ECOLE DES MINES DE DOUAIRHOUFAR (Dounia) NSIRI (Nadia) ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE REVUE SUR LES MODELES D’EMPILEMENT GRANULAIRE AVEC UN ZOOM SUR LES APPLICATIONS DU GENIE CIVIL (REVIEW ON GRANULAR PACKING MODELS WITH A ZOOM ON APPLICATIONS OF CIVIL ENGINEERING) Promotion 2018 Année scolaire 2016-2017 2 3 SOMMAIRE Résumé 5 Abstract 7 Introduction 9 Partie 1 : Généralités sur les milieux granulaires 11 1- Définition d’un matériau granulaire 11 2- Les milieux granulaires 11 3- Caractéristiques des granulats 12 Partie 2 : Les empilements granulaires 1- Définition de l’empilement 17 2- Types d’empilement 17 2.1 Empilement ordonné 17 2.2 Empilement aléatoire 19 Partie 3 : Revue sur les modèles d’empilement dans le domaine du génie civil 1- principaux modèles d’empilement 21 1-1-modèle de Toufar modifié 21 1-2- modèle de Dewar 22 1-3- modèle de Farris 24 1-4-modèle d’empilement de De Larrard 25 2- Comparaison des différents modèles d’empilement 30 3- Principe d’optimisation dans la formulation du béton 31 a- La méthode classique 31 b- La modélisation numérique 32 Conclusion 35 Références bibliographiques 37 Liste des figures et tableaux 39 4 . les interactions granulaires et le mode de mise en place des mélanges. il est nécessaire de distinguer en premier lieu les milieux granulaires existants en étant ensembles de matériaux granulaires présents dans un fluide (gazeux comme l’air ou liquide comme l’eau).. Modèles d’empilement . compacité. notamment l’empilement ordonné (considéré comme idéal et par conséquent difficile à réaliser) assimilé à la structure cristalline des molécules et l’empilement aléatoire qui présente une faible compacité par rapport à son homologue ordonné. Avant d’entamer les modèles d’empilement granulaire développés par les chercheurs. qui peuvent être utilisés dans de nombreux domaines. elle peut être effectuée selon la méthode classique ou via la modélisation numérique au moyen des programmations révolutionnaires. Matériaux granulaires . Pour optimiser leur usage. dans un seul but qui est d’avoir un béton performant au moindre coût. pour mieux comprendre le comportement des mélanges granulaires. il est opportun de citer les types d’empilement qu’ils peuvent avoir lieu. Optimisation . Empilement granulaire . Effet de desserrement . MOTS MATIERES . caractérisés par les propriétés de leurs granulats (porosité. Modélisation numérique . L’optimisation de l’empilement granulaire constitue une étape importante de la formulation. Formulation de béton . densité. Effet de paroi . en vue de créer une consistance homogène tout en gardant une certaine ouvrabilité. le modèle de Dewar qui calcule la densité en se basant sur l’indice de vide et en prenant en compte les interférences entre les particules. le modèle de Farris qui s’intéresse à la viscosité en considérant le mélange granulaire comme une suspension poly-disperse et enfin le modèle de De Larrard qui permet de déterminer la compacité d’un mélange en intégrant dans les formules. La formulation du béton consiste à choisir les proportions des matériaux du béton selon un cahier des charges donné. de nombreux modèles d’empilement ont été proposés en se basant sur des approches mathématiques.). parmi lesquels : le modèle de Toufar modifié qui s’intéresse à la détermination de la densité d’un mélange en faisant intervenir des facteurs représentants les effets d’interactions granulaires. 5 RESUME Les matériaux granulaires constituent les matériaux les plus répandus dans la nature. 6 . such as: the modified Toufar model which is interested in determining the mix density by including the factor of granular interaction effects. such as an ordered packing (it’s considered ideal therefore hard to realize) assimilated to a crystal structure of the molecules and the random packing which has a low density comparing to the ordered packing. it consider the granular mix as a poly-disperse suspension. To understand the granular mix. Packing models . The formulation of the concrete consists in choosing the proportions of the materials of the concrete according to a given specification in order to create a homogeneous consistency while maintaining certain workability.. many packing models have been developed based on the mathematical approximations. Loosening effect . it can be done by the classical method or by the numerical modeling using revolutionary programs. 7 ABSTRACT The materials granular constitute the most found material in the nature. with a main aim which is having a high performance concrete with the least costs. To optimize their use. the Dewar model which calculates the mix density based on the voids ratio and the interference between the particles. it’s necessary to make a difference between the granular media. it’s necessary to mention the packing types that may exist. Optimization . The optimization of the packing granular is an important step in the formulation. which can be used on a numerous domains. Wall effect . Formulation of concrete . Granular materials . which represent the granular materials existing in a fluid (which can be a gas like the air or a liquid like the water). Finally The De Larrard model which determine the density mix by including the granular interactions and the positioning method mix. Granular packing .) Before starting to describe the granular packing models. cacaracterized by the granular proprieties (porosity. the Farris model which is interested in the viscosity. Numerical modeling . density. KEYWORDS . 