Elementos Básicos de Cálculo Diferencial Elementos Básicos de Cálculo Diferencial Jesús del Valle Sierra ISBN 958-665-961-0 Segunda edición, febrero de 2007 Todos los derechos reservados. No se permite la reproducción, archivo o transmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro sin permiso de los editores Ude@. Impreso en Medellín, Colombia. Imagen de la portada Fotografía de la escultura «El coqueteo» Escultura elaborada en bronce policromado a la cera perdida. «El coqueteo» y «El beso», ambas ubicadas frente al Museo Universitario, pertenecen a la colección Expresiones. Su autor, Gabriel Vélez Calle, fue el Artista Invitado a la Bienal Especializada en Arte: Primer Salón Nacional de Escultura 2004. «El coqueteo» muestra una gran habilidad técnica que mezcla el desarrollo de formas, texturas, pátinas y colores, con el manejo del bronce como objeto plástico. Esta hermosa obra no sólo tiene riqueza visual: es una «exposición para tocar». Acerca del autor Jesús del Valle Sierra Jesús del Valle Sierra Matemático de la Universidad de Antioquia (1977), especialista en Matemáticas Avanzadas de la Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogotá, 1987). Actualmente se desempeña como Coordinador de Cursos de Servicio del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Antioquia. Correo electrónico:
[email protected] Cómo usar este texto Como estudiante del programa de Educación no presencial de la Universidad de Antioquia, Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería. Los cursos Ude@ permiten fortalecer estas características mediante el desarrollo de diferentes actividades1. Estudio individual, apoyado en diferentes medios (impresos, audiovisuales, multimedia). Estudio en grupo y acompañamiento del profesor a través del aula virtual. Tutorías presenciales, cuya finalidad es apoyar el aprendizaje y afianzar los temas estudiados. El texto Ude@ En el modelo Ude@ los contenidos educativos son aportados por cada medio teniendo en cuenta las fortalezas propias de cada uno de ellos. Desde el punto de vista pedagógico, el texto impreso es por tradición un medio idóneo para los procesos de educativos ya que facilita el aprendizaje de hechos, la compresión de principios generalizados o abstractos y el desarrollo del razonamiento lógico. En estos aspectos, el texto Ude@ es un medio muy eficaz para desarrollar y adquirir tales destrezas. Estructura del texto El texto Elementos Básicos de Cálculo Diferencial ha sido desarrollado como parte del material educativo de los estudiantes del programa; sin embargo, su contenido puede ser de gran utilidad para cualquier persona que desee estudiar este tema. La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica. La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos o temas. Al empezar cada capítulo se encuentra un «Contenido breve» que muestra el número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, una introducción, los objetivos de aprendizaje, unas preguntas básicas (relacionadas con los conocimientos previos requeridos) y el índice temático del contenido, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase. 1 Los cursos tienen un cronograma de actividades semanal que lo orientará en su proceso de aprendizaje. Los iconos y la interrelación de medios El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (audiovisuales, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de estos enlaces está dada por los iconos Ude@. Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráficos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios. Sugerencias para los estudiantes En la lectura del libro: Antes de iniciar el estudio de un capítulo, lea el contenido breve y la presentación. Trate de resolver las preguntas básicas de cada módulo; estas preguntas están diseñadas para ayudarle a comprender los conceptos o temas presentados a lo largo del mismo. Lea los ejemplos intercalados en los bloques de texto y trate de resolver los ejercicios con el fin de mejorar sus habilidades en la solución de problemas reales. Complemente la lectura del libro con las herramientas de comunicación que posee en el aula virtual y en su correo electrónico. Recuerde que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso también existe material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se repite sino que se complementa. En el aula virtual: Aprenda cómo funcionan las herramientas indispensables para participar en un curso por red: sistema de correo electrónico, sistema de chat, grupos de discusión, búsquedas en Internet, consulta en bases de datos especializadas, entre otras. Revise el correo electrónico todos los días. Visite con relativa frecuencia el sitio Ude@ y la plataforma donde se publica el curso en Internet para enterarse de cualquier nueva información. Apóyese en la red como un sistema de consulta y establezca criterios para seleccionar la información requerida. Introduzca sus datos personales en el aula virtual para que sus tutores y compañeros tengan acceso a ellos. Desarrolle, en la primera semana, las actividades preparativas para el curso indicadas en el aula virtual. Dedique al menos tres horas semanales por cada crédito asignado a un curso para leer los módulos, realizar trabajos, participar en los foros de discusión y presentar evaluaciones, de acuerdo con lo establecido en el cronograma. Planee su agenda personal para participar activamente en cada curso y entregar oportunamente sus tareas. En caso de algún imprevisto, debe comunicarse inmediatamente con el tutor. Participe de las actividades propuestas para realizar en forma individual y en grupos de trabajo. Haga parte de grupos de trabajo conformados con sus compañeros de curso y en ningún caso pretenda realizar todas las actividades sin ayuda de los demás. Manifieste oportunamente a sus compañeros y al profesor las dificultades que se le presentan con las actividades propuestas. Elabore su propio horario de trabajo independiente para el curso y cumpla con el cronograma del curso. Realice con honradez las actividades de evaluación, autoevaluación y coevaluación que encuentre programadas en el curso. Durante su proceso de aprendizaje trate de adquirir autonomía con el conocimiento, es decir, intente construir nuevos conocimientos recurriendo a fuentes de información bibliográfica y a sus habilidades de comparación, análisis, síntesis y experimentación. Mantenga una actitud de colaboración con compañeros, tutores y monitores, y esté siempre dispuesto a realizar las actividades de aprendizaje. Relaciónese de manera respetuosa y cordial con los demás estudiantes, con el tutor y con los monitores. Objetivos del proyecto de aula Objetivos generales 1. Familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del cálculo (el análisis matemático) y hacerle notar la necesidad de dicho lenguaje cuando se aborda el estudio de cualquiera de sus áreas. Manejar apropiadamente el cálculo de funciones de una variable real, así como los conceptos fundamentales relacionados con ellas: límite, continuidad y derivada. Indicar las diferentes etapas y estrategias que pueden emplearse cuando se analiza una situación problemática y se busca llegar a su solución. Evidenciar la necesidad de distinguir con claridad cuáles son los datos y cuáles son los resultados pedidos; así mismo, diferenciar claramente, en los teoremas, las hipótesis y las tesis. Facilitarle al estudiante, mediante el desarrollo teórico de los temas, el trazado de curvas con todos sus elementos básicos: dominio, rango, asíntotas, máximos, mínimos, concavidad, etc. 9. 5. Desarrollar en el estudiante, mediante modelos propios de la ingeniería, la capacidad de plantear y resolver problemas de optimización. 10. 6. Conocer el concepto fundamental del cálculo, como es el límite de una función, puesto que éste no solamente aparece en los temas siguientes del curso (continuidad, derivación e integración), sino también en los temas de los cursos de Cálculo II y Cálculo III (series, funciones de varias variables, integrales múltiples y cálculo vectorial). Establecer los fundamentos y nexos requeridos con los proyectos de aula que tiene este curso como prerrequisito o correquisito, especialmente con Cálculo II, Cálculo III y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Diseñar situaciones problema integrales que faciliten la intervención del mayor número posible de elementos teóricos básicos, mostrando la necesidad de establecer relaciones adecuadas entre ellos para su utilización óptima. Proponer situaciones problema que involucren propiedades interesantes del cálculo y que estimulen el espíritu investigativo. 10. Mostrar en el desarrollo temático del curso, cómo se articula la teoría, introduciendo las definiciones correctas que surgen de manera natural para designar relaciones y demostrar los teoremas más importantes. Objetivos específicos 2. 1. Establecer inicialmente de una manera intuitiva, por medio de ejemplos, el concepto más importante del cálculo: el límite. Notar cómo en el mapa conceptual del curso aparece la palabra límite en el centro y los temas principales emanan de ella. Establecer la definición rigurosa (definición de Cauchy) del límite de una función (conocida como la forma ∈ − δ ) y cuál es su significado geométrico en el plano cartesiano. Ilustrar la definición rigurosa de límite por medio de los plantemientos desarrollados en la Grecia antigua (siglo III a.C.) y los métodos sistemáticos de Newton y Leibniz veinte siglos después. Presentar la definición precisa de la derivada de una función, su interpretación geométrica y física, y las distintas notaciones que se usarán durante el curso. Destacar la relación existente entre derivabilidad y continuidad mediante un teorema, cuyo contrarrecíproco establece un criterio de discontinuidad. Mostrar con ejemplos gráficos el significado de las expresiones «ser derivable» y «no ser derivable», y cómo influyen en el grado de suavidad de una curva. Establecer las propiedades de las funciones derivables (reglas de derivación) y cómo usarlas en la solución de ejercicios. Mostrar cómo el operador derivada puede aplicarse de manera reiterada a una función, generando las llamadas derivadas de orden superior y, de esta forma, dar sentido a la expresión: «función n-veces derivable». Introducir la noción de derivada implícita y la forma de usarla para calcular la derivada de una función, sin necesidad de despejar la variable y como función explícita de x. Repasar las funciones trascendentes (trigonométri- 3. 2. 3. 4. 11. 12. 7. 13. 8. 14. 9. 15. cas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas) y las reglas correspondientes de derivación. 16. Combinar adecuadamente las funciones e x y e−x para generar las funciones hiperbólicas, sus derivadas y algunas aplicaciones a la ingeniería: la catenaria. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites infinitos y límites al infinito, y su significado geométrico en el plano cartesiano. Introducir la noción de asíntota (horizontal, vertical y oblicua) y su relación con los límites infinitos y límites al infinito. Presentar las formas indeterminadas 0 ∞ o , y cómo 0 ∞ eliminarlas usando la llamada regla de L´Hopital. cuadamente las ayudas proporcionadas en los cuatro objetivos anteriores. 23. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en problemas de optimización que son de relevancia en diferentes áreas de la ingeniería. Usar la derivada como razón de cambio en problemas de variables ligadas, las cuales presentan variación con respecto al tiempo. Intentar dar un significado a la notación de Leibniz 17. 24. 18. 25. 19. ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ para la derivada, no como un símbolo comple⎝ dx ⎠ to, sino como símbolos separados dy y dx . 26. Deducir las fórmulas diferenciales a partir de las reglas de derivación y usarlas en la solución de problemas de aproximaciones y en la estimación de errores en algunos problemas característicos en las ciencias. 20. Reducir otras formas indeterminadas: ∞ − ∞, 0∞ , 00 , ∞ 0 , 1∞ , a una de las formas 0 ∞ o y aplicar la regla 0 ∞ de L’ Hopital. 21. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo concerniente a la determinación de extremos absolutos, extremos relativos, análisis de monotonía y análisis de concavidad. Ilustrar con ejemplos el trazado de curvas, usando ade- 22. Tabla de contenido Capítulo 1: Límite de funciones de variable real Pág. 19 Módulo 1 Noción intuitiva del límite Módulo 2 Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función Módulo 3 Escogencia del delta (δ) dado el épsilon (∈ ) Módulo 4 Teoremas sobre límites Módulo 5 Límites laterales Ejercicios Capítulo 1, módulos 1 al 5 31 21 27 35 41 45 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real Pág. 59 Módulo 6 Idea intuitiva y definición de función continua Módulo 7 Teoremas sobre funciones continuas Módulo 8 Continuidad en un intervalo Ejercicios Capítulo 2, módulos 6 al 8 61 67 71 74 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Pág. 81 Módulo 9 Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notación Módulo 10 Relación derivada-continuidad y derivadas laterales Módulo 11 Reglas de derivación Módulo 12 Derivadas de orden superior y derivación implícita Módulo 13 Funciones trascendentes y sus derivadas 83 89 95 105 111 Módulo 14 Otras funciones trascendentes y sus derivadas Módulo 15 Límites al infinito y asíntotas de una curva Módulo 16 Límites infinitos y asíntotas verticales Módulo 17 Asíntotas oblicuas Módulo 18 Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital Módulo 19 Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos Ejercicios Capítulo 3, módulos 9 al 19 123 137 149 155 159 167 188 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Pág. 195 Módulo 20 Interpretaciones geométrica y física de la derivada Módulo 21 Valores extremos de una función de variable real Módulo 22 Teorema del valor medio (TVM) para derivadas Módulo 23 Criterio de la primera derivada Módulo 24 Criterio de la segunda derivada Módulo 25 Análisis y trazado de curvas Módulo 26 Problemas de máximos y mínimos Módulo 27 La derivada como razón de cambio Módulo 28 La diferencial Ejercicios Capítulo 4, módulos 20 al 28 197 209 221 229 237 247 267 277 287 295 Apéndice: Pág. 303 Apéndice I El sistema de los números reales Apéndice II La línea recta Apéndice III Funciones y sus gráficas 303 323 338 Prólogo Consciente de la gran cantidad de textos de cálculo que invade el mercado universitario, y atendiendo la solicitud del profesor Guillermo Ospina a nuestro Departamento de Matemáticas, he decidido recopilar en este primer texto lo que, a mi juicio, debe ser un curso inicial de esta materia para cualquiera de las carreras de ingeniería. Como docente que he sido de los cursos de Cálculo I, Cálculo II y Cálculo III que nuestro Departamento sirve a la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Antioquia, lo que he hecho es recoger e integrar los tópicos básicos del curso Cálculo I (límite, continuidad y derivada) en una forma coherente, racional y metodológica. Así por ejemplo, he considerado que los límites al infinito y límites infinitos están íntimamente ligados con el concepto de asíntota de una curva, al igual que con la regla de L’Hopital que permite la evaluación de los mismos. Por esta razón, presento dichos temas en los módulos 15 a 18. Igualmente, en la deducción de las fórmulas para las derivadas de las funciones inversas (módulos 13 y 14) se hace uso de la definición y de la derivación implícita, método que, según mi parecer, asimila más fácilmente el estudiante que el proporcionado por el teorema de la derivada de la función inversa que aparece al final del apéndice III. El texto está escrito en el lenguaje normal de nuestros cursos de cálculo. Las definiciones (muchas de ellas presentadas de manera intuitiva) y teoremas, están seguidos de observaciones y ejemplos gráficos que ayudan a su comprensión. Al final de cada capítulo aparece una colección de ejercicios resueltos en cuyos procedimientos se dan pautas para que el estudiante resuelva luego los ejercicios propuestos que aparecen a continuación. Las preguntas básicas en cada uno de los módulos pueden responderse después de estudiado el módulo correspondiente. Con ellas se busca medir el grado de aprendizaje del mismo por parte del estudiante, así como también empezar a prepararlo para las pruebas tipo ECAES que debe presentar para la cualificación profesional respectiva. Al final del texto he adjuntado tres apéndices, cuyos contenidos ayudan a comprender los conceptos básicos del cálculo. Estos tres apéndices, al igual que la mayor parte de los contenidos del curso, se encuentran en la página web http:// huitoto.udea.edu.co/Matematicas/, en el material que he elaborado para el programa de Matemáticas de la carrera de Ingeniería de Sistemas. Agradezco los comentarios positivos que ayuden a mejorar una futura edición. Todos serán bien recibidos en la dirección
[email protected] Jesús del Valle Sierra Mapa conceptual Capítulo 1 Límite de funciones de variable real Contenido breve Módulo 1 Noción intuitiva del límite Módulo 2 Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función Módulo 3 Escogencia del delta ( δ) dado el épsilon ( ∈) Módulo 4 Teoremas sobre límites Módulo 5 Límites laterales Ejercicios Capítulo 1, módulos 1 al 5 1 La velocidad en caída libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v = ⎛ ⎞ 64 ⎜ 1 pies 1 - kt ⎟ . ⎟ seg k ⎜ 4 ⎠ ⎝ e v= El tlim →∞ 64 pies se conoce con el nombre de velocidad terminal, la cual depende de k (k = 3: posición de águila extendida; k k seg = 1: posición plegada) y es la que debe controlar el paracaidista al llegar al suelo. Presentación Los temas tratados hasta ahora en el curso de Álgebra y Trigonometría de esta misma serie constituyen lo que se conoce como precálculo; es decir, proporcionan las herramientas básicas para el cálculo, pero no son cálculo. Nuestro propósito ahora es establecer inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, y posteriormente mediante la definición precisa, el concepto más importante del cálculo, como es el límite. Algunos autores definen el cálculo como el estudio de los límites. La noción de límite no solamente aparece en los temas siguientes del cálculo que se presentan en este curso (continuidad, derivación e integración), sino también en los temas de próximos cursos de cálculo (series, funciones de varias variables, integrales múltiples y cálculo vectorial). El mapa conceptual que se adjunta tiene la palabra límite en el centro, y se ve cómo los temas principales del cálculo emanan de él. 20 U de @ - Educación no presencial 1 Noción intuitiva del límite Introducción Maria Gaetana Agnesi Entre todos los conceptos del cálculo infinitesimal, el de límite es sin duda el más importante y quizás también el más difícil. Por esta razón iniciamos su estudio de una manera intuitiva. Lo que vamos a definir no es la palabra «límite» sino la noción de función que tiende hacia un límite. Maria Agnesi nació en Milán el 16 de mayo de 1718 y murió en esa misma ciudad el 9 de enero de 1799. Objetivos del módulo 1. Empezar a familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del cálculo y hacer ver la necesidad de dicho lenguaje al abordar el estudio de cualquiera de sus áreas. 2. Establecer de una manera intuitiva el concepto más importante del cálculo: el límite de una función. Preguntas básicas 1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso: si f (a) no existe, ¿entonces lim f ( x ) no existe? x→a 2. Considere la función f ( x ) = x2 − x − 2 . x−2 a. ¿Existe f (2)? b. Elabore una tabla de valores de f (x), con x cercanos a 2 (por ejemplo, x =2.1, f ( x). 2.01, 2.001, 1.9, 1.99, 1.999) y de esta forma estime el valor del límite lim x →2 Contenidos del módulo 1.1 Noción intuitiva del límite Una caída con altura Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la sección Sitios de Interés del curso Elementos Básicos de Cálculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/ lms/moodle/ Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 21 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 1.1 Noción intuitiva del límite Nuestro propósito ahora es acercarnos intuitivamente a la definición rigurosa del límite de una función. Vea el módulo 1 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. 2x2 − x −1 , con x ≠ 1 . El único vax −1 lor para el cual f (x) no está definida es x = 1, pero en puntos tan cercanos a 1 como se quiera la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿se aproxima f (x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1? Considérese la función definida por y = f ( x) = En la tabla 1 se hace un seguimiento de f (x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha (valores mayores que 1). Tabla 1. Valores de f (x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha 1 x 0 0.3 0.5 0.75 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 1.0001 1.0005 1.001 1.005 1.01 1.05 1.1 1.25 1.5 1.7 2 f (x) 1 1.6 2 2.5 2.8 2.9 2.98 2.99 2.998 2.999 2.9998 NO DEF 3.0002 3.001 3.002 3.01 3.02 3.1 3.2 3.5 4 4.4 5 * Acercarse a 1 por la izquierda Acercarse a 1 por la derecha * ** ** La observación atenta de la tabla 1 sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de x se «acercan» a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f (x) se «acercan» a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: El límite de la función f (x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas f ( x) → 3 cuando x → 1 (se lee: f (x) tiende a 3 cuando x tiende a 1). O también, lim f ( x) = 3 (se lee: el límite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3). x →1 De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra límite, se dice que: lim f ( x) = L , si se puede hacer que f (x) esté tan «cerca» de L como se quiera, x→a haciendo que x esté suficientemente «cerca» de a, pero siendo distinta de a. Volviendo al ejemplo inicial, supóngase que se quiere que f (x) difiera de 3 en valor absoluto en menos de 1. Es decir, se quiere que: 22 U de @ - Educación no presencial Módulo 1: Noción intuitiva del límite f ( x) − 3 < 1. Pregunta ¿Cómo elegir los valores de x para que se cumpla (1)? (1) En primer lugar, nótese que la desigualdad (1) puede escribirse en las formas equivalentes: f ( x) − 3 < 1 ⇔ −1 < f ( x) − 3 < 1, ⇔ 2 < f ( x) < 4. (2) En la tabla 1 se señalaron con asterisco (*) los valores de x para los cuales f (x) = 2 y f (x) = 4. Para que la desigualdad (2) se cumpla, nótese que se pueden elegir los valores de x de tal modo que 0.5 < x < 1.5, x ≠ 1, o equivalentemente, (3) 0.5 < x < 1.5, x ≠ 1 ⇔ 0.5 − 1 < x − 1 < 1.5 − 1, x ≠ 1, ⇔ −0.5 < x − 1 < 0.5, ⇔ x − 1 < 0.5, ⇔ 0 < x −1 < 0.5. x ≠ 1, x ≠ 1, (4) El anterior procedimiento nos indica que para que se satisfaga la desigualdad (2) basta que se satisfaga la desigualdad (4). Esto es, si 0 < x − 1 < 0.5, entonces f ( x) − 3 < 1. Supóngase ahora que se quiere que f ( x) − 3 < 0.01. (5) (6) Maria Gaetana Agnesi Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, Maria Agnesi fue la mayor de seis hermanos (cuatro hermanas y dos hermanos). En 1738 le publicaron Propositiones philosophicae, que abordaba los problemas de filosofía natural que habitualmente se discutían en los salones. Después escribió el libro Instituciones analíticas al uso de la juventud italiana, en el que explicaba una parte novedosa de las matemáticas: el cálculo analítico. El libro tuvo muy buena crítica. Se dedicó en profundidad al estudio del álgebra y la geometría y nueve años más tarde aparecieron publicadas las Instituzioni analitiche, sin duda la obra más importante de toda su carrera como matemática. Fue editado en varios idiomas y se utilizó como manual universitario en las universidades de distintos países, siendo aún cincuenta años más tarde el texto matemático más completo. Se encargó en Italia de los cursos de su padre, convirtiéndose así en la primera mujer de la historia que había dado clase de matemáticas en una institución de este nivel. El primer texto que incluyó el cálculo diferencial e integral, junto a la geometría analítica, las series infinitas y las ecuaciones diferenciales, fue escrito en la década de 1740 por la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi. La pregunta que surge nuevamente es la siguiente: ¿cómo elegir los valores de x para que se cumpla (6)? Un procedimiento similar al del caso anterior permite escribir la desigualdad (6) en la forma equivalente f ( x) − 3 < 0.01 ⇔ 2.99 < f ( x) < 3.01. (7) En la tabla se señalaron con doble asterisco (**) los valores de x para los cuales f (x) = 2.99 y f (x) = 3.01. Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de tal manera que: 0.995 < x < 1.005, x ≠ 1 ⇔ 0.995 − 1 < x − 1 < 1.005 − 1, x ≠ 1, Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 23 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real ⇔ −0.005 < x − 1 < 0.005, ⇔ 0 < x − 1 < 0.005. x ≠ 1, (8) Escuche el audio Historia del cálculo en las culturas antiguas en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Esto nos indica nuevamente que para que se cumpla la desigualdad (7) es suficiente que se cumpla la desigualdad (8). Esto es, si 0 < x − 1 < 0.005, entonces f ( x) − 3 < 0.01. (9) De manera similar a las dos preguntas anteriores, se podría preguntar cómo elegir los valores de x de tal forma que la diferencia f ( x) − 3 sea menor que cualquier número positivo, tan pequeño como se quiera. Se usa frecuentemente la letra griega ∈ (épsilon) para denotar tales números positivos. La pregunta entonces formulada de manera general sería la siguiente: ¿para cuáles valores de x, x ≠ 1 , se cumple que f ( x) − 3 < ∈ ? Un procedimiento similar al desarrollado en los dos casos anteriores permite verificar que es suficiente elegir los valores de x de tal manera que la diferencia x − 1 sea menor que cierto número positivo, corrientemente denotado por la letra griega δ (delta). Resumiendo: Si 0 < x − 1 < δ , entonces f ( x) − 3 < ∈ . La cantidad de ensayos que se pueden efectuar con valores pequeños dados de ∈ es innumerable y no se demostraría nada con respecto a la existencia del límite de f (x). Sólo serviría para convencernos intuitivamente de que f (x) tiende al valor 3 cuando x tiende a 1. Únicamente cuando se logre demostrar que para cualquier número positivo ∈ dado, existe al menos otro número positivo δ tal que si 0 < x − 1 < δ , entonces f ( x) − 3 < ∈, se le dará a nuestra intuición una formulación exenta de ambigüedades. Observación Muchas veces las cosas no son tan simples como parece en la noción intuitiva del límite de una función. En algunos casos el uso de la calculadora puede desorientarnos, así como también nuestra propia intuición. ⎡ 2 cos x ⎤ x − , y usamos la calculadora, Así por ejemplo, si deseamos calcular lim x →0 ⎢ 10.000 ⎥ ⎣ ⎦ se puede construir la tabla 2 que aparece a continuación: 24 U de @ - Educación no presencial Módulo 1: Noción intuitiva del límite Tabla 2. Valores de la función, cuando x se aproxima a 0 x ±1 ± 0.5 ± 0.1 ± 0.01 · · · 0 x2 − cos x 10.000 0.99995 0.24991 0.00990 0.000000005 · · · ? Si nos guiamos por la tabla, nuestra intuición nos llevará a concluir que cos x ⎤ ⎡ lim ⎢ x 2 − = 0. x →0 10.000 ⎥ ⎣ ⎦ Pero dicho resultado es incorrecto, ya que cerca de 0 la función coseno toma el valor 1. Así que: cos x ⎤ 1 ⎡ = 02 − = −0.0001. lim ⎢ x 2 − ⎥ x →0 10.000 ⎦ 10.000 ⎣ Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 25 26 U de @ - Educación no presencial 2 Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función Introducción En este módulo se precisan matemáticamente las ideas expuestas en forma intuitiva en el módulo 1. Es conveniente tener en cuenta que en un primer curso de cálculo no es muy importante familiarizarse con la definición rigurosa ya que a la misma matemática le costó más de 100 años precisarla como se conoce actualmente. Sin embargo, el trabajo intuitivo del módulo anterior nos permitirá, al menos, entender su contenido. Augustin Louis Cauchy Augustin Cauchy nació el 21 de agosto 1789 en París y murió el 24 de mayo de 1857 cerca de esa misma ciudad, en Sceaux. Objetivos del módulo 1. Establecer la definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función y su significado geométrico en el plano cartesiano. Preguntas básicas Diga si los dos enunciados siguientes son verdaderos o falsos: 1. ¿ 0 < x − 3 < 2 ⇔ x ∈ (1.5) ? 2. ¿ −1 < x < 5 y x ≠ 2 ⇔ 0 < x − 2 < 3 ? Contenidos del módulo 2.1 Definición de límite Escuche el audio Newton, el cálculo, la luna y las manzanas en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 27 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 2.1 Definición de límite Sea a un punto de un intervalo abierto I, y sea f (x) una función definida en I excepto posiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a es un real L f ( x) = L , si y solamente si para cada ∈ > 0 existe un δ > 0 tal y se escribe lim x→a Vea el módulo 2 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. que para todo x ∈ I , f ( x) − L < ∈ siempre que 0 < x − a < δ . Observaciones 1. (1) La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes: 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ∈, x − a < δ ∧ x ≠ a ⇒ − ∈ < f ( x) − L < ∈, −δ < x − a < δ ∧ x ≠ a ⇒ − ∈ + L < f ( x) < ∈ + L, a − δ < x < a + δ ∧ x ≠ a ⇒ L− ∈ < f ( x) < L + ∈, x ∈ ( a − δ , a + δ ) , x ≠ a ⇒ f ( x) ∈ ( L − ∈, L + ∈) . La figura 2.1 ilustra gráficamente el significado de ∈ y δ en esta última implicación. Obsérvese que para aquellos x que pertenecen al intervalo (a − δ, a + δ), los correspondientes f (x) pertenecen al intervalo (L − ∈, L + ∈). Figura 2.1 28 U de @ - Educación no presencial Módulo 2: Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función 2. El límite de una función no depende del valor de la función en el punto, aunque algunas veces coincide, sino del valor de la función en las «cercanías» del punto. Así por ejemplo, considérese la función f definida por: f ( x) = 3 ; sin embargo, f (1) = 5. Vimos intuitivamente en la sección 1.1 que lim x →1 Nótese que f ( x) = 2 x 2 − x − 1 ( 2 x + 1)( x − 1) = = 2 x + 1 si x ≠ 1. x −1 ( x − 1) De esta forma la función f (x), después de simplificarla, se puede escribir así: ⎧2 x + 1 f ( x) = ⎨ ⎩ 5 si x ≠ 1 si x = 1 Su gráfica aparece en la figura 2.2. Nótese que los valores de f (x) están cerca de 3, cuando los valores de x están próximos a 1. ⎧ 2x2 − x − 1 ⎪ f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪5 ⎩ si x ≠ 1 si x = 1 Augustin Louis Cauchy Augustin Cauchy no sólo fue uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX, sino que también investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Cauchy precisó los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir, curvas sin tangentes. Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones complejas, las secuencias de Cauchy y las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Cauchy produjo 789 escritos, pero fue desaprobado por la mayoría de sus colegas. Mostró una obstinada rectitud a sí mismo y un agresivo fanatismo religioso. Figura 2.2 3. . La definición de límite no establece la manera de determinar el δ para un ∈ dado. En las demostraciones sobre límites el procedimiento está orientado a dejar en claro cómo se puede determinar dicho δ. Algunas veces, como en los dos ejemplos de la sección siguiente, se puede establecer una relación entre δ y ∈ que satisface la definición y esto es suficiente para dar por terminada la demostración. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 29 30 U de @ - Educación no presencial 3 Escogencia del delta (δ ) dado el épsilon (∈) Introducción En este módulo se incluyen dos ejemplos que le enseñan al estudiante a encontrar el δ apropiado con el ∈ dado. No se pretende con ellos dar un esquema general de demostración, sino, más bien, ilustrar el método directo de demostración. El término elongación se utiliza en mecánica para indicar estiramiento de un resorte (dispositivo fabricado con un material elástico, que experimenta una deformación significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza). En el bungee jumping, por ejemplo, este dispositivo suele estar arrollado y su elongación es proporcional a la fuerza aplicada, con lo que el resorte puede calibrarse para medir dicha fuerza. Objetivos del módulo 1. Ilustrar la definición rigurosa de límite por medio de ejemplos, en los cuales dado el ∈, se pide encontrar el correspondiente δ en concordancia con la definición. Preguntas básicas 1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso (antes de responder, considere algunas propiedades del valor absoluto): ¿Si x − 2 < 1, y x − 2 < ∈ 2 , entonces x − 4 < ∈ ? 5 Contenidos del módulo 3.1 Ejemplo 1 3.2 Ejemplo 2 Relación épsilon-delta Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la sección Sitios de Interés del curso Elementos Básicos de Cálculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/ Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 31 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 3.1 Ejemplo 1 Usando la definición del límite de una función, demuestre que lim Vea el módulo 3 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. 2 x2 − x − 1 = 3. x →1 x −1 Solución/Análisis preliminar Sea ∈ un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ > 0 tal que 2 x2 − x − 1 − 3 < ∈. x −1 si 0 < x − 1 < δ , entonces (1) Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1). 2x2 − x −1 (2 x + 1)( x − 1) − 3 < ∈⇔ − 3 < ∈ (factorizando), x −1 ( x − 1) ⇔ (2 x + 1) − 3 < ∈ (simplificando, puesto que x − 1 ≠ 0), ⇔ 2x − 2 < ∈, ⇔ x −1 < ∈ ∧ x ≠ 1. 2 (2) Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger δ = ∈ (cualquier valor menor funciona). 2 Solución/Prueba formal Dado ∈ > 0, existe δ = ∈ > 0 tal que: 2 0 < x − 1 < δ ⇒ x − 1 < δ ∧ x ≠ 1, ⇒ x −1 < ∈ ∧ x ≠ 1, 2 ⇒ 2 x − 2 < ∈ ∧ x ≠ 1, ⇒ (2 x + 1) − 3 < ∈ ∧ x ≠ 1, ⇒ (2 x + 1)( x − 1) − 3 < ∈, ( x − 1) ⇒ 2 x2 − x − 1 − 3 < ∈. ( x − 1) 32 U de @ - Educación no presencial Módulo 3: Escogencia del delta (δ ) dado el épsilon (ε ) El significado de la dependencia entre el ∈ y el δ es la siguiente: si una persona A rodea al valor y = 3 con una banda de ancho ∈ , entonces B rodea el valor x = 1 con una banda de ancho δ = ∈/2. En particular, si en este ejemplo A escoge un ∈ = 0.01, entonces B responderá con un δ = 0.005. Si A propone ∈ = 0.0002, B escogerá δ = 0.0001 (cualquier valor menor también cumple). La gráfica de la función y = f ( x) = 2x2 − x − 1 es la misma que corresponde a la x −1 recta de ecuación y = 2 x + 1, con x ≠ 1. En la figura 3.1 aparece la gráfica de la función dada. Nótese que si el ancho de la banda alrededor del punto y = 3 es ∈ , entonces el ancho de la banda alrededor del punto x = 1 es δ = ∈/2. Figura 3.1 3.2 Ejemplo 2 Usando la definición del límite de una función, demuestre que lim ( x 2 − 4 x − 7) = 5. x →−2 Solución/Análisis preliminar Sea ∈ un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ > 0 tal que si 0 < x − (−2) < δ , entonces ( x 2 − 4 x − 7) − 5 < ∈ . (1) Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1). Esto es, ( x 2 − 4 x − 7) − 5 < ∈ ⇔ x 2 − 4 x − 12 = ( x − 6)( x + 2) < ∈, ⇔ x − 6 ⋅ x + 2 < ∈. (2) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 33 Capítulo 1: Límites de funcione de variable real Para poder establecer una relación entre el δ de (1) y el ∈ de (2) debemos acotar el factor x − 6 . Para ello, podemos asumir inicialmente que x + 2 < 1 . Así que x − 6 = ( x + 2) − 8 ≤ x + 2 + −8 < 1 + 8. Esto es, x − 6 < 9 ∧ x + 2 < δ ⇒ x − 6 x + 2 < 9δ . (3) Comparando las desigualdades (2) y (3) se puede escoger δ = ∈ /9 (cualquier valor menor funciona). Solución/Prueba formal ⎛ ∈⎞ Dado ∈ > 0, existe δ ≤ mínimo ⎜1, ⎟ tal que: ⎝ 9⎠ 0 < x+2 < δ ⇒ x+ 2 <1 ∧ x+2 < ∈ , 9 ∈ , 9 ⇒ x − 6 = ( x + 2) − 8 ≤ x + 2 + −8 < 9 ∧ x + 2 < ∈ ⇒ x − 6 ⋅ x + 2 < 9· , 9 ⇒ x − 6 ⋅ x + 2 < ∈, ⇒ x 2 − 4 x − 12 < ∈, ⇒ ( x 2 − 4 x − 7) − 5 < ∈ . 34 U de @ - Educación no presencial 4 Teoremas sobre límites Introducción En este módulo se presentan, sin demostración, los teoremas más importantes del álgebra de los límites funcionales. Estos teoremas son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición. René Descartes René Descartes nació en La Haye (hoy llamada Descartes) el 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo el 11 de febrero de 1650. Objetivos del módulo 1. Establecer las propiedades de los límites de funciones (álgebra de límites) y la forma de usarlas en la solución de ejercicios. 2. Establecer la primera forma indeterminada y la manera de eliminarla factorizando y/o racionalizando. Preguntas básicas Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: f ( x ) y lim g ( x) , ¿pueden existir lim [ f ( x) + g ( x) ] 1. Si no existen los límites lim x→a x→a x→a f ( x) g ( x) ? y lim x→a f ( x) y lim [ f ( x ) + g ( x ) ] , ¿debe existir lim g ( x) ? 2. Si existen los límites lim x→a x→a x→a f ( x) y no existe lim g ( x), ¿puede existir lim [ f ( x ) + g ( x ) ] ? 3. Si existe lim x→a x →a x→a f ( x ) y lim f ( x) g ( x), ¿se sigue de ello que existe 4. Si existen los límites lim x→a x →a lim g ( x) ? x→a Contenidos del módulo 4.1 Teorema 1: Unicidad del límite 4.2 Teorema 2: Álgebra de límites 4.3 Teorema 3: Límite de funciones iguales 4.4 Teorema 4: Teorema del sánduche Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 35 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 4.1 Teorema 1: Unicidad del límite f ( x) = L1 y lim f ( x) = L2 , entonces L1 = L2 . Si lim x →a x →a En palabras: si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único. Vea el módulo 4 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Una manera equivalente y de uso práctico de enunciar el teorema 1 es la siguiente: f ( x) = L1 y lim f ( x) = L2 y L1 ≠ L2 , entonces lim f ( x ) no existe. si lim x →a x→a x→a 4.2 Teorema 2: Álgebra de límites f ( x) y Sea n un entero positivo, K una constante real y f y g funciones tales que lim x→a lim g ( x ) existen. Entonces: x→a 1. 2. 3. lim K = K . x →a (el límite de una constante es la constante) (límite de la función identidad) (toda constante puede salir del límite) lim x = a. x →a lim K ⋅ f ( x) = K ⋅ lim f ( x). x →a x →a 4. lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x ) + lim g ( x ). x→a x→a x→a (el límite de una suma de funciones es la suma de los límites) 5. lim [ f ( x) − g ( x) ] = lim f ( x) − lim g ( x). x→a x→a x→a (el límite de la diferencia de funciones es la diferencia de los límites) 6. lim [ f ( x) ⋅ g ( x ) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x) x→a x→a x→a (el límite de un producto es el producto de los límites) f ( x) f ( x) lim = x→a lim g ( x) ≠ 0 g ( x) lim g ( x) siempre que x → a x→a 7. lim x→a (el límite de un cociente es el cociente de los límites) n lim [ f ( x ) ] = ⎡ lim f ( x ) ⎤ (el límite de una función potencial es la potencia x→a ⎣ x→a ⎦ del límite) n 8. 36 U de @ - Educación no presencial Módulo 4: Teoremas sobre límites Consecuencias del teorema 2 (C.L.) f1 ( x), lim f 2 ( x),......, lim f n ( x) existen, entonces son válidas las siguientes Si lim x→a x→a x→a dos reglas (C.L1, C.L2): C.L.1 lim [ f1 ( x) ± f 2 ( x) ± .... ± f n ( x) ] = lim f1 ( x) ± lim f 2 ( x) ± .... ± lim f n ( x). x →a x →a x→a x→a C.L.2 lim [ f1 ( x )· f 2 ( x)..... f n ( x ) ] = lim f1 ( x)·lim f 2 ( x )····lim f n ( x). x→a x→a x→a x→a C.L.3 xn = an . Si n es un entero positivo, lim x →a C.L.4 1 1 si a ≠ 0. = Como caso particular del límite de un cociente, se tiene que lim x →a x a En general, si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces lim x →a C.L.5 Límite de una función polinómica 1 1 = . xn an René Descartes Al dejar la escuela en 1612, René Descartes fue a París y una vez allí, por medio de los jesuitas, renovó su contacto con el teólogo y filósofo Marin Mersenne, con quien consagró dos años al estudio de la matemática. También conoció al filósofo Isaac Beeckman, con quien trabó una calurosa amistad. Hacia 1626 se estableció en París donde se dedicó a la construcción de elementos ópticos hasta 1629, cuando, influenciado por el Cardenal de Berulle, viajó a Holanda y escribió para el periódico Le Monde una teoría física del universo, pero convencido de que ello le podría significar una enemistad con la Iglesia, decidió finalmente abandonar la idea, que recién se publicaría en 1664. Se dedicó entonces a componer un tratado de ciencia universal que finalmente fue publicado junto a dos apéndices en 1637. En 1641 publicó otro trabajo llamado Meditaciones, que trataba su posición en la filosofía. Luego, en 1644, publicó su Principia philosophiae , dedicado esencialmente a la física, en especial a las leyes de movimiento. Sin duda, la principal contribución de Descartes a la ciencia matemática fue su visión de que un punto cualquiera del plano geométrico podía representarse por medio de un par ordenado ( x, y) –llamadas luego, en honor a él, «coordenadas cartesianas»– que en definitiva representaban la distancia perpendicular desde los ejes del sistema hasta dicho punto. En uno de sus libros, llamado Géométrie , Descartes expone un análisis del álgebra general sentando las bases de un idioma que luego resultaría universal. Es allí donde por primera vez denota con las primeras letras del alfabeto aquellas cantidades conocidas, y con las últimas las cantidades desconocidas, notación que ha prevalecido hasta la actualidad. Si Pn ( x) = bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + b0 es un polinomio de grado n en x, entonces: n n −1 lim ⎡ bn x n + bn −1 x n −1 + .... + b1 x + b0 ⎤ ⎦ = bn a + bn −1a + .... + b1a + b0 . x →a ⎣ C.L.6 Límite de una función racional Si m y n son enteros positivos, bn ≠ 0, cm ≠ 0, entonces n n −1 ⎡bn x n + bn −1 x n −1 + .... + b1 x + b0 ⎤ ⎦ = bn a + bn −1a + .... + b1a + b0 . lim ⎣ m m −1 x→a c x + c + .... + c1 x + c0 cm a m + cm −1a m −1 + .... + c1a + c0 m m −1 x siempre que cm a m + cm −1a m −1 + .... + c1a + c0 ≠ 0. 4.3 Teorema 3: Límite de funciones iguales Sean f (x) y g (x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto a y tales que: 1. f ( x) = g ( x) para todo x ∈ I , excepto posiblemente en a. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 37 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 2. lim g ( x) existe y es L. x →a Entonces, lim f ( x) = L. x →a Así por ejemplo, la función ⎧ 2 x2 − 5x − 3 ⎪ f ( x) ⎨ x −3 ⎪ 2 ⎩ si x ≠ 3 si x = 3 y la función g ( x) = 2 x + 1 son iguales en todos los puntos del eje real, excepto en el punto x = 3 (figura 4.1). g ( x) = lim (2 x + 1) = 7 . Así que de acuerdo al teorema 3, lim f ( x) = 7. Pero lim x →3 x →3 x →3 Figura 4.1 38 U de @ - Educación no presencial Módulo 4: Teoremas sobre límites Observación importante f ( x), se tendría que Si en el ejemplo anterior evaluáramos directamente lim x →3 lim f ( x) = lim x →3 2 x 2 − 5 x − 3 2(3)2 − 5(3) − 3 0 = = . x →3 x −3 3−3 0 El cociente 0 0 no es un número real y se conoce en el cálculo como una forma indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebraicas se puede transformar la función en una función equivalente que tiene límite y que de acuerdo con el teorema 3 coincide con el límite de f (x). Efectuar el proceso algebraico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como «eliminar la indeterminación». 2 x2 − 5x − 3 (2 x + 1)( x − 3) = lim (factorizando), x → 3 ( x − 3) x−3 Así, lim x →3 lim (2 x + 1) (simplificando), x →3 = 2 · 3 + 1 = 7. En los ejercicios resueltos 2, 3, 4, 5 y 6 al final del capítulo 1 se ilustra nuevamente este procedimiento. 4.4 Teorema 4: Teorema del sánduche Sean f (x), g (x) y h (x) tres funciones definidas en un intervalo I, excepto posiblemente en el punto a ∈ I y tales que: 1. 2. f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) para todo x ∈ I . lim f ( x) = lim h( x) = L. x →a x →a g ( x) = L. Entonces, lim x →a Este importante teorema, cuya ilustración gráfica aparece en la figura 4.2, será de gran utilidad para demostrar que lim sen t = 1. Igualmente, se usa en cálculo intet t →0 gral para calcular áreas bajo curvas, usando las llamadas sumas aproximantes. Vea la animación «Teorema del sánduche» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 39 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real Figura 4.2 40 U de @ - Educación no presencial 5 Límites laterales Introducción Sonia (o Sofía) Kowalewski Al estudiar el límite de una función hemos analizado el comportamiento de f (x) en una vecindad de L, cuando los valores de x pertenecen a una vecindad de a. Es . decir, valores de x mayores que a y valores de x menores que a. En ocasiones sólo nos interesa conocer el comportamiento de f (x) cuando la x se encuentra cerca de a, pero por un lado concreto de dicho punto. De esta manera surgen de modo natural los límites laterales o unilaterales de la función f (x). Sonia (o Sofía) Kowalewski, cuyo nombre de soltera era Sonja Corvin-Kroukowsky, nació en Moscú el 15 de febrero de 1850 y murió en Estocolmo el 10 de febrero de 1890. Objetivos del módulo 1. Presentar la definición intuitiva de los límites laterales y establecer cuál es su relación con el límite de una función en un punto dado de su dominio Preguntas básicas 1. Considere la función definida por: ⎧ 1 si f ( x) = ⎨ ⎩ −1 si x≥0 x<0 Grafique la función y responda las siguientes preguntas: f ( x) ? a. ¿Cuál es el valor de lim x →0 f ( x) ? b. ¿Cuál es el valor de lim x→2 Contenidos del módulo 5.1 Ejemplo: necesidad del uso de los límites laterales 5.2 Definiciones intuitivas de los límites laterales 5.2.1 Límite por la derecha 5.2.2 Límite por la izquierda 5.3 Teorema: relación entre límite y límites laterales Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 41 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 5.1 Ejemplo: necesidad del uso de los límites laterales Considere la función f, definida por ⎧3 − x 2 ⎪ f ( x) = ⎨ x + 1 ⎪ 2 ⎩x − 4 si si si x ≤1 1< x ≤ 3 x>3 Vea el módulo 5 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. y cuya gráfica aparece en la figura 5.1. Escuche el audio Weierstrass y Sofía en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 5.1 Se desea conocer el valor de los siguientes límites: a. b. c. d. e. x →−1 lim f ( x). lim f ( x). x →2 lim f ( x). x →5 lim f ( x). x →1 lim f ( x). x →3 El problema ahora se reduce a «sustituir» apropiadamente f (x) en cada uno de los literales anteriores. a. Nótese que en las «cercanías» de x = − 1 la función f (x) es f ( x ) = 3 − x 2 . lim f ( x) = lim 3 − x 2 = 2. Así que x →−1 x →−1 ( ) 42 U de @ - Educación no presencial Módulo 5: Límites laterales b. Igualmente, en las «cercanías» de x = 2 la función f (x) es f ( x) = x + 1 . f ( x) = lim ( x + 1) = 3. De esta forma, lim x →2 x→2 c. También en las «cercanías» de x = 5 la función f (x) es f (x) = x2 − 4. Por tanto, lim f ( x ) = lim x 2 − 4 = 21. x →5 x →5 ( ) Ahora nótese en la figura 5.1 que para los valores de x anteriores al 1, (x < 1), f (x) viene dada por f (x) = 3 − x2, mientras que para los valores de x próximos a 1, pero posteriores a 1, (x > 1), f (x) viene dada por f (x) = x + 1. ¿Cuál es entonces la f (x) apropiada para sustituir en la parte d? En situaciones como ésta, es útil y natural introducir los llamados límites laterales. − El símbolo x → 1 significa que x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores menores que 1). + El símbolo x → 1 significa que x se aproxima a 1 por la derecha (por valores mayores que 1). En el caso particular que interesa, se tiene que d. lim f ( x ) = lim 3 − x 2 = 2, − x →1 x →1− ( ) (1) (2) x →1+ lim f ( x) = lim ( x + 1) = 2. + x →1 Igualmente, en el caso e ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir, f ( x ) = x + 1 si x ≤ 3, y f ( x ) = x 2 − 4 si x > 3. Así que: e. x →3− lim f ( x) = lim ( x + 1) = 4, − x →3 (3) Sonia (o Sofía) Kowalewski x → 3+ lim f ( x) = lim x 2 − 4 = 5. + x →3 ( ) (4) + En general, denotamos por x → a para expresar que x se aproxima al valor a por − la derecha. Esto es, por valores de x > a. Y denotamos por x → a para expresar que x se aproxima al valor a por la izquierda. Esto es, por valores de x, x < a. Lo anterior nos permite dar una definición informal de los límites laterales. A los 15 años de edad, Sonia Kowaleski comenzó el estudio de la matemática y luego se matriculó en la Universidad de Heidelberg. De extraordinario talento, no sólo fue la mujer matemática más conocida de los tiempos modernos, sino que también consiguió una reputación como directora del movimiento para la emancipación de las mujeres, particularmente por lo que se refiere a su supuesta incapacidad en el campo de la educación superior. Además fue una brillante escritora. Después de haber compuesto su trabajo matemático más importante ( La memoria premiada), se dedicó a la literatura como un descanso y escribió los recuerdos de su infancia en Rusia en forma de novela, que fue publicada primero en sueco y en danés. Esta obra dio lugar al siguiente comentario: «La crítica literaria de Rusia y de los países escandinavos fue unánime al declarar que Sonja Kowalewski estaba a igual altura, en estilo y pensamiento, que los mejores escritores de la literatura rusa». Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 43 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 5.2 Definiciones intuitivas de los límites laterales 5.2.1 Límite por la derecha f ( x ) = L significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de a, Decir que xlim → a+ entonces f (x) está cerca de L. 5.2.2 Límite por la izquierda f ( x ) = L significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de a, Decir que xlim → a− entonces f (x) está cerca de L. Observación Decir que x → a − es diferente a decir que x → − a. El siguiente teorema, cuya demostración se deja para el lector, establece la relación que existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales. 5.3 Teorema: relación entre límite y límites laterales lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = L ∧ lim f ( x ) = L. x→a x→a x→a− Observaciones 1. f ( x ) no Otra forma equivalente de enunciar el teorema 5.3 es la siguiente: lim x→a existe si y sólo si no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, son diferentes. 2. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del límite de una función; en particular, para la función inicial de estudio en este módulo se deduce de (1) y (2) que: f ( x ) = lim f ( x) = 2 . lim f ( x ) existe y lim f ( x ) = 2, puesto que lim x →1 x →1 x →1+ x →1− De igual forma, de (3) y (4) se deduce que: f ( x) = 5 ≠ lim f ( x) = 4. lim f ( x ) no existe, ya que lim + − x→3 x →3 x →3 44 U de @ - Educación no presencial Ejercicios del capítulo 1 (módulos 1 al 5) Ejercicios resueltos 1. ( 9 − 3x ) = −6. Usando la definición rigurosa de límite de una función, pruebe que lim x →5 Solución Sea ∈ un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ > 0 tal que 0 < x − 5 < δ ⇒ (9 − 3x) − (−6) < ∈ . Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1). (1) (9 − 3x) − (−6) < ∈ ⇔ 9 − 3x + 6 < ∈, ⇔ 15 − 3x < ∈, ⇔ 3 x − 15 < ∈, ⇔ 3 x − 5 < ∈ (factorizando), ⇔ x−5 < ∈ . 3 (2) Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger δ = cualquier valor menor funcionará para ∈ ). Prueba formal Dado ∈ > 0, existe δ = ∈ > 0 tal que 3 ∈ , 3 ∈ (por supuesto, 3 0 < x−5 < δ ⇒ x −5 < ⇒ 3x − 15 < ∈, ⇒ 15 − 3x < ∈, ⇒ 9 − 3x + 6 < ∈, ⇒ ( 9 − 3 x ) − ( −6 ) < ∈ . En particular, si A escoge ∈ = 0.01 en este ejemplo, entonces B responderá con un δ = 0.01 3 = 0.0033. Si A propone ∈ = 0.000003, B escogerá δ = 0.000001 (cualquier valor menor también satisface). Al graficar la recta y = f ( x) = 9 − 3x (figura 1) se nota que para obligar a (9 − 3x) a estar cerca de −6 se debe obligar a x a que esté cerca de 5. Elementos Básicos de Diferencial Ejercicios deCálculo los módulos 1 al 5 45 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real Figura 1 2. Considere la función definida por f ( x ) = x n con n ∈ ` . Evalúe el siguiente límite: lim h →0 Solución f (2 + h) − f (2) . h lim h →0 f (2 + h) − f (2) (2 + h)n − 2n = lim . h →0 h h (1) Si evaluamos directamente el último límite se tendría (2 + 0) n − 2n 0 = (indeterminado). 