Elementos Cargados Axialmente. Fic 2012 (2)

UNIVERSIDAD NACIONALOptaciano Vasquez “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA II ELASTICIDAD: IV ELEMENTOS CARGADOS AXIALMENTE AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2012 I. OBJETIVOS • Comprender la teoría del diseño y análisis de elementos cargados axialmente, así como sus limitaciones y aplicaciones. • Desarrollar la disciplina de trazar diagramas de cuerpo libre y figuras deformadas aproximadas para el diseño y análisis de estructuras II. INTRODUCCIÓN • Un elemento axial es el miembro estructural más sencillo. • Se trata de un cuerpo recto y extenso a lo largo de cuyo eje se aplican cargas axiales. Entre otros cuerpos se muestra a los cables que sostienen el puente colgante y los cilindros hidráulicos del volquete. • En esta sección se estudia rigurosamente a esos elementos • El área de la sección transversal 𝐴(𝑥) puede ser función de x • Si las fuerzas externas son función de x. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE • Considere un elemento sometido a las fuerzas externas concentradas 𝐹1 y 𝐹2 y a las fuerzas distribuidas por unidad de longitud 𝑝(𝑥) como se muestra en la figura.III. cabe esperar que las fuerzas internas también lo sean . b. Obtener una fórmula de los desplazamientos relativos 𝑢1 − 𝑢2 en función de la fuerza interna N. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE Por tanto se debe: a.III. . Obtener una formula para el esfuerzo axial 𝜎𝑥𝑥 en función de la fuerza interna. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE • Para tener en cuenta la variación en la carga distribuida p(x) y en el área de la sección 𝐴(𝑥) ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 se considera infinitesimalmente pequeño y constante. • La teoría se aplica mediante la lógica mostrada .III. ELEMENTOS AXIALES: Cinemática • En la figura aparece una malla sobre una banda elástica estirada en dirección axial. SUPUESTO 1. Es decir u  u ( x) (1) DEFINCIÓN: el desplazamiento es positivo en la dirección positiva x . Las secciones permanecen planas y paralelas  El desplazamiento en la dirección x se mide como u y es función únicamente de x. Las líneas verticales permanecen verticales mientras que la distancia horizontal entre ellas cambia.III. Todos los puntos sobre la línea vertical se desplazan en cantidades iguales. Las deformaciones son pequeñas  Si las puntos 𝑥2 y 𝑥1 están muy cerca.III. la deformación se expresa en la forma  xx  u2  u1   u   lim   lim    x  0 x  x x  0 x    2 1  du ( x)  xx  (2) dx . ELEMENTOS AXIALES: Distribución de la deformación SUPUESTO 2. No existe deformaciones inelásticas Por lo tanto  xx  E xx du ( x)  xx  E dx (3) . El material es isótropo SUPUESTO 4. El material es linealmente elástico SUPUESTO 5. ELEMENTOS AXIALES: Modelo de materiales Para nuestro suposiciones estudio se utilizan las siguientes SUPUESTO 3.III. Es decir N    xx dA A (4)  La ecuación (4) es independiente del modelo del material. ELEMENTOS AXIALES: Fuerza axial interna  Para estudiar problemas axiales sin flexión.III. Al remplazar (3) en (4) du du N   E dA  EdA  A dx dx A (5) . el esfuerzo de la ecuación (3) se sustituye por una fuerza axial interna N colocada en un punto específico. Por tanto se tiene   A y xx dA  0 (6a) A z xx dA  0 (6b) .III. ELEMENTOS AXIALES: Ubicación del origen  Si la distribución de esfuerzo normal 𝜎𝑥𝑥 debe sustituirse solamente por una fuerza axial en el origen. entonces los momentos internos 𝑀𝑦 y 𝑀𝑧 deben ser nulos en el origen. ELEMENTOS AXIALES: Ubicación del origen  Para materiales homogéneos el esfuerzo es uniforme. Entonces las ecuaciones anteriores se escriben   A A ydA  0 (7a) zdA  0 (7b)  Estas ecuaciones se satisfacen si y y z se miden desde el centroide .III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales SUPUESTO 6. De la ecuación (5) se extrae E de la integral.III. teniendo du du N E dA  EA  dx A dx du N  (8) dx EA DEFINICIÓN: A la cantidad EA se llama rigidez axial Sabiendo que el esfuerzo está dado por N  xx  (9) A  xx du N La deformación será   xx  = dx E EA . El material es homogéneo en la sección transversal. III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales  Integrando la ecuación u2 x2 u1 x1 u2  u1   du   N dx EA SUPUESTO 7. la barra es de sección uniforme (no es cónica) SUPUESTO 9. Las fuerza axiales externas e internas no cambian entre x1 y x2. El material es homogéneo entre x1 y x2 SUPUESTO 8. Por tanto bajo estos supuestos se tiene N ( x2  x1 ) u2  u1  (11) EA . III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales  De la ley de Hooke   E  P   E AE  De la definición de deformación    L  Por tanto se tiene PL  AE . III. La deformación total será .  Si el elemento es compuesto y sometido a las cargas mostradas. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales  La ecuación anterior solo se puede utilizar si ele elemento es de sección uniforme y cargado axialmente. III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales  Cuando sobre el elemento actúan las fuerzas mostradas. el esfuerzo y la deformación se escriben P( x) d   y   A( x ) dx  Si no se excede el límite de proporcionalidad (ley de Hooke) P( x) d P( x)dx   E   E ( )  d  A( x) dx EA( x) P( x)dx   EA( x) . EJEMPLO 01 La barra compuesta de acero A36 (E = 210 GPa) mostrada en la figura consta de dos segmentos AB y CD. cuyas áreas transversales son AAB =600 mm2 y ABD = 1200 mm2. Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento relativo de B respecto a C . SOLUCIÓN 01 Las fuerzas internas se determina usando el método de las secciones . SOLUCIÓN 01 El desplazamiento relativo de A con respecto a D es . SOLUCIÓN 01 El desplazamiento relativo de B con respecto a C es Aquí B se aleja de C ya que el segmento se alarga . Determine: (a) El cambio de longitud del tubo de acero. (b) El alargamiento total del miembro. (c) Los esfuerzos máximos normal y cortante en la barra de aluminio y en el tubo de acero .EJEMPLO 02 • Un tubo hueco A de acero estructural (E = 200 GPa) con un diámetro exterior de 60 mm y un diámetro interior de 50 mm está unida a una barra sólida B de aluminio (E = 73 GPa) que tiene un diámetro de 50 mm sobre una mitad de longitud y un diámetro de 25 mm sobre la otra mitad. La barra está sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura. 618 pulg.EJEMPLO 03 • La barra compuesta mostrada en la figura es hecha de acero (E = 29000ksi) y tiene los diámetros D = 1.07 pulg y d = 0. Determine la deflexión total de la barra compuesta . Si dicha barra se le somete a las cargas axiales indicadas. 9 in 2 PL 1  PL P L P L  i i   1 1 2 2 3 3 Ai Ei E  A1 A2 A3  3 3 3 1   60 10 12  15 10 12  30 10 16       6 29 10  0.SOLUCION: Aplicando las ec de equilibrio a cada parte se tiene Divida a la barra en tres components: P1  60  103 lb P2  15  103 lb P3  30  103 lb La deflexión total será.9 103 in.3     75. A3  0. .9 103 in. A1  A2  0.9 0.   i L1  L2  12 in.3 in 2   75.9 0. L3  16 in. El conector AB es de aluminio (E=70GPa)y tiene un sección transversal de 500 mm2.Ejemplo 04 • La barra rígida BDE es soportada por los conectores AB y CD. el conector CD es de acero (E=200GPa) y tiene un área transversa de 600 mm2. Halle las deflexiones de: (a) B. (b) D y (c) E . Solución 04 DCL de la barra BDE Displazamiento de B: B  PL AE 60 10 N   0.3m     500 10 m  70 10 Pa  3 -6 2 9  B  514 106 m M  B  0.514 mm  0 Displazamiento de D: 0    30kN  0.6m   FCD  0.2m B FCD  90kN tension M D 0 0    30kN  0.4m   FAB  0.2m FAB  60kN compression