Eng Economica Aulas 2012 03

March 25, 2018 | Author: MrsSiqueira | Category: Interest, Investing, Currency, Discounting, Economics


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ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILAENGENHARIA ECONÔMICA Antonio Victorino Avila Eng.º Civil, MSc. Eng.ª Produção Cursos de Engenharia Florianópolis-SC 2012 Engª Economica~Aulas~2012.03.docx 1-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA A958m ENGENHARIA ECONÔMICA AVILA, Antonio Victorino. Matemática financeira e engenharia econômica / Antonio Victorino Avila; Antônio Edésio Jungles. – Florianópolis. "Programa de Educação Tutorial da Engenharia Civil - UFSC", 2011. 200 p.: il. color. ;24 cm Original: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Versão 1.0 - 1983 – ELETROSUL. Matemática Financeira E Engenharia Econômica Versão 5.6 - março de 2.012. Inclui Bibliografia. 1. Matemática financeira. 2. Engenharia econômica. 3. Juros. 4. Capital. I. Jungles, Antônio Edésio. II. Título. Copyright do autor Permitida cópia citada a fonte. CDU 624 Catalogação na publicação por Graziela Bonin – CRB14/1191. Engª Economica~Aulas~2012.03.docx 2-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O objetivo desta publicação é disponibilizar ao aluno dos cursos de engenharia uma expressão documental coerente com o conteúdo ministrado de modo que o mesmo possa acompanhar as discussões realizadas em sala de aula. Visando o bom aproveitamento das aulas é imprescindível que o aluno disponha da ultima versão atualizada deste conteúdo. Isto porque, comentários sobre a teoria, demonstrações matemáticas e os exercícios a serem resolvidos estão nela atualizados. Recomenda-se ao interessado consultar a bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o assunto. Engº Civil Antonio Victorino Avila, MSc Engª Produção Engª Economica~Aulas~2012.03.docx 3-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ÍNDICE ENGENHARIA ECONÔMICA 2.5.2 – Atualização de valores monetários............................................ 38 2.5.3 - Aplicação .................................................................................... 40 2.6 – Exercícios. ...................................................................................... 40 1. Premissas e Conceitos......................................................................... 8 3. Séries de Capitais .............................................................................. 46 1.0 – Introdução. ....................................................................................... 8 3.0 – Introdução........................................................................................... 46 1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. ...................................... 8 3.1 – Série Uniforme Postecipada. ........................................................ 46 3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada................. 47 3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. ........................................... 48 3.1.3 - Exemplo. ..................................................................................... 50 3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. ................................ 50 1.2 – Premissas. ........................................................................................ 9 1.3 - Nomenclatura das taxas de juros. ................................................ 11 1.4 – Composição da Taxa Real ........................................................... 13 1.5 – Definições ....................................................................................... 13 2. Matemática Financeira .................................................................. 15 2.0 - Introdução ....................................................................................... 15 2.1 – Conceituações de Juros ............................................................... 15 2.2 – Juros Simples ................................................................................ 15 2.2.1 – Definição ................................................................................... 15 2.2.2 - Equações. .................................................................................. 16 2.2.3 - Operações de desconto. ............................................................ 17 2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas ........................................... 20 2.2.5 – Tempo Exato e Comercial ......................................................... 21 2.2.6 – Exercícios Resolvidos ............................................................... 21 2.2.7 – Exercícios propostos ................................................................. 23 2.3 – Juros Compostos. ......................................................................... 24 2.3.1 - Definição. ................................................................................... 24 2.3.2 - Fórmulas Básicas:...................................................................... 25 2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro................................................... 26 2.3.4 - Exemplos ................................................................................... 27 2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. ......................... 28 2.3.6 - Cuidados a observar. ................................................................. 30 2.3.7 - Exercícios. .................................................................................. 31 2.4 - Relação entre as taxas nominal e real.......................................... 32 2.4.1 – Efeito da Inflação....................................................................... 32 2.4.2 – Relação entre taxas. ................................................................. 34 2.4.3 – Inflação e Índices. ..................................................................... 34 2.5 – Inflação Acumulada. ...................................................................... 37 2.5.1 – Fórmulas Básicas. ..................................................................... 37 Engª Economica~Aulas~2012.03.docx 3.2 - Anuidade perpétua. ......................................................................... 51 3.2.1 – Conceituação. ............................................................................ 51 3.2.2 – Exercício Resolvido. .................................................................. 52 3.3 – Série Uniforme Antecipada. .......................................................... 53 3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada ......................................... 54 3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. ............................................ 55 3.3.3 – Aplicação. .................................................................................. 56 3.4 – Série Diferida. ................................................................................. 57 3.4.1 – Metodologia ............................................................................... 58 3.4.2 - Aplicação .................................................................................... 58 3.5 - Série Infinita. .................................................................................... 59 3.5.1 – Conceituação. ............................................................................ 59 3.5.2 – Aplicação. .................................................................................. 60 3.6 - Exercícios. ....................................................................................... 61 4. Amortizações de Dívidas ................................................................ 65 4.1 – Tipos de Sistemas. ......................................................................... 65 4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC ................................. 66 4.2.1 – A metodologia ............................................................................ 66 4.2.2 - Exemplo ...................................................................................... 67 4.3 - Sistemas de prestação constante ................................................. 67 4.3.1 - Metodologia ................................................................................ 67 4.3.2 - Exemplo ...................................................................................... 68 4.4 - O sistema americano. ..................................................................... 69 4.4.1 - Metodologia. ............................................................................... 69 4.4.2 - Exemplo. ..................................................................................... 70 4-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 4.5 – O sistema de amortização variável. ............................................. 70 4.5.1 – Metodologia. .............................................................................. 70 4.5.2 – Comentários .............................................................................. 71 4.5.3 - Exemplo ..................................................................................... 71 4.6 – O sistema alemão. ......................................................................... 72 4.6.1 – Característica ............................................................................ 72 4.6.2 – Relação entre Amortizações. .................................................... 72 4.6.3 – Determinação da Prestação. ..................................................... 73 4.6.4 – Equivalência Financeira. ........................................................... 74 4.6.5 – Exemplo. ................................................................................... 74 4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE ........................... 75 4.7.1 – O Sistema.................................................................................. 75 4.7.2 – A metodologia. .......................................................................... 76 4.7.3 – Exemplo .................................................................................... 77 4.7.4 - Comentários ............................................................................... 77 4.8 – Correção do saldo devedor. ......................................................... 78 4.8.1 – Procedimentos .......................................................................... 78 4.8.2 – Metodologia ............................................................................... 78 4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC ....................................................... 79 4.9 – Exercícios. ...................................................................................... 80 5. –Engenharia Econômica. ................................................................ 87 5.1 – Conceituação. ................................................................................ 87 5.2 – Análise de Viabilidade ................................................................... 87 5.2.1 - Conceito de Viabilidade ............................................................. 87 5.2.2 – Premissas.................................................................................. 88 5.3 – O Fluxo de Caixa ........................................................................... 90 5.3.1 – Conceituação ............................................................................ 90 5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. ........................................ 90 5.3.3 – Calculo do Fluxo de Caixa ........................................................ 91 5.4 – Valor Presente. ............................................................................... 93 5.4.1 – Valor de um Ativo. ..................................................................... 93 5.4.2 – Calculo do Valor Presente Líquido............................................ 93 5.4.3 – Diagrama de Valor Presente ..................................................... 94 5.4.4 – Exemplo de Aplicação ............................................................... 95 5.5 – A TMA – Taxa de Mínima Atratividade ......................................... 96 5.5.1 – Conceito de TMA....................................................................... 96 5.5.2 – Definição da TMA ...................................................................... 97 Engª Economica~Aulas~2012.03.docx ENGENHARIA ECONÔMICA 5.6 – A TIR – Taxa Interna de Retorno ................................................... 98 5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa......................................................... 100 5.7.1 – Modelo de Procedimento ......................................................... 100 5.7.2 – Informações Gerenciais. .......................................................... 101 5.8 – Tributos e Depreciação................................................................ 101 5.8.1 – Influencia dos Tributos............................................................. 101 5.8.2 – Influencia da Depreciação. ...................................................... 102 5.9 – Classificação dos Investimentos. ............................................... 102 5.9.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa......................................... 102 5.9.2 – Disponibilidade de Recursos. .................................................. 104 5.10 - O processo de decisão ............................................................... 104 5.11 – Exercícios ................................................................................... 105 5.11.1 – Exercícios Resolvidos............................................................ 105 5.11.2 - Exercícios Propostos ............................................................. 105 6. Método do Valor Presente. ............................................................ 108 6.1 – Coerência de resultados.............................................................. 108 6.1.1 - Projetos na mesma classe de risco.......................................... 108 6.1.2 - A mesma taxa de desconto. .................................................... 108 6.1.3 - Projetos com idêntica vida útil. ................................................ 108 6.1.4 - Distinguir projetos de longa duração ........................................ 109 6.2 – O Método do valor presente. ....................................................... 109 6.2.1 – Incremento de Riqueza. .......................................................... 109 6.2.2 - Decisão ..................................................................................... 110 6.2.3 – Diagrama de valor presente .................................................... 115 6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco. ................................................ 117 6.3.1 – Conceituação. .......................................................................... 117 6.3.2 – Domínio viável de produção. ................................................... 118 6.4 – Aplicação....................................................................................... 119 6.5 - Equalização de tempos de projetos. .......................................... 122 6.5.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes .................................. 122 6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas............................................ 123 6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades. .............................................. 124 6.6 – Exercícios. .................................................................................... 125 7. Método da Recuperação de Capital ........................................... 133 7.1 - Introdução ...................................................................................... 133 5-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 7.2 - Metodologia. .................................................................................. 133 8. Valor Uniforme Equivalente ........................................................ 135 8.1 – Introdução .................................................................................... 135 8.2 - Decisão .......................................................................................... 136 8.3 – Metodologia. ................................................................................. 137 8.4 – Aplicação da Metodologia. ......................................................... 138 8.4.1 – Procedimentos. ....................................................................... 138 8.4.2 - Resolução do Caso ................................................................. 138 8.5 - Caso de Reinvestimento. ............................................................ 141 8.5.1 – Conceituação e Artifício. ......................................................... 141 8.5.2 – Manutenção em Comissionamento......................................... 142 8.5.3 – Análise Crítica. ........................................................................ 144 8.6 – Exercícios ..................................................................................... 145 8.6.1 – Exercício Resolvido ................................................................. 145 8.6.2 – Exercício Proposto .................................................................. 147 9. Taxa Interna de Retorno ............................................................... 148 9.1 - Definições ...................................................................................... 148 9.2 - Decisão .......................................................................................... 148 9.3 – Discutindo a TIR e a TMA............................................................ 149 9.4 – Utilização recomendada. ............................................................. 149 9.4.1 - Caso de títulos mobiliários ....................................................... 150 9.4.2 - Caso de financiamentos. ......................................................... 151 9.4.3 – Caso de investimentos produtivos .......................................... 151 9.5 – Calculo da TIR. ............................................................................. 153 9.5.1 – Função Polinomial ................................................................... 153 9.5.2 - Processo da Bisseção. ............................................................ 154 9.5.3 – Aplicação da metodologia ....................................................... 156 9.6 - Existência de múltiplas TIR ......................................................... 157 9.6.1 – Conceituação. ......................................................................... 157 9.6.2 – Exemplo .................................................................................. 158 9.7 – Exercícios. .................................................................................... 159 10. Métodos Algébricos. ...................................................................... 162 10.1 – Fórmulas de Karpin ................................................................... 162 Engª Economica~Aulas~2012.03.docx ENGENHARIA ECONÔMICA 10.2 - Caso de Prestações Constantes. .............................................. 163 10.2.1 – O método .............................................................................. 163 10.2.2 – Aplicação ............................................................................... 164 10.3 - Caso de Prestações Crescentes. .............................................. 164 10.3.1 – O Método ............................................................................... 164 10.3.2 – Aplicação ............................................................................... 165 10.4 – Caso de Prestações Decrescentes........................................... 165 10.4.1 – O Método. .............................................................................. 165 10.4.2 – Aplicação. .............................................................................. 166 10.5 - Exercícios. ................................................................................... 166 11. – Comissionamento de Ativos. ................................................... 169 11.1 – Definição ..................................................................................... 169 11.2 – Tipos de Comissionamentos .................................................... 169 11.3 – Metodologia. ............................................................................... 169 11.3.1 – Decisão. ................................................................................. 169 11.3.2 - Compra a vista ....................................................................... 170 11.3.3 - Compra a prazo ...................................................................... 171 11.3.4 - Aluguel com devolução do bem ............................................. 171 11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem ............................................. 172 11.4 - Leasing-back. .............................................................................. 172 11.5 – Exercício...................................................................................... 173 ÍNDICES DE INFLAÇÃO. ........................................................................... 178 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 183 ANEXOS - Casos e Trabalhos................................................................. 184 Anexo I – Trabalhos. ................................................................................. 184 I.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. ........................................ 184 I.2 - Trabalho: Métodos de amortização. ............................................. 187 I.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas ............................. 189 Anexo II- Casos em Engenharia Econômica. ........................................ 191 II.1 – Caso: Ampliação da Sede. ........................................................ 191 II.2 – Caso: Fabrica de protendidos. ................................................... 191 II.3 – Caso: Implantação de Termelétrica. ........................................... 192 6-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA II.4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte. .............................. 193 II.5 – Caso: Refinaria de petróleo ........................................................ 193 II.6 – Caso: Aquisição de prensas. ...................................................... 194 II.7 – Caso: Financiamento de residência. ........................................ 194 II.8 – Caso: Venda de Apartamento. ................................................... 194 II.9 – Caso: Plano de Construção ....................................................... 195 Engª Economica~Aulas~2012.03.docx 7-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 1. Premissas e Conceitos 1.0 – Introdução. O objetivo deste capítulo é apresentar ao interessado uma série de premissas, conceitos e definições que amparam o processo de decisão financeira e os métodos de decisão utilizados na Matemática Financeira e na Engenharia Econômica. Matemática Financeira é definida como sendo a área da matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões financeiras. ENGENHARIA ECONÔMICA 1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. A demanda por fatores necessários à produção de bens e serviços tais como: mão de obra; capital; terra; empresas; ou a capacidade técnica, requer remuneração. Conforme o caso, esta remuneração recebe denominação distinta. Assim sendo, o capital é remunerado pelos juros; a terra pelo aluguel; a técnica ou patentes pelos royalties; a empresa pelo lucro ou taxa de mínima atratividade, TMA; a mão de obra pelo salário. Ver Fig.1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. Assim sendo, a matemática financeira estuda, basicamente, a formação dos juros, os montantes de capital gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de dívidas. A Engenharia Econômica corresponde ao conjunto de conhecimentos e metodologias que, amparadas na matemática financeira, permite realizar o processo de tomada de decisão quanto a eleição ou a classificação de alternativas de investimentos financeiros. Esses investimentos podem ser referentes a: aplicação de capital em ações, renda fixa ou variável; aquisição de bens e equipamentos; implantação de sistemas de produção ou de serviços, etc.. Engª Economica~Aulas~2012.03.docx O objetivo desta obra será discutir a remuneração do capital, ou seja, os juros. 8-201 Sob essa consideração. dispondo da mesma quantidade de moeda. A matemática financeira e a engenharia econômica.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA E. é dispor ao interessado de um conjunto de metodologias que permitam a realização de um coerente processo de decisão quanto à escolha de investimentos produtivos ou a aplicação de capital que atenda. 1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. e é de entendimento geral. a riqueza dos proprietários. mesmo de modo intuitivo que. O passado já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. 1.docx ATENÇÃO! COERÊNCIA! SOMENTE SE SOMAM OU SE SUBTRAEM VALORES MONETÁRIOS CORRELACIONADOS À MESMA DATA. toda a operação efetuada com valores monetários. com uma quantidade de moedas. aos preceitos da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. como ao financiamento tomado na aquisição de bens ou a remuneração do capital de sócios. ao ser analisado um empreendimento já em curso. como instrumentos de apoio à tomada de decisão. HOJE. entradas de caixa.2 – Premissas. a exemplo de custos incorridos. se apoiam nas seguintes premissas: Isto porque. a decisão presente em continuá-lo ou de alterar a sua aplicação ou objetivo deve basear-se em perspectivas futuras e não em resultados passados. os juros. Ou a diminuição de valores. Engª Economica~Aulas~2012. investimentos realizados ou impostos devidos. quais sejam. Como se decide sobre expectativas futuras. As decisões sempre devem enfocar o quanto uma ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de riqueza no futuro. ENGENHARIA ECONÔMICA Só se decide sobre ações relativas ao futuro.03. tanto podem se relacionar a um empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica. 2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. deve ser correlacionada à data da tomada de decisão. então. De modo que as decisões são sempre formadas sobre expectativas. Assim. sempre. O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a matemática financeira é amparar um processo de decisão capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro. Em relação ao futuro só temos expectativas. O objetivo maior. 9-201 . seja de adição de valores. corretamente. A 2ª Premissa estabelece que o momento da decisão seja sempre a data em que a mesma foi tomada. na data de hoje. é possível adquirir uma quantidade de bens diferente daquela possível de adquirir em outra data. há que se considerar a variação do valor aquisitivo da moeda no tempo para que haja consistência quando se compara valores monetários. e sob determinadas condições.500. Ou seja: 1. Mês 4 5 Fig. mantida a mesma classe de risco. pode ser monetariamente equivalente a outra soma diferente. Como exemplo.00 e havendo a oportunidade de aplicá-la a taxa de juros i=14.00. Financeiramente falando.VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.00. a um custo de oportunidade de 8.94% ao período. A literatura existente trata o custo de oportunidade sob diversas denominações. o custo de oportunidade corresponde à maior taxa de desconto a ser adotada quando se compara a rentabilidade de um dado projeto com a rentabilidade da melhor alternativa já disponível.00 ≡ R$ 2 3 Sob o conceito de equivalência financeira do valor da moeda no tempo. taxa Engª Economica~Aulas~2012. 1984).00 R$. não perca valor no tempo.500. uma soma de dinheiro na data de HOJE.50 % ao ano. O valor de R$ 229. dada a variação do valor da morda no tempo. como corolário dessa premissa. Sob tal premissa. considerando projetos situados na mesma classe de risco. os critérios de decisão de investimentos devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e. ao final de um ano a importância inicial montará em D$229. 3ª Premissa . somente se somam ou se subtraem valores monetários financeiros quando correlacionados à mesma data. 4ª Premissa – CUSTO DE oPORTUNIDADE. O custo de oportunidade corresponde à melhor remuneração a ser obtida por um fator de produção que seria obtida por ele caso fosse aplicado em outra alternativa de investimento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Dado o exposto. o montante das cinco prestações. seja um investidor dispondo de uma soma de capital equivalente a D$ 200.00 a ser quitado em cinco prestações iguais. R$1. há que ser aplicado com um retorno equivalente à taxa de oportunidade definida pela empresa ou adotada pelo investidor.docx 10-201 .500.000. a perda do poder aquisitivo do dinheiro com o passar do tempo. cujo preço de aquisição é de R$ 1. 5 × 385. Ver Fig. consequentemente.1 – Equivalência de valores. Como corolário da definição acima. é equivalente ao valor do financiamento. nas condições relatadas é financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado. tais como: taxa de rentabilidade.00 1 Outro exemplo seja o caso do financiamento de um televisor.000. 1.03.00 R$ ≡ 5 × 385. (Sotto Costa & Attie.000. mensais e consecutivas no valor de R$ 385.00. no tempo.2 – Equivalência de valores Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e.1. taxa de retorno. seja uma empresa que remunera seus ativos à taxa de 15% ao ano.TMA. Havendo alteração do cenário previsto ou ocorrendo azar. pois. considerando o conhecimento disponível sobre qualquer ação em julgamento. e os vinha fazendo a taxa y% < X%. será a adotada como nomenclatura nesta obra. porém. TMA. O conceito de considerar ou definir a remuneração do capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do entendimento de que ao ser aplicado um capital numa alternativa qualquer. esta passará a ser a sua nova taxa de oportunidade. Dentro dessa premissa. com certeza ele dará errado. uma má decisão propiciando em bom resultado.03. taxa de desconto ou taxa de mínima atratividade . taxa de atratividade. Recomenda-se a realização de auditorias pós . pois esta é a melhor aplicação disponível para seus ativos. se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada. um investidor que passa a ter a oportunidade de aplicar os seus recursos a X%. sua taxa de oportunidade passa a ser X%. visando à fidedignidade dos resultados.. uma boa decisão pode redundar num mau resultado. 1. elaborar um processo com a melhor qualidade possível. muitas vezes utilizando denominação diferente para a mesma taxa. São dados perfeitamente controláveis e dependentes da acuidade do decisor. Qualquer aplicação efetuada a taxa inferior que a de oportunidade reduz a realização ou a perspectiva de manter seus ganhos num determinado patamar de lucratividade. É um processo que educa os responsáveis por decisões possibilitando avaliar o desempenho da organização.docx 11-201 .3 . a empresa estaria perdendo a oportunidade de aplicá-lo em alternativas mais rentáveis a ocorrerem no futuro.. Cabe ao analista. ENGENHARIA ECONÔMICA Uma boa decisão é a melhor possível. Como exemplo. É importante observar a diferença entre boas decisões e bons resultados. no momento de sua realização. o que contraria a 1ª Premissa. Esta é a sua taxa de oportunidade e ela não aceita em aplicar recursos á uma taxa inferior a ela. são apresentadas as seguintes definições: Engª Economica~Aulas~2012. O mercado de capitais e o comércio utilizam uma nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas.decisão visando analisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a qualidade das decisões futuras.Nomenclatura das taxas de juros. nem sempre.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA de oportunidade. É um fato a ser considerado. Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas. Esta última.“. 5ª Premissa – DECISÃO & RESULTADO. Esta assertiva contraria a lei de Murphi que diz: “existindo a probabilidade de algum fenômeno dar errado. Porém. tal como 18% ao ano. ou seja. dificilmente se mostrará verdadeira. A recíproca. são diretamente proporcionais. A ocorrência de uma boa decisão esta vinculada a disponibilidade de dados e informações confiáveis e que as alternativas reflitam as condições de mercado da época em que foram desenvolvidas. também como aquela que incide sobre o capital efetivamente exposto ao risco. ao custo do dinheiro empregado ou tomado emprestado. d) Taxa Efetiva – É a que corresponde. Normalmente ela é a base para o cálculo do juro a ser pago em uma operação. Pode ser definida. Logo. à taxa real quando o contrato estabelecer. iEFETIVA = CustodoCapital Σ{Juros + Enc arg os} = Valor Re cebido ValorFinanciado ENGENHARIA ECONÔMICA e) Taxa Declarada – é aquela declarada ou registrada nominalmente nos contratos. g) Juros Descontados . então. Considerando que os juros efetivamente pagos são calculados sobre o capital efetivamente recebido. A taxa declarada pode ser considerada como sendo a taxa nominal quando expressamente estabelecida em contrato. Moeda de poder aquisitivo constante é aquela cujo poder de compra se mantém inalterada no tempo. situação em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso. Também pode ser denominada de taxa efetiva. corresponde à razão entre o custo do capital tomado e o valor efetivamente recebido. Neste caso corresponde à taxa empregada para a atualização e pagamento de valores monetários. c) Taxa Nominal – corresponde à remuneração do capital expressa em termos de valores de moeda corrente.docx 12-201 . os juros efetivamente pagos e pactuados são equivalentes. incidentes sobre a operação de empréstimo. tributos e do risco vinculado ao tomador do recurso. Neste caso. Engª Economica~Aulas~2012. E. Esta taxa engloba a taxa real e a inflação prevista. Neste caso a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso. Pelo exposto neste item. Ou. pode-se concluir que a taxa bruta pode corresponder à taxa efetiva de juros. pode se constatar certo conflito ou inconsistência entre algumas das definições. Da definição acima. numa clausula a taxa de juros e.é a taxa que estabelece a remuneração do capital estabelecida por seu proprietário e medida em termos de moeda de poder aquisitivo constante. comissões. etc. antes ou depois da consideração dos impostos. h) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados quando pagos na data de vencimento da operação financeira que lhe deu origem. b) Taxa Real – corresponde à taxa básica acrescida de outros custos. o índice de correção da inflação. exatamente. f) Taxa Bruta e Taxa Líquida – são aquelas referentes à remuneração bruta ou líquida da inversão. a taxa efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada.03. não está embutido o efeito da inflação. deve ser entendida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo tomador do recurso. nesta taxa. A Taxa Efetiva.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA a) Taxa Básica .os juros são ditos descontados quanto pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. noutra cláusula. respectivamente. incentivos fiscais. Assim sendo. iC. varia de país para país sendo determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. iρ. é definido segundo a classificação do nível de risco atribuída ao tomador do recurso.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Cabe ao tomador do recurso verificar o conceito ou a composição das taxa a ser estipulada em cada contrato. custos vinculados ao processo da intermediação financeira. sendo cada uma das variáveis relacionadas expressa em percentagem: Engª Economica~Aulas~2012. Esta ultima. no Brasil. ela é denominada de SELIC e periodicamente estabelecida pelo Banco Central. e. 1. A taxa básica de juros. tributos sobre operações financeiras. no mercado financeiro. de spread. iB. pois pode haver entendimento diferente entre instituições financeiras distintas. iR = iB + iSPREAD A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguintes custos: comissões de corretagem. as tabelas 1. 13-201 . serão utilizadas como nomenclatura. iF. No transcorrer deste livro e para efeitos didáticos. corresponde à soma da remuneração básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma taxa suplementar denominada. o tributo incidente sobre operações financeiras é o IOF. 1. as garantias reais que oferece e da vulnerabilidade do mercado onde atua. Como exemplos. α. pois são comuns a áreas do conhecimento como a contabilidade e ao controle de custos.1 a 1. O valor da taxa de risco.5 – Definições. Entender esses conceitos é importante para a gestão da organização. Ela resulta da composição de custos. com a conotação de taxa básica. na maioria dos exercícios considerados neste livro. apenas.docx ENGENHARIA ECONÔMICA iR = iB + ( iF + iC + αIOF + iρ) No Brasil. (também denominada flat).03. Resumidamente. Neste item são definidos alguns conceitos a serem utilizados nesta obra. iρ.4 – Composição da Taxa Real A taxa real de juros praticada no mercado financeiro não é uma simples taxa que expressa a remuneração desejada pelo capitalista. Para tanto são consideradas as seguintes variáveis: o histórico comercial de crédito do tomador dos recursos. a taxa nominal e a taxa real. o modelo passa a ter a seguinte expressão. cujas alíquotas são definidas por lei e disponíveis do site da Receita Federal.3 mostram modelos de balanço patrimonial e do demonstrativo de resultados do exercício. Dado o acima exposto. Nos Estados Unidos é denominada de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. tributos e do risco incidentes sobre uma operação financeira. uma taxa de remuneração de risco. São classificados como diretos e indiretos. o que permite a apuração do resultado do exercício.1. imóveis ou intangíveis que integram os ativos da organização. Assim sendo.docx 14-201 . Contabilmente. visando à apuração do resultado do exercício. Os indiretos são alocados ao esforço de produção. ver Fig. ver Fig. bens e direitos. por meio de algum processo de rateio. São apropriados no Ativo Não Circulante.03. Elas são relacionadas aos gastos incorridos com a estrutura comercial e administrativa da organização. os valores de capital de giro e estoques são apropriados no Ativo Circulante. direitos realizáveis em longo prazo e o intangível. Contabilmente.1. bem como os insumos estocados visando consumo futuro. os investimentos são apropriados em contas do no Ativo. visando registrar o patrimônio. as despesas são apropriadas no DRE. Os diretos são os custos realizados no esforço de produção de um bem ou serviço.1. c) Despesa corresponde a todo dispêndio que não se identifica com o processo de produção de um bem ou serviço. d) Investimento corresponde a qualquer dispêndio realizado com a aquisição de bens móveis. e) Valor Econômico – corresponde ao valor ou soma de valores que não consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo. É interessante notar que no balanço são apropriados valores econômicos. os custos são apropriados no DRE. b) Custo corresponde a todo dispêndio efetuado com a produção de um bem ou serviço. disponíveis pela organização no final de cada exercício. Engª Economica~Aulas~2012. f) Valor Financeiro – corresponde ao valor ou soma de valores que consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo.1. Investimentos em bens móveis ou imóveis e a participação societária em outras empresas são apropriados no Ativo Não Circulante.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA a) Gastos e dispêndios correspondem à assunção de qualquer compromisso financeiro a ser quitado à vista ou futuramente e que propicie saída de dinheiro do caixa.2.1. também. ver Fig. comumente. Contabilmente. Introdução É comum em operações financeiras existirem taxas de abertura de crédito quando se toma uma importância em bancos ou financeiras. 15-201 . 2. os juros. o princípio a ser estabelecido é que a remuneração do capital tomado emprestado.0 .1 – Conceituações de Juros Em todos esses casos. sob quaisquer dos dois sistemas de juros acima mencionados.2 – Juros Simples    A taxa de juros referente ao período da operação. a Matemática Financeira corresponde à matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões financeiras. Juro. ainda.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA   Juros Simples.2. As datas de pagamento ou vencimento dos juros. Neste capítulo. então. que a taxa de juros efetivamente paga é aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou disponível para o próprio manuseio. Ou. haver o pagamento de uma entrada no caso de financiamento de bens de consumo. 2. Juros Compostos. Matemática Financeira É importante ter em mente. O sistema de juros simples é caracterizado por serem os juros gerados durante o período pactuado para a operação financeira computados na data do vencimento desta operação. que diferem conforme a incidência dos juros sobre o capital: Engª Economica~Aulas~2012. 2. No caso dos juros se referirem a uma operação financeira. sempre. A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas. é possível verificar quando a taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas ou distintas. Por definição. serão sempre calculados sobre a importância efetivamente recebida. os juros serem pagos antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título de crédito. serão discutidas essas relações e que permitem realizar a equivalência de capitais. Ou. também denominado de interesse.docx 2.1 – Definição O sistema de remuneração de capital sob a matemática de juros simples ocorre quando somente o principal rende juros durante o tempo em que foi pactuado o financiamento. é definido como a remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva ou aplicação financeira. isto é.03. alguns parâmetros devem ser estabelecidos ao ser pactuada a operação: 2. O período de capitalização ou contabilização dos juros. Observando esse princípio. Partindo da definição de juros simples.2.dinheiro E.docx O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos no período. Matematicamente: Sn = P + J ∴ S=P+Pin Demonstrando: S1 = P + P× i = P (1+i) S2 = P + P× i + P× i = P (1+ i×2) S3 = P + P× i + P× i + P×i = P (1+ i×3) ………………………………………………………… Sn = P + P×i + P×i + P×i +…+ P×i = P (1+ n × i) Generalizando para n períodos.2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA $ ENGENHARIA ECONÔMICA O montante de juros gerados após um único período de aplicação de um capital proporcionalmente equivalente à taxa de juros pactuada. representando a soma (P+J). o número de períodos básicos correspondentes ao tempo total da aplicação. S. em que J é o montante dos juros a serem pagos.03. o Montante final de aplicação.2.1 – Diagrama tempo . 2. Engª Economica~Aulas~2012. n.Equações. i. obtém-se a expressão canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples durante n períodos: Sn = P (1 + n × i) 16-201 . Definindo como P.1 – Montante dos Juros Pagos. acrescidos do capital aplicado. e. a Taxa de juros expressa em porcentagem. nesta data de vencimento.2 . Assim: J=P×i S=P+J 1 2 3 n-1 n No caso do capital for aplicado por “n” períodos. Então: J=Pin P Fig. o montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional a esse numero de períodos. pela taxa pactuada e pelo número de períodos. 2. o Principal ou o Capital inicialmente aplicado. ocorre a devolução do capital tomado emprestado acrescidos dos juros pactuados. o montante de juros a serem pagos na data de quitação da operação financeira é igual ao produto do principal tomado. 2. 2 – Equivalência entre Taxas de Juros. ocorre relação direta entre essas duas taxas de juros. O desconto ou deságio pode ser expresso em termos de porcentagem ou em valor monetário a ser descontado do valor de face do título negociado.1 – Tipos de desconto. duplicatas e letras de câmbio negociadas antes da data do efetivo pagamento. Neste caso. àquele que está negociando o título. as taxas de juros conexas aos períodos considerados.3 . então.docx Essas operações servem como fonte de financiamento de curto prazo e são lastreadas em cheques “pré-datados” descontados por empresas de factoring. a quantia a ser paga ao portador. a ser quitado pelo emissor ou o avalista na data aprazada e também expressa no título.2. a proporcionalidade entre estas duas taxas é expressa por: n T iT = nf if Atenção quanto à utilização do modelo acima.2. 2. O comprador do título. saber qual o montante do desconto. Dois são os procedimentos realizados pelo mercado para calcular o valor do deságio e denominados de: • • Desconto Racional ou por Dentro.2. É conceitualmente errado utilizar este modelo quando se opera sob a égide dos juros compostos. Ele somente poderá ser utilizado quando se adota a matemática dos juros simples. Engª Economica~Aulas~2012. No caso dos juros simples. adotando como nT um dado período e nf uma fração deste período.Operações de desconto. O valor de face corresponde ao montante expresso no anverso do título. ou deságio. Uma operação financeira corriqueira no mercado é a denominada de desconto ou deságio e efetuada em transações de títulos de crédito. Comercial ou por Fora. Assim. de forma a remunerá-lo durante o período compreendido da data de sua negociação até a data do vencimento. deverá ser inferior ao valor nominal ou valor de face. respectivamente. o adquire por um valor inferior àquele discriminado na face do documento.2. isto é. 2. Isto porque. Interessa então. a ser efetuado sobre o valor de face e qual o montante do capital que ira receber pela venda do título. Desconto Bancário. na data de vencimento do título. Os descontos ocorrem quando títulos são negociados em data anterior ao do efetivo vencimento e correspondem aos juros pagos pelo serviço havido entre a data do desconto e a do efetivo pagamento. Um dos questionamentos decorrentes da utilização de juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros correspondente a um período maior e àquela correspondente a frações inteiras desse mesmo período.3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2. 17-201 . e empréstimos ou vendas garantidos por notas promissórias. àquele que vende o título. este deverá ser quitado pelo valor de face. E. iT e if .03. F. O desconto racional considera o valor da moeda no tempo. quando este é negociado antes da data do vencimento ou na data de sua emissão. este corresponde ao montante dos juros expresso em valor monetário.03. o desconto racional é definido por: I .  P = Importância a ser paga ao vendedor do título.3. Como será visto no item 2. pode ser considerado como sendo o valor futuro do título. em um momento futuro determinado por esta data. A taxa de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa nominal havendo a previsão de inflação.  i = taxa de juros praticados ou pactuados. obtém-se o montante do desconto racional. Definindo o desconto racional. um título só terá o valor expresso em sua face quando na data de seu vencimento. Isto porque. muitas empresas.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Adotando como nomenclatura:  F = Valor de Face. 18-201 . Assim. O valor do desconto e do montante a receber é calculado a partir do valor de face na data do vencimento. Matematicamente.  t = número de períodos que antecedem a data de vencimento. o valor de face. No caso de ocorrer essa superposição de procedimentos. quando os juros são referidos à um período maior. Obtida essa taxa básica. o valor nominal do título na data do efetivo pagamento expresso na face do mesmo é financeiramente equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado.docx Dr = F – P Da matemática dos juros simples pode-se correlacionar o valor de face. deve ser registrado que. a taxa básica de juros. vêm combinando procedimentos estabelecidos pela matemática dos juros compostos com os de juros simples. importância escrita na face do título e a ser honrada pelo emitente na data do respectivo vencimento. considerando ser o primeiro o montante disponível no final do período de aplicação e o segundo o principal aplicado. segundo o expresso a seguir. os procedimentos seguem àqueles estabelecidos para os juros simples. ou seja. efetivamente utilizada em períodos menores. quando negociado antes da data do vencimento. F. ENGENHARIA ECONÔMICA Os procedimentos utilizados no desconto racional são idênticos àqueles utilizados na matemática dos juros simples. isto é.  Dc = valor do desconto comercial. ao valor a ser recebido. atendendo os procedimentos estabelecidos pela matemática financeira. Engª Economica~Aulas~2012. Logo: F = P (1+ ir t) ∴P = F (1+ ir t) Substituindo “P” na equação acima.Desconto Racional ou por Dentro. P. é calculada segundo a matemática dos juros compostos. Porém. descontado do valor de face de um título dada a negociação do mesmo anteriormente à data de vencimento.  Dr = valor do desconto racional.3. ...222. em moeda corrente do País. Rua Elfo dos Santos nº. Emitente: Jose João Pedro CPF nº..012. vincenda em 90 dias. 100.docx 19-201 . as seguintes informações: o valor de face do título. Mas.. Florianópolis – SC.. como a simples aplicação direta de uma taxa de desconto.30).. CPF nº 111..500. Solicitam-se as seguintes informações visando comparar o resultado do desconto racional com o bancário: • Dc = F iC t Neste caso.78/1687. Nota promissória R$ 12.. 555.777-88..345. Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e dez. P. assinatura a) A importância de R$ 29.. Comercial ou Por Fora. e o montante do desconto.453... a importância supra de doze mil e quinhentos reais..666... vincenda em 120 dias. é importante ressaltar que o desconto “por fora” é baseado numa convenção mais simples. Pagarei em: Florianópolis-SC. PAGAREI por esta única via de nota promissória a Antonio de Souza und Silva. Por definição: b) Um Banco pratica operações de desconto de títulos cambiais à taxa de 4. ou a sua ordem.333-44.500. não se caracterizando por uma cobrança equivalente de juros..50 R$).. O montante a ser recebido pelo interessado na operação de desconto...122. obtém-se o valor de face: F iC t = F – P ∴ F= P = F (1 – iC t ) ∴ P (1 − ic t ) 2. para os dois tipos de desconto. ... (R: 1486..00.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Dr = F − F (1 + it ) ∴ Dr = Fit 1 + it ENGENHARIA ECONÔMICA Tendo sido pactuada um taxa de desconto de 42% ao ano.. II .03.Desconto Bancário..3.. (R: R$ 34.2.00 Nº 07/09* Vencimento: 25 de abril de 2. o montante do desconto é obtido ao se minorar do valor de face.2 – Exercícios. A priori.. Engª Economica~Aulas~2012. F...09/ R$ 33. Dc = F – P Ao se igualar as duas expressões acima.. Logo: • O deságio relativo à operação de desconto de uma duplicata cujo valor de face é de R$ 12.... solicitam-se.00 foi recebida após a operação de desconto de uma nota promissória. o valor a ser recebido.5% ao mês. Por definição. Então: Dr = Dc (1 + it ) 2. F ÷ (1 + ir t) = F (1 – IC t) ∴ (1 – IC t) (1 + ir t) = 1 ∴ 20-201 . Data de Negocia Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as expressões dos descontos: Fit Dr = 1 + it E sendo. isto é ir = iC .2 . Neste item é analisada a correlação existente entre o montante do desconto por dentro e o montante do desconto por fora. considerando terem sido praticados sistemas de desconto distintos.4. é inferior àquela praticada no desconto por fora. podem ser igualadas as expressões acima. Um dos questionamentos efetuados no mercado financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no desconto comercial e no racional. dado o mesmo valor de face.Relações entre Descontos e Taxas DC ≡ DR 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA resultar num mesmo valor a ser recebido. diz-se que duas taxas de desconto são equivalentes entre si quando.2. Engª Economica~Aulas~2012. a) Considerando o desconto racional tem-se: P = F – Dr ∴ P = F ÷ (1 + ir t) b) Considerando o desconto comercial tem-se: P = F – DC ∴ P = F (1 – IC t) Como o valor a ser recebido. 