r r r t 26 x 2 6 x 2 5 x 10 x 10 x 9 . Passo : interpretar as regras do enunciado: 2 Temos uma variação de seis posições (3 letras e 3 algarismos). Veja a figura: 1a 2S 39 4S 5B 6B 7a 8® 9a ! 0a 119 12a 132 14a . o item está ERRADO. 0 9 Passo : identificar as regras do enunciado: 1 Os bens são catalogados por cadeias de 6 caracteres. 14 x 13x12 x l l xl Ox 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 (3x2x1} x (2x1}x (2x1) x (2x1}x (2x1) . não é? Logo. Não são permitidos 3 letras ou 3 algarimos iguais. As três últimas posições são dígitos (algarismos) escolhidos dentre 0 a 9. cada um escolhido no intervalo de a >não se permitindo códigos com três letras iguais e(ou) três dígitos iguais. Item (3): Considere a seguinte situação hipotética. escolhidas em um alfabeto de vinte e seis letras.14x13x12x11x10x9x$x7x6x5x/xjfxi6ç/ = 14x13x12x11x10x9x6x5x2 Nem precisamos fazer esta "conta maluca" para sabermos que o resultado é muito maior do que 108. Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de seis caracteres. e assim por diante.216 Raciocínio Lógico — s Enrique Rocha Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Vamos criar uma cadeia com 14 posições: isso é feito da seguinte maneira: temos 14 letras disponíveis para a lâ posição. As três primeiras posições são letras escolhidas dentre 26 letras. 12 para a 31. a empresa dispõe de até 107 códigos distintos para catalogar seus bens. porque temos que escolher pelo menos um algarismo diferente. no entanto. (2) ERRADO. (1) CERTO. Resp.Capítulo 6 — Análise Combinatória s 217 Observe que para as duas primeiras letras temos 26 alternativas (porque elas podem ser repetidas). . para os dois primeiros algarismos temos 10 alternativas (porque eles podem ser repetidos). para a 3% no entanto. para o 3a. só temos 9.. só temos 25 porque temos que escolher pelo menos uma letra diferente. (3) ERRADO. O item está ERRADO. Da mesma forma. É fácil perceber que o produto acima é muito maior do que 107. (ESAF-MRE-20Ü2) Chico.Uma empresa possui vinte funcionários. e desejam sentarse. Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. lado a lado. 5. 24. .15. 5. o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar com três homens e duas mulheres ét a) b) c) d) e) 1. 0. 46. na mesma fila. 10. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é: a) b) c) d) e) 6. 2.830. Calo e Caco vão ao teatro com suas amigas Bi ba e Beti. 4. 8. Nela. dos qrsais dez sáo homens e dez são mulheres. 3. 48.218 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Exercícios de análise combinatória 1.400. nove amarelas.650. (ESAF/AFTN/98) . Em uma sala de aula estão quatro meninas e seis meninos. 0. 165. três verdes e três vermelhas. no escuro. Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. 32. uma preta. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo ét a) b) c) d) e) 0. um ao lado do outro.24. 5.12*. os cinco. encontram-se sete blusas azuis.20.10. Uma noite. Tüês das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. Desse modo. 0. 0. 2.600. 4. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Betl fiquem sempre Juntos. i igual ai a) b) c) d) e) 16. e) 191. Os alunos de um curso terão que escolher seis das nove questões de um teste e respondê-las. 6. b) 100. 7 e 8. tal que cada agrupamento contenha pelo menos três figuras. (ITA. 532.Capítulo 6 — Análise Combinatória n 219 5. 585. 353.240. 30.---------I8 ________ . podemos afirmar que o máximo de alunos que poderia haver nesta turma é a) b) c) d) e) 60.5. 7 8. Quantos destes números são impares e começam com um digito par? a) b) c) d) e) 216. assinale a alternativa que corresponde ao número de agrupamentos de cinco cartas que podemos formar com cartas deste baralho. 1. d) 171. 6.600. S.2. . Sabendo-se que um baralho tem cinqüenta e duas cartas.440.000. Considerando que só sáo permitidos movimentos para cima e para a direita. de quantas maneiras um ratinho pode ir do ponto A para o ponto Bí a) b) c) d) 5.192. Sabendo que não houve na turma dois alunos que escolheram as mesmas questões. a) 10. c) 192. 7.400. 720. das quais doze sáo figuras.4.480. 685. ------------------. 84.) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1 . 220 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Gabarito de Exercidos de Análise Combinatória 1. C 7. D 5> C 6. D 3.A 2. D 8. E 4. C . ” 7. dizemos que o elemento a. os elementos da matriz A ^ são: an=2. trace um plano para sua jornada. Antes de começar a andar.1. da matriz está na i-êsima linha e na j-ésima coluna.. O Que é uma Matriz? Matriz é um conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas» onde cada elemento está associado a uma posição da matriz. identificado pelo número da linha e da coluna em que está situado. sua A matriz A — 1 0 ordem é 2 x 2.---------- C apítulo 7 « Álgebra Linear “Ninguém estabelece um caminho se não souber onde quer chegar. por isso. aJ2=3.g----------. Dessa forma. Exemplos: 2 3 é uma matriz com duas linhas e duas colunas e. A ordem de uma matriz indica a quantidâde de linhas e colunas que ela contém. No exemplo acima. Diz-se que uma matriz é m x n quando ela tem m linhas e n colunas. S r 1 e a22=^Dessa forma» uma matriz M qualquer (genericamente falando) pode ser representada da seguinte maneira: «11 «1 2 «1 3 * «21 «2 2 «2 3 • ‘ «2 n «3 1 «32 «33 * «3 n _«m l «m 2 «m 3 « In ’ «m n_ . mas.3.j. uma matriz-linha é representada por: A . a22..222 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 7. Genericamente falando. Notação condensada1: 2 -1 A matriz A -2 3 4 . aln].3. Como exercício. a33= 6.1. Matrlz-ünha Quando a matriz tiver apenas uma Unha. 7. gerando um esforço a mais. ela é chamada matriz-linha e sua ordem é 1 x n. = 4. . a31= -2. s e i< j 7. enquanto a segunda apenas determina a lei de definição dos elementos.[ an an . Notações Uma matriz pode ser representada de duas formas: pela notação explícita e pela notação condensada.2. onde cada termo a.1 4 5 poderia ser definida como sendo a matriz 6 A=(ali).[3 1 -4 0]. Notação explícita: "2 3 4' -1 4 5 -2 -1 6 Aqui temos todos os elementos da matriz já devidamente posicionados.v. 1 Os concursos cem cobrado multas questões de matrizes.} [ i .. Veja um exemplo de matriz linha 1 x 4: A . elas são classificadas com base nessa característica. Diagonal secundária: a13= 4. podemos identificar os elementos da diagonal principal e da secundária. Classificação das Matrizes Uma matriz pode ter qualquer número de linhas e colunas. utilizando esta notaçáo condensada.. em algumas situações especiais. A primeira apresenta a estrutura da matriz com todos os seus elementos.4. é se * > j . Diagonal principal: a{1 = 2. . uma matriz coluna é representada por: 7..3. Genericamente falando. Ela terá n2elementos e será representada da seguinte forma: an a \2 a iz ft21 0-22 fl 23 a 31 a 32 a 33 a 3it ü m2 a m3 f l mn 1 - *2» Toda matriz quadrada possui dois elementos importantes: a diagonal principal e a diagonal secundária. Matriz Quadrada Matriz quadrada é aquela na qual a quantidade de linhas é igual à quantidade de colunas. Quando a matriz náo é quadrada.2.3. Vamos considerar a matriz quadrada A de ordem n (significando que ela tem n linhas e n colunas). ou seja. Veja a localização gráfica dos elementos da diagonal principal: v^ 1 2 A - a 2n ã 3n a 31 ..3. au. ou seja.Capítulo 7 — 7. a22>a33„. ela é denominada matriz-coluna e sua ordem será m x l . quando a matriz tem apenas uma coluna. quando m = n. m = n. Álgebra Linear s 223 Matriz-Coluna De forma análoga. ou seja. ela é chamada de retangular. onde i=j.. A diagonal principal de uma matriz é formada por todos os elementos a.a ml í a 13 v^23 ^21s a m2 a m3 * _ . a.. para i> j.0. ou seja.. ela é classificada como matriz diagonal.4.3. quando todos os elementos que não estão na diagonal principal sáo nulos (iguais a zero). graficamente.5. quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. Esta definição parece complicada. Matriz Triangular Uma matriz é dita triangular superior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos. ou seja. é muito facil identificar a diagonal secundária de uma matriz: 7. a. ou seja. Veja um exemplo genérico: . para i >j\ 0 0 «21 a22 0 A — a 31 fl32 a 33 «m 2 f lm3 ~fln •• 0 0 ■■ 0 Q-mn • _ Da mesma forma. a diagonal secundária é formada pelos elementos em que i+j = n+1. a matriz é chamada de matriz triangular inferior. mas. X i í>12 ^13 * ** K 0 ^22 ^23 ‘" ^2 n 0 0 ^33 '" ^3n 0 0 0 * bjnn Matriz Diagonal Quando uma matriz é triangular superior e triangular inferior. B = 7.3. b„ = 0. .224 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Por outro lado. 8. e assim por diante. a13"b13= 4. 7.3. ela será classificada como sendo uma matriz escalar.6. Assim.3. .3.7.9. " 1 0 0 • * 0 ' 0 í 0 ■ • 0 0 0 1 _ o 0 0 '• ■ • * 0 1. Matriz Nula E a matriz na qual todos os elementos são zero. Igualdade de Matrizes Duas matrizes serão consideradas iguais quando forem da mesma ordem e todos os elementos de posições correspondentes forem iguais entre si. Este tipo de situação pode ser cobrado da seguinte maneira. 0 • 0 0 0 C22 0 * • 0 0 C33 ’ • 0 0 0 0 • r**tnn _ Álgebra Linear s 225 Matriz Escalar Se todos os elementos da não nulos da matriz diagonal são iguais. a matriz-identidade de ordem n é: 7. Assim.1 4 5 5 é igual à matriz B = —1 4 -2 -1 6 -2 -1 6 porque au=bn=2. quando em uma matriz diagonal acontecer an 7. a12=b12=3. Matriz-ldentidade É a matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.3. Exemplo: "2 3 4' '2 3 4" A matriz A = .Capítulo 7 — 0 C11 c = 7. 226 ia Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Exemplo: Determine x e y.11. transformando as referências de linha em referências de coluna. Exemplos: Seja a matriz B 1 3 5 3 4 —> Bl — 2 4 6^ 5 6 Seja a rnatm C = (5 4] C( = Ê bom notar que a transposta da transposta nos leva de volta à matriz original. n}.3y .A 7. 3.. Falando de uma maneira mais formal: seja a matriz tal que V / e j 1. Usando o método da substituição. para que a igualdade seja verdadeira. 3.A = ’ 1. fazemos x = 4 . ou seja. ■ 3 “ __1 —2_ \ 2_ .....3. Substituindo o valor encontrado para y em x + y = 4 temos: x + l = 4 . de forma que a igualdade de matrizes abaixo seja verdadeira: x+y 3 0 x-2 y 4 0' . Exemplo: A= '-1 -3“ « B = . 2.> x = 4 . 2.l —^ X S53..1 —> -3y = 1 . e as referências de coluna em referências de linha.3 K Resolução: Para que as duas matrizes sejam iguais.2 y = 1. Assim. precisamos ten x + y = 4 e x . temos que fazer y = 1 e x = 3. 7.10» Transposição de Matrizes —i )— > N> A matriz transposta de uma matriz A é indicada como A' e resulta da “inversão do endereço” de cada elemento de A... (A‘)( .4 ~3y = -3 -» y = 1.3.y e substituímos na segunda equação: (4~y)~2y= 1 4 y ~ 2y = 1 4 . Matriz Oposta Uma matriz B é dita oposta da matriz A quando cada elemento de B é o oposto (sinal trocado) de cada elemento correspondente da matriz A. m} e V_/ e {1. dizemos que A é simétrica. quando A1 = A. a matriz resultante também será da ordem das matrizes somadas e cada elemento será o resultado da operação (soma ou subtração) dos dois elementos da mesma posição.13. Quando somamos ou subtraímos duas matrizes. Assim sendo. Matriz Simétrica Se a transposta de uma matriz A for igual à própria matriz.3. 7.4.B + A —> Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C -» Elemento neutro: A + 0 = A Elemento oposto: A + (~A) .3.6) 5+2 Í4 -6 7 = 4+C-l) —3 +8 2+ i°_ j_3 5 12 Propriedades —» Comutatlva: A + B . Matriz Antissimétrica Aproveitando esse conceito. chamamos de matriz antissimétrica à matriz A que apresenta como transposta uma matriz oposta a ela mesma. Veja um exemplo de ordem 3: '1 0 0" "1 0 0" I = 0 1 0 J £* 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Apenas para esclarecer: [ 1 0 0' a matriz 7 3s3 = 0 1 0 0 0 1 Assim.0 (o resultado é a matriz nula) —> Transposição: (A + B / . 3 -6 2 -1 8 10 1+3 0+ (. Vamos visualizar esse conceito: 1 0 5" 4 -3 2_ 7.4. Adição ou Subtração de Matrizes A soma ou subtração de matrizes tem como condição inicial que as matrizes envolvidas sejam de mesma ordem. dizemos que a matriz-identidade é uma matriz simétrica.12.1. dizemos que essa matriz A é simétrica.A! + B1 .Capítulo 7 — Álgebra Linear s 227 7. Um bom exemplo é a matriz-identidade. Ac= — A 7. Ou seja. todas m x n. C e D serem matrizes da mesma ordem.3.= 3 4 = 12 16 0 _4 Equações Matriciais Em alguns problemas. Produto de Escalar por Matriz O produto de um escalar (um número qualquer) por uma matriz implica a criação de uma outra matriz. B. Encontre X. Em primeiro lugar. ou seja. Mais uma vez. na qual cada elemento da matriz resultante é o resultado da multiplicação do número pelo elemento correspondente na matriz inicial. 8 6 2 -3 -2 -1 Efetue as operações indicadas: r -24 -18 -6 .6. ou seja.( .1 -6 3 -3 — .X + B = A . 1 0 2 -1 -3. monte a equação com as matrizes: 1 rH a t e 0 -2 1* + b d l wv 2. fica mais fácil visualizando: 7. A resolução consiste em encontrar todos os termos da matriz incógnita. 7.(-24) 0-(-18) 4 . 9 6 3 2a 2c 2e 0 -2 1“ + 2b 2d 2 1 5 1 4_ ’l 0 4* 2 -1 3 2a +0 2c + (—2) 2e +1 2b +5 2ã+l 2 /+ 4 1.5. r-H\ í O\ __ “1 -2 '4 . de forma que a equação se torne verdadeira.6) 2 -9 . A= 0 -2 f " 8 6 2" eC = 5 1 4 -3 -2 -1_ "1 0 4“ 2 -1 3 E seja a equação matricial: 2. encontramos equações nas quais todos os termos são matrizes e uma delas é desconhecida. onde X também é uma matriz 2x3.228 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Estas propriedades partem do principio de A. tratada como incógnita.8' 4.C. b.4 . que é a matriz que resolve a equação.6 .» 2 f = .-7 .» 2 d = . .2 7.-2 Dessa forma.2) 2e + l ‘ 2b +5 2d + l 2 /+ 4 2c -2 2e + 1 " 2a 2b +5 2d + l 2/+4_ Álgebra Linear e 229 '25 18 10' -7 -7 0 _ '25 18 10* -7 —7 0_ Com base na igualdade acima. c.(A + B)= xA + x. e.5 2b » -12 -> b = -12/2 -> b = -6 2c —2=18 —^ 2c =18 + 2 —^ 2c = 20—> c = 20/2 —^ c —10 2d + l = ~ 7 .4 .6. com base nos elementos a.8/2-» d = -4 2e + 1 .0 . valem as seguintes propriedades: Associativa: x. .B —> Distributiva em relação à adição de dois números reais: (x + y).7 .y). A —> Distributiva em relação à adição de matrizes: x. Produto de Matriz por Matriz A multiplicação de uma matriz por outra é feita de forma diferente e implica a observância de uma condição inicial. temos: 2a = 25 a = 25/2 2b + 5 = ~7 -> 2b . (y*A) = (x.1. A = xA a yA —> Elemento neutro: 1J U A 7. d. Propriedades do Produto de Escalar por Matriz Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer.Capítulo 7 — 2a +0 2c + (.8->d = .10 —> 2e = 10.> f = -4/2 f . f da matriz X resultante: 25 9 — 10 ~— X= 2 2 .» 2 f .> 2d = .l ~ » 2e = 9 *-»e = 9/2 2f+4 = 0 .7.4 .l . J Exemplo: sejam as matrizes A ^ e B^: .’ . Calculando o Produto de Matriz por Matriz O cálculo do produto de uma matriz por outra não é realizado multiplicando-se elementos correspondentes. ele é o produto do primeiro elemento da primeira linha de A pelo primeiro elemento da primeira coluna de B.230 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha A quantidade de colunas da primeira matriz tem que ser igual àquantidade i de linhas da segunda matriz. _ O produto Á. ou seja.Amxn xB m . Exemplo: sejam as matrizes Amn e e seja P =A./r ‘ .. por isso. 5 2 A matriz P será: P = Pn V\2 JPu V2 2 . Sejam as matrizes Amxn e Brxs e seia Precxs . * * Cada elemento p. Exemploi Sejam as matrizes A 1 2■ Jí eB = 4 ~l e seja P a matriz resultante de A x B..1. ' J. Perceba que pu está na 1* Unha e na lâ coluna de P e. bn + au. o que significa dizer que P será mxs. Uma outra característica do produto de matriz por matriz é que a matriz resultante terá a mesma quantidade de linhas que a primeira matriz e a mesma quantidade de colunas da segunda. .B só será possível se n = r. Calculando o elemento p : (Ia linha e Ia coluna) pn = an.B. . « - ' v ~ Importante: aqui já é possível perceber que o fato de ser possível efetuar AB não garante que seja possível efetuar BA. somado ao produto do segundo elemento da primeira linha de A pelo segundo elemento da primeira coluna de B. Vamos calcular cada elemento de P. ou seja. ou seja. A matriz P terá m linhas e s colunas. tiverem a mesma quantidade de linhas e colunas. envolve a Ia linha de A e a l 3coluna de B. b2J. Isso só acontecerá quando as duas matrizes forem de mesma ordem. P é a matriz resultante do produto de A por B. é encontrado pela soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.7. 7. 4 = 3.:P 12^ A=’ 'J_L 2.1) + 3 x 2 = 0+ 6 .Í2 x'2 »-rl. Assim.V' Com isso.(Pp~ P12 P2 2 .:+. por isso.Capítulo 7 — f l j P n l A .l l 5! 2 - Assim Pjj « an.2 x 5 = 1 +10=11. envolve a lâ linha de A e a 2. por isso. n " l! 2' e B= P = >11 P12 A~ 1 15j 2 P22 _ .0 ^ . Calculando o elemento p12: (Ia linha e 2â coluna) Pl2 =an* ai2‘ ^22* Perceba que p 12está na Ia linha e na 2â coluna de P e.p22=6 . finalizamos a montagem da tabela resultante do produto de A por B: Pi 1 ~ l l í p 12= 3.6. envolve a 2a linha de A e a 2a coluna de B. ^ A= "l!* 2" [Q-3L e B= 4 r-Y 1^ 1 [5 . envolve a 23linha de A e a Ia coluna de B. '. 0 3 e B= "4 '~-T ■ 1 _5 ! 2j_ 1 X (-1) +. bn+ aJ2. /. Calculando o elemento p s (2a linha e Ia coluna) 1r— *í i ?21 =a21‘ ^22* ^2I: Perceba que p21 está na 2a linha e na Ia coluna de P e. P = > 11. por isso. . e B~ Álgebra Linear s 231 4'1 .~1-T\ JP12 P22J _° 3 ._2jj Óx (.+.x 4 .^sim .p^= ia^V:bjj+ à^: b21= 0 x 4 + 3 x 5 = 0 +15 = 15. ’• ' Calculando o elemento p22: (2a linha e a coluna) 2 P22 = S r ^ 12+ a22* ^22* Perceba que pn está na 2a linha e na 2à coluna de P e. ~Pn Pn~ JPu1 P22 . P21 ~ ^5. b21= 1. ^ S Í r h .coiuna de B. 232 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha "11 3 ' 15 16_ P=S >11 Pn .Vn Vn. Se calcularmos BA: Seja Ax B. as matrizes A — 2 4 -1" e seja Q a matriz resultante de eB = 0 3_ 5 2_ A matriz Q será: an J%21 $22 _ Vamos calcular cada elemento de Q: Calculando o elemento qn: (Ia linha e Ia coluna) qn =bn. an+ b12. a^ Perceba que qn> está na Ia linha e na Ia coluna de Qe, por isso, envolve a Ia linha de B e a Ia coluna de A ã l2 Q= $21 tf.22 . B -p -í] [5 2 _ e . r r 2' Ls: 3_ Assim, a-11b ir S j = 4 X 1 + (~1) X O=?4 + 0= ■...• -q„ nil «b„. .'••11 -V Calculando o elemento q12t (Ia linha e 2 coluna) 3 ^12 ** ^11* ai2+ ^12‘ a22* Perceba que qJ2está na Ia linha e na 2a coluna de Qe, por isso, envolve a Ia linha de B e a 2a coluna de A. C-|<" ,Í2i <in J .5 2j e A = P l"^| 0 Capítulo 7 — Álgebra Linear a 233 Calculando o elemento q21: (2* linha e Ia coluna) ^21 “ ^21' ail+ ^22* a2l" Perceba que q21está na 2a linha e na Ia coluna de Q e, por isso, envolve a 2a linha de B e a 1* coluna de A ----------------------------------------, *íll !$ 2 $ a12 B 422 „ 4 ;- r — rvr' ^ 3--2- e A — rr« 2i S I 3. Calculando o elemento q22: (2â linha e 2a coluna) Ü12 $21 4 ;-r B= r-^ ífe. II ^22“ ^21’ a!2+ ^22* a22: Peroba que q22está na 2a linha e na 2a coluna de Qe, por isso, envolve a: 2* linha de B e a 2a coluna de A. o 13 1 Assim, q ^ b ^ a ^ b22. zn- 5 x 2 +,2x3 = 10 + 6 = 16. < - Com isso, finalizamos a montagem da tabela resultante do produto de B por A <ll. = 4 ;% = 5 : ‘l21=5;<l22=16 *2ii a iz $21 <{22 4 5" 5 16_ Como você pode perceber, AB s* BA, o que nos leva a concluir que a multiplicação de matrizes não tem a propriedade comutativa. 