Página 1ELEMENTOS DE ESTATÍSTICA 1.0 TABELA DE FREQÜÊNCIA É uma tabela em que a distribuição dos dados é feita observando-se os números de acontecimentos ocorridos. Por exemplo: se uma pessoa fez o pedido de 20 livros, sendo 5 de Álgebra, 8 de Geometria e os outros de Aritmética podemos construir a tabela abaixo: Livros Freqüência Absoluta ( i n ) Freqüência Relativa ( i f ) Porcentagem (%) Álgebra 5 5/ 20 0, 25 = 25 Geometria 8 8/20 = 0,40 40 Aritmética 7 7/20 = 0,35 35 Total 20 1 100 A freqüência relativa i f é a razão entre a freqüência absoluta da variável i n e o número total k de dados, isto é, i i n f k = e 1 2 1 1 1 1 1 1 k k k i i k i i i i n f f f f n k k k k = = = = + +··· + = = · = · = ¿ ¿ ¿ , ou seja, a soma de todas as freqüências relativas é sempre igual a 1. 1.1 CLASSES DE FREQÜÊNCIA Considere 20 pedidos, do livro Matemática para vestibular, cada pedido de i x livros, i x e]0, 50]. Podemos agrupar esses pedidos em subintervalos de 10 livros: ]0, 10], ]10, 20], ]20, 30], ]30, 40] e ]40, 50] que são denominados classes de freqüência. TABELA – 1 Número de Livros Números de pedidos 6 5 4 4 1 K = 5 20 Página 2 O ponto médio da classe ]a, b] é o elemento 2 i a b x + = e a amplitude desse intervalo é b – a. 1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Polígono de freqüência é a representação gráfica de uma série de dados grupados através de um polígono cujos vértices são os pares ordenados ( , ) i i x f definidos por: Abscissa i x = ponto médio da classe i Ordenada i f = freqüência absoluta da classe i . A figura abaixo representa o polígono de freqüência da tabela - 1 dada acima. Histograma é um gráfico de barras verticais em que a base de cada barra é uma classe e a altura é a freqüência absoluta dessa classe. A figura dada abaixo representa o histograma da Tabela -1. Deixamos nesse Histograma os vértices do Polígono de Freqüência para mostrar que são os pontos médios das bases superiores dos retângulos. Página 3 2.0 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL São valores que podem descrever uma série estatística de forma objetiva dependendo apenas dos valores da série. 2.1 MÉDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA E HARMÔNICA Estão definidas na página 67 do livro Matemática para vestibular. 2.2 MÉDIA ARITMÉTICA DE DADOS GRUPADOS EM CLASSES É uma média aritmética ponderada. Se cada valor i x é o ponto médio de uma classe de freqüência absoluta i f , então a média aritmética desses dados é: i i i x f x f = ¿ ¿ A média aritmética dos valores da tabela - 1 é: 5 6 15 5 25 4 35 4 45 1 19, 5 6 5 4 4 1 x × + × + × + × + × = = + + + + 2.3 MODA É o elemento do conjunto de valores que ocorre com maior freqüência. Alguns desses conjuntos podem apresentar duas ou mais modas. Em um conjunto de dados grupados a classe com maior freqüência absoluta é denominada classe modal. Na tabela - 1 a primeira classe é modal porque 1 6 f = é a maior freqüência absoluta. 2.4 MEDIANA É o valor que ocupa exatamente o meio de uma série, quando seus valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se a série de dados tem um número 1º) ímpar de elementos, há um que ocupa a posição central, então esse é a mediana. 2º) par de termos há dois que ocupam a posição central, nesse caso a mediana é a média aritmética desses dois valores. Por exemplo: considere duas turmas com as notas dos alunos correspondentes aos seus nomes em ordem alfabética. Turma – A: 10, 8, 9, 6, 10, 6 e 6 Turma – B: 8, 10, 7, 7, 5, 4, 8 e 9 Página 4 Primeiramente colocamos em ordem, que pode ser crescente, e depois obtemos a mediana e M . A – 6 6 6 8 9 10 10 s s s s s s ¬ 8 e M = que é o elemento central. B – 4 5 7 7 8 8 9 10 s s s s s s s ¬ 7 8 7, 5 2 e M + = = Observe que para determinar a moda o M não é necessário ordenar os elementos do conjunto. Na turma A, 6 o M = e na B, 7 8 O M e = porque esses valores ocorrem duas vezes. 