2.2.Relações entre Descontos. P. por definição é igual para ambos os casos.2.4.2 – Equivalência entre descontos A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se igualar os dois valores a serem recebidos depois de realizadas as respectivas operações de desconto.4 . ou racional.03.Taxas Equivalentes.docx Data de Vencimen Fig. a taxa real praticada no processo de desconto por dentro. P. P Sendo iguais as taxas nominais pactuadas. por convenção: Dc = F i t. ou bancário.2. considerando que as taxas pactuadas nos dois casos sejam idênticas.1 . ? S = P (1 + i n) S = 11.649. Qual o montante a ser recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2.60 × 0.5% a.m. pactuado a juros simples a taxa de 2. a prazo.649.100. DC = S × i × n DC = 14. e o montante a ser desembolsado.03 VR = R$12.a. Ou. Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada prestação. a) Você aplicou a importância de R$ 11. Então: IComercial 365 = = 1.docx a) Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a vista por R$ 23.00. estabelece que o mesmo tenha 360 dias.200.549.549.00 (1 + 0.022 × 14) S = R$ 14. durante um intervalo de tempo t tem-se. • • • Entrada = R$ 3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ( 1 .5 – Tempo Exato e Comercial Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal.00 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4. corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.029 × (14-8) DC = R$ 2.200.03 VR = S – DC VR = 14.930.480. fica demonstrado que a proporcionalidade existente entre o rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido durante ano exato.0139 IExato 360 ∴ IComercial = 1. segundo convenção aceita pelo comercio. respectivamente. Assim.2% a. consecutivas.IC t ) = ENGENHARIA ECONÔMICA 2.200. o rendimento i devido a uma aplicação P.2. é função direta do número de dias em que os mesmos foram definidos. resolveu vender o título. 21-201 . o ano comercial.60 – R$ 2.m.00 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3.m.57 Deste modo.0139 IExato Engª Economica~Aulas~2012.649.60 Essa variação é devido à diferença do número de dias estabelecida para cada tipo de exercício.00 na aquisição de um título. sendo 15% de entrada e o saldo dividido em quatro parcelas mensais. O tempo exato segue o ano calendário com 365 dias. Transcorridos oito meses desta operação.6 – Exercícios Resolvidos 1 (1 + ir t) 2. o rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial será ligeiramente superior àquele apurado em tempo real ou exato.2.03. para o tempo comercial e o tempo exato: IComercial = P × t × i 360 e IExato = P × t × i 365 Efetuando a relação entre as duas expressões. pelo prazo de 14 meses.9% a. 930.  A taxa efetiva de juros no período referente à operação do desconto.Desconto Comercial. monta a R$ 8.Calculo do valor da 2ª prestação: VF2 = R2 + (R2 × i × n) VF2 = R$ 4.500.00 + (R$ 4. VF.00 = 7.Calculo do valor do montante: VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4 ∴ VFM = R$ c) Uma duplicata cujo valor de face.264 ÷ 12 ) × 7 DC = R$ 1.00 3º item .930.362.500.930.00 + (R$ 4.00 – 1.00 + (R$ 517.930.Calculo do valor da 3ª prestação: VF3 = R3 + (R3 × i × n) VF3 = R$ 4.Calculo do valor da 1ª prestação: VF1 =R1 + (R1 × i × n) VF1 = R$ 4. VR = VF – DC VR = 8.65) ∴ VF3 = R$ 4º .00 × 0.182 = 1 + 7i 0.182 = 7i i = 0.00 + (R$ 4. DC = VF × i × n DC = 8.309. Caso seja descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for de 26.930.20) ∴ VF4=R$ 5º .00 = PC (1 + 0.2% a. solicita-se determinar:  O desconto comercial.500.00 + (R$ 690.03.00 (1 + i × 7) 1.191.00 foi emitida há 5 meses passados e tem data de vencimento estipulada para daqui a 7 meses. DC  O valor a ser recebido.930.4% a. se na data desta operação o juro comercial vigente era de 33.a.00 × 0.930.27 4º item – Taxa real ou efetiva Adotando a matemática dos juros simples e considerando que os juros são calculados sobre o valor efetivamente recebido: VF = VR (1 + i × n) 8.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 1º .m e/ou 31.00 × ( 0.930.a. Engª Economica~Aulas~2012.6% a.Calculo do valor o da 4ª prestação: VF4 = R4 + (R4 × i × n) VF4 = R$ 4.035 × 4) VF4 = R$ 4.00 VR = R$ 7.035 × 1) VF1 = R$ 4. VR.a.00 2º item – Valor Recebido.docx 1º item .930.336 × 1) PC = R$ 6.930.00 + (R$ 4.500.191.00 × 0.035 × 2) VF2 = R$ 4.00 + (R$ 345.500.55) ∴ VF1 = R$ 2º . VF = PC (1 + i × n) 8.00 + (R$ 172.930.00 × 0.309.  Por quanto a duplicata foi negociada. 22-201 .Preço de compra = PC.035 × 3) VF3 = R$ 4.10) ∴ VF2 = R$ 3º .026 → i = 2.930.6% a. Desenhar SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa.). Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ 41.164.35% ao mês.m. compatibilizando as fórmulas com os fluxos de caixa! Atendendo à recomendação.00% ao mês. h) A financeira WACS pratica o desconto racional à taxa de 4. Visualizar a ENGENHARIA ECONÔMICA solução dos problemas. Admitindo que a taxa de desconto comercial praticada seja de 72% ao ano.67% a. quanto o banco pagará pelo título? Qual será a taxa total de juros correspondente. 3º. o montante a ser recebido após 4 meses quando um empréstimo de D$1.03. ao efetuar a operação. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 32 mil vincenda em noventa dias. 2º. efetiva.764. b) Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão de dólares a juros de 33% ao ano. propõe que o pagará no prazo de 90 dias após o vencimento previsto.000.a. com prazo de vencimento estabelecido para seis meses. que montou a R$ 10. (R: 4. Como sabe que não poderá quitar a importância na data aprazada. sabendo que o banco ainda cobra uma taxa de abertura de crédito de 1. Qual é o valor de face da duplicata descontada? (R: 48.00. no Banco da Esquina. a) Calcular. (R: 1600. f) Você deve a um banco a importância de R$ 1. o valor do desconto seria reduzido em R$ 1.900. Se a operação fosse de desconto racional. pactuado a juros simples.61 106 U$D).7 – Exercícios propostos.0% sobre o valor do título? (R: 23.00.400.00.65/ 6.000. adotando a matemática dos juros simples.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA d) A que taxa de remuneração um capital aplicado sob juros simples triplicará no prazo de três anos? (R: 66.00.92 R$) Engª Economica~Aulas~2012. à taxa de 84% ao ano.00).603. Recomendação! Em estudos financeiros recomenda-se: 1º. Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em dezessete meses? (2. garantida por uma nota promissória.00 é tomado a 15% ao mês. c) Qual o capital que a juros simples de 14. O desconto praticado foi o comercial. Escrever as fórmulas disponíveis.2.00 R$).00. incidente sobre esta operação.46% ao semestre). qual será o valor de um novo título a ser assinado? (R$ 2. pactuado a uma taxa de 23-201 . g) O Bank of Squire pratica o desconto por fora à taxa de 3. cobra uma taxa de administração no valor de R$ 155.docx e) Uma empresa descontou uma duplicata.56% a.317.5% ao ano gerará em sete meses um montante de trezentos mil reais? (R: 276. a vencer em 30 dias. este procedimento facilita a adequada solução dos problemas de engenharia econômica! 2.00 R$). Informe qual será a taxa de juros mensal.) i) Determinar o valor de um título a ser resgatado no prazo de 120 dias antes de seu vencimento. vencível em 60 dias. ou seja.00 / 12. Estudos de análise de viabilidade de investimentos são lastreados na matemática dos juros compostos. . dispõe da importância de R$ 20 mil e o Tesouro Nacional esta remunerando as aplicações em 14% ao ano.00R$ ) m) Você necessita hoje da importância de R$ 50 mil e foi ao seu banco efetuar um empréstimo. Qual será o valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2.o Banco A – pratica o desconto racional à taxa de 8.86% a. fato que contribui para aumentar os lucros esperados futuros. Sendo uma operação de desconto lastreada numa nota promissória cujo valor de face monta a R$ 30 mil. j) O Bank of Squire desconta. obviamente contagem ou cobrança de juros sobre juros.o Banco B – procede ao desconto comercial à taxa de 7.00? o) Sua empresa previu a necessidade de aquisição de um equipamento no valor de R4 50 mil e o deseja adquirir com recursos próprios.3. O empréstimo é lastreado numa nota promissória vencível em 120 dias.45% ao mês. também denominado de regime de capitalização ou anatocismo (1). Além disto. lastreada em nota promissória. ambos embutidos no valor financiado. pergunta-se qual será a taxa efetivamente paga por esta operação.m.08. qual a taxa de juros efetiva incidente sobre esta operação? (R: 5.) Engª Economica~Aulas~2012. Montando o valor do desconto em R$ 840. os juros na operação de um “papagaio”. Decida em qual banco deverá ser efetuada uma operação de desconto sabendo que: . pois parte-se do princípio que investidores e empresas reaplicam os lucros e os saldos de fluxos de caixa gerados a cada período.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 12. ainda que expressamente convencionada”.m. O regime de juros composto.55% sobre o valor de face do título e uma taxa de administração de R$77. (R: 8.docx ENGENHARIA ECONÔMICA n) Você resolveu quitar uma dívida.923. sessenta dias antes do vencimento. prêmio composto ou capitalizado.74% a.Definição.0% ao ano.03.90% ao mês.3 – Juros Compostos. Sabe-se que a diferença entre o valor do desconto comercial e o desconto racional é de R$ 76.00. antecipadamente e por fora. 2. (1) O ANATOCISMO vem do vocábulo latino "ANATOCISMUS" de origem GREGA que significa usura.5% ao mês. é caracterizado pela incorporação ao capital dos juros gerados num período. neste momento.00. capitalizados.000. (R: R$ 50 milhões). vincenda em noventa dias e pactuada à taxa de 7% ao mês. Considerando que. O banco calcula o valor de face deste título adotando o desconto comercial à taxa de 4.700. l) Você efetuou uma operação de desconto para um título vencível em 60 dias à taxa de 42% ao ano. Alerta-se que a Súmula 121 do STF reza: “É vedada a capitalização mensal dos juros. Pergunta-se.50% ao mês e o valor de face da nota monta a R$ 17.840. Pergunta-se qual o valor de face do título nos casos de ser adotado o desconto racional ou o comercial? (R: 12. 24-201 .) k) Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 200 mil. passando a gerar juros no período seguinte.1 . cobra uma taxa de abertura de crédito de 0. pergunta-se: em quanto tempo poderá dispor do montante previsto? 2. ... Sn = Montante a ser recebido após “n” períodos de capitalização....ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Pelo acima exposto...... A partir desse primeiro período. será adotada a seguinte nomenclatura: • • • • • n.Fórmulas Básicas: A principal indagação. matematicamente se tem: S1 = P + (P × i) = P (1 + i) S2 = S1 + (S1 × i) = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² S3 = S2 + (S2 × i) = S2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ S4 = S3 + (S3 × i) = S3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 .....03.. J = Montante dos juros a serem pagos.... Sn = Sn-1 + ( Sn-1 × i ) = Sn-1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1 ( 1 + i ) Generalizando a expressão acima para n períodos: Sn = P (1 + i)n O total dos juros gerados....... nesse sistema de capitalização.2 .. é obtido aritmeticamente............... Visando calcular o montante a ser percebido... O montante após o primeiro período é calculado de forma idêntica ao dos juros simples. torna-se inconsistente a adoção da matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e. é quanto ao montante a ser recebido pela aplicação de um capital..... Então: J = Sn – P Engª Economica~Aulas~2012.. também denominado de Principal. i = Taxa de juros pactuados.... P = Capital inicialmente aplicado ou principal.. após certo número de períodos de tempo e conhecidos os juros pactuados.. por sua vez.. os juros passam a incidir dobre o novo montante.. depois de efetuada a diferença entre o montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado.. 2... representando o número de períodos de capitalização pactuados. além disto..docx 25-201 . vem de encontro ao estabelecido na primeira premissa que estabelece a maximização do lucro dos proprietários.. Então......3........ comumente denominado de capitalizados.................. . títulos de capitalização.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Resumindo: Fórmula do Montante: Sn = P ( 1 + i )n J = Sn – P Fórmula dos Juros: ou... aplicada durante um período n.4 – Equivalência .. i%. denominado de VALOR PRESENTE.VF... sendo o entendimento ser esta a matemática mais adequada para analisar investimentos. após certo número de períodos e aplicado a taxa de juros i%. De modo análogo. é equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de juros pactuada. Como comentado. após “n” períodos de rendimento. Deste modo.2. P.docx 2. i%.. etc. Financeiramente. investimentos em ações. P=VPn¬i%.Valor Futuro . quando pactuado à taxa de desconto. ela se ampara no princípio da equivalência de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos estudos financeiros. 26-201 . (ver Fig. A expressão do montante dos juros compostos capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicação de um capital.. VP n¬i%.Valor Futuro Engª Economica~Aulas~2012.3 – Valor Presente e Valor Futuro.3.. gerará uma soma financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%.4 – Equivalência: Valor Futuro). Assim sendo.03.2. denomina-se VPn¬i% de VALOR do montante de VFn¬i%. Para tanto...3. considerando o conceito de equivalência de capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%.. PRESENTE VP=P Taxa 0 .3. dado nesta data um principal expresso pelo seu valor presente. n J= P(1+i) -P A assertiva acima ocorre dado o entendimento que investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis.... o valor futuro – VF correspondente a uma determinada importância P.. quais sejam. Fig.1. 2. S = VF Período s Por definição. o valor presente – VP e o valor futuro – VF equivalente a um dado montante e vice versa. a matemática dos juros compostos é adotada nos estudos financeiros. VFn¬i% é denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado.. então. a exemplo da determinação do valor de ativos produtivos.. quando descontado à taxa de juros i%.docx 27-201 .. VF.4 . cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas: VP = VF × 1 = VF × ( v ni ) = VF × v n ¬ i n (1 + i) 2.. o VALOR PRESENTE – VP. nesta data.Exemplos. gerou o montante de R$ 4.03.. A expressão (1+i)n é denominada de Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal. então: 1 (1 + i) n n VF ≡ VP (1 + i) Taxa Essa operação.. VF. correspondente a uma determinada importância futura... Partindo da fórmula do montante dos juros compostos. conhecido seu montante numa data futura é dada por: .5 – Equivalência .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VP ≡ VF n Sendo: Sn = P (1 + i) . comercialmente denominada de capitalização.. ou seja.2 ..3. a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis meses a juros de 7% ao mês. equivalente a um dado montante futuro.. Sabendo-se que VF ≡ VP (1 + i)n.. n.. a expressão da equivalência financeira de uma importância no presente.. Fig. S ≡ VF P≡VP Essa operação também é denominada de desconto de um capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer o valor atual relativo a um capital no futuro..2.3.502.Valor Presente – VP. obtém-se o VALOR PRESENTE.. de atualização monetária de capital. VP.19? Engª Economica~Aulas~2012. A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital. durante certo período.. é utilizada em operações financeiras de título de capitalização.Valor Presente VF = VP (1 + i) = VP s n¬i% = VP s in 2. cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas: período s 0 n Em operação inversa.. é equivalente a esta importância quando descontada durante certo período de tempo n a taxa de juros pactuada..3. i%.. .54 3.502.00 3.70 Montante – R$ --3. S = 3. Período 0 1 2 Principal – R$ 3....ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA P = S× ENGENHARIA ECONÔMICA 3 4 5 6 1 = S v in n (1 + i) Utilizando tabela financeira: s 67 = 0.3.210.....70 iT iF 0 1 .000....434.Taxas de Juros 28-201 .000.000.00 - Engª Economica~Aulas~2012.19 R$ P ST = SF S1 Ou então: S = P (1+i)n = 3.2. tem-se o caso de taxa de juros pactuada em base anual e se deseja saber o valor da equivalência desta taxa em base mensal.26 275. a situação do saldo devedor no final de cada período..03.19 x 0.....000. um dos questionamentos frequentes sobre juros compostos é quanto a proporcionalidade existente entre a taxa de juros correspondente a um período maior com àquela referente a frações inteiras deste mesmo período. da Tabela Financeira. seja um capital no valor de R$ 3.000..00 3.19 R$ O quadro a seguir mostra a evolução do montante...... não há relação direta entre essas duas taxas de juros.13 3... ou seja.07)6=4.39 4.....000×(1.00R$ n (1 + i) (1.19 × = 3.00 224. Identicamente ao sistema de juros simples. Fig...207.6663 = 3. Como exemplo de fato que comumente ocorre em contratos de financiamento ou empréstimos.docx Juros – 7% --210.675.5007 = 4.. sendo s 67 = 1.00 R$ b) No caso inverso..5007 - 2.000 x 1. No caso de juros compostos....00.6 – Equivalência . qual será o montante a ser recebido após seis meses quando aplicado a taxa de juros de 7% ao mês? S = Psnj ∴ S = Ps76 ⇒ 240..5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos.07)6 E.43 257..502.65 4.6663 P= s 67 = 4...26 294.19 ⇒ da Tabela Financeira Ou utilizando diretamente o fator de valor presente: 1 1 P = S× = 4502.502.502..932. Adotando como nomenclatura: nT para o período total do financiamento ou empréstimo e nF uma fração inteira deste mesmo período. pois os dois montantes referem-se à mesma operação financeira. Exemplificando: Seja calcular a taxa de juros trimestral.03. fração de nT e remunerado à taxa iF é : F SF = P (1+ iF ) Como ST = SF. Então: iF = F 1 + iT − 1 Esta operação de calcular a taxa menor correlacionada a uma taxa maior é denominada de “pro rata tempore”. duas taxas de juros são ditas equivalentes quando.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Por definição. a ser pago pela utilização de um capital P contratado por um período nT e remunerado à taxa iT é: ST = P (1+ iT ) Por sua vez. respectivamente. ( 1 + iT ) = ( 1 + iF)F Da expressão acima surgem duas situações: Engª Economica~Aulas~2012.7371% ao trimestre. produzem iguais montantes de juros depois de aplicadas a um mesmo volume de capital. Demonstra-se a proporcionalidade entre estas duas taxas ao serem igualados os montantes devidos pelo tomador na data pactuada para a quitação do contrato. Expressão comumente adotada em contratos de financiamento ou aplicação de capital. Então: iT = ( 1 + iF)F – 1 b) Conhecida a taxa de juros relativa a um período maior. Matematicamente: iTRI = 4 1 + i ANO − 1 = 0. e sendo iF uma fração de iT . calculada utilizando a equação de equivalência de juros compostos. deseja-se conhecer a taxa de juros correlata a uma fração inteira do mesmo. sujeitas a diferentes períodos de capitalização. ST. obtém-se a equação de equivalência de juros compostos fazendo: P (1 + iT ) = P ( 1 + iF )F ∴ ENGENHARIA ECONÔMICA a) Conhecida a taxa de juros relativa ao período fracionário. calculada “pro rata tempore”. conforme a definição de taxas equivalentes. E como iT e iF . incidente sobre uma aplicação financeira quando pactuada uma taxa de juros de 25% ao ano. Ou seja: ST = SF O montante. a ser pago pela utilização do mesmo capital P contratado por um número de períodos nF . o montante SF. a taxa a ser considerada no pagamento dos juros é de 5. deseja-se conhecer a taxa de juros correlata ao período total.057371 Como um ano dispõe de quatro trimestres. as taxas de juros conexas aos períodos considerados.docx 29-201 . 3º. O Tesouro Nacional lhe enviará uma senha que o habilitará a efetuar a aplicação desejada.tesourodireto.docx 1º. claramente. costumam reinvestir quantias geradas. através do site: www. etc. 2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2. É comum não ser a taxa de referência expressa em contrato a taxa de capitalização efetivamente empregada no cálculo dos juros. Realize sua aplicação.br 5º. O Tesouro Nacional lhe enviará um email informando da aplicação realizada. o Tesouro Nacional creditará. diretamente. o Tesouro Nacional efetuará o débito em sua conta corrente da importância aplicada. 4º. Solicite ao gerente do banco cadastrar sua conta junto ao Tesouro Nacional.gov. 5º Distinguir quando os juros são descontados e quando são postecipados.. 3º Efetuar. investidores. Simultaneamente ao procedimento anterior. a matemática utilizada é a dos juros compostos. Abra uma conta corrente em qualquer banco.6 . fazse necessária a verificação de qual a efetiva taxa de juros praticada e que correspondente ao período básico de capitalização.3. 4º Quando se trata da capitalização de aplicações. 2º. 30-201 . 7º. não se justifica a utilização de juros simples em estudos econômicos. Nos estudos de viabilidade há que se observar alguns cuidados necessários a evitar a incidência em algum erro conceitual. diretamente em sua conta corrente. sempre. um diagrama de fluxo de caixa visando visualizar. fato que inviabiliza a confiabilidade nos resultados encontrados: APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL Procedimentos: 1º Considerando que empresas. 6º.03. os procedimentos a serem observados. Na data aprazada. Engª Economica~Aulas~2012.Cuidados a observar. o valor aplicado acrescido dos encargos pactuados. 69 3 (1 + 0.7.000 90.Definindo a taxa mensal de juros.20% a.3.7. 2. vencíveis em 90 e 120 dias.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2. pergunta-se qual deverá ser taxa de juros mensais. (R: 1.docx e) Em quantos meses se pode levar uma aplicação no valor de R$ 45 mil ao montante de R$ 100 mil. f) Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão de reais a juros de 33% ao ano. (R: 5.152.2 .03. m.Exercícios Propostos a) Um terreno foi vendido e faltam pagar duas parcelas de R$ 90 mil.Exercícios. pactuado a juros compostos.08)4 VP = 137. iguais e consecutivas.3.7 .Valor Presente das prestações – HOJE.3. am 0 8 + . 2º . quando capitalizados à taxa de 1.1262 / 1.000 + = 71.7337% ao ano. VP = P1 P2 + 3 (1 + i) (1 + i) 4 VP = 90. 1º . a ser utilizada no cálculo das prestações.1 – Exercícios Resolvidos. Realizou um empréstimo para aplicação em capital de giro junto ao banco TDS a ser quitado em noventa dias. Estas parcelas foram corrigidas à taxa de 152.4978 × 106 R$ ) g) A empresa Alfa de Engenharia Ltda.90 + 66.) d) Em quantos meses será possível triplicar uma aplicação financeira quando pactuada à taxa de juros de 2.597. qual o seu rentabilidade anual? (36.05% aa).55% ao mês? ( R: ≈ 52 meses). c) Um contrato foi pactuado à taxa de 83.08) (1 + 0.37% capitalizados mensalmente? (R: ≈ 47 meses).444.59 R$ Engª Economica~Aulas~2012.66% am). qual a taxa média mensal? (3. Considerando que ele será quitado em prestações mensais. Perguntase qual o valor de quitação das prestações na data de hoje? a) Sendo o rendimento de uma caderneta de poupança 8% ao trimestre. efetiva. 1 − = 52 1 1 + 1 12 i ANO 1 i mês = − = . Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em dezessete meses? Compare os dados obtidos com exercício similar efetuado a juros simples. b) Considerando ser a taxa de inflação anual de 54%. 31-201 . 2. % .00 % ao ano. 4.A taxa nominal é aquela empregada no calculo das prestações e pagamentos. II .500. porém cobrados antecipadamente.2. Ela é expressa em termos de moeda de valor corrente e. A inflação é um fato de capital importância a ser considerado nos estudos financeiros. e qual a taxa efetiva da mesma. 2.1 – Efeito da Inflação. Uma expedita diferenciação entre estas duas taxas é efetuada no seguinte exemplo: Seja verificar qual a taxa real e a taxa nominal de juros ocorrida.4. equivale à taxa real acrescida da taxa de inflação ocorrida durante o período do empréstimo.A taxa real é definida como sendo a efetiva remuneração desejada por um investidor e é definida em termos de moeda de poder aquisitivo constante.000.Relação entre as taxas nominal e real. Isto porque. iN = f (iR .docx 32-201 . Assim sendo. a relação entre a taxa nominal de juros.00. especialmente quanto a definição da taxa de juros adotada no pagamento de prestações ou na quitação de empréstimos.4 . neste período a ocorrência de uma taxa de inflação de 40%? Engª Economica~Aulas~2012.00 e que após um determinado período tenha gerado o montante de R$ 1. pela seguinte expressão: (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) Definindo então estas três taxas que estabelecem o valor das prestações ou a remuneração de um capital aplicado: I . ENGENHARIA ECONÔMICA Como será demonstrado no item 2. a taxa real e a inflação é dada. Nesta taxa não esta considerada a incidência de inflação no período do empréstimo.03. a taxa nominal será determinada fazendo incidir sobre a taxa real de juros pactuada a variação percentual da inflação ocorrida no período. Neste contexto solicita-se: o montante dos juros a serem pagos.5% ao mês (juros compostos).A inflação corresponde à perda do valor aquisitivo da moeda no tempo. Em quanto tempo os lucros gerados serão equivalentes ao capital aplicado pelos acionistas? (R: t = 2 anos e 8 meses). também denominada de taxa efetiva. ∆Φ ) Constatou-se. 2. h) O banco TDS apresenta uma lucratividade de 30% ao ano. considerando o financiamento relativo à uma importância P=R$ 1. a taxa de inflação determinará o valor da taxa nominal de juros a ser utilizada no calculo do montante final. matematicamente. sendo expressa em porcentagem. III . matematicamente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA A importância da operação montou a R$ 750 mil pactuados a taxa de 1. A inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo. 071.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Ocorrendo Inflação Φ = 40% Por definição. Conceitualmente. é medida pela razão entre o acréscimo de dinheiro e o valor aplicado. a taxa real é equivalente à taxa nominal. I . ela mede o incremento da moeda em termos de valor corrente e expresso em percentual. é muito superior à taxa real.071.00 % Ao entender a correlação existente entre a taxa real e a taxa nominal de juros pode o tomador de recurso financeiro. 000 1 . Fig. 000 1 .Cálculo da Taxa Real: Engª Economica~Aulas~2012. então. descontado o efeito da inflação.7 – Efeito da inflação A taxa real de juros. iN = 50. II . Matematicamente: M−P iN = P iN = 1500 . a taxa nominal. M1 ≡ M0.00 M1 = (1 + Φ) M0 ∴ M0 = M1 ÷ (1 + Φ) ∴ 0 M0 = 1 Assim sendo. a taxa nominal foi calculada em 50% e a taxa real em 7. 000 1 . 2. M ∴ iN = − 1 P 1 . porém em moeda de poder aquisitivo constante.500 quando este valor é deflacionando à uma taxa de 40%. 000 iR = 33-201 .03.docx − 1 ∴ iR= 7.500 P=$ 1.10%. = 1. iN. 500 = −1 1 . 000 Analisando os resultados obtidos. 000 1 .4 ∴ 1 . A taxa nominal será de 50% no período. 500 − 1 . em face da inflação ocorrida no período 0→1.Calculo da Taxa Nominal: A taxa nominal é definida ao se efetuar a razão entre os juros pagos e o montante do principal sobre o qual renderam esses juros. 07143 = 1 . isto é.1430% Pelo exposto é possível verificar que. Considerando ter a taxa de inflação comportamento equivalente a uma taxa de juros. 071 .000. ou seja.43 é equivalente à R$1. iR. evitar o comprometimento de sua capacidade de pagamento se o valor de sua renda evoluir na mesma proporção da inflação.43 R$ 1. tem-se: M1 = R$ 1. 43 − 1 . R$ 1. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2. P = Principal ou capital tomado emprestado. 1 + iN = M1 P M1 M0 Como exemplo de aplicação. (1 + iN) = (1 + iR)×(1 + Φ) ∴ iN = iR + Φ + iR × Φ Engª Economica~Aulas~2012. considerando ser um período único e a incidência de uma taxa nominal neste período que: (1 + Φ) M0 = P (1 + iN) ∴ Da expressão acima se conclui que a taxa nominal de juros corresponde ao somatório da taxa real. Φ = taxa de inflação no período.02) (1 + 0.53% 2. através das seguintes expressões: 1 + iR = M0 P e 1+ Φ = M1 = (1 + Φ) M0 Pode-se afirmar também. pode-se afirmar que: M0 = P (1 + iR) e que M1 = P (1 + iN) Substituindo na expressão acima a variável M1 em função da sua expressão por M0: (1 + Φ) P (1 + iR) = P (1 + iN) Simplificando a variável P em ambos os lados da igualdade chega-se a expressão que relaciona a taxa nominal de juros com a taxa real e a da inflação. seja calcular a taxa de juros a corrigir o valor de um título vencido há trinta dias. definida em 1. Inflação é definida como a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo. M0 =montante a ser pago sem considerar a incidência da inflação.docx Finalizando. a taxa real e a taxa nominal de juros. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) (1 + iN) = (1 + 0. iR = taxa real de juros.5% neste último mês.4.03. Partindo do item anterior (Ver Fig. pode-se determinar a inflação num dado período. tendo sido pactuado que renderia juros de 2% ao mês acrescido da correção monetária no período.3 – Inflação e Índices. A seguir é demonstrada a relação entre a taxa nominal e a taxa real de juros.2 – Relação entre taxas.4.015) ∴ iN = 3. dada à inflação ocorrida em certo período. da inflação no período e do produto da taxa da inflação pela taxa real. A inflação é expressa em porcentagem e definida depois de conhecidos os índices inflacionários atribuídos a cada período. Adotando como nomenclatura: iN = taxa nominal de juros. M1 = montante a ser pago havendo a incidência da inflação. 34-201 . a partir de um montante conhecido e do valor investido ou principal.3 – Efeito da inflação). definida esta como data base. Engª Economica~Aulas~2012. →Φ→ I0 0 Data base In n Data n Fig. In representar o índice de inflação medido em uma data futura qualquer “n”. todos esses índices definidos para determinado período ou mês. como os já citados. a taxa percentual de inflação ocorrida num período pode ser facilmente estabelecida através da utilização de índices inflacionários.03. representando por Φ a taxa de inflação ocorrida no período compreendido entre a data base e a data n. similarmente. medido em R$/cesta de custo incorrido. a inflação havida no preço de um bem ou serviço medido num período de tempo equivale à razão entre o incremento da evolução dos preços no período e o preço verificado no período inicial. ou seja. partindo do conhecimento de índices inflacionários. o INPC. à data base e In o índice de inflação estabelecido para o final deste mesmo período. de um serviço por unidade de medida. que mede o custo unitário básico para a construção civil. ou a evolução do custo do aço. 35-201 . Exprimindo a definição acima em termos matemáticos ∆P ou. Além disso. medida por R$/kg. I0 Definindo como I0 o índice de inflação atribuído ao início de um período. E. ao substituir o valor do incremento na expressão acima pelos índices que lhe deram origem tem-se: Φ= In − Io In = −1 Io Io Modelo este que mede a taxa de inflação acumulada e ocorrida entre os períodos de tempo zero e n. medido em R$/metro quadrado.2. e expressa em termos percentuais. que expressam a evolução da perda do valor aquisitivo da moeda. Φ = P inflacionários: Φ = ∆I0→n . Como exemplo destes índices tem-se: o CUB. considerando índices tem-se que. que mede o custo para sustentar uma família. medida a partir de uma determinada data.7 – Inflação e índices A seguir será discutida a metodologia do calculo da inflação passada.docx Por definição.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Os índices inflacionários representam a evolução do custo de uma mercadoria. Adotando como nomenclatura: Io para representar o índice da inflação no período definido como data base e. Dinheiro em moeda constante → i real. A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação. O IBGE produz índices que medem a inflação ocorrida em diversos segmentos sociais do Brasil bem como os preços por atacado. Neste caso. sendo os índices adotados oficialmente pelo governo e pelos tribunais. dispondo de distinta metodologia em sua determinação.debit. ou de qualquer outro segmento industrial. medir de modo mais específico. A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. Engª Economica~Aulas~2012. Dinheiro em moeda inflacionada → i nominal. tais como o INPC – Índice Nacional de Preços ao Consumidor. serviços de transporte. mensalmente publicam uma coleção desses índices. o mais festejado é o CUB – Custo Unitário Básico da Construção. a exemplo do INPC e do IPCA. Cada um deles visando atender a um fim específico e. 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Memorize! Ou. Finalizando.4. o organismo responsável por acompanhar e divulgar índices oficiais de inflação é o IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.docx No Brasil. parte-se do 36-201 . Ou sites da internet a exemplo de http://www. o IPCA – Índice Nacional de Preços ao Consumidor Ampliado. no tempo. a exemplo de custo materiais elétricos. lojas e andares abertos.03. deste assunto tais como a revista Conjuntura Econômica uma publicação da Fundação Getúlio Vargas – FGV e a revista SUMA Econômica. sob pena de cometer erro conceitual grave: A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação. parte-se do princípio da ocorrência de perda de valor aquisitivo da moeda. cujo objeto é medir a inflação ocorrida tanto em edificações residenciais. portanto.com. do alumínio e do aço. do custo da construção civil. o IGP – Índice Geral de Preços. parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante. Existem publicações que tratam. No âmbito da construção civil.br. Neste caso. faz-se um alerta quanto a cuidados a serem observados ao serem utilizadas a taxa nominal e a taxa real de juros. como em galpões. elaborado e publicado mensalmente pelo Sinduscon – Sindicato da Indústria da Construção Civil de cada região. o CUB.4 – Tipos de Índices Diversos são os tipos de índices inflacionários utilizados no País. especificamente. todos destinados a medir a inflação incidente sobre o consumo das famílias brasileiras ou do comércio em atacado. Neste caso. Esses índices podem ser destinados a medir a inflação de um modo geral. ϕo2 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-2..ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante.......... Então... Geralmente.. Neste item serão discutidos os modelos matemáticos necessários para calcular a inflação acumulada utilizando as taxas periódicas havidas e os índices de inflação....... ocorre uma taxa de inflação distinta dos outros. para definir a inflação para diversos períodos tem-se: P1 = Po + Po ϕo1 = Po (1+ ϕo1 ) P2 = Po ( 1 + ϕo1 ) ( 1 + ϕ12 ) = Po ( 1+ ϕo2 ) P3 = Po ( 1 + ϕo1 ) ( 1 + ϕ12 ) ( 1 + ϕ23 ) = Po ( 1+ ϕo3 ) .. A definição da taxa de inflação ocorrida entre dois períodos consecutivos pode ser considerada identicamente como o caso de calculo de juros simples incorridos entre dois períodos consecutivos.... P2 = preço no tempo 2.... Neste caso.... Φ = inflação medida entre dois períodos quaisquer.... a cada período de tempo... A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. E...... no tempo....... a taxa de inflação acumulada deve ser calculada da forma idêntica à taxa de juros compostos.. Inflação acumulada é aquela havida em determinado espaço de tempo..... P1 = preço no tempo 1.. Como já comentado....5. Pn = preço no tempo n... a inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo..... ϕo1 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-1.        Po = preço no tempo 0..5 – Inflação Acumulada.... parte-se do princípio da perda de valor aquisitivo da moeda....1 – Fórmulas Básicas.03..docx 37-201 ..... 2... assim sendo...... Adotando como nomenclatura: 2.. Pn = Po (1 + ϕo-1) (1 + ϕ1-2) (1 + ϕ2-3) … (1+ ϕ (n-1)-n) Engª Economica~Aulas~2012... seja calcular a inflação acumulada da construção civil. P0. pois mensalmente determinados e publicados. e uma data qualquer n. Então: ENGENHARIA ECONÔMICA Por exemplo. havida entre os meses de junho de 2005 e março de 2006.. Φ. em função da taxa de inflação medida em cada período intermediário k.e a correção monetária do período. denominado zero.2 – Atualização de valores monetários.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA A expressão acima que permite atualizar monetariamente Pn. Pn.2.. Basicamente. é possível calcular a taxa de inflação.68 Φ = n −1= − 1 ∴ Φ = 3 . e um período qualquer n..03. denominado de período final. In. é função de dois fatores: a remuneração real e periódica do capital. A taxa nominal de juros. denominada zero. ocorrida entre um período inicial. (1 + Φ0 ) = (1 + φ 0 − 1 )( 1 + φ 1− 2 )( 1 + φ 2 − 3 ) L (1 + φ ( n −1 ) − n ) ) Pn = P0 × (1 + iNT) ∴ n k 0 n=0 (1+ Φ) = ∏ (1+ φn ) Considerando que os índices inflacionários. Fig.docx 38-201 n .5.98 % 0 março Io 860 . (1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 + Φ ) P0 P iR iNT Como já visto a inflação ocorrida entre dois períodos quaisquer é dada por: n Φ = 0 In −1 Io 0 1 2 . iR . também denominado de data base. pode ser expressa sob a seguinte notação..9 – Atualização de Valores Engª Economica~Aulas~2012. em que Φ representa a taxa de inflação medida entre uma data base. é equivalente ao valor inicial. Assim: n 2. um valor corrigido. como anteriormente visto.. Φ . e um período qualquer denominado de n. multiplicado pela taxa nominal de juros relativa a todo o período da atualização pactuado.43 2005 n n Pn = P o × (1 + Φ ) 0 Ao serem igualadas as duas expressões acima pode-se escrever a taxa de inflação ocorrida entre um período inicial 0.. são conhecidos.. março 2006 I 894 . medida em CUB.. Então. a taxa nominal. a taxa de juros adotada na atualização de valores monetários é a taxa nominal. conforme discutido no item 2. A atualização do valor de Po. A correção monetária. como será analisado abaixo. Pn.2 e sabendo que: Pn = P0 × (1 + Φ ) Pn = P0 × (1+ iNT) E que a expressão do montante dos juros simples pode ser expressa sob a seguinte forma: Substituindo a expressão de Pn na expressão anterior. 0 Pn = P0 × (1 + n × iR ) Engª Economica~Aulas~2012. têm-se o caso geral da taxa nominal de juros a corrigir um pagamento único durante n períodos. é efetuada partindo da expressão {(1+iN) = (1+ iR ) (1 + Φ )} . (1 + iNT).Atualização adotando juros compostos.docx 39-201 . Isto porque. Sabendo-se que: P n = P 0 (1 + i R ) n E. porém abrangendo todos os n períodos. pelas expressões do produto da taxa real de juros para cada período e da correção monetária.Atualização adotando juros simples.4. utilizando à mesma fórmula da correção da inflação.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Operacionalmente. ou seja. calculando a atualização monetária em função da taxa nominal de juros a ser aplicada para o número total de períodos n. ENGENHARIA ECONÔMICA Substituindo a expressão representativa da taxa nominal de juros. é função da taxa real – iR pactuada. chega-se à: n Pn = P 0 (1 + Φ ) × (1 + i R ) n 0 Voltando agora para o caso da relação das taxas de juros. . e da inflação no período. generalizada para n períodos. . considerando a incidência da inflação no período e da taxa de remuneração do capital. define-se a expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros compostos. sendo considerada nos dois casos da mesma maneira. tem-se: Pn = P0 × (1 + iNT) Sabendo-se que a expressão da correção monetária de um valor é dada por: n Adotando procedimento idêntico ao anterior. E esta.03. a remuneração do capital pode ser efetuada adotando a matemática dos juros simples ou a dos juros compostos. ou seja. chega-se à expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros simples. I. atualização monetária do valor é realizada segundo o índice pactuado em contrato. n P n = P 0 (1 + Φ ) × (1 + n × i R ) 0 II. i ANO 123.012 × 1.5% ao mês.81% a. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) Engª Economica~Aulas~2012.500.6 – Exercícios.397. 2.800. 0.1% a cada mês da aplicação.docx 40-201 .200. iNT = b) Um título cujo valor de face monta a R$ 12. I – Juros Simples.011} ∴ iRT = 26.00.t.00. a inflação no período foi.011 0 2.12.03. a) Um dos serviços componentes de um contrato de empreitada foi orçado em R$ 15.6543 = = 30.2229 (1 + iRT ) = ∴ iRT = 18.Aplicação a) Definir a taxa real.601. II – Juros Compostos.00 venceu em 01 março de 2005 e não foi quitado na data aprazada. sabendo-se que deverá ser corrigido pela variação mensal do CUB.2005.590.15) c) Um título no montante de R$ 7. Os juros nominais pactuados foram de 123. E. acrescido dos juros de 1. sabendo que deverá ser corrigido pelo INPC.309136 = (1 + iRT) x {1. O contrato foi firmado em 10/maio/2005 e o serviço em questão concluso em 10/outubro/2005.6543% ao ano.9%.2006 pelo valor de R$ 8. Pede-se calcular o preço a ser pago pelo serviço. foi quitado em 30. vencido em 31. Calcular o montante necessário para quitar o título em 28 de fevereiro de 2006. e 1.9136%a.39 %a. 4 4 3 (1 + iN ) = (1 + iRT ) × ∏ (1 + φ n ) n=1 1.t.236543 − 1 = 22. respectivamente. Considerar a aplicação efetuada sob a matemática dos juros simples e juros compostos. 1. Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. iNT = T 1 + i ANO − 1∴ iNT = 4 1 + 1.t.3 . de: 1. ( R$ 15.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA n (1 + i NT ) = (1 + Φ ) × (1 + i R ) n ENGENHARIA ECONÔMICA 1. de juros relativos a uma aplicação de capital realizada pelo prazo de noventa dias.2%.t.5.36 e R$ 15.86. trimestral.009 × 1.012x1.009x1.04.29 %a. 00. à taxa de 25.VF após onze períodos da data em consideração. E. Após receber a importância devida.00. considerando operações de desconto de títulos pactuadas em noventa dias.50% ao mês. 48%. A taxa nominal de aplicação para o período completo? g) Uma dívida no valor de R$ 28 mil foi paga com atraso de 14 meses. tendo sido pactuada uma taxa de juros bruta. tendo sido pactuada uma taxa real de juros capitalizada a taxa de 0. Pergunta-se: você concorda com o valor cobrado e qual seria a sua proposta. vencido em 30.5%.9356% a.000.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA saber: O valor montante a ser recebido no final do período. Qual o montante a ser recebido no final do período quando os juros pactuados foram o composto? j) Defina qual o valor da taxa de desconto comercial é equivalente à da taxa de desconto racional. calcule a taxa média mensal real de juros adotada para remunerar o capital. Considerando que no primeiro ano da aplicação a inflação medida foi de 34% e.2 % ao mês (compostos). Caso haja divergência calcule a taxa de juros aplicada.00.3% a cada período.2005. Seja adotando o calculo por juros simples ou compostos. já que foi pactuada a correção pelo índice do INPC e os juros em 2. no segundo. foi quitado em 30.01.22% ao mês.350.00. Verifique se a atualização dos valores esta correta. E. dado seus conhecimentos sobre cobrança e a incidência de juros. o aplicador descobriu que no período da aplicação ocorreu uma inflação média mensal de 3. sendo que o total da nota fiscal de origem da dívida somava a R$ 1.5% ao mês.96.) d) Um título no montante de R$5.00 foi aplicado por dois anos. e) A importância de R$ 2.9925/1. O valor cobrado montava a R$ 2. visando quitar a dívida nesta data? i) A importância de R$ 53 mil foi aplicada pelo prazo de setenta e sete dias.639. k) Você sabe que após 4 períodos vai necessitar da importância de R$ 7. calculada “pro rata tempore”. 41-201 . Calcular o Valor Presente .2005 pelo valor de R$ 7.58% ao ano. pré-fixada em 45% ao ano. Calcule a diferença entre os juros pagos quando quitada sob a matemática dos juros simples e a do composto.m. quando se sabe que um banco pratica uma taxa real de 2. Os juros pactuados eram de 10. (R: 1.000.700. Considerando que o valor do título foi atualizado monetariamente pelo INPC.docx h) Você recebeu uma carta de cobrança relativa a uma compra efetuada a vinte e dois meses e não quitada. ao ser adotada uma taxa de desconto de 3% ao período. Responder o mesmo questionamento caso ocorrer uma inflação de 2.500 mil foi capitalizada pelo prazo de quatorze meses.03. deseja-se Engª Economica~Aulas~2012. acrescida da inflação.425. Pergunta-se qual o ganho de capital no período.06.VP e o Valor Futuro . o banco utilizou juros compostos. f) Um capital no montante de D$ 77. 01. por um prazo de três anos.5% ao ano e acrescido de correção monetária. ( Utilize o INPC-IBGE). à vista.2 2006 2. O crescimento nominal e real da economia entre 2.641 1996 843.699.000 Ano Variação anual real Preços Em % Correntes 1995 705. a juros de 7. a uma taxa de juros de 27.01.015 * Estimativa r) Qual o tempo necessário para triplicar um capital quando este for capitalizado à taxa de 1. informe: Engª Economica~Aulas~2012.3 2000 1.2 2009(*) 3.docx  O crescimento nominal e real da economia ocorrido entre 1995 e 2005.000 0..484 4. .4 1998 979.7 2003 1.46).0 2007 2.147 3. Sendo sua a decisão.01. calculada pelo INPC.498 5. utilizando como índice de correção monetária o Índice Nacional de Preços ao Consumidor do IBGE: 42-201 .5% ao ano.135 1. pelo terreno? m) Qual a taxa de juros real pactuada sobre uma aplicação financeira de 24 meses cuja taxa efetiva foi pactuada em 52% a. o) Uma aplicação financeira foi pactuada para um período de nove meses.941.1998.864 5. Considerando serem os juros arbitrados em 83.00.O montante a ser recebido por uma aplicação de R$ 700.143.a.1 2008 3.822 2.008.988.1 2004 1.239 3. Sendo aplicados $ 75.1995.948 1.276 0.00. n) Considerando a questão anterior.03.031. efetiva ou bruta.345 6.477.0 1999 1. qual dos índices você escolheria caso fosse o aplicador do recurso: o INPC ou o IGP-M? q) Considerando a informação abaixo.000 e 2.1995 e 31.369.000.147. p) Solicita-se calcular: .065.661. Explique cada um dos conceitos.00 vencíveis em 180 e 270 dias da data do negócio.7 2005 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA  l) Uma imobiliária vende um terreno em duas prestações de R$ 150. pergunta-se se a taxa de 52% pode ser denominada de taxa nominal. qual será a importância a ser recebida no final do período pactuado? ( R$ 89. s) Elaborar um único gráfico mostrando a taxa de crescimento nominal e a taxa real do lucro de uma empresa.179.33 % ao mês? ( ≈ 83 meses).000.00 % ao ano e capitalizados trimestralmente. Produto Interno Bruto Brasil Em R$1. pergunta-se qual o montante a ser pago.O valor percentual da inflação acumulada entre 01. tendo ocorrido uma inflação de 35% no período da aplicação? ( 71. capitalizados mensalmente.000. contratada em 31.302. conforme abaixo.482 4.2 1997 939.966 2.14% no período).3 2002 1.3 2001 1. Pergunta-se qual a taxa mensal de juros praticada.00 mil.987. Engª Economica~Aulas~2012. e. acrescido dos juros de 1.00 mil foi firmado em 01. Quando empresta aos associados.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Ano Lucro 10³ R$ ENGENHARIA ECONÔMICA 2003 2004 2005 2006 2007 2008 650 760 790 850 880 920 t) A caixinha dos funcionários do Braspel. Neste caso. se é vantajoso aplicar no STS. Sabe-se que o banco Brother Inc. se é uma operação de risco. Solicita-se seja calculado o valor do montante necessário para quitar o título em 30. 43-201 .00. E. O contrato previa o pagamento e a correção das etapas durante a construção segundo a variação mensal do CUB.65. exatamente. (Ver.08. a importância de R$ 40.2004. findo os quais lhe devolverá R$ 1. para qualquer tipo de operação financeira.080. A política de gestão da caixinha é a seguinte: Quando ela toma capital emprestado.2005.000. lhe propôs uma aplicação em título de capitalização de R$ 800.5% ao mês. x) O Banco STS S/A. no valor de R$ 27. praticando sempre a taxa de 8% ao período.00. pergunta-se: .000. sabendo que o índice adotado para a correção da divida é o INPC. os juros são cobrados antecipadamente. ou melhor.50 % ao ano acrescido da correção monetária prevista para 5% no próximo exercício.27 R$). y) Um contrato de empreitada no montante de R$ 333. a seguir.000.139.2% ao mês. criada para atender rapidamente necessidades financeiras de seus associados. tendo rendido a importância de R$ 1.2005. paga os juros no vencimento.2006 e capitalizado durante sete meses. Pergunta-se qual a taxa real de juros.53 em juros.Na hipótese anterior. pratica uma taxa de juros simples de 5.000.Se José desejar retirar da caixinha. pelo prazo de 12 meses. uma taxa de juros compostos de 4.03. o citado título).00. qual será o montante do cheque (pré-datado) a ser preenchido como garantia do empréstimo? . deseja-se saber qual a taxa de juros embutida na proposta do STS. O valor resgatado foi de R$ 14. Assim.98 % ao mês.03. a ser descontado no dia do pagamento. incidente nesta operação financeira. capitalizado por cinco anos e atualizado monetariamente pelo INPC. mensal.00 quanto a ele será devolvido no final de um mês? . não foi quitada. w) O montante de R$ 7.09.Se José da Silva emprestar à caixinha a importância de R$ 40.077.02.300. A última etapa executada e conclusa em 30. Assim. o empréstimo tem como garantia um cheque pré-datado. empresta e aplica dinheiro.00/23. o banco Fastmoney Ltda. u) O capital de R$ 5. Considerando que a aplicação em títulos do Tesouro Nacional remunera o investidor a taxa de 15.00 foi aplicado em 15/12/2004. definir a taxa de juros efetivamente paga.00 foi aplicado em 01. Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. (R$ 23.docx v) Defina em qual instituição financeira deverá ser descontada uma duplicata emitida pela empresa Rota Norte. vincenda em 90 dias. 00.800. depois de realizada a operação de credito. R$ 102. R$ 128. R$ 132. foi aos bancos BVC Inc. A empresa fez uma segunda aplicação do saldo a uma taxa de retorno de 8%.400. pois os juros cobrados pelo BVC Inc. Montando o valor de face em R$ 22. Com base na situação apresentada.03. financiada pelo fabricante e dividido em seis parcelas mensais. bz) Uma empresa negociou a aquisição de um equipamento no valor de R$ 22.800.00.900.5% ao mês (juros compostos) e o principal sendo corrigido pela projeção da variação mensal do CUB. Em reunião da diretoria da sua empresa. Engª Economica~Aulas~2012. 60 e 90 dias. pergunta-se: quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? ENGENHARIA ECONÔMICA Uma empresa fez um investimento inicial de R$ 100 mil com uma taxa de retorno no primeiro mês de 10%.00.docx 44-201 . pergunta-se qual seria o valor a ser pago visando a sua quitação sessenta dias antes de seu vencimento.700.00. Em um terceiro período. az) Uma empresa negociou uma dívida de R$ 10 mil junto a um banco. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada em empréstimos deste tipo é de 32. o valor final (VF) do investimento da empresa será de: R$ 134.000. cz) Você. você foi questionado(a) quanto a operação realizada. vencíveis em 30. o saldo restante acrescido de R$ 7 000.00.00. e Square Financial. A parte de imagem com identificação de relação rId136 não foi encontrada no arquiv o.