Fiches d’exercices d’introduction à laTransmission Numérique Grenoble INP, Mars 2015 (dernière mise à jour) L. Ros 1 def où x( m ) . On suppose que la puissance moyenne du signal x est de 1V2. On obtient les échantillons yk = y(k/Fe). 8. …. 4. représenter le signal x(t) pour la suite de bits: « 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 » (à partir de t=0). 1) Quel est le débit binaire obtenu après numérisation ? 2) Quelle est la variance du bruit de quantification b2 en fonction du nombre de bits m et de l’amplitude A ? En dédire le Rapport Signal à Bruit dû à la quantification (RSB_q). et que le bruit de quantification peut être modélisé par des échantillons bk indépendants et de même loi uniforme.B. 3) Quelle hypothèse permet de supposer que la puissance du bruit de quantification b2 est uniformément répartie en fréquence (sur la plage f [-Fe/2 . k Z : y k x k bk . la puissance émise. x(n)> = 0 . l’énergie moyenne par bit Eb. plage d’amplitude [-A . x(M)(t) }. calculer en fonction de M l’énergie moyenne par symbole.N. x( n ) x (m) (t ) x(*n ) (t )dt 1) La modulation numérique « PPM » (pulse position modulation) est –elle orthogonale ? Ts M 2) Pour M = 2. ) . 2 N. fmax] pour faciliter l’interprétation). orthogonale) On a : x (t ) x k k (t kTs ) où xk(t) {x(1)(t). +A]. [ (t ( m 1). de caractéristiques : Fe = 25 kHz. : d min min m n 2 x( m ) (t ) x ( n ) (t ) dt 2 . Exercice II : Code en ligne avec un dictionnaire de signaux orthogonaux (Modulation en B. Pour cela on pourra utiliser une représentation fréquentielle du signal et du bruit sur la plage f [-Fe’/2 . Fe/2’[ (en supposant une DSP de xk constante sur [-fmax . m n . avec A = 2V. ainsi que la distance minimale dmin entre les M signaux. [ 0.B : on rappelle que pour un signal centré stationnaire la puissance moyenne coïncide avec la variance des échantillons.A. Pour A fixé. préciser le « mapping » bits/symbole. M}.B. Fe/2[. quantification uniforme sur m= 10 bits. a. N. pour un Rappel cours : x( m ) (t ) A. …. ainsi que la rapidité de modulation. avec Débit binaire = 1 Mbit/sec 3) On supposera de plus les bits iid (indépendants et identiquement distribués => p0 = p1 = ½).Fiche n°1 : Numérisation. est-il possible d’obtenir une qualité de Rapport Signal à Bruit de quantification équivalente après traitement numérique des échantillons {yk} ? Expliquer. avec < x(m) . m {1. Codes en ligne à l’émission Exercice I : Numérisation Un signal analogique x(t) (supposé aléatoire stationnaire et centré) de largeur de bande fmax 10 kHz est numérisé (sans écrêtage) par un C. On rappelle que tout signal échantillonné à la fréquence Fe a une représentation spectrale périodique de période Fe) ? En déduire l’expression de la Densité Spectrale de Puissance (DSP) bilatérale des échantillons de bruit de quantification b(f) ? Annexe : En choisissant m’= 9 bits (au lieu de 10 bits) et Fe’ = 4 × Fe = 100kHz. p0). comment varie la distance entre les signaux en fonction de la taille M de la modulation. : d min min i j 2 x( m ) (t ) x ( n ) (t ) dt et n k k 1 2 n( n 1)( 2n 1) 6 c. 2A . la puissance émise. avec des bits iid. En déduire pour une puissance émise et un débit binaire fixé (donc Eb fixée). {x(1) (t)}. calculer en fonction de M l’énergie moyenne par symbole. 