8 . ils constituent les composants les plus utilisés notamment dans la formulation du béton. plus précisément la vision des mélanges granulaires. en faisant une comparaison globale entre ces différents modèles. leur définition ainsi que les principales caractéristiques des matériaux granulaires qui peuvent être prises en compte lors des empilements granulaires. La deuxième partie se focalisera essentiellement sur les empilements granulaires. nous allons balayer quelques modèles d’empilement. C’est dans cet objectif. que ça soit par la méthode classique pour par la modélisation numérique. nous allons effectuer un aperçu général sur les milieux granulaires. Dans le génie civil. . nous allons expliciter le principe d’optimisation de la formulation du béton. que nous avons élaboré cette étude bibliographique qui englobe d’une façon concise et ciblée toutes les recherches consultées. Dans ce sens. à partir d’une définition scientifique des empilements et ses différents types. En troisième partie. En dernier lieu. en vue d’arriver à modéliser ces mélanges de façon optimale permettant de performer leur mise en œuvre. 9 INTRODUCTION L’usage des matériaux granulaires s’étend sur plusieurs domaines. Dans la première partie. les théories de base et les approches mathématiques. de nombreuses recherches ont été menées dans le but de déterminer les paramètres des granulats et les interactions qui peuvent avoir lieu dans un mélange granulaire. 10 . sucre. On parle souvent de poudres pour des grains de taille comprise entre 1 µm et 100 µm. . Il est constitué de composantes solides discrètes qui ont la particularité d’être dans la plupart du temps en interactions de contact solide-solide (dans le cas d'un milieu granulaire sec). . café. pois chiches .Agro-alimentaire : céréales.Géologie : glissements de terrains. . Les milieux granulaires Les milieux granulaires constituent une thématique de recherche qui fédère des communautés scientifiques. Il existe plusieurs définitions d’un milieu granulaire. avalanches. on appelle un milieu granulaire tout ensemble de particules solides et macroscopiques dont la taille est supérieure à 100 µm. et de granulaires pour des tailles plus grandes. . Figure 1 : Exemples de différents milieux granulaires [7]. [3] Les matériaux granulaires apparaissent dans des domaines variés. mouvement des dunes . 2. Dans le cas où les particules sont émergées dans un liquide. sable . . engrais. qui se place dans la deuxième classe après l’eau en ce qui concerne les priorités pour l'activité humaine. . ciment. Définition d’un matériau granulaire Un matériau granulaire est parmi les matériaux les plus présents dans la nature. . on parle d’un milieu granulaire « mouillé ». notamment : . poudres pharmaceutiques . .Chimie : poudres à lessiver. ou de suspensions une fois les interactions hydrodynamiques sont mises en jeu [3]. . sans tenir compte du fluide environnant qui est souvent l’air. d’une manière générale. .Construction et génie civil : gravier. 11 Partie 1 : Généralités sur les milieux granulaires 1. Cette dénomination milieu granulaire concerne plutôt les grains secs. . . masse volumique apparente. 3. Nous verrons ci- après quelques définitions. Elle est désignée par différentes grandeurs selon les champs d'application telles que : fraction solide. 3. Le comportement global d’une assemblée des grains peut être influencé par l'humidité de l'air qui peut changer les interactions entre les grains. Deux types d'empilement à distinguer selon le mode de fabrication : . puisqu'ils portent tous la même signification [2]. Caractéristiques des granulats Nous abordons dans ce paragraphe. elle est définie comme le rapport du volume occupé par les grains sur le volume total de l’empilement [3]. 3. l'ensemble des caractéristiques des granulats permettant de définir la structure des empilements granulaires à adopter. Empilement dense lorsque que la valeur de la fraction volumique atteint sa valeur maximale. .1. 12 Lors de toute éventuelle étude relative à ces milieux.3 La compacité a) Définition .1 La densité granulaire La densité est une propriété essentielle de tout assemblage granulaire. Cette détermination porte essentiellement sur des paramètres physiques et des paramètres géométriques des grains. etc. Empilement lâche dont la valeur de la fraction volumique est faible . d'où vient l'intérêt de faire une étude approfondie des milieux granulaires et leurs comportements.2 Fraction volumique La fraction volumique est l'un des paramètres les plus importants qui caractérise les empilements de grains. indice des vides. Il est néanmoins facile de naviguer entre ces différents indicateurs à partir de formules adaptées.1. 𝑉𝑔𝑟𝑎𝑖𝑛𝑠 ∅= 𝑉 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Ce rapport ne doit pas être supérieur à 1. et par conséquent modifier la cohésion du milieu granulaire.1 Paramètres physiques: 3.1. il est nécessaire de préciser la nature du fluide interstitiel et aussi les conditions associées. 3. 