0 0 Se puede eliminar la indeterminación factorizando el numerador de la fracción (1), así: lim (2 + h)n −1 + (2 + h) n − 2 ⋅ 2 + (2 + h) n −3 ⋅ 22 + ... + 2n −1 ⎤ [(2 + h) − 2] ⎡ (2 + h)n − 2n ⎣ ⎦, = lim h→0 h→0 h h h ⎡(2 + h) n −1 + (2 + h)n − 2 ⋅ 2 + (2 + h) n −3 ⋅ 22 + ... + 2n −1 ⎤ ⎦, = lim ⎣ h →0 h = lim ⎡ (2 + h) n −1 + (2 + h) n − 2 ⋅ 2 + (2 + h) n −3 ⋅ 22 + ... + 2n −1 ⎤ ⎦, h →∞ ⎣ n-términos n −1 =2 + 2n −1 + 2n −1 + .... + 2n −1 , n-términos = n⋅2 . n −1 46 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 1 al 5 Evalúe el siguiente límite: lim x →4 Solución Si se aplica directamente el límite de un cociente, se llega a la forma indeterminada minación racionalizando el denominador y simplificando, así: 0 . Se puede eliminar la indeter0 3. x−4 x −2 . lim x→4 x−4 x −2 = lim x→4 ( x − 4)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 4)( x + 2) ( x )2 − 22 , , = lim x →4 = lim x →4 ( x − 4)( x + 2) , x−4 = lim( x + 2) = 4 + 2 = 4. x →4 4. Evalúe el siguiente límite: lim x →4 Solución 2x + 1 − 3 x−2 − 2 . 0 Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada . Para tratar de eliminar la indeterminación, se mul0 tiplican el numerador y el denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador, así: lim x→4 2x +1 − 3 x−2 − 2 = lim x→4 ( 2 x + 1 − 3)( x − 2 + 2) ( x − 2 − 2)( x − 2 + 2) , = lim x→4 ( 2 x + 1 − 3)( x − 2 + 2) , ( x − 2) − 2 ( 2 x + 1 − 3)( x − 2 + 2) . x−4 0 . Para eliminarla, se multiplican 0 = lim x →4 Al sustituir nuevamente x por 4, en la última expresión, continúa la indeterminación el numerador y el denominador de la última fracción por ( 2 x + 1 + 3), que es el conjugado de ( 2 x + 1 − 3) y que está produciendo nuevamente la indeterminación. Por tanto, Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 47 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real 2x +1 − 3 x−2 − 2 lim x→4 = lim x →4 ( 2 x + 1 − 3)( x − 2 + 2)( 2 x + 1 + 3) ( x − 4)( 2 x + 1 + 3) (2 x + 1 − 9)( x − 2 + 2) ( x − 4)( 2 x + 1 + 3) 2( x − 4)( x − 2 + 2) ( x − 4)( 2 x + 1 + 3) 2( x − 2 + 2) ( 2 x + 1 + 3) = , , , = lim x→4 = lim x →4 = lim x→4 4 2 2 2 = . 6 3 5. a. b. Use el teorema del sánduche para demostrar que si t está expresado en radianes, entonces lim t →0 Demuestre que lim t →0 1 − cos t = 0. t sen t =1. t Solución a. Considere el círculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura 2 y en el cual se han trazado el sector circular OAP, el triángulo OAP y el triángulo rectángulo OAQ. La ecuación de la recta que pasa por O y P viene dada por y = sen t x. cos t En particular, cuando x = 1, se obtiene el punto Q sobre la recta y cuyas coordenadas aparecen en la figura 2. Figura 2 48 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 1 al 5 Consideremos inicialmente 0 < t < π / 2. Claramente de la gráfica se deduce que: Área del triángulo OAP < área sector circular OAP < área de triángulo OAQ. Pero, área del triángulo OAP = 1·sen t sen t = , 2 2 12 · t t = , 2 2 (1) (2) (3) área del sector circular OAP = 1· área del triángulo OAQ = sen t cos t sen t = , 2 2cos t (4) Sustituyendo (2), (3) y (4) en (1), se obtiene: sen t t sen t sen t < < ⇔ sen t < t < . 2 2 2 cos t cos t (5) De la desigualdad sen t < t se obtiene: π⎞ ⎛ sen 2 t < t 2 ⎜ sen t > 0 y 0 < t < ⎟ . 2⎠ ⎝ 1 − cos 2t < t 2 ⇔ 1 − 2t 2 < cos 2t. 2 t en la última desigualdad, se dice que: 2 Es decir, En particular, reemplazando t por 1− 1 2 t < cos t. 2 (6) De (5) también se tiene cos t < sen t < 1. t (7) Por tanto, de (6) y (7) se obtiene que si 0 < t < 1− 1 2 sen t t < < 1. 2 t π 2 , entonces (8) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 49 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real Ahora, si − π 2 < t < 0, 0 < −t < π 2 , es decir (−t ) verifica la desigualdad (8). Esto es, 1− 1 sen ( −t ) 1 sen t ( −t ) 2 < < 1 ⇔ 1 − t2 < < 1. 2 2 −t t En conclusión: 1− 1 2 sen t ⎛ π π⎞ < 1 para todo t ∈ ⎜ − , ⎟ y t ≠ 0. t < 2 t ⎝ 2 2⎠ Ahora, lim (1 − t →0 1 2 t ) = 1 = lim1. t →0 2 sen t = 1. t En consecuencia, por el teorema del sánduche se concluye que lim t →0 1 − cos t 0 tiene la forma indeterminada . t 0 b. lim t →0 Para eliminar la indeterminación, multipliquemos el numerador y el denominador por la cantidad positiva 1 + cos t. Esto es, (1 − cos t )(1 + cos t ) 1 − cos t = lim , t →0 t (1 + cos t ) t = lim t →0 lim t →0 1 − cos 2 t , t (1 + cos t ) sen 2 t , t (1 + cos t ) = lim t →0 1 ⎛ sen t ⎞ = lim ⎜ , ⎟ ⋅ sen t ⋅ t →0 1 + cos t ⎝ t ⎠ = 1⋅ 0 ⋅ 1 = 0. 2 6. Use el ejercicio 5 para evaluar los siguientes límites trigonométricos: a. lim x →0 sen α x , siendo α , β constantes reales, α ≠ 0, β ≠ 0 . sen β x tan 2 x . sen x b. lim x →0 50 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 1 al 5 c. d. lim x →0 sen 5 x − sen 3x . x sen x − sen a . x−a lim x →0 Solución a. Antes de evaluar el límite, el cociente sen α x puede transformarse así: sen β x sen α x sen α x 1 α ⎛ sen α x ⎞ 1 . = ⋅α x ⋅ = ⎜ ⎟ sen β x sen β x αx β ⎝ α x ⎠ ⎛ sen β x ⎞ ⋅βx ⎜ βx ⎟ βx ⎝ ⎠ De esta forma, lim x →0 sen α x α ⎛ sen α x ⎞ 1 , = lim ⎜ ⎟ x → 0 sen β x β ⎝ α x ⎠ ⎛ sen β x ⎞ ⎜ βx ⎟ ⎝ ⎠ = α 1 ⎛ sen α x ⎞ lim (álgebra de límites). ⎟ β x →0 ⎜ ⎝ α x ⎠ ⎛ sen β x ⎞ ⎜ βx ⎟ ⎝ ⎠ Ahora, decir que x → 0 ⇔ α x → 0 y β x → 0. Por tanto, sen α x sen α x = lim = 1. α x →0 α x αx lim x →0 También, lim x →0 sen β x sen β x = lim = 1. α x → 0 βx βx Por tanto, lim x →0 sen α x α 1 α = ⋅1⋅ = . sen β x β 1 β 0 . Pero, 0 b. El límite es indeterminado tan 2 x sen 2 x 2sen x cos x 2 cos x = = = . sen x cos 2 x ⋅ sen x cos 2 x ⋅ sen x cos 2 x Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 51 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real Por tanto, tan 2 x 2 cos x 2 cos 0 2 ⋅1 = lim = = = 2. sen x x →0 cos 2 x cos 0 1 lim x →0 c. Antes de evaluar el límite, se simplifica la fracción sen 5x − sen 3x . x Esto es, sen 5 x − sen 3 x sen(3 x + 2 x ) − sen 3 x = , x x = = sen 3x ⋅ cos 2 x + sen 2 x ⋅ cos 3x − sen 3x (factorizando), x sen 2 x ⋅ cos 3 x sen 3 x(1 − cos 2 x) − , x x ⎛ sen 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ = 2⎜ ⎟ ⋅ cos3x − 2sen 3x ⎜ ⎟. 2 x ⎝ ⎠ ⎝ 2x ⎠ Así que: sen 5 x − sen 3 x ⎡ ⎛ sen 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ ⎤ = lim ⎢ 2 ⎜ ⎟ cos 3x − 2sen 3x ⎜ ⎟⎥ . x →0 x 2 x 2x ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ lim x →0 Pero, sen 2 x 1 − cos 2 x = 1, lim cos 3 x = 1, lim sen 3 x = 0, y lim = 0. x→0 x→0 x→0 2x 2x lim x→0 Por tanto, sen 5 x − sen 3 x = 2 ⋅1 ⋅1 − 2 ⋅ 0 ⋅ 0 = 2. x lim x →0 El objetivo del procedimiento anterior es usar los dos límites fundamentales del ejercicio 5. Un procedimiento más sencillo se da al reemplazar (sen 5x − sen 3x) por (2 sen x ⋅ cos 4x). 0 . Para eliminar la indeterminación, 0 se hace un cambio de variable y luego se simplifica la fracción resultante. Esto es, sea y = x − a (x → a ⇔ y → 0). d. Nótese que al sustituir directamente x por a resulta la indeterminación 52 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 1 al 5 También, sen x − sen a sen( y + a ) − sen a = , x−a y = = = sen y ⋅ cos a + sen a ⋅ cos y − sen a , y sen y ⋅ cos a − sen a ⋅ (1 − cos y ) (factorizando), y sen y ⋅ cos a sen a ⋅ (1 − cos y ) − , y y ⎛ sen y ⎞ ⎛ 1 − cos y ⎞ = cos a ⎜ ⎟ − sen a ⎜ ⎟. y ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠ Por tanto, ⎡ ⎛ sen y ⎞ ⎛ 1 − cos y ⎞ ⎤ sen x − sen a = lim ⎢cos a ⎜ ⎟ − sen a ⎜ ⎟⎥ , y →0 y y ⎠⎦ x−a ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ = (cos a) ⋅1 − (sen a) ⋅ 0 = cos a. lim x→a 7. Encuentre el valor del siguiente límite o establezca que no existe: lim x →1 Solución De acuerdo con la definición del valor absoluto, se tiene que x −1 x −1 , x ≠ 1. si x − 1 ≥ 0 si x ≥ 1 ⎧x −1 ⎧x −1 ⎪ ⎪ x −1 = ⎨ ⇔ x −1 = ⎨ ⎪− ( x − 1) si x − 1 < 0 ⎪ ⎩ ⎩− ( x − 1) si x < 1 De esta forma: x −1 x −1 = x −1 = 1, si x > 1, x −1 x −1 x −1 = − ( x − 1) ( x − 1) = −1, si x < 1. La función f ( x) = x −1 x −1 , x ≠ 1, puede escribirse entonces como una función a tramos, así: Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 53 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real f ( x) = x −1 x −1 ⎧ 1 si x > 1 =⎨ ⎩ −1 si x < 1 Su gráfica aparece en la figura 3. Figura 3 Ahora, lim f ( x) = lim( −1) = −1⎫ ⎪ x →1− f ( x) no existe ⎬ ⇒ lim x →1 lim ( ) = lim(1) = 1 f x ⎪ + + x →1 x →1 ⎭ x →1− 8. Considere la función a tramos definida por: ⎧ x2 ⎪ f ( x ) = ⎨ ax + b ⎪2 x − 5 ⎩ si si si x ≤ −2 −2< x < 2 x≥2 f ( x) y lim f ( x) existan. Encuentre el valor de las constantes a y b para que xlim →−2 x→2 Solución El siguiente diagrama (figura 4) recoge la información obtenida de f: Figura 4 x →−2 lim f ( x ) existe ⇔ lim+ f ( x ) y lim− f ( x ) existen x →−2 x →−2 54 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 1 al 5 y además lim f ( x) = lim− f ( x). x →−2 x →−2+ Pero lim f ( x ) = lim+ ( ax + b) = −2a + b, x →−2 x →−2+ (1) x →−2− lim f ( x) = lim− ( x 2 ) = 4. x →−2 (2) (3) De (1) y de (2) se sigue que −2a + b = 4. Igualmente, lim f ( x ) existe ⇔ lim+ f ( x) y lim− f ( x) existen, y además x→2 x→2 x→2 x → 2+ lim f ( x) = lim f ( x), − x→2 (4) Pero lim f ( x ) = lim+ (2 x − 5) = −1, x→2 x → 2+ x → 2− lim f ( x ) = lim− (ax + b) = 2a + b. x→2 (5) (6) De (4) y (5) se sigue que 2a + b = −1. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (3) y (6) se obtiene que a=− 5 3 y b= . 4 2 Con estos valores obtenidos, la función f se transforma en: ⎧ x2 ⎪ 3 ⎪ 5 f ( x) = ⎨− x + 2 ⎪ 4 − x 2 5 ⎪ ⎩ x ≤ −2 si si − 2 < x < 2 si x≥2 La gráfica de esta función aparece en la figura 5. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 55 Capítulo 1: Límite de funciones de variable real Figura 5 Ejercicios propuestos 1. Use la definición (∈ − δ ) del límite de una función para probar que: x − 7) = 5. a. lim(3 x→4 b. lim x →2 2 x 2 − 3x − 2 = 5. x−2 mx + b) = ma + b. c. lim( x→a 1 1 = , c ≠ 0. f. lim x →c x c x = c , c > 0. d. lim x →c 2. Evalúe los siguientes límites: x 2 + x − 5) = 7. e. lim( x →3 a. lim x →3 4x2 − 36 . x −3 b. lim x →1 e. lim x →1 h. lim h →0 . 3 − 10 − x . x −1 c. lim x →1 f. lim x →2 i. lim x →4 x 3 − 3x + 2 . x4 − 4 x + 3 x 2 − 5x + 6 . x 2 − 12 x + 20 2x + 1 − 3 x−2 − 2 . (2 x 4 − 3 x ). d. xlim →−3 x 4 − x5 . 1− x g. lim x →3 x3 − 27 . x+3 ( x + h)3 − x 3 . h 3 j. lim x →2 x2 − 2x + 7 x +7 2 1⎛ 1 1⎞ − ⎟. k. lim ⎜ x →0 x 2 + x 2⎠ ⎝ n. lim h →0 l. lim x →0 o. lim x →1 1 + x −1 . x 3 m. lim 3 x →1 x2 − 2 x + 1 . x3 − 1 (1 + h ) 32 −1 h . x −1 x −1 . 56 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 1 al 5 p. lim x →2 3. x− 2 . x2 − 4 q. lim x→ y xn − y n . x− y r. lim x →0 x2 + p2 − p x2 + q 2 − q . Encuentre el valor de cada uno de los siguientes límites o establezca que no existen: a. lim x →1 lim c. x →1− x −1 x −1 . b. lim − x →1 x −1 x −1 . x2 − x − 1 − 1 x −1 . ⎡ 1 1 ⎤ lim − ⎢ ⎥. d. x − →1 ⎢ x −1 x −1 ⎥ ⎣ ⎦ 4. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones y encuentre luego los límites dados o establezca que no existen. ⎧ x2 ⎪ f x = x a. ( ) ⎨ ⎪ 2 ⎩1 + x si si si x≤0 0 < x <1 x ≥1 ⎧− x + 1 si ⎪ g x = x − 1 si b. ( ) ⎨ ⎪ 2 ⎩ 5 − x si x ≤1 1< x < 2 x≥2 lim f ( x ); lim f ( x ). x →0 x →1 lim g ( x ); lim g ( x ). x →1 x→2 5. Pruebe que si f (x) ≤ g (x) en algún intervalo abierto que contiene al punto a (excepto posiblemente en a), y si lim f ( x) = L y lim g ( x) = M , entonces L ≤ M . x→a x →a 6. Evalúe cada uno de los siguienes límites trigonométricos: sen 3θ a. lim θ →0 θ 1 − x2 sen π x lim b. θ →0 θ2 sen θ sen 2 (x +1) ( x 2 + 2 x + 1) x sen 2 3 lim c. θ →0 sen αθ , α , β const α , β ≠ 0 sen βθ tan x − sen x x2 d. lim x →1 lim e. x →−1 f. lim x→0 g. lim x →0 sen 4 x 4x h. lim x→0 x2 x 2 · csc2 α x i. lim x →0 j. lim x →0 1 − cos α x βx k. lim x →π sen x π −x tan(π t ) t+2 l. xlim → 0+ x 1 − cos x m. lim t →0 3t + t 2 sen t cos x − sen x 4 1 − tan x n. tlim →−2 o. lim x →0 1 − cos x x2 lim p. x →π q. lim x→0 x + tan x sen x «La única manera de educar es dando un ejemplo, a veces un ejemplo espantoso». Elementos Básicos de Cálculo Diferencial Albert Einstein 57 Capítulo 2 Continuidad de funciones de variable real 2 Contenido Breve Módulo 6 Idea intuitiva y definición de función continua La trayectoria descrita por el balón, desde que sale de los pies del jugador hasta que llega al arco, es uno de los miles de ejemplos de funciones continuas en intervalos cerrados. Módulo 7 Teoremas sobre funciones continuas Módulo 8 Continuidad en un intervalo Ejercicios Capítulo 2, módulos 6 al 8 Presentación En el capítulo 1 nos ocupamos del concepto más importante del cálculo infinitesimal: el concepto del límite funcional. En este capítulo analizaremos el concepto matemático de continuidad, que está íntimamente relacionado con el de límite y que, igual que éste, no fue enunciado con toda claridad y rigor hasta el siglo XIX, por obra del gran matemático francés Augustin Cauchy, llamado el «padre del análisis matemático». La continuidad está ligada a una propiedad geométrica de la gráfica de una función: no está «rota» o «interrumpida» cuando se traza en el plano cartesiano; además, permite establecer una gran división de las funciones en continuas y discontinuas (no continuas). La mayoría de las funciones que se van a presentar en los temas siguientes del curso son funciones continuas. De hecho, en el próximo capítulo veremos que algunas de estas funciones son a las que se les puede calcular su derivada. 60 60 U de @ - Educación no presencial 6 Idea intuitiva y definición de función continua Introducción En el lenguaje cotidiano le hemos dado a la palabra continuidad la connotación de «ausencia de interrupciones». Así, cuando se dice que «se trabajará en jornada continua de 8:00 a.m. a 4:00 p.m.», se quiere manifestar que el trabajo no tiene interrupciones durante el periodo establecido. Como se dijo en la presentación inicial, en cálculo la continuidad de una función significa que su gráfica no está «rota» o «interrumpida» cuando se traza en el plano cartesiano. Karl Weierstrass Karl Weierstrass nació en Ostenfelde (actual Alemania) en 1815 y murió en Berlín en 1897. Objetivos del módulo 1. Ilustrar por medio de gráficas cuándo una función es continua y cuándo es discontinua en un punto de su dominio. 2. Clasificar las discontinuidades de una función y establecer la condición para «removerla» o «evitarla». Preguntas básicas 1. Una empresa de teléfonos propone la siguiente tarifa para llamadas internacionales: el primer minuto o fracción cuesta $1.200; el minuto adicional o fracción cuesta $800. Elabore un gráfico del costo C (t) en función del tiempo para los primeros cuatro minutos y con ella responda las siguientes preguntas: a. Si 1 < t ≤ 2, ¿entonces C(t) = ? b. Si 2 < t ≤ 3, ¿entonces C(t) = ? c. ¿En qué instantes cambia la tarifa? Contenidos del módulo 6.1 Idea intuitiva de continuidad 6.2 Definición de función continua en un punto 6.3 Discontinuidad y clasificación de las discontinuidades Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 61 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real 6.1 Idea intuitiva de continuidad Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene «huecos». En la figura 6.1 aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (figuras 6.1a y 6.1b) y la otra continua en todo su dominio (figura 6.1c). a Vea el módulo 6 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. b 62 62 U de @ - Educación no presencial Módulo 6: Idea intuitiva y definición de función continua c Figura 6.1 Al mirar con cuidado las gráficas de la figura 6.1 se pueden deducir intuitivamente resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que significa ser una función continua en un punto dado de su dominio. En la gráfica de la figura 6.1a se tiene que: i. ii. lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = L ⇔ lim f ( x ) = L (existe). x→a x→a x → a− f ( a ) (existe). Karl Weierstrass f ( x ) = L ≠ f ( a ) (por esta razón f es discontinua). Pero lim x→a ¿Qué le sucede a la gráfica si f (a) = L ? Para la gráfica de la figura 6.1b se tiene que: i. ii. lim f ( x ) = L1 ≠ lim+ f ( x ) = L2 ⇔ lim f ( x ) (no existe). x→a x→a x → a− (por esta razón f es discontinua). f ( a ) = L1 (existe). Finalmente, para la gráfica de la figura 6.1c se tiene que: i. ii. iii. lim f ( x ) = lim− f ( x ) = L ⇔ lim f ( x ) = L (existe). x→a x→a x → a+ f ( a ) (existe). lim f ( x ) = f (a ). x→a Con 14 años, Karl Weierstrass fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn (Alemania). Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas. Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín. Tras una crisis nerviosa sufrida en 1861, fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Infortunadamente, tras los ataques públicos de Leopold Kronecker por su apoyo a las ideas de Georg Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió víctima de una neumonía. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 63 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real Estas tres condiciones son las que en última instancia permiten deducir intuitivamente que la función cuya gráfica aparece en la figura 6.1c es continua en el punto a. Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición: Vea la animación «Funciones continuas y discontinuas» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. 6.2 Definición de función continua en un punto Una función f es continua en x = a si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones: i. ii. iii. f (a) existe. lim f ( x ) existe. x→ a lim f ( x ) = f (a ). x→a Observaciones i. f ( x), f ( x ) por lim+ f ( x ) o por lim Si en la definición anterior sustituimos lim x→ a x→a x →a− se dice entonces que f es continua a la derecha y a la izquierda, respectivamente, del punto x = a. ii. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto la condición iii de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a si y sólo si lim f ( x ) = f ( a ) . x→a iii. Si en la definición de continuidad se hace x = a + h, con a y (a + h) en el dominio f ( a + h) = f (a ). de f, se dice entonces que f es continua en a si y sólo si lim h →0 6.3 Discontinuidad y clasificación de las discontinuidades Si al menos una de las tres condiciones establecidas en 6.2 deja de cumplirse, se dice que f es discontinua (no continua) en x = a. f ( x ) existe pero es diferente de f (a), se dice que Si f es discontinua en x = a y lim x→a la discontinuidad es removible o evitable. En caso contrario, se dice que la discontinuidad es esencial. Así por ejemplo, la gráfica de la figura 6.1a corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad removible o evitable en x = a, mientras que la gráfica de la figura 6.1b corresponde a una discontinuidad esencial en x = a. Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto se usa la frase «remover la discontinuidad» para indicar que se puede redefinir la función hacienf ( x), y de esta manera obtener una nueva función continua en do que f (a) = lim x→a x = a. 64 64 U de @ - Educación no presencial Módulo 6: Idea intuitiva y definición de función continua ⎧ x2 + 1 ⎪ Considere por ejemplo la función f definida por f ( x) = ⎨ 3 ⎪2 x + 1 ⎩ si si si x<0 x=0 x>0 La gráfica de la función aparece en la figura 6.2. Figura 6.2 Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene que: i. ii. lim f ( x) = lim ( x 2 + 1) = 1 ⎫ ⎪ x → 0− ⎬ ⇒ lim f ( x) = 1 (existe). lim f ( x) = lim (2 x + 1) = 1⎪ x →0 x → 0+ x → 0+ ⎭ x → 0− f (0) = 3 (existe). f ( x ) = 1 ≠ f (0) = 3 , lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, Pero lim x→0 f ( x ) ≠ f (0), la discontinuidad es evitable. como lim x →0 Se puede entonces «remover» o «evitar» la discontinuidad redefiniendo la función f ( x ) = f (0). Esto es, redefiniendo f así: de tal forma que lim x →0 ⎧ x2 + 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 1 ⎪2 x + 1 ⎩ si si si x<0 x=0 x>0 Esta nueva función es continua en x = 0. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 65 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real Es de anotar que la función f se ha redefinido y, por tanto, no se trata de la misma función. ¿Por qué? En los ejercicios al final del capítulo (módulos 6 al 8), puede mirar otros ejemplos sobre funciones continuas y discontinuas. 66 66 U de @ - Educación no presencial 7 Teoremas sobre funciones continuas Introducción Leonhard Euler Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición. Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y falleció el 18 de septiembre 1783 en San Petersburgo, Rusia. Objetivos del módulo 1. Establecer las propiedades de las funciones continuas y la manera de usarlas en la solución de ejercicios. 2. Relacionar la continuidad con el límite de la función compuesta. Preguntas básicas Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: Sean f (x) y g(x) dos funciones: 1. Si ( f + g )( x) es continua en x = a, ¿entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a? 2. Si ( f ⋅ g )( x) es continua en x = a, ¿entonces f y g son continuas en x = a? Contenidos del módulo 7.1 Teoremas sobre funciones continuas 7.1.1 Teorema 1: Álgebra de funciones continuas 7.1.2 Teorema 2: Límite de la función compuesta Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 67 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real 7.1 Teoremas sobre funciones continuas 7.1.1 Teorema 1: Álgebra de funciones continuas Vea el módulo 7 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces: i. (f + g) es continua en x = a. (La suma de funciones continuas es una función continua.) ii. (f − g) es continua en x = a. (La diferencia de funciones continuas es una función continua.) iii. (f ⋅ g) es continua en x = a. (El producto de funciones continuas es una función continua.) ⎛ f ⎞ iv. ⎜ ⎟ es continua en x = a, si g (a) ≠ 0. (El cociente de dos funciones conti⎝g⎠ nuas es una función continua.) Consecuencias CC1: La función polinómica es continua en todo punto del eje real En efecto, sea Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + .... + a1 x + a0 una función polinómica de grado n y sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i e iii se obtiene que: lim Pn ( x) = an a n + an −1a n −1 + .... + a1a + a0 = Pn ( a ), y de aquí, Pn ( x) es una funx→a ción continua en todo punto del eje real. CC2: Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función Demostración: aplicar el teorema 1. 7.1.2 Teorema 2: Límite de la función compuesta g ( x) = b. Entonces, Sean f y g dos funciones tales que f es continua en b y lim x→a lim( f D g )( x) = lim f ( g ( x)) = f lim g ( x) = f (b). x→a x→a x→a ( ) Consecuencias CC3 Si lim f ( x) = b, entonces lim n f ( x) = n lim f ( x) = n b . x →a x →a x→a Cuando n sea par, se debe cumplir además que b > 0 . 68 68 U de @ - Educación no presencial Módulo 7: Teoremas sobre funciones continuas CC4 Si lim f ( x) = b, entonces lim f ( x) = lim f ( x) = b . x →a x →a x→a Las consecuencias CC3 y CC4 se expresan respectivamente en palabras de la siguiente manera: «El límite de la raíz n-sima es la raíz n-sima del límite» y «El límite del valor absoluto es el valor absoluto del límite». CC5: Continuidad de la función compuesta Si g es continua en a, y f es continua en g(a), entonces ( f D g )( x) = f ( g ( x)) es continua en a. Ejemplo 1 En este ejemplo se quiere dar respuesta a la primera pregunta básica. Es decir, ¿si (f + g) (x) es continua en x = a, entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a? Solución La implicación formulada es falsa. En efecto, sean ⎧x +1 ⎪ f ( x) = ⎨ 0 ⎪x −1 ⎩ ⎧−1 ⎪ g ( x) = ⎨ 0 ⎪ ⎩ 1 si si si x<0 x=0 x>0 Leonhard Euler si si si x<0 x=0 x>0 cuyas gráficas aparecen en la figura 7.1. A una edad temprana, Leonhard Euler fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atención de Jean Bernoulli. A los 17 años de edad obtuvo un doctorado y a los 19 envió dos disertaciones a la Academia de París, una sobre arboladura de barcos y la otra sobre la filosofía del sonido. Euler partió en 1727, año de la muerte de Newton, a San Petersburgo, para reunirse con su amigo Bernoulli, que le había precedido allí algunos años antes. Hacia los 30 años de edad fue honrado por la Academia de París por su trabajo para resolver problemas relevantes sobre los movimientos de los cuerpos celestes. En Berlín, Euler intimó con Moreau de Maupertuis, presidente de la Academia, un francés de Bretaña, que favorecía especialmente la filosofía newtoniana, de preferencia a la cartesiana. Su influencia fue importante, puesto que la ejerció en una época en que la opinión continental aún dudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuis impresionó mucho a Euler con su principio favorito del mínimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultados en sus problemas mecánicos. En 1766 Euler volvió a San Petersburgo, para pasar allí el resto de sus días. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió al hombre ciego y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 69 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real Diderot y Euler Denis Diderot fue un filósofo francés muy popular en el siglo XVIII. Una de sus acciones más destacadas fue hacer una enciclopedia junto con un importante equipo de colaboradores, llamada Encyclopédie, ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts, et des métiers. A pesar de no ser experto en esta materia, Diderot escribía en ella bastante bien sobre temas de matemática. Leonard Euler, otro matemático importante de la época, fue invitado a colaborar como científico en la corte de la reina Catalina II de Rusia, y así estuvo durante mucho tiempo en San Petersburgo. Diderot también fue invitado por la reina, pero la relación entre ellos se tornó tensa, por lo que tuvo que intervenir Euler. Éste, en una muestra de agradecimiento a la reina, y sabiendo que los conocimientos matemáticos de Diderot no eran bien fundamentados, se ofreció a deshacerse de aquél de una manera diplomática. Euler se encargó de que llegara a los oídos de Diderot que él poseía una demostración matemática de la existencia de Dios. Dada la rígida postura de su ateísmo y su fama como intelectual, Diderot se encargó de que Euler supiera que él estaba dispuesto a enfrentar la demostración delante de la corte, y en su caso, refutarla. El plan resultó tal y como Euler lo deseaba. En una ceremonia, Euler se dirigió a Diderot y le replicó con una gran parsimonia: «Señor: a + b a la n entre n es igual a x (a su vez escribía una fórmula que decía: a + bn/n = x). Por tanto, Dios existe. La falta de conocimientos matemáticos de Diderot no le permitieron hacer alguna objeción. A los pocos días, humillado, el filósofo francés pidió permiso a Su Majestad para regresar a Francia. Figura 7.1 Puede demostrarse fácilmente que f (x) y g (x) son discontinuas en x = 0 (verifíquelo). Sin embargo, ⎧( x + 1) − 1 ⎪ ( f + g )( x) = ⎨ 0 ⎪( x − 1) + 1 ⎩ Esto es, si si si x<0 x=0 x>0 ⎧ x ⎪ ( f + g )( x) = ⎨ 0 ⎪ x ⎩ si si si x<0 x=0 x>0 o simplemente (f + g) (x) = x es la función identidad, cuya gráfica aparece en la figura 7.2 y es continua en x = 0. Figura 7.2 Igualmente, la implicación formulada en la pregunta 2 también es falsa. Se pide al lector la verificación de la misma, construyendo dos funciones f y g tales que f · g sea continua en x = a, pero f y/o g sean discontinuas en x = a. 70 70 U de @ - Educación no presencial 8 Continuidad en un intervalo Introducción Paradoja de la barra que no cae En el módulo 7 se estableció la continuidad de una función en un punto particular de su dominio. El concepto puede extenderse de manera natural para todos los puntos de un intervalo de la recta real. Objetivos del módulo 1. Extender el concepto de continuidad puntual al caso de un intervalo de la recta real. Se tiene una barra de hierro unida al piso de un vagón de ferrocarril por medio de un eje; se supone que no hay ningún rozamiento. Existe una posición de la barra en el instante de iniciarse el viaje (t = 0) tal que, cuando el viaje finalice, la barra no habrá tocado el suelo ni una sola vez. Preguntas básicas Supóngase que g es continua en [a, b], h es continua en [b, c] y g(b) = h(b). Sea f (x) = g(x) para todo x ∈[a, b] y f(x) = h(x) para todo x ∈[b, c]. ¿Es f continua en [a, c]? Es decir, ¿pueden «soldarse» las funciones continuas? Analice su respuesta gráficamente. Contenidos del módulo 8.1 Continuidad en un intervalo abierto 8.2 Continuidad en un intervalo cerrado Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 71 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real 8.1 Continuidad en un intervalo abierto Definición Una función f es continua en un intervalo abierto si y sólo si f es continua en todo punto del intervalo. Vea el módulo 8 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. 8.2 Continuidad en un intervalo cerrado Definición Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y sólo si f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b. Es decir, f es continua en [a, b] si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. 2. 3. f es continua en (a, b). x →a+ lim f ( x) = f (a). x → b− lim f ( x) = f (b). Observación Las condiciones 2 y 3 garantizan que la gráfica de la función comienza de manera continua en el punto (a, f (a)) y llega así al punto (b, f (b)) en el plano cartesiano. Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas (a, b] o [a, b). Así por ejemplo, la función f ( x) = a x b (mayor entero menor o igual a x) es continua en los intervalos de la forma (n − 1, n), n ∈ ] , ya que en cada uno de estos intervalos la función es constante. La función descrita anteriormente aparece en la sección 3.1.1 del apéndice III. Considere también la función f definida por: 2 ⎧ ⎪x f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩x + 2 si si −1 ≤ x < 2 2≤ x≤3 y cuya gráfica aparece en la figura 8.1. Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [–1, 3]. 1. Continuidad en el intervalo abierto (–1, 3) Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntos del intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo. Continuidad en x = 2. 72 72 U de @ - Educación no presencial Módulo 8: Continuidad en un intervalo i. f (2) = 4 . ii. iii. lim f ( x) = lim ( x + 2) = 4⎫ ⎪ x → 2+ f ( x) = 4. ⎬ ⇒ lim 2 x →2 lim f ( x) = lim x =4 ⎪ x →2− x → 2− ⎭ x →2+ lim f ( x ) = f (2). x→2 De i, ii, e iii se concluye que f es continua en x = 2 y por tanto f es continua en el intervalo (–1, 3). Figura 8.1 2. Continuidad por la derecha del punto x = –1. i. ii. iii. f ( −1) = ( −1) 2 = 1 (existe). x →−1+ lim f ( x) = lim+ x 2 = 1 (existe). x →−1 x →−1+ lim f ( x) = f (−1). Así que f es continua por derecha de −1. 3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3. i. ii. iii. f (3) = 3 + 2 = 5 (existe). x → 3− lim f ( x) = lim ( x + 2) = 5 (existe). − x →3 lim f ( x ) = f (3). Así que f es continua por la izquierda en el punto x = 3. x →3 De 1, 2 y 3 se concluye, de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalo cerrado [–1, 3]. El ejemplo 3 de los ejercicios resueltos (módulos 6 al 8) es otro caso de una función continua en un intervalo cerrado. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 73 Ejercicios del capítulo 2 (módulos 6 al 8) Ejercicios resueltos 1. Considere la función definida por ⎧ x−2 ⎪ f ( x) = ⎨ x 2 − 4 ⎪ 1 ⎩ si si x≠2 x=2 y analice la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontinua, clasifique la discontinuidad. Solución Se debe analizar si f satisface las condiciones para ser continua en x = 2. i. ii. f (2) = 1 (existe). x → 2+ lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = lim − x →2 x →2 x →2 x−2 , x2 − 4 x−2 , ( x − 2)( x + 2) 1 1 = lim = (existe). x→2 x + 2 4 = lim x→2 iii. lim f ( x ) = x→2 1 ≠ f (2) = 1. 4 Como falla esta última condición, f no es continua en x = 2. f ( x) = Ahora, puesto que lim x→2 1 existe, la discontinuidad es removible o evitable en x = 2. 4 g ( x ) con g (2), así: Para remover o evitar la discontinuidad se redefine la función, de tal forma que coincidan lim x→2 ⎧ x−2 , ⎪ ⎪ x2 − 4 g ( x) = ⎨ ⎪1 , ⎪ ⎩4 x≠2 x=2 74 74 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 6 al 8 En la figura 1 aparecen dibujadas las gráficas de f y g cerca de x = 2. Figura 1 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 75 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real 2. Considere la función f definida por ⎧2 x + 1 si f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x + 3 si x ≤1 x >1 y analice la continuidad de f en el punto x = 1. Si f es discontinua, clasifique su discontinuidad. Solución Como en el caso anterior, se analizan primero las condiciones de continuidad. i. f (1) = 2 ⋅1 + 1 = 3 (existe). ii. lim f ( x ) = lim ( x 2 + 3) = 4 ⎫ ⎪ x →1+ f ( x ) (no existe) ⎬ ⇒ lim x →1 lim f ( x ) = lim (2 x + 1) = 3 ⎪ x →1− x →1− ⎭ x →1+ De i e ii se concluye que f no es continua en el punto x = 1. f ( x ) no existe, la discontinuidad es esencial y no puede removerse. Además, como lim x →1 En la figura 2 aparece dibujada la función f. Figura 2 76 76 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 6 al 8 3. Considere la función f definida por ⎧3x + 6a si ⎪ f ( x) = ⎨3ax − 7b si ⎪ x − 12b si ⎩ x < −3 −3 ≤ x ≤ 3 x>3 Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio. Solución Como f es continua en todo su dominio, lo es en particular en los puntos x = 3 y x = –3. De la continuidad de f en el punto x = –3, se deduce que: lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (−3). x →−3 x →−3− (1) Pero lim f ( x ) = lim− (3 x + 6a ) = −9 + 6a. x →−3 x →−3− (2) También, lim f ( x) = lim+ (3ax − 7b) = −9a − 7b = f (−3). x →−3 x →−3+ (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene: −9 + 6a = −9a − 7b ⇔ 15a + 7b = 9. (4) De la continuidad de f en el punto x = 3 se deduce que: lim f ( x) = lim f ( x ) = f (3). − x →3 x → 3+ (5) Pero lim f ( x ) = lim (3ax − 7b) = 9a − 7b = f (3). − x →3 x → 3− (6) También, lim f ( x ) = lim ( x − 12b) = 3 − 12b. + x →3 x → 3+ (7) Sustituyendo (6) y (7) en (5) se obtiene: 9a − 7b = 3 − 12b ⇔ 9a + 5b = 3. (8) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 77 Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real Al resolver simultáneamente las ecuaciones (4) y (8) se obtienen finalmente los valores a = 2 y b = −3. Con estos valores, ¿cómo queda definida la función f ? Dibújela. 4. Pruebe que la función f ( x) = sen x es continua en x = 0. Solución lim f ( x) = lim sen x = lim x · x →0 x →0 x →0 sen x x sen x ⎞ ⎛ = lim x · ⎜ lim ⎟ = 0 ·1 = 0 x →0 ⎝ x →0 x ⎠ = sen 0 = f (0). ( ) Ejercicios propuestos 1. Establezca si las funciones dadas son o no continuas en el punto x = 2. Justifique su respuesta. a. f ( x) = 4 x 2 − 2 x + 12. d. g ( x) = x − 1. g. t ( x) = a x b. ⎧ x3 − 8 ⎪ j. f ( x) = ⎨ x − 2 ⎪ 12 ⎩ x≠2 x=2 x<2 x≥2 b. f ( x) = 8 . x−2 c. g ( x) = 3x2 . x−2 e. h( x) = x − 3. 2 f. h( x) = 3 − 5 x . c 1f g h. t ( x) = d d x − 2 g. e h si si ⎧ 4x − 8 ⎪ f ( x ) = ⎨ x−2 k. ⎪ ⎩ 2 ⎧ −3 x + 4 m. g ( x) = ⎨ − 2 ⎩ i. m( x) = x≠2 x=2 x≤2 x>2 x3 − 8 . x−2 si si si si ⎧ x + 3 si l. f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x + 1 si 2. En los ejercicios siguientes establezca la continuidad o no de las funciones en los puntos a dados. Si la discontinuidad es removible, remueva la discontinuidad. Dibuje las gráficas. ⎧9 − x 2 f ( x ) = ⎨ a. ⎩3x + 2 si si x≤2 a=2 x>2 ⎧ x2 − 4x + 3 ⎪ b. f ( x) = ⎨ x − 3 ⎪ 5 ⎩ ⎧ x2 + x − 6 ⎪ d. H ( x) = ⎨ x + 3 ⎪ 1 ⎩ si si x≠3 x=3 x ≠ −3 x = −3 a=3 ⎧ x 2 − 3x − 4 ⎪ c. G ( x) = ⎨ x − 4 ⎪ 2 ⎩ si si x≠4 x=4 a=4 si si a = −3 ⎧x −1 ⎪ e. f ( x) = ⎨ 1 ⎪1 − x ⎩ si si si x <1 x =1 x >1 a = 0; a = 1; a = 2 78 78 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 6 al 8 3. Sea ⎧3 x + 2 f ( x) = ⎨ ⎩5 x + k si si x<4 x≥4 f ( x ) exista. Determine el valor de k para que lim x→4 4. Sea ⎧ x2 ⎪ f ( x) = ⎨ ax + b ⎪2 x − 5 ⎩ si si si x ≤ −2 −2< x < 2 x≥2 f ( x ) y lim f ( x ) existan. Determine los valores de las constantes a y b para que xlim →−2 x→2 5. Dada la función ⎧2 x + 1 ⎪ f ( x) = ⎨ ax + b ⎪ 2 ⎩x + 2 si si si x≤3 3< x<5 x≥5 Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio. 6. Sea ⎧3x + 6a ⎪ f ( x) = ⎨3ax − 7b ⎪ x − 12b ⎩ si si si x < −3 −3 ≤ x ≤ 3 x>3 determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio. 7. f ( x) = 3 y lim g ( x ) = −2, y si g es continua en x = 3, encuentre el valor de: Si lim x →3 x →3 f ( x) − 4 g ( x)]. a. lim[2 x →3 g ( f ( x )). d. lim x →3 b. lim x →3 x2 − 9 ⋅ g ( x ). x−3 c. g (3). f. lim x →3 g ( x) − g (3) f ( x) . 2 e. lim [ f ( x)] − 8 g ( x ). x →3 8. Bosqueje la gráfica de la función f que satisfaga todas las siguientes condiciones: a. Su dominio es [–2, 2]. b. f (–2) = f (–1) = f (1) = f (2) = 1. c. f es discontinua en –1 y 1. d. f es continua por la derecha en –1 y continua por la izquierda en 1. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 79 Ejercicios de los módulos 6 al 8 9. Dibuje la gráfica de la función f que satisfaga todas las siguientes condiciones: a. Su dominio es [0, 6]. b. f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2. c. f es continua, excepto para x = 2. f ( x ) = 1 y lim f ( x ) = 3. d. xlim → 2− x → 5+ «No es la fuerza, sino la perseverancia de los altos sentimientos, la que hace a los hombres superiores». Friedrich Nietzsche 80 80 U de @ - Educación no presencial Capítulo 3 3 Derivación de funciones de variable real Contenido breve Módulo 9 Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notación Módulo 10 Relación derivada-continuidad y derivadas laterales Módulo 11 Reglas de derivación Módulo 12 Derivadas de orden superior y derivación implícita Módulo 13 Funciones trascendentes y sus derivadas Módulo 14 Otras funciones trascendentes y sus derivadas Módulo 15 Límites al infinito y asíntotas de una curva Módulo 16 Límites infinitos y asíntotas verticales Módulo 17 Asíntotas oblicuas Se puede demostrar que la tangente a una parábola en un punto hace ángulos iguales con la recta que pasa por el punto de tangencia y el foco, y con la paralela al eje focal trazada por el punto. Esto significa que si se supone un espejo parabólico perfectamente liso, todo rayo paralelo al eje de simetría de la parábola se refleja pasando por el foco. Esta propiedad, conocida como propiedad óptica de la parábola, es utilizada en la construcción de reflectores y antenas parabólicas. Presentación En este capítulo presentamos el concepto fundamental del cálculo diferencial: la derivada. Si bien el concepto de función es básico, y no se puede hacer nada sin límite y continuidad, todo lo presentado en los capítulos 1 y 2 ha sido la antesala para penetrar en las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal. Hay multitud de problemas de matemáticas, química, física e ingeniería que requielim Δy Δx . Por esta razón, la matemática ren para su solución el cálculo del límite Δ x →0 pura ha estudiado los métodos para calcular estos límites, a los cuales se les llama derivadas, para los distintos tipos de funciones. Muchas definiciones, e incluso algunos teoremas, pueden darse en términos de problemas físicos. De hecho, las necesidades de los físicos constituyeron la inspiración original para las ideas fundamentales del cálculo. Pero las ideas que expondremos serán en forma matemática y se discutirá su significado en términos de problemas matemáticos. Módulo 18 Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital Módulo 19 Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos Ejercicios Capítulo 3, módulos 9 al 19 82 U de @ - Educación no presencial 9 Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notación Introducción En este módulo se presenta una breve reseña histórica de uno de los conceptos más importantes de la matemática, como es la derivada. Se inicia con el trabajo hecho en la antigua Grecia, se continúa con el trabajo de Fermat y se culmina con las ideas de Newton y Leibniz, quienes llegaron a concebir en el siglo XVII, con ideas inicialmente poco claras, el concepto de derivada. Se presenta, además, la definición de derivada como el planteamiento de un límite muy especial y las diferentes notaciones que usan para la misma los textos usuales de cálculo, y que en el resto del texto seguiremos usando. Pierre de Fermat Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne (Francia) en 1601 y murió en Castres (Francia) en 1665. Objetivos del módulo 1. Conocer los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal. En particular, para la derivada, los planteamientos desarrollados en la Grecia antigua (siglo III a.C.) y los métodos sistemáticos de Newton y Leibniz veinte siglos después. 2. Presentar la derivada como un límite del cociente de los incrementos de las variables y las diferentes notaciones usadas para la misma. Preguntas básicas ′ a ) = lim 1. Muestre que si f ′(a ) existe, entonces f '( h→0 f ( a + h) − f ( a − h) . 2h Esta forma de la derivada se conoce como derivada numérica de f en el punto a y es la que utilizan las calculadoras gráficas. Contenidos del módulo 9.1. Introducción histórica de la derivada 9.2. Definición de la derivada de una función y notaciones usadas Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 83 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 9.1 Introducción histórica de la derivada Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII, por obra de Newton y Leibniz). En lo que atañe a las derivadas, hay dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos), que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial. El problema de la tangente a una curva fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, este matemático hizo el estudio de los diámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de una hipérbola de centro C, Apolonio demuestra que la tangente en P corta las asíntotas en los puntos L y L ′ que equidistan de P (figura 9.1a). Vea el módulo 9 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 9.1 84 U de @ - Educación no presencial Módulo 9: Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notación En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (figura 9.1b), Apolonio traza la perpendicular QN desde el punto Q al eje AA ', y halla el conjugado armónico T de N con respecto a A y A '. Es decir, el punto T de la recta AA ' es tal que AT AN = , A ' T NA ' o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA ' en la misma razón en que N divide internamente a AA ' . Entonces, la recta que pasa por T y Q será tangente a la elipse. Igualmente, en el libro Cónicas (V.8), Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso completo de cálculo diferencial. En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601-1665) quien, en 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el más importante de ellos, titulado «Methodus ad disquirendam maximan et miniman» (Métodos para hallar máximos y mínimos), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x) toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero en una «cumbre» o en el fondo de un «valle» de una curva lisa la diferencia es casi imperceptible. Por tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son «casi iguales». Cuanto más pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, más cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya, en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular f ( x + E ) − f ( x) E Pierre de Fermat Pierre de Fermat estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrolló, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas. Diseñó así mismo un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, amén de trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad. Otro campo en el que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto. Desarrolló también un ingenio-so método de demostración que denominó «del descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra. lim E →0 e igualar este límite a cero. Esta fue la razón que asistió a Laplace a aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del cálculo diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton, 1642-1727, nacido en Woolstharpe, Inglaterra) y a Leibniz (Gottgried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, nacido en Leipzig, Alemania) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales. Newton tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era más sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) o y, él lo llamaba «cantidades fluentes», y la derivada, D f (x), era llamaba «fluxión». Además, escribía y en lugar de D f (x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: «Los momentos –las actuales diferenciales– dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por tanto considerarse como magnitudes finitas nacientes». Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas muy bien, pero que para otro que no fuera el inventor del método suenan bastante incomprensibles. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 85 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real En 1669, Isaac Barrow (1630-1677) recibió de su alumno Isaac Newton un folleto titulado De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. Contenía, nada menos, que el esbozo casi completo del cálculo diferencial e integral. Aquel mismo año Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por tanto mucho más derecho a la cátedra de matemáticas, con más merecimientos que el propio Barrow, su titular. Con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow cedió su cátedra a Newton. A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió los Principia mathematica, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás publicado. En él aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos de la Tierra, la Luna y los planetas alrededor del Sol. Se dice que un estudiante observó: «Ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demás comprenden». Leibniz comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes. Sin embargo, la historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665-1666), pero que Leibniz las descubrió independientemente durante los años de 1673 a 1676. Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los dy y dx ∫ para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término «función» y el uso del símbolo «=» para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra, de donde era oriundo Newton. Escuche el audio Fermat: su último teorema y una historia increíble de fin de siglo en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. nombres del cálculo diferencial y el cálculo integral, así como los símbolos 9.2 Definición de la derivada de una función y notaciones usadas Definición Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto I que contiene los puntos x1 y x1 + h. a. Se dice que f es derivable o f es diferenciable o f tiene derivada en x1 si lim h→0 f ( x1 + h ) − f ( x1 ) h existe. A dicho límite, cuando existe, se le denota por f ′( x1 ) . En consecuencia, se puede escribir en este caso f ′( x1 ) = lim h →0 f ( x1 + h ) − f ( x1 ) h . (1) 86 U de @ - Educación no presencial Módulo 9: Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notación Si f es derivable en todos los puntos x ∈ I , entonces la función f ′( x) = lim h →0 f ( x + h) − f ( x) h (2) se llamará función derivada de f con respecto a x. Otras notaciones para la función derivada de f con respecto a x son: d dy f ( x), (notación de Leinbniz), y´, dx dx las cuales se usarán en adelante de manera indistinta. Dx f , Observación Al hacer x = x1 + h, entonces x → x1 cuando h → 0. De x = x1 + h se tiene h = x − x1, y al hacer las sustituciones correspondientes en (1) se obtiene la expresión equivalente para la derivada en x1: f ′( x1 ) = lim f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 x → x1 . En los ejemplos resueltos 19.1 y 19.2 al final del capítulo 3 se ilustra la manera de calcular la derivada de algunas funciones usando la definición. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 87 88 U de @ - Educación no presencial 10 Relación derivada-continuidad y derivadas laterales Introducción Como se afirmó antes, la propiedad de continuidad es una propiedad local que indica geométricamente que la curva no se «rompe» en ningún punto de su dominio. Igualmente, la derivabilidad de una función es también una propiedad local, e indica que a la gráfica de la función se le puede trazar una recta tangente en cada punto de su dominio. Parece por tanto natural que esta segunda condición sea más fuerte que la primera. Este resultado es el que efectivamente se da y es el que se enuncia y demuestra en la sección 10.1. Waclaw Sierpinski creó un fractal utilizando un triángulo equilátero como semilla. Objetivos del módulo 1. Destacar la relación existente entre derivada y continuidad de una función, mediante un teorema cuyo contrarrecíproco establece un criterio de discontinuidad. 2. Mostrar con ejemplos gráficos el significado de las expresiones «función derivable» y «no derivable» y cómo influyen en el grado de «suavidad» de una curva. 3. Definir las derivadas laterales de una función en un punto y su relación con la derivada unilateral. Preguntas básicas 1. ¿Cree usted que existen funciones que sean continuas en todos los puntos de su dominio (sin huecos), pero que no tienen recta tangente en ninguna parte? Trate de hacer un gráfico aproximado de alguna de ellas. Contenidos del módulo 10.1 Relación entre la derivada y la continuidad de una función de variable real 10.2 Derivadas laterales Fractales Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la sección Sitios de Interés del curso Elementos Básicos de Cálculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu. co/lms/moodle/ Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 89 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 10.1 Relación entre la derivada y la continuidad de una función de variable real El siguiente teorema establece una relación entre las funciones continuas y las funciones derivables. Vea el módulo 10 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Teorema 1: Derivable ⇒ Continua Si f es una función derivable en el punto x1, entonces f es continua en x1. Demostración Para demostrar que f es continua en x1, basta demostrar que o Vea la animación «Construcción del triángulo Sierpinski» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. lim ⎡ f ( x ) − f ( x1 ) ⎤ equivalentemente, x ⎦ = 0. → x1 ⎣ En efecto, como f ( x ) − f ( x1 ) = f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 ( x − x1 ) , x ≠ x1, se tiene que x → x1 lim ⎡ lim ⎣ f ( x ) − f ( x1 ) ⎤ ⎦ =x → x1 f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 ( x − x1 ) , ⎛ f ( x ) − f ( x1 ) ⎞ = ⎜ lim lim ( x − x1 ) , ⎟ x x → x1 x − x1 ⎝ ⎠ → x1 = f ′( x1 ) . 0 = 0 ( ) x → x1 lim Observaciones importantes a. El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, existen funciones que son continuas en un punto x1 y no son derivables allí. Considérese por ejemplo la función f ( x ) = x . Puede demostrarse fácilmente que f es continua en x = 0. Sin embargo, f ´(0) no existe (es decir, f no es derivable en x = 0). En efecto, f ′(0) = lim h→0 f (0 + h) − f (0) h = lim h →0 f ( h ) − f ( 0) h h h . , = lim h →0 Para determinar la existencia o no del último límite se utilizan los límites laterales (módulo 5). Esto es, 90 U de @ - Educación no presencial Módulo 10: Relación derivada-continuidad y derivadas laterales Fractales en su aula ⎫ h (1) = 1 = lim ⎪ + h h →0 h h →0 h h →0 ⎪ no existe. ⎬ ⇒ lim h →0 h h −h ⎪ lim = lim (−1) = −1⎪ = lim h → 0− h h → 0− h h → 0− ⎭ lim + h = lim + Así que f ′ ( 0 ) = lim h→0 h h no es derivable en x = 0. b. no existe, y de esta manera la función f ( x) = x En la gráfica de la función f ( x ) = x (figura 10.1) puede notarse que en el punto x = 0 la función es continua, pero allí se presenta una esquina aguda o un «pico», indicando con esto un argumento geométrico sencillo para determinar los puntos del dominio en los cuales una función no es derivable. Los fractales se encuentran fácilmente en la naturaleza. Se observan en el brócoli, la coliflor, los helechos, las líneas costeras del Pacífico y más. La geometría fractal fue descubierta alrededor del año 1970 por el matemático polaco Benoit Mandelbrot. Él estaba fascinado con los complejos patrones que veía en la naturaleza, pero no los podía describir por medio de la geometría euclidiana: las nubes no eran esféricas, las montañas no eran conos, las líneas costeras no eran círculos, la corteza de los árboles no era lisa, ni tampoco viajaban los rayos en líneas rectas. Entonces desarrolló el concepto y lo denominó «fractal», a partir del significado en latín de esta palabra, que encontró en un libro de texto de su hijo. Fractal significa «fracturado, fragmentado o quebrado». Los patrones fractales tienen dos características básicas: · · Autosimilitud (que significa que un mismo patrón se encuentra una y otra vez). Dimensiones fractales. Figura 10.1 Fue una gran sorpresa para los matemáticos cuando descubrieron funciones que eran continuas en todas partes, pero no eran derivables en ninguna parte. Los primeros pasos en la construcción de una tal función se muestran en la figura 10.2. Esta dimensión fractal describe la relación entre los segmentos y la totalidad. Mientras más cercano esté la forma de un fractal a una línea (dimensión 1), a un plano (dimensión 2) o a un objeto tridimensional, más cercano estará la dimensión fractal al número entero que describe su forma. Hay dos clases de fractales: matemáticos y naturales (al azar). Los fractales encontrados en la naturaleza tienen una característica adicional: son formados por procesos aleatorios. Como ejemplo se pueden nombrar los rayos, los deltas de los ríos, los sistemas de raíces y las líneas costeras. Fuente: Lori Lambertson, Exploratorium Teacher Institute, San Francisco, EU. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 91 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Figura 10.2 Continuando el proceso infinitamente, se obtiene una función que satisface las condiciones antes establecidas. c. Muchas veces es útil considerar el contrarrecíproco del teorema 1, o sea: «si f no es continua en x1, entonces f no es derivable en dicho punto». El siguiente ejemplo ilustra la manera de usar el teorema 1 en su forma equivalente del contrarrecíproco. Sea f la función definida por ⎧ x si ⎪ f ( x) = ⎨1 ⎪ x si ⎩2 x ≥1 x <1 Demuestre que f (x) no es derivable en x = 1. En efecto, al hacer el análisis de la continuidad de f en x = 1, se tiene: x =1⎫ ⎪ f ( x ) no existe. 1 1 ⎬ ⇒ lim x →1 ⎪ lim f ( x ) lim x = = x →1− x →1− 2 2⎭ x →1+ lim f ( x ) = lim + x →1 92 U de @ - Educación no presencial Módulo 10: Relación derivada-continuidad y derivadas laterales En consecuencia, f no es continua en x = 1, y por tanto f no es derivable (f ´(1) no existe) en x = 1. 10.2 Derivadas laterales Definición a La derivada de una función f, por la derecha de x1, denotada por f +′( x1 ) se define como f +′( x1 ) = lim + h →0 f ( x1 + h ) − f ( x1 ) h , o equivalentemente como f +′( x1 ) = lim+ x → x1 f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 . b. La derivada de una función f por la izquierda de x1, denotada por f −′( x1 ) se define como f −′( x1 ) = lim − h →0 f ( x1 + h ) − f ( x1 ) h , o equivalentemente: f −′( x1 ) = lim− x → x1 f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 . Las derivadas laterales son útiles para determinar analíticamente la existencia o no de la derivada de una función a tramos, en los puntos extremos de los subdominios. Así por ejemplo, considere la función f definida por ⎧ x 2 + x + 1 si f ( x) = ⎨ si ⎩4 x − 1 x ≥1 x <1 Si se desea determinar la existencia o no de la derivada de f en el punto x1 = 1, las derivadas laterales f +′(1) y f −′(1) nos proporcionan la información. Ahora, f +′(1) = lim + x →1 f ( x ) − f (1) x −1 , = lim + x →1 (x 2 + x + 1) − 3 x −1 , Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 93 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real = lim + x →1 x2 + x − 2 , x −1 = lim + x →1 ( x + 2 )( x − 1) x −1 = lim ( x + 2) = 3. + x →1 Es decir, f +′(1) = 3. También, f −′(1) = lim − x→1 (1) f ( x) − f (1) x −1 , = lim − x →1 ( 4 x − 1) − 3 x −1 , = lim − x →1 4 ( x − 1) 4x − 4 = lim = 4. − x → 1 x −1 x −1 (2) Esto es, f −′(1) = 4. Puede notarse de (1) y (2) que las derivadas laterales son diferentes, y en consecuencia f ´(1) no existe. La figura 10.3 muestra el comportamiento de la función f en el punto x = 1. Nótese que en el punto P (1, 3) la gráfica presenta un «pico», indicando con esto de manera intuitiva que f no es derivable allí. Figura 10.3 94 U de @ - Educación no presencial 11 Reglas de derivación Introducción Isaac Newton En este módulo se demostrarán la mayoría de las reglas básicas del cálculo diferencial. A lo largo de las demostraciones el estudiante podrá comprobar que todas ellas se basan en la teoría de los límites funcionales y de la continuidad. Por esta razón, le recomendamos revisar los conceptos previos de los capítulos 1 y 2, en particular lo referente a la forma indeterminada límite. 0 y la manera de eliminarla para calcular el 0 Isaac Newton nació el 25 de diciembre de 1642 (correspondiente al 4 de enero de 1643 en el nuevo calendario) en Woolsthorpe, Inglaterra, y murió en Londres el 20 de marzo de 1727. Objetivos del módulo 1. Establecer las propiedades de las funciones derivables (reglas de derivación) y cómo usarlas en la solución de ejercicios. Preguntas básicas 1. 2. ¿Existen funciones f y g tales que ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g ′ ? ¿Cree usted que Galileo se equivocó cuando afirmó: «Si un cuerpo cae una distancia s(t) en t segundos, entonces su velocidad s ′(t ) es proporcional a s(t)»? Contenidos del módulo 11.1 Reglas de derivación 11.2 Teorema: Derivada de la función compuesta (regla de la cadena) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 95 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 11.1 Reglas de derivación Las siguientes reglas tienen por objeto calcular la derivada de una función sin usar directamente la definición, convirtiendo la derivación de funciones en un proceso mecánico. Vea el módulo 11 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Regla de derivación 1 (RD1): Derivada de una constante siendo C una constante ⇒ f ′( x) = 0. dC = 0. dx f ( x + h) − f ( x ) C −C = lim = lim 0 = 0. h→0 h →0 h h Se suele escribir Prueba: f ′( x) = lim h→0 Regla de derivación 2 (RD2): Derivada de la función identidad f ( x) = x ⇒ f ′( x) = 1. dx = 1. dx f ( x + h) − f ( x ) x+h−x = lim = lim1 = 1. h → 0 h →0 h h Se suele escribir Prueba: f ′( x) = lim h →0 f (x Si f (x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, entonces (f + g), (f – g), ( f ⋅ g ) y (f /g) son también derivables en x, y se generan las siguientes reglas de derivación: Regla de derivación 3 (RD3): Derivada de una suma de funciones t ( x) = f ( x) + g ( x) ⇒ t ′( x) = f ′( x) + g ′( x). Regla de derivación 4 (RD4): Derivada de una diferencia de funciones t ( x) = f ( x) − g ( x) ⇒ t ′( x) = f ′( x) − g ′( x). Regla de derivación 5 (RD5): Derivada de un producto de funciones t ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) ⇒ t ′( x) = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x). t ( x + h) − t ( x ) f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x ) = lim , h→0 h h f ( x + h) g ( x + h) − g ( x + h) f ( x ) + g ( x + h) f ( x ) − f ( x ) g ( x ) , h Prueba: t ′( x) = lim h→0 = lim h→0 96 U de @ - Educación no presencial Módulo 11: Reglas de derivación = lim h →0 g ( x + h) [ f ( x + h) − f ( x)] + f ( x) [ g ( x + h) − g ( x)] h , = lim g ( x + h) ⋅ lim h →0 h→0 f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) + lim f ( x) ⋅ lim , h→0 h→0 h h = g ( x) ⋅ f ′( x) + f ( x) ⋅ g ′( x). Regla de derivación 6 (RD6) t ( x) = 1 ⇒ t ′( x) = − g ′( x) . 2 g ( x) [ g ( x) ] 1 1 − + − t x h t x ( ) ( ) + ( ) ( g x h g x) Prueba: t ′( x) = lim = lim , h →0 h → 0 h h = lim h →0 ⎡ g ( x + h) − g ( x ) ⎤ g ( x ) − g ( x + h) 1 , = − lim ⎢ ⋅ h → 0 h [ g ( x + h) ⋅ g ( x)] h g ( x + h) ⋅ g ( x ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎤ g ( x + h) − g ( x ) ⎤ ⎡ 1 ⎡ = − ⎢lim ⎥, ⎥ ⎢lim h →0 h → 0 g ( x + h) ⋅ g ( x) h ⎣ ⎦⎣ ⎦ = − g ′( x) . 1 g '( x) = − . 2 g ( x) 2 [ g ( x) ] Isaac Newton Newton realizó sus primeros estudios universitarios en 1661, en Trinity College de Cambridge. Al comienzo de sus estudios se interesó por la química y este interés, según se dice, se manifestó a lo largo de toda su vida. Durante su primer año de estudios, y probablemente por primera vez, leyó una obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides, lo que despertó en él el deseo de leer otras obras. Su primer tutor fue Benjamín Pulleyn, posteriormente profesor de griego en la universidad. En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, la Geometría de Descartes, la Óptica de Kepler, la Opera mathematica de Francisco Vieta, editadas por Francis van Schooten y, en 1644, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas. En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clases como primer profesor lucasiano de matemáticas. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten. Regla de derivación 7 (RD7): Derivada de un cociente de funciones t ( x) = f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) f ( x) . , g ( x) ≠ 0 ⇒ t ′( x) = 2 g ( x) [ g ( x) ] f ( x) ⎛ 1 ⎞ = ⎜ f ( x) ⋅ ⎟ . Así que, usando RD5, se tiene que: g ( x) ⎝ g ( x) ⎠ Prueba: t ( x) = ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞′ t ′( x) = f ′( x) ⎜ ⎟ + f ( x) ⋅ ⎜ ⎟, ⎝ g ( x) ⎠ ⎝ g ( x) ⎠ ⎛ g ′( x) ⎞ f ′( x) + f ( x) ⎜ − 2 ⎟ g ( x) ⎝ g ( x) ⎠ = (regla de derivación 6), = f ′( x) f ( x) g ′( x) f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) − = . 2 2 g ( x) [ g ( x) ] [ g ( x) ] Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 97 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Epitafio de Isaac Newton Aquí descansa Sir Isaac Newton, caballero que con fuerza mental casi divina demostró el primero, con su resplandeciente matemática, los movimientos y figuras de los planetas, los senderos de los cometas y el flujo y reflujo del océano. Investigó cuidadosamente las diferentes refrangibilidades de los rayos de luz y las propiedades de los colores originados por aquellos. Intérprete laborioso, sagaz y fiel de la Naturaleza, la Antigüedad y la Santa Escritura, defendió en su Filosofía la majestad del Todopoderoso y manifestó en su conducta la sencillez del Evangelio. Dad las gracias, mortales, al que ha existido así, y tan grandemente como adorno de la raza humana. Nació el 25 de diciembre de 1642; falleció el 20 de marzo de 1727. 11.2 Teorema: Derivada de la función compuesta (regla de la cadena) Si y = g (u) y u = f (x), entonces se puede obtener la composición y = (g o f )(x) = g (f (x)). dy , basta con derivar esta última relación. dx Ahora, si se quiere calcular La siguiente regla, conocida como la regla de la cadena, proporciona otra manera de hallar la derivada sin efectuar la composición. Regla de derivación 8 (RD8): Regla de la cadena Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que H = g(u) y u = f (x). Entonces: H '( x) = ( g o f ) '( x) = g '( f ( x)) . f '( x). En la demostración se hace uso del siguiente lema, que se puede demostrar fácilmente: Lema: sea g una función tal que g'(u ) existe y considere la siguiente función: ⎧ g (u + h) − g (u ) − g ′(u ) ⎪ G ( h) = ⎨ h ⎪ 0 ⎩ si h ≠ 0 si h = 0 Por tanto: a. b. G (h) = G (0) = 0 . G es continua en h = 0 lim h →0 ( ) g (u + h) − g (u) = h [ g ′(u) + G(h)] . Prueba de la regla: Como H (x) = g (f (x)), entonces: H (x + t) – H (x) = g (f (x + t)) – g (f (x)), = g (f (x + t)) – f (x) + f (x)) – g (f (x)). Sea h = f (x + t) – f (x). Así que: H (x + t) – H (x) = g (h + u) – g (u). Como f es una función continua, se sigue de (1) que t → 0 ⇔ h → 0. U de @ - Educación no presencial (1) (2) 98 Módulo 11: Reglas de derivación Ahora, aplicando el lema en su parte b en (2), se tiene que H (x + t) – H (x) = h [g´ (u) + G (h)]. Luego, H ( x + t ) − H ( x) h = [ g '(u ) + G (h) ] ⋅ , t t H ( x + t ) − H ( x) f ( x + t ) − f ( x) = [ g '(u ) + G (h) ] ⋅ . t t Al tomar límite en ambos lados de la última igualdad cuando t → 0, se obtiene: H ( x + t ) − H ( x) f ( x + t ) − f ( x) = lim [ g '(u ) + G (h) ] ⋅ . t →0 t t lim t →0 (3) Pero lim [ g '(u ) + G ( h) ] t →0 = lim [ g '(u ) + G(h)] , (de (1)), h →0 = g '(u) + lim G(h), h →0 = g ′(u ) + G (0) (por ser G continua), = g '(u ) + 0 = g '(u ). Además, f ( x + t ) − f ( x) H ( x + t ) − H ( x) = f '( x) , y lim = H '( x). t →0 t t lim t →0 Así que, de (3), se obtiene finalmente H '( x) = g '(u ) ⋅ f '( x) = g '( f ( x)) ⋅ f '( x). Observaciones a. Muchas veces, la regla de la cadena se recuerda más fácilmente usando la notación de Leibniz para la derivada. Esto es: dy dy du = ⋅ . dx du dx Escuche el audio La garra del león en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Si y = g (u) y u = f (x), entonces Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 99 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real b. Regla de la cadena compuesta. dy dy du dt = ⋅ ⋅ . dx du dt dx Si y = g (u), u = f (t) y t = h (x), entonces Regla de derivación 9 (RD9) y = xn ⇒ dy = nx n −1 , para todo n, n ∈ ℜ. dx (Para n < 0, la función xn está definida solamente en ℜ − {0}) Prueba: Caso 1: n ∈ Cuando n ∈ + (n es un número entero) , la prueba se hace por inducción sobre n. Para n = 1, se sabe que d 1 dx (x ) = = 1 = 1 ⋅ x1−1 (regla de derivación 2). dx dx Sea k ∈ que: + d k k −1 . Supóngase que dx x = kx (hipótesis de inducción) y demostremos d k +1 k +1 −1 x = (k + 1) x( ) . dx En efecto, d k +1 d x = ( x ⋅ xk ) , dx dx d k dx x + xk ⋅ (regla de derivación 5), dx dx = x⋅ = x ⋅ kx k −1 + x k ⋅1 (hipótesis de inducción y regla de derivación 2), = k ⋅ x k + x k = (k + 1) x k = (k + 1) x( k +1) −1 . Cuando n < 0, hacemos n = – m, con m > 0. De esta manera: 1 d n d −m = d ⎛ ⎜ m x = x dx x ⎝ dx dx m −1 ⎞ − mx = ⎟ 2 ⎠ ( x m ) (regla de derivación 6). = −mx− m−1 = nxn −1. 100 U de @ - Educación no presencial Módulo 11: Reglas de derivación Caso 2: n ∈ (n es un número racional) 1 , y x ≠ 0. En este caso, la función y = f (x) = xn puede q Considere primero que n = escribirse en la forma y = f ( x) = x1/ q . De acuerdo a la definición de derivada, se tiene que dy f ( x + h) − f ( x) = f ′( x ) = lim , h →0 dx h 0 ( x + h)1/ q − x1/ q (indeterminado de la forma ). h →0 0 h = lim Para eliminar la indeterminación en este último límite, se multiplican el numerador y el denominador por el factor racionalizante: ⎡( x + h )1/ q ⎤ ⎣ ⎦ q −1 + ⎡( x + h ) ⎣ 1/ q ⎤ ⎦ q−2 ⋅ x1/ q + ... + ( x1/ q ) q −1 . Esto es, f ′( x) = lim h →0 ⎡( x + h )1/ q − x1/ q ⎤ ⋅ ⎡( x + h )1/ q ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1/ q h ⎡( x + h ) ⎤ ⎣ ⎦ { { q −1 + ... + ( x1/ q ) q −1 q −1 + ... + ( x 1/ q q −1 ) } } , = lim h →0 1/ q h ⎡( x + h ) ⎤ ⎣ ⎦ { ⎡( x + h )1/ q ⎤ − ( x1/ q ) ⎣ ⎦ q q −1 q + ... + ( x1/ q ) q −1 } , (aquí se utilizó la identidad a n − b n = ( a − b)(a n −1 + a n − 2 b + ... + b n −1 ) f ′( x) = lim h →0 1/ q h ⎡( x + h ) ⎤ ⎣ ⎦ { x+h−x q −1 + ... + ( x1/ q ) q −1 } , , = lim h →0 { 1 1/ q q −1 ⎡( x + h ) ⎤ ⎣ ⎦ + ... + ( x 1/ q q −1 ) } = x 1 q −1 q + ... + x q − veces q −1 q = 1 qx q −1 q = 1 1 , ⋅ q 1− 1 q x Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 101 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real = 1 q −1 x = nx n −1. q + 1 p Considere ahora que n = q , con p, q ∈ y = f ( x) = x n puede escribirse en la forma 1/ q y = xp/q = ⎡ ⎣x ⎤ ⎦ , p . En este caso, la función potencia y para derivarla se aplica la regla de la cadena (regla de derivación 8). Hacemos u = x1/ q . De esta forma, p 1/ q 1/ q y=⎡ ⎣x ⎤ ⎦ =u ,y u = x . p Entonces, dy dy du = ⋅ , dx du dx 1 −1 = pu p −1 ⋅ x q (casos 1 y 2), q p −1 1 = 1 p ⎛ q⎞ ⋅⎜ x ⎟ ⎟ q ⎜ ⎝ ⎠ 1 ⋅ xq , −1 = p q − q + q −1 x (leyes de los exponentes), q x p 1 1 = p q −1 x = nx n −1 . q Caso 3: n ∈ ℜ (n es un número real) En este caso la demostración se sale del alcance de este curso. Por tanto, no presentamos su demostración. Sin embargo, en el módulo 14 se demuestra este caso usando la RD23 (observación a del teorema 1). Regla de derivación 10 (RD10) Sea f (x) una función derivable de x, y sea n ∈ ℜ. Entonces, 102 U de @ - Educación no presencial Módulo 11: Reglas de derivación y = [ f ( x) ] ⇒ n dy n −1 = n [ f ( x) ] ⋅ f ′( x). dx Prueba: Haga u = f(x). Entonces y = un, u = f(x) y aplique la regla de derivación 8. En los ejemplos 19.4 y 19.5 de los ejercicios resueltos al final del capítulo 3 se ilustra la manera de usar las reglas de derivación mencionadas anteriormente. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 103 12 Derivadas de orden superior y derivación implícita Introducción En los dos módulos anteriores se abordó el problema de determinar la función f ′( x) para una función dada f (x). Podemos considerar ahora la función g(x) = f ′( x) y determinar la función g ′( x) y que llamaremos la segunda derivada de f (x). Igualmente se puede considerar ahora la función h( x) = g ′( x) y determinar para ella la función h′( x) que llamaremos la tercera derivada de f (x). De esta manera se puede continuar el proceso para generar la enésima derivada de f. De otro lado, todas las funciones que se han considerado hasta ahora para derivar son tales que la regla que asigna a cada x de su dominio, su imagen f (x) las relaciona de manera explícita en la fórmula y = f (x). Existen funciones para las cuales las variables x e y están relacionadas entre sí, pero es imposible escribirlas en la forma y = f (x). Por ejemplo, la ecuación x3 – y3 – 7y = 0, que se considera en este módulo, y que para cada x0 ∈ ℜ existe un único y0 ∈ ℜ que la satisface, presenta esta particularidad. Sin Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz nació en Leipzig en 1646 y falleció en Hannover el 14 de noviembre de 1716. embargo, esto no es impedimento para determinar la derivada derivación implícita nos indicará la forma de hacerlo. dy . La regla de dx Objetivos del módulo 1. Mostrar cómo el operador «derivada» puede aplicarse de manera reiterada a una función, generando las llamadas derivadas de orden superior, y de esta forma dar sentido a la expresión «función n-veces derivable». Introducir la noción de derivada implícita y la forma de usarla para calcular la derivada de una función, sin necesidad de despejar la variable y como función explícita de x. 2. Preguntas básicas 1. Dada la ecuación x2 + y2 − 4 = 0, ¿cuántas funciones implícitas de la forma y = f (x) están incluidas en la ecuación? Escriba al menos tres de ellas. Contenidos del módulo 12.1 Derivadas de orden superior 12.2 Derivación implícita Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 12.1 Derivadas de orden superior Hasta ahora se ha estudiado la derivada de una función, o la primera derivada de una función, o la derivada de primer orden de una función. Muchas veces interesa el caso en el cual la función derivada f '( x) se puede derivar nuevamente en un intervalo I obteniéndose de esta forma la segunda derivada de la función. f '( x + h) − f '( x) , se llamará la segunda derivada de f, o tamh bién la derivada de segundo orden, y se denotará por cualquiera de los símbolos: Vea el módulo 12 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Es decir, si existe lim h→0 f ′′( x), f ′′, Dx 2 ( f ), y ′′, d2y . dx 2 Igualmente, se puede analizar si f’’ es derivable, en cuyo caso se llama a la función resultante la tercera derivada de f, o la derivada de orden 3, y se denotará por f ′′′( x), f ′′′, Dx3 ( f ), y ′′′, d3 y . dx3 Siguiendo este proceso, se puede preguntar por la existencia o no de la derivada n-sima o la derivada de orden n de f, la cual se denotará por f ( n ) ( x), f ( n ) , Dx n ( f ), y ( n ) , Observación dn y . dx n Todas estas notaciones se extienden a las llamadas derivadas de orden superior. Observe que aunque la notación de Leibniz para las derivadas es complicada, ⎛ dy d 2 y d 3 y ⎞ ⎜ , 2 , 3 ,... ⎟ , resulta ser la más apropiada y natural. Al menos así lo pensaba ⎝ dx dx dx ⎠ él al escribir d ⎛ dy ⎞ d2 y ⎜ ⎟ como 2 , dx ⎝ dx ⎠ dx d ⎛ d ⎛ dy ⎞ ⎞ d3 y ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ como 3 . dx ⎝ dx ⎝ dx ⎠ ⎠ dx 106 U de @ - Educación no presencial Módulo 12: Derivadas de orden superior y derivación implícita 12.2 Derivación implícita Supóngase que las variables x e y están relacionadas por alguna ecuación de la forma F (x, y) = 0. Asi, son ecuaciones de esta forma las siguientes: x 2 + y 2 − 25 = 0. (1) (2) (3) (4) (5) x3 + xy 2 + y 6 = 0. y 3 + 7 y = x3 . x 2 + y 2 + 25 = 0. Definición Si una función f definida en un intervalo I es tal que la ecuación (1) se transforma en una identidad cuando la variable y se reemplaza por f(x), se dice que f está definida implícitamente por medio de la ecuación (1). Así por ejemplo, la ecuación (2) define implícitamente las funciones y = 25 − x 2 e y = − 25 − x 2 en el intervalo [ − 5, 5]. La sustitución de cada una de estas funciones en (2) da lugar a la siguiente identi2 2 dad: x + ( 25 − x ) − 25 = 0. Observación No toda ecuación de la forma F (x, y) = 0 define de manera implícita una función, como sucede por ejemplo con la ecuación (5), para la cual no existe ninguna pareja (x, y) que la satisfaga, dado que x 2 + y 2 + 25 es siempre un número positivo. dy en una ecuación de la forma F (x, y) = 0 y dx en la cual y es una función implícita de x, como por ejemplo en la ecuación x 2 + y 2 − 25 = 0. Supóngase ahora que se quiere calcular Gottfried Wilhelm Leibniz Hijo de un profesor de universidad, Leibniz se formó en su localidad natal en Filosofía, y en Derecho en Jena y Altdorf, doctorándose a los veinte años. Erudito, sus contribuciones tocan los campos de la historia, las leyes, la lengua, la teología, la física y la filosofía. Al mismo tiempo que Newton, descubrió el cálculo infinitesimal y es continuador de la filosofía de Descartes. En el campo de la matemática realizó contribuciones a la teoría de los números, al cálculo mecánico, el álgebra, etc. Es el iniciador de la lógica matemática y de la topología. Enunció el principio según el cual la masa por el cuadrado de la velocidad se mantiene constante. Es, tal vez, el primer filósofo alemán de repercusión universal. Al despejar y, se generan dos funciones (ramas de circunferencia, sección 3.1.1 del apéndice III) en el intervalo [ − 5, 5]: y = f ( x) = 25 − x 2 = ( 25 − x 2 ) 1/ 2 . 1/ 2 (6) y = g ( x) = − 25 − x 2 = − ( 25 − x 2 ) . (7) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 107 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real De (6) se deduce que −1/ 2 dy 1 = ( −2 x ) ( 25 − x 2 ) (regla de derivación 10), dx 2 Escuche el audio Las fluxiones de Newton en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. dy x x =− =− . 2 1/ 2 dx y ( 25 − x ) De (7) se tiene: −1/ 2 dy 1 = − ( −2 x ) ( 25 − x 2 ) (regla de derivación 10), dx 2 (8) dy x −x x = = =− . dx ( 25 − x 2 )1/ 2 − ( 25 − x 2 )1/ 2 y (9) De (8) y (9) se deduce que independientemente de la elección de la función y, el resultado de la derivada es el mismo. Considérese ahora la ecuación x 3 − y 3 − 7 y = 0 , (10) la cual define a y como una función implícita de x y cuya gráfica aparece en la figura 12.1. Figura 12.1 dy , lo primero que se debe hacer es «despejar» y como una dx función de x, y luego aplicar las reglas de derivación mencionadas anteriormente. Pero aquí surge la primera dificultad, ya que no es posible despejar y en forma Si se quiere calcular explícita. Sin embargo, esto no es inconveniente para calcular dy . dx 108 U de @ - Educación no presencial Módulo 12: Derivadas de orden superior y derivación implícita dy suponiendo que F ( x, y ) = 0 define a y como dx función implícita de x, y sabiendo además que dicha función es derivable, existe un procedimiento llamado derivación implícita y que consiste en derivar respecto a x ambos miembros de la ecuación dada, teniendo en cuenta que al derivar los términos que contengan la variable y, debe utilizarse la regla de derivación 10. Finalmen- En general, si se quiere hallar te, de la expresión obtenida se despeja dy . dx En el caso particular considerado, de la ecuación (10) se tiene que: d 3 d ⎡ x − y3 − 7 y ⎤ ⎦ = dx [ 0]. dx ⎣ d 3 d d x ) − ( y 3 ) − ( 7 y ) = 0 (regla de derivación 3 y regla de derivación 1). ( dx dx dx dy dy −7 = 0 (regla de derivación 9 y regla de derivación 10). dx dx 3x 2 − 3 y 2 ⋅ dy ( 3 y 2 + 7 ) = 3x 2 (transposición de términos y factorización). dx dy 3x 2 . = 2 dx 3 y + 7 De donde De manera similar, en el caso de la ecuación (2) se tiene: x 2 + y 2 − 25 = 0. Entonces d 2 d d x ) + ( y 2 ) − (25) = 0, ( dx dx dx dy − 0 = 0. dx 2x + 2 y ⋅ De donde dy x =− . dx y Se obtiene de esta manera más sencilla el mismo resultado que el conseguido al derivar las igualdades (6) y (7). En los ejemplos resueltos 19.6 y 19.7 del módulo 19 se ilustra nuevamente este procedimiento. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 109 110 U de @ - Educación no presencial 13 Funciones trascendentes y sus derivadas Introducción Carl Friedrich Gauss Las funciones que se han considerado hasta ahora reciben el nombre de funciones algebraicas (combinaciones de sumas, productos, potenciación, radicación y composición de polinomios, incluyendo las funciones racionales). Una función no algebraica se denomina trascendente. La clase de funciones trascendentes incluye entre otras las trigonométricas, las trigonométricas inversas, las exponenciales y las logarítmicas. Iniciamos en este módulo el estudio de las dos primeras funciones trascendentes, en lo concerniente a la derivación. Carl Gauss nació el 30 de abril 1777 en Brunswick, Alemania, y falleció en ese mismo país el 23 de febrero de 1855 (en Gotinga). Objetivos del módulo 1. Repasar las funciones trascendentes: trigonométricas y trigonométricas inversas y sus reglas correspondientes de derivación. Preguntas básicas 1. Una valla rectangular de 6 m de altura se coloca verticalmente en la parte superior de un edificio, con su base inferior a una altura de 20 m. Si un observador está a una distancia x del pie del edificio, ¿cuál es la función en términos de la variable x que expresa el ángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a las bases superior e inferior de la valla? Contenidos del módulo 13.1 Dos límites fundamentales 13.2 Derivada de las funciones trigonométricas 13.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 111 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 13.1 Dos límites fundamentales En esta sección presentamos dos límites básicos para calcular límites de funciones trigonométricas, que también serán usados en la deducción de las fórmulas para la derivada de las funciones seno y coseno. Vea el módulo 13 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Cuando se discutan los tópicos antes mencionados para alguna función trigonométrica específica (sen t, tan x, cos θ ), se asumirá que las variables que representan ángulos están dadas en radianes. La función f (t ) = sen t no está definida para t = 0. Sin embargo, cuando t tiende a t cero, f (t) se aproxima a 1, como lo muestra el siguiente teorema. Teorema 1 lim t →0 sen t = 1. t Demostración: ver el ejercicio 5a de los ejercicios resueltos del capítulo 1. Teorema 2 lim t →0 1 − cos t = 0. t Demostración : ver el ejercicio 5b de los ejercicios resueltos del capítulo 1. 13.2 Derivada de las funciones trigonométricas Teorema 3: Derivada de las funciones trigonométricas a. Dx (sen x) = cos x. b. Dx (cos x) = − sen x. c. Dx (tan x) = sec2 x. d. Dx (cot x) = − csc 2 x. e. Dx (sec x) = sec x ⋅ tan x. f. Dx (csc x) = − csc x ⋅ cot x. 112 U de @ - Educación no presencial Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas Prueba a. Dx (sen x) = lim h →0 = lim h →0 sen ( x + h ) − sen x h , sen x cosh + senh cos x − sen x . h (recuerde que sen (α + β ) = sen α cos β + sen β cos α ) senh cos x − sen x(1 − cosh) , h Dx (sen x) = lim h →0 1 − cosh ⎤ ⎡ senh = lim ⎢ ⋅ cos x − sen x ⋅ . h →0 h ⎥ ⎣ h ⎦ Como senh senh ⋅ cos x = cos x ⋅ lim = ( cos x ) ⋅1 (teorema 1), h→0 h h = cos x lim h→0 y lim sen x ⋅ h→0 1 − cosh 1 − cosh = sen x ⋅ lim , h → 0 h h = ( sen x )( 0 ) (teorema 2), = 0, se puede escribir entonces Dx ( sen x ) = cos x − 0 = cos x. cos ( x + h ) − cos x h Carl Friedrich Gauss b. Dx (cos x) = lim h →0 , = lim h →0 cos x cosh − sen x senh − cos x . h (recuerde que cos(α + β ) = cos α cos β − sen α sen β ) ⎡ senh ⎛ 1 − cosh ⎞ ⎤ − sen x ⋅ − cos x ⎜ Dx ( cos x ) = lim ⎟⎥ , h →0 ⎢ h ⎝ h ⎠⎦ ⎣ = − sen x (1) − cos x (0), = − sen x. Gauss fue un niño prodigio que aprendió a contar antes de hablar correctamente. Su capacidad matemática le ayudó para ser el protegido del Duque de Brunswick mientras hacía sus estudios. A los 20 años se dedicó a la matemática y al año siguiente se doctoró con la tesis: «Una nueva prueba de que toda función algebraica racional entera de una variable puede ser descompuesta en factores reales de primero y segundo grados». Gauss fue uno de los predecesores de la física nuclear. Fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas , que brindaban un análisis de su teoría de números, comprendiendo las ecuaciones que confirmaban su teoría. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas de las ciencias físicas y naturales. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 113 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real c. Use la identidad tan x = sen x y la regla de derivación 7 del módulo 11 y las cos x partes a y b. Use la identidad cot x = módulo 11. e. Use la identidad sec x = módulo 11. f. Use la identidad csc x = módulo 11. Observación Si u (x) es una función derivable, entonces mediante el teorema anterior y la regla de la cadena (regla de derivación 8 del módulo 11) se pueden demostrar las siguientes reglas generales para derivar funciones trigonométricas: Regla de derivación 11 (RD11) y = sen u ( x) ⇒ dy du = cos u ( x) ⋅ . dx dx 1 , la parte a y la regla de derivación 6 del sen x 1 , la parte b y la regla de derivación 6 del cos x d. 1 , la parte c y la regla de derivación 6 del tan x Regla de derivación 12 (RD12) y = cos u ( x) ⇒ dy du = − sen u ( x) ⋅ . dx dx Regla de derivación 13 (RD13) y = tan u ( x) ⇒ dy du = sec2 u ( x) ⋅ . dx dx Regla de derivación 14 (RD14) y = cot u ( x) ⇒ dy du = − csc 2 u ( x) ⋅ . dx dx Regla de derivación 15 (RD15) y = sec u ( x) ⇒ dy du = sec u ( x) ⋅ tan u ( x) ⋅ . dx dx Regla de derivación 16 (RD16) y = csc u ( x) ⇒ dy du = − csc u ( x) ⋅ cot u ( x) ⋅ . dx dx 114 U de @ - Educación no presencial Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas En los ejercicios resueltos 19.4c, 19.4d y 19.9 del módulo 19, y también en el ejemplo 22.3, se ilustra la manera de usar las reglas de derivación con funciones trigonométricas. 13.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas Si estamos interesados en hallar la inversa de la función y = sen x, entonces, al hacer el intercambio de variables, se obtiene la ecuación x = sen y, cuya gráfica aparece en la figura 13.1. En la gráfica se reconoce inmediatamente que la ecuación x = sen y no define a y como función de x, puesto que cualquier recta vertical de la forma x = a, con −1 ≤ a ≤ 1 , corta la gráfica en más de un punto. Figura 13.1 Si se examina la gráfica de la función y = sen x (figura 13.2), se observa que extendiendo el dominio a todo el eje real éste puede descomponerse en infinidad de subintervalos de longitud π , en los cuales la función es monótona (o es creciente o es decreciente). Escuche el audio Leibniz, un pensador universal en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 13.2 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 115 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real En la figura 13.3 se ilustra uno de los subintervalos en donde la función seno es creciente. Figura 13.3 Este hecho, conjuntamente con la continuidad, equivale a afirmar que en cualquiera de estos subintervalos la función y = sen x es biyectiva (1 a 1 y sobre) y que, por tanto, se garantiza la existencia de la función inversa. Las demás funciones trigonométricas, debido a su periodicidad, tampoco admiten función inversa, salvo que se restrinja apropiadamente su dominio a subintervalos en los cuales las funciones sean biyectivas y se garantice de esta forma la existencia de la función trigonométrica inversa correspondiente. Lo anterior nos permite establecer las siguientes definiciones: Definiciones La función seno inversa, denotada por sen −1 x o arcsen x, se define así: y = sen −1 x ⇔ x = sen y, donde −1 ≤ x ≤ 1, y − π 2 ≤ y≤ π 2 . La función coseno inversa, denotada por cos −1 x o arccos x, se define así: y = cos −1 x ⇔ x = cos y, donde −1 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ π . La función tangente inversa, denotada por tan −1 x o arctan x, se define así: y = tan −1 x ⇔ x = tan y , donde x ∈ ℜ y − π 2 < y< π 2 . La función cotangente inversa, denotada por cot −1 x o arccot x, se define así: y = cot −1 x ⇔ x = cot y , donde x ∈ ℜ y − π < y < π . 116 U de @ - Educación no presencial Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas La función secante inversa, denotada por sec−1 x o arcsec x, se define así: ⎡ π ⎞ ⎛π ⎤ y = sec−1 x ⇔ x = sec y, donde x ≥ 1 e y ∈ ⎢0, ⎟ ∪ ⎜ , π ⎥ . ⎣ 2⎠ ⎝2 ⎦ La función cosecante inversa, denotada por csc−1 x o arccsc x, se define así: ⎡ π ⎞ ⎛ π⎤ y = csc −1 x ⇔ x = csc y , donde x ≥ 1 e y ∈ ⎢ − , 0 ⎟ ∪ ⎜ 0, ⎥ . ⎣ 2 ⎠ ⎝ 2⎦ En la figura 13.4, aparecen las gráficas de cuatro de las funciones trigonométricas inversas. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 117 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Figura 13.4 Observaciones 1. De las definiciones anteriores se sigue que: sen (sen −1 x) = 1, para x ∈ [ −1, 1] , ⎡ π π⎤ sen −1 (sen y ) = 1, para y ∈ ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ Igualmente, cos (cos −1 x ) = 1, para x ∈ [ −1, 1] , cos −1 (cos y ) = 1, para y ∈[ 0, π ] . 2. Algunos textos clásicos ofrecen definiciones alternativas del coseno, la cotangente, la secante y la cosecante inversas, con base en los diferentes intervalos de definición de la función trigonométrica correspondiente, de la siguiente forma: cos −1 x = cot −1 x = π 2 − sen −1 x, para x ≤ 1. − tan −1 x, para x ∈ℜ. π 2 1 sec −1 x = cos −1 , para x ≥ 1. x 118 U de @ - Educación no presencial Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas 1 csc −1 x = sen −1 , para x ≥ 1. x Las definiciones anteriores no solamente presentan un esquema sencillo, sino que también son útiles para operaciones con calculadoras y para deducir fácilmente las fórmulas de derivación de las mismas, como se indica en el siguiente teorema. Teorema 4: Derivada de las funciones trigonométricas inversas Sea u(x) una función derivable en su dominio. Entonces: Regla de derivación 17 (RD17) Dx (sen −1 u ( x)) = 1 1 − (u ( x)) 2 ⋅ u ′( x), para −1 < u( x) < 1. Regla de derivación 18 (RD18) Dx (cos −1 u ( x)) = −1 1 − (u ( x)) 2 ⋅ u ′( x), para −1 < u( x) < 1. Regla de derivación 19 (RD19) Dx (tan −1 u ( x)) = 1 ⋅ u ′( x). 1 + (u ( x)) 2 Regla de derivación 20 (RD20) Dx (cot −1 u ( x)) = −1 ⋅ u ′( x). 1 + (u ( x)) 2 Regla de derivación 21 (RD21) Dx (sec−1 u ( x)) = 1 u ( x) (u ( x)) 2 − 1 ⋅ u ′( x), siempre que u( x) > 1. Regla de derivación 22 (RD22) Dx (csc−1 u ( x)) = −1 u ( x) (u ( x))2 − 1 ⋅ u ′( x), para u( x) > 1. Demostración Demostraremos solamente la regla de derivación 17 y la regla de derivación 21. Las reglas restantes se demuestran en forma similar y se dejan como ejercicio para el lector. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 119 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Como y = sen −1 x ⇔ x = sen y, entonces, derivando implícitamente la última igualdad, se tiene que: Dx ( x ) = Dx (sen y ) = Dy (sen y ) ⋅ Dx ( y ). Esto es, 1 = cos y ⋅ dy 1 dy = . , de donde dx cos y dx (1) ⎛ π π⎞ Como cos y es positivo en el intervalo ⎜ − , ⎟ , entonces ⎝ 2 2⎠ cos y = 1 − sen 2 y = 1 − x 2 y sustituyendo en (1) se obtiene finalmente dy d (sen −1 x) 1 1 = = = , siempre que x < 1. dx dx cos y 1 − x2 (2) Ahora, si u ( x ) es una función derivable y tal que u ( x) < 1, y si además y = sen −1 u ( x), entonces, de acuerdo a la regla de la cadena (regla de derivación 8, módulo 11), se tiene que dy d du = (sen −1 u ( x )) ⋅ . dx du dx Entonces, aplicando (2), se obtiene Dx (sen −1 u ( x)) = 1 1 − (u ( x)) 2 ⋅ u ′( x). Para demostrar la regla de derivación 21 se tiene que, de acuerdo a la definición alternativa de secante inversa, ⎛ 1 ⎞ sec −1 u ( x) = cos −1 ⎜ ⎟ , siempre que u ( x) ≥ 1. ⎝ u ( x) ⎠ Ahora, de acuerdo a la segunda fórmula, cos −1 es, si u ( x) > 1. 1 1 < 1, esto es derivable si u ( x) u ( x) Por tanto, sec −1 u ( x ) es derivable si u ( x) > 1. De esta forma, ⎛ −u ′( x) ⎞ ⋅⎜ , 2 ⎟ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎝ u ( x) ⎠ 1− ⎜ ⎟ ⎝ u ( x) ⎠ −1 Dx (sec−1 u ( x)) = Dx (cos −1 1 )= u ( x) 120 U de @ - Educación no presencial Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas = u ( x) 2 u ( x) 2 ⋅ u ( x) 2 − 1 ⋅ u ′( x). Como u ( x)2 = u ( x) , entonces u ( x ) 2 = u ( x ) 2 y se tiene finalmente que 1 u ( x) (u ( x)) 2 − 1 Dx (sec −1 u ( x)) = ⋅ u ′( x), siempre que u ( x) > 1. En el ejemplo 19.9d de la sección 19.2 se ilustra la manera de usar las reglas de derivación con funciones trigonométricas inversas. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 121 122 U de @ - Educación no presencial 14 Otras funciones trascendentes y sus derivadas Introducción En el texto de Álgebra y Trigonometría de esta misma serie se presentaron con sus propiedades más importantes dos funciones que aparecen en muchas aplicaciones de la matemática, como son la función exponencial y la función logarítmica. Éstas aparecen como funciones inversas una de la otra, y el conocimiento de una de ellas permite deducir el mismo comportamiento de la otra. En este módulo asumimos que el lector conoce estas dos funciones con sus propiedades básicas. Nos compete a nosotros presentar las reglas de derivación de las mismas y sus respectivas generalizaciones. El Gateway Arch es un monumento ubicado en el Parque Nacional Jefferson en la ciudad de San Luis, Estado de Missouri, Estados Unidos. Tiene la forma de un arco de la catenaria. Objetivos del módulo 1. Repasar las funciones trascendentes: exponencial y logarítmica y presentar sus reglas correspondientes de derivación. 2. Combinar adecuadamente las funciones ex y e–x para generar las funciones hiperbólicas, sus derivadas y algunas aplicaciones a la ingeniería. Preguntas básicas Teniendo en cuenta que las funciones trigonométricas están intimamente relacionadas con el círculo trigonométrico, por esta razón en algunas ocasiones se les llama funciones circulares. En efecto, las ecuaciones paramétricas x = cos t, y = sen t describen el círculo unitario x2 + y2 = 1. 1. ¿Se puede afirmar entonces que las ecuaciones paramétricas x = cosh t, y = senh t describen alguna sección cónica conocida? 2. ¿Por qué el nombre de hiperbólicas? Contenidos del módulo 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Derivada de las funciones exponencial y logarítmica El número e como un límite Las funciones hiperbólicas y sus derivadas Las funciones hiperbólicas inversas y sus derivadas Aplicaciones de las funciones hiperbólicas: la catenaria y el gudermanniano Escuche el audio Los Bernoulli y la catenaria en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 123 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 14.1 Derivada de las funciones exponencial y logarítmica A pesar de que la función f (x) = ex ha sido estudiada en el curso de Álgebra y Trigonometría, nada se ha dicho acerca de su base e, excepto que es un número irracional cuya representación decimal viene dada por e ≈ 2.7182818... Vea el módulo 14 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Existen muchas definiciones y teoremas acerca del número e, dependiendo en cada caso de la necesidad teórica del autor. En nuestro caso se dará inicialmente la definición del número e como un número real que satisface cierta condición. Posteriormente se presentará como resultado de un límite. Definiciones a. e es el número real que satisface la siguiente condición: lim eh − 1 = 1. h →0 h se define a x (función exponencial de base a) como: b. Si a > 0, a ≠ 1 y a x = ex⋅ln a . Los siguientes teoremas, que se enuncian y se demuestran a continuación, recogen las reglas de derivación para las funciones exponencial y logarítmica. Teorema 1: Derivada de funciones exponenciales a. b. Dx (e x ) = e x . x∈ Regla de derivación 23 (RD23) Dx (eu ( x ) ) = eu ( x ) ⋅ u ′( x). c. d. Dx (a x ) = a x ⋅ ln a. Regla de derivación 24 (RD24) Dx (a u ( x ) ) = a u ( x ) ⋅ u ′( x ) ⋅ ln a. Demostración a. De acuerdo a la definición de derivada para una función, se tiene que: Dx (e x ) = lim ex+h − ex h →0 h = lim e x ⋅ eh − e x , h →0 h 124 U de @ - Educación no presencial Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas = lim e x (eh − 1) (eh − 1) = e x lim , h →0 h →0 h h = e x ⋅1 (definición anterior, parte a). = ex . b. c. Use la parte a y la regla de la cadena (RD8). Dx ( a x ) = Dx (e x ⋅ln a ) (definición anterior, parte b). = e x ⋅ln a ⋅ Dx ( x ⋅ ln a ) (regla de derivación 23). = ex⋅ln a ⋅ ln a. = a x ⋅ ln a (definición anterior, parte b). d. Use la parte c y la regla de la cadena (RD8). Teorema 2: Derivada de funciones logarítmicas Dx (log a x) = 1 . x ⋅ ln a a. b. Regla de derivación 25 (RD25) Dx (log a u ( x )) = 1 Dx (ln x) = . x u ′( x) , u ( x ) ⋅ ln a siendo u (x) una función derivable. c. d. Regla derivación de 26 (RD26) Dx (ln u( x)) = u ′( x) . u ( x) Demostración a. Sea y = log a x. De acuerdo a la definición de la función logarítmica, y = log a x ⇔ x = a y . Derivando con respecto a x ambos miembros de la última igualdad, se tiene que: Dx ( x) = Dx (a y ), 1 = a y Dx ( y ) ⋅ ln a (regla de derivación 24), 1 = x ⋅ Dx (log a x) ⋅ ln a. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 125 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real De donde, Dx (log a x) = 1 . x ⋅ ln a b. Use la parte a y la regla de la cadena (RD8) En particular, cuando a = e, entonces log a x = ln x, y log a u ( x) = ln u ( x). Al sustituir en a y b se deducen inmediatamente las partes c y d. En los ejemplos 19.9, 19.10, 19.13 y 19.15 de la sección 19.2 al final del capítulo 3, y en la sección 14.3 de este mismo capítulo, se ilustra la manera de usar las reglas de derivación mencionadas anteriormente. Observaciones a. Teniendo en cuenta que x n = en⋅ln x , n ∈ ℜ, se tiene entonces que: Dx ( x n ) = Dx (e n⋅ln x ) = en⋅ln x ⋅ Dx (n ⋅ ln x), 1 = en⋅ln x ⋅ n ⋅ , x = xn ⋅ n ⋅ x−1 = n ⋅ xn −1. Nótese entonces que la derivada de xn, con n ∈ ℜ, obedece a la misma fórmula desarrollada en la regla de derivación 9 (caso 2) para exponentes racionales. b. Para hallar la derivada de expresiones algebraicas de la forma f ( x ) g ( x ) se puede aplicar la derivación logarítmica, como se ilustra a continuación. Sea y = f ( x) g ( x ) . (1) Tomando logaritmo natural en ambos miembros de (1), se tiene que: ln y = g ( x) ⋅ ln f ( x). (2) Derivando ambos miembros de (2) con respecto a x,se puede escribir: Dx (ln y ) = Dx [ g ( x) ⋅ ln f ( x)] , Dx ( y ) = g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅ Dx (ln f ( x)), y = g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅ f ′( x) . f ( x) 126 U de @ - Educación no presencial Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas De donde, Dx ( y ) = y ( g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅ f ′( x) ). f ( x) Esto es, f ′( x) ⎞ g ( x) ⎛ Dx ( f ( x ) g ( x ) ) = f ( x) ⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅ f ( x) ⎟ . ⎝ ⎠ Otra forma en la que puede realizarse la derivada es escribiendo: ln f ( x ) ⎤ f ( x) g ( x ) = ⎡ ⎣e ⎦ g ( x) = e g ( x )⋅ln f ( x ) , y aplicar luego la regla de derivación 23. En el ejemplo 19.9c de la sección 19.2 al final del capítulo 3 se ilustra la manera de proceder en estos casos. 14.2 El número e como un límite Teorema 3: El número e como un límite e = lim (1 + h)1/ h . h →0 Demostración Se hace la prueba asumiendo que la función ln x es continua en su dominio y además que su derivada en x = 1 es igual a 1. Sea f (x) = ln x, entonces f '( x) = 1 y f '(1) = 1. x De otro lado, usando la definición de derivada para la misma función se tiene que: f '(1) = lim h→0 f (1 + h) − f (1) ln (1 + h) − ln1 = lim , h→0 h h 1 . ln (1 + h) = lim ⎡ ln (1 + h)1/ h ⎤ ⎦. h→0 ⎣ h = lim h→0 Por tanto, 1/ h 1 = lim ⎡ ⎣ln (1 + h) ⎤ ⎦. h →0 (1) Ahora, como la función logarítmica es continua en su dominio, se tiene que: 1 = ln ⎡lim (1 + h)1/ h ⎤ (sección 7.1.2). ⎣ h →0 ⎦ Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 127 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real y de aquí, ln e = ln ⎡lim (1 + h)1/ h ⎤ , ⎣ h →0 ⎦ o equivalentemente, e = lim (1 + h)1/ h . h →0 Observación Es común dar la definición del número e mediante el límite anterior. Es interesante hallar un valor aproximado para el número e. Para ello se calcula el valor de (1 + h)1/ h para valores pequeños de h (tanto positivos como negativos) (tabla 14.1). Tabla 14.1. Valores aproximados del número e h 0.1 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 (1 + h)1/ h 2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.718280 h − 0.1 − 0.001 − 0.0001 − 0.00001 − 0.000001 (1 + h)1/ h 2.731999 2.719642 2.718418 2.718295 2.718283 La última línea de la tabla anterior nos da valores para el número e con una aproximación de cinco cifras decimales. Es decir: e ≈ 2.71828. 14.3 Las funciones hiperbólicas y sus derivadas En algunos problemas de física e ingeniería se presentan ciertas combinaciones de las funciones ex y e–x que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún detenimiento. Tales combinaciones de ex y e–x se llaman funciones hiperbólicas y se definen de la siguiente manera: Definiciones a. La función coseno hiperbólico, denotada por cosh x, se define como cosh x = e x + e− x , x cualquier real. 2 128 U de @ - Educación no presencial Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas b. La función seno hiperbólico, denotada por senh x, se define como senh x = e x − e− x , x real. 2 Observación Las funciones senh x y cosh x son las funciones hiperbólicas de más frecuente uso. A partir de éstas se definen las funciones tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica de la siguiente manera: tanh x = senh x , x real cosh x a. b. c. coth x = sech x = cosh x , x ≠ 0. senh x 1 , x real. cosh x 1 , x ≠ 0. senh x d. csch x = De acuerdo con las definiciones anteriores, se tiene lo siguiente: a. tanh x = e x − e− x , x real. e x + e− x b. coth x = e x + e− x , x ≠ 0. e x − e− x 2 , x real. e + e− x x c. sech x = d. csch x = 2 , x ≠ 0. e x − e− x En el siguiente teorema se presentan algunas identidades importantes relativas a las funciones hiperbólicas y cuyas demostraciones son sencillas de realizar. Teorema 4 a. b. c. d. cosh 2 x − senh 2 x = 1. cosh x + senh x = ex . cosh x − senh x = e− x . senh (a ± b) = senh a cosh b ± cosh a senh b. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 129 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real e. f. g. h. i. j. k. cosh (a ± b) = cosh a cosh b ± senh a senh b. senh 2 x = 2 senh x cosh x. cosh 2 x = cosh 2 x + senh 2 x. senh 2 x = cosh 2 x = cosh 2 x − 1 . 2 cosh 2 x + 1 . 2 1 − tanh 2 x = sech 2 x. 1 − coth 2 x = − csch 2 x. Ejemplo 14.1 i. ii. Demuestre que cosh x > 0, para cualquier x ∈ ℜ. Demuestre que senh x ≥ 0, siempre que x ≥ 0, y senh x < 0, siempre que x < 0. Solución i. Puesto que e x > 0 y e–x > 0 para cualquier x ∈ ℜ, entonces esto es, cosh x > 0, para todo x ∈ ℜ. En particular, cosh 0 = ii. e 0 + e −0 = 1. 1 Para x ≥ 0, se tiene que x ≥ − x, y como la función exponencial ex es crecien- e x + e− x > 0, 2 te, entonces e x ≥ e − x , de donde En particular, senh 0 = e x − e− x ≥ 0 ⇔ senh x ≥ 0. 2 e0 − e −0 = 0. 2 Para x < 0, se tiene que x < − x, y como la función exponencial ex es creciente, e x − e− x < 0 ⇔ senh x < 0. 2 entonces ex < e–x, de donde En el ejemplo 25.4 al final del módulo 25 se analiza y se traza la gráfica de la función senh x con todos sus elementos. Por ser combinación de funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas son derivables para todo x (x ≠ 0, para coth x y para csch x). El siguiente teorema reúne las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas. Teorema 5: Derivada de las funciones hiperbólicas Regla de derivación 27 (RD27) Dx (senh u ( x)) = cosh u ( x ) · u ′( x). 130 U de @ - Educación no presencial Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas Regla de derivación 28 (RD28) Dx (cosh u ( x)) = senh u ( x) · u ′( x). Regla de derivación 29 (RD29) Dx (tanh u ( x)) = sech 2 u ( x) · u ′( x). Regla de derivación 30 (RD30) Dx (coth u ( x)) = − csch 2 u ( x) · u ′( x). Regla de derivación 31 (RD31) Dx (sech u ( x)) = − sech u ( x) · tanh u ( x) · u ′( x). Regla de derivación 32 (RD32) Dx (csch u ( x)) = − csch u ( x) · coth u ( x) · u ′( x). Demostración ⎛ eu ( x ) + e − u ( x ) ⎞ Dx (cosh u ( x)) = Dx ⎜ ⎟, 2 ⎝ ⎠ = = 1 u ( x) ( e · u′( x) − e−u( x) u′( x) ) , 2 1 u ( x) ( e − e−u ( x) ) · u′( x), 2 = senh u ( x) · u '( x). ⎛ ⎞ 1 −1 · senh u ( x) · u ′( x), Dx (sech u ( x)) = Dx ⎜ ⎟= 2 ⎝ cosh u ( x) ⎠ cosh u ( x) = − sec hu ( x) · tan hu ( x) · u ′( x). 14.4 Las funciones hiperbólicas inversas y sus derivadas e x − e− x es continua y creciente en los reales (vea 2 el ejemplo 25.4 del módulo 25), entonces existe su inversa (teorema 1, sección 3.7, apéndice III), la cual se denota por senh–1 x. En el caso de la función cosh x es necesario restringir su dominio (intervalo donde sea continua y monótona) para que exista la función inversa. La función tanh x toma todos sus valores en el intervalo (–1, 1) y por tanto su inversa tiene su dominio en dicho intervalo. Con las anotaciones anteriores, la definición de las tres primeras funciones hiperbólicas inversas es la siguiente: Puesto que la función senh x = Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 131 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Definiciones a. b. c. y = senh −1 x ⇔ x = senh y ; y ∈ ℜ. y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y ; y ≥ 0. y = tanh −1 x ⇔ x = tanh y ; y ∈ ℜ. Se deja al lector el considerar la definición de las demás funciones hiperbólicas inversas. Las funciones hiperbólicas inversas figuran en algunas calculadoras y tablas. Así como las funciones hiperbólicas se expresan en términos de exponenciales, las inversas se expresan mediante logaritmos. Comencemos por ejemplo con la inversa de senh x. y = senh −1 x ⇔ x = senh y , x= e y − e− y , 2 x= e2 y − 1 ⇔ e2 y − 2 xe y − 1 = 0, 2e y ⇔ ( e y ) − 2 x ( e y ) − 1 = 0. 2 (1) La ecuación (1) corresponde a una ecuación cuadrática en ey y, por tanto, 2 x ± 4 x2 + 4 = x± 2 ey = ( x2 + 1 . ) Como e y > 0 y x < x 2 + 1, el signo (−) debe descartarse. Así que: e y = x + x 2 + 1 ⇔ y = ln x + ( x2 + 1 , ⇔ senh −1 x = ln x + ( ) x2 + 1 . ) Por tanto, senh −1 x = ln x + ( x2 + 1 . ) (2) Si se quiere, por ejemplo, calcular la derivada de senh −1 x, se utiliza la última identidad (2) y la regla de derivación 26. De manera similar se pueden expresar las demás funciones hiperbólicas inversas, en términos de logaritmos, las cuales aparecen en la tabla 14.2, con sus respectivos dominios y la regla correspondiente de derivación. En el ejercicio 19.11 de la sección 19.2 se demuestra la fórmula correspondiente a cosh–1 x. 132 U de @ - Educación no presencial Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas Tabla 14.2. Funciones hiperbólicas inversas en términos de logaritmos Función Fórmula Derivada Dominio de f eje x senh −1 x cosh −1 x tanh −1 x ln x + ( x2 + 1 ) 1 x2 + 1 ln x + ( x2 − 1 ) 1 x2 −1 1 1 − x2 1 1 − x2 x ≥1 1 ⎛1+ x ⎞ ln ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1− x ⎠ 1 ⎛ x +1⎞ ln ⎜ ⎟ 2 ⎝ x −1 ⎠ ⎛ 1 + 1 − x2 ln ⎜ ⎜ x ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ x <1 x >1 coth −1 x sech −1 x −1 x 1 − x2 0 < x ≤1 csch −1 x ⎛1 1 ⎞ ln ⎜ ⎜ x + 1 + x2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ −1 x 1 + x2 x≠0 14.5 Aplicaciones de las funciones hiperbólicas: la catenaria y el gudermanniano La catenaria Si un cable flexible homogéneo o una cadena están suspendidos entre dos puntos fijos a la misma altura, forman una curva llamada catenaria (figura 14.1a). Además, se puede colocar una catenaria en un sistema coordenado, de modo que la ecuación toma la forma y = a cosh x . a Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 133 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Figura 14.1 Para deducir la ecuación de la catenaria consideremos la sección AP del punto más bajo A al punto P (x, y) (figura 14.1b), e imaginemos que ha sido retirada la parte restante del cable. Las fuerzas que actúan sobre el cable son: H: tensión horizontal que tira de A. T: tensión tangencial que tira de P. W = δ S : peso del cable cuya densidad es δ libras/pie. Para que la porción de cable esté en equilibrio, se debe cumplir que: T cos ϕ = H . (1) (2) T sen ϕ = W = δ S . De (1) y (2) se deduce que T senϕ δS = tan ϕ = . T cosϕ H Dado que tan ϕ = dy , se obtiene dx dy δ = S (S, longitud, es función de x). dx H (3) Derivando nuevamente ambos miembros de (3) con respecto a x, se obtiene d 2 y δ dS = · , dx2 H dx dS ⎛ dy ⎞ = 1 + ⎜ ⎟ , la última ecuación se puede escribir finalmente como dx ⎝ dx ⎠ 2 y como 134 U de @ - Educación no presencial Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas d2y δ ⎛ dy ⎞ 1+ ⎜ ⎟ . = 2 H dx ⎝ dx ⎠ 2 (4) ⎛ x⎞ Demostraremos ahora que y = a cosh ⎜ ⎟ satisface la ecuación diferencial (4) para ⎝a⎠ a= H δ . ⎛x⎞ H ⎛δ cosh ⎜ Si y = a cosh ⎜ ⎟ = ⎝a⎠ δ ⎝H dy H ⎛δ senh ⎜ = dx δ ⎝H ⎞ x ⎟ , entonces ⎠ ⎞ x⎟, ⎠ ⎞ δ ⎛δ x⎟ . = senh ⎜ ⎠ H ⎝H d2y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ δ = ⎜ ⎟= ⎜ senh dx ⎝ dx ⎠ dx ⎝ H dx 2 d2y δ ⎛δ ⎞ = cosh ⎜ x ⎟ . 