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA z) Uma duplicata relativa à venda de material de construção foi emitida com pagamento para 30/06/2006. são superiores aos praticados pelo Square Financial.52% ao ano. sabendo que a taxa de juros pactuada é de 3% ao mês. Dado o contexto pergunta-se: Qual a justificativa técnica que amparou a sua decisão? dz) ENADE 2011. por mais um mês. como gerente de uma empresa de engenharia.00. a empresa reaplicou. sendo a primeira delas quitada na data da assinatura do contrato. iguais e consecutivas.00. R$ 127. A movimentação financeira da empresa está representada no fluxo de caixa abaixo. solicitando pagá-la em parcelas mensais de R$ 1. agora a uma taxa de retorno de 10%.25.000. negociar o desconto de um conjunto de duplicatas no valor global de 928 mil reais. no final desse período. No seu valor de face já estava embutida uma remuneração do capital de 1.00.597. necessitou fazer uma retirada de R$ 5 000. Você decidiu e realizou a operação com o BVC Inc. Calcular o valor efetivo de cada uma das parcelas. ............... VALOR ........ Assinatura do Sacado 45-201 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ROTA NORTE Engenharia e Construções Ltda...........322/ 2323/2............00 1............................... Endereço: Rua das Maitacas nº 666...Est......... Município: Rotunda Ária Estado: ST CEP: 11..000.........2006 1.329.......433 – C/E Nota(s) Fiscal(is) nº 2... Desconto de: Até Condições Especiais: a vista desconto de 5%... em pagamento parcelado na importância acima que pagarei (emos) à Rota Norte Engenharia e Construções Ltda.... FATURA ..........0 0 Rua Don João VI nº 1808 – cj............. nº 31.................. na praça e vencimento indicados.............. Data de emissão: 20 de julho de 2006........................000...... Estadual – Isento Bairro do Bonaparte – Rio de Janeiro – RJ Número Valor – R$ Nº de Ordem 20........... Data do aceite Engª Economica~Aulas~2012... por extenso Reconheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Venda Mercantil.........313-03 (vinte mil reais).............. Assinatura do Emitente Valor – R$ 100..........10............docx ................... ou a sua ordem...... .......777/0001-23 Insc..... 007 CGC/MF nº 99...........213/0001-02 Insc.......111-999 Praça de Pagamento: CGC ou CPF: 123....03.....321...............888. VENCIMEN Para uso da Instituição DUPLICATA TO Financeira..................325 20.............. Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda.. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 3. Séries de Capitais 3.0 – Introdução. Por definição uma série de capitais é caracterizada como sendo uma sequência de pagamentos periódicos, consecutivos e que apresentem alguma lei de formação. O estudo contido neste capítulo permite efetuar diversas operações com juros e pagamentos realizados corriqueiramente no comércio, facilitando o cálculo das variáveis desejadas através da adoção de modelos matemáticos, primordialmente quanto à análise de: ENGENHARIA ECONÔMICA As variáveis a serem consideradas no estudo de séries são: a taxa de juros pactuada, o número de períodos da operação, o valor presente, o valor futuro dos pagamentos realizados e o valor da prestação. 3.1 – Série Uniforme Postecipada. Uma série uniforme de pagamentos é dita postecipada, quando ocorre uma sucessão de pagamentos iguais, R, efetuados em intervalos regulares e constantes, sendo o primeiro pagamento realizado concomitantemente com o PRIMEIRO PERÍODO POSTERIOR à data da operação financeira que lhes deu origem. i. Formação de fundos de capitalização, a exemplo de depósitos programados em títulos de capitalização ou a formação de capital visando à aquisição futura de bens; ii. Amortização de dívidas, mediante o pagamento de prestações iguais e consecutivas, tais como operações de crédito e compras a prazo; iii. Comparação dos resultados econômicos de operações financeiras ou análise de decisão entre investimentos que rendam dividendos periódicos. Diversos tipos de séries de pagamentos podem ser adotados nos empréstimos ou financiamentos, neste capítulo serão estudadas aquelas mais comumente utilizadas no comercio e no mercado de capitais brasileiro, a saber: 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Série Uniforme Postecipada; Série Uniforme Infinita; Serie Uniforme Antecipada; Série Diferida. Engª Economica~Aulas~2012.03.docx Tomando como exemplo de uma série uniforme postecipada o desenho acima, a série de pagamentos iguais a “R” é iniciada após a pactuação do principal “P”, ocorrendo o primeiro pagamento no primeiro período e, assim 46-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA sucessivamente, até que o ultimo pagamento seja realizado no período n. Nos itens a seguir, será demonstrado como calcular o Valor Presente, VP(SP), e o Valor, VF(SP), Futuro de uma série uniforme postecipada, conhecida a prestação R(SP), o número de períodos e a taxa de juros pactuada. E, também, como determinar a prestação quando conhecidas as demais variáveis, fato corriqueiro em empréstimos e vendas a prazo. 3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. Adotando como nomenclatura, Pk como sendo o valor presente associado a um pagamento singular qualquer Rk, e considerando que, por definição, se dispõe de uma série uniforme de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, têm-se que: R1 = R2 = ···· = Rn = R. Matematicamente, o valor presente da série de pagamentos, VP, é obtido ao se efetuar o somatório dos valores presentes de cada pagamento singular. Então: VP = P1+ P2 + P3 +····· + Pn Sabendo que o valor presente de cada pagamento singular é dado pela expressão: Pk = Rk (1+ i)-k e, relacionando o valor presente para cada “Pk”, com k variando de 1 a n, temse: P1 = R1 ( 1 + i ) -1 P2 = R2 ( 1 + i ) -2 P3 = R3 ( 1 + i ) -3 .......................... Pn = Rn ( 1 + i ) -n Engª Economica~Aulas~2012.03.docx ENGENHARIA ECONÔMICA Ao ser somado os Pk para k = 1, 2, 3,...,n, obtém-se a expressão geral da soma de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. VP(sp) = R(sp) (1 + i )-1 + R (1+ i )-2 + ... + R (1+ i )-n VP(sp) = R(sp) {(1 + i)-1 + (1+ i)-2 + ... + (1+ i)-n } A série representativa do segundo termo da expressão acima, colocada entre chaves, pode ser caracterizada como uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i)-1 e o primeiro termo a = (1 + i)-1. Considerando que a soma de uma progressão geométrica n decrescente é dada pela expressão S(PG) = a × (1 − q ) , após 1− q serem substituídos seus termos pelos respectivos valores (1 + i)n − 1 financeiros, chega-se a: S(PG) = , expressão esta i × (1 + i)n denominada de fator de valor presente. Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica decrescente, S (PG), na série acima, fica definida a expressão do Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos “R”, no caso do primeiro pagamento ocorrer um período após o início da operação financeira que lhe deu origem:  (1 + i)n − 1  VP (sp) = R (sp) ×   n  i × (1 + i)  O termo entre colchetes expressa um fator que define o valor atual da série postecipada quando o valor da prestação é 47-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA a unidade. Por motivo de facilidade de notação, este fator de é grafado sob a seguinte notação: ENGENHARIA ECONÔMICA  i × (1 + i)n  −1   ≡ FRCn¬i ≡ an¬i n  (1 + i) − 1  (1 + i) n − 1    ≡ FVPn ¬ i ≡ a n ¬ i  i × (1 + i) n  Então, dada a notação, o valor presente de uma série postecipada pode ser expresso como: VP(SP) = R × FVP n¬i = R(SP) × a n¬ i Tanto FVPn¬i como a n¬ i são denominados de FATOR DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de pagamentos. Ver tabelas do Anexo-I. ∴ R(SP) = VP(SP) × FRCn¬i 1 correspondem à notação As expressões FRCn¬i e an−¬i resumida da expressão entre colchetes acima e são denominadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de juros i para n períodos. Ver Tabelas do Anexo-I. MEMORIZE! O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR Assim sendo, o fator de valor presente permite determinar o montante do valor presente de uma série postecipada, ou seja, o valor de um bem na data de hoje, quando conhecida a prestação a ser praga, o número de períodos envolvidos e a taxa de juros pactuada. De modo inverso, ao se deseja conhecer o valor da prestação a ser paga, quando conhecidos o capital a ser financiado, a taxa de juros, e o prazo de pagamento, a fórmula acima é utilizada sob a seguinte forma:  i × (1 + i) n  R (sp) = VP (sp) ×   n  (1 + i) − 1  Escrevendo, por facilidade de notação: Engª Economica~Aulas~2012.03.docx AO DO PRIMEIRO PAGAMENTO. 3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. O valor futuro de uma série de capitais postecipada corresponde ao valor do somatório de todos os valores integrantes da série, iguais e consecutivos, financeiramente considerados na data do ultimo período da série. Noutras palavras, corresponde ao montante do capital disponível na data do último pagamento da série, capitalizado financeiramente à taxa pactuada. Obtém-se o Valor Futuro equivalente a uma série postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do 48-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Valor Presente, considerando como razão da progressão geométrica o fator q = (1+ i). A expressão da soma de uma progressão geométrica qn − 1 crescente é dada por: S(PG) = em que n representa o q −1 número de termos da progressão. Ao se proceder as devidas substituições e de modo idêntico ao caso do valor presente, chega-se a expressão do Valor Futuro, VF(SP), de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. Assim:  (1 + i)n − 1  S (sp) = R (sp) ×   i   Valor Futuro: E, em decorrência o valor da prestação é dado por: Valor da Prestação:   i R (sp) = S (sp) ×   n  (1 + i ) − 1  Identicamente ao caso do Valor Presente, as expressões entre colchetes são denominadas, respectivamente, de Fator de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série postecipada. Por motivo de facilidade de notação, esses fatores podem ser escritos sob forma resumida, quais sejam:  (1 + i)n − 1    ≡ FVFn ¬ i i   Engª Economica~Aulas~2012.03.docx e,   i   ≡ FFCn ¬ i n  (1 + i ) − 1  Assim sendo, a expressão do valor futuro de uma série postecipada quando conhecida a prestação e, vice versa, a expressão da prestação quando conhecido o valor futuro de uma série postecipada, podem ser expressos sob a seguinte notação: S(SP) = R(SP) × FVFn¬i e, R(SP) = S(SP) × FFCn¬i O Fator de Valor Futuro, FVFn¬i, permite estabelecer, por unidade de capital, qual será o montante “S” a ser disponível em data futura, quando conhecidos: o valor das prestações, o período de capitalização e a taxa pactuada de juros, “i”. A cultura das áreas econômica e do comércio de capitais adota a denominação de taxa de capitalização para a taxa de juros “i” quando se deseja conhecer o valor disponível após certo número de períodos de aplicação. Analogamente, o Fator de Formação de Capital, FFCn¬i, permite definir qual o valor das prestações, iguais e consecutivas, a serem capitalizadas para que, no final de determinado período se obtenha o montante “S”. Identicamente ao anteriormente comentado, estes dois fatores podem ser calculados e, também, encontrados em tabelas financeiras. Ver Anexo-I. Finalizando, alerta-se que neste caso de série postecipada de pagamentos, o valor futuro da mesma é definido coincidentemente com a data do último pagamento. 49-201 .02 ) n − 1 R$    1. R 52 888 1 Engª Economica~Aulas~2012.. com cada parcela sendo atualizada pela matemática dos juros simples.  i × (1 + i ) n  R (k) = VP (k) ×  ∴ n  (1 + i ) − 1  $ .02 × (1 + 0 . por R$ 2.. no valor de R$ 45....1.. 3.. mensais e consecutivas.. mensais e consecutivas.....docx Rk = 15... o valor a ser financiado monta a R$ 45 mil e o valor da prestação será calculado considerando que os pagamentos se comportam como uma série uniforme postecipada.500.Comparando Juros Simples e Compostos..1..500..3 . 0.. usado....03.52 R$/mês R (SP)= 2. seja o caso de uma loja de varejo que vende um equipamento..888. o que caracteriza juros compostos. MEMORIZE! Pretende-se analisar qual a forma de pagamento permite uma maior economia para o comprador. a vista.31R$ 1.00 × 1 Seja o caso do financiamento de um automóvel novo no valor de R$ 60 mil. Neste caso..1785 = 446..07)12 − 50-201 .. Deseja-se saber o valor do mesmo quando financiado em seis prestações iguais.. Para tanto será comparado se o financiamento deverá ser efetuado em parcelas iguais.3 . sabendo que a loja remunera seus ativos à taxa de 2% ao mês?  i × (1 + i ) n   0 ..Exemplo.000... com o primeiro pagamento ocorrendo trinta dias após a data do financiamento... Foi dado como entrada um veículo de mesma marca.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O financiamento do saldo foi pactuado para ser quitado em 12 parcelas.12 mês 15. (1 + 0.07 × (1 + 0. a juros de 7% ao mês...... Ou por pagamentos crescentes.. O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE COINCIDENTEMENTE COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.. a) Série Uniforme – Juros Compostos...000... Como exemplo..00.....02 ) 6 R (sp) = VP (sp) ×  = 2500 ×    (1 + i ) n − 1   (1 + 0 ..00 × 0.000 3.00.07)12 = .. 00 x (1+6 x 0.00 x (1+9 x 0...R$ 21.00 Valor total: .07) = 1.50 8ª Parcela: 1.1 – Conceituação.07) = 1.00 x (1+2 x 0.250.24.00 x (1+11 x 0.250..50 6ª Parcela: 1.00 x (1+5 x 0.07) = 1.. periódicos e consecutivos..24  Juros Simples = Σ parcelas pagas = 21.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ∆ = R$ 837..00 x (1+4 x 0. corrigidas até a data do efetivo pagamento à taxa de juros pactuada: 1ª Parcela: 1.00 3ª Parcela: 1.00 x (1+1 x 0.862.00 R$  Comparativo: ∆ =Juros compostos .. simplesmente.. contendo um número muito grande de termos..00 x (1+3 x 0.00 5ª Parcela: 1.250.. considerada como infinita porque a influência dos últimos termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo ou irrisório.07) = 1.825...07) = 2.. c) Análise econômica..037.. periódicos e consecutivos.250.250. pode-se citar o caso das aposentadorias.825.250..775... Uma série nestas condições é. R$ 15.07) = 1.00 x (1+10 x 0.125.512.50 10ª Parcela: 1..07) = 1...50 4ª Parcela: 1. A comparação dos valores obtidos por análise econômica mede.50 12ª Parcela: 1.250. 3.docx Quando n → ∞ .52 = R$ 22.600..2.00 Neste caso..212. Neste caso o valor financiado.00 11ª Parcela: 1...07) = 1. será quitado em doze parcelas . pelo qual é considerada infinita.250.250.24 .250.950..07) = 2..000.00 9ª Parcela: 1.00 Engª Economica~Aulas~2012.00 x (1+8 x 0. Partindo da expressão do valor presente de uma série postecipada formada por pagamentos iguais.00. tem-se: VP (si) = R(sp) × Lim FVPn ¬ i n→ ∞ Como: 51-201 .. iguais.07) = 2. tem-se: VP(SP) = R(SP) × FVPn¬i Total dos desembolsos:  Juros compostos = 12 ×1.662. prestação da casa própria ou remuneração dos fundos de pensão.2 . também denominada série infinita ou perpetuidade de uma série postecipada..50 2ª Parcela: 1. matematicamente.. é definida como a sequência de pagamentos “R”.07) = 1.03.00 x (1+7 x 0.00 7ª Parcela: 1..Anuidade perpétua.00...337.825. Como exemplo de perpetuidade.888. caso os pagamentos fossem realizados adotando a matemática dos juros simples. fica demonstrada uma economia de R$ 837..21.Juros simples ∆ = R$ 22. mensais e consecutivas no valor de R$ 1. 3. Anuidade perpétua. apenas a diferença dos desembolsos efetuados.425.250.00 x (1+12 x 0.250.687..250.24 b) Pagamento por juros simples.300.07) = 2..662. Considerando que o banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% ao ano. é possível verificar que o número de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser considerada como infinita e isto.00.    ∴    1 (1 + i) n 1 − 0 1 = = i i i i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0. qualquer prestação muito distante da data de início. de uma série infinita de prestações iguais. a ser paga em 120 dias.m. pois o horizonte das prestações atinge 180 meses e.249.2. da poupança em termos de moeda de poder aquisitivo constante. é função direta da taxa de juros praticada.94 corresponde ao valor. assim sendo. P(si) = Deste modo. • Isto porque. Engª Economica~Aulas~2012. periódicas e consecutivas: VP (si) = R (si) i R(si) 75 = = 11. Deste modo.  A segunda.66667% a. fica demonstrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA  (1 + i)n 1 −  n n  (1 + i) − 1 (1 + i) (1 + i)n  Lim FVPn¬i = Lim Lim  = n→ ∞ n → ∞ i × (1 + 1)n (1 + i)n  n →∞   i×  (1 + i)n  1− Lim n→ ∞ ENGENHARIA ECONÔMICA a) Ao completar 10 anos. Um comprador lhe fez duas propostas para a venda em prestações. seu avo lhe abriu uma caderneta de poupança programada e passou a depositar a importância de R$ 75 por mês de então até a data de sua formatura. determine o montante disponível na data formatura. Analisando as tabelas financeiras do Anexo-I. O saldo sendo pago em duas parcelas sem correção:  A primeira equivalente a 40% do saldo.2 – Exercício Resolvido. menor é o número de períodos necessários a caracterizar a série como perpetuidade. também. equivalente a 60% do saldo. quanto maior a taxa de juros. o que permite calcular o Valor Presente.249.000.03. Além disto. nas seguintes condições: 3.94R$ i 0. as ultimas prestações tem reduzida influência no montante do mesmo.docx Proposta A: 40% de entrada. justifica-se o calculo do valor presente utilizando o conceito de perpetuidade. capitalizados mensalmente. em termos de valor aquisitivo medido no momento atual. 52-201 . VP(SI).0066667 Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: • O montante de R$11. 15 anos depois. já que desconsiderada a inflação no período. e conforme a taxa de desconto praticada produz um valor presente insignificante ou próximo de zero. não influindo significativamente no aumento do montante do valor presente da série. a ser quitada em 60 dias. b) Você esta vendendo um apartamento no valor de R$ 150. também denominado de capitalização. mensais e consecutivas. a Proposta B é a mais vantajosa. a ser quitado em parcelas iguais e sucessivas iguais a “R”. Uma Série Uniforme Antecipada é definida como sendo a sucessão de pagamentos iguais. 3. Aplicação em depósito programado. a partir do momento de pactuação da operação financeira e cujo montante “VF” será devolvido ao aplicador findo o período programado.911. A parte de imagem com identificação de relação rId197 não foi encontrada no arquiv o. Como exemplo de aplicação deste tipo de série. Aquisição de um bem no valor “VP”. sem correção. um período após o pagamento da última importância. II. quando é pactuado que uma determinada importância “R” será recolhida em períodos pré-determinados. vencendo a primeira trinta dias após o fechamento do negócio. R.75R$ (1.03. efetuada em intervalos regulares e constantes.03)4 A parte de imagem com identificação de relação rId196 não foi encontrada no arquiv o. Analise qual das opções seria a mais vantajosa sabendo que você utiliza uma TMA = 3% ao mês. tem-se os casos de: Calculando o valor presente para cada proposta tem-se: VP(A)= 60000+ 36000 54000 + = 141. ENGENHARIA ECONÔMICA VP(A) = 60000 + 36000 54000 + = 141.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA  Proposta B: 30% de entrada e o saldo sendo quitado em quatro parcelas iguais.911.03)4 Engª Economica~Aulas~2012.docx I. cujo primeiro pagamento ocorra na data da operação financeira que lhe deu origem.3 – Série Uniforme Antecipada. e. Como VB (B) > VP(A). Os diagramas de fluxo de caixa a seguir mostram as condições propostas. sendo que a primeira parcela é quitada no momento da compra.75R$ (1. 53-201 .03)2 (1.03)2 (1. ... o segundo ( 1 + i ) ...docx Como definido anteriormente. ocorre um período após o pagamento da ultima prestação.. Engª Economica~Aulas~2012. verifica-se ser este um somatório e que pode ser associado a uma progressão geométrica decrescente. que valor futuro desta série. pode-se escrever o valor presente da série de pagamentos postecipada como: VP(SA) = VP1+ VP2+ VP3 + VP4 + ··· + VPn Escrevendo cada termo da expressão acima em função de suas variáveis tem-se: VP1 = R VP2 = R (1 + i) -1 VP3 = R (1 + i) –2 VP4 = R (1 + i) –3 . da série antecipada de pagamentos. VP(SA)... cujo primeiro termo corresponde ao 1 n valor 1. periódicos e consecutivos.. tem-se o valor presente da série. o primeiro pagamento ocorre na data da operação financeira que lhe deu origem. o ultimo termo ( 1 + i ) – sendo a razão de decrescimento igual a (1 + i)-1.. e o Valor Futuro....... fica caracterizado que. 3. a soma de uma progressão geométrica decrescente é dada pela expressão 54-201 . VF(SA).. E. neste tipo de série de pagamentos iguais.. VF(SA).03. VPK.1 – Valor Presente da Série Antecipada. Substituindo o valor presente de cada pagamento individual em função do pagamento a ser realizado... “R”.3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Efetuando o valor presente de cada um dos pagamentos singulares.... Analisando o termo entre colchetes.. VP(SA) = R { 1 + ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + ( 1 + i ) –3 + …+ ( 1 + i ) –n } A seguir é demonstrado como calcular o Valor Presente. -n VPn = R (1 + i) Tomando como expressão gráfica de uma Série Uniforme Antecipada o desenho acima. VP(sa): VP(SA) = R + R (1 + i) -1 + R (1 + i ) -2 + R ( 1 + i ) –3 + …+ R ( 1 + i ) -n Ressalta-se que o primeiro pagamento da série ocorre coincidentemente com a data do pactuado.. inicialmente. o Valor Futuro da Série Postecipada . a se comportar como uma Série Postecipada. S. o Valor Futuro da Série Antecipada – VF é definido ao se levar o valor de “S” para o período t(n). Então: VF(sa) = S × (1 + i) 3. na série acima.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA S ( PG ) = n a (1 − q ) 1− q em que. conhecido o montante do Valor Presente. então. Estabelecido o valor de “S” para o tempo t(n-1). VF(SA). Então:  i × (1 + i) n −1   R (sa) = VP (sa) ×   (1 + i) n − 1    Matematicamente. é obtido ao se multiplicar o valor futuro da série antecipada. pelo fator de valor futuro de um pagamento único. Por definição.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. chega-se a: S(PG) = i × (1 + i)n −1 ENGENHARIA ECONÔMICA Para tanto determina-se. multiplicado por (1+i) cada termo de uma Série Antecipada.3. S(PG).docx Isto porque. o valor futuro da série postecipada. VP(SA) de uma série de pagamentos antecipados: VP (sa) = R (sa) × (1 + i)n − 1 i × (1 + i)n −1 Ao se desejar conhecer o valor da prestação ou pagamento. VP(SA). obtém-se o valor de cada termo da série no momento seguinte ao de sua realização. Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica. passando.“S”. o valor futuro. R(SA). partindo da expressão do Valor Futuro de uma série postecipada.  (1 + i ) n − 1  S (sa) = R (sa) ×   ∴ i   55-201 . de modo mais expedito. Engª Economica~Aulas~2012. de uma série de pagamentos antecipada é definido no primeiro período subsequente ao do último pagamento. fica definida a expressão do Valor Presente. substituindo pelos respectivos (1 + i)n − 1 valores financeiros.03. cuja soma já é conhecida. parte-se da expressão acima. A determinação do Valor Futuro da série antecipada poderá ser efetuada. Pergunta-se. é dado por: R(sa) = VF(sa)× i n {(1 + i) − 1} × (1 + i) Recomenda-se cuidado na aplicação dessas fórmulas que envolvam o valor futuro da série antecipada. nas seguintes situações: • • A valores da data de fechamento da operação. ENGENHARIA ECONÔMICA 3.25% ao mês para aplicação em investimentos programados em títulos de capitalização. E.97 R $ {(1. R(SA). qual a importância a ser investida visando adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil no prazo de quatorze meses? i R = VF × {( 1 + i) n − 1} × (1 + i ) R = 5000 × 0. o valor da sua prestação. já que este último pagamento deverá gerar juros por ainda mais um período.03.0125 ) 14 b) Calcular o montante de capital propiciado pela aquisição de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao mês e contratado por um período de dois anos. O ultimo momento da série ocorre um período após o ultimo pagamento. na data de hoje.0125 = 324 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA  (1 + i) − 1  × (1 + i) VF(sa) = R(sa) ×  i   n No caso inverso. A cooperativa oferece uma remuneração de 1.3 – Aplicação. O valor da prestação contratada foi de D$ 700. Como exemplo deste caso. a) Você é um profissional liberal e associado a uma cooperativa de crédito. pois ele é medido um período após a conclusão do período de pagamentos. Engª Economica~Aulas~2012.0125 ) − 1} × (1. ou seja.00 por mês. o montante no final do período. O primeiro pagamento da série ocorre no momento em que é pactuado o contrato de aplicação.3. MEMORIZE! O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA É DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO. ao ser conhecido o Valor Futuro de uma série antecipada. seja a aplicação em caderneta de poupança programada ou em título de capitalização.docx 56-201 . 02 ) 24 − 1 VF = 700 ×  × ( 1.4.4 – Modelo de Série Diferida 57-201 n .Valor Presente: VP = R × FVP (24. No fluxo de caixa representativo da operação.. ou seja.. no 23º mês..docx 0 1 2 . Uma série de pagamentos é dita diferida quando a primeira prestação ocorrer após o primeiro período.Valor Futuro: VF = R × FVF (24. (1 + i)n − 1 1º passo 2º i × (1 + i)n −1 VP(0) VP = 700 × (1. 721 ... 02  Atenção: sendo o caso em pauta associado a uma série antecipada.02 × (1.02)24 − 1 0..4 – Série Diferida. k k+1 k+2 .721. Ver Fig. corresponderá à importância de D$ 13... 02 0 .54 na data da aplicação e de D$ 21. pois a primeira delas ocorre na data de fechamento da operação financeira.. ou seja.. Fig.504.. 21 D $  Deste modo.54D$ R II .00 pactuada por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês. 3.02 + i)23 = 13. 2%) VP = R ×  )  = 21 .3. ficam caracterizadas 24 prestações.21 no final do período.504.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA n = 24 m es es  (1. 24 meses. a aplicação mensal de D$ 700. o número de período “´n” da série corresponde à duração total pactuada para a operação. I . A última prestação ocorre um mês antes do final do período.. Em que a devolução do capital investido ou o Valor Futuro da série ocorrerá um período após a realização do ultimo pagamento..3.2%)  (1 + i ) n − 1  VF = R ×  × (1 + i )  i   Engª Economica~Aulas~2012..03. Aplicação 1º passo . é um processo comum no comércio varejista.0 5 6 7 8 9 10 58-201 mês .03. sabendo-se que o Valor Presente de uma série uniforme postecipada composta por (n-k) pagamentos iguais e consecutivos de valor R é dada por: Como primeiro passo. o período que precede o momento em que se iniciam os pagamentos. a) Calcular o valor da prestação relativa à venda de um equipamento cujo preço monta a D$ 300 mil. i%) Engª Economica~Aulas~2012. i) È importante ressaltar que o momento k corresponde ao “momento zero” da série uniforme.k. isto é. calcula-se o valor presente da série tendo como momento inicial o mês 3. na expressão de VP(SD). mensais e consecutivas. VP(k). VP(k) = R × FVP (n-k. é efetuada em dois passos: 3. diferir significa adiar a data do primeiro pagamento. sendo seu momento inicial referido ao mês 3. VP(k). em termos financeiros. chega-se a expressão geral do valor presente de uma série postecipada diferida. a valor presente no momento zero.docx R 1 2 3 4 300. A empresa adota uma TMA de 7% ao mês.4. ENGENHARIA ECONÔMICA Ao se substituir a expressão de VP(k) acima.000. valor futuro. Neste caso. 2º passo – disponível o valor presente da série postecipada. Para tanto. uma série gradiente ou mesmo uma sequência qualquer de pagamentos já que. como a prestação de uma operação financeira em que o primeiro pagamento é diferido. A determinação do Valor Presente de uma série diferida. seja ela uma série uniforme. negociado em sete prestações iguais.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O processo de calcular seja o valor presente. calcula-se o Valor Presente desejado. VP(SD).1 – Metodologia. VP(SD). Como segundo passo. O diagrama mostra que a série de pagamentos inicia no mês 4.calcula-se o valor presente da série postecipada. o momento inicial da série corresponde a um momento anterior ao do início de pagamentos. VP(SD ) = VP(k ) (1 + i)k Por sua vez. como anteriormente demonstrado. Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida. 3.4. deve-se elaborar o diagrama de fluxo de caixa do empreendimento. leva-se o valor de VP(k). ou seja. VP(SD ) = R (1 + i) k × FVP ( n .2 . VP(SD). vencendo a primeira delas cento e vinte dias após o fechamento do negócio. k.docx Como exemplo de perpetuidade.165. Ver modelo na Fig.5 . × FVP ( n . periódicos e consecutivos. 2 × FVP ( 6.Série Infinita. tendo como momento inicial a data da operação ou seja.6014 = 3. como pagamento único.74R $ 1. considerada como infinita porque a influência dos últimos termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo ou irrisório. prestação da casa própria ou remuneração dos fundos de pensão. pelo qual é considerada infinita.00 × 5.966. também denominada série perpétua ou perpetuidade de uma série postecipada.00 (1 + 0.5. Qual o valor a ser pago a vista sabendo que a empresa pratica juros de 2% ao mês em seus financiamentos? VP ( SD ) = VP ( SD ) = R (1 + i) k Engª Economica~Aulas~2012. 3.12 D$/mês b) A empresa Mercado Fácil oferta computadores a serem pagos em seis prestações iguais. é definida como a sequência de pagamentos “R”.0404 3.00. mensais e consecutivas no valor de R$ 588. A parte de imagem com identificação de relação rId236 não foi encontrada no arquiv o. matematicamente. sendo a primeira delas vincenda em noventa dias.3893 × 1 = R × 5. iguais.8163 (1 + 0.1 – Conceituação. A parte de imagem com identificação de relação rId237 não foi encontrada no arquiv o. 2%) 59-201 . i) 588 .000 = R × 5. 588. pode-se citar o caso das aposentadorias. a data zero.3893 × 0. 300.03. Série infinita.07 )³ ∴ R = 72. contendo um número muito grande de termos.5.3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VP(SD) = O terceiro passo corresponde ao calculo do valor presente.02 ) Uma série nestas condições é. como se pode verificar isso também é função direta da taxa de juros praticada.m. 15 anos depois. o que permite calcular o Valor Presente.03. periódicos e consecutivos. não influindo significativamente no aumento do montante do valor presente da série. seu avo lhe abriu uma caderneta de poupança programada e passou a depositar a importância de R$ 75 por mês de então até a data de sua formatura. é possível avaliar qual o número de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser considerada como infinita e.66667% a.5. Considerando que o banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% ao ano. Isto porque. Deste modo. determine o montante disponível na data formatura. quanto maior a taxa de juros. periódicas e consecutivas: VP (si) = Partindo da expressão do valor presente de uma série postecipada formada por pagamentos iguais. de uma série infinita de prestações iguais. qualquer prestação muito distante da data de início e segundo a taxa de desconto praticada. a) Ao completar 10 anos.docx    ∴    R (si) i Analisando as tabelas financeiras do Anexo-I. tem-se: VP(SP) = R(SP) × FVPn¬i Quando n → ∞ . capitalizados mensalmente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Assim. tem-se: VP(si) = R(sp) × Lim FVPn ¬ i n→ ∞ Substituindo a variável FVPn¬i pela sua expressão matemática tem-se:  (1 + i)n 1 − n  n  (1 + i) − 1 (1 + i) (1 + i)n  Lim FVPn¬i = Lim = Lim  n → ∞ i × (1 + 1)n n→ ∞  n →∞ (1 + i)n   i ×  (1 + i)n  1− Lim n→ ∞ 1 (1 + i)n 1 − 0 1 = = i i i Engª Economica~Aulas~2012. menor é o número de períodos necessários a caracterizar uma série como perpetuidade. i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0. VP(SI). 3.2 – Aplicação. tal fato produz um valor presente insignificante ou próximo de zero. 60-201 . fica demonstrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua. O gerente da empresa Quick-Delivery Lted.5% ao período. Qual será o valor da prestação considerando um plano de pagamento para ser quitado em 10 meses a juros de 7% ao mês? As prestações deverão ser iguais. dado o lançamento de novos produtos no mercado. vencendo a primeira em trinta dias. Os lotes vêm sendo vendidos. vende um automóvel.1361 = 6. Além disto.00 por mês. À vista com 20% de desconto. por D$110.A empresa Seminovos Veículos Ltda. todos iguais e no valor de D$ 9.3. Sendo o preço de aquisição dos televisores D$ 63.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA R(si) 75 P(si) = = = 11. por R$ 110. ×  ) −  (. b. em termos de valor aquisitivo medido no momento atual.4. as ultimas prestações tem reduzida influência no montante do mesmo. já que desconsiderada a inflação no período.249. atualmente. Considere: 1º) plano com entrada no valor de R$ 10 mil.899.00 qual será a decisão do Controler? Considerar uma taxa de desconto de 2. iguais e consecutivos no valor de D$10.1. mensais e consecutivas. vencendo a primeira a trinta dias da aquisição do bem. 00 330 49 R (sa) =  .000. propôs ao “Controler” da mesma os seguintes planos de pagamento visando à venda de lotes de televisores Telecor. vencendo a primeira em trinta dias da operação.00.330. Entrada e mais dez pagamentos mensais e consecutivos. b. mais uma entrada equivalente ao valor das prestações.777.00. 2º) plano sem entrada. ) ×( . assim sendo. Juros pactuados à taxa de 2. vencendo a primeira em trinta dias da operação.6 .00 x 0. a vista.12 R$ 3.000.03. Sabe-se que um lote contém 230 televisores e o preço de cada aparelho 61-201 . porém apresentando crescente dificuldade de comercialização.” analisa a aquisição de um lote de televisores junto à Quick-Delivery Lted.00 por mês. 3º) plano com o valor da entrada igual ao valor das dez prestações mensais. justifica-se o calculo do valor presente utilizando o conceito de perpetuidade.000. A proposta de financiamento prevê pagamento em 7 (sete) parcelas iguais mensais e consecutivas. empresa do ramo de atacado. b.249.0066667 Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: • • O montante de R$11. b.94R$ i 0. sem entrada.00 por mês. 8 1 0285 1 025 1 025 0 .5% ao mês.94 corresponde ao valor.docx a) .2. Engª Economica~Aulas~2012.00.Exercícios.712. com o primeiro pagamento ocorrendo após 120 dias contados da data da compra. c) A empresa “Só no Barato Varejão Ltda. Dez pagamentos mensais e consecutivos no montante de D$10.    S(as) = 49. b) Qual o valor da prestação relativa à aquisição de um automóvel no valor de R$ 49.099. pois o horizonte das prestações atinge 180 meses e. Dez pagamentos. sem entrada. conforme abaixo. b) . da poupança em termos de moeda de poder aquisitivo constante.  i × (1 + i) n −1   R (sa) = VP (sa) ×   (1 + i) n − 1    − 1 .330. para que sua empresa disponha da importância citada no momento desejado? h) Você deseja adquirir um veículo cujo preço é de R$ 36. pago em quatro prestações iguais. Quanto deverá ser o valor da aplicação mensal. com juros pactuados à taxa de 26. efetuando uma poupança mensal de US$ 2.00. iguais. A taxa de juros a ser estabelecida é a sua taxa de oportunidade. O custo de capital praticado pelo Varejão é de 15% ao ano e adota um mark-up de 33%. para ser aplicada num novo projeto de investimento. Engª Economica~Aulas~2012. para clientes institucionais.  Em 12 pagamentos.99. quitada no ato da compra.docx ENGENHARIA ECONÔMICA f) Um fornecedor de computadores pessoais oferece o modelo BO-800. para receber nas condições abaixo. As outras quatro parcelas. A primeira equivalente a 30% do valor a vista. com taxa de oportunidade de 1. • Financiamento sem entrada.Você vende um imóvel por D$ 36. mensais e consecutivas no valor de R$ 95.00.95 cada. disporá de recursos próprios para adquirir um equipamento cujo valor de mercado.000.99.00.00 cada.500.22% ao ano.000. e) Calcular o preço a vista de um produto.175.00.8242% ao ano. a vista.000. Qual será a sua opção de negócio.000. g) Sua empresa necessita da importância de $ 175. a prazo. cujo prazo é idêntico à anterior. 2ª) ou. e sabendo que você pratica um custo de capital é de 15% a. em pagamentos iguais de US$ 80.000. Sendo você o diretor financeiro do Varejão perguntase: qual dos planos oferecido pela Quick-Delivery Lted será o escolhido? d) . no valor de R$ 150. monta a US$ 26. hoje. O banco onde operam oferece. mensais e consecutivos de D$ 4.00. utilizando uma poupança mensal. mensais e consecutivos de D$ 3. Considerar um custo de capital de 2% ao mês.?  Com parte à vista e 60% do total no prazo de trinta dias. prevê colocar no mercado sessenta unidades por mês. • Financiamento em cinco parcelas iguais. Esta empresa oferece cada lote de aparelhos nas seguintes condições: • A vista com 20% de desconto.650. sendo uma entrada e mais 20 pagamentos mensais e consecutivos. Ou. mensais e consecutivas de R$ 179.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA é de R$ 569.3% ao mês e adquirir o veiculo após dispor do capital necessário? i) Verifique se sua empresa. Qual seria o valor a vista da cada proposta.  Em 8 pagamentos iguais.03. sabendo-se que o mesmo é ofertado para pagamento em 5 parcelas. entre as seguintes situações: 1ª) Adquirir o veículo por financiamento através do pagamento de 14 prestações mensais.00. no prazo de 15 meses. por US$ 1. com a primeira parcela vincenda em 90 dias após a venda.00? 62-201 .00 aplicados à taxa de oportunidade de 1. uma taxa de juros de 3% ao mês para contratos de capitalização programados. considerando as abaixo enumeradas.20% ao mês e após dez meses.  O 1º pagamento em 6 meses (50%) e o final em um ano.  Considere as opções acima quando ocorrer uma inflação de 20. Verifique qual das duas situações lhe é mais interessante. A empresa Sónobarato Varejão Ltda.00. vencíveis em 30/60/90/120 dias. iguais e consecutivas.a. iguais e consecutivas. 63-201 . deseja estabelecer coeficientes multiplicadores para facilitar o calculo das prestações de seus produtos. A empresa pratica um mark-up de 35%. mensal e total. nesta data. 1.75% 5 90 dias 2. Tipo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Plano de Financiamento Prestação = k × valor financiado Numero Data da 1ª Juros Prestações Prestação Ao Mês 3 30 dias 1. Verifique se isto é verdade. negociado nas seguintes condições: uma entrada equivalente a 30% do valor do bem e o saldo quitado em cinco prestações iguais. pergunta-se qual será o valor da prestação de um veículo cujo preço de tabela monta a R$ 36 mil. mensais e consecutivas. em média. É política da empresa disponibilizar aos clientes vários planos de financiamento. l) Considerando os coeficientes definidos no exercício anterior. Finan.50% 5 60 dias 1. Engª Economica~Aulas~2012. em promover a venda de seus produtos de modo financiado e desestimular as vendas à vista.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA j) Um veículo cujo valor de venda. Considerando que as prestações deverão ser definidas com a incidência de diversas taxas de juros que variam segundo a característica de cada tipo de financiamento.500.50% 3 60 dias 1. A mesma situação anterior. Sobre o preço de vendas a empresa recolhe um tributo na ordem de 17% do valor agregado. O anunciante proclama que os juros cobrados são de 1. sem correção monetária. vincendo a primeira em sessenta dias? m) Analise o interesse da empresa varejista.00. visando orientar seus vendedores. todos apresentando prestações em parcelas iguais.03. nas seguintes condições: • • Pagamento em seis prestações iguais. mensais e consecutivas no valor de 2. n) Uma empresa varejista. com a primeira quitada na data da operação.00 R$. é de R$ 24. foi anunciado para ser pago em dez prestações iguais. mensais e consecutivas. dos juros pagos quando da quitação de uma dívida no montante de R$ 28 mil. sabendo-se que: • • A empresa não oferece descontos para vendas a vista.75% 7 90 dias 2. mensais e consecutivas. definida no exercício anterior.50% 7 60 dias 1.00% 7 30 dias 1. Aplicações realizadas no mercado financeiro rendem. os clientes poderão optar pelo número de prestações e por várias datas de início dos pagamentos.1% ao mês.75% 3 90 dias 2. segundo o plano de financiamento exposto no quadro abaixo.00% 5 30 dias 1. Os juros foram pactuados em 3. recolhidos ao fisco no mês da operação financeira. porém sob a égide dos juros simples.796. vencível a primeira em sessenta dias.5% ao mês.5% ao mês. k) Analise a diferença.00% Coeficiente Multiplicador Além disto.docx ENGENHARIA ECONÔMICA • • • Sobre os ganhos de financiamento não incide o tributo acima. 000 a preços da época da formatura. durante os vinte anos subsequentes o mercado vem apresentado um salário superior em $12. Durante os dez anos subsequentes. E. que os benefícios de uma formação superior se farão sentir durante quarenta anos de vida profissional e que. sendo que a primeira foi quitada na data do fechamento do negócio. durante os dez primeiros anos após a conclusão do curso.71 cada. vencido em 31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso.254.000/ano superior. o) Uma vantagem da obtenção de um diploma de curso superior é a perspectiva de melhores ganhos futuros.03. no valor de R$ 5. Se fosse pactuado a juros simples. mensais e consecutivas.066. O valor pago montou a R$ 1. também. deseja-se saber qual o valor da prestação a ser cobrada. em comparação com outros profissionais não titulados. bem como a taxa real de juros já que o mesmo foi corrigido pelo INPC. em comparação com os que não têm titulação. q) Um título com valor de face de R$ 290.00.91.docx 64-201 . Existe a estima que a graduação em uma faculdade tenha um custo equivalente de $28.000 a de profissionais não graduados. Admitindo que estas estimativas estejam corretas. Deseja-se saber qual a taxa Engª Economica~Aulas~2012.000 acima daquele pago a pessoas não graduadas. o mercado vem praticando um salário de $3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA solicita-se estabelecer os multiplicadores dado as condições abaixo. ocorre uma previsão de renda anual superior em $ 6. dado o ganho de experiência. ENGENHARIA ECONÔMICA efetivamente paga.5% ao mês. A taxa de juros pactuada para o financiamento foi de 3. qual será a taxa interna de retorno prevista como resultado do investimento em curso superior? p) Um veículo no valor de R$ 28 mil foi financiado em seis prestações iguais. Há o entendimento. 6º. sendo operacionalizados por instituições ou bancos de investimentos. antes do reajustamento. o procedimento para amortização do saldo devedor é definido por lei e deve ser efetuado em conformidade com o art. Nos empréstimos de longo prazo. médio ou de longo prazo. Assim. seja amortizado em prestações mensais sucessivas. podem ser classificados em: de curto. Os juros. Deste modo. Nestes casos. os juros incidem somente sobre o saldo devedor e uma parte de principal é devolvida a cada período. sendo as importâncias envolvidas mais vultosas do que as consideradas nos empréstimos anteriores.” Os empréstimos de longo prazo são aqueles realizados com prazos superiores a dois ou três anos. podem ser citados: compras a prazo realizadas no mercado varejista de bens de consumo durável e os empréstimos em conta corrente realizados pelos bancos comerciais. Esses empréstimos são. por sua vez. são calculados período a período sobre o saldo devedor apresentado no período imediatamente anterior ao daquele em que se vai efetuar o pagamento de uma prestação qualquer.docx 65-201 .380/64. ENGENHARIA ECONÔMICA prestação nos empréstimos de longo prazo é composta de duas partes: os juros e a amortização. geralmente.1 – Tipos de Sistemas. PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS DO PERÍODO A amortização corresponde à devolução do principal ou do capital tomado emprestado a cada período o que permite reduzir o montante devido. E. gerando um novo saldo devedor para o período subsequente. quando adotados os sistemas de juros simples e compostos. Os empréstimos de curto e médio prazo geralmente saldados num prazo de até três anos são calculados conforme anteriormente discutido. que diz: “c) ao menos parte do financiamento. elas são distintas segundo a forma de calcular os juros ou a amortização. o novo saldo devedor somente deverá ser corrigido depois de amortizada parte da dívida existente naquele período. Sob a ótica do prazo. Amortizações de Dívidas 4. que incluam amortização e juros. de igual valor.03. No Brasil. a Existem diversas metodologias para a quitação dos empréstimos de longo prazo. O modo de pagamento de dívidas ou empréstimos é função do prazo. Como exemplos desses empréstimos. 4. A seguir são apresentadas quatro das metodologias mais utilizadas: Engª Economica~Aulas~2012. ou do preço a ser pago. alínea “c”. do montante e dos juros pactuado. o capital tomado rende juros durante todo o prazo pactuado. Após esta operação é que será efetuada a correção do saldo devedor. adotados para o financiamento de bens de capital utilizados por empresas e da casa própria. diferentemente do curto prazo.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 4. da Lei nº. Dentro deste contexto. a amortização efetuada em determinado período abate parte do saldo devedor existente. Sobre esse montante é que serão calculadas as prestações e as amortizações. Nesse caso. as prestações são decrescentes e a amortização proporcional ao número de períodos pactuados para a devolução do principal ou do saldo devedor.2.docx 66-201 . os juros são calculados. os juros poderão.03. os juros podem ser pagos.SAC Sistema de prestação constante . 4.SAC Ocorrendo a hipótese de não haver pagamento de juros durante o prazo de carência.1 – A metodologia A individualização do valor da amortização e dos juros que compõem cada prestação é importante para a escrituração contábil e da definição do fluxo de caixa líquido de cada exercício. No sistema de amortização constante.Sistemas de Amortização Constante . a= A amortização é lançada no balanço patrimonial como conta integrante do ativo imobilizado. SaldoDevedor PeríododeAmortização Definida a amortização. serem pagos durante o prazo de carência. período a período. ou não. Por prazo de carência é entendido como o período.2 . em que não ocorre o pagamento de amortizações..ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA • • • • • Sistema de amortização constante . Eles reduzem o valor real disponível pela empresa e podem alterar a atratividade de algum financiamento ou projeto de investimento. um fator a não ser menosprezado em financiamentos é quanto à consideração de impostos. No fluxo de caixa da empresa seu valor é reduzido pela influência dos tributos que incidem sobre a renda. ou períodos. ENGENHARIA ECONÔMICA Finalizando. registrando o aumento de patrimônio da empresa. sob a égide da matemática dos juros simples. No caso de avaliação do fluxo de caixa da empresa é considerada por seu valor integral. Conforme o contrato pactuado entre as partes. Neste caso. finalmente. aplicados sobre operações financeiras e que alteram a taxa real a ser paga pelo tomador do empréstimo. é obtida somando o valor dos juros à amortização anteriormente calculada. eles são incorporados ao principal. A prestação. Os juros são contabilmente lançados como conta de despesa. Quando ocorre a dispensa do recolhimento de juros durante a carência eles são incorporados ao principal gerando Engª Economica~Aulas~2012. integrando as contas de resultado do exercício. 4.PRICE Sistema americano Sistema de amortização variável Sistema de amortização crescente – SACRE/CEF. sobre o saldo devedor existente no início do período. durante o prazo de carência. o saldo a cada período fica acrescido dos juros vencidos e que são incorporados ao montante do financiamento. etc. taxas e comissões. ou não. O sistema SAC permite o estabelecimento de prazo de carência. 00 75.500.00 7. $/ Prestação 10.00 - amortizaçã 1º.00 ano 4.000. os juros poderão ser ou não incorporados ao principal..00 2..00 25.03..1 ... Define-se o montante a ser financiado. então..00 100.. E.000. foram pactuados juros de 10% ao ano e um prazo de carência de trinta e seis meses em que os juros incorridos deverão ser pagos durante este prazo. 4..00 45..00 25... .00 32...00 000 25 . n períodos O calculo da prestação..000. Prestação 5º. Para tanto...00 100...3... 6º. Calcula-se o novo saldo devedor diminuindo-se do saldo havido no início do período o valor da amortização. Repete-se sucessivamente esta operação até ser definido o valor da ultima prestação..........000.. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor.000..000.000. é sobre esse novo saldo devedor que a amortização deverá ser calculada.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA um novo saldo devedor..500.Exemplo.. D 00 = Juros 10% 10.000..00 40 00 3º.000.00 25.000.docx .00 - o a= Saque 100.00 10.000..000.00 25.000.Metodologia 67-201 . Ano 0 1 2 3 4 5 6 Tot.000.Sistemas de prestação constante .2 ..00 27. 4º...3 .. Amortizaç 25. JUROS AMORTIZAÇÃO 1 . 00 Engª Economica~Aulas~2012.00 cujo prazo da operação foi estabelecido em seis anos. Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo no montante de D$100.000.500.. A prestação do período é definida somando-se o valor da amortização ao valor dos juros calculados....00 35.00 10... 2º.000..00 5.000.00 100... segue a seguinte metodologia: 4. Em caso de carência..00 10.000.00 30... Calcula-se o valor da amortização.2. = 100 SaldoDeved or PeríododeA mortização Saldo 100.000.00 145.500.00 50.000.000.000.000. 03.3. então. também denominado de Sistema Francês tem como característica principal a constância do valor das prestações. sobre o saldo devedor. havendo ou não ocorrência de saldo residual. Como o valor da prestação é definido a priori. Repete-se a metodologia até se obter os valores da amortização e dos juros relativos à ultima prestação. Neste caso. os juros poderão ser pagos durante este prazo ou então incorporados ao principal. o valor da amortização é crescente e o valor dos juros decrescente. E a amortização de cada período é obtida diminuindo do valor da prestação o montante dos juros calculados. como foram estabelecidas. Adotando como nomenclatura: R(SP) = saldo devedor e R(SP) a prestação. (Juros)n = i × (Saldo Devedor)n-1 4º. Amortização = Prestação – Juros 5º. período a período. O valor da amortização é definido ao se diminuir do valor da prestação o valor dos juros do período. da mesma forma que no processo anterior. a dívida é quitada concomitantemente com o pagamento da última prestação. o resultado obtido já engloba o valor dos juros e da amortização. Calcula-se o valor da prestação. Engª Economica~Aulas~2012.Exemplo. Em caso de carência. em número e valor.docx A metodologia de calculo utilizada para definir prestação e os seus parâmetros de amortização e juros é a seguinte: 1º. tem-se: R(SP) = S(SP) x FRC n¬i Tendo sido pactuado prazo de carência. Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: Sn+1 = Sn – An 6º. sendo o valor da prestação definido segundo a metodologia da série de pagamentos postecipada.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O sistema de prestação constante. 4. os juros poderão ou não ser incorporados ao principal. 68-201 . Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor. Porém.2 . Define-se o montante a ser financiado. No sistema em pauta. E. Pelas próprias características do processo de cálculo. é possível ocorrer saldo devedor no final do contrato. os juros são definidos. considerado-a como uma série postecipada. 