4. ainsi que la distance minimale dmin entre les M signaux. en supposant p0 =3/4 et p1=1/4.b.F. Conclusion. calculer et tracer la DSP. 3 . Préciser la répartition de la puissance du signal dans le spectre continu et dans le spectre de raies ? Compléments pour aller plus loin … Exercice IV : Densité spectrale de codes avec mémoire. à l’aide d’une modulation « PAM » : ( x(t ) Ts a h (t kT ) ). et désormais les bits tels que p0 = p1 = ½. k k e s 1) Une modulation « PAM » peut-elle être une modulation orthogonale (Cf exercice II)? 2) Pour un code NRZ unipolaire (amplitude A = 3V) binaire. 8. b. 3) Même question pour un code RZ unipolaire quaternaire. En déduire pour une puissance émise et un débit binaire fixé (donc à Eb fixée). ±(M-1)A }. : On admettra que la partie continue de la DSP de cette modulation M-PPM est 2 multiple de : X (1) ( f ) . Pour le code binaire différentiel « NRZ-M » puis pour un code bi-polaire « RZ bipolaire ». Différence de propriétés par rapport à la modulation orthogonale ? 5) Pour quelques uns des scénarios de codes qui ont été envisagés. Conclusion? c. 4) On suppose un code polaire M-aire (NRZ) tel que ak Amod = {±A . 1) Rappeler les règles de codage et le modèle du signal 2) représenter le signal en bande de base x (t) pour la suite de bits à transmettre : « 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 ». ±5A . 3A }) . puis leur densité spectrale. N. N. Pour A fixé. 4) En déduire l’expression et la forme de la DSP du signal analogique x(t) en sortie du codeur en ligne. où X(1) (f) = T. Exercice III : Code en ligne Linéaire sans mémoire Par défaut on veut transmettre un signal binaire de Débit 1 Mbit/sec (suite de bits indépendants de probabilités p0 et 1. Conclure sur les points forts /faibles de la modulation orthogonale (scénarios à Puissance limitée ? Bande limitée ?). représenter le signal x(t) pour la suite de bits: « 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 » (à partir de t=0). : on suppose un état initial du symbole a = +A.B. +A . ±3A . 2 N. Vérifier (mêmes conditions) la variation de avec M. a. l’énergie moyenne par bit Eb. comment varie la distance entre les signaux en fonction de la taille M de cette modulation. Calculer l’énergie par bit et la puissance moyenne du signal x (préciser le « mapping »). ainsi que la rapidité de modulation. 3) Exprimer et tracer la fonction de corrélation des symboles ak. (ak Amod = {0 . préciser le « mapping » bits/symbole. Pour M = 2.B.B. équiprobables.he2 () Ts . he (t k . soit –174 dBm/Hz).B. -A.4. corrélation. …} aux « instants » k = 0. décalé de t0 (délai d’échantillonnage) pour que le filtre hr soit causal. Pour ce TD. du signal y(t) pour les symboles {+A . le RSBy est un indicateur (pour 1 mod. Les décisions { aˆ[ k ] } sont prises par seuillage . avec bande non-limitée x (t ) Ts a k . en fonction de p() = (he * hr)() et de t0 ? On appelle RSBy le Rapport Signal à Bruit de la variable de décision. -A . La modulation peut être ici «2-PAM ». de variance a2. 2°) Pour des choix quelconques de hr() et de t0 .I. Pour une Modulation linéaire en B. (avec N0 = 4.3. canal : signal à l’entrée du récepteur est: r(t) x(t) n(t) . he() est l’impulsion de mise en forme. on considère 4 cas d’impulsions de mise en forme possibles. 