2 dx H ⎝H ⎠ ⎞ ⎛δ ⎞ δ x ⎟ = cosh ⎜ x ⎟ . , ⎠ ⎝H ⎠ H Pero de la identidad ⎛δ ⎞ ⎛δ ⎞ cosh 2 ⎜ x ⎟ − senh 2 ⎜ x ⎟ = 1 (teorema 4, parte a), ⎝H ⎠ ⎝H ⎠ y teniendo en cuenta que cosh es mayor o igual a 1, se deduce que ⎛δ cosh ⎜ ⎝H Así que ⎞ x⎟ = ⎠ ⎛δ 1 + senh 2 ⎜ ⎝H ⎛ dy ⎞ 1+ ⎜ ⎟ . ⎝ dx ⎠ 2 ⎞ x⎟ . ⎠ d2y δ = ⋅ H dx 2 El gudermanniano El gudermanniano de t, denotado por gd (t), se define como gd (t ) = tan −1 (senh t ). a. Pruebe que gd (t) es una función impar. Debemos probar que gd (−t ) = − gd (t ). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 135 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real En efecto, ⎛ e−t − e− ( −t ) gd (−t ) = tan −1 (senh(−t )) = tan −1 ⎜ 2 ⎝ −1 −1 = tan (− senh t ) = − tan ( senh t ) , = − gd (t ). b. Pruebe que gd (t) es una función creciente. En efecto, ⎞ ⎟, ⎠ Dt gd (t ) = Dt (tan −1 (senh t ), 1 Dt (senh t ), 1 + senh 2 t 1 1 = . cosh t = . cosh t cosh 2 t = Puesto que cos ht ≥ 1, entonces 1 > 0, lo que indica que la derivada de cosh t gd (t) es positiva y de esta forma la función es creciente (teorema 23.1). 136 U de @ - Educación no presencial 15 Límites al infinito y asíntotas de una curva Introducción Al analizar la forma de una curva muchas veces se necesita conocer el comportamiento de la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de la curva, juntas o por separado, tienden en valor absoluto a infinito. Es decir, para un punto (x, y) o (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes casos: 1. Cuando x → ∞, entonces y = f ( x ) → ∞ ⎫ ⎬ límites al infinito 2. Cuando x → ∞, entonces y = f ( x ) → k ⎭ 3. Cuando x → a, entonces y = f ( x ) → ∞} límites infinitos Sea el plano complejo y consideremos una esfera unidad tangente a en z = 0. El diámetro NS es perpendicular a π y llamamos a los puntos N y S los polos norte y sur de la esfera. Para cualquier punto A sobre el plano podemos construir una recta NA que corta a S en el punto A´. En este caso, a cada punto del plano complejo le corresponde un único punto de la esfera, con lo que podemos representar cualquier número complejo por un punto sobre la esfera. Aquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproxima indefinidamente a una recta llamada «asíntota» de la curva y cuya definición y determinación se precisarán más adelante. Objetivos del módulo 1. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites al infinito, así como también su significado geométrico en el plano cartesiano. π 2. la noción de asíntota (en particular la asíntota horizontal) y su relaσ π lim ( g ff (x )) ⋅ =− g∞ (g x .( )x) )Introducir (x = 0? x →∞ ción con los límites al infinito. Preguntas básicas f ( x) = ∞ = lim g ( x) . 1. Supóngase que lim x →∞ x →∞ ¿Se puede afirmar que f ( x) = 1? ¿Se puede afirmar que lim x →∞ g ( x ) f ( x) = P, P ∈ ℜ, y 2. Supóngase que lim x →∞ ¿Qué puede afirmarse del límite (Analice sus respuestas). ? 3. ¿Puede una asíntota horizontal de una curva intersecar la curva? Trate de dar su respuesta con un gráfico aproximado. Contenidos del módulo 15.1 Límites al infinito 15.2 Teoremas sobre límites al infinito 15.3 Asíntotas de una curva. Asíntotas horizontales 15.3.1 Clasificación de las asíntotas Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 137 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 15.1 Límites al infinito En el capítulo 1 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando x → a, − x → a + o x → a , siendo a un número real. Ahora, se quiere conocer el comportamiento de f (x) cuando la variable x toma valores positivos o negativos tan grandes en valor absoluto como se quiera. Esto último se expresa frecuentemente en el cálculo usando los símbolos x → +∞ o x → −∞. Considere por ejemplo la función y = f ( x) = aparece en la figura 15.1. 3x + 4 , x ≠ −3 / 2, y cuya gráfica 2x + 3 Figura 15.1 En la tabla 15.1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x toma sucesivamente los valores 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000. Tabla 15.1. Valores de f (x), con x positivo Tabla 15.2. Valores de f (x), con x negativo x f ( x) = 3x + 4 2x + 3 x f ( x) = 3x + 4 2x + 3 0 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.33 1.4 1.47826 1.4975369 1.4997504 1.499975 1.4999975 −1 − 10 − 100 − 1.000 − 10.000 − 100.000 1 1.5294 1.502538 1.50025 1.500025 1.5000025 Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se aproxima cada vez más al valor 1.5. Observe, además, que cuando x = 100, entonces f ( x) − 1.5 = 0.00246, y cuando x = 1.000, entonces f ( x) − 1.5 = 0.00024. Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces la cantidad f ( x) − 1.5 se hace cada vez más pequeña. 138 U de @ - Educación no presencial Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curva Supóngase ahora que se quiere que f ( x) − 1.5 < 0.001. ¿Qué valores de la variable x satisfacen esta desigualdad? Se puede demostrar fácilmente que si x > 248.5, entonces f ( x) − 1.5 < 0.001. En particular, si x = 250, f (250) − 1.5 = 1/1.006 < 1/1.000. Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente: Dado un número ∈ > 0, tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un número B > 0 tal que si x > B, entonces f ( x) − 1,5 < ∈ y esto se expresa escribiendo x →+∞ Vea el módulo 15 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. lim f ( x) = 1.5. Chiste matemático Considérese ahora los valores tabulados en la tabla 15.2. Nótese que a medida que la variable x toma valores negativos y grandes en valor absoluto, nuevamente f (x) se aproxima cada vez más al valor 1.5. Así, cuando x = – 100, f ( x) − 1.5 = 0.0294, y cuando x = – 10.000, f ( x) − 1.5 = 0.000025. Aquí también tiene cabida la siguiente pregunta: ¿para qué valores de x negativos se verifica que f ( x) − 1.5 < 0.001 ? Se puede probar fácilmente (hágalo como ejercicio) que si x < −251.5 se cumple la desigualdad deseada. En particular, si x = −252, f (−252) − 1.5 = 1 < 0.001. 1.002 lim Demuestre que n →∞ sin x =6 n Prueba: cancele la n del numerador y del denominador; queda six = 6 ( six, en inglés, es seis). Lo anterior se puede generalizar diciendo que al fijar un número ∈ > 0, se puede encontrar un número B < 0 tal que si x < B, entonces f ( x) − 1.5 < ∈ y esto f ( x) = 1.5. equivale a decir que xlim →−∞ De una manera más general se tienen las siguientes definiciones: Definiciones a. f ( x) = L Sea f una función definida en un intervalo I = [a, +∞). Por tanto, xlim →+∞ ( L ∈ ℜ ) si y sólo si para cada ∈ > 0 existe un B > 0 tal que, para todo x ∈ I , si x > B, entonces f ( x) − L < ∈ . b. f ( x) = L Sea f una función definida en un intervalo I = (–∞, a]. Por tanto, xlim →−∞ L ∈ ℜ si y sólo si para cada ∈ > 0 existe un B < 0 tal que, para todo x ∈ I , si x < B, entonces f ( x) − L < ∈ . Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 139 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Observaciones i. La definición anterior (parte a) puede interpretarse geométricamente asi: fijado un número positivo ∈, siempre es posible encontrar un número positivo B a partir del cual todos los valores funcionales están en el intervalo ( L − ∈, L + ∈) (figura 15.2). Similarmente, la parte b puede interpretarse así: fijado un número positivo ∈, siempre es posible encontrar un número negativo B para el cual, si se evalúa la función en puntos anteriores a B, dichos valores funcionales están en el intervalo ( L − ∈, L + ∈) (figura 15.2). Figura 15.2 ii. Para una función dada puede suceder que: 1. lim f ( x) = L, y lim f ( x ) = K , L ≠ K . x →+∞ x2 + 4 , y cuya gráfica apax+2 x →−∞ Así por ejemplo, para la función f ( x) = rece en la figura 15.3, se cumple que: x2 + 4 = −1, x+2 x2 + 4 = 1. x+2 x →−∞ lim f ( x) = lim x →−∞ x →+∞ lim f ( x) = lim x →+∞ (vea el ejercicio 16 de la sección 19.2). 140 U de @ - Educación no presencial Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curva Figura 15.3 2. x →−∞ lim f ( x) = lim f ( x) = L. x →+∞ f ( x ) = L. En este caso se puede escribir simplemente lim x →∞ Así por ejemplo, para la función f ( x) = en la figura 15.4, se cumple que: 4x2 − 1 , cuya gráfica aparece x2 + 2 ⎫ 4 x2 − 1 = 4⎪ 2 x →−∞ x →−∞ x + 1 4 x2 − 1 ⎪ ⇒ = 4. lim ⎬ x →∞ x 2 + 1 4 x2 − 1 ⎪ =4 lim f ( x) = lim 2 ⎪ x →+∞ x →+∞ x + 1 ⎭ lim f ( x) = lim (vea el ejercicio 18 de la sección 19.2). Figura 15.4 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 141 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 15.2 Teoremas sobre límites al infinito Teorema del sánduche para límites al infinito El teorema del sánduche también es válido para límites cuando x → ±∞. Como se sabe, Los siguientes teoremas proporcionan herramientas importantes para la manipulación con límites al infinito. Teorema 1: Álgebra de límites al infinito 1. f ( x ) = L1 y lim g ( x) = L2 , y sea Sean f, g dos funciones tales que xlim →+∞ x →+∞ K ∈ ℜ. Entonces: −1 ≤ sen x ≤ 1. Así, para x > 0, 1 −x ≤ senx x 1 ≤x . i. ii. iii. x →+∞ lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x) = L1 ± L2 . x →+∞ x →+∞ Como x →+∞ 1 lim ( − x ) = lim x →+∞ 1 x = 0, x →+∞ lim f ( x) ⋅ g ( x) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = L1 ⋅ L2 . x →+∞ x →+∞ por el teorema del sánduche se sigue que x →+∞ lim senx x = 0. x →+∞ lim K ⋅ f ( x) = K ⋅ lim f ( x) = K ⋅ L1 . x →+∞ También, como sen( − x ) (− x ) = senx x iv. x →+∞ lim f ( x) L f ( x) xlim = →+∞ = 1 , L2 ≠ 0. g ( x) lim g ( x) L2 x →+∞ se sigue que x →−∞ lim sen x x = 0. 2. Si existe un real B tal que f (x) = g (x) para todo x > B y si además x →+∞ lim f ( x) = L1 , entonces lim g ( x) = L1. x →+∞ 3. f ( x) = L, entonces Si n es un entero positivo y xlim →+∞ x →+∞ lim n f ( x) = n x →+∞ lim f ( x) = n L . Como se ve, la gráfica oscila en torno del eje x. Las oscilaciones tienden a cero, cuando x → ±∞. Si n es par, L debe ser positivo. Teorema 2 x →+∞ lim 1 = 0. x 1 = 0. xn Generalización: si n ∈ , entonces xlim →+∞ Observaciones i. Los teoremas son igualmente válidos cuando se reemplaza x → +∞ por x → −∞. La hipótesis establecida en el teorema 1, con respecto a la exigencia de que los límites de f (x) y g (x) sean los números reales L1 y L2, es esencial, ya que si esta condición no se cumple, el teorema puede no ser válido; así por ejemplo, para la diferencia del límite, se tiene: x = ∞. lim x 2 + 3 x + 2 = ∞, y lim x →∞ x →∞ ii. 142 U de @ - Educación no presencial Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curva 2 2 Sin embargo, lim( x + 3 x + 2 − x ) ≠ lim x + 3 x + 2 − lim x = ∞ − ∞ x →∞ x →∞ x →∞ (indeterminado). En efecto: lim x 2 + 3x + 2 − x = lim x →∞ ( x 2 + 3x + 2 − x) ( x + 3x + 2 + x) 2 x →∞ ( x 2 + 3x + 2 + x), = lim ( x 2 + 3x + 2)2 − x 2 ( x + 3x + 2 + x) 2 x →∞ = lim x →∞ 3x + 2 x + 3x + 2 + x 2 , 2 x = lim x →∞ (dividiendo numerador y denominador por x). 3 2 1+ + 2 +1 x x 3+ Pero lim x →∞ 2 3 2 = lim = lim = 0 (teorema 2 y su generalización). x x →∞ x x →∞ x 2 3 = 3, y lim 1 = 1. También, lim x →∞ x →∞ 2 3 x = . x 2 + 3x + 2 − x = lim Por tanto, lim x →∞ x →∞ 2 3 2 1+ + 2 +1 x x 3+ De otro lado, para el límite del producto se tiene: lim x→∞ 3 = 0, y lim 2 x = ∞. x→∞ x ⎛3⎞ ⎛3⎞ 2 x = 0 ⋅ ∞ (indeterminado). Sin embargo, lim ⎜ ⎟ ⋅ 2 x ≠ lim ⎜ ⎟ ⋅ lim x →∞ x x →∞ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞ 6x ⎛3⎞ = lim 6 = 6. Pero lim ⎜ ⎟ ⋅ 2 x = lim x →∞ x x →∞ x x →∞ ⎝ ⎠ iii. En los capítulos 1 y 2, al evaluar ciertos límites, se presentó la forma indeterminada 0 . Otras formas indeterminadas son las siguientes: 0 ∞ , (∞ − ∞), 0 ⋅ ∞, 00 , ∞ 0 , 1∞. ∞ En los ejercicios 16, 17 y 18 de la sección 19.2 se ilustra el tratamiento de las formas ∞ y (∞ − ∞), dejando el tratamiento de las demás para el módulo ∞ 18, cuando presentemos la regla de L’Hopital. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 143 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, facilita la evaluación de límites al infinito para funciones racionales y en los cuales sólo se necesita comparar los grados del numerador y del denominador para su determinación. Teorema 3: Límite al infinito para funciones racionales Sea f ( x) = h( x) am x m + am −1 x m −1 + ... + a1 x + a0 = una función racional, con g ( x) bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + b0 am , bn ≠ 0, m y n enteros positivos. Por consiguiente: h( x ) = 0. Si m < n (grado N < grado D), entonces xlim →+∞ g ( x ) h( x) am . = Si m = n (grado N = grado D), entonces xlim →+∞ g ( x ) bn h( x ) = ∞. Si m > n (grado N > grado D), entonces xlim →+∞ g ( x ) i ii. iii. Así por ejemplo, 3x − 5 =0 x2 + 2 x + 6 3 x →+∞ lim (puesto que el grado del numerador es menor que el grado del denominador). x →+∞ lim 4x + 5x − 8 4 = (puesto que el grado del numerador es igual al 2 3 1 − 2 x + 3x − 5 x −5 grado del denominador). 4x2 − 5 = +∞ x →+∞ x + 2 lim (puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador). Los límites al infinito tratados anteriormente están íntimamente ligados con el concepto de asíntota de una curva, que se describe y detalla a continuación. 15.3 Asíntotas de una curva. Asíntotas horizontales En primer lugar, se dice que un punto desplazable M se mueve a lo largo de una curva hacia infinito si la distancia entre este punto M y el origen de coordenadas crece indefinidamente. 144 U de @ - Educación no presencial Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curva Definición Si la distancia δ entre una recta A y el punto desplazable M de una curva tiende a cero, mientras que el punto M tiende a infinito, se dice que la recta A es una asíntota de la curva (figura 15.5). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 145 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Figura 15.5 146 U de @ - Educación no presencial Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curva 15.3.1 Clasificación de las asíntotas En el trazado de una curva es preciso distinguir las asíntotas verticales, x = a en la figura 15.5a (rectas paralelas al eje y), las asíntotas horizontales, y = k en la figura 15.5b (rectas paralelas al eje x), y las asíntotas oblicuas, que son rectas de la forma y = mx + b (figuras 15.5c y d). Asíntotas horizontales f ( x) = k o La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f (x) si xlim →+∞ x →−∞ lim f ( x ) = k . Asi por ejemplo, la función f ( x) = 4 x2 − 1 (figura 15.4) tiene a la recta y = 4 como x2 + 2 2 (figura 15.6) tiene a la recta y = 0 (eje x) x−3 asíntota horizontal. La función f ( x) = como asíntota horizontal. La función f ( x) = horizontales: y = 1 y y = −1. x2 + 4 (figura 15.3) tiene dos asíntotas x+2 Figura 15.6 Las asíntotas horizontales son un caso particular de las asíntotas oblicuas y = mx + b (si m = 0, la asíntota es horizontal) que se describen y determinan con más detalle en el módulo 17 de este mismo capítulo. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 147 16 Límites infinitos y asíntotas verticales Introducción p( x) Las gráficas de las funciones racionales f ( x) = q ( x) y de los polinomios tienen El abstracto concepto matemático de límite se corresponde en el universo real con una serie de fenómenos relacionados más o menos íntimamente con el infinito. El límite –ficticio– de estos rieles convergentes es sólo un punto. varias características en común. Por ejemplo, una función racional, al igual que los polinomios, tiene un número finito de raíces, pues f (x)se anula en los puntos en los cuales p(x) se anula. Puede llegar a suceder que el polinomio del denominador q(x) tenga una raíz en un punto x = a, donde no se anula p(x). En este caso, el valor de f (x) será muy grande cuando x esté muy cerca de a. Esto significa que la gráfica de una función racional tiene una característica que la gráfica de un polinomio no posee, esto es, una asíntota vertical. Objetivos del módulo f ( x) h( x ) = g ( x) 1. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites infinitos, así como también su significado geométrico en el plano cartesiano. 2. Introducir la noción de asíntota vertical y su relación con los límites infinitos. Preguntas básicas 1. Frecuentemente en los cursos de cálculo se menciona la siguiente receta: «Para hallar las asíntotas verticales de h( x ) = f ( x) , g ( x) basta resolver g(x ) = 0». Dé un ejemplo en el que g (a) = 0, pero no existe asíntota vertical en x = a. 2. Analice la verdad o falsedad del recíproco de la afirmación anterior. Es decir: si tiene una asíntota vertical en x = a, entonces g (a) = 0. ¿Y qué sucede si f (x) y g(x) son polinomios? 3. ¿Puede una asíntota vertical de una curva intersecar la curva? Trate de dar su respuesta con un gráfico aproximado. Contenidos del módulo 16.1 Límites infinitos 16.2 Asíntotas verticales Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 16.1 Límites infinitos Se entiende por límites infinitos de una función cuando el valor de la función crece o decrece sin «límite» a medida que la variable x se aproxima a un valor dado. Son límites infinitos uno cualquiera de las formas: 1. 2. lim f ( x) = ±∞. x →±∞ Para el caso particular del estudio de las asíntotas verticales se hace referencia a los límites de la primera forma. Considere por ejemplo, nuevamente, la función f ( x) = 2 , cuya gráfica aparece x −3 en la figura 15.6. Nótese que cuando x → 3+ (valores de x mayores que 3), el numerador de f (x) tiende a 2 y el denominador toma valores cercanos a 0, pero positivos, así que el cociente tiende a +∞. De una manera más simple, se escribe: 2 → tiende 2(+) → +∞. x − 3 → tiende 0(+) x →3+ lim (1) Igualmente, lim x→a x →3− lim 2 → tiende 2(+) → −∞. x − 3 → tiende 0(−) (2) En el caso (1) se dice que f (x) crece sin límite, o se hace infinita, cuando x tiende a 3+ , y se escribe lim f ( x) = +∞. x →3+ En el caso (2) se dice que f (x) decrece sin cota, o se hace infinitamente negativa, cuando x tiende a 3− , y se escribe: lim f ( x) = −∞. x →3− Otro ejemplo importante en el cual se analiza el comportamiento de una función cerca de los puntos donde no existe el límite es el siguiente: x −1 x −1 Considere la función definida por f ( x) = x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2) , cuya gráfica apa- rece en la figura 16.1. 150 U de @ - Educación no presencial Módulo 16: Límites infinitos y asíntotas verticales Vea el módulo 16 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Chistes matemáticos Si lim x →0 8 5 = ∞,entonces lim = x →0 x x Figura 16.1 Si lim x →0 1 1 = ∞,entonces lim 4 = ∞∞ x →0 x x2 f (x) se hace infinita cuando x → 2 y cuando x → −2 (valores de x que anulan el denominador). Así que: → ⎧ x −1 1 f ( x) = lim+ → ⎪ xlim + + → → 2 x 2 ( x − 2)( x + 2) → (0 )(+4) ⎪ ⎨ → x −1 1 ⎪ lim f ( x) = lim → − − − ⎪ x →2 x → 2 ( x − 2)( x + 2) → (0 )( +4) ⎩ +1 → +∞. +0 +1 → −∞. −0 Igualmente, → −3 x −1 → + x →−2 x →−2 ( x − 2)( x + 2) → ( −4)(0 ) → −3 x −1 → lim f ( x) = lim− − x →−2− x →−2 ( x − 2)( x + 2) → ( −4)(0 ) lim+ f ( x) = lim+ −3 → +∞. −0 −3 → −∞. +0 El procedimiento anteriormente seguido es sencillo y determina geométricamente el comportamiento de la curva cerca de la asíntota vertical, la cual definimos a continuación. 16.2 Asíntotas verticales f ( x ) = ±∞ o La recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x) si xlim → a− x → a+ lim f ( x) = ±∞, o bien lim f ( x ) = ±∞. x→a Por consiguiente, para determinar las asíntotas verticales de una curva es preciso encontrar todos los valores de x = a que, al aproximarse a los mismos, hacen que la función tienda a infinito. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 151 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real En particular, cuando la función es racional y está reducida a su mínima expresión, son asíntotas verticales todos aquellos valores de x que anulan el denominador. Así por ejemplo, la función f ( x) = recta x = 3. x −1 x −1 La función f ( x) = x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2) (figura 16.1) tiene dos asíntotas vertica2 (figura 15.6) tiene como asíntota vertical la x−3 les: x = −2 y x = 2. La curva y = f ( x ) = tan x = x=± 3π 5π ; x = ± ;... 2 2 sen x π tiene infinidad de asíntotas verticales: x = ± ; cos x 2 Esto se deduce del hecho de que tan x → ±∞, cuando x tiende a estos valores (figura 16.2). π 3π 5π Nótese que x = ± 2 , x = ± 2 , x = ± 2 ,... son los valores de x para los cuales cos x = 0. Figura 16.2 152 U de @ - Educación no presencial 17 Asíntotas oblicuas Introducción Las asíntotas horizontales y las verticales son rectas paralelas a los ejes coordenados x e y, respectivamente. Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y = mx + b, donde m 0 es su pendiente. Las asíntotas oblicuas, al igual que las horizontales y las verticales, no hacen parte de la gráfica (obsérvelo en una calculadora programable para algún caso en particular). Solamente indican el comportamiento de la curva cuando las variables x y/o y, juntamente o por separado, toman valores grandes en valor absoluto. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Peter Dirichlet nació en Düren, actual Alemania, el 13 de febrero de 1805 y murió en ese mismo país el 5 de mayo de 1859 (en Gotinga). Objetivos del módulo ≠ 1. Establecer el razonamiento geométrico que permita definir de una manera precisa el concepto de asíntota oblicua. 2. Introducir la noción de asíntota oblicua y su relación con los límites al infinito. Preguntas básicas 1. ¿Puede una curva tener simultáneamente asíntotas horizontales, verticales y oblicuas? Trate de dar un gráfico aproximado. 2. ¿Puede la gráfica de una función racional tener simultáneamente asíntotas horizontales, verticales y oblicuas? Analice su respuesta. 3. ¿Puede una asíntota oblicua de una curva intersecar la curva? Trate de dar su respuesta con un gráfico aproximado. 4. ¿Puede llegar a suceder que una curva tenga como asíntota otra curva, como sucede por 1 −x 1 e , y y = ex ? 2 2 5. Si la ecuación de una curva es una función racional f, ¿cómo deben ser los grados del numerador y del denominador de f para que la curva tenga como asíntota una parábola? por ejemplo con y = cosh x, cuyas asíntotas son las gráficas de y = Contenidos del módulo 17.1 Definición precisa de asíntota oblicua 17.2 Regla general para determinar las asíntotas de una curva Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 153 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real 17.1 Definición precisa de asíntota oblicua Sea M (x, y) un punto desplazable que se mueve a lo largo de una curva hacia infinito, y supóngase que la curva tiene una asíntota oblicua que forma un ángulo α con el eje x (figura 17.1) y cuya ecuación es de la forma y = mx + b. Vea el módulo 17 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 17.1 Al trazar las perpendiculares MQ al eje x y MP a la asíntota, se forma el triángulo rectángulo MPN, en el cual se tiene que NM = MP 1 = MP. cos α cos α (1) MP = 0. De acuerdo a la definición de asíntota, xlim →+∞ NM = lim Por tanto, xlim →+∞ x →+∞ 1 1 MP = ⋅ lim MP = 0. cos α cos α x →+∞ (2) NM = 0, entonces lim MP = 0. Recíprocamente, si xlim →+∞ n →+∞ Pero NM = QM − QN = f ( x) − (mx + b) . Así que la igualdad (2) toma la forma lim f ( x ) − ( mx + b) = 0. x →+∞ El razonamiento anterior permite establecer la siguiente definición: 154 U de @ - Educación no presencial Módulo 17: Asíntotas oblícuas Definición La recta no vertical y = mx + b es una asíntota oblicua para la curva y = f (x) si x →+∞ lim [ f ( x ) − ( mx + b) ] = 0, o lim [ f ( x ) − ( mx + b) ] = 0, o ambos. x →−∞ Estas condiciones significan que cuando x → ±∞ (o ambos), la distancia vertical entre el punto (x, f (x)) sobre la curva y el punto (x, mx + b) sobre la recta tienden a cero. Para una curva dada y = f (x), que tiene una asíntota oblicua y = mx + b, ¿cómo determinar las constantes m y b? En primer lugar, de acuerdo a la definición de asíntota oblicua, lim [ f ( x) − mx − b] = 0. x →+∞ (1) b⎤ ⎡ f ( x) − m − ⎥ = 0. x O equivalentemente, xlim →+∞ ⎢ x x⎦ ⎣ b⎤ ⎡ f ( x) − m − ⎥ = 0. Puesto que x → ∞, la igualdad anterior se cumple si xlim →+∞ ⎢ x x⎦ ⎣ b ⎡ f ( x) ⎤ − m ⎥ = 0 y de aquí se deduce que = 0, y por tanto lim ⎢ x →+∞ x ⎣ x ⎦ x →+∞ Pero xlim →+∞ m = lim f ( x) . x (2) Conociendo el valor de m, se puede hallar b de la igualdad (1), así: b = lim [ f ( x) − mx]. x →+∞ (3) De esta forma, si la recta y = mx + b es una asíntota, entonces m y b se determinan según las fórmulas (2) y (3). Recíprocamente, si existen los límites (2) y (3), se cumple la igualdad (1) y la recta y = mx + b es una asíntota. Si alguno de los límites (2) y (3) no existe, la curva no tiene asíntota oblicua. Nótese que se ha estudiado el problema referente al caso cuando x → +∞; sin embargo, todos los razonamientos son válidos también para el caso en que x → −∞. Observaciones i. Aunque las asíntotas de una curva no son parte de su gráfica, proporcionan información acerca de la manera como debe verse la gráfica realmente. Si se piensa desde el punto de vista intuitivo que las asíntotas oblicuas de una curva son «rectas tangentes a la curva en el infinito», entonces otra Peter Gustav Lejeune Dirichlet Dirichlet cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como Joseph Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Carl Friedrich Gauss tras su muerte. Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de los números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una demostración particular del problema de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y el concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano. ii. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 155 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real fórmula válida para determinar la pendiente m de la asíntota oblicua a una curva es m = lim f ′( x). x →+∞ iii. Si la recta y = mx + b es una asíntota a una curva cuando x → +∞ y cuando x → −∞, se dice entonces que se trata de una asíntota doble. En el caso particular en el cual la curva de estudio corresponde a una función racional, las siguientes reglas son útiles en la determinación de las asíntotas de la curva. iv. 17.2 Regla general para determinar las asíntotas de una curva Supóngase que la función y = f ( x ) es una función racional de la forma y = f ( x) = h( x) am x m + am −1 x m −1 + ... + a1 x + a0 = , g ( x) bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + b0 en la cual el grado del numera- dor es m y el del denominador es n. 1. Son asíntotas verticales todos aquellos valores reales de x para los cuales bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + b0 = 0 (siempre que la fracción esté reducida a su mínima expresión). 2. Si f es una función racional propia (m < n: grado N < grado D), la gráfica tendrá a y = 0 (eje x) como asíntota horizontal. Si f es una función racional impropia (m ≥ n), se tiene que: a. am Si m = n (grado N = grado D), entonces la gráfica tendrá a y = b n 3. como asíntota horizontal. b. Si m = n + 1 (el grado del N supera al grado del D en 1), entonces al efectuar la división de h(x) entre g(x) el cociente es de la forma ax + b, y la recta y = ax + b es una asíntota oblicua de la curva. Si m > n + 1 (el grado del N supera en más de 1 unidad al grado del D), al efectuar la división de h(x) entre g(x) el cociente es un polinomio de grado mayor o igual a 2, y de esta forma la curva y = f (x) se comporta en el infinito como la gráfica del cociente. c. 156 U de @ - Educación no presencial 18 Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital1 Introducción En los módulos anteriores se ha ilustrado con ejemplos el tratamiento de algunos 0 ∞ y (∞ − ∞). Otras formas límites que presentaban la formas indeterminadas , 0 ∞ Guillaume François Antoine de L’Hopital Guillaume de L’Hopital, marqués de Sainte-Mesme, nació en París en 1661 y murió en esa misma ciudad en 1704. indeterminadas son las siguientes: 0∞ , 00 , ∞ 0 ,1∞. En este módulo se enuncia, sin demostrar, un teorema conocido como la «regla de L´Hopital» (descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli, pero cuyos derechos de descubrimiento fueron adquiridos por el marqués de L´Hopital) y que 0 ∞ o , y se verá 0 ∞ cómo es posible reducir las otras formas indeterminadas a una de estas dos. permite calcular límites que presentan la forma indeterminada Objetivos del módulo 1. Presentar las formas indeterminadas llamada regla de L´Hopital. 2. Reducir otras formas indeterminadas: (∞ − ∞), 0∞ , 00 , ∞ 0 , 1∞ a una de las formas 0 ∞ o , y aplicarles luego la regla de L´Hopital. 0 ∞ 0 ∞ y , y cómo eliminarlas usando la 0 ∞ Preguntas básicas ln f ( x) = 1. f ( x) = ∞ = lim g ( x), y lim 1. Supóngase que lim x →∞ ln g ( x) x →∞ x →∞ f ( x) = 1? ¿Se puede afirmar que lim x →∞ g ( x ) 1. Vea la historia de la regla de L´Hopital. Nota histórica: «Los marqueses también aprenden (y escriben) cálculo». Cálculo de una variable. Claudio Pita Ruiz, p. 344. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 157 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real f ( x) = 3. f ( x) = ∞ = lim g ( x), y lim 2. Supóngase que lim x →∞ g ( x ) x →∞ x →∞ ln f ( x) ¿Qué puede afirmarse del siguiente límite: lim x →∞ ln g ( x ) ? (Analice sus respuestas). 3. En RP Feynman, Lectures on physics, Addison-Wesley, Reading, Mass., aparece esta observación: «Aquí está la respuesta cualitativa de qué es lo correcto en vez de kT. Esta expresión, hw , debe tender a kT cuando w → 0 o cuando ehw / kT −1 T → ∞. ¿Puede usted probar que en efecto esto se cumple? Contenidos del módulo 18.1 La regla de L´Hopital 18.2 Variantes de la regla de L´Hopital 18.3 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla de L´Hopital y otras formas indeterminadas 158 U de @ - Educación no presencial Módulo 18: Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital 18.1 La regla de L´Hopital Sean f y g dos funciones que satisfacen las siguientes condiciones: i. f y g son diferenciables, g ′( x) ≠ 0 cerca del punto a (excepto posiblemente en a). lim f ( x ) = 0 y lim g ( x) = 0 (forma indeterminada x→a x →a 0 )o 0 ii. lim f ( x) = ±∞ y lim g ( x) = ±∞ (forma indeterminada x→a x→a ∞ ). ∞ f ′( x) f ( x) f ′( x) = lim lim . Si además lim x → a g ′( x ) existe (o es ±∞), entonces x → a g ( x) x → a g ′( x) Observaciones i. La regla de L´Hopital afirma que si un cociente presenta la forma indeter0 ∞ o , el límite del cociente es igual al límite del cociente de las 0 ∞ derivadas (no la derivada de un cociente). minada ii. La regla de L´Hopital puede aplicarse de manera reiterada cuando sea necef ′( x) 0 ∞ sario. Es decir, si g ′( x) es de la forma indeterminada o , y si 0 ∞ lim x→a f ′′( x) g ′′( x) existe (o es ±∞ ), entonces f ( x) f ′( x) f ′′( x) = lim = lim , g ( x) x → a g ′( x) x → a g ′′( x) lim x→a y de esta manera se puede proceder reiteradamente. iii. La regla de L´Hopital es también válida para todos los tipos de límites vistos hasta ahora. Es decir, x → a puede reemplazarse por cualquiera de los símbolos x → a + , x → a − , x → +∞, x → −∞. 18.2 Variantes de la regla de L´Hopital Guillaume François Antoine de L’Hôpital Cuando el límite que se desea calcular presenta cualquiera de las formas indeterminadas 0 ⋅ ∞, 00 , ∞ 0 , 1∞ , ∞ − ∞, debe transformarse previamente a cualquiera de las formas 0 ∞ o para aplicar luego la regla de L´Hopital. 0 ∞ Guillaume de L’Hopital fue militar de profesión, se interesó por el estudio de la matemática por influencia de Johann Bernoulli y llevó a cabo la primera exposición completa del cálculo infinitesimal en su obra Análisis de los infinitamente pequeños para el entendimiento de las líneas curvas (1696). La regla de L’Hôpital permite eliminar ciertas indeterminaciones en el paso al límite del cociente de dos funciones, aplicando el cálculo diferencial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 159 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real a. f ( x ) = 0 y lim g ( x) = ±∞, entonces lim f ( x) ⋅ g ( x) presenta la forSi lim x→a x→a x →a ma indeterminada 0 ⋅ ∞. En este caso se puede usar cualquiera de las formas equivalentes mencionadas a continuación, antes de aplicar la regla de L´Hopital: lim f ( x) ⋅ g ( x) = lim x →a x →a Vea el módulo 18 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. f ( x) 0 (forma indeterminada ) o 1 0 g ( x) g ( x) ∞ (forma indeterminada ). 1 ∞ f ( x) g ( x) lim f ( x) ⋅ g ( x) = lim x→a x →a b. [ f ( x) ] Las indeterminaciones 0 0 , ∞ 0 , 1∞ , que resultan de calcular lim x→a , pueden reducirse a algunas de las formas anteriores utilizando la siguiente igualdad: lim [ f ( x) ] x →a g ( x) = lim e g ( x )⋅ln f ( x ) = e x→a x→a lim g ( x ) ⋅ln f ( x ) . c. La forma indeterminada (∞ − ∞) se puede reducir a una de las anteriores empleando la identidad 1 1 − 0 g ( x ) f ( x) (forma indeterminada ). f ( x) − g ( x) = 1 0 f ( x) g ( x) 18.3 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla de L´Hopital y otras formas indeterminadas Ejemplo 18.1 Use la regla de L´Hopital para evaluar los siguientes límites: ⎛ 1⎞ ln ⎜1 + ⎟ x⎠ lim ⎝ . x →+∞ ⎛ 1⎞ ln ⎜1 − ⎟ ⎝ x⎠ a. b. x →+∞ lim ln x ; n > 0. xn x c. ⎛πx ⎞ lim(1 − x) ⋅ tan ⎜ ⎟ . x →1− ⎝ 2 ⎠ d. ⎛ a⎞ lim ⎜1 + ⎟ . x →+∞ ⎝ x⎠ 160 U de @ - Educación no presencial Módulo 18: Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital Solución a. Este límite es de la forma 0 . Así que 0 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅⎜− 2 ⎟ ln ⎜ 1 + ⎟ Dx ln ⎜ 1 + ⎟ + 1 1 x x⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ = lim = lim lim ⎝ , x →+∞ x x →+∞ →+∞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⋅⎜ 2 ⎟ ln ⎜ 1 − ⎟ Dx ln ⎜1 − ⎟ 1−1 x ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ = lim − x( x − 1) x −1 = − lim = −1. x →+∞ x ( x + 1) x +1 +∞ . +∞ x →+∞ b. Este límite es de la forma Aplicando la regla de L´Hopital se tiene que: 1 ln x 1 1 1 1 lim = lim x = lim n = ⋅ lim n = ⋅ 0 = 0 (teorema 2, x →+∞ x n x →∞ nx n −1 x →+∞ nx x →+∞ n x n sección 15.2). c. Este límite es de la foma 0 ⋅ ∞. 0 ∞ o . 0 ∞ Para poder aplicar la regla de L´Hopital se debe transformar a la forma 1− x ⎛π x ⎞ Como (1 − x) tan ⎜ , se tiene que ⎟= ⎝ 2 ⎠ cot ⎛ π x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ x →1− 1− x ⎛πx ⎞ lim(1 − x) tan ⎜ ⎟ = lim − x → 1 ⎛πx ⎞ ⎝ 2 ⎠ cot ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 0 (indeterminado dela forma ). 0 Aplicando la regla de L´Hopital, se puede escribir: Dx (1 − x) 1− x ⎛π ⎞ lim(1 − x) tan ⎜ x ⎟ = lim = lim , − − → 1 → 1 x x ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎝2 ⎠ cot ⎜ x ⎟ Dx cot ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ = lim − x →1 x →1− −1 ⎛π − csc2 ⎜ 2 ⎝2 π ⎞ x⎟ ⎠ = 2 π . Escuche el audio Los marqueses también aprenden (y escriben) cálculo en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 161 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real d. Este límite es de la forma 1∞. x ln ⎜1+ ⎟ ⎛ a⎞ Como ⎜1 + ⎟ = e ⎝ x ⎠ , se tiene que ⎝ x⎠ lim x ⋅ln ⎜1+ ⎟ ⎛ a⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x→+∞ ⎝ x ⎠ . x →+∞ ⎝ x⎠ x ⎛ a⎞ x ⎛ a⎞ (1) ⎛ a⎞ x ⋅ ln ⎜1 + ⎟ es de la forma indeterminada ∞ ⋅ 0, y para poder Pero xlim →+∞ ⎝ x⎠ aplicar la regla de L´Hopital se debe transformar a la forma Así que: 0 ∞ o . 0 ∞ ⎛ a⎞ lim x ln ⎜1 + ⎟ x →+∞ ⎝ x⎠ ⎛ a⎞ ln ⎜1 + ⎟ 0 x⎠ = lim ⎝ (indeterminado de la forma ), x →∞ 1 0 x ⎛ ⎛ a ⎞⎞ Dx ⎜ ln ⎜1 + ⎟ ⎟ ⎝ x ⎠⎠ = lim ⎝ = a. x →∞ ⎛1⎞ Dx ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ Por tanto, sustituyendo en (1) se obtiene finalmente: ⎛ a⎞ lim ⎜ 1 + ⎟ = e a . x →+∞ x⎠ ⎝ x Ejemplo 18.2 Este ejercicio muestra cómo la regla de L´Hopital puede usarse de manera reiterada. 1 2⎞ ⎛ − 2 ⎟. Evalúe el siguiente límite: lim ⎜ x → 0 1 − cos x x ⎝ ⎠ Solución En primer lugar note que el límite es de la forma indeterminada (∞ − ∞). Antes de aplicar la regla de L´Hopital se debe llevar a alguna de las formas indeterminadas 0 ∞ o . 0 ∞ 162 U de @ - Educación no presencial Módulo 18: Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital Pero 1 2 x 2 + 2cos x − 2 . − 2 = 2 1 − cos x x x (1 − cos x) Así que: 1 2⎞ x 2 + 2cos x − 2 ⎛ − 2 ⎟ = lim 2 lim ⎜ . x → 0 1 − cos x x ⎠ x →0 x (1 − cos x) ⎝ Al sustituir x por 0, se observa la indeterminación se tiene: 0 . Usando la regla de L´Hopital, 0 lim x→0 x 2 + 2 cos x − 2 2 x − 2sen x 0 = lim (forma indeterminada ), 2 2 x → 0 0 x (1 − cos x) 2 x(1 − cos x) + x sen x = lim x →0 2 − 2 cos x 0 (forma indeterminada ), 2 0 2 − 2 cos x + 4 x sen x + x cos x = lim x →0 2sen x 0 (forma indeterminada ), 2 0 6sen x + 6 x cos x − x cos x 2 cos x , 6 cos x + 6 cos x − 6 x sen x − 2 x cos x + x 2 sen x 2 1 = = . 12 6 = lim x →0 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 163 164 U de @ - Educación no presencial 19 Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos Introducción En este módulo se dará una tabla que recoge todas las fórmulas de derivación obtenidas hasta ahora. Estas fórmulas deben ser aprendidas de memoria para poder ser aplicadas con soltura. Seguidamente damos una gran cantidad de ejercicios resueltos, para que el estudiante se dé cuenta de cómo elegir y aplicar las fórmulas. Al finalizar el capítulo se propondrá una colección extensa de ejercicios para que el alumno practique las técnicas de derivación y adquiera habilidad en la ejecución de esta operación. No hay que perder de vista que la derivación es el medio para resolver problemas en los cuales se involucra la derivada. Aprenderse las reglas de derivación y no saber aplicarlas en un problema particular, es semejante a aprender los nombres de las capitales de cada uno de los departamentos de nuestro país. Esto es lo que Peter Hilton llama «la memorización cruda, estragos tradicionales de las matemáticas, en los cuales la memoria reemplaza totalmente al pensamiento». Por tanto, es importante adquirir habilidad en la derivación, para poder resolver multitud de problemas de interés teórico y práctico como los que aparecerán en el próximo capítulo. David Hilbert David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en un pueblo cerca de Königsberg (hoy Kaliningrado), la capital de la Prusia del Este, Rusia, y murió en Gotinga (Alemania) el 14 de febrero de 1943. Objetivos del módulo 1. Resumir en un cuadro todas las reglas de derivación vistas hasta el momento. 2. Aplicar las reglas básicas de derivación para que el alumno adquiera habilidad en la ejecución de esta técnica y la aplique en la solución de algunos problemas de la física y la ingeniería. 3. Evaluar límites al infinito y límites infinitos y establecer su relación con las asíntotas de una curva. Preguntas básicas 1. Una de las aplicaciones de las funciones hiperbólicas en el estudio del movimiento con resistencia del medio proporcional al cuadrado de la velocidad está planteada en el siguiente problema: «Supongamos que un móvil parte del reposo y cae x metros en t segundos. Sea g (constante) la aceleración de la gravedad. Puede probarse que existe una constante V tal que x(t ) = a. Halle la velocidad v(t ) = V2 g ln(cosh t ) ». g V dx como función de t. dt Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 165 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real v(t ) = V . b. Pruebe que lim t →∞ c. Calcule la aceleración 2 como función de t. ⎛ v(t ) ⎞ d. Pruebe que a(t ) = g − g ⎜ ⎟ . ⎝ V ⎠ e. ¿Cuál es el límite de la aceleración cuando t → ∞ ? Contenidos del módulo 19.1 Cuadro general de derivadas 19.2 Solución de ejemplos sobre derivación a(t ) 166 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos 19.1 Cuadro general de derivadas Regla RD1 RD2 RD3 RD4 RD5 RD6 y = f ( x) = x y = t ( x) = f ( x) + g ( x) y = t ( x) = f ( x) − g ( x) y = t ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) y = t ( x) = 1 g ( x) f ( x) , g ( x) ≠ 0 g ( x) Función Derivada y ' = f '( x) = 0 y ' = f '( x) = 1 y ' = t '( x) = f '( x) + g '( x) y ' = t '( x) = f '( x) − g '( x) y ' = t '( x) = f '( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g '( x) y ' = t '( x) = − g '( x) [ g ( x) ] 2 RD7 RD8 RD9 RD10 y = t ( x) = y ' = t '( x) = f '( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g '( x) [ g ( x) ] 2 H = g(u) y u = f(x) y = xn , n ∈ ℜ y = [ f ( x)] n H '( x) = ( g o f )'( x) = g'( f ( x)) . f ′( x) y ′ = nx n −1 y ′ = n [ f ( x)] n −1 ⋅ f '( x ) y = sen x y = cos x y = f ( x) = C y ′ = cos x y ′ = − sen x y ′ = sec 2 x y ′ = − csc 2 x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x y ′ = sec x ⋅ tan x y ′ = − csc x ⋅ cot x dy du = cos u ( x) ⋅ dx dx David Hilbert Königsberg, ciudad donde nació Hilbert, es famosa no sólo por ser la ciudad natal de Immanuel Kant sino también por el problema relativo a sus siete puentes, que consistía en saber si una persona podría cruzarlos todos de sola vez, sin repetir el paso por ninguno de ellos. Este problema fue abordado por Euler, quien demostró que no era posible. Estudió en la universidad de Königsberg y en la de Berlín, donde asistió a las clases de Kart Weierstrass y Leopold Kronecker. Fue amigo del matemático ruso Hermann Minkowski desde su juventud hasta la muerte de éste. Ejerció como profesor de la Universidad de Gotinga (Göttingen) desde 1895 hasta 1930, edad en la que se jubiló. Hilbert trabajó sobre los invariantes algebraicos, geometría (su libro Los fundamentos de la Geometría es un clásico) y ecuaciones integrales. También se dedicó a la Física (decía que la Física es demasiado difícil para los físicos) y su libro Los métodos de la Física matemática (con la coautoría de Richard Courant y conocido como el CourantHilbert) se sigue imprimiendo en la actualidad. También trabajó en los fundamentos de las matemáticas y en la lógica matemática. El epitafio de Hilbert es: «Wir müssen wissen, wir werden wissen» («Debemos saber, de modo que sabremos»). RD11 RD12 RD13 RD14 RD15 RD16 y = sen u ( x) y = cos u ( x) y = tan u ( x) y = cot u ( x) y = sec u ( x) y = csc u ( x ) dy du = − sen u ( x) ⋅ dx dx dy du = sec 2 u ( x) ⋅ dx dx dy du = − csc 2 u ( x) ⋅ dx dx dy du = sec u ( x) ⋅ tan u ( x ) ⋅ dx dx dy du = − csc u ( x) ⋅ cot u ( x) ⋅ dx dx RD17 y = sen −1 u ( x ) dy 1 = ⋅ u ′( x) dx 1 − (u ( x)) 2 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 167 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real RD18 y = cos −1 u ( x ) dy −1 = ⋅ u ′( x) dx 1 − (u ( x)) 2 dy 1 = ⋅ u ′( x) dx 1 + (u ( x)) 2 dy −1 = ⋅ u ′( x) dx 1 + (u ( x)) 2 dy 1 = ⋅ u ′( x) dx u ( x) (u ( x)) 2 − 1 dy −1 = ⋅ u ′( x) dx u ( x) (u ( x)) 2 − 1 y′ = ex RD19 y = tan −1 u ( x ) y = cot −1 u ( x ) Vea el módulo 19 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. RD20 RD21 y = sec −1 u ( x ) RD22 y = csc −1 u ( x ) y = ex RD23 y = eu ( x ) dy = eu ( x ) ⋅ u ′( x) dx y ′ = a x ⋅ ln a y = ax RD24 y = au ( x) dy = a u ( x ) ⋅ u ′( x) ⋅ ln a dx y′ = 1 x ⋅ ln a y = log a x RD25 y = log a u ( x ) y = ln x y = ln u ( x ) y = [ f ( x)] g ( x) dy u ′( x) = dx u ( x) ⋅ ln a y′ = 1 x RD26 dy u ′( x) = dx u ( x) y ′ = [ f ( x)] g ( x) ⎡ ⎤ g ( x) ⎢ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + f ( x) f ′( x) ⎥ ⎣ ⎦ RD27 RD28 RD29 RD30 RD31 y = senh u ( x) y = cosh u ( x) y = tanh u ( x ) y = coth u ( x ) y = sech u ( x ) dy du = cosh u ( x ) ⋅ dx dx dy du = senh u ( x) ⋅ dx dx dy du = sech 2 u ( x ) ⋅ dx dx dy du = − csch 2 u ( x) ⋅ dx dx dy du = − sech u ( x ) ⋅ tanh u ( x) ⋅ dx dx 168 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos RD32 y = csch u ( x) dy du = − csch u ( x) ⋅ coth u ( x) ⋅ dx dx Hilbert y el teorema de Fermat En los primeros tiempos de la aviación invitaron al matemático alemán David Hilbert (1862-1943) a dar una conferencia sobre el tema que él quisiera. La conferencia creó una gran expectación ya que el tema elegido fue «La prueba del último teorema de Fermat». Llegó el día y Hilbert dio la conferencia. La exposición fue muy brillante pero no tuvo nada que ver con el último teorema de Fermat. Cuando le preguntaron el porqué del título, contestó: «Oh, el título era solamente para el caso de que el avión se estrellara». 19.2 Solución de ejemplos sobre derivación Ejemplo 19.1 Use la definición de la derivada de una función para calcular y ' o f '( x) si y = f ( x) = x y evaluarla en x1 = 2. Solución De acuerdo a la definición de la sección 9.2, se tiene que: f ′( x) = lim h →0 f ( x + h) − f ( x ) , h 0 x+h − x (indeterminado de la forma ), 0 h = lim h→0 = lim h →0 ( x+h − x h ( 2 )( x+h + x x+4 + x ) ), x+h−x x+h + x ( = lim h→0 ) −( x) h( x + h + x ) x+h 2 = lim h→0 h ( ) , = lim h →0 1 x+h + x 1 2 2 = 1 2 x . En particular, f ′(2) = . Obsérvese que y ' no existe en x1 = 0 y, por tanto, aunque el dominio de y = x es [0, +∞ ) , el dominio de su derivada es ( 0, +∞ ) . Ejemplo 19.2 Sea f una función cuyo dominio es el conjunto ℜ de los números reales y tal que f ( x + y ) = f ( x) ⋅ f ( x) para todo x e y. Además, f (0) = 1 y f ′(0) existe. Pruebe que f ′( x ) existe para todo x, y también f ′( x) = f ′(0) ⋅ f ( x). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 169 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Solución De acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f : f ′( x) = lim h →0 f ( x + h) − f ( x ) , h f ( x ) ⋅ f (h) − f ( x ) (hipótesis), h = lim h→0 = lim h →0 f ( x) [ f (h) − 1] h h →0 (factor común), f ′( x) = f ( x) ⋅ lim f ( h) − 1 . h (1) Ahora, f ′(0) = lim h →0 f (0 + h) − f (0) f (h) − f (0) = lim , y como por hipótesis h→0 h h f (0) = 1, se tiene que f ( h) − 1 . h f ′(0) = lim h →0 (2) f ( h) − 1 existe. h De la igualdad (2) y la hipótesis, se deduce también que lim h→0 Sustituyendo (2) en (1) se concluye que f ′( x) = f ( x) ⋅ f ′(0), y además que f ′( x ) existe. Ejemplo 19.3 Sea f la función definida por: ⎧ x2 f ( x) = ⎨ ⎩ ax + b si x < 1 si x ≥ 1 Determine el valor de las constantes a y b para que f '(1) exista. Solución En primer lugar, si f '(1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al teorema 1 (sección 10.1) f es continua en x = 1, o equivalentemente, lim f ( x) = lim f ( x) = f (1). − x →1 x →1+ lim( ax + b) = lim x2 , Esto es, x →1+ x →1− o a + b = 1. (1) 170 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos Ahora, decir que f '(1) existe equivale a afirmar que f +′(1) y f −′(1) (las derivadas laterales) existen y son iguales. lim Pero f +′ (1) = x →1+ = lim + x →1 f ( x) − f (1) (ax + b) − ( a + b) = lim (¿por qué?), + x →1 x −1 x −1 ax − a a( x − 1) = lim = a. x − 1 x →1+ x − 1 Así que f +′(1) = a. lim Igualmente, f −′(1) = x →1− f ( x) − f (1) , x −1 (2) f −′(1) = lim − x →1 x 2 − ( a + b) (¿por qué?). x −1 (3) Sustituyendo (1) en (3) se tiene que f −′(1) = lim − x →1 x2 − 1 = lim( x + 1) = 2. x − 1 x →1− (4) Es decir, f −′(1) = 2. Puesto que las derivadas laterales son iguales de (2) y (4) se concluye que a = 2 y en consecuencia b = −1. Con los valores de a y b así encontrados, la función f puede escribirse como: ⎧ x2 f ( x) = ⎨ ⎩2 x − 1 si x < 1 si x ≥ 1 Ejemplo 19.4 Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones: a. c. ⎛ 1− x ⎞ f ( x) = ⎜ ⎟ . ⎝ 2x + 5 ⎠ 3 b. d. g (t ) = 3 t ⋅ 4 t 2 + 4t + 1. t ( s ) = tan 4 ( s 2 + 3s ). h( x) = (2 − x 2 ) cos x 2 + 2 x sen x3 . Solución a. Por la regla de la cadena (RD10): ⎛ 1− x ⎞ ⎛ 1− x ⎞ f ′( x) = 3 ⎜ ⎟ ⋅ Dx ⎜ ⎟. ⎝ 2x + 5 ⎠ ⎝ 2x + 5 ⎠ 2 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 171 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real ⎛ 1 − x ⎞ = −1(2 x + 5) − (1 − x) ⋅ 2 Pero Dx ⎜ (RD7), ⎟ (2 x + 5) 2 ⎝ 2x + 5 ⎠ = −7 . 2x + 5)2 2 2 ⎛ 1 − x ⎞ ⎛ −7 ⎞ −21(1 − x) = . Por tanto, f ′( x) = 3 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 4 ⎝ 2 x + 5 ⎠ ⎝ (2 x + 5) ⎠ (2 x + 5) b. Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g(t) con exponentes racionales, así: g (t ) = t1 3 ⋅ (t 2 + 4t + 1)1 4 . 1 −2 3 2 14 13 1 2 −3 4 Entonces g ′(t ) = t ⋅ (t + 4t + 1) + t ⋅ (t + 4t + 1) ⋅ (2t + 4). 3 4 (se usaron las reglas RD5 y RD8), g ′(t ) = (t 2 + 4t + 1)1 4 t1 3 (2t + 4) , + 3t 2 3 4(t 2 + 4t + 1)3 4 = 10t 2 + 28t + 4 5t 2 + 14t + 2 = . 12t 2 3 (t 2 + 4t + 1)3 4 6 3 t 2 ⋅ 4 (t 2 + 4t + 1)3 c. h′( x) = Dx ( (2 − x 2 ) ⋅ cos x 2 ) + Dx (2 x ⋅ sen x 3 ). 2 2 2 2 2 Pero Dx ( (2 − x ) ⋅ cos x ) = −2 x ⋅ cos x + (2 − x ) ⋅ (− sen x ) ⋅ 2 x, = −2 x ⋅ cos x 2 − 2 x(2 − x 2 ) ⋅ sen x 2 . Dx (2 x ⋅ sen x 3 ) = 2 ⋅ sen x 3 + 2 x ⋅ (cos x 3 ) ⋅ 3 x 2 , = 2sen x3 + 6 x3 cos x3 . Por tanto, h′( x ) = −2 x cos x 2 − 2 x(2 − x 2 ) sen x 2 + 2 sen x 3 + 6 x 3 cos x3 . 2 ⎤ En primer lugar, note que t (s) = ⎡ ⎣ tan ( s + 3s ) ⎦ . 4 d. Así que t ′( s) = 3 d dt = 4⎡ ⋅ tan ( s 2 + 3s ) ⎤ tan ( s 2 + 3s ) . ⎣ ⎦ ds ds ( ) Pero d 2 2 ⎤ tan ( s 2 + 3s ) = ⎡ ⎣sec ( s + 3s ) ⎦ ⋅ ( 2s + 3) , ds ( ) 172 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos 3 2 2 2 ⎤ En consecuencia, t ′( s ) = 4 tan ( s + 3s ) ⋅ ⎡ ⎣sec ( s + 3s ) ⎦ ⋅ (2s + 3), = 4(2 s + 3) ⋅ tan 3 ( s 2 + 3s ) ⋅ sec 2 (2 s + 3s ), = 4(2s + 3) ⋅ sen 3 ( s 2 + 3s) . cos5 ( s 2 + 3s) Ejemplo 19.5 De dos funciones f y g se sabe que: f (3) = 2; f ′(3) = 4; g (5) = 3; y g ′(5) = 7. ¿En qué valor de x es posible calcular ( f g )′( x) ? ¿A qué es igual? ¿En qué valor de x es posible calcular ( g f )′( x) ? ¿A qué es igual? Solución La regla de la cadena (RD8) establece que ( f g )′( x) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′( x). Existen, de acuerdo a la información inicial, sólo dos valores de x para evaluar, esto es, x = 3 y x = 5. Si x = 3, ( f g )′(3) = f ′ ( g ( 3) ) ⋅ g ′(3), pero no tenemos información acerca de los valores g (3) ni g '(3). Así que no es posible calcular ( f g )′( x) en x = 3. Si x = 5, ( f g )′(5) = f ′ ( g ( 5 ) ) ⋅ g ′(5). Pero g (5) = 3 y g ′(5) = 7. Por tanto, ( f g )′(5) = f ′(3) ⋅ 7 = 4 ⋅ 7 = 28. Se puede verificar, y se deja como ejercicio, que la información dada es insuficiente para calcular ( g f )′(3) y ( g f )′(5). (¡Verifique!). Ejemplo 19.6 Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula y= 3x + y 2 , x + y3 halle dy o y '. dx Solución La ecuación y = 3x + y 2 puede escribirse en las formas equivalentes x + y3 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 173 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real xy + y 4 = 3 x + y 2 ↔ xy + y 4 − 3 x − y 2 = 0, (1) siempre que x + y ≠ 0 3 Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene: 1 ⋅ y + xy ′ + 4 y 3 ⋅ y ′ − 3 − 2 yy ′ = 0, xy ′ + 4 y 3 y ′ − 2 yy ′ = 3 − y, 3− y y ′( x + 4 y 3 − 2 y ) = 3 − y, de donde y ′ = x + 4 y 3 − 2 y . Ejemplo 19.7 Suponga que y(x) es una función diferenciable de la variable x, y además las variables x e y están ligadas por la fórmula x3 y + y 4 = 2. (1) Suponga que y(1) = 1. Halle y ′′(1) siguiendo estos pasos: a. b. c. Demuestre que x 3 y ′ + 3 x 2 y + 4 y 3 y ′ = 0. Use la parte a para calcular y '(1). Derive la ecuación obtenida en a para demostrar que x 3 y ′′ + 6 x 2 y ′ + 6 xy + 4 y 3 y ′′ + 12 y 2 ( y ′) 2 = 0. d. Use la ecuación obtenida en c para calcular y ′′(1) (nota: se conocen y (1) y y´ (1)). Solución a. Derivando implícitamente en (1) se obtiene: 3x 2 y + x 3 y ′ + 4 y 3 y ′ = 0. (2) b. Teniendo en cuenta que y(x): y depende de x, se puede escribir (2) así: 3 x 2 ⋅ y ( x) + x 3 y ′( x) + 4 y ( x)3 ⋅ y ′( x) = 0. Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene que 3 ⋅12 ⋅ y (1) + 13 y ′(1) + 4 y (1)3 ⋅ y ′(1) = 0. Esto es, 3 y (1) + y ′(1) + 4 y(1)3 ⋅ y ′(1) = 0, −3 y(1) −3 ⋅1 3 de donde y′(1) = 1 + 4 y(1)3 = 1 + 4 ⋅1 = − 5 . 