Eletromagnetismo Para Engenheiros

Universidade Federal de Santa MariaELETROMAGNETISMO para Engenharia Elétrica Prof. Luiz Antônio Righi www.ufsm.br/righi ELETROMAGNETISMO 2 Eletromagnetismo Eng. Elétrica UFSM / Prof. Luiz Antônio Righi Índice I Campos em meios condutores I-A Resistência e lei de Ohm . . . . . . . . . . I-A.1 A descoberta da carga elétrica . . I-A.2 Densidades de carga . . . . . . . . I-A.3 Corrente e tens˜ ao elétrica . . . . . I-A.4 Conserva¸c˜ ao da energia . . . . . . I-A.5 Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . I-A.6 Exerc´ıcios - 1a semana . . . . . . . I-B Corrente = fluxo de carga nos condutores I-B.1 A nota¸c˜ ao vetorial . . . . . . . . . I-B.2 Fun¸c˜ oes ‘densidade de fluxo’ . . . . I-B.3 Densidade de corrente elétrica . . . I-B.4 Continuidade do fluxo . . . . . . . I-B.5 Exerc´ıcios - 2a semana . . . . . . . I-C Campo elétrico e diferen¸ca de potencial . I-C.1 Potencial e seu ‘co-vetor gradiente’ I-C.2 Circula¸c˜ ao de um vetor . . . . . . I-C.3 Forma local da Lei de Ohm . . . . I-C.4 Refra¸c˜ ao da corrente elétrica . . . I-C.5 Exerc´ıcios - 3a semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 6 7 7 10 10 11 11 15 16 16 17 18 18 19 20 20 21 II Eletrost´ atica II-A Campo e potencial eletrost´ atico . . . . . . . II-A.1 Importˆ ancia da eletrost´ atica . . . . . II-A.2 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . II-A.3 Campo eletrost´ atico E II-A.4 Potencial elétrico V . . . . . . . . . II-A.5 Campo conservativo . . . . . . . . . II-A.6 Exerc´ıcios - 4a semana . . . . . . . . II-B Lei de Gauss da eletrost´ atica . . . . . . . . II-B.1 Polariza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . II-B.2 Indu¸c˜ ao elétrica D ~ II-B.3 Divergência de D . . . . . . . . . . . II-B.4 Exerc´ıcios - 5a semana . . . . . . . . II-C Capacitância e dielétricos . . . . . . . . . . II-C.1 Capacitˆ ancias simples . . . . . . . . II-C.2 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . II-C.3 Permissividade elétrica . . . . . . . II-C.4 Energia no capacitor . . . . . . . . . II-C.5 Refra¸c˜ ao dos campos da eletrost´ atica II-C.6 Energia eletrost´ atica . . . . . . . . . II-C.7 Exerc´ıcios - 6a semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 22 25 25 27 27 28 29 29 32 32 34 35 35 36 38 38 39 39 41 III Magnetost´ atica ~ . . . . . . . . . . . . . III-ACampo magnético H III-A.1 Hist´ oria do magnetismo . . . . . . . III-A.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . III-A.3 Lei de Ampére . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . III-A.4 Rotacional de H III-A.5 Exerc´ıcios - 7a semana . . . . . . . . III-B Indu¸cão e for¸ca magnética . . . . . . . . . . III-B.1 Magnetiza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . III-B.2 Indu¸c˜ ao e permeabilidade magnética III-B.3 For¸ca magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 42 45 47 48 49 50 50 52 53 Dispon´ıvel em: www.ufsm.br/righi L. A. Righi, DESP-CT-UFSM, Santa Maria, RS, 97105-900, Brasil III-B.4 Lei de Gauss do magnetismo III-B.5 Refra¸cão magnética . . . . . III-B.6 Ímãs . . . . . . . . . . . . . . III-B.7 Efeito Hall . . . . . . . . . . III-B.8 Potencial escalar magnético . III-B.9 Exerc´ıcios - 8a semana . . . . III-C Circuitos magnéticos . . . . . . . . . III-C.1 Relutância magnética . . . . III-C.2 Indutância . . . . . . . . . . III-C.3 Exerc´ıcios - 9a semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 55 55 56 57 59 60 60 60 61 IV Quase-est´ atica IV-A Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . IV-A.1 Michael Faraday . . . . . . . . . IV-A.2 Campo elétrico induzido . . . . . IV-A.3 Princ´ıpio dos geradores . . . . . IV-A.4 Indutância m´ utua . . . . . . . . IV-A.5 Transformador ideal . . . . . . . IV-A.6 Exerc´ıcios - 10a semana . . . . . IV-B Correntes alternadas . . . . . . . . . . . IV-B.1 Circuito RLC série . . . . . . . . IV-B.2 Fasores . . . . . . . . . . . . . . IV-B.3 Exerc´ıcios - 11a semana . . . . . IV-C Correntes induzidas . . . . . . . . . . . IV-C.1 Campos variáveis em condutores IV-C.2 Efeito pelicular ou efeito Skin . . IV-C.3 R, L e C reais . . . . . . . . . . IV-C.4 Correntes de Foucault em chapas IV-C.5 Transformador com perdas . . . IV-C.6 Exerc´ıcios - 12a semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 62 62 64 65 66 67 69 70 71 71 74 75 75 76 76 79 79 80 V Campos eletromagn´ eticos em alta freq¨ uˆ encia V-A Equa¸cões de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . V-A.1 Cavidades ressonantes . . . . . . . . . V-A.2 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . V-A.3 Equa¸cões de Maxwell com corrente de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . V-A.4 Constante absoluta 0 . . . . . . . . . V-A.5 Exerc´ıcios - 13a semana . . . . . . . . V-B Forma¸cão das ondas eletromagnéticas . . . . V-B.1 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . V-B.2 Reflexão de ondas entre dois meios . . V-B.3 Irradia¸cão de ondas eletromagnéticas . V-B.4 Exerc´ıcios - 14a semana . . . . . . . . V-C Propaga¸cão das ondas eletromagnéticas . . . V-C.1 Os meios de propaga¸cão . . . . . . . . V-C.2 Reflexão . . . polariza¸cão de EM . . . . V-C.3 Sistemas de transmissão . . . . . . . . V-C.4 Propaga¸cão guiada por L.T. . . . . . . V-C.5 Casamento de impedâncias . . . . . . V-C.6 Exerc´ıcios - 15a semana . . . . . . . . 81 81 84 85 86 88 88 89 89 92 93 95 96 96 97 98 100 104 106 VI Resumo de f´ ormulas, gr´ aficos e tabelas 107 ELETROMAGNETISMO I. Campos em meios condutores “N˜ ao conhe¸co fato mais encorajador do que a inquestion´ avel capacidade do homem para elevar a sua existência através de um esfor¸co consciente.” (Henry David Thoreau) Neste cap´ıtulo preliminar é dada uma breve descri¸cão e uma visão prática do eletromagnetismo. Ao final do cap´ıtulo, deveremos: 1. Ter condi¸cões de entender os problemas de eletromagnetismo, como os que se encontram em livros técnicos de Engenharia e/ou de f´ısica do ensino fundamental; e, 2. Ter condi¸cões de realizar experiências de laboratório, usando instrumentos elétricos, e as ferramentas dos cálculos diferencial, integral e numérico. A. Resistência e lei de Ohm Nós podemos ter uma no¸c˜ ao do que é resistência elétrica e lei de Ohm, mas esta no¸c˜ ao n˜ ao nos basta. Precisamos compreender muito bem este fenˆ omeno, aproveitando para definir nossa nomenclatura. Vamos iniciar nosso estudo dessa brilhante matéria do magnetismo e da eletricidade, que teve o pico de desenvolvimento nos meados do século XVII. A.1 A descoberta da carga elétrica A humanidade já conhecia a for¸ca gravitacional e a for¸ca magnética, quando Coulomb apresentou seus trabalhos sobre for¸ca entre cargas elétricas. Charles Augustus Coulomb (+1806), apresentou ` a Academia Francesa de Ciências, em 1785, uma balan¸ca de tor¸c˜ ao, que consistia de uma barra isolante, terminada em duas esferas met´ alicas, suspensas por um delgado fio de prata. Outra barra isolante, provida, no seu extremo, de uma pequena esfera met´ alica carregada é introduzida pelo orif´ıcio superior. As esferas se repelem, o que provoca a tor¸cão do fio de suspens˜ ao. Medindo a for¸ca de tor¸cão, Coulomb estabeleceu a lei do inverso do quadrado da distância, e proporcional ao produto das cargas. No Século XVIII, surgem as primeiras intui¸c˜ oes dos fenômenos elétricos e magnéticos. Franklin especifica a no¸cão de carga elétrica. Cavendish define a capacidade de um condutor e seu grau de eletrifica¸c˜ ao, que mais tarde ser´ a chamado potencial. Toda essa série de pesquisas é o in´ıcio de um dos per´ıodos mais fecundos da hist´ oria da ciência, per´ıodo esse que culminará com a inven¸c˜ ao da pilha por Alessandro Volta. E é rejeitando a teoria simplista de Galvani - defensor da “eletricidade animal” - que Volta estabelece a rela¸cão entre fenômenos elétricos e qu´ımicos. Nascido em Bolonha, a 9 de setembro de 1737, Luigi Galvani (1737 - 1798) permaneceu nessa cidade durante toda sua vida, afastando-se de l´ a uma u ńica vez. Orientado pelo pai, o médico Domenico Galvani, Luigi ingressou na Universidade de Bolonha, onde, com apenas 22 anos de idade, completou o curso de medicina. Três anos mais tarde, em 1762, ele ocupou a cátedra de anatomia nessa universidade. Hábil cirurgião, Galvani realizou importantes estudos de anatomia comparada sobre os aparelhos urin´ ario e genital, e os órgãos do olfato e da audi¸cão. Datam desse per´ıodo, que se estendeu de 1762 a 1783, algumas publica¸c˜ oes sobre o assunto: De Ossibus These (1762), De Renibus atque Uretribus Volatilium (1767) e De Volatilium Aure (1783). De 1783 em diante, a orienta¸cão das pesquisas de Galvani mudou completamente: os fenômenos elétricos come¸caram ent˜ ao a absorvê-lo. 3 Em 1786, Galvani observou acidentalmente o que mais tarde chamaria de “eletricidade animal”. As primeiras anota¸cões sôbre essa descoberta foram publicadas somente em 1791. Em sua memória De Viribus Electricitatis in Motu Musculari, ele descreve sua observa¸cão casual nos seguintes termos: “Tendo dissecado e preparado uma rã, coloquei-a sobre uma mesa onde se achava, a alguma distância, uma máquina eletrostática. Aconteceu, por acaso, que um de meus assistentes tocou a ponta de seu escalpelo no nervo interno da coxa da rã; imediatamente os m´ usculos dos membros foram agitados por violentas convulsões”. Galvani acreditou ter realizado importante descoberta. Pensava, erroneamente, ter encontrado um detector extremamente sens´ıvel para as correntes ou descargas elétricas, cujo estudo ainda engatinhava; em seguida, admitiu a hipótese de que esse “detector” poderia revelar-se uma nova fonte de eletricidade. Na época eram conhecidos somente o atrito e a “influência” (indu¸cão) eletrostática. Desde logo, Galvani come¸cou a variar as condi¸cões de suas experiências. Em um dia tempestuoso, foi levado a acreditar que a eletricidade atmosférica era capaz de produzir os mesmos efeitos que sua máquina eletrostática. Em condi¸cões atmosféricas normais, porém, Galvani nada observou. Esse fato mostra o caráter simplista e puramente casual das dedu¸cões de Galvani, pois nem a máquina eletrostática nem as condi¸cões atmosféricas influ´ıam no resultado de suas experiências. Para Galvani, todavia, isso significava certamente um refor¸co para suas conviçcões. Certo dia, tendo fixado um fio de cobre na medula espinhal de uma rã, Galvani fechou o circuito suspendendo o fio em uma rede de ferro; imediatamente as convulsões se manifestaram. Desta vez, a experiência poderia ter levado a conclusões certas: havia um circuito formado por três condutores - um, eletrol´ıtico, e dois metálicos. Mas Galvani, perseguido pela idéia de que a rã poderia ser um detector de eletricidade, atribuiu as convulsões observadas às varia¸cões do estado elétrico da atmosfera. E, mais uma vez, Galvani alterou as condi¸cões de sua experiência. Desta vez, ele descreve: “Levei o animal para um quarto fechado e coloquei-o sobre uma placa de ferro; quando toquei a placa com o fio de cobre, fixado na medula da rã, vi as mesmas contra¸cões espasmódicas de antes. Tentei outros metais, com resultado mais ou menos violentos. Com os não condutores, todavia, nada se produziu. Isso era bastante surpreendente e conduziu-me a suspeitar de que a eletricidade era inerente ao próprio animal, suspeita que foi confirmada pela observa¸cão de que uma espécie de circuito nervoso sutil (semelhante ao circuito elétrico da garrafa de Lieden) fecha-se dos nervos aos m´ usculos quando as contra¸cões se produzem”. Embora possu´ısse todos os dados necessários para elaborar a teoria eletrol´ıtica, Galvani defendeu durante toda a vida a falsa teoria da eletricidade animal. Sustentou também a compara¸cão de seu “aparelho” (a rã) com a garrafa de Leyden; o nervo era a armadura interna e o m´ usculo a armadura externa. A descoberta de Galvani entusiasmou os cientistas da época, principalmente Alessandro Volta. Este repetiu, em 1792, as experiências de Galvani, tendo aceito inicialmente a hipótese da eletricidade animal. Em 1793, todavia, ele rejeitou radicalmente tal teoria, provando que os m´ usculos da rã não se contraem se a placa e o fio forem constitu´ıdos de um mesmo metal. Iniciou-se então uma polêmica calorosa entre Galvani e Volta. Galvani chegou a demonstrar que ELETROMAGNETISMO as convulsões podiam ser obtidas mesmo sem a interven¸cão de qualquer arco met´ alico. Volta, no entanto, considerou esse fenômeno como uma simples decorrência de um est´ımulo mecânico e rebateu a hip´ otese do médico de Bolonha, expondo o princ´ıpio dos três condutores - um eletrol´ıtico e dois metálicos. Eram esses os u ńicos elementos necessários para originar o fluido elétrico (como era chamada na época a corrente elétrica). Em 1800, Volta construiu a primeira pilha elétrica, hoje chamada pilha galvˆ anica ou voltaica. Ao mesmo tempo que realizava seus estudos sobre a qu´ımica dos gases, Henry Cavendish (1731-1810) dedicava-se a muitos outros assuntos: magnetismo terrestre, Eletricidade, Dinˆ amica, Astronomia, Meteorologia, Matemática. Cavendish é um exemplo do que se chamava “Filósofo Natural” no século XVIII homens que se ocupavam com os assuntos que mais lhes interessavam, nos vários dom´ınios do conhecimento. Em seu primeiro artigo sobre Eletricidade, publicado em 1771, Cavendish estabeleceu claramente, e pela primeira vez, a diferen¸ca entre carga (ou quantidade de eletricidade armazenada em um corpo) e tens˜ ao (ou for¸ca com que esta eletricidade tende a deslocarse). Se uma mesma quantidade de eletricidade é colocada em dois corpos semelhantes, mas de volumes diferentes, no menor deles a tensão elétrica ser´ a maior do que no outro. Da mesma forma, se em dois corpos semelhantes a tensão elétrica for igual, o maior deles conter´ a mais eletricidade. Quando dois corpos eletrizados s˜ ao unidos por um condutor, eles acabam ficando com a mesma tens˜ ao elétrica, qualquer que seja o ponto ou a forma pela qual se faz a uni˜ ao: as cargas se distribuirão neles conforme suas respectivas capacidades elétricas. Além de estabelecer essas ocorrências e desenvolver um tratamento matemático adequado aos fenˆ omenos elétricos, Cavendish também foi o primeiro a medir experimentalmente as capacidades elétricas de corpos de diversos materiais, formas e tamanhos. Mostrou que, para corpos de formas iguais, a capacidade é proporcional ao comprimento do objeto: se dois corpos semelhantes s˜ ao unidos por um fio, a carga que cada um armazenar´ a ser´ a proporcional ao seu tamanho. Mediu igualmente a diferen¸ca de capacidade entre condutores de formas diferentes e observou que, nesse caso, o material que os constitui n˜ ao influi em nada. Também provou que a carga elétrica se distribui apenas na superf´ıcie externa dos corpos met´ alicos, n˜ ao havendo eletricidade alguma na superf´ıcie interna de uma esfera oca - por mais finas que sejam suas paredes e por maior que seja seu grau de eletriza¸cão. A partir dessa observa¸c˜ ao, constatou que a for¸ca com que as part´ıculas de eletricidade se repelem deve diminuir em propor¸c˜ ao ao quadrado da distˆ ancia que as separa. Essa foi a primeira determina¸c˜ ao precisa da lei das for¸cas entre cargas elétricas. No entanto, como o francês Charles Coulomb publicou antes de Cavendish o resultado de experiências em que chegava ` as mesmas conclus˜ oes, a ele atribui-se a determina¸c˜ ao dessa lei. Outro importante trabalho do cientista inglês nesse campo foi a realiza¸cão da primeira compara¸c˜ ao experimental da facilidade de várias substˆ ancias em conduzir eletricidade. Nessa investiga¸cão, ele fez v´ arias descargas elétricas, de mesma intensidade e for¸ca, atravessarem tubos contendo substâncias diferentes. Recebendo os choques causados por essas descargas, foi modificando o comprimento ocupado por cada substância dentro do tubo, até receber choques iguais de todas elas. Concluiu-se, ent˜ ao, que suas resistências de- 4 veriam ser iguais mas que, naquele momento, o material que conseguisse proporcionar um mesmo choque através de uma maior quantidade de matéria seria, proporcionalmente, o melhor condutor. Os resultados obtidos por Cavendish nessas experiências são incrivelmente precisos. Ele se adiantava alguns decênios em rela¸cão a Ohm, a quem se atribui comumente a descoberta de que a rapidez com que a eletricidade atravessa um condutor é proporcional à tensão elétrica que a impulsiona. Além disso, em seu estudo sobre o torpedo, Cavendish provou que quando vários condutores são ligados, ao mesmo tempo, a um corpo eletrizado, a descarga não passa apenas pelo que apresenta menor resistência, mas se distribui entre os vários condutores; entretanto, a fra¸cão que passa em cada um deles é tanto maior quanto menor for sua resistência. De todas as experiências realizadas por Cavendish, no entanto, a que lhe trouxe maior fama foi a determina¸cão da densidade da Terra. **A estrutura da matéria Durante muitos séculos, a humanidade interrogou-se sobre a estrutura da matéria. A possibilidade que a eletricidade não consista de um uniforme e cont´ınuo fluido provavelmente ocorreu a muitos cientistas. Mesmo Franklin, uma vez, escreveu que o “fluido” consiste de “part´ıculas extremamente sutis”. Todavia, uma grande quantidade de evidências tinham se acumulado antes da eletricidade ser aceita como formada por min´ usculas part´ıculas, quantidades discretas, e não mais como um fluido, quando vista microscopicamente. James Clerk Maxwell se opôs à teoria corpuscular. Por volta do fim do século XIX, entretanto, o trabalho de Sir Joseph John Thompson (1856-1940) e outros provaram a existência do elétron. Thompson tinha medido a propor¸cão da carga do elétron para a sua massa. Então em 1899 ele deduziu um valor para a carga eletrônica pela observa¸cão do comportamento de uma nuvem de min´ usculas part´ıculas de água carregadas em um campo elétrico. Essa observa¸cão conduziu ao Experimento ´ da Gota de Oleo de Millikan. Robert Millikan, um fisicista da Universidade de Chicago, com a assistência de um estudante Harvey Fletcher, procuraram medir a carga de um u ńico elétron, um objetivo ambicioso em 1906. Uma min´ uscula gotinha com um pequeno excesso de elétrons foi formada for¸cando o l´ıquido através de um dispositivo especial. A gota foi então, em verdade, suspendida, com um campo elétrico atraindo para cima e a for¸ca gravitacional puxando para baixo. Para a determina¸cão da massa da gota de óleo e do valor do campo elétrico, a carga na gota foi calculada. O resultado: a carga do elétron e é negativa e tem como módulo o valor e = 1, 6021917 × 10−19 Coulomb. Millikan também determinou que as cargas sempre aparecem com um valor de mais ou menos e, em outras palavras, a carga é quantizada. Outras part´ıculas elementares descobertas depois tiveram também suas cargas determinadas e foi poss´ıvel notar que seguiam esta mesma caracter´ıstica. Por exemplo, o Positron, descoberto em 1932 por Carl David Anderson do Instituto de Tecnologia da Califórnia, é exatamente a mesma do elétron, exceto que esta é positiva. **Os ´ atomos A maior parte da matéria, em geral, é neutra. A tendência é que para cada próton (carga positiva) no átomo, para este ELETROMAGNETISMO 5 ser eletricamente neutro, deve existir um elétron (carga negativa), e a soma das cargas deve ser nula. Em 1911, Ernest Rutherford propôs um modelo para o ´ atomo. Ele sugeriu que os elétrons orbitavam um n´ ucleo carregado, com um diâmetro de 10−14 metros, da mesma forma que os planetas orbitavam o Sol. Rutherford também sugeriu que o n´ ucleo era formado por prótons, sendo que cada um teria uma carga de +e. Essa visão da matéria, ainda considerada correta em muitos casos, estabilizou a for¸ca elétrica que mantém um átomo unido. Depois que Rutherford apresentou seu modelo atômico, o fisicista dinamarquês Niels Bohr propôs que os elétrons ocupam apenas certas ´ orbitas em torno do n´ ucleo, e que outras órbitas s˜ ao imposs´ıveis. Hoje sabemos que a matéria é constitu´ıda por átomos. Existem mais de cem tipos de ´ atomos diferentes na natureza ou produzidos em laborat´ orio pelos cientistas. Cada tipo de átomo constitui o que se chama de Elemento Qu´ımico. O oxigênio é um elemento, o cloro também, assim como o hidrogênio. Se pudéssemos ver um ´ atomo, constatar´ıamos que ele é formado por um n´ ucleo e v´ arias part´ıculas girando ao redor dele: os elétrons. De certa maneira, lembra o nosso sistema solar, com o sol no centro e os planetas girando em sua volta. Se bem que essa semelhan¸ca seja apenas formal, permite compreendermos como se forma a eletricidade. Os cientistas observaram que as for¸cas atˆ omicas de atra¸cão entre o n´ ucleo e os elétrons s˜ ao distintas das for¸cas gravitacionais, presentes no sistema solar. Elas foram denominadas de for¸cas elétricas, e associadas a cargas elétricas. Por conven¸cão, os elétrons foram denominados de carga negativa e o n´ ucleo de carga positiva. Assim, os elétrons s˜ ao pequenas part´ıculas, dotadas de carga negativa, que giram em torno do n´ ucleo, que é formado por pr´ otons, com carga elétrica positiva, e nêutrons, com carga elétrica neutra. Podemos concluir, de imediato, uma coisa muito importante: para que o átomo esteja em equil´ıbrio, isto é, seja neutro, a carga positiva deve ser igual ` a carga negativa. Resulta que o n´ umero de pr´ otons que est˜ ao no n´ ucleo é igual ao n´ umero de elétrons que giram ao redor. Existem a´tomos que têm 1 próton e 1 elétron (hidrogênio), ´ atomos que possuem 13 prótons e 13 elétrons (alum´ınio), e assim por diante. Os cientistas já comprovaram que o nêutron é muito mais pesado que o elétron (pesa 1836 vezes mais). A t´ıtulo de compara¸cão, podemos imaginar o ´ atomo de ferro com 26 elétrons. Se cada elétron fosse do tamanho de uma bola de gude, o n´ ucleo do átomo de ferro pesaria tanto quanto uma locomotiva de 10 toneladas. Pode-se perceber que, praticamente toda a massa do ´ atomo est´ a no seu n´ ucleo. Entretanto, a compara¸c˜ ao que acabamos de fazer não pode ser feita em termos de carga elétrica. Os cientistas denominaram for¸ca eletrostática a atra¸c˜ ao entre elétrons (carga negativa) e prótons (carga positiva). Como o pr´ oton é muito mais pesado, ele quase n˜ ao sai do lugar; e o elétron ‘caminha’ ao seu encontro. TABELA I ´tomos Principais elementos constituintes dos a Part´ıcula El´ etron Pr´ oton Nˆ eutron S´ımbolo e p n Carga e -1,0 +1,0 0,0 Massa me 1 1836,15 1838,68 Momento 1/2 1/2 1/2 Quando se estuda eletricidade, são os elétrons que mais interessam. O n´ ucleo não tem muita importância. Mesmo assim, não são todos os elétrons que interessam. Há alguns elétrons que estão fortemente presos ao n´ ucleo: são os elétrons que estão próximos a ele. Porém, outros elétrons, que giram mais afastados de um átomo e pulam de um para outro átomo vizinho. São chamados, por isso, de el´ etrons livres. Estes elétrons é que interessam para os circuitos elétricos. Quando os elétrons livres passam de um átomo ´ a própria para o outro, temos uma corrente de el´ etrons. E corrente el´ etrica dos circuitos e dos condutores. **Eletr´ olise da ´ agua Vamos resumir uma rea¸cão qu´ımica muito conhecida: a eletrólise. A Eletrólise acontece quando se põem dois eletrodos (um positivo e um negativo) dentro do recipiente com água e faz-se passar uma corrente elétrica entre eles. A´ı, como eles se polarizam, eles acabam atraindo O2 para um dos eletrodos (o positivo - dado que o ´ıon oxigênio é negativo: O) e H2 (porque o ´ıon hidrogênio é positivo: H+) para o outro (o eletrodo negativo). Pela passagem da corrente elétrica numa solu¸cão aquosa de Na2 SO4 há decomposi¸cão da água, dando hidrogênio no cátodo (pólo negativo) e oxigênio no ânodo (pólo positivo). O volume do hidrogênio produzido é o dobro do volume de oxigênio. Dessa forma, pode-se separar o hidrogênio do oxigênio. A eletrólise é o processo pelo qual uma corrente elétrica cont´ınua (como aquela que provém de pilhas e baterias), passa entre dois eletrodos fixados em um recipiente, que contém o material a dissociar. Em seu percurso a eletricidade provoca a quebra das liga¸cões qu´ımicas das moléculas, liberando assim seus átomos constituintes. Atualmente a eletrólise da água é o principal processo industrial para a obten¸cão de oxigênio! Michael Faraday (1791-1867) foi o responsável pela introdu¸cão no Conselho de Whewell (1833) de uma nova terminologia na qu´ımica, que é empregada até hoje, como eletr´ olise, ´ıons, ˆ anion, anodo, c´ ation, catodo, etc. Formulou as leis da eletrólise (1834) e, por isso, denominou-se faraday a quantidade de eletricidade necessária para libertar um equivalente-grama de qualquer substância. Definiu corrente elétrica como resultado da vibra¸cão provocada pelas rápidas alternâncias de tensão nas moléculas dos bons condutores (1838). A primeira evidência experimental sobre a estrutura do a´tomo foi verificada pelo f´ısico e qu´ımico inglês Michel Faraday (1791-1867) ao descobrir o fenômeno da eletrólise, isto é, a a¸cão qu´ımica da eletricidade. Em sua experiência, Faraday observou que a passagem da corrente elétrica através de solu¸cões qu´ımicas, por exemplo nitrato de prata, fazia com que os metais de tais solu¸cões se depositassem nas barras metálicas (eletrodos: catodo e anodo) introduzidas nessas solu¸cões. Essa evidência sobre a estrutura atômica foi corroborada com a teoria iônica desenvolvida pelo qu´ımico sueco Svante August Arrhenius (1859-1903), segundo a qual os ´ıons que constitu´ıam a corrente elétrica através da solu¸cão, no fenômeno da eletrólise, nada mais eram que átomos carregados de eletricidade. Exemplo I.1: Considerando que num peda¸co de ferro Fe, cada átomo possua um elétron livre. Se desejarmos ter a carga acumulada de -1C neste peda¸co de ferro, qual a sua massa? ELETROMAGNETISMO 6 Solu¸c˜ ao: O n´ umero de ´ atomos ser´ a natom = −1 C = 0, 625 × 1019 −1, 60 × 10−19 C Sabemos que a massa atˆ omica do Ferro de é 55,84 (ver tabela periódica). Assim, em 55,84g temos o n´ umero de Avogadro 6, 023 × 1023 atomos. Assim, fazemos a regra de três: ** Densidade de carga ρV Considere uma carga Q igualmente distribu´ıda num volume V . A densidade volumétrica no interior deste volume vale Q ρV = V Quando a distribui¸cão não é uniforme, podemos dividir o volume infinitesimalmente, aplicando o limite, e calcular a densidade de carga por meio de fun¸cões puntuais. 6, 023 × 1023 atomos → 55, 84 g ∆Q ∆V →0 ∆V ρ = lim 0, 625 × 1019 atomos → x g que resulta x= 0, 625 × 1019 × 55, 84 = 5, 794 × 10−4 gramas 6, 023 × 1023 ** Densidade superficial ρS Considere um elemento de superf´ıcie de área ∆A de um condutor, no qual se localiza a carga ∆Q. A densidade elétrica superficial média é Esta pequena massa ter´ a a ‘incr´ıvel’ carga de 1 Coulomb. Verificaremos, que as cargas se distribuem numa pel´ıcula. ♦ Exemplo I.2: Quando um acumulador chumbo-ácido, comum em baterias de autom´ oveis, fornece uma corrente elétrica, ocorre uma rea¸c˜ ao qu´ımica representada por: Pb(s) + PbO2 (s) + 4H− (aq) + 2SO2− 4 (aq) ρS,med = ∆Q ∆A A densidade elétrica superficial num ponto P : ρS = lim ∆A→0 ∆Q ∆A Num condutor esférico de raio R, isolado e eletrizado com carga Q, esta, por questões de simetria, distribui-se uniformemente pela superf´ıcie. Neste caso, −→ 2PbSO4 (s) + 2H2 O(l) Sabendo-se que a massa molar do chumbo é 207 g/mol, e a constante de Faraday é 96500 C/mol (igual ao n´ umero de avogadro vezes a carga do elétron), determinar: (a) Quais as varia¸c˜ oes do n´ umero de oxida¸c˜ ao do chumbo nesta rea¸cão? (b) Quantas gramas de chumbo met´ alico seriam consumidos numa carga de 50 Ah? Solu¸c˜ ao: (a) O n´ umero de oxida¸c˜ ao do chumbo Pb varia de zero, no Pb(s), até +2, no PbSO4 (s), e portanto a varia¸cão é igual a 2. O n´ umero de oxida¸c˜ ao do Pb varia de +4, no PbO2 (s), até +2, no PbSO4 (s), e portanto a varia¸cão do NOX é igual a 2. (b) Como 1Ah = 3600C, temos que 50Ah = 1,8E+5 C. E como 96500 C equivalem a 1 mol de elétrons, em 1Ah temos ρS = Q 4πR2 onde 4πR2 é a área da superf´ıcie esférica. Exemplo I.3: Carga total de um fio - Um fio retil´ıneo, com 3 m de comprimento, está situado sobre a reta x = 2 e y = 3, desde z1 = 0 até z2 = 3m. A densidade de carga linear ρz = 4zµC/m. Qual R z a carga do fio? Solu¸c˜ ao: Q = z12 ρz dz Z 3 4, 0E − 6 z dz = 18 µC. ♦ Q= 0 Exemplo I.4: Carga total de um disco - Um disco de raio R, centrado na origem, está situado sobre no plano x − y, e 2 possui densidade de carga superficial ρs = r2 µC/m . Qual a carga total do Rdisco? R Solu¸c˜ ao: Q = ρs ds √ 2 2 Z Z 1, 8 × 105 C × 1 mol = 1, 87 mol de e− x= 96500 C A oxida¸cão do Pb pode ser representada por Pb → Pb2+ + 2e− y2 =0 − então, para 1 mol de Pb oxidado s˜ ao necess´ arios 2e . Para 1,87 mol de elétrons s˜ ao necess´ arios 0,93 mol de Pb. Assim a massa de chumbo ser´ a: Z As cargas podem ser puntiformes (discretas), ou cont´ınuas, que são distribui¸c˜ oes reais de carga, visto que as cargas puntiformes são apenas um artif´ıcio did´ atico. Como essas distribui¸cões possuem um n´ umero ‘infinito’ de cargas puntiformes, fazemos uso do c´ alculo integral para calcular as for¸cas e campos. Quando trabalhamos com distribui¸c˜ oes de cargas, é conveniente representar as cargas em termos de densidades de carga. Para uma superf´ıcie de uma esfera, geralmente, usa-se a densidade de carga superficial. R −y (x2 + y 2 ) dx dy y1 =R y2 =0 Q=4 y1 =R m = 0, 93 mol × 207, 2 g/mol = 193 g. ♦ A.2 Densidades de carga x2 = Q=4 x1 =0 (R2 − y 2 )3/2 + y 2 (R2 − y 2 )1/2 3 dy πR4 µC. 2 Lembrete: Sempre que você encontrar uma expressão envolvendo x2 +y 2 no integrando, precisa considerar a possibilidade de converter para coordenadas polares. Vejamos como ficaria a solu¸cão deste exemplo: Q= dS = r dφ dr Z r2 =R Z φ2 =2π Q= r1 =0 φ1 =0 r2 r dφ dr = πR4 µC. ♦ 2 indicado por uma pequena seta ao lado do condutor.000001 A=10−6 A 1 kiloampere (1kA)=1000 A=103 A Fig. algumas condi¸cões podem ser impostas nas fronteiras.001 A=10−3 A 1 microampere (1µ A)=0. ou os elétrons.a partir da Revolu¸cão Agr´ıcola . A intensidade de corrente de 1 Ampére. podemos calcular a carga total.000 amperes. e uma bomba nuclear chega a 10.5: Carga de uma figura bidimensional . um relâmpago atinge uma corrente de 20. Impulsionam elétrons num terminal e retiram no outro. Um sistema isolado é aquele que não é influenciado. que é apenas 63 elétrons por segundo. Assim: 1 Ampére é igual a 1 Coulomb/s. Como veremos posteriormente. Além do sentido. O amper´ımetro é ligado em s´ erie com o circuito. Muito comum são algumas subunidades de Ampere. No entanto.ELETROMAGNETISMO Exemplo I. A corrente elétrica. Solu¸c˜ ao: Vamos encontrar inicialmente a densidade de carga linear para cada valor de x.e a intensifica¸cão da utiliza¸cão da energia . Logo nos surgem questões como: O que é energia? Qual a primeira lei da natureza? A energia se conserva? Considerando a energia solar incidente. sobre a qual nossa aten¸cão é dirigida para o estudo. Em conseq¨ uência disso.Calcular a carga compreendida na superf´ıcie delimitada pelas √ curvas y = x/2 e y = x. mas apenas trocadores de elétrons com o circuito. Os geradores não são máquinas de elétrons. Atualmente. nada se cria. Antes de mais nada.3 Corrente e tensão elétrica Diz-se existir uma corrente elétrica sempre que houver o deslocamento ordenado de cargas elétricas dentro de um condutor. 1 ´lculo da integral dupla. diz-se que o módulo da corrente é de 1 Ampere (s´ımbolo A). A corrente elétrica é medida com um amper´ımetro. existem situa¸cões em que a condu¸c˜ ao se d´ a através de ´ıons positivos. temos possibilidade de obter um n´ umero muito grande de elétrons ‘caminhando’. deslocamento este que se d´ a em determinado sentido. vamos tratar um pouco sobre esta for¸ca. convencionou-se (por razões históricas) que as cargas positivas são as portadoras de corrente. A corrente em um impulso nervoso é aproximadamente de 1/100. passam pelo instrumento entram no terminal comum e saem no terminal correspondente ao máximo valor que poder´ a passar pelo instrumento (final de escala). Os elétrons que estão fracamente presos ao n´ ucleo ou ao átomo podem escapar e saltar para um átomo vizinho (da direita. tais como os potenciais ou o fluxo de energia. a energia acumulada no planeta terra aumenta ou diminui ao longo dos anos? Vamos retornar à lei de Lavoisier: Na natureza nada se perde. Já vimos como ocorre a corrente elétrica nos circuitos condutores. capazes de se deslocarem ordenadamente de um ´ atomo para o seguinte. Os elétrons não saem e não retornam ao nada. a corrente é caracterizada por sua intensidade ou m´ odulo. dado pela razão entre a varia¸cão da quantidade de carga ∆q que passa por uma se¸cão reta do condutor durante o intervalo de tempo ∆t. Z x2 Z 4 2 x x3 11 Q= q(x) dx = ( − ) dx = µC.000 de ampéres com 115V. Esta é a lei b´ asica de todo e Eletromagnetismo. E assim também acontece com os elétrons. lembremo-nos da lei de Lavoisier: Na natureza nada se perde. desde x = 2 a x = 4. ♦ 2 8 6 x1 2 7 A fim de evitar confusões sobre qual tipo de carga se movimenta em determinado condutor. fazendo a integral em x. de forma . um moderno amper´ımetro pode detectar correntes muitos baixas da ordem de 10−17 amperes. como no caso de solu¸c˜ oes eletrol´ıticas. Tudo o que é externo ao sistema é chamado de fronteiras do sistema. formando a corrente elétrica. Os elétrons livres saltam de um átomo para outro átomo e podem continuar o seu movimento para mais outro átomo. tudo se transforma. Na maioria dos casos pr´ aticos. surgem duas perguntas: O que faz os elétrons andarem? E de onde vêm e para onde vão os elétrons nas extremidades dos condutores ou dos circuitos? Na se¸cão seguinte.a partir da Revolu¸cão Industrial. Eles têm uma origem e um destino: o gerador. A tensão elétrica é universalmente medida em Volts e representada pelo s´ımbolo ‘V’. Exemplo de ca A. nada se cria. é a quantidade de carga de 1 Coulomb que passa na se¸c˜ ao de um fio durante o intervalo de tempo de 1 segundo. A unidade de corrente é o Ampére. em dispositivos semicondutores os portadores de corrente tanto podem ser cargas negativas quanto positivas. A.4 Conserva¸cão da energia Olhando de realce a maneira como o homem e a mulher têm aprendido a melhorar suas rela¸cões com o mundo. ressaltam duas facetas relevantes: a diversifica¸cão das fontes de energia . Assim: Z √x x2 x3 xy dy = q(x) = − µC/m 2 8 x/2 Agora. Os átomos da matéria contêm elétrons livres. cujo funcionamento se baseia nos efeitos desta corrente (analógicos) ou por queda de tens˜ ao num resistor deriva¸c˜ ao (digitais). quando a 2 carga superficial ρs = xy µC/m . formando uma corrente elétrica. tudo se transforma. Porém. os elétrons são os responsáveis pela existência da corrente elétrica.000. isto é i= ∆q ∆t Se a varia¸cão de carga que passa pela se¸cão durante 1 segundo for igual a 1 Coulomb. que denominaremos q(x). como 1 miliampere (1mA)=0. ou ‘A’. liberando espa¸co para um outro elétron que vem de outro átomo vizinho (da esquerda). cargas e materiais. por exemplo).000 ampéres. Um sistema eletromagnético é definido como uma quantidade de potenciais. b) usando componentes discretos e as técnicas de circuitos elétricos .ELETROMAGNETISMO 8 alguma pelo meio.7 W A potência pode assumir valores positivos e negativos. em VA ou kVA . A potência é uma grandeza que mede a velocidade com que um esfor¸co é realizado. é o Joule. 6 × 106 J Vamos ilustrar a defini¸cão de trabalho com alguns exemplos. esticar um fio. ♦ Em sistemas de corrente alternada. S˜ ao também usadas as seguintes unidades de potência: Cavalo-vapor (cv) = 736 W Horse-power (hp) = 745. medimos na realidade a quantidade total de elétrons que passam por um condutor. que mede a rapidez com que a energia é transferida entre sistemas. A unidade de trabalho. (b) As perdas no motor são: PP ERDA = PE − PS = 1140W. Por exemplo. através de uma polia. Uma lâmpada incandescente. em VAr ou kVAr . que calor e trabalho não cruzam a fronteira do sistema.a capacidade de realizar. Através da equa¸cão (1).corresponde ao produto da tensão V pela corrente A. O rendimento é η = 83. E sendo a forma de energia transferida. 64%. Nos sistemas elétricos. Quando se trata da potência em um circuito elétrico. b) Potência ativa. v a velocidade em m/s. O trabalho W é definido como uma for¸ca F~ agindo através de um deslocamento infinitesimal d~x. ele realiza um trabalho conta a a¸c˜ ao da gravidade. . simbolizado pela letra grega η. Z 2 W = F~ · d~x (1) 1 Esta é uma rela¸cão muito u ´til. Então. ou mover uma part´ıcula carregada através de um campo eletromagnético. pode ser vista do aspecto eletromagnético de duas formas: a) do ponto de vista local ou ‘microsc´ opico’ .consiste em conhecer os campos e as for¸cas (ou potenciais) em todo o sistema de estudo. O rendimento. o que é energia? Um outro conceito a que importa fazer referência é a potˆ encia. (b) qual a potência perdida.6: Um motor de corrente cont´ınua de 10 CV solicita uma corrente de 40 A quando operado à plena carga ligado a uma rede de 220 V em corrente cont´ınua (CC). Neste aspecto. através da fronteira . então PS η(%) = 100 PE Exemplo I. porque permite-nos determinar o trabalho necess´ ario para levantar um peso. As equa¸c˜ oes da potência s˜ ao: P = W =F v=Cω t onde W é o trabalho realizado em Joules. ligada a uma rede elétrica absorve potência e converte em luz (efeito desejado) e calor (perda).potência que realiza trabalho ou é transformada em calor. maior ser´ a a potência desprendida pelo motor. quando medimos a intensidade de corrente de um condutor. quando há um fluxo de eletricidade através de um sistema (fios que ligam a bateria ao motor) há um fluxo de trabalho. falamos do trabalho como uma forma de energia. O rendimento percentual é dado pela rela¸cão entre a potência de sa´ıda (luz da lâmpada) pela potência de entrada (potência elétrica absorvida da rede). e melhor dizendo. é uma grandeza adimensional que mede a eficiência de um elemento ou sistema. Isso significa. podemos dizer que. a potência de uma resistência (ver resistência elétrica) for negativa. nos preocupamos com os efeitos totais ou médios de muitas part´ıculas. t é o intervalo de tempo em segundos. onde 1 Joule = 1 N m ´ definido como Outra defini¸cão importante é a de calor.o trabalho exercido ou recebido. A potência na entrada (fornecida pela rede) é PE = 220×40 = 8800W. A potência absorvida é positiva enquanto que a potência fornecida é negativa. verifica-se que há um fluxo de trabalho do motor para a polia. Consideremos como um sistema a bateria e um motor. Solu¸cão: (a) Com o motor operando a plena carga (potência nominal). e ω a velocidade angular em rad/s. Em muitos casos. Além disso. sendo 1kWh = 1000W × 3600s = 3 600 000 Ws = 3. eletromagnéticos. que movimenta um peso.potência do capacitor ou indutor. C o conjugado em Nm. por exemplo. quando um motor é usado para elevar uma carga. nesse caso. Para que se saiba o sinal da potência associada a um elemento. c) Potência reativa. . esses efeitos podem ser percebidos por nossos sentidos e medidos por instrumentos. definimos trabalho como: o trabalho é positivo quando um sistema movimenta um peso ou cede energia. no Sistema Internacional. costuma-se exprimir a energia em quilowatt-hora (kWh). sendo também usados m´ ultiplos e subm´ ultiplos. ou a necessidade de receber um trabalho. a equa¸cão da potência mecˆ anica pode ser escrita como p=vi A unidade de potência é o Watt (s´ımbolo W). F a for¸ca em Newton. por exemplo.a energia liberada ou absorvida durante um intervalo de tempo. Em geral. Determinar: (a) o rendimento deste motor. a potência na sa´ıda (no eixo do motor) é PS = 10 × 736 = 7360W. A energia de um sistema pode ser vista de várias formas: . e quanto mais rápido subir esta carga. Se. basta observar a corrente e a tensão no mesmo. Mas afinal. Uma investiga¸cão sobre o comportamento de um sistema. em W ou kW . tendo em vista o fato de lidarmos com sistemas.reduz o n´ umero de vari´ aveis e permite uma compreensão das entradas e sa´ıdas de cada elemento. existem elementos que fornecem potência e outros que absorvem potência. a energia associada ao mesmo intervalo de tempo ∆ t = t2 − t1 é dada por Z t2 W = p dt t1 A unidade de energia no sistema MKS é o Joule (s´ımbolo J). que é armazenada e devolvida ao circuito elétrico durante um mesmo per´ıodo de tempo. Por exemplo. existem três tipos de potência: a) Potência aparente. onde o deslocamento é aplicado na dire¸c˜ ao da for¸ca. utilizando geralmente métodos numéricos e computadores. Entretanto. Se a potência associada a um elemento é p. a solu¸cão do sistema está errada. Mas estamos particularmente interessados na energia presente num capacitor carregado. o calor pode ser identificado somente quando atravessa a fronteira. o calor é transferido. Portanto onde W dU = −30 − 575 = 605 W. ~ e H ~ para Definiu-se. . A u ńica coisa de que temos certeza e que a Natureza nos permite observar é uma realidade. Qual a diferen¸ca entre energia potencial e cinética? O teorema do trabalho-energia diz que a varia¸cão da energia cinética é igual ao trabalho da for¸ca resultante. pode-se escrever: Energia interna . E incr´ıvel que algo assim aconte¸ca. . a equa¸c˜ ao do equil´ıbrio energético da bateria é: ¯ ¯ = dU + W Q dt ¯ = 50 × 11.conveçcão -. Portanto. Da´ı deriva o termo potencial. Conclui-se esta se¸c˜ ao lembrando que h´ a dois modos pelos quais a energia pode cruzar a fronteira de um sistema: trabalho ou calor. não sabemos por ser a eletricidade e o magnetismo uma coisa estranha. Normalmente.ELETROMAGNETISMO de um sistema numa dada temperatura. para todo efeito prático. mas uma resultante. possui energia potencial. assumindo qualquer uma destas formas. Ainda não sabemos o que é energia eletromagnética. . composi¸cão ou estado.5 V. em termos da “capacidade que um sistema tem de originar efeitos externos”. sem transporte de matéria . a energia cin´ etica ´ eu ´ nica. no Sol. Trabalho: energia em transi¸cão devido à existência de outras diferen¸cas de potencial entre os sistemas em causa. enquanto que as energias potenciais podem ser de v´ arias formas e origens: gravitacional. elástica. a unidade de calor também é o Joule. Ou melhor. Mas. os vetores E representar as energias potenciais das for¸cas eletrostática e magnética num ponto qualquer. e num ´ımã. eletrostática ou magnética. No Sistema Internacional. que tentar responder a uma quest˜ ao destas é no m´ınimo corajosa. Pode estar associada com a energia qu´ımica de uma bateria ou de uma célula de combust´ıvel. qu´ımica. A energia total de um sistema pode estar presente numa multiplicidade de formas. configura¸cão. Desde que um corpo se encontre num campo de for¸cas. O conceito de energia é dif´ıcil de definir. Não tem uma acelera¸cão para cada for¸ca. Quando dizemos que existe energia armazenada no campo elétrico. 3. de rota¸c˜ ao ou de vibra¸cão): capacidade que um sistema tem de produzir “efeitos 9 externos” por estar em movimento. que se modifica em forma. A energia pode estar associada com o movimento das moléculas. eletromagnética. Exemplo I. não existe mudan¸cas energéticas no sistema. E parecimento de massa. elétrica. Sabendo que a taxa de transferência de calor é de 30 W. podendo ser apresentado. como fez Max Planck.condu¸cão . O conceito de energia e a lei de conserva¸c˜ ao da energia é o ponto de partida do eletromagnetismo. Se eles não mudarem. A energia pode encontrar-se armazenada num sistema ou estar em transi¸cão entre dois sistemas ou entre um sistema e a sua vizinhan¸ca. nuclear. Isto é. Tanto o calor como o trabalho s˜ ao formas de transferência de energia ‘para’ ou ‘de’ um sistema. ao longo dos séculos. ~ Eles somente têm tistas definiram também os vetores D sentido quando se trata de suas varia¸cões. A transi¸cão pode fazer-se com transporte de matéria . numa temperatura inferior. Esta lei diz que existe ‘algo’. respectivamente. em n´ os mesmos. ou com a estrutura do ´ atomo. Einstein relacionou a conserva¸cão de matéria e energia com sua famosa equa¸cão: E = m c2 onde E é a energia (em joules). Assim. As energias potencial estão associadas aos seus campos. ): capacidade que um sistema tem de produzir “efeitos externos” em virtude da sua posi¸cão. qual é a taxa de diminui¸c˜ ao da energia interna da bateria? Solu¸c˜ ao: Como as varia¸c˜ oes de energia potencial e cinética não são significativas. A energia est´ a em tantas coisas presente. ou se prefere. m a massa (em quilogramas) e c a velocidade da luz (300 000 000 m/s). Mas. e não mais do que isso. Mas como os sistemas elestrostático e magnético podem absorver e devolver energia (ver primeira lei da termodinâmica) os cien~ e B. a um outro sistema ou meio.radia¸cão2.7: Durante a opera¸c˜ ao de descarga de uma bateria. podendo a transferência ocorrer mediante dois processos: 1. ♦ dt A energia do sistema pode variar por qualquer uma das maneiras anteriores.ou no vazio.o s´ımbolo U designa a energia interna de uma dada massa de uma substˆ ancia. a corrente elétrica foi de 50 A e a tens˜ ao 11. e é um fenômeno transit´ orio. Energia interna: energia cinética das moléculas e dos átomos que constituem o sistema mais a energia potencial correspondente às for¸cas de intera¸cão entre esses constituintes. magnética. o que é energia? Esta é uma pergunta que fascina qualquer um.8: A energia contida em um combust´ıvel está armazenada sob a forma de massa. 5 = 575W. Por exemplo. Sabe-se que a combustão . Porém. contrariando / equilibrando o seu peso. por meio de ondas eletromagnéticas . Tradicionalmente se pensava que a matéria e a energia se conservavam independentemente e. ou para a sua vizinhan¸ca. como sabemos. Exemplo I. 2. tais como a energia cinética ou a energia potencial em rela¸c˜ ao a um sistema de coordenadas. diz-se que a for¸ca aplicada ao objeto realiza trabalho e que a energia potencial gravitacional do conjunto objeto . ainda seguimos pensamos isso mesmo. quando se ergue um objeto. a energia interna está associada com a temperatura e a pressão. nas m´ aquinas em geral. A energia em transi¸cão refere-se à energia transferida de um sistema para outro. de qualquer idade. Observese a semelhan¸ca com a equa¸cão da energia cinética [E = ´ imposs´ıvel que apare¸ca energia sem um desa(1/2)mv 2 ]. uma quantidade que chamamos energia. O conceito de trabalho está associado ao deslocamento do ponto de aplica¸cão de uma for¸ca que atua sobre um sistema material. 2. Energia potencial (gravitacional. Energia cinética (de transla¸c˜ ao. uma Lei chamada Conserva¸c˜ ao da Energia. num livro na estante. dizemos que ele tem uma determinada energia potencial. mas que a cada momento que a medi´ mos ela sempre apresenta o mesmo resultado numérico. Calor: energia em transi¸cão devido à diferen¸ca de temperatura existente entre os sistemas em causa.Terra aumenta. através da fronteira que os separa. pois somente com estas corresponde a uma transforma¸cão energética. como nos alimentos . A energia armazenada num sistema pode apresentar-se sob diferentes formas: 1. Na verdade é muito abstrato e matemático. e um corpo nunca contém calor. ´ importante notar que a energia n˜ E ao pode ser produzida ou consumida.3: Quais são as unidades de resistência. Porém. induzida numa espira circular com 20cm de raio.ELETROMAGNETISMO de 1 grama de gasolina resulta 48000 joules de energia. G= 1 R A unidade de condutância é o Siemen (s´ımbolo S). em qualposs´ıveis de energia livre.5 V/m. indutância ou capacitância). nesse caso. 2. costuma-se trabalhar com o rec´ıproco da resistência. Hermann von Helmholtz lan¸cou a idéia de que a energia pode mudar várias vezes de forma. estabelecida em meados do século 19. Em algumas situa¸cões.1016 = 5. liberta¸cão de energia armazenada ou. armazenagem de energia livre. deve ter havido uma diminui¸c˜ ao (desaparecimento) de massa dada por: m = E/c2 = 4. e não existe corrente elétrica sem um condutor. e. 2 õ das transformac ˜ es poss´ıveis de energia livre. quando se explode uma bomba de hidrogênio a massa que se converte em energia é da ordem dos v´ arios gramas. nada se cria ou se destr´ oi. passagem de uma forma de energia livre para outra. No in´ıcio do século XIX. Em virtude da Segunda Lei é inevit´ avel que se perca algo de calor A. Exemplo I. a qual também regula as transforma¸c˜ oes energéticas. como é o caso de dispositivos eletrônicos criados justamente para apresentar determinada caracter´ıstica tensão-corrente. de maneira a tirar partido das fontes de energia para efeitos da sua distribui¸c˜ ao e utiliza¸cão. consideraremos um fio percorrido por corrente I. onde cada ponto do fio está submetido ~ M de 4. do contr´ ario.e. diferen¸ca de potencial e intensidade de corrente? Como elas se relacionam com as grandezas da mecânica? . 3. Em 1847. nos processos de conversão da energia. de um modo coloquial. A. por pequena que seja. b. 256 = 5. Representac ¸a ¸o A Lei da conserva¸c˜ ao da massa e da energia também recebe a denomina¸cão de Primeira Lei da Termodinˆ amica e guarda estreita rela¸cão com a Segunda Lei da Termodinâmica. a quantidade de energia mantém-se constante. considerados ideais. A rela¸cão matemática de proporcionalidade entre a tensão e a corrente nos terminais de um elemento de um circuito é denominada resistˆ encia el´ etrica R: R= V I (2) No sistema MKS. que é o inverso da resistência. Agora. As duas primeiras leis da Termodinâmica podem ser enunciadas. 8.5 Lei de Ohm Os elementos básicos dos circuitos elétricos são os fios condutores. A equa¸cão de Einstein nos informa que. a grandeza denominada condutˆ ancia. tem a finalidade de concentrar os fenômenos eletromagnéticos na forma de um circuito. pois. Nenhuma restri¸cão existe para o valor de R. As transforma¸cões de energia s˜ ao de dois tipos: 1. ou dissipa¸cão de calor.m. com integral de linha do campo elétrico chamada tensão V . num sistema isolado.e. Consideraremos que toda a perda de energia seja concentrada num elemento de um circuito el´ etrico.2: O que são campos elétricos conservativos e não conservativos? P I-A. uma parte manifesta-se através do aquecimento da pr´ opria lˆ ampada. a unidade de resistência é o Ohm (s´ımbolo Ω). 2. e uma condutividade. Entretanto. Por exemplo.104 /9. A lei da conserva¸cão da energia ficou. isto é. Todo o fluxo de carga ou corrente acontece nos fios. (2) Não há outro remédio assim: (1) E senão perder algo. 2 = 1. numa lâmpada de incandescência. inversamente. No esquema da Fig. indicam-se as transforma¸cões ´ importante referir que. tendo-se tornado num “ponto de apoio” fundamental para o progresso cient´ıfico. Um elemento de circuito (resistência. e. e inclusive do quilograma.6 Exerc´ıcios . pois intuitivamente supomos duas coisas: a. Esta constata¸cão foi chamada Lei de Ohm. 655 volts. Julius Mayer j´ a havia proposto uma lei geral da conserva¸cão da energia. h´ a perdas sob a forma de calor. porém devemos assegurar a todo momento de onde vem a energia produzida. nem toda a eletricidade é transformada em radia¸c˜ ao luminosa. Num fio não existe queda de tensão. campo elétrico dissipativo. mas que.=4. ♦ Em 1842. e simbolizada por G. Este cientista n˜ ao tinha feito experiências quantitativas. E quer transforma¸cão. ♦ Fig. Chamaremos de resistência elétrica R. a um elemento de circuito que tem uma densidade de corrente elétrica. a temperatura do ve´ıculo espacial aumentaria continuamente até sua completa fusão.m. no espa¸co ultraterrestre toda a energia liberada pelos combust´ıveis (inclusive pelos alimentos) deve ser irradiada para o espa¸co porque. 256m. que o levaram a intuir a conclusão importante a que chegou. ´ imposs´ıvel ganhar. O que é poss´ıvel é converter formas de energia umas nas outras. envolvendo calor e respira¸c˜ ao.10−13 kg. mas havia observado processos fisiológicos. Na prática são comuns os m´ ultiplos do Ohm. 5 × 1. Por exemplo.1a semana P I-A. 10 em toda conversão energética.9: Qual é a f. Nos processos de conversão direta não temos que nos preocupar com todas essas conversões de massas. existem elementos não-lineares ou não-ôhmicos. e a f. a um campo elétrico induzido E Solu¸c˜ ao: O per´ımetro vale 2π 0. que permitem melhor entendimento dos fenômenos e facilitam a sua resolu¸cão. o f´ısico alemão Georg Ohm realizou cuidadosas experiências com diversos materiais e concluiu que a rela¸cão entre a tensão aplicada a um corpo e a corrente que por ele circula é praticamente constante.1: O que é Efeito Joule? Qual a equa¸cão para a potência e a energia? P I-A. o choque entre os elétrons provoca calor. Jordanus Nemorarius. mas deixou a inova¸cão por a´ı. A vitória do sistema indoarábico foi tão gradativa. o chuveiro trabalha com 5600 W. cujo comprimento é 1. abastecida com tens˜ ao de 110 V. O processo de universaliza¸cão dos s´ımbolos das opera¸cões matemáticas. No ver˜ ao. morno e desligado. para fazer isto precisamos primeiro consolidar a nota¸cão vetorial. Leonardo Fibonacci. opera com 3000 W.8: Um chuveiro elétrico possui três op¸c˜ oes de configura¸cão: quente. Na op¸c˜ ao A. P I-A. E ~ E ~ D e D. Antes de iniciar nosso estudo. mas não dispunha de nenhum sinal de opera¸cão para o mais. ainda está incompleto. Como corrigir isto? P I-A. sabendo-se que a corrente total é 2 A e que cada espira possui 1 cm de diˆ ametro? P I-A. Os algarismos indo-arábicos e os s´ımbolos de opera¸cões (+. que substitu´ıram os algarismos romanos. Veremos que não deveria ter acontecido assim. P I-A. Qual é a diferen¸ca de resistência entre as duas faixas de temperatura? (R: 1. -. de quanto deve-se alterar a sua resistência? P I-A.8 mm.12: Um chuveiro elétrico submetido ` a tensão constante.1 0. quais são as principais leis que representam os seus fenômenos. . Quando a chave est´ a acionada.6: O elemento de aquecimento de uma certa torradeira elétrica consiste de uma tira de certa qualidade de Nicromo. conhecer as técnicas básicas para projeto e análise.873 Ω) P I-A. e. A resistência elétrica do chuveiro é maior quando se deseja água mais aquecida (inverno)? Por que? P I-A. ou mesmo na mais longa das vidas.cm. Corrente = fluxo de carga nos condutores Caro leitor. De vez em quando ouve-se alguém dizer: “. tal disciplina é um monte de fórmulas que não entendo nada”. . B. O processo é tão lento. porém com 1 m de comprimento.16: Ao realizar um experimento em laboratório. . num dado momento. iniciado na Idade Média. mas que este problema tem causas bem definidas.5: Utilizando os dados dispon´ıveis em tabelas.1E-4Ω. pode ser regulado para fornecer ´ agua a maior ou menor temperatura (inverno e ver˜ ao respectivamente).15: Suponhamos que se necessita construir uma resistência elétrica de 500 ohm com um condutor de comprimento 100 m. Com esses dados tra¸cou um gráfico de V em fun¸cão de i.05 m por 0. tipos: campos escalares (com seu vetor gradiente) ou vetores densidade de fluxo (e seu fluxo). como por exemplo a nota¸cão algébrica. se o diâmetro do n´ ucleo de ferro é 0. Precisamos distinguir V e I. Determine também a potência dissipada. Esse fenômeno é chamado de .6 P I-A. e os conceitos de gradiente e circula¸cão.4 0. Para oper´ a-lo a uma tens˜ ao de 220 V .9: Um chuveiro elétrico aquece insuficientemente a água. o .17: A quando por uma resistência passa uma cor´ o rente elétrica.2 0.25 pol e o diâmetro externo é 0. Na op¸c˜ ao B utiliza-se a mesma se¸cão. determine a potência dissipada por polegada quadrada de superf´ıcie do condutor externo. Um contemporâneo dele. enquanto o sinal anglo-americano é um ponto. P I-A.14: Um chuveiro elétrico foi constru´ıdo para operar sob a tensão de 110 V. e para cada caso mediu a corrente elétrica i.7: Em uma casa. que ainda hoje temos nossos n´ umeros decimais expressos com v´ırgula. quando a densidade de carga superficial vale 5µC/m2 ? B. um 11 estudante submeteu um resistor a diversas diferen¸cas de potencial V .4: Fazer a analogia entre circuitos elétricos e hidráulicos. Mas. chegou o momento de entender melhor como funcionam os equipamentos e os sistemas eletromagnéticos.1 A nota¸cão vetorial Veremos agora como representa-se um potencial na forma matem´ atica. Se o condutor transporta uma corrente cont´ınua de 50 A.50 pol. P I-A. vamos questionar: é poss´ıvel estudar eletromagnetismo sem usar vetores? Na esteira dos grandes descobrimentos cient´ıficos estão os algarismos indo-arábicos. usou com mais freq¨ uência as letras como s´ımbolos de valores conhecidos e incógnitas. ~ eH ~ e B. Os “limites” ou “leis” do Eletromagnetismo estão relacionados com a linguagem ou variáveis adotadas ao longo dos u ´ltimos séculos. sem modificar a potência de aquecimento. após vermos as fronteiras do eletromagnetismo. Considerando a resistividade de 1 Ω mm2 /m. x e /) equiparam os europeus para a manipula¸cão eficiente dos n´ umeros. . pergunta-se: a) Qual a resistência elétrica do chuveiro nas três configura¸c˜ oes? (R: 1 Ω e 2 Ω e infinito (circuito aberto).11: Por que as linhas de transmiss˜ ao de energia a longas distâncias operam sob altas tens˜ oes? P I-A. ~ Eles podem ser basicamente de dois J. E que faz a resistência esquentar. uma fonte de 120 Vcc. seus moradores utilizam um chuveiro com duas temperaturas: inverno e ver˜ ao. por volta do século XVI.13: Eletricidade est´ atica pode ser transformada em corrente direta? P I-A. com uma resistividade de 1. e abriram as portas para outros avan¸cos. que descobriremos durante este curso. o aquecimento d’água se dá por meio de uma resistência de se¸cão 1 mm2 e comprimento de 2 m.110 V? P I-A. Dir´ıamos que é uma pena termos chegado a tal situa¸cão. Encontre a corrente que circula no elemento quando ligamos entre os seus terminais. b) Qual a potência de cada op¸cão.ELETROMAGNETISMO P I-A. citando as grandezas fundamentais de potencial e fluxo.10: Qual é a resistência de uma lˆ ampada em cujo bulbo se lê 60 W . O ponto chave de todo o eletromagnetismo ´ e ter capacidade de distinguir os campos ~C e escalares e vetoriais. que não se pode cita-la como ocorrida numa década qualquer. sabendo que o chuveiro est´ a ligado em 110 V? (R:12100 W e 6050 W). P I-A.5 m e a se¸c˜ ao reta mede 0. onde os pontos lidos foram: Qual a resistência elétrica desse resistor? V(Volt) 5 10 20 30 i(Ampere) 0.18: Quantos elétrons livres têm numa superf´ıcie de 1m2 . Qual o valor da queda de tens˜ ao em cada espira. calcule a resistência de 1 m de um fio de ferro envolto com alum´ınio. usou uma letra em vez de um n´ umero em sua álgebra. No in´ıcio do século XIII. Traité de Mécanique Céleste. ** Sistemas de coordenadas As grandezas f´ısicas e matemáticas precisam ser expressas em um sistema de coordenadas. A e B e seus vizinhos são valores conhecidos. 55o~j N ♦ Exemplo I. A mensura¸c˜ ao da realidade . y.1827). é referido às vezes. Bidimensional (2D) . como muitos pensaram ou ainda pensam. Já um problema magnetodinâmico tridimensional tem 04 (quatro) variáveis: x. z) = ∂f ∂f ∂f ∆x + ∆y + ∆z ∂x ∂y ∂z ∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x Lembramos que estas equa¸cões são claramente verdadeiras somente no limite em que ∆x. 1 A nota¸cão algébrica continuou a ser uma misturada de palavras. derivadas e equa¸cões diferenciais. A mecânica newtoniana sustentou-se nas equa¸c˜ oes diferenciais e integrais. enquanto X.resolve a maioria dos problemas eletromagnéticos. Ninguém.ELETROMAGNETISMO 12 menos. e assim por diante. As derivadas parciais. que se representam pelo s´ımbolo ∂. A tabela II apresenta as equa¸cões para transforma¸cão de coordenadas.são utilizados para problemas mais complexos. Fermat. O mais usual é o sistema cartesiano. pode mudar o significado de um n´ umero. mas n˜ ao leva necessariamente ao determinismo. . ensinados e difundios nas ciências dizem respeito a rela¸cões entre grandezas que estão variando no tempo e/ou no espa¸co. Como o algebrista podia concentrar-se nos s´ımbolos. e deixar de lado momentaneamente o que eles representavam. e a usaram para conquistar para o século XVII o t´ıtulo de século da genialidade. Para formula¸cão dos problemas. Laplace tinha pouco interesse na matemática pura . foram tomadas como linguagem cient´ıfica mundial.a quantifica¸c˜ ao e a sociedade occidental 1250-1600. da maior parte do tipo de civiliza¸c˜ ao que temos -. . que não apresentam simetria. Galileu. considerando o n´ umero de dimensões do problema. possui duas variáveis independentes. a vis˜ ao determin´ıstica de muitos cientistas e filósofos foi sendo estabelecida conforme mais e mais fenômenos do mundo f´ısico foram sendo descobertos e compreendidos através de rela¸c˜ oes de causa e efeito. 44sen 20. Assim. Newton. de Isaac Newton. 55o~i + 85. As ciências exatas (f´ısica. As taxas de varia¸cão são representadas matematicamente por fun¸cões. como expressou: “Podemos considerar o atual estado do universo como efeito de seu passado e causa de seu futuro”. Y e seus vizinhos são mistérios por solucionar. Os outros mais comuns são os sistemas de coordenadas cil´ındricas e esféricas. Historicamente. . podemos ter sistemas: 1. Em 1687 foi publicado o célebre livro Principia (1867). 2. a humanidade teve a idéia de ter alcan¸cado “os céus” e explicado os fenômenos astronˆ omicos que desde a antig¨ uidade perturbavam a humanidade. que a ciência come¸cou a ganhar conota¸cões m´ısticas. composto dos eixos x. abreviaturas delas e n´ umeros. nenhum l´ıder mundial. que dirige a mente para um objetivo de maneira t˜ ao veloz e certeira quanto uma matriz guia uma ferramenta de corte numa m´ aquina. Tridimensional (3D) . Acelera¸cão: a conseq¨ uência Uma das principais fontes de equa¸c˜ oes diferenciais na Mecânica é a segunda lei de Newton d F~ = (m ~v ) dt onde F~ é a resultante das for¸cas que atuam sobre um corpo de massa m e ~v é a sua velocidade. y e z. matemático e f´ısico francês. que se desloca com uma acelera¸cão ~a = 2 8~i + 3~j m/s ? Solu¸c˜ ao: F~ = 10 (8~i + 3~j) F~ = 80~i + 30~j N F~ = 85. ∆y e ∆zvão para zero. “que as letras se tornaram um empecilho tão grande para o progresso rápido numa linha de racioc´ınio quanto seriam as pernas de uma centopéia numa maratona”. Essa confian¸ca é pré-requisito da ciência . das pessoas. astronomia) têm justificado empiricamente em que a realidade é matem´ atica. Elas são usadas para sistemas com mais de uma variável independente. especialmente Francis Vieta. Com esta simples equa¸cão. muitos dos princ´ıpios pensados. Assim. tomaram a providência de usar sistematicamente certas letras isoladas para denotar quantidades. Causou tal impress˜ ao na cabe¸ca 1 Alfred W. Um problema eletrostático bidimensional. Pascal.na verdade. até que os algebristas franceses. como é o caso dos sistemas eletromagnéticos. e não precisam ser considerados. por exemplo.10: Qual é a for¸ca exercida sobre um corpo de massa m = 10kg. y. vendo o universo como um gigantesco mecanismo de relógio. a multiplica¸c˜ ao. houve uma mudan¸ca igualmente importante na percep¸cão do significado da matem´ atica. usaremos as igualdades do cálculo: ∆f (x. como o Newton francês por causa de seu trabalho em mecânica celeste.ele considerava a matemática meramente como uma ferramenta para resolver problemas aplicados. Paralelamente aos avan¸cos da simbologia matemática. Unidimensional (1D) . Exemplo I. Crosby. porém usando as letras com tamanha liberdade. ` medida que a álgebra tornou-se mais abstrata e mais A generalizada. ela foi ficando cada vez mais clara. Laplace acreditava no determinismo das leis f´ısicas. Leibnitz e outros herdaram de Vieta uma refinada matriz algébrica. 3. Seguindo a lógica da nota¸cão algébrica. 1997. No século seguinte. 44 cos 20. Laplace é classificado um dos matemáticos mais influentes da história. z e t. nenhum artista. Pierre Simon de Laplace (1749 . Através do simbolismo algébrico se fornece uma espécie de ‘padrão’ ou ‘máquina operatriz’ matem´ atica. Descartes aperfei¸coou o sistema de Vieta. qu´ımica.11: Transforme o campo vetorial ~ = x~j A . For¸ca: é a causa 2. solucionou problemas extremamente dif´ıceis envolvendo intera¸cões gravitacionais entre os planetas. que explicou o funcionamento do sistema solar através da lei da gravita¸cão universal e das três leis do movimento.onde as variáveis são constantes ao longo de dois eixos. usando as primeiras letras do alfabeto para os valores conhecidos e as u ´ltimas para as inc´ ognitas. Podemos resumir a dinˆ amica newtoniana na seguinte afirma¸cão: 1. Editora da UNESP. Ele inventou seu próprio sistema. ele era capaz de realizar fa¸canhas intelectuais sem precedentes. no fim do século XVII. Em seu tratado de cinco volumes. Vieta usou vogais para indicar as inc´ ognitas e consoantes para os valores conhecidos. a velocidade. y. ex: campo de temperaturas . 