7.7.2. Propriedades da Multiplicação de Matriz por Matriz Considerando a observação da condição de existência para o produto de matriz por matriz, as propriedades que se aplicam a esta operação são: —» Associativa: (A.B).C = A (B .C ) 234 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha —> Distributiva em relação à adição: A. (B + C) = A. B + A. C ou (A+ B). C « A. C + B. C —¥ Elemento neutro: A In~ In. A = A, onde Iné a matriz identidade de ordem n. Aindá devemos observar que, quando ò produto de duas matrizes ê O/ou seja, -?: A.B = 0, não implica necessariamente que A-0 c 7.7.3. Forma Prática para Produto de Matriz por Matriz Existe uma forma fácil de efetuar o produto de duas matrizes e ele será apresentado como um passo a passo. Para tanto, vamos utilizar as seguintes matrizes como exemplo: '1 0 5' '0 2 7 " A = 2 4 2 e B - 3 1 _4 3 2 1 -1 6 0 Seja P = A.B: Pn Pl 2 P b Pu Pn P 23 Pyi P32 V33 Escreva as matrizes como mostrado abaixo: J b 12 b l3 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 P l3 an a í2 a i3 Pn P l2 : *21 a 22 S3 P21 P22 ; : ' A i a 3l a32 a 33 P31 P32 P33: Capítulo 7 — Álgebra Linear o 235 O resultado será: 0 2 7 3 1 -4 -1 6 0 1 0 5 M&m Steiâ m Élfili v: 2 4 3 M M-m:ãmmW P Ü jíp 3 2 1 í é SIS A região hachurada representa os elementos da matriz resultante e cada um deles será calculado como se segue. Calculando a primeira linha da matriz P: O elemento pu b„+ a12. b21+ a13. b31 2 / ° / 1 3 / / 0 2 4 3 3 2 1 5 0 6 / "1 1 7 i^ È Ê ssiiÉilllil ÜHP ÉÉÉÍÉ Que nos leva a: í 0 5 2 4 3 3 2 1 0 2 7 3 1 -4 -1 6 0 ■'■.■— 5 ■, . .- #® Ü 236 h Raciocínio Lógico — Enrique Rocha O elemento pl2 - a„. b21+ a „ . bn + aB. b ^ V > (T 5 * 2 4 3 3 2 1 r * 2 7 * 1 -4 X 6 0 '1 x 2 + . Q'k \ V 5x 6 a ' ' ' s IH^i • ,§| ' S Que nos leva a: 1 0 5 2 4 3 3 2 1 9 :-Í 3 2 7 1 _4 -l * 6 0 O elemento p13= an. b13+ a12. b23+ aJ3. b33 ÍSS r-L-? .V. Capítulo 7 — Que nos leva a: 0 2 7 3 1 -4 -1 6 0 1 0 5 .j325£ 2 4 3 \V • - 3 2 1 fSt is 2 7 1 -4 6 0 Calculando a segunda linha da matriz P: O demento p2t * a *. bu+ a^. b21+ . bM 333 x° ^ -1 1 y/V >/ 2 / 4 / y / 3 3 2 1 n n V* ^ t íí?’$SÍ;:<Í- íHkssjss* ãÍÍÍll§®l l l l Que nos leva a: 1 0 0 2 7 3 1 -4 -1 6 0 5 2 4 3 3 2 1 S-M-ííV â tlf 8 S; Álgebra Linear o 237 238 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha O elemento pa . a^. b2,+ * n. b ^ a^. bB Que nos leva a: O elemento 1 0 2 4 3 3 2 1 0 2 7 3 1 _4 -1 6 0 :JÉP!SP , 7. 5 is I p p ^® = a,,. b,3+ a^. bB+ a ^ b3, Í!ÉiÉl S fiP ' rnmm m Capítulo 7 — Álgebra Linear Que nos leva a: 0 2 7 3 1 -4 6 0 1 0 5 iltl Ü1 flt 2 4 3 is i 3 2 1 flllt :^Íiíg ^Vv.vv'^1 Calculando a terceira linha da matriz P: O elemento p3I = a31. bn+ a^. b21+ a33. b31 Que nos leva a: 1 0 5 2 4 3 3 2 1 0 2 7 3 1 ~4 -1 6 0 . § ?£ '!ÊSÈ&$Ê$ vM $9i ■■mmím m â vs-y^i ■"’/ "*■ > .•' v-..‘ -í W0m lltlfefiteS H § § a 239 240 d Raciocínio Lógico — Enrique Rocha O elemento p32 = a2r b21+ a^. b^-*- a^. b23 O elemento p33= 83,. b13+ a32. b23+ a33. b33 Capítulo 7 — Álgebra Linear b 241 Que nos leva a: 1 0 5 2 4 3 3 2 1 0 2 7 3 1 -4 -1 6 0 24f Í|! ¥ $0M : 5 w v** $ Com isso, podemos montar nossa tabela P-A.B: 1 SX, >11 Pu P2I Pl2 P23 Psi P32 ^ 33. 7.8» *-5 32 7 * 9 26 -2 5 14 13 Complemento Algébrico ou Cofator e Matriz dos Cofatores O cofator do elemento a-de uma matrizA, também conhecido como “complemento algébrico de a..”, é o número Aij = x Dij, onde Dij (ou menor complementar) é o determinante da matriz quadrada2 que se obtém de M, eliminando-se a linha “i” e a coluna “j”. A matriz dos cofatores de A é anotada como A’ e é formada pelos cofatores encontrados para cada elemento de A. Exemplo 1: Seja a matriz A : 0 2 vamos calcular os cofatores: -1 4 Au +I x 4 (Dn é o próprio elemento a^) = (~1)2x 4 = 4. A12 ~ M )1*2 x (-1) (DJ2 é o próprio elemento a^) « (-1)3 x (-1) = 1. A^ = (-1)2+1x 2 (D21 é o próprio elemento a12) = (-1)3 x 2 = -2. 2 Veja decalkamento do processo de cálculo de determinantes na seção 7.11. 242 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha (-1)2* 2 x 0 (D22 é o próprio elemento au) = (-1)4 x 0 = 0. ,4 r Assim, a matriz dos cofatores de A é: A' = -2 0 2 -I Exemplo 2: Seja a matriz A - 1 - 2 3 4 -3 ' 1 5 O cofator de an: Eliminando a Ia linha e a Ia coluna, temos: 1—=i---=3 j 1 -2 1 ] í 4 5 — > -2 _4 1 = (“ 2)5 -1.4 ~ - 1 0 —4 - - 1 4 Para o elemento an i = 1 e j * 1. Au = (-\)'"-D n = \- iy .( - U ) = - U O cofator de aJ2: Eliminando a 1- Unha e a 2a coluna, temos: 2 - —1— 6 ‘ 1 -> 1 3 4 5^ 1 1 = 15 -13 = 5 - 3 =2 3 5 Para o elemento aJ2 i = 1 e j - 2. Aj2 = (-1)U2, D12= (-1)3. (2) - -2 O cofator de a^: EUminando a Ia linha e a 3a coluna, temos: 2" =3.. ^ 3 i -2 : 3 4 : 1 -2 3 Para o elemento a13 i = 1 e j - 3. Aj3 = (-1)U3-d J3 - (-1)4. (10) = 10 4 _ = 1 4 -(-2 )3 = 4 + 6 = 1 0 Capítulo 7 — Álgebra Linear O cofator de a^: Eliminando a 2a linha e a Ia coluna, temos: :i -1 -r-=2— t :j 4 5 -1 4 - (-1)5 ~(-3).4 = -5 +12 = 7 Para o elemenro a21 i = 2 e j = 1. Ajj « (~1)2+1;D 2i -'(-1)3. (7)— 7 O cofator de a^s Eliminando a 2alinha e a 2a coluna, temos: 2 r-= 3 4 2 -3" 3 5 :2 5 -(—3) =10+9 =19 Paxa o elemento I = 2 e j = 2. A ^ - D ^ D ^ - l ) 4. (19) -19 O cofator de a^: Eliminando a 2a linha e a 3a coluna» temos: ‘2 -1 -0 1— 2T 3 4 2 -í = 2.4 - ( —1)3 = 8+ 3 = 11 3 4 Para o elemento a^ i = 2 e j = 3. A23 = (-1)2^ D 23=£'(~1)5. (11)— 11 O cofator de a^: Eliminando a 3a linha e a Ia coluna, temos: 2 -1 -3 -1 -3 = (-1) 1 - (-3) .(-2) = -1 - 6 = -7 [ -2 1 —> -2 1 :j--------5 a 243 O cofator de a^s Eliminando a 3* Unha e a 2a coluna. (5) * -5 Ocofator de a^: Eliminando a 3alinha e a 3a coluna.244 s Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Para o elemento a3J i .3 e j = 1.i ) ”-1 4 A' = —2 10 -7 -11 -7 —5 -11 Regra prática: ao calcular um cofator de um elemento da matriz. este terá seu sinal trocado se a soma dos índices resultar em um número ímpar. Se for par.i i ) = . temos: 2 -1 .1 -3* 1 -l 1 ----§ ?— ■ 2 -3 = 2.i )6. ^ d 33=.8 + 3 = U 1 —2 L —> 3 4 3 4 Para o elemento a33 i = 3 e j .i i Assim.1-(-3) = 2 + 3 = 5 1 1 Para o elemento a^ i = 3 e j = 2. üem ploi Encontre a matriz dos cofatores (A*) da matriz M = l _3 A matriz A’ também será quadrada de ordem 2 e seus elementos serão: (calculando os elementos) .3 2 -f = 2. (-l)3+2-D32 = (-1)5.4-(-1)3 . qualquer. se i + j for ímpar. mantém-se o sinal do resultado do cálculo. um a. a matriz dos cofatores seria: a 33^ (. ou seja. temos: "2 .( .(.3. encontrando a matriz adjunta e dividindo essa última pelo determinante da matriz para a qual se quer achar a matriz inversa. Elimina-se a linha e a coluna de d ir Fica o elemento 1.—1.Com um sistema de equações Isso quer dizer que para encontrarmos a inversa de uma matriz. Elimina-se a linha e a coluna de d ^ Fica o elemento 2. A - . Calculando a inversa. Com base nisso.resolvendo um sistema linear baseando-nos em AA"1= In. Assim. este elemento terá seu sinal trocado. Elimina-se a linha e a coluna de d 2V Fica o elemento 4. Assim. A=(A')‘ 7. Para que uma matriz seja inversível. obtém-se a matriz-identidade. «te elemento terá seu sinal trocado.Capítulo 7 — Álgebra Linear a 245 Elimina-se a linha e a coluna de dlV Fica o elemento -3. Matriz Adjunta A matriz adjunta de uma matriz quadrada A é a matriz. Como 2+2 (posição do elemento d ^ é um número par. Como 1+2 (posição do elemento d 2l) é um número ímpar. transposta da matriz dos cofatores de A. a'n . quando multiplicadas as duas (a matriz e a inversa). deveremos encon trar os elementos que atendam à equação acima. Como 1+2 (posição do elemento </I2) é um número ímpar. d n . este elemento náo terá seu sinal trocado.9. Veja um exemplo: «12 «13 ’ «21 «22 «23 «31 «32 «33 ’« n Seja. Matriz Inversa A matriz inversa de uma matriz é aquela . Assim. Assim. .de que. Vamos ensinar dóis métodos para cálculo da matriz inversa: . Ia maneira . este elemento não terá seu sinal trocado. fazemos: . ê necessário que seja quadrada e seu determinante seja diferente de zero. d 2l . não. 7. d ^ -2 .encontrando a matriz dos cofatores.—4.—3. podemos concluir que algumas matrizes têm inversa (são inversíveis) e outras.10. Como 1+1 (posição do elemento du) é um número par. Para encontrar a inversa. vamos passar para um exemplo mais concreto: Seja A — 2 3 . e d ~ -2/3. fazemos: 1 0 2 3 1 0 X I 0 0 1 a c b d O produto ao lado esquerdo da igualdade é calculado da seguinte forma: '1 0" 2.c +3.a+2. 3®passo: encontrar a transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta). 2a passo: encontrar a matriz dos cofatores.246 h Raciocínio Lógico — Enrique Rocha an a21 * 31 a 12 a13 «22 a 23 a 32 *3 3 .tf ha +0 . Dessa forma.d Assim. c = l . "1 0 0' = 0 1 0 0 0 1 Como já descrevemos detalhadamente o processo de multiplicação de matriz por matriz. X xn *21 *1 2 *1 3 " *2 2 *2 3 _ *3 l *3 2 *3 3 . b = l / 3 . 3 Veja detalhamento do Processo de Resolução de Sistemas de Equações Lineares na seção 7. para encontrar a inversa.1 la = 0 2c + 3d = 0 lc-1. Isso nos leva a3: a = 0 . teremos: 2a + 3b .b lx +0 . como mostraremos a seguir: 1* passo: calcular o determinante da matriz.b 2.14. nossa matriz inversa procurada é: 0 1 13 1 Calculando a inversa: 2âmaneira Uma outra forma de se calcular a inversa de uma matriz é usando a matriz dos cofatores. . 11. Notação Matemática Antes de começarmos.2 ' A matriz A' 2X 20 .passo: dividir cada um dos elementos desta última matriz pelo determinante da matriz original. 4 1 Como mostrado na seção anterior.1. partindo do mais simples (matriz quadrada de primeira ordem—uma linha e uma coluna) para o mais complexo (matrizes quadradas de ordem três ou superior). Determinantes As matrizes quadradas (mesma quantidade de linhas e colunas) possuem uma característica chamada determinante. enquanto um determinante é representado com os elementos da matriz entre barras verticais. ser usado na resolução de sistemas de equações lineares. det(A) = 0x4 —2x{—1) = 0 + 2 = 2 2a passo: encontrar a matriz dos cofatores.Capítulo 7 — Álgebra Linear m 247 4a passo: dividir cada um dos elementos desta última matriz pelo determinante da matriz originai. Exemplo: f0 2 Seja a matriz A = A = |_-1 4 l s passo: calcular o determinante da matriz. Vamos estudar os determinantes. O determinante de uma. encontrando a inversa da matriz A. como mostrado a seguir: . Uma matriz é representada com seus elementos dentro de colchetes. 2 -1“ í 0 _2 7. é importante que você saiba diferenciar a notação de matriz para a notação de determinante.2 2 . A transposta da matriz dos cofatores é: '4 -2 1 0 4.11. 7. por exemplo. como. “4 . matriz é um número que é calculado com base nos elementos damatrÍ2e tem algumas aplicações interessantes. a matriz dos cofatores é: -2 0 3®passo: encontrar a transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta). 248 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha « ii A- e det(A) “ «1 2 «13 ’" «1 n a 2l «2 2 «23 a 31 «32 «33 * «3 « _«m l «m 2 «m 3 ’ «mn «11 «1 2 «13 a2l «2 2 «23 «3 1 «3 2 «3 3 a ml «m 2 a w3 " * * ’ «2 n « ln «2n «3 n * «m a 7. Determinante de Matriz de Primeira Ordem Uma matriz de primeira ordem contém um único elemento e ele é o próprio elemento da matriz. Veja como seria: Det(A) = «n a n «21 ã22 . o seu determinante é indicado por det(A) = Ja J ■ an 7. seja a matriz AJxl = [au].4—2. Assim.1 = 12-2 = 10 .11.11. Determinante de Matriz de Segunda Ordem Seja a matriz A = au a n azi «22 Para calcular o determinante desta matriz.a l V a 22 ~ ã 12 'ã 2 l Exemplo X: Seja a matriz A = Det(A) = W 3 2 1 4 =3.3. você^deve multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair desse total o produto dos elementos da diagonal secundária.2. 4.Capítulo 7 — Álgebra Linear n 249 Exemplo 2: Seja a matriz A = Det(A) = -1 -3 2 4 = (—1). an «1 2 Seja a matriz A = «21 «22 »a 3i «1 3 «2 3 «3 2 «3 3 . desenham-se setas na direção da diagonal principal (começando em an) e fez-se o mesmo.4 -(-3 )2 = -4 +6 = 2 23& 43 7. desenham-se setas na direção da diagonal secundária e fez-se o mesmo. Vêja o resultado: © © © o © © .11. Da mesma forma. começando com aJ2 e a13. Regra de Sarrus Existe uma regra prática pata cálculo de determinante de matriz de terceira ordem. conhecida como regra de Sarrus. «n «12 Seu determinante é det(A) = «21 «22 «3 1 «3 2 «1 3 «2 3 «3 3 O primeiro passo é repetirmos as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira: «1 1 «1 2 «1 3 «U «1 2 «2 1 «2 2 «2 3 «21 «2 2 «3 1 «32 «33 «3 1 «32 Feito isso. começando com an e aI2 (já nas colunas que foram repetidas). a^ + (l).a31 + ( l).a22. multiplicando-se o resultado por +1 ou por -1. vamos realizar os produtos de cada uma dessas diagonais traçadas.an.a^ + (I). a \l a \2 «22 u 31 “ 32 “ 33 / / s ( l). de acordo com as indicações que aparecem logo acima delas. © @ © 8 0 © u ll 12 13 . começando com aJ2 e a13.a^. começando com an e aJ2 (já nas colunas que foram repetidas).a32 O determinante é o resultado desse cálculo.a23. N N.a52 + ( l^a^. Da mesma forma. zW .a22.a13. some os resultados.250 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Agora.an.al3. desenham-se setas na direção da diagonal principal (começando em an) e faz-se o mesmo. desenham-se setas na direção da diagonal secundária e faz-se o mesmo. Veja o resultado: © © @ 000 3 4 -2 3 4 iV -i: y O 23 s / ✓ N.a33 + (l^.a^.a^. Depois de calcular esse produto. Exemplo: 3 4 -2 Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 0 3 4 -2 Seu determinante é det(A) = 1 5 1 2 3 0 O primeiro passo é repetirmos as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira: 3 4 -2 3 4 1 5 1 1 5 2 3 0 2 3 Feito isso.a21. 1. 7.0 + 4.(—2).1.anA a + airAn + aJ3A I3 = 3An + (-2)A n + 2A13 det(A) = 3A11 . vamos tomar a primeira e aplicar o Teorema de Laplace: det(A) .3 = 20 + (-9) + 0 + 0 + 8 + (-6) = 2 0 .13 + (-1). det(A) = 13. ' 3 .(~l) .Capítulo 7 — Álgebra Linear b 251 (—!). det(A) = 4A21 + 5 A ^ =4.0 + 3.2 + (-2)..2 2] Exemplo: seja a matriz A 4 5 0 .2.).1 Como exemplo.(~ 5) . Vamos calcular det(A): 1 6 -1 det(A) 3 -2 2 4 5 0 1 6 .6 = 13 Logo.2Al2 + 2AJ3 .2 + (-1)3.12.4.25 = 15. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz de ordem m será dado pelo somatório do produto entre o elemento e seu cofator para üfna única mesma fila.[3.(—l) .-5 Logo.5.A2l + 5A ^ ” ^*^21 + ^*^22+ Calculando os cofatores A^ e A22_ A21= (-1) 2+1-D2I = (-1)3 -2 2 6 -1 : —l. 10 + 5.9 + 8 .[(.4 0 .1.5. vamos tomar a segunda linha (poderia ser qualquer outra) aplicar o Teorema de Lapíace: det(A) “ + a22*^22+ det(A) s 4. 2 2 6 1 1 0 = 1 0 3 2 1 -1 = l.(-5) .. Apenas para confirmar que poderia ser qualquer outra linha.1] = l.. ] . 0.15.252 b Radodnio Lógico— Enrique Rocha Calculando os cofatores Aj l Al2 e AI3.6] = 1.[5 .0. qualquer linha tomada levará ao mesmo resultado finai.1] *s 1. O motivo é que a simples aplicação de uma ou mais dessas propriedades pode economizar muito esforço na resolução de ura exercício. Í5 An =(-1) í+l.1 ) 1+3-D13 »■ (-1)4. Se duas filas de uma matriz são iguais» então seu determinante é nulo. 0 11 -1 s=0 13 4 -2l .19 * 19 Logo.Dn = (-1)2. o determinante dessa matriz é nulo.-1. Propriedades dos Determinantes Quando se quer calcular o determinante de uma matriz é importante que sejam conhecidas as propriedades dos determinantes.2.13. Como queríamos demonstrar.5.19 . det(A) = 3An .[4. 1 -1 » -l. 6 0 . Exemplos: 3 4 -2 det(A0 = 0 0 o| = 0 2 3 0 -3 0 -2 det(P) = 1 0 4 = 0 2 0 5 P2. 1 6 = l.[4. 7. (-5) = -5 4 0 ^ > 1 ) U2.1] .6.(-l) .(4) + 2.(-5) . Pl.2 A ^ + 2Al5= 3. 13 4 -2| dec(A0 =.-4 = 4 (4 5 Aj3J.(-l).D12 = (-1)5.1| = l. Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos. det(A) = 1 5 1 = 13 2 3 0 '3 1 2 '3 1 2 13 Seja a matriz.Lt Sõ 12 ~4| detCP) - T 0 3| 2 4 6 = 0.L2 Í3 28 -41 P5. O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais: det(A)» det(At). então seu determinante énulo.Cj 3_ -1 11 P4. Se os elementos de uma fila de uma matriz sáo combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas. det(A0 = 4 5 3 -2 1 0_ -2 1 0_ Ou seja. porque C3 » 3.0 11 -1 0. porque L3 = 2. det(A) = det(A*) . Exemplos: P a -2| det(A0 = 0 i i -1 = 0. Exemplo: |3 6 -2| det(M) .Capítulo 7 — det(P) = =3 1 A 0 4 -1 Álgebra Linear s 253 1 =0 iJ P3. então seu determinante é nulo. det(Ac) = 4 5 3 = 13. Exemplo: r3 4 -2 Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 0 3 4 -2 Como vimos anteriormente. porque L3 = L x+ 2. Se duas filas paralelas de uma matriz sáo proporcionais. 2 Como vimos anteriormente. Exemplo: (3 4 —2 6 Seja a matriz A . o determinante de uma matriz muda de sinal. o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.det(A). onde L3=(-1)X3 -2 -3 0 [3 4 . 13 . det(A) = 1 5 1 = 13 2 3 0 3 4 Calculando det(B) temos: det(B) = 1 5 -2 -3 2 —1 = . Quando trocamos as posiçóes de duas filas paralelas.1 5 2 3 1 0 3 4 2 Seja a matriz B = 1 5 . onde L3foi trocada com a L2 1 13 4 ~2j Como vimos anteriormente.13 2 3 0 3 4 -2 Calculando det(B) temos: det(B) = 2 3 0 1 5 1 Isso nos mostra que det(B) = (-l). det(A) = 1 5 1 . Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz. P .det(A).1 3 0 Isso nos mostra que det(B) = (-l).1 .254 h Raciocínio Lógico — Enrique Rocha P . Exemplo: 3 4 -2 Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 0 7 '3 Seja a matriz B = 2 15 4 -2' 3 0 . Temos det(P)=det(AB) = 88.2 5 / 0 -3/0 0 ' 3*3-1) 'N (-1) 2 (_2)• 5“ (-3) « (-1 • 30 =-30 ) 3 / V í PIO. det(B).1) ^ .det(B). Teorema de Binet: para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. . Exemplo: 8 3 Nfl 0 det(M) . —8 24 Logo. Seja P ~ A. onde m é a ordem da matriz quadrada. Exemplo: 2 3" eB = l _4 L.Capítulo 7 —* Álgebra Linear b 255 P .B = 6 -7 . Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal sáo todos nulos. det(A.0 1 1 \ 0 = 3-11*0*4)-—132 3 28 —4 P9. o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.det(B) = (-11). Exemplo: Seja a matriz A = 3 4 -: det(yi) .B) = det(A).B) » det(A).2 -5J o Seja a matriz A Temos que det(A) = -11 e det(B) = —8. o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por m. det(A. (-8) = 88. Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos. Daqui temos que det(A).(m-I) ( . Então. Teorema de Jacobi: o determinante de tuna matriy não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.256 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha P ll.5 = 4 + 15 ■ 19. onde n é a ordem da matriz quadrada A.a23 * ^ + 3.1 * -2 + 3 * 1. bu « a12+ 3-a^ * 4 + 3. 6 19 1‘ 6 19 1 B ss 1 5 1 edet(5) = 1 5 1 13 2 3 0_ 2 3 0 P12. temos que det(A) =-11.1 ** 3 + 3 . 1 -4 . Exemplo: Seja a matriz A = 2 3' . temos a matriz B: bn = an + 3. det(A) « 1 5 1 2 3 0 Substituindo a Ia linha de A pela soma dela mesma com o triplo da 2a. Exemplo: 3 4 -2* Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 ° 3 4 -2 Como vimos anteriormente.3 + 3. det(k*A) = k°.6. Seja k um número real qualquer. det(A).z21 . ^13 = ai3 + 3. e) 10.det(A) = 22.-l 1 = kn. Um sistema é representado por uma chave à esquerda de todas as equações envolvidas. b) -1/2. temos o surgimento da matriz B-2A: f4 B = (k * A) = (2 * A) = 2 6' Temos que det(2A) = -44 = 22.det(A). 7.1.Capítulo 7 — Álgebra Linear e 257 Como n = 2. Os termos em que não aparece nenhuma das incógnitas são chamados termos independentes e.  transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. estão à direita do sinal de igual. Resolução: O que o problema pede é: det(2A1). Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determi nante igual a . pela propriedade 12. neste exemplo. det(A)= det(A‘). c) 4. então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: 1 2 a) -2.det(A) = 4.2 = 8. Isso significa que a solução encontrada deve tornar verdadeiras todas as igualdades (equações) que fazem parte do referido sistema. Sistemas Lineares Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações para as quais se quer encontrar soluções comuns.13.14. Pela propriedade 5.det(Al) 22. Resp letra d 7.7 Este sistema tem duas equações e duas incógnitas: x e y. . d) 8. como no exemplo abaixo: (2 x -y -5 [x+jy . Exercício Resolvido . det(2At) = 22. tomando k = 2. 