CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE1.1 INTRODUÇÃO Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto especificado de condições, conduz invariavelmente ao mesmo resultado. São os experimentos chamados de determinísticos. Entretanto, existem experimentos em que não se obtêm sempre o mesmo resultado, ainda que realizado sob condições idênticas. Tais experimentos, por apresentarem variabilidade nos resultados, são objeto da Teoria de Probabilidade, a qual será introduzida aqui. 1.2 CONCEITOS BÁSICOS 1.2.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível no sentido comum antes de sua realização, ou seja, é um experimento cujos resultados estão sujeitos unicamente ao acaso. Os seguintes traços são pertinentes a esta caracterização de experimento aleatório : - Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. - Embora o resultado preciso que ocorrerá não possa ser dado, um conjunto que descreva todos os resultados possíveis para o experimento poderá ser apresentado. - Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma acidental. Contudo, quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático preciso através do qual se analisará o experimento. EXEMPLOS ( 1 ) Jogue um dado comum e observe o número mostrado na face voltada para cima. 2 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ ( 2 ) Jogue uma moeda quatro vezes e observe o número de caras obtido. ( 3 ) Uma lâmpada é fabricada e em seguida ensaiada. Observe a sua duração de vida. ( 4 ) Observe o tempo de espera de uma pessoa numa fila de ônibus. ( 5 ) Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de peças é observado. 1.2.2 ESPAÇO AMOSTRAL ( S ) É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. O espaço amostral depende essencialmente do que se queira observar no experimento aleatório. Por exemplo, podemos jogar duas moedas e observar o número de caras que ocorre ou podemos observar a distância entre elas na superfície em que caíram. EXEMPLOS Considere os experimentos aleatórios descritos no item 1.2.1. Definiremos os espaços amostrais para cada exemplo dado. ( 1 ) S1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ( 2 ) S2 = {0, 1, 2, 3, 4 } ( 3 ) S3 = { t ∈ R / t ≥ 0 } ( 4 ) S4 = { t ∈ R / t ≥ 0 } ( 5 ) S5 = { 10, 11, 12, ... } OBSERVAÇÃO : Um espaço amostral pode ser : Finito: Se tem um número finito de elementos. Exemplos (1) e (2) acima. Infinito Enumerável: Se tem tantos elementos quanto o conjunto dos números Naturais. Exemplo (5) acima. Infinito Não-enumerável: Se tem tantos elementos quanto um determinado segmento do eixo Ox, tal como 0 ≤ x ≤ 1. Exemplos (3) e (4) acima. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. de Informática CEFET-PR de Informática CEFET-PR . se o dado é lançado e ocorre a face número 5. Dizemos que o evento E ocorre se qualquer um dos resultados de E ocorre. EXEMPLO 1: Considere a jogada de um dado e observe o número da face voltada para cima . EXEMPLO 2 Em uma linha de produção. O evento “ todas as peças são perfeitas ” é o conjunto : A = { 0 }. 5. 2. Assim. Um evento que contenha apenas um elemento. então podemos dizer que o evento B ocorreu e que o evento A não ocorreu. O espaço amostral é : S = {0.. isto é. 6 } Ainda neste exemplo. se num determinado período de 24 horas observamos que não ocorreu peças defeituosas. 6 } O evento “ número par” é o conjunto : A = { 2. dizemos que um evento E é impossível se E = Ø e que o próprio espaço amostral S é o evento certeza. 1. 4. podemos dizer que o evento A ocorreu. . .3 EVENTO É qualquer subconjunto de um espaço amostral.2. 2.ESTATÍSTICA 3 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ 1. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. 4. peças são fabricadas em série e o número de peças defeituosas produzidas por um período de 24 horas é observado.. O espaço amostral é : S = { 1. 6 } O evento “ número maior que 4 ” é o conjunto : B = { 5. Em particular. um conjunto que consiste de um único resultado do experimento é dito evento simples ou elementar. 