EMPUJE YFLOTACIÓN MECÁNICA DE FLUIDOS ADRIAN ARMAS URIBE 5RV1 TABLA DE CONTENIDO Contenido Introduccio n ___________________________________________________________________________________________ 1 Fuerza de flotacio n ____________________________________________________________________________________ 1 Principio de Arquímedes (Empuje hidrosta tico) ___________________________________________________ 2 Hidro metro ____________________________________________________________________________________________ 3 Estabilidad de los cuerpo sumergidos y cuerpos flotantes__________________________________________5 Problemas adicionales _______________________________________________________________________________ 10 EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 1 INTRODUCCIÓN. Los fluidos se encuentran presentes en nuestras vidas cotidianamente, en el aire, el oce ano, los ríos, lagos e incluso en nuestros propios cuerpos. En la vida cotidiana los feno menos que ocurren en los fluidos son tan comunes y lo gicos para nosotros pero realmente se desconocen el porque de muchos estos efectos. El efecto efervescente en una bebida, cuando hierve el agua, cuando se empan an los cristales debido a cambios en la temperatura, cuando usamos un popote, las tuberías de conexio n hidra ulicas de los hogares e industrias; todos estos son ejemplos que ocurren día a día y desconocemos la verdaderas causas que los originan. Otro ejemplo muy comu n sería cuando nos sumergimos a una alberca, un rio, lago o en el mar, en cualquiera de estos casos nuestro cuerpo experimentara un efecto muy peculiar que nos podra permitir no caer en las profundidades de este fluido líquido, en estos casos estara existiendo una fuerza que nos impulsara hacia la superficie sin importar lo mucho o lo poco que pese nuestro cuerpo. Esto es debido a que existe una fuerza de empuje que nos mantendra a flote. A continuacio n profundizaremos sobre feno meno. FUERZA DE FLOTACIÓN. Al estar un cuerpo sumergido en un líquido como ya se había mencionado es fa cil notar que el cuerpo se sentira ma s ligera y de menor peso al estar sumergido en el líquido que en el aire. Este feno meno se puede explicar científicamente debido a que esta presente una fuerza que tiende a levantar el cuerpo sumergido y recibe como nombre fuerza de flotacio n y le podemos denominar FB. La fuerza de flotacio n es debida al aumento que existe en la presio n del fluido en funcio n de su profundidad. Podemos ejemplificar imaginando un objeto como un disco con un grosor h sumergido en un líquido con una densidad ρf, con un a rea A superior e inferior del disco en donde su distancia a la superficie la podemos denominar s. En este caso encontraremos dos presiones, una ejercida en la superficie superior del disco que se explica matema ticamente como ρfgs donde g es la gravedad, y la presio n que existe en el a rea inferior del disco expresada como ρfg(s+h) debido a que el taman o del grosor afecta directamente a la presio n ejercida en esta a rea inferior. Es aquí donde entra la fuerza hidrosta tica expresada como Fsup= ρfgsA se ejerce hacia abajo afectando en la superficie superior y la superficie inferior efectu a una fuerza pero hacia arriba y es expresada matema ticamente como Finf= ρfg(s+h). La diferencia existente entre ambas fuerzas sera una fuerza que ira hacia arriba la cual es la responsable de que el cuerpo flote y simplemente le podemos llamar fuerza de flotacio n. Podemos expresarla para ca lculos matema ticos para su uso como: FB = Finf - Fsup = ρfg(s+h) A - ρfgsA = ρfghA = ρfgV Para su simplificacio n hemos sustituido (h) (A) por V, al emplear el producto de una altura por un a rea. En el te rmino ρfgV ocurre algo interesante, ya que el valor de este simplemente esta mostrando el peso del líquido en el cual su volumen es exactamente igual al volumen del disco empleado. De este modo podemos demostrar el porque del efecto de flotacio n de un cuerpo en un líquido ya que la fuerza de flotacio n que esta actuando sobre el disco es igual al peso del líquido que desplaza el disco. Este EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 2 funcionamiento responde al principio establecido por el griego Arquímedes de Siracusa en el siglo II A.C. el cual se describira a continuacio n. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES. Tambie n conocido como empuje hidrosta tico: “La fuerza de flotacio n que actu a sobre un cuerpo sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo y actu a hacia arriba pasando por el centroide del volumen desplazado.” Para los cuerpos flotantes, el peso del cuerpo completo debe ser igual a la fuerza de flotacio n, la cual es el peso del fluido cuyo volumen es igual al de la parte sumergida de este cuerpo, lo podemos expresar como: FB = W ρfgVsum = ρprom, cuerpogVtotal Vsum/Vtotal = ρprom, cuerpo / ρf Es por ello que la fraccio n sumergida del volumen de un cuerpo flotante es igual a la razo n de la densidad promedio del cuerpo a la densidad del fluido. Hay que resaltar que cuando la razo n de densidades es igual a uno o mayor que uno, es cuerpo flotante se vuelve por completo sumergido. Figura 1. Un cuerpo so lido al caer dentro de un fluido puede hundirse, flotar o quedar en reposo en cualquier sitio de e ste, dependiendo sobre su densidad relativa a la densidad del fluido. Con base a estas observaciones, se infiere que un cuerpo sumergido en un fluido: 1) Permanece en reposo en cualquier punto del fluido, cuando su densidad es igual a la densidad del fluido. 2) Asciende hasta la superficie del fluido y flota cuando la densidad del cuerpo es menor que la del fluido. 3) Se hunde hasta el fondo, cuando su densidad es mayor que la del fluido. La fuerza de flotacio n es proporcional a la densidad del fluido y, por lo tanto, se podría pensar que la fuerza de flotacio n que ejercen los gases, como el aire, es despreciable. Es evidente que, en general, e ste es el caso, pero hay excepciones significativas. Por ejemplo, el volumen de una persona de una persona es de alrededor de 0.1m 3 , y, tomando la densidad del aire como 1.2kg/m 3 , la fuerza de flotacio n que ejerce el aire sobre la persona es FB = ρfgV = (1.2kg/m 3 )(9.81m/s 2 )(0.1m 3 ) = 1.2N El peso de una persona de 80 kg es de 80x9.81 = 788N. Por lo tanto, en este caso, ignorar la flotacio n conduce a un error en el peso de so lo 0.15 por ciento, lo cual es despreciable. Pero los efectos de la flotacio n en los gases dominan en algunos feno menos naturales importantes, como el ascenso del aire EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 3 ca lido en un medio ambiente ma s frío y el comienzo de las corrientes de conveccio n natural, el ascenso de los globos de aire caliente o de helio y los movimientos del aire en la atmo sfera. Por ejemplo, un globo de helio asciende como resultado del efecto de flotacio n hasta que alcanza una altitud en donde la densidad de aire (la cual disminuye con la altitud) se hace igual a la del helio contenido en el globo, se supone que el globo no se revienta para entonces y se ignora el peso del material del que esta hecho. Los globos de aire caliente funcionan mediante principios como e ste. El principio de Arquímedes tambie n es aplicable en la geología actual al considerar que los continentes flotan sobre un mar de magma. HIDRÓMETRO. Un hidrómetro es un dispositivo que utiliza la fuerza de flotación para medir la gravedad específica S de un líquido. Este aparato es de vidrio y posee un vástago de sección prismática que está graduado y en donde se realiza la medición. Cuando se introduce en un líquido, el hidrómetro queda parcialmente sumergido, en posición vertical y con el vástago fuera de la superficie del líquido. Figura 2. Hidrómetro. Cuando el líquido es agua, cuyo peso específico es go, la medida observada en el vástago corresponde a una gravedad específica So = 1.0, que corresponde a nuestra medida de referencia. En esta posición, el volumen de agua desplazado por el hidrómetro es Vo, su peso real es W y la fuerza de flotación es FFo = Vogo. En el equilibrio se cumple la Primera Ley de Newton, por lo que el peso del hidrómetro es igual a la fuerza de flotación: W = Vogo (1) Suponemos que este mismo hidrómetro