13 La notion de compacité d’un ensemble de grains dans un récipient rigide est la somme des volumes enveloppés des grains (en gris sur la figure 2). il ne s’applique ni aux granulats tendres (LA > 50) ni aux granulats grossiers (Dmax> 31. Le but de l’essai est de mesurer la compacité d’une fraction granulaire d’une masse donnée lorsqu’elle est soumise. Figure 2 : schéma illustrant la notion de la compacité [13]. rapportée au volume total du contenant (somme gris + blanc de la figure 2) [3]. Cette caractéristique est notamment utilisée comme paramètre d’entrée de modèles de formulation des mélanges granulaires. Le principe de l’essai L’essai consiste à placer un échantillon de mélange de granulats dans un moule sous la contrainte d’un piston et à appliquer à l’ensemble des secousses mécaniques. Il s’applique aux granulats d’origine naturelle ou artificielle. La mesure de la masse volumique apparente de l’échantillon permet de déduire la compacité [13]. b) Méthode de mesure de la compacité des fractions granulaires à la table à secousses. . afin de provoquer un réarrangement des grains et donc un compactage de l’échantillon. à une sollicitation mécanique définie. Toutefois. utilisés dans le domaine du bâtiment et du génie civil.5 mm). dans un cylindre. 3. les milieux granulaires ont la capacité se s’écouler sous l’action de la gravité. les milieux granulaires comportent un certain nombre de particularité à savoir les conditions aux limites et d’adhérence avec les parois. Toutefois. Figure 4 : schéma illustrant la notion de porosité [20].1.4 la porosité On définit la notion de porosité par le rapport du volume des vides pouvant être remplis d'eau au volume total d'un échantillon de granulat.5 La viscosité Comme les liquides. la .1. 14 Figure 3 : la table à secousse [13]. 3. plus la porosité est faible plus le milieu est rigide [4]. Plus « A » est grande. soit bloqué par la formation d’une arche sur les parois [5]. il s’agit en effet de : .La grosseur « G » : il s’agit de la maille minimale carrée (maille du tamis) qui laisse passer le granulat. parmi lesquelles le coefficient d’aplatissement « A » qui prend en compte la plus grande dimension du granulat et son épaisseur. . plus le granulat est plat. 3.La longueur « L » : c’est la plus grande distance qui sépare les deux extrémités du granulat. selon les dimensions de ses grains qui les constituent [20]. . . Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la forme des granulats. les granulats sont caractérisés par les dimensions et la forme de leurs grains: a) Forme et dimensions : Trois grandeurs principales caractérisent la forme géométrique d’un granulat. on utilise le pied à coulisse.2 Paramètres géométriques D’un point de vue dimensionnel.L’épaisseur « E » : elle est définie par l’écart qui sépare deux faces principales d’un granulat. 15 viscosité dépend de la nature et la composition du milieu. Pour mesurer ces dimensions. Figure 5 : les différentes formes de granulats [20]. l’écoulement peut être considéré soit régulier si les grains sont plus petites à l’entrée. Les granulats varient du plus gros au plus fin. . la granularité qui représente la répartition dimensionnelle des grains dans un granulat. On appelle analyse granulométrique l'opération permettant de fractionner le matériau en différentes coupures à l'aide de tamis à maille carrée [20]. On distingue dans le même contexte. Figure 6 : Exemples de courbes granulométriques des matériaux réels [2]. ce qui permet de déterminer la grosseur des grains et les pourcentages relatifs aux différentes classes de grains constituant les échantillons. 16 b) la granulométrie La granulométrie : caractérise la forme et la taille d'une assemblée de particules. Le problème de l’empilement d’objets est donc purement géométrique et constitue pourtant une importante source d’études pour les scientifiques. a. dans la pratique la plupart des matériaux granulaires réels présentent une variété des propriétés de grains telles que la forme. Les types d’empilement : 2.1 Empilement ordonné Afin de caractériser les empilements réels. Hexagonal compact . 17 Partie 2 : Les empilements granulaires 1. . La variété des tailles. on distingue deux types d’arrangements monodisperses ordonnés : l'hexagonal compact et la cubique simple (Figure 7). apparaît comme un paramètre fondamental dans la fabrication et l’usage de la matière en grains. A deux dimensions. Ce type d empilement est obtenu en utilisant des méthodes de compactions par vibration horizontale sans avoir recours à placer les grains manuellement les unes à coté des autres [2]. Définition de l’empilement Un empilement est l’opération permettant de trouver les différents arrangements possibles des grains afin d’optimiser le remplissage des vides par des grains [8]. b. soit parfaitement ordonnés ou parfaitement aléatoires. Le cas des empilements de disques (2D) ou sphères (3D) de même taille est certainement le système le plus facile à étudier. il s'avère judicieux de les positionner selon des arrangements modèles. c'est-à-dire celle de l'atome. ou les tailles des grains. Comme on l’a évoqué précédemment. 