3. N } onde N é o número máximo que pode ser produzido em 24 horas. de Informática CEFET-PR . b) S B A c) Evento Complementar : A .1 Operações Com Eventos Como o espaço amostral S e qualquer evento de S são conjuntos. Assim. então : a) Evento União : A U B O evento A U B ocorre quando ocorre o evento A ou ocorre o evento B ou ocorrem ambos os eventos A e B.2. se A e B são dois eventos de S.4 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ 1. S B A Evento Interseção : A ∩ B O evento A ∩ B ocorre quando ambos os eventos A e B ocorrem. A’ ou AC O evento A’ ocorre quando o evento A não ocorre. S A A' _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. todas as operações entre conjuntos podem ser aqui aplicadas.3. B O evento A .B ≠ B . Usando as operações de união.2. de Informática CEFET-PR .A. OBS. B e C eventos quaisquer de S.ESTATÍSTICA 5 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ d) Evento Diferença : A .B ocorre quando ocorre o evento A mas não ocorre o evento B.: Note que A .2 Algumas Propriedades Operatórias • Comutativas: AUB=BUA A ∩ B = B∩ A • Associativas: A U (B U C) = (A U B) U C = (A U C) U B = A U B U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ B = A ∩ B ∩ C _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto.3. podemos descrever alguns eventos tais como : ( i ) Ocorrência de A e não ocorrência de B e C : A ∩ B’ ∩ C’ ( ii ) Ocorrência de pelo menos um destes eventos : AUBUC ( iii ) Ocorrência de exatamente um destes eventos : ( A ∩ B’ ∩ C’ ) U ( A’ ∩ B ∩ C’ ) U ( A’ ∩ B’ ∩ C ) ( iv ) Ocorrência de nenhum destes eventos : A’ ∩ B’ ∩ C’ ( v ) Ocorrência de exatamente dois destes eventos : ( A ∩ B ∩ C’ ) U ( A ∩ B’ ∩ C ) U ( A’ ∩ B ∩ C ) 1. S B A EXEMPLO : Sejam A. interseção e complementar. 3 Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos (excludentes ou disjuntos) quando não podem ocorrer simultaneamente. de Informática CEFET-PR . T }. S A B A∩B=φ EXEMPLO 1 Uma moeda honesta é lançada e observa-se o resultado que ocorre. Considere os eventos: A : “ocorre cara” e B : “ocorre coroa” Como em cada lançamento só ocorre cara ou só coroa .2. Isto é. O espaço amostral associado a este experimento é : S = { H. Denotemos por H : cara e T : coroa . e portanto A e B são eventos mutuamente exclusivos. se a interseção deles for o conjunto vazio . _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto.3. A ∩ B = φ .6 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ • Distributivas: A U ( B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) • Leis de De Morgan (A U B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ U B’ • A U A’= S A ∩ A’= φ (A’)’ = A Se A ⊂ B então A ∩ B = A e A U B = B 1. ESTATÍSTICA 7 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ EXEMPLO 2 Uma urna contém 4 bolas brancas. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. Considere os eventos: A: a lâmpada dura mais do que 300 horas B: a lâmpada dura no máximo 200 horas C: a lâmpada dura pelo menos 100 horas Os eventos A e B são mutuamente exclusivos . Como os relés podem fechar juntos. Como A e B são dois eventos que podem ocorrer juntos ( é possível a primeira bola ser branca e a segunda preta ). 1 L 2 R 3 4 EXEMPLO 4: Uma lâmpada é fabricada e sua duração de vida é observada. 6 bolas pretas e 5 bolas azuis. 2. Considere os seguintes eventos : A : “ a primeira bola retirada é branca ” B : “ a segunda bola retirada é preta ”. os eventos A e C não são mutuamente exclusivos e os eventos B e C também não são mutuamente exclusivos. de Informática CEFET-PR . Portanto. Supondo que estes relês fechem aleatoriamente. considere os seguintes eventos : A : “ fecham os relés 1 e 2 ” B : “ fecham os relés 3 e 4 ”. O experimento consiste em retirar duas bolas com reposição da primeira e observar a cor delas. dependendo do fechamento dos relês 1. A ∩ B ≠ φ. então A e B não são eventos mutuamente exclusivos. A e B não são eventos mutuamente exclusivos. A ∩ B ≠ φ. EXEMPLO 3 No circuito abaixo pode ou não passar corrente de L para R. 3 e 4. isto é. 1 ENFOQUE ESTATÍSTICO Se repetirmos um experimento aleatório n vezes. À medida que forem realizados os lançamentos da moeda. m é a freqüência com que ocorre o evento E e m/n é a freqüência relativa de ocorrência de E. Ou seja : m n P (E) = lim n→∞ EXEMPLO Considere o experimento aleatório de jogar uma moeda honesta e observar o resultado que ocorre. Seja o evento E = { H }. à medida em que o número de lançamentos cresce. T }. ao valor limite da freqüência relativa m/n para uma seqüência muito grande de realizações do experimento (n→∞). O gráfico abaixo ilustra esta situação apresentando a tendência da freqüência relativa em se aproximar do valor 