3º. 2º. As prestações são consideradas como uma série uniforme de pagamentos postecipados. as prestações devidas. 000.398.docx Como o método prevê o pagamento da ultima prestação em valor muito elevado. aumenta o risco do tomador em conseguir quitar a mesma. O Sistema Americano é caracterizado por não ocorrer amortização durante o prazo do contrato. Engª Economica~Aulas~2012. Nestas condições.000.75 Amortização R$ 16. 69-201 .03 6. fato que inibe sua adoção por parte de tomadores de crédito e por organismos financiadores.3 .O Sistema Price. com juros pactuados em 10% ao ano.379.Metodologia.74 4.602.362.00 a ser quitado em cinco anos.379.620. c) A taxa de cálculo utilizada é proporcional ao período da prestação.379.50 21. Logo: R = 100.379.75 26.75 26.03 23. com os juros do período acrescido ao principal.3. b) O pagamento das prestações comumente pactuado em base mensal.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Seja calcular o valor da prestação.000.53 45.75 131. em que não ocorre prazo de carência.00 83.578.00 Prestação R$ 26.379.75 18.00 Juros I=10% 10. O valor da prestação é dado por: R = S × FRC(5¬10%).75 26.2637975 = 26.4 .783.898.000.25 4.72 19. É importante notar que as prestações correspondem à uma série de pagamentos postecipada sendo eles iguais.00 8.981.560.379.O sistema americano.898. O sistema Price é uma variante do Sistema Francês largamente utilizado no comércio e definido com as seguintes características: a) Taxa de juros contratada em termos nominais.819.801. dos juros e da amortização referentes a um empréstimo no montante de D$100.981.017.4.30 2.75 R$ Per 0 1 2 3 4 5 Σ Saldo R$ 100.58 100.45 23.75 26. anuais e consecutivos. obtida a partir da taxa nominal.1 .16 31.000. 4. 4.379.00 × 0.25 65.03. o principal é quitado juntamente com a quitação da ultima prestação.58 0. normalmente referidas ao período de um ano. a juros de 7. via de regra. visando à estabilidade financeira da empresa.00 7.000.00 100.1 – Metodologia.000.00 7. este é um sistema extremamente flexível.000. pactuado por um prazo de quatro anos.000.5. podem ou não ser incorporados ao saldo devedor. E. em havendo prazo de carência.00 7.00 28.4. Engª Economica~Aulas~2012.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Ressalta-se que. seja um empréstimo no montante de R$ 100 mil.00 100.000.000. Como exemplo de aplicação do método americano. 2º O valor da amortização é estabelecido. não adotam esse sistema.000.Exemplo.00 4.00 107.00 128. para cada período. 4.00 Prestação 7. O Sistema de Amortização Variável é um sistema que difere dos anteriores. 3º Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor. segundo a capacidade de pagamento do tomador.000.5 – O sistema de amortização variável. Os juros são calculados sobre o saldo devedor. cujo objetivo é manter a capacidade de pagamento do tomador do recurso adequada às condições do fluxo de caixa. tanto o sistema financeiro brasileiro.00 7.00 7.000. Nestas condições.000. 4.docx Pelo exposto.2 . 0 1 2 3 4 Total Saldo Devedor 100.000. como os organismos internacionais de crédito.03. pois não existe definição de lei de formação na definição das prestações ou da amortização. As prestações metodologia: são determinadas segundo a 1º Define-se o montante a ser financiado.000. O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade de pagamento do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo projeto. Per.000.000.00 - Amortização 100.00 Juros 7% 7.00 100.00% ao ano.000. visando o manter superavitário em todos os períodos. 70-201 .000. tanto as amortizações como as prestações podem variar a cada período.00 100. Ressalta-se que este valor é definido administrativamente segundo a necessidade em manter positivo o fluxo de caixa da empresa. adotada no calculo dos juros pode ser variável a cada período. na data em que foi escrita esta obra.00 8.000. Como será visto no exemplo a seguir. ela é denominada de SELIC. iEFT.00 95.00 10.00 16.000.00 Amortização 5.000.75% ao ano.000. 4.03. os juros e a amortização de um empréstimo no montante de D$100.00 . iEFT = iReal+iBasica O valor dos juros é calculado sobre o saldo devedor existente no início de cada período.750. um empréstimo à taxa real de 12. corresponde à soma dos valores acima: Pn = An + Jn Per 0 1 2 3 4 5 6 Saldo 100. Como exemplos. nesta data.000. é pactuada uma taxa de juros real acrescida de uma taxa básica de juros que pode ser variável a cada período.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA (Juros)n = iEFT × (Saldo Devedor)n-1 4º Define-se o valor da prestação para o período: Pn = An + Jn 5º Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: Sn+1 = Sn – An 6º Repete-se o processo até se chegar ao valor da ultima prestação.000. ENGENHARIA ECONÔMICA Qualquer instituição financeira que pactuasse.000.00 90. a taxa SELIC estabelecida pelo Banco Central estava no patamar de 14.00 10. estaria praticando uma taxa efetiva de 22.00 85.2 – Comentários.00 7.00 9. No Brasil.000.25% ao ano. Seja definir as prestações.00 Prestação 10.00 17. o sistema de amortização variável utiliza a matemática dos juros simples. o valor da amortização. sendo utilizado em financiamentos nacionais ou internacionais.00 14.00 9.00 15.500. contratado por prazo de dez anos. no Brasil. A taxa de juros foi pactuada em 10% ao período sendo as amortizações variáveis segundo proposta do tomador.000. O primeiro passo necessário ao estabelecimento do valor da prestação é estabelecer.docx A prestação.5. 4. sendo dois de carência e havendo o pagamento dos juros relativos a este prazo.500.00 77.00 7. período a período. fato que altera o valor previsto para a prestação.00. Nesses casos.000.00 14. nos Estados Unidos de Prime Rate e na Inglaterra de Libor.Exemplo.00 100.00 100.00 5.000.00 71-201 Juros 10% 10. por sua vez.000. Engª Economica~Aulas~2012.500. Porém a taxa de juros efetiva.000.500.750.00 5.000.500.000.50% ao ano.000.5.000.3 . A taxa básica de juros varia de país para país sendo determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais.000. 00 20.00 20.000.750. A equivalência financeira ocorrerá a uma taxa de desconto maior do que a pactuada.docx 72-201 .00 20. a devolução do resíduo do saldo devedor.4.03. E. apenas.00 15.00 M 1 J0=p 4. J e a. respectivamente.2 – Relação entre Amortizações.00 24.000.00 5.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 7 8 9 10 Tot 67.000. As características deste sistema são três: i) o pagamento dos juros vencíveis no período é antecipado. 2 3 ······ a Pn = J 4. pode-se escrever as três principais características do Sistema Alemão:  M = a1 + a2+ a3 + ····· + an-1 + an  P0 = J0  P1 = P2 = P3 = ····· = Pn-1 = Pn Relacionando as prestações em função de suas variáveis e sabendo que cada prestação corresponde à soma dos juros e da amortização.00 4.000. O sistema alemão. não apresenta equivalência financeira entre o montante emprestado e as respectivas contraprestações.000.00 100. tem-se: P = amortização + Juros P0= M × i P1 = a1 + (M – a1 )× i P2 = a2 + (M – a1 -+ a2) × i P3 = a3 + (M – a1 – a2 .6 – O sistema alemão.00 - 12.500. dado suas características.1 – Característica.6.6.000. representando.000.00 40.000. porém esse resíduo tem o mesmo valor das demais prestações pactuadas.00 20.500.6. iii) ao ser paga a ultima prestação ocorre. 4. ii) as demais prestações são iguais para todos os períodos. Adotando como nomenclatura: M correspondendo ao capital inicial ou montante emprestado.a3) × i ······························································ Engª Economica~Aulas~2012.00 22. assunto a ser discutido no item 4.000.00 ENGENHARIA ECONÔMICA 19.00 55.250. ocorrendo o primeiro pagamento dos juros no momento em que ocorre a operação financeira. dada uma taxa pactuada. os juros e a amortização correspondente a cada período.000. P o valor da prestação.500.00 6.500.00 2.000. i)3 ··········· a 2 = a n × (1 .i) n-1 Sabendo-se que o montante do financiamento corresponde à soma das amortizações pode-se escrever.docx 73-201 .a1 .····· . verifica-se que os valores das amortizações estão em progressão geométrica cuja razão é {(n-1)-1}.i) ∴ a a n = n−1 (1 − i) 4.a3 . ou seja. pode-se escrever a seguinte série: M = p + an × (n-1) + an × (n-1) + an × (n-1) + ···················· + n-2 n-1 an × (n-1) + an × (n-1) 1 2 3 Como os termos da amortização estão em progressão geométrica.a3 .03. p = an.a1 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Pn-1 = an-1 + (M – a1 – a2. corresponde à soma de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (n-1).an × i ∴ an-1 = an × (1. por definição.i)1 a n-2 = a n × (1 .a2. Sabendo que a expressão da soma de progressão geométrica decrescente em que “a” corresponde ao primeiro termo.a3 . Por característica e definição do sistema alemão.a n-1 .an-1 .6. pode-se escrever: Pn-1 = Pn então.a2 . ENGENHARIA ECONÔMICA an = an a n-1 = a n × (1 .i) 2 a n-3 = a n × (1 .····· . de modo matemático: M = a1 + a2 + a3 + ····· + a n-1 + an ∴ 1 M= an + an × (n-1) + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ····· + an × (nn-2 n-1 1) + an × (n-1) A determinação do valor da prestação no Sistema Alemão é efetuada a partir da série de amortizações.····· . Da expressão acima.i)n-2 a1 = a n × (1 .··· .an-1 ) × i Pn = an + (M – a1 – a2 – a3 . an-1 + (M . “q” a razão e “n” o número de termos da série.an) × i ∴ an-1 = an . o valor financiado M.an) × i = an Como as prestações são todas iguais.an-1 ) × i = = an + (M . a última amortização apresenta o mesmo valor da ultima prestação. é dada por: Engª Economica~Aulas~2012.3 – Determinação da Prestação. Assim a expressão acima pode ser escrita da seguinte forma: Escrevendo a progressão em ordem decrescente dos termos visando facilitar a demonstração e os exprimindo em função do último termo. recebido e corresponde postecipada.03. o sistema alemão não apresenta uma equivalência financeira quando se compara o valor do empréstimo com a soma das prestações pactuadas à taxa estabelecida. 4. métodos a serem discutidos em capítulos posteriores.4 – Equivalência Financeira. ao valor do montante Engª Economica~Aulas~2012. obtém-se a expressão que define o valor da prestação no Sistema Alemão: a uma série de pagamentos M . 5% por período. sem carência. Então: a7 = p7 a a n = n −1 (1 − i) 74-201 . ∴ M-Mi 1 Seja determinar o valor das prestações de um empréstimo pactuado sob as seguintes condições: montante contratado de R$ 100 mil. 4. já que o soma das prestações equivale. financeiramente.5 – Exemplo.6. taxa de juros pactuada.Mi = p × FRC (n¬ iREAL%) ∴ (1-i ) × M = p × FRC (n¬ iREAL%) A parte de imagem com identificação de relação rId278 não foi encontrada no arquiv o. Para tanto.docx b) Calculo das Amortizações: Sabe-se que a ultima amortização corresponde à ultima prestação. neste sistema. recomenda-se utilizar a fórmula de Karpin.6. para a definição da taxa real de juros. o método de Newton Raphson ou da bisseção. A definição da taxa real ou efetiva de juros. sete anos de duração. é efetuada de modo mais complexo. Os procedimentos de cálculo devem ser realizados na seguinte ordem: a) Calculo da Prestação: A parte de imagem com identificação de relação rId279 não foi encontrada no arquiv o. 2 3 ··· n-1 n p A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à Taxa Interna de Retorno do financiamento. A parte de imagem com identificação de relação rId280 não foi encontrada no arquiv o. Então: Substituindo na expressão acima os valores da progressão geométrica. Como já comentado anteriormente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA A parte de imagem com identificação de relação rId277 não foi encontrada no arquiv o. exatamente. Período Saldo 0 1 2 3 4 5 6 7 Total 100.616.816.76 15.210.80 - Atenção! Visando corresponder à soma das amortizações.000. o saldo devedor é atualizado anualmente pelo valor da TR.990.000.574. O CES é um parâmetro referente ao Coeficiente de Equivalência Salarial.490.88 16. quais sejam: o encargo mensal . por sua vez.574.04 828. ou sistema de amortização crescente. O seguro.00 4.320. atendendo ao seguinte modelo: PM = (EM × CES) + Seguro Uma característica do sistema é ter a prestação mensal calculada em função do montante financiado e o seguro sobre o valor de avaliação do imóvel. ser feito trimestralmente. Tanto o CES como o seguro possui uma metodologia própria para sua definição.26 13. Nos dois primeiros anos do financiamento e pode a. periodicamente atualizado pela CEF. caso ocorra uma inadimplência do mutuário.00 - Amortização Prestação 12.279.00 74.000. o sistema 75-201 .574.06 16.390. que abrange morte e invalidez e são dois parâmetros a serem considerados no calculo da prestação.80 16.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ∴ an-1 = an × (1-i) ∴ a6 = a7 (1-0.746. porém fugindo do escopo deste curso a sua análise.82 100.docx O valor da prestação no sistema SACRE é definido pela soma de duas variáveis básicas.7.02 no valor da amortização da ultima prestação. para calcular o saldo devedor a cada período em que ocorre o reajuste da prestação.80 3.574.98 1.574. 4.06 R$ O objetivo do sistema é permitir a amortização de parcela expressiva do empréstimo no menor tempo possível e.82 - Juros 5% 5.00 5.00 87. partir do terceiro ano. Pelas regras da CEF atualmente em vigor.80 16.00 16.749.64 32. Engª Economica~Aulas~2012.74 0.82 16. ao montante tomado.80 16.074.574.7 – O sistema de amortização crescente .46 47.28 14.EM e o seguro.184.574.00 12.500.1 – O Sistema O SACRE. c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois modos.82 14.746. a critério da CEF. Finalizando.54 3. é um sistema de financiamento criado pela Caixa Econômica Federal visando calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da casa própria.52 2.80 16.574. reduzir o risco de perdas para a CEF. é dividido em seguro do imóvel e seguro pessoal.825.958.574.74 61.80 16.03.80 16. Fazendo incidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor ou diminuindo do valor da prestação o valor da amortização. 4.574. foi efetuado um ajuste de R$ 0. taxa referencial de juros utilizada no reajuste da poupança.363.SACRE.000.05) = 15. por sua vez. quando o valor desta for baixo. Como exemplo de taxas e considerando financiamentos realizados após 1994.03. A= P × CES n 6º . 4º . na Categoria de Risco 6 a taxa definida para a DIF é 0. A definição de cada taxa de risco deverá ser efetuada após consulta à CEF. respectivamente. Para tanto é leva do em consideração o valor da avaliação do imóvel. Para o exercício de 2006 foi estipulado em 1.Atualização monetária do financiamento. de: DIF.docx 76-201 .2 – A metodologia.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA utilizado é o de amortização constante.02402 % e para a MIP é de 0. a expressão da Prestação Mensal é dada por: PM = (EM × CES) + Seguro 3º . 5º .12. visando cobrir danos físicos ao Engª Economica~Aulas~2012. O CES é fixado por circular da CEF. a idade do tomador e o prazo de quitação. Como já definido.Calcula-se a amortização. Porém. DIF = valor da avaliação × taxa de risco × CES MIP = valor da avaliação × taxa de risco × CES 1º .Define-se o parâmetro CES.14429%. e MIP destinada a cobrir casos de morte ou de invalidez do usuário.7. são calculadas em função do valor do imóvel. da taxa de risco e do CES. ou seja. 2º . a taxa do risco a incidir sobre o financiamento é composta pela soma de duas variáveis: uma destinada a cobrir danos físicos ao imóvel e a outra para cobrir o risco de morte ou de invalidez do tomador. Seguro = DIF + MIP 4.Calcula-se o valor do seguro. a amortização pode variar e mesmo diminuir. estas taxas de seguro são denominadas. As prestações são determinadas adotando a seguinte metodologia: As taxas de seguro.Define-se o Encargo Mensal – EM EM = juros + amortização 1 P EM = (P × i) +   = P × (i + ) n n Em que P corresponde ao saldo devedor e n o número de meses pactuados para amortizar o financiamento.Define-se o valor da prestação mensal. considerando a variação da TR. Assim sendo. ENGENHARIA ECONÔMICA imóvel. O seguro. Ressalta-se que estas taxas variam segundo a categoria em que for classificado o imóvel. ENGENHARIA ECONÔMICA O cálculo da prestação de um imóvel financiado é definido pelo sistema de amortização escolhido no ato da compra.500. seus valores tendem a decrescer. 10. Amortização pelo Sacre traz vantagens ao mutuário.00 + 942.m. No final do contrato.640.7. nos dois primeiros anos do contrato.docx Embora comece com prestações mensais mais altas.51+ 808. se comparado à Tabela Price. Os juros foram pactuados em 1. fato a ser considerado quando da quitação das mesmas. o Sacre tem se revelado o mais vantajoso para o mutuário. PM = (EM×CES)+ Seguro. PM = (9. Seja calcular a prestação mensal relativa ao financiamento de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil. a TR) acrescida as taxas de juros de 8%.2006.3 – Exemplo. SD n+1 = SDn – Amortização do período Pelo sistema. O exercício deste item 4. 7º . dos quais R$ 300 mil serão financiados pela CEF. podendo ocorrer trimestralmente a partir do terceiro ano.Comentários Engª Economica~Aulas~2012.000 (0. as prestações mensais mantêm-se próximas da estabilidade.Calcula-se o novo saldo devedor.14429% × 1.6 consta do sitio da internet http://www. 02 Total do seguro = 942.51 MIP = 500.015 + 1/60) EM = 9. a) Calculo do encargo mensal – EM. b) Calculo dos seguros DIF = 500. Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) e Sistema de Amortização Constante (SAC) —.03. e o financiamento previsto para ser quitado em 60 meses.pro. o Sacre permite maior amortização imediata do valor emprestado. Na Caixa. c) Calculo do valor da prestação. o prazo máximo de financiamento pelo Sacre é de 20 anos. 77-201 . pelo sistema.53 = 11.02) PM = 10. Em 25.02402% × 1.53.5% a.08. a Caixa levanta o saldo devedor e aplica a correção pela variação do índice de reajuste dos depósitos na caderneta de poupança da pessoa física (atualmente. Das três opções oferecidas no mercado — Sistema de Amortização Crescente (Sacre).53 R$ 4.meusite. SD n+1 = SDn – Amortização do período 4.7.4 .12 = 134. o Sacre tem recálculo das prestações corrigido anualmente pelo banco.582.br.00 × 1.000 × 0. No decorrer do financiamento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA É possível que tenha sito pactuado que para o calculo de cada prestação o valor financiado deva ser atualizado monetariamente. No final de cada ano.000 × 0. não há os desagradáveis resíduos a serem pagos pelo comprador.5% ou 12%. de acordo com a modalidade de financiamento obtida. no máximo.12) + (134. Muito utilizado pela Caixa Econômica Federal.00 R$. porque reduz simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor do financiamento. EM = 300.500. só podendo ser comprometida 30% da renda familiar.12 = 808. 8. a. Jn correspondente ao montante dos juros devidos no período n. qualquer. SCn-1 exprimindo o saldo devedor no período anterior ja corrigido segundo o índice pactuado. Essa correção é efetuada segundo algum índice de previamente escolhido e atendendo a procedimentos legalmente aceitos. o saldo devedor a render juros no período seguinte. Os procedimentos necessários à determinação das prestações são os seguintes: No Brasil. SCn-1.apos ser abatido o valor de amortização do saldo devido nesse período anterior. SDn. é definido atualizando monetariamente o saldo devedor do período anterior. Com o objetivo de repor o valor aquisitivo da moeda corroída pelo efeito da inflação. 2º) Calcula-se o montante dos juros do primeiro período relativo ao capital tomado: Jn = i × SCn-1 SDn = (SCn-1 – amortizaçãon-1) × (1+Φ) 3º) Define-se o valor da prestação: Pn = an + Jn 4.1 – Procedimentos.amortizar Consequentemente. efetua-se a correção do saldo devedor existente. 4º) Calcula-se o novo saldo devedor: SDn = SCn-1 . o número de períodos a amortizar. n. Adotando como nomenclatura: SDn representando o saldo devedor num período qualquer n.8. • • A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano.8 – Correção do saldo devedor. sendo o valor da amortização. 4. 1º) Calcula-se o valor da amortização para o primeiro período: SCn−1 an = per.03.a Seja definir o valor da prestação. dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: 5º) Atualiza-se o índice de correção e define-se o fator de correção do saldo devedor.2 – Metodologia. 4.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA • O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. dada a jurisprudência vigente.docx 6º) Corrige-se o saldo devedor: SCn = SDn × In In−1 78-201 . O sistema de pagamentos ocorrerá por amortização constante. SAC. segundo a periodicidade pactuada. e In o índice pactuado relativo ao período n. a correção do saldo devedor é efetuada depois de quitada a prestação do período e efetuada a amortização do saldo devedor. Engª Economica~Aulas~2012. 721. Não incide correção sobre este valor.75 125.609. 1ª Prestação: Na primeira prestação.094425 4 54.000.571.00 50.050.000.75 125. Como aplicação. 329 1. INPC Período 0 1 2 3 4 5 Saldo Devedor 250. Solicita-se que o interessado realize os cálculos das prestações faltantes.96 18.docx Saldo Corrigido 218.01.885.00 25.803.803.92 Determinação das Prestações Saldo AmortiJuros Corrigido zação 10% 218.050481 Engª Economica~Aulas~2012.01.50 138.8798 2.147.00R$. 425 1.610.785.000.2004 01.305.79 Prestação 75.54 72. ou seja.000.2005 01.103834 2 69.3 – Aplicação ao Sistema SAC. Per 4.amortizar 5 Montante dos Juros: J1 = 250.803. os cálculos das três primeiras prestações.000.00 R$ Amortização: SC0 250.7654 2.000 = 75.163.27 72.25 21.0573 2.01. 834 1.885. tanto os juros como a amortização são calculados sobre o capital inicial tomado.3605 2.000. com juros pactuados a 10% ao período. sob o sistema da amortização constante.888. O saldo devedor deverá ser corrigido segundo a variação anual do INPC ocorrida no período. 378 1.6056 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 7º) Repete-se o procedimento até ser obtida a ultima prestação.00 × 0.000+25.00 200.01.061.87 Exercício 01.88 54.87 --- 0 1 2 3 4 5 Saldo Amortizado 250.610.094.357.2003 01. a seguir.00 188.103.00 164. Os juros e a amortizações de qualquer período subseqüente são calculados tendo por base o saldo devedor corrigido.00 188.00 76.357.000.000. R$ 250 mil.00 164.000.01.96 1.10 = 25.163.000. Valor da 1ª prestação: P1 = a1 + J1 P1 = 50.75 Por facilidade de entendimento dos procedimentos efetuados na determinação das prestações expostos da tabela acima demonstra-se. a ser quitado em cinco anos.55 62.061329 1 72.00 1. seja calcular as prestações de um financiamento de um equipamento no valor de R$ 250 mil. 481 Calculo do Saldo Corrigido Períodos Fator de Amortização a amortizar Correção 5 50.835.91 69.00 200.2006 Índice 1.00 a1 = = = 50.8.28 1.00R$ per. 79-201 .87 1.01.721.571.2001 01.25 1.9050 Fator de Correção 1.305.000.03.87 138.785.147378 3 62.000.2002 01.000. 3ª Prestação.357.00 × 0.10 = 18.00 – 54.amortizar 3 2ª Prestação: Montante dos Juros: J3 = SD2 × i J3 = 188.785. a juros de 9% a.00 R$ Valor da 3ª prestação: P3 = a3 + J3 P3 = 62.0573 SC1 = SD1 × 1 = 200.00 – 50.25 + 21. Calcular as prestações e os juros a serem pagos pelo credor considerando: • O sistema de amortização constante.835.00R$ I0 1.609.000.885. • O sistema de prestações constantes.885.50 = 76.885.79 = 76.amortizar 4 Montante dos Juros: J2 = SD1 × i J2 = 218.10 = 21.75 × 1.92 R$ Saldo Corrigido: I SC3 = SD2 × 3 I2 SD3 = 125.79 R$.55R$ 4.50R$.88 × 0.147378 = 188.721.835.163.357.571.00 a2 = = = 54. também não ocorrerá o recolhimento dos juros devidos.a.96R$ per.163.785.000. Saldo Devedor: SD2 = SD1 – a2 SD2 = 218.9 – Exercícios.25 = 164.docx 80-201 .888.357.610.785.885.8798 Amortização: SD2 188.721.88 a3 = = = 62. com pagamentos anuais.75 R$ Amortização: SC1 218.75 R$ Saldo Corrigido: I SC2 = SD1 × 2 I1 SD2 = 164. e carência de dois anos.357. a) Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado em sete anos.88 R$ Saldo Devedor: SD3 = SD2 – a3 SD3 = 188.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Saldo Devedor: SD1 = SD0 – a1 SD1 = 250.75 R$ Saldo Corrigido: I 2.96 + 18. Durante o prazo de carência. Engª Economica~Aulas~2012.25R$ per.000. Valor da 2ª prestação: P2 = a2 + J2 P2 = 54.03.96 = 125.88 – 62.888.571.000 × = 218.609.103.721.00 = 200.92 × 1. 834 = 138. bem como o montante do valor das prestações.000. .50 3º 6.02 .docx e) Considerando a aplicação efetuada no item 4. no prazo de 18 meses.Sistema de Amortização: SACRE. Para ambos os casos definir: o valor da prestação mensal e os juros.000.00 2º 4.2 0 7º 15.00. levando em conta a data inicial do contrato (08/08/2001 a 08/08/2002 e 08/08/2003). Engª Economica~Aulas~2012.66 . .Valor financiado pela CEF: R$ 40. g) Efetuar a aplicação do item 4. c) Uma construtora contraiu junto ao BNH um empréstimo de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações anuais e consecutivas.000. 81-201 . h) Uma empresa em fase de expansão obtém um financiamento no montante de R$ 4.66 = R$ 606. no Sistema Francês quando os juros pactuados são de 8% ao ano? (Estabeleça a data da operação financeira).00. através de uma poupança programada com juros pactuados de 1. recalcular as prestações adotando o sistema de prestação constante. Condições do contrato: . sem carência. que pratica o sistema Price a taxa de 22. 000.7.Seguros = R$ 39.0000% . . tais valores poderão ser recalculados trimestralmente.8 milhões a ser liberado em três parcelas quadrimestrais. Para tanto. 2ª – Utilizando financiamento de um banco de investimentos.Valor pago com recursos próprios: R$ 42. segundo a taxa anual de inflação abaixo.50 5º 10. O caso em questão refere-se a um contrato de compra e venda de bem imóvel e mútuo com alienação fiduciária em garantia. segundo o pactuado nos itens I e II. juros e principal.0 % ao ano. considerando o caso de prestação constante. Sabe-se que a TMA da empresa é de 14% ao ano.7 0 e) Sua empresa deseja substituir um equipamento cujo valor de mercado é de R$ 125 mil.6825% .Valor do bem financiado: R$ 82.1 0 6º 12. serão recalculados a cada 12 meses.Total a pagar = 39.Taxa Anual Nominal de Juros (%): 12.80 4º 8.00.Encargo Inicial – prestação (a + j) = R$ 566. Período Inflação % 1º 3.03. A partir do 3º ano. no dia correspondente ao da assinatura desde contrato. estuda duas hipóteses: 1ª – Efetuar a aquisição utilizando recursos próprios. O saldo devedor deverá ser atualizado anualmente.Taxa Anual Efetiva de Juros (%): 12.Atualização dos Encargos: nos dois primeiros anos as prestações de amortizações + juros + prêmios de seguros. f) Verifique se o calculo da prestação esta correto.36 . pede-se calcular as prestações devidas. financiáveis em dez anos. face os sistemas especificados para o calculo de cada financiamento considerado no exercício “a”.2. Qual será a composição da prestação anual.36 + 566.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA b) Comparar o montante dos juros pagos.25% ao mês. d) Partindo dos dados especificados no exercício “b”. -Prazo Amortização: 240 Meses .2.Valor da garantia fiduciária: R$ 82.7.Vencimento: 09/07/2001 . . caso venha ocorrer o desequilíbrio econômico-financeiro deste contrato.00. 000. 1. valor dos juros e da comissão de abertura de crédito.25% do saldo devedor. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa associado ao empreendimento. dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo no montante de R$ 300 mil. 0.000.00 3ª parcela .000. Valor tomado.1º quadrimestre 3.00 Tabela .000. a ser quitado em cinco prestações anuais. Taxa de administração Imposto sobre operações financeiras – IOF. 1% sobre o total geral. Imposto sobre operações 1% sobre o total geral.II Condições pactuadas Encargos Taxa nominal de juros 9% ao ano Período de capitalização Quadrimestral Comissão de abertura de crédito 0.assinatura 1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Solicita-se: • • • As planilhas que demonstrem o valor de cada prestação. Valor tomado.300.I Critério de liberação das parcelas Valor em R$ 1ª parcela . Cláusulas pactuadas item Taxa nominal de juros Período de capitalização Comissão de abertura de crédito sobre o valor total do financiamento. O custo efetivo.03. Foram pactuadas as seguintes condições: • A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano. • O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. 0. Carência Quatro (4) quadrimestres. financeiras – IOF.00 2ª parcela . do empréstimo. Efetue o diagrama de fluxo de caixa do financiamento. a 1ª parcela.5% no ato de liberação junto com sobre o valor total do financiamento. • O sistema de pagamentos ocorrerá por prestação constante. valor dos juros e da comissão de abertura de crédito. da amortização e dos juros incorridos.Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. mensal. Operação de sete anos. bem como o valor das prestações. Dois semestres. Serão pagos 5 anos Prestação constante Semestral O saldo devedor é reajustado semestralmente pela variação do INPC. Juros durante a carência Serão pagos Prazo do financiamento 5 anos Sistema de amortização SAC Período de amortização Quadrimestral g) Seja definir o valor da prestação. paga junto com a prestação. h) Calcular o valor das prestações dos financiamentos abaixo qualificados. Engª Economica~Aulas~2012.5% do valor do contrato cobrado no ato de adjudicação do contrato de financiamento. Tabela . os juros incorridos e a amortização a ser efetuada.docx ENGENHARIA ECONÔMICA h) Uma empresa visando implantar um novo projeto de produção obteve um financiamento no montante de R$ 750 mil. I – Sistema de Amortização Constante – SAC. Valor financiado junto com as prestações Carência Juros durante a carência Prazo do financiamento Sistema de amortização Período de amortização Saldo devedor Condições Contratuais 9 % ao ano Semestral. .2º quadrimestre 500. 82-201 . Saldo 0 250. .Financiamento com carência de três anos e Juros quitados durante a carência. Per.docx ENGENHARIA ECONÔMICA Juros – 10% Prestação NÃO Juros – 10% Prestação 83-201 .000.00 SAC com carência Saldo Amortizado Amortização Engª Economica~Aulas~2012. Operação de sete anos. 0 1 2 3 4 5 6 7 Total Saldo 250.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Per.00 1 2 3 4 5 6 7 Total SAC sem carência Saldo Amortizado Amortização 2.03.000. 84-201 .Calcular o saldo amortizado.000. Juros de 10% ao ano não quitados durante a carência.. Obs: a amortização do período subsequente é sempre calculada sobre o saldo corrigido...00 Índice de Inflação 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total Metodologia: 1º Passo: SAC com correção monetária e carência Índice de Saldo Corrigido AMORTIZAÇÃO Correção SC = AS x IC IC = ÍN ÷ I0 - 1º . Engª Economica~Aulas~2012...ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 3. 2º . Prestações anuais. Repetir o processo anterior..Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado.. Operação pactuada em janeiro de 2.. . – Financiamento com três anos de carência. Prestação corrigida pela variação anual do INPC. 3º ..docx Juros ..Para o 2º período calcular o valor da amortização sobre o saldo corrigido do 1º período. Per.03. 4º .Definir o valor dos juros..000..Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo financiado. Saldo Amortizado AS 250.Calcular a prestação: P = A + J. 5º .10% aa Prestação P=A+J - - 2º Passo: 1º . .03. Per.00 NÃO Sistema Francês com carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% Engª Economica~Aulas~2012.Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período.Financiamento com carência de três anos.000.00 Sistema Francês sem carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% 2. 1 . Juros quitados durante a carência.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA II – Método da Prestação Constante – Francês. Saldo 0 1 2 3 4 5 6 7 Total 250. Saldo 0 1 2 3 4 5 6 7 Total 250. Operação de sete anos. Operação de sete anos. Per.docx Amortização Amortização 85-201 .000. As prestações deverão ser corrigidas pela variação anual do INPC..000.. Engª Economica~Aulas~2012. .00 com três anos de carência. 3º .Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado.00 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total Metodologia: 1º Passo: Prestação constante com atualização monetária Índice de Saldo Índice de PRESTAÇÃO Correção Corrigido Inflação P IC = IN ÷ I0 SC = AS x IC - 1º . 2º .000. 86-201 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 3... Per. pactuados para não serem quitados durante o prazo de carência. Obs: a prestação do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido do período anterior. com base em prestações anuais.000.10% AA J - Amortização A=P-J - 2º Passo: 1º . Operação pactuada em janeiro de 2. Repetir o processo anterior..Calcular a amortização: A = P .docx Juros .J 4º .Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo financiado. Juros de 10% ao ano..Calcular o saldo amortizado.....03..Definir o valor dos juros..Para o 2º período calcular o valor da prestação sobre o saldo corrigido do 1º período. – Financiamento de R$ 250. Saldo Amortizado SA 250. 5º . A T E N Ç Ã O Dada a assertiva acima. Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada e o projeto permanecer viável. toda a metodologia de análise de investimentos se apoia no sistema de juros compostos quando trata do estabelecimento de padrões de comparação de capital ou na decisão quanto à escolha da melhor das alternativas propostas de projetos de investimentos.1 – Conceituação. Engª Economica~Aulas~2012. a engenharia econômica corresponde à área do conhecimento cujo objeto é a decisão sobre alternativas financeiras de investimentos. deve ter em mente que a decisão de eleger qualquer delas é prerrogativa do empresário. 87-201 .docx ENGENHARIA ECONÔMICA 5. 3. responder aos seguintes questionamentos: 1. com já visto. ou do decisor. a quem caberá a palavra final sobre aquela a ser eleita e a melhor oportunidade em deflagrar esse processo. 4.2 – Análise de Viabilidade 5. Qual a taxa de rentabilidade de uma aplicação financeira.1 .03. descreve as relações da equivalência de capital sob a ótica do binômio TEMPO E DINHEIRO. deste modo. Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de investimento. 5. –Engenharia Econômica. Como premissa para a tomada de decisão é que este processo só ocorrerá havendo a existência de alternativas de investimentos possíveis de serem comparadas. Por definição. 5. Não havendo alternativas não haverá decisão a tomar. As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência denominada Matemática Financeira que. Cabe ao analista de investimentos propor. Porém. Qual o incremento de riqueza que uma alternativa propiciará sendo implementada. Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 5. Para que qualquer alternativa seja considerada num processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e. desenvolver e hierarquizar o conjunto de alternativas de investimentos disponíveis. 2.Conceito de Viabilidade.2. de produtos em elaboração e de produtos acabados.2. 5) As fontes de recursos disponíveis. geralmente. salários e encargos sociais necessários para os primeiros períodos de operação do projeto.2.Orçamento de Investimento O orçamento de investimentos considera dois tipos de capitais: o investimento em capital fixo ou Imobilizado e o investimento em capital de giro. etc. 5. pois ocorrerá uma exigência distinta no nível de demanda de capital de giro a cada nível de produção considerado. administração do projeto. esse tipo de capital é apropriado em contas do ativo circulante. Custos de Produção a cada nível de demanda. despesas financeiras durante a construção. 3) O horizonte do prazo do investimento ou tempo de vida do projeto. esse capital é apropriado no item Ativo Não Circulante do balanço patrimonial. equipamentos. Ele compreende:os investimentos em: necessidades mínimas de caixa. 1) O orçamento de investimento. 2) As projeções operacionais. Exige cuidado a definição do aporte de capital de investimentos. Engª Economica~Aulas~2012. ENGENHARIA ECONÔMICA O capital de giro é representado pelos recursos necessários à operação quotidiana do projeto. ai considerando o capital próprio e o de terceiros.2 – Premissas.2. A demanda do produto corresponde à previsão da quantidade do mesmo a ser vendida a cada período de tempo. custos administrativos.2 – Projeções Operacionais As projeções operacionais de um projeto investimento são constituídas pelas estimativas de: • • • de Demanda do Produto.2. 4) O custo de capital.2. Contabilmente. financiamento de vendas. pois ocorre um comportamento distinto no fluxo nos dois tipos de investimento durante a vida do empreendimento. Preço de Venda do Produto.03. etc.docx No caso do capital de giro. estoques de matérias primas. construir a projeção dos fluxos de caixa e verificar se o projeto propicia um aumento de riqueza. montagens. As premissas que permitem analisar a viabilidade de um projeto. O investimento em capital fixo ou imobilizado engloba todo aquele investimento que não entrará no “giro” dos negócios tais como: terrenos. 88-201 . são as seguintes: Contabilmente. obras civis. recomenda-se avaliar a oscilação do mesmo para cada nível de produção.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Estudar a viabilidade de um projeto significa quantificar suas premissas.1 . 5. 5. despesas de engenharia. tempo de vida ou de operação de um projeto corresponde ao espaço de tempo que se pretende operar um empreendimento ou o tempo que o leva à obsolescência. mesmo que. É melhor esperar um momento adequado. eles devem ser incorporados ao fluxo de caixa. para tanto. em especial. Também não se deve comprar um imóvel sabendo que será necessário vendê-lo em seis meses.2.2. para o desconto de seus projetos. os analistas recomendam ter um horizonte de longo prazo. o horizonte de investimento de qualquer ativo financeiro ou de um ativo real depende do tempo estabelecido para obter um melhor retorno.docx É interessante notar que. que pode ser de seis meses. Engª Economica~Aulas~2012.3 – Horizonte do Investimento. Finalizando. definido como a taxa “ï” a ser adotada nos estudos financeiros da empresa. é taxa de remuneração desejada pelos proprietários pela remuneração do capital próprio aplicado. as denominações de: taxa de mínima atratividade. 5.2. como uma entrada de caixa. 89-201 . matematicamente. Esta taxa. havendo Investimento Fixo e/ou Capital de Giro residual. quando se compra ações. O preço de vendas pode ser estimado de dois modos: i) acompanhando o preço praticado pelas empresas líderes de mercado. ao termino da vida do projeto. custo de oportunidade.03. mas também pode não ser. Esta é uma recomendação natural para investimentos de maior risco. impondo o próprio preço ao mercado. ii) ou. esta quantidade varia com o tempo. os custos variáveis oscilam com a quantidade produzida. regra geral. há de se observar e analisar qual a quantidade ótima de produção que permite realizar o lucro máximo. taxa de desconto da empresa. a taxa de juros difere da Taxa de Oportunidade.4 – O Custo de Capital O custo de Capital é. Por definição. também. Considerando que. matematicamente. taxa de oportunidade. decrescente quando o produto fica tecnologicamente ultrapassado ou prescindível pelos consumidores. Ela. 5. Pode receber. por exemplo.2. é importante analisar o custo de produção a ser incorrido a cada nível de demanda. é crescente até alcançar a quantidade máxima de produção instalada e.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Normalmente. E. Teoricamente. ao final do mesmo. o ideal é que o investidor participe neste mercado com uma estratégia de ganhar dinheiro no longo prazo. o tratamento a ser dado a estes dois tipo de taxas possa ser idêntico. observar quais as quantidades de produção que permitem economia de escala e a quantidade ou ponto ótimo de produção a partir do qual se entra num processo de deseconomia de escala. Embora as ações possam ser vendidas a qualquer momento. Não convém aplicar hoje em ações o dinheiro que será usado para pagar a prestação da casa própria amanhã. horizonte de investimento. denominada de taxa de rentabilidade. comumente. Assim. Conceitualmente. O processo de análise financeira e a elaboração do fluxo de caixa projetado podem ser realizados disponíveis as seguintes informações: 5. por sua vez. O custo do capital próprio corresponde à remuneração desejada pelo proprietário da empresa ou pelo acionista pela utilização do capital empregado em qualquer projeto capital empregado. • • • • Avaliação da variação da demanda do produto durante o horizonte de projeto. 5. por definição. distribuídos no tempo. ou um capitalista.2. A análise da viabilidade financeira de investimentos é realizada realizando o estudo do fluxo de caixa projetado e associado a cada uma das alternativas desenvolvidas.2 . são: • • • • • Capital Próprio. Valor residual dos ativos imobilizados a serem alienados.3. ao serem consideradas alternativas que apresentem a mesma taxa de risco.3 – O Fluxo de Caixa. Ela corresponde à menor taxa de remuneração desejada por uma empresa. a taxa de juros corresponde à remuneração do capital paga pela utilização de um capital de terceiros. 90-201 . 5. Graficamente ele é representado em um gráfico cartesiano onde.docx O “diagrama de fluxo de caixa” é um instrumento que permite visualizar clara e concisamente uma série de fluxos de caixa.1 – Conceituação. Custos de Produção a cada nível de demanda. Conceitua-se fluxo de caixa.1 – Diagrama de Fluxo de Caixa. 5. Ver Fig. • Consideram-se fontes de recursos os fornecedores dos capitais necessários à implantação de um projeto e.3. Engª Economica~Aulas~2012. é a taxa estabelecida para a remuneração da aplicação de capital próprio.Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. Alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro e o faturamento. O custo de capital de terceiros corresponde à remuneração do aporte de capitais provenientes de empréstimos de curto prazo ou de financiamentos de longo prazo. Capital de Terceiros. como uma série de pagamentos e recebimentos de dinheiro.5 – Fontes de Recursos. 5. Utilização do capital próprio ou de terceiros.03. A Taxa de Oportunidade. o valor monetário de cada fluxo de caixa singular.2. basicamente. Taxa de mínima atratividade ou de retorno do capital. em abscissas. Horizonte do projeto. em ordenadas. Preço de Venda do Produto.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Isto porque. fica determinada a linha dos tempos e. para a remuneração de seus recursos. 3 – Calculo do Fluxo de Caixa. v . O diagrama de fluxo de caixa.O reinvestimento de fundos gerados pelos projetos. sinal (-). não vinculados ao projeto.3. Todo fluxo de caixa é lançado no diagrama no momento final do período em que tenha ocorrido.O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica das entradas e saídas de caixa que ocorrem durante o mesmo.3. 91-201 . vii . não há a consideração de risco ou incerteza.Decisões financeiras realizadas antes do início anterior do projeto em análise. ii .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Neste diagrama. elaborar o diagrama de fluxo de caixa dos projetos em análise visando facilitar o acompanhamento e entendimento do comportamento do fluxo associado a cada alternativa em análise e realizar um adequado tratamento matemático ao processo de calculo. Fk. k. sinal (+). 5. juros e amortizações.1 – Modelo do Fluxo de Caixa. registra o somatório líquido do somatório das saídas e entradas de caixa havidos num período. então.3. receitas ou entradas de dinheiro são representadas por setas voltadas para cima. Pagamentos ou saídas de dinheiro representadas por setas voltadas para baixo. 5. Seta voltada para baixo representando um fluxo de caixa negativo ou deficitário. iv .3.2. vi . apenas os capitais demandados pelo projeto.03.1 – Premissas e Convenções. A representação gráfica dos fluxos de caixa atender às seguintes convenções: • • Recomenda-se. iii . ENGENHARIA ECONÔMICA A correta montagem dos diagramas de fluxo de caixa – DCF exigem o cumprimento das seguintes premissas: i .A entrada de capital de dívidas.O montante de capital próprio empregado no projeto e o pagamento de dividendos.Lançar como investimento. genérico. especialmente ao iniciante no assunto. expressa graficamente o resultado ou saldo das movimentações de caixa havidas em determinado período.docx • deve Seta voltada para cima representando um fluxo de caixa superavitário ou positivo. Considerando que um fluxo de caixa. 5. Engª Economica~Aulas~2012.A priori. b) Despesas. do valor das receitas havidas. O valor do fluxo de caixa em dado período k é dado pelo modelo: Do acima exposto e. dependendo do volume monetário aplicado em investimentos. Especialmente o montante da depreciação dos ativos imobilizados ocorrida no período. d) Deduções são os incentivos fiscais que podem ser considerados como despesas e que permitem reduzir o lucro antes da provisão para o imposto de renda e da contribuição social sobre o lucro líquido. pode-se deduzir: i) as deduções que reduzem o imposto a pagar e o valor residual. Fk. Rec. especialmente. que expressa o montante do valor das desmobilizações ocorridas no final do projeto devido à venda dos bens imobilizados e. Basta. que correspondem ao faturamento ou ganhos a serem auferidos pelo projeto. das deduções e do valor residual havidos no período. ii) Pode ocorrer fluxo de caixa negativo. Fk = Σ Rec(k) . dos custos indiretos e dos tributos incidentes diretamente sobre o faturamento. pode ocorrer a existência de lucro em um determinado período e o fluxo de caixa ser negativo. c) Investimentos. mesmo tendo sido apurado lucro no exercício. equipamentos ou veículos e em capital de giro. no período. VR.03. melhoram a disponibilidade de caixa. motivo da razão social da empresa. a) Receitas. correspondendo ao somatório das inversões realizadas em ativo imobilizado. ao retorno do capital de giro inicialmente investido. da análise da expressão do fluxo de caixa. Lucro = Σ Receitas – Σ Despesas. A constatação da assertiva acima pode ser efetuada pela análise da expressão abaixo. a realização de um grau de investimento superior ao somatório do lucro. custos de produção ou tributos pagos.docx 92-201 . correspondendo ao somatório dos custos diretos. Então: Fk = Lucro – Inv + Ded + VR e) Valor residual. para isto ocorrer.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Tendo por nomenclatura: ENGENHARIA ECONÔMICA Alerta-se ao leitor que o conceito de fluxo de caixa transcende ao conceito de lucro. também. ao se substituir na expressão geral do fluxo de caixa os somatórios das receitas e despesas pela expressão do lucro. sejam eles imóveis.Σ Desp(k) – Inv(k) + Ded(k) + VR(k) Engª Economica~Aulas~2012. O lucro representa o resultado da dedução das despesas indiretas. Portanto. como sendo o VALOR de um ativo ao valor presente líquido do somatório dos fluxos de caixa descontados que ele for capaz de gerar.1 .3 – Valor Presente e Valor Futuro.4.Valor Presente de Múltiplos Fluxos de Caixa.2 . considerando o valor da moeda no tempo.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. pode ser expresso pela seguinte expressão matemática canônica. ou de qualquer projeto de investimento. $ VF O Valor Presente Líquido. VP(p) = ∆ RIQUEZA n período VP Fig. “n”.4. conforme Fig. De modo sintético.5. representa o número de períodos em que ocorrerá a entrada de caixa e “i”.4 – Valor Presente.Valor Presente de Fluxo de Caixa Único. a uma única saída ou entrada de caixa. 5.1 – Valor de um Ativo. expressa em valores monetários e medida na data de sua análise. No caso de se dispor de múltiplos fluxos de caixa. Define-se. o valor presente líquido associado a um projeto p corresponde ao somatório dos fluxos de caixa individuais. pactuada. é equivalente à quantidade de riqueza que ele poderá gerar.4. então. o valor presente VP de um único fluxo de caixa. ou incremento. fato que permite medir o incremento de riqueza por ele propiciado e expresso em valor monetário. VP ≡ VF 1 (1 + i ) n E. VF. respectivamente. a taxa de desconto ou TMA. corresponde ao 93-201 .1.2 – Valor Presente Fluxo Único A metodologia leva esta denominação de valor presente líquido.5.docx 5.03. em que.3.4.2. 5. Decorre dessa definição que o VALOR PRESENTE LÍQUIDO de um ativo. de riqueza propiciada pela implantação de um projeto de investimento. F0. pois considera todas as entradas e saídas de caixa associadas ao projeto. financeiramente. é a metodologia proposta para medir o acréscimo. 5. é dado Engª Economica~Aulas~2012. Como já visto no item 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA pelo modelo abaixo. 5.2. em que VP e VF correspondem. expressa na Fig.docx É interessante ressaltar que a curva representativa da função valor presente líquido.3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA fluxo de caixa inicial no momento zero e Fk o fluxo de caixa previsto para ocorrer no período k: VP ( p ) = Fo + n ∑ k = 1 (1 Fk + i) k Ou. mostra o diagrama de um fluxo de caixa descontado a taxas de desconto que variam entre 4 a 20% e onde é evidenciado o Valor Presente vinculado à taxa de desconto de 4% ao período.5. para se e elaborar tanto o diagrama de fluxo de caixa como o de valor presente de cada alternativa de projeto. se comporta de modo decrescente. quando referida a projetos de investimento convencionais.5. Engª Economica~Aulas~2012. em ordenadas. ao ser analisado qualquer projeto de investimento ou um conjunto de alternativas de investimentos. no eixo das abscissas as taxas de desconto ou TMA e. Como será visto no Capítulo-6. 5. disponíveis os diagramas de valor presente das alternativas vinculadas a um projeto.4.3 – Diagrama de Valor Presente. F1 F2 F3 Fn + + +L + 1 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n Alerta-se. o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa de “i%” ao período. Este diagrama exprime. Tal procedimento evita surpresas no processo de tomada de decisão. no intuito de visualizar o comportamento de cada fluxo de caixa singular. pelo polinômio: VP ( p ) = Fo + ENGENHARIA ECONÔMICA O exemplo exposto na Fig. torna-se mais fácil e definir adequadamente qual delas propicia o maior incremento de riqueza.6 94-201 . Investimentos definidos e classificados no item 5.03. de forma extensiva. contínua e convexa. Um importante instrumento utilizado para a análise do comportamento de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de Valor Presente. conforme será visto em capítulo posterior.3. 21. é possível ocorrer valores presentes negativos entre valores presentes positivos. é possível verificar a existência de valores presentes positivos.08. Nestes casos. 6%.docx 95-201 . Analisando o diagrama do valor presente.36. Resolvendo o polinômio acima para cada uma das seguintes taxas de desconto: 0. 3%.25. isto quer dizer que o polinômio representativo da função valor presente líquido pode apresentar diversas raízes reais. conforme diagrama expresso na Fig. obtém-se o valor presente líquido associado a cada uma das taxas.67.5. 9% e 12%. 194. Entre as taxas de 6% a 12% ocorrem valores presentes negativos. valores presentes positivos. segundo expresso na ultima linha da tabela da Fig.4. um projeto representado pelo seu fluxo de caixa: 850 450 520 570 630 680 320 VP = −1200 − + + + + + + 1 2 3 4 5 6 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 7 No diagrama da Fig.00.4 é viável entre taxas de zero a 6% e de 12 a 19%.4 – Exemplo de Aplicação. 