3 ´ricas Sistemas de coordenadas cil´ındricas e esfe ~i ~j ~k ~urs ~uθ ~uφ sen θ cos φ sen θsen φ cos θ cos θ cos φ cos θsen φ −sen θ −sen φ cos φ 0 Em coordenadas esféricas: TABELA II õ de coordenadas Transformac ¸a Cartesiana x=x y=y z=z x = rc cos φ y = rc sen φ z=z x = rs sen θ cos φ y = rs sen θsen φ z = rs cos θ Cil´ ındria p rc = x2 + y 2 φ = tan−1 xy z=z r c = rc φ=φ z=z rc = rs sen θ φ=φ z = rs cos θ Esf´ erica p rs = x2 + y 2 + z 2 θ = cos−1 rzs φ =p tan−1 xy rs = rc2 + z 2 θ = tan−1 rzc φ=φ r s = rs θ=θ φ=φ ~ = (A ~ · ~urs )~urs + (A ~ · ~uθ )~uθ + (A ~ · ~uφ )~uφ A ~ = rs sen 2 θsen φ cos φ~urs A +rs sen θ cos θsen φ cos φ~uθ +rs sen θ cos2 φ~uφ Agora. para realizar a mudan¸ca dos vetores unitários de dois sistemas de coordenadas. realizamos os produtos escalares dos vetores unit´ arios. ♦ ** Opera¸c˜ oes com vetores Várias quantidades f´ısicas. −5. a d~` ~ dS dv Cartesiana dx~i+ dy~j+ dz~k dxdy~k+ dydz~i+ dzdx~j dxdydz Cil´ ındria Esf´ erica drc ~urc + rc dφ~uφ +dz~k rc drc dφ~k rc dφdz~urc +dzdrc ~uφ rc drc dφdz drs ~urs + rs dθ~uθ + rs sen θdφ~uφ rs dθdrs ~uφ + rs2 sen θdθdφ~urs +rs sen θdrs dφ~uθ rs2 sen θdθdφdrs φ1 =0 r2 =R r2 sen θ dφ dr dθ r1 =0 4 3 πR 3 Observa¸cão: se tivermos d´ uvidas sobre os limites de integra¸cão. então V = ~ = Ax~i + Ay~j + Az~k A . Solu¸c˜ ao: Em coordenadas esféricas.Campo vetorial: para cada ponto (x. representado por um n´ umero. a área ou o comprimento da figura cuja resposta já seja conhecida.12: Prova da integra¸cão . o volume infinitesimal é dv = dr r dθ r sen θ dφ e a integral em dv vale Z θ2 =π Z φ2 =2π Z V = θ1 =0 para: (a) Coordenadas cil´ındricas e determine-o no ponto P (2.Grandeza vetorial ou simplesmente: vetor . Ex: Deslocamento. de pressões.Campo escalar: cada ponto da região corresponde a um escalar. Solu¸c˜ ao: Como o produto escalar entre dois vetores unitários de qualquer sistema de coordenadas é a proje¸cão de um sobre o outro.ELETROMAGNETISMO 13 TABELA IV ´rios. d~ = 40~i + 30~j.Variável escalar: expressa uma quantidade f´ısica (intensidade. y.V (r. for¸ca. Tais quantidades são chamadas de escalares. tempo. resta substituir as coordenadas do ponto P . podemos calcular o volume. e acelera¸cão podem ser especificados por um n´ umero real.expressa uma quantidade f´ısica (intensidade e dire¸cão . Tais quantidades são chamadas de vetores. Outras quantidades. e o momento. tais como temperatura. (b) Coordenadas esféricas e determine-o no ponto P . Deslocamentos. z) = x2 + y 2 + z 2 . massa. . velocidade e acelera¸cão. ♦ Exemplo I. Em coordenadas cil´ındricas: ~ = (A ~ · ~urc )~urc + (A ~ · ~uφ )~uφ A ~ = xsen φ~urc + x cos φ~uφ A ~ = rc sen φ cos φ~urc + rc cos2 φ~uφ A TABELA III ´reas e volumes infinitesimais. Se ~i.cada dire¸cão tem dois sentidos). que est˜ ao resumidos na tabela IV. de potenciais . tais como a for¸ca. n´ umero real). temperatura . volume. . . 3). .T (x. Exemplo: Tensão.Demonstrar a equa¸cão do volume de uma esfera de raio R. z) corresponde a ~ = xy~i + x2~j Um vetor A ~ pode ser representado um vetor. V matematicamente em fun¸cão dos vetores unitários de seu sistema de coordenadas. e ~k são vetores unitários na dire¸cão dos eixos positivos x. y e z. Vamos representar um vetor por uma seta sobre uma letra. requerem para suas especifica¸cões tanto uma dire¸cão e sentido como uma grandeza. Produto escalar de vetores unita z 6 rs θ H H ~i ~j ~k AU ~urc ~uφ ~uz cos φ sen φ 0 −sen φ cos φ 0 0 0 1 @ 1 @ @ 1 @ φ φ @ @ @ R @ rc Fig. φ) = 30r cos φ . ~j. . isto é.ELETROMAGNETISMO 14 ~ onde Ax . ~ = A1~i + A2~j + A3~k e B ~ = B1~i + Sejam dois vetores A B2~j + B3~k. O resultado é um vetor ortogonal ao plano formado pelos dois vetores que estão sendo multiplicados. Ay e Az são chamados componentes do vetor A. isto é. O produto vetorial é usado para calcular um momento angular. defasados de um ˆ angulo θ. . O resultado é um escalar. O produto escalar é utilizado para calcular o fluxo de um vetor. ou o trabalho realizado por uma for¸ca ao longo de um percurso. que vale zero quando os vetores s˜ ao ortogonais. Quando os dois vetores s˜ ao paralelos. Produtos escalar e vetorial entre dois vetores Estas duas opera¸c˜ oes com vetores s˜ ao muito usadas no eletromagnetismo. quanto um vetor contribui com o outro para modificar o seu m´ odulo. o resultado é o vetor nulo. transforma-se no problema de encontrar o vetor unitário naquela dire¸c˜ ao. ~·B ~ = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = |A| ~ |B| ~ cos θ A (3) Produto vetorial . ~ . pois est˜ ao presentes em todas as equa¸cões de Maxwell.est´ a associado ao movimento de transla¸cão. tem-se: Produto escalar .escreve-se |A| ~ ou simplesmente M´ odulo de um vetor A A.est´ a associado ao movimento de rota¸cão. quanto um vetor contribui com o outro para modificar o seu ângulo. A equa¸cão do módulo é q ~ = A2x + A2y + A2z |A| ~ M MB B B ~Vetor unit´ ario de A ~uA = ~ A ~ |A| O problema de encontrar a componente de um vetor em uma dire¸cão desejada. . . ~i ~k . ~j . . ~×B ~ = . A1 A2 A3 . = |A| ~ |B|sen ~ A θ~u (4) . . . B1 B2 B3 . . momento ou torque de giro de uma for¸ca em rela¸cão a um determinado ponto é o produto vetorial do bra¸co potente pela for¸ca. em segundo lugar.. que movimenta um corpo por 0.. 4 Momento como um produto vetorial..for¸ca aplicada. ou W = F~ · δ ~` = 20(cos 45~i + sen 45~j) · ~(0. e os produtos escalares e vetoriais entre os vetores unitários.. ~ são Solu¸c˜ ao: As componentes de E ~ = ~i · Ex = ~i · E 7 cos φ 7 ~ur = rc c rc 7 7sen φ ~ur = rc c rc ~ = ~k · 7 ~ur = 0 Ez = ~k · E rc c ~ = ~j · Ey = ~j · E Substituindo os termos em φ e rc Ex = 7x x2 + y 2 Ey = 7y x2 + y 2 ~ ~ ~ = 7xi + 7y j V/m.16: Demonstrar que A ~ ~ A × C.15: Usando coordenadas cartesianas. determinar E sianas. Assim ~ = ~r × F~ M onde: ~ ... 24) J. 24J. em coExemplo I. ♦ ~ F B B B B B B B B : ~ r B B Fig.. 3~i) W = 20 × 0.. demonstrando a igualdade. toma-se um vetor qualquer E. efetuar os produtos escalar e vetorial entre os dois vetores ~ = 3~i + 4~j − 1~k e B ~ = 5~i − 2~j + 1~k.3 metros na dire¸c˜ ao Oeste para Leste? Solu¸c˜ ao: W = 20 × 0.13: Qual o trabalho realizado por uma for¸ca de 20 Newton na dire¸c˜ ao 45o Nordeste. O bra¸co potente ~r é dirigido do ponto onde o torque é obtido ao ponto de aplica¸c˜ ao da for¸ca (ver Fig..17: Dado o vetor E c ~ em coordenadas carteordenadas cil´ındricas.vetor do bra¸co de alavanca. e. de ~ e B. ~ ao vetor: Solu¸c˜ ao: Em primeiro lugar. ~ o produto escalar com D: ~ ·D ~ =E ~ · [A ~ × (B ~ + C) ~ −A ~×B ~ −A ~ × C] ~ E ~ ·D ~ =E ~ ·A ~ × (B ~ + C) ~ −E ~ ·A ~×B ~ −E ~ ·A ~×C ~ E ~ ·D ~ = (B ~ + C) ~ ·E ~ ×A ~−B ~ ·E ~ ×A ~−C ~ ·E ~ ×A ~ E ~ ·D ~ =B ~ ·E ~ ×A ~+C ~ ·E ~ ×A ~−B ~ ·E ~ ×A ~−C ~ ·E ~ ×A ~=0 E ~ o resultado Este resultado mostra que para qualquer vetor E é zero.♦ ~ × (B ~ + C) ~ =A ~×B ~ + Exemplo I. ~ e B.♦ E 2 2 x +y . ~ A O conjugado. 3 × cos 45o = 4. ♦ ~ = (7/rc )~ur V/m. ~ e onde ~u é um vetor ortogonal ao plano formado por A sentido dado pela regra da m˜ ao direita (ou do parafuso). E ´ conveniente M lembrar que o momento possui a unidade Nm. conjugado ou torque.. 4). A ~ ~ ~ ×B ~ = 6~i − 8~j − 26~k unidades. ~r .14: Usando a propriedade distributiva. denomina-se D ~ =A ~ × (B ~ + C) ~ −A ~×B ~ −A ~×C ~ D ~ e faz-se e. F~ . 3(cos 45~i · ~i + sen 45~j · ~i = 4. demonstrar que ~·B ~ ×C ~ =C ~ ·A ~×B ~ A . Exemplo I. Exemplo I. ♦ Respostas: A · B = 6 e A Exemplo I.vetor momento. na sua grande maioria. era preciso ‘criar’ um ‘fluido’. uma grandeza vetorial denominada ~h. No exemplo da Fig. dava ênfase aos campos. ent˜ ao ~h = ∆W ~ef ∆a onde ~ef é um vetor unit´ ario na dire¸c˜ ao do fluxo. pela a Fig. N´ os nos perguntamos quanto Fig. dividido ´rea do elemento de superf´ıcie. Entretanto. é dado por ~h · ~n. Em s´ımbolos: Se ∆W é a energia térmica que passa por unidade de tempo através do elemento de superf´ıcie ∆a. houve muita controvérsia cient´ıfica sobre se os campos elétricos e magnéticos eram quantidades f´ısicas reais da ciência ou se tratavam de meras conveniências matem´ aticas para expressar as for¸cas que cargas elétricas exerciam umas sobre as outras. v e w. Sua magnitude é uma medida de quanto calor est´ a fluindo. Maxwell). aceitavam a idéia de a¸cão a distância. Esta frase define o vetor densidade de fluxo ~h: a componente do fluxo de calor perpendicular ao elemento de superf´ıcie é ~h·~n. Vamos elaborar uma defini¸c˜ ao mais precisa de ~h: A magnitude do vetor fluxo de calor é a quantidade de energia térmica que passa. O fluxo de calor pode ser representado por linhas de fluxo. ‘leis’ ou fórmulas emp´ıricas são necess´ arios. o gradiente da temperatura não é exatamente o fluxo de calor. considere o fluxo de calor. Normal- . 8. Assim. diminuindo a intensidade a grandes distâncias. calor flui através de uma pequena superf´ıcie que forma um ângulo qualquer com a dire¸cão do fluxo. O vetor ~h pode ser definido de uma outra maneira: em termos de suas componentes. ele n˜ ao deu uma explica¸cão lógica de como ocorre a intera¸c˜ ao entre as cargas. Ele chamou de a¸c˜ ao ` a distˆ ancia.Seja uma superf´ıcie tridimensional paramétrica suave S1 definida por três variáveis u. Desde 1900 esta quest˜ ao foi considerada como resolvida a favor dos campos. por uma série de experiências. Para explicar a intera¸c˜ ao entre duas cargas elétricas sem um contato direto entre elas. variando de ponto a ponto. Foi denominado fluxo. O conceito de fluxo est´ a relacionado ao n´ umero de linhas de for¸ca que atravessa uma determinada superf´ıcie de área. O princ´ıpio da continuidade diz que todo fluxo que se espalha por todo espa¸co. o fluxo φ de um vetor F~ através de S1 é: ! Z Z Z Z ~ ~ ∂ S ∂ S ~= × du dv (5) φ= F~ · dS F~ · ∂u ∂v S1 S2 onde S2 é a proje¸cão de S1 sobre o plano de u e v. o eletromagnetismo consiste essencialmente na aplica¸cão das leis da mecˆ anica para potenciais e seus respectivos fluxos. Nenhum outro postulado. e o fluxo é maior onde as linhas est˜ ao mais pr´ oximas. que existe for¸ca de atra¸cão ou repuls˜ ao entre duas cargas elétricas. servindo apenas para fins de verifica¸cão. fluxos desses vetores s˜ ao denominados respectivamente corrente elétrica I. 5. ao magnética B. Aplicaremos estas mesmas idéias para outros campos vetoriais. A idéia das linhas de fluxo é muito simples. 6 ´s de ∆a2 e ´ o mesmo que atrave ´s de O fluxo de calor atrave ∆a1 . O vetor ~h aponta na O fluxo de calor e õ do fluxo de calor. Representa-se estas fun¸c˜ oes vetoriais com linhas de fluxo. os fluxos vetoriais do eletromagnetismo s˜ ao os vetores densidade de ~ indu¸cão elétrica D ~ e indu¸c˜ ~ Os corrente J. Um dos pontos a favor dos campos é o princ´ıpio da continuidade. Como exemplo. Exemplos do vetor fluxo de calor também est˜ ao mostrados na Fig. 5 ´ um campo vetorial. Fluxo em uma superf´ıcie 3D . Provou que a intensidade da for¸ca é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as duas cargas. A rela¸c˜ ao entre o gradiente de temperatura e o fluxo de calor é conhecido como condutividade de calor de um meio. Assim. Um vetor densidade de fluxo é dado para cada ponto no espa¸co. fluxo elétrico ψ e fluxo magnético φ. Os alemães. Neste grupo. O vetor aponta na dire¸cão do fluxo (veja a Fig.ELETROMAGNETISMO 15 B. Calculase o fluxo pela integral de superf´ıcie.2 Fun¸cões ‘densidade de fluxo’ Coulomb comprovou. Sua magnitude e ´ a energia direc ¸a ´s de um elemento de transportada por unidade de tempo atrave superf´ıcie orientado perpendicularmente ao fluxo. por unidade de tempo e por unidade de área. Na segunda metade do século XIX. O fluxo de calor é ∆W ∆W = cos θ = ~h · ~n ∆a2 ∆a1 Interpretando esta equa¸cão: o fluxo de calor (por unidade de tempo por unidade de área) através de qualquer elemento de superf´ıcie cuja normal é ~n. e sua dire¸c˜ ao e sentido correspondem ao caminho do calor. através de um elemento de superf´ıcie infinitesimal perpendicular à dire¸cão do fluxo. 6). A ciência inglesa (Faraday. 5~i−2~j + ~k) dx dy y x Z 15/4 Z (15−4y)/3 (1. podemos escrever: ∂ Dx dx D2 = D1 + ∂x assim ficamos com φ = D1 dy dz = D1 dy dz + ∂ Dx dx dy dz ∂x . . ♦ Exemplo I. v) e o vetor normal à superf´ıcie é: ~ = u~uu + v~uv + g(u. 0 15/4 (−41.18: Determinar o fluxo de F~ = x~i − z~j + 3~k na superf´ıcie plana 3x + 4y − 2z = 15. Fazer o produto escalar φi = F~ · δ S P 6. Se um fluxo φ atravessa uma superf´ıcie S1 . o mais simples e mais importante princ´ıpio do Eletromagnetismo: a continuidade do fluxo. certamente. Exemplo de ca Para uma se¸cão S1 infinitesimal dydz.ELETROMAGNETISMO 16 mente. Imaginemos uma tubula¸cão com fluxo de determinado flu´ıdo. S1 pode ser escrita sob a forma: w = g(u. 4. . . motores elétricos. . 4375 Exemplo I. v e w precisam ser escolhidas de forma que S1 nunca seja ortogonal a S2 . Veremos que a densidade de corrente é uma grandeza fundamental para o projeto elétrico. . Z Z Z Z ~ 1 · dS ~1 = ~ 2 · dS ~2 φ= D D Fig. Separar S1 em diversos triˆ angulos. . 5x + 4y − 12)dx dy φ= 0 Z φ= Exemplo I. para uma superf´ıcie orientada da origem para o infinito: Z Z ∂w ∂w ~ φ= F· − ~uu − ~uv + ~uu × ~uv du dv (6) ∂u ∂v S2 Observa¸cão: As vari´ aveis u. ♦ Também podemos demonstrar que J~ vol = Q ~v onde Q é a carga deslocada com velocidade ~v num condutor. . .19: Qual é o fluxo do vetor F~ = x~i + y~j + z~k em uma esfera de raio R? Resposta: O vetor F~ pode ser escrito em coordenadas esféricas F~ = R~er ~ é e o vetor de área infinitesimal dS ~ = R2 sinθdθdφ~er dS A integral de área torna-se Z ~ = 4πR3 ♦ F~ · dS B. . 5x+2y −7. Solu¸c˜ ao: Observando a Fig.20: Calcular a corrente de um fio circular de 4 mm2 . . Somar o somatório de todos os fluxos φ = i φi . se a densidade de corrente é J = 10 A/mm2 ♦. ~ em todos triângulos. O que muda ~ é a densidade de fluxo D. Calcular os valores de F~ nos baricentros. a densidade de corrente J~ é: densidade de corrente = corrente área (7) Quando a corrente não se distribui uniformemente na seçcão transversal do condutor. 5)~j +3~k]·(−1. . na seguinte seq¨ uência: 1. com o programa . . B. tornandose: Z Z ∂z ~ ∂z ~ ~ ~ j + k dx dy φ= F · − i− ∂x ∂y y x Substituindo F~ e as derivadas parciais tem-se: Z Z φ= [x~i−(1.21: Realizar um trabalho de pesquisa para verificar quais são as densidades de corrente usuais em transformadores. 7. 5. Calular o baricentro de cada triˆ angulo.3 Densidade de corrente elétrica Quando a corrente se distribui uniformemente numa superf´ıcie. que está afastada de outra se¸cão S2 infinitesimal de uma distância dx. é . verificamos que podemos substituir as variáveis u = x. Exemplo I.vetor normal (ou ortogonal unitário) à superf´ıcie onde: S S ~ = S~n S I . 3. 25 − 6y − 4y 2 )dy = −128. y e z. 0 Esta integral também pode ser feita numericamente. então o mesmo fluxo φ atravessa uma superf´ıcie S2 . redes elétricas.4 Continuidade do fluxo Este é. . consequentemente. instala¸cões elétricas. ~ de cada triˆ 2. . O resultado numérico encontrado para este exemplo. delimitada no octante positivo para x. . . v)~uu × ~uv S e. . . . . .intensidade de corrente elétrica que tem dire¸cão ortogonal ao plano formado pela se¸cão transversal S. . tem-se: Z ~ I = J~ · dS ~ . v = y e w = z em (6). . 7 ´lculo de a ´rea. Calular o vetor de ´ area δ S angulo. . . . linhas telefônicas. Respostas: 6. (b) a componente ~ na dire¸cão de N ~ . P I-B. Resposta: 32π/3. 6. Calcule dy/dt.18: No ponto C(2.2a semana P I-B.21: Dados os pontos P (4. 1. sabendo que tal vetor une o ponto P ao ponto Q. no ponto P .0 1. em coordenadas cil´ındricas. (d) M ~ ×N ~ . ~ tal P I-B.16: Os três pontos A(−1. pede-se. P I-B.4). (a) Especifique as coordenadas do ponto C coincidente com o quarto vértice. de x = 0 a x = h.22: O campo de velocidades em um gás é dado por ~v = 5 x~i + y~j + z~k + y2 + z2 + 2 x2 Para o ponto P (−2.15: Sendo A ~ ~ ~ + 3B.22m/s. 7. P I-B. P I-B. Determine: (a) a distância entre as suas extremidades. −5) definem um plano e um triângulo.0 2.ELETROMAGNETISMO 17 e.6: Uma part´ıcula se move ao longo da circunferência x2 + y 2 = 1 com uma velocidade cuja componente-x é dx/dt = y. P I-B. . 3. ~ (b) O módulo de A ~ + 2B. ~ (c) Um vetor C ~ tal que A ~+B ~ +C ~ = 0. Resposta: -3/32.2: Quais são os vetores de ´ area e suas normais para cada face de um cubo centrado na origem com 20cm de lado? P I-B.20: Sejam os pontos P (8. (b) a distância da origem ao Determine: (a) |A| ponto C. considerando as dire¸cões x e y temos ∂ Dy ∂ Dx + =0 ∂x ∂y (9) Que significa o Divergente nulo do vetor densidade de fluxo. (c) a componente vetorial de escalar de M ~ na dire¸cão de N ~ .13: Os vetores A possuem origens coincidentes com a origem do sistema de coordenadas cartesianas.5: Calcule d2 y/dx2 para y 3 + y = x no ponto (2. ~ na dire¸cão do vetor B. B ~ = ~i + 3~j − 4~k e P I-B. (c) o ângulo entre A e a superf´ıcie rc = 2 no ponto C. ~ (b) um ~ ~ C = 4i − 2j + k.12: Dados os vetores A ~ ~ ~ 4i + 3j − 2k.0 3. −3. Sentido horário. P I-B.11: Use a regra do trapézio para determinar a distância percorrida entre t = 0 e t = 2 por um móvel cuja velocidade é dada pela tabela abaixo.8 1. P I-B.45m e 3.5 0. B. 1).1). 6. (c)o vetor R denadas cil´ındricas. −3) e C(4. 23/6). (b) as ~ P Q em coorcoordenadas esféricas do ponto P . 3) e Q(−3. Determine: (a) M · N . ache: (a) Um vetor unit´ ario na dire¸cão de ~ + 2B. (b) um vetor unitário na dire¸cão de ~ (c) um vetor C ~ que seja paralelo ao vetor A ~ e que possua A. v(m/s) t(s) 2. sendo n um escalar ~ = 8~i − 3~j + Cz~k. com que velocidade o raio luminoso passa na praia no ponto distante 1km do farol? Resposta: 480π km/h. determine: (a) o módulo da velocidade. 6). P I-B. (c) Ache os quatro ângulos internos. simplificando os termos em D1 : ∂D dx dy dz = 0 ∂x (8) Agora. Resposta: P =(17/18. Se a costa é uma reta. Sabendo-se que um triângulo é a metade de um paralelogramo. Determine o trabalho realizado. 2.0) e (-3. 300. em ~ = 5~ur − 8~uφ + 3~k e N ~ = coordenadas cil´ındricas. determine: (a) as coordenadas cil´ındricas do ponto P . Resposta: c = 4. ~ no ponto C. (c) idem para um vetor no ponto Q. 4. ~ é expresso P I-B. (c) determine a equa¸cão do lugar geométrico dos pontos do espa¸co para os quais a velocidade tem módulo unitário. determinar: (a) a área do triângulo. por: M c ~ ~ ~ −4~urc + 2~uφ + 10k. −5) e B(2.4: Determine a constante c de modo que a reta que passa por (0. Determine: (a) as coordenadas cil´ındricas de cada ponto. ~ = −2~i + 3~j + 5~k. 7. como sendo 20~urc − 30~uφ + 10~k. Determine também a velocidade média no intervalo de tempo de t = 0 a t = 2. ~ módulo igual ao do vetor B. Resposta: mah + (h2 /a) P I-B. A ~ = 4~i + 5~j − 2~k e B = 2~i + 8~j + 3~k P I-B.14: Determine as componentes de um vetor B ~ ~ ~ ~ que |B| = 2 e ~uB = 0. a.8: Gira-se em torno do eixo-x a ´ area delimitada pela curva y 2 = 4x e pela reta y = x. 4j + nk.9: Uma part´ıcula de massa m parte do repouso no instante t = 0. P I-B.3: Determine as coordenadas do ponto P da reta y = 3x + 1 eq¨ uidistante dos pontos (0. −5). (b) um vetor unitário especificando sua dire¸cão.1: Quais são as principais formas para representação de um vetor? Citar algum(ns) motivo(s) para trabalhar com vetores no eletromagnetismo.3) e (5. movendo-se com acelera¸c˜ ao constante. 4) expressos em coordenadas cartesianas. A trajet´ oria da part´ıcula segue o sentido horário ou anti-hor´ ario? Resposta: dy/dt = −x. P I-B. fazendo um racioc´ınio an´ alogo. sabendo que tal vetor une o ponto Q ao ponto P .10: Calcular a ´ area delimitada pela parábola y = 2 − x2 e pela reta y = −x. (e) um vetor unitário normal M ~ ~ a M e a N.7: A luz girat´ oria de um farol distante 1/2km da praia faz duas revolu¸c˜ oes por minuto. contra uma for¸ca vari´ avel F (t) = t2 . P I-B. e. 7. Calcule o volume gerado.0 ~ = −6~i + 2~j − 4~k e B ~ = P I-B. (b) Determine a área do paralelogramo.5 3. 5) um vetor A em coordenadas cil´ındricas. P I-B.5 5. Por que utilizamos sistemas de coordenadas cil´ındricas e esféricas? P I-B. (b) um vetor unit´ ario normal ao plano. (b) Se C modo que |C − ~i − ~j − ~k| seja m´ınimo. Resposta: 4.5. Estes dois vetores determinam dois lados de um paralelogramo.-2) seja tangente ` a curva y = c/(x + 1). determine: (a) o módulo de A ~ ~ ~ vetor unitário na dire¸cão de B − C. 1) e Q(−2. B(2. (c) A componente de C ~ (d) o ângulo entre A ~ e C.5 Exerc´ıcios . P I-B. 5i − 0.19: Em um certo ponto dois vetores são dados.17: Sejam os vetores que interligam a origem aos pontos A(4. 2). (b) a express˜ ao de um vetor no ponto P .2 0 2. determine Cz de tal positivo. 2. −2). (b) tangente ` a superf´ıcie r = 5. P I-B. paralelo a ~i e perpendicular a G ~ é expresso no ponto K(r = 2. a posi¸cão no espa¸co medida num sistema de coordenadas retangulares. cilindro fechado 0 ≤ z ≤ 1. 3). Notar que não tem significado f´ısico pelo s´ımbolo ∇ . ~ ~ dire¸cão de F . z = 0. 3). P I-B. na dire¸cão radial. 5) por F~ = 25~urc + 12~uφ − 20~k.24: Um campo elétrico é dado por E c ~ 4k. como sendo C ~ 20~ur − 30~uθ + 10~uφ . (d) Determine um vetor unit´ ario que seja perpendicular a F~ e tangente ao cilindro rc = 8. (d) o ˆ angulo entre F~ e G (2. Por um campo escalar queremos dizer uma quantidade que depende da posi¸cão no espa¸co.28: Um campo de for¸ca é representado no ponto P (8. 3. (c) o ˆ angulo entre C o cone θ = 30 no ponto K. φ = 120o ). φ = 60o . considere um bloco de material sólido que foi aquecido em algumas partes e esfriado em outras. θ = P I-B.26: Um vetor C ~ = 30o . −1. (b) ~uF (−1. 30o . E ~M eletromagnetismo são os vetores campo elétrico E ~ e campo magnético H. θ = 30o . em coordenadas esféricas. (d) G ario perpendicular a F~ e a ~ G. Determine: (a) |C| no ponto K. z = 1. 120o . C.34: Uma certa densidade de corrente é expressa em coordenadas cil´ındricas por J~ = 100e−2z (rc ~urc + ~k) A/m2 . 1π e φ = 0. e. ∂f ) grad f = ∇f ∂x ∂y ∂z Uma nota¸cão muito utilizada usa o operador nabla. φ = 0.23: Dados os campos vetoriais F~ = 2x2~i − 4yz 2~j + 3(x + y − z)~k ~ = (y~i + z~j + x~k)/(x2 + y 2 + z 2 ) G ~ determinar: (a) |F~ (2. O seu módulo é igual à taxa da varia¸cão da fun¸cão ao longo dessa dire¸cão. O vetor gradiente do potencial corresponde ao respectivo campo vetorial. no ponto P (10. Campo elétrico e diferen¸ca de potencial Existe uma rela¸cão entre campo e densidade de fluxo. (c) F~ · G ~ no ponto no ponto (2. (b) F~ (1. (b) para coordenadas esféricas e determine-o no ponto P . de modo que a temperatura do corpo varia de um ponto a outro de uma maneira complicada. apontando para fora. z = −4). que é uma constante de proporcionalidade. 1.1 Potencial e seu ‘co-vetor gradiente’ O potencial é uma fun¸cão escalar como o potencial magnético. 4).33: Expresse o campo vetorial ~ = (x2 − y 2 )~j + xz~k W em: (a) coordenadas cil´ındricas no ponto P (rc = 6. −2. P I-B.ELETROMAGNETISMO P I-B. e. em coordenadas cartesianas. mas não vamos nos preocupar com isto no momento. 1. (c) tangente ao plano φ = 120o . por F~ = [(cos θ)/r]~ur + [(senθ)/r]~uθ Determine: (a) a express˜ ao desse campo em coordenadas cartesianas. 2. 2. na dire¸cão ~k. Vamos falar com o que o campo se parece num dado instante. (b) a equa¸c˜ ao do lugar ~ = 10. a condutividade. na dire¸cão ~k. ~ = x~j para: (a) P I-B. y e z. tais que G = GN + GT e GT é ~ N no ponto (2. (c) a componente vetorial de G na dire¸cão de ~ × F~ . 0 ≤ rc ≤ 1. z = −1 e z = 3. (b) coordenadas esféricas no ponto Q(r = 4. Determine: (a) |G(2. ~ = (50/rc )~ur − P I-B. Então a temperatura será uma fun¸cão de x. 5. ~ ~ ~ ~ em coordenadas cil´ındricas.27: Dois vetores s˜ ao definidos em um ponto P como ~ = 2~ur +5~uθ +3~uφ . 0 ≤ rc ≤ 1. Determine sendo F~ = 10~ur −3~uθ +5~uφ e G ~ (b) a componente escalar de G ~ na no ponto P : (a) F~ · G. perpendicular a A P I-B. (c) tangente ao cone θ = 120o . Para um campo de temperatura as superf´ıcies equipotenciais são chamadas “superf´ıcies isotérmicas” ou “isotermas”.30: Um campo vetorial é definido no ponto B(r = ~ = −12~ur − 5~uθ + 15~uφ . 2). 0 ≤ rc ≤ 1.32: Transforme o campo vetorial A coordenadas cil´ındricas e determine-o no ponto P (2.25: Um campo vetorial é representado por ~ = 10 z cos φ~ur − 5rc senφ~uφ + 4z~k G c ~ 300. P I-B. Determine a corrente total que atravessa cada uma das seguintes superf´ıcies: 1. −2. φ = 75o ) como sendo A ~ que é: (a) normal à Determine a componente vetorial de A superf´ıcie r = 5.E ~D. ∂f . 4π. 5). em coordenadas esféricas. geométrico dos pontos para os quais |E| P I-B. O gradiente de uma fun¸cão escalar é o co-vetor com a dire¸cão segundo qual ocorre a maior taxa de mudan¸ca da fun¸cão. (b) os vetores G ~N e G ~T. pressão ou temperatura. E umero pode modificar com o tempo. 5)|. Como um exemplo de um campo escalar. 18 P I-B. θ = 120o . Determine: (a) O comprimento de um segmento linear que una dois vértices opostos do volume. (b) tangente ao cilindro rc = 8. 200. como linhas de contorno num mapa que conectam pontos com a mesma altura. A diferen¸ca de potencial entre dois pontos pode ser obtida por integral de linha do vetor gradiente. para um circuito dissipativo chama-se resistividade ou seu inverso. (b) o volume delimitado pelas superf´ıcies em quest˜ ao. P I-B. φ = 160o ).31: Um campo vetorial é definido. O campo f´ısico mais simples é um campo escalar. 3)|. denotado ~ (nabla).29: Um volume é definido pelas superf´ıcies: rc = 5 e rc = 12. Neste grupo. Um jeito simples de pensar sobre os campos escalares é imaginar “contornos” que são superf´ıcies imaginárias desenhadas em todos os pontos do campo que possuem o mesmo valor. 4). Os potenciais são V para a eletricidade e V ∗ para o magnetismo. C. ou uma rela¸cão de passagem. Por um campo escalar queremos dizer simplesmente um campo que é caracterizado em cada ponto ´ claro que o n´ por um simples n´ umero: um escalar. A temperatura é um exemplo de campo escalar. ~ = ( ∂f . −5. O potencial é representado por linhas equipotenciais. Determine a componente vetorial de F~ que é: (a) perpendicular ao cilindro rc = 8. (e) um vetor unit´ F~ . os campos vetoriais do ~ C . (d) Determine um vetor unitário ~ e tangente ao cone θ = 120o . Determine: (a) o vetor unit´ ario ~uE . (b) a ~ e o distância da origem ao ponto K. eu acho que se é para ensinar alguma coisa ‘meiaboca’ é melhor que não se ensine até que se tenha a base necessária. Entretanto.” Alguns textos eletromagnéticos apresentam o “desloca~ e a “campo magnético” H ~ que conmento elétrico” D tam para materiais dielétricos e magnéticos respectivamente. para evitar poss´ıveis confusões. As duas superf´ıcies representam lugares geométricos da fun¸cão f constante. sobre cada um deles. conseguem mais fundir a cuca dos alunos e fazer com que estes sintam pavor do Eletromagnetismo. tomada ao longo da reta normal comum ` as duas superf´ıcies. artigos e textos técnicos em geral. pois um entendimento matemático da lei requer conceitos de cálculo integral e vetorial. E fun¸cão para ter sentido. mas pelo menos é a u ńica que relacionou a Lei de Ampère com o Cálculo Integral Vetorial. rela¸cão entre os campos H fazer a confus˜ ao entre estes vetores é como trocar corrente e tens˜ ao num circuito. Com isso. Portanto. A cada elemento de comprimento ~ K . ou assim? “Não é completa.” Nossa resposta poderia ser assim? “Ensinar a lei de Ampére no 2o grau tem importância teórica. b) veremos suas aplica¸cões ao longo do curso. .verificamos o comportamento do campo magnético para várias distribui¸cões de corrente. y.ELETROMAGNETISMO 19 Coordenadas cil´ındricas: ~ = ∂f ~ur + 1 ∂f ~uφ + ∂f ~k ∇f ∂r r ∂φ ∂z (11) Coordenadas esféricas: ~ = ∂f ~ur + 1 ∂f ~uθ ∇f ∂r r ∂θ ∂f 1 + rsen uφ θ ∂φ ~ (12) C. para compreender o que os autores estão tratando: se é sobre campo ou densidade de fluxo. z) = C2 . geralmente quando há simetria nesta distribui¸cão. O vetor gradiente indica a m´ axima varia¸c˜ ao da fun¸cão e o sentido que essa varia¸c˜ ao tem. temos C2 − C1 = df . Ao mesmo tempo.. e é chamada integral de linha do campo ~ ao longo da linha C. Então nós os estudaremos tanto quanto for poss´ıvel. o campo vetorial possa ser considerado constante. Como: a) estas questões e este assunto não é exclusivo do eletromagnetismo. z). ou seja f (x. ~uN é um vetor unitário nesse ponto e normal ` as superf´ıcies. só para fugir dos conceitos do Cálculo Integral. para ensinar a Lei de Ampère. 9 procura dar uma no¸c˜ ao gr´ afica do gradiente. . As setas ~ . y. c) existem diversas formas de estudar e entender . e muito mais para a circula¸cão. vetorial E Denomina-se circula¸ c˜ ao quando se aplica essa equa¸cão a uma linha fechada. z) do espac ¸ o esta Todos os pontos sobre a superf´ıcie marcada (mostrada como uma curva em z = 0) possuem a mesma temperatura. observamos que a ~ e os fluxos B ~ é a permeabilidade. No segundo grau. 8 ´ um exemplo de um campo escalar. ponto (x.” . estes campos são fundamentais e necessários para a maioria dos tópicos que iremos tratar. quando ensinam Eletromagnetismo no 2o grau.z) = C1 e f (x. y. y. pequenos o suficiente para que.N ).Baseando-se nesta lei. 2. A Fig.2 Circula¸cão de um vetor Fig. ´ apenas um operador e precisa de alguma ou geométrico. que não existe. como dois campos “auxiliares” adicionais. A grandeza: ∆~`K associamos um vetor ∆E ~ K · ∆~`K ∆VK = ∆E ∆VK = ∆EK ∆`K cos θ ~ K . . Aliás. enta mais quentes para os mais frios. na engenharia. Coordenadas cartesianas: ~ = ∂f ~i + ∂f ~j + ∂f ~k ∇f ∂x ∂y ∂z (10) Numa região do espa¸co. Em cada Temperatura T e ´ associado um nu ´mero T (x. Vejamos um comentário sobre circula¸cão: “Pois é. A distância entre as duas superf´ıcies em determinado ponto dn. A importância da lei de Ampére no 2o grau é unicamente teórica. õ exemplos de vetores gradientes de temperatura q~ = −∇T sa ´ alta em um local e baixa em Se a temperatura no bloco e õ havera ´ um gradiente de temperatura dos locais outro. Se as diferen¸cas são pequenas.. O somatório sobre K se onde θ é o ângulo entre ~`K e E estende de 1 a N . dn Fig. inventam uma papagaiada de tal de circula¸cão de um vetor. precisamos ter muito cuidado e aten¸cão na leitura de livros. consideremos uma linha fechada C dividida em um grande n´ umero N de segmentos (elementos de comprimento) ∆`K (K = 1. Então o gradiente de f pode ser dado também por: grad f = ~uN df . existe uma dificuldade enorme para entender o fluxo de um vetor. 9 Gradiente entre duas superf´ıcies equipotenciais. V nos seus terminais. basicamente dos livros Anton2 e Thomas3 . demonstrar a lei de Ohm sob a forma local. quando ele é percorrido pela corrente I. em (Ωm)−1 .d. Aqui nós devemos parar e pensar um pouco! Temos em mãos uma ferramenta poderos´ıssima! Foram necessários milhares de pensadores. que pode ser uma batenão conservativo tipo fonte E ria. e. A equa¸cão diferencial que rege a distribui¸cão da fun¸cão V ao longo de x é d2 V = AV + B dx2 Dividir o intervalo 0 ≤ x ≤ L em n + 1 intervalos igualmente espa¸cados de ∆x = xj+1 − xj . e possui uma tens˜ ao ou d. it C´ alculo: um novo horizonte. n + 1. em (Ωm) campo elétrico dissipativo. então.23: Um problema unidimensional de valores de contorno . Assim. Bookman. Exemplo I. possuem valores conhecidos V (0) e V (L). A quantidade de energia deve ser originada por uma for¸ca elétrica n˜ ao conservativa. respectivamente. Livro T´ ecnico. (15) Jt2 Jt1 = σ1 σ2 (16) Jt2 Jt1 = σ1 Jn1 σ2 Jn2 ou ~ C é o . f´ısicos . vol. comprimento `. deixamos a dica para o leitor estudar os exemplos e fazer os exerc´ıcios sobre vetores. trataremos apenas do campo elétrico dissipativo no interior do condutor ou campo elétrico não conservativo. é uma grande conquista da humanidade! Solu¸c˜ ao: Partindo da lei de Ohm R= e. Mas. e.22: Considerando um resistor de fio com resistividade ρ = 1/σ. que o campo elétrico total seja a soma do campo eletrostático con~ D . Suponhamos a existência de um la¸co fechado de corrente e a presen¸ca de um fio condutor de comprimento L e se¸cão transversal S. Certamente. engenheiros. e de outro campo servativo E ~ M . matem´ aticos. . Na forma local escreve-se simplesmente: 2 ~C J~ = σ E onde σ é a condutividade elétrica.ELETROMAGNETISMO 20 este assunto (que variam de uma pessoa para outra). encontra-se E` ` =ρ JA A que simplificando os termos ` e A resulta: C. Consideremos um fio condutor percorrido por uma corrente elétrica. 1965. C´ alculo. j = 0. x = 0 e x = L. Z Z Z ~ C · J~ dvol E P = No contorno de dois materiais com condutividades diferentes σ1 e σ2 . Admitiremos. do campo dissipativo E ~ C . d) nosso tempo é limitado em sala de aula. o princ´ıpio da continuidade da corrente (a integral da densidade de corrente numa superf´ıcie fechada é igual a zero): I ~=0 J~ · dS garante a continuidade da componente normal da densidade de corrente Jn1 = Jn2 (14) e o princ´ıpio da circula¸cão do campo elétrico (a integral de linha fechada é igual a zero): I ~ · d~` = 0 E garante a continuidade da componente tangencial do campo ou ~ C é dado em V/m e J~ em A/m . e resistência R. A lei de Ohm diz que ~ C = 1 J~ = R S J~ E σ L onde σ é a condutividade elétrica.Dois pontos extremos de um intervalo. um gerador. o valor de P é Como E dado em Watts. precisamos de uma fonte de energia em cada ponto do fio condutor. até chegar ao eletromagnetismo atual.3 Forma local da Lei de Ohm ρ= A equa¸cão mais simples dos circuitos elétricos.4 Refra¸cão da corrente elétrica pois a potência dissipada é: ~ C · J~ dvol = E ~ C · ~v Q = F~ · ~v E V ` =ρ I A tan α1 σ1 = tan α2 σ2 (17) ~ ou J~ com a normal nos meios 1 ou onde α é o ângulo de E 2. chegamos na segunda Lei de Ohm: 1L R= σS Exemplo I. 2 Howard 3 George Anton. Thomas.2. B. se¸c˜ ao A. V = R I somente existirá ap´ os admitirmos a existência do campo elétrico não conservativo. Agora. . fil´ osofos. n˜ ao podemos nos deter unicamente neste ponto. Veremos também que a circula¸cão ~ D ao longo de de um campo conservativo eletrost´ atico E um percurso fechado é nula. a equa¸cão diferencial para o ponto j pode ser representada por Vj+1 − 2Vj + Vj−1 = AVj + B (∆x)2 . e resolver o problema usando diferen¸cas finitas. Solu¸cão: Substituindo a derivada d2 V /dx2 por diferen¸cas finitas centrais. Ed. Para sustentar esta condi¸cão.p. considerando que V = E ` e I = J A. E Et1 = Et2 Dividindo (16) por (14) temos (13) −1 E ~C ♦ ou J~ = σ E J C. que aquece-se e libera uma certa quantidade de calor e/ou eleve a sua temperatura. etc. Rio de Janeiro. onde tem-se duas superf´ıcies equipotenciais S1 e S2 . Enquanto que uma solu¸c˜ ao anal´ıtica é viável apenas para problemas muito simples.. 3).. ♦ Fig. . . . 1 .. β β           (19) A matriz dos coeficientes é tridiagonal.. P I-C. (18) Se V (0) = V (L) = 0. o conjunto de equa¸cões resulta no sistema de equa¸cões:  α  1         1 α 1   1 α .. e pode ser resolvida por métodos numéricos r´ apidos para ordem muito grande (na faixa de n = 1000).. ... Fazer um esbo¸co das linhas equipotenciais e das linhas de fluxo da corrente no semicondutor. C. ... ..6: Dois materiais condutores foram inseridos entre duas placas metálicas.. este conjunto de equa¸cões pode ser escrito como V2 − 2V1 + V (0) = (AV1 + B) (∆x)2 V3 − 2V2 + V (1) = (AV2 + B) (∆x)2 . (c) S. para os V1 . para o ponto P (1.4: Considere o desenho em 2D. P I-C.. P I-C. . e determine: (b) T . tais como as advindas das propriedades dos materiais. Vn−1 Vn           =         β β β .. . 2. α = −2 − A(∆x)2 e β = B(∆x)2 . .. .. Vn − 2Vn−1 + Vn−2 = (AVn−1 + B) (∆x)2 V (L) − 2Vn + Vn−1 = (AVn + B) (∆x)2 P I-C.5: Um bloco de material semi-condutor foi inserido entre duas placas metálicas. as técnicas numéricas são fundamentais para considerar n˜ ao linearidades nas equa¸cões. Fig. Fazer um esbo¸co das linhas equipotenciais e das linhas de fluxo da corrente no semicondutor. como mostra-se na figura. n. 11 Superf´ıcies de contorno para a corrente e o potencial..5 Exerc´ıcios . Desenhar a forma das linhas equipotenciais e das linhas de fluxo.. como mostra-se na figura. ... V2 .3: Um campo escalar é representado por T = 2xy − 5z..2: O que significa potencial gravitacional? Qual é a equa¸cão e sua respectiva unidade? Desenhar algumas linhas de potencial gravitacional. 10 Superf´ıcies de contorno. e um fluxo que vai de S1 para S2 .1: Existe rela¸c˜ ao entre gradiente e integral de linha? R Gradiente do potencial = campo e campo = potencial ? P I-C. Após multiplicar cada equa¸c˜ ao por (∆x)2 . Vn valores da fun¸c˜ ao V em cada ponto j = 1. (a) Determine o campo vetorial ~ = (∂T /∂x)~i + (∂T /∂y)~j + (∂T /∂z)~k S ~ e (d) ~uS .. 12 Superf´ıcies de contorno com dois materiais condutores.ELETROMAGNETISMO 21 Então nós temos n equa¸c˜ oes lineares simultˆ aneas.. Fig. 1 α 1 1 α                   V1 V2 V3 ..3a semana P I-C. **Descargas atmosféricas O Brasil é o campe˜ ao mundial em descargas atmosféricas.ELETROMAGNETISMO 22 ´tica II. A região protegida por este simples dispositivo tem o formato de um cone cujo diâmetro corresponde a duas vezes a altura do solo até o topo do pára-raios. no n´ıvel de sujeira. que já foi atingido sete vezes! Por sorte sobreviveu a todos os acidentes. observando que um objeto condutor isolado exposto ao ar gradualmente perdia sua carga. Coulomb descobriu que o ar é condutor. campos de futebol e árvores isoladas. Ele acreditava que elas poderiam ser explicadas assumindo que o ar continha uma carga positiva. no material do condutor. porém com seq¨ uelas. Mas. consequentemente. incidência de fotoioniza¸cão. Sua descoberta. Assim. a cren¸ca de que raios nunca atingem duas vezes o mesmo lugar é falsa. queimaduras e mortes nos acidentes com raios. Em julho de 1750. que os relâmpagos também são um fenômeno elétrico. por sua vez. geralmente. Saussure descobriu uma varia¸cão anual da eletrifica¸cão na condi¸cão de tempo bom. provocam a separa¸c˜ ao de cargas elétricas devido ao atrito entre as part´ıculas de gelo existentes no topo. vibra¸cão do condutor. C. de modo a explicar as observa¸cões de Saussure. um precursor do eletrômetro. portanto. eram um fenômeno elétrico. Thomas-Fran¸cois D’Alibard demonstrou que a sugestão de Franklin estava certa e que os relâmpagos. este geralmente provoca luz. uma fa´ısca saltaria do mastro para o fio quando uma nuvem eletrificada estivesse perto. que deve ser suprida pela fonte. A. essas devem ser observadas na pressão do ar. portanto. Em junho de 1752. Eletrosta “Com for¸ca e com vontade a felicidade. P. ou mesmo entre duas placas ou condutores paralelos. enquanto a parte superior. praias. Ao final do cap´ıtulo. Campo e potencial eletrost´ atico A. positivas.” (Ivan Lins) O objetivo principal deste cap´ıtulo é compreendermos que. Devido ao fato de a corrente elétrica sempre procurar escoar pelo caminho mais curto. como problemas card´ıacos. Uma vez vencida a capacidade isolante do ar entre o solo e as nuvens.000 a 200. Na maioria das vezes. após a descoberta das primeiras propriedades elétricas da matéria. Se o mastro fosse isolado do solo. com ondas de compress˜ ao que podem ser aud´ıveis a alguns quilômetros de distância (trov˜ oes). Saussure mediu pela primeira vez a carga induzida em um condutor imerso na atmosfera. visto que os gases eram então considerados como isolantes. Centenas de pessoas sobrevivem todos os anos.01 segundos que constituem um u ńico raio. e um observador aproximasse do mesmo um fio aterrado. sofre morte instantânea por carboniza¸c˜ ao. Novamente. mas. e ficou completamente esquecida. e ainda causa a perda de energia. Um caso curioso é o de Ray Sullivan. uma em cada quatro pessoas mortas por raios estava jogando futebol. H. Em maio de 1752. Além de confirmar os resultados de Beccaria. entre outras.000 ampères. piscinas. Quando uma pessoa é atingida diretamente por um raio. Em 1785. que consiste de uma haste metálica fixada num ponto elevado e aterrada por meio de um fio condutor espesso. seu famoso experimento com uma pipa. os raios normalmente atingem os pontos mais altos de uma região.B. entretanto. foi somente após a descoberta da eletricidade no in´ıcio do século 18. após serem atingidas indiretamente por relâmpagos.. deveremos ter condi¸c˜ oes de resolver problemas eletrostáticos simples. evitar. estaria provado que as nuvens são eletricamente carregadas e. ao ver uma fa´ısca sair de um peda¸co de âmbar carregado eletricamente. podendo atingir milh˜ oes de volts. tra¸car linhas equipotenciais e linhas de fluxo anal´ıtica e numericamente. a parte inferior das nuvens contém excesso de cargas negativas. Benjamin Franklin foi o primeiro a projetar um experimento para tentar provar a natureza elétrica do relâmpago. tornou-se evidenteque os relâmpagos deveriam ser uma forma de eletricidade. estes casos são raros. apresentando temperaturas internas muito diferentes. Por indu¸cão. Todavia. que a natureza elétrica da atmosfera da Terra come¸cou a ser desvendada. Em 1804. As altas correntes e temperaturas são as respons´ aveis por incêndios. aumentando a temperatura do ar para até 30. durante uma tempestade.1 Importância da eletrost´ atica **Efeito corona O efeito Corona é notado na superf´ıcie de linhas de transmissão de alta tens˜ ao quando o campo elétrico no condutor excede o limite de quebra do dielétrico do ar ao redor do mesmo. associada de alguma maneira com as tempestades.5 e 15 km. Este enorme gradiente de temperatura gera ventos muito intensos no interior das nuvens que.A. muitas ficam com seq¨ uelas graves (60% dos sobreviventes). desde que ela poderia alcan¸car maiores altitudes e poderia ser usada em qualquer lugar. para definir o estado de um sistema na eletrost´ atica. b. William Wall. um guarda de parques nacional dos EUA.T. Franklin realizou outro experimento com o mesmo propósito.000 graus cent´ıgrados. podendo sofrer parada cardio respirat´ oria (35% dos casos). Se isto ocorresse. Distribui¸cão de cargas ou da densidade de fluxo elétrico ~ D. Em 1708. o tipo de tensão. provocando violenta expansão. bem como uma varia¸cão com a altitude. Na parte inferior. Assim. As nuvens de tempestade têm altura entre 1. precisamos definir somente e sempre duas distribui¸cões: ~ e. a pessoa é atingida indiretamente por estar a uma distância inferior a 100 metros. Ao invés de utilizar um mastro metálico. ru´ıdos aud´ıvel e de r´ adio. observou que ela era parecida com um relâmpago. Distribui¸cão de potencial ou do campo elétrico E. Deve-se. O efeito propriamente dito é a quebra do dielétrico do ar que fica ao redor da L. a temperatura é pr´ oxima ` a do ambiente (em média 20 graus cent´ıgrados). sugeriu pela primeira vez que a Terra devia ser . Em 1779. a. na presen¸ca de vapor d’água ou não. Na metade do século. Uma série de condi¸c˜ oes se fazem necess´ arias para que isso realmente ocorra. ozônio e outros produtos. Seu instrumento. h´ a de se espalhar com toda a intensidade. locais altos e descampados. enquanto na parte mais alta pode atingir -50 graus. Erman. As correntes elétricas envolvidas neste processo variam de 10. No Brasil. A melhor forma de prote¸cão é o pára-raios. altera¸cões mentais e paralisias musculares. no solo há surgimento de excesso de cargas positivas e se estabelece uma enorme diferen¸ca de potenciar entre nuvem e solo. infelizmente. ocorrem de 30 a 40 descargas elétricas sucessivas de aproximadamente 0. não foi compreendida na época. fa´ıscas saltaram de uma chave colocada na extremidade do fio preso a pipa em dire¸cão a sua mão. ele usou umapipa. Franklin propôs que a eletricidade poderia ser drenada de uma nuvem por uma mastro metálico. consistia em observar a separa¸cão entre duas pequenas esferas suspensas lado a lado por fios finos. e calcular sua capacitância. usado atualmente. Integrando a densidade de carga na atmosfera da superf´ıcie até a ionosfera (ou. especificamente a de equipamentos para as usinas hidrelétricas e linhas de transmissão. Em 1842. indicando que existem mais tempestades nestas esta¸c˜ oes no hemisfério norte do que nestas mesmas esta¸cões no hemisfério sul. por ser ele considerado ˆ o agente principal. a densidade de corrente é basicamente uma densidade de corrente de condu¸cão. A essa manifesta¸cão de energia foi associada o nome grego do âmbar. Uma das mais importantes . disjuntores. flutua¸c˜ oes nas densidades de cargas associadas com estes processos dentro da camada planetária tem um efeito sobre o campo elétrico comparável àquele da curva de Carnegie. Se as varia¸cões locais em esta¸cões continentais s˜ ao removidas através de médias. capacitores. a densidade de corrente apresenta varia¸c˜ oes em associa¸cão com as condi¸cões meteorológicas.s. O campo elétrico detempo bom também mostra uma varia¸c˜ ao sazonal. é eléktron. as quais produzem transporte de cargas que podem ser representados por uma densidade corrente de conveçcão. entretanto. esta varia¸c˜ ao é um efeito direto da varia¸cão da condutividade com a altura. pára-raios. com tempos de crescimento de 1 µs a 10 µs. indicando mudan¸cas na longitude de m´ axima atividade de tempestades. A famosa curva de Carnegie é um resultado de valores médios horários do campo elétrico tomados ao longo de muitos dias. sendo as descargas atmosféricas (raios) o exemplo mais contundente. J. etc. por Tales de Mileto. **Ensaios de alta tens˜ ao Os ensaios de alta tensão vêm colaborando de forma decisiva no desenvolvimento da ind´ ustria elétrica brasileira. Em resposta à existência de um campo elétrico vertical orientado para baixo e ` a presen¸ca de ´ıons negativos e positivos. lan¸cas. desde que o homem come¸cou a lidar com materiais e esses estiveram envolvidos em movimentos. Da´ı o nome eletricidade. cabos. principalmente em sistemas elétricos cuja tensão de opera¸cão é superior a 230 kV. por sua vez. ** Descargas eletrost´ aticas São conhecidas desde muito antes do in´ıcio de nossa civiliza¸cão. A curva de Carnegie é muito dif´ıcil de ser reproduzida em esta¸c˜ oes continentais devido a processos locais tais como correntes de conveçc˜ ao e varia¸cões nas concentra¸cões de aeross´ ois. cargas não se acumulariam na atmosfera e o campo elétrico seria uniforme. As correntes resultantes das descargas atmosféricas podem atingir até 200 kA. Em 1860. tais como as linhas de transmissão e os equipamentos instalados em subesta¸cões (transformadores. secionadores. denominada de densidade decorrente de Maxwell. Medidas de densidade de corrente na atmosfera também incluem a contribui¸c˜ ao da densidade de corrente de deslocamento. A t´ıpica varia¸c˜ ao diurna do campo em fun¸cão da hora universal foi pela primeira vez identificada pelas medidas realizadas pelo navio Carnegie na década de 20.ELETROMAGNETISMO carregada negativamente. Muito embora a varia¸cão siga o padr˜ ao da varia¸c˜ ao com a hora universal. Já na época da Revolu¸cão Industrial. a qual por sua vez teria tornado-se carregada durante sua forma¸cão. Desde o in´ıcio da transmissão de potências em alta tensão. existem pequenas varia¸c˜ oes no hor´ ario onde o campo é máximo. em termos práticos 30 km). cada vez mais manifestamse as descargas eletrostáticas. Atualmente podemos destacar os ensaios de impulsos de tensão até 2. como em minas de carvão ou como em estoques de pólvoras em fortes. Isto.. está constantemente fluindo na atmosfera nas regi˜ oes de tempo bom. uma carga total de cerca de 600 kC é obtida. Se a condutividade fosse uniforme. conectores etc. Se n˜ ao existem fontes de carga na atmosfera. os problemas relacionados com as descargas eletrostáticas estiveram quase que limitados às áreas têxteis.s. é resultado do fato de existir mais terra no hemisfério norte. percebeu-se da existência de eletricidade nessas ocasiões. tais como em polias ou rolos de tecidos. em cerca de 600 a. Corona Visual. em grego. Descargas Parciais. após o atrito entre o âmbar e esses. Ela é aproximadamente constante com a altitude e da ordem de 2x10−12 A/m2 . da propriedade de atra¸cão entre o âmbar e diversos corpos. realizados em diversos equipamentos como: transformadores. O exemplo clássico desses contactos foi a constata¸cão. Tais surtos de tensão submetem a esfor¸cos dielétricos significativos principalmente a isola¸cão externa de equipamentos de alta tensão. Ele foi também o primeiro a reconhecer a eletrifica¸cão da atmosfera como uma manifesta¸c˜ ao de um campo elétrico. A densidade de corrente de condu¸cão em condi¸cões de tempo bom apresenta também a mesma varia¸cão diurna que o campo elétrico. W. Acima da camada planet´ aria. ditados pela sua tensão nominal de opera¸cão e denominados: NBI (N´ıvel Básico de Isolamento) para determinar a suportabilidade do equipamento em rela¸cão às sobretensões de origem externa e NIM (N´ıvel de Impulso de Manobra) para as sobretensões de origem interna. tais como incêndios ao de lidar com ambientes com pólvora suspensa ou contendo vapores de l´ıquidos inflamáveis. de acordo com estudos de coordena¸cão de isolamento. Thomson (também conhecido por Lord Kelvin) defendeu a idéia de que cargas positivas deveriam existir na atmosfera para explicar sua eletrifica¸c˜ ao em tempo bom. possuindo em geral energia superior ao dos surtos atmosféricos. Já em civiliza¸cão. e aos casos decorrentes de conjunturas ocasionais. uma densidade de corrente orientada para baixo. Os equipamentos elétricos.).C. o campo elétrico mostra uma dependência com a hora universal similar àquela da curva de Carnegie.P. de tensão de freq¨ uência industrial até 800 kV. RIV. por exemplo. foi necessário demonstrar a capacidade dos equipamentos elétricos em suportar sobretensões decorrentes de descargas atmosféricas (sobretensões externas) e de surtos de manobra (sobretensões internas).C. disjuntores. O fato é que com o crescimento das sociedades industrializadas. Ambar. T. As sobretensões de origem externa são devidas às descargas atmosféricas diretas ou próximas aos elementos componentes do sistema elétrico. Os surtos de manobra caracterizam-se por possuir tempo de crescimento de algumas centenas de s e dura¸cão de vários milhares de µs. associada com varia¸c˜ oes temporais do campo elétrico.000 kV. O campo elétrico de tempo bom apresenta varia¸cões diurnas e sazonais. O campo elétrico médio também apresenta varia¸cões sazonais com valores m´ aximos na primavera e no verão no hemisfério norte. secionadores. religadores. caracterizam-se por possuir n´ıveis de isolamento padronizados. Na camada planet´ aria. etc. sendo cr´ıtico para o dimensionamento dos espa¸camentos m´ınimos em linhas de transmissão e equipamentos elétricos empregados em sistemas de EAT e UAT. A diminui¸cão do campo elétrico de tempo bom com a altura deve ser necessariamente acompanhada pela presen¸ca de cargas na atmosfera. A carga na superf´ıcie da Terra é também de 600 kC de modo a com- 23 pensar esta carga na atmosfera. Quase toda carga na atmosfera está abaixo de 30 km. Em geral. Peltier confirmou esta idéia e sugeriu que a carga no ar deveria ser originária da Terra. T. Da´ı. em qualquer n´ıvel de explana¸cão da importância de ESD. talvez pela sua associa¸cão às formas primitivas de se obter eletricidade. sem d´ uvida. Assim sendo esses seguimentos trataram seus problemas de Eletricidade Estática de formas espec´ıficas. a umidade do meio é fator decisivo para a manifesta¸cão da eletricidade est´ atica. Essencialmente. os efeitos mais graves. Concomitantemente. normalmente. estiveram mantendo o tema confinado. um dos mais perniciosos da Eletricidade Estática sobre humanos. Curiosamente. esse evento pode ser entendido como um raio que cai sobre um chip ou uma placa. ao lidar com Equipamentos Eletrônicos Sens´ıveis (EES). um evento de gera¸cão de ESD. plásticos e demais materiais (ou elementos) envolvidos com a manifesta¸cão de ESD. cada vez mais. que vieram(ou vêem) a p´ ublico em publica¸cões especializadas. ou seja. essencialmente. no sentido de controlar a intensidade das descargas em ambientes em que estejam presentes chips. devidas a ESD. papéis. pode-se dividir o tema Efeitos de Descargas Eletrostáticas da seguinte forma : 1. acidentes secundários. sugere-se que exemplos sejam mostrados. Outros : De forma não menos importante. esse tipo de manifesta¸c˜ ao de eletricidade é pouco estudada em cursos de Engenharia Elétrica. Esse é. mas que pode apresentar discrepˆ ancia. em alto potencial. do mais positivo para o negativo. Ressalte-se que essa é uma tabela sugestiva. o Engenheiro Eletricista é sempre convocado a responsabilizar-se por esse tema. jamais poderia ser interpretado como sendo um evento de ESD. nos dias de hoje. torna-se estratégico. justamente pela dificuldade de movimento das cargas criadas em cada superf´ıcie devido ao atrito. sem d´ uvidas. exceto o da Informática. Desde os primórdios da verifica¸c˜ ao de sua manifesta¸cão. o propagam constantemente. Esse é um fato corriqueiro. solventes. tais como fábrica de explosivos. é coerente dizer que a Informática revitalizou e popularizou o tema da Eletricidade Estática. que pode ser representada pela ´ vultuASD . seguindo-se de uma separa¸c˜ ao. ´ evidente que se as superf´ıcies envolvidas movimento). automóveis. a manifesta¸cão da Eletricidade Estática é subjetiva. E forem dielétricas maior ser´ a a possibilidade de deteçcão da eletricidade estática. Se Acetato Vidro Nylon L˜ a Chumbo Alum´ınio Papel Algod˜ ao Madeira A¸co N´ıquel Cobre Borracha Polyester PVC Silicone Teflon Nesta série. Afinal. convém assinalar a distin¸c˜ ao entre eletricidade estática e descarga eletrost´ atica. Na verdade. todos. Essencialmente. ´ vasto o cabedal de eventos que acer2. Entretanto. Ser Humano : Sensa¸cão de Choque Elétrico . tintas. segundo os exemplos citados/mostrados. tal como a umidade.latim atrito. consagrada pela experiência internacional. Assim sendo. a eletricidade est´ atica está relacionada ao movimento de atrito entre duas superf´ıcies. seja para seres vivos. foram os incêndios e/ou explos˜ oes. condutoras ou não. a ocorrência de um incêndio . Apesar do nome. mesmo entre dielétricos.Esse efeito é . explosões em fábricas qu´ımicas. para com o tema. onde. fazendo valer a redundância de preocupa¸cão quanto a ESD. esse tema ganhou vida própria. Eletrônica : E cam esse tema na área de Informática. criando uma exigência . tal com manipulando chips sem consciência. Esse u ´ltimo é decorrência do primeiro e seus efeitos s˜ ao os mais nocivos para a sociedade. Decorre-se.ELETROMAGNETISMO 24 ind´ ustrias de hoje. apresentado a importância desse evento seja por catástrofes como incêndios. o tema assumiu propor¸cões consideráveis. têxteis. que envolve e cada vez mais milhares e milhares de dólares e. Por exemplo. Esse tipo de acidente desencadeou uma crescente preocupa¸cão da comunidade comercial e industrial internacional. est´ a vitalmente interessada em controlar as manifesta¸c˜ oes de eletricidade estática pelo fato desse evento ser altamente destrutivo de extrema dificuldade de se evitar. a da inform´ atica. mormente pela incidência de fatores externos. um sem-n´ umero de relatos de choques e acidentes secund´ arios têm sido constantemente reportado por usu´ arios de têxteis. mormente devido ao desconhecimento da causa. vem a ser a importância desse evento no setor de informática. O principal inimigo de toda e qualquer metodologia de controle da Eletricidade Estática é a descren¸ca. O fato principal. tal a constância da incidência dessas sobre elementos de Informática. já citada. depreende-se que a eletricidade est´ atica aparecerá no atrito entre os elementos mais extremos. entre condutor e dielétrico ou mesmo entre condutores. em minas ou em refinarias. Isso n˜ ao que dizer que demais ambientes. refinarias. não-fatal. por exemplo. Quem lida com as caixas ? Obviamente não são Engenheiros Eletricistas.American Society of Electrostatic Discharge. Entretanto. Inicialmente. e é. devido ao susto do choque. seja por efeitos benéficos como a fotocópia. tais como toques em máquinas rotativas. requerendo urgentemente seu controle. por parte de Engenheiros Eletricistas. Esse evento é jamais desconsiderado. Isso implica num sem-n´ umero de pessoas que simplesmente desprezam o evento e. tal como o incêndio. diversos outros setores da produ¸cão encararam o problema da Eletricidade Estática. casos reais de incêndios em galpões de armazenamento advêm do arrastar de caixas de papelão (dielétrico) pelo solo(pode ser dielétrico ou condutor). Com o advento massivo do uso da informática. com conseq¨ uências danosas. não alcan¸caram a sociedade tal como essa. Entretanto. advindo dessas condi¸cões. normalmente. a ponto de estar inclu´ıda sua importância mesmo nas ind´ ustria citadas. senão sob pesados custos. nada impede que eletricidade apare¸ca decorrente de situa¸cões semelhantes . Essencialmente. 3. decorrentes das descargas eletrostáticas. a verdade é que a Eletricidade Estática é uma realidade constante de nossa sociedade. Seja para equipamentos . N˜ ao obstante sua extrema importância. senão sob condi¸cões extremas (tal como resgate por helicóptero). n˜ ao estejam inclu´ıdos nessa preocupa¸cão. E oso o montante de preju´ızos que estão associados aos setor. uns sentem e outros não. Seus efeitos são cada vez mais nefastos. efetivamente. entretanto. A esta propriedade chama-se triboeletricidade (tribo . muitos outros eventos de ESD continuam por es- . explosões e/ou corrosões. n˜ ao obstante a temperatura também exer¸ca influência. A tabela I apresenta a série triboelétrica. Inevitável. resolvendo-os com solu¸cões localizadas. Entretanto. Seja em qualquer tipo de ind´ ustria. Portanto. a ind´ ustria de informática tem assumido propor¸cões gigantescas. denotando a maior possibilidade de aparecimento de eletricidade no caso de atrito entre os elementos mais extremos poss´ıveis: TABELA V ´rie triboele ´trica t´ıpica. Somente aparelhos antigos ainda têm Askarel. tem sido utilizado como isolante ou refrigerante nos transformadores e equipamentos elétricos devido a sua resistência a temperaturas extremas. A for¸ca gravitacional é muitas vezes mais fraca do que a for¸ca eletrostática.1: Lei de da atra¸c˜ ao das massas . etc. 67 × 10−27 ) (5. a for¸ca gravitacional é sempre atrativa.2 Lei de Coulomb Consideremos duas cargas Q1 e Q2 . cujo vetor tem as seguintes particularidades: 1. foram produzidos en 1929 pela empresa Swann Chemical Company. 6 × 10−47 N.é diretamente proporcional ao produto das cargas. compare as for¸cas elétrica e gravitacional. Podemos agora definir o vetor deslocamento entre P1 e P2 . No sistema internacional de unidades (MKS). 3 × 10−11 )2 O módulo da for¸ca gravitacional vale Fg = 6. 1 Q1 Q2 F = 4π0 d2 2. Devido ao seu grande potencial tóxico e contaminante que possui. Fica evidente que a for¸ca sobre q é proporcional ao seu valor. Se a carga estiver contida num volume V com uma densidade ρV . Módulo . Fran¸ca e Finlˆ andia. é altamente perigoso e carcin´ ogeno. Entretanto.Considere duas massas m1 e m2 . Os primeiros PCB’s que se comercializaram para ser usados em transformadores e capacitores. 3. que est˜ ao separadas pela distância d. a for¸ca F~q exercida por esta distribui¸cão sobre uma carga puntual q. Despois de una série de experimentos descubriu-se que. A conhecida “Lei de Coulomb” (ver lei de Gauss) diz que existe uma for¸ca F~ atuando nas duas cargas. localizada em r. e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. que a for¸ca F~ é o produto da massa m pela acelera¸cão. Atualmente. como será visto a seguir. na quantidade de trabalho por unidade de carga q0 . tendo-se em mente que muito já se tem catalogado acerca de ESD’s. O askarel pode aparecer com os nomes cient´ıficos de Policloro Bifenilo. como: d~12 = (x2 − x1 )~i + (y2 − y1 )~j + (z2 − z1 )~k Assim F~ = 1 Q1 Q2 ~ud 4π0 d212 (20) onde ~ud é um vetor unitário na dire¸cão e sentido de d~12 . Os PCB’s foram sintetizados por primera vez na década de 1880. 854 × 10−12 Farad/metro. se introduzindo cloro nas part´ıculas de benzeno. Este l´ıquido tinha a vantagem de ser menos denso que a ´ agua. Segundo mencionam os pr´ oprios fabricantes. Exemplo II. ´ ** Oleos isolantes O askarel é um óleo escuro.ELETROMAGNETISMO 25 perar uma interpreta¸c˜ ao mais coerente. bom conductor de calor. y2 . seja em têxteis. 0 × 109 (1.de atra¸c˜ ao (sinais opostos) ou repuls˜ ao (mesmo sinal). a u ńica forma que se conhece de descarte dos PCB’s é a incinera¸c˜ ao a a temperaturas de 1500 a 1600 graus e os u ńicos pa´ıses que têm incineradores para estes compostos são Inglaterra. 67 × 10−11 (9. tintas. Solu¸c˜ ao: O módulo da for¸ca elétrica vale Fe = 9. Antes disto. A difus˜ ao da informa¸c˜ ao. F~ ~ V = · dl q0 Sabemos. A. cujas siglas s˜ ao PCB o DPC. 2 × 10−8 N (5. isolante e biodegrad´ avel. 0 = 8. Os PCB’s são hoje uma barreira persistente e perigosa.3 Campo eletrostático E Conhecendo a no¸cão de for¸ca. respectivamente. é importante recorrerse ao histórico do evento. podemos calcular o trabalho dW exercido por uma for¸ca F~ através do trecho infinitesimal d~l através da expressão dW = F~ · d~l Nos interessamos. 67 × 10−11 m1 m2 Newton ♦ d2 Exemplo II. e pode agregar grandes massas. como: ~g = F~ m . 3 × 10−11 )2 Fg = 3. tinha riscos de combustão e explosi˜ ao. Dire¸cão . é um caminho para a uniformiza¸cão de procedimentos acerca do controle de ESD’s. ♦ A lei de Coulomb sob a forma vetorial Vamos estabelecer dois pontos no sistema de coordenadas cartesianas: P1 (x1 . Esta observa¸cão leva-nos a pensar em termos de um campo elétrico de for¸cas. z1 ) e P2 (x2 . será Z q ~r − ~r0 F~q = ρV (~r0 ) dV 0 4π0 V |~r − ~r0 |3 A variável ~r0 é usada para localizar um ponto no interior da distribui¸cão de carga. combust´ıveis. a refrigera¸c˜ ao e a isola¸c˜ ao dos transformadores se fazia com ´ oleo mineral. onde estão situadas as cargas Q1 (carga fonte) e Q2 (carga de prova). Qualquer que seja o seguimento. dW F~ ~ = · dl q0 q0 Definimos como potencial elétrico V o trabalho por unidade de carga. causando um n´ umero considerável de danos. Sentido .2: Sabendo que a distância média entre o próton e o elétron no átomo de hidrogênio é de 5. pela lei de Newton. desaparecia a combustibilidade do ´ oleo e então podia ser usado como fluido dielétrico resistente ao fogo. novos aparelhos não têm PCB’s. Policloro Difenilo o Bifenilos Policlorados. ~ A. Conhecemos também o conceito de campo gravitacional ~g . y1 . similar ao ´ oleo queimado de carro. o módulo da for¸ca gravitacional vale Fg = 6.linha reta formada pelas duas cargas. 3×10−11 m. Foi assim como surgiram os PCB’s. enquanto a eletrostática pode ser repulsiva. em particular. e se caracteriza por n˜ ao ser inflam´ avel e possuir até 70 por cento de PCB. 61 × 10−19 )2 = 8. 11 × 10−31 ) (1. tanto altas como baixas sem mudar suas propriedades f´ısicas. Porém. afastadas de uma distˆ ancia d. (veja esquema da apresenta¸cão). tal como nesse trabalho. z2 ). usando os ângulos +π/2 e −π/2 como limites de integra¸cão. yp . 0.Considere duas cargas puntiforme +Q. usando a lei de Gauss. Z +π/2 Er = −π/2 1 qL dL qL cos θ = V/m 4π r2 2πR Na semana seguinte. Cada carga dQ produzir´ a um vetor campo elétrico dE no ponto P . cuja unidade é Newton/Coulomb ou Volt/metro. Denomina-se Campo Elétrico a habilidade de uma distribui¸cão de cargas (e dielétricos) produzir uma for¸ca sobre uma carga de teste q0 : ~ Por outro lado. e pode-se reescrever dEr como: ~ ~ = F E q0 dEr = Dividindo (20) pela carga de prova Q2 . ♦ Exemplo II. ♦ Exemplo II. Observa-se que +π/2 e −π/2 são os ângulos que definem a dimensão infinita do condutor. r e θ são interdependentes. como veremos a seguir. bem como a posi¸cão do ponto P em rela¸cão ao segmento de condutor em questão. . Obter a equa¸cão do campo elétrico num ponto P (xp . Caso o fio fosse finito. Quando existe n cargas gerando o campo elétrico num meio uniforme (como é o caso do ar). é dEr = As variáveis L. seriam outros os ângulos limites que determinariam o in´ıcio e o fim do condutor.3: Fio infinito carregado . q0 . e −Q. F~ . a componente do campo é radial.for¸ca elétrica. ~ =E ~1 + E ~2 + . tem-se o campo elétrico Tendo em vista que a distribui¸cão de cargas é uniforme. calcularemos este campo de um modo bem mais simples. em Newton / Coulomb ou Volt / E metro. conforme a Fig. que nos interessa. pode-se fazer o somatório dos campos dEr causados pelas cargas dQ. O fio é constitu´ıdo de uma infinidade de cargas puntuais ~ dQ. 13. E . o campo elétrico resultante num ponto qualquer desse meio. Como Q é uma carga puntual. A componente horizontal. 0). situada em (+d/2. + E ~n E Tem-se uma soma vetorial dos campos gerados individualmente por cada carga i. 0). Resposta: A componente radial vale E= 4π0 Qz + R2 )3/2 (z 2 Exerc´ıcio: dividir o anel em N cargas puntiformes. Campo ele ~ =E ~+ + Solu¸c˜ ao: O campo resultante das duas cargas é E ~ −. 0). usada para ‘medir’ o campo elétrico.carga de prova.4: Campo de um anel carregado de raio R. 14 ´trico de um dipolo. escreve-se dQ = qL dL ~ ~ = lim F E q0 →0 q0 onde: ~ . r Q Q Q Q Q L Q Q R ~r dE QP Q Q O Q Q Q s ~ dE qL Fig. encontramos o ~ campo elestrostático E: ~ = E 1 Q ~ur 4π0 r2 (21) onde ~r é o vetor deslocamento da carga fonte Q até o ponto onde se calcula o campo eletrost´ atico. e as superf´ıcies de mesmo m´ odulo s˜ ao esféricas.ELETROMAGNETISMO 26 Da mesma forma. situada em (−d/2. em Newton. 13 Fio infinito carregado. 0.N Exemplo II.campo elétrico.5: Dipolo elétrico . pode ser calculado pela soma dos campos elétricos originados pelas diversas cargas. Determinar o campo num ponto situado no eixo do anel a uma distância z do seu centro. e fazer uma rotina para calcular as componentes e a resultante do campo num ponto qualquer do espa¸co. . dQ dL Q Q Q Q 1 qL dL cos θ 4π r2 1 qL dL cos θ 4π r2 Agora. que tem m´ odulo dE = 1 dQ 4π r2 Fig. observa-se que a componente vertical de dE será anulada pela componente correspondente quando considerarmos um outro dQ situado simetricamente em rela¸cão ao ponto O. em Coulomb.Imaginemos um fio infinito carregado com uma carga definida por sua densidade linear de carga qL . X 1 Qi ~ = E ~ur (22) 4π0 r2 i i=1. 