3°) filtre de réception adapté : afin de maximiser le RSBy .2.10-21 W/Hz. exprimer l’énergie moyenne par bit Eb du signal utile modulé à l’entrée du récepteur en fonction de a2 et du débit binaire.Fiche n°2 : Filtre de réception adapté. où t0 est paramétrable. l’échantillon y[k ] y k .1. la valeur de . { a k . Annexe : préciser si les filtres he() et p() sont des filtres à phase linéaire ? 4°) La variable de décision est-elle affectée d’ Interférence Entre Symbole (IES)? 4 .he3 () Ts . Db (en bit/sec). filtre adapté à he().he4 () 1 0 Ts/2 Ts a 0 Ts/2 Ts a 0 Ts/2 Ts +b Ts 0 -b 1°) Energie par bit : Avec le 1° filtre de mise en forme. donnée) sur la qualité des décisions. Déterminer les valeurs de « a » et « b » pour que Eb soit identique avec les différents filtres he . kZ } sont les symboles à transmettre aux instants k. ou « 4-PAM ».he1 () Ts . toutes de durée inférieure ou égale à Ts (on est donc dans le cas d’une transmission à Bande non limitée) : Ts .Ts ) Emission : signal émis : (1) k 0 où : Ds=1/Ts est le débit symbole. ….Ts . indépendants. Préciser pour chacun (ou quelques-uns) des 4 cas d’impulsion he : le délai minimum t0min (adopté pour la suite du TD) pour que le filtre hr() soit causal? l’allure de hr(). Réception : variable de décision y[k] obtenue par filtrage (R. les allures de p() = (he * hr)(). avec des symboles polaires . +A . hr() paramétrable) et échantillonnage aux instants t0 + kTs. où n(t) est un Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG) centré de dsp (bilatérale) N0 /2. peut se décomposer en Préciser l’expression du coefficient . on choisit hr() = he(- + t0). y[k] . +A .a k IES [k] bk où bk est lié au bruit additif n(t). Sans IES. 2578 0.55 3. y k en fonction des symboles de la voie désirée et de ceux de la voie interférente.0016 x2 1 .1251 0.25 3.60 1.50 3.95 Q(x) 0.2420 0.exp pour x 4 x 2 2 X Q(x) 3.00048 0.40 1.00058 0.0256 1 2 u2 exp 2 du Q( x) x X 2.0322 0.00034 0.90 3.0495 0.4602 0. 8°) Transmission multi-voie ou (multi-utilisateur) : on envoie simultanément un 2° signal (additif) construit selon (1).75 1.0139 0.0885 0.65 2.85 2.4013 0.45 3.70 1.0026 0.95 0.45 1.00 3.00016 0.35 0.25 10-5 4.30 1.80 1.1711 X 1. Px dépend-elle de la forme d’onde choisie he ? Annexe : fonction Q(.1977 0.0071 0.30 3.0446 0.0202 0. Commentaires ? Indiquer les couples de formes d’ondes pour lesquels la cohabitation des 2 voies n’amène aucune dégradation des performances (sur le RSBy et le TEB).1587 0.) : X 0.15 0. Exprimer.00040 0.45 0.05 1.00013 0.85 3.30 2.55 2.05 0.60 2.00082 0.0287 0.1469 0.20 10-7 5.0035 0. Bande passante) ? 5 .5000 0.00 2.70 0.15 1.70 2.0808 0.90 2. Le récepteur d’une voie (« désirée ») ne tient pas compte de la 2° voie (« interférente »).0107 0.1056 0.25 0.35 1.65 3.40 0.80 3.65 0.85 1.25 1.80 2.75 3.00007 0.0401 0.1841 0.0968 0.10 3. la probabilité d’erreur par bit (sans IES) en fonction de RSBy ? Donner l’expression de RSBy en fonction du rapport Eb/N0 (annexe : en 4-PAM)? Evaluer la puissance minimale Px à émettre en 2-PAM pour acheminer un débit binaire de Db = 34 Mbit/s garantissant Pe 10-4 .75 2.40 3.4801 0.70 3.25 2.85 0.80 0.3446 0.95 Q(x) 0.20 2.65 1.3821 0.0359 0.00009 0.0606 0.00 1.90 1.0022 0.2912 0.00135 0.3632 0.50 0.4404 0. mais avec des symboles et une mise en forme différents pour cette 2° « voie ».00114 0.0047 0.2169 0.00003 4.0228 0.0062 0. +A} ? 