449.5. pode-se traçar o diagrama de valor presente líquido do fluxo de caixa. 5. ocorrendo entre as taxas de zero a 6%.5: 1. Isto porque.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Ao serem analisadas alternativas de projetos de investimentos não convencionais. novamente. como exemplo de obtenção de um diagrama de valor presente.5.4. o que permite definir o valor presente do projeto para cada TMA especificada. A partir de 19%.0 %. Ver Fig.5. nada se pode afirma a priori quanto ao comportamento da curva. fato que pode induzir o analista a erro ao elaborar suas recomendações. e definir corretamente as taxas de desconto que propiciem valores presentes positivos e as que propiciam valores negativos. acima de 19%. os valores presentes são negativos. Solicita-se preencher os dados faltantes na tabela da Fig. Sob a ótica matemática. conforme disposto na tabela abaixo.120.6. Seja. Com os dados obtidos.5. Entre 12% a aproximadamente 19% ocorrem.03.5. Sendo inviável para TMA’s entre 6 e 12% e.4.5. recomenda-se elaborar graficamente o diagrama de valor presente visando amparar a análise de decisão.. é possível constatar que o projeto em questão passa a ser viável para Engª Economica~Aulas~2012. Pelo acima exposto. 754. constata-se que o projeto expresso por um diagrama conforme o da Fig. 00 Para investidores que praticam Taxa de Mínima Atratividade superior a 11.36 600. a Taxa de Mínima Atratividade.200. ela é adotada como taxa de desconto. o projeto torna-se inviável.36 449.00 0 3 6 9 12 Taxa de Desconto .67 194. onde é mostrada uma determinada TMA e o valor presente a ela correspondente. ou seja.1 – Conceito de TMA. 0 1 2 3 4 5 6 7 ∑ Valores Presentes em R$ i = 3% i =6% i =9% i = 0% 12% .6%. ao se calcular o Valor Presente Líquido .00 1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA investidores que praticam taxas de desconto.00 754. Pelo exposto. Ela é a taxa prevista para a remuneração das alternativas de investimento em análise.00 570. TMA’s inferiores a 11. Per. corresponde à menor rentabilidade desejada para a remuneração de um projeto.00 630.00 320.00 680.67 400. Engª Economica~Aulas~2012.00 .00 450.00 520.00 1. -400.5 – A TMA – Taxa de Mínima Atratividade 5.08 0.5.00 -200.850.00 200.5 – Tabela de Valores Presentes dos Fluxos de Caixa 1.03. i.1.00 449.VP(p) associado às diversas alternativas do projeto.i% 5.00 754.00 800. TMA.200. Ver Figura 5. já que o valor presente passa a apresentar valores negativos.000.5.120.00 1.7.25 -21.6%.25 -21.08 Fig. Por definição.00 194.docx 96-201 .120. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA VP ( p ) = Fo +  = 0 + n ∑ Fk k = 1 (1 + i) k 2 3  1 + + + ⋯ + 1 + .  1 + .  1 + .  1 + . Ou seja. capital de terceiros e financiamentos de curto e longo prazos. corresponde à taxa que zera função valor presente líquido. a alternativa que apresentar o maior incremente de riqueza será considerada como a mais interessante. noutras palavras. ENGENHARIA ECONÔMICA riqueza quer propiciam. Basicamente. não há sentido financeiro comparar valores presentes associados à alternativas de investimentos descontados à taxas distintas ou. a seu talante. b) Se empresa: No caso das empresas. definir a TMA como: Engª Economica~Aulas~2012. Matematicamente e partindo dos balanços da empresa pode-se. também. remunerados segundo parâmetros diferentes. o investidor singular determina. havendo diversas alternativas de investimentos propostas para a aplicação de um mesmo capital. a taxa de remuneração desejada para o capital disponível a ser investido.03. (GITMAN. é a raiz do polinômio representado pelo respectivo fluxo de caixa. 5.2 – Definição da TMA.5. a saber: capital próprio. as mesmas podem ser hierarquizadas segundo o aumento de ≡ = + 97-201 . 2001). Como já comentado. O custo médio ponderado de capital expressa o custo de todos os capitais mobilizados para financiar a empresa. sendo expressa pelo custo médio ponderado do capital da empresa. a) Se investidor: Neste caso. A taxa Interna de Retorno – TIR. Isto porque. deverá ser adotada a mesma TMA ≡ i para o calculo do valor presente líquido de cada uma delas.docx FLP Lucro PL i TMA Obtidos os valores presentes de cada alternativa. A TMA pode ser definida sob a ótica do investidor ou da empresa. a TMA corresponde à remuneração desejada pelos acionistas. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Em que: o lucro é definido pelo valor registrado no DRE; o PL, Patrimônio Líquido, corresponde ao total do patrimônio líquido registrado no Passivo; e, o FLP, representa o valor total dos financiamentos de longo prazo registrados em contas do exigível de longo prazo. Considerando o balanço de uma empresa expresso nas Tabelas 5.1 e 5.3, o valor da TMA ≡ i, é dado por: = 195.293,60 = 0,1236 → 12,36% 1.509.358,23 + 71.104,34 Pelo exposto, o custo de capital ou taxa de desconto da empresa é de 12,36 %. 5.6 – A TIR – Taxa Interna de Retorno A Taxa Interna de Retorno – TIR pode ser definida sob duas óticas: a. Matematicamente, corresponde àquela taxa que zera a função Valor Presente Líquido. Logo, é a raiz da função Valor Presente Líquido. b. Financeiramente, ela índica a maior rentabilidade que um projeto pode oferecer. 3 - DRE R$ + 956.712,25 3.1 Receita Operacional Bruta 3.2 Deduções à Receita (Tributos + Descontos) (-) 147.764,69 140.376,26 3.2.1 - Tributos 3.2.2 - Descontos 7.388,43 = 808.947,56 3.3 Receita Operacional Líquida 3.4 Custo de Produtos Vendidos (-) 470.370,65 3.4.1 – Produto A 92.630,65 178.230,00 3.4.2 - Produto B 3.4.3 – Serviços Técnicos 199.510,00 = 338.576,91 3.5 Lucro Operacional Bruto 3.6 Despesas Operacionais. (-) 40.267,59 3.6.1 - Despesas com Vendas 1.237,04 3.6.2 - Despesas Gerais e Administrativas 39.030,55 2 298.309,32 3.7 Lucro Operacional Líquido - EBITDA 3.8 Depreciação (-) 5.500,00 3.9 Amortizações (-) 4.166,51 3.10 Resultado Financeiro (-) 2.728,54 3.10.1 – Juros Recebidos (+) 4.194,35 3.10.2 – Juros Pagos (-) 6.422,89 = 254.531,74 3.11 Lucro Operacional 3.12 Resultado Não Operacional + 5.004,01 3.12.1 - Receitas Não Operacional 7.004,01 (-) 2.000,00 3.12.2 - Despesas Não Operacional = 259.535,75 3.13 Lucro Antes do Imposto de Renda - LAIR 3.14 Provisão p/ o Imposto de Renda – 15%+10% (-) 40.883,93 3.15 Contribuição Social s/ o Lucro Líquido – 9% (-) 23.358,22 = 195.293,60 3.16 Lucro Líquido do Exercício Tab.5.1 – Modelo de Demonstrativo de Resultados do Exercício 2 ( ) EBITDA = Earnings before interest, tax, depreciation, and amortization. Esta é a expressão utilizada em língua inglesa para o lucro operacional líquido. Ou seja, o lucro antes da incidência de juros, taxas, depreciação e amortização. Engª Economica~Aulas~2012.03.docx 98-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 1 - Ativo R$ 1.1 - Circulante 712.823.08 44.653.73 1.1.1. Caixa e Bancos 1.1.2. Recebíveis de Clientes 121.033.96 1.1.3. Aplicações Financeiras 23.872,07 1.1.4. Prov. Devedores Duvidosos (-) 4.430,51 1.1.5. Impostos a Compensar 1.037,12 1.1.6. Estoques Produtos Acabados 220.000,00 1.1.7. Estoques de Produtos em Elaboração 57.197,70 1.1.8. Estoques de Matérias Primas 70.934,41 1.1.9. Adiantamentos a Fornecedores 9.663,58 1.1.10. Contratos de obras 160.000,00 1.2 – Não Circulante 1.275.176,92 1.2.1 – Realizável em Longo Prazo 216.408,27 13.085,87 • 1.2.1.1 – Créditos em Coligadas 103.322,40 • 1.2.1.2 – Financiamentos a clientes 100.000,00 • 1.2.1.3 - Contratos futuros 1.2.2 - Investimentos 430.347,00 130.347,00 • 1.2.2.1 – Empresa A 300.000,00 • 1.2.2.2 – Empresa B 1.2.3 – Imobilizado 578.282,57 370.000,00 • 1.2.3.1 - Imóveis 100.282,57 • 1.2.3.2 - Equipamentos 129.600,00 • 1.2.3.3 - Veículos 21.600,00 • (-) Depreciações 1.2.4 - Intangível 50.139,08 30.139,08 • 1.2.4.1 - Diferido 20.000,00 • 1.2.4.2 - Patentes 1.4 - Total do Ativo 1.988.000,00 Tab.5.2 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas de Ativo Engª Economica~Aulas~2012.03.docx ENGENHARIA ECONÔMICA 2 - Passivo 2.1 - Circulante 2.1.1. Bancos 2.1.2. Fornecedores 2.1.3. Obrigações Fiscais a Recolher 2.1.4. Encargos Sociais 2.1.5. Encargos Trabalhistas 2.1.6. Outras Obrigações 2.1.7. Provisões R$ 294.039,54 61.325,00 165.895,52 10.181,46 11.283,18 10.500,00 30.070,75 4.783,63 2.2 – Exigível de Longo Prazo 2.2.1. Financiamentos a Pagar 2.2.2. Débitos em Coligadas 2.2.3. Contratos p/ Entrega Futura 184.602,63 71.104,34 13.469,61 100.028,68 2.3 – Patrimônio Líquido 1.509.358,23 2.3.1. Capital Social 1.156.110.00 2.3.2. Reservas de Capital 95.545,85 2.3.3. Reservas de Lucro 62.408,78 2.3.4. Lucros Acumulados no exercício 195.293,60 2.4 - Total do Passivo 1.988.000,00 Tab.5.3 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas de Passivo 99-201 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa. 5.7.1 – Modelo de Procedimento. A definição do fluxo de caixa a ocorrer em cada período vindouro é um processo de previsão dos recebimentos e pagamentos futuros, investimentos a serem realizados, tributos a serem pagos, deduções fiscais e depreciação dos ativos; e do valor residual disponível ao final do projeto. Um modelo de procedimento recomendável para a elaboração dos fluxos de caixa projetados é seguir modelo contábil do DRE – Demonstrativo de Resultado do Exercício. O exemplo da Fig.5.8, mostra a composição dos fluxos de caixa projetados, relativos aos meses de agosto a dezembro de 2.011, e que permite analisar, o fluxo de caixa projetado e, também, o nível de disponibilidade de caixa a cada período. O objetivo, então, é projetar: os recebimentos ou faturamentos futuros, preferencialmente em função da capacidade de produção prevista para cada exercício; os custos diretos de produção; as despesas indiretas sejam elas administrativas ou de vendas; os investimentos em ativos e em capital de giro; a depreciação e a os possíveis incentivos fiscais. Há que ressaltar que o valor residual dos investimentos resultante da venda dos ativos ao final do projeto, acrescido do retorno do capital de giro devido ao encerramento da produção, não constam do DRE. Porém, seu valor é considerado no ultimo período do fluxo de caixa. Engª Economica~Aulas~2012.03.docx ENGENHARIA ECONÔMICA Fluxo de Caixa Exercício 2.011 R$ mil Ago R$ mil Set R$ mil Out R$ mil Nov R$ mil Dez 326 42 149 0 523 137 219 80 550 144 230 84 606 159 254 92 630 170 260 90 2 - Tributos 55 87 92 101 110 3 - Custos de Produção Insumos Mão de Obra + ES Eletricidade 80 32 38 10 129 52 61 16 136 48 56 15 150 60 71 19 155 65 71 19 203 77 50 29 25 22 226 89 60 30 25 22 245 106 60 32 25 22 260 118 60 35 25 22 268 124 60 35 25 24 5 - Depreciação +8 +12 +12 +12 +12 6 – Lucro do Exercício -4 93 89 107 109 - 97 67 30 - 32 32 0 - 94 94 0 - 94 94 0 0 0 0 13 90 103 109 103 212 1 - Recebimentos Vendas a vista Contas a Receber Outros 4 - Despesas Fornecedores Honorários Salários Aluguel Impostos 7 - Investimentos Equipamentos Capital de Giro 8 - Fluxo Caixa Líquido -111 61 -5 9 - Saldo Caixa Anterior 145 34 95 10 - Saldo Caixa - Final 34 95 90 Fig.5.8 – Previsão de Fluxo de Caixa Analisando o Fluxo de Caixa da Fig.5.8, verificam-se: fortes investimentos nos quatro primeiros meses; dois fluxos 100-201 a depreciação.IR e a Contribuição Social Sobre o Lucro Líquido .03. ii) Verificar a necessidade de investimento em capital de giro quando a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a ocorrência de saldo negativo.1 – Influencia dos Tributos. o gestor dispõe de informações para avaliar os saldos disponíveis de caixa e. estes de competência federal. Residual 5.2 – Informações Gerenciais. ENGENHARIA ECONÔMICA tributos reduzem o valor do fluxo de caixa. q. o ICMS. é realizado utilizando o seguinte modelo matemático: Fk = Σ Rec f(q) .8. ii) sobre o lucro do exercício – LAIR. I – Tributos sobre o lucro. iii) Estabelecer a época e a oportunidade de implantar novos projetos ou aplicação de capital em havendo previsão de expressivo saldo de caixa. os tributos influenciam o Fluxo de Caixa de dois modos: i) diretamente sobre o faturamento. ter condições para: i) Analisar a viabilidade e o comportamento dos fluxos financeiros de projetos. Considerando que esses tributos incidem diretamente sobre o faturamento. A importância em conhecer a influência dos tributos e da depreciação na composição de um fluxo de caixa e.7.8 – Tributos e Depreciação. o Pis/Pasep. Disponível a previsão dos fluxos de caixa.5.Σ Desp f(q) – Invest. um crescente nível de caixa.1 – Demonstrativo do Resultado do Exercício. aumentam o fluxo de caixa pois reduzem tributos a pagar. k. Comentando a seguir a influencia dos tributos no fluxo de caixa: I – Tributos sobre o faturamento. em função da quantidade a ser produzida.docx No Brasil. 5. de competência estadual. ou qualquer outra dedução fiscal. mensalmente. eles podem ser tratados na formação do fluxo de caixa como sendo uma despesa operacional. Recomenda-se analisar o exposto no exemplo da Tab. O calculo do fluxo de caixa para cada período.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA negativos nos meses de agosto e outubro. + Deduções + V. 5. Os tributos mais comuns incidentes sobre o faturamento são: o ISS. de competência municipal. onde é mostrada a incidência dos tributos. deste modo. iv) Conhecer o saldo final de caixa ao fim de cada período ao se somar o saldo de caixa existente em período anterior. E. o COFINS e o IPI. 101-201 . Incide sobre o lucro operacional o Imposto de Renda . em consequência no calculo do Valor Presente é porque os Engª Economica~Aulas~2012.CSLL. Denominando a soma das alíquotas dos tributos incidentes sobre o faturamento de αFAT. d. d= Valor do Bem Tempo de Vida A depreciação participa da expressão do fluxo de caixa. pois ela melhora o Lucro Líquido do Exercício.αFAT) Σ Desp(k) – Inv(k) + αFAT Ded(k) + VR(k) Os investimentos podem ser classificados segundo a variação dos fluxos de caixa ou conforme a disponibilidade dos recursos para investimentos. 5.9. definido pela legislação.Inv + αFAT Ded + VR ENGENHARIA ECONÔMICA Assim sendo. conforme modelo do item anterior.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. Este procedimento permite reduzir o imposto de renda a pagar.2 – Influencia da Depreciação. como se despesa fosse. O investimento simples ou empréstimo é caracterizado por apresentar uma única variação de sinal em seu fluxo de Engª Economica~Aulas~2012.docx 102-201 .αFAT Lucro . Porém. um fluxo de caixa é dado pelo seguinte modelo: Fk = Lucro – Inv + Ded + VR Ao considerar o IR e a CSLL. fato que melhora o lucro do exercício. Segundo a variação do sinal dos fluxos de caixa os investimentos podem ser divididos em: • • • Investimento Simples ou Empréstimo. a depreciação. um percentual do investimento efetuado em ativos. a) Investimento Simples ou Empréstimo.αFAT) Lucro . Fk = (1 .(1 . conforme estabelecido na legislação fiscal do imposto de renda. o modelo acima pode ter a seguinte notação: Fk = Lucro . Existem vários métodos de depreciação. Fk. Investimento Convencional. a exceção de terrenos.8.9 – Classificação dos Investimentos.Inv + αFAT Ded + VR 5. O valor da depreciação é função do tempo de vida fiscal do bem. eles atuam sobre o lucro e também sobre a depreciação. Fk = (1 . é dada pela razão entre o valor do bem conforme lançado na conta do Ativo Imobilizado e o tempo de vida do mesmo.αFAT) Σ Rec(k) . 5. Investimento Não Convencional. A depreciação é uma dedução fiscal que permite abater a cada exercício fiscal.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Genericamente e inexistindo tributação. será considerado o método comumente aceite pela Legislação Brasileira.03. sendo o valor da depreciação do período multiplicado pela alíquota do Imposto de Renda incidente sobre o DRE da empresa. apenas fluxos de saídas de caixa (-) e.F6.9 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. quando o faturamento acontecerá após o período de implantação do mesmo.03. {-FO. +F3. siderúrgicos ou usinas beneficiadoras de leite.9. um movimento negativo.5. quando ocorrem investimentos pré e durante a fase de construção. empréstimos pessoais realizados por bancos comerciais. . +F4. . É uma situação muito comum de ocorrer na indústria da construção civil.F5. Além disto.F11. ocorre apenas uma variação de sinal no fluxo de caixa.5. Ver os projetos n. o que ocorre em projetos de hidrelétricas. a exemplo do anterior. + F8. ou seja. Fato que propicia a existência de fluxos de caixa negativos entremeados por positivos. o que exige cuidado quanto à decisão e escolha de investimentos neste setor. inicialmente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA caixa. +F7.7.9 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. -F1.5. a seguir. o primeiro fluxo de caixa deve ser caracterizado por uma saída de caixa. .5. + F12} Investimento Não Convencional F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 N1 + + + + + N2 + + + + + + + N3 + + + + Fig. F7 + F8 + F9 Investimento Convencional F0 F1 F2 F3 F4 C1 + C2 + + + F7 + + F8 + + F9 + + F6 + + Como exemplo de investimento convencional tem-se a implantação de algum complexo fabril. entremeados pela venda de unidades. seguido por uma série de fluxos de caixa positivos.docx Verificando os exemplos dados na Fig. Este caso é o que comumente ocorre em operações de crédito pessoal ou empréstimos à pessoa física. períodos de entrada de caixa (+). que apresenta cinco variações de sinal no fluxo de caixa. c) Investimento Não Convencional O investimento não convencional distingue-se dos anteriores por apresentar mais de uma variação de sinal em seu diagrama de fluxo de caixa. 103-201 . +F9. F10 F10 + F11 F11 + F12 F12 + Como exemplo de investimento não convencional temse o projeto nº N1 disposto na Fig. tais como: aquisição de um bem de consumo durável a exemplo de eletrodoméstico e automóvel financiado pelo comércio varejista. Ver o projeto nº S1 da Fig. .5.F10.9 – Tipificação dos Fluxos de Caixa F11 + + F12 + + b) Investimento Convencional O investimento convencional é definido como todo aquele em que ocorre. Engª Economica~Aulas~2012. sejam terrenos ou apartamentos.F2.º C1 e C2 da Fig. . os fluxos de caixa iniciais podem ser tanto positivos como negativos. Investimento Simples ou Empréstimo Nº F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 S1 + + + + + + F5 + + Neste tipo de investimento. havendo a aceitação do segundo. 5. Decisões separáveis devem ser tomadas separadamente. seja ou não aceito o segundo. completamente. projetos mutuamente exclusivos.O processo de decisão.2 – Disponibilidade de Recursos. simplesmente.9. Não há por que considerar num processo de decisão projetos definidos como independentes com aqueles mutuamente exclusivos.03. 104-201 . Quando se comparam alternativas de investimentos. aquele que mais aumenta a riqueza dos proprietários. que as receitas líquidas esperadas do primeiro não são afetadas pela aceitação ou rejeição do segundo investimento. uma serve de referência para a outra no processo de seleção. É preciso manter a visão clara e não entrar em comparações irrelevantes e que perturbem um processo decisório. portanto. Dois investimentos são considerados independentes quando é tecnicamente viável realizar um deles. Inexistindo alternativas. a) Investimentos Dependentes. quando for tecnicamente impossível implantar um deles em havendo a decisão de executar o outro. Investimentos Dependentes. segundo a restrição de capital o que permite analisar a viabilidade de sua realização. Havendo disponibilidade financeira para a execução simultânea de dois projetos distintos. Como as alternativas competem entre si. não há opção de escolha e.10 . Isto quer dizer que são comparados. o objetivo é definir o projeto vencedor. c) Investimentos Mutuamente Exclusivos Engª Economica~Aulas~2012. Os investimentos podem ser classificados. E. b) Investimentos Independentes. Diz-se que uma proposta de investimentos é economicamente dependente de outra quando os fluxos de caixa esperados da primeira proposta podem sofrer influência com a aceitação da segunda.docx ENGENHARIA ECONÔMICA Dois investimentos são ditos mutuamente exclusivos quando as receitas oriundas do primeiro cessarem. São classificados em três categorias: • • • Investimentos Independentes. não há decisão a tomar. Investimentos Mutuamente Exclusivos. não há necessidade em compará-los.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 5. Mas. verificar se ambos promovem o aumento de riqueza dos proprietários. apenas. apenas as diferenças existentes entre elas é que são relevantes para análise. Todas as decisões sobre análise de investimentos ou propostas de projetos de investimentos são tomadas a partir do desenvolvimento de propostas de alternativas de investimentos. Ou. Ao ser considerada a competição de alternativas. também. 1 – Exercícios Resolvidos. 1 1 + 490 × × FVP6¬10% 2 (1 + i) (1 + i)3 ∴ VP = 580 × 0. procedimento que vem a enriquecer a qualidade de sua analise.3553 = 2. 5.Exercícios Propostos.11. VF = 580 (1+ 0. 0 1 2 3 4 5 7 8 9 per. Engª Economica~Aulas~2012. Beneficio a) Calculo do Valor Presente e Futuro.11. Custo Anual Equivalente ou Equivalente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Os métodos discutidos neste livro permitem amparar a tomada de decisão financeira ao estabelecer parâmetros capazes de permitir a comparação e hierarquização das alternativas de investimento segundo o incremento de riqueza proporcionado por cada uma das alternativas ou a rentabilidade das mesmas. 580 Anual Visando melhor amparar o processo decisório. 10% ) ∴ VF = 580 × 1.00/período É muito possível que a adoção de um único método. Calcular o Valor Presente e o Valor Futuro do projeto abaixo. A Taxa de Desconto é de 10% por período.8264 + 490 × 0. São eles: • • • • Valor Presente Líquido.docx 6 105-201 . Retorno do Capital ou Pay-Back. Taxa Interna de Retorno.Calculo do Valor Presente.66 $ VP = 580 × 2º .03. R$ R$ 490.Calculo do Valor Futuro. representado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. não satisfaça as exigências de um bom processo decisório. vários dos métodos apresentados e não se limitar a simples adoção de apenas um deles.7513 × 4.11 – Exercícios. 5. coincidentemente com o ultimo período do fluxo de caixa.10) 7 + 490 × FVF (6.082. recomenda-se ao analista que elabore a hierarquização das alternativas considerando. conjuntamente.7156 = 4.931. isoladamente.9847 + 490 × 7. 1º . que o Valor Futuro é dado no 9º período. 5.77 $ É importante lembrar.2 . 000.Previsão Anual de Faturamento sobre a Capacidade Instalada Total Ano 1 2 3 4 5a7 Percent 40% 50% 60% 70% 100% d) Uma empresa remunera seus ativos a uma TMA de 12% ao período.docx Quadro 1 – Informações Contábeis Investimento inicial Salários diretores/ mês Salário pessoal da produção/mês Salário pessoal administrativo/mês Previdência Social .000.00 Salário pessoal administrativo/mês 7.000. Adotar a taxa de 10% ao mês como custo de oportunidade. b) Determinar o valor presente de um projeto com horizonte de quatro anos.000.00 Previdência Social/mês 5.00 Aquisição de Máquina 3.500.00 3. − Os dados relacionados no Quadro 1 mostram o percentual de utilização da capacidade instalada em cada ano. − A previsão de vendas evoluirá segundo as estimativas expressas no Quadro 2.00 1.400.00 3.000.00 Investimentos em imobilizado podem ser vendidos por 25% do valor de Engª Economica~Aulas~2012.00 Venda de produtos/mês 33.00 Aluguel de Terreno/mês 4.mês Venda de produtos c/ capacidade total – mês Valor residual do item 1.150.000.900. Valor R$ mil 240. esta analisando um projeto de investimento 106-201 .500.00 Recebimentos diversos/mês 6. 6.900.00 Matérias primas p/ 4 meses. Sabe-se que: − O tempo de vida do projeto foi estimado em sete anos.900.00 48% Quadro 2 .555. − A taxa de mínima atratividade adotada é de 15% ao ano. item Valor R$ mil Investimentos capital de giro 3.250. cujos dados estão relacionados no quadro abaixo.00 63.mês Matérias primas . Individualizar o que é receita. Investimento. ENGENHARIA ECONÔMICA aquisição findo o prazo do projeto.500.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA c. Calcular o valor presente e o valor futuro do projeto representado pelo diagrama dos fluxos de caixa abaixo.03.00 Venda de equipamento 3.500.000. c) Calcular o valor presente de um projeto cujas características operacionais estão relacionadas a seguir.00 7.00 18.00 8.00 Salários diretores/mês 8.00 Material de consumo/mês 900.mês Material de consumo .00 Salário pessoal da produção/mês 12. despesa ou investimento.900. o projeto parece viável por se mostra positivo em R$ 765.400. Ao ser descontado o fluxo de caixa de cada período a TMA de 12%.00 510.00 790.docx × 1 (1 + i)n Valor Presente $ (-) 940.37 107-201 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA representado pelo respectivo fluxo de caixa projetado. Solicita-se.00 450. Fluxo de Caixa $ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑ -1.00 Engª Economica~Aulas~2012. Assim sendo deseja-se saber se a implantação deste projeto é viável para a empresa.000. também. verifica-se que o projeto é financeiramente inviável pois seu valor presente líquido é de (-) 940. simplesmente. bem como traçar o diagrama de valor presente. Período.00 680.00 -1. Havendo. a soma dos fluxos de caixa projetados.00.03.37 R$.00 (+)765.00 550.00 605.00 -420.00 0. definir o fator de valor presente associado e o valor presente associado a cada fluxo de caixa. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 6.1. a primeira. cultura da mão de obra. a legislação trabalhista de cada país. Seria ilógico adotar múltiplas taxas de retorno. os seguintes procedimentos devem ser observados: • • • • Comparação projetos na mesma classe de risco. Comparação de projetos com idêntica vida útil. uma mina de ouro na Tanzânia. o comportamento do mercado de cada uma delas.Projetos com idêntica vida útil. Método do Valor Presente. quando comparam projetos dentro de uma mesma classe de risco adotam a mesma taxa de desconto como referencia. projetos com idêntica vida útil. Como exemplo. 108-201 . taxas distintas para cada projeto. Ao se proceder a comparação de alternativas com distintas durações.1. Adoção da mesma taxa de desconto. os resultados obtidos devem ser compatíveis financeiramente. política governamental. 6. 6.Projetos na mesma classe de risco. Ao se comparar alternativas de investimentos. com os demais projetos.1. uma malharia situada no pólo têxtil de Santa Catarina . estes projetos são incomparáveis.1 .A mesma taxa de desconto.1 – Coerência de resultados. Facilmente se depreende que os riscos associados a cada uma das alternativas acima citadas tais como: local do empreendimento. Logo. Assim sendo. são muito distintos. há que haver a compatibilidade temporal entre elas. 6.03. pois não tem sentido comparar alternativas muito distintas.3 . adotam a TMA – taxa de mínima atratividade ou a TIR – taxa interna de retorno como parâmetro de decisão e de desconto dos fluxos de caixa. sejam eles institucionais ou pessoas físicas. a decisão sobre projetos de investimento deve ser realizada comparando alternativas que possuam certa semelhança. ou seja. relativo a bolsas de valores ou de mercadorias. tipo de gestão. 6. ENGENHARIA ECONÔMICA enfim.docx ( ) Bursátil. seja o caso de duas alternativas.2 . A coerência dos resultados inicia-se ao se eleger para comparação projetos cujo risco seja equivalente. Estes procedimentos são analisados a seguir. Distinção dos projetos de longa duração ou grande vida útil com projetos.Brasil. 3 Engª Economica~Aulas~2012. a segunda. Assim sendo. A TMA geralmente adotada em processos de decisão relativos a investimentos produtivos e a TIR quando da aplicação em investimentos financeiros ou em aplicações bursáteis (3). Investidores. Para tanto. ou seja. custos. também.2 – O Método do valor presente.2. de todas as entradas e saídas 109-201 . ENGENHARIA ECONÔMICA Carece de sentido utilizar os procedimentos relatados no item 6. fica muito difícil. um projeto que tenha duração t igual a n anos com outro que disponha de t=k anos de duração. O longo prazo. a exemplo de plantas de fabricas de cimento ou de usinas elétricas e mesmo parte de seus equipamentos como geradores e rotores. 1984). a denominação de valor presente líquido. Engª Economica~Aulas~2012. pois cada alternativa deve ser expressa em termos de todas as receitas. No item 6. investimentos e benefícios fiscais e tributos nela incidentes.3. maior do que 15 ou 20 anos de duração. via de regra.3 serão discutidos diversos procedimentos capazes de compatibilizar os horizontes de alternativas de projetos que apresentem distintas vidas úteis.1 – Incremento de Riqueza. de serem elaboradas considerações e definidas premissas sobre outras oportunidades futuras de investimentos. Investidores.03. E. ao disporem de recursos livres oriundos do término de outros investimentos. nesta situação de alternativas com distinta duração.docx 6. Ressalva-se que a análise desta situação foge ao escopo deste curso. os interesses dos proprietários ou o comportamento da economia a ocorrer em futuro muito distante Assim sendo. A assertiva acima é amparada numa premissa da análise de investimento e no procedimento de reinvestimento de recursos livres comumente adotados por investidores. sendo k≠n. no presente. pela qual recomendamos consultar a bibliografia complementar. Assim sendo. é entendido como sendo o final do horizonte de planejamento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Não há sentido financeiro comparar. devem ter seus tempos de duração considerados de modo adequado. Projetos com previsão de vida útil demasiadamente longa. horizonte este definido pelo projeto de maior duração. O método do valor presente. pois o tempo de exploração se mostra suficientemente longo. ou seja.Distinguir projetos de longa duração. Justifica-se esta falta de sentido. antecipadamente. medido na data em que foi realizada a análise ou avaliação de um projeto. considera o valor da moeda no tempo. dada a impossibilidade de prever. o surgimento de novas tecnologias. (Soto Costa & Attie.1. 6. os reinvestem em outras alternativas disponíveis ou em alternativas semelhantes. se torna inverossímil qualquer previsão quanto à reaplicação de recursos financeiros e continuidade de projetos sobre qualquer alternativa que será finalizada num tempo longínquo. também denominado de valor presente líquido. 6. Nesta situação.4 . só se pode comparar projetos que apresentem a mesma vida útil. simplesmente. Utiliza-se. a premissa em questão recomenda eleger a alternativa que propicie a maximização da riqueza dos proprietários em longo prazo. pois estes artifícios são adotados para projetos com menor horizonte de vida útil. é dado por: VP(p) = ∆ RIQUEZA Dado a conceituação acima. incorporação de edificações. por sua vez. o horizonte do projeto e definida a TMA pelo proprietário.Decisão.03. especialmente recomendado para a decisão sobre investimentos produtivos. qualquer. VP(p) corresponde ao valor atual ou valor presente líquido associado ao projeto p. O método favorece a decisão quanto à hierarquização de alternativas disponíveis para investimento de capital. Fn um fluxo de caixa genérico a ocorrer num momento n. e. Enfim. E.docx Fn • VP(P)=0. ENGENHARIA ECONÔMICA A TMA. VP(P)>0. então. Engª Economica~Aulas~2012. etc. quando descontados a uma taxa de desconto i. visa determinar o valor presente líquido associado a uma alternativa de projeto de investimento. depois de calculado o VP(p) – Valor Presente Líquido utilizando o modelo acima podem ocorrer três situações: • 6. sendo i ≡ TMA. k VP(p) = F0 + ∑ n n=1 (1 + TMA ) Em que: F0 representa o fluxo de caixa no momento em que é efetuada a decisão ou o fluxo de caixa inicial.2. 110-201 . n o número de períodos integrantes do projeto ou horizonte de projeto. o valor presente líquido do projeto. a exemplo de: implantação de unidade fabril completa. especialmente naquelas cujo objeto seja a implantação de ativos produtivos. a TMA a taxa de desconto adotada pelo investidor como a rentabilidade desejada. Matematicamente. Por definição. nova linha de produção.2 . como o próprio nome diz. o método é recomendado para ser utilizada em qualquer tipo de decisão financeira. campanha publicitária. não causando aumento na riqueza do proprietário. o método do valor presente é compatível com a 1ª e a 2ª das premissas adotadas em investimentos de alternativas de projetos e expostas no Capitulo 1. neste caso ocorre o que se denomina de indiferença de projeto. Estabelecidos os fluxos de caixa. este é o caso de projeto viável. permitindo uma análise sobre o incremento de riqueza produzido. o que o torna este método extremamente atrativo como instrumento de decisão. O processo. O investimento é remunerado à taxa tradicionalmente obtida. corresponde à soma algébrica dos valores presentes associados aos fluxos de caixa integrantes do projeto. o valor presente líquido de um projeto de investimento qualquer p.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA de caixa. parâmetro que exprime o incremento de riqueza propiciado a esta alternativa. corresponde àquela taxa que oferece a melhor remuneração a ser obtida por um fator de produção. O projeto aumenta a riqueza do proprietário em valor superior à remuneração tradicionalmente obtida. 1º) a margem de retorno estabelecida. apenas. ou taxa de mínima atratividade é mantida sem haver acréscimo de riqueza além do habitualmente obtido. este é o caso de projeto inviável. TMA% I .. a remuneração oferecida pelo projeto é equivalente a que vem obtendo tradicionalmente para a remuneração de seus ativos.. Para que o valor presente líquido de um investimento seja zero. quando o projeto descontado à TMA apresenta um VP negativo..Quando VP(P)=0... há que ocorrer: VP(P) = −F0 + k F n = 0... o critério de decisão deverá eleger a alternativa que apresentar o MAIOR valor presente líquido.6. a que trata da maximização da riqueza. Nesta situação. pode ser facilmente entendido ao se analisar um projeto de investimento qualquer. pois.. Esta situação configura um caso de indiferença financeira. Comentando as três situações possíveis de ocorrer: VP(p) > 0 → Projeto Viável VP(P) = 0 → Projeto é Indiferente VP(p) < 0 → Projeto Inviável.... que disponha.1 – Valor Presente Líquido Engª Economica~Aulas~2012.. o valor presente do retorno esperado é equivalente ao valor do capital investido... F Depreendem-se da assertiva acima dois fatos: período s F0 0 .03. de um fluxo de saída de caixa inicial. sob a ótica do investidor.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA • ENGENHARIA ECONÔMICA VP(P)<0. Critérios de Decisão O conceito de se adotar o método do valor presente líquido como medida do incremento de riqueza. Ver Fig.6. ∑ (1 + TMA )n n=1 Nesta condição.1. Esse critério de decisão é coerente com o exposto na 1ª Premissa da matemática financeira.docx 111-201 . mostra que o projeto reduz o ganho tradicionalmente desejado.. F0. Fig... P. e de uma única entrada de caixa projetada. Fn. No caso de haver a análise de um conjunto de alternativas mutuamente exclusivas.. Ao ser aplicado este capital em um determinado investimento produtivo pelo prazo de cinco períodos.00 FIg. F0 e Fn. não é o caso de abandonar pura e simplesmente a alternativa.6.2 – Caso da Indiferença de Decisão. mas remunera os ativos investidos à taxa habitualmente praticada. TMA Fn n (1 + TMA ) = −150. é igual à TMA. Assunto a ser discutido no capítulo 9. O investimento em pauta. Visando um melhor entendimento dos conceitos efetuados e uma análise do resultado obtido. taxa esta denominada de TIR e que. é previsto um retorno de R$ 343. a TMA. 6.00 e que analisa os seus investimentos adotando uma TMA de 18% ao período. Seja. uma empresa ou investidor que dispõe da importância de R$ 150.16 (1. Descontado este fluxo de caixa de R$343. atribuindo valores aos dois fluxos de caixa.00=VP 1 2 3 -150. ele não aumenta a riqueza do investidor já que remunera o capital investido exatamente na porcentagem que o investidor vem obtendo tradicionalmente pela aplicação de seus recursos. Engª Economica~Aulas~2012. 112-201 . ou seja. no valor da TMA de 18%.2 – Caso da Indiferença de Decisão de Somado este valor ao investimento inicial o resultado corresponde ao valor presente líquido do investimento efetuado. sob a ótica do aplicador que deseja uma remuneração de 18% sobre o capital investido. pois ela pode ser a única oportunidade dentro da margem de risco desejada.16 150. projeto pode não propiciar um incremento de riqueza.18)5 =0 Aparentemente. Finalizando. VP(P) = F0 + Porém. quando ocorre o caso de VP(P)=0.00 + 343. como se pode constatar. cujo valor é zero.00. neste caso. então.16. obtém-se um valor presente de R$ 150. Assim sendo. Quando o valor presente líquido de uma alternativa de investimento for zero. simplesmente corrige o capital inicial a uma taxa igual a da TMA habitualmente praticada. o investimento não propiciou um aumento de riqueza maior do que o tradicionalmente obtido pelo aplicador Ver Fig.docx 343. a seguir é efetuado um exemplo numérico do caso em questão.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2º) o projeto foi descontado à maior taxa de remuneração que ele possa oferecer.16.03.16 a 18%. o projeto é rentável já que apresenta um retorno bem superior ao investimento inicial de R$ 343. Assim sendo.Quando VP(P)<0. seja um projeto que oferece uma projeção de retorno após cinco períodos no montante de R$ 395.00. ∑ (1 + TMA )n n=1 113-201 .docx k F n . Matematicamente. o projeto é rentável e aumenta a riqueza em valor superior ao da simples correção do capital investido tendo como taxa de rentabilidade a TMA.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto F0 > Nestas condições. Considerando o modelo de calculo do Valor Presente: k Fn VP(p) = F0 + ∑ n n=1 (1 + TMA ) Para que ocorra VP(P)>0.03. significa que o valor presente do retorno previsto. é uma situação que caracteriza a aceitabilidade do projeto sendo o mesmo considerado viável.00 = −150.00 + = +22.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA II . deve-se ter: F0 < k F n . O valor presente líquido do projeto é calculado em R$ 22.6. pois propicia um incremento de riqueza em valor superior aquele que vem sendo tradicionalmente obtido. Para que ocorra VP(P)<0. Quando descontado este valor à taxa de 18% ao ano obtêm-se um valor presente de R$172.66=VP 1 2 Logo. Exemplificando numericamente. Engª Economica~Aulas~2012.00 172. 395. 6.Quando VP(P)>0. o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa é dado por: VP(P) = F0 + Fn 395. ∑ (1 + TMA )n n=1 Financeiramente. é financeiramente superior ao valor do capital investido.00 III . descontado à TMA.66R$ n (1 + TMA ) (1.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto.66. deve-se ter: Fig. fica caracterizado que o projeto produz um incremento de riqueza em proporção superior ao habitualmente obtido. deve ser considerado como viável. 3 F0= -150.18)5 Como pode se constatar. Ver Fig.66. 87. sendo o valor presente líquido associado ao fluxo de caixa projetado de um investimento um valor menor do que zero. o ganho de capital é superior ao investimento inicial. 18%. Ver Fig. quando o retorno for descontado à taxa de mínima atratividade.87=VP 1 2 3 períodos 4 5 Generalizando o caso analisado. ou seja.00. o valor presente deste fluxo de caixa é de R$ 139. Mesmo sendo previsto um retorno superior ao investimento inicial. Efetuando o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa: Engª Economica~Aulas~2012. Logo. segundo a remuneração desejada de 18% ao período pode ser ou não interessante ao aplicador realizar este investimento de capital. Calculado o valor presente líquido do projeto.18)5 = −10.docx 114-201 . ele deverá ser considerado inviável. no valor de R$ 320. após cinco períodos.6. Porém. Retomando o exemplo anterior e considerando uma projeção de retorno.00 + 320. o retorno previsto do investimento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Nesta situação. pois ela não remunera o investimento efetuado. 6. Os resultados obtidos podem ser facilmente visualizados e entendidos. ou seja.4 – Caso da rejeição do projeto.00 Fig. ENGENHARIA ECONÔMICA VP(P ) = F0 + Fn n (1 + TMA ) = −150. Os exemplos acima discutidos consideraram o caso de um projeto isolado. nos três casos analisados. -150. obtém-se um valor de investimento R$ (-) 10.4 – Caso da rejeição do projeto Isto porque.00 (1. um ganho econômico.00 139. torna-se o método do valor presente um forte instrumento para amparar a tomada decisão. Noutros termos.03. simplesmente.13R$ Configura-se o caso de rejeição do projeto. é inferior ao do investimento inicial. do ponto de vista financeiro. os resultados obtidos são de fácil interpretação e levam em consideração a dimensão financeira do investimento ao invés de. o valor presente líquido do fluxo de caixa projetado descontado à TMA é inferior ao valor do investimento inicial. ocorre uma perda financeira. É interessante notar que. especialmente em projetos não convencionais.13. quando se analisa projetos que apresentem uma seqüência de fluxos de caixa. 320. negativo. pois ele não remunera o investimento inicial. a maior taxa de remuneração de um projeto viável.docx A função valor presente líquido deste fluxo de caixa.6. a curva do polinômio associado ao fluxo de caixa quanto se determina em abscissas as taxas de desconto e em ordenadas o valor presente associado à cada taxa de desconto. 300} O diagrama da Fig.5. O diagrama de valor presente é um forte instrumento para amparar a análise de decisão de um projeto conforme modelo da Fig.6. seja o caso de um projeto A. 5 10 15 20 i TMA Fig. FC(A) = { -1.2 – Exemplo de Procedimento.5 é obtido ao descontar o fluxo de caixa a varias taxas “i”.3 – Diagrama de valor presente. Escrevendo a expressão do valor presente liquido sob forma polinomial tem-se: VP (P ) = F0 + F1 (1 + i) 1 + F2 (1 + i) 2 + F3 (1 + i) 3 +L+ Fn (1 + i) n Seja determinar o diagrama de valor presente representativo de um dado fluxo de caixa.3. O diagrama permite visualizar o comportamento do fluxo de caixa.2. em diagrama cartesiano. a taxa de desconto equivalente à TIR e o campo de viabilidade do projeto.Modelo de Diagrama 6. Este ponto define a TIR.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Com o diagrama traçado pode-se verificar. VP≥0 6.03. $ .1 – Traçado do Diagrama. o comportamento do fluxo de caixa. claramente.6. pois há casos em que o fluxo de caixa apresenta mais do que uma TIR. 450.2. Engª Economica~Aulas~2012.200. expressa em forma polinomial. Fato este em que a análise do valor presente associado a uma determinada TMA deve ser analisada com cuidado. definido pelo seu conjunto de fluxos de caixa projetados.Valor Presente 6. conforme abaixo. 400.2.3. Ele exprime.5. 350. o valor da TIR. fato importante. é dada por: 115-201 . 00 (-) 39. pois não apresenta rentabilidade para qualquer taxa de desconto. Engª Economica~Aulas~2012. considerando uma série de taxas de desconto préestabelecidas.Calcula-se o valor presente à taxa i=0. o domínio do valor presente em expressão monetária.2. 6. em diagrama cartesiano. em que no eixo das abscissas tem-se o domínio das taxas de desconto.03) (1. a alternativa deve ser descartada.02 32.6. obtêm-se os valores presentes expressos no quadro abaixo: item 1 2 3 4 5 6 Taxa de Desconto i(%) 0 3 6 9 10.78$ 2 3 (1.03) (1. VP( A ) = −1200 + 450 400 350 300 + + + 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)4 Calculando o valor presente para a função VP(A).03) (1.03)4 Lançando o par i(%)×VP($). chega-se à curva conforme exposto na Fig. 2º . o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa i=3% é dado por: VP( A ) = −1200 + 450 400 350 300 + + + = 200.Arbitra-se uma taxa de desconto e desconta-se fluxo de caixa à taxa arbitrada. A metodologia proposta para a elaboração de um diagrama de valor presente é a seguinte: 1º . E.6.docx Este procedimento corresponde a desconsiderar o valor da moeda no tempo.31  TIR 12 Valor Presente Líquido ($) 300.56 O diagrama de valor presente desta função VP(A) é efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordenadas cartesianas.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA A parte de imagem com identificação de relação rId350 não foi encontrada no arquiv o.78 112.03. 116-201 .00 200.3 – Metodologia do VPL. Ela não apresenta ganho financeiro nem econômico. no das ordenadas.3. No exemplo.31 0. Caso este valor seja igual ou menor do que zero. dispostos na tabela. 3 . relativa à quantidade mínima de produção.No ponto em que a curva cortar o eixo das abscissas.O processo deve ser interrompido ao ser obtido um valor presente menor do que zero. A técnica recomenda que se efetue o calculo do valor presente para cada situação limite. Neste caso. Produção sob capacidade máxima. considera-se a produção sendo realizada sob capacidade máxima. A terceira alternativa.6. Engª Economica~Aulas~2012.Σ Desp f(q) – Invest. 5º . adotase como quantidade máxima de produção a capacidade que corresponda à capacidade instalada do projeto ou a máxima produção possível de ser efetuada com o mesmo. Matematicamente: VP f(qMIN) = 0. Esta é a maior taxa de desconto.03. Elaborando.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 3º . pode-se estabelecer o campo de domínio financeiro do projeto. 3º. o gráfico de valor presente para cada uma das alternativas. pode ocorrer três situações: 1º. a quantidade mais provável de ocorrer. fica definida a taxa interna de retorno – TIR. Para tanto. Ver Fig.docx ENGENHARIA ECONÔMICA VP(p) = Fo + F1 F2 F3 Fn + + + L+ 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n Fk =Σ Rec f(q) . Produção realizada sob quantidade mínima viável. cujo valor presente líquido do fluxo de caixa ao ser descontado pela TMA seja zero. o recomendável é adotar a quantidade de produção média historicamente utilizada pela indústria onde a empresa esta inserida. Como segunda alternativa. 6. como primeira alternativa.1 – Conceituação. 4º . a priori. num mesmo diagrama cartesiano. ou de oportunidade. deve-se definir a máxima e a mínima capacidade ou quantidade de produção dentro da qual um projeto possa ser financeiramente viável. consequentemente. deve corresponder àquela capacidade. de modo a resultar em uma curva a mais contínua e representativa possível da função polinomial desejada.Análise de Sensibilidade . qMIN. Assim. realizar uma análise do risco de sua implantação.Repete-se o processo definido no item 2º tantas vezes quanto o for necessário. em função da quantidade a ser produzida. que um projeto pode apresentar enquanto viável. A análise de sensibilidade é uma técnica que possibilita verificar o domínio da viabilidade financeira de um projeto e. + Valor Residual Partindo do princípio que cada nível de produção possa ser definido como uma alternativa.7. Produção sob a quantidade mais provável. 117-201 . 6. ou seja.3.Risco. 2º. as quantidades a serem produzidas e em abscissas.7. VP f(qK) Quantidade Mínima i1 TIRMIN i3 i4 i5 Fig. o valor presente líquido de cada alternativa desenvolvida.docx qMIN qprov qMAX qK Fig. Quantidad e Provável VP Corte p/ TMA Quantidade Máxima Como segundo passo. quando descontado à TMA da empresa. 118-201 .8 – Limites de viabilidade para determinada TMA. 6. Ver Fig. 6.8.03. Da análise da curva obtida depreende-se: a) O limite inferior da curva indica o limite de viabilidade corresponde à quantidade mínima viável de produção. com os dados obtidos traçar um gráfico “quantidade versus valor presente”. em coordenadas cartesianas.2 – Domínio viável de produção. mostrado na Fig. O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de valor presente de uma alternativa de investimento Engª Economica~Aulas~2012. Noutras palavras. caso em que a TMA=TIR.6. nesta situação. 6. tem-se: TIR≡TMA. 6. 6.8. deve-se efetuar um corte no campo de viabilidade de um projeto na altura da TMA desejada.3. E.6.8. estabelecida uma TMA. No citado gráfico da Fig.7 – Campo de Domínio Financeiro A particularidade desta última alternativa é que a sua TIR corresponde à TMA da empresa.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA considerando diversas quantidades a serem produzidas. traçar a curva que contemple o domínio das quantidades viáveis de produção. Para tanto. conforme exposta na Fig. o valor do fluxo da caixa relativo à alternativa que adote a quantidade mínima de produção e que viabilize financeiramente o projeto. qMIN. devem ser lançadas. quando estabelecida uma TMA. é zero. O objetivo deste item é mostrar um procedimento derivado do método do valor presente líquido que permite mostrar o domínio das quantidades de produção financeiramente viáveis. em ordenadas. E. descontada à TMA previamente estabelecida. 00 R$ 125. Como informação orçamentária. com 83% da capacidade instalada.00% 45.00 metros de comprimento sendo a capacidade instalada de produção prevista para 45 mil metros mensais.000 14. E. Considerando que se deseja conhecer a quantidade a ser produzida.00 83.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA b) O limite superior corresponde à quantidade máxima de produção. em média.00 R$ 80. E. Dado o exposto solicita-se: Item Preço do sistema Vida útil (anos) Valor residual Comprimento da peça (m) Custo operacional (anual) Insumos (unidade) Preço de venda (unidade) Produção média Capacidade Máxima (unidades) Custo de oportunidade Valor R$ 2. c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção entre a máxima e a mínima. a variável respectiva.000. ENGENHARIA ECONÔMICA A vida média do equipamento em análise é de 10 anos e.a.00 por unidade.00. estima-se que ocorrerá um incremento no custo administrativo e de vendas da empresa na ordem de R$ 1. denominou-se de q. Dados disponíveis: Informações oriundas da contabilidade da empresa indicam que ela vem remunerando os seus ativos à taxa de 14% a.00% ao ano a) A quantidade anual de produção. O custo direto de produção orçado em R$ 80. para que a aquisição seja viável.600. e) A confecção de um diagrama que mostre o campo de viabilidade do projeto. em metros. qMAX .docx 119-201 . poderá ser vendida a 10% do seu valor de aquisição.000.100. O equipamento em questão produz perfis com 6. correspondente à capacidade instalada.1 milhão por ano.00 6 R$ 1. Um levantamento efetuado no segmento de mercado em pauta indicou que as empresas vêm operando.00 10 R$ 260.00 por unidade produzida. existe campo da expansão dado a inexistência de produção similar na região. Porém. o investimento em ativos imobilizados no valor de R$ 2. 6. Engª Economica~Aulas~2012. Uma empresa está estudando a aquisição de um sistema destinado à confecção de perfis moldáveis.4 – Aplicação. Logo.600. que o preço de comercialização do produto é de R$ 125.000. este é o domínio viável de produção.000. quantidade esta em que o projeto oferece o maior valor presente líquido. c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza propiciado pelo projeto. d) A elaboração de um diagrama lucro/produção.03. vencido este período. apresentará um valor presente líquido maior do que zero. b) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto. 000 ⋅ FVP (10. c) Máximo acréscimo de riqueza: A máxima produção de riqueza ocorre sendo possível produzir uma quantidade igual à capacidade instalada. algebricamente. quando descontado à TMA da empresa. durante todo o tempo de vida do projeto. 120-201 .000 + (125 q − 80 q ) ⋅ FVP (10.295.83 = 37. é aquele que zera a função valor presente líquido a ele associado. VPMAX = − 2 . Engª Economica~Aulas~2012. 