D  PL AE  90 10 N   0.4 m    600 10 m  200 10 3 -6 2 9 Pa   D  300  106 m  D  0.300 mm  Solución 04 Desplazamiento de E: BB BH  DD HD 0.514 mm  200 mm   x  0.300 mm x x  73.7 mm EE  HE  DD HD 400  73.7  mm  E  0.300 mm 73.7 mm  E  1.928 mm 2- 27  E  1.928 mm  Ejemplo 05 Dos barras delgadas se fijan firmemente a una placa rígida como se muestra. El área de la sección transversal de cada barra es de 20 𝑚𝑚2 . La fuerza F debe aplicarse de tal manera que la placa se mueva horizontalmente 0,05 𝑚𝑚 sin girar. Determine F y su ubicación h en los casos: (a) ambas barras son de acero ( 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 ), (b) La barra 1 es de acero (𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎) y la otra 2 de aluminio (𝐸 = 70 𝑀𝑃𝑎). determine: (a) el movimiento de la placa en C respecto a la placa en A y (b) el cambio en el diámetro del cilindro de latón . aluminio (E = 70 GPa.34).Ejemplo 06 Las barras sólidas de sección circular se latón (E = 100 GPa. Para las cargas indicadas.  = 0. como se ve en la figura.3) del mismo diámetro externo.  = 0.33) con un diámetro de 200 mm se fijan a un tubo de acero (E = 210 GPa.  = 0. Determine: (a) El alargamiento de la barra bajo las cargas aplicadas. como se observa en la figura.25 ) de ¾ pulg de espesor consta de una sección transversal uniforme y una piramidal. 𝟎𝟐𝒙. ν = 0. . La altura de la sección piramidal varía conforme a 𝒉 𝒙 = 𝟐 − 𝟎. (b) El cambio de dimensión en la dirección y en la sección BC.Ejemplo 07 Una barra de sección rectangular de aluminio ( 𝐸 = 10000 𝑘𝑠𝑖. Ejemplo 08 Una barra tiene una longitud L y el área de su sección trasversal es A. El material tiene una densidad ρ y un módulo de elasticidad E. . Determine su alargamiento debido tanto a la fuerza P como a su propio peso. . Determine el desplazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso y la fuerza exterior P.Ejemplo 09 Un elemento estructural de forma cónica de radio 𝑟0 y altura L está hecho de un material que tiene un peso específico  y un módulo de elasticidad E. Solución 09 La fuerza axial interna varía a lo largo del elemento ya que depende de 𝑊𝑦 . Por tanto  Fy  0  Py  Wy Py   V Por semejanza de triángulos r0 x r0  x y y L L El volumen será V  3 yx  2 r 2 0 2 3L y 3 . Solución 09 La fuerza interna se expresa en la forma Py   V   r 2 0 2 3L y 3 El área de la sección transversal será Ay   x 2   r02 2 L y2 La deflexión del extremo del cono es   L 0 Py dy EAx  L 0 [( r / 3L ) y ]dy E[( r02 / L2 ) y 2 ]  2 0 L 2 6E 2 3 . . respectivamente. Determine 𝑳 el alargamiento del cono truncado debido a su propio peso en términos de E. L. donde E y  son el módulo de elasticidad y el peso específico del material. r y .Ejemplo 10 El radio de un cono truncado de sección circular varía con x de 𝒓 la manera siguiente 𝑹 𝒙 = ( )(𝟓𝑳 − 𝟒𝒙)ver figura. Ejemplo 11 El conjunto mostrado en la figura consiste en un tubo AB de aluminio (𝑬 = 𝟕𝟎 𝑴𝑷𝒂) con área transversal de 400 mm2. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra. Una barra de acero (𝑬 = 𝟐𝟎𝟎 𝑮𝑷𝒂) con diámetro de 10 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. determine el desplazamiento del extremo C de la barra. . 10 ] Fal L0.005) ]  El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es B/ A 80.6)   0.10 [400.10 [ (0.Solución 11 Del DCL del tubo y de la barra se obtiene las fuerzas internas. 4)    0.ac Eac Aac 80. Es decir la barra se encuentra a tensión y el tubo a compresión Fac  80kN y Fal  80kN  El desplazamiento del extremo C con respecto a B es C / B  Fac L0.003056m  9 2 200.103 (0.al  El signo menos indica que el tubo se acorta por lo que B se mueve hacia la derecha .103 (0.001143m  9 6 Eal Aal 70. 2mm . el desplazamiento resultante de C respecto a A es entonces  C   C / B   B / A  0. 