1/2.8 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ 1. de Informática CEFET-PR . O espaço amostral é : S = { H. em certo número m de vezes ocorrerá o evento E .3. Chamamos de probabilidade do evento E . proporção de caras 10 25 50 100 150 200 número de lançamentos _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. notamos que a proporção (freqüência relativa) de caras se aproxima de 1/2. P( E ).3 PROBABILIDADE 1. ESTATÍSTICA 9 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ 1. se é certeza que ele não ocorre (φ) então sua probabilidade é 0. . respectivamente. Então..7. EXEMPLO 1 Qual a probabilidade de sair “cara” na jogada de uma moeda ? O espaço amostral é S = { H. Considere um evento A de S. nA = 1. (1. . T }.... (2. o número de elementos de S e o número de elementos de A. teremos um espaço amostral que não é equiprovável. inclusive.2 ENFOQUE CLÁSSICO Seja ε um experimento aleatório e S um espaço amostral associado a ε.2) . . (2.6).12} para descrever os resultados possíveis em termos de soma. é o número real definido por: nA nS P(A) = OBS.2). Se um evento ocorre com certeza (S) então sua probabilidade é 1. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. O espaço amostral equiprovável a ser considerado é: S = {(1. sk} é equiprovável quando qualquer elemento si de S tem a mesma chance de ocorrência quando o experimento é realizado. A soma 2. (6. (2. isto é A ⊂ S.11.. .4. . Daí : P(A) = nA 1 = nS 2 EXEMPLO 2 Qual a probabilidade de sair soma 5 na jogada de dois dados honestos? Note que se for considerado o espaço amostral S = {2.6.3. . Suponha que S seja finito e que todos os resultados de S sejam igualmente prováveis . P(A) .1) . Defina o evento A = { H }.. (6. a probabilidade de ocorrência do evento A.8. A razão nA/ns deve ser menor ou igual a 1 uma vez que o número total de resultados possíveis não pode ser menor do que o número de resultados de um evento. nS = 2. .. (6.. 2) Note que pela definição clássica a probabilidade de ocorrência de um evento A é um número entre 0 e 1. de Informática CEFET-PR . . não tem a mesma chance de ocorrer do que a soma 7..1).10.1) . por exemplo. .5. s2..6) . (1.2) .3. se nS e nA são..: 1) Dizemos que o espaço amostral S = {s1.6)} nS = 36.9. que obedeça aos seguintes axiomas : A1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 . P(φ) = 0 _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. A2) P(S) =1. A3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos. Teorema 1 : De fato: Para um evento qualquer A.3. de Informática CEFET-PR . i i=1 ∞ Podemos enunciar.4) . P(A ) = P(A U φ) = P(A) + P(φ). para todo A.1) }. A4) Se A1 .3) .. então P(A U B) = P(A) + P(B).. (2. podemos expressar os resultados de seguinte maneira : 1o DADO 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 2 DADO o 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 1. (4. Portanto P(φ) = 0.. a partir daí.. (3. . alguns teoremas importantes.10 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ Defina o evento A = { Soma 5 } = { (1.2) . temos que A = A U φ e A ∩ φ = φ. . . A cada evento A e S associamos um número real P(A) denominado probabilidade de A. é uma seqüência de eventos mutuamente exclusivos. Pelo axioma A3.3 ENFOQUE AXIOMÁTICO Seja ε um experimento aleatório e S um espaço associado a ε. então P ( UA ) i i=1 ∞ = ∑ P(A ) . Daí : P(A) = nA 4 = nS 36 Ainda sobre o lançamento destes dois dados. An . A2 . vem: P(A U B) = P(A) + P(B) . Levando P(A’ ∩ B) na equação acima . B A De fato: Podemos decompor B em dois eventos mutuamente exclusivos da seguinte forma: B = A U ( B ∩ A’).P(A ∩ B). de Informática CEFET-PR . A e B ∩ A’ são mutuamente exclusivos. pelo axioma A3 . A∩B Teorema 4 : Sejam A e B dois eventos quaisquer. Note que uma demonstração informal pode ser vista através de um diagrama de Venn como este abaixo : S B A Se A e B forem dois eventos quaisquer. se A e B forem mutuamente exclusivos. Se A ⊂ B. então : P(A U B) = P(A) + P(B) .P(A’) A U A’ = S e A ∩ A’ = φ.P(A’). então : P( A ∩ B ) = P(φ) = 0 e daí vale P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) . Teorema 3 : De fato: Temos que A U B = A U (A’ ∩ B) e que B = (A ∩ B) U (A’ ∩ B). então P(A) ≤ P(B).ESTATÍSTICA 11 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ Teorema 2 : De fato: P( A ) = 1 .P(A ∩ B). Pelo axioma A3: P(S) = P(A U A’) = P(A) + P(A’) = 1. OBSERVAÇÕES : 1) Note que no teorema 3. Portanto P(A) = 1 . P( A U B ) = P( A ) + P(A’ ∩ B ).P(A ∩ B). ( Já que P( B ∩ A’ ) ≥ 0 ). Como A ∩ ( B ∩ A’ ) = φ . Logo. Mas P(B) = P(A ∩ B) + P(A’ ∩ B). Pelo axioma A3: P(B) = P [ A U ( B ∩ A’ ) ] = P(A) + P( B ∩ A’ ) ≥ P(A). _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. Daí P(A’ ∩ B) = P(B) . 