4 —»yi=3.14.x .1. Como encontramos o valor da variável x. Neste caso. O sistema acima poderia ser representado como sendo: ~2 ~1 1 1 X 5" J . Vamos ver um exemplo que vai ajudar a entender esse processo. A segunda matriz se chama matriz das incógnitas. Vamos tomar a segunda equação e isolar a variável y: x + y = 7 -» y .7 . pode ser o mais rápido e isso vai depender da simplicidade dos coeficientes das variáveis em cada equação e à substituição das variáveis. o que nos leva à solução S = {{4.x substituindo-se esse valor encontrado para y na primeira equação. c.258 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 7. No exemplo acima. que é formada apenas pelas variáveis que aparecem no sistema. escolhemos uma das equações e isolamos uma das variáveis.4. temos: 2 x . 7. a primeira matriz échamada de matriz incompleta eela é formada apenas pelos coeficientes das variáveis. Resolução de Sistemas pelo Método da Substituição Existem várias formas de se encontrar a solução de um sistema linear. até que se chegue à solução final. f2x~*y =5 Seja o sistema \ \x + y =7 Pelo processo de substituição.» y = 7 .y = 5 —» 2 x .35} Esse é um processo que. Representação Matricial dos Sistemas Lineares Os sistemas lineares podem ser representados na forma de produto de matrizes e essa representação é usada por alguns métodos de resolução.x ) = 5 --*2x--7+x~5-->3x = 5+ 7-->3x-12-->x~ 12/3 —> x .( 7 . a matriz completa seria: 2 -15' 1 1 7 . Uma delas é conhecida como o método da substituição. existe a matriz completa. usamos y = 7 . que é formada pelos coeficientes e pelos termos independentes. .2. em alguns casos.x para encontrar y: y = 7 .14. que consiste em ir isolando as variáveis e reescrevendo o sistema em função desses isolamentos. Por fim. e.14. a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. na matriz incompleta. a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. y e z são variáveis do sistema (poderia haver outras).ey = —. Dx é o determinante da matriz obtida substituindo-se.(“ 1 H ~ 2 + 1 = 3 1 1 '5 . o sistema. a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes (e assim para todas as variáveis existentes). n -1.3)}• D 3 D 3 7..I 7 1 2 5 Dy = 1 7 =5-1—(—1)-7=5+7=12. Regra de Cramer Todo sistema normal é possível e dereífminado e sua solução é dada por: x y D í=Ez.4. 1. Dy é o determinante da matriz obtida substituindo-se. m —1 e q = 0. na matriz incompleta.1. D ’ D’ Na representação acima.. Dz é o determinante da matriz obtida substituindo-se. x. x = ———— = 4..14. Submatrizes de uma Matriz Chama-se submatriz de uma matriz A à matriz obtida pela eliminação de p linhas e q colunas de A.. 7. na matriz incompleta. D é o determinante da matriz incompleta.. 2.15... No nosso exemplo: A matriz incompleta é: D= D. sendo p = 0.* z = 5 i-e assim sucessivamente.. 2.Capítulo 7 — Álgebra Linear s 259 7.= ——3.3. Sistema Normal Quando o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero. '2 -1 = 2 ‘ 1 . é classificado como sistema normal. que nos leva à solução S=í(4. =2-7-(-5)*1=14-5=9 D 12 Dy 9 Assim. para cada uma das variáveis. 2 -1 1 1 Logo. . 3 e 4: S.3 e 4: Sx: [1] e det(l) = | 1 ] = 1 2.16. Anota-se det(N) o determinante da submatriz de ordem N em A.Raciocínio Lógico — 260 b Enrique Rocha Exemplo: 1 0 3 0 2 1 Seja a matriz A = 0 -3 -5 4 5 2 Sáo exemplos de submatrizes de A: Eliminando-se as linhas 2. Menores de uma Matriz Um menor de uma matriz A é o determinante de uma das submatrizes quadradas de A. eliminando-se as linhas 2. eliminando-se as linhas 3 e 4 e as colunas 3 e 4: .: [ ] Eliminando-se as linhas 3 e 4 e as colunas 3 e 4: 1 S->: 1 0 0 2 Eüminando-se a linha 4 e a coluna 4: 1 0 3 S3: 0 2 L 0 -3 -5 7.3 e 4 e as colunas 2. 1 0 3 0 0 2 1 3 Vamos usar a matriz A 2 -3 —5 4 4 5 2 -1 Podemos encontrar os menores das submatrizes dadas como exemplo: 1.3 e 4 e as colunas 2. 1 4 2 12 3 5 1 1 14 1 2 0 3 Precisamos atribuir valores a p (a partir de 1) e. encontrar pelo menos um determinante de ordem p não nulo.3 = que det(3) =£0. p ^ 2. eliminando-se a linha 4 e a coluna 4: '1 0 3 “ 1 0 3 0 2 1 e det(3) . quando existir um menor de ordem p . Logo. Fazendo p *» 1: Basta tomar uma submatriz de A com um elemento não nulo para termos det(l) & 0. Teorema de Kronecker A característica de uma matriz não nula A éo número p S: 1. Portanto. para cada um desses valores. Como exemplo. Exemplos: Vamos encontrar a característica da matriz. A 1 2 0 3 0 . Fazendo p » 2s 1 0 Usando a submatriz de segunda ordem S2 = 2 -1 Portanto.0 2 1 Sr 0 -3 -5 0 -3 -5 7.det(p) —diferente de zero e forem nulos todos os menores de ordem p + 1. tome au = 1.1. p > 1. p > 3- "i o r -1 5.Capítulo 7 — Álgebra Linear b 261 3.17. Característica de uma Matriz 7. vemos 3 onde det(3) = — 4 1 .17. vemos que det(2) =£ 0. Fazendo p = 3: Usando a submatriz de terceira ordem S. p « q < n <=> sistema possível e indeterminado (infinitas soluções). p & q <=> sistema impossível (não admite solução).18. podemos afirmar que o sistema é possível e determinado.. cuja característica também é p = 2.. (2x —y ~ 5 Seja o sistema i IíiemPlo l: [x+y=7 -I 5 e a característica da matriz completa é q = 2 1 7 porque existe det(2) & 0 e não existe det(3).. 2n*n ~ u2... temos m equações e n variáveis. .1. A2lxl '+a12x2 +• b-. pois p = q = n (onde n è a quantidade de variáveis). 7.. Anx\ + au x2 A->„x. se é determinado ou indeterminado. respectivamente. A matriz completa é: Por outro lado..262 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Como todos os menores de quarta ordem são nulos.18. Seja o sistema: . p e q são as características das matrizes incompleta e completa. 7. Análise de um Sistema de Equações Lineares A análise de um sistema de equações lineares consiste em determinar se ele é possível ou impossível e» no caso de ser possível. p = q » n <=> sistema possível e determinado (solução única). podemos afirmar que a característica da matriz A é p « 3. Além disso. Assim.. + *“ + . Teorema de Rouché-Capelli O sistema será possível se e somente se p . Existem algumas maneiras de se fazer essa análise e uma delas usa a representação matricial do sistema (matriz incompleta e matriz das variáveis)..q. a matriz incompleta é f2 “^] . Ami*i '^’Q-rn2X2 + \‘‘ AmnXn ~ b r Neste sistema.. —impossível: se D = 0 e (Dx ^ 0. ou Dz & 0). —possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx.. Dy.2. ou Dy ^ 0. concluímos que p . 7. se p solução). o novo sistema será equivalente ao primeiro.3.1 1 Matriz completa: MC ~ e det(3) 3 2 5 3 2 5 Com isso. Sistemas Equivalentes Dois sistemas são ditos equivalentes se apresentarem o mesmo conjunto-solução.4. ele será: ~ possível e determinado: se D =£0 (uma única solução).18. e assim para qualquer das incógnitas. Propriedades P l: Se duas equações de um sistema linear trocarem de posições.. Exemplo: 'x + y + 2 z =8 O sistema <2x .y —5 Resolução: “1 1 f 1 1 1 2 -1 1 2 .18. Dz forem nulos (iguais a zero). Regra de Cramer Quando um sistema tiver o mesmo número de equações e de incógnitas. 1 1" Matriz incompleta: MI ~ 2 -1 e det(2) » 1 1 2 -1 3 2 Com isso.18. concluímos que q = 3.2.y +3z = 12 x -3 y + z =4 . Pelo Teorema de Rouché-Capelli. q <=> sistema impossível (não admite 7. 7..Capítulo 7 — Álgebra Linear u 263 Exemplo 2: (x + y =1 Discuta o sistema <!2x ~ y — 1 [3x+2. Exemplo: 2 x + y +2z =8 O sistema <2 x -y +3z ~ 12 x~3y + z ” 4 3x+3_y+6^=24 é equivalente ao sistema 2x—y + 3 z ~ l2 x .x + y +2z =8 x -3 y +2 . V—2 z ~ 0 -* i <• A J £ homogêneo (note que. É homogêneo. na segunda equação.4 P : Se <»tna ou mais equações de um sistema linear forem multiplicadas por k. se o -4 x 3y 4z ——4 paxa o lado direito do sina! de igual o resultado 2x+2. .y~-z-0 será zero). Sistema Homogêneo Um sistema é dito homogêneo se todos os termos independentes forem iguais a zero.18.y + 3 z ~ l2 é equivalente ao sistema .5.3 y + z =4 7.0 2x+2.264 a Radodnio Lógico — Enrique Rocha 2 x . sendo que o sistema obtido por essa operação será equivalente ao primeiro.y —z =0 jsjâo é homogêneo. Exemplos: x+y+2z = 8 2x-y +3z —12 x -3 y + z =4 -x+4y ~2z =0 x~3y + z . já que -4 + 2 apenas trocamos a equação (II) com a 011). pois x .Capítulo 7 — Álgebra Linear b 265 7.y + z =4 — x+2y+z -2 é equivalente ao sistema 5 y ~ Z ~ ~ 3 (apresentara a mesma solução.19. Um sistema de equações não se altera quando duas equações são trocadas de lugar. Um sistema de equações lineares não se altera quando uma equação qualquer ê substituída por outra» resultante da adição da primeira com outra na qual foi aplicada a transformação .3 z = . Exemplo: -x+2y + z . por 2).y + z =4 a segunda equação resultou da soma da antiga segunda equação com a primeira multiplicada.y + z =4 apenas multiplicou-se a primeira equação por (-1). Exemplo: 2 '-x -i-ly + z.3 z = -7.z = -2 é equivalente ao sistema 2x + y .3 z = ~7 x .x + 2 j+ s : =2 x .7 x -y + z -4 x ~ 2 y . (apresentam a mesma solução). 3. 2.3 z .2 O sistema: <2 x + y .y 4-2=4 2 x + y -3^: = -7 x -2 y -z~ -2 é equivalente ao sistema 2x + y .2 O sistema: 2 x + y . Um sistema de equações não se altera quando se multiplicam os dois membros de qualquer uma das equações do sistema por um numero real não nulo. Transformações Elementares de Sistemas Lineares 1.~7(apresentam a mesma solução). Exemplo: O sistema: . . pois x . 2): 2x-3y + z = H -2x+2y ~~4z ~ -18 x-4 y + z ~ l2 3a passo: somar as duas primeiras equações e substituir a segunda equação pelo resultado obtido (transf. até a primeira. Método de Gauss ou Método do Escalonamento Uma das formas de se resolver um sistema de equações lineares é usar o método do escalonamento.4 y + z ~ 12 Ia passo: trocar as posições das duas primeiras equações (transf.12 4a passo: multiplicar a segunda equação por (-1) (transf. 2x-3y +2 = 11 x . 2): .3 z = -7 x . que consiste em aplicar as transformações lineares sobre as equações e obter um novo sistema equivalente no qual a última equação tenha apenas uma das variáveis. a penúltima. Vamos usar um exemplo para demonstrar o método: -x +y -2 z = Seja o sistema .266 h Raciocínio Lógico— Enrique Rocha 7.19.1. 1): 2 x-3y +z~H -x -t-y ~2z . duas. 3): 2x~3y + z ~11 . e assim por diante.4 y + z .y . que conterá todas as variáveis presentes no sistema original.-9 x ~ 4 y + z =12 2a passo: multiplicar a segunda equação por 2 {para no próximo passo eliminar a variável x da segunda equação) (transf. eliminar a variável y da terceira equação) (transf. no próximo passo. 2): [2x-3y + £ = l l y +32: .7 -2x+8y ~2z ~ -2 4 6a passo: somar a primeira e a terceira equações e substituir a terceira equação pelo resultado obtido (transf. 2): 2x~3y + z =11 ~5y -152 =-35 5 y -z= ~ U 8a passo: somar a primeira e a terceira equações e substituir a terceira equação pelo resultado obtido (transf. eliminar a variável x da terceira equação) (transf.f£ —l l ~~5y-15z = .Capítulo 7 — Álgebra Linear £ 267 5a passo: multiplicar a terceira equação por (—2) (para.3 = -35 => -5y. no próximo passo.4 5 = -35 => -5y = -35 + 45 => -5y = 10 => y y = -2 . 3): 2x-3y +z-U -~5y-l5z --3 5 ~ lé z = -48 9apasso: multiplicar a segunda equação por —— e chegar ao valor de z (transf.3 5 ^ -3 10® passo: aplicar o valor encontrado para z na segunda equação e enconrrar o valor de y: -5y -15z = ~35==> -5y -15. 3): 72passo: multiplicar a segunda equação por (-5) (para. 2): V 16J 2 x ~ 3 y . O enunciado quer a razão entre os elementos e sJ2. d) 2. ou seja» Êu.p.: D 2.268 es Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 1Xa passo: aplicar os valores encontrados para y e z na primeira equação e encontrar o valor de x: 2x —3y + z = 11 =>2x —3-(—2) + 3 . então a razão entre os elementos s22e sl2 da matriz S é iguai a: a) 1.) = i2+j2 e que b. Sabendo-se que (a. A matriz S = s^.. Sejam as matrizes 5+1 6 . *$12 Sabendo que cada elemento de S será a soma dos elementos correspondentes (de mesma posição) das matrizes A e B.9 = > 2 x = 2=>x= —=> x = 1 Solução: {1...11 => 2x + 6 + 3 = 11 =z> 2 2x + 9 = l l = > 2 x = l l . é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a^) e B=(b. e) 6.20. Resolução: Este é um caso em que você não precisa montar toda a matriz A e a matriz B para chegar à resposta final. c) 4. b) 3. -2.. temos: S22~a22+^22 S12"ai2+^12 Assim. Exercícios resolvidos sobre Álgebra Linear 1. precisamos calcular esse elementos: al2ol2 + 22= 1 + 4 . = i^.5 a^ 22 + 22= 4 + 4 = 8 C = i 2= i b22=2’ = 4 T ^ n .3} ^ 7. de terceira ordem. $22 _ «22 + i)22 ^ 8 + 4 _ 12 Sn a12 +a12 Resp. Resolução: O primeiro impulso que você tem.B. temos que: L J 3 3 (A. E que o elemento (A. ^ i = i S = 2. o que queremos encontrar é: (A-B) 21 3. (A*B)j3 Assim. d) 1/3. nesse caso. considerando e A = 2 6 eB = 1 2 3 4 e B =. c) 3.B. (A-B)21 8 Resp. Sabemos que o elemento (AJB)13é a soma dos produtos dos elementos da primeira Unha de A pelos elementos da terceira coluna de B.B)13= 1x4 + 4x3 = 4 + 12 = 16.B)£.B)*. ou seja. e que (A.0 elemento x. ao se deparar com este tipo de problema. encontrar a transposta e calcular o que o enunciado pede. L o g o .^ será o elemento x. ——. Essa resolução mais simples passa pelo estudo das propriedades aplicáveis e.0 problema pede a razão entre os elementos entre x31 e x12 da matriz X =(A. _1 4‘ [1 3 4 5l Assim. é sair resolvendo o produto A.B)2I = 2x1 + 6x1 =2 + 6 = 8. precisamos observar os seguintes aspectos: 1 .Capítulo 7 — Álgebra Linear s 269 e seja x. X12 2 . Você deve notar que “razão” é o quociente entre os dois valores.B)21 é a soma dos produtos dos elementos da segunda linha de A pelos elementos da primeira coluna de B. a razáo entre x31 e xJ2 é igual a: a) 2. isto é. a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Não faça isso! A maior parte dos problemas de matrizes encontrados nos concursos requer uma análise prévia para identificarmos se é possível uma resolução mais imediata do que desenvolver todos os cálculos aparentemente envolvidos.í A . o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A. b) Vz\ e) 1. Assim. (perceba a troca na ordem) da matriz A. A 3 = '1 3 0 1 ’1 l 0 1 *0 1" 0 °.= Por fim.A « '1 2 _0 1 A3 -A 2 : A4 . façamos A2. b) -1.A.An_1= '0 1 0 0 0 n 0 1 "1 3‘ 0 1 '1 4‘ 0 1_ . A3. podemos concluir acertadamente que A" = Agora.A2e A4. c) 0. para podermos identificar suas características: A-A = 1 1 '1 1’ ° 1 0 X A3 =A*A2 = 1 1 '1 2 0 1J 0 1 ' ( l x l + lxO) (0x1 + 1x0) ‘( l x l + lxO) (0x1 +1x0) 1 ‘1 3* 0 1_ A .A*AJ (Xxl + l x l ) ' '1 2 ( 0 x l + lxl)_ 0 1_ ( l x 2 +l x l ) ' (0x2 + lxl)_ (1 x 3 +1 x l)*1 (0 x 1 +1 x 0) ( 0 x 3 + l x l ) _ ' ( l x l + lxO) Daqui.° 1 ro i* 0 [o 0 A4. d) n. e) n ~ l . “1 2' 0 l X_ 0 0_ ~I 4 ' "X 3“ 0 X_ .A3 = .270 a Raciocínio Lógfto — Enrique Rocha 1 1' 3. podemos ver que An. então o determinante da 0 1 matriz An—AD~l é igual a: a) 1. Sabendo-se que a matriz e que n <= N e n > 1. Resolução: Vamos começar calculando as matrizes A2»A3e A4.A3: A2 . temos que det(X) = 0.Y). a) a = 0. Resp. e) a = 0. d) a-fb.3). b = 1. e) a+c.det(Y) =0. Com base nisso e na propriedade (P. é imprescindível que você preste atenção à matriz X e perceba que ela tem duas linhas proporcionais (a segunda é o dobro da primeira). o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: a) 0.det(Y). Então.A""1) = 0 1 = 0.Capítulo 7 — Álgebra Linear m 271 Como o problema pede o determinante dessa matriz e usando a propriedade que diz: "quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz forem iguais a zero.: C '1 2 3 a 2 3" 4. ou seja. d) a . detQCY) = det(X). det(A. b) a. b = 0. b e c são números naturais diferentes de zero. b = 1. Dadas as matrizes» A = '1 2 0 1 '2 a eX 1_ b Assinale os valores de a e b de modo que A. b) a = 1. Pela propriedade (RIO) enunciada neste capítulo. que diz: “se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais. . Considere as matrizes X = 2 4 6 e Y = 2 b 6 5 3 7_ 5 3 c onde os elementos a. 0 0 Resp.det(Y) = 0. Resolução: O enunciado quer det(X.1. Aqui. c) a+b+c. Assim. temos que det(An. entáo seu determinante é nulo”. b = 0. det(B)”. "para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n.B) = det(A). o produto det(X).: A 5.X . o determinante será zero”. c) a = 0.B. b = -1. Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. det(A). onde n é a ordem da matriz quadrada A”.X = B. Pela propriedade (P12). det(kA) * kfl.272 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Resolução: Se A. 3 = 34 . det(Z) = det(X£) = det(X).det(X) * 33. Como Z = X* e o determinante de unm matriz é igual ao determinante de sua transposta (P. e) 81. Então. .Z tem determinante igual a: a) 1/3.Z) * 33. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X então a matriz Y=3. temos: det(3. d) 27. Logo.5).1 ~2=> a +2 ~2=z> a = 2 —2 = 0 1 fc *l Resp. onde Z = X‘.: E 7. “seja k um número real qualquer.Z) « 33. Resp.y.Z). Quando os elementos da terceira Unha de uma matriz quadrada são divididos por x (x diferente de zero) e os elementos da primeira coluna são multiplicados por y (y diferente de zero). Resolução: O enunciado quer det(Y) = det(3. o determinante dessa matriz fica dividido por: a) x. então: 1 2 0 a * ~ 1_ b 2 1 => 'l-a+2-b" Y 0 " d + 1‘ b 1 => fa +2b l L b J 2 = _ 1 _ Daqui temos: [a +2b —2 J ■=> a +2. c) 9.: A 6. b) 3.81. det(3.det(Z). lfi caso: m « 0 Se m = 0. Como o coeficiente da variável b é zero. é correto afirmar que: a) sem /O e a=2. Resp. Assim. como o enunciado diz que a terceira Unha foi dividida por x e a primeira coluna multiplicada por y. Logo. c) se m=6. b) se m=0. por isso.(a + 3b) . x Cuidado!!! O enunciado pergunta por qual número o determinante fica dividido. será possível e determinado. Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível”. ‘multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz. o sistema terá infinitas soluções e.Capítulo 7 — Álgebra Linear & 273 Resolução: Pela propriedade (P. quando a solução for única. qualquer valor que se dê a b continuará atendendo às duas equações. . ou a + 3b = 0 (o produto de dois números será zero quando um deles for zero).: C . qualquer valor de b satisfaz o sistema. quando houver infinitas soluções. o sistema é indeterminado. Dessa forma. na segunda equação teremos: 2a + O. Resolução: Vamos considerar a primeira equação do sistema: ma + 3mb ~0=> m. e é chamado de “indeterminado”. o sistema é possível e determinado. o determinante da matriz terá sido multiplicado por —. o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número”.(a + 3b) = 0. e) se m * 0 e m * 6. o sistema é impossível. é chamado de “determinado”. neste caso de m = 0.0 Para que m.4 = > a = 2. sobre o sistema formado pelas equações: 8 jma+3mb = 0 [2a+mb —4 em que aeb são as incógnitas. qualquer valor de b satisfez o sistema.b = 4 = > 2 a . ou m = 0. o que implica a inversão da fração acima como resposta.6). d) se m sé0 e a * 2. quando admite pelo menos uma solução. c) impossível e determinado. quando houver infinitas soluções. Seja o sistema: íx .(m-6) . se A _1T 4 m ^ 0 e m & 6. na segunda equação teremos: a + 3b = 0=>a = -3b Substituindo a por -3b na segunda equação: 2a + mb .6 tem que ser diferente de zero.4 => -6b + mb = 4 => 4 b.4 => 2.4 => b = “ Neste caso. m —6 ^ 0 = > m ^ 6 . e de “indeterminado” . quando a solução for única.4. então o sistema é: 2 2 2 a) impossível e determinado. sendo o sistema classificado como possível e determinado m"6 !1 Resp. uma solução. e) possível e indeterminado. pode-se afirmar que s e w = — e z . £ • e b = ----—. Sistema “indeterminado” —» infinitas soluções. teremos uma única solução: a = —3____ -_ . quando admite.y = 2 [2x-l-'wy~z (I) (II) . pelo menos. d) possível e determinado. Passo : identificar as regras do enunciado: 1 Sistema ‘ possível” ou “compatível” admite.Raciocínio Lógico — 274 is Enrique Rocha Se m ^ 0. Como m será um valor definido. Sistema “determinado” —> uma única solução. para que b tenha um valor definido.