003056m  0. 0042m  C  4. 001143m  C  0.Solución 11 Debido a que ambos desplazamiento son hacia la derecha. Ejemplo 12 • Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la figura. AC esta hecho de acero (E = 200 GPa) y tiene un diámetro de 20 mm. Determine el desplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una carga vertical de 90 kN sobre este punto. BD está hecho de aluminio (E = 70 GPa) tiene un diámetro de 40 mm. . 6m)  0 Resolviendo las dos ecuaciones se tiene Fal  30kN y Fac  60kN .Solución 12 En la figura se muestra el DCL de la viga rígida Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene  Fy  0  Fac  Fal  90kN  M A  0  90kN (0. 2m)  Fal (0. 10 (0.10 (0.ac Eac Aac 60.Solución 12 Los desplazamientos de las partes superiores de cada poste serán  ac  Fac L0.10 m 9 2 Eal Aal 70.102mm  .10 [ (0. 286mm  30.10 [ (0.al 3  al  0. 02) Fal L0.3) 6   286.3) 6  al    102. 01) 3  ac  0.10 m 9 2 200. Solución 12 Para determinar el desplazamiento del punto F se traza el diagrama de deflexiones Usando proporciones en el triángulo sombreado se tiene 400  F  0.102  0. 225mm  .184[ ] 600  F  0. Ambos están hechos de acero (E = 200 Gpa). (b) Los alargamientos o acortamientos de AC y BC y (d) Los desplazamientos horizontal y vertical del punto D . El área transversal de AC es 650 mm2 y para el puntal BC es 925 mm2.Ejemplo 13 Un tirante y un puntal de tubo se usan para sostener una carga de 50 kN. Determinar: (a) los esfuerzos normales en AC y BC. como se muestra en la figura. Solución 13  En la figura se muestra el DCL del punto B  Ecuaciones de equilibrio  Fx  0  N AC  N BC cos   N BC cos 42. 62  50kN N BC  73.36kN (T)  Fy  0  N BC sen42. 61 N AC  54.85kN (C) . Solución 13 Parte (a). Cálculo de lo esfuerzos normales  AC N AC 54,36.103 N    83, 6 MPa (T) 6 2 AAC 650.10 m  BC N BC 73,85.103 N    79,8MPa (C) 6 2 ABC 925.10 m Parte (b) Alargamiento de AC  AC   AC Lo, AC EAC 83,6.106 (1, 25)   0,523mm 9 200.10 Acortamiento de BC  BC   BC Lo, BC EBC 79,8.106 (1,699)   0,678mm 9 200.10 Solución 13 Parte (c). En la figura se muestra en forma exagerada la forma de las deformaciones Desplazamiento horizontal  h   AC  0,523mm De la geometría se tiene m sen   AC   BC cos  msen 42, 61  0,523  0, 678cos 42, 61 m El desplazamiento vertical es V   BC sen  m cos  V  0, 678sen42, 61  m cos s 42, 61 V  Ejemplo 14 El tirante y un puntal se usa para sostener una carga de 50 kN, como se muestra en la figura. El tirante AB es de una aleación de titanio (E = 96 GPa) y tiene un área transversal de 450 mm2. El puntal BC está hecho de Monel (E = 180 GPA) y un área transversal de 1450mm2. Determine: (a) Los esfuerzos normales en la varilla y el puntal; (b) El alargamiento o acortamiento en la varilla y en el puntal y (c) El desplazamiento horizontal y vertical del seguro B como se muestra en la figura.40 mm. Determine el diámetro interior del tubo A requerido si la deflexión máxima del extremo de la varilla sujeto a carga debe limitarse a 0. con un diámetro exterior de 75 mm. se utiliza para sostener una varilla B de acero (E = 200 GPa) de 25 mm de diámetro.Ejemplo 15 Un tubo A de aleación de aluminio (E = 73 GPa). . . la barra BC tiene un área transversal de 14 mm2 y está hecha de aluminio (E = 68.9 Gpa).Ejemplo 16 La barra rígida esta soportada por la barra CB conectada ésta en sus extremos por pasadores. Determine la deflexión vertical del punto D de la barra cuando se aplica la carga distribuida. Solución 16  En primer lugar se halla la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas FR  wL  (300 N / m)(4m)  1200 N  Enseguida se traza el DCL de la barra rígida  Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene  M A  0  Tsen (2m)  FR (2m)  Tsen  1200 N T (1.5 / 2.5)  1200 N  T  2000 N . En la figura se muestra el diagrama de deformaciones  BC sen  V  BC V  sen 5. 