12 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ 2) Ainda sobre o teorema 3. Portanto pelo axioma A3 : P( 2 ou 5 ) = P( 2 U 5 ) = P( 2 ) + P( 5 ) = 1/6 + 1/6 = 1/3 EXEMPLO 2 Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. então : P(A U B) = P(A) + P(B) 0. 5. Daí.7. 6 } P(1) = P(2) = . nA∩B = 1. de Informática CEFET-PR . p = 0.. pelo teorema 3.. Daí.7 = 0. nA = 4 B : “carta de ouros”.4 e P(A U B) = 0.4 + p . Seja P(B) = p. nB = 13 O evento interseção de A com B é A ∩ B : “rei de ouros”. B e C : P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C). EXEMPLO 3 Retira-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas. qual a probabilidade de aparecer a face 2 ou a face 5? S = { 1. 3. P(A U B) = P(A) + P(B) . 2. = P(6) = 1/6. P(A ∩ B’) = P(A) . A e B serão mutuamente exclusivos ? Se A e B forem mutuamente exclusivos. Qual a probabilidade desta carta ser um rei ou uma carta de ouros ? O espaço amostral S é o conjunto de todas as cartas : nS = 52. 4. Os eventos “face 2” e “face 5” são mutuamente exclusivos.P(A ∩ B) = = 4/52 +13/52 -1/52 = 16/52 . Sejam os eventos: A : “rei”. temos o seguinte corolário : Para quaisquer eventos A. Para que valor de p.3.P(A ∩ B) 3) EXEMPLO 1 No lançamento de um dado. A e C : 3. 1.8 % .0.324 ou 32.3.P(A∩C) . A probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é igual ao produto da probabilidade de um dos eventos pela probabilidade condicionada do outro. B e C com as seguintes porcentagens de leitura : A : 9. então P(B U C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 =3/7 EXEMPLO 5 Suponha-se que há três revistas A. B : 22.06 + 0.4 %. de Informática CEFET-PR . A e B :5. A probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja leitor de pelo menos uma revista é : P(A U B U C)= P(A)+P(B)+P(C) .4 %. qual seria a probabilidade de B ou C ganhar ? B ∩ C = φ .1 % .4. B e C : 6. P(A). Por exemplo. 1. define-se a probabilidade condicionada do evento A dado que B ocorreu (ou a probabilidade de A sabendo-se que B ocorreu ) por P(A | B). B. P(A) = 4/7 . P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7 Ainda neste exemplo. P( B | A ) ou P( A ∩ B ) = P( B ) .229 + 0. Assim.0.1 % .0 % .P(B∩C)+P(A∩B∩C)= = 0.1 Teorema do Produto Sejam dois eventos A e B.098 + 0.051 . Como a soma as probabilidades tem que ser igual a 1.024 = 0. P(B) e P(C) ? Seja P(C) = p. P( A | B ) _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. A. temos : p + 2p + 4p = 1 ou p = 1/7 Daí.P(A∩B) .ESTATÍSTICA 13 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ EXEMPLO 4 Três cavalos A. o fato de ficarmos sabendo que certo evento ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribuímos a outro evento. C estão numa corrida. com P(A) > 0.037 .121 . B e C : 2.9 % . Supondo que não haja empate. isto é : P( A ∩ B ) = P( A ) . Então P(B) = 2 P(C) = 2p e P(A) = 2 P(B) = 4p. C : 12.3. sendo A e B eventos.0.7 % . a probabilidade de tirar o número 2 no lançamento de um dado é reforçada quando se sabe que um número par saiu. quais as probabilidades de vitória de cada um. A é duas vezes mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do que C.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL Muitas vezes. isto é. de Informática CEFET-PR . An . Então: P(H ∩ C) = P(H) .∩An-1) 1.3. Reciprocamente.. 3) Se A e B são eventos independentes então : A e B também são independentes e A’e B também são independentes. EXEMPLO 1 Lançando-se uma moeda e um dado.. temos : P(B A) = P(A ∩ B) P(A) ou P(A B) = P(A ∩ B) P(B) OBSERVAÇÃO : No caso de n eventos A1 .∩An)=P( A1 ) . dizemos que A e B são eventos independentes. P( B ) . P(A2 | A1) ... i=1 i=1 n n _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. A e B são ditos independentes . . P(A3 | A1∩A2) . .. A2 .5 EVENTOS INDEPENDENTES Se a ocorrência do evento A não modificar a probabilidade de ocorrência do evento B.14 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ Daí. . se A e B são eventos independentes. An são independentes se : P( 2) P(A / B) + P(A’/ B) = 1. P(An | A1∩A2∩.