174 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene: 6 xy + 3 x 2 y ′ + 3 x 2 y ′ + x3 y ′′ + 12 y 2 ⋅ y ′ ⋅ y ′ + 4 y 3 y ′′ = 0, 6 xy + 6 x 2 y ′ + x 3 y ′′ + 4 y 3 y ′′ + 12 y 2 ⋅ ( y ′) 2 = 0. (3) d. Como y depende de x (es decir, y(x)), se puede escribir (3) así: 6 xy ( x ) + 6 x 2 y ′( x) + x 3 y ′′( x ) + 4 y ( x )3 y ′′( x ) + 12 y ( x ) 2 ⋅ ( y ′( x)) 2 = 0. Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene que 6 ⋅1 ⋅ y (1) + 6 ⋅12 y ′(1) + 13 y ′′(1) + 4 y (1)3 ⋅ y ′′(1) + 12 y (1) 2 ⋅ ( y ′(1)) 2 = 0. Pero y (1) = 1 y y ′(1) = − 3 5 (parte b). 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ Por tanto, 6 + 6 ⎜ − ⎟ + y ′′(1) + 4 y ′′(1) + 12 ⎜ − ⎟ = 0. 5 ⎝ ⎠ ⎝ 5⎠ Esto es, 5 y ′′(1) = 18 108 168 − −6 = − , 5 25 25 168 . 125 de donde y ′′(1) = − Ejemplo 19.8 Una valla rectangular de 6 m de alta se coloca verticalmente en la parte superior de un edificio, con su base inferior a una altura de 20 m. Si un observador está a una distancia x del pie del edificio, ¿cuál es la función en términos de la variable x, que expresa el ángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a las bases superior e inferior de la valla? Solución La figura 19.1ilustra la situación planteada en el problema. Figura 19.1 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 175 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Sea x: la distancia del observador al edificio. θ : ángulo subtendido De la figura se deduce que θ = α − β . 26 26 , de donde α = tan −1 . x x Pero tan α = También, tan β = 20 20 , de donde β = tan −1 . x x En consecuencia, θ ( x) = α ( x) − β ( x). 26 20 − tan −1 es la función en términos de la variable x que expresa el x x ángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a las bases superior e inferior de la valla. Puede demostrarse fácilmente, usando derivación, que este θ ( x) = tan −1 ángulo es máximo cuando el observador se sitúa a una distancia x = 2 130 m de la base inferior del edificio. Ejemplo 19.9 Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones: a. b. c. d. g (t ) = 4 tan t , t ≥ 0. e x ⋅ cos y = x ⋅ e y . y = ( tan x ) 2cos x . 2 2 −1 −1 y = f ( x) = x ⎡ ⎣sen x ⎤ ⎦ − 2 x + 2 1 − x ⋅ sen x. Solución Si llamamos u (t ) = t , entonces u ′(t ) = Por la regla de la cadena, se tiene que a. 1 2 t , t > 0. g ′(t ) = 4 ( sec2 u (t ) ) ⋅ u ′(t ) = 4 sec2 t ⋅ b. ( ) 1 2 t = 2 t sec2 t . Derivando implícitamente con respecto a x en ambos lados de la ecuación, se tiene que Dx ( e x ⋅ cos y ) = Dx ( x ⋅ e y ) . (1) 176 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos x x x Pero Dx ( e ⋅ cos y ) = ( Dx e ) ⋅ cos y + e ⋅ Dx ( cos y ) , = e x ⋅ cos y − e x ⋅ sen y ⋅ Dx ( y ). (2) Igualmente, Dx ( x ⋅ e y ) = e y ⋅ Dx ( x) + x ⋅ Dx (e y ), = e y + x ⋅ e y ⋅ Dx ( y ). (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1), se tiene que e x ⋅ cos y − e x ⋅ sen y ⋅ Dx ( y ) = e y + x ⋅ e y ⋅ Dx ( y ), de donde Dx ( y ) = c. e x cos y − e y . e x sen y + xe y Tomando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad, obtenemos ln y = 2 cos x ⋅ ln (tan x). Derivando en ambos lados de la última igualdad con respecto a x se tiene que 1 Dx y = Dx (2 cos x) ⋅ ln (tan x) + 2 cos x ⋅ Dx (ln (tan x)), y de donde, 1 ⎛ Dx y = y ⎜ (−2sen x) ⋅ ln (tan x) + 2 cos x ⋅ ⋅ sec 2 tan x ⎝ ⎞ x⎟, ⎠ = y ( (−2sen x) ⋅ ln (tan x) + 2csc x ) , = −2(tan x)2 cos x ( sen x ⋅ ln (tan x) − csc x ) . 2 d. y′ = f ′( x) −1 −1 = Dx ( x) ⎡ ⎣sen x ⎤ ⎦ + xDx ⎡ ⎣sen x ⎤ ⎦ − 2Dx ( x) + 2Dx ( 1 − x 2 ⋅ sen −1 x + 2 1 − x 2 ⋅ Dx (sen −1 x). 2 ) ( 2 ) −1 = 1⋅ ⎡ ⎣sen x ⎤ ⎦ + x⋅2⋅ 1 1− x 2 −1 ⎡ ⎣sen x ⎤ ⎦ − 2 ⋅1 + 1 2 ⋅ (−2 x)(1 − x 2 ) 2 −1 =⎡ ⎣sen x ⎤ ⎦ + 2 − 1 2 ⋅ sen −1 x + 2 1 − x 2 ⋅ 1 1 − x2 . 2 x sen −1 x 1− x 2 −2− 2 x sen −1 x 1− x 2 −1 +2= ⎡ ⎣sen x ⎤ ⎦ . 2 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 177 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Ejemplo 19.10 Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones: a. f ( x) = 5x ⋅ 34 x . 2 b. e xy − x3 + 3 y 2 = 11. Solución a. f ′( x) = 5x ⋅ Dx (34 x ) + 34 x ⋅ Dx (5x ). 2 2 Pero Dx (34 x ) = 34 x ⋅ Dx (4 x 2 ) ⋅ ln 3 = (8 x ln 3)34 x . 2 2 2 De otro lado, Dx (5x ) = 5 x ⋅ ln 5 = (ln 5)5 x. De esta forma, f ′( x) = 5 x (8 x ⋅ ln 3)34 x + 34 x ⋅ ln 5(5 x ). 2 2 = 5x 34 x [8 x ·ln 3 + ln 5]. 2 b. Derivando implícitamente con respecto a x en ambos lados de la ecuación, se tiene que Dx (e xy − x 3 + 3 y 2 ) = Dx (11). (1) Pero Dx (e xy − x 3 + 3 y 2 ) = e xy Dx ( xy ) − 3 x 2 + 6 y ⋅ Dx ( y ), = e xy ( xy ′ + y ) − 3 x 2 + 6 yy ′. (2) (3) Igualmente, Dx (11) = 0. Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene que e xy ( xy ′ + y ) − 3 x 2 + 6 yy ′ = 0. Al destruir el paréntesis y sacar factor común y ′, se obtiene finalmente 3x2 − ye xy . xe xy + 6 y y′ = Ejemplo 19.11 Demuestre que cosh −1 x = ln ( x + x 2 − 1), siendo x ≥ 1. Solución Sea y = cosh −1 x. De acuerdo a la definición de cosh −1 x se tiene que 178 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y , y ≥ 0. Pero x = cosh y = e y + e− y e2 y + 1 = , y ≥ 0, 2 2e y igualdad que permite escribirse en la forma de la ecuación reducible a cuadrática (e y ) 2 − 2 x(e y ) + 1 = 0. Al resolver esta ecuación por la fórmula cuadrática se obtiene para ey: 2 x ± 4 x2 − 4 = x ± x 2 − 1, con y ≥ 0. 2 ey = (1) En primer lugar, como y ≥ 0, x ≥ 1 ⇒ e y ≥ e 0 = 1. Además, si x > 1 ⇒ 0 < x − 1 < x + 1, y en consecuencia x − 1 < x + 1 ⇒ x − 1 x − 1 < x − 1 x + 1. Equivalentemente, x − 1 < x 2 − 1, y de esta forma x − x2 −1 < 1. Así que, cuando x > 1, entonces x − x 2 − 1 < 1, y en consecuencia podemos descartar el signo ( − ) de la igualdad en (1), y podemos escribir: e y = x + x 2 − 1 ⇒ ln (e y ) = ln ( x + x 2 − 1) ⇔ y = ln ( x + x 2 − 1), y como y = cosh −1 x, se tiene finalmente que cosh −1 x = ln ( x + x 2 − 1). De la misma forma pueden deducirse las otras fórmulas que expresan las funciones hiperbólicas inversas en términos de logaritmos y que aparecen en la tabla 14.2. Ejemplo 19.12 Según la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto que viaja a velocidad v viene dada por (300.000 km/s). a. m y explique por qué m se llama masa en reposo. Calcule vlim →0 0 m= m0 1 − v2 c2 , donde c es la velocidad de la luz Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 179 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real b. m y discuta sus implicaciones (en otras palabras, ¿qué le ocurre Calcule vlim →c− a la masa de un objeto si éste viaja en una nave espacial a una velocidad próxima a la de la luz?). Solución a. lim m = lim v →0 v →0 m0 1− v c 2 2 = lim v →0 m0 ⋅ c c −v 2 2 = m0 ⋅ c = m0 . c b. v →c− lim m = lim − v →c m0 1− v c 2 2 = lim − v →c m0 ⋅ c → m0 c → +∞. + c2 − v2 → 0 Ejemplo 19.13 Una de las aplicaciones de las funciones hiperbólicas en el estudio del movimiento con resistencia del medio proporcional al cuadrado de la velocidad, está planteada en el siguiente problema: Supongamos que un móvil parte del reposo y cae x metros en t segundos. Sea g (constante) la aceleración de la gravedad. Puede probarse que existe una constante V tal que x(t ) = V2 g ln(cosh t ). g V a. b. c. Halle la velocidad v(t ) = v(t ) = V . Pruebe que lim t →∞ dx como función de t. dt Calcule la aceleración a (t ) = dv como función de t. dt 2 d. e. ⎛ v(t ) ⎞ Pruebe que a (t ) = g − g ⎜ ⎟ . ⎝ V ⎠ ¿Cuál es el límite de la aceleración cuando t → ∞ ? Solución v(t ) = x′(t ) = V2 ⎛ ⎛ g ⎞⎞ Dt ⎜ ln ⎜ cosh t ⎟ ⎟ , g V ⎠⎠ ⎝ ⎝ a. = V2 1 g ⎞ ⎛ Dt ⎜ cosh t ⎟ , g cosh g t ⎝ V ⎠ V V2 1 ⎛ g ⎞ ⎛g ⎞ ⎜ sen h t ⎟ ⋅ Dt ⎜ t ⎟ , g cosh g t ⎝ V ⎠ ⎝V ⎠ V = 180 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos g t V = V ⋅ tanh g t. v(t ) = V g V cosh t V senh g g g − t t t eV − e V V lim v(t ) = lim V (sección 14.3), = V lim g g t →∞ t →∞ t →∞ g − t t V V cosh t e +e V senh = V lim t →∞ b. e e g 2 t V g 2 t V −1 +1 (el límite es indeterminado de la forma ∞ ). ∞ Aplicando la regla de L´Hopital, se tiene entonces que 2g lim v(t ) = V lim g V = V . t →∞ t →∞ 2 t 2 g eV ⋅ V e ⋅ g 2 t V c. a(t ) = dv g ⎞ g ⎞ g g ⎛ ⎛ = Dt ⎜ V ⋅ tanh t ⎟ = V ⋅ ⎜ sec h2 t ⎟ ⋅ = g ⋅ sec h2 , dt V V V V ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ g ⎞ ⎛ = g ⎜1 − tanh 2 t ⎟ (teorema 4j , sección 14.3). V ⎠ ⎝ d. Ahora, de la parte a se tiene que tanh 2 g (v(t ))2 t= . V V2 v(t )2 ⎛ v(t ) ⎞ ) = g − g⎜ ⎟ . V2 ⎝ V ⎠ 2 Así que a(t ) = g (1 − e. lim a (t ) = lim g ⋅ sech 2 t →∞ t →∞ g = lim V t →∞ g cosh 2 g t V = 0, 2 puesto que cosh g t → ∞ cuando t → ∞. V Ejemplo 19.14 f ( x) = 3. f ( x) = ∞ = lim g ( x) y lim Supóngase que lim x →∞ g ( x ) x →∞ x →∞ ln f ( x) ¿Qué puede afirmarse del límite lim x →∞ ln g ( x ) ? Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 181 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Analice sus respuestas. Solución f ( x) Escribiendo a f(x) en la forma f ( x) = g ( x) ⋅ g ( x) , se tiene entonces ⎛ f ( x) ⎞ f ( x) ln f ( x) = ln ⎜ g ( x) ⋅ . ⎟ = ln g ( x) + ln g ( x) ⎠ g ( x) ⎝ Así que ln g ( x) + ln ln g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) ⎞ ⎛ ⎜ ln g ( x) ⎟ ⎟. = lim ⎜1 + x →∞ ln g ( x) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln f ( x) lim = lim x →∞ ln g ( x ) x →∞ Pero como ⎛ f ( x) f ( x) ⎞ = 3 ⇒ ln ⎜ lim ⎟ = ln 3, se sigue entonces que x →∞ g ( x ) g ( x) ⎝ ⎠ lim x →∞ ⎛ f ( x) ⎞ lim ⎜ ln ⎟ = ln 3 (teorema 2 del módulo 7), x →∞ ⎝ g ( x) ⎠ y, de esta forma, f ( x) g ( x) g ( x) = ∞ ). = 0 (ya que lim lim x →∞ x →∞ ln g ( x ) ln Por tanto, f ( x) ⎞ ⎛ ⎜ ln g ( x) ⎟ ln f ( x) ⎟ = 1 + 0 = 1. lim = lim ⎜1 + x →∞ ln g ( x ) x →∞ ln g ( x) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo 19.15 En R P Feynman, Lectures on physics (Addison-Wesley, Reading, Mass.), aparece esta observación: «Aquí está la respuesta cualitativa de qué es lo correcto en vez de hw , debe tender a kT cuando w → 0». ¿Puede usted probar ehw / kT −1 que en efecto esto se cumple? kT. Esta expresión, 182 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos Solución hw e h w kT En efecto, lim w→ 0 −1 es indeterminado de la forma 0 . 0 Aplicando la regla de L ´Hopital , se tiene que hw e h w kT lim w→ 0 = lim w→0 −1 h kT kT = lim h = 0 = kT . h h kT w w→0 kT w e e e kT Ejemplo 19.16 Evalúe los siguientes límites: x2 + 4 . x+2 x2 + 4 . x+2 a. x →−∞ lim b. x →+∞ lim Solución a. ∞ . ∞ Para eliminar la indeterminación, se dividen el numerador y el denominador por x, así: El límite es indeterminado de la forma x →−∞ lim x2 + 4 x +4 x = lim . x →−∞ 2 x+2 1+ x 2 Como x → −∞, x < 0 y se puede escribir x = − x 2 en el numerador. Luego, x2 + 4 x →−∞ lim x +4 = lim − x x →−∞ 2 x+2 1+ x 2 2 − = lim x →−∞ x2 + 4 x2 , 2 1+ x − 1+ = lim x →−∞ 4 x 2 = − 1 + 0 = −1. 2 1+ 0 1+ x b. Este límite también es indeterminado de la forma ∞ . ∞ Para eliminar la indeterminación, se dividen el numerador y el denominador nuevamente por x, y como x → +∞, se puede escribir x = x 2 en el numerador, así: Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 183 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real x2 + 4 x2 + 4 x2 + 4 2 2 x +4 x x2 , x = lim = lim = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2 2 2 x+2 1+ 1+ 1+ x x x x →+∞ lim 4 x 2 = 1 + 0 = 1. = lim x →+∞ 2 1+ 0 1+ x 1+ Ejemplo 19.17 Evalúe el siguiente límite: x →+∞ lim ( 4x2 + 2x + 1 − 2x . ) Solución El límite es indeterminado de la forma ∞ − ∞. Para eliminar la indeterminación se multiplica y se divide la expresión inicial por 4 x 2 + 2 x + 1 + 2 x, y luego se dividen el numerador y el denominador por x. Esto es, lim x →+∞ ( 4x + 2x + 1 − 2x 2 ) ( = lim x →+∞ 4 x2 + 2 x + 1 − 2 x 2 )( , 4x2 + 2x + 1 + 2x 4x + 2x + 1 + 2x 2x + 1 4x + 2x + 1 + 2x 2 ), = lim x →+∞ ( ) = lim x →+∞ 1 x . 2 4x + 2x + 1 +2 x 2+ Ahora, como x > 0, se puede escribir x = x 2 en el denominador de la última fracción. De esta manera, x →+∞ lim ( 4 x + 2 x + 1 − 2 x = lim 2 ) x →+∞ 1 1 x = . 2 2 4x + 2x + 1 +2 2 x 2+ 184 U de @ - Educación no presencial Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos Ejemplo 19.18 Evalúe los siguientes límites: a. 4 x2 − 1 . x →+∞ x 2 + 1 lim b. 4 x2 − 1 . x →−∞ x 2 + 1 lim Solución a. Al dividir numerador y denominador por x2 (mayor potencia de x), se obtiene: 4x2 1 1 4− 2 − 2 2 4x −1 x x x lim , = lim 2 = lim x →+∞ x 2 + 1 x →+∞ x x →+∞ 1 1 1 + + x2 x2 x2 2 = 4−0 = 4. 1+ 0 b. 4 x2 − 1 es una función par (sección 3.3 x2 + 1 del apéndice III), o sea f (x) = f ( − x), esto significa entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos es el mismo. Así que, Nótese que como la función f ( x) = 4x2 − 1 4x2 − 1 = lim = 4. x →−∞ x 2 + 1 x →+∞ x 2 + 1 lim Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 185 Ejercicios del capítulo 3 (módulos 9 al 19) Ejercicios propuestos 1. Use la definición de la derivada para calcular la derivada de las siguientes funciones: a. f ( x) = x . c. h ( x) = 1 1 y evalúela en x = − . x 2 b. g (t ) = t 2 . d. t ( x) = ( x2 + x + 1) . 3 2. Sea ⎧x − 4 f ( x) = ⎨ 2 ⎩x − 6 si si −1 < x ≤ 2 2< x≤5 Halle las derivadas laterales de f (x) en x = 2 y determine si f ´(2) existe. 3. Sea ⎧ x2 f ( x) = ⎨ ⎩ax + b si si x <1 x ≥1 Determine los valores de las constantes a y b para que f ´(1) exista. 4. Si f ( x) = sgn( x), pruebe que f +′(0) = +∞ y f −′(0) = −∞ (vea la definición de la función sgn (x) en la sección 3.1.1, del apéndice III). f ( x) y lim− f ( x ). Calcule xlim → 0+ x→0 5. Sea f la función definida por ⎧ g ( x) − g (a ) ⎪ f ( x) = ⎨ x − a ⎪ ⎩ g ′(a ) si si x≠a x=a Pruebe que si g´(a) existe, entonces f es continua en a. 6. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto ℜ de los números reales y tal que f (a + b) = f (a) ⋅ f (b), para todo a y b. Además, f (0) = 1 y f ′(0) existe. Pruebe que f ′( x) existe para todo x y además se cumple que f ′( x) = f ′(0) ⋅ f ( x). 186 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 9 al 19 7. Usando las reglas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones: b. g ( x) = e. m(t ) = 3 5 5 x − 4 x3 + 2 x + 2 8 2t t 3 + 2t − 4 5 2 c. g (t ) = ( t + t ) ⋅ ( 3 − 2t ) a. h( x ) = x 2 + 3 x − 1 d. t ( x) = 5x + 2x2 x3 + 1 3 ⎛ z −4 + 3 ⎞ 2 = + − g ( z ) z 2 z 1 ( ) ⎜ f. 2 ⎟ ⎝ 5− z ⎠ g. w( x) = ( x5 − 2 x + 1) j. f (t ) = 2t + 5 3−t h. s (t ) = ( 3t 4 − 5t 3 + t − 1) i. n( y ) = 5 3( y + 4 y − 2) 2 4 k. f ( x) = 3 x ⋅ 4 x 2 + 4 x + 4. m. y = 3sen 2 5 x p. y = l. y = 3sen x − 5cos x n. y = tan x sen x − cos x ll. y = sen 3x ⋅ cos 3x o. y = x 2 sen x 4 4 r. f (t ) = sen ( t + 3t ) x2 + 1 x sen x q. y = x x sen x + cos x 2 rr. g (t ) = cos ( cos ( cos t ) ) 8. Suponiendo que cada una de las siguientes ecuaciones define una función derivable y = f (x), encuentre y´ o usando derivación implícita. a. 4 x 2 + 9 y 2 = 36 d. b. xy 2 − x + 16 = 0 e. 6 x − 2 xy + xy 3 = y 2 h. cos ( xy) = y + 2 x 2 dy dx c. x 3 − 3 x 2 y + 19 xy = 0 f. xy + 3 y = 10 x y2 − 1 = y3 2 x3 3x + y 2 x + y3 g. xy + sen x = x j. xy + 2 i. y = x+ y −5 = 0 x 9. Halle y ′(1) y y ′′(1) si y (1) = 0, y además sen y = x − x 3 . 10. ⎛π ⎞ 3 Halle y ′(1) si y(1) = 1, y además tan ⎜ xy ⎟ + y + x = 3. ⎝4 ⎠ Use la definición de límites al infinito para hallar el número positvo B, conociendo f ( x) , L y ∈ en los siguientes casos: a. f ( x) = 3x + 1 ; x+2 11. L = 3; ∈ = 0.005 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 187 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real b. f ( x) = c. f ( x) = d. f ( x) = 12. 1 ; x L = 0 ; ∈ = 0.02 1 − 4 x2 ; L= 2 x2 + 5 − 2; ∈ = 0.001 x2 + 4 ; L = 1; ∈ = 0.01 x+4 Evalúe cada uno de los siguientes límites al infinito: a. xlim →+∞ c. xlim →+∞ 8 x3 − 7 x 2 + 5 x − 10 2 x3 − 5x 2 + 8 4x + 2 3 3x − 5 x + 8 b. xlim →+∞ d. lim 3x 2 + 4 1 + 2 x2 3 x →+∞ 8x6 + 5x2 + 1 x+3 e. xlim →−∞ 8− 3 x 2+ x f. lim x →+∞ 4x2 − x x2 + 9 2 x − 4 x2 − 5x g. xlim →−∞ 13. ( ) En cada uno de los ejercicios siguientes evalúe los límites infinitos y trace el comportamiento de la curva cerca del punto. 2 + x − x2 x →1 ( x − 1) 2 3x + 5 x −3 a. lim b. xlim → 3+ e. lim x →2 c. lim− x →−2 2 x2 + 1 x+2 2 d. lim + x →1 x2 x −1 2 x2 + 1 x −x−2 2 lim f. x →−1 x2 + 1 x −x−2 14. Use la regla de L’Hopital para evaluar los siguientes límites: ⎛ 1⎞ ln ⎜ 1 + ⎟ x⎠ b. lim ⎝ x →+∞ ⎛ 1⎞ ln ⎜ 1 − ⎟ ⎝ x⎠ a⎞ e. lim+ ⎛ ⎜1 + ⎟ x →∞ ⎝ x⎠ π x e y + sen y − 1 a. lim y →0 ln ( y + 1) c. lim ln (nx) ; n > 0 x →∞ x ⎛π ⎞ d. lim(1 − x) tan ⎜ x ⎟ x →1− ⎝2 ⎠ x · ln x g. xlim → 0+ ⎡ x 1 ⎤ − f. lim ⎥ + ⎢ x →1 ⎣ x − 1 ln x ⎦ π h. lim(sec θ − tan θ ) θ→ 2 i. lim(cos x) 2 x→ −x π 2 188 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 9 al 19 j. lim x→a sen x − sen a x−a k. lim (1 + ax) x ; a, k constantes x →0 k l. lim x →0 sen 2 x − x 2 (e x − 1) 2 2 (tan x) tan 2 x m. lim + x →0 n. lim x →0 eα x − e β x , α ≠β sen α x − sen β x 15. g ( x) = 1. ¿Cuál de los límites siguientes puede calcularse sin más información? Supongamos que lim f ( x) = 1 y lim x →0 x →0 Dé sus valores. ¿Cuáles no? Dé ejemplos que demuestren que tales límites no están determinados. a. lim f ( x) ⋅ g ( x) x →0 [ f ( x) + g ( x)] b. lim x→0 e. lim x →0 c. lim x →0 f ( x) g ( x) d. lim x →0 f ( x) − 1 g ( x) f ( x) − 1 g ( x) − 1 f. lim (1 − f ( x)) g ( x ) x→0 g. lim (1 − f ( x))1− g ( x ) x→0 16. El siguiente ejercicio es tomado completamente del texto Cálculo de una variable, de Claudio Pita Ruiz (Prentice Hall, 1998). ¡Descifre el mensaje! El objetivo de este último ejercicio del capítulo es asegurarnos de que estamos ya familiarizados con las fórmulas de derivación que fueron estudiadas aquí. Se pide que se conteste una pregunta que está en clave secreta. Las reglas del juego son las siguientes: a continuación se muestran unos espacios con números que deberán ser cambiados por letras. Estos números corresponden a la numeración de cada uno de 26 ejercicios que se deberán resolver, las respuestas de los cuales tienen otra numeración (por ejemplo, la respuesta correcta del ejercicio 1 es la 5). Se deben cambiar entonces todos los números que vienen en la pregunta por los de sus respuestas correctas. Una vez hecho esto, simplemente se cambian los números por las letras del alfabeto que les corresponden, según el orden estándar: A = 1, B = 2,..., Z = 26. Así, se descubrirá la pregunta secreta que se está haciendo. Ojalá y la respuesta sea SI. El mensaje es: ¿(24)(3) (3)(21)(13)(1)(18)(10)(17)(12)(22)(1) (4)(17)(1)(18) (5)(3)(12) (8)(26)(13)(6)(14)(5)(3)(12) (10)(1) (10)(1)(13)(17)(23)(3)(2)(17)(26)(18) (10)(1) (1)(12)(22)(1) (2)(3)(21)(17)(22)(14)(5)(26)? Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 189 Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real Preguntas: las funciones son f ( x) = 1. 2. sen x 1 + cos x 14. x 2 ln x 15. sen x sec2 x 16. x 4 e4 x 17. ( x 3 + 2 x ) 4 18. x − tan x 19. cos x cosh x x cos x 3. x sen x 4. x + sen x 5. sen 2 x + cos 2 x 6. sen x cos x 7. x senh x cosh x 8. x 2 + 3x + 1 9. x senh x 2 10. 1 − x x 20. (sen x + senh x ) 2 21. sen x + tan x 22. x sen x cos x 23. x (1 + x )3 3 11. x 2 (1 + x ) 2 12. sec x tan x 13. e x ln x 24. ex 1 + x2 ln x x4 25. 2 26. x + 3 x Respuestas: las derivadas de las funciones anteriores son f ´(x) = 1. x cos x + sen x 2. 1 + cos x 3. cos x − x sen x 2 x 4. − x −2 − 1 5. (1 + cos x) −1 6. 2 x + 3 7. x3 cosh x + 3x 2 senh x 8. senh x cosh x + x (senh 2 x + cosh 2 x ) 9. 4(3 x + 2)( x + 2 x ) 2 3 3 2 14. − tan x 15. 2 x + 3 −1 x 2 2 16. cos x + sec 2 x 17. 2 x 2 (1 + x ) + 2 x (1 + x) 2 18. x −1e x + e x ln x 19. sec3 x + sec x tan 2 x 20. sen x cos x + x cos 2 x 21. x + 2 x ln x 22. 3 x (1 + x ) 2 + (1 + x )3 23. 1 − 4 ln x x5 10. 2(cos x + cosh x)(sen x + senh x) 190 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 9 al 19 11. − 12. 0 13. cos 2 x cosh x sen x + cos x senh x cosh 2 x 24. (1 + 2 tan 2 x ) sec x x 2 25. e ( x − 1) ( x 2 + 1) 2 26. 4 x 3 e 4 x (1 + x) «Necesariamente vence siempre el entusiasta al apático. No es la fuerza del brazo, ni la virtud de las armas, sino la fuerza del alma la que alcanza la victoria». Johann G. Fichte Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 191 Capítulo 4 Aplicaciones de la derivada 4 Contenido breve Módulo 20 Interpretaciones geométrica y física de la derivada En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permite demostrar que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera. Módulo 21 Valores extremos de una función de variable real Módulo 22 Teorema del valor medio (TVM) para derivadas Presentación En el capítulo anterior se presentaron todas las herramientas básicas como medio para resolver una serie de problemas en los que interviene la derivada, que son de gran importancia práctica y que de otra forma no podrían ser resueltos. En este capítulo se exponen las aplicaciones más elementales e interesantes de la derivación a problemas del análisis matemático (estudio de la variación de las funciones, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y, en general, el trazado completo de curvas), de la geometría (rectas tangentes y normales), de la física (movimiento variado) y en problemas de la vida diaria en los cuales se precisa minimizar costos, obtener beneficios máximos, etc., y para ellos la teoría de la derivación proporciona información suficiente. Módulo 23 Criterio de la primera derivada Módulo 24 Criterio de la segunda derivada Módulo 25 Análisis y trazado de curvas Módulo 26 Problemas de máximos y mínimos Módulo 27 La derivada como razón de cambio Módulo 28 La diferencial Ejercicios Capítulo 4, módulos 20 al 28 20 Interpretaciones geométrica y física de la derivada Introducción El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y se remonta a la época del gran matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.). El problema de la velocidad instantánea es más reciente. Creció con los intentos de Keppler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geométrico y el otro físico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo, conducen al mismo límite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada. Si un clavadista se lanza desde una plataforma situada a S0 pies de altura con una velocidad v0 (hacia arriba), ¿cuándo llegará al agua y con qué velocidad? El modelo clásico presentado al final del módulo da la respuesta. Objetivos del módulo 1. Interpretar la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función en dicho punto. 2. Interpretar físicamente la derivada s´(t) como la velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta mediante la función s(t), que permite calcular para cada t el espacio recorrido s. 3. Interpretar s´´(t) como la aceleración de la partícula. Preguntas básicas 1. Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación y = f ( x ) = x 2 − 8, en el punto P (3, 1). 2. Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si s es la altura sobre el piso después de t segundos, puede demostrarse que la posición S como función del tiempo viene dada por S = f (t ) = −16t 2 + v0 ⋅ t + S0 . 3. Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s. a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima? b. ¿Cuál es la altura máxima? c. ¿Cuándo llega al piso? d. ¿Con qué velocidad llega al piso? e. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s? Contenidos del módulo 20.1 Interpretación geométrica de la derivada 20.2 Interpretación física de la derivada 196 U de @ - Educación no presencial Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada 20.1 Interpretación geométrica de la derivada Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo: data del gran científico griego Arquímedes (287-212 a.C.), se llama problema de las tangentes y se describe a continuación. Se da una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (figura 20.1). Figura 20.1 Sea P un punto fijo de la curva y Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces la posición límite (si existe) de la secante se denomina recta tangente a la curva en P. Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son, respectivamente, P ( c, f (c) ) , Q ( c + h, f (c + h) ) (figura 20.2), entonces la pendiente de la recta secante PQ denotada por msec PQ viene dada por f (c + h ) − f ( c ) . h msec PQ = tan α = En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical) es la recta cuya pendiente mT viene dada por mT = lim msec PQ = lim P →Q h→0 f (c + h) − f (c ) = f ′(c). h Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 197 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Vea el módulo 20 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 20.2 De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en P ( c, f (c) ) es y − f (c) = f ′(c)( x − c) (forma punto-pendiente de la recta) (sección 2.4, apéndice II). Ejemplo 20.1 Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación y = f ( x ) = x 2 − 8 en el punto P (3, 1). Solución Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (figura 20.3). Figura 20.3 198 U de @ - Educación no presencial Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada La pendiente de LT viene dada por ⎛ dy ⎞ mT = ⎜ ⎟ = f ′(3). ⎝ dx ⎠ P (3,1) 1 2 −1 2 Pero f ′( x) = 2 (2 x)( x − 8) = x x −8 2 . Así que mT = f ′(3) = 3. Usando ahora la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta (sección 2.4, apéndice II) se tiene entonces que para LT, y − 1 = 3( x − 3) ⇔ 3 x − y − 8 = 0 es la ecuación de la recta tangente. 1 Ahora, como mT ⋅ mN = −1, se deduce que mN = − . 3 Usando nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta se tiene 1 que, para LN, y − 1 = − ( x − 3) ⇔ x + 3 y − 6 = 0 es la ecuación de la recta normal. 3 Ejemplo 20.2 Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación y = f ( x ) = x 3 + 1, que es paralela a la recta de ecuación x + 12 y − 6 = 0. Solución En la figura 20.4 aparece la gráfica de la curva y de la recta dada. Figura 20.4 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 199 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Si se denota por LN la recta normal, como LN es paralela a x + 12 y − 6 = 0 se tiene que mN = − 1 . 12 Para determinar la ecuación de LN hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia. Para ello, se usa el hecho de que mT = 12 (mT: pendiente de la tangente). De otro lado, mT = f ′( x1 ) = 3x12 . Así que 3 x12 = 12 ∴ x1 = ±2. Este último resultado indica que existen dos puntos de tangencia, a saber: P1 (2, 9) y P2 ( − 2, − 7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema. Una de ellas pasa por P1 (2, 9) y tiene pendiente mN = − 1 1 . Su ecuación viene dada por y − 9 = − ( x − 2) ⇔ x + 12 y − 110 = 0. 12 12 1 . Su ecuación viene dada 12 La otra pasa por P2 ( − 2, − 7) y tiene pendiente mN = − por y − (−7) = − Ejemplo 20.3 1 ( x − (−2)) ⇔ x + 12 y + 86 = 0. 12 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 − y 2 ) en el punto (3, 1). Solución En primer lugar note que 8(32 + 12 ) 2 = 100(32 − 12 ), lo cual indica que el punto (3, 1) pertenece a la curva. ⎛ dy ⎞ Ahora, mT = ⎜ dx ⎟ . ⎝ ⎠(3,1) Para determinar Esto es, dy se usa derivación implícita en la ecuación 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 − y 2 ) . dx 16 ( x 2 + y 2 ) ⋅ ( 2 x + 2 y ⋅ y ′ ) = 100 ( 2 x − 2 yy ′ ) . 32 x 3 + 32 x 2 yy ′ + 32 xy 2 + 32 y 3 y ′ = 200 x − 200 yy ′. y ′ ( 32 x 2 y + 32 y 3 + 200 y ) = 200 x − 32 x3 − 32 xy 2 . de donde y ′ = dy 200 x − 32 x3 − 32 xy 2 . = dx 32 x 2 y + 32 y 3 + 200 y 200 U de @ - Educación no presencial Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada 200 ⋅ 3 − 32 ⋅ 33 − 32 ⋅ 3 ⋅12 600 − 864 − 96 360 ⎛ dy ⎞ m = = = =− . Por tanto, T ⎜ dx ⎟ 2 3 288 + 32 + 200 520 32 ⋅ 3 + 32 ⋅1 + 200 ⋅1 ⎝ ⎠(3,1) 9 . 13 Es decir, mT = − Así que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) viene dada por y −1 = − 9 ( x − 3) ⇔ 9 x + 13 y − 40 = 0. 13 20.2 Interpretación física de la derivada Velocidad promedio y velocidad instantánea Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre sí 100 km, en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km/h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro marcó con frecuencia lecturas diferentes de 50 km/h. Inicialmente marcó 0, a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea. Considere un ejemplo más preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto parte del reposo en caída libre, la posición S del objeto, como función del tiempo, viene dada por S = 1 6 t 2 (S en pies, t en segundos). Así, en el primer segundo cae 16 pies y en el siguiente segundo cae 16 (2)2 = 64 pies. Por tanto, en el intervalo de t = 1 s a t = 2 s, P cae (64 – 16) pies, de manera que su velocidad promedio será: V prom = 64 − 16 pies . = 48 2 −1 s En el intervalo de t = 1 s a t = 1.5 s, P cae (16 (1.5)2 – 16) pies. En consecuencia, su velocidad promedio será: V prom = 16(1.5) 2 − 16 20 pies = = 40 . 1.5 − 1 0.5 s En forma similar, en los intervalos de tiempo de t = 1 s a t = 1.1 s, y de t = 1 s a t = 1.01 s, P caerá, respectivamente, (16 (1.1)2 – 16) pies y (16 (1.01)2 – 16) pies, y sus velocidades promedio serán, respectivamente: Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 201 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Vprom = 16(1.1)2 − 16 3.36 pies = = 33.6 , 1.1 − 1 0.1 s 16(1.01)2 − 16 0.3216 pies = = 32.16 . 1.01 − 1 0.01 s Vprom = Lo que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre los intervalos de tiempo cada vez más cortos pero próximos a 1 s. Cuanto más nos aproximamos a t = 1 s, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 s. Los números 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedio, hacen «sospechar» que la velocidad instantánea es de 32 pies/s. El ejemplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptos de velocidad promedio y de velocidad instantánea. Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t). En el instante t = c, el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (figura 20.5). Por tanto, la velocidad promedio durante este intervalo es: Vprom = f (c + h ) − f ( c ) . h Y se define la velocidad instantánea V en el instante t = c así: V = lim V prom = lim h →0 h →0 f (c + h) − f (c ) = f ′(c). h Figura 20.5 202 U de @ - Educación no presencial Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada Observación Existe una distinción técnica entre las palabras velocidad y rapidez. La velocidad tiene un signo asociada a ella, es decir, puede ser positiva o negativa. La rapidez se define como el valor absoluto de la velocidad. Así por ejemplo, si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en cualquier instante t satisface la ecuación S = f (t ) = 2t 2 − 12t + 8, entonces v(t ) = dS = 4t − 12. dt Así, v(2) = −4 cm s, v(3) = 0, v(4) = 4 cm s. De esta forma, la rapidez en t = 2 s es −4 = 4cm s. El medidor de la mayoría de los automóviles es un «rapidómetro» (celerómetro) y siempre da valores no negativos. Ahora se quiere dar una interpretación física de la segunda derivada d 2S , que dt 2 mide la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, d 2 S d ⎛ dS ⎞ dv = ⎜ ⎟= y que se llama aceleración. Si la denotamos por la letra a, dt 2 dt ⎝ st ⎠ dt entonces: a= d 2 S d ⎛ dS ⎞ dv = ⎜ ⎟= . dt 2 dt ⎝ st ⎠ dt En el ejemplo anterior: S = f (t ) = 2t 2 − 12t + 8, v= a= dS = 4t − 12, dt dv = 4 cm/s 2 . dt Esto significa que la velocidad aumenta a razón constante de 4 cm/s cada segundo y escribimos 4 cm/s2. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 203 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Problemas de caída de los cuerpos Si un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si S (pies) es la altura sobre el piso después de t segundos, entonces puede demostrarse que la posición S como función del tiempo viene dada por S = f (t ) = −16t 2 + v0 t + S0 . Esto presupone que el experimento tiene lugar cerca del nivel del mar y que se desprecia la resistencia del aire. La figura 20.6 ilustra la situación. Figura 20.6 Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s. a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima? b. ¿Cuál es la altura máxima? c. ¿Con qué velocidad llega al piso? d. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s? Solución Como S0 =160 y v0 = 64, la ecuación de movimiento viene dada por S = f (t ) = −16t 2 + 64t + 160 (S: pies y t: s). (1) Así, v = a= dS = −32t + 64, dt (2) (3) dv = −32. dt 204 U de @ - Educación no presencial Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada a. El objeto alcanza la altura máxima en el instante en el cual la velocidad es cero. Así que, −32t + 64 = 0 ⇒ t = 2 s. Al sustituir en (1), se tiene que b. c. S = −16(2) 2 + 64(2) + 160 = 224 pies (altura máxima). El objeto golpea el piso cuando S = 0. Esto es, −16t 2 + 64t + 160 = 0 ⇔ t 2 − 4t − 10 = 0, de donde, t = 4 ± 16 + 40 = 2 ± 14. 2 El objeto llega al piso a los t = 2 + 14 s. Al sustituir este valor de t en (2) se obtiene v = −32(2 + 14 ) + 64 ≈ −119.73 pies s. El objeto llega al piso con una rapidez de 119.73 pies/s. d. De acuerdo a (3), la aceleración permanece constante e igual a 32 pies/s2. Esta es la aceleración de la gravedad cerca del nivel del mar. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 205 206 U de @ - Educación no presencial 21 Valores extremos de una función de variable real Introducción Joseph Louis Lagrange Se ha visto en el módulo 20 que la existencia de la derivada de una función en un punto c significa geométricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente en el punto (c, f (c)) y además mT = f ´(c). Este hecho permite determinar, entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación f’(x) = 0. Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes: f (c1) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que f (c1) es un máximo relativo de f (x). Nótese, además, que en el punto P1(c1, f (c1)) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es, f '(c1 ) = 0. Igualmente, f (c3) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c3. Así que f (c3) es otro máximo relativo de f (x). Joseph Louis Lagrange nació el 25 junio de 1736 en Turín y falleció el 10 de abril de 1813 en París. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 207 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Sin embargo, en el punto la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. f (c2) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c2. Se dice, entonces, que f (c2) es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto P2(c2, f (c2)),ocurre que f’(c2) = 0. Si se comparan ahora todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c3) es el mayor valor. A f (a) y f (c3) se les llama, respectivamente, el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b]. Los conceptos antes mencionados serán presentados aquí en forma rigurosa, así como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos. Al final se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. Objetivos del módulo 1. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo concerniente a la determinación de los extremos de una función. 2. Notar la diferencia entre un extremo relativo y un extremo absoluto. Preguntas básicas 1. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un río recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura 21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debe tender el cable para que el costo total sea mínimo? Contenidos del módulo 21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real 21.2 Extremos relativos 21.3 Extremos absolutos 208 U de @ - Educación no presencial Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real 21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real Definiciones Sea f una función de variable real y sea c ∈ D f (dominio de f). Entonces: i. f (c) es un valor máximo relativo de f si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que f (c) ≥ f ( x), para todo x ∈ I . ii. f (c) es un valor mínimo relativo de f si existe un intervalo abierto I que concontiene a c tal que f (c) ≤ f ( x), para todo x ∈ I . iii. f (c) es un valor máximo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c) ≥ f ( x), para todo x ∈ I . iv. f(c) es un valor mínimo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c) ≤ f ( x), para todo x ∈ I . A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama extremos relativos. A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama extremos absolutos. Observaciones Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo, como sucede por ejemplo con f (c3) en la función cuya gráfica aparece en la figura de la página 207. El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final del módulo garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo. Joseph Louis Lagrange Astrónomo y matemático franco-italiano, Lagrange era de ascendencia francesa, aunque nació y se crió en Italia. De niño, en el colegio, se encontró con un ensayo de Edmund Halley sobre análisis matemático y al momento decidió dedicarse a esta ciencia. La habilidad matemática de Lagrange fue reconocida por Leonhard Euler a partir de un memorando que recibió de aquél sobre el cálculo de variaciones, sobre el que el propio Euler ya había trabajado. Tan impresionado quedó Euler por esta obra, que permitió que fuera publicada antes que la suya. Lagrange aplicó su facilidad matemática a una sistematización de la mecánica, que ya había comenzado con Galileo. Utilizando el análisis de las variaciones, dedujo unas ecuaciones muy generales con las que se podían resolver todos los problemas de la mecánica. También dedujo la forma de aplicar las matemáticas a los movimientos de sistemas que influían en más de dos cuerpos, tales como el sistema Tierra-Luna-Sol y el de Júpiter con sus cuatro lunas. La revolución francesa también le dio una oportunidad de prestar un servicio a la ciencia, al recibir el encargo de dirigir una comisión que estudiara un nuevo sistema de pesos y medidas. Como resultado apareció el sistema métrico decimal, el más lógico de los sistemas de medidas que jamás se han inventado. 21.2 Extremos relativos El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable. Teorema 1: Condición necesaria para extremos relativos (f tiene un extremo relativo en x = c ⇒ f ′(c) = 0) Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f ´(c) existe. Entonces, f ´(c) = 0. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 209 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Demostración Caso 1 Si f es la función constante, el teorema es evidente. Vea el módulo 21 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Caso 2 Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c. Como f ´(c) existe, entonces, de acuerdo a la observación hecha a la definición (2) del módulo 9, f ′(c ) = lim x →c lim x →c f ( x ) − f (c ) existe, y además, x−c f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) = lim = lim = f ′(c). (1) + − x→c x →c x−c x−c x−c Siendo f (c) un máximo relativo, existe un intervalo I = (x1, x2) que contiene al punto c y tal que f (c) ≥ f ( x), para todo x ∈ I ⇔ f ( x) − f (c) ≤ 0, para todo x ∈ I . Si x → c + , entonces x − c > 0. f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) ≤ 0 ⇒ lim ≤ 0 (ejercicio propuesto 5, capítulo 1), x →c+ x−c x−c Así que ⇒ f ′(c) ≤ 0. (2) Igualmente, si x → c − , entonces x − c < 0 . f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) ≥ 0 ⇒ lim ≥ 0 (ejercicio propuesto 5, capítulo 1), − x → c x−c x−c Así que ⇒ f ′(c) ≥ 0. (3) De (2) y (3) se concluye que f ′(c) = 0. Caso 3 Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. La demostración es similar a la del caso 2 y se deja por tanto como ejercicio para el lector. Observaciones El teorema anterior significa geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c, y f ´(c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c)) es horizontal (figura 21.1a). 210 U de @ - Educación no presencial Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real Figura 21.1 El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplir que f ´(c) = 0 para algún punto c de su dominio, y sin embargo f no presenta extremos relativos en c, como sucede por ejemplo con la función f (x) = x3 (figura 21.1b). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 211 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Note que f ′( x) = 3x 2 , f ′(0) = 0, pero la función no presenta ni máximos ni mínimos relativos en el origen puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derecha f es positiva. Mas aun, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser derivable allí, como sucede por ejemplo con la función f ( x) = x (figura 21.1c) que tiene un mínimo relativo en x = 0, pero f ´(0) no existe (observación a de la sección 10.1). Definición Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c ∈ I se llama valor crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no existe. Así por ejemplo, para la función y = f ( x) = (3 x − 2) ⋅ 3 x = (3 x − 2) ⋅ x1 3 se tiene que: 1 y ′ = f ′( x) = 3 ⋅ x1 3 + (3x − 2) ⋅ x − 2 3 , 3 = 3x1 3 + 3x − 2 12 x − 2 = . 3x 2 3 3x 2 3 Los valores críticos de f son, por tanto, x = 0 y x = 1/6 (¿por qué?). 21.3 Extremos absolutos El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función. Aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están más allá del alcance de este texto. Teorema 2: Teorema de los valores extremos Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema siempre se cumple. Observación El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente: 212 U de @ - Educación no presencial Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real 1. 2. 3. Se determinan los valores críticos c1, c2, c3, ...,cn de f (resolviendo f ′( x) = 0, o donde f ´(x) no existe). Se calcula f (a) y f (b). Máximo absoluto de f = max { f (a), f (b), f (c1 ), f (c2 ),..., f (cn )} . Mínimo absoluto de f = min { f (a), f (b), f (c1 ), f (c2 ),..., f (cn )} . Ejemplo 22.1 Determine, si existen, los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16 en el intervalo [–3, 2]. Solución Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada por el teorema 2. Para determinarlos se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo teorema. Considere los valores críticos por medio de la derivada f ′( x ) = 4 x 3 − 16 x = 0 ⇔ 4 x ( x − 2)( x + 2) = 0 ⇒ x = 0, x = 2, x = −2 son los únicos valores críticos. Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: f (−3), f (2), f (0) y f (−2), f ( −3) = ( −3) 4 − 8(−3) 2 + 16 = 81 − 72 + 16 = 25, f (2) = 24 − 8 ⋅ 22 + 16 = 16 − 32 + 16 = 0, f (0) = 04 − 8 ⋅ 02 + 16 = 16, f (−2) = ( −2) 4 − 8(−2) 2 + 16 = 16 − 32 + 16 = 0. Máximo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 3) = 25. Mínimo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 2) = f (2) = 0. Ejemplo 21.2 Determine, si existen, los extremos absolutos de la función f ( x ) = 1 − ( x − 3) 2 3 en el intervalo [–5, 4]. Solución La continuidad de f en el intervalo [–5, 4] garantiza la existencia de extremos absolutos de f en dicho intervalo. Se deben determinar primero los valores críticos por medio de la derivada Escuche el audio Lagrange, un genio amable en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 213 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Cuidado con los valores extremos f ′( x) = El deseado máximo o mínimo ocurre siempre en el número crítico. Tal vez esté pensando que cuando sólo hay un número crítico es inútil comparar el valor con él los valores extremos del intervalo. Por desgracia, eso no es siempre cierto. En 1945, dos prestigiosos ingenieros aeronáuticos dedujeron una función como modelo del alcance de un avión. Su intención era usarla para maximizar el alcance. Encontraron un número crítico (correspondiente a repartir todo el peso del avión en las alas) y argumentaron que debía dar el máximo alcance. El resultado fue el famoso avión «Flying wing». Años más tarde se vio que ese número crítico correspondía a un mínimo de la función alcance. En defensa de los ingenieros hay que decir que no disponían de las técnicas de cálculo actuales. Curiosamente, ese diseño recuerda mucho al bombardero B-2 Stealth. Esta historia salió a la luz con motivo de la construcción del B-2. La moraleja es evidente: compruebe los valores de la función en los números críticos y en los extremos del intervalo. No acepte, por supuesto, aun cuando haya un solo número crítico, que el número crítico proporciona el máximo o el mínimo que está buscando. −2 . 3( x − 3)1 3 El único valor crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe (note que f ´(x) = 0 carece de solución). Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: f (−5), f (4) y f (3), f (−5) = 1 − (−5 − 3) 2 3 = 1 − (−8) 2 3 = −3, f (4) = 1 − (4 − 3) 2 3 = 1 − 1 = 0, f (3) = 1 − (3 − 3) 2 3 = 1 − 0 = 1. Máximo absoluto de f en [–5, 4] es f (3) = 1. Mínimo absoluto de f en [–5, 4] es f (–5) = –3. Ejemplo 21.3 Considere la función f definida por ⎧3x − 4 f ( x) = ⎨ 2 ⎩x − 2 si si −3 ≤ x <1 1≤ x ≤ 3 Determine los extremos absolutos de f (si existen ) en el intervalo [–3,3]. Solución La función es continua en todos los puntos del intervalo [–3,3] (verifique). Por el teorema 2, f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Para determinarlos se consideran primero los valores críticos de f. La función derivada f ´(x) viene dada por: ⎧3 si f '( x) = ⎨ ⎩ 2 x si −3 ≤ x <1 1≤ x ≤ 3 Puesto que f −′(1) = 3 y f +′(1) = 2, la derivada no existe en x = 1 y por tanto corresponde a un valor crítico de f. De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuencia, el único valor crítico de f es x = 1. Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores: f (1), f (−3) y f (3), f (1) = 12 − 2 = −1, f (−3) = 3(−3) − 4 = −13, f (3) = 32 − 2 = 7. 214 U de @ - Educación no presencial Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real Máximo absoluto de f en [–3, 3] es f (3) = 7. Mínimo absoluto de f en [–3,3] es f (–3) = –13. Ejemplo 21.4 Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un río recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura 21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo? Figura 21.2 Solución Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable bajo el agua. Se pueden definir ahora las constantes y variables del problema: x: y: 600 – x: k (constante): 5 k (constante): 4 P: distancia de B a Q; 0 ≤ x ≤ 600. distancia de A a Q (longitud de cable bajo el agua). distancia de Q a D (longitud de cable por tierra). costo por metro de cable por tierra. costo por metro de cable bajo el agua. costo total (función a minimizar). (1) De acuerdo al teorema de Pitágoras, y = x 2 + 3002 . Ahora, la función costo total viene dada por ⎛5 ⎞ C = ⎜ k ⎟ y + k (600 − x). ⎝4 ⎠ (2) Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos solamente de la variable x, así: C ( x) = 5 k x 2 + 3002 + k (600 − x), con 0 ≤ x ≤ 600 (dominio de C (x)), 4 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 215 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada C ( x) = 5 k ( x 2 + 3002 )1 2 + k (600 − x). 4 (3) Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [0, 600]. Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos de C (x): C ′( x) = −1 2 5 1 k ⋅ (2 x) ( x 2 + 3002 ) − k = 0, 4 2 ⎡ ⎤ 5x ⎥ = 0, ⇒k⎢ − 1 ⎢ 4 ( x 2 + 3002 )1 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 5x ⎥ = 0 (puesto que k ≠ 0), ⇒⎢ − 1 ⎢ 4 ( x 2 + 3002 )1 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⇒ 5 x − 4 x 2 + 300 2 = 0, ⇒ 4 x 2 + 3002 = 5 x. De donde x = 400. De modo que x = 400 es el único valor crítico de C (x), y de acuerdo al criterio de la segunda derivada (teorema 2, sección 24.3) corresponde a un mínimo relativo (verifíquelo). En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entre los siguientes valores: C (0), C (400) y C (600). C (0) = 5 k 3002 + 600k = 975k . 4 Esto significa, geométricamente, que si el cable se tira desde A hasta B bajo el agua y desde B hasta D por tierra, demanda un gasto de 975k pesos (figura 21.3a). 216 U de @ - Educación no presencial Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real Figura 21.3 C (600) = 5 k 6002 + 3002 = 375 5 ⋅ k ≈ 838.5k . 4 Esto indica, geométricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso el cable se tiende directamente desde A hasta D bajo el agua, demandando un gasto total de 375 5 · k ≈ 838.5k pesos (figura 21.3b). 5 k 4002 + 3002 + 200k = 825k . 4 C (400) = Esto significa que si el punto Q está a 400 m de B y se tiende el cable bajo el agua desde A hasta Q y por tierra desde Q hasta D, demandaría un gasto de 825k pesos, menor, para la compañía, que los dos anteriores (figura 21.3c). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 217 218 U de @ - Educación no presencial 22 Teorema del valor medio (TVM) para derivadas Introducción Michel Rolle Los dos teoremas básicos que constituyen este módulo tienen más importancia teórica que práctica. En lo sucesivo, frecuentemente se usa la frase «…de acuerdo al teorema del valor medio…». En nuestro caso particular, el TVM será usado en los dos próximos módulos para demostrar los teoremas básicos concernientes al estudio de la variación de las funciones, máximos y mínimos, concavidad y puntos de inflexión. Michel Rolle nació en Ambert, Basse-Auvergne (Francia), el 21 de abril de 1652 y murió en París el 8 de noviembre de 1719. Objetivos del módulo 1. Conocer los dos teoremas básicos para la demostración de los criterios de la primera y la segunda derivadas. 2. Relacionar el teorema del valor medio con la interpretación física de la derivada. Preguntas básicas 1. Frecuentemente en nuestras carreteras encontramos el siguiente aviso: «Velocidad máxima: 60 km/h». Un conductor de un vehículo recorre 130 km en dos horas. Al ser detenido por un guardia de tránsito, el conductor afirmó que nunca excedió la velocidad permitida. ¿Cree usted que el conductor dijo la verdad? 2. En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. a. ¿Fueron sus velocidades iguales en algún instante de la carrera? b. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma velocidad, ¿fueron sus aceleraciones iguales en algún instante de la carrera? Contenidos del módulo 22.1 Teorema de Rolle 22.2 Teorema del valor medio para derivadas 22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 219 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 22.1 Teorema de Rolle En la figura 22.1 se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] , f (a ) = f (b) = 0 y además f ′( x ) existe (no tiene picos) en todos los puntos del intervalo (a, b). Vea el módulo 22 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 22.1 Intuitivamente puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva de abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela al eje x). Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado teorema de Rolle, que se enuncia sin demostración. Teorema de Rolle Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b). c. f (a) = f (b). Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0. El siguiente teorema, que se enuncia y se demuestra a continuación, es una generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio para derivadas. 22.2 Teorema del valor medio para derivadas Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b). Por tanto, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f (b ) − f ( a ) . b−a 220 U de @ - Educación no presencial Módulo 22: Teorema del valor medio (TVM) para derivadas Antes de ver la demostración del teorema, analicemos su significado geométrico. En la figura 22.2 se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del teorema del valor medio (TVM). Figura 22.2 f (b ) − f ( a ) es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por b−a los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teorema así: existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b), tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es f ´(c) es paralela a la recta secante AB. El término Demostración Usando la forma dos-puntos de la ecuación de la recta (sección 2.4, apéndice II), se deduce para la recta secante la ecuación: y − f (a) = f (b) − f (a) ( x − a), b−a f (b) − f (a ) ( x − a ). b−a de donde y = f (a ) + Defínase ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto ( x, f ( x)) sobre la curva y el correspondiente ( x, y ) sobre la secante AB (segmento d de la figura 22.2). Así que: F ( x) = f ( x) − y, Michel Rolle De formación autodidacta, Michel Rolle publicó un Tratado de álgebra (1690) en que expuso un método de resolución de determinados tipos de ecuaciones. Mantuvo una viva polémica con diversos matemáticos sobre los principios del cálculo diferencial. Es conocido por un teorema que lleva su nombre: «Teorema de Rolle». f (b) − f (a) ⎡ ⎤ ( x − a) ⎥ . = f ( x) − ⎢ f (a ) + b−a ⎣ ⎦ Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 221 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada f (b) − f (a) (1) ( x − a). b−a La función F (x) así definida satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [a, b]. Esto es, F ( x) = f ( x) − f ( a) − En efecto: a. b. F ( x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] (¿por qué?). F ( x) es derivable en el intervalo abierto (a, b) (¿por qué?). f (b) − f (a) . b−a Además, F ′( x) = f ′( x) − (2) c. Finalmente, F (a ) = f (a ) − f ( a ) − f (b) − f (a ) ( a − a ) = 0, b−a F (b) = f (b) − f (a) − [ f (b) − f (a)] (b − a) = 0. b−a En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) tal que F ′(c) = 0. f (b) − f (a) . b−a Pero, de acuerdo a (2), F ′(c) = f ′(c) − Por tanto, f ′(c) − f (b) − f (a) = 0, b−a f (b) − f (a) , que era lo que se quería demostrar. b−a lo cual implica que f ′(c) = Estos dos teoremas son de gran importancia teórica y práctica, como lo ilustran los ejemplos siguientes y las demostraciones de los teoremas del módulo 23. 