83% da capacidade instalada.03. o projeto será analisado sob três níveis possíveis de produção: produção mínima ou viável.14 % ) + 260 .100 .222 peças O comprimento total dos tubos a serem produzidos é dado por: A parte de imagem com identificação de relação rId353 não foi encontrada no arquiv o.350.000 × 0. 6.600 .332 metros/ano.14% ) + 260 . A expressão abaixo exprime.600 . produção máxima.9.000 (1 + 0.14 )10 VPMAX = 2. Nesta situação.040.000 ⋅ FVP (10.6.14% ) − 1.9 – Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis d) Mais provável acréscimo de riqueza: b) Produção viável: A quantidade mínima de produção que permita tornar viável o projeto.docx Esta situação ocorre em sendo possível produzir uma quantidade equivalente à capacidade esperada de produção durante o tempo de vida do projeto. Quantidade Esperada = 45. 000 + (125 − 80 ) ⋅ 45 . L = 6 × q = 211.36 R$ Fig. o exposto no desenho da Fig.000 (1 + 0.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Assim. a) Fluxo de Caixa do Projeto: ENGENHARIA ECONÔMICA − 2. o VP f(qMIN) = 0.100 .14 % ) − 1 . e produção mais provável. Ou seja.000 ⋅ FVP (10.14 )10 =0 q = 35. quando a maior taxa de retorno corresponde à TMA. com o desenvolvimento de cada alternativa de produção: em capacidade mínima de produção. Fig.6.10.000 Engª Economica~Aulas~2012.6.docx Lucro VPL – R$ 0.83 ⋅ FVP (10.10 uma reta perpendicular à taxa de 14%.392.03.14 )10 VPMP = 499. O diagrama de valor presente a seguir.14 % ) − 1.100 .6.10 – Campo de Viabilidade do Projeto f) Diagrama Lucro Produção Dados de Produção Produção – em peças 35. traçando o campo de quantidades Fig.392. e mínima e.000 (1 + 0. quando ocorre a utilização da capacidade instalada durante toda a vida do projeto.295.600 .222 37.000 ⋅ FVP (10. mostra campo de viabilidade do projeto.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA VPMP = −2.000 + (125 − 80 ) ⋅ 45.14% ) + ENGENHARIA ECONÔMICA 260 .55 2.040.000 ⋅ 0. se obtêm variação dos valores presentes das possíveis viáveis de produção. e a capacidade máxima.00 499.55 R$ e) Campo de Viabilidade do Projeto.36 121-201 . a capacidade mais provável.350 45. Considerando as curvas de máxima quantidade de produção mostradas na Fig. 6. Implantado o projeto e as quantidades produzidas e vendidas oscilando entre o valor mínimo e máximo citados.5 . Caso de reinvestimento em ativos semelhantes. a empresa tem garantida a ocorrência de um positivo incremento de riqueza. Caso de rigidez das alternativas. que mostra um método de fácil aplicação quando as equalizações dos horizontes dos projetos se Engª Economica~Aulas~2012.03. O objetivo do artifício é suprir a lacuna de informações existentes quanto a possíveis fluxos de caixa entre os finais das alternativas. 500.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes. O diagrama da Fig. há que se adotar artifício que iguale os horizontes de projeto de todas as alternativas. Ele exprime todo o conjunto de quantidades variando de um limite qMIN= 35.5.11 . para se comparar alternativas de investimentos com vidas úteis distintas. o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas em comparação. Caso de outras oportunidades futuras. então. 2. findo o período de vida do ativo.Quantidade de Produção x Valor Presente A metodologia a ser utilizada no caso de reinvestimento em ativos semelhantes será discutida no Capítulo 8 – Valor Uniforme Equivalente.10.11. Isto é.6. Ver Fig.222.000 Neste caso ocorre o pressuposto da continuidade de vida ou produção do ativo em análise. 6.44 37.00 35. 1.000 O horizonte de planejamento será.00 45.00% ao ano. de modo lógico. Fig. três situações podem ocorrer. a firma reinvestira em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. 0.222. relaciona as quantidades de produção viáveis e os respectivos valores presentes líquidos considerando uma mesma TMA. Valor Presente-R$10³ Como já comentado.500 6.500.44 unidades e um limite superior qMAX = 45. derivado do diagrama da Fig.000 unidades se mostram viáveis considerando a TMA de 14. 6.Equalização de tempos de projetos.docx 122-201 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 6.350.12. Ao serem analisados investimentos mutuamente exclusivos.000 1. sendo distintas as premissas propostas para igualar os tempos de projeto: • • • 2. VF equivale à reaplicação dos lucros obtidos com o projeto.03. z-1 z Fig. . j É considerado haver rigidez na continuidade de alternativas de investimentos quando não há previsão de manutenção na continuidade de um projeto ou na Engª Economica~Aulas~2012.2 – Caso de Rigidez das Alternativas. . 6. mostra um modelo de diagrama de fluxo de caixa recomendado para o caso em análise. o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de menor duração no momento “t”. . variando j de 1 até “n” e sendo “i” a taxa de retorno adotada para o projeto. muitos distantes da data atual. . ao fim da vida útil de cada ativo.. FB(n) O diagrama exposto na Fig.. E. E. Projeto A FA(0) FA(1) 0 1 FA(2) 2 FA(3) 3 FA(n) .docx VF = Pj (1+i ) . quando esgotada a jazida os respectivos equipamentos de exploração ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados.. momento em que ocorre o fim de utilização deste projeto.13.12 – Alternativas com vidas úteis distintas. ou seja.. . FB(0) FB(1) impossibilidade de manutenção em operação do ativo em análise. equivalente ao Valor Futuro dos lucros do projeto de menor duração no momento “n”. Nesta situação. Então: 6. 0 1 2 3 . .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA mostram muito grandes.5... a equalização dos tempos de vida das alternativas em análise é feita considerando que.. Estes lucros serão aplicados em ativos que rendam tanto quanto o valor da moeda no tempo até alcançar o período do projeto de maior duração. n Projeto B FB(2) FB(3) FB(n-1) Os exemplos clássicos desta situação são os investimentos em minas ou em poços de petróleo. 6. a firma reinvestirá os lucros oriundos do projeto que apresentar a menor duração. pois não há sentido ou possibilidade técnica em continuar a exploração do ativo. 123-201 . .. Como o princípio a ser mantido é o de aumento de riqueza do proprietário.. momento este coincidente com o término do projeto de maior duração. Pt.. não cabe a utilização do método do Benefício Anual Equivalente. finda a vida do ativo ou o interesse em sua exploração. Nestes casos duração de projetos com prazos rigidamente determinados. tais como a mudança de sistema de produção. Ao analista de investimentos. recomendamos consultar a bibliografia que trata especificamente do assunto. neste caso. utilizando o artifício proposto. Engª Economica~Aulas~2012. pois o mesmo pressupõe a repetição dos projetos. o processo de decisão deve ser efetuado através do método do valor presente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA (t-n) ENGENHARIA ECONÔMICA Pt = (1+ i) 6. fato que é obstado pela própria caracterização dos projetos em pauta.3 – Caso de Outras Oportunidades. recomendase criatividade e lógica ao utilizar a metodologia disponível. o lançamento de novos produtos ou mesmo a mudança de ramo. n-2 P(n-2) n-2 n-1 n P(n-1) Pn n-1 n t-1 t Pt Período a Considerar t Esta recomendação visa alertar quanto à possibilidade do processo de decisão transcender a área da Análise de Investimentos e haver necessidade ou possibilidade. pois foge ao escopo deste curso.03.5. nestes casos.13 – Rigidez de Alternativas Alerta-se que.docx 124-201 . Assim sendo. 6. VF Fig. do uso de algum processo de otimização. Neste caso. a firma tem interesse de considerar outras oportunidades de investimento disponíveis no futuro. para maior sofisticação e confiabilidade do processo decisório. 000. O equipamento em questão. Porém. cujo custo de capital é de 7% ao ano.000. Dada à evolução contínua da tecnologia. b) José da Silva pensa alugar uma loja por R$ 24. há previsão de utilizá-lo por cinco anos. Um orçamento de reforma apresentou um valor de R$ 600 mil. conhecida a projeção dos fluxos de caixa futuros.. de modo a manter o processo financeiramente viável. à taxa de 12% ao mês. substituir o equipamento antigo e o utilizar como entrada para a aquisição de outro mais moderno. cujo custo de capital é de 16% ao ano. fazendo alguns melhoramentos no prédio poderá alugar por R$ 31.00 mensais.2% a.10 mil. (obs.Cliente B.6 – Exercícios.Cliente A.docx d) Explique porque é desnecessário levar em consideração o efeito inflacionário na análise do valor presente de um ativo produtivo. 125-201 .: Calcule em período anual).000. e) Uma empresa tomou emprestada uma importância no montante de R$ 30. pergunta-se: seria financeiramente interessante a execução dos melhoramentos? c) Você atua profissionalmente numa firma de assessoria e consultoria técnico-financeira e lhe coube analisar a aquisição de um mesmo equipamento para dois clientes distintos. custa 250 mil reais e tem condições de oferecer receitas líquidas mensais na ordem de R$ 5. ENGENHARIA ECONÔMICA atratividade mínima de 1.03. Sabe-se que equipamentos com cinco anos de uso custam o equivalente a 15% de um novo. a) Considerando as seguintes propostas de investimentos: Qual a mais interessante? Adotar uma taxa de Descontos de 7% ao período.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 6.m. . novo.00 por 60 dias. Sendo sua taxa de Engª Economica~Aulas~2012. do horizonte de projeto e do custo de oportunidade. Analise e comente o resultado do processo de aquisição para os seguintes casos: . É procedimento de empresas que atuam no ramo.00. 00 4.00 1. pois os custos operacionais estão crescendo muito. considerando: • Aquisição por compra a vista do equipamento. • • Investimento Redução Anual Valor Residual R$ de Custos R$ A 18. a melhor. Para tanto.00 D 64.m.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Ao receber o montante deste primeiro período aplicou 30% à taxa de 13. também por 45 dias.00 9. f) Você é o diretor de uma construtora que atua a nível regional e esta analisando a realocação do escritório central da empresa. O restante aplicou à taxa de 14% a. Adotar o método da prestação constante. os custos de operação nas novas condições e a construção de instalações de apoio e oficinas necessárias. foram desenvolvidas alternativas situadas em quatro cidades distintas.900.docx 126-201 Processo Beta R$ 30.00 2. Devido à idade dos equipamentos. Deseja-se saber: Qual o fluxo de caixa (montar) desta operação? Qual o montante total destas duas últimas aplicações ao final deste 2o período? g) O executivo chefe de uma empresa distribuidora de concreto usinado esta analisando a modernização de uma das suas unidades.20 41.70 27.03. pois com a mudança.000.00 3. traçar em um único gráfico.00 B 34.00 13. deseja saber qual das alternativas é a melhor.5% ao mês por 45 dias. E.00 16.30 70.300.00 18. dado o incremento de sua carteira de serviços. esses recursos permanecerão no caixa. dois novos processos de fabricação foram considerados e que propiciam níveis de faturamento semelhantes. Cidade Além disso.800. apresentam paralisações constantes e uma crescente evolução dos custos com manutenção.60 14.00 25. Investimento Equipamentos Custo Operacional Anual Custo de Manutenção Anual Valor Residual do Projeto Vida Estimada em anos Processo Alfa R$ 50..00 10 . cujos custos envolvem o preço de terrenos.000.00 5 Valores em R$ 10 mil Atenção: considerar a redução anual de custos como uma entrada de caixa da empresa.100. ENGENHARIA ECONÔMICA Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizando o método do Valor Presente.000. Para tanto.00 10 Sendo a TMA praticada pela empresa estabelecida em 15% ao ano. Justifica-se este procedimento. o diagrama de valor presente de cada alternativa. • Aquisição por financiamento com juros de 8% ao ano e prazo de cinco anos. foi previsto um horizonte de 10 anos de utilização para as alternativas e os valores residuais dos investimentos realizados estão apresentados na tabela abaixo. Engª Economica~Aulas~2012. definir qual das alternativas é.00 8.00 C 48. financeiramente. Sendo a taxa de oportunidade praticada pela empresa de 15% ao ano.000. Essa unidade vem apresentando uma queda de produtividade. R$5. tratamento de dados.docx Custo manutenção anual (de 0 a 5 anos) Custo de manutenção anual (de 5 a 15 anos) Custo de revisão e manutenção periódica Receita (de 0 a 5 anos) Receita (de 5 a 15 anos) Período de cálculo (anos) Taxa de Mínima Atratividade (TMA) ADUTORA ∅ = 1.6439%.00 1% do Custo Inicial 10% do Custo Inicial 2% do Custo Inicial 10% do Custo Inicial no ano 5 25% do Custo Inicial 25% do Custo Inicial 2% do Custo Inicial nos anos 5. se praticada a taxa de desconto de 12% o projeto pode ser viável.O calculo do Valor Presente (VP) de cada alternativa.O monte o fluxo de caixa dos empreendimentos.03. telefonia.00 m.000. solicita-se: Engª Economica~Aulas~2012. financeiramente. Dado o comportamento desse mercado. Para tanto.00 120. etc. após pesquisa de mercado. GPS. para que possa ser dado como entrada na aquisição de um similar.00 100. R$3. equipamento com capacidade de atender a convergência digital dos diversos tipos de mídia. j) Você como diretor técnico de uma empresa de engenharia deve decidir entre dois diâmetros de uma adutora necessária à implantação de uma pública. DISCRIMINAÇÃO Custo Inicial (CI) Fluxo de caixa Fo F1 F2 F3 F4 F5 F6 Valor R$ . Vida útil do equipamento: 5 anos. Verificar se praticada a taxa de desconto 14.00 7% do Custo Inicial ADUTORA ∅ = 1. Com base nos dados apresentados no quadro a seguir.0% 12.255. Receitas anuais líquidas: 7. o processo comercial seja viável.Decidir qual a alternativa a ser selecionada.95.20 m.000. concluiu haver demanda para absorver o lançamento de um novo produto denominado TI-struvspro. 127-201 . o projeto pode ser aprovado. dispõem-se das seguintes informações: • • • • Custo de capital da empresa: 15% ao ano.000. ENGENHARIA ECONÔMICA .00 . Preço do equipamento novo: 30. . 10 e 15 16% do Custo Inicial 18% do Custo Inicial 10 15 12. porém novo e que. .00 mil reais.00 140.000.0% k) O diretor da MiksCorp. empresa atuante na industria da telecomunicações e informática.00 160. previu que um produto com as características do TI-struvspro teria uma vida comercial de sete anos. solicitase:   Demonstrar que.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA h) Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto.00 Situação Investimento inicial Investimento no 1º período Fluxo de caixa líquido idem idem idem idem i) Deseja-se saber qual o mínimo valor residual de um equipamento usado.00 80.00 mil reais. 00 2. após os quais os equipamentos seriam sucatados.a viabilidade do projeto dada as condições abaixo. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4. foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção.00 2.700 por ano.00 Valores em R$ 10³ Sabe-se que: .000.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Como a empresa estava com os seus recursos empenhados noutros investimentos e não teria capacidade financeira para investir neste novo produto. propôs as seguintes condições de financiamento: aporte do capital necessário à produção no fechamento do contrato a ser realizado na data de fechamento do contrato. A aquisição dos equipamentos de produção requer investimentos iniciais no montante de R$ 1.300. Previsão dos Fluxos de Caixa Equipamento Opção A Opção B Investimento Inicial .100. sem nenhum valor residual. A empresa dispõe de instalações físicas para instalação dos equipamentos.000 durante 10 anos.705 após dez anos. anuais. A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35. em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos.000.o menor faturamento mensal possível.00 2.200 mil. O diretor prevê receitas mensais na ordem de R$ 36 mil e despesas operacionais de R$ 25 mil por mês. m) Uma empresa mineradora recebeu duas propostas visando à aquisição de dois equipamentos de escavação necessários à exploração uma jazida mineral até a levar a exaustão.00 Ano 2 900. prestações anuais.500. prazo de pagamento de seis anos sendo dois de carência.000 para substituir os equipamentos existentes.A previsão dos fluxos de caixa líquido.000. conseguiu suporte de um banco de investimentos. Equipamentos do gênero podem ser vendidos. Condições: • • • • • • A Mikscorp pratica um custo de capital de 15% ao ano. cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5. Engª Economica~Aulas~2012. isto é. apresentando ainda um valor residual de $ 10. qual das alternativas deve ser preferida pela gerência? (Contribuição Dr. pagas anualmente a juros de 8% ao ano. exigindo investimentos estimados em $ 10. banco de investimentos.00 Ano 5 1. 2º .00 Ano 3 950. Engº Oscar Ciro Lopes). constantes e consecutivas.200.00 2.00 Ano 6 1. Assim sendo. verifique: 1º .docx problema A primeira consistindo numa reforma geral da linha. a 18% do valor de um novo.00 Ano 1 860. Os engenheiros responsáveis pelo propuseram à gerência duas soluções alternativas.000.4.000. Sabendo-se que a empresa pratica uma TMA de 15% ao ano. 128-201 . cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.00 Ano 4 1.590.00 -6. O BDE. de modo a tornar o projeto viável. l) Numa análise realizada em determinada empresa.100. de cada alternativa esta relacionada no quadro de previsão. no final da vida útil.03. Vencida a vida útil dos equipamentos. Ele planeja conservar as ações durante quatro anos.00 . Após levantamentos efetuados no mercado imobiliário dispõem-se das seguintes informações: .95 Custo CUB/m² 959. Para tanto sabe-se que: O valor residual. Essas seis firmas representam praticamente o mesmo risco. 1714917 % ao mês.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA .00 350. expostas no quadro abaixo. definindo os fluxos de caixa em períodos mensais. cada alternativa poderá ser reposta por outra que apresenta custos e benefícios idênticos.Qual sua recomendação quanto ao melhor projeto sendo os fluxos de caixa definidos em períodos anuais. n) Analise a viabilidade de investir em escritórios comerciais tendo por objetivo a cobrança de alugueis. Sendo a taxa de mínima atratividade definida em 14% ao ano.03.00 270. e assim. eles serão repostos. qual será a alternativa que Você recomendará? (Contribuição Dr. ao final da vida útil. Pede-se: . a taxa básica de juros estabelecida pelo BCB esta.25% e há o entendimento no mercado que é adequada a remuneração de 12% ao ano para imóveis alugados.88 Aluguel mensal R$ 490.25 4.00 30. .As empresas construtoras praticam um preço de vendas na ordem de 2.00 2. e exige uma taxa mínima de atratividade de 10% a.48 52. Empresa PrimeTop Nortecon Belafonte Padrão Alto Médio Baixo Área Sala m² 65.Foram coletadas informações de três conceituadas empresas que atuam no mercado de construção e vendas de imóveis. é zero em qualquer uma das alternativas.2 CUB/m². Engª Economica~Aulas~2012.50 0. Dr).53 33.00 3.Uma decisão quanto ao melhor projeto.90 36.a. o) Um investidor estudou detidamente várias companhias e suas ações ordinárias.00 Preço estimado ao final dos 4 anos (em Reais) 32 45 42 40 60 p) Uma firma está estudando três alternativas mutuamente exclusivas como parte de um programa de melhoramentos na produção. Oscar C.55 Dividendo anual por ação (em Reais) 1.Como informação adicional. Por sua análise concluiu que as ações de seis firmas são as melhores entre as muitas que examinou.75 45. definida em 14.O custo de oportunidade determinado corresponde a 1.61 679. Que ações o investidor deve preferir (usar como método de decisão o VPL)? (Contribuição Engº Oscar Ciro Lopes. Ao final da vida útil. Lopes). ele deseja determinar a firma em que aplicará seu dinheiro.00 48. . na data da pesquisa. . 129-201 .docx Ações ordinárias Petrocisa Bragantin Cauai Enervale Rechtam Preço por Ações (em Reais) 23.82 604. está pensando renegociar o saldo devedor nos seguintes termos: .000. .000 1.000 1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Projeto Custo instalado . portanto. está negociando com um banco um empréstimo cujo objeto é o desenvolvimento de um novo produto.O saldo devedor pago em 20 Prestações mensais iguais.. 130-201 .00 e supõe que este deverá ser o valor a ser contratado. Ele disse que. no dia 01/jun/2001. O banco propôs um financiamento a ser amortizado em parcelas semestrais ao longo de cinco anos. financiar o restante.$ Benefício anual uniforme .docx Após o pagamento da terceira prestação. foi necessário contrair uma dívida.000 1.625 10 B 15.Pagamento em 10 prestações mensais iguais. em 01/set/2001. capitalizados trimestralmente. na compra da residência. lhe informou que. Roberto após consulta ao banco. a época do lançamento do novo produto a empresa poderá incorrer em custos com pesquisa e desenvolvimento equivalentes a US $280.$ Vida útil .03. Ele previu que. que o montante final dos depósitos correspondeu a 40% do valor da casa tendo sido necessário. Depósitos realizados nas seguintes datas: Data dos depósitos 01/set/2000 01/dez/2000 01/mar/2001 Valor (em R$) 6. fizera três depósitos trimestrais numa conta de poupança de um banco que remunerava os seus depósitos a uma taxa nominal de 12 % ao ano com capitalização trimestral.em anos A 10. Engª Economica~Aulas~2012.946 20 r) Um cliente solicitou sua ajuda para assessorá-lo na aquisição de um imóvel. também.650 15 ENGENHARIA ECONÔMICA C 20. adotando o Sistema de Amortização Constante e pactuada uma taxa de juro de 25% ao ano. para adquirir a residência que hoje possui.500 9.Taxa de juros de 16 % ao ano. ao longo de um ano. a WPP Ltda. A dívida foi contraída nas seguintes condições: . capitalizados semestralmente. fez as seguintes perguntas: • • • • Qual a taxa efetiva anual que o banco pagou para os seus depósitos e quais as taxas efetivamente cobradas no financiamento? Qual o valor da dívida contraída. o valor financiado? Qual o valor do saldo devedor renegociado? Qual o valor das prestações da dívida original e da dívida renegociada? s) O gerente de uma empresa produtora de tecidos de decoração e papeis de parede. . sabendo que você está no último ano de engenharia e conhecendo a sua grande habilidade para equacionar este tipo de problemas (montar o fluxo de caixa).Taxa de juros de 14% ao ano. Seu amigo.500 14. ou seja. Para tanto.000 Dado a poupança realizada deram entrada. Disse. com o objetivo de dar entrada na compra do imóvel. prevê uma renda mensal superior em $60.000/mês em comparação com os dos concorrentes. E. poderá ter uma renda superior em $30.2 – Tempo de vida do produto 3.00/ unidade 10.1 .03. Sua assessoria lhe forneceu as seguintes informações: 1) Investimento em Imobilizado 1.6 – Depreciação dos Equipamentos 3.1714917 % am 10 anos 6. Financiamento em seis anos com dois de carência.000.500.000 acima dos concorrentes.Edificações 1. deseja saber qual a quantidade mensal mínima de produção para que o empreendimento seja considerado viável.50 % .800.Embalagens 3) Informações Gerenciais 3.00/ mês 3. Para tanto. que o desenvolvimento do novo produto abre a perspectiva de ocorrer maiores ganhos futuros.00 120.docx ENGENHARIA ECONÔMICA informou que o BNDES esta financiando equipamentos de forma vantajosa.3 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA É entendimento da WPP Ltda. durante os dez primeiros meses após o lançamento. Admitindo que as estimativas da WPP Ltda.00/ unidade Dados 1. qual o valor da primeira prestação? • Qual o valor da sexta prestação e qual o saldo devedor imediatamente após o pagamento desta sexta prestação? • Qual será a taxa interna de retorno prevista para o projeto? t) Elabore o estudo de viabilidade para o seguinte projeto: Sendo VOCE diretor técnico de uma empresa de construção civil. em comparação com os produtos similares dos seus concorrentes.5 – Depreciação da Edificação 3.000.500.7 – Impostos incidentes sobre o faturamento 131-201 R$ 3. também. Entende.380.Terrenos 1.5 .000. lhe Engª Economica~Aulas~2012.00 R$/unidade 15.2 – Mão de Obra Direta 2.00. Central – Custos Indiretos 2.Equipamentos R$ Condições 100.00 240. Prestações constantes.00/ mês 23.000.3 – Preço de venda mínimo/médio 3. informe: • Caso seja contratado o empréstimo. Além disso.00 75.00 % 20 anos 5 anos 10.1 – Taxa Mínima de Atratividade 3. a WPP Ltda.4 – Impostos sobre a Renda 3.000.00 Juros de 8% ao ano.1 – Matérias Primas 2. que os benefícios oriundos do lançamento do produto se farão sentir durante quarenta meses e que o produto. 2) Custos Operacionais 2.3 – Vendas – Adm.4 .Estoques 1. estejam corretas. o Diretor Presidente de sua empresa lhe comunicou ser interessante analisar a implantação de uma nova fabrica para a produção de peças protendidas para estruturas de pontes. espera que o novo produto tenha conquistado uma parcela de mercado que apresente uma renda de $120. Durante os dez meses subsequentes.950.2 .4 – Eletricidade 2. durante os vinte meses restantes.00/ mês 90. onde esta localizado o próprio da empresa. 4.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 4.5% ao ano.03. Engª Economica~Aulas~2012.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 4) Informações Estratégicas & Comerciais 4. vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano.docx 132-201 .1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais. 4.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7. 4.2 – Terrenos situados na área industrial.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ano. o menor grau de imobilização do capital. O método do Período de Recuperação de Capital. aumentará o risco associado ao projeto. 7. E. pay-back. Método da Recuperação de Capital Isto porque. Noutras palavras. o resultado obtido poderá ser de parca utilidade. Pelo exposto. em duas alternativas apresentando o mesmo Valor Presente Líquido. subsidiariamente ao método do valor presente líquido. em conseqüência. o capital inicialmente imobilizado estará disponível para outras aplicações futuras. exigindo um adequado nível de controle visando a efetiva realização do planejamento inicial. Ao ser efetuada uma análise de hierarquização de alternativas através do MRC. Esta situação confere ao MRC a atratividade de ser utilizado como critério de hierarquização e desempate entre alternativas. Engª Economica~Aulas~2012. aquela que propiciar um retorno mais rápido do capital investido deverá ser a escolhida. quanto maior for o tempo de retorno do capital investido. a fim de dispô-lo para aplicação em futuras oportunidades de investimento. Deste modo. servir como critério de desempate quando se efetua a hierarquização de alternativas e se utiliza o Método do Valor Presente Líquido. Justifica a adoção do método o entendimento dos investidores que.Introdução.docx O MRC pode. O método também é conhecido como Método de Recuperação da Capacidade de Investimento ou sob a terminologia inglesa. além de propiciar o mesmo retorno. as alternativas de investimento deverão ser hierarquizadas iniciando por aquela que apresentar o menor tempo de recuperação do capital investido. crescerá a incerteza associada à realização esperada dos fluxos de caixa futuros. MRC. sendo que a alternativa a ser eleita será aquela que apresentar o menor tempo de retorno. também. A metodologia proposta será exposta ao se analisar o exemplo de dois projetos representados pelos valores 133-201 .2 . é de fácil entendimento que.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 7. 7. A metodologia adotada consiste em verificar o tempo de retorno do capital inicialmente investido em cada alternativa disponível. deve estar implícito que os fluxos de caixa estejam referenciados a uma moeda de poder aquisitivo constante. A intenção em adotar este método como parâmetro de decisão é eleger a alternativa de investimento que propicie o retorno do capital investido no menor prazo possível.03. maior será o grau de maturação do empreendimento e. é utilizado quando se deseja decidir a hierarquização de alternativas usando como parâmetro de decisão o menor tempo de retorno do capital investido.Metodologia. O tempo de retorno indicara o grau de imobilização de um capital. Sem esse cuidado. a partir da soma acumulada dos fluxos de caixa.1 . No caso em pauta.00.00 +40. em complementação ao do VPL.00 +100.00 +210.00 +40.00 -180. Período presentes de seus fluxos de caixa segundo o quadro a seguir.00 +60.00 -260. o investidor disporá do capital investido três períodos antes do que se adotar o Projeto – B. Engª Economica~Aulas~2012.00 +60. maior risco em sua realização.00 +50.00 +130.00 +80.00 -320.00 +100.00 +150. indicam o somatório acumulado dos dados indicados nas colunas “Valor Presente – Fluxo de Caixa”.1. reduz-se a influência dos fluxos de caixa futuros que possam apresentar valores sensivelmente superiores aos iniciais e. ENGENHARIA ECONÔMICA O ultimo fluxo acumulado indica o valor presente líquido dos dois projetos que monta a $250. a eleição de qual projeto produz o retorno do capital em menor tempo.00 +190. permite atender à exigibilidade do retorno do capital inicial.00 -180.00 -290.00 -180.00 +55. em comparação com o projeto “B” cujo retorno acontecerá no 10º período.00 -275. e apresentam o mesmo valor.00 -30.00.00 VPL(B) 250. Assim sendo.00 +50.00 +45. No exercício da Tab.1 – Recuperação de Capital Adotando como critério de decisão o MRC.00 +60.00  +30. fato que reduz a incerteza sobre a realização dos fluxos de caixa em períodos futuros.00 -135.00 +90.00 +50. para ambos os projetos ocorre a previsão dos dois projetos propiciarem idêntico incremento de riqueza.00 +20.00 +40.00 -130.00 +250.03. o valor aposto já expressa o valor presente de cada fluxo de caixa relativo ao período especificado.00 +85. dado apresentar um retorno do capital inicialmente investido durante o 7º período.00 +20.00  +30.00 +250. pois o VPL monta a R$ 250.A.00 -280.00 +30.00 -40. nas colunas discriminadas como Valor Presente dos Fluxos de Caixa. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Projeto A Valor Fluxo de Presente Caixa Fluxo de Acumulado Caixa $ -180.00 +20.00 -100. em assim sendo.docx Pelo exposto.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Alerta-se que alguns autores efetuam o somatório dos fluxos de caixa desconsiderando o valor da moeda no tempo. 134-201 . porém.00 VPL(A) 250. fica demonstrado que o método do MRC adotado. também.00 Projeto B Valor Fluxo de Presente Caixa Fluxo de Acumulado Caixa $ -180. o projeto a ser escolhido deverá ser o “A”. visando à facilidade de entendimento do leitor.7.00 -100. E.00 +85. Este autor.00 -80. estabelecer como critério à tomada de decisão.00 -280.00 +30.00 +230.00 Obs: os Fluxos de Caixa já estão representados pelo seu valor presente Tab. realizado o Projeto .00 -220.00 +70. As colunas denominadas “Fluxo Acumulado”. também.00 -320.00 -40. entende que deva ser considerado o valor da moeda no tempo pois.7. ambos descontados à mesma TMA.00 -220.00 -55.00 +50. Assim. É comum o processo ser expresso sob duas denominações distintas. o processo de decisão segue a mesma metodologia. realizados no período k. Σ Rec (p)K = somatório das receitas associadas ao projeto p no período k. equipamentos de inserção automática. Caso se analise. Neste caso cada período de tempo analisado corresponde a uma alternativa de investimento distinta.CAE. Sob qualquer das denominações acima citadas. seja por compra. predominantemente. Em ambos os casos acima comentados. I(p)K = investimentos associados ao projeto p. financiamento ou aluguel (leasing). normalmente considerado no ultimo período de vida do projeto. o objetivo do processo é definir qual alternativa apresenta o maior benefício ou o menor custo equivalente no período. o método leva a denominação de Benefício Anual Equivalente . faturamentos ou o resultado do processo for expresso em termos de lucro. 135-201 . seja em aquisição ou definição de tempo. VUE(p) = valor uniforme equivalente da série. CAE(p) = Custo Anual Equivalente associado a um projeto qualquer P. O método permite. Como exemplo de equipamentos a serem periodicamente repostos cita-se: veículos integrantes de frota de serviços. Adotando como nomenclatura:              Engª Economica~Aulas~2012. maquinas de solda.1 – Introdução.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 8. de equipamentos que executem idêntico trabalho. ENGENHARIA ECONÔMICA No caso da análise envolver. Valor Uniforme Equivalente 8. P2 ou P3 = fluxos de caixa referentes a pagamento único. Sn ou S1 = serie de pagamentos iguais. A aplicação do método do valor uniforme equivalente é mais recomendada quando se decide sobre aquisição de equipamentos cuja reposição seja efetuada periodicamente. etc. o MVU é adequado para amparar decisões quanto à aquisição. Fk = fluxo de caixa associado ao projeto p no período k. a metodologia é denominada de Custo Anual Equivalente . também. moldes para injeção. VR = valor residual associado ao projeto p. predominantemente. ou seja. adotadas quando se analisa custos ou faturamento em período anual. Σ Desp (p)K = somatório das despesas associadas ao projeto p no período k.docx BAE(p) = Benefício Anual Equivalente associado a um projeto qualquer P. custos. F0 = fluxo de caixa inicial. o seu valor presente líquido. equipamentos de terraplenagem.03.BAE. Pn. estabelecer o tempo ótimo de comissionamento de equipamentos. VP(p) = valor presente do projeto. seja ela expressa em termos de BAE ou de CAE. VP(p) = somatório dos valores presentes dos fluxos de caixa associados ao projeto P. De modo idêntico ao efetuado no comentário anterior. a melhor alternativa será aquela que apresentar o MENOR CUSTO PERIÓDICO EQUIVALENTE. a metodologia equivalente segue três etapas: No caso de se efetuar uma análise de custos.docx Dado um conjunto de alternativas em análise.2 .1 Alerta-se que a unidade da série representativa do valor uniforme equivalente associado ao projeto p. VUE(p). comumente. qualquer. considerando a vida estimada da alternativa. Ver Fig.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA A vantagem da adoção do MVU num processo de decisão em que as alternativas disponíveis sejam repetidas periodicamente é quanto à facilidade de aplicação do método. denomina. Isto porque. E. o custo médio incorrido ou o benefício médio propiciado por cada alternativa na unidade de tempo. Engª Economica~Aulas~2012. despesas. do valor uniforme 1º Estabelece-se o fluxo de caixa de cada alternativa disponível. é dado por: VUE ( p ) = VP (p ) × i × (1 + i) n (1 + i) n − 1 136-201 . é dada em unidade monetária por período. a hierarquização das mesmas ocorrerá quando comparados o valor da economia ou do retorno das respectivas séries equivalentes. A literatura que versa sobre o assunto. Como equação dimensional tem-se: [VUE(p)] = [R$] [período] Assim sendo. seja ele expresso em termos de BAE ou de CAE. etc. a literatura que versa sobre o assunto. 8. a unidade do VUE é dada em R$/mês. predominantemente. o valor da série equivalente ao fluxo de caixa original ou a qualquer número de suas repetições é o mesmo. matematicamente. associado a um projeto P.Decisão Basicamente. R$/ano. 3º Calcula-se a série uniforme equivalente relativa ao valor presente de cada alternativa. que ela expressa em termos monetários. O modelo matemático básico para a definição do valor uniforme equivalente. tributos e valores residuais associados a cada alternativa. a comparação de lucro ou faturamento propiciado pelas alternativas de investimento. a melhor alternativa será aquela que apresentar o MAIOR BENEFÍCIO PERIÓDICO EQUIVALENTE. denomina o processo de custo anual equivalente – CAE. A confiabilidade do processo com a consequente coerência de resultados será tanto maior quanto melhor for a apuração das receitas. No caso de estar em análise. investimentos.03. comumente. 8. 2º Calcula-se o valor presente das alternativas. o processo de benefício anual equivalente – BAE. conforme expresso na Fig. Beneficio Anual F1 F2 F3 Fn VP(p) = Fo + + + + L + (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n 1 3º Passo: Calcular ao valor da série periódica equivalente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Considerando a existência de duas alternativas de investimentos.03.docx 137-201 t . P2 e P3. ΣFC( P S 8. então será considerada como alternativa mais interessante a X2.3 – Metodologia. seja o projeto representado pelo seu fluxo de caixa. A metodologia para determinar o valor da série uniforme equivalente.Σ Desp (p)K – I (p)K + VR(k) Valor Presente≡ 2º Passo: Calcular o respectivo valor presente líquido. sendo o BAE(X1) > BAE(X2). ENGENHARIA ECONÔMICA VUE ( p ) = VP ( p ) × i × (1 + i) n (1 + i) n − 1 Como exemplo de aplicação. em termos de variáveis características da série: Engª Economica~Aulas~2012. 8. 6 Fig. iguais. tanto em termos de BAE como de CAE. desde que reconhecida a repetitividade do projeto. X1 e X2. S1. e estando em julgamento Benefícios Anuais Equivalentes. sendo o CAE (X1) > CAE (X2). No caso de estar em pauta uma análise de custos. composto por uma série de pagamentos. 1 P 2 3 4 5 F 0 Fk =Σ Rec (p)K . então será escolhida como a melhor a alternativa X1. periódicos e consecutivos.1 – Metodologia da serie uniforme equivalente VUE(p) = VP(p) × FRC(n¬i%) Ou. também.1. segue os seguintes procedimentos: 1º Passo: Elaborar o conjunto de fluxos de caixa do projeto. 8. dado que os custos praticados são menores que a de X1. desde que reconhecida a repetitividade do projeto. outros dois fluxos representados por pagamentos únicos. e. 2º passo: calcula-se a série uniforme equivalente ao fluxo de caixa inicial. pois dispõe. 3º passo: calcula-se o valor presente de cada fluxo de caixa.F0 + VP(S1)+ VP(P2) + VP(P3)} 3º Passo – calcular o valor da serie uniforme equivalente.BAE.Resolução do Caso – Novo Produto. VP(p) = Σ { . elegerá o processo que apresentar o maior benefício anual equivalente. então. Os equipamentos a serem utilizados são previstos para serem repostos periodicamente.4. Considerando o custo de capital da firma de 7% a. 4º passo: calcula-se a série anual equivalente associada à soma dos valores presentes dos fluxos de caixa definidos no passo anterior. 1º Passo – Levar todos os fluxos de caixa a valor presente. Neste caso. postecipada. o processo de decisão considera duas alternativas de projetos que apresentam características de investimento e de custos operacionais distintos. o resultado do processo se dará em termos de Benefício Anual Equivalente .1 – Procedimentos. A aplicação da metodologia do Valor Uniforme Equivalente ao caso segue os seguintes procedimentos: Engª Economica~Aulas~2012. Para tanto dispõe de dois processos alternativos de produção cujas características estão abaixo especificadas. 8.03. Para tanto.2 .4 – Aplicação da Metodologia. VP(p) = −FO + S1 × FVP (3. predominantemente. Neste item é apresentada a aplicação da metodologia do VUE ao caso de produção de um novo produto. Uma empresa está estudando a produção de um novo produto. dado o desgaste contínuo e o alto valor do custo de manutenção e operação. calcular os custos anuais equivalentes..4. P3 (1 + i)6 2º Passo – efetuar o somatório dos valores presentes de todos os fluxos de caixa. relativa ao valor presente calculado no passo anterior. 5º passo: a decisão.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Neste caso a série anual equivalente será expressa em termos de BAE.docx 138-201 . 8. 8. BAE(p) = VP(p) × FRC(6¬i%) = M R$/período.a. já que são consideradas entradas e saídas de caixa associadas a cada processo. de entradas de caixa. i%) + P2 (1 + i)4 + 1º passo: define-se o diagrama de fluxo de caixa de cada processo. pra a determinação do fluxo de caixa anual equivalente torna-se mais imediato calcular a série anual equivalente associada ao investimento inicial e somar esta. não há necessidade em calcular os valores presentes dos custos anuais ou das receitas. Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi montado lançando. 5.00 Fixo R$ 30.00 R$ 50.000 ) × 0. diretamente na escala de tempo. verificase que. pois já expressos em valores iguais. aos demais fluxos de caixa. Engª Economica~Aulas~2012.00 30. Fig. Ao se analisar o fluxo de caixa deste processo.00 0. CAE(A) = P× FRC ( 7%.4 ) CAE(A) = ( -65.Investimento Inicial: Considerando que o investimento inicial corresponde à uma saída de caixa.000. diretamente.00 4 anos ENGENHARIA ECONÔMICA PROCESSO B 130. já que são uniformes.00 50. será definido o seu custo anual equivalente.000.00 Variável Ver diagrama 6 anos Resolvendo o problema: I – Processo A b) Calculo do Benefício Anual Equivalente – BAE. a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A. .docx 139-201 .000.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA item Investimento Inicial Valor Residual Retorno Anual Custo anual de Operação Vida útil: PROCESSO A R$ 65.000. as entradas e saídas de caixa previstas. Como se pode verificar no diagrama de fluxo de caixa.188 R$/ano.03.7. o que caracteriza uma série uniforme.000.2952 CAE(A) = -19.000. 000 ( 0.6 ) = 30. anual.23.7029 ) . foram lançados diretamente no diagrama de fluxo de caixa.000 ( 0. pode-se calcular a série uniforme.03.6663 ) Neste caso.6) Pi = . Pi = 130. Os valores do fluxo de caixa relativos aos custos anuais de operação deste processo.000 × 0.00 R$/ano b) Cálculo do Custo Anual Equivalente do Projeto B: b1) Capital Inicial: II .25.000 x ( 0.Processo B a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo B.000 ( 0.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Com os dados acima.00 (-) 30. que foram previstos como variáveis e crescentes. equivalente do Projeto A.8734 ) . Item Investimento Inicial Custo Operacional Receitas Benefício Anual Equivalente do Projeto A (+) variáveis e o valor residual. como os custos anuais Engª Economica~Aulas~2012.00 (+) 50.7130 ) -26.00 812.000 ( 0. tanto o investimento inicial.000.27.9346 ) .194 R$/ano b3) Custo Operacional: .188. em termos de série anual equivalente visando possibilitar a soma de todos os valores e definir o BAE do Processo B.docx ∑ FCi × Vin 140-201 .2098) Pi = (. expressa em ternos de benefícios – BAE.Valor Presente S= S = -21.(130.000.1398 ) ∴ R = 4.000 x FRC (7%. o procedimento de calculo seguido foi o de exprimir.000 ( 0.22.274) R$/ano b2) Valor Residual: R = S x FFC ( 7.000 ( 0. BAE em R$/ano (-) 19.8163 ) -24. 870 + 17.215 + 18. se pressupõe uma imediata reaplicação do capital gerado pelo projeto em um novo ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. findo o período de vida de um ativo. Logo. Assim. a alternativa que apresentou o maior Benefício Anual Equivalente foi a Alternativa B.194. Então: Item Investimento Inicial Valor Residual Custo Operacional Receitas Benefício Anual Equivalente BAE em R$/ano (-) 27. Alerta-se. Neste caso existe a pressuposição da continuidade de utilização de um ativo ou a manutenção do bem em produção. o investimento inicial. neste ponto.2098) Po = .919. findo seu período de vida previsto.109. Para tanto.( 19.00 (-) 23. há que se ter cuidado na comparação de alternativas.635 (0.274.635 FFC (7.919. Como exemplo de projeto repetitivo tem-se: aquisição de ônibus empregados por empresas concessionárias de serviços públicos.00 (+) 4.03.825 + 17. deverá ser reposto visando manter o processo em funcionamento.00 R$/ano e ao Processo B de 3.626 + 19. No caso de se comparar projetos produtivos que apresentem períodos de vida distintos e que sejam não repetitivos.00 (+) 50.00 R$/ano.1 – Conceituação e Artifício.000. análise do tipo de pneu a ser utilizado em um mesmo veículo.001.109.00 R$/ano b4) Calculo do Benefício Anual Equivalente. III – Análise de decisão: 8. O benefício anual equivalente do Processo B é obtido ao se proceder a soma dos valores das séries anuais equivalentes associadas a cada tipo de custo ou retorno anual equivalente (faturamento).5. ou parte dele. de caminhões para serviços de terraplenagem. é recomendado para decisão quando se analisa projetos repetitivos.775 +16.635 R$/ano . etc.Caso de Reinvestimento. que.docx 8. expirada a vida útil do projeto original.BAE relativo ao Processo A é de 812. tipos de escoramento ou formas utilizadas em serviços de concretagem sejam em obras pré-fabricadas ou moldadas no local. Engª Economica~Aulas~2012.23.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA S = .6) = = . o Benefício Anual Equivalente . a mais interessante a ser adotada. seja em termos de BAE ou de CAE. recomenda-se efetuar o processo de decisão atendendo as considerações realizadas no capítulo 5.00 R$/ano ENGENHARIA ECONÔMICA Este processo de série anual equivalente.5 ..Série Uniforme Equivalente: Po = . Projeto repetitivo é definido como aquele que. como as alternativas apresentam períodos de vida distintos. 141-201 .001. Pelo acima exposto.109.324 ) S = .00 (+) 3. 5 – Continuidade de Utilização de Ativo 8. Engª Economica~Aulas~2012. Período 0 Projeto “A” -20 Projeto “B” -60 4 Valores em 10 R$ Ao ser adotado o mínimo múltiplo comum das vidas úteis das alternativas como horizonte de análise do projeto. Isto porque. ENGENHARIA ECONÔMICA O objetivo é definir qual destes dois projetos. -60 . Esses processos são representados por seus fluxos de caixa e apresentam tempos de vida útil.5. O caso em questão diz respeito a uma empresa que esta comparando duas alternativas de projeto visando a instalação de um processo produtivo e que visam à produção de um mesmo bem. o método do VUE torna-se um artifício de fácil e rápida aplicação. 25 40 50 1 -25 25 25 2 45 40 40 3 45 50 50 4 45 25 40 50 Para contornar essa complexidade. representados por seus fluxos de caixa é o mais lucrativo. 8. MMC. o valor da série equivalente de uma alternativa de investimento. que mostra a repetição dos fluxos de caixa dada a manutenção e continuidade do uso do ativo. Este caso discute a análise de decisão de alternativas quando há a previsão de continuidade de produção. de suas vidas úteis. o processo de cálculo pode se tornar complexo e trabalhoso pela grande número de fluxos de caixa envolvidos. a) Decisão por Valor Presente.03. Como o Projeto A apresenta quatro anos de vida útil e o Projeto B três anos.2 – Manutenção em Comissionamento.5. será sempre o mesmo. distintos. sendo adotada uma TMA de 10% ao ano. o horizonte de planejamento previsto para análise considera que a equalização dos tempos de vida de cada alternativa seja equivalente ao mínimo múltiplo comum. seja qual for o número de repetições realizados. pois permite efetuar o processo considerando o tempo de cada alternativa sem haver repetição. Vide Fig. a compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a equalização dos tempos de vida dos projetos utilizando o mínimo múltiplo comum dos períodos em consideração. ou de um sistema de produção. o mínimo múltiplo comum dos tempos é de doze anos. 8. Assim sendo.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Havendo diversas alternativas de investimento.docx Havendo a pressuposição da continuidade de produção.60 -60 Fig. o Projeto A deverá ser repetido 142-201 . Como já comentado. Este procedimento visa evitar a ocorrência de solução de continuidade no processo de produção. Exemplo na Fig. Ressalta-se que o investimento inicial da 2ª repetição e subsequentes. apresenta um aumento de riqueza de R$ 126. sem efetuar a repetição dos fluxos.6 mostra o procedimento de repetição relativo ao Projeto A. deve ocorrer durante o último período da repetição anterior.BAE Engª Economica~Aulas~2012.Calcula-se o Benefício Anual Equivalente . superior ao incremento propiciado pelo projeto B. O quadro da Fig.10 )4 Realizada a equalização dos tempos. Repetindo o mesmo procedimento para o Projeto B.A R$ 12 45 45 Somando os fluxos de caixa de cada repetição.01R$ (1.8.Determina-se o valor presente líquido do projeto original. Voltando ao exemplo acima.10)2 (1. dispõem-se do fluxo de caixa final do projeto equalizado.84 x 106 R$ sendo.6 – Procedimento para Repetição de Investimento .8.03.6 – Procedimento para Repetição de Investimento .docx 143-201 .10 ) (1. ao ser calculado o BAE de um projeto tomando o seu fluxo de caixa original e o BAE deste mesmo projeto repetido. Calculando o valor presente líquido de cada alternativa tem=se: VP (A) = 126.8. a obtenção do Benefício Anual Equivalente relativo a cada projeto segue os procedimentos: 1º . consequentemente. Como o projeto A. o que permitirá a 2º .38 ×106 R$.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA três vezes e o Projeto B quatro vezes para que os seus períodos de vida sejam equalizados. facilita o processo de decisão.8. pode-se calcular o valore presente líquido de ambos os projetos.6.B 12 45 b) Decisão por Valor Uniforme Equivalente. escolha de qual dos dois é que mais aumenta a riqueza dos proprietários. isto é. 4 Fluxo de Caixa Final dos Projetos Valores em 10 R$ Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Projet -20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 o “A” Projet -60 25 40 -10 25 40 -10 25 40 -10 25 40 o “B” Fig. chega-se à solução abaixo que apresenta os fluxos de caixa dos projetos equalizados. 4 Projeto A Valores em 10 Fluxo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1ª Rep -20 -25 45 45 45 2ª Rep -20 -25 45 45 45 3ª Rep -20 -25 45 45 Final -20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 Fig. de simplesmente apenas comparar os BAE’s dos projetos originais. o valor a ser obtido em ambos os casos é o mesmo. é o recomendado a ser realizado. 50 VP( A ) = −20 − 25 45 45 45 + + + = 59.84 x 106 R$ e VP (B) = 91.10 )3 (1. O artifício financeiro de calcular os Benefícios Anuais Equivalentes de cada projeto. às duas alternativas.1468 = 13.84× FRC (12¬10%) = 18.62 R$/ano BAE(B) = 91.62 R$/ano BAE (B) = 91. aplicando o método.84 × 0.01 × FRC (4¬10%) = 18. a priori.84 R$ VP(B) = 91. será vista a situação de se considerar o horizonte de projeto de doze anos. Projeto A B A B Mínimo Múltiplo Comum de 12 Anos VP(A) = 126. Como regra geral.01 × 0.35 R$ BAE(A) = 59. Com o objetivo de demonstrar a obtenção de igual resultado no calculo do valor periódico equivalente. nada se pode inferir.03. vinculando. o maior valor periódico equivalente. Partindo do caso geral tem-se: BAE (k) = VP(k) × FRC (n¬i%) BAE (k) = VP(k) × FRC (12¬10%) BAE (A) = 126.35 × FRC (3¬10%) = 13. BAE (B) = 33.41 R$/ano 8. demonstraram uma superioridade do projeto A sobre o projeto B.5.41 R$/ano 144-201 .3155 = 18. a obtenção de um maior presente líquido a um maior valor periódico equivalente. Prazo este equivalente ao mínimo múltiplo comum do tempo de vida de cada uma das alternativas em consideração. calcula-se o Benefício Anual equivalente para cada alternativa. coincidiu que os resultados obtidos segundo a aplicação dos dois métodos.62 R$/ano Repetindo o mesmo procedimento para o projeto B.5.41 R$/ano. O leitor não pode generalizar o resultado obtido no exercício quando compara alternativas de investimentos. simplesmente. necessariamente.38 R$ BAE(A) = 126.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA BAE (P) = VP(P) × FRC (n.41 R$/ano Engª Economica~Aulas~2012. ao projeto inicial ou a um número qualquer de repetições. A seguir. necessariamente.38 × 0. mesmo utilizando ao processo do Beneficio Anual Equivalente. Projeto A B A B Período original de cada projeto VP(A) = 59. definindo a série equivalente pelo prazo de doze anos.84 R$ e VP(B) = 91.docx ENGENHARIA ECONÔMICA Uma alternativa pode apresentar um maior valor presente líquido em relação às outras e não.38 R$.01 R$ VP(B) = 33. obtém-se os valores indicados no quadro abaixo que demonstra.62 R$/ano BAE(A) = 33. No exercício 8. a superioridade do projeto A sobre o projeto B. i) BAE (A) = 59. seja ela calculada em termos de BAE ou de CAE.3 – Análise Crítica.1468 = 18.4021 = 13. Ao se calcular o valor presente do projeto repetido considerando o horizonte de doze anos.1. valor presente líquido e benefício anual equivalente. Os resultados dependerão dos valores fluxos de caixa e da duração de cada projeto.38 × FRC (12¬10%) = 13. obter-se-á os seguintes valores presentes: VP(A) = 126.35× 0. 