2.5 MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS EM CLASSES É o valor e M que apresenta 50% dos dados abaixo dele. Esse valor divide o histograma, dos dados, em duas áreas iguais, conforme sugere a figura abaixo. Por exemplo, a mediana dos dados da Tabela - 1 pode ser calculada do seguinte modo: 50% dos dados antes da mediana correspondem à área azul; assim, podemos escrever a seguinte equação: Área antes da mediana = Área depois da mediana Página 5 10 6 ( 10) 5 (20 ) 5 20 4 10 1 e e M M × + ÷ × = ÷ × + × + × ¬ ( 10) 5 (20 ) 5 30 e e M M ÷ × = ÷ × + ¬ 5 50 100 5 30 10 180 18 e e e e M M M M ÷ = ÷ + ¬ = ¬ = 3.0 MEDIDAS DE DISPERSÃO Os valores médios, por si só, não são suficientes para caracterizar distribuições estatísticas. Podem ocorrer distribuições que apresentam a mesma média e com naturezas muito diferentes. É o que ocorre com as séries seguintes: 1ª) 25, 25, 50, 60, 80 2ª) 35, 35, 50, 60, 60 As duas têm a mesma média e também a mesma mediana, porém a (2ª) é mais homogênea que a (1ª), os valores da 2ª estão mais próximos e agrupados em torno da média. 3.1 DESVIO Denomina-se desvio i d , afastamento ou discrepância a diferença entre cada um dos valores dados i x e a média aritmética x de todos esses valores. i i d x x = ÷ Observe que: 1 2 1 2 1 ... ( ) ( ) ... ( ) n i n n i d d d d x x x x x x = = + + + = ÷ + ÷ + + ÷ ¿ reorganizando a última expressão temos: 1 2 1 ( ... ) n i n i d x x x n x = = + + + ÷ · = ¿ 1 2 1 2 ... ( ... ) 0 n n x x x x x x n n + + + + + + ÷ · = , isto é, a soma dos desvios é igual a zero. Para dados agrupados em classes de freqüências o desvio é entre os pontos médios i x das classes e a média aritmética de todos os dados x . i i d x x = ÷ 3.2 DESVIO MÉDIO ( ) m D É a média aritmética dos desvios tomados em valores absolutos. i m d D n = ¿ Página 6 O Desvio Médio de dados agrupados em classes é uma média ponderada: i i m i d f D f · = ¿ ¿ Na Tabela - 1 a média aritmética foi 19, 5 x = e o desvio médio pode ser calculado do seguinte modo: 219 10, 95 20 m D = = 3.3 DESVIO PADRÃO ( ) o É também chamado afastamento quadrático médio e definido pela raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios. Considere os desvios i x x ÷ e a média dos quadrados desses desvios que é denominada Variância e representada por 2 o : 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) n i i n x x x x x x x x n n o = ÷ ÷ + ÷ + + ÷ = = ¿ é a Variância. O Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância: 2 1 ( ) n i i x x n o = ÷ = ¿ Simplificação do cálculo do Desvio Padrão: 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) 2 i i i i i x x x x x x x x x x ÷ = ÷ + = ÷ · + ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Número de Livros i f i x i i d x x = ÷ i d i i d f · 6 5 4 4 1 5 15 25 35 45 –14,5 –4,5 5,5 15,5 25,5 14,5 4,5 5,5 15,5 25,5 87 22,5 22 62 25,5 20 i f = ¿ 219 i i d f · = ¿ Página 7 Porém os somatórios i x ¿ e x ¿ são iguais a: 1 2 1 2 1 ... ... n n i n i x x x x x x x n n x n = + + + = + + + = · = · ¿ 2 2 2 2 2 1 ... n i x x x x n x = = + + = · ¿ Portanto, o somatório dos quadrados dos desvios pode ser reduzido a: 2 2 2 2 2 ( ) 2 i i i x x x x n x n x x n x ÷ = ÷ · · + · = ÷ · ¿ ¿ ¿ e o Desvio Padrão