22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio Ejemplo 22.1 Analice si f ( x ) = x 3 − 5 x 2 − 3 x satisface las hipótesis del TVM para derivadas en el intervalo [1, 3] y, en caso afirmativo, determine el valor(es) de c que satisface la conclusión. 222 U de @ - Educación no presencial Módulo 22: Teorema del valor medio (TVM) para derivadas Solución a. b. f ( x ) = x 3 − 5 x 2 − 3 x es continua en [1, 3] (¿por qué?). f ′( x ) = 3 x 2 − 10 x − 3 ⇒ f es derivable en (1, 3) (¿por qué?). Como f cumple la hipótesis del TVM, entonces existe por lo menos un c ∈ (1, 3) tal que f ′(c) = f (3) − f (1) . 3 −1 Pero f ′(c ) = 3c 2 − 10c − 3; f (3) = 33 − 5 ⋅ 32 − 3 ⋅ 3 = −27; f (1) = 1 − 5 − 3 = −7. −27 − ( −7) = −10. 3 −1 Así que 3c 2 − 10c − 3 = Por tanto, 3c 2 − 10 c + 7 = 0 ⇔ (3c − 7)( c − 1) = 0, de donde c = 7 3, c = 1. De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1, 3) es c = 7 3, que es la única solución buscada. Ejemplo 22.2 Para la función f ( x ) = x 2 3 estudie las condiciones del TVM para derivadas en el intervalo [–2, 2]. Solución a. Claramente la función es continua en [–2, 2]. f ′( x ) = 2 −1 3 2 x = 1 3 no existe en el punto x = 0. 3 3x b. Por consiguiente, no se cumple la condición b del teorema, y, en consecuencia, no puede garantizarse la existencia del punto c. 13 13 Ahora, f (b) − f (a) = 4 − 4 = 0, y como f ′( x) = 2 , no se anula para 3x1 3 b−a 4 ningún valor real de x. Entonces, la igualdad f ′(c) = f (b ) − f ( a ) b−a no se cumplirá en ningún c en (–2, 2). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 223 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Ejemplo 22.3 a. Demuestre que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces la función es constante en dicho intervalo. Use la parte a para demostrar que f (x) = sec2 x – tan2 x es constante. Hállese el valor de dicha constante. b. Solución a. Note en primer lugar que f satisface las hipótesis del TVM (¿por qué?). Ahora, sean x1 , x2 dos puntos cualesquiera del intervalo [a, b] y sea f la función. Para probar la parte a es suficiente probar que f ( x1 ) = f ( x2 ), lo cual obliga a deducir que la función sea constante. Según el TVM, existe un número c entre x1 y x2 tal que f ′(c) = f ( x2 ) − f ( x1 ) , x2 − x1 y como f ′(c) = 0, se concluye que f ( x2 ) = f ( x1 ) . Una consecuencia inmediata de la parte a es la siguiente: Si f ′( x) = g ′( x) para todo x ∈ [ a, b ] , entonces f ( x) = g ( x) + C. Lo anterior se expresa en palabras diciendo que si las derivadas de dos funciones coinciden, entonces las funciones difieren en una constante. b. f ′( x) = 2sec x ⋅ (sec x ⋅ tan x) − 2 tan x(sec 2 x), f ′( x) = 2sec 2 x ⋅ tan x − 2sec 2 x ⋅ tan x = 0. Como f ′( x) = 0, se sigue de la parte a que f (x) es una función constante. Para hallar el valor de la constante basta evaluar la función en algún número específico, el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo x = π 3. Se tiene entonces que f (π 3) = (sec π 3)2 − (tan π 3)2 = 22 − ( 3) 2 = 1. En consecuencia, sec2 x − tan 2 x = 1 para todo x (x en el dominio común de la secante y la tangente). Este resultado no debe sorprender puesto que 1 + tan 2 x = sec 2 x es una identidad trigonométrica conocida. 224 U de @ - Educación no presencial Módulo 22: Teorema del valor medio (TVM) para derivadas Ejemplo 22.4 En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. a. b. Demuestre que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma velocidad, demuestre que sus aceleraciones fueron iguales en algún instante de la carrera. Solución a. Sea s (t) la diferencia de las distancias entre el auto A y el auto B en cualquier tiempo t durante la carrera. Entonces, s ′(t ) es la diferencia en las velocidades. Ahora, si t0 y t1 son los tiempos en los cuales comienza y termina la carrera, se tiene que, de acuerdo al enunciado del problema, s (t0 ) = s (t1 ) = 0. s (t1 ) − s (t0 ) = s ′(c) para algún c ∈ (t0 , t1 ). t1 − t0 (1) Por el TVM, (2) De (1) y ( 2 ) se deduce que s ′(c ) = 0 (la diferencia de las velocidades es cero en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera. b. En forma similar, si v(t) denota la diferencia de las velocidades entre el auto A y el auto B en cualquier tiempo t durante la carrera, entonces v´(t) denota la diferencia entre sus aceleraciones. Ahora, si t1 es el tiempo en el cual los autos tienen la misma velocidad, y t2 el tiempo en el cual finaliza la carrera, se tiene que v(t2 ) = v(t1 ) = 0. v(t2 ) − v(t1 ) = v′(c) para algún c ∈ (t2 , t1 ). t2 − t1 (1) Por el TVM, (2) De (1) y ( 2 ) se deduce que a (t ) = v′(c) = 0 (la diferencia de las aceleraciones es cero en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las aceleraciones fueron iguales en algún instante de la carrera. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 225 226 U de @ - Educación no presencial 23 Criterio de la primera derivada Introducción La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino también para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva. Una foto estroboscópica nos muestra cómo las distancias recorridas en intervalos de tiempo iguales varían según la altura a que se halla la bola. Esta variación de la velocidad –propiamente la velocidad de la velocidad– es, matemáticamente, una derivada: se llama aceleración. Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica aparece en la figura anterior, se puede notar que: 1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, o en sentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la función es creciente en el intervalo [a, b]; y entre b y c la curva es descendente, en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c]. 2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o, lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal. 3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por tanto su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q, que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente, y por tanto la primera derivada, es negativa. Estas ideas que se acaban de comentar serán justificadas por medio de las definiciones dadas y del teorema del valor medio presentado anteriormente. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 227 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Objetivos del módulo 1. Establecer, usando la primera derivada, los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de una curva. 2. Usar la primera derivada para determinar dónde ocurren y cuáles son los extremos relativos de una función. Preguntas básicas 1. El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégrafo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades p y (1 – p), se define como H ( p) = − p ⋅ ln p − (1 − p ) ln(1 − p), donde 0 < p < 1. Pruebe que H(p) tiene un máximo en (El significado práctico de este hecho es que, para lograr el máximo flujo de información por unidad de tiempo, los dos valores deben aparecer, como promedio, en igual proporción.) Contenidos del módulo 23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimiento y decrecimiento 23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremos relativos p= 228 U de @ - Educación no presencial Módulo 23: Criterio de la primera derivada 23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimiento y decrecimiento Como aplicación inmediata del TVM se prueba un primer teorema que permite determinar los intervalos en los que crece y decrece una curva conociendo el signo de su primera derivada. Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b). a. b. Si para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente en [a, b]. Si f ′( x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. Demostración a. Sean x1 , x2 dos puntos de [a, b] tales que x 1 < x 2 . Basta demostrar que f (x2) > f (x1). Evidentemente, f es continua en [x1, x2] y f es derivable en (x1, x2). En consecuencia, por el TVM existe por lo menos un punto c ∈ ( x1 , x2 ) tal que f ′(c) = f ( x2 ) − f ( x1 ) . x2 − x1 (1) f ′( x) > 0 De x1 < x2 se deduce que x2 − x1 > 0, y como por hipótesis f ´(c) > 0, se deduce de (1) que f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(c) ⋅ ( x2 − x1 ) > 0. Por tanto, f ( x2 ) > f ( x1 ) y f es creciente en [a, b]. b. Se demuestra de manera similar. Observación El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera derivada, así: donde f ′( x) > 0 (derivada positiva), f (x) es creciente; donde f ′( x) < 0 (derivada negativa), f (x) es decreciente. El siguiente teorema permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 229 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremos relativos Vea el módulo 23 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Sea f una función continua en un intervalo I, y sean a, b, c puntos de I, tales que a < c < b y c un valor crítico de f ( f ′(c) = 0, o f ′(c) no existe). Entonces: a. Si f ′( x) > 0 para todo x en (a, c) y f ′( x) < 0 para todo x en (c, b), f (c) es un máximo relativo (figura 23.1a, figura 23.1b). Si f ′( x) < 0 para todo x en (a, c) y f ′( x) > 0 para todo x en (c, b), f (c) es un mínimo relativo (figura 23.1c, figura 23.1e). Si f ′( x) > 0 para todo x en (a, c) y f '( x) > 0 para todo x en (c, b), f (c) no es un extremo relativo (figura 23.1d). Si f ′( x) < 0 para todo x en (a, c) y f ′( x) < 0 para todo x en (c, b), f (c) no es un extremo relativo (figura 23.1f). b. c. d. 230 U de @ - Educación no presencial Módulo 23: Criterio de la primera derivada Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 231 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Figura 23.1 Demostración a. Si f ′( x) > 0 en (a, c), se tiene por el teorema 1 que f es creciente; en consecuencia, para todo x tal que a < x < c se tiene que f (x) < f (c). (1) Ahora, como f ′( x) < 0 en (c, b), entonces f es decreciente (teorema 1) y, de esta forma, para todo x tal que c < x < b se cumple que f (c) > f (x). (2) De (1) y (2) se concluye que f (c) > f (x) para todo x en (a, b) y esto significa que f (c) es un máximo relativo. b. Esta demostración es similar a la parte a. 232 U de @ - Educación no presencial Módulo 23: Criterio de la primera derivada c. Si f ′( x) > 0 en (a, c) y f ′( x) > 0 en (c, b), entonces por el teorema 1 se tiene que f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b), de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo. Esta demostración es similar a la parte c. d. Observación En el lenguaje corriente, las partes a y b del teorema 2 se expresan, respectivamente, en la siguiente forma: Si la derivada pasa de positiva a negativa, el valor crítico corresponde a un máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el valor crítico corresponde a un mínimo relativo. En los ejemplos resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para la gráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, así como también los extremos relativos. Para ello se explica el método gráfico que es mucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica en el inicio del módulo. Ejemplo 23.1 El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégrafo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades p y (1 − p), se define como: H ( p) = − p · ln p − (1 − p) ·ln (1 − p), donde 0 < p < 1. 1 Pruebe que H (p) tiene un máximo en p = . 2 Solución H ′( p ) = −1 · ln p − p · ⎛ −1 ⎞ 1 1− p . − ⎜ − ln(1 − p ) + (1 − p) · ⎟ = ln 1 p − p p ⎝ ⎠ De esta manera, H ′( p ) = ln 1− p 1− p 1 =0 ⇔ = e0 = 1 ⇔ p = es el único valor crítico. p p 2 1− p , p Para analizar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta el signo de dependiendo de que 0 < p < 1 Si 0 < p < , entonces 2 1 1 , o < p < 1. 2 2 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 233 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 1 > 2 p ⇔ 1 > p + p ⇔ 1− p > p ⇔ 1− p > 1, p y, en consecuencia, H ′( p) = ln 1− p > 0, lo que indica, de acuerdo al teorema 1, que p 1 < p < 1, entonces 2 la función H (p) es creciente en dicho intervalo. Si 1 < 2 p ⇔ 1 < p + p ⇔ 1− p < p ⇔ 1− p < 1, p y, en consecuencia, H ′( p ) = ln 1− p < 0, 1 lo que indica, de acuerdo al teorema 1, p que la función H (p) es decreciente en dicho intervalo. Como la derivada pasa de positiva a negativa en p = 1 2, el teorema 2 garantiza que en p = 1 2 la función H (p) tiene un máximo relativo. 234 U de @ - Educación no presencial 24 Criterio de la segunda derivada Introducción Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen) se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Como vimos en el módulo 23, la monotonía de una curva coincide con el signo de la primera derivada; igualmente, como veremos ahora, la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada. Completaremos de esta forma todos los elementos teóricos necesarios para el trazado de una curva con todos sus elementos, lo cual será el objetivo principal del módulo 25. Un avión comienza a descender desde una milla de altura y situado a cuatro millas de la pista. Es posible determinar una función polinómica p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d que describe la trayectoria suave del aterrizaje. Objetivos del módulo 1. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extremos relativos de una función. 2. Usar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad de una curva y dónde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexión. 3. Completar los elementos teóricos necesarios para el trazado de curvas. Preguntas básicas 1. Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x), y G ( x) = ln g ( x). a. b. c. d. e. Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente? Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f + g) lo es? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f · g) lo es? Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln ( f · g) lo es? Analice sus respuestas. Contenidos del módulo 24.1 Concavidad y puntos de inflexión 24.2 Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad 24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 235 236 U de @ - Educación no presencial Módulo 24: Criterio de la segunda derivada 24.1 Concavidad y puntos de inflexión Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la función f cuya gráfica aparece en la figura 24.1. Note que la curva que f representa tiene tangente en todos sus puntos. Figura 24.1 Se observa que en los puntos «cercanos» a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por «debajo» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1. Igualmente se observa que en los puntos «cercanos» a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por «encima» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad «cambia» se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva. A pesar de que las ideas que se acaban de presentar son más de carácter visual que analítico, éstas pueden demostrarse analíticamente utilizando el teorema del valor medio para derivadas y el criterio de monotonía (vea el ejemplo 1 de este mismo módulo). Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: Definiciones Sea f una función derivable en un punto c. i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c, se cumple que Z ( x) = N f ( x) − f ′(c)( x − c) − f (c) > 0 (figura 24.2a). y y c t Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 237 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Vea el módulo 24 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 24.2 yc: y de la curva; yt : y de la tangente. ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c, se cumple que Z ( x) = f ( x) − f ′(c)( x − c) − f (c) < 0 (figura 24.2b). iii. iv. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos (a, c) y (c, b). Se usará el símbolo ∪ para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva. Igualmente, se empleará el símbolo ∩ para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa. 238 U de @ - Educación no presencial Módulo 24: Criterio de la segunda derivada El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo. 24.2 Teorema1: Criterio de la segunda derivada para concavidad Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: i. ii. Si f ′′( x) > 0 para todo x ∈ I , f es cóncava hacia arriba en I. Si f ′′( x) < 0 para todo x ∈ I , f es cóncava hacia abajo en I. Observaciones 1. En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el signo de la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada. 2. En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión; en este caso, simplemente se dice que «hay inflexión» sin existir punto de inflexión. La gráfica de la figura 24.3 indica esta posibilidad. Allí se muestran inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada. Figura 24.3 Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. Como es de suponer, los puntos para los cuales f ′′( x) = 0 o f ′′( x) no existe, son «candidatos» viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función se cumpla que f ′′(c) = 0, y sin embargo el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión. Considere, por ejemplo, la función definida por f (x) = x4, cuya gráfica aparece en la figura 24.4. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial Escuche el audio Un problema para detectives en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. 239 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Figura 24.4 Como f ( x ) = x 4 , f ′( x) = 4 x 3 , f ′′( x) = 12 x 2 . Para c = 0, f ′′(0) = 12 · (0) 2 = 0. Sin embargo, el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, f ′′(0) > 0, y no cambia la concavidad de la curva. A continuación se enuncia, sin demostración, un teorema conocido como el criterio de la segunda derivada para extremos relativos, el cual permite, en algunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. 24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, y sea c un punto de I, tal que f ′(c) = 0. Entonces: i. ii. Si f ′′(c) < 0, entonces f presenta un máximo relativo en c. Si f ′′(c) > 0, entonces f presenta un mínimo relativo en c. Observación Si f ′′(c) = 0, entonces la naturaleza del valor crítico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos: La función f (x) = x4 satisface f ′(0) = 0 y f ′′(0) = 0. Sin embargo, f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0 (figura 24.5a). 240 U de @ - Educación no presencial Módulo 24: Criterio de la segunda derivada Igualmente, la función g (x) = − x4 satisface g ′(0) = 0 y g ′′(0) = 0. Sin embargo, g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (figura 24.5b). También la función h (x) = x3 satisface h′(0) = 0 y h′′(0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (figura 24.5c). Figura 24.5 El teorema 2 tiene mayor utilidad en los problemas de optimización en los cuales, para un valor crítico dado, se analiza si corresponde a un máximo o mínimo relativo, sin determinar los cambios de signo de la primera derivada. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 241 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada En los ejercicios resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para la gráfica de una función dada los intervalos de concavidad, así como también los posibles puntos de inflexión. Para ello se explica el método gráfico que es mucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica en el inicio del módulo. Ejemplo 24.1 Utilice el TVM para probar que la gráfica de una función f cóncava hacia arriba siempre está por encima de su recta tangente, es decir, demostrar que: f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), siempre que x ≠ c. Solución Caso 1: Supongamos que x > c. f ( x ) − f (c ) = f ′( a ), para algún a ∈ (c, x ). x−c Por el TVM, De aquí, f ( x) − f (c) = f ′( a)( x − c), para algún a ∈ (c, x). (1) Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f ′′ > 0 ⇔ ( f ′)′ > 0, y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ´es creciente en el intervalo (c, x). Es decir, c < a < x ⇒ f ′(a) > f ′(c). (2 ) De (1) y (2) se deduce entonces que f ( x) − f (c) = f ′(a )( x − c) > f ′(c)( x − c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), para x > c. Caso 2: Supongamos que x < c. f (c ) − f ( x ) = f ′(a ), para algún a ∈ ( x, c ). c−x Por el TVM, De aquí, f (c) − f ( x) = f ′(a )(c − x), para algún a ∈ ( x, c). (1) Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f ′′ > 0 ⇔ ( f ′)′ > 0, y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ´es creciente en el intervalo ( x, c). Es decir, x < a < c ⇒ f ′(c) > f ′(a). (2 ) 242 U de @ - Educación no presencial Módulo 24: Criterio de la segunda derivada De (1) y (2) se deduce que f (c) − f ( x) = f ′(a )(c − x) < f ′(c)(c − x). Es decir, − f ( x) < − f (c) + f ′(c)(c − x) ⇔ f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c) para x < c. En consecuencia, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), siempre que x ≠ c. Ejemplo 24.2 Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x) y G ( x) = ln g ( x). a. b. c. d. e. Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente? Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f + g) lo es? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f ⋅ g) lo es? Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln (f ⋅ g) lo es? Solución a. La pregunta puede formularse de la siguiente manera: ¿Si F ′′( x) > 0, entonces f ′′( x) > 0? f ′( x) En primer lugar, si F ( x) = ln f ( x), entonces F ′( x) = f ( x) , y F ′′( x ) = f ′′( x) f ( x) − ( f ′( x)) 2 . f ( x) 2 F ′′( x) > 0 ⇔ f ′′( x) f ( x) − ( f ′( x)) 2 > 0, f ( x) 2 ⇒ f ′′ ⋅ f − ( f ′) 2 > 0 (puesto que el denominador siempre es positivo), ⇒ f ′′ > ( f ′)´2 > 0 (puesto que ( f ′) 2 > 0 y f > 0), f ⇒ f es cóncava hacia arriba. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 243 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada b. No necesariamente. Considere por ejemplo la función f ( x ) = x 2 definida en el intervalo (1, 2). f ( x) > 0, para todo x ∈ (1, 2). 2 −2 y F ′′( x) = 2 < 0, lo que indica que x x Como F ( x ) = ln x 2 , entonces F ′( x) = F es cóncava hacia abajo. c. Como f es cóncava hacia arriba, entonces f ′′( x) > 0. Como g es cóncava hacia arriba, entonces g ′′( x) > 0. De otro lado, ( f + g )′′ = f ′′ + g ′′ > 0, lo que indica que (f + g) es cóncava hacia arriba. d. No necesariamente. Considere por ejemplo las funciones f ( x ) = x 2 y g (x) = (1 − x)2, definidas en el intervalo (0, 1), f ′( x) = 2 x, f ′′( x) = 2 > 0, lo que indica que f es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, 1). También, g ′( x) = −2(1 − x), g ′′( x) = 2 > 0, lo que indica que g es cóncava hacia arriba en el intervalo (0 , 1). De otro lado, si H ( x ) = ( f ⋅ g )( x ) = x 2 (1 − x ) 2 = x 2 − 2 x 3 + x 4 , H ′( x ) = 2 x − 6 x 2 + 4 x 3 , H ′′( x) = 2 − 12 x + 12 x 2 , ⎛1⎞ H ′′ ⎜ ⎟ = 2 − 6 + 3 = −1 < 0, ⎝2⎠ 1 lo que indica que es cóncava negativa en las cercanías de x = . 2 e. Sea H ( x) = ln ( f ⋅ g )( x) = ln f ( x) + ln g ( x) = F ( x) + G ( x). Por tanto, H ′′( x) = F ′′( x) + G ′′( x), y como por hipótesis F ′′( x) > 0, G′′( x) > 0, se sigue que H ′′( x) > 0, lo que indica que H ( x) = F ( x) + G ( x) es cóncava hacia arriba. 244 U de @ - Educación no presencial 25 Análisis y trazado de curvas Introducción El tratamiento que se ha dado a la graficación de funciones ha sido casi elemental. En la mayoría de los casos, las gráficas indicadas corresponden a funciones conocidas: polinómicas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, etc., cuyo trazo se ha hecho marcando un número suficiente de puntos que las caracterizan. Sin embargo, si la ecuación que se quiere graficar es complicada o se quiere de la misma una gráfica más precisa, esa técnica sería inadecuada. Por esta razón, los elementos del cálculo vistos hasta ahora (límite, continuidad y derivada) se convierten en una poderosa herramienta para trazar una curva con todos sus elementos. El objetivo básico de este módulo es incluir todas estas ideas en el proceso de graficación. La reputación histórica de Maria Agnesi fue distorsionada por el hecho de que en sus Instituzioni analitiche trabajara con la «cúbica de Agnesi» o curva sinusoidal versa (versiera en italiano), que se tradujo al inglés, por un error del traductor, Colson, como la «bruja de Agnesi» (Colson tradujo el término versiera por witch, la palabra inglesa que significa «bruja»). Objetivos del módulo 1. Incluir los temas vistos hasta ahora del cálculo en el proceso de graficación. 2. Trazar la gráfica de una curva con todos sus elementos: dominio, intersecciones, asíntotas, extremos relativos, monotonía, concavidad y puntos de inflexión. Preguntas básicas 1. Sea f una función continua en todo el eje real. La figura adjunta es el gráfico de f´´(x) (gráfico de la función derivada, no de la función). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 245 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Responda las siguientes preguntas acerca de f(x) (no de f’ ): a. b. c. d. e. ¿Dónde f es creciente y dónde es decreciente? ¿Dónde f es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo? ¿Cuáles son sus valores críticos y dónde ocurren sus extremos relativos? ¿Dónde están los puntos de inflexión para f ? Suponiendo que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones expuestas. Contenidos del módulo 25.1 Análisis y trazado de curvas 25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas 246 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas 25.1 Análisis y trazado de curvas El objetivo principal de los módulos anteriores era el de proporcionar los elementos teóricos necesarios para el análisis y el trazado de la curva asociada a una función. Esto se reduce generalmente a la determinación de los siguientes elementos: Dominio natural de definición de la función y = f ( x). Posibles puntos de discontinuidad. Interceptos de la curva con los ejes coordenados: a. Interceptos con el eje x: se hace en la ecuación y = 0 y se resuelve la ecuación resultante para x. b. Interceptos con el eje y: se hace en la ecuación x = 0 y se resuelve la ecuación resultante para y. Asíntotas de la curva: verticales, horizontales y oblicuas. Intervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f, analizando el signo de f ′( x). Intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexión analizando el signo de f ′′( x). Este análisis permite construir la gráfica de la función (a veces resulta conveniente ir trazando los elementos de la gráfica simultáneamente con el análisis). Observaciones Si la curva que se desea analizar y trazar corresponde a una función par, es decir, f ( x) = f (− x), la curva es simétrica con respecto al eje y. En consecuencia, sólo es suficiente analizar la función y construir su gráfica únicamente para valores positivos de la variable x, pertenecientes al dominio de la función. Si la curva corresponde a una función impar, es decir, f (− x) = − f ( x), será suficiente analizar la función para los valores positivos de la variable x. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. En los ejemplos 25.1, 25.2, 25.3 y 25.4 de la sección 25.2 se analiza y se traza la gráfica de algunas funciones con todos los elementos mencionados anteriormente. 25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas Ejemplo 25.1 Trace la curva correspondiente a la función y = f ( x) = x2 + 3 x2 + 3 = . x 2 − 4 ( x − 2)( x + 2) Escuche el audio Traducttore tradictore en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. (1) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 247 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Solución Determinemos los elementos fundamentales de la curva, como son: 1. Vea el módulo 25 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Dominio natural de f (x) Los únicos valores de x para los cuales no existe la función son x = 2 y x = –2 (valores de x que anulan el denominador). De esta forma, D f = ℜ − {2, −2} . 2. Interceptos i. x2 + 3 ⇔ x 2 + 3 = 0 . Esta últix2 − 4 ma ecuación no tiene solución real, lo que indica que la curva no corta al eje x. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 0 = Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y = corta al eje y en el punto P (0, − 3 4). ii. 02 + 3 3 = − . Por tanto, la curva 2 0 −4 4 3. Asíntotas i. Verticales: como la función es racional, son aquellos valores de x que anulan el denominador de (1). En este caso las rectas verticales x = 2 y x = –2 son asíntotas verticales de la curva. f ( x) = lim Además, lim + + x →2 x →2 x2 + 3 = +∞, x2 − 4 x2 + 3 = −∞, x2 − 4 x2 + 3 = −∞, x2 − 4 x →2 lim f ( x) = lim − − x →2 x →−2 lim+ f ( x) = lim+ x →−2 x →−2 lim− f ( x) = lim− x →−2 x2 + 3 = +∞. x2 − 4 ii. x2 + 3 = 1, se deduce que y = 1 x2 − 4 es una asíntota horizontal de la curva. De otro lado, como f ( x) = lim Horizontales: como lim x →∞ x →∞ f ( x) = x2 + 3 7 =1 + 2 , x2 − 4 x −4 se deduce que los valores de la función para valores grandes de x en valor absoluto son mayores que 1, lo cual indica que la curva siempre está por encima de la asíntota. 248 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas En la figura 25.1 se indica el intercepto de la curva con el eje y, y el comportamiento de la curva cerca de las asíntotas. Figura 25.1 iii. 4. Oblicuas: no tiene (¿por qué?). Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Para ello, se hace el análisis de la primera derivada. f ′( x) = 2 x( x 2 − 4) − 2 x( x 2 + 3) −14 x . = 2 ( x 2 − 4) 2 ( x − 4) 2 Como (x2 – 4)2 > 0 (positivo), el signo de la derivada sólo depende del signo del factor (–14 x). Así: Signo de (–14 x) o signo de f ′( x ) +++++++++++++|– – – – – – – – – – – 0 El diagrama indica que f ( x) es creciente en ( −∞, 0] , y que f ( x) es decreciente en [0, +∞). En consecuencia, x = 0 corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo. Pm (0, f (0)) ⇔ Pm (0, − 3 4). 5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión Para ello, se utiliza la segunda derivada. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 249 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Si f ′( x) = −14 x 42 x 2 + 56 ′′ f ( x ) . ⇒ = ( x 2 − 4) 2 ( x − 2)3 ⋅ ( x + 2)3 Como 42x2 + 56 > 0 (positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de los factores del denominador. Signo de ( x − 2)3 – – – – – – – – – –| ++++++++++++++ 2 Signo de ( x + 2)3 – – – – – –|++++++++++++++++++++ –2 Signo de f ′′( x) +++++++++|– – – – |+++++++++++++++ –2 2 El signo de la segunda derivada indica que: f ( x) es cóncava hacia arriba (+) en (−∞, −2) ∪ (2, +∞), f ( x) es cóncava hacia abajo (–) en (−2,2). En los puntos x = –2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, lo cual indica que hay «inflexión», pero no existe punto de inflexión (¿por qué?). La figura 25.2 recoge toda la información obtenida y proporciona una aproximación muy buena a la gráfica de la función dada. Figura 25.2 250 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Ejemplo 25.2 Trace la curva correspondiente a la función y = f ( x) = ( x + 1)3 x3 + 3x 2 + 3x + 1 = . ( x − 1) 2 x2 − 2 x + 1 (1) Solución 1. Dominio natural de f (x) El único valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el denominador). Así que D f = ℜ − {1} = (−∞,1) ∪ (1, +∞). La función es continua para todo x ≠ 1, por ser el cociente de dos polinomios. 2. Interceptos i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 0 = ( x + 1)3 ⇒ x = −1. Luego el ( x − 1) 2 punto P (−1, 0) es el intercepto de la curva con el eje x. ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y = (0 + 1)3 = 1. Luego el punto (0 − 1)2 Q(0,1) es el intercepto de la curva con el eje y. 3. Asíntotas i. Verticales: el único valor de x que anula el denominador es x = 1 y ésta es la única asíntota vertical de la curva. De otro lado: x →1 f ( x) = lim lim + + x →1 ( x + 1)3 → tiende a 8(+) → +∞, ( x − 1)2 → tiende a 0(+) ( x + 1)3 → tiende a 8(+) → +∞. ( x − 1) 2 → tiende a 0(+) x →1 f ( x) = lim lim − − x →1 ii. iii. Horizontales: no tiene (¿por qué?). Oblicuas: como el grado del numerador es 3, una unidad más que el grado del denominador que es 2, la curva tiene una asíntota oblicua de la forma y = mx + b. Para determinarla, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y se obtiene x3 + 3x 2 + 3x + 1 12 x − 4 = ( x + 5) + 2 . x2 − 2x + 1 x − 2x + 1 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 251 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Por tanto, y A = x + 5 es la asíntota oblicua de la curva. Para estudiar el comportamiento de la curva «cerca» de la asíntota se estudia la diferencia yC − y A , para un mismo valor de x, en donde yC es la ordenada de la curva y yA es la ordenada de la asíntota. Esto es, yC − y A = x3 + 3x 2 + 3x + 1 12 x − 4 − ( x + 5) = 2 . 2 x − 2x + 1 x − 2x + 1 Si x > 0, entonces yC − y A > 0, lo que indica que para valores grandes de x (positivos), la curva está por encima de la asíntota. Si x < 0, entonces yC − y A < 0, lo cual indica que para valores grandes de x (negativos) la curva está por debajo de la asíntota. En la figura 25.3 se ilustran los interceptos de la curva con los ejes coordenados, así como también el comportamiento de la curva «cerca» de las asíntotas. Figura 25.3 4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Para ello se hace el análisis del signo de la primera derivada. f ′( x) = 3( x + 1) 2 ( x − 1) 2 − 2( x − 1)( x + 1)3 ( x + 1)2 ⋅ ( x − 5) = . ( x − 1) 4 ( x − 1)3 El signo de f ′( x ) depende de los signos que poseen los factores ( x − 5) y (x – 1)3, puesto que ( x + 1) 2 es siempre positivo. 252 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Signo de (x –5) – – – – – – – – – – – – – – | +++++++++++ 5 Signo de (x − 1)3– – – – – – |+++++++++++++++++++++++ 1 Signo de f ′( x) +++++++ |– – – – – – – – |++++++++++++ 1 5 El signo de f ′( x ) indica que: f crece en los intervalos (–∞ ,1) y [5, +∞) y f decrece en el intervalo (1, 5]. En x = 1, f ′( x) no existe, pero como el punto no pertenece al dominio de f, la curva en él solamente cambia de monotonía conservando su comportamiento asintótico. x = 5 corresponde a un mínimo relativo. Pm (5, f (5)) = Pm (5,13.5). 5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f ′′( x) . 24( x + 1) . ( x − 1)4 f ′′( x) = El signo de f ′′( x) sólo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y ( x − 1) 4 son siempre positivos. Signo de (x + 1) – – – – –| ++++++++ +++++++++ –1 El signo de f ′′( x) indica que: f ( x) es cóncava hacia abajo (∩) en (–∞, –1], f ( x) es cóncava hacia arriba (∪) en [−1, +∞) . El punto PI (–1, f (–1)) corresponde a un punto de inflexión, es decir, en PI(–1, 0) la curva cambia de concavidad. En la figura 25.4 se traza la curva con todos los elementos así obtenidos. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 253 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Figura 25.4 Ejemplo 25.3 Trace la gráfica de la función y = f ( x) = 2sen x + cos 2 x, para x en [0,2π ]. (1) Solución Como sólo interesa la parte de la gráfica correspondiente al intervalo [0, 2π ], únicamente se tienen en cuenta para su análisis los siguientes elementos: 1. Continuidad La función es continua en el intervalo [0, 2π ] por ser suma de funciones continuas. 2. Interceptos i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): se resuelve para x. 2 sen x + cos 2 x = 0 ⇔ 2 sen x + 1 − 2 sen 2 x = 0, ⇔ 2 sen 2 x − 2 sen x − 1 = 0. Al resolver la última ecuación reducible a cuadrática se obtiene por la fórmula general: sen x = 2 ± 4 + 8 1± 3 = . 4 2 254 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas La ecuación sen x = Si sen x = 1+ 3 carece de solución (¿por qué?). 2 1− 3 , entonces x ≈ π + 0.37 y x = 2π − 0.37. 2 Por tanto, los interceptos de la curva con el eje x son los puntos P 1 (π + 0.37, 0) y P 2 (2π − 0.37,0). ii. 3. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). Así, y = 2sen 0 + cos 0 = 1. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o f ′( x). f '( x) = 2 cos x − 2sen 2 x = 2 cos x − 4sen x ⋅ cos x, f '( x) = 2cos x ⋅ (1 − 2sen x). El signo de la derivada depende del signo de los factores cos x y (1 – 2sen x) en el intervalo [0, 2π ]. Ahora, cos x es positivo si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir, cos x > 0 si x ∈ (0, π 2) ∪ (3π 2, 2π ); cos x es negativo si x pertenece al se- ⎛ π 3π gundo o al tercer cuadrante, es decir, cos x < 0 si x ∈ ⎜ , ⎝2 2 sen x > 1 2 siempre que ⎞ ⎟ . Ahora, como ⎠ π 6 <x< 5π , se deduce que 2sen x > 1 si 6 ⎛ π 5π x∈⎜ , ⎝6 6 ⎛ π 5π ⎞ ⎞ x ∈ ⎜ , ⎟. ⎟ ⇔ 1 − 2sen x < 0 si ⎝6 6 ⎠ ⎠ También, sen x < 1 2 siempre que 0 < x < 1 − 2sen x > 0 si π 6 o 5π < x < 2π ; por tanto, 6 ⎛ π ⎞ ⎛ 5π ⎞ x ∈ ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ , 2π ⎟ . ⎝ 6⎠ ⎝ 6 ⎠ Al llevar esta información al diagrama adjunto se puede escribir: Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 255 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Signo de 2 cos x en [0, 2π ] ++++++++++++++++|– – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++ 0 π 2 3π 2 2π Signo de (1 − 2sen x) en [0, 2π ] ++++++|– – – – – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++++++++ 0 π 6 5π 6 2π Signo de f ′( x ) en [0, 2π ] ++++++|– – – – – – –| +++++++++++++ |– – – –|++++++++++++ 0 π 6 π 2 5π 6 3π 2 2π ⎡ π⎤ El signo de f '( x) indica que f (x) es creciente en los intervalos ⎢0, ⎥ , ⎣ 6⎦ ⎡ 3π ⎤ y ⎢ , 2π ⎥ . 2 ⎣ ⎦ ⎡ π 5π ⎤ ⎢2, 6 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡π π ⎤ f ( x) es decreciente en los intervalos ⎢ , ⎥ y ⎣6 2⎦ ⎡ 5π 3π ⎤ ⎢ 6 , 2 ⎥. ⎣ ⎦ Del diagrama anterior se puede concluir también que: π 3⎞ corresponde a un máximo relativo, es decir, P ⎛ ⎜ , ⎟ es un ⎝ 6 2⎠ punto máximo de la curva. x= 6 5π ⎛ 5π 3 ⎞ corresponde a un máximo relativo, es decir, Q ⎜ , ⎟ es 6 ⎝ 6 2⎠ un punto máximo de la curva. x= π π ⎞ corresponde a un mínimo relativo, es decir, R ⎛ ⎜ ,1⎟ es un ⎝2 ⎠ punto mínimo de la curva. x= 2 π Finalmente, 3π ⎛ 3π ⎞ corresponde a un mínimo relativo, es decir, T ⎜ , −3 ⎟ es 2 2 ⎝ ⎠ un punto mínimo de la curva. x= 256 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas 4. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexión Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f ''( x). f ′′( x) = −2sen x − 4cos 2 x, = −2sen x − 4(1 − 2 sen 2 x ), = 2(4sen 2 x − sen x − 2). (2) Para hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación f ′′( x) = 0 . Es decir, 2(4sen 2 x − sen x − 2) = 0. Resolviendo esta última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene ⎧ 1 + 33 ≈ 0.84 ⎪ ⎪ 8 sen x = ⎨ ⎪1 − 33 ≈ −0.59 ⎪ ⎩ 8 (3) Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonométricas, se pueden obtener los siguientes valores aproximados de x: x ≈ 1; x ≈ π − 1; x ≈ π + 0.63 y x ≈ 2π − 0.63. Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de inflexión, se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada f ′′( x) = 2(4sen 2 x − sen x − 2). Los valores dados en (1) permiten escribir f'' ( x) así: ⎡ 1 + 33 ⎤ ⎡ 1 − 33 ⎤ f'' ( x) = 2(4sen 2 x − sen x − 2) = 2 ⎢sen x − ⎥ ⋅ ⎢sen x − ⎥. 8 ⎦ ⎣ 8 ⎦ ⎣ Mediante consideraciones similares a la hechas para f ′( x), se puede obtener la información que aparece en el diagrama siguiente: Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 257 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada ⎡ 1 + 33 ⎤ Signo de ⎢sen x − 8 ⎥ ⎣ ⎦ – – – – – – –|+++++| – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 1 (π − 1) 2π ⎡ 1 − 33 ⎤ Signo de ⎢sen x − 8 ⎥ ⎣ ⎦ +++++++++++++++++++++|– – – – – – – – – – |+++++++ 0 Signo de f ''( x) – – – – – – –|+++++|– – – – –|+++++++++++++| – – – – – 0 1 (π − 1) (π + 0.63) (2π − 0.63) 2π (π + 0.63) (2π − 0.63) 2π El signo de f ′′( x) indica que: f ( x) es cóncava negativa (∩) en [0,1] ∪ [π − 1, π + 0.63] ∪ [2π − 0.63, 2π ], f ( x) es cóncava positiva (∪) en [1, π − 1] ∪ [ π + 0.63, 2π − 0.63]. Además, se obtienen los siguientes puntos de inflexión: (1, 1.27); (π − 1, 1.49); (π + 0.63, − 0.7) y (2π − 0.63, − 0.87). Con la información dada en los cuatro puntos anteriores se puede trazar una buena aproximación a la curva correspondiente, como aparece en la figura 25.5. Figura 25.5 258 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Ejemplo 25.4 Analice y grafique la función y = f ( x) = senh x = Solución 1. Dominio El conjunto ℜ de los números reales, dominio común de las funciones e x y e− x . e x − e− x . 2 (1) 2. Interceptos i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): senh x = 0 ⇔ e2 x − 1 = 0, 2e x ⇔ e 2 x − 1 = 0, ⇔ e2 x = 1 ⇔ x = 0. De esta manera, la curva pasa por el origen. ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y = senh 0 = 0. 3. Continuidad La función y = senh x es continua en todo el eje real por ser combinación de funciones continuas. 4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento Puesto que Dx (senh x) = cosh x, del ejemplo 14.1i de la sección 14.3 se tiene que Dx (senh x) > 0 y esto indica que la función es creciente en el intervalo (−∞, +∞). La función no posee valores críticos, ya que la derivada existe y es diferente de cero en todo el eje real. 5. Análisis de la concavidad Puesto que Dx (Dx (senh x)) = Dx (cosh x) = senh x, del ejemplo 14.1ii de la sección 14.3 se deduce que Dx (Dx (senh x)) < 0, siempre que x < 0, y por tanto la curva es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 259 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Igualmente, del mismo ejemplo, se deduce que Dx (Dx (senh x)) > 0, siempre que x > 0, lo cual indica que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, +∞). El punto P (0, 0) es un punto de inflexión de la curva, puesto que allí cambia la concavidad. 6. Límites en el infinito e x = +∞, y lim e − x = 0, se deduce que Puesto que xlim →+∞ x →+∞ x →+∞ lim senh x = +∞. e x = 0, y lim e − x = +∞, se deduce que Igualmente, puesto que xlim →−∞ x →−∞ x →−∞ lim senh x = −∞. Con la información anterior podemos trazar la gráfica de la función y = f (x) = senh x, como se muestra en la figura 25.6. Figura 25.6 Haciendo un análisis similar se pueden trazar las gráficas de las demás funciones hiperbólicas, como aparecen en la figura 25.7. 260 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 261 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 262 U de @ - Educación no presencial Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Figura 25.7 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 263 264 U de @ - Educación no presencial 26 Problemas de máximos y mínimos Introducción La teoría de máximos y mínimos que se ha expuesto en los módulos anteriores no solamente es útil para el trazado de curvas, sino que hay múltiples e interesantes aplicaciones a los problemas de las ciencias, la ingeniería y la economía. En lo que sigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. Para ello se usa el teorema 2 del módulo 21 (teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. También, en muchos problemas que surgen en la práctica, los intervalos no son cerrados, pero la teoría expuesta anteriormente da soluciones satisfactorias. Al final del capítulo se propondrán numerosos ejercicios, que al resolverlos el lector, afianzarán su razonamiento matemático. La construcción de cajas y envases implica, entre otras cosas, minimizar la cantidad de material empleado. Por ejemplo, de todas las cajas cilíndricas con un mismo volumen, la que tiene una altura igual al diámetro de la base es la de menor área (ejemplo 26.3). Objetivos del módulo 1. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en problemas de máximos y mínimos (problemas de optimización) que son de relevancia en diferentes áreas de la ingeniería. Preguntas básicas 1. Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener un volumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura y radio de las tapas) que minimizan el área total? Contenidos del módulo 26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos 26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto 26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 265 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza. Vea el módulo 26 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. 1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo en el que se indiquen las variables que intervienen en el problema. 2. Determinar la función que se debe maximizar o minimizar, así como el intervalo en el cual está definida. 3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso 2, en términos de una sola variable. 4. Utilizar la regla práctica dada en la observación al teorema 2 de la sección 21.3 para encontrar extremos absolutos. 5. Determinar la naturaleza del valor crítico mediante el teorema 2 del módulo 24, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos. 26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto Ejemplo 26.1 Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que: a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima. Solución Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado (figura 26.1). Figura 26.1 266 U de @ - Educación no presencial Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos Por tanto, el radio de la circunferencia es 100 − x x . y el lado del cuadrado es 4 2π Si A (x) es la función que representa la suma de ambas áreas, se tiene que: A ( x) = 1 2 1 x + (100 − x) 2 ; 0 ≤ x ≤ 100. 4π 16 (1) Puesto que A (x) es una función continua en el intervalo [0, 100], entonces existe un valor máximo y un valor mínimo de A (x) en [0, 100]. Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos. En efecto: A′( x) = = 1 1 . 2 x + . 2 (−1) (100 − x), 4π 16 x 100 − x 100π − =0⇒ x= , 2π 8 4+π es el único valor crítico y pertenece al intervalo [0, 100] (¿por qué?). Además, por el criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mínimo relativo. Ahora, los valores máximo y mínimo de A (x) está entre los valores A (0), A (100) y ⎡100π ⎤ A⎢ ⎥ . Pero, ⎣4 +π ⎦ 1 1 1002 . 02 + (100 − 0) 2 = , 4π 16 16 A (0) = A(100) = 1 1 1002 . 1002 + (100 − 100)2 = , 4π 16 4π 1 ⎞ 1 ⎛ 100π ⎞ ⎟= ⎜ ⎟ + ⎠ 4π ⎝ 4 + π ⎠ 16 2 ⎛ 100π A⎜ ⎝ 4+π 100π ⎞ 100 2 ⎛ 100 − = . ⎜ ⎟ 4 + π ⎠ 16 + 4π ⎝ 2 Como 4π < 16 < 16 + 4π , entonces dad se deduce que 1 1 1 < < , y de esta última desigual16 + 4π 16 4π 1002 1002 1002 ⎛ 100π < < ⇔ A⎜ 16 + 4π 16 4π ⎝ 4+π ⎞ ⎟ < A (0) < A (100). ⎠ De esta manera, la última desigualdad indica que el área máxima se obtiene para x = 100, o sea, no partiendo el alambre y formando con él una circunferencia, mientras que el área mínima se obtiene partiendo el alambre a una distancia 100π 4 +π Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 267 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada de uno de sus extremos, y formando con esta primera parte una circunferencia y con la parte restante Ejemplo 26.2 Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja? Solución Sea x la longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (figura 26.2 a), donde 0 ≤ x ≤ a . 2 400 un cuadrado. 4 +π Figura 26.2 Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la figura 26.2b. Ahora, volumen de la caja = área de la base × altura. Esto es, a V ( x) = (a − 2 x) 2 · x = 4 x3 − 4ax 2 + a 2 x; 0 ≤ x ≤ . 2 (1) Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo 268 U de @ - Educación no presencial Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos ⎡ a⎤ ⎢0, 2 ⎥ , entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo. ⎣ ⎦ Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero se obtienen los valores críticos. En efecto: V ′( x) = 12 x 2 − 8ax + a 2 = (2 x − a ) (6 x − a ) = 0. a 2 ⇒ a 6x − a = 0 ⇒ x = 6 2x − a = 0 ⇒ x = valores críticos Para analizar la naturaleza de los valores críticos, se utiliza el criterio de la segunda derivada, así: V ′′( x) = 24 x − 8a, ⎛a⎞ ⎛a⎞ V ′′ ⎜ ⎟ = 24 ⎜ ⎟ − 8a = 4a > 0, ⎝2⎠ ⎝2⎠ lo cual indica que x = mente el resultado). a corresponde a un mínimo relativo (interprete geométrica2 ⎛a⎞ ⎛a⎞ V '' ⎜ ⎟ = 24 ⎜ ⎟ − 8a = −4a < 0, ⎝6⎠ ⎝6⎠ a corresponde a un máximo relativo. 6 lo cual indica que x = En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina cuadrados de lado a 6 y de esta forma se obtiene una caja cuyo volumen viene dado por a⎞ a 2 3 ⎛a⎞ ⎛ V ⎜ ⎟ = ⎜a −2 · ⎟ · = a. 6 ⎠ 6 27 ⎝6⎠ ⎝ 2 26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo Ejemplo 26.3 Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener un volumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura del cilindro y radio de las tapas) que minimizan el área total? Solución En la figura 26.3 aparece el cilindro y las dimensiones por determinar. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 269 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Figura 26.3 Si se denota por V (constante) el volumen del cilindro, se tiene, de acuerdo a la fórmula conocida de la geometría, V = π x 2 y, y de aquí, y = V π x2 . ( 1) La función a minimizar es el área total, esto es, AT = 2π x 2 + 2π xy. ( 2) Sustituyendo (1) en (2) se puede escribir la función a minimizar en términos de una sola variable, así: AT ( x) = 2π x 2 + 2Vx −1 , con x ∈ ( 0, +∞ ) . De esta forma, AT ′ ( x) = 4π x − 2Vx −2 = 4π x3 − 2V 4V , AT ′′ ( x) = 4π + 3 . 2 x x 3 El único valor crítico de AT ( x) se obtiene resolviendo la ecuación 4π x − 2V = 0, o sea que el único valor crítico de AT ( x) corresponde a x = Ahora, de acuerdo al criterio de la segunda derivada, ⎛ V ⎞ 4V 3 AT ′′ ⎜ = 12π > 0, 3 ⎜ 2π ⎟ ⎟ = 4π + ⎛ V ⎞ ⎝ ⎠ ⎜3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2π ⎠ 3 V . 2π lo que indica que x = 3 V corresponde a un mínimo relativo. 2π 270 U de @ - Educación no presencial Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos De otro lado, sustituyendo en (1) este valor de x, se obtiene y = V 3 π⎜ ⎜ ⎛ V 2 ⎝ π ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 = 23 V . 2π Por tanto, el recipiente más económico se consigue eligiendo la altura del cilindro igual al diámetro de la base. Ejemplo 26.4 Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho están unidos en ángulo recto (figura 26.4). Encuentre la longitud de la barra recta más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por una esquina. Solución Supóngase que la barra puede pasar horizontalmente, cuando esté en la posición en que aparece en la figura 26.4. Figura 26.4 Si θ (radianes) denota el ángulo que forma la barra con el pasillo menor, entonces ⎛π ⎞ ⎜ − θ ⎟ será el ángulo que forma con el pasillo mayor. 2 ⎝ ⎠ La longitud deseada es la longitud L mínima de la barra: L = AC = AB + BC. (1) AB ∴ AB = 9sec θ . 9 BC ∴ BC = 6 csc θ . 6 En el triángulo APB se tiene que sec θ = En el triángulo BQC se tiene que csc θ = (2) (3) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 271 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene la función a optimizar: L(θ ) = 9sec θ + 6cscθ ; 0 < θ < π 2. (4) − Note que L → +∞ cuando θ → 0+ o θ → (π 2 ) (¿por qué?). Por tanto, L′(θ ) = 9sec θ ⋅ tan θ − 6 csc θ ⋅ cot θ (RD15 y RD16), 9 sen θ 6 cos θ ⋅ − ⋅ , cos θ cos θ sen θ sen θ L′(θ ) = = 9sen θ 6cos θ 9sen 3 θ − 6cos3 θ − = , cos 2 θ sen 2 θ sen 2 θ cos 2 θ = = 3cos3 θ (3tan3 θ − 2) , sen 2 θ cos2 θ 3cos θ (3tan 3 θ − 2) . sen 2 θ ⎛ 2⎞ 2 3 ⇔ θ = tan −1 ⎜ ⎜ 3⎟ ⎟ ; θ ≈ 0.718 (rad). 3 ⎝ ⎠ (5) Así que L′(θ ) = 0 ⇔ tan θ = 3 Ahora, el signo de L′(θ ) sólo depende del signo del factor (3tan 3 θ − 2). Para ello, considere la gráfica de la función tangente (figura 26.5a) y en la cual se ha señalado el valor de tan θ para θ ≈ 0.718. 