2. Les empilements ordonnés constituent une classe analogue à celle des empilements cristallins. identifiée par le terme de granularité. Figure 7 : Empilements 2D réguliers. Cubique simple [2]. chaque disque est en contact avec 4 voisins. qui est parfaitement régulier. Si on suppose que les boulets sont parfaitement lisses et identiques. cubique faces centrées. il est difficile de garantir que les boulets soient tous parfaitement lisses et identiques et une légère dispersion apparaît. théorie et réalité [2]. puisque le nombre de contacts présents est supérieur à celui qui serait strictement nécessaire à l'équilibre de chaque disque [2]. auto-stable à condition que les roulements de la rangée inférieure soient bloqués. Nous constatons donc que l'ordre géométrique représenté dans ce genre d'empilement est généralement une illusion. présente une complexité interne. Pour démontrer qu'un édifice. on peut déterminer le réseau théorique des contacts. on essai d’obtenir un nombre d'arrangements réguliers possibles (cubique simple. qui résultent des différentes possibilités de superpositions de couches de sphères disposées selon les configurations de la figure 7. cubique centré. . On constate d'ailleurs que ce réseau est hyperstatique. Figure 8 : Empilement de type "boulet de canon". En trois dimensions. on considère l'empilement de type "boulets de canons" (Figure 8). Pour ces réseaux. apparemment le plus simple et le plus ordonné possible. l'arrangement est construit sur une maille carrée. 18 Dans le premier cas l'arrangement est construit sur une maille triangulaire. chaque disque est en contact avec 6 voisins. Les plus intéressants sont l'hexagonal compact et la cubique face centrée. Il s'agit d’un arrangement de type hexagonal sous l’effet de la gravité. En pratique. Dans le second cas. la maille élémentaire est un tétraèdre régulier et chaque sphère possède 12 contacts avec ses voisines. etc. Il est donc possible de supprimer aléatoirement de nombreux contacts du réseau théorique sans compromettre l'équilibre global et l'apparence d'un empilement ordonné.). Pour mieux comprendre l’empilement aléatoire. car les gros particules ne sont pas suffisamment présentes pour créer les vides.74 .64 est inférieure à la valeur théorique maximale de Fs= 0. la fraction volumique totale vaut donc : Fs= Fs0 /(1.55 en présence des sphères monodisperses [2]. qui vaut Fs= 0. . pour lequel on considère un mélange de petites et de grosses sphères de rayons respectifs Rp et Rg ayant la même densité ρ. 2. La fraction volumique est donc égale à : Fs= Fs0 /C. Le volume total occupé par l’ensemble des billes est égale à (mp+mg)/ρ et le volume apparent est celui des grosses seules (en négligeant la présence des petites particules). nous sommes donc en présence d’un mélange d’un peu de petites particules dans un empilement de grosses (Fig.82). Si mg >> mp .2 Empilement aléatoire Dans la pratique. sa fraction solide vaut Fs= 0. la notion d’ordre n'est plus accessible. 2. il s’agit donc de « l'empilement aléatoire le plus dense » ou « random close packing RCP » (en 2D.14b). il vaut mg/(ρ Fs0). nous sommes donc en présence d’un mélange d’un peu de grosses particules dans un empilement de petites (Fig. 19 2. les empilements réguliers de sphères (empilements ordonnés) qui correspondent à une densité granulaire maximale sont très difficiles à réaliser. la valeur obtenue de la fraction solide critique Fs=0.Fs0)) [2].14a). mais le volume occupé par l’empilement vaut mg/(ρ Fs0) + mg/ρ. Lorsqu’on est dans le cas de mélanges granulaires constitués principalement par des sphères de tailles différentes. Par opposition avec l'empilement aléatoire le plus dense. Le volume total occupé par l’ensemble des billes ne change pas (mp+mg)/ρ. . le système semble bloqué dans cet état et ne peut pas atteindre l'état cristallin qui serait pourtant plus dense.C(1. On définit dans ce cas C la concentration massique de grosses billes [2] : La détermination de la fraction solide d’un tel mélange nécessite de faire introduire la fraction solide Fs0 correspondant à un seul type de particule (soit petite. Sous l’action des vibrations. sauf on si positionne manuellement chaque sphère à la bonne place. Nous constatons deux cas limites: . Les petites billes se positionnent dans les interstices crées par les grosses. on définit l'empilement statique le plus lâche. on prend l’exemple d’un mélange aléatoire de bille dans un récipient compacté à l’aide d’une vibration verticale. soit grande). Si mg <<mp . Un exemple concret est celui du milieu bidisperse. 20 Figure 9 : Cas limites d'une distribution bimodale parfaite. mais en gardant la même allure. b. . a. Quelques petites particules parmi les grosses . Les deux cas limites sont illustrés théoriquement (sur la figure 10) par des asymptotes selon des valeurs faibles et élevées de la concentration C. par rapport à un exemple de courbe obtenue expérimentalement dont C comprise entre 0 et 1. Figure 10 : courbe représentant l'influence du rapport massique entre petites et grosses particules sur la fraction solide maximale d'un mélange bimodal [2]. Ce principe peut être étendu à des mélanges de plusieurs tailles. Quelques grosses particules parmi les petites [2]. son amplitude peut varier. Cette courbe prends en compte bien évidement la taille des particules. Nous constatons que le mélange de deux types de sphères de tailles différentes conduit toujours à un assemblage plus dense que si chacun des types est pris individuellement. en commençant par les mélanges binaires avant de généraliser les formules et les expressions aux mélanges multi-composants.22 et 1. 