(1/6) = 1/12 I A i ) = ∏ P(A i ) . A2 . OBSERVAÇÕES : 1) Em geral.. P( B ). qual a probabilidade de sair “cara” na moeda e “5” no dado ? Sejam os eventos: H : “cara na moeda” e C : “5 no dado” H e C são dois eventos independentes. temos : P(A1∩A2∩. se P(A ∩ B) = P( A ) . n eventos A1 .. P(C) = (1/2).. P(A | B) = P(A) e no teorema do produto temos : P( A ∩ B ) = P( A ) . . Assim... HTT . THH . P(A2) = (4/52) . EXEMPLO 4 Qual a probabilidade de aparecer 4 ao menos um vez em duas jogadas de um dado comum ? Sejam os eventos : A1 : “4 na primeira jogada” A2 : “4 na segunda jogada”. TTH . então ocorre algum dos resultados : HHH . (4/52) = 1/169 . EXEMPLO 3 Extraem-se aleatoriamente duas cartas de um baralho comum de 52 cartas. O espaço amostral S (equiprovável) é : S = { HHH . P( A2 | A1) = 3/51. THT . Determine a probabilidade de serem ambas ases. Logo . P( A2 | A1 ) = (4/52) . isto é . ( a ) Como na primeira extração há 4 ases em 52 cartas. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. ( b ) Se ocorre um às na primeira extração e a carta não é recolocada. de Informática CEFET-PR . se ocorre cara na primeira. HTH . HTH . Como ocorrem 3 caras em apenas um dos resultados. então A1 e A2 são independentes e: P( A2 | A1 ) = P(A2) = 4/52 . Encontre a probabilidade p de ocorrer cara em todas elas. HTT . Se ocorre cara na primeira. (3/51) = 1/221 . considerando que a primeira carta : ( a ) é recolocada antes da extração da segunda carta ( b ) não é recolocada antes da extração da segunda carta. TTT }. P( A1 ∩ A2 ) = P(A1) . P( A1 ∩ A2 ) = P(A1) . Se a carta é recolocada antes da 2o extração. Logo . Sejam os eventos : A1 : “às na primeira extração” A2 : “às na segunda extração”. HHT . HHT . P(A1) = 4/52 .ESTATÍSTICA 15 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ EXEMPLO 2 Lançam-se três moedas honestas. p = 1/4. teremos agora apenas 3 ases em 51 cartas. ( a ) Qual a probabilidade de haver corrente de L para R ? ( b ) Se há corrente de L para R.P(A1) P(A2) = p + p . de Informática CEFET-PR . mas são independentes. qual a probabilidade de que o relé 1 esteja fechado? ( c ) Se há corrente de L para R.P(A1) P(A2) = = 1/6 + 1/6 .p 2 ( c ) P(ambos os relês fechados | passa corrente de L para R) = P(A1∩A2 | A1UA2) P [(A 1 ∩ A 2 ) ∩ (A 1UA 2 )] P(A 1 ∩ A 2 ) P(A 1 ) P(A 2 ) p2 = = = = = P(A 1UA 2 ) P(A 1UA 2 ) P(A 1UA 2 ) 2p . ( a ) P( passar corrente de L para R ) = P( A1 U A2 ) = P(A1) + P(A2) . qual a probabilidade de que ambos os relés 1 e 2 estejam fechados ? L 1 2 R Sejam os eventos : A1 : “o relé 1 está fechado” A2 : “o relé 2 está fechado”. Os eventos A1 e A2 não são mutuamente exclusivos.p 2 _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto.p2 .p2 = 2p . ( b ) P( relê 1 fechado | passa corrente de L para R ) = P(A1 | A1UA2) = = P [A 1 ∩ (A 1UA 2 ) ] P(A 1 ) p = .(1/6)(1/6) = 11/36.P(A1 ∩ A2) = = P(A1) + P(A2) .16 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ O evento A1 U A2 é “4 na primeira jogada ou 4 na segunda jogada ou 4 em ambas”. Portanto : P( A1 U A2 ) = P(A1) + P(A2) . = P(A 1UA 2 ) P(A 1UA 2 ) 2p .P( A1 ∩ A2 ) = P(A1) + P(A2) . EXEMPLO 5 Considere o circuito abaixo onde cada relé fecha independentemente um do outro com uma probabilidade p > 0. ( a ) P(D) = P( A U B ) = P(A) + P(B) .P(D) = 1 . e seja S o evento “C3 está à direita de C1”. C1C3C2 } R ∩ S = { C1C2C3 . . = = = = P(D) P(D) P(D) 19 / 100 19 ( c ) P (ser perfeito) = P( D’ ) = 1 . C2 e C3 de um mecanismo são postos em série. Sejam os eventos : A : “o artigo tem defeito A” B : “o artigo tem defeito B” D : “o artigo é defeituoso”. EXEMPLO 7 Três componentes C1 . 2-p EXEMPLO 6 Certo artigo.P(A ∩ B) = P(A) + P(B) . ( b ) P(A D) = P(A ∩ D) P [A ∩ (AUB)] P(A) 1 / 10 10 . C3 C2 P(R ∩ S) = 2/6 = 1/3 . Os defeitos ocorrem independentemente um do outro com probabilidade 1/10.1/100 = 19/100 . C1C3C2 . cada um. Seja R o evento “C2 está a direita de C1” . Se um artigo é extraído ao acaso da linha de produção. C2C1C3 .ESTATÍSTICA 17 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ = p .P(A) P(B) = = 1/10 + 1/10 . . C3C2C1} Os eventos R e S são : R = { C1C2C3 . C2C3C1 . C3C1C2 . A e B. C3C1C2 . C1C3C2 } S = { C1C2C3 . _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. qual a probabilidade de : ( a ) ser defeituoso ( b ) ter o defeito A. C1C3C2 } P(R) = 3/6 = 1/2 P(S) = 3/6 = ½ C1 C1 C2 C3 .19/100 = 81/100 . de Informática CEFET-PR . se é defeituoso ( c ) ser perfeito . C2C1C3 . ao sair da linha de produção pode ter no máximo dois defeitos. Os eventos R e S são independentes ? Por quê ? O espaço amostral é : S = { C1C2C3 . P(S) = (1/2) (1/2) = 1/4 ≠ P(R ∩ S) = 1/3 .18 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ Mas P(R). _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. de Informática CEFET-PR . Logo R e S não são independentes. 