6: Admitindo que o campo elétrico seja uni~ entre duas forme na dire¸cão ox. e assim por diante. que é um vetor de módulo igual ao produto da intensidade das cargas pela distância entre elas.(negativo). Exemplo II. podemos dizer que o campo elétrico E deriva de um potencial escalar V . certa terminologia matemática. o módulo do campo elétrico do dipolo vale ~ = E impulsionando as cargas portadoras. consolidada ao longo da história. com sinal negativo. Ex = − ∂V ∂V ∂V Ey = − Ez = − ♦ ∂x ∂y ∂z Exemplo II. inserindo o ˆ angulo α formado entre ~r com a linha do dipolo. A quantidade de trabalho por unidade de carga é denominada potencial el´ etrico. Conforme sugere a Fig. estabelecendo V em todo o dom´ınio. segundo os eixos x e y. O trabalho realizado sobre a carga q0 . a energia por unidade de carga para levarmos uma carga unitária de l1 até l2 pode ser expressa como: Z l2 ~ · d~l V2 − V1 = − E l1 onde d~l . e desenvolvendo a componente radial tem-se a componente radial do campo tem-se Er = Q Q cos α+ − 2 2 cos α− 4π0 r+ 4π0 r− Er ∼ = Exemplo II. A unidade de tensão é o Volt (s´ımbolo V). Se tomarmos o sistema de coordenadas cartesianas. onde ~ur · ~ur+ = cos α+ e ~ur · ~ur− = cos α− . segundo a expressão ~ = −∇V ~ E que se lê: O campo elétrico é igual ao gradiente do potencial. Há. sendo comuns também os seus m´ ultiplos e subm´ ultiplos. y) representa um condutor elétrico situado no plano xy. podemos calcular o trabalho exercido por esta for¸ca. Para que haja circula¸c˜ ao de corrente em um condutor. isto significa que a polaridade indicada está invertida. Como o campo elétrico somente possui a componente horizontal. pode-se imaginar um trapézio com largura |d~`|. Se um sinal negativo antecede o valor da tensão.vetor deslocamento do ponto no qual temos a carga de prova q0 submetida ` a for¸ca F~ . calcular o campo elétrico E placas metálicas planas. possuem momento de dipolo elétrico (não é momento mecˆ anico) p~. resulta ~ = Ex~i = 2 × 106~iV/m E Conclu´ımos que. 0002m = 2 × 106 V/m. a integral de linha também pode ser usada para calcular o trabalho para o deslocamento de uma carga de prova. es~ tamos estabelecendo também o campo elétrico E. que é a conhecida tensão do circuito elétrico. O vetor d~` possui duas componentes. para estes campos que vamos abordar agora. é necessário que exista uma for¸ca que crie uma “for¸ca elétrica”. As componentes do campo elétrico em um ponto genérico P situado a uma distância r do centro do dipolo s˜ ao dados por: EN = 2p cos α 4π0 r3 ET = psen α 4π0 r3 p (2 cos α~ur + 2sen α~uα ) 4π0 r3 Observa-se que o campo é inversamente proporcional ao cubo da distância. ~ em qualquer dire¸cão é o negativo O componente de E da taxa de varia¸cão do potencial elétrico com a distância naquela dire¸cão. diferen¸ca de potencial ou for¸ca eletromotriz. A linha (x. Duas cargas de mesma intensidade e opostas mantidas a certa distância d uma da outra. ~ Por outro lado. y) é o potencial em cada ponto do condutor em (x. A tensão entre dois pontos A e B é representada por um par de sinais + (positivo) e . usando alguns exemplos. o campo seria inversamente proporcional a r4 . p~ = Qd~ onde d~ aponta da carga negativa para a positiva. . A fun¸cão f (x.7: A Fig. espa¸cadas de uma distância l. num deslocamento infinitesimal d~` é ~ · d~` ♦ dW = F~ · d~` = q0 E . colocados juntos a estes pontos.ELETROMAGNETISMO ~ = E 27 Q Q u r+ − u r− 2 ~ 2 ~ 4π0 r+ 4π0 r− Denominando ~ur o vetor unit´ ario radial.4 Potencial elétrico V O campo elétrico est´ a associado ao potencial elétrico. temos o campo na dire¸c˜ ao do eixo E= 2p ♦ 4π0 x3 y l=0. d~` = lim ∆x. o campo elétrico em qualquer ponto é E assim. ♦ A. na presen¸ca do campo eletrostático produzido por outra carga q. V =1000V V =600V Q 2 d cos α 4π0 r3 O produto Q d é conhecido como momento de dipolo p. Fazendo r = x. Se tivessemos 3 cargas.2 mm 6 -x Solu¸cão: O módulo do campo elétrico é 400V/0. Essa for¸ca é chamada tensão. porém. (23) A.8: A Fig. Esse é um problema important´ıssimo em diversas aplica¸cões e iremos estudá-lo com mais detalhes nos cap´ıtulos seguintes.5 Campo conservativo ~ for um campo vetorial arbitrário. 16 ilustra o movimento de uma carga q0 . 15 poderá ajudar-nos a entender o significado f´ısico da integral de linha. Assumindo que o campo elétrico possa ser vari´ avel ao longo de um trajeto.∆y→0 ∆x~i + ∆y~j Como o trabalho é o produto do potencial pela carga. Conhecendo a no¸c˜ ao de for¸ca. y). podemos nos perSe E guntar se ele é um campo conservativo ou não conservativo. ter´ıamos uma forma de produzir energia do nada! Sabemos que isto não é poss´ıvel.ELETROMAGNETISMO 28 da carga q0 ). Nos trechos onde o trabalho não é nulo temos Z 2 dr 1 1 = −k q0 q W12 = k q0 q − 2 r1 r2 1 r Z 4 dr = −k q0 q r2 1 1 − r4 r3 6 dr = −k q0 q r2 1 1 − r6 r5 8 dr = −k q0 q r2 1 1 − r8 r7 W34 = k q0 q 3 Z W56 = k q0 q 5 Z Fig.2: Qual é o campo elétrico no interior de um condutor ideal? Por que? Consideremos inicialmente o trecho 1 → 2. (a) Determine a for¸ca resultante que age sobre uma carga de 1C situada em P (1. A varia¸cão da energia cinética da carga q0 neste trecho é P II-A. −6. retornando ao ponto 1 de partida. 15 ´rea de um lenc Integral de linha como sendo a a ¸ ol. sobre o eixo x em x = −1.1: Uma carga de 3µC está sofrendo a a¸cão de uma for¸ca elétrica de 57 N. 16 Trabalho realizado num campo conservativo. (6. P II-A. no vácuo. no vácuo. nos pontos. Qual a intensidade do campo elétrico que atua sobre a carga? O sentido do campo elétrico é igual ou contrário ao da for¸ca? (R: 19 × 106 N/C ou volt/metro) Fig. ~ ~ trechos (dW = E · d` = 0). no ~ no ponto vácuo. 10. 4). 4).6: Um longo fio cil´ındrico. 8. (c) Por que as respostas dos itens (a) e (b) são quase iguais? Z 2 T2 − T1 = ~ · d~` = k q0 q q0 E 1 Z 1 Z T 2 − T 1 = k q0 q 1 2 dr = −k q0 q r2 2 ~r · d~` r2 1 1 − r2 r1 Suponhamos agora que a carga q0 percorra todo o trajeto mostrado na figura. maior que a inicial. Conclu´ımos este item dizendo que o trabalho realizado por uma for¸ca conservativa s´ o depende da posi¸c˜ ao dos pontos inicial e final. r4 = r5 . respectivamente. 1 1 1 1 1 1 1 1 W = −k q0 q − + − + − + − r2 r1 r4 r3 r6 r5 r8 r7 1 s q0 8 7 5 2 q v notando que r2 = r3 . chamamos este campo de campo conservativo. Deixamos como trabalho. Portanto. e possui uma carga Q . x = 0 e x = 1. o trabalho é nulo nestes dire¸cão do campo radial E. é colocado no espa¸co livre. pois n˜ ao existe um moto perpétuo. Determine E (−5. devemos ser capazes de demonstrar que o trabalho realizado ao longo de qualquer trajet´ oria fechada ´ e nulo. e determine a for¸ca na carga de 1C. verificar o que acontece em uma situa¸cão mais geral. (b)coordenadas cil´ındricas. Caso sua energia cinética fosse. no ponto (−10. 3) em: (a) coordenadas cartesianas.3: Três cargas puntuais iguais a 20pC localizamse. Caso uma determinada trajetória resultasse em um trabalho negativo (diminuindo a energia cinética P II-A. conclu´ımos facilmente que W = 0. W78 = k q0 q 7 O trabalho total é a soma dos trabalhos em cada trecho. Note que. P II-A. reto. (a) Qual é o módulo da for¸ca que age em ~ no ponto cada carga? (b) Determine o campo elétrico E (4.4: Duas cargas puntuais iguais a 12nC e -5nC localizam-se. nos trechos 2 → 3. r6 = r7 e r1 = r8 . (b) Substitua as três cargas por uma u ńica carga igual a 60pC localizada na origem. Vamos primeiro mostrar que o trabalho é de fato nulo para a trajetória simples vista na figura. 2). Se o trabalho total para deslocar uma carga ao longo de uma superf´ıcie fechada for nulo. 7. 2. 3 6 4 A. 1) e (2. A curva utilizada no exemplo anterior pode parecer muito especial. por exemplo. P II-A. 6 → 7 e 8 → 1.6 Exerc´ıcios . de diâmetro muito pequeno. 8).5: Uma carga puntual de 50nC localiza-se. 4. a carga q0 desloca-se perpendicularmente à ~ Portanto. 4 → 5.4a semana P II-A. poder´ıamos inverter o sentido da trajetória obtendo assim um ganho de energia cinética. no campo elétrico E V/mm? (R: 25. Nesse caso. situado no vácuo. 3) (R: 511 nJ) e em b) PB (2. B. −2) (R:-6. qual é a diferen¸ca de potencial entre os dois pontos? P II-A. 24. V2 = 10V e V3 = 19V. por influˆ encia de outras cargas próximas a ele. para deslocar uma carga de 7µC ao longo de um caminho retil´ıneo desde A(1. de comprimento A + B. z) = 24rsen (φ + π/9) V. ~ = z~i − 3y 2~j + x~k P II-A. definir qual é a forma das superf´ıcies equipotenciais. Indu¸cão eletrostática é o nome dado ao estabelecimento de uma distribui¸cão de cargas elétricas num corpo eletricamente neutro.9: Para o campo elétrico E determinar o trabalho realizado por um agente externo. −2).13 mJ) P II-A. P II-A. atinge valores importantes em substâncias cujas moléculas já possuam um ligeiro desequil´ıbrio na distribui¸cão das cargas. no plano x = 0. mas somente o fluxo gerado por outras cargas distantes. 1) e PC (3. na dire¸c˜ ao do vetor 2~i − 6~j − 3~k m. 1m centrada na origem. dividindo o trecho de reta em 05(cinco) segmentos. QB = −2nC e QC = 1nC se localizam no vácuo. respectivamente. y = 1 e z = 0? P II-A. chamado polariza¸cão elétrica.10: Qual é o trabalho necess´ ario para movimentar uma carga q = 100µC ao longo da circunferência de raio r = ~ = (40/r)~uφ 0.10E − 9 coulomb por metro. ao serem submetidas a um campo elétrico. Usando a lei do inverso do quadrado das distâncias.19: Suponha que o potencial elétrico aumente 100 kV/m na dire¸cão Norte-Sul e diminua 50 kV/m na dire¸cão Leste-Oeste. 5. determine o potencial no ponto (6.11: Três cargas puntuais de 4µC. e. 1) se V = 0 volt em A(2.15 V). 2) se: (a) V = 0 em A(2.7: Deduzir a equa¸c˜ ao do campo elétrico produzido por um segmento de fio retil´ıneio. −2. (c) V = 0 em P (0. A por unidade de comprimento. é V = Q p~ · ~r 4π r2 e que o campo elétrico também pode ser obtido pelo gradiente de V : ~ = −∇V ~ E B. PB (−2. 8) os potenciais são respectivamente V1 = 5V. obter a equa¸cão para o campo elétrico. P II-A.1 Polariza¸cão As substâncias dielétricas (que isolam eletricidade) se distinguem das condutoras por não possu´ırem cargas livres que possam mover-se através do material. se produz ainda uma orienta¸cão dessas moléculas . 4. entre um ponto distante x do centro do fio. 4. 6). 5) metros vale 10 volt. que é muito maior que o diˆ ametro do fio.40 cm e x2 = 15. e qual é a diferen¸ca de potencial entre dois pontos distantes x1 e x2 do fio condutor? Se Q = −0. em um ponto P . Que trabalho deve ser realizado para deslocar uma das cargas até o ponto médio do segmento determinado pelas outras duas cargas? Sugest˜ ao: calcular a diferen¸ca de potencial entre o ponto final e inicial (R: 575 J) P II-A. para mover uma carga de 7µC ao longo de um caminho incremental de 1mm de comprimento. (R:7. 4) se: (a) V = 0 no infinito (R: 4. localiza-se no v´ acuo.15: Três cargas puntuais QA = 5nC. 6 nC/m. isoladamente.16: Considerando que o potencial elétrico de um ponto qualquer seja dado pela equa¸cão V (x. Determine o potencial em P (−3. Esse deslocamento.17: Se o potencial elétrico é dado por V (r. 2). 2. situado longitudinalmente a uma distˆ ancia R do fio. 0. 0. 3) (R: 6. 2. Lei de Gauss da eletrost´ atica A idéia de fluxo é necessária para explicar a transferência da influência elétrica de um ponto do espa¸co para outro. 5mm.13: Uma distribui¸c˜ ao superficial plana e uniforme de carga ρS = 400 C/m2 . Neste sentido. obter os coeficientes a. 4. P II-A.70 cm. localizado em: a) PA (1. fazendo o c´ alculo anal´ıtico e numérico.15 V). qual é o valor do módulo e a dire¸cão do campo elétrico em x = 2. 2) até B(3. nos pontos PA (1. 1).12: Dado o campo elétrico ~ = E 10y~j 10x~i + 2 − 2~k V/m 2 +y x + y2 x2 e sabendo-se que o potencial no ponto (3. P2 (7. −8. φ. 7). −4) (R:-98 nJ) ~ = z~i − 3y 2~j + x~k V/m. está situada ao longo do eixo z no vácuo.07 V) P II-A.20: Potencial de um dipolo . 2). Determine o potencial em P (3. −3. localizam-se nos vértices de um triângulo eq¨ uil´ atero de 0. (b) V = 5 V no infinito (R: 9. Um objeto localizado num ponto qualquer do espa¸co não pode perceber o seu próprio fluxo gerado.8 V).8: Dado o campo elétrico E V/m. a densidade do fluxo no ponto de interesse deve ser um fator determinante.6 V). (R: 28 µJ) P II-A. uniformemente carregado com carga total Q.18: Sabendo-se que nos pontos P1 (2. −9. (b) V = 24 V em B(10. geralmente pequeno em compara¸cão com as distâncias atômicas. calcular o trabalho realizado por um agente externo. de 0.ELETROMAGNETISMO 29 B R P P II-A. b e c para o potencial V = a + bx + cy. 1) (R:41.Demonstrar que o potencial num ponto P devido à duas cargas −Q e +Q é a soma dos potenciais devidos às duas cargas. 4. x1 = 0.52 V). 0. Qual é o campo elétrico correspondente a este potencial? P II-A. Qual é o potencial em B(7. y) = 3xy 2 . todos os elétrons estão ligados e por isso o u ńico movimento poss´ıvel é um leve deslocamento das cargas positivas e negativas em dire¸cões opostas. (R: -100 V) P II-A.14: Uma distribui¸cão linear e uniforme de carga. 4) e P3 (3. Qual é o módulo e a dire¸cão do campo elétrico? P II-A. Nos dielétricos. 2. permanece eletricamente neutra e . Coloquemos um dielétrico de moléculas polares entre as armaduras de um capacitor plano. Em um dielétrico de moléculas n˜ ao polares. O campo elétrico no interior das substˆ ancias dielétricas contém uma parte. As moléculas polares têm uma extremidade eletrizada positivamente e a outra. O efeito total é uma acumula¸cão de carga positiva sobre a armadura carregada negativamente. o campo elétrico entre as armaduras alinha as moléculas polares. Seu efeito é separar ligeiramente os centros das distribui¸cões de carga positiva e carga negativa. O que acontece. separando ligeiramente os centros de carga positiva e de carga negativa. O corpo eletrizado A é o indutor. A lâmina dielétrica. A região de B mais afastada fica com falta de elétrons e. Eletrizando-se o capacitor. Aproxime. portanto. este ´ uma influe ˆncia a ` dista ˆncia sobre o outro. n˜ ao tivesse as cargas superficiais induzidas. No processo de eletriza¸cão por indu¸cão o condutor eletricamente induzido adquire carga elétrica de sinal oposto ao da carga do corpo indutor. como um todo. Se um corpo condutor inicialmente Induc ¸a õ encostar. Denomina-se dielétrico a este material. de modo que o efeito l´ıquido é uma atra¸cão. Cria-se um campo elétrico entre as placas. de modo que não haveria nenhuma atra¸c˜ ao l´ıquida. 18 õ eletrosta ´tica. A indu¸cão eletrostática consiste na separa¸cão de cargas que ocorre em um condutor neutro. 17 õ do diele ´trico. neutro. de um condutor B. fornecida pelo pr´ oprio dielétrico em forma de polariza¸cão induzida e de reorienta¸c˜ ao de suas moléculas. que modifica o campo exterior a que est´ a submetido. A influência do corpo indutor (eletrizado positivamente) fará com que a carga elétrica positiva induzida escoe para a Terra. Para eletrizar o condutor é necessário liga-lo a terra (ou outro corpo de grande capacidade) enquanto o corpo indutor ainda está presente. O campo é dito fechado quando suas linhas partem do pólo positivo e chegam ao negativo. como o papel: as cargas superficiais s˜ ao induzidas sobre um peda¸co de papel colocado pr´ oximo a uma barra carregada. os dipolos elétricos tendem a se alinhar com um campo elétrico externo. inicialmente neutro.ELETROMAGNETISMO no sentido do campo elétrico externo e se constituem pequenos dipolos elétricos que criam um campo caracter´ıstico. e de carga negativa sobre a armadura positiva. já que as cargas induzidas na região mais próxima e na região mais afastada. e o condutor B.Quer as moléculas tenham ou não momentos de dipolo elétrico permanentes. um corpo A. elas os adquirem por indu¸cão quando colocadas num campo elétrico externo. é o induzido. Elétrons livre deste 30 Fig. eletrizado positivamente. O fenômeno é denominado polariza¸ c˜ ao do diel´ etrico. a distribui¸cão simétrica de cargas é modificada pelo campo elétrico. o condutor ficará com sobra de elétrons. excesso de cargas positiva. Se o pedacinho de papel que fosse colocado num campo elétrico uniforme. Pelo fato de as moléculas estarem em constante agita¸cão térmica. A simples indu¸cão eletrostática não eletriza o condutor. for desfeita a liga¸cão com a Terra. tornando-se então eletrizado negativamente. Polarizac ¸a condutor são atra´ıdos por A e se acumulam na região de B mais próxima de A. quando colocamos um dielétrico num campo elétrico? Existem duas possibilidades. Dielétricos n˜ ao-polares .dentro da lˆ amina . mas aumenta quando a intensidade do campo aplicado é aumentada ou quando a temperatura é diminu´ıda. têm momentos de dipolo elétrico permanentes. Se ainda na presen¸ca do indutor. são iguais e opostas. um corpo eletrizado. Fig. A atra¸cão das cargas induzidas negativas pela barra excede a repuls˜ ao das cargas induzidas positivas que estão mais distantes. ** Vis˜ ao microsc´ opica do dielétrico Pode-se aumentar a capacitˆ ancia inserindo um material polarizado entre as placas. incrementado pela polariza¸cão do dielétrico que armazena energia. exercera ˆ meno da induc õ eletrosta ´tica. quando dele é aproximado. que continua neutro. de modo que ocorre uma efetiva separa¸c˜ ao de cargas. Este fenômeno é denominado indu¸cão eletrostática. caracterizando o feno ¸a . negativamente. estando orientadas ao acaso. Novamente. em termos atˆ omicos e moleculares. Veremos que o efeito do dielétrico é enfraquecer o campo elétrico que de outro modo estaria presente. as for¸cas sobre elas seriam iguais e opostas. o alinhamento n˜ ao é completo. ** Eletriza¸c˜ ao por indu¸c˜ ao Esta é a explica¸cão do fato de que uma barra com carga atrairá pequenos peda¸cos de materiais n˜ ao-condutores sem carga. Em tais materiais (chamados dielétricos polares). Este campo externo tende a “esticar” a molécula.n˜ ao h´ a excesso de carga em qualquer elemento de volume. sem tocá-lo. Dielétricos polares . as moléculas têm suas extremidades eletrizadas e alinhadas sob a¸cão do campo elétrico. mas ficar relativamente pro ´ ximo de neutro na outro (condutor ou isolante) previamente eletrizado.As moléculas de alguns dielétricos como a água. sem tocar. que . se tiver um material ‘altamente polariz´ avel’. Logo. se op˜ oe ao campo elétrico aplicado E0 .as cargas induzidas internas se anulam. E1 cargas superficiais = E interior = Q q = 0 E + S S ? ? ? − − − − − − − − − − − − − −Q A polariza¸cão das moléculas. o mesmo deve ser verdade para a polariza¸cão. **O vetor polariza¸c˜ ao dielétrica P~ Apresenta-se na figura seguinte duas placas paralelas de área S separadas de uma distˆ ancia d. Somente esta visão com os três vetores permite uma visão mais profunda do problema. orientado da carga induzida negativa para a positiva. Substituindo P em (25). Vamos ver agora o u ´ltimo termo da equa¸cão (25) com a densidade superficial das cargas induzidas. criado por elas. como o momento de dipolo é um vetor. Como o denominador S d é o volume total do dielétrico. o cálculo de E submetido à a¸cão de um campo externo (que não precisa ser uniforme). a for¸ca de atra¸cão do corpo neutro ser´ a nula. como por ~ no centro de um elipsóide dielétrico. desloca os n´ ucleos e os elétrons. ou deslocamento elétrico D. exemplo. ou seja. . tem-se as cargas induzidas +q e −q. Assim D = 0 E + P O vetor P~ . Na Fig. de módulo P . + + + + + + + + + + + + + +Q − −q − 6 + + − + − + − 6 + − + − + − + 6~ E1 − − − − − − − − − − − − − +q −Q Inserindo-se uma pel´ıcula dielétrica ou isolante. P = ~0 E Q−q 0 S que permite reescrever (24) como: +Q + + + + + + + + + + + + + q 0 S q S Este nome vem do fato da carga superficial induzida q (também chamada de carga de polariza¸cão) aparecer somente quando o dielétrico está polarizado. E interior = E0 aplicado − E1 cargas superficiais ou E0 aplicado = E interior + E1 cargas superficiais onde E0 aplicado = Q 0 S (25) onde E é simplesmente a intensidade do campo elétrico no interior do dielétrico. Entretanto. Assim sendo. Esta defini¸cão mostra que.a carga total do corpo permanece nula. como qualquer momento de dipolo. em um campo uniforme. a for¸ ca de atra¸ c˜ ao de um corpo neutro depende do tipo de diel´ etrico. chamado polariza¸cão dielétrica P . P~ aponta de cima para baixo. visão permite solucionar problemas mais dif´ıceis. Como E escreve-se ~ = 0 E ~ + P~ D (26) ´ importante distinguir carga livre Q e carga de polariza¸cão E ~ é o campo relativo à carga total Q−q. . existir´ a uma for¸ca de atra¸cão do corpo cuja carga total é nula.alteram o campo elétrico no interior. portanto. Vamos escrever a equa¸cão da carga elétrica livre nas placas Q e cargas induzidas +q e −q entre as placas paralelas de área S. fazendo o seguinte: . Esta considera (26) e os três vetores elétricos: D. As cargas superficiais induzidas aparecem de tal maneira que o campo elétrico E1 . Trata-se. aponta na mesma dire¸cão e no mesmo sentido de E0 mas tem m´ odulo menor. anterior. é. iniciando pelo campo elétrico. conforme o campo elétrico aplicado. podemos rescrever a equa¸cão da carga por área Q = 0 E + P S A grandeza Q/S é chamada indu¸cão eletrostática. P = qd Sd O numerador q d é o produto do módulo das cargas de polariza¸cão (de mesmo módulo e sinais opostos) pela separa¸cão das mesmas. densidade de fluxo elétrico. A diferen¸ca de potencial entre as placas é V = Qd/0 S pois considera-se que n˜ ao existe efeito de borda. o efeito do dielétrico é enfraquecer o campo aplicado no interior do dielétrico. . ~ é um vetor referente à enquanto o vetor indu¸cão elétrica D carga livre Q.surgem cargas superficiais. Q Q−q q = + (24) 0 S 0 S 0 S Vamos ver cada um dos termos de (24). q. Uma forma equivalente de definir a polariza¸cão dielétrica P é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da equa¸cão anterior pela espessura d da placa dielétrica. onde tem-se um capacitor com metade do espa¸co entre as placas preenchido por um dielétrico. que é a soma vetorial de E0 e E1 . O campo resultante E no interior do dielétrico.ELETROMAGNETISMO 31 Se não houver polariza¸c˜ ao do dielétrico. A análise sobre o comportamento dos campos elétricos somente será completa para todas as situa¸cões quando se ~ E ~ e P~ . do momento de dipolo induzido na placa dielétrica. O campo elétrico E o vetor polariza¸cão elétrica P~ é referente à carga induzida q. o vetor ~ e P~ são vetores. vê-se claramente que a polariza¸cão também pode ser definida como sendo o momento de dipolo elétrico por unidade de volume do dielétrico. a verdadeiro afirmar que ~ · dS ~ = dψ D Vamos elaborar o conceito de divergência com o aux´ılio da Fig. Ent˜ ao. Para nós. o fluxo total é Z ~ · dS ~ ψ= D (28) ~ = O fluxo na face superior. representada pelo s´ımbolo de integral com um c´ırculo. ~ · Ddv ~ dψ = ∇ que. ou seja D I Z Z Z ~ · dS ~= ~ · Ddv ~ ψ= D ∇ S(V ) V S Se a superf´ıcie S(V ) for a superf´ıcie de um volume V . e carga e fluxo são proporcionais. é importante compreendermos as diferen¸cas entre densidade de fluxo elétrico e campo elétrico. 19. integrando num volume qualquer V é igual ao fluxo de ~ na superf´ıcie de contorno S(V ). Da primeira equa¸cão de Maxwell temos a . 19 ´lculo do fluxo. medida em coulombs por metro quadrado. ~ ·D ~ = div D ~ =ρ ∇ (31) A carga interna pode ser calculada conhecendo-se a densidade de cargas ρ. No Sistema Internacional (metroquilograma-segundo-coulomb). em coulombs. enquanto n´ os estamos fazendo o uso da indu¸c˜ ao elétrica.A maioria dos livros de eletromagnetismo básico apresenta somente o campo elétrico. a constante K0 é igual à unidade. Volume infinitesimal para ca Aplicando o limite com ∆v tendendo zero teremos a densidade de carga volumétrica ρ. ψ D= S Esta defini¸cão aplica-se para uma ´ area infinitesimal (muito pequena): dψ D= dS ~ também é conComo a área é uma quantidade vetorial dS. a igualdade de (27) e (28) resulta: I ~ · dS ~ Q= D (29) S(V ) Observa¸c˜ oes: . Se no volume envolvido pela superf´ıcie encontra-se contida a carga q. quando o meio dielétrico n˜ ao for o ar n˜ ao se pode usar estas fórmulas. vale dS ∂Dz ψinf = Dz + dz dxdy ∂z ~ representa um elemento de superf´ıcie orientada em onde dS qualquer dire¸cão e sentido. pois o produto escalar elimina automaticamente a componente do vetor de superf´ıcie não colinear com as linhas de fluxo. veniente definir a densidade de fluxo como uma grandeza ~ Então sempre ser´ vetorial D. e Q=ψ (27) A densidade de fluxo para qualquer ponto do espa¸co é matematicamente definido como a intensidade que passa por uma unidade de área ortogonal ` a dire¸c˜ ao das linhas de fluxo. diz-se que S é uma superf´ıcie fechada. dade absoluta 0 (inexistente para calcular D).A indu¸cão elétrica ou a densidade de fluxo elétrico D fluxo elétrico por metro quadrado. fazendo racioc´ınio análogo para as outras duas faces do cubo infinitesimal. a integral de superf´ıcie é uma integral de superf´ıcie fechada. Fig.3 Divergência de D Como não existe fluxo elétrico sem uma carga. com a dire¸c˜ ao radial. porque a distribui¸c˜ ao de fluxo e de potencial depende do meio (ver associa¸c˜ ao de capacitores em série e paralelo). ~ . a idéia de fluxo elétrico é expressa pela equa¸cão: Q = K0 ψ onde K0 é uma constante de proporcionalidade e depende das unidades de medida. tem-se o fluxo total l´ıquido ∂Dx ∂Dy ∂Dz dψ = + + dx dy dz (30) ∂x ∂y ∂z O termo entre parênteses de (30) é chamado divergente de ~ Assim.O fluxo elétrico total é numericamente igual ` a carga livre Q de um condutor. a diferen¸ca entre as duas f´ ormulas est´ a apenas na permissivi~ Entretanto. ~ é o .2 Indu¸cão elétrica D ~ B. com vetor normal de área ~ = −dx dy ~k. o fluxo infinitesimal vale D. vale ψsup = (Dz ) dxdy O saldo nas duas faces ψsup − ψinf = ∂Dz dx dy dz ∂z Agora. Quando o meio for o ar. O fluxo na face inferior. o sentido definido pela carga e o módulo dado pela equa¸c˜ ao: 1 Q D= 4π r2 . com vetor normal de área dS dx dy ~k. H ~ · dS ~ D Qinterior lim = lim =ρ ∆v→0 ∆v→0 ∆v ∆v Este resultado constitui uma das equa¸ c˜ oes de Maxwell para campos estáticos. Para uma superf´ıcie grande.Uma carga puntual Q produz uma densidade de fluxo D a uma distância r. engenheiros.ELETROMAGNETISMO 32 ~ B. entre as quais se intercala a substância dielétrica. inseriu-se um dielétrico com constante dielétrica r = 2. Quando a quantidade de fluxo que sai de uma determinada regi˜ ao é maior do que a que entra dizemos que temos nessa regi˜ ao uma fonte de fluxo e portanto a divergência ser´ a positiva.conhecido como capacitância . A seguir.51 m2 e separa¸c˜ ao de 10 mm (com ar r = 1). Por simetria. e. Essa grandeza tem dimensões de carga por potencial elétrico e se mede comumente em farads (coulombs por volts). de raio r. 04 nC e a carga polarizada. Assim. o fluxo será radial.9: Considere-se que um cilindro longo e oco esteja cheio de ar sob press˜ ao.Este problema pode ser resolvido de duas maneiras distintas: imaginando uma superf´ıcie simétrica ou fazendo a integral dos fluxos. 375 × 1. 625 nC/m 2 e a polariza¸cão P P = D − 0 E = 110. pois a tensão aplicada se manteve constante. q = P S = 63. mas a diferen¸ca Q − q permaneceu constante. Considerando a carga qL Coulombs por metro de condutor. 51 = 95. também conhecidos como condensadores ou capacitores. 51 = 167.p. ♦ Exemplo II. D e P ? Solu¸c˜ ao: O campo eletrost´ atico vale E = 50/10/0. A capacidade de armazenamento de um condensador se avalia mediante um coeficiente . 69 nC Observamos que houve um aumento da carga livre nas placas. Em coordenadas cil´ındricas a divergência é dada como abaixo ~ ·A ~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aφ + ∂Az (33) ∇ r ∂r r ∂φ ∂z Em coordenadas esf´ ericas a divergência é dada como abaixo ∂ 1 ∂Aφ ~ ·A ~ = 1 ∂ (r2 Ar ) + 1 ∇ (Aθ sen θ) + 2 r ∂r rsen θ ∂θ rsen θ ∂φ (34) Uma das formas de se caracterizar como um campo vetorial varia de ponto a ponto no espa¸co é através da sua divergência. de 50 V. Substituindo ρ na lei de Gauss obtemos rela¸cão ∇ o chamado teorema da divergência de Gauss ou teorema da divergência aplicado ` a eletrost´ atica I Z ~ · dS ~= ~ · D)dv ~ D (∇ A indu¸cão eletrostática D é D = 0 r E = 8. A área da superf´ıcie lateral do cilindro com 1m de altura é 2πr m2 . 375 nC/m 2 A carga livre nas placas é Q = D S = 110. 5.♦ Exemplo II. 25 nC/m A polariza¸cão P vale P = D − 0 E = 0 V ol Este teorema é aplic´ avel a qualquer campo vetorial. os quais constam basicamente de duas placas condutoras com potencial elétrico distinto. vemos que a quantidade de ar que entra n˜ ao é igual à que sai pelo lado oposto. A divergência é ent˜ ao nula.que depende de suas caracter´ısticas f´ısicas e geométricas. 25 = 63. (c) A polariza¸c˜ ao P . 85 × 10−12 × 2. o módulo da densidade de fluxo elétrico é qL coulombs/metro quadrado D= 2πr Finalmente. para o exemplo anterior.11: Entretanto. 5. 625 − 44.10: Duas placas planas paralelas têm uma a´rea de 1. n˜ ao h´ a na região nem fonte nem sorvedouro. Quando a quantidade de fluxo que entra numa determinada regi˜ ao é maior do que a que entra dizemos que temos nessa regi˜ ao um sorvedouro e portanto a divergência ser´ a negativa Quando toda a quantidade de fluxo que entra é igual a que sai. (b) A indu¸cão eletrostática D. Essa divergência pode ser nula ou diferente de zero dependendo das quantidades de fluxo que entrem ou saem de uma certa regi˜ ao. reto e cil´ındrico tem uma carga elétrica uniforme ao longo de seu comprimento e está isolado de outras cargas de modo que sua carga esteja uniformemente distribu´ıda em sua periferia. todos os pontos eq¨ uidistantes desse condutor têm a mesma densidade de fluxo elétrico. ♦ Exemplo II. e ver se o balan¸co l´ıquido é diferente de zero. calcular: (a) O campo eletrost´ atico E. que tende a zero no ponto P . Desprezando o efeito de borda. Em coordenadas cartesianas a divergência é calculada por ~ ·A ~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ∇ ∂x ∂y ∂z (32) que nos dá o significado da divergência como sendo um fluxo por unidade de volume ou uma densidade de fluxo. 51 = 66. temos ainda E = 5000 V/m. a densidade de fluxo elétrico a r metros do condutor pode ser calculada imaginando uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica concêntrica ao condutor. E= qL V/m 2π0 r . 625 × 1. 81 nC e não existe carga polarizada. 001 = 5000 V/m 2 A carga livre nas placas é Q = D S = 44. Quais ser˜ ao os novos valores de E.ELETROMAGNETISMO 33 ~ ·D ~ = ρ. Se um condutor longo. com um dielétrico de constante dielétrica r = 2. ~ em um A divergência de um campo vetorial qualquer A ponto P é definida por H ~ · dS ~ A ~ ~ ∇ · A = lim ∆v→0 ∆v onde a integra¸cão é feita sobre a superf´ıcie de um volume infinitesimal ∆v. Exemplo II. 85 × 10−12 × 1 × 5000 = 44. e a tampa de uma extremidade seja retirada rapidamente. 5 × 5000 = 110. A velocidade v do ar tem divergente. pois se colocarmos um pequeno volume num ponto. encontramos o campo elétrico no ponto P . (d) A carga livre Q e polarizada q. 25 × 1.d. dividindo D pela permissividade do meio . onde o volume V ol é limitado pela superf´ıcie S. e estão submetidas a uma d. Esta é a forma de ver se um campo tem divergente: colocar um pequeno volume. Este resultado era esperado. A nova indu¸cão eletrostática D será D = 0 r E = 8. O estudo dos dielétricos adquire grande relevância na constru¸cão de dispositivos armazenadores de energia elétrica.12: Fio infinito carregado . pois o dielétrico inicial é o ar. para fora do condutor. Se |E| ~ D. 2π. Qual a densidade de fluxo elétrico na superf´ıcie externa da esfera? Qual é a densidade de fluxo a 0. 0. 2.1: Qual a diferen¸ca entre fluxo elétrico e campo elétrico? A densidade de fluxo elétrico é o mesmo que a carga? Sabendo que o ponto P (2.4: Uma esfera metálica tem 0. ♦ 0 0 P II-B. a maioria dos problemas práticos podem ser reduzidos a problemas simples. o fluxo total do cilindro é igual a duas vezes o fluxo de cada base. incluindo ambas as cargas superficiais? 0 B.13: Seja ρ = (10−6 /r) C/m3 em coordenadas esféricas. sendo necess´ ario fazer uso da intui¸cão e da prática. Observa-se que a aplica¸c˜ ao do teorema de Gauss é bem mais simples. 1 × 10−10 C/m2 ) P II-B. x = 1. ent˜ ao é igual ` a quantidade de carga estática de um corpo carregado? P II-B. 0 ≤ θ0. 0).2: Qual é o significado do fluxo eletrost´ atico ψ? Se fluxo elétrico ψ é igual ` a carga Q. 0 ≤ θ ≤ π. num ~ = 2~i + 3~j − 5~k V/m. Determine a carga contida: (a) na esfera r ≤ a. 1.disco ou outra superf´ıcie plana carregada. ρV = ρ0 r/a (ρ0 e a constantes). (c) na região r ≤ a. 2. 9π ≤ φ ≤ 0. Quando é que precisamos calcular a distribui¸c˜ ao de fluxo e campo elétrico usando métodos experimentais? Novamente. 1) está na superf´ıcie do condutor e que ele está situado no vácuo. (b) no cone r ≤ a. Esboce as superf´ıcies equipotenciais V = 0 e V = 100 V. 3). z = 0 e z = 3. 1π. Estas são duas superf´ıcies condutoras. com o plano das cargas. (b) a carga contida em uma esfera de 1mm de raio centrada na origem. 0) e (2. a densidade superficial de carga é 75 nC/mm2 .1Q/h2 .5: V = 1000rc 2 V em coordenadas cil´ındricas.13: Superf´ıcie plana infinita. A superf´ıcie x = 0 é um plano condutor.5 m distante da esfera? (R: 6. P II-B. determine E. ♦ Observa¸c˜ oes: 1.5a semana P II-B. Mas. P II-B. situado no vácuo.0) em um dos condutores. ♦ Exemplo II. determinar o vetor unitário normal à superf´ıcie bem como a densidade superficial de carga no condutor. 1.12: Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando linearmente com o raio. . ~ e ρS neste ponto.ELETROMAGNETISMO 34 que é igual ao valor obtido pela lei de Coulomb. 0 ≤ φ ≤ 0. encontre ~ fora e dentro do condutor nas vizinhan¸cas do ponto P .9: Um campo potencial é dado por V = 100 ln (x + 1)2 + y 2 V. y = 0. .14: Comprovar o teorema da divergência para ~ = 2xy~i + x2~j e o paralelep´ıpedo formado pelos planos D x = 0. Qual é a carga total ao longo de 1 m de comprimento. obter este resultado pela lei de Coulomb.10: Uma carga puntual Q localiza-se a uma distância h de um plano condutor.3 m é vácuo e as superf´ıcies 0. −5. P II-B. não há uma regra geral.3: O campo elétrico criado por uma carga Q. (x − 1)2 + y 2 1 2 Z = P II-B. P II-B.3 são condutoras. Se a região 0. 5 × 10−10 F/m. −1. P II-B. Deixamos como exerc´ıcio. Encontre a densidade superficial de carga no ponto C(1. Mas quando podemos aplic´ a-lo? N˜ ao há uma regra geral para esta quest˜ ao.6: Um campo potencial elétrico é dado por V = x4 + y 4 − 1 V. Determine a densidade superficial de carga na origem.7: Em um ponto P (−2. 28o ≤ θ ≤ 31o . 5. Determine a densidade volumétrica de carga no ponto P (2. E 2 Z 0 P II-B.1 < rc < 0. 2) em ~ = 50 V/m e o campo está orientado sua superf´ıcie. como por exemplo: . h. Se o condutor está isolado no vácuo.meia casca e outras superf´ıcies esféricas carregadas. 2 × D × S = ρS × S isolando D e dividindo pela permissividade ρS e E= O resultado indica que o campo n˜ ao varia com a distância. 3.59 µC/m2 ) Exemplo II. Qual é a carga ao longo de 1 m de comprimento da região onde há vácuo? 3.5 m de raio com 20 µC distribu´ıdo em sua superf´ıcie. P II-B.11: Duas cargas puntuais de −100πµC estão localizadas em (2.36 µC/m2 e 1. entre as superf´ıcies. Esta equa¸cão pode ser usada para calcular o campo de duas placas paralelas.0. 96π. . A origem está situada no interior do condutor e o ponto A(18. Com integral de superf´ıcie: I ~ · dS ~= D 3 Z 3 Z Z + 0 (2y~i + ~j) · (dydz~i) 0 1 Z (x2~j) · (dxdz~j) + 0 0 3 Z 3 Z (4x~i + x2~j) · (dxdz~j) 0 2y dydz = 12 0 0 Com integral de volume: ~ ·D ~ = ∂ (2xy) + ∂ (x2 ) = 2y ∇ ∂x ∂y Z ~ · Ddv ~ ∇ = Z 3 Z 2 Z 1 2y dx dy dz = 12. Se cortarmos um cilindro (superf´ıcie gaussiana) exatamente no seu centro. Sabendo que a ponto qualquer é E permissividade do meio é 0. 1. especifique a densidade superficial de carga de cada condutor. −4) em uma superf´ıcie condutora esférica.4 Exerc´ıcios . ou. Determine ρS no ponto P (0. qual é a intensidade do deslocamento elétrico neste ponto? (R: 3. felizmente. 0). 2. 1.1 e 0.condutores retos semi-infinitos carregados. Determinar o lugar geométrico dos pontos do condutor para os quais a densidade superficial de carga é 0. y = 2. 1. 2. 1.8: A superf´ıcie x + 2y 2 + 4z 3 = 100 é o contorno de um objeto condutor situado no vácuo. Determine: (a) a densidade volumétrica de carga na origem. (c) a carga contida na região 10 ≤ r ≤ 20mm. P II-B. +q e −q. tem-se CL = 2π0 Farad ln rrab .16: Uma esfera condutora met´ alica de raio R = 0. + 1/Cn Estas capacitâncias equivalentes podem ser combinadas para calcular a capacitˆ ancia de combina¸c˜ oes série . é necessário conhecer a distribui¸cão do campo elétrico e o potencial associado. inicialmente neutro. determinamos a capacitância de um particular capacitor da seguinte maneira: (1) supomos que uma carga q tenha sido colocada sobre as placas. poderão ocorrer centelhas. O módulo do campo elétrico é Q=CV onde C é uma grandeza de proporcionalidade caracter´ıstica das dimensões e forma do condutor e do meio no qual se encontra. Pergunta-se: a) Qual a carga total da casca carregada? b) Qual a intensidade. φ) = 2 × 10−10 /r2 C/m3 . Conhecendo-se a distribui¸cão do campo.15: Calcular para o ponto P (0.1 Capacitâncias simples Em muitos problemas de engenharia elétrica.14: A densidade de carga elétrica de uma casca de raio interno 10 cm e raio externo 11 cm é dada por ρ(r. **O capacitor de placas paralelas Como primeiro exemplo. . Um capacitor consiste em dois condutores isolados (placas).6~j + 0. e assim sucessivamente. ele adquire potencial elétrico V .0~j + 3. e seu a densidade de fluxo D módulo vale D = Q/A. ou diferen¸ca de potencial entre as placas vale: V = Qd 0 r A como C = Q/V . pode-se determinar também a densidade superficial de carga sobre os condutores que limitam o campo e a capacitância entre eles. significa que a carga Q e o seu potencial elétrico V são grandezas diretamente proporcionais: Q é proporcional a V . ~ criado por esta (2) determinamos o campo elétrico E carga. Eletrizando-o com carga Q. (R: ρ = −320 r ) C. Com carga 2Q o potencial passa a ser 2V . (4) calculamos C usando a equa¸cão C = Vq . A capacitância C é definida por C= F~4 = xy 2 z 3 (~i + 2. Capacitˆ ancia e dielétricos Considere um condutor isolado.6). Apresenta-se nesta se¸cão distribui¸cões de potencial.ELETROMAGNETISMO 35 P II-B. −4. a divergência de cada um dos seguintes campos: F~1 = xze2y (z~i + xz~j + x~k) p F~2 = (x~i + y~j + z~k)/ x2 + y 2 + z 2 F~3 = 0. θ. 5 m foi carregada com uma carga de 1 µC. Q A ~ é uniforme entre as placas. e. vamos calcular a capacitância das placas paralelas. expressa em Farad (s´ımbolo F).35~k C. (3) calculamos a diferen¸ca de potencial V . respectivamente.paralelo mais complicadas. + Cn (n capacitores em série) 1/Cs = 1/C1 + 1/C2 + . A densidade linear de cargas do cilindro interno é ρL . Por exemplo. e se poss´ıvel. dire¸c˜ ao e sentido do campo elétrico na superf´ıcie interna. Denomina-se capacitˆ ancia C. que possuem cargas iguais. . este fenômeno é chamado efeito corona. c) na superf´ıcie externa? P II-B.2~i − 0. Se isso acontece. com raios rg (interno) e ra (externo). 0. São subm´ ultiplos convenientes do Farad: 1 µF = 1 micro Farad = 10−6 F 1 nF = 1 nano Farad = 10−9 F 1 pF = 1 pico Farad = 10−12 F O valor da capacitˆ ancia C entre duas placas planas paralelas é: A C= d q V E= Q 0 r A A tensão.3. se o módulo do campo exceder o valor de ruptura do meio dielétrico. resulta C= Q Qd 0 r A A d **O capacitor cil´ındrico Sejam dois cil´ındricos metálicos coaxiais. a capacitância para diversas formas geométricas simples. . Como se distribuem as cargas nesta esfera? Qual a densidade superficial de carga nessa esfera? (R: 1/πµC/m2 ) P II-B. mas de sinais opostos. como C = Q/V .0~k) P II-B.17: Calcular a fun¸c˜ ao para a densidade volumétrica de cargas ρ quando o potencial elétrico seja V = 8(x2 + y 2 ). O campo E em um ponto P a uma distância r do eixo dos cilindro é C = 0 r E= ρL 2π0 r A diferen¸ca de potencial entre os dois cilindros será: ρL ra V =− ln 2π0 rb e. . A densidade superficial de carga é: ρS = onde A e d é a área e o espa¸camento entre as placas. Associa¸c˜ ao de capacitˆ ancias As capacitâncias equivalentes Ceq das combina¸cões de capacitores individuais dispostos em paralelo e em série são: (n capacitores em paralelo) Cp = C1 + C2 + . Portanto Geralmente.1. Uma outra parte do mesmo estará em alta tensão V = Va .2 Dielétricos Os materiais isolantes ou dielétricos. são caracterizados pela “rigidez dielétrica” K (kV/cm). observemos o quanto é necessário que conhe¸camos os campos elétricos em um equipamento e.metade da distˆ ancia entre os centros dos fios r . E também afetada pela forma e dimensões dos eletrodos e da forma de onda e tempo de varia¸cão da tensão aplicada. Notamos. Em muitos equipamentos sujeitos a altas varia¸cões de tensões. o campo ´ e maior. Procuremos evidenciá-la através do exemplo relativo a um barramento de subesta¸cões. Ao aplicarmos uma tensão V haverá um ac´ umulo de cargas positivas e negativas nas placas. adimensional h . e mesmo valor. Aumentando esta tensão V . Alguns desses valores estão listados na Tabela XI. Todo material dielétrico possui uma rigidez dielétrica caracter´ıstica. resulta C = 4π0 ra rb ra − r b **Linha de transmiss˜ ao paralela e infinita Suponhamos que duas linhas carregadas infinitas e paralelas estejam separadas por uma distˆ ancia 2s. além da “constante dielétrica r ”. umidade absorvida e. Se este valor for substancialmente excedido. Suponhamos que uma parte do equipamento esteja aterrado (V = 0). 1953): 12. o material dielétrico se romperá originando um caminho condutor entre as placas. A discussão das linhas carregadas infinitas é facilmente estendida ao caso de uma linha infinita consistindo de dois condutores cil´ındricos paralelos ou fios. porém descresce com o aumento da temperatura e da umidade absorvida. A capacitˆ ancia por unidade de comprimento é (KRAUS&CARVER. Neste sentido. que é limitar a diferen¸ca de potencial que pode ser aplicada entre as placas a um certo valor Vmax . os efeitos poderão ser nocivos para o equipamento. é necessário que o campo mais intenso do equipamento não exceda a rigidez dielétrica do meio onde este campo se encontra. temperatura. pelo “ângulo de perdas tan δ”. 1 pF/m CL = q h h 2 log r + −1 r onde: r . e muito se pode aprender a respeito de suas propriedades por meio do estudo de seu comportamento sob condi¸cões estáticas. pois ao mesmo tempo que . O campo E em um ponto P a uma distˆ ancia r é dado por: E = 4πQ0 r2 . forma de ´ um faonda da tensão aplicada. Se estes campos excederem um certo limite.permissividade relativa do meio que circunda os condutores. em ´ certa faixa. se a terra for removida e um condutor idêntico for colocado abaixo do plano de terra. De um modo geral a rigidez dielétrica de um material varia inversamente com a espessura (nos materiais sólidos) e o tempo (tempo menor igual 1 minuto). Notamos que a unidade de K é a mesma que a de campo elétrico. que é a intensidade m´ axima do campo elétrico que ele pode suportar sem sofrer ruptura. então. O quadro XI fornece as principais caracter´ısticas de alguns materiais isolantes de uso normal em equipamentos e instala¸c˜ oes elétricas. onde o espa¸camento é maior. Definiremos a rigidez dielétrica K como sendo: K= Vc V/m l onde K representa a tensão máxima que um isolante pode suportar por unidade de comprimento sem que haja ruptura no mesmo. e pela “temperatura limite de opera¸cão o C”. Consideremos que exista um isolante colocado entre duas placas metálicas separadas pela distância l e submetidas a uma tensão V entre elas. Este é o tipo de linha de transmiss˜ ao comumente usado na prática. C. e que as densidades de carga das duas linhas tenham sinais contrários. perfura¸cão ou destrui¸cão do material sob determinadas condi¸cões normalizadas de temperatura. de um isolante. Assim. porquanto a espessura de material isolante necessária é determinada pela máxima tensão de trabalho e de ensaio e do gradiente de potencial permitido considerando um conveniente fator de seguran¸ca. distante r1 da linha positiva e r2 da linha negativa. em particular. A rigidez dielétrica de um material depende de sua composi¸cão. equipamentos de alta tensão.ELETROMAGNETISMO 36 **O capacitor esférico Sejam duas esferas met´ alicas concêntricas. a situa¸cão será a mesma que numa linha paralela. o campo elétrico é menor. mas com o dobro da capacitância. e a diferen¸ca de potencial entre as duas esferas é Vba = − Q 4π0 Z a b 1 Q dr = r2 4π0 1 1 − rb ra como C = Q/V . os campos mais intensos.raio do condutor (nas mesmas unidades que h) **Linha de transmiss˜ ao unifilar e infinita Uma linha de transmissão unifilar com retorno pela terra é uma forma ocasionalmente usada. **A rigidez dielétrica Precisamos tomar um cuidado b´ asico ao usar um dielétrico. A rigidez dielétrica na prática é normalmente interpretada como sendo o gradiente de potencial de ruptura do material o qual é definido como o menor gradiente de potencial (normalmente dado em kV/cm) que irá causar a ruptura. espessura. tempo. e em particular. ou gradiente de tensão. que em certas partes do equipamento podem existir campos (ou gradientes de potencial) de fortes intensidades. frequência e eletrodos. do tempo de aplica¸cão do potencial elétrico. Definamos então a rigidez dielétrica K. E tor muito importante no projeto de equipamentos (transformadores e máquinas elétricas) que devem operar com elevadas tensões. Portanto. O perfeito conhecimento da distribui¸cão de campos permite um dimensionamento racional do dispositivo. a ex~ assume pressão relativa ao campo eletrostático E = −∇V um papel de grande importância. Em boa aproxima¸cão. a interna de raio rb e positiva e externa de raio ra e negativo. Não existe rela¸cão definida entre estas variáveis tendo cada material suas caracter´ısticas próprias. Onde as distˆ ancias forem pequenas. atingiremos uma tensão cr´ıtica Vc na qual haverá um ac´ umulo tal de cargas entre as duas placas que criar-se-á uma corrente (ou arco elétrico) entre elas “perfurando” o isolante e portanto fazendo com que ele perca suas propriedades de isola¸cão. é então a soma vetorial do campo de cada linha considerada separadamente. A distribui¸c˜ ao de campo deste tipo é determinada prontamente pela teoria das imagens (método antigo de cálculo de campo). O campo elétrico E num ponto P. todo o material. sen˜ ao a maior.foi o primeiro a investigar o assunto . Muitos autores pesquisaram e demonstraram que os materiais isolantes sólidos tem o tempo de vida reduzido à metade para cada 8 a 10 o C de acréscimo da temperatura. Isolamento das liga¸c˜ oes. que é um material isolante tal como óleo mineral ou plástico. por um capacitor é: PC = tan δ V 2 ωC onde ω .4 kV. como evidenciado acima. 78 kV/cm e. nesta configura¸cão.0 respectivamente. Preenchendo-se o espa¸co entre as placas de um capacitor com um dielétrico. de caracter´ısticas dos materiais isolantes. 7. calcular a tensão de prova suportada para duas camadas de óleo com 2cm de espessura. em Watts. tem-se a perda de 0. Isolamento entre bobinas de uma mesma fase. Solu¸c˜ ao: Se aplicarmos uma tens˜ ao de prova de 100 kV. ele poder´ a ser otimizado em suas formas geométricas. Qual é o seu fator de dissipa¸cão tan δ? Solu¸c˜ ao: tan δ = 0. por isso. Se por uma questão de gradiente de potencial elevado. Isolamento dos terminais e buchas passantes. carboniza e se rompe ou perfura. como é o caso de um transformador. o material aquece. Salientamos finalmente que um campo elétrico excessivo pode ser nocivo não somente para o equipamento. Fazendo a associa¸c˜ ao de capacitores em série.valor do capacitor em Farad. Considere o problema do isolamento entre as bobinas de AT e BT com um cilindro isolante dividindo o canal de dispersão de fluxo elétrico em dois canais de ´ oleo e uma camada de papelão.2 e 6. a potência dissipada PC . O isolamento de um transformador compreende: 1. Estas perdas são representadas pela componente resistiva da corrente. Em princ´ıpio o transformador opera em tensões elevadas.2 2. Isolamento entre a bobina interna e o n´ ucleo. Exemplo II. 4. e conseq¨ uentemente de opera¸cão. Isolamento entre a bobina externa e a caixa (tanque). Isolamento das cabeceiras das bobinas. 8. possui um “tempo de vida”. tan δ é muito pequena e dada em “partes por mil”. 5 PC = 2 = 0. A opera¸c˜ ao em tens˜ oes sempre maiores tem feito do isolamento o principal t´ opico de pesquisas e de desenvolvimento de novos materiais isolantes. compacto e de custos menos elevados. para atingir um limite máximo de resistência mecânica.5 W no mesmo. são especificadas no quadro VI. umidade ou materiais danosos no isolante as perdas forem maiores do que a capacidade de dissipa¸cão do calor no meio circundante. 2.2 Eoleo = 219. 0053 2 V ωC 50 2π1000 6E − 6 δ = 0. Isolamento entre fases. Assim. e uma camada de papel˜ ao com 1. que segundo a EB-91 da ABNT. O envelhecimento do material devido à temperatura pouco afeta a rigidez dielétrica do mesmo até o instante em que ele quebra ou se destrói.velocidade angular 2πf . teremos os campos elétricos 100 000 Eoleo = 2. 6. que será 36.15: O isolamento de um dispositivo eletromagnético. pode-se demonstrar que: Vp Eoleo = oleo a1 oleo + a2 p + a3 oleo Vp Ep = p a1 oleo + a2 p + a3 oleo Estas expressões determinam os gradientes de potencial no óleo e no papelão. pois é esta a caracter´ıstica que o torna u ´til nos sistemas elétricos. Estas perdas dielétricas devem ser dissipadas do material isolante. e a rigidez dielétrica do óleo é 80 kV/cm e do papel˜ ao 200 kV/cm. 3.ELETROMAGNETISMO 37 ele será seguro. Sabemos que as permissividades relativa do ´ oleo e do papelão valem 2. se constitui numa das principais. ♦ **Perdas nos dielétricos Em todos os dielétricos sólidos e l´ıquidos têm-se perdas diel´ etricas que são de duas origens: a) correntes de condu¸cão. e. formando um ‘sandu´ıche’. Como se observa na tabela XI. Exemplo II. Isolamento entre espiras entre camadas e entre discos.17: Submetendo um capacitor de 6 micro Farad a uma tensão de 50 V e uma freq¨ uência de 1000 Hz. corresponde à temperatura em que pode trabalhar o material sem se danificar. Utiliza-se um coeficiente de seguran¸ca que depende do projeto. preocupa¸cão para o projetista. Assim. o óleo romperia primeiro.16: Considerando o problema do isolamento entre as bobinas de AT e BT de um transformador.2 2. com rela¸cão à temperatura limite de opera¸cão.a quem se deve todo o conceito de capacitância e. Na ordem de grandeza usual. admitindo-se que o campo. chamada tan δ. comutadores e painéis de liga¸cão. fazemos uma regra de três para calcular a tensão de prova. 5. Assim. o que acontece com a capacitância? Michael Faraday . de forma semelhante Epapel = 80.15 6 + 0. 303o ♦ **Temperatura limite A temperatura limite (em o C).5cm. entre AT e BT seja uniforme. assim teremos um equipamento seguro. Estes gradientes n˜ ao podem ser superiores aos gradientes de ruptura do ´ oleo e/ou do papelão nas condi¸cões de sobretens˜ oes de ensaio. a uma dada temperatura constante. os materiais isolantes são classificados em “classes de isolamento”. ♦ Exemplo II. As caracter´ısticas mecânicas de um material isolante sólido se deterioram com o aumento da temperatura. e b) histerese. mas também no aspecto que tange a seguran¸ca de seres vivos que se encontrem na zona onde este campo se localiza. 2 0. Esta deterioriza¸cão das caracter´ısticas depende da temperatura e do tempo e se denomina de “envelhecimento do material”. teve seu nome escolhido como unidade SI de capacitância . 586 kV/cm Observa-se que. respectivamente. C . para que seja atingido o tempo de vida econômico do equipamento.2 + 0. do óleo e do papelão (cilindro) e Vp a tens˜ ao de prova (ensaio). Sendo oleo e p as constantes dielétricas. podese calcular os gradientes de potencial Eoleo e Ep no óleo e papelão. Também observa-se pelas expressões que o gradiente será maior no material com menor constante dielétrica. a constante dielétrica diferente para os diversos materiais que compõem um determinado isolamento. O Desfibrilador Cl´ınico . para a outra placa. 854 × 10−12 Farad/metro é a permissividade elétrica do ar ou do v´ acuo. imaginemos que . enquanto a carga se acumula sobre as placas do capacitor. Quando uma chave de controle é fechada. uma carga q já tenha sido transferida de uma placa para outra. pela libera¸cão da corda do arco. a diferen¸ca é geralmente insignificante. como por exemplo. tratados com verniz ou imersos em ´ oleo Mica. com se ver´ a adiante. A seguir. Tal trabalho é armazenado sob a forma de energia potencial W no capacitor. de modo que esta equa¸cão é válida qualquer que seja a geometria do capacitor. além de outras propriedades que veremos a seguir. fibra de vidro aglutinados com silicone e outras Mica. Suponhamos que. C. A rela¸c˜ ao entre os vetores ~ eE ~ é denominada permissividade elétrica . um circuito eletrônico usa-a repetidamente para aumentar intensamente a diferen¸ca de potencial do capacitor. a medida de sua constante dielétrica d´ a um valor ligeiramente maior que um. em Farad / D metro. A constante dielétrica do v´ acuo. asbesto. cada vez mais. num dado instante.A eficácia de um capacitor para armazenar energia potencial é a base do Desfibrilador. bem como de um instante de tempo para outro (num mesmo ponto).usando “pin¸cas mágicas” o agente externo retire elétrons de uma placa e os transfira. sˆ eda e papel “n˜ ao tratados” e n˜ ao impregnados em ´ oleo Algod˜ ao. quartzo e materiais orgˆ anicos semelhantes em 1837.permissividade relativa ou constante diel´ etrica de um material. do mesmo modo que podemos recuperar a energia potencial armazenada num arco. a seguir. armazenando uma grande quantidade de energia em menos de um minuto. Na prática. A potência. permitindo a descarga do capacitor num circuito. o capacitor envia uma parcela de sua energia armazenada de um terminal a outro através do corpo da v´ıtima. Se transferirmos. asbesto. e a indu¸c˜ ao elétrica D a associada à carga elétrica Q de um circuito. r .ELETROMAGNETISMO 38 TABELA VI Classe de isolamento dos materiais isolantes. No projeto de transformadores. D de um ponto do espa¸co para outro. Terminais condutores (paddles ou condutos) são colocados sobre o peito da v´ıtima.4 Energia no capacitor Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor.é a susceptibilidade elétrica. a permissividade elétrica não é necessariamente constante. Podemos recuperar tal energia quando quisermos. na constru¸cão de capacitores em que a capacitˆ ancia aumenta diretamente com a constante dielétrica do material entre as placas.permissividade total de um material. fibra de vidro e materiais inorgˆ anicos similares Mica. percebeu que a capacitância aumentava por um fator numérico r . A Tabela XI apresenta alguns materiais dielétricos e suas constantes dielétricas. por defini¸cão. O campo elétrico que se estabelece no espa¸co entre as placas tem dire¸cão que tende a se opor a uma transferência adicional. A constante dielétrica é uma propriedade importante dos materiais isolantes. o agente externo terá que. C. Usando aparatos simples.3 Permissividade elétrica Vimos anteriormente. porcelana. traz algumas dificuldades de dimensionamento. Da mesma forma que a lei de Ohm. vidro. a freq¨ uência ou o campo elétrico. aparelho usado por uma equipe médica de emergência para conter a fibrila¸cão de um cora¸cão vitimado por um ataque. mas pode variar com a temperatura. b) Na presen¸ca de dielétrico sem perdas: ~ = 0 r E ~ D onde |||| é um tensor (ou matriz) de permissividade. Neste ~ eE ~ podem variar tanto em módulo como em dire¸cão caso. Visualizamos o trabalho necessário para carregar um capacitor. uma carga extra dq. à custa de sua reserva de energia qu´ımica. ou taxa de transferência de energia. Porque o ar é na maior parte um espa¸co vazio. durante esse processo de carga é também modesta. Na versão portátil. b) Na presen¸ca de dielétrico com perdas: ~ = ||||E ~ D Classe 90o C Nome O 105o C A 130o C B 155o C F 180o C H > 180o C C Materiais representativos Algod˜ ao. Come¸cando com um capacitor descarregado. que o campo elétrico está associado ~ est´ a` tensão elétrica V . é igual a um. mas sim por uma bateria. a) No vácuo: ~ = 0 E ~ D onde 0 = 8. A diferen¸ca de potencial V entre as placas. será V = q/C. esse trabalho não é realizado por “pin¸cas mágicas”. A bateria mantém somente uma diferen¸ca de potencial modesta. . um de cada vez. uma bateria carrega um capacitor a uma diferen¸ca de potencial elevada. naquele instante. asbesto. ou r = 1 + q = 1 + χe Q−q onde χe . que denominou de constante dielétrica do material introduzido. como armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U no campo elétrico entre as placas. a quantidade adicional de trabalho necessário será dW = V dq = (q/C) dq O trabalho necessário para carregar plenamente o capacitor até um valor final Q é Z W = onde dW = 1 C Z Q q dq = 0 1 Q2 2 C = r 0 onde . veremos que a energia potencial de um capacitor carregado pode ser considerada armazenada nas cargas e no campo elétrico entre suas placas. aumentar a quantidade de trabalho para transferir elétrons adicionais. sˆ eda e papel impregnados. fibra de vidro com substˆ ancias aglutinantes adequadas Mica. Desse modo. ~ · dL ~ = (E ~ 1t + E ~ 1n ) · dL ~ = E1t dL E e analogamente. Citemos como exemplo que entre o ar.como está situada na superf´ıcie-fronteira. E1n 2 E1 E1t dL 1 ? 1 1 2 dL E2t 2 E1t E1n θ1 E1 ? E2 θ 2 E2n E2t / ? 1 2 Examinemos o caso particular. ♦ Caso particular sem carga na fronteira C. maior será a varia¸cão angular entre os campos E1 e E2 . sem fonte de corrente I ~ · dL ~ =0 E L(S) Considerando desprez´ıveis as circula¸c˜ oes nos lados menores de L(S). podemos um campo elétrico E . qualquer que seja a fonte do campo elétrico. a rela¸cão máxima entre permissividades não ultrapassa o valor 4. Suponhamos a existência de dois meios de permissividade elétrica diferentes: 1 e 2 nos meios 1 e 2. consideraremos E1 e E2 constantes em S (retˆ angulo de comprimento infinitesimal dl).18: Um capacitor de 70 µF num desfibrilador está com carga de 5.pode-se demonstrar que a varia¸cão de indu¸cão elétrica na passagem de um meio para outro é igual à densidade superficial de cargas existentes na fronteira entre estes dois meios. desprezando-se a distor¸cão. chegamos ` a E1t = E2t Embora tenhamos deduzido este resultado para o caso especial de um capacitor de placas paralelas. Podemos determinar w dividindo a energia potencial total W pelo volume Ad do espa¸co entre as placas. Este efeito.000 V. e a energia armazenada no capacitor é U = 1/2CV 2 = (1/2)(70 × 10−6 )(5. o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos entre as placas. ρS = 0. Conserva¸c˜ ao da componente normal da indu¸c˜ ao elétrica Fazendo a suposi¸cão que na fronteira entre estes dois meios exista uma carga estática uniformemente distribu´ıda . Aproximadamente 200J dessa energia s˜ ao enviados através da v´ıtima durante um pulso de cerca de 2. óleo mineral isolante.000)2 = 875J.ELETROMAGNETISMO 39 Exemplo II. na passagem de um meio para outro. = t 2 × 10−3 significando que as componentes tangenciais de campo elétrico se conservam. Neste caso. tra¸cado obtido através do sistema de cálculo de campos EFCAD. isto é. chamado “refra¸cão” é semelhante ao que ocorre em raios luminosos na passagem por meios de ´ındice de refra¸cão diferentes. C. onde não há cargas estáticas acumuladas na fronteira. Assim sendo. temos: E1t = E2t e 1 E1n = 2 E2n Observando a figura abaixo. ele é válido. tan θ1 1 = tan θ2 2 Notamos que quanto maior a varia¸cão de permissividade. da UFSC. observa-se a varia¸cão angular que sofre o campo elétrico em uma estrutura onde com dois meios com diferentes permissividades. respectivamente. do prof. No livro Eletromagnetismo e C´ alculo de Campos. ~ 2 · dL ~ = −E2t dL E obtemos. a energia potencial por unidade de volume entre as placas.5 Refra¸cão dos campos da eletrost´ atica O campo eletrost´ atico. resultando w= Z Z −E2t E1t L1 1 0 E 2 2 =0 L2 como L1 e L2 são iguais. porém freq¨ uente. Existindo ~ em qualquer ponto do espa¸co. a densidade de energia w. Utilizando a equa¸c˜ ao de Maxwell. papelão. também é constante. No entanto. pode sofrer uma varia¸c˜ ao de dire¸c˜ ao. Notando que.0 ms. ou seja. João Pedro Assump¸cão Bastos. D1n = D2n + ρS muito maior que a potência da pr´ opria bateria. A potência do pulso é P = W 200 = 100kW. chega-se na seguinte expressão: E2 E ?2n Conserva¸c˜ ao da componente tangencial do campo eletrost´ atico Não havendo varia¸c˜ ao temporal de grandezas. cabe salientar que entre os meios dielétricos mais usuais esta varia¸cão de não é muito importante.6 Energia eletrostática Num capacitor de placas paralelas. obtemos: I Z Z ~ ~ ~ 2 · dL ~ = E1 · d L + E L(S) L1 L2 sendo L1 e L2 as parcelas de L(S) que se encontram nos meios 1 e 2 respectivamente. ela será definida por sua densidade superficial de carga ρS . em geral. De acordo com a defini¸c˜ ao de potencial: uma intensidade de trabalho igual a Q3 vezes o potencial de Q1 . Ent˜ ao a energia potencial do sistema é aumentada da quantia onde Vi é o potencial criado por todas as outras cargas j 6= i. calculamos a energia eletrostática de uma distribui¸cão de carga puntiforme. y. Suponhamos que se re´ una uma distribui¸cão de carga. . situadas a uma distˆ ancia infinita. então o trabalho necessário para colocar δq neste ponto será δWV = V 0 (x. tal que não exista for¸ca em nenhuma carga. Para obter a densidade de energia total armazenada em um conjunto ‘infinito de pontos’. . Nesta se¸cão consideraremos uma densidade volumétrica ρ.ELETROMAGNETISMO 40 considerá-lo como a primeira condi¸c˜ ao para termos energia potencial. z)δρ W = δW = ρ=0 2We = Q1 (V12 + V13 + V14 + . e elas estejam em equil´ıbrio. y. ou seja. . . . **Sistema com duas cargas puntiformes Consideremos um sistema com duas cargas puntiformes Q1 e Q2 . z)δq Q1 We = W2 + W3 + . y. A energia liberada pelo agente externo será convertida? Podemos pensar que a energia será armazenada no dielétrico. . Ent˜ ao a energia potencial do sistema é aumentada da quantia W3 = Q3 V31 + Q3 V32 Então o trabalho total necess´ ario para aproximar Q2 e Q3 de Q1 é We = W2 + W3 = Q2 V21 + (Q3 V31 + Q3 V32 ) **Sistema com n cargas puntiformes Assim. este aumento de energia deve ser suprido por um agente externo. Vamos ver no exemplo seguinte que este agente pode ser uma bateria. Exemplo II. Para entendermos o significado da equa¸c˜ ao. **Sistema com três cargas puntiformes Consideremos. demonstraremos a equa¸c˜ ao da densidade de energia armazenada em meios dielétricos. um sistema com três cargas puntiformes Q1 . . ou We = n X i−1 X Qj Vji (36) i=2 j=1 Somando-se 35 e 36. agora. z) devida à contribui¸cão δρ.) + . Que resulta na energia potencial armazenada num sistema de n cargas puntiformes: We = n 1X 2 i=1 Qi Vi e lembrando que ~ · δD ~ = δρ ∇ e substituindo este valor em W : Z ρ=ρF ~ · δD ~ W = V 0 (x. ou We = i−1 n X X O incremento de carga δq pode ser somado a um elemento de volume localizado em (x. z). mais Q3 vezes o potencial de Q2 deve ser aplicado sobre a carga Q3 e para aproxim´ a-la de Q1 e Q2 . precisa-se fazer o somatório. . z)∇ ρ=0 . situadas a uma distˆ ancia infinita. z). Calcular o trabalho realizado para deslocar estas cargas para um triângulo eq¨ uilátero com 1/2 m de lado. . y. ♦ **Energia armazenada em distribui¸c˜ oes quaisquer de carga Na se¸cão anterior. encontra-se a densidade de energia num campo eletrostático Também pode-se escrever a energia como: δW = We = W1 + W2 + . Solu¸cão: A energia potencial armazenada no sistema de três cargas no triângulo eq¨ uilátero maior é 3 W2 = Q2 V21 We = onde V21 é o potencial de Q1 no local que o agente externo fixou Q2 . o trabalho para aproximar n − 1 cargas da carga 1 5+8+9 11 1X Qi Vi = [ ]= J 2 i=1 2 4π0 4π0 A energia potencial armazenada no triângulo menor é o dobro deste valor. pois todos potenciais são a metade. y. De acordo com a defini¸c˜ ao de potencial: uma intensidade de trabalho igual a Q2 vezes o potencial de Q1 deve ser aplicado sobre a carga Q2 e para aproxim´ a-la de Q1 . tem-se δWV = V 0 (x. e elas est˜ ao em equil´ıbrio. Obviamente. . z)δρδV onde Qi Vij = Qi Qi Qj = Qj = Qj Vji 4π0 Rji 4π0 Rij e dividindo pelo volume. + Wn We = Q2 V21 +(Q3 V31 +Q3 V32 )+(Q4 V41 +Q4 V42 +Q4 V43 +)+. y. . constitu´ıda de incrementos de carga δq trazidos desde um potencial de referência VA = 0.) + Q2 (V21 + V23 + V24 + . Q2 e Q3 . z)δρ δV Esta é a densidade de energia no ponto (x. um agente externo precisa realizar um trabalho. y. tal que não exista for¸ca em nenhuma carga. + Wn−1 We = Q1 V12 +(Q1 V13 +Q2 V23 )+(Q1 V14 +Q2 V24 +Q3 V34 +)+. . y.19: Três cargas puntiformes de valor 1. 