3º Disponíveis os valores dos CAE de cada processo.000. para o tempo originalmente estabelecido. dois processos industriais estão em análise duas propostas cujas características estão expostas na tabela acima. associado a cada alternativa. eles deverão ser repostos.6.docx de 145-201 .000.03. situação que recomenda a adoção do método proposto.00 Ano5 = 25.000. comparar os resultados e recomendar para implantação o que apresentar o menor Custo Anual Equivalente.00 Ano4 = 24. 8.000. a) Há previsão de produção continuada. Engª Economica~Aulas~2012. há que ser calculado o Valor Presente do mesmo.000. 1º Definição do isoladamente.000. Finalizando.00 Ano1 = 21. Esgotada a vida útil dos ativos. Item Investimento Inicial Valor Residual Faturamento Custo de Operação Vida útil PROCESSO A R$ 65.000. Ao se desejar saber qual o acréscimo de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será explorado. calcular a série relativa ao Custo Anual Equivalente..00 Fixos Quatro anos PROCESSO B 130. A metodologia adotada seguirá os seguintes passos: Uma empresa industrial está estudando a produção de um novo produto.00 Ano6 = 26. não se deve esquecer que o BAE indica o acréscimo de riqueza médio gerado por um projeto a cada período de sua vida útil. situação que facilita o processo de tomada de decisão.00 R$ 50.00 R$ 30.Processo A.00 Ano3 = 23.000.00 Ano2 = 22. Para tanto.6 – Exercícios. calcular o benefício anual equivalente.a.1 – Exercício Resolvido. pode-se efetuar a análise considerando apenas custos.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Dos resultados encontrados fica a constatação que os diversos BAE associados a um mesmo projeto são sempre iguais. 2º De posse do Valor Presente. I .000. O processo que apresentar o menor custo deverá ser o recomendado. ENGENHARIA ECONÔMICA Estabelecido o custo de capital da firma em 7% a.00 50.00 Seis anos Valor Presente cada processo. independentemente do número de períodos de repetição utilizados.00 30.000. b) Sendo equivalentes os faturamentos previstos para os dois processos. O método de decisão a ser adotado quanto à escolha da melhor alternativa é o do Custo Anual Equivalente dada às razões: 8.000.000. 215 + 18.1398 ∴ R = 4.00 R$/ano c) Custo Anual Equivalente – Processo A c) Custo Operacional: VPCO(B) = ∑ Pi × Vin CAE(A) = CAE(IIn) + CO(A) CAE(A) = 30.000 × 0.8734 + 23.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA a) Custos Operacionais: CO(A) = 30.2098 Pi = = 27.2952 ∴ CAE(IIn) = 19.03.000 × 0. d) Série Uniforme Equivalente do Custo Operacional: Engª Economica~Aulas~2012.Processo B VPCO(B) = 19.626 + 19.274 R$/ano Investimento Inicial: b) Valor Residual: CAE(IIn) = P × FRC (7%.7130 + 26.000 × 0.000 × 0.825 + 17.000 × 0.6663 II . a) Capital Inicial: b) Custo Anual Equivalente do Projeto A: Pi = 130.000 x FRC (7%.000.6) = 130.7029 + 25.00 R$/ano.00 = 49.194.4 ) CAE(IIn) = 65.635.9346 + 22.775 +16.188 R$/ano R = S x FFC (7%.000 R$/ano.00 R$/ano VPCO(B) = 21.000 × 0.870 + 17.00 + 19.188.6) = 30.8163 + 24.000 × 0.000 × 0.000 × 0.324 = 109.188.docx 146-201 . 001. ENGENHARIA ECONÔMICA Os valores de mercado de equipamentos usados e os custos anuais de manutenção estão apresentados no quadro abaixo.900.00 3.Valor Residual CAE(B) = 27. elabore uma curva tempo×custo para melhor visualizar os resultados obtidos.081.000.274. o objetivo fosse o cálculo do Benefício Anual Equivalente.188 R$/ano e o CAE (B) = 46. neste exercício.2098 COE(B) = 23.00 2. como não poderia deixar de ser. Inicial + Custo Operacional . Sendo o CAE(A) = 49.300.00 R$/ano.4..a. Como premissas do problema.600. Qual o tempo ótimo de manter comissionado um equipamento de terraplanagem cujo catálogo de especificação define sua vida útil em 7 (sete) anos e o valor de aquisição de uma unidade nova esta orçada US$ 20 mil? Engª Economica~Aulas~2012.00 7 anos 8.635 × 0.00 3.000.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA COE(B) = VPCO(B) × FFC (7%.000.00 4.6.03.000.000.500. seria a mesma da anterior e inclinada ao Processo-B.00 4. Além do acima solicitado.400.6).00 ∴ CAE(B) = 46.00 R$/ano e BAE(B) = 3.919.00 6 anos 10.700.081.00 2 anos 16.00 R$/ano.00 3 anos 14.00 2. já que apresenta o menor Custo Anual Equivalente. COE(B) = 109. e) Custo Anual Equivalente .194. A decisão.6) = 109. por apresentar o maior Benefício Anual Equivalente. considerar o custo de capital da empresa estipulado em 15% a.700.001.00 deveria ser somado às séries de custo anual.00 + 23.00 .635 FFC (7%. 8. recomenda-se como o mais interessante a ser implantado o Processo-B.docx 147-201 .00 R$/ano. Tempo de uso Valor de Mercado US$ Manutenção Anual US$ 1 ano 18.500. Se.00 R$/ano III – Recomendação.00 5 anos 12.00 Os resultados seriam: BAE (A) = 812.Processo B: CAE(B) = Invest.00 2.00 4 anos 13. o faturamento no valor anual de R$ 50.500.000.2 – Exercício Proposto. Neste caso. Do ponto de vista matemático.TIR exige a descrição de qualquer proposta de alternativa de investimento em termos do fluxo de caixa projetado. onde sejam externados os custos e as receitas a ele associados. o projeto é considerável como viável. Ver Fig. 9. taxa de oportunidade. Engª Economica~Aulas~2012.1 . também. A TIR pode ser definida sob duas óticas: a financeira e a matemática.03. Taxa Interna de Retorno d.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA a) Do ponto de vista financeiro. VP( A ) = Fo + F1 F2 F3 Fn + + +L+ =0 2 3 (1 + i*) (1 + i*) (1 + i*) (1 + i*)n Noutras palavras.1– Caracterização da TIR e da TMA.Definições. levando-se em consideração a previsão dos momentos em que os mesmos efetivamente ocorrerem.2 . a maior taxa de rentabilidade que um projeto pode apresentar supera a taxa de atratividade exigida pelo investidor. O método da Taxa Interna de Retorno . o processo de decisão adotando a TIR como parâmetro de decisão deve atender a duas premissas: i* =TIR i TMA Fig. as denominações de: custo de capital da empresa. ocorrem três situações. a TIR deverá superar a taxa de mínima atratividade.1. Valor Presente . 9. custo de oportunidade da empresa ou taxa de desconto do projeto. 148-201 . a TIR corresponde à maior taxa de rentabilidade oferecida por um projeto a partir da qual ele passa a ser antieconômico. quais sejam: I) Quando a TMA apresentar valor inferior à TIR. a TIR ≡ I* corresponde às raízes do polinômio expresso pela função valor presente. a TIR ≡ i* é definida como a taxa de desconto que zera a função valor presente líquido.Decisão Valor Presente descontado pela TMA Quando se dispõe de várias alternativas de investimento em julgamento.9.$ 9.docx 1ª Premissa: Para haver a aceitabilidade de qualquer projeto singular. 9. a TMA. Financeiramente falando. Taxa esta que recebe. expressam conceitos distintos. consubstanciando o montante dos recursos que a empresa tomou visando o financiamento de suas operações. Ela pode ser estabelecida de dois modos: Nesta situação. continua sendo viável. o valor presente líquido de qualquer alternativa de projeto será superior a zero. TIR. ao ser adotada esta taxa como parâmetro de decisão. a partir do desempenho da empresa. Ou. Ver Fig. financeiramente.docx TMA ≡ i = Lucro PL + ELP No modelo acima. a TIR e a TMA. A TMA corresponde à remuneração desejada em investimentos produtivos. 2º) sendo a TIR superior à TMA. Engª Economica~Aulas~2012. que o valor da TIR é inferior à taxa de atratividade tradicionalmente adotada pelo investidor para remunerar os seus investimentos. corresponde à maior remuneração possível. aquela que apresentar a MAIOR TIR será definida como a melhor alternativa a ser eleita. 149-201 .4 – Utilização recomendada. neste caso. Neste caso é calculada do seguinte modo: DECISÃO TMA < TIR TMA = TIR TMA > TIR Por definição dos investidores para a remuneração de seus ativos. Justifica-se a adoção das duas premissas como parâmetro de decisão. 9. pois ambas vem ao encontro do princípio do aumento da riqueza dos proprietários. a maior taxa de remuneração que um projeto possa apresentar a TIR. A TIR. PL corresponde ao patrimônio líquido médio e ELP ao exigível de longo prazo. ocorre uma situação dita de indiferença financeira. Porém.3 – Discutindo a TIR e a TMA Alerta-se que. Ambos os valores expressos passivo do balanço patrimonial da empresa. o projeto é 9.9 Distinção entre a TIR e a TMA. → Projeto viável → Indiferença Financeira → Projeto inviável 2ª Premissa: no caso de haver a comparação entre diversas alternativas de investimento mutuamente exclusivas. também. nesta situação.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA II) Quando as duas taxas se equivalerem. a partir da qual passa a ser financeiramente inviável. III) No caso da TMA apresentar valor superior à considerável inviável. oferecida por uma alternativa de investimentos. já que: 1º) a TIR corresponde a maior remuneração possível para que um projeto seja viável.5. O projeto. o valor presente das alternativas de investimento passa a ser negativo o que significa.03. equivale à TMA do investidor. por sua vez. O valor da ação é dado por:  n B + Dk  VV VC = ∑ k + k  n  k =1 (1 + i*)  (1 = i*) Por sua vez. entende-se que o preço a ser pago pela ação seja equivalente ao somatório dos valores presentes dos dividendos. Na definição da maior taxa de remuneração possível propiciada por um projeto de investimento produtivo. Engª Economica~Aulas~2012. TIR. Como exemplo de aplicação no mercado imobiliário. de bonificações regularmente pagas sobre o capital investido e do valor de vendas previsto. Bk = valor da bonificação referente ao período k. Neste caso. na determinação da efetiva taxa de juros praticadas no financiamento de bens. • • A TIR demonstra. Dk = valor do dividendo referente ao período k. a remuneração a ser obtida pelo capital aplicado e a equivalência quanto aos retornos previstos.1 . com k variando de um a n. Pelo exposto. tem-se o caso da compra de ações.Caso de títulos mobiliários • • • O método é adequado para ser utilizado pelo investidor no mercado mobiliário ao desejar conhecer a rentabilidade de sua aplicação financeira. Nos itens seguintes serão analisadas as condições de aplicação dos casos acima citados.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O método da taxa interna de retorno é recomendado para os seguintes casos:    Pelo lado do aplicador. a equivalência entre o capital tomado e os pagamentos a serem efetuados. ENGENHARIA ECONÔMICA Ao se efetuar a aplicação em ação de qualquer empresa. no caso de financiamento. • VC = valor de compra da ação. Adotando como nomenclatura: 9.4. o valor da tir=i* é aquele que polinômio:  n Bk + Dk  VV VC − ∑ + =0 k  n  k =1 (1 + i*)  (1 = i*) (4) Relativos à bolsa de valores. das bonificações e do valor de vendas previsto para ocorrer em determinado futuro. VV = valor previsto para venda de uma ação. n = o número de períodos previstos para manter a ação em carteira.docx 150-201 resolve o . o preço e a rentabilidade da mesma e estabelecida ao ser conhecida a política de dividendos. Pelo lado do tomador.03. i* = valor da taxa interna de retorno. quando realiza aplicações financeiras no mercado de títulos mobiliários ou bursáteis (4). no caso da aplicação em títulos mobiliários. verifica-se ser a TIR um instrumento adequado para análise da rentabilidade de projetos quando utilizada pela ótica do investidor ou tomador de empréstimo. E. 4. 9. Há o entendimento.2 . Para o tomador do recurso.docx Em operações de financiamento. 9. A taxa interna de retorno.03. i * %) ou.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VB − VB × FVP(n. ao se resolver a expressão acima tem-se o valor da TIR≡ i*.Métodos Algébricos.2.3 – Caso de investimentos produtivos. em que os pagamentos sejam iguais. Fig. 9.{Σ das Prestações a Valor Presente} = zero Considerando que a série de pagamentos. a expressão acima toma a seguinte forma: Engª Economica~Aulas~2012. é definida sob a ótica do tomador do recurso. que valor presente das prestações corresponde ao valor do bem adquirido. 9.Caso de financiamentos. o método é recomendado para definir a taxa de juros efetivamente adotada em projetos de investimentos simples ou empréstimos. VB. periódicos e consecutivos.  (1 + i*)n − 1  VB − VB ×  =0 n   i * ×(1 + i*)  Valor presente da série ≡ Valor financiado A taxa de juros. como é conhecido o valor do bem.4. No Capítulo 10 . então. em decorrência. exprime a taxa de juros efetivamente paga pelo tomador. correspondendo a uma série postecipada.3. corresponde a uma série de pagamentos postecipada.4. pode-se escrever a seguinte expressão matemática: Valor do Bem ≡ Σ das Prestações a Valor Presente {Valor do Bem} . Como exemplo cita-se o financiamento de eletrodomésticos ou veículos vendidos a prestação. conforme visto na figura 9. a financiar e pactuado o número de prestações. 151-201 serão . apresentados alguns métodos de calculo da TIR. Dado o entendimento acima. Neste segundo caso. Ver.1 – Recomendações. então. financeiramente falando. a TIR corresponde à taxa de juros que faz a equivalência entre o valor do montante financiado e o valor das prestações pactuadas.2. 9. Há que se considerar que empresas. Engª Economica~Aulas~2012. os projetos apresentam igual valor presente líquido. o maior valor presente líquido. o fazem visando obter o maior incremento de capital e. é possível verificar que. No caso em pauta. pois a assertiva que deva ser eleita a alternativa que apresentar a maior TIR pode não ser sempre verdadeira e levar à decisão contrária daquela recomendada pelo Método do Valor Presente Líquido.3. conforme Fig. a decisão pelo método do valor presente pode diferir do método da TIR. Isto porque a decisão quanto à escolha da melhor alternativa.00. apresentem os seguintes valores presentes: VP (A) = R$ 37. Logo. (5) A intersecção de Fischer corresponde ao ponto de intersecção dos diagramas de valor presente de dois projetos de investimentos distintos. utilizam o método do valor presente líquido dos fluxos de caixa projetados para medir tal incremento. o valor presente do projeto B passa a superar o do projeto A. 9.00 e VP(B) = R$ 110. recomenda-se adotar o valor presente líquido como parâmetro de decisão. e analisando o que exprime a Fig. Ou seja. verifica-se que os fluxos de caixa descontados a uma TMA = 15%.4. pode o analista ser induzido a erro ao recomendar o projeto B como sendo mais rentável que o projeto A. Da figura tem-se que: ao se considerar um valor da TMA entre zero e a definida pela Intersecção de Fischer(5). 152-201 . E.00. o projeto A deve ser o eleito para implantação.1 – Exemplo. das alternativas em análise. dado um conjunto delas. o valor presente do projeto A supera o do projeto B.03. A partir da Intersecção de Fischer.docx Sendo dados dois projetos de investimentos produtivos representados pelos respectivos diagramas de fluxo de caixa. para um mesmo valor de TMA. Neste ponto. apresentem os seguintes valores presentes: VP (A) = R$ 153. Ao serem traçados os diagramas de fluxos de caixa. unicamente.3. ao verificar que a TIR(B) = 29% supera a TIR (A) = 22%. visando a implantação de algum investimento produtivo é realizada com o objetivo de escolher a alternativa que propicie o maior incremento na riqueza do investidos ou proprietário. para um conjunto de valores de taxas de desconto. a TMA. descontam os citados fluxos de caixa adotando a TMA como taxa de desconto.3. a decisão de adotar a TIR como único parâmetro de decisão pode induzir a erro. Para tanto. Utilizando. a TIR como fator de decisão. Resultado que indica ser o projeto A superior ao projeto B.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Quando se analisa um conjunto de alternativas de investimento em projetos produtivos.00 e VP(B) = R$ 44. procedimento que garante o atendimento da premissa de maximização da riqueza. 9. para distintos valores da TMA. sem efetuar uma análise mais acurada. o fluxo de caixa de cada alternativa em análise é descontado à taxa de mínima atratividade. sendo que este pode induzir o decisor a erro de julgamento. para tanto. fato que contraria a decisão efetuada utilizando exclusivamente a TIR como parâmetro de decisão. os fluxos de caixa descontados a uma TMA = 8%. ao investir seus recursos em projetos produtivos. Do desenho. Nestas condições fica demonstrado que. Tal recomendação visa resguardar a consistência do processo decisório. deste modo. Como visto. constata-se a possibilidade de ocorrer duas soluções tendo como ponto limite a taxa de desconto conexa à intersecção de Fischer. a taxa interna de retorno é aquela taxa que iguala a zero a função valor presente líquido associado aos fluxos de caixa de um projeto. Visando manter a consistência de sua análise.1 – Função Polinomial. o valor da .5. fato que coincide com a decisão quanto se tem a TIR como parâmetro de decisão. Considerando que a função valor presente líquido pode ser representada por um polinômio de grau equivalente ao do número de períodos do fluxo de caixa.docx 9. Projeto A 110. 9. VP( A ) = Fo + F1 F2 F3 Fn + + +L+ 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n Da teoria dos polinômios. verificase que o projeto A é superior ao Projeto B a taxas de desconto inferiores àquela definida pela interseção de Fischer. um polinômio do n-ésimo grau dispõe de n raízes. Pela análise acima efetuada. cabe ao analista se precaver quando julga diversas alternativas possíveis destinadas à realização de um investimento produtivo e deseja adotar a TIR como parâmetro de decisão. pode ocorrer mais de duas soluções. Havendo um conjunto de alternativas de investimento Engª Economica~Aulas~2012. matematicamente. Intersecção de Fischer 153. Esse resultado indica ser o projeto B superior ao projeto A. Logo. Analisando os dois diagramas expostos na Fig.03.Consistência TIR e VPL. 9. recomenda-se efetuar um desenho onde conste o diagrama de valor presente de cada alternativa disponível e. a TIR corresponde às raízes desta função polinomial.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA VP-$ ENGENHARIA ECONÔMICA em julgamento. 153-201 TIR. Já o projeto B é superior ao projeto A para taxas situadas entre a interseção de Fischer. 00 Projeto B i% 8 9.3. quando ocorrer o caso de i* = função polinomial passa a ser zero.3 . 12 TIR A= TIR B = 22% 29% Fig. Então. um polinômio dispõe de tantas raízes quanto for o seu grau. e a TIR (B). se certificar do campo de domínio de cada uma delas. 12%.5 – Calculo da TIR. A análise em questão foi realizada ao se comparar dois diagramas de valor presente. fato que requer uma análise criteriosa do decisor. sabe-se que. isto é. 00 Finalizando. de zero a 12%. 29%. como já comentado. inconveniente de ser muito trabalhoso. sendo a TIR uma raiz da função polinomial que expressa o fluxo de caixa.Raphson e o método de Wild. essa assertiva pode não ser sempre verdadeira. 400.200. Deste modo pode-se escrever: n ∑F k =0 VP ( A ) = Fo + 0 + FK (1 + i *) − k = 0 Sendo este primeiro valor positivo (+). Ou melhor. pois iterativo. F1 F2 F3 Fn + + +L + =0 (1 + i*) (1 + i*) 2 (1 + i*) 3 (1 + i*) n Como exemplo de função polinomial associada à um fluxo de caixa. maior que o anterior. volta-se ao procedimento inicial.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA E. o Método de Newton. ocorrerá o aumento da riqueza dos proprietários. calculado o Valor Presente do fluxo de caixa para essa taxa. 154-201 .03. 9. 450.Processo da Bisseção. o Valor Presente. arbitra-se um novo valor para a taxa de desconto. metodologia iterativa. Porém. 350. pelas fórmulas de Karpin que permitem definir a TIR de modo algébrico.docx Tal operação deve ser repetida. iterativamente. Justificam a assertiva duas situações: a primeira dado a corresponder à maior remuneração possível para que um de projeto seja viável. 450 400 350 300 VP( A ) = −1200 + + + + 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)4 É o processo de mais fácil aplicação. o que apresentar a mais alta TIR deverá ser considerado o economicamente mais interessante. procura-se uma taxa “i” com valor menor que a ultima encontrada e cujo valor presente seja positivo. e calcula-se. a seguir. O processo em questão deve ser repetido até se obter um valor presente zero ou insignificante. a segunda.5.2 . fórmulas essas recomendadas para serem utilizadas quando os fluxos de caixa apresentem uma lei de formação conforme modelo pré-determinado. Ao ser encontrada uma taxa i em que o Valor Presente seja menor que zero. TIR Em havendo a comparação entre dois ou mais investimentos. ambos permitindo a obtenção da TIR de forma algébrica. Engª Economica~Aulas~2012. o valor presente líquido da alternativa de projeto será superior a zero e. até ser encontrado um valor presente negativo. seja um projeto representado pelo seguinte conjunto de fluxos de caixa projetados: FC(A) = {-1. O processo de tentativa e erro é iniciado ao ser arbitrado um valor qualquer para a taxa “ï” e. pois sendo a TIR superior à TMA. pode-se igualar este polinômio a zero. com o Como recomendação para acelerar o processo de cálculo pode-se adotar o processo da bisseção. para projetos de investimentos produtivos e que não integrem o mercado mobiliário. cujo resultado é obtido de modo aproximado. novamente. 300} A função valor presente líquido é dada por: A solução deste tipo de polinômio pode ser efetuada por diversos métodos: o Processo da Bisseção. por conseguinte. apenas. TIR.03. utilizando Ressalta-se que os métodos apresentados permitem definir. próximo a zero. ou seja. calcular algebricamente a os métodos discutidos no Capítulo 10. assim.docx 155-201 . É possível. inova = im ( VP < 0) + in ( VP > 0) 2 Repetido o processo tantas vezes quantas forem necessárias. para cada nova taxa de desconto a ser utilizada dever-se-á adotar o resultado da média aritmética obtida entre as seguintes taxas: aquela ultima taxa cujo valor presente tenha sido negativo e aquela cujo ultimo valor presente tenha se apresentado como positivo. ter-se-ão valores de “i” que propiciam valores presentes cada vez mais próximos de zero. indica o processo da tentativa bisseção para o cálculo da TIR. porém. seja verificado se um apresenta mais de uma única TIR. Engª Economica~Aulas~2012. financeiramente. A bibliografia. uma das raízes do polinômio. graficamente. O processo de iteração como ser dado como concluído ao se obter uma taxa de desconto associada a um valor presente líquido irrisório ou. uma das TIR associadas ao projeto de investimento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Neste processo. comumente. que seja elaborado um diagrama de valor presente para que. Recomenda-se. 54 R$.54. Sendo VP>0. respectivamente.3 – Aplicação da metodologia Seja determinar a presente: TIR associada à seguinte função de valor 450 400 350 300 VP( A ) = −1200 + + + + 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)4 Calculado o valor presente.3750 2 2 Calculado o valor presente.47 R$. Calculado o valor presente chegou-se a VP = -39.4. Calculado o valor presente obteve-se VP = +7. Então: i6 = i4 + i5 10. 1ª iteração – Arbitra-se uma taxa de desconto. o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo.5. chega-se a: VP= +1.25 2 2 Calculado o valor presente. chega-se a: VP= -1. Viabilidade – Inicia-se verificando a viabilidade do projeto para alguma taxa de desconto. Ou seja. Para tanto. o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. utilizando a metodologia da bisseção.50 + 10. 5ª iteração – Considerando que na iteração anterior obteve-se um VP= .A taxa de desconto a seguir adotada corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram. Logo: i +i 10 + 10. repete-se o procedimento efetuado.56R$.03. 4ª iteração . Nesta primeira iteração foi adotada uma taxa de desconto i=10%.50 2 2 Calculado o valor presente. respectivamente.50 e i5 =10. Nesta iteração foi adotada uma taxa de desconto de i=12%. corresponde ao resultado da média aritmética definida entre as taxas que apresentaram. Então: O processo da bisseção é um procedimento iterativo e segue os procedimentos abaixo.54 R$.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA i3 = 9. o projeto é inviável para qualquer TMA e deve ser abandonado.25. i4= 10. também. arbitra-se uma taxa maior visando obter um VP<0. a Fig. 6ª iteração . 2ª iteração – Como na iteração anterior obteve-se VP>0. o projeto é viável e o processo pode prosseguir.50 i5 = 1 4 = = 10.9. respectivamente. Engª Economica~Aulas~2012.53R$.41 R$.A taxa de desconto a ser adotada nesta iteração corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram. chega-se a: VP= -16. 3ª iteração – A próxima taxa de desconto adotada.4. o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo: i1 + i2 10 + 12 = = 11 2 2 i4 = i1 + i3 10 + 11 = = 10.docx 156-201 . chega-se a: VP= -4. Ver. Caso ocorra VP<0.25 = = 10. faz-se i=0. .. o valor presente da função fluxo de caixa pode ser negativo para algumas taxas de desconto.. TIR Como exemplo deste tipo de fluxo de caixa pode-se ter um fluxo que apresente três variações de sinal como o conjunto apresentado acima..50) = 10......56 -16.50 (10+10. caso contrário poderá o analista incorrer em erro de avaliação...repetindo o procedimento exposto por n-vezes.. E..... iteração viável 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .6. Justifica-se a assertiva acima já que a função valor presente associada a um fluxo de caixa pode ser representado por uma função polinomial do enésimo grau.....53 -39. -F5 .00 +7...3750)/2 = 10..-F7. +F2.. Deste modo. pode-se verificar..... 0..71730 0. nada se podendo afirmar a priori. decrescente e convexa. a exemplo dos diagramas mostrados na Fig.. Tal situação ocorre quando o projeto é do tipo de investimento convencional.50+10. pode ocorrer a existência de diversas TIR.5. Engª Economica~Aulas~2012... apresenta um número de raízes igual ao do grau do polinômio......25+10.+F11.25+10. No diagrama da Fig..28125)/2=10. Ao apresentar diversas variações de sinal.3125)/2 = 10.9. Quando se utiliza a TIR como parâmetro de decisão.3125+10.29688 .0360 0..+F12} 157-201 ... Como o número de raízes é igual ao do grau do polinômio...+ F4.25 (10..6 . graficamente. onde fica evidenciada a existência de múltiplas TIR.25) = 10.5. chega-se ao valor da TIR = 10. TIR → 10.3110 VP – R$ +300. é recomendável a verificação de que ela seja ÚNICA....+F10.00 (10+12)/2 = 11 (10+11)/2 = 10.....00 12.1 – Conceituação. existe um número de TAXAS INTERNAS DE RETORNO correspondente ao do grau do polinômio associado ao fluxo de caixa.1.41 -4....ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Enésima iteração .54 -0..3125 (10.34053 .Existência de múltiplas TIR.47 -1.. 9.docx { -F0. n Taxa de desconto – i% 0..3110%. caso que pode decorrer na existência de um diagrama de fluxo de caixa similar ao representado na Fig. o que define o comportamento do fluxo de caixa é o número de variações de sinal que ele apresenta.. Esta unicidade de TIR é garantida quando o polinômio representativo do projeto se apresenta como uma função contínua..03.-F6 . Porém...28125 (10. -F1.....+F9 . 9. Assim... a assertiva acima quanto a existência de um conjunto de valores presentes negativo associados à taxas de desconto que se situam entre a TIR1 e a TIR2... 9.00 9.00 10. + F3 ....54 1.+F8 . No caso de projetos tipo “não convencional”.3750 (10. sendo a maioria delas múltiplas ou não pertencentes ao conjunto dos números reais. um projeto pode apresentar uma ou várias segundo o comportamento do fluxo de caixa. 6. Deste modo o projeto pode dispor de um número de taxas internas de retorno igual ao número de variações de sinal. qualquer empresa que desconte seus investimentos à TMA’s situadas entre os valores da TIR-1 e da TIR-2.5. em projetos onde se prevê etapas sucessivas de aumento de produção que demandem. seja o projeto de investimento que apresenta o seguinte fluxo de caixa: {-100. Ver diagrama da Fig.$ i =TIR1 Tomando como exemplo o diagrama da Fig. b) Investimento do tipo não convencional pode apresentar mais de uma variação de sinal no fluxo de caixa. especialmente na fase de captação de recursos. Esse procedimento evita incorrer em equivoco durante seu processo decisão. pode incorrer em erro se considerar apenas a taxa interna de retorno como parâmetro de decisão. (De Faro. o que leva à existência de apenas uma raiz real.03. 1980).5 – Existência de múltiplas TIR Pelo exposto e quando houver o interesse em conhecer ou analisar um projeto do tipo não convencional adotando a TIR como parâmetro de decisão.docx 158-201 . Valor Presente descontado p/ TMA TMA2 i TMA i=TIR2 Fig. ela poderá não ser única! 9. Ou. mas pode ocorrer em empreendimentos produtivos.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Considerando que um projeto pode ser definido como convencional ou não convencional e esta definição é expressa pelo número de variações de sinal do fluxo de caixa.2 – Exemplo Como exemplo de fluxo de caixa que apresenta mais de uma TIR.10. tem-se: a) Investimento do tipo convencional ou empréstimos apresenta apenas uma TIR.9.5. Pois. Valor Presente . O comportamento de sua função se apresenta de modo decrescente.9. recomenda-se ao analista financeiro efetuar o diagrama de valor presente de modo a visualizar o comportamento da função. Esta situação não é corriqueira. para tanto. 230. A expressão do valor presente líquido é dada por: Engª Economica~Aulas~2012. quando grandes investimentos são realizados e ocorrem períodos onde os fluxos de caixa são negativos. novos investimentos. como visto. especialmente quando em análise de empreendimentos produtivos. sendo viável o projeto. especialmente aqueles ligados à construção civil e à de mineração. E. contínua e convexa. -132}. 20 6. sabendo que a empresa pratica uma TMA=15% ao período.529. . 400. 450.9. 248. foi discutida a ampliação e implantação de mais uma linha de produção.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 230 132 VPL = −100 + − (1 + i) (1 + i) 2 b) Calcular a taxa de juros embutida nos projetos de financiamento representados pelos seguintes conjuntos de fluxos de caixa: VPL .45. 45] Sabe-se que apenas um dos projetos será escolhido.00 4.678. 55. 395} TIR 1 TIR 2 c) Dentre os cinco projetos de investimentos abaixo.44 Pay Back anos 7. 0. 500.56 31. 300} FC(B) = {-350. Engª Economica~Aulas~2012.9.6. evidencia a existência das duas TIR.99 132.6. 350. d) Quando se deve utilizar. Fig. 340. em reunião de diretoria.03. Presente Líquido 10³ R$ 123.199.10 6.00 29. 16. Para tanto quatro alternativas de investimentos foram apresentadas. c) Qual a diferença conceitual entre TMA e TIR? 9. 35. o diagrama do valor presente dos dois projetos representados em um único diagrama cartesiano e. 20. – Exemplo de projeto Projeto A1 B2 C3 D4 E5 V. aquele a ser recomendado para implantação.99 125.00 132.40 5. 45. pois os recursos disponíveis são limitados.200. 55. P(A) = [-100. 155. 100] e P(B) = [-35.78 101.44 19. e) Você é um dos diretores de uma empresa quando. 55. cada uma delas? a) Comparando os projetos representados pelos conjuntos de fluxo de caixa solicita-se: os polinômios representativos dos mesmos. 320.07 19. -480.7 – Exercícios. 45.675. 365. 30.$ FC(A) = {-1.docx 159-201 . qual deles VOCÊ escolheria para ser implantado? Justifique a sua opinião! i Fig.% 22. num processo de decisão ou de comparação de alternativas.90 O diagrama de fluxo de caixa deste investimento.456.90 TIR . 8. qual será a sua decisão! Equipamento Modelo Preço .docx á 160-201 . VOCE dispõe das informações constantes do quadro abaixo. O analista de investimentos elaborou os respectivos fluxos de caixa e os descontou à taxa de remuneração do financiamento. Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas. detém a responsabilidade de analisar a aquisição de cinco equipamentos de compactação de solos. Projeto Alfa Beta Gama Delta Taxa Interna de Retorno 36.22 de seus Complus CP-X5 495 9. que sua empresa pratica uma taxa de atratividade no valor de 15% aa. Como condições de financiamento. Justifique.829. a ser suprido com aumento de capital da empresa realizado pelos sócios. sabe também. conceitualmente e conhecimentos.99 844 76 3.68 844 64 2.511.0 36. Pergunta-se: VOCE concorda com a adoção da taxa citada? Justifique a sua assertiva. dois anos de carência e juros de 8. ou seja.5% ao ano.40 798 45 3.0298 35. g) Você.5678 39. E. a proposta do banco previa quitação em dez parcelas iguais. esta sendo analisado sob duas condições: 1ª) o investimento dos ativos produtivos poderá ser realizado com a utilização de capital dos acionistas.03.5% ao ano. Você concorda com a opinião do analista? Justifique. como Diretor Técnico de uma empresa de engenharia que atua no setor de terraplenagem.807.Compra Vida Útil TIR BAE Manutenção Valor Presente unidade 5 10³ R$/un anos % 10³ R$/ano 10³ R$/ano 10³ R$/ano Prefax PCM-32 420 7.7554 f) Um investimento produtivo cujo horizonte de projeto foi previsto para quinze anos. Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas. 2ª) utilização de capital oriundo de um banco de investimentos. Para julgamento das propostas recebidas. como Diretor Técnico de uma empresa de engenharia que atua na área de terraplenagem.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O analista financeiro recomendou a adoção do projeto GAMA! Ele justificou seu ponto anexando o memorial de calculo da TIR dos projetos. detém a responsabilidade de analisar a aquisição de cinco equipamentos de compactação de solos.9432 34.39 luz Empresa Terrapac TCON-K9 340 5.0 30. Engª Economica~Aulas~2012. anuais e consecutivas definidas pelo sistema SAC.72 h) Você. cujo resultado consta do quadro abaixo.0 27. 7% aa.0 2. Justifique. Todas as assertivas acima são corretas.0 9.0 7. deve desconsiderar as distintas vidas úteis das mesmas.0 30.0 27.03.40 798. A análise de viabilidade de projetos produtivos. Complus CP-X5 495. quando compara alternativas de projetos de longa duração. foi elaborado o quadro de informações abaixo. os valores dos imóveis e Engª Economica~Aulas~2012.0 5. qual será a sua decisão! Especificações Equipamento Modelo Preço de Compra Vida Útil TIR BAE Manutenção Valor Presente unidades 5 10³ R$/un anos % 10³ R$/ano 10³ R$/ano 10³ R$/ano Prefax PCM-32 420. Sempre que se realiza a analise de viabilidade de projetos de investimentos produtivos.0 36.99 844. Você sabe que sua empresa adota uma TMA no valor de 17.829.0 76.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Visando subsidiar o julgamento das propostas. conceitualmente e á luz de seus conhecimentos.39 Empresa Terrapac TCON-K9 340.docx 161-201 .0 45. Todas as assertivas acima são incorretas. É irrelevante a elaboração dos diagramas de valor presente quando se analisa alternativas de projetos de investimentos produtivos não convencionais.22 • • equipamentos financiados não são considerados no fluxo de caixa no momento de sua aquisição.0 64.0 3.807.72 i) Assinale as afirmativas corretas: • • • • • A taxa de desconto adotada na análise de viabilidade de alternativas de projetos produtivos deve ser a mesma adotada para a quitação dos financiamentos dos projetos. A TIR é a taxa de desconto tecnicamente recomendável a ser adotada na analise de viabilidade de projetos não convencionais.511. Além disso.0 3.68 844. para que o resultado seja compatível com o real. como já comentado. Os projetos de investimento do tipo não convencional. os juros deverão ser calculados. Prestações crescentes. As fórmulas de Karpin facilitam o calculo. Para projetos de investimento do tipo simples ou convencional. Prestações decrescentes. que os pagamentos atendam a uma lei de formação pré-definida. fica vedada sua aplicação para séries que apresentem pagamentos distintos. Neste capítulo são apresentados alguns métodos destinados a calcular algebricamente uma das possíveis TIR associadas a um dado fluxo de caixa. 10. A operação do tipo empréstimo é definida como aquela em que ocorre uma única saída de caixa no momento em que Engª Economica~Aulas~2012. E.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ocorre a operação financeira. Ressalta-se que projeto tipo empréstimo é definido como aquele em que ocorra apenas uma única saída de caixa seguida de tantas entradas de caixa quantos forem os períodos de pagamento. sobre a importância a ser financiada. Métodos Algébricos. de modo expedito. mas fornecer ao interessado uma metodologia capaz de solucionar a maioria dos problemas desta área de conhecimento. cujo fluxo de caixa se comporta segundo determinada leis de formação. seguida por uma série de entradas de caixa. 10. O calculo da TIR utilizando as fórmulas de Karpin. da Taxa Interna de Retorno de projetos de investimentos tipo empréstimo.docx    os casos de prestações Prestações constantes. Não se pretende esgotar este assunto. é recomendado para utilização em projetos de investimentos que atendam as seguintes condições: Isto quer dizer que eventuais entradas ou sinal de negócio devam ser abatidos do montante do bem financiado. a TIR pode ser determinada utilizando uma metodologia denominada Fórmulas de Karpin. E. 162-201 a serem . No caso das formulas de Karpin ocorre uma exigência complementar para que possam ser aplicadas é que os pagamentos apresentem uma lei determinada de formação. i) Três serão apresentados: ii) Seja uma operação do tipo empréstimo ou financiamento liberado em única vez. exclusivamente. que a primeira entrada ocorra no período imediatamente subsequente ao da saída de caixa. Logo.03.1 – Fórmulas de Karpin É oportuno ressaltar que o resultado obtido pela utilização da fórmula de Karpin é aproximado e. a TIR pode ser determinada utilizando os algoritmos de Wild ou de Newton-Raphson. R2. utilizando o modelo abaixo. quando os pagamentos realizados à prestação constante.2. Projeto: {-VB. E. correspondendo a uma série postecipada.. VP(P) = − VB + R1 R2 R3 Rn + + +L+ 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n Em que. R3. e destinado a definir a taxa de juros sob a ótica do tomador do recurso. neste capítulo será adotado: R. VB. por definição: R1 = R2 = R3 = … = Rn = R O processo de obtenção da TIR ocorre em duas etapas: 1º Etapa – Define-se uma constante denominada “a”: a= nRN − VB nRN = −1 VB VB 2º Etapa – Calcular-se a TIR: Disponível o valor da constante a. n o numero de prestações.03. 10.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Como nomenclatura.1 – O método. Como exemplo deste tipo de aplicação seja o caso de aquisição de bens de consumo realizado no comércio varejista.. O modelo proposto é recomendado para utilização em projetos convencional tipo financiamento ou empréstimo com retornos constantes. correspondendo ao valor da prestação. pode-se determinar a TIR.docx TIR(P) ≅ 2a × (3 + a) 2na + 3 × (n + 1) 163-201 . Rn } Ou. e..2 .Caso de Prestações Constantes.. n. R1. Q representando a prestação. Engª Economica~Aulas~2012. o valor do bem financiado. em forma polinomial. representando o número de prestações. Estabelecendo a seguinte nomenclatura: S correspondendo ao valor a ser financiado. considerando um projeto de financiamento representado por deu fluxo de caixa: 10. definida em função do número de prestações.1 – O Método.800. a= TIR(P) ≅ ENGENHARIA ECONÔMICA Rj = q × R j-1 ∴ q= Rj >1 Rj − 1 De modo similar ao caso anterior. 10. se comporta como uma série em progressão geométrica que cresce à razão “q”. calcula-se a TIR utilizando o modelo. a razão da progressão. O fluxo de caixa.08333× (3 + 0.08333 + 3(10 + 1) Pelo exposto. da série crescente de prestações é dada por: Engª Economica~Aulas~2012. Sendo Rj um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo. então. Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado é de R$ 1.00. Neste caso.08333 VB 1800 2a(3 + a) 2 × 0.docx 1ª Etapa – Define-se uma constante denominada de a. conforme o modelo abaixo: a= nR 1 − qVB nR 1 = −1 qVB qVB 2º Etapa: Calcula-se a TIR: Disponível o valor do parâmetro a. então.0148 2na + 3(n + 1) 2 × 10 × 0. ou seja. do coeficiente de variação das prestações.3 .03.00. mensais e consecutivas no valor de R$ 195. 164-201 . 10. e sendo esse um dos termos de uma progressão geométrica. do valor da 1ª prestação e do valor financiado.48% ao mês.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 10.Caso de Prestações Crescentes. a definição da taxa interna de retorno também é obtida em duas etapas: n × RN 10 × 195 −1 = − 1 = 0.08333) = = 0. as prestações são crescentes e variam segundo uma taxa constante. por definição.2.2 – Aplicação. a ser pago em dez prestações iguais.3. o valor da TIR(P) = 1. 1 – O Método. porém. para que o modelo possa ser aplicado.0726 ) × (3. a aplicação deste modelo de determinação da TIR fica inviabilizada: Neste caso. Sendo a primeira prestação inferior ao valor de R1. R1 = Engª Economica~Aulas~2012.0726 )  TIR (P ) ≅ 1.00 1818 2ª Etapa: Determinação da TIR  2a(3 + a)  TIR(P) ≅ q ×  + 1 − 1  2na + 3(n + 1)   2 × (0. 10.docx VB + (n × k) n 165-201 .00.3.4 – Caso de Prestações Decrescentes.00. A primeira prestação foi pré-determinada em R$ 180.00 −1= −1= − 1 = 0. 10.03.800.31% ao mês.01×  + 1 − 1 = 0. verificar se a primeira prestação atende à seguinte condição.4. crescentes e consecutivas. conforme condição. pode ser considerado como uma série em progressão aritmética decrescente a um valor constante k. a ser pago em dez prestações mensais.01× 1800.0231  34. então. Há. Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado monta a R$ 1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA  2a(3 + a )  TIR (P ) ≅ q ×  + 1 − 1  2na + 3(n + 1)  ENGENHARIA ECONÔMICA 10. 1ª Etapa: Calculo do parâmetro a: a= 1950 n × R1 10 × 195.4461  TIR(P) ≅ 1. Neste caso.0726 ) + 3 × (10 + 1)   0.01 ×  + 1 − 1  2 × 10 × (0.4520  O fluxo de caixa.0726 q × VB 1.2 – Aplicação. a TIR corresponde a 2. cuja taxa de crescimento foi determinada em 1% ao mês. as prestações são decrescentes e variam segundo um valor constante. no valor de R$ 206. cabendo ao interessado utilizar outra metodologia para a definição da TIR.docx nK 10 × 2. por definição e sendo esse um dos termos de uma progressão aritmética. for igual ao valor pactuado para a primeira prestação. a igualdade existe. e.60R$ n 10 Um equipamento é vendido.00 mensais. Calcular as taxas de juros cobradas sob as seguintes condições:  Financiamento realizado em 10 prestações iguais e consecutivas no valor de R$ 78.66 por mês.4. ser calculada a Taxa Interna de Retorno utilizando a seguinte expressão: TIR ( P ) ≅ nK VB Ressalta-se que. ele é definido por: Rj = R j-1 . a ser pago em seis prestações mensais. 10. Caso contrário.118. As prestações decrescendo em R$ 2. o primeiro termo da série de pagamentos.800.66) = 206. por R$ 480.00 Neste caso de prestação decrescente a TIR apresenta uma taxa de juros de 1. então.66 = = 0.K e. O modelo de cálculo da TIR somente será coerente se o valor da prestação calculado.00. então. em a primeira prestação não atender a condição acima. R1 = 2ª Etapa: Determinação da TIR. TIR (P ) ≅ Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado monta a R$ 1. ou seja. Neste caso. VB 1800 + (n × K ) = + (10 × 2.Rj Para que seja valida a aplicação do modelo.5 .60 Engª Economica~Aulas~2012.800 . a aplicação do modelo se mostraria inconsistente.000. decrescentes e consecutivas. o modelo não pode ser aplicado. 1ª Etapa: Condição da Primeira Prestação.00. ENGENHARIA ECONÔMICA decorridos trinta dias da data da operação. à vista.2 – Aplicação.48% ao mês.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Então. o que torna viável a aplicação do modelo. 166-201 .Exercícios. 10.0148 VB 1 . R1. a primeira prestação deve atender a condição definida: R1 = VB + (n × K ) n Atendida a condição estabelecida para a primeira prestação da série de pagamentos pode. K = R j-1 . iniciando a primeira.03. sendo Rj um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo. 000.00 • • b) Calcular a TIR vinculada ao financiamento de um automóvel nas seguintes condições de pagamento e venda.000.00  Em trinta dias (1º pagamento): R$ 3.00 R$ 53.500.00  Saldo: cinco prestações mensais. opções são válidas: R$ 73.docx • • • • • • • Sempre que a TIR for maior que a TMA um projeto produtivo pode ser considerado como viável. mensais e consecutivas.00 R$ 68.  Em dez prestações decrescentes. A matemática dos juros simples é a legalmente definida para ser adotada em estudos de viabilidade. o método do valor presente não é o mais adequado para ser adotado no processo de decisão. mensais e consecutivas. e que apresentem tempos de vidas distintos.00 R$ 60. vencendo a primeira delas 30 dias após a data de aquisição.90.00 R$ 63. a exemplo da reposição de equipamentos. pergunta-se: • • O montante do lucro realizado. mensais e consecutivos.00. Quando comparados dois projetos de financiamento de curto prazo.00 R$ 55. No caso de um projeto apresentar uma TIR igual a TMA.00 R$ 50.500. pactuadas segundo a sequência abaixo: Taxa de financiamento a clientes Margem de lucro = ML Tributos = TR Despesas administrativas indiretas = DI 26. k =ML + TR + DI.000.00 R$ 70. Quando a TIR for igual à TMA um projeto produtivo deve ser abandonado por ser inviável. Assim sendo. você dispõem dados gerenciais abaixo. 167-201 .500. Quando comparados dois projetos produtivos.000.000. menor é o tempo de retorno do capital investido. iguais e consecutivas no valor de R$ 5. O preço a vista do produto é de R$ 5.999. CD.03.00 R$ 65. o que apresentar a maior TIR deve ser definido como o mais atrativo. Para o calculo do preço.00 R$ 58.000.50% 4. e a empresa não pratica desconto algum sobre este valor.500. no valor de R$ 599. A TIR é um método inadequado para definir a taxa de juros embutida em financiamento de bens no curto prazo. quanto maior for o valor da TIR. o que apresentar a maior TIR deve ser rejeitado.4% d) Assinale qual. Engª Economica~Aulas~2012.  Preço do Veículo: R$ 28.000. A TIR e a TMA sempre exprimem o mesmo conceito ou seja.000.500. Ao serem comparados dois projetos repetitivos.000.00 e as demais apresentando uma variação crescente segundo um coeficiente de 10% ao mês.987. ou quais. taxa de oportunidade. c) Uma empresa varejista oferta uma geladeira tipo Gelmax em dez prestações iguais.00  Entrada: R$ 5.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA  Em 10 pagamentos iguais. com a primeira prestação no valor de R$ 45.6750% ao ano 15% 22.00. O custo do produto. A empresa fixa seu preço adotando o seguinte modelo matemático: P = CD( 1+k ) e. Engª Economica~Aulas~2012.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA • ENGENHARIA ECONÔMICA O método do valor uniforme equivalente não é o mais adequado para ser adotado em análise de viabilidade de projetos produtivos.docx 168-201 .03. A decisão será efetuada segundo a alternativa que apresentar o melhor Valor Presente Líquido . comumente. lhe aluga ou financia o mesmo.VPL. comissionar significa colocar num processo de produção um bem ou equipamento destinado a cumprir determinada função ou serviço por um determinado período de tempo. nesses casos. No contexto em discussão. pode-se considerar. apenas. ou leasing. 11. E.3. Dimensão esta que possibilita estabelecer uma política de aquisição.2 – Tipos de Comissionamentos. Engª Economica~Aulas~2012. devem ser definidas as seguintes variáveis: • • • • • • O valor do bem. que as alternativas analisadas nos estudos de comissionamento são destinadas a comparação de equipamentos que realizarão um mesmo serviço é comum analisar somente os custos a serem incorridos. A vida útil do bem ou equipamento. Este Capítulo trata do comissionamento de ativos e do leasing-back.03.1 – Definição. Compra a prazo ou financiamento.3 – Metodologia. ou seja. imediatamente. é uma modalidade de financiamento de ativos. da empresa. 11. A análise de investimentos permite incluir no processo de decisão da escolha de equipamentos a dimensão financeira. a partir da aquisição de um bem da própria empresa tomadora do financiamento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O comissionamento pode se realizar sob as seguintes alternativas: 11.1 – Decisão. os custos associados a cada alternativa.M. Aluguel sem devolução. o leasing-back. O valor do aluguel.A. o seu preço de aquisição. 11. O leasing-back. A taxa de juros do financiamento. comissionamento e alienação de ativos e que transcende à análise técnica ou econômica dos mesmos. 11. Para tanto. procedimento que facilita e agiliza o processo de tomada de decisão. Assim sendo. O processo de decisão adotado para aplicação na escolha da melhor das alternativas acima elencadas é o método do valor presente líquido. Considerando. A T. O valor residual. Aluguel com devolução. – Comissionamento de Ativos. Neste caso a empresa vende um ativo de sua propriedade para a financiadora que.docx • • • • • Compra a vista. 169-201 . 3.2 .1. Para tanto há que se considerar os tributos e taxas incidentes. 11. haver uma melhoria no ultimo fluxo de caixa. taxas e a depreciação legal. Um exemplo de fluxo de caixa desta operação é exposto na Fig. fato que pode vir a beneficiar sensivelmente o projeto. Além disso. o tempo em que o mesmo estiver em comissionamento. no calculo do valor presente de cada alternativa. Fk = Lucro – Investimentos + Deduções + Valor Residual Alerta-se que. deste modo. Engª Economica~Aulas~2012. Nos itens a seguir serão discutidos os diagramas de fluxo de caixa típicos de cada uma das modalidades de comissionamento elencadas no item 11. como já comentado. A compra a vista é recomendável quando a empresa dispõe de caixa suficiente para a aquisição do bem e não prejudicar o nível do capital de giro.03. 170-201 . a taxa de desconto i corresponde à TMA da empresa interessada. ou seja. custos e despesas necessárias à operação do mesmo. que melhora o fluxo de caixa. A decisão da escolha da melhor alternativa. genérico.2. o bem pode ser vendido e.Invest + Deduções + Valor Residual Ou. esta última. o fluxo de caixa deve considerar o investimento inicial correspondendo ao valor do bem adquirido e todas as entradas e saídas de caixa propiciadas pela operação do bem.docx Ao final da vida útil do projeto. o valor presente líquido e os fluxos de caixa das alternativas são calculados segundo o modelo abaixo: n VP ( p ) = Fo + ∑ Fk k = 1 (1 + i) k Em que o valor do fluxo de caixa – FK.11.Compra a vista. deverá ser realizada utilizando o método do Valor Presente Líquido. deve considerar a vida útil do bem.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA E. é definido pelo seguinte modelo: Fk = Σ Rec – Σ Desp . ENGENHARIA ECONÔMICA Na compra a vista. bem como a depreciação legal. operação comumente conhecida como leasing. também. Ver modelo de fluxo de caixa na Fig. Isto porque. os tributos e taxas incidentes. conforme já comentado no capitulo amortização de dívidas. os juros são considerados como despesas do exercício e susceptíveis à ação do imposto de renda. O fluxo de caixa associado a uma compra a aprazo deve levar em consideração: o valor da prestação.3. neste caso de financiamento ou aluguel sem a devolução do bem no final do período contratual.3. Engª Economica~Aulas~2012. o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. o pagamento das prestações do financiamento deve ser decomposto na parcela dos juros e na de amortização. o bem também é considerado.11.Aluguel com devolução do bem.3 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 11. como propriedade da empresa. Ver modelo de fluxo de caixa de compra a prazo na Fig. os valores das amortizações considerados como investimento.docx Além disso.4 . No final do período o bem retorna à posse do locador. Neste caso o bem é considerado como propriedade do locador e o custo do aluguel contabilmente tratado como despesa do exercício. ai especificando o montante dos juros a serem pagos e o valor da amortização a cada período. Prestação = Juros + Amortizações. o pagamento do bem ocorre na medida em que vai sendo realizado o fluxo de receitas da empresa.3.2. Contabilmente integram o ativo da empresa.03. ou financiamento. A atratividade das alternativas de compra a prazo e. também. 