15 + 0.20 P(B) = P[(A ∩ B) U ( A’ ∩ B)] = P(A ∩ B) + P(A’ ∩ B) = 0.15 = 0. ( a ) Retiramos 2 bolas com reposição da primeira. sem reposição .20 P( A e B falhe ) = 0. Sejam os eventos : Então : A : “A falha” e B : “B falha”. A 0.ESTATÍSTICA 19 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ EXEMPLO 8 Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto.15 = 0.15 = = 0.P(A ∩ B) = 0. qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor ? ( b ) Se retirarmos 5 bolas sucessivamente.15 B 0.15.20 . EXEMPLO 9 Uma urna contém 12 bolas brancas.05 0. P(B) 0.30 ( b ) P(A ∩ B’) = P(A) .0. de Informática CEFET-PR .50 . P( D ) = P [ (A1 ∩ A2) U (B1 ∩ B2) U (C1 ∩ C2) ] = = ( A 1 ∩ A2 ) + ( B1 ∩ B2 ) + ( C1 ∩ C2 ) = = P(A1) P(A2 ) + P(B1) P(B2) + P(C1) P(C2) = = (12/20) (12/20) + (5/20) (5/20) + (3/20) (3/20) = 89/200 . as seguintes probabilidades se admitem conhecidas : P( A falhe ) = 0.05 .15 S P(A) = 0. De procedimentos de ensaios anteriores. qual a probabilidade de que todas sejam brancas ? Sejam os eventos : Ai : “a i-ésima bola retirada é branca” Bi : “a i-ésima bola retirada é preta” Ci : “a i-ésima bola retirada é vermelha” ( a ) Seja o evento D : “ ambas as bolas são da mesma cor ”. ( a ) P(A B) = P(A ∩ B) 0.30.30 P( A ∩ B) = 0. 5 bolas pretas e 3 bolas vermelhas.15 Qual a probabilidade de que : ( a ) A falhe dado que B tenha falhado ( b ) A falhe sozinho.15 P ( B falhe sozinho ) = 0. P(B) = 0. 3.14 P( B ) = 1 . um segundo resultado pode ser obtido de n2 maneiras diferentes. O espaço amostral é : S : { A .20 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ ( b ) Seja o evento E : “ todas as cinco bolas são brancas ”. Qual a probabilidade de ganho do primeiro a jogar ? E do segundo ? Sejam os eventos : A : “o primeiro a jogar ganha o jogo” B : “o segundo a jogar ganha o jogo”. das quais 1 é defeituosa . etc . desde que ambos errem as anteriores.6 DIAGRAMA DE ÁRVORE Se um resultado pode ser obtido de n1 maneiras diferentes e se. EXEMPLO São dadas três caixas. a caixa II contém 6 lâmpadas. como segue : a caixa I contém 10 lâmpadas. P( E ) = P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ) = = P(A1) P(A2 | A1) P(A3| A1∩A2) P(A4 | A1∩A2∩A3) P(A5 |A1∩A2∩A3∩ A4) = (12/20) (11/19) (10/18) (9/17) (8/16) = 33/646 .nK maneiras diferentes.P( A ) = 1 . P( A ) = 1/2 + 1/8 + 1/32 + . das quais 3 são defeituosas. de Informática CEFET-PR . de n1 n2 . B } O evento poderá ocorrer na primeira jogada ou na terceira ( a segunda é do adversário). das quais 4 são defeituosas . de acerto na terceira jogada é 1/8.. após isso. 1.. . etc.. A probabilidade de acerto na primeira é 1/2. Logo : 1 2 = 2. = 3 1.2/3 = 1/3 . _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto... e finalmente se um k-ésimo resultado pode ser obtido de nK maneiras diferentes.. EXEMPLO 10 Dois jogadores jogam alternadamente uma moeda. ganhando o jogo aquele que obtiver a primeira cara. então todos os k resultados podem ser obtidos. na ordem especificada. a caixa III contém 8 lâmpadas. etc. Neste tipo de experimentos utiliza-se um diagrama de árvore. ou na quinta. a soma das probabilidades destes caminhos nos dá a probabilidade desejada : P = (1/3) (2/5) + (1/3) (1/6) + (1/3) (3/8) = 113/360. Por exemplo : a probabilidade de selecionar a caixa 1 e .7 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. retiramos ao acaso uma lâmpada que pode ser defeituosa (D) ou não defeituosa (N). A probabilidade de ocorrer um determinado caminho da árvore é. O seguinte diagrama em árvore descreve então este processo e dá a probabilidade de cada ramo . também aleatoriamente. Qual é a probabilidade da lâmpada ser defeituosa ? Note que realizamos o experimento numa seqüência de 2 etapas: ( i ) selecionamos uma das três caixas. uma lâmpada defeituosa é : (1/3) (2/5) = 2/15. o produto das probabilidades de cada ramo do caminho. ( ii ) da caixa selecionada.3. pelo Teorema do Produto . Como há três caminhos mutuamente exclusivos que nos levam a uma lâmpada defeituosa. de Informática CEFET-PR . O seguinte teorema vem formalizar esta idéia . na seqüência . 