2 e 3 C estão situadas nos nós de um triângulo eq¨ uilátero com 1 m de lado. O aumento da energia potencial é igual a 11/(4π0 )J. iniciaremos estudando sistemas de cargas puntiformes. Se a distribui¸cão de carga for parcialmente reunida e o potencial em um ponto particular do sistema for V 0 (x. Observamos que quando se transfere uma carga positiva de um ponto de menor potencial para outro ponto do espa¸co com maior potencial. . a integral Z Z ρ=ρF V 0 (x. Nesta se¸cão. assim que δq = δρδV Qi Vij (35) i=2 j=1 Substituindo δq em δWV : δWV = V 0 (x. . z)δ D ~ − ∇V ~ 0 (x. Determinar: a.7 Exerc´ıcios . Qual a carga contida neste capacitor? O que significa este valor . z) · δ D ~ V 0 (x. sabendo que r1 = 3 e r2 = 1. Determinar a capacitância unitária entre o fio e o solo. está ligado a uma fonte de tensão cont´ınua de 12 V.3: Um capacitor tem capacitância de 0. y. para a interface dielétrica sem cargas ~ 2 . y. área de placas A. z)δ D ~ − ∇ Z ρ=ρF ~ 0 (x.6a semana ~ · δD ~ =∇ ~ · V 0 (x. que é arbitr´ aria.005 microfarad é conectado a uma linha de corrente cont´ınua de 500 . Vruptura = 200 kV/cm). e capacitˆ ancia C.12: Um capacitor a ar com capacitância 0. 93 × x10−12 F/m) resulta Z ρ=ρF W = ~ · V 0 (x. nes~ est´ tas equa¸cões. com: 2 mm de óleo (r = 2. o valor da integral sobre S 0 . demonstrar que ~ = E ~ é a forma local da equa¸c˜ D ao Q = CV . paralelo e separado por uma distância d/2 entre seu centro e o solo (V = 0 como uma superf´ıcie infinita). 2. isto é. sem perdas e sem satura¸cão. de raio interno a e externo b? (R: C = 2πL/ ln(b/a)) P II-C. a indu¸c˜ ao elétrica D a subentendida através da permissividade dielétrica . com raio r0 e separados por uma distância d entre seus centros.. Por conseguinte. Admitindo que o isolante entre as placas seja plástico. de espessura d. dispostas como um sandu´ıche. poder´ıamos pensar que a energia está armazenada no campo elétrico. e. A ´ area de uma superf´ıcie fechada que passa através de um ponto a uma distˆ ancia r é proporcional a r2 .9: Considere dois fios infinitos paralelos. y. sua contribui¸cão se anulará. Assim. chegando no P II-C. c. com r−1 .1µF.8: Qual é a capacitância entre duas esferas concêntricas. b. ~ 1 = 2~i − 3~j + 5~k V/m. Solu¸c˜ ao: Partindo da equa¸c˜ ao da capacitˆ ancia C= Q A = V d e. c) a carga de polariza¸cão. Mas. o potencial diminuir´ a inversamente com a distância. E cargas para ter energia eletrost´ atica. tem uma área de 1. e quando S 0 se deslocar ao infinito. Qual é a permissividade do óleo? Por que a capacitância aumentou? (R: 15.1: Um capacitor a ar possui capacitância de 10 pF. encontre D P II-C. z) · δ D ~ ∇V ρ=0 ρ=0 Pode-se usar o teorema da divergência para a primeira integral Z ρ=ρF Z ~ · V 0 (x. Quando ele é submerso em óleo seu valor de capacitância passa a 18 pF. P II-C. y. podemos nos perguntar: onde est´ a localizada a energia do sistema eletrost´ atico? A energia n˜ ao está armazenada unicamente no campo elétrico. 2 mm de óleo novamente.2: Um capacitor.0. y. ~ = −∇V ~ 0 (x.5 mm de papel (r = 6.20: Considerando um capacitor de placas paralelas contendo um dielétrico de permissividade . Para dielétricos lineares.4: Um capacitor a ar de placas planas paralelas (considere campo uniforme entre as placas). Qual a tensão de isola¸cão desta configura¸cão? O que acontece com a tensão admiss´ıvel se variarmos a espessura relativa entre os dois isolantes? P II-C. A energia armazenada no capacitor aumenta ou diminui? Por que? P II-C. com raio interno a e raio externo b? (R: C = 4π[ab/(b − a)]) P II-C. y. A equa¸cão do potencial elétrico. e carregados uniformemente com densidade +ρL e −ρL . Vruptura = 80 kV/cm). carregados uniformemente com densidade +ρL .7: Qual é a equa¸cão da capacitância de um cabo coaxial. encontra-se DA A = Ed d que simplificando os termos d e A resulta: = D ~ = E ~ ♦ ou D E P II-C. z).6: Um capacitor a ar (tipo variável) é carregado e depois desligado da fonte. Uma ´ preciso. Determinar o que acontece com: a) a carga do capacitor. tiver uma carga l´ıquida. é ligado a uma fonte de tensão cont´ınua de 240 Volts. y. 5). distantes 0.ELETROMAGNETISMO 41 Agora. e cujas áreas são 200 cm2 . A capacitância unitária (F/m) entre os dois condutores. é a carga total das duas placas? (R: 22µC) P II-C. porém limitada. z)δ D S0 ρ=0 Se nossa distribui¸cão de carga. e a densidade de Pode-se substituir E energia de um campo eletrost´ atico resulta Z D=DF ~ · δD ~ W = E D=0 cuja unidade no SI é J/m3 . a densidade de energia torna-se: Wlinear = 1 1 E D = E 2 2 2 e para o vácuo ou aproximadamente para o ar War = 1 0 E 2 2 Aten¸c˜ ao: por causa destas duas equa¸c˜ oes. livres. no m´ınimo ter duas u ńica carga tem energia nula.1mm.51 m2 e separa¸cão entre as placas de 10 mm. calcular a carga acumulada em cada placa do capacitor? (R: 63. A seguir todo o espa¸co livre entre as placas é preenchido com óleo (r = 2. z)∇ P II-C. e está ligado a uma rede elétrica de 220 V. ser´ a proporcional a r−1 . considerando a igualdade vetorial C. que limita o nosso sistema a uma distˆ ancia r. considerando que V = E d e Q = D A. P II-C. 1. Exemplo II. A equa¸cão do campo elétrico.5: Uma isola¸cão é composta de três camadas. b) o campo elétrico entre as placas. formado por duas placas paralelas. ent˜ ao a grandes distâncias do sistema de cargas. 0. d) a indu¸cão ou a densidade de fluxo elétrico entre as placas. mas na intera¸cão do campo elétrico com um deslocamento de cargas..7 nC) P II-C. z)δ D ~ = ~ · ~n ∇ V 0 (x. com permissividade relativa igual a 3.11: Dado que E plano 4x − 3y + z = 2.10: Considere um fio infinito com raio r0 . A seguir ele é imerso em um recipiente com óleo. y. 106 V/m.5 mm.. Este mineral. colocada sobre uma madeira e posta a flutuar sobre a água. a m´ usica. etc. Os fenômenos magnéticos são largamente utilizados no desenvolvimento de novas tecnologias desde sistemas de gera¸cão e distribui¸cão de energia hidrelétricas. tendo observado que peda¸cos de magnetita. e também a disposi¸cão dos móveis e objetos . ou mesmo as fitas cassete que utilizamos para armazenar as nossas m´ usicas preferidas utilizam fenômenos e materiais magnéticos. t´ umulos e monumentos. cal¸cados.51 m2 distantes de 1. que no seu estado natural frequentemente tem o poder de atrair o ferro e outros metais. eg´ıpcios e chineses).o “Livro de Medicina Interna do Imperador Amarelo” . 42 ´tica III. até agora. Quando a b´ ussola foi inventada. está muito presente em nossa vida. hindus. e sua rigidez dielétrica vale 18.” (Jorge Amado) Neste cap´ıtulo. os chineses inventaram a b´ ussola. de que o fenômeno do magnetismo é conhecido há alguns milhares de anos. r3 = 6.5. desconectado. e. entre outros outros sistemas de conversão eletromecânica. O dielétrico entre os dois cilindros possui constante dielétrica r = 3. já que ambos apresentavam a caracter´ıstica da atra¸cão. e aplicar para o projeto de circuitos magnéticos simples. d3 = 2. indu¸cão e fluxo magnético. apresentavam a tendência de se orientar na dire¸cão (aproximada) norte-sul.0E-2 microfarad. na tentativa de aliviar dores e de restabelecer a sa´ ude de seus pacientes.0 mm.8. usando a ebonite como dielétrico. Existem ind´ıcios. a pintura. obtida por meio do “método cient´ıfico”) de que esses métodos sejam realmente eficazes. Mais tarde. colchões.5.0 . d1 = 1. ~ como segue: r1 = 3. Qual a menor área que podem ter as placas de um capacitor plano de 7. (c) A intensidade do campo elétrico.faz referência ao uso do magnetismo nas artes da cura. uma arte chinesa exercida ainda hoje. de que as propriedades da magnetita eram conhecidas mesmo em épocas ainda mais remotas. Atualmente comercializam-se muitos objetos magnéticos para tratamento de sa´ ude: braceletes. P II-C. quando em formas mais ou menos semelhantes a cilindros ou barras. Provavelmente foram os gregos quem primeiro refletiram sobre as propriedades da magnetita Fe3 O4 .0 nF tem uma área de 1.15: Demonstre a equa¸c˜ ao da capacitˆ ancia de um capacitor constitu´ıdo por dois cilindros concêntricos de raios a e b (a < b) e de altura h. Magnetosta “A solu¸c˜ ao dos problemas humanos ter´ a que contar sempre com a literatura.. seu uso não se destinava à orienta¸cão dos viajantes. Quando se descobriu a eletriza¸cão por atrito. eg´ıpcias e persas. P II-C. contém três dielétricos com ~ e E. Os praticantes do Feng Shui acreditam que a constru¸cão de edif´ıcios. e ent˜ ao imerso num ´ oleo com constante dielétrica 2.13: Um capacitor de placas planas paralelas de 8. adesivos. Calcular a energia armazenada no capacitor antes e depois da imers˜ ao no ´ oleo. ~ A. nenhuma evidência cient´ıfica (isto é. A magnetita era usada com finalidades terapêuticas.ELETROMAGNETISMO volts. d2 = 2. na antiga literatura de vários povos (hebreus.0 . árabes. pois desde o ´ımã que colocamos na porta da geladeira até a memória do HD (hard disk) do computador. r2 = 4. O homem necessita de beleza como necessita de p˜ ao e de liberdade .0 interfaces normais D mm.0 mm. P II-C. O mais antigo livro de Medicina que se conhece. as doen¸cas tratadas iam desde reumatismo e espasmos musculares (câimbras) até prisão de ventre. A palavra magnetismo está associada ao nome de uma cidade da região da antiga Turquia que era rica em minério de ferro: a Magnésia. escrito cerca de 1000 anos antes de Cristo . come¸cou-se a suspeitar de uma poss´ıvel rela¸cão entre esse fenômeno e o magnetismo. 0. Há evidências. nosso objetivo é estudar os conceitos de campo. Encontre a sua capacitˆ ancia. em obras hindus. era extra´ıdo na prov´ıncia da Magnésia. Campo magnético H A. (b) A intensidade do vetor polariza¸cão elétrica. mas sim à prática do Feng Shui. Mas não existiam meios para investigar se a suposi¸cão tinha fundamento.1 História do magnetismo Embora o magnetismo não receba a ênfase necessária no ensino médio. Os médicos chineses usavam as pedrinhas magnéticas juntamente com a acupuntura.16: Um capacitor de placas paralelas com área de 0.5 mm.30 m2 e separa¸cão de 5.0 . enfim as artes. Porém não há. Determinar: (a) A intensidade do vetor indu¸cão elétrica. para que este suporte uma diferen¸ca de potencial de 4000 V. P II-C.14: A constante dielétrica da Ebonite é 2. com um isolante de constante 2. não estão erradas. não importando em quantos peda¸cos tenha sido quebrado . mas. e vice-versa. Nos séculos seguintes descobriram-se alguns fatos intrigantes: os ´ımãs (que nada mais eram do que os tais cilindros ou barras de magnetita) disp˜ oem de “p´ olos”. Será poss´ıvel? Convencionalmente denominamos os pólos magnéticos de onde emergem linhas de polo norte e de onde reentram as linhas de polo sul. idéias semelhantes a essa estavam banidas do pensamento cient´ıfico devido ao prest´ıgio da obra publicada por Isaac Newton em 1687. mas um minério de algum metal até então desconhecido.ou seja. Entretanto todos concordam que a b´ ussola era certamente conhecida no oeste da Europa por volta do seculo XII. Também sabemos que as correntes elétricas apresentam propriedades magnéticas como os ´ım˜ as. almas. de alum´ınio (bauxita) e de titânio (anatásio. concluimos ent˜ ao que o norte geográfico corresponde (aproximadamente) ao sul magnético da Terra. Veremos que eles sempre existem em pares: Norte e Sul. outro de massa m2 ali. Maricourt batizou os p´ olos do ´ım˜ a de acordo com o sentido para o qual apontavam. Os materiais magnéticos s˜ ao importantes materiais industriais necessários para muitos projetos de engenharia. são u ´teis em um n´ umero limitado . Essas linhas atravessam todo o espa¸co e qualquer corpo que esteja em seu caminho.ELETROMAGNETISMO dentro destes.o primeiro. E talvez o maior mistério de todos: n˜ ao se podem obter p´ olos isolados (“monopolos magnéticos”)! Sempre que um ´ım˜ a é quebrado. manganita. Ainda hoje. não existem estruturas magnéticas análogas a cargas elétricas isoladas. devem obedecer a uma certa orienta¸cão em rela¸cão aos pontos cardeais. Aten¸c˜ ao meu jovem: você est´ a sendo atravessado por linhas de for¸ca! Quando o corpo é magnético elas mudam de dire¸cão. Foi introduzida na China no seculo XIII e os pioneiros na sua ´ utilizacao foram os Arabes. Esta classe de minerais que corresponde a quase 4% do volume da crosta terrestre.de casos. Na verdade. sul. Por volta de 1600 Gilbert ainda pensava em “efl´ uvios” na tentativa de entender o magnetismo. e foram elaboradas fórmulas parecidas com a da Lei da Gravidade tanto para as intera¸cões magnéticas (John Michell. passou a ser aceita livremente. onde existiam linhas em que a for¸ca era constante. Um ´ımã é um corpo capaz de atrair fortemente objetos de ferro. A respeitabilidade (até hoje indiscut´ıvel) dos trabalhos de Newton influenciou o modo de pensar dos outros estudiosos. Os pólos magnéticos foram descobertos bem antes das cargas elétricas. manganês (pirolusita. uma das pontas da pedra era chamada norte e a outra. de vez em quando encontramos grandes concentra¸cões desse minério. tinham uma base em feitio de tigela rasa. um século depois. evidentemente. sobre a qual repousava uma “concha de sopa” feita de magnetita. Não existem monopólos magnéticos.embora grande . existem cientistas que procuram encontrar um monop´ olo magnético. como por exemplo a Eletricidade e o Magnetismo. Os óxidos resultam da combina¸cão do oxigênio com metais e metalóides. A primeira aplica¸c˜ ao tecnol´ ogica magnética foi a b´ ussola. no entanto (como a própria teoria em que foram inspiradas). Dessa forma podem ser classificados em óxidos simples. A estrutura magnética mais simples que existe na natureza é o dipolo magnético. Como a for¸ca de atra¸cão e repulsão variava com a posi¸cão dos ´ımãs. o homem descobriu certa pedra que era capaz de atrair outras pedras iguais a ela. Na natureza o dipolo magnético fundamental é o u ńico responsável pelas . óxidos contendo hidrox´ıla e hidróxidos. As linhas de for¸ca do campo magnético saem do pólo norte e chegam no pólo sul. Hoje se sabe que essas expressões . não se podia compreender como isso acontecia. já os hidróxidos são definidos pela presen¸ca da hidrox´ıla como elemento essencial e podem ser subdivididos de acordo com a rela¸cão do oxigênio com os cátions. mas ficava livre para se mover. não era bem uma pedra. pois a primeira referência sobre a sua utiliza¸cão foi feita por Alexander Neckma. criptomelana e psilomelana). de estanho (cassiterita). comprovada em 1820. em n´ umero de dois. 1750) quanto para as intera¸cões elétricas (Augustin Coulomb. isto é. Inicialmente. e sempre acabava apontando no sentido sul. em alguns lugares da terra. Quanto ao fenômeno da orienta¸c˜ ao espontˆ anea na dire¸cão (aproximada) norte-sul. óxidos m´ ultiplos. ou qualquer coisa que emanasse dos objetos. as propriedades magnéticas dos ´ım˜ as e das correntes elétricas têm uma origem comum: o movimento de cargas elétricas. Essa concha era constru´ıda de tal maneira que o cabo não se apoiava na beirada da tigela. e vice-versa. Notaram também que pólos de mesmo nome se repelem e de nomes contrários se atraem. o sul magnético da Terra atrai o norte do ´ım˜ a. O comportamento de dois ´ım˜ as. ilmenita e rutilo). Originalmente as b´ ussolas não possu´ıam indicadores delgados como as atuais “agulhas imantadas”. depende dos tipos de p´ olos em aproxima¸cão: os opostos se atraem e os semelhantes se repelem. Todo o espa¸co onde elas existem chamamos de campo magn´ etico. ao serem aproximados. Ainda hoje. abordaremos a origem do magnetismo e dos materiais ferromagnéticos e examinaremos brevemente algumas unidades básicas e rela¸c˜ oes associadas com o magnetismo e com os materiais magnéticos. magnetita e goethita) de cromo (cromita). e a filosofia na qual se baseava acabou sendo estendida a campos não abrangidos por ela. autorizou Ampère a sugerir a existência de correntes elétricas microscópicas e permanentes na matéria imantada. **Os p´ olos norte e sul Há muitos séculos atrás. a hip´ otese de que o planeta Terra é um grande ´ımã. A rela¸cão entre eletricidade e magnetismo. constitui as principais jazidas de minério de ferro (hematita. instantaneamente aparecem p´ olos opostos nas extremidades partidas. e inversamente proporcional ao quadrado da distância. 1785). Cada fragmento do ´ım˜ a original é também um ´ımã completo. sem necessidade da existência de coisa nenhuma entre os dois corpos em intera¸cão. Por causa dessa a¸cão. Essa teoria. como sugeriu William Gilbert. e pronto! os dois atra´ıam-se instantaneamente com uma for¸ca proporcional ao produto das massas. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Princ´ıpios Matem´ aticos da Filosofia Natural). S´ o falta descobrir o que está provocando o magnetismo do planeta. O objetivo é harmonizar os ambientes para a obten¸c˜ ao de bem-estar e felicidade. e opostos. nem porque. parece razoável: uma vez que p´ olos diferentes se atraem. um tratado de Mecˆ anica Cl´ assica que inclu´ıa a Teoria da Gravita¸cão Universal. etc. Faraday imaginou as linhas de for¸ ca.baseadas não só na Mecânica de Newton como também em cuidadosas medi¸cões . 43 O fato é que a Teoria da Gravita¸cão Universal de Newton supunha a atra¸cão gravitacional como uma for¸ca que agia à distância . não tendo validade universal. Dispensava efl´ uvios. Naquele tempo. Como veremos. A coisa ficou apenas como curiosidade. que teve grande sucesso em explicar fenômenos até então incompreendidos.ou esmigalhado . Bastava haver um corpo de massa m1 aqui. causando grande interesse entre os pesquisadores. podemos vamos analisar uma certa quantidade de limalha de ferro espalhada sobre uma chapa transparente. 2. podemos ver que todos estão relacionados ao movimento do elétron. Fa¸ca o fio passar sobre o vidro da b´ ussola. durante uma aula de Eletricidade. colocando embaixo da folha uma pequena barra imantada. No final do século XIX estes três fenômenos eram perfeitamente compreendidos e já tinham in´ umeras aplica¸cões tecnológicas. Magnetismo e o Spin . A descoberta do efeito de Oersted levou ` a fabrica¸cão dos primeiros galvanômetros.ELETROMAGNETISMO propriedades magnéticas da matéria. observou que a agulha se movia. 3. eles são utilizados em duas categorias: os ´ımãs permanentes são aqueles que têm a propriedade de criar um campo magnético constante. aproximou uma b´ ussola de um fio percorrido por corrente. mas nem todos materiais apresentam caracter´ısticas magnéticas. pode ser verificado com uma pilha comum de 3 volts. com várias voltas. Esse efeito. Os efeitos externos familiares. Oersted publicou suas observa¸c˜ oes sobre o fenômeno em 1820. Observando a configura¸c˜ ao da limalha de ferro vemos a presen¸ca de dois p´ olos. ** Hans Christian Oersted (1777-1851) Oersted descobriu que a corrente pode ser a fonte do magnetismo. A este movimento está associado o momento magnético orbital. Com surpresa. e j´ a havia tentado várias vezes influenciar uma b´ ussola através de uma corrente elétrica. desenvolvendo várias pesquisas no campo da F´ısica e da Qu´ımica. a agulha girava 180o . mudando a orienta¸cão da agulha de uma b´ ussola nas proximidades. O desvio para um lado ou para o outro. ao familiar magnetismo forte da barra imantada ou da agulha de uma b´ ussola. Pouco depois. Se você quizer fazer um prego transformar-se num ´ımã. e ela é a liga¸c˜ ao entre eletricidade e magnetismo. Contrariando a descri¸c˜ ao popular.os elétrons ligados aos átomos existem em estados que possuem um movimento orbital intr´ınseco. Experiˆ encias sobre o efeito do conflito el´ etrico sobre a agulha magn´ etica. an´ alogo ` as cargas positivas e negativas de um dipolo elétrico. Esta foi a primeira demonstra¸ c˜ ao de que havia uma rela¸ c˜ ao entre eletricidade e magnetismo. Hans Christian. resultando em nenhum efeito externo. sem obter sucesso. 44 maior a partir do século XIX. Quando falamos popularmente do magnetismo. Os fenômenos magnéticos ganharam uma dimensão muito 4 OERSTED. geradores. sabe-se que Oersted estava procurando conscientemente uma rela¸c˜ ao entre eletricidade e magnetismo. e trouxeram depois problemas à sua compreens˜ ao. Esta caracter´ıstica está associada ao momento magnético do elétron. apresentou-as em Paris. Dependendo da intensidade da corrente este desvio pode ser maior ou menor. h´ a v´ arios anos. a agulha da b´ ussola mudará de dire¸cão: deixará de apontar para o Norte para se colocar perpendicular ao fio de cobre. O efeito rec´ıproco.um elétron isolado pode ser considerado como uma min´ uscula carga negativa girando. pois colocava o fio em uma posi¸cão inadequada. um peda¸co de cobre e uma b´ ussola de bolso. Quando a corrente era invertida. como em motores. ** Magnetismo da matéria Quase que imediatamente a Oersted. As propriedades de simetria do fenômeno dificultaram a descoberta. transformadores. observando os três tipos de magnetismo existente. Ligue uma ponta do fio a um dos pólos da pilha e a outra ao p´ olo oposto.evidenciando a passagem da corrente. existe o momento magnético do spin µs .elétrons se movendo no vácuo ou no interior de um fio condutor. o f´ısico e qu´ımico Hans Crhistian Oersted descobriu que uma corrente elétrica passando por um fio também produzia efeito magnético. quase sempre estamos nos referindo ao ferromagnetismo. descobriram que um campo variável podia induzir uma corrente elétrica num circuito. Em 1819. os momentos magnéticos dos elétrons num sólido se combinam de tal modo que se cancelam uns aos outros. Magnetismo de cargas em movimento . circundada por uma bobina de fio metálico. Assim como um elétron. 2. pelo qual um fio próximo de um ´ımã sofre a a¸cão de uma for¸ca quando atravessado por uma corrente. retomou ` aquela universidade e ali trabalhou como professor e pesquisador. um próton pode ser visto também como uma min´ uscula carga em rota¸cão com os associados momento angular e momento magnético. Ele demonstrou que o elétron pode produzir magnetismo de três formas: 1. até se posicionar num plano perpendicular ao fio. poderá constatar que o seu prego est´ a imantado. No mesmo ano. indica o sentido em que a corrente está fluindo pelo fio. Cadernos de Hist´ oria e Filosofia da Ciˆ encia (10): 115-22. era filho de um farmacêutico e estudou Filosofia na Universidade de Copenhague. das quais o motor e o gerador elétrico eram as mais importantes. os . Aproxime-o de uma por¸c˜ ao de alfinetes e verá como eles são atra´ıdos. O galvanˆ ometro compõe-se de uma agulha imantada. Quando a corrente elétrica atravessa a bobina. Mais tarde. A F´ısica possui duas explica¸cões: 1. Todos os materiais são constitu´ıdos por elétrons. Entretanto existem espécies de magnetismo que não pode ser sentidas por nossos dedos. bastará somente passar ao seu redor um fio. pode hoje ser vista como a iniciadora de um novo ramo de estudos: o Eletromagnetismo. ocorrida no meio de uma aula. na rota¸cão em torno do seu próprio eixo. que foi chamado efeito de Oersted. Magnetismo do movimento orbital . Nas aplica¸cões tradicionais. Andre Ampère na Fran¸ca descobriu a lei da for¸ca magnética.4 Oersted nasceu na Dinamarca. Depois de viajar pela Europa. etc. a agulha se desvia . em torno do n´ ucleo e através de um elemento condutor. 1986. Ligando esse fio a uma bateria (ou fonte). Michel Faraday na Inglaterra e Joseph Henry nos Estados Unidos. Assim que fizer a segunda liga¸c˜ ao. somente são poss´ıveis quando temos átomos que contenham elétrons não emparelhados e circunstâncias especiais que permitam o alinhamento em grande escala dos momentos de dipolo dos elétrons. Em um ensaio publicado em 1813 ele previu que deveria existir uma liga¸cão entre a eletricidade e o magnetismo. correspondente ao movimento do elétron numa órbita em torno do n´ ucleo do átomo. com propriedades de ´ımã. o f´ısico e matemático francês Andre Ampère formulou a lei que relaciona o campo magnético com a intensidade da corrente do fio. pois suas for¸cas magnéticas são extremamente fracas. Então. Na maioria dos casos. com a descoberta de sua correla¸cão com a eletricidade. Em 1820. foi descoberto logo em seguida. Atualmente. continuando a se manter nesse plano. Como experiência. os materiais magnéticos desempenham papel muito importante nas aplica¸cões tecnológicas do magnetismo. com um momento angular intr´ınseco ou spin S. ou seja. assim como outras part´ıculas carregadas em movimento criam um campo magnético externo. Devido a este giro. Na verdade todo material é magnético. em 1831. Sua descoberta acidental. E certa composi¸cão qu´ımica. na cabe¸ca de grava¸cão. E ´ na obten¸cão de H necessário notar que a lei de Biot-Savart. a pesquisa para seu aperfei¸coamento é muito intensa em todo o mundo. Os materiais formados por esses elementos ou suas ligas têm propriedades que possibilitam suas aplica¸cões tecnológicas. como európio. que adquiriu grande importˆ ancia nas u ´ltimas décadas. Todos eles se baseiam na deposi¸c˜ ao gradual de ´ atomos ou moléculas do material desejado sobre a superf´ıcie de outro material que serve de apoio.ELETROMAGNETISMO materiais doces. Atualmente. nos u ´ltimos 15 anos. Poder´ıamos considerá-la como uma varia¸cão algébrica da lei de Ampére. através da indu¸c˜ ao de uma corrente elétrica pelo meio magnético em movimento na bobina da cabe¸ca de leitura. Mas não é apenas por sua importˆ ancia tecnol´ ogica e econômica que os materiais magnéticos concentram hoje intensa atividade de pesquisa no mundo inteiro. s˜ ao aqueles que produzem um campo proporcional ` a corrente num fio nele enrolado. Esta aplica¸c˜ ao é baseada na propriedade que tem a corrente numa bobina. As propriedades magnéticas das substˆ ancias se devem a uma propriedade intr´ınseca dos elétrons. é a grava¸cão magnética. Na maioria dos casos. formando anéis. gadol´ınio. O magnetismo dos materiais constitui um dos campos de pesquisa b´ asica mais férteis e ativos da f´ısica. Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadas no interior da matéria. O campo magnético H vetor. como n´ıquel. Na continuidade deste curso estudar-se-á a lei de rela¸cão entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campo magnético criado ~ pode ser originado de duas (efeito). Vamos ver. etc. Os filmes finos podem ser preparados por v´ arios métodos diferentes. com espessuras da ordem ou fra¸cão de 1 nanômetro ( 1 nm = 10-9 m). formando um ´ımã natural. Módulo . Entretanto. é feita. tendendo a se alinhar na dire¸cão do campo magnético a que está submetido. Por essa raz˜ ao. Hoje é poss´ıvel fabricar estruturas artificiais controlando a deposi¸cão de camadas no n´ıvel atômico. dire¸cão e sentido. cuja compreensão microscópica exige o conhecimento detalhado dos filmes. Neste caso. identificamos essas pequenas correntes com o movimento dos elétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do n´ ucleo equivale a uma corrente que produz os mesmos efeitos magnéticos que um pequeno imã. ou a leitura. e também estruturas com mais de uma dimensão na escala nanométrica. Vamos ver cada um destes componentes: 1. Devemos então . e vários elementos de terras raras. da informa¸c˜ aogravada. A recupera¸cão. A lei de Biot-Savart é uma expressão que nos auxilia ~ em fun¸cão da corrente que o gera. onde ~ no ponto P criado pela cordesejamos calcular o campo H rente I passando por um condutor de forma qualquer. ora com o spin num sentido. com alto grau de perfei¸cão e ´ também poss´ıvel depositar sobre um filme com pureza. etc. espessura e aplica¸c˜ ao. chamadas nano-estruturas magnéticas de maiores dimensões. atualmente. A evolu¸c˜ ao tecnol´ ogica dessas aplica¸cões ocorreu por causa da descoberta de novos materiais. Dire¸cão . Para apresentar a lei de Biot-Savart. Nos átomos mais comuns o spin total é nulo. 2. A fabrica¸cão de filmes ultra-finos.as linhas de for¸ca do campo magnético giram em torno do fio. para certos elementos da tabela peri´ odica. estes dipolos magnéticos estão orientados no mesmo sentido. maior o campo magnético resultante. O mercado mundial de materiais magnéticos e seus dispositivos compreende. Isto possibilita a fabrica¸cão de estruturas com propriedades magnéticas muito diferentes das tradicionais. Podemos imaginar que em qualquer material existem muitos imãs de tamanho atômico. possui módulo. ora no outro. seu spin (palavra em inglês que significa girar em torno de si mesmo). Entretanto. mas pode ser interpretado. pois os elétrons ocupam os orbitais satisfazendo o princ´ıpio de Linus Pauling. cujo sentido é o da corrente I. outro filme de composi¸cão diferente. e tornou-se muito importante nos computadores. O campo magnético H maneiras: a) Por corrente elétrica. dependendo da composi¸c˜ ao. das interfaces e das intera¸cões entre os átomos. aperfei¸coamento das técnicas de prepara¸c˜ ao. muito maior ao que seria criado apenas pela corrente. cerca de 150 bilhões de dólares por ano. fazendo com que o ´ atomo tenha um momento magnético permanente. A terceira aplica¸cão tradicional dos materiais magnéticos. ou perme´ aveis. como o planeta Terra faz numa escala muita maior. nesta se¸cão. ao spin está associado um momento magnético. tradicionalmente. onde a corrente passa pelo centro do anel. isto é. em certas substâncias. o qual se comporta como uma min´ uscula agulha magnética.2 Lei de Biot-Savart Em 1823. classicamente. As aplica¸cões mencionadas s˜ ao baseadas em propriedades e fenômenos clássicos. como se origina campo magnético ~ é um através da corrente elétrica. manganês.o campo magnético que se forma é dependente diretamente da corrente que passa pelo fio. b) Por ´ımã permanente (pólo magnético). tornou-se poss´ıvel gra¸cas 45 a` evolu¸cão das técnicas de alto vácuo. ferro e cobalto. todos conhecidos e compreendidos desde o in´ıcio do século XX. A. não acrescenta absolutamente nada a mais em rela¸cão às equa¸cões de Maxwell. Resumindo: a corrente que passa por um condutor produz um campo magnético à sua volta. os efeitos de cada dipolo magnético se somam. O fio é dividido em pequenos segmentos aos quais podemos associar o vetor d~`. de in´ umeros equipamentos acionados por cart˜ oes magnéticos. chamado substrato. sob o aspecto conceitual. Como o elétron tem carga. observemos a Fig. Quanto maior a corrente ou o n´ umero de voltas do fio. Este é o caso dos elementos do grupo de transi¸cão do ferro. A intensidade do campo em cada anel é inversamente proporcional ao raio do anel. Isto possibilita armazenar no meio a informa¸cão contida num sinal elétrico. o spin total é diferente de zero. 20. A grava¸cão magnética é a melhor tecnologia da eletrônica para armazenamento n˜ ao-vol´ atil de informa¸cão que permite re-grava¸c˜ ao. nestes pequenos ´ımãs os dipolos magnéticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. dada ` a imensa diversidade das suas propriedades e dos fenômenos que neles s˜ ao observados. a pesquisa em materiais magnéticos ganhou um grande impulso por conta de descobertas feitas com estruturas artificiais de filmes muito finos. em alterar o estado de magnetiza¸c˜ ao de um meio magnético próximo. os elétrons giram sobre si mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais. Sentido . Porém.o sentido é dado pela regra da mão direita. Ela é essencial para o funcionamento dos gravadores de som e de v´ıdeo. 3. ou filmes magnéticos e não-magnéticos intercalados. Por outro lado. Estas estruturas compreendem filmes simples de uma u ńica camada magnética sobre um substrato. como se o elétron estivesse em permanente rota¸cão em torno de um eixo. Esta lei foi proposta por Biot e Savart como uma lei experimental. O spin é uma propriedade quˆ antica do elétron. ♦ **Dois condutores paralelos Como já foi visto. 1 Oersted = 1000 A/m = 79. 58 A/m 4π ~ tal como o produto veQuanto à dire¸cão e sentido de H. observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espa¸co situado entre os condutores. Dois condutores paralelos est˜ ao conduzindo correntes em sentidos opostos. As linhas de campo magnético para uma corrente I s˜ ao c´ırculos concêntricos. veremos que fluxos magnéticos exercem for¸cas sobre cargas em movimento. o campo magnético é perpendicular a r e à dire¸c˜ ao do elemento de corrente. Considerando o ângulo θ. devido ao elemento de corrente iδ` é: ~ = 1 iδ ~` × ~r δH 4πr3 ~ A componente δ H ter´ a sempre a mesma dire¸c˜ ao e sentido. a contribui¸cão δ H para o campo no ponto P . unidades de ampéres por metro (A/m) e. integrando esta expressão desde θ = −π/2 até θ = π/2 obtem-se o campo total H. Encontrar a distância x de um ponto P ao primeiro condutor. conhecido como lei de Biot-Savart: Z Z 1 I d~` × ~r ~ ~ (37) H = dH = 4π r3 Esta lei é ferramenta b´ asica para c´ alculo de campo magnético criado num ponto. obtemos o campo magnético gerado por um elemento de corrente. se R = 0. 1A. H= Esta lei é apresentada sob a forma diferencial: ~ =I dH d~` × ~r 4π r3 Sendo Id~` o elemento de corrente. Campo magne −π/2 I cos θdθ 4πR que resulta I amperes/metro (38) 2πR Então. Integrando a expressão anterior. no sistema cgs.1A.ELETROMAGNETISMO 46 definir o vetor ~r como sendo ~r = P − M . e se soma fora dos condutores. 4) . 6 I1 rP I2 ? Solu¸c˜ ao: Aplicando a eq. podemos escrever a rela¸cão entre δ` e δθ: r δθ = δ` cos θ ou seja ~ ⊗ dH * P R θ Substituindo δ` em δH: ~r 6 d~` δθ δθ =R 2 cos θ cos θ δ` = r δH = I cos θδθ 4πR Agora. pode-se calcular o campo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente. Então dois condutores paralelos. A seguir. em sentidos opostos. e são percorridos por correntes I1 = 100A e I2 = 60A. e se subtrai fora dos condutores.2: Dois fios retil´ıneos paralelos estão afastados de d = 40 cm. I 6 Lembrando que arco = ângulo x raio. com corrente experimentam uma dada for¸ca de atra¸cão ou repulsão. Mas é válida somente em meios uniformes (com mesma permeabilidade magnética). Dois condutores paralelos est˜ ao conduzindo correntes no mesmo sentido. O somatório dos ~ nos fornecerá o campo H ~ criado pelo condutor percorrido dH por I. segundo os sentidos das correntes. no ponto P . unidades de Oersted (Oe). onde o campo magnético total seja nulo. devido a uma distribui¸c˜ ao de corrente. calcule o campo a uma distˆ ancia de 10 cm do condutor quando ele for percorrido por uma corrente de 0. observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espa¸co situado entre os condutores. M Z π/2 H= Fig. Pela regra da mão direita. ~ Solu¸c˜ ao: Usando a lei de Biot-Savart. ~ torna-se a componente de H δH = 1 I δ` r sen (90 − θ) 4πr3 Exemplo III.1: Campo magnético devido a um condutor ~ num ponto longo retil´ıneo. Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades. Exemplo III. Pela regra da mão direita. Esta é a conhecida regra da m˜ ao direita. no SI. 1m e I = 0. a intensidade do campo é H = 0. r a distˆ ancia do ponto de observa¸cão ao condutor. 159A/m. correntes geram campos magnéticos e. (38) para os dois condutores. Determine o campo magnético H P distante R metros de um condutor infinitamente longo. torial da equa¸cão (37) evidencia. dados pela regra da m˜ ao direita. percorrido por uma corrente de I ampéres. A intensidade do campo magnético H tem. e igualando a zero I1 I2 = 2πx 2π(x − d) 100 60 = 2πx 2π(x − 0. 20 ´tico de um fio percorrido por corrente. Mas o componente axial dHA = dH cos α = dH R R I d` = r 4π r3 Integrando d` = Rdθ: Z H= = dHA = RI 4π r3 Z d` RI R2 I 2πR = 4π r3 2 r3 Mas como r= p R2 + x2 temos. 7155 NI R A eq.3 Lei de Ampére A lei de Ampére. expressa de uma forma matemática vetorial. distribui¸cão de campo e fluxo magnético no sistema. ♦ Exemplo III.5 # (x + R/2)2 NI (x − R/2)2 1+ H= 1+ 2R R2 R2 (40) e. Campo magne Exemplo III. comprovando que a intensidade de H constante para um grande intervalo. H(x) = H0 (1 + c4 x4 + c6 x6 + . H → N I / L. ~ Temos então o módulo de dH: I d` dH = 4π r2 Na integra¸cão ao longo da espira. ♦ Este resultado é fundamental para calcular o momento de dipolo magnético. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente. ♦ Exemplo III. Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético. Obter a equa¸c˜ ao do campo magnético no centro da mesma. Fazer um gráfico com a amplitude do campo ao longo do eixo das bobinas. é a conhecida regra da m˜ ao direita. que é uma das leis mais importantes do eletromagnetismo. soma algébrica das correntes enla¸cadas pelo percurso.5 −1. de raio R. calcularemos o valor do campo magnético em um ponto genérico P . Elas são muito conhecidas pelo fato de que o campo magnético uniforme ao longo do seu eixo. 0 metro do primeiro condutor. Assim. o módulo do campo magnético dado por (39) torna-se H = NI Exemplo III. tal que x = 0 no ponto equidistante das duas bobinas. I Z Z ~ = ~ · d~` = ~=I C(H) H J~ · dS (41) L(S) H=I R2 2 (R2 + x2 )3/2 (39) ~ e Com esta expressão matemática. o módulo do produto vetorial é simplesmente d` r. quando L → ∞. as linhas de campo são c´ırculos em planos perpendiculares ao fio. para x. onde seus raios R são iguais à distância d entre elas.. situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante I. a rela¸cão campo H corrente é dada por uma integral de linha. H → N I / 2R. é igual à a circula¸cão do vetor H.4: Campo magnético de uma espira circular Neste exemplo. os outros dedos do~ A intensidade é dado pela brados apontam no sentido de H.6: Campo de um solenóide finito. Portanto. 21 ´tico de uma espira circular. Solu¸c˜ ao: O produto vetorial do numerador da lei de BiotSavart (37) é d~` × ~r = R dφ R = R2 dφ e Z H= I R2 dφ I = 4π R3 4πR Z 2π dφ = 0 I 2R que é o campo no centro da espira circular. para x = 0 o campo vale H0 = 0.) e para valores de x próximos de zero. esses componentes n˜ ao entram no c´ alculo de H para um ponto situado no eixo da espira. Solu¸c˜ ao: Situando o eixo x. 21.ELETROMAGNETISMO 47 que resulta x = 1.3: Uma espira circular. portanto H=√ NI NI =√ 2 2 4R + L D2 + L2 onde R é o raio do solenóide e L é o seu comprimento. ~ permanece eH∼ = H0 . isto é R = d.. s˜ ao perpendiculares entre si. da lei de Biot-Savart. que é calculada . conforme esquema da Fig. cada valor do componente radial dHR é anulado pelo seu oposto de 1800 . R2 R2 + N I 2 (R2 + (x − d/2)2 )3/2 2 (R2 + (x + d/2)2 )3/2 como d = R escreve-se H = NI R2 R2 +N I 2 (R2 + (x − R/2)2 )3/2 2 (R2 + (x + R/2)2 )3/2 que resulta " −1. que demonstra a validade desta equa¸cão. ♦ Fig. é percorrida pela corrente I. Verificar a validade da equa¸cão do campo magnético Como d~` e ~r. ♦ A. e.5: As bobinas de Helmotz são duas bobinas circulares coaxiais. ~ em um percurso fechado. e que para o caso de um fio retil´ıneo. Resposta: Quando L → 0. a derivada dH/dx ∼ = 0. (40) pode ser expandida em série. Como o solen´ oide tem um n´ umero infinito de espiras (na prática. chamada solen´ oide. temos a corrente I envolvida pela linha amperiana I = I0 r2 R2 Este resultado será usado para calcular a indutˆ ancia interna de um fio. e isolando H. isto é. Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampére ~ em não há nenhum meio anal´ıtico de determinar o campo H ~ Somente os métodos numéricos.7: Campo magnético de um solenóide. sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos os problemas existentes. Supondo que temos n espiras por metro. aplicando a lei de ampére. Vamos escolher um retângulo como uma linha fechada amperiana. a equa¸cão (41) numa dire¸cão torna-se: H ~ · d~` H ∆I L(S) = lim =J (43) lim ∆S→0 ∆S→0 ∆S ∆S Dizendo que a equa¸cão (43) é um componente do vetor rotacional. tomando H = 0 na região externa ao solen´ oide. Agora. ~ em um bom n´ modernos. Como a corrente tem densidade uniforme. usaremos a concep¸cão do medidor do rotacional ou das pazinhas girantes como sugerido por Skilling (veja bibliografia). Isso significa a capacidade do vetor campo para a rota¸cão da pazinha. com raio r ≤ R. Já temos visto no exemplo apenas a discussão que o vetor campo cujo as dire¸cões das linhas são linhas certamente que têm rotacional não nulo. é poss´ıvel ter vetor campos cuja a dire¸cão das linhas são curvadas mas o rotacional não é zero. transportando uma corrente I0 . cujo comprimento é muito maior do que o seu raio. fazendo-a tender a zero. Solu¸c˜ ao: Vamos escolher uma linha amperiana circular. de raio R. o significado f´ısico do rotacional fica aparente. ♦ qf q f q f q f q f q f q f q f q f q f q qf qf qf q f qf f qf 48 q f f f +f+ + +f +f +f +f +f +f +f +f+f+f+f q f q qf f q q f qf f q f q f q f qf q f q f q f qf q f q f q f q f Fig. Consideremos o fio condutor como um cilindro infinito. Forma-se um campo magnético ao redor de uma bobina de fio de cobre. a corrente que atravessa a amperiana será n L i. Considere uma correnteza de agua através uma de se¸cão transversal na dire¸cão z. A corrente que atravessa o retângulo a amperiana selecionada) é igual à corrente i. I ~ · d~` I= H onde d~` é o caminho de integra¸c˜ ao. não haverá giro da pazinha para nenhum dos dois lados já que a velocidade é a mesma para ambos. ela não vai girar desde o fundo até a superficie pois estão com a mesma for¸ca. o valor do campo é menor. 22 ´ ide.9: Campo magnético dentro de um fio. temos: H= 1 NI 2π r (42) onde N é o n´ umero de espiras do tor´ oide. que escolhemos ao redor do fio. Exemplo III. multiplicada pelo n´ umero de espiras que atravessa a amperiana. Vamos usar a lei de Ampère para calcular o módulo de H no interior do solen´ oide. Para fazermos isso. Mas. de modo que H=ni ´ claro que para um solen´ E oide finito. Na exata metade da correnteza. No interior do toróide (ver Fig. relativamente fun¸cão de J.ELETROMAGNETISMO através de uma curva fechada chamada curva amperiana. se nós examinarmos o gráfico de ~vx e compará-lo com o movimento da pazinha. podem determinar H umero de casos. isto é. com densidade uniforme. que é cortado pela linha que une os condutores de um lado do solen´ oide. Corte de um toro ~ A. 22).4 Rotacional de H Agora vamos discutir resumidamente o significado f´ısico do rotacional. Além disso. define-se a lei geral I Z Z ~ · d~` = ~ × H) ~ × dS ~ A (∇ (44) L(S) S Chegando-se na equa¸cão diferencial ~ ×H ~ = J~ ∇ . I Hd` = n L i L A integral fechada pode ser desdobrada. num determinado comprimento L. Considera-se a velocidade ~v da água independente da altura mas aumentando uniformemente desde o valor zero das extremidades até um valor máximo de v0 localizado no centro da corrente de água. paralela ao eixo x. um n´ umero muito grande de espiras). No interior do solenóide o campo tem o sentido indicado pela regra da mão direita. Usando argumentos de simetria é f´ acil mostrar que são nulos os campos entre os fios e na parte externa do solenóide. ou um valor limite que nunca ser´ a ultrapassado! ♦ Exemplo III. A pá vai girar na dire¸cao anti-horária no lado direito para o centro. Se nós inserirmos a pazinha horizontalmente. Da mesma forma. O rotacional não faz nada com a curvatura ou com a corrente rotacional como o nome talvez lembre. **Teorema de Stokes Aplicando-se o limite na superf´ıcie S. A corrente I é a corrente l´ıquida englobada pela curva. este valor é uma referência. Agora. assim mostra-se que o rotacional para esse campo não tem uma componente horizontal. Assim. a corrente que entra na lei de Ampère é calculada em termos da densidade de espiras n espiras por metro de solenóide. e integrando na linha amperiana circular de raio r. vamos considerar o menos atrito que as pás têm desconsiderando a influência na velocidade da água e intoduzir na água com isso uma seta vertical. a pá vai girar com uma taxa parecida independentemente de y.8: Campo de um tor´ oide. junto do eixo z ou junto ao eixo y ou em qualquer outra dire¸cao paralela ao plano yz. partindo de que a velocidade diferencial é independente de y. ♦ Exemplo III. e consideraremos o solen´ oide infinito. ELETROMAGNETISMO 49 **O rotacional nos três sistemas de coordenadas Coordenadas cartesianas: . . ~k . . ~i ~j . ∂ . ∂Ay ~ ∂Az ∂ ∂ . ~ ×A ~=. ∇ . ∂x ∂y ∂z . = ∂y − ∂z i . A . x Ay Az ∂A ∂Az ~ ∂Ax ~ y x k + ∂A ∂z − ∂x j + ∂x − ∂y Coordenadas cil´ındricas: . . . ~ur /r ~uφ ~k/r . . ∂ . ∂ ∂ ~ ×A ~=. . = ∇ . ∂r ∂φ ∂z . . A . r rAφ Az ∂Aφ ∂Ar ∂Az 1 ∂Az ~ur + ∂z − ∂r ~uφ + r ∂φ − ∂z Coordenadas esféricas: . . ~urs . r2 sen θ ~ ×A ~ = . . s ∂ ∇ . ∂rs . de forma que os campos das duas bobinas sejam aditivos.8: Desenhar diagramas mostrando o campo magnético ao redor de dois condutores retil´ıneos paralelos percorridos por corrente: (a) no mesmo sentido. Ligou-se uma fonte de corrente de 1 A.9: Montou-se duas bobinas com 20 cm de diâmetro e 100 espiras de um condutor muito fino.6246 N/m. que passa nas duas bobinas em série. de atra¸cão. (b) em sentidos opostos. (Demonstrar qualquer fórmula utilizada). e.) ~k (46) P III-A. (47) P III-A.62 cm e tiverem uma corrente de 1000 A no mesmo sentido. Calcular o campo devido aos dois fios H. e dispostas coaxialmente a uma distância de 10 cm uma da outra. qual a for¸ca por metro de comprimento? (Resposta: 2. Ars ~ uθ rs sen θ ∂ ∂θ + r1s + r1s ∂(rAφ ) ∂r ~ uφ rs ∂ ∂φ rs Aφ rs sen ∂(sen φAφ ) θ urs − ∂A ∂θ ∂φ ~ ∂(r A ) ∂A s φ rs 1 − ∂r ~uθ sen θ ∂φ s ∂Ars ∂(rs Aθ ) − ∂θ ~uφ ∂rs 1 rs senθ 1 r θAφ − (45) P III-A. Plotar curvas mostrando a intensidade do campo magnético ao longo do eixo das bobinas. nos quais passam as correntes I e 2I. situado a uma distância x do fio 1. Se os dois condutores estiverem afastados de 7. I A+x (R: H = 2π x(A−x) A/m) ∂Ar ∂φ .10: Têm-se dois fios infinitos separados por uma distância A. no ponto P . . . . . = . . criado por uma corrente I.5cm. .8 A/m) P III-A. formando um triângulo equilátero com afastamento l entre os centros. com 25 mm2 . Considerando N = 167 espiras.8 ampére nos lados colocados em x = −17. passa através de um condutor de raio R.16: Calcular a intensidade do campo magnético no centro do sistema de coordenadas. Calcular o campo magnético: (a) no interior do condutor. calcular o campo quando o raio a = 0. de se¸cão retangular. b) no meio H = 2πr b2 −a2 e c) fora H = I/(2πr)) P III-A. devido aos três fios (R: Ht = 0) P III-A.17: Helmholtz. P III-A. percorrido por uma corrente I. (R: Hφ = Jz r/2 e Hφ = Jz R2 /(2r)) P III-A. e y = 3.2: Calcular a intensidade do vetor campo magnético a 0. divergente. dentro. tem uma distribui¸c˜ ao uniforme de 600 espiras de condutor de cobre isolado. e é percorrida por uma corrente superficial uniforme J~ = k~j A/m.11: Uma barra condutora condutora infinita. A condutividade do cobre é 58 mm2 /m/Ω. usando: (a) a lei de Biot-Savart. √ I (R: H = a2 + b2 πab A/m) P III-A. (b) a lei circuital ~ = i ~uφ ) de Ampére. centrada no eixo z. imerso em óleo.4: Uma superf´ıcie infinita est´ a situada no plano z = 0.13: Calcule o campo. A. quando é percorrido por uma corrente de 2 A. (R: I r 2 −a2 a) dentro H = 0.2cm. (R: J = 2 eI L A/m2 ) b) Considere que o afastamento de um ponto até a barra x << L. . i = 13. y = −12. P III-A. (Resposta: 59 A/m) P III-A.14: Calcule o campo magnético num ponto P .5 m do centro de um condutor de cobre. e. de usar ou não usar.3cm. se uma bobina retangular com uma u ńica espira está colocada no plano xy. (R: H = √ IR A/m) 2 2 3 2 (R +x ) P III-A. quando é percorrida por uma corrente de 10 A. passando 47. (R: 31.15: Calcule o campo magnético em um ponto P .3: Considerando uma corrente i fluindo na dire¸cão positiva ao longo do eixo z de −∞ a +∞. integral de linha. e. que é percorrido por uma corrente de 100 A. e na metade entre as duas bobinas possui gradiente nulo num trecho ao longo do eixo. x = −2. com expessura e e largura 2L.5 Exerc´ıcios .) P III-A.4A. em série. (R: Hx = k/2.1: Comparar. calcular o campo total no baricentro do triângulo. que é percorrido corrente I. calcular o campo magnético num ponto P afastado de uma distˆ ancia r do condutor. ferramentas matem´ aticas mais avan¸cadas (gradiente. cuja proje¸cão sobre a mesma se situa na sua linha mediana. .12: Tendo 3 fios infinitos percorridos por I. (Resposta: 1970 A/m) P III-A.8cm. (b) externo ao condutor. dispostas com os seus eixos em comum. possui uma corrente I fluindo transversalmente. que se situa no encontro das diagonais de uma espira retangular de largura 2b e altura 2a. Escolher um percurso fechado e calcular o campo magnético a uma distˆ ancia z da superf´ıcie. ) para os problemas de engenharia. citando vantagens e desvantagens. .5: Uma densidade de corrente J~ = Jz~k.7: Um solen´ oide com 64 cm de comprimento e 2. situado no mesmo plano de uma espira circular de raio R. O campo para uma superf´ıcie de corrente n˜ ao varia com a distância.54 cm de diâmetro. e calcule o campo magnético H criado pela barra no ponto P . ligou duas bobinas circulares com mesmo raio. no meio e fora de um cabo cil´ındrico ôco de raio interno a e raio externo b. e observou que a intensidade do campo magnético no eixo. a uma distância x do centro da 2 mesma. Calcular a intensidade do campo magnético no centro do solen´ oide.6m. a) Calcule o módulo da densidade de corrente J (A/m2 ) na barra. de maneira uniforme.7a semana P III-A. P III-A.6: Calcule a intensidade do campo magnético no centro de uma espira quadrada com 32 cm de lado. (R: H 2π r P III-A. rotacional. puros e em ligas destes metais uns com os outros e com alguns outros elementos. A energia potencial do momento magnético num campo magnético externo é m´ınima quando o momento é paralelo ao campo e máxima quando está antiparalela ao campo. A região do espa¸co sobre a qual os momentos de dipolos magnéticos estão alinhados é denominado um dom´ınio.o fluxo passar´ a preferencialmente pelo ar. O conceito de spin surgiu da necessidade de se explicar . conforme ocorre com os materiais ferromagnéticos. o que em certos casos. Na presen¸ca de um campo magnético externo. n˜ ao existe for¸ca atuando sobre o material. como aconteceu com o campo elétrico. e os materiais ferromagnéticos tornam-se paramagnéticos. Esses materiais diamagnéticos e paramagnéticos têm uma susceptibilidade. denominada temperatura Curie. de modo que o momento magnético l´ıquido de uma amostra macroscópica do material é nulo no estado normal. dividiram-se os materiais em: paramagnético. tolerado e talvez tolerável em textos não rigorosos. usualmente microscópica. quando verificou que um peda¸co de bismuto era repelido pelos pólos de um imã. Até mesmo substâncias como cobre e alum´ınio. Quando não há campo magnético externo. no cobalto e no n´ıquel. **Paramagnetismo O paramagnetismo ocorre nas substâncias cujos átomos tem momentos magnéticos permanentes e interagem uns com os outros apenas de modo fraco. Alguns materiais. de modo que numa pequena região do espa¸co os momentos estão alinhados entre si. notavelmente o ferro. os momentos tendem a alinhar-se no campo. Em temperaturas muito baixas e em campos externos elevados. conforme ocorre com os materiais diamagnéticos e paramagnéticos ou pode já existir mesmo na ausência do campo externo.as linha se concentram no material. ao passo que objetos compostos têm momento angular extr´ınseco. O efeito diamagnético não depende da temperatura.as linhas de fluxo n˜ ao se alteram. a matéria é classificada como sendo paramagnética ou diamagnética. A fra¸cão dos momentos que se orienta paralelamente ao campo depende da intensidade do campo e da temperatura. o que indicava que o campo externo do imã provocava um dipolo magnético no bismuto em dire¸cão oposta à do campo. 3.ELETROMAGNETISMO Observa¸cões: a. mas sim momento angular (exce¸cão feita somente ao n´ ucleo do isótopo 1 do hidrogênio. Geralmente o efeito diamagnético nos materiais é mascarado pelo comportamento paramagnético e ferromagnético. Contudo. Conseq¨ uentemente. Indu¸c˜ ao e for¸ca magnética ~ pode ser produzido por uma corO campo magnético H ~ do rente elétrica ou por uma magnetiza¸c˜ ao resultante M momento de dipolo molecular. Isto ocorre em virtude de os momentos de dipolo magnético dos átomos destas substâncias exercerem fortes for¸cas sobre seus vizinhos. s˜ ao afetadas pela presen¸ca de um campo magnético produzido por qualquer pólo de um imã de barra. pois todas as moléculas exibem um momento de dipolo magnético induzido e antiparalelo ao campo magnético aplicado em virtude da deforma¸c˜ ao da distribui¸c˜ ao da corrente eletrônica. Estático . Quando colocarmos um material qualquer num campo magnético uniforme. Esta magnetiza¸cão pode ser puramente devido ` a intera¸cão do campo aplicado com a matéria. que é um meio mais perme´ avel. motivos históricos e continuado costume levaram à esse abuso de linguagem. estas for¸cas desaparecem. mas a dire¸cão do alinhamento varia de dom´ınio para dom´ınio. refor¸cando o campo aplicado. geralmente no ar. pode ocorrer três fenômenos distintos: 1. O diamagnetismo ocorre em todos os materiais. Os átomos têm momentos de dipolo magnético em virtude do movimento orbital dos respectivos elétrons. Chamam-se ferromagnéticos a estes materiais. O spin é intr´ınseco. A sua magnetiza¸c˜ ao tende a enfraquecer o campo externo. e est´ a relacionada com a estrutura atômica e molecular. Todos os materiais são diamagnéticos em temperaturas suficientemente elevadas. n´ ucleos não apresentam spin. Dependendo se h´ a uma atra¸cão ou repulsão pelo pólo de um ´ım˜ a. O alinhamento dos momentos permanentes diminui com a temperatura para as substâncias paramagnéticas e ferromagnéticas. Em temperaturas acima da temperatura cr´ıtica. diamagnético e ferromagnético. Chama-se diamagnético ao material que apresenta esta propriedade. 2. materiais deste tipo s˜ ao chamados ferromagnéticos. Isso faz com que apare¸ca uma for¸ca que tender´ a a repelir o corpo do p´ olo Norte da fonte geradora de campo. b. Embora o spin possa ser considerado um momento angular. respectivamente. As duas bobinas est˜ ao associadas para superposi¸cão do campo. denominado paramagnético. ** Spin e momento angular Rigorosamente. muito menor que um (χ << 1). mesmo sem campo externo. Como não temos por objetivo. estes momentos magnéticos estão orientados ao acaso. e continuarão a passar pelo materiam como se nada tivesse acontecido. por terem ambos as mesmas unidades e serem tratados por um formalismo matemático e f´ısico semelhante. Baseando-se neste princ´ıpio. que é constitu´ıdo de um u ńico próton). mostram uma atra¸cão muito grande para o p´ olo de uma barra permanente de ´ımã. nem sempre o oposto ocorre. Aproxima¸cão . Além disso.1 Magnetiza¸cão Toda matéria exibe propriedades magnéticas. pode persistir mesmo na ausência de campo externo magnetizador. **Ferromagnetismo Ocorre no ferro. veremos apenas os princ´ıpios que norteiam a magnetiza¸cão e a permeabilidade magnética. mas esta tendência é contrariada pelo fato dos momentos ficarem orientados ao acaso em virtude da agita¸cão térmica. Afastamento . A magnetiza¸c˜ ao é uma caracter´ıstica intr´ınseca de cada material. Dentro de um dom´ınio todos os momentos magnéticos estão alinhados. cada elétron tem um momento de dipolo magnético intr´ınseco associado ao seu spin. quase todos os momentos estão paralelos ao campo. B. realizar o estudo microsc´ opico destes 50 materiais. e em algumas poucas substâncias mais. que normalmente são livres de propriedades magnéticas. O paramagnetismo resulta da tendência dos momentos magnéticos moleculares alinharem-se com o campo magnético aplicado. Com isto surge uma for¸ca que tende atrair fortemente o material do pólo Norte. **Diamagnetismo Foi descoberto por Faraday. B. A dimensão do dom´ınio é. Nestas substâncias um pequeno campo magnético externo pode provocar um grande grau de ordena¸cão dos momentos de dipolo magnético dos átomos. A distˆ ancia entre as duas bobinas é igual ao raio. em módulo. O momento magnético de um átomo depende da disposi¸c˜ ao dos elétrons no seu interior. Isso indicou que os ´ atomos de prata do feixe ainda tinham um grau de liberdade de momento angular. experimentos similares. de seus pr´ oprios eixos. Momento de dipolo ou spin de um ele (48) Podemos então escrever as f´ ormulas dos componentes do campo magnético em um ponto genérico P por simples analogia com as fórmulas do dipolo elétrico (com a hip´ otese anterior de R << r): HN = 2m cos α/(4πr3 ) HT = msen α/(4πr3 ) Observa-se a grande semelhan¸ca entre (48) e (23). No sistema metro-quilograma-segundo-ampère e SI. por exemplo. predominantemente. A dire¸cão do momento de dipolo. A esse “momento angular intr´ınseco” deuse o nome de spin (significando giro em Português) Em 1924. indicando que o feixe se dividira em dois durante o percurso. 23 ´tico fora do eixo de uma espira circular. constituindo também um dipolo magnético. atravessavam um campo magnético altamente não-uniforme. como são. Elétrons que circulam ao redor de n´ ucleos atˆ omicos. Considere uma espira de raio R percorrida por corrente I. contudo. Como os ´ atomos. A diferen¸ca básica está na presen¸ca ou n˜ ao do parˆ ametro 0 . Wolfgang Pauli postulou que os n´ ucleos se comportariam como min´ usculos ´ım˜ as. Considerando a volta da corrente como um imã min´ usculo. se mantém no mesmo alinhamento para formar um dom´ınio ferromagnético. Campo magne 2πR2 4π x3 Denominando m ~ ao vetor momento de dipolo magnético. O vetor dipolo magnético m ~ é dado matematicamente por m ~ = ρM d~ onde . porém mais sofisticados.ELETROMAGNETISMO 51 os resultados até ent˜ ao impensados na experiência de SternGerlach na década de 1920. mas sim um momento angular intr´ınseco destas part´ıculas. e de n´ ucleos atômicos carregados positivamente s˜ ao todos dipolos magnéticos. Tal n˜ ao sucedeu. o que significa que eles podem somente ser orientados no espa¸co em certos ângulos discretos com respeito à dire¸cão do campo externo. este vetor corresponde à dire¸cão do pólo sul ao pólo norte. de forma que um determinado tipo de ´ atomo pode não ser um dipolo magnético. Quando um dipolo magnético é considerado como uma corrente arredondada. a equa¸c˜ ao do campo torna-se: H= 2m 4π x3 Fig. a magnitude do momento de dipolo é proporcional a corrente. mas que n˜ ao era o momento angular orbital dos elétrons no átomo. Nessa experiência. A distribui¸c˜ ao esperada era da perda da coerência espacial do feixe durante o seu tempo de vôo. é perpendicularmente afastada do lado da superf´ıcie que gira fluxo de carga positiva no sentido anti-horário. Tal experimento era destinado a medir a distribui¸cão dos momentos magnéticos. estavam no seu estado fundamental 1S0. deveriam sofrer desvios nulos na presen¸ca do campo magnético não-uniforme. na dire¸cão do campo magnético externo. As agulhas de b´ ussolas magnéticas e im˜ as de barra s˜ ao exemplos de dipolos magnéticos macroscópicos. devidos principalmente aos elétrons. O resultado obtido foram duas manchas de depósito de prata sobre o alvo. A soma destes efeitos pode se cancelar. Mais tarde. equivalente a um fluxo de carga elétrica ao redor de uma esfera. os dipolos se alinham de forma que seus momentos apontem. podemos desprezar o primeiro e multiplicar o numerador e o denominador de (39) por 2π. ** Dipolo e carga magnética Geralmente um im˜ a min´ usculo de microsc´ opico para dimensões subatômicas. os ´ atomos de ferro. o átomo é um dipolo magnético permanente. Os momentos magnéticos do n´ ucleo e do elétron são quantizados. multiplicado pelo tamanho da área inclusa. um feixe colimado de átomos de prata. na temperatura em que estavam emergindo do forno. Muitos milhões de átomos de ferro. aos do SternGerlach determinaram momentos magnéticos nucleares de várias espécies. do forno de origem até o alvo. cujo módulo m = IS = IπR2 . espontaneamente. que pode ser representado matematicamente como um vetor. 24 ´tron. Momentos de dipolo magnéticos têm dimensões de corrente vezes a área ou energia dividido por densidade de fluxo magnético. resultando H=I Fig. Quando estão livres para girar. Se o seu raio da espira com corrente R é pequeno em rela¸cão a x. a unidade espec´ıfica para momento de dipolo é ampére metro quadrado. Se eles n˜ ao se cancelam completamente. oriundos de um forno a alta temperatura. O ~ sai do p´ campo magnético H olo Norte. e a unidade do SI para H e M é o ampére por metro (A/m). Então. como foi desenvolvido para os dielétricos. A indu¸c˜ ao magnética B B = µ0 (H + M ) Fig. Ela está associada com a indutância ‘elétrica’. Uma forma alternativa de definir a permeabilidade magnética é a partir da permeabilidade relativa µr : µ = µr µ0 . chamada ρM . H ´ uma das mais importantes propriedades dos materiais E elétricos. Podemos admitir que a magnetiza¸c˜ ao seja uma ~ (x. Cada corrente atˆ omica é um pequeno circuito fechado de dimens˜ oes atˆ omicas. 25 õ magne ´tica B/µ0 e ´ a soma do campo H com a A induc ¸a õ M . freq¨ magnetiza¸cão M uentemente. e a massa atômica relativa do ferro é 56. existe uma rela¸cão matemática entre o vetor B ~ o vetor H: ~ = µ0 H ~ B onde µ0 é a permeabilidade magnética no vácuo. que tem unidade A/m2 . com +ρM . Esta imanta¸cão geram uma magnetiza¸cão. definida como a rela¸cão entre a indu¸cão magnética B e o campo aplicado H. quando se coloca um material ferromagnético dentro de um campo magnético. (49) M = χH No caso do ferro e de outros materiais ferromagnéticos. Sua unidade no sistema internacional é o Tesla (T).ELETROMAGNETISMO 52 * d~ é o vetor distância entre os p´ olos do sentido S para N. que será denominada permeabilidade magnética no v´ acuo µ0 = 4π × 10−7 ~ é tesla-metro por ampére (Tm/A). que se soma ao campo magnético externo aplicado. obtem-se: B = µ0 (H + χH) = µ0 (1 + χ)H . imantando a barra de ferro. 025 × 1026 kg-´ atomo. ou simplesmente indu¸cão e se denota pelo s´ımbolo B. com −ρM . e pode ser descrito como um dipolo magnético. ou densidade de fluxo. Seja m ~ i o momento magnético do átomo de ´ındice i. Exemplo III. as extremidades do material ir˜ ao ficar polarizadas com uma densidade superficial de p´ olo magnético. a densidade de fluxo B. 7 × 106 = 1. * ρM é a carga magn´ etica. Se a distribui¸c˜ ao de carga magnética for uniforme. ~ eM ~ . 1 Tesla = 104 Gauss ~ B e M são as intensidades dos Da mesma forma que H. Definiremos agora uma quantidade ve~ (momento de dipolo torial macroscópica. 98 × 10−23 Am2 ♦ 8. Faz na teoria do magnetismo. Solu¸c˜ ao: Um metro c´ ubico tem massa de 7970kg.2 Indu¸cão e permeabilidade magnética Coloquemos uma barra de ferro desmagnetizada dentro de um campo magnético uniforme. magnetizac ¸a O valor de µ0 não tem significado f´ısico e somente é necessário na equa¸cão anterior pela escolha do SI de unidades. 58 × 1028 B. e tomamos somente os seus valores escalares. ** Susceptibilidade magnética Podemos definir formalmente a susceptibilidade magnética ~ H ~ eM ~ podem ser considerados paralelos. ainda que um tanto artificial. ** Vetor magnetiza¸c˜ ao Para os trabalhos pr´ aticos. ou seja. e consequentemente. em Am2 . 58 × 1028 ´ atomos 56 E o módulo do momento magnético m ~ por ´ atomo vale m= 1. precisaremos de uma constante. O novo campo magnético resultante se denomina indu¸cão magnética. Conforme observamos anteriormente. Este incremento em B se mede mediante uma quantidade chamada permeabilidade magn´ etica. muito maior que a in~ por um fator de v´ tensidade magnética H arios milhares ou até mais. respectivamente. 025 × 1026 = 8. lida-se com o vetor magne~ que é um vetor representativo de todos os vetores tiza¸cão M m ~ sobre um volume V . z) no fun¸cão das coordenadas. 