lo introducimos en otro fluido de gravedad específica S > 1.0, por ejemplo. El hidrómetro queda flotando dentro del fluido, pero con un volumen sumergido menor. El volumen de fluido desplazado por el hidrómetro ahora es: Vd = Vo – DV = Vo – ADh EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 4 En donde A es el área transversal del vástago. Figura 3 Por la Primera Ley de Newton, la fuerza de flotación es igual al peso real del hidrómetro, por tanto: W = Vdg = (Vo – ADh)g (2) En donde g es el peso específico del fluido, el cual está relacionado con la gravedad específica a través del peso específico del agua: (3) Sustituyendo (1) y (3) en la ecuación (2), obtenemos: Vogo = (Vo – ADh)Sgo (4) Despejando S de la ecuación anterior, obtenemos la gravedad específica del fluido desconocido en función del volumen de agua desplazado por el hidrómetro, el área transversal A del vástago y la altura Dh: EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 5 Si lo que nos interesa es calibrar el hidrómetro, esto es, determinar las posiciones de los diferentes valores de S en la regla graduada del vástago, se puede clacular la altura Dh para un fluido de gravedad conocida S, despejando la altura Dh de la ecuación (6): (5) La escala de la regla graduada es positiva hacia abajo, de manera que si el líquido es menos denso que el agua, S < 1.0 y el valor de Dh obtenido en la ecuación (5) será negativo. Si el líquido es más denso que el agua, S > 1.0 y el valor de Dh obtenido en la ecuación (5) será positivo. ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES. La estabilidad de un cuerpo parcial o totalmente sumergido es vertical y obedece al equilibrio existente entre el peso del cuerpo ( ) y la fuerza de flotación ( F): Figura 4. FF = W (en el equilibrio) EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 6 Ambas fuerzas son verticales y actúan a lo largo de la misma línea. La fuerza de flotación estará aplicada en el centro de flotación (CF) y el peso estará aplicado en el centro de gravedad (CG). La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos: Estabilidad lineal: Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. Este desplazamiento provoca una disminucio n del volumen de fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotacio n correspondiente. Como se rompe el equilibrio existente entre la fuerza de flotacio n y el peso del cuerpo (FF W), aparece una fuerza restauradora de direccio n vertical y sentido hacia abajo que hace que el cuerpo regrese a su posicio n original, restableciendo así el equilibrio. De la misma manera, si desplazamos el cuerpo verticalmente hacia abajo, aparecera una fuerza restauradora vertical y hacia arriba que tendera a devolver el cuerpo a su posicio n inicial. En este caso el centro de gravedad y el de flotacio n permanecen en la misma línea vertical. Estabilidad rotacional: Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el cuerpo sufre un desplazamiento angular. En este caso, el centro de flotacio n y el centro de gravedad no permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza de flotacio n y el peso no son colineales provocando la aparicio n de un par de fuerzas restauradoras. El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posicio n del cuerpo determinara el tipo de equilibrio en el sistema: Equilibrio estable: Cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve el cuerpo a su posicio n original. Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotacio n. Figura 5 equilibrio estable. Equilibrio inestable: Cuando el par de fuerzas tiende a aumentar el desplazamiento angular producido. Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotacio n. EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 7 Figura 6. Equilibrio inestable. Equilibrio neutro: Cuando no aparece ningu n par de fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular. Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribucio n de masas es homoge nea, de manera que el centro de gravedad coincide con el centro de flotacio n. Figura 7. Equilibrio neutro. Estabilidad de cuerpos prismáticos: Hay ciertos objetos flotantes que se encuentran en equilibrio estable cuando su centro de gravedad está por encima del centro de flotación. Esto entra en contradicción con lo visto anteriormente acerca del equilibrio, sin embargo este fenómeno se produce de manera habitual, por lo que vamos a tratarlo a continuación. Vamos a considerar la estabilidad de cuerpos prismáticos flotantes con el centro de gravedad situado encima del centro de flotación, cuando se producen pequeños ángulos de inclinación. La siguiente figura muestra la sección transversal de un cuerpo prismático que tiene sus otras secciones transversales paralelas idénticas. En el dibujo podemos ver el centro de flotación CF, el cual está ubicado en el centro geométrico (centroide) del volumen sumergido del cuerpo (Vd). El eje sobre el que actúa la fuerza de flotación está representado por la línea vertical AA’ que pasa por el punto CF. EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 8 Vamos a suponer que el cuerpo tiene una distribución de masas homogénea, por lo que el centro de gravedad CG estará ubicado en el centro geométrico del volumen total del cuerpo (V). El eje vertical del cuerpo está representado por la línea BB’ y pasa por el punto CG. Cuando el cuerpo está en equilibrio, los ejes AA’ y BB’ coinciden y la fuerza de flotación y el peso actúan sobre la misma línea vertical, por tanto son colineales, como muestra la figura. Figura 8. Equilibrio de cuerpos prismáticos. Ahora inclinamos el cuerpo un ángulo pequeño en sentido contrario a las agujas del reloj. Como vemos, el volumen sumergido habrá cambiado de forma, por lo que su centroide CF habrá cambiado de posición. Podemos observar también que el eje AA’ sigue estando en dirección vertical y es la línea de acción de la fuerza de flotación. Por otro lado, el eje del cuerpo BB’ que pasa por el centro de gravedad CG habrá rotado con el cuerpo. Ahora los ejes AA’ y BB’ ya no son paralelos, sino que forman un ángulo entre sí igual al ángulo de rotación. El punto donde intersectan ambos ejes se llama METACENTRO (M). En la figura siguiente podemos ver que el metacentro se encuentra por encima del centro de gravedad y actúa como pivote o eje alrededor del cual el cuerpo ha rotado. Figura 9. Metacentro. EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 9 Como sabemos, la fuerza de flotación actúa verticalmente en el centroide CF y a lo largo del eje AA’, mientras que el peso actúa sobre el centro de gravedad CG y también en dirección vertical. En esta configuración ambas fuerzas no son colineales, por lo que actúan como un par de fuerzas restauradoras que hacen girar el cuerpo en sentido contrario a la rotación producida en un principio, devolviendo al cuerpo a su posición inicial. Se dice entonces que el cuerpo se encuentra en equilibrio estable. Si la configuración del cuerpo es tal que la distribución de masas no es homogénea, la ubicación del metacentro puede cambiar. Por ejemplo, consideremos un cuerpo prismático cuyo centro de gravedad se encuentre sobre el eje vertical del cuerpo BB’ pero descentrado, como indica la siguiente figura. Figura 10. Metacentro cambiante. Cuando inclinamos el cuerpo, puede ocurrir que el metacentro M esté ubicado ahora por debajo del centro de gravedad. Como el metacentro actúa de eje de rotación alrededor del cual el cuerpo gira, el par de fuerzas actúan como un par de fuerzas restaurador, haciendo girar el cuerpo en el mismo sentido en el que se realizó la rotación y dándole la vuelta, sin alcanzar la posición que tenía inicialmente. Se dice entonces que el cuerpo presenta equilibrio inestable. En resumen, cuando el metacentro M se encuentra por encima del centro de gravedad CG, el cuerpo presenta equilibrio estable. Cuando el metacentro se encuentra por debajo de CG el equilibrio es inestable; y cuando el metacentro coincide con CG, está en equilibrio neutro. La distancia entre el metacentro y el centro de flotación se conoce como “altura metacéntrica” y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo. Esta distancia se calcula mediante la siguiente expresión: Donde I es el momento de inercia de la sección horizontal del cuerpo flotante y Vd es el volumen de fluido desplazado por el cuerpo. EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 10 PROBLEMAS ADICIONALES. 