pode ser escrito 2 2 2 2 i i x n x x x n n o o ÷ · = ¬ = ÷ ¿ ¿ Por exemplo, vamos calcular o Desvio Padrão dos valores: 4, 6, 8, 9 e 10. i x 2 i x 4 16 6 36 8 64 9 81 10 100 37 297 37 7, 4 5 x = = ¬ 2 297 (7, 4) 59, 4 54, 76 4, 64 2,15 5 o = ÷ = ÷ = ~ O Desvio Padrão de dados agrupados em classes, é calculado em conformidade com a tabela abaixo: classes i f i x i i x f · i i P d x M = ÷ 2 ( ) i d 2 ( ) i i d f · D A D O S i f n = ¿ i i x f · ¿ 2 ( ) i i d f · ¿ Página 8 Nessa tabela, P M representa a média ponderada dos pontos médios, das classes, cujos pesos são as respectivas freqüências. A média ponderada é: i i P i x f M f · = ¿ ¿ O Desvio Padrão é: 2 ( ) i i d f n o · = ¿ Vamos calcular o Desvio Padrão dos dados Tabela 1. 390 19, 5 20 P M = = O Desvio Padrão é: 3095 12, 4 20 o = ~ Número de Livros i f i x i i x f · i i P d x M = ÷ 2 ( ) i d 2 ( ) i i d f · 6 5 4 4 1 5 15 25 35 45 30 75 100 140 45 -14,5 -4,5 5,5 15,5 25,5 210,25 20,25 30,25 240,25 650,25 1261,5 101,25 121 961 650,25 = ¿ 20 = ¿ 390 = ¿ 3095 Página 9 Exercícios SUPORTE PARA AS QUESTÕES 1 E 2. O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais. 1) A moda dessa distribuição, em reais, é igual a: a) 2800,00 b) 4900 c) 3600,00 d) 2000,00 e) 6000,00 2) Quantos funcionários que recebem R$3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição de salários seja de R$2.800,00? a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 7 3) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente: a) 7,9; 7,8; 7,2 b) 7,2; 7,8; 7,9 c) 7,8; 7,8; 7,9 d) 7,2; 7,8; 7,9 e) 7,8; 7,9; 7,2 4) O gráfico dado ao lado informa a distribuição do número de filhos de 80 professores. a) Quantos professores têm apenas exatamente quatro filhos? b) Qual é a moda e a mediana do número de filhos? 5) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a a) 1,70 b) 1,71 c) 1,72 d) 1,73 e) 1,74 Página 10 6) A idade de uma árvore pode ser avaliada pela medida do diâmetro de seu tronco. A construção de diagramas indicando a distribuição em intervalos de classe para o diâmetro é uma forma de analisar a estrutura etária de uma população de árvores. O gráfico a seguir mostra a distribuição das classes de diâmetro para a espécie arbórea Xylopia aromática. Calcule o diâmetro que corresponde a mediana desse conjunto de dados. 7) O histograma a seguir apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente: a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 562,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00 Página 11 8) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir que: a) a média também vale zero. b) a mediana também vale zero. c) a moda também vale zero. d) o desvio padrão também vale zero. e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero. 9) Dados três números reais 2 1 , x x e 3 x calcule o valor de m que minimiza a expressão: 10) O gráfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos. Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 4 kg cada, sabe-se que a média não se altera, mas o desvio padrão se reduz à metade do que era. Assim, é correto afirmar que n é igual a a) 18 b) 15 c) 12 d) 9 e) 8 11) Considere a seqüência ) 2 , ... , 2 , 2 , 2 , 2 ( 21 3 2 1 ÷ ÷ ÷ ÷ n n n n n em que n representa um número natural. Se a mediana dos elementos dessa seqüência é 1536, calcule: a) o valor de n . b) a média geométrica dos elementos dessa seqüência. Página 12 12) Uma universidade usa a nota do ENEM para compor a nota final do vestibular, aplicando a seguinte fórmula: a nota final é a média ponderada de uma prova