7×106 A/m. y.10: A magnetiza¸c˜ ao de satura¸c˜ ao do ferro é 1. o mesmo papel que ρ faz na teoria do dielétrico. podemos relacionar o campo magnético interno com estas ‘cargas magnéticas’. aumenta a magnetiza¸cão M . Esta quantidade é muito u ´til. A unidade cgs para B é o gauss (G). B µ= . Para que ocorra a conserva¸cão da energia. substituindo M em (49). (50) Então. a magnetiza¸c˜ ao M magnético por unidade de volume).Observa-se o surgimento de pólos. Dessa forma. calcular o momento magnético de cada átomo de ferro. a mesma unidade do campo A unidade de M magnético. Sabendo que o n´ umero de Avogadro vale 6. como por exemplo M sistema cartesiano. todos os momentos de dipolo num pequeno elemento de volume ∆V e dividiremos o resultado por ∆V . ou o tesla (T). o campo magnético resultante pode ser expresso a partir de uma distribui¸c˜ ao magnetizada ρM . χ. Assim vetores B ~ = µ0 (H ~ +M ~) B ~ e No vácuo. A unidade no SI para B é o weber (1 Wb = 1 Vs) por metro quadrado (Wb/m2 ). vetorialmente. Somaremos. Os vetores B. e chega no pólo Sul. X ~ = lim 1 M m ~i ∆V →0 ∆V i ~ é A/m. e contém o seguinte n´ umero de átomos: N= 7970 × 6. a ~ é. e sua densidade é 7970 kg/m3 . ELETROMAGNETISMO 53 onde µ = µ0 (1 + χ) fornece a permeabilidade magnética em funcc˜ ao da susceptibilidade magnética. ** Curva de histerese O gráfico da Fig. 26 mostra que a medida que H aumenta, desde zero, B aumenta a partir de zero ao longo da parte da curva que vai da origem zero até a ponto P1 . O fato de a curva tender para a horizontal, nas vizinhan¸cas de P1 , indica que a magnetiza¸c˜ ao M aproxima-se do seu valor de satura¸cão Ms , quando todos os dipolos atˆ omicos estão alinhados. O crescimento de H, que leva M para próximo de Ms , aumenta o B apenas pela parcela µ0 H. Quando H diminui gradualmente, a partir do ponto P1 , não há uma diminui¸cão correspondente na magnetiza¸c˜ ao. O deslocamento dos dom´ınios num material ferromagnético não é completamente revers´ıvel, e uma parte da magnetiza¸cão permanece mesmo quando H se reduz a zero. Este efeito é a histerese, do grego ‘atraso’. O valor da indu¸c˜ ao magnética no ponto +Br , quando H é nulo, é a indu¸c˜ ao remanente Br . Se a corrente no solen´ oide for invertida, de modo que H fique na dire¸cão oposta, a indu¸c˜ ao magnética B diminui gradualmente até zero, no ponto H = Hc . O valor de H necessário para reduzir B a zero é a for¸ca coercitiva Hc . A parte restante da curva da histerese se obtém aumentando a corrente na dire¸cão oposta até atingir-se o ponto P2 , correspondente à satura¸cão na dire¸c˜ ao oposta; depois diminuindo a corrente até zero no ponto −Br ; e finalmente aumentando a corrente, e passando por +Hc , a fim de chegar novamente ao ponto P1 . Pode-se demonstrar que, vetorialmente, a densidade de energia magnética armazenada no campo e no fluxo magnético é dada por Z ~ · dB ~ W = H onde W é a densidade de energia, em J/m3 . Considerando uma curva de histerese linear tem-se W = 1 µH 2 2 B.3 For¸ca magnética Detectamos a presen¸ca de densidade de fluxo ou indu¸ c˜ ao magn´ etica pela for¸ ca sobre a corrente el´ etrica. Neste enunciado encontramos a explica¸cão ao funcionamento dos motores elétricos, e entendemos a indu¸ c˜ ao magn´ etica. Aproximadamente F =BIL Quando uma carga elétrica q se desloca com velocidade ~ neste ~v em um fluxo magnético, com indu¸cão magnética B, ~ atua uma for¸ca F chamada for¸ca de Lorentz: ~ F~ = q (~v × B) O vetor for¸ca F~ é perpendicular ao plano ocupado por ~v e ~ Neste experimento os vetores ~v e B ~ são ortogonais, de B. modo que a rela¸cão acima pode ser escrita usando apenas o módulo dos vetores: F =qvB A velocidade dos portadores de carga (elétrons) é medida pela Corrente elétrica I no condutor. A carga de elétrons num condutor de se¸cão A e comprimento l deve ser expressa como: qv=Il Desse modo a for¸ca de Lorentz pode ser escrita como F = B I L. Assim, conhecendo a for¸ca e a corrente de um condutor, pode-se calcular a indu¸cão magnética. ** Constante absoluta µ0 Historicamente havia dois (ou mais!) sistemas diferentes de unidades, um que define a quantidade de carga em termos da for¸ca entre duas cargas estacionárias (as unidades “Eletrostáticas”) e um outro que define a quantidade de carga em termos de for¸cas entre correntes (sem carga), o sistema “Eletromagnético”. As unidades Eletrostáticas são baseadas na lei de Coulomb, 1 ~ q, F~ = D 0 Fig. 26 Curva de histerese - Br e Hc . A tabela XIII apresenta os valores caracter´ısticos da curva de histerese dos materiais magnéticos mais usados. Nesta tabela observa-se três faixas de materiais, que s˜ ao: materiais de baixo custo, ligas de alta permeabilidade, e ligas com alta satura¸cão. Devemos escolher o material adequado para cada aplica¸cão. ** Densidade de energia magnética A densidade de energia é a ´ area da curva de histerese. e as unidades eletromagnéticas (versão do estado estacionário) na lei de Ampère. Veremos que as quantidades 0 e µ0 são fundamentalmente fatores de calibra¸cão que determinam o tamanho da unidade de carga. Consideremos dois fios paralelos, separados por uma distância r, e percorridos pela corrente I. O campo magnético H criado por um condutor sobre o outro é: H= I 2πr A indu¸cão magnética no ar é o produto da permeabilidade magnética do vácuo µ0 pelo campo magnético H B = µ0 H ELETROMAGNETISMO 54 e a for¸ca magnética Fm por unidade de comprimento (L = 1m), separados de r = 1m é: Fm = BIL = µ0 HIL = µ0 I2 2π O “Sistema Internacional” SI (ou ` as vezes MKSA) de unidades adota a defini¸c˜ ao eletromagnética, porque pode ser medida mais facilmente, mas com um µ0 diferente, como segue. “Um Ampère é a corrente que, ao fluir por dois fios paralelos e infinitesimais, distantes 1m um do outro, produz uma for¸ca de 2 × 10−7 Newton por metro de seu comprimento”. Esta defini¸c˜ ao permite definir Os pólos N e S se atraem e nós admitimos uma for¸ca P tendendo a afasta-los. O trabalho executado será W = P~ · d~x = P dx O trabalho é empregado para aumentar a energia magnética (no entreferro entre os pólos) W = 1 µ0 He2 Se dx 2 Isolando a for¸ca P encontra-se: P = −7 µ0 = 4π × 10 (Henry/metro) Como 1 Ampère é 1 Coulomb por segundo, isto também define a unidade de carga. **Torque em uma espira A for¸ca de um dipolo magnético, chamado de momento de dipolo magnético, pode ser imaginado como uma medida da habilidade de um dipolo de se alinhar quando submetido a um campo magnético externo. Em um campo magnético uniforme, a magnitude do momento de dipolo é proporcional a soma de torque no dipolo, a qual ocorre quando o dipolo está em ângulos certos para o campo magnético. O momento de dipolo magnético, freq¨ uentemente chamado de momento magnético, pode ser definido como o m´ aximo de quantia de torque causado por for¸ca magnética, nas proximidades de campo magnético no v´ acuo. Seja uma espira, de uma volta, no plano z = 0, com largura W ao longo do eixo x e comprimento l ao longo do eixo y. ~ uniforme e orientado na dire¸cão Está colocada em um fluxo B do eixo x e é percorrida pela corrente I no sentido horário. 6F~ r l β ~ B γ @ - @ R @ +l 1 µ0 He2 Se 2 (51) Esta simples equa¸cão permite projetar máquinas e outros dispositivos como relés, solenóides . . . B.4 Lei de Gauss do magnetismo No magnetismo, não exitem monopólos. Assim, as linhas de fluxo magnético não podem sair de um ponto ou de uma região. Elas têm de ser linhas que se fecham em si mesmas. A lei de Gauss do magnetismo é uma das equa¸cões básicas do eletromagnetismo, e é uma maneira formal de enunciarmos uma conclusão à qual somos levados por fatos do magnetismo, a saber, que pólos magnéticos isolados não existem. N˜ ao existem monop´ olos magn´ eticos. O fluxo de B deve ser sempre zero! A forma matemática de representa¸cão desta lei é I ~ · dS ~=0 B Ela afirma que o fluxo magnético através de qualquer superf´ıcie gaussiana deve ser zero. Mesmo se fizermos a integral em qualquer parte de uma superf´ıcie gaussiana, ela sempre será igual a zero. Pois as linhas de campo magnético sempre entrarão de um lado e sairão pelo outro. Concluindo ~ assim que não existem nem fontes nem sorvedouros de B. ~ tem-se outra Aplicando o teorema da divergência para B equa¸ c˜ ao de Maxwell ~ ·B ~ = div B ~ =0 ∇ ~ n ~ F ? As u ńicas for¸cas aparecem nos lados da espira, e têm módulo F = B I l. O torque relativo a cada bra¸co potente vale w Tc = F cos β 2 Somando os dois torques, e substiutindo o valor da for¸ca: T = B I l w = m B sen γ onde l w é a área da espira, e o produto I l w é o momento magnético da espira, em Am2 . Assim, de forma vetorial escreve-se ~ T~ = m ~ ×B onde m ~ é o vetor momento magnético com dire¸caõ perpendicular ao plano da espira. **For¸ca portante ou trativa no entreferro de ´ım˜ as ou eletro-´ım˜ as Diferen¸ca entre B e H Qual é a diferen¸ca entre B e H? Vamos ver algumas respostas poss´ıveis: (a) seria apenas um fator de multiplica¸cão, ou uma constante. Neste caso, uma das duas poderia ser suprimida. Isto acontece no segundo grau, quando o campo magnético é denominado B. (b) o campo magnético seria a a¸c˜ ao e a indu¸cão a rea¸c˜ ao. Isto acontece em bobinas e circuitos em corrente cont´ınua, quando a corrente é imposta ou pré-determinada. (c) a indu¸cão seria a a¸c˜ ao e o o campo magnético seria a rea¸c˜ ao. Isto acontece em bobinas e circuitos em corrente alternada, quando a tensão ou o fluxo é imposto ou prédeterminado (ver lei de Faraday). Podemos dizer que as três respostas anteriores estão corretas, mas na verdade, o que distingue H e B são seus aspectos vetoriais. A circula¸cão do campo é sempre igual à corrente envolvida, e o fluxo total de B numa superf´ıcie fechada é sempre nulo. Qualquer um dos dois pode ser ‘causa’ ou ‘efeito’, mas num projeto de engenharia, nunca podem ser confundidos, e muito menos suprimidos. ELETROMAGNETISMO 55 B.5 Refra¸cão magnética Consideremos dois meios com permeabilidade µ1 e µ2 , se~ eH ~ mudam parados por uma fronteira plana. Os vetores B a sua dire¸cão na passagem do meio 1 para o meio 2, ou viceversa. Considerando que n˜ ao exista corrente na fronteira, temos ~ ×H ~ = 0 e ∇ ~ ·B ~ = 0 que correspondem as equa¸cões ∇ respectivamente: - conserva¸cão do campo tangencial H1t = H2t - conserva¸cão da indu¸c˜ ao normal B1n = B2n Assim, podemos demonstrar que tg θ1 µ1 = tg θ2 µ2 (52) Fig. 27 ´tico de um condutor pro ´ ximo de um Linhas de fluxo magne ´tico. material ferromagne ~ ou H ~ com a onde θ é o ângulo formado entre os vetores B normal. lf /2, Sf Exemplo III.11: Considere que o campo magnético passa do ar para um meio contendo µr = 850, incidindo a 45o com a normal. Qual o ângulo no meio 2? Solu¸c˜ ao: Isolando θ2 em (52) encontra-se tg θ2 = tg 45o 850 = 850 1 li , Si le , Se θ2 = 89, 93o Observa-se uma grande varia¸c˜ ao angular na passagem do ar para um meio ferromagnético. ♦ Exemplo III.12: Considere um fio retil´ıneo, situado no ar, próximo a um material com permeabilidade µr . Fazer um esbo¸co das linhas de fluxo para: (a) µr = 1; (b) 1 < µr = 1 << ∞; e, (c) µr → ∞. Solu¸c˜ ao: Quando µr = 1, as linhas s˜ ao circulares, em volta do fio. Quando 1 < µr = 1 << ∞, as linhas têm o formato mostrado na Fig. 27. Quando µr → ∞, a espessura do fluxo e a intensidade do campo magnético no ferro cai para zero. ♦ B.6 Ímãs O princ´ıpio de funcionamento dos ´ım˜ as é baseado na curva de histerese e no campo desmagnetizante. Para o estudo dos ´ımãs, vamos considerar o circuito magnético da Fig. 28, onde temos três materiais em série: ´ım˜ a; ferro; e, ar (entreferro). A utiliza¸cão de um ´ım˜ a permanente requer o cuidado que enunciaremos abaixo para que o mesmo n˜ ao seja desmagnetizado. Imaginemos que sua curva esteja representada na Fig. 29. Nos ´ımãs mais freq¨ uentemente utilizados a permeabilidade diferencial é muito pr´ oxima a do ar. Ao trabalharmos no ponto acima de (BH)max , o ´ım˜ a preserva a sua indu¸cão remanente Br ; no entanto, se utilizarmos o ponto no trabalho P ele perderá sua indu¸c˜ ao permanente Br , e ter´ a uma nova indu¸cão Br2 , fazendo com que o desempenho fique abaixo do que ele poderia ter; se chegarmos ao ponto Q, ele perderá totalmente sua indu¸c˜ ao remanente. Deve-se portanto evitar pontos de trabalho do ´ım˜ a além do ponto (BH)max . **Os principais tipos de ´ım˜ as Inicialmente, citemos que, para um ´ım˜ a permanente, é de grande interesse que o mesmo possua um elevado valor de lf /2, Sf Fig. 28 ˜. Detalhe de um ´ıma campo coercitivo Hc , bem como uma elevada indu¸cão remanente Br . Um valor de Hc importante faz com que o ´ımã não seja facilmente desmagnetizado e a um Br elevado podemos em geral associar a capacidade de criar campos elevados no circuito magnético no qual o ´ımã está inserido. Até 1930 usavam-se ligas de a¸cos magnéticos constitu´ıdas de cromo + tungstênio ou cromo + cobalto cujo maior problema era um Hc muito baixo (Hc <20000 A/m). Em 1940 apareceram as ligas alnico (Fe +Al +Ni+Co) cujo Br é de aproximadamente 1T e com Hc > 50000A/m. Este tipo de ´ımã ainda é muito utilizado, sobretudo quando é necessário trabalharmos em altas temperaturas. Em 1947, com o aparecimento dos ´ımãs de cerâmica ferrite, a utiliza¸cão dos ´ımãs se generalizou, pois estes ´ımãs são baratos e possuem uma coercitividade elevada (Hc ∼ = 100 000A/m). Embora seu Br seja baixo suas qualidades prevalecem e é hoje o ´ımã mais empregado. Outra qualidade deste tipo de ´ımã vem do fato que eles são isolantes, o que o coloca como elemento preferencial para utiliza¸cões em alta freq¨ uência (pois não existirão correntes parasitas circulando nos mesmos). Em 1974, os ´ımãs constitu´ıdos por elementos de terras Be será tanto maior quanto maior for o produto Bi Hi do ´ımã. substituindo em 54. surge uma for¸ca de Lorentz que desloca estes elétrons transversalmente ao seu sentido de deslocamento (regra da mão direita). nos fornece os pontos Bi e Hi de trabalho do ´ımã em fun¸cão das dimensões do circuito magnético. seu pre¸co continua ainda hoje muito elevado. que possuem alta performance. Este valor é negativo.1 1. A integral do campo elétrico transversal é a tens˜ ao de efeito Hall. a conserva¸cão de fluxo determina que: φi = φe ou Bi Si = µ0 He Se Fig.Co Ne-Fe-B Se Li Bi = −µ0 Hi Si Le (55) Na equa¸cão 55 obtivemos Bi /Hi em fun¸cão de fatores dimensionais da estrutura. b. Apresenta-se na tabela VII. os elétrons do cristal semicondutor se acumulam num lado do semicondutor. tem também um alto valor de Br . a interseçcão desta reta (chamada “reta de carga” ou “reta de trabalho do ´ımã”) com a curva caracter´ıstica do ´ımã. ~ F~ = q ~v × B Br Hc (BH)max µr 1. podemos determinar Be = µ0 He : r Vi Be = −Bi Hi Ve Notamos então que: a.ELETROMAGNETISMO 56 Examinemos um exemplo de cálculo de campo criado por um ´ımã permanente. o campo magnético no ferro Hf é praticamente nulo.05 **A indu¸c˜ ao no entreferro de um ´ım˜ a (54) Quando uma corrente elétrica num semicondutor submetido a um fluxo magnético.indu¸cão remanente (T) Hc . e. pois o ´ımã trabalha no segundo quadrante. No entanto. Caracter´ısticas de alguns ´ıma ALNICO FERRITE Sm . através da lei de Ampère. Então temos a equa¸cão Hi Li = −He Le H - (53) Por outro lado. a circula¸cão de H médio fica sendo: 6B Br (BH)max Bi : Br2 e e P e e e Hc Hi e : Hi Li + He Le + Hf Lf = 0 e e Q Considerando µr >> 1.7 Efeito Hall Os sensores de efeito Hall são amplamente usados para medi¸cão de fluxo magnético ou em medi¸cão de corrente. o que. tanto sob o aspecto f´ısico como financeiro. podemos esperar que em médio prazo apare¸ca o ´ımã que re´ una as caracter´ısticas desejáveis e que minimize os inconveniente.25 0. Cabe salientar que a hist´ oria dos ´ım˜ as n˜ ao terminou e que estes elementos s˜ ao objetos de pesquisa permanente nos laboratórios competentes. Estes ´ımãs tem o inconveniente de perderem suas caracter´ısticas em temperaturas relativamente baixas. o valor Bi /Hi representa. Da´ı o interesse de aumentar o volume do ´ım˜ a e utilizar pequenos entreferros. 29 õ dos ´ıma ˜s. tal que Vi = Si Li e Ve o volume do entreferro. TABELA VII ˜s. otem-se raras surgiram. limita muito o interesse dos mesmos.campo coercitivo (kA/m) (BH)max . criando um campo elétrico transversal. Em conseq¨ uência. Curva de operac ¸a Isolando-se He na equa¸cão 53.05 1. as principais caracter´ısticas de alguns ´ımãs. no plano B − H a dire¸cão de uma reta. tal que Ve = Se Le . o que é normal. Os ´ım˜ as de sam´ ario-cobalto representam uma revolu¸cão neste dom´ınio pois.15 60 240 700 800 50 25 150 230 3-5 1.9 1. além de possu´ırem um elevado Hc . . seriam quase t˜ ao baratos quanto os ferrites e de grande disponibilidade. e uma vez conhecidos Bi e Hi . que vai ser medida nos terminais do semicondutor. Escrevendo a lei de Ampère. De fato.permeabilidade relativa. Da´ı o interesse de trabalhar com o (BH)max do ´ımã. sob aspectos construtivos. e pela for¸ca de Lorentz.38 0. B. Multiplicando 53 por 54 encontra-se (Hi Li ) (Bi Si ) = (−He Le ) (µ0 He Se ) Chamando Vi o volume do ´ımã. estas promessas não vingaram e estes ´ımãs s˜ ao caros e pouco dispon´ıveis no mercado.densidade max de energia (kJ/m) µr . onde temos um ´ımã inserido num circuito magnético com um entreferro. Mais recentemente com o aparecimento dos ´ımãs de Neod´ımio anunciou-se que os mesmos. utilizem estes elementos. admitindo que os campos são constantes em suas ~ ao longo do caminho respectivas zonas. Porém devido a um processo complexo de fabrica¸c˜ ao e a dificuldade de matérias primas para os mesmos. com as seguintes unidades: Br . Be será tanto maior quanto maior for a rela¸cão Vi /Ve . Isto n˜ ao impede que o interesse que estes materiais suscitam seja enorme e que atualmente os melhores servo-motores e certos dispositivos especiais tendo alto desempenho(alta densidade de potência). 14: Dado o campo vetorial F~ = x3~i + y 3~j + z k.13: A tens˜ ao de Hall do semicondutor com RH = 0. que nos permitem resolver problemas de contorno em termos de campo ou fluxo magnético.15: Representar o campo vetorial A z~j + 3x~k em coordenadas esféricas. é uma maneira para equacionar o problema de valores de contorno. Partindo da equa¸c˜ ao da continuidade do fluxo magnético ~ ·B ~ =0 ∇ e utilizando a rela¸cão Aθ = 2rsen θ cos θsen φ cos φ − r cos2 θ cos φ − 3rsen 2 θ cos φ Aφ = −2rsen θsen 2 φ − r cos θ cos φ RR ~ · dS ~=0 ~ ·A ~ = 0. θ = π/3}. Solu¸c˜ ao: Fazendo uso da equa¸cão (33 ) teremos: ~ · F~ = 3 − Rsen φ ∇ rsen θ ~ = µH ~ B e pelo teorema da divergência teremos: Z Z Z Z Z Rsen φ ~ ~ F ·dS = 3− rc drc dφ dz = 6πR2 H rsen θ S ~ · µH ~ =∇ ~ · µ(−∇V ~ ∗) = 0 ∇ (Também pode-se fazer diretamente. Considere ainda. impondo as condi¸cões de contorno.ELETROMAGNETISMO 57 O valor da tensão de Hall depende principalmente do tipo de material usado. Considere uma bobina e um circuito magnético simples (Fig. 30). A circula¸cão de F~ através da circunferência C : {r = 1. ~ são: Solu¸c˜ ao: As coordenadas esféricas de A Ar = 2rsen 2 θ cos φsen φ −r cos θsen θsen φ + 3rsen θ cos θ cos φ Fig. e corrente I = 100 mA é: VH = 63 mV/T ♦ B. Exemplo III. O fluxo de F~ através de uma esfera de raio R centrada na origem. Podemos ent˜ ao estudar apenas a região delimitada pelas linhas A e B. ~ ×H ~ =0 ∇ então. O fluxo de F~ através do cilindro fechado de altura 2h. 2. A circula¸cão de F~ através de uma circunferência de raio R centrada na origem e situada no plano xy. constituindo a equa¸cão de Poisson. especificando Ar . A unidade do potencial escalar magnético é o Ampére. Solu¸c˜ ao: Fazendo o divergente de F~ : 3~ ~ · F~ = 3 (x2 + y 2 + z 2 ) = 3 r2 ∇ De acordo com o teorema da divergência podemos escrever: RR RRR ~= ~ · F~ ) dV F~ · dS (∇ S V RR 2 5 = 0 (3r ) (4πr2 dr) = 12πR 5 ~ × F~ = 0. ~ φ . onde o campo magnético será gerado apenas pela diferen¸ca de potencial entre as linhas A e B. abordaremos os potenciais do magnetismo. Aθ . que é a equa¸cão de Laplace: ∂ ∂V ∗ ∂ ∂V ∗ ∂ ∂V ∗ µ + µ + µ =0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (57) Esta equa¸cão pode ser resolvida por métodos numéricos ou anal´ıticos. a circula¸cão de F~ é nula para qualquer Como ∇ contorno fechado C. correspondente ao campo elétrico. calcular: 1. Nesta se¸c˜ ao. 63 × 10−3 m3 /As. Nesta se¸cão. Regia Como no dom´ınio de estudo delimitado pelas linhas A e B não há correntes (J~ = 0). ♦ ~ = 2y~i − Exemplo III. raio R e centrado na origem. VH = 1 RH I B ` Exemplo III. encontramos . pois a maior parte dos dispositivos eletromagnéticos apresenta satura¸cão. implica Como ∇ A ~ ×A ~ = ~i − 3~j − 2~k. que toda a for¸ca magneto motriz da bobina esteja concentrada entre duas linhas A e B.16: Seja o campo vetorial: F~ = r~ur + R cos φ~uφ . 2. calcular o fluxo de A ~ através de uma esfera de raio e A ~ R = 5 centrada na origem. que é uma boa aproxima¸c˜ ao se a permeabilidade do circuito magnético é alta. e. podemos definir um potencial escalar magnético V ∗ tal que ~ = −∇V ~ ∗ H (56) ~ que determina uma rela¸c˜ ao com o campo magnético H. sem usar o teorema da divergência). Vamos obter agora a equa¸c˜ ao de Laplace para o potencial escalar magnético. em particular do n´ umero de elétrons de condu¸cão que define o coeficiente de Hall RH do material.8 Potencial escalar magnético Vimos na Eletrost´ atica que o potencial escalar elétrico V . espessura ` = 10−3 m. e o teorema de Stokes O rotacional ∇ permite obter: I Z Z ~ ~ ~ × A) ~ × dS ~ = −8π ♦ A · d` = (∇ S Exemplo III. calcular a circula¸cão de A através de uma circunferência de raio R = 2 centrada na origem e localizada no plano xy. bem como suas aplica¸c˜ oes no projeto e an´ alise de sistemas eletromagnéticos. 30 õ de estudo para o potencial escalar magne ´tico. Observase que a permeabilidade magnética µ não é constante. estudaremos o potencial escalar magnético V ∗ . calcule: 1. −2. y 2 z + x2 z/2 A calcular: ~ no ponto r = 5. (−2. 1. dy. φ = φ/2 e z = 1. e. Solu¸ca õ: Usando diretamente a express˜ ao do rotacional em coordenadas cartesianas: Solu¸c˜ ao: De acordo com a expressão para o rotacional em coordenadas cartesianas teremos: ∂Ay ∂Az = yz. Dê uma expressão para um campo vetorial A ~ ~ ∇ × A. dz) = k(xdx + ydy + zdz) e. (−25. Solu¸c˜ ao: Aplica¸cão direta das express˜ oes de divergência e rotacional em coordenadas cartesianas: ~ · F~ = 3k ∇ ~ × F~ = 0 ∇ O incremento infinitesimal do campo escalar f é tal que: ~ f · d~` = F~ · d~r df = ∇ df = k(x. Mas o que acontece é que o campo F~ não é uma fun¸cão. A circula¸cão de A angulo com vértices: (2. −2. e portanto F~ não é um campo vetorial. e dz = 4dt. e ∂Ay ∂Ax = xy. . Ache um campo escalar f tal que F~ = ∇ poss´ıvel. Explicar o que acontece. (∇ Integrando estas equa¸cões obtemos: 2 2 2 ~ = xz 2 + xy ~i + x2 y + yz ~j + y 2 z + zx ~k ♦ A 2 2 2 Exemplo III. explicar a raz˜ ao. Obtenha o divergente e o rotacional de F~ . calculamos diretamente a integral de linha: I Z 2π R cos φ (rsen θ)dφ = 0 ♦ F~ · d~` = 0 Exemplo III. ♦ R Exemplo III. a integral de linha de F~ ao longo de um caminho qualquer C fica sendo Z Z ~ ~ F · d` = x2 dx + ydy + (xz − y)dz C C O segmento de reta que une os pontos (0. 5. 1). 2.0) = 0 ∇ Como rc = 5. − ∂y ∂z ∂Ax ∂Az ∂z − ∂x = zx. e z = 4t.18: Seja o campo vetorial: F~ = k~r. (2. 1). y. z) · (dx. porque F~ assume mais de um valor para um mesmo ângulo. 4) se F~ = x2~i + y~j + (xz − y)~k: 1. Ao longo do segmento de reta que une os pontos dados. ♦ f= Exemplo III. F~ (φ = 0) 6= F~ (φ = 2π). Por exemplo. 2. e se não for poss´ıvel. 0) a (1. O divergente de A ~ através do retˆ 3. e = xy ∂x ∂y ~ ×A ~ = yz~i + zx~j + xy~k =⇒ ∇ ~ ×A ~ (0. fazemo o divergente de F~ encontra-se ~ · F~ = 4. calculamos o divergente: ~ ·A ~ = 3 (x2 + y 2 + z 2 ) =⇒ ∇ ~ ·A ~ (0. z = 4t3 Solu¸c˜ ao: Substituindo F~ e d~` = dx~i + dy~j + dz~k.1) = 39 ∇ 2 ~ é a integral de Pelo teorema de Stokes. 2. com respectivas derivadas: dx = dt. 1. O rotacional de A ~ no ponto rc = 5. fazemos a integral de superf´ıcie de F~ ao longo da superf´ıcie da esfera: Z Z Z Z ~= F~ · dS (R~ur ) cot(R2 sen θdθdφ~ur ) = 4πR3 (58) Agora. e = yz ∂y ∂z ∂Ax ∂Az = 2zx. ∂x − ∂y Pode-se escrever as parcelas das derivadas parciais como: ∂Az ∂Ay = 2yz. fazendo a integral de df encontra-se f : Z Z f = df = k(xdx + ydy + zdz) Z f= Z kxdx + Z kydy + kzdz k 2 (x + y 2 + z 2 ) + cte 2 Não é poss´ıvel encontrar uma express˜ ao para um campo ~ tal que F~ = ∇ ~ ×A ~ porque ∇ ~ × F~ = 0. 1). fazendo sua integra¸cão no volume da esfera. explicar a raz˜ ao. num segundo passo. Solu¸c˜ ao: Primeiro. z) = (0.19: Demonstrar que o campo vetorial F~ = ~ × F~ = 0) e solenoidal yz~i + zx~j + xy~k é irrotacional (∇ ~ · F~ = 0). ~ tal que F~ = 3. dy = 2dt.ELETROMAGNETISMO 58 Agora. ~ f . 2. 1).20: Comprovar o teorema da divergência para o campo vetorial F~ = r~ur + φrsen θ~uφ . 0. 0. é o mesmo que (x. x2 y + yz 2 /2. através da superf´ıcie S definida pela esfera de raio R centrada na origem. onde k é uma constante. ∇ (59) e. 1).5. obtem-se: Z Z Z ~ · F~ ) dV = 16 πR3 (∇ 3 V Como (58) não é igual a (59).17: Dado o campo vetorial: ~ = xz 2 + xy 2 /2. encontre um campo A ~ tal que ∇ ~ ×A ~ = F~ . 0) até (1. e = zx ∂z ∂x ∂Ax ∂Ay = 2xy. y = 2t. a circula¸c˜ ao de A ~ superf´ıcie do rotacional de A: Z Z Z 2Z 2 I ~ ~ ~ ~ ~ A · d` = (∇ × A) · dS = xydxdy = 0 ♦ −2 −2 Exemplo III. y = 2t. φ = φ/2 e z = 1. θ = π/2 e φ = π/2. y. e. 2.21: Calcular a integral de linha F~ · d~` desde (0. e F~ é vetorial A um campo com divergência (pois o rotacional do divergente é sempre nulo). Ao longo da curva x = t2 . e se não for 2. aparentemente F~ estaria violando o teorema da divergência.5. 4) tem a seguinte equa¸cão paramétrica: x = t. 2. o vetor de magnetiza¸cão M P III-B. (c) E ~ eB ~ juntos. Ponto Indu¸ c~ ao (T) H desmag. 3~k T. 2xz + z ) e S é a superf´ıcie: 1.43 28. de comprimento ` = 10cm e diâmetro D = 3cm. ~ podem fazer dobras. O comprimento do entreferro u ńico é 0. fazendo a troca de vari´ aveis x = 4 cos φ. a integral de linha por um caminho é diferente da integral de linha pelo outro. ~ × F~ = z cos φ~ur − zsen φ~uφ + rsen φ~k 6= ~0 ∇ afirma-se que F~ não é um campo vetorial conservativo. e z = 0.24: Usando os teoremas da divergência e de Stokes (se for conveniente).14 44.0~j A/m. calcular a circula¸cão de F~ através de uma circunferência de raio R centrada no eixo z e em um plano paralelo ao plano xy. onde F~ = −3y~i + 3x~j + ~k. F~ é um campo vetorial conservativo? Solu¸c˜ ao: I F~ · d~` = Z φ=2π (r cos φ~ur + zsen φ~k) · (Rdφ~uφ ) = 0 φ=0 Por esta integral. Substituindo na integral de linha.1: Um material com vetor magnetiza¸cão M 6 28 1. fazendo o mesmo procedimento para a circunferência de integra¸cão x2 + y 2 = 4 I F~ · d~` = −4π ♦ Exemplo III. B . Qual é o momento de dipolo de cada átomo.4: As linhas de fluxo de B ou mudar abruptamente sua dire¸cão? Por quê? ~ = 1400. significando que o campo vetorial F~ não é um campo conservativo. Solu¸c˜ ao: A primeira integral pode ser escrita na forma: Z Z Z Z ~ (xdydz + ydzdx + zdxdy = ~r · dS S S Z θ=2π Z φ=2π = θ=0 R(R2 sen θdθdφ) = 4πR3 φ=0 Para a segunda integral.0 A densidade de fluxo usada no entreferro de um instrumento de medida é escolhida para 0. (∇ S Na circunferência x2 + y 2 = 16.2µC tem uma velocidade de 5~i − 3~k m/s.5: Considerando H tensor de relutividade igual a 1 η −ξ = ||ν|| = ξ η ||µ|| onde η = . 1 × 10 átomos por metro c´ ubico. (b) bre ela no campo: (a) E ~ = −0. calcular as seguintes integrais: RR 1. 7 × 10 A/m. (A/cm) 1 0. 3xy. de acordo com a equa¸cão do rotacional (n˜ ao nulo). dx = −4sen φdφ e dy = 4 cos φdφ obtem-se H H R φ=2π F~ · d~` = φ=0 [(4 cos φ)2 + 4sen φ − 4) (−4sen φdφ) + 3(4 cos φ)(4sen φ)4 cos φdφ] R φ=2π F~ · d~` = φ=0 [−64 cos2 φsen φ −16sen 2 φ + 16sen φ + 192 cos2 φsen φ]dφ = −16π Agora.3: Calcular a indu¸cão magnética de uma pe¸ca de ferro que tem permeabilidade relativa igual a 2500. A circula¸cão de F~ . calcule as dimensões do ´ımã permanente com menor custo. com ~ × F~ = 6~k.8: Uma carga puntual de 1. 4~i + 0.31 36. ♦ Exemplo III. Determinar ~. Solu¸ca õ: Pelo teorema de Stokes: Z Z I ~ × F~ ) · dS ~ = F~ · d~`. expresso em coordenadas cil´ındricas. e. P III-B. tem-se I I F~ · d~` = (x2 + y − 4)dx + 3xydy e. O hemisfério x2 + y 2 + z 2 = 16 sobre o plano xy.9 Exerc´ıcios . 2. 7 × 106 A/m em uma barra de ferro cil´ındrica. ela resulta: Z Z ~ ~ F · d` = t2 dt + (2t)2dt + (4t2 − 2t)4dt C t Z t=1 = t=0 11 17t2 − 4t dt = 3 Ao longo do caminho x = t2 . Considerando que o fluxo de dispersão seja igual ao fluxo u ´til no entreferro. usando o teorema de Stokes. Mas. isto é.7: O campo vetorial F~ = 10x~i poderia ser o vetor ~ Por que? indu¸cão magnética B? P III-B.0 5 0. A parábola z = 4 − (x2 + y 2 ) sobre o plano xy.2: Qual é a corrente que seria necessária para produzir um campo magnético de 1. Encontre a intensidade da for¸ca so~ = −18~i + 5~j − 10~k kV/mm. y = 2t.0~i − 4500. y = 4sen φ. P III-B.12 cm.0 3 0. tem 8.52 20.59 12. e a área do entreferro é 10 cent´ımetros quadrados. em Am2 ? P III-B. e o P III-B. 2.0 4 0. é apresentada na tabela. e o contorno C é a circunferência de raio R = 1 localizada no plano z = 2y centrada no eixo z.700E+04 m/H. e. dy = 2dt. z = 4t3 .610E+03 m/H. após imantado.8a semana ~ = P III-B. encontra-se ∇ I F~ · d~` = 6π ♦ B. dir´ıamos que F~ é conservativo.23: Calcular (∇ S 2 2 (x + y − 4. tem-se dx = 2tdt. quando o campo magnético é de 300A/m. ♦ RR ~ × F~ ) · dS ~ quando F = Exemplo III. e. 4~j + 0. e ξ = .09 weber por metro quadrado. que está envolvida por um solenóide de 100 espiras? P III-B.0 2 0.ELETROMAGNETISMO 59 Substituindo estes valores na integral de linha.0 6 0. (xdydz + ydzdx + zdxdy onde S é uma esfera de raio S R centrada na origem.65 4. tem-se: Z Z t=1 7 ~ ~ 48t7 + 2t5 − 24t3 + 4t dt = F · d` = 3 t=0 C Observa-se que os dois valores s˜ ao diferentes.6: A curva de desmagnetiza¸cão de uma amostra de ´ımã-permanente. dz = 12t2 dt.22: Dado o campo vetorial F~ = r cos φ~ur + zsen φ~k. este dispositivo como sabemos é usado para armazenar cargas elétricas numa determinada região do espa¸co. 5~j T. Calcular a for¸ca sobre a fita por unidade de comprimento se ~ = 0.intensidade de corrente do enrolamento. Ni Γ = lm lm Enquanto que a for¸ca magneto motriz Γ equivale ao ~ o fluxo magnético equivale à indu¸cão campo magnético H. ele pode ser representado por uma vari´ avel chamada de for¸ca magnetomotriz. Agora.2 Indutância O indutor é um dispositivo análogo ao já estudado e nosso bem conhecido capacitor. mostre como ficam as linhas de fluxo próximo do condutor. se¸cão magnética S = 4cm2 . será: Γ=N I onde: N . Matematicamente. ou seja ~ ~τ = m ~ ×B O campo magnético H. e geralmente representado pela letra grega ψ (‘psi’). obter H1 . Ent˜ ao. contendo a origem do sistema de coordenadas.9 T e corrente i = 1 A.m. usando a expressão: H= P III-B. Ao dizermos que são dispositivos análogos.ELETROMAGNETISMO 60 P III-B. com µr2 = 20. I . O produto N φ é chamado fluxo concatenado. Isto é indutância. 0 × 10−9 Am? Qual é a expressão do campo magnético criado pelo dipolo num ponto qualquer do ~ = Q∗ ~ur /(4πµ0 r2 ) A/m) espa¸co? (Resp. A unidade de indutância no SI é o Tm/A. Quando se conhece o percurso do campo magnético. num trecho de comprimento l.m. 1 henry = H = 1 Tm/A. Qual é a energia magnética armazenada no contator? (Resp.: 126mJ) P III-B.10: Qual é a for¸ca para movimentar ou fixar um fio condutor com se¸c˜ ao 16mm2 e 2m de comprimento. a f. o fazemos por o indutor exercer a mesma tarefa.11: Considere um contator. Ou seja.intensidade do campo magnético [A/m]. e.indu¸cão magnética ou densidade de fluxo em Weber/m2 [T] (Tesla). a indu¸cão magnética uniforme for B P III-B. H2 e B2 . e Γ .8cm conduz uma corrente de 25A na dire¸c˜ ao positiva do eixo x.n´ umero de espiras do enrolamento.51 N) P III-B. Usando o princ´ıpio da superposi¸c˜ ao. análogo à carga elétrica. é: H= onde: H . a unidade b´ asica do magnetismo é o dipolo magnético. Sm . alguns pesquisadores calculam o monopolo magnético ou carga magnética. B C. 5~j T. e a permeabilidade corresponde à relutância magnética. . o indutor é um dispositivo usado para armazenar energia magnética em uma certa região do espa¸co.for¸ca magneto motriz [A]. passando 100A. e é dada pelas equa¸cões: ~ Demonstrar esta equa¸c˜ onde m ~ = iS. que tem entreferro àr = 1mm.fluxo magnético [Wb]. quando o mesmo est´ a imerso num campo de 10000A/m? (Resp.comprimento do caminho magnético [m]. Pela lei de Ampére. Podemos calcular o campo magnético produzido pela bobina. lm . usando a express˜ ao µ0 p. Dado ~ 1 = ~i + 0. ou encadeia.for¸ca magneto motriz [A]. possui µr1 = 5. porém agora magneticamente. cada uma das espiras.15: Enquanto que a unidade b´ asica da eletricidade é a carga elétrica. em homenagem ao f´ısico Joseph Henry. perpendicularmente a um fluxo magnético uniforme.relutância magnética [A/Wb] ou [1/H] C.se¸cão do circuito magnético [m2 ]. A relutância magnética é inversamente proporcional à permeabilidade. Circuitos magnéticos C. um fluxo magnético concatena. ‘batizou-se’ de Henry. como visto anteriormente. em [A/m]. definimos indutância por L= Nφ i onde N é o n´ umero de espiras e φ é o fluxo magnético. Considere um caminho magnético que envolve uma bobina de N espiras e uma corrente elétrica I. e uma bobina de N = 500 espiras percorrida por I = 2A. e. Ao estabelecermos uma corrente i nas espiras de uma bobina.14: Um momento magnético de 1 Am2 equivale a um conjugado de 1 Nm quando a espira estiver orientada perpendicular à indu¸c˜ ao magnètica de 1 Tesla. vamos tratar de indutˆ ancia. Indutância L é o parâmetro que relaciona a corrente elétrica com o fluxo magnético concatenado. P III-B. Como esta rela¸cão é freq¨ uentemente utilizada.1 Relutância magnética Quando a densidade de fluxo é constante φ = B Sm e quando é variável Z φ= ~ · dS ~ B Sm onde φ . Qual é a carga magnética Q∗ de um dipolo p = 3. ~ magnética B.: H Γ lm φ= R= Γ R 1 lm µ Sm onde: Γ .9: Um fio retil´ıneo é percorrido por corrente I. a regi˜ ao 2.: 2. P III-B. ao e determinar o conjugado de uma espira de S = 20 × 8 cm2 numa indu¸cão de 0. R . P III-B.16: O plano y + 2z = 3 divide o espa¸co em duas partes: a região 1. contendo material magnético ideal (µr = ∞).13: Uma fita de corrente de largura igual a 1.12: Demonstre a equa¸c˜ ao da for¸ca entre dois condutores paralelos. B . 25: Indutˆ ancia entre dois fios paralelos .2: Um fluxo magnético de 24000 linhas (maxwell) atravessa uma superf´ıcie de 6 cm2 . com um material de permeabilidade µ. considerando µr = 1.3 Exerc´ıcios . A indu¸cão magnética no n´ ucleo é igual ao produto do campo magnético multiplicado pela permeabilidade magnética do material do toróide. a intensidade do campo magnético gerado por qualquer um dos dois condutores num ponto P do plano (no plano definido pelos dois condutores) é dada pela expressão H= i 2πd em que d = d1 ou d = d2 define a distˆ ancia entre o condutor 1 ou 2 e o ponto.29: Ao longo do percurso da ciência. φ = B Sm .3: Quantas espiras são necessárias para produzir uma indu¸cão de 1 T num entreferro de 5 mm. demonstrar ~ = µH ~ é a forma local da equa¸cão N φ = L I. por exemplo. e tendo em conta os sentidos opostos das correntes. No entanto.Nos exemplos considerados. ♦ Exemplo III. uma indu¸cão magnética de 0. Assim. 1 Gauss = 1 linha de campo / cm2 . deve ser atravessado por uma densidade de . área média da se¸cão transversal Sm . P III-C.95 Teslas. O fluxo magnético é o produto da se¸cão Sm do toróide pela indu¸cão. Quais os principais meios ou materiais existentes na natureza e estudadas no eletromagnetismo.27: Indutˆ ancia de uma bobina com n´ ucleo toroidal . como sejam. calculou-se o fluxo magnético em superf´ıcies convencionais. e suas rela¸cões constituintes? Resposta: Os três meios são: condutores. quando desejamos diminuir a corrente de uma bobina devemos aumentar a indutˆ ancia. e magne ´ticos. devemos variar estes parˆ ametros. com N espiras. e indutância L. f) Normalmente.Calcular a indutância linear de cabo coaxial reto e infinito. com raio médio de 10cm e se¸cão de 3cm2 . a integral da densidade do fluxo magnético criado pelos dois fios conduz ao resultado Z µ0 i d+r/2 1 1 φ= ( + ) dr 2π r/2 r d−r µ0 i d ln( ) π r e na qual se inscreve a indutˆ ancia por unidade de comprimento: d µ0 ln( ) H/m L= π r Este procedimento pode ser adotado para calcular a indutância de outras estruturas de corrente elétrica. pretende-se obter no entreferro de 2mm. Meios condutores.5: Um n´ ucleo ferromagnético toroidal. quando pelo condutor se deslocam 1 A? (R:3979 espiras) P III-C. Resposta: O valor da indutˆ ancia por metro é L= rext µ0 ln( ) H/m ♦ 2 rint Exemplo III. se o n´ umero de espiras for N = 1000? (R: I ∼ = 1. e inversamente proporcional ao comprimento do caminho magnético. se quizermos aumentar ou diminuir a indutância. quando aumenta a potência de um equipamento.9a semana P III-C. Qual o valor da densidade de fluxo ou indu¸cão magnética? (R:0. dielétricos e magnéticos. que neste caso vale Lm = 2πr. que são resumidos na tabela VIII. b) A indutância é diretamente proporcional ` a se¸cão transversal. diminui a indutância. considerando que H = N I/`m . d) Obviamente. diele Condutor Diel´ etrico Mang´ etico Fonte ~ V ou E ~ V ou E ~ I ou H Fluxo I ou J~ ~ Q ou D ~ φ ou B Rela¸ c~ ao R ou σ C ou L ou µ C. Nestas condi¸c˜ oes.28: Considerando um indutor. e) Normalmente. Pode-se calcular o fluxo por unidade de comprimento. o plano definido pelos dois condutores paralelos e o plano no qual se inscreve o diˆ ametro dos condutores concêntricos caracter´ısticos do cabo coaxial. 6A) P III-C. O campo magnético é dado pela equa¸c˜ ao 42. As defini¸cões básicas ou fundamentais são os materiais.1: Qual é o campo magnético no interior de um material magnético ideal? Por que? P III-C.4: Considerando um circuito magnético simples. que s˜ ao percorridos por correntes elétricas com sentidos opostos e mesma intensidade i1 = i2 = i. e suas rela¸cões de causa-efeito.ELETROMAGNETISMO 61 Exemplo III. Quanto deve valer a corrente. encontra-se L=N B Sm Sm = µ N2 H `m /N `m que simplificando os termos Sm e `m resulta: µ= B ~ = µH ~ ♦ ou B H Exemplo III. 1 Tesla = 1 T = 1 Wb/m2 = 104 Gauss. no caso das bobinas com N espiras e n´ ucleo cil´ındrico ou toroidal.26: Indutˆ ancia de um cabo coaxial .Considerem-se dois fios condutores paralelos. envolvendo um circuito magnético simples. ♦ φ= Exemplo III. para obter-se o fluxo concatenado. com permeabilidade relativa igual a 1000.4 T) 1 maxwell = 1 linha de campo. que B Solu¸c˜ ao: Partindo da equa¸cão da indutância L=N φ Sm = µ N2 I `m e. c) A indutância é diretamente proporcional ` a permeabilidade magnética. ♦ TABELA VIII ´tricos. o fluxo magnético deve ser multiplicado por N espiras. de comprimento médio `m . definiram-se muitas unidades e leis. o fluxo concatenado vale ψ = µ0 µr Sm 1 N2 I 2π r e a indutância resulta L = µ0 µr Sm 2 N Lm Observa¸cões: a) A indutância é diretamente proporcional ao quadrado do n´ umero de espiras. O francês Charles-Augustin Coulomb descobrira que ambas as for¸cas tinham propriedades semelhantes. Campo eletrostático . 3. tratamos três fenômenos separados: ~ C equivale à for¸ca sobre ´ıons ou 1.1 Michael Faraday No decorrer da vida. por serem capazes de atrair alguns objetos e de repelir outros. encontrar uma resposta para essa pergunta tomou-se o Santo Gral da ciência do século XIX. Agora. Ampère e Arago tinham chegado mais longe. (R: 1. A sua espantosa descoberta levantava a possibilidade de a eletricidade e o magnetismo serem de alguma forma intermutáveis. Ele aprendeu igualmente a sobreviver aos insultos decorrentes da sua condi¸cão de encadernador assalariado.positivo (resistência). refletia Faraday incredulamente. A. possui três lados com se¸c˜ ao de 150 cm2 . chamada polariza¸cão. por essa razão. O alemão Otto von Guericke descobrira que ambas as for¸cas tinham duas faces.: 428. o terceiro tipo de campo elétrico: campo el´ etrico induzido ou f. Campo elétrico dissipativo .m. A. percorrido por 40 A. sem entreferro.o campo magnético gerado por um ´ımã atua sobre ´ımãs.nulo. Qual é o fluxo produzido por 1 A de corrente na bobina? (φ ∼ = 0.11: Dado o circuito magnético da Fig. a espantosa not´ıcia que a corrente eléctrica em forma de saca-rolhas também se comportava como um ´ımã atrair pequenos peda¸cos de ferro. e se¸cão magnética S = 4cm2 . e comprimento total de 130 cm.” (Charles Chaplin) Vimos. com raio médio de 10 cm e permeabilidade magnética relativa igual a 100. quando pelo condutor se delocam 1. 2.10: Um circuito magnético simples tem dois materiais de mesma se¸c˜ ao colocados em série. Campo elétrico induzido . Os outros dois campos já vistos foram o e o .4A? P III-C. No entanto. A f. Naquela época foi confirmada em Fran¸ca por Ampère e um colega. vamos come¸car a ver o que chamamos propriamente Eletromagnetismo = Eletro + magnetismo ou seja. até o momento.ELETROMAGNETISMO 62 fluxo magnético igual a 1. Elétrico . Escreva as equa¸c˜ oes de circula¸cão de campo e continuidade de fluxo. por diminu´ırem de intensidade com a distância exatamente da mesma forma.m. 31. batizaram sua descoberta de electro´ımã.6 cm. se a eletricidade se podia comportar como um ´ımã. Calcule os campos H nos entreferros quando N I = 1000A.7: Um n´ ucleo laminado possui comprimento médio de 12. aspirante à integra¸cão no mundo da alta sociedade que dominava a ciência.9: Um n´ ucleo ferromagnético quadrado. Circuito magne ´tica IV. Michael Faraday (1791-1867) aprendeu a pesquisar num laboratório de qu´ımica. Magnético . a relutância e a quantidade de fluxo magnético formam o circuito magnético básico.e. Qual a for¸ca magnetomotriz necessária? P III-C. Homens é o que sois. A resistência a esse fluxo de cargas foi chamada de resistência elétrica.o campo E elétrons livres. Vamos ver qual é o trabalho para deslocar uma carga de prova positiva: 1. Quase-esta “V´ os n˜ ao sois m´ aquinas. P III-C.8: Um n´ ucleo ferromagnético retangular simples. 0048 Weber) P III-C.o campo eletrostático E gas elétricas exerce uma for¸ca de deslocamento dos centros de carga positiva e negativa de um isolante. Orsted. O n´ umero de espiras é 200 e a permeabilidade relativa µr = 2500. Qual a corrente requerida para produzir 0. (Resp. e o quarto lado possui se¸cão de 100 cm2 e comprimento de 45 cm. denominada de corrente elétrica. revelando algo mais profundo sobre as duas for¸cas. e o fluxo total gerado pela bobina. os filósofos naturalistas tinham descoberto várias semelhan¸cas entre a eletricidade e o magnetismo. Lei de Faraday Apresentar-se-á.012 Wb de fluxo no n´ ucleo? 2. 31 ´tico do problema III-C. A bobina tem 200 espiras. Escolher o material e considerando sua curva B − H. Qual deve ser a rela¸cão entre os comprimentos do caminho magnético para que a energia total nos dois materiais sejam iguais. Eletrostático . . Desta feita. que os coloca em movimento. No decorrer dos dois séculos anteriores. calcule: 1. Qual é a permeabilidade relativa do ferro neste n´ıvel de corrente? 3.6 T) P III-C.3E-4Wb) Fig. Qual o n´ umero de espiras necess´ ario para produzir uma indu¸cão de 1. Qual é a relutância do ferro? P III-C.2 T.negativo (gerador).6: Qual a indu¸c˜ ao magnética num toróide de ferro..m. nesta se¸cão. e. e permeabilidade relativa µr = 4890. induzida. a intera¸cão entre os campos destes sistemas. ~ D criado por car2.3T. faltava provar se o contrário também era verdadeiro: poderia o magnetismo comportar-se como a eletricidade? Dito de outra forma: poderia um ´ımã produzir eletricidade? Subitamente. 3. tem um comprimento médio de 55 cm e uma ´ area de 150 cm2 .11. que é envolvido por 200 espiras. que tem quatro entreferro com espessura e = 1mm.719A/m e 3. o plano de a¸cão de Faraday era bastante simples: faria passar uma corrente elétrica pela primeira ligadura de fio. os engenheiros encarregar-se-iam de aperfei¸coar a tosca engenhoca concebida por Faraday. Primeiro pegou num ´ım˜ a em forma de barra e alinhou-o com a vertical. Durante o resto da noite.ELETROMAGNETISMO Faraday observou que o magnetismo produzido pela corrente elétrica exercia sempre a mesma influência sobre uma b´ ussola magnética: imaginando a b´ ussola deitada sobre uma mesa e a corrente elétrica a fluir do ch˜ ao em dire¸caõ ao teto. produz eletricidade. olhou esperan¸cado para o amper´ımetro. ao desligar a pilha ficou surpreendido ao observar “mais uma vez uma perturba¸cão no amper´ımetro”. essa pessoa não teria rea¸cão. No laboratório. Com esta simples experiência. especulou. nada acontecia. com motores elétricos a serem produzidos em todos os tamanhos e feitios. Em seguida colocou um fio condutor no centro do recipiente e fez passar através deste uma corrente elétrica em dire¸cão ao teto. Assim.uma corrente invis´ıvel no sentido contr´ ario ao dos ponteiros do relógio. Estavam explicados os saltos do ponteiro: de cada vez que Faraday ligava / desligava a pilha. o princ´ıpio que os for¸ca a girar ainda é o do campo de for¸cas magnético em forma de tornado. o tornado magnético surgia / desaparecia. Embora a eletricidade e o magnetismo se pudessem afirmar individualmente. Faraday . Tal como uma corrente ascendente de ar se transforma por vezes num tomado. na verdade estavam inextricavelmente associados. Até que se conseguisse inventar uma forma mais eficiente de produzir energia elétrica. reconhecido pela primeira vez pelo prod´ıgio da classe trabalhadora inglesa. Durante uns momentos. produzindo um vento magnético que percorreria todo o anel. Confirmou a sua teoria do tornado magnético e no processo criou o primeiro motor el´ etrico do mundo. os cientistas viram-se for¸cados a construir baterias de dimensões tais que ocupavam divis˜ oes inteiras. Come¸cou a enrolar um comprido fio metálico à volta de um segmento de um anel de ferro e em seguida fez o mesmo em torno do outro segmento do anel. Como sempre. então os seus ventos rotativos fariam girar quaisquer objetos magnéticos nas proximidades continuamente. Faraday percebeu que esta imagem tinha mais de palpite do que de propriamente teoria. de cada vez que tal acontecia. A centrava. produzindo o efeito. Se a dita tempestade magnética produzisse uma corrente elétrica na outra ligadura de fio. Entre esses dois momentos. mas n˜ ao conseguiram encontrar uma resposta. algo not´ avel aconteceu: o ´ımã-bóia come¸cou a rodar em tomo do condutor. finalmente. decidiu averiguar a quest˜ ao. Faraday teria encontrado aquilo que todos procuravam.mas tal acontecia apenas quando a intensidade do tornado aumentava ou diminu´ıa. a resposta surgiu no in´ıcio de Setembro. Se tal acontecesse. porque não seria o inverso verdadeiro . quando colocado num recipiente com merc´ urio. tal como sucedeu ` a altura das pilhas voltaicas: para obter eletricidade em quantidade suficiente para alimentar motores elétricos com potências significativas. Faraday passou em revista e refinou o equipamento. então com a idade de 40 anos. Faraday encontrou o filão. os motores de vapor continuariam aparentemente a bater aos pontos as novas m´ aquinas de Faraday.porque n˜ ao poderia o magnetismo produzir eletricidade? Muitos cientistas se puseram a mesma quest˜ ao. Se os fios metálicos fossem ligaduras. e não apenas de forma ligeira. ou come¸cava a funcionar passado um longo per´ıodo de inatividade. Nessa posi¸c˜ ao. escreveu histericamente no registro. antevia Faraday. Durante os meses seguintes. N˜ ao sabia o que isto significava.ou para nada. a agulha da b´ ussola girava sempre no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio. Se a eletricidade podia produzir magnetismo. como uma pequena bóia. o magnetismo teria criado eletricidade. estava pronto para tudo . o ponteiro do amper´ımetro movia-se em espasmos. Faraday continuou a ligar e a desligar o anel da pilha. ap´ os ter apresentado o artigo sobre a história da eletricidade e do magnetismo aos Annals of Phy` medida que se conlosophy. Todavia. Faraday acertara em dois pássaros com o mesmo tiro. mas havia uma maneira de a testar: se a corrente elétrica produzia de fato um tornado magnético. uma corrente ascendente de eletricidade podia muito bem produzir remoinhos de magnetismo. apesar 63 de ter trabalhado dia e noite para descobrir o complemento lógico da sua descoberta original. Porém. chegando sempre às mesmas conclusões que confirmavam a descoberta original. e nunca ao contr´ ario. Nem mesmo Orsted teve sucesso. quase de certeza que outros já a teriam detectado há muito. Como resultado. ficava a flutuar em pé. como sucedia com a agulha magnética de Orsted. A sua fama disparou. Futuramente. esse remoinho produzia uma corrente elétrica na outra ligadura . mais eletricidade se produz. Ao eletrificar a primeira ligadura através de uma pilha voltaica. Seria por este motivo que a ciência acabaria por batizar esta bizarra rela¸cão de for¸cas com um u ńico ep´ıteto . o bra¸co circular do anel aparentaria possuir feridas em dois pontos opostos. o despretensioso Faraday trabalhava agora mais arduamente do que nunca para encontrar a resposta a uma questão que o intrigava desde a descoberta do motor elétrico. tal como se fosse arrastado por uma corrente invis´ıvel . Voltaria ele a mover-se? Após alguns minutos de espera em vão desistiu.o prod´ıgio da Royal Institution. surgindo sempre um onde quer que o outro estivesse presente. mas. criando motores elétricos que acabariam por bater em potência os motores de vapor que propulsionavam a revolu¸cão industrial. resumia a sua descoberta histórica numa u ńica frase: Sempre que uma for¸ ca magn´ etica aumenta ou diminui. Mesmo a um século de distância. A corrente elétrica na primeira ligadura produzia um tornado magnético. A 29 de Agosto de 1831. Em 1831. levando a que qualquer agulha magnética nas proximidades se movesse ligeiramente. ligou à segunda ligadura um amper´ımetro capaz de detectar o mais pequeno vest´ıgio de corrente elétrica. Após semanas a esgrimir com o equipamento durante dia e noite. caso contrário. O ponteiro moveu-se! “Oscilou e voltou à posi¸cão de repouso”. A quest˜ ao era saber como fazer isso acontecer. Finalmente fez-se luz no seu esp´ırito e nesse momento sentiu-se como o jovem que saltara de alegria numa véspera de Natal quase vinte anos antes. desde que os ventos magnéticos se mantivessem estáveis ao longo do anel de ferro. quanto mais depressa se d´ a esse aumento ou diminui¸ c˜ ao. desde que a sereia continuasse a funcionar sem altera¸cões. provavelmente a corrente elétrica produzida seria extremamente débil. come¸cou a esbo¸car-se uma imagem mental que explicava a experiência original de Orsted. Assemelhava-se a alguém que tivesse vivido toda a vida perto de um farol e um dia notasse que a sereia de nevoeiro não emitia o som habitual. por sua vez. Faraday olhou estupefato para o ponteiro. A f´ısica básica que constituiu o fundamento de for¸ca eletromotriz e corrente induzida através da varia¸c˜ ao de fluxo magnético pode ser entendida considerando-se exemplo onde estão sujeitos a fluxo magnéticos que varia com o tempo. que se ~ como move com velocidade ~v numa indu¸cão magnética B. surge um campo elétrico induzido devido ao movimento. e inventaram os princ´ıpios sobre as quais o transformador opera. (b) a componente devido ao movimento do condutor no espa¸co.c. eles constru´ıram as primeiras bobinas de indu¸c˜ ao. ter´ıamos um ganho de energia na conversão. induzidas. Este efeito é geralmente chamado de auto .32. Se o campo magnético se mantivesse constante no tempo.ELETROMAGNETISMO h´ıbrido: eletromagnetismo. que variasse com o tempo. que é dado por: ~ = ~v × B ~ E (62) ~ a indu¸cão magnética. é aproximado de uma bobina de 500 espiras.∂ /∂t para representar a express˜ ao “a taxa de crescimento ou diminui¸cão 64 ~ para designar “o valor de . uma f. Faraday e os seus sucessores concretizaram finalmente uma parte do antigo sonho cient´ıfico da unifica¸c˜ ao das for¸cas da natureza. Juntamente com Orsted. por ela circulará uma corrente induzida. mostrou que a eletricidade podia gerar magnetismo e que o magnetismo podia gerar eletricidade. muito grandes. enquanto um campo magnético que registrasse varia¸cões lentas produziria uma ´ınfima corrente elétrica.e. Quando um condutor se movimenta num fluxo magnético. Esta descoberta de Oersted em 1819 levou os cientistas a desejar saber se também poderia ser poss´ıvel. A. cujos efeitos s˜ ao oposto ` a f. a quantidade de eletricidade produzida pelo magnetismo era igual à taxa de aumento ou diminui¸cão da for¸ca causadora. 048 V = 500 = 240 V. . Essa defini¸cão é conhecida como lei de indu¸ c˜ ao de Faraday. dado por (62). podem ser resumidos na seguinte observa¸c˜ ao: sempre que há um fluxo magnético que varia com o tempo através de um circuito.e. .m.e. Eles estudaram também as f. e as correntes e f. o próprio campo magnético do circuito atua para induzir uma f.m. as contrapartes precisas das usadas nos carros movidos a gasolina para excitar as velas.1: O pólo Norte de um ´ımã. onde ~v é a velocidade do condutor. uma rela¸cão genética tão incestuosa como nenhuma outra existente na natureza. que foi o primeiro de uma longa série de f´ısicos americanos de renome. Empregou igualmente o s´ımbolo . Os resultados experimentais de faraday e Henry.e. ” Asde . Supondo que a amplitude de B B = B0 cos ωt determinar a equa¸cão da tensão induzida V . menor. não se produziria eletricidade.e. induzida.e. por uma f. numa bobina que consistisse de relativamente poucas voltas. inverter o processo e excitar o fluxo de corrente num circuito por meio de um campo magnético. na qual traduziu a simples afirma¸cão de Faraday numa equa¸c˜ ao matem´ atica. num intervalo de 0. de alguma forma. Embora se tivesse expressado numa linguagem considerada pouco elegante pela ciência.c). o campo elétrico induzido tem duas componentes: (a) a componente devido à varia¸cão temporal do campo magnético.2 Campo elétrico induzido Sabemos que a passagem de uma corrente elétrica cria um campo magnético em torno do condutor através do qual ela flui.ms. Solu¸c˜ ao: Dev- . Deste modo. sendo o modulo desta diretamente proporcional ` a taxa de varia¸c˜ ao do fluxo magnético em rela¸cão ao tempo.1867) e por Joseph Henry (1797 1878). externa que faz a corrente variar em primeiro lugar.ms. ♦ 0. Ambos observaram que quando uma corrente que varia no tempo flui num dado circuito. e B Assim.m) ou fluxo de corrente num circuito (f.e. ” e o s´ımbolo ∇× sim sendo.2: Considere uma barra condutora. a descoberta de Faraday resumia-se à seguinte equa¸cão: ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ (61) ∂t Isto é. e as f. menor.m. que variasse com o tempo. ~ seja mostra-se na Fig. no que diz respeito a produ¸c˜ ao de f. O sinal negativo indica que se a bobina no qual passa o fluxo magnético estiver em curto-circuito.e.indu¸c˜ ao.e. que é a tensão Z Z ~ ~ ~ · d~` (64) V = E · d` = (~v × B) A equa¸cão da tensão induzida é a soma de (63) e (64) Z V = L ~ · d~` − (~v × B) Z S ~ ∂B ~ · dS ∂t (65) Exemplo IV. 1 Exemplo IV. Maxwell empregou a ~ para designar o magnetismo e a letra E ~ para designar letra B a eletricidade. As experiências iniciais para demonstrar tal efeito não foram bem sucedidas porque a princ´ıpio n˜ ao se sabia que os fluxos magnéticos estacionários n˜ ao induzem qualquer fluxo de energia magnética (f.1s. neste mesmo circuito.m é induzida no circuito. que possui fluxo total de 0. A indu¸cão eletromagnética foi descoberta de forma independente e praticamente simultˆ anea pelo f´ısico britânico Michael Faraday (1791 . Qual é a tensão induzida na bobina? Solu¸c˜ ao: 0.m. . que terá a propriedade de criar um campo ~ magnético oposto à varia¸cão de B. Com esta nova forma de encarar a eletricidade e o magnetismo. Este efeito é referido como indu¸cão eletromagnética. Faraday olhara para o mundo com olhos de poeta . um jovem f´ısico escocês de nome James Clerk Maxwell publicou a sua obra de referência Tratado da eletricidade e Magnetismo. 048Wb. e correntes induzidas.m. somente por volta de 1831 descobriu-se que uma corrente elétrica poderia ser gerada magneticamente. Sob a forma matem´ atica RR Z Z ~ ~ · dS ~ d B ∂B dφ ~ V = = = · dS (60) dt dt ∂t Em 1832. Um campo magnético a variar rapidamente produzia uma grande quantidade de eletricidade. poderiam ser excitadas numa bobina que tivesse um grande numero de voltas de fios. Se este sinal fosse positivo.e. dado por (61). . numa bobina pr´ oxima e acharam que as f.isto é. que aplicando o teorema de Stokes resulta na tensão induzida I Z Z ~ ∂B ~ · d~` ~ E (63) · dS = − V = L(S) S ∂t Denomina-se lei de Lenz ao sinal negativo. mas que tal efeito é observado apenas quando o fluxo magnético através do circuito varia com o tempo. tinha visto a simplicidade onde existia complexidade.m. a f.m. de (64) tem-se Z ~ · d~` = vbB0 cos ωt V = (~v × B) ~ no tempo é dada por A f. Introduzamos a espira em um campo de indu¸cão B uniforme. cujo efeito consiste em elevar o fluxo de indu¸cão concatenado com o quadro. Determinemos a for¸ca eletromotriz induzida na espira girante. Alternadores Os aparelhos eletrodomésticos são constru´ıdos para funcionarem sob tensão alternada de 110 V. devem ser submetidos a uma tensão que obedece. com velocidade angular ω constante.) em um 2 campo de indu¸cão uniforme de intensidade B = 1.s.e. Condutor se deslocando no fluxo magne ido ao movimento. Assim. acrescida de eventuais perdas.01 m2 funciona como carretel onde se enrolam N = 42 espiras de fio de cobre esmaltado.e.3 Princ´ıpio dos geradores Todo dispositivo cuja finalidade é produzir energia elétrica a` custa de energia mecˆ anica constitui uma m´ aquina geradora de energia elétrica. trata-se de uma for¸ca eletromotriz alternante harmônica.00 tesla). resulta: V = 158 cos 377 t sendo V em volts e t em segundos. abrangendo uma área A. Determinar a lei de varia¸cão da for¸ca eletromotriz induzida.m. O fluxo varia E enquanto aumenta ou diminui. Solu¸cão: A velocidade angular do quadro é aproximadamente: ω = 2πf = 377 rad/s Aplicando (66). O funcionamento dessas m´ aquinas se baseia na indu¸cão eletromagnética (como no caso do disco de Faraday). o mesmo que 1. de a´rea A = 0. no caso presente. . cuja amplitude é: V = N ωB A que tem a importante fórmula para o valor eficaz: V = 4. Equa¸c˜ ao da for¸ca eletro motriz induzida V Consideremos uma espira plana de forma qualquer. 44f N φ (67) Exemplo IV. conjunto de órgãos ligados rigidamente ` a carca¸ca e o rotor. Quando o fluxo é máximo.3: Uma leve moldura de fibra. Sob ponto de vista funcional distinguem-se o indutor. Adotemos como origem dos tempos um dos instantes em que a normal n à espira forma com o campo de indu¸cão B ângulo igual a um reto. a FEM induzida é nula. A tens˜ ao induzida est´ a atrasada de 90 graus do fluxo magn´ etico. A corrente induzida produz campo magnético que. onde δ = tan−1 (v/ωa) ♦ A. 00Wb/m (ou. aproximadamente. seja λ uma reta no plano desta espira. Fa¸camos a espira girar em torno da reta λ como eixo. os geradores mecˆ anicos de corrente cont´ınua são também denominados d´ınamos. dispondo a reta λ perpendicularmente ao campo B. 60 Hz. distinguem-se essencialmente duas partes. Esse quadro é posto a girar com freq¨ uência f = 60Hz (r. Vale.ELETROMAGNETISMO 65 Fig. O mesmo conclu´ımos do Princ´ıpio de Conserva¸c˜ ao da Energia: a energia elétrica extra´ıda da máquina. Numa máquina elétrica (seja gerador ou motor).m. exerce for¸cas contr´ arias à rota¸cão do rotor. induzida é cossenoidal. e o induzido que engendra a corrente induzida. No d´ınamo o rotor é o induzido e o estator é o indutor. O campo magnético produzido pela corrente induzida exerce no ´ımã for¸cas contrárias a sua rota¸cão. o fluxo de indu¸cão na espira em qualquer instante é dado por: φ = BA cos(ωt + π/2) = −B A sen ωt Sendo E = ωB A cos ωt Se a espira for substitu´ıda por uma bobina de N espiras. o rotor precisa ser acionado mecanicamente. desde já. a for¸ca eletromotriz induzida é: V = N ωB A cos ωt (66) Uma for¸ca eletromotriz que muda de polaridade periodicamente é designada como for¸ca eletromotriz alternante. as espiras do rotor são dispostas sobre um n´ ucleo de ferro. 32 ´tico. por isso em d´ınamos e alternadores. induzida pela varia¸c˜ ao de B (63). em fun¸cão do tempo. notar que: “d´ınamo” de bicicleta n˜ ao é d´ınamo e sim ‘alternador’. em acordo com a Lei de Lenz. e vale Z V =− S ~ ∂B ~ = ωabB0 sen ωt · dS ∂t Somando as duas parcelas resulta V = vbB0 cos ωt + ωabB0 sen ωt p V = B0 b v 2 + (ωa)2 sen (ωt + δ) V. a lei supra. nos alternadores dá-se geralmente o contr´ ario. os geradores mecânicos de corrente alternada s˜ ao também denominados alternadores.p. Para intensificar o fenômeno. ♦ Vemos que enquanto o fluxo é uma senóide invertida (defasada de 180 graus). sistema r´ıgido que gira em torno de um eixo apoiado em mancais fixos na carca¸ca. a saber: o estator. é compensada por suprimento de energia mecˆ anica. Nas aplica¸c˜ oes industriais a energia elétrica provém quase exclusivamente de geradores mecˆ anicos cujo princ´ıpio é o fenômeno da indu¸c˜ ao eletromagnética (e dos quais o disco de Faraday é um simples precursor). retangular. passando de agudo para obtuso. a corrente é nula e muda de sentido. ´ a varia¸cão de fluxo que induz uma f. que produz o campo magnético.e. ele não varia. ambas com fio de cobre esmaltado #24. M12 = n2 φ12 I1 Como n2 = 1. nos mesmos instantes invertem-se as conex˜ oes das es covas com os segmentos do comutador pois são permutados os segmentos em contato com as escovas. O estator poderia ser um eletro´ımã (foto acima. Vamos iniciar o estudo de indutância m´ utua com uma experiência-exemplo. a elas liga-se a parte externa do circuito. o fluxo da primeira bobina.corrente pulsante Nos geradores tipo alternadores (como os ilustrados acima) um artif´ıcio simples permite retificar a corrente. obtém-se no circuito externo uma corrente pulsante praticamente cont´ınua. precisaremos fazer uso de métodos numéricos. o estator é induzido (onde se recolhe a corrente alternante) e o rotor é indutor (geralmente são eletro´ımãs alimentados por corrente cont´ınua. é um anel coletor dividido em dois segmentos simétricos e nos quais se ap´ oiam escovas em posi¸cões diametralmente opostas. distribu´ıdos simetricamente em torno do eixo e associados todos em série. e dotando o comutador de outros tantos pares de segmentos. portanto s˜ ao invari´ aveis a polaridade das escovas e o sentido da corrente no circuito externo.exe. mas cujo sentido se conserva. a indutância m´ utua é M12 = πµ0 a2 b2 2(a2 + c2 )3/2 Este é o procedimento padrão para o cálculo da indutância: cálculo do campo magnético. expressa em Henry (s´ımbolo H). A. 1. Nos alternador de grande porte. Fa¸ca essa observa¸cão usando no soquete comum lâmpada de 40W. sendo o primeiro de raio a e o segundo de raio b. Nos instantes em que o fluxo de indu¸c˜ ao no rotor é máximo ou m´ınimo a corrente induzida é nula. pode-se considerar o campo H bobina de raio a constante na segunda de raio b. C´ alculo da indutˆ ancia m´ utua A indutância m´ utua é igual ao fluxo concatenado (produto do fluxo pelo n´ umero de espiras) dividido pela corrente que originou este fluxo. direita: anel de Gramme) abastecido com corrente cont´ınua de uma fonte adequada. Observa-se que. dispon´ıvel na pasta DEMAG. que passa através da segunda é Z Z φ12 = µ0 H1 dS = µ0 H1 S2 S2 φ12 = µ0 I1 a2 π b2 + c2 )3/2 2(a2 φ12 = πµ0 I1 a2 b2 2(a2 + c2 )3/2 3o . C´ alculo do fluxo I1 a2 + c2 )3/2 2(a2 ~ da primeira Sendo a >> b. Dispondo sobre o mesmo n´ ucleo diversos quadros iguais. Considere a >> b e n1 = n2 = 1. ♦ Vemos que a tensão vL de um indutor ideal é proporcional à derivada da corrente iL nos seus terminais. A corrente do indutor ideal é: Z 1 iL = vL dt L As linhas de fluxo magnético são linhas fechadas que envolvem os condutores. O estator é constitu´ıdo por um ´ım˜ a permanente e opera como indutor.ELETROMAGNETISMO 66 Os terminais do quadro s˜ ao soldados a “anéis coletores”.4: Calcular a indutˆ ancia m´ utua M12 entre dois anéis com seus eixos coindicentes.x = c. ou para igni¸cão em pequenos motores de explos˜ ao (motocicletas). para calcular o valor da indutância m´ utua. 60W. um soquete para lâmpada incandescente comum. Aqui ilustramos as bases de um alternador de pequeno porte. O sistema é conhecido como ‘magneto’.4 Indutância m´ utua O parâmetro indutˆ ancia é fundamental no estabelecimento da rela¸cão entre a corrente elétrica num condutor e a tensão induzida aos terminais por intermédio do fenômeno da indu¸cão eletromagnética. fazer com que fluam sempre num mesmo sentido. e é usado para campainha de telefone. em cada anel ap´ oia-se uma “escova”. as escovas est˜ ao presas a um suporte isolante. A varia¸cão da corrente nos condutores provoca uma varia¸cão no n´ umero de linhas de fluxo magnético concatenadas com o circuito. Assim. comprimidos elasticamente contra o comutador. de modo a garantir bom contato elétrico do mesmo. Não demore demasiado nessas observa¸cões para evitar aquecimento exagerado na bobina grande. Exemplo IV. I = I1 . vL = L diL dt onde L é a indutância. H = H1 . considerou-se a >> b. Tal corrente. e afastados de uma distância c. Ligue o cordão de for¸ca na tomada elétrica domiciliar e observe o brilho da lâmpada pequena. . Os d´ınamos . estes anéis são metálicos. R = a e .5: Esse experimento tem por objetivo evidenciar o princ´ıpio de funcionamento dos transformadores. em série. cálculo do fluxo e cálculo da indutância m´ utua. cujo valor é proporcional à taxa de varia¸cão do fluxo. A bobina grande leva. ou seja. A indutˆ ancia é a propriedade do circuito que relaciona a tensão induzida por varia¸cão do fluxo com a taxa de varia¸cão de corrente. de modo que H1 = 2o . Entretanto. é denominada corrente pulsante. 1o . atravessando o circuito por eles formado. corpo sólido e condutor (geralmente de grafite). Exemplo IV. este é solid´ ario com o rotor e pode ser concebido como tubo de cobre secionado longitudinalmente. Por sua vez. As escovas s˜ ao pequenos blocos de grafite e estacionários. Substituamos o par de anéis coletores por um comutador (veja ilustra¸cão abaixo). cuja intensidade varia periodicamente. presos rigidamente ao eixo mas eletricamente isolados do mesmo. C´ alculo do campo magnético O campo magnético no eixo de um anel é H= I R2 + x2 )3/2 2(R2 Nesse caso. como o arquivo MUTUA. se desejarmos um valor mais exato. qualquer varia¸cão no fluxo magnético provoca uma tensão induzida no circuito. 100W e 200W. comprimido elasticamente contra o anel. uma com 200 a 300 espiras e a outra com 100 a 150 espiras. Construa duas bobinas toroidais. por meio de anéis coletores). ♦ V1 = ωL11 I1 − ωL12 I2 A. o coeficiente de acoplamento seria k = 1. ♦ Exemplo IV. Repita todo o procedimento anterior novamente..ELETROMAGNETISMO 67 2. e assim o fluxo diminui 10 vezes. determinar as indutâncias próprias e m´ utuas. Vamos supor que as duas correntes I1 e I2 da Fig.9: Duas bobinas chatas com eixos coinncidentes têm raios R1 e R2 . Quando diminui as dimensões o campo magnético aumenta proporcionalmente. chamado transformador. n´ ucleo de ferro dentro das bobinas. estão afastadas uma da outra da distância d. 3. e I2 = 8A.1 1. 25 × 8) = 3ωV dt Quando duas bobinas são enroladas sobre o mesmo n´ ucleo. com a redu¸cão de 10 vezes das dimensões. Depois.EXE.5 35 350 d 0. Na falta dele. L12 = 2 linhas / 8 A = 0. A rela¸caõ entre as duas bobinas é chamada de indutˆ ancia m´ utua. no interior do conjunto passe um feixe de lâminas de ferro-sil´ıcio.2 2. vamos equacionar o fenômeno do exemplo anterior. que variam senoidalmente com freq¨ uência ω. Troque a lâmpada (40W. e. Determinar os fluxos nas bobinas e o coeficiente de acoplamento k. basta soldar as extremidades dos fios A e B (devidamente lixadas) aos terminais da lâmpada. ♦ Exemplo IV.75 linha / ampére.0 20 200 L12 3. R1 (cm) 0. L22 = 6 linhas / 8 A = 0.6677E-8 H 3. Sempre é bom dispor de soquete para tal lˆ ampada para facilitar as liga¸cões e as trocas.8: Escrever as equa¸c˜ oes das tens˜ oes V1 e V2 e das correntes I1 e I2 das bobinas da Fig. L21 = 3 linhas / 5 A = 0. Consideremos duas bobinas próximas. com isso.25 linha / ampére. que multiplicado pela permeabilidade significa densidade de ~ e fluxo φ nas superf´ıcies definidas pelas bobinas. dispon´ıvel na pasta DEMAG. Repita todo o procedimento anterior para essa nova situa¸cão . Caso nenhuma linha se dispersasse. Solu¸c˜ ao: Considerando positivo o fluxo o produzido pela corrente própria. Usando o programa MUTUA. Coloque a bobina pequena dentro da bobina grande. Solu¸c˜ ao: Considerando positivo o fluxo produzido pela corrente própria. vari´ aveis no tempo.00 linha / ampére. 