11.11.Compra a prazo. 171-201 . Neste caso. No caso de ocorrer aluguel com a devolução do bem no final do período de locação. para efeitos legais. de aluguel é a possível disponibilidade do bem sem ocorrer a necessidade de descapitalização. Na compra a prazo. Deve-se adicionar ao fluxo de caixa. E. ENGENHARIA ECONÔMICA Em decorrência deste fato. Ao fim do contrato.03. Após expirar o contrato de aluguel. como fornecedor.Leasing-back. 11.br/epd/emp/rei/bac/index. a doação do bem pela arrendadora à empresa financiada. lhe arrenda o bem. Neste caso pode haver uma operação de compra ou. 172-201 . E. segundo condições ou parâmetros contratualmente estabelecidos.3.4 . o cliente recompra o bem pelo valor residual garantido . segundo o valor previsto para aquela época. 11.VRG(6). em seguida.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O valor do aluguel é definido por uma série uniforme postecipada.unibanco. o valor da mesma é considerado como despesa do exercício. 6 Engª Economica~Aulas~2012. No caso de ocorrer aluguel sem a devolução do bem. ao final do projeto. 11.5 . há que se considerar o valor do mesmo como uma entrada de caixa. o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto.docx ( ) Fonte: http://www. O leasing-back é uma operação de leasing financeiro em que o próprio cliente atua. Ele vende um ativo de sua propriedade para a empresa arrendadora que. durante o período de locação. Ver Fig. acesso em 20. também. com prestações iguais. simplesmente. O valor residual garantido corresponde a uma porcentagem do valor de aquisição. mensais e consecutivas. porém.Aluguel sem devolução do bem.4. o bem passa a integrar o patrimônio da empresa locatária avaliado pelo valor residual do mesmo.asp.10.com.2009. 11. A vantagem neste tipo de operação financeira é que ela possibilita o alongamento do perfil do endividamento de curto para longo prazo. A Fightwell. como saídas de caixa: os custos do aluguel/leasing. A instrução normativa nº 162 da Receita Federal permite depreciar um automóvel em 5 (cinco) anos.docx • • A MORSA adota uma TMA de 15% ao ano. possibilita à empresa a realização de planejamento fiscal e tributário.00. O mesmo veículo com cinco anos de uso pode ser negociado a 20% do valor do novo. ao custo de 18. Taxas e imposto sobre propriedade de veículos montam a 3% ao ano sobre o valor do mesmo. se propõe a financiar os veículos pelo prazo de 5 anos. A empresa Pro-leasing substitui os veículos a cada dois anos. por veículo.5 – Exercício O Diretor Financeiro da MORSA Construções & Engenharia esta estudando a substituição e padronização de sua frota de automóveis.300. ENGENHARIA ECONÔMICA Além disso. analise e recomende financeiramente mais interessante possível.72 R$. Estude. qual será a ação de comissionamento Para tanto. as possíveis despesas de manutenção. pois deseja adquirir dez novas unidades.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Na prática. o leasing-back funciona como um modo simples e rápido de obtenção de capital de giro de longo prazo com garantia real e sem incidência de Imposto sobre Operações Financeiras. empresa coligada à concessionária de veículos. anual.888. Juros pactuados 173-201 . pois o cliente utiliza-se das vantagens contábeis e fiscais do leasing financeiro para bens anteriormente incorporados ao seu ativo imobilizado. Engª Economica~Aulas~2012. variando segundo o tempo de uso a uma taxa decrescente de 20% ao ano. Ver Fig. com devolução do bem alugado. O preço de um veículo novo é de R$ 45. e o valor de recompra no final do período. E.00 mensais.5. O Diretor dispõe de uma proposta de leasing no valor de R$ 1. 11. por veículo.03. A empresa vende um bem do seu ativo imobilizado sem perder o uso do mesmo e o recompra concluída a operação de leasing. estão disponíveis as seguintes informações: • • • • • O fluxo de caixa para análise desta operação deve considerar como entrada de caixa o valor de venda do bem no momento da operação.003. IOF. já que todos os veículos serão similares. Uma análise dos custos anuais de manutenção de veículos da empresa mostra que evoluem.719. imposto de renda e contribuição social sobre o lucro líquido. montam a 24%.Calculo dos Tributos Anuais.032. tendo sido obtido para cada alternativa analisada os seguintes montantes: • Compra a vista Engª Economica~Aulas~2012.193.00 3 36.359.80 528. 3º.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA • • • de 28.49.00 0.300.80 36.193. I – Definição do método de decisão e resultado.80 28.27 3 869.359.docx .80 18.20 869. Financiamento contratado com a Fightwell. Valor Desvalor. .03 Tributo R$ 1.00 1. II – Fluxos de Caixa Singulares. A . para adotar esta alternativa. ou não vai se descapitalizar. sendo de: 4% do valor do veículo novo no primeiro ano.240.65 423. Após o quinto ano é política da empresa alienar seus veículos. O leasing se mostrou como sendo a alternativa que apresenta o maior custo. Leasing contratado com CV-leasing. sem haver a consideração da reposição com ativos idênticos aos alienados. a compra a vista é a que oferece o menor custo.57.20 826.300.84 2 1. ENGENHARIA ECONÔMICA • • Leasing: Proleasing Financiamento: Fightwell.76. Base Ano do Bem % Calculo 1 45.300.28 R$ .00 2 45.80 23.087.32% ao ano ou 2. Porém.00 45.65 .554.992.52 R$ Comparando os valores presentes obtidos. Caso não disponha de recursos. Compra a vista.60 0. taxas e manutenção suportados pelo cliente. 2º. O estudo de decisão será realizado para apenas um veículo. Tributos.92 R$ O valor dos tributos e da manutenção a ser considerado no Fluxo de Caixa é função de custo anual de manutenção multiplicado por (1-α).087.88 Tributo Valor para (1-α) R$ Fluxo Caixa 1 1.80 556.76 695.992.02 4 695. sendo α o somatório das alíquotas do Imposto de Renda e da CSLL.44. Neste caso: (1-α) = ( 1. Foram analisadas três alternativas de comissionamento: 1º.1% ao mês.03.76 0.742. Sendo política da empresa em alienar veículos a cada cinco anos.00 0. A soma das alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro. a alternativa a adotar será realizar o comissionamento da frota utilizando o processo de financiamento do bem através da Fightwell.05 174-201 Alíquota % 0.60 5 23. 5% do valor do veículo novo no segundo ano.00 4 28. há que se verificar se a MORSA dispõe de caixa.24) = 0.00 1.969. Foi adotado como método de decisão o valor presente líquido.00 0.00 1. anualmente.0. pode-se considerar uma substituição total de frota no final deste período.76 661.81 5 556. e crescendo 1% a cada período.240. incidentes sobre o lucro do exercício. Resid Flx.300.31 Calculando.552.721.032.00R$/ano 5 Depreciação = α x 9.00 F1 F2 F3 F4 1. V.754. o valor presente líquido dos fluxos de caixa descontados à TMA de 15% a. o valor presente dos custos incorridos considerando uma compra a vista.00 3.373.docx C – Fluxo de Caixa – Compra a Vista Valor Bem Manuten. sendo α = 0. O valor presente do fluxo de caixa relativo à compra a vista do bem é definido pelo modelo a seguir.812.00 .84 2.03.40 2.409.02 2.07 0.00 2. tem-se: 175-201 .Valor Presente.05 2.00 2.Invest. . + V. + α Dep.624.00 = 9.065.171.27 2.060 = 2.12 1.00 0.24 423.12 1.37 +3.24 o valor da soma das alíquotas do Imposto de Renda e da CSLL incidentes sobre o lucro da MORSA: Fk = (1-α) {Σ Rec.Calculo dos Custos de Manutenção.+ ∑(.300.40 .56 1.40 .174. Resid.764.24 x 9.Σ Desp.718.00 .06 0.45. E.68 661.174.708. Tributos Deprecia. Valor a Depreciar = 45.04 0. é definido pelo modelo: Engª Economica~Aulas~2012.377.409.00 0.174.265.81 2.065.721.060.08 1.40 + 9.060 = 0.a.76 Valor para Fluxo Caixa 1.40 826.754. Ano 1 2 3 4 5 Valor % Manutenção Custo Anual Manutenção (1-α) 45.68 2.96 528.377.174.174.96 2.174. = k = F k15 1 + ) 1 k = 5 ∑( 1 k + F0 k i Fk 1 n ( )= ENGENHARIA ECONÔMICA Fo p VP ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ) B . então.} .00 3. Caixa F0 45.40 2.30 F5 2..05 0.300.40 2.40 R$/ano III – Compra a Vista .27 .24 c) Calculo da depreciação anual.060.300.235. o leasing é realizado com a devolução do bem negociado.15 1.15 1.153 1. 1 + .92 R$ IV . o valor presente descontado à TMA de 15%.Financiamento . O fluxo de caixa no leasing pode ser associado ao de uma série uniforme postecipada.742.Fightwell. calculado segundo o modelo abaixo: V.Leasing – Empresa Proleasing.155 VP(CV) = . Neste caso.44. adotada pela MORSA.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA VPCV = −45300 − ENGENHARIA ECONÔMICA 236 373 552 763 3708 − − − + 1. E.154 1.  − 1 VPPro = P × ∴ . × 1 + . que mostra os valores dos juros e das amortizações previstos para cada período. é lançado no fluxo de caixa pelo seu valor integral.56 Quanto à consideração dos valores das prestações a serem lançados nos fluxos de caixa ha que se tomar.03. Assim. sendo investimento. O valor da amortização.719.888.218. No caso de financiamento.218.00 x 12 = 17.15 × 1.28 R$ Nesta situação.57. os juros a integrar cada fluxo de caixa anual corresponderão aos juros do financiamento contratado multiplicado por 0.155 VP(Pro) = . P = (1-α) x 1. separadamente. somente os juros sofrem a influencia do imposto de renda. os valores dos juros e os das amortizações.76. Engª Economica~Aulas~2012. os custos de operação e tributos suportados por ela.56 × = 0. Ver quadro D. em consequência.155 − 1 VPPro = 17. 1.docx 176-201 . o bem financiado passa a integrar o ativo da empresa financiada e. 76 1.125. já considerado o redutor de 0.00  177-201 .49.01 5.76 -16280.72 9.77 10.72 11.003.969.95 4 14.300.721.25 1.15 1.11 -17071.24 6.96 2 33.174. relativo ao Imposto de Renda e da CSLL.754.973.003.194.174.060.85 14.174.40 + 9. pode-se calcular o valor presente associado a esta alternativa de financiamento conforme a seguir: = k F k15 1 ∑(. V.Calculo dos Juros e Amortizações – Financiamento Saldo Juros Prestação Ano Anual 28.Calculo dos Fluxos de Caixa.Calculo dos Fluxos de Caixa – Financiamento ) 15180 15650 16280 17071 8.40 F3 5.993 − − − − 1.520.484.964.72 3.174.81 2.68 661.84 2.24 423.482.27 2.00 .003.32 3.207. como estabelecido no Quadro-E e representado no diagrama do fluxo de caixa exposto no desenho V.640.36 O fluxo de caixa da alternativa de financiamento é definido.76.03.a.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA D .40 F2 7.15 1. Caixa F4 F5 9.40 F1 8.40 826.032.docx item Juros Amortiz.065.019.36 18.96 528.933.750.72 12. Manuten.409. Alerta-se que os valores dos juros foram lançados no quadro E .003.85 2.828.030.24 18.02 2.52R$.363.99 18.933.154 1.640.47 3 24.33 -15649.520.12 1.993.87 5 0.8.174.377.030.72 7.636.40 -15180.36 Amortização 5. Engª Economica~Aulas~2012.174.10 10.373.25 8.Residu Flx. Com os dados do fluxo de caixa expostos no quadro E.069. 1 k + 5 VPCV = − + ) = F0 = k i Fk 1 ∑( 1 k + n Fo p VP ( )= E . 0 45. Tributos Deprecia.36 2.153 1.003.05 2.77 2.04 8.00 18. então.22 18.030.155 VP(CV) = .75 14.76 6.32% a.00 1 40. docx 178-201 . 2010 2012 2011 2009 Engª Economica~Aulas~2012.03.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ÍNDICES DE INFLAÇÃO. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2008 Índice Nacional de Preço ao Consumidor INPC (IBGE) Valores referidos ao 1º dia de cada mês.16 Habitação 12. Ponderação das despesas da família: Tipo de Gasto 2007 Peso % do Gasto Alimentação 33.docx 100.10 Despesas pessoais 13.36 Vestuário 13.03.56 Total Engª Economica~Aulas~2012.85 Saúde e cuidados pessoais 7.53 Transportes e comunicação 11.44 Artigos de residência 8.00 % 179-201 . 1401 7.3074 5.4851 6.6087 7.0042 Mai/2011 0.6605 896.24 4.92 4.8904 6.4420 828.7252 Jul/2011 0.1346 Mar/2011 0.4769 6.docx 180-201 .0618 Jun/2011 0.2959 878.08 3.2389 4.8816 Jul/2009 0.57 3.5600 de Jan/93 Dez/2011 0.8302 6.5428 Nov/2009 0.16 3.5006 Nov/2010 1.60 2.4487 788.9400 6.2260 Fev/2011 0.8553 Jun/2009 0.71 2.4652 853.0840 Abr/2011 0.2338 4.0799 905.1137 802.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Índice Índice acumulado Mês/ano do mês no ano (em %) (em %) Índice acumulado nos últimos 12 meses (em %) ENGENHARIA ECONÔMICA Número índice acumulado a partir Out/2010 0.0543 5.4866 Jan/2010 0.4866 Dez/2009 0.7628 Mai/2009 0.7513 5.6810 832.3836 4.7045 6.9866 4.3011 820.0842 848.8705 885.1404 Nov/2011 0.43 3.11 3.66 2.4995 Set/2011 0.3912 840.94 0.9367 791.3205 5.3112 4.7502 4.4359 793.5715 793.5098 Ago/2011 0.9557 Jan/2011 0.0535 Out/2011 0.5285 861.4441 883.4652 6.1137 4.2056 Fev/2010 0.1097 Set/2010 0.60 6.0799 6.4896 826.2549 Set/2009 0.1549 6.57 5.2854 827.0690 4.45 4.5351 Out/2009 0.07 3.8645 4.37 3.54 3.4510 Ago/2010 -0.03.88 0.3620 809.2984 893.4974 5.22 3.1902 Engª Economica~Aulas~2012.5861 4.7677 814.0653 Abr/2010 0.3210 Dez/2010 0.51 6.7957 885.3593 866.5416 6.03 5.4462 795.23 2.1761 797.1657 800.3946 889.9435 6.9800 Jul/2010 -0.3113 830.2070 Mar/2010 0.54 1.07 3.72 2.42 4.00 3.5358 Ago/2009 0.3065 872.24 3.32 4.42 2.7963 4.8800 4.7555 829.7689 Jun/2010 -0.70 1.1729 Mai/2010 0.4816 4.1749 901.7045 6.73 3. 1556 5.55 1.9145 Jul/2006 0.2568 765.1733 5.8588 Abr/2008 0.4181 Jun/2006 .31 2.58 4.9208 779.8543 676.02 1.3649 728.21 5.5747 700.8749 676.1753 2.3731 Fev/2007 0.8473 Out/2007 0.0.2785 754.9575 Jun/2008 0.38 6.3893 4.26 1.8837 3.8134 687.0036 3.4814 770.07 1.29 6.1539 5.31 0.9685 703.27 0.0.0434 761.1996 3.1454 4.2646 Nov/2006 0.2522 Dez/2007 0.4279 731.4767 Abri/2006 0.5267 4.1867 705.43 4.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Abr/2009 0.4627 Out/2006 0.6195 3.7525 2.1799 Mar/2007 0.7259 Nov/2007 0.03.3151 Mai/2007 0.32 2.16 1.97 5.6996 4.6483 Jul/2007 0.1349 2.91 4.9519 6.6893 5.3365 675.5566 758.2485 777.42 2.9961 Jan/2008 0.1519 675.8134 2.9171 Nov/2008 0.15 5.0372 Engª Economica~Aulas~2012.2327 Jan/2007 0.docx 181-201 .4814 6.0641 2.6472 Ago/2006 .2036 Ago/2007 0.26 1.3225 6.9012 740.25 3.5015 Fev/2009 0.4091 Mar/2006 0.7102 5.44 1.13 1.2451 Jun/2007 0.1735 7.9436 Mar/2008 0.11 1.2959 697.4404 699.1799 2.96 3.8607 Fev/2008 0.6900 5.7716 7.2034 768.2628 7.3553 Set/2006 0.7911 716.4265 Mai/2006 0.7516 676.2866 Set/2008 0.0876 Abr/2007 0.49 0.8825 4.2319 Ago/2008 0.4286 775.1503 760.9120 3.64 2.0878 7.1316 4.64 0.2752 Mar/2009 0.7808 713.8646 677.3560 3.6406 747.7112 680.12 1.4900 2.0995 Out/2008 0.9164 711.9261 691.8261 783.7184 Mai/2008 0.1212 694.8224 709.48 1.42 0.50 5.1556 723.5886 683.3169 2.3400 Jan/2009 0.59 3.6400 6.0899 Dez/2008 0.51 1.2454 7.62 2.3401 5.3284 Jul/2008 0.8675 7.5013 735.7927 676.6396 Dez/2006 0.30 3.1550 2.43 1.20 1.4893 Set/2007 0.69 0. 83 0.9613 17.0669 5.70 3.6747 Dez/2005 0.3863 16.5500 Out/2004 0.73 1.6758 6.8925 6.4700 16.3294 557.17 4.5626 Jun/2003 .9939 659.4237 662.0808 648.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Fev/2006 0.7910 12.6509 Jul/2004 0.8002 6.8795 Mai/2005 0.99 7.9347 Abri/2004 0.40 5.6172 605.2785 657.0212 Fev/2003 1.2283 5.1332 6.7474 Set/2003 0.6297 673.03 3.41 2.8378 19.8300 8.3800 4.4120 6.7673 5.5133 592.6288 5.9289 Mar/2003 1.39 9.50 4.8489 671.5401 573.5249 587.44 1.3118 5.86 6.8809 18.9123 643.11 3.4375 586.39 1.9758 Fev/2004 0.1426 182-201 .6090 654.0769 Jul/2005 0.1278 Fev/2005 0.5286 666.4808 Mar/2004 0.7554 596.1480 594.2769 Jan/2003 2.7162 Engª Economica~Aulas~2012.6040 Abri/2005 0.6355 586.4661 Out/2005 0.6109 4.38 6.17 4.03.7965 631.9865 615.4718 607.1715 Nov/2003 0.8448 19.37 5.8595 640.0474 5.5748 619.1320 Nov/2005 0.docx Ago/2004 0.82 8.0769 Jun/2005 .5895 5.3946 6.1332 636.6121 Dez/2004 0.06 7.4668 4.2196 Jan/2006 0.3839 10.0.3839 600.0.40 2.23 0.46 3.00 3.9661 17.57 0.6265 4.3227 586.18 8.2176 5.6236 610.91 2.9025 20.0149 658.9813 Nov/2004 0.3118 5.0125 5.54 10.7499 6.5700 5.2808 6.5400 658.50 3.0258 Mar/2005 0.3281 Mai/2003 0.0751 17.5332 Jun/2004 0.3029 623.0640 Ago/2005 0.15 3.7833 Set/2004 0.1396 5.6801 Abr/2003 1.73 3.9549 627.4369 Ago/2003 0.6034 613.3904 18.38 0.9480 Out/2003 0.57 1.6184 Jul/2003 0.5130 Jan/2004 0.04 7.8865 Set/2005 0.2232 7.44 5.3642 580.9276 658.0144 Mai/2004 0.47 2.1529 Dez/2003 0.6425 626.7228 628.37 9.6630 565.4308 Jan/2005 0.0474 669.58 4.54 4. . 1996.. Editora Campus Ltda.The Capital Budgeting Decision. Harold and SMIDT Seymour. Chapecó. SC. 2006.. ATTIE.. Raymond R. . Gerenciamento na Construção Civil.. SOTO COSTA. Simas P. MAYER...A. Disciplina Modelos Aplicados à Análise de Investimentos. Rio de Janeiro..I. Pontifícia Universidade Católica. – “Administração Financeira”..03. RS. AVILA. Departamento de Engenharia Industrial. LIMA JUNIOR. de -----------------------. Rio de Janeiro.docx Executivos”. 1. Antonio V.. João da Rocha. Editora Bookman. Curso de Engenharia de Produção. Engª Economica~Aulas~2012. ATLAS. ENGENHARIA ECONÔMICA MAITAL. 1982. SANVICENTE. 1967. Editora MATHIAS. “Formação da Taxa de Retorno em Empreendimentos de Base Imobiliária”. Fernando M.. José A. RODRIGUES. BIERMAN Jr... 1978. RJ. RJ. Luiz F. 1977. DE FARO. ATLAS. RJ. São Paulo... Antonio Z. – “Matemática Financeira”. MacMillan. Paulo H. Rio de Janeiro. Rio de Janeiro. EPESP. 1975. 1980. Christian.. 1980. 1979.. IBMEC.. Clóvis – “Engenharia Econômica” Editora APEC. 1972. SOTO COSTA. Notas de Aula.... KARPIN. Rio de Janeiro.. GOMES. Análise de Projetos de Investimentos. CARVALHO. Introdução à Análise Investimentos... J. Editora da Fundação Getúlio Vargas. José M. Editora Argos. de & STEPHAN. 93.979. Lawrence J. – “Análise Financeira de Alternativas de Investimento”. Sérgio F.. 2ª Edição. Antonio E. H. 183-201 . Paulo F. GITMAN. Porto Alegre. Princípios de Administração Financeira. – “Análise e Administração Financeira”. Shlomo. "Análise de Investimentos". 1998. Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP. “Economia Para Campus. ATLAS. Washington F.. 1972. DEI / PUC. 2001. e JUNGLES. PINTO. DEI / PUC – Rio... RODRIGUES. O problema do Capital de Giro na Análise de Viabilidade de Projetos. BT/PCC/218.. 1984.. Eduardo Vieira. Simple Algebraic Formulae For Estimating The Rate of Interest. Paulo H.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABREU. docx 2.1. utilizando o EXCEL. a seu critério. A equipe que não entregar o trabalho na data aprazada será considerada como ter abandonado a disciplina.2. O trabalho será entregue. 1. bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva. no máximo. Qualidade e Apresentação do Trabalho. 1. 4 pts. Considerando o caso de uma firma específica adote. A folha anexa não precisa ser devolvida. preenchido no quadro acima. Engª Economica~Aulas~2012. Comparar e analisar os projetos abaixo. 3. anexa.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. 4 pts. O trabalho será realizado em papel A4. Calcular o Valor Presente e a Taxa Interna de Retorno. 1 – Exigibilidades: Para tanto pede-se: 1.3. antes de iniciar a apresentação da memória de cálculo. Exatidão dos resultados. Relatório de decisão onde conste a memória de cálculo.2. Calcular o Custo Anual Equivalente ou Beneficio Anual Equivalente para uma TMA de seu arbítrio.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 1. abaixo. os projetos que lhes couber.Casos e Trabalhos 2 – Condições: Anexo I – Trabalhos. ANEXOS . Esta folha de instrução devera preceder o seu trabalho.1. DIA: 2. 3 – Julgamento: 3.3.03. 1.6. Aluno Rubrica Aluno Rubrica I.5 Copiar do Quadro dos Fluxos de Caixa. 2.3. 184-201 . uma TMA para efetuar sua decisão ao definir qual dos projetos indicaria como sendo o melhor. as curvas representativas do diagrama de valor presente de cada projeto.1.7.4. O Número da Equipe.2. Apresentar num mesmo gráfico. 2. Informar qual sua decisão. por dois alunos. Efetuar relatório comparativo da analise dos resultados obtidos por cada método.5. 2. 2. impreterivelmente. 3. Cada equipe será integrada. 2. 2 pts.4. equivale ao número do EXERCÍCIO indicado na folha dos fluxos de caixa. docx F2 -30 -50 -100 25 -200 -200 45 -20 65 78 63 -45 -20 -20 0 -10 -80 -15 21 60 -30 -80 -90 -120 21 32 -25 -15 -40 -65 -45 -60 20 -30 -30 -30 F3 25 -32 -50 -30 -100 -200 47 40 125 148 66 14 30 10 10 50 60 -15 50 60 33 -20 -14 66 21 8 25 15 20 20 -40 -70 20 40 10 0 F4 33 15 55 90 80 -150 48 40 -46 58 67 16 40 30 10 50 70 70 50 -45 44 90 107 66 62 17 25 15 20 20 -35 -80 -30 40 20 20 F5 44 30 55 90 90 50 -33 -12 -48 -57 -50 16 40 50 20 50 80 70 50 -40 60 120 136 66 -28 20 26 16 20 20 50 -80 -30 40 30 30 F6 55 45 55 150 120 -45 -33 42 -15 -50 -20 20 50 50 20 50 70 90 50 60 55 100 120 77 -30 -15 25 25 30 25 60 70 30 -15 30 30 F7 60 60 55 120 150 80 -30 -15 120 145 -50 30 80 80 50 30 190 90 50 80 -70 -100 100 100 100 -7 20 10 30 25 70 70 40 -15 30 30 F8 65 75 75 120 320 80 80 60 130 150 120 40 80 80 50 20 180 120 63 119 -30 120 -136 90 112 125 -15 -15 30 40 80 75 40 60 40 30 F9 80 90 175 190 320 200 88 70 155 180 125 50 50 80 50 20 170 120 75 165 80 120 -88 95 112 124 40 24 40 50 90 75 50 60 40 30 F10 60 105 180 110 450 200 90 80 150 170 130 60 54 61 21 20 15 120 80 222 122 120 113 136 122 112 34 50 40 50 100 75 50 70 40 30 F11 30 120 160 110 400 200 25 90 180 120 35 70 60 -20 25 30 60 100 84 333 50 80 124 192 140 122 75 45 20 20 100 90 60 70 40 30 185-201 F12 -20 135 160 120 40 200 20 100 200 120 30 -45 80 -15 25 50 50 100 91 321 200 80 39 -24 123 123 124 77 10 15 90 90 60 80 20 20 F13 -10 150 -20 100 -20 100 15 145 125 -30 30 30 20 10 -15 50 -77 80 98 55 200 60 63 245 112 125 123 75 5 10 80 100 65 80 -5 -5 F14 4 -50 25 20 -15 -12 10 -10 15 -15 30 -20 -20 20 -10 -30 5 -20 -45 -30 200 50 -23 -10 -20 -40 -55 10 -10 -15 80 120 -50 20 -10 -10 .03. A1 B2 C3 D4 E5 F6 G7 H8 I9 J10 K11 L12 M13 N14 O15 P16 Q17 R18 Projeto A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B F0 -100 -100 -80 -155 -10 25 -80 -70 -20 -50 -60 -112 -19 -100 -45 -20 -20 -40 -100 -125 -445 -125 -145 -174 -96 -140 -72 -50 -50 -45 -56 -50 -285 -280 -20 0 F1 -100 -90 -90 -320 -300 25 -45 -20 -65 -78 -63 -30 -80 -40 -50 -50 -240 -100 25 15 -100 -245 -174 -108 -140 -64 -124 -75 -60 -55 -56 -40 -35 -30 -30 -55 Engª Economica~Aulas~2012.Exerc. docx F2 -30 -50 -100 .03.Exerc. S19 T20 Projeto A B A B F0 -100 -90 -80 -112 F1 -80 -90 -90 -120 Engª Economica~Aulas~2012.50 F3 14 -15 -50 .48 F4 20 25 55 60 F5 36 30 55 60 F6 48 40 55 60 F7 58 55 55 60 F8 65 65 75 80 F9 80 70 175 150 F10 60 80 180 160 F11 30 70 160 160 186-201 F12 -15 70 160 160 F13 -15 -30 -20 40 F14 20 -50 -25 -30 . Relatório onde conste a memória de cálculo. Exatidão dos resultados. Efetuar. eles são devidos.03. 2.2 . (juros + amortização) do • • • Qualidade e Apresentação do Trabalho. APENAS. Entrega do trabalho: 3. Anexar esta folha ao trabalho. 4 pts. 8. 6. o calculo relativo as cinco (05) primeiras prestações corrigidas monetariamente. Engª Economica~Aulas~2012. . Atenção (!)mesmo quando os juros não são pagos durante a carência. Julgamento.docx 187-201 2 pts.I. O índice de correção monetária é aquele constante do quadro “Parâmetros do Financiamento”. bem como a tabela de correção monetária. Calcular as prestações financiamento indicado. nos termos da atualização monetária estabelecida no quadro de parâmetros de financiamento. 9.Trabalho: Métodos de amortização. 4 pts. Definir a prestação a cada mês até alcançar a 5ª prestação ( juros + amortizações) devidamente corrigida. 7. 4. 1. 5. Apresentar memória de calculo e a metodologia utilizada para o calculo das prestações. 5 B2 90 5.0 12 Não 3.0 12 Sim 2.5 D4 110 7.0 8 Não 3.0 6 Sim 2.Parâmetros de Financiamentos Equipe Montante R$ mil Prazo do Contrato Anos Carência Meses Juros Pagos na Carência Juros Mensais % A1 80 5.0 E5 120 8.4 G7 140 10.5 12 Não 2.5 15 Sim 3.0 11 Sim 2.0 S19 200 8.0 N14 135 7.0 C3 100 6.5 11 Não 2.5 L12 190 9.5 12 Sim 2.5 P16 180 5.5 R18 180 7.3 F6 130 9.5 J10 170 6.docx Método Amortização Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Atualização Monetária Inflação Mensal % Bimestral INPC Trimestral IPC-A Quadrimestral IGPM Anual INPC Bimestral IPC-A Trimestral IGPM Quadrimestral INPC Anual IPC-A Bimestral IGPM Trimestral INPC Quadrimestral IPC-A Anual IGPM Quadrimestral INPC Trimestral IPC-A Quadrimestral IGPM semestral INPC Quadrimestral IGPM Anual INPC Bimestral IPC-A Trimestral IGPM 188-201 .0 10 Não 2.0 K11 180 7.0 H8 150 8.0 6 Não 3.0 I9 160 7.4 Engª Economica~Aulas~2012.5 12 Não 2.0 Q17 150 6.0 O15 155 6.5 15 Sim 3.0 8 Não 2.50 12 Não 3.03.3 T20 220 10 15 Sim 2.0 9 Não 1.5 M13 200 6.5 9 Sim 3.0 18 Sim 2.0 10 Sim 2. T = turno de trabalho. Esta folha deverá ser entregue antes do relatório (1ª FOLHA): 1 pto. 4.5 No caso de residências. 189-201 . Exatidão dos resultados: 3 pts. .3 . baseando-se na sua observação do cotidiano de uma família. 4.4 No caso de turno corrido. • Memória de Cálculo. • Objeto do Relatório.2 .Do Trabalho 2. • Explicitar as premissas adotadas. com 44 horas semanais de jornada. sem prejuízo para a qualidade de iluminação. 4. A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os requisitos solicitados. Obs: Para realizar suas recomendações ou conclusões há que definir: . 2. • Relatar e justificar o método de análise.. 4.o tempo de utilização diária de cada equipamento. 2.03.Ou. arbitre o número de horas em que cada tipo de lâmpada ficará acesa.Especificar as condições de utilização de cada equipamento. explicando o motivo da adoção do método eleito.3 Constitucionalmente. Entendimento do processo: 4 pts. Data de entrega do relatório: no início da 15ª aula. Descrição (especificações técnicas) dos equipamentos analisados. o tempo em que os dos equipamentos se equivalem. 1. A equipe que não entregar no prazo será considerada como tendo abandonado a disciplina.docx 3 – Do julgamento: • • • • Qualidade e Apresentação do Trabalho: 2 pts. a jornada é de 6 horas diárias. • Conclusão Efetuada. 1 – Exigibilidades Acadêmicas: • • • • Cada equipe será composta por DOIS alunos. com duas horas de intervalo para refeição. .Apresentar em forma de relatório técnico. 4 – Nomenclatura. 12horas.2 (N) corresponde a equipamento de segurança utilizado exclusivamente durante a noite visando proteção noturna.I.Forma do relatório. Engª Economica~Aulas~2012.Objeto do trabalho Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico cujo objetivo é a substituição de luminárias incandescentes por lâmpadas fluorescentes eletrônicas.1 . as abreviaturas indicam: 4.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas. 1 turno de trabalho corresponde a 8 horas p/ dia. No quadro.1 (E1T) correspondem à iluminação dos escritórios utilizados durante 1ou 2 Turnos. no máximo. 2 .o tempo ideal de substituição dos investimentos em análise. Potência 25W 40W 60W 100W 100W 150W 200W 25W 40W 60W 100W 100W 150W 200W Classe do Consumidor Equipe A1 Número de Lâmpadas Instaladas 4 6 B2 C3 7 4 D4 E5 14 8 5 3 1 13 12 17 F6 10 7 9 G7 5 4 15 9 13 10 I9 11 J10 24 K11 4 6 3 7 2 8 20 18 20 24 16 24 28 N14 36 44 O15 45 18 P16 19 36 Q17 17 19 24 59 85 140 58 66 32 T20 77 Engª Economica~Aulas~2012.docx 102 28 17 14 158 14 Residência Baixa Renda 7 6 8 5 6 5 6 5 5 3 7 4 8 10 52 2 3 Residência Baixa Renda 5 Residência Alta Renda 4 Residência Alta Renda 4 10 Residência Alta Renda 4 Residência Alta Renda 5 Residência Alta Renda 5 Comercial – 1 turno 18 9 12 9 9 12 24 18 24 12 10 33 25 9 12 17 19 24 20 18 24 Supermercado 24 horas 20 10 8 Industrial – 2 turnos 10 Industrial – 3 turnos 11 M13 Residência Baixa Renda 5 24 18 S19 6 5 20 49 6 5 L12 R18 5 3 5 H8 Tempo de Utilização em Horas 24 24 24 Comercial – 2 turnos 8 Comercial – 2 turnos 20 Comercial – 3 turnos 8 9 Comercial – 1 turno 20 Comercial – 1 turno Comercial – 18 horas 12 Comercial – 1 turno Supermercado – 2 turnos 19 190-201 .03. 00 120. Prestações constantes. deseja saber qual a quantidade mensal mínima de produção para que o empreendimento seja considerado viável. O custo inicial deste projeto foi orçado em R$490 mil. etc. A ampliação dos outros três andares foi prevista em R$400 mil.000.Anexo II. dadas as características dos projetos. inicialmente.1 – Caso: Ampliação da Sede. em alguns anos mais tarde. o que elevaria a edificação para seis andares.3 . O custo inicial foi orçado em R$ 420 mil. a realização de um edifício de três andares. Projeto B: projeto para seis andares efetuado em estrutura metálica. . Elabore o estudo de viabilidade para o seguinte caso.2 – Caso: Fabrica de protendidos.000. IPTU. inferiores aos do Projeto A e deverão se manter durante toda a vida das edificações.docx 191-201 Condições disponível A construir – 6 meses A investir Juros de 8% ao ano. Adotando a empresa uma TMA de 12% ao ano. Para tanto.00 Outras despesas anuais. tais como seguros.4 .1 . findo os quais não apresenta valor residual. Além disso. o Diretor Presidente de sua empresa lhe comunicou ser interessante analisar a implantação de uma nova fabrica para a produção de peças protendidas para estruturas de pontes.Edificações 1.800. II.000. lhe informou que o BNDES esta financiando equipamentos de forma vantajosa. Sendo VOCE diretor técnico de uma empresa de construção civil.. Sabe também. Para a ampliação de outros três andares foi previsto o investimento de mais R$ 500 mil. sendo construídos inicialmente três pavimentos.Estoques 1.03. Você sabe que a vida útil de uma edificação é prevista para cinqüenta anos. água. É esperado que.00 75. luz. que os custos de manutenção do Projeto B serão mil reais.Casos em Engenharia Econômica. Financiamento em seis anos com dois de carência. Uma construtora planeja construir um edifício de três andares. qual a data de início da ampliação de mais três andares que justificaria a escolha do projeto B? II. seja efetuada uma ampliação com a realização de outros três andares.00 240. Engª Economica~Aulas~2012. Para tanto duas opções de investimento e projeto foram desenvolvidos: Projeto A: foi estabelecido um projeto convencional considerando.2 .Terrenos 1. Sua assessoria lhe forneceu as seguintes informações: 1) Investimento Imobilizado 1. anuais.Equipamentos R$ 100. são consideradas as mesmas para os dois projetos. d) pesquisas da Secretaria de Indústria e Comércio tem indicado que o custo real do carvão no mercado interno vem crescendo a ordem de 10% a cada 5 anos. 4.5 – Depreciação da Edificação 3. vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano. Engª Economica~Aulas~2012.4 – Impostos sobre a Renda 3. têm demonstrado que o valor de venda não ultrapassa a 12% de seu preço.6 – Depreciação dos Equipamentos 3.000.500. e) a depreciação legal do equipamento é definida em 15 anos e a vida útil do projeto. A seguir.950.00/ unidade 3) Informações Gerenciais 3.1 – Matérias Primas R$ 3. 6% e 7%.00/ mês 2. estimada em 20 anos.2 – Terrenos situados na área industrial.00/ mês 2.03.2 – Mão de Obra Direta 10.3 .5 . Para tanto. situações semelhantes. bem como as condições de financiamento do BIC: a) os valores do projeto são apresentados em dólares.50 % 4) Informações Estratégicas & Comerciais 4.3 – Preço de venda mínimo/médio 3. O Departamento de Planejamento e Expansão . g) para a participação do BIC no empreendimento.Custos Indiretos: administração e vendas 23. com três de 192-201 .DPE da Empresa Federal de Energia Elétrica está estudando a viabilidade de implantação de uma nova termelétrica movida a carvão.00 % 20 anos 5 anos 10.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 4.380.00/ mês 2.1714917 % am 10 anos 6.7 – Tributos sobre o faturamento Dados 1.5% ao ano. b) os três últimos balanços da EFEE indicaram que a relação entre o lucro e o capital disponível (k=L/CD) da empresa foi respectivamente de 8%. 4. são apresentados dados disponíveis pelo DPE para a sua análise. 4.00 R$/unidade 15. serão analisadas duas alternativas: a implantação com recursos próprios e a participação do Banco Interamericano de Comércio . devendo o empréstimo ser pago em 10 anos. onde esta localizado o próprio da empresa.3 – Caso: Implantação de Termelétrica.00/ unidade 2. f) ao final da vida útil o equipamento poderá ser vendido como sucata e.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7.docx II.4 – Eletricidade 3.Embalagens 90.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a exaurir a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais.2) Custos Operacionais 2.500.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ano.2 – Tempo de vida do produto 3.BIC como organismo financiador do empreendimento.1 – Taxa Mínima de Atratividade 3. c) a alíquota do Imposto de Renda onde se enquadra a EFEE não ultrapassa a 15%. há a exigência de que a EFEE disponha um mínimo de 30% do investimento global. . Pergunta-se: Este projeto gerará receita suficiente para compensar seu custo? (Contribuição Dr..a..5 – Caso: Refinaria de petróleo..... A taxa mínima de atratividade adotada para projetos públicos e aceita por organismos internacionais é de 10% a.... (Contribuição Dr. i) o fator de Carga previsto é de 40 a 65%.... Se o administrador da refinaria julga aceitável a taxa de juro de 8% a... ele deve aceitar ou não a oferta da HCL Ltda... Os três países do Cone Sul estão cogitando a construção de mais uma ponte visando interligar e melhorar o desenvolvimento do comércio na Região. e terá uma vida útil estimada em 70 anos... Estudos econômicos avaliam a possibilidade da cobrança de pedágio de $90 por veículo....a.. O departamento de engenharia estimou que o processamento dos resíduos líquidos custasse $30. US$ 48. a HCL Ltda...4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte...50 / Tonelada Custo da Mão de Obra..? (Use o método do fluxo anual de caixa para esta análise).. com um acréscimo anual de 50 mil veículos até o 10o ano. será de $700 milhões. US$ 17. DADOS ADICIONAIS Consumo de carvão.... Lopes). Calcula-se que 550.... seus resíduos líquidos antes de lançá-los em um riacho próximo. prazo previsto para a implantação.000 / mês II. uma firma especializada.000 a cada ano..000 / mês Outros Custos.. com cerca de 28 quilômetros de comprimento.....Argentina a São Paulo . Mediante alterações no processo e nas instalações...... o custo do tratamento dos resíduos sofrerá uma redução de $3... a um preço elevado..000 ao final do primeiro ano... com juros de 15% ao ano.. Obra esta a ser financiada por organismos internacionais de fomento.. j) tempo de construção: 3 anos. Como alternativa........ Engª Economica~Aulas~2012. A construção dessa ponte contribuirá para reduzir em cerca de dez horas o tempo de viagem de Buenos Aires ... Em qualquer das hipóteses não haverá necessidade de tratamento dos resíduos após dez anos... h) o empreendimento deverá comportar duas unidades geradoras com capacidade entre 300 a 350 MW cada.. relativos a reparos e melhoramentos.Brasil. II. A ponte exigirá $10 milhões anuais de manutenção..... ao custo de US$ 1500 / KW instalado..... O custo da nova ponte.. pagável ao final de cada ano.. Uma refinaria de petróleo constatara a necessidade de processar. significativamente o fluxo de produtos manufaturados entre os dois países.000 veículos utilizarão a ponte durante seu primeiro ano de operação.. US$ 136.. 600 gramas p/ kWh Custo de Carvão...docx 193-201 .000.. ofereceu um contrato para processar os resíduos líquidos durante dez anos pelo preço anual fixo de $ 15. Oscar Ciro Lopes).03. além de incrementar...carência... Oscar C... 8 – Caso: Venda de Apartamento. está analisando as duas alternativas de investimentos descritas no quadro a seguir.000 5. Custos das prensas 2. sabendo que seu custo de oportunidade é de 14% ao ano? 1ª Propostas: 30% de entrada e o saldo pago em duas parcelas.000 15.compra Custos anuais de manutenção Valor residual Vida útil Casa de madeira (em R$) 24. 194-201 . a empresa deseja saber: . Discriminação Investimento . Alíquotas do Imposto de Renda 7. O fabricante do equipamento estima que a vida útil sistemas que adotam este tipo de tecnologia é de cinco anos.Qual o preço mínimo de vendas para que o produto seja levado ao mercado? . os custos anuais de manutenção sofrem um incremento de 10% sobre os valores atuais. vincenda em 60 dias. Investimento em capital de giro 5.00 por unidade? Dados operacionais: 1. e a empresa prevê a possibilidade de colocar 270 mil peças. estimada em 1/4 do valor do imóvel.000 20 anos O casal sabe que na metade da vida útil do empreendimento e em habitações residenciais bem cuidadas.docx A primeira parcela equivalente a 60% do saldo devedor. a partir do ano seguinte ao da reforma.22 500 mil 1. Você esta vendendo um apartamento cujo valor é “R$ M”! Um corretor de imóvel lhe encaminhou duas propostas de compra.II. Sua empresa analisa a aquisição de um conjunto de prensas automatizadas e computadorizadas. No caso. Custo operacional por unidade 4. • Engª Economica~Aulas~2012. Em construções do gênero. para tanto. ocorre a necessidade de realizar uma reforma.1 milhões 18% 10% ao ano Um casal está pretendendo comprar uma residência e. Investimento em estoques 6. II.6 – Caso: Aquisição de prensas. Por qual das duas será a sua decisão de venda.500 8.000 2. Use uma TMA de 14% ao ano. em que os traços são mudados sem haver paralisação da linha de produção.7 – Caso: Financiamento de residência. visando produzir placas de concreto armado em produção seriada. Analise qual deverá ser a decisão do casal.É viável o investimento nesta nova tecnologia dado os concorrentes estarem vendendo peças semelhantes ao preço de R$254. Custo de Capital da empresa Valores – R$ 15 milhões 16. no mercado. anualmente.32 mil 120.03.500 10 anos Casa de alvenaria (em R$) 40. Custos fixos mensais 3. II. 000 Padrão Médio .$ 1 380.000 185. dedicada principalmente à construção de residências padrão A e B. Assim sendo.A empresa prevê implantar um processo de melhoria técnica e gerencial dos processos de administração de obras.A empresa vem praticando uma Taxa de Mínima Atratividade da empresa de 17% ao ano. lhe solicitou analisar qual dos planos deva ser implementado.000 155. segundo os custos orçados e resumidos no Quadro IV – Investimentos em Desenvolvimento. por uma questão de planejamento estratégico.docx Ano 1 2 3 4 5 PLANO C Residências Padrão PLANO A Residências Alto Padrão PLANO B Residências Padrão Médio Alto Médio 8 8 10 10 14 12 12 12 16 16 4 4 6 6 7 6 6 8 8 8 Quadro II – Preços de Venda por unidade Ano Alto Padrão . deste modo. . Você foi contratado como gerente regional com a responsabilidade de conduzir os negócios da empresa e lhe foi participada uma pesquisa de mercado que prevê uma previsão de vendas para os próximos cinco anos conforme exposto no Quadro I.000 Quadro III .000 340. é de opinião que a empresa deva optar por um único plano de investimento e. O diretor geral.Custos unitários de construção Ano Alto Padrão .$ 1 250.000 5 350.000 2 380. Ver Quadro II. Engª Economica~Aulas~2012.000 3 265.000 280.000 2 260.Os custos unitários de construção de imóveis praticados pela empresa são os constantes do Quadro III – Custos unitários de construção de cada unidade.$ 220.000 175.000 220.9 – Caso: Plano de Construção Quadro I – Previsão de Vendas -em unidades vendidas- Rocha Dura Construtora e Incorporadora Ltda.000 3 380. 2ª Propostas: 40% de entrada e o saldo pago em cindo parcelas iguais. foi lhe entregue uma planilha com os preços projetados e possíveis de serem praticados no mercado imobiliário. vencendo a primeira trinta dias após o fechamento do negócio. .000 170. Além disto.$ 155. ganhar em custos administrativos e especializar a mão de obra.000 5 450.000 4 325.000 4 450. mensais e consecutivas.000 280.000 195-201 .000 Padrão Médio . é uma empresa de engenharia.• A segunda parcela 40% do saldo devedor. vincenda em 120 dias.03. II. (Sugestão: utilize o Método do Custo Anual Equivalente). Para tanto. lhe transmitiu as seguintes informações: . Quadro IV – Investimentos em desenvolvimento Ano Custos previstos em P&D .000 3 80.000 1 70.000 Engª Economica~Aulas~2012.000 2 70.000 4 90.03.000 5 150.docx 196-201 .$ 0 50. 83828 34.37279 1.44064 26.03717 0.98856 24.75463 10.21216 0.80426 0.96945 26.93770 23.94972 12.10218 0.42825 1.87056 0.04699 0.58297 9.67312 32.58586 0.34432 37.29898 28.00877 0.28127 21.48061 0.05467 0.67307 114.74301 0.06040 4.01656 0.41209 14.06260 0.04261 0.57437 0.31948 1.84438 22.02877 0.47199 7.86222 79.54598 1.05121 38.63929 20.01782 0.11494 58.62172 0.04169 0.03425 56.60143 6.16114 5.11157 48.05663 0.23231 i (1 + i ) n − 1 FFC 1.00468 0.88388 3.09456 0.16872 13.90573 0.59758 0.56808 42.24032 0.12161 5.94232 0.70016 0.60953 0.26262 0.29342 18.44401 0.10252 0.81136 1.88797 0.52552 43.11651 0.45289 0.17853 0.19509 1.57690 1.02320 (1 + i ) n − 1 i FAC 1.74102 1.58707 2.28103 4.04360 0.02970 0.30478 0.03287 0.77584 1.67091 35.03122 0.04040 1.92223 1.46833 23.05702 213.40198 62.03542 0.01851 0.48884 25.91393 19.03656 0.03923 0.24337 1.04829 0.02082 0.03663 0.05783 0.02829 0.02360 0.53063 0.29187 14.06378 0.84926 13.41231 22.35143 17.01542 0.71346 5.16474 2.29737 25.06670 0.90259 27.02465 0.34675 0.17166 1.16224 8.64061 1.10408 1.40024 1.42186 32.79949 28.09133 0.65805 18.32548 8.96068 1.48595 1.46195 0.04000 0.06812 0.55207 0.51003 0.04970 0.00000 2.25220 2.76089 37.15451 0.03030 33.49505 0.60844 1.15853 0.05122 0.43428 8.08069 2.05287 0.98259 9.23479 30.05878 0.03851 0.94156 2.82035 0.29724 2.12230 2.06116 0.03782 0.20804 2.13451 0.45681 1.51567 1.72845 0.78849 0.97394 17.00% Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Fator de Valor Atual Recuperação Acumulação Formação (1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n FVP 0.04578 0.99862 25.12104 20.01597 0.98039 0.61002 64.32675 0.57771 14.08260 0.70690 21.05154 158.03380 49.98406 40.39646 22.Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 54 60 72 84 100 Pagamento Único Valor Valor Presente Futuro 1 (1 + i ) n 0.54125 0.49859 24.00633 0.49022 0.67297 0.08812 0.06997 0.88454 1.03.29361 1.03045 0.84496 30.67342 1.03260 0.34587 1.18949 0.68033 15.92385 0.05365 0.07783 0.35352 95.51505 0.08218 0.68643 0.65978 0.14869 1.01923 0.99448 51.99437 54.84759 1.08243 1.12616 1.71416 0.02000 0.10625 12.19216 0.03878 0.01045 0.77303 0.07365 0.91346 3.57534 11.23724 60.docx 197-201 2.02578 0.96117 0.04116 0.04378 0.04465 0.50003 0.84056 24.02633 0.63416 0.13651 0.78332 27.04670 0.83676 0.34837 12.02000 3.99989 2.03989 2.02261 0.02000 0.02169 0.85349 0.00000 0.12252 0.34323 0.26824 1.27733 7.78685 10.30812 7.01260 0.06121 1.02699 0.47119 0.86661 312.79223 40.80773 4.64684 0.38654 0.01121 17.00320 .24465 Engª Economica~Aulas~2012.04082 0.35548 27.52023 0.07456 0.13803 (1 + i ) n 1.56311 0.52346 20.11133 0.43530 0.04997 0.20404 6.99203 15.03597 0.37944 44.02000 1.67846 16.29220 18.24262 0.98039 1.01207 21.03467 0.22703 46.09835 i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 FRC 1.01717 0.02468 0.21899 1.70689 1.75788 0. 08534 0.51570 1.01368 0.08000 3.73708 12.00189 0.99900 2.08962 0.09145 0.94122 259.69013 14.24352 490.10733 0.42742 63.85093 1.43500 11.24424 8.46933 1.33164 2.01680 10.01567 0.08934 2199.14008 0.42888 0.00045 8.06763 0.03683 0.34980 11.62288 5.00000 2.08004 FAC 1.25971 1.01983 0.48077 0.08329 0.31524 0.12164 9.00745 0.36049 1.64549 18.08386 0.09498 0.87146 6.05369 0.00204 0.15841 11.92593 1.29189 0.33593 8.00386 0.09642 0.02303 0.15211 30.04652 0.90378 8.15892 2.25778 11.Pagamento Único Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100 Valor Presente 1 (1 + i ) n 0.62711 9.58693 11.05108 11.01251 0.05652 280.25046 0.63663 12.45024 41.08745 0.66096 5.95062 158.39635 7.14602 0.78140 8013.03.23171 0.58687 1.22192 0.31595 238.12519 0.30410 12.72452 23.17032 0.00630 0.71382 1.00392 0.38803 0.34118 6.11591 0.13270 0.06262 0.31680 187.06266 10.10670 0.85137 9.78326 2.31727 10.50025 0.05270 0.15770 0.09202 0.09251 0.08520 0.01642 0.docx 198-201 i (1 + i ) n − 1 FFC 1.51389 11.11207 0.33948 40.00534 0.85734 0.08883 0.54027 0.62667 172.07305 0.46319 0.53608 7.34274 785.01049 0.13632 0.01803 0.84848 7.18914 12.42594 3.80913 101.97713 21.78104 304.02963 0.21057 43.31570 4.62528 20.65457 11.06008 0.09401 0.93719 3.13216 530.21492 27.00492 0.16008 0.11530 21.00004 .08356 0.09983 0.08454 0.00329 0.20074 10.01498 0.00811 0.81815 10.10594 79.50611 5.71008 7.00156 0.37189 9.00962 0.00000 0.21354 145.43654 5.92461 11.86767 11.96817 17.08189 0.45098 12.70002 3.00% Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Acumulação Recuperação Formação Valor Futuro Fator de Valor Atual (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 (1 + i ) n − 1 i FVP 0.95442 87.60360 9.99271 4.08127 0.06903 0.09368 0.08811 0.21216 12.04971 0.08685 0.17217 3.36770 0.07889 0.08012 0.21632 0.02670 0.00127 0.28321 123.86660 7.00883 0.10185 0.63017 0.24689 6.67478 10.24640 4.10413 0.00988 0.42292 55.33883 103.25025 0.76196 50.79383 0.08080 0.32428 33.25706 254.08630 0.48656 16.16640 1.00454 0.02487 0.68058 0.56077 0.80998 10.21330 3174.75023 37.00080 0.19207 0.67605 13.49432 FRC 1.03298 0.45676 60.09803 0.76126 Engª Economica~Aulas~2012.37106 10.10963 0.00580 0.09938 0.01145 0.58349 0.31213 3.04603 0.96594 113.71962 2.46248 25.78534 15.17401 0.11683 0.03383 5.19866 0.27027 0.03946 0.74664 6.98806 8.87858 11.20637 5.55948 8.48756 14.13520 0.61677 27484.77518 11.08008 0.35077 95.44626 45.08031 0.39711 0.08000 0.34046 0.21455 0.08000 1.51817 2.08204 0.82887 11.12130 0.00031 0.17046 0.89330 66.73503 0.07032 220.92280 10.24563 18.04130 0.10215 203.13896 7.37655 12.02413 0.98251 642.30192 0.00012 0.30803 0.11408 1253.02185 0.05799 0.52876 10.93516 11.08419 0.12652 0.11298 0.49530 24.14903 0.34587 134.00419 0.96723 12.00670 12.48053 12.99602 4.04262 0.71719 11.08580 0.00356 0.00685 0.76476 73.57710 3.92593 0.09049 0.08492 0.18394 0. 38554 0.12285 0.40211 0.67651 9.33493 5.40275 79.14359 2.35795 2.75696 9.81640 9545.90909 0.00205 0.00105 0.13843 3.57948 15.47901 9.85312 3.00007 (1 + i ) n 1.10369 0.00407 0.25926 49.60608 7.61051 1.10003 0.02782 0.46651 0.12193 0.68301 0.20541 0.20994 148.06275 0.77905 9.20141 8.19784 0.10153 0.33100 1.11017 0.62754 137796.11257 0.22961 0.77154 8.40025 8.40434 41.97498 31.00186 0.62092 0.18744 0.44778 442.26333 0.03.10407 0.73554 2.86842 5.11562 0.47619 0.07364 0.04736 0.71948 3034.05731 0.14478 45.86309 17.02155 8.10336 7.16351 0.00450 0.04078 0.99667 9.01017 0.14027 8.10275 0.10059 0.03575 0.61234 Engª Economica~Aulas~2012.31547 0.70592 9.35049 0.12466 0.91818 13.00303 0.94342 201.08744 0.49402 181.12681 330.00003 0.12782 0.23722 9.01031 0.59256 487.30211 0.06304 0.64869 8.79750 4.63093 164.26380 0.09994 134.07704 9.64416 9.64100 6.00826 0.25154 245.00033 0.96716 9.91268 34.10497 0.51316 0.31000 4.14676 0.11955 0.02193 0.15396 0.30657 9.72750 7.01257 0.93818 29980.16275 0.14078 0.11168 0.10303 0.09230 0.19434 21.01955 0.52638 9.10999 14.06275 13780.00000 2.12340 i (1 + i ) n − 1 FFC 1.17725 4.00010 0.82371 8.00608 0.85181 537.55992 6.77248 35.28966 0.59374 2.75131 0.49506 6.02941 0.10186 0.01401 0.54767 28.56943 9.36492 8.00916 0.06934 0.02209 0.98474 9.73265 9.00582 0.10916 0.45227 3.00497 0.18177 121.01826 0.36961 9.03558 0.53117 21.10541 0.94182 9.48717 11.01746 0.11401 0.05447 5.46410 1.10033 0.10226 0.10673 0.42099 15.15909 57.23939 0.31863 0.48164 955.00000 0.11591 6.84973 10.18957 1708.78518 54.00937 0.49733 98.00395 37.59917 51.10205 0.48685 3.21000 1.87195 304.10010 0.03914 0.05396 0.22515 25.94973 40.02673 0.02466 0.59382 2999.71896 171.10510 7.00673 0.16380 0.99927 i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 FRC 1.10000 1.13513 0.00% Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Fator de Valor Atual Recuperação Acumulação Formação (1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n FVP 0.21547 0.docx 199-201 10.57619 0.17986 0.34706 109.02437 299.00275 0.54302 88.10001 (1 + i ) n − 1 i FAC 1.77156 1.12961 0.02009 0.14864 0.56447 0.21763 0.59497 5.01130 0.10000 0.43589 13.90630 9.42691 9.02430 0.00226 0.03949 364.00059 0.05210 0.16987 3.36669 7.01723 106.10334 0.42410 0.79079 4.04676 0.51356 8.89693 9.35526 4.75902 6.00033 0.10608 0.11130 0.07628 0.00328 0.81369 7.01562 0.13575 0.10826 0.44940 19.17234 1057.17364 0.11378 23.00334 0.95430 9.00550 0.94872 2.14457 6.00249 0.90909 1.10745 0.10550 0.04343 401.54470 45.98954 9.10095 0.00250 71.10000 3.83471 11.38428 24.13147 0.00104 0.00095 0.03235 0.10244 30.00369 0.11746 0.13777 222.27500 64.Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 2 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100 Pagamento Único Valor Valor Presente Futuro 1 (1 + i ) n 0.79914 9.10249 0.76370 97.03147 0.16095 9.04306 0.71561 9.81740 9.08391 0.60857 9.10104 0.63699 960.47670 271.88322 8.00001 .93742 18.82645 0.00745 0.52271 27. 13039 6.12260 0.01794 0.00466 0.25440 1.10585 3.00000 2.13004 0.12956 0.37440 4.77566 17.04187 0.64629 10.61276 9.10031 13.12466 0.74971 63.00006 19.23303 8.13224 0.00750 0.41635 0.15524 133.40493 1.12232 0.62817 6.14046 0.02121 0.00414 0.16144 0.03338 0.97382 2.24967 7.33387 150.36349 4.00524 0.96764 5.02181 8.42322 696010.47596 2.32488 23.12184 0.56200 7.13081 0.29079 83522.12000 0.11611 0.00846 0.14339 0.32923 0.58980 2141.18270 0.15656 8.95992 33.78432 7.12524 0.77308 3.75328 48.23184 74.15741 0.89598 4.12001 0.03087 0.00007 0.89286 0.10367 0.12323 0.01691 0.00590 0.00116 0.02376 0.03767 454.01020 767.00029 0.12052 0.09142 860.00003 0.00260 0.02682 0.11519 10.21709 116.00328 0.75054 897.71178 0.00047 0.98058 3781.15568 0.09153 47.12000 1.19437 6.11159 8.50258 104.05244 81.01224 0.01510 0.00206 0.59869 609.05518 8.12292 0.12130 0.12013 0.55235 15.00052 0.69874 92.01894 0.12665 0.14564 0.76234 1.00130 0.03568 0.00146 0.47357 6.71843 7.00857 0.03.13388 0.01348 0.13794 0.16312 0.74993 29.06768 0.56743 0.13535 8.11963 7.00001 12.01388 0.46312 543.54874 20.20923 0.89286 1.37401 190.24378 8.24323 0.89566 7.33323 FRC 1.88387 26.58173 42.17966 83.12047 0.93770 6.Pagamento Único Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100 Valor Presente 1 (1 + i ) n 0.42945 384.21912 0.17698 0.39078 258.25668 0.59693 3497.00104 0.00001 0.68997 8.08901 12.43968 72.12000 FAC 1.33393 169.19241 8.16842 0.01081 0.13557 66.35948 1911.17550 8.12590 0.00% Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Valor Futuro Fator de Valor Atual Fator de Recuperação Fator de Acumulação Fator de Formação (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 (1 + i ) n − 1 i i (1 + i ) n − 1 FVP 0.36061 0.58275 241.00665 0.64465 7.54772 FFC 1.65022 5.50663 0.00026 0.20751 8.12003 0.32197 0.28748 0.00369 0.05882 0.00184 0.03738 0.39260 37.59170 0.14252 52.97399 7.01204 0.32825 5.09256 0.00956 0.04689 0.55511 37.42355 6.64111 29133.12116 0.20130 0.79719 0.22917 0.00292 0.12104 0.27741 0.05252 0.20462 0.00960 0.06588 0.72314 230.04007 21.22099 8.32405 8.00220 0.86604 7.40183 3.11141 4.25337 8.35285 8.26194 8.57352 1.12369 0.02046 0.13313 28.02911 32.12328 0.05097 104.05698 0.65458 24.29261 304.33272 8.26573 Engª Economica~Aulas~2012.45235 0.docx 200-201 .63552 0.12750 0.12000 3.02980 0.00232 0.30104 8.15087 0.83053 684.01576 0.46753 113527.13576 0.12164 0.07379 0.00111 0.08264 0.00388 0.98442 8.00164 0.14239 964.33268 271.04842 0.02339 0.12846 0.09912 0.12026 0.33095 8.02661 0.80385 12.66350 484.79962 59.36578 7.46944 7.88711 5.94255 7.00000 1.29716 8.60478 4.56376 4.47170 0.81086 6.84314 7.47855 3.25451 7471.08499 8.14682 0.18768 0.00000 0.29969 14.17863 17.08130 0.29635 0.01075 0.60289 118.88367 55.69889 214.21068 2.40388 0.04144 0.77933 6.12146 0.69005 2.00013 0.00434 0.31501 8.12414 0.01610 13624.12206 0.03735 3.52098 431.27971 42.84772 342.08122 93. 03.Engª Economica~Aulas~2012.docx 201-201 .
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