elaborada pela universidade com a do ENEM, sendo os pesos respectivamente iguais a 4 e 1. Mas, se essa média for inferior ao resultado da prova feita pela universidade, fica valendo apenas essa e a nota do ENEM não é levada em conta. Observe o quadro abaixo: Candidatos A B Nota da universidade 60 60 Nota do ENEM 70 50 Nota final do vestibular ♣ ♥ Calcule a média das notas finais dos candidatos A e B. 13) Seja f uma função de IN em Q, dada por ¹ ´ ¦ s s + ÷ < s ÷ = 12 5 , 12 5 1 , 1 2 ) ( x se x x se x x f Sabendo-se que a função f determina o número de vezes que um equipamento foi utilizado em cada um dos 12 meses de um ano, é correto afirmar que a mediana (estatística) dos 12 registros é igual a a) 3 b) 3,5 c) 11/3 d) 4 e) 5,5 O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 14 a 15. Os dados abaixo representam a distribuição de 1200 domicílios residenciais, por classe de consumo de energia elétrica mensal, em uma área de concessão da CERON, medidos em 2006. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Faixas de Consumo Frequência Relativa 0 - 50 kWh 8% 50 - 100 kWh 12% 100 - 150 kWh 32% 150 - 300 kWh 40% 300 - 500 kWh 8% 16) O consumo médio mensal, em kWh, pode ser estimado, aproximadamente, em: (A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 Página 13 17) O consumo mediano mensal, em kWh, pode ser estimado, aproximadamente, em: (A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 18) Um conjunto de dados tem n valores (n > 3), dos quais três são iguais a 2 e os demais iguais a 5. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a variância desse conjunto de valores seja maior que 2. 19) Calcule o desvio padrão das taxas de rendimento em 8 meses nos seguintes casos: a) Se em cada um desses 8 meses consecutivos um fundo de investimentos render 1% ao mês. b) Se em cada um de 6 meses consecutivos o fundo render 1% ao mês e render 5% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. 20) O gráfico representa o consumo mensal de água em uma determinada residência no período de um ano. As tarifas de água para essa residência são dadas a seguir. Assim, por exemplo, o gasto no mês de março, que corresponde ao consumo de 34 m³, em reais, é: 10 × 0,50 + 10 × 1,00 + 10 × 1,50 + 4 × 2,00 = 38,00. Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no ano todo. Note que nos meses de janeiro e fevereiro, juntos, foram consumidos 56 m³ de água e para pagar essas duas contas foram gastos X reais. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto, juntos, mas para pagar essas duas contas foram gastos Y reais. Determine a diferença X - Y. A figura dada abaixo representa o histograma da Tabela -1. 2 Polígono de freqüência é a representação gráfica de uma série de dados grupados através de um polígono cujos vértices são os pares ordenados ( xi . Histograma é um gráfico de barras verticais em que a base de cada barra é uma classe e a altura é a freqüência absoluta dessa classe. A figura abaixo representa o polígono de freqüência da tabela .1 dada acima.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ab e a amplitude desse intervalo é b – a. Página 2 . Deixamos nesse Histograma os vértices do Polígono de Freqüência para mostrar que são os pontos médios das bases superiores dos retângulos.O ponto médio da classe ]a. b] é o elemento xi 1. fi ) definidos por: Abscissa xi = ponto médio da classe i Ordenada f i = freqüência absoluta da classe i . 1 a primeira classe é modal porque f1 6 é a maior freqüência absoluta.4 MEDIANA É o valor que ocupa exatamente o meio de uma série. 8. 