1. les hypothèses adoptées pour chaque modèle et les principales expressions de calcul. Cette hypothèse est caractérisée dans les calculs par un facteur appelé « Kd » . Cette fraction qui doit être comprise entre 0. Pour mieux comprendre la structure granulaire d’un mélange. .. les particules fines sont arrangées entre exactement quatre grandes particules. 21 Partie 3 : Revue sur les modèles d’empilement dans le domaine du génie civil Au cours des années. Le facteur « Ks » représente cette proposition dans les formules. Principaux modèles d’empilement 1. Dans cette partie.1 Modèle de Toufar modifié Toufar a élaboré un modèle d’empilement qui s’intéresse à la détermination de la densité d’un mélange binaire caractérisé par sa fraction de diamètre « d1/d2 ».) et les interactions qui peuvent avoir lieu. de nombreuses recherches ont été développées s’intéressant essentiellement au discernement des propriétés granulaires (diamètre. densité. La formule totale de la densité du mélange binaire est comme suit [9] : . C’est dans cet objectif que des modèles d’empilement ont été élaborés en vue d’avoir une approche mathématique permettant de modéliser théoriquement les mélanges granulaires. les scientifiques ont essayé d’optimiser la performance du béton en minimisant le vide tout en gardant sa maniabilité. avec d1 est le diamètre des particules fines et d2 est le diamètre des grosses particules. les particules fines ont un diamètre assez grand qui ne leur permet pas de se placer dans les interstices des grandes particules. on va mettre la lumière sur quelques modèles d’empilement granulaire. Dans ce modèle Toufar pose deux hypothèses : . ensuite on intègre ces calculs initiaux au troisième constituant ajouté. Cet effet est caractérisé par les paramètres : l’indice de vide (U). ainsi le calcul est poursuit jusqu’à l’intégration du dernier constituant du mélange [15]. n’augmente pas quand on ajoute des particules fines au mélange. 22 Avec : r1 : fraction volumique des particules de classe 1 r2 : fraction volumique des particules de classe 2 Après avoir effectué une comparaison des résultats expérimentaux avec les calculs.2 Modèle de Dewar Pour caractériser un mélange binaire. Pour remédier à ce problème.4753 Pour un mélange multi-composants.4753 pour x ≥ 0. 1. ce modèle suppose que les constituants fins se positionnent dans les interstices des grands constituants. le modèle calcule en premier temps la densité et le diamètre des deux premiers constituants. ce qui est dû à la deuxième hypothèse. ce qui crée une interférence entre les particules qui influence toute la structure granulaire. Toufar a effectué la correction suivante au facteur « Ks » : pour x< 0. la porosité (ԑ) et la densité de l’empilement (α) et représenté par la formule suivante [1] : . Toufar a découvert que la densité d’un exemple de mélange composé de grosses particules. La relation entre l’indice de vide (U) et le diamètre caractéristique (φ) est comme suit : Les calculs se basent sur le principe qui suppose que le vide entre les grandes particules augmente quand on augmente la quantité des particules fines dans le mélange. ce qui rend le facteur d'espacement « m » dépendant du rapport de taille « d2/d1 » et de la quantité des particules fines présentes dans le mélange. en commençant par les deux premiers granulats les plus fins. « x » étant le vide entre ces particules et « α2 » est leur densité [1]. 23 Le modèle permet de déterminer la densité globale d’un mélange de n classes en utilisant un diamètre caractéristique di( diamètre moyen) et l’indice de vide Ui. Dans la figure 11. les grandes particules sont présentées par des cubes de dimension d2. Figure 11 : modélisation cubique des particules [1] la figure 12 montre que les grandes particules sont eloignées les unes des autres par l’effet de l’addition des particules fines. L’expression de la densité des grandes particules devient [1] : . Comme la taille des particules fines est très petite par rapport aux particules de classe 2. il faut d’abord classer les particules selon leurs tailles qui doivent être nettement différentes les unes par rapport aux autres (d1>>d2…>>dn).3 Modèle de Farris : Ce modèle s’intéresse à la détermination de la viscosité d’un mélange. en considérant que les matériaux granulaires baignant dans un fluide comme une suspension poly-disperse. il est possible de dire que les particules fines se comportent comme un fluide suspendant . Le principe de ce modèle consiste à minimiser l’indice de vide d’un mélange composé de granulats de différentes tailles en compensant le vide engendré par les grandes particules par les particules les plus fines du mélange [1]. 24 Figure 12 : modélisation cubique des grandes particules mélangées avec des particules fines [1]. 1. La densité totale (α) du mélange est exprimée par l’équation suivante : Avec « α1 » est la densité des particules fines et « q » est le facteur qui prend en compte les interférences entre les particules. Pour effectuer le calcul de la viscosité de la suspension. on ajoute ensuite les particules de taille plus grande (classe 2) à la suspension. On procède au calcul de la viscosité en introduisant les particules les plus fines (classe1) dans un fluide et on note la viscosité relative de la suspension. . le modèle d’empilement linaire et le modèle d’empilement compressible. l’indice de serrage. la compacité est calculée selon le principe qui distingue les « gros dominant » des « fins dominants » : . les gros éléments qui représentent la quantité majeure. . les deux modèles permettent de déterminer la compacité d’un mélange de grains secs constitué par différentes classes granulaires. à savoir [11]: . l’effet paroi et l’effet de desserrement . 