(-3b) + mb . Um sistema de equações é chamado "possível” ou “compatível”. Resolução. è chamado de “determinado”. o denominador m . A partir do sistema formado pelas equações x —y ~ e x + w y . uma solução. pelo menos. b) impossível ou determinado.: E 9.z. ou seja. ou seja. em que pelo menos um dos elementos é diferente de zero) é um número p > I quando existir um menor de ordem p diferente de zero e forem nulos todos os menores de ordem p + 1 (Teorema de Kronecker. facilmente aplicaria a seguinte regra prática: O número de equações é menor do que o número de variáveis: sistema possível e indeterminado. Temos então: fx-y=2 (I) |2x -r-(—2)y =4 (II) fx . temos um sistema com uma equação e duas variáveis: {x-y =2 Neste ponto. se você estivesse fazendo uma prova de concurso. . usando o Teorema de Rouché-Capelli: Menores de uma matriz Um menor de uma matriz A é o determinante de uma das submatrizes quadradas de A Característica de uma matriz A característica de uma matriz A não nula (ou seja. Assim sendo.y =2 (I) jx~y~2 (II) Veja que ficamos reduzidos a uma única equação. temos: f x . já exemplificado no texto teórico sobre matrizes).y = 2 (l) [2 x-2 y -4 (II) Dividindo-se os dois lados (termos) de (II) por 2.Capítulo 7 — Álgebra Linear k 275 Sejam w = —2 e z = 4. ' Vamos aproveitar o exercício para lembrar alguns conceitos que nos permitam resolver esse problema por um outro método (menos intuitivo). p = 1. porque só completa. sistema possível e indeterminado (infinitas soluções). Logo. encontrar “p” e “q” para o nosso sistema: Encontrando a Característica da Matriz Completa (p)s A característica da matriz M = [1 —1 2] é facilmente definida. Podemos agora aplicar o Teorema de Rouché-Capelli para classificar nosso sistema de equações lineares: Temos p = 1. a matriz completa do nosso sistema é: Mcompleta » [1 -1 2] Matriz incompleta de um sistema linear E construída usando-se apenas os coeficientes das variáveis. exemplificar: Nosso sistema é: {x-y = 2 Assim. sistema possível e determinado (solução única).1 Excluindo-se a 3a coluna: . então. ou seja “p • q”: p = q < n <=> sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) Resp.276 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Matriz completa de um sistema linear Vamos usar o sistema de equações lineares deste exercício para. exemplificar: A matriz completa do nosso sistema é: “ t1 . existem submatrizes quadradas de ordem 1.: E . incompleta .[l -1] Sejam “p” a característica da matriz completa. O Teorema de Rouché-Capelli classifica um sistema de equações lineares da seguinte maneira: sistema impossível (não admite solução). . Encontrando a Característica da Matriz Incompleta (q): Para encontrar a característica da matriz M . raciocínio acima e concluímos imediatamente qué q = 1. Vamos usar o sistema de equações lineares deste exercício para. excluindose da matriz completa a coluna era que as variáveis não aparecem. . i . Precisamos.2.[1 -1]. t . usamos o mesmo . ou seja. “q” o determinante da matriz incompleta e “n” o número de variáveis do sistema. q = 1 e n . x e x . ou seja. e) 58..(ESAF-AFC-2002) De forma generalizada. onde I representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s.. é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a^) e B=(b... A e B também são matrizes quadradas de terceira ordem. b) 29. então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S e igual a: 2 2 a) 17.j)=Í +j e que b . Resolução: Passo 1. vamos ver uma matriz X quadrada de terceira ordem: *ii l 12 L13 X 21 x 22 X 23 _x31 x 32 x 33 Vemos que os elementos da primeira linha de uma matriz de terceira ordem é formada pelos elementos x . qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m. Sabendo-se que (a.^ i+ j)2. B e S: Apenas para visualizar. c) 34. S = A + B. S = A + B (logo. f a M l + j2 b » (i + j)2 *■» Passo 2: construir as matrizes A.).Capítulo 7 — Álgebra Linear as 277 10. d) 46. r 11 12 13 . identificar as regras do enunciado: A matriz S —sij é [quadrada] de terceira ordem (3 Unhas e 3 colunas). de terceira ordem.. s es : n 12 13 s =a +b =2+4=6 12 11 11 s .278 Raciocínio Lógico — Enrique Rocha e Logo. (SERFRO-2001) Genericamente.t D IX. então a razão entre os elementos s31es13e igual a: a) 1/5.b eb : 11 12 13 b = {1 + 1)2= 22= 4 12 b = (1 + 2)2= 32= 9 12 b =(1+3)2=42= I6 13 s .5 + 9= 14 12 12 12 s = a + b = 10 + 16 = 26 13 13 13 O que queremos é s . precisamos calcular: a .) = i2+ j2e que br= (i+j)2 r ~ — r * . e) 1. é a matriz resultante da soma das matrizes A -(aJ e B=(b. a coluna em que esse elemento se localiza.5 a « l 2+32= 1 + 9 « 10 13 b .. . b) 2/5. c) 3/5. de terceira ordem. d) 4/5.a ea : 11 12 13 a =1+1=1+1=2 ii a12 = 12+ 22= 1 + 4 . Sabendo-se que (&. qualquer elemento de «ma matriz M pode ser representado por m^.s es : ^ ^ U 12 13 s +s +s -65 + 14 + 25 = 46 II 12 13 Resp. onde i representa a linha e j. Uma matriz S-s .a +b .). O que o enunciado pede é a razão entre s3l es13. então. ou seja) Basta. ™1 SB “ 26 Resp. calcularmos esses dois elementos. os quais são calculados por: Sl3 s =a + b 13 13 13 s =a + b 31 31 31 Como: a =12+ 32=1 + 9 = I0 13 b = (1 + 3)2= 42~ 16 13 a = 3%-1-9 + 1 = 10 31 b = (3+ 1)2~ 4 = 16 31 Temos que: s =a + b =10 + 16 = 26 13 13 13 s =a +b =10+16 = 26 31 31 31 Logo.: E .Capítulo 7 — Álgebra Linear e 279 Resolução: Este exercício é muito semelhante ao anterior. mas eu optei por resolvê-lo para reforçar a importância de se despender tempo e esforço apenas com o que é necessário. S31 _ 3É. (ESAF-MRE-2002) Dada a matriz e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a Vi. 2.) »i: e que b„ (i-j)2. ê correto afirmar que o sistema: a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. de terceira ordem. 3. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. Uma matriz X «* Xy. então o produto dos elementos x ^ e x ^ è igual a: «0 16. Com relação ao sistema de incógnitas x e y. Sabendo-se que (a. então o valor de x é igual aí a) -1. e) é impossível para qualquer valor real de a. qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por fiy onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. c) tem solução náo trivial para um único valor real de a. e) 2.(ESAF-AFC-2004) Genericamente. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.280 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Exercidos sobre Álgebra Linear 1. d) 1. . c) 1/2. é a matriz resultante da soma das matrizes A « (a^) e B»(b^}.. b) 0. 26 65 169. b) c) d) e) 18. A 2. A 3. D e 281 .Capítulo 7 — Álgebra Linear Gabarito de Exercidos de Álgebra Linear 1. 2.2. Exemplo: quando se joga um dado. daqui por diante chamado de evento. podem apresentar resultados diferentes.1. Espaço Amostrai Espaço amostrai. Depende do acaso. embora realizados em condições idênticas.\ lembre-se de dar graças a Deus pela capacidade que Ele te deu. embora limitados a uma lista de possibilidades.Evento. Certamente seu coração se alegrará e sua forma de ver as coisas será diferente. Esses resultados. Experimentos Aleatórios Experimentos aleatórios são experimentos que. mas não se sabe qual face acontecerá. . 3> 4. isto é. A Teoria das Probabilidades é a parte da Matemática que tem por finalidade principal a quantificação da chance de ocorrência de determinado acontecimento. fez-se necessário a explicação de certos conceitos: .C apítulo 8 ______________ B Probabilidades ______________________ _______________________ ü ‘Em vez de ficar reclamando que não consegue aprender. são imprevisíveis. que representaremos pela letra U. 8.universo ou Espaço Amostrai. dependem exclusivamente do acaso. é o conjunto formado por todos os resultados possíveis para um experimento aleatório. 8. . . 5 ou 6.experimentos aleatórios. ” Esra parte da Matemática estuda as chances de um determinado evento ocorrer. Para melhor podermos entender “probabilidades”. existem somente as possibilidades de cair uma das faces 1. mas sim a quantidade de elementos do espaço amostrai que caracterizamo evento. Exemplo 3: em uma urna. Evento Certo. U = {l. Essa é a origem para o cálculo da probabilidade de ocorrência de qualquer evento. pois o acontecimento (face 7) não fàz parte do espaço amostrai. 033. 043} e n(C) = 5 Exemplo 4: no lançamento de um dado.{003. P. 2.4. Exemplo 2: seja o lançamento de uma moeda. D = {1. U = {cara. Representamos essa quantidade por n(A). aqui em nosso trabalho. U = {V. P. cair uma íàce entre 1 e 6. e será representado por um conjunto de todos os elementos correspondentes a esse acontecimento que pertençam também ao espaço amostrai.3. Exemplo 2: cair uma face par no lançamento de um dado qualquer. A = {cara} e n(A) = 1.6}. 3.4. E . o próprio espaço amostrai. cinco bolas pretas e duas azuis. V.4. n(E) = 0 .284 & Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Exemplo 1: seja o lançamento de um dado.{}. 5. evento. Exemplo 3: ser sorteado um bilhete com final 3 numa rife em que os bilhetes vão de 001 a 050.5. entenderemos. B = {2. não consideramos a quantidade de elementos apresentada no enunciado. um acontecimento cuja chance de ocorrência desejamos quantificar. temos que: A = {} e n(A) = 0 (porque não existe 7 no conjunto universo de um dado). Observação: ressaltamos que. V. P. Exemplo 4: para o caso do lançamento de um dado. 8. Esse evento é um evento impossível. é fundamental identificar a quantidade total de elementos e a quantidade de vezes em que o evento que está sendo analisado aparece nesse conjunto. n(D) * n(U) = 6 Exemplo 5: no lançamento de um dado. no cálculo de probabilidade de um evento A. 013.3. C . Evento. 6} e n(B) = 3. existem três bolas vermelhas. Evento impossível Por. coroa}. Esse evento é um evento certo.023.6} = U. Exemplo 1: cair “cara” no lançamento de uma moeda qualquer. P.2. cair a íàce 7. P. A. A} Com relação ao universo associado a um determinado evento. querendo-se calcular a quantidade de elementos do evento A: “cair a face de número 7”. é um que sempre acontecerá.3. É representado por um conjunto igual ao espaço amostrai.2. 5. Exemplo: no lançamento de dois dados. Exemplo 1: no lançamento de um dado.4.4.10. O evento complementar de A é o subconjunto de U em que náo acontece A. os eventos “sair o número 4 e não sair o número 4” são eventos complementares.11.6. U = {1. 5. A = U e n(A) = n(U).3. Suas possibilidades náo fazem parte do espaço amostrai. ainda.9.5} A = {1.6} A -{2.2. Eventos complementares —representados por A e A.Capítulo 8 — Probabilidades a 285 Evento certo . A = {2. Exemplo: Determine o conjunto universo e seu número de elementos para. no lançamento de dois dados.3.3. Ou poderíamos dizer.6} . que o evento A é o conjunto dos elementos do espaço amostrai que náo pertencem ao subconjunto de A. 5. o fato de sair uma determinada face no primeiro lançamento náo influi absolutamente na probabilidade de sair qualquer outra face no segundo lançamento. qual o evento complementar do evento “sair o número 2 ou o número 5”? U = {1. Exemplo: Fazendo-se o lançamento de um dado duas vezes.6} Exemplo 2: num lançamento de dados.5.6} A= {4} = {1. Será representado pelo conjunto vazio.4. caírem duas faces cuja soma dê um número menor que 13 no lançamento de dois dados quaisquer.4. caírem duas faces cuja soma dê um número igual a 1 ou maior que 12.3. em que um evento é a negação do outro.12} * U n(A) = n(U) = 11 Evento Impossível —é um evento que nunca acontecerá. 8. A = {} e n(A) ~ 0 Eventos independentes—quando a ocorrência de um náo interfere na probabilidade de ocorrência do outro.2.7. U = {1.2. n(U ) 6 b) Evento B: sair o número 3. Observação: o valor de uma probabilidade pode ser expresso como: fração ordinária (exemplo: 2/3). 6} e n(C) .6} e n(U) = 6 D = {1. U = {1. U «{l.67%). 5. n(U) 6 d) Evento D: sair um número menor ou igual a 6. e n(U) é o número de elementos do espaço amostrai. 3.83 = 83.3. 5. 3.4.5 p(C) = HÍQ = 1 * 0.2.4.4.4. 4. 6}en(U) = 6 B = {3} e n(B) « 1 PCB) « Ü Í H « I * 0.5.17 = 16.5.67%.33%.3. 5.286 sí Raciocínio Lógico — 8. 6} e n(D) = 6 p(D) = ^ = —== 1 = 100% (evento certo).2. Fórmula Geral do Cálculo da Probabilidade Enrique Rocha A probabilidade de ocorrer um evento A é dada peia fórmula: p(A) =_n(A) n(U) em que n(A) é o número de elementos do evento A» considerados conforme a regra dada anteriormente. fração decimal dividindo-se o numerador pelo denominador (exemplo: 0.2. U * {1.3.4. Exemplo 1: ao ser lançado um dado. 5. 2.6}en(U)«6 A = {} e n(A) = 0 p(A) = = -= 0 = 0% (evento impossível). n(U) 6 .2. 6} e n(U) = 6 C ~ {1.67). calcule as probabilidades de ocorrência dos seguintes eventos: a) Evento A: sair um número maior que 6. porcentagem (multipücando-se a fração decimal por 100 e pospondo-se o símbolo % (exemplo: 66.4. n(U) 6 c) Evento C: não sair o número 3. 3) (4.6 = 60%.6). Pelo estudo de Análise Combinatória que fizemos no capítulo 6.{(2. B = {qualquer bola azul} e n(B) = 6 p(B) = 6/10 * 6/10 = 0. por (1. B «{(6.4).5) (2.1/36 = 2.3) exemplo. calcule as probabilidades seguintes: n(U) * 10 a) Evento A: sair uma bola verde.4) l2 lançamento e 2 no 2a.(6. C .2) (4.14% Exemplo 3: Uma urna possui seis bolas azuis e quatro bolas vermelhas.6) (5.3) (6.6)} en(B) = l p(B) .1) (5. O Universo é formado dos pares abaixo: (1.6) (6. C= {qualquer bola vermelha} e n(C) .6 = 60%.5) (6.2) (5. b) Evento B: sair uma bola azul. significa 5 no (1.(5.3).1) (6.2)-* onde (5.3) (5.2) (6.3) (2.2)} e n(C) = 5 p(C) = 5/36 .5) (3. c) Evento C: sair uma bola vermelha.1) (2. A = {} e n(A) = 0 p(A) = 0/20 = 0 = 0% (evento impossível).4) (5.Capítulo 8 — Probabilidades k 287 Exemplo 2. sabemos que n(U) = 36.4) (4.1) (3.5). .(3.5) (4.78% c) Evento C: sair uma soma das faces igual a 8.4 p(C) = 4/10 = 2/5= 0. (1.(4.6) (2.6) n(U) * 36 Calcule a probabilidade de ocorrência dos eventos abaixo: a) Evento A: sair uma soma das faces menor que 2 A = {} e n(A) = 0 p(A) = 0/36 = 0 (evento impossível) b) Evento B: sair uma soma das faces igual a 12.3) (3.1) (1. considere o lançamento de dois dados.2) (3.2).4) (6.4) (2.5) (5.5) (1.6) (4.4) (3.2) (2.6) (3.1) (4. Tirando-se uma bola com reposição. 6) (3.5) (2. podemos perceber que.1) «n (6. Exemplo: em dois lançamentos de dado.4. Considerar que um evento certo e um evento impossível são complementares.3) (4.3) (6. Probabilidade de Ocorrer “A” e “B”: p(A e B) Sendo A e B dois eventos.6) (2. qual a probabilidade de sair 1 no Ia e 5 no 2a? Temos um caso de: ?(!.288 0 Raciocínio Lógico — Enrique Rocha d) Evento A: sair uma bola não amarela.4) (4.4.5) (5.027-2.4) (1. a chance de ocorrer (1.2) exemplo.p(A) = 100% . p(A) = 10/10 = 1= 100% (evento certo). a probabilidade de um evento A é dada pela expressão: p(Ã) = 1 .6) Aqui.5) (1. (1. podemos escrever: A probabilidade de ocorrer um evento A E um evento B quaisquer ê dada pelo produto da probabilidade de A pela probabilidade de B. dentre os 36 resultados possíveis.3) (2.2. por (1..p(A).1) (2. e a soma de suas probabilidades é 1 (100%).3) (3.1) onde (5.4) (5.1) (1.2) (2. Assim. A soma das probabilidades de dois eventos complementares é 1 (100%). 1 = J _ s 0.3) (5.2) (4. 6 6 36 Isso poderia ser analisado de outra forma.4) (6. ou seja.1) (4. inclusive.2) (6.> n 5 2a) = P ( l J . ? ( 5 J = 1 .5) é uma em trinta e .6) (5. P (B ). Em notação matemática: P(AeB) = P(Á r \B ) = P(Á).7%.4) (2. Quando lançamos um dado duas vezes. Conclusões dos exemplos acima A probabilidade de um evento impossível é 0 (0%). 8.1) (3.2) (5.1. Probabilidade é um número real entre 0 e 1 (0% e 100%).2) (3. A probabilidade de um evento certo é 1 (100%).6) (4.5) (6.5) atende à exigência do enunciado. apenas um deles (1.5) (3. 8.6) (6.3) Ia lançamento e 2 no 2a.4) (3.5) (4.2). significa 5 no (1. os resultados possíveis são: n (5. 6) Dentre os trinta e seis resultados possíveis.Capítulo 8 — 8.P(Par^). a chance de ocorrer 1 no l2e 5 no 2.6) (5. Assim.2) (2.3.5) (2.2) (13) (1.2) (6.5) (5..6) (6.2) (4.25 = 25% 4 .5) foi contado duas vezes) atendem à exigência do enunciado.1) (4.4) (2.5) (3. Exercícios Resolvidos sobre Probabilidades .3) (3. 6 36 “ 36 Isso poderia ser analisado de outra forma.5.1) (2.ê onze em trinta e sei 8. P(/mpar2í) - Resp. Probabilidades s 289 Probabiüdade de ocorrer “A ” ou “B”: P(A ou B) Sendo A e B dois eventos.3) (5.: 25% 5 . P{522) = 6 6 6 6 — s 03056 =30.4) (13) (1.P ( l la).4) (4. os resultados possíveis são: (U ) (1. Quando lançamos um dado duas vezes.2) (3.2) (5.6) (2. onze deles (veja que (1.4. Exemplo: em dois lançamentos de dado.4) (3.6) (3.Pi ímpar^ ) . em dois lançamentos de um dado» se obter numero par no lançamento e ímpar no 2? 1 1 2 2 Resolução: Temos P{Parl.P(A) + P(B)—P(A n B) (aplicando a propriedade anterior) P(A) + P(B)-P(AnB).3) (4. qual a probabilidade de sair 1 no ls e 5 no 2S? Temos um caso de: />(!.3) (6.2 6 6 36 =1=0.3) (2. Em notação matemática: P(A ou B) = P(A v B ) .1) (5.4) (5. u 52ò = P( l ls) * P(522) .5) (6.1) (3.5) (4.6) (4. podemos escrever: A probabilidade de ocorrer um evento A OU um evento B quaisquer é dada pelo produto da probabilidade de A pela probabilidade de B.1) (6.4) (6. Qual a probabilidade de.56%. . Assim. “o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido?” Neste caso.P(A) » 1 => 4. ou seja. um cartão do bolso e mostra. P(A u C J = P(A) + P(C) = 25% + 50% = 75%. participam três pessoas. Considerando p(A). 1. b) 1/3. Como P(C) = 2. A. c) 2/3. e) 5/6. podemos montar a seguinte situação: P(C)= 2. P(B) e P(A) « P(B). ao acaso. C vencerem.: 75% 3. mostrada ao jogador.P(A) « 1 => P(A) = J/4 . Como o universo de possibilidades para o resultado é formado apenas por U={A. Resp. o que queremos é que aconteçam duas coisas: 1-) o juiz tem que tirar o cartão “vermelho/amarelo” do bolso (qualquer outra retirada tornaria impossível o atendimento ao enunciado do problema). p(B) e p(C).25%. as probabilidades de A. d) 4/5.P(A)> P(C) = 50%. Resolução: Aqui. B e C. P(A D CJ = 0. o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. respectivamente. Num determinado jogo. B. tem o dobro das chances das outras duas.290 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 2. ou seja. temos: P(A) + P(B) + P(C) * 1 => P{A) + P(A) + 2. Em uma competição. Assim. a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face. o juiz retira. a soma das três probabilidades tem que ser 100%. Sendo que as duas primeiras têm a mesma probabilidade de ganhar e a terceira. qual a probabilidade de A ou C vencerem? Resolução. B> C}. colocando tudo em função de P(A). C. Mas o problema pede a probabilidade de A ou C vencerem: P(A U C) = P(A) + P(C) . também ao acaso. uma face do cartão a um jogador. ser amarela é igual a: a) 1/6. Um é todo amarelo. temos uma importante dica para a resolução de problemas envolvendo o cálculo de probabilidades: a primeira coisa que você deve identificar é “quais os resultados que atenderão ao enunciados?”. (ESAF-MPOG-2002) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso.P(A n CJ. Assim.p(A) e P(C) = 2. já que não é possível A e C vencerem simultaneamente. Resolução: Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? Bem.216.568. uma venda em três visitas é igual a: a) 0. P (amarelo para o jogador) 3 2 6 Resp. chamando de “V” o evento “vender” e de “NV” o evento "não vender” e montando uma tabela com todas as possibilidades de resultados para as visitas do vendedor. d) 0.Capítulo 8 — Probabilidades s 291 2S) ocorrido o evento acima. e) 0. a chance é Vz (uma em duas possibilidades). o cálculo a ser feito é. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes» então a probabilidade de que o vendedor faça. o que queremos é: P (sair V/A e amarelo para o jogador). . b) 0. a chance de ele mostrar o lado amarelo para o jogador está no universo U2= {V p/ o Jog. Portanto. o juiz tem que mostrar a face amarela para o jogador e a vermelha para ele. no mínímo. ou seja.064. P (amarelo para o jogador). A/A. c) 0.624. P (sair V/A r\ amarelo para o jogador) . Assim. Os registros mostram que a probabilidade de om vefidedor fazer uma venda em uma visita a um cüente potencial é 0.P (sair V/A). V/A} e a chance de sair V/A é 1/3 (uma em três). teremos: Ia visita V V V V NV NV NV NV •2a visita . Como existem três cartões no bolso do juiz. A p/o Jog}.784.4. se o juiz estiver com o cartão V/A na mão (imagine-o escondido nas costas do juiz). Da mesma forma. o universo para o primeiro evento é Uj={V/V. Usando a propriedade 5: P (sair V/A n amarelo para o jogador) = P (sairV/A). 3a visita V V V NV NV V NV NV V V V NV NV V NV NV .: A 4. J.2«iLs0. pois: J>(JWl£nNV2ín lW ^ ) ~IKNVi.NV.6%.2/5 = 3/5. NV). O que queremos é exatamente a probabilidade de não ocorrer o evento (NV. ou seja.216 = 0.NV.NV) serão considerados satisfatórios. Resp. Logo.: E 5. NV. deduzimos que a probabilidade de náo vender é 1 .P(NVy_nNV%Ín NV#) = 1-0. Com base nisso: PiNV^n NV2í c\ NVy ) = P(NVla) . a única em que não ocorre nenhuma venda é na última (NV. Pela propriedade do evento complementar: P(NV l£n N V 2in NV^ + P(NVv_n NV2í n NVy_) = 1 =>) P(NV13nNV2í n N V ^) » 1 .F(NV2J. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é de: a) 15%. Como sabemos que a probabilidade de vender é 0.292 sã Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Dessas. NV. pois ele trata da hipótese de náo haver nenhuma venda.2.216^21.4 = 4/10 = 2/5. NV).?{NV2i) ${NV2i) = 2. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. 5 5 5 125 Mas esse não é nosso resultado final. Resolução: Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? Vamos chamar de “homem” os meninos e de “mulher” as meninas.784. basta calcularmos a probabilidade de ocorrer (NV.NV). . todos os casos em que náo ocorrer (NV. b) 20% c) 25% d) 30% e) 35%. o que significa calcular a probabilidade do complementar dele. sendo seis meninas e quatro meninos. O jeito mais fácil é pensar que o que queremos é o evento complementar a (NV. (ESAF-AFC-2002) Em uma sala de aula estão dez crianças.NV) e calcularmos quanto íâlta para 1.NV.P(jW 2i). 5 3 4 Resp. enquanto professor. 5 . não é possível essas duas coisas acontecerem ao mesmo tempo.P(H ^) + PiM^). se. Como não há intercessão entre “sair “homem” nos três sorteios” e “sair “mulher” nos três sorteios”.P(M2J. por exemplo).P(H^) + P{MXí).2=20%.Capítulo 8 — Probabilidades m 293 Para que o enunciado seja atendido. Colocando isso em linguagem matemática.PiM^) ^ 2 . “homem” no segundo e “homem” no terceiro).P(M^). como mostrado a seguir: P(H.= P(H2o) = 2 = 1 . I . ou seja. É o caso das retiradas sem reposição. teremos: P {Hv n i / j . que ocorrem quando um determinado elemento sai do universo de possibilidades. é afetada pela ocorrência do evento anterior. n f í y j u (Mls n M2í n My_). P(M12) = ^ .: B 5 9 2 30 6 30 30 5 .W 2í). o) = . Este tipo de problema normalmente é resolvido pela introdução de uma nova fórmula.= ! P(Mj„) = í P(M22) = i = i 10 5 9 8 2 Com base nas probabilidades específicas calculadas acima: P(Hl&r\H 2íc\ Mls n M2i n M^J = P(Hlí) . fórmula essa que eu. prefiro não usar porque acho muito mais fàcil resolver com a análise das mudanças de cenário de uma forma mais direta.= 10 5 9 3 8 4 De forma análoga. duas coisas podem acontecer: Sair “homem” nos três sorteios (“homem” no primeiro. tínhamos quatro homens em um total de dez crianças. P(H. Isso se explicaporque o cenário muda. ou Sair “mulher” nos três sorteios (“mulher” no primeiro. I + 2 . temos um caso de probabilidade condicionai.P{MòJ .o) « -í. “mulher” no segundo e “mulher” no terceiro). Aqui. onde a probabilidade do segundo evento (“homem” no segundo sorteio.P(H2J. ficamos com a seguinte representação do problema: P (Hls n H ^ n n M2Sn )= P{HlB_). no primeiro evento. 1 = J _ + l = i ± 5 = A = l = o. ou seja. para o segundo sorteio teremos apenas três homens em um total de nove crianças. : 16 7. em duas redradas.16. Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. a probabilidade de ela ser azul seja igual a / ? 6 2 3 Resolução: No cenário iniciai. 5Br}.81% 6 3 21 6 . 5Br. uma bola branca (B). ou seja. Resp. n(U) = 8. Nesse novo cenário. n(U) = 7. temos: U. r . sair uma bola vermelha (V) e.={5Vm. Calculando:P(V¥ ) _ 5 ~ 7 =eP (5J = 2 1 (observe que o cenário muda com a retirada da primeira bola vermelha e por isso o total de bolas deixa de ser sete e passa a ser seis). B * ) . Uma um a possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa uma. ou seja. temos que colocar dezesseis bolas azuis para que a probabilidade de retirar-se uma bola azul seja 2/3.: 23. Assim.2381=23. XAz}.81%.P(Vv) M J = 2 . Resolução: No cenário inicial. teremos um novo cenário U2= |3Pr.2x = 16 => x . I = J L = 0.294 a Raciocínio Lógico— Enrique Rocha . o que queremos é: P( n 2?2«) “ P( )..—=> +x 3 8 3x . Como o problema quer que sejam colocadas “X” bolas azuis na urna. de modo que. Pergunta Inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? Em primeiro lugar. é necessário que saia uma bola vermelha na primeira retirada. Calcule as probabilidades de. precisamos que saia uma bola branca na segunda retirada. 2Br}. Mas o problema disse que nesse novo cenário P(Az) n(U2) 8 + x x 2 o que nos leva a:------. Resp. temos: Uj = {3Pr. sem reposição da primeira bola retirada. depois. Ou seja. W j . retirando-se uma bola ao acaso. depois disso (ou com base nisso). levando a n(U) = 8 + X. a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola e ela ser azul é: P(Az) = 2 3 — -------. 1> . e que outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Este é um evento que ocorre em duas etapas: retirada da bola da primeira caixa e transferência para a segunda caixa. a probabilidade de que a bola retirada da caixa} seja azul é dada por: P(Az^ ^caixal) =3 7' .7Portanto. temos: Uj caixa 1 = {3Az. o que queremos é: P(Az}ín Vd2i) u P(Vd}in Vd2í). Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? (transferir azul e tirar verde na ségunda) ou :(transferir verde e tirar verde ria seigunida) • . n(U1caixa 1) = 7. n(Uj caixa 2) = 4. 3Vd}. ou seja. . Em notação matemática. Suponha que uma caixa possui três bolas azuis e quatro verdes. e retirada da bola da segunda caixa. ou seja. Probabilidade na primeira transferência: Lembrando nosso cenário: r< 3Az>4vd)>ou seK n<u <«. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? 8 Resolução: No cenário iniciai. Ut caixa 2={lPr. o número de elementos da segunda caixa é aumentado em uma bola.Capítulo 8 — Probabilidades si 295 . 4Vd}. além de haver o aumento na quantidade total de bolas da segunda caixa. mas nao há modificação na quantidade de bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda.se a bola retirada da primeira caixa for verde. e retira-se uma bola da segunda caixa. ela passará a ter quatro bolas verdes em vez de três. Análise do l evento (transferência para a segunda caixa): 2 —se a bola retirada da primeira caixa for azul. .„lr„ i) 5 Se a bola transferida for verde: Por outro lado.296 sa Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Da mesma forma. nosso universo passa a ser Ucaixa2={lPr. temos que: ?t(Azcaixai) p . se a bola transferida for verde. a probabilidade de que a bola retirada da caixal seja verde é dada por. 4Vd}. Daí. tendo saído azul na transferência. temos que a probabilidade de sair bola verde será: H v /v d j 1 * nWcaixal') =47 ■ n(Vealxa2) 5 Agora que todas as probabilidades específicas foram calculadas. «ttW > 5 1 PÇJtoSAz ^ lê-se: probabilidade de sair vermelha na segunda retirada. com base no que queremos calcular: P(Azj£ n Vd2. » ( ^ i ) ” 7 ' Se a bola transferida for azul: Neste caso. ) u P(VdJ£n Vd^). nosso universo passa a ser U2={lPr. temos que a probabilidade de sair bola verde será: P{VlAz^ * = n(U. 3Vd. Daí. PCVd ) r " —í. vamos voltar à resposta da pergunta inicial. lAz}.V d 2" N 3 7* ~ 1. Dos cálculos acima. 71 =71%. Desses. 2N 3P . dois são N (“de náo pode comer doce”) e três são P (de “pode comer doce”). uma na qual você tenha cinco nomes. P (A z t n V d 2 a / A z t) u P(Az{) .20. n Vd.10. (ESAJF-MRE-2002) Em um grupo de cinco crianças. 0 | 16 +J S = 2. M*. duas delas não podem comer doces. 7 Resp. P ( y d 2 a / A z t) + PÇVdt n V d 2 a / V d t) P ( V d t) . 0. W ) . 0. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças desse grupo (uma caixa para cada uma das crianças).30. P ( V d 2 a / V d t) . Resolução: Uma boa maneira de se resolver este tipo de problema é a seguinte: imagine uma . a probabilidade de sair uma bola verde na retirada da segunda caixa é 5 s 0.Capítulo 8 — Probabilidades b 297 Logo. Assím. u «ra. | | i | 3 3 4 4 — X 7 — 5 + « — 7 X — 5 De onde vem que: r> W .60. A probabilidade de que as duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é: a) b) c) d) e) 0.25.: 71% 9. 0. 0. n(P) 3 n(U) 5 Calculando a probabilidade de sair “pode comer” no 2. . .298 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Observe que este é um evento que ocorre em duas etapas: (1) sorteio do primeiro nome. temos: HPv n 2. Em notação matemática. e P2o.?(. Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? (sair um P no primeiro sorteio) E l. estamos considerando que já saiu um P no primeiro sorteio. Logo.)*IK P v ).sair uma criança que Pode comer doce no segundo sorteio.sair uma criança que Pode comer doce no primeiro sorteio. você deve reduzir a quantidade de “Ps” existentes na urna para o segundo sorteio.(P2?) A probabilidade de sair P no segundo sorteio é: P(P2d Atenção: veja que. Observe a quantidade de nomes inicialmente na urna: n(P) = 3 e n(U) = 5. (sair um P no segundo sorteio) Sejam os eventos: Pj2. e (2) sorteio do segundo nome. agora. Por isso. o que queremos é: P(PJsn P 2s) Assim.P2J Calculando a probabilidade de sair “pode comer” no l s (Pls) 2N A probabilidade de sair P no primeiro sorteio é P i A J » 1 3P n(l7) . De um grupo de duzentos estudantes. cento e dez em Inglês e quarenta não estão matriculados nem em Inglês. A probabilidade de que o estudante selecionado seja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é. n(U) 4 2 Assim. em Inglês ou Francês) é igual a: 1 0 a) b) c) d) e) 30 . . 200 1 160 . oitenta estão matriculados em Francês. Seleciona-se ao acaso um dos duzentos estudantes. como queremos. Í3(P92) = —— = 1 = 1 . Resp. 200’ 190 200 Resolução: Alguns problemas de probabilidade são resolvidos usando-se os diagramas de Venn (representação de conjuntos). 200 ’ 150.\ ^ o i o . n(P) = 2 e n(U) = 4. P(PJsn P22) . os elementos que não fazem parte de nenhum dos conjuntos citados e.: D . o conjunto universo como um todo.Probabilidades Capítulo 8 — e 299 Depois do 1B sorteio (e antes do 2a) Antes de l 9 sorteio 2N satndo P no 2N SP sorteio 2P Nessa nova situação. PÇPyà* temos: P(Plzn V 2a)= H P 2^ l . 200 1 130 . as intercessões entre eles. ainda. nem em Francês. Isso porque é uma boa forma que temos para visualizar os conjuntos específicos. Logo.P(Pl2). temos: 200 = Total matriculado . que é quarenta.40 => T ° t a l Matriculado = 1 6 0 > 0 U SÇ) Z ’ ^ “ i6 0 - Agora. = 200 . Assim. cento e dez fàzem Inglês (estão dentro do conjunto “Inglês”).300 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Vamos fazê-lo: Dados importantes do enunciado: são duzentos estudantes no total. ainda. que o enunciado perguntasse qual a probabilidade de o aluno selecionado estar matriculado somente em Inglês ou. + 40 => Total matriculado . ou seja: n(Fu I) = n(F) + n(l) . no entanto. Como Total = 200. Imagine. Matriculado w . selecionar-se um aluno matriculado em pelo menos uma das disciplinas. o que queremos é saber a probabilidade de.^matriculado) _ 160 . + Total Nao N.: D Complementando o exercício O exercício está resolvido. quarenta não fazem nenhum dos dois (estáo fora dos dois conjuntos). . . .. percebemos que: TotalMitriculido = Francês + Inglês . em um sorteio ao acaso. que será dado por. . a probabilidade de este aluno estar matriculado somente em Francês.Francês/Inglês..n(Fn I). precisamos considerar ainda a quantidade de alunos não matriculados em nenhuma das disciplinas. P{matnculado) . . Analisando a relaçáo entre os conjuntos. oitenta fazem Francês (estão dentro do conjunto “Francês”). Para . . n (ío ta l) 200 Resp. Atenção: para chegarmos ao total de alunos. teremos que: Total alunos . = Totalmatriculado . em um sorteio ao acaso.Capítulo 8 — Probabilidades ta 301 chegar a este resultado. Logo.n(F) n{I) . n{F\J I) . podemos preencher melhor nosso diagrama de Venn: Agoraj o que queremos é saber a probabilidade de.30. selecionar-se um aluno matriculado em: somente Francês HSâFmnch) = ^ F r a n c is ) = ü = . dos quais 30 também fàzem Francês.160 => n(Fn 1) .1 = I = 25% ! n(Total) 200 20 4 somente Inglês HStínglês) = n(TotaD 200 = J _ . Com base nisso: n(F) ~ 80. 200 5 . e n{I) = 110. Isso significa que a quantidade de alunos que fazem as duas disciplinas é trinta.n(Fr\ 1) 160 = 80 + 110 .n{Fr\ I) => n(Fc\ 1)^ 190 . Logo.n(Fr\ /). dos quais 30 também fazem Inglês.n{Fr\ j) => 160 = 190 . 80 fazem somente Inglês. Com isso. 2 =40% . Podemos evoluir para: I) = n(F) + n(J) . Veja como isso seria feito: Sabendo que: n{F\J I) —160. n(F) —80. 50 fazem somente Francês. seria necessário identificar a quantidade de alunos que fazem somente Inglês e somente Francês. n{I) = 110. um dia qualquer Carlos pede a sopa e. José o faz em 5% das vezes e Maria. Como de costume.302 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 11.25..30. como é que se calcula "10% de 40%”? Multiplicando um pelo outro: 10% x40% = 10/100 x 40/100 = 1/10 x 4/10 = 4/100 = 4%. 20% das vezes. Passo 2: interpretar as regras do enunciado: João -» 40% das vezes.são. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: . João --> 40% das vezes. c) 0. 2 0 a) 0. ao todo. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual aí . 5% das vezes. 10% das vezes. três cozinheiros. 40% das vezes por José e 20% das vezes por Maria. Maria -» 20% das vezes. e) 0. verifica que está salgada demais. Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. salgada. 10% das vezes. em % das vezes. sendo 20% do todo) e tomamos duas dessas partes. salgada. dividimos o todo (100%) em cinco partes iguais (cada uma. João salga demais a sopa 10% das vezes. José —> 40% das vezes. veja a explicação abaixo: Veja que para representarmos 40%. b) 0.15. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João. salgada. ao experimenta-la.20. salgada. . portanto. Para entender isso.. 100% Para encontrar 10% desses 40% dividimos o pedaço em 10 partes: V 1i V 1IS 1 40% I Então. Isso significa que 10% de 40% das sopas de João são salgadas. d) 0.40. para calcularmos a probabilidade de Carlos ter experimentado uma sopa feita por José seria 40%. 2% de um total de 10%. o enunciado afirma que a sopa que Carlos experimentou estava salgada. Vamos então construir uma tabela que represente as informações acima: Cozinheiro João José Maria Totais: % do todo 40% 40% 20% 100% % próprio de salgadas 10% 5% % do todo de salgadas 4% 2% 20% 4% 10% Se não tivéssemos informação sobre a sopa estar salgada ou não. Maria -> 20% das vezes. Mais uma vez. ou seja. para calcular quanto as sopas salgadas do José representam do todo: 5% de 40% . Pelo mesmo raciocínio apresentado acima. salgada. sabemos que José responde por 2% desses 10%. podemos restringir nosso universo aos 10% do todo (sopas salgadas em geral).: D . Desses 10%.20. para calcular quanto as sopa salgadas de Maria José representam do todo: 20% de 20% = 20% x 20% = 20/100 x 20/100 = 2/10 x 2/10 = 4/100 * 4%.5% x 40% = 5/100 x 40/100 = 1/20 x 8/20 = 8/400 = 2/100 . salgada. Resp. No entanto.Capítulo 8 — Probabilidades a 303 Isso nos permite concluir que 4% do total das sopas é salgada (!!!) José —> 40% das vezes. em vez de trabalharmos com os 100% das sopas feitas. ou seja. 5% das vezes. 20% das vezes. 1/5 = 20% = 0.2%. Assim. estarem hoje em Paris é 1/7. ou seja. Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7. c) 2/3. Isso se percebe quando o enunciado diz “Carlos. ou seja. 3 dos elementos tem “A”. Ana e Beatriz estão juntas em 1 desses 7 elementos (P(Ana E Beatriz) = 1/7. Carlos. 3/7 e 2/7. d) 5/7. para distribuir elementos em conjuntos com interseção. A probabilidade de Anae Beatriz estarem em Paris é 1/7. P(Ana E Beatriz) =P(Ana) E P(Beatriz) = 2/7. Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Esse é mais um problema de “Probabilidade condicional”.Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 304 e 12. ou seja. comece pela interseção e distribua “o que sobrar” para as áreas isoladas. 1 elemento tem “AB”. Vamos explicar esse problema por dois métodos diferentes: Ia Método: usando diagramas de conjuntos Como você já aprendeu. trabalhamos apenas com os percentuais referentes ao fato de “Ana estar em Paris”. A probabilidade de Ana estar em Paris é 3/7. então. ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7. A probabilidade de Beatriz estar em Paris é 2/7. ou seja. b) 1/3. está presente em 2 desses 7 elementos (P(Beatriz) « 2/7). recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris”. Ana. P(Beatriz) = 2/7. que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7 e que a probabilidade de ambas» Ana. em vez de trabalharmos com o todo. P(Ana) = 3/7. Beatriz. 2 dos elementos tem “B”. então. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana. ou seja. vamos considerar que temos ao todo 7 elementos. 1/7. recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. . está presente em 3 desses 7 elementos (P(Ana) » 3/7). Como o enunciado mencionou “frações de 7”. e) 4/7. Com as informações de que dispõe. ou seja. então. Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. e Beatriz. ou seja. Resolução: Passo : identificar as regras do enunciado: 1 Os personagens são Ana e Beatriz (Carlos é apenas um “figurante”). Assim. por sua vez. coloque 1/7 na área de interseção representando elementos que “sáo de Ana e também de Beatriz”: Ana Beatriz Como o total de Ana é 3/7. Esses 3/7 representam exatamente a probabilidade de nenhuma das duas estar em Paris. Assim. Veja como ficamos: A n a . ____ __________ _ Beatriz Nesse ponto você deve estar se perguntando: “Mas o todo náo são 7/7? No diagrama só representamos 4/7. temos 1/7 na área “Só de Beatriz”. Da mesma forma. como o total de Beatriz é 2/7. temos 2/7 na área “Só de Ana”. Onde estão os outros 3/7?” É uma excelente pergunta. podemos ignorar todas as frações que estão “fora do conjunto da Ana”.Capítulo 8 — Probabilidades b 305 Vamos representar isso nos conjuntos: Primeiro. nosso universo passa a ser: Ana^-— ^ fy m -Ü : i M ■—^Beatriz V/7 J 3/7 . o que nos leva a: Como já sabemos que “Ana está em Paris”. Lembre-se que de um total de 7» 3 das bolinhas estarão vazias (veja explicação do método 1 acima). Logo. Desses. vamos eliminar do nosso universo todas as bolinhas em que nao aparece a letra “A”. como bolinhas com “B” os elementos que indicam “Beatriz em Paris” e como bolinhas com “AB” os elementos que indicam que as duas (Ana e Beatriz) estão em Paris. a probabilidade de Beatriz estar em Paris é 1/7 em 3/7: 1 / 7 _ 1 ::7 . Ficamos então com: SO G Com base nesse novo universo. 