4.2. 10. Na tabela . 5. 6.0 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL São valores que podem descrever uma série estatística de forma objetiva dependendo apenas dos valores da série.3 MODA É o elemento do conjunto de valores que ocorre com maior freqüência. Se cada valor xi é o ponto médio de uma classe de freqüência absoluta f i . Por exemplo: considere duas turmas com as notas dos alunos correspondentes aos seus nomes em ordem alfabética. 2.1 é: 5 6 15 5 25 4 35 4 45 1 x 19. Em um conjunto de dados grupados a classe com maior freqüência absoluta é denominada classe modal. então a média aritmética desses dados é: x x f f i i i A média aritmética dos valores da tabela . há um que ocupa a posição central. quando seus valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. 10. nesse caso a mediana é a média aritmética desses dois valores. 2. Turma – A: 10. GEOMÉTRICA E HARMÔNICA Estão definidas na página 67 do livro Matemática para vestibular.1 MÉDIAS ARITMÉTICA. Alguns desses conjuntos podem apresentar duas ou mais modas. 9. 7. então esse é a mediana. 7.5 6 5 4 4 1 2. 6 e 6 Turma – B: 8. 8 e 9 Página 3 . Se a série de dados tem um número 1º) ímpar de elementos.2 MÉDIA ARITMÉTICA DE DADOS GRUPADOS EM CLASSES É uma média aritmética ponderada. 2. 2º) par de termos há dois que ocupam a posição central. 5 2 Observe que para determinar a moda M o não é necessário ordenar os elementos do conjunto. em duas áreas iguais. dos dados. M O 7 e 8 porque esses valores ocorrem duas vezes. conforme sugere a figura abaixo. 2. Por exemplo. assim. 78 B – 4 5 7 7 8 8 9 10 M e 7. A – 6 6 6 8 9 10 10 M e 8 que é o elemento central.Primeiramente colocamos em ordem. Esse valor divide o histograma. M o 6 e na B.5 MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS EM CLASSES É o valor M e que apresenta 50% dos dados abaixo dele. Na turma A. podemos escrever a seguinte equação: Área antes da mediana = Área depois da mediana Página 4 . e depois obtemos a mediana Me . a mediana dos dados da Tabela .1 pode ser calculada do seguinte modo: 50% dos dados antes da mediana correspondem à área azul. que pode ser crescente. afastamento ou discrepância a diferença entre cada um dos valores dados xi e a média aritmética x de todos esses valores.10 6 (M e 10) 5 (20 M e ) 5 20 4 10 1 (M e 10) 5 (20 M e ) 5 30 5M e 50 100 5M e 30 M e 18 10M e 180 3.. d n ( x1 x ) ( x2 x ) . di xi x Observe que: d i 1 n i d1 d 2 . 35.. Dm d n i Página 5 . di xi x 3. ( xn x ) reorganizando a última expressão temos: d i 1 n i ( x1 x2 . 50. É o que ocorre com as séries seguintes: 1ª) 25.0 MEDIDAS DE DISPERSÃO Os valores médios.. 25. a soma dos n desvios é igual a zero.... por si só. porém a (2ª) é mais homogênea que a (1ª). 80 2ª) 35. não são suficientes para caracterizar distribuições estatísticas. xn ) n x ( x1 x2 .2 DESVIO MÉDIO ( Dm ) É a média aritmética dos desvios tomados em valores absolutos. 60. xn 0 . 60.. Para dados agrupados em classes de freqüências o desvio é entre os pontos médios xi das classes e a média aritmética de todos os dados x . Podem ocorrer distribuições que apresentam a mesma média e com naturezas muito diferentes. isto é.. 50. 3.1 DESVIO Denomina-se desvio d i . 