1. 2/5 3/5 1/6 5/6 Caixa III 3/8 5/8 D Caixa I 1/3 1/3 1/3 Caixa II N D N D N Observe que para cada ramificação a soma das probabilidades é sempre igual a 1.ESTATÍSTICA 21 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada. . Se B é um outro evento qualquer de S . os eventos Ai são mutuamente exclusivos e sua união é S . de Informática CEFET-PR . ou seja ... então : P( B ) = P(A1) P( B | A1 ) + P(A2) P( B | A2 ) + . An constituem uma partição de um espaço amostral S . _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto... A2 . + P(An) P( B | An ) .22 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ Suponha que os eventos A1 . . .. 0.. EXEMPLO Três máquinas A1 .2 máq.04 Não Defeituosa Defeituosa 0. Se uma peça é selecionada aleatoriamente.97 0. + P(An) P(B | An) .. As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3% . 30% e 20% do total de peças de uma fábrica. A1 0. de Informática CEFET-PR .03 Defeituosa máq. B A4 A2 An B = (A1 ∩ B) U (A2 ∩ B) U . qual a probabilidade dela ser defeituosa? Sejam os eventos : A1 : “a peça é fabricada pela máquina A1” A2 : “a peça é fabricada pela máquina A2” A3 : “a peça é fabricada pela máquina A3” B : “a peça é defeituosa”.95 Não Defeituosa _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto.05 0...ESTATÍSTICA 23 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ De fato : Considere o diagrama de Venn : A1 A3 S .3 máq. U (An ∩ B)] = = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + ... A2 0..A3 0.96 Não Defeituosa Defeituosa 0.5 0.. produzem respectivamente 50% . + P(An ∩ B) = = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . 4% e 5%. A2 e A3 . U (An ∩ B) e P( B ) = P [(A1 ∩ B) U (A2 ∩ B) U . P( B A k ) P( B) De fato: Usando o teorema do produto e o teorema da probabilidade total.. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. onde P(Ai) ≠ 0 ..03) = 0. n . então para qualquer evento B de S tal que P(B) ≠ 0 : P Ak B = ( ) P(A k ). i = 1.5) (0.04) + (0. Suponha agora . sabendo-se que a peça é defeituosa (esta é a informação) a probabilidade dela ser fabricada pela máquina A1 ficou alterada..24 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + P(A3) P(B | A3) = = (0. P( B A i ) i =1 P ( A k B) = EXEMPLO No exemplo anterior. se a peça é defeituosa.3) (0.05) = 0. . A2 . 0. No exemplo das máquinas. temos: P ( A k ). a probabilidade dela ter sido fabricada pela máquina A1 é dada por : P(A 1 B) = P(A 1 ) P(B A 1 ) P(B) (0. .3. P ( B A k ) P ( A k ∩ B) = k P ( B) ∑ P(A i ). . 2.03) + (0. 1. An constituem uma partição do espaço amostral S.037 OBSERVAÇÃO : Note que o Teorema de Bayes utiliza essencialmente alguma informação a respeito do resultado do experimento. que a peça selecionada é defeituosa.8 TEOREMA DE BAYES Se os eventos A1 .405 . Qual a probabilidade dela ter sido produzida pela máquina A1 ? O seguinte teorema responde esta pergunta.2) (0. .5) (0..037. de Informática CEFET-PR . a probabilidade é 0. P(A 2 ) P(0 A 2 ) (1 / 2) (1) = = 2/3 . ( a ) Qual a probabilidade da moeda ser de ouro ? ( b ) Verifica-se que a moeda encontrada é de ouro.1. de Informática CEFET-PR . cada com duas gavetas. P(0) 3/ 4 ( b ) P(A 2 0) = EXEMPLO 2 Se a tensão é baixa. Uma urna é escolhida ao acaso e a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso.ESTATÍSTICA 25 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ Ainda sobre a aplicação do Teorema da Probabilidade Total e do Teorema de Bayes alguns exemplos são apresentados : EXEMPLO 1 Suponha que temos duas urnas I e II. A urna I contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna II ? Sejam os eventos : A1 : “a urna I é escolhida” A2 : “a urna II é escolhida” O : “a moeda é de ouro” OURO OURO PRATA OURO OURO 1/2 URNA I 1/2 1/2 PRATA 1/2 URNA II 1 OURO ( a ) P(0) = P(A1) P(0 | A1) + P(A2) P(0 | A2) = (1/2) (1/2) + (1/2) (1) = 3/4 . Qual a probabilidade de uma peça perfeita ter sido produzida com baixa tensão ? _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. A urna II contém uma moeda de ouro em cada gaveta. a probabilidade de uma máquina produzir peça defeituosa é 0.6 e se a tensão é boa. Em 20 % da produção a tensão é baixa. 