33 ´tico de duas bobinas pro ´ ximas. a área diminui 100 vezes com o quadrado do raio. 33 estejam ‘ligadas’ ao mesmo tempo. temos as indutâncias: L11 = 5 linhas / 5 A = 1. a rela¸cão 1:1 não significa transformador ideal. 75 × 8 − 0. Conforme as leis de Ampére ~ ou Biot-Savart. 33. temos φ1 = 5 − 2 = 3 linhas φ2 = 6 − 3 = 3 linhas Observa-se que 2/5 das linhas se perdem em (a) e 4/6 se perdem em (b). Considerando que I1 = 5A.0 10 100 R2 (cm) 0. porque o fluxo também diminui proporcionalmente com as dimensões. as correntes produzem campo magnético H. conforme mostra-se na Fig. fluxo B. Se as lâminas envolvem as bobinas e. Aos terminais A e B da bobina pequena ligue uma lâmpada para 6V (usadas em lanternas de 4 pilhas). Cada uma das bobinas é chamada de enrolamento. 60 × 5) = 3ωV dt Observa-se que.5 Transformador ideal V2 = −ωL21 I1 + ωL22 I2 Com as correntes e indutˆ ancias dadas V1 = dφ1 = ω(1 × 5 − 0. Mas. V2 = dφ2 = ω(0. 516 ♦ k= 5 6 Exemplo IV. 60W. com a dispersão. percorridas por correntes I1 e I2 . (b)φ1 = 2 linhas e φ2 = 6 linhas. temos para correntes quaisquer Fig.7: Coeficiente de acoplamento. para uma mesma corrente.6677E-7 H Solu¸c˜ ao: A indutância m´ utua diminui proporcionalmente com as dimensões. Varie a posi¸cão relativa entre as duas bobinas e verifique a tensão no terminais da bobina menor.35 3.6677E-10 H 3. 100W e 200W) em cada observa¸cão. temos um componente derivado. (a)φ1 = 5 linhas e Fluxo magne φ2 = 3 linhas. completar a tabela com os valores da indutância m´ utua e explicar o seu comportamento. temos a média geométrica r 2 4 × = 0.60 linha / ampére. ocorre maior concentra¸cão das linhas de indu¸c˜ ao. Solu¸c˜ ao: Dividindo o n´ umero de linhas pela corrente. Quando aplicamos uma tensão no primeiro enrolamento (chamado de .6677E-9 H 3. aumentando a corrente induzida no secundário (bobina menor). 33. Embora diminua o caminho magnético e aumente o campo 10 vezes. ajustando bem. pois: S1 = V1 I1 = 3ω × 5 = 15ω S2 = V2 I2 = 3ω × 8 = 24ω ♦ Exemplo IV. e. 4. observando o brilho da lampadinha.6: Agora.. permeabilidade infinita do n´ ucleo. Para o transporte da energia até os pontos de utiliza¸cão. Nas linhas de transmiss˜ ao a perda de potência por libera¸c˜ ao de calor é proporcional ` a resistência dos condutores e ao quadrado da intensidade da corrente que os percorre (P = R I 2 ). 110V ou 220V). significa que não existem perdas de potencia no n´ ucleo . calcular a potência do transformador. o primeiro circuito é um transformador. o fluxo magnético quase não encontra resistência e. Cabe-lhes abaixar ou aumentar a tensão da rede doméstica. Eles protegem (até certo ponto) o modem de eventuais sobretensões na linha telefˆ onica. Esse valor depende das caracter´ısticas do próprio gerador. podemos retirar uma outra tens˜ ao. fornece no secundário. os geradores que produzem energia precisam alimentar a rede de transmiss˜ ao e distribui¸cão com um valor de tens˜ ao adequado. Eles est˜ ao presentes na maioria dos aparelhos elétricos e eletrˆ onicos encontrados normalmente em casa. alcan¸cando em alguns casos a cifra de 400. e chega ao enrolamento secundário com um m´ınimo de perdas. e principalmente a tens˜ ao fornecida variam de acordo com as exigências. consistem de 68 dois enrolamentos de fio (o primário e o secundário). B = 1T.ELETROMAGNETISMO primário). igualmente indispensáveis. Através do metal. Para diminuir a resistência dos condutores seria necess´ ario usar fios mais grossos. O princ´ıpio básico de funcionamento de um transformador é o fenômeno conhecido como indu¸c˜ ao eletromagnética: quando um circuito é submetido a um campo magnético variável. 44 Am Aw Cm Cw f B J . outros transformadores abaixam a tens˜ ao até os limites requeridos pelos usuários. sendo gerada pelo segundo enrolamento (secund´ ario). ora a rebaixam. Nesse sobe e desce. Em muitos aspectos. Ela iluminará cidades. com cem espiras no primário e cinq¨ uenta no secundário. A rela¸cão entre as tensões no primário e no secundário. Uma corrente alternada aplicada ao primário produz um campo magnético proporcional à intensidade dessa corrente e ao n´ umero de espiras do enrolamento (n´ umero de voltas do fio em torno do bra¸co metálico).sem histerese ou corrente parasitas. assim. 44 f N B Am Cm I = J Aw Cw / N e a potência do transformador S(VA) é S = V I = 4. tendo em vista seu melhor rendimento. eles resolvem não só um problema econˆ omico. aparelho de som e televisor. São usados por exemplo como isoladores da linha telefônica em modems. A segunda propriedade. eles também atuam como filtros de ru´ıdos. nas sa´ıdas das linhas da usina. As aproxima¸cões feitas são uma resistência zero dos enrolamentos.Na transmissão de altas potências. movimentar´ a m´ aquinas e motores. aparece nele uma corrente elétrica cuja intensidade é proporcional ` as varia¸c˜ oes do fluxo magnético. tais como. Os transformadores de potência. nos limites de algumas centenas de volts (em geral. Solu¸c˜ ao: A tensão e a corrente nos enrolamentos é V = 4. de acordo com suas necessidades. Toda a rede de distribui¸cão depende estreitamente dos transformadores. os que são usados na distribui¸cão dos sistemas elétricos de potencia. quando f = 60Hz. são transformadores com n´ ucleo de ferro. por raz˜ oes de constru¸c˜ ao e. tem sido necess´ ario adotar tensões cada vez mais elevadas. perdas zero no n´ ucleo.a potencia de sa´ıda é igual à potencia de entrada. significa que nenhuma corrente é necessária para estabelecer o fluxo magnético que produz as tensões induzidas. Considere um fator de empilhamento das lâminas do n´ ucleo igual a 0. acoplado os enrolamentos. Sendo um modelo. um transformador ideal é um modelo excelente para um transformador com um n´ ucleo de ferro. perdas zero no n´ ucleo e uma permeabilidade infinita do n´ ucleo. percorrido por uma corrente de um ampère. uma corrente de dois ampères sob 55 volts.000 volts. por exemplo. A solu¸cão é o uso do transformador que aumenta a tensão. Existe uma outra classe de transformadores. que recebe a tens˜ ao da rede elétrica (110 ou 220 volts) e gera no secund´ ario uma outra tensão alternada. enquanto a tens˜ ao que alimenta os aparelhos consumidores. concentra-se no n´ ucleo. que elevam a tensão.35. que é o fluxo que acopla apenas um enrolamento. não existe perdas de potencia no transformador ideal . bem como entre as correntes nesses enrolamentos. Antes de mais nada. Pelo fato de terem uma indutância. Assim. computador. na sua forma mais simples. que varia de acordo com a corrente do primário e com a razão entre os n´ umeros de espiras dos dois enrolamentos. um transformador ideal não tem perdas ôhmicas nos enrolamentos (perdas IR) nem quedas resistivas de tensão. como melhoram a eficiência do processo. aos lugares mais adequados para o seu aproveitamento. um transformador ideal é uma conveniente aproxima¸cão do real. Sendo que os enrolamentos têm uma resistência zero. 34. reduzindo os custos da transmissão a distˆ ancia de energia. porém de menor valor. até atingir um valor suficientemente alto para que o valor da corrente des¸ca a n´ıveis razoáveis (P = V I). a potência transportada não se altera e a perda de energia por aquecimento nos cabos de transmissão estar´ a dentro dos limites aceit´ aveis. sobretudo de seguran¸ca. A terceira e u ´ltima considera¸cão. de potência baixa. n˜ ao bastam fios e postes. em grande parte. de forma a alimentar convenientemente os vários circuitos elétricos que comp˜ oem aqueles aparelhos. Em uma fonte de alimenta¸cão convencional (n˜ ao chaveada). tem valor baixo. A energia elétrica produzida nas usinas hidrelétricas é levada. Ocorre. mediante condutores de eletricidade. Isto também significa que todo o fluxo magnético é confinado ao n´ ucleo.95 e fator de ocupa¸cão da janela pelo enrolamento de 0. a indu¸cão eletromagnética: no secundário surge uma corrente elétrica. pode ser facilmente obtida: se o primário tem Np espiras e o secundário Ns . então. Os transformadores têm muitas outras aplica¸c˜ oes. Exemplo IV. Todos o fluxo é mutuo. e não existe fluxo de dispersão. Quando a energia elétrica chega aos locais de consumo. Isto pode ser usado para aumentar ou reduzir a tens˜ ao. Os transformadores. proporcionando muitas comodidades. E desde que não existam perdas de potencia em ambos os enrolamentos. o que os tornaria mais pesados e o transporte absurdamente caro. que geralmente envolvem os bra¸cos de um quadro metálico (o n´ ucleo). a tensão no primário (Vp ) está relacionada à tensão no secundário (Vs ) por Vp /Vs = Np /Ns e as correntes por Ip/Is = N s/N p Desse modo um transformador ideal (que não dissipa energia). sob 110 volts. Isso significa que a corrente. e J = 4A/mm2 .10: Considerando que a dimensão a = 5cm na Fig. 44 × 100 × 10−4 × 112.10: Um peda¸co de fio retil´ıneo está colocado no eixo ox.12: Uma fonte chaveada tem um transformador operando a 50 kHz. Este é o motivo de os autotransformadores serem usados na conexão entre sistemas usuais de potência apenas se os sistemas operam com n´ıveis próximos de tensão.10a semana P IV-A.9: Uma bobina retangular. tal conex˜ ao destr´ oi a propriedade de isola¸cão dos transformadores convencionais. 5~i + 2. e uniforme no espa¸co ~ = 0. maior o aumento na taxa de KVA.3: Deduzir a equa¸cão da indutância por metro de comprimento. que varia desde zero até B num intervalo de tempo ∆t. a conexão como autotransformador teve um aumento na potência de 50 para 2550 kVA.6: Uma espira de se¸cão S pela indu¸cão magnética variável no tempo. quando a indu¸cão magnética varia uniformemente de 2. Exemplo de proporc ¸o P IV-A. têm afastamento d entre os centros dos quatro condutores. Qual é a expressão para a energia térmica dissipada na antena? P IV-A.5T e a freq¨ uência for 60Hz? P IV-A. Exemplo IV. A explica¸cão para esse aumento é que o transformador original de 50 kVA n˜ ao tem conex˜ ao met´ alica entre os dois enrolamentos. considere as duas se¸c˜ oes como sendo os dois enrolamentos de um transformador de potencia. 5 × 10−4 ×0. quando mais próximo os n´ıveis de tensão. 5a × 3a = 4.m. de área A e resistência R é perpendicular a um fluxo magnético uniforme. mantendo as mesmas caracter´ısticas e propor¸cões? P IV-A. Qual a indutância m´ utua entre as duas linhas? (Resp. 5a a Fig. ♦ Em geral. de comprimento a e largura b é girada numa freq¨ uência f numa indu¸cão uniforme ~ Qual é a tensão induzida na bobina? B.14: Por quê o acionamento de uma máquina elétrica tem por princ´ıpio manter a rela¸cão V /f constante? . e ent˜ ao o 50 kVA devem ser transmitidos através do transformador pelo acoplamento magnético. desde x1 = 0 até x2 = 3m. a 3 a A. 5a 2a 1. essa conexão metálica é que fornece o aumento de kVA.50 = 2500 kVA sem ser transformada magneticamente.2: Como funciona um transformador ideal? Quais suas equa¸cões básicas? P IV-A. P IV-A. O circuito secundário de 10000 V pode ser carregado com no máximo 250 + 5 = 255 A sem que um dos enrolamentos tenha uma corrente de sobrecarga. o significa que P IV-A. Assim.7: Uma antena circular. A partir do kVA e da tens˜ ao. temos a potência S = 4. para uma linha de transmissão constitu´ıda por um cabo coaxial com raio interno a e raio externo b. As se¸cões magnética e de janela s˜ ao Am = 2a × 2a = 4a2 = 100 × 10−4 m2 Aw = 1. nos terminais do fio? ~ P IV-A. 0t2~j T B Qual é a equa¸cão da tensão induzida na espira? P IV-A. Sendo que a corrente da fonte é 250 A. 02m2 é atravessada P IV-A.1: Qual é a tensão induzida num enrolamento com 1 cm2 de se¸cão. em rela¸cão a uma fonte de 60 Hz? P IV-A.transforma¸cão não pode ser aplicada em qualquer transformador. Para entender o funcionamento do autotransformador .: M = 2µ/(15πd)) ~ = 0.11: Considere um transformador de potência de 50 kVA que tem uma rela¸c˜ ao de tens˜ ao de 10000V/200V.0 T em 1 ms? 2a a a 1. e do enrolamento de menor tens˜ ao é 50000VA / 200V = 250 A. Tal transformador com carga m´ axima com seu enrolamento conectado ao terminal sem ponto do outro enrolamento. 34 ˜ es do nu ćleo magne ´tico. 5 × 10−4 m2 Assim. o transformador pode fornecer 10200 x 255 = 2550kVA.8: Qual deve ser a rela¸cão de espiras de um transformador de 220/5 Volts? Qual deve ser a se¸cão magnética m´ınima se a densidade de fluxo de pico for 1.5 T para 1. 5a2 = 112. Isto pode ser também determinado pelo circuito do secundário: 10000 x 255 = 2550 kVA.11: Qual deve ser a indu¸cão magnética B(t) num ponto onde o campo elétrico seja dado por ~ E(t) = −y cos ωt~i + xsen ωt~j V/m? P IV-A. Qual será o volume X2 para a potência P2 .e.4: Deduzir a indutância m´ utua entre um fio infinito e um circuito retangular. Embora vantajoso a esse respeito. 95 × 0. P IV-A. 35 × 60 × 1 × 4 × 106 = 9965 VA ♦ Autotransformador Um autotransformador é um transformador com um u ńico enrolamento que tem um terminal intermedi´ ario dividindo o enrolamento em duas se¸c˜ oes. Mas com os enrolamentos conectados para fornecer a opera¸cão de auto .5: Duas linhas de transmissão a dois fios condutores paralelos. 4 cos 2π50t Tesla? Qual a f.ELETROMAGNETISMO 69 a auto .13: Uma máquina elétrica tem potência P1 e um volume X1 .transforma¸c˜ ao. existe uma conex˜ ao metálica entre os dois enrolamentos que transmite 2550 .6 Exerc´ıcios . Qual é a vantagem desta freq¨ uência. Qual é o campo elétrico ~ = induzido no fio quando a densidade de fluxo é dada por B 1. Na verdade. a corrente de carga do enrolamento da maior tens˜ ao é 50000VA/ 10000V = 5A. (b) A indu¸c˜ ao magnética de pico no ar. Permeabilidade relativa do ferro = 500. . Estes são problemas t´ıpicos do Eletromagnetismo. em 52.0) a (1. Sabendo-se que esta bobina foi enrolada num n´ ucleo de ferro tipo ‘C’.18: Uma bobina. resultantes de equa¸cões diferenciais: 1.0). (d) A for¸ca magneto motriz de pico. 91mm.2. . (f) O campo magnético de pico no ferro.16: A equa¸cão da carga de um capacitor é dada pela equa¸cão exponencial q = 5(1 − e−tC. .0) a (1.e. y2 . . • A for¸ ca magneto motriz. Determinar: • O fluxo magn´ etico. . y2 .. Ache Vab quando a barra deslizante se encontra em x = 1m.. t) = f2 (y1 . A posi¸c˜ ao da barra é dada por x = 5. isto não significa que os problemas de valores iniciais são mais importantes ou mais encontrados na prática do que os problemas de valores de contorno. P IV-A. .. numa densidade de fluxo ortogonal B = 0.14: Quando a varia¸cão da carga não for regular. • Corrente eficaz na bobina. Um volt´ımetro liga os dois trilhos com um fio reto desde o ponto (0. e separado por um entreferro. 0) até (0. a acelera¸cão tem a mesma dire¸cão. que são modelos mais simplificados. (c) A indu¸cão magnética de pico no ferro.20: Um condutor retil´ıneo com 0.0.qualquer problema de valor inicial pode ser representado por um conjunto de equa¸cões diferenciais de primeira ordem dy1 dt dy2 dt = f1 (y1 . t) e cada variável tem uma condi¸cão inicial y1 (0) = y10 y2 (0) = y20 . O enrolamento possui 929 espiras. conduzem a equa¸c˜ oes diferenciais espaciais e/ou temporais.m.0. ♦ 0 Exemplo IV. Sistemas de valores iniciais . (e) O campo magnético de pico no ar. a formula¸cão e a solu¸cão de problemas por valores de contorno não é muito difundida. ´ um valor cc ou ca? Qual a leitura do instrumento? E P IV-A. (0. ♦ Exemplo IV. yn . Quando a velocidade for linear. 2 m de comprimento gira no plano xy com um terminal colocado na origem e com velocidade angular ω = 200 rpm. Pergunta-se: (a) O fluxo magnético circulante de pico..1..2.12: Um corpo partiu do repouso em t = 0s.0. com N = 220 espiras.13: Sabendo-se que a velocidade de um corpo é dada pela equa¸cão ~v = xyt~i + (1 − e−t )~j m/s obter o vetor acelera¸cão.0. foi ligada a rede com tensão V = 220 Volts eficaz. yn . Comprimento do ferro = 13 cm.. Exemplo IV. fluxos. com acelera¸cão 2 ~a = 80~i + 30~j m/s . 2. . Esboce Vab em fun¸c˜ ao do tempo..19: Um disco de cobre com 150 mm de diâmetro está girando com ω = 5 rpm. e foi alimentado com tens˜ ao senoidal eficaz de 58. Enquanto os problemas de valores iniciais se aplicam para circuitos elétricos.. .0) a (0. 4x~k Wb/m2 e P IV-A.0). com as seguintes caracter´ısticas: Se¸cão magnética = 4 cm2 . 8 T. e. e conectou-se a um volt´ımetro. .. podemos tomar ∆t tão pequeno quanto um intervalo infinitesimal e teremos o valor instantâneo da corrente dado pela derivada dq i= ♦ dt Exemplo IV.15: Sendo B ache a fem V (t) induzida no sentido genérico +aφ ao longo do caminho fechado: 1. yn (0) = yn0 (69) Estes sistemas podem ser resolvidos anal´ıtica ou numericamente. EFM (Método de Elementos Finitos) e TLM (Transmission Line Modeling).1. geralmente mais complexos.4m além do volt´ımetro.80 V. tem seção magnética de 4cm2 e comprimento médio do caminho magnético de 12cm. (i) A indutˆ ancia nos terminais do enrolamento. (g) A permeabilidade magnética relativa do ferro. e freq¨ uência f = 60 Hz. e a corrente eficaz circulante é 25.ELETROMAGNETISMO 70 ~ = 2 cos(3 × 105 πt − πy)~k Wb/m2 . P IV-A. Existem dois tipos de problemas.70 A.. 5~k T. Qual é a orienta¸cão relativa entre os dois vetores? 2 v −t~ ~ cão da Solu¸c˜ ao: ~a = ∂~ ∂t = xy i + e j m/s . 2.uma determinada região do espa¸co possui seus contornos conhecidos. . potenciais. correntes. e comumente resolvidos por métodos numéricos como DFM (Método das Diferen¸cas Finitas). t) . Da´ı o nome valores de contorno.17: Um n´ ucleo magnético em forma de C. P IV-A.0) a (0. . e uma barra deslizante paralela ao eixo y fecha o circuito. a). yn . (h) A m´ axima energia magnética armazenada. e entreferro e = 0. Qual a f. Qual é o vetor velocidade em t = 2s? R Solu¸c˜ ao: ~v = ~adt + ~v0 Z ~v = 2 ~(80~i + 30~j)dt = (160~i + 60~j) m/s.0) a (1. ~ = 0. Entreferro = 0. Calcular a corrente elétrica no instante t = 3segundos. e se estende até 2. dyn dt = fn (y1 .0. numa indu¸cão ~ = −0. quando formulados matematicamente. e.. • A relutˆ ancia equivalente do circuito. A razão é simplesmente a capacidade de transformar o segundo problema.5 mm. Como. . em sistemas eletromagnéticos. Mas.0) a (0. . P IV-A.0) a (1. A orienta¸ acelera¸cão é tangente à velocidade.15: A quantidade de carga que passa por um condutor entre dois instantes de tempo t1 e t2 é dada por Z t2 i dt ♦ q= t1 (68) Exemplo IV. . . nos primeiros. Sistemas de valores de contorno . induzida nos termimagnética B nais do fio? B. . 2. . forma-se equa¸cões diferenciais de derivadas parciais.16: Considere uma indu¸c˜ ao B dois trilhos paralelos posicionados em x = 0 e x = a = 5cm. Ligou-se uma escova de carv˜ ao no centro e outra na periferia do disco.. (0. a eletricidade e a eletrônica básica estão baseadas na solu¸cão de circuitos elétricos. 4t − 3t2 metros.0) a (0. Correntes alternadas Muitos dos problemas f´ısicos. 1.0. y2 . os problemas de valores de contorno são usados para calcular as distribui¸cões de cargas.60 Hz. Normalmente. surge uma corrente alternada dada por dy yj+1 − yj = df (yj . L e C.ELETROMAGNETISMO Solu¸cão: a equa¸cão da corrente elétrica é i = Substituindo t = 3s encontra-se i = 0. Vemos. fazer a aproxima¸c˜ ao Quando uma tensão alternada é aplicada ao circuito. n˜ ao s˜ ao constantes. Q = Q0 . para sistemas de informa¸cão. quando este relé for ligado a uma fonte CC de V = 5V? Solu¸c˜ ao: A soma das tens˜ oes da indutˆ ancia L e da resistência R é igual à tens˜ ao da fonte di L + Ri = V dt Resolvendo esta equa¸c˜ ao diferencial obtém-se R V i = (1 − e− L t ) R Substituindo-se os valores tLIGA 0. e na capacitância. . ♦ onde o ângulo φ representa a defasagem entre a tensão e a corrente.1 Circuito RLC série A rela¸cão entre tensão e corrente. quando se necessita de exatid˜ ao. 5t + 20) dt = −0. além de que os valores de resistência. Na resistência vale a lei de Ohm 5 Ver disciplinas de C´ alculo e Equa¸c˜ oes Diferenciais v(t) = R i(t). e enfim.19: Uma bobina de um relé possui uma resistência de 10Ω e uma resistência de 50mH. para os sistemas de controle. utilizaremos o formalismo de impedância complexa. Mas. 5 1 − e− 0. então. Solu¸ca õ: Apesar desta técnica numérica ser muito simples.Dependendo dos valores de R.005 encontra-se o tempo tLIGA = 1. considerando o tempo em horas. determine Q como fun¸cão do tempo t. A equa¸c˜ ao da carga será R 10 2 10 q = 0 (−0. A que a corrente se alterna. As correntes alternadas são fundamentais para os sistemas de energia elétrica. que resulta 175/3600 = 0. 248A. A equa¸cão (70) (que contém a integral da incógnita. Para resolver este tipo de equa¸cões que aparecem frequentemente em circuitos de corrente alternada em regime permanente. estas grandezas são tensões e correntes. Se a carga Q tem valor Q0 no instante t = t0 . Apesar do nome. é em geral uma equa¸cão integro-diferencial ordinária de primeira ou de segunda ordem. e indutâncias L. torna-se 0 R i di d2 i dvf +L 2 + = . E o fluxo magnético senoidal induz tensão e campo elétrico também senoidal. For¸cada ou de regime permanente. Em circuitos com N malhas teremos N equa¸cões diferenciais ordinárias de segunda ordem acopladas. e comparar os valores numéricos e anal´ıticos. criticamente amortecida ou subamortecida. Num circuito elétrico. Q nunca é zero. 4A. A solu¸cão de regime permanente e transitório se torna simples quando usarmos os n´ umeros complexos B. para um enorme campo de aplica¸cão. e a corrente de atua¸cão (proporcional à for¸ca de rea¸c˜ ao da mola). para um determinado intervalo de tempo. para as telecomunica¸cões. i(t). você necessita de valores de ∆t muito pequenos para obter uma precisão razoável. e sempre resta alguma carga.17: Uma bateria de autom´ ovel é capaz de fornecer uma corrente inicial de 20A.20: Método de Euler. a solu¸cão da equa¸c˜ ao diferencial permite-nos fazer uma an´ alise qualitativa. ♦ 71 dq dt = 5e−t . pois existe a inércia mecˆ anica. ligados com uma fonte de tensão senoidal. na indutância. Exemplo IV. estudaremos circuitos simples. O modelo matemático de um sistema senoidal tem por objetivo determinar a rela¸cão de amplitudes e de fases entre as grandezas. Nesta se¸cão. Solu¸c˜ ao: A formula¸c˜ ao matem´ atica do problema consiste na equa¸cão diferencial dQ/dt = −kQ e na condi¸c˜ ao inicial t = 0. no cap´ıtulo anterior.2 Fasores Vimos. dado que q(t) = Rt i(t)dt + q(0).18: Como resultado de um vazamento. que este será o intervalo de tempo desde que uma chave for ligada. 0486C. Por isto. Então dQ = −kQ dt cuja solu¸cão é5 : Q = Q0 e−kt De acordo com esta equa¸c˜ ao. capacitâncias C. na prática. Determinar a quantidade de carga que a bateria pode fornecer. até o fechamento e/ou abertura dos contatos do relé. este formalismo não tem nada de “complexo”. 5t + 20. Z 1 d i(t) vf (t) = Ri(t) + L i(t)dt (70) + dt C onde i(t) é a corrente no circuito. o campo magnético que circunda o condutor também se alterna. a tensão aplicada é a soma das tensões na resistência. Entretanto. ♦ Exemplo IV. já que as equa¸cões diferenciais se transformam em equa¸cões não diferenciais. tj ) = dt tj+1 − tj i(t) = Im cos(ωt − φ) e resolver as equa¸cões diferenciais anteriores passo a passo no tempo. esta técnica n˜ ao é muito usada na prática. durante 10 horas. . Num circuito RLC série. este tempo ser´ a muito . Homogênea ou transitória . 2. dada por: v(t) = Vm cos ωt Exemplo IV. que a gera¸cão de energia e as ` medida correntes induzidas são senoidais ou alternadas. ou entre campos elétricos e magnéticos reais em um sistema. Qual será o tempo necessário para atingir a corrente de atua¸cão de i = 0. ♦ B. E assim o sistema se mantém funcionando. Solu¸cão: A equa¸c˜ ao da corrente é i = −0. 5[ t2 ]10 + 20[t] 0 0 . que quase nada da tecnologia atual existiria sem a corrente alternada. um capacitor descarrega a uma taxa proporcional ` a carga. simplifica muitos dos problemas de circuitos de corrente alternada. como veremos. Escolher um intervalo de tempo ∆t = tj+1 − tj . contendo resistências R. reduzindo linearmente 0. muito pelo contrário. muito bem diferente. dt dt C dt Esta equa¸cão diferencial linear de segunda ordem tem duas solu¸cões: 1. a solu¸c˜ ao homogênea pode ser superamortecida. 11ms. indutˆ ancia. 4 = 0.5A por hora. . ♦ Exemplo IV. nos casos de resistor. No caso de corrente alternada i(t) = I0 cos ωt. com i(t) na forma senoidal i(t) = I0 cos ωt. a rela¸cão geral entre v e i é Z t 1 vC (t) = i(t)dt + vC (0). os valores reais de corrente ou tensão podem ser determinados pela proje¸cão do vetor correspondente sobre o eixo real. temos Z=R Z = jωL = ωLejπ/2 = 5.Suponha que a tensão v(t) e a corrente i(t) senoidais sejam v(t) = 110 cos 377t volts i(t) = 8. F) e. 0 C onde vC (0) é a tens˜ ao no capacitor em t = 0. temos onde j = √ −1 e introduzimos a tensão e corrente complexas V (t) = V0 ej(ωt+φ) vL (t) = −ωLI0 sen (ωt) = ωLI0 cos(ωt + π/2). A Tabela IX resume o que acabamos de comentar. A corrente e a tensão são fasores que rodam com velocidade angular ω mantendo o ângulo φ fixo. capacitor e indutor. 35 mostra a representa¸cão da tensão e corrente no plano complexo. Trabalhar com correntes e tensões complexas tem a vantagem de que as equa¸cões diferenciais que descrevem os circuitos de c.a. dado que i = dq/dt. obtemos vR (t) = R I0 cos(ωt). dt Por exemplo. H).21: Potência . etc. 53 × 104 Z 0 2π/377 (0. onde L é a indutância (henry. No caso de corrente alternada i(t) = I0 cos ωt. Em um indutor a rela¸c˜ ao geral entre v e i é vL (t) = L = 400 watts ♦ ** Tens˜ ao e corrente complexas As equa¸cões de grandezas com forma de onda senoidal podem ser escritas como a parte real de uma equa¸cão entre n´ umeros complexos. C onde C é a capacitância (farad. 217sen 754t)dt Z= 1 1 −jπ/2 = e jωC ωC . TABELA IX õ entre a tensa õ e corrente reais em elementos de Relac ¸a circuito de corrente alternada. a equa¸cão diferencial RLC série vira a equa¸cão ordinária (não diferencial) jωRI − ω 2 LI + tens~ ao real v = Ri v = q/C v = Ldi/dt Amplitude V0 = RI V0 = I0 /(ωC) V0 = (ωL)I0 Fase φ=0 φ = −π/2 φ = π/2 Exemplo IV. ωC ωC ´ importante não esquecer a identidade trigonométrica: E cos ωt = sen (ωt + π/2) (71) Lembrando que o cosseno est´ a adiantado 90o do seno.ELETROMAGNETISMO 72 onde R é a resistência e. temos vC (t) = I0 I0 sin(ωt) = cos(ωt − π/2). 39 cos(377t − π/6) amps A potência ativa P é a média das potências instantâneas p(t) = v(t) i(t) num per´ıodo 1 P = T = 377 2π Z I= 924 cos 377t cos(377t − π/6)dt 0 Vf R + jωL − j/ωC Para obter a corrente real i(t) basta tomar a parte real de I. no caso de corrente alternada (isto é. dt ejx = cos x + jsen x. em um capacitor a tens˜ ao é proporcional à carga no capacitor. I(t) = I0 ej(ωt) de modo que as tensões e correntes reais. A Fig. se transformam facilmente em equa¸cões ordinárias. v(t) e i(t). podem ser recuperadas através das rela¸cões v(t) = Re{V (t)} = Re{V0 ej(ωt+φ) } = V0 cos(ωt + φ) i(t) = Re{I(t)} = Re{I0 ej(ωt) } = I0 cos(ωt) O s´ımbolo Re{ } indica a parte real do n´ umero complexo dentro de { }. Para isto basta substituir d → jω. dt2 onde. 866 cos2 377t + 0. indutor ou capacitor pode ser escrita na forma complexa V = Z I. Utilizamos para isto a fórmula de Euler di . p(t)dt 0 jωV f jωR − ω 2 L + 1/C Dividindo o numerador e o denominador por jω T 2π/377 Z 1 I = jωV f C onde V f = V0 ej(ωt+φ0 ) é a tensão da fonte. ** Impedˆ ancia complexa A tensão entre os terminais de um resistor. Resolvendo para I obtemos a solu¸cão da equa¸cão diferencial I= Elemento Resistor Capacitor Indutor d2 → (jω)2 = −ω 2 . Finalmente. q: q v= . respectivamente. Em qualquer instante de tempo. uma equa¸cão de malha).html. os valores t´ıpicos são Rint = 50Ω e Cint = 7pF). 6 A unidade de admitˆ ancia. A admitância equivalente de duas impedâncias associadas em paralelo é a ´ comum abreviar a impedância de soma das admitâncias. como a potência (que é uma fun¸cão quadr´ atica da corrente). Para passar da forma cartesiana à polar podemos utilizar as rela¸c˜ oes p |Z| = R2 + X 2 e φ = tan−1 (X/R) Podemos ver que φ coincide com a diferen¸ca de fase entre a tensão sobre Z e a corrente. Em geral podemos escrever Z na forma cartesiana ou polar (Fig. sejam estas complexas ou reais. por exemplo. condutˆ ancia e susceptˆ ancia ´ e o Siemen (1 S = 1 Ω−1 ). > 100MHz. a parte imagin´ aria de Z é chamada Reatˆ ancia . em princ´ıpio. Veremos que em circuitos passivos R é sempre positivo (R ≥ 0). Tensa Trabalhar com o formalismo de impedˆ ancias complexas tem a enorme vantagem de que podemos aplicar quase tudo que aprendemos da teoria de circuitos de corrente cont´ınua. G. e a parte real. Por exemplo. A impedância equivalente de duas associadas em série é simplesmente a soma das impedâncias.O instrumento mais utilizado para medir tensões em circuitos de c. L//C. Exemplo IV. é chamada Susceptˆ ancia. Fig.br/teaching/oscilo/intro. |Z| é o módulo de Z (as vezes também chamada de impedância) e φ é a fase de Z. Devemos ter presente apenas duas coisas: 1. Associac ¸a Se X > 0 dizemos que a reatância é do tipo indutiva e se X < 0 dizemos que a reatância é capacitiva. Do mesmo modo que uma combina¸c˜ ao de resistores em série e em paralelo pode ser representada por um u ńico resistor equivalente. é chamada Condutˆ ancia 6 . mas combinado com séries de Fourier para expressar as tens˜ oes como soma de fun¸c˜ oes senoidais. 7 Para uma introdu¸ c˜ ao ao princ´ıpios de funcionamento do oscilosc´ opio visite o site http : //www. Se o circuito é linear ent˜ ao vale o princ´ıpio de superposi¸cão e ainda podemos aplicar o formalismo de impedância complexa. E uma associa¸cão em paralelo como Z 1 //Z 2 = Z 1 Z 2 /(Z 1 + Z 2 ).a. ` vezes podemos até achar abrevia¸cões como R//C. A parte real da impedância pode ser uma fun¸cão da frequência. Esta u ´ltima deve ser positiva (ou nula) em circuitos passivos. 7 Os osciloscópios têm uma impedância interna geralmente Rint = 1MΩ e uma capacitância parasita em paralelo Cint de uns 20pF (em osciloscópios de alta frequência. 37 õ de impeda ˆncias em se ´rie e em paralelo. 2. O significado é obvio. as tensões e correntes reais.if.O formalismo de impedˆ ancia complexa é u ´til para tratar rela¸cões lineares (como. Esta condi¸c˜ ao e menos restritiva que a primeira. 35 õ e corrente no plano complexo em t = 0s. ** Admitˆ ancia complexa A rec´ıproca da impedância complexa é chamada de admitˆ ancia complexa e é denotada com o s´ımbolo Y : Y = 1/Z = G + jB : Admitância complexa A parte imaginária. indutores e capacitores pode ser representado por uma impedˆ ancia total Z. Fig. um circuito contendo uma combina¸cão arbitrária de resistores. 36): Z = R + jX = |Z|ejφ : Impedˆ ancia complexa. é o osciloscópio. 36 õ da impeda ˆncia no plano complexo. As R//L. mas não para rela¸c˜ oes n˜ ao lineares.Este formalismo pode ser aplicado diretamente a circuitos com geradores de onda realmente senoidais (e não. se o gerador é de onda quadrada). . Para correntes de forma arbitr´ aria devemos utilizar. X = ImZ. por exemplo. Antigamente se utilizava o “mho”.que n˜ ao ´ e um “mili-ho” mas apenas a palavra “ohm” escrita ao contr´ ario. Z e ´ um Representac ¸a ponto neste plano.uf rj.22: Impedância interna de osciloscópios .ELETROMAGNETISMO 73 Fig. B. a associa¸cão de elementos em série ou em paralelo se trata com as mesmas rela¸c˜ oes que se utilizam para resistores em circuitos de corrente cont´ınua e as leis de Kirchoff se aplicam diretamente para as correntes e tens˜ oes complexas em cada nó ou cada malha. onde R = ReZ é a parte real da impedˆ ancia complexa. 1 Volts (pico) ou 220 Volts eficazes.ELETROMAGNETISMO 74 fase entre dois fases quaisquer é de 120 graus. v = 220sen 377t i = 11 cos 377t Determine o circuito equivalente do elemento desconhecido. 38) e é geralmente maior (a capacitˆ ancia do cabo coaxial normalmente utilizado em instrumenta¸c˜ ao. Caso Bob1 Bob2 Fexterna Inverte I2 Aproxima Bob2 . O oscilosco ´ pio mede Impeda ˜ sempre a tensao que aparece sobre Rint . 42. 96kHz (isto para um osciloscópio com Rint = 1 e Cint = 20pF). O acoplamento ac n˜ ao deve ser utilizado em medidas precisas. Desenhar as formas de onda de v(t) e i(t) e calcular a potência média num per´ıodo. 9 Em princ´ ıpio. 38) a impedância interna depende da frequência: Zint = Rint //Cint = Rint /(1 + jωRint Cint ) e cai em valor absoluto de 1 MΩ(ω = 0) a menos de 500 kΩ para frequências > 7.2: Comprovar que a equa¸cão da potência ativa P = V I cos φ é a média de p = vi num per´ıodo. Um agente externo realiza for¸ca em sentido contrário à for¸ca magnética. 9 A capacitˆ ancia do cabo ligado à entrada do osciloscópio est´ a em paralelo com Cint (Fig.3: Mediu-se a tensão v e a corrente i de um dispositivo desconhecido. com seus eixos alinhados.5: Um motor elétrico alimentado com tensão alternada de 110 V consome uma corrente de 5 A atrasada de 20 graus elétricos da tensão. O segundo condutor é percorrido por 8. O modo normal de opera¸cão de um osciloscópio é com acoplamento dc. e ângulo de fase 0 graus. P IV-B. Cs . O primeiro condutor é percorrido por uma corrente alternada. com ângulo de fase 173. No modo de ´ aplicado diretamente sobre acoplamento dc o sinal a medir e ´ sempre um capacitor em paralelo Cint . com ângulo de fase 55.10: Duas bobinas são dispostas uma ao lado da outra. 8 Vamos comentar sobre alguns cuidados que devem ser observados no modo normal. um capacitor em série Cs relativamente grande (10 a 15 nF). 38 ˆncia interna de um oscilosco ´ pio. a uma diferen¸ca de tensão 80 V eficaz. que bloqueia freque ˆncias baixas capacitor em se (< 10Hz). colocadas no ar. mas na imensa maioria dos casos esta indutˆ ancia ´ e t˜ ao pequena (por exemplo.8: Escreva a impedância complexa para cada caso da Fig. encontrando-se v = 220sen 377t Para poder medir sinais alternos pequenos com um n´ıvel de corrente cont´ınua grande. encontrando-se Fig. esta impedˆ ancia interna do osciloscópio cai de 1 MΩ na frequência zero para menos de 500 kΩ nas frequências acima de 1 kHz. P IV-B. Nestas notas utilizaremos as abreviaturas ac e dc.8 A. o RG-58U.3 Exerc´ıcios . na freq¨ uência de 60 Hz. No modo de acoplamento dc (Fig.6: Demonstrar que a soma de duas impedâncias complexas em corrente alternada é idêntica ao caso de resistências em corrente cont´ınua. P IV-B. Com 1 metro de cabo coaxial. onde DV = 311. P IV-B. ♦ i = −11 cos 377t Determine o circuito equivalente do elemento desconhecido. As duas bobinas são percorridas por uma corrente I. P IV-B. devemos considerar tamb´ em a indutˆ ancia do cabo Lc .11a semana P IV-B. Qual é a equa¸cão da potência? P IV-B. A diferen¸ca de 8 dc ´ e abreviatura de direct current. Qual a intensidade e o sentido das for¸cas atuando em cada condutor? B. No Rint . é de uns 100 pF por cada metro de cabo). Este recurso chama-se “acoplamento ac” (ac = alternating current) e consiste em intercalar. de forma que a for¸ca entre elas é de repulsão. para medir precisamos ligar o oscilosc´ opio ao circuito teste através de algum cabo. (R: L = 53mH) P IV-B.3 graus. os oscilosc´ opios possuem um recurso que é bloquear o n´ıvel cont´ınuo. (R: C = 146µF) P IV-B.9 A. A impedˆ ancia interna do instrumento (oscilosc´ opio + cabo) é Zint = Rint //(Cc + Cint ). S e T . tomando o mesmo sentido das correntes no circuito.9: Dois condutores paralelos estão afastados 5. Além disso. uns 250 nH por metro para o cabo RG-58U) que n˜ ao afeta medidas para frequˆ encias de at´ e 10 MHz.4: Mediu-se a tensão v e a corrente i de um dispositivo desconhecido.1: Um prédio é alimentado com três fios vivos de 127 V (eficazes) e fases (vivos) R. mas ha acoplamento ac o sinal a medir passa primeiro por um ´rie. mas se confunde com “curto-circuito” e “complexo conjugado”. Em portuguˆ es ´ e utilizado cc (corrente cont´ınua). de 5.7: Demonstrar que a soma de duas admitâncias complexas em corrente alternada é idêntica ao caso de duas condutâncias em corrente cont´ınua.7 graus. na entrada.5 cm. Este cabo faz parte do instrumento e devemos incluir a sua capacitância Cc . P IV-B. Represente as três tensões no plano complexo e mostre que a diferen¸ca de potencial entre dois vivos quaisquer é DV cos(ωt + 2π/3). e indesej´ aveis no n´ ucleo. Uma “corrente parasita” (em inglês “eddy current”) é uma corrente originada numa massa met´ alica por indu¸cão electromagnética. Faraday estudou este fenômeno e concluiu que num condutor elétrico submetido a um fluxo magnético variável. ~0 Consideremos que existe um campo elétrico alternado E na superf´ıcie do bloco mostrado na Fig. de forma geral. ou seja. indesejada. que produz um fluxo magnético alternado. estamos em presen¸ca de um detetor. Para isso. Um inconveniente é ser pequena a distância máxima permitida entre o detetor e o objeto para que ele funcione. que. Sendo muito usado para fus˜ ao de materiais condutores. duma pe¸ca dum avi˜ ao. . Um dos tipos de fornos é constitu´ıdo por um transformador com n´ ucleo de ferro e pode ser usado para a freq¨ uência da rede. resultando a densidade de corrente ~0 J~0 = σ E ~0 e B ~ 0. por isso. usa-se um circuito elétrico com uma bobina. que contribui para o aumento de temperatura. Origina-se um “redemoinho” ou “turbilhão” de correntes e da´ı o nome de “eddy”. essa corrente pode ser produzida intencionalmente. Correntes induzidas As correntes induzidas s˜ ao desej´ aveis ou n˜ ao? ‘Depende’ . Fig. Por sua vez. . e. tem-se ~ ~ ×∇ ~ ×E ~ = −∇ ~ × ∂B ∇ ∂t (72) Considerando a igualdade vetorial ~ ×E ~ = ∇( ~ ∇ ~ · E) ~ − ∆E ~ ∇ ~ é o laplaciano vetorial de E.e. é um problema complexo. haverá também o fenˆ omeno da histerese. Com um aparelho adequado é poss´ıvel detetar fissuras da ordem de grandeza de um décimo de mil´ımetro. desde que eles sejam condutores elétricos. estas correntes parasitas influenciam uma grandeza elétrica da bobina chamada impedância. Como se disse. Estes detetores têm a vantagem de n˜ ao necessitarem do contato f´ısico com os objetos. alimentado com corrente alternada. como nos fog˜ oes por indu¸cão. A forma¸cão destas correntes parasitas pode também ser usada noutras aplica¸c˜ oes para detetar defeitos. que tem esse significado. A distribui¸cão de campos em meios condutores. 39 Bloco condutor semi-infinito. formam-se nestes materiais correntes de Foucault (correntes induzidas em massas met´ alicas) que produzem grande eleva¸cão de temperatura. a corrente parasita produzida ter´ a um valor diferente de uma massa metálica em boa condi¸c˜ ao e. são desejáveis nos condutores. Outros tipos não utilizam n´ ucleo de ferro e podem ser usados para freq¨ uências mais altas. são constitu´ıdos por lˆ aminas. Para freq¨ uências médias usam-se na alimenta¸cão conjuntos motor / gerador ou circuitos eletrônicos estáticos. Outros detetores podem ser usados para detetar a presen¸ca de objetos. Uma forma de isso acontecer é com uma corrente alternada. o que acontece quando h´ a varia¸caõ do fluxo magnético que atravessa essa massa met´ alica (esta corrente é conhecida também por “corrente de Foucault”). surge uma f. Se os materiais forem magnéticos. e limitaremos nosso estudo a um caso particular: um bloco semi-infinito com campos variando senoidalmente no tempo. Além disso. Para freq¨ uências baixas usam-se transformadores para alimentar os fornos.m. por exemplo. Um exemplo consiste em produzir intencionalmente correntes parasitas numa massa met´ alica. partiremos das equa¸cões diferenciais de segunda ordem a derivadas parciais.1 Campos variáveis em condutores Vimos que não é necessário a existência de uma espira ou de uma bobina para existência de campo elétrico induzido. A bobina produz um campo magnético alternado que induz correntes parasitas na massa metálica da pe¸ca sob teste. na dire¸cão do eixo x. Apesar do nome “parasita”. Fornos de indu¸c˜ ao O funcionamento dos fornos de indu¸c˜ ao também baseia-se na indu¸cão eletromagnética. por isso. a sua velocidade de dete¸cão é elevada. ~ que em Ex é dado onde ∆E por: 2 2 2 ~ x = ∂ E x + ∂ Ex + ∂ Ex ∆E 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 . como acontece nos n´ ucleos de ferro dos transformadores. a densidade de corrente origina campo magnético H Partindo da lei de Faraday ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t e aplicando o rotacional a ambos os lados. Os fornos sem n´ ucleo podem usar freq¨ uências desde 50 Hz a 1 kHz ou mais. usando a notao complexa no domnio da freqncia. também afeta de maneira diferente a impedˆ ancia do circuito indutor. 39. Se existir uma fissura na pe¸ca. para oferecerem maior resistência elétrica ao estabelecimento destas correntes.ELETROMAGNETISMO 75 C. Esta u ´ltima condi¸c˜ ao corresponde a uma frequência elevada). e= ∆φ ∆t (Para que a varia¸c˜ ao do fluxo no tempo seja grande é preciso que o fluxo φ seja elevado e / ou que o tempo de varia¸cão ∆t seja pequeno. Num transformador ou em uma m´ aquina de indu¸cão. O forno consiste basicamente num transformador com o secundário em curto-circuito e constitu´ıdo apenas por uma espira. é evidente que surgem correntes induzidas. Para seu equacionamento. mas também pode ser realmente parasita. Se o fluxo magnético variável passar por um bloco de material condutor. C. em lugar de serem maci¸cos. o que será detetado como a existência duma massa anormal. tanto maior quanto maior for a varia¸cão ∆φ do fluxo. : . A Fig. Assim. z z=0 z=δ z = 2δ z = 3δ z = 4δ Amplitude E = E0 E = 0. Este cálculo será prop´ıcio para o estudo da incidência de ondas em materiais com caracter´ısticas condutoras. pois esta seria infinita. o campo tem somente componente em x e derivada somente em rela¸cão a z. 0497E0 E = 0.03 Ω/m a baixa frequência (< 500kHz) até 1 Ω/m a 100 MHz. t) = E0 e−z/δ cos(ωt − z/δ) (77) cuja solu¸cão é: Fig. fecha-se um ciclo. 1 ` Rcc = σ S Em corrente alternada: devido ao efeito Skin. 40 mostra um esbo¸co da espessura de efeito pelicular onde uma onda eletromagnética se propaga em um meio sem perdas (ar) e incide numa superf´ıcie condutora. a potência decai a (0. A espessura de efeito pelicular é definida como a distância em metros para o qual o campo elétrico cai para 36. C. capacitores E ou indutores ideais. terá uma resistência adicional devido às perdas . ela pode ser decomposta em harmˆ onicas ou série de Fourier. a geometria semi-infinita não é v´ alida. (75) E. As aplica¸c˜ oes destes resultados para dispositivos reais precisa levar em conta: ´ evidente que se a estrutura 1. temos ~ = µσ ∆E ~ ∂E ∂t no interior dos condutores reais (resistividade não nula) cai exponencialmente a partir da superf´ıcie. A freq¨ uência do sinal é constante.2 Efeito pelicular ou efeito Skin O efeito Skin. Quando z/δ = 2π. Para frequências acima de algumas dezenas de kHz se observa que a resistência dos fios met´ alicos aumenta com a frequência devido a que quase toda a corrente passa apenas por uma camada fina perto da superf´ıcie.3 R. fazemos as seguintes transforma¸cões: ~ ~ ~ ~ × ∂ B = − ∂µ∇ × H −∇ ∂t ∂t ~ ∂J =µ ∂t ~ ~ ~ × ∂ B = −µσ ∂ E −∇ (74) ∂t ∂t Igualando (73) e (74). L e C reais ´ praticamente imposs´ıvel fabricar resistores. Por exemplo. e. Por exemplo. 3. ele terá uma indutância apreciável. calculada com o raio do condutor e a espessura de efeito pelicular. inerentes à geometria. e o lado esquerdo de (72) vale: ~ ×∇ ~ ×E ~ = −∆E ~ ∇ (73) No lado direito de (72).efeito Skin Em corrente cont´ınua: a corrente se distribui uniformemente na se¸cão transversal. A amplitude da densidade de corrente An´ alise da resistência elétrica de um condutor . e suas equa¸c˜ oes. 3678)−2 = 0. tornando-se praticamente desprez´ıvel quando z = 3δ. para o bloco semi-infinito da Fig. onde δ é a espessura de efeito pelicular r 2 δ= σµω (78) Observa¸cões: 1. 2.a se¸cão S tende a diminuir.ELETROMAGNETISMO 76 ~ ·D ~ = ρ. ou efeito pelicular. 2. pode ser efetuado pela equa¸cão: 1 ` Rca = σ Autil onde Autil é a área u ´til. a resistência por unidade de comprimento de um fio de 1 mm de diâmetro aumenta de 0. A fase é variável com a profundidade. Um indutor tem uma resistência série devida à resistividade do fio (e se tiver n´ ucleo de ferro. a corrente se distribui na periferia do condutor. e independe de z ou t.a resistência elétrica R tende a aumentar. 37E0 E = 0. Como em C. para z = δ. C. Agora. . 39. aplicando o divergente em ∇ ~ ~ temos ∇ · E = 0. (75) torna-se ~ x (z. é um dos aspectos mais importantes e simples de entender em altas freq¨ uências. 135E0 E = 0. 135 de seu valor inicial (na parte mais externa da superf´ıcie). A forma de onda: Se a forma de onda n˜ ao for senoidal.A.78 % do seu valor máximo considerado quando da incidência do mesmo na superf´ıcie de um meio qualquer. A amplitude decresce exponencialmente com a profundidade z. e a resistência elétrica é dada pela lei de Ohm. Este fenˆ omeno se conhece como efeito pelicular. t) ~ x (z. A geometria semi-infinita: E tiver dimensões na ordem de grandeza de δ.A. H e B. e como ρ = 0. o cálculo da resistência em C. 40 espessura de efeito pelicular (δ). proporcional a 1/δ rad/metro. se um resistor é fabricado na forma de um arame enrolado. Os resistores sempre tem uma reatância que depende da frequência devido à capacitância e indutância parasitas. 0183E0 Fase 0 rad 1 rad 2 rad 3 rad 4 rad ~ também pode ser feito Este desenvolvimento feito para E ~ ~ ~ para J. Pelo que se pode observar não há sentido em se calcular espessura de efeito pelicular em meios sem perdas. Portanto. t) ∂2E ∂E = µσ ∂z 2 ∂t (76) Ex (z. Se N é o n´ umero de voltas. Exemplo IV. Indutores Os indutores são confeccionados enrolando um fio de cobre envernizado sobre um objeto de se¸cão cil´ındrica ou retangular.M. 1971. e indutor a alta freque ˆncia. com partes real e imagin´ aria que dependem da geometria e da frequência. menor que 100 Ω. B. existem também impedˆ ancias parasitas nos fios e conexões utilizados nos circuitos. na forma de um solenóide de comprimento d = 3cm. O circuito equivalente para ˆncia e ´ um resistor ideal em se ´rie com um indutor. estes são altamente indutivos e não devem ser utilizados em frequências acima de 1 kHz. 43 Resistor de filme de carbono. 2r = 4. . Mc-Graw-Hill. Portanto. tem uma indutância L = µ0 N 2 Resistores Nas frequências que nos interessam (< 10MHz). área média A = πr2 = 12cm2 e com N = 1000 voltas.23: Um indutor com n´ ucleo de ar. R. A Fig. (b) Circuitos equivalentes de (a) indutor a baixa freque ˆncia. os indutores e capacitores reais apresentam ressonˆ ancias.M. 41 ˆncias (esquerda) a corrente Efeito pelicular. Devido às capacitâncias e indutˆ ancias parasitas. o campo magnético devido à corrente nas espiras tem um sentido até a metade do arame e sentido oposto na segunda metade. Deste modo. d 10 Veja por exemplo. Fig. 42a). suponha d = 12mm. a resistência depende intrinsecamente da frequência devido a dois efeitos nos condutores. O truque para diminuir a indutância é dobrar o arame na metade do comprimento e enrolar o fio duplo sobre a cerâmica (tomando cuidado para que o arame “não se toque”). nas frequências mais altas. Oliver and J. (c) capacitor a baixa freque ˆncia. aproximadamente10 Fig. indutores e capacitores na faixa de frequências de 0 até 10 MHz. a indutância deste tipo de resistor deverá ser levada em considera¸cão. geralmente em altas frequências (> 10MHz). Vamos então comentar apenas o comportamento t´ıpico de resistores. sendo que N varia muito entre resistores de diferentes valores de R e entre resistores de diferentes fabricantes. E razoáveis dos parâmetros relevantes que podem influir em um dado circuito. a indutância parasita é. se R for pequeno (neste exemplo. exceto talvez al- A = 50 mH. A resistência do enrolamento representa uma resistência série que é relativamente mais importante a baixas frequências (Fig. Fig. Por outro lado. alta freque Alguns resistores de alta potência (> 5W ) são feitos de arame metálico enrolado sobre uma cerâmica. 5mm e N = 7 (valores t´ıpicos para alguns resistores de 1/2W). e a ˆncias (direita) passa apenas por uma camada de altas freque espessura δ. Cage. A corrente então passa por um solenóide de comprimento d e área A = πr2 . Se precisar de um resistor de baixo valor de R. a maioria dos resistores podem ser considerados ideais. Levar em considera¸cão todos os efeitos é teoricamente poss´ıvel se conhecemos exatamente as geometrias e as propriedades elétricas e magnéticas dos materiais. Electronic Measurements and Instrumentation.. New York. e. mas é formidavelmente compli´ mais viável usar o bom senso e obter estimativas cado. baixa indutância e alta potência. A indutância será então de 82nH. que representa uma reatância X = 5Ω a 10 MHz. um é que a própria resistividade do material depende da frequência e o outro é o efeito pelicular comentado abaixo. se R for comparável ou menor que X). o´hmicas das correntes de Foucault) e uma capacitância entre espiras adjacentes. O valor preciso de ls depende de N 2 . etc. Neste curso trabalharemos com frequências de até 10 MHz. você mesmo pode fazer um a partir de arame. Os resistores mais comuns para circuitos de baixa potência (< 5W) são feitos de filme de carbono depositado em forma helicoidal sobre um cilindro cerâmico (Fig.ELETROMAGNETISMO 77 guns resistores de pequeno valor nominal. Vemos então que os elementos de um circuito sempre têm impedância complexa. (d) capacitor a alta freque ls ∼ = µ0 N 2 A/d Para termos uma idéia concreta. 43). em geral. 42 mostra alguns circuitos equivalentes de capacitores e indutores utilizados geralmente para entender o comportamento destes elementos a baixa e alta frequência. Para complicar ainda mais a nossa vida. 42 ˆncia. A baixas freque ˜ passa por toda a sec ¸ ao transversal de um fio condutor. Esta resistência série depende essencialmente do comprimento total (ltot ) e diâmetro (D) do fio. Um capacitor tem uma resistência em série devido à resistividade dos metais das placas e uma resistência em paralelo devido ` a condutividade dos dielétricos. Valores t´ıpicos de rs estão entre 0. L0 que a baixa frequência vale 50 nH/m vezes o comprimento do fio. Por outro lado. de diˆ ametro D = 0. Para ilustrar este fato. Esta indutˆ ancia pode ser estimada assumindo uma espira circular 8r ∼ L = L0 + µr ln e 2a válida se o quociente entre o raio da espira e o raio do fio é r/a >> 1. cp . a¸co. 25mm (área da se¸cão transversal S = πD2 /4). Para baixas frequências a resistência série tem pouca ou nenhuma importância. o comprimento e a largura das placas. feitos de uma cerâmica de alta constante dielétrica na forma de disco. que resulta em tangentes de perdas altas a baixas frequências. A constante dielétrica elevada implica também em alta condutividade. mas pode ser um papel impregnado em óleo (capacitores para alta tensão) ou em solu¸cão de eletrólitos (capacitores de alto valor C. em certos casos. para uma frequência de 10 MHz. Apesar disto. que é menor que a sua resistência interna. O efeito da histerese depende da corrente (e é portanto um efeito n˜ ao linear). **Indutˆ ancia interna de fios e indutˆ ancias parasitas em circuitos Para frequências acima de 1 MHz é frequentemente necessário levar em considera¸c˜ ao a indutˆ ancia parasita dos circuitos. e diminui com a frequência devido ao efeito pelicular. pelo que a capacitância varia muito com a temperatura. Indutores com n´ ucleo de ferro possuem uma resistência parasita em paralelo que representa as perdas por correntes de Foucault e por histerese. O filme dielétrico é geralmente um plástico. Todo fio de se¸c˜ ao circular possui uma indutância interna. portanto possui uma auto-indutˆ ancia .ELETROMAGNETISMO 78 O per´ımetro médio de cada espira é 2πr = 10. mas com polaridade). etc. mas não em circuitos de precisão. Quanto mais finas são as lâminas de Al. Capacitores Os capacitores são confeccionados geralmente com filmes de alum´ınio separados por filmes dielétricos (isolantes). A fuga total pode ser caracterizada por uma condutância g = 1/rp ou pela assim chamada tangente de perdas a uma dada frequência (geralmente 60 Hz): tan δ = gXC = 1 ωrp C Note que a fase da impedância complexa de um capacitor ideal é φ = −π/2. 35µH. 3cm. 5mm tem uma indutância de uns 0. por exemplo.5mm de diâmetro formando uma malha aproximadamente circular com 10 cm de diâmetro. A frequências mais altas é necessário considerar a capacitância parasita entre as espiras da bobina. de diâmetro 2r = 10cm e feita de um fio de diâmetro 2a = 0. rs (Fig. A indutância interna de um objeto condutor é obtida utilizando a igualdade para a energia do campo magnético Z 1 1 2 L0 i = µH 2 dV 2 2 onde a integral é sobre o volume interno do objeto e H é o campo magnético produzido pela corrente i. ♦ A rela¸cão entre a reatˆ ancia a uma dada frequência de trabalho e a resistência série chama-se fator de mérito ou fator de qualidade Q da bobina. suponha um circuito cujos elementos são conectados por um fio de 0. A resistência série é mais importante a altas frequências. que daria rs = 130Ω). denominada QL : QL = ωL rs Note que a fase da impedˆ ancia complexa de um indutor ideal é φ = π/2. XL = 188MΩ >> rs (mesmo considerando o efeito pelicular. mas pode ser terr´ıvel em circuitos que supostamente não deveriam ser ressonantes.1 e 1 Ω. com a corrente uniformemente distribu´ıda no seu volume e comprimento `. 42d).) então a indutância interna poder´ a ser grande a baixas frequências. como os filtros RC. Suponha que o circuito é um filtro RC . devido ao alto valor de µ. ent˜ ao a resistência série desse indutor é rs = ρltot /S = 45Ω. 42c). 4Ω. Estes capacitores são pouco indutivos mas a alta constante dielétrica é devida a que o material está perto de uma transi¸cão de fase. mas agora a resistência paralelo. Como comentamos anteriormente. Assim. São utilizados em alta frequência e alta tensão. uma espira sem n´ ucleo (µ = µ0 ). Se o fio é de cobre (resistividade ρ = 1. rs n˜ ao poder´ a ser ignorada. Os capacitores reais apresentam fugas de corrente pela superf´ıcie do isolante (no caso de isolantes plásticos) ou pelo volume (no caso de papel impregnado). principalmente em circuitos ressonantes. enquanto que para um capacitor real é 1 φ = − tan−1 = −π/2 + δ tan δ Valores t´ıpicos são rp > 100MΩ e δ < 10−3 rad 60 Hz. A resistividade do Al e a resistência das soldas (entre os filmes de Al e os fios de cobre que fazem os contatos externos) contribuem à resistência série. Outro tipo de capacitor muito utilizado pelo seu baixo custo é o capacitor cerâmico. entra no jogo (Fig.. Esta é preocupante apenas nos circuitos de alta frequência ou nos circuitos de pulsos de curta dura¸cão. Ressonˆ ancias esp´ urias A indutância parasita não faz muito mal em circuitos ressonantes que já possuem uma indutância grande. mesmo que a frequência seja alta. enquanto que para um indutor real é φ = tan−1 QL . J´ a o efeito de Foucault depende muito da frequência e do material. 35µH. e enrolados para fazer um pacote compacto. No caso de um fio de se¸cão circular. o resultado é L0 = µ ` 8π Se o fio for de metal magnético (ferro. 8×10−6 Ωcm. o que dá um comprimento total ltot = 123 metros. Finalmente. esta “espira” tem uma indutância parasita de uns 0.. em paralelo com o indutor (Fig. independentemente do seu diâmetro. A indutância de um capacitor de placas paralelas pode ser estimada como ls ∼ = µ0 `d/w onde d é a espessura do isolante e ` e w são. respectivamente. sendo m´ınimo em materiais de gr˜ aos sinterizados ou laminados. Para uma frequência de 100 Hz. rp . os capacitores apresentam sempre uma indutância parasita. a reatˆ ancia é XL = 2πf L = 31. maior é a resistência série. A malha de todo circuito é em si mesma uma espira e. 42b). já que a reatância XC = 1/ωC pode ser muito pequena. Solu¸c˜ ao: Considerando o modelo de perdas Q = 2πf0 L/R ∼ = 0. em W/m3 : σ ∂Bx 2 2 PC = ( ) e 12 ∂t ou ainda menor se consideramos a indutˆ ancia parasita interna ao capacitor. π 2a Como Bx = Bm cosωt. Para reduzir a se¸cão do caminho das correntes de Foucault. levando a ressonˆ ancia esp´ uria para uns 800 kHz. ou tran¸cando-os. na maioria dos casos de interesse neste curso elas n˜ ao s˜ ao um grande problema porque geralmente temos um resistor em série que faz o Q da ressonância esp´ uria ser << 1.24: Um material magnético laminado tem as seguintes perdas na freq¨ uência de 50 Hz: a) Histerese (5 W/kg). tem-se a densidade de perda clássica por correntes de Foucault.7cm = 40 nH. C. Como E . e. No exemplo da “espira” de 10 cm de diˆ ametro. a igualdade (61) torna-se: gundo o plano xy. 7cm separados por. Para ilustrar isto suponhamos que a resistência do circuito é R = 50Ω.ELETROMAGNETISMO 79 passa baixo com C = 1µF. temos Exemplo IV. utilizando fios curtos e grossos. 004. 012 e no caso L = 40 nH e f0 = 800kHz. Mas não ganhamos muito: as coisas continuam da mesma ordem de grandeza.4 cm) pode ser disposto como um par de fios paralelos de comprimento ` = 15. a indutˆ ancia do cabo ser´ a da ordem de 250nH/m x 15. Projetar circuitos de alta frequência que funcionem bem é uma arte dominada por poucos. b = 3mm. 35µH e f0 = 270kHz. o comprimento total do fio (de 31. Por mais cuidados que tenhamos. Determinar as perdas na freq¨ uência de 200 Hz. Circuitos reais est˜ ao cheios de efeitos esp´ urios em altas frequências. ent˜ ao no caso da espira com L = 0. a sua derivada no tempo vale e a ressonância esp´ uria ocorrer´ a em 390 kHz. Afortunadamente. b) Foucault (3 W/kg). disposta se~ = Ey~j. Para diminuir a indutˆ ancia parasita. ressonˆ ancias esp´ urias são inevitáveis. Neste caso a indutˆ ancia parasita ser´ a b ∼ µ0 ` cosh L= = 170 nH. Mesmo utilizando um cabo coaxial do mesmo comprimento. são denominadas correntes de Foucault. ent˜ ao haver´ a uma ressonância esp´ uria em cerca de f0 = 1 ∼ √ = 270 kHz 2π LC Resolvendo a integral e dividindo pelo volume. temos Q = 0. e colocando eles bem perto um de outro. os n´ ucleos s˜ ao laminados. digamos.4 Correntes de Foucault em chapas Quando as correntes induzidas s˜ ao indesejadas. deve-se diminuir a área da “espira”. Vemos que “esmagando” a espira diminu´ımos a indutˆ ancia parasita e levamos o problema para frequências mais altas. que atravessa uma chapa de espessura e. ~ = Bx~i Considere uma densidade de fluxo unidirecional B Tesla. . . . . ~i ~k . . −∂Bx /∂t . ~j . . . . . ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z . = . . 0 (79) . . . . . 0 . . . A corrente do primário é: N1 I1 = N2 I2 + N 1Iexc . permitindo transferir ao secundário cerca de 98% da energia aplicada no primário. 066 × 2002 = 20 + 2640 = 2660 W/kg Observa-se um crescimento muito grande da perda por Foucault. Perdas por histerese. ou é sujeita a um fluxo magnético móvel. Resultam da resistência dos fios de cobre nas espiras primárias e secundárias. às correntes parasitas e perdas no cobre. 1 × 200 + 0. 44 apresenta o modelo de transformador com satura¸cão. 1. Perdas no cobre. circulam nela correntes induzidas. os transformadores modernos apresentam grande eficiência. para z = 0 → Ey = 0. Essas correntes produzem calor devido às perdas na resistência do ferro. como a média de sen 2 ωt é 1/2.transforma¸cão de energia elétrica em calor . Quando uma massa de metal condutor se desloca num campo magnético. As perdas pela resistência do cobre são perdas sob a forma de calor e não podem ser evitadas. 0 Ey 0 ou ∂Ey /∂z = ∂Bx /∂t Ey (z) = (∂Bx /∂t)z + k como a chapa está centrada no plano. substituindo para f = 200Hz P = 0. e k = 0. em W. 1 J/kg 2 KC B m = 3/502 = 0. A perda.5 Transformador com perdas Gra¸cas às técnicas com que são fabricados. é: Z Z Z PF = σEy2 d V ol V ol ∂Bx 2 ) PF = σ( ∂t Z 0 lx Z 0 ly Z +e/2 −e/2 z 2 dzdydx ∂Bx = −ωBm sen ωt ∂t E. Perdas por correntes parasitas. que certamente inviabilizaria o projeto. A Fig. 3. 2. ♦ C. As perdas . perdas no n´ ucleo e perdas nos enrolamentos primário e secundário. 2 P (W/kg) = WH f + KC Bm f2 obtemos WH = 5/50 = 0.são devidas principalmente à histerese. 066 Js/kg e. Energia é transformada em calor na reversão da polaridade magnética do n´ ucleo transformador. a perda clássica vale PC = σ 2 2 2 ω Bm e 24 Esta equa¸cão é muito u ´til para calcular as perdas em materiais magnéticos laminados. 7: Qual deve ser a espessura de uma chapa de alum´ınio para reduzir 99% dos campos em uma blindagem? Qual seria a espessura de uma chapa de ferro com µr = 500? P IV-C. 8. está situado no plano xy. t) = B0 (r2 /R2 )(1 − e−t/T ). Se a resistência da espira é 1kΩ. A densidade de fluxo magnético ~ = 0. t) = B0 (1 − r/R)sen ωt.17: Um anel. quando B0 =0.18: Uma espira. 2~i−0. Qual é a indu¸c˜ ao no outro lado? E qual é a defasagem em rela¸cão ` a incidente? P IV-C. em t = 0. P IV-C.19: Estime a capacitância. 6m.ELETROMAGNETISMO 80 (no espa¸co) e variável no tempo.1: Demonstrar a express˜ ao vL = L diL dt P IV-C. de corrente induzida J(r. t). e freq¨ uência de 60 Hz. 6 y = 0. Despreze a indutância da espira e calcule em fun¸c˜ ao do tempo: (a) a diferen¸ca de potencial sobre o resistor.3: Considere uma bobina de indutˆ ancia igual a 1 Henry. campo magnético B nesta região.107 (Ωm)−1 .7cm.15: Uma aruela de cobre (σ=5. Calcular a espessura de efeito pelicular e a potência média dissipada na pe¸ca por efeito Joule. 5T e f = 50Hz. 3m.12a semana P IV-C. P IV-C. (R:0. aproximadamente. isto é. (R:-83. O que acontece com esta bobina? O que poderia ser feito para amenizar este efeito? P IV-C.6: Uma indu¸c˜ ao magnética de 1. de um capacitor de .60.16: Um disco de cobre (σ=5. condutividade σ=5. sendo B0 = 0.14: Para diminuir as perdas ôhmicas em instalações de alta potência e redes de transmissão de energia elétrica. está situado no plano xy.10: Um condutor perfeito circular.70mm. P IV-C. Calcule: (a) a densidade indu¸cão B(r. 44 õ e perdas. se encontra sob a a¸cão da ~ t) = B0 (r/R)senωt. possui se¸cão S = 1mm2 .8: Suponha que exista um campo oscilante na superf´ıcie superior de uma arruela met´ alica.80Hz. Na superf´ıcie interna deste anel existe um fluxo magnético variável dado por Bz (r. rp . rs . situada no plano z = 0. calcule: (a) a espessura de efeito pelicular dos campos δ. P IV-C. Calcular a espessura de efeito pelicular. e = 1mm.364E-3J) P IV-C. considerando desprez´ıvel o fluxo produzido pela própria corrente da espira (desprezando a indutância própria da espira). despreze a indutância própria da espira. 2m. raio R = 2 cm. e que a corrente seja interrompida a zero num intervaldo de 0. f = 50Hz). no tempo nesta região. (R:0. considerada filiforme. σ = 5. ls .78cos ωt A) P IV-C. P IV-C. se utilizam cabos de cobre grossos. está situado no plano xy. x = 0.57E + 08(Ωm)−1 . de raio r = 20cm. y = 0.53mm e 103. 4sen (120πt) ~k T. Calcular a corrente i(t) que irá circular no anel. e corrente induzida. e resistências série.2T. Um fluxo magnético variável tem Bz = B0 cos ωt. Re = 1.13: A partir de qual frequência o efeito pelicular deve ser levado em considera¸cão para um fio de grafite (condutividade 0.0cm. quando B0 =1T e f =400Hz. (R:8. Se a frequência é de 60 Hz. a corrente induzida I(t). Há um ~ = (0. (b) a potência média dissipada por efeito Joule na pe¸ca. Na superf´ıcie interna deste anel existe um fluxo magnético variável dado por Bz (r. une as duas extremidades 2 de um resistor de 100Ω. P IV-C.8E7 (Ωm)−1 ) com espessura de 1mm tem raio interno de 1cm e raio externo de 3cm.88W) P IV-C. sendo B0 = 0. 5T. Sabendo que existe um campo magnético não uniforme. f = 64.8E7 (Ωm)−1 . R = 1cm. Considerando: Ri = 1. e possui um pequeno resistor de 20Ω.0E7 (Ωm)−1 .01s. a indutância. tensão induzida. raio R = 2cm. colocado num fluxo magnético perpendicular uniforme P IV-C. determine: (a) Vab (t). para o intervalo 0 < t < 100ms.1µs. 3T e f = 60Hz. (b) a corrente induzida I(t) no disco (B0 = 0. através do circuito é dada por B perpendicular ao plano do circuito.6 Exerc´ıcios .4: Qual a diferen¸ca entre campo elétrico induzido. formando um circuito fechado circular de raio R = 20cm. está incidindo numa chapa de cobre com espessura de 15 mm.5: Um condutor perfeito une as extremidades a e b de um resistor de 100Ω. t) = B0 (r/R)sen ωt. Um fluxo magnético variável tem Bz (r. qual é a corrente no sentido horário (quando observada da parte positiva do eixo z) que se faz presente no circuito? Considere desprez´ıvel o fluxo o fluxo produzido pela própria corrente da espira. que está sendo percorrida pela corrente I = 20A. σ = 0. C. A espira se desloca no sentido +ax com uma velocidade uniforme de 6m/s. (c) a potência média dissipada no disco por efeito joule com os dados numéricos acima.9: Um disco de cobre. condutividade σ=1. não adianta aumentar o diâmetro do cabo? P IV-C.12: Uma espira condutora situada no plano z = 0 é limitada por x = 0.5 T. Calcular a energia dissipada na espira desde T = 0 até T =0. P IV-C. Modelo de transformador com saturac ¸a C. 4~j+0.8E7 (Ωm)−1 ) com espessura de 1mm tem raio R = 1cm. 4~k) cos 2000 t Wb/m2 . (b) a corrente no circuito. Sendo B = 0. B0 = 1. possui seção S = 1 mm2 . e µr = 1. 