25 et donc la viscosité de la suspension prend en compte celle des particules de classe 2. il existe une classe granulaire dominante sur les autres classes. Compacité virtuelle d’un empilement binaire Pour un mélange binaire « sans interaction géométrique ». Ces modèles sont fondés essentiellement sur une approche géométrique qui considère que dans un mélange donné. Pour une composition donnée de mélange granulaire. . les proportions volumiques de chaque classe . il est difficile de connaitre la classe de grains considérée comme dominante. la compacité . les conditions de la mise en place . Ainsi.4 Modèle de De Larrard Deux modèles d’empilement ont été développés par De Larrard. le gravillon est considéré comme une suspension dans le mortier. . on détermine la viscosité de la suspension à chaque ajout de particules tout en respectant la condition qui suppose que les particules de la suspension ont des tailles très différentes. de même le sable est suspension dans un coulis et également le liant dans l’eau [16]. . Dans le cas du béton par exemple. En prenant en considération plusieurs paramètres. sont entourés suffisamment par les éléments fins du composant qui remplissent les interstices disponibles selon un mécanisme d’insertion. La compacité des gros grains est égale au volume occupé par ces derniers (figure 13) [11]. Dans le cas « des gros dominants ». d’où on distingue la notion de compacité virtuelle et de compacité réelle. 1. qu’on peut la déterminer grâce à une série de valeurs de la compacité virtuelle ϒi du mélange. Pour un mélange binaire « avec interaction géométriques » : Parmi les grandes difficultés rencontrées pour la mise au point d’un modèle d’empilement. est insuffisamment fins pour remplir les interstices et se glisser entre les gros grains. on peut citer essentiellement la prise en compte des interactions granulaires. Figure 14 : les petits grains bloquent le système [10] En résumé. La compacité du mélange correspond au minimum des compacités ϒ . Les petits grains occupent le volume total du récipient auquel on retranche celui des gros grains (figure 14). 26 Figure 13 : les gros grains bloquent le système [10] . en petites quantités disséminées (dispersés). c’est le mécanisme de substitution. il s’agit en effet des interactions géométriques entre les particules des différentes classes granulaires. Dans le cas « des fins dominants ». en considérant chaque classe i comme dominante. au sein d’un empilement de grosses particules. le principe consiste à substituer un certain nombre d'éléments fins constituant une matrice par des gros grains. . ce qui engendre une désorganisation (déstructuration) de la structure granulaire (figure 15). notamment l’effet paroi et l’effet de desserrement [11] : L’effet desserrement : quand l’introduction des petits grains. Figure16 : effet d’interactions entre classes granulaires [10] . Pour en tenir compte lors des calculs de la compacité du mélange. au voisinage de la surface des gros grains. Figure 15 : Effet de desserrement [16] Effet de paroi : Il s’agit de la porosité crée par les petits grains qui sont en quantité importante dans un mélange. cet effet engendre la diminution de la compacité de l’empilement des petites particules du mélange au voisinage des grosses particules. on adopte l’hypothèse qui suppose que les gros grains sont suffisamment éloignés les uns aux autres et par conséquent la fonction de l’effet de paroi est linéaire [11]. De Larrard a supposé que toutes les petites particules sont suffisamment éloignées les unes des autres pour que l’effet de desserrement puisse être considéré comme une fonction linéaire du volume partiel occupé par les petites particules [11]. 27 Afin de remédier à ce problème. un paramètre qui représente la technique utilisée pour construire un empilement. b21 : coefficient d’effet de paroi. La compacité réelle est déduite à partir de la compacité virtuelle en introduisant l’indice de serrage symbolisé par « K ». y1 et y2 : compacités virtuelles d’un mélange binaire respectivement lorsque les gros éléments sont dominants et lorsque les éléments fins sont dominants. il s’avère judicieux de faire la distinction entre la compacité virtuelle qui caractérise uniquement un mélange donné et la compacité réelle qui décrit non seulement la nature du mélange mais aussi les techniques de sa mise en place et son compactage [6]. l’expression de la compacité virtuelle pour un mélange binaire s’écrit comme suit [10]: Avec : yi : la proportion volumique de la classe i dans le mélange granulaire. β1 et β2 : compacités résiduelles de chaque classe 1 et 2 prises séparément. Pour un mélange multi-composant de n classes. l’expression de la compacité virtuelle devient comme suit [10] : Avec : Compacité réelle d’un mélange binaire : Avant de procéder à la détermination de la compacité réelle. a12 : coefficient de desserrement. 