1/3.: 1/3 —> B 2CM&odo: usando uma caixa com bolinhas Vamos representar como bolinhas com “A” os elementos que indicam "Ana em Paris”.306 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Ora. Vamos também usar bolinhas vazias para representar os casos em que “nenhuma das duas está em Paris”. ou seja.: B . a letra "B” em 2 das 7 bolinhas e 3 bolinhas vazias. 1/7 representam “Beatriz em Paris”. a probabilidade de Beatriz estar em Paris (representada por bolinhas em que aparece a letra “B”) é 1 em 3.317. 1 3/ 7 7 3 3 Resp. Resp. '© <0 AB OO i Como sabemos que “Ana está em Paris”. temos entáo um universo com 2/7 + 117 . Temos a letra “A” então aparecendo em 3 das 7 bolinhas. Se André sabe resolver a questão. André sabe 60% das questões.Capítulo 8 — Probabilidades s 307 13.56. e) 0.2 = 20%). Se André não sabe resolver. a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é. Probabilidade de escolher uma que não sabe e errar: P(NS E Errar) . marca a certa. ele marca aleatoriamente uma das alternativas. Isso significa: “Escolher uma que sabe OU escolher uma que não sabe E acertar”. Se ele não sabe. André sabe 60% das questões do teste. c) 0. Se André sabe resolver. . d) 0. de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: a) 0. P(Sabe) = 100%. Probabilidade de escolher uma que não sabe: P(NS). Probabilidade de escolher uma que náo sabe e acertar: P(NS E Acertar) = P(NS) x P(Acertar). marca aleatoriamente. é que você calcule a probabilidade de André escolher uma questão qualquer e acertar. Probabilidade de errar uma questão que não sabe: P(Errar) 4 em 5 alternativas (4/5 = 0. em outras palavras.80.8 = 80%). Represente assim: Probabilidade de escolher uma que sabe: P(S). b) 0. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Cada questão tem 5 alternativas. Então. Probabilidade de acertar uma questão que não sabe: P(Acertar) 1 em 5 alternativas (1/5 = 0.68. André está realizando um teste de múltipla escolha» em que cada questão apresenta cinco alternativas. ele marca a resposta certa. Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Para resolver esse exercício você deve separar as questões em “questões que André sabe resolver” e “questões que André não sabe resolver”. sendo uma e apenas uma correta.60.P(NS) x P(Errar). Apenas uma das alternativas é orreta. O que o problema quer.62. 40% = 4/10-2/5..11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos. Probabilidade de verificar pneus: P(Pneus) = 11% = 11/100. P(NS) . Vamos finalmente calcular a expressão completa: P(S) OU P(NS E Acertar) = P(S) + P(NS) x P(Acertar) « 60/100 + 8/100 = 68% = 0.65. a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a: a) 0. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Probabilidade de verificar óleo: P(Óleo) * 28% = 28/100.. é 0. c) 0.25.. Como já calculamos acima P(Acertar).308 a Raciocínio Lógico— Enrique Rocha Assim. P(S) 60% .45. b) 0.28} a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0.: C 14. e) 0. . Probabilidade de verificar óleo e Pneus: P(óleo E Pneus) = 0. Como conseqüência.04 = 4/100. t f Para calcular P(S).2/25 * 8/100 = 8%. ou seja.. lembre-se que André sabe 60% das questões.68.. Resp..15. Quando Lígia para em um posto de gasolina) a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0.0.6 « 6/10 * 3/5. d) 0.35. vamos calcular: P(NS E Acertar) « P(NS) x P(Acertar) = 2/5 x 1/5 . o que queremos é: P(S) OU P(NS E Acertar) = P(S) + P(NS) x P(Acertar) 1---------- 1 . Portanto.04. óleo e pneus. Resp. como até agora já representamos 35/100. temos 24/100 na área “Só Óleo”. 75 fazem Odontologia e 15 fazem os dois cursos. 125 fazem Medicina. .Capítulo 8 — Probabilidades a 309 Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Vamos construir os diagramas de conjuntos: Primeiro. a probabilidade de Lígia não verificar nem óleo. e) 3/5. a probabilidade de que ele só faça Odontologia é: a) 1/8. nem pneus é 65/100 = 0. como o total de “Pneus* é 11/7 e desses 11/100 já temos 4/100 na interseção. Veja como ficamos: Ó leo____ ________ ^ P n e u s (24/100 (4/100) 7/100} Sabemos que o total dos casos é 100/100 (ou 100%). Da mesma forma. d) 1/12. Logo.: £ 15. faltam 65/100 para completar 100/100 e esses devem estar fora dos dois conjuntos. c) 1/10. coloque 4/100 na área de interseção representando elementos em que “verificam-se Óleo e Pneus”: Como o total de “Óleo” é 28/100. b) 1/3. temos 7/100 na área “Só Pneus”. Em uma faculdade com 600 alunos. Escolhendo-se ao acaso um aluno desta faculdade.65. Chegamos a: Ó leo^— ____________ Pneus Assim. n(Medicina) = 125. 10% = 10/100 = 1/10. n(Medidna E Odontologia) = n(Medicina n Odontologia) =15 Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Vamos construir os diagramas de conjuntos: Primeiro. que é de 60 em 600. ficam 60 na área “Só Odontologia”.310 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: n(Total) = 600. ficam 110 na área “Só Medicina”.: C . Da mesma forma. coloque 15 pessoas na área de interseção representando os alunos que fazem Medicina E Odontologia: Odont Med 15 Como o total de “Medicina” é 125 e já temos 15 na interseção. ou seja. n(Odontologia) = 75. Veja como ficamos: Med 110 Odont 15 60 Além disso. como temos 600 alunos no total e já representamos 185» ficam 415 de fora dos dois conjuntos: Med O dont 13S O que se quer é a probabilidade de se escolher aleatoriamente um aluno e ele fazer só odontologia. como o total de “Odontologia” é 75 alunos e desses já temos 15 na interseção. Resp. d) 0.4. Em dois lançamentos desse dado. Isso significa que: P(Par) + P(ímpar) = 100% ou P(Par) + P(ímpar) = 1.1600. O segredo deste exercício é perceber que "300% maior” significa “300% a mais”. Finalmente: P(Par) .^sÍm. e) 1. a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face impar (não necessariamente nesta ordem): a) 0. quando lançado. (ESAF-TCU-2002) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: P(Par) é 300% maior do que P(ímpar). Logo. “Par” e “ímpar' são eventos complementares. ou é ímpar. podemos afirmar que: P(Par) = P(ímpar) + 300% x P(ímpar) = P(ímpar) + 3 x P(ímpar). Se sabemos que P(Par) é 300% maior do que P(ímpar).P(ímpar). a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. /màior”. b) 0. . de modo que.3200.Capítulo 8 — Probabilidades a 311 16.3750.SeridpV'.sé^ :G o ^ Sabemos também que quando jogamos um dado só podemos ter dois resultados: ou o número resultante é par.1875 c) 0. temos que: P(Par) ~ 4 x 20% = 80%.1 —> P(ímpar) = 1/5 = 0. substituindo P(Par) por 4.312 ia Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Como P(Par) + P(ímpar) = 1.8 = 8/10 ='4/5* P(Par no Ia lançamento) x P(fmpar no segundo) + P(ímpar no Ia) x P(Par no 2a) = 4/5 x 1/5 + 1/5 x 4/5 * 2/25 + 4/25 . P(Par) = 80% = 0.32.P(ímpar) + P(ímpar) = 1 -» 5. ficamos com: P(Par no P lançamento E ímpar no segundo) + P(ímpar no Ia E Par no 2a) P(Par no Ia lançamento) x P(Impar no segundo) + P(ímpar no Ia) x P(Par no 2a) Como a probabilidades de ser par ou ímpar não mudam de um lançamento para o outro.P(ímpar). W Ê H 8 8 1 1 Trocando o ttE” por “x” e o “OU” por “+” em P(Par no Xa lançamento E ímpar no segundo) OU P(ímpar no 1° E Par no 2a).P(ímpar). temos: P(Par) + P(ímpar) = 1 -» 4. Como P(Par) = 4. SB neces.8/25 . a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma fâce ímpar (não necessariamente nesta ordem)”. O que o enunciado quer é que você calcule “Em dois lançamentos desse dado.32/100 « 0.20 = 20%.P(ímpar) . Resp.: C . vamos trabalhar com os valores encontrados: P(ímpar) = 20% = 20/100 *2/10 f 1/5. Selecionando-se. Por ontro lado. a probabilidade de que se obtenham os números 4 e 6 em qualquer ordem é: a) 1/18. c) 1/9. num lançamento. recentemente admitido. que tenha freqüentado o curso de treinamento. sair coroa. Em dois lançamentos dc um dado náo viciado.70%. tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. e) 60%.33%. b) 1/15. tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Uma companhia. qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? 2. que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento. costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. preocupada com sna produtividade. d) 83%. também recentemente admitido. de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas.40%. 80% freqüentaram o curso de treinamento.CapítuloS — Probabilidades a 313 Exercícios de Probabilidades Das dez alunas de uma classe. a probabilidade de que ele náo cumpra sua quota de produção é: a) 11. Se duas delas são escolhidas ao acaso. e) 85%. três têm olhos azuis. um operário recentemente admitido na companhia. 4. e) 1/6. A partir da experiência. c) 35%. a) 25% b) 10% c) 50% d) 33. aleatoriamente. 3. Dos operários recentemente admitidos. um operário. Uma moeda é viciada. Determine a probabilidade de. d) 1/12. b) 27. . verificou-se que um operário. 314 a Raciocínio LÔglco — Enrique Rocha Gabarito de Exercícios de Probabilidades 1.1/15 2. A 3-A 4. B . Resolução: Em primeiro lugar. Quantos anos temos? a) b) c) d) e) 54 e 46. Exercícios Resolvidos 1.C apítulo 9 Álgebra “Nâo existe sensação melhor do que vencer um desafio." A área da Matemáticaconhecida como Raciocínio Lógico pode comportar exercícios gerais de Matemática» principalmente em se tratando de provas de concursos públicos. 36 e 27. Tenho hoje o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem.. 9. A razão é que alguns conhecimentos específicos sáo considerados importantes por esra ou por aquela banca examinadora e é por este motivo que estaremos apresentando. a seguir. 25 e 22. a soma das nossas idades será 81 anos. 45 e 38. 18 e 15. alguns exemplos deste tipo de exercício. temos que visualizar os três momentos citados no enunciado: .1. Quando você tiver a idade que eu tenho. a diferença entre a minha idade e a sua sempre será: x2~y2 = x1.d) (5.d.2td = 4 J tx x~ò>d.d + y2~ =>.y \ +^2 -----~ -----r-:---------r~ r.y2 -2A => yx -2 ^ * Substituindo esse valor na segunda equação: .y 2 1. essas duas equações formam o seguinte sistema linear: |2 . ou seja. —Xj eyj são nossas idades quando eu tinha a idade que você tem. usando as igualdades acima. ^ _Z l exl =^ Considerando que x} _y ..d) (4. Sabendo que X2.yxe xx~y2>vem que: x2 .d.316 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Isso significa que em primeiro lugar.d.y 1=x3-y J = d (estamos chamando de d a diferença entre as idades). 3. Assim.y l _ y 2 ~ d (substituindo % por 2 . O enunciado diz que hoje eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. 2.y i . Com isso. não é? Com base nisso: x3cx2+ d = 4.2.d.2. —x3ey3são nossas idades quando você tiver a idade que eu tenho. já que é essa a diferença que nos separa.2.d (substituindo por y2). nosso gráfico das idades fica: (3-d. 2.y3) Quando você terá a idade que eu tenho hoje? Daqui a d anos. Mas quando eu tinha a idade que você tem? Há exatamente d anos. temos que visualizar os três momentos citados no enunciado: —Xj ey2são nossas idades hoje.d) . Atualizando nosso gráfico: (3.d.y ^ \ x} _ y %.d + d = 5-d e y3= y2+ d = 3-d + d = 4. temos: * 2 _y2 “ d 2 . 4. (somando as duas equações) yi +0. 3-d) (X3. não importa quando.d.d -» y 2 _ yt . O segundo passo é percebermos que a diferença entre as idades náo muda no decorrer dos anos.d) (4.jy2 = 3d . percebemos que é 60 • (x . V. ou seja. Como dos que ficaram. temos que: A_=---------. temos que nossas idades atuais são: Xj = 4.^ . 37.d = 27 (eu tenho trinta e seis anos e você tem vinte e sete anos). Assim sendo. ou seja: A^ = Aj Am= 80x _ como não houve alteração na quantidade de peixes 100 vermelhos que havia inicialmente no aquário: V . Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos. a diferença entre as nossas idades é de nove anos. você deve definir uma variável x como sendo o total de peixes que estavam inicialmente no aquário. Resp. 25 %. ou seja. temos que x. analogamente. o percentual de peixes amarelos que morreram foi: a) b) c) d) e) 20%. Como conclusão. 5d + 4d = 81 -» 9d = 81 -> d = 9.d . 60% eram amarelos. Depois que a doença foi controlada» verificou-se que 60% dos peixes vivos.5 %. Da mesma forma.A ) x-A . = 22?. (ESAF-AFG-2Ô02) Em um aquário. no aquário. finalizando.. há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. chame de Aj e Vj as quantidade iniciais de peixes amarelos e vermelhos. + y3 = 81. mas nenhum vermelho. respectivamente. ! 100 1 100 Vamos chamar de Aa os peixes amarelos que morreram e deA2os peixes amarelos que restaram no aquário. ficaram At_Ampeixes amarelos no aquário. como os peixes amarelos representavam 80% no cenário inicial: A. Logo. 75 %.3 6 e y2 = 3.: B 2.Capítulo 9 — Álgebra a 317 Agora. eram amarelos.5 %. 62.v . Resolução: Em primeiro lugar. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário.= . 2 1 100 Analisando a quantidade total de peixes que ficaram vivos.— m 100 . formado por dois algarismos. Resp. sabemos que a quantidade de peixes amarelos que morreram representou metade do total de peixes do aquário. A soma dos algarismos de X é.60. obtém-se um número par. A soma dos algarismos é 9.60x-60. com dois algarismos).20x = 40. 11. 100 100 (x-A ) => 8 0 x . Ara ==>. 13. entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. Como a diferença entre o número obtido pela inversão e o original tem que ser um cubo perfeito. 10. igual a: a) b) c) d) e) 7.t D 3. para X = 36:63-36 = 27 (que é 33). 49.Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 318 3 a _ 60 • (x Am) Resolvendo esta equação.: D . O enunciado diz que. 64 e 81 (os únicos quadrados perfeitos menores que 100. é o quadrado de um número natural. só ficam o 16 e o 36 (o primeiro algarismo tem que ser ímpar). Logo. 9. X = 36.100. Am . conclusão. — Resp.5% x -» % que morreu. Resolução: Os números possíveis são: 16. por conseguinte. Logo. v m Com essa. invertendo-se os dois algarismos. temos que 80x —100. 25> 36. A . O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é. obtémse um número ímpar. temos: para X = 16: 61-16 = 45 (que não e cubo perfeito). ou seja. Fazendo uma regra de três para determinar o total: — 100 100% Temos que % que morreu = 62. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número. (ESAF-MF-2000) Um certo numero X. Am => Am = —. 21%. trabalham na Capital: 45 (45% de 100). 14%. agora. 40%. Vamos. optaram por especialização: 30 (30% de 100). já temos sessenta e cinco lotados na Capital e em Ouro Preto. trabalham 45% dos empregados e ua filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. duas filiais. sobram quatorze para Montes Claros. trabalham em Montes Claros: Como dos cem empregados. Resolução: Este exercício se resolve de forma simplificada. (ESAF/AFTN/96) . dezesseis (9 + 7) já sabemos que estão na Capital ou em Ouro Preto.De todos os empregados de uma grande empresa. Assim. também. uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Possui. Sabendo-se que 20% dos empregados da Capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram. . calcular quantos empregados optaram por fazer a especialização em cada um desses locais: Capital: 20% de 45 = ^ x 45 . trabalham em Ouro Preto: 20 (20% de 100).Capítulo 9 — Álgebra u 319 4. sobram trinta e cinco para Montes Claros. se considerarmos o total de empregados como sendo cem (você perceberá isso durante a resolução). então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual & a) b) c) d) e) 60%. Só que o problema pergunta o percentual de funcionários de Montes Claros que náo optou por íàzer a especialização. 35%. trinta optaram por especialização e desses trinta. Na matriz. Essa empresa tem sua matriz localizada na Capital.9 Ouro Preto: 35% de 20 = — x 20 * " = 7 100 5 Montes Claros: como dos cem empregados. 30% optaram por realizar um curso de especialização. teremos: total de empregados: 100. então. o que * 8 queremos é calcular é i de . por isso. que seja divisível por 32 e a resposta é 160.6 = 60% Resp. Com relação a essa experiência. (ESAF/AFTN/96) . ' d) 172.: A 5.: A 6. . Dessas 1—.Em um laboratório de experiências veterinárias. foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto. Resolução: Considerando X o total de vagas da escola» vemos que a quantidade de vagas X reservadas para violino é ~p. b) 164.320 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Sabendo que Montes Claros tem trinta e cinco empregados e que quatorze desses optaram por fazer o curso. que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. pode-se afirmar. Então. temos que considerar 21 em 35 (e não no total de 100): 21 3 ~ “ = 0. dentre os presentes nas alternativas do problema. e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diumo. era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. concluímos que vinte e um deles optaram por não fazer o curso. foi reservado para aulas diurnas. Resp. na enésima tentativa. e) 185. o que é feito multiplicando-se as duas frações. Detalhe importante: o enunciado pede “a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso” e. Assim. então. (ESAF-TCU-1999) Em uma escola de música. Um possível valor para o número total de vagas da escola é: a) 160. 1 X teremos . encontrar um número. c) 168. exatamente 1/4 do número total de vagas é destinado para cursos de violino. 8 4 32 Resta-nos.•—= — vagas reservadas para violino diumo. muitas vezes. o que elimina a alternativa A. n 6 7atentativa: C(«) = 3 + Al = > C(7) = 3 + — = 3+1.2 min.. como afirma a letra Q. ele gasta sete minutos (e não oito. a fração H nunca seria menor do que zero. . para que você entenda melhor o enunciado do problema: 12 12 Ia tentativa: C(«) = 3 + -— => C(l) = 3+ — = 3 + 1 2 = 1 5 min.4 minutos. em três minutos e trinta segundos. e) percorre o labirinto numa das tentativas. agora. Por maior que fosse essa quantidade de vezes. que o ratinho tentasse muitas. Na décima tentativa.4 minutos são quarenta segundos. n 2 3a tentativa: C(«) . tomando falsa a letra D.4 min = 24 Seg e esse seria o 0. mas isso não é cinco minutos e quarenta segundos. n 3 4a tentativa: C(») ~ 3 + — => C(4) = 3 + — = 3 + 3 = 6 min.7 = 4. n 4 5a tentativa: C(«) = 3 + — =£ C(5) * 3 + ~ = 3 + 2. O enunciado quer induzir você ao erro de pensar que 0. Resolução: Vamos calcular o tempo para algumas tentativas. Acompanhe o raciocínio e entenda melhor: 1 min —> 60 SegAqui.4 min —> x Seg tempo certo para essa tentantiva. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. n 1 2* tentativa: C(») = 3 + — => C(2) = 3 + — = 3 + 6 = 9 min. Na terceira tentativa.Capítulo 9 — Álgebra h 321 c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. ele gasta: 12 C(10) = 3+ — = 3+1.3 + — => C(3) = 3 + — =3 + 4 = 7 min. por outro lado. A alternativa B.4 = 5. podemos de imediato concluir que o tempo total nunca será menor do que três.4 min. náo é mesmo? n Como o tempo gasto resulta da soma de 3 com essa fraçáo. diz que o tempo gastona quinta tentativa é de cinco minutos e quarenta segundos e isso é um pega!!! Veja que a resposta é realmente 5. n 5 12 i "y 6atentativa: C(w) = 3 + — => C(6) = 3 + . n 7 Vamos imaginar.2 = 4.= 3 + 2 = 5 min.17min. você pode ver que 0. mas se você passar um dos sacos que carrega. ficaremos com cargas iguais” Se o primeiro cavalo passar um saco para o segundo. na vigésima quarta tentativa.322 o Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Por fim. respectivamente. 3. Um cavalo disse a outro cavalo: se eu lhe passar um dos sacos de farinha que carrego. Indo mais além. Vamos ver se isso é verdade. aumentada em uma unidade. teremos: C(n) = n ==> — =: i => n = 24.5 => — = —=> n —24. n n 2 Isso nos mostra que.5 minutos. 