4sen 120πWb/m e. e. a partir de que valor. e a potência média dissipada na pe¸ca por efeito Joule.11: Os lados de uma espira quadrada. b) I(t).2: Demonstrar a equa¸c˜ ao da energia armazenada num indutor. porém constante ~ = 2x2 y~k Wb/m2 . considerado filiforme.12 S/m) de 1 mm de diâmetro? P IV-C. está situada no plano xy. Fig.0T. estão localizados em x = 0. representado por B esboce a curva que indica a potência dissipada em R como fun¸cão do tempo. e paralelo. e = 1. e.832W) P IV-C. Se considerarmos que essa onda é uma fun¸cão senoidal. Observa-se o movimento oscilatório daquele ponto. podemos assim descrever essa realidade ao longo do espa¸co e ao longo do tempo: O conceito de onda envolve as no¸cões de espa¸co e de tempo e satisfaz uma determinada equa¸cão diferencial.652 kg/litro. Determinar a potência dissipada em 0. Por outras palavras.55 3. 2 × 1018 Ωcm) de espessura d = 10µm. a superf´ıcie do mar sobe e desce periodicamente. bem vis´ıvel. quando est´ a operando em 68. Note que a indutância parasita depende de se os contatos forem soldados às lâminas de Al pelos extremos ou pelos lados (após enrolado). onde vemos a bóia. 70W/kg (em 50. A idéia de propaga¸cão é vis´ıvel. Consideremos uma sucessão dessas ondas e que sejam todas iguais. ´ticos em alta frequ ë ˆncia V. flutuando na superf´ıcie e agarrada ao fundo do mar.07 8 1. em J/m3 . Ponto Indu¸ c~ ao (T) H (A/cm) 1 .37 -. A densidade do ferro é 7. ao longo de uma determinada dimensão espacial.28 4. por exemplo a dire¸cão de propaga¸cão da onda.55 3. t = 5µm de espessura.10 Hz.00 . o qual se evidencia através da velocidade de fase.60 4 .15 7 . P IV-C.10 9. parando o tempo.00 2 .0 Hz) é o coeficiente de Steinmetz. parando o tempo. determinar a densidade de energia magnética absorvida pelo material.. 8 × 10−6 Ωcm) de w = 2cm de largura. redonda.. tapemos a nossa visão de tudo exceto através de uma fenda vertical.. o que descrito ao longo do tempo.88 5 . P IV-C.58 6 . a equa¸cão de onda. Todos temos um conhecimento emp´ırico de ondas e da var- . observando apenas um ponto do espa¸co e deixando correr o tempo. ar” ´ (Hyldon. a que chamamos a dire¸cão de propaga¸cão. para passar do ponto 1 ao ponto 8.86 3 .83 7.73 9. observamos a bóia parada e uma descri¸cão espacial das ondas. Ao longo de uma dire¸cão perpendicular à dire¸cão de propaga¸cão. Juntemos a este quadro uma bóia vermelha. simplificando. que apresentaremos à frente. calcule ls nos dois casos. também corresponde a uma onda periódica com a mesma amplitude. o que é equivalente a tirar uma fotografia a esta paisagem. pois a vemos deslocarem-se em uma dire¸cão. Na primeira situa¸cão. 600 é o expoente da indu¸c˜ ao. para cima e para baixo. O atributo essencial da onda é exibir o movimento de propaga¸cão. Campos eletromagne “existe um mundo novo e quero lhe mostrar que n˜ ao se aprende em nenhum livro basta ter coragem pra? se libertar viver. β = 1.ELETROMAGNETISMO 81 lâminas de alum´ınio ρ = 2. e KC = 0.00378 m3 de material magnético. ρ = 1. Na segunda situa¸cão. a qual determina a forma como a varia¸cão no espa¸co se conjuga com a varia¸cão no tempo. e observando o fenômeno ao longo do espa¸co. com indu¸c˜ ao de pico igual a 0.20: Considerando que a energia dissipada por histerese seja a equa¸cão: W = W h + W c = KS B β + KC f B 2 onde KS = 3. a espa¸co constante.82 Fig. e deixemos correr o tempo. Equa¸c˜ oes de Maxwell A idéia mais intuitiva que temos de uma onda é talvez a que corresponde às ondas que vemos no mar e assim vamos tomá-las como exemplo. ` = 2m de comprimento separadas por um filme pl´ astico ( = 30pF/m.21: Considerando a curva de histerese dada na tabela. a amplitude da onda mantém-se constante. 216E − 02Js/kg/T2 é o coeficiente de perdas por correntes induzidas de Foucault.8 T. sonhar . Na Sombra de uma Arvore) A. de tal forma que não se desloque em qualquer dire¸cão excetuando na vertical e possa subir e descer com a amplitude das ondas. Fa¸camos agora observa¸cões deste quadro em duas situa¸cões diferentes: uma. outra. 45 Forma de onda senoidal. Cachorros conseguem ouvir sons com comprimentos de onda bem menores. Nosso ouvido é um excelente receptor sonoro. Concentrando-nos agora nos fenˆ omenos do campo eletromagnético. . podemos deixar j´ a dito que na expressão que descreve uma onda encontramos duas partes que se podem sempre distinguir: a amplitude e a fase. apresentamos a simbologia de base e descrevemos o formalismo da onda plana. na verdade. com mais generalidade. t´ımpano e todo o sistema que leva informa¸cões ao nosso cérebro) é apenas capaz de tratar ondas sonoras com comprimentos de onda aproximadamente entre 16 cent´ımetros e 8 metros. como um impulso que se propaga isoladamente. Ondas peri´ odicas A idéia de onda mais generalizada implica um processo repetitivo mas há fenˆ omenos ondulat´ orios que s˜ ao singulares. e mesmo que não o tenha feito. Se você puder tirar uma boa foto da superf´ıcie do lago.Agora. ´ Vamos ver agora ONDAS PERIODICAS e apresentar o formalismo das ondas monocrom´ aticas. Considera-se como exemplo uma fun¸c˜ ao f .na água salgada o comprimento de onda será maior e a freq¨ uência menor. sonoras viajam pelo ar. O som também se propaga através de ondas.da mesma forma que a amplitude de onda diminui a medida que as ondas se afastam da pedra jogada no lago. As ondas eletromagnéticas podem se propagar no vácuo. pois é principalmente delas que nos ocuparemos ao longo deste texto. ao invés de c´ırculos. a fun¸cão seno ou cosseno descrevem adequadamente muitos fenômenos oscilatórios. ou cil´ındricas. de Vezes = 330 metros por segundo / 8 metros O resultado é aproximadamente 41 vezes por segundo. e também que a altura das ondas vai diminuindo a medida que se afastam do ponto onde a pedra caiu. Os fenômenos oscilat´ orios mais vulgares que se encontram na natureza são matematicamente descritos pelas fun¸cões circulares ou por uma combina¸c˜ ao destas fun¸c˜ oes. ela agita a superf´ıcie da água na forma de ondas. Ondas e Energia: Você já deve ter atirado uma pedra em um lago. Já sabemos que o som viaja no ar a uma velocidade de aproximadamente 330 metros por segundo. Quando atiramos uma pedra na ´ agua. Não há só ondas planas. Ondas sonoras Imagine um tambor sendo tocado. deve ter observado algum efeito semelhante. as ondas sonoras viajam a uma velocidade aproximada de 330 metros por segundo. imagine que você está filmando uma folha que está na superf´ıcie do lago. mas o Comprimento de Onda é constante. com periodicidade ou freq¨ uência constante. No ar. Uma onda eletromagnética é aquela onde os fenômenos eletromagnéticos nas quais as correntes de deslocamento s˜ ao preponderantes ` as correntes de condu¸cão (freq¨ uência alta ou condutividade baixa). Dentro dele existe uma membrana chamada t´ımpano que vibra em conjunto com as ondas sonoras que vem pelo ar. Estas ondas. Marque duas cristas consecutivas e corte. você poderá “medir” a distˆ ancia entre duas cristas (partes mais altas) consecutivas das ondas que se iniciaram com a 82 queda da pedra. As solu¸cões nessas geometrias s˜ ao as ondas planas. as ondas formam esferas invis´ıveis. Se pudéssemos “cortar” uma fatia fina de ar desde o ponto onde o tambor está sendo tocado. Assim. por isto não conseguimos ouvir apitos para chamar cachorros. Os problemas resolvem-se metodologicamente da mesma maneira mas com modelos matem´ aticas adequados. e não precisam de carga ou corrente elétrica para ser reproduzida nas regiões adjacentes. esféricas ou cil´ındricas. O nosso conjunto receptor de som (ouvido. O t´ımpano está ligado a um conjunto de pequenos ossos que transmitem aos nervos ligados ao cérebro tudo aquilo que ouvimos.se continuarmos analisando. Ao nome “vezes por segundo” convencionou-se chamar Hertz a unidade de medida de freq¨ uência. Freq¨ uência e comprimento de onda andam juntos . Contando durante um segundo o tempo em que a folha sobe e desce com as ondas geradas pela pedra (conte cada vez que a folha atinge o ponto mais alto) temos o que chamamos de Freq¨ uência. mas a medida que nos afastamos o som diminui . mas a que estiver mais próxima do centro ir´ a subir e descer mais do que a que estiver afastada. Na água. Esta distância é o comprimento de onda. Para ati¸car a sua curiosidade. Ficar perto dele pode ser ensurdecedor. Tem uma amplitude Am e uma fase indicada no argumento do cosseno.um é fun¸cão do outro e de um valor constante que depende do meio em que a onda está se propaga. Imagine uma folha que flutua perto de onde a pedra caiu e outra mais afastada: ambas ir˜ ao subir e descer na água em fun¸cão das ondas geradas pela queda da pedra. Assim. carregam a energia gerada pela queda da pedra na água até a beira do lago . se você ficar a 330 metros do tambor (e seu volume for suficientemente alto) você ouvirá o som um segundo depois de ele ter sido tocado. por exemplo. ele é o mesmo que medimos entre quaisquer duas cristas de onda consecutivas. Quantas vezes então uma pequena part´ıcula de poeira “vibra” no ar em um segundo se o som que estamos ouvindo é de uma onda com 8 metros de comprimento? A resposta é: Num. Lembraremos apenas como se caracterizam visualmente e matematicamente. vamos ver que esta energia na verdade é correspondente a que você gastou para tirar a pedra do ch˜ ao e atir´ a-la no lago. até o ponto onde o ouvimos ver´ıamos que o comportamento das ondas no ar é muito parecido ao das ondas na superf´ıcie da água.referindo-nos às ondas periódicas. incluindo as ondas eletromagnéticas. que são diferentes para geometrias diferentes. que depende da dimensão x e do tempo t. esses fenômenos peri´ odicos. só que as ondas ´ um pouco mais dif´ıcil de imaginar. Uma coisa interessante que você vai notar se conseguir fazer esta experiência é que a Amplitude de Onda diminui a medida que nos afastamos do local onde a pedra caiu. A fun¸cão exponencial é uma combina¸c˜ ao linear das fun¸cões circulares e assim pode representar. ao invés de fotografar.ELETROMAGNETISMO iedade de aplica¸cões tenta-se reduzir a dois tipos designados como Ondas singulares e ondas peri´ odicas . N˜ ao é dif´ıcil notar que as ondas formam c´ırculos a partir do ponto onde a pedra caiu. Complicado? Imagine então que você pudesse “cortar” um peda¸co de onda. Medindo a altura que corresponde à parte mais baixa (vale) e a mais alta (crista) de uma onda você tem a Amplitude de Onda. ou seja. Depois conte quantas vezes em 330 metros você consegue colar este peda¸co de onda . Em muitas situa¸cões a geometria do meio em que o problema se insere.Aqui você j´ a pode observar dois conceitos importantes: Comprimento de Onda e Amplitude de Onda. No ar. E pois na água podemos ver as ondas e no ar não. aconselha a usar referenciais em coordenadas esféricas. as ondas geradas pela pedra são bem vis´ıveis na fórmula de c´ırculos em sua superf´ıcie.o n´ umero de vezes é a freq¨ uência. uma mesma pedra jogada em um lago de água doce ou de água salgada irá gerar ondas diferentes . o vácuo. ele não foi aceito imediatamente. Em baixas freq¨ uências. Uma flauta emite sons numa freq¨ uência muito mais alta que um contrabaixo. Como você já sabe. Criou a teoria eletromagnética da luz. usada para explicar a atra¸cão magnética e elétrica (Lei de Coulomb). Como é então que o som chega até o nosso r´ adio? Este processo é chamado Modula¸cão. Como tinha muitas idéias novas. Agora você já descobriu o porque dos nomes Ondas Médias e Ondas Curtas. tudo que não é meramente hipotético parecem ser representadas por ela de uma forma correta e precisa. Para chegar até a Terra a luz do Sol percorre um imenso vazio. Cada cor que vemos tem uma freq¨ uência espec´ıfica. Em 1851. Para a transmiss˜ ao t´ıpica em ondas médias e curtas. na qual resumiu e generalizou os princ´ıpios f´ısicos até então conhecidos. Qual ser´ a o comprimento de onda? λ= 330 m/s / 20.8 MHz (1 MHz é igual a 1. Vamos imaginar uma freq¨ uência de 20. no artigo Sobre as Linhas de For¸ca F´ısicas. surge a questão: como representar os campos numa dimens˜ ao t˜ ao reduzida? Os trabalhos cient´ıficos de Coulomb. emitem um feixe de luz (chamada infravermelho) que não conseguimos enxergar. Ondas eletromagnéticas Um bom exemplo de onda eletromagnética é a luz. a mecânica estat´ıstica. sabemos que as ondas eletromagnéticas são causa e conseq¨ uência da intera¸c˜ ao elétrica e magnética. menor ser´ a a amplitude da onda. A grosso modo podemos dizer que as ondas de rádio também s˜ ao um tipo de luz que não enxergamos. por exemplo.000 Hertz (o limite máximo de vezes por segundo em que uma onda vibra e que nossa audi¸cão consegue ouvir). Maxwell demonstrou que a veloci- .000 Hertz. Ele imaginou um meio elástico que ocupasse todo o espa¸co. desenvolveu uma teoria matemática. cujo produto é igual à velocidade da luz.000 1/s O resultado será 16 cent´ımetros e meio. raios X. menos seremos iluminados. etc. o comprimento de onda é muito maior que a maior dimensão do circuito. No caso da luz. maior seria a velocidade de rota¸cão dos vórtices. mas n˜ ao precisa de nenhum meio f´ısico para isto. podemos em geral estudar os campos elétricos e magnéticos separados. isto significa que quanto mais distantes estivermos da fonte luminosa. Nestes casos.podem cobrir grandes distˆ ancias. A freq¨ uência de transmiss˜ ao de r´ adio em Ondas Médias varia entre 540 e 1600 KHz (1 KHz é igual a 1. um campo quase-estacion´ ario de 10 kHz tem o comprimento de onda λ igual a: λ= 3 × 108 m/s c = = 30 000 m. e. nossos olhos também só são capazes de entender uma certa faixa de freq¨ uências eletromagnéticas. O conceito de linha de fluxo introduzido por Faraday. e é por isto que s˜ ao usadas na transmissão de rádio. As ondas eletromagnéticas viajam a velocidade de 300 000 000 m/s ou 300 000 quilômetros por segundo. James Clerk Maxwell foi um cientista cujos trabalhos permanecem até hoje surpreendentemente atuais. pequeno comprimento de onda) podem viajar grandes distâncias. Veja a luz do Sol. Então. nascido em Edimburgo. f 1 × 1011 m/s significando que circuitos elétricos não podem representar estes campos. Assim.000. Por exemplo. Como vimos anteriormente.isto é. A freq¨ uência de Ondas Curtas está acima de 3. ou seja. Faraday escreveu: Eu não posso me conter em exprimir mais uma vez a minha conviçcão na veracidade da representa¸cão que a idéia das linhas de for¸ca apresentam para a a¸cão magnética. Hoje. a Modula¸cão é feita na amplitude da onda de rádio. por exemplo. juntamente com Ludwig Boltzmann. A luz se propaga em todas as distˆ ancias. Ondas eletromagnéticas de alta freq¨ uência (e você já sabe. Os sistemas de controle remoto. Maxwell descobriu surpreso que a velocidade de propaga¸cão dependia apenas da rela¸cão entre as for¸cas elétricas e magnéticas. Maxwell propôs que a corrente elétrica era gerada pelo movimento de part´ıculas que se acoplavam aos vórtices como dentes a uma engrenagem. usando a representa¸cão matemática de circuitos elétricos e equa¸cões diferenciais dependentes unicamente do tempo. c=λf (80) onde: c = 3 × 108 m/s é a velocidade da luz no v´ acuo. quanto mais distante estivermos de sua fonte. Aos nossos olhos cabe a fun¸c˜ ao de ver ondas eletromagnéticas. previu as ondas de rádio. a questão da amplitude da onda continua sendo verdadeira para as ondas eletromagnéticas. Na década de 1860 o f´ısico escocês James Clerck Maxwell (1831-1879).ondas de rádio . microondas. Todos os resultados estabelecidos experimentalmente a respeito desta a¸cão . nosso ouvido é um bom receptor de ondas sonoras. λ é o comprimento de onda. Maxwell inicialmente propôs o famoso modelo dos vórtices moleculares do campo eletromagnético. escreveu o primeiro artigo importante sobre a teoria dos controles e fundou. Mais tarde. além de outros trabalhos de muita importância. Quanto maior a freq¨ uência. ou ciclos por segundo). Assim como nosso ouvido que é capaz apenas de entender uma faixa de freq¨ uências sonoras. f 10 × 103 m/s significando que pequenos circuitos elétricos podem representar bem estes campos. em altas freq¨ uências.ELETROMAGNETISMO 83 Se sabemos a freq¨ uência de um som usamos a fórmula contrária para descobrirmos o comprimento de onda. f é a freq¨ uência. um campo na faixa de microondas de 1011 Hz tem o comprimento de onda λ igual a: λ= c 3 × 108 m/s = = 3 × 10−3 m. Com o objetivo de tentar explicar as tensões a que estavam submetidas as linhas de de for¸ca no modelo de Faraday. Faraday e outros estabeleceram os princ´ıpios da Eletricidade. Quanto mais próximas as linhas de for¸ca. por exemplo.000 Hertz). Ampère. certo? As ondas eletromagnéticas de alta freq¨ uência . A diferen¸ca entre as várias ondas eletromagnéticas (luminosas. Por exemplo. a situa¸cão é diferente. foi um dos motivos para o abandono da antiga teoria da a¸cão à distância. mas não conseguimos ouvir ondas eletromagnéticas.) est´ a apenas no comprimento de onda e na freq¨ uência. mais agudo ser´ a o som. e no qual existissem pequenos vórtices moleculares com os eixos de rota¸cão paralelos às linhas de for¸ca. Entretanto. ondas de rádio. matematicamente. b) Uma indu¸cão elétrica vari´ avel é equivalente. h´ a um intervalo de tempo finito. o que é caracter´ıstico de um campo elétrico. quer denqualquer sinal. pode-se dizer que as superf´ıcies formadas pela terra e pela camada da ionosfera formam um grande guia de onda. Einstein também propˆ os que a velocidade máxima das intera¸cões de causa-efeito é a velocidade da luz c. A natureza ondulat´ oria da luz foi esclarecida por James Clerk Maxwell (1831-1879). cujas velocidades são muito inferiores à velocidade da luz. entre outras. As equa¸cões de Maxwell são um grupo de equa¸cões diferenciais parciais lineares sobre o tempo e o espa¸co aplicadas às grandezas ditas “eletromagnéticas”. a luz é considerada de natureza dual (part´ıcula e onda). tem-se um ressonador a elementos concentrados. a energia elétrica e a magnética estão distribu´ıdas no espa¸co confinado pela cavidade. pois as experiências até hoje realizadas não as contradizem. existem v´ arios exemplos de conceitos que exigiram revisão ou mesmo substitui¸c˜ ao. No caso da cavidade. O ressonador é dito a parâmetros distribu´ıdos. Este guia de se¸cão retangular (ou quadrada) tem a particularidade de ser fechado e portanto imune ao ru´ıdo ambiente. as grandezas de interesse são a corrente e a tensão nos elementos. De forma geral. permitiram-lhe desenvolver a Teoria Cinética dos Gases e sobretudo prever as ondas eletromagnéticas. Como exemplo temos osciladores. Isto é muito parecido com o que ocorre em um circuito ressonante LC. as ondas eletromagnéticas transmitidas por uma antena. Para conciliar os efeitos fotoelétricos com a refra¸c˜ ao e difra¸c ao. por exemplo. Criando um sistema de superf´ıcies condutoras que possa dirigir o sentido de propaga¸cão desta onda. Com isso. esse intervalo de tempo é consider´ avel. onde as velocidades são elevadas. passando de inteiramente elétrica para inteiramente magnética e vice-versa. nos seus efeitos. medida de frequência. A verifica¸cão experimental de sua teoria s´ o foi poss´ıvel. a partir de um agente causal. As grandezas de interesse são valores de campo elétrico e magnético e densidades de energia. As ondas eletromagnéticas podem se propagar no vácuo. Quando quadrado. São muito pequenos. A freq¨ uência na qual a cavidade vai apresentar seu melhor aproveitamento depende da forma e das dimensões desta. uma abertura (corneta) que alimenta um destes guias. e. tem a caracter´ıstica de tratar da mesma forma campos polarizados em dire¸cões ortogonais e pode ser portanto usado para receber polariza¸cões circulares.” E. A. A cavidade ressonante pode ser excitada por uma fonte. os quais apresentam diferentes . Uma cavidade ressonante. Maxwell apresentou as seguinte hip´ oteses: a) Uma indu¸cão magnética vari´ avel é equivalente. é anterior à própria conceitua¸cão de campo e faz-se presente em muitos escritos de f´ısicos a partir do século XVII. **Modos de Ressonˆ ancia Os guias de onda permitem a transmissão de um n´ umero infinito de modos TE e TM. quando se considerou um novo tipo de onda. de forma a manter uma onda eletromagnética ressonante em seu interior. nos seus efeitos. para deduzir o sistema de equa¸c˜ oes para as ondas de for¸ca elétrica e magnética. filtros (é um passa alta) e amplificadores sintonizados em frequência de microondas. Com estas hipóteses. Essas ondas surgem como conseq¨ uência de dois efeitos: uma indu¸cão magnética vari´ avel produz um campo elétrico (e uma indu¸c˜ ao elétrica proporcional). Isto está acontecendo atualmente com a luz. conhecida como teoria eletromagn´ etica da luz. os comprimentos de onda são da mesma grandeza das dimensões f´ısicas do dispositivo. onde se estabelecerá um sistema de campos elétricos e magnéticos oscilantes. A idéia intuitiva de campo como algo viajando no espa¸co. estão se propagando de forma não guiada. Considerando que na indu¸c˜ ao eletromagnética variável induz uma for¸ca eletromotriz. medida de permissividade de dielétricos. Foi um dos principais responsáveis pelo desenvolvimento da tecnologia moderna. No caso do circuito. Desta forma. os princ´ıpios do Eletromagnetismo. No interior da cavidade. com apenas alguns comprimentos de onda. e uma indu¸cão elétrica variável produz um campo magnético (e uma indu¸cão magnética proporcional). ao contr´ ario das teorias mecânicas do éter que a precederam. ou fonte emissora. nada mais é que um guia de onda retangular oco em que as extremidades são fechadas. e n˜ ao precisam de carga ou corrente elétrica para ser reproduzida nas regi˜ oes adjacentes. 46 mostra uma cavidade retangular com seus campos elétricos e magnéticos. A Fig. esta onda será refletida. inversamente. Maxwell escreveu: “n˜ ao podemos evitar a conclusão de que a luz consiste na ondula¸cão transversal do mesmo modo que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos. a energia eletromagnética armazenada oscila de um lado para outro. quando novos dados experimentais se opuseram a eles. Assim.1 Cavidades ressonantes No espa¸co. no ponto focal da superf´ıcie parabólica. Um guia de onda é todo dispositivo constitu´ıdo por paredes feitas de um material bom condutor cuja forma deva ser fechada. que se propaga por um sistema oscilatório pelo espa¸co. Satisfaz alguns dos requisitos necessários para alicer¸car uma teoria gravitacional e presta-se como modelo l´ ogico para a dedu¸c˜ ao das equa¸cões diferenciais do campo elétrico estacion´ ario. sem enviar ou receber dele ´ muito usado em micro-ondas. a um campo magnético. por exemplo. com alto fator de qualidade.ELETROMAGNETISMO 84 dade das ondas eletromagnéticas no espa¸co livre é dada por c= √ 1 µ0 0 (81) Com esta descoberta. através de uma abertura em sua estrutura. A grande maioria das antenas domésticas de recep¸cão de televisão por satélite tem colocado. A estas equa¸cões atribuiremos a qualidade de “leis”. O talento matemático e not´ avel intui¸c˜ ao f´ısica de Maxwell. Sua utiliza¸cão se dá onde necessita-se de circuitos ressonantes de alta frequência. as chamadas ondas eletromagnéticas. sendo desprez´ıvel na colisão de ve´ıculos. como se “guardada em uma caixa”. que propˆ os o uso de operadores diferenciais laplacianos divergente e rotacional para formular um sistema de equa¸c˜ oes a partir dos quais pode-se representar os campos eletromagnéticos em fun¸c˜ ao do tempo e do espa¸co. Nos choques atˆ omicos. descartou o modelo mecânico do éter. para que uma part´ıcula A sofra a a¸c˜ ao da for¸ca exercida nela por B. aceita-se hoje a idéia de f´ oton. Na história da F´ısica. diz-se que a onda está guiada e o nosso sistema é um guia de onda. E tro de equipamentos quer alimentando antenas de refletor parabólico. Ao encontrar uma superf´ıcie qualquer condutora. a um campo elétrico. Maxwell generalizou. Deve-se mencionar. a energia total decresce com o tempo como é mostrado na Fig. dar-se-á aten¸cão ao fato que. uma infinidade de modos de ressonância. Assim. Na prática. ` a medida que a freq¨ uência aumenta. (a) e (b). somente os modos com frequências de ressonância mais baixas são de interesse. 47 ´trica e magne ´tica ao longo da linha central da Energia ele ´ cavidade ressonante. em particular. Então. consiste em resolver as equa¸c˜ oes de Maxwell sujeitas às condi¸cões de contorno impostas pelo problema (campo elétrico tangencial nulo nas paredes condutoras da cavidade). **Compara¸c˜ ao entre guias de onda. Lembre-se que as frequências para cada modo. O tubo só transmitirá altas freq¨ uências. toda a energia e ´trica. é uma grande fonte de ondas eletromagnéticas e sua importância é indiscut´ıvel em nosso dia a dia. Até freq¨ uˆ encias mais elevadas. duas vezes por ciclo. As freq¨ uências de corte. nota-se que ele é capaz de transmitir energia eletromagnética. Fig. os conceitos de corrente. a energia oscila indefinidamente entre as formas elétrica e magnética. Desta forma. torna-se progressivamente menos desej´ avel. os campos elétrico e magnético estão sempre em quadratura (tanto no espa¸co quanto no tempo). é poss´ıvel ter-se um n´ umero infinito de frequências ressonantes. Em outras palavras. bem como as configura¸cões dos campos dos v´ arios modos dependem de fatores geométricos dos guias e das constantes do material (dielétrico) que o preenche. a energia é conduzida pelo espa¸co vazio dentro do tubo (por meios dos campos elétricos e magnéticos). No interior da cavidade. . apenas utilizando parâmetros distribu´ıdos.ELETROMAGNETISMO 85 um tubo condutor oco. Na prática. a frequência da fonte excitadora deve ser igual a frequência de ressonância escolhida para a opera¸cão. a energia eletromagnética passa de inteiramente elétrica a inteiramente magnética. seja nas paredes condutoras. A. analogamente. isto porque o guia de ondas comporta-se como um filtro passa alta para os modos TE e TM. alguns conceitos e rela¸cões associados ao transporte de energia em ondas eletromagnéticas. 46 ´tricos e Magne ´ticos em (a)Cavidade Retangular. ou seja. O Sol. Este fenômeno é de grande importância e tem sido usado em diferentes aplica¸cões tecnológicas. tensão e parâmetros concentrados é bastante pr´ atico. com uma configura¸c˜ ao de campo definida para cada uma. mesmo n˜ ao possuindo um condutor de retorno. o comportamento da linha de transmiss˜ ao pode ser tratado como uma extens˜ ao da teoria de circuitos. Linhas so ´trico e linhas pontilhadas representam o campo magne ´tico. Em baixas freq¨ uˆ encias. (c) e (d). permanecendo com valor total constante. desde que a velocidade de propaga¸ c˜ ao e os parˆ ametros distribu´ıdos sejam levados em conta. estes conceitos são estendidos aceitavelmente para linhas de comprimento considerável. a teoria de circuitos envolvendo parˆ ametros concentrados pode ser utilizada. as cavidades apresentam frequências de oscila¸cão discretas.2 Vetor de Poynting Fig. do ponto de vista da teoria de campos. como o transporte de informa¸cões e de energia de um ponto para o outro. Deixando de lado a análise de circuitos. ao que ocorre no circuito LC ressonante. Uma vez que a cavidade apresenta. (t = T /4). Assim. no dielétrico interno ou devido a existência de alguma carga externa. precisamente freq¨ uências maiores cujo comprimento de onda é da mesma ordem que do diâmetro do tubo. enquanto um quarto do per´ıodo depois ele ´ magne ´tica. as perdas tornam-se proibitivamente grandes. No tempo t = 0. A cada configura¸c˜ ao de campo eletromagnético no interior de uma cavidade. Analisando um dispositivo eletromagnético composto por Apresentamos. (b)Campos Ele ´ lidas representam o campo uma Cavidade Retangular. nesta se¸cão. As tensões e correntes são meramente efeitos associados ao fenômeno principal. Em particular. para um circuito simples. toda a energia e Se não existem perdas. sempre há alguma perda. de modo que quando um campo é máximo. o outro é nulo e vice-versa. consistindo de uma fonte e um resistor. Para uma aplica¸cão espec´ıfica. O que determina se um certo modo existir´ a ou não é a freq¨ uência do sinal a ser transmitido. dependem das dimensões da cavidade e das propriedades elétricas do dielétrico que a preenche. que está associado a uma frequência de ressonˆ ancia. como sugeriria a análise de circuitos. teoricamente. a cavidade é projetada e excitada de maneira que um u ńico modo de ressonância seja obtido numa faixa limitada de frequência. que só se pode gerar um campo na cavidade excitando um modo particular. O desempenho das linhas de transmissão. 48. linhas de transmiss˜ ao e circuitos Esta compara¸cão é de extrema importˆ ancia para entenderse a diferen¸ca entre estes três dispositivos e de como funciona o guia de onda. O procedimento para obter-se as frequências de ressonância e as configura¸c˜ oes de campo dos vários modos. correspondente um modo de oscila¸cão. ele configura¸cões dos campos elétrico e magnético em seu interior. podemos escrever as seguintes rela¸cões sob a forma integral: I ~ · d~` = − E Z S ~ ∂B ~ · dS ∂t . Podemos calcular também a amplitude para o campo magnético. ~ · d~s por ∆V e fazendo ∆V tender a zero Dividindo S R ~·d~s ~ ·S ~ lim∆V →0 =∇ ∆V ~ ·S ~ = − ∂ 1 E 2 + 1 µH 2 ∇ ∂t 2 2 ~ indica não s´ O vetor S o a grandeza do fluxo de energia. é bom estudar os campos elétrico E ~ existentes num cabo coaxial. a densidade de energia é calculada por 1 3 Wm = µH 2 (J/m ) 2 no espa¸co livre as densidades de energia elétrica e magnética numa onda plana progressiva s˜ ao iguais. A energia oscila de toda a energia ele ´tica 1/4 do um instante de tempo. Campos ele Fig. pois: r µ E = Z0 = H E H = pµ e 1 2 E = We 2 A densidade total de energia. **Na forma diferencial 1.1: Sabendo-se que a radia¸cão eletromagnética do sol que atinge a superf´ıcie terrestre é da ordem de 1350 W/m2. 01 × 103 V/m.a lei de Faraday diz que o magnetismo variável dá origem a uma for¸ca eletromotriz e portanto a uma corrente elétrica em um circuito fechado. 37 × 10−6 Tesla. 50 õ e deslocamento de um cabo coaxial. Num meio dielétrico linear. obtém-se o valor da amplitude do campo elétrico Eo igual a 1. Lei de Faraday . chamado vetor de Poynting. Fig. a densidade de energia é calculada por 1 3 We = E 2 (J/m ) 2 Num meio magnético linear.3 Equa¸cões de Maxwell com corrente de deslocamento ~ e Neste momento. ♦ A. e o magnético forma linhas concêntricas ao redor do condutor central. Exemplo V. 49 ´trico e magne ´tico de um cabo coaxial. em J/m3 . ser´ a: Wm = W = We + Wm = E 2 = µH 2 Vamos considerar um pequeno volume ∆V onde ocorre uma diminui¸cão de energia em fun¸c˜ ao do tempo. Usando a rela¸cão B = µ0 H encontramos a amplitude da indu¸cão magnética igual a 3.ELETROMAGNETISMO 86 Fig. O conjunto se desloca ao longo do cabo (suposto sem resistência) com velocidade da luz c. Ou seja. O ponto básico para qualquer estudo em eletromagnetismo são as equa¸cões de Maxwell. apresentadas a seguir. que é igual a 2. O campo elétrico magnético H é radial. 48 õ da energia armazenada com o tempo em um Diminuic ¸a ´trica em ressonador. é obtido por ~=E ~ ×H ~ S A integral do vetor de Poynting sobre uma superf´ıcie fornece a densidade de potência que atravessa a superf´ıcie (em W/m2).6 A/m. Correntes de conduc ¸a A dire¸cão e o sentido do vetor de Poynting indica a dire¸cão da faixa instantânea de potência em um ponto e também indica a dire¸cão e o sentido de propaga¸cão do campo eletromagnético. para toda a energia magne per´ıodo depois. Z ∂ 1 2 1 ~ · d~s − E + µH 2 ∆V = S ∂t 2 2 s ~ é a energia por unidade de ´ onde o vetor S area (watt/m2 ) que passa atrav´ R es da superf´ıcie que limita o volume ∆V . ~ não possui componente tangencial nas o campo elétrico E superf´ıcies condutoras interna e externa do cabo coaxial. O vetor S. mas ~ também o sentido do deslocamento de energia. . sob a forma diferencial: ~ ~ ×H ~ = J~ + ∂ D ∇ ∂t Esta equa¸cão mostra que n˜ ao s´ o a densidade de corrente ~ à qual correspondem cargas “materiais” em elétrica J. Lei de Ampère . pois o campo elétrico está varde D. mas só para freq¨ uências maiores que a da luz. a qual ~ e não havia aparecido até ent˜ ao por tratarmos de campos D ~ E estático ou semi-est´ aticos. ! I Z ~ ∂D ~ ~ ~ ~ · dS J+ H · d` = ∂t L(S) S ou. de acordo com a continuidade das cargas e correntes: ~ O termo ∂∂tD representa a corrente de deslocamento. tem-se: ¯ ∂E ¯ = jω E (84) ∂t Podemos fazer opera¸cões semelhantes com as outras variáveis eletromagnéticas H. em um capacitor. s˜ ao fechadas. pois o campo elétrico no interior do fio está variando senosoidalmente com o tempo. conclu´ı-se que a corrente de deslocamento no interior do condutor aumenta com a frequência. O fluxo magnético é a integral da indu¸c˜ ao magnética B através de uma superf´ıcie S que se ap´ oie no referido circuito fechado.ELETROMAGNETISMO 87 ou e pontual: ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t Estas rela¸cões dizem que a varia¸c˜ ao no tempo do fluxo magnético iguala o valor da integra¸c˜ ao do campo elétrico ao longo dum circuito fechado. 3. por n˜ ao existirem cargas magnéticas. Para contornar esta dificuldade.a lei de Gauss define fluxo magnético e a sua densidade. A parte real deste fasor representa o campo elétrico em fun¸cão do tempo : ¯ = E0 cos ωt E(t) = Re[E] (83) Se for aplicada a derivada à expressão em rela¸cão ao tempo. sob a forma diferencial: ~ ·B ~ =0 ∇ Esta equa¸cão apenas nos diz que as linhas da indu¸cão magnética (e do campo magnético) n˜ ao nascem nem morrem em s´ıtio algum e. mas há derivada ~ em rela¸cão ao tempo. pois a energia é gerada por processos rotativos. deve-se admitir que as correntes de deslocamento podem apresentar valores significativos em rela¸c˜ ao ` as correntes de condu¸cão J~ e que seus efeitos podem ser observados com mais facilidade. A corrente de deslocamento também é considerável quando houver possibilidade de um grande ac´ umulo de cargas. Na forma local. que é imaterial.homogênea na forma fasorial para o campo elétrico. . onde j´ a n˜ ao se usam fios. ou em freq¨ uências elevadas. J´ a no fio condutor há ambas: corrente de condu¸c˜ ao. e como estamos interessados apenas na solu¸cão senoidal. utilizaremos em nossos estudos a seguinte rela¸cão: ejωt = cos ωt + jsen jωt As equa¸cões desenvolvidas no item anterior representam o comportamento dos campos elétrico e magnético para a propaga¸cão de ondas eletromagnéticas num meio qualquer. porque h´ a cargas se movendo. assim. J. considerando que este seja linear e isotrópico. Na transmissão de potência ela aparece. dá origem a campo magnético. lhe pode dar origem. Considerando as aplica¸c˜ oes em altas freq¨ uências. se a excita¸cão for da forma senoidal. nos circuitos LC e nas cavidades ressonantes. Maxwell considerou a lei de Gauss e acrescentou um termo ` a lei de Ampére. propagando-se com caracter´ısticas próprias para cada meio de transmissão. quando pequenos ac´ umulos resultam em grandes derivadas em rela¸cão ao tempo (antenas. densidades de carga e de correntes sejam fun¸cões senoidais do tempo. a energia criada por um oscilador e que se manifesta sob forma de um campo elétrico conjugado a um campo magnético. Se considerarmos uma superf´ıcie S fechada e. a corrente de deslocamento é da maior importância. movimento. Já no vácuo e no ar. Lei de Gauss do Magnetismo . linhas de transmissão e guias de ondas). etc. aplicando o teorema de Stokes e considerando as superf´ıcies como diferenciais. pois a senóide é a fun¸cão que mais aparece na utiliza¸cão dos fenômenos elétricos. Nas telecomunica¸cões a senóide está presente.a lei de Ampére diz que a uma corrente elétrica está associado um campo magnético. vem para a primeira equa¸cão de Maxwell: 2. correntes. obtendo-se as equa¸cões de Maxwell na forma fasorial: ~ ×E ~ = −jω B ~ ∇ (85) ~ ×H ~ = J~ + jω D ~ ∇ (86) ~ ×E ~ = −jω B ~ ∇ (87) ~ ·D ~ =ρ ∇ (88) ~ ·B ~ =0 ∇ (89) Entende-se por onda eletromagnética. e que ao se integrar o campo magnético ao longo dum circuito fechado à volta dessa corrente se obtém o valor da corrente de condu¸cão e deslocamento. pode-se determinar as equa¸cões homogênea e não . valor este que é uma for¸ca eletromotriz. Também uma varia¸cão da densidade de fluxo elétrico. **Equa¸c˜ oes de Maxwell na forma fasorial Neste item vamos continuar o estudo das equa¸cões de Maxwell. e que ela é considerável. Isto se justifica. portanto com derivada nula. Agora. será então: I ~ · dS ~=0 B S ou. No dielétrico não há corrente de condu¸c˜ ao. iando com a tensão e carga nas placas. Comparando as amplitudes da densidade de corrente de condu¸cão e de deslocamento. admitindo agora que todos os campos. como segue: ¯ = E0 ejωt E (82) onde ω = 2πf é a freq¨ uência do sinal senoidal e E0 é o valor máximo (de pico) do campo elétrico. Considerando o conceito de Fasor Tensão e Fasor corrente (Circuitos Elétricos). e corrente de deslocamento. por exemplo. pois é criada por cristais de quartzo. B. tensões. 5m. determine se os campos ~ = 100sen 6 × 107 tsen z~j V/m E ~ = −0. Encontre o campo magnético correspondente e o vetor de Poynting. nos instantes t = 0 e t = T /12. eles não têm componentes nesta dire¸c˜ ao. supondo que D0 e β são maiores que zero. z. = 0 . Se a onda se propaga no sentido do eixo z. caracterizando o que possa-se a chamar de onda TEM . A Fig.0MHz. e.ELETROMAGNETISMO 88 A. (d) a amplitude do campo magnético. ω0 Note que estas equa¸c˜ oes est˜ ao em fase. A partir da defini¸cão de onda. P V-A. µ = µ0 é dada . Se a amplitude do campo magnético for 0. com uma freq¨ uência de 9. determine E. ~ = H0 e(ωt−βz)j P V-A. Existem ainda outras formas de propaga¸c˜ ao de ondas que serão abordadas posteriormente. obtenha a equa¸cão fasorial-vetorial de Helmholtz dada por 1 v=√ µ ∇ E F = −ω 2 µ0 0 E F (94) Com a unifica¸cão de eletromagnetismo. utilize as equa¸cões de Maxwell para encontrar as ~ B ~ eH ~ e tra¸car o gráfico dos equa¸cões dos campos vetoriais D. com troca de energia entre os campos elétrico e magnético. 85 × 10−12 (Farad/metro) c2 µ0 e 0 é chamado de “permissividade do v´ acuo”. os campos elétrico e magnético são perpendiculares em rela¸c˜ ao ao sentido de propaga¸cão. e que a velocidade de propaga¸cão é dista ncia λ ω = = (93) v= tempo T k Esboce o gráfico dos campos para t = 0 ao longo de z.“Transversal Electromagnetic”. P V-A. (b) o per´ıodo.4: Dado E livre.2: A principal caracter´ıstica de uma onda eletromagnética é a capacidade de transportar energia entre dois pontos. µ = µ0 e uma freq¨ uência de 1. (c) o valor de k se o campo for expresso por E0 cos(ωt − kz).007 A/m e o material for considerado sem perdas. e as seguintes equa¸cões: ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz = µ 2 (90) 2 ∂x ∂t Bz = B0 sen (kx − ωt) (91) Ey = E0 sen (kx − ωt) (92) em que E0 é uma constante. A.5 Exerc´ıcios . (d) a impedância intr´ınseca. 51 õ de uma onda eletromagne ´tica (OEM).4GHz. 8 × 107 S/m. Assim 0 = 1 = 8. D Use as equa¸cões de Maxwell para mostrar que B=− D0 β sen (ωt − βz)~j T.13a semana P V-A.5: Dado o campo magnético H ~ A/m no espa¸co livre.7: A partir das equa¸cões de Maxwell. com um comprimento de onda λ = 0. e substituindo em 90). e arbitrando uma ~ variando senoidalmente segundo o eixo dire¸c ao para B. Os campos elétricos e magnéticos de alta freq¨ uência propagam-se em meio não necessariamente condutores e carregam consigo uma certa quantidade de energia. pode-se demonstrar que P V-A. Maxwell comprovou que a raz˜ ao entre as unidades eletromagnéticas e eletrost´ aticas é c2 .6: No espa¸co livre: ~ = D0 sen (ωt + βz)~i C/m2 . 1328 cos 6 × 107 t cos z~j A/m H satisfazem as equa¸cões de Maxwell. encontre: (a) a freq¨ uência.4 Constante absoluta 0 Partindo das equa¸c˜ oes de Maxwell. e (e) a amplitude do campo elétrico. P V-A. Propagac ¸a Uma OEM é composta por um campo elétrico E e um campo magnético H perpendiculares entre si e ao sentido de propaga¸cão. quando σ = 5. (c) a constante de fase. P V-A. ache: (a) a velocidade de propaga¸cão. = 0 e µ = µ0 . 51 mostra que. ficou claro que as unidades do eletromagnetismo deveriam ser definidas somente em termos de uma destas leis e da velocidade da luz. (b) o comprimento de onda. P V-A. campos elétrico e magnético em fun¸cão de z.1: Se σ = 0.8: O campo elétrico de uma onda plana uniforme no ar tem uma amplitude de 8 V/m no sentido do eixo x. ou seja. e a subseq¨ uente compreensão de que a velocidade de luz c é uma constante fundamental. ~ = E0 sen (ωt − βz) ~j V/m no espa¸co P V-A. = 40 . 2 P V-A.9: Calcule a razão entre as densidades de corrente de condu¸cão e de deslocamento para o campo elétrico E = E0 sen (ωt) V/m. A quantidade dessa energia por unidade de tempo e por unidade de área é chamada de vetor de Poynting ~=E ~ × H.3: Uma onda plana uniforme está se propagando no polietileno (ver tabelas com suas propriedades). tem-se campo elétrico senoidal no eixo y.10: A densidade de corrente de deslocamento em um certo material em que σ = 0. Fazendo as derivadas primeiras e segundas de 91) e 92). ~ O campo elétrico de uma onda eletromagnética S plana é dado pela expressão: ~ = E0 cos ω (√µz − t)~i + E0 sen ω (√µz − t) ~j V/m E Fig. e como mostra a Fig. r = a e r = b.20: Sendo E = 200e4x−kt~j V/m no v´ acuo. 8 × 107 (Ωm)−1 . é um fenômeno puramente geométrico e sua intensidade é dada por: P = Pt 4πr2 onde: r .12: Sendo o campo elétrico E V/m no vácuo. Agora utilize a forma pontual da Lei de Faraday e uma ~ e H.distância entre a origem e a frente de onda.ELETROMAGNETISMO 89 por 2 cos(ωt−5z)~i µA/m2 . .16: Calcule a raz˜ ao entre as amplitudes das densidades de corrente de condu¸c˜ ao e de deslocamento para o campo elétrico E = E0 cos ωt V/m no: 1. em Watts Através das equa¸cões de propaga¸cão anteriormente definidas. ~ = 200e(4x−kt) ~j P V-A. use as equa¸c˜ oes de Maxwell para encontrar o campo magnético e a express˜ ao da constante k na equa¸cão do campo elétrico. dada por: √ 30Pi E= r onde: E . P V-A. r = 80.potência irradiada por uma fonte isotrópica. Representac ¸a B. µ = µ0 e σ = 0.000rad/s. sendo caracterizada por um vetor de Poynting independente das coordenadas θ e φ de um sistema de coordenadas esféricas. ~ para encontrar D 2. P V-A. σ = 5. ´ 2. use as ~ sabendo que equa¸cões de Maxwell para encontrar k e H. use as equa¸c˜ oes de Maxwell para encontrar o campo magnético e a express˜ ao da constante k na equa¸cão do campo elétrico. r = 2. determinando frentes de onda cuja potência diminui inversamente proporcional ao quadrado da distância. conclui-se que existem regiões no espa¸co que apresentam os mesmos valores de campo e fase e aproximadamente a mesma distância da fonte de excita¸cão. 3. em V/m Pi . em metros P . todos os campos variam com e−kt . 1. 5 e µr = 1 tem uma condutividade σ. Forma¸c˜ ao das ondas eletromagnéticas B.000rad/s. quando ela avan¸cou λ/8 considerando sua velocidade com 3 × 108 m/s e a freq¨ uência angular ω = 106 rad/s.11: Sendo o campo elétrico E V/m no vácuo. em W/m2 Pt . t). Quando estas frentes de onda estão a uma certa distância da fonte de sinal.15: No espa¸co livre E = 50 cos(ωt − βz)V/m. principalmente. ω = 1. é uma fonte ideal chamada antena isotrópica. A estas regiões chama-se frente de onda. = 0 . Sendo E = 60 cos 105t~i V/m. (c) a condutividade para a qual são iguais amplitudes das densidades de corrente de deslocamento e de condu¸cão. P V-A. P V-A.potência transmitida. Calcular a potência média que atravessa uma ´ area circular de raio 2. as OEM espalham-se uniformemente em todas as dire¸cões (isotrópica) a partir do ponto de origem. (b) J~d . P V-A.000rad/s.é a densidade de potência à distância r de uma fonte isotrópica.5 m pertencente a um plano Z constante. Na prática. 52 õ geome ´trica de onda esfe ´rica.14: No espa¸co livre ~ t) = 103 cos(ωt − βz)~j V/m. = 40 e µ = 5µ0 . nestas condi¸cões. Fig. e.intensidade do campo elétrico. ω = 1. seu valor é apenas como modelo teórico a ser usado. ω = 1. ou seja. 53. utilize a forma pontual da lei circuital de Ampére para achar a densidade de corrente de deslocamento. Repetir para ω = 2 × 106 rad/s. P V-A. Encontre a corrente total de deslocamento através do dielétrico e compare-a com a corrente da fonte. No espa¸co. para encontrar B 3. Use a defini¸cão da densidade de corrente de deslocamento ~ e E. Qual deve ser o valor de ω? P V-A. tem a forma esférica em torno da fonte puntual. Esbo¸car a onda em t = 0 e em t = 1. E(z. P V-A. uma vez que a sua curvatura é praticamente nula. cuja propriedade fundamental consiste em irradiar uniformemente em todas as dire¸cões. Encontre o campo deslocamento elétrico e o campo magnético. Cobre. em Watts Outra quantidade bastante relacionada com as OEM é a intensidade de campo. σ = 2 × 10−16 (Ωm)−1 .13: Uma onda propagante é descrita por y = 10sen (βz − ωt). o projeto desta antena não é executável. σ = 2 × 10−4 (Ωm)−1 . O enfraquecimento da OEM. a sua forma pode ser considerada como um plano e não mais como um segmento de esfera.19: Um material para o qual r = 1.1 Ondas planas Onda esférica e antena isotr´ opica O irradiador mais simples a ser considerado. Obter H(z. e a região entre elas est´ a preenchida com um material para o qual = 0 r . Agua destilada. ~ = 200e(4x−kt) ~j P V-A.17: Uma fonte de tens˜ ao V0 sen ωt est´ a conectada entre duas esferas condutoras concêntricas. ~ integra¸cão no tempo.18: A densidade de corrente de deslocamento é dada por 2 cos(ωt − 5z)~i µA/m2 em um material para o qual σ = 0. Finalmente. Polestireno. determinada a partir da capacitância e métodos de análise de circuitos. b > a. 54. como antena de referência para comparar as propriedades de outras antenas. ache: (a) J~c . Isto significa que. A onda é dita circularmente polarizada. Uma onda eletromagnética não pode ter as componentes dos campos elétrico e magnético na dire¸cão de propaga¸c˜ ao z. resulta numa grande simplifica¸c˜ ao das equa¸c˜ oes diferenciais. basta fixarmos z constante e observar a figura descrita pela extremidade do vetor campo elétrico. Esta considera¸cão. **Polariza¸c˜ ao de ondas planas A dire¸cão do campo elétrico de uma OEM é paralela ao eixo longitudinal do elemento irradiante da antena e determina sua polariza¸c˜ ao. Define-se onda plana. como sendo uma frente de onda onde os campos são uniformes e a propaga¸c˜ ao se d´ a numa dire¸cão constante e definida. e considerando que a onda preenche todo o espa¸co nas três dimens˜ oes. para um determinado valor de z. por exemplo os pontos de amplitude m´ axima. a variável (ωt − βz) cresce com o tempo portanto a rota¸cão é no sentido indicado na Fig. elipse sobre a qual a extremidade do vetor vai ficar. ♦ Exemplo V. A onda é dita elipticamente polarizada. Para obtermos a polariza¸cão de uma onda em propaga¸c˜ ao. Ex (t. Uma onda plana pode também ser definida como uma onda em que o lugar geométrico dos pontos com a mesma fase é um plano. ao girar. 56. z) = 5sen (ωt − βz) Ey (t.ELETROMAGNETISMO 90 Fig. vem: Ey2 Ex2 + =1 16 3 Fig. Caso as amplitudes das duas componentes fossem iguais.4: Estudar a polariza¸cão do campo: ~ = 4/ 0~i + 3/ 0~j E Solu¸cão: Passando para o dom´ınio do tempo: E(t) = Ex~i + Ey~j Ex = X = 4 cos ωt Ey = Y = 3 cos ωt eliminando o tempo vem: Y = 3 X 4 . a tempo constante. z) = 5 cos(ωt − βz) eliminando (ωt − βz). seria circularmente polarizada. 54 Onda plana . obtemos a equa¸cão de um plano. Polarizac ¸a Fig. variáveis em rela¸cão ao tempo.3: Discutir a polariza¸cão da onda de campo elétrico dada por: ~ = 5/ − 90e−jβz~i + 5/ 0e−jβz~j E Solu¸cão: ~ z) = 5sen (ωt − βz)~i + 5 cos(ωt − βz)~k E(t.2: Estudar a polariza¸cão do campo: ~ = 4/ 0~i + 3/ − 90~j E Solu¸cão: E(t) = 4 cos ωt + 3sen ωt Ex = 4 cos ωt Ey = 3sen ωt eliminando o tempo. ter componentes em x e em y. 55 õ de uma onda eletromagne ´tica. Se numa onda tomarmos pontos de fase constante. O sentido de rota¸cão depende da defasagem ser mais ou menos noventa graus. 53 õ geome ´trica de onda plana. temos o c´ırculo: Ex2 + Ey2 = 25 Para determinado z. Se considerarmos a fase e. fizermos o seu valor constante. ♦ Exemplo V.frente de onda. porém estes campos podem. obtemos um plano. Onda plana uniforme: Uma onda plana e uniforme é uma onda plana em que a onda apresenta o mesmo valor de amplitude em todos os pontos desse plano. Representac ¸a Exemplo V. os campos elétrico e magnético podem ser considerados uniformes a um instante de tempo espec´ıfico. TEM Onda eletromagne m ν=[ ] s r 1 ν= µ no vácuo ν = 300 × 106 m/s. tem-se − ∂Hz ∂Ey = − ∂x ∂t ~ ×E ~ = A equa¸cão de Maxwell obtida da lei de Faraday é ∇ e. e depende das caracter´ısticas do meio µ e x - Hz ~ em rela¸cão a posi¸cão com a (1) relaciona a derivada de H ~ derivada no tempo de E. o qual por sua vez. **Equa¸c˜ ao da onda plana Vimos que as ondas planas s˜ ao boas aproxima¸c˜ oes das ondas reais em muitas situa¸c˜ oes pr´ aticas. com a velocidade da luz. Veremos que os campos eletromagnéticos s˜ ao regidos por equa¸cões de ondas . Derivando (1) e (2) em ordem inversa. Polarizac ¸a ∂Ey ∂Bz =− ∂x ∂t como B = µH.ELETROMAGNETISMO 91 ~ e Tomamos a onda que se propaga segundo o eixo x. circular ou linear. E ~ ~ D têm apenas componente em y. que varia com o tempo. ~ em rela¸cão a posi¸cão com a (2) relaciona a derivada de E ~ derivada no tempo de H. temos ∂Ey ∂Hz = −µ ∂x ∂t Reta sobre a qual o campo vai ficar variando: a onda é dita linearmente polarizada. que se a polariza¸c˜ ao elétrica é linear. 56 õ circular. ♦ O campo magnético por sua vez determina a polariza¸cão magnética que também pode ser el´ıptica. gera um campo elétrico. Comparando as duas equa¸cões anteriores tem-se ∂ 2 Ey 1 ∂ 2 Ey = ∂t2 µ ∂x2 Esta equa¸cão descreve a varia¸cão da grandeza Ey (intensi´ chamada dade do campo elétrico) na posi¸cão e no tempo. gera um campo magnético e como o processo se repete. Evidentemente. em coordenadas retangulares. z Fig. conforme a Fig.equa¸c˜ ao nas quais as derivadas de segunda ordem em rela¸c˜ ao ao espa¸co s˜ ao proporcionais a derivada segunda em rela¸c˜ ao ao tempo. E. Vamos considerar uma Onda Eletromagnética Transversal ~ eH ~ ficam num plano perpendicular a dire¸cão (TEM). onde E ~ tem somente componente na de propaga¸cão. H somente componente em z. 1 Fazendo ν 2 = µ y 6 2 ∂ 2 Ey 2 ∂ Ey = ν ∂t2 ∂x2 Ey 6 onde a unidade de ν corresponde à velocidade de fase. ∂ ∂Hz ∂ 2 Ey [ ] = − 2 ∂t ∂x ∂t e 1 ∂ 2 Ey ∂ ∂Hz ] − = [ µ ∂x2 ∂t ∂x volt volt = ν2 segundo2 metro2 - Sentido de propag. Neste tipo de onda pode-se considerar que o campo magnético. que ser´ a vista a seguir. E equa¸cão da onda em Ey . a polariza¸cão magnética também o ser´ a. 57 ´tica plana transversal . pois a rela¸c˜ ao entre elas é através da impedância intr´ınseca. como o meio é não condutor ~ ~ ×H ~ = ∂D J~ = 0 a equa¸cão de Maxwell se reduz a ∇ ∂t e. a onda se propaga através do espa¸co vazio. Derivando (1) em rela¸cão ao tempo e (2) em rela¸cão à posi¸cão. 57. variando com o tempo. tem-se − ∂Hz ∂Dy = ∂x ∂t e como D = E. **Solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao da onda . obtém-se: 1 ∂ 2 Hz ∂ 2 Hz = ∂t2 µ ∂x2 chamada Equa¸c˜ ao de D’Alembert. O campo E ~ tem componente somente na dire¸cão de ou e o campo H dire¸cão de oz. procedendo como na equa¸cão anterior temos: ~ − ∂∂tB Fig. estamos considerando a constante de atenua¸c˜ ao α = 0 na expressão geral de uma onda de campo elétrico. como na Fig. a meios indefinidos diferentes correspondem ondas com diferente constante de propaga¸cão. ou seja. que têm como fun¸cão exprimir numericamente estas quantidades.Forma exponencial Ey = E0 ej(ωt + βx) ν onde: β = 2π λ = ω . λ . As amplitudes e fases destas duas novas ondas dever˜ ao poder ser calculadas a partir dos valores da amplitude e fase da onda incidente e das caracter´ısticas dos dois meios.Forma exponencial Ey = E1 ej(ωt − βx) 2. os vetores E fazem um ângulo de 90 graus. deve ser observada uma decomposi¸cão da onda incidente em onda refletida e onda transmitida. refletida e transmitida. incidente. considerase a continuidade das componentes tangenciais do campo magnético. podem não ter máximos ou m´ınimos simultaneamente. Para uma polariza¸cão horizontal (ondas TE). a análise da reflexão e refra¸cão faz-se de acordo com os parâmetros caracter´ısticos do meios considerando a continuidade das componentes tangenciais do campo elétrico nos dois lados da fronteira e lembrando que no meio 1 existem simultaneamente as ondas incidente e refletida e no meio 2 apenas a transmitida. define-se os coeficientes de reflexão e transmissão.comprimento de onda **Impedˆ ancia dos meios dielétricos Seja uma onda TEM com Ey = E0 sen (ωt − βx) e Hz = H0 cos(ωt − βx) fazendo opera¸c˜ oes matem´ aticas. As solu¸cões podem ser: 1. as três ondas.2 Reflexão de ondas entre dois meios 2 ∂ 2 Ey 2 ∂ Ey = ν ∂t2 ∂x2 é uma equa¸cão diferencial. face à dire¸cão de polariza¸cão do campo elétrico em rela¸cão ao plano de separa¸cão dos dois meios (o qual se considera horizontal). na fronteira. Onda para a esquerda . Onda para a direita . Estas designa¸cões TE e TM serão justificadas mais adiante. as caracter´ısticas das ondas dependem dos meios e assim. Desta forma. Em um meio indefinido. Podem estar em fase. Em todo o meio 2 e em todo o tempo existe a onda transmitida. Pode-se enunciar este problema formulando a seguinte pergunta: O que acontece a uma onda EM que se propaga em meio indefinido e atinge a superf´ıcie de separa¸c˜ ao com outro meio? Em termos gerais. ou não. Quando uma onda atravessa um meio e penetra noutro há uma altera¸cão que. ou seja. Assim. Vamos tratar de ondas polarizadas linearmente. ou seja. Quando consideramos a densidade de corrente de condu¸c˜ ao nula J~c = 0. 51. 51.Forma trigonométrica Ey = E1 sen (ωt − βx) . Vamos considerar ~ é sempre horizonondas polarizadas linearmente em que E tal (polariza¸cão horizontal) e ondas polarizadas linearmente ~ está sempre em um plano vertical (polariza¸cão em que E vertical). E = E0 e−dz cos(ωt − βz) ou em nota¸cão exponencial (fasorial) E = E0 e−dz e−jβz E = E0 e−(d+jβ)z O termo (d+jβ) é representado por γ (gamma) e chamado constante de propaga¸c˜ ao. Para uma polariza¸cão vertical (ondas TM). quanto da onda incidente será refletida e quanto dela será transmitida. também obedece às equa¸cões de Maxwell. ` polariza¸cão horizontal também chamaremos ondas TE A ` polariza¸cão vertical também (Transversais Elétricas).ELETROMAGNETISMO 92 A equa¸cão B. parcial e linear de segunda ordem. onde o seu significado aparece naturalmente. pode-se demonstrar que r E0 µ = H0 representada por r Z= µ que é chamada impedˆ ancia intr´ınseca do meio.constante de defasagem. . São portanto as condi¸cões de fronteira que nos darão as leis de reflexão e de refra¸cão entre dois meios. A onda é polarizada linearmente quando a proje¸cão dos ~ ou H ~ em um plano perpendicular a ~k (dire¸cão de vetores E propaga¸cão) está sempre sobre uma linha. Desta forma. Como estamos a estudar fenˆ omenos est´ aveis no tempo (indefinidos no tempo). A chamaremos ondas TM (Transversais Magnéticas). no espa¸co. em todo o meio 1 e em todo o tempo existem a onda incidente e a refletida.Forma trigonométrica Ey = E0 sen (ωt + βx) . A constante de propaga¸cão é calculada por r σ √ γ = jω µ 1 − j ω A impedância intr´ınseca do meio é calculada por s jωµ z= σ + jω ou r z= µ 1 σ 1 − j ω Tangente de perdas O fasor densidade de corrente J¯ é a soma dos fasores densidade de corrente de condu¸c˜ ao J¯c e densidade de corrente de deslocamento J¯d . a resposta é a seguinte: aparece uma onda EM refletida no primeiro meio e uma onda EM transmitida ao segundo meio. Para o vácuo Z = 120πΩ. Esta questão da polariza¸cão permite dividir a resolu¸cão do nosso problema em duas situa¸cões distintas. Quando ocorre uma incidência de onda plana sobre uma superf´ıcie de separa¸cão entre dois meios. ¯ J¯c = σ E ¯ J¯d = jω E ¯ J¯ = (σ + jω) E O termo entre parênteses é representado pela tangente de perdas σ tan θ = ω Como foi dito anteriormente. **Ondas planas em dielétricos dissipativos Todos os materiais dielétricos têm uma certa condutividade que algumas vezes pode ser desprezada. co-existem no tempo e no espa¸co. será necessário identificar quais as propor¸cões em que isto ocorre. Para visualizar uma onda EM podemos pensar no conjunto de três vetores como apresentado na Fig. ~ eH ~ são sempre ortogonais. em rad/m. Hertz notou uma fa´ısca (espira de recep¸cão). gera-se uma corrente de deslocamento entre as duas placas superficiais extremas. a qual pode igualar o valor da corrente de condu¸cão que existia no condutor da antena. ser´ a composto apenas pela onda transmitida. Uma bobina de indu¸cão carregava o dipolo até ` a ruptura no entreferro. de nesses extremos existirem grandes superf´ıcies metálicas. pode-se observar que o campo resultante do meio onde ocorre a incidência (meio 1). Esta corrente constante ao longo do seu comprimento é uma corrente de condu¸cão que corresponde portanto a uma real oscila¸cão de elétrons do material condutor que constitui a antena. e a incidência obl´ıqua a esta superf´ıcie. A antena tipo ‘dipolo curto de Hertz’. Nos Fig. 59 Dipolo de Hertz. Tudo come¸ca. antena ainda hoje de uso comum. 58 apresenta o esquema da reflex˜ ao total. Estas oscila¸c˜ oes constitu´ıram um trem de ondas que correspondeu ` a primeira emiss˜ ao provocada e controlada de ondas EM. a incidência sobre uma superf´ıcie pode ocorrer de duas maneiras: a incidência normal à superf´ıcie de separa¸cão. B. no dom´ınio p´ ublico. frequentemente. Voltando um pouco à história temos que o desenvolvimento das antenas é paralela à das telecomunica¸cões e esta à da eletrônica. de um condutor fino de comprimento L. dois extremos desse fio condutor essa corrente anula-se necessariamente pois deixa de haver condutor. 60 Dipolo curto.3 Irradia¸cão de ondas eletromagnéticas As ondas EM que Maxwell previu e predisse não foram verificadas senão em 1887 por Heinrich Hertz. ser´ a composto pela onda incidente somada com a onda refletida e o campo resultante do meio de transmiss˜ ao (meio 2). simplesmente. A Fig. curta (pequena comparada com o comprimento de onda) e com uma distribui¸cão de corrente constante ao longo do seu comprimento. O forte campo magnético da corrente de ruptura dava origem a uma corrente de deslocamento que recarregava as placas com cargas de sinal contr´ ario e originava nova ruptura agora de sentido inverso. Hertz não teve qualquer preocupa¸c˜ ao em passar para a sociedade as potenciais vantagens das suas descobertas. Esta experiência de Hertz ficou célebre e a sua fonte conhecida como o dipolo de Hertz. com uma corrente uniforme I e cargas puntuais q nos extremos. Nestes dois casos. Esta antena foi constru´ıda como duas grandes placas met´ alicas. 60 tem comprimento L.ELETROMAGNETISMO 93 De uma forma geral. interrompido a meio com um entreferro. entre os meios. a corrente de condu¸cão não se anula nos extremos do fio da antena e mantém-se constante. ∆t Um condutor linear curto é. Portanto o dipolo consiste. no entreferro da qual. quando Marconi consegue a primeira transmissão . Esta experiência hist´ orica permitiu o inicio da época das telecomunica¸cões por ondas EM e indicou formas eficientes de emissão e recep¸cão de ondas. colocada em um refletor cil´ındrico-parabólico. onde se distribui uma grande quantidade de carga. era um f´ısico e morreu muito novo. ou seja de antenas. que é muito curto comparado ao comprimento de onda (L << λ). Estas ondas foram recebidas por uma espira. o f´ısico que construiu uma fonte e mediu e caracterizou a sua irradia¸cão. ele é um dipolo infinitesimal. chamado de dipolo curto. A corrente e a carga estão relacionadas por: ∆q I= . com 32 anos. Desta forma. O dipolo curto mostra na Fig. quando o meio 2 é um condutor perfeito. Fig. no in´ıcio do século. Fig. de 40 cm2 cada. embora possa ser muito curto. Se o dipolo for extremamente curto. provando assim a teoria de Maxwell. 58 Ondas incidente e refletida. caracterizase por ser uma antena linear. Um dipolo curto é sempre de comprimento finito. ligadas entre si por um fio met´ alico de 60 cm de comprimento. assim chamada por se inspirar diretamente na constru´ıda por Hertz. No entanto. 61 ´ ximos e campos distantes. havendo já em 1924 sistemas de onda curta de telefonia para aplica¸cão especial nas comunica¸c˜ oes com navios.é capaz de realizar transmissão e recep¸cão de sinais simultaneamente. Popov na R´ ussia e especialmente Marconi. A radia¸c˜ ao ou lan¸camento de ondas no espa¸co é eficientemente efetuado com o aux´ılio de condutores ou estruturas dielétricas chamadas de antena. é conhecido como radiador ou antena. tanto transmite como recebe ondas eletromagnéticas. sendo induzida uma corrente que produz uma tensão de alta freq¨ uência entre seus terminais. eficiência de irradia¸cão. e. que s˜ ao a radia¸cão eficiente e o casamento de impedˆ ancia de ondas na condi¸cão de reduzir a reflexão. A irradia¸cão de ondas a partir de uma antena é um 94 Fig. estudo dos campos no espa¸co devido à distribui¸cão de corrente na fonte (diagramas de campo e irradia¸cão). As cargas elétricas s˜ ao fontes de campos eletromagnéticos. os efeitos da indu¸cão são importantes em casos onde a antena encontra-se em espa¸cos fechados (considerando-se as dimensões do comprimento de onda). Campos pro fenômeno elétrico dinâmico. como por exemplo a freq¨ uência industrial). Porém. resistência de irradia¸cão. predomina a radia¸cão dos campo elétrico e magnético. O desenvolvimento da eletrônica permitiu em poucos anos instalar sistemas de telecomunica¸cões sem fios por todo o mundo. As componentes de campo predominam nas vizinhan¸cas e são conhecidas como campos de indu¸cão. uma parcela desta energia surgirá nas vizinhan¸cas do fio. t˜ ao eficientemente quanto poss´ıvel. percebe-se que o campo eletromagnético consiste de duas partes. ou seja. associada a um campo eletromagnético. trataremos de algumas caracter´ısticas importantes relacionadas às antenas: . . estudo da potência total irradiada. seus modelos básicos e algumas aplica¸cões práticas. então. a energia irradiada será muito pequena. Em uma antena receptora. mas nem toda estrutura pode servir como um eficiente mecanismo de radia¸c˜ ao. Teoricamente qualquer estrutura pode irradiar ondas eletromagnéticas. visto que o fenômeno inverso é verdadeiro.ELETROMAGNETISMO codificada através do Atlˆ antico. o objetivo é excitar ondas de uma determinada fonte na dire¸cão ou dire¸cões requeridas. porém lentamente. Antenas intencionais s˜ ao estruturas constru´ıdas com o fim espec´ıfico de transmitir e/ou receber sinais de alta freq¨ uência. O sistema que age como a transi¸c˜ ao entre um guia de ondas e o espa¸co livre. **Caracter´ısticas das antenas Anteriormente discutimos a base elementar da vasta teoria de antenas. A irradia¸cão de energia eletromagnética de um circuito. etc. instrumentos. Para os fenômenos estáticos ou quase-estáticos (baixas freq¨ uências. As antenas usam tens˜ ao e corrente de uma linha de transmissão (ou campo eletromagnético de um guia de onda) para lan¸car uma onda eletromagnética em um meio. A região de irradia¸cão é utilizada somente para fins de comunica¸cão. Porém. dentre outros aspectos. A energia irradiada pela antena se propaga na forma de ondas progressivas que viajam na velocidade da luz para o meio considerado. **Irradia¸c˜ ao Se for introduzida uma carga em um determinado fio de dimensões finitas e esta carga é revertida. Antenas N˜ ao-intencionais s˜ ao pontos de emissão ou susceptibilidade de sinais de alta freq¨ uência que fazem parte de qualquer equipamentos. a irradia¸cão é inexistente ou pode ser desconsiderada. Existem duas causas principais pelas quais as antenas s˜ ao utilizadas. Esta foi a primeira antena linear. da freq¨ uência de oscila¸cão das cargas na antena. uma tens˜ ao de alta freq¨ uência aplicada aos seus terminais produz uma corrente capaz de excitar um campo eletromagnético no espa¸co. se o tempo de carga e descarga passar para intervalos cada vez menores. Eles tornam-se muito pequenos para grandes distâncias da antena e não contribuem para a potência irradiada pela antena. deseja-se minimizar a perda de potência por irradia¸cão. Esta energia se propa- . ondas eletromagnéticas se propagam ao longo destas fontes e uma radia¸cão acontece. As antenas s˜ ao estruturas associadas ` a região de transi¸cão entre uma onda guiada e uma onda no espa¸co livre. Eles representam a energia reativa que é armazenada nos campos durante uma parte do ciclo e é devolvida para a fonte durante a outra parte. Nesta região. o fenˆ omeno inverso se verifica. colocada na presen¸ca de um campo eletromagnético. e se estas fontes s˜ ao variantes no tempo. às 12 h e 30 min. Estes campos contém a energia irradiada pela antena esta energia depende do tempo. (causam problemas de compatibilidade magnética) Em uma antena transmissora. Uma antena pode ser usada para transmitir ou receber energia eletromagnética. de forma que a energia associada retorne ao circuito durante este intervalo. para o meio adjacente ou vice e versa. Neste cap´ıtulo. no qual a onda ir´ a se propagar. em Inglaterra desenvolvem as antenas e este u ´ltimo é o grande engenheiro das telecomunica¸c˜ oes. Alguns problemas são encontrados na transmissão e recep¸cão de ondas eletromagnéticas: escolha do tipo de antena para obten¸cão da distribui¸cão de campos desejada. isolada. antes que a energia retorne ao circuito.