28 Donc. il se calcule de la façon suivante [6]: . l’expression de l’indice de serrage devient : .: Dans le cas d’un empilement de même taille de grains. β2 : compacité résiduelle des grains fins seuls. Les valeurs de « K » sont représentées par de De Larrard selon les techniques de mise en place des mélange dans le tableau suivant [12] : Tableau 1 : les valeurs de K selon les techniques de mise en place des mélanges [12]. l’indice de serrage d’un mélange multi-composant est exprimé par la formule générale suivante [6]. β1 : compacité résiduelle des gros grains seuls.y2 : proportions volumiques des gros particules et fins respectivement. ᵞ1 : compacité virtuelle des gros grains dominants. Pour une classe i dominante. y1. 29 Avec : Φ* : compacité réelle. ᵞ2 : compacité virtuelle des grains fins dominants. les déterminer la compacité interactions granulaires prises d’un mélange sec en en compte sont supposées prenant compte les linéaires.Kd : rapport des l’augmentation du nombre de fractions volumiques classe de granulats dans le des classes granulaires. mélange. 30 2. Modèle de De interactions granulaires et Larrard l’effet de serrage de différents modes de mise en place du mélange. Comparaison des différents modèles d’empilement : Apres avoir expliqué le principe de chaque modèle d’empilement granulaire. . en vue de les comparer et de déterminer la modélisation qui permet de se rapprocher au maximum de ce qui se produit réellement dans un mélange granulaire. Le modèle fait intervenir Le modèle surestime l’indice de l’indice de vide au lieu de la vide. suffisamment éloignés disperse sans interactions qu’aucune interaction ne se produit.Ks : rapport des mesurée et celle calculée par Modèle de Toufar diamètres des granulats ce modèle augmente avec modifié . la densité est sous- au moyen de deux facteurs : estimée. en supposant qu’une compacité et prend en proportion des particules fines compte l’effet d’interférence est nécessaire pour atteindre Modèle de Dewar entre les particules sous l’indice de vide minimal du forme de facteur mélange. Le modèle permet de Pour simplifier le modèle. d’espacement m. Le modèle permet le calcul On ne prend pas en compte les de la viscosité d’un mélange interactions entre les granulats : multi-composant en étant les granulats sont supposés Modèle de Farris une suspension poly. Le tableau suivant résume ce qui est précédemment explicité : Tableau 2 : Tableau de comparaison des quartes modèles d’empilement. L’écart entre la densité . il s’avère nécessaire de réunir les points forts et les points faibles des modèles. Modèle avantage inconvénient d’empilement Le modèle prend en compte Pour un mélange multi- les interactions granulaires composant. La modélisation numérique. deux principales méthodes d’optimisation sont utilisées : . autrement dit à sa capacité de remplir les interstices entres les différents composants granulaires. tout en respectant un cahier des charges bien déterminé [19]. . La résistance d’un béton est fortement liée à sa compacité. . En réalité. qui est exprimé par : 𝐾 𝑓𝑐 = 𝐸 (1 + 3. basé sur des considérations économiques. La pâte est par définition un mélange constitue du ciment ou des adjuvants avec de l’eau. aux contraintes architecturales et financières. Principe d’optimisation dans la formulation du béton Le béton est considéré le matériau le plus utilisé aux travaux du génie civil et de construction et ce. . grâce à ses performances mécaniques.1 𝐶 )² Avec : fc : la résistance à la compression. L'optimisation de la qualité de la pâte : cette étape permet d'ajuster le rapport « E/C » (eau/ciment) de façon à obtenir la résistance souhaitée. le problème d’optimisation de l’espace est un problème universel. tout en respectant les normes et les réglementations en vigueur. L’optimisation du squelette granulaire : consiste à trouver des proportions de sables et de granulats pour formuler un béton dont la compacité est proportionnelle à la racine cinquième de D/d (avec D correspond au diamètre des plus grands grains et d celui des plus petits grains). 31 3. La méthode classique. En pratique. quel que soit le domaine. technologiques et notamment biologiques. K : un coefficient qui dépend des granulats et du ciment. a) La méthode classique Ils existent trois étapes d’optimisation dans la formulation du béton : . La formulation du béton doit répondre aux spécification du cahier des charges établi en tenant compte des spécifications particulières relatives au projet en question. plus le béton sera résistant (figure 17) [19]. b) La modélisation numérique Dans le cadre de la modélisation de la compacité granulaire qui est à son rôle un paramètre intrinsèque dans l’empilement granulaire. 32 D’après la formule. Nous citons à titre d’exemple: . Après plusieurs simulations testées représentant les différentes combinaisons possibles. la Programmation Génétique comme étant un outil révolutionnaire appartenant aux algorithmes évolutionnistes d’apprentissage automatique. Cet ajustement pourra se faire en utilisant des adjuvants plastifiants et super-plastifiants afin d’amplifier l'effet de la pâte sur l'ouvrabilité [19]. L'optimisation de la quantité de pâte : la pâte est l’élément qui représente la maniabilité du béton. le meilleur modèle choisi correspond au modèle optimal [17]. nous pouvons conclure que plus le rapport « E/C » est bas. il parait nécessaire d’ajuster la quantité de pâte de ciment de manière à desserrer le mélange granulaire jusqu'à atteindre l'ouvrabilité souhaitable. basée sur une détermination préalable de certains paramètres influençant sur la compacité des matériaux. . plusieurs outils automatiques ont été élaborés et développés. celle d'aspect expérimental et celle de la modélisation mathématique des grandeurs physiques à déterminer. Dans le cas où la quantité de la pâte remplie les vides de l'empilement granulaire. Donc. Figure 17: l’influence du rapport « E/C » sur la résistance du béton [18] . sur la base d’un plan d’expérience qui s'appuie sur deux parties fondamentales. le béton obtenu est très rigide et très difficile à mettre en œuvre. . Le principe de calcul par le dit logiciel est basé sur des paramètres d’entrée (masse volumique. . 