7°) Annexe : réalisation sous forme de corrélation : reformuler l’expression de y k (ou de ) pour faire apparaître une corrélation (en remplacement des opérations de filtre adapté et échantillonnage ) et finalement un produit scalaire entre une partie (à préciser) du signal r(t) et la fonction he .95 Q ( x) Q(x) 0.10 1.35 2.30 0. Commentaires (débit.00023 0.0179 0.45 2.20 3.Dans la suite du TD.60 3.00069 0.0040 0.0158 0.10 0.00019 0.0548 0.55 1.0019 0.0094 0. on suppose une modulation 2-PAM (symboles polaires) 5°) Rappeler en 2-PAM.3085 0.00 0.15 3.20 1.0122 0.75 10-6 5.00 0.2743 0.05 2.0082 0.00004 4.20 0.35 3.1357 0.00006 0.4207 0.60 10-8 Questions annexes / compléments 6°) Annexe : Aurait-on eu le même résultat qu’en 5) avec des symboles uni-polaires {0 .00028 0.00005 0.2266 0.0030 0.05 3.50 2.40 2.1151 0. On suppose l’utilisation des formes d’ondes 1 (désirée) et 2 (interférente).50 1.10 2.75 0.00097 0.0735 0.0668 0.15 2.0054 0.00011 0.90 0.60 0.3264 0.55 0. Critère de Nyquist. 16-PAM ? Annexe (A. 4 Ts 1 1 . 4 Ts f 3 1 . 4 Ts 1 1 .10-12 W (-84 dBm). b) avec B 14 MHz Théorie de l’Information (avec BBAG) Déterminer les valeurs de (Eb/N0) théoriques minimales d’après la théorie de l’information 6 . Pour chacun des 3 cas de module |P(f)| .16) en supposant l’utilisation de la bande B minimale pour transmettre sans IES.10-21 W/Hz) un Débit binaire de 100 Mbit/s avec Pe <10-4 : et puissance utile reçue P 4. 4. A partir des courbes de performances ci-dessous (avec filtres émission/réception optimaux et canal BBAG).B.N. 2 Ts Exercice 2 : efficacité spectrale en M-PAM. 4 Ts 3 1 . 8. Efficacité spectrale (modulations en Bande de Base). Contexte général Modulation Num. déterminer le rapport Eb/N0 requis (ordre de grandeur) pour une probabilité d’erreur binaire Pe inférieure à 10-4 (ou/et 10-6 ) en 2-PAM..) : Peut-on (préciser les paramètres alors) avec une modulation linéaire M-PAM polaire transmettre (N0 = 4. 4 Ts 3 1 .Fiche n°3 : Transmission à Bande limitée. 4 Ts f 1 3 1 . Exercice 1 : Critère de Nyquist en fréquence On considère la liaison numérique (modulation linéaire en Bande de Base) ayant une rapidité de modulation R = 1 / Ts symb/sec. comparaison aux limites de Shannon Déterminer l’efficacité spectrale () en (bit/sec)/Hz des modulations M-PAM polaire (M=2. exp{-j2ft0} . et un filtre de réception (avant échantillonnage aux instants tm = t0 + mTs) de fonction de transfert Hr(f). avec un filtre de mise en forme à l’émission de fonction de transfert He(f). linéaire en B. est un filtre à déphasage linéaire P(f) = |P(f)| . et donner l’excès de bande (roll-off) ? |P1(f)| 1 |P2(f)| 4 |P3(f)| 3 f 3 1 . 4. a) avec B 50 MHz et P non limitée (à préciser). 8-PAM. 2 Ts 1 Ts 3 1 . avec récepteur linéaire : idem fiche n°2 . On suppose que le filtre global Emission/Réception P(f) = He(f) Hr(f). 2 Ts 1 Ts 1 1 . préciser s’ils permettent une transmission sans IES à la rapidité R.PAM. 2 Ts 1 1 . ? N.5 dB à l’entrée du récepteur. 25. On s’intéresse à plusieurs scénario pour les fonctions de transfert des filtres d’émission He(f) et de réception Hr(f). NB : en pratique on aurait plutôt |Nyq(f)| avec une forme en Cosinus surélevé. mais on simplifie ici les calculs.5MHz . d’erreur par symbole (avec récepteur optimal) de : PM 2 exp{lb( M ).