é bidirecional. O presente estudo se preocupará com as antenas transmissoras. impedância de entrada da antena em fun¸cão da freq¨ uência. A segunda parte compreende os campos na região distante. cavidade ressonante ou sistema de guia de onda pode ser importante ou como um fenˆ omeno de fuga indesejado ou como um processo de excita¸c˜ ao de ondas no espa¸co. no dia 12 de Dezembro de 1901. **Campos pr´ oximos e campos distantes Aplicando a teoria eletromagnética em uma antena de dimensões pequenas. Quando a irradia¸cão é desejada. A primeira corresponde ao campo em região próxima à antena. A antena de recep¸c˜ ao foi um “papagaio” de Franklin com 150 m de altura. No primeiro caso. Radia¸cão pode ser conceituado como o processo de transmitir energia elétrica. e isto pode ser feito pela configura¸c˜ ao do circuito de carga ou pela adi¸cão de blindagem. ou seja. Uma antena pode ser vista como um transdutor (transformador) usado no casamento de linhas de transmissão ou usadas na dire¸cão da onda a ser lan¸cada (guia de onda). −2) a (10−3 . 63 ~ eH ~ . Calcular: 1. b = 4. Na vertical. exemplifica a irradia¸c˜ ao onda eletromagnética ~ e H. . determina-se a corrente em seu ponto máximo ou nos terminais da antena. 0) a (5 × 10−3 . Ache a fem gerada ao longo do caminho (10−3 . Determine L. 031/rc ) cos 6 × o ar como dielétrico e um campo H 107 πt cos 0. Esta resistência é dada por: R0 = Fig. formando anéis (loop). 62 exemplifica este fenˆ omeno. Mostre que a expressão simples B satisfaz às equa¸cões de Maxwell no ar. considerando a impedância intr´ınseca do espa¸co livre. Ache H. quando a tensão entre os dois p´ olos é m´ axima. Mesmo os condutores da antena não apresentando resistência considerável. Use as equa¸cões de Maxwell que envolvem o rotacional para determinar β. comprimento de onda. Determine a densidade superficial de carga no condutor interno em fun¸cão de φ. passam a se propagar pelo espa¸co numa velocidade próxima à da luz. através de ondas eletromagnéticas.4: Para a água destilada temos permissividade relativa r = 50 e condutividade σ = 20(Ω m)−1 . vemos as duas metades da antena. 5mm. pode-se perceber que a freq¨ uência de oscila¸cão na antena é que determinar´ a a magnitude da energia irradiada. P V-B. Desta forma.14a semana P V-B. 1. aplica-se onde a irradia¸cão resulta de uma corrente bem definida em um u ńico condutor linear. há uma dissipa¸cão de calor. as linhas ligando as duas partes da antena representam o campo elétrico. constante de propaga¸cão. Qual é a amplitude dos campos ~ e magnético H? ~ elétrico E Fig.Pote ´tica com os campos E ˆncia Onda eletromagne irradiada gará pelo espa¸co. As linhas do campo que se soltaram. 2. 2πz~uφ A/m.ELETROMAGNETISMO 95 **Resistência de irradia¸c˜ ao Na maioria das antenas. e. A Fig. 4. 5. Feno ¸a 2P I02 onde P é a potência total irradiada. constante de fase. ~ para uma antena de comprimento L e os campos E colocada no centro da esfera (coordenas esféricas). vale 73. em Watts. a irradia¸cão é associada à corrente de alta freq¨ uência em um condutor ou condutores. ~ = cos 2π60t~i T não 1. para qualquer freq¨ uência. O campo elétrico ~ = (100/rc ) cos(108 t − βz)~ur V/m. Ao longo de que segmentos do caminho temos E·d P V-B. é dado por E c 1. P V-B. 0) a (5 × 10−3 . P V-B. 0o . 0). A resistência de irradia¸cão para uma antena tipo dipolo de meia-onda. P V-B. convertida de energia elétrica em calor por uma resistência fict´ıcia chamada de resistência de irradia¸cão (dizemos fict´ıcia. a tensão tornou-se nula e as linhas do campo soltaram-se. 3.2: O cabo coaxial RG-59U (utilizado em TV a cabo) é idêntico ao RG-58U exceto pelo diâmetro da malha externa. ~ 2. tem ~ = (0. C e Zc . 25. raio externo b = 4mm. 0o .3: Uma onda eletromagnética tem a densidade de potência de 2 W/m2 . 0o . em 62c vemos a invers˜ ao do campo e o processo se repete em 62d e 62e. Em outros casos.6: O campo magnético próximo ao motor de um secador de cabelos varia senoidalmente com uma frequência de 60 Hz.5: Uma linha de transmissão coaxial tem raio interno a = 1mm. µ0 = 1 e σ = 0.4 Exerc´ıcios . e se propaga num meio com impedância caracter´ıstica de 200 Ω. 63. B. O campo magnético est´ a associado ao campo elétrico em um ângulo de 90 graus e a dire¸c˜ ao e sentido de propaga¸cão são dados pelo vetor de Poyting. em Ampères. e I0 é a corrente de pico na antena. A Fig. constante de atenua¸cão. 0o . H ~ ~` = 0? 2. 4. Este conceito. pois ela está distribu´ıda). 3.1: Uma linha de transmissão coaxial com superf´ıcies condutoras em rc = 1mm. e um dielétrico homogêneo com r = 2. 62 ˆ meno da irradiac õ. Como a tens˜ ao est´ a alternando a uma alta freq¨ uência. rc = 5mm e z = 0. z e t. impedância intr´ınseca do meio para a situa¸cão onde ω = 1011 rad/s. Em 62a. Calcule a amplitude da corrente total de deslocamento no comprimento 0 ≤ z ≤ 1m. Em 62b.1 ohms. µr = 1 e σ = 0. Ache H variam senoidalmente no tempo com a mesma freq¨ uência. 0. Et1 . φ = π/2. E. (d) Mostre que H ~1 e H ~ 2 satisfazem às (a) A. As caracter´ısticas destas ondas radiadas dependem em muito da configura¸cão f´ısica da antena que. Ache e esboce A(t) em (0.1 Os meios de propaga¸cão Vamos tratar os meios segundo os aspectos relevantes para a propaga¸cão de ondas EM. pode ser considerado como sendo dado por ~ = −105 cos(109 t − 4z)~uy V/m. P V-B. e conduz uma ~ corrente I = 4t A no sentido +~k. Jn2 e En2 . Toda a fronteira entre meios eletromagneticamente diferentes guia uma onda. depender em grande medida dos meios em que se está a considerar a onda. 1/r)sen θsen (15 × 108 t − ordenadas esféricas por E ~ considerando que todos os campos 5r)~uθ V/m. o modelo mais simples de um ´ por este modelo que guia é uma fronteira entre dois meios. Ainda outro. a propagar-se no interior de uma fibra óptica (guia dielétrico). é a primeira grande área onde consideram-se os modelos de ondas EM suportadas por superf´ıcies de fronteira entre meios diferentes: Por exemplo. E ~ y. em uma primeira aproxima¸cão. Mostre que estes campos n˜ ao satisfazem ` a outra equa¸cão de Maxwell onde aparece no rotacional. No vácuo a constante dielétrica vale 0 e a permeabilidade magnética µ vale µ0 . ~ 2. (b) Jn1 e Jt1 em P1 . Ache o valor de k sabendo que B satisfaz às equa¸co˜es de Maxwell. nos modelos mais simples. (c) Et2 . átomos. 00). z. vamos apresentar alguns aspectos fundamentais referentes à teoria da propaga¸cão. 2. Sabendo que ~ 1 = (10~i + 20~j + 30~k) cos 109 t V/m no ponto P (0−. ache |E| + ponto (0 . se supõe radiar para um meio indefinido. 2π. φ = 0. enquanto que para o material adjacente ` a origem r = 10. Vamos então caracterizar meios . Outro exemplo seria a onda a propagar-se no espa¸co interior entre dois condutores cil´ındricos coaxiais. 1 µs. Pode existir qualquer forma de irradia¸cão EM. uma onda EM que é guiada por uma linha bifilar (linha de transmissão) e que ocupa o espa¸co exterior à superf´ıcie dos condutores.7: Um campo elétrico no v´ acuo é dado. e ent˜ ao determine Dn2 . A teoria das ondas eletromagnéticas (EM) divide-se em duas grandes áreas: Propaga¸cão Guiada e Irradia¸cão. para x ≤ 0. ´ıons e elétrons. 25. ache o m´ odulo da densidade superficial de carga na origem em t = 0. µ1 = 4x10−6 H/m e σ1 = 10−3 (Ωm)−1 na regi˜ ao 1 (x < 0). ~ 0. E ache: (a) En1 . como por exemplo B a origem ao campo elétrico −1 E= kB0 ekt ~uφ .8: O campo elétrico na origem é dado por 2~i−10~j+ ~ 3k V/m em t = 0. E a esse corresponde a existência de matéria (dielétricos e condutores). φ = 0. rc = 20mm. Em alternativa ao vácuo definimos um meio material. µr1 = 1 e σ1 = 0 na região 1 (z < 0). 10) para −0.10: Sejam r1 = 1. P V-B. 4. 0). e z = 25cm. estudam-se modelos de “liberta¸cão” de ondas EM dos seus guias de suporte. uma onda que se propaga ao longo da superf´ıcie da terra. P V-B. produzem novos campos locais. 3. Use a ~ ×H ~ para mostrar que a taxa com a equa¸cão que envolve ∇ qual Bz deveria (mas n˜ ao o faz) variar com rc seria cerca de 5 × 10−6 T por metro de espa¸co livre (v´ acuo) em t = 0. C. P V-B. Da propaga¸cão em espa¸co livre passaremos à polariza¸cão de ondas e para as leis de reflexão e refra¸cão entre dois meios.13: Um condutor filamentar se estende desde z = −5 até z = 5m sobre o eixo x no v´ acuo. Estes modelos de irradia¸cão são as chamadas antenas. A densidade superficial de carga em rc = 20mm.12: Temos superf´ıcies condutoras perfeitas localizadas em rc = 5mm.ELETROMAGNETISMO ~ = cos(2π60t − ky)~i 2.2 mm). Come¸camos por dividir os meios em vácuo e meios materiais e chamar imediatamente a aten¸cão para o fato de a teoria da propaga¸cão de ondas EM. P V-B. enquanto que ~ em t = 0 no r = 3. C. Dn1 e Dt1 em P1 . E come¸caremos neste cap´ıtulo. o modelo f´ısico em que se baseia e portanto também o tratamento matemático. P V-B. µr = 3 e σ = 0. A regi˜ ao envolvida é um dielétrico para o qual r = 2.14: O campo elétrico no interior de uma linha de transmissão em forma de duas lâminas condutoras muito longas e de pequena largura (2 mm) e afastamento (0. Propaga¸c˜ ao das ondas eletromagnéticas Antes de entrarmos nos modelos de propaga¸cão em guias clássicos. dizendo que corresponde a um meio onde não existe matéria. teoricamente até ao infinito. podem-se admitir instantâneas e. enquanto que r2 = 5. A densidade superficial de corrente em rc = 5mm. (b) H condi¸cões de contorno necess´ arias em z = 0. 0). Um u ´ltimo exemplo é a onda EM. d´ tico variante. A´ı. Se a origem pertence a uma superf´ıcie condutora perfeita. em co~ = (0. (d) Use a equa¸cão da continuidade como partida para mostrar que Jn1 − Jn2 = ∂Dn2 /∂t − ∂Dn1 /∂t. (c) H ~ 2 . e z = 25cm.9: Michel Faraday mostrou que um campo magné~ = B0 ekt~k. Se r = 8. P V-B. Se uma onda EM atravessar esse meio exercem-se for¸cas (for¸ca de Lorentz) nas part´ıculas que as fazem sair das suas posi¸cões médias. ausência de moléculas. enquanto que 2 = 2 1 . interligados de formas muito variadas. 96 P V-B. z. fótons. é a segunda grande área. ou seja. 1 ≤ t ≤ 0. Sendo assim. Irradia¸ c˜ ao. t) = 0. 2. E ~ 1 . n´ os estamos estabelecendo um campo magnético razoavelmente grande em 1µs. µ2 = µ1 /2 e σ1 = 4σ1 . 0. e E ~ 2 = A cos(15×108 t+5z)~i V/m. Um meio material é constitu´ıdo por moléculas e átomos. Dt2 e J~2 em P2 (0+. ou campos de outro tipo. Essas altera¸cões. µr = 8 e σ = 0. z = 5cm. t) se A(x. elétrons ou ´ıons. Definimos vácuo em uma perspectiva macroscópica. na regi˜ ao 2 (x > 0). 2 1. não pressupomos qualquer outra condi¸cão. z = 0 e z = 50cm (coordenadas cil´ındricas). Determine: H 1. 0. mas na prática quase toda concentrada na sua proximidade imediata. Propaga¸ c˜ ao Guiada. determine: que na região 2. A densidade de corrente de deslocamento em rc = 10mm. Ache A(x. 1. de freq¨ uência no espectro óptico. µr2 = 20 e σ2 = 0 na região 2 (z > 0). Sabendo que o campo elétrico na região 1 é ~ 1 = [60 cos(15 × 108 t − 5z) + 20 cos(15 × 108 t + 5z)]~i V/m. Sendo B0 = 1 T e k =1/10s. Nesta região ~ = (2/rc ) cos 2πz cos 4π108 t~up hi A/m.11: Sejam 1 = 10−11 F/m. para x > 0. em qualquer caso. como o gravitacional. µr = 2 e σ = 0. As condi¸co˜es de penetra¸cão de campos eletromagnéticos em meios serão sistematizadas mais à frente.onda incidente. em ~ e B) ~ geral. E amplamente aproveitado na comunica¸cão em ondas curtas. causando o aparecimento Refrac ¸a de um raio refletido. refrac õ e difrac õ de uma OEM. permissividade e permeabilidade em todos os pontos. 65 õ de uma OEM na ionosfera. Consideraremos apenas meios lineares. Temos ent˜ ao materiais magnéticos. descontadas as diferen¸cas de comprimento de onda. de forma semelhante ao que ocorre nas ondas de luz. o resultado da a¸c˜ ao de um campo é igual à soma dos resultados da a¸c˜ ao de v´ arios campos que. O v´ acuo e os meios dielétricos indefinidos são não-dispersivos. O campo magnético estático penetra no condutor perfeito. por exemplo um guia de ondas como uma fibra óptica. Em um meio linear. os meios usados para aplica¸c˜ oes serão sempre homogêneos. defini¸cões que ser˜ ao apresentada no fim deste ponto depois de referidos os parˆ ametros relevantes. Pode-se definir as seguintes rela¸c˜ oes constitutivas dos meios: ~ = µH ~ B C. com constantes dielétricas di´ um fenômeno versas e num ângulo diferente da normal. mas sim de movimentos circulares de cargas.2 Reflexão . nos edif´ıcios e montanhas. **Refra¸c˜ ao A refra¸ c˜ ao ocorre quando da passagem da OEM pela região limite entre dois meios. Um meio isotrópico n˜ ao tem dire¸c˜ oes privilegiadas. **Reflex˜ ao Como no caso das ondas luminosas. 64 ˆ meno da reflexa õ. n´ umeros complexos e.onda refletida.permeabilidade magnética (H/m). Fig. ~ = E ~ D . meios dielétricos puros e condutores perfeitos. polariza¸cão de EM Quando uma OEM se propaga na superf´ıcie terrestre. a condutividade considera-se infinita e o campo elétrico. será necessariamente zero. juntos. a permeabilidade magnética e a condutividade são. Ao fim de um determinado espa¸co e tempo percorrido ele está distorcido pois houve dispers˜ ao. a reflexão mais comum ocorre no solo. refra¸cão e difra¸cão. A constante dielétrica. também existem em determinados materiais.ELETROMAGNETISMO 97 dielétricos e condutores. Estas defini¸cões admitem que as part´ıculas respondem instantaneamente à for¸ca de Lorentz e que os meios s˜ ao constantes no tempo. Oi . Neste curso. Estes meios chamam-se dispersivos e disso s˜ ao exemplos os guias de onda. Um meio homogêneo é aquele onde um fenˆ omeno se desenvolve igualmente em qualquer ponto. para condutores perfeitos. Em um dielétrico puro a condutividade é zero. esse impulso modifica-se na sua forma. Também é importante que o vetor do campo elétrico da OEM seja perpendicular a essa superf´ıcie. Os efeitos magnéticos. correntes circulares. para isolantes. também o impulso ser´ a atenuado. Ao se enviar um impulso ao longo de um determinado meio. no limite. . por exemplo.coeficiente de reflexão. como um conjunto de ondas senoidais de diferentes freq¨ uências. ou seja. O feno ¸a ¸a ~ J~ = σ E Em um condutor perfeito. descrita no tempo ou no espa¸co. em condi¸cões diversas àquelas do espa¸co livre. onde ocorre a chamada reflexão ionosférica. perante excita¸c˜ oes (E harmônicas. sinais com freq¨ uências diferentes se propagam com velocidades diferentes. causada pela varia¸cão da densidade da camada ionosférica (m´ınima na região limite e máxima na região central). o comprimento de onda é diferente nos dois meios.permissividade elétrica (F/m) Fig. Em se tratando de ondas eletromagnéticas. ou seja. percebese a ocorrência de reflexão. A rela¸cão entre a intensidade da onda refletida e da onda incidente é chamada de “coeficiente de reflexão” e varia de zero. . Como a freq¨ uência é a mesma (pois depende apenas da fonte). Um impulso quadrado. ocorrendo uma . n˜ ao derivados de distribui¸cões de cargas. pode ser descrito por análise de Fourier. Or . homogêneos e isotrópicos. não há distribui¸cões de cargas ou correntes. mas esse efeito é independente da dispersão. Se o meio tem perdas. est´ atico ou harmˆ onico. Veremos quando estudarmos as leis de propaga¸cão que. Considere uma onda passando de uma região para outra na qual a velocidade de propaga¸cão é diferente. e. em determinados meios. o que também altera a forma do impulso. Também usaremos exclusivamente meios lineares. a reflex˜ ao depende da existência de uma superf´ıcie condutora. e tem a mesma condutividade. A densidade de corrente e as distribui¸cões de carga são apenas superficiais. Podem existir dependendo ou independentemente de campos aplicados. ou seja o que se passa ao longo de uma pode passar-se ao longo de qualquer outra dire¸c˜ ao. Seu valor é Or Γ= Oi onde: Γ . igualem o primeiro. µ . os seus valores dependem da freq¨ uência. até 1. ao condutor. Assim. MHz) e baixas potências (mW) (Telecomunica¸cões). as derivadas temporais passam a exercer mais influência no valor dos campos e o acoplamento entre eles não pode ser desconsiderado. Sistema de Transmissão de Sinais (informa¸cão): altas freq¨ uências (kHz. elas o contornam. o campo H a´ı indicando a presen¸ca de corrente superficial ao longo do eixo x. Por isso a uma certa distˆ ancia atr´ as do obstáculo é poss´ıvel a capta¸cão dos sinais de r´ adio. Estrutura ba Fig. C. A soma da onda incidente com a refletida é chamada onda estacion´ aria pois nós e ventres permanecem estacionários com o tempo.3 Sistemas de transmissão Fig. As aplica¸cões voltadas ao eletromagnetismo de altas freq¨ uências possuem classes muito especiais de equipamentos . Podemos observar que. já que o condutor perfeito nada consome. geometria. Isto também poderá ser conferido observando que o valor médio do vetor de Poynting incidente é igual ao refletido. Tomemos uma onda de campo elétrico em propaga¸cão segundo z e coloquemos um obst´ aculo condutor em z = 0.ELETROMAGNETISMO 98 mudan¸ca de dire¸cão quando passa de um meio para outro. como mostra-se na Fig. por sua natureza. pois depende de fatores construtivos e operacionais.energia elétrica: 60 Hz .ângulos de incidência da onda com a superf´ıcie que separa os meios 1 e 2. A lei de Snell-Descartes. assim como corrente e tensão em capacitor ou indutor. etc. como os n´ıveis de energia envolvidos.20 kHz . Difrac ¸a **Reflex˜ ao total . De acordo com esse princ´ıpio.rádio FM: 88 . 68. Reflexa Fig. que rege a refra¸c˜ ao.3400 Hz . junto ~ sofre descontinuidade tangencial. isto significando potência média transportada nula. 67 õ da onda de ra ´dio por um obsta ćulo. Sistema de Transmissão de Energia (potência): baixas freq¨ uências (Hz) e altas potências (MW) (Eletrotécnica).telefone: 300 . respectivamente. O limite entre os Dom´ınios da baixa ou alta freq¨ uência não pode ser definido exatamente. qualquer onda eletromagnética tem reflex˜ ao total em uma superf´ıcie condutora perfeita. 2. n1 e n2 .108 MHz Quando a freq¨ uência de opera¸cão dos dispositivos eletromagnéticos pertencentes a um sistema. quando as frentes de onda atingem um obst´ aculo de dimensões comparáveis (ou menores) que seu comprimento de onda. 68 õ total . 69 ´sica de um sistema de transmissa õ de sinais. Podendo-se ainda dizer que toda a potência incidente é refletida. ultrapassa um determinado valor.velocidade da onda nos meios 1 e 2. Fig. radiando para frente ondas esféricas.onda estaciona ´ria. 66 Princ´ıpio de Huygens. o que ser´ a visto matematicamente pelo valor médio do vetor de Poynting. O objetivo dos sistemas de transmissão é transmitir sinais (informa¸cão) ou energia de um ponto a outro. respectivamente. v1 e v2 .1605 kHz . **Difra¸c˜ ao A difra¸ c˜ ao é um fenˆ omeno que pode ser explicado pelo uso do “princ´ıpio de Huygens”: cada frente de onda equivale a uma cole¸cão de radiadores infinitesimais. Exemplos de sistemas de transmissão: . A difra¸c˜ ao. é u ´til na propaga¸c˜ ao de ondas médias e longas.ondas médias: 535 . e. toda energia incidente num condutor perfeito é refletida. diz que: sen i1 v1 n2 = = sen i2 v2 n1 onde i1 e i2 .´ındice de refra¸c˜ ao dos meios 1 e 2.equipamento de áudio: 10 Hz . Verificar que os campos elétrico e magnético resultantes são defasados são de 90 graus no tempo.ondas estacion´ arias Assim como a luz se reflete em um espelho (que é uma superf´ıcie met´ alica). 1. quando necessário. A esta¸cão transmissora é normalmente composta por um transmissor (Tx) que gera a energia de radiofreq¨ uência (RF). As principais vantagens destes guias resumem-se aos seguintes aspectos: . O meio interior tem uma constante dielétrica mais elevada que a do meio exterior. Perante estes valores das freq¨ uências portadoras. Classificac ¸a Sigla VLF LF MF HF VHF UHF SHF EHF Freq¨ uˆ encias Muito baixas Baixas M´ edias Elevadas Muito elevadas Ultra-elevadas Super elevadas Extrem. principalmente as das faixas de VHF e superiores. este u ´ltimo a trabalhar nos laboratórios da STC em Harlow Town . pela recep¸c˜ ao dos sinais das emissoras de ondas médias. Cabea¸c˜ ao O manuseamento das fibras exige grande cuidado. nomeadamente de s´ılica (vidro). Muitas peculiaridades podem ser encontradas em sistemas que utilizam tais tecnologias.ELETROMAGNETISMO 99 que operam nestas condi¸c˜ oes. ambas cobertas por uma camada protetora opaca. para um modelo de propaga¸cão em guias dielétricos. A um canal (portadora) na zona do infravermelho podemos associar uma banda de largura da ordem dos GHz. possibilitou o desenvolvimento de dielétricos com perdas muito baixas. Este tipo de onda é responsável. A inven¸cão do LASER em 1960 determinou a evolu¸cão das telecomunica¸cões por onda EM do tipo óptico. A propaga¸cão das ondas eletromagnéticas nas proximidades do solo depende da freq¨ uência e das caracter´ısticas do percurso.Dimensão e peso muito reduzido . Estes cabos necessitam de resistência mecânica e qu´ımica. Propaga¸c˜ ao das ondas de superf´ıcie Quando a propaga¸c˜ ao se faz sobre um terreno de alta condutividade. permitindo um alcance mundial para esse tipo de onda. Isto passa-se no in´ıcio dos anos 70. de modo que se pode supor que uma onda no meio interior se reflita na fronteira com um ângulo de incidência superior ao ângulo limite e dê origem a uma reflexão total. O isolamento e prote¸cão do exterior dependem da aplica¸cão a que se destinam. sujeitas a certa atenua¸cão. A finalidade da antena receptora é extrair uma parte da energia da OEM e transform´ a-la em energia de RF que é conduzida. Para comprimentos de onda “ópticos” o guia de onda cil´ındrico dielétrico pode ser fisicamente pequeno.Baixo custo de fabrica¸cão Fundamentalmente. Propaga¸c˜ ao das ondas ionosféricas Existem diversas camadas ionizadas localizadas a diferentes altitudes. **Propaga¸c˜ ao guiada por fibra ´ optica Se até agora considerou-se guias de onda em que as superf´ıcies são condutoras. ou combina¸cões. propagam-se em linha reta. Para distˆ ancias de até 1000 km. Hoje temos atenua¸cões inferiores a 0. sendo chamadas. a qual também. Em dois ou três anos a tecnologia de fabrica¸cão da fibra e o apuramento dos materiais utilizados baixaram as atenua¸cões do sinal de 1000 para 10 dB / km. dado o pequeno raio de curvatura que admitem. até o receptor. Por isso. por essa razão. A comunica¸cão através do r´ adio est´ a relacionada com a existência de uma onda eletromagnética (OEM) interligando uma esta¸cão transmissora a uma ou mais esta¸cões receptoras. isto n˜ ao significa que n˜ ao pode-se ter guias com superf´ıcies dielétricas. Por isso s˜ ao chamadas de ondas de superf´ıcie ou terrestres. chamados de fibras ópticas e consistem de uma casca de vidro. São muitas vezes refor¸cados internamente com cabos de a¸co ou fibras de alta resistência à tra¸cão e também. a atenua¸cão da onda terrestre é pequena. Inglaterra. com pares elétricos para alimenta¸cão de energia . essa onda será guiada e confinada ao meio interior existindo no segundo meio apenas a onda evanescente. . onde é devidamente processada. com um certo ´ındice de refra¸cão. principalmente se a potência transmitida for elevada.Não susceptibilidade a sinais de mais baixa frequência . Ondas Muito longas Longas M´ edias Curtas Microondas Microondas Faixa de Freq¨ uˆ encias 3 kHz a 30 kHz 30 kHz a 300 kHz 300 kHz a 3 MHz 3 MHz a 30 MHz 30 MHz a 300 MHz 300 MHz a 3 GHz 3 GHz a 30 GHz 30 GHz a 300 GHz As OEM. uma fibra óptica é um guia dielétrico de geometria cil´ındrica composto por dois meios dielétricos coaxiais.Grande largura de banda . A grande maioria dos casos corresponde a cabea¸cão para enterrar no solo. então. A descontinuidade entre um material com alto valor de constante dielétrica e outro com baixo valor. uma linha de transmiss˜ ao (LT) que serve para conduzir a energia de RF produzida pelo transmissor e uma antena que transforma essa energia numa onda eletromagnética. Freq¨ uências inferiores a 3 MHz propagam-se acompanhando a curvatura da terra. Desta forma. permitindo uma comunica¸cão eficiente e confiável. verificase imediatamente a enorme banda poss´ıvel para estes sistemas. coberta por uma bainha de vidro transparente com um ´ındice de refra¸cão levemente menor. a intensidade de campo de uma onda de superf´ıcie é relativamente estável.1 dB/km nas fibras de uso comercial. espaciais ou troposféricas. de dimensões extremamente reduzidas e excitados por lasers. porém a descoberta de novos materiais e uma sofisticada tecnologia de prepara¸cão destes materiais. elev. S˜ ao os dispositivos de telecomunica¸cões e os sistemas microprocessados em geral. por exemplo. ou sobre a superf´ıcie do mar. s˜ ao chamadas de ondas ionosféricas ou indiretas. através da LT. a maior parte das vezes. de ondas diretas. A investiga¸cão que se seguiu culminou nas propostas de Kao e Hockhman em 1966. Com a grande largura de banda dispon´ıvel em comprimento de onda infravermelho. possibilita confinar uma onda dentro do material de alta constante. A isto deve-se o fato de se tratar da emissão de luz coerente. a atenua¸c˜ ao nestes casos é muito alta. em forma de filete.Meios dielétricos e portanto não condutores. é poss´ıvel transitar por uma u ńica fibra 20 milhões de canais telefônicos ou 20 mil canais de TV. envolve não uma mas muitas fibras. São. Em geral. As ondas de rádio da faixa de HF s˜ ao refletidas pelas camadas ionizadas da atmosfera. O principal efeito dessas camadas é refletir de volta para a terra as ondas de r´ adio da faixa de HF. As tabelas abaixo mostram o resumo das principais caracter´ısticas das OEM para as diversas faixas de freq¨ uências: TABELA X õ das ondas de ra ´dio.Atenua¸cões muito baixas . As freq¨ uências que se utilizam nos sistemas de comunica¸cão ópticos são as do espectro óptico. Um sinal elétrico a uma frequência angular ω tem associado a ele um comprimento de onda λ= 2πc . A capacidade de transmissão das fibras ópticas é limitada por dispers˜ ao. Claramente. a espessura de efeito pelicular de ondas em condutores é m´ınima. Para . Pode-se perceber que a onda tende a se propagar na dire¸cão do eixo z. se a frequência for de 1 GHz (λ = 10cm) um sinal que chega em um determinado instante de tempo ao in´ıcio do arame. Cabos coaxiais e cabos de par tran¸cado especiais podem ser utilizados até umas poucas centenas de Mb/s em distâncias menores que 100 m. por outras palavras. Estes dois guias vão ser estudados da mesma maneira. as impedâncias dos circuitos devem ser vistas como de parâmetros distribu´ıdos. Como o nome indica. refletidas na aplica¸cão das condi¸cões de fronteira. O custo destes cabos é de fato muito superior ao custo das pr´ oprias fibras. por exemplo. as impedˆ ancias est˜ ao sempre espacialmente distribu´ıdas e é uma quest˜ ao da frequência ser suficientemente elevada para que este fato venha ` a tona. envolvidos por um meio dielétrico e com geometria cil´ındrica. ω onde c é a velocidade da luz no meio. portanto todos os pontos da fia¸cão da rede de energia elétrica de uma cidade est˜ ao instantaneamente ao mesmo potencial. o manuseamento e a instala¸cão desses cabos. indutores e capacitores) estão concentrados em determinados pontos. uma linha bifilar caracteriza-se por dois condutores metálicos. neste caso a diferen¸ca de potencial entre dois pontos de um mesmo fio é apreciável se a distˆ ancia entre eles for de apenas alguns cent´ımetros. Nas redes de computadores mais comuns (Ethernet) a taxa de bits é de 10 Mb/s ou mais. porém sua espessura pode ser m´ınima. Nos casos em que a frequência é suficientemente alta. Cada bit nessa taxa é um pulso elétrico de 100 ns que ocupa aproximadamente 25 metros de cabo. ent˜ ao a tensão instantânea em dois pontos de um mesmo condutor podem ser diferentes. Veremos que o cabo coaxial tem caracter´ısticas muito semelhantes às da linha bifilar. Desta forma. 70. Neste caso porém. Os condutores que conectam esses elementos s˜ ao ideais (sem impedâncias parasitas) e n˜ ao h´ a qualquer diferen¸ca de potencial entre dois pontos de um mesmo condutor. Obviamente. ocupa uma dimensão transversal da ordem de grandeza de pouco mais que a distância entre condutores. o infinito. que permitem taxas de uns poucos Gb/s (Giga-bit/segundo) para distˆ ancias da ordem de 1 km. não verá o fim do fio . As ondas suportadas por este tipo de guia propagam-se no dielétrico. de modo que os efeitos de propaga¸c˜ ao sejam relevantes. Já em telecomunica¸c˜ oes de longa distˆ ancia se utilizam fibras chamadas monomodo. onde seus componentes (resistores. entre a fronteira com os condutores e. permitindo teoricamente enlaces de mais de 100 km a taxas de dezenas de Tb/s (Tera-bit/s). normalmente de se¸cão circular. pelo menos quanto ao seu funcionamento no modo fundamental. pois como já visto. O aproveitamento da imensa largura de banda fornecida pelas fibra ´ opticas é atualmente motivo de intensas pesquisas em F´ısica e Engenharia. Se as dimensões f´ısicas do circuito são maiores ou compar´ aveis a λ.4 Propaga¸cão guiada por L.ou da ordem de 1 dB/km. C. O modelo f´ısico é coincidente com o matemático . considerando a polariza¸cão linear perpendicular. mas permite uma grande flexibilidade mecânica a qual facilita. para um computador operando a 300 MHz. uma vez que. mostra a estrutura da linha de transmissão paralela e plana bem como os campos incidentes e refletidos. Para entender esta diferen¸ca devemos considerar primeiro o fato que os sinais elétricos se propagam de um ponto a outro de um circuito ` a velocidade da luz. paralelos. em teoria.e “n˜ ao saber´ a” que a resistência total do arame é de 3 Ω até que n˜ ao chegue ao fim. suponhamos um resistor de 3 Ω feito com um arame de comprimento total de 30 cm. Dependendo da frequência. Este fato é muito importante porque altera radicalmente a susceptibilidade ao ambiente exterior da onda propagada. os campos têm uma componente estacionária na dire¸cão do eixo y e uma componente em propaga¸cão na dire¸cão z. O cabo coaxial e a linha bifilar são guias de onda. usavam afinal linhas bifilares. O primeiro recebe e emite “ru´ıdo” e o segundo é teoricamente insens´ıvel. Para taxas de dados mais altas e/ou distâncias mais longas. os dois condutores têm o mesmo eixo e a onda fica assim confinada a um espa¸co fechado. apresentam uma resultante em propaga¸cão. Quer os condutores da linha bifilar quer o condutor interior do cabo coaxial são muitas vezes ocos. a grande percentagem da energia que a onda transporta. Em altas frequências os circuitos devem ser analisados como circuitos de parâmetros distribu´ıdos. também chamados circuitos de parâmetros concentrados ou discretos. leva em conta que estes possuem comprimento e largura infinitos. Os primeiros passos nas telecomunica¸cões por ondas EM. Até agora neste curso temos estudado circuitos a baixas frequências. que é a longitudinal e a que consideraremos como a de propaga¸cão. Isto quer dizer que. de fato. Em rigor. ou seja. dados ainda no século XVIII com os primeiros telégrafos. e não depende da taxa. Por outro lado.ELETROMAGNETISMO 100 a distância. para os repetidores do próprio sistema de telecomunica¸c˜ oes. Nas redes locais de computadores se utilizam fibras ópticas chamadas multimodo. No caso da linha bifilar temos um guia aberto e no caso do cabo coaxial temos um guia fechado.T. onde as perdas s˜ ao menores que 0. dos mais antigos e dos mais usados. em contraste com os circuitos de baixa frequência. **Linha de transmiss˜ ao paralela plana O estudo da linha de transmissão constitu´ıda por dois condutores paralelos e planos. que não assegura uma cobertura óptica nem eletromagnética total. as suas diferen¸cas de configura¸cão f´ısica. O condutor exterior dos cabos coaxiais é fabricado em muitos casos como uma rede. nestas redes os efeitos de propaga¸cão são relevantes. Para sinais de 60 Hz o comprimento de onda é de aproximadamente λ = 5000km. por seu lado. são tubos e não varões. n˜ ao por atenua¸cão. com uma se¸cão transversal constante ao longo da sua maior dimensão. temos λ = 1 m. irão resultar nas solu¸cões particulares de cada um.5 dB/km e possuem pouca dispers˜ ao. A rede inteira pode ter 100 m (cabo coaxial “fino”) ou até 500 m (cabo “grosso”). a fibra ´ optica é a u ńica tecnologia dispon´ıvel. Por exemplo. as componentes de campo na dire¸cão y se anulam e as componentes na dire¸cão z. consegue-se menor peso e menor custo sem alterar as condi¸cões de propaga¸cão uma vez que a espessura desses tubos é consideravelmente superior à espessura de efeito pelicular da onda no metal do condutor. A atenua¸c˜ ao de uma fibra ´ optica de comunica¸cão de dados é menor que . A Fig. **Modos de propaga¸c˜ ao De acordo com o que foi definido no item anterior. Esta formas s˜ ao chamadas de modos de propaga¸cão. G . O cabo Ethernet grosso. 70 õ paralela e plana. Não se pode deixar de levar em considera¸c˜ ao que apesar dos condutores terem uma condutividade elevada. as duas formas de se introduzir uma onda eletromagnética devidamente polarizada dentro de uma linha de transmiss˜ ao. ou seja. O primeiro passo para o cálculo de uma LT é conhecer ou determinar os parâmetros de circuito da LT. Uma das diferen¸cas. O tipo de polariza¸c˜ ao empregada na an´ alise influencia na posi¸cão relativa dos campos elétrico e magnético no interior de uma linha de transmiss˜ ao. pode-se equacionar a Linha de Transmissão. O cabo RG-58 é o mais utilizado em instrumenta¸cão e redes de computadores. A dire¸c˜ ao y coincide com a normal do plano das superf´ıcies condutoras. iniciando pelo cálculo da impedância e admitância por unidade de comprimento. é evidente concluir que sua velocidade na dire¸cão de propaga¸cão será menor do que se ela estiver se propagando ao ar livre. pois a distância percorrida será maior com a ocorrência das reflexões. 9mm. 64) e a capacitância é de 82 a 86pF/m. deve-se = a ou δ ∼ consultar tabelas de manuais. dependendo da polariza¸cão empregada podem existir varia¸cões no modo dessa onda se propagar. pois existe um valor m´ aximo de comprimento de onda que pode se estabelecer entre suas placas. respectivamente. C = 100pF/m e Zc = 50Ω. 1 obtemos: L = 250nH/m.6 dB/100m 10 MHz. denotado por λoc . Devido aos parâmetros distribu´ıdos (principalmente a indutância e a capacitância por unidade de comprimento). Em freq¨ uências médias ((δ ∼ = c − b)). proporcionam perdas na reflexão. Este comprimento de onda máximo depende da distˆ ancia entre as placas e vai determinar a freq¨ uência de corte. **Impedˆ ancia caracter´ıstica e constante de propaga¸c˜ ao Com os parâmetros de circuito.Indutância série por unidade de comprimento (H/m). é que a velocidade de propaga¸cão dentro da estrutura é menor do que sua velocidade ao ar livre. R . o isolante é polietileno. verificou-se que existem algumas diferen¸cas entre a propaga¸cão de ondas eletromagnéticas ao ar livre e sua propaga¸cão dentro de estruturas montadas com o objetivo de gui´ a-las. é necessário que exista um n´ umero inteiro de meios comprimentos de onda nesta dire¸c˜ ao. O que ir´ a ser considerado agora é exatamente isto. 9mm e b = 2. incluindo ambos os condutores da linha. a ser observado para que se obtenha a propaga¸c˜ ao desejada. C . L . e.7 dB/100m @ 10 MHz. que é o valor m´ınimo de freq¨ uência que a onda eletromagnética deve possuir para que ela consiga se propagar. Porém. Qualquer par de condutores utilizado para transportar corrente de alta frequência é uma linha de transmissão. E forma: se uma onda no interior de uma estrutura precisa refletir nas paredes para que haja propaga¸cão. com 1. . que representa as perdas devidas a imperfei¸cões do dielétrico (Ω−1 /m). como todos os materiais empregados na constru¸cão de tais linhas de transmiss˜ ao possuem um valor limitado de condutividade. Outro fator importante é que as linhas analisadas se comportam como filtros passa-altas. o que ocorre é que existir´ a uma atenua¸cão no valor dos campos elétrico e magnético ` a medida que estes se desenvolvem no interior destas linhas. como por exemplo o cabo coaxial com uma das extremidades ligada a uma fonte de tensão. é usado para distâncias de até 100m.Resistência série por unidade de comprimento. **Tipos de LT e seus parˆ ametros de circuitos Denomina-se linha de transmiss˜ ao o conjunto de condutores que é utilizado no transporte de energia eletromagnética. Existem vários tipos de linhas.ELETROMAGNETISMO Fig. com atenua¸cão de 4. existe um comprimento de onda máximo. A impedância em série por unidade de comprimento Z é o n´ umero complexo igual a: Z = R + jωL (95) A admitância em paralelo por unidade de comprimento Y é o n´ umero complexo igual a: Y = G + jωC (96) Os cabos que ligam os computadores de uma rede local e os que ligam a antena de TV ao televisor são exemplos de linhas de transmissão. Outro fator importante de se observar é que estas linhas possuem um valor m´ınimo de freq¨ uência para que possa ocorrer a transmissão. Os cabos coaxiais de 50Ω especiais para Ethernet possuem blindagem dupla e capa plástica com baixa produ¸cão de fumo durante um incêndio. **Atenua¸c˜ ao de onda e freq¨ uência de corte A análise realizada no item anterior possui algumas restri¸cões a serem feitas. a onda se refletiria indefinidamente.Capacitância em paralelo por unidade de comprimento (F/m). a = 0. devido ao fato de que o comprimento de onda efetivo na dire¸cão de propaga¸c˜ ao λg ser diferente do comprimento de 101 ´ poss´ıvel entender isto da seguinte onda real ao ar livre λ0 . com constante dielétrica r = 2. Além disso. Linha de transmissa que haja a citada anula¸c˜ ao das componentes na dire¸cão y. pode ser usado em até 500 m. Embora o cabo RG-58 possa ser utilizado em redes Ethernet. Este é o passo fundamental para a modelagem das LT. Se o material condutor empregado possu´ısse condutividade infinita. representa as perdas devidas a imperfei¸cões nos condutores (Ω/m).Condutância em paralelo por unidade de comprimento. ele não é recomendado. na prática este valor não é infinito e portanto h´ a perdas de energia ao longo da transmissão o que ir´ a causar uma atenua¸cão na onda. O cabo Ethernet fino. No caso do cabo coaxial RG-58U as dimensões do fio condutor interno e da malha são. ou seja. Geralmente o dielétrico é de polietileno celular /0 = 1. 5 comprimentos de onda. Exemplo de linha de transmissa Entretanto. 71. num ponto qualquer x da linha. por defini¸cão. dI = V Y dx casos de comprimento e freq¨ uência: a) ` = 5m e f = 60Hz: Então. Podemos calcular Zc com ajuda do circuito equivalente da LT. Numa extremidade da LT tem-se x = 0. e. dx mas de sinal oposto. 5λ. a derivada de 1. Isto significa o seguinte: a impedˆ ancia em alta frequência vista desde qualquer ponto da linha (isto é. A impedância vista quando inclu´ımos o elemento dx é novamente Zc . para os seguintes pela equa¸cão (96). e I a respectiva corrente. V = Zc I onde Zc é chamada impedˆ ancia caracter´ıstica da linha.constante de atenua¸c˜ ao. vP será sempre igual em m´ odulo ` a tens˜ ao da fonte. 5λ) = Vm sen (ωt−3π) = −Vm sen (ωt) V em rela¸cão a x é: λ dV =IZ (99) Logo. e na outra extremidade x = `. em nepers por metro.a corrente que entra é I + dI. Se incluirmos resistências série R e paralelo G para levar em considera¸cão a atenua¸c˜ ao de sinais ao longo da linha. em radianos por metro. a impedância caracter´ıstica n˜ ao depende da frequência. 00036o ) b) ` = 1000km e f = 60Hz: ∆φ = β` = 2π 2π `= rad = 72o λ 5 vi (t) = 5 cos(2πf t − 72o ) c) ` = 5m e f = 10MHz: λ= v = 3 × 108 10 × 106 = 30 m f ∆φ = β` = (2π × 5/30) = π rad = 60o 3 vi (t) = 5 cos(2πf t − 60o ) Conclusão: A teoria de circuitos. Zc . que é uma aproxima¸cão da teoria mais geral de LT’s. No ponto x = 1. Vamos relacionar Zc com os parˆ ametros distribu´ıdos da linha.5: Sup˜ oe-se que uma LT seja infinitamente longa e que se aplica uma diferen¸ca de potencial dada por Vs = Vm sen ωt entre os terminais.6: Calcular a tens˜ ao na carga para a LT apre. vi (t) = 5 cos(2πf t − 0. o quociente entre a tensão e corrente viajando em uma mesma dire¸cão) é. que tem uma impedˆ ancia caracter´ıstica de 50 Ω. 71 õ. definido como sendo o lado da fonte. calculada de tensão se propaga com v = 3 × 108 m/s. considerando que a onda eletromagnética circula pela admitância paralela do elemento Y . a impedância caracter´ıstica. O cabo coaxial mais utilizado em laborat´ orio é o cabo RG58U. o atraso de propaga¸cão introduz uma defasagem ∆φ: ∆φ = β` = (2π/λ)` = 2π × 10−6 rad = 0. definido no lado da carga. β . 00036o onde λ= v 3 × 108 = = 5 × 106 m f 60 Assim. Exemplo V.constante de fase. Seja V a tensão entre os dois condutores da LT. e Exemplo V. na aproxima¸c˜ ao de linha sem perdas. A eleva¸cão da tensão ao longo do elemento de comprimento dx é: dV = I Z dx 2π onde Z foi obtido pela equa¸cão (95). ♦ **Linhas de transmiss˜ ao longas Vamos considerar um pequeno elemento da linha de comprimento dx. A freq¨ uência f = ω/2π é igual a 3 × 109 Hz. Escrever a express˜ ao de v(t) num ponto P . Substitu´ımos a linha menos um elemento de comprimento infinitesimal dx pela sua impedˆ ancia equivalente. veremos que a impedância caracter´ıstica depende ligeiramente da frequência.ELETROMAGNETISMO 102 existe uma rela¸cão entre a tens˜ ao e a corrente de um sinal elétrico viajando na linha. A diferen¸ca é a corrente que sentada na Fig. a derivada de V em rela¸cão a x é: Da teoria de circuitos: dI =V Y (100) vi (t) = 5 cos(2πf t) dx vP = Vm sen (ωt− . A equa¸cão geral de uma onda progressiva na dire¸cão do eixo dos x pode ser escrita como: v = Vm sen (ωt − kx) onde k = 2π/λ é denominado n´ umero de onda. e calcular as diferen¸cas de tensão dV e corrente dI entre seus extremos. a corrente que sai do elemento dx é I. A raiz quadrada do produto da impedˆ ancia série pela admitância paralelo é chamado constante de propaga¸cão γ: √ (98) γ = Z Y = α + jβ onde: α . apresenta bons resultados somente quando ` << λ. que denotamos com Zc . ♦ Analogamente. Temos portanto que s r Z R + jωL = (97) Zc = Y G + jωC Note que. Então. tem-se Fig. distante 1. a solu¸cão de V . em x = 0: V = VR e I = IR . Sendo a corrente dada por uma equa¸cão análoga à da tensão. Assim. obtemos a equa¸cão da corrente em qualquer ponto x da LT: r √ √ Y I= A1 e Y Zx − A2 e − Y Zx (105) Z Agora. (111) Numa linha de transmissão terminada com uma impedância igual à impedância caracter´ıstica Zc . ou seja. Substituindo V . Isto decorre do fato de que uma LT infinita não pode ter onda refletida. em fun¸cão da distância ao longo da linha. como √ √ V = A1 e Y Zx + A2 e − Y Zx (103) Fazendo a derivada segunda em rela¸c˜ ao a x. obtemos I= VR + IR Zc γx VR − IR Zc −γx e + e 2 2 (106) VR /Zc + IR γx VR /Zc − IR −γx e − e 2 2 (107) **Interpreta¸c˜ ao das equa¸c˜ oes Sabendo que a constante de propaga¸c˜ ao γ = α + jβ. em termos de x. as tensões e correntes da linha se escrevem simplesmente como V =V++V− (110) V+ V− = − + I I de modo que o coeficiente de reflexão pode ser escrito alternativamente como I− Γ= + I já que I− I− V − V + 1 = = ΓZc I+ V − V + I+ Zc No fim de uma linha terminada com uma impedância ZR . na equa¸c˜ ao (99).ELETROMAGNETISMO 103 Derivando as equa¸c˜ oes (99) e (100) em rela¸c˜ ao a x. Isso sugere uma solu¸c˜ ao do tipo exponencial. c) quando ZR = Zc temos Γ = 0. derivada duas vezes em x deve ser igual a Y ZV . temos V++V− 1+Γ V = + = Zc ZR = − I I −I 1−Γ Resolvendo esta equa¸cão para Γ obtemos Γ= ZR − Zc ZR + Zc (112) Podemos ver da equa¸cão (112) que: a) para uma linha terminada em um curto circuito (ZR = 0) temos Γ = −1. dado em (103). Essa é a caracter´ıstica de uma onda progressiva. Por exemplo. O termo e αx muda o módulo em fun¸cão de x. que avan¸ca da carga para a fonte da LT. a tensão nas extremidades da carga VR é igual a IR Zc . Podemos pensar que quando ZR = Zc . **Coeficiente de reflex˜ ao Γ A razão entre as amplitudes dos sinais incidente e refletido define o coeficiente de reflexão Γ: Γ= V− V+ Da própria defini¸cão de impedância caracter´ıstica temos que Zc = VR + IR Zc A1 = 2 V = O primeiro termo da equa¸cão (108) cresce em módulo e adianta-se em fase com o aumento da distância dos terminais da carga em dire¸cão à fonte. a tensão e corrente da linha podem ser escritas como VR + IR Zc αx jβx VR − IR Zc −αx −jβx V = e e + e e (108) 2 2 I= I = I+ + I− VR /Zc + IR αx jβx VR /Zc − IR −αx −jβx e e − e e (109) 2 2 As propriedades de e αx e e jβx ajudam a explicar a varia¸cão da tensão e da corrente em qualquer instante. para eliminar a onda refletida. substiuinto A1 e A2 em (103) e (105). serão expressões cujas derivadas segundas em rela¸c˜ ao a x serão iguais às expressões originais multiplicadas pela constante Y Z. b) no caso de circuito aberto (ZR = inf) temos Γ = 1. e representase por V − . O segundo termo da equa¸cão (108) diminui em módulo e atrasa-se em fase com o aumento da distância dos terminais da carga em dire¸cão à fonte. e representase por V + . obtemos: d2 V dI =Z (101) 2 dx dx dV d2 I =Y (102) dx2 dx As solu¸cões dessas equa¸c˜ oes. sem inversão. Denominamos tens˜ ao refletida a esse termo. ela também pode ser considerada como possuindo uma componente incidente I + e outra componente refletida I − . isto é. Isto pode ser entendido se pensamos que o sinal passa do “fio vivo” para o “neutro” e retorna. as constantes A1 e A2 podem ser determinadas levando-se em conta as condi¸c˜ oes na extremidade da LT referente à carga. obtemos √ √ d2 V = Y Z A1 e Y Zx + A2 e − Y Zx 2 dx (104) Portanto. Uma LT que termina por sua impedância caracter´ıstica é chamada de linha infinita. Substituindo estes valores em (103) e (105). as LT de comunica¸cões terminam com sua impedância caracter´ıstica. não existindo onda refletida de corrente ou de tensão. o sinal volta pelo mesmo fio. a equa¸cão (103) é a solu¸c˜ ao de (101). Denominamos tens˜ ao incidente a esse termo. que avan¸ca da fonte para a carga. não há sinal refletido. Usualmente. a impedância . Essa é a caracter´ıstica de uma onda refletida. obtemos VR = A1 + A2 r Y (A1 − A2 ) IR = Z p Substituindo Zc = Z/Y e resolvendo o sistema para A1 e A2 . enquanto que o termo e jβx vale sempre 1 e significa uma defasagem de β radianos por unidade de comprimento da LT. encontramos VR − IR Zc A2 = 2 Finalmente. efetivamente invertendo-se. Ela pode ser dada por √ γ = ω LC A velocidade de propaga¸c˜ ao da onda na LT é 1 ω v= =√ γ LC No caso do cabo coaxial. os pulsos elétricos se propagam sem deforma¸cão. na pr´ atica. a velocidade de propaga¸cão depende da frequência. **Atenua¸c˜ ao Consideremos ainda que o meio em que esta onda se propaga introduz perdas e a fun¸c˜ ao decai ou atenua-se.5 Casamento de impedâncias **Rela¸c˜ ao de onda estacion´ aria ROE A Rela¸cão de Onda Estacionária é a rela¸cão entre a tensão máxima e m´ınima em uma LT. para o coeficiente de atenua¸cão. Se um cabo de um determinado comprimento atenua 3 dB (50 %) a 1 MHz. ZR se comporta como uma “continua¸c˜ ao” da linha. Mesmo assim. um fator igual a 1 diz-nos que a linha está adaptada e um valor infinito diz-nos que a linha está em circuito aberto ou em curto-circuito. por exemplo. é equivalente a terminar a linha com outra linha idêntica e de comprimento infinito. obtemos que v=√ c 1 = µ0 n onde c é a velocidade da luz no v´ acuo e n é o ´ındice de refra¸cão do isolante. **Velocidade de propaga¸c˜ ao A variável γ é a chamada constante de propaga¸cão. Em consequência. sendo proporcional ao quadrado da amplitude da onda. os pulsos se deformam ao se propagarem na linha. Na grande maioria das aplica¸cões. α/2. Neste caso tudo acontece como se o sinal nunca encontrasse o fim da linha de transmissão. mas isto implica quase sempre em cabos mais grossos. O coeficiente α é chamado coeficiente de atenua¸cão e geralmente é expresso em unidades de decibéis por cada 100 m de cabo11 . ou seja.ELETROMAGNETISMO 104 Também temos uma constante de propaga¸cão complexa p γ = ω 2 LC − RG − jω(LG + RC) que pode ser escrita na forma γ = γ 0 − jα/2 Fig. 72 Onda amortecida. pretende-se ter uma linha que ligue com a maior eficiência poss´ıvel o gerador à carga. ou seja. A potência transportada. R + G Z0 α∼ = Z0 onde Z0 é a impedância caracter´ıstica sem perdas r L Z0 = . Dado que um pulso é uma superposi¸c˜ ao de ondas de diferentes frequências (transformada de Fourier). Neste caso a linha se diz “terminada” ou “casada”. ou de 13 dB. a varia¸c˜ ao do ´ındice de refra¸cão dos dielétricos utilizados em linhas de transmiss˜ ao. Este fato reflete-se na forma da constante de propaga¸cão. é desprez´ıvel. expressar o coeficiente de atenua¸c˜ ao para a tens˜ ao. o conceito de linha n˜ ao dispersiva não é uma utopia já que. O ROE nos dá uma idéia da importância da onda refletida. então a impedˆ ancia caracter´ıstica é complexa e depende da frequência segundo s R + jωL Zc = G + jωC Em contraste com o caso sem perdas. em engenharia el´ etrica. C Na maioria dos casos de interesse prático a condutância G pode ser desprezada. a linha se torna dispersiva. cai como e −αx . C. O coeficiente de atenua¸cão é então α∼ = R Z0 Esta equa¸cão indica que há vantagem em utilizar linhas com impedância caracter´ıstica grande. Vimos 11 E ´ comum. uma antena. a atenua¸cão da linha deve ser considerada. cai exponencialmente com a distância devido ao fator e e −αx/2 . No caso de linhas muito compridas ou frequências muito elevadas. provocada por reflexões. então a 100 MHz a atenua¸cão será aproximadamente 10 vezes maior. na faixa de frequências necess´ aria para descrever pulsos elétricos de dura¸cão razoável. na dire¸cão da fonte para a carga. Fazendo R << ωL e G << ωC obtemos. a parte real de γ não é mais proporcional à frequência e. Em rigor. r n= 0 ´ interessante notar que a velocidade de propaga¸cão é indeE pendente da frequência (uma linha de transmiss˜ ao com esta propriedade se denomina linha n˜ ao dispersiva). o que limita grandemente o uso de linhas de transmissão elé trica para comunica¸cão em altas taxas. α[dB/100m] = α[m−1 ] 103 log e ∼ = 434α[m−1 ] Valores t´ıpicos para f = 10MHz são de 1 a 10 dB/100m. Assim. em linhas não dispersivas. conclu´ımos que. em neppers/metro (Np/m). portanto. . o ´ındice de refra¸c˜ ao depende da frequência. A resistência série aumenta aproximadamente em forma proporcional à raiz quadrada da frequência devido ao efeito pelicular ou efeito Skin. Esta pode ser. ou seja. Se a linha tem uma resistência série R e condutˆ ancia G por unidade de comprimento. Vemos que a amplitude de um onda viajando. Com outras palavras. 13 dB de perda significa que apenas 5 % da potência injetada é transmitida ao fim do cabo. há uma onda refletida com amplitude igual à da incidente. E fazer adapta¸cões de cargas a linhas com impedˆ ancias caracter´ısticas diferentes. vale ZS = (1. Fig. normalmente. Assim. 73 ˆncia qualquer. 3 + j0. Um desses processos. calculadoras e computadores realizam pequenos c´ alculos para resolver os problemas da carta de Smith. sabendo que é terminaa por uma impedância de 15 + j25Ω. Impeda essência. Hoje em dia. a linha está adaptada e toda a energia que a onda EM transporta passa para a carga. o stub está terminado por um curto circuito e. A carta de Smith também fornece o coeficiente de reflexão Γ. com caracter´ısticas iguais ` as da linha que se pretende adaptar. a impedância de entrada. O comprimento do stub e a distância à carga da sua liga¸c˜ ao ` a linha s˜ ao os graus de liberdade que nos permitir˜ ao fazer a adapta¸c˜ ao. que é o equivalente do coeficiente de reflexão complexo de um componente de microonda de porta u ńica. e seu ângulo ao ângulo medido a partir do ponto de máxima impedância (direita). Como se pode observar. Quando se projeta um sistema tem-se sempre esta preocupa¸cão.u. **Adapta¸c˜ ao de LT com um Stub Um stub ou estube é um tro¸co de linha que se considera. Na Fig. uma velocidade de transmissão v = 0. casos h´ a em que isso n˜ ao é poss´ıvel ´ necessário então ou por qualquer raz˜ ao n˜ ao se justifica. . 105 Fig. do estudo anterior. Por outras palavras. no seu fundamento. ela se tornou uma valiosa ferramenta para comunica¸c˜ ao homem-m´ aquina. vista pela fontes. Este processo consiste. 37 metros. 4/137 = 0. 50 50 Como o comprimento da LT é 27. deve-se ‘caminhar’ no sentido horário na carga de Smith. Entretanto. a impedˆ ancia de entrada deste stub é imaginária e o seu valor depende do seu comprimento st. calculada como: ZR = 0. Trata-se de um algoritmo gráfico que permite de uma forma expedita calcular adapta¸cões de linhas. como um método gráfico para simplificar os cálculos matem´ aticos complexos (envolvendo variáveis complexas da forma x + jy).u. que eram necessários para descrever as caracter´ısticas de componentes de microondas. Observarmos na carta que ela mede 1. Procedimento: Na Fig. e não uma onda estacionária. 12λ. Uma LT e um stub. Quando são iguais. nesse caso. No entanto.ELETROMAGNETISMO atrás que o fator de onda estacion´ aria nos d´ a uma medida da adapta¸cão. 5 = 15 25 +j p. Impedˆ ancia de entrada de uma LT Introdu¸cão: Um trecho de 27. Então. Em Objetivo: determinar a impedância de entrada da LT. em equipamentos de testes de circuitos. em ligar esse stub em paralelo com a carga. verificamos que uma linha sem perdas terminada em curto circuito tem sempre uma impedˆ ancia de entrada imaginária pura. permite saber as distâncias d e st que definimos no ponto anterior. igual ` a unidade. Esta carta é um espa¸co de impedˆ ancias ou de admitâncias (normalizadas). a carta de Smith é um gráfico especial para plotar o parâmetro-S. até a nova impedância. 7) × 50 = 80 + j85 Ω Observa-se o efeito dramático de alguns cent´ımetros de cabo. 7 p. chamado S11 . depende da rela¸c˜ ao entre a impedância caracter´ıstica da linha e a impedˆ ancia de carga. significando da carga para o gerador. 74 mostra-se a impedância de carga normalizada. 74 ˆncias na carta de Smith. ligando uma carga de impeda **Carta de Smith A carta de Smith surgiu em 1939 (quando n˜ ao existiam computadores e calculadoras). 73 configura-se a situa¸c˜ ao. Os programas para projeto automatizado de sistemas de RF usam a carta de Smith para mostrar os resultados de suas simula¸c˜ oes. é a adapta¸cão de LT com um Stub. o mais simples. 6 + j1. A condi¸cão de ter apenas uma onda progressiva. 4cm de cabo coaxial de 50 ohms de impedância caracter´ıstica tem a freq¨ uência de 146 MHz. 67c = 20 cm/nano segundos e um comprimento de onda λ = 20 × 1000/146 cm = 1. Seu módulo corresponde ao raio da carta. sendo. 6 + j1. tal como os parˆ ametros S. tais como os “Network Analyser”. A. . 1989. (f) a potência recebida no final da linha. LTC Editora. Considerando que a potência transmitida pela antena transmissora seja de 2W.R. Os coeficientes de reflexão nos terminais do transmissor são iguais a 0. JILES. ˆncias Bibliogra ´ficas Refere [1] [2] [3] [4] [5] [6] P V-C.D.D. calcular: (a) a impedância caracter´ıstica da linha. Volume II.. A potência radiada é de 2W.T. Livros T´ ecnicos e Cient´ıficos Editora S. e. Teoria Eletromagn´ etica B´ asica.C. 1968. encontre: (a) a diretividade em dB. Computer-Aided Analysis and Design of Electromagnetic Devices.5mm e raio externo de 2..4GHz..T. Basic Electromagnetics with applications. KRAUS. HOOLE.0GHz. 1972.J. Qual deve ser a resistência caracter´ıstica de uma se¸cão de um quarto de comprimento de onda para conect´ a-las a um casamento perfeito? [10] P V-C.15a semana freq¨ uência de 1.P.A. têm resistências caracter´ısticas iguais a 200Ω e 400Ω.P. McGraw-Hill. Qual é o comprimento de onda e o coeficiente de reflexão desta linha? P V-C. Wiley Series in Microwave and Optical Engineering. se houver uma entrada de 1Vrms? [7] P V-C. Tratamento de Dados Experimentais.. 1960.1958.S. P. Os máximos valores da diretividade das antenas transmissora e receptora valem 16dB e 20dB respectivamente. 3a Edi¸c˜ ao. Eletromagnetismo. R. (d) o coeficiente de defasagem.13: Duas antenas de abertura sem perdas e com polariza¸cão casada operam na faixa de freq¨ uência entre 8.F´ısica. McGraw-Hill do Brasil. mostre que: H = jω∇ 2 1 (a) ∇ VE + k 2 VE = j ω J 2 (b) E = k VE + ∇(∇ · VE ) P V-C. Hugh Hildreth. G = 1. ´ F´ısica Geral e Experimental.. possui: R = 50Ω/km. RAO.. A. F. perfeitamente terminadas. 2 × 10−6 H/m.. e C = 1. Introduction to Magnetism and Magnetic Materials. Qual a tens˜ ao no ponto de 10km. 1989. SERWAY. Mercado Aberto.R. sem perdas.D. 1999. RAMOS. CLEIDE M. Wiley..N. SILVESTER.R. H. Editora da USP. 1992. (b) a ´ area efetiva m´ axima para uma [8] [9] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] BASTOS. e. 0µS/km..D. PARIS.F.N. New Jersey. corretamente terminada tem um coeficiente de atenua¸cão de 2dB/km e um coeficiente de deslocamento de fase de 0. F´ısica para Cientistas e Engenheiros..K. 1984.ELETROMAGNETISMO 106 C. F´ısica Experimental. SILVA. Calcular: (a) a potência média fornecida à carga. (c) o comprimento da antena. (b) o coeficiente de propaga¸cão.Ltda. CHRISTY. 1. a defasagem em rad/km. 5 × 10−6 S/m. Livros T´ ecnicos e Cient´ıficos. P V-C. tem constantes iguais a R = 10 × 10−3 Ω/m. WELCH..4: Uma L.C.. (b) o m´ odulo da tens˜ ao m´ınima na linha. GOLDEMBERG. Campos Eletromagn´ eticos Modernos.. Elsevier... Rio de Janeiro Guanabara Dois. 1987. A.. G = 1. HAYT. Guanabara Dois. usando o cosseno como referência.. 1979.. 1992. Se a potência de entrada da L. tendo comprimento de 60 cm. 1971. 1965. (e) os m´ odulos da tens˜ ao e da corrente nos lados da fonte e de recep¸c˜ ao da linha. L = 600µH/km. Introduction to Electromagnetic Compatibility. 1st Edition. P V-C.2 e 12. encontre a potência de chegada na antena receptora.T. Wilton Pereira. para a freq¨ uência f = 10 000Hz? P V-C. casada de 50Ω é alimentada por um transmissor que é equivalente a uma fonte de amplitude 300V com resistência interna de 50Ω. de comprimento 10 km. Teoria de Campos Electromagneticos. 1953. Livros T´ ecnicos e Cient´ıficos Editora S. P.2: Um cabo coaxial com raio interno igual a 0.. e C = 40nF/km.1: Uma L. Editora da UFSC.W.11: Se a intensidade de irradia¸c˜ ao normalizada de uma antena for dada por U = sen 2 θsen 2 φ. W. 1998. KRAUS.A. RESNICK.A Unified Theoretical Approach.P.A. Luis Antˆ onio Macedo.. P V-C.D. P V-C.J. 1991. e atua com uma freq¨ uência de 400MHz e uma impedˆ ancia de carga igual a 100Ω.8mm. F´ısica. R..& HURD.7: Duas L.T. McGraw-Hill. D. WHINNERY. 1960. Wave Propagation and Antennas.. (c) o coeficiente de atenua¸c˜ ao.A.12: O módulo do campo elétrico distante de uma antena é dado por E = Er0 cos2 θ. Applied Electromagnetism. Calcular: (a) a corrente na antena.T.2 e 0. SKILLING. Neal. 5 × 10−9 F/m. Eletromagnetismo para Engenharia: Est´ atica e Quase-est´ atica.2rad/km. JOSE. Paul Clayton..Antennas. Press.K. John Wiley & Sons.. Eletromagnetismo. J. S. Kraus.. PrenticeHall.D. e operando em um comprimento de onda de 2m.0km da antena na dire¸cão de máxima radia¸c˜ ao. TIPLER. RAMO. QUEVEDO. Fleisch. Electromagnetics with Applications. (c) o módulo da corrente m´ axima na linha. Introduction to Electrical Engineering Theory .J.P. tem µr = 1 e r = 3. onde VE é o potencial elétrico.T. e. 1983. J.. 1960. Editora Campus. MILFORD. 1948. AddisonWesley.8: Encontre a impedˆ ancia de entrada de uma linha cuja impedância caracter´ıstica vale 500Ω.6: Uma linha de transmiss˜ ao casada.J. New York. (b) o campo elétrico para um ponto situado a 2. ao longo da linha. J. HAMMOND. TALLEDO. 1984.D. McGraw-Hill Book Company. P V-C..9: Se o campo magnético for dado pela expressão ~ × VE .10: Uma antena opera com uma freq¨ uência de 900 MHz. O comprimento da linha é 5m e a freq¨ uência é de 30MHz. Porto Alegre. admitindo que o rendimento é de 100%. e a velocidade da onda. P V-C. uma impedˆ ancia de carga ZL = 60Ω e uma tensão na carga de 206 40o V. A separa¸cão das antenas é de 80λ..4 respectivamente. J.3: Uma linha de 50Ω sem perdas tem comprimento de 1.C. 2a Edi¸c˜ ao. for 1W na freq¨ uência de 1kHz. Volume III. REITZ.. Introduction to Magnetic Materials.R. DUZER. Admita que a antena esteja orientada sobre o eixo z e determine: (a) a diretividade. (b) a largura de feixe a -3dB. P V-C. HALLIDAY. L = 1.6 Exerc´ıcios . Eletromagnetismo. Obter as ondas de tensão e corrente. John Wiley & Sons Inc. CULLITY. George B. Fields and Waves in Communications Electronics. Fundamentals of Eletric Waves. CARVER.D. H.. Para isso use a impedˆ ancia de termina¸cão ZL = 25 + j50Ω.T. Van Nostrand Company. 2000. a atenua¸cão em dB/km. D. e. Editora Universit´ aria.5: Uma L. New York. 1972.R. Qual é a impedˆ ancia caracter´ıstica.V. Chapman & Hall.R. 5λ. Jo˜ ao Pessoa. 1950.. Ciencias S. Fundamentos da Teoria Eletromagn´ etica. P. 300 340 . 400 > 200 200 . . . gra ´ficos e tabelas VI.diel. . . 380 30 . 500 Cte.5 — — 4 5 5 7 4. . . .8 1. . ~ · J~ = − ∂ρ ∇ ∂t ~ ·D ~ =ρ ∇ ~ × D) ~ (0 = ∇ A A A ~ ·H ~ = ρM ∇ ~ D - ~ H ~ = 0 r E ~ D R ~ · dD ~ WV = E ~ ×H ~ = J~ ∇ ~ ~ ×H ~ = ∂D ∇ ∂t WV = ~ + J~ × B ~ f~ = ρ E ~ E ~ J~ = σ E ~ ×E ~ = ∇ ~ · dB ~ H ~ = µ0 µr H ~ B ~ = −∇V ~ E ~ B R ~ ·B ~ =0 ∇ ~ =∇ ~ × A) ~ (B ~ − ∂∂tB Fig. 250 200 . 75 Mapa do Eletromagnetismo.2 1. Resumo de fo ρ. . (kV/cm) 21 60 . . r 40o C 90o C 1 2 2. 200 500.5 20 100 20 80 20 80 — — 0. Propriedades t´ıpicas dos materiais isolantes ou diele Material Ar ´ Oleo Mica Micanite Mica-papel Mica-seda Asbesto Fibra de vidro Porcelana Madeira de lei Papel em ´ oleo Papel˜ ao de trafo Fenolite Silicone Rigid. . TABELA XI ´tricos. . .5 5 >5 tan δ/103 40o C 90o C — — 2 5 0. V e J~ ~ A ~ e ρM J.ELETROMAGNETISMO 107 ´ rmulas. . 260 50 200 . 400 250 . . 1000 350 200 .5 3 6 3 6 — — 3 6 5 6.3 5 8 3. .0 20 80 — — < 15 < 50 < 15 100 60 Classe de isolamento – A C B B B C C C A A A A H . . .diel. 50 200 . . . 005 0.60 3.260 2.005 0.77 2968.000 20.620 4.5 13.80 37.017 0.91 0.142 0.3 2.80 74.056 0.226 0.00 299.540 5.57 0.60 0.044 0.350 6.630 1.203 0.00 46.432 548.286 0.190 4.0 8.000 129.1 0.127 0.912 0. AWG 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Diˆ ametro (mm) 8.6 41.830 1.786 0.4 3.089 0.450 1.72 0.359 0.08 1.180 0.7 52.30 18.7 33.004 0. para esmaltar e fazer enrolamentos.86 0.42 2.21 0.5 4.580 1.160 3.830 5.0 2.18 0.990 5.006 0.65 0.064 0.87 0.33 7560.071 0.084 0.016 0.000 412.340 7.250 1.644 0.15 1.2 4.30 1.00 377.022 0.179 0.050 0.079 0.142 0.008 0.000 259.40 Tco C 770 690 740 580 500 460 400 980 980 970 980 ρ(µΩcm) 10 60 47 16 45 55 62 60 7 27 28 27 .200 25.ELETROMAGNETISMO 108 TABELA XII Fios de cobre nu.00 9115.025 0.003 0.68 1781.321 0.053 0.100 64.573 0.25 0.55 4747.700 16.361 0.8 16.0 27.1 0.0 1.990 10.008 0.7 6.40 5973.1 35.05 0.013 0.05 0.452 0.5 5.063 0.20 0.255 0.494 0.004 55.54 0.000 441.200 102.10 29.13 0.020 0.50 14.00 149.991 1.16 0.624 0.310 2.6 2.70 11.1 10.17 0.812 0.34 0.455 0.693 890.100 12.2 Bs 2.035 0.112 0.40 23.15 0.150 1.00 93.00 237.0 1.590 2.800 700.97 2.000 163.032 0.79 2.5 13.82 1.160 0.010 0.5 2.68 0.070 0.3 20.45 2.3 1.012 0.120 3.45 2.0 0.050 1.400 81.23 7.44 1.65 2.0 17.225 0.723 0.056 0.09 3800.021 0.284 0.009 0.27 0.017 Voltas/ cm2 14 17 22 27 34 40 51 63 79 98 123 153 192 237 293 364 454 575 710 871 1090 Corrente Pr´ atica (A) Corrente Segura (A) 86.051 Resistˆ encia (Ω/km) 0.510 3.002 2.3 1.5 0.020 0.500 51.102 0.5Cr 49Co 2V µr (inic) 150 500 1500 8000 4000 20000 20000 105 800 800 650 µr (max) 5000 7000 40 000 105 70000 105 105 106 5000 4000 10000 60000 Hc (Oe) 1.100 40.60 9.32 0.1 3.6 1.89 2.40 59.4 83.41 0.042 0. Caracter´ısticas de alguns materiais magne Nome A¸co A¸co sil´ıcio A¸co sil´ıcio GO 78 Permalloy Hypernik 4-79 Permalloy Mumetal Supermalloy Permendur 2V-Permendur Hiperco Supermendur %Ni 78 50 79 77 79 – – – – %Fe 100 96 97 22 50 17 16 16 50 49 64 49 Outros 4 Si 3 Si – – 4 Mo 5Cu 2Cr 5 Mo 50 Co 49Co 2V 35Co0.250 7.51 0.43 0.039 0.2 6.80 4.584 1136.05 0.81 0.17 1427.067 0.67 2239.7 22.11 0.405 0.0 0.002 TABELA XIII ´ticos.7 44.8 11.392 0.10 0.4 8.05 0.000 327.114 0.030 6.000 205.9 5.910 2.290 1.990 2.00 188.033 0.026 0.32 5.089 0.00 1.1 26.00 118.02 Peso (kg/km) 475.7 2.078 0.028 0.0 0.7 1.500 32.64 0.511 0.670 3.2 1.006 0. Fundamental Desloc. ~ r m t qeQ ~ dS ~ F ~ M W P V ~ E ” C ” ψ ρV ρS ~ D ” 0 r i J~ R ” σ ~ H φ ~ B ” µ µ0 µr L ” Quantidade Unidade Eq. 85 × 10−12 F/m ordem de 2 a 5 i = ∆q ∆t J = i/S R = Vi R = σ1 S` (resistividade)−1 H = i/(2πr) ∆φ = V ∆t B = φ/S ~ = µH ~ B µ = µ0 µr 4π × 10−7 H/m ordem de 1000 L = N φ/i L = µN 2 S` m m .ELETROMAGNETISMO 109 TABELA XIV ´rio para Eletromagnetismo. Massa Tempo Carga el´ etrica Superf´ıcie For¸ca Momento (vetor) Trabalho ou energia Potˆ encia Potencial el´ etrico m kg s C m2 N Nm J W V padr˜ ao padr˜ ao padr˜ ao padr˜ ao Campo el´ etrico ” Capacitˆ ancia el´ etrica ” Fluxo el´ etrico Densidade volum´ etrica de carga Densidade superficial de carga Deslocamento el´ etrico ” Permissividade diel´ etrica Permissividade absoluta (v´ acuo) Permissividade relativa Intensidade de corrente Densidade de corrente Resistˆ encia el´ etrica ” Condutividade Campo magn´ etico Fluxo magn´ etico Densidade de fluxo Indu¸c˜ ao magn´ etica Permeabilidade magn´ etica Permeabilidade absoluta. no v´ acuo Permeabilidade relativa Indutˆ ancia ” N/C V/m F ” C C/m3 C/m2 C/m2 ” F/m F/m A=C/s A/m2 Ω ” (Ω m)−1 A/m Wb Wb/m2 T H/m H/m H ~ = m ~a F ~ =F ~ ×~ M r ~ · d~ W =F P = W t V = W q ~ =F ~ /q E E = V /d C = Q/V C = S d ψ=Q ρV = Q/vol ρS = Q/S D= ψ S ~ = E ~ D = 0 r 0 = 8. Suma S´ımbolo d~ `. . 76 Curva BH de alguns materiais (Fonte: MIT).ELETROMAGNETISMO 110 Fig.

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