60 As duas têm a mesma média e também a mesma mediana. xn ) n x1 x2 ... os valores da 2ª estão mais próximos e agrupados em torno da média. .5 e o desvio médio pode ser calculado do seguinte modo: Número de Livros fi 6 5 4 4 1 xi 5 15 25 35 45 20 di xi x di 14.5 4.1 a média aritmética foi x 19.5 25.5 –14.5 di f i 87 22. ( xn x ) 2 é a Variância.5 15.95 20 i fi 219 Dm 3.5 15.5 25.5 5. Considere os desvios xi x e a média dos quadrados desses desvios que é denominada Variância e representada por 2 : 2 (x x ) i 1 i n 2 n ( x1 x )2 ( x2 x ) 2 .5 22 62 25. n O Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância: Simplificação do cálculo do Desvio Padrão: (x x ) i 1 i n 2 n (x x ) ( x 2 i 2 i 2 xi x x 2 ) xi 2 2 x xi x 2 Página 6 .O Desvio Médio de dados agrupados em classes é uma média ponderada: Dm d i fi i f Na Tabela ..5 –4.5 f i d 219 10.5 5.3 DESVIO PADRÃO ( ) É também chamado afastamento quadrático médio e definido pela raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios. vamos calcular o Desvio Padrão dos valores: 4. xn n x n x i 1 2 x 2 x 2 .. xn n x1 x2 . 4)2 59. é calculado em conformidade com a tabela abaixo: classes D A D O S fi xi xi fi di xi M P (di ) 2 ( di ) 2 f i f i n x f i i (d ) i 2 fi Página 7 . 8... 64 2.x 2 n x 2 2 x n x n x 2 xi 2 n x 2 Portanto. o somatório dos quadrados dos desvios pode ser reduzido a: (x x ) x 2 i 2 i e o Desvio Padrão pode ser escrito x 2 i n x2 n x n 2 i x2 Por exemplo.Porém os somatórios x i e x são iguais a: x i 1 n n i x1 x2 . 9 e 10. 76 4.. 4 54... 6. 4 5 297 (7.15 5 O Desvio Padrão de dados agrupados em classes. xi 2 4 16 6 36 8 64 9 81 10 100 37 297 xi x 37 7. das classes.25 1261.5 101.25 650.5 25. 4 20 Página 8 .25 20.25 121 961 650.Nessa tabela.5 (di ) 2 ( di ) 2 f i 210.25 30.25 240. MP 390 19.5 5.5 20 O Desvio Padrão é: 3095 12.25 20 390 2 3095 O Desvio Padrão é: (d ) i fi n Vamos calcular o Desvio Padrão dos dados Tabela 1. A média ponderada é: MP x f i i f i Número de Livros fi 6 5 4 4 1 xi 5 15 25 35 45 xi fi 30 75 100 140 45 di xi M P -14.5 15. M P representa a média ponderada dos pontos médios. cujos pesos são as respectivas freqüências.5 -4. O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais. 7.00 b) 4900 c) 3600. 6. em metros.8.00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição de salários seja de R$2.00 2) Quantos funcionários que recebem R$3. A nota média. 7.1. 7. tendo encontrado como resultado 1.00 d) 2000.9 c) 7. a nota mediana e a nota modal desse aluno. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo.70 m.800.72 m e 1. 7.8.00 e) 6000.9 d) 7. em reais.2 4) O gráfico dado ao lado informa a distribuição do número de filhos de 80 professores.00? a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 7 3) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8.2 b) 7. respectivamente.Exercícios SUPORTE PARA AS QUESTÕES 1 E 2.74 Página 9 .73 e) 1. são respectivamente: a) 7. 7.9 e) 7. 7.71 c) 1. 8. 7. 7. a) Quantos professores têm apenas exatamente quatro filhos? b) Qual é a moda e a mediana do número de filhos? 5) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas. é igual a a) 1.600.9.2. é igual a: a) 2800.8. 9.72 d) 1. 7.8.9.2.8. 7.2.70 b) 1.2.8.4.8. 7.7 e 7. 1) A moda dessa distribuição. 00 e) R$ 708. pode-se concluir que a média desses salários é. aproximadamente: a) R$ 420.00 b) R$ 536.6) A idade de uma árvore pode ser avaliada pela medida do diâmetro de seu tronco. Calcule o diâmetro que corresponde a mediana desse conjunto de dados.00 d) R$ 640. 7) O histograma a seguir apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis. O gráfico a seguir mostra a distribuição das classes de diâmetro para a espécie arbórea Xylopia aromática.00 Página 10 . A construção de diagramas indicando a distribuição em intervalos de classe para o diâmetro é uma forma de analisar a estrutura etária de uma população de árvores.00 c) R$ 562. Assim. . calcule: a) o valor de n . 