3. Logo. .: E 7. a alternativa E diz: “percorre o labirinto numa das tentativas. Resolução: Vamos chamar de Cl e C2 as quantidade de sacos que o primeiro e o segundo cavalo carregam. podemos dizer que é de três minutos e meio. Resp. a quantidade de sacos do primeiro é reduzida em uma unidade e a do segundo.1 = C2 + 1 => Cl = C2 + 2. minha carga ficará sendo o dobro da sua. Se o tempo gasto na n-ésima tentativa é de três minutos e trinta segundos. d) 7 e 5.5 minutos. n 2 Podemos eliminar o 3 dos dois termos e ficar com: 12 12 1 — = 0. •Então. b) 1 e 2. em três minutos e trinta segundos”. ficaremos com cargas iguais. e) l i e 9. o que torna a alternativa E verdadeira. c) 4e7. Cl . ou seja. Ia sentença: “se eu lhe passar um dos sacos de farinha que carrego. Quantos sacos de farinha carrega cada cavalo? a) 3e5. ele realmente terminará o trajeto em três minutos e meio.5 minutos é igual a 3 + 0. teremos: Cl + 1 = 2. vamos veriricar qual seria o resultado de se usar a tecla A e também a tecia B. vamos substituir esse valor: Cl + 1 = 2C 2~2=>C 2 + 2 + 1 = 2 C 2 -2 = > C2 + 3 ~ 2C2 —2=> 2C2 —C2 . . o número do visor é substituído por 2x + 1. enquanto o resultado for menor do que 99. a quantidade de sacos do primeiro é aumentada em uma unidade e a do segundo reduzida em uma unidade. a B: tecla A: 2x + 1 = 2. Uma curiosa máquina tem duas teclas» A e B. Resp. repetimos o passo 1. será possível obtermos dois resultados: um usando a tecla A e outro. o número do visor é substituído por 3x -1 . 2.Capítulo 9 — Álgebra c 323 22 sentença: “se você passar um dos sacos que carrega. consideramos o maior número obtido pelo "caminho” em questão.5 + 1 = 10 + 1 = 11. nesse caso. para cada resultado obtido (começando pelo 5 inicial).2. Como sabemos que Cl = C2 + 2 (deduzido da primeira sentença). 3. Com o número 5 no visor. teda B: 3x . d) 85. Quando se aperta a tecla B.1 = 14. Se. a carga do primeiro passará a ser o dobro da do segundo. no visor. o maior número de dois algarismos que se pode obter.1) => Cl + 1 = 2C2 . e) 96. vamos partir desse número e analisar as variações possíveis. Quando se aperta a tecla A.(C2 . Como. b) 95.: D 8. c) 92. e um visor no qual aparece um número Inteiro x. apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B. é: a) 87. está o número 5.5 —1 = 15 .1 = 3. quando o resultado ultrapassar 99. minha carga ficará sendo o dobro da sua” Se o segundo cavalo passar um saco para o primeiro. Essa análise deve executar os seguintes passos: X.3 + 2 => C2 = 5 Voltando para C l = C2 + 2 e substituindo C2 por 5: C l = 5 + 2 => Cl » 7. Resolução: Como o enunciado diz que existe um námero 5 no visor. Com isso. 86 e 83. 65.1 = 33 .23 + 1 = 46 + 1 = 47. tecla B: 3x .1 = 86.47 .47 +1 = 94 +1 = 95. tecla B: 3x —1 = 3.42 .3.1 = 3. porque isso não é permitido pelo problema. tecla B: 3x . ficamos com as seguintes possibilidades para análise: 47. 95. Se tivermos obtido 32 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2. teclaB: 3 x. 68. Se o resultado gerado for 14. aqui. tecia B: 3x .1 . Então.32. tecla B: 3x . passamos a ter quatro possibilidades para análise: 23.11 + 1 = 22 + 1 = 23.14 . tecla B: 3x —1 = 3. poderemos ter outros dois resultados: tecla A: 2x + 1 = 2.29 + 1 = 58 + 1 = 59. Se tivermos obtido 41 no visor. poderemos ter outros dois resultados: tecla A: 2x + 1 = 2. tecla B: 3 x. 59.1 = 8 7 .29.1 = 32. Se tivermos obtido 65 no visor: tecla A: 2x + 1 = 205 + 1 * 130 + 1 = 131.68 + 1 = 136 + 1 = 137. .1 = 122.23 —1 = 69 —1 = 68. Se tivermos obtido 68 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.1 = 141 .1 * 41. ^ Se tivermos obtido 29 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.32 + 1 = 64 + 1 = 65.41 + 1 = 82 + 1 = 83. Se tivermos obtido 47 no visor: tecla A:2x+ 1 =2. tecla A: 2x + 1 = 2.1 = 3.41 .11 .1 = 3. Se tivermos obtido 23 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.1 « 140. é ignorar os resultados maiores do que 99 (com mais de dois algarismos).14 + 1 = 28 + 1 = 29.68 —1 = 204 —1 = 203.1 = 3.1 = 123 .29 e 41. O seu próximo passo.32 —1 = 96 —1 = 95.1 =3.324 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Se o resultado gerado for 11.1 . Se tivermos obtido 59 no visor: tecla A: 2x + 1= 2. Resp. e) 30. quando aplicarmos a operação V sobre um número qualquer. Isso significa que.59 .Capítulo 9 — Álgebra s 325 Se tivermos obtido 95 no visor.1 = 176. Então teremos os seguintes resultados possíveis: 95.140.131.173.86 + 1 « 172 + 1 = 173. Assim. De todos esses.1 = 248. .83 . b) 20.1 = 177 .194. tecla B: 3x ~ 1= 3.x3 (o triplo do cubo de x). o maior com apenas dois algarismos é o 95. Resolução: Vamos colocar em notação matemática as operações apresentadas no enunciado: Vx = 3. Se tivermos obtido 86 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.176. o valor da expressão V3^3 “ (V2) 2 éiguala: a) 15.1 * 166 +1 = 167.59 + 1 « 118 +1 * 119. Isso significa que.: B 9. fix « —(o inverso de x).83 + 1 = tecla B: 3x. A operação V x é definida como o triplo do cubo de x.1= 3.167e248.86-1 =25 8 -1 =257. e a operação Ox é definida como o inverso de x. tecla B :3x-1 =3. d) 45.137. c) 25. 249 .203. o resultado será o triplo do cubo desse número. o resultado será o inverso desse número. quando aplicarmos a operação Jfi sobre um número qualquer. nem precisamos continuar.257.119. Se tivermos obtido 83 no visor: tecla A: 2x + 1= 2. Ao chegar ao final da esteira.3. e) dois minutos.t C 10. o que nos leva a uma velocidade de 210 _ 21 _ 7 ~ 3. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira. 60 6 2 Isso significa que a velocidade de Ana somada à velocidade da esteira é 3. Em um certo aeroporto. ü I ^ L l o que nos leva a (J2 )2 = 2. Resp.326 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha O enunciado pede que calculemos V32.5 => Ve = 3. Logo. 2 1 Assim. Em notação matemática: Va +Vc = 3. teremos que V32a.(32'3)3. Áo utilizar uma.>- Iseg xseg .0 + V * 3. Com isso: V + V = 3.3. esteira rolante de duzentos e dez metros.5 -1. V3275: aqui nosso x vale 32/3e ficaremos com: 3.(36'3) .(V2) 2. Ana caminhava à razão de um metro por segundo.5.5 metros -----------> 210 metros ---------. c) um minuto e trinta segundos.0 => V = 2.5m/s. continuou andando no mesmo passo. Resolução: Ana percorreu.5 => 1.5m/s. Ana verificou ter levado exatamente um minuto para percorrer toda a extensão da esteira. junto com a esteira.{32) = 27. duzentos e dez metros em um minuto. b) um minuto e vinte e quatro segundos. Mas o enunciado diz que Ana caminhava a uma velocidade de lm/s. Vamos por etapas. para percorrer os 210m: 2. d) um minuto e quarenta segundos.5m/s. que se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava. se Ana estivesse parada. o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira seria igual a: a) um minuto e vinte segundos.(-72) *= 27 —2 = 25./3 . 00: c) R$40..y = 12 => y = . 2. entre os restantes associados ainda não contatados.=> y =R$ 30.x. Fazendo y .R$ 60.00.contribuição dos associados restantes.00 e) R$60. Um clube está fazendo uma campanha.: B .q :=> —.—= 42.2 . com 60% dos associados. para completar exatamente a quantia necessária para a pintura.00 por associado contatado. b) R$30. que corresponde a 4 —12x.60.00. ou seja. Esse valor será pago pelos 40% restantes dos associados.x.84seg.00 100 5 5 2 Resp.5 5/2 5 Resp. e que a contribuição média correspondia a R$ 60. Sabemos que ficaram faltando 25% da quantia. a contribuição média por associados. Contatados 60% dos associados. temos: -í^-.y =12x=í> ~.00.60 = ---.00 e isso equivaleu a 75% da quantia total) 60 100 75 100 3 5 — —.x.00 d) R$ 50. entre seus associados. Resolução: Façamos x = total de associados e q * quantia total necessária. temos que: 60%. para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Se.00 & 75%.q (sessenta por cento de x pagaram R$ 60.x q 3 . foram atingidos 75% da quantia e a contribuição média tinha sido de R$ 60. a quantidade total necessária é quarenta e oito vezes a quantidade total de associados. 1/4 de q.: B 11. deve ser igual aí a) R$25.Capítulo 9 — Álgebra a 327 210 210 2 x = —— ———~.y =12x=> —.Imin e 24seg. Então.<7 => 4 48x.210. ou seja. verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura.x. 7 2 = 2B . Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. R$296. Bela e Cátia.36 B fica com: 2B C fica com: 72 2a operação: Bela dá uma parte para Alice e para Cátia Aqui. redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui.A + B .00. B e C as quantias iniciais de Alice. chamando de T o total que as três juntas tinham.2 B -72 C fica com: 144 B fica com: 2B . respectivamente. a Alice teve que dar B a Bela e 36 a Cátia para elas duplicarem o que já tinham. Se Cátia possuía R$ 36. isto é. A fica com: 2. Resolução: Vamos chamar deA. (SERPRO-2001) Três meninas.00 tanto no início quanto no final da distribuição. R$ 282.B -36) . R$ 252. cada uma delas com algum dinheiro.(A-B . Finalmente. temos: A + B + C = T=>A + B + 36 =T = >A + B = T -3 6 . I a operação: Alice dá uma parte para Bela e para Cátia Aqui. a Bela teve que dar (A .00.00. A fica com: A . Cátia faz o mesmo. A primeira coisa a ser percebida é que a soma das três quantias individuais não vai mudar e será sempre: A + B + C.36 = 3B-A-36 . a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) b) c) d) e) R$ 214.00.00. R$ 278. para elas duplicarem o que já tinham.B —36) a Alice e 72 a Cátia.328 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 12. e considerando que Cátia tinha R$ 36.(A.B .00. dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Mais ainda.  seguir.36) = 2 A . 36 => T = 252. diferente no intuito de facilitar sua d) 58 assimilação. . mas b) 481 foi resolvida de forma um pouco c) 56. Quando Valéria tiver a idade que Roberto tem. agora.(3B-A-36) * 144 .Capítulo 9 — Álgebra s 329 3a operação: Cátia dá uma parte para Alice e para Bela Aqui.72) .B = 36=>A + B . cada sentença do enunciado e tirar as conclusões possíveis: “Roberto tem hoje o dobro da idade que Valéria tinha quando Roberto tinha a idade que Valéria tem”. A soma das idades de Roberto e Valéria é hoje: a) 38 Esta questão é semelhante à Ia.A . Resp. A fica com: 4A—4B—144 B fica com: 6B —2A —72 C fica com: 1 4 4 -(2A-2B . temos que: 252 .00. Roberto tem hoje o dobro da idade que Valéria tinha quando Roberto tinha a idade que Valéria tera.216.2A + 2B + 72 .: B lilík 13.36) a Bela.A . Passado Hoje Futuro y anos R -x V-x Vamos analisar. substituindo A + B por 216: 216 .72) a Alice e (3B . para elas duplicarem o que já tinham. Como no início concluímos que A + B * T —36.3B + A + 36 = 252 .A . Resolução: Chamando as idades atuais de Roberto de R e de Valéria de V.T . vamos montar uma reta com os três momentos: passado.B Como sabemos que Cátia terminou o processo com R$ 36. a Cátia teve que dar (2A —2B . hoje e futuro. a soma das idades dos dois no futuro será 72 anos. Daí tiramos que R + y « R + x = 4x + x = 5x.330 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Significa que R = 2(V . a soma das idades dos dois no futuro será 72 anos”.x (idade de Valéria no passado) = 3x .R = 2x + 2x => R = 4x. e V + y . quando Valéria tiver V + y ~ R. Assim: V + y = R=>3x + ys=4x:=>y-4x~3x=i>y-x. Fazendo R = 4x. Significa que.x) = V.x). a idade de Roberto e Valéria no passado passam a ser: R-*x = 4 x .no futuro.x = 2x.V + x=3x + x = 4x.2x ==> R = 2R—2x ~ 2x ==> 2R .x) =^R = 2V .x) . nosso gráfico pode ser atualizado para: Passado Hoje J i . nosso gráfico pode ser atualizado para: Passado 3x 2x Hoje R *=4x V = 3x Futuro 5x 4x Como o enunciado diz que.(R. Logo» V .8 = 24.2x => R = 2. a soma das idades será 72. Resp.x=^>V = 4x-x=> V = 3x. Substituindo este último valor de V = R . temos: R = 2(V . e a soma dessas duas idades será 72. Com isso.: C 8. podemos concluir que hoje as idades sáo: R = 4x = 4. Roberto terá R + y. . temos: 5x + 4x = 72 9x = 72 => x= => x - Finalmente. 3x 2x x anos Futuro y anos R = 4x V = 3x 1 R+ y y + y “Quando Valéria tiver a idade que Roberto tem.x = 3xe como V = R . Com isso. e V = 3x = 3. quando (R . Com isso.8 = 32. a soma das idades atuais é 56.x na primeira equação. .... e) . B está exatamente no meio da distância entre os dois e temos que: B .Basta você saber que para calcular a média aritmética simples para um conjunto de números. você soma todos e divide este resultado pela quantidade de elementos somados.8 / 2 ~ 4 . para evitar problemas.: A 15. se B é a média aritmética simples entre A e C.. (ESAF-AFC-2002) Os números A »B e C são inteiros positivos tais que A <B<C.17 / 2 = 8. c) A / C.5....... ela guardou uma garrafa cheia de licor trancada a chave no seu armário. Resolução: Este problema trata o conceito de média aritmética simples. (ESAF-AFC-2002) Ana está em férias com seus sobrinhos e.A = C -B = x Com isso. abriu o armário. Veja alguns exemplos: A média aritmética simples entre 2 e 6 é ( 2 + 6 ) / 2 .. o mais importante neste conceito é o seguinte: A média aritmética simples entre dois números sempre está “no meio” deles... Um de seus sobrinhos conseguiu uma cópia da chave. Graficamente: X Graficamente: ' 1" .. podemos concluir que (B A) / (C —B) = x/x = 1 (que é igual a A/A) Resp.B) é igual a: a) A/A. Para este exercício. A média aritmética simples entre 5 e 12 é (5 + 12) / 2 .. bebeu metade do conteúdo da garrafa.Capítulo 9 — Álgebra is 331 14.. I---------A B x C Assim. então necessariamente a razão (B —A) / (G. Quando Ana percebeu....... completou a garrafa com água e colocou-a no lugar. já havia menos de 1% de licor na garrafa. A média aritmética simples entre 1 e 9 é (1 + 9 ) / 2 = 10/2 = 5. Deu a chave para um outro sobrinho de Ana que fez a mesma coisa. ou seja.. .(B/B). à mesma distância dos dois.. d) B / C. Se B é a média aritmética simples entre A e C. b) A / B. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Cada pessoa que bebia da garrafa bebia metade e completam o resto. Exemplos: 2. (a razão é 1/2) Vamos representar graficamente o que aconteceu neste exercício (a parte hachurada representa o licor na garrafa): 18 Sobrinho 2a Sobrinho 3a Sobfínho 100% } 50% }25% .... 3. 12. (a razão é -4) Progressão Geométrica —P.. 10..G.) Exemplos: 1. (a razão é 3) 19. 25. e) 15. 7. b) 5.125. 11.. 18.. o número mínimo de vezes em que os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é dado por: a) e.332 b Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Assim. 13... 50. 6. c) 7.: Ocorre quando os números de uma série estão sempre a uma mesma distância (essa distância é chamada de “razão” da PA..). 3.25.P»A. Aqui temos que relembrar superficialmente o conceito de progressões numéricas: Progressão Aritmética .. d) 10....G. 4. 6. 15.: Ocorre quando o próximo número é sempre o anterior multiplicado por um mesmo número (esse número é chamado de “razão” da P.5. 7. 162. 54. (a razão é 3) 100... 17 alunos praticam futebol e vôlei.” indica quanto de iicor ficou na garrafa depois que o lc sobrinho dele bebeu): 1—Sobr.5% 6. 3e Sobr. Os elementos são os seguintes (a coluna “l2 Sobr. 30» entre os 45» não praticam vôlei. 5e Sobr. Os que praticam Basquete (conjunto “B”). c) 103.Capítulo 9 — Álgebra a 333 Veja que estamos diante de uma progressão geométrica de razão -1/2. Passo 1: representar os conjuntos envolvidos em um Diagrama de Venn: Temos 3 conjuntos: Os que praticam Vôlei (conjunto “V”). 6a Sobr.Sobr. no atual semestre. O námero total de alunos do colégio. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes. no mínimo 7 sobrinhos beberam antes que ela descobrisse. 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete.125% 1. A diferença é que agora estamos diante de um “tradicional” problema de conjuntos. começando com 100. .5625% 0. Resolução: Neste livro já usamos conjuntos pata resolver diversos exercícios e este é mais um deles. basquete e vôlei. d) 99j e) 114.: C 16. Vamos aproveitar para relembrar alguns conceitos durante a resolução. Os que praticam Futebol (conjunto “F”). 50% 25% 12. 4a Sobr. futebol.7825% Como Ana encontrou a garrafa com menos do que 1% de licor. b) 110. o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei.25% 3. 45 alunos praticam futebol e basquete. 7. Sabe-se que» no atual semestre: 20 alunos praticam vôlei e basquete. 22 Sobr. 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. é igual a: a) 93. Resp. Passo 3: Analisar cada uma das sentenças: 20 alunos praticam vôlei e basquete.334 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha O primeiro passo é construir os 3 conjuntos Intersectados dentro do “Conjunto Universo” (o quadrado que envolve os três conjuntos). como mostrado acima. . 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete. 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. mas fazem parte do total: Passo 2: reorganizar as sentenças do enunciado. Esse conceito de “Conjunto Universo” é importante porque podem existir elementos que não estejam em nenhum dos três conjuntos. 30. 45 alunos praticam futebol e basquete. citando primeiro as que estão relacionadas a elementos das interseções: 20 alunos praticam vôlei e basquete. Acontece que esses dois conjuntos também têm interseções com o conjunto “Futebol”. basta colocar 20 elementos na interseção. Se você considerar apenas os dois conjuntos. 17 alunos praticam fotebol e vôlei. entre os 45 (que praticam futebol e basquete). não praticam vôlei. O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei. como já colocamos “x”. Usando o mesmo raciocínio. ficam “17 —x” para o outro pedaço da interseção entre esses dois conjuntos: . ficam “20 —x”: 17 alunos praticam futebol e vôlei. você tem que se lembrar que uma parte dos “20” está também na área de interseção entre os 3 conjuntos. Como ainda não sabemos quantos praticam os três esportes. como já temos “x” na interseção entre “Futebol” e “Vôlei”. vamos imaginar que sejam “x” alunos: Dessa forma. para o resto da interseção entre "Vôlei” e “Basquete”.Capítulo 9 — Álgebra s 335 Então. para 60 faltam 13. não praticam vôlei. Vamos representar isso: 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete. mas náo jogam “Vôlei”) é 30. Da mesma forma. Logo: 45 . Como dentro do conjunto de "Futebol” já temos 47 elementos. Vamos representar isso: . temos “45.15.x = 30 x = 45 . entre os 45. Essa frase nos diz exatamente que o “45 . Acabamos de descobrir o valor de x (!!!).30 (passando o “x” para a direita do sinal de igual e o 30 para a esquerda) x . De forma análoga. para a região "ainda vazia” entre “Futebol” e “Basquete”.x ”: 30. dentro do conjunto “Basquete” já temos 50 elementos e para os 65 faltam 15.336 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 45 alunos praticam futebol e basquete. “Futebol” e “Basquete”.x” (que representa os alunos que jogam . Considere agora os alunos que não estão nem no conjunto “Vôlei”. Temos apenas os 15 que só jogam basquete.Capítulo 9 — Álgebra b 337 O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei. Temos 13 alunos praticando só futebol. nem no conjunto “Futebol”. Assim. Ao todo. Assim: 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. faltam 6 (que estarão fora dos três conjuntos): . a quantidade de alunos que não jogam vôlei nem futebol é de 21 alunos. no segundo mês.338 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Agora que você determinou todas as possibilidades. R$ 1.000. SL —» Salário Líquido. respectivamente. pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionário.000.00 e R$ 1. foram superiores às do primeiro mês em: a) 8%. Rp—> Remuneração fixa (Rp= R$ 1. Com esses dados.00). c) 14%.: D 17. líquido.d -* SL= Rp + C . D —> Descontos. Acompanhe a resolução com bastante calma e você verá que não é complicado. Passo 1: identificar as variáveis envolvidas: V —> Volume total de vendas (em R$).782. d) 15%.500.00.674. e) 20%. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é. (ESAF-AFC-2002) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é constituída de uma parte fixa igual a R$ 1. SB~> Salário bruto (SB= Rp+ C). Passo 2: interpretar as regras do enunciado: SB= Rp+ C (salário bruto = remuneração fixa + comissão).D (substituindo SBpor Rp + C) .00). C Comissão (3% sobre o total que exceder R$ 8. apenas exige um pouco de atenção e concentração. basta somar todos os números distribuídos: 13 + 5 + 2 + 15 + 15 + 30 + 13 + 6 = 99 Resp. sobre o total da parte fixa mais a comissão). b) 10%. sl = s b. Em dois meses consecutivos» um dos funcionários dessa empresa recebeu. Resolução: Outro problema de álgebra.500.00.00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8. -240 100 Passo 4: Calcular a fórmula para o salário bruto: SB = S F + C = 1.000) C 3Y 100 x (V-8.500 + — -240 100 100 3V SB ^ — +1.260x— 100 10 10 3V D = . Assim sendo: C =3% x (V-8.000.00 V O percentual de 3% incide apenas sobre a parte hachurada. .000 .500+f — -24o) *1.00): 8.260 D = 10% x S R = i x S B = 5 » * 100 = í — 1.^ .260) x .* A 1 ----x — 4-1. ou seja.Capítulo 9 — Álgebra a 339 Passo 3: Calcular a fórmula para comissão: imagine que o rotal de vendas foi V (maior do que R$ 8.000.000. sobre V 8.000) = 100 100 = H L -3 x 80: 100 .260 100 Passo 5: Calcular a fórmula para o desconto: f 3V + 1.+ 126 1.L 10 B 10 10 U 00 ) 10 v 3V 1 . 2 6 0 ) 1 J Uoo ) = —100+ J ^ L + 126) U.000 representam dos 20.000 1.000 => s = Z3V I ---.+1.134 => 1.» 24.000-20.000 1.1.000 Passo 9: Calcular a relação entre V2e Vt: O problema quer saber em quanto as vendas do segundo mês foram superiores às do primeiro mês. _ 0 +648 => 27V2 = 648 x 1.3 2 V z V + i .34 => 1782 « ZLÜ1.674. V2-'V .000 Passo 8: Calcular V2em função do salário líquido de R$ 1.000 1. » -— ■9 ° => 27 Vx = 20.00 77V 77V ?7V s = ---.674 -1.260-126: 100 1.20.—+ 1.000 = 4.000 20.2 6 0 .000 1. + 1.1 2 6 1.2 = 20% .3V + 1.000 648.1 3 4 .000 S l = 2 ™ L = 540 1.000 _ 4 _ 2 ^ Resp.134 => 1.000 Passo 7: Calcular V em funçáo do salário Uquido de R$ 1.000 1.674 « ^ .: £ 20.J í i L .134 => ± 1 IL + 1.000 .000 1.000 de VI e chegamos ao valor pedido pelo problema: V2 -Vj _ 24.782 -1.000 27V2 .134 => 1.000 1.000 20 10 =0.000 27Vj = 540 x LOOO => V.X + 1.000 S i .2 Z J ! + U 3 4 = > 1.000 _ 4.782.340 □ Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Passo 6: Calcular a fórmula para o salário líquido ) SL = SB -D = f — ■+ 1 .000 V2 = 27 V2 = 24.134 => i i .00 1 27V 27V ?7V S = ±LU .000 Dividindo esse valor por VI calculamos quanto que esses 4.L + 1. Resolução: Pela definição acima. c) 112. Por conceito. os números primos maiores do que 1 cujos quadrados são me nores do que 100 têm 3 divisores. Assim sendo. 53. Se n é primo. . 23. p. então tem somente dois divisores. 7. 61.Capítulo 9 — Álgebra m 341 19. 52= 25.. 72= 49. Todos eles têm apenas 2 divisores (o 1 e o próprio número). 3. 5. 29. Se você ainda tem dúvida sobre as premissas assumidas. Os números primos menores que 100 são: 1. d) 121. é da forma p% então X. 71. 1 e n. a saber: 1. p2. 11. vamos ver os quadrados perfeitos de primos menores que 100: 22= 4.. Se n é uma potência de um primo p. o próprio número e o quadrado do número.. 41. é igual a: a) 25. 59. o que queremos é a soma: 4 + 9 + 25 + 49 ®87. o$ únicos que sáo divisíveis por apenas 3 números são os quadrados de primos. 37. ou seja. 47. Como queremos apenas os menores que 100. 13. p’ são os divisores positivos de n. 17. e) 169. b) 87. . (ESAF-TCU-2002) Sabe-se que todo número inteiro n maior do que 1 ad mite pelo menos um divisor (ou fator) primo. tirados os primos. 73. 79. Segue-se dai que a soma dos números Inteiros positivos menores do que 100. 89. vamos resolver “braçálmente”: Os números inteiros menores do que 100 são: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 38 39 40 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 95 96 97 98 99 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 . 67. a saber. 97. que têm exatamente três divisores positivos. 83. 43. todos os números que náo são primos são divisíveis por mais do que 2 números. 31. 19.2. 32=9. Então. por 6 e pelo próprio número): 4 8 9 10 20 14 15 16 25 26 27 28 38 39 40 32 33 34 35 44 45 46 49 50 51 52 55 56 57 58 62 63 64 65 9 70 68 6 80 74 75 76 77 81 82 85 86 87 88 98 99 91 92 93 94 95 21 22 Elimine os múltiplos de 8 (porque todos são divisíveis por 1. por 8 e pelo próprio número): Vamos reduzir a tabela aos que sobraram: 4 9 10 14 15 20 21 22 25 26 27 28 33 34 35 38 39 44 45 46 49 50 51 52 55 57 58 62 63 65 68 69 70 74 75 76 77 81 82 85 86 87 91 92 93 94 95 98 99 Elimine os múltiplos de 9 que não sejam quadrado perfeito de número primo (porque todos são divisíveis por I. por 2. por 10 e pelo próprio número): . por 5. por 3. por 3. i 2 22 Elimine os múltiplos de 6 (porque todos são divisíveis por 1. por 2. por 2. por 4.Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 342 e Elimine os primos (porque todos só têm 2 divisores —o 1 e o próprio número): 6 8 9 10 14 15' 16 58 20 12 b | 24 25 26 27 28 30 32 33| 34 35 36 38 39 40 42 j 44 45 46 48 49 50 51 52 Í54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68 69 70 72 75 76 77 78 80 81 82 | 84 85 86 87 88 90 91 92 931[9744 95 96 98 99. por 9 e pelo próprio número): 4 9 10 14 15 20 21 22 25 26 28 33 34 35 38 39 44 46 49 50 51 52 55 57 58 62 65 68 69 70 74 75 76' 77 82 85 86 87 91 92 93 94 95 98 99 Elimine os múltiplos de 10 (porque todos são divisíveis por 1. Com isso.69 77 1. por 15 e pelo próprio número): 4 9 21 25 33 35 39 49 51 57 65 69 77 85 87 91 93 95 55 Vamos fazer uma rápida análise dos 20 números que sobraram: Números •4- }■'. 3. 5.11.29.3. 25 e 49.5. por 5.51 55 1.35 39 1.17.17. o primo e o próprio número): Os quadrados dos números primos maiores do que 1 são: 4.39 W Mm f S S p ü lf 51 1.7.19. por 3.95 .91 93 1. 7. 5.3.13.5.87 91 1.31. 7.13. •• ■ Divisores lê s © # !! 9\ 21 1.85 87 1.Capítulo 9 — 9 14 15 21 22 25 38 39 44 46 49 51 52 55 68 69 70 74 75 76 77 82 92 93 94 95 98 4 26 28 33 34 57 58 62 65 85 86 87 91 Álgebra e 343 35 1 Elimine os múltiplos dos números primos que não sejam quadrados perfeitos de números primos (porque já vimos que esses têm apenas 3 divisores: o l. 3.11.93 95 1. todos os pares diferentes de 4 devem ser eliminados: 4 9 15 21 25 33 35 39 49 51 57 65 69 75 77 85 87 91 93 95 55 Elimine os múltiplos de 15 (porque todos são divisíveis por 1.57 65 1.77 85 1.3.21 33 1.55 57 ' 1.65 69 1.33 35 1.11. 29.13. 5. 7. 3.3. 23.3. Resp.: B .344 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha As linhas hachuradas representam os números finais que só têm 3 divisores e cuja soma é perguntada pelo problema: 4 + 9 + 25 + 49 = 87. A área do segundo triângulo será igual ai a) b) c) d) e) 6m2. 6m.00. e) 75. Um segundo triângulo. 3.00. . c) R$ 196. e) R$ 180. (SERPRO-2001) Um triângulo tem lados que medem. gastou a metade do que possuía e. que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) R$ 220. 60 ra2. que sua altura est i para sua largura assim como 3 está para 2.5% da produção do poço Pb. no final. também retangular. 8m e lOm. ao sak de cada uma das lojas pagou RS 2. 48 m2.0% maior do que a produção do poço Pb.00. (ESAi*/AFTN/9ó) Em determinado país. deveríamos multiplicar a sua altura e a sua largura pon a) b) c) d) e) 2.Capítulo 9 — Álgebra a 346 Exercidos sobre Álgebra 1. cada uma num bairro diferente.00 de estacionamento. Assim. Pa e Pb. ainda tinha R$ 8. isto é. Em cada uma. d) 62. que é um triângulo semelhante ao primeiro. b) R$ 204. 4 . Sabe-se que as dimensões do quadro estão na mesma razáo que as da parede.0% da produção do poço Pb. 2. A produção do poço Pa. 6. 4. tem perímetro igual a 12m.0% da produção do poço Pb. (ESAf-AFC-2002) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas. portanto* é: a) 60. b) 60. d) R$ 188.00. respectivamente.00. que mede 3 metros de altura por 2 metros de largura.5% maior do que a produção do poço Pb. 24 m2. c) 62. 3. 5. 12 m2. (ESAJF-TCU-1999) Um quadro retangular cobre exatamente 25% da área de uma parede. se quiséssemos que o quadro cobrisse exatamente toda a superfície da parede. Sabe-se que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em dez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em oko dias. existem dois tipos de poços de petróleo. Se.00. quer quando estão nadando em sentidos opostos. a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual at a) 1.500. 30 km por hora.00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a RS 10. Marco vai de um lado a outro da piscina em quarenta e cinco segundos. Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e E a ama velocidade média constante de 50 km por hora. 7. . (ESAF-AFC-2004) Lúcio fez o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando. b) 1. o restante do trajeto até B. sempre í mesma velocidade. (ESAF-AFG-2004) Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina e no mesmo horário. Ao passar em frente ao One Bristol.500m. Em um determinado dia.00. Lúcio deu-se conta de que se. vinte. d) 760m.5 km por hora. enquanto Mauro vai de um lado ao outro em trinta segundos. ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho oito minutos antes do inicia da reunião. 8. Calcula-se em 10% o percentual de descontas diversos que incidem sobre seu salário bruto. eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido. 25 km por hora.00.300. O carro percorre.00 e R$ 5. eles nadam de um lado para outro. caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho.310. chegaria atrasado à reunião em exatos dez minutos. a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. e) 41%. Em dois meses consecutivos.000. a partir de lados opostos da piscina. 37. também a uma velocidade média constante. Logo. RS 4. Durante doze minutos. Durante esses doze minutos.346 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 5. sem perder qualquer tempo nas viradas. sempre a uma velocidade igual e constante. pode-se afirmar que suas vendas no segando mês foram superiores às do primeiro mês em: a) 18%. em que haveria uma reunião importante. ele gasta exatamente vinte minutos. a velocidade V é igual ai a) b) c) d) e) 20 km por hora. respectivamente. 6. e) 1. c) 30%. líquido. assim como podem encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Com esses dados.128m. o número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses doze minutos & a) dez. Sabendo que a distância entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros. Neste percurso. Eles iniciam os treinos simultaneamente. daquele ponto. (ESAF/AFTN/96) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual aR$2. b) c) d) e) doze. nadando um em direção ao outro. dezoito.080m. b) 20%. Dessa forma. d) 33%. c) 1. quinze. 10 km por hora. o vendedor recebeu.200m. Ora. Finalmente. 50% declararam-se favoráveis à proposta A. Assim. 78% declararam-se favoráveis a. dono de uma renomada confeitaria.Capítulo 9 — 9. perdendo 25% de peso. ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: a) 17%. para Alice. ou a favor de apenas uma. que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. visitou um sobrinho. b) 5% maior. ou a favor de todas as três. ou &fevor de apenas duas. Ainda do total dos entrevistados. e) 10% maior. uma delas. ao visitar uma tia vegetariana. dono de uma pizzaria. visita que acarretou. (ESAF-AFC-2004) Foi feita uma pesquisa. o que fez Alice ganhar 20% de peso. após essas visitas a esses quatro familiares. de modo que o entrevistado poderia se declarar ou contra todas elas. Alice perdeu 20% de seu peso. passou alguns dias na casa de um tio. com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas. As propostas (referidas como “A”. ainda. e) 22%. Primeiro. ”B” e “C”) não eram mutuamente excludentes. 30% à proposta B e 20% à proposta C. Álgebra ~ 347 (ESAP-AFC-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentarei. de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. O peso final de Alice. um ganho de peso de 25%. Após. Alice também emagreceu. Sabe-se. A seguir. d) 12%. pelo menos. c) 5% menor. 10. . c) 10%. d) 10% menor. Dos entrevistados. ficou: a) exatamente igual. Acompanhando a sobrinha em seu regime. b) 5%. 7. 3. 8. 9. 10. 2.348 s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Gabarito de Exercidos de Álgebra 1. 5. 6. 4. D A C A C C E A D A . .C apítulo 10 Seqüências e Psicotécnicos _______________________________________________ BI “Ao se depararem com uma dificuldade. a partir do segundo. observação dos elementos dados e. cada número. 1.. h. -> 27 Regra: cada número. como A. Seqüências Uma seqüência é um conjunto ordenado de elementos (números.7. j. ou seja. algumas pessoas recuam. a partir do segundo.12.. F. por intuição. K. pedindo que se ache o elemento seguinte. V Rfigra: entre cada letra e a seguinte existem quatro letras não citadas.17. b.144. O modo de se resolver esse tipo de problema consiste em descobrir. 2 . g. às vezes. F. n. 0. P. o. c.1. qual a regra de formação e aplicá-la ao último elemento. P* .-* 5 Regra: é a seqüência dos números naturais. letras. A.166.2» 3 .155. i. d. é o anterior somado com 1. 6. —» 133 Regra: cada número. palavras etc... figuras geométricas. m. é o anterior somado com 5...1. é o anterior menos 11. Vá emfrente!” 10.4 . gerado por meio de uma regra de formação. alguns cálculos. K.. Exercícios: Descubra o próximo demento em cada uma das seqüências abaixo.). figuras..22. Os problemas apresentam alguns elementos de uma seqüência. completando assim a seqüência pedida.. outras avançam. a partir do segundo. 177.. . 2..2.. é a soma dos dois anteriores.9 3 ’4 V ' 8 Regra: as frações são formadas alternando-se os números pares a partir de 2.->13 Regrai é a seqüência dos números primos. 8. i. k.3.350 2: Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 2.6. onde 12 é a soma de 4. H.-.480..6. alternadamente no denominador e no numerador. e os números ímpares a partir de 3. 8. (considere a letra k) —> M Regrai o segundo (D) é o primeiro (A) avançando-se duas letras. H. onde 4 é a soma de 4 e 0.18. e o quarto será o terceiro avançandose quatro letras.-» 21 Regra: cada número. de 2 em 2. 32... b. M. 2. 96. 3.. A. onde 18 é a soma de 8.640.13. 3.. 6. é o produto dos dois anteriores.. 5. 18. l.-> 27 Regra: cada número. o terceiro (ordem 3) é . g. c.10= 40/4.11. 2 5 67 ...„.. Detalhando: A.o anterior dividido por 3.5.640/18. é o anterior somado a cada número da seqüência dos ímpares.3..j. e.‘~*12 Regra: os numeradores vão aumentando de 12 em 12 e os denominadores.40= 480/12. a partir do terceiro. a partir do terceiro.7.‘. 1. f.. D. cada número. 11. 40. -> 108 Regra. se vê que o quarto (ordem 4) seria o anterior dividido por 4.8 e 0. — ■>8 Regra: o segundo (ordem 2) é o anterior dividido por 2. 192. ~» 10 Regra: cada número é o número anterior dividido pela soma dos algarismos do número anterior.4 e 0. o terceiro (H) é o segundo (D) avançando-se três letras. 12 24 36 48 6 ’ 8 ’ 10. D. a partir do segundo.. Por aí. Explicando: 480 = 8. alternadamente no numerador e no denominador. .. n M. calcule o próximo elemento da segunda seqüência (considerando as letras K. O. 2 9 3 k J f E .» E Regra: em ambas as seqüências..). J. K. H.Seqüências e Psicotécnicos Capítulo 10 — a 351 Seja a relação entre as seqüências: (P. J) —» (K. cada letra é encontrada decrescendo-se alfabeticamente a anterior na quantidade de letras equivalente a cada número da seqüência dos números naturais. J. W e Y como parte do alfabeto). Explicando: P. H. Y como parte do alfabeto) . 0> M... d)JQOM. b) T. c) 2431. c) L. . c) JQPL. d) 1432. c) V. 1. (BACEN/94) Complete a série: B DGLQ. a) I.. e) G O M J. e) 143 2.M a) R.W e Y. 2. (BACEN/94) Complete a séries A D F I í C F H . . . 3.352 E3 Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Questões sobre Sequêndas e Psicotécnicos Nas questões abaixo. ( ) HNIM ()UROL a) MSOQ. (BACEN/94) Relacione as séries que possuem a mesma seqüência lógica e assinale a opção que contém a opçáo correta.. (1)AFBE ( )HNLJ (2)BGED ( ) LPNL (3)LHEB (4) GLIG a) 2413. b) 2 1 4 3. b) J.. b) JMOQ.. náo considere as letras K . 72' 8. (BACEN/94) 82. se somarmos dois números impares. . e) TLE. c) T L . somente se somarmos um número par com um número ímpar encontraremos um número ímpar. (BACEN/94) Sabendo-se que. (BACEN/94) a) 9. e. também encontraremos nm número par.Capítulo 1 0 — Seqüências e Psicotécnicos & 353 5. (BACEN/94) BC FHMO ADGIQV CE HLR T OFC ID ACDFOR DFH1NO BDELST a) TEC. d) LE. c) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir par e colocar um número par. 90' 81 . 48. se somarmos dois números pares. d) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir par e colocar um número ímpar. e) os dois jogadores teráo sempre a mesma probabilidade de vencer. 100' 99. b) c) d) e) 36. b) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir ímpar e colocar um número par. 64. 7. 3 6 12 2A 96 6. 72' 100 81* 100. encontraremos um número par. 42. é correto afirmar que. b) ELT. em um jogo de par ou ímpar? a) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir ímpar e colocar um número ímpar. como ilustrado abaixo.. 6 3 'j&fj 3 'M* d) 10.. (BACEN/94) 6 11» (BACEN/94) Três dados idênticos. / . a soma dos números contidos nas faces traseiras dos dados é igual a: a) 4. e) 12. são sobrepostos de modo que as faces unidas tenham o mesmo número. Desta forma. com foces numeradas de 1 a 6.2  1 k i c) 7. . (BACEN/94) 48 12 27 9 35 b) 20 100 I 75 à) 30 e) 90 15 20 IS O 240 40 10.354 ss Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 9. b) 5. IV . amarela. Branca. verde e amarela.a bola amarela está depois da branca. de acordo com as afirmativas abaixo: I .a bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes desta. branca.. II —a bola azul está antes da verde? III .Capítulo 1 0 -— Sequêndas e Psicotécnicos k 355 12. branca. azul. azul. amarela e verde. (BACEN/94) Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas. Azul.a bola verde é a menor de todas. (BACEN/94) 13. 14. amarela e verde. Branca. (BACEN/94) Bí S | ^m M am ^ ti HP \W IhíJsEásíU e> 18 . azul e verde. Azul. a) b) c) d) e) Branca. verde e amarela. (1)J3#XV (2) 2 H @L 8 (3) J & 7 V Í { ) %LH%X (4) % # L E 5 ( ) %L78@ a) b) c) d) e) 16. b) 20U.356 e Raciocínio Lógico — Enrique Rocha 15. 24 3 2.. □ * A x O ? . 160 135 120 108 100. (BACEN/94) Considere as seguintes equivaiêndas: O O A - A O C 17 11 1 a) b) c) d) e) 17. (BACEN/94) a) 19T. 3 241 4 3 21 14 32. d) 22X. (BACEN/94) Considere as seguintes equivaiêndas. 2 =J = % V=* 5 «• @ 8 =? =X & -L-3 H -7-# Agora. relacione a coluna da esquerda com a coluna da direita e assinale a opção que contém a numeração correta. e) 23Z. c) 2 IV. ( ) 2H 3 ( ) J#V& X 342 1. a) 29. 216. 125. 96. a) b) c) d) e) 88. d) 32Í e) 33. 8 . b) 30. (BACEN/94) Se considerarmos que cada valor expresso nos círculos representa a soma dos números que estão nos dois vértices que delimitam o respectivo lado do triângulo. c) 31. a soma dos valores correspondentes aos vértices deste triângulo será igual a: a) 21 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40. 1 . 19.Capítulo 10 — Seqüências e Psicotécnicos a 357 18. Observe a sequênda a seguir e descubra o próximo teimo: 0 . . 6 4 . 2 7 . Considere os números escritos nos pequenos triângulos das pontas da figura abaixo e determine o valor de x. 20. 100. 14. 18. 10. 5. 11. 8. 17. 7. D C A D D E B E C E B A B A A B A A D B . 6.358 ei Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Gabarito das Questões sobre Seqüências e Psicotécnicos 1. 2. 4. 15. 9. 20. 16. 19. 3. 13. 12.
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