272 U de @ - Educación no presencial Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos Figura 26.5 A la izquierda de θ ≈ 0.718, tan θ < tan 3 θ < 3 2 , con lo cual 3 2 ⇔ 3 tan 3 θ − 2 < 0 ⇔ L′(θ ) < 0. 3 3 A la derecha de θ ≈ 0.718, tan θ > tan 3 θ > 2 , con lo cual 3 2 ⇔ 3 tan 3 θ − 2 > 0 ⇔ L′(θ ) > 0. 3 Del análisis anterior se deduce que θ ≈ 0.718 (rad) corresponde a un mínimo relativo de L (θ), cuya gráfica se parece a la de la figura 26.5b. Esto significa que el valor mínimo absoluto de L (y, por tanto, la longitud máxima de la varilla en cuestión) es: L (0.718) = 9 · sec (0.718) + 6 csc (0.718). Un procedimiento algebraico para obtener el valor exacto de L es el siguiente: como ⎛2⎞ sec θ = 1 + tan 2 θ = 1 + ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 2/3 = 32 / 3 + 2 2 / 3 ,y 31/ 3 ⎛3⎞ csc θ = 1 + cot 2 θ = 1 + ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2/3 = 22 / 3 + 32 / 3 , 21/ 3 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 273 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada se tiene que: L = 9 sec θ + 6 csc θ , = 9 3 1/ 3 (3 2/3 + 22 / 3 ) 1/ 2 1/ 2 + 6 2 1/ 3 (3 2/3 + 22 / 3 ) 1/ 2 = 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 ) 2 ⎤ ⎡ 3 ⎢ 31/ 3 + 21/ 3 ⎥ (factor común) ⎣ ⎦ 2/3 2/3 ⎡ ⎣3 + 2 ⎤ ⎦ = 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 ) = 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 ) 1/ 2 3/ 2 , es la longitud de la barra que cumple las condiciones del problema. 274 U de @ - Educación no presencial 27 La derivada como razón de cambio Introducción George Pólya Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones se aplican también a funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entonces dy dt se llama razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una distancia, se llama velocidad. George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungría, y murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, Estados Unidos. Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles después de pasar por un punto específico P, etc. Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayoría de los casos la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio. Objetivos del módulo 1. Usar la derivada como razón de cambio en problemas de variables ligadas, las cuales presentan variación con respecto al tiempo. Preguntas básicas 1. Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante, una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P? Contenidos del módulo 27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines 27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 275 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines Los problemas en que intervienen derivadas de variables relacionadas entre sí se llaman problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones afines, y es típico en ellos que: Vea el módulo 27 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. i. Ciertas variables están relacionadas en una forma determinada para todos los valores de t que se consideran en el problema. ii. Se conozcan los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para un instante dado. iii. Se pida hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante. Las variables que intervienen en un problema dado pueden considerarse como funciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan, las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están relacionadas las derivadas de estas variables. De acuerdo con lo anterior, se pueden señalar en la solución de este tipo de problemas los siguientes pasos: 1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situación propuesta. La figura que se traza debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamente en el instante particular. 2. Determinar cuáles son las variables que intervienen en el problema y representarlas por medio de letras como x, y, z, h, etc. 3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre sí la diferentes variables que intervienen en el problema. 4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantáneas de cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3. 5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problema y despejar las variables o derivadas que interesan. Todo lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos. 27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas Ejemplo 27.1 A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3/s. a. ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua cuando éste se encuentra a 4 m de altura? 276 U de @ - Educación no presencial Módulo 27: La derivada como razón de cambio b. ¿A qué velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante? Solución En la figura 27.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en cualquier instante t. Figura 27.1 Desígnese por: V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s). x: radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t. y: altura del agua (en cm) en el instante t . ⎛ cm3 ⎞ dV Datos: dt = 50 ⎜ s ⎟ . ⎝ ⎠ George Pólya El primer trabajo de George Pólya fue como profesor particular. En un principio no se sintió especialmente atraído por las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Su profesor de filosofía le sugirió que siguiera cursos de física y de matemáticas para mejorar su formación filosófica. Este consejo marcó para siempre su carrera. Las magníficas lecciones de física de Lorán Eötvös, y las no menos excelentes de matemáticas de Lipót Fejér, influyeron decisivamente en su vida y obra. En 1940, huyendo de Hitler, Pólya y su esposa suiza (Stella Weber) se trasladaron a Estados Unidos. Pólya hablaba (según él, bastante mal), además del húngaro, su idioma natal, alemán, francés e inglés y podía leer y entender algunos más. Fue uno de los hombres míticos en la historia de las matemáticas modernas y su enseñanza a través de problemas. Sus principales obras son: Cómo plantear y resolver problemas, Matemáticas y razonamiento plausible, La découverte des mathématiques y Análisis matemático. Cuando se le preguntaba cómo había llegado a ser matemático, solía decir, medio en broma, medio en serio: «No era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo, así que elegí matemáticas que es una cosa intermedia». Fue un viajero impenitente (aunque nunca condujo automóviles) que curiosamente descubrió a los 75 años de edad las comodidades de los viajes en avión, cruzando el Atlántico y el continente varias veces. El volumen del agua en el instante t viene dado por 1 V = π x 2 ⋅ y. 3 (1) De la semejanza de los triángulos ODE y OBC se deduce que ⎧ y = 4x 16 y ⎪ = ⇔⎨ y 4 x x= ⎪ ⎩ 4 (2) (3) a. Puede formularse la pregunta así: dy = ?, cuando y = 4 m = 400 cm. dt Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 277 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada dy consiste en expresar V en (1) en términos dt únicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t. Una manera simple de calcular Así, 1 1 ⎛ y⎞ π 3 V = π x2 y = π ⎜ ⎟ · y = y 3 3 ⎝4⎠ 48 2 dV π dy π y 2 dy = ⋅ 3y2 ⋅ = ⋅ dt 48 dt 16 dt dV 16 ⋅ dy dt . = π y2 dt De donde, de acuerdo a las condiciones del problema, cm3 dy s = 1 = dt π (400 cm)2 200π 16 ⋅ 50 ⎛ cm ⎞ ⎜ ⎟, ⎝ s ⎠ (5) lo cual indica que la altura crece a esa velocidad. b. Puede formularse la pregunta así: dx = ?, cuando y = 4 m = 400 cm ⇔ x = 100 cm. dt Una manera sencilla de encontrar la solución consiste en derivar ambos miembros de (3) con respecto a t. Así, dx 1 dy 1 ⎛ 1 ⎞ cm 1 ⎛ cm ⎞ = = ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟, dt 4 dt 4 ⎝ 200π ⎠ s 800π ⎝ s ⎠ (6) lo cual indica que el radio crece a esta velocidad. Otra manera de obtener la solución consiste en expresar V en (1) en términos únicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t. (¡Verifique!) Ejemplo 27.2 Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/s. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando éste se encuentra a 300 pies de la base del faro? 278 U de @ - Educación no presencial Módulo 27: La derivada como razón de cambio Solución En la figura 27.2a aparecen las variables que intervienen en el problema. x: distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t. θ : ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t. pies ⎞ ⎛ dx = −20 Nótese que cuando «B se acerca a P» ⎜ ⎟ , entonces es de esperar dt s ⎠ ⎝ que θ también decrece. Figura 27.2 De la figura 27.2a se tiene tan θ = x ⇒ x = 250 ⋅ tan θ . 250 (1) Derivando ambos miembros de (1) con respecto a t, se tiene dx dθ = 250 ⋅ sec2 θ ⋅ , dt dt de donde dx dθ dt = . dt 250 ⋅ sec2 θ (2) En el caso particular que interesa, x = 300. Así que tan θ = 300 6 = (figura 27.2b). 250 5 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 279 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Usando la identidad trigonométrica 1 + tan 2 θ ≡ sec 2 θ , se puede escribir en este caso: 25 + 36 61 ⎛6⎞ sec2 θ = 1 + ⎜ ⎟ = = . 25 25 ⎝5⎠ 2 (3) Escuche el audio Los diez mandamientos del profesor según Pólya en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. De otro lado, dx pies = −20 . dt s (4) Sustituyendo (3) y (4) en (2), se tiene finalmente que dθ = dt 2 ⎛ rad ⎞ −20 =− ⎜ ⎟, 61 61 ⎝ s ⎠ 250 ⋅ 25 lo cual indica que el ángulo θ decrece (como era de esperar) a una velocidad de aproximadamente 0.0327 rad/s. Ejemplo 27.3 Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P? Solución El problema se plantea desde el momento en el cual la lancha pasa exactamente por el punto P debajo del puente. En ese instante han trascurrido 5 s y por tanto el auto se encuentra en el punto M de la figura. En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo. x: distancia que recorre la lancha después de pasar por el punto P. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que la lancha pasa por el punto P. w: distancia de C a R. z: distancia de R a T (distancia que separa la lancha del auto). Como los triángulos CRT y CPR son rectángulos en C y P, respectivamente, se tiene, de acuerdo a la relación pitagórica, z 2 = w2 + (60 + y ) 2 . (1) (2) También, w2 = 52 + x2 . 280 U de @ - Educación no presencial Módulo 27: La derivada como razón de cambio Vea la animación «Problema del puente» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Figura 27.3 De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 s el auto está en el punto T y la lancha en el punto R. Así que, en ese instante, x = 160 m e y = 96 m. La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma: ⎧ x = 160 m y y = 96 m dz ⎪ = ?, cuando ⎨ dx m dy m dt = 20 = 12 ; ⎪ s dt s ⎩ dt Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados con respecto al tiempo. Esto es: z 2 = 25 + x 2 + (60 + y ) 2 , 2z dz dx dy = 2 x + 2(60 + y ) . dt dt dt De aquí, dz = dt x dx dy + (60 + y) dt dt . z Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 281 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente: (160 m) ⋅ 20 m m + (154 m) ⋅12 s s = 5.048 m ≈ 22.72 m , 2 2 2 s 49.341 s 5 + 160 + 154 m dz = dt lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una velocidad de aproximadamente 22.72 m/s. Ejemplo 27.4 Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura 27.4, tiene agua hasta 4 pies de profundidad en el extremo más hondo. a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena? b. Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3/min, ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad? Figura 27.4 Solución a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Éste corresponde al volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor, 9 pies; base menor, 4 pies; espesor, 20 pies. Por tanto, Vp = (área de la base) · (espesor). Vp = (9 + 4) 40 · 20 = 5.200 pies3 . 2 Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del sólido que aparece indicado en la figura 27.5. Vll = área de la base (espesor). Vll = 4·L · 20 = 40 L pies3 . 2 Vea la animación «Vaciado y llenado de tanques» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. 282 U de @ - Educación no presencial Módulo 27: La derivada como razón de cambio Figura 27.5 Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción: 5 40 = ⇒ L = 32 pies. 4 L Así que Vll = 40 · 32 = 1.280 pies3 . Usando una regla de tres simple se establece: Si Vp = 5.200 pies3 corresponde al 100%. 1.280 · 100% ≈ 24.61% 5.200 Supóngase que en un instante t determinado el volumen de piscina llena corresponde al volumen del sólido que aparece en la figura 27.6, en el cual y (nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo. Vll = 1.280 pies3 corresponde a x = b. Figura 27.6 Se tiene entonces que V = Pero y x = ⇒ x = 8 y. 4 32 y·x · 20 = 10 x · y. 2 (1) (2) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 283 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir V = 80 y2. Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tiene dV dy = 160 y . . dt dt (3) dV dy De donde = dt . dt 160 y Como dV = 10 pies 3 min y y = 4 pies, se tiene finalmente dt dy 10 1 pies = = . dt 160 × 4 64 min Ésta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Puede verificarse fácilmente (¡verifique!) que el nivel horizontal x también está creciendo en ese mismo instante a una razón de 1 8 pies/min. 284 U de @ - Educación no presencial 28 La diferencial Introducción En el siguiente módulo se usa la derivada para estimar el cambio de una función y, por tanto, el valor resultante de la función. El razonamiento que se hará será geométrico, apoyado en la interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente. Es decir, una pequeña porción del gráfico de una función derivable en torno a un punto P parece casi recto y se asemeja a un pequeño segmento de la recta tangente en P. Esto sugiere utilizar la tangente para estimar la variación del valor de la función causada por una pequeña variación en x. A finales de 1830, el fisiólogo francés Jean Poiseuille descubrió la fórmula que se usa hoy en día para predecir cuánto hay que expandir el radio de una arteria parcialmente obstruida para restaurar el flujo normal. Objetivos del módulo dy para la derivada, no como símbolo dx completo, sino como símbolos separados dy y dx. 2. Deducir las fórmulas diferenciales a partir de las reglas de derivación y usarlas en la solución de problemas de aproximaciones y en la estimación de errores en algunos problemas característicos en las ciencias. 1. Dar significado a la notación de Leibniz Preguntas básicas 1. Usando diferenciales demuestre que 3 8+h ≈ 2 + h para h pequeños. 12 2. ¿Cuál es el porcentaje de error cuando h = 1? ¿Y cuando h = −1 ? Contenidos del módulo 28.1 La diferencial 28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales 28.3 Aproximaciones y estimación de errores Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 285 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 28.1 La diferencial Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x la Vea el módulo 28 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. dy como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy dx (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x). notación de Leibniz Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición está motivada por el siguiente razonamiento geométrico: Sea P(x0 , y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (figura 28.1a). Figura 28.1 286 U de @ - Educación no presencial Módulo 28: La diferencial Tomando el punto P (x0 , y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y, en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber, dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ′( x), se tiene entonce que dy = f ′( x) dx. Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales. Se llama diferencial de la variable independiente x , denotada por dx , al incremento Δx, esto es, dx = Δx. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada por dy, se define como dy = f ′( x) Δx, o también, dy = f ′( x) dx. Fórmula de Jean Poiseuille La fórmula que descubrió Poiseuille para predecir cuánto hay que expandir el radio de una arteria parcialmente obstruida para restaurar el flujo normal es V = kr 4, donde V es el volumen del fluido que pasa a través de un pequeño tubo en la unidad de tiempo a una presión fija, k es una constante y r es el radio del tubo. ¿Cómo afectará a V un incremento del 10% en r? 28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ se tiene que RQ = m Δx, en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (figura 28.1b), y por tanto m = f ′( x0 ). Así que RQ = f ′( x0 ) Δx = dy. Además, Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ). Se puede observar entonces que: (1) (2) Δy es el incremento en y medido sobre la curva; dy es el incremento en y medido sobre la recta tangente. Observaciones a. Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces dy = Δy para cualquier x del dominio. Puesto que dy = f ′( x) dx, si dx ≠ 0, entonces al dividir ambos miembros de la última igualdad por dx se tiene dy = f ′( x) y se puede de esta forma interdx pretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales. b. c. De acuerdo a la observación b todas las reglas de diferenciales se deducen de las reglas de derivación (RD1 - RD10, del módulo 19), multiplicando ambos miembros de estas últimas por dx. En la tabla 28.1 aparecen las principales reglas de diferenciales (Rd) deducidas de las correspondientes reglas de derivación (RD). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 287 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Tabla 28.1. Principales reglas de diferenciales Regla de la derivada RD1 d (c ) = 0 dx Regla de la diferencial Rd 1 dc = 0 d (cu ) = cdu Rd9 dx n = nx n −1 dx d d (cu ) = c (u ) dx dx RD9 d ( x n ) = nx n −1 dx d du (u ± v ) = dx dx ± dv dx RD3 y 4 Rd3 y 4 d (u ± v) = du ± dv RD5 d dv du (u · v ) = u +v dx dx dx Rd 5 d (u · v ) = u · dv + v · du RD7 d ⎛u ⎞ ⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠ v· du dv − u· dx dx v2 ⎛ u ⎞ vdu − u dv Rd7 d ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ R.d.10 d ( u n ) = nu n −1du RD10 d n du u ) = nu n −1 ( dx dx Así por ejemplo, si y = 4 x5 + 2 x 4 − 5 = ( 4 x5 + 2 x 4 − 5 ) rivada dy viene dada por dx −1/ 2 dy 1 = ( 20 x 4 + 8 x3 ) ( 4 x5 + 2 x 4 − 5 ) = dx 2 1/ 2 , entonces la de- 10 x 4 + 4 x3 4 x5 + 2 x 4 − 5 . Es decir, dy 2 x3 (5x + 2) = . dx 4 x5 + 2 x 4 − 5 Multiplicando ambos miembros de la última igualdad por dx(dx ≠ 0), se obtiene finalmente dy = 2 x3 (5 x + 2) 4 x5 + 2 x 4 − 5 dx. d. Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en forma de diferencial se expresa así: ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ dy = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ dt. ⎝ dx ⎠ ⎝ dt ⎠ 288 U de @ - Educación no presencial Módulo 28: La diferencial 28.3 Aproximaciones y estimación de errores Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supóngase que la gráfica de y = f (x) corresponde a la de la figura 28.2. Figura 28.2 Cuando se da a x un incremento Δx, la variable y recibe un incremento Δy, que puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por tanto, el valor aproximado de f ( x + Δx) es f ( x + Δx) ≈ f ( x) + dy = f ( x) + f ′( x) Δx. (1) Así por ejemplo, supóngase que se quiere calcular (usando diferenciales) un valor aproximado de 3 122. En primer lugar, nótese que 3 3 122 puede escribirse como 125 − 3, y puesto que 3 125 = 5, se puede pensar en la función f ( x) = 3 x y hallar dy con x = 125 y Δx = −3. 1 −2 / 3 1 = , Esto es, dy = f ′(125) (−3), pero f ′( x) = x 3 3 3 x2 f ′(125) = 1 3 125 3 2 = 1 , con lo cual dy = f '(125)Δx = 1 ⋅ (−3) = −1 . 75 75 25 En consecuencia, usando (1) se puede escribir: f (125 + (−3) ) ≈ f (125) + dy, 1 , 25 1 124 3 122 ≈ 5 − = = 4.96. 25 25 f (122) ≈ 5 − Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 289 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Estimación de errores Un problema característico en ciencias es el siguiente. Un investigador mide cierta variable x para obtener un valor x0 con un posible error de magnitud ± x. El valor x0 se usa después para calcular un valor y0 de la variable y que depende de x. El valor de y0 queda supeditado al error de x, pero ¿con qué magnitud? El procedimiento regular consiste en estimar el error por medio de diferenciales. Por ejemplo, un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 m y una altura de 10 m. Se desea pintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 m de espesor. Halle: a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita. b. La cantidad exacta ΔV de pintura que se necesita. c. El error: ΔV − dV . Solución Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (figura 28.3). Figura 28.3 El volumen viene dado por la función V ( x) = 10π x 2 . La diferencial de V en x = 5 será el valor aproximado dV = V ′(5) Δx = 20 π (5) . 1 π 3 = m . 1000 10 ΔV será el valor exacto, es decir, ΔV = V ( x + Δx) − V ( x), ΔV = 10π ( x + Δx) 2 − 10π x 2 = 10π ( 2 x · Δx + (Δx) 2 ) , 290 U de @ - Educación no presencial Módulo 28: La diferencial 2 ΔV = 10π ⎡ ⎣ 2 ⋅ 5·(0.001) + (0.001) ⎤ ⎦ = 10π ( 0.01 + 0.000001) , ΔV = 0.10001 · π , ΔV − dV = (0.10001 − 0.1) π = 0.00001π = 10 −5 π . Aproximaciones lineales Considere la gráfica de la función f (x) que aparece en la figura 28.4. . Figura 28.4 La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (a, f (a)) viene dada por y − f (a) = f ′(a) ( x − a) ⇔ y = f (a) + f ′(a) ( x − a). La aproximación f ( x ) ≈ f (a ) + f ′( a )( x − a ) se llama aproximación lineal de f en a, y la función L( x) = f (a) + f ′(a) ( x − a) se llama linealización de f en a. La aproximación lineal f ( x) ≈ L( x) es una buena aproximación, cuando x está cerca de a. Así por ejemplo, si se quiere hallar la linealización de la función f ( x) = 3 x en a = 125 y usar dicho resultado para obtener una aproximación del número 3 122, se procede de la forma siguiente: 1 −2 1 f ′( x) = x 3 = . 3 2 3 3 x Por tanto, f (125) = 3 125 = 5, y también f ′(125) = 1 3 125 3 2 = 1 . 75 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 291 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Por consiguiente, L( x) = 5 + 1 10 x ( x − 125) = + . 75 3 75 De esta forma, x≈ 10 x + . 3 75 3 En particular, 122 ≈ 10 122 372 + = = 4.96. 3 75 75 3 Nótese que dicho valor coincide con el obtenido usando diferenciales. 292 U de @ - Educación no presencial Ejercicios del capítulo 4 (módulos 20 al 28) Ejercicios propuestos 1. En los ejercicios siguientes encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada y en el punto de abscisa dado. a. y = 5 − x 2 ; x = 1. b. y = 7 − x − x 2 ; e. x 3 y + y 3 x = 10; x = 0. x = 1. c. y = x + 1; x = 3. d. y = x + x ; 2. 3. 4. 5. 6. x = 4. Encuentre la ecuación de la normal a la curva 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 − y 2 ) en el punto (3, 1). Demuestre que las hipérbolas xy = 1 y x 2 − y 2 = 1 se intersecan en ángulo recto. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 x 2 + 3 que es paralela a la recta 4 x − y − 1 = 0. Encuentre una recta que pase por (2, –3) y sea tangente a la curva y = 2 x 2 − 1. En los ejercicios siguientes una partícula se mueve sobre un eje horizontal, según la ecuación de movimiento dada. Halle la velocidad instantánea para los valores particulares de t indicados. Determine además, si es posible, los instantes en los cuales la partícula se encuentra en reposo. b. s (t ) = 1 ; t t = 1/ 5. t = 4. a. s (t ) = 2t 2 + 1; t = 2. c. s (t ) = t + 1; 7. t = 3. d. s (t ) = 4 − t 2 ; Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 20 m/s en dirección vertical hacia arriba. Encuentre: a. La velocidad instantánea cuando t = 5 s. b. La altura máxima a la que llega el objeto. c. La rapidez en el instante t = 2 s. d. El tiempo que tarda en regresar al punto de partida. Nota: use la fórmula s = vo t − 1 2 gt . 2 8. Un objeto arrojado directamente hacia arriba alcanza una altura s = − 16t2 + 48t + 256 pies después de t segundos. a. ¿Cuál es su velocidad inicial? b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? c. ¿Cuál es su altura máxima? d. ¿Cuándo alcanza el piso? e. ¿Con qué velocidad llega al piso? Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 293 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 9. Para las funciones dadas a continuación, encuentre si existen los máximos y mínimos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la curva. a. f ( x ) = x 2 − 4 x − 1. b. f ( x) = x 4 + 4 x. e. f ( x) = 2 − 4( x − 4) 3 . 2 ⎧ ⎪4 − ( x + 5 ) si x < −4 h. f ( x) = ⎨ 2 ⎪ ⎩12 − ( x + 1) si x ≥ −4 2 c. f ( x) = x 9 − x 2 . f. f ( x) = x 2 − 2 x + 1. d. f ( x) = x − 1 x . ⎧ 2 x + 1 si x ≤ 4 g. f ( x) ⎨ ⎩13 − x si x > 4 10. Determine el valor de las constantes a y b para que la función definida por f (x) = x3 + ax2 + b tenga un extremo relativo en (2, 3). Para cada una de las funciones dadas a continuación determine los extremos absolutos de f en el intervalo dado. a. f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16 en [ −3, 2] . c. f ( x ) = x en [ −1, 2]. x+2 si si − 3 ≤ x <1 1≤ x ≤ 3 si si 11. b. f ( x ) = 1 − ( x − 3 ) 3 en [ −5, 4]. 2 d. f ( x ) = en [ −3, 3]. 3 ( x + 1) 2 en [ −2, 1] . ⎧3x − 4 e. f ( x ) = ⎨ 2 ⎩x − 2 2 ⎧ ⎪4 − ( x + 5 ) f x = ( ) f. ⎨ 2 ⎪ ⎩12 − ( x + 1) − 6≤ x ≤ − 4 − 4< x ≤ 0 en [ −6, 0]. 12. Para las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema de Rolle y encuentre el valor de c que satisface la conclusión del teorema. a. f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 8 en [ 1, 3]. c. g ( t ) = t 2 − t en [ −1, 0]. e. f ( x ) = x 2 3 b. f ( x ) = x3 − 16 x en [ − 4, 0]. d. h ( z ) = z 4 − z 3 en [ 0, 1]. f. f (t ) = − 1 en [ −8, 8] . ⎡ π⎤ x − 4sen 2 x, en ⎢0, ⎥ . π ⎣ 6⎦ 6 13. Para las funciones dadas a continuación verifique si es posible aplicar las condiciones del teorema del valor medio (TVM) y encuentre el valor de c que satisface la conclusión. a. f ( x ) = x3 + x 2 − x en [ −2, 1] . c. f ( x ) = 3x e. f ( x ) = 2 3 b. g ( t ) = t − 1 + 1 en [1.5, 3]. t −1 en [ 0, 1]. d. h ( z ) = 25 − z 2 en [ −3, 3]. f. g ( t ) = t 2 + 4t en [ 2, 6]. t−7 x + 2 en [ 4, 6]. 294 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 20 al 28 Sea f ( x ) = 2x − 1 . Demuestre que no existe ningún punto c en (1, 2) que satisfaga la conclusión del TVM. Dibuje 2x − 4 14. la gráfica de la función y señale la parte de la hipótesis que falla en este caso. Sea f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x. Demuestre, usando el teorema de Rolle, que la ecuación f (x) = 4x3 − 6x2 + 4x − 1 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo (0,1). Sea f (x) una función continua en [a, b] y tal que f ´(x) = 1 para todo x en [a, b]. Pruebe que f (x) = x − a + f (a) para todo x en [a, b]. Juan viajó 125 km en 2 horas y aseguró que en su recorrido nunca excedió el límite de 60 km por hora. Use el teorema del valor medio para demostrar que mintió. (Ayuda: sea S = f (t) la distancia recorrida en el tiempo t.) Sean F (x) y G (x) dos funciones que satisfacen la condición F ′( x) = G ′( x) para todo x de [a, b]. Demuestre que existe una constante C tal que F (x) = G (x) + C para todo x de [a, b]. Demuestre que si F ′( x) = 0 para todo x de [a, b], entonces existe una constante C tal que F (x) = C para todo x de[a, b]. (Ayuda: sea G (x) = 0 y aplique el ejercicio 18.) Supóngase que lo único que se sabe acerca de las funciones sen x y cos x es lo siguiente: cos (0) = 1, sen (0) = 0, Dx (sen x) = cos x y Dx (cos x) = − sen x. Demuestre que sen2 x + cos2 x = 1. (Ayuda: sea F (x) = cos2 x + sen2 x y use el problema 19.) Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones, indicando: dominio, interceptos, asíntotas, crecimiento, decrecimiento, máximo-mínimo, intervalos de concavidad, posibles puntos de inflexión. a. f ( x ) = d. g ( x) = 2x . x −1 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. b. f ( x ) = x2 − 2 x + 4 . x −2 c. f ( x) = 4x . x2 + 2 ( x + 2)2 . x e. g ( x) = 2 x ⋅ x + 3. f. y = f ( x) = x2 + 1 . 1 − x2 g. Complete las gráficas de las curvas del ejercicio 13 (ejercicios propuestos, módulos 9 al 19). 22. Dibuje la gráfica de una posible función f que satisfaga las siguientes condiciones: a. f es continua en todo el eje real. b. f (−2) = 3, f (2) = − 1. c. f ′( x) = 0 para x > 2. d. f ′′( x) < 0 para x < 2. 23. Dibuje la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedades: a. g es continua en todo el eje real. b. g (−1) = 6, g (3) = − 2. c. g ′( x) < 0 para x < − 1; g ′(−1) = g ′(3) = − 2; g ′(7) = 0. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 295 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada d. g ′′( x) < 0 para x < − 1; g ′′( x) = 0 para −1 < x < 3; g ′′( x ) > 0 para x > 3. 24. Sea f una función continua en todo el eje real y derivable en todo x ≠ 0. La figura 1 adjunta es el gráfico de la función derivada f ′( x) (no de f (x)). Figura 1 Responda las siguientes preguntas acerca de f (x) (no de f ′( x) ): a. ¿Dónde es f (x) creciente? ¿Y decreciente? ¿Dónde es f (x) cóncava hacia arriba? ¿Y hacia abajo? ¿Cuáles son sus puntos críticos? ¿Dónde ocurren los extremos relativos? b. En el supuesto de que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones expuestas. 25. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeños cuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se sueldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿De qué lado deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las cinco cajas? Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para un triángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo? ¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas? Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 km del punto B más cercano de la línea de la costa que es recta. En la costa y a 4 km de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 km/h y caminar a 5 km/h, ¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible? Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posible de material. 26. 27. 28. 29. 296 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 20 al 28 30. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a. Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a. 31. 32. 33. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de ecuación x2 y 2 + = 1. 25 16 Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que se encuentra a 10 km de distancia por el bosque y también a 2 km de la carretera (figura 2). Puede caminar a 8 km/h por la carretera y a 3 km/h por el bosque. Así, decide caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. a. ¿Qué ángulo θ minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque? Figura 2 34. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2. También quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2. También desea utilizar algo de cerca para constuir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que requiere para este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área. También desea usar una cerca adicional para construir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3. La parte cilíndrica del recipiente se fabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces más caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total del recipiente? Una escalera de 2 m de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera está resbalando a razón de 0.3 m/s, ¿a qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual la distancia de la escalera a la pared es de 1.5 m? La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/s, mientras que su altura decrece a razón de 3 cm/s. a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿Y la altura 12 cm? b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante? Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 35. 36. 37. 38. 39. 297 Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 40. Un abrevadero que está lleno de agua tiene 2 m de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm de lado. Si el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/s, ¿con qué velocidad está bajando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm? Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de altura. El tanque está lleno de agua, pero en el instante t = 0 s se abre un pequeño orificio en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la altura del agua en el tanque ha descendido 3 pies, el agua fluye a 2 pies3/s. a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento? b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento? 42. Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1.000 m/min se acerca a un cruce con otra carretera. Cuando el automóvil está a 100 m del cruce, pasa por éste un camión que va a 600 m/min. Si las dos carreteras se cruzan en ángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto después de que el camión pasó por el cruce? Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/s desde un punto P. Cinco minutos más tarde, una mujer comienza a caminar hacia el sur a 5 pies/s desde un punto a 500 pies al este de P. ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer 15 minutos después de que la mujer comienza a caminar? El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 100 cm, aumenta a razón de 0.1 rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del vértice mide π 6 rad? (Ayuda: A = 45. 1 ab sen γ . ) 2 41. 43. 44. Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 12 pies de altura, de tal manera que su extremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre el piso alejándolo de la pared a razón de 2 pies/s. a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600 con el piso. b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante. 46. La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. Al medirla se encontró que la altura es de 1 m con un error de 0.005 m. Encuentre el error aproximado en el volumen del cono. Si al medir la arista de un cubo se comete un posible error de 0.01 cm, encuentre el error aproximado en el volumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de 5 m. Encuentre el volumen aproximado de una concha esférica cuyo radio interior es de 50 cm y cuyo espesor es 1/10 cm. Usando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidades: 47. 48. 49. 1 a. 50. 2 37.5 2 b. 4 82 c. 3 0.00098 d. 3 120 Si y = 3 x + 4 x − 5, x = 2 s + 5s + 8 y s = 3t − 7, halle dy en t0 = 1 y dt = − 0.2. 3 51. Halle dy si y = x + 2 ( x3 + 8) 5x2 + 7 . 298 U de @ - Educación no presencial Ejercicios de los módulos 20 al 28 52. En los ejercicios siguientes halle dy y dy . dt a. y = 3 x 2 + 4 x − 5; x = t 2 − 2t + 1. c. y = 53. b. y = x 4 + 3x ; x = 3t + 5. x +5 z 2 + 5; z = 2t + 8. Dibuje una figura semejante a la de la figura 28.1b tal que la gráfica sea cóncava hacia abajo. Indique los segmentos de recta cuyas longitudes sean Δx, Δy, dx, dy. «El hombre más feliz del mundo es aquel que sepa reconocer los méritos de los demás y pueda alegrarse del bien ajeno como si fuera propio». Johann W. Goethe Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 299 Hoja de respuesta a los ejercicios propuestos Capítulo 1 Módulos 1 al 5 1. a. δ = ε 3 b. δ = ε 2 c. δ = ε m , si m ≠ 0; δ cualquier número positivo si m = 0 ⎧ ⎛ 2 + 2 ⎞⎫ ⎪1 ⎪ d. δ = min ⎨ c, ε c ⎜ ⎟ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 2 ⎠⎪ ⎩2 ⎭ e. δ = min 1, ε 8 { } c, 1 c 2ε } f. δ = min { 1 2 2 2. a. 24 i. 2 2 / 3 b. 1/6 j. 3 c. 1/2 d. 171 l. 1/2 e. 1 m. 0 f. 1/8 n. 3/2 g. 0 o. 2/3 h. 3x2 p. 2 /16 7 / 11 k. −1/ 4 q. nyn-1 r. q/p, si p, q son positivos; 0 si q es negativo y p positivo 3. 4. a. No existe b. −1 c. −3 d. 0 f ( x) = 0; lim f ( x) no existe a. lim x →0 x →1 Elementos básicos de cálculo diferencial 301 g ( x) = 0; lim g ( x) = 1 b. lim x →1 x→2 5. Ayuda: suponga lo contrario, es decir, L > M, y considere L − M = α > 0. Dado ε > 0, tómese ε < α 2 y llegue a una contradicción. a. 3 i. 1 α 2 q. 2 b. 0 j. 0 c. α β k. −1 d. 2 π l. 2 6. e. 1 m. 3 f. 0 n. π g. 1 o. 1/4 h. 1 9 p. 2 2 Capítulo 2 Módulos 6 al 8 1. a. Sí i. No b. No j. Sí c. No k. No d. Sí l. Sí e. No m. Sí f. Sí g. No h. Sí 2. a. Discontinuidad esencial en a = 2 302 U de @ - Educación no presencial b. Discontinuidad removible en a = 3 ⎧ x2 − 4 x + 3 , si x ≠ 3 ⎪ g ( x) = ⎨ x − 3 ⎪ 2 , si x = 3 ⎩ c. Discontinuidad removible en a = 4 ⎧ x 2 − 3x − 4 , si x ≠ 4 ⎪ g ( x) = ⎨ x − 4 ⎪ 5 , si x = 4 ⎩ d. Discontinuidad removible en a = −3 ⎧ x2 + x − 6 , si x ≠ −3 ⎪ g ( x) = ⎨ x + 3 ⎪ −5 , si x = 3 ⎩ e. Es continua en a = 0, a = 1 y a = 2; ⎧ x − 1, si x < 1 ⎪ g ( x) = ⎨ 0, si x = 1 ⎪1 − x, si x > 1 ⎩ Elementos básicos de cálculo diferencial 303 3. −6 4. a = −5 / 4 y b = 3/2 5. a = 10 y b = − 23 6. a = 2, y b = −3 7. a. 14 b. −12 c. −2 d. −2 e. 5 f. 0 8. Una posible es: 9. Una posible es: Capítulo 3 Módulos 9 al 19 1. a. 1/ 2 x b. 2t c. −4 d. 3 ( 2x + 1 ) ( x2 + x + 1)2 2. f '− (2) = 1, f '+ (2) = 4; f '(2) no existe 3. 304 a = 2 y b = −1 U de @ - Educación no presencial 4. a = 1 y b = −1 15 4 x − 12 x 2 + 2 2 3 4 d. 5 + 4 x − 10 x − 2 x ( x 3 + 1) 2 7. a. 2x + 3 b. c. −6t 2 + 2t + 3 e. − 4(t 3 + 2) (t 3 + 2t − 4) 2 f. − 20 z −5 − 40 z −4 − 16 z −3 + 10 z −2 + 4 z −1 + 30 + 24 z + 16 z 2 (5 − z 2 ) 2 g. 3(5 x 2 − 2)( x 5 − 2 x + 1) 2 h. 5(3t 4 − 5t 3 + t − 1) 4 (12t 3 − 15t 2 + 1) i. − 40( y + 2) 3( y 2 + 4 y − 2)5 j. 1 − 4t 2 (3 − t )3 (2t + 5) 5 x 2 + 14 x + 8 k. 6 3 x 2 4 ( x 2 + 4 x + 4)3 l. 3cos x + 5sen x ll. 3cos 6 x m. 15sen 10 x n. sec x (tan x − 1) − sen x (tan x + 1) (sen x − cos x) 2 x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x x sen x + cos x o. x(2sen x + x cos x) p. ( x 2 − 1) sen x − x( x 2 + 1) cos x x 2 sen 2 x q. r. 4 (4t 2 + 3) sen 3 (t 4 + 3t ) cos (t 4 + 3t ) rr. −2sen t · sen (cos t ) · sen (cos (cos t )) · cos (cos (cos t )) 8. a. −4 x / 9 y b. (1 − y 2 ) / 2 xy c. 6 xy − 19 y − 3x 2 19 x − 3 x 2 d. 20 xy − y 6 xy + x e. 2 x − 12 xy − 2 y 3 xy 6 xy 2 xy − 4 y xy − 2 x f. 6 y2 4 xy − 3x 4 y g. 2 x − y − cos x x h. −( y sen xy + 2) x sen xy + 2 y 9. y ′(1) = −2, y ′′(1) = − 6 3− y i. x + 4 y 3 − 2 y j. x + y − x − 3 xy x + y x (2 x x( x + y ) + 1) 10. − π +2 = y ′(1) π +6 10995 ≈ 74.1 2 11. a. 998 b. 50 c. d. 396 Elementos básicos de cálculo diferencial 305 12. a. 4 b. 3/2 c. 0 d. +∞ e. 0 f. 2 g. 5/4 13. a. +∞ b. +∞ c. −∞ d. +∞ e. No existe f. No existe 14. a. 2 h. 0 b. −1 i. 1 c. 0 j. cos a d. 2 / π k. eak e. ea l. −1/ 3 f. 1/2 m. 1 g. 0 n. 1 306 U de @ - Educación no presencial 15. a. 1 b. 2 c. 1 d. 0 e. No, 0/0 f. 0 g. No, 00 16. Descifre el mensaje Capítulo 4 Módulos 20 al 28 1. a. 2 x + y − 6 = 0; c. 4 y − x − 5 = 0; 2y − x − 7 = 0 4 x + y − 14 = 0 b. x + y − 7 = 0; d. y− x−7 = 0 4 x + 5 y − 46 = 0 5 x − 4 y + 4 = 0; e. 14 x + 13 y − 40 = 0; 13x − 14 y + 15 = 0 2. 13x − 9 y − 30 = 0 4. 4x − y + 1 = 0 5. (8 + 4 5) x − y − 19 − 8 5 = 0, (8 − 4 5) x − y − 19 + 8 5 = 0 6. a. 8, 0 b. −25, no es posible c. 1/4, no es posible d. −8, 0 7. a. −29 m/s b. 20.48 m c. 0.4 m/s d. 4.08 s 8. a. 48 pies/s b. 2/3 s c. 292 pies d. 3 + 73 s 2 e. −16 73 m/s 9. a. No tiene máx, 2, [2, + ∞), (−∞, 2] b. No tiene máx, −1, [− 1, + ∞ ), ( −∞ , − 1] ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ c. 3 2 , −3 2 , ⎢ − 3 2 , 3 2 ⎥, ⎢ −3, −3 2 ⎥ y 2 2 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎡3 2 ⎤ , 3⎥ ⎢ ⎣ 2 ⎦ d. No tiene máx, no tiene mín, (0, + ∞) , no es decreciente, (−∞, 4], [4, + ∞) e. 4, no tiene mín, (−∞, 4], [4, + ∞) Elementos básicos de cálculo diferencial 307 f. 1, 0 y 2, [ 0, 1] y [2, + ∞), (−∞, 0] y [1, 2] g. 4, no tiene mín, (−∞, 4], [4, + ∞) h. −5 y − 4, no tiene mín, (−∞, −5], [−5, − 4) y (−4, + ∞) 10. −3 y 7 11. a. 25, el cual ocurre en −3; 0, el cual ocurre en −2 y 2 b. 1, el cual ocurre en 3; −3 el cual ocurre en −5 c. 1/2, el cual ocurre en 2; −1 el cual ocurre en −1 d. 3 4 , el cual ocurre en 1; 0 el cual ocurre en −1 e. 7, el cual ocurre en 3; −13 el cual ocurre en −3 f. 12, el cual ocurre en 0; 3, el cual ocurre en −6 y − 4 12. a. No las cumple todas, b. −4 3 3 2 c. No las cumple todas, no existe d. 3/4 e. No es derivable en x = 0 f. x ≈ 0.249 13. a. −1 − 7 −1 + 7 , y, 3 3 b. 2 c. 8 d. 0 e. 6+8 3 3+ 4 3 = 4 2 f. 7 − 5 308 U de @ - Educación no presencial 14. 21. No es continua en el intervalo cerrado [1, 2] a. Dominio: \ − {1} ; interceptos: (0, 0) con el origen; asíntotas: x = 1 (vertical), y = 2 (horizontal); crecimiento: no tiene; decrecimiento: (−∞,1) y (1, +∞); no tienen máximos, ni mínimos; cóncava hacia arriba: (1, +∞), cóncava hacia abajo: (−∞,1); no tiene puntos de inflexión. b. \ − {2} ; con el eje y en (0, −2); x = 2 y y = x; ( −∞, 0] y [4, +∞); [0, 4]; f (0) = −2 , f (4) = 6; (2, +∞), (−∞, 2); no existe. c. \ ; (0, 0); y = 0; [− 2, 2], (−∞, 2) y ( 2, + ∞); f ( 2) = 2, f (− 2) = − 2; (− 6, 0) y ( 6, +∞); (−∞, 6) y (0, 6); puntos de inflexión: (− 6, − 6 / 2), ( 6, 6 / 2) y (0, 0). d. \ − {0} ; con el eje x en [−2,0); x = 0 y y = x + 4; (−∞, −2] y (2, +∞); [−2, 0) y (0, 2); f (−2) = 0, f (2) = 8; (0, +∞), (−∞, 0); no tiene. e. [−3, +∞); con el eje x en (−3, 0) y (0, 0) con el origen; no tiene; [ −2, +∞ ),[ −3, −2]; no tiene; g ( −2) = − 4; (−3, + ∞); no tiene, no tiene. f. \ − {−1,1} ; con el origen (0, 0), x = −1, x = 1 y y = −1; [0,1) y (1, + ∞ ); (−∞, − 1) y (−1, 0]; no tiene, f (0) =1; (−1, 1), (−∞, − 1) y (1, + ∞ ); no tiene. 22. 23. 24. a. Creciente en [ −3, − 1] y [0, 1] y [4, + ∞ ) Decreciente en (−∞, − 3] y [ − 1, 0] y [1, 4] Elementos básicos de cálculo diferencial 309 f es cóncava hacia arriba (−∞, − 2) y (3, + ∞) f es cóncava hacia abajo (−2, 0) y (0, 3) Números criticos: −3, − 1, 0, 1, y 4 Los extremos relativos relativos ocurren en −3, − 1, 1, y 4 b. 25. 25 cm 3 26. 200 − 50 2 7 100π 3 9+π 3 27. Si solamente se construye la circunferencia; si se corta el alambre con una longitud de circunferencia. cm para construir la 28. Debe remar directamente hacia la tienda y no caminar. 150 150 29. Radio = 3 π , altura = 2 3 π 30. Radio = a 6, 3 altura = 2a 3 3 31. Radio = 2a 2, 3 altura = 4a 3 32. Largo = 5 2 , ⎛ 55 ⎞ a. tan −1 ⎜ ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ancho = 4 2 33. b. 0.9 h 34. 240 pies 310 U de @ - Educación no presencial 35. 36. 37. 38. 240 pies 2 (2n + 4) A Radio = − 3 25π 2 5π , altura = 3 25π 2 π , 9 7 m/s 70 39. a. Decrece a razón de 12 cm/s 3 cm/s 200 50 pies/s 81π b. Aumenta a razón de 11 34 cm/s 34 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. a. b. 10 pies/s 27π 1.160 m/min 8.31 pie/s 250 3 cm/min a. −2 3 / 3 pies/s 0.00125π m 3 0.75 × 10 −2 m 3 = 0.0075 m 3 , 0.006 m 2 b. −16 3 / 81 pies/s 2 1000π cm 3 a. 73.5/12 = 6.125 818.4 b. 325/108 = 3.009216698 c. 0.298 / 3 = 0.0993 d. 76 / 375 = 0.2026 51. ⎡ (10 x 3 + 18 x 2 + 8)(5 x 2 + 7) − 30 x( x + 2)( x3 + 8) ⎤ ⎢ ⎥ dx 3( x + 2) 2 / 3 (5 x 2 + 7) 2 ⎣ ⎦ 52. a. 4(3t 2 − 6t + 5)(t − 1) dt ; 4(3t 2 − 6t + 5)(t − 1) Elementos básicos de cálculo diferencial 311 ⎡ 3(3t + 5) 4 + 20(3t + 5)3 + 15 ⎤ b. 3 ⎢ ⎥ dt ; (3t + 10) 2 ⎣ ⎦ 2(2t + 8) ⎡ 3(3t + 5) 4 + 20(3t + 5)3 + 15 ⎤ 3⎢ ⎥ (3t + 10) 2 ⎣ ⎦ c. (2t + 8) + 5 2 dt ; 4(t + 4) (2t + 8) 2 + 5 53. 312 U de @ - Educación no presencial Apéndice I 1 El sistema de los números reales Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado sistema de los números reales. Números tales como 1, 3, 3 5 , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1. En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades. En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto ℜ de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto ` de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo. 1.1 Conjunto de los números reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los números naturales El conjunto de los números naturales, que se denota por ` o también por ] + , corrientemente se presenta así: ` = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. 1. El matemático Italiano G. Peano (1858-1932) presentó en 1889 un conjunto de cinco axiomas para los números naturales. Puede verse una discusión detallada en el desarrollo del sistema de los números reales por medio de los axiomas de Peano, en el libro Foundations of analysis, de F. Landau. New York, Chelsea, Publishing Co. 1951. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 313 Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros, que se denota por ], corrientemente se presenta así: ] = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en ` , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2. Puede notarse que ` ⊂ ]. Conjunto de los números racionales El conjunto de los números racionales, que se denota por _, se define de la siguiente manera: ⎧m ⎫ _ = ⎨ , con m, n enteros y n ≠ 0⎬ . ⎩n ⎭ La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación ax = b, con a, b ∈ ], a ≠ 0. Ésta sólo tiene solución en ], en el caso particular en que a sea un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que ` ⊂ ] ⊂ _. En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ... son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los números irracionales En muchos temas de la geometría se plantean, en general, problemas para cuya solución el conjunto de los números racionales resulta insuficiente. Así por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x satisface la ecuación x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente que no existe x ∈ _ que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ∈ _ y n ∈ `, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace necesario, por tanto, describir otro conjunto, en el cual ecuaciones como las anteriores tengan solución. El conjunto de los números irracionales, que se denota por _∗ , está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son el número e (base del logaritmo natural), π , 2, etc. En este conjunto se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en _, como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 = 2, cuyas soluciones son x = ± 2, que no son números racionales. 314 Apéndice I Conjunto ℜ de los números reales Se define como ℜ = _ ∪ _∗ . En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también axiomas de campo). 1.2 Axiomas de campo AC1: Uniforme Si se suman entre sí dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. Si se multiplican entre sí dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. AC2: Conmutativa ⎧a + b = b + a. Para todo a, b ∈ ℜ, ⎨ ⎩ a ⋅ b = b ⋅ a. AC3: Asociativa ⎧a + (b + c) = (a + b) + c. Para todo a, b, c ∈ℜ, ⎨ ⎩ a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c. AC4: Modulativa Existe el real 0 (cero) tal que para todo a ∈ ℜ, a + 0 = 0 + a = a. Existe el real 1 (uno), 1 ≠ 0, tal que para todo a ∈ ℜ, a ⋅1 = 1 ⋅ a = a. El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación. AC5: Invertiva Para cada número real a existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota (−a ), tal que a + (− a ) = 0. Para cada número real a ≠ 0 existe un real único llamado el recíproco de a, y que se denota por a −1 o 1/a, tal que a ⋅ a −1 = a ⋅ (1 a ) = 1. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 315 Así por ejemplo, el opuesto de 5 es −5; el recíproco de −2 es 1 −2. Debe notarse que (−a) no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Así, −3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que – (−5) es positivo y es el opuesto de −5. El opuesto de a también se conoce como inverso aditivo, y el recíproco de a también es llamado inverso multiplicativo de a. AC6: Distributiva Para todo a, b, c ∈ ℜ, a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. Consecuencias importantes de los axiomas de campo A continuación se presentan, sin demostración, las consecuencias más importantes de los axiomas de campo. Más que una simple lista, son propiedades conocidas por el estudiante y que le serán bastante útiles en el desarrollo del curso. En algunas demostraciones de los teoremas del cálculo haremos referencia a ellas. C1: Ley cancelativa para la adición (multiplicación) x + y = x + z ⇒ y = z. Si x ≠ 0, entonces xy = xz ⇒ y = z. C2 Para todo a, b ∈ ℜ, la ecuación x + a = b tiene una y sólo una solución en ℜ. C3 Para todo x ∈ ℜ, x ⋅ 0 = 0. C4 x ⋅ y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0. C5 Para todo x ∈ ℜ, si x ≠ 0, entonces x −1 = C6 x Si y ≠ 0, entonces y = 0 ⇔ x = 0. 1 ≠ 0. x C7 Para todo x ∈ ℜ, −(− x) = x. 316 Apéndice I C8 Si x ≠ 0, entonces ( x −1 ) −1 = x. C9 Para todo x, y ∈ ℜ, −( x + y ) = (− x) + (− y ). C10 1 1 1 Si x ≠ 0, y ≠ 0, entonces ( x ⋅ y ) −1 = x −1 ⋅ y −1 . Equivalentemente, xy = x ⋅ y . C11 Si b ≠ 0, d ≠ 0, entonces C12 Si b ≠ 0, d ≠ 0, entonces C13 a c a⋅c Si b ≠ 0, d ≠ 0, entonces b ⋅ d = b ⋅ d . a a⋅d = . b b⋅d a c a⋅d +b⋅c + = . b d b⋅d C14 Para todo x ∈ ℜ, − x = (−1) x. C15 (−1) ⋅ (−1) = 1. C16 (− x) ⋅ (− y ) = xy. C17 −( xy ) = (− x) y = x(− y ). C18 − x −x x = = , y y − y y ≠ 0. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 317 C19 x(y − z) = xy – xz. C20 (x − y) + (y − z) = x − z. C21 (a − b) − (c − d) = (a + d) – (b + c). C22 (a + b) . (c + d) = (a · c + b · d) + (a · d + b · c). C23 (a − b) . (c − d) = (a · c + b · d) − (a · d + b · c). C24 a − b = c – d ⇔ a + d = b + c. C25 Si x2 = x · x, entonces x2 – y2 = (x − y) . (x + y). 1.3 Axiomas de orden Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de ℜ (este subcojunto, denotado por ℜ+ , se identifica con el conjunto de los reales positivos). En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades AO mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado. En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado. AO1 Existe un subconjunto ℜ+ de ℜ tal que: i. + Si a, b ∈ ℜ , entonces (a + b) ∈ℜ+ . a ⋅ b ∈ℜ+ . ii. Para cada a ∈ ℜ, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera: − a ∈ ℜ + ; a = 0; a ∈ ℜ + . 318 Apéndice I Los elementos a ∈ ℜ, para los cuales a ∈ ℜ+ , serán llamados reales positivos. Los elementos a ∈ ℜ, para los cuales −a ∈ ℜ+ , serán llamados reales negativos. Desigualdades Usando solamente el subconjunto ℜ+ descrito en AO1, se deducen todas las reglas usuales en el trabajo con desigualdades de números reales. Definiciones Sean x, y números reales. i. Los símbolos «<» y «>» (que se leen «menor que» y «mayor que», respectivamente) se definen por las afirmaciones: x < y ⇔ y − x ∈ ℜ+ . x > y ⇔ x − y ∈ℜ+ . ii. Los símbolos « ≤ » y « ≥ » (que se leen «menor o igual que» y «mayor o igual que», respectivamente) se definen por las afirmaciones: x ≤ y ⇔ x < y ∨ x = y. x ≥ y ⇔ x > y ∨ x = y. Cada una de las expresiones x < y, x > y, x ≤ y, x ≥ y es llamada desigualdad. De la definición anterior se sigue que las desigualdades x > y e y < x son equivalentes. Igualmente, las desigualdades x ≤ y e y ≥ x son equivalentes. iii. La expresión x < y < z se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x < y e y < z. Igualmente, la expresión x > y > z se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x > y e y > z. En cualquiera de los dos casos de la definición iii, se dice que y está entre x y z. Interpretaciones similares pueden establecerse para las desigualdades: x ≤ y ≤ z; x ≥ y ≥ z; x < y ≤ z; x ≤ y < z, etc. Claramente, a ∈ℜ+ ⇔ a > 0. a es negativo ⇔ a < 0. Las propiedades siguientes, que enunciamos sin demostración, son consecuencia inmediata de la propiedad de orden y serán útiles en el trabajo con desigualdades. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 319 Consecuencias principales de la propiedad de orden 01: Tricotomía Si x, y ∈ ℜ, entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera: x > y ; x = y ; x < y. 02: Transitiva Para todo x, y, z ∈ ℜ, x < y ∧ y < z ⇒ x < z. x > y ∧ y > z ⇒ x > z. 03 Si x, y, z ∈ ℜ, entonces: x< y ⇒ x+z<y+z ∧x–z<y–z. x> y ⇒ x+z>y+z ∧x–z>y–z. x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z ∧ x − z ≤ y − z. x ≥ y ⇔ x + z ≥ y + z ∧ x − z ≥ y − z. 04 a > b > 0 y c ≥ d > 0, entonces: a ⋅ c > b ⋅ d. 05 Las siguientes reglas de los signos para la adición y multiplicación de reales se cumplen: (número positivo) (número negativo) (número positivo) (número negativo) 06 a < b y c > 0 ⇒ a · c < b · c. a < b y c < 0 ⇒ a · c > b · c. Las dos propiedades anteriores muchas veces se expresan diciendo que si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad se conserva, mientras que si se multiplican por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. + (número positivo) + (número negativo) · (número positivo) · (número negativo) = = = = número positivo. número negativo. número positivo. número positivo. 320 Apéndice I 07 Para todo x ∈ ℜ, x 2 ≥ 0. x2 = 0 ⇒ x = 0 . 08 x >0 ⇒ 09 1 1 x > y > 0 ⇒ x < y. 1 > 0. x 1.4 Representación geométrica de los números reales Una manera de representar geométricamente los números reales consiste en tomar una recta generalmente en forma horizontal y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha. Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real, y viceversa: a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto «es» un número real. A la recta sobre la cual se hacen representaciones de los números reales se le seguirá llamando recta real, o también, recta numérica. Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamará segmento unitario, como punto de partida el 0, que en adelante se llamará origen, como números positivos los puntos que se dan a la derecha del origen, y negativos los que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos números reales. Así, para localizar los números enteros se lleva sucesivamente, y a ambos lados de 0 y 1, el segmento unitario, como aparece en la figura 1. Figura 1 Existe una construcción geométrica sencilla para localizar números racionales en la recta real. Ilustremos el procedimiento por medio de un ejemplo. Para representar, por ejemplo, el número racional 12/5, se traza por el origen 0 de la recta real una segunda recta oblicua y a partir de 0 se marcan cinco (5) segmentos iguales sobre la oblicua con extremos en P1, P2, P3, P4 y P5 (figura 2). A continuación se traza la recta que une a P5 con el racional 3 = 15 5 y luego cuatro rectas paralelas a la anterior y que pasen por los puntos P1, P2, P3, P4 y P5. Por geometría elemental se sabe que este sistema de rectas paralelas corta al segmento entre 0 y 3 en cinco partes iguales de manera que la longitud de cada parte es 3/5. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 321 Figura 2 En consecuencia, cada punto de corte en la recta real corresponde en forma sucesiva a los racionales 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y 15/5, entre los cuales se encuentra el racional que se quería representar en la recta. Para los enteros positivos que no son cuadrados perfectos, se puede demostrar que su raíz cuadrada es un número irracional, cuya localización en la recta numérica se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras (figura 3). Figura 3 Otros números irracionales, como π ≈ 3.1415927... y e ≈ 2.7182818... , serán localizados en su forma decimal aproximada. 1.5 Intervalos y valor absoluto Entre los subconjuntos infinitos del conjunto de los reales se destacan nueve de ellos, llamados intervalos, y que se definen de la siguiente forma: Definiciones i. Sean a, b ∈ ℜ, con a < b. 1. El conjunto de puntos { x ∈ ℜ : a < x < b} se llama intervalo abierto de extremos a y b. Se denota por (a, b). 322 Apéndice I Así que (a, b) = { x ∈ℜ : a < x < b} , y geométricamente se representa en la recta real en la forma de la figura 4. ℜ Figura 4 2. El conjunto de puntos { x ∈ ℜ : a ≤ x ≤ b} se llama intervalo cerrado de extremos a y b. Se denota por [a, b]. Así que [ a, b] = { x ∈ℜ : a ≤ x ≤ b} , y geométricamente se representa en la recta real en la forma de la figura 5. ℜ Figura 5 Nótese que a ∉ (a, b), b ∉ (a, b), a ∈ [a, b], b ∈ [a, b]. De manera similar se pueden definir y representar geométricamente los demás tipos de intervalos, que aparecen a continuación de una manera simple. 3. (a, b] = { x ∈ ℜ : a < x ≤ b} (figura 6). ℜ Figura 6 4. [a, b) = { x ∈ ℜ : a ≤ x < b} (figura 7). ℜ Figura 7 ii. Sea a ∈ ℜ. Un intervalo de cualquiera de las siguientes formas se llama semirrecta. 5. ( −∞, a ) = { x ∈ ℜ : −∞ < x < a} (figura 8). ℜ Figura 8 6. ( −∞, a ] = { x ∈ ℜ : −∞ < x ≤ a} (figura 9). ℜ Figura 9 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 323 7. (a, +∞ ) = { x ∈ ℜ : a < x < +∞} (figura 10). ℜ Figura 10 8. [a, +∞) = { x ∈ ℜ : a ≤ x < +∞} (figura 11). ℜ Figura 11 iii. Finalmente, el conjunto ℜ de los números reales se define como el intervalo (−∞, +∞) . Es decir: 9. (−∞, +∞) = { x ∈ ℜ : −∞ < x < +∞} . Valor absoluto a. Definición Sea x ∈ ℜ. El valor absoluto de x, denotado por x , se define como ⎧ x x =⎨ ⎩− x si x ≥ 0 si x < 0 Así, 5 = 5; −8 = −(−8); 0 = 0. El valor absoluto de un número real x es siempre positivo o cero y se interpreta geométricamente como la distancia del punto x al origen (figura 12). Igualmente, x − y se interpreta como la distancia del punto x al punto y en la recta real (figura 13). Figura 12 Figura 13 324 Apéndice I b. Propiedades del valor absoluto (VA) VA1 Para todo x ∈ ℜ, x ≥ 0 y x = 0 ⇔ x = 0. VA2 x = y ⇔ x = y ∨ x = − y. VA3 x · y = x · y , para todo x, y ∈ ℜ. VA4 x x = , y ≠ 0. y y VA5 −x = x . x− y = y−x . VA6 x = x2 . 2 VA6’ x < y ⇔ x2 < y 2 . VA7 x < ∈ ⇔ − ∈ < x < ∈, siempre que ∈ > 0. VA8 x ≤ ∈ ⇔ − ∈ ≤ x ≤ ∈, siempre que ∈ ≥ 0. VA9 x > a ⇔ x > a ∨ x < −a, siempre que a > 0. VA10 x ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a. VA11 − x ≤ x ≤ x , para todo x ∈ ℜ. VA12: Desigualdad triangular Para todo x, y ∈ℜ, x + y ≤ x + y . ¿En qué caso se verifica la igualdad? (compruebe). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 325 VA13 x− y ≤ x + y . VA14 x − y ≤ x− y . Solución de desigualdades En una desigualdad que envuelve una incógnita, dígase la letra x, un valor particular de x satisface la desigualdad si al reemplazar x por su valor particular (en todas sus ocurrencias) la convierte en una proposición verdadera. Así por ejemplo, x = 1 es un valor particular de x que satisface la desigualdad 3x − 1 < x + 5 , ya que 3(1) − 1 < 1 + 5, mientras que x = 4 no es solución particular. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera. En contraste con una ecuación, cuya solución en general es un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución de una desigualdad consta por lo común de un intervalo, unión infinita de intervalos y en algunos casos el conjunto vacío. Asi, el conjunto solución de la desigualdad x2 – x < 6 es el intervalo ( −2,3), el conjunto solución de la desigualdad x2 − x ≥ 6 es ( −∞, −2] ∪ [3, +∞ ) y el conjunto solución de la desigualdad x2 + 5 < 4 es el conjunto vacío (¿por qué?). El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformar la desigualdad inicial en una desigualdad equivalente (tiene las mismas soluciones). Las herramientas principales para hacerlo es el uso adecuado de las propiedades de orden y sus consecuencias. Ello implica que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solución. En particular: 1. Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad. 2. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva. 3. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, pero entonces se debe invertir el sentido del signo de la desigualdad. 326 Apéndice I Ejercicios resueltos sobre intervalos, desigualdades y valor absoluto Ejemplo 1 Considere los siguientes intervalos: A = [−3, 3]; B = (−3, 3); C = [−1, 4]; D = (−4, 5]. Dibuje sobre la recta real y escriba con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a. b. c. d. e. f. Solución En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera más sencilla las operaciones propuestas. A∪D A∩C B–C A ∩ (B ∪ C) B * (el complemento de B) C * (el complemento de C) Así que: a. b. A ∪ D = D = (−4, 5] = { x ∈ℜ : −4 < x ≤ 5} . Como la intersección de dos conjuntos corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de las gráficas que A ∩ C = [−1, 3] = { x ∈ℜ : −1 ≤ x ≤ 3} . c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B, pero que no están en C, esto es, el intervalo (−3, −1). Así que B − C = (−3, −1) = { x ∈ ℜ : −3 < x < −1} . Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 327 Igualmente, C − B = [3, 4] = { x ∈ℜ : 3 ≤ x ≤ 4} . d. En primer lugar, B ∪ C = (−3, 4] = { x ∈ℜ : −3 < x ≤ 4} . De la gráfica anterior se deduce que A ∩ (B ∪ C) = (−3, 3] = { x ∈ℜ : −3 < x ≤ 3} . e. En este caso, el conjunto universal o referencial es ℜ. Así que B* = ℜ − B = ( −∞, −3] ∪ [3, +∞ ) = { x ∈ℜ : x ≤ −3 ∨ x ≥ 3} . f. Igualmente, C* = ℜ − C = ( −∞, −1) ∪ ( 4, +∞ ) = { x ∈ℜ : x < −1 ∨ x > 4} . Ejemplo 2 Resuelva la desigualdad 3x − 1 ≤ x + 5. Solución 3x − 1 ≤ x + 5 ⇔ 3 x − x ≤ 5 + 1, ⇔ 2 x ≤ 6, ⇔ x ≤ 3. En consecuencia, la solución o el conjunto solución S viene dado por S = { x ∈ℜ : x ≤ 3} = ( −∞, 3]. Ejemplo 3 x 2 > . x2 + 3 x2 + 3 Resuelva la desigualdad Solución x 2 > ⇔ x > 2 (¿por qué?). x2 + 3 x2 + 3 328 Apéndice I En consecuencia, la solución es el intervalo abierto (2, +∞). Ejemplo 4 x 2 ≥ . x −1 x −1 Resuelva la desigualdad Solución Debe notarse en primer lugar que la desigualdad positivo. Sin embargo, x 2 x−2 ≥ ⇔ ≥ 0. x −1 x −1 x −1 x 2 ≥ no es equivalente a x ≥ 2, puesto que ( x − 1) no siempre es x −1 x −1 Esta última desigualdad se satisface si y sólo si x = 2 o las dos cantidades (x – 2) y (x – 1) tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) (¿por qué?). Pero (x – 2) y (x – 1) son positivas si y sólo si x > 2. También (x – 2) y (x – 1) son negativas si y sólo si x < 1. En consecuencia, la solución de la desigualdad la constituye la unión de los intervalos [ 2, +∞ ) y ( −∞,1) . Esto es, S = ( −∞,1) ∪ [ 2, +∞ ) . Ejemplo 5 x−2 x+2 < . x −1 x + 1 Resuelva la desigualdad Solución En primer lugar, la «inexperiencia» lo puede llevar a efectuar el producto de extremos y medios, conservando el sentido de la desigualdad y escribir que x−2 x+2 < ⇔ ( x − 2)( x + 1) < ( x + 2)( x − 1) ⇔ x > 0 es la solución. x −1 x +1 Sin embargo, existen valores de x, x > 0 que no son solución (por ejemplo x = 1 2 ) y existen valores de x, x < 0 que sí son Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 329 solución (por ejemplo x = −1 2). En consecuencia, x > 0 no corresponde al conjunto solución. Para evitar situaciones como la anterior, procedemos de la siguiente forma: x−2 x+2 x−2 x+2 < ⇔ − < 0, x −1 x +1 x −1 x +1 ⇔ ⇔ ( x − 2)( x + 1) − ( x − 1)( x + 2) < 0, ( x − 1)( x + 1) −2 x < 0. ( x − 1)( x + 1) La última desigualdad puede resolverse analíticamente distinguiendo varios casos según el signo del numerador y el denominador de la fracción. El método que se propone a continuación es mucho más ágil y puede desarrollarse siguiendo estos pasos: 1. Se analiza el signo de cada uno de los factores que contiene el numerador y el denominador de la fracción, tomando como punto de referencia los valores que anulan cada factor. Para ello se eligen puntos de prueba anteriores y posteriores al referencial. Se efectúa el producto de los signos de cada factor en los intervalos determinados por los puntos de referencia. El conjunto solución lo constituye el intervalo o unión de intervalos cuyo signo coincide con el signo del lado derecho de la desigualdad. Así, si el signo del lado derecho de la desigualdad es «>», se eligen los intervalos con signo (+). Si el signo del lado derecho de la desigualdad es «<», se eligen los intervalos con signo (−). 4. Se verifica si los puntos referenciales pertenecen o no al conjunto solución, sustituyéndolos en la desigualdad para poder determinar de esta forma la naturaleza de ellos: abierto, cerrado, semiabierto, etc. 2. 3. −2 x Apliquemos el método al caso particular ( x − 1)( x + 1) < 0. El diagrama adjunto recoge toda la información obtenida si- guiendo el método descrito. Punto de referencia Signo de +++++++++ ⏐ −−−−−−−−− (–2x) 0 Signo de − − − − − − − − − − − − − ⏐ +++++ (x − 1) 1 Signo de − − − − ⏐+ + + + + + + + + + + + (x + 1) −1 Signo del producto ++++ ⏐−−−−−⏐ ++++ ⏐ −−−− −1 0 1 − 2x = 0 ⇒ x=0 Puntos de prueba x=1 x = −1 x=0 x=2 x= −2 x=0 x−1=0 ⇒ x = +1 x+1=0 ⇒ x= −1 330 Apéndice I Note que los puntos referenciales no satisfacen la desigualdad, por tanto no pertenecen al conjunto solución. Como el signo del lado derecho de la desigualdad es «<», interesan para la solución los intervalos del producto con signo (–). Es decir, S = (–1, 0) ∪ (1, + ∞) es el conjunto solución. Ejemplo 6 Resuelva la desigualdad 3x + 1 ≥ 2 x − 6 . Solución La desigualdad inicial puede escribirse en las formas equivalentes: 3x + 1 ≥ 2 x − 6 ⇔ 3x + 1 ≥ 2 x − 12 , ⇔ (3 x + 1) 2 ≥ (2 x − 12) 2 (propiedad VA6′), ⇔ 9 x 2 + 6 x + 1 ≥ 4 x 2 − 48 x + 144, ⇔ 5 x 2 + 54 x − 143 ≥ 0, ⇔ (5 x − 11) . ( x + 13) ≥ 0. La última desigualdad la resolvemos por el método gráfico. Punto de referencia Signo de (5x –11) Signo de (x + 13) Signo del Producto ––––––––|+++++++ 11/5 – – –|+ + + + + + + + + + + + + –13 + + +|– – – – –|+ + + + + + + + –13 11/5 5x –11 = 0 ⇒ x = 11/5 = 2.2 x + 13 = 0 ⇒ x = –13 Puntos de prueba x=2 x=3 x = –14 x = –12 Nótese que al sustituir los valores de x de los puntos de referencia en la última desigualdad, se transforma en una proposición verdadera. ⎛ 11 ⎞⎛ 11 ⎞ O sea que si x = 11/5, entonces ⎜ 5 ⋅ − 11⎟⎜ + 13 ⎟ ≥ 0; también, si x = −13, entonces ( 5 ( −13) − 11) ( −13 + 13 ) ≥ 0. ⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠ En consecuencia, dichos puntos pertenecen al conjunto solución. Como el signo del lado derecho de la última desigualdad es « ≥ », interesan para la solución los intervalos del producto con signo (+). Es decir, S = ( −∞, –13] ∪ [11/5, +∞) es el conjunto solución. Se recomienda al estudiante lector que, después de estudiar los ejemplos anteriores, afiance los conocimientos adquiridos desarrollando los ejercicios propuestos que para tal fin aparecen en las secciones 1.5.1 y 1.5.2 de la página: http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/, del autor de este apéndice. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 331 332 Apéndice I Apéndice II 2 La línea recta Introducción El propósito en este apéndice es presentar las diferentes formas de la línea recta. Antes de hacerlo se presentan algunos conceptos preliminares, como el de distancia entre dos puntos del plano y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una recta en el plano cartesiano. Se asume que el lector conoce los conceptos de plano cartesiano y la localización de puntos en el mismo. 2.1 Teorema: Distancia entre dos puntos del plano Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y P2, denotada por d = PP 1 2 , está dada por d= P ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 . 1P 2 = Demostración (1) En la figura 1 se han localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), así como también el segmento de recta P . 1P 2 Figura 1 Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se intersecan en el punto R, determinando el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual se puede aplicar la relación pitagórica P 1P 2 = P 1 R + RP 2 . 2 2 2 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 333 Pero P 1P 2 = P 1P 2 ; P 1 R = x2 − x1 y RP 2 = y2 − y1 . 2 2 Por tanto, P = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 , 1P 2 d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 . Observaciones i. En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no negativo. Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia. Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x (figura 2a), entonces P 1P 2 = x2 − x1 puesto que y1 = y2. ii. Figura 2 Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (figura 2b), entonces P 1P 2 = y2 − y1 puesto que x2 = x1. 2.2 Coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. Coordenadas del punto medio Considere el segmento P 1P 2 cuyos extremos son los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) (figura 3). Figura 3 334 Apéndice II PM λ= 1 . Sea M (x, y) un punto sobre el segmento P y llamemos P 1 2 PP 1 2 (1) Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos de λ y de las coordenadas de los puntos P1 y P2. Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados resultan los triángulos rectángulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces se puede escribir y2 − y x2 − x MP2 = = . y − y1 x − x1 PM 1 (2) Ahora, de (1) MP 1 PP 1 2 = . 1 λ Por tanto, P 1M P 1P 2 −P 1M = 1 − λ (obsérvese que cuando M se mueve de P1 a P2, λ varía de manera continua tomando valores λ entre 0 y 1). P 1M MP2 En consecuencia, = , 1 − λ que al sustituir en (2) da λ y2 − y x2 − x 1 − λ = = . y − y1 x − x1 λ 1− λ y2 − y , y − y1 y De donde λ = (3) x2 − x 1 − λ = . x − x1 λ (4) Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente: y = y1 + λ ( y2 − y1 ), x = x1 + λ ( x2 − x1 ). (5) (6) Las ecuaciones (5) y (6) resuelven el problema. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 335 Observaciones i. ii. Nótese que para cada valor de λ , 0 ≤ λ ≤ 1 las ecuaciones (5) y (6) nos dan un punto sobre el segmento P1P2. En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en notación de conjunto en la siguiente forma: x = x1 + λ ( x2 − x1 ) ⎧ ⎫ 2 P ; 0 ≤ λ ≤ 1⎬ . 1P 2 = ⎨( x, y ) ∈ R y y y y λ ( ) = + − ⎩ ⎭ 1 2 1 iii. PM 1 1 Nótese finalmente que cuando M coincide con el punto medio de P entonces λ = PP = 2 , y en consecuencia 1P 2, 1 2 1 1 x = x1 + ( x2 − x1 ) e y = y1 + ( y2 − y1 ). 2 2 Es decir, x = x1 + x2 y + y2 y y= 1 representan las coordenadas del punto medio del segmento P 1P 2. 2 2 2.3 Pendiente e inclinación de una recta Definiciones i. El ángulo θ ( 0 ≤ θ < π ) que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la recta L se llama ángulo de inclinación de la recta L (figura 4a). ii. Si L es una recta no vertical, la pendiente de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, m = tan θ , (1) siendo 0 ≤ θ < π , θ ≠ . 2 El número m se conoce también con el nombre de coeficiente angular de la recta L. π Figura 4 336 Apéndice II Observaciones i. ii. Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por tanto su pendiente m = tan 90º = + ∞ (figura 4c). Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L (figura 4b), entonces, de acuerdo a la definición de pendiente, se tiene que m = tan θ = y2 − y1 , x2 ≠ x1 . x2 − x1 (2) Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo se hará uso indistinto de ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas. iii. El nombre de pendiente de una recta está justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100. La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así: Si θ = 0º, entonces m = 0 (figura 5a). Si 0º < θ < 90º, entonces m > 0 (figura 5b). Si 90º < θ < 180o, entonces m < 0 (figura 5c). iv. Figura 5 v. El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas. Dados tres puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son colineales si y sólo si la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3 e igual a la determinada por P1 y P3. 2.4 Formas de la ecuación de la línea recta 2.4.1 Ecuación de la recta que pasa por el origen Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación θ con el eje x (figura 6). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 337 Figura 6 Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen ′ 2′ y P3′ los puntos P 1 , P ′ ′ ′ Como los triángulos OP 1P 1 , OP 2P 2 y OP 3P 3 son semejantes, se tiene que y1 y2 y3 = = = const = tan θ = m. x 1 x2 x3 Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, y = m o y = mx. x (1) La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 2.4.2 Ecuación de la recta conocida su pendiente m y su intercepto b con el eje y Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan θ ) y b (figura 7). Figura 7 Trace por el origen la recta l´ paralela a l. Sea P (x, y) un punto de l. Al llamar P´ la proyección de P sobre el eje x, PP´ corta a la recta l´ en un punto P´´ de coordenadas P´´(x, Y), Y ≠ y. Como P´´ (x, Y) está sobre l´, entonces Y = tan θ = m, de donde Y = mx. x 338 Apéndice II Ahora, el cuadrilátero OBPP´´ es un paralelogramo. Por tanto, P´´P = OB = b, y se tiene que: y = P´P = P´P´´ + P´´P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y) ∈ l, y = mx + b = (tan θ )x + b. La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y. 2.4.3 Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente conocida Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida (figura 8). Figura 8 Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l viene dada por y = mx + b. Como P1(x1, y1) ∈ l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene que y1 = mx1 + b. (2) (1) Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene y – y1 = m(x – x1). (3) La ecuación (3) es conocida como la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma y = mx + (y1 – mx1), lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por b = y1 – mx1. 2.4.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese ml su pendiente. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 339 Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente ml (figura 9), se tiene, de acuerdo a 2.4.3, que y – y1 = ml (x – xl) representa la ecuación de dicha recta. (1) Figura 9 Ahora, como el punto P2(x2, y2) ∈ l, entonces satisface su ecuación, esto es, y2 – y1 = m1 ( x2 − x1 ), de donde m1 = y2 − y1 . x2 − x1 (2) Sustituyendo (2) en (1) se obtiene y − y1 = y2 − y1 ( x − x1 ), x2 − x1 x2 ≠ x1 . (3) La ecuación (3) se conoce como la forma dos-puntos de la ecuación de la recta. Observaciones i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación (3) también puede escribirse en la forma y= ⎡ y2 − y1 y −y ⎤ x + ⎢ y1 − x1 2 1 ⎥ , x2 − x1 x2 − x1 ⎦ ⎣ lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por b = y1 − x1 y2 − y1 . x2 − x1 ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1, y1), entonces la ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así: x x1 x2 y 1 y1 1 = 0. y2 1 340 Apéndice II 2.4.5 Ecuación segmentaria de la recta Considere la recta l de la cual se conocen los interceptos a y b con los ejes x e y, respectivamente (figura 10). Figura 10 Como l pasa por los puntos A (a, 0) y B (0, b), entonces, de acuerdo a la sección 2.4.4, la ecuación de l viene dada por: y−0 = b−0 ( x − a). 0−a Es decir, y = −b b ( x − a), de donde x + y = b. a a Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene x y + = 1. a b (1) La ecuación (1) se conoce como la ecuación segmentaria, canónica o forma de los interceptos de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta interseca con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1) ⎧ y = 0, resulta x = a (intercepto con el eje x ) ⎨ ⎩ x = 0, resulta y = b (intercepto con el eje y ) 2.4.6 Ecuación general de la línea recta La ecuación Ax + By + C = 0, donde A, B, C son números reales y A y B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ecuación general de primer grado en las variables x e y. La ecuación explícita de la recta, cuando se conocen dos puntos, excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema: Teorema La ecuación general de primer grado: Ax + By + C = 0 (1) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 341 con A, B, C ∈ ℜ, A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta. Demostración Se pueden considerar varios casos: i. A = 0, B ≠ 0. En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0, de donde y= −C . B (2) La ecuación (2) representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es − C (figura 11). B Figura 11 ii. A ≠ 0, B = 0. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde C x=− . A (3) C (figura 12). A La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es − Figura 12 342 Apéndice II iii. A ≠ 0, B ≠ 0. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma: y=− A ⎡ C⎤ x + ⎢− ⎥ . B ⎣ B⎦ (4) La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es m = − b=− C (figura 13). B A y cuyo intercepto con el eje y viene dado por B Figura 13 Observaciones i. Es posible escribir la ecuación general de la línea recta en varias formas, de tal manera que sólo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1) en las siguientes formas equivalentes: x+ B C y + = 0. A A (1A) A C x + y + = 0. B B A B x + y + 1 = 0. C C (1B) (1C) En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existen esencialmente sólo dos constantes independientes, por ejemplo B C y en (1A). A A Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 343 ii. Cuando la ecuación de una recta está expresada en la forma general Ax + By + C = 0, su pendiente o coeficiente angular con respecto al eje x, m, viene dado por m = − y, viene dado por n = − B . A A y su coeficiente angular n, con respecto al eje B Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta. 2.5 Ángulo entre dos rectas. Perpendicularidad y paralelismo entre rectas Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son θ1 y θ2 , respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (figura 14), esto es, β1 = β 2 = θ1 − θ 2 , y α1 = α 2 = 1800 − β1 . Se define el ángulo entre l1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1.En este caso el ángulo entre l1 y l2 viene dado por β1 = θ1 − θ2 . (1) Figura 14 El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad (1) se tiene: tan β1 = tan(θ1 − θ 2 ), = tan θ1 − tan θ 2 π , β1 ≠ . 1 + tan θ1 tan θ 2 2 (2) También, cot β1 = cot(θ1 − θ 2 ), = 1 + tan θ1 tan θ 2 , β1 ≠ 0. tan θ1 − tan θ 2 (3) 344 Apéndice II Puesto que m1 = tan θ1 y m2 = tan θ 2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma: tan β1 = m1 − m2 π , β1 ≠ , 1 + m1 · m2 2 1 + m1 · m2 , β1 ≠ 0. m1 − m2 (2)´ cot β1 = (3)´ Las ecuaciones (2)´ y (3)´ expresan la tangente y la cotangente del ángulo β1 entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes, y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como lo afirma el siguiente teorema. Teorema: Condiciones de perpendicularidad y paralelismo Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces: i. ii. l1 es paralela ( & ) a l2 ⇔ m1 = m2 . l1 es perpendicular ( ⊥ ) a l2 ⇔ m1 · m2 = −1. Demostración En la figura 15 aparece ilustrada cada una de las situaciones. Figura 15 i. Suponga que l1 & l2, y veamos que m1 = m2. En efecto, como l1 & l2, entonces los ángulos θ1 y θ 2 son iguales por correspondientes, y en consecuencia tan θ1 = tan θ 2 , es decir, m1 = m2. Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tan β1 = 0, y de aquí β1 = θ1 − θ 2 = 0, de donde θ1 = θ 2 y por tanto l1 y l2 son paralelas. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 345 ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces β1 = mos 0 = π 2 y cot β1 = cot π 2 = 0. Sustituyendo este último valor en (3)´ obtene- 1 + m1 ⋅ m2 , de donde m1 · m2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m1 · m2 = −1. m1 − m2 1 , y como m2 = tan θ 2 , y m1 = tan θ1 , se tiene que m2 Recíprocamente, si m1 · m2 = − 1, entonces m1 = − tan θ1 = − 1 = − cot θ 2 , de donde, sin pérdida de generalidad, hemos escogido la recta l1 con mayor inclinatan θ 2 ción θ1. Teniendo en cuenta que tanto θ1 como θ 2 son ángulos positivos y menores que 180º, concluimos que θ1 = 90º + θ 2 , de lo cual θ1 − θ 2 = 90º y por tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares. Observaciones i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0, puesto que m1 = − A m = − A1 , y 2 B1 entonces las condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden B enunciarse en la siguiente forma: l1 & l2 ⇔ − A A A B =− 1 ⇔ = ⇔ AB1 − A 1 B = 0. B B1 A1 B1 ⎛ A ⎞⎛ A ⎞ l1 ⊥ l2 ⇔ ⎜ − ⎟ ⎜ − 1 ⎟ = −1 ⇔ A ⋅ A1 = − B ⋅ B1 ⇔ A ⋅ A1 + B ⋅ B1 = 0. ⎝ B ⎠ ⎝ B1 ⎠ ii. Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición necesaria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes. ⇔ A1 B1 C1 = = ⇔ A1 = kA, B1 = kB, C1 = kC. A B C Distancia de un punto a una recta Teorema Sea P(x1, y1)un punto que no pertenece a la recta de ecuación Ax + By + C = 0. La distancia d del punto P a la recta l viene dada por medio de la fórmula d= Ax1 + By1 + C A2 + B 2 . Demostración Vea los ejercicios 12 y 13 de la sección 4.11 de la página web: http:// huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ Se recomienda a los estudiantes lectores de este apéndice mirar los ejemplos resueltos y desarrollar los ejercicios propuestos en las secciones 4.11 y 4.12 de la misma página. 346 Apéndice II Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 347 Apéndice III 3 Funciones y sus gráficas Introducción Quizás la idea central en la matemática sea el concepto de función. En la historia de la matemática parece ser René Descartes quien introdujo primeramente en el año 1637 el concepto de función, para significar la potencia entera de la variable x. Posteriormente Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) utilizó dicho concepto para denotar las cantidades asociadas a una curva. Leonhard Euler (1706-1783) lo utilizó luego para identificar la relación entre variable y constantes en una fórmula. Pero la definición que se usa actualmente de función es debida a Peter Dirichlet (1805-1859), la cual describe una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos. Intuitivamente se considera que la cantidad y es función de la cantidad x, si existe alguna regla, ley o procedimiento que permita asignar un valor único de y para cada valor que se considere de x, dentro de cierto conjunto posible de valores. Muchas veces es posible expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática, como ocurre por ejemplo con el área y de un círculo, en función del radio x, y = π x2; otras veces es difícil o aun imposible hallar la fórmula matemática que relaciona las variables x e y aunque siga siendo posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x. Lo que interesa realmente es poder determinar un conjunto de pares ordenados (x, y), independientemente de si la ley o regla que relaciona las variables x e y es de tipo matemático, empírica o simplemente descriptiva. Definiciones i. Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B. Se usan indistintamente los símbolos f :A→B x → y = f ( x) f A ⎯⎯ →B x 6 y = f ( x) para expresar que «f» es una función de A en B y que además al elemento x de A le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B. ii. Al conjunto A se le llama dominio de la función y se denotará por el símbolo D (f). Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los elementos de A, se le llama rango de la función y se denotará por el símbolo r (f). 348 Apéndice III Observaciones i. Para los conceptos del cálculo que se desarrollan, los conjuntos A y B mencionados anteriormente son por lo general subconjuntos de ℜ; de esta forma, la función f : A ⊂ ℜ → B ⊂ ℜ se llamará función real de variable real. ii. En la expresión y = f (x) que expresa la correspondencia entre los elementos x de A con los y de B, la letra x se llama variable independiente y la letra y se denomina variable dependiente. En el siguiente ejemplo se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora. Considere los conjuntos: A = {a, b, c, d , e} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , y la función f : A → B definida por medio del diagrama de la figura 1: Figura 1 Se tiene entonces que: La imagen del elemento La imagen del elemento La imagen del elemento La imagen del elemento La imagen del elemento Ahora, a b c d e mediante mediante mediante mediante mediante f f f f f es es es es es 5. 3. 7. 0. 5. Es decir, f (a) = 5. Es decir, f (b) = 3. Es decir, f (c) = 7. Es decir, f (d) = 0. Es decir, f (e) = 5. D( f ) = A = {a, b, c, d , e} , r ( f ) = {0,3,5,7} ⊂ B. En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función sino solamente la regla o correspondencia entre sus elementos, se entenderá que tanto A como B son subconjuntos de números reales. En este caso se dice que el dominio es el conjunto de números reales para los cuales tiene sentido la «regla» o «correspondencia», o más precisamente, los valores para los cuales f (x) es un número real. Más adelante se ilustrará la manera de proceder en estos casos. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 349 3.1 Gráfica de una función En las aplicaciones es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad que una ecuación o una tabla la relación que existe entre las variables de una función. Las ecuaciones y tablas que corresponden a una función por lo general requieren algunos cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con claridad todo tipo de información contenida en ellas. Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que relaciona las variables x e y, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación. Más precisamente: Definición Sea f : A ⊂ ℜ → B ⊂ ℜ una función real de variable real. La gráfica de f es el conjunto de puntos ( x, y ) ∈ ℜ 2 tales que la pareja ordenada (x, y) pertenece a f. Es decir, 2 gráfica de f = {( x, y ) ∈ ℜ : y = f ( x), x ∈ D( f )} . Observación La restricción dada en la definición de función de que no existen dos parejas distintas que tengan la primera componente igual se traduce en la gráfica de la función de la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en más de un punto (criterio de la recta vertical). Figura 2 Así por ejemplo, la gráfica de la figura 2a corresponde a la gráfica de una función (la recta vertical sólo corta la gráfica en el punto A), mientras que la figura 2b no corresponde a la gráfica de una función. Nótese que la recta vertical corta la gráfica en más de un punto: A, B y C. En el capítulo 4 del texto se trazaron las gráficas de muchas funciones, definiendo y especificando otros elementos teóricos útiles (asíntotas, máximos, mínimos, concavidad) que permiten ver con mayor claridad la relación entre las variables x e y de una función y = f (x). 350 Apéndice III 3.1.1 Algunas funciones especiales A continuación se describen algunas funciones especiales y los nombres con que se les conoce en el lenguaje matemático. Además se muestra una gráfica aproximada de cada una de ellas. i. Función exponencial de base a (figura 3) f : ℜ → ℜ+ , x 6 y = f ( x) = a x , a > 0, a ≠ 1. Figura 3 ii. Función logarítmica de base a (figura 4) f : ℜ+ → ℜ, x 6 y = f ( x) = log a x, a > 0, a ≠ 1. Figura 4 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 351 iii. Función lineal (figura 5) f : ℜ → ℜ, x 6 y = f ( x) = mx + b, que corresponde a la línea recta de pendiente m e intercepto b con el eje y. Figura 5 iv. Función cuadrática (figura 6) f : ℜ → ℜ, x 6 y = f ( x ) = ax 2 + bx + c, donde a, b, c ∈ ℜ y que corresponde a una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a. En la figura 6 aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a. Igualmente, como caso particular, se ha trazado la curva y = x2 (figura 6c). (a) (b) Figura 6 (c) 352 Apéndice III v . Ramas de circunferencia (figura 7) La ecuación en forma implícita x2 + y2 = r2, que corresponde a una circunferencia centrada en el origen y radio r, y cuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), genera, sin embargo, dos funciones llamadas ramas de circunferencia y cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación: x2 + y2 = r f : [–r, r] → ℜ x 6 y = f ( x) = r −x 2 2 f : [–r, r] → ℜ x 6 y = f ( x) = − r 2 − x 2 Rama superior de la circunferencia Figura 7 Rama inferior de la circunferencia vi. Ramas de elipse (figura 8) x2 y 2 + = 1, con a, b ∈ℜ, y a > b, corresponde a una elipse centrada en el origen y a 2 b2 eje mayor 2a y cuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical) y genera dos funciones llamadas ramas de elipse, cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación: La ecuación en forma implícita x2 y 2 + =1 a 2 b2 f : [ − a, a] → ℜ b 2 a − x2 a Rama superior de la elipse x 6 y = f ( x) = Figura 8 f : [ − a, a] → ℜ b 2 a − x2 a Rama inferior de la elipse x 6 y = f ( x) = − Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 353 vii. Ramas de parábola (figura 9) La ecuación en forma implícita y2 = x corresponde a una parábola abierta hacia el eje x positivo y cuyo vértice y foco son respectivamente los puntos V (0, 0) y F (1/2, 0). Su gráfica no es una función (criterio de la recta vertical); sin embargo, genera dos funciones llamadas ramas de parábola, cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación: y2 = x f : ℜ + ∪ {0} → ℜ x6 y= y= x Rama superior de la parábola Figura 9 f : ℜ+ ∪ {0} → ℜ x6 y= y=− x Rama inferior de la parábola viii. La ecuación en forma implícita x · y = 1 corresponde a una curva llamada hipérbola equilátera y genera la función f: ℜ− {0} → ℜ, 1 x 6 y = f ( x) = , x cuya gráfica aparece en la figura 10. Figura 10 354 Apéndice III ix. Función polinómica de grado n f : ℜ → ℜ, x → y = f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n , en donde a0, a1, a2,...,an son números reales. Casos particulares 1. La función definida por y = f (x) = a0 (a0 una constante) se llama función constante y su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x, a0 unidades por encima o por debajo del eje x (figura 11) según el signo de a0. Figura 11 2. 3. La función definida por y = f (x) = a0 + a1x se llama función lineal (ver iii). La función definida por y = f (x) = x se llama función identidad y su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x (figura 12). Figura 12 4. La función definida por y = f (x) = a0 + a1x + a2x2 se llama función cuadrática (ver iv). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 355 5. La función definida por y = f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 se llama función cúbica. Entre estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se trata de la función y = f (x) = x3, llamada parábola cúbica, cuya gráfica aparece en la figura 13. Figura 13 x. Función mayor entero menor o igual a x f : ℜ → ]. x 6 y = f ( x) = a x b = n, en donde n es un número entero tal que n ≤ x < n + 1. La expresión a x b se lee: «mayor entero que no supera a x». Así, para x = 0.85, a x b = a0.85b = 0. También, a1.35b = 1, a −2.4b = −3. La gráfica de la función se muestra en la figura 14 y está constituida por una serie de segmentos unitarios, faltándole a cada uno su extremo derecho. Figura 14 356 Apéndice III xi. Función definida a tramos f : A ⊂ ℜ → ℜ, ⎧ f1 ( x) si x ∈ D1 ⎪ f ( x) si x ∈ D 2 ⎪ 2 ⎪ ⎪. x 6 y = f ( x) = ⎨ ⎪. ⎪. ⎪ ⎪ ⎩ f n ( x) si x ∈ Dn en donde D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ ........... ∪ Dn = A (dominio de f). Casos particulares 1. Función valor absoluto f : ℜ → ℜ+ ∪ {0} , ⎧ x si x ≥ 0 x6 y= x =⎨ ⎩ − x si x < 0 La gráfica de la función valor absoluto está formada por las rectas perpendiculares y = x y y = − x (figura 15). Figura 15 2. Función signo f : ℜ → {−1, 0, 1} ⎧−1 si x < 0 ⎪ x 6 y = f ( x) = ⎨ 0 si x = 0 ⎪ 1 si x > 0 ⎩ Su gráfica se muestra en la figura 16 y está constituida por el origen de coordenadas y dos semirrectas a las cuales les falta el punto inicial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 357 Figura 16 Note que el dominio es el conjunto ℜ, mientras que el rango es el conjunto {–1, 0, 1}. xii. Función racional f : ℜ → ℜ, x 6 y = f ( x) = Pn ( x) , Qm ( x) en donde Pn (x) y Qm(x) son polinomios de grados n y m, respectivamente. Nótese que el dominio de una función racional f viene dado por D( f ) = { x ∈ℜ : Qm ( x) ≠ 0} = ℜ − { x ∈ℜ : Qm ( x) = 0} . Es decir, el dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores que anulan el denominador. 3.2 Funciones algebraicas y trascendentes Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por ( y= x +5 2/3 (x + 3) ). 3 Se llama función trascendente aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes: y = e x + sen x. y = 3x. y = log 2 x + 5. 358 Apéndice III 3.3 Funciones pares e impares Definiciones i. Una función f es par si los números x y − x están en su dominio y además f ( − x) = f (x). ii. Una función f es impar si los números x y − x están en su dominio y además f ( − x) = − f (x). Observaciones i. Es evidente desde el punto de vista geométrico que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y (figura 17). Figura 17 También es evidente que toda función racional que sólo contiene potencias pares (x0, x2, x4, ...) de la variable x, es par. Así, la función y = f ( x) = ii. x2 − 1 es par. x + 2 x2 + 1 4 Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen (figura 18). Figura 18 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 359 3.4 Funciones periódicas Definición Una función es periódica con periodo P ≠ 0 si su dominio contiene al número (x + P) siempre que contenga a x, y si además f(x + P) = f (x) para todo x ∈ D( f ). El mínimo número positivo P con esta propiedad se denomina periodo primitivo de f. La definición anterior significa, geométricamente, que para cualquier a ∈ D ( f ) la gráfica entre a y (a + P) es exactamente igual a la gráfica entre (a + P) y (a + 2P), y así sucesivamente (figura 19). Figura 19 Son ejemplos de funciones periódicas: 1. Las funciones trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante, que tienen periodo P = 2π, mientras que las funciones tangente y cotangente tienen periodo P = π. En efecto, Si f (x) = sen x, entonces f (x + 2π) = sen (x + 2π) = sen x = f (x). Si g (x) = cos x, entonces g (x + 2π) = cos (x + 2π) = cos x = g (x). Si h(x) = tan x, entonces h (x + π) = tan (x + π) = tan x = h (x). En la figura 20 aparecen las gráficas de las funciones trigonométricas en las cuales se indica el periodo correspondiente. 360 Apéndice III Figura 20 2. La función constante (sección 3.1.1) f (x) = k es una función periódica, puesto que para cualquier número P, f (x + P) = k = f (x). Nótese, sin embargo, que esta función carece de periodo primitivo. 3.5 Operaciones con funciones Definición Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones: i. ii. iii. iv. Suma Diferencia Producto Cociente ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) . ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) . (f · g )( x ) = f ( x ) · g ( x ) . f ( x) ⎛f⎞ . ⎜ ⎟ ( x) = g ( x) ⎝g⎠ Nota: en cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 361 v. Composición de funciones Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva función llamada la «compuesta de f y g». Sean f : A → B y g : B → C dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque sólo es suficiente que únicamente sea una parte de él, es decir, B ⊂ B* (figura 21). El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x ∈ A mediante f, y luego obtener la imagen de f (x) ∈ B mediante g. Figura 21 Definición Sean f : A → B y g : B → C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g D f), es la función: g D f : A → C, x 6 ( g D f )( x) = g ( f ( x)). Así por ejemplo, si f y g son las funciones definidas por f ( x) = x−3 y g ( x) = x , 2 entonces, ( g D f )( x ) = g ( f ( x ) ) = f ( x) = x −3 , 2 ( f D g )( x ) = f ( g ( x ) ) = g ( x) − 3 = 2 x −3 . 2 Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general ( g D f )( x) ≠ ( f D g )( x). Se debe tener también cuidado con los dominios de g D f y de f D g. El dominio de g D f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f (x) como preimagen. Esto es, D (f ) = ℜ. 362 Apéndice III Ahora, como g sólo acepta reales positivos de f (x), esto es, valores de x para los cuales f ( x) ≥ 0 ⇔ concluye entonces que D(g D f) = [3, + ∞). Nótese que (g D f) (1) = g (f (1)) = g (−1) no está definido. Igualmente, (g D f) (2) = g (f (2)) = g (−1/ 2) no está definido. x−3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3, se 2 También, el dominio f D g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g (x) como preimagen. Es decir, D( g ) = [ 0, +∞ ) . Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ∞). De esta forma, D (f D g) = [0, + ∞). En el cálculo se necesita a menudo escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras. Así por ejemplo, la función P ( x ) = 3 x 2 + 5 x + 2 puede escribirse en las formas: P(x) = (g D f) (x), siendo f ( x ) = 3 x 2 + 5 x + 2 y g ( x) = x , P(x) = (g D f) (x), siendo f ( x ) = 3 x 2 + 5 x y g ( x) = x + 2. En efecto, ( g D f )( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( 3 x 2 + 5 x + 2 ) = 3x 2 + 5 x + 2 en el primer caso, y ( g D f )( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( 3x 2 + 5 x ) = 3x 2 + 5 x + 2 en el segundo. 3.6 Clasificación de las funciones 3.6.1 Funciones monótonas Definiciones Sea f (x) una función definida en [a, b]. i. f es creciente en [a, b] si y sólo si se cumple que x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ∀x1 , x2 ∈ [ a, b] . ii. f es decreciente en [a, b] si y sólo si se cumple que x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) ∀x1 , x2 ∈ [ a, b] . Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 363 iii. f es monótona en [a, b] si y sólo si f es creciente o decreciente en [a, b]. Las gráficas siguientes (figura 22) ilustran las definiciones anteriores. Función creciente Función decreciente No es ni creciente ni decreciente Figura 22 3.6.2 Funciones inyectivas Definición Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 ∀x1 , x2 ∈ D( f ), o equivalentemente, x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ∀x1 , x2 ∈ D( f ). 364 Apéndice III En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f existe exactamente una y en el rango, y ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio. Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal. Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y sólo un punto, entonces f es 1-1. Así por ejemplo, en la figura 23a aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1, la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal, no corresponde a una función 1-1. Nótese que la recta y = 2 corta la gráfica en más de un punto: P1 (−1, 2) y P2 (1, 2). Figura 23 Igualmente, en la figura 23b aparece la gráfica de la función y = x3 – 1, la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1. Nótese que toda recta horizontal corta a la gráfica en uno y sólo un punto. Si se analiza un poco más la gráfica de la función en la figura 23b, se nota además que f es una función creciente en su dominio, y como toda función creciente (o decreciente), siempre tendrá valores diferentes de y, para valores distintos de x, se sigue entonces que toda función creciente (o decreciente) en su dominio es 1-1. 3.7 Funciones inversas Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, que se presenta en esta sección, se toma nuevamente la función f de la figura 23b que está definida por la ecuación y = f (x) = x3 – 1, (1) y cuyo dominio y rango es el conjunto ℜ de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene x = 3 y + 1. (2) Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 365 Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de ℜ), existe uno y sólo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el dominio de f. Así por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2 un único valor de y, en este caso y = 23 – 1 = 7. La segunda ecuación efectúa la operación inversa, es decir, al valor y = 7 le asigna el valor de x = 3 7 + 1 = 2. Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente, se intercambia x con y en la ecuación (2) y así se obtiene y = 3 x + 1. (3) La función definida por (2) o (3) y que se representa en forma general por f −1 se conoce como la inversa de la función f definida por (1). Igualmente, la función definida por (1) es la inversa de la función f −1 definida por (2). Es decir, y = f ( x) = x3 − 1 ⇔ y = f −1 ( x) = 3 x + 1. Las gráficas de f (x) y de f –1 (x) representadas en el mismo plano cartesiano aparecen en la figura 24. Figura 24 Considere ahora la función y = f (x) = x2 + 1 cuya gráfica se muestra en la figura 23a. El dominio de f lo constituye el conjunto ℜ de los números reales y el rango es el intervalo [1, ∞). Al despejar x, se obtiene x = ± y − 1. 366 Apéndice III Esta última ecuación dice que para cada valor que se le asigne a la variable y, le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia esta última ecuación no define una función. En este caso se dice que la función y = f (x) = x2 + 1 no tiene inversa o que f –1 no existe. De los dos ejemplos anteriores se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1-1. Definición Sea f : A → B una función 1-1. x 6 f ( x). La inversa de f, denotada f –1, es la función f −1 : B → A, x 6 f −1 ( x), tal que f –1 ( f (x) ) = x para cada x ∈ A (dominio de f). f (f –1 (x) ) = x para cada x ∈ B (dominio de f –1). Nótese que D (f) = r(f –1) ∧ r (f) = D(f –1). Se debe tener cuidado con el ( −1) usado en f –1. El (−1) no es un exponente, sino simplemente un símbolo para denotar la inversa. Como ejemplo ilustrativo considere nuevamente la función definida por la ecuación y = f (x) = x3 – 1. Se tiene: ⎧f : ℜ → ℜ ⎪ 3 ⎨ x 6 f ( x) = x − 1 ⇒ ⎪ f es 1 − 1 ⎩ ⎧ f −1 : ℜ → ℜ ⎪ ⎪ −1 3 ⎨ x 6 f ( x) = x + 1 ⎪ ⎪ ⎩ en donde f y f –1 son inversas una de la otra. Además, f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( x 3 − 1) = 3 (x 3 − 1) + 1 = x, x ∈ D ( f ) = ℜ, f ( f −1 ( x ) ) = f ( 3 x +1 = ) ( 3 x + 1 − 1 = x, x ∈ D( f −1 ) = ℜ. ) 3 Como se mencionó antes, la función f : ℜ → [1, +∞ ) , x 6 f ( x) = x 2 + 1, no tiene inversa (pues f no es 1-1). Sin embargo, dicha función genera dos funciones: Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 367 f : ( −∞, 0] → [1, +∞ ) x 6 f ( x) = x + 1, 2 g : [ 0, +∞ ) → [1, +∞ ) y x 6 g ( x) = x 2 + 1. que son 1-1 en sus respectivos dominios (figura 25) y en consecuencia tienen inversa. Figura 25 Para la función f se tiene: f : ( −∞, 0] → [1, +∞ ) x 6 f ( x) = x 2 + 1, ⇒ f −1 : [1, +∞ ) → ( −∞, 0] x 6 f −1 ( x) = − x − 1. Las gráficas de f y f –1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la figura 26. Figura 26 Igualmente, para la función g se tiene: g : [ 0, +∞ ) → [1, +∞ ) x 6 g ( x) = x 2 + 1, ⇒ g −1 : [1, +∞ ) → [ 0, +∞ ) x 6 g ( x) = x − 1. 368 Apéndice III Las gráficas de g y g–1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la figura 27. Figura 27 Además, f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( x 2 + 1) = − (x 2 + 1) − 1 = − x2 =− x 2 (propiedad VA6) =− x = x. (definición de x ) Es decir, f −1 ( f ( x ) ) = x para cada x ∈ ( −∞, 0] = D( f ). Igualmente, f ( f −1 ( x ) ) = f − x − 1 = − x − 1 + 1 = ( x − 1) + 1 = x. 2 −1 −1 Es decir, f ( f ( x ) ) = x para cada x ∈ [1, +∞ ) = D ( f ) . ( ) ( ) Se deja para el lector el hacer las mismas consideraciones para la función g y su inversa g–1. Observación Nótese en las figuras 26 y 27 que las gráficas de f y f −1 (g y g–1) son simétricas con respecto a la recta y = x. El teorema que se presenta a continuación, sin demostración, establece condiciones suficientes para la existencia de la función inversa. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 369 Teorema 1: Existencia de la función inversa i. Sea f una función definida, continua y creciente en el intervalo I y de rango un subconjunto A de ℜ. Entonces f −1 existe, es continua y creciente en A. Sea f una función definida, continua y decreciente en el intervalo I y de rango un subconjunto A de ℜ. Entonces f −1 existe, es continua y decreciente en A. ii. Uno de los resultados más importantes del cálculo diferencial es el que establece la relación entre la derivada de una función y la derivada de su inversa, cuando existe, y sea derivable. El teorema que se enuncia a continuación permite hallar la derivada de la función inversa, en términos de la derivada de la función directa. Teorema 2: Derivada de la función inversa Sea f una función monótona y derivable en un intervalo I y tal que f ´(x0) ≠ 0, con x0 ∈ I . Entonces f −1 es derivable en f (I) y su derivada en y0 = f (x0) viene dada por ( f )′ ( y ) = −1 0 1 . f ′( x0 ) No se hace la demostración del teorema, pero sí se hace notar que la forma en la que se plantea aparece de manera natural. En efecto, como vimos al final de la sección 3.7 del presente apéndice III, (f −1 D f ) ( x) = x ⇔ f −1 ( f ( x) ) = x. Tomando derivada con respecto a x en ambos miembros de la última igualdad, y teniendo en cuenta que: Dx f −1 ( f ( x) ) = ( f −1 )′ ( f ( x) ) ⋅ f ′( x) Dx ( x) = 1 (RD10) (RD2) se tiene entonces que ( f )′ ( f ( x) ) ⋅ f ′( x) = 1 ⇔ ( f )′ ( f ( x) ) = −1 −1 1 . f ′( x) En particular, como y0 = f ( x0 ), ( f )′ ( f ( x ) ) = −1 0 1 1 . ⇔ ( f −1 )′ ( y0 ) = f ′( x0 ) f ′( x0 ) 370 Apéndice III Observación Cuando se utiliza la notación de Leibniz para la derivada, resulta del teorema una igualdad bastante sugestiva entre las dos derivadas. Es decir, dx dy y, x = f –1(y) es su inversa, con derivada dy , entonces el teorema de la derivada de la dx si y = f (x) con derivada función inversa nos dice que dx 1 = , dy dy dx igualdad cuya forma simple hace parecer (por supuesto sin serlo) el resultado del teorema como una igualdad algebraica trivial. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 371 372 Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Edwards CH, Penny DE. 1996. 4.a ed. 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