2 n21 ) em que n representa um número natural. Podemos concluir que: a) a média também vale zero. b) a mediana também vale zero.. mas o desvio padrão se reduz à metade do que era. Se a mediana dos elementos dessa seqüência é 1536.8) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. d) o desvio padrão também vale zero. c) a moda também vale zero. sabe-se que a média não se altera. x2 e x3 calcule o valor de m que minimiza a expressão: 10) O gráfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos. Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 4 kg cada. 2 n2 . . Página 11 . 9) Dados três números reais x1 . 2 n1 . e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.. 2 n3 . é correto afirmar que n é igual a a) 18 b) 15 c) 12 d) 9 e) 8 11) Considere a seqüência (2 n . b) a média geométrica dos elementos dessa seqüência. Mas. aplicando a seguinte fórmula: a nota final é a média ponderada de uma prova elaborada pela universidade com a do ENEM. 13) Seja f uma função de IN em Q. se essa média for inferior ao resultado da prova feita pela universidade. por classe de consumo de energia elétrica mensal. em: (A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 Página 12 .150 kWh 150 . sendo os pesos respectivamente iguais a 4 e 1. Os dados abaixo representam a distribuição de 1200 domicílios residenciais.12) Uma universidade usa a nota do ENEM para compor a nota final do vestibular.5 O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 14 a 15.5 c) 11/3 d) 4 e) 5. fica valendo apenas essa e a nota do ENEM não é levada em conta.300 kWh 300 . Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. medidos em 2006. em uma área de concessão da CERON. Faixas de Consumo Frequência Relativa 0 . se 5 x 12 Sabendo-se que a função f determina o número de vezes que um equipamento foi utilizado em cada um dos 12 meses de um ano. aproximadamente. pode ser estimado. dada por 2 x 1.500 kWh 8% 12% 32% 40% 8% 16) O consumo médio mensal. em kWh.50 kWh 50 . se 1 x 5 f ( x) x 12.100 kWh 100 . Observe o quadro abaixo: Candidatos A B Nota da universidade 60 60 Nota do ENEM 70 50 Nota final do vestibular ♣ ♥ Calcule a média das notas finais dos candidatos A e B. é correto afirmar que a mediana (estatística) dos 12 registros é igual a a) 3 b) 3. foram consumidos 56 m³ de água e para pagar essas duas contas foram gastos X reais. b) Se em cada um de 6 meses consecutivos o fundo render 1% ao mês e render 5% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. 19) Calcule o desvio padrão das taxas de rendimento em 8 meses nos seguintes casos: a) Se em cada um desses 8 meses consecutivos um fundo de investimentos render 1% ao mês. Note que nos meses de janeiro e fevereiro.50 + 10 × 1. que corresponde ao consumo de 34 m³. em: (A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 18) Um conjunto de dados tem n valores (n > 3). em kWh. pode ser estimado.00 = 38. 20) O gráfico representa o consumo mensal de água em uma determinada residência no período de um ano. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a variância desse conjunto de valores seja maior que 2.Y. Determine a diferença X . Assim.17) O consumo mediano mensal.00 + 10 × 1. por exemplo. juntos.50 + 4 × 2. Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no ano todo. é: 10 × 0. Página 13 . As tarifas de água para essa residência são dadas a seguir. o gasto no mês de março. mas para pagar essas duas contas foram gastos Y reais. juntos. em reais. aproximadamente.00. dos quais três são iguais a 2 e os demais iguais a 5.