33 . le logiciel permet de définir les paramètres caractérisant le mélange (porosité. indice de vide.) ainsi que le mode opératoire [14]. Dans le but de développer une méthode numérique permettant d’obtenir une distribution optimale des constituants d’un mélange granulaire.). un logiciel a été développé dans ce sens par DE LARRARD et SEDRAN nommé René- LCPC. Pour déterminer un squelette granulaire.. compacité. l’indice de compaction. 34 . puis on généralise les formules pour les mélanges multi-composants. en vue de se rapprocher au maximum de ce qui se produit dans la réalité. Bien que d’effectifs progrès aient été réalisés dans ce domaine. 35 CONCLUSION En menant cette étude. il reste encore une variété de recherches à mener en vue d’améliorer les modèles d’empilements granulaires et leur application en génie civil. Durant cette étude. Chaque modèle définie le mélange granulaire selon la vision du chercheur et les paramètres qui fait intervenir dans ses formules . plusieurs méthodes ont été développées initialement à base des techniques classiques pour arriver à la modélisation numérique des empilements par des programmations révolutionnaires. modèle de Farris et modèle de De Larrard. nous avons présenté quartes modèles d’empilement : modèle de Toufar modifié. tandis que De Larrard s’est orienté vers à la détermination de la compacité du mélange. De nombreux modèles ont été réalisés et développés. en effet les empilements granulaires étaient le thème de recherche de plusieurs scientifiques à travers des années. nous avons été confrontés à la vastitude et la complexité du sujet. on étudie en premier temps les mélanges binaires en explicitant les différents paramètres pris en compte. modèle de Dewar. en faisant à la fois des théories d’étude et des approches mathématiques permettant de modéliser les mélanges granulaires. Pour faciliter les expressions de base. . Le domaine du génie civil constitue l’un des domaines qui fait recours aux granulats en étant les matériaux les plus utilisés notamment dans la formulation du béton. Pour optimiser leur usage. il est question de viscosité par exemple pour Farris. 36 . -Mémento technique des granulats. [6] de LARRARD F.Etude de l’organisation des réarrangements d’un milieu granulaire sous sollicitations mécaniques.Texture et comportement des matériaux granulaires à grande polydispersité.France: CRC Press.-Paris : Université Paris-Est. POULIQUEN O. 2004-13 p.A.-Delft: Université de Delft.. [2] MOLLON G. application aux bétons autonivelants. 2015.. .-Paris : Ecole Nationale des Ponts et Chaussées..-Essai de compacité des fractions granulaires à la table à secousses.2008.Rhéologie et rhéomètre des bétons.Poudres et mélanges granulaires.495 p.. ..Etude de la compacité optimale des mélanges granulaires binaires : classe granulaire dominante et de paroi et de desserrement..414 p.. SEDRAN T. BROCHU F. CNRS Editions..-Montpelier : Université Montpelier 2.-Paris : Ellipses Edition Marketing.164 p. -Structures granulaires et formulation des bétons.. quality control and specification.Les milieux granulaires entre fluide et solide.. LEDEE V..-Paris : LCPC. [4] MAILLOT R. FORTERRE Y. 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Quelques petites particules parmi les grosses . b. b. Figure 7 : Empilements 2D réguliers. Figure 2 : schéma illustrant la notion de la compacité [13]. Tableaux : Tableau 1 : les valeurs de K selon les techniques de mise en place des mélanges [12]. Hexagonal compact . Figure 8 : Empilement de type "boulet de canon". Figure 6 : Exemples de courbes granulométriques des matériaux réels [2]. Figure 12 : modélisation cubique des grandes particules mélangées avec des particules fines [1]. Figure 9 : Cas limites d'une distribution bimodale parfaite. Figure 11 : modélisation cubique des particules [1]. théorie et réalité [2]. Figure 13 : les gros grains bloquent le système [10] Figure 14 : les petits grains bloquent le système [10] Figure 15 : Effet de desserrement [16] Figure16 : effet d’interactions entre classes granulaires [10] Figure 17: l’influence du rapport E/C sur la résistance du béton [18] . Figure 3 : la table à secousse [13]. Figure 4 : schéma illustrant la notion de porosité [20]. Tableau 2 : Tableau de comparaison des quartes modèles d’empilement. Quelques grosses particules parmi les petites [2]. Figure 10 : courbe représentant l'influence du rapport massique entre petites et grosses particules sur la fraction solide maximale d'un mélange bimodal [2]. 39 LEGENDE DES FIGURES ET DES TABLEAUX . . a. a. Figures : Figure 1 : Exemples de différents milieux granulaires [7].