5 / 2.5m)  5. BC   EBC ABC  2000 N (2.18mm  9 2 6 2  68.18mm V  1. 5 V  8.Solución 16  Se determina la deformación de la barra BC  BC  FBC L0.10 N / m (14. 63mm .10 m )  Desplazamiento vertical de B .9. 63mm)  D  17.3mm .Solución 16  El desplazamiento del punto D será V 2  D 4   D  2V  2(8. Si las barras tienen un diámetro de 10 mm. Los otros extremos de las barras se encuentran empotrados en las paredes.Ejemplo 17 Los extremos de cuatro barras de sección circular de acero (E = 200 Gpa) se sueldan a una placa rígida. calcule la fuerza aplicada F .1 mm a la derecha sin girar. como se muestra en la figura. la plaza rígida se mueve 0. Debido a la acción de la fuerza externa F. . El diámetro externo de los tubos es de 50 mm y 70 mm. Determine el desplazamiento del extremo B respecto del extremo A. como se muestra en la figura.Ejemplo 18 Dos tubos de hierro fundido (E = 100 Gpa) se unen con adhesivo. y el espesor de su pares es de 10 mm. L.Ejemplo 19 La barra cónica descrita en la figura tiene un área de la sección transversal que varía con x en la forma Determine el alargamiento de la barra en función de P. E y K . • Esos soportes adicionales se incluyen por condiciones de seguridad o para aumentar la rigidez de la estructura. El grado de redundancia estática es el número de reacciones desconocidas menos el número de ecuaciones de equilibrio .ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • Aparecen cuando hay más soportes de los necesarios para mantener una estructura en equilibrio. • Cada soporte adicional introduce nuevas reacciones desconocidas de tal forma que el número de reacciones excede al número de ecuaciones de equilibrio DEFINICIÓN. DEFINICION. Las ecuaciones de compatibilidad son relaciones geométricas entre los cambios dimensionales de las barras y se determinan de la geometría de la figura deformada . • Si el grado de redundancia es diferente de cero se requieren ecuaciones adicionales para hallar las reacciones. • Estas ecuaciones adicionales son las relaciones entre los cambios dimensionales de los elementos.ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • Si el grado de redundancia es cero se dice que la estructura es estáticamente determinada y todas las reacciones se determinan de las ecuaciones de equilibrio. ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • En la figura (a) se muestra una barra fija en ambos extremos a dos muros rígidos sometida a una carga P. Y en la figura (b) se muestra su DCL .  A/ B  0 FA LAC FB LBC  0 EA EA • Resolviendo las ecuaciones resulta  LCB  FA  P    L   LAC  FB  P    L  (2) . • Condición de compatibilidad.ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene  Fy  0  FB  FA  P  0 (a) • Debido a que la ecuación estática por sí sola no permite determinar las reacciones. este problema es estáticamente indeterminado. Ejemplo 01 • Tres barras de acero (E = 30000ksi) tienen área de sección transversal de 1 pulg2. Determine el desplazamiento del punto D respecto a la posición de la carga . Solución • Este problema es estáticamente determinado ya que se pueden hallar las fuerzas internas en todos los elementos mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio estático. . • Es decir. Solución • La deformación de CD será • Para las varillas AC y BC se usa el criterio de deformaciones pequeñas es decir. • Entonces el desplazamiento de C respecto a la pared es • La deflexión total de D será . Ejemplo 02 La barra de acero (E = 200GPa) mostrada en la figura tiene un diámetro de 5 mm. Determine las reacciones en A y en B’ cuando la barra se somete a una fuerza axial de P = 20 kN. como se muestra. Desprecie el tamaño del collarín en C . Está