( Eb / N 0 ln 2 ) 2 } .5 dB. N.B : on peut normaliser K1 et K2 pour une même puissance émise que dans le scénario 3. sont des constantes de normalisation. pour ln(2) ≤ Eb/N0 ≤ 4ln(2) . |Hr(f)| = Rect[-25. +25. |Hr(f)| = |Nyq(f)| .5 MHz (fréquence positive maximale). K1. 25. : on supposera que la source binaire (Débit Db) est sans redondance (obtenue après codage de source idéal) et ainsi que Eb = P / Db représente l’énergie par bit d’information. 1) vérifier que la transmission sans IES est possible pour les différents scénarios (on raisonnera en fréquence en supposant des déphasages de filtres réglés de manière adéquate.I.|Rect[-25.pour transmettre (avec Probabilité d’erreur arbitrairement faible) avec les mêmes efficacités spectrales qu’en 1.5 MHz] (sans perte de généralité.|Nyq(f)|. si on n’a pas de limite de bande-passante. Scénario 2 : |He(f)| = K2 . Hr ( f ) Nyq(f) Où |Nyq(f)| est un filtre de Nyquist d’excès de bande (« roll-off ») 50% de forme |P2(f)|. existe-t-il des procédés de transmission (fiable à volonté) d’efficacité spectrale aussi grande que voulue ? Théoriquement.) en TD2). mais on suppose que la bande dont on dispose est limitée (contrairement au cas des TD précédents) à B = 25.N. Cf table de Q(. des filtres). K2 . pour Eb/N0 de 8. mais non obligatoire. même si en pratique il y aura nécessairement une approximation dû à la troncature des R. Conclure sur le bon scénario de filtrage ? La limitation de bande pénalise-t-elle la performance par rapport à la situation à bande infinie (TDs précédents) ? 7 . on a la normalisation | Nyq( f ) | df 1/ Ts 34 MHz ).5MHz](f) . Scénario 3 : He( f ) Nyq(f) . présente une P. pour un même rapport Eb/N0 d’entrée (c’est à dire une même puissance émise). 2) Pour les 3 scénarios. existe-t-il des procédés de transmission (fiable à volonté) travaillant à rapport Eb/N0 aussi faible que voulu ? Donner la limite sinon.B.5 MHz . avec un rapport (Eb/N0) de 8.5MHz](f)| . si on n’a pas de limite sur la puissance émise. comparer les valeurs du RSB (RSBy) sur la variable de décision. Questions subsidiaires : Théoriquement.5MHz . et donc de support fréquentiel [-25. et sans IES. Exercice annexe / Compléments : Exercice 3 : Répartition optimale du filtrage Emission / Réception On désire acheminer un débit binaire de 34 Mbit/s en modulation 2-PAM polaire. Annexe (information pratique): la technique de modulation (non linéaire) utilisant un dictionnaire de M signaux orthogonaux (débit d’info lb(M) / Ts Sh/sec. ainsi que les probabilités d’erreur binaires Pe Q RSBy obtenues (A. qui sont tous à phase linéaire (on suppose un retard d’échantillonnage t0 >> Ts ) pour que les filtres soient réalisables avec une bonne approximation) : Scénario 1 : |He(f)| = K1 . Ts]. Modulation I/Q.24V 0V -3 V 0V -3 V -3V -1 V -1 V 0V -4. Le composant dispose de nombreuses configurations pour l’ « étiquetage » bits/ symboles. QPSK. dont : D1 (ou D2) I (ou Q) Config 0 Config 1 Config 2 Config 3 D1 D2 D3 0 1 0V 0V -3V +3V 0V 3V +3V -3V 000 D1 … Dn : bits . (m+1). L. identique sur les voies I et Q. efficacité spectrale On doit transmettre un débit binaire de 1 M bit/sec.Q} : symbole D1D2 (ou D3 D4 ) I (ou Q) Config 4 Config 5 00 -3 V -2 V 01 11 10 -1 V +1 V +3 V -1 V +1V +2 V 001 011 010 110 111 101 100 +3 V +3 V +1 V +1 V +0 V +4. symb. 8-PSK. a n bits D // n bits B // bits he (t) D2 Q bits => symboles + X cos(2f0 t) Mise en forme linéaire ( Ts ) ( Ts ) /2 xQ(t) he(Q)(t) x(t) X (I) étiquetage Dn MOD.24V 0V -3 V +3 V -3 V +1 V -1 V IQ Config 6 Config 7 I +4. 