2) (0.2)(0. Daí.9 Perfeita 0.9) + (0. A seguir. qual é a probabilidade dela ter vindo da urna I ? z+1 z + v +1 x x+y v z+v+1 z z + v +1 Branca Vermelha y x+y Branca y+1 z + v +1 Vermelha _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto.8.4) = 0.1 Tensão Boa Defeituosa 0.1 . ( a ) Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca ? ( b ) Se a bola retirada da urna II é branca. P ( B) 0.8 0.8) (0.26 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ Sejam os eventos : A1 : “a tensão é boa” A2 : “a tensão é baixa” B : “a peça é perfeita”.4 Perfeita Primeiro vamos calcular a probabilidade de uma peça qualquer ser perfeita : P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) = (0. Uma bola é escolhida ao acaso da urna I e posta na urna II.6 Defeituosa 0.8 EXEMPLO 3 A urna I contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. 4) = = 0. pelo Teorema de Bayes : P(A 2 B) = P(A 2 ) P ( B A 2 ) (0. de Informática CEFET-PR . 0. uma bola é retirada ao acaso da urna II.2 Tensão Baixa 0. A urna II contém z bolas brancas e v bolas vermelhas. Note que os eventos A1 . A2 . só com os circuitos elétricos reparados. A3 . com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes reparados. Com base nas considerações acima. com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes defeituosos. 60 %. qual é a probabilidade de que tenha se realizado nas condições mais adversas ( ambos os sistemas não reparados ) ? Sejam os eventos : A1 : “só os circuitos elétricos são reparados” A2 : “só o sistema de foguetes é reparado” A3 : “os circuitos elétricos e o sistema de foguetes são reparados” A4 : “nenhum reparo .ESTATÍSTICA 27 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ (a) ⎛ x ⎞ ⎛ z+1 ⎞ ⎛ y ⎞⎛ ⎞ z ⎟ + ⎜ ⎟ P( branca) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ x + y ⎠ ⎝ z + v + 1⎠ ⎝ x + y ⎠ ⎝ z + v + 1⎠ (b) ⎛ x ⎞ ⎛ z +1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ x + y ⎠ ⎝ z + v + 1⎠ P( urna I / branca) = ⎛ y ⎞⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ z +1 ⎞ z ⎞ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎝ x + y ⎠ ⎝ z + v + 1⎠ ⎝ x + y ⎠ ⎝ z + v + 1⎠ EXEMPLO 4 Uma cápsula espacial aproxima-se da Terra com dois defeitos: nos seus circuitos elétricos e no sistema de foguetes propulsores. de Informática CEFET-PR . A4 constituem uma partição do espaço amostral. os especialistas em Terra consideram que as probabilidades de êxito no retorno são as seguintes : a) b) c) d) 90 %. E : “retorno com êxito”. até o instante do reingresso na atmosfera. O comandante considera que. os circuitos elétricos e o sistema de foguetes continuam defeituosos” . 80 %. qual é a probabilidade de êxito no retorno? Se o retorno se processar com êxito. 40 %. só com o sistema de foguetes reparado. Os reparos se processam independentemente. _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. existe 20 % de probabilidade de reparar os circuitos elétricos e 50 % de probabilidade de reparar o sistema de foguetes. Por outro lado. 50 .8 0.40 Sistema de Foguetes S P( A3 ) = (0.4 0.20 .80 P( E | A3 ) = 0.40 ) = 0.9 Êxito Não Êxito 0.10 P( A2 ) = 0. Elétric.28 ESTATÍSTICA Notas de Aula _____________________________________________________________________________________ 0.6 Êxito 0.1 0.1 0.20) (0.10 = 0.4 Reparo nos Circ.4 Êxito 0.2 Não Êxito Êxito Não Êxito 0.(0.50) = 0. de Informática CEFET-PR .90 P( E | A4 ) = 0.10 0.1 Reparo nos Circuitos e no Sist de Foguetes Reparo no Sist.4 Nenhum Reparo 0.6 Não Êxito _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto. 0.10 + 0. de Foguet. 0.60 P( E | A2 ) = 0.40 P( A4 ) = 1 .10 = 0.10 + 0.0.0.10 Circuitos Elétricos 0.40 P( E | A1 ) = 0.40 O seguinte diagrama de árvore resume os eventos e suas probabilidades envolvidas neste experimento aleatório : 0.10 ( por independência ) P( A1 ) = 0. de Informática CEFET-PR .9) + (0. P(A 4 ) P(E A 4 ) = P(E) P( nenhum reparo | retorno com êxito ) = P( A4 | E ) = = (0.8) + (0.40) (0.63 _____________________________________________________________________________________ Marcia Olandoski Erbano Depto.63.1) (0.4) (0.4) (0.6) + (0.4) =0.1) (0.ESTATÍSTICA 29 Notas de Aula ______________________________________________________________________________________ P( retorno com êxito ) = P(E) = = (A1)P(E |A1 )+P(A2) P(E | A2)+P(A3) P(E | A3)+P(A4) P(E | A4) (0.254 .40) = 0. 0.
Report "ElementosdeProbabilidade Exer Pra Entender Circuito"