1. Un cubo de madera de 10 cm de arista se sumerge en agua, calcula la fuerza resultante sobre el bloque y el porcentaje que permanecerá emergido una vez esté a flote. Datos: densidad de la madera 700 kg/m 3 Este ejercicio es muy similar al anterior, el cuerpo es ahora un cubo de volumen V = lado 3 = 0,1 3 = 0,001 m 3 por tanto el empuje será: E = dagua·Vsumergido·g = 1000 · 0,001 · 9,8 = 9,8 N La masa del bloque será: m = dmadera · V = 700 · 0,001 = 0,7 kg y su peso: P = m · g = 0,7 · 9,8 = 6,86 N Vemos que el empuje es mayor que el peso, la fuerza resultante es de 2,94 N hacia arriba lo que hace que el cuerpo suba a flote. Una vez a flote parte del cuerpo emergerá y no el volumen sumergido disminuirá, con lo cual también lo hace el empuje. El bloque quedará en equilibrio a flote cuando el empuje sea igual al peso y no actúe resultante sobre él, calculemos cuánto volumen permanece sumergido cuando esté a flote. A flote E = P dagua·Vsumergido·g = Peso 1000 · Vsumergido · 9,8 = 6,86 Despejando Vsumergido = 7 · 10 -4 m 3 la diferencia de este volumen bajo el agua y el volumen total del bloque será la parte emergida Vemergido = 0,001 - 7 · 10 -4 = 3 · 10 -4 m 3 emergidos. El porcentaje de bloque emergido será 3 · 10 -4 /0,001 · 100 = 30 % 2. Una bola de acero de 5 cm de radio se sumerge en agua, calcula el empuje que sufre y la fuerza resultante. Solucio n: El empuje viene dado por E = ρagua Vsumergido g, la masa específica del agua es un valor conocido (1000 kg/m3), lo u nico que se debe calcular es el volumen sumergido, en este caso es el de la bola de acero. Se utiliza la fo rmula del volumen de una esfera. Volumen: 5,236 · 10-4 m3 E = ρagua·Vsumergido·g = 1000 · 5,236 · 10-4 · 9,8 = 5,131 N EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 11 El empuje es una fuerza dirigida hacia arriba, y el peso de la bola hacia abajo. La fuerza resultante sera la resta de las dos anteriores. W= mg = ρvg ρacero = 7,9 g/cm3 = 7900 kg/m3 m = ρacero · V = 7900 · 5,234 · 10-4 = 4,135 kg P = m · g = 4,135 · 9,8 = 40,52 N Fuerza Resultante: P - E = 35,39 N, hacia abajo, por lo que la bola tiende a bajar y sumergirse. 3. Se desea calcular la nasa específica de una pieza meta lica, para esto se pesa en el aire dando como resultado 19 N y a continuacio n se pesa sumergida en agua dando un valor de 17 N. Solucio n: Se sabe por enunciado que la fuerza de empuje corresponde a 2 N. De acuerdo a esto, se calcula el volumen sumergido: E = ρagua·Vsumergido·g 2 = 1000 · V · 9,8 V = 2,041 · 10-4 m3 Luego se calcula la masa: m = P/g = 19/9,8 = 1,939 kg. Finalmente, se calcula la masa específica ya que tenemos m y V: ρ= m/V = 1,939/2,041 · 10-4 = 9499 kg/ m3 4. Un recipiente contiene una capa de agua (ρ2 = 1,003g/cm 3 ), sobre la que flota una capa de aceite, de masa específica ρ1 = 0,803 g/cm 3 . Un objeto cilíndrico de masa específica desconocida ρ3 cuya a rea en la base es A y cuya altura es h, se deja caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando la superficie de separacio n entre el aceite y el agua, sumergido en esta u ltima hasta la profundidad de 2h/3. Determinar la masa específica del objeto. Solucio n: El cuerpo esta sumergido parcialmente tanto en agua como en aceite. Esta siendo afectado por 3 fuerzas: el peso y dos empujes (del volumen de aceite desplazado y el volumen de agua desplazado). El cuerpo esta en equilibro, y ocurre que: E1 + E2 - P = 0 E1= ρ1*g*h*A EMPUJE Y FLOTACIÓN Pa gina 12 E2= ρ2*g*h*A Reemplazando: ρ1g A h + ρ2 g A h - ρ g A h = 0 ρ1 + ρ2 = ρ ρ = 0.933 gr/cm 3 5. Un globo aerosta tico pesa 13 000 N, ¿sera capaz de ascender si ocupa un volumen de 1 000 m 3 ? Solucio n: Para que ascienda, el empuje debe de ser mayor que el peso del globo: Vaire desalojado = Vglobo Para que ascienda, el empuje debe de ser mayor que el peso del globo. E = Vaire desalojado daire g = (1 000 m 3 ) (1,29 kg/ m 3 ) (9,8 m/s 2 ) = 12 642 N Luego, no ascendera .