3) rappeler le principe et les équations du « Modulateur I /Q » délivrant le signal x(t) modulé sur fréquence porteuse f0 à partir des composantes en bande de base xI (t) et xQ (t).24V 0V Q +3 V I 0 V Q Pour chacune des modulations (dénomination anglaise) BPSK. I / Q sur fréq. et m Z.Ts . {I + j.Fiche n°4 : Modulation numérique sur fréquence porteuse Etiquetage « bits=> symboles ». en supposant que les bits à transmettre sont indépendants. 2) représenter les signaux en bande de base xI (t) et xQ (t) pour la suite de bits à transmettre : « 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 ». La mise en forme des symboles complexes a[ m ] est linéaire. à partir d’impulsions sur les voies en phase (I) et en quadrature (Q) paramétrables. 5) Donner la Puissance (impédance fictive 1) de x(t) en V2. mais de durée limitée à la durée symbole Ts. 4) Donner la forme de la DSP moyenne des composantes xI (t) et xQ (t) et du signal x(t). ainsi que l’énergie par bit Eb (V2. De plus l’impulsion de mise en forme est rectangulaire. et préciser le débit symbole.4. 16-QAM : 1) donner une configuration possible pour obtenir les symboles des voies (I) et(Q). On a ainsi. avec des états équiprobables. B1 Série // B ( Tb ) codage différentiel Bn (en option) ( Ts ) xI (t) I D1 B2 signal B.24V 0V +3 V -3 V +3V -1 V -1 V . porteuse f0 O. sur une fréquence porteuse de 1GHz.B. pour la voie I par exemple : xI (t) = Re{ a[ m ] } pour t [m. On dispose d’un équipement d’émission (Cf synoptique) dont les différents blocs sont paramétrables.sec) 8 . Exercice 1 : construction d’un signal à Modulation numérique linéaire On suppose ici qu’il n’y a pas de codage différentiel (bits D = bits de données B). QPSK. 2) A partir des courbes de performances ci-dessous (données pour des filtres émission/ réception optimaux et un canal BBAG).. .10-12 W (-84 dBm).10-21 W/Hz) un Débit binaire de 100 Mbit/s avec Pe <10-5 : et puissance utile reçue P 4.) et MQAM (M=16. comparaison aux limites de Shannon 1) Déterminer l’efficacité spectrale () en (bit/sec)/Hz des modulations M-PSK (M=2. 16QAM .10-12 W (-90 dBm).Exercice 2 : efficacité spectrale des modulations.. Vallet 3) Théorie de l’Information (avec BBAG) : Comparer les valeurs requises de (Eb/N0) avec les valeurs théoriques minimales d’après la théorie de l’information pour transmettre (avec Pe arbitrairement faible) avec les mêmes efficacités spectrales qu’en 1) ? 9 . c) avec B 50 MHz et P non limitée (à préciser). 5. 5. …? Annexe (A.12 – Probabilit´e d’erreur d’une modulation QAM 40 10 0 5 10 15 Eb/N0 en dB 20 25 30 Fig.) : Peut-on (préciser les paramètres alors) avec une modulation linéaire M-PSK ou M-QAM transmettre (N0 = 4. 8-PSK. d) avec B 10 MHz P 1. déterminer le rapport Eb/N0 requis (ordre de grandeur) pour avoir une probabilité d’erreur binaire Pe inférieure à 10-5 en BPSK. 4. e) avec B non limitée (à préciser) et 0 0 10 −4 10 10 −6 10 −8 −4 10 −6 10 −8 10 10 −10 10 M=2 M=4 M=8 M=16 −2 Probabilité d’erreur −2 10 Probabilité d’erreur 10 M=4 M=16 M=64 M=256 M=1024 M=4096 −10 0 5 10 15 20 25 Eb/N0 en dB 30 35 Fig. …) en supposant l’utilisation de la bande B minimale pour transmettre sans IES.14 – Probabilit´e d’erreur d’une modulation PSK Figures extraites du cours ENST de R.N.