empotrada en la pared en A y antes de cargarla se tiene una holgura de 1 mm entre la pared B’ y la barra. suponiendo que la fuerza P es lo suficiente grande para cerrar el vano y ejercer presión sobre la pared  El problema es estáticamente indeterminado ya que existe dos incógnitas y una ecuación de equilibrio  Aplicando el principio de compatibilidad a la barra se tiene .Solución 02  En la figura se muestra el DCL de la barra. aplicada a los segmentos AC y CB  Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene  Donde 𝐹𝐵 es positivo por tanto si existe contacto .Solución 02  Este desplazamiento puede expresarse en términos de las reacciones desconocidas usando la relación carga desplazamiento. 103 ksi 𝐸𝑙𝑎 =15. Si el conjunto soporta una carga axial de compresión P = 9 kips. Considere que 𝐸𝑎𝑙 = 10. aplicada en la tapa rígida. 103 ksi. . Determine el esfuerzo normal medio el aluminio y en el latón.Ejemplo 03 El poste de aluminio mostrado en la figura está reforzado con un núcleo de latón. Si la carga aplicada sobre el miembro es de 𝑃 = 15 𝑘𝑁 . Las barras AB y EF tienen cada una un área transversal de 50 𝑚𝑚2 y la barra CD tiene un área transversal de 30 𝑚𝑚2 . . Determine la fuerza desarrollada en cada barra.Ejemplo 04 Las tres barras de acero (𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎) mostradas en la figura están conectadas por pasadores a un miembro rígido. determine el diámetro requerido de cada varilla para que una cuarta parte de la carga sea soportada por el acero y tres cuartas parte por el concreto . Si esta sometida a una carga axial de 800 kN.Ejemplo 05 La columna está construida de concreto de alta resistencia (E = 25 GPa) y de cuatro varillas de refuerzo de acero A-36 (E = 200 GPa). Determine las reacciones en las paredes cuando se somete a la carga mostrada.Ejemplo 06 El tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de 20 mm y un radio interior de 15 mm. . Si entra justamente en las paredes fijas antes de ser cargado. Ejemplo 07 El poste de acero A (28000 ksi) tiene un diámetro d = 2 pulg y se encuentra rodeado por un tubo de latón rojo B (E = 14600 ksi). Determine el esfuerzo normal medio desarrollado en el poste y en el tubo . Ambos reposan sobre una superficie rígida. Si se aplica una fuerza de 5 kip a la placa superior rígida. está articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce. ¿Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MPa ni uno en el bronce de 70 MPa?. según se muestra en la figura.Ejemplo 08 • Una barra rígida. de masa despreciable. . Determine el valor máximo admisible de la carga P.Ejemplo 09 • La barra C mostrada en la figura es una varilla de aleación de aluminio (Eal = 73 GPa) tiene un área de sección transversal de 625 mm2. El miembro D es un poste de madera (Em = 12 GPa) y tiene una sección transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzos normales admisibles son 100 MPa para el aluminio y 30 MPa para la madera. . (b) El esfuerzo normal en la barra C. B y C tienen longitudes LA = 4 m . Todas tienen la misma área de sección transversal de 500 mm2. .Ejemplo 10 Tres barras de acero (E = 200 GPa) A. como se muestra en la figura. LB = 3 m y LC = 2 m. Determine: (a) El alargamiento de la barra B. Los postes están hechos de aluminio y tienen cada uno un área transversal de 400 mm2. mientras que los postes A y C tienen una longitud de 125 mm. E = 70 GPa. determine el esfuerzo normal promedio en cada poste.7 mm.Ejemplo 11 El poste central B del conjunto tiene una longitud original de 124. Si las tapas arriba y abajo se consideran rígidas. . Determine el desplazamiento del punto A con respecto a B debido a la carga aplicada.Ejemplo 12 La barra compuesta consiste en un segmento AB de acero A-36 (E = 200 GPa) de 20 mm de diámetro y de segmentos extremos DA y CB de latón C83400 (E = 101 Gpa) de 50 mm de diámetro. . Cada poste es de madera con 120 mm de diámetro y una longitud original (descargada) de 1.Ejemplo 13 Se supone que la viga horizontal es rígida mientras soporta la carga distribuida mostrada. considere que Emad = 12 GPa.4 m. Determine el ángulo de inclinación de la viga después de haberse aplicado la carga. . 8 MN/m y una longitud no estirada de 520 mm. .Ejemplo 14 La barra rígida esta soportada por dos postes cortos de madera y un resorte. Si cada uno de los postes tiene una altura de 500 mm y un área transversal de 800mm2 y el resorte tiene una rigidez k = 1. determine la fuerza en cada poste después de aplicada la carga a la barra. Emad = 11GPa. Ejemplo 15 Una barra rígida está engoznada en el punto C. su área transversal es A = 1.25 pulg2 y su longitud es de 24 pulg. Determine la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0. El módulo de elasticidad es E = 30000ksi.002 pulg hacia arriba . 002 pulg hacia arriba . Determine la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0.25 𝑝𝑢𝑙𝑔2 y su longitud es de 24 pulg. su área transversal es 𝐴 = 1.Ejemplo 16 Una barra rígida BCD está engoznada en el punto C. Si el poste A tiene un módulo de elasticidad E = 30000 ksi. Determine la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0.Ejemplo 17 Una barra rígida BCD está engoznada en el punto C.2 m.75 mm hacia la izquierda . su área transversal es A = 15 mm2 y su longitud es de 1. Si la barra A tiene un módulo de elasticidad es E = 100 GPa. su área transversal es 𝐴 = 15 𝑚𝑚2 y su longitud es de 1. Si el poste A tiene un módulo de elasticidad es E = 100 GPa. Determine la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0.2 m.75 mm hacia la izquierda .Ejemplo 18 Una barra rígidaBCD está engoznada en el punto C. Ejemplo 19 El rodillo en P se mueve en la ranura debido a la fuerza F = 100 kN . El elemento AP tiene una sección transversal A = 100 mm2 y un módulo elástico de 200 Gpa. Determine el desplazamiento del rodillo . 25 pulg2 y su longitud es de 24 pulg.Ejemplo 20 Una barra rígida está engoznada en el punto C. . El módulo de elasticidad es E = 30000ksi. Determine el esfuerzo axial en la barra A y el desplazamiento del punto D sobre la barra. su área transversal es A = 1. . El módulo de elasticidad es E = 30000ksi. su área transversal es A = 1. Determine el esfuerzo axial en la barra A y el desplazamiento del punto D sobre la barra.Ejemplo 21 Una barra rígida está engoznada en el punto C.25 pulg2 y su longitud es de 24 pulg. La barra AP y BP tienen longitudes de 200 mm y 250 mm. Las dos barras tienen una sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo de elasticidad E = 200 Gpa.Ejemplo 22 Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. Determine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra A . respectivamente. Las dos barras tienen una sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo de elasticidad E = 200 Gpa. respectivamente. Determine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra A .Ejemplo 23 Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. La barra AP y BP tienen longitudes de 200 mm y 250 mm. Determine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra A . respectivamente. Las dos barras tienen una sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo de elasticidad E = 200 Gpa.Ejemplo 24 Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. La barra AP y BP tienen longitudes de 200 mm y 250 mm. Si P = 100 kips. la placa está engoznada en el punto C. Determine el esfuerzo axial en las barras A y B . Las longitudes de las barras A y B es de 30 y 50 pulg. Ambas barras tienen un área transversal de A = 1 pul2 y un módulo de elasticidad E = 30000ksi. respectivamente.004 pulg antes de que se aplique la fuerza F.Ejemplo 25 Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe una brecha de 0. Las longitudes de las barras A y B es de 30 y 50 pulg. Ambas barras tienen un área transversal de A = 1 pul2 y un módulo de elasticidad E = 30000ksi. .004 pulg antes de que se aplique la fuerza F. respectivamente.Ejemplo 26 Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe una brecha de 0. Si el esfuerzo normal permisible en las barras es 20 ksi en tensión o compresión. Determine la fuerza máxima P que puede aplicarse al conjunto. la placa está engoznada en el punto C. 5 m. . respectivamente. Determine: (a) el cambio dimensional en la longitud de laa dos barras y (b) su cambio en el diámetros.Ejemplo 27 Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe una brecha de 0. y sus diámetros de 5 mm y 30 mm.28 Si la fuerza F = 75 kN. La barras son de acero (E = 200 GPa) y tienen un módulo de Poisson  =0. La placa está engoznada en el punto C.004 pulg antes de que se aplique la fuerza F. Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1. Ejemplo 28 Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe una brecha de 0. y sus diámetros de 5 mm y 30 mm.004 pulg antes de que se aplique la fuerza F.28. respectivamente. La barras son de acero (E = 200 GPa) y tienen un módulo de Poisson  =0. Determine la fuerza máxima F que puede aplicarse . La placa está engoznada en el punto C.5 m. Si los esfuerzos admisibles en las barras A y B son de 110 Mpa y 125 Mpa. respectivamente. Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1. La barra A está hecha de acero estructural (E = 200 GPa) y la barra B está hecha de aluminio (E = 73 GPa). determine: (a) El área transversal mínima aceptable para la barra B si la barra A tiene un área transversal de 625 mm2 y (b) El desplazamiento vertical del extremo D de la barra rígida. .Ejemplo 29 Una estructura conectada con seguros está sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura. El miembro CD es rígido y horizontal antes de aplicar la carga P de 75 kN. Si los esfuerzos admisibles son 125 MPa para el acero y 70 MPa para el aluminio. La barra A está hecha de aluminio (E = 10600 klb/pulg2) y la barra B está hecha de bronce (E = 15000 klb/pulg2). Si los esfuerzos normales en las barras deben limitarse a 20 klb/pulg2 en el aluminio y 15 klb/pulg2 en el bronce. . Cuando se aplican a la estructura las cargas D = 16 klb y E = 8 klb. Determine: (a) Las áreas mínimas que serían adecuadas para las barras.Ejemplo 30 La estructura conectada con seguros mostrada en la figura ocupa la posición mostrada cuando no está sujeta a cargas. la barra rígida C debe colocarse horizontal. (b) los cambios de longitud de las varillas A y B. es horizontal antes de aplicar la carga P. El tirante A es una barra de acero (E= 210 GPa) rolado en caliente con una longitud de 450 mm y un área transversal de 300mm2. (c) El desplazamiento vertical del punto D.Ejemplo 31 • La barra rígida CDE. Después de que se aplica la carga P de 225 kN. (b)El esfuerzo cortante en el seguro de 20mm de diámetro en C. el poste B es un madero de roble (E = 12 GPa) con una longitud de 375 mm y un área transversal de 4500 mm2. que se encuentra a cortante doble. mostrada en la fig. determine: (a)Los esfuerzos normales en la barra A y el poste B. . 24 pulg2.106 lb/pulg2) que tiene un área transversal de 4 pulg2. El miembro B es un poste de latón (E = 15.106 lb/pul2) que tiene un área transversal de 1. Determine el valor máximo admisible de la carga P si los esfuerzos normales admisibles son 30 klb/pulg